Matemática Básica 1 - Ricardo Figueroa García-LIBROSVIRTUAL.COM (1).pdf

El conocimiento es Poder

3. MATEMÁTICA BÁSICA 1
Para U niversidades y Centros de enseñanza superior
La Primera Edición de esta obra filé publicada en Abril de 1982,
siendo renovada los años 1984 (2da. Edición), 1986 (3ra. Edición)
y 1996 (6ta. Edición) permaneciendo vigente en las ediciones
Sétima y Octava hasta la actualidad.
N O V E N A E D IC IÓ N
Enero 2006
© Impreso en Ediciones
Jirón Loreto 1696 Breña - Telefax 423-8469
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Lima - Perú
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Decreto Ley N° 26905 “
HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 15010599 - 2572
RAZÓN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCÍA
DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña
Este libro no se puede reproducir total o parcialmente
por ningún medio electrónico, mecánico o fotocopia u
otros medios sin el previo y expreso permiso del autor.

4. I
PROLOGO
En la actualidad, en todas las disciplinas de estudio (carreras de cien­
cias, economía, ingeniería, administración, médicas, etc.) es evidente la
necesidad de tener conocimientos básicos de las primeras áreas de las mate­
máticas (Algebra, Geometría, Trigonometría y Geometría Analítica).
Desafortunadamente, de la misma manera también es evidente que el inte­
rés por las matemáticas no responde a esta necesidad. Creo que en gran par­
te los responsables de este desinterés somos las personas que de una manera
u otra tenemos que ver con el proceso de enseñanza-aprendisaje. Este fué el
motivo principal para la realización de esta obra.
Actualmente, el contenido científico de un libro no es la única preocupa
ción de los autores. El aspecto didáctico con lo que se presenta el mate­
rial es tan inportante como el contenido mismo. Haciendo mía esta preocupa­
ción, el contenido de este libro está organizado de acuerdo con el sistema
de instrucción personalizada, por lo cual los conceptos y propiedades que
se presentan a lo largo de los 10 capítulos que consta la obra, (Lógica -
Conjuntos - Relaciones y Funciones - Los Números Reales - Relaciones y Fun­
ciones en R2 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas - Inducción Matemáti­
ca - Sucesiones - Los Números Complejos - Polinomios), están suficiéntemen-
te motivados y reforzados con una cantidad amplia de ejemplos ilustrativos
como de ejercicios propuestos, de tal manera que en todo el libro se presen
tan más de 900 ejemplos y 1800 ejercicios a todos los niveles de dificultad.
La obra pretende buscar un equilibrio entre lo formal y lo intuitivo, de
tal forma que se prefirió, en algunos casos, ser menos riguroso de lo desea
do si se pensaba que ésto produciría un mayor beneficio pedagógico: sin em­
bargo, se trató de ser formal y preciso en la mayor medida posible.
Este libro está básicamente enfocado a cualquier persona que desee adqui
rir los fundamentos básicos de las matemáticas: así pienso que puede ser un
buen auxiliar para los estudiantes que terminaron su educación secundaria
como los del primer ciclo de las Escuelas Normales, Universidades y de cua¿
quier curso cuyo objetivo sea capacitar a los estudiantes para iniciarse en
los estudios de cursos superiores.Sólo fines educativos LibrosVirtual

5. II P rólogo
Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecimiento a todas la per­
sonas que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus valiosas observacio­
nes a las primeras ediciones» pues sus criticas constructivas hicieron posi
ble modificar el orden de algunos capítulos» agregar nuevos temas y mejorar
la exposición de otros. Asimismo deseo expresar un especial reconocimiento
a la Editorial AMERICA cuyo personal no ha escatimado esfuerzos para resol­
ver las dificultades inherentes a la publicación del texto.
Una observación final. Se ha tenido especial cuidado en reducir las erra
tas lo más posible. Cada ejercicio propuesto fué resuelto minuciosamente,
las respuestas que figuran en la parte final del libro fueron comprobadas
más de una vez. Aun cuando todo autor sueña con producir el libro excento
de errores ninguno ha logrado esa aspiración, al menos que yo sepa. Por tan
to, agradecería que me hagan notar cualquier error que pueda haber persistí,
do todavía.
Ricardo Figueroa García
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

6. Contenido III
CONTENIDO
LOGICA
1.1 Introdución. 1 .2 Proposición 1
1 .3 P ro po sicio nes sim ples y co m p u e s ta s 2
1 .4 L a C onjunción 4
1 .5 L a D isyunción 5
1.5.1 L a D isyunción Inclusiva 6
1 .5 .2 L a D isyunción E xclusiva. 1 .6 La N e g a c ió n 7
1 .7 L a C o n dic iona l o Im plicación 9
1.7.1 Ta bla d e ve rd a d d e la C on dic io na l o Im plicación 9
1 .7 .2 El uso d e las P roposiciones Im plicativas 11
1 .7 .3 P roposición R e c íp ro c a 11
1 .7 .4 Proposición Inversa. 1 .7 .5 P roposición C on trare cíp ro ca 12
1 .8 L a Bicondicional 12
1 .9 U so d e los S ign o s de A g rup ació n 13
1 .1 0 E v alu ación d e E s q u e m a s M o le c u la re s por la T a b la de V alo res 19
1.11 P ro po sicio nes E q u iv a le n te s 21
1 .1 2 O tro uso d e la Im plicación 24
1 .1 3 L a In feren c ia Lóg ic a 27
1 .1 3 .1 El M é to d o A b re v ia d o 29
1 .1 4 P rincip ales L e y e s Lógicas o Ta uto log ías 3 3
1 .1 4.1 E qu iv a le n c ia s N o ta b le s 3 4
1 .1 4 .2 Im plicaciones N o ta b le s 4 3
1 .1 5 L a D e m o stra ción M a te m á tic a . 1 .1 5.1 D em ostra ción D irecta 4 5
1 .1 5 .2 D e m o stra ció n In directa 4 7
1 .1 6 Circuitos Lógicos. 1 .1 6 .1 Circuitos en S e rie 4 9
1 .1 6 .2 Circuitos en P a ra le lo 50
CONJUNTOS
2.1 D efinición. 2 .2 N otació n 61
2 .3 D e te rm ina ció n d e un conjunto 6 2
2 .4 C on ju n tos Finitos e Infinitos. 2 .5 C onjun tos N um éricos 6 3Sólo fines educativos LibrosVirtual

7. IV Contenido
2 .6 C onjuntos Especiales
L O G I C A C U A N T I F I C A C I O N A L
6 4
2 .7 Función Preposicional 6 6
2 .8C uantificadores Universal y Existencial 6 7
2 .9 N eg ació n de Proposiciones q u e co ntienen O p era do res C ua ntificacionales 6 9
2 .1 0 Funciones Lógicas qu e contienen m ás d e un a variable 71
2.11 R elaciones entre Conjuntos: Conjuntos Iguales. Conjuntos equivalentes 81
2 .1 2 R epres entació n G ráfica de los Conjuntos 8 5
2 .1 3 Unión d e Conjuntos. 2 .1 3 .1 P ropiedades 8 9
2 .1 4 Intersección de Conjuntos. 2 .1 4 .1 Propiedades 91
2 .1 4 .2 P ro pie dad es Distributivas d e la Unión e Intersección 9 3
2 .1 4 .3Le yes d e Absorción 9 4
2 .1 5 D ife rencia d e Conjuntos. 2 .1 5 .1 P ropiedades 9 4
2 .1 6 C om p le m e nto d e un Conjunto. 2 .1 6 .1 Pro piedad es 96
2 .1 7 D ife rencia Sim étrica. 2 .1 7 .1 P ro piedades 9 8
2 .1 8 N úm ero de elem entos d e un Conjunto. Propiedades 1 1 3
RELACIONES Y FUNCIONES
3.1 Introducción. 3 .2 P a r O rd en ad o 1 2 5
3 .3 Producto C artesiano 12 6
3.3.1P ro pie dad es del Producto C artesiano 1 2 7
3 .3 .2 D iag o n al de un C onjunto 1 2 9
3 .3 .3 R ep res entació n G eo m é trica del Producto C artesiano 1 2 9
3 .4 R ela cion es Binarias 1 3 4
3.4 .1 Dom inio de u n a R elación. 3 .4 .2 R an go de un a Relación 1 3 5
3 .4 .3 P ro pie dad es del Dom inio y R ango d e una Relación 1 3 6
3.5 R elación Inversa o Reciproca. P ro piedades 1 3 7
3.6 Com posición de R elaciones. P ropiedades 1 3 8
3.7 R ela cion es definidas en un conjunto 1 3 9
3.8 C las es de R elaciones. 3.8 .1 Relación Reflexiva 1 4 0
3 .8 .2R elación Sim étrica. 3 .8 .3 Relación Transitiva 141
3 .8 .4R elación d e E quivalencia 1 4 2
3 .8 .5R elación Antisim étrica 1 4 3
3 .8 .6 R elación d e O rden 1 4 4
3 .9 F U N C IO N E S . 3 .9 .1 Dom inio y R ango d e u n a Función 1 5 4
3 .9 .2A plicaciones d e A en B 1 5 5
3 .9 .3Función Inyectiva o U nivalente 161Sólo fines educativos LibrosVirtual

8. C ontenido V
3 .9 .4 Función Sobreyectiva o Suryectiva 1 6 2
3 .9 .5 Función Biyectiva 1 6 3
3 .9 .6 Com posición d e Funciones 1 6 4
3 .9 .7 Función Inversa 166
3 .1 0 O p eraciones Binarías Internas 1 7 2
3 .1 0 .1 Pro pie dad es d e las O p eraciones Binarías Internas 1 7 4
NUMEROS REALES
4.1 Introducción. 4 .2 Definición Axiom ática de los N úm eros R e a le s 1 8 5
4 .3 Teorem as sobre la Adición 1 8 7
4 .4 Teorem as sobre la Multiplicación 1 8 9
4 .5 A plicaciones de R en el A lge bra 19 3
4 .5 .1 O p era cio nes d e Adición, Multiplicación y Cociente 19 3
4 .5 .2 n P ote n cia d e un núm ero real 19 7
4 .5 .3 R aíc es y Radicales 2 0 3
4 .5 .4 E cuaciones Cuadrádricas 2 1 3
4 .5 .5 Ecuaciones reducibles a cuadráticas 2 2 2
ORDEN EN R
4 .6 D e sig ua lda d es 2 2 4
4 .7 Teorem as Relativos a D esigualdades 2 2 4
4 .8 Inecuaciones. 4 .8 .1 Inecuaciones Lineales 2 3 7
4 .8 .2 Inecu acio nes C uadráticas 2 3 9
4 .8 .3 Inecuaciones R acionales 241
4 .9 L a R e c ta R e a l 2 4 5
4 .1 0 Intervalos 2 4 6
4.11 O p eracio nes con Intervalos 24 8
4 .1 2 Resolución G ráfica d e Inecuaciones en R 25 6
4 .1 3 Inecu aciones Polinóm icas 25 8
4 .1 4 Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 2 6 5
4 .1 4 .2 Inecuaciones con R adicales 2 6 7
4 .1 5 V alo r Absoluto. 4 .1 5 .1 Teorem as sobre V alo r absoluto 2 7 6
4 .1 5 .2 Ecuaciones con Valor Absoluto 2 8 6
4 .1 5 .3 Inecuaciones con V alo r Absoluto 2 8 7
4 .1 6 El M á xim o Entero de un N úm ero R eal 2 9 9
4 .1 6 .1 Teorem as sobre el M á xim o Entero de un N úm ero R eal 3 0 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

9. VI C ontenido
RELACIONES Y FUNCIONES EN IR 2
RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R
5 .1 E l P ro d u cto C a rte s ia n o d e R x R 3 1 3
5 .2 D istanc ia en tre do s puntos 3 1 5
5 .3 G rá fic a s d e R ela cion es d e R e n R 3 1 5
5 .3 .1 G rá fic a s d e R ela cion es Lin ea les 3 1 7
5 .3 .2 G ráfic as d e relaciones d e la form a: x^+y2»!2 o ( x - h ^ + f y - k ^ t 2 3 1 7
5 .3 .3 G rá fic a s d e las relac ion es d e la form a: y = a x 2+ b x + c 3 2 0
5 .3 .4 G rá fic a s d e las relaciones de la form a: A x J+ C y í + D x + E y + F = 0 3 2 3
5 .3 .5 G rá fic a s d e las relac ion es d e la form a: A x 2-C y 2+ D x + E y + F ’* 0 3 2 4
5 .3 .6 G rá fic a s d e relaciones con v a lo r a bsoluto 3 2 5
5 .3 .7 G rá fic a s d e relaciones definidas por in ecu acio n es 3 3 1
I) D e s ig u a ld a d e s Lineales. II) D e s ig u a ld a d e s C ua d rá tic a s 3 3 7
5 .3 .8 G rá fic a s d e relaciones inversas 3 4 1
5 .3 .9 C riterios g e n e ra le s p a ra graficar u n a relación 3 5 1
FUNCIONES EN R2
5 .4 Fu nciones re a le s d e varióle re a l 3 5 9
5 .5 G rá fic a d e u n a función. 5 .5 .1 P ro p ie dad es 3 6 0
5 .6 C á lc u lo del dom inio y ran g o 3 6 2
5 .7 Fu n c io ne s Especiales. 5 .7 .1 Función Id entidad 5 .7 .2 Función C o n s ta n te 3 6 6
5 .7 .3 Función Lineal. 5 .7 .4 Función C u a d rátic a 3 6 7
5 .7 .5 Función R a íz C u a d ra d a 3 6 9
5 .7 .6 Función P olinóm ica d e grado n 3 7 0
5 .7 .7 Función R aciona l 3 7 0
5 .7 .8 Fu nc ion e s S ecc io n a d a s 371
5 .7 .9 Función Escalón Unitario 3 7 2
5 .7 .1 0 Función S ig n o 3 7 3
5 .7 .1 1 Función V a lo r A bsoluto 3 7 4
5 .7 .1 2 Función M á x im o E nte ro 3 7 6
5 .7 .1 3 Fu nciones P a re s 3 8 2
5 .7 1 4 Fu nc ione s Im p ares . 5 .7 .1 5 Funciones Periódicas • 3 8 3
5 .8 A lg e b ra d e las Funciones 3 9 7
5 .9 C om posición d e F u nciones 4 0 9
5 .1 0 F unc ione s C re c ie n te s y D ecrec ien tes 4 2 1
5 .1 1 Función Inyectiva o U niv alen te 4 2 2
5 .1 2 Fu nción S obrey ectiva 4 2 6Sólo fines educativos LibrosVirtual

10. Contenido VII
5 .1 3 Función B iyectiva 4 2 7
5 .1 4 Función Inversa 4 2 8
5 .1 4 .1 P ro pie d ad es d e la Función Inversa 4 2 9
5 .1 5 Im ag e n D irecta de un Conjunto. P ropiedades 4 4 5
5 .1 6 Im agen Inversa d e un Conjunto. P ropiedades 4 4 7
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
6.1 L a Función Exponencial 4 5 4
6 .2 Logaritmos 4 5 7
6 .2 .1 P ro pie dad es Fu nd am entales de los Logaritmos 4 5 9
6 .3 L a Función Logaritm o 4 6 8
6 .4 E cua ciones Expo nenciales 4 7 3
6 .5 E cu a cio n es Logarítmicas 4 7 7
6 .6 Inecuaciones Exponenciales 4 8 3
6 .7 Inecuaciones Logarítm icas 4 8 7
INDUCCION MATEMATICA
7.1 Introducción. 7 .2 Principio del Buen O rden 4 9 9
7 .3 Principio de Inducción C om pleta 5 0 0
7 .4 D efiniciones R ecursivas 5 0 4
7 .5 S um atorias 5 0 9
7 .6 P ro p ie d ad es de las Sum atorias 513
7 .7 Form ulas im portantes d e las Sum atorias 5 1 4
7 .8 N otación de producto d e los térm inos de una sucesión 518
n
7 .9 P ro p ie d ad es de X T f(i) 51 9
i= l
7 .1 0 Binomio d e N ew to n 52 3
7.1 0.1 P ro pie dad es del C oe ficie nte Binomial 5 2 4
7 .1 0 .2 El T e o rem a del Binomio 52 5Sólo fines educativos LibrosVirtual

11. VIII
Contenido
SUCESIONES
l ü
8.1 Introducción 5 3 7
8 .2 S u c e sio n es Aritm éticas y G e o m é tricas 5 3 9
8 .3 S u c e sio n es M onótonas 5 4 5
8.4 Lim ite de u n a S ucesió n 5 4 8
8 .5 T e o rem as sobre Límites 551
8.6 S e rie s Infinitas 5 5 9
| NUMEROS COMPLEJOS
u
Introdución. 9 .2 El S is te m a d e N úm eros Com plejos 5 6 5
9.3 P ro pie dad es d e la Adición 5 6 6
9 .4 P ro pie dad es d é la Multiplicación 5 6 8
9 .5 R com o subconjunto d e C 5 7 0
9 .6 F o rm a c a rte s ia n a d e un núm e ro com p lejo 571
9.7 R ep res entació n geom étrica de los núm eros com plejos 5 7 3
9 .8 C on ju g a d o de un nú m e ro com plejo. Pro pie dad es 5 7 4
9 .9 M o du lo d e un núm e ro com plejo. P ro pie dad es 5 8 2
9 .1 0La raíz c u a d ra d a de un nú m e ro com plejo 5 8 4
9.11 Lugares G eom étricos en C 58 9
9.1 2 Form a polar de un núm e ro com plejo 60 2
9.1 3 O p era cio nes en la form a polar 9 .1 3 .1 M ultiplicación. Interpretación G e o m . 6 0 3
9 .1 3 .2 C oc iente. Interpretación G e o m é tric a 6 0 4
9.1 4 P otenciación de núm eros com plejos. El Teo rem a de M oivre 60 8
9 .1 5R adicación d e núm eros com plejos 611
9 .1 5.1 E cua cio nes cu adráticas con co efic ien tes complejos 61 3
9 .1 5 .2 R aic es primitivas de la unidad 6 1 4
9.1 6 La ex pon en cial com p leja. 9 .1 6 .1 Pro pie dad es 6 1 6
9 .1 6 .2 O p era cio nes en la form a ex pon en cial com pleja 61 8
POLINOMIOS
10.1 Definición y N otaciones. 1 0 .2 Iguald ad de polinomios
10 .3 S u m a y M ultiplicación d e polinomios
1 0 .4 A lgoritm o de la división
6 3 7
63 8
6 3 9Sólo fines educativos LibrosVirtual

12. Contenido IX
1 0 .5 _ La división Sintética 6 4 2
1 0 .6 T e o rem a del R esto 6 4 5
1 0 .7 Te o re m a del Factor 6 4 6
10 .8 R aíc es de un Polinom io 6 5 5
10.8.1 N úm ero d e raíces de una ecuación polinómica 6 5 5
1 0 .8 .2 M ultiplicidad d e un factor 6 5 6
1 0 .8 .3 N a tu ra le z a d e las raíces de un polinomio real 6 5 6
T e orem a 1 0 .8. R eg la de los signos d e D esc artes 6 5 9
1 0 .8 .4 R aíc es racionales de un polinomio 661
T e orem a 1 0 .1 0 . T e o re m a d el Valor Interm edio 6 6 3
1 0 .9 A cotación de R aíc es 6 6 6
1 0 .1 0 Relación entre las raíces y los coeficientes 6 7 4
R e s p u e s ta s a E je rc ic io s P ro p u e s to s 6 8 2
LISTA DE SIMBOLOS
Pag. Pag.
A Conjunción "y '1 4 Z Conjunto de núm. enteros 63
V Disyunción Inclusiva "o" 6 Q Conjunto ce núm. racionales 64
A Disyunción exclusiva 7 I Conjunto de núm. irrac. 64
A Discriminante 215 R Conjunto de núm. reales 64
% Negación 7 C Conjunto de núm. complejos 64
«=>Implicación, entonces 9 <!>Conjunto vacío o nulo 64
<=>Bicondicional; si y sólo si 12 o Conjunto universal 65
= Equivalente 21 Para todo 67
i No es equivalente 22 3 Existe 68
No implica 24 C Es subconjunto de: 82
• •Por lo tanto 28 rjIncluye a: 82
< Menor que 46--186
$
No es subconjunto de: 82
>
Mayor que 47- -186 P(A) Conjunto potencia de A 84
Menor o igual que 224 U Unión 83
>
Mayor o igual que 224 n Intersección 91
} Conjunto 61 A'Complemento del conj. A 96
e Pertenece, es elemento de. 62 AAB Diferencia simétrica de los
i
No pertenece 62 conjuntos A y B 98
N Conjunto de núm. naturales 63 n(A) Número de elementos de A 113Sólo fines educativos LibrosVirtual

13. X Lista de Símbolos
aRb a está relacionado con b 134 z Sumatoria 509
Dom(R) Dominio de la relación R 135 n Notación de producto 518
Ran(R) Rango de la relación R 135 n! Factorial de n 523
R*=R' 1Relación inversa de R 137
0
Coeficiente binomial o
RoS Relación compuesta de S
L
número combinatorio 523
por R. 138
lan i Sucesión 538
f:A -*■ B f es una función de
Lim an Límite de la sucesión 549
A en B. 154 n-K»
iari) cuando n tiende a
Dcn(f) Dominio de la función f 154
i=(0/l) Unidad compleja 571
Ran(f) Rango de la función f 154
Re(z)Parte real de z 572
gof Función conpuesta de f
Im(z) Parte imaginaria de z 572
por g . 409--164
z Conjugado complejo 574
Función Inversa de f 167
1*1
Módulo del complejo z 582
<a,b> Intervalo Abierto 247
8=Arg( z) Argumento de z 602
[a,b]Intervalo cerrado 247
exp(z) =ez Exponencial compleja 616
Intervalo infinito 248
P(z) Polinomio de variable
M
Valor Absoluto de a 276
compleja 638
1 1
Función Valor Absoluto 314
P(x) Polinomio de variable
1 * 1
Máximo entero no mayor
real 638
que x. 299
R2 Plano Cartesiano 313
I Función Identidad 366
eXPb
Función Exponencial 455
Función Logaritmo 468
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

14. v e
K D INTRODUCCION
Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento hunano.
Existen dos tipos importantes de razonamiento: el inductivo y el deducti­
vo. El razonamiento inductivo es el medio por el cual una persona, en ba­
se de sus experiencias específicas, decide aceptar como válido un princi­
pio general. El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio según el
cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para
decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habra de determinar el
curso de su acción.
Dado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo
en nuestro breve estudio, veremos lo esencial de la lógica propos icional, a
través del uso y manejo de una simbología adecuada.
C D PROPOSICION
__________________________________________ H
Una preposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de
ser verdadera (V) o falsa <F), pero no ambas simultáneamente.
Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales co
mo: p, q, r, etc (llamadas variables proposicionales). Osando se trata de
representar muchas proposiciones similares se usan subíndices para indicar
cada una de ellas, esto es.
Si P(x), que se lee "P de x", es un polinomio en x, su valor numérico para
x=a se escribe P(a), y se lee "P de a". Por ejemplo, si el polinomio dado
es P(x)=xz-3x+4 y se tama a=2, se obtiene: P(a)=(2)*-3(2)+4, es decir:
Análogamente, también expresaremos simból i comente el hecho de que ana pro
P(a)=2Sólo fines educativos LibrosVirtual

15. 2 Capítulo 1: Lógica
posición sea verdadera o falsa. Si p es una proposición, su valor de
verdad se denotará con V(p) y escribiremos:
Observaciones:
1. Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclama­
ción, son expresiones no propos i dónales.
2. Los enunciados que usan las palabras "él", "ella" y los símbolos x,y,z,
no tienen la propiedad de ser verdadero o falso, es decir, no son propo­
siciones. Sin embargo, si a una de estas palabras y símbolos se le asig­
na un determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es u-
na proposición. A este tipo de enunciados se les denomina enunciados a-
biertos.
Ejemplos: a)'El está jugando tenis
Asi en a), si la variable él se reemplaza por la constante Fernando tenemos
"Fernando está jugando tenis", que es una proposición cuyo valor de verdad
V o F dependen de que si Fernando esté jugando o no.
De igual manera en b), si la variable x se reemplaza por un número mayor
que 3 el enunciado se convierte en una proposición verdadera, o si el reem­
plazo se hace número menor que 3, la proposición resulta falsa.
V(p)=V
y se queremos expresar que es falsa escribiremos:
V(p)=F
Ejemplos:
Proposición Valor de verdad
a) p:César Val le jo nació en París
b) q: 2+3 < 10-3
c) r: El número 1331 es divisible por 11
d) t: Todos los hombres no son mortales
V(p)=F
V(q)=V
V(r)=V
V(t)=F
Ejemplos: a) Qué edad tienes?
b) Viva el Perú!
c) Prohibido fumar
b) x+2 > 5
c) 2x+3y=8
Q | PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Las proposiciones simples, llamadas también atómicas o elementales, sonSólo fines educativos LibrosVirtual

16. Sección 1.3: P roposiciones Sim ples y C om puestas 3
aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado. El valor
de verdad V o F de estas proposiciones se obtienen de la discipl ina o suce­
so de donde provienen.
Ejemplos:
(1) p: El ángulo recto mide 90 0
V(p)=V , por los conceptos de la geometría elemental.
(2) q: Carlos Marx es autor de la Iliada.
V(q)=F , pues, según la historia, Homero es autor de la Iliada.
(3) r: "7 es un número primo"
V(r)=V , porque la aritmética así lo establece.
Las proposiciones compuestas, llamadas también moleculares o coligativas
son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples.
El valor de verdad de la proposición compuesta depende del valor de verdad
de cada una de las propos ¡dones componentes, sin que esta dependencia de
verdades tenga que ver con la naturaleza, la significación o la estructura
de las proposiciones componentes. Por esta propiedad, a las proposiciones
compuestas se les llama también funciones veritativas.
En la composición de proposiciones simples, estas están ligadas por ciertas
palabras tales como "y", "o” , "si, entonces", "si y sólo si", "no", "pero"
etc. Estas constantes propos i dónale s son llamados conectivos lógicos.
Ejemplos:
1) La proposición "El terreno es muy fértil y hay suficiente lluvia", es la
compuesta de las proposiciones atómicas "El terreno es muy fértil", "Hay
suficiente lluvia".
2) La proposición: "La luna no es satélite de la tierra", es una proposi­
ción molecular que utiliza el conectivo "no". En este caso, el término
de enlace actúa solo sobre una proposición atómica: "La luna es satélite
de la tierra".
3) La proposición; "Si estamos en diciembre entonces llegará la navidad",
usa el conectivo "si entonces" que actúa sobre las proposiciones sim
pies "Estamos en diciembre", "LLegará la navidad".
Observación. Dado que el valor de una proposición molecular depende única­
mente de los valores de verdad de las proposiciones componen­
tes, el nünero de combinaciones para el valor de verdad de aquella es 2n,
donde n es el número de enunciados que tiene la proposición compuesta.Sólo fines educativos LibrosVirtual

17. 4 Capítulo 1: Lógica
Asi, para dos proposiciones simples p y q, las posibilidades de combinación
de V o F son 2 2=4 formas posibles. Para tres proposiciones simples p, q y r
(n=3) tenemos: 23=8 formas posibles.
OPERACIONES CON PROPOSICIONES
Asi como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números ,
en lógica se estudian operaciones entre proposiciones. La operación aritmé­
tica de sima de dos números 3 y 5, por ejemplo, hace corresponder a un
nuevo número 8 que es su suma mediante la igualdad: 3+5=8; es decir, escri­
bir ”3+5" significa lo mismo que escribir "8". Vamos a proceder análogamen­
te para definir las operaciones entre proposiciones.
K B LA CONJUNCION
Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción es el resultado de compo­
ner estas proposiciones con el conectivo lógico "y”. Se denota por el símbp
lo "A", se escribe " p a Q " y se lee "p y q ”.
Ejanplo. Sean las proposiciones: p=La tiza es blanca
q=6 es un número primo
A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición u-
niéndolas mediante la conjunción "y”.
r=La tiza es blanca y 8 es un número primo
Aquí podemos observar que V(p)=V y V(q)=F, entonces V(r)=F, ya que la con­
junción ”y" exige el cunpl imiento de ambas componentes, sin excepción.
Eh consecuencia, la regla práctica para conjunciones es:
La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dos proposicio
nes coligativas p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa-
Esta característica es válida para toda conjunción y se puede resumir en la
siguiente tabla de verdad.
pq p Aq
V V V
V F F
F V F
F F FSólo fines educativos LibrosVirtual

18. Sección ].5: la Disyunción 5
EJEMPLO 2. Determinar el valor de verdad de la proposición:
r: "2+3+5=11 y 4+8 > 5+6"
Solución. Sean p:2+3+5=ll * V(p)=F
q:4+8 > 5+6 * V(q)=V
Luego, según la tabla de verdad de la conjunción:
V(r) = V(p a q) = F
E J E M P L O 3 . Determinar el válor de verdad de la proposición:
"r=7 es un número par y no es mayor que 5"
Solución. A simple vista, la conjunción es falsa, pues si:
p = 7 es un número par +■ V(p) = F
q = 7 no es mayor que 5 ■+ V(q) = F
entonces, según la tabla de verdad de la conjunción:
V(r) = V(pAq) = F
Nota. Hay palabras como "pero", "a la vez", "sin embargo", "además", "aun­
que", "no obstante", etc, que también unen proposiciones conjuntiva­
mente y se pueden simbolizar por el conectivo "a".
EJEMPLO 4. Determinar el valor de verdad de la proposición:
r = "15 es múltiplo de 3, pero 5 no es mayor que 7".
Solución. Sean: p=15 es múltiplo de 3 + V(p) = V
q=5 no es mayor que 7 ■+ V(q) = V
Luego, según la tabla de verdad de la conjunción:
V(r) = V(pAq) = V
m LA DISYUNCION
________________________________________ ^
Se llana disyunción o sana lógica de las proposiciones p y q, dadas en
ese orden, a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p
unidas ambas por el conectivo "o", esto es: "p o q".
Ejemplos:
a) La proposición: "La luna es azul o 3 es un número primo" es la diyunción
de: p=La luna es azul -+ V(p) = F
q=3 es un número primo +■ V(q) = V
Aqui, podemos decir que la disyunción p o q es verdadera, pues el uso habi­
tual del conectivo "o" establece una alternativa: alguna de las dos compo-Sólo fines educativos LibrosVirtual

19. 6 C apitulo 1: Lógica
nenies se cunple. Como es cierto que 3 sea un número primo, no importa que
la luna no sea azul, ya que una de las dos componentes de la al temat iva es
verdadera. En este caso podemos escribir, entonces: V(poq)=V.
b) La proposición: Luis es ingeniero o profesor de matemáticas, es la dis­
yunción de: r = Luis es ingeniero
s - Luis es profesor de matemáticas
c) La proposición: "César Vallejo nació en el Perú o nació en Francia", es
la disyunción de: t="César Vallejo nació en el Perú"
u="César Vallejo nació en Francia"
En el ejemplo b) se observa que si V(r)=F y V(s)=F -► V(ros)=F. Sin embargo
cuando las componentes son ambas verdaderas, la disyunción admite dos usos
diferentes del conectivo "o", uno inclusivo y el otro exclusivo.
Asi en el ejemplo b), si V(r)=V o V(s)=V ■* V(ros)=V. En este caso hemos usa
do el "o" inclusivo, pues la verdad de que Luis sea ingeniero no excluye la
posibilidad de que sea profesor de matemáticas.
En cambio, en el ejemplo c) la verdad de que César Vallejo naciera en el Pe
rú excluye la posibilidad de que naciera en Francia y viceversa. En este ca
so hemos usado el "o" exclusivo y si V(tj-V ó V(u)=V ■+■ V(tou)=F
Estas consideraciones ilustran la necesidad de distinguir dos interpretado
nes para la disyunción "poq".
( Q ) LA DISYUNCION INCLUSIVA
___________________________^
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción inclusiva o débil, es
una proposición col igat iva que resuita de unir las proposiciones p y q con
el conectivo "o", el cual se denota por el símbolo " V " , se escribe ''pvq"
y se lee "poq". La regla práctica es:
La d isy u n ció n i n c l u s iv a de. dos p n o p o sicio n ts t i vtn.da.dtaa s i y soto
s i pon. Lo menos una d t ¿ a i doi pn.opoiicJ.onti t i vcndadena, nesultan -
do i a l i a solamente cuando ¿ a i doi io n {¡aJUas".
Su tabla de verdad es:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F FSólo fines educativos LibrosVirtual

20. Sección 1.6: La Negación 7
LA DISYUNCION EXCLUSIVA
____________________________§
En este caso, la palabra "o" suele usarse en su sentido excluyente,
en cuyo caso la conectiva proposicional se simboliza por "A", se llana dis
yunción exclusiva o fuerte, se escribe p A q y se lee ”p o q pero no ambos’’,
esto es, se da exactanente una de las dos alternativas.
La regla práctica es:
La disyunción. exclusiva. de. do a pioposi.cU.on.ey> es veidadeia si y sólo si
poi lo menos una de las dos pioposiciones componentes es veidadeia y no
las dos, lesultando íalsa en otios casos.
Su tabla de verdad es:
p q P A q
V V F
V F V
F V V
F F F
K B 3 LA NEGACION
__________________________________________ |
Se denomina proposición negativa de la proposición afirmativa "p" a
otra que se denota por "vp" y que se lee "no p" o "no es cierto que p" y cu
ya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:
P
'Vp
V F
F V
Observamos que si p es verdadero, entonces ’vp es falso, y viceversa. Es de­
cir, el valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto del valor
de verdad del enunciado. Lo importante de la proposición negativa es que su
valor de verdad depende del valor de verdad de la afirmación
Observación. Nótese que la negación es una operación unitaria, en el sentí
do de que asigna a una proposición p, otra proposición'vp. En
cambio, la conjunción y la disyunción son operaciones binarias, en el sentí
do de que a cada dos proposiciones p y q, asignan una nueva proposición.
EJEMPLO 1. a) La tisa es blanca
b) No es cierto que la tisa es blancaSólo fines educativos LibrosVirtual

21. 8 Capitulo 1: Lógica
c) La tisa no es blanca
d) La tisa es azul
Como se puede notar b) y c) son cada uno ¡a negación de a), en cambio d) no
es la negación de a).
Otras formas de expresar la negación es utilizando los términos "no es el
caso que", "es falso que", etc.
En estos casos generalmente la negación niega proposiciones compuestas y
simbólicamente se expresa por'vf )
EJEMPLO 2. Simbolizar la siguiente proposición:
"No es el caso de que 10 sea múltiplo de 3 o que 5+2 < 10".
Solución. Si p = 10 es múltiplo de 3, y q = 5+2<10 ;
entonces la proposición se simboliza: 'v(pvq)
EJEM PLO 3. Sean las proposiciones: p="3 es un número par", q="5 es mayor
■ que 2" y r="Todo número primo es impar". Escribir y estable­
cer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
a) 'v(pp.q) b) 'vqvr c) 'v ( ^ r A p N ^ q
Solución. El valor de verdad de cada proposición simple es:
V(p)=F , V(q)=V , V(r)=F
Según estos valores de verdad, se tiene:
ó) ^ (p/\q): "No es cierto que 3 es un número par y 5 es mayor que 2".
Ahora bien, V(p/>,q)=F +■ V¡ 'vfPAq)J~v .
b) 'vqyr: "No es cierto que 5 es mayor que 2 ó todo número primo es impar"
o bien: ”5 no es mayor que 2 ó todo número primo es impar".
V(^q)=F y V(r)=F + V(n,q v r)=F (Según ia tabla de la disyunción).
c) ’vf'v r A p ) w q : "No es cierto que no todo número primo es impar y 3 es un
número par, o 5 no es mayor que 2".
V('v r a p)=V(VA F)-F •» V[n. (-vrAp)]=V . Luego: V(c)=(WF)=V
Nota. En adelante, para considerar el valor de verdad de una disyunción se
ha de tener en cuenta que se ha utilizado el sentido incluyente de
la palabra "o", es decir, "p o q" significará "pyq".Sólo fines educativos LibrosVirtual

22. Sección 1.7: La condicional o Implicación 9
( Q LA CONDICIONAL O IMPLICACION
fiadas las proposiciones p y q, se denomina proposición condicional o im
plicativa a la que resulta de unir p y q por el conectivo "si.....entonces"
que se denota por el símbolo " ", se escribe "p -*■ q" y se lee "si p, en­
tonces q", "p implica q", "p sólo si q", "q, si p", etc, en donde p es el
antecedente o condición y q es el consecuente o conclusión.
EJEMPLO 1. "Si Patricia consigue visa de turista, entonces
que", "ya que", "si", "cuando", "cada vez que", etc. Todas se carac­
terizan porque después de cada uno de estos conectivos está el antecedente
o condición.
EJEMPLO 2. "16 es múltiplo de 2 puesto que 16 es un número par".
Si p = 16 es múltiplo de 2 (antecedente), y
q - 16 es número par (consecuente)
Se simboliza: q p
que expresamos: "Si 16 es un número par, entonces es múltiplo de 2"
EJEMPLO 3. "Arturo no viajó a Europa porque perdió sus documentos".
Si p = Arturo no viajó a Europa (antecedente) y
q = Arturo perdió sus documentos (consecuente)
Se simboliza: q + p
que expresamos: "Si Arturo perdió sus documentos, entonces no viajó a Euro­
pa.
la siguiente proposición:
r = "Si Luis obtiene un promedio de 15 o más, entonces se le otorgará
beca".
Aquí se trata de la implicación de las proposiciones:
p = Luis obtiene un promedio de 15 o más (antecedente).
viajará a Miami". Simbolizar la proposición.
Si p=Patricia consigue visa de turista, y
q=Patricia viajará a Miami
La proposición se simboliza: p + q
Nota. También son conectivos condicionales los términos: "porque", "puesto
Q Q TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL
Antes de dar la tabla de verdad para la implicación, consideremosSólo fines educativos LibrosVirtual

23. 10 C apítulo 1: Lógica
q = A Luis se le otorgará beca (consecuente)
Nos interesa inducir el valor de verdad de la condicional r en términos de
la V o F de las proposiciones p y q. El enunciado r puede pensarse como una
promesa, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cimpl¡miento de
la promesa. Veamos todas las posibilidades.
a) Si Luis obtiene 15 o más de promedio y se le otoga beca se habrá cimpli-
do lo prometido. V(p)=V y V(q)=V V(r)=V
b) Si Luis obtiene 15 o más de promedio y no se otorga beca, no se habrá
cumplido lo prometido. V(p)-V y V(q)=F V(r)=F
c) Si Luis obtiene un promedio menor que 15 y se otorga beca, no se falta a
la promesa. V(p)=F y V(q)=V ■* V(r)-V
d) Si Luis obtiene un promedio menor que 15 y no se le otorga beca, se
sigue cumpliendo lo prometido. V(p)=F y V(q)=F ■* V(r)=V
Entonces el valor de verdad de p-> q queda establecido de acuerdo a la si­
guiente regla:
La. condicional o implicación tendná un valon de vendad (¡alio cuando el
antecedente p e¿ vendadeno y el consecuente q es {¡also; en tos demás ca
sos diñemos que p * q es vendadeno.
En consecuencia, la tabla de verdad de la implicación es la siguiente:
p q p + q
V V V
V F F
F V V
F F V
EJEMPLO 4. Dadas las proposiciones p,q y r tales que V(p)=V(q)=F y
V(r)=V, hallar el valor de verdad de las siguientes proposi­
ciones: a) p - r rv(qv r) c) n, (pA n,q) •+ (yr a pj
b) 'vq (n.pvr) d) 'vfq* n,r) + p + r)
Solución, a) V(q v r)=V(Fv V)=V * V(n.(q v r))=F V(p + ^ q v r) J=VfF -k F)=V
b) VC^q)=V y V K p v r)=V(Vv V)=V Vh-q * tvpv r) }=V(V + V)=V
c) V(p*n.q )=V(FnV)=F -*■ Vfr íp^ q) J=V ; V(n.r a p)=V(FA F)=F
.\ V M p a njq) + (nrA p))=V(V * F)= F
d) V(q nr)=V(F * F)=V * Vfa( q+ n,r)]=F ; V K p +r)=V(V V)=VSólo fines educativos LibrosVirtual

24. Sección 1.7: La Condicional o Implicación 11
Vfv(q ■* n,r) + (np ■* r)] = V(F V) = V
J03 e l u s o p e l a s p r o p o s i c i o n e s i m p l i c a t i v a s ^
El uso de las proposiciones impl icat ivas en matemáticas es de sima
importancia. Ya hemos visto que la condicional p + q significa que "q se
obtiene lógicamente de p". Los teoremas tienen esta misma forma condicional.
Recordemos que en la demostración de un teorema intervienen dos factores:
la hipótesis o dato (p), aquello que se considera verdadera, y la tesis
o conclusión (q), aquello que se quiere demostrar. Entonces el teorema es:
p -v q. Probar el teorema, es demostrar que p ■* q sea verdadera, y, dado que
la hipótesis p es verdadera; es decir, la verdad de p q se obtiene de la
verdad de q, sabiendo que p es verdadera.
Otras formas de leer el teorema p -*■ q son las siguientes: "p sólo si q" ;
"q, si p"; "p es condición suficiente para que q"; "q es condición necesa­
ria para que p", etc.
E J E M P L O 5. Sean las proposiciones: p="Dos ángulos tienen un lado común".
q="Dos ángulos son adyacentes". Establecer quién es condición
necesaria y/o suficiente para quién.
Solución. Consideremos las implicaciones siguientes:
r=p ->■ q: Si dos ángulos tienen un lado común, entonces son adya­
centes.
s-q -*■ p: Si dos ángulos son adyacentes, entonces
La implicación r es falsa, pues si dos ángulos
tienen un lado común, no necesariamente son ad
yacentes. En la figura se observa que el
y el <}BOC tienen el lado común OB, sin embargo
no son adyacentes; entonces, p no es suficien­
te para q ó q no es condición necesaria para p
La implicación s es verdadera, pues en la figu
ra se observa que el AOC y el $BOC son adyacentes y tienen el lado común
OC. Entonces, q es suficiente para p ó p es necesariamente de q.
Nota. A toda condicional se le asocian otras tres proposiciones, igualmente
importantes, que son: la recíproca, la inversa y la contra recíproca.
1.7.3 Proposición Recíproca. Dada la proposición condicional "p q", se
, tienen un lado común.Sólo fines educativos LibrosVirtual

25. 12 Capítulo 1: Lógica
llama proposición recíproca a la proposición que se denota por "q ■+ p".
Ejemplo. Sea la proposición directa p -*■ q
"Si x es par, entonces, x es múltiplo de 2"
La proposición recíproca, q ■* p, es:
"Si x es múltiplo de 2, entonces, x es par"
1.7.4 Proposición Inversa. Dada la proposición condicional "p q", se lla­
ma proposición inversa a la proposición que se
denota por "vp + rvq".
Ejemplo. Sea la proposición directa p ■* q
"Si Patricia tiene 30 años, entonces es joven"
La proposición inversa , -vp* n,q, es:
"Si Patricia no tiene 30 años, entonces no es joven"
1.7.5 Proposición Contra recíproca. Dada la proposición condicional "p q"
se llama proposición contra recíproca a
¡a que se denota por 'Kq -*■ /vp".
Esta proposición es de mucha utilidad en la demostración de teoremas dados
por la reducción al absurdo o falsa suposición.
Ejemplo. Sea la propos ición directa "p -> q"
paralelas".
La proposición contra recíproca, "'vq -*■ n,p", es:
"Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una mis­
ma recta".
Sean p y q dos p-oposiciones con las que se forma la siguiente propo­
sición: "p + q A q + p"
Esta nueva proposición está formada mediante dos implicaciones y una conjun
ción. Podemos escribir esta proposición haciendo uso de un nuevo conectivo;
El símbolo es llamado el conectivo bicondicional o doble implicación. A
la proposición formada la llamamos proposición bicondicional. Formalizando
esto último llegamos a la siguiente definición:
Dada dos proposiciones simples p y q, se denomina bicondicional a la propo­
sición definida por la conjunción de la proposición condicional con su recí
"Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son
LA BICONDICIONAL
la escribiremos como:Sólo fines educativos LibrosVirtual

26. Sección 1.9: Uso de los Signos de agrupación 13
p ro c a :
(p * q ) a (q > p)
se d e n o ta “p <-» q ” y se le e “p si y s ó lo si q ”
E J E M P L O . “ F e r n a n d o c o m p r a r á un a u to m ó v il si y s ó lo si o b tie n e un p r é s ta m o d e la
c o o p e r a tiv a ”
Si p F e rn a n d o c o m p r a r á un a u to m ó v il.
q F e rn a n d o o b tie n e un p r é s ta m o d e la c o o p e r a tiv a .
E s ta p r o p o s ic ió n b ic o n d ic io n a l se e n tie n d e c o m o : “ Si F e r n a n d o c o m p r a un a u to m ó v il e n ­
to n c e s o b tie n e u n p r é s ta m o d e la c o o p e r a tiv a , y si o b tie n e u n p r é s ta m o d e la c o o p e r a tiv a
c o m p ra un a u to m ó v il. Si s im b o liz a m o s e s ta p r o p o s ic ió n o b te n e m o s :
(p -> q ) a (q p ) = p <-» q
E n c o n s e c u e n c ia , la ta b la d e v e r d a d de la b ic o n d ic io n a l q u e d a p e r fe c ta m e n te d e te r m in a d a
a p a r tir d e la s ta b la s d e v e r d a d d e la c o n d ic io n a l y la c o n ju n c ió n ; e s to es:
pf j i iS l i l i i l l B
A (p —> t|)
V V
v 1
V
1 V
V F F F
V
F V V F
F
F F
v 1
V
1 v
C o n c lu im o s a f ir m a n d o q u e el v a lo r d e v e r d a d de la p r o p o s ic ió n b ic o n d ic io n a l e s tá d a d o
p o r la s ig u ie n te re g la :
S ipyq tienen el mismo valor de verdad, entonces la bicondicional p<r^q es verdadera, y
á p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p <roq es falsa.
Q ] USO PE LOS SIGNOS DE AGRUPACION
__________________g
L o s s ig n o s d e a g r u p a c ió n ( p a r é n te s is , c o r c h e te s , lla v e s ) se u sa n en ló g ic a
c u a n d o s e t r a t a d e o b t e n e r e s q u e m a s l ó g ic o s m á s c o m p le jo s c o n e l f in d e e v i t a r la
a m b ig ü e d a d de la s f ó rm u la s . A s í, p o r e je m p lo , la e x p r e s ió n :
p v q a r
e s a m b ig u a ; p e r o a s o c ia d a p o r su s té r m in o s :
(p v q ) a r ó p v (q a r)
la e x p r e s ió n d a d a tie n e un s e n tid o y d e ja d e s e r a m b ig u a .Sólo fines educativos LibrosVirtual

27. 14 Capítulo I : Lógica
Otra finalidad de los signos de agrupación es darle mayor o menor jerarquía
a los conectivos. En general, es la conectiva de menor jerqrquía, le si
guen , "v" que son de igual jerarquía, y luego "■*" que es el de mayor je
rarquía. Sin embargo, cada conect iva puede ser de mayor jerarquía si asi lo
indica el signo de colección.
Ejemplos: (1) "No es el caso de que 9 es múltiplo de 3 o que 2x8=15".
Asignándole una variable a cada proposición simple se tiene
p = 9 es múltiplo de 3 ; q = 2x8=15
Su notación simbólica es: "x(pvq)
Nótese que aqui la negación afecta a las variables dentro del paréntesis.
(2) "Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o culpable"
Si p = "El testigo dice la verdad", q = "Juan es inocente" y
r = "Juan es culpable"; entonces se simbol iza:
■xp - (qvr)
Aqui, el símbolo de mayor jerarquía es Obsérvese que solo afecta a
la variable "p" y que "v " está limitado por el paréntesis.
Observación. La combinación de las variables y los operadores o conectivos
propos ¡dónales por medio de los signos de los signos de agru­
pación se denomina esquema molecular. En cada esquema molecular solo uno de
los operadores es el de mayor jerarquía y es el que le da nombre a dicho es
quema. Por ejemplo, en los esquenas moleculares:
A = vp - (qv r) ; B = [ ( p A q ) w r j «-* p ; C = ^[(pAq) * C"pvr)J
Podemos notar que los operadores de mayor jerarquía en A, B y C son:
i y n*,n y (os nombres que llevan cada uno de estos esquemas son: esquema
condicional, esquema bicondicional y esquema negativo, respect ivmente.
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Para los siguientes enunciados:
(1) Recoge ese lápiz (3) x-y=5
(2) 2+5 < 6 (4) Hace mucho frío
Cuál de alternativas siguientes es la correcta?
a) Dos son proposiciones b) Dos son enunciados abiertos
c) Dos no son ni proposiciones ni enunciados abiertos
d) Tres son proposiciones
Solución. (1) Recoge ese lápiz, es un mandato que no tiene un valor de ver-Sólo fines educativos LibrosVirtual

28. Ejercicios Ilustrativos 15
d a d , e n to n c e s n o e s p r o p o s ic ió n n i e n u n c ia d o a b ie r to .
(2 ) 3 + 5 < 6 , e s u n a p r o p o s ic ió n c u y o v a lo r d e v e r d a d e s F.
(3 ) x -y = 5 , e s u n e n u n c ia d o a b ie r to .
(4 ) H a c e m u c h o f r ío , e s u n a o r a c ió n q u e n o tie n e un v a lo r d e v e r d a d , lu e g o , n o e s p r o p o s i
c ió n n i e n u n c ia d o a b ie r to .
E n c o n s e c u e n c ia , ( 1 ) y ( 4 ) s a tis f a c e n la a lte r n a tiv a (c ).
E J E R C I C I O 2 . D a d a s la s p r o p o s ic io n e s : p = M a rc o s e s c o m e r c ia n te , q = M a rc o s es
un p r ó s p e r o in d u s tr ia l y r = M a rc o s e s in g e n ie r o .
S im b o liz a r e l e n u n c ia d o : “ Si n o es e l c a s o q u e M a r c o s s e a un c o m e r c ia n te y p r ó s p e r o
in d u s tr ia l, e n to n c e s e s in g e n ie r o o no es c o m e r c ia n te ” .
S o lu c ió n . L a p r o p o s ic ió n : “ N o e s el c a s o q u e M a rc o s s e a un c o m e r c ia n te y p r o s p e r o
in d u s t r i a l ” , se s im b o liz a : ~ (p a q )
L a p r o p o s ic ió n : “ M a rc o s e s in g e n ie r o o n o e s c o m e r c ia n te ” , se s im b o liz a : ( r v ~ p ). U n ie n ­
d o e s to s d o s e s q u e m a s c o n el c o n e c tiv o se tie n e :
~ (p a q ) - + ( r v - p )
E J E R C I C I O 3 . D a d a s la s p r o p o s ic io n e s q : “ 4 e s un n ú m e r o im p a r ” , p y r c u a l e s ­
q u ie r a ta l q u e ~ [( r v q ) —» ( r —» p )] e s v e r d a d e r a ; h a lla r e l v a lo r de
v e rd a d d e lo s s ig u ie n te s s is te m a s m o le c u la r e s :
A = r + ( - p v - q ) ; B = [r ++ (p a q ) ] ++ (q a - p ) ; C = ( r v - p ) a (q v p )
S o lu c ió n . S i q : “ 4 e s un n ú m e r o im p a r ” —» V ( q )= F
~ [ ( r v q ) + ( r + p )] e s V - » V [ ( r v q ) + ( r + p ) ] = F
S e g ú n la c o n d ic io n a l: V ( r v q ) = V y V ( r —» p ) = F
Si V (r —» p ) = F, e n to n c e s : V ( r) = V y V ( p ) = F
S u s titu y e n d o e s to s v a lo r e s d e v e r d a d e n lo s e s q u e m a s m o le c u la r e s se tie n e :
V (A ) = V -> (V v V ) = V; V (B ) = [V ++ ( F a F )] ++ ( F a V ) s [F ] ++ ( F ) = V
V (C ) = (V v V ) a ( F v F ) = (V ) a (F ) = F
E J E R C I C I O 4 . D e la f a ls e d a d de la p r o p o s ic ió n : (p —» - q ) v ( ~ r —» s ) se d e d u c e q u e
e l v a lo r d e v e r d a d d e lo s e s q u e m a s m o le c u la r e s :
A = ( - p a - q ) v ( ~ q ) ; B = [ ( - r v q )] ++ [ (~ q v r) a s ] ; C = (p - » q ) - * [ (p v q ) a ~ q ]
so n r e s p e c tiv a m e n te : a ) V F V b ) F F F c ) V V V d ) F F V
S o lu c ió n . S e g ú n la d is y u n c ió n in c lu s iv a , s i: V [(p —» ~ q ) v ( ~ r —» s)] = F,
e n to n c e s : V (p - » - q ) = F y V (~ r - » s ) = F
A p lic a n d o la c o n d ic ió n a l en a m b o s c a s o s s e tie n e :
V (p -+ - q ) = F - + V (p ) = V y V (q ) = V ; V ( - r - » s ) = F -> V ( r) = F y V ( s ) = FSólo fines educativos LibrosVirtual

29. 16 Capitulo 1: Lógica
Entonces: V(A) ■= (F a F ) v (F) = (F) v (F) = F
V(B) = [(VvV)aV] -*■ [ (F v F) A Fj = (V) ** (F) = F
V C O = (V - VJ - [(VvV)aF] = (V) - [F] = F
Por lo tanto, la alternativa correcta es la b).
EJERCICIO S. En cuales de los siguientes casos es suficiente la informa­
ción para conocer el valor de verdad de las proposiciones
correspondientes.
A=(pv q) ~ <^P A ^ q); V(q)=V. B=(p a q) - (pvr); V(p)=V y V(r)=F.
C=[p a (q * r)]; V(p * r)=V. D=(p * q) * r; V(r)=V
Solución. En A: Si V(q)=V, entonces V(A)=(pvV) +-+ C^pA F)
Pero: V(pv V)-V y V("*p a F)-F, cualqiera sea el valor de verdad
de p. Luego, V(A)=(V) (F)-F .'. Es suficiente la información.
En B: Si V(p)=V y V(r)=F, entonces V(B)=(VAq) ( V v F ; = ( V A ql - (V).
Cualquiera sea el valor de verdad de (V * q), la condicional es verdadera,
por tanto, es suficiente la información.
En C: Según la tabla de la condicional, existen tres posibil idades para que
el V(p * r)-V, por tanto, no es suficiente la información dada para conocer
el valor de verdad de C.
En D: Si Vfr)=V, entonces (p ■* q) ■* V.
Cualquiera sea el valor de verdad de (p ■* q), la condicional es verdadera,
por tanto, es suficiente la información dada.
EJERCICIO 6. Defínanos p#q como una operación verdadera si p es falsa y
q verdadera, y como falsa en todos los casos restantes. Se­
gún esto, si r:"Juan es médico" y s:"Juan es deportista"; hallar la traduc­
ción de C'>r)#s.
Solución. Según la definición de i, las tablas de verdad de p#q y (^r)#s.
'Vr s ('vr )#s
F V V
F F F
V V F
V F F
Vemos que la tabla de valor de verdad de <yr)$s es idéntica a la de la con­
junción, por lo tanto, la traducción de (vr)üs es:
"Juan es médico y deportista"Sólo fines educativos LibrosVirtual

30. Ejercicios: Grupo 1 17
1. üe los enunciados siguientes:
(1) Hola que tal!
(2) x l+l < 10
(3) 2 + 5 > 6
(4) Todos los hombres son inmortales
(5) Sócrates nació en Atenas
Cuál de las alternativas siguientes es correcta:
a) 3 son enunciados abiertos
b) 2 son proposiciones
c) 3 no son proposiciones
d) 4 son proposiciones
2. Si p:"Carlos vendrá", q:"Carlos ha recibido la carta" y r:"Carlos está
interesado todavía en el asunto". Simbolizar los siguientes enunciados:
a) "Carlos vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado
todavía en el asunto".
b) "O Carlos vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado to­
davía en el asunto".
c) "Carlos vendrá si y sólo si ha recibido la carta o vendrá porque está
interesado todavía en el asunto".
3. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
4. v[(vpw q) v (r q)] a [(vpvq) + (q Avp)], es verdadera. Hallar los valo­
res de verdad de p,q y r.
5. De la falsedad de (p = vq) v (vr + vs), se deduce que el valor de verdad
de los esquemas: A=v(vq v vs) + vp ¡ B=v(vr a s) ♦+ (vp * vq) y
C=p + v[q -► v(s + r)}, son respectivamente:
a) FFV b) FFF c) FVF d) FVV
6. Se sabe que p A q y q + i son falsas. De los esquemas moleculares siguien
tes, cuáles son verdaderos: A=(vpv t)vvq ; B=v[p a (vq v vp)] ;
C=[(p * q)A v(q a t) ] ++ [vpv(qAvt)]
1. La proposición (pa ql + (q + r) es falsa, y se tienen los esquemas mole­
culares: A-v(qv rj v (pv q), B=(pyvq) + p-r Aq) y
C-[(pAqi v <q a vr)] ++ (pv^r). (hales son falsos.
8. Si la proposición A=(p+n,q) * (r + a,$) es falsa, hallar el valor de ver­
dad de las proposiciones q,p,r,s.(en este orden).
(1) (3+5=8) v (5-3=4)
(2) (5-3=8) - (1-7=8)
(3) (3+8=11) A (7-4 > 1)
(4) (4+6=9) ~ (5-2=4)Sólo fines educativos LibrosVirtual

31. 18 C apitulo 1: Lógica
9. Dadas los proposiciones: A-(p * q) r; V(r)=V. B=(pvq) <-» f^p a'HJ);
V(qJ=V . C=(pAq) * (pAr); V(p)=V y V(r)=F. D=pA (q * r); V(rj=V.
En que casos la información que se da es suficiente para determinar el
valor de verdad de cada proposición.
10. (p v q) *"* (r a s) es una proposición verdadera, teniendo r y s valores
de verdad opuestos. De las afirmaciones siguientes cuáles son verdade­
ras : A=[(^p A^q) v (rA s)] A p , es verdadera
B=[v(pv q) a (r v s)J v (vpAq), es falsa
G¿[(vr a v s) -► (p v r)] a v(r a s), es verdadera.
11. Si ¡a proposición (vpAq) * (vsvr) es falsa, de las proposiciones si­
guientes, cuáles son verdaderas?; A=v((p + q) -► r];
B=v(vpAq) a (vr v r) a s ; C=[(pv vq) a p] v (vq).
12. Si las proposiciones A=(p *■» s) ■'■s y B=[(p * s)A 'p]As, son verdade­
ras, hallar los valores de verdad de p,s y pAs, en ese orden.
13. Dada la siguiente información: V(r - q)=V; V(nAr)-F; V(mvn)=V y
V(pv m)=F. Determinar el valor de verdad del esquema molecular:
A-l (m v vn) (p Avp) ] *-*• (m A q ) .
14. Si A=(p *— r) v(<^pv vq)' es verdadera, hallar el valor de verdad de la
proposición B=(p ■* q) *-*■ (p •*-* r)
15. Si V[(q * p) •» (rvp)]=F; hallar el valor de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones:
A-(pAx) - (m y) C=(r — ► p> ■» Í S A q J
B=( q ■* n)v (x a y) D-¡( s * p) v (n ■* r)] *•» (x v^x)
16. Si V(m «-» n)=F, V[^(s •* r)]=F y Vf^pA-xj)=F; hallar el valor de verdad
del esquema A = f ( p v q ) "*■ (sA^r)] (n *~*m).
17. Sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta:
A={v[(pa r) * q) a [(p vq)¿s}) {(sAp; I}, es siempre falso. Determi­
nar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) B=í((vpbq)br] + [v(q * (s » p))]ití(pLq)
b) C = W p * q) a [(r A p ) ■* v(rvs)]} A t
18. Si p,q,r,s, t,w son proposiciones cualesquiera tales que: Vf'-w* v s)=f y
Vf(pA^r) (s * u)J=V; hallar el valor de verdad de los siguientes es
quemas: A=[(pAq) v r] s; B=(s '•wj .+ (rv^p) y
C=(t + (wv^p)]v ^(p * r)
19. Dadas las proposiciones:Sólo fines educativos LibrosVirtual

32. Sección 1,10: E valuación de E squem as M oleculares p o r la Tabla de Valores 19
p :L o s n ú m e r o s m y n so n m ú ltip lo s e n te r o s d e 5.
q: E l p r o d u c to d e lo s n ú m e r o s m y n e s u n m ú ltip lo e n te r o d e 5.
A n a liz a r c u á le s de la s s ig u ie n te s p r o p o s ic io n e s so n v e r d a d e r a s :
a) p es c o n d ic ió n s u f ic ie n te p a r a q . b ) p s ó lo si q.
c) p es c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a r a q.
2 0 . Si la p r o p o s ic ió n p = (~ p —» q ) v (s —» - r ) e s f a ls a ; c u á le s d e lo s s ig u ie n te s e s q u e m a s
m o le c u la r e s so n f a ls o s : A = [ (r —» q ) a q] [(~ q v r) a s] ; B = ~ (p v q ) v ~q
C = ~ [(p v q ) a ~ q] - > ~ (p -> q ).
EVALUACION DE ESQUEMAS
MOLECULARES POR LA TABLA PE VALORES
____________§ |
C o n s is te e n o b te n e r lo s v a lo r e s d e l o p e r a d o r p r in c ip a l a p a r tir d e la v a lid e z d e c a d a
u n a d e la s v a r ia b le s p r e p o s ic io n a le s . H e m o s v is to q u e p a r a e v a lu a r u n a ta b la de v e r d a d de
d o s v a r ia b le s p r o p o s ic io n a le s se n e c e s ita n 2 2= 4 v a lo r e s d e v e r d a d ( f ila s ) p a r a c a d a v a r ia ­
b le . E n g e n e r a l, el n ú m e r o d e v a lo r e s d e v e r d a d q u e a s ig n a a c a d a v a r ia b le r e s u lta de
a p lic a r la f ó rm u la 2”, d o n d e n e s e l n ú m e r o d e v a r ia b le s q u e h a y en el e s q u e m a m o le c u la r.
L as c o m b in a c io n e s d e to d a s la s p o s ib ilid a d e s d e V y F se h a c e n e n la s c o lu m n a s d e r e f e ­
r e n c ia al m a rg e n iz q u ie r d o d e l e s q u e m a , lu e g o se p r o c e d e a a p lic a r la r e g la a c a d a u n o de
lo s o p e r a d o r e s , e m p e z a n d o p o r e l d e m e n o r a lc a n c e , h a s ta lle g a r al d e m a y o r je r a r q u ía .
E J E M P L O X. E v a lu a r la ta b la d e v e r d a d d e l e s q u e m a m o le c u la r :
A = - ( p A q ) H [ ( - p ) v {—q)]
S o lu c ió n . N ú m e ro d e v a lo r e s d e v e r d a d p a r a c a d a v a r ia b le : 2 2= 4
pI f f l l
i f(p A q l <->t-p)VH )
V V F V V FF F
V F V F V F V V
F V V F . V V V F
F F V F V V V V
Pasos 2 l 6 3 5 4
t
___________________________f
E x p lic a c ió n d e lo s p a s o s :
( 1 ) S e a p lic ó la c o n ju n c ió n a lo s v a lo r e s d e v e r d a d d e p y q.
(2 ) S e a p lic ó la n e g a c ió n a la c o lu m n a (1 )
1.10Sólo fines educativos LibrosVirtual

33. 20 Capítulo 1: Lógica
(3) Se aplicó la negación a los valores de verdad de p.
(4) Se aplicó la negación a los valores de verdad de q.
(5) Se aplicó la disyunción inclusiva a los valores de verdad de las colum­
nas 3 y 4.
(6) Finalmente se aplicó la bicondicional a los valores de verdad de las co
lumnas 2 y 5.
En este ejemplo, el operador de mayor alcance es el bicondicional"-**", cuya
colunna (todos V) se ha trazado con doble raya para facilitar la lectura
nal del resultado de la tabla de valores.
En los ejemplos que siguen, se obviará la explicación de tos pasos.
EJEMPLO 2. Evaluar la tabla de verdad de la proposición: A=^[p * (pvq)]
Solución. Número de valores de verdad para cada variable: 2 ‘=4
p q
'V
P
+
(p v q)]
V V F V V V
V F F V V V
F V F F V V
F F F F V F
P a s o s 4 1 3 2
EJEMPLO 3. Evaluar la tabla de verdad de la proposición:
l(^pA'q) * vr] ** (vp)vlr A (^p*"-q)j
Solución. Número de valores de verdad para cada variable: 23=8
P q r [ ('■op A 'vq ) *■■vr]■*—►(^p )V ir
A('Vp A )]
V V V F V F V F V VV F
V V F F V V F F F F F F
V F V F V F V F V V V F
V F F F V V F F F FF F
F V V F V F V V V V V F
F V F F V V .V V V F F F
F F V V F F F V V V F V
F F F V V V V V V F V V
P a s o s 1 3 2 9 tt8 5 7 6Sólo fines educativos LibrosVirtual

