Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics Second Edition Miklós Bóna

Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics Second Edition Miklós Bóna
Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics Second Edition Miklós Bóna
Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics Second Edition Miklós Bóna

1. Visit ebookfinal.com to download the full version and
explore more ebooks or textbooks
Introduction to Enumerative and Analytic
Combinatorics Second Edition Miklós Bóna
_____ Click the link below to download _____
https://ebookfinal.com/download/introduction-to-enumerative-
and-analytic-combinatorics-second-edition-miklos-bona/
Explore and download more ebooks or textbook at ebookfinal.com

2. Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
MacMillan Destination C1 C2 Grammar Vocabulary Malcolm
Mann
https://ebookfinal.com/download/macmillan-destination-c1-c2-grammar-
vocabulary-malcolm-mann/
Annual Reports on NMR Spectroscopy Volume 83 1st Edition
Webb
https://ebookfinal.com/download/annual-reports-on-nmr-spectroscopy-
volume-83-1st-edition-webb/
Enumerative Combinatorics 1st Edition Charalambos A.
Charalambides
https://ebookfinal.com/download/enumerative-combinatorics-1st-edition-
charalambos-a-charalambides/
Using the TI 83 Plus TI 84 Plus Christopher R. Mitchell
https://ebookfinal.com/download/using-the-ti-83-plus-ti-84-plus-
christopher-r-mitchell/

3. How to Count An Introduction to Combinatorics Second
Edition R.B.J.T. Allenby
https://ebookfinal.com/download/how-to-count-an-introduction-to-
combinatorics-second-edition-r-b-j-t-allenby/
Handbook of Enumerative Combinatorics 1st Edition Miklós
Bóna (Editor)
https://ebookfinal.com/download/handbook-of-enumerative-
combinatorics-1st-edition-miklos-bona-editor/
Combinatorics Second Edition Russell Merris(Auth.)
https://ebookfinal.com/download/combinatorics-second-edition-russell-
merrisauth/
Proc 10th workshop on algorithm engineering 5th workshop
on analytic algorithmics and combinatorics J. Ian Munro
https://ebookfinal.com/download/proc-10th-workshop-on-algorithm-
engineering-5th-workshop-on-analytic-algorithmics-and-combinatorics-j-
ian-munro/
Introduction to Circle Packing The Theory of Discrete
Analytic Functions 1st Edition Kenneth Stephenson
https://ebookfinal.com/download/introduction-to-circle-packing-the-
theory-of-discrete-analytic-functions-1st-edition-kenneth-stephenson/

5. Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics
Second Edition Miklós Bóna Digital Instant Download
Author(s): Miklós Bóna
ISBN(s): 9781482249101, 1482249103
Edition: 2
File Details: PDF, 4.07 MB
Year: 2016
Language: english

6. “Miklós Bóna has done a masterful job of bringing an overview of all
of enumerative combinatorics within reach of undergraduates. The
two fundamental themes of bijective proofs and generating func-
tions, together with their intimate connections, recur constantly. A
wide selection of topics, including several never appearing before in
a textbook, is included that gives an idea of the vast range of enu-
merative combinatorics.”
—From the Foreword to the First Edition by Richard Stanley,
Cambridge, Massachusetts, USA
Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics fills the
gap between introductory texts in discrete mathematics and ad-
vanced graduate texts in enumerative combinatorics. The book first
deals with basic counting principles, compositions and partitions,
and generating functions. It then focuses on the structure of per-
mutations, graph enumeration, and extremal combinatorics. Lastly,
the text discusses supplemental topics, including error-correcting
codes, properties of sequences, and magic squares.
Strengthening the analytic flavor of the book, this Second Edition:
• Features a new chapter on analytic combinatorics and new
sections on advanced applications of generating functions
• Demonstrates powerful techniques that do not require the
residue theorem or complex integration
• Adds new exercises to all chapters, significantly extending
coverage of the given topics
Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics, Second
Edition makes combinatorics more accessible, increasing interest in
this rapidly expanding field.
K23708
www.crcpress.com
DISCRETE MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONSDISCRETE MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS
INTRODUCTION
TO ENUMERATIVE
AND ANALYTIC
COMBINATORICS
SECOND EDITION
SECOND
EDITION
Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics
Miklós Bóna
1 1
1010
20
Bóna
Mathematics
K23708_cover.indd 1 8/27/15 11:28 AM

8. INTRODUCTION
TO ENUMERATIVE
AND ANALYTIC
COMBINATORICS
SECOND EDITION

9. DISCRETE
MATHEMATICS
ITS APPLICATIONS
R. B. J. T. Allenby and Alan Slomson, How to Count: An Introduction to Combinatorics,
Third Edition
Craig P. Bauer, Secret History: The Story of Cryptology
Juergen Bierbrauer, Introduction to Coding Theory
Katalin Bimbó, Combinatory Logic: Pure, Applied and Typed
Katalin Bimbó, Proof Theory: Sequent Calculi and Related Formalisms
Donald Bindner and Martin Erickson, A Student’s Guide to the Study, Practice, and Tools of
Modern Mathematics
Francine Blanchet-Sadri, Algorithmic Combinatorics on Partial Words
Miklós Bóna, Combinatorics of Permutations, Second Edition
Miklós Bóna, Handbook of Enumerative Combinatorics
Miklós Bóna, Introduction to Enumerative and Analytic Combinatorics, Second Edition
Jason I. Brown, Discrete Structures and Their Interactions
Richard A. Brualdi and Drago˘s Cvetkovi´c, A Combinatorial Approach to Matrix Theory and Its
Applications
Kun-Mao Chao and Bang Ye Wu, Spanning Trees and Optimization Problems
Charalambos A. Charalambides, Enumerative Combinatorics
Gary Chartrand and Ping Zhang, Chromatic Graph Theory
Henri Cohen, Gerhard Frey, et al., Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography
Charles J. Colbourn and Jeffrey H. Dinitz, Handbook of Combinatorial Designs, Second Edition
Abhijit Das, Computational Number Theory
Matthias Dehmer and Frank Emmert-Streib, Quantitative Graph Theory:
Mathematical Foundations and Applications
Martin Erickson, Pearls of Discrete Mathematics
Martin Erickson and Anthony Vazzana, Introduction to Number Theory

