Limites e Continuidade de Funções Multivariadas

Notas de aula sobre limites e continuidade de funções de várias variáveis.

1. 1/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
LIMITES E CONTINUIDADE
(fun¸c˜oes reais de v´arias vari´aveis reais)
(a consulta a estas notas de aulan˜ao dispensaa leitura da bibliografia de referˆencia)
Prof. Ricardo Saldanha de Morais
Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais
Departamento de Matem´atica ( http://www.dm.cefetmg.br)
I semestre de 2024

2. 2/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Sum´ario
1
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
2
Limites
Defini¸c˜ao
Propriedades dos limites
3
Continuidade
4
Referˆencias

3. 3/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
SeP=(x
1, y
1)eQ=(x
2, y
2)s˜ao pontos no plano, ent˜ao adistˆancia
entrePeQ´e dada por
dist(P, Q)=
√
(x
2−x
1)
2
+(y
2−y
1)
2
.
SeP=(x
1, y
1, z
1)eQ=(x
2, y
2, z
2)s˜ao pontos no espa¸co,
dist(P, Q)=
√
(x
2−x
1)
2
+(y
2−y
1)
2
+(z
2−z
1)
2
.
De modo geral, seP=(p
1, p
2, . . . , p
n)eQ=(q
1, q
2, . . . , q
n)s˜ao pontos
noR
n
, ent˜ao adistˆanciaentrePeQ´e dada por
dist(P, Q)=
√
(q
1−p
1)
2
+(q
2−p
2)
2
+ ⋯ +(q
n−p
n)
2
.
Defini¸c˜ao (Bola aberta)
SejamAum ponto doR
n
erum n´umero real positivo. Abola aberta
B(A;r)´e o conjunto detodosos pontosP∈R
n
tais que dist(P, A)<r, i.e.,
B(A;r)={P∈R
n
∣dist(P, A)<r}.

4. Exemplo 1 (Bola aberta noR
1
)
Sejama∈R
1
erum n´umero real positivo. A bola abertaB(a;r)´e o
conjunto de todos os pontosx∈R
1
tais que dist(x, a)<r, isto ´e,
√
(x−a)
2
<r⟺∣x−a∣<r⟺−r<x−a<r⟺a−r<x<a+r .
Exemplo 2 (Bola aberta noR
2
)
SejamA=(x
0, y
0)∈R
2
erum
n´umero real positivo.
A bola abertaB(A;r)´e o conjunto de
todos os pontos(x, y)∈R
2
tais que
dist((x, y),(x
0, y
0))<r⟺
√
(x−x
0)
2
+(y−y
0)
2
<r⟺
(x−x
0)
2
+(y−y
0)
2
<r
2
.
4/27

5. Exemplo 3 (Bola aberta noR
3
)
SejamA=(x
0, y
0, z
0)∈R
3
erum
n´umero real positivo.
A bola abertaB(A;r)´e o conjunto de
todos os pontos(x, y, z)∈R
3
tais que
dist((x, y, z),(x
0, y
0, z
0))<r⟺
√
(x−x
0)
2
+(y−y
0)
2
+(z−z
0)
2
<r,
ou(x−x
0)
2
+(y−y
0)
2
+(z−z
0)
2
<r
2
.
Isto ´e,B(A;r)´e a regi˜ao delimitada
pela esfera
(x−x
0)
2
+(y−y
0)
2
+(z−z
0)
2
=r
2
,
exclu´ıda a esfera.
Defini¸c˜ao (Ponto de acumula¸c˜ao)
Um pontoP
0´e umponto de acumula¸c˜aode um conjunto n˜ao vazioR⊆R
n
se, para todor>0, a bola abertaB(P
0;r)cont´em umainfinidadede pontos
da regi˜aoR.
5/27

6. 6/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Exemplo 4
SejaR={(x, y)∈R
2
∣x>1 ey>1}∪{(0,0)}.Consideremos os pontos
E=(3,2),F=(1,2)eG=(0,0).
Vale notar que os pontosEeGpertencem `a regi˜aoRe que o pontoFn˜ao
pertenceaR.
EeFs˜ao exemplos depontos de acumula¸c˜aodeR. O elementoG´e
chamadoponto isoladodo conjuntoR.