34. Sección 1.11: Proposiciones Equivalentes 21
Observación. Según el resultado que se obtenga en el operador de mayor je­
rarquía, los esquemas moleculares se clasifican en continen­
tes (consistentes), tautológicos y contradictorios.
Un esquema molecular es contingente cuando en su resultado hay por lo menos
una verdad y una falsedad (Ejemplo 3). Un esquema molecular es tautológico
cuando los valores de verdad de su operador principal son todos verdaderos
(Ejemplo 1). Un esquema molecular es contradictorio cuando en el resultado
todos los valores de verdad son falsos (Ejemplo 2).
EJEMPLO 4. Si se sabe que: p#q = [v(p/,q) * p]; evaluar el esquema:
A = l(p * q)#(qr. ^p)] -- (q#p)
Solución. En primer lugar, construimos las tablas de verdad de p#q y q #p
p q
'V
(q A P ) + q
V V F V V V
V F V F F F
F V V F V V
F F V F F F
2 1 4 3
P q
n,(p A q P
V V F V V V
V F V F V V
F V V F F F
F F V F F F
2 1 4 3
Obsérvese que la tabla de verdad de p#q es idéntica a la de p, y la tabla
de verdad de q#p es idéntica a la de q.
Ahora evaluamos el esquema A:
P q [(p q #.(q a ^ p)] -*-*■(q #p )
V V V V F V V
V F F F F V F
F V V V V V V
F F V V F F F
P a s o s 1 3 2 5 4
Por lo tanto, el esquema A es contingente.
PROPOSICIONES EQUIVALENTES
_| |
Dos proposiciones compuestas P y Q se dicen que son equivalentes si
unidas por el bicondicional el resultado es una tautología, es decir,
que P y Q tienen los mismos valores de verdad en su operador principal. Se
escribe: P = Q ó P-*-*- Q
y se lee: "P es equivalente a Q" 6 "Q es equivalente a P".
1.11Sólo fines educativos LibrosVirtual

35. 22 Capítulo 1: Lógica
Si P no es equivlente a Q, se escribe:
P Í Q ó P 4* Q
EJEMPLO 1 . Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes:
P:"Si Juan aprobó los exámenes de admisión, ingresó a la uni­
versidad". Q:"No es el caso que Juan apruebe los exámenes de admisión y no
ingrese a la universidad".
Solución. Sean las proposiciones simples, p:"Juan aprobó los exámenes"
q:"Juan ingresó a la Universidad".
Entonces: P = p * q y Q = *(p a 1'*})
Uniendo bicondicionalmente estos dos esquemas se tiene:
(p * q) ** "-(p a vj;
y para probar que esta bicondicional es verdadera construimos su tabla de
p q (p + q) -4-4-
cr
<
CL
V V V V V F
V F F V F V
F V V V V F
F F V V V F
P a s o s 1 k 3 2
Dado que el resultado de la tabla es una tautología, las proposiciones P y
Q son equivalentes.
EJEMPLO 2. Determinar si los esquemas A=(p * q) v (r*p) y B=vq * (*-r~*p)
son equivalentes.
Solución. Construimos las tablas de verdad de A y B unidas por el operador
lt+-* II
P q r (p q) (r p ) >vq+ ('vr -*• 'vp)
V V V V V V V F V V
V V F V V F V F V F
V F V F V V V V V V
V F F F F F V V F F
F V V V V F V F V V
F V F V V F V F V V
F F V V V F V V V V
F F F V V F V V V V
P a s o s 1 3 2 7 4 6 5
Vemos que las columnas 3 y 6, que corresponden a los operadores principales
de A y B, respectivamente, son iguales; entonces, el resultado de unir es­
tas dos columnas por el operador ' W " es tautológico, por lo que, A y B sonSólo fines educativos LibrosVirtual

36. Sección 1.11: Posiciones Equivalentes 23
equivalentes.
EJEMPLO 3. De las siguientes proposiciones, cuáles son equivalentes?
A="Es necesario que Juan no estudie en la Universidad de Lima
para que Luis viva en Monterrico". B="No es cierto que Luis viva en Monte-
rrico y que Juan estudie en la Universidad de Lima". C="Luis no vive en Mon
térrico y Juan no estudia en la Universidad de Lima".
Solución. Sean: p="Juan estudia en ia Universidad de Lima"
q-"Luis vive en Monterrico"
Entonces: A=q vp ; B=v(qAp) ; C=vqA"‘P
A B C
p qq 'vp "V(q A p )-4—► *vq A 'vp
V V F V F V V F
V F V V V F F F
F V V V V F F F
F F V V V F V V
P a s o s 1 3 2 A
Aqui observamos que las colimaos I y 3 de los operadores principales de las
proposiciones A y B son iguales, por lo tanto, éstas son equivalentes, esto
es: A = B , A t C y B £ C
EJEMPLO 4. Dada la proposición en Z (números enteros) p="Si x es primo y
x no es mayor que 2, entonces x no es múltiplo de 2". Luego:
A-"Si x es múltiplo de 2, entonces x no es primo y no es mayor que 2".
B="Si x es múltiplo de 2, entonces x no es primo o es mayor que 2".
C-"x no es múltiplo de 2 o x no es primo o x es mayor que 2".
Cuáles de estas proposiciones son equivalentes a p?
Solución. Sean las proposiciones: r="x es primo", s="x es mayor que 2" y
t="x es múltiplo de 2". Simbolizando se tiene:
p=(r*.AS) ■» Vt ; A=t * ('W A ^s) ; B=t ■* f v v ; C= v t v V v S
Para evitar el laborioso trabajo de elaborar las tablas de verdad de cada
proposición, construyamos sólo la de p, y supongamos que: V(r)-V, V(s)=V>
V(1)=V (Primera fila) y obtenemos en ia tabla: V(p)=V, entonces:
A=V - (FA F)=F, luego: A i p ; B=V * (FvF)=V, luego: B = p; C=FvFvF=V,
luego: C = p.
Ahora supongamos que: V(r)=V, V(s)=F y V(t)~V (tercera fila), con estos va­
lores obtenemos en la tabla: V(p)=FSólo fines educativos LibrosVirtual

37. 24 C apitulo 1: Lógica
D a d o q u e A y a q u e d ó d e s c a r ta d o , p r o b a m o s c o n
r s t
P
B y C , e s to es:
V V V V
B = V —»(FvV) = F ; lu e g o B = p
V V F V
C = F v F v F = F ; lu e g o C = p
V F V F
Se p u e d e s e g u ir p r o b a n d o q u e p a r a o tr o s v a lo r e s
V F F V
de v e rd a d de r, s y t, la s p r o p o s ic io n e s B y C so nF V V V
v e rd a d e r a s al ig u a l q u e p , en c o n s e c u e n c ia , p o ­
F V F V
d e m o s a f ir m a r q u e é s ta s so n e q u iv a le n te s a p.
F F V V
F F F V
OTRO USO DE LA IMPLICACION
Se d ic e q u e u n a p r o p o s ic ió n A im p lic a a o tr a p r o p o s ic ió n B , c u a n d o u n id a s p o r el
c o n d ic io n a l r e s u lta u n a ta u to lo g ía . S e s im b o liz a :
A -> B
y se le e : “ A im p lic a a B ” , o ta m b ié n , “ A e s c o n d ic ió n s u f ic ie n te p a r a q u e B ” o “ B es
c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a r a A ” .
Si A n o im p lic a a B , se e s c r ib e : A -/> B
E J E M P L O 1. S e a n lo s e s q u e m a s m o le c u la r e s : A = (~ p ) A ( ~ r) y B = ~ (p a q ) v ~r.
D e m o s tra r q u e A im p lic a a B.
S o lu c ió n . E n e f e c to , c o n s tr u y a m o s la ta b la d e v e r d a d d e A —> B:
p q (~P) A(-r)' > ~(P a q)V - r
V V V F V F V F F
V V F V V F V V V
V F V F V V F VF
V F F V V V F V V
F V V V V V F VF
F V F F V V F V V
F F V V V V F VF
F F F F V V F V V
Pasos 1 6 4 3 5 2
C om o el r e s u lta d o a r r o ja u n a ta u to lo g ía , q u e d a d e m o s tr a d o q u e : A B
E J E M P L O 2 . D a d o s lo s e s q u e m a s m o le c u la r e s : A = p a ~ q , B = q - » - r
y C = - p A (q a r ); d e te r m in a r si C e s u n a c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a r a la
c o n ju n c ió n de A y B.
S o lu c ió n . Si C e s u n a c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a r a A a B , e n to n c e s se d e b e p r o -Sólo fines educativos LibrosVirtual

38. Ejercicios: Grupo 2 25
bar que (AaB) ■* C
p q r(p A ^ q )A (q -* <\,r )
-■>-%pA( q A r )
V V V F F F V F V V
V V F F F V V F F F
V F V V V V F F F F
V F F V V V F F F F
F V V F F F V V F V
F V F F F V V V V F
F F V F F V V V V F
F F F F V V V V F
P a s o s 1 3 2 7 6 5
t
Como el resultado (7) no es una tautología, entonce C no es una condición
necesaria para A y B, esto es: (AaB) + C
EJERCICIOS: Grupo 2
En los ejercicios del 1 al 12 establecer, por medio de una tabla de valo­
res, si cada uno de los siguientes esquemas moleculares es contingente, tau
tológico o contradictorio.
1. V [ ^ P ' + v(-vq A V p ) ] v V ( v p v v q ) 5 . [ ( p A v q ) a ( v p r ) ] -*■ ( p v ^ q )
2. [(pv'^q)^pl A v(-^q » p) e. [pv(q * "*r)j a [ (*p v r) vq]
3. *(p ♦ q) *•* ''■(''■q vp) 7. [(^pr,q) * vr] <-* [r a v(p v ^ ) ]
4. [p * (q * r)] ** [(p a ’vr) * •vq] 8. M (p a q) v [p a (yp v q)]} ** (p + “vq)
9. í p A f w j - P)].a^[(P “VJ) + (qv^p)J
10. [vpA(q v*r)] <-► [(vpAq) v ^fp vr)]
11. [ ( p A vq) a ^(r a q) ] «-► v[(p a vq) * (qAr)]
12. {[(^pAr) ■* q] *->■ ["vq.** (pvr)]} A {(p *-* q) A (qv'V))
13. Afirmamos que:
A: "Hoy es lunes pero no martes, entonces hoy no es feriado" *-* "Hoy es
feriado, entonces no es verdad que hoy es lunes y no es martes".
B: "Hoy es lunes o martes, si y sólo si, hoy no es lunes" ■*-*■ "Hoy no es
lunes y hoy es martes".
C: "Hoy es -feriado y no es martes, entonces hoy es martes" "Hoy no
es martes, entonces hoy es feriado".
Cuáles son verdaderas?
14. (1) Es necesario y suficiente que p y q sean falsos para que:Sólo fines educativos LibrosVirtual

39. 26 Capítulo 1: Lógica
-* ( q v ' V j sea falsa.
(2) Es necesario que q sea falsa y r verdadera para que:
(pA'vq) (^rv^p) sea falsa.
(3) No es necesario que p y q sean verdaderas para que:
“*(p A q) v ('■p Avq) sea verdadera.
Cuáles de estas afirmaciones son verdaderas?
15. Dados los esquemas lógicos: P=(p ■* q) a -v(vp A q); R=v(vp +— q);
Q=v(pv %q). Cuál de las siguientes relaciones es correcta:
a) P s R b) R = Q c) P = R d) Ninguna
16. Si se sabe que: p*qz(p * ’Hj) y ptq=^p a vj, evaluar el esquema molecular
A=(p * r)#(q*r)
17. Si definimos el conectivo como: pAq = (pr, *q) v í(p a r)A vqj t donde r
es una proposición cualquiera. Analizar cuates de las siguientes afirma
dones son correctas.
aj pSp es una contradicción c) q A£ = q A M
b) pAq = qAp d> pi1^j = p A Í ^p vq)
18. Dada la siguiente información: p*q s C^p * qj A f ' q «-* p>
p#q £ C'-p *-*•' q) v C^q * p)
Evaluar la fórmula: í (p*q) a (q v r)] ■* (vptfq) .
19. Dados los siguientes esquemas moleculares: A=p¿('<<i), B=p y
C=rv(q a *r). Determinar: a) Si la conjunción de A y C implica a B
b; Si ía disyunción de A y B impl ica a C.
20. Determinar si cada una de las proposiciones que aparecen a continuación
implica a K = ' f p A q ) v ' r .
A=p *(q o r > ; B=(qA vr) ;
21. Sean tas siguientes proposiciones: M=(p
L=q ♦ vr. Analizar: a) M implica a L y
22. Dada la siguiente tabla:
Evaluar lar fórmulas:
a) (p * q) e (q#r)
b) (qA r) # (rAq)
c) (m «• n) * (niq)
d) M e »q) # (q*n)
C=(’vp)t:(^r)
+ vq) a ( r ■» p ) ; S = [ v (v p v q ) ) a q
b j M implica a S
p q p *qp # q p0q
V V F F F
V F V F V
F V V F V
F F V V F
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

40. Sección 1.13: La Inferencia Lógica 27
LA INFERENCIA LOGICA
_____________________________' U
En matemáticas llamamos razonamiento a un par ordenado (ip¿),q), en
donde, 1p^> es un conjunto finito de proposiciones, llamadas premisas y q u
na proposición, llamada conclusión.
Un razonamiento es deductivo si y sólo si las premisas son evidencias de la
verdad de la conclusión, es decir, si pi, p 2, . ...,p son verdaderas enton­
ces q es verdadera; cuando se deduce esto se dice que se ha construido una
inferencia. De este modo, toda regla de inferencia es tautológico.
Una inferencia es válida si y sólo si la premisa p o conjunción del conjun­
to de premisas Ip^l implica la conclusión q, esto es, si:
( P i a P i a P í A A P n ) — q es una tautología ' (a)
EJEMPLO 1. Determinar si p v Q as una consecuencia válida de:
A>p -» vq , vq * r , vr.
Solución. Aqui las premisas son: p¡=vp ■* vq, p 2=vq r, p 3=^r, y la conclu
ción: Q=pv q.
Debemos demostrar que: ( p i A P¡ a Pj) Q, es una tautología. En efecto, la
tabla de verdad para esta inferencia es:
p q r(■vp-»- %q )A('vq -*■ rA(A<r)— (p v q)
V V V V V V F F V V
V V F V V V V V V V
V F V V V V F F V V
V F F V F F F V V V
F V V F F V F F V V
F V F F F V F V V V
F F V V V V F F V F
F F F V F F F V V F
P a s o s 1 3 2 5 h 7 6
t
________________í
Como el resultado (7) es una tautología, la conjunción de premisas implica
a la conclusión, por tanto, la inferencia es válida.
Observaciones: (1) En los casos en que las premisas forman dos o más con
junciones, se toma la última conjunción como la princi­
pal del antecedente.
(2) La validez de una inferencia no depende de los valores de verdad ni del
contenido de los enunciados que aparecen en la inferencia, sino de la
forma particular de la inferencia.
1.13Sólo fines educativos LibrosVirtual

41. 28 Capítulo 1: Lógica
(3) Si la condicional (a) no es una tautología, entonces se dice que la in­
ferencia es no válida o es una falacia.
EJEMPLO 2. Determinar la validez de la inferencia: "Si el triángulo es ¿
sósceles entonces tiene dos lados iguales. Pero, el triángulo
no tiene dos lados iguales; por lo tanto, no es isósceles".
Solución. Sean: p="El triángulo es isósceles"
q="£( triángulo tiene dos lados iguales"
Entonces, el esquema de la inferencia es:
P - Q
vq
'up
p q ( p + q ) A(%q )
V V V F F V F
V F F F V V F
F V V F F V V
F F V V V V V
P a s o s 1 3 2 5 4
Como el resultado de la tabla de verdad es una tautología, la inferencia es
válida.
EJEMPLO 2. Mediante una tabla de verdad, establecer si es válida ¡a ¡n/£
renda: p vq
q v r
f\,p
Solución.
P q r ( p - M - A,q )
A
<
> (s -r )-►
( ^ q ).
V V V F F V F F V F
V V F F F V F V V F
V F V V V V F F V V
V F F V F F F V V V
F V V V V V F F V F
F V F V V V V V F F
F F V F F V F F V V
F F F F F F F V V V
P a s o s 1 3 2 5 4 7 s
t
_________________i
El resultado de la tabla no es una tautología, por lo tanto, la inferencia
es una falacia.Sólo fines educativos LibrosVirtual

42. Sección 1.13: La Inferencia Lógica 29
EL METODO ABREVIADO
_______________________________y
Es un procedimiento que evita la laboriosa tarea de construir la
tabla de valores para determinar la validez de las inferencias. Este método
consiste en suponer la conjunción de premisas verdadera y la conclusión fal
sa, única posibilidad que invalida la implicación:
(Pl A Pl a p SA a ) — • q
V V V V F
Si no se demuestra esta posibilidad la inferencia será válida.
En la prueba de éste método se aplica los siguientes pasos:
a) Asignar el valor de verdad V a cada una de las premisas y de falsedad F
a la conclusión.
b) Deducir la validez de cada una de las variables propos i dónales en fun­
ción de las reglas veritativas, empezando por la conclusión o por el ope
rador de una de las premisas que ofrece una soia posibilidad.
c) Si cada una de las variables cumple una sola función veritativa, se ha­
brá probado que la conjunción de premisas es verdadera y la conclusión es-
falsa; por lo que, la inferencia no será válida (No hay implicación).
d) Si una variable tiene dos valores de verdad y falsedad a la vez, quedará
demostrado que no es posible que la conjunción de premisas sea verdadera
y la conclusión falsa. Por lo que, hay impl icación y la inferencia será
válida.
EJEMPLO 4. Establecer si es válida la inferencia:
p aq
q v r
vr
:. vq
Solución. Empezónos escribiendo el esquema de la inferencia en la forma:
b) Einpezamos por la conclusión: Si V(vq)=F * V(q)=V. Trasladamos este va­
lor a la primera premisa y notamos que si: V(p *-■ F)-V * V(p)=F (única
posibilidad). En la tercera premisa: V(^r)=V * V(r)=F. Estos dos valo­
res encontrados satisfacen el valor de verdad de la segunda premisa.
c) Como cada una de las variables conpie una sola función veri tat iva, deci­
dimos que la inferencia no es válida. Esto es, se ha demostrado que laSólo fines educativos LibrosVirtual

43. 30 C apitulo 1: L ógica
con función de premisas es verdadera y la conclusión falsa. (Ver el ejemplo
3, donde la sexta fila de valores invalida la implicación).
EJEMPLO 5. Establecer si es válida la inferencia:
p - q
A
r ~ q
p * r
Solución, a) (p ■* q) A f~p A **r) a (r --*■ q) * (p -> rj
V V V F
b) £n la conclusión, si: V(p r)=F, entonces, V(p)=V y V(r,)=F
Trasladamos estos valores en la primera y tercera premisas:
V(V * q) * V(q)=V (única posibilidad)
V(F q) + V(q)=F (única posibilidad)
d) Como la variable q tiene los valores de verdad y falsedad a la vez,
concluimos afirmando /jue la inferencia es válida.
EJEMPLO 6. Comprobar la validez del enunciado siguiente: "Si estudio, en
tonces no perderé matemáticas y si no juego fútbol, entonces
estudiaré; pero perdí matemáticas. Por tanto, jugué fútbol".
Solución. Sean: p="esludio", q="pierdo matemáticas" y r="juego fútbol".
Entonces, el enunciado dado es como sigue:
a) (p •» " v q > a ( v r -» p > a q + r
V V V F
b) Si V(r)=F y V(q)=V, entonces en la primera y tercera premisas se tiene:
V(p * F)=V, entonces V(p)=F , y V(V * p)=V, entonces V(p)=V
d) Como la variable p tiene los valores F y V a la vez, se deduce que la in
ferencia es válida.
EJEMPLO 7. Simbolizar y analizar el valor de verdad del siguiente enun­
ciado: "Si un satélite gira alrededor de la luna, entonces g¿
ra también alrededor de la tierra; y si gira alrededor de la tierra,
también gira alrededor del sol. Y, si gira alrededor del sol, entonces gira
alrededor de la constelación de la lira. En consecuencia, si un satélite gj_
ra alrededor de la luna, entonces gira alrededor de la constelación de la
l ira".
Solución. Sean: p="Un satélite gira alrededor de la luna"Sólo fines educativos LibrosVirtual

44. Sección 1.13: La Inferencia Lógica 31
q = "Un satélite gira alrededor de la tierra"
r = "Un satélite gira alrededor del sol"
s = "Un satélite gira alrededor de la constelación de la l i-*-
Entonces el esquema de la inferencia es: p q ra"
q + r
r * s
p -*■ s
y la conjunción de premisas es:
a) (p * q) a (r * q) a (r * s) + (p ■* s)
V V V F
b) En la conclusión: si V(p * s)=F ■*• V(p)=V y V(s)-F (única posibilidad)
En la tercera premisa: V(r * F)=V * V(r)=F (única posibilidad)
En la primera premisa: V(V * qj=V + V(q)=V (única posibilidad)
En la segunda premisa, para los valores de verdad de r y q hallados, se
cumple que: V(r ■* q)=V
c) Como cada una de las variables cumple una sola función veritativa, deci­
mos que la inferencia no es válida, o que el enunciado es falso, ya que
se enripie lo que habíamos supuesto: la conjunción de premisas verdadera
y la conclusión falsa.
EJEMPLO 8. Estudiar si es válida la siguiente proposición compuesta"
"Si Raúl participa en el comité electoral de la Universidad
entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no participa en un comité
electoral de la Universidad entonces las autoridades universitarias se eno­
jarán con él. Pero Raúl participará en un comité electoral de la Universi­
dad. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se eno­
jarán con él".
Solución. Sean: p ="Raúl participa en el comité electoral de la Universidad
q="Los estudiantes se enojarán con él"
r="Las autoridades universitarias se enojarán con él"
El esquema de inferencia es: p * q
'vp •*- r
P v " V
q v r
y la conjunción de premisas:
a) (p * q) a (r * vp) a (p v vp) + (q v r)Sólo fines educativos LibrosVirtual

45. 32 Capítulo 1: Lógica
b) En la conclusión: si V(qv r)=F + V(q)=F y V(r)=F (única posivilidad)
En la primera premisa: V(p -*■ F)=V V(p)=V (única posibilidad)
En la segunda premisa: V(F* 'vp)=V ■+ V(vp)=V -*• V(p)=F
d) Como la variable p tiene los valores de V y F a la vez, concluimos afir­
mando que la proposición compuesta es válida.
EJERCICIOS: Grupo 3
Demostrar, por la tabla de valores o por el método abreviado, si los esque­
mas representan o no reglas de inferencia válidas.
1. p - C*q) 5. p +— q 8. q * p
p v C*q) r v q q + (rv s)
^ 'v . r v ^s)
.\ r + (s p)
2. p - q
q * p 6. p * q 9. p v^ q
.'. p *-+ q q * r . r vp
r * s s *— p
3. (p - q) a(r * s)
pv r
.'. p v (q vr)
4. p - q
'. q v S 7. q (v¡ r) 10. p +-*■ vq
r v s 'V'p a s
*p r r * s
^ . / v
_2
______ .. q v r .'. p * (r*vq)
Traducir a forma simbólica y comprobar ¡a v idez de los siguientes enuncia
dos:
11. Si trabajo, no puedo estudiar. Estudio o paso matemáticas, pero trabajé
Por tanto, pasé matemáticas.
12. Si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino entonces Patricia llega­
rá tarde a la Universidad. Pero, Patricia no llegará tarde a la
Universidad. Por tanto, si el ómnibus sufrió desperfectos en el camino
entonces Patricia viajó en taxi.
13. Si 6 es par, entonces 2 no divide a 7. 5 no es primo ó 2 divide a 7.
Por tanto, 6 es impar.
14. En el cumpleaños de mi esposa le llevaré flores. Es el cunpleaños de miSólo fines educativos LibrosVirtual

46. Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautologías 33
esposa o trabajo hasta tarde; pero hoy no le llevé flores a mi esposa.
Por tanto, hoy trabajé hasta tarde.
15. Si trabajo no puedo estudiar, trabajo o apruebo matemáticas, pero apro­
bé matemáticas. Por tanto, estudié.
16. Si Londres no está en Dinamarca, entonces Parts no está en Francia. Por
tanto, Londres está en Dinamarca.
17. Si me gustan las matemáticas, entonces estudiaré. Estudio o pierdo el
curso, en consecuencia, si pierdo el curso, entonces no me gustan las
matemáticas.
18. Luis es director de una empresa si tiene el mayor número de acciones; y
si tiene el mayor número de acciones, o es un economista o tiene mucho
dinero.. Ocurre que Luis tiene el mayor niñero de acciones. En consecuen
cia, o es un economista o tiene mucho dinero.
19. Estudiar si es válida o no la siguiente proposición compuesta: "Si en
la luna no hay oxígeno, entonces no hay agua ni aire. Si no hay oxígeno
ni hay agua, entonces no hay plantas. No es el caso que en la luna haya
oxígeno o no haya plantas. En consecuencia, la luna está hecha de queso"
20. "Si Anito decia la verdad, entonces Sócrates corrompía la juventud, y
si el tribunal lo condenó equivocadamente, entonces Anito no es el cul­
pable. Pero, Sócrates no corrompía la juventud o Anito es el culpable.
Por tanto, Anito no decía la verdad o el tribunal no condenó a Sócrates
equivocadanenteV
Una forma proposicional es una ley lógica si y sólo si cualquiera
que sea la interpretación formalmente correcta que se haga de la misma, se
obtiene como resultado una verdad lógica. En lógica, las tautologías son
conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos y son las siguientes:
T.l: Ley de Identidad (Reflexividad)
Una proposición sólo es idéntica a si misma. Se expresa por:
PRINCIPALES LEYES LOGICAS Y TAUTOLOGIAS
p — p y p —■ p
T.2: Ley de no Contradicción
Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez.Sólo fines educativos LibrosVirtual

47. 34 C apitulo I: Lógica
Se expresa por:
( P A ' P )
T.3: Ley del Tercio Excluido
Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera posibi­
lidad. Se expresa por:
Existen muchas otras tautologías igualmente importantes y que se cla­
sifican en dos grupos: las tautologías llamadas equivalencias notables y
las llamadas ¡aplicaciones notables.
E.l: Ley de Involución (Doble negación)
Dos negaciones de igual alcance equivale a una afirmación.
V ( v p ) = p
E .2: La Idempotencia
Una cadena de conjunciones o disyunciones de variable redundante se £
I¡minan.
E.3: Leyes Conmutativas
Si en las proposiciones conjuntivas, disyuntivas y bicondicionales se
permutan sus respectivas componentes, sus equivalentes significan lo
mismo.
E.4: Leyes Asociativas
Las leyes asociativas para la conjunción, disyunción y bicondicional
establecen que si en un esquema hay más de una conjunción, disyunción y bi­
condicional, respectivamente, con iguaI alcance, ellas pueden agruparse in-
P v ' P
EQUIVALENCIAS NOTABLES
a) p A p = p
b) p v p = p
a) p a q = q a p
b) p v <J = q v p
c) p q = q « p
dist intímente. a) ( p * q ) K r = p A Í q A r )
b) ( p v q ) v r = p v ( q v r)
c) (p *— q) +->■ r z p (q r)Sólo fines educativos LibrosVirtual

48. Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautologías 35
£ . 5 Leyes Distributivas
a) pr-(qvr) = ( p * q ) v ( p n r )
b) pvíqA r) s (pvq) * (pvr)
c) p > (q a r) 3 (p * q ) A ( p -*■ r)
d) p - (qvr) 3 (p * q) v(p + r)
E.6: Leyes de Morgan
La negación de las proposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtie­
nen cambiando la conjunción por la disyunción, o la disyunción por la
conjunción, y negando cada uno de los componentes.
a) v (P A q ) = C^pv-Vj)
b) H p v q) 2 (y>*"q)
Ejemplos: a) "No es verdad que hace frío y está lloviendo" equivale a:
"No hace frío o no está lloviendo"
b) "No es verdad que las rosas son rojas o las violetas son azules" equiva
le a: ”Las rosas no son rojas y las violetas no son azules"
E.7: Las leyes del Condicional
a) p * q 3 -vpv q
b) *(p - q) 3 p A •*}
E.8: Leyes del Bicondicional
a) (p *- q) 3 (p * q) a (q ♦ p)
b) (p q) s (pr.q) v (vp*. *q)
E.9: Leyes de la Absorción
a) p A ( p v q ) s p
b) p a (vpv q) 3 p a( ¡
c) p v ( p o q ) = p
d) p v (vpAq) =pvq
Las leyes a) y b) constituyen la absorción del esquema conjuntivo ai
disyuntivo. Uno de los miembros del esquema conjuntivo es el esquema absor-
vente (puede ser una variable o una cadena de disyunciones), y el otro miem
bro es el esquema que se absorve (puede ser una disyunción o una cadena de
disyunciones).
Las leyes c) y d) constituyen la absorción del esquema disyuntivo al conjun
tivo. A diferencia de a) y b) el esquema absorvente es una variable o cade­Sólo fines educativos LibrosVirtual

49. 36 Capítulo 1: Lógica
na de disyunciones y el esquema que se absorbe es una conjunción o cadena
de conjunciones.
Nótese que en a) y c) se absorve toda la disyunción y conjunción, respecti­
vamente, mientras que en b) y d) se absorve sólo la variable que se repite
negativamente.
Ejemplos. (1) Simplificar: (vr a p) a f s v r) a ( M v p) a (t v vs)
Aplicando b) a los dos primeros términos del esquema se tiene
(vr A p A s) A (v t v p) A (t V vs )
En los primeros términos se repite p, luego, según a):
(vr a p a s) a ( t v vs)
En el segundo término, la variable s se repite negat ivamente, luego, según
b); el esquema equivale a: ' ' t a P A S a í
(2) Simplificar: s v (r a ^s) v (p a r a t)
Aplicando d) a los dos primeros términos del esquema se tiene:
(s v r) v (p a r a t)
La variable r se repite en la cadena de conjunciones del segundo término,
luego, aplicando c) el esquema equivale a: s v r
E.10: Leyes de Transposición
a) (p * q) = (vq ■* vp)
b) (p «-* q) h (vq vp)
Los miembros de un condicional y bicondicional pueden ser transpues­
tos si se niegan cada uno de ellos.
E.ll: Leyes de Exportación
a) (pA q) * r = p - (q * r)
b ) K Pí aPi a ... aPn ) - r] = j ( p,ap,a----A p n _i) - (Pn * r ) j
E.12: Formas normales para la Conjunción y Disyunción
(T=Tautologia, C=Contradicción, P=Esquema molecular cualquiera)
E.13: Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología
F.N. Conjuntiva F.N. Disyuntiva
a) T a T s T
b) T a P = p
c) C A P = c
a) C v C = C
b) C v P i P
c) T v P a T
a) p A C = C b) C* T = T c ) p v T=TSólo fines educativos LibrosVirtual

50. Ejercicios Ilustrativos 3 7
EJERCICIO 1. Dada la proposición: "Si 3+4=7 entonces 8 es primo, o 4 no
es par"
a) Negar oracionalmente la proposición
b) Determinar el -valor de verdad de la proposición original.
Solución. Sean: p="3+4=7", q="8 es primo”, r="4 es par"
Oralmente: "Si 3+4=7, 8 no es primo y 4 es par"
b) En la proposición original: V(p)=V, V(q)=F, V(r)=V
Entonces: V[(p + q) v vr] = V[(V + F)vF] = V(F vf) = F
EJERCICIO 2. Hallar otra forma equivalente de la proposición: "Es
para cumplir buen papel deportivo"
Solución. Sean: p="entrenar debidamente", q="cometer infracciones" y
Aqui, el antecedente es (pA^q) y el consecuente r, entonces la proposición
Por tanto, la otra forma de enunciar la proposición dada es:
"No cumplir buen papel deportivo, o entrenar debidamente y no cometer in­
fracciones".
EJERCICIO 3. Hallar una proposición equivalente a:
P = [(^Pa q) - (r Av r)] a (vq)
Solución. P = [v(vp^q) v (r A^r)] A(vq) (Cond. E.7a)
La proposición en símbolos es: (p + q)v vr
a) Su negación es: '"[(p + qJv^rJ = H p -*■ qjA^far)
= (pAvq)A r
(Morgan: E.8b)
(E.7b y E.l)
necesario entrenar debidamente y no cometer infracciones
r="cumplir buen papel".
en símbolos es: r + (p A^q) = V v í p A ’yj) (Cond. E.7a)
= [(p A-vq) V (C)J A (vq) (Morgan: E.Sa y T.2)
(E.12: FNDb)
(Abs. E.9a)
= [(p Avq)] v (vq)
P = vq
. S E J E R C I C I O 4. Simplificar el esquema: A=(vpA q) + (q + p)
Solución. A = \Cvp A q) V (q + p) (Cond. E.7a)
(E.Sa y E.7a)
(Conm. E.3b)
(Idemp. E.2b)
E (pv'vq) v tvq v p)
E v (pv%q)
E (pv-vq)Sólo fines educativos LibrosVirtual

51. 38 Capítulo 1: Lógica
y^EJERCICIO 5. Si definimos "tt" como: (p#q) = (pv q ) A v ( p A q ) , hallar una ex
presión equivalente a p#q.
Solución. p#q = (p v q ) a (-qp v vq)
= í ( p v q ) A vp] v [ ( p v q ) A -yq]<
3 Iv p * q ] v [vq * p ]
= [v (q * p ) ] v ( v (p + q ) ]
= a[ (q * p) A (p - q ) ]
= v (p ** q)
r]a[(p A vq)
•<l))
EJERCICIO 6. Si A=p «- V), B=[(p A Aq)
C=v\,[vs * ('vsvr)] * f^p
Establecer si A,B y C son equivalentes.
Solución. Simpl if¡cando los esquemas B y C se tiene:
B = (p A vq) + ( ra ^ r)
s v(p a ■y¡.)v(rA aj-)
h V p A v f e ;
s A(p a Aqj
.*í
s p Aq
C = f^s (as v r>J a AfAp «-» i<¡;
= [v(^s) v ( A g y r ) j A A ( A p A q ;
s f s v ( A s v r > j A f p Aqj
h [(s v ~ s ; v r j a ( p * - vq)
= [ T V r ] A (p «-» Aq; = T a (p + - vq)
= P Aq
Por lo tanto: A = B = C
(Morgan: E.6a)
(Dist. E.5a)
(Abs. E.9b)
(Cond. E. 7b)
(Morgan: E.6a)
(Bicond. E.8a)
vr] y
(Dist. E.5c)
(Morgan: E.6a)
(Contrad. T.2)
(E.12: fNDb)
(Def. de Bicond)
(Cond. E.7b)
(Cond. E.7a)
(Invol. E.l)
(Asoc. E.4b)
(T.3 y E.13c)
(E.12: FNCb)
EJERCICIO 7. Para una proposición cualquiera p se define
.... r i si
V(P> = { o si
p es verdadera
p es falso
A partir de las tablas de verdad, mostrar que:
a) V(vp) - l-V(p) y b) V(pvq) = V(p)+V(q)-V(p). V(q)
A continuación y sólo utilizando a) y b) probar que:
c) Vfpa q) = V(p).V(q)
Finalmente, deducir una fórmula aritmética para:
d) V/Afp -► q)] en función de V(vp) y V(q).
Solución, a) Si V(p)=V ■* V('vp)=F
Según la definición: V(p)=l y V(n,p)=0
Como: 0 = 1 - 1 * Vfvp) = l-V(p)Sólo fines educativos LibrosVirtual

52. Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautológicas 3 9
Ahora, para V(p)=F * V(vp)=V; o sea: V(p)=0 y V(vp)=l
y si: 1 = 1-0 - V(-y-p) = l-V(p)
b) Si V(p)=V y V(q)=V » V(pv q)=V
Según la definición: V(p)=l , v(q)=l y v(pvq)=l
Pero: 1 = Ul-(1)(1) -> V(p v q) = V(p)+V(q)-V(p). V(q)
Para V(p)=V y V(q)=F * V(pvq)=V
Según la definición: V(p)=l , V(q)=0 y V(p vq)=l
Como: 1 = l+0-(l).(l) - V(pvq) = V(p)+V(q)-V(p). V(q)
Igualmente se demuestra b) para: V(p)=F y V(q)=V ; V(p)=F y V(q)=F
c) Podemos escribir: V(p*q) = V[^(vpv ^q)] (Morg. E.6a)
Según a): V(p*q) = l-V(vpv^q)
y según b): = l-[V(vp)+V(^q)-V(^p).V(^q)]
= 1 - ll-V(p)-H-V(q)-[l-V(p)][l-V(q)]}
de donde: V(p/\q) = V(p).V(q)
d) V[^(p * q)] = V(p*vq) (Cond. E.7b)
= V(p).V(q) (Según c))
= (l-V(^p)Jll-V(q)] (Según a))
de donde: V[^(p ■* q)] = 1-V(vp)-V(q)+V(vp). V(q)
EJERCICIO 8. Transformar la siguiente proposición compuesta:
P - (^p *-* q) A (p * q) a su equivalente condicional mas
simple.
Solución. Sabemos que: v(p
Luego, en P:
P = (p A q) A (p - q) = (p A q) A (vp v q)
= p A [q A («*p v q)]
= p A {[q v P'-p v q)] A v[q a (vp v q ) 7 }
s p A H q v (*p v q)l A Í V J V v(^p v q)]}
= p A {[(q v q) v vp] a fv) v (pA^q)Jt
= p A {[q v ^ P] A [vq]) = p A (vp A vq)
= [p V (a,p a ] A [v(p A f'V .p A -*q)) ]
= [p v vq] a [vp v ^(vp A vq)]
= (p v vq) A [vp v (p v q)]
= (p v v i ) a K ^ p v p) v q] 3 (p v vjJ a [T v qj
q) s p A q •» i p » q • p 4 g
= (p v v q j a T = v p
P s q * p
(Cond. E,7a)
(Asoc. E.4b)
(Def. Disy. Ex.)
(Morg. E.6a)
(Asoc. E. 4b y Morg.E.6b)
(ldemp.E.2b y Abs.E.9b)
(Disy. Exc.)
(Abs.E.9d y Morg.E.6a)
(Morg. E.6a)
(Asoc.E.4b y T.3)
(Neutro: E.13c)Sólo fines educativos LibrosVirtual

53. 40 Capítulo 1: Lógica
EJERCICIO 9. Se define el conectivo + por la tabla:
a) Expresar ptq en términos de * y v
b) Comprobar mediante una tabla de verdad que
la expresión hallada en a) es equivalente a
p •— vq.
Solución. Obsérvese que los valores de verdad de p + q
es la negación de los valores de verdad de p v Q
Esto es: p + q = v(p v q) = ' p A ^
Se sabe que: p A q = (p v q) A M p a q j
Entonces: p & q = v[v(p v q)] a v(p A q)
- "*(p + q) A v(vp + vq)
.'. p 6 q = (p + q) + (vp + vq)
b)
(Morg. E.6b)
p q P
A-q
V V V F F
V F V V V
F V F V F
F F F F V
P q(p + q ) + (A,p + A/q)
V V F F V
V F F V F
F V F V F
F F V F F
Como los valores de verdad en el operador principal de ambas tablas son i-
dénticas, se deduce que: p «-► A-q = (p + q) + (vp + vq)
EJERCICIO 10. Si T es una tautología y p,q son proposiciones. cuáles de
las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) l[(pA T) v Cq A V T jJ a ( p v q j l *-► p
b) i[(p v q J v (vp A v q ) ] a (p v q)l T
c) l[(p v q v *T) A VT; v l(vp r. T) v T] 1 *-► T
S o l u c i ó n , a ) ; 1/fp a T ) v fA-T’; ; A (p v q)}
S lie^T V p ) J a ( p v q ; n
= l p a (p v q) 1 = p
La afirmación es verdadera,
b) = l í f p v q j v -v-ip v q ; ; a ( p v q ) (
M í H a ( p v q l l M p v q J
La afirmación es falsa.
O = { /M\/ v [T] }
= T
La afirmación es verdadera
(q a ^T=C=vT)
(Abs. E.9d)
(E.12:FNDa y Abs. E.9a)
(Morg. E.6b)
(T.3 y E. 12: FNCb)
(Abs.E.9a y E.9c)
(Tere. Exc.T.3)Sólo fines educativos LibrosVirtual

54. Ejercicios: Grupo 4 41
1. Sean: p="Juan estudia inglés", q="Pedro está en casa".
Simplificar y expresar oralmente la proposición: P=^[^(p a "q) ■* pj v q
2. Determinar el equivalente a la afirmación: "x no es divisor de 3 es con
dición necesaria para que x sea primo y no sea mayor que 4".
3. Determinar los esquemas más simples equivalentes a las proposiciones:
a) "'["■(pAq) * vq]v p c) [ (p a q) v (p a ''q) ] v (vp A"q)
e) [ (vq * vp) - (vp v q )] A v ( p A q )
f ) M í (vp A v q ) v (p A (vp v q ) ) ] -► v ( P v q ) }
g) v { v [ ^ (v pA q J v ^ J ["‘( p v " q ) ] )
4. Demostrar que la p ro p o s ic ió n P=v (p + q ) a [q ( v r ) ¡ es eq uiva len te a
las p ro p o s ic io n e s: A=[p a ( p v "-r)] A (%q) , B=[p A (v q )] a [v (q a r ) ] y
O f p a ( v q ) ] v [ (pa vr ) a (v q )]
5. Cuáles de las s ig u ie n t e s p ro p o s ic io n e s son eq uiv a le n te s?
A=v(q * vp) ( q v p) , B = [ ( v p * v q ) v (m j) ] «-► v [ ( p v q ) * q ]
C=v(p -+ vq) « - (p q) f D-v(p + q) « í í p v q M
6. Cuáles de las a firm a cio n es s ig u ie n t e s son verdaderas?
a) [("■ p v q ) A (vq v r ) ] = (p r ) . b) v (p q ) == fftp,) <-•» q j
c) v [ ( p A q ) v r ] = [ v ( p v r ) v v ( q v r ) ]
7. S im p l if i c a r la p ro p o s ic ió n :
{ ( ( " ‘P * v q ) v p v q ) * [ ( p * q ) v (vp A vq ) v p ]} a (vq)
8. Usando e q u iv a le n c ia s ló g ic a s s i m p l i f i c a r :
( v ( v p + v q ) - M - v ( p v q ) ] v / p + ( '• '« p a q A r 7 ]
9. S i m p l if i c a r aplican do e q u iv a le n c ia s l ó g i c a s la p ro p o sic ió n :
{fp A q A fp v q l7 v / r a p v .r v q l a pj} a {["-p v q v v j v " - ( p v q ) l —
b7 ¡(p + q)v Ap; a Cvq p> d) (p A vr) v [vq -* v(pA r )]
[rA p a (vrvq)]}
10. Dado el conectivo lógico * definido por la
siguiente tabla:
Analizar la verdad o falsedad de las siguien
tes proposiciones:
a) q=V es condición necesaria o suficiente
V V
V F
F V
F F
P q p * q
V
F
V
F
para que (p*q) = VSólo fines educativos LibrosVirtual

55. 42 Capitulo 1: Lógica
b) vp * l(p /\ q) * (r a s)¡ 5 r a s
c) Es falso que (p ■* q) h F sea condición necesaria y suficiente para
p * q h F
11. Si pAtfAr = F , d e m u e s t r e que la proposición más simplificada de:
P = f(vp v q) a C'q v r)J * (r a ^p) es la proposición p y q v r .
1 2 . Hallar la expresión más simple equivalente a la proposición:
[ (*(pv q)) *(*p ■* ''■qjf ¿ iCp A ''-ql V "v/(p a '^q) v fq * p ) l i
13. Se define la proposición lógica compuesta p*q
por medio de la siguiente tabla:
H a l l a r la proposición lógica más simple equiva­
lente a la siguiente proposición:
l(vp)*q] v U V p * q)] * M [v(p * q)] * [ (vp) * q ] \ ] \ v ^ p
14. Simplificar la proposición compuesta:
W p q > v [(p a * q ) v *[ ( r * s) v <q * p ) ¡ ]) o [q a (p ■* q)J
15. E n u n c ia r una proposición t, lo más sencilla posible, que sea equivalen­
te a R + S, siendo:
8 = p S l ( p l q ) v ( ( r a vp) a ( q a vp)j v (p a a < j ) }
S = (^p -* q) v ff-vq - Cp a r ; j a f p - q ) l
16. Aplicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posible las siguien
tes proposiciones:
P = (¡p + (q a, *r)J a [p a (q ■* r j ]} v {[p A q A (pv q> 1 v fr a (A-r v ql A p7>
Q = t f í í ^ A p l v (^p/\q)) v (p * r)} v ^fp «— qll 4 fq A a s ) ♦ q)J
1 7 . S i x e y son i a s p r o p o s ic io n e s más s i m p l i f i c a d a s d e lo s esquemas molecu
lares: P = Ip a [ (q a ^r> v fr y H¡) JJ A ¡ (q a vp) y (vq v r)]
q = f'v.f^p •* v¡; ** ■'■('p v q)) v [p ■* (q a r a ^p)]
respectivamente, hallar x y 'y-
1 8 . C u á le s d e l a s s i g u i e n t e s proposiciones son verdaderas?
a) v[v(p a q) - (vj)J s (P - q) b) v[(vp) qj e fp -- q)
c) M ( p a q) v [p a í-xp v qJ7> 5 (p * ’^q)
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

56. Sección 1.14: Principales Leyes Lógicas y Tautológicas 4 3
1.14.2IMPLICACIONES NOTABLES
1.1 Ley del Uodus Ponens
Su representación simbólica es: [(p ■* q) a p] ♦ q
y su esquema clásico: P * Q
P
••• q
Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la a-
firmación del consecuente.
Ejemplo: "Si en verano hace calor, entonces en invierno hace frío"
"En verano hace calor"
Luego: "En invierno hace frío"
1.2 Ley del Uodus Tollens
Su representación simból ica es: [fp q) A - * vp
y su esquema clásico: p ■* q
•••
Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en ia ne
gación del antecedente.
Ejemplo: "Si Ricardo Palma nació en Lima, entonces es limeño"
"Ricardo Palma no es limeño"
Luego: "Ricardo Palma no nació en Lima"
1.3 Ley del Silogismo Disymtivo
Su representación simbólica es:
l(p v q) * vp] + q o l(P v q) A vj] * p
y su esquema clásico: p v q o p v q
vp v¡
q p
Si se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en
la afirmación del otro miembro.
Ejemplo: "Juan es abogado o es ingeniero"
"Juan es abogado"
______________
Luego: "Juan es ingeniero"Sólo fines educativos LibrosVirtual

57. 44 Capitulo I : L ógica
1.4 Ley de la Inferencia Equivalente
Su representación simbólica es: [(p q) A p] * q
y su esquema clásico: p *-► q
_P
____
••• q
Si uno de los miembros de la premisa bicondicional es verdadera, entonces
es verdadera el otro miembro.
Ejemplo: "Si x es múltiplo de 2, si y sólo si x es par"
"x es múltiplo de 2"
Luego: "x es par"
1.5 Ley del Silogismo Hipotético
Su representación simbólica es: l(p * q) a (q * r>] + (p * r)
y su esquema clásico: p ■* q
q * r
.-. p * r
Si p * q es verdadero y q ♦ r es verdadero, entonces p ■» r es verdadero.
Esta ley indica que el condicional es transitivo.
Ejemplo: "Si x es un número real tal que x 1+x-6=0, entonces (x+3)(x-2)=0"
"Si (x+3)(x-2)=0, entonces: x=3 ó x=2"
Luego: "Si x es un número real tal que x*+x-6=0, entonces x=-3 o x=2"
1.6 Le y de la Trans i t ividad Simétrica
Su representación simbólica es: l(p *-» q) A (q — >■ r,)] ■* (p <-» r)
y su esquema clásico: p «-► q
q <-» r
p ** r
Si (p *■* q) es verdadera y (q ■*+ r) es verdadera, entonces (p ** r) es ver­
dadera. Esta ley indica la transitividad del bicondicional.
Ejemplo: "El viento sopla si y sólo si llueve"
"Llueve si y sólo si el cielo está nublado "
Luego: "El viento sopla si y sólo si el cielo está nublado"Sólo fines educativos LibrosVirtual

58. Sección 1.15: La Demostración Matemática 45
1.7 Simplificación
Se simboliza por: (p a q) ■* p ó (p a q) * q
y su esquema clásico es: p a q ó p a q
p q
De una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus componen­
tes.
Ejemplos: (1) "5 es menor que 7 y 15 es múltiplo de 5, por tanto, 5 es me­
nor que 7"
(2) "Sócrates fue un filósofo griego y Shakespeare fue un dramaturgo inglés
por lo tanto, Shakespeare fue un dramaturgo inglés"
1.8 Adición
Se simboliza por: p * (p v q) ó q * (p v q)
y su esquema clásico es: p ó q
P v q P v q
Una disyunción está implicada por cualquiera de sus miembros.
Ejemplo: "Benjamín Franklin fué inventor del pararrayos. Por lo tanto, fué
inventor del pararrayos o fué un hábil político americano".
1.9 L e y del Absur do
Se simboliza por: [p (q a "WjJ ] •* <«»p ó [‘vp * (q a "H}.)] ■* p
y su esquema clásico es: p -*■ (q A vq) g vp + (q a vq)
:. vp p
Si una contradicción se deduce de una premisa condicional, se concluye en
la negación del antecedente.
LA DEMOSTRACION MATEMATICA
______________________
Ya hemos visto la importancia que tiene, en matemáticas, el uso de
las proposiciones implicativas en diversas demostraciones, específicamente
en la de teoremas.
Fundamentalmente existen dos formas de demostración matemática: la directa
y la indirecta.
1.15Sólo fines educativos LibrosVirtual

59. 46 Capítulo 1: Lógica
Q u ) DEMOSTRACION DIRECTA
_____________________________£
Según la tabla de verdad de la implicación, si p es falso, la pro
posición p + q es válida, cualquiera que sea el valor de verdad de q, enton
ces no habría nada que demostrar. Luego, interesan los casos de antecedente
verdadero.
Cuando a partir de la verdad de p o de un conjunto de premisas de la forma:
P i A P 1 A p , * P * q (<0
se deduce la verdad de la conclusión q, se dice que se ha usado una demos­
tración directa.
EJEMPLO 1 . Demostrar que: "Si 2 x z+a < 9 y x=2, entonces a < 1"
Demostración. Sean p:2x*+a<9 , q:x=2 y r:a<l
Probaremos que: (p a q) * r es válida.
En efecto:
(1) Para x=2 en p, tendremos la inferencia válida:
2xz + a < 9
x = 2
2(2) 2+a < 9
(2) Sea t :2(2) *+a<9 ** t:a<l
Entonces se tiene que: (p a q) » t e s válida
(3) Ya que por hipótesis: (p A q) es verdadero
(4) Si aplicamos el Modus Ponens a (2) y (3), se tiene que el consecuente t
se cumple.
(5) Luego, t = r
(6) Por tanto, r se cunple, con lo que se ha demostrado que: (p a q) * r es
válida.
EJEMPLO 2. Comprobar la validez de la inferencia: p a q
(p a q) * r
r * s
.". s
Solución. Probaremos que la siguiente condicional es una tautología.
(p A q) A [ fp A q) * r] a (r * s) -► s
En efecto:
(1) (p a q) A [’vfp a q) v_r] A fvr v s) * s (Cond. E. 7a)
(2) = (p a q) a [ M p a q) v r] a (s) * s (Abs. £.9a)Sólo fines educativos LibrosVirtual

60. Sección 1.15: La Demostración Matemática 47
(3) 3 [(p a q) v r] a s ♦ s
(4) = {■'■[(p a q) v r] v v s
(5) = ~[ fp a q) v r] v ("vs v s>
(6) = •'-[ íp a q) v r] v (T)
(7) = T (Tautología)
(Tere. Exc.T.3)
(Neutro: E.13c)
(Abs. E.9b)
(Qond. E. 7a)
(Asoc. E.4b)
Por lo tanto, es válida la inferencia.
DEMOSTRACION INDIRECTA
Esta de mostración se denomina también demostración p o r
c o n t r a d i c c i ó n o p o r reducción al a b s u r d o . Según el Modus
To lle nss e puede deducir la negación del antecedente de una condicional
cuando se sabe que el consecuente es falso. Si el consecuente es una contra
dicción, se sabe que es lógicamente falso. Asi de p -* (q a '*}) se puede de­
ducir vp. (Ley del absurdo).
EJEMPLO 1 . Demostrar que: S > 3
Demostración. Sea p : 5 > 3
Se va ha demostrar que p es verdadera. En efecto:
(1) Supongamos que 5=3 , o sea: vp
(2) Entonces por (1): 5-3=2 (q)
(3) Pero: 5-3>0, o sea no es 2 (vq)
(4) Entonces de (2) y (3) tenemos: q a ''-q
(5) Luego, de (1) y (4): ~p ■* (q a *q)
(6) Según la ley del absurdo: l> p * (q a ■'■q,)] p
(7) Api¡cando el Modus Tollens a (5) y (6) se tiene que p es verdadera.
Nota. Una demostración indirecta se emplea tarhbién en enunciados o inferen
cias lógicas válidas que tienen la forma:
Los pasos a seguir son los siguientes:
(1) Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa
(2) De esta premisa adicional, Junto con las premisas dadas, deducir una
contradicción.
(3) Establecer la conclusión deseada como deducción lógica de las premisas
originales.
(p 1 a Pz a P j a A P n ^ Q
[ ("*q) a P i a p, a A Pn ] *-*p¡ (9)Sólo fines educativos LibrosVirtual

61. 48 C apitulo 1: Lógica
Probaremos que (ti ) es equivalente a (a). En efecto:
(ti) s í(vq) a p j a p ¡ a a p n l -► vpi
= a Pa a P » a a p n ] v vp¡ (Cond. E. 7a)
= q v [''•fpi A PiA q,)] v a,Pi (Morg. E.6a)
s q v lv(Pi a p 5 A Pn a Pa>3 (Morg. E.6a)
= *(pi a Pi A pa a pn) v q (Asoc.E.ía y Conm. E.3b)
= fPi a a P i a pn 3 * q (Cond. E.7a)
(ti) s (a)
EJEMPLO 2. Si el contrato no se cumple, entonces la construcción del ecH
ficio no se terminará a fin de año. Si la construcción no se
te rm in a a fin de año, entonces el banco pierde dinero. Por lo tanto, si el
contrato no se cumple, entonces el banco pierde dinero.
Solución. Sean p:El contrato se cumple
q:La construcción del edificio se termina
r:El banco pierde dinero
Entonces, la inferencia es:
(vp * vqj A Cvj + r) ■* (vp r)
Demostraremos que es válida por el método indirecto.
En efecto:
(vp ~ vq) a v(vp + p) * v(vq + r)
(p v ''■q) A v(p v r) * v(q v r) (Cond.E. 7a y E.7b)
(p v vq) a (vp a vr) -» (%q A vr) (Morg. E.6b)
(vp a vr) a vq -► (\q a vr) (Abs. E.9b)
vp a (vr a vq) + (vq a vr) (Asoc. E.4a)
[ p v v(vr a v q ) ] v ( v q a v r ) (Cond. E.7a)
p v i*(vr a vq) v (vr a vj;] fA s o c . E.4b)
p v [ T ] =T (Tautología) (Tere. Exc.T.3)
Por lo tanto, es válida la inferencia.Sólo fines educativos LibrosVirtual

62. Sección 1.16: Circuitos Lógicos 4 9
CIRCUITOS LOGICOS
El valor de verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de
corriente en un circuito eléctrico controlado por un interruptor.
En efecto, para representar un interruptor mediante una proposición p, se
ti ene:
■ | ■ » « O
----------------------H -
Circuito Cerrado Circuito Abierto
Es decir, el interruptor está cerrado (pasa corriente) si V(p)=V, y está a-
bierto (no pasa corriente) si V(p)=F. De aqui establecemos una identifica­
ción entre las proposiciones y los interruptores de un circuito eléctrico.
Las operaciones proposicionales (conjunción, disyunción, etc) pueden repre­
sentarse mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones com
ponentes. Considerando las clases de instalaciones: en serie y en paralelo,
es factible diseñar esquemas de circuitos eléctricos para representar a pro
posiciones compuestas o viceversa.
CIRCUITOS EN SERIE
__________________________________y
Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie:
-----------1 P > | --------•- ■■ » l -----------*
Se observa que este circuito admite paso de corriente cuando los dos inte­
rruptores p y q están cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de co­
rriente. De aqui tenemos el comportamiento de la conjunción de las proposi­
ciones p y q. Por tanto:
a) p a <J: representa un circuito cerrado en serie, que deja pasar corriente
solo si los interrptores p y q están cerrados a la vez. Diremos
que soló en este estado p A q es verdadera.
b) 'vpA'vq; representa un circuito abierto en serie que deja pasar corriente.
Diremos entonces que en este estado n,p a'vq as falsa.Sólo fines educativos LibrosVirtual

63. 50 Capítulo l: Lógica
CIRCUITOS EN PARALELO
Consideremos ahora dos interruptores instalados en paralelo:
<+■
Se observa en el circuito que hay paso de corriente cuando uno de los inte­
rruptores o anbos están cerrados; no hay paso de corriente cuando los dos
interruptores están abiertos. Tenemos, entonces, el comportamiento de la
disyunción de las proposiciones p y q . L a falsedad de pvq, es decir, el he
cho de que no pase corriente, sólo se verifica en el caso de la falsedad sj
multánea de pvq. Por tanto:
a) p v q '■ representa un circuito cerrado en paralelo que deja pasar corrien
te si por lo menos uno de los interruptores eléctricos está cerra
do. Diremos que solo en este estado p v q es verdadero.
b) 'vpv''<?■' representa un circuito abierto en paralelo que no deja pasar co­
rriente, por lo que en este estado •\pv,'q es falsa.
P v d 'vpv
Las representaciones anteriores nos permite diseñar o simbolizar redes de
circuitos eléctricos conectados en serie y en paralelo, o también simplifi­
car circuitos muy complicados haciendo uso de las ya conocidas equivalen­
cias notables.
EJEMPLO 1. Diseñar circuitos lógicos de las siguientes proposiciones:
a) (p v q) a r b) p * q c) p *->■ q
Solución, a) Vemos que ( p v q ) * r es la conjunción de p v q y r, que deben es
tar conectados en serie:
- P * q 4 - (1)
Pero, p v q se representa por:
4 -
Luego, sustituyendo en (1), tendremos la representación pedida, esto es:
---* n ---Sólo fines educativos LibrosVirtual

64. Sección 1.16: Circuitos L ógicos 51
b) Según la condicional E.7a: p * q s ■'•pvq
Luego, la representación de p * q, es la disyunción (conexión en parale­
lo) de *pvq. Esto es: 'vp
• »1
--
c) De la equivalencia E.8a: p M q 5 (p q) a (q * p)
s (*pv q) a (vqv p) (Cond. E.7a)
Entonces, la representación de p ** q es la conjunción (conexión en se­
rie) de (*pvq) y f'wjvpJ, esto es:
i'qvP (
2)
Pero vpv q y v j v p , se representan, respectivamente, por:
— %q□
'Vp
—a - ■ I
Sustituyendo en (2) se tiene:

---- P ----- -
Pero, según la equivalencia E.8b: p q s (p Aq) v ( ^pAV))
lepresentando la disyunción de p A q y 'p*'Vj, tendremos:
|— »
-------« — -
'Vp A 'Vj MI—J IMIIIM 'Vp MMRMMM —X
(3)
(4)
Los circuitos (3) y (4) son representaciones de p
que (3) y (4) son circuitos equivalentes.
E JE MPL O 2. Describir simbólicamente el circuito:
q; se dice entonces
Solución. Los pasos para simbolizar el circuito son:
(1) r y *q están conectados en paralelo; se simbol iza: r v yj
(2) p y (’rv'HjJ están conectados en serie; se simboliza: p A (r v vq)
(3) q y *r están conectados en serie; se simbol iza: q a 'v,r
(4) pAfrv vq) y (q/^Air) están conectados en paralelo; se simboliza:
Ip A (r v vq)] v (q a *r)
Este esquema molecular, llamado también polinomio booliano, representa sim­
bólicamente el circuito dado.Sólo fines educativos LibrosVirtual

65. I
52 C apitulo 1: Lógica
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
E JE R C I C I O 1. Determinar el circuito equivalente al circuito:
- - p
------------- - q — p
— P
- q
— q
Solución. El esquem a molecular que representa al circuito dado es:
[(~p a -q ) v (p v q)] a {p v [q A ( ~ r v ~p)]}
= [(p v q) v (p v q)] a {p v q} (M org.E.ób y Abs.E.9d)
= [T] a (p v q)
= (P v q)
Por lo tanto, el circuito equivalente es:
(Terc.Exc.T.3)
(E.12: FNCb)
E J E R C I C I O 2. Construir el circuito lógico equivalente del esquema:
[(P -» q) v p] a [(p -> q) v -p]
Solución. Según la condicional E.7a, se tiene:
[(~p v q) v p] a [(~p v q) v -p]
5 [(-p v p) v q] A [(~p v - p ) v q]
= [(T) v q] a [(-p ) v q]
s T a (-P v q) s - p v q
- P
Luego, el circuito lógico equivalente es:
(Asoc. E.4b)
(T.3 y ldemp.E.12a)
(E.12: FNDc y FNCc)
E J E R C I C I O 3.
— P
La proposición p A q (Disyunción exclusiva) a cuales de los siguien­
tes circuitos es equivalente?
•1 — i
• P — 1 P — — q — i
(1 )*—
— q -p
( 3 ) ’
q M I - ' I F
— p
( 2 )'
L , _ b L , J
* (4)*
------
r— P —i
— -q —
i
■ "p
Solución. Sabemos que p A q = (p v q) a ~(p a q)
Simbolizando cada circuito dado se tiene:
(1): (p a -q ) v (q a - p ) s [(p a - q ) v q] a [(p a -q ) v ~p]
= [(P v q)] a (~p v -q )
& (p v q) a ~(p a q) s p A q
(2): (q v p) a (~p v - q ) a (p v q) a - ( p a q) = p A q
(3): ( -p v -q ) a [(~p a p) v (q v -q )] a (q v p)
(Dist. E.5a)
(abs. E.5d)Sólo fines educativos LibrosVirtual

66. Sección 1.16: Circuitos Lógicos 53
= (*p v -K}; a l(C) v(T)l a (pvq) (T.2 y T.3)
- 'Hp A q) a [ T ] A (pvq) ( M o r g . E . S a y FNDc)
= (p
v q) a *(p a q; s p ¿ q
f4J: (p v vq) a Cq v Ap; s [ Cp VAq; a q] v [fpv Aqj A Aq] (Dist. E.Sa)
= (<¡ * pj v ('"'P A fAí>s. E.9b)
s (p a q) v 'Hp v q ) r p A q
Por lo tanto, p&q es equivalente a los esquemas (1),(2) y (3).
EJERCICIO 4. Qué representa el circuito equivalente a:
I p
_________1___[ ~ ' V p -----------1
r i _ „
_ r i
p q
Ajp nq
Solución. El polinomio booliano del circuito es:
l(p v q> a (vp v Aqj] v [fp a (¡) v f-vp a Aq)]
= tp A q] v [(p a q ) w ( p v q)l (Disy. Ere.)
= (p 4 q> v A.[>fp a q) a Cp v q;] (biorg. E.6a)
s (P a q) v A>íp a q> (Disy. Exc.)
s T (Tere.Ere.T.3>
Por consiguiente, el circuito representa una tautología.
EJERCICIO 5. Hallar la menor expresión que representa el circuito:
Solución. El esquema molecular representativo del circuito es:
f(p v q) A l(r a •vq; v (q v A»r>]} v [ (y a q) v (r A Aq)]
s [ f p v q) a (A - fq v *r) v (q v * y r j ] } v t f r a vq) v f q a A -r} ] ( £ . 6 b y £.3bJ
s K p v q ) a [ T i l v (r a Aq; v q (T.3 y Abs.E.9d)
! íp v qj v (q v r) : (p v q v r) ■ (E.12:FNCb y Abs.E.9d)
Por tanto, el circuito equivalente es:Sólo fines educativos LibrosVirtual

67. 54 C apitulo 1: L ógica
E J E R C I C I O 6. Sea A el circuito lógico más simple correspondiente a la
proposición: l(p a q) v (p a rj3 a [fp a s) v (p a vsj]
y B el circuito lógico más simple equivalente a:
„ — „ P — i r - ■“ ■ - i
I « « I I — , _ l>\<p
Construir el circuito lógico simplificado correspondiente a: A * B.
Solución. A s [p a (q v r33 A I p A (s v ~s33
3 [p A (q y rj3 A [p A (T>3
! [p a fq V r)3 a p
3 p A (q v r)
£¡ esquema molecular correspondiente al circuito B es:
B = Cfq a vp) v í^p a q>3 a fvq v q)
= L(*p a q) v (*p a q)] a (t>
2 (A-p a q) V A q) 2 ' P A q
A * B = M v f l2 A-Ip a (q v r)] v (A,p a q.)
= [o.p v >v(q v r;] v C^p A q3
= [a-p v (a«p a q33 v A,(q v r)
= v p v A , ( q v p ) = A , p v f o q a a . ^ )
Luego, el circuito simplificado de A * B, es:
(Dist. E.5a)
(Terc.Exc.T.3)
(E.12: FNCb)
(Idemp. E.2a)
(Asoc.E.4b y T.3)
(E. 12:FNCb y Idemp.E2b)
(Morg.E.Óa )
(Conm. E.3b)
(Abs.E.9c y Morg.E.ób)
E J E R C I C I O 7. Hallar la proposición x de manera que sea una tautología el
circuito simplificado siguiente:
„p — , A.q •
Solución. Designemos por P el esquema molecular de todo el circuito, Q el
sistema molecular del circuito superior y R el esquema molecular
del circuito inferior.
Entonces: P = Q v R ^Sólo fines educativos LibrosVirtual

