Lectures On The Geometry Of Manifolds 2nd Edition Liviu I. Nicolaescu

Lectures On The Geometry Of Manifolds 2nd Edition Liviu I. Nicolaescu
Lectures On The Geometry Of Manifolds 2nd Edition Liviu I. Nicolaescu
Lectures On The Geometry Of Manifolds 2nd Edition Liviu I. Nicolaescu

1. Visit ebookfinal.com to download the full version and
explore more ebooks or textbooks
Lectures On The Geometry Of Manifolds 2nd Edition
Liviu I. Nicolaescu
_____ Click the link below to download _____
https://ebookfinal.com/download/lectures-on-the-geometry-of-
manifolds-2nd-edition-liviu-i-nicolaescu/
Explore and download more ebooks or textbook at ebookfinal.com

2. Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Lectures on the Topology of 3 Manifolds an Introduction to
the Casson Invariant 2ed. Edition Nikolai Saveliev
https://ebookfinal.com/download/lectures-on-the-topology-
of-3-manifolds-an-introduction-to-the-casson-invariant-2ed-edition-
nikolai-saveliev/
Lectures on Geometry 1st Edition N M J Woodhouse (Ed.)
https://ebookfinal.com/download/lectures-on-geometry-1st-edition-n-m-
j-woodhouse-ed/
Lectures on Electromagnetism 2nd Edition Ashok Das
https://ebookfinal.com/download/lectures-on-electromagnetism-2nd-
edition-ashok-das/
Lectures on Quantum Field Theory 2nd Edition Ashok Das
https://ebookfinal.com/download/lectures-on-quantum-field-theory-2nd-
edition-ashok-das/

3. Lectures on international trade 2nd Edition Jagdish N.
Bhagwati
https://ebookfinal.com/download/lectures-on-international-trade-2nd-
edition-jagdish-n-bhagwati/
Fourier Analysis on Polytopes and the Geometry of Numbers
Part I A Friendly Introduction 1st Edition Sinai Robins
https://ebookfinal.com/download/fourier-analysis-on-polytopes-and-the-
geometry-of-numbers-part-i-a-friendly-introduction-1st-edition-sinai-
robins/
Lectures on the theory of pure motives Murre J.P.
https://ebookfinal.com/download/lectures-on-the-theory-of-pure-
motives-murre-j-p/
Dynamics on Lorentz Manifolds 1st Edition Scot Adams
https://ebookfinal.com/download/dynamics-on-lorentz-manifolds-1st-
edition-scot-adams/
Beginning Excel Services Liviu Asnash
https://ebookfinal.com/download/beginning-excel-services-liviu-asnash/

5. Lectures On The Geometry Of Manifolds 2nd Edition
Liviu I. Nicolaescu Digital Instant Download
Author(s): Liviu I. Nicolaescu
ISBN(s): 9789812770295, 9812770291
Edition: 2
File Details: PDF, 2.33 MB
Year: 2007
Language: english

6. Lectures on the Geometry of Manifolds
Liviu I. Nicolaescu
July 27, 2007

7. Introduction
Shape is a fascinating and intriguing subject which has stimulated the imagination of
many people. It su±ces to look around to become curious. Euclid did just that and came
up with the ¯rst pure creation. Relying on the common experience, he created an abstract
world that had a life of its own. As the human knowledge progressed so did the ability of
formulating and answering penetrating questions. In particular, mathematicians started
wondering whether Euclid's \obvious" absolute postulates were indeed obvious and/or
absolute. Scientists realized that Shape and Space are two closely related concepts and
asked whether they really look the way our senses tell us. As Felix Klein pointed out
in his Erlangen Program, there are many ways of looking at Shape and Space so that
various points of view may produce di®erent images. In particular, the most basic issue
of \measuring the Shape" cannot have a clear cut answer. This is a book about Shape,
Space and some particular ways of studying them.
Since its inception, the di®erential and integral calculus proved to be a very versatile
tool in dealing with previously untouchable problems. It did not take long until it found
uses in geometry in the hands of the Great Masters. This is the path we want to follow
in the present book.
In the early days of geometry nobody worried about the natural context in which the
methods of calculus eel at home". There was no need to address this aspect since for the
particular problems studied this was a non-issue. As mathematics progressed as a whole
the atural context" mentioned above crystallized in the minds of mathematicians and
it was a notion so important that it had to be given a name. The geometric objects which
can be studied using the methods of calculus were called smooth manifolds. Special cases
of manifolds are the curves and the surfaces and these were quite well understood. B.
Riemann was the ¯rst to note that the low dimensional ideas of his time were particular
aspects of a higher dimensional world.
The ¯rst chapter of this book introduces the reader to the concept of smooth manifold
through abstract de¯nitions and, more importantly, through many we believe relevant
examples. In particular, we introduce at this early stage the notion of Lie group. The
main geometric and algebraic properties of these objects will be gradually described as we
progress with our study of the geometry of manifolds. Besides their obvious usefulness in
geometry, the Lie groups are academically very friendly. They provide a marvelous testing
ground for abstract results. We have consistently taken advantage of this feature through-
out this book. As a bonus, by the end of these lectures the reader will feel comfortable
manipulating basic Lie theoretic concepts.
To apply the techniques of calculus we need hings to derivate and integrate". These
i

8. ii
hings" are introduced in Chapter 2. The reason why smooth manifolds have many
di®erentiable objects attached to them is that they can be locally very well approximated
by linear spaces called tangent spaces . Locally, everything looks like traditional calculus.
Each point has a tangent space attached to it so that we obtain a unch of tangent spaces"
called the tangent bundle. We found it appropriate to introduce at this early point the
notion of vector bundle. It helps in structuring both the language and the thinking.
Once we have hings to derivate and integrate" we need to know how to explicitly
perform these operations. We devote the Chapter 3 to this purpose. This is perhaps
one of the most unattractive aspects of di®erential geometry but is crucial for all further
developments. To spice up the presentation, we have included many examples which
will found applications in later chapters. In particular, we have included a whole section
devoted to the representation theory of compact Lie groups essentially describing the
equivalence between representations and their characters.
The study of Shape begins in earnest in Chapter 4 which deals with Riemann manifolds.
We approach these objects gradually. The ¯rst section introduces the reader to the notion
of geodesics which are de¯ned using the Levi-Civita connection. Locally, the geodesics
play the same role as the straight lines in an Euclidian space but globally new phenomena
arise. We illustrate these aspects with many concrete examples. In the ¯nal part of this
section we show how the Euclidian vector calculus generalizes to Riemann manifolds.
The second section of this chapter initiates the local study of Riemann manifolds.
Up to ¯rst order these manifolds look like Euclidian spaces. The novelty arises when we
study \second order approximations " of these spaces. The Riemann tensor provides the
complete measure of how far is a Riemann manifold from being °at. This is a very involved
object and, to enhance its understanding, we compute it in several instances: on surfaces
(which can be easily visualized) and on Lie groups (which can be easily formalized). We
have also included Cartan's moving frame technique which is extremely useful in concrete
computations. As an application of this technique we prove the celebrated Theorema
Egregium of Gauss. This section concludes with the ¯rst global result of the book, namely
the Gauss-Bonnet theorem. We present a proof inspired from [25] relying on the fact
that all Riemann surfaces are Einstein manifolds. The Gauss-Bonnet theorem will be a
recurring theme in this book and we will provide several other proofs and generalizations.
One of the most fascinating aspects of Riemann geometry is the intimate correlation
\local-global". The Riemann tensor is a local object with global e®ects. There are cur-
rently many techniques of capturing this correlation. We have already described one in
the proof of Gauss-Bonnet theorem. In Chapter 5 we describe another such technique
which relies on the study of the global behavior of geodesics. We felt we had the moral
obligation to present the natural setting of this technique and we brie°y introduce the
reader to the wonderful world of the calculus of variations. The ideas of the calculus of
variations produce remarkable results when applied to Riemann manifolds. For example,
we explain in rigorous terms why \very curved manifolds" cannot be oo long" .
In Chapter 6 we leave for a while the \di®erentiable realm" and we brie°y discuss the
fundamental group and covering spaces. These notions shed a new light on the results
of Chapter 5. As a simple application we prove Weyl's theorem that the semisimple Lie
groups with de¯nite Killing form are compact and have ¯nite fundamental group.
Chapter 7 is the topological core of the book. We discuss in detail the cohomology