10. Titles (continued)
Steven Furino, Ying Miao, and Jianxing Yin, Frames and Resolvable Designs: Uses,
Constructions, and Existence
Mark S. Gockenbach, Finite-Dimensional Linear Algebra
Randy Goldberg and Lance Riek, A Practical Handbook of Speech Coders
Jacob E. Goodman and Joseph O’Rourke, Handbook of Discrete and Computational Geometry,
Second Edition
Jonathan L. Gross, Combinatorial Methods with Computer Applications
Jonathan L. Gross and Jay Yellen, Graph Theory and Its Applications, Second Edition
Jonathan L. Gross, Jay Yellen, and Ping Zhang Handbook of Graph Theory, Second Edition
David S. Gunderson, Handbook of Mathematical Induction: Theory and Applications
Richard Hammack, Wilfried Imrich, and Sandi Klavžar, Handbook of Product Graphs,
Second Edition
Darrel R. Hankerson, Greg A. Harris, and Peter D. Johnson, Introduction to Information Theory
and Data Compression, Second Edition
Darel W. Hardy, Fred Richman, and Carol L. Walker, Applied Algebra: Codes, Ciphers, and
Discrete Algorithms, Second Edition
Daryl D. Harms, Miroslav Kraetzl, Charles J. Colbourn, and John S. Devitt, Network Reliability:
Experiments with a Symbolic Algebra Environment
Silvia Heubach and Toufik Mansour, Combinatorics of Compositions and Words
Leslie Hogben, Handbook of Linear Algebra, Second Edition
Derek F. Holt with Bettina Eick and Eamonn A. O’Brien, Handbook of Computational Group Theory
David M. Jackson and Terry I. Visentin, An Atlas of Smaller Maps in Orientable and
Nonorientable Surfaces
Richard E. Klima, Neil P. Sigmon, and Ernest L. Stitzinger, Applications of Abstract Algebra
with Maple™ and MATLAB®, Second Edition
Richard E. Klima and Neil P. Sigmon, Cryptology: Classical and Modern with Maplets
Patrick Knupp and Kambiz Salari, Verification of Computer Codes in Computational Science
and Engineering
William Kocay and Donald L. Kreher, Graphs, Algorithms, and Optimization
Donald L. Kreher and Douglas R. Stinson, Combinatorial Algorithms: Generation Enumeration
and Search
Hang T. Lau, A Java Library of Graph Algorithms and Optimization
C. C. Lindner and C. A. Rodger, Design Theory, Second Edition
San Ling, Huaxiong Wang, and Chaoping Xing, Algebraic Curves in Cryptography
Nicholas A. Loehr, Bijective Combinatorics
Toufik Mansour, Combinatorics of Set Partitions

11. Titles (continued)
Toufik Mansour and Matthias Schork, Commutation Relations, Normal Ordering, and Stirling
Numbers
Alasdair McAndrew, Introduction to Cryptography with Open-Source Software
Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Fifth Edition
Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, and Scott A. Vanstone, Handbook of Applied
Cryptography
Stig F. Mjølsnes, A Multidisciplinary Introduction to Information Security
Jason J. Molitierno, Applications of Combinatorial Matrix Theory to Laplacian Matrices of Graphs
Richard A. Mollin, Advanced Number Theory with Applications
Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, Second Edition
Richard A. Mollin, Codes: The Guide to Secrecy from Ancient to Modern Times
Richard A. Mollin, Fundamental Number Theory with Applications, Second Edition
Richard A. Mollin, An Introduction to Cryptography, Second Edition
Richard A. Mollin, Quadratics
Richard A. Mollin, RSA and Public-Key Cryptography
Carlos J. Moreno and Samuel S. Wagstaff, Jr., Sums of Squares of Integers
Gary L. Mullen and Daniel Panario, Handbook of Finite Fields
Goutam Paul and Subhamoy Maitra, RC4 Stream Cipher and Its Variants
Dingyi Pei, Authentication Codes and Combinatorial Designs
Kenneth H. Rosen, Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics
Douglas R. Shier and K.T. Wallenius, Applied Mathematical Modeling: A Multidisciplinary
Approach
Alexander Stanoyevitch, Introduction to Cryptography with Mathematical Foundations and
Computer Implementations
Jörn Steuding, Diophantine Analysis
Douglas R. Stinson, Cryptography: Theory and Practice, Third Edition
Roberto Tamassia, Handbook of Graph Drawing and Visualization
Roberto Togneri and Christopher J. deSilva, Fundamentals of Information Theory and Coding
Design
W. D. Wallis, Introduction to Combinatorial Designs, Second Edition
W. D. Wallis and J. C. George, Introduction to Combinatorics
Jiacun Wang, Handbook of Finite State Based Models and Applications
Lawrence C. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition

12. DISCRETE MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS
INTRODUCTION
TO ENUMERATIVE
AND ANALYTIC
COMBINATORICS
SECOND EDITION
Miklós Bóna
University of Florida
Gainesville, Florida, USA

13. CRC Press
Taylor & Francis Group
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300
Boca Raton, FL 33487-2742
© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC
CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business
No claim to original U.S. Government works
Version Date: 20150716
International Standard Book Number-13: 978-1-4822-4910-1 (eBook - PDF)
This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable
efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot
assume responsibility for the validity of all materials or the consequences of their use. The authors and
publishers have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication
and apologize to copyright holders if permission to publish in this form has not been obtained. If any
copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any
future reprint.
Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced,
transmitted, or utilized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or
hereafter invented, including photocopying, microfilming, and recording, or in any information stor-
age or retrieval system, without written permission from the publishers.
For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copy-
right.com (http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222
Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that pro-
vides licenses and registration for a variety of users. For organizations that have been granted a photo-
copy license by the CCC, a separate system of payment has been arranged.
Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are
used only for identification and explanation without intent to infringe.
Visit the Taylor & Francis Web site at
http://www.taylorandfrancis.com
and the CRC Press Web site at
http://www.crcpress.com

14. To Linda
To Mikike, Benny, and Vinnie

16. Contents
Foreword to the rst edition xv
Preface to the second edition xvii
Acknowledgments xix
Frequently used notation xxi
I Methods 1
1 Basic methods 3
1.1 When we add and when we subtract . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 When we add . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 When we subtract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 When we multiply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 The product principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Using several counting principles . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 When repetitions are not allowed . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3.2 Partial lists without repetition . . . . . . . . 12
1.3 When we divide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 The division principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2.1 The number ofk-element subsets of ann-
element set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2.2 The binomial theorem for positive integer ex-
ponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Applications of basic counting principles . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Bijective proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1.1 Catalan numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Properties of binomial coecients . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Permutations with repetition . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 The pigeonhole principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ix