68. Sección 1.16: Circuitos Lógicos 55
(Abs. E.9d)
(Abs. E. 9b)
(Abs. E.9a)
Q = i( v p a vq) v (p a q) } A {p v [q a (a,p v i ) ] l A (vq)
Para abserver la conjunción entre corchetes es suficiente hacer x = v p y obte
ner:
Q = í(p A q ; v *(p v q / ] * U p v q ) } a (vq)
= l ( p A q ) a ( p v q ) ] a
= l(p a q;] A pvqj
= p A (q A vq) = p A C = C
Luego, en (1): P = C v R = R
— ■ P = l(p A q) v (p v ’Hj)] v U r v f^ p A a x)
= l(p v A - q ^ ] V [ f r v A , p ; a x ]
S i x=Ap -► p = f p v Aq> V [ ( r v A,pj a -\,p]
= (p v v (^p) = Cp v Aip) v -hj (Abs.E. 9b y Asoc.E.4b)
= (T) v A-p = y, se cumple. (T.3 y E. 12:FNDc)
En consecuencia: x=vp
fE.Í2: FNDb)
(Abs.E.9c y E.9d)
E JE RCI CIO 8. Construir el circuito lógico más simple equivalente a:
.-vp.
Solución. Sea Q el esquema molecular del circuito superior y R el esquema
molecular del circuito inferior. Entonces, el circuito total es:
P = fQ v ftj a vp (i)
Siendo Q s vp a l(p A vq) v (ap v q j ]
= a.p a l(p A vq) v v(p a vq)j (Morg. E.6a)
= A.p A [ T 3 e A,p (T.3 y E.12:FNCb)
Luego, en (1): P = (vp v R) A vp = vp (Abs. E.9a)
Como se puede observar, no es necesario reducir el esquema molecular de R,
pues éste está en la red de disyunciones que es absorvido por la conjunción
de A.p. En consecuencia, el circuito lógico más simple es:
A . A,p , . . B
E JE RC I C I O 9. Si el costo de cada llave de instalación del circuito E de
la figura adjunta es $10, cuánto se ahorraría si se reempla
za éste por un circuito lógico más simple equivalente?Sólo fines educativos LibrosVirtual

69. 56 Capitulo 1: L ógica
A \
p. q c
Solución El circuito lógico C í p A A a t a 6 (1)
Para obtener el esquema molecular del circuito A, lo particiona-
mos de la siguiente manera:
P
'oq
— p
- o =
J ”
----
p — i .— ,— p —
I— -\,p _
i /'>Q—
. - P —
L... — ^q ___
= p A [r v fpv “Ki) 3
v(pv'^q>3
Luego, A 3 P v Q = (p a [ r v (p v ’^q) 33 v |q a [\¡ v ( p v ^ > 3 1
s 3 (pA r) v [p a (p v V¡3 33 v iq a l(vq v iqj v pJ (E. 5a)
= U p A rj v p3 v Iq a [h? v p3 3
5 p v fq A p) 5 p
Análogamente, para el circuito B:
(E.9a y E.2b)
(E.9c y E.9b)
Y \ q
V
■e =
— Z 3
I q
3 pAfpvQj 2 p
3 r A( P v q v r ) s r
3 pA (qvq) 3 pAq
Luego: B-RvSvZs p y r v (p A q3 = p v r
Entonces en (1): £ = p A P A t A ( p v r J s p A t
Circuito equivalente: - p —
.. t _
Por lo tanto, se ahorraría: 16x10 - 2x10 = 140 dólaresSólo fines educativos LibrosVirtual

70. Ejercicios: Grupo 5 57
EJERCICIOS: Grupo 5
1. Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:
* O/q
-- OjP ■' *
^ j----^ p
----- ---
^ - € . 7 3^
■
--------- q 1
) I % p L
•— P i— A,q
-----1 I— A,q-«
1— p — q — I
f)
9>
h)
J_ j q ~ “p ~ i r ^ i .
*— — q —I '— q —J
> p p — C <, Z l — " — i
h:::í: . 3 -
i— — ^ q - i r — p — q — i
* L _ j ~ p — [^-^ p— ^q - j j " p
2. Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esque
mas moleculares:
a) v[p ■* ^(q v r)) e) (p a q) * (q a p)
b) (vp) (p * vq) f) {[(r v q ) ] A p ] v V } A . q
c) (p v q) ■* l (^p v q) * Cp A q) ]
3. Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados:
H T l b P l h'Vq — J L— <vp — J
- p A,q
C)
b )
h:
A/p — A,q — p P q
P — i " ( J - A-p-A,q
q — I i ---
d)
-^ q - i
p — >
— I ~ j
__
I q %p — I
O
— q
- O /p-*
%q — - ^p — i
' V p _ ' V q _
P
q
- ^ q - #Sólo fines educativos LibrosVirtual

71. 58 Capitulo I : L ógica
4- a un electricista se le da el diagrama del
circuito siguiente:
El quiere hacer una instalación lo más econg
mica posible y que sea equivalente al circui­
to original. Si cada interruptor cuesta $1.20
y no teniendo en cuenta el alambre, cuánto le
costó la instalación y cuánto se ahorró ?
11 ■£ «■ i » ii t i « i < \,q
5. Demostrar que son equivalentes los circuitos A,B y C.
B C
- c
l c t j o 1. r 1 i— ,'-q-
A
6. Demostrar que los siguientes circuitos son equivalentes a p A q.
- a o o - - c : : : 3- c £ ' p -
7. Construir el circuito más simple correspondiente al circuito:
-• 6
8. Hallar el resultado de conectar en paralelo los siguientes circuitos:
A»q„
I -» ' ' • ■■■ p 1 ■ ■ I
.q.
, — p - C p D ] - . ^ _
M W p 4 M M l J
S. El costo de cada llave en la instalación del circuito siguiente es de
$15. ¿En cuánto se reducirá el costo de instalación si se reemplaza di
cho circuito por el más simple posible?Sólo fines educativos LibrosVirtual

72. Ejercicios: Grupo 5 59
' V p .
%q-j - o c
I [— p — q — l
i— ' b p — — a . q ■ I
n - c p -
. r _ c w > ,
*— a
--1. n,p— - "uq.
10. Construir el circuito lógico más simple equivalente al circuito:
11. Sea P la proposición más simpl if icada del circuito lógico:
- p — i i— r —
■q
■c
q
'vr
'Vr
---- q
r 1 11 " ^q
p — q
p — % q
■ ' V p — % q ■
y sea Q la proposición más simplificada de
l(p A s) v (p A ^s>] A U p A q) v (p A r) ]
Construir el circuito lógico más simpl if icado correspondiente a P -*• Q
12. Sea P la proposición más simplificada del circuito lógico:
y sea Q la proposición más simpl if icada de: s •* ^ [w ¿ f^s * w)].
Sí p,q,s,t,w son proposiciones lógicas cualesquiera tales que P -1-*- Q es ver
dadera y v w -► v s es falsa; hallar los valores de verdad dé las siguientes
propos iciones:
a) (s "-*■ Mv; -*■ v(vp v q) b) v(vq -» vp) ->■ í(t v vw) (w a ^pj]
Construir el circuito lógico más simple equivalente a:Sólo fines educativos LibrosVirtual

73. 60 Capitulo 1: Lógica
14. Sea A Ja proposición más simplificada del circuito lógico
p — q ■
L p—i
L _ p q T
j '
---1-
l— 'v-q — — l
y B la proposición compuesta más simplif ¡cada de:
|ifr *■* ^s> i si v Ip'-r v s) A [s v (r A s) v
Hallar el valor de verdad de A — <■ B sabiendo que la proposición compuesta:
U * p •» (q v rJlAf^q)! ("'-r -► (vp v s.) 1, es falsa.
15. Hallar la proposición x m á s simple de manera que el circuito lógico s ¿
16. Simplificar lo más posible el siguiente circuito, siguiendo pasos orde
nados y justificados.
. .
r -C D -C Ih
h z i z : ^ - H T I h C l Hb w r* ■ * r ■■■■■ i
17. Sea A el circuito lógico más simple equivalente al circuito:
-P •
- c p -
• v p
------------------ q ■vp.
y sea B, el circuito lógico más simple equivalente al circuito:
■ p q
• % r -
t e
I— p — - ■ S
-------- t — j
Construir el circuito lógico simplificado correspondiente a A + B.
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

74. 61
m DEFINICION
____________________________________________Q
La idea de conjunto es básica en el pensamiento humano. La idea es algo pura­
mente intuitivo, algo no definido, pero si entendido por cada persona como resultado de
su propia experiencia. Gracias a que la idea de un conjunto es algo ya entendido podemos
identificarlo como una agrupación o colección de cualquier tipo de entidades u objetos
que tienen propiedades comunes. Estos objetos se llama elem entos o miembros del con­
junto.
Ejemplos:
(1) Los números 2, 3, 4, 5 forman un conjunto de cuatro elementos.
(2) Los días de la semana forman un conjunto de siete días.
(3) Las partes del automóvil forman un conjunto llamado Toyota 2003.
Nótese que en algunos casos, como en los ejemplos (1) y (2), los elementos del con­
junto son abstractos, es decir, existen solo como ideas en la mente de una persona. En
otros, com o en el ejem plo (3), el conjunto consiste en objetos físicos reales.
NOTACION
Usualmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas:
A, B, C
........................X, Y, Z
y los elementos que lo determinan se designan por letras minúsculas:
a, b, c , x, y, z
Si un conjunto A está formado por los elementos 1, 2, a, b se escribe:
A = ¡ l,2,a,b)
y se lee: “A es el conjunto de los elem entos 1, 2, a, b”
Se observa que los elem entos van separados por comas y encerrados entre llaves ( ).Sólo fines educativos LibrosVirtual

75. 62 C apitulo 2: C onjuntos
La relación de pertenencia se indica por la letra griega epsilon e, de modo
que:
aeA indica• / a Pertenece al conjunto A
\ a es elemento del conjunto A
3fA indica: f 3 no pertenece al conjunto A
t 3 no es elemento del conjunto A
DETERMINACION DE UN CONJUNTO
____________________^
Existen dos maneras de especificar o determinar un conjunto dado: por
extensión y por conprensión.
2.3.1 Por E x t e n s i ó n . Un conjunto queda determinado por extensión
cuando se conocen individualmente todos sus ele­
mentos.
Ejemplos: (1) A=la,e, i,o,u). Se lee: "A es el conjunto de todas las voca-
del alfabeto castellaño”
(2) B=ll,2,3,...)
Se lee: "B es el conjunto de elementos 1,2,3,..." (los puntos sucesi­
vos indican que posiblemente existan otros elementos)
(3) C = l a ,lb,c),d,e)
Se lee: ”C es el conjunto de elementos a, el conjunto ib,c) ,d,e". Aqui
se puede observar que: aeC, {b,c)sC, btC, ci-C, deC, eeC, ftC.
2.3.2 Por Comprensión. Un conjunto A queda determinado por conpren­
sión, cuando éste se define por medio de una
propiedad la cual deben satisfacer cada uno de sus elementos.
Si denotamos por x a un elemento cualquiera del conjunto A y por P a la pro
piedad característica, se escribe:
A = lx|i cumple P) o A = tac|P(oc) es verdadera)
y se lee:
"A es el conjunto de los elementos x, tal que x cwnple P" o
"A es el conjunto de los elementos x, t a l que P(x) es verdadera".
(La barra vertical | se lee "tal que" o "tales que")
Escribir xeA significa que x cimple la propiedad P y recíprocanente.
Ejemplos. (1) Si A=ia,e, i,o,u), empléanos la letra x para expresar un ele­
mento representativo del conjunto, escribiendo la propiedad
característica en forma de enunciado abierto, esto es: P(x):x es una vocal.
Luego, se escribe: A = {x|x es una vocal}
2.3Sólo fines educativos LibrosVirtual

76. Sección 2.4: C onjuntos F initos e Infinitos 63
y se lee: "A es el conjunto de los elementos x, tales que x es una vocal".
El conjunto A también puede escribirse:
A - 1jc|cc es una letra del alfabeto, x es una vocal}
Aquí la coma se lee "y".
(2) En B= 0,3,6,9,12,...} se observa que sus elementos son números natura­
les múltiplos de 3, o sea la propiedad característ ica es P(x):x es un
número natural y múltiplo de 3.
Entonces: B = {jc|jc es un número natural y múltiplo de 3}
[ J J CONJUNTOS FINITOS E INFINITO S
___________________ |¿
Desde un punto de vista intuitivo, un conjunto es finito si consta de
un determinado número de elementos distintos, es decir, si consta de un pr[
mer y último elementos)), o si al contar sus diferentes elementos, el proceso
de contar se termina. En caso contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplos: (1) A=b:|x es un día de la semana} es un conjunto finito
(2) B=íl,2,3,4,51 es un conjunto finito
(3) C=lx|x es un número par} es un conjunto infinito
(4) D= ix:joc es un habitante de la tierral es un conjunto finito
aunque sea difícil contar los habitantes del mundo.
0 3 CONJUNTOS NUMERICOS
______________________________
Los conjuntos numéricos que se estudian en matemáticas son: ¡os níme-
ros naturales, los números enteros, los números racionsles, los números i-
rracionales, los números reales y los números complejos.
A continuación se hace una descripción muy simple de estos conjuntos con el
objeto de hacer posible su empleo en temas posteriores.
(1) El conjunto de los números naturales
Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son empleados para rea
1 izar la operación de contar.
N = {1,2,3,...,,n,...}
(2) El conjunto de los números enteros
Es una extensión del conjunto de los números naturales, se denota por
Z, y se escribe:
2 = i-n,-
....-3,-2,-1,0,1,2,3 ,nl
Cuando se desea designar a los enteros positivos o negativos, se escrtSólo fines educativos LibrosVirtual

77. 64 C apitulo 2: C onjuntos
be: Z+ = 11.2,3,4 ni
Z~ = {-n,- ,
---,-4,-3,-2,-li
Otras representaciones importantes del conjunto de los números enteros son:
Zo = {0J,2,3,4
..........
Enteros pares = lx|x=2k, keZi
Enteros impares = {x=2k+l, kcZi
(3) El conjunto de los números racionales
Es el conjunto que se denota por Q y que es la solución de la ecuación
ax+b=0, donde a y b son enteros, con a/0. Se escribe:
Q - {x|ax+b=0, a,btZ, a/Oi
o bien: Q - i . . . , - *
., 0 , 1 , 1.............
Todo número racional b/a puede también ser representado mediante una expre­
sión decimal exacta o periódica:
Por ejemplo: j = 0.5 ; = 0.75 ; = 0.666... = 0.6'
(4) El conjunto de los números irracionales
Es el conjunto que se denota por I y está formado por los números que
no son racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse en
la forma b/a, a,beZ y afO
I = 1..., -ii,-/¡¡,/3,e,», ....I
(5) El conjunto de los números reales
Es el conjunto denotado por R y está formado por los conjuntos Q e I.
R = {....-ti,- /5,-1/2,0,3/2,2,n,/Í7,...i
(6) El conjunto de los números complejos
Es el conjunto que se denota por C y cuyos elementos son de la forma:
a+bi, donde a,beR e i=/-T
C - (a+bi|a,beR, i=/=.1}
CONJUNTOS ESPECIALES
2.6.1 Conjunto Vacío o Nulo. Es el conjunto que no tiene elementos. Se le
denota simból i comente por la letra griega <t>
(phi) y se define como:
<t> = {x|x f x}
y se lee: para cualquier x tal que , x es diferente de x, no es satisfechoSólo fines educativos LibrosVirtual

78. Sección 2.6: Conjuntos Especiales 65
por algún elemento. Para indicar que un conjunto A no tiene elementos se es
cribe A=$, en caso contrario se ecribe Aft>.
Ejemplos:
(1) A=lxeK|.x2+4=0}, es un conjunto vacío, pues la ecuación x z+4=0 no tiene
raíces reales. Luego, A= <t>
(2) B- (jceN[ 5<x<6), es un conjunto vacío porque no existe un número natural
que sea mayor que 5 y menor que 6 a la vez. Luego, B=$
(3) C={ x tZ\l5xz-llx+2=0), es un conjunto vacio pues al resolver la ecua­
ción 15xz-llx+2=0 se obtiene:x=l/3, x=2/5, que no pertenecen a Z. Lue­
go, C=4>
2.6.2 Conjunto unitario. Es el conjunto que contiene uno y solo un elemen
to.
Ejemplos:
(1) A=lal es un conjunto unitario.
Como aelal, resulta evidente que aflai
(2) B={oceN|jc2-4=0}={2}, es un conjunto unitario.
(3) C = { f a H y D= í<|>> son conjuntos unitarios, pues la}eC y <|>eD.
Observación. Se debe tener presente que: {<t>> \ 4>
1$} es un conjunto unitario que está determinado por {arjsc=<|>},
lo que asegura su existencia.
} es el conjunto vacío, el cual definimos por: $ = l . ry nos permite
garantizar su existencia y que es único.
2.6.3 Conjunto Universal. El conjunto universal, llamado también universo
del discurso y denotado por U, es un conjunto
fijo del cual se toman otros conjuntos; es decir, que contiene a todos los
conjuntos que podemos mencionar en una materia.
Los conjuntos más importantes en matemáticas son los conjuntos niméricos:
R , N , Z , Q . I, C , en ese orden.
Ejemplos. (1) El conjunto universal l/=lxeZ|-2íaS7) es universo de los con­
juntos A={ -2,0,1,2), B={1,3,5,6), C={0,2,4\, porque todos
los elementos de los conjuntos A,B y C pertenecen al conjunto U.
(2) Es el conjunto U={0,1,2,3,4), universo del conjunto A={sc* |scet/> ?
En efecto, podemos observar que el conjunto A está formado por los cua­
drados de los elementos de U, esto es: A={0,1,4,9,16}.Sólo fines educativos LibrosVirtual

79. 66 Capítulo 2: Conjuntos
LOGICA CUANTIFICACIONAL
m FUNCION PROPOSICIONAL
______________________________
Una función propos i c i onal es todo enunciado abierto de la forma p(x)
que tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido
la variable x por una constante c específica. El conjunto de todos los valo
res convenidos para ¡a variable x recibe el nombre de dominio de la varia­
ble. Esto es, si representamos por D el dominio, diremos que x pertenece a
D mediante la notación conocida: xcD.
Entonces, según la definición de enunciado abierto, función proposicional
sobre D es toda expresión p(x) tal que p(c) es verdadera o falsa para todo
ceD.
E/emplos. (1) p(x): x+5 < 11 (3) r(x): 2x*-6
(2) q(x): 2x-3=7 (4) s(x): x es blanca
En (1), si x pertenece al conjunto de los números enteros, entonces p(x) es
una función proposicional, cuyo dominio son los números enteros, esto es, si
x = -2eZ + p(-2): -2+5 < 11, es verdadera
x = 7zZ + p(7): 7+5 < 11, es falsa
Por tanto, p(x) es una función proposicional
En (2), si x=5 + q(5): 2(5)-3=7, es verdadera.
x=2 + q(2): 2(2)-3=l ^ 7, es falsa
Luego, q(x) es una función proposicional
En (3), si x=3 + r(3): 2(3)l-6=12, no se le puede asignar ni V ni F, luego
r(x) no es una función proposicional.
En (4), si x=tisa + s(tisa): la tisa es blanca, es verdadera.
x=pizarra + s(pizarra): la pizarra es blanca, es falsa.
Luego, s(x) es una función proposicional.
Observación. No se debe confundir entre el valor de verdad de una proposi­
ción (V o F) del valor de una función proposicional, para un
cierto valor de la variable.
Por ejemplo, en la proposición p(x): El autor de x
Si oc="El capital", entonces:
p("El capital"): El autor de "El capital" = Carlos Marx
Se tiene: Valor de la función proposicional = Carlos Marx
Valor de verdad de la función proposicional = VSólo fines educativos LibrosVirtual

80. S e c c ió n 2.8: Cuantificadores Universal y Existencia! 67
CUANTIFICAPORES UNIVERSAL Y EXISTENCIA!.
________^
Hasta ahora hemos visto un método para obtener proposiciones a partir
de una función proposicional p(x). Hay otro método completamente distinto
que permite obtener proposiciones a partir de una función proposicional: es
el método de los llamados cuantificadores. Tomemos un ejemplo, sea la fun-
c ión propos icional:
p(x): x es un número primo (1)
Si a esta función proposicional anteponemos la locución "Para todo x" obte­
nemos :
"Para todo x, x es un número primo" (2)
y con ello estamos indicando el sentido universal de dicha función
proposicional; pues si afirmamos que, cualquiera que sea el objeto x, ese
objeto x es un número primo, entonces habremos obtenido una proposición.
La locusión "para todo x" se denomina el cuantificador universal y simbóli­
camente se le representa por Vx.
Uxego, la declaración (2) se puede escribir:
Vx: x es un número primo (3)
Insistimos, pues, en que (1) es una función proposicional, en tanto que (3)
es una proposición.
En términos generales, si se tiene una función proposicional p(x), se puede
tener de él una proposición mediante la adjudicación de un cuantificador u-
niversal, asi:
Vx:p(x) o Vjc|p(xJ o (Vx)[p(x)j
en todas ellas se lee:
"Para todo x, tal que, se verifique p(xj"
La locución "para todo x" no es el único cuantificador que permite obtener
proposiciones a partir de funciones proposicionales, existe otro llamado,
cuantificador existencial.
Llamamos, en efecto, cuantificador existencial en x, a la frase "Existe x
tal que". Si anteponemos a la función proposicional (1) este nuevo cuantif¿
cador, se obtiene:
"Existe x tal que, x es un número primo" (4)
Esta afirmación establece que hay por lo menos un objeto que es número pri­
mo. Por tanto, se ve que (4) admite la siguiente formulación sinónima:
"Hay algún número primo" (5)
No cabe duda de que (5) es una proposición y, además, verdadera.
2.8Sólo fines educativos LibrosVirtual

81. 68 Capítulo 2: Conjuntos
£1 cuantificador existendal en x "Existe x tal que" se simboliza 3x, de
modo que (4) se puede escribir del modo siguiente:
En términos generales, si se tiene el esquema proposicional p(x), puede ob­
tenerse de él una proposición mediante la adjunción de un cuantificador e-
xistencial, asi:
"Existe por lo menos un x, tal que se verifique p(x)"
El símbolo 3 que significa: "existe" o "para algún" o "para al menos un" se
llama cuantificador existencial o particular.
Ejemplo. Para el conjunto A-{-l,2,3,4} se tiene:
a) VxeA: 3x~2 < 12, se lee: "Para todo XcA, cimple 3x-2<12’,' o
"Cada xeA ampie 3x-2<12".
y es una proposición verdadera porque todo elemento de A cumple la pro­
piedad: 3x-2<12.
b) 3xcA: x2-2x=8, se lee: "Existe (al menos uno) xcA tal que x 2-2x-8" o
"Algunos xcA cumplen: x 1-2x=8", que es una proposición verdadera, pues
para x-4 se cumple la propiedad: x 2-2x=8.
c) VxeA: x 2+3x+l>0, se lee: "Cada xzA cumple x*+3x+l>0" o "Para todo xtA,
cumple x l+3x+l>0". La proposición es falsa, pues para x=-lzA no se cum­
ple la propiedad: x*+3x+l>0.
lina proposición universal es aquella que está provista de un cuant¿
ficador universal, y tiene la forma:
VxcA: p(x)
Ejemplos. (1) Si A={-1,1,2,3) se tiene:
a) “Vx A, xeN", la proposición universal es falsa, pues hay al
menos un etsmento de A (-IcA) que no es número natural,
b) "VxeA, 3xz-x i- 2", la proposición es verdadera, pues cada uno de los e-
ianentos de A cumple la propiedad: 3xz-x i- 2
(2) "Todos los bolígrafos son azules"
Si representamos por B el conjunto de todos los bolígrafos, denotamos:
"Vx£B, x es azul". Obviamente la proposición es falsa, pues hay bolígra
3x: x es un número primo (6)
3x:p(x) o 3x|p(x.) o (nx)lp(x))
y se lee:
PRO PO SICIO N ES U N IV E R S A LE SSólo fines educativos LibrosVirtual

82. Sección 2.9: Negación de Proposiciones cjue tienen Operadores Cuantificacionales 69
fosx¡ue son rojos, negros, etc.
En general, la proposición universal: VxeA:p(x) es verdadera si la propie­
dad p(x) lo es, es decir, se cumple con cada uno de los elementos de A, y
es falsa si hay al menos un elemento de A que no cimple la propiedad p(x).
2 Í S PRO PO SICIO NES p a r t i c u l a r e s o EX IS TE N C IA LE S fet
Se denomina proposición particular a aquella que está provista de
un cuant ificador existencial, y tiene la forma:
3XcA:p(x)
Ejemplos. (1) Si A=}1,2,3,4} tenemos:
a) 3 x e A ¡ 2 x + 1 > 8 , l a proposición es verdadera, pues hay al me­
nos un x=4 que cumple: 2x+l>8.
b) 3 X e A | x 2 + 2 x = 5 , e s falsa, pues ninguno de los elementos x de A cumplen la
propiedad: x l+2x-5.
(2) La proposición: 3 x e N | x es par y primo. Es verdadera, pues 2cN cumple la
propiedad "x es par y primo".
En general, la proposición particular 3 x e A | p ( x , ) , e s verdadera si en A hay
al menos un elemento x que cimple p(x), y es falsa si ningún elemento de A
cumple p(x), esto es, todo elemento de A no cumple p(x).
Observación. Si la proposición particular 3 x e A | p ( x . ) , es verdadera para un
único valor de x en A, se escribe:
3 ,'x e A | p(x)
y se lee: "Existe un único xeA tal que cumple p(x)"
NEGACIO N DE PRO PO SICIO NES Q U E C O N TIEN EN
O PER AD O R ES C U A N TIFIC A C IO N A LES
Sea la proposición:
p(x): "x es un planeta habitable"
Entonces la expresión Vx:p(x), es evidentemente falsa, y por lo tanto quere
mos afirmar su negación:
vlYx:p(x)]
que se lee:
"No para todo x, x es un planeta habitable"
y significa:
"Existe por lo menos un planeta que no es habitable"Sólo fines educativos LibrosVirtual

83. 70 C apitulo 2: C onjuntos
o bien: "No todos los planetas son habi tables"
Por lo tanto, la equivalencia del siguiente teorema, resulta evidente:
Teorema 1. La negación del cuantificador universal es equivalente a la
afirmación de un cuantificador existencial respecto de la
función proposicional negada.
v[Vx:p(x)j = [sx;vp(x)]
Si tenemos ahora la proposición:
3x:p(x)
que significa:
"Existe por lo menos un planeta que es habitable"
y que es una afirmación verdadera, entonces su negación es:
'v/ajc :p(x)]
que quiere decir:
"No existe x, tal que x sea un planeta habi table"
"Todos los planetas son no habitables"
"Para todo x, no es el cuso de que x sea un planeta habi table"
Expresando simból icimente, se tiene:
Vx;vp(x)
Por lo que, la equivalencia del siguiente teorema es evidente:
Teorema 2. La negación de un cuantif icador existencial es equivalente
a la afirmación de un cuant i ficador universal respecto de
la función proposicional negada.
v[3x:p(x)} 5 ¡Vx:^p(x)1
Observación. Estas dos negaciones de proposiciones que contienen cuantifi-
cadores se conocen también como los Teoremas de De Morgan.
En general, si representamos por A el conjunto de todos los valores convem
dos para la variable x, tenemos:
Teorema 3. "'[VxeA:p(x) ] = ¡sx*A:Vp(x)]
O sea el enunciado:
"No es verdad que, para todo ce A, p(a) es verdadera"
es equivalente al enunciado:Sólo fines educativos LibrosVirtual

84. Sección 2.10: Funciones Lógicas que Contienen mas de una Variable 71
"Existe un aeA tal que p(a) es falso"
Teorema 4. "'j*x£A:p(x)] = ¡Vx£A:^p(x)]
o sea el enunciado:
"No es verdad que existe un aeA tal que p(a) es verdadero"
equi vale al enunciado:
"Para todo aeA, p(a) es falso"
Por ejemplo, la negación de la proposición:
"Para todo número natural x, x+3 | 5"
Simbólicamente: v[VxeN:x+3>5] = [3xeN:x+3$5]
FUNCIONES LOGICAS QUE CONTIENEN MAS DE
UNA VARIABLE
________________________________________ ^
De lo dicho en 2.7 para funciones propos i dónales en una variable,
en forma análoga se definen funciones propos i dónales en varias variables.
Por ejemplo:
x mato a y (i)
es una expresión en dos variables tal que, para cada sustitución de ambas
variables por sendos nombres convenientemente elegidos, se obtiene una pro­
posición. Asi para: x=Bruto e y=César, se produce la proposición:
p(x,y): Bruto mato a César
Un ejemplo de función propos icional de tres variables es:
x vió que y mataba a z
ia cual, para :c=Napoleón, y=Bruto, z=César, produce la proposición:
p(x,y, z) -.Napoleón vió que Bruto mataba a César
Otro ejemplo similar es: x+y+z=l (2)
Para x=2, y=3, z=-l, produce la proposición:
p(x,y,z):4=l
2.10
USO PE LOS CUANTIFICADORES
______________________^
Si se coloca un cuantificador (universal o existencial) delante
de una función proposicional de varias variables, no se obtiene una
proposición sino una función proposicional de menor número de variables.
Por ejemplo, si aplicamos a (2) de 2.10 el cuantificador universal en x se
obti ene:
2.10.1
Vx: x+y+z=l (3)Sólo fines educativos LibrosVirtual

85. 72 Capítulo 2: Conjuntos
que es una función proposicional en dos variables: y,z.
Si a (3) api icemos el cuantificador existencial en y, obtenemos:
Sy:Vx: x+y+z=l (4)
que es una función proposicional en la variable z.
Si a (4) le aplicamos el cuantificador universal en z, obtenemos:
Vz:3y:Vz: x+y+z-1 (5)
que es una proposición. En el caso de que los individuos u objetos sean nú­
meros, el sentido de esta proposición es el siguiente:
"Dado cualquier numero z, existe por lo menos un nímero y tal que, para cu­
alquier número x es: x+y+z=l"
Para determinar su valor de verdad procedemos de la siguiente manera:
Como la proposición afirma para todo z, podemos tomar z=-3. Una vez fijado
z=-3, la proposición afirma la existencia de un cierto número y t, tal que
cualquiera que sea x se debe cunplir:
x+yt-3=l +-+ y,+x=4 (6)
Ahora si tomamos x=l, la proposición afirma que:
y,+1=4 •— y t=3 (7)
Pero como también poodemos dar a x cualquier otro valor, tomemos x=0 y
obtenemos, siempre para el mismo y ,:
y,+0=4 +-> y,=4 (8)
Las igualdades (7) y (8) muestran que tal y debe valer simulténeamente 3 y
4, por lo cual no existe, y la proposición en cuestión (que afirmaba su exis
tencia) es falsa.
Alteremos ahora el orden de los cuantificadores en (S) y obtengamos:
Vz:V x :3y: x+y+z=l (9)
proposición que significa:
"Para números cualesquiera z y x existe un número y tal que: x+y+z=l"
Aqui se dan primero los números arbitrarios z,x, luego se afirma para ellos
la existencia de un y, tal que... .etc. Luego, no debe considerarse que se
trate siempre del mismo y. Asi, por ejemplo, dados z=2, x=l, existe efecti­
vamente un y, que es y=-2. Para z=0, x=2, existe también un y (■distinto del
anterior) que es y=-l. En consecuencia, la proposición (9) es verdadera. Co
mo, según vimos, la proposición (5) es falsa, comprobamos que las proposi­
ciones (5) y (9) no significan lo mismo. Esto muestra que una alteración en
el orden de los cuantificadores puede alterar la proposición obtenida.
En resulten. La api icación de n cuantif icadores correspondientes a las n va
riables de una función proposicional, produce una proposiciónSólo fines educativos LibrosVirtual

86. Sección 2.10: Funciones Lógicas que Contienen mas de una Variable 73
que tiene un valor de verdad. Por ejemplo:
¥x,?y:p(x,y) o ¥x,¥y, 3z:p(x,y, z)
El orden en que se aplican los cuantificadores es esencial; en algunos ca­
sos, al cambiar el orden de los cuantifícadores cambia la proposición (o la
función proposicional) obtenida.
Nota. La negación de una proposición cuantificada que contiene más de una
variable puede averiguarse asi:
v¥x[3y:p(x,y)] = Sx^[3y:p(x,y) ] = 3x,¥y;vp(x,y)
Ejemplo. Sean H={Juan,Luis,Ruben\ y M=¡Carmen,Patricial y la función propo
sicional:"x es el hermano de y". Entonces:
¥xcH, 3yeM:p(x,y)
significa: "Para todo x de H existe un y de M tal que x es el hermano de y"
Es decir todo elemento de H es el hermano o bien de Carmen o bien de Patri­
cia..
En cambio: *ytM,¥xeH:p(x,y)
significa: "Existe un y de M para todo x de H tal que y es hermano de x"
Es decir, afirma que al menos una de las mujeres de Mes hermana de todos
los hombres de H.
Como se puede observar, el orden diferente de los cuantifícadores da lugar
a una proposición diferente.
La negación de: ¥xeH,3yeM:p(x,y)
es: vyxcH,3yeM:p(x,y) = 3xzH,¥yeM: ^p(x,y)
significa: "Es falso que todo hombre de H es el hermano de al menos una mu­
jer de M" y es equivalente a:
"Al menos uno de los hombres de H no es el hermano de ninguna mujer de M".
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Determinar por comprensión al conjunto:
A = {3,8,15,24,35,48}
Solución. Emplearemos el método de las diferencias sucesivas que consiste
en lo siguiente:
a) Ordenar los elementos del conjunto dado en orden creciente.
b) Efectuar las diferencias sucesivas entre dos elementos consecutivos has­
ta que resulten ser siempre iguales.
c) Si estas diferencias resultan iguales en el primer, segundo o tercer in-Sólo fines educativos LibrosVirtual

87. 74 Capitulo 2: C onjuntos
tentó, entonces el polinomio que caracteriza a cada elemento del conjunto
será de primer, segundo o tercer grado, respectivamente, esto es:
x = P(n) - an+b , en el primer intento
x = P(n) = an*+bn+c , en el segundo intento
x = P(n) = an*+bn*+cn+d , en el tercer intento, etc.
y donde: x = es el elemento del conjunto dado.
P(n) = es el valor numérico de x para un neZ arbitrario en térmi­
nos de los coeficientes a,b,c, etc.
Para el ejercicio dado: 3 8 1 5 24 35 48
5 7 9 11 13
2 2 2 2
La diferencia constante se obtuvo en el segundo intento, luego la propiedad
común de cada elemento es: x = P(n) = an2+bn+c ; a i O
Para n=l •» 3 = P( 1) = a+b+c (1)
n=2 - 8 = P(2) = 4a+2b+c (2)
n=3 - 15 = P(3) = 9a+3b+c (3)
Resolviendo el sistema (1), (2) y (3), obtenemos: a-1 , b=2 , c=0
Entonces: x=n*+2n .'. A = )x|x=n*+2n, neZ, JSn$6)
Si asignamos otros valores para n, tales como n=0, n=l y n=2, obtenemos:
a=l, b=4 y c=3 (verificar), luego, otra forma de definir por comprensión el
conjunto A es: A = lx|x=n*+4n+3, neZ, 0íní5}
EJERCICIO 2. Cuántos de los conjuntos dados a continuación
son vacíos.
a) A=ixet/|x=x , x&ci d) £ M x e N | x * - í =0(
b) B=(xeNjx*+3x+2=0> e) EHxeft|x*=4 a 2x- 3 = 0 )
C) C=<xeQ|3<x<5» f) F=ixcR-{0} |-x=x'1}
Solución, a) A=$ , porque ¡txel.'|x=x y Xrx a la vez.
b) x1+3x í2=0 x=-l ?N ó x=-2/N. Luego £=♦
c) 017/2,4,9/2}. Todos son números racionales, entonces C/í
d) x 2-l=0 *-» x=i ó x=-ltN, luego: D={2} ^
e) No existe ningún número que satisfaga (x1r=4) A (2x-3=0). £=*
f) -x=x"‘ x l=-l x=í/c T = ±i i R, luego: F=4
Por lo tanto, cuatro son conjuntos vacíos
EJERCICIO 3. Dada la proposición: "Si todos los números primos son impa­
res, los números positivos son mayores que -1"
a) Expresarla simbólicamenteSólo fines educativos LibrosVirtual

88. Sección 2.10: F unciones L ógicas que contienen m ás d e una variable 75
b) Negar oraci analmente la proposición.
Solución. Sea: p(x) = números primos impares
q(x) = números positivos mayores que -I
a) En símbolos se tiene: Vxíp(x) * q(x)]
b) *l¥x(p(x) -*■ q(x)]) 5 ¥x[p(x)] a Mírfqfx) 1 (Cond. E.7b)
= ¥x(p(x)j A 3xC^q(x)]
que se lee: "Todos los números primos son impares y algunos números no son
mayores que -i"
E JE RCI CIO 4. Dado el conjunto universal U={-5,6,2/5, ¿6, /-2,1 + i ,0.2)
Determinar los siguientes conjuntos por extensión:
A = íxe{/|xeR «-* xtfl} B = brel/|xeQ -*xs¡RJ
D = v xtZl E = ixcí/|xeC A xtN\
Solución. Conocidos los elementos de los conjuntos numéricos , construimos
la siguiente tabla de valores de verdad:
A 8 D E
u xe R-*—»■x¿ Ix e Q•>x ¿R x ¿N V x £ Z x e CA x é N
-5 V V V V F F V V F V V V
6 V V V V F F F F F V F F
2 / 5 V V V V F F V V V V V V
/ T V F F F V F V V V V V V
F F V F V V V V V V V V
1 + iF F V F V V V V V V V V
0 .2V V V V F F V V V V V V
Los elementos de los conjuntos A,B,D y E se eligen de tos elementos del con
junto universal V, de la fila correspondiente con valores de verdad V. Esto
es: A={-5,6,2/5,0.2) , fl={/íf,.'c 2,1 + i] , D=E=(-5,2/5,/F,/H,l+í,0,2}
EJER CIC IO 5. Sea el con junto A= {i ,2,3,4,5} y ¡as proposiciones:
p = 3JceA| (x+2=6) — (x~5=8) , q = ¥xeA¡ (x+2>2) v (x+2<2) y
r = ¥xeA,ayeA¡x+y>2 . Hallar el valor de verdad de: s=v[(p * q ) a fq y ^r)J
Solución. £n p: para x=4^A — - (4+2=6) es V
(./x-5=8/ = (4-5=8) es F
Luego: V(p) = V(V +■ F) = F
En q se tiene: (x>0) v (x<0). Todo elemento de A satisface x>0, más no x<0Sólo fines educativos LibrosVirtual

89. 76 Capítulo 2: Conjuntos
Por tanto: V(q) = VfV v F) = V
En r, si y=2e.A ■* x+2>2 tiene como solución el conjunto A, o sea V(r)=V.
En consecuencia: V(s) = "-[(F -*• F) a (V v F)] - "*[V a v] = F
EJERCICIO 6. Hallar los valores de verdad de las negaciones de las propo
siciones siguientes: p=(3xeN¡x+2=5) * (YxeN¡xz>x) ,
q=(-Vx*Z\-x<0) v (3xeZ¡-x=x) ; r=axeR|/^SceR.
Solución, vp = v[(3X eN¡x+2=5) A (¥x¿N\xz>x)]
= '(ixeN¡x+2=5) v v(Vx zN¡x2>x)]
= [VxeN\v(x+2=5)] v l^xcN\v(x1>x)]
= [VxcN\x+2*5] v [3xeN\xl<x] * V(vp)
vq = v[ (■VxeZ\-x<0) v (3xeZ\-x=x) ]
= [v(VxzZ\-x<0)) A f^f3areZ|-x=x;;
= faxeZ|~x>0) A (VxcZ\-xix)
En el primer paréntesis, si x=-2c:Z * -(-2)>0, es V
En el segundo paréntesis, si x=OcZ * OtO , es F
Luego: VC^q) = VfV A F) = F
vr = v[axeRl/^xeRJ = 1 6 c e r | / ^ c i R
Si x=-leR * S-(-l) = IeR, luego: V(vr) = F
EJERCICIO 7. Negar la proposición: "Para todo número racional r existe
un número entero n tal que n$r<n+J"
Solución. Simbolizando la proposición, se tiene:
p = VreQ, 3 n e Z |n ír< n + J
Entonces: vp = v[^reQ, 3 n e Z ¡n $ r< n + l] = [3reQ,VneZ\v(n$r A n+l>r)j
.'. a.p = 3reQ,-VneZ| (n>r) v (n+lir)
EJERCICIO 8. Negar oracionalmente el enunciado: "Para todo número real
x, existe un núnero entero M tai que x z<M+l siempre que
x<M"
Solución. Simbolizando el enunciado se tiene:
p = VxeR, AíeZ|x^í -* x l<M+l (q siempre que p)
Entonces: *p = ^(Vx^R, 3MeZ|r<Al -*• x z<M+l] = 3x eR , W,íeZ\v(xeM ■* x z<M+l)
= 3xeR,VÍWeZ|x<AÍ a v(x z<M+l) (Cond. E.7b)
= 3xeR, VMtZ|x<A¡ A x z>M+l
"Existe un número real x, para todo número entero M, tal que x<M y
x z>M+l«
(Morg. E.6a)
= V(Fv v; = V
(Morg. E. 8b)Sólo fines educativos LibrosVirtual

90. Sección 2.10: Funciones Lógicas que contienen más de una variable 77
EJERCICIO 9. Sean A=lxcN\0<x<8), B=lycN\0$y$7\. Hallar los valores de
verdad de las siguientes proposiciones:
a) p = 3x e A ] VycB, x+y¿8 c) r = =oceA|VyeB, x+y>6
b) q = VxeA, ayeB|x+y=5 d) s = VxeA, aycB\xyfO
Solución. Definamos los conjuntos A y B por extensión
A=íl,2,3,4,5,6, 7), B=\0,l,2,3,4,5,6,7}
a) En p: si y-7 cB * x+7¡¿8 * xfl, pero: IcA, entonces: V(p)=F
o) En r: si y=OeB, entonces el enunciado x+0>6 es cierto para x=7cA, luego:
V(r)=V
b) En q: si x=7cA, entonces PycB tal que 7+y=5, luego: V(q)-F
d) En s: Para y=(l,2,3,4,5,6,7)cB se tiene: xyfO, VxeA; luego: V(s)=V
EJER CICIO 10. Dado el conjunto A=(xeN|-14<x<27i. hallar el valor de ver­
dad de s=[(^p a ’^q) * fHj a •*r)] ** (vp v r), si:
p=(VxcA, ayEA, VzcA)[xz-zl>y%] ; q=( 3yeA, VzcA,3xcA)[2x-4y<-zJ
r=(VzcA, SxcA, VyeA)[3xz-z*>y]
Solución. Si xcN * A-{1,2,3,...,26}
a) p^xí>zí+yí, si y=lcA (menor valor de A), entonces: x í>zi+l no
es válido VxeA, VzeA; luego: V(p)-F
b) q-2x+z<4y, si y=2ScA, x=lcA, entonces 2+z<100 es valida VzcA * V(q)-V
c) r=3x*>zI+y, si x=26, entonces: 3(26)*>zz+y es válida VzcA y VycA: luego:
V(r)=V
Por lo tanto: V(s) = [(VaF) * (FaF)] ** [ W V ] = [F - F] •— V = V
EJERCICIO 11. Simbolizar usando cuantificador es y negar la proposición
cuant ificada: "Para todo nánero x perteneciente al con/un
to de los números reales, existe un único número y perteneciente a ¡os mine
ros reales, tal que la diferencia de x menos y es positiva"
Solución. VxcR, a ,'yeR|x-y>0
Para negar esta proposición cuantificada, debemos eliminar pre­
viamente, el símbolo de único (!).
VxcR, syefi a [(3ycR a 3zcR) ■* y=z ] jx-y>0
El corchete es equivalente a unicidad; luego, negando esta proposición se
tiene: 'WxeR.'caycR A v[ (íycR a 3zcR) y=zj |^(x-y>0>
s a x e R , VycR a [(aycR A azcR) a •c(y-z)} |x - y S O
h axcR, VycR a [(aycR a nzcR) a ( y / z ) / | x - y $ 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

91. 78 Capítulo 2: Conjuntos
EJERCICIOS: Grupo 6
1 . Determ inar p o r e x te n s ió n cada uno de lo s s ig u ie n t e s c o n ju n t o s :
A = I x e z I x ’ - x ^ J O x - S ^ } C = { ( - l ) n( n - l ) | n £ N , n = 3 < Z 3 }
B = bc£N\6x*-31x*+3x+10=0 } D = ( x e J Z I x ^ O y x l <20)
2. Determ inar p o r comprensión lo s s ig u ie n t e s c o n ju n t o s :
A = 1 - 2 ,1 ,4 ,7 ,1 0 ) D = { 1 , 2 / 5 , 1 / 4 , 2 1 1 1 , 1 / 7 ,
_____}
B = [ - 7 , - 3 . 1 , 5 , 9
____} E = { - 1 , 1 / 2 , 2 , 7 1 2 , 5 ................\
C = { 1 , 3 / 5 , 3 / 7 , 1 / 3 , 3 / 1 1 ) F = {1 1 / 3 , 9 / 2 , 2 7 / 5 , 1 9 / 3 , 5 1 / 7 )
3. Determ inar p o r comprensión lo s s ig u ie n t e s c o n ju n t o s :
A = { 0 , 3 , 1 0 , 2 1 , 3 6 , . . . } D = {10,15,22 ,31,4 2, 55}
B - { 2 ,3 ,6 , 1 1 ,1 8____} E = { - 1 , 2 , - 7 / 3 , 5 / 2 , - 1 3 / 5 , 8 / 3 )
C = K - 2 , 7 , 2 2 , 4 3 , 7 0 , . . . } F = < 5 , 9 5 , 9 9 5 ,
_____9..............9 5 }
7 veces
4. Dado el con ju n to A = i 4 , 7 , 1 2 , 1 9 ,2 8 , 3 9 , 5 2 ,6 7 ); d ete rm in ar po r comprensión
un subconjunto de A cuyos elementos sean elementos del conjunto A que
ocupen el lugar par.
5. Dado U - it , 23, 6 , - 2 / 3 ,- 1 / 5 } , d e te rm in ar p o r e x te n sió n lo s con jun tos:
A = t r c t / | x + 5 < i A x-2 > 0 ) B = < x e I / | x * > 0 v x = 4 }
C = } x e [ / | x + í = 5 -► x - 1 - 2 ) D = } x e ( / | x - í = 0 «-*■ x+ l= 0)
6. Siendo e l conjunto u n iv e rs a l U = { - 5 ,2 ,1/5 , ¿5, 2 - 2 , 1 + i ,0 . 3 } . Determ inar
los s ig u ie n t e s co n ju n to s p o r e x te n s ió n :
A = < x e l / |x < R x e I } D = {xc!J\xéZ A xeN)
B = < x e ( / | x e I <-► x e Q } E = < x e ( / | x ¿ C v x /R )
7. E s ta b le c e r la v a lid e z de cada una de la s s ig u ie n t e s a firm a c io n e s:
A = } x e Q | 10x2-13x-3=0) es un conjunto unitario
B = < x e N | 6 < x < 7 } es un co n ju n to v a c ío
C = < x | x e s un punto de la re c ta L ) es un conjunto f i n i t o
D = { x | x es m ú l t ip lo de 3 ), es un conjunto i n f i n i t o
E = < x e Z | 6 x s - J I x i - 4 x + 4 = 0 } , e s un con ju n to u n it a r io
F = I x e R |Sx-2+2x-10=2} , e s u n con ju n to u n i t a r i o
G = } x e R | x ' - í 0 x 3 + x í - J 8 x = 0 } y H = < x | x e s u n a c i f r a del número 1'106,360}
son iguales.
8. C u á n t a s de las s i g u i e n t e s a firm a c io n e s son f a ls a s :
a ) <(> = { 0 } b ) { <í>} = { 0 } c ) <t = { (J>} d ) (}> e { { <í>}}Sólo fines educativos LibrosVirtual

92. Ejercicios: g rupo 6 79
9. Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos:
A=lxeí/|x#/} B=(xtZ|xs=3J C= Ixefl| (1 /x)eS}
D={xeQ|x*-x=2> £=lxeN|xI+J=0} F={x e2| JZx'+Ax'-Si- J ^ }
10. Dada la proposición: "Si algunos números son impares, todos los triángu
los son equiláteros", a) Expresar simbólicamenle la proposición.
b) Negar oracionalmente la proposición.
11. Hallar ios valores de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (VxeR, }x¡=x) * (*xcR,x+lfx) b) (^3xcR,xljx)v (vVxcZ,x+ljx-l)
c) ("■VxcN,\x\*0) * (asxcQ, |x|¿0> d) faxcK.x-a^lxl) <AíreR,x-3t|x|.>
12. Hallar la negación de las siguientes proposiciones:
a) "Para todos los niñeros enteros a y b, si a<b entonces b^a"
b) ”Para todo número real a, existe un número natural n, tal que si n>n0
entonces n>a”
c) VacR.VbeR:ab=0 (a=0 v b=0)
d) "Para todo entero r, existe un niñero b tal que, si br es par, enton
ces (b+l)r es par”
e) "Para todo número real x existe un número entero y, tal que y$x<y+1"
13. Simholizar usando cuantificadores y negar la proposición cuantificada:
a) "Para todo número positivo e, siempre existe un número n, tal que pa
ra todo n mayor que n, se cumple |a| es menor que c"
b) "Para todo e>0, hay un y>0 tal que para todo número x, si x está en­
tre los números a-y y a+y entonces f(x) está entre los núneros L-e
y L+e"
14. Si A={1,2,3,4,51 y B={-2,-l,0,5,6), establecer el valor de verdad o fal
sedad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) VxsA, 3ycB:x+y<3 c) ¥xcB,VycA:x<y * x ,<yi
b) 3!yeB,VxcA:x-y>l d) 3xeA, ayefl: (x-y)cA
15. Sean A=14,2,3,1}, B={5,1,4,8\. Cuáles de las afirmaciones siguientes
son verdaderas?
a) ax,yeA¡x+y>z,VzeB c) VxcB,3ycA\(x-y)eA
b) v[yxeA,3yeB\x>y] d) -VxEA,-VyeB|x+y<iO
16. Dadas las proposiciones: p=VxeA,3yeA:(xt>xy-52), q=3XeA,¥ytA:*(x+y¿0),
X 1 1
r=VxcA,VyeA: (— — — = x+y), y el conjunto A={xeZ|-50íx<50). Hallar el va
x-y
lor de verdad de: (pAq) *■* +(r * vp)Sólo fines educativos LibrosVirtual

93. 80 Capitulo 2: Conjuntos
17. Sea U=( xeN| 1 <x<2i! y sean l as propos i c i ones :
p: ¥xcU,VyzU¡40x-3y>15 r: ¥xtU,VyeU\2Sxl+17xy+9y*>204
q: 3jceU,-^yeU|xy+y=3y s: 8xe£/|3JI<x 2+10<335
Determinar el valor de verdad de: [(p A q) + r] í(r A s) * q]
18. Dado el conjunto universal: U=[-2,-l,0,1,2) y dadas las proposiciones:
p: 3xeu,¥yeu¡x+y=x ; q:¥xzU, yeU\x+y=x ; r:¥xzü, yzU\x+y=0. Hallar el
valor de verdad de: { Lp -*• (i a y)] <-*■ [q v (m a n)] } a (r * q)
19. Dadas las proposiciones p:¥xzU\x>3vx<2; q:3xel/|x2=2 -*• x>l
r:Vxe[/|^jy = x-2 ; donde l/={xeA|x>2 * x<2) y A-{-2,-l,0,l,2}. Hallar
los valores de verdad de s,t y v si se sabe que:
[(vp v s) A (t - r)J * (q A v; = F
20. Dadas los conjuntos U={* ,S2 ,S-2,2 ,-2,0}; A={xel/|xeR xzZ); B={xeí/|xeA9
sabiendo que p:3xeA|x2<0 ; q:Vxefl|' ^ = x-1 ; r:¥xzU,3yeü|x+y=0 ;
s:3xEU,-VyE(/|x+y=x . Hallar el valor de verdad de M=C*p * “vq) v (r ^s )
2' ~ <J={oy2, *, -3,S-T} y las proposiciones p: 3xe{/|x2=-í ; q.-VxeU|x’=l ;
r:¥x^ll\- = x-3 ; s: 3xe[/| n+x=* . Hallar el valor de verdad de cada li­
na de las siguientes proposiciones: A=(p -*• q)a C^q ■*+ p) ;
B=(q a vr) v ( r * ’^q) ; C=(r ♦-» s) A ( r vp) ;
D=[(p a q) - (q v r)j *- (s a i.p)
22. Dadas las siguientes proposiciones: p={-VxeR|x2>0) ; q={ 3xeC|x2=-i} ;
r=¥xz{2,4,5,6,7) ,3x+l>22 ; s={ 3xtN\4x-6=20); t=*xel |x+i=*. Hallar el va
lor de verdad de: P=[(SAm) -*■ (tvn)j +-* [(p a "eq; ** (r v a,s)j
23. Sea U=[-l ,0,1,2,112 ,f2,V-2 y las relaciones: a*b=^a * (b*a);
a#b=a *-*■ A-b; a¿b=^a*b; a&b=^('^ap*b). Determinar el valor de verdad de:
a) (*p r^q) ■* l(s v *t) a (m v n)]; b) (a-s * p) « ( q a tj , donde:
p:VxzA,syzA\xy¿0 ; q-.vixzB, fyeB|x+y>2x ; s:¥xeC, ¥yeC|xy=yX ;
2 2
t ;v[VxeD, 3ye D |^- ^- = x+y] , siendo: A={xeI/| (x2-I 2)*(dc¿t))
B = { x e í / | (x=1 ) i ( x < l ) ( , C={x eU| C ^ ^ j - = x - J) A ( x 2eZ) b D = {x e U| f x 2 > 0 ; 8(x ¿ 0) )
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

94. Sección 2.11: Relaciones entre Conjuntos 81
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
PCTTCl CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos A y B, se dice que son igua­
les o idénticos si y sólo si tienen exacta
mente los mismos elementos. Esto es, para un x:
Si xeA -*■ xeB
A = B — 1
y si xcB ■* XC.A
Si A y B no son iguales, entonces se denota: A i B
o bien: A f B «-► (zxtA\x(B) v (3xtB\xtA)
> xcA ■«-* xcB
Ejemplos:
a; A={1,2,3), B={1,1,3,2,3}
Los conjuntos A y B tienen tos mismos elementos 1,2,3; aunque el orden y
la repetición de los elementos en B no altera el conjunto, por tanto A=B
b) C=l-1/2,3I y D={xzR\2xI-5x-3=0}
D es el conjunto solución de la ecuación: 2x1-5x-3=0 <-► x=-l/2 ó x-3 que
son precisamente los elementos de C. Luego, C=D.
c) E={1,2,3,4) y F=tez|l<xí4}
F=(2,3,4), entonces: E¿F, porque lcE\ltF
Propiedades de la Igualdad de Conjuntos
a) A = A (Reflexividad)
b) A = B -*■ B = A (Simétrica)
c) A = B y B = C * A = C (Transí t ividad)
2.11.2 [ CONJUNTOS EQUIVALENTES Dos conjuntos no vacíos A y B se di­
ce que son equivalentes o coordina-
bles, si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre todos sus e
lementos, es decir, que pueden formarse parejas de tal manera que cada pare
ja está formada por un elemento de cada conjunto empleando todos los elemen
tos de ambos conjuntos una sola vez.
Si A y B son equivalentes se denota: A=B, y si no lo son se denota: AtB
Por ejemplo los conjuntos A={1,2 } y B=(a,b) son equivalentes, ya que sus e-
lementos están en correspondencia uno a uno, esto es:
1 ■>-* a 1 *-* b
2 b 2 ► a
En cambio (1,2,3) j {a,í>}, ya que podemos formar parejas: 1 con a y 2 con bSólo fines educativos LibrosVirtual

95. 82 Capitulo 2: Conjuntos
pero el conjunto {a,b} no tiene otro elemento para formar parejas con 3.
Observación. Si A y B son conjuntos, entonces:
Un conjunto A está incluido o está contenido en un conjunto B, si
todo elemento de A es elemento de B. Indicamos esto escribiendo A c B o
BOA, es decir:
que significa: "A está incluido en B" o "A está contenido en B"
"A es subconjunto de B" o "A es parte de B"
La negación de A c B se escribe A<¿B o B ^ A y establece que existe un xcA
tal que xtB, esto es:
(1) Consideremos los conjuntos: A={2,3,4), B={2,4,3, 5,61 yC={4,6,8). En­
tonces A c B ya que todo elemento de A está en B, pero C<¿ B porque 8¿C
y 8tB.
(2) Si A={Triángulos equiláteros) y B={Pol ígonos regulares), entonces A C B
porque el triángulo equilátero es un polígono regular.
(3) El conjunto A={2,3,5) es subconjunto del conjunto B={5,2,3), ya que ca
da número 2,3 y 5, que pertenece a A también pertenece a B. Esto es:
A=B. En este ejemplo vemos que A c B no excluye la posibilidad de que
A=B. En efecto, podemos dar una nueva definición de igualdad de conjun
tos como sigue:
Definición. Dos conjuntos A y B se dice que son iguales si y sólo sí
i) A = B — A s B
i i) A = B f- A = B
INCLUSION Y SUBCONJUNTOS
A C f i « [xeA -* xeB]
(¥x eA , xeB)
A<¿ B SreA|;jc¿B
Ejemplos:
A C B y B e A
Formalmente:
A = B «- (ACB) A ( B C A )
En caso de que A c B y AfB, se dice que A es un subconjunto propio de B.Sólo fines educativos LibrosVirtual

96. Sección 2.11: Relaciones entre Conjuntos 83
Propiedades de la Inclusión
S.l: Reflexividad. Todo conjunto es subeonjunto de si mismo.
A a A
En efecto, si A es un conjunto, la impl icación: VxeA.xeA -* xeA
es siempre verdadera (recordar que: p -*■ p es una tautología)
En consecuencia, por definición, se tiene: A c A
S.2: Ant¡simetría. Si un conjunto es parte de otro y éste es parte del prj
mero entonces son iguales.
AC B a B C A — A = B
es una consecuencia de la definición de igualdad.
En efecto, si A C B y B C A , supongamos que: A t B
Entonces, por definición: 3xeA|x^B ó 3 x e B | x M
es decir, A<f-B ó B<fcA, que es lo contrario de la hipótesis.
Por lo tanto: A=B.
S.3: Transí tividad. Si un conjunto es parte de otro y éste es parte de un
tercero, entonces el primero está incluido en el ter­
cero
A C BaBCC — ■ A c C
En efecto, si xeA, por hipótesis se tiene:
xeA * xeB es verdadera
y xeB * xeC es verdadera
Entonces, por la ley del silogismo hipotético:
xeA ■» xeC es verdadera
y en consecuencia, por definición de inclusión: A o c
S.4: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto, excepto
de si mismo: -V A, 4>ca
En efecto, la siguiente proposición:
Vx: x e<> -* xeA, es verdadera -VA (F -» p, -Vp es una tautología)
pues, el antecedente xe# es falso.
Por tanto, según la definición de inclusión: $ c a
2.11.4 CONJUNTOS DISJUNTOS. Se dice que dos conjuntos A y B son dis­
juntos si no tienen ningún elemento co­
mún. Se simboliza:
A disjunto con B |1x|x eA a x eB
Ejemplos: Son conjuntos disjuntos:Sólo fines educativos LibrosVirtual

97. 84 Capitulo 2: Conjuntos
a) A={a,b,el y B=il,2,3l
b) A={xeN|x es parí y B=lxeN¡x es imparl
c) En el sistema de los conjuntos numéricos: Q e l
2.11.5 CONJUNTOS COMPARABLES Se dice que dos conjuntos A y B son
comparables si A C B ó B^-A. Esto es,
si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Si los conjuntos A y B no
son comparables, entonces: A$-B y B<fcA.
Ejemplos, a) Si A={2,3,4¡ y B=ll,2,3,4, 5), entonces A es comparable con B
porque A C B .
b) En el sistema de los conjuntos numéricos N y Z son conjuntos comparables
porque N c. z.
c) Si A={3,4,5,6,71 y 8=12,3,5,6}, entonces A y B no son comparables porque
A ¿ B y B<f:A.
2.11.6 CONJUNTO DE CONJUNTOS Es el conjunto que tiene como elemen­
tos a otros conjuntos. Se le denomina
también: familia, colección o clase de conjuntos.
Si un conjunto tiene elementos que son conjuntos y otros que no son conjun­
tos, entonces este conjunto no es conjunto de conjuntos.
Ejemplos. A=1 U 1, $, li ,2}, l a , M } es un conjunto de conjuntos.
B= {4> ,b, la,b), {1,211 no es un conjunto de conjuntos porque tiene
un elemento b que no es conjunto.
2.11.7 CONJUNTO POTENCIA Dado un conjunto A, se denomina conjunto
potencia o conjunto de partes de A, al.
conjunto de todos los subconjuntos del conjunto A. Se denota: P(A).
0 sea, en símbolos: P(A) = {X|XCAl
Los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, y en consecuencia,
P(A) es un conjunto de conjuntos.
Según la definición se tiene:
X e P(A) X c A
Por ejemplo, si A=la,b,c), los subconjuntos propios de A son: -tal, lb(, le}
la,b}, la,el, Ib,el y $
Entonces, de aquí, el conjunto potencia de A es:
P(A) = fA,la,b},(a,el, Ib,c},la),íbl,1c),♦1
Observaciones. (1) El número de elementos de P(A) es igual a 2n , donde n esSólo fines educativos LibrosVirtual

98. Sección 2.12: R epresentación G ráfica de C onjuntos 85
el número de elementos del conjunto A.
(2) •icp(A), puesto que A
(3) AcP(A), puesto que A C A
Propiedades: P .l: P($) = i ♦ l
P.2: Si Á C B ~ P(A) <= P(B)
P.3: Si A=B P(A) = P(B)
Demostración de P.2:
En efecto: (1) A C B (Hipótesis)
(2) Supónganos que XeP(A) - X c A (De/. Pot.)
(3) Como A C B - X C B (Transitividad)
(4) Entonces: XeP(B) (De/. Pot.)
(5) Luego, de (2) y (4): XtP(A) - X*P(B)
(6) Por lo tanto: P(A) c. P(B) (Def. cr )
REPRESENTACION GRAFICA PE CONJUNTOS
___________^
Con el objeto de mostrar los elementos de los conjuntos o para
visual izar relaciones entre éstos, existen los llamados diagranas de Venn
Euler, que son regiones del plano limitados por líneas geométricas. El con­
junto universal U suele representarse por un rectángulo, y los subconjuntos
de U por circunferencias, elipses, triángulos, etc, como se indica en el si
guíente diagrama (Figura 1)
2.12
C
Figura 1 Figura 2
En la Figura 1 se puede obervar que:
a) A es un subconjunto propio de B
b) A y B son disjuntos o no comparables respecto de C.
La Figura 2 es la representación gráfica de los Conjuntos NuméricosSólo fines educativos LibrosVirtual

99. 86 Capitulo 2: Conjuntos
Observaciones
a) £1 conjunto de los núneros complejos C, es el conjunto universal.
b) N C z C.Q C R C.C
c) El conjunto l es disjunto respecto de los conjuntos N. Z y Q
d) Si enumeramos los recintos cerrados de los conjuntos numéricos, tendre­
mos: 0=11,2,3,4,SI, R=ll,2,3,4}, Q={.1,2,3>, Z={1,2), I={4}
EJERC ICIO S ILU STRATIV O S
EJERCICIO 1. Dado el conjunto A={a, { b , c > , d } ; qué afirmaciones son inco­
rrectas y porque?
Solución. Los elementos del conjunto A son: a, d y el conjunto lb,cF y los
subconjuntos propios de A son: (a), U b , c H , -fcf>, {a,di,
ía,(b,cl> U b . e h d )
De estas consideraciones, se deduce que son incorrectas las afirmaciones:
<1), (4), (5) y (6).
EJERCICIO 2. Dados los conjuntos A=il ,2,3,4,5,51 y B=ÍO, 1,4,6,7,8,91.
sean m el número de subconjuntos no vacíos de A que son dis
juntos con B y n el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos
con A. Hallar m+n.
Solución. Los elementos de A que no pertenecen a B son: 2,3 y 5. Entonces
el número de subconjuntos no vacíos, disjuntos con B, que se pue
de formar con estos tres elementos es: m=2*-l=7. Análogamente, los elemen­
tos de B que no pertenecen a A son: 0,7,8 y 9. Luego: n=2''-l=15
Por lo tanto: m+n = 22
EJERCICIO 3. Sean A=< 3,12,8),51. Determinar el valor de verdad de las si
guíenles afirmaciones:
a) 3XeP(A)¡2cX b) 3XePfA )|{ 3lc X c) 3XeP(A) \{2,8} c X
Solucldn. PfA)=<A, <3J2,8)(, {3,5} J 3 M <2, 8H , Í5V,♦)
a) En P(A) observamos que ningún XeP(A) contiene al número 2 co­
mo elemento, es deeir: 2tX . La afirmación es falsa.
b) Si elegimos X={3jcP(A) o X=j3,5leP(A), se enripie que: {3}CX; luego, la
afirmación es verdadera
c) Si elegimos X=li2,8\,5)cP(A), entonces l(2,8}}czx, se tendría que: 2«X
y 8eX. De aquí: 2ca y 8eA, lo cual es falso. LA afirmación es falsa.Sólo fines educativos LibrosVirtual

