MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE 5º

MATARIAL DE AULA

1. TEMA 3 MÚLTIPLOS Y DIVISORES YOLANDA RODRIGUEZ HERNANDEZ CP PADRE CLARET. PALENCIA

2. Una división exacta proporciona: 54 = 6 × 9 Una multiplicación proporciona dos divisiones exactas . 54 : 6 = 9 54 : 9 = 6 18 : 3 = 6 18 = 3 × 6 18 : 6 = 3 Un producto. Otra división exacta. Recuerda. Multiplicación y división

3. Laura está haciendo flexiones. Cada 5 flexiones, para un momento para descansar y apunta en una tabla cuántas flexiones lleva hechas hasta el momento. Los números 5, 10, 15, 20, 25 y 30 SON MÚLTIPLOS de 5. Los múltiplos de 5 se pueden calcular de dos formas: Contando de 5 en 5 a partir de 0. Multiplicando por 5 los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5... INTRODUCCIÓN A LOS MÚLTIPLOS

4. Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales.

5. Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otro número que es múltiplo de 5. Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7) 44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4 44 no es múltiplo de 5, pues multiplicando 5 por cualquier otro número natural no da 44 También 44 : 5 = 8 , No es exacto r = 4 MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

6. AHORA VAMOS A CALCULAR MÚLTIPLOS DE: MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO 8 2 4 7

7. Múltiplo 8 Los múltiplos de un número son infinitos.  Se obtienen multiplicando sucesivamente el número por los números naturales (0, 1, 2, 3…) El cero es múltiplo de TODOS los números. es múltiplo de todos los números 0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ...

8. ¿QUÉ ES UN MÚLTIPLO? Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces, es decir, cuando la división entre el primero y el segundo es exacta . 10 es múltiplo de 2 ya que 10 : 2 = 5 y r = 0 Los múltiplos de un número son los que lo contienen un número exacto de veces. El 12 es múltiplo de 3 porque lo contiene 4 veces. 3 x 4= 12 El 30 es múltiplo de 5 porque lo contiene 6 veces. 5 x 6= 30

9. x 6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 6 12 24 30 18 36 42 48 54 60 66 72 … Múltiplos y divisores. Para hallar los múltiplos de 6 lo multiplicamos por los números naturales.

10. MÚLTIPLOS, COMO SE ESCRIBEN Múltiplos de 2={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22...} Múltiplos de 3={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,...} Múltiplos de 11={0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132 ....} Calcular los múltiplos de : 6, de 15, de 100, 8

11. Eduardo va a pegar 8 fotos en su álbum. Quiere poner en cada hoja el mismo número de fotos y que no le sobre ninguna. ¿Cuántas fotos puede poner en cada hoja? Observa cómo puede repartir Eduardo las fotos en partes iguales en las hojas del álbum. INTRODUCCIÓN A LOS DIVISORES LO HACEMOS

12. Eduardo puede poner en cada hoja 1, 2, 4 u 8 fotos. Los números 1, 2, 4 y 8 son divisores de 8, porque al dividir 8 entre cada uno de ellos la división es exacta. Los números 3, 5, 6 y 7 no son divisores de 8, porque al dividir 8 entre cada uno de ellos la división no es exacta.

13. DIVISORES DE UN NÚMERO.- Son los números por los que al dividirlo el resto es cero. Ej. 24 : 1 8 6 4 3 2 1 24 2 12 3 4 6 8 12 24 Se escribe D(24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Por lo tanto podemos decir: 24 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y al mismo tiempo 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 son divisores de 24

14. Los divisores de un números Los divisores de un número son los números que lo dividen exactamente. Ej : D20= { 1, ,2, 4, 5 , 10, 20`} 1 x 20 2 x 10 4 x 5

15. DIVISORES DE UN NÚMERO.- Para hallar los divisores de un número buscamos todas sus descomposiciones en producto de dos factores. 24 = x Se escribe D(24)={ , , , , , , , } 1 24 1 24 24 = x 12 2 2 12 24 = x 8 3 3 8 4 6 24 = x 6 4 24 = x 1 24 24 = x 12 2 24 = x 8 3 24 = x 6 4

16. Un número es divisor de otro si la división entre ellos es exacta. DIVISORES O FACTORES DE UN NÚMERO Para calcular todos los divisores de un número, dividimos dicho número entre los números naturales, es decir, entre 1, 2, 3, ... hasta llegar a la división en la que el cociente sea menor que el divisor. De cada división exacta obtenemos dos divisores: el divisor y el cociente.