17. x Contents
1.10 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Applications of basic methods 55
2.1 Multisets and compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.1 Weak compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.2 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Set partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1 Stirling numbers of the second kind . . . . . . . . . . 59
2.2.2 Recurrence relations for Stirling numbers of the second
kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.3 When the number of blocks is not xed . . . . . . . . 64
2.3 Partitions of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.1 Nonincreasing nite sequences of positive integers . . 65
2.3.2 Ferrers shapes and their applications . . . . . . . . . . 68
2.3.3 Excursion: Euler's pentagonal number theorem . . . . 70
2.4 The inclusion{exclusion principle . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4.1 Two intersecting sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4.2 Three intersecting sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.3 Any number of intersecting sets . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.3.1 An explicit formula for the numbersS(n; k) . 85
2.4.3.2 An application involving linear orders . . . . 87
2.4.3.3 Euler'sfunction . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4.3.4 Derangements . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4.3.5 Excursion: Another proof of the inclusion{
exclusion principle . . . . . . . . . . . . . . 91
2.5 The twelvefold way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.7 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.9 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.10 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Generating functions 117
3.1 Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.1.1 Generalized binomial coecients . . . . . . . . . . . . 118
3.1.2 Formal power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2 Warming up: Solving recurrence relations . . . . . . . . . . . 122
3.2.1 Ordinary generating functions . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.2 Exponential generating functions . . . . . . . . . . . . 128
3.3 Products of generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3.1 Ordinary generating functions . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3.2 Exponential generating functions . . . . . . . . . . . . 142
3.4 Compositions of generating functions . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.1 Ordinary generating functions . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.2 Exponential generating functions . . . . . . . . . . . . 153

18. Contents xi
3.4.2.1 The exponential formula . . . . . . . . . . . 153
3.4.2.2 The compositional formula . . . . . . . . . . 157
3.5 A dierent type of generating functions . . . . . . . . . . . . 160
3.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.7 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.9 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.10 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
II Topics 179
4 Counting permutations 181
4.1 Eulerian numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2 The cycle structure of permutations . . . . . . . . . . . . . . 189
4.2.1 Stirling numbers of the rst kind . . . . . . . . . . . . 189
4.2.2 Permutations of a given type . . . . . . . . . . . . . . 196
4.3 Cycle structure and exponential generating functions . . . . 200
4.4 Inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.4.1 Counting permutations with respect to inversions . . . 210
4.5 Advanced applications of generating functions to permutation
enumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.5.1 The combinatorial meaning of the derivative . . . . . 215
4.5.2 Multivariate generating functions . . . . . . . . . . . . 215
4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.7 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.9 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.10 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5 Counting graphs 237
5.1 Trees and forests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.1.1 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.1.2 The notion of graph isomorphisms . . . . . . . . . . . 243
5.1.3 Counting trees on labeled vertices . . . . . . . . . . . 247
5.1.4 Forests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.2 Graphs and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.2.1 Acyclic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.2.2 Parking functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3 When the vertices are not freely labeled . . . . . . . . . . . . 263
5.3.1 Rooted plane trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.3.2 Decreasing binary trees . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.4 Graphs on colored vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.4.1 Chromatic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.4.2 Colored graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.4.2.1 Counting allk-colored graphs . . . . . . . . . 280

19. xii Contents
5.4.2.2 Counting colored trees . . . . . . . . . . . . . 280
5.5 Graphs and generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.5.1 Trees counted by Cayley's formula . . . . . . . . . . . 283
5.5.2 Rooted trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.5.2.1 Ordinary generating functions . . . . . . . . 284
5.5.2.2 Exponential generating functions . . . . . . . 285
5.5.2.3 An application of multivariate generating
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.5.3 Connected graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.5.4 Eulerian graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.7 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.9 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.10 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6 Extremal combinatorics 315
6.1 Extremal graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.1.1 Bipartite graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.1.2 Turan's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.1.3 Graphs excluding cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.1.3.1 Convex functions and Jensen's inequality . . 326
6.1.3.2 Notation in approximate counting . . . . . . 327
6.1.3.3 Rening the results onfC4(n) . . . . . . . . 328
6.1.3.4 Avoiding longer cycles . . . . . . . . . . . . . 330
6.1.4 Graphs excluding complete bipartite graphs . . . . . . 332
6.2 Hypergraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.2.1 Hypergraphs with pairwise intersecting edges . . . . . 335
6.2.1.1 Sunowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.2.2 Hypergraphs with pairwise incomparable edges . . . . 341
6.3 Something is more than nothing: Existence proofs . . . . . . 343
6.3.1 Property B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
6.3.2 Excluding monochromatic arithmetic progressions . . 345
6.3.3 Codes over nite alphabets . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.5 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.7 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.8 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
III An Advanced Method 371

20. Contents xiii
7 Analytic combinatorics 373
7.1 Exponential growth rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.1.1 Rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.1.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.1.1.2 Theoretical background . . . . . . . . . . . . 374
7.1.2 Singularity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.1.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.1.2.2 Analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.1.2.3 The complex versions of some well-known
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.1.2.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
7.1.2.5 The main theorem of exponential asymptotics 389
7.2 Polynomial precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.2.1 Rational functions again . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.2.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.2.1.2 Multiple singularities in rational functions . 393
7.3 More precise asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.3.1 Entire functions divided by (1x) . . . . . . . . . . . 396
7.3.2 Rational functions one more time . . . . . . . . . . . . 399
7.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
7.5 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
7.7 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
7.8 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
IV Special Topics 417
8 Symmetric structures 419
8.1 Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
8.2 Finite projective planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
8.2.1 Finite projective planes of prime power order . . . . . 429
8.3 Error-correcting codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.3.1 Words far apart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.3.2 Codes from designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8.3.3 Perfect codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8.4 Counting symmetric structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
8.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
8.6 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
8.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
8.8 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
8.9 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

21. xiv Contents
9 Sequences in combinatorics 455
9.1 Unimodality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
9.2 Log-concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
9.2.1 Log-concavity implies unimodality . . . . . . . . . . . 458
9.2.2 The product property . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
9.2.3 Injective proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
9.2.3.1 Lattice paths again . . . . . . . . . . . . . . 466
9.3 The real zeros property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
9.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
9.5 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
9.7 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
9.8 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
10 Counting magic squares and magic cubes 483
10.1 A distribution problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
10.2 Magic squares of xed size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
10.2.1 The case ofn= 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
10.2.2 The functionHn(r) for xedn. . . . . . . . . . . . . 488
10.3 Magic squares of xed line sum . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
10.4 Why magic cubes are dierent . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
10.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
10.6 Chapter review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
10.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
10.8 Solutions to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
10.9 Supplementary exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
Appendix The method of mathematical induction 521
A.1 Weak induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
A.2 Strong induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
Bibliography 525
Index 531