100. Sección 2.12: Representación Gráfica de Conjuntos 87
EJERCICIO 4. Sea A={(a},b, ib}} y supongamos que n(X) representa el núme­
ro de elementos de un conjunto X. Determinar el valor de
verdad de las siguientes afirmaciones:
a) U b U c p f A ) C) n[P(A) ] = 8
b) ía.b} e P(A) d) X C A - P(X) c P(A)
Solución, a) Si íbfeA •* { I b n c P ( A ) , lo afirmación es V.
b) Vemos que a¿A y beA ■* {a,b} i P(A), la afirmación es F.
c) n[P(A)] = 2 3 = 8. La afirmación es V.
d) Según la propiedad P.2 del conjunto potencia, la afirmación es V.
EJERCICIO 5. Sean (a.clcR, cfO, A= fa+ax:|:ceR , beA y B=lb+cy|yeR}. Demos
trar que A=B.
Demostración. Debemos probar que si Ac.fi a b c a + A=B (Prop. S.2)
a) Demostración de: A C B
En efecto: (1) Si beA * ^Xí^R\b=a+cx¡ ■* a=b-cxi
(2) Sea keA ■* 3xeR|k=a+cx:
(3) Sustituyendo (1) en (2): k=(b-cx¡)+cx=b+c(x-xl)
(4) Como xcR y x,eR * (oc-iJeR, luego keR
(5) Si B={b+cy|yeR} * keB
(6) De (2) y (5) se tiene: keA ■» keB *-<■ A C fi (Def.CL )
b) Demostración de B e A
En efecto: (1) Sea k*-B ■* 3yeR|k=b+cy
(2) Como beA * 3XieR|b=a+cXi
(3) Sustituyendo (2) en (1): k-(a+cx,)+cy-a+c(x,+y)
(4) Si A=ía+cx|xeR) * keA
(5) De (1) y (4) se tierne: ktB * keA *-* B c A (Def.c)
Por lo tanto, queda demostrado que si A c fi a B C A -*• A=B
EJERCICIO 6. Sea A={P({al),P(*)l. Hallar: a) P(A)
b) Analizar la verdad o falsedad de:
b¡: l*eP(A) A *CP(A)] * {!♦)» C P ( A j ; b 2 : { U J a J H e P(A) - H l e P(A)
c) Construir el circuito lógico correspondiente a la proposición: b¡ ■* b»
Solución a) P(A) = H , {Pffa).)f, iPf*;},Al
b) En b,: *CP(A) es V, *cp(A) es V y (1<¡>HCP(A) es F
Entonces: V(b,j = (VaVJ * F - F
En b z se observa que: U , {alMPfia); ■» { P({al))eP(A) es V y U)ep(A; es F
Luego: V(bt) = V - F = FSólo fines educativos LibrosVirtual

101. 88 Capitulo 2: C onjuntos
c) Sean: p:*eP(A) ; q : » CP(A) ; r:(Ul)cP(A,l ; S: ((♦, (al1 )cP(A)
t:Mc P(A )
Entonces, b ¡: (pAq) ■* r s ^ ( p A q ) v r ; bi: s * t = ' s v t
luego: bi bi = [*(p Aq) v r] * [*s vt l = n'['*(pAq] v (^s v t)
- [ (p Aq) a ' r i v ^ s v l
La construcción del circuito lógico queda como ejercicio.
EJERCICIOS: Grupo 7
1. Sean U=il,2,3,4,5,6, 7,8,91, A=l2,4,6,8), B=ll,3,5,7,9) y 013,4, 51. Al
hallar un subconjunto X de U tal que X C C , X<fi-A y X<fcB, cuántas solucio
nes existe.
2. Dado el conjunto A=(a, (al, 1 + 1,♦ !. Analizar el valor de verdad de las si_
guien tes afirmaciones: (1) ( a l e A A ( a ) C A ; (2) (alcrA a ( ( a l l C A
(3) U l e A A((*l>eA ; (4) Í C A A * e A ; (5) ( o , * ) c A A | { a l , ) t H C A
3. Dados los conjuntos A={ 2,3,5,6,8 } y B= 10,1,2,4,5,7,9} ; si m es el
número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y n el nu
mero de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A, hallar m+n.
4. Dados los siguientes conjuntos: A=í7n+2\ncZ); B-{7n-26\ncZ);
Oi4n+l\neZ\ y Oi2n+l\ne.Zi. Analizar y justificar debidasente su con­
clusión en los siguientes casos: a) A=B y b) C=D
5. Sean los conjuntos: A=((0,1},12,4,8),♦ !; B=10,1,4,8) y
C = U , (♦!, 10}, {i 1,2,14}, 181). Indicar la verdad o falsedad, Justificando
su respuesta, de cada una de las afirmaciones siguientes:
a) 4 C A ; *eA ; CC B ; B C A ; U l e A
b) (i,8)eB ; ( U M l H e C ; \0,1}CC ; {<t>. í*}, {111C C
c) U l C B ; 14,1,2,{8}]c:B ; * = U 1 ; (0,i>eA ; iO.llCA
d) (0,11 cfl ; (O.lleC ; (llc(o,l) ; (i}e((Ul
6. Sea A=(2,(3,4),(51,61. Analizar los valores de verdad o falsedad de las
siguientes afirmaciones:
a) sXcP(A) 14cX c) mXeP(A) \ (51 eX
b) sXeP(A) | ( 6 1 C X dj 3XePfA> | (3,41<=X
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

102. Sección 2.13: Unión de Conjuntos 89
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
H T 1 UNION PE CONJUNTOS
________________________________y
La unión o reunión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto
de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. Se denota por:
A U B
y se íee "A unión con B"
El diagrama de Venn Euler correspondiente a la unión de A y B es:
El rectángulo representa al conjunto universal U, en tanto que A U B es ¡a
parte sombreada.
Nótese que si: a e A ■* a e (AuB)
b e B -*• b e (AuB)
ceA y ceB -*■ ce (A i) B)
Luego, si x es un término que puede ser de A, de B o de cmbos, la unión de
A y 8 se define:
A U B - i x |i e A v xeB)
o sea: A l) B es el conjunto caracterizado por la proposición
"xe (A u B) •*->• xeA v xeB"
Ejemplo. Sean los conjuntos A=iJ,2,3,4), B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7), hallar
AUB, B U C y AUC. Trazar el diagrama de Venn de cada resultado.
Solución. A U B = {1,2,3,4,5,6.71, B U C = {2,4,5,6,7), A U C={1,2,3,4,5,6,7)
A U B B U C A U CSólo fines educativos LibrosVirtual

103. 90 Capítulo 2: Conhjuntos
2 H D PROPIEDADES DE LA UNION PE CONJUNTOS
__________y
Para conjuntos A y B cualesquiera se cumplen:
U.l: AU A = A (Idempotencia)
Demostración:
a) Demostraremos que: ( A U A ) c A
En efecto: (1) Sea xs(AUA) * xeA v xeA (Def. U )
(2) Si hacemos p=x*A, entonces: p v p = p (Idemp. E.2b)
(3) Luego, xe(A D A ) * xcA
(4) Por lo tanto: (AU A) c A (Def.c)
b) Demostraremos que: A C ( A U A )
En efecto: (5) Sea xeA
(6) Se sigue entonces que xeA o xeA
(7) Luego: xeA - xs(AUA)
(8) Por lo tanto: A C ( A U A ) (Def.cf
En consecuencia, de a) y b) queda demostrado que: Alt A = A
V.2: A U * = A (Propiedad del elemento neutro)
U.3: A U V = V
V.4: A U B = B U A (Conmutat ividad)
U.S: ( A U B ) U C = A U ( B U C ) (Asociat ividad)
Demostración:
a) Demostraremos que: (AU B) U C c. A U (BUC)
En efecto: (1) Sea xe(AU B)u C (Hipótesis)
(2) Entonces: xc(Au B) o xeC (Def. U )
(3) -» xeA o xeB o xeC (Def. U )
(4) ~ xeA o (xtB o xeC) (Asoc. E.4b)
(5) - xeA o x c ( B U O (Def. u )
(6) - xeA u(BuC) (Def. U J
(7) De (1) y (6): x s ( A U B ) U C - xc Au( B U C )
(8) Por lo tanto: (A U B) U C c A U (B O C) (Def.cz)
b) Demostraremos que: A U ( B u C ) c ( A U B ) l ) C
En efecto: (1) Sea xeA U Í B U C) (Hipótesis)
(2) Entonces: xeA o xe(BUC) (Def.u)
(3) •* xeA o xefi o xeC (Def.u)
(4) * (xcA o xeB) o xeC fAsoc. E.4b)
(5) ♦ xc(AuB) o x e C (Def.u)
(6) - xe(AUB)u C (Def.U)Sólo fines educativos LibrosVirtual

104. Sección 2.14: Intersección d e Conjuntos 91
(7) De (1) y (6): x e A U ( B U C ) - x e f A U B } U C
(8) Por lo tanto: A U ( B U C ) c ( A U B ) U C (Def.c)
Finalmente, de a) y b) queda probado que: A U ( B U C ) = ( A U B ) V C
U.6: A u f B U C ) = (AUBJU (AUC) (Distribuí ividad)
U.7: A c ( A U B ) . YB
B C ( A U B ) , YA
Demostración: En efecto, demostraremos que: A C ( A u B ) , YB
(1) Sea xeA (Hipótesis)
(2) Pero: p ■* (pvq) , (Adición: 1.8)
(3) Si p:x«A y q:xeB, se tiene: xeA * (xeA v xcB)
(4) Luego: xeA ■* x e(AUB) (Def. U )
(5) Por lo tanto: A C ( A U B ) , YB (Def.C)
V.8: Si A U B = t + A=* y B=*
Demostración: En efecto,
(1) Por U.7 sabemos que: A C ( A U B )
(2) Si A UB = * ~ A C $
(3) Pero ♦ es subconjunto de todo conjunto: <frcA
(4) Luego, de (2) y (3): A=*
Análogamente se demuestra que: B=t
U.9: Si Ac b * (AUC) C ( B u C), YC (Propiedad Monótona)
U. 10: Si A C B ** A U B = B
INTERSECCION DE CONJUNTOS
________________________
La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de
los elementos que son comunes a A y B, esto es, de aquellos elementos que
pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota:
a n b
y se lee "A intersección con B".
El diagrama de Venn correspondiente a la intersección de A y B es:
2.14Sólo fines educativos LibrosVirtual

105. 92 Capítulo 2: Conjuntos
donde el rectángulo representa el conjunto universal, en tanto que Af)B es
la región sombreada.
Nótese que si: aeA * at(AnB)
bzB - bi(At)B)
ccA y czB -» c (ADB)
Luego, si x es un término que pertenece a A y B, entonces la intersección
de A y B se define como:
A D B = ( x | x e A , xeB)
Aqui, la coma tiene el significado de "y", por lo que se hace uso del conec
tivo lógico "a" para definir la intersección de A y B como:
A n B = lx|xeA a x eB )
o sea: A n B es el conjunto caracteri zado por la proposición:
xc(AhB) « xeA a xeB
Ejemplo. Sean los conjuntos A= {a,b,c,d}, B-{b,c,e,f,g\ y C= {e, f ,g \; hallar
A HS, B f l C y A h C . Trazar los diagramas de Venn correspondientes.
Solución. A n B = |b,c( ; B h C = {e,f,g\ = C ; A O C = ♦
PROPIEDADES DE LA INTERSECCION
l.l: A n A = A
1.2: A n* = i
(ldempotencia)
Demostración: En efecto,
(1) Sea xe(A (Hipótesis)
(2) Entonces: xeA y xeB (Def. 0 )
(3) Como xeA y xe$, se tiene: xeA a xe$ -*■ xe<|>
(4) De (1) y (3): (Ant) <= i (Def.cz)
(5) Pero como <J> es subconjunto de todo conjunto ■* ¿ c f A n ^ J
(6) Luego, de (4) y (5) se concluye: A n = <t>Sólo fines educativos LibrosVirtual

106. Sección 2.14: Intersección de Conjuntos 93
1.3: A (i U = A
1.4: A (1 B = B (1 A
(Propiedad del elemento neutro)
(Conmutatividad)
Demostración:
a) Demostraremos que: (AnB) c ( B O A )
En efecto: (1) Sea xc(AnB)
(2) -* xeA a xeB
(3) * xeB a xeA
(4) - xe(BnA)
(5) De (1) y (4): xe(AOB) -» xe(Bf)A)
(6) Luego: (AfíB) c.(B(\A)
b) Demostraremos que: (Bp A) c ( A n S )
En efecto: (1) Sea x e(BflA)
(2) * xeB a xeA
(3) •» xeA a xeB
(4) xe(ADB)
(5) De (1) y (4): xe(BOA) *
(6) Luego: (BPA) c (AOB)
Por lo tanto, de a) y b), se ha demostrado
1.5: (A(lB)nC = A n ( B n C )
1.6: ( A n B ) c A y ( A P B ) C B
1.7: Si A c B - (AnC) c (BnC), VC
Demostración: En efecto,
(1) Sea xe (A n C)
(2) * xeA a xeC
(3) Si AC-B ** xe A •» xeB
(4) * xeB a xeC
(5) * x c ( B n O
(6) Luego: xe(APC) ■* xe(B fl C)
(7) Por lo tanto: (AnC) C f f l n C J
1.8: Si A c C y B C D - (AnB) <= (CdD)
1.9: SiAcB«-AnB=A
1.10 P(AnB) = P(A)nP(B)
xe(AHB)
que: A O B = B fl A
(Hipótesis)
(Def. f l )
(Corm. E.3b)
(Def. n)
(Def. c.)
(Hipótesis)
(Def. n )
(Corm. E.3b)
(Def. n)
(Def. c )
(Asociatividad)
(Hipótesis)
(Def.n )
(Hipótesis y Def.c)
(Paso (3) en (2))
(Def. n )
(Def.c )
2.14.2PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS DE LA UNION E INTERSECCION
1.11: A ü ( B D C ) =' (Au B) n (AuC)
1.12: A n ( B u C ) = (AOB) U (A(\C)Sólo fines educativos LibrosVirtual

107. 94 C apitulo 2: C onjuntos
Demostración de 1.12:
a) Demostraremos que: A n (B u C) ci [(A n B) u (A (1 C) 1
En efecto:
(1) Sea x*[A 0(Bo C)¡ (Hipótesis)
(2) * xsA a xc(Bt)C) (Def.D)
(3) •» J&A a (xeB v xeC) (Def.U)
(4) (xeA a xeB) v (x&A a xeC> (Dist. E.5a)
(5) - xefA OB) V x e f A n e j (Def. fi )
(6) - xcí(ADB) u (ABC)] (Def.O)
(7) De (1) y (6): A n ( B u C ) C ¡(ADB) u(AnC)] (Def.a)
b) Análogamente se demuestra que: [ (A fl B) u (A n C) ] c [A n (B o C) ¡
(Ejercicio para el lector)
Por lo tanto, de a) y b), según la propiedad S.2 de inclusión, queda de
mostrado que: A ñ ( B u C ) = ( A b B ) u ( A n C )
QJJJJ LEYES DE ABSORCION
_________________________________^
A.l: A D (A U B) = A
A. 2: A U (A fl B) = A
En ambas propiedades A es el conjunto absorvente, (AU 8) y (AOB) son
los esquemas que se absorve, que pueden ser la unión de A con varios conjun
tos o la intersección de A con varios conjuntos. Por ejemplo:
A (] (A UBUCUDU...) = A
A U (A fl B n C n DO...) = A
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
___________________________^
La diferencia de dos conjuntos A y B se define como el cmjunto de
todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto k. Se deno
la por:
A - B
y se lee: "A diferencia de B", o simplemente "A menos B".
El diagrama de Venn correspondiente a la diferencia de A y B es:Sólo fines educativos LibrosVirtual

108. Sección 2. IS: Diferencia de Conjuntos 95
donde A-B es la parte sombreada.
Nótese que si: aeA * ac(A-B)
beB * bi(A-B)
ccA y ceB ■* ct(A-B)
Si x es un elemento que pertenece a A-B, entonces:
A - B = {xjxcA A x(Bi
Esto es, A-B es el conjunto caracterizado por (a propiedad:
xe(A-B) xeA A xiB
Ejemplo. Sean los conjuntos: A={1,2,3.4}, B={2,a,b,4} y C={a,b), hallar:
A-B , B-C y A-C. Trazar los diagramas de Verm correspondientes.
Solución. A-B = U, 3 ) ; B-C = {2,4} ; A-C = {1,2,3,4} = A
U
A2\
a
\b
Vy ;3'49 /b
vowr.*>
A-B
PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
D.l: A-A = «
D.2:
D . 3 :
D . 4 :
D . 5 :
D.6:
Demostración. En efecto:
(1) Sea xe(A - A) (Hipótesis)
(2) * xzA A xiA (Def. Dif.)
(3) * xe* (Un elemento no puede pertenecer y no pertenecer al mis­
mo conjunto a la vez)
(4) Por lo tanto, de (1) y (3): A-A = *
A - ♦ = A
♦ - A = *
(A - B ) c A
A - B = (A U B)
B(\(A - B) - <t>
B = A - (A (1 B)
Demostración. Probaremos que: B n (A-B ) c <¡>Sólo fines educativos LibrosVirtual

109. 96 Capitulo 2: Conjuntos
Eii efecto: (1) Sea xcB O (A-B)
(2) * xeB a xs(A-B)
(3) ■* x*B a (xcA A xfB)
(4) ■* (xeB a xiB) a jceA
(5) + xe(B-B) a xeA
La Intersección de dos, cualesquiera de ellos, es vacío.
D. U : a) A - (BUC) = (A-B) rt (A-C)
b) A - (B n C) = (A-B) U (A-C)
D.12: a) (AUB) - C = (A-C) U (B-C)
b) (A-B) - C = (A-C) - B
Leyes de Morgan
(Hipótesis).
(Def. D )
(Def. Dif.)
(Asoc. E.4a)
(Def. Dif.)
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si A y B son conjuntos tales que AcB, se define el complemento de A
con respecto de B, y se denota 4^A, a la diferencia B-A. Esto es:
= B - A = (x|z eB a x¥A\
Conjunto que queda caracterizado por la propiedad:
xe « ^ A xeB a xtA
cuya representación en el diagrama de Verm es ¡a parte sombreada de la figu
ra 1.
En part icular, si B=l), el complemento de A con respecto de U, se denota por
4a = A ' = Ac = Á
y se define como el conjunto de elementos que no pertenecen a A; esto es:
A ' = l¡ - A = lx|xe(f A x M ) = íx|xM)Sólo fines educativos LibrosVirtual

110. Sección 2.16: C om plem ento de un Conjunto 97
conjunto que queda caracterizado por la propiedad:
xeA' —» x/A
y cuya representación en el diagrama de Venn es la parte sombreada de la fi
gura 2.
Ejemplo. Sean los conjuntos A={2,3,4,5] y B= U ,2, 5, 6, 7 f; hallar:
a) , b) £ aB , c) £ A (AhB)
Solución, a) ^ 4 = B-A = (1,6,71 ; b) -^B = A-B = (3,4 1
c) AÍIB = (2,5) * J & J A B B ) = A-(ABB) = 13,41
A
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
____________________y
Para conjuntos A y B en U se cumplen las s iguientes propiedades:
C. 1: 4SgA c e y £aB C A
C.2: A u A ' = U ó A u £ aB = A
C. 3: A B A1 = ♦ ó A f l ^ A = «
C.4: U' = ♦ ó A? A = *
A
C.S: ♦ ' = U ó = A
C.6: L4')' = A ó £b(£¿4) = A
C.7: A - B = A B B' ó A - B = AnJt.tí
.4
Demostración,
a) Demostraremos que: (A.-B) c Aflfl'
En efecto: (1) Sea xe(A-B) ■» xeA a x¿B
(2; * xeA a xeB'
(3) - xe(A flB'7
(4J Luego, de (1) y (3): (A-B) c (A H 3 'J
b.) Demostraremos que: ( A B B 1) c (A-B)
En efecto: (1) Sea x c ( A n B ’) * xeA A xeB'
(2) ■* xeA a x¿B
(3J - xe(A - B)
(4) Luego, de (1) y (3): ( A n B ' ) c (A-B)
Por lo tanto, de a) y b) queda demostrado que: A-B - A h B'
C.8: Si A C B — B ' C A '
(Def. Dif.)
(Def. Comp.)
(Def. fi )
(Def . c )
(Def. n )
(Def. Comp.)
(Def. Dif.)
(Def. c )
2.16.1Sólo fines educativos LibrosVirtual

111. 98 Capitulo 2: Conjuntos
Demostración.
En efecto: (1)
(
2)
(3)
(4)
(5)
(
6)
Seo x ' ' o-lb
Si AcB, entonces: xcA
Si xtB y A c B * xtA
xfA -*• xt A'
Luego: xefl' * x cA ’
Por lo tanto: B ’<=A’
xeB
.9: ( A U B ) ’ = A' D fl’ ]
> Leyes de Morgan
.10: (A n B)' = A' U B'
J
(Hip. Auxiliar)
(Def. c ;
(Pasos 1 y 2)
(Def. Comp.)
(Pasos 1 y 4)
(Def.c)
Demostración de C.10:
a) Demostraremos que: (A OB)' c A'UB'
En efecto: (1) Sea x c ( A D B ) ’
(2) - xt(ADB)
(3) ■* xiA v xiB
(4) -*- xeA' v xcB'
(5) - xc(A'UB')
(6) Luego de 1 y S: ( A n B ) ' C A'UB'
b) Demostraremos que: A ’UB' c (AftB)'
En efecto: (1) Sea xe(A'uB')
(2) * x*A' v xeB'
(3) * xiA v x(B
(4) - xt(ADB)
(5) - xeíAflB)'
(6) Luego de 1 y 5: (A'uB') c (ADB) '
Por lo tanto, de a) y b), queda demostrado que: (A
(Hipótesis)
(Def. Comp.)
Í^ÍPa q) = *p vwjJ
(Def. Comp.)
(Def. U)
(Def. c )
(Hipótesis)
(Def. u )
(Def. Comp.)
(Morg. E.6a)
(Def. Comp.)
(Def. c )
O B) ' = A'UB'
DIFERENCIA SIM ETRICA
Dado los conjuntos A y B, se define diferencia s imétrica
de A y B, que se denota por AA B , al conjunto:
A A B = (A-B) U (B-A)
ó A A B = ( A U B) - (A n B)
En el diagrama de Venn Euler, la diferencia simétrica de A y B es la parte
sombreada de la figura adjunta.
Nótese que si: acA * az(A A B)
bcB * be (A A B)Sólo fines educativos LibrosVirtual

112. Sección 2.17: Diferencia Simétrica 99
ceA y ceB ♦ ci-(A A B)
Si x es un elemento que pertenece a AAB, entonces:
A A B = lx|(xeA a i ^ B J v (xiA a x e B U
Esto es, AAB es el conjunto caracterizado por la propiedad:
xe (A A B) ++■ (xeA A x?8) v ( x M a xeB)
Ejemplo. Sean A=ll,2,3,4] y B={2,3,5,6¡, hallar A&B.
Solución. A O B = 12,31 ; A U B = {1,2,3,4,5,6)
Entonces: A A B = ( A U B ) - (AnB) = 11,4,5,6}
Por la otra forma: A-B = 11,41 y B-A = 15,61
A A B = (A-B) U(B-A) = il,4,5,61
3 E B PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA SIMETRICA
DS.l: A A A = 4
DS.2: A A ♦ = A
DS.3: A A B = B A A
DS.4: (A ti B) A C = A A (B A C)
OS. 5: (A A 8) II C = ( A n C J A (B fl C)
(Propiedad del elemento neutro)
(Conmutatividad)
(Asociatividad)
(Distribuíividad)
DS.6: (A A B) U (B A C) = Í A U B u C l - ( An BDC )Sólo fines educativos LibrosVirtual

113. 100 Capítulo 2: Conjuntos
EJERCICIO 1. Sea el conjunto universal !/=(♦ ,2,2/3,51 y los subconjuntos:
A=lxsi/|x es par v x es primol, B={xcU|x#* a x no es un ente
rol , C=lxc(/|x es un núnero v x=$). Hallar:
Solución. Si x es par o x es primo A=12,5)
x¿* y x no es un entero •* B=l2/3) * B' = l*,2,5)
x es un número o x=i * C=D=1*,2,2/3,5)
a) B'-A = 1*) ; b) (AvB)-(BnC) = (2,5,2¡3\-12/31 = 12,5)
c) ( C - B J O A = (*,2,5) 012,51 = 12,51
EJERCICIO 2. Si A=(xeN|x>4 - x =6) ; B =Ix eN|x> 0a x^51; C=(xcZ|^fx>l »
x lM x - 3 11. Hallar: AÍ=CAH B)-(B 0 C) .
Solución. Según E.7a:p ■* q = '•pvq •* A=lxtN|x< 4 v x =6) = 11,2,3,4,6)
Por E-.7b:^(p * q) = p a N j -*■ C=lxeZ|x>l a x*=4x-3) = 131
0=11,2,3,4,51 - A n o = (1,2,3,41 y B O C = 13) * M = 11,2,4)
EJERCICIO 3. Si A~{x*Z\x1-10x-24=0); B=lxeZ| -3Sxí2); C=lxeZ|4-xl=0) y
D=lxeN) 2+3x= 7-2x1. Hall ar el valor de verdad de cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) (DuA)-C - 11/3,2} c ) [(A(\ B) U D} fl C c c
b) (A U B)-(D U 112)1 ¿ B d) (D-A) n [(AOB)-(CÜD)) = D
Solución. En A: x 1-10x-24-0 — " x=-2 ó x=12 ■* A=l-2,12)
a) (DuA)-C = li,-2^21-1-2,2) =11,12); la afirmación es falsa.
b) (AltB)-(DUÍ12)) = 1 -3.-2,-l,0,1.2,l2)-ll,12) = 1-3,-2,-1,0,2) * B
La afirmación es verdadera.
c) ¡(A O B J U D ln C = Cl-2)ull)]01-2,2) = 1-2) c C. La af i rmación es verdad.
d) (D-A)OÍ(AUB)-(CuD)l = 121 fl 11-3,-2,-1,0,1,2.12}- 1-2,1,2)1 - * / D
La afirmación es falsa.
EJERCICIO 4. Cuales de las siguientes afirmaciones
a) B'-A b) (AOB)-(BnC) c) (C-B) fl A
0=1-3,-2,-1.0,1,2); C = 1-2,2); Ü=1J)
a) xt[B(\(A-C)]
b) xfB v xf(A-C)
son equivalentes a la proposición: xcJ&lB n (A-C)]
Solución. Si xcJílB (i (A-C) j * x¿(B n (A-C)]
c) xc4>B v xt./SA v x t C
d) XX M,(B D A ) a xeC
(Def. Comp.)Sólo fines educativos LibrosVirtual

114. Sección 2 .17: D iferencia Sim étrica 101
a) x i [BflfA-C]] 5 x e [BflfA-C]] Es equivalente
b) x i B v x t (A-C) = x i [B fl (A-C)] .'. Es equivalente
c) x cid V x Z¿A V xeC = x t B v ( x W v xeCJ (Def.Comp. y Asoc.)
= x i B v x i (x c A c. x i C) (Morg. E.Sa)
= x i [BflfA-CJ] Es equivalente
d) x c t¿(B A) a xeC = a: i (BOA) a x e C (Def. Comp.)
= x e [C-esn a; ] No es equivalente
EJERCICIO 5. Si A c e , simplificar: i [ (B u A) n ( ¿ B n C) ] u ¿ A \ o 3¿B.
Solución. Si A c B - A U B = 6 - 1 [B n ( £b fl C) ] u &A\ u A B (U.10)
Pero: B n B - ♦ , entonces: if 4 ) U £ A) u £■ B •t-i- {¿A)o4>B
++ ¿(A fl B)
Como A c B + AflB = A, entonces: Ji(AOB) = ¿(A) h U-A
EJERCICIO 6. Si A c B y ( A ü B ) O C = simplificar:
p = ílA-(8n o ] utl fAu c;- S(a o b)]
Solución. Si A c B + A O B = A y A O B = B (1.9 y U.10)
Si ( A O B ) O C = ♦ ■” B n c = ♦
Entonces: P 5 ¿ [ A - ( i ] u ¿ [ f A u C h ¿ A ] = ¿(A) U £ [xe (A U C) a x t./¿(A)]
= tt(A)U jlixe (A u C) a xeA] = ¿(A) u ^.[xefAuCJflA]
í¿(A)u¿(A) (Abs. A.l)
= i>A (Idemp. E.2b)
EJERCICIO 7. Para a,be<?, A y B son conjuntos tales que B#4>, A u S es un
conjunto unitario; A=ia1+2b,b*+l} y Ao B=ia+4b,b+l-3a\. Ha­
llar A fl B.
Solución. Si A u B es un conjunto unitario y Bf4>, entonces A y B son unita­
rios. esto es: A=B=Au B
A=la*+2b,bl+i) es unitario + a1+2b-bz +1 -1-* ai=(b-l)1
~ a = t(b-l) (1)
A u B = [a+4b,b+l-3a) es unitario + a+4b = b+l-3a ++ 4a=l-3b (2)
De (1) y (2) obtenemos: ai=-2 5 a2=-2/7
b,=3 ó bj=5/7
A-abas soluciones sat isfacen la condición dada: a,beQ
Pero, veamos si sat isfacen la ecuación: A - A U B , es decir:
o2+2b = a+4b ó b2+l = b+l-3a
Basta comprobar en la primera ecuación:
Para (-2.3): (-2)2+2(3) = -2+4(3) +-* 10 = 10, es verdaderoSólo fines educativos LibrosVirtual

115. 102 Capitulo 2: C onjuntos
Para (-217,5/7), verificar qu e es falso.
Luego, para a=-2 y b=3: A= B = Ü O . l O h {10 (=An B
E J E R C I C I O 8. Si A={*>, B=P(A), C=B-A y D=P(C). Hallar B D D .
Solución. Si B=P(A) * B= lA, ♦ != U*l, ♦ >
C = B-A = U, *) - 1*1 = U> - D = P(C) = \C, ♦ } = {{A}, ♦)
L u e g o : B f \ D = \A, ♦> fl IUI, «1 = UJ = A
E J E R C I C I O 9. En el diagrama general d e cua
tro conjuntos, se tiene 16 zo
ñas numeradas como sigus:
Si ACC, B = > D y ( B U C ) - ( B n C ) = B U C ; qué zonas
con seguridad n o son vacías?
Solución. Si A c C , entonces las zonas vacías
que no están incluidas en C son 7,
10,11,14. Si í c f l , entonces las zonas vacías q u e no están incluidas en B
son 13,14,15 y 16.
(B U C ) - ( B n C ) - B U C * B flC=». Esto implica q u e son zonas vacías: 3,5,8 y 9.
Luego, son zonas vacías: 3,5,7,8,9,10,11,13,14,15 y 16.
Por lo tanto, n o son zonas vacías: 1,2,4,6 y 12.
EJERCICIO 10. Dadas las siguientes definiciones entre conjuntos:
A*B={x*U\xtA a xfBf; A«B= t x e £ / |j c M * x e B } ; A # B = í x e U |x ¿ A v
xW h Sombrear en el diagrama d e los conjuntos numéricos la zona correspon­
diente a S=l(QBN)*(CfI)lUN
Solución. Apliquemos las definiciones dadas a los conjuntos numéricos q u e
corresponden a S:
& N = <xtl/|x*C - xeN 1= Q ‘ * N
= V U « = « U N = «
c#i = ix«(/|x«;vx*ri = c*u i ’
= ♦ u / > = I>
<yi’ = lx € t/|x * Q A X * íM = « ' f l 1 = I
Por lo tanto, S = I U N = 11,4}
Se sombrea la s zonas 1 y 4 del diagrama d e los conjuntos nwiéricos.
E J E R C I C I O 11. Se sabe que X es un conjunto ta l que: X P(A), VA. D e t e r m i ­
n a r cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas.Sólo fines educativos LibrosVirtual

116. Sección 2.17: Diferencia Simétrica 103
a) x n X = X, VA b) X-A = X, VA c) (A-X) u <X-A) = A, VA
Solución. Si XeP(A), VA * X=$ (El conjunto vacío es subconjunto de todo
conjunto, excepto el suyo propio)
Entonces: a) ♦ n4> = * Es verdadera (1.2)
b) <> - A = $, VA .'.Es verdadera (D.3)
c) (A-$) U (i-A) - (A)u($) = A .'. Es verdadera
EJERCICIO 12. De las siguientes afirmaciones para conjuntos, determinar
cuáles son verdaderas.
a) F-(F-GJ=Fíl G b) (A-B)-C=A-(B-C) c) A-(B U C)=(A-B) U (A-C)
Solución, a ) F-(F-G) = x eF A xt(F-G) (Def. Dif.)
= xeF a xt(XíF a xiG) (Def. Dif.)
= xcF a (xtF v x eG) (Morg. E.Sa)
= (xeF a xiF) v (xeF a xeG) (Dist. E.Sa)
= <)> v xz(FnG) (Def. fl )
= xt(FnG) - FflG .'. Es verdadera
b) (A-B)-C = xe(A-B) A xiC = (xeA a xíB) a xfC (Def. Dif.)
= xeA a (xiB a xiC) = xeA a xi(BU C) (Asoc. y Morg. E. 6a)
= A rijg(BUC) .'. Es falsa
c) A-(BUC) = xeA a xi(BüC) = xeA a (xiB a xiC) (Def.Dif. y Morg.E.6b)
= (xeA a xiB) A (xeA a xiC) (Dist. E.5a)
- (A-B) D (A-C) .'. Es falsa
EJERCICIO 13. Sea A*B=(A U B)-¿A. Entonces, de las afirmaciones siguien­
tes, cuáles son verdaderas.
a) A*B=B*A, VA.BC.U b) A*(BfíC) = (A*B) fl (A*C), VA,B,CcU
c) A n (B*C) = (A D B)*(A (1 C), VA,B, C O I
Solución, a) A*B = (AuB)-JlA y B*A = ( B uA)-J&B
Luego: A*B i B*A .'. Es falsa
b) A*(B fl C) = [ A u íB n C) ]-JSA = [(AUB) (1 (AuC)]-4A (Def. * y Dist.E.5b)
= t(A*B;+4A] n l(A*C)+.£A\-¿A (Def.*)
= l(A*B) U &A) ] fl l(A*C) U &A\-J¿A = [(A*B) O (A*C)) U J¿A - ¿ A
= [ (A*B) n (A*C) ] + ^éA - j&A = (A*B) (I (A*C) .'. Es verdadera
C) A(\(B*C) = A n [ (B U C)-.£B] = A fl (B U C)-A n & B (Def.* y D.7)
= (A fl B) U (B fl Cl-A fl .-éB = (An Bl* (Bf lCl +^( AnB ;-A fl- ÓB
Luego: A fl (B*C) f (AnB)*(BnC) Es falsa
Por lo tanto, sólo la afirmación b) es verdadera.Sólo fines educativos LibrosVirtual

117. 104 Capitulo 2: C onjuntos
EJERCICIO 14. Si A,B y C son conjuntos no vacíos tales que A y C son dis
juntos y que AtíC-B. Simplificar A 4 B & A A C.
Solución. A 4 B 4 A * C = (A ¿ A) A (B A C)
= IW ‘ (B H ) = B i C
= (B-C) U (C-B)
Dado que A y C son dis ¡untos y A U C - B
Entonces: A+C=B * A=B-C
Además: C-B=t
Luego: A i 8 U 1 0 = (A) u (4) = A
(Asoc. DS.4)
(DS.l y DS.2)
EJERCICIO 15. Simplificar:
P = l(AfíB) tí (C’tí D> tí E')] A l(AfíB) tí ( C D D DE)]
Solución. P = [(AOB) tí ( C D D n E ) ') d [(ACIB) U ( C n DDE )] (Morg.C.9)
- (A n B) u l(Cd D d E) ' I) (Cd D d E)1 (Dist. E.5b)
= (AdB) U t ♦ ] (Prop. C.3)
= A d B (Prop. 0.2)
EJERCICIO 16. Indicar cuál de las siguientes expresiones es verdadera o
falsa. Justificando su respuesta en cada caso:
a) B c A entonces (A-B)sP(A-B) y (B-A)cP(A-B)
b) Sean A=la); B^ibl - P(A-B)=P(A)
Solución. Si B C A - (A-B) f * (Prop. D.9)
(1)Sea xc(A-B) * 1x}c.(A-B)
(2)* xeA a xtB (Def. Dif.)
(3)- .reA a xeB' (Def. Comp.)
(4)-* xe(A dB') (Def .n )
(5) * IxlePfAnB'; (Def. Pot.)
(6)> lx}cP(A-B) (Prop. C.7)
(7)Por lo tanto, de (1) y (6): (A-B)eP(A-B)
(8)Si B C A ■» (B-A) = 4 (Prop. D.9)
(9)Como ♦ pertenece a todo conjunto potencia * (B-A)eP(A-B)
(10)Por lo tanto: B e A * (A-B)cP(A-B) y (B-A)eP(A-B), es V.
b) Caso 1: Si atb : (1) A-B = la} » P(A-B) = l*,la)}
(2) Si A = la) •* P(A) = !♦, la)}
(3) Por lo tanto: P(A-B) = P(A), es verdadera
Caso 2: Si a=b. (1) A-B = * - P(A-B) = (♦, U H f P(A)
(2) Por lo que: P(A-B)=P(A) es falso para a=b.Sólo fines educativos LibrosVirtual

118. Sección 2.17: Diferencia Simétrica 105
EJERCICIO 17. Usando definiciones demostrar que:
a) A - ( B D A ' ) = A y b) P(AOB) = P(A)nP(B)
Demostración
a) En efecto: (1) Si xelA-(BnA')] -*• xeA A x í f B O A ' ) (Def. Dif.)
(2) ■* xeA a (xiB v xiA’) (Morg. E.Sa)
(3) ♦ xeA a (xfB v xeA) (Prop. C.6)
(4) xeA (Abs. A.l)
(5) Por lo tanto, de 1 y 4: A-(BDA') = A
b) En efecto: (1) Si XeP(AOB) * X c . ( A n B ) (Def. Pot.)
(2) - X c A a X c B (def. fl )
(3) * X e P(A) A X e P(B) (Def. Pot.)
(4) - Xe lP(A)nP(B)l (def. O)
(5) Luego, de 1 y 4: P(ADB) = P(A) nP(B)
EJERCICIO 18. Demostrar que para tres conjuntos cualesquiera A,B y C, se
cunple: (A(\C) E (BílC.) = (A A B J O C
Demostración. En efecto:
(AnC) E (BDC) = [(AnC) u (BDC)] - [(AtiC)n (BpC)] (Def.Dif.Sim.)
= [ f A U B ; n C ] - l(A(\B)t\C] (Dist. E.Sa)
= [ Í A U B ; - (AT\B))DC (Prop. D.7)
= (A e BJflC (Def.Dif.Sim.)
EJERCICIO 19. Usando propiedades de conjuntos, demostrar que:
(A-B) U (B-A) = (AuB)-(ADB)
Daaostración. Se trata de demostrar la diferencia simétrica entre los con­
juntos A y B.
En efecto: (A-B) U (B-A) = (An B') u (BOA') (Prop. C.7)
= ((AfíB') U B ] fl [ÍAflB'lU A'] (Dist. E. 5b)
= [(Au B) n fB'u B)] fl [(Au A') fl (B'U A.')]
= [fAuBJfl l/] n [ D n f B ' U A ' > ] (Prop. C.2)
= (AuB)n( A'u B') (Prop. 1.3)
= (AuB) ti (ADB) ' (Morg. C. 10)
= (A u B )-( A n B) (Prop. C.7)
EJERCICIO 20. Demostrar que: B' fl fA uB)=A ■*-*• A (1 B= <J>
Demostración. En efecto: B ' D ( A U B ) = (B'n A) u (B'fí B) (Dist. E.Sa)Sólo fines educativos LibrosVirtual

119. 106 C apitulo 2: C onjuntos
= (B'n A ) U (+) = B ' n A (Prop.C.3 y U.2)
= A n B ' = A-B (Prop. C. 7)
Dado que: A 0 B = ♦ ♦ A-B = A
Por lo tanto: B ' O ( A u B ) = A <-*• A n B = ♦
E JE RCICIO 21. Demostrar usando propiedades de conjuntos que para los con
juntos A.B y C: IIA'-(B'-C) ]' n (C'-B) ' = Al) (BUC)
Demostración. En efecto:
[A'-(B'-C)lrn (C’-B)' = IA' fí (B’-C')1’r\ (C'n B)' (Prop. C.7)
= [A'n (B'n C ’) ' ] ’n (C'n B ’)' (Prop. C.7)
= [A' n <B'U C ’)']' n (CUB) (Uorg. C.10)
= [ A O (BUC) '] n (Bu C) (Uorg. C.10)
= [A n (Bu C)] U [(Bu C ) ' n ( B Ú C ) ] (Dist. E.Sb)
= [A n f B U C)] U [ « ] (Prop. C.3)
= A n ( B U C ) (Prop. U.2)
EJ ERC ICI O 22. Sean A.B y C tres conjuntos. Demostrar que si B O C= ♦,
entonces: [A-(BU C) ] u (An B) U (A nC) = A
Demostración. En efecto:
IA-(B u C ) ] U (A nBJ U (An C) = [A n (BU C) ' ] U (AnB) u (ABC) (Prop. C.7)
= [ A n ( B U C ) '] U A n ( B u C ) (Prop. 1.12)
= A n [ ( B u C ) ' U (B u C)] (Dist. E.Sa)
= An[U]=A (Prop. C.2 e 1.3)
EJERCIC IO 23. Demostrar mediante definiciones:
(A n B) - (AtiC)' = An( B-C ')
Danos 1ración. En efecto:
(1) Sea xct(A0B)-(AnC'))
(2) — xc(AOB) * xf(AnC') (Def. Dif.)
(3) * x e ( A n B ) a (x(A v x¿C') (Uorg. E. 6a)
(4) * (xeA a xeB) a (xiA v xiC') (Def. fl )
(5) * (xeA a xeB a xiA) v (xeA A xeB a xfC') (Dist. E.5a)
(6) + [(xeA A xfA) A xeB] v [xeA a (xeB a xiC') ]
(7) * [(xe*) a xeB] v [xeA a xe(B-C')] (Def. Dif.)
(8) * [ ♦ ] v [xeAO(B-C')] (Prop. 1.2 y Def. n )
(9) * xeA n(B-C) (Prop. U.2)
Por lo tanto, de 1 y 9: (AfíB)-(AnC’) = An(B-C')Sólo fines educativos LibrosVirtual

120. Ejercicios Ilustrativos 107
E J E R C I C I O 24. Demostrar mediante definiciones (usando elementos) que:
a) B <= [A U (B-A) ]
b) P t í A O B l U C ] = P(A\)C)0P(Bl)C)
Demostración, a) Sea xeB, entonces debemos probar que xe[A U (B-A)]
Demostraremos por falsa suposición, esto es, supongamos:
(1) x¿[AU(B-A,)] s <v.[xe(A \}.(B-A))] = M x e A v xe(B-A)) (Def. U )
(2) s >v[xeA v (xeB a x íA)] (Def. Dif.)
(3) s •'«[{xeA v xeB) a (xeA v x¿Aj] (Dist. E.5b)
(4) s ■'.[{xeA v xeB) a (T)) s M í x e A V xeB)) (T.3 y FNCb)
(5) = x M a xtB (Morg. E.6b)
(6) Pero como por hipótesis, xeB ♦ xe[A U (B-A) ]
b) (í) Sea XeP[ (A fl B.) U C] * x e C í A O B l U C ] (Def. Pot.)
(2) * xe[(AU C) fí [ B U C)] (Dist. E.5b)
(3) - xe(AuC) A xe(BUC) (Def. 0 )
(4) - X e P f A U C j n XeP(BUC) (Def. Pot.)
(5) - X e [ P f A u C ; n P f B U C ; ] (Def. Pot.)
(6) Por lo tanto, de 1 y 5: P t í A í l B l u C ] = P f A U C) Í1 P(B u C)
EJERCIC IO 25. Usando propiedades para conjuntos A,B y C, demostrar que:
(A & B ) U ( B A C) - (AUBuC)-(AfíBt\C)
Demostración. En efecto, sea E = (A A B) u (B A C) , entonces:
E = l(AiiB)-(AnB)]Ul(BuC)-(BnC)] = l(AilB) n (A DB) ' ] U l(B U C) n (B O C) ’ ]
= ((A nB) ’n ( A u B ) ] U [ ( B n C ) ’n (BuC)] (Corm. 1.4)
= { [ f A O B r n A ] U t f A n B l ' n B ] } u m s n c i ' n B ] U [ f f l n c r n c ] } (Dist. E. 5a)
= [ ( A ' u B ' j n A J u [ ( A ' u B ' . ) n B ] u tfB'U C')0 B] U l(B'l) C ' l n C ] (Morg.C.10)
= tfA'n A) U (AfíB’)] U CÍA' n B) u ( B ’fl B)1 U [<B' fl B) U (C'rtB)] u [ffl'n Q U
U ( C ' n C ) l (Dist. E. 5a)
= l(*)U (AnB')] o ((A'nB)U(4)]iJ til) U fC'H 8)] u [(B'nC)ü(*)l
- (AhB') U (A'n B) U (C’O B) u (B'n C) (Prop. U.2)
= [ ( A n a 1) U (CDB')] o Í(B(\A') u ( B n C 1)] (Conm. U.4)
= [ ( A U C j nfl’] U [ B í U A ’U C ’)] (Dist. E.Sa)
= [ ( A u C ) n B ' ] U [ B O f A n C ; ' ] (Morg.C.lO)
= [ f A u e ; - B ] u [ B - f A n O ] (Prop. C.7)
= [ f A u C l u B - B ] u [ B - B n f A n C > ] (Prop. D.5)
; Í(AUBUC)-B) + IB-(AC\B fl C> 3 (AlíB = A+B)
:. e = ( A u B u C ) - ( A n B n C )Sólo fines educativos LibrosVirtual

121. 108 C a p ítu lo 2 : C o n ju n to s
EJERCICIO S: G rupo 8
1. Sea íMxeN|0<x$i0} y los subconjuntos: A=lxeN|x es primo), B=lxeü|x es
un cuadrado perfecto , C=lxeí/|x es impar). Hallar:
a) (AuB)'-C b) (A-C) ' n B c) (A^B)-(AtC) d) (A D C) '-(B U C) ' '
2. Dados los conjuntos A=lxeZ|,''[xS-2 v i > 3 ] (. B={xeN|'^('-J<xS3 ■*■ x=5)) y
C=(xeZ| (x<-2 v xi2) * x> l). Hallar el resultado de (BOC) a (A OBI.
3. Sea el conjunto E=H ,a, tal, (a, $11 y los subconjuntos: B=lxeE|xj¿$ a xf
la,*11, C=lxe£|x#a v x/la, ♦(}, D = 1 x e E | x es una letra del alfabeto). Ha­
llar: a) P(B-C) b) (CbD)-B' c) (C-B) 1 u (BH D f)
4. Sean los conjuntos A=lxeN| 7-x=3 v x<3) , B=lxeN|5-x>2 * -^(6x-2)i2),
O f x e N | x es un cuadrado perfecto, xilO). Hallar:
a) (AuB)b(C-A) b) (A-B)u(BbC) c) (AbB)-(A-C) d) (A&B) n (BbC)
5. Dados los conjuntos A=lxeN|3<xS4l, B=lz|z=n2 , neW, nS5l, C=(xeN|x es d¿
visor de 30). Hallar la suma de los elementos de conjunto (A fl B)u(B U C)
6. De las siguientes afirmaciones, cuáles son verdaderas?
a) A b ( A U B ’)=A b) (BbC)-A=B n (C-A)
c) A b ( B U C U D ) = ( A b B ) U (AdC) y (AbD)
7. Si A c B y C n A=<f, simplificar: [A u (B-C; ] fl [B u (C-A) ]
8
. Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) (AbA')U A = A d) A<=B ■*- A'c B r
b) (AuB)' = A'b B' e) A n (B U C) = (A u C) n (B U C)
c) A-B = A bB ' f) (AuB)-(BbA) = (A-B) U (B-A)
9. Si U=)xzN\0<x<ll), A=il,2,3,4,5), B=lxtU|x=2k, keU). Cuáles de las afir
mociones siguientes son falsas?
a) (A'bB 1) f U-lSl c) (A-B)' * A' u (AbB)
b) (AuB)' = lxel/|x2-16x+63=0l d) B-A t Í8.10)
10. Sean los conjuntos A=lxeN|x = j(k2-l), k*N , B=ixeN¡x2=8x l , C=lxeAl|
x1 -32x+192=0). Hallar el resultado de (B-A)(\C.
11. Si A=(a,<|>,l$n , cuáles de las afirmaciones siguientes
son verdaderas? a) (AU B)-(AbB) = la,*,!!*}!}
b) El número de elementos de P(A)=8 c) P(A) b P(B) = 111*11,$}
12. Cuántas de las afirmaciones siguientes son verdaderas?Sólo fines educativos LibrosVirtual

122. Ejercicios: Grupo 8 109
a) (A-B)-C=A-(B u C)
d) (A'UB')nA^B
b) (<A')’) ’=U-A c) (A O B u A^A
e) l(A')U Bl-O(AuC)'u(B-C)
13. Dada la proposición: ( x M a x<£) v xeC. Su negación equivale a:
a) xe(Au B'l O C' b) xa(A-C) U(BVC)' c) fxsA a xtC) a xt(BUC)
Cuáles son verdaderas?
14. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
(1) Afí(C-B)' es lo m is m o que: A n ( B O C ) ’
(2) A= tx«^|lft¡c1=1.3x+3} e s un conjunto unitario o
B= lx«R- 10 (| ^r=x "*} e s un conjunto vacío
(3) Si x¿R y A=(aeR|4x*-2ax+3«i, e s un trinomio cuadrado perfecto), en­
tonces A c {aeZ¡a>+24=6a1+4a}
15. Para conjuntos tenemos las afirmaciones:
a) A c C * A u (B n C)=(A u B) n C c) B=A 1 -“ í u B=V y At)B=4
b) A U (Bf) A)=A fl (BUA)=A d) A U IB O (A U C) ]=A U (B P C)
Demostrar que tales afirmaciones son verdaderas.
16. Cuáles de las siguientes proposiciones para conjuntos son siempre verdg
deras? a) A C B *-* A u B = B c) AflB = ♦ ♦ A c B 1
17. Si U=ia,b,c,d,e\; Al>B=lo,b,c,dl, AflB=la,cl y A-B=lbl; hallar A y B.
18. Demostrar que la proposición p:xzlA-(C-B)]', es equivalente a:
q:x*lA níC'u B)).
19. Dados los siguientes conjuntos: )4¿.\-3,-2/3,0,1/2,2,S2,3+S2,2\), A=lxeAl¡
xfM - x*Z), B=íxeAl|xeB *■* xel>, D=lxeJU|xeC A x * Q h Hallar (A fl C) u (B-A).
20. Sea el conjunto universal U=l-6,-3,0,0.4,0.'3.3/5,/6,4,1-il y los subcon
juntos: A = 1 x c í / | x ® C a x c / 1 , B = 1 x e ü ¡ x « : N 'a x e Q I , í M x e d j x t ZvxeWÍ. Determi­
nar AifíP, por extensión, sí: M=lxel/|xeA ■* xeBl; P=lxel/|xe£> <-► xeBl.
21. Si se sabe que: p*q-p •» ‘vq; p/q-’^p ♦♦ Vj, y se dan los conjuntos: A={-9,
-•/2,0.'3,*,6,3ii, B=lxeA|x*Z t xtR}, B=lxeA|xeQ * xeí), E=lxeA|xeC#xeNh
Hallar (AUB)n (D-E).
22. Presentar cuatro diagramas de los conjuntos numéricos y en cada uno de
estos diagramas sombree la zona correspondiente a cada uno de los si­
guientes conjuntos: A=lxeC|x*i xeRl, B=lxeC|xeN + xtR), D=ixeC\xfC
v xfR), E = IxtC/xfZ a xcRt
b) A CB ' «- B C A ' d) (AUB')’ = B-ASólo fines educativos LibrosVirtual

123. 110 Capitulo 2: Conjuntos
23. Dados los conjuntos: L=(xeC|jc<1V a acfí J>, S = ( x e R | x < Z v x t N ), tM x e R |x ¡f< ?
** x ? I ) . Sombrear en el di a g r a m a d e los conjuntos numéricos la zona c o ­
rrespondiente a M={x*C\xf(Lfí S)r. xc(S-D))
24. Dados los conjuntos X , Y , Z y su represen­
tación en el d i agrama adjunto:
X=iPolígonos regul a r e s}; V-ÍCítadr i lateros)
Z=iTriángulos e q u i l ateros). Cuáles d e las
regiones enumeradas en el d í agrtma son va
cíos?
25. L a parte sombreada del dia g r a m a r epre­
senta a:
a) C-l (A-B) fl ( B-A)) c) C-[ (A-B) u (B-A) ]
b) tCfl (A-B) ' ] fl (B-A) d) [C H (B-A) ' ] n (A-B)
26. L a región sombreada representa a:
a) A - ( B fl C) c) (A-B) O (C-A) ’
b) A ( \ ( B U C ) ' d) A n (B-C) '
27. En el siguiente diagrama, las regiones
sombreadas se identifican como la expre
sión:
a) ( B D A ) u ( B n C ) b) (A U C ) - ( A n B < \ C)
c) [B flfAUC ) ) - ( A t \ B B C )
d) ( A t \ C ) u l ( A ( \ B ) - ( B l \ C ) }
28. S ombrear en el siguiente diagrama la
zona correspondiente a ia siguiente
operación:
[ ( A n B ) ’O C'l O l ( A - B ' )1 f) Df]
29. Sombrear en el diagrama adjunto:
[(AuB)-(Cfí.D)j U l(C-D) ' n (B-A)}Sólo fines educativos LibrosVirtual

124. Sección 2.17: Diferencia Simétrica 111
30. Cuáles de las siguientes proposiciones:
a) xtl(B-A) ’-C\ b) xe[(A-C) U <B U C) ' ] c) j c e[A u (B U C) ' ]
equivalen a la negación de la proposición: jce[C U (B-A)]?
31. Sea A*B=(A-B’) U B. Demostrar que las afirmaciones siguientes son verda­
deras: a) A*B=B*A — -A=B b) (A*B)*C = A*(B*C)
C) A*(B U C) = (A*B) U (A*C)
32. Sean A= {1,2,3\, B= {ieZ|x2-x-6=0), C=(acEA/|2<i<6}, D=C-(A(\B). Cuántos e-
lementos tiene el conjunto P[P(D)]?
33. Si A,B,C son conjuntos y C CA ', entonces, demostrar que:
l l ( C U B ) n A ] U C ' } O B = B n c
34. Dados los conjuntos A y B. Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas? a) A U B - (A i B) A (AHB) b) A fi B = A A (AUB)
c) A fifi = (AUB)-(A t B)
35. Si A,B y C son conjuntos, simplif icar usando propiedades:
a) [ ( A n B ) U C']'U (BUC)
b) {[CU (B-A') ] fl [B-(C U A) ' ] '} U B
36. Dados los conjuntos A.B y C en U, simplificar la expresión:
[A 4 fB » C)] 1 [C A fl1]
37. Si A c B, simplificar: Af\{[(BuA)(\CnB']uA'UB'}
38. SeanA={3,*}, B={ {3}(1¡>. {3, ♦}) y C={ {♦ J. {3{ {. Determinar P(A)-{B n P(C) ].
39. Simplificar: [fA u B)-(C-A) ] Í1 [ (A n B)-(A n C) ]
40. Si A,B,C y D son conjuntos tales que: .CcA', A CB ' y CuD=D. Simplifi­
car: [{A1 U B') fl (C' U D')] U Í([(CUB) fl A] U C';n B]
41. Si para conjuntos A.B.C se tiene: A c B y CflA=í, simplificar la expre-
s ión: {lA u (B-C) ] n [B u (C-A) 3 > u {(A-BJ i Cl
42. Si.An B DC=4, simplificar: (A-B) U (B-C) u (C-A)
43. Sean A,B,C conjuntos no vacíos, tales que: ÍB(lC)c{, {BUC>-A=í. Justi
ficando el desarrollo, hallar: Z - (A ¿ B) u(A & C) U (B A C)
44 . Usando propiedades de conjuntos, hallar R u S, donde:
R = ÍA-(B-D) ]' n [A' A (B-D)] y S = [ (B-A) U (D-A) ] U [A U (B A D))
45. Si A y B son conjuntos, demostrar que:
si (AU B) c ¡B'-(A-B)], entonces A = (j> * B = <t>Sólo fines educativos LibrosVirtual

125. 112 Capítulo 2: Conjuntos
46. Demostrar usando propiedades sobre conjuntos que:
(BDC) U (B-C) U (B-A) = B - A' «- B C A
47. Demostrar, usando elementos, que: A' e¡ B 1 = A a B
48. Usando elementos demostrar que:
[ A n e n C ] U [(A-B)-CJ = [A-(B-C)lt) [A-(C-B)]
49. Dados los conjuntos A y B. Demostrar que:
a) Si A-B=4> y B-A=t -» A-B
b) Si A A B = ♦ •* A=B
50. Dados los conjuntos A,B,C y D, demostrar:
a) Por elementos que: si B = C b D ■» B C C
b) Por elementos que: si ( A C C A B c D ) * (AftB)c(C(iD)
c) Usando propiedades que: si A & B' - B * B e A
51. Demostrar, por definición, que: P U A f l B J u C ] = P(A U C) fl P(B fl C)
52. Sean A,B,C conjuntos no vacíos. Usando elementos, demostrar que:
BeP(A) y A 4 B = A U B - A n8 ■* A 4 B - A-B
53. Dados los conjuntos A,B y C, usando propiedades para conjuntos, demos­
trar que: [A'-(B'-C)]C [A A (B-C')’] - ( A U B U C ) C Z ( A U B ’U C')
54. Usando propiedades y justificando el desarrollo, demostrar que para cop
juntos A,B y C, se verifica las siguientes proposiciones:
a) [(AiiB)-C] U lA-(BDC)} = A-C
b) {[(A-B1) U (B'-A) ]-B\ U {B-l(AtiB) U ( A u B ) ’]} = A'
55. Usando elementos y justificando el desarrollo, demostrar que para con­
juntos A,B y C, se verifica la siguiente proposición:
[A'-(B'-A’)]U l(A'-B')-A'] c (AñB)'
56. Demostrar, usando elementos, que: A H ( B ¿ C) = (AbB) A (A n C)
57. Demostrar las siguientes propiedades de conjuntos, just ificando cada pg
so: a) A c B « A n B = A b) A c B «-► A u B = B
58. Para conjuntos A y B, demostrar las leyes de absorción:
a) A.l: A n(AUB) = A b) A. 2: A U (A fl B) = A
59. Sombrear en el diagrama de los conjuntos numéricos, la operación:
S = ((R-N'j n (C-I)j U ((1 DR) U (Q-R)]
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

126. Sección 2.18: Números de Elementos de un Conjunto 113
| NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
___________^
Dado un conjunto A, la fanilia de elementos de este conjunto se lla­
ma nimero cardinal de A y se denota por:
Card(A) o n(A)
y se lee: "cardinal de A" o "número de elementos de A".
For ejemplo, si A=ll,2,3) y B=la,b,c,d, {a,b)), entonces el número de elemen
tos de dichos conjuntos es: n(A)=3 y n(B)=5. También: n[P(A)]=2’=8 y
n[P(B)l=2*=32.
2.18
PROPIEDADES
_________________________________________ y
N.l: Si A y B son dos conjuntos mutuamente excluyentes (disjuntos), esto es
A n B = « - n(AUB) = n(A) + n(B)
En efecto, sean x e y los números cardinales
de A y B respectivamente, tales que:
x = n(A) e y = n.(B)
Como ADB=i|>, es decir, A y B no tienen elemen
tos comunes, entonces: n(AV B) = x + y
2.18.1
n(ADB) = n(A) + n(B)
N.2: Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces:
n(A-B) = n(A) - n(Ah B)
En efecto, los conjuntos (A-B) y (Ar\B) son dis
juntos, entonces, por la propiedad N.l:
n[(A-B) u (A nB)] = n(A-B) + n(A B)
Pero A=(A-B) U (AfíB) - n(A) = n(A-B)+n(A flS)
de donde:
n(A-B) = n(A) - n(ADB)
N .3: Si A y B son conjuntos tales que A O B f <t>, entonces:
n(Au B) = n(A) + n(B) - n(AnB)
En efecto, A U B = (A-B) U B
Entonces, por N.l: n(Au B) = n(A-B) + n(B)
y por N.2: n(AuB) = n(A) - n(AhB) + n(B)
de donde:
n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AOB)Sólo fines educativos LibrosVirtual

127. 114 Capitulo 2: Conjuntos
N.4: Si A,B y C son conjuntos tales que AftBflC # *, entonces:
n ( A U B U C ) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A (1 B)-n(A 0 C)-n(B 0 C)+n(A n B HC)
En efecto:
n(Au BUC ) = nlA ufB uC. )]
= n f A ; + n f B u O - n [ A n ( B U C > ] (N.3)
= n(A)+n(B)+n(C)-n(B n C)-n[(A n B) U,(A (IC)] (N.3 e 1.12)
= n(A)+n(B)+n(C)-n(Br\C)- [níA n B.)+n(A n C)-n(A íl Bj fl (A 0 C.) 1
de donde:
n ( A u B u C ) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A 0 B)-n(B n C)-n(A (1 C)+n(A n B f l C>
Nota. Tres conjuntos A,B y C que en un diagrama de Venn Euler se represen­
tan secantes mutuamente, quedan divididos en siete regiones. El núm§
ro de elementos de cada región en que queda dividido dichos conjuntos,
puede calcularse del modo siguiente:
Sólo A: n, = n(A) - n(BUC) = n(ÁBC)
Sólo B: n z = n(B) - n(AuC) = n(BAC)
Sólo C: n¡ = n(C) - n(Ail B) = n(CAB)
Sólo A y C: n, = n(A fl C; - n(B) = n(ACB)
Sólo A y B: n, = n(AhB) - n(C) = n(ABC)
Sólo B y C: n, = n(BfiC) - n(A) = n(BCA)
A,B y C en conjunto: n, = n(Ar\ B (\C) = n(ABC)
Ni A, ni B, ni C: n« = n(U) - n ( A u Bl) C)Sólo fines educativos LibrosVirtual

128. Sección 2.18: Número de Elementos de un Conjunto 115
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJ ERCICIO 1. Si los conjuntos A y B son tales que: n(Au B)=30, n(A-B)=12
y n(B-A)=10; hallar n(A)+n(B).
Solución. n(Au B) = n(A)+n(B)-n(Añ B) + 30 = n(A)+n(B)-n(A ri B) (1)
n(A-B) = n(A)-n(AhB) + 12 = n(A)-n(AOB) (2)
n(B-A) = n(B)-n(A fl B) - 10 = n(B)-n(AnB) (3)
Restando (l)-(2): n(B)=18 , y restando (l)-(3): n(A)=20
n(A) + n(B) = 38
EJ ERCICIO 2. Si nlP(A) ]=128, nlP(B) ]=16 y n[P(A n B) ]=8, hal lar nlP(A n B)]
Solución. Para un conjunto X: nlP(X)j=2n
Entonces, para el conjunto A: 2n=128=2 ++ r,=7
Para el conjunto B: 2n=2^ +—■ n=4 , y para A B: 2n=2^ *-* n=3
Según N.3: n(Aü B)=n(A)+n(B)-n(A n B) = 7+4-3 = 8
:. nlP(A UBI] = 2* = 256
EJERCICIO 3. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de So
ciología y 53 no siguen el curso de Filosofía. Si 27 alum­
nos no siguen Fi losofía ni Sociología, cuántos alumnos llevan exactamente u
no de tales cursos.
Solución. Sean: S = El número de alumnos que siguen el curso de Sociología.
F = El número de alumnos que siguen Filosofía
x = El número de aliemos que siguen sólo Sociología
y - v n ii u it n
Entonces: n(S) = x+y = 100-49 = 51
n(F) = z+y = 100-53 = 47
Sumando (1) y (2): x+y+2z - 98
Pero: n(SU F) = 100-27 = 73 + x+y+z = 73
Restando (3)-(4), obtenemos: z=25
EJERCICIO 4. Dada la siguiente información: n(U)=360, n(A)=120, n(B)=150
n(C)=100; n(AC)=20, n(AB)=30, n(BC)-25, n(ABC)=10. Hallar
n(L S), sabiendo que: L=(xe[/|xeA +-+ xeB), S=txeU¡xeA ■* xeCI .
Solución. En el diagrana de Venn Euler se tiene:
n ( A O B n C ) = 10 + e = 10
S F
" Filosofía
(1)
/ ? r- 'j'Xi \ -4.:: ,•
( 2 ) fcív-xj^j z
(3)
vv'Vr-.Ví:
73 (4) V ; í * s- . \ / < w.l V.-V-v
xy«- .««*
x+y = 48Sólo fines educativos LibrosVirtual

129. 116 C apitulo 2: C onjuntos
n(AC) = n(At)C) - 20 * e+f = 20 * f=10
n(BC) = n(BBC) = 25 * e+d=25 * d=!5
n(AB) = n(AfíB) = 30 * b+e=30 b=20
nCA; = 120 * a+b+e+f = 120 * a=80
n(B) = ISO ~ c+b+d+e=150 -> c=105
n(C) = 100 - d +e+f+g=100 + g=65
n(U) = 360 ■» a+b+c+d+e+f+g+h=360 ■* h=55
Los elementos de L y S se determinan pi
siguiente tabla de valores de verdad:
Estos se eligen de los elementos de U
que corresponden a las filas con valor
de verdad V.
Entonces: L=lb,e,g,hl
S=ic,d,e,f,g,h}
Lu S = {b,c,d,e,f,g,h 1
n f L u S J = b+c+d+e+f+g+h - 280
L S
ux eA+—+x e B x e A x e B
a V F F V F F
b V V V V F F
c F F V F V F
d F F V F V V
e V V V V V V
f V F F V V V
9 F V F F V V
h F V F F V F
EJERCICIO 5. Sean tres conjuntos A,B y C que tienen respectivamente n,
3n y n-1 elementos. A y B tienen n/2 elementos comunes, A y
C tienen n/4 y C y B tienen 2. Además se sabe que hay un único elemento co­
mún a los tres conjuntos. Determinar el minero de elementos que tiene el
conjunto K={(Au B)-(AnB)]-C.
Solución. Las zonas sombreadas representan
al conjunto K.
♦ n( A u B u C ) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A OB)
-n(A n C) -n (BnC)m(ABC)
= n+3n+(n-l) - j - y -2+1
de donde: n ( A u B v C ) = -2+(17l4)n (1)
a+l=n(ADB) * a = y - 1 (2)
n(K) = x+y = n(Aü B u C)-n(C)-a (3)
Sustituyendo (1) y (2) en (3) obtenemos: n(K) = (ll/4)n
EJERCICIO 6. El número de personas que toman la bebida A es 190
it it ti ti ti ti ti it Q g g 1 1 0
ti n ti n c es 150
£2 número de personas que sólo toma C es la mitad de los que sólo toman B ySólo fines educativos LibrosVirtual