17. Veamos un ejemplo

18. El uno es divisor de todos los números. Todo número es divisor de sí mismo. Para determinar los divisores de un número, se buscan todos los números que lo dividen en forma exacta, es decir, el residuo debe ser cero. PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS DE LOS DIVISORES

19. Todo número tiene dos divisores obligados: La unidad, o uno, divide a todo número 2 . Todo número es divisible por él mismo. Ej : 1.543 es divisible por 1 porque 1 x 1543 = 1.543 También es divisible por el mismo, porque 1543 x 1 = 1.543

20. 45 1 4 05 5 Divisores: 1 y 45 45 2 2 05 2 1 45 3 1 15 5 Divisores: 3 y 15 45 4 1 05 1 1 Para practicar hallemos todos los divisores de 45. 4 no es divisor 2 no es divisor 45 5 9 Divisores: 5 y 9 6 no es divisor 7 no es divisor 45 6 7 3 45 7 6 3 FIN Para calcular todos los divisores de un número: Se divide el número por todos los número menores que él, ordenadamente, de menor a mayor. Cuando la división es exacta, se obtienen dos divisores. El proceso se termina cuando el cociente es menor o igual que el divisor. Terminamos porque el cociente (6) es menor que el divisor (7) Los divisores de 45 son: D (45) = { 1, 3, 5, 9, 15, 45}

21. Dividimos 66 por todos los número menores que él. Cuando la división es exacta, obtenemos también otra división y, por tanto dos divisores. Divisiones exactas: 66 1 6 06 6 66 : 1 = 66 Divisores: 1 y 66 66 2 3 06 3 Divisiones exactas: Divisores: 2 y 33 66 3 2 06 2 Divisores: 3 y 22 66 : 66 = 1 66 : 2 = 33 66 : 33 = 2 Divisiones exactas: 66 : 3 = 22 66 : 22 = 3 66 4 1 26 6 2 No es exacta: 4 no es divisor 66 5 1 16 3 1 No es exacta: 5 no es divisor 66 6 1 06 1 Divisores: 6 y 11 Divisiones exactas: 66 : 6 = 11 66 : 11 = 6 66 7 9 3 No es exacta: 7 no es divisor 66 8 8 2 No es exacta: 8 no es divisor Nos detenemos cuando el cociente es menor o igual que el divisor. FIN Los divisores o factores de 66 son: D ( 66 ) = { 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66 }

22. DIVISORES   El 5 es divisor de 15 porque lo contiene tres veces. 15:5=3 y resto 0   5 es divisor de 15 15 es múltiplo de 5   Un número es divisible por otro cuando lo contiene un número exacto de veces. D (5) = { D (6) = { D (8) = { D (12) = { D (20) = {

23. RELACIÓN ENTRE MÚLTIPLOS Y DIVISORES.-

24. Múltiplo y divisor Veamos: 12 = 3 x 4 30 Múltiplo Divisor

25. Observa: 35 7 5 Esta división es exacta Decimos que 7 es divisor de 35. También decimos que 35 es múltiplo de 7. 47 9 5 2 Esta división no es exacta Así que 9 no es divisor de 47 . También decimos que 47 no es múltiplo de 9. Podemos saber si un número es divisor de otro de dos maneras: · Dividiendo el mayor entre el menor : · Escribiendo el segundo número como producto del primero por otro número. 7 es divisor de 56 porque la división 56 : 7 es exacta 7 es divisor de 56 porque 56 = 7 × 8