9. iii
of smooth manifolds relying entirely on the methods of calculus. In writing this chapter
we could not, and would not escape the in°uence of the beautiful monograph [17], and
this explains the frequent overlaps. In the ¯rst section we introduce the DeRham coho-
mology and the Mayer-Vietoris technique. Section 2 is devoted to the Poincar¶e duality, a
feature which sets the manifolds apart from many other types of topological spaces. The
third section o®ers a glimpse at homology theory. We introduce the notion of (smooth)
cycle and then present some applications: intersection theory, degree theory, Thom iso-
morphism and we prove a higher dimensional version of the Gauss-Bonnet theorem at the
cohomological level. The fourth section analyzes the role of symmetry in restricting the
topological type of a manifold. We prove
¶
Elie Cartan's old result that the cohomology
of a symmetric space is given by the linear space of its bi-invariant forms. We use this
technique to compute the lower degree cohomology of compact semisimple Lie groups. We
conclude this section by computing the cohomology of complex grassmannians relying on
Weyl's integration formula and Schur polynomials. The chapter ends with a ¯fth section
containing a concentrated description of
·
Cech cohomology.
Chapter 8 is a natural extension of the previous one. We describe the Chern-Weil
construction for arbitrary principal bundles and then we concretely describe the most im-
portant examples: Chern classes, Pontryagin classes and the Euler class. In the process,
we compute the ring of invariant polynomials of many classical groups. Usually, the con-
nections in principal bundles are de¯ned in a global manner, as horizontal distributions.
This approach is geometrically very intuitive but, at a ¯rst contact, it may look a bit
unfriendly in concrete computations. We chose a local approach build on the reader's ex-
perience with connections on vector bundles which we hope will attenuate the formalism
shock. In proving the various identities involving characteristic classes we adopt an invari-
ant theoretic point of view. The chapter concludes with the general Gauss-Bonnet-Chern
theorem. Our proof is a variation of Chern's proof.
Chapter 9 is the analytical core of the book. Many objects in di®erential geometry
are de¯ned by di®erential equations and, among these, the elliptic ones play an important
role. This chapter represents a minimal introduction to this subject. After presenting
some basic notions concerning arbitrary partial di®erential operators we introduce the
Sobolev spaces and describe their main functional analytic features. We then go straight
to the core of elliptic theory. We provide an almost complete proof of the elliptic a
priori estimates (we left out only the proof of the Calderon-Zygmund inequality). The
regularity results are then deduced from the a priori estimates via a simple approximation
technique. As a ¯rst application of these results we consider a Kazhdan-Warner type
equation which recently found applications in solving the Seiberg-Witten equations on
a KÄahler manifold. We adopt a variational approach. The uniformization theorem for
compact Riemann surfaces is then a nice bonus. This may not be the most direct proof but
it has an academic advantage. It builds a circle of ideas with a wide range of applications.
The last section of this chapter is devoted to Fredholm theory. We prove that the elliptic
operators on compact manifolds are Fredholm and establish the homotopy invariance of the
index. These are very general Hodge type theorems. The classical one follows immediately
from these results. We conclude with a few facts about the spectral properties of elliptic
operators.
The last chapter is entirely devoted to a very important class of elliptic operators

10. iv
namely the Dirac operators. The important role played by these operators was singled
out in the works of Atiyah and Singer and, since then, they continue to be involved in the
most dramatic advances of modern geometry. We begin by ¯rst describing a general notion
of Dirac operators and their natural geometric environment, much like in [11]. We then
isolate a special subclass we calledgeometric Dirac operators. Associated to each such
operator is a very concrete WeitzenbÄock formula which can be viewed as a bridge between
geometry and analysis, and which is often the source of many interesting applications. The
abstract considerations are backed by a full section describing many important concrete
examples.
In writing this book we had in mind the beginning graduate student who wants to
specialize in global geometric analysis in general and gauge theory in particular. The
second half of the book is an extended version of a graduate course in di®erential geometry
we taught at the University of Michigan during the winter semester of 1996.
The minimal background needed to successfully go through this book is a good knowl-
edge of vector calculus and real analysis, some basic elements of point set topology and
linear algebra. A familiarity with some basic facts about the di®erential geometry of
curves of surfaces would ease the understanding of the general theory, but this is not a
must. Some parts of Chapter 9 may require a more advanced background in functional
analysis.
The theory is complemented by a large list of exercises. Quite a few of them contain
technical results we did not prove so we would not obscure the main arguments. There
are however many non-technical results which contain additional information about the
subjects discussed in a particular section. We left hints whenever we believed the solution
is not straightforward.
Personal noteIt has been a great personal experience writing this book, and I sincerely
hope I could convey some of the magic of the subject. Having access to the remarkable
science library of the University of Michigan and its computer facilities certainly made my
job a lot easier and improved the quality of the ¯nal product.
I learned di®erential equations from Professor Viorel Barbu, a very generous and en-
thusiastic person who guided my ¯rst steps in this ¯eld of research. He stimulated my
curiosity by his remarkable ability of unveiling the hidden beauty of this highly technical
subject. My thesis advisor, Professor Tom Parker, introduced me to more than the funda-
mentals of modern geometry. He played a key role in shaping the manner in which I regard
mathematics. In particular, he convinced me that behind each formalism there must be
a picture, and uncovering it, is a very important part of the creation process. Although
I did not directly acknowledge it, their in°uence is present throughout this book. I only
hope the ¯lter of my mind captured the full richness of the ideas they so generously shared
with me.
My friends Louis Funar andGheorghe Ionesei
1
read parts of the manuscript. I am
grateful to them for their e®ort, their suggestions and for their friendship. I want to thank
Arthur Greenspoon for his advice, enthusiasm and relentless curiosity which boosted my
spirits when I most needed it. Also, I appreciate very much the input I received from the
1
He passed away in 2006. He was the ultimate poet of mathematics.

11. i
graduate students of my \Special topics in di®erential geometry" course at the University
of Michigan which had a bene¯cial impact on the style and content of this book.
At last, but not the least, I want to thank my family who supported me from the
beginning to the completion of this project.
Ann Arbor, 1996.
Preface to the second edition
Rarely in life is a man given the chance to revisit his \youthful indiscretions". With
this second edition I have been given this opportunity, and I have tried to make the best
of it.
The ¯rst edition was generously sprinkled with many typos, which I can only attribute
to the impatience of youth. In spite of this problem, I have received very good feedback
from a very indulgent and helpful audience from all over the world.
In preparing the new edition, I have been engaged on a massive typo hunting, supported
by the wisdom of time, and the useful comments that I have received over the years from
many readers. I can only say that the number of typos is substantially reduced. However,
experience tells me that Murphy's Law is still at work, and there are still typos out there
which will become obvious only in the printed version.
The passage of time has only strengthened my conviction that, in the words of Isaac
Newton, \in learning the sciences examples are of more use than precepts". The new
edition continues to be guided by this principle. I have not changed the old examples, but
I have polished many of my old arguments, and I have added quite a large number of new
examples and exercises.
The only major addition to the contents is a new chapter on classical integral geometry.
This is a subject that captured my imagination over the last few years, and since the ¯rst
edition of this book developed all the tools needed to understand some of the juiciest
results in this area of geometry, I could not pass the chance to share with a curious reader
my excitement about this line of thought.
One novel feature in our presentation of integral geometry is the use of tame geometry.
This is a recent extension of the better know area of real algebraic geometry which allowed
us to avoid many heavy analytical arguments, and present the geometric ideas in as clear
a light as possible.
Notre Dame, 2007.

12. Contents
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
1 Manifolds 1
1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
x1.1.1 Space and Coordinatization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
x1.1.2 The implicit function theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Smooth manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
x1.2.1 Basic de¯nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
x1.2.2 Partitions of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
x1.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
x1.2.4 How many manifolds are there? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Natural Constructions on Manifolds 21
2.1 The tangent bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
x2.1.1 Tangent spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
x2.1.2 The tangent bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
x2.1.3 Sard's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
x2.1.4 Vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
x2.1.5 Some examples of vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 A linear algebra interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
x2.2.1 Tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
x2.2.2 Symmetric and skew-symmetric tensors . . . . . . . . . . . . . . . . 43
x2.2.3 The \super" slang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
x2.2.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
x2.2.5 Some complex linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Tensor ¯elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
x2.3.1 Operations with vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
x2.3.2 Tensor ¯elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
x2.3.3 Fiber bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Calculus on Manifolds 76
3.1 The Lie derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
x3.1.1 Flows on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
x3.1.2 The Lie derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
x3.1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Derivations of ­
¤
(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
ii

13. CONTENTS iii
x3.2.1 The exterior derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
x3.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Connections on vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
x3.3.1 Covariant derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
x3.3.2 Parallel transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
x3.3.3 The curvature of a connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
x3.3.4 Holonomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
x3.3.5 The Bianchi identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
x3.3.6 Connections on tangent bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4 Integration on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
x3.4.1 Integration of 1-densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
x3.4.2 Orientability and integration of di®erential forms . . . . . . . . . . . 111
x3.4.3 Stokes' formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
x3.4.4 Representations and characters of compact Lie groups . . . . . . . . 123
x3.4.5 Fibered calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4 Riemannian Geometry 134
4.1 Metric properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
x4.1.1 De¯nitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
x4.1.2 The Levi-Civita connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
x4.1.3 The exponential map and normal coordinates . . . . . . . . . . . . . 142
x4.1.4 The length minimizing property of geodesics . . . . . . . . . . . . . 145
x4.1.5 Calculus on Riemann manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2 The Riemann curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
x4.2.1 De¯nitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
x4.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
x4.2.3 Cartan's moving frame method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
x4.2.4 The geometry of submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
x4.2.5 The Gauss-Bonnet theorem for oriented surfaces . . . . . . . . . . . 175
5 Elements of the Calculus of Variations 184
5.1 The least action principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
x5.1.1 The 1-dimensional Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . 184
x5.1.2 Noether's conservation principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.2 The variational theory of geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
x5.2.1 Variational formul½ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
x5.2.2 Jacobi ¯elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6 The Fundamental group and Covering Spaces 204
6.1 The fundamental group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
x6.1.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
x6.1.2 Of categories and functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.2 Covering Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
x6.2.1 De¯nitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
x6.2.2 Unique lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

