Limites exercicios

1. 1








MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ


CAMPUS PATO BRANCO


Lista de Exercícios de Calculo I – Limites e Continuidade

1) O gráfico a seguir representa uma função f de ]9 ,6[
em  . Determine:


a) )2(f b) )(lim
2
xf
x

 c) )(lim
2
xf
x



d) )(lim
2
xf
x e) )2(f f) )7(f

2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura
constante. A medida que o gás é comprimido, o
volume V decresce até que atinja uma certa
pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás
assume forma líquida. Observando a figura a
seguir, determine:

a) V
p

100
lim b) V
p

100
lim c) V
p100
lim






3) Dada a função f definida por: 








1,2
1,2
1,4
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf
.

Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite quando x
tende a 1.


4) Um paciente em um hospital recebe uma dose
inicial de 200 miligramas de um medicamento. A
cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg.
A quantidade f(t) do medicamento presente na
corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a
seguir. Determine e interprete:

a) )(lim
8
tf
t

 b) )(lim
8
tf
p






5) O gráfico a seguir representa uma função f de [4 ,3[
em  . Determine: UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

2. 2




a) )1(f b) )(lim
1
xf
x

 c) )(lim
1
xf
x



6) Calcule o limite, se existir:

a) )15(lim
23
1


xxx
x

b) )342(lim
23
1


xxx
x

c) )1x2x2x4(lim
23
2x



d) 5x
4x5x
lim
2
2
3x 



e) 2x
10x7x
lim
2
2x 



f) 3x
3x2x
lim
2
3x 



g) xx
x2x5xx3
lim
2
234
0x 



h) 1x2x
3x4x
lim
5
3
1x 



i) 6x
36x
lim
2
6x 




j) 2x3x
1x
lim
2
2
1x 



k) 2x
32x
lim
5
2x 



l) 27x54x36x10x
27x18x8x
lim
234
234
3x 



m) 4x2
2x
lim
2x




n) 2x
4x
lim
4x




o) x42
x
lim
0x



p) x22
x
lim
0x



q) 1x
x32
lim
1x 



r) 11x
x
lim
0x



s) 2x
3x21
lim
4x




t) 11x5x3
22x3x2
lim
2
2
2x




7) Calcule os limites laterais, se existir:

a) h
hh
h
554
lim
2
0



b) 2
2
)3(lim
2 



 x
x
x
x

3. 3

c) 2
2
)3(lim
2 



 x
x
x
x


8) Calcule os limites no infinito, se existir:

a) 43
3
lim
2
2


 x
xx
x
b) 35
23
lim
2


x
x
x
c) 62
3
lim
2


 x
x
x
d) x
x
x 

 2
34
lim
e) xx
x


1lim
2
f) xxx
x


2
lim
g) x
x
1
lim

h) x
x
1
2lim

i) 4lim
2


xx
x
j) x
x
e

lim
k) 2
2
1lim 






 x
x
l) 3
1
1lim 






 x
x
m) 










x
x
e
1
3lim
n) 1lnlim
2


x
x
o) 1lnlim
2


x
x
p) 1lim
2


xx
x

9) Se 74)(94
2
 xxxfx para 0x ,
encontre )(lim
4xf
x .
10) Se 2)(2
24
 xxxgx para todo x ,
encontre )(lim
1xg
x .

11) Encontre as assíntotas verticais e horizontais
das funções abaixo:
a) 1
1


x
y
b) 1
12
2
2



x
xx
y
c) 3
4



x
x
y
d) 1
2


x
x
y

12) Calcule o limite:

a) x
x
2lim
 g) x
x
3loglim

b) x
x






3
1
lim h) x
x
3
0
loglim


c) x
x






3
1
lim
0 i) x
x
lnlim

d) 14
1
2lim


x
x j) x
x
2lnlim
0


e) senx
x
2lim
6

 k) x
x
2
1
loglim

f) 12
224
1
3
35
3lim



xx
xxx
x l) x
x
2
1
0
loglim



13) Mostre que:
a) 12
4
0
)31(lim ex
x
x


b) 2x
1
0x
e)x21(lim 

c) 33
1
x
1
0x
ee
3
x
1lim 







d) 7
4
x
1
0x
e
7
x4
1lim 







e) e
1
e)x1(lim
1x
1
0x



f) π
1
x
1
0x
e
π
x
1lim 








14) Calcule os seguintes limites:
a) 2
n
1
1 lim









n
n

4. 4

b)
n
3
1 lim

n
n








c)
x1
x
lim

x
x








d)
x
5
1 lim
1










x
x
e)  
xsen
xsen
x
1
1 lim




15) Calcule os limites abaixo:

a) 
 
x 1
ln 2 x
lim Fazer x+ 1 = u
x+1

b) 
 
x 2
ln 3 x
lim Fazer x+ 2 = u
x+2

c) x
x 0
21
lim
x

d) senx
x 0
e1
lim
senx

e) 
2
x 0
ln 1 x
lim
x

f) 3
x 1
ln x
lim
x1 
g)  
cossec x
x 0
lim 1+senx
( Fazer sen x = u)

h) 1
x4
x 4
1+x
lim
5





i) x
x
x 0
10 1
lim
51


(dividir por x Num. e Den.)
j) x
x
2
lim 1+
x




16) Seja 







2 ,
2
2 ,3
)(
x
x
xx
xf .
a) Determine )(lim e )(lim
22
xfxf
xx


b) Existe )(lim
2
xf
x ? Se existe, qual é? Se não, por
quê?
c) Determine )(lim
4
xf
x

 e )(lim
4
xf
x

 .
d) Existe )(lim
4
xf
x ? Se existe, qual é? Se não, por
quê?

17) Determine o limite das funções
trigonométricas, se existirem:

a) x
x
1
coslim

b) 

cos
lim
0
c) x
x
x5
sen
lim
0
d) 













2
cos
lim
2


x
x
x
e) 

 

 x
x
x
sen sen
lim
f) 2
0 2
)cos1(sen
lim
x
xx
x


g) t
t 2
(3t)sen
lim
0
h) )(3sen
)(2sen
lim
0 x
x
x
i) x
x
x
)( sen
lim
2
0
j) x
x
x
)( tg
lim
2
0
k) 

t
t
t
)(sen
lim

18) Ache os limites )(limxf
ax

 , )(limxf
ax

 e )(limxf
ax
, caso existam.

a) 4 ;
4
4
)( 


 a
x
x
xf
b) 5 ;
5
5
)( 


 a
x
x
xf
c) 8 ;
8
1
)( 

 a
x
xf

5. 5

19) Para a função representada graficamente na
Figura a seguir, determine, se existir, cada item
abaixo. Caso não exista, justifique.
f(-5) i)h)f(0) f(4) g)
)(limf) )(lim e) )(lim d)
)(limc) )(lim b) )(lim)
444x
000
-
xfxfxf
xfxfxfa
xx
xxx







20) Calcule os seguintes limites laterais:

9
lim)f
36
6
lim)e
4
2
lim)

4
lim)c
2
lim)b
4
2
lim)
2
3
2
6
2
2
42
2
2










x
x
x
x
x
x
d
x
x
x
x
x
x
a
xxx
xxx

21) Seja 









2 se ,2
21 se ,1
10 se ,1
)(
2
x
x
xx
xf
a) Quais são o domínio e a imagem de f ?
b) Em que pontos c existe )(limxf
cx ?
c) Em quais pontos existe apenas o limite à
esquerda?
d) Em quais pontos existe apenas o limite à direita?

22) Calcule

a) )1x2x3x5(lim
23
x


b) )1x2xx2(lim
245
x


c) )1x2x3(lim
24
x


d) )8x5x3(lim
24
x


e) )2x3x5(lim
3
x


f) )2x3x(lim
2
x


g) 3xx
1xx3x2
lim
2
23
x 



h) 1x
1x2
lim
2
2
x 


i) 3x
x3
lim
2
x 

j) 3xx5x9
1x2x5x3
lim
23
23
x 


k) 7x8x4
8x5x2
lim
5
23
x 


l) 7x
1x2x5
lim
23
x 


m) 33
2
x x)1x(
1xx
lim



n) )1x4)(1x3(x2
)2x3(
lim
3
x 


o) 1x
1xx
lim
2
x 


p) 1x
1xx
lim
2
x 


q) 1x
5x3x2
lim
4
2
x



r) 1x
5x3x2
lim
4
2
x




23) Responda:
a) Do gráfico de f mostrado abaixo, diga os
números nos quais f é descontínua e explique por
quê.
b) Para cada um dos números indicados na parte
(a), determine se f é contínua à direita ou à
esquerda, ou nenhum deles.