7. 7/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Defini¸c˜ao
Propriedades dos limites
Limites
Defini¸c˜ao (Limite de fun¸c˜ao de duas vari´aveis)
SejaD⊆R
2
um conjunto n˜ao vazio. Sejamf∶D⟶Ruma fun¸c˜ao e
(x
0, y
0)um ponto de acumula¸c˜ao deD.Dizemos que olimitedef´eL∈R,
quando(x, y)tende a(x
0, y
0), e escrevemos
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)=L
se e somente se, para todoϵ>0, existeδ>0(δ=δ(ϵ))tal que
∣f(x, y)−L∣<ϵsempre que(x, y)∈De 0<
√
(x−x
0)
2
+(y−y
0)
2
<δ.

8. Na defini¸c˜ao de limite, ´e essencial que(x
0, y
0)seja um ponto de acu-
mula¸c˜ao do dom´ınioDda fun¸c˜aof.
´
E irrelevante que(x
0, y
0)perten¸ca
ou n˜ao aD,isto ´e, quefesteja ou n˜ao definida em(x
0, y
0).
Intuitivamente, lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)=Lsignifica que se pode fazerf(x, y)
t˜ao pr´oximo deLquanto se queira ϵ)
tome(x, y)suficientemente pr´oximo, por´em diferente, de(x
0, y
0)(ex-
tens˜ao expressa peloδ).
Exemplo 5
Mostre que lim
(x,y)→(1,3)
(2x+3y)=11.
Solu¸c˜ao:
O dom´ınio f(x, y)=2x+3y´e todoR
2
e(1,3)´e evidentemente
um ponto de acumula¸c˜ao desse dom´ınio.
Devemos mostrar que, para todoϵ>0, existeδ>0 tal que,
se 0<
√
(x−1)
2
+(y−3)
2
<δ,ent˜ao∣f(x, y)−11∣<ϵ (1)
Pela desigualdade triangular,
∣f(x, y)−11∣=∣2x−2+3y−9∣=∣2(x−1)+3(y−3)∣
≤∣2(x−1)∣+∣3(y−3)∣=2∣x−1∣+3∣y−3∣.
8/27

9. 9/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Defini¸c˜ao
Propriedades dos limites
Exemplo 5 (cont.)
Al´em disso,
∣x−1∣=
√
(x−1)
2
≤
√
(x−1)
2
+(y−3)
2
e
∣y−3∣=
√
(y−3)
2
≤
√
(x−1)
2
+(y−3)
2
.
Portanto,
∣ (2x+3y)−11∣≤2∣x−1∣+3∣y−3∣≤5
√
(x−1)
2
+(y−3)
2
.
Assim, sempre que 0<
√
(x−1)
2
+(y−3)
2
<
ϵ
5
, vale
∣ (2x+3y)−11∣≤5
√
(x−1)
2
+(y−3)
2
<5⋅
ϵ
5
=ϵ.
Ou seja, paraδ=
ϵ
5
, a condi¸c˜ao (1) ´e satisfeita. Da´ı, lim
(x,y)→(1,3)
(2x+3y)=11.
Teorema 1 (Unicidade do limite)
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)existe, ele ´e ´unico.

10. 10/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Defini¸c˜ao
Propriedades dos limites
Propriedades dos limites
Teorema 2 (Propriedades b´asicas)
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)=Le lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y)=M,ent˜ao
P0
(x,y)→(x0,y0)
x=x
0e lim
(x,y)→(x0,y0)
y=y
0;
P1
(x,y)→(x0,y0)
k=k,em quek´e uma constante real;
P2
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)±g(x, y)]=L±M;
P3
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)⋅g(x, y)]=L⋅M;
P4
(x,y)→(x0,y0)
[
f(x, y)
g(x, y)
]=
L
M
,desde queM≠0;
P5
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)]
m/n
=L
m/n
, desde quem, n∈Z,n≠0,eL
m/n
∈R.