14. iv CONTENTS
x6.2.3 Homotopy lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
x6.2.4 On the existence of lifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
x6.2.5 The universal cover and the fundamental group . . . . . . . . . . . . 216
7 Cohomology 218
7.1 DeRham cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
x7.1.1 Speculations around the Poincar¶e lemma . . . . . . . . . . . . . . . 218
x7.1.2
·
Cech vs. DeRham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
x7.1.3 Very little homological algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
x7.1.4 Functorial properties of the DeRham cohomology . . . . . . . . . . . 231
x7.1.5 Some simple examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
x7.1.6 The Mayer-Vietoris principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
x7.1.7 The KÄunneth formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.2 The Poincar¶e duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
x7.2.1 Cohomology with compact supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
x7.2.2 The Poincar¶e duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.3 Intersection theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
x7.3.1 Cycles and their duals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
x7.3.2 Intersection theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
x7.3.3 The topological degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
x7.3.4 Thom isomorphism theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
x7.3.5 Gauss-Bonnet revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.4 Symmetry and topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
x7.4.1 Symmetric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
x7.4.2 Symmetry and cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
x7.4.3 The cohomology of compact Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . 275
x7.4.4 Invariant forms on Grassmannians and Weyl's integral formula . . . 276
x7.4.5 The Poincar¶e polynomial of a complex Grassmannian . . . . . . . . 284
7.5
·
Cech cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
x7.5.1 Sheaves and presheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
x7.5.2
·
Cech cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8 Characteristic classes 305
8.1 Chern-Weil theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
x8.1.1 Connections in principal G-bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
x8.1.2G-vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
x8.1.3 Invariant polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
x8.1.4 The Chern-Weil Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.2 Important examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
x8.2.1 The invariants of the torusT
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
x8.2.2 Chern classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
x8.2.3 Pontryagin classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
x8.2.4 The Euler class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
x8.2.5 Universal classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.3 Computing characteristic classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

15. CONTENTS v
x8.3.1 Reductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
x8.3.2 The Gauss-Bonnet-Chern theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9 Classical Integral Geometry 349
9.1 The integral geometry of real Grassmannians . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
x9.1.1 Co-area formul½ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
x9.1.2 Invariant measures on linear Grassmannians . . . . . . . . . . . . . . 360
x9.1.3 A±ne Grassmannians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
9.2 Gauss-Bonnet again?!? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
x9.2.1 The shape operator and the second fundamental form of a subman-
ifold inR
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
x9.2.2 The Gauss-Bonnet theorem for hypersurfaces of an Euclidean space. 375
x9.2.3 Gauss-Bonnet theorem for domains in an Euclidean space . . . . . . 380
9.3 Curvature measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
x9.3.1 Tame geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
x9.3.2 Invariants of the orthogonal group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
x9.3.3 The tube formula and curvature measures . . . . . . . . . . . . . . . 393
x9.3.4 Tube formula =)Gauss-Bonnet formula for arbitrary submanifolds 403
x9.3.5 Curvature measures of domains in an Euclidean space . . . . . . . . 405
x9.3.6 Crofton Formul½ for domains of an Euclidean space . . . . . . . . . 408
x9.3.7 Crofton formul½ for submanifolds of an Euclidean space . . . . . . . 418
10 Elliptic Equations on Manifolds 426
10.1 Partial di®erential operators: algebraic aspects . . . . . . . . . . . . . . . . 426
x10.1.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
x10.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
x10.1.3 Formal adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
10.2 Functional framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
x10.2.1 Sobolev spaces inR
N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
x10.2.2 Embedding theorems: integrability properties . . . . . . . . . . . . . 447
x10.2.3 Embedding theorems: di®erentiability properties . . . . . . . . . . . 451
x10.2.4 Functional spaces on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
10.3 Elliptic partial di®erential operators: analytic aspects . . . . . . . . . . . . 459
x10.3.1 Elliptic estimates inR
N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
x10.3.2 Elliptic regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
x10.3.3 An application: prescribing the curvature of surfaces . . . . . . . . . 470
10.4 Elliptic operators on compact manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
x10.4.1 The Fredholm theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
x10.4.2 Spectral theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
x10.4.3 Hodge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
11 Dirac Operators 498
11.1 The structure of Dirac operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
x11.1.1 Basic de¯nitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
x11.1.2 Cli®ord algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

16. CONTENTS 1
x11.1.3 Cli®ord modules: the even case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
x11.1.4 Cli®ord modules: the odd case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
x11.1.5 A look ahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
x11.1.6 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
x11.1.7 Spin
c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
x11.1.8 Low dimensional examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
x11.1.9 Dirac bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
11.2 Fundamental examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
x11.2.1 The Hodge-DeRham operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
x11.2.2 The Hodge-Dolbeault operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
x11.2.3 ThespinDirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
x11.2.4 Thespin
c
Dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

17. Chapter 1
Manifolds
1.1 Preliminaries
x1.1.1 Space and Coordinatization Mathematics is a natural science with a special
modus operandi. It replaces concrete natural objects with mental abstractions which serve
as intermediaries. One studies the properties of these abstractions in the hope they re°ect
facts of life. So far, this approach proved to be very productive.
The most visible natural object is the Space, the place where all things happen. The
¯rst and most important mathematical abstraction is the notion of number. Loosely
speaking, the aim of this book is to illustrate how these two concepts, Space and Number,
¯t together.
It is safe to say that geometry as a rigorous science is a creation of ancient Greeks.
Euclid proposed a method of research that was later adopted by the entire mathematics.
We refer of course to the axiomatic method. He viewed the Space as a collection of points,
and he distinguished some basic objects in the space such as lines, planes etc. He then
postulated certain (natural) relations between them. All the other properties were derived
from these simple axioms.
Euclid's work is a masterpiece of mathematics, and it has produced many interesting
results, but it has its own limitations. For example, the most complicated shapes one
could reasonably study using this method are the conics and/or quadrics, and the Greeks
certainly did this. A major breakthrough in geometry was the discovery ofcoordinates
by Ren¶e Descartes in the 17th century. Numbers were put to work in the study of Space.
Descartes' idea of producing what is now commonly referred to as Cartesian coor-
dinates is familiar to any undergraduate. These coordinates are obtained using a very
special method (in this case using three concurrent, pairwise perpendicular lines, each one
endowed with an orientation and a unit length standard. What is important here is that
they produced a one-to-one mapping
Euclidian Space!R
3
; P7¡!(x(P); y(P); z(P)):
We call such a processcoordinatization. The corresponding map is called (in this case)
Cartesian system of coordinates. A line or a plane becomes via coordinatization an alge-
braic object, more precisely, an equation.
1

18. 2 CHAPTER 1. MANIFOLDSθ
r
Figure 1.1:Polar coordinates
In general, any coordinatization replaces geometry by algebra and we get a two-way
correspondence
Study of SpaceÃ!Study of Equations:
The shift from geometry to numbers is bene¯cial to geometry as long as one has e±cient
tools do deal with numbers and equations. Fortunately, about the same time with the
introduction of coordinates, Isaac Newton created the di®erential and integral calculus
and opened new horizons in the study of equations.
The Cartesian system of coordinates is by no means the unique, or the most use-
ful coordinatization. Concrete problems dictate other choices. For example, the polar
coordinates represent another coordinatization of (a piece of the plane) (see Figure 1.1).
P7!(r(P); µ(P))2(0;1)£(¡¼; ¼):
This choice is related to the Cartesian choice by the well known formulae
x=rcosµ y=rsinµ: (1.1.1)
A remarkable feature of (1.1.1) is thatx(P) andy(P) depend smoothly uponr(P) and
µ(P).
As science progressed, so did the notion of Space. One can think of Space as acon¯gu-
ration set, i.e., the collection of all possible states of a certain phenomenon. For example,
we know from the principles of Newtonian mechanics that the motion of a particle in the
ambient space can be completely described if we know the position and the velocity of the
particle at a given moment. The space associated with this problem consists of all pairs
(position, velocity)a particle can possibly have. We can coordinatize this space using six
functions: three of them will describe the position, and the other three of them will de-
scribe the velocity. We say the con¯guration space is 6-dimensional. We cannot visualize
this space, but it helps to think of it as an Euclidian space, only oomier".
There are many ways to coordinatize the con¯guration space of a motion of a particle,
and for each choice of coordinates we get a di®erent description of the motion. Clearly,