26. RELACIÓN ENTRE MÚLTIPLOS Y DIVISORES.- En toda multiplicación: 4 x 6 = 24 El producto es múltiplo de los factores. 24 es múltiplo de 4 24 es múltiplo de 6 Los factores son divisores del producto. 4 es divisor de 24 6 es divisor de 24

27. JUGAMOS CON LAS PALABRAS

28. JUGAMOS CON LAS PALABRAS DIVISOR MÚLTIPLO DIVISIBLE

29. Criterios de divisibilidad.

30. Múltiplos de 2 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10-11-12-13-14-15-16-17-18-19- 20-21-22-23-24-25-26-27-28-29- 30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- 40-41-42-43-44-45-46-47-48-49- 50-51-52-53-54-55-56-57-58-59- ¿Ves alguna cosa curiosa?. ¿Qué tienen en común todos los múltiplos de 2

31. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es par. Ejemplos: 42 75 43 8 5 6 435 4 Observa : Todos estos números son divisibles por 2 porque la cifra de las unidades es par, pues 0, 8, 6 y 4 son pares.

32. Múltiplos de 5 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10-11-12-13-14-15-16-17-18-19- 20-21-22-23-24-25-26-27-28-29- 30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- 40-41-42-43-44-45-46-47-48-49- 50-51-52-53-54-55-56-57-58-59- ¿Ves alguna cosa curiosa?. ¿Qué tienen en común todos los múltiplos de 5

33. Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es 0 ó 5. Ejemplos: 44 75 43 5 25 5 435 Observa : Todos estos números son divisibles por 5 porque la cifra de las unidades es 0 en unos casos y 5 en otros.

34. Múltiplos de 3 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10-11-12-13-14-15-16-17-18-19- 20-21-22-23-24-25-26-27-28-29- 30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- 40-41-42-43-44-45-46-47-48-49- 50-51-52-53-54-55-56-57-58-59- Elige los múltiplos y suma sus cifras. ¿Ves algo curioso?

35. Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplos: 46 Observa : Todos estos números son divisibles por 3 porque al sumar sus cifras se obtiene un múltiplo de 3. 519 5+1+9= 15 81 8+1 = 9 2583 2+5+8+3 = 18 4377 4+3+7+7 = 21

36. Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un número en sus factores primos. Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6. También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8. Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro. ¿Sabes si 29058 es divisible por 3? ¿Habría que dividir? No es necesario, pues la suma de las cifras de 29058, 2 + 9 + 0 + 5 + 8 = 24, es múltiplo de 3 Esto es un truco, que llamamos criterio.

37. Criterios de divisibilidad Son reglas que nos permiten determinar si un número dado es divisible o no por otro, sin tener que efectuar la división . 48

38. Divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10 cuando la cifra de las unidades es 0. Ejemplos: 49 70 43 25 400 Observa : Todos estos números son divisibles por 10 porque la cifra de las unidades es 0 en todos los casos.

39. Un número es múltiplo de dos si es par, es decir, todo número par es múltiplo de dos. Un número es múltiplo de tres si la suma de sus cifras es igual a tres o múltiplo de tres. Un número es múltiplo de cinco si termina en cinco o en cero.

40. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Nos permiten saber de un modo sencillo cuando un número es divisible por otro . 2.Un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 o cifra par. 3. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras da un número divisible entre 3  4. Un número es divisible por 4 cuando lo es el número formado por sus dos últimas cifras o termina en 00.  5. Un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 ó en 5. 9. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras da un número divisible entre   10.Un número es divisible por 10 cuando acaba en 0. 

41. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ANALIZAR 7.41 6 50.31 23456 31512 40.50 5 7035 28410

42. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

43. Por ejemplo: fact. de 14 = {1, 2, 7, 14} como tiene más de dos divisores, 14 es número compuesto. fact. de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} como tiene más de dos divisores, 12 es número compuesto . fact. de 7 = {1, 7} como solo tiene dos divisores (él mismo y la unidad), 7 es número primo . El número 1 no se considera número primo, ya que solo tiene un divisor: él mismo. .

44. ¿CUÁNTOS NÚMEROS PRIMOS HAY ?