130. Sección 2.18: Números de Elementos de un Conjunto 117
1/3 de las que sólo toman A. El número de personas que sólo toman B y C es
la mitad de las que sólo toman A y B. Si el número de personas que toman
las tres bebidas es 1/3 de las que sólo toman A y C. Cuántas personas toman
una bebida solamente?
Solución. Como datos tenemos:
n(A)=190, n(B)=110, n(C)=150
Además: n(CAB) = jn/BÁC) = jn(ABC)
n(BCÁ) = jn(ABC) y n(ABC) = y i(ACB)
Si n(CÁB)=x , n(BCA)=y , n(ABC)=z
La distribución en el diagrama de Venn se
hizo en el siguiente orden:
n(BAC)=2x , n(ABC)=3x , n(ABC)=2y , n(ACB)=3z
Luego, si n(A)=190 * 3x+2y+4z = 190 (1)
n(B)=110 ■+ 2x+3y+z = 110 (2)
n(C)=150 - x+y+4z = 1 5 0 (3)
Resolviendo el sistema (1), (2) y (3) obtenemos: x=10 , y=20 , z=30
Por lo tanto, el número de personas que toman una bebida solamentes es:
N - x+2x+3x = 6x = 60
EJERCICIO 7. De una encuesta hecha a 135 personas para establecer
preferencias de lectura de las revistas A,B y C se obtienen
los siguientes resultados. Todos leen alguna de las tres revistas; todos me
nos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C; 6 leen B y C pero no A; 10 leen so
lo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que
leen las tres revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el
total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que
leen A solamente.
Solución. Sea x el número de personas que sólo leen la revista A. La
distribución en el diagrama de
Venn Euler es como sigue:
n(A)=135-40=95 , n(ABC)=15 , n(BCA)=6
n(CÁB)=10. Sea y=n(ABC), pero como:
n(AC)=2n(ABC) - n(ABC)=y , luego:
n(BAC)=y*y=2y. Por tanto, en el digrama
tenemos: n(A)=95 — x+y+y+15=95 — x+2y=80
n(AU B U C)=135 -» x+4y+15+6+10=135 — x+4y=104
Del sistema obtenemos: x=56Sólo fines educativos LibrosVirtual

131. 118 Capitulo 2: Conjuntos
EJERCICIO 8. De una encuesta efectuada a 120 personas sobre el consumo
de los productos A,B y C se obtuvo el siguiente resultado.
El número de personas que consumen sólo A y C es la mitad de las que consu­
men sólo A. Ei número de personas que consumen sólo B es el doble de las
de las personas que consumen sólo A y B más sólo B y C. El número de perso­
nas que consumen sólo C más los que consumen los tres productos es 30. Si
se sabe que todas las personas por lo menos consumen un producto, hallar el
número de personas que consumen dos productos.
Solución. Sean x,y,z el número de personas que consonen dos productos.
Luego, la distribución en el dia­
grama de Venn Euler es:
n(ACB) = -yi(ABC) - n(ABC)~2x
n(BAC) = 2[n(ABC)+n(BtA)] = 2(y+z)
Además: n(CÁB)+n(ABC)=30 (dato)
■* n(A uBU C) = x+2x+y+z+2(y+z)+30
* 120 = 3x+3y+3z+30 x+y+z = 30, es el número de personas que consumen
dos productos.
EJERCICIO 9. De 55 alumnos que estudian en una Universidad se obtuvo la
siguiente información:
32 alumnos estudian el curso A
22 " " " " B
45 " " " " C
10 " " los tres cursos
Cuántos ahmnos estudian simul táneamente dos cursos?
Solución. Sean x,y,z el número de alumnos que estudian dos cursos.
La distribución en el diagrama de Venn Euler muestra que:
n(A) = a+x+y+10 * a+x+y = 22
n(B) = b+y+z+10 -» b+y+z = 12
n(C) = c+x+z+10 * c+x+z = 35
Sumando estas tres ecuaciones se tiene:
a+b+c+x+y+z+(x+y+z) = 69 (1)
Pero a+b+c+x+y+z+10=55
Luego, en (1): 45+(x+y+z) = 69 x+y+z=24
Por lo tanto, 24 alumnos estudian simultáneamente dos cursos.Sólo fines educativos LibrosVirtual

132. Sección 2.18: Números de Elementos de un Conjunto 119
EJERCICIO 10. En una investigación efectuada a 370 personas se determinó
que: 20 personas leen solamente la revista A.
10 personas leen solamente las revistas A y B
40 " " " " " B y C
El número de personas que leen las revistas A,B y C es el doble de las que
leen solamente la revista B, el cuadruplo de las que leen solamente la re­
vista C y es 8 veces mayor de las que leen solamente las revistas Ay C. Ha­
llar: a) El número de personas que leen solamente la revista B y la revis­
ta C. b) El número de personas que leen al menos dos revistas.
Solución. Sea x el número de personas que leen solamente la revista C.
La distribución en el diagrama de Venn se efectúa asi:
n(ABC)=20 , n(ABC)=10 , n(BCA)=40
n(ACB)=x - n(ABC) = 8n(ACB) = 8x
n(ABC) = 4n(CAB) -► 8x=4n(CAB) - n(CAB)=2x
n(ABC) = 2n(BAC) - n(BAC)=4x
- n(AU B U C)=20+10+40+x+2x+4x+8x-370
de donde: x=20
Luego: a) n(BAC) = 4x = 80 ; n(CÁB) = 2x =
b) n(ABC)+n(BCA)+n(ACB)+n(ABC) = 10+40+x+8x = 230
40
EJERCICIO 11. En una encuesta a 100 televidentes, sobre los programas de
TV, se obtuvieron los siguientes resultados: 45 ven el pro
grima A, 50 ven el programa B, 20 ven solamente los programas B y C , y 10
ven solamente el programa C. Además el número de encuestados que ven los 3
programas es igual a la mitad de los que sólo ven los programas A y B, y un
tercio de los que sólo ven el programa B. También el número de televidentes
que ven sólo los programas A y C es el doble de los que sólo ven el progra­
ma A. Determinar:
a) El número de encuestados que ven sólo el programa B.
b) " ,! " " " no ven ninguno de los tres programas.
Solución. Datos: n(A)=45 , n(B)=50 , n(BCÁ.)=20 , n(CÁB)=10
Sea x el número de personas que ven los tres programas
y " " " " . ” " sólo el programa A
De modo que la distribución en el diagrama A /
de Venn se efectúa como sigue:
n(ABC) -- jn(ABC) — n(ABC)=2x
n(ABC) = (l/3)n(BAC) — n(BÁC)=3xSólo fines educativos LibrosVirtual

133. 120 C apitulo 2: C onjuntos
n(ACB)=2n(ÁBC) * n(ACB)=2y
Si n(A)=45 * y+2y+x+2x = 45 ** x+y=I5 (1)
n(B)=50 * x+2x+3x*20=50 x=5, en (1): y=10
a) n(BÁC) = 3x = 15
b) No ven ningún programa: z = n(ÁBC) = 100-(6x+3y+30) = 1 0
EJERCICIO 12. En una encuesta sobre preferencia de jugos de fruta de fre
sa, papaya y naranja, se encontró que:
£t número de personas que gustan de jugo surtido de fruta es:
1/4 de las que solamente jugo de fresa
1/2 " " " " " " papaya
1/5 « " " ” " » naranja
1/2 * * ” ” " " fresa y naranja
1/3 " " " " " " papaya y naranja
igual al número de personas que gustan solamente de jugo de fresa y naranja
1/3 de las que no gustan de ninguno de los tres jugos señalados. Si se sabe
que el número de encuestados fuá de 420, hallar:
a) Cuántas personas gustan solamente jugo de una sola de las frutas mencio­
nadas .
b) Cuántas personas gustan al menos jugo surtido de dos de las frutas men­
cionadas.
Solución. Sean F,P y N el número de personas que gustan jugos de fruta de
fresa, papaya y naranja, respectivamente.
Si n(FPN)=x, la distribución en el diagrama de Venn Euler es:
n(FPN) = (l/4)n(FPÑ) - n(FPÑ)=4x
Análogamente: n(PTÑ)=2x , n(NFP)=5x, n(FPN)=2x
n(PNF)=3x, n(FNP)=x, n(FFN)=3x
Si n(FU P UN)=420 * 4x+2x+5x+x+2x-t-3x+xt-3x=420
de donde: x=20
a) n(FPÑ)+n(PFÑ)+n(NFP) = 4x+2x+5x = U x = 220
b) n(F[fi)+n(PNF) +n(FNP)+n(FPN) = 2x+3x+x+x = 7:
u ^
--
/ 4x / / 2xsV Y
X
O X \
5x J 3x
-''N
= 140
EJERCICIO 13. De 320 personas cónsul tadas acerca de sus actividades, se
obtuvo el siguiente resultado: 40 personas se desenvuelven
como carpinteros solamente. El número de personas que realizan las tres ac­
tividades es el séxtuplo tanto de los que son solcmente albañiles y bodegue
ros, como de los que son solamente carpinteros y bodegueros, y es el tripleSólo fines educativos LibrosVirtual

134. Sección 2.18: Números de Elementos de un Conjunto 121
de los que se desenvuelven solamente como albañiles y carpinteros.
El número de personas que son solamente bodegueros es igual al número de
carpinteros. El número de albañiles solamente es la mitad de los que reali­
zan las tres actividades más 6 personas. 14 personas declaran no participar
en ninguna de las actividades señaladas. Indicar: a) Cuántos son solamente
bodegueros? b) Cuántos son solamente albañiles? c) Cuántos son carpinte­
ros? d) Cuántos no son ni albañiles ni carpinteros?
Solución. Sean A,B y C el número de personas cónsultadas que son albañiles
bodegueros y carpinteros, respect ivamente. Si x es el número de
personas que realizan las tres actividades,
la distribución en el diagrama de Venn Euler
se realiza del modo s¡guíente:
n(ABC)=x n(ABC)=n(BCA)=x/6, n(ACB)=x/3
n (CÁB)=6+x/2
n(BAC)=n(C)-40.+x+x/6+x/3 = 40 + -|x
niAuflU C ) = 3 2 0 - 1 4 = 3 0 6 - 4 0 + X + - j + ■ § + ■ § • + 6 + 4 0 + ~ x = 3 0 6 , de donde: x = 6 0
a) n(BCÁ)=40+ jpc=130 ; b) n(ABC)=6+x/2=36 ; c) n(C)=40+ ~x=130
d) No son ni albañiles ni carpinteros = n(BAC)+14 = 130+14 - 144
EJERCICIO 14. En una encuesta realizada a 290 estudiantes de una Univer­
sidad sobre las marcas de cigarrillos que gustan fumar, se
obtuvo el siguiente resultado: 140 estudiantes gustan fumar Ducal, 90 gus­
tan fumar Premier y 115 gustan fumar Winston. El número de estudiantes que
fuman las tres marcas de cigarrillos es 1/5 de los que fuman sólo Ducal y
1/3 de los que fuman sólo Premier. El número de estudiantes que sólo fuma
Ducal y Premier es 1/4 de los que fiman sólo Winston. El número de estudian.
tes que sólo fuma Premier y Winston es 1/2 de los que sólo fuman Ducal y
Winston. Determinar:
a) Cuántos estudiantes gustan fumar una sola marca de cigarrillos
b) Cuántos prefieren fumar sólo Ducal y Winston y sólo Premier y Winston.
c) Cuántos estudiantes no gustan fumar ninguna de las 3 marcas de cigarros.
Solución. Sean n(D)=140, n(P)=90, n(V/)-115
n(DPW)=x, n(DPV/)=y, n(Pí/D)-z
La distribución en el diagrama de Venn se
hizo en el orden siguiente:
n(DPW)=5x, n(PDW)=3x, n(WDP)=4y, n(UWP)=2zSólo fines educativos LibrosVirtual

135. 122 Capitulo 2: Conjuntos
Luego, si: n(D)=140 ■* 6x+y+2z=140
n(P)=90 -* 4x+y+z=90
n(W)=115 - x+4y+3z=115.
a) n (DPÜ) m(POV) +n(WP) = Sx+3x+4y = 160
b) n(MP)+n(Pí£>) = 2z+z = 60
c) n(D u Pu W) * (5x+y+2z)+(3x+z)+4y = 245
x=l5 , y=10 , z=20
n(DFW) = 290-245 = 45
EJERCICIOS: Grupo 9
1. Sean A y B dos conjuntos tales que: n ( A U B)=24, n(A-B)=10, n(B-A)=6, ha
llar: 5n(A)-4n(B).
2. Para un conjunto X, el número de elementos de X denótanos por n(X). Si
n(A)=4, n(B)=3 y n(AhB)=2, hallar la suma: n[P(A) u P(B) ]+n[P(Au B)].
3. Dado el conjunto U y los subconjuntos A,B y C; se tiene como datos:
n(U)=44, n(A)=21, n(B)=17, n(A0B)=14, n(BhC)=12, n(Ah B n C')=3,
n(Ar) Bt) C)=S y n ( A u B U C ) '=6. Hal lar n(C).
4. Si n(A)=8 y n(B)=8; n(C)=5 y n(D)= 5; en número máximo de elementos de
A U C=K y el número máximo de elementos de B h D es h. Hallar: h.k
5. Si A,B y C son conjuntos finitos demostrar que:
n[(AAB) U C] = n(A)+n(B)+n(C)-2n(A n B)- n f A D C l - n(B n C)+2n(A n B n C)
6. Si A,B y C son conjuntos no disjuntos dos a dos, demostrar que:
nl(AAB)¿C] = n(A)+n(B)+n(C)-2n(A n B)-2n(A n C)-2n(B n C)+3n(AnB n C)
7. Sean A,B y C tres conjuntos tales que: A c c , BcC, n(C)=120, n(Au B)=90
n(A(\B)=30 y n(A)=n(B)+30. Determinar:
a) n¡(C-B)nA] c) n[(C-A) u(AfíB)]
b) n[ (A o B)-n(A (\B)] d) n[(Au B)-(A-B) ]
8. Un club consta de 78 personas. De ellas 50 juegan fútbol, 32 basket y
23 voley. Además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican nin­
gún deporte. Si x es el total de personas que practican exactamente un
deporte, "y" el total de personas que practican exactamente dos depor­
tes; hallar x-y.
fl. Supóngase que Juan come huevos o tocino en el desayuno cada mañana du­
rante el mes de enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y hue
vos durante 18 mañanas, cuántas mañanas come solamente huevos?Sólo fines educativos LibrosVirtual

136. Ejercicios: Grupo 9 123
10. De 120 personas de cierta Universidad se octavo ia información:
72 alumnos estudian el curso A
64 " " " " B
36 " " " " C
12 " " los tres cursos
Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos cursos?
11. Un club deportivo consta de 79 socios, de los cuales 52 practica
fútbol, 36 basfet, 49 voley, 63 fútbol o basket. Si 15 practican sola­
mente fútbol y basket, y 16 solamente voley:
a) Cuántos socios practican los tres deportes.
b) Cuántos socios practican por lo menos dos de los tres deportes.
12. En una encuesta entre alumnos de una Universidad, se obtuvieron los si­
guientes resultados:
El 55% de los encuestados aprobaron Química Básica
El 30% " " " " Matemát ica Básica
El 50% " " " " Lengua
El 10% " ” " " los tres cursos
El 40% de los que aprobaron Química no aprobaron ningún otro curso y el 20%
de los que aprobaron Química también aprobaron MB1 pero no Lengua.
El 14% de los encuestados no aprobó ninguno de los tres cursos. Si se sabe
que 256 de los encuestados aprobaron UBI y Lengua, determinar:
a) Cuántos aprobaron los tres cursos? -
b) Cuántos aprobaron UBI o Lengua pero no Química.
13. En una encuesta real izada sobre un determinado número de profesionales
se observa que: El 72% son matemát icos, el 52% físicos, el 37% químicost el
32% físico-matemáticos, el 12% físico-químicos, el 22% matemático-químicos
y el 2% físico-matemótico-químicos. Hallar:
a) El porcentaje de encuestados que siguen una carrera
b) El porcentaje de encuestados que tienen otras carreras.
14. El registro central de una Universidad proporcionó los siguientes datos'
respecto a un grupo de 300 estudiantes del primer ciclo. 155 están ins­
critos en el curso A, 170 en el curso B y 110 en el curso C. 85 están ins­
critos en A y B, 70 en B y C, 50 en A y C, y 35 en los tres cursos. Determi
nar el número de inscritos en: a) El curso A pero no en C.
b) Ninguno de los tres cursos.Sólo fines educativos LibrosVirtual

137. 124 Capitulo 2: C onjuntos
15. De 150 personas cónsultadas sobre el deporte que practican manifestaron
lo siguiente: 82 juegan fútbol, 54 juegan basket, 50 sólo juegan fútboll
30 sólo juegan basket. Además, el número de personas que juegan sólo basket
y tenis es la mitad de las que juegan sólo fútbol y tenis; el número de per
sonas que juegan sólo fútbol y basket es el triple de las que juegan los 3
deportes; las personas que no practican ningún deporte son tantas como las
que practican sólo tenis. Hallar:
a) El nCmero de personas que practican sólo dos deportes.
b) El número de personas que no practican ninguno de los tres deportes.
16. En una encuesta realizada en un Super Mercado a 400 amas de casa sobre
sus preferencias de 3 productos A,B y C, se obtuvo el siguiente resulta
do: El número de amas de casa que consume los tres productos es:
1/4 de los que consumen solanente el producto A
1/5 ” ” «
1/3 ” ” "
1/2 " " "
1/3 " ” "
1/3 " " "
" " " B
« " " . C
los productos A y B
B y C
” " A y C
Sí 40 amas de casa declararon no consumir ninguno de los 3 productos hallar
a) Cuántas amas de casa consonen sólo un producto
b) Cuántas amas de casa consumen al menos dos productos.
17. En una encuesta realizada en un Instituto de ¡diamas, se obtuvieron los
siguientes resultados: El número de personas que estudian inglés es 60,
alemán 48 y francés 28. El número de personas que estudian sólo francés es
1/3 de los que estudian sólo ingles y 1/2 de los que estudian sólo alemán.
El minero de personas que estudian los tres idiomas es 1/2 de los que sólo
estudian inglés y francés. El número de personas que sólo estudian alemán y
francés es 1/3 de los que sólo estudian inglés y alemán. Hallar:
a) Cuántas personas estudian un solo idioma.
b) Cuántas personas estudian sólo dos idiomas.
18. En un edificio de departamentos, se sabe que: en el primer piso viven
el 20% de las familias, de las que la mitad tiene refrigerador. En el
segundo piso viven el 40% de las familias, de las que la mitad tiene refri­
gerador. En el tercer piso viven el 30% de las familias, de las que la ter­
cera parte tiene refrigerador. En el cuarto piso viven el 10% de las fami­
lias, ninguna de las cuales tiene refrigerador, a) Entre las familias con
refrigerador, que porcentaje viven en el segundo piso?Sólo fines educativos LibrosVirtual

138. 125
Q | INTRODUCCION
Como concepto fundamental, la palabra relación significa una conexión
o correspondencia de un determinado ente con otro.
Asi por ejemplo, las expresiones "esposo de", "hermano de", designan rela­
ciones entre miembros de una familia (seres vivos); las expresiones "menor
que", "mayor que" denotan relaciones entre números (seres abstractos). Ex­
presiones como estas y muchas más, llevan a entender que relación es un con
junto de parejas que satisfacen una propiedad.
Para fijar esta idea consideremos el siguiente ejemplo:
Sean los conjuntos A=l2,4,6l y B={I,3,5) y sea la propiedad, para xoA e yeB
expresada por el enunciado abierto p(x):x<y. Vamos a relacionar elementos
de A con los elementos de B de modo que satisfagan la propiedad p.
Como 2sA y 3«fl y 2<3 ■* "2 está relacionado con 3 por p"
2eA y 5eB y 2<5 * "2 está relacionado con 5 por p"
4cA y 5eB y 4<5 -*• "4 está relacionado con 5 por p"
En canbio: 6cA y 5cB y 6f5 * "6 no está relacionado con 5 por p"
es decir, 6tp(x,y).
Estas situaciones nos llevan a entender que cuando dos elementos se relacio
nan por alguna propiedad, estos se distinguen en un orden establecido.
Intuitivamente, u n p a r ordenado es u n conjunto de d o s
elementos en el cual cada elemento tiene un lugar fijo. Si los elementos
son a y b, el par ordenado se simboliza por:
donde (a) determina que a es el primer elemento, componente o coordenada
PAR ORDENADO
(a.b) = H a ) , l a , b HSólo fines educativos LibrosVirtual

139. 126 C apitulo 3: Relaciones
del par y la,b} determina que b es el segundo elemento, componente o coorde
nada del par.
Teorema 3.1 Dos pares ordenados son iguales si y sólo si son iguales
sus primeros y segundos elementos, respectivamente. Se
SÍmboliza:
(a,b) = (c,d) «-* a=c a b=d
Demostración, i) Probaremos en primer lugar que:
(a.b) = (c,d) a=c a b=d
Para ello consideremos dos casos:
a) Si a=b ■* (a,b) = H abla.aH = H a b la n = U a H
Luego: Ha}} = He}, 1c,di} la} = leí = lc,d( -*• a=c a c=d
b) (a,b) = (c,d) ■* lla},la,b}} = Hc},(c,d}) (1)
Si afb * la} f la,b} a le} f lc,d}
Además como laleflc},lc,d}} •* la} = 1c} •* a=c
Tanbién en (1): la,Melle}, lc,d}} la,bl = le,di
Siendo a=c, se concluye que: b=d
i i) Probaremos que: a=c * b=d * (a,b) = (c,d)
En efecto, si a=c a b=d la} = lc> a la,b} = lc,d}
- 1 la}, la,b}} = He}, lc,d}}
* (a,b) = (c,d)
Por lo tanto, de i) y i i): (a.b) = (c,d) *-*• a=c a b=d
Ejemplo. Determinar los valoras de x e y de modo que:
(x1,9y-l) = (6y-x,x’)
Solución. Según el Teorema 3.1:
í = 6y-x * x(x+l)=6y (1)
(xl,By-l) = (By-x,xi) ** <
[ 9y-l = x* * (x+l)(xz-x+l)=9y (2)
Dividiendo (1) entre (2): = y 2x*-3x+2=0 ** x,=2 o x t=l/2
y o yx=l/8
Luego, el conjunto solución para x e y es: S={(2,1),(1/2,1/8)1
Comprobar que para cada uno de estos pares, se verifica la igualdad.
PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
___________
Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, en.
ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a.b) talesSólo fines educativos LibrosVirtual

140. Sección 3.3: Producto C artesiano d e Conjuntos n i
que asA y beB. Se denota por A*B y simbólicamente se representa:
A x B = f(a,b .)e A x B |a e A a bcBl
6 (a.b)eA*B ~ a e A a bc B
Ej arpio 1. Dados los conjuntos: A={1,2,4¡ y B={3, 5>, hallar A*B y B*A em­
pleando un "diagrama de árbol"
Solución. El método del "diagrama de árbol " nos permite visual izar el con­
junto de pares ordenados y consiste en disponer los elementos de
los conjuntos A y B del modo siguiente:
Ejemplo 2. Sean los conjuntos A={xeZ¡-l<x<l} y B={xsN¡0<x<3), hallar:
a) (A x B ) h B l b) (A-B) x (A t)B)
Solución. Por extensión: A={-1,0,1) y B=l1,2}
- A » B = {(-1,1),(-1,2),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2))
* B x B = B1 = 1(1,1),(1,2),(2,1),(2.2)\
a) (A * B) f) B* = {(1,1), (1,2)1
b) A-Bx{-1,0) y A f l B= (li -► (A-B) x (A nB) = {(-1,1), (0,1)}
Observaciones:
(1) A x b t B x A (Ejemplo I)
(2) Si A y B son conjuntos finitos, el número de elementos de AxB es igual
al número de elementos de A por el número de elementos de B, es decir,
n(A x B) = h(A) x n(B)
(3) Cuando A=B, el producto AxA se denota por: A 1 .
A B x A
1 (3,1)
2 (3.2)
4 (3,4)
1 (5,1)
2 (5,2)
4 (5,4)
Luego: A x B = I(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(4,3),(4, 5))
B x A = {(3,1),(3,2),(3,4),(5,1),(5,2),(5,4))
U J J PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO
Para el producto cartesiano de conjuntos A,B y C, se cumplen las si_
guíenles propiedades:Sólo fines educativos LibrosVirtual

141. 128 Capitulo 3: Relaciones
PC.l: Si A 4 B - AxB ¥ BxA
PC.2: Ax$ = = $
PC.3: Ax(BDC) = (AxB) C\ (AxC)
PC.4: A x (BU C) = (A x B) U (A x C)
PC. 5: A x (B-C) = (A x B) - (A x C)
Demostración de PC.4
a) Demostraremos que: Ax(BUC) c (AxB) u (AxC)
(1) En efecto, supongamos que: (a.b)elAt(BU C)}
(2) * aeA A be(BuC)
(3) aeA A (beB v beC)
(4) * (acA a beB) v (aeA a beC)
(5) - l(a,b)e(AxB)) v Ka.b)e(AxC))
(6) * (a,b)e((AxB) U (AxC)]
(7) Por tanto, de 1 y 6: Ax(B UC) c(AxB) U (AxC)
b) Demostraremos ahora que: (AxB) U (AxC)ciAx(B UC)
(1) En efecto, supongamos que: (a,b)e[(AxB) U(AxC))
(2) - (a.b)e(AxB) v (a,b)e(AxC)
* (aeA a bcB) v (aeA a beC)
•* (aeA) A (beB v beC)
- (aeA) a [be(BU C))
* (a,b)clAx(BU C))
(No conmutatividad)
(Prop. Distributivas)
(Hipótesis)
(Def.Prod.Cart.)
(Def. U)
(Dist. E.5a)
(Def.Prod.Cart.)
(Def. u)
(Def. c)
(Hipótesis)
(Def. U )
(Def.Prod.Cart.)
(Dist. E.Sa)
(Def. u)
(Def.Prod.Cart.)
(7) Luego, de 1 y 6: (AxB) U (AxC)C Ax(B U C) (Def. C. )
Por io tanto, de a) y b), queda demostrado que: Ax(BUC) = (AxB) U (AxC)
(3)
(4)
(5)
(6)
PC. 6: (A x B) x C 4 A x (B x C)
PC. 7: Si A C B - (A x C)<=(B x C), VC
Demostración
(1) En efecto, si A C B * -VxCxeA ♦ xeB]
(2) Supongamos que: (x.y)e(AxC)
(3) ♦ XeA a yeC
(4) -*■ XeB A yeC
(5) * (x,y)e(B x C)
(S) Luego: (x,y)e(AxC) ♦ (x,y)e(BxC)
(7) Por lo tanto: (A x C)c.(B x C)
PC.8: Si A C C y B C D ■* ( A * B ) C ( C x D )
PC.9: (A1 x B')C(A x B) '
Demostración:
(No asociatividad)
(Monotonía)
(Hipótesis)
(Hip. Auxiliar)
(Def.Prod.Cart.)
[Pasos 1,3 y Def. c )
(Def.Prod.Cart.)
(Pasos 2 y 5)
(Def.c)
(Monotonía)Sólo fines educativos LibrosVirtual

142. Sección 3.3:Producto Cartesiano de Conjuntos
_____________________________________129
(1) En efecto, supongamos que (a,b)e(A' <B ' ) (Hipótesis)
(2) * a 9 4 ' a b*B' (Def.Prod.Cart.)
(3) * afA v bfB (Def. Comp.)
(4) * ■ ' • t a 9 4 a b e s ] (Morg. E.6b)
(5) * H(a,b)*(A x B) ] (Def.Prod.Cart.)
(6) - (a,b) P (A x B) (Negación)
(7) * (a,b)e.(Ax B ) ’ (Def. Comp.)
(8) Luego, de 1 y 7: (A' xB>) <=■ (A xB)' (Def. c)
PC. 10: (A x C = B x C y Cf<t) -* A=B
PC. 11: (A x B) b(C x D) = (AqC) « (BhD)
PC.12: (A x B) U (C x £>) c (Ai) C) « (BUD)
B B Q DIAGONAL DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A, la diagonal del producto AxA que se denota D(A)
se define por:
D(A) = {(a.b)e(A x A)|a=b>
Por ejemplo, si A=la,b,el y B=il,2,3,4)
entonces: D(A) = i(a,a),(b.b),(c.c) }
D(B) = i(l,l),(2,2),(3,3),(4,4)\
E1E1E1 REPRESENTACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO &
Cada uno de los conjuntos A y B del conjunto producto A*B, puede re
presentarse linealmente sobre dos rectas perpendiculares, lo que nos permi­
te establecer un sistema de coordenadas en el plano. Los elementos del con­
junto A se representan sobre el eje horizontal (eje de abscisas) y los de B
sobre el eje vertical (eje de ordenadas), de modo que las líneas verticales
que pasan por los elementos de A y las horizontales que pasan por los ele­
mentos de B, al intersectarse, determinan los pares ordenados de AxB , que
representan los puntos P del plano. En este caso se dice que el punto P tie
ne como coordenadas x e y, o que xeA es la abscisa de P y que yeB es la or­
denada de P.
Ejemplo. Sean los conjuntos A=l*eZ| J-S*<S y B= lxeW|0<xf21. Representar grá
f ¡comente el producto AxB.
Solución. Si A=11,2,3,4} y B=Ü,2 }, entonces identificamos los elementos
de A en el eje X, los de B en el eje Y del sistema de coordena-Sólo fines educativos LibrosVirtual

143. 130 Capitulo 3: R elaciones
das de un plano, el producto AxB representamos por puntos en dicho plano.
Como se puede observar las líneas horizontales y verticales trazadas por
los elementos de A y B determinan 8 puntos, esto es evidente ya que: n(A)=4
y n(B)=2, entonces n(AxB)=4x2=8
A X B = 1(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2))
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Dados los conjuntos A={2,3, 51, B=ta:eZ|0Sjc$3h C= lxcZ\-l$ocí2}
Establecer la validez de las siguientes afirmaciones:
a) (AxB) u (BxA) tiene 24 pares ordenados
b) (AOB)1 tiene 4 pares ordenados.
c) A ln B ln C z tiene sólo un par ordenado.
Solución. Si A=12,3, 5), B={0,1,2,3) y C={-1,0,1,2), entonces:
a) n(AxB)=3x4=12 y n(BxA)=4x3=12. Los conjuntos A y B tienen co­
mo elementos comunes a 2 y 3, luego, ¡os productos AxB y BxA
tienen como elementos comunes a: (2,2),(3,3),(2,3),(3,2), entonces:
nl(AxB) U (BxA)] 4 n(AxB) + n(BxA) 4 24. La afirmación es falsa.
b) A n B = (2,3i -* n(AOB)* = 2x2 = 4. .'. Es verdadera
c) A h B O C = {2) - (At\BhC)1 = 1 (2,2)) ;. Es verdadera.
EJERCICIO 2. Sean A,B y C tres conjuntos cualesquiera. Si se cumple que:
a) n(C-B')SO ; b) n[Ax(BuC)]=60 ; c) n(AxB)=2n(AxC)
Hallar n(AxC).
Solución, a) Si n(C-B')$0 -* n(C)in(B') . Entonces B y C son disjuntos.
b) nlAx(B d C)]=60 - n((AxB) u (AxC)]=60 (PC.4)
Como B y C son disjuntos •* n(AxB)+n(AxC) = 60
c) Si n(AxB)=2n(AxC) - En b): 3n(AxC)=60 - n(AxC)=20Sólo fines educativos LibrosVirtual

144. Sección 3.3: Producto cartesiano de Conjuntos 131
EJERCICIO 3. Sean U={1,2,3,4\ el conjunto universo, A=ll,3l, B={2,4\; ha
llar el número de elementos de ^ xy(Ax y¿B)
Solución. Si B={2,4i B'=il ,3(=A ■* n(A*B')=n(A* )=2*2=4 y n(U*U)=4x4=16
Luego: n [ ^ y xy(A*B’) ] - 16-4 = 12
EJERCICIO 4. Sean A,B,C y D conjuntos cualesquiera. Establecer la vali­
dez de las siguientes afirmaciones:
a) (AxB) c: (CxD) - [B fl ( C U A) M A U ÍBfl D) ] = (B fl C)x(AU B)
o) A ’XB' = (AxB) ' ; c) A C B C C - [fB-DJxC] fl (AxC) = AxC
Solución. Si A c C y B c D - (AxB) c (CxD) (PC.8)
A c C — C U A=C y B C D •* BnD=B
Entonces: [B n (C U A) ]x[A u (B n D) ]=(B O C)*(A U B) .’. Es verdadera
b) Sea xe(A' B') ■» x?A a x?B
Si xe(AxB)' (x^A a xeB) ' -*■ IÍA v x?B . Entonces: (A'xB')f(AxB)'
La afirmación es falsa.
c) Si B c C ■* B-C=4> y según a): B C D ■* B-D=4>
Entonces: [ (B-D)xC] n (AxC) = (*xC) n (AxC) = « (PC.2)
La afirmación es falsa.
EJERCICIO 5. Dados los conjuntos A,B,C y D tal que A c C y B c D demostrar
por definición (usando elementos) que: (AxB)c(CxD).
Demostración. En efecto:
(1) Sea (x,y)e(AxB) (Hipótesis)
(2) Entonces: xeA a xeB (Def.Prod.Cart.)
(3) Por condición dada: A c C a ¡}cD ■* xeC a yeD (Def.c )
(4) Entonces: (x,y)e(CxD) (Def.Prod.Cart.)
(5) Por lo tanto, de 1 y 4: (AxB) (CxD) (Def.c)
EJERCICIO 6. Dada la propiedad PC.12 para conjuntos cualesquiera A,B,C y
D: (AxB) U (CxD) C (A U C)x (B U D)
a) Ilustrarla gráficamente, considerando intervalos de modo que:
A n C ^ ♦ y B n D 4 $
b) Demostrar la propiedad dada.
Solución, b) Empezaremos por demostrar la propiedad dada.
(1) En efecto, sea (x.y)e(AxB) U (CxD) (Hipótesis)
(2) ■* (x.y)e(AxB) v (x.y)z(CxD) (Def. u )
(3) -*• (xeA a ycB) v (xeC a yeD) (Def.Prod.Cart.)Sólo fines educativos LibrosVirtual

145. 132 Capitulo 3: Relaciones
(4) * (xcA y xtC) a (xcA v ycD) a (ytB v xeC) a (yeB v ycD) (Dist. E.5a)
(5) * fxeA v xeC) a CyeB v ycD) (Abs. A.l)
(6) * xc(AUC) a ye(BÚD) (Def.U)
(7) - (x,y)c(AUC)*(BUD) (Def.Prod.Cart.)
(8) Por lo tanto, de 1 y 7: (A*B) U (C*D) <= (Au C)*(Bu D) (Def.cz)
a) En un sistema coordenado, tracemos los intervalos (conjunto de puntos)
onrtc irie>r*nnrin n A R C. \¡ D e O.
yk
B U D
<-
A U C
(ABC) * (BUD)
EJERCICIOS: Grupo 10
1. Determinar los valores de x e y, de modo que se cumpla la igualdad en ca
da caso.
a) (x-7y,2x-6y) = (15,-10) c) (5x+2y,-4) = (-l,2x-y)
b) (3x-8y,4x+3y)=(4-2x-10y,2x+4y+7) d) (x*-19,x1y-6) = (y1 ,xy*)
2. Si A={&N\x= j¡(2k-l),kcN) ; B=lx£N|xI+líl2l; hallar (A f| B)x (B-A).
3. Dados los conjuntos A=íoc£N|x= ^(3k+l), keN}, B={xcN\x1-14x+40=0), C={xeN¡
x*-l=0}. Hallar el número de elementos de P=[(Aí) B) U Cjx(B-C).
4. Sean A,B,C y D conjuntos cualesquiera. De las siguientes afirmaciones
cuáles son verdaderas?
a) (AxB)C (CxD) -<■ ( B n ( C U A)J x[A u(B nD) ] = (BC\C)x(AUB)
b) A-B n C -► AxA = (BxB) 0 (CxC)
cj A c B c C [ (B-D)xCJ n (AxC) = AxC
5 .De las proposiciones siguientes, cuáles son verdaderas?
a) Si A C B y (B x C )c ( A x C) -+ B=A
b) ~VA,B conjuntos no vacíos: n[(AUB) x C] = n(A * C) + n(B x C)Sólo fines educativos LibrosVirtual

146. Ejercicios: Grupo 10 133
c) (A & B)xC c (A UBjxC, YA,B,C
d) sA f B f F f G, (A U B)x( G) = (AxF) U (BxG)
6. Sean E={1,2,3), A=\l,2 }, F= xE<AxB), G = £ ¡Ax^ ¡b. Hallar FfíG.
7. Sean A c X y Bey. De las si entes afirmaciones, cuáles son verdaderas.
a) -¿Xxy(A*B) =
b) (XxY) - (A*B) = [(X-A)x1 [Xx(Y-B)]
c) 4,(XxY) c M A x B )
8. Para conjuntos A,B y C cont dos en U, cuáles de las siguientes afirma
dones son verdaderas?
a) Ax(B-C)=(AxB)-(AxC)
b) A « ( B u C)=(AxB) u (AxC) c) ( c ^ UxU<A*B)
9. Sean A,B,C y D conjuntos cualesquiera. Cuáles de las siguientes afirma­
ciones son verdaderas?
a) A 0 C=* a BflD=* * (BxC) c (D'xA’j
b) ArtB=* a C<=B * [(A-B)xCjn (Ax(CUB)J = AxC
cj AnB=<f ■* (AxB) n (BXA) = ♦
10. Usando elementos demostrar que: P[Ax(B fl C) ] = P(AxB) fl P(AxC)
11. Si n(A)=3, n(B)=8, n(C)=9 y n(B ñC)=2, hallar n[P(AxB) D P(AxC)].
12. Sean A,B,C conjuntos no vacíos. Usando elementos demostrar que:
A c B ' A C c B - [(A-B)xCJ h [Ax(CuB)] = AxC
13. Sean X,Y conjuntos no vacíos. Si A¡ y B, son subconjuntos de X y A, y B,
son subconjuntos de Y, demostrar por definición que:
A ¡xB¡-A,xBz=(A,-A1)x(Bl-B1) U (Ai 0 AzjxfBz-Bt) U (A¡-Az)x(B¡-Bz) ■
14. Si se ctmple que: A h C ’=4 a D n B ’=t, demostrar por elementos que:
fAx(B-D) J U (AxD) U [(C-A)xDj C CxB
15. Usando propiedades sobre conjuntos demostrar que:
u ( A x £ ^ ) U [(SyAjxBj = (ExE-ExB) (ExB-AxB)
16. Use el ejercicio 15 y la identidad siguiente s o b r e conjuntos:
(X-Y) U (Y-Z)=X-[(Z-X) u (Z n Y) j, para probar que:
(4¿ Ax¿¿3) u f A x ^ l u H é y A j x B l = ^ xf.(AxB)
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

147. 134 Capítulo 3: Relaciones
! Q RELACIONES BINARIAS
Se llama relación binaria entre los elementos de un conjunto A y los
elementos de un conjunto B, a todo subconjunto R del producto cartesiano
AxB, esto es, una relación binaria R consiste en lo siguiente:
a) Un conjunto A (conjunto de partida)
b) Un conjunto B (conjunto de llegada) *
c) Un enunciado abierto p(x,y) tal que p(a,b) es verdadero o falso para
todo par ordenado.
Formalmente:
Si (a,b)eAxB, tal que (a,b)cR, la proposición p(a,b) es verdadera y se es­
cribe aRb, se lee: a está relacionado con b. Si para p(a,b) es falso, se es
cribe aRb y se lee: a no está relacionado con b.
(1) Sean A={1,2,3} y 8=12,4,5,6) dos conjuntos, entonces las siguientes son
R = { (x,y)eAxB\p(x,y) ) C AxB
R:A * B ” SC AxB
Ejemplos:
relaciones entre A y B, por ser subconjuntos de AxB:
Ri = {(1,4),(2,5), (2,6)} c (AxB); Rz = {(2,2),(3,4)} cz (AxB)
R, = UJC,y;eA»B|2jc+yS6) = {(1,2), (1,4), (2,2)} <z AxB
R, = Ux,y>eAxB|x+y=7) = {(1,6), (2,5), (3,4)} C AxB
Sus respectivos diagramas son:
A Ri B A R 2 BSólo fines educativos LibrosVirtual

148. Sección 3.4:Relaciones Binarias 135
(2) Si L es el conjunto de todas las rectas del plano , el paratelismo y la
perpendicularidad de rectas son relaciones definidas en L.
Ri = l(L,,Lt)eL.*L\Li \ |L»), es la relación de paralelismo entre rectas.
Ri = es la relación de perpendicularidad entre
rectas.
DOM INIO PE UNA RELACION
__________________________y
Se llama dominio de una relación R de A en B al conjunto de todas
las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota
Dom(R) y se simboliza:
R:A B, entonces: Dom(R) = lxtA¡3ycB, (x,y)cRl
esto es: xcDom(R) *-+ 3ye8| (x,y)eR
RANGO PE UNA RELACION
____________________________y
Se llama rango de una relación R de A en B al conjunto de todas las
segundas conponentes de los pares ordenados de ¡a relación. Se denota
Ran(R) y se simboliza:
R:A * B, entonces: Ran(R) = fycS|sx«A, (x,y)sR)
esto es: ytRan(R) 3x*A| (x,y)cR
En un diagrama de Venn Euler, el dominio y rango de una relación se repre­
senta del modo siguiente:
Ejenplo 1. Si A= 11,2,5,6} y 8=13,5,7,9), hallar el dominio y rango de las
relaciones R l={(x,y)cA*B¡x%y) y R 1=}(x,y)eAxB¡x+y-8}.
Solución. Para definir R x y R, por extensión confeccionamos tas siguientes
tablas para obtener los pares ordenados que satisfagan los enun­
ciados dados.Sólo fines educativos LibrosVirtual

149. 136 Capítulo 3: Relaciones
Ri r2
x x >, y x x+y=8
3 3 1 7
5 3 , 5 3 5
6 3, 5 5 3
f Dom(Ri)={3,5,61 y Ran(R,.) = {3,5)
^ D o m ( R2.)=(I, 3,51 y Ran(R2)-i3,5, 71
R, = l(3,3),(5,3),(5,5),(6,3),(6,5)\ c A*B
Rt = i(l,7),(3,5),(5,3)) c: A*B
Ejemplo 2. En el conjunto de los números naturales se definen las relacio­
nes R ¡ = l(x,y)eNxN\3x-2y=6l y R 2=l(x,y)£N*N\2x+yi8). Hallar el
dominio y rango de cada relación.
3
Solución. Para R¡: (x,y)eR¡ -1-* 3x-2y=6 •*-*• y = yx-3, con x.ytN
Si yeN -*■ x es un número par: x>2, o sea, x=4,6,8, ...
Para hallar el rango, despejamos x en términos de y, esto es:
2
(x.yjcRt x =-^y+2. Si x e N * y es múltiplo de 3 (yi-3), o sea: y=3,6,9...
.'. Dom(R¡ )={4,6,8,...}, Ran(Rl)=l3,6,9 ,...1
Para R 2: (x,y)eR2 ~ 2x+yi8 **■ yi8-2x , con x .yeN
Dado que yeN -*■ x<4, esto es: x=1,2,3
Del mismo modo: xi4-(l/2)y , si xcN * y<8, o sea: y=l,2,3,4,5,6,7
Dom(Rt)={l,2,31 y Ran(R2.) = ll, 2, 3,4, 5,6,7)
E E H PROPIEDADES DEL DOMINIO y RANGO DE UNA RELACION #
Sean Ri y R 2 dos relaciones entre A y B, entonces se cumplen las si
guien tes propiedades:
D.l: Dom(R,uR2) = Dom(R2) U Dom(R2)
D.2: DomfRi 0 Ri) C Dom(Ri) 0 Dom(R2)
D.3: Dom(Ri-Rz) => DomlRzj-DomíRz)
R.l: Ran(Rií)Rí) = Ran(R¡) U Ran(Ri)
R.2: Ran(R¡r)R2) c Ran(RJ D Ran(R2)
R.3: Ran(Ri-Ri) => Ron(R,)-Ran(R 2)
Ejemplo. Si Ri.A + B y R2:A— B, demostrar la propiedad D.2.
Demostración. En efecto:
(1) Supongamos que: xeDom(R, 0 R 2) (Hipótesis)
(2) - ay eBl fx. y l e f R ^ R z l (Def.Dom(R))
(3) -► ( 3 y c f l | (x.yjtRz) a ( 3 y e f l | (x,y)tR2) (Def. fí)
(4) ■* xeDom(Rl) a xtDom(RI) (Def.Dom(R))Sólo fines educativos LibrosVirtual

150. Sección 3.5: Relación Inversa o Reciproca 137
(5) ->• XtlDomfRi) A Dom(R2; j (Def.ri)
(6) Luego, de 1 y 5: se deduce que: Dom(R ¡ n R¡) c Dom(R¡) n Dom(Rz)
f f l RELACION INVERSA O RECIPROCA
_______________________§¡|
Dada una relación directa de A en B: ñ = l('x ,y lE A x B ¡p ('x ,y l}, se denomi­
na relación inversa o recíproca de R, al conjunto definido por:
R* = R-' = Uy,xlE BxA | fx,y>efil
esto es: (y,x)eR~‘ — > (x,y)eR
Nótese que: Dom(R*) = Ran(R)
y Ran(R*) = Dom(R)
Ejemplo. Sean los conjuntos A={1,2,3,4), B={a,b,c 1 y la relación de A en B:
R={(l,a),(l,c),(2,b),(3,a),(3,b)}cAxB, entonces la relación inver
sa de R es: R*={(a, 1), (c,1),(b,2),(a,3),(b,3))c BxA
en donde: (a,l)eR* pues, (J.ajeR; (b,2)eR* - (2,b)eR, etc.
Además: Dom(R*) = Ran(R) = ia,b,c}c B
Ran(R*) = Dom(R) = {l,2,3)cA
PROPIEDADES DE LA RELACION INVERSA
______________^
Sean R e AxB y Sa A x B dos relaciones, entonces se cumple:
RI.l: (RU S)* = R*U S*
Rl.2: (RnS)*=R*nS*
RI.3: (R-S)* = R*-S*
Ejemplo. Sean las relaciones: RCAxB y Se.AxB, demostrar la propiedad Rl.2
Demostración, a) Demostraremos que: ( R ( \S J ‘ c (R*DS*.)
En efecto:
(1) Sea (x,y)e(Rn S)* (Hipótesis)
(2) - (y.x)e(RDS) (Def.Rel.Inv.)
(3) * (y,x)tR A (y,x)eS (Def. (] )
(4) » (x,y)cR* a (x,y)eS* (Def.Rel.Inv.)
(5) - (x,y)e(R*DS*) (Def.í))
(6) Entonces de 1 y 5: (RnS)* c (R*ñS*) (Def.c)
b) Demostraremos que: (R*n S*) e. (R ílS )*
En efecto:
(1) Sea (y,x)e(R*n S*) (Hipótesis)Sólo fines educativos LibrosVirtual

151. 138 Capitulo 3: Relaciones
(2) - (y,x)cR* a (y.x)cS* (Def. (1 )
13) - (x,y)cR a (x.y)cS (Def.Rel.lnv.)
(4) - (x,y)e(RDS) (Def.n)
15) - (y.x)c(RnS)* (Def.Rel.Inv.)
16) Luego, de 1 y 5: (R*DS a)<= IR n S)* (Def. a )
Por lo tanto, de a) y b) y la igualdad de conjuntos: IR 0 S)* = R * O S '
^ 3 COMPOSICION PE RELACIONES
Dadas las relaciones R C AxB y SC-B*C, se denomina la relación compues
ta de R y S, que se simboliza "SoR", a la relación:
SoR = (íx,z)eAxC¡3yeB, (x,y)cR a (y.z)cS
esto es. (x,z)e(SoR) *-*• ayeB| íx,y)eR a (y,z)eS
En un diagrama de Venn Euler, esta definición se ilustra como sigue:
En el diagrama se oberva claramente que si:
Dom(S) fl Ran(R) t ♦ - (SoR) t 4
Ejemplo 1. Dados los conjuntos A=ll ,2,4,6}, B={3,4,5,8}, C={1,2,6,7} y las
relaciones R={ (1,3), (2,5), (6,4)} de A en B, S={(3,2), (5,1), (8,6),
13,7)} de B en C. Hallar SoR y RoS.
Solución. SoR se determina intersectando las segundas componentes de los
pares de R con las primeras componentes de los pares de S: •
(1.3)cR a (3,2)cS - (1,2)c(SoR)
(1.3)cR a !3,7)cS » (1, 7)c(SoR)
(2,5)eR a 15,i)cS - (2,l)z(SoR)
.'. SoR = {(1,2),(1,7),(2,l)i
Para hallar RoS, intersectamos las segundas componentes de los pares de SSólo fines educativos LibrosVirtual

152. Sección 3.7: Relaciones Definidas en un Conjunto 139
con las primeras componentes de los pares de R:
(3,2)eS a (2,5)eR ■* (3,5)e(RoS)
(5,1)*S a (l,3)cR (5,3)e(RoS)
(8,6)oS a (6,4)eR - (8,4)c(RoS)
RoS = {(3,5),(5,3),(8,4))
Nótese que: RoS i SoR
Ejatplo 2. Si R=l(2,l),(3,4),(5,6),(6,2)}, S={(1,4),(5,1),(6,5),(2,3)}. Ha
llar A=(R*oS*)-(S*oR*)
Solución. Las inversas de R y S son:
R*=l(l,2),(4,3),(6,5),(2,6)}; S*=í(4,1),(1,5),(5.6),(3,2))
Determinación de R*oS* : (4,l)cS* A (l,2)cR* * (4,2)c(R*oS*)
(5,6)SS* A (6,5)eR* - (5,5)c(R*oS*)
(3,2)cS* a (2,6)eR* - (3,6)c(R*oS*)
Determinación de S*oR*; (4,3)*R* a ( 3 , 2 ) z S * - (4,2)e(S*oR*)
(6,5)zR* a (S,6)oS* - (6,6)e(S*oR*)
Luego: A = i(4,2),(5,5),(3,6)}-((4,2),(6,6)¡ = {(5,5),(3,6)\
PROPIEDADES
CR.l
ai. 2
ai. 3
La composición de relaciones admite las siguientes propiedades:
RoS f SoR (No conmutatividad)
(RoS)oT = Ro(SoT) (Asociatividad)
(RoS)* = S*oR*
RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
____________^
Sea la relación R c A » B , tal que A=B. En este caso la relación está de
finida en A, y se identifica como un subconjunto de A2=AxA, esto es:
R es una relación definida en A +— R e A2
Dado que todo subconjunto de A2 es un elemento de las partes de A 2, podemos
decir también:
R es una relación definida en A <-» RoP(Al)
Es evidente que el conjunto vacío * y el mismo A2 son relaciones definidas
en todo el conjunto A, ya que son subconjuntos de A 2 .
Si A tiene n elementos, entonces A2 tiene n2 elementos y el conjunto poten-
2 2
cía de A2 tiene Z 1 elementos, es decir, existen í 1 subconjuntos de A 2 , oSólo fines educativos LibrosVirtual

153. 140 Capítulo 3: Relaciones
lo que es lo mismo, relaciones en A.
Ejerció. Formar todas las relaciones que es posible definir en el conjunto
A=ia,b}.
Solución. El producto cartesiano A*=AxA, es: A = ((a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
Como n(Az)=4, existen 2* relaciones en A, y son las siguientes:
Ri=*, R z=Ua,a,)}, R s = {fa,b>), R»={fi>,a;l, R5 = Ub,b,)l, R*={ (a,a), (a,b) (,
R7=lfa,a;,(b,a)), R,-{(a,a),(b,b)1, R,=l(a,b),(b,a)), R¡,=l(a,b),(b,b ) 1
Rii = )ib,a),(b,b)}, R IZ={(a,a),(a,b),(b,a)}, R lí={(a,a),(a,b),(b,b)},
Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se
dice que R es reflexiva si, para todo xeA, (x,x)eR; es decir, si todo ele­
mento de A está relacionado consigo mismo mediante la relación R.
Formalmente:
Como toda relación reflexiva R en A contiene al conjunto diagonal-, es decir
D(A) es un subconjunto de R, entonces:
Establecer si son o no reflexivas.
En Ri se observa que -VxeA *■ (x,x)eR , esto es:
2eA * (2,2)tR , 3eA * (3,3)cR , 4eA (4,4)eR ; es decir, D(A)CR .
Por lo tanto, R, es reflexiva.
En Ri se observa que 4cA, sin embargo (4,4)fRz, luego, R¡ no es reflexiva.
(2) La relación de inclusión es reflexiva, toda vez que: A c A , VA.
(3) En geometría, la congruencia de figuras permite tener un ejemplo de re
lación reflexiva en el sentido de que "toda figura es congruente a si
R l<={(a,a),(b,a),(b,b)), R ¡s={(a,b),(b,a),(b,b)), R,,= A 1.
CLASES DE RELACIONES
RELACION REFLEXIVA
R.-A ♦ A, es reflexiva VxoA *■ (x.x)cR
R:A ♦ A, es reflexiva *+■ D(A) c R
Ejemplos:
(1) Dado el conjunto A={2,3,4} y las relaciones en A:
R¡={(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}; R z={(2,2),(2,4),(3,3),(4,3))Sólo fines educativos LibrosVirtual

154. Sección 3.8: Clases de Relaciones 141
misma"
(4) La relación de paralelismo entre dos rectas en el plano es una rela­
ción reflexiva en el sentido de que "toda figura es congruente a si
misma". La relación de perpendicularidad entre dos rectas en el plano
no es una relación reflexiva, ya que "una recta no puede ser perpendicular
a si misma".
(5) La relación "xí-y" en los números naturales es una relación reflexiva,
pues como x$x, Vx¿N ■* (x,x)sR.
RELACION SIMETRICA
__________________________________^
Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se
dice que R es simétrica, si y sólo si, (x,y)eR implica que (y,x)eR.
Formalmente:
3.8.2
R:A ■* A es simétrica ++■ (x.y)eR (y,x)zR,¥(x,y)£R
Ejemplos;
(1) Dado el conjunto A=ll,2,3,4,5l y las relaciones en A:
R t={(l,l),(l,2),(2,l),(3,4),(4,3)), Rz=i(1,2),(2,1),(3,3),(4,5),(5,5)},
Rj={fx.y)|x+y=6l. Establecer si son o no simétricas.
En R¡ vemos que: (l,2)eRl y (2,J)eRlt también (3,4)eR¡ (4,3)eR¡. Entonces,
R¡ es simétrica.
En R¡: (4,5)eR , pero (5,4)fR , entonces, Rz no es simétrica.
Ri es simétrica, pues: (x,y)cR, * x+y=6, (y,x)cR¡ * y+x=6, ya que por la
cormutatividad de la adición: x+y=y+x.
(2) La congruencia de triángulos es una relación simétrica pues si un trian
guio X es congruente con un triángulo Y, entonces Y es congruente con X
(3) La perpendicularidad entre rectas de un plano es una relación simétrica
porque si L,± L t ■* Lz±L¡.
(4) La relación definida por "x es hermano de y" es simétrica, porque si x
es hermano de y, entonces, y es hermano de x.
RELACION TRANSITIVA Q3.8.3
Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se
dice que R es transitiva, si y sólo si, "(x,y)eR y (y,z)zR, implica queSólo fines educativos LibrosVirtual

155. 142 Capítulo 3: Relaciones
(x,z)zR". Formalmente:
R:A * A es transitiva [Íje,y)eR a (y.z)sR] * (x,z)cR
Si comparamos esta definición con la definición 3.6, se puede afirmar tam­
bién que:
R:A * A es transitiva *■* (RoR) c. R
Ejemplos:
(1) Dado el conjunto A=ll,2,3,4) y las relaciones:
R ¡={(1,1),(1,2),(2,2),(3,1),(4,1),(4,2),(4,3))
Ri=l(l,l),(2,l),(2,2),(3,3),(l,2),(l,3)l, R>=i(l,1),(2,2),(3,4))
Establecer si son o no transitivas.
En R, se tiene: (l,l)eR i a (l^jcRi
t
________t
(1.2)cRí A (2,2)eR¡ - (l^jeR,
(3.1)eRl a (l,l)eR, - f3,i;eR,
(4.3)cR ¡ a (3, 1)cR¡ -* (4,l)cRt
(4.2)cR¡ a (2,2)eRl - (4,2)eRl
Entonces R¡ es transí t iva.
En R¡: (2,l)zRz a (1,3)s ft2, pero (2,3)fRz; luego, Rz no es transí t iva.
En R, apliquemos la segunda definición de 3.8.3. Vemos que: R,oR,=$ y como
K f i ¡ ■» (R3oR 3)c:Rj, luego R t es transitiva.
(2) La inclusión de conjuntos es una relación transí tiva, pues si:
A c B * Bc=C ■* A c C.
(3) La implicación en Lógica es también una relación transítiva (Principio
del silogismo hipotético): (p q) A (q r) * (p * r)
(4) La relación "x<y'' es también transí t iva. En efecto, si:
a<b a b<c -*• a<c
RELACION DE EQUIVALENCIA
_________________________^
Toda relación R definida en un conjunto A es una relación de equivg
lencia, si y sólo si, se verifica:
a) (x,x)eR, VxcA, es decir, R es reflexiva.
b) Si (x,y)tR a (y,x)cR, es decir, R es simétrica.
c) Si (x,y)eR a (y,z)tR ■* (x,z)cR, es decir, R es transitiva.
3 .8 .4Sólo fines educativos LibrosVirtual

156. Sección 3.8: Clases d e R elaciones 143
Ejemplos:
(1) Para el conjunto A= {1,3,5 }, definimos la relación:
R = 1(1,1), (3, 3) , (5, 5), (1, 3),(3,1)1, verificar si es de equivalencia.
En efecto, en R observamos que;
a) Tiene entre sus elementos a todos los pares de la forma (x,x), donde .xsA
Es decir, R es reflexiva.
b) Tiene como elementos dos pares de la forma (x,y), (y,x), donde JCeA, yeA.
Es decir, R es simétrica.
c) R también es transítiva, puest que:
(1,1 )cR A (l,3)eR - (1,3)cR, es V
(3,3)cR a (3,l)cR - (3,1)cR, es V
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
(2) La relación de "igualdad": R=( (x,y) |x=>>1 , es una relación de equivalen
cía, pues se verifica siempre:
a) a=a b) a = b ■* b=a c) a=b a b-c -* a = c
(3) Son también relaciones de equivalencia:
a) El paralel ismo de rectas
b) La igualdad de conjuntos.
(4) La relación R=[(x,y)cZ*Z\x-y=2k,kcZ] es una relación de equivalencia.
En efecto:
a) Reflexividad: Si x=y -* x-x=0 * x-x=2(0), OcZ
Es decir, si x-y=2 , k,cZ a y-z=2kz, kzcZ, entonces, sur,? ando se tiene:
x-z=2(k1+k2)=2k,, k3cZ. Luego: (x-z)cR -* R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
Luego, (x.x)cR -* R es reflexiva
b) Simetría: Se tiene: x-y=2k , multiplicando por -1,
y-x=-2k ■* y-x=2(~k), -keZ. Luego, (y.x)cR * R es simétrica
c) Transitividad: Si (x,y)eR (y,z)cR, entonces:
3ktcZ¡x-y=2k¡ y 3k2cZ\y-z=2k2
RELACION ANTISIM ETRICA
Una relación R, definida en un conjunto A, se dice que es antisimé
trica, si y sólo si, (x,y)€R a (y,x)¿R x=y. Formalmente:
R:A * A es ant is ¡métrica t (x,y)£R a ( y , j c J e R ] * x=ySólo fines educativos LibrosVirtual

157. 144 Capítulo 3: Relaciones
o también:
R:A ■* A es antisimétrica <-» (RflR*,) c D(A)
Ejemplos:
(1) La relación de inclusión de conjuntos es una relación antisimétrica, ya
que si: A c B A B c A * A=B
(2) Dado el conjunto A={a,b,cl y las relaciones en A
R={(a,a),(a,b),(b,c),(b,b)} ; S={(a,b),(c,c),(a,c),(b.a)}
Determinar si son o no antisimétricas.
En R aplicamos la segunda definición: R* = {(a,a),(b,a),(c,b),(b,b))
Entonces: RflR* = {(a, a), (b,b) [ c D(A) . Luego, R es ant is ¡métrica.
En S: (a,b)eS y (b,a)eS, pero a¿b; luego, S no es antisimétrica.
(3) La relación "x&y" es antisimétrica, pues si: a<b a bi-a ■* a=b
(4) La relación "x divide a y" es antisimétrica, pues si c divide a d y d
divide a c ■* c=d.
Dado un conjunto A, para el cual se define una relación R en A, se
dice que R es una relación de orden, si y sólo si, se verifican las siguien
tes propiedades:
a) (x,x)cR, VxeA, R es reflexiva.
b) Si (x,y)cR a (y.x)cR * x=y ; R es ant¡simétrica
c) Si (x,y)cR a (y,z)eR ■» (x,z)tR, R es transitiva.
Observaciones:
(1) La relación R toma el nombre de relación de orden u orden parcial.
(2) Al conjunto A, en el cual se ha definido una relación de orden R, se de
nomina conjunto ordenado o parcialmente ordenado por la relación R.
(3) Para designar las relaciones de orden se usan especialmente los signos:
%,«?,>»<, etc.
(4) En general, dar un conjunto A provisto de una relación cualquiera R,
significa considerar un nuevo conjunto 1A,R} cuyos elementos son el con
junto A y la relación R (Conjunto ordenado).
RELACION DE ORDENSólo fines educativos LibrosVirtual

158. Ejercicios Ilustrativos 145
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Sea U- i l , 2 , 3 , . . . , 91. Si R =I(x,y)\2 x - y = 5 1 <= M * N y
si m es la suma de todos los elementos del d o m i ­
nio de R y n es la suma de los elementos del rango, hallar m.n
Solución. Defínanos R por extensión:
Si x=I - y=2-5=-3M - (i, -3)4R
x=2 - y=4-5=-HU * (2,-l)4R
x=3 * y=6-5=lcM - (3,l)eR
Verificar que para x=4,S,6,7 se obtiene:y=3,5,7,9, respectivamente.
Luego: R=l (3,1), (4,3), (5,5), (6,7), <7,9)1.
Entonces: m=25 y n=25 m.n=625
EJERCICIO 2. Sea A=ix*zt |x?9} y definimos: R=l (x.yjeA1 |y=x2l, 5=1 (x,y)cA2
|y=2x), T=1(x,yleA*|x<4 A y>7), hallar: n(R)+n(S)+n(T).
Solución. Si A=txeZÍ|xS9> » A=10,l,2,...,9>
Si y= x l + R={(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)} * n(R)=4
y=2x - S=[(0,0),<1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\ * n(S )=5
Para (x<4)/\ (y>7), se tiene:
T=l(0,8),(1,8),(2,8),(3,8),(0,9),(1,9),(2,9),(3,9)} - n(T)=8
.‘. n(R)+n(S)+n(T) = 17
EJERCICIO 3. En el conjunto A=ll ,2,3,4,51 se define una relación R por:
(x,y)cR — + x*-2íy. Si m es la suma de los elementos del do­
minio de R y n es la suma de los elementos del rango de R, hallar m+n.
Solución. Identifiquemos R por extensión, sabiendo que: yix‘-2
Si x=lcA - yi-1 + (l,l),(l,2),(l,3),(l,4),(l,S)eR
x=2eA - y}2 - (2,2),(2,3),(2,4),(2,5)eR
x=3eA ♦ y>7 ■* 4(x,y)tR\y}x*-2
Luego: Dom(R)={l,2) y Ran(R)={l,2,3,4,5} •* m+n=3+15=18
EJERCICIO 4. Si A=il,2,3,4l, B=il,3,S), sea: RC.MB, donde (x,y)eR+*x<y
Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
a) Dom(R)0Dom(R*)=4 b) R n H * tiene 12 elementos
c) La relación T definida por: (x,y)eT ** 3seA¡(x,s)cR*A (s,y)cR, es simé­
trica.
Solución. R=1íx,y>eAxfl|x<y}=1(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5))Sólo fines educativos LibrosVirtual