19. 1.1. PRELIMINARIES 3
all these descriptions must \agree" in some sense, since they all re°ect the same phenom-
enon. In other words, these descriptions should beindependent of coordinates. Di®erential
geometry studies the objects which are independent of coordinates.
The coordinatization process had been used by people centuries before mathematicians
accepted it as a method. For example, sailors used it to travel from one point to another
on Earth. Each point has a latitude and a longitude that completely determines its
position on Earth. This coordinatization is not a global one. There exist four domains
delimited by the Equator and the Greenwich meridian, and each of them is then naturally
coordinatized. Note that the points on the Equator or the Greenwich meridian admit two
di®erent coordinatizations which are smoothly related.
The manifolds are precisely those spaces which can be piecewise coordinatized, with
smooth correspondence on overlaps, and the intention of this book is to introduce the
reader to the problems and the methods which arise in the study of manifolds. The next
section is a technical interlude. We will review the implicit function theorem which will
be one of the basic tools for detecting manifolds.
x1.1.2 The implicit function theorem We gather here, with only sketchy proofs,
a collection of classical analytical facts. For more details one can consult [26].
LetXandYbe two Banach spaces and denote byL(X; Y) the space of bounded
linear operatorsX!Y. For example, ifX=R
n
,Y=R
m
, thenL(X; Y) can be identi¯ed
with the space ofm£nmatrices with real entries.
De¯nition 1.1.1.LetF:U½X!Ybe a continuous function (Uis an open subset of
X). The mapFis said to be (Fr¶echet) di®erentiable atu2Uif there existsT2L(X; Y)
such that
kF(u0+h)¡F(u0)¡T hkY=o(khkX) ash!0: ut
Loosely speaking, a continuous function is di®erentiable at a point if, near that point,
it admits a \ best approximation " by a linear map.
WhenFis di®erentiable atu02U, the operatorTin the above de¯nition is uniquely
determined by
T h=
d
dt
jt=0F(u0+th) = lim
t!0
1
t
(F(u0+th)¡F(u0)):
We will use the notationT=Du0
Fand we will callTtheFr¶echet derivativeofFatu0.
Assume that the mapF:U!Yis di®erentiable at each pointu2U. ThenFis said
to be of classC
1
, if the mapu7!DuF2L(X; Y) is continuous.Fis said to be of class
C
2
ifu7!DuFis of classC
1
. One can de¯ne inductivelyC
k
andC
1
(orsmooth) maps.
Example 1.1.2.ConsiderF:U½R
n
!R
m
. Using Cartesian coordinatesx=
(x
1
; : : : ; x
n
) inR
n
andu= (u
1
; : : : ; u
m
) inR
m
we can think ofFas a collection of
mfunctions onU
u
1
=u
1
(x
1
; : : : ; x
n
); : : : ; u
m
=u
m
(x
1
; : : : ; x
n
):
The mapFis di®erentiable at a pointp= (p
1
; : : : ; p
n
)2Uif and only if the functionsu
i
are di®erentiable atpin the usual sense of calculus. The Fr¶echet derivative ofFatpis

20. 4 CHAPTER 1. MANIFOLDS
the linear operatorDpF:R
n
!R
m
given by theJacobian matrix
DpF=
@(u
1
; : : : ; u
m
)
@(x
1
; : : : ; x
n
)
=
2
6
6
6
6
6
4
@u
1
@x
1(p)
@u
1
@x
2(p)¢ ¢ ¢
@u
1
@x
n(p)
@u
2
@x
1(p)
@u
2
@x
2(p)¢ ¢ ¢
@u
2
@x
n(p)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
@u
m
@x
1(p)
@u
m
@x
2(p)¢ ¢ ¢
@u
m
@x
n(p)
3
7
7
7
7
7
5
:
The mapFis smooth if and only if the functionsu
i
(x) are smooth. ut
Exercise 1.1.3.(a) LetU½L(R
n
;R
n
) denote the set of invertiblen£nmatrices. Show
thatUis an open set.
(b) LetF:U!Ube de¯ned asA!A
¡1
. Show thatDAF(H) =¡A
¡1
HA
¡1
for any
n£nmatrixH.
(c) Show that the Fr¶echet derivative of the map det :L(R
n
;R
n
)!R,A7!detA, at
A=1R
n2L(R
n
;R
n
) is given by trH, i.e.,
d
dt
jt=0det(1R
n+tH) = trH;8H2L(R
n
;R
n
): ut
Theorem 1.1.4(Inverse function theorem).LetX,Ybe two Banach spaces, andF:
U½X!Ya smooth function. If at a pointu02Uthe derivativeDu0
F2L(X; Y)
is invertible, then there exits a neighborhoodU1ofu0inUsuch thatF(U1)is an open
neighborhood ofv0=F(u0)inYandF:U1!F(U1)is bijective, with smooth inverse.ut
The spirit of the theorem is very clear: the invertibility of the derivativeDu0
F\prop-
agates" locally toFbecauseDu0
Fis a very good local approximation forF.
More formally, if we setT=Du0
F, then
F(u0+h) =F(u0) +T h+r(h);
wherer(h) =o(khk) ash!0. The theorem states that, for everyvsu±ciently close to
v0, the equationF(u) =vhas a unique solutionu=u0+h, withhvery small. To prove
the theorem one has to show that, forkv¡v0kYsu±ciently small, the equation below
v0+T h+r(h) =v
has a unique solution. We can rewrite the above equation asT h=v¡v0¡r(h) or,
equivalently, ash=T
¡1
(v¡v0¡r(h)). This last equation is a ¯xed point problem that
can be approached successfully via the Banach ¯xed point theorem.
Theorem 1.1.5(Implicit function theorem).LetX,Y,Zbe Banach spaces, and
F:X£Y!Za smooth map. Let(x0; y0)2X£Y, and setz0=F(x0; y0). Set
F2:Y!Z,F2(y) =F(x0; y). Assume thatDy0
F22L(Y; Z)is invertible. Then there
exist neighborhoodsUofx02X,Vofy02Y, and a smooth mapG:U!Vsuch that

21. 1.2. SMOOTH MANIFOLDS 5
the setSof solution(x; y)of the equationF(x; y) =z0which lie insideU£Vcan be
identi¯ed with the graph ofG, i.e.,
©
(x; y)2U£V;F(x; y) =z0
ª
=
©
(x; G(x))2U£V;x2U
ª
:
In pre-Bourbaki times, the classics regarded the coordinateyas a function ofxde¯ned
implicitly by the equalityF(x; y) =z0.
Proof.Consider the map
H:X£Y!X£Z; »= (x; y)7!(x; F(x; y)):
The mapHis a smooth map, and at»0= (x0; y0) its derivativeD»0
H:X£Y!X£Z
has the block decomposition
D»0
H=
·
1X 0
D»0
F1 D»0
F2
¸
:
Above,DF1(respectivelyDF2) denotes the derivative ofx7!F(x; y0) (respectively the
derivative ofy7!F(x0; y)). The linear operatorD»0
His invertible, and its inverse has
the block decomposition
(D»0
H)
¡1
=
2
4
1X 0
¡(D»0
F2)
¡1
±(D»0
F1) (D»0
F2)
¡1
3
5:
Thus, by the inverse function theorem, the equation (x; F(x; y)) = (x; z0) has a unique
solution (~x;~y) =H
¡1
(x; z0) in a neighborhood of (x0; y0). It obviously satis¯es ~x=xand
F(~x;~y) =z0. Hence, the setf(x; y) ;F(x; y) =z0gis locally the graph ofx7!H
¡1
(x; z0).
ut
1.2 Smooth manifolds
x1.2.1 Basic de¯nitionsWe now introduce the object which will be the main focus
of this book, namely, the concept of (smooth) manifold. It formalizes the general principles
outlined in Subsection 1.1.1.
De¯nition 1.2.1.Asmooth manifoldof dimensionmis a locally compact, paracompact
Hausdor® spaceMtogether with the following collection of data (henceforth calledatlas
orsmooth structure) consisting of the following.
(a) An open coverfUig
i2I
ofM;
(b) A collection of continuous, injective maps
©
ªi:Ui!R
m
;i2I
ª
(calledcharts
orlocal coordinates) such that, ªi(Ui) is open inR
m
, and ifUi\Uj6=;, then the
transition map
ªj±ª
¡1
i
: ªi(Ui\Uj)½R
m
!ªj(Ui\Uj)½R
m
is smooth. (We say the various charts aresmoothly compatible; see Figure 1.2).ut

