Integrales multiples

Explicación de integrales en calculo vectorial

1. INTEGRALES DOBLES Andrés Felipe Parra Ceballos - 20182171975 Juan Edison Giraldo Zuluaga - 20182172723 Diego Alejandro Perdomo Montealegre - 20182171982

2. TEMAS Integrales múltiples Integrales dobles Integrales dobles rectangulares (Tipo l y ll) Integrales dobles circulares

3. Integrales múltiples Las integrales múltiples son un tipo de integral definida aplicada en funciones de más de una variable, es decir de o . Una integral de una función de una sola variable , se puede interpretar como el área entre la gráfica de la función y en el eje x en ese intervalo. La doble integral de una función de 2 variables se define como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo.  

4. Desarrollo de integrales múltiples Al desarrollar una integral triple, define una región del espacio xyz y el resultado es un hipervolumen. La mejor manera de interpretar una integral múltiple es anidando signos de integración, en el orden inverso al orden de ejecución, es decir, el de la izquierda es el ultimo en ser resuelto.  

5. Ejemplo de integrales múltiples Calcular la siguiente integral doble Separamos la integral interna en una resta de dos integrales e integramos respecto a y Como integramos respecto a y entonces x es una constante y la sacamos de las integrales Resolvemos las integrales y mencionamos los puntos en donde serán evaluados  

6. Reemplazamos los puntos en y y resolvemos las operaciones. Terminamos de hacer operaciones y nos queda una integral de una sola variable. Resolvemos integral sencilla  

7. 2. Calcular la siguiente integral triple Integramos de adentro para afuera, iniciando en este caso con dx Integramos la siguiente variable que es dz Solucionamos el binomio al cubo Evaluamos el resultado  

8. Integrales dobles La integral doble es integrar funciones de dos variables f( x,y ) para lo cual se emplearán las mismas técnicas que se utilizaron en la evaluación de las integrales simples. Sin embargo, como se incluyen dos variables, se debe integrar f( x,y ) manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas Donde a, b, c, y d son los límites de integración de la región R  

9. Ejemplo integral doble Para resolver una integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable Calcular la integral doble de Primer paso integrar desde lo interno hasta lo externo Integramos la segunda integral  

10. Simplificamos el término 2 Reemplazamos los límites de la segunda integral Aplicamos producto notable caso binomio cuadrado perfecto Aplicamos ley distributiva Nos queda una integral directa Aplicamos Teorema Fundamental del Calculo Reemplazamos los limites (1) y (0) ( ) – (0) =  

11. Integrales dobles rectangulares TIPO l Cuando la región de integración es un rectángulo Q = Región roja equivale a Q Se puede resolver de las dos formas El resultado siempre es un número real  

12. Ejemplo 2 ] 1  

13. Integrales dobles rectangulares TIPO ll Q = {( x,y | a , h(x) } donde A y B son constante   G(x), h(x) es una función variable Para resolver Primero se evalúa la integral común y corriente La variable y, se calcula la integral con respecto a la variable y Luego se reemplaza ese valor obtenido y en h(x) y g(x) El resultado de esta función en x Ese resultado se integra con respecto x Sería un número real  

14. Integrales dobles circulares Son integrales dobles las cuales se van a evaluar en regiones circulares o regiones comprendidas entre dos círculos ejemplo:

15. Si nos pidiera hallar la integral doble del circulo sombreado en marron entonces se procedería a hallar los limites de integración los cuales, como se logra observar en la figura los cuales van de logrando hallar los limites de la integración y formulándolos en la integración nos quedaría algo así:   Nos encontramos con una integral la cual no resulta tan sencilla para poderse integrar, para poder facilitar el trabajo podemos recurrir a una región polar reduciendo la dificultad del calculo de la ecuación. Para esto se tiene que tener en cuenta que la región circular se obtiene al hacer rotar un segmento de la recta en torno al origen de sistema. Para poder realizar la conversión a coordenadas polares debemos recordar:  

16. Realizando sustituciones quedaría una ecuación así Entonces tomando pequeños diferenciales los cuales se aproximan a una región rectangular nos quedaría la siguiente integral:   Por lo tanto para poder encontrar una integral en coordenadas polares se debe: Expresar la región en el sistema polar, y determinar los limites de la integración. Sustituir en la función integrando las coordenadas polares por su equivalente en coordenadas polares. Remplazar el diferencial de área por su equivalencia en coordenadas polares. Evaluar la integral resultante.  

17. Ejemplo Dibujamos la región comprendida entre los círculos dados. Al tratar de evaluar la integral en coordenadas rectangulares esta se tiene que dividir en dos cuyos limites de integración son:   Los limites de integración en coordenadas polares son:  

18. Realizando los cambios en la integral se obtiene que:  

19. BIBLIOGRAFIA http://www.mate.unlp.edu.ar/practicas/114_6_13052015231314.pdf https://slideplayer.es/slide/5653636/ https://matematica.laguia2000.com/general/integrales-dobles https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/7287/5/5-Integraci%C3%B3n%20M%C3%BAltiple.pdf https://es.slideshare.net/fernandocb3/integrales-dobles-49625392 https://es.slideshare.net/fernandocb3/integrales-dobles-49625392 https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-a/a/double-integrals-in-polar-coordinates http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/ceciliahd/cvvi/CoordenadasPolaresCilindricasEsfericasThomas.pdf https://sites.google.com/site/pesqueriagrupocal/5-calculo-de-varias-variables/integrales-dobles-en-coordenadas-polares