11. Defini¸c˜ao (Fun¸c˜ao polinomial e fun¸c˜ao racional)
Umafun¸c˜ao polinomial– nas vari´aveisxey– ´e uma soma de termos da
forma
c x
n
y
m
,
em quec∈Rem, n∈{0,1,2,3, . . .}(i.e.,mens˜ao inteiros n˜ao negativos).
Umafun¸c˜ao racional´e o quociente de duas fun¸c˜oes polinomiais.
Exemplo 6
(a)g(x, y)=(−1/7)x
3
+
√
5x
2
y
2
+y
4
−73
(b)h(x, y)=
x
3
+7x y
2
3x
2
y
4
−2x+1
(fun¸c˜ao racional)
Uma fun¸c˜ao polinomialp(x, y)´e tamb´em uma fun¸c˜ao racional, posto
quep(x, y)=
p(x, y)
1
.
Teorema 3
Sef´e umafun¸c˜ao racionaldefinida em(x
0, y
0), ent˜ao
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)=f(x
0, y
0).
11/27

12. 12/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Defini¸c˜ao
Propriedades dos limites
Exemplo 7
Sejamg(x, y)=x
3
−4x y
2
+5y−7 eh(x, y)=
x
2
−y
2
x
2
+y
2
. Ent˜ao,
(a)
(x,y)→(2,−3)
g(x, y)=2
3
−4⋅2⋅(−3)
2
+5⋅(−3)−7=−86 e
(b)
(x,y)→(3,4)
h(x, y)=
3
2
−4
2
3
2
+4
2
=−
7
25
,
poisgehs˜ao fun¸c˜oes racionais definidas, respectivamente, em(2,−3)e
(3,4).
Exemplo 8
Calcule, se existir, lim
(x,y)→(3,4)
f(x, y), em quef(x, y)=
x
2
−y
2
√
x
2
+y
2
.
Solu¸c˜ao:
Importa observar quefn˜ao ´euma fun¸c˜ao racional, uma vez que seu deno-
minadorn˜ao ´eum polinˆomio. Ademais,(3,4)´e um ponto de acumula¸c˜ao
do dom´ınio f, que ´e o conjuntoR
2
−{(0,0)}.

13. Exemplo 8 (cont.)
Temos que lim
(x,y)→(3,4)
(x
2
+y
2
)
Teo. 3
=3
2
+4
2
=25.Da´ı,
lim
(x,y)→(3,4)
√
x
2
+y
2
=lim
(x,y)→(3,4)
(x
2
+y
2
)
1/2
P5
=25
1/2
=
√
25=5.
Portanto, lim
(x,y)→(3,4)
x
2
−y
2
√
x
2
+y
2
P4
=
lim
(x,y)→(3,4)
x
2
−y
2
lim
(x,y)→(3,4)
√
x
2
+y
2
=
−7
5
=−
7
5
.
Exemplo 9
Calcule, se houver, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y), em quef(x, y)=
x
2
−x y
√
x−
√
y
.
Solu¸c˜ao:
Como no exemplo anterior,fn˜ao ´euma
fun¸c˜ao racional. De acordo com a figura ao
lado,(0,0)´e um ponto de acumula¸c˜ao do
dom´ınioDdef(toda regi˜ao sombreada).
Neste caso,
(x, y)→(0,0)⟺x→0
+
, y→0
+
ex≠y.
13/27

14. Exemplo 9 (cont.)
Como
lim
(x,y)→(0,0)
(
√
x−
√
y)
P2
=lim
(x,y)→(0,0)
x
1/2
−lim
(x,y)→(0,0)
y
1/2P0 e P5
=0
1/2
−0
1/2
=0
e
lim
(x,y)→(0,0)
(x
2
−x y)
Teo. 3
=0
2
−0⋅0=0,
temos aqui uma indetermina¸c˜ao do tipo “0/0”. Visto que
x
2
−x y
√
x−
√
y
=(
x
2
−x y
√
x−
√
y
) (
√
x+
√
y
√
x+
√
y
)=
x¸¸
¸¸
(x−y)(
√
x+
√
y)
¸
¸¸x−y
=x(
√
x+
√
y),
ent˜ao
lim
(x,y)→(0,0)
x
2
−x y
√
x−
√
y
= lim
(x,y)→(0,0)
x(
√
x+
√
y)
P3
= [lim
(x,y)→(0,0)
x] [lim
(x,y)→(0,0)
(
√
x+
√
y)]
P2
= [lim
(x,y)→(0,0)
x] [lim
(x,y)→(0,0)
x
1/2
+lim
(x,y)→(0,0)
y
1/2
]
P0 e P5
= 0(0
1/2
+0
1/2
)=0.
14/27