22. 6 CHAPTER 1. MANIFOLDSψ
ψ
ψ
−1
i
j
i
ψ
j
U
U
i
j
R
m
R
m
Figure 1.2:Transition maps
Each chart ªican be viewed as a collection ofmfunctions (x
1
; : : : ; x
m
) onUi. Simi-
larly, we can view another chart ªjas another collection of functions (y
1
; : : : ; y
m
). The
transition map ªj±ª
¡1
i
can then be interpreted as a collection of maps
(x
1
; : : : ; x
m
)7!
¡
y
1
(x
1
; : : : ; x
m
); : : : ; y
m
(x
1
; : : : ; x
m
)
¢
:
The ¯rst and the most important example of manifold isR
n
itself. The natural smooth
structure consists of an atlas with a single chart,1R
n:R
n
!R
n
. To construct more
examples we will use the implicit function theorem .
De¯nition 1.2.2.(a) LetM,Nbe two smooth manifolds of dimensionsmand respec-
tivelyn. A continuous mapf:M!Nis said to besmoothif, for any local chartsÁ
onMandÃonN, the compositionñf±Á
¡1
(whenever this makes sense) is a smooth
mapR
m
!R
n
.
(b) A smooth mapf:M!Nis called adi®eomorphismif it is invertible and its inverse
is also a smooth map. ut
Example 1.2.3.The mapt7!e
t
is a di®eomorphism (¡1;1)!(0;1). The map
t7!t
3
is a homeomorphismR!Rbut it is not a di®eomorphism! ut
IfMis a smooth manifold we will denote byC
1
(M) the linear space of all smooth
functionsM!R.
Remark 1.2.4.LetUbe an open subset of the smooth manifoldM(dimM=m) and
Ã:U!R
m
a smooth, one-to one map with open image and smooth inverse. ThenÃ
de¯nes local coordinates overUcompatible with the existing atlas ofM. Thus (U; Ã) can
be added to the original atlas and the new smooth structure is di®eomorphic with the

23. 1.2. SMOOTH MANIFOLDS 7
initial one. Using Zermelo's Axiom we can produce amaximal atlas(no more compatible
local chart can be added to it). ut
Our next result is a general recipe for producing manifolds. Historically, this is how
manifolds entered mathematics.
Proposition 1.2.5.LetMbe a smooth manifold of dimensionmandf1; : : : ; fk2
C
1
(M). De¯ne
Z=Z(f1; : : : ; fk) =
©
p2M;f1(p) =¢ ¢ ¢=fk(p) = 0
ª
:
Assume that the functionsf1; : : : ; fkare functionally independent alongZ, i.e., for each
p2Z, there exist local coordinates(x
1
; : : : ; x
m
)de¯ned in a neighborhood ofpinMsuch
thatx
i
(p) = 0,i= 1; : : : ; m, and the matrix
@
~
f
@~x
jp:=
2
6
4
@f1
@x
1
@f1
@x
2¢ ¢ ¢
@f1
@x
m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
@fk
@x
1
@fk
@x
2¢ ¢ ¢
@fk
@x
m
3
7
5
x
1
=¢¢¢=x
m
=0
has rankk. ThenZhas a natural structure of smooth manifold of dimensionm¡k.
Proof.Step 1: Constructing the charts.Letp02Z, and denote by (x
1
; : : : ; x
m
) local
coordinates nearp0such thatx
i
(p0) = 0. One of thek£kminors of the matrix
@
~
f
@~x
jp:=
2
6
4
@f1
@x
1
@f1
@x
2¢ ¢ ¢
@f1
@x
m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
@fk
@x
1
@fk
@x
2¢ ¢ ¢
@fk
@x
m
3
7
5
x
1
=¢¢¢=x
m
=0
is nonzero. Assume this minor is determined by the lastkcolumns (and all theklines).
We can think of the functionsf1; : : : ; fkas de¯ned on an open subsetUofR
m
. Split
R
m
asR
m¡k
£R
k
, and set
x
0
:= (x
1
; : : : ; x
m¡k
); x
00
:= (x
m¡k+1
; : : : ; x
m
):
We are now in the setting of the implicit function theorem with
X=R
m¡k
; Y=R
k
; Z=R
k
;
andF:X£Y!Zgiven by
x7!
2
6
4
f1(x)
.
.
.
fk(x))
3
7
52R
k
:
In this case,DF2=
¡
@F
@x
00
¢
:R
k
!R
k
is invertible since its determinant corresponds to
our nonzero minor. Thus, in a product neighborhoodUp0
=U
0
p0
£U
00
p0
ofp0, the setZis
the graph of some function
g:U
0
p0
½R
m¡k
¡!U
00
p0
½R
k
;

24. 8 CHAPTER 1. MANIFOLDS
i.e.,
Z\Up0
=
©
(x
0
; g(x
0
) )2R
m¡k
£R
k
;x
0
2U
0
p0
;jx
0
jsmall
ª
:
We now de¯neÃp0
:Z\Up0
!R
m¡k
by
(x
0
; g(x
0
) )
Ãp
0
7¡!x
0
2R
m¡k
:
The mapÃp0
is a local chart ofZnearp0.
Step 2.The transition maps for the charts constructed above are smooth. The details
are left to the reader. ut
Exercise 1.2.6.Complete Step 2 in the proof of Proposition1.2.5. ut
De¯nition 1.2.7.LetMbe am-dimensional manifold. Acodimensionksubmanifold
ofMis a subsetN½Mlocally de¯ned as the common zero locus ofkfunctionally
independent functionsf1; : : : ; fk2C
1
(M). ut
Proposition1.2.5 shows that any submanifoldN½Mhas a natural smooth structure
so it becomes a manifoldper se. Moreover, the inclusion mapi:N ,!Mis smooth.
x1.2.2 Partitions of unityThis is a very brief technical subsection describing a trick
we will extensively use in this book.
De¯nition 1.2.8.LetMbe a smooth manifold and (U®)®2Aan open cover ofM. A
(smooth)partition of unitysubordinated to this cover is a family (f¯)¯2B½C
1
(M)
satisfying the following conditions.
(i) 0·f¯·1.
(ii)9Á:B!Asuch that suppf¯½U
Á(¯).
(iii) The family (suppf¯) is locally ¯nite, i.e., any pointx2Madmits an open neigh-
borhood intersecting only ¯nitely many of the supports suppf¯.
(iv)
P
¯
f¯(x) = 1 for allx2M. ut
We include here for the reader's convenience the basic existence result concerning
partitions of unity. For a proof we refer to [95].
Proposition 1.2.9.(a) For any open coverU=(U®)®2Aof a smooth manifoldMthere
exists at least one smooth partition of unity(f¯)¯2Bsubordinated toUsuch thatsuppf¯
is compact for any¯.
(b) If we do not require compact supports, then we can ¯nd a partition of unity in which
B=AandÁ=1A. ut
Exercise 1.2.10.LetMbe a smooth manifold andS½Maclosedsubmanifold. Prove
that the restriction map
r:C
1
(M)!C
1
(S)f7!fjS
is surjective. ut

25. 1.2. SMOOTH MANIFOLDS 9
x1.2.3 Examples Manifolds are everywhere, and in fact, to many physical phenom-
ena which can be modelled mathematically one can naturally associate a manifold. On
the other hand, many problems in mathematics ¯nd their most natural presentation using
the language of manifolds. To give the reader an idea of the scope and extent of modern
geometry, we present here a short list of examples of manifolds. This list will be enlarged
as we enter deeper into the study of manifolds.
Example 1.2.11. (Then-dimensional sphere).This is the codimension 1 submanifold
ofR
n+1
given by the equation
jxj
2
=
n
X
i=0
(x
i
)
2
=r
2
; x= (x
0
; : : : ; x
n
)2R
n+1
:
One checks that, along the sphere, the di®erential ofjxj
2
is nowhere zero, so by Proposition
1.2.5,S
n
is indeed a smooth manifold. In this case one can explicitly construct an atlas
(consisting of two charts) which is useful in many applications. The construction relies on
stereographic projections.
LetNandSdenote the North and resp. South pole ofS
n
(N= (0; : : : ;0;1)2R
n+1
,
S= (0; : : : ;0;¡1)2R
n+1
). Consider the open setsUN=S
n
n fNgandUS=S
n
n fSg.
They form an open cover ofS
n
. The stereographic projection from the North pole is the
map¾N:UN!R
n
such that, for anyP2UN, the point¾N(P) is the intersection of the
lineNPwith the hyperplanefx
n
= 0g
»
=R
n
.
The stereographic projection from the South pole is de¯ned similarly. ForP2UNwe
denote by (y
1
(P); : : : ; y
n
(P)) the coordinates of¾N(P), and forQ2US, we denote by
(z
1
(Q); : : : ; z
n
(Q)) the coordinates of¾S(Q). A simple argument shows the map
¡
y
1
(P); : : : ; y
n
(P)
¢
7!
¡
z
1
(P); : : : ; z
n
(P)
¢
; P2UN\US;
is smooth (see the exercise below). Hencef(UN; ¾N);(US; ¾S)gde¯nes a smooth structure
onS
n
. ut
Exercise 1.2.12.Show that the functionsy
i
; z
j
constructed in the above example satisfy
z
i
=
y
i
³
P
n
j=1
(y
j
)
2
´;8i= 1; : : : ; n: ut
Example 1.2.13. (Then-dimensional torus).This is the codimensionnsubmanifold
ofR
2n
(x1; y1;:::;xn; yn) de¯ned as the zero locus
x
2
1+y
2
1=¢ ¢ ¢=x
2
n+y
2
n= 1:
Note thatT
1
is di®eomorphic with the 1-dimensional sphereS
1
(unit circle). As a setT
n
is a direct product ofncirclesT
n
=S
1
£ ¢ ¢ ¢ £S
1
(see Figure 1.3). ut
The above example suggests the following general construction.

