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Presentación sobre el tema de "La Parábola", abarcando lo que es su historia, definiciones, propiedades, elementos, ecuaciones y ejercicios.

1. LA PARÁBOLA Y SUS APLICACIONES
UNIVERSIDAD DE MARGARITA
ALMA MATER DEL CARIBE
VICERRECTORADO DE EXTENSIÓN
DECANATO DE ESTUDIOS GENERALES
GEOMETRÍA ANALÍTICA
ELABORADO POR:
PAOLA MÁRQUEZ
C.I: 27.125.784
EL VALLE DEL ESPÍRITU SANTO, 18 DE JUNIO 2023.

2. INTRODUCCIÓN
Laparábolaesunafigurageométricaquehasidoobjetodeestudioy
aplicaciónendiferentesáreasdelacienciaylatecnología.Sudefinición,características
yaplicacionessonfundamentalesparacomprendersuimportanciaenlafísica,la
ingenieríaylasmatemáticas.Además,laparábolaseencuentraenmuchoslugaresde
lanaturalezayenlatecnología,loquelaconvierteenunafiguramuyversátilyútil.
Alolargodelahistoria,laparábolahasidoestudiadapormuchos
matemáticosycientíficos,loquehapermitidosuutilizaciónendiferentescamposy
situaciones.Enestearticuloseexploraranlascaracterísticasyaplicacionesdela
parábola,asícomosuhistoriayrelevanciaenelmundoactual.

3. HISTORIA DE LA PARÁBOLA
Laparábolafueestudiadaporprimeravezporelmatemáticogriego
ApoloniodePergaenelsigloIIIa.C.ensuobra"Lascónicas".Enella,Apolonio
describiólaparábolacomounaseccióncónica,juntoconlaelipseylahipérbola.
DurantelaEdadMedia,laparábolafueestudiadapormatemáticosárabes
comoAl-KhwarizmiyAlhacen,quieneslautilizaronenlaresolucióndeproblemas
geométricosyastronómicos.
EnelRenacimiento,laparábolaadquirióunamayorrelevanciagraciasalos
trabajosdematemáticoscomoGalileoGalileiyJohannesKepler,quienesla
utilizaronensusestudiossobreelmovimientodeloscuerposcelestes.
Enlaactualidad,laparábolasiguesiendounafigurageométricaimportante
enlageometríaanalíticayenlafísica,dondeseutilizaparadescribirlatrayectoria
delosobjetosenmovimientoyparadiseñarsistemasópticosyelectrónicos.

4. Laparábolaesunacurvageométricaqueseformaalcortarunconoenun
planoparaleloasugeneratriz.Esunaseccióncónicaysecaracterizaportenerun
ejedesimetríayunpuntollamadofoco.Laparábolatienenumerosasaplicaciones
enlageometría,lafísicaylaingeniería,yesutilizadaenlaconstrucciónde
distintosdispositivosysistemas,comoantenas,lentesyreflectoressolares.
¿QUÉ ES LA PARÁBOLA?

5. Todaslasparábolasposeenlassiguientespropiedades:
Unaparábolasetratadeunacurvaabierta,odichodeotraforma,consisteendosramassinpuntos
comunesqueseprolonganilimitadamente.
Todaparábolatieneunúnicoejedesimetría,dondeestasituadoelvérticededichaparábola.
Unaparáboladeorientaciónverticalesconvexacuandosusramasvanhaciaarriba,porcontra,la
parábolaescóncavasisusramasvanhaciaabajo.
Laexcentricidaddeunaparábolaesequivalentealaunidad(1).Laexcentricidadesuncoeficienteque
enestecasosecalculadividiendoladistanciadesdeelfocohastaelcentrodelaparábolaentrela
distanciadelvérticealadirectriz(yambasdistanciassiemprecoincidenensuvalor).
Delapropiedadanterior,sederivaquetodaslasparábolassonsemejantesosimilares.
Unaparábolanotieneningunaasíntota.
PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA

6. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
EJE
FOCO
DIRECTRIZ
PARÁMETRO
VÉRTICE
DISTANCIAFOCAL
CUERDA
CUERDAFOCAL
LADORECTO
PUNTOS

7. Lasparábolaspuedenseranalizadasymedidasgraciasasuselementos
fundamentales,queincluyeneleje,ladirectrizyelfoco.Estoscomponentesson
esencialesparacalcularlaspropiedadesylongitudesdelasparábolas,ysonlabase
apartirdelacualsederivanotroselementos.Estafigurageométricasepuede
describircomounaseccióncónicaconexcentricidadde1.Loselementosfundamentales
delaparábolasoneleje,ladirectrizyelfoco,loscualessoncrucialesparacalcular
suspropiedadesydimensiones.Apartirdeellossepuedenderivarotroscomponentes
importantesdelaparábola.

