Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos

1. Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica


Exemplo 19) Fatore c
2
- 2bc - a
2
+ b
2


Reagrupando o polinômio, teremos : b
2
- 2bc + c
2
- a
2
= (b
2
- 2bc + c
2
) - a
2


O trinômio b
2
- 2bc + c
2
pode ser fatorado como : (b - c)
2


E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c)
2
- a
2
, e finalmente, teremos :

(b - c)
2
- a
2
= (b - c + a) (b - c - a)

Exemplo 20) Fatore: 5m
8
+ 10m
4
- 15

Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:

5m
8
+ 10m
4
- 15 = 5(m
8
+ 2m
4
- 3)

O trinômio m
8
+ 2m
4
- 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela
raiz quadrada m
4

de m
8
.

Dessa forma, teremos : 5m
8
+ 10m
4
- 15 = 5(m
8
+ 2m
4
- 3) = 5(m
4
+ 3) (m
4
- 1)

E como (m
4
- 1) = (m
2
+ 1) (m
2
- 1) , e como (m
2
- 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m
8
+ 10m
4
- 15 = 5(m
4
+ 3)(m
2
+ 1)(m
+ 1)(m - 1)

Exemplo 21) Fatore: (x - y)
2
+ 2(y - x) - 24

Antes de mais nada, lembremos que (x - y)
2
= (y - x)
2
( verifique se isso é verdade )

Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x)
2
+ 2(y - x) - 24

Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :

(y - x)
2
+ 2(y - x) - 24 = A
2
+ 2A - 24

O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece
multiplicada pela raiz
quadrada A de A
2
.

E assim : A
2
+ 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)
2
+ 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y -
x - 4)

Exemplo 22) Fatore x
6
- y
6


1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos

Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y
6
é y
2
. Assim já temos o nosso primeiro fator x
2
- y
2

A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x
2
é x
4
; o produto entre x
2
e y
2
é x
2
y
2
e o
quadrado do
segundo é y
2
é y
4
.

E dessa forma, teremos:

x
6
- y
6
= (x
2
- y
2
) ( x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
). Como a diferença de quadrados (x
2
- y
2
) ainda pode ser fatorado, teremos :

2. x
6
- y
6
= (x + y) (x - y) ( x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
).

Se escrevermos o trinômio ( x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser
fatorado. Vejamos :

x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
, que é uma diferença de dois quadrados.

Assim : (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
= ( x
2
+ y
2
+ xy) ( x
2
+ y
2
- xy) = ( x
2
- xy + y
2
) ( x
2
+ xy + y
2
). E finalmente :

x
6
- y
6
= (x + y) (x - y) ( x
2
- xy + y
2
) ( x
2
+ xy + y
2
)

2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma
diferença de dois
quadrados.

A raiz quadrada de x
6
é x
3
e a raiz quadrada de y
6
é y
3
.

Assim já temos o nosso primeiro fator (x
3
+ y
3
) e o segundo fator (x
3
- y
3
).

Assim, teremos : x
6
- y
6
= (x
3
+ y
3
) (x
3
- y
3
) .
Como a soma e a diferença de dois cubos (x
3
+ y
3
) e (x
3
- y
3
) ainda podem ser fatorados, teremos :

x
6
- y
6
= (x
3
+ y
3
) (x
3
- y
3
) = (x + y) ( x
2
- xy + y
2
) (x - y) ( x
2
+ xy + y
2
) , ou ainda :

x
6
- y
6
= (x + y) (x - y) ( x
2
- xy + y
2
) ( x
2
+ xy + y
2
)

OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE

Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o
sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.

Vamos entender melhor essa diferenciação:

Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.

Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .

E escrevermos :

Assim o correto seria utilizarmos o sinal de identidade para todos os casos de produtos notáveis e, também,
de fatoração.

Assim, por exemplo :


Fatoração Algébrica - Exercícios Propostos


I - Fatore colocando em evidência

3. II - Fatore os trinômios quadrados perfeitos



III - Fatore as diferenças entre quadrados



IV - Fatore os trinômios de Stevin



V - Fatore as Somas ou diferenças entre dois cubos



VI - Fatore por agrupamento



VII - Fatore as expressões algébricas



Resposta dos Exercícios Propostos de Fatoração Algébrica