26. Discovering Diverse Content Through
Random Scribd Documents

27. Kyllä minä seisoakin jaksan…
MESTARI niinkuin ei kuulisikaan.
Miten olet jaksanut viime päivinä? Oliko sinulla hauska joulu?
ANNI kylmästi.
No olihan se…
MESTARI kaksimielisesti.
Ja lahjoja tuli kai oikein paljon?
ANNI
Kuinka mestari niin luulee? En minä saanut ainoatakaan lahjaa.
MESTARI purevasti.
Todellakin! Ja minä luulin niitä tulleen oikein summassa kun ei
minunkaan pieni lahjani enää kelvannut.
ANNI
Ymmärtäähän mestari, ettei minun sovi ottaa sellaisia lahjoja…
MESTARI kuin ihmetellen.
Mikä siinä olisi sopimatonta? Jos tahdon antaa lahjan ystävälleni
jotarakastan — jonka tahtoisin omakseni, niin…
ANNI keskeyttää, harmista punastuen.

28. Eikö mestaria hävetä puhua tuolla tavoin? Ettekö ymmärrä, miten
väärinse olisi, kun teillä on kotona rouva ja lapset, ja…
MESTARI
Voi Anni kulta! Etkö sinä sitten ymmärrä, ettei rakkaus välitä, onko
naimisissa vai ei… Ja minkä minä nyt sille voin, että rakastan sinua
— etten saa sinua mielestäni? Eikä se sitäpaitsi niin kauhea asia ole,
kaikilla paremmilla ihmisillä on joku toinen, jota he rakastavat —
vaikka ovatkin naimisissa. Älä siis…
(Lähenee Annia.)
ANNI katkeran ivallisesti, siirtyen poispäin.
Mestarillahan on toisia, montakin — jos se kerran on välttämätöntä
paremmille ihmisille! Miksi te siis minua kiusaatte?
MESTARI teennäisen moittivasti.
Voi Anni! Sinäkö syytät minua kiusaamisesta, vaikken ole tahtonut
sinulle muuta kuin hyvää? Sinä et välitä vähääkään minun
tunteistani, lähetit lahjanikin sillälailla takaisin. — (Ottaa taskustaan
kellon jalähenee taas Annia.) — Ota tämä edes… otathan Anni…
ANNI tuskastuneena.
Välitättekö te minun tunteistani, kun yhtämittaa puhutte sitä
samaa, vaikka monasti olen sanonut etten voi teistä pitää? Miksi te
nytkintyrkytätte väkisin lahjaanne kun minä en sitä tahdo?
MESTARI

29. Enhän voinut aavistaa, että sinä tulet siitä entistä katkerammaksi.
Odotin minä edes ystävällistä sanaa, katsetta — ajattelin, että sinä
sentään lopulta alat ymmärtää, tulet minun ystäväkseni… Minä
järjestäisin kaikki niin hyvin, saisit kaksinkertaisen palkan, ja…
ANNI punastuen harmista ja häpeästä.
Te tahtoisitte tuollaisella kellolla ostaa minut, mutta se ei tapahdu!
Minä en tee koskaan sellaista rikosta! Olenhan jo sanonut, että pidän
toisesta — että minulla on sulhanen, Kaarlo…
MESTARI silmät välähtäen; hillitsee itsensä tekeytyen
hämmästyneeksi.
Kas, kun en lainkaan muistanut! Minähän kuulin jo tuon asian! Ja
kuulin minä sen yhteydessä muutakin… — (Vaikenee, katsoen
Annia, ja kun tämä ei puhu mitään, jatkaa ikäänkuin säälien.) — Niin,
olen vaan kuullut sellaista, että sinun tuota… täytyisi mennä… —
(Hän venyttäätahallaan sanojaan, tuijottaen kaiken aikaa
läpitunkevasti Annia, jalopulla vaikenee.)
ANNI tuskastuen.
Mihinkä niin?
MESTARI tuijottaa yhä Annia, lausuen painokkaasti.
Niin — että sintin täytyisi mennä hänen kanssaan naimisiin —
mahdollisimman pian… Onko se totta?
ANNI punastuu ja huudahtaa silmät säkenöiden.

30. Kuinka mestari voi luulla minusta sellaista! Luuletteko minut
sellaiseksi?
(Kääntyy poispäin.)
MESTARI myhähtää ensin tyytyväisenä, sitten lausuu ankarasti.
Mitä sinä teeskentelet? Kyllähän minä tiedän, että nuoret
tehtaalaisetkeskenään ihan tuota… ihan…
ANNI keskeyttää tulisesti.
Mutta minä en!
MESTARI jatkaa aivankuin samaa lausetta ja hänen pienissä
silmissäänvälkähtää kavala, ivallinen ilme.
Ihan suutelevat… No, etkö sinä siis koskaan ole sitä tehnyt?
ANNI kääntyy hämmentyneenä toisaalle, eikä vastaa mitään.
MESTARI
Etkö sinä voi vastata? Vai myönnätkö sen vaitiolollasi?
ANNI sammaltaa suuttuneena, häveten.
Miten mestari kysyy sellaista..? Eihän se kuulu… tuota…
MESTARI keskeyttää ilkeästi.
Minulleko? Vai ei kuulu minulle? Hyvä! Minä taas luulen, että se
kuuluu hiukan minullekin. — Minä huomaan, että sinä olet juuri
hänen tähtensä kohdellut minua kuin kerjäläistä! Kiusannut minua

31. kylmyydelläsi jasamaan aikaan suudellut ja rakastellut häntä. Eikö
niin? Vai kiellätkö,ettet rakasta tuota nulikkaa?
ANNI seisoo häneen selin, äänettömänä ja hämmentyneenä.
MESTARI yhä kiihtyen.
Jaha! Sinä myönnät sen! Vai niin. Tuota lurjusta minä siis saan
kiittää kaikesta. Tuollaisen tähden olet sinä siis pitänyt pilkkanasi
minua, naureskellut sen kanssa takanapäin minua — minua! —
(Uhkaavasti.) —Mutta sen täytyy nyt loppua.
ANNI naivisti, pelokkaasti.
Ei herra mestari… en minä ole koskaan nauranut teitä. Eikä
Kaarlo olelurjus… hän on niin hyvä, siivo ja rehellinen… Kaikki
pitävät…
MESTARI kiukkuisesti.
Hän on lurjus — kirottu lurjus! Ja minä en enää kärsi sitä peliä,
jota te yhdessä harjoitatte! Huomispäivänä minä ajan hänet pois
tehtaasta,koko läänistä! Se on nyt sanalla sanottu.
ANNI änkyttää tolkuttomasti.
Oi herra mestari, älkää ajako häntä pois työstä — — hän ei ole
mitäänpahaa tehnyt… Aina tehnyt työnsä hyvin, ollut säännöllinen ja
altisja…
MESTARI keskeyttää ärjäisten.
Vaiti, sanon minä! Minä en viitsi kuunnella sinun lörpötyksiäsi.
Huomenna hän lähtee — ja' samalla sinä, isäsi, veljesi, kaikki —

32. kokoroikka!
ANNI vaikenee ikäänkuin jähmettyneenä; sitten sammaltaa
tuskallisesti.
Isä… isäkin…? Ei, ei… Mihinkä isä ja äiti sitten joutuvat tällaisena
työttömänä aikana — ja niin monta lasta… Älkää sentään eroittako
isää työstä… Hyvä mestari…
MESTARI keskeyttää järkähtämättömästi.
Se riippuu nyt kokonaan sinusta. Jos olet järkevä, niin ehkä annan
heidän jäädä. — (Pahanenteisesti.) — Mutta ellet… ellet sinä…
ANNI keskeyttää tuskallisesti.
Älkää, herra mestari! Isä on ollut niin kauan täällä — koko ikänsä
ja,ja… — (Miltei vaikeroiden.) — Niin, ettekö te sitten ymmärrä, että
minä en voi, minä en voi…
MESTARI
No, sitten ei siitä enää kannata puhua. — (Ankarasti.) — Minä en
annaitseäni pilkata!
ANNI
Voi hyvä mestari, mitä te aiotte… Armahtakaa nyt tämä kerta,
älkää…
(Purskahtaa itkuun.)