6. 6

24) Esboce o gráfico de uma função que é contínua
em toda parte, exceto em 3x e é contínua à
esquerda em 3x .

25) Esboce o gráfico de uma função que tenha
descontinuidade de salto em 2x e um
descontinuidade removível em 4x , mas seja
contínua no restante.

26) Se f e g forem contínuas, com 5)3(f e 4)]()(2[lim
3


xgxf
x
, encontre )3(g .

27) Use a definição de continuidade e propriedades
dos limites para demonstrar que cada uma das
funções abaixo é contínua em um dado número a.

a) 4 ,7)(
2
 axxxf
b) 1 ,)2()(
43
 axxxf
c) 1 ,
1
32
)(
3
2



 a
x
xx
xf

28) Explique por que a função é descontínua no
número dado a. Esboce o gráfico da função.

a) 2 ,2ln)(  axxf
b) 1 ,
1 se ,2
1 se ,
1
1
)( 







 a
x
x
xxf
c) 0 ,
0 se ,
0 se ,
)(
2








 a
xx
xe
xf
x
d) 1 ,
1 se ,1
1 se ,
1)(
2
2










 a
x
x
x
xx
xf
e) 0 ,
0 se ,1
0 se ,0
0 se ,cos
)(
2









 a
xx
x
xx
xf

29) Para quais valores da constante c a função f
é contínua em ),( ? 







2 se ,
2 se ,2
)(
3
2
xcxx
xxcx
xf


30) Encontre os valores de a e b que tornam f
contínua em toda parte. 














3 se ,2
32 se ,3
2 se ,
2
4
)(
2
2
xbax
xbxax
x
x
x
xf

7. 7

Respostas

1) a) 3 b) 2 c) 5 d) não existe e) 0 f) 0

2) a) 0,8 b) 0,4 c) não existe

3)
3)(lim
1


xf
x


4) a) 150 b) 250

5) a) 4 b) -2 c) 4

6) a) 8 b) 4 c) -5-62 d) 5
e) -3 f) -6 g) -2 h) -1/3
i) 12 j) -2 k) 80 l) 2
m) 0 n) 4 o) 4 p) 22


q) -1/4 r) 2 s) 4/ 3 t) 5/ 14

7) a) 5
2 b) 1 c) -1

8) a)1/3 b)0 c)0 d) 2 e)0
f) 1 g) 0 h)2 i) + j) 0
k)1 l) 1 m) 4 n) + o) +
p) 0

9) 7 10) 2






11)

8. 8

d) Verticais: x = 1 e x = -1


12) a)  b)  c) 1 d) 8
e) 2

f) 6 g)  h) 
i)  j)  k)  l) 

14) a) e b) e
3
c) e
-1
d) e
5
e) e

15) a) 1 b) 1 c) 1/e
2log d) 1 e) 2
f) 3 g) e h) 5
e i) 1/ 5log
j) e
2


16) a) 2)(lim
2



xf
x e 1)(lim
2



xf
x
b) Não existe )(lim
2
xf
x , pois os limites
laterais são diferentes
c) 3)(lim
4



xf
x e 3)(lim
4



xf
x
d) 3)(lim
4


xf
x , pois os limites laterais são
iguais.

17) a) 1 b) 0 c) 1/5 d) 1 e)-1
f) 0 g) 3/2 h) 2/3 i) 0 j) 0
k) -1

18) a) 1)(lim
4



xf
x , 1)(lim
4



xf
x e )(lim
4
xf
x

b) 1)(lim
5



xf
x , 1)(lim
5



xf
x e )(lim
5
xf
x

c) 


)(lim
8
xf
x , 


)(lim
8
xf
x e )(lim
8
xf
x


19) a) +  b) -  c) não existe
d) -  e) -  f) não existe
g) não existe h) não existe
i) não existe j) não existe

20) a) - b)  c) -
d)  e)  f) 

21) a) D(f) = [0,2] e Im(f) = [0,1] U{ 2}
b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2
c) c = 2
d) c = 0

22) a)  b)  c)  d) 
e)  f)  g)  h)2
i) 0 j)1/3 k)0 l) 
m) 1/3 n) 9/8 o)1 p) 1
q) 2 r) 2

24)

26) g(3) = 6

28) a) c)

e)


29) c = 2/3 30) a = b = 1/2