159. 146 Capitulo 3: Relaciones
R* = {(3,1),(5,1),(3,2).(5,2),(5,3),(5,4)1
a) Dom(R)=A y Dom(R*)=l3,51 - Dom(R) fl Dcm(R»)={3, S>?í* Es falsa
b) n(R)=6 y n(R*)=6, como R y R* son conjuntos disjuntos (R<i R*=+), enton­
ces: n(RU R*)-6+6=12. La afirmación es verdadera
c) (x,y)eT ** aseA| (x,s)eR* ~ (s,y)eR
(3.1)eR* ~(l,3)cR * (3,3)cT (5,l)eR* ~ (l,5)cR * (5,5)cT
(3.1)eR* (l,5)eR * (3,5)eT (5,l)eR* ~ (l,3)tR * (5,3)cT
Luego, T=i(3,3),(3,5),(5,5),(5,3))
Vemos que: T=T* * T es simétrica. La afirmación es verdadera.
EJERCICIO 5. En el conjunto A=ia,b,c,d,ei se definen las relaciones:
R={(a,b),(b,c),(d,e),(e,d),(a,c),(d.d),(e,e),(c,c)i,
S=i(a,d),(d,e),(e,a),(e,e)) y T={(b,a),(a,b)). Cuáles son transitivas?. En
aquellos que no son, completar elementos de manera que se obtengan relacio­
nes transitivas.
Solución. En R: (a,b)eR ~ (b,c)cR + (a,c)cR. es V.
(b.c)eR ~ (c,c)*R * (b,c)eR, es V.
(d.e)zR ~ (e,d)cR * (d,d)eR, es V.
(e,d)zR a (d,d)eR * (e,d)tR, es V
(d,e)eR *. (e.e)cR ■» (d,e)cR, es V.
Luego, R es transitiva.
En S se tiene: (a,d)cS ~ (d,e)eS * (a.e)eS, es F.
(d,e)eS ~ (e.a)eS * (d,a)eS, es F.
Entonces, S no es transítiva. Debemos agregar los pares (a,e),(d,a) y (a,a),
(d,d). Entonces: S í=i(a,d),(d,e),(e,a),(e,e),(a,e),(d,a),(a,a),(d.d)l
Ahora en Si: (e,a)cSt - (a,d)eSi (e,d)eSi,es F.
Por último, completamos con (e,d) y obtenemos una relación transitiva:
S t=l(a,d),(d,e),(e,a),(e,e),(a,e),(d,a),(a,a),(d,d),(e,d))
T se tiene: (b,a)cT « (a,b)cT — (b,b)cT, es F.
Luego, T no es transitiva. Agregando (b,b) y (a,a) obtenemos:
Tl=l(b,a),(a,b).(b,b),(a,a)}
Verificar que T , es transitiva.
EJERCICIO 6. Si R es una relación definida en A, se afirma:
a) R es reflexiva * Dom(R)=Dom(R*)
b) R es simétrica y transitiva * R es reflexiva, c) Si A={a,b,c} y
R={(a,a),(b,b),(a,c),(b,c),(c,c)}, entonces R es una relación de equiva­
lencia. Hallar el valor de verdad de cada afirmación.Sólo fines educativos LibrosVirtual

160. Sección 3.8: C lases d e Relaciones 147
Solución, a) Sabemos que si R:A - A es reflexiva %ceA •* (x.X)eR. Entonces:
Dom(R)=Ran(R)-A y como Ran(R)=Dcai(R’r) ■» Dom(R)-Dom(R*).
La afirmación es verdadera.
b) Supongamos que A =11,2,3}. entonces una relación en A es:
R={<1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} y R*={(1,1),(2,2),(2,1),(1,2)}. Vemos que
R-R*, entonces R es simétrica. Además: (l,2)cR „ (2,l)sR ■* (l,l)cR, R es
transitiva. Sin embargo, (3,3)tR * R no es reflexiva. La afirmación es F
c) Anal icemos si R es reflexiva, simétrica y transitiva:
i) Vemos que AbceA, (x,x)cR * R es reflexiva.
ii) (a,c)cR, pero (c,a)iR * R no es simétrica
No se cumple la segunda condición, entonces R no es de equivalencia. La
afirmación es falsa.
EJEMP LO 7. Si R=(Coc,yJeOx(?|x-yí3, y-x$4}. Cuáles de las siguientes afirma
dones son verdaderas?
a) R es reflexiva b) Res simétrica c) R no es transitiva
d) R es de equivalencia
Solución, a) Si hacemos y=x •* x-xS3, x-x$4, es verdadera VxeQ, entonces:
(x,x)cR. Luego R es reflexiva. La afirmación es verdadera.
b) R no es simétrica porque: x-y$3 no equivale a y-x$3
y-xí4 no equivale a x-yí4. La afirmación es F.
c) Si R es transí t iva: (x,y)eR -> (y,z)cR * (x,z)eR
Esto es: (x-y£3 , y-x$4) ~ (y-z^3 , z-y$4) •* (x-zí3 , z-x$4)
Vean os si simando tas desigualdades del antecedente se logra implicar el
consecuente: x-y+y-z(6 , y-x+z-y£4 x-zi6 , z-x$8 . No se logra implicar
el consecuente, entonces R no es transítiva. La afirmación es verdadera.
Otra forma de comprobar si R es o no transitiva es la siguiente: Los pares,
(1.4) y (4,7) satisfacen el antecedente, pero el par (1,7) no satisface el
consecuente, esto es: (l,4)cR ~ (4,7)tR ■* (1,7)¿R. R no es transí t iva.
d) Por a,b y c se deduce que R no es de equivalencia. La afirmación es F.
Por lo tanto, son verdaderas las afirmaciones a y c.
EJERCICIO 8. Seo S=1 (x,y)eNxN¡xy es par). Cuáles de las siguientes afir­
maciones son verdaderas?
a) S es reflexiva en N b) S es simétrica en N c) S es transitiva en N
Solución, a) Vemos que (l,l)dS, (3,3)iS, etc, es decir, (x,x)tS,)h£.N. Lue­
go S no es reflexiva. La afirmación es falsa.Sólo fines educativos LibrosVirtual

161. 148 Capitulo 3: R elaciones
b) Si xy es por -* yr es par, entonces S es simétrica. La afirmación es V.
c) Veamos un ejemplo: (3,4)t.S ~ (4,5,)eS (3,5)tS
El antecedente es verdadero, sin embargo, el consecuente es falso, (el
producto es impar), luego S no es transitiva. La afirmación es falsa.
Por lo tanto, sólo la afirmación b es verdadera.
EJERCICIO 9. En el conjunto A=)l ,2,3,4,5) se definen las relaciones R y
T por: R=l(l,3),(2,4),(3,5),(1,1),(2,2),(4,2),(3,1)) y
T=l(x,y)\(y,x)cR). Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?
a) R es transitiva pero no simétrica b) R H T = 1(1,1), (2,2))
c) Dam(R)-Dom(T) f ♦
Solución, a) En R: (l,3)eR * (3,5)eR * (1,5)?R, luego, R no es transítiva.
(3,5)cR ~ (5,3)?R , entonces R no es simétrica.
La afirmación es falsa.
b) T={(3,1),(4,2),(5,3),(1,1),(2,2),(4,2)) -fl T=1(1,3),(3,1),(1,1),(2,2),
(2,4),(4,2)). La afirmación es falsa.
c) Dom(R)=íl,2,3,4) y Dom(T)=)l,2,3,4,5) - Dom(R)-Dom(T) = 4
La afirmación es falsa. (.'. Todas las afirmaciones son falsas.)
EJERCICIO 10. En Z se definen las siguientes relaciones:
R¡={(x,y)¡x2+y=yl+x), R x={(x,y)¡xy=nl, para algún neZ),
R¡=i(x,y) |xS |y|). Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) Las tres son reflexivas b) R¡ y R x son simétricas, pero no fl>
c) Ri y Rt son transitivas, pero no R x
Solución, a) Haciendo y-x en cada una de las relaciones se tiene:
En R i: x 1+x = x*+x .'. R t es reflexiva
En R x: x.x=n* - x=n, R xes reflexiva.
En R,: x$|x|, ia igualdad se cmtple para x>0, pero no VxeZ.
Luego, la afirmación es falsa.
b) En Rx:xl+y=yl+x, es equivalente a: y*+x=xl+y ; Rx es simétrica.
En Rx: xy-n1, es equivalente a yx=nz, luego fl2 es simétrica.
En R t: oc&|y| no es equivalente a y$|x|, luego, R, no es simétrica.
Luego, la afirmación es verdadera.
c) Como toda relación reflexiva es transitiva, por a) se deduce que Ri y R 2
son transitivas y Ri no es transitiva. Luego, la afirmación es falsa.
Por lo tanto, sólo la afirmación b) es verdadera.Sólo fines educativos LibrosVirtual

162. Sección 3.8: C lases d e R elaciones 149
EJ ERCICIO 11. Para las siguientes relaciones en Z: R, ={ (x,y) |x-y=3¡c,teZ}
Rj={ (x,y) \x+y=2h,heZl, R,=l (x,y) . Cuál de las alterna
tivas es la correcta?
a) R, no es transitiva c) R, es reflexiva y simétrica
b) R2 es reflexiva pero no simétrica d) R, y Rt son de equivalencia
Solución. Anal icemos cada una de las relaciones en cuanto a reflexividad,
simetría y transitividad.
1) Reflexividad: En R lt si x=y ■* x-x=0 •* x-y=3(0), OcZ
Luego, (x,x)cRl, entonces, R¡ es reflexiva.
En R2 : si x=y ♦ x+x=2h * x=h (xeZ * heZ), luego, (x,x)eR2 , es reflexiva.
En R , : si x=y ■* x<x * (x,x)cR2, luego, R s es reflexiva.
2) Simetría: Bi Rt, x-y=3k •* y-x=3(-k), -kzZ + (y,x)eRí. .'. Rí es simétrica
En R, : si (x,y)eR2 y (y,x)eR2 * shicZ\x+2y=2h1 y sh1cZ\y+2oc=2h2
esto es, x+2y=2hl * y+2x=2h2 . Restando: y-x=2(h¡-h1)=2hi (hieZ)
Entonces, (y-x)eR2 , luego, Rt es simétrica.
En R,: x¡y no es equivalente a y$x, por lo que R, no es simétrica.
3) Transitividad: Como todas las relaciones son reflexivas, éstas también
son transitivas, en efecto:
En R , , si (x,y)cR2 ~ (y,x)eRt ■* aklcZ¡x-y=3kl y ak2eZ¡y-z=3k2. Sumando
se tiene: x-z=3(ki+ki)=3k¡, k,cZ. Entonces (x-z)cRl .'. R, es transitiva
En R2, si (x,y)cR2 (y,z)eR2 •* 3h1eZ\x+2y=2hí y 3h2eZ\2y+z=2h2. Restan­
do: (x-z)=2(hl-hí)=2h¡, h,eZ. Entonces (x-z)eR2. R, es transitiva
En R , : si xSy ~ ygz ♦ xíz, lo cual es cierto. Entonces (x,z)cRt.
Luego, R s es transitiva.
Por lo tanto, R 2 y R, son de equivalencia. La alternativa d) es la co­
rrecta.
EJ ERC ICI O 12. En Z se definen las relaciones R,={(x,y) |2x+y=5},
Rj={(x,y)|x-3y=12). Si la relación R en Z es tal que:
(x,y)eR *-~3ueZl(x,w)eR2 ~ (u,y)eR2 ; entonces, hallar la relación R.
Solución. Vemos que un elemento del rango de R 2 debe ser igual a un elemen
to del dominio de R 2.
Luego, en R,, haciendo u=y=5-2x y en R2, u=x=3y+12, se tiene por transitiva
dad que: 5-2x=3y+12, de donde: 2x+3y=-7 ■* R={ (x,y) \2x+3y=-7)
EJ ERC I C I O 13. Sea A=(l,2,3,4} y la relación en A: R={(2,2),(2,1),(1,1),
(4,4),(3,z),(x,y),(2,3),(z,y),(3,1)}. Si R es de equivalen
cia en A, hallar el valor de 3x+2y-z.Sólo fines educativos LibrosVirtual

163. 150 Capítulo 3: Relaciones
Solución, a) R es reflexiva «-* -VíreA, (x,x)eR
(l,l)tR, (2,2)cR, (4,4)eR, (3,z)eR - z=3
b) R es simétrica •*-*■ (x,y)eR ~ (y,x)eR, V(x,y)eR
Si (2,l)eR - (l,2)=(x,y) ** x=l , y=2
Veamos si para estos valores de x,y,z se verifica la simetría y transiti
vidad de R. (x,z)=(l,3 ) efi * (3,l)eR , lo cual es cierto
(z,y)=(3,2)eR ■* (2,3)zR, también es cierto
c) R es transitiva (x,y)cR „ (y,z)eR + (x,z)eR
(2.1)eR ~ (x,y)=(l,2) * (2,2)eR , es cierto
(3.1)eR ~ (x,z)=(l,3)tR * (3,3)eR, es cierto
Por lo tanto: 3x+2y-z = 3(l)+2(2)-3 = 4
EJERCICIO 14 . Sean R l, R z y R, relaciones en A. Cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
a) Si R¡ es reflexiva, R z es simétrica y R, es transitiva, entonces
R i U Ri UR¡ es de equivalencia.
b) Si R> y Ri son de equivalencia, entonces R ¡ 0 Ri es de equivalencia.
c) Si R i U R2 es de equivalencia, entonces R¡ es reflexiva o R z es reflexiva
Solución. Supónganos que: A=ll,2,3 í y anal icemos cada una de las afirmado
nes dadas.
a) Rí={(1 ,1),(2,2),(3,3)} es una relación reflexiva en A.
Ri={(1,1),(2,3),(3,2)} es una relación simétrica en A.
Rj={(1,2),(2,2)} es una relación transitiva en A.
Entonces: R=R,u Rz U R,= { (1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (1,2)}, es reflexi_
va pero no simétrica, puesto que: (l,2)cR ~ (2,l)iR, entonces R no es de
equivlencia. La afirmación es falsa.
b) R 1={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)} y R 1={(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1) i
son de equivalencia -*• R¡ n R t=((l, 1), (2,2), (3,3)} es de equivalencia en
A. Luego, la afirmación es verdadera.
c) R i = Ul,l),(2,2),(3,3),(3,2)} es reflexiva en A ; R l={(2,2), (2,3)} no es
reflexiva en A ■* R, u R 1= l d , 1), (2,2), (3,3), (3,2), (2,3) 1, es de equiva­
lencia. Luego, la afirmación es verdadera.
EJERCICIO 15, Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) Si Ri=l (x,y)eN2\x-y es natural}, entonces Rj es de equi
valencia.
b) Si T es una relación transit iva en A={1,2,3}, entonces T* es transitiva.Sólo fines educativos LibrosVirtual

164. Ejercicios: Grupo 11 151
c) Si S es una relación simétrica y T es una relación transitiva en
A=U,2,3i, entonces S U T es simétrica y transitiva.
Solución, a) Si x=3, y=2 * 3-2=leN * (3,2)eR¡
x=2, y=3 - 2-3=-ltN - (2,3)¿ R ,
R t no es simétrica, luego, no es de equivalencia. La afirmación es falsa
b) Sea T= {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2) } una relación transitiva en A. Entonces:
T*={(1,1),(2,2),(3,3),(2,1 )( también lo es en A. Luego, la afirmación es
verdadera
c) Sea S ={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2 )( una relación simétrica en A.
Sea T la relación transitiva de b). Entonces:
Su T = {(1,1).(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2) 1 es simétrica y transj
tiva. La afirmación es verdadera.
EJERCICIOS: Grupo 11
1. R es una relación binaria definida por R = ((x.y)cZxZ|-l<:2x+l<y<5}. m es
la sima de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de todos
los elementos del rango. Hallar m+n.
2. S e a R = ((x ,y ) € N xN |x 2-2 x = y , si 0 < x ^ 5 } , 0 € N . Si m es la su m a d e los e le m e nto s del
D om (R ), n e s la su m a d e los ele m e n to s del D om (R *), ha llar 2 6 m /n .
3. Sea el conjunto S={2,3,4}. Si R ^ l(x,y)eSl|y£r|, R2=f(x,y)eS2|y=x(,
R s={fx,j'leSI |y-a:=ll. Hallar el valor de [n(R2)+n(R,)]:n(R¡)
4. Sea n(A) el número de elementos de un conjunto A. Para A={1,2,3,4,5,6}.
definimos las relaciones R l-{(x,y)eAt ¡3y=x}, R z = { (x.y)eA1
R3= U x , y l E A2|y=x). hallar n(R1u R 2u R,).
5. En A={1,2,3,4) se considera la relación R=((x.yleA2|x =yv x+y=3}. Se a-
firma que R es: a) Reflexiva , b) Simétrica , c) Transitiva , d) De e-
quivalencia. Cuáles son verdaderas?
6. Si R es un relación en A={2,3,9¡ definida por R={ (x,y) |y+Jíx21, hallar
n(R).
7. Si R y S son dos relaciones definidas en A»B, demostrar las propiedades
RI.l: (Ru S)* = R * U S » y RI.3: (R-S)* = R*-S*
8. Sean A={2,3,8,9} y B={4,6,7); Rj={ (x,y)£AxB\x2-y=2], R2 ={ (x,yleft<A|x<y}
Hallar RaníRx) U Dom(Rz).Sólo fines educativos LibrosVirtual

165. 152 Capitulo 3: Relaciones
9. Sean Ri y R» relaciones definidas en el conjunta A y D=i(x,x)\xsA¡. De­
mostrar que: i) DcR ¡ « Dc R ¡ -► D c ^ u R i ) ^ D c f R1n.R2>
¡i) (x,y)s(RlURf) - (y,x) (RzURt)
10. Sea A=ll,2,3). R,S y T son relaciones en A, reflexiva, simétrica y tran
sitiva, respectivamente. Si R=l(l,l),(2,3),(a,2),(3,b)), S={(l,3),(c,d)
T=l(3,e),(2,3)). Hallar (b-a)+(c-d)+e.
11. Sea R una relación definida en el conjunto A*A, se dice que R es una re
¡ación transitiva si (a,b)eR * (b,c)sR * (a,c)sR. Demostrar que si R y S
son relaciones transitivas, entonces R O S es una relación transitiva.
12. Sean las relaciones Ri=í(x,y)¡xSy), Rz-i(x,y) ¡x+l=y), R,=l (x,y) ¡xjy),
definidas en el conjunto A=i2,4,S,6i. De los enunciados siguientes cuá­
les son verdaderas? a) (R¡nRz)ct R, b) R , no es simétrica
c) R i U R j es una relación de equivalencia.
13. Sea A=la,b,c,d} y consideremos las relaciones en A siguientes:
R = {(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,e),(a,c),(d,d))
S = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(c,c),(d,d)l
T = l(a,a),(a,b),(b,b),(c,c),(c,d),(d,d))
V = l(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
Hay m relaciones reflexivas, p relaciones simétricas y q relaciones
transitivas. Hallar los valores de m,p y q.
14. Sea T=l(x,y)eZxZ\(xy)z es par), una relación en Z. Hallar el valor de
cada afirmación:
a) T es reflexiva b) T es simétrica ¡ c) T es transitiva
15. Sean A=íp,q,r¡, Vyfc{RcA*A|R es simétrica en A} y V={RcAxA|Res reflexi­
va en A). De las afirmaciones siguientes, cuáles son verdaderas?
a) {(p,q),(q,p))c.W b) i(p,p))t(WaV) c) l(p,r), (r,p))eW
16. Para las relaciones definidas en el conjunto A4$, se afirman:
a) Si R es reflexiva, entonces Dom(R)=Ran(R)
b) Si R es simétrica y transí t iva, entonces R es reflexiva.
c) R={(a,a),(a,c),(b,b),(c,c),(c,a),(d,d)) para A={a,b,c,d) es de equi­
valencia.
17. Cuáles de las siguientes proposiciones para relaciones definidas en un
conjunto A que tiene k elementos son verdaderas?
a) R es reflexiva en A ■* Dam(R)-Ran(R)
b) R es reflexiva en A -e n(R)¿k C) R es sinétrica en A * R=R*Sólo fines educativos LibrosVirtual

166. Ejercicios: Grupo 11 153
18. Si R es una relación definida en A. Entonces de las afirmaciones que
siguen, cuáles son verdaderas? a) R es reflexiva * R es transitiva
b) R es reflexiva * R es transitiva
c) R reflexiva y simétrica ■» R transitiva.
19. Sea A={1,2,3,4,51 y R una relación definida en AxA tal que cunple:
i) VxcA,(x,x)eR i i) Si (x,y)eR * (y,x)eR
Si R={(l,l),(3,2),(2,2),(5,5),(4,2),(4,4),(3,4),(3,x),(y,x),(z,x),(z,y)}
Determinar si satisface que, si (x,y)sR ~ (y,z)zR * (x,z)zR
20. Una relación R definida en el conjunto A es transitiva 3¡:
(x,y)zR ~ (y,z)zR * (x,z)eR. Verificar que la relación:
K=K*,y,)eZ1 |x-y es divisible por k, k entero positivo }, es transitiva.
21. En Ndefinimos la relación R en la forma siguiente:
(x,y)eR -*-*• x-y=5k, keZ. Afirmamos: a) R es reflexiva, b) R es simétri­
ca, c) R es transitiva y d) R es de equivalencia. Cuáles son verdade
ras?
22. Sea A={3c|x=2n, neN y 5<x<25}. Para R e AxA, sea n(R) el número de elernen
tos de R. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
a) n(R)<10 * R es reflexiva b) n(R)ilO -» R es reflexiva
c) R transitiva * n(R)i3
23. En el conjunto A={1,2,3,4.5,6} se define la relación R por:
(x,y)eR ** "x es divisor de y". Hallar el valor de verdad de las afirma
dones siguientes: a) R es reflexiva b) R es transitiva
c) aacA|(a,x)eR,¥xcA d) Vx,yzA, (x,y)cR v (y,x)zR
24. Si A={1,2,3,41, 0 = U , 3 , 5 h sea RczAxB donde (x,y)zR x<y. De las afir_
mociones siguientes, cuáles son verdaderas?
a) Dom(R) n Dom(R*)=$ b) R u R * tiene 12 elementos
c) La relación T definida en B por: (x,y)eT ** ase¿|(x,s)eR* * (s,y)zR
25. Si A={2,3,5,8,10,12} y R l={(;r,>')eA)cA|a: es un número par y x es un múlti
pío de y}. R t=l(x,y)cAxA¡x=2y+2l, entonces hallar el valor de verdad de
las siguientes afirmaciones: a) R, tiene 9 elementos b) R , n R , = ♦
c) R, tiene 5 elementos d) R, no es simétrica y R x es transitiva
26. Sean V,S y T tres relaciones definidas en Z tales que:
Si (a,b)eV y (c-d)tS * (a-c,b-d)eT . Si V y S son de equivalencia, ana­
lizar si T es también de equivalencia.Sólo fines educativos LibrosVirtual

167. 154 Capítulo 3: Funciones
Q J FUNCIONES
Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación binaria de A
en B, esto es, fc.AxB. Entenderemos por función de A en B toda regla que a-
socia a cada elemento x del conjunto A un único elemento "y" del conjunto
B. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados tales que la pr¿
mera componente pertenece a A y la segunda a B, de modo tal que dos pares
ordenados distintos no tengan ¡a misma primera componente.
Para denotar que f es una función de A en B, se escribe:
y se lee: "f es una función de A en B"
Formalmente tenemos la siguiente:
Definición 3.1. f es una función de A en B si y sólo si satisface
Regla de Correspondencia. Si (x.y)tf, decimos que "y" es la imagen o valor
"y" es el transformado de x por la función f. De aquí que denotamos:
Definición 3.2 El dominio de una función f:A ■* B es el conjunto de todas
las primeras componentes xeA (conjunto de partida) de los
pares ordenados de f, esto es:
Dom(f) = JacAlayeB, (x,y)ef\=A
Definición 3.3 El rango de una función f:A * B es el conjunto de todas las
segundas componentes ycB (conjunto de llegada) de los pares
ordenados de f, es decir:
f :A - B
las siguientes condiciones:
i) f e AxB
i i) (x,y)cf ~ (x,z)cf * y=z
de x por f, y suele escribirse y-f(x), es decir
f:A — B\y=f(x)
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION
Ran(f) = lycB|3XEA, y=f(x)\cB
Ilustración Gráfica:Sólo fines educativos LibrosVirtual

168. Sección 3.9: Funciones 155
f
Dom(f) Ran(f)
Conjunto de Partida Conjunto de Llegada
Ejemplo . Sean los conjuntos: A=(l,2,3,4), B=ia,b,c}. Determinar si
nes de A en B.
Solución. En un diagrama de Venn Euler i lustramos los conjuntos dados:
Dam(f)=ll,2,4) t A, Ran(f)={a,b,c } = B ■* f no es una función de A en B
Dom(g)=il,2,3,4i = A, Ran(g) t B. Cano a cada elemento del Dcm(g)=A, le co­
rresponde un solo elemento del rango, g es una función de A en B.
O b s e r v a d o n e s :
(1) Si en la función g:A -*■ B aplicamos la ecuación y=g(x), se tiene:
g(l)=a -» a es la imagen de 1 g(3)=b •» b es la imagen de 3
g(2)=a * a es la imagen de 2 g(4)=b ■* b es la imagen de 4
Por esta razón, al rango de una función se íe llama también conjunto de
imágenes o codominio.
(2) Sean los conjuntos A={1,2,4} y B={2,4,8) y la función f:A B\f={(l,2),
(2,4),(4,8)}. Si en f denotamos por x cualquier elemento de su dominio
A, entonces la regla de correspondencia que nos permite hallar su correspon
diente imagen es f(x)=2x, de modo que, simbólicamente, podemos escribir:
Una función f es una aplicación de A en B si y sólo si f es un sub-
conjunto de AxB que satisface las siguientes condiciones de existencia y u-
f={(l,a), (2,c), (4,b)} y g={(l,a),(2,a),(3,b),(4,b)} son fune i o-
f = 1í x, 2xJ |x e<4>
APLICACIONES DE A EN BSólo fines educativos LibrosVirtual

169. 156 Capítulo 3: Relaciones
nicidad:
i) -VíreA, 3/yeB| (x,y)zf
i i) (x,y)ef ~ (x,z)ef * y=z
Ejemplo. Sean los conjuntos A={1,2,3) y B={2,4,6). De las siguiente gráfi­
cas, establecer cuáles son apiicaciones de A en B.
Solución. Las relaciones f y g son api icaciones de A en B, pues ambas cum­
plen las dos condiciones de la definición 3.9.2:
i) Dom(f) = Dom(g) = A
ii) De cada elemento de A parte exactamente una flecha a B
La relación h no es una aplicación de A en B, puesto que:
i) Dom(h) = {1,3) f A No se cumple
i i) (3,4)ch ~ (3,6)th ■* 4 f 6 No se cumple
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Dada la función f definida por f :N*N\f(x)=2x-l, hallar:
a) f(8) , b) xeN\f(x)=3 , c) f[8-f(2)] , d) xeN\f(x)$5
e) A c N\f (x)zB, VxsA, siendo B={2,4,5,7).
Solución. Dado que f es una relación en N, tal que
(x,y)cf y=2x-l <-*■ f={(x, y) \y=2x-l), se tiene: ■
a) Para x=8 - y=2(8)-l=15 ** f(8)=15^N
b) Si f(x)=3 - 2x-l=3 ~ x=2tN
c) f(2)=2(2)-l=3 ; 8-f(2 )=5 - f(8-f(2)]=f(5)=2(5)-l=9cN
d) Si f(x)i5 * 2x-l(5 *■* xi3 , luego, x toma los valores: 1,2,3 que determ¿
nan el conjunto solución: S = {1,2,3) = {xeN| fCxJ-ÍS}
e) Se trata de hallar los elementos de A tal que f(x)zB, luego:
Si f(x)=2 - 2x-l=2 x=3/2 i N ; f(x)=4 - 2x-l=4 *- x=5/2 i N
f(x)= 5 - 2x-l= 5 «- x =3eN ; f(x)=7 * 2x-l=7 ** x=4*N .'. A=)3,4)
EJERCICIO 2. Si A={xeZ|x2<:50} y f:A ■* Zlffxj^íx-l)*, xeA . Hallar el va­
lor de verdad de las siguientes afirmaciones:Sólo fines educativos LibrosVirtual

170. Sección 3.9: Funciones 157
a) Existe un único valor x« tal que f(x,)=36 , b) f[2+f(0)]=4
c) La solución de f(x+8)=f(-x-8) está en el conjunto A.
Solución, a) Si f(x)=(x-l)* * f(x,)=(x,-l)1=36 , de donde: x«=7 ó x«=-5
x ( no es único, luego, la afirmación es falsa.
ó) f(0)=(0-l),=l -*• fl2+f(0)]=f(3)=(3-l)l=4 . La afirmación es verdadera,
c) Si f(x+8)=f(-x-8) * (x+8-l)1=(-x-8-l)*, de donde x=-8?A.
La afirmación es falsa.
E J E R CI CIO 3. Sea A=lx|x es una proposición) y B={0,1). Se define la fun­
ción f;A - B por: f(x) = ( l ’ si x es Y.
> | O , s i i es F
Según esto, de las siguientes afirmaciones, cuáles son verdaderas1
o) f(P ~ <¡) = f(p)-f(q) b) f(*p) = l-f(p)
c) f(p - q) = l-f<p)+r<q)-f(*p).f(q)
Solución, a) Supongamos que V(p)=V y V(q)=V, entonces según f: f(p)=l y
f(q)=l * f(p)-f(q)=l. Luego: f(p „ q)=f(V)=l
Entonces: f(p ~ q)=f(p)-f(q)
Si V(p)=V y V(q)=F * f(p)=l y f(q)=0 - f(p).f(q)=0
f(p - q)=f(V ~ F)=f(F)=0 .-. f(p - q)=f(p).f<q)
Para las otras dos alternativas también se enripie: f(p ~ q)-f(p)-f(q)
Luego, la afirmación es verdadera.
b) Si V(p)=V * f(*p)=f(F)=0 y l-f(p)=l-l=0 * f(*p)=l-f(p). Es verdadera.
c) Si V(p)=V y V(q)=V - f(p * q)=f(V)=l
l-f(P)^f(q)-f(^p)-f(q) = 1-1+1-(0)(1) = i
Para V(p)=V y V(q)=F * f(p - q) = f(F) = 0
l-f(p)+f(q)~f(+P)-f(q) = 1-1+0-(0)(0) = 0
Para las otras dos alternativas se obtienen los mismos resultados.
Luego, f(p ■* q) = l-f(p)+f(q)-fC*p).f(q). La afirmación es verdadera.
Por lo tanto, todas las afirmaciones son verdaderas.
EJ E R C I C I O 4. Sea f una función de N en N tal que f(x)=2x+3. Hallar el va
lor de verdad de cada afirmación.
a) Vy*N, 3xeN|f (x)=y b) Si f(a)=f(b), entonces a=b
c) Si f(ax)=af(x) y f (b+x)=(b+2)+f (x), VxcN * a+b=3
Solución, a) Si y=leN ■* l=2x+3+-* x=-l¿N
Luego, }xEN,VycN\y=2x+3 . La afirmación es falsa.
b) Si f(a)=f(b) 2a+3=2b+3-<-*■ a=b . La afirmación es verdadera.Sólo fines educativos LibrosVirtual

171. 158 Capitulo 3: Funciones
c) Si f(ax)=af(x) •* 2(ax)+3 = a(2x+ 3), de donde: a=l
f(b+x) - (b+2)+f(x) - 2(b*x)+3 = (b+2)+2x+3, de donde: b=2
Entonces: a+b = 3 . L a afirmación es verdadera.
EJERCICIO 5. Sabiendo que f es una función tal que: f(x+3)=f(x)+f(3), pq
ra todo xtZ, entonces determinar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones: a) f(0)=0 , b) f(12)=4f(3) , c) f(-3)--f(3)
Solución. Si f(x+3)=f(x)+f(3) ■* f(x)=f(x+3)-f(x)
a) Si x=OeZ * f(0)=f(0+3)-f(3)=0 . La afirmación es verdadera.
b) f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(3+3) (Según la definición)
= 2[f(3)+f(3)¡ = 4f(3). La proposición es verdadera.
c) Si x=-3 * f(-3)=f(-3.-3)-f(3)=f(0)-f(3) (Por a): f(0)=0)
Entonces: f(-3)=-f(3) . La proposición es verdadera.
EJERCICIO 6. Sea f:Z ■* Z\f(x+3)-xz*l, determinar el valor de:
E s f(a+V- f ( 2 ) f a n
a - 2
Solución. La regla de correspondencia de f(x) se consigue considera/ido
f(x+3)=x*-l, asi: f(...+3)=(...)l-l
En el espacio punteado se coloca x-3 con el objeto de eliminar el sumando 3
esto es: f[(x-3)43J-(x-3)2-l * f(x)=xz-6x+8
Entonces: f(a+2)=(a+2)z-6(a+2)+8=a,-2a y f(2)=(2)z-6(2)+8=0
,
____ r. _ az-2a-0 . a(a-2) _ _
Luego: E = — - a
EJERCICIO 7. Sea f:I * I¡f('/x zl)=xz+2x-3, hallar: f(/2x+í)
Solución. Solucionaremos el problema por dos métodos:
a) Haciendo el cambio: /x-l=u * x=l+uz
En f: f(u)=(l+ut)+2(l-ruz)-3=u"+4uz
Considerando ahora: u-/2x+l, se tiene:
f(/2xT¡) = ( S E ^ ) * M ( / 2x¿T) 1 = 4xz+12x+5
b) Es el método directo efectuado en el ejercicio anterior, esto es:
f(S. ..-!)=(..,)z+2(...)-3. Si queremos conseguir 2x+l en el radical, co­
locamos 2xi-2 en el espacio punteado, es decir:
f(/2x+2-l) = (2x+2)z+2(2x+2)-3 - f(/2x+l) = 4xz+12x+5
EJERCICIO 8. Definimos una función f:Z2 ■* Z.por: f(x+3,y-1) =x+y+xy-y 2.
Hallar f(x-l,y+l).
Solución. Por el método directo escribimos:Sólo fines educativos LibrosVirtual

172. Ejercicios: Grupo 12 159
fl...+3....-1] = .)l
En los espacios punteados para las x colocamos x-4, y para las y: y+2
Luego: fl(x-4)+3,(y+2)-l] = (x-4)+(y+2)+(x-4)(y+2)-(y+2)z
de donde: f(x-l,y+l) = xy+3x-7y-yl-14
EJERCICIO 9. Sea f:Z ♦ Z, una función tal que f(ax+2)=azx*+5ax+6, hallar
el valor de E
f(x+h)-f(x-h)
, hfO
Solución. En este caso escribimos: f[a(...)+2] = a1(...)1+5a(...)+6
En los paréntesis colocamos x/a para eliminar el factor a, esto
es: f¡a(x/a)+2] = a*(x/a)1+5a(x/a)+6 ■+ f(x+2)=xz+5x+6
+ f(x)=(x-2)z+5(x-2)+6=x*+x
Entonces: E = = U S ™ = 4x+2
h h
EJERCICIOS: Grupo 12
1. a) Ri=í(l,3),(2,3),(4,5),(7,5),(8,ll)), Dom(Rí)=A=U,2,3,4,5)
b) R l=i(l,2),(2,3),(3,4),(2,5),(4,5)), Dom(R1)=A={l,2,3,4 1
c) R¡={(x,y)\7y-21x=0\, Dom(R¡)=A=N. d) R*=i(x,y) |xy+2=35}, Dom(Rt)=A=N.
Cuáles de estas afirmaciones definen funciones de A •* N?
2. Si f es una función de A en B, f:A ■* B. Cuáles de las siguientes proposi
dones son siempre verdaderas?
a) VacA, f(a)=b ~ f(a)=c ■* b=c c) Ran(f) B
b) -VaeA, VbcA, f(a)=f(b) a=b d) Ran(f)={beB\3aeA, f(a)=b\
e) Domlf)bRan(f) = $
3. Sea la función f:N + N tal que f(x)=3x+2. Cuántas de las siguientes afir
mociones son verdaderas? a) f(5a+7b)=5f(a)+7f(b) b) ¥bcN,saeN\f(a)=b
c) f[f(2)] = I Í I ^ L ± d) U .2.+P± -ÍA aJ = 3 ' bfO
4. Cuáles de los siguientes conjuntos describen una función AxA, si
A=il,2,3,4,5). a) Ri = Uoc,;y.)eA2|jc=4l c) R s=l (x,y)cAz |x+y=61
b) R i= U x , y j E A2|y=4( d) R * = l(x.y)cA1 |x<y}
5. Sea f:Q * Q\f(x)=mx+b, con m y b constantes, y se sabe que f(l)=-2 y
f(3)=l. Hallar m.b
6. Sea la función f:Z + Z\f(x)=mx+b, m y b constantes, tal que 2f(2)+f(4)=2[
y f(-3)-3f(l)--16. Hallar el valor de (l/3)f(l).Sólo fines educativos LibrosVirtual

173. 160 Capitulo 3: Funciones
7. Sea X= proposiciones , Y=lO,l}. Definimos una función f:X ■» Y en la for
ma siguiente: VpeX, f(p) = p p . S e sabe que:
a) f(p ~ q)=f(p).f(q) b) f(p vq)=f(p)+f(q)-f(p * q) c) f(^p)=l-f(p)
Entonces, hallar: f(p * q).
8. Sea la función f:N * N, tal que hace corresponder O a todo número par y
{
O SÍ X GS DClf*
1, si x es impar
De las afirmaciones siguientes, cuáles son verdaderas?
a) Vx.ycN, f(x)+f(y)=f(x+y) c) ixeN\f(x)=f(x+2)
b) Vx.ycN, f(x).f(y)=f(xy) d) 3xt.N\f(x+l)=f(x)
9. Sea f una función definida en N por la ecuación f(x+2)=xl-4, hallar el
valor de f(x+h)+4x+4h.
10. Sea f:Z * Z definida por f(x)=4-(x-l)2. De las afirmaciones siguientes
cuáles son verdaderas?
a) f(x-l)=4-xt b) f(l-x)=f(x-l) c) *xeZ\f(x+l) > 4
11. Sea f una función de N ■» N\f(x)=2x+3. De las afirmaciones que siguen de
cir cuáles son verdaderas?
a) VyeN,3yeN\f(x)=y b) Si f(a)=f(b) * a=b. Va, beN
c) Si f(ax)=af(x) y f(b+x)-(b+3)+f(x), VxeN, entonces (a+b)/3 - 4/3
12. A=12,3,4,5,8}, B=N. Si f es una función de A en B, definida asi:
f(x> = { X/2’,*Í,X 6S par • Hallar E=f(5)+f(3)+f(8).
[ fíf(¿£j :)l , si x es impar
13. Sea / : N - 10,1} una función definida por f(x) = | s! x es *iinpar
De las afirmaciones siguientes, cuáles son verdaderas?
a) ¥x¿N, 3yeN\f(x+y)=f(x)+f(y) c) axeN| f(x)=f(x+2)
b) VxcN, VycNl f(x). f(y)=f(xy) d) sxtN\f(x+l)=f(x)
14. Para A = (0,1,2,3,4}, sean f y g dos funciones de A en N, tales que
g(x)=mx+b, f={(0,4), (3,1), (1,3), (m,4), (4,0)} yg(l)=f(l). Hallar la su­
ma del rango de g.
15. Sea el conjunto A={1,2,3,4}. Se define en A las funciones g(x)=mx1+bx+cJ
f={(l,l),(2,3),(4,2),(3,3),(4,m)}. Si f(l)=g(l) y g(2)=4, hallar Ran(g).
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

174. Sección 3.9: Funciones 161
FUNCION INYECTIVA O UNIVALENTE
Sea f:A -* B una función de A en B. Se dice que f es una función in­
yectiva si cada elemento de B es imagen de, a lo más, un elemento de A.
Dicho de otro modo:
Una función f:A ♦ B es inyectiva si Vxl,xteA:
i) f(x1)=f(xz) en B * x ¡=xl en A
o
i i) x, # x2 en A ■* f(x2) f f(x1) en B
Ejemplo 1. Determinar si las siguientes relaciones definen funciones inyec
ti vas: f=Ul, 2), (2,3), (3,1), (4,4)1
g=\(l,l),(2,3),(3,l),(4,4),(5,4)\
Solución, f es una función inyectiva, pues si tomamos dos elementos dife­
rentes en el dominio, las imágenes correspondientes son también
diferentes. En el gráfico se observa claramente esta situación (uno a uno)
“ lo i .2 9
2 o--------------3
3 °
------------- l
4 o
------------------------- 4
Por otro lado, en el gráfico de g se observa que: 1 f 3 y g(l) = g(3) = 1
4 i 5 y g(4) = g(5) = 4
Esto es, hay dos elementos del dominio que tienen la misma imagen (dos a li­
no!. Por lo tanto, g no es inyectiva.
Ejemplo 2. Sean las funciones f:N -*• Af| f(x)=2x+3 y g:Z * N\g(x)=xl-1. Deter
minar si son o no inyect ivas.
Solución. Sean x l,x1 Dom(f), tal que f(x1)=2xi+3 y f(xl)=2x1+3. Debemos de
mostrar que: f(xl)=f(x1) ■» x,=x2 .
En efecto, supongamos que f(xi)=f(x2) * 2x,+3 = 2x2+3
* 2xi = 2xi * x¡ = x2
Por lo tanto, f es una función inyectiva.
Análogamente para g, sean x2,xi^Dom(g), entonces, si:
9<*i) = 9(xz) * x\ - 1 = x\ - 1
-*• xf = X§ +-*-Xi=X2 Ó I ^ - X j
No se concluye que x 1=x2, por lo tanto, g no es inyectiva.Sólo fines educativos LibrosVirtual

175. 162 Capítulo 3: Funciones
Nota. Para un conjunto A, la función IA :A * A\l(x)=x, VxzA, se llama fun­
ción identidad de A, y se tiene que es inyectiva.
En efecto, sean Xi,xteA, entonces, si I(xt)=I(Xi) -*• Xi=Xi
Por ¡o tanto, I(x) es inyectiva.
FUNCION SOBREYECTIVA O SURYECTIVA
_______________§g
Sea la función f:A ■* B. Se dice que f es una función sobreyectiva o
suryectiva de A sobre B, sí todo elemento de B es imagen de, por lo menos,
un elemento de A; es decir, cuando el rango de f es todo B (conjunto de lie
gada). Simbólicamente:
f es sobreyectiva «-► Vyc-B, ixeA| f(x)=y
f es sobreyectiva **■ Ran(f)=B
Interpretación gráfica:
Ejemplo 1. Sean A=il,2,3,4}, B=ll,3,5,7 } y las funciones f={(1,1),(2,1),
(3,3),(4,5)) y g={(1,3),(2,1),(3,5),(4,7)}. Determinar si son o
no sobreyectivas.
Solución. Ran(f)={l,3,5) 4 B, luego, f no es sobreyectiva de A en B o no
está definida sobre B.
Ran(g)={l,3,5,7)=B, luego, g es sobreyectiva o definida sobre B.
Ejemplo 2. Si la función f : N * B\f(x)=x+2 es sobreyectiva, determinar B.
Solución. Si f es sobreyectiva + Ran(f)=B y como xeN, B está formado por
todas las imágenes de x+2 cuando x=l,2,3..., o sea:
B=i3,4,5...)-N~ll,2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

176. Sección 3.9: Funciones 163
FUNCION BIYECTIVA
Una función f:A * B es biyectiva o biyección, si es a la vez infec­
tiva y sobreyect iva.
Ejenplo 1. Sean los conjuntos: A={1,2,6,7,8) y B={2,3,4,5,6), y las fundo
nes de A en B: f={(1,2),(2,3),(6,4),(7, 5),(8,6 )}, g=i(l,3,(2,2),
(6,6),(7,4),<8.5)\ y h=1(1,4),(2,2),(6,3),(7,5),(8,3)). Establecer si son o
no funciones biyectivas.
Solución. Las funciones f y g son inyect ivas pues cada elemento de B es i-
magen de un elemento de A. Además son sobreyectivas, puesto que:
Ran(f)=Ran(g)=B. Por tanto son biyectivas.
En cambio h no es biyectiva, pues, 6f8 ♦ h(6)=h(8), no cumple la inyectivi-
dad.
Ejemplo 2. Sea la función f:N * N\f(x)=2x; determinar si es biyectiva.
Solución. Como se puede observar, f es una función que asigna a cada núme­
ro natural su duplo, es decir, tiene como rángo los núneros natu
rales pares. Vamos a probar simultáneamente si f es inyectiva y sobreyecti-
va.
a) Sean x l,xl Dom(f) * f(x1)=f(x1)
2x¡=2x1 «■ x,=x2
Por tanto, f es inyectiva.
b) f no es sobreyect iva, pues Ran(f)fN
(los elementos del codominio que son impares
carecen de antecedente en N).
Por lo tanto, f no es biyectiva.
Ejaiplo 3. Sea B=íy¡y=2n, neN}, el conjunto de los números naturales pares
y sea f : N * B\f(x)=2x . Es f biyectiva?
Solución. Aqui el rango se ha restrigido a los naturales pares. Como la in
yectividad de f se mantiene, probaremos la sobreyectividad.
Debemos determinar que VycB, b xcN¡ f(x)=y. Es decir, según la definición de f:
2x=y. Despejando x: x=(y/2)cN (la mitad de un minero natural par es un nú­
mero natural). Aplicando f a cada extremo se tiene:
f(x) = f(y/2) = 2(y/2) = y
Siendo f inyectiva y sobreyect iva, resulta que f es biyectiva.Sólo fines educativos LibrosVirtual

177. 164 Capítulo 3: F unciones
COMPOSICION PE FUNCIONES
_________________________y
Dadas dos funciones f:A-B y g:C*E, si para xeA ocurre que y=f(x), en
tonces cada x determina una y. la que a su vez determina una zeE, esto es,
si x-Lyse habrá asociado entonces una ze£ a una xcA por medio de la
ecuación z=g(y)=g(f(x)J. Si designamos z=h(x), la ecuación h(x)=g[f(x) ] se
llama composición de f por g, ¡a que se denota por "gof" y cuya regla de co
rrespondencia es:
(gof)(x) = g[f(x)]
- gof = {(x,g[f(x)])\xeDom(gof)\
La ilustración gráfica siguiente nos proporciona un diagrama esquemático de
la composición gof:
Observaciones:
(1) Dom(gof) c Dom(f) - A
(2) Ran(gof)cRan(g)c E
(3) Ran(f)hDom(g) / ♦
(4) Dom(gof) = {jceA|.xcDon’t(’/M ~ f (x)^Dom(g) 1
(5) En la notación gof, debe aplicarse primero la función f y después la
función g.
Ejemplo 1. Dadas las funciones f=K (-2,0), (-1,— i), (3,1), (5,2)} y g-{ (-2, -1),
(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)) , hallar: fog y gof e ilustrarlas corno
aplicaciones.
Solución. Para fog, debemos conocer previamente el rango de g y el dominio
de f, esto es, Ran(g)=i-1,0,3,4, 5) y Dom(f)={ -3,-1,3,5) . luego:
3 .9 .6Sólo fines educativos LibrosVirtual

178. Sección 3.9: Funciones 165
Ran(g) (1 Dom(f)={-l, 3,51¿4> . Nos interesa los pares de g y f que tengan como
segundas y primeras componentes a -1,3 y 5, respectivamente, esto es:
(-2,-l)cg „ (-l,-4)cf - (-2,-4)cfog
i
________i
(0,3)eg ~ (3,l)ef * (O.l)tfog
t
__________i
(4,5)eg ~ (5,2)ef -> (4,2)cfog
•t
_______i
En forma similar para gof: Ran(f)={-4,0,1,2) y Dom(g)={-2,0,1,2,4) entonces
Ran(f) (1 Dom(g) = 10,1,21 j! <fr. Luego:
(-2,0)ef ~ (0,3)eg - (-2,3)zgof
i
_______í
(3.1)ef „ (1,4)eg * (3,4)egof
i
_______i
(5.2)ef ~ (2,0)eg -» (5,0)egof
■i ; i
fog = {(-2.-4), (0,1), (4,2)} y gof = {(-2,3), (3,4), (5,0))
Las figuras siguientes ilustran a las funciones fog y gof como una corres­
pondencia o aplicación.
9 f
Observaciones
(1) La api icación se debe hacer de derecha a izquierda, es decir, la fun­
ción de partida es la que está a la derecha de la notación "o".
(2) En fog, g es la función de partida y f la función de llegada.
En gof, f es la función de partida y g la función de llegada.
(3) En este ejemplo fogfgof. En general, la composición de funciones no es
conmitat iva.Sólo fines educativos LibrosVirtual

179. 166 Capítulo 3: Funciones
Ejemplo 2. Dadas las funciones g=l(3,8), (5,9), (8,4), (7,6), (10,5)},
h={(3,9),(5,12),(7,9),(8,7)}; hallar la función f tal que h=fog
Solución. Según la definición de composición de funciones: h(x)=f[g(x)j
Entonces, definamos h en cada par, esto es:
h(3) = f(g(3)j - 9=f(6) (6,9)tf
h(5) = f[g(5)) * 12=f(9) - (9.12)ef
h(7) = flg(7)) * 9=f(6) - (6,9)ef
h(8) = f[g(8)] - 7=f(4) * (4,7)cf
f = {(4,7),(6,9),(9,12))
Ejemplo 3. Sean f:N N|/Y*l=5cl y g:Z * Z\g(x)=2x-3 . Hallar gof y fog.
Solución. Dnpezaremos calculando los dominios en cada caso, esto es:
i) xtDom(gof) *-* xsDom(f) ~ /(x)eDom(g)
*-* xeN » i ’eZ
Como N c Z ■* x xzN, por tanto: Dom(gof)=N
i i) Entonces: (gof)(x) = glf(x)] = g(xl) = 2x*-3
Para fog: i) x*Dom(fog) xcDom(g) ~ g(x)tDom(f)
*- & Z - (2x-3)*N *- x*Z a- (2x-3'0)
xtZ ~ x>3/2 ~ x=2,3,4.. - Dom(fog)=H-ll\
ii) ( f o g ) M = flg(x)] = f(2x-3) = (2x-3)1 = 4x*-12x+9
£ 2 3 FUNCION INVERSA
____________________________________ y
Sabemos que toda función f:A ■* B es una relación, pero la relación
inversa no siempre es una función. Por ejemplo:
Si A={-2,-l,0,2} y 8=10,1,2,4,5} y f:A - B|/7x;^x:\ entonces:
f=l(-2,4),(-l.l),(0,0),(2,4)}
La inversa de esta relación es el subconjunto de BkA:
9={(4.-2),(1.-1).(0,0),(2,4)}
Se observa ^ue g no es una función de B en A, pues 2cB y 5cB carecen de imá
genes en A, además no se cimple la condición de unicidad, ya que 4 tiene un
par de imágenes en A.
Veamos otro caso; sea A={1,2,3,4), B={a,b,c,d } y f={ (l,a), (2,b), (3,c), (4,dj)
una función de A en B. La relación inversa es: g={(a,l),(b,2), (c,3),(d,4)}.
Se ve claramente que g es una función de B en A, llamada función inversa de
f. Los resultados de las composiciones:
gof = {(1,1);(2,2).(3.3),(4.4)} = 1A
fog = l(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)) = 1RSólo fines educativos LibrosVirtual

180. Sección 3.9: Funciones 167
son una consecuencia importante para establecer la siguiente:
Definición 3.4 Dada una función f:A - B, si existe una función
g:B ♦ A, tal que:
i) (fog)(x)=x , VxcB (fog = ¡B)
ii) (gof)(x)=x , VxeA (gof = 1A )
se dice que f es una función inversible y que la función g es la fun
ción inversa de f. Se denota: g=f * o g=f~1 ■
Ejemplo 1. Si A={2,3.5,7}, B={1,2,4 ,51 y la función f:A - B, f={(2,l),
(5,2),(3,4),(7,5)1, hallar, si existe, una función g:B * A, que
cumpla i) y ii) de la definición.
Solución. Por ii) se requiere que: (gof)(x)=g[f(x)]=x, VxeA
- (gof)(2) = g[f(2)] = g(l) = 2
- (gof)(3) = g(f(3)] = g(4) = 3
- (gof)(5) = g[f(5)l = g(2) = 5
* (gof)(7) = g(f(7)] = g(5) = 7
De aqui consideramos que: g=l(l,2), (4,3), (2,5), (5,7)} es una función B ■* A,
que cimple ii).
Además cimple i): (fog)(x) = flg(x)] = x , VxeB
En efecto: (fog)(l) = f[g(l)J = f(2) = 1
(fog)(2) = f[g(2)} = f(5) = 2
(fog)(4) = f(g(4)J = f(3) = 4
(fog)(5) = f(g(5)] = f(7) = 5
Por tanto, g existe y g = f* = 1(1,2),(4,3),(2,5),(5,7)\
Teorema 3.2 Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva.
Demostración. La demostración requiere de dos implicaciones
1) Si una función admite inversa, entonces es biyectiva.
Hipótesis: Sea f:A * B, tal que g:B A, siendo: gof=¡A y fog=Ig
Tesis: f es biyectiva.
a) Demostraremos que f es inyectiva.
En efecto: (1) Sean x x,xteA\f(xt)=f(x1)
(2) Aplicando g a cada extremo: g[f(xl)] = g[f(xt)]
(3) Por definición de composición: (gof)(x i) = (gof)(x2)
(4) Por hipótesis: gof=¡A IA (xi) = I^(x2)
(5) * xi = x 2Sólo fines educativos LibrosVirtual

181. 168 Capitulo 3: Funciones
(6) Por lo tanto, de i y 5: f es inyectiva.
b) Demostraremos ahora que f es sobreyectiva. VycB,3xeA¡f (x)=y
(1) Sea yefl
(2) Por definición de identidad: y=¡B (y)
(3) Pero por hipótesis: l^fog * y=(fog)(y)
(4) Por definición de composición: y=flg(y)]
(5) Es decir, por medio de ycB, hemos determinado x=g(y) en A, tai que:
f(x)=y.
En consecuencia, siendo f inyectiva y sobreyectiva resulta biyect iva.
II) Si una función es biyectiva entonces admite inversa.
Hipótesis: f:A ■* B es una función biyectiva
Tesis: 3g:B * A, tal que: i) (gof) (x)=x , Vxt-A, o sea: gof-1^
ii) (fog)(x)=x , VxeB , o sea: fog=lB
D
La demostración lo haremos en tres etapas:
a) Se trata de definir una función g:B * A que verifique las condiciones i)
y ii) de la tesis.
Cano f es sobreyectiva, o sea Ran(f)=B, entonces VyeB,3xeA¡f (x)-y
También f es inyectiva, o sea, si f (xi)=f(Xt) * Xi=Xt- De aqui y recordando
la definición inversa [(x.y)eg +-* (y,x)ef), definimos:
g:B * «■ f(y)=x (1)
Veamos si (1) satisface la definición de función.
En efecto, VxeB,3yeA\f(y)=x, y por ser f sobreyectiva, todo xeB proviene de
algún yeA¡g(x)=y (Primera condición de función)
Además, si f(yi)=f(yi) en B * yi=yz en A, y por ser f inyectiva:
Si f(yi)=x¡ ~ f(yi)-xz * g(Xi)=g(Xt) (Segunda condición de función )
b) Hay que probar que: gof=IA
En efecto, YbceA se tiene por definición de composición, por I)y por defi
nición de identidad en A:
(gof)(x) = glf(x)] = g( y) = x = IA (x) — gof=IA
c) Finalmente, demostraremos que fog=IB
Como fog:B * B, -VyeB, tenemos, por def i ni c i ón de composición, por I) y
por identidad en B:
(fog)(x)=f[g(x)) = f(x) = y = ¡¡¡(y) -* fog-IB
Ejemplo 1. Determinar si la función f:Q — • Q\f(x)=2x-3 es inversible, y si
lo es, determinar su inversa.
Solución. Veamos primero si f es biyectiva:Sólo fines educativos LibrosVirtual

182. Sección 3.9: Funciones 169
a) Si Xi,XitDom(f) * f(xt)=2x!-3 y f(Xx)=2xt-3
Si f(Xi)=f(xi) *■ 2xi-3=2xt~3 x,=x» f es inyectiva.
b) Para ycQ * y=2x-3, despejando x: x = -j,(y+3)
Api icando f: f(x) = f ( ^ j = 2(^~)-3 = y ; o sea. Ran(f)=Q
Por lo tanto, f es biyectiva e inversible.
Como (fof*)(x)=x - f[f*(x)J-x * 2f*(x)-3=x ~ f*íx> = ^
Ejemplo 2. Sean f:Q * Q¡f(x)=3x+2 y g:Q ■* Q\g(x)=2x+k, donde kcQ y se cum­
ple que; (fog)(x)=(gof)(x), VxeQ. Hallar: a) (fog)*(2) y
b ) (g*of*)(-4)
Solución. Siguiendo los pasos del ejemplo anterior verificar que f y g son
biyectivas.
Dado que: (fog)(x) = <gof)(x) * fíg(x)] = glf(x)] * f(2x+k)=g(3x+2)
-*■ 6x+3k+2=6x+4+k *-* k-1 * g(x)=2x+l
a) (fog)(x) = flg(x)] = f(2x+l) - 3(2x+l)+2 = 6x+5
Si y=Sx+S * x =2^ - - (fog)*(x) = —
Para x=2 - (fog)*(2) = - ^ =
b) f(x)=3x+2 * x = ¿y- - f*(x) =
g(x)=2x+l * x= ^y * g*(x> = £ T '
Entonces: (g*of*)(-4) = g*[f(-4j] = g*(-2) = -3/2
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
E JE RC I C I O 1. Sean las funciones f,g y h con dominio A -12,4,6,8) y conjun
to de llegada B=Í2,3,5,8}. Si f={(2,S),(4,S),(8,8),(6,8)i ;
g-{(2,2),($,3),(4,8),(8,S)i y h={(4,5),(2,8).(6,5),(8,2)), cuántos de lose
nunciados siguientes son verdaderos?
a) g es inyectiva b) f y g son biyectivas c) f y h son sobreyectivas
d) Ran(f)-Ran(h)=\2,3\ e) Dom(h)-Ran(h)=t _
Solución, a) En g: Dom(g)={2,4,6,8}=A y Ran(g)={2,3,5,8}=B. Para cada xeA,
a/yeB, luego, g es inyectiva. El enunciado es verdadero.
b; Ran(f)={3,5,8)fB, luego, f no es suryectiva, por lo que tampoco es biyec
tiva. Ran(g)=\2,3,5,8)=B, entonces g es biyectiva. El enunciado es falso
c) Por b) sabemos que f no es suryectiva. Ran(h)=i2,5,8lfB, h tanpoco es soSólo fines educativos LibrosVirtual

183. 170 Capitulo 3: Funciones
breyect iva. El enunciado es falso
d) Ran(f)-Ran(h) = 13,5,8)-12,5,8> = < 3 h El enunciado es falso.
e) Dan(h)-Ran(h) = i2,4,6,81-12,5,81 = 14,6) f ♦. El enunciado es falso.
Por lo tanto, sólo un enunciado es verdadero.
E JE RCI CIO 2. Sean f:Q * Q y g:Q * Q, funciones biyectivas tales que:
(fog)(2/5)=3!4, f(2/5)=4/5 y f*(3/4)=l/2. Hallar el valor
de (fog*)(l/2).
Solución. Si f*(3/4)=l/2 - f(l/2)=3/4 (f es biyectiva)
Pero f[g(2/S)J=3/4 - f(g(2/S))=f(ll2) * g(2/S)=ll2
Siendo g biyectiva, si g(2/5)=l/2 * g*(H2)=2/5
Luego: (fog*)(l/2) = f[g*(l/2)l = f(2/S) = 4/5
EJERCICIO 3. Sean f(x) = , f*(3)=2a-3b y f*(5)=3a+5b. Hallar:
f*(a-3b).
, _ . 3x-4a ^ 5y+4a _ . 5x+4a _ _ 15+4a
Solución. En f : y = — g— ♦ x = — * f*(x)= — j— * f*(3) = — j—
Entonces: 2a-3b = — . de donde: 2a-9b=15 (1)
f*(5) = ^±áfl * 3a+5b = iOZiS. ~ a+3b = 5 (2)
De (1) y (2) obtenemos: a=6 y b=-l/3
Por lo tanto: f*(a-3b) = f*(7) = = 59/3
E JE RCICIO 4. Si VxeQ, definimos f(x-l)=3x+l, hallar: f*[f*(4-x)J.
Solución. Si f(x-l)=3x+l * f(x)=3(x+l)+l=3x+4 ** x = -^(y-4)
Intercanbiando variables: f*(x) = -^fx-4/ * f*(4-x)=(4-x-4)=- -j-
Luego: f*[f*(4-x)) = f*(-x/3) - 4> = - j(x+12)
E JE RCICIO 5. Las funciones f y g están definidas por: f={(l,3), (-5,-1),
(7,2),(2,1)}, g=l(l,a),(2,b),(-5,a),(7,c)]. Entonces de las
siguientes afirmaciones cuáles son verdaderasf
a) (gof*) es inyectiva b) Ran(gof*)={a,b,c)
c) (gof*)(3)-(gof*)(2)=a-c
Solución. Tenemos: f*={(3,l),(-1,-5),(2,7),(1,2)) . Sea h=gof*
Entonces: h(3) = g[f*(3)J = g(l)=a (3,a )eh
h(2) = glf*(2)¡ = g(7)=c * <2, c)chSólo fines educativos LibrosVirtual

184. Ejercicios: Grupo 13 171
h(-l) = glf*(-l)J = g(-5) = a - (-l,a)eh
h(l) = g[f*(l)] = g(2) = b * (i,b)ch
gof* = i(3,a),(2,c),(-l,a),(l,b)\
a) Se observa que: (gof*)(3)=(gof*)(-l)=a y que 3f-l
Entonces, gof* no es inyectiva. La afirmación es falsa.
b) Ran(gof*) = {a,b,c). La afirmación es verdadera.
c) (gof*)(3)-(gof*)(2) = a-c . La afirmación es verdadera.
Por lo tanto, son verdaderas las afirmaciones b y c.
EJ ERC ICI O 6. Sean f:Q * Q y g:Q * Q, dos funciones tales que f(x)=2x-S y
g(x)=3x+2 y sea h=f*og, si a es tal que h(2a)=h(a+2), deter
minar el valor de a.
Solución. En f: y=2x-5 - x = j¡(y+5) * f*(x) = -|(x+5}
h(x)=<f*og)(x)=f*(g(x))=f*(3x+2) = j(3x+2+5) = j(3x+7)
Si h(2a)=h(a+2) -(6a+7) = ^[3(a+2)+7] , de donde: a=2
EJERCICIOS: Grupo 13
1. Las funciones f y g están definidas de la siguiente manera:
f=l(l,3),(-5,-l),(7.2)} , g= {(l,0),(2,b),(-5,a),(7,c)}. Hallar el valor
de verdad de las siguientes afirmaciones:
a) gof*={(3,a),(~l,b),(2,c)} b) gof* es sobreyectiva
c) (gof*)(x)=(gof*)(x<) * x-x'
2. Sean f(x)=xz y g(x)=ax+l dos funciones con dominio X c q apropiado para
que sean biyectivas. Si (f*og*)(3/2)=l/2, hallar (gof)(-2).
3. Si f:Q * Q y g:Q - Q son dos funciones tales que f(x-l)~3x+2, g(2x+3)=
4x+4, hallar (g*of)(x).
4. Sea f y g dos funciones con dominio XC.Q apropiado para que sean biyec­
tivas. Si f(x)=ax+l, con afO, y g(x)=xz+l. Si (f*og*)(5)=l/3, hallar el
valor de (fag*)(7).
5. Sea f:Q + Q definida por la ecuación f(x+3)=3x*2, hallar el valor de:
h 1
6. Sean f y g dos funciones biyectivas tales que (fog*)(3/4)-2/5, f(2)-2/5,
g(3/5)=2/5, f*(3j4)=2/S. Si A=(fog*)(2) y B=(g*of)(2), hallar A+B.Sólo fines educativos LibrosVirtual

185. 172 Capítulo 3: Funciones
7. Si g(x+3)=x*+9x1+27x y f(x)=g*(x)+33, hallar (fof)(37).
8. Dadas l a s funciones: f(x)=mx+2 m¿0 y g(x)=3x-2, se cumple: g*[f*(mx)
Hallar 2f(-l)-g(l).
9. Sean las funciones f,g y h definidas de Q en Q, todas biyect ivas.
Si f(x) = (x/2)-l, g(x)=ax y h(x)=2x+a, tal que: (fogoh)(x+1)-2x+3 hallar
el valor de (hog)(-l).
10. Sean las funciones: f={(2,1),(3,5),(4, 2), (5.8),( 6,1),(7, 4),(8,4)} y
g- {(2, 4), (3', 3), (4, 3,J, (5,1)' (6, 4) , (7, 6), (8, 6) ); s e a h la función con do
minio 11,2,4,5,8) tal que g=hof. Hallar h(l)+h(2)+h(4)+h(5)+h(8).
11. Sean A=ll,2,3}; B=ll, 2 13 ,4}, si f=l(3,l),(x,3),(2,3)} es una función de
A en B; g={(3,1),(y,z),(1,3)) es una función inyectiva de A en A;
h={(l,1),(2,w),(3,2),(4,2)) es una función suryectiva de B en A. Deter­
minar yz-(x+w).
12. Sean f y g funciones de Q en Q tales que: f(2x+l)=2x-l y g(x)=3x-a, con
a¿Q, donde (fog)(3)=(gof)(a-1). Hallar f(a).
*
OPERACIONES BINARIAS INTERNAS
____________________^
Dado un conjunto A n o v a c í o , s e denomina operación binaria interna a
toda a p l i c a c i ó n o función de c o n valores en A. Si denotamos * la aplica
ción, podemos escribir:
*:A x A - A
Si a eA y beA, el valor de la aplicación * sobre dichos elementos , tomados
como pares ordenados, será el resultado de la operación a*b, o s e a :
*(a,b) = a*b
Esto quiere decir que a cada par ordenado (a,b)eAxA, la api icación * le a
signa u n elemento, y sólo uno, a * b e A .
Ejemplo 1. La apiicación (+) y la muítipl icación (x) son operaciones bina­
rias internas en los conjuntos N,Z,Q,R; esto es:
+: Z + Z Z x: Z x Z Z
(a,b) ■* a + b (a,b) ■* a.b
(2,3) * 5 (2.3) ■* 6
son dos operaciones de igualdad en las que los números a~2zZ y b=3zZ, y la
3.10Sólo fines educativos LibrosVirtual

