Inequações e intervalos numéricos para o 9⁰ ano

Uma apresentação que apresenta comentários sobre intervalos numéricos e inequações.

1. Revisão de Pré-Cálculo
INTERVALOS, INEQUAÇÕES
E MÓDULO
Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni
Departamento de Matemática, FEG, UNESP
Lc. Ismael Soares Madureira Júnior
Guaratinguetá, SP, outubro 2016
Direitos reservados. Permitida a reprodução desde que citada a fonte.

2. 22
A Reta Real
Para cada ponto da reta real corresponde um número real. A origem corresponde o
número real zero, 0. Números positivos estão à direita da origem e números negativos, à
esquerda, como mostrados na figura
Ordem dos números reais - Desigualdades
Sejam a e b dois números reais quaisquer.
Símbolo Definição Geometria da Reta
a<b a – b é negativo a está à esquerda de b
a≤b a – b é negativo ou zero a está à esquerda de b ou
coincide com b
De maneira similar se define > (maior que) e ≥ (maior ou igual a)

3. 3
Intervalos da Reta
Intervalos são subconjuntos dos números reais
(segmentos de reta).
Sejam a e b números reais.
Notação Desigualdade Tipo de Intervalo
●[ a, b ] a ≤ x ≤ b Fechado
●( a, b ) a < x < b Aberto
a e b são ditas as extremidades do intervalo (limitado).
De maneira similar se define [a, b) e (a, b].
Desenho no próximo slide.

4. 4
Dupla Desigualdade - observações
a ≤ x ≤ b equivale a a ≤ x e x ≤ b
(ambas as condições devem ser satisfeitas)
●Não se usa o sinal de > ou ≥ em duplas desigualdades
como por exemplo a ≤ x ≥ b ou ainda a ≥ x ≤ b.
●Observe que a ≥ x ≥ b equivale a b ≤ x ≤ a
JRRZ & ISMJ

5. 5
Intervalos não limitados - Semiretas
5
Notação Desigualdade
( a,+ ∞) x > a
(- ∞, b) x < b
De maneira análoga se define [a, + ∞ ) e ( - ∞ , a].
O símbolo para infinito ∞ (não é um número real) tem
por significado que o valor (em módulo) pode ser
arbitrariamente grande (tão grande quanto se queira).

6. 6
Conjuntos, Relações e Operações
Sejam A e B dois conjuntos.
Notação Leitura Equivalente
A c B A está contido em B x ε A => x ε B
A U B união de A e B x ε A ou x ε B
A ∩ B interseção de A e B x ε A e x ε B
●
●Dois conjuntos são disjuntos se A ∩ B = Ø
JRRZ & ISMJ

7. 7
Desigualdades – Propriedades
●Regra dos sinais
se a.b < 0 então a e b têm sinais contrários.
se a.b > 0 então a e b têm o mesmo sinal.
O mesmo vale para o quociente a/b.
●Sejam a, b e r números reais positivos.
a < b se e somente se a^r < b^r.

8. 8
Desigualdades - Propriedades
Sejam u, v, w, z e c números reais, variáveis ou expressões algébricas.
1. Transitiva Se u < v e v < w então u < w
2. Adição u < v se e somente se u + w < v + w.
Se u < v e w < z então u + w < v + z
3. Multiplicação Se c >0 então u < v <=> u.c < v.c
Se c < 0 então u < v <=> u.c > v.c
As propriedades acima são verdadeiras se o símbolo < é substituído por ≤.
Existem propriedades similares para > e ≥.

9. 9
Inequação Linear
9
Dados a (a ≠ 0) e b números reais, resolva para x (incógnita)
a.x + b < 0
Resolução passo a passo
1. Some -b a desigualdade: a.x < - b
2. Divida por a considerando um dos dois casos
2.1 se a > 0: x < - b/a
2.2 se a < 0: x > b/a
Inequação poderia ter sido formulada com >, ≤ ou ≥.
JRRZ & ISMJ

10. 10
Inequação Quadrática
Dados a (a ≠ 0), b e c números reais, resolva para x (incógnita)

Obs: alunos provavelmente vão resolver de forma gráfica, esboçando o gráfico
da parábola e determinando os intervalos onde ela é negativa.
Método do Varal
1o Passo: Fatore a expressão
2
o Passo: monte o diagrama para análise de sinal (varal).
a.x
2
+b.x+c<0

11. 11
Inequação Quadrática
Exemplo: considere que a equação
tem duas raízes reais e distintas indicadas por r1 e r2.
Fatoração da expressão:
Diagrama de sinais (varal) considerando a > 0 (e r1 < r2).
a.x
2
+b.x+c=0
a.x
2
+b.x+c=a.(x−r
1)(x−r
2)
JRRZ & ISMJ

12. 12
Inequação Polinomial
i) Resolução alternativa: testar os valores da expressão
em cada intervalo
x < r1, r1 < x < r2, x > r2.
Teorema (permanência do sinal): se um polinômio não
tem raiz em um intervalo, então o sinal do polinômio é o
mesmo em todos os pontos do intervalo.
ii) o método do varal (e também o teste de valores) pode
ser usado para resolver uma inequação polinomial de
grau >= 2 (desde que se consiga fatorar o polinômio).

13. 13
Exercícios
1) Considere os pontos a e b da reta real, a < b.
a) Determine o ponto médio do segmento [a, b].
b) Determine os pontos que dividem este segmento
em 3 partes iguais.
2) Determine todos os pontos cuja distância ao ponto
2 é igual ou menor que 4.
3) Mostre que se 0 < a < b então a² < b².

14. 14
Inequações – Exercícios
1) Resolva as seguintes inequações
a) x (x -1) > 0. b) 1 – x ≤ 2 x².
c) 2 x² + x < 3. d) x² + x + 1 < 0.
e) x³ – x² – 2x < 0. f) x³ – x² – x + 1 < 0.
g) x³ – 6x – 4 > 0. h) x⁴ < x².
●Veja também o exemplo do Simmons, cap. 1,
seção 2: x³ > x.

15. 15
Exercícios
2) Para cada item, determine os valores de x para
que a expressão seja positiva.
a) b)
3) Resolva a inequação
4) Para quais valores de x a expressão está
definida (é um número real)
a) b)
x+1
x−3
.
x
x
2
−4
.
x
2
<1+
4
x
.
√x²−x−12.√4−x².

16. 16
Módulo (ou valor absoluto)
16
O módulo de um número real a é definido por






0
0
asea
asea
a
Observações:
•|a| ≥ 0 e |a| = 0 se e somente se a = 0.
•|a – b| é igual a distância entre os pontos a e b da reta.
JRRZ & ISMJ

17. 17
Módulos e desigualdades
17
Seja u uma expressão algébricas e a um número real
com a≥0.
1. I u I < a se e somente se –a < u < a
São os pontos u cuja distância a origem é menor que a
2. I u I > a se e somente se u < -a ou u > a.
São os pontos u cuja distância a origem é maior que a.

18. 18
Vizinhança de um ponto a
●
Intervalo aberto de centro a e raio r:
( a – r, a + r) ou a – r < x < a + r ou | x – a |
< r
São os pontos cuja distância ao ponto a é menor que r.
●
De maneira similar pode-se definir vizinhança fechada de um
ponto, vizinhança à esquerda e vizinhança a direita.
●
Vizinhança própria: x ≠ a.
JRRZ & ISMJ

19. 19
Módulos - Exercícios do Simmons
capítulo 1, seção 2
Exercício b resolvido em sala de aula.