22. Foreword to the rst edition
What could be a more basic mathematical activity than counting the number
of elements of a nite set? The misleading simplicity that denes the sub-
ject of enumerative combinatorics is in fact one of its principal charms. Who
would suspect the wealth of ingenuity and of sophisticated techniques that
can be brought to bear on a such an apparently supercial endeavor? Miklos
Bona has done a masterful job of bringing an overview of all of enumerative
combinatorics within reach of undergraduates. The two fundamental themes
of bijective proofs and generating functions, together with their intimate con-
nections, recur constantly. A wide selection of topics, including several never
appearing before in a textbook, are included that give an idea of the vast
range of enumerative combinatorics. In particular, for those with sucient
background in undergraduate linear algebra and abstract algebra there are
many tantalizing hints of the fruitful connection between enumerative com-
binatorics and algebra that plays a central role in the subject of algebraic
combinatorics. In a foreword to another book by Miklos Bona I wrote, \This
book can be utilized at a variety of levels, from random samplings of the trea-
sures therein to a comprehensive attempt to master all the material and solve
all the exercises. In whatever direction the reader's tastes lead, a thorough
enjoyment and appreciation of a beautiful area of combinatorics is certain to
ensue." Exactly the same sentiment applies to the present book, as the reader
will soon discover.
Richard Stanley
Cambridge, Massachusetts
June 2005
xv

24. Preface to the second edition
There are at least three ways to use this book. If one decides to cover every
chapter, and some of the exercises containing new material, then one can
teach a two-semester combinatorics course from the book. Instructors looking
for a text for a course in enumerative combinatorics can teach such a course
selecting chapters with the strongest focus on counting, such as Chapters 2,
3, 4, 5, 7, and 9. Finally, one can teach a one-semester course with a not-
quite-as-strong focus on enumeration by using Chapters 1, 2, 3, and then the
desired chapters from the rest of the book.
Our hope is that our book can broaden access to the fascinating topics of
enumerative and analytic combinatorics, and will prepare readers for the more
advanced, classic books of the eld, such asEnumerative Combinatoricsby
Richard Stanley andAnalytic Combinatoricsby Philippe Flajolet and Robert
Sedgewick.
This current edition of the book contains a new chapter on analytic combi-
natorics. Instructors trying to teach that topic to a relatively novice audience
often hit a roadblock when they realize that the audience is unfamiliar with
complex analysis. The goal of this chapter is to at least partially overcome
that roadblock by showing the reader some of the powerful techniques of that
eld that donotrequire the residue theorem or complex integration. Hope-
fully, readers will nd the results interesting and that will entice them to learn
the techniques that we only mention here. Strengthening the analytic avor
of the book, Chapters 4 and 5 have been enhanced by new sections discussing
advanced applications of generating functions. Finally, we added new exer-
cises to all chapters. Just as before, numerous exercises contain material not
discussed in the text, which allows instructors to extend the time they spend
on a given topic.
Combinatorics is a rapidly expanding eld, and we hope that our book
will increase the number of students with an interest in it even further.
Gainesville, FL
August 2015
xvii

26. Discovering Diverse Content Through
Random Scribd Documents

27. 25. Schorpioenen.
Op zulke ren-dromedarissen, als de roovers van het vorige
hoofdstuk rijden wij nudoor Noord-Beloedsjistan, naar het Oosten.
Verschroeide, dorre woestijnen en steppen,slechts schaars
begroeid met distels en bosjes gras, zich verplaatsende duinen van
fijn geel zand, en lage, door den overgang van koude en hitte
verweerde bergruggen,—dat is het stempel vandit land. Slechts
enkele nomaden zwerven hier met hun kudden schapen rond en de
vreemdelingvraagt zich dikwijls af, waarvan hier mensch en dier kan
leven. Wel zijn er eenigedalen en ook bronnen en nu en dan rijden
wij door een strook weelderige tamariskenen saxaulstruiken met
takken met groene naalden, hard hout en wortels die tot aanhet
grondwater reiken. De groote karavaanweg, dien wij volgen is echter
ontzettend verlaten. En de hittewordt nu, einde April, met elken dag
drukkender. De thermometer wijst in de schaduw42 graden, en als
men op zijn dromedaris tegen de zon inrijdt dan is het alsof het
hoofd in een gloeienden oven steekt. Als er wind is, dan gaat het
nog, maar dan jaagthet zand als spoken over den heeten grond. Als
de lucht stil is, dan schijnen de omtrekkender bergen in kleine
haastige golven te trillen. De loop van een geweer, dat in dezon
heeft gelegen, zou brandblaren veroorzaken aan de handen; in het
midden van denzomer wikkelen de Beloedsjen zelfs stukken vilt om
hun stijgbeugels om [102]de naakte dromedarissen voor
brandwonden tegen hun flanken te behoeden.
Deze streek is een der heetste der aarde. De zon staat ’s middags
zoo hoog, dat hetgrootste deel der schaduw van een dromedaris
onder het dier zelf verdwijnt. Met welkeen verlangen, ziet men den
zonsondergang tegemoet, en wacht totdat de schaduwen verlengen,
en de ergste hitte afneemt. Maar koel wordt het hier niet eens in den

28. nacht, integendeelwordt men dan nog gekweld door zwermen
muggen.
Verder naar het Oosten worden de dalen vruchtbaar; maar myriaden
vraatzuchtige sprinkhanenverteren de weelderige tarwe; zij waren
juist in het jaar, dat ik dit land bezochtbijzonder talrijk.
Buitendien wemelt Beloedsjistan en ook Perzië van schorpioenen,
deze kleine woestijnbewoners,die zich in tweehonderd verschillende
soorten in alle warme streken der vijf werelddeelenophouden.
Eenige zijn nietig klein, andere tot vijftien centimeter lang. Zij zijn
zwartbruin, of roodachtig, of zooals in Beloedsjistan, stroogeel. Hun
lichaam bestaatuit een kop en borststuk zonder geledingen , een
achterlijf van zeven ringen met geledingen, en zes staartringen. Het
laatstedertiende lid bevat twee giftklieren en is voorzien van een
angel, die zoo fijn isals een naald. Het gift is een heldere vloeistof.
De schorpioenen leven in vermolmde boomstammen, onder steenen
en in muren, en daarzij van warmte houden, zoeken zij huizen en
hutten op en kruipen in kleeren en bedden.In oude tijden geloofde
men aan hun opstanding uit den dood, en uit het Oude Testament
zijn zij ons wel bekend; want God leidde de kinderen Israëls, „door
de groote, vreeselijkewoestijn, de verblijfplaats der slangen en
schorpioenen, een verdord land waar geenwater is.” Zij komen ook
in het Nieuwe Testament voor. Want Jezus zeide tot de zeventig:
„Ziet, ik geef U macht op slangen en schorpioenen te treden,” en dat
zij in den oudentijd evenzeer gevreesd waren als tegenwoordig, dat
bewijst de plaats uit de Openbaringvan Johannes: „En uit den rook
gingen de sprinkhanen op en hun werd dezelfde macht gegeven, die
deschorpioenen op de aarde hebben.”
Maar dit afzichtelijk kruipend gedierte kruipt niet alleen op de aarde
rond, maarheeft ook een plaats in den Zodiak, den ring van
sterrenbeelden, dien wij den dierenriemnoemen als achtste der