186. Sección 3.10: Operaciones Binarias Internas 173
surta a+b y producto a.b son las operaciones.
Obsérvese que a ceda par de números la operación le hace corresponder otro
número que es el resultado de ¡a operación. Los dos números forman un par
ordenado y por eso se llama operación binaria.
La división -f en Z es una operación binaria pero no interna en Z, es decir:
-f :Z * Z * Z no es una función o no está bien definida, pues para aeZ y bcZ
a:b no siempre está en Z. Asi: 2cZ y 3cZ. pero 2:3tZ.
La sustracción (-) es también una operación binaria pero no está definida
en todo N, pues si (4,6) * 4-6 i N
Ejemplo 2. En Q se define la operación interna: a*b=a+b-ab.
De (1) y (2) se deduce que: (a*b)*c = a*(b*c)
Observaciones:
(1) A una operación binaria se le llama también Ley de canposieión interna.
(2) Cuando * es una operación binaria en un conjunto A, se dice que * goza
de la propiedad de "clausura".
(3) Si * es una operación binaria en un conjunto A y existe un subconjunto
B de A con la propiedad de que si a.bsB -*■ a*bcB, se dice que B es cerra
do bajo la operación *.
Como A es subconjunto de A , entonces es cerrado bajo cualquier opera­
ción binaria definida en A, o bien, la operación * es cerrada en A.
(4) Por medio de tablas se pueden definir muchas operaciones entre números
y aún entre objetos que no son números, y hasta es posible inventar ope
raciones en cualquier conjunto, basta señalar cuál es el resultado para
cada par de números.
Por ejemplo, una operación binaria en el conjunto A- 0,1,2 es la operación
' definida por la tabla adjunta; donde para cada par ordenado (a,b), el re­
al Hallar: 2*(~3) y (5/3)*(1/2)
b) Verificar que: (a*b)*c = a*(b*c)
Solución. Aplicando la definición dada se tiene:
a) 2*(-3) - 2+(-3}-2(-3) =-1+6=5
b) (a*b)*c = (a*b) + c - (a*b)c = (a+b-ab)+c-(a+b-cb)c
= a+b+b-ab-ac-bc+abe
a*(b*c) = a + (b*c) - a(b*c) = a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)
= a+b+c-ab-ac-bc+abc
(
1)
(
2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

187. 174 Capitulo 3: Funciones
sultado a*b seencuentra en la intersección de la fila que comienza ena. y.
la columna quecomienza con b. Asi: *
012
0*0 = 0 0*1 =1 0*2 = 2 -
1*0 = 1 1*1 =2 1*2 = 0 001 2
2*0 = 2 2*1 =0 2*2 = 1
112 0
Es decir:
2 2 0 1
(0,0) * 0 (0,1) i1 (0,2)5 2
(1.0) i. 1 (1,1) i2 (1,2)i 0
(2.0) í 2 (2,1) 50 (2,2)5 1
PRO PIED AD ES DE L A S O PE R A C IO N E S B IN AR IAS
_______
Si * es una operación binaria en un conjunto A, es decir que * go­
za de la propiedad de clausura, se verifican las siguientes propiedades:
0B.1: a*b = b*a , -Va.beA (Conmutat ividad)
OB.2: (a*b)*c = a*(b*c) , Va,b,CcA (Asociatividad)
OB.3: aeeA|a*e - e*a - a , -VacA (Existencia del elemento neutro)
0B.4: Si A posee el elemento neutro e respecto a * , entonces:
3a' 1 A|a *a' 1=a~1*a=e , -VaeA
(Existencia del elemento inverso o simétrico)
Si en el conjunto A, se definen las operaciones binarias * y #, enton
oes:
OB.5: a*(b#c) = (a*b)i¡(a*c) , Va.b.ccA
(* es distribuí iva por la izquierda respecto a t)
OB.6: (a#b)*c = (a*c)i(b*c) , -Va,b,ccA
(* es distributiva por la derecha respecto a H)
OB.7: * es distributiva con respecto a t si se ampien 0B.5 y OB.tí
O B. 1 CONMUTAT IVI DAD
Sea A un conjunto dotado de una ley de composición interna *. Se di­
ce que * es conmutat iva si:
a * b = b * a, -Va.beA
Es decir, cualquiera que sea la pareja escogida (a,b)eAxA, el resultado de
operar a y b es independiente del orden en que se consideren éstos.Sólo fines educativos LibrosVirtual

188. Sección 3.10: Operaciones Binarías Intentas 175
Ejeajtlos:
(1) En N, Z y Q las operaciones de adición (+) y multiplicación (.) son con
mutativos, pues:
-Va.b; a + b = b + a
(El orden de los sumandos no altera la sima total)
■Va.b; a . b = b . a
(El orden de los factores no altera el producto total)
(2) La operación interna de sustracción en Z, no es conmutativa, es decir,
si acZ y beZ y afb ■* a-bfb-a
(3) La operación interna de división no es cormitativa en Q+, es decir, si
a,beQ+ ■* a.-b f b:a
Asi para 3,8oQ+ se tiene, 5:8 = -I y 8:5 = ■§ 4 f
O 0 O D
(4) Las operaciones de unión e intersección entre conjuntos son operaciones
internas conmutativas, pues:
A U B = B U A, VA,B
A n B = B n A, VA,B
(5) En el conjunto A={a,b,c,di se definen las operaciones * y # mediante
Determinar si son o no conmutativas.
Cuando una operación binaria está definida en A por una tabla, la conmutati_
vidad se aprecia en la misma tabla, ubicando los resultados: x*j c.Víx£ A . del
siguiente modo: Se traza D(A) (diagonal de A) y si los términos equidistan­
tes de esta diagonal son iguales, entonces la operación correspondiente es
conmutativa. Asi, por simple inspección notamos que * es conmutativa y f no
es conmutativa.
0 B . 2 : A S O C I A T I V I D A D
Sea A un conjunto dotado de una ley de composición interna *. Se
dice que * es asociativa en A si:Sólo fines educativos LibrosVirtual

189. 176 Capitulo 3: Operaciones Binarías
(a*b)*c = a*(b*c), Ya.b.ceA
cada vez que dos términos de la igualdad estén definidos.
E j e m p l o s :
(1) La suma y (a muít iplicación en N,Z y Q son asociativas; es decir:
(a + b) + c = a + (b + c), -Ya,b,c
(a . b) . c = a . (b . c), Va.b.c
(2) La resta en Z no es asociativa
(8-3)-2 = 5-2 = 3
(8-3)-2 t 8-13-2)
8-13-2) = 8-1 = 7
La división en Q no es asociativa.
(3) La unión e intersección de conjuntos son operaciones asociativas:
AU(BÜC) = (AUB)UC, VA.B.C
A 0(3 0 C) = (AOB)OC, VA.B.C
(4) La composición de tres funciones f.g y h es una operación asociat iva.
If o ( g o h ) ] (x ) = f l ( g o h ) ( x ) j = f [ g ( h ( x ) ) j = < f o g ) [ h ( x ) ] = [ ( f o g ) o h j ( x )
fo(goh) = (gof)oh
(5) En Q se define la operación * por: x*y = xy+x+y. Verificar si es asocia
t iva.
Debemos probar que Va.b.c Q: (a*b)*c = a*(b*c)
En efecto: (a*b)*c = (a*b)c + (a*b)+c (Def.*)
= (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c (Def.*)
= abe +ac+bc+ab+a+b+c (1)
a * (b*c) = a(b*c) + a + (b*c) (Def. *)
= a(bc + b * c) + a + (be + b + c) (Def. *)
= abe + ab + ac + be + a + b + c (2)
Por lo tanto, (1) y (2) muestran que la operación * es asociat iva.
0B.3: E LEMENTO NEU TRO 0 IDENTIDAD
Sea A un conjunto dotado de una operación binaria *. Un elemento e
de A se llama elemento neutro o identidad para * si:
a * e = e * a = a. Yac ASólo fines educativos LibrosVirtual

190. Sección 3.10: Operaciones Binarias Internas 177
E j e m p l o s :
(1) En N,Z,Q, dotado de la adición, O es el elemento neutro, pues:
a + 0 = 0 + a = a, Va
En N, Z, Q, dotados de la multiplicación, 1 es el elemento neutro, pues
a . 1=1. a = a, Va
(2) En Q se define la operación * por: a*b=a+b+ab. Verificar la existencia
del elemento identidad o neutral.
Dado que la operación * es conmutativa, es suficiente ver si:
e Q|a*e=a, Va , esto es:
a * e = a + e + ae = a + e + ae = 0 * * e=0 v a=-l
Como a es cualquier elemento de Q, entonces e=0 es el elemento neutro o
identídad.
(3) En el conjunto A={1,2,3,4} se definen las operaciones * y # mediante
las tablas:
*
1 2 3 4 # 1234
I 12 1 2 1 1 2 3 2
2 2 32 2 2 2 3 4 2
3 1 2 3 4 3 3 3 4i
4 4 3 43 4 2 2 3 1
Verificar la existencia del elemento neutro.
Cuando los resultados de una operación binaria se dan en una tabla, es muy
fácil detectar si existe o no el elemento neutro. En estos resultados se
busca una fila igual a la fila de entrada y una columna igual a la columna
de entrada. Si existen esta fila y columna, su intersección determina el e-
lemento neutro. Considerando este hecho para la operación * se tiene:
Observando la tabla de *, tenemos que e=3 es el elemento neutro para * en A
Se deja como ejercicio comprobar que se cunple la ecuación: a*e=a, VazA.
Los resultados de la operación t no reproducen ninguna fila y columna igua­Sólo fines educativos LibrosVirtual

191. 178 Capitulo 3: Operaciones Binarias
les a la fila y columnas de entrada respectivamente. Por lo tanto, en A no
hay elemento neutro para #.
0B.4: E L E M ENT O INVERSO O SIM ET R I C O
Sea A un conjunto dotado de una operación interna *, tal que admite
el elemento neutro e. tfrt elemento b en A se llama inverso o simétrico de a
en A, sí se cunple que: a * b = b * a = e
Es decir, b es un elemento que neutral iza al elemento a. Se denota: b=a
E j e m p l o s :
(1) En el conjunto N, cero es el elemento neutro para la adición, y como:
0*0=0, se tiene que el inverso de O es tanbién 0.
En los conjuntos Z y Q, cero es el elemento neutro, pues VaeZ ó VbcQ:
a+(-a)=(-a)*a=0, de aquí a' 1 se denota por -a y se llama el opuesto de a.
En N, 1 es el elemento neutro para la multiplicación y como 1x1=1, se tiene
que 1 es el elemento inverso de 1. No existe otro elemento que tenga inver­
so para la multiplicación; pues si: a.b=l * a=b=l.
Lo mismo sucede en Z. En cambio en Q, como 1 es el elemento neutro, todo e-
lemento aiO tiene inverso para la multiplicación, esto es:
entonces, si: a=2
a=-3 *
2(j) = (j)2 = 1
y (-3)(-j¡) =
(2) En el conjunto A={1,2,3,4} se define la operación *
por la tabla:
*
)(-3) = 1
1 2 3 4
1 2 1 3 2
2 1 (?) 3 4
3 4 3 2 1
4 2 4 1 2
Se tiene que el elemento neutro es e=2. La pregunta es
que elementos de A tienen inversos para * , es decir,
para que elementos de A las ecuaciones:
a*x=x*a=2
adniten la misma solución.
De la tabla obtenemos: 1*1=2
2*2 = 2
3*3 = 2
4*4 = 2
Tasbién: 1 * 4 = 2 y 4*1=2 * l'l='4 y 4~l=l
Por lo tanto, tos elementos 2 y 3 tienen un único inverso, mientras que i y
4 admiten dos inversos.
I-1 = 1
2~l = 2
3 ~ l = 3
4~l = 4Sólo fines educativos LibrosVirtual

192. Sección 3.10: Operaciones Binarías Internas 179
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Si en Q se define la operación * por: a*b=2a+ab+2b. Determi
nar el valor de verdad de cada una de las afirmaciones si-
3 4 77
guientes: a) "4 * 3 =
b) * es asociativa respecto de la adición c) 1 es la unidad de *
Solución, a) Por la operación *: * y = 2 ( + 2(~j
- M + 11
" 6 r 12
La afirmación es falsa,
b) Debemos probar que: (a * b) * c = a * (b * c)
(a * b) * c = (2a + ab + 2b) * c (Def. *)
= 2(2a + ab +2b) + (2a + ab + 2b)c + 2c (Def. *)
= 4a + 4b + 2c + 2ab + 2bc + 2ac + abe (1)
a * (b * c) = a * (2b + be + 2c) (Def. *)
- 2a + a(2b + be + 2c) + 2(2b + be + 2c) (Def. *)
= 2a + 4b + 4c + 2ab + 2bc + 2ac + abe (2)
De (1) y (2) se deduce que la afirmación es falsa. (a*b)*c # a*(b*c)
Según 0B.3: a * e = a
La afirmación es falsa.
c) Según OB.3: a * e = a 2a+ae+2e = a -* e = - i 1
EJERCICIO 2. En Q definimos la operación * por: a*b=a-b+2. Si a-1 es el
inverso de a bajo la operación *, hallar el conjunto solu­
ción de la ecuación: x*2~‘=5~l*x
Solución. Según OB.3: 3ee0|a*e=a -*• a-e+2=a * e=2
y por OB. 4: a*a~l=a~1 *a = 2
En la ecuación dada aplicamos la operación (S*x) y *2 por la izquierda y de
recha, respectivamente, de cada miembro de la igualdad:
(5 * x) * x * 2-¡ * 2 = (5 * x) * (5~l * x - 1) * 2
2 2
- (5 * x) * (x * 2) = 2*2* (S-x+2) * (x-2+2) = 2-2+2 (Def. *)
* (7-x) * (x) = 2
+ 7-X-X+2 = 2 +— x = 7/2
EJ ERCICIO 3. Consideremos en Q*=Q-{3) la operación * definida por:
a*b = a+b+ -|ab . Según esto, establecer el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones.Sólo fines educativos LibrosVirtual

193. 180 Capítulo 3: Operaciones Binarias
a) Va,beQ*, a * b = b * a c) 3.'eeQ*|a * e = a, VacQ*
b) Va.b.ccQ*, (a * b) * c = a * (b * c) d) VatQ*, a * =
Solución. a)b*a = b + a + ^ba = a + b + -|ab = a * b .'.Es verdadera.
b) (a * b) * c = (a+b+ ~^ab)*c = a + b + |ab + c + |(ac + be + abe)
= a + b + c + -^(ab + ac + be + jjObc) (1)
a * (b*c) - a* (b + c + jjbc) = a + b + c + -|bc + ■jfab + ac + ^abcl
= a + b + c + ■jjfab + ac + be + -|abcl (2)
De (1) y (2): (a * b) * c = a * fb * c) . L a afirmación es verdadera.
c) Si a*e=a -* a + e + ae = a e=0 v a=-3
Dado que aeQ-{3} * e=0, luego: a.'eeQ*. .'. Es verdadera
d) Según OB.4: a*a~l=e * a + a~l+ -|a.a~* = 0 «-»■ a"1 = - .'. Es falsa.
EJERCICIO 4. En el conjunto N de los números naturales definimos las si­
guientes operaciones: a*b=a*-b , atb=3a-bz , a&b=2a+3b
Si x*x=6 a yfy=-4, hallar el valor de x¿y.
Solución. Si a*b=al-b - x*x=xl-x=6 x=3eN o x=-2fN
Si a#b = 3a-b* y # y = 3y-y1 = -4 y=4eN o y=-l?N
Si a A b = 2a+3b * x a y = 2x+3y = 2(3)+3(4) = 18
*
EJERCICIO 5. En Q*=Q-{ 0 } definimos la operación o*b=3ab. Determinar los
valores de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones
a) * es conmutativa c) 3!.yeQ*|x * y = y * x, VxeQ*
1 4
b) * es asociativa d) El inverso d e r e s p e c t o de la operación * es -j-
Solución. a) b*a = 3ba =3ab -*■ a*b = b*a . .'. Es verdadera
b) (a*b)*c = (3ab)*c = 3(3ab)c = 9abc
a*(b*c) = a*(3bc) = 3a(3bc) = 9abc
La operación * es asociativa, luego, la afirmación es verdadera.
c) Si a*b-3ab * x*y=3xy * x=3xy +■* x=0 v y-1/3. Como x/0 * y=l/3
Luego, a'y=l/3eQ*, VxeQ* .'. Es verdadera.
d) Sea b~l el inverso de 1/4; según 0B.4: (l/4)*b~z= y (elemento neutro)
Entonces: 3(1 /4)(b~l) = 1/3, de donde: b ~ ‘=4/9. .*. Es falsa.
EJERCICIO 6. Entre conjuntos se define la operación * por: A*B=A‘ U B' pg
ra todo A y B en U. Establecer el valor de verdad de cada
una de las siguientes afirmaciones:Sólo fines educativos LibrosVirtual

194. Sección 3.10: Operaciones Binarias Internas 181
a) A'*A'=A b) (A*A)*(B*B) = A U B C) (A*B) * (A*B) = A O B
Solución, a) Por la operación *: A'*A' = (A')'ü(A')' =AltA = A .'. Es V.
b) (A*A)*(B*B) = ( A ' B A 1) * ( B ' U B ’) = A' * B' = (A')’U(B')'
= A u B .'.La afirmación es verdadera,
c) (A*B)*(A*B) = (A’ilB’) * (A’iiB1) = (A' U B ') ' U (A ’ U B ') ' = (A'ÜB')'
= [ (Ah B) ' ] ' = A O B .’. La afirmación es verdadera.
EJERCICIO 7. En A=il,2,3,4 1, se define una operación
*
1 2 3 4
* cuyos valores están dados en la tabla
1 1 2 34
adjunta. Hallar el valor de verdad de las siguientes a-
2 2 1 1 1
firmaciones:
3 311 4
a) La ecuación x*2=l tiene solución única.
4 4 2 3 4
b) Vbc.yeA se cumple: x*y=y*x c) (2*3)*[3*(4*1) 1=4
Solución, a) Para x=2, en la tabla vemos que: 2*2=1. También: x=3 -* 3*2=1
La solución de x*2=l no es única. .'. La afirmación es falsa.
b) Si trazamos la diagonal D(A), vemos que hay dos elementos equidistantes
de esta diagonal que no son iguales, esto es: (2 *-* 1) y (3 <-» 4)
Aqui: 4*2=2 y 2*4=1 - 4*2f2*4 ; 4*3=3 y 3*4=4 * 4*3 / 3*4 .*. Es F.
c) (2*3)*[3*(4*1)] = ,(1)*[3*(4)] = 1*4 = 4 . La afirmación es verdadera.
EJERCICIO 8. Sean A=í-l,0,l,2l y B=(3,1/2, l/3l tales
que A se define # por la tabla adjunta:
#-1 0 1 2
y en B se define * por: B*B * B -1 0 1 2 -1
(a,b) -*■ b 0 12-10
Si x=[(-l)-l#(2)-1]'1 e y=(3*l/2)*l/3 , halar en Q: x+y 1 2 -1 0 1
Solución. En la tabla se observa que la cuarta fila es
2-1 0 1 2
igual a la fila de entrada y la cuarta coturno igual a la colum­
na de entrada. Las dos se interceptan en el elemento 2, o sea, e=2.
Entonces, según OB.4: (-l)#(-l)“’l=2 y 2#2~x=2
En la tabla: (-1)#1=2 y 2#2=2 - (-l)'x=l y 2~l=2. Luego: x=[1Ü2]-I= r l=-1
Aplicando la operación * en y, se tiene: y = (l/2)*(l/3) = 1/3
EJERCICIO 9. Si definimos la operación * en Q-{1 } por: a*b=a+b-ab y si
a-1 es el inverso de a, hallar: 2~1*3~1.
Solución. Según OB.3: a*e = a + a+e-ae = a «-*■ e=0 v a=l
Como a=fl e=0 es el elemento neutro.Sólo fines educativos LibrosVirtual

195. 182 Capitulo 3: Operaciones Binarias
Luego, IJ|a*a~'=e a + o " 1- a . a -1 = 0 ■* a"* = -jry
Para a=2 * 2 ~ l= -jry = 2, y para a=3 ■» 3 “ *= =-j
2'**3-‘ = 2 + •§•- (2)(j) = j-
1, Sea * una operación binaria interna definida en Q por: a*b=(az-b) (b‘-a).
Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
c) 3ktQ\(l/k)(a*b) = (ka)*b
2. En Q se define la operación * por: a*b=ab+a-b. Hallar el valor de verdad
de tas siguientes afirmaciones:
3. En el conjunto A=il,2,3,4i se define una operación * por medio de una tg
bla tai que, los elementos de cada c o l i m a y cada fila son diferentes,
tiene a 4 como elemento neutro y cada elemento es su propio inverso. De­
terminar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
4. Definimos la aplicación * de A={fa,b)eQx|al>=0 ~ ab=l>, con valores en Q,
donde: *(a,b)=a*b=(a-b~l)~‘(b-a~l)~‘. Según esto, cuáles de las siguien­
tes afirmaciones son verdaderas?
a) a*b=b*a b) a*a=(ai ° p 1 c) Existe la solución de 2*(8+x)=(15+2x)
5. Si * es la operación definida en Z por: a*b=ab+b-a. Entonces de las si­
guientes afirmaciones, cuáles son verdaderas?
a) lacZ¡a*5=01 f ♦
b) * es conmutativa c) (a*a) + [a*(a+l>] + [a*(-l>] = 2a*
6. Sea Q**Q- 0 1 en donde se define la operación * por: a*b = -| + -j¡- Cuáles
de 1as siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) Si a*(2!3)=5 y b*3=l/S * a .b = -I5 /7
b) Va.b.ctQ*. a*(b*c)=(a*b)*c c) a*a = a •— a*=2
7. En Q se definen dos operaciones * y # por a*b=a+2b y a#b=2ab, V a .b e Q-
Hallar el v a lo r de verdad de las siguientes afirmaciones:
a) * es conmutativa b) 4*(3*l) = 32x252
a) Va.beQ, a*bcQ
b) * es asociativa
c) s.'eeQ, elemento neutro para *
d) Cada xeQ-il] posee inverso para *
a) (2*3>*(2*4) =2 b) * es conmutativa c) (3*2-‘)*3-1 = 2Sólo fines educativos LibrosVirtual

196. Ejercicios: Grupo 14 183
a) (a*b)*c = a*(b*c), Va,b,ceQ c) a.'e Q|a*e=e*a=a, ■V'a.b.cEff
b) at(b*c) = <a#b)*(a#c), Va,b,ceQ d) (j * j) # (3 * j) = 33/5
8. Sean » y # operaciones definidas en Z por: a*b = ' ^ r 1. a#b = ~jT- Según
esto, resolver ¡a ecuación: 2*(3jtx) = (xttll) *6
9. En el conjunto Q, definimos las siguientes operaciones: a*b - -|a+3b ;
a#b = 3a+ -jb ; aAb = 5a-3b. Sí x*x=9. yty-21, hallar el valor de xAy.
10. &i Q, se definen las operaciones a*b=aI+b, a#b=a-b*. Si c/0, hallar la
suma de las soluciones de la ecuación: ¡x*(xfc)](fc = 2[ (c*0)itx].
11. Se define la operación * en Q por: a*b=a+b-ab. Hallar el valor de ver­
dad de las siguientes afirmaciones:
a) El cero es el elemento neutro en * c) Si x*3=6 * X --3/2
b) (a+b)*(a-b) = a l+2a-2b2 d) * es conmutat iva
12. Si en Q definimos la operación * por: a*b=a(l-2b)+b. Se afirman:
a) Va.beQ, a*b=b*a
b) 0 es la identidad para * y todo acQ c) (l~l * 2)~l = 1/3
De tales afirmaciones, cuáles son verdaderas?
13. Si a,b son enteros, definimos la operación en zt: a*b=b-a y aib=2a+2.
Hallar el conjunto solución de: [ (x+3)*(x+2)]*(x+6) i. xi(x+2).
1 4 . £ h Qdefinimos la operación * por: a*b = a+b+^ab. Cuáles de las afirma
dones siguientes son verdaderas?
a) La operación * es conmutativa. c) 0 es el elemento identidad
b) La operación * es asociativa d) VaeQ, m*1 en Q
15. En el conjunto A= 11,2,3,41 definimos la operación * tal que 3 es la i-
dentidad, cada elemento es su propio inverso y los elementos (dé los re
saltados en una tabla) de cada fila y cada columna son diferentes. Sí a
es la solución de la inecuación (x*3)~l=(2*4~2)~l, hallar el valor de:
( (a*2)~,*(a~1*3~1) j~l.
16. Si definimos en Q la operación * por: a*b=a(l-2b)+b. De las afirmacio­
nes siguientes, cuáles son verdaderas?
a) 2 * l" 1 = 1/3 c) Ya,b,ceQ, (a*b)*c = a*(b*c)
b) (2x)*3 = 2*(3x) - oc=l
17. Si * es una operación en A={0,1,2] tal que su neutro es 2,' el único in­
verso de 1 es 0, el único inverso de 0 es 1, y Vx eA-{2 }, i*jc=x. HallarSólo fines educativos LibrosVirtual

197. 184 Capitulo 3: Operaciones Binarias
el valor de: [(0*1)-(0*0)] + ((1*1)-(1*0)] + (0*2)
18. Sea * una operación en Q. Si (2a+l)*(b-2)=2a+b+l, hallar: (~3)~‘*4.
19. Si definimos la operación * en Q por: a*b=a+b-ab y si a " ‘ es el inverso
de a, hal lar 2~‘*3~l.
20.Sea A=fa,b,c,d} y * la operación definida en A me * a b c d
diante la tabla adjunta:
a a b c d
Hallar: oc=[ (d*a~ ‘) *b~l j .
b bQ d c
c c d a b
d d c b a
21.Si A=(p,q,r,si, se define la operación * mediante
*
qrsP
la tabla adjunta. Cuántas de las siguientes afir­
q psrq
maciones son verdaderas? a) * es conmutativa
r sp q r
b) Existe un elemento identidad para *
s r q p s
c) Todo elemento de A tiene un inverso respecto
p q rsp
de *. d) Si (p*q)*x = s x=r
22.Sea A=ta,b,c,d,el y * una operación binaría asocia
*
a b c d e
tiva definida en A según el cuadro adjunto. Dado a a b c d e
bb c d e a
el sistema de ecuaciones: x*y-b , x*y~'=d
c c d e a b
Hallar el par ordenado: (x*d,y*c) d d e a b c
e e a b cd
23.En el conjunto A={p,q,r,s, t}, sea la operación *
*
Pq r s t
definida en A según el cuadro adjunto: P
rs iP q
Si (p*x'l)-l*(t*q-1) = t' 1
q
r
s
t
* P
p q
q
r
r
s
Hallar el valor de: x*r sPq rst
£q
r s tP
24. Sea * la operación en A = (0,2,4,6,81, definida por:
*
0 2 4 6 8
sí i(x-í*2-í) * (6*8r ' r1 = 2 04 6. 8 0 2
2 6 8 02 4
hallar el valor de x.
4 8 0 2 4 6
6 0 2 4 6 8
82 4 6 80
25.Sea * una operación definida en A={a,b,c,d,e) me­ *a b c d e
diante la tabla adjunta. Si de * se sabe que es ad e a b c
conmutat iva, posee elemento neutro y todo elemen­
b e a z c d
cay c d e
to de A tiene elemento inverso. Hallar: d b c deQ
il (y *:'‘) “ *aj-‘*i) "*
e X d e a bSólo fines educativos LibrosVirtual

198. 185
m INTRODUCCION
________________________________________ § |
La estructuración del sistema de los números reales se enfoca usual­
mente de dos formas; una de ellas es el método usado por Dedekind, que in­
troduce primeramente en forma axiomática el estudio de los números natura­
les, para extenderse luego a los números enteros, racionales, y en base a
éstos últimos definir (os números reales. La otra forma, define axiomática­
mente el sistema de los números reales y luego demostrar que los números ra/
dónales, enteros y naturales son subconjuntos de los números reales. En es
te libro usaremos la última forma.
4 . 2 D E F I N I C I O N A X I O M A T I C A D E L O S N U M E R O S R E A L E S
Se llama sistema de números reales a un conjunto no vacío R do
tado de dos operaciones internas, lltmadas adición y multipl icación,
denotadas por:
(*): 8 * 8 * 8 ( . ) :
R x R ■* R
(a,b) * a+b (a,b) * a.b
y una relación de orden mayor, denotada por " > ”, que satisface los
axiomas siguientes:
1. A X IOM AS PARA LA A D IC ION
A.l: Si azR y bcR •* (a+b)eR (Clausura)
(La swia de dos números reales es una operación cerrada)
A.2: a + b = b + a , -Vo.be R (Conmutatividad)
A.3: (a + b) + c = a + (b + e), -¥a,b,ce R (Asociatividad)Sólo fines educativos LibrosVirtual

199. 186 Capitulo 4: Números Reales
A. 4: 3.'0eR|a + O = O + a, VazR
(Existencia del elemento neutro aditivo)
A.5: VazR, 3'(-a;eR|a + (-a) = (-a) + a = O
(Existencia del elemento inverso aditivo)
2. AXIOMAS PARA LA M U L TIP LIC ACI ON
M.l: Si azR y bzR * (a.b)zR (Clausura)
(El producto de dos números reales es una operación cerrada)
M.2: a.b = b.a, Va.bzR (Conmutat ividad)
M.3: (a.b).c = a.(b.c), Va,b,czR (Asociat ividad)
M.4: 3;jeR|a.J = 1.a = a, VazR
(Existencia del elemento neutro muít iplicat ivo)
M.5: VazR-10),s! (— )zR\a(í) = (-)a = 1
a 1 a a
(Existencia del elemento inverso muítiplicativo)
3. AXIOMAS DI STR IBUTIVAS (Axiomas del factor común)
Si a,b,ceR, entonces
D.l: a(b + c) - a.b + a.c
D.2: (b + c)a - ba + ca
4. AXIOMAS D E IGUALDAD
Para a,b,czR, se tiene:
I.I: Dicotomía: a = b o a i b
1.2: Reflexividad: a - a
1.3: Simetría: Si a = b * b - a
1.4: Transí t ividad: Si a-b ~ b=c -* a=c
1.5: Unicidad de la Adición: Si a=b ■» a + c = b + c. VczR
1.6: Unicidad de la Ktultipl icación: Si a=b a.c = b.c, Va.bzR
5. AXIOM AS DE ORDEN
0.1: Ley de Tricotomía.
Para dos números aeR y bcR. uno y sólo uno de los siguientes enuncia­
dos es verdadero
a < b t a = b , a > b
(Distribuí ividad por la izquierda)
(Distribut ividad por la derecha)Sólo fines educativos LibrosVirtual

200. Sección 4.3: Teoremas sobre la Adición 187
"a es menor que b" , "a es igual a b" , "a es mayor que b"
0.2: Ley Transitiva
Si a < b * b < c + a < c
0.3: Leyes de Monotonía
a) Si a < b + VceR, a + c < b + c (Consistencia Aditiva)
b) Si a<byc>0 + ab < be 'l ,. ■ , • . . ,
y I (Consistencia Muítiplicativa )
c) Si a < b y c < O + ab > be J
0.4: Existe un conjunto R + , tal que R +c R, llamado conjunto de números rea­
les positivos, el cual satisface las siguientes propiedades:
a) Si atR+ y beR+ * (a+b)cR* y a.bzR+
b) Para cada afO: a£R+ ó -acR+, pero no ambos
c) O f R+
6. L: EL A XIOMA DEL SUPREMO
Si S es un conjunto no vacío de elementos de R superiormente acotado,
entonces S tiene un supremo en R.
Este último axioma nos garantiza que los números reales R incluyen los núme
ros racionales Q y que se puede establecer una correspondencia biunívoca en
tre los puntos de una recta y los números reales.
A continuación, haciendo uso de los axiomas, probaremos algunas de las pro­
piedades del sistema de los números reales y veremos también sus api ¡endo­
nes en el álgebra elemental.
Q ) TEOREMAS SOBRE LA ADICION
________________________
Teorema 1. El elemento neutro aditivo (e=0) es único.
Danostración. Según A.4: 3.'eeR|a+e = e+a = a, VacR
Supongamos que existe otro elemento neutro aditivo e'cR. En­
tonces, tenemos que probar: e-e'
(1) En efecto: por A.4: a+e = a
(2) En particular, si hacemos a=e' + e'+e = e
(3) Pero, por ser e' elemento neutro aditivo + a+e' = e
(4) Ahora, si hacemos: a=e + e+e' = e
(5) De 2 y 4 se ti ene: e = e ' + e = e ' ■* e = e '
Lo que demuestra la unicidad del elemento neutro para la adición en R.Sólo fines educativos LibrosVirtual

201. 188 Capítulo 4: Números Reales
Definición 4.1 El único elemento neutro para la adición en R se
llama cero, se escribe O, de moao que:
YaeR: a+0 = 0+a = a
TEOREMA 2. Dado aeR, el inverso aditivo es único.
Demostración. Supongamos que b y b' son los inversos aditivos de a en R.
Probaremos entonces que: b=b’
En efecto, según A.5: a+b = b+a = O y a+b'= b'+a = O
(1) Partiremos escribiendo: b = b + O (A.4)
(2) + = b + (a + b ’) (A. 5)
(3) - = (b + a) + b' (A.3)
(4) * = O + b' (A.5)
(5) + b = b' (A.4)
Lo que demuestra la unicidad del inverso para la adición en R.
Definición 4.2 Para cada azR, el inverso aditivo de a se llama el
opuesto de a, se denota -a, de modo que:
VacR: a+(-a) = (~a)+a = O
TEOREMA 3.
Demostración.
Ley de cancelación para la adición:
Para los números a,b y c eR , se cumple: a+c = b+c * a=b
En efecto:
(1) a+c = b+c -*• a+c+(-c) - b+c+(-c) (1.5)
(2) + a+[c+(-c)] = b+[c+(-c)] (A.3)
(3) +a+0=b+0 (A.5)
(4) - a = b (A.4)
Corolario. Para números a y beR, se cumple
a + b = O + b = -a
Danostración. En efecto: (1) Si a+b=0 * (~a)+(a+b) = (~a)+0 (l.5)
(2) + l(-a)+a]+b = (-a)+0 (A.3)
(3) + O + b = -a (A.5 y A.4)
(4) * b = -a (A.4)
TEOREMA 4. Para cada aeR, se cumple: -(-a) = a
Demostración. En efecto, por la definición 4.2: VaeR: a+(~a) = O
y por el Corolario del T.3: o = -(-a)Sólo fines educativos LibrosVirtual

202. Sección 4.4: Teoremas Sobre la Multiplicación 189
TEOREMA 5. Para los mineros a y beR, se cumple:
-(a + b) = (-a) + (-b)
Demostración. En efecto, partiremos de I Axioma de reflexividad): a = a
(a+b) + [(-a)+(-b)] = (a+b l(-a)+(-b))
= [a+( + [b+(-b)¡ (A. 3)
- (a+b) + [(~a)+(-b)] =0+0 (A.5)
- l(-a)+(-b)] = -(a+b) (Cor. del T.3)
-(a + b) = (-a) + (-b)
Nota. Obsérvese que los axiomas A.l al A.5 se refieren a la adición. Exis­
te otra operación sobre números reales que no está incluida
eocplíc i tómente en estos axiomas, a saber, la sustracción. Esta operación se
puede definir en función de las propiedades ya estudiadas.
Definición 4.3 Sean dos númerosatR y beR. Se define la diferencia
de a y b como la suma de a con el inverso aditivo de
b. Esto es:
a -b = a + (-b), -Va,beR
TEOREMA 6. Para los números a,b,c y deR, se cumplen las siguientes pro-
pi edades:
a) (a-b)+b = a e) a=¡) y c=d ^ f a+c = b+d
b) a-(b+c) = (a-b)-c L a-c = b-d
c) a-b = c-d + a+d = b+c f) a - (-b) = a + b
d) (a-b)+(c-d) = (a+c)-(b+d) g) -O = O
f J J TEOREMAS SOBRE LA MULTIPLICACION
________________
TEOREMA 7. El elemento neutro muí tipl ¡cativo (e=l) es único.
Demostración. Supongamos que e y e' son dos elementos neutros muítiplicati
vos de a en R. Probaremos que e=e'
(1) En efecto, por M.5: ae = a
(2) En particular, para a=e'cR + e ’e = e'
(3) Por ser e ’ elemento neutro, entonces: a.e' = a
(4) En particular, para a=e ■* e.e' = e
(5) Por tanto, de 2 y 4: e = ee' = e' -*■ e = e'
Lo que demuestra la unicidad del elemento neutro multiplicativo.Sólo fines educativos LibrosVirtual

203. 190 Capítulo 4: Números Reales
Definición 4.4 El único elemento neutro para la muítipl icación en R
se llama uno o unidad, se denota 1, de modo que:
VaeR: a.1 - 1.a = a
TEOREMA 8. Dado adt, afO, el elemento inverso multiplicativo de a es úni
co. .
Demostración. Supongamos que b y b' son elementos inversos muít iplicat ivos
de a en R. Probaremos que b=b'.
En efecto, según M.5: a.b=b.a=l y a.b'-b'.a=l
(1) Partimos de: b = b.l (M.4)
= b.(a.b') (M.5)
= (b.a).b' (M.3)
= 1 . b' (M.5)
- b = b' (M.4)
Por lo tanto, queda probado la unicidad del elemento inverso muí t ipl icat ivo
Definición 4.5 Para cada aeR-10), el inverso de a para la multipU
cación, se llama inverso muítipl icativo o recíproco
de a, se denota a ' 1 o Ha, de modo que:
VacR- { 0a .a' 1 = a " 1. a = 1
TEOREMA 9. Propiedad cancelat iva para la muítipl icación.
Para los números a.b y cdt, se cumple: a.b = a.c, a¿0 ■* b=c
Danostración. En efecto: (1) a.b = a.c -* ( a . b ) . a ~ ‘ = (a.c).a'1 (1.8)
(2) - (a.a").b = (a.a >).c (M.3)
(3) - l.b = l.c (M.5)
(4) - b = c (M.4)
TEOREMA 10. Para a cR- (0 ( y bcR. se cumple:
a.b = 1 «• b = a~*
Demostración. En efecto, como ato -* existe o"1
(1) Luego, si ab - 1 *-» a ' V a b ) = a~ l(l) (1.6)
(2) ♦-» (a~l.a).b = a*1 (M.3)
(3) (l).b = a-* (Al. 5)
(4) *■* b = a ~ x (M.4)Sólo fines educativos LibrosVirtual

204. Sección 4.4: Teoremas sobre la Multiplicación 191
TEOREMA 11. Para cada afO en R, se ampie: (a~')~l - a
Demostración. En efecto, dado que afO * (a~l)a = 1
y por el Teorema 10: a - = (a~l)~l ** (a~l)~l = a
TEOREMA 12. Si a,b,xeR, con afO, entonces la ecuación ax=b tiene solu­
ción única: x=a~‘.b
Demostración. En efecto■ (1) ax=b ** a~1(ax) = a~‘(b) (1.6)
(2) (a~l.a)x = a~l.b (M.3)
(3) 1.x = a~l.b (M.S)
(4) <-► x = a~‘.b (M.4)
Como a ~ l es único (T.8), se tiene que a~l.b es único, por lo que el valor
de x esiá únicamente determinado por a~l.b.
TEOREMA 13. Para a,bcR se cumple: (a.b)~¡ = a~l.b~l, a W C
Demostración. Probaremos que: (a.b)(a~l.b~l) = 1
En efecto: (1) (a.b)(a-l.b-‘) = (a)(a-1)(b)(o-i) Qi.3)
(2) = (a.a-l)(b.b~‘) (i.,.3)
(3) (a.b)(a~l.b~x) =1.1=1 (ii. 5)
(4) Pero por M.S: (a.b)(a.b)'x = 1
(5) De 3 y 4: (a.b)(a.b)~l=(a.b)(a~l.b'1) (1.4)
(6) Por tanto: (a.b)~l = a~l.b-x (T.S)
Definición 4.6 Definición de División de números reales
Dado dos números a,beR. Se define el cociente de a en
tre b, como el producto de a con el inverso multiplicativo de b. Esto
es: -? = a.b~‘, Va.beR
b
TEOREMA 14. Para los números a,b,ccR, se cumplen las siguien­
tes propiedades.
a) a.O = 0.a = O , Va d) a(-b) = -(ab) = (-a)b, Vab
b) (b-c)a = ab - ac , Va,b,c e) (-a)(-b) = ab , Va.b
c) -a = (-l)a , Va f) Si ab = O +-*■ a=0 b=0
Demostraciones, a) a.O = 0.a = O
En efecto: (1) a.O = a.O + O (A.4)Sólo fines educativos LibrosVirtual

205. 192 Capitulo 4: Números Reales
a.O = a.O + [a+(-a)J = (a.O + a) + (-a) (A.5 y A.3)
= (a.O +a.l) + (-a) = a(0 + 1) + (-a) (M.4 y D.l)
= a. 1 + (-a) = a + (-a) (A.4 y M.4)
- a.O = O (A.5)
Por lo tanto: a.0=0 y por A1.2: a.O = 0.a = O
b) En efecto: (b-c)a = a(b-c) (M.2)
= ab - ac (D.l)
c) En efecto: a + (-l)a = 1.a + (-l)a = [1 + (-l)]a (M.4 y D.2)
= 0.a = O (A.5 y T.14a)
Luego, si a+(-l)a=0, significa que (-l)a es el inverso aditivo de a:
.. -a = (-l)a
d) En efecto: i) a(-b) = a[(-l)b) (T.14c)
= [(-l)a]b = (-l)ab (M.3 y M.2)
= -ab (T.14c)
ii) Demostraremos que: a(-b) = (-a)b
En efecto, de i): a(-b) = -ab = (~l)(ab) (T.14c)
= [(-l)a)b = f-a)b (M.3 y T.14c)
f) La demostración consta de dos impli cae iones:
(1) Si a.b=0 * a=0 v b=0
En efecto, si a=0, el teorema queda demostrado.
Si a?0 ■* 3a~1\ab=0 * a~'(ab) = a'1.0 (1-6)
- (a~‘ .a)b = O (M.3 y T.14a)
l.b = O - b=0 (M.5 y M.4)
Luego, si ab=0, uno de los factores, por lo menos, es necesariamente
cero.
(2) Si (a=0 v b=0) - ab=0
En efecto, si a=0 * ab=0
si b=0 -»• ab=0
Por lo tanto, de (1) y (2): a.b = O +*■ a=0 v b=0
Nota. Este teorema se usa frecuentemente para resolver ecuaciones cuadráti­
cas por el método de factorización, cuya aplicación lo veremos más a-
delante.
TEOREMA 15. Para los números a,b,c y d en R, se cumplen las siguientes
propiedades:
a) (b/a)a= b, si a40Sólo fines educativos LibrosVirtual

206. Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 193
f> fii = f • s,‘
c/d
^ 3 APLICACIONES DE R EN EL ALGEBRA
Hasta aquí, nuestro objetivo era conocer los axiomas de adición, mul­
tiplicación y cociente, y los teoremas sobre propiedades del sistema de nú­
meros reales. Ahora el énfasis en las aplicaciones de aquellos axiomas y
teoremas; esto es, el uso del sistema de los números reales. Trabajaremos
nuevamente con elementos del conjunto de los números reales R y supondremos
que R es un campo ordenado completo y, por lo tanto, que los axiomas acepta
dos y teoremas demostrados son válidos. Mostraremos como algunas de las re­
glas y métodos del Algebra pueden manejarse a la luz de los axiomas para el
sistema de los números reales.
E S I OPERACIONES DE ADICION MULTIPLICACION Y COCIENTE
EJEMPLO 1. Simar: 9x-5 y -4x+2
Solución. Aplicaremos los axiomas de adición y distribución procediendo de
la siguiente manera:
(1) (9x-5) + (~4x+2) = [9x+(-5)j + (~4x+2) (Def. 4.3)
(
2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
= 9x + l[(-5)+(-4x+2)]}
= 9x + l((-4x)+(-5)] + 2}
= (9x + (~4x)j + ((-5)+2]
= [9+(-4)]x + (-5+2>
= 5x + (-3)
= 5x-3
(Prop. de la suma)
(A. 3)
(A. 2)
(A.3)
(D.2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

207. 194 Capítulo 4: Números Reales
Observación. Nuestro propósito es efectuar las operaciones como éstas
rápida y fácilmente. El paso (5) indica que la sima se debe
realizar simando coeficientes de términos semejantes.
Por ejemplo sumar: -2x¡+7x*-x y 4x3-8x2+x-6
Entonces: (~2xs +7x*-x) + (4x*-8x%+x-6)
- l(-2)+4]x5 + t7+f-S;]x* + t(~1)+1]x + (-6)
= 2x’-xz-6
EJEMPLO 2. Demostrar que: a + a = 2a
Demostración. En efcto: a + a = 1.a + 1.a (M.4)
= (1 + l)a (D.2)
= 2a (Sima en N: 1+1=2)
EJEMPLO 3. Demostrar que: -0 = 0
Demostración. En efecto:
(1) Supongamos que a=0 (Hipótesis Auxiliar)
(2) Pero según A.4: a + O = a
(3) Entonces: 0+0=0 (Hip.Aux.)
(4) También por A.5: a + (-a) = O
(5) Entonces: O + (-0) = O (Hip.Aux.)
(6) De 3 y 4: O + (-0) =0+0 (1.4)
(7) Por lo tanto: -0=0
EJEMPLO 4. Demostrar que: 1 i O
Demostración. £>i efecto:
(1) Supónganos que: 1 = 0 (Hipótesis Auxiliar)
(2) Por 1.2 (reflexividad): a = a , -VaeR
(3) a = a.1, VaeR (M.4)
(4) a = a.O, VaeR (Hip.Aux.)
(5) a = O , VaeR (T.14a)
De aqui se deduce que R es un conjunto unitario formado por el elemento 0.
Esto es una contradicción, pues sabemos que R consta de más de un elemento;
luego, la hipótesis auxiliar es falsa; en consecuencia: 1 J O
EJEMPLO 5. Demostrar que: a-(b-c) = (a-b)+c
Demostración. En efecto:
(1) a-(b-c) = a + [-(b-c)j (Def. 4.3)Sólo fines educativos LibrosVirtual

208. Sección 4.5: A plicaciones de R en el A lgebra 195
EJEMPLO 6.
Demostración.
EJEMP LO 7.
Demostración.
EJEMP LO 8.
Demostración.
(2) a-(b-c) = a + l(-l)(b-c)] (T.14c)
(3) = a + [f-l)b - r-ljc] (T.14b)
(4) = a + [-b - f-c>] (T.14c)
(5) = a + (-b+í-(-c)l) = a + (-b+c) (Def.4.3 y T.4)
(6) = [a + f-bj] + c = (a-b)+c (A.3 y Def.4.3)
Para números a,b,c,d en R, demostrar que:
= £ f • M y V O
En efecto:
( V = (o.b~>)(c.d~‘) (Def. 4.6)
(2) = ( a.c)(b-l.d'1) (\t. 3 y M. 2)
(3) = (a.c)(b.d)~l (T.13)
(4) = ~ (Def. 4.6)
Para números a,b,c,d en R, demostrar que:
= ¿ 4 , bfO , c+0 . d*0
cid b.c
En efecto:
(D ^ = ffjpi = (a.b l)(c.d-'T' (Def. 4.6)
(2) = (a.b-')(c-‘.d) (T.13 y T.11)
(3) = (a.d)(b~l.c-') (M.3 y M.2)
(4) = (a.d)(b.c) '* (T.13)
(5) = (Def. 4.6)
Para números a,b,c,d en R, demostrar que:
£ ♦ £ = - . b*o . dto
b d ba
En efecto:
(!) f + ^ = a í>"‘ + c . d-1 (Def. 4.6)
(2) = (a.b~l)(d.d-1) + (c.d'1) (b. b'1) (M. 4 y M. 5)
(3) = ( a .dX b-' .d1) + (b.c) (b~ ‘ .d~‘) (M.3 y M.2)
(4) = (a.d + b.c)(b~'.d~l) (D.2>
(ó) = (a.d + b.c)(b.d)'1 (T.13)
(6) = Q '<V d b C (Def. 4.6 )Sólo fines educativos LibrosVirtual

209. 196 Capitulo 4: Números Reales
Haciendo uso de los axiomas de la adición y multiplicación de números
reales, efectuar las operaciones indicadas, describiendo los pasos dados y
escribiendo los resultados en la forma más simple.
1. (12x)f +3x* y-4z? ) + (-10x^7 Sxfy-a? )
2. (x'-x*+l) - (x'+2x*+l) + (3x'-3x*-2)
3. (2xy+yz+2xz) - [(-2xy-yz+xz) - (xy+2yz-xz )]
4. 5a+3b-(5a-b-[2a-8b-(3a-4b)] - (2a-b)}
5. (2x+l)(x-3)(x+3)
6. 5x-x{2-x(3x-2) + [7-(2-x)]\
Haciendo uso de los axiomas de la adición y muítipl icación de números
reales, demostrar que:
7. (a + b)(c + d) = ac + ad + be + bd 12. Si atO -► (a~l.b)a - b
8. Si a=b y c=d -► a+c = b+d 13. 3a + 5a - 8a
9. Si a=b y c=d + ac = bd 14. (a + b) 2 = a* + 2ab + b1
21. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones lineales:
15. Si di¿O - ■£ + - = ^
d a a
16. Si ato y btO - (%)~l = —
b a
11. Si btO y ctO * = f
17. Si ato y btO ■* (ab)(a~l + b ~ l) = a + b
18. Si btO y dtO » *- a.d = b.c
al 5x-(3x-7)-[4-2x-(6x-3)] = 10
b) x-(3x - ^ ) = j(2x-7) - |
e) a2(x-a)+b2(x-b) - abx
xtO
a-x + b+x _ 2
b a
n m
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

210. Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 197
n POTENCIA DE UN NUMERO REAL
Definición 4.7 Si neN y í¡eR, entonces bn, llamada n-ésima potencia
de b, representa el producto de n factores iguales
a b, esto es:
bn = b.b.b
.......b
en donde, el exponente n indica las veces que se debe repetir la ba
se b como factor.
TEOREMA 16. Si a,beR y'm.ncM, e n t o n c e s :
m
v m n m+n .. a m-n ,
a) a .a = a d) — — = a , aiO
Q
* 1 y J71 t 7*1 /IFÍ
b) (a ) = o n
„ „ e) (-j- )n =-2- , btO
v / » .n n • n o . n
c) (a.b) = a .b b
Demostración. En efecto:
a) am .an = (a.a.a
...........)(a.a.a ) (Def. 4.7)
m factores de a n factores de a
= a>a.a a a.a.a
..........a (Asociat. extendida)
^ NP" 1 / ^ V" *
m factores de a n factores de a
= a.a.a a (Unión de conjuntos dis juntos)
(m+n) factores de a
m n m+n
.. a .a = a
, .
y f?i »n m m m ni ^p» « a i \
b) (a ) = a .a . a ........a (Def. 4.7)
n factores de am
= a • • • * ! (Parte: a))
n simandos de m
= a001 = a”"1 (Mult. de núm. nat. como simas repetidas)
c) (ab)n - ¿(ab)(ab)
........(ab)t (Def. 4.7)
n factores de ab
= (a.a.a
........a)(b.b.b........b) (Conmutat ividad)
1 1 v i.— ' * ^
n factores de a n factores de bSólo fines educativos LibrosVirtual

211. 198 Capítulo 4: Números Reales
Mediante algunos ejemplos veremos como deben ser manejadas las leyes de los
exponentes para simplificar expresiones algebraicas.
EJEMPLO 1. Efectuar: E = (2x1)(3xy1)(x1y)1
Solución. E = (2xz)(3xyz)(x"yz) (T.16 b y c)
= 6(x1.x.x")(yt.y1) (M.2 y M.3)
= 6(x2+1+4)(y2+2) = 6x’y" (T.16 a)
Qriv)7 ^
EJEMPLO 2. Efectuar: E = ( y lz
-2alb*
solución. E - (T.16e y T.16c)
(-2a1b ’l* (-2)1(a1)1(b*)z
_ 9x'y1z"
4a"b*
Nota. (-x1* debe interpretarse como (-1.x)1 de modo que al usar el Teorema
16c se tiene: (-x)1 = (-1.x)1 = (~l)1(x)1 = 1.x1 = x1
Si no existe el paréntesis, el signo menos no resulta afectado por el expo­
nente. Asi por ejemplo -x1 no significa (-x)1.
»
jx+m «n-m „n+3
EJEMPLO 3. Hallar el valor de: E =-— —
2 .2
2 (n-Hn)-t-(n-m)+(n+3) ,3n+3
Solución. E = 2(2n+l)+(n-2) = ' p í T T (T.16a)
_ 2 (3n+3)-(3n-l) - 2" - 16 (T.16d)
EJEMPLO 4. Simplificar: E = — Ü L ) 1*
301x35*x6'
Solución. Al decomponer cada término de E en sus factores primos y usar el
T.16c en cada caso, se tiene:
24 = 8x3 = 2 * x 3 3 0 1 = ( 2 x 3 x 5 1 * = 2 * x 3 2x 5 l
1 45 = (2 x 71* = 2 * x 7 * 3 55 (5x7)’ = 5 * x 7 *
15* = (3x51* = 3*x5* 6* = (2x3)" = 2"x3"
E = ( 2*x3x2*x7*x3*x 5* jio 2 tx3*x5*x7* ,
2*x31x51x5*x7*x2*x3' 2 ‘x3*x5*x7* )
de donde: E = 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

212. Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algébra 199
Nota. Ciertos casos de multipl icación se presentan con tanta frecuencia
que vale ¡a pena tomar una regla adecuada que permita efectuar men­
talmente por visualización estos productos. Entre los productos o identida­
des notables podemos citar los siguientes:
IN.l: (a+b)(a-b) - a 3-b3 (Diferencia entre dos cuadrados)
J (a+b)3 = a 1 + 2ab + b 3
1N.2:
IN.3:
^ (a-b)3 = a 3 - 2ab + b 3
j (a+b)3 = a3 + 3a 3b + 3ab3 + b 3
[ (a-b) 3 = a5 - 3a3b + 3ab3 - b 3
(El cuadrado de un binomio)
(El cubo de un binomio)
1N.4: (ax + cy)(bx + dy) = abx3 + (ad + bc)xy + cdy3
(Producto de binomios con términos comunes)
IN.S: (a + b)(a3 - ab + b 3) = a 3 + b 3 (Sima de cubos)
IN.6: (a - b)(a‘ + ab + b 1) = a 3 - b 3 (Diferencia de cubos.)
IN.7: (a + b)3 + (a - b)1 = 2(a3 + b 3)
1N.8: (a + b)3 - (a-b)3 = 4ab
(Identidades de Legendre)
EJEMPLO 5. Suponiendo que 2x=a+b+c, simplificar la expresión:
E = (x-a)3+(x-b)3+(x-c)3+x3
Solución. E = (x3-2ax+a3) + (x3-2bx+b3) + (x3-2cx+c3) + x 3 (IN.2)
= (x3+x3+x3+x3 ) - (2ax+2bx+2cx) + (a3+b3+c3) (A.3)
= 4x3 - 2(a+b+c)x + (a3+b3+c3) (D.l y D.2)
= 4x3 - 2(2x)x + (a3+b3+c3) (Dato)
= 4x3 - 4x3 + (a3+b3+c3) = a 3+b3+c3
EJEMPLO 6. Simplicar: E = (x+a)(x-a)(x3+ax+a3)(x3-ax+a3)
Solución. E = (x+a)(x3-ax+a3)(x-a)(x3+ax+a3) (M.3)
= (x3 + a 3)(x3 - a 3) (IN .5 y IN.6)
- (x3)3 - (x3)3 = x 3 - a ‘ (IN.l y T.16b)
EJEMPLO 7. Demostrar que: (x-y+z)3 + (x+y-z)3 = 2x3+2(y-z)3
Demostración. En efecto:
ix-y+z)2 + (x+y-z)2 = (x-(y-z)]2 + lx+(y-z))2 (A.3)
= 2[x2 + (y-z)2 ) (IN.7)
= 2x 2 + 2 (y-z)2Sólo fines educativos LibrosVirtual

213. 200 Capitulo 4: Números Reales
EJEMPLO 8. Demostrar que: {a 2- b 1+ 2 a b ) 2+(a 2- b 2 -2 a b ) 2=2( a 2+ b 2) 1
Demostración. En efecto:
(a2- b 2 +2 a b ) 2 + (a2- b 2- 2 a b ) 1 = l (a2- b 2)+ 2 a b ] 2 + l (a 1- b 2)- 2 a b ) 2
= 2[(a2-b2)2+(2ab)2]
= 2(a'-2a2b2+b'+4a2b 2)
= 2(a''+2a2bx+b'') = 2( a2+b2)2
EJ EMPLO 9. Hallar el valor de E=x2+y2+z2-xyz, para: x = -g + g
b c
y * - + -
c a
2 = — ‘ + —
a cc b
Solución. Efectuando por separado los cuadrados se tiene:
b a
- x 2+y2 +z2 = 6 + (§* + + fjr * f r ; + $
De otro Jado: jcyZ = (g + ¿ ;í| + | ; f|
de donde: xyz = 2 + fgr + + fgi + gi) + f~r +
Finalmente, restando (l)-(2) obtenemos: E=4
(x2 - í*
2 _ i_,x , JL ^y*
EJEMPLO 10. Simplificar: E =
Solución. £ =
rtx (x - i ) f . ( x - ± ) y-x
" y + z>(y x-
1, ,y , 1 ,x-y
--=J r • (y +-=.)
* E =
, 1 ,x, 1 ,x , 1 ,y-x
(x + — ) (x — ) .(x — y
y y y
, 1 ,x , 1,y
(x + — ) .(x — y
y y
(1N.7)
(IN.2)
(IN.2)
(1)
(2)
/ i >y, i , i >*-y / . i \X , i ¡y
(y + -jr (y . fy +-; y (y +—> . (y - -y
xyjL±\xf2LzJ:\y
xy - 1
x
¿ y + 1¡x (xy - y
.y. . _ . y
“ ( S L L 1 ) X ~ \ S L 1 J
= ( X. )X , X. }y = ( X . yX+y
y y y
(1N.1)
(T.lSc y T.16a)
(T.lSe y T. 16e)
(T.lóh y T.16a)Sólo fines educativos LibrosVirtual

214. Ejercicios: Grupo 16 201
EJERCICIOS: Grupo 16
En los ejercicios siguientes, efectuar las operaciones indicadas usando pa­
ra ello las leyes de los exponentes.
j (-2xy)3(3abz)l(-ax*y') g f 1*2 - 3 5 0 a '1)
(-3ab*)z(2xy1)í U ( 7 n )
? 5 <2n)
3.
ynn + m J \ 2n j ' ^n+2 _ ¿n+l _ ¿n
i(ñ+y . ioy-x . i o»*1 2n+4 - 2 (2n)
20y+J . 10Xy+1 2(2n+i)
4 ■ 123 » 981 x 753 . g
nn a c i jtnnZ I » f77— H n~iTt
80 » 45 » 490 I 1 + x 1 + x
5. (2n)(15n+1)(62~n)(51~n) 10.
3n - j¡(3n )
11. Simpl ificar: E =
n-1 n-1 n-1 . .
x .x .x .... hasta (n+2)
n-3 n—3 n—3 , . . ..
x .x .x .... hasta (n+4)
12. Simplificar: £ = • • • ■ h««la (n+3) factores
n+1 n+1 , . , , . „
x .x
........... hasta (n+1) factores
13. En los ejercicios siguientes, efectuar abreviadamente los productos in­
dicados, dando el resultado en su forma mas simple.
a) (x1+2x1y+2xy1+ys)Cx1-2x1y+2xyl-y 3)
b) (l+xt->/3)(r'3+x,-l)(x^-2/3-4)
c) (x,-4xz+8x-8)(x>+4x1+8x+8)
14. Suponiendo que 2a-p+q+r, demostrar que: 4(a-q)(a-r) + (q-r)1 = p 1
15. Demostrar que: x(x+l)(x+2)(x+3) + 1 = (x1+3x+l)'
16. Si x=a+b+ , y = 2ííl + , demostrar que (x-a)‘-(y-b)1 = b2
4(a+b)
17. Si a+b+c-0 , simplificar:
',-2 ,_2 , . a+b - - -Sólo fines educativos LibrosVirtual

215. 202 Capítulo 4: Números Reales
18. Si x=2+s'2, hallar el valor de E=x2+x~2
19. Hallar el valor de:
E = (8a3-xl)(8a3+x2 )-(2a+x2 )(2a-x2 )[2a(2a+x2)+x1' ][4a2-x2(2a-xl)]
20. Si x-x~l=l, demostrar que: x 2+x~2=3 y que: x 3-x~3=4
21. Si 2p=a+b+c, demostrar que:
(p-a)3+(p-b)3+(p-c)3+3abc - p 3
22. Si x+y+z=0, probar que: x 3+y3+z3 = 3xyz
23. Efectuar abreviadamente los productos indicados
a) (x+2a)(x~2a)(x2+2ax+4al)(x2-2ax+4a2)
b) (s/x+l)(x+l)(/x+l)('S5:-l)(x'+x2+l)
24. Si x+y=m , x-y-n , expresar x s+y3 en términos de m y n.
25. Demostrar que si: a 3+b3=4 y a+b-2, entonces: (a-b)2=4/3.
26. Demostrar que: (a+b+c)2+(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 3(a2+b2+c2)
27. Demostrar que si: -g = (ab+cd)2 = (a2+c2)(b2+d2).
28. Para números reales a,b y c, demostrar que:
a2+b2+c2 = ab+ac+bc * a = b = c
29. Para números reales a,b,c y d, demostrar que si:
(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2 = 4(ab+bc+cd) ■* a=b=c=d
30. Si x=a+d, y-b-Kt, z=c+d, demostrar que:
x 2+y2+z2-yz-zx-xy = a2+b2+c2-bc-ca-ab
31. Simplificar: E = (a+b+c) 2-(a-b+c)2 + (a+b-c)2 + (-ai-b+c)2.
32. Si a+b=l, probar que: (a2-b2)2=a3+b3-ab.
33. Si a-x2-yz, b=y2-zx, c=z2-xy, probar que: a2-bc=x(ax+by+cz).
34. Si xy=ab(a+b) y x 2-xy+y2-a3+b3, probar que: ~ ~ 0
35. Si 2s=a+b+c, demostrar que: (s-a)3 +(s-b)3 + (s-c)3+3abc = s3
36. Si 2s-a+b+c, demostrar que:
2(s-a)(s-b)(s-c)+a(s-b)(s-c)+b(s-a)(s-c)+c(s-a)(s-b) = abe
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

216. Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 203
( 2 5 ) RAICES Y RADICALES
___________________________________^
La operación inversa a la potenciación se denomina radicación (ex­
tracción de la raiz); mediante esta operación, si están dadas la potencia
(c) y su exponente (n), se busca la base (x) de la potencia. Por ejemplo:
(1) Qué minero real (base) elevado al cuadrado (exponente) da 9 (potencia)?
Se sabe que: 9 = (3)(3) - (3)z = 9
pero también: 9 = (-3)(-3) ■* (-3)1 = 9
de modo que las bases 3 y -3 son llanadas raíces cuadradas de 9.
(2) Qué número real elevado al cuadrado da -4?
Vemos que no existe tal número real, porque:
(-2)(-2) = (-2)* = 4
y (2)(2) = (2)1 = 4
En ambos casos la potencia es positiva
(3) Qué número real al elevarse al cubo da -8?
Se sabe que: -8 = (-2)(-2)(-2) = (-2)’ = -8
Luego, -2 es la única raiz cúbica de -8.
Los ejemplos anteriores nos indican que podemos obtener cero, una o dos raí
ces n-ésimas de un número real c, dependiendo de que n sea impar o par y de
que c (potencia) sea positiva o negativa.
Si designamos n/c para representar al número x que al elevarse a la n-ésima
potencia da c, tenemos que asegurarnos que si n es par, c no sea negativa.
Definición 4.8 Si c,x¿R, n^N, entonces x se llama raiz n-ésima prin
cipal de x, se denota x=nfc, si y sólo si x n=c, bajo
la condición de que si n es par, entonces x>0 y c>0.
Formalmente:
jc=,V c xn =c, n par ■* c>0, x>0
Una consecuencia de esta definición es que: ('Vcf = c
Por ejemplo: (‘<?25)3 = 25
(/2)' = l(/2)*V = (2)' = 16
Hay que tener siempre presente que una raiz principal par es un número pos¿
t ivo.
Por ejemplo: /(-3)2 f -3, pero como (~3)2=9 ■* /(-3)2 = / 9 = 3
Notamos que si c< O / c 2 = -c, puesto que -c es el número positivo cuyoSólo fines educativos LibrosVirtual