33. MESTARI antaa Annin itkeä hetkisen, tuijottaa vain kummallisen
tutkivasti. Sitten hänen katseensa muuttuu neuvottomaksi, hän
lähenee, taputtaa hyväillen Annin olkapäätä ja hänen äänessään
värähtäälevottomuus ja hellyys.
Auni älä itke, en voi sitä kestää… Anni ota edes tämä ja ole hiukan
ystävällinen minulle. Ota nyt Anni, äläkä itke Anni. Katsos miten
kaunis se on — perätkin ovat kullasta… Se maksaa kolmattasataa
markkaa…
ANNI nyyhkyttäen.
Miten minä voisin sen ottaa, sanoa että olen saanut sen teiltä?
Jokainen ajattelisi heti, että…
MESTARI kiihkeästi kuiskien.
Eihän sinun tarvitse sitä heti näyttää ja sitten jälkeenpäin voit
keksiä jotain, sanoa että olet kauan säästänyt sitä varten. Ota Anni
— minä pyydän. — (Työntää kellon Annia taskuun, sanoo
mahdollisimmanlempeästi.)
Kas niin, Anni. — Älä nyt itke. Minä en voi katsella sinua itkevänä
—se koskee niin sydämeeni. Jospa vain tietäisit, miten silloin kärsin
—ja aina… Ja sinä voisit lopettaa kärsimyksen! kun vaan tahtoisit —
voisit muuttaa kaikki hyväksi… meille molemmille…
ANNI yhä itkien.
Mutta sehän olisi valhe… minä tuntisin aina, että olen tehnyt
rikoksen. Ei, minä en voi ottaa sitä… Ottakaa se takaisin…
MESTARI tarttuu hänen käsiinsä puhuen yhä kiihkeämmin.

34. Rakas Anni! Onko sekin mielestäsi rikos? Jospa vain tietäisit,
miten syvästi sinua rakastan — niin et puhuisi noin… Minähän
tahdon tehdä kaikki, mitä tahansa sinun hyväksesi, kun vain olisit
toisenlainen… Anni, sinä saisit suuremman onnen — — —. sinun ei
enää koskaan työssä tarvitsisi työssä käydä… minä korottaisin sinut
konttoristiksi.Opettaisin sinulle kirjanpidon, veljesi pääsisi
monttöriksi ja isäsi alityönjohtajaksi eikä huominen palkanalennus
lainkaan koskisi heitä. Niin, sen järjestäminen on minulle helppoa —
se olen minä, joka tässä tehtaassa määrään! Ajattele siis mikä valta
minulla on! Etkö edes omaistesi tähden koeta olla järkevä — ajatella
minunkin mieltäni…?
ANNI on monta kertaa koettanut keskeyttää mestaria; huudahtaa
epätoivoisesti.
Herra mestari… Älkää puhuko enää… minä en voi! Kuinka minä
sittenenää voisin olla täällä, katsoa ketään silmiin?
MESTARI huomaa Annissa horjuvaisuutta ja jatkaa yhä
kiihkeämmin.
Oi Anni, minkätähden sinä kiusaat minua? Eikö sinulla ole
lainkaan sydäntä? Sinä et yhtään ajattele, miten paljon olen kärsinyt
sinun tähtesi… Älä nyt enää ole tuollainen! Tule nyt edes katsomaan
minunhuonettani. Ja luota minuun…
(Koettaa vetää Annia huoneeseensa.)
ANNI ponnistelee vastaan, rukoillen hätäisesti ja tuskallisesti.
Oi mestari hyvä, älkää nyt… Antakaa minun olla… Lakatkaa…
Minäkoetan, lupaan ajatella… Älkää…

35. MESTARI kähisevin äänin.
Anni, minä pyydän, rukoilen sinua! Ajattelu, mikä onni sinulle tulisi!
Sinä et tiedä, miten hyvin kävisi omaisillesi — etkö sinä tahdo edes
heidän parastaan…?
ANNI näyttää menehtyneeltä ja katsahtaa hätääntyneenä ovelle.
Kyllä, kyllä tahtoisin, mutta en voi, en voi… Päästäkää, minä
lupaan ajatella — minä tulen huomennakin, kun vain päästätte!
Päästäkää! —(Kun mestari ei laske, kirkasee hän äkkiä.) — Apua,
Kaarlo!… Kaarlo!
MESTARIN sieramet laajenevat, silmät pienenevät
naskalinteräviksi jahänen äänessään kuvastuu sekaisin intohimo,
pelko, raivo ja voitonriemu — se muistuttaa miltei käärmeen
sähinääa.
Vaiti! Jos vielä kerran huudat — niin se lurjus viedään täältä
ijäksi…
ANNI änkyttää kauhusta vavisten.
Mitä, mitä…? Se ei ole mahdollista…
MESTARI
Se on mahdollista! Hän on täällä yhdistyksessä puhunut
sillätavoin, että jos vihjaisen kaupungin santarmeille, niin hänet
viedään tavallista kauemmaksi — josta hän ei palaja koskaan.
Kuinka sinä uskalsit huutaa häntä — pilkata minua? Sillä hän on
minun kädessäni!

36. ANNI rukoillen.
Mestari… antakaa anteeksi jumalan tähden… En tahtonut
huutaa… en itsekään ymmärrä… Älkää antako ilmi häntä! Älkää,
hyvä mestari, älkää! Minä kuolisin… Minä teen mitä tahansa, kun
vaan…
MESTARI pidätetyllä voiton riemulla.
En minä odottanut noin suurta loukkausta sinulta. Mutta minä
annan vielä senkin anteeksi, jos näytät, ettet tahtonut minua pilkata.
Jos huomenna työajan jälkeen jäät tänne, niin minä lupaan, että
omaisesi saavat jäädä työhön entisellä palkalla, ja kaikki tulee
niinkuin olenpuhunut.
ANNI hätäisesti sammaltaen.
Kyllä minä sitten tulen huomenna… huomenna… — (Kuin
havahtuen.) —
Ei, ei — en minä sentään voi — se olisi liian kamalaa.
MESTARI uhkaavasti.
Mitä, pilkkaatko sinä vielä silläkin tavalla? Ensin lupaat ja sitten
kiellät — aivan kuin ärsytät! Ei — se on liikaa! Minä lähetän hänestä
kirjelmän vielä tänään!
ANNI parahtaa epätoivoisesti.
Oi älkää, jumalan tähden! Minä tulen… lupaan tulla…
MESTARI raskaasti.

37. Tuletko siis varmasti! Jos sinä vielä tässä pettäisit minut, niin
silloin en enää armahda ketään! Tuletko?
ANNI
Minä tulen…
(Vaipuu kalpeana polvilleen.)
MESTARI nostaa Annin ylös alkaen taluttaa huoneeseensa,
toistellen
Anni, Anni, sinä voit pahoin… Tule ottamaan vettä… tule minun
huoneeseeni.
ANNI epätoivoisesti.
Oi älkää mestari… jumalan tähden en voi tulla, nyt… Päästäkää!
MESTARI käheästi, uhaten.
Älä vain huuda! Muista mitä siitä seuraa…
ANNI kuin sekopäisenä.
Hu, en minä huuda… kun ette vain… mestari hyvä — minä lupaan
tulla huomenna varmasti. — (Mestari vie hänet puoliväkisin sisään
sulkienoven.)
Oven takaa kuuluu Annin pelokas nyyhkytys ja rukoileva
kuiskaava ääni,vuoroin taas mestarin matala, kiihkosta käheä
kuiske katkonaisena,epäselvänä.
— Älä pelkää — istu — voit pahoin…

38. — Ei — hyvä mestari — menee ohi…
— Maista nyt — virkistää…
— En voi — viiniä — päästäkää…
— Älä nyt — ymmärrä — omaisesi…
Sen jälkeen ei enää eroita sanoja; ne hukkuvat kaukaiseen
kohinaan joka vähitellen lähenee; sen synnyttävät satojen askelten
jyminä jaihmisjoukon sekava puheensorina, josta ei vielä sanoja
eroita. Selähenee, kiihtyy ja lopulta pysähtyy ulkopuolelle ja sen
seasta kuuluukiihtyneitä
HUUTOJA
— Ne aikovat tietysti tappaa meidät nälkään!
— Tietysti! Eihän sillä palkalla elä…
— Mutta se on pirullista, ettei sillä heti kuolekaan!
— Älä ole siitä huolissasi — kyllä tämän alennuksen jälkeen kuolet
heti!
— Se on selvä se!
— Kun oikein nälkäpiiskuri suunnittelee, niin kai se tepsii!
— Oikein! Tietysti se mestarin työtä on!
— Tietysti! Sehän syksylläkin oli ehdottanut!
— Menkää sisään! Ei se tästä parane!

39. — Menköön Korpi ja Suonpää sisään! Kyllä me odotamme täällä!
— Halonen myöskin!
Kuuluu Halosen vastustava ääni.
— Mene nyt vain! Ei se sinua syö!
— Ei se ainakaan purematta nielase!
— Ei kukaan paljaista luista huoli!
— Mene sinäkin Emil — silloin se ei kuitenkaan kaikkia syö!
— Mene vaan! Olet vähän lihavampikin!
Joitakin katkeria naurahduksia.
Melu hiljenee ja sitten aukee ovi; Korpi, hänen poikansa Emil,
Halonen ja Kaarlo Suonpää astuvat sisään. Edellinen on
suurikokoinen, vielä voimakas mies, vaikka ankara työ ja huolet
ovatkin uurtaneet syviä vakoja hänen kasvoihinsa; Halonen on kovin
laiha, kalpeilla kasvoillaan masennus ja arkuus; Suonpää on
solakka, jäntevävartaloinen nuorukainen, jolla on älykkäät ja
voimakkaat kasvot.
Ulkoa kuuluu edelleen joukon hillittyä sorinaa.
KORPI kuin pettyneenä.
Täällähän ei ole ketään…
EMIL pilkallisesti hymähtäen.