15. Como o limite, quando existe, ´e ´unico, vale a seguinte
Regra dos Caminhos
Se ao longo de dois caminhos diferentes para
o ponto(x
0, y
0),os limites def(x, y),quando
(x, y)tende a(x
0, y
0),s˜ao distintos ou um de-
lesn˜ao existe, ent˜ao
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)n˜ao existe.
Exemplo 10
Sejaf(x, y)=
2x y
x
2
+y
2
. Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)n˜ao existe.
Solu¸c˜ao:
Ao longo do eixoy, isto ´e,x=0 ey≠0, temos que
f(x, y)
?
?
?
?
?
?
?
?x=0, y≠0
=
2⋅0⋅y
0
2
+y
2
=
0
y
2
=0
e, por isso, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)=lim
y→0
0=0.
15/27

16. Exemplo 10 (cont.)
Ao longo da retay=x,x≠0, temos que
f(x, y)
?
?
?
?
?
?
?
?y=x, x≠0
=
2x x
x
2
+x
2
=
Φ
Φ
2x
2
Φ
Φ
2x
2
=1
e, assim, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)=lim
x→0
1=1.Visto que os limites acima s˜ao distin-
tos, pela Regra dos Caminhos, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)n˜ao existe.
Exemplo 11
Sejaf(x, y)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x y
2
x
2
+y
4
se(x, y)≠(0,0)
1 se (x, y)=(0,0)
.Calcule lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)
se existir.
Solu¸c˜ao:
Sejam∈R. Ao longo da retay=m x,x≠
0, temos quef(x, y)
?
?
?
?
?
?
?
?y=mx, x≠0
=
x(m x)
2
x
2
+(m x)
4
=
m
2
ΓΓx
3
(m
4
x
2
+1)ΓΓx
2
=
m
2
x
m
4
x
2
+1
.
16/27

17. 17/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Defini¸c˜ao
Propriedades dos limites
Exemplo 11 (cont.)
Portanto, ao longo de qualquer reta n˜ao vertical passando pela origem,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)=lim
x→0
m
2
x
m
4
x
2
+1
=0.
Em rela¸c˜ao `a reta verticalx=0,y≠0, o limite tamb´em ´e zero.
Ao longo da par´abolax=y
2
,y≠0, vemos que
f(x, y)
?
?
?
?
?
?
?
?x=y
2
, y≠0
=
y
2
y
2
(y
2
)
2
+y
4
=
´´y
4
2
´´y
4
=
1
2
.
Ent˜ao, ao longo desse caminho, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)=lim
y→0
1
2
=
1
2
.
Dado que os limites acima s˜ao diferentes, de acordo com a Regra dos Cami-
nhos, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)n˜ao existe.
´
E oportuno destacar que, no exemplo anterior, o limite da fun¸c˜ao ao
longo de uma infinidade de caminhos para(0,0)´e zero. Contudo, o
limite da fun¸c˜ao, quando(x, y)tende a(0,0),n˜ao existe.

18. Exemplo 12
Sejaf(x, y)=
3x y
2
x
2
+y
2
. Calcule lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)se existir.
Solu¸c˜ao:
Ao longo do caminhoy=x,x≠0,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)=lim
x→0
3x x
2
x
2
+x
2
=lim
x→0
3ΓΓx
3
2ΓΓx
2
=lim
x→0
3
2
x=0.
Ao longo da curvay=x
2
,x≠0,
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)=lim
x→0
3x(x
2
)
2
x
2
+(x
2
)
2
=lim
x→0
3ΓΓx
5
ΓΓx
2
(1+x
2
)
=lim
x→0
3x
3
1+x
2
=0.
Neste caso,f´e uma fun¸c˜ao racional com grau do numerador maior que o
grau do denominador e tal que lim
(x,y)→(0,0)
3xy
2
=lim
(x,y)→(0,0)
(x
2
+y
2
)=0.Es-
sas condi¸c˜oes, juntamente com os resultados dos limites por caminho acima,
nos levam a suspeitar que o limite existe e que ele deve ser igual a zero
dado! Iston˜ao ´eum crit´erio determinante).
Vamos ent˜ao tentar provar que lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)=0 usando a defini¸c˜ao de
limite, j´a que nenhum dos resultados vistos, at´e o momento, pode ser apli-
cado.18/27