217. 204 Capítulo 4: Números Reales
cuadrado es (-c)l=c2 , y si d 0 ■» /c*=c; de modo que:
_ f c, si c £0
- |c| = J
^-c, si c<0
Ejemplos: (1) Si acR * /25a2 = |5a|
(2; Si aeR - /16a' = 4a2
/c2 = |c| =
No es necesario usar las barras de valor absoluto, ya que 4a 2 es positivo,
con la condición de que si n es par, c debe ser positivo.
Ejemplos: (1) (125)2/> = C^125)2 = (S)2 = 25
(2) (-9) 1/ 2 no está definida porque (S-9)2 no existe.
(3) (-8)'/2 = (2<^8)' = (-2)' = 16
Con frecuencia es necesario alterar la forma de una expresión radical para
obtener una expresión más simple o más útil. Esto se puede hacer utilizando
las definiciones dadas y el siguiente:
TEOREMA 17. Sea a,beR, neN, y ningún radicando es negativo si n es par.
Entonces:
VaeR.
Definición 4.9 Si ceR, neN, entonces c ^ n = n/c, con la condición
de que si n es par, d O
Ejemplos: (1) 4ll1= /4 = 2 (En estos casos se omite el índice 2)
(2) 27I/5 = s/27 = 3
(3) (-16)1/2 no está definida en R puest que S-16 no existe.
(4) (-12S)2/‘ = V - 1 2 5 = -5
Definición 4.10 Si ceR, rrfiZ y neZ, entonces
mln ,n r~ ,m n / m
c = ( Je) = J e
a)
b) 'J/a.b = n/a.rV b e)
c)Sólo fines educativos LibrosVirtual

218. Sección 4.5: Aplicaciones d e R en e l Algebra 205
Este teorana se puede usar en los siguientes tres tipos de simplificación
de radicales:
I) Simplificación del radicando y de radicales.
II) Racional ización de denominadores.
III) Simpl if icación del índice.
I) SIMPLIFICA CIO N DEL RAD ICANDO Y D E R A DICALES
EJEMP LO I. Simpl ificar el radicando de /96
Solución. Descomponemos el radicando en dos factores de modo que uno de es
tos factores sea un cuadrado perfecto, esto es:
/96 = /i6x6 = (/l5)(/6) (T.l7b)
= 4/6
EJEMPLO 2. Simpl ificar el radicando de >/-81
Solución. Aoui, uno de los factores del radicando debe ser un cubo perfec­
to, es decir:
= */(-27)( 3) = {,/z27)(i/3) (T.l 7b)
= -3.*/3
EJEMPLO 3. Cambiar a una forma que no contenga fracción en el radi­
cal.
Solución. En este caso multiplicamos el numerador y denominador del radi­
cando por un número tal que el denominador sea un cuadrado per­
fecto, esto es:
¡Ti ¡11*6 Í55 /S5 / S 5
20 Y 20x5 y 100 /¿¿¡fi 10 (T.17c)
lm m n z >
1? " ~ T * n
EJEMPLO 4. Simplificar: E = /—
----------------
' H ~ n
Solución. Ordenando convenientemente los términos del nunerador se tiene:
- 3( Y )zn + 3( -J )nl - n s /(y - n ) ’
£ = ./—
--------3—-----2--------------- (IN.3)
~3~n f 1 ~ n
/ í f - n)z = || - n| (T.17a)Sólo fines educativos LibrosVirtual

219. 206 Capítulo 4: Números Reales
EJEMPLO 5. Hallar el valor de E = /12 + /12 + /l2
Solución. Elevando’al cuadrado: E* = 12 + Sl2 + /12 + ....“
de donde: E2=12+E + E*-E-12=0 -* £=4 v £=-3
Dado que £>0 £=4
EJEMPLO 6. Si x,y,zzR, todos positivos, simplificar:
E = /x+y+z+ /z(2x+2y+zf - /x+y+z- /z(2x+2y+zj
Solución. Sean: A=x+y+z , B=S2xz+2yz+z1 ■* £ = /Á+B - /A-B
Elevando al cuadrado: E* = (A+B)-2/(A+B)(A-B) +(A-B)
de donde: £2 =2A-2/Á2-B2 = 2(x+y+z) - 2*'(x+y)1 = 2(x+y+z)-2\x+y\ (T. 17a)
Pero como x e y son pos iti vos, entonces: |x+y| = x+y
Luego, El-2z * £ = /2l
Nota. Dos o varios radicales se denominan semejantes si se diferencian só­
lo por los coeficientes, pues tienen idénticos radicandos e iguales
índices del radical o no difieren en nada. Por ejemp.lo, son semejantes:
3/2 y -5/2 ; a/aE y c/ab
La suma y resta de radicales semejantes se efectúa del mismo modo que la su
ma y resta de números racionales semejantes.
EJEMPLO 7. Simplificar: E = /l2 - 2/27 - 3/48 + 2/75 + 3/JÓ8
Solución, E - 4/3 - 2/9»3 - 3/16*3 + 2/25*3 + 3/36*3
- E = 2<'J - 6/3 - 12/3 + 10/3 + 18/3 = 12/3
Los ejemplos que siguen señalan otras técnicas para operar con radicales,
especialmente haciendo uso de las identidades notables.
EJEMPLO 8. Efectuar y simpl i f ¡car: E=(l+S6+*'3+S'2)(l+/6Í-/3-''1)
Solución. Ordenando convenientemente se tiene:
E = t(l+/6)+(/3+S2)]t(l+/6)-(/J+/2)] = (l+/6)l-(/3+/2)1 (IN.l)
•* £ = (1 +2/6+6)-(3+2/6+2) = 2 (IN.2)
EJEMPLO 9. Si a = */5S . ’/FS!? .’/448 y b = V/I08 + 10 - *//Í08 - 10 ,
haI lar a+b.
Solución, a = ’/s*7 ,‘/27*7 ,’/64*7 = (2.,/7)(3.,/7)(4.i/f) = 168
En b, supongamos que: m = >/’'108+10 y n=‘/s708-10 * b=m-nSólo fines educativos LibrosVirtual

220. Ejercicios: Grupo 17 207
Elevando al cubo: b 3 = m ,-3mtn+3im1-n3 = m 3-n3-3mn(m-n) = m 3-n3-3mnb
- b3 = (/ÍÓ8+10)-(/ÍÓ8-10) - 3.3A^ÍÓ8+I0)(/Í08-I0).b = 20 - 3(3/l08-100)b
+ b3 = 20-6b - (b-2)(bl+2b+10)=0, de donde: b=2
Por lo tanto: a+b=168+2=170
EJEMPLO 10. Simplificar: E = a> ~ b * , s ¡ a = ) y b (* ~ /5>
/ 5 ¿ ¿
o . l /f r- (a-b)(a3+ab+b*) 2 , , 2
Solución, a-b = 25 + E = —
--- = a +ab+b
25
Entonces: E = + ^(l+/5)(l-2j) + (— j b * = jí(l+/5)2 + -/5)1]+1^(l-5)
- E = -4l(l+/5)3 + (1-/5)1) - 1 = -|[2(l+5;] -1=2
EJERCICIOS: Grupo 17
En los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones indicadas.
Simpl if icar cada respuesta util izando las definiciones y teoremas usados en
esta sección.
1. 7 / ñ b - 4/320 + 3JSo - 5¿ 8 0 0 3. 1 0 ^ 5 - 1 2 / 1 6 / 3 - J,$5/4 + 9/25/3
2. ~ ( 3/l35) + ~ ( 3/Tj32) + / ( 3/T/4) 4. 3 f ± - ^ 2 7 - +Z75 + 11$+
5. ( a * b ) / % * - (a+b) / g + (2a-2b) / X
6 . l f i Z + 3 b l A . l ^ r
a 1 4 Y 4a a
7. 21/2/3 - 5/4/5 + 6/25T6 - 10/16/5 + —^45/4
8. ^ ( S á + •'b)(/5 + ' 3 ) ( / ^ -f^)(220 - 212)(a-b)
9. (3 + /§ - 23 - 22)(3 - /6 + 2j - 22)
10. Si a=í(l+2l) y b=j(l-2j), hallar: E = a'-b‘+a2+b2.
11. Si a=(j 3/T35)(3/8d)(3/32Ó) y b= 3Á + 5 /2 + 3//-5/T, hallar: a-b.
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

221. 208 Capítulo 4: Números Reales
II. R A C I O NAL IZA CIO N D E D E N O M I NAD ORE S
Se denomina racional ización a la operación por la cual se tranforma
el denominador irracional de una fracción a otra racional equivalente.
Los ejemplos que siguen señalan las técnicas de los diferentes casos que se
presentan para racional izar denominadores
J-frr'G
EJEMPLO 1. Racional izar el denominador de E =
-----
3-f/íT
Solución. Cuando se trata de racionalizar denominadores irracionales que
tienen ¡a forma: a ± / ~b v /a ± / b , se multiplica numerador y
denominador de la fracción por el factor racional izante: a+ /b v /a + /b ,
llamado conjugado del denominador. Con esto se logra una diferencia de cua­
drados que permite eliminar el radical del denominador. Esto es:
£ _ (7 -2 /6 ) ( 3 - /6 ) _ 21 -7/6-6/6+ 2(/6) _ 33-13/6
(3 * /6 )(3 -/6 ) (3 )l - ( / 6 ) 1 3
EJEMPLO 2. Racionalizar el denominador de: E =
--A q .
‘1+a* + / 1-a2
_ . _ ( V j + a 1 - yj/a1 )(/l+ñl - / 1-a1) ( A +a* - / 1-a f
Solución. E = ■ - = - .
-'■—
(/1+a1 + / 1-a* )(/!+<? - ^ 1-a1) /l + a l / - (•'l-a f
_ 1 + a* - 2 S(l+a* )(l-a2) + 1 - a* _ 1 - / 1-a'
(1+a1 )-(l-a*) a 1
/ J
EJEMPLO 3. Racionalizar el denominador de: E =
'3 - / 5
Solución. En estos casos se agrupa los términos del denominador dándole la
forma de un binomio.
+ E _ /2 _ A(/2 +^3 +A) _ '/2(Sl+>r3+>r5)
(/2+/3)-/5 1(/2-S3)-^U(/2 h^)+^)] (S2+S3)*-(S5)1
__ S2(S2-h/3+fS) _ (/I +/3V5; _ ( / I V3+^5)/3 _ 3+S6+/T5
2+2/6+3-S 2/3 2(S3)(/¿) 6
O
EJEMPLO 4. Racional izar el denominador de E =
----—
Solución. Para racional izar denominadores que tienen la forma: 3/a t 3/b
se utilizan las identidades:Sólo fines educativos LibrosVirtual

222. Ejercicios: Grupo 18 209
(‘/a + */b)(’/a* - ’>l'ab + *Sb*) = a + b
íVff - */b)(*/^ + J/Sb + *4?) = a - b
donde: *^á* 4 5»^b + *«/bí" son ios factores racionalizantes.
Entonces: C ^ ** + >/(5)(2> + ^ - 3< ' ^ 5 ^
ís/5" - V2) f Vi7 + */(5)(2) + s^ ’1; S - 2
De donde: E = */25 + */l0 + •■'T
EJERCICIOS: Grupo 18
fii io s ejercicios siguientes, racionalizar cada teto d e los denominadores
o efectuar las operaciones indicadas suponiendo que todas las variables y
radicandos son positivos.
1.
3.
2/5 + 7/j
5/3 - 4/2
1
(3-/5)* (2+^5)
(2-/3) (7-4/3)
3/3-5
{8-4/5 \ L !3/5-7 \
4' l /T-i r \ 5+zr J
7+3/5 + 7-3/1
6.
7.
8.
9.
10.
7-3/5 7+3/5
*Q+X + Sq-x
a>x> 0
r a + I - / Q - X
/48 + / w - /125
/ T i + / T U S - / T S o
2/a+b + 3/a-b
2/a+S - /a-b
x + /x*-l /x^i
x - / x -1
/3-/5
/15-/45+/12
/x*-l
11.
12.
13.
14.
15.
18.
17.
18.
(Z5-2)f/5-3)(/45+9)
( 5-2/5 )(/2-/S)
3
/5 + /T - /i
(/3+5)(Z5+2)
/2 + /3 + /S
11
2 + /3 + /5
1
________
2 - /2 + /3 - / W
*/J - 1
*/3 + 1
5
2 - */3
5-/5
(7+/5)(/$-2)
f 7/5+15 \ / / 5 -2 \
V /5-1 ) \ 3 + / 5 )
1/3+/2 \ . Í7+4/3 \
' \ 2 - J 5 r \ M lSólo fines educativos LibrosVirtual

223. 210 C apítulo 4: N úm eros R eales
21. Simplificar:
. •'l+x 1-x . . 1 1
a) — + -; = =
------- b) — ---— - + ---- — —
Sltx - /1-x '1-x2 + x-1 ’/9+í>'6+,/4 l + ,*2+3'4
22. Si a- ^(1+^5) y b= (1-/5), hallar el valor de E =
23. Efectuar: E = — ^ + 3 + f3 ^
3+'
24. Simpl ificar: E -
a -b
/5-2
3+/3 ¿3-3
1 b - 3*'b" - a + V a
25. Simpl ificar: E =
V a2 + 3/ b2 + 3^ab a - b
n + 2 + Sn2-4 n + 2 - /n2-4
n + 2 - Sn1-4 n + 2 + /n 2-4
26. Hallar el valor de: E - J x . , para x =
/T^c - /J-x b 2+l
„ ... .... „ / t T T / ¿ I - 1
27. Simplificar: E = J
------ - /------
' •''5" - 1 ' + 1
/T-/? J'T+J'o
28. Si x = e y = — —
- ; hallar el valor de E = 3x2-5xy+3y2.
/3+S2 y3-•''2
29. Hallar el valor de E = x I +4x~2, cuando x=2+SI.
111. SIM PLIFICACION DEL INDICE
La simpl if icación del índice de una raíz se efectúa haciendo uso,
además del teorema 17 y de la definición 4.10, de la homogenización de radi
cales.
La homogenización de radicales es una operación mediante el cual se trans­
forma radicales de distinto índice a radicales homogéneos (igual índice), y
que consiste en hallar el mínimo común múltiplo de los índices (común índi­
ce), luego dividir entre cada índice original de las raíces y el resultado
muít iplicar por el exponente correspondiente a cada radicando.
EJEMPLO 1. Homogenizar los radicales: Sx , 3>'x2 , '■''x3
Solución, m.c.m(2,3,4)=12. Dividimos, el común índice 12 entre cada índice
de los radicales: 12:2=6 , 12:3=4 , 12:4=3. Estos resultados se
multiplica por los exponentes correspondientes a cada radicando:Sólo fines educativos LibrosVirtual

224. Sección 4.5: A plicaciones d e R en el A lgebra 211
6*1=6 , 4*2=8 , 3*3=9
luego, los radicales homogéneos son: ll/S* , 12/x* , lt/x’
EJ EMP LO 2. Simpl ificar el índice de: E = 6^625aix'ly i
Solución. E = ‘/ i 5 * q V > ‘ = ^ ( l S a x ^ ) ' 1 = ’/l5 ar*y*
EJEMPLO 3. Simplificar y racionalizar: E = - ■■ PocZy * ■
Solución. Hemogenizando los radicales se tiene: m.c.m(2,3)=6
-* k = _ s J a* x* y* _ « fx'y' _ « / ox4y 4
V a 'x V V a V v ' V a 5 V a 6
a x V *
E J EM PLO 4. Simpl ificar: E
Solución. La expresión dada se puede escribir como una sucesión de produc­
tos indicados de ía siguiente manera:
E = ,/5r . = V ^ . lv £ r .*’/£r . (T.2 7e>
liomogenizando los radicales: m.c.m. (3,9,27)=27
■* E = 1,/xlt.xt.xt = <T. 1 7a y T.16a>
EJEMP LO 5. Simplificar: E = 3x 5 ‘ ‘ 4 / 1
> / Ll_ o í
y Í3x>7 y /.Ir»'*f3x j s y (3x) 5 y C3x; 7 r <’3x > ’
Solución. Siguiendo el procedimiento de ejemplo anterior se tiene:
E = (3x) */(3x)~*. t‘/(3x) "5. * ,/(3x)-’’. *1#/('3x.r9
Común índice: m.c.m.(5,20,6,120) = 120
- £ = í3x>ll4/Í3xpT.11,/ W ::rr. ,I'’4 ^ r ^ - ^ '/p ír 7
= Í3x> ll,/í3x;-l,i = f3x; 2' / í 3 x r ” = í3x>í3x;-“ / 2'Sólo fines educativos LibrosVirtual

225. 212 Capitulo 4: Números Reales
EJERCICIOS: Grupo 19
En los ejercicios siguientes, efectuar y simplificar las operaciones indica.
das, suponiendo que todas las 'variables y radicandos son positivos.
1. ,S¿S6a'míín t
2. /xf-.'/xt.'M
'xy*
6.
x-. . /x *. */x
3.
'Z&y
4. 1^ . ’*'xr V 5 :
nÁ.n/^5.rx. ^x. rx ...” radicales
8.
9.
/ i / z a ñ / a m r * / n f i / ñ ñ
nJ a n . í / a" 2 n/ a n \ . .
10. Dadas las siguientes afirmaciones:
p; 2.*z/t/ f + 3. */* */7 - */ST7 ? = 1’/ v y
q: ('.¿TltoV - tfa>*'*; r: = /Tkc
1 + d - x I)"l/í
Hallar el valor de verdad de ¡a proposición:
x (p ~ q) ~ l(r « p) v ql
22. Sean las afirmaciones, p: Sa.'fa.'fa - a.ll/a
2/6-5
x ' r' /2 - / J
Hallar el valor de verdad de la proposición:
[(p * q) « r ♦* ^p] v [fp v "yj! * (p v q>]
12. Sean las afirmaciones; p: 1'f^>/(’/a1bcs)iJ' = c. ‘/a'b
q-
■■/F
/2
- /? - 2 ; r: ¿
-----=
/2 V x + */y
+'xy + V y1
x + y
Hallar el valor de verdad de la proposición:
(p ~ 'Wj,) «-► [ ( V ~ p) * ’vlq *
23. Simpl ificar: E = (a” */,-b*I/ s)abf>>'a-5/5>“,+*>//abi , afb
14. Simplificar: E = í(x/x + y/y)(Sx + /y)’1 + 3. /xyj'J1, x>0 , y>0Sólo fines educativos LibrosVirtual

226. Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 213
G 2 D ECUACIONES CUADRATICAS
_________________________
Definición 4.11 Sean a,b y e constantes reales y afO , entonces la
función f, definida por la ecuación de 2do grado:
f(x) = axz + bx + c
se llama función cuadrática.
En secciones posteriores demostraremos que la gráfica de una función cuadró,
tica es una curva abierta llamada parábola.
De acuerdo a lo que se observa en las gráficas, podemos afirmar que ésta in
tersecta dos veces, una o ninguna al eje de las X, lo cual significa que la
función cuadrática posee dos raices reales (Fig.l), una raiz real (Fig.2) o
ninguna raiz real (Fig.3). Es decir, los ceros o raices de la función f(x)=
ax2+bx+c son las soluciones de la ecuación:
f(x)=0 ax*+bx+c=0
la cual es llamada ecuación cuadrática.
Los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas son tres:
a) Método de Factorización
b) Método de Completar Cuadrados
c) Por medio de la fórmula.
a) Método de Factorización. Este método se basa en la apiicación del Teore
ma 14.f: ab=0 a=0 v b=0
EJEMP LO 1. Resolver: 3xt-5x-12=0
Solución. Por factorización: 3x2-5x-12 = (3x+4)(x-3)
-'{x|3xa-5x-12=0} = {x|C3x+4)fx-3J=0} = {x|3x+4=0 v x-3=0}Sólo fines educativos LibrosVirtual

227. 214 Capítulo 4: Números Reales
* {x|3x2-5x-12=0) = {x|x=-4/3 v x=3) - S = {-4/3,3)
b) Método de Completar Cuadrados. Este método se basa en la aplicación de
la propiedad:
a t = b * ~ + a = /Sva = ~/f>
EJEMPLO 2. Resolver: x i+x-20=0
Solución. Podemos completar el cuadrado pasando el término independiente
al segundo miembro, luego simar a cada extremo, la mitad del coe
ficiente de x elevado al cuadrado, esto es:
x 2+x = 20 x l+ x + (~)2 = 20 + (j) 2 — (x + j) 2 = ^
* {x|x2+x-20=0) = {x|x + 'f= 'fv;r+ ^'= - 'fl = {*1^=4 v x=-5)
S = 1-5,4)
EJEMPLO 3. Resolver: 2 x2-lix=21
Solución. Antes de completar el cuadrado en el primer miembro, dividimos
cribos extremos de la ecuación por el coefiente de x 2, esto es:
** . 1L. - il . x . _ U x + (llfz = 11 + (Ü)Z «. (x _ ii}z = ¿ M
x 2* 2 x 2? { 4' 2 ' 4J ' 4J 16
- {x|2x2-llx=21) = {xjx - r4 = ^ Vjc" ^ = - ^ > = v x=-3/2)
S = {-2/3,1)
c) Por medio de la Fónrnla General. Para llegar a la fórmula que nos permí
ta resolver la ecuación ax1+bx+c=0, a/0,
utilizaremos el método de completar el cuadrado a la ecuación, esto es:
axz+bx+c=0 *-* x2 + — x = - — «-► x2 + -^x + + — —
a a a 4a 2 a 4a 2
4a2 * 4a 2
Entonces: ax*+bx+c=0 +-*■ x = - -j- - ^ ^ aC (1)
Luego, si a,b,c*R, a¿0 y xtR
i) La ecuación (1) tiene dos soluciones reales y distintas cuando b2-4ac>0
a saber: {xc *|ax*+to*c=0} = {- ¿ + í^ 3£ , - ¿Sólo fines educativos LibrosVirtual

228. Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 215
i i) La ecuación (1) tiene una solución real cuando b*-4ac=0, es decir:
(xeRlax^+ixr+c^) = {-
iii) La ecuación (1) no tiene soluciones reales cuando b*-4ac<0, es decir:
IxeR] ar* +búc+c=0) = ♦
EJEMPLO 4. Determinar la naturaleza de las raices de las ecuaciones si­
guientes:
a) 3x*-2x-l-0 b) 2x*-5x+4=0 c) 9x*+12x+4=0
Solución, a) 3x*-2x-l=0. Aqui: a=3 , b=-2 , c=-l
- b*-4ac = (-2)*-4(3)(-l) = 16 > O
.'. La ecuación admite dos soluciones reales diferentes.
b) 2xí-5x+4=0 ; a=2 , b=-5 , c=4
* b*-4ac = (-5)*-4(2)(4) = -7 < O
La ecuación no'admite soluciones reales.
c) 9x* +12x+4=0 ; a=9 , b=12 , c=4 - b*-4ac = (12)*-4(9)(4) = O
La ecuación admite una solución real.
Considerando lo expuesto en c), podemos enunciar la siguiente:
Definición 4.12 Dada la ecuación ax*+bx+c=0, el número &=b*-4ac se
llama discriminante de dicha ecuación. Entonces:
i) Si A>0, la ecuación admite dos soluciones reales y diferentes,
i i) Si a=0, la ecuación admite dos raices iguales (raiz única).
iii) Si A<0, la ecuación no admite raíces reales.
Como una ecuación cuadrática admite soluciones en R, se establecen relacio­
nes entre sus raices y coeficientes de la misma. Para esto consideremos el
siguiente teorema:
TEOREMA 18. Si la ecuación cuadrática ax*+bx+c=0, con afO, admite solu­
ciones r y s en R, se cumplen:
a) S = r+s = - ~ b) P = r.s = c) D = \ r-s | = ~^ac
La demostración del teorema queda como ejercicio.
Observación. Si la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0, se escribe: x 2+ — x+ -=0
a a
de modo tal que el coeficiente de x z sea la unidad, entonces:Sólo fines educativos LibrosVirtual

229. 216 Capítulo 4: Números Reales
la suma de las raíces es igual al coeficiente de x con signo diferente y el
producto de las raíces es igual al término constante. Luego, la ecuación:
x 1 - Sx + P = O (2)
resulta de mucha utilidad para formar ecuaciones cuadráticas cuando son da­
das sus raíces.
Por ejemplo, hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son: r=2+/3, s=2-f3
Como S=r+s=4 y P=(2+S3) (2-r/3)=4-3=l, entonces, según (2), la ecuación busca
da es: x2-4x+l=0
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Si r y s son las raíces de la ecuación x 2-px+q=0, hallar:
a) r2+s2 ; b) r’+s5.
Solución. Por el Teorema 18: r+s=p y r.s=q
Entonces: a) r2+s2=(r+s)2-2r.s = p2~2q
b) r’+s2 = (r+s)2-3rs(r+s) = p 2-3q(p) = p(p2-3q)
EJERCICIO 2. Si a y b son las raíces de la ecuación x 2-Hnx+2m2=0, hallar
el valor de E=a,b’+a'b2.
Solución. De la ecuación: a+b=-m y a.b=2m2 (T.18)
+ E = a’b’(ax+b2) = a’b ’¡(a+b)2-2ab] = (2m2)s[(-m)2-2(2mz)]
+ E = 32mi,(-3mz) = -96m12
EJERCICIO 3. Sean r y s las raíces de la ecuación (m-2)xz-2mx+2m-3=0. Si
1 1 10 , . | . - i i
hal lar el valor de r-s .
r s 7 1 1
Solución. De la ecuación: r+s = - ^2 y r.s = (T.18)
m-2 m-2
r+s 10 ^ , 2m,, m-2, 10 M . . ,
S l T 7 s = — * (f^2)(^ 3 ) = ~ ■ de donde: m=5
I , /b2-4ac ’/4m2-4(m-2)(2m-3) D , . . , , 4
Ir~s I =
---5--- =------m - T ' a m obtenemos: |r-s| = j
EJERCICIO 4. Si r y s son soluciones de la ecuación x 2+bx+c=0 y si r-s=2
y r3-s3=26, hallar |c/b|.
Solución. Por el teorema 18: r+s=-b , r.s=c y |r—s| = i/b*~4cSólo fines educativos LibrosVirtual

230. Sección 4)5: A plicaciones de R en el A lgebra 217
Si r-s=2 + /bz-4c = 2, de donde: b z-4+4c (1)
r*-s>=(r-s)(rt+rs+$*) + (r-$)[(r+s)l-rs] = 26
Sustituyendo valores: (2)¡(-b)*-c)=28 + [(4+4c)-c]=13 ■* c-3
Luego, en(l): bz=4+12=16 + |t>i=4. Por tanto: ||j| = j
EJER CICIO 5. Sea f(x)-axz+bx+c una función cuadrática. Si los puntos:
(-2,3), (0,1) y (1,8) están en la gráfica de f y sí r y s
son las raíces de f, hallar el valor de r*+st.
Solución. Si (~2,3)cf + a(-2) l+b(-2)+c = 3 - 4a-2b+c=3 (1)
(O.l)sf - a(0)í+b(0)+c=l * c—l (2)
(l,6)ef + a(l)1+b(l)+c = 6 * a+b+c-6 (3)
De (1),(2) y (3) obtenemos: a=2 , b=3 , c=l + f(x)=2x2+3x+l
Si r y s son rafees de f + r+s=-3/2 y rs=l/2
Luego, r l+s* = (r+s)z-2rs = (--j)l-2(j) = -|
EJERCICIO 6. Si r y s son las raíces reales de la ecuación x*+x-l=0 y la
función cuadrática f(x)=x 2+ax+b interseca al eje X en los
puntos de abscisas: r - y s - Hallar ab.
Solución. Si x z+x-l-0 + r+s=-l y rs=-l (T.18)
f(r - ¿)=0 - (r- h 1+a(r-^)+b=0 - a ( ^ í ) + b = O
O & O v> o
- + + ó = 0 , de donde: 4-2as+bsz = 0 (1)
fís- j;) = 0 - (s- j ) z + a(s- j.) + b = 0 - + aí-ZZLl) + b = 0
+ ( ~ r ) x + a ( ^ ~ ) + b = 0 , de donde: 4-2ar+br1 = 0 (2)
Restando (l)-(2): 2a(r-s)+b(sl-r1)=0 + 2a(r-s)-b(r-s)(r+s)=0
+ 2a-b(-l)=0 + b=-2a (3)
Sumando (l)+(2): 8-2a(r+s)+(rz+sz) * 8-2a(-l)+h[(r+s)z-2rs)~0
- 8+2a+b(1+2 j-0 - 8+2a+3b=0 (4)
De (3) y (4) obtenemos: a=2 y b=-4 + ab=-8
EJERCICIO 7. Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean la sima y
producto, respectivamente, de las raíces cíe la ecuación:
ax2+bx+c=0, a/0
Solución. Sean r y s las raíces de ax2+bx+c=0 + r+s = - rs = —
a aSólo fines educativos LibrosVirtual

231. 218 C apitulo 4: N úm eros R eales
Si S y P son la suma y el producto de las raíces de la ecuación buscada, en
tonces: S = (r+s)+rs =-£+£= . Éz£. . p - (r+s)(rs) = (--)(— ) = - —
a a a a a *
a
Luego, si x z-Sx+P=0 * x 1 + — ax - — = O azx x +a(b-c)x-bc=0
a a 2
EJERCICIO 8. Sean r y s las raíces de lo ecuación x l-2x+c=0 y
sean p y q los valores que toma la función f(x)=x* +cx+cl,
cuando se reemplaza x por r y s respectivamente. Usando propiedades de raí­
ces, demostrar que: -E- + -E— = 14~8c
r3 s3 c
Demostración. En efecto, si x l-2x+c=0 + r+s=2 y rs=c (T.18)
p=f(r) + p=rz+cr+cz ; q=f(s) * q =s l+cs+c*
Entonces: — + — =
(
1)
r s r s r
= r*s *fr+s J + cl(r*+s*) + crs(rz+sx)
r3s3
Pero: rx+sl=(r+s)z-2rs = (2)z-2c = 4-2c
r*+s* = (r+s)*-3rs(r+s) - <2)z-3c(2) = 8-Sc
Luego, en (1): JL + 3- = cz(2)+cz(8-c)+cz(4-2c) = U-8c
_» _» .1 c
EJERCICIO 9. Si r y s son las raíces de la ecuación x z-4x+l-0, hallar la
ecuación cuyas raíces sean: r1 + — y s* + —
r s
Solución. De la ecuación dada: r+s=4 y rs=l (T.18)
La sima y producto de las raíces de la ecuación buscada son:
S = rz+j + sz+j = (rz+sz) + ) = [ (r+s)z-2rs]+(^-^) = 116-21+4 = 18
P = ir1 + — )(sz + h = r ,s1 + Z - ^ *-í- = r2s l + . í ^ ^ ’^rsCr+s) + J.
r' s rs rs rs rs
* P = (I)* + 1 * 54
Luego, si x z-Sx+P=0 * x z-18x+54=0, es la ecuación buscada.
EJERCICIO 10. Hallar la suna de los cuadrados de las raíces de la ecua­
ción (2k+2)x2+(4-4k)x+k-2=0, sabiendo que una de las raí­
ces es la inversa de la otra.
Solución. Sean r y 1/r las raíces de la ecuación dada. Luego, el productoSólo fines educativos LibrosVirtual

232. Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 21 9
k-2
P-r(l/r)=l ~+ 2¡c+2 = * ’ de donde: k=~4 < sustituyendo en la ecuación dada
se tiene: 3xz-l0x+3=0 ++ (x-3)(3x-l)=0 +-+ x=3 v x=l/3
Entonces: S - (3)z + (1/3)z = 82/9
EJERCICIO 11. Dada la ecuación cuadrática axz+bx+c=0, los coeficientes a
b y c forman una progresión aritmética. Si r y s son las
raíces de la ecuación, se cumplen: a+b+c=3(r+s) y b+7=rs. Hallar abe.
Solución. Si a+b+c = 3(r+s) * a+b+c = 3(-b/a) (1)
b+7 = rs * b+7 = — (2)
^ a+c
Si a,b y c son tres números en P.A. + b - — y -*• a+c=2b (3)
Sustituyendo (3) en (1): b+2b = 3(-b/a), de donde: a--l
Luego, en (2) y (3): c=-b-7 y c=2b+l b=-8/3 y c=-13/3
:. abe = (-l)(-8/3)(-13/3) = - ^
EJERCIC IO 12. Dada la ecuación cuadrática axz+bx+c=0, a=0, con raíces r
y s, hallar, sin resolver la ecuación, la ecuación cuyas
raíces son: r3 y s 3.
Solución. Si axz+bx+c=0 + r+s = -b/a , rs = c/a
La suma y el producto de las raíces de la ecuación por determi-
c 3 3 / . j « . , b nyC(/ i). b -3abc
nar son: S = r +s = (r+s) -3rs(r+s)
----- 3(— )(--/ ----------
o3 Q Q a 3
P = r3s3 = C§ > 3
, 2 b 3-3abc c 3
Luego, si x -Sx+P=0 — x + x + —
a3 a 3
-+ a3x2 + (b3-3abc)x + c 3 - 0 , es la ecuación buscada
EJERCICIO 13. Si r y s son las raíces de la ecuación axI+bx-a=0, probar
que (ar+b)(as+b)=-a* y hallar la ecuación cuyas raíces son
ar+b y as+b.
Solución. Si ax2+toc-a=0 -+ r+s=-b/a y rs=-l (T.18)
rs=-l + s = - — -*• r - — = - — — + r(ar+b) = a (1)
r r a
rs = -1 + r = - i -+ - -j + s = - -j- +-+ s(as+b) = a (2)
Muí t ipl i cando (1) por (2): rs(ar+b)(as+b)=az ■>-+ (ar+b)(as+b) = -a1
S=(ar+b)+(as+b)=a(r+s)+2b = a(-b/a)+2b = b
P-(ar+b)(as+b)--az , luego, si x2 -Sx+P=0 -*■ x3 -br-a2 =0Sólo fines educativos LibrosVirtual

233. 220 Capitulo 4: Números Reales
EJERCICIOS: Grupo 20
1. Hallar el valor de k en la ecuación x 1+(2k+5)x+k=0, si una raíz excede
a la otra en 3 unidades.
2. Dado el conjunto A=lxeR\xt-2(l+3m)x+7(3+2m)=0. m e R h hallar los valores
de m para que A sea un conjunto unitario. Construir dicho conjunto.
3. Si i r , s i es el conjunto solución de ax2+bx+c=0, h a l l a r el valor de:
a) -£•* b) r~* * s-*
4. Dada la ecuación (2k+2)xx+4x-4kx+k-2=0, hallar la sima de sus raíces s a
biendo que éstas son inversas.
5. Para qué valores de m. la suma de las raíces de la ecuación (m+l)(x2-x)
=(m-l)(4x-5), es igual al duplo del producto de las raíces de dicha e-
cuación menos 1.
6. Si r y s son las raíces de la ecuación mx l-2(m-l)x-m=0, con m c on stan te
y ampien: r z +sz =4rs. Hallar la suma de todos los valores de m que sa­
tisfagan tal propiedad.
7. Si la.bl es el conjunto solución de la ecuación 3x2-2(m+l)x+(m-l)-0, ha_
llar m para que se ctmpla: 9ab*+3a,+9atb+3bí=192.
8. Sea I r .s ) el conjunto solución de ax*+bx+c=0. a40. Si r=2s. demostrar
que b I=kac y hallar el valor de la c o n sta n te k.
9. Si r y s son las raíces de la ecuación x 2-kx+ ■|(k, -J>=01 k z?0,3; resol­
ver la ecuación 2(r‘+s,)xl-3x+(r+s)=0
10. Si r y s son las raíces reales de la ecuación x t+bx+c=0 y s i r-k, s-k
son las ra fe e s reales de la ecuación x t+px+q=0. h a l l a r k tal que p=0.
11. Dada la ecuación (1-a*)(x+a)=2a(l-x*) con a constante. Si su conjunto
solución es Ir,si. h a l l a r | r - s | .
12. Si a y b son constantes en R, se tiene que las raíces de la ecuación:
x l+ax+b=0 son los cuadrados de las raíces de la ecuación 2x'+x-6=0. Ha­
llar |4a+ b|.
13. Si l r , s ) es e l conjunto solución de la ecuación ax2+bx+c=0, afO, hallar
el valor de £= r*s’ +rTs ' .
J4. Para qué v a lo re s de m las raíces de la ecuación (xi-bx)(m+l)=anvc-ax-cm+cSólo fines educativos LibrosVirtual

234. Sección 4.5: Aplicaciones de R en el Algebra 221
son de signo contrario e iguales en valor absoluto.
15. Si r y s son las raíces reales de la ecuación (a1-bí)x1-2(a-b)x+(a-b)=0
con a y b constantes en R y k es una constante tal que r-k=-(s-k). Ha­
llar el valor de rs+k.
16. La gráfica de f(x)=x1+bx+c es el de la fi­
gura adjunta.
Dada la ecuación x l+bx+c=0, sean p el pro­
ducto de las raíces y m el promedio de las
mismas. Hallar p-m.
17. Sea y-axf -t-bx+c una función cuadrática cuya gráfica interseca al eje X
en los puntos -2/3 y 4/5. Hallar | j— s |, donde r y s son los puntos en
que ¡a gráfica de y=a(x+l)l+b(x+l)+c corta al eje X.
/3 /3
18. Si ■
---- y — — --- son las raíces de la ecuación ax1+bx+c=0, a/0 ;
/3-a+/3 i/J-a-ZT ,
hallar el valor de E = ■ + c, cuando a/3
/3-a r
19. Las raíces r y s de una ecuación cuadrática sat isfacen: 4r-16s=7 y 8r+
4s=5. Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son respectivamente
las inversas de r y s.
20. Si r y s son las raíces reales no nulas de la ecuación a2x2+b2x + c2=0,
c/0, hallar la ecuación cuadrática de r a í c e s —y — .
r J s
21. Si r y s son las raíces de la ecuación x z+px+q=0, fórmese la ecuación
cuyas raíces son (r-s)1 y (r+s)1.
22. Formar la ecuación cuyas raíces son los cuadrados de la suma y de la di
ferencia de las raíces de 2xí+2(m+n)x-m*+nl=0.
23. Si { r,s) es el conjunto solución de A={xeR|x2+3x+n=0, neR), construir
un nuevo conjunto B cuya solución sea
24. Si r y s son las raíces de la ecuación axz+2bx+c=0, hallar la ecuación
cuyas raíces son 2r+y 2s+-~? , y probar que cuando a+c=0, esta ecua­
ción es la misma que la ecuación original.
25. Si r y s son las raíces de axl.+bx+c-0 y si (r2+sl) y (r+l)(s+l) son las
raíces de ay2+ky+h=0, obtener k y h en términos de a y c.
26. Si las ecuaciones axz+bx+c=0 y px2+qx+r=0 tienen una raíz común, demos­
trar que (br-cq)(aq-bp)=(cp-ar)2 .Sólo fines educativos LibrosVirtual

235. 222 C apitulo 4: N úm eros R eales
27. Si r y s son las ratees de ax*+bx+c-0, hallar la ecuación cuyas raíces
son r+ — y s+ — .
s r
28. Si x2+px+q=0 y x 1*mx+n=0 tienen una raíz común demostrar que esta raíz
es la cuadrada de c^n .
m-p
29. Determinar la ecuación cudrática con coeficientes enteros, expresadas
. 1+r 1+s
en términos de a,b y c, cuyas raíces sean los nuneros j ■
30. Formar la ecuación cuadrática de raíces: a+b+/al+b2 y
---2 a b _ _
a+h+/a2+bi
31. &i la ecuación px 2-H¡x+r=0 las raíces están en la razón de a/b, probar
que: (a1+b*)pr+ab(2pr-q‘)=0.
*
ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRATICAS
___________
Son aquellas ecuaciones que no son cuadráticas, pero, como su nom­
bre'lo indica, mediante sustituciones adecuadas se transforman en ecuaci o
nes cuadráticas. Como ilustración veamos algunos ejemplos.
EJEMPLO 1. Resolver la ecuación: — — - - = 4
X X -o
Solución. En esta ecuación, que no es cuadrática, xfO y x*¿6. Haciendo la
x*-6
sustitución: — — = m , la ecuación dada se transforma en:
m - — = 4, mfO, de donde obtenemos la ecuación cuadrática: m t-4m-5=0
m '
S = (-3,-1,2,6)
EJEMPLO 2. Resolver: x 1+2/x2*6x = 24-6x
Solución. Ordenando los términos de la ecuación se tiene:
(xt+6x)+2/x1+6x = 24. Sea /x1 +6x - m, donde m 0
Entonces, la ecuación se transforma en: m z+2m-24=0 ■*-+ m~4 v m=-6
Descartamos m=-6, porque la raíz cuadrada de un número real es siempre pos¿
tivo. Entonces, para m =4: /x2+6x-4 ■* xz+6x-16=0 +-#■ x=-8 v x-2 ■* S={-S,2}Sólo fines educativos LibrosVirtual

236. Ejercicios: Grupo 21 223
EJEMP LO 3. Resolver: (x+ 9 ) (x-3) (x-7)(x+5)=385
Solución. Oredenando los factores y efectuando los producios
dos a dos, se tiene:
(x+9) (x-7) (x+5) (x-3)=385 - (x2+2x-63)(x2+2x-15)=385
Haciendo: x*+2x=m, ta ecuación se reduce a: (m-63)(m-15)=385
de donde: m 2-78m+560=0 •<->■ m=8 v m=70
Para m=8: x 2+2x=8 *-* x 2+2x-8=0 - + x=-4 v x=2
m=70: x 2+2x-70 -► x 1+2x-70=0 *->■ x=-l - /JJ
S = {-4,2,-l±Sñ}
EJERCICIOS: Grupo 21
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. (x + 1 + -)(x - 1 + — ) = 24
X X
2. (x — — )l - 4x + — = 12
X X
3. (x1 +3x+2)1-8(x1+3x)=4
4. 2x*+2x-3/x2+x+3 = 3
5. (2x-7)(x*-9)(2x+5) = 91
6. 6xI+10x+Slx2 +5 x+1 = -1
7. 2x2 -2x+2/2x* - 7x+6 = 5x-6
8. (2x+l)(2x+3)(2x+5)(2x+7)=9
9. J f - + = 4
T J-oc i x 6
. o / * - * ^ / ~ 3 x 3
10■ V “ to + / 2^ = 2
*
1. (x-±f+ 4x-2±.S
2. x 2-x+3 ¿2x2-3x+2 =j+7
3■ *»*
(2x-5)(x-2)(x+ 4)(2x+ 7) = 91
(x+2a)(x-6a)(x+3a)(x-5a)=180a '
12x2/> = 17xl / s -6x~l / s
= 7xl/ ' - 2 x ' l / '
(x+2)2 = S (/x2+4x+5 - 1)Sólo fines educativos LibrosVirtual

237. 224 Capítulo 4: Números Reales
ORDEN EN R
Según los Axiomas de Orden: 0.1 ai 0.4, ya establecidos (pag. 186),podemos
dar una definición más detallada de los símbolos " < ", " > ", " 4 " y "Z",
como sigue:
B 3 DESIGUALDADES
_______________________________________
Definición 4.13 Se conoce con el nombre de desigualdad a toda pro­
posición donde aparece la relación " < " (es menor
que) o cualquiera de las relaciones: " > " (es mayor que), " 4 " (es
menor o igual que) y " %■ " (es mayor o igual que) definidas de la ma
ñera siguiente para a,b y ceR.
(1)Si a>0 aes positivo
(2)Si a<0
-4—*
aes negativo
(3)Sia>b*-a-•b es positivo
(4)Sia<:b a--b es negativo
(5) Siab•4—►a< b v a=b
(6)Siaí-b
4—»
a> b v a=t>
(7)Sia<b < c
4—►(a < b) ~ (b < c)
(8) Sia<b^ C
4—►
[a<b ~ (b<c v b=c)]
En particular, las relaciones a<b y a>b se llaman desigualdades estrictas
mientras que aib y aib se llaman desigualdades no estrictas.
Para conocer con exactitud el significado de estas relaciones y con ayuda
de los axiomas de orden, 0.1 al 0.4, veamos algunos:
Q 3 TEOREMAS RELATIVOS A DESIGUALDADES
_____________y
TEOREMA 19. Para a,beR, se ampie:
a) a < b ♦♦ a-b < O
b) a < O -a > O
c) a > O ■*-*• -a < O
Demostración, a) Demostraremos que: a < b a-b < O
En efecto: a < b + a+(-b) < b+(-b) (0.3)
+ a-b < O (Def.4.3 y 4.2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

238. Sección 4.6: Desigualdades 225
Recíprocamente, demostraremos que: a-b < O + a < b
En efecto: a-b < O + (a-b)+b < 0+b (0.3)
+ a + [b+(-b)] < b (A.3 y A.4)
+ a + O < b (Def. 4.2)
+ a < b (A.4)
Las demostraciones de b) y c) quedan como ejercicio.
TEOREMA 20. La suma y el producto de números positivos en R, es positivo
a) a+b > O
esto es, a > O y b > O +
_b) a.b > O
Demostración. En efecto:
a) a > O + a+b > 0+b (0.3)
+ a+b > b (A.4)
Si a+b > b y b > O + a+b > O (0.2)
b) a > O + a.b > O.b (b > 0)
+ a.b > O (O.b=0)
TEOREMA 21. Si a > O y b < O, o si a < O y b > O, entonces se cumple que
ab < 0.
Demostración. Consideremos: a > O y b < O
En efecto, si b < O + -b > O (T.19b)
Luego, por el Teorema 20b: a(-b) > O + -(a.b) > O
+ ab < O (T.19c)
TEOREMA 22. La suma de dos números negativos en R, es negativo, mientras
que el producto es positivo, esto es:
Si a < O y b < O +
[ a) a+b < O
a.b > O
Demostración, a) Si a < O y b < O + -a > O y -b > O (T.19b)
+ (-a)+(-b) > O (T.20a)
+ -(a+b) > O (T.5)
+ a+b < O (T.19c)
b)Sia<0yb<0 + -a > O y -b > O + (-a)(-b) > O (T.20b)
+ a.b > O [(-a)(-b)=ab)
TEOREMA 23. Para afO en R, se tiene: az > O
Demostración. En efecto:Sólo fines educativos LibrosVirtual

239. 226 C apitulo 4: N úm eros R eales
(1) Si ajo * a > O v a < O
(2) Si a > O ■+ a.a > 0.a
(3) - a z > O
(4) Si a < O + a.a > 0.a
(5) + a1 > O
(Hipótesis)
(0.3)
(T.22b)
TEOREMA 24. Para a i O , a' 1
decir: a) a > O
b) a < O
tiene el mismo signo que a, es
■ a'1 > O
■ a < O
Demostración, a) (1) a > O, supongamos que a' 1 < O
(2) Entonces: (a)(a'x) < O
(3) Por M.5: 1 < O
(4) Luego se tiene: a " ‘=0 v a ~ ‘>0
(5) Si a~‘=0 + a.a'l=0.a * 1=0
(6) Por lo tanto, si a > 0 ■* a~‘>0
b) La demostración queda como ejercicio.
(T.21)
(Absurdo)
(Absurdo)
T E O R E M A 25. Para a,b,c y d en R, se cumple:
Si a < b y c< d ~ a+c < b+d
Demostración. En efecto:
(1) Si a < b ■» a+c < b+c
(2) Si c < d + b+c < b+d
(3) Por lo tanto: a+c < b+d
(0.3)
(0.3)
(0.2)
TEOREMA 26.
Demostración.
Para a.b y c en R, se cumple: a+c < b+c + a < b
(Propiedad de cancelación aditiva para una desigualdad)
En efecto:
(1) a+c < b+c
(
2)
(3)
a+c+(-c) < b+c+(-c)
a+lc+(-c)J <b+[c+(-c)J
a + 0 < b + 0
(4) a+c < b+c + a < b
(0.3)
(A. 3)
(A. 5)
(A. 4)
TEOREMA 27. Para a,b y c en R, se cumple: a < b y c < 0 +-+ ac > be
o si a > b y c < 0 +-+ ac < be (Consist.Mult.)
Demostración. Probaremos que: a < b y c < 0 +■ ac < be
(1) Si c < 0 +■ -c > 0 (T. 19b)Sólo fines educativos LibrosVirtual

240. Sección 4.6: Desigualdades 227
(2) Luego: a < b ■* a(-c) < b(-c) (0.3)
(3) * -(ac) < -(be) (T.14d)
(4) ■* ac > be
ii) Recíprocamente: ac > be ■* a < b , si c < O
En efecto (1) Si c < O * c~l < O (T.24b)
(2) Luego: ac > be * (ac)c~l < (bc)c~l (T.20c)
(3) - a(c.c~l) < b(c.c~l) (U.3)
(4) * a.l < b.l (M.5)
(5) - a < b (M.4)
TEOREMA 28. Para a.b.c^R, se curple:
a) a < b y c > 0 *-• ac < be (Consist. Multip.)
b) a > b y c > O **■ ac > be
La demostración del teorema queda cano ejerciciio.
TEOREMA 29. Si a y b en R, tienen el mismo signo y si: a < b -* > -g-
Demostración. Consideremos los casos: i) a > O y b > O
i i) a < O y b < O
i) (1) Si a < b - a.a~l < b.a'1 (T.25 y T.24)
(2) - o.a“l.b*' < b.a~'.b~l (T.25 y T.24)
(3) - (a.a~l)b~l < (b.b~l)a~l (Al. 3)
(4) - (l)b'‘ < (l)a' 1 (Al.5)
(5) - ± < ± (M.4)
Por lo tanto, si a < b — > 4
a o
¡ O La demostración queda canto ejercicio.
TEOREMA 30. Para a y b en R, se cumplen:
i) a.b > 0 (a>0~b>0)v(a<0~b<0)
ii) a.b < 0 ** (a>0~b<0)v(a<0~b>0)
Demostración, i) a) Demostraremos que si:
a.b > 0 - (a > 0 ~ b > 0)* (a < 0 ~ b < 0)
Probaremos que si: (a > 0 * b > 0)
(a < 0 - b < 0)
En efecto: (1) Si a > 0 - ~ > 0 (T.24)
(2) Luego: ab > 0 -*■ J_ (ab) > 1 . ( 0 ) (0.3)
a aSólo fines educativos LibrosVirtual

241. 228 Capitulo 4: N úm eros R eales
(3) b > O
(4) Si a < O - < O 11.24)
(5) Si b < O - ab > O - -(ab) <-(0) (1.22b y 1.21)
a a
(6) * b < O
Por lo tanto: a.b > O -► (a>0~b>0)v (a <0~b<0)
b) Probaremos que s¡ (a > 0 « b > 0) v (a < 0 - b < 0) ■* a.b > 0
En efecto: (1) Si a > 0 y b > 0 ■* a.b > 0 (1.20b)
(2) Si a < 0 y b < 0 - a.b > 0 (1.23b)
(3) .'. (a>0~b>0)v(a<0~b<0) -* a.b > 0
i i) La demostración se deja como ejercicio.
1EOREUA 31. Si: i) ^ > 0 y b)¡0 •— (a>0~b>0)v(a<0~b<0)
i i) < 0 y bfO «- (a>0~b<0)v(a<0~b>0)
La demostración de este teorema es similar a la del teorema 30, toda vez
que = a.b~l y por el teorema 24, b~l tiene el mismo signo que b.
1EOREMA 32. i) Si a í- 0 y b 3- 0 - a* > b* -* a > b
i i) Si a i- 0 y b £ 0 a 2 < b1 a < b
Demostración. Probaremos i)
a) Si a i* 0 y b i 0: a2 > b* •* a > b
En efecto: (1) Supongamos que a ? b (Hipótesis Auxiliar)
(2) Luego: a < b a = b (0.1)
(3) Sí a < b - a2 < a.b v a.b < b2 ■* a2 < b2 (0.3 y 0.2)
(4) Si a = b + a 2 = a.b v a.b = b2 •* a2 = b1 (1.5 e 1.4)
Contradice el antecedente de i) por haber supuesto que a 7 b
(5) Por lo que, si: a2 > b2 -*• a > b
b) Probaremos que si a i 0 y b i- 0: a > b •* a2 > b2
En efecto: (1) a > b
(2) a.a > a.b * a2 > ab (0.3)
(3) a.b > b.b - ab > b2 (0.3)
(4) Luego, de 2 y 3: a2 > b2 (0.2)
(5) Por lo tanto, si: a > b ■*■ a2 > b2
La demostración de ii) se deja como ejercicio.Sólo fines educativos LibrosVirtual

242. Sección 4.7: Teoremas Relativos a las Desigualdades 229
T E O R E M A 33. Si: i) b > O + a 2 > b a > / ó a < -/5~
i i) b i- O •* a 1 j . b *-* a i. Jb a 4 -7b
Demostración, i) Consideremos los casos: a > O y a < O
En efecto: (1) Si a > O, b Z O * a* > b
-*■ a z > (7b)2 (b=(7b)2)
+ a > Sb (T.32)
(2) Si a < O, b i- O - (-a)2 > b
- (-a)2 > (7b)2
-a > 7b (T.32)
-*■ a < -7b (T.27)
Por lo tanto, de (1) y (2): a 2 > b a > 7b v a < -7b
TEOREMA 34. Si: i) b > O - a z < b ■— -7b < a < 7b
i i) b > O * a2 < b -7b < a < 7b
La demostración es similar a la del teorema 33. Queda como ejercicio.
TEOREMA 35. i) Si a >, O y b i. O ■* (7a 4 7b <-► O 4 a ^ b)
ii) Si a > O y b > O * (7a < 75 ■«-> O 4 a < b)
Demostración. En efecto:
(1) Si 7a 4 7b ^ (7¿)i ^ (7b )1 (T.32)
(2) - - a 4 b
(3) Pero a 5- O y b 5- O * O í a í b
Corolario. Si n es un número entero positivo par entonces:
a) Si a > O ~ b i O -*■ (n7a -S n 7b < - O 4 a 4 b)
b) Si o > / 0 » b > 0 - ('"/a" < n7b «-+ O $ a < b)
TEOREMA 36. Si n es un número entero positivo impar, entonces se cumplen
las siguientes propiedades:
i) n7a 4 n7b <-*• a 4 b iii) n7a > O ■*-*■ a > O
U) n /5< n/5 _ Q < „ ¡v } n/_ <() ^ a < Q
TEOREMA 37. Para a y b en R se cumplen las siguientes propiedades:
a ) 7a + 7 b i - O *-*■ a O a b O
b) 7a + /b 4 O *->■ a = O a b = OSólo fines educativos LibrosVirtual

243. 230 Capitulo 4: N úm eros R eales
TEOREMA 38. i) Sí /a 4 b
i i) Si /a < b
a í- O ~ (b > 0 ~ a ^ b1)
a > O *. (b > O *. a < b1)
TEOREMA 39. i) Si S<¡ >, b ~ a > 0 ~ Ib < O v (b i- O * a Z b* )1
ii) Sí »'a > b ■— a > , O *■ üb < 0 v (b i- O b1 )]
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Si a > 0 y b < 0, demostrar que: <-i-
Demostración. En efecto:
(1) Si a > 0 y b < 0 * a.b < 0
(2) * a.b + a < 0 +a
(3) Dividiendo entre a1 : ■» — ■ < —
a1 a*
(4)
b+1 < i_
a a
(T. 21)
(0.3)
EJERCICIO 2. Si a > 0 y b < 0, demostrar que: -g <
Demostración. En efecto:
(1) Si a > 0 y b < 0 ♦ b-a < 0
(2) a > 0 * a* > 0 ♦ -a1 < O
(3) Simando ab: * -a1 + ab < ab
(4) De (1) y T.24a: g ^ < 0 - a fb~oJ > —
(5) * a >
b-a ' b-a
ab
(T.23 y T.19c)
(0.3)
(T.27)
b-a
(6) Dividiendo entre b<0: JL< -S_
b b-a
EJERCICIO 3. Si 0<a<b, demostrar que: a < /ab < < b
Demostración, i) Probaremos que: a < /a b
fii efecto: (1) Si a>0 , b>0 y a<b * a.a < a.b (0.3)
(2) * a* < (/ab)1
(3) * a < /a b (T.32)
ii) Probaremos que: /ab < -2±k (Media Geométrica < Media Aritmética)
(1) Si a < b * a-b < 0
(2) Multiplicando por (a-b): (a-b)2 > 0 (T.27)Sólo fines educativos LibrosVirtual

244. Sección 4.7: Teoremas R elativos a D esigualdades 231
(3) Sumando 4ab: -* (a-b)1+4ab > 4ab -* (a+b)2 > 4ab (0.3)
(4) Luego: ab < ( ^ y ) 1 -+■ sab < y y (T.32)
iii) Demostraremos finalmente que: y y < b
En efecto: (1) Si a<b -+ a+b < b+b (0.3)
(2) -* 2|- < b
Por lo tanto, de i), ii), iii), queda demostrado: a < Job < < b
EJERCICIO 4. Si a 4 b 4 c y todos positivos, demostrar que:
(a+b)(b+c)(a+c) > Sabe
Demostración. En efecto, dado que a,b y c son diferentes, se debe cumplir
la relación para a y b: (/a-/b)2>0 ó (.'fr-zS) *>0
(1) Si (/a-sS)2 > 0 + a - 2Jab + b > 0 + a + b > 2/áb
(2) Análogamente para b y c: + b + c > 2/bc
(3) y para a y c: ■» a + c > 2/ac
(4) Multipl icando los extremos de 1,2 y 3, obtenemos:
(a + b)(b + c)(a + c) > 8(/ab)(Sbc)(Sac)
(5) Por lo tanto: (a + b)(b + c)(a + c) > 8abc
EJERCICIO 5. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes
afirmaciones:
a) a < 0, b > 0 a l-ab > 0 c) Va.bcR, a2+b1 2ab
b) 0<a<b y 0<c<d -+ ac < bd d ) a < b - + a z< — < ab
Solución, a) (1) Si a < 0 + a.a > 0.a + a1 > 0 (0.3)
(2) a < 0 + -a > 0 (T.19b)
(3) b > 0 + (-a)b > 0 - -ab > 0 (0.3)
(4) Sumando 1 y 2: az-ab > 0 . La afirmación es verdadera.
b) (I) Si a > 0 y c < d + ac < ad (0.3)
(2) Si d > 0 y a < b + ad < bü (0.3)
(3) Luego, de 1 y 2: ac < bd ..Es verdadera. (0.2)
c) (1) Va,bcR, (a-b)2 >, 0 + a2-2ab+b2 0
(2) De donde: a2 +b2 >,• 2ab .'. Es verdadera.
d) (1) Si a < b + a.a < a.b + a2 < ab
(2) Multiplicando por 2: 2a2 < 2ab
(3) Sumando ab en (1): a2+ab < 2abSólo fines educativos LibrosVirtual

245. 232 C apitulo 4: N úm eros R eales
(4) Luego, de 2 y 3: 2a* < a*+ab < 2ab
(5) Dividiendo entre 2: a J < Q < ab :. Es verdadera.
EJERCICIO 6. Demostrar que para todo número real a,b,c:
a*b1 + a*cl + b*c* z abc(a+b+c)
Demostración. En efecto:
(1) -Va.bcR: (a-b)* >s O - a*+b* >, 2ab
(2) Multiplicando por c*: -» a*c*+b*c* 2-2abe*
(3) Análogamente para b y e : b*+c*22bc ~ a*'b*+a*c* » 2bca*
(4) Para a y c: a*+c* i 2ac ■* a*b*+c*b* 2acb*
(5) Sumando: 2(a1b*+a*c*+b*c*) 2abc(a+b+c)
(6) .'. a*b* + a*c* + b*c* í-abc(a+b+c)
n .
EJERCICIO 7. Demostrar que -VxcR y Vn par se cumple: ■ _ x -í -j
x n + 1
Demostración. En efecto:
(1) Si n es par * xn i i , -VxeR (La igualdad se cumple para
x=l o x=-l)
(2) Entonces: (xn-l)* %• O
(3) - x2n-2xn+l >,0 - x2n+l >. 2xn
(4) Cano x2n+l »O , VxcR - I * - * f - ~
X + 1 X + 1
EJERCICIO 8. Sean a,b,m,ncR tales que: b>0 y n>0. Si r < — , demostrar:
^ o n
SL < 0 + m < 2L
b b + n n
Danostración. (1) Si -g * an < bm (ya que: b>0 y n>0)
(2) - an + ab < bm * ab (0.3)
(3) - a(b + n) < b(a + m)
(4) Como b+n>0 y b>0 * -jj < ? + i -
d b + n
(5) En (1): an + mn < bm + nrt * n(a*m) < m(b+n) (0.3)
(6) Como n>0 y b +n>0 - ° * m < —
J b + n n
(7) Por lo tanto, de (4) y (6) : % < ° * m < HL
b b + n nSólo fines educativos LibrosVirtual

246. Sección 4 .7: Teoremas R elativos a D esigualdades 233
EJERCICIO 9
D e m o s t r a c ió n .
EJERCICIO 1
D e m o s t r a c ió n .
EJERCICIO 1
D e m o s t r a c ió n .
EJERCICIO 12.
D e m o s t r a c ió n .
. Demostrar que si o O y a<b, entonces: a < < b
En efecto:
(1) Si a<b y C>0 + ac < be (T.28)
(2) + a + ac < a + be (0.3)
(3) + a(l+c) < a+bc + u < (l+c>0)
(4) Si a<b + a+bc < b+bc (0.3)
(5) + a+bc < b(l+c) + < b
(6) Por lo tanto, de (3) y (5): a < °f~+b<¿ < b
0. Si a.b y c son números positivos, demostrar que:
2(a3 + bJ + c3) > bc(b+c) + ac(a+c) + ab(a+b)
En efecto, si afb y ambos positivos, entonces:
(1) (a-b)3 > 0 + a2 +b2 -2ab > 0 + a2+b2-ab > ab
(2) Como a+b>0 + fa+b) (a2 -ab+b2) > ab(a+b) (T.28)
(3) + (a3 + b3) > ab(a+b)
(4) Análogamente para b y c: (b3 + c3) > bc(b+c)
(5) y para a y c: (a3 + c3) > ac(a+c)
(6) Sumando 3,4 y 5 obtenemos:
¿(a1 + b3 + c3) > ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)
1. Si a y b son números reales positivos, demostrar que:
(i + í} (a + b) * 4
En efecto, si a>0 y b>0, entonces:
(1) Va,bcR: (a-b)1 >y 0 + a2 + b2 2ab
(2) Sumando 2ab: a2+2ab+b2 4ab + (a+b) 2 ^ 4ab
(3) Dividiendo entre ab>0: >. 4
(4) Entonces: (— ¡r)(a+b) i- 4 +-+ (- + í)(a+b) >s 4
ab a b
Si atbfxty, todos positivos, tales que: a2+b2=] y x2+y*=i,
demostrar que: ax+by < 1,
En efecto:
(1) Como a > 0 y x > 0 + fa-xj2 > 0 + a2+x2 > 2ax
f2> También: b •> 0 e y > 0 +- (b-y)2 > 0 ■* b2+y2 > 2by
(3) Sumando y (2): ía 2+x2;+fb2+y2; > 2ax+2bySólo fines educativos LibrosVirtual

247. 234 C apítulo 4: N úm eros R eales
(4) Según datos: ( 1 ) + ( 1 ) > 2(ax+by)
(5) De donde: ax+by < 1
EJERCICIO 13. Demostrar que para cualquier a,b,c,dcR:
(ab+cd)2 4 (a2+c2)(b2*d2)
Demostración. En efecto:
(1) Va.ctR: (a-c)1 £ O -* a 2+c2 i. 2ac
(2) Vb.dtR: (b-d)2 i-O - b 2+d2 >, 2bd
(3) Multiplicando 1 y 2: (a2+c2) (b2+d2) 4abcd
(4) También, Va,b,c,dcR: (ab-cd)z i-O * (ab)2+(ad)2}2abcd
(5) Sumando 2abcd: (ab+ad)1 í- 4abcd
(6) De los pasos 3 y 5: (a2+c2)(b2+d2) >, (ab-cd)2 (0.2)
(7) :. (ab-cd)2 4 (a2+c2)(b2+d2)
EJERCICIO S: G rupo 22
2. Para números reales, determinar el valor de verdad de las afirmaciones:
n *
a) Si a-2b -► — + b 2 > ab
b) Si a>0 y b>0, se cumple: a 2>b2 »-> a>b
c) Si a < b * a < 3 a < b
2. Cuál de las siguientes proposiciones, respecto a números reales, es ver
dadera? a) a 2 < b 2 -* a < b
b) a < b •* a < c) a < b y c < d -► ac < bd
3. Si a>0 y b>0, hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
. b+1
a)
--- < a 1
a
b) ab > ab-a2
. a a
c) - -r > — r
b a-b
d) b < 0 < a
4. De las siguientes afirmaciones, cuáles son falsas?
a) Si a.bcR+, a2 < b1 «-* a < b
b) Si a.bzR* - -ÍL + ÍL. > i + J
a2 b2 a b
c) a2 + b2 > 2ab
5. Si a,beR y a<0<b. Cuáles de las siguientes af inacciones son siempre ver­
daderas ?
, g-b _ ,
a) — < -1
M
bj ab-a2 > t^-ab d) a(a-b) > 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

248. Ejercicios: G rupo 22 235
6. Si a.b.c.deR; demostrar que: a* + b* + c* > 4abcd
7. Si a y b son números reales positivos y diferentes, demostrar que:
_a_ b „ I . 1
T1 + P > a + b
í. Demostrar que Va,bsR, (a+b)1 < 2(a*+b2)
9. Demostrar que si (Xa<b, entonces: /b'-a1 < b
10. Hallar el vator de verdad de las siguientes afirmaciones:
a) Si a<b y c<0 + ac < be
b) Si b<(Ka + f ^ | > eR+ c} Si a>b + b+c < a+c, ¥ceR
11. Si R<r<0, determinar la condición que debe cumplir el número d para que
(jZ + P* + p*
sea valida la desigualdad: 0 <
----75^-----< 1
12. Si aeR^y -beRt hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
a ) Í < 'a b) b<b~a) > 0 c) ~ - b* < 0 d) a* < b l
13. Para núneros reales cualesquiera, determinar el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones:
a) a<b y c<0 + (b-a)(-c)~l < 0 c ) -a<b<a + (a-b)‘ < 4al
b