40. Onkohan kettu paennut pesästään!
KAARLO
No, odotetaan täällä vaikka huomisaamuun asti! Sitä asiaa ei
jätetä.
KORPI hiljaa, lujasti.
Sitä ei voi jättää. Jos nyt vielä alennettaisiin palkat kolmannella
osalla, silloin tulee monelle suurperheiselle suorastaan
nälkäkuolema.
HALONEN
Niin se on, ei sillä saa…
(Hän vaikenee, sillä mestarin huoneen ovi aukenee ja kynnykselle
ilmestyy Anni, hätääntyneenä, vapisevana, vaatteet ja tukka hieman
epäjärjestyksessä. Kaikki aivankuin jähmettyvät hämmästyksestä.
Äänettömyys.)
KORPI hiljaa, käheästi.
Sinä täällä… Mitä sinä teit siellä?
ANNI nyyhkyttäen.
Minä olin… olin tomuja pyyhkimässä…
KORPI ärjäisten.
Valehtelet! Sano heti, mitä sinulla on täällä tekemistä!

41. ANNI kuin menehtyneenä.
Mestari… tuota noin, käski… — (Huomaa Kaarlon, pelästyy yhä
enemmänja sopertaa vavisten.) — Kaarlo… täällä…?
KAARLO on seissyt kalpeana ja liikkumattomana — niinkuin raivo
jahämmästys olisi lamauttanut hänet.
Niin, minä olen täällä… Mutta mitä sinä teet täällä? Mitä sinä olet
tehnyt…?
ANNI tolkuttomasti.
Jumala auttakoon! En minä mitään…
KAARLO raivoisasti.
Mitä sinä olet tehnyt? Vastaa minulle. Oletko sinä, sinä…? Onko,
onkose totta?
MESTARI tulee huoneestaan ja karjaisee röyhkeästi.
Mitä tämä merkitsee? Mitä te täällä rähisette? Ulos jokainen!
KAARLO
Konna!… Mitä te olette tehnyt hänelle?
(Aikoo hyökätä mestarin kimppuun, mutta Korpi saa kiinni hänen
olkapäästään.)
MESTARI lähenee pari askella ja ähkyy pelästyksestä ja raivosta
vavisten.

42. Vai niin… vai niin! Vai sinä hyökkäät minun kimppuuni! No, no…
Tenäitte sen, te voitte todistaa sen! — (Kaikille.) — Ja ettekö
kuulleet,mitä sanoin? Ulos!
KAARLO hiljaa, raskaasti.
Te ette pääse tästä asiasta niin helpolla kuin luulette.
KORPI Kaarlolle hiljaa.
Tule järkiisi. Ole hiljaa! — (Mestarille.) — Emme me sillä tavalla
uloslähde. Olemme tulleet puhumaan tärkeistä asioista.
MESTARI
Mistä asioista? — (Kuuntelee jonkun sekunnin ja huomaa joukon
hillityn sorinan ulkopuolella.) — Mitä asioita teillä on? Keitä, mitä
rähinäätuolla on?
KORPI
Siellä on koko tehtaan työväki ja me olemme tulleet kaikkien
puolesta ilmoittamaan, ettemme voi hyväksyä sitä palkanalennusta.
Me emme tule sentään toimeen muutamalla pennillä. Me vaadimme,
että palkatpysytetään ennallaan.
HALONEN avuttomasti.
Minullakin on kahdeksan lasta…
MESTARI koettaa tekeytyä ivalliseksi.

43. Vai on Halonenkin mukana tuollaisessa! — (Kääntyen Korpeen.)
— Jaoikein vaaditte! Vai niin. Mutta palkkojen määrääminen on
herrapatruunan asia, eikä hän kuuntele teidän vaatimuksianne!
HALONEN mutisee mestarin puheen aikana pelästyneenä.
Kun on lapsia, tuota… niin ei silloin…
KORPI
Jonkun täytyy meitä kuunnella. Muuten emme voi elättää
lapsiamme. Jajollei muu auta, niin meidän täytyy lopettaa työt…
MESTARI pahaenteisen hitaasti, pilkallisesti hymyillen.
Ahaa! Sinä kiihotat siis julkisesti lakkoon. Hyvä. Sinä siis lopetat
tehtaan työt… Mutta minä luulen, että töiden lopettaminen on
myöskin herra patruunan asia! Ilmoittakaa siis hänelle itselleen
uhkauksenne —jos hän ottaa teidät vastaan!
KORPI
Kuulkaa herra mestari. Kun te olette itse tämän alennuksen
ehdottanutpatruunalle, niin teidän velvollisuutenne on myös ilmoittaa
hänelle sen seurauksista. Enkä minä ole ketään kehoittanut lakkoon
tai muuhun. Mutta pitääkö meidän siis jättää kaikki sikseen ja tulla
kiltisti työhön jollette suvaitse edes ilmoittaa patruunalle… Mitä te
arvelette, toverit?
KAIKKI
— Silloin teemme lakon — ja heti aamulla!

44. — Niin teemme! Emme voi muuta.
— Meidän täytyy — jollette muuten ilmoita.
MESTARI pöyhkeästi.
Vai lakon te nyt teette? Mutta vakavasti puhuen ei se kaipaa
mitään ilmoittamista. Herra patruunan järkähtämätön päätös on, että
palkat alennetaan niinkuin julistuksessa on säädetty — eikä se tule
muuttumaanteidän rähinänne vuoksi.
ANNI peittää käsillään kasvonsa, purskahtaen itkuun.
Voi tätä elämää…
KORPI
Mutta me emme enää aio vapaaehtoisesti nälkään kuolla! —
(Katsahtaen itkevään Anniin ja jatkaa yhä kasvavalla katkeruudella
ja tuskalla.) — Ja sinä, sinä… mitä sinä olet tehnyt tyttärelleni?
Vieläkö sinä hänetkin tahdot uhriksesi! Eivätkö entiset riitä…? Ei siitä
vielä oleviikkoakaan kun viimeinen haudattiin — siellä se makasi
meidän aitassajäätyneenä…
MESTARI on muuttunut kamalan näköiseksi kuullessaan nuo
murhaavat syytökset; mutta äkkiä hän keskeyttää syyttäjänsä,
karjaistenraivoisasti.
Mitä? Mitä? Mitä tämä oikein on? — Mitä sinä tarkoitat? Te olette
minunkonttorissani! Ulos! Ulos! Ulos!
EMIL hurjasti.

45. Vieläkö sinä karjut! Ellet nyt ole hiljemmin, niin — niin piakkoin
tulee toiset odottamattomat hautajaiset…
KAARLO hiljaa, hammasta purren.
Tietäkää nyt, että teidän täytyy lopettaa mustat tekonne!
Ymmärrätteköte?
KORPI hilliten itsensä.
Älkää viitsikö sanoa enää mitään hänelle — puheet eivät tässä
auta!
Eikä väkivaltaisuudet! Niistä olisi vain heille hyötyä. — (Lujasti.) —
Loppu tästä on kyllä tehtävä — mutta toisella tavalla!
(Menevät ulos, paitsi Kaarlo, ja ovi jää raolleen. Joukon sorina
lakkaa, syntyy miltei kuolemanhiljaisuus. Sitten kuuluu Korven
mielenliikutuksesta väräjävä ääni.)
KORPI
Työtoverit! Mestari ei lupaa edes ilmoittaa patruunalle
vaatimustamme; ivailee vain ja sanoo olevansa varma siitä, että se
hylätään. Mitä onmeidän tehtävä? Onko meidän tyyninä kärsittävä,
että palkat vieläkin alennetaan? — että meidän lapsemme joutuvat
kitumaan nälässä? Mitä teajattelette, toverit?
KIIHKEITÄ HUUTOJA
— Ei — me emme anna enää alentaa palkkoja!
— Syksyllähän niitä juuri alennettiin…

46. — Me olisimme raukkoja, jos vieläkin…
— Ei enää…
— Lakko on meidän tehtävä!
— Ja huomispäivänä!
— Lakkoon, lakkoon!
— Ja nyt vaaditaan mestari pois!
— Oikein! Mestari pois!
KORPI
Se on todella kamalaa, että hän edelleenkin saa rauhassa jatkaa
vanhaa peliään. Vuosikausia on hän kiusannut, hätyytellyt ja
raiskannut tyttäriämme, vaimojamme. Heidän turvallisuutensa ja
kunniansa ei enää merkitse mitään. Hän on saanut aikaan niin paljo
onnettomuutta, että sen pitäisi jo riittää! — (Epäröiden.) — Minä
pahoin pelkään, että hänvielä tänään on tehnyt konnantyön, joka…
Hänet keskeyttävät kiihkeät, uhkaavat
HUUDOT
— Mitä hän taas on tehnyt?
— Pois mestari tehtaalta!
— Piiskuri pois!
— Pois se sika!

47. Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookfinal.com