29. twaalf beelden. In deze eigenschap wordt de schorpioen in oude
Egyptische tempels afgebeeld, en zoo verheugde hij zich dus reeds
in de grijze oudheidin een beroemdheid als geen ander zoo
laagstaand dier.[103]
’s Nachts verlaten de schorpioenen hun duistere schuilplaatsen en
gaan op de jacht.Zij houden daarbij den staart omhoog, over den
rug gebogen om den angel niet te beschadigenen dadelijk gereed te
zijn voor aanval en verweer. Heeft de schorpioen een geschikt
slachtoffer gevonden bijvoorbeeld een spin, dan stormt hij er dadelijk
op los, grijpthet met zijn kreeftachtige scharen vast, heft het boven
zijn kop en boven zijn naaromhoog gerichte oogen, en geeft het met
den giftangel den doodsteek; dan zuigt hijzich vast in de zachte
deelen van het slachtoffer en verbrijzelt de harde met zijnkaken.
De jonge schorpioenen komen levend ter wereld en gelijken van den
eersten dag af op de oude; ze zijn echternog licht van kleur en
zacht. Zij kruipen op den rug en langs de pooten der moeder,die
intusschen steeds zwakker is geworden en verlaten haar pas na
eenigen tijd, alszij sterft. T ot de ergste vijanden der schorpioenen
behooren zekere behaarde eveneensgiftige spinnen, die in Perzië
en Beloedsjistan, zeer vaak voorkomen.
De steken van groote schorpioenen zijn ook voor den mensch
gevaarlijk. In sommigegevallen is de gestokene twaalf uur later
onder ontzettende smarten gestorven. Anderekrijgen krampen en
koorts en lijden ijselijke pijnen. Maar wie meermalen door
schorpioenenwordt gestoken wordt tenslotte ongevoelig voor het
gift. Ik heb vaak in Aziatischehutten, in mijn tent, onder mijn bagage,
en zelfs op mijn bed schorpioenen gevonden,ik ben er echter nooit
door gestoken. Het is velen mijner bedienden wel gebeurd, enzij
vertellen mij, dat het moeilijk is vast te stellen, waar de schorpioen
heeft gestokendaar het gansche lichaam na den steek jeukt en

30. brandt. In Oost-Turkestan is men gewoon, den schorpioen, door
welken men gestoken werd, te vangen, en tot een brijachtige massa
fijn te maken, en deze zalf smeert men dan op de plek waar de
angel ingedrongenis. Of de kuur helpt weet ik niet.
Er wordt verteld, dat de vastberadenheid van een schorpioen zoo
ver gaat, dat hij zelfmoord pleegt, als hij geen hoop op redding in
levensgevaar vindt. Zoomoet hij, als men hem in een kring
gloeiende kolen legt en hij vergeefs beproefd heefter uit te komen,
zijn giftangel in zijn eigen rug boren. Ik heb de proef dikwijls
genomen, en telkens gezien, dat de schorpioen wel verscheidene
keeren den kring rondliepen beproefde te ontkomen, maar dan heel
verstandig in het midden bleef zitten. Misschienzeide hem zijn
verstand, dat de kolen zouden afkoelen als hij zich tijd gaf. Maar
voor dat het zoover was, had een groote steen hem reeds
verpletterd. Zeker is medelijden met [104]dieren een schoone deugd,
maar schorpioenen moet men verdelgen waar men ze ontmoet.

31. [Inhoud]

32. 26. De Indus.
Als men 2400 kilometer op kameelen en dromedarissen heeft
gereden, klinkt de stoomfluitvan een locomotief als de lieflijkste
muziek in de ooren.
Aan het beginstation van de Indische spoorlijn, nam ik afscheid van
mijn Beloedsjen,stapte in den trein en reed over de groote
garnizoenstad Quetta in Britsch Beloedsjistan naar den Indus.
Nu willen wij een oogenblik de kaart (bladz. 110) ter hand nemen. In
het zuiden vande Himalaja vormt het Indische schiereiland een
driehoek waarvan de punt in den IndischenOceaan uitsteekt. In het
Noorden is de basis van dezen driehoek echter breed. Hier
stroomen de drie groote rivieren van Indië: de Indus, de Ganges en
de Brahmapoetra.De Brahmapoetra bevloeit de vlakten van Assam,
in den oostelijken hoek van den driehoek. Aan de oevers van de
Ganges ligt een geheele wereld van groote, beroemde steden, van
welke wij er verscheiden zullen bezoeken zoodra wij van een
langeren uitstap naar Tibet teruggekeerd zullen zijn. De Ganges en
de Brahmapoetra hebben een gemeenschappelijkedelta, met
ontelbaar vele armen, waardoor het water van beide rivieren zich in
degolf van Bengalen uitstort.
In den westelijken hoek van den driehoek stroomt de Indus naar de
Indisch-Arabischezee. Zijn bronnen en die van de Brahmapoetra
liggen hoog boven in Tibet, dicht bijelkander en als een ontzaglijk
edelgesteente wordt de Himalaja, door de glinsterende,ruischende
zilveren draden van de beide rivieren omsloten; daar boven in het
westendoorsnijdt hem in een tot 3000 meter diepe dalkloof de
Indus, en in het Oosten zoektde Brahmapoetra, door een niet