19. Exemplo 12 (cont.)
Queremos mostrar que, para todoϵ>0, existeδ>0 tal que,
se 0<
√
(x−0)
2
+(y−0)
2
<δ,ent˜ao∣f(x, y)−0∣<ϵ (2)
Podemos escrever
∣f(x, y)−0∣=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3x y
2
x
2
+y
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=3∣x∣
y
2
x
2
+y
2
.
Al´em disso, comoy
2
≤x
2
+y
2
ex
2
≤x
2
+y
2
,temos que
y
2
x
2
+y
2
≤1 e
√
x
2
≤
√
x
2
+y
2
.Consequentemente,
3∣x∣
y
2
x
2
+y
2
≤3∣x∣=3
√
x
2
≤3
√
x
2
+y
2
.
Desse modo, 0<
√
x
2
+y
2
<
ϵ
3
implica que
∣f(x, y)−0∣≤3
√
x
2
+y
2
<3⋅
ϵ
3
=ϵ.
Isto ´e, paraδ=
ϵ
3
, a condi¸c˜ao (2) ´e satisfeita. Logo, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)=0.
19/27

20. Teorema 4 (Teorema do Confronto)
Sef(x, y)≤h(x, y)≤g(x, y)para todo(x, y)pertencente a bola aberta
centrada no ponto(x
0, y
0)(exceto possivelmente em(x
0, y
0))
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)= lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y)=L ,
ent˜ao lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y)=L .
Exemplo 13
Sabemos, do exemplo anterior, que
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3x y
2
x
2
+y
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤3
√
x
2
+y
2
para todo(x, y)∈
R
2
−{(0,0)}.Isso implica que
−3
√
x
2
+y
2
≤
3x y
2
x
2
+y
2
≤3
√
x
2
+y
2
para todo(x, y),(x, y)≠(0,0), de uma bola aberta centrada na origem e
de raio qualquer. Como lim
(x,y)→(0,0)
−3
√
x
2
+y
2
=lim
(x,y)→(0,0)
3
√
x
2
+y
2
=0, o
Teorema do Confronto assegura que lim
(x,y)→(0,0)
3x y
2
x
2
+y
2
=0.
20/27

21. 21/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Continuidade
Defini¸c˜ao (Continuidade)
Uma fun¸c˜aof∶D⊆R
2
⟶R´econt´ınua no ponto(x
0, y
0)se as trˆes
condi¸c˜oes a seguir s˜ao satisfeitas:
(i)fest´a definida em(x
0, y
0),isto ´e,(x
0, y
0)∈D,
(ii)
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)existe e
(iii)
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)=f(x
0, y
0).
Dizemos quef´econt´ınuase ela ´e cont´ınua em cada um dos pontos de seu
dom´ınioD.
Sefest´a definida em(x
0, y
0)mas ao menos uma das condi¸c˜oes (ii) e (iii)
aciman˜ao ´esatisfeita, dizemos quef´edescont´ınuano ponto(x
0, y
0).
Teorema 5 (Uma classe bem comportada)
Uma fun¸c˜ao racional ´e cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio.

22. Exemplo 14
Sejag(x, y)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
3x y
2
x
2
+y
2
se(x, y)≠(0,0)
0 se (x, y)=(0,0)
.Essa fun¸c˜ao ´e cont´ınua?
Solu¸c˜ao:
A fun¸c˜aogest´a definida em todoR
2
.Para(x, y)≠(0,0),g(x, y)coincide
comf(x, y)=
3x y
2
x
2
+y
2
,que ´e umafun¸c˜ao racionaldefinida emR
2
−{(0,0)}.
Portanto,g´e cont´ınua em cada um dos pontos deR
2
−{(0,0)}.
Resta saber seg´e cont´ınua no ponto(0,0). De acordo com oExemplo 12,
podemos escrever
lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y)=lim
(x,y)→(0,0)
3x y
2
x
2
+y
2
=0.
Em outros termos, lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y)=g(0,0),isto ´e,g´e cont´ınua em(0,0).
Comog´e cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio,g´e uma fun¸c˜ao
cont´ınua.22/27