8. EJE
Eselejesimétricodelaparábola,el
puntodondeelejecortaalaparábolase
llamavértice.
FOCO
Esunpuntoubicadoeneleje,cualquier
puntodelaparábolaestáalamisma
distanciadelfocoydeladirectriz.
DIRECTRIZ
Ladirectrizesunalíneaperpendicularal
ejequeseoponealaparábola.De
situarseencualquierpuntodela
parábolaparatrazarunalíneahastael
foco,lalongituddeestaseráigualauna
líneatrazadahastaladirectriz.

9. PARÁMETRO
Esunalíneaperpendicularaladirectrizy
paralelaalejequeformaunvectorentre
elfocoyladirectriz.
VÉRTICE
Correspondealpuntodeintersección
dondesecruzanelejeylaparábola.El
vérticedeunaparábolaseencuentraen
elpuntomedioentreelfocoyladirectriz.
DISTANCIAFOCAL
Esladistanciaentreelfocoyelvértice.Es
equivalentealvalordelparámetro
divididoentre2.

10. CUERDA
Unacuerdaescualquierlínearectaqueune2
puntosdeunaparábola.
CUERDAFOCAL
Esunacuerdaqueune2puntosdeuna
parábolapasandoporelfoco.
LADORECTO
Elladorectoesunacuerdafocalparalelaa
ladirectrizyperpendicularaleje.Suvalor
equivalealdobledelparámetro.
PUNTOS
Altrazarunaparábolaseformanvisualmente
2espaciosbastantediferenciablesaambos
ladosdelacurva.Estos2ladosconformanlos
puntosinterioresyexterioresdelaparábola.

11. Laparábolaesunafigurageométricaquesedistingueporsufocointernoy
unarectadirectrizexterna,ambosequidistantesatodossuspuntos.Estacurvase
puedeentendercomounaseccióncónicaconexcentricidadde1,ysuscomponentes
fundamentalessoneleje,ladirectrizyelfoco,loscualessonesencialesparacalcular
susdimensionesypropiedades.Porotrolado,engeometríaanalíticaexistendiversas
formasdeexpresarmatemáticamenteunaparábola,comolaecuacióncanónicao
reducida,laecuaciónordinariaylaecuacióngeneraldelaparábola.
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

12. Laecuaciónreducidaocanónicadelaparábolasecaracteriza
portenersuvérticeenelorigendecoordenadas,esdecir,enelpunto
(0,0).Estaformadelaecuaciónvaríadependiendodesilaparábolaes
horizontalovertical.
Sepuedeobservarlascuatroposiblesvariantesenla
representacióngráficasiguiente:
ECUACIÓN REDUCIDA O CANÓNICA DE LA PARÁBOLA

13. Cuandoelvérticedelaparábolaesunpuntocualquiera,utilizamosla
ecuaciónordinariadelaparábola,cuyaexpresiónes:
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA
(X-Xo)² = 2p(Y-Yo)
Donde el centro o vértice de la parábola es el punto V(X0, Y0).
Paradefinirunaparábolaorientadademanerahorizontal(suejefocales
paraleloalejeX),sedebeusarlasiguientevariantedelaecuaciónordinaria
delaparábola:
(Y-Yo)² = 2p(X-Xo)

14. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Enlasparábolasquehemosestudiadohastaahora,lasecuacionesreducidaso
canónicasnospermitenexpresarparábolashorizontalesoverticalesconelvérticeenel
origen.sinembargo,existelaposibilidaddequeunaparábolaseaoblicuaoinclinada.
Enestoscasos,seutilizalaecuacióngeneraldelaparábola,quetieneuna
fórmulaespecíficaparaestepropósito.
Ax² + Bxy+ Cy² + Dx + Ey+ F = 0
Laecuacióngeneraldelaparábolasóloseaplicaaparábolasoblicuaso
inclinadas,ysólosiloscoeficientesaycnosonceroalmismotiempo.además,se
debecumplirunacondiciónespecífica,lacuáles:
B² -4AC = 0

15. IMPORTANCIA DE LA PARÁBOLA
laparábolaesimportanteengeometríaporqueesunadelasseccionescónicasmás
comunesyseutilizaenlaconstruccióndemuchosobjetosysistemas.Además,laparábola
tienepropiedadesúnicasquelahacenútilpararesolverproblemasgeométricosy
matemáticos.
porejemplo,laparábolatieneunpuntollamadofocoqueseutilizaenlaconstrucciónde
antenasyreflectoressolares.tambiéntieneunejedesimetríaqueseutilizaenlaconstrucción
delentesyespejoscurvos.