33. minder woest en duizelingwekkend dal den weg naar hetlaagland.
De sedert duizenden en nog eens duizenden jaren onvermoeid
knagende en verpletterendekracht der watermassa’ s heeft deze
geweldige dwarsdalen in het hoogste gebergte deraarde
uitgeslepen.
De Indus heeft verscheidene zijrivieren. In schuimende watervallen
en ruischende stroomversnellingenijlen zij van het gebergte omlaag
hun gebieder tegemoet. De grootste heet Satledsch en zij
doorstroomen alle een laagland, dat Pendschab [105]heet. In dertien
uitmondingen, die over een uitgestrektheid der kust van 250
kilometerverdeeld zijn, stroomt de Indus in zee. Haar geheele lengte
bedraagt 3200 kilometer,dus iets langer dan die van de Donau.
Langs den oostelijken oever van den Indus, brengt de trein ons nu
naar het Noorden.In onzen grooten ruimen coupé is het even warm
als onlangs in Beloedsjistan, namelijk42 graden! Om de
spoorwagens tegen de gloeiende zon te beschermen, heeft men ze
vankappen van stroo voorzien, waarvan de einden rechts en links
tot over de helft derraampjes afhangen. De vensterruiten zijn niet
wit, zooals in de Europeesche spoorwagens,maar donkerblauw en
groen, want anders zou terugkaatsing der zonnestralen door den
aardbodem verblindend werken. Om het andere raam rechts en
links, ziet men in het venster geen glas, maar is een netwerk van
wortelvezels gespannenwaarlangs dag en nacht water afdruipt.
Voor deze vensters is een ventilator aangebrachtdie door de
snelheid van den trein een sterken luchtstroom door het natte
vensternetin den coupé perst. Daardoor wordt de lucht binnen van
tien tot twaalf graden afgekoelden het is heerlijk zich half gekleed in
den tocht neer te zetten!
De spoorbaan begeleidt de Indus getrouw van den voet van het
gebergte tot aan de zeewaar ze in een groote havenstad, die

34. Karatsji heet, eindigt, terwijl stoombooten detrieste rivier op en af
varen. Wij rijden de Indus echter op tot aan Rawalpindi, een groote
garnizoenstad, waar wij den trein verlaten om ons voor te bereiden
opeen uitstapje over Kaschmir en Ladak naar Oost-Turkestan en
vandaar Tibet binnen te sluipen.

35. [Inhoud]

36. 27. Alexander de Groote.
In Juli van het jaar 325 voor de geboorte van Christus ging
Alexander de Groote, koningvan Macedonië met een vloot
nieuwgebouwde schepen de Indus af en landde in de stad Pathala,
daarwaar de deltaärmen van de rivier van elkaar scheiden. Hij vond
de stad verlaten wantde bewoners waren naar het binnenland
gevlucht. Alexander zond hun lichte troepenna, en liet hun zeggen,
dat zij in vrede naar hun huizen en hutten konden terugkeeren.Bij
de stad werden een vesting en verschillende scheepswerven
gebouwd.
Koning Alexander had groote plannen. Als twintigjarige had hij de
heerschappij aanvaardover het kleine Macedonië en niet [106]alleen
de volkeren van Thracië, maar ook van Illyrië en van geheel
Griekenland onderworpen.Hij had zijn legerscharen over den
Hellespont geleid, de Perzen verslagen en de Klein-Aziatischerijken,
Lycië, Kappadocië en Phrygië overwonnen en met één zwaardslag
den gordiaanschenknoop doorgehakt, het zinnebeeld der
heerschappij over Azië. Bij Issus, in de rechthoekigebocht van
Cyprus, behaalde hij de zege op den Perzischen Grootvorst Darius
Kodomannus,die hem met zijn geheele leger tegemoet was
gekomen. In Damaskus maakte hij zich meestervan den Perzischen
kroonschat. Daarna veroverde hij Tyrus en Sidon, de beroemde
handelsstedender Phoeniciërs en stichtte aan de kust van Egypte
Alexandrië, dat nu, na 2240 jarennog een bloeiende stad is. Door de
Lybische woestijn trok hij naar de oase van Jupiter Ammon, waar de
priesters hem, naar oud Pharaogebruik, de wijding van een zoon van
Ammon gaven.

37. Daarna trok hij echter verder oostwaarts, naar Azië, ging den
Euphraat over, overwonaan den T igris nog eens Darius, en
veroverde het trotsche Babylon en Susa, waar 150jaar vóór hem de
Perzische koning Ahasverus (Xerxes), die over „127 provinciën, van
Indië tot Koes” heerschte, zijn hoofdmannen aan een gastmaal had
genoodigd en hun„den heerlijken rijkdom zijner macht en de
kostbare pracht zijner grootheid” had getoond.Daarna trok
Alexander naar Persepolis en liet het paleis van den Perzischen
grootvorstin de asch leggen, ten teeken dat het nu met de oude
heerschappij voorbij was. Dariusover Ispahan en Hamadan
vervolgend, wendde hij zich verder oostwaarts naar Bactrië,het
tegenwoordig Russisch-Centraal-Azië, en ging Noordwaarts tot den
Syr-darja enhet land der Skythen. V an hier trok hij met een 100.000
man sterk leger naar het zuiden,naar Indië, veroverde het geheele
laagland van Pendschab en onderwierp alle volkeren die ten Westen
van den Indus woonden.
Nu was hij tot Pattala gekomen, en dacht na over de talrijke
overwinningen die hijbehaald, en de uitgestrekte landen, die hij
veroverd had. Overal had hij Grieken enMacedoniërs aangesteld,
die naast de inheemsche vorsten en stadhouders het bevel moesten
voeren. Maar dit groote rijk moest tot vaste eenheid samengevoegd
worden en Babylonzou de hoofdstad zijn. Maar in het westen was
nog een ontzaglijke leemte aan te vullen,de woestijnen, die wij juist
op den weg van Teheran over de oase van Tebbes, door Seïstan
naar Beloedsjistan zijn doorgetrokken.
Om de daar wonende volkeren te onderwerpen, zond hij een
[107]deel van het leger op een meer noordelijk gelegen weg over
Seïstan naar Noord-Perzië. Twaalf duizend man zouden op
nieuwgebouwde schepen langs de kustvan de Indisch-Arabische
zee door de zeeëngte van Ormoes en de Perzische golf totaan de
monding van de Euphraat zeilen en roeien. Geen Griek had tot nu

38. toe deze zeebevaren en met de schepen van dien tijd, bij volkomen
onbekendheid der kusten wasdeze onderneming ook een gevaarlijk
waagstuk. Maar het moest beproefd worden, want Alexander wilde
zich tusschen den mond van de Euphraat en van de Indus een
zeewegverzekeren, die het westelijk deel van het rijk met het
oostelijk zou verbinden. Omde vloot van levensmiddelen en
drinkwater te kunnen voorzien, besloot hij zelf dengevaarlijken weg,
door de woestijn, langs de kust te nemen. Van zijn 40.000
krijgslieden,die hem op dezen marsch vergezelden stierven er
30.000 van dorst!
De groot admiraal Nearchus uit Kreta volvoerde Alexander’s
opdracht op schitterendewijze en zijn tocht is een der
merkwaardigste reizen die ooit werden gemaakt. De doorhem
opgemaakte zeekaarten zijn zoo nauwkeurig en betrouwbaar dat
men ze nog hedenkan gebruiken, ofschoon de kust sinds dien tijd
op verschillende plaatsen veranderdis, sterker verzand en ondieper .
Maar Alexander wilde zijn vloot niet aan dezen gewaagden tocht
blootstellen, voordathij zich overtuigd had van de bevaarbaarheid
van den Indusmond en van het werkelijkbestaan der groote
wereldzee. Daarom voer hij met de snelste schepen van de vloot:
dertigriemige schepen en kleine driedekkers, die door 150 naakte
roeiers op drie bovenelkaar geplaatste banken, met lange
roeispanen, die door de openingen in den rompvan het schip
staken, werden voortbewogen, den westelijken Indusarm af, terwijl
troepenlangs den oever de schepen dekten.
Midden in den zomer, als de Indus haar hoogsten waterstand heeft
bereikt en de oeversmijlen ver overstroomd zijn tusschen de zand-
en slibbanken door te roeien zonderloodsen, is geen pleiziertocht.
Reeds den tweeden dag verhief zich een heftige Zuidelijkestorm, en
gevaarlijke maalstroomen in de rivier beschadigden verscheiden

39. vaartuigenen deden enkele kantelen. Alexander ging daarom aan
land om onder de visschers eenigemannen te vinden, die als loods
zouden kunnen dienen, en nu ging het verder stroomaf.De rivier
werd steeds breeder en breeder en steeds duidelijker bemerkte men
de frisschebries van de zee. De wind werd sterker , de Zuid-Oost
moesson had zijn hoogtepunt bereikt.Het grauwe troebele water van
den stroom [108]joeg steeds hoogere golven op, het roeien werd
steeds moeilijker, daar de roeispanen nu eens niet in het water
kwamen, dan weer te diep indompelden. Toen wist men nog niets
van ebbe en vloed. Weldra scheen het alsof de rivier van dezee
terugkeerde en de loodsen rieden den Koning aan in een zijarm
beschutting te zoeken,waar de schepen aan land werden getrokken.
Daarop viel de eb in, en het water daaldesterk, alsof het door de
zee werd opgeslorpt. De booten lagen op het droge en verscheiden
zonken diep in het slib. Alexander en zijn manschappen waren
radeloos, want zij kondenvoor- noch achteruit. Maar toen zij bezig
waren met het vlotmaken der schepen, kwamde vloed weer op en
nam ze meê op zijn rug.
Nadat men bekend was geworden met de regelmatige terugkeer van
ebbe en vloed, kondende gevaren er van vermeden worden, en de
vloot van Alexander kwam eindelijk bij eeneiland dat zoet water in
overvloed had. Van hier uit zag hij de schuimende, donderende
branding, aan den uitersten mond van den Indus, en boven de
rollende kustgolven, denhoogen, gelijkmatigen horizon van den
Oceaan. En toen hij zich overtuigd had, datook van de bovenste rij
banken, van de triremen of driedekkers niets anders meer dan
hemel en water was te zien, offerde hij aan den zeegod Poseidon,
de Nereiden en dezilvervoetige zeegodin Thetis, de moeder van zijn
stamvader Achilles, en bad de godenom bescherming voor den
verderen tocht naar den Euphraat, en toen hij zijn gebed had
geëindigd wierp hij een gouden beker in den stroom.

40. In een witten mantel, een gouden gordel om de lendenen, en een
tulbandvormigen doekom de kastanjebruine lokken stond de
dertigjarige Koning der Macedoniërs daar, hoog opgericht en slank
op den achtersteven der trireme en keek naar de heerlijkezee,
welke hij met dezelfde vastberadenheid dacht te overwinnen, als
waarmede hijtevoren drie werelden overwonnen had! Hij ademde
den koelen, zoutachtigen passaatwindin, en dacht zeker aan de
eindelooze heirwegen der woestijn, waar verstikkend stofrondom
paarden en transportwagens dwarrelt. Hij was de machtigste
heerscher der aarde,en zich volkomen bewust van zijn macht. Maar
zeker vermoedde hij niet, dat zijn naamna meer dan 2000 jaren bij
de kinderen van latere tijden zou voortleven. Er zijn stedenin
Egypte, woestijnen in Perzië en bergketenen en meren in Midden-
Azië, die tegenwoordignog den naam van Alexander dragen!
Drie jaar later, 323 voor Christus stierf hij in Babylon, pas drie en
dertig jaaroud. Zijn wereldomspannende veldtocht verbreidde [109]in
geheel Azië Grieksche beschaving. Daarom verbleekte zijn leven dat
zoo rijk aandaden was niet spoorloos als een meteoor in den nacht
der tijden.
Tegenwoordig nu wijze lieden zich de jas tot onder de kin
dichtknoopen en op vredescongressenverstandige toespraken
houden, doen knapen en jongelingen er goed aan zich nu en dan
den ridderlijken, zonnigen tijd eens te herinneren, toen de
zwaardslagen der Macedoniërs, op de hoofden en schilden der
vijanden neersuisden, de kreet der overwinnaars eenecho in de
dalen van Azië wekte en jeugdige krijgslieden zelf een weg door het
heetezand der woestijnen baanden.

41. [Inhoud]

42. 28. De doodskaravaan.
Van Rawalpindi naar Srinagar, de hoofdstad van Kaschmir zijn 300
kilometer. Rondom het Kaschmirdal verheffen zich de met sneeuw
bedekte toppen van de Himalaja, en door een van de vele groote en
kleine dalen van dit gebergtetrok ik in het jaar 1895 met een karavaan
van zes en dertig muilezels en honderd paardenbergopwaarts. Na een
reis van ongeveer een maand kwam ik te Jarkand, een stad in het
geweldige vlakke trogvormige bekken, dat aan alle zijden, uitgenomen
aan het Oostendoor gebergten is omgeven, en Oost-T urkestan heet. In
het Zuiden van Oost-Turkestanverheft zich het geweldig hoogland van
Tibet, waar de groote rivieren van Indië enChina haar bronnen hebben.
In het Westen is de Pamir, het „Dak der Wereld” en in het Noorden de
Tiensj of het Hemelgebergte dat verder naar hetOosten door den Altai
en verschillende andere gebergten wordt voortgezet, en waaruitde
reuzenstroomen van Siberië komen. Maar binnen dezen gebergtering,
in het hartjevan Azië, ligt het laagland van Oost-T urkestan dat mij aan
een Tibetaansche schaapskooiherinnert, die door ontzaglijke steenen
muren is omgeven. In het Noordelijk deel stroomt van het Westen naar
het Oosten een rivier: de Tarim.Ze ontstaat in het Zuiden uit de
Jarkand-darja en de Chotan-darja en neemt in haarloop nog andere
zijrivieren op; want uit de omringende gebergten van Oost-Turkestan
stroomt het water van de eeuwige sneeuwvelden en gletschers omlaag.
De bronbeekjes van de Tarim klateren vroolijk door de nauwe dalen
naar beneden, en de groote rivier stroomt majestueus door de vlakte;
maar ze is gedoemd, nooit dezee te zien; ze sterft en verdwijnt in een
woestijnmeer, het Lop-nor! [110]