23. Teorema 6 (Propriedades b´asicas)
Sejamfegfun¸c˜oes reais de duas vari´aveis reais cont´ınuas no ponto(x
0, y
0).
Ent˜ao,
(i)f±g´e cont´ınua em(x
0, y
0),
(ii)f⋅g´e cont´ınua em(x
0, y
0)e
(iii)
f
g
´e cont´ınua em(x
0, y
0), desde queg(x
0, y
0)≠0.
Teorema 7 (Continuidade de fun¸c˜oes compostas)
Sejamguma fun¸c˜ao real de uma vari´avel real ehuma fun¸c˜ao real de duas
vari´aveis reais. Suponha quehseja cont´ınua em(x
0, y
0)e quegseja cont´ınua
emh(x
0, y
0). Ent˜ao a fun¸c˜ao compostag◦h´e cont´ınua em(x
0, y
0).
23/27

24. Exemplo 15
Identifique os pontos nos quais a fun¸c˜aof(x, y)=ln(4−x
2
−y
2
)´e cont´ınua.
Solu¸c˜ao:
A fun¸c˜aof´e composta das fun¸c˜oesg(u)=lnueh(x, y)=4−x
2
−y
2
, isto
´e,f(x, y)=g(h(x, y)).
Sabemos queg´e cont´ınua no intervalo(0,∞)e queh´e cont´ınua emR
2
.
Al´em disso,
h(x, y)>0⟺4−x
2
−y
2
>0⟺x
2
+y
2
<4.
Por conseguinte, peloTeorema 7, podemos inferir quef´e cont´ınua em cada
um dos pontos do conjuntoD
f={(x, y)∈R
2
∣x
2
+y
2
<4}.
Exemplo 16
Pelo mesmo racioc´ınio empregado no exemplo anterior, podemos deduzir que
as fun¸c˜oes
r(x, y)=e
x−y
es(x, y)=sen(x+y)
s˜ao cont´ınuas emR
2
e que a fun¸c˜aot(x, y)=arctg(
y
x
)´e cont´ınua no con-
juntoD
t={(x, y)∈R
2
∣x≠0}(confira!). Podemos ent˜ao estabelecer, por
exemplo, as seguintes igualdades
24/27

25. Exemplo 16 (cont.)
(a)
(x,y)→(π,π/2)
sen(x+y)
x
P4
=
lim
(x,y)→(π,π/2)
sen(x+y)
lim
(x,y)→(π,π/2)
x
=
sen(π+π/2)
π
=−
1
π
,
(b)
(x,y)→(ln 3,ln 2)
e
x−y
=e
ln 3−ln 2
=e
ln
3
2
=
3
2
e
(c)
(x,y)→(1,
√
3)
arctg(
y
x
)=arctg(
√
3
1
)=
π
3
.
Teorema 8
Sejamguma fun¸c˜ao de uma ´unica vari´avel ehuma fun¸c˜ao de duas vari´aveis.
Se lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y)=aeg´e cont´ınua ema, ent˜ao
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(h(x, y))=g(a)ou
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(h(x, y))=g(lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y)).
25/27

26. 26/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Exemplo 17
Sejaf(x, y)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
cos(
3x y
2
x
2
+y
2
)se(x, y)≠(0,0)
0 se (x, y)=(0,0)
.Essa fun¸c˜ao ´e
cont´ınua na origem?
Solu¸c˜ao:
Vimos noExemplo 12que
lim
(x,y)→(0,0)
3x y
2
x
2
+y
2
=0.
Uma vez que a fun¸c˜ao cosseno ´e cont´ınua, oTeorema 8implica que
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)= lim
(x,y)→(0,0)
cos(
3x y
2
x
2
+y
2
)
=cos(lim
(x,y)→(0,0)
3x y
2
x
2
+y
2
)=cos 0=1.
Como lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)≠f(0,0),a fun¸c˜aof´edescont´ınua no ponto(0,0).

27. 27/27
Bola aberta e ponto de acumula¸c˜ao
Limites
Continuidade
Referˆencias
Referˆencias
THOMAS, G.C´alculo. 12. ed. S˜ao Paulo: Addison Wesley, 2009. v. 2.
STEWART, J.C´alculo. 7. ed. S˜ao Paulo: Cengage Learning, 2013. v.
2.
LEITHOLD, L.O C´alculo com Geometria Anal´ıtica. 3. ed. S˜ao
Paulo: Harbra, 1994. v.2.
https://www.geogebra.org/
L
ATEXhttps://www.latex-project.org/