43. Kaart van Centraal-Azië.
Het grootste deel van Oost-Turkestan wordt ingenomen door een
woestijn, die de vreeselijksteder aarde is; T akla-makan. Door geheel
Azië en Afrika strekt zich van het Noord-Oostennaar het Zuid-W esten
een woestijngordel uit, die het best te vergelijken is met een
uitgedroogde reusachtig breede bedding; de Gabi, het grootste deel van
Mongolië, de Takla-makan, het „Roode Zand” en het „Zwarte Zand” in
Russisch-Turkestan, de Kewir en andere woestijnen van Arabië en ten
slotte de Sahara. Van deze woestijnketen, die zich van den Stillen
Oceaan tot aanden Atlantischen Oceaan uitstrekt is de T akla-makan
dus een schakel.

44. Aan het westelijk deel van deze woestijn is de vreeselijkste herinnering
verbondenvan mijn veertienjarig rondzwervend leven in Azië. Het was
in April van het jaar 1895,dat ik van het dorp Merket aan de Jarkand-
darja door deze woestijn naar het Oostenwilde trekken tot aan de rivier
Chotan-darja, een afstand van 300 kilometer. Ik hadeen ervaren gids,
vier bedienden en acht kameelen bij mij en proviand voor twee
maandenmeegenomen, [111]want daarna wilde ik Tibet doorreizen. Een
mijner geleiders was de trouwe Islam Baieen andere heette Kasim.
In het begin was alles goed gegaan. Den 23 April verlieten wij de laatste
bocht vaneen meer , waar ik bevel gegeven had een watervoorraad
voor tien dagen op te doen enspoedig trokken wij door een zandzee
waarvan de duinen steeds hooger werden en zichtot zestig meter
verhieven. Bovendien stak weldra een storm op, die het zand in dichte
wolken opdwarrelde zoodat neus, mond en ooren gevuld werden.
Op den morgen van den 25sten April had ik de akelige ontdekking
gedaan, dat de gewetenlooze gids tegen mijn bevelslechts voor twee
dagen water had meegenomen, in de hoop dat wij na hoogstens twee
of drie dagen wel ergens water zouden kunnen graven. Maar deze hoop
werd teleurgesteld en de regenwolken, die zich nu en dan aan den
hemelvertoonden, zonden geen droppel omlaag. Zoo moest ons
drinkwater weldra bij slokjesworden verdeeld.
Den 27 April had ik reeds twee kameelen moeten achterlaten en een
groot deel van debagage afgeladen. Den volgenden dag woei een
Noord-Westerstorm, een der „zwarte stormen”,die het stuifzand in
ondoordringbare wolken met zich voeren, en den dag in nacht
veranderen,zoodat men als begraven is in zand. De kameelen gingen
liggen, den kop van den windafgewend, en wij bogen ons hoofd onder
hen om niet te stikken in het stuifzand.
Onze geringe voorraad water, was daarbij nog op onverklaarbare wijze
geslonken enden dertigsten hadden wij nog maar een derde liter water .
Daar verraste Islam Baimijn gids met de kan aan den mond! Mijn

45. mannen zouden hem gedood hebben als ik niet tusschenbeide was
gekomen. Toen ’s avonds de laatste druppels verdeeldzouden worden,
hadden Kasim en een ander, half dood van dorst ze toch opgedronken!
Den eersten Mei hadden wij niets meer dan ransig geworden
plantenolie die voor dekameelen bestemd was geweest, en mij, die den
vorigen dag geen druppel had gedronken,kwelde de dorst ontzettend.
Men wordt wanhopig en verliest het verstand; bijna hetverlangen naar
water laat iemand geen rust, men voelt hoe het lichaam uitdroogt. Wij
hadden een flesch Chineeschen brandewijn meegenomen, die wij
wilden gebruiken om tebranden in kooktoestel. Ik dronk er ongeveer
een waterglas vol van en liet den verderfelijkeninhoud in het zand
vloeien.
De gevaarlijke drank had mijn krachten gebroken. Toen de karavaan
zich voortsleeptetusschen de duinen kon ik ze niet [112]meer bij houden.
Ik kroop en wankelde ze achterna. De bellen der kameelen klonkenzoo
helder in de stille lucht, maar de klank werd steeds zwakker en stierf
eindelijkweg in de verte. Rondom mij lag de zwijgende woestijn, zand,
zand, zand, aan allekanten!
Het spoor der anderen langzaam volgend, bereikte ik eindelijk een
duinenkam, van waarik de karavaan terugzag. De kameelen waren
gaan liggen, Kasim zat op den grond, dehanden voor het gelaat, hij
ijlde reeds, hij weende en lachte beurtelings; een anderMuhamed
Schah smeekte knielend Allah om hulp. Daar wij niets anders
drinkbaars meerhadden slachtten wij een haan en dronken het bloed.
Daarna kwam het schaap aan debeurt, dat wij meegenomen hadden.
Maar het bloed was dik en rook zoo weerzinwekkend,dat de hond het
niet eens wilde hebben. Mijn geleiders schrikten niet eens terug voorde
urine der kameelen!

46. Vergeefs graven naar water.
Onze bagage, die wij niet oogenblikkelijk noodig hadden werd in de tent
achtergelaten,met acht kisten met voorwerpen van waarde, waaronder
mijn photografisch toestel metongeveer duizend platen. De gids verloor
zijn verstand, en stopte zand in den mond;hij beweerde, dat het water
was. Hem en Muhamed Schah behield de woestijn voor altijd.
’s Avonds kon Islam Bai ook niet verder, en Kasim was de eenige die
mij vergezeldeom water te gaan zoeken. Hij nam spaden, emmers en
de vetstaart van het schaap mede.Ik had [113]slechts mijn horloge, het
kompas, een zakmes, een potlood, een stuk papier, twee kleineblikken
doozen met kreeft en chocolade, een doosje lucifers en tien sigaretten
bijmij. Maar wat eetbaar was kon ons niet helpen, want verhemelte en
keel waren zoo droog,dat het slikken onmogelijk was.
Het was twaalf uur. Wij hadden midden op de woestijnzee schipbreuk
geleden, en verlietennu ons wrak schip om de een of andere kust te
bereiken. De hond Jalldasch bleef ookbij de karavaan, ik heb hem nooit
teruggezien. Bai had een brandende lantaarn naastzich staan, toen

47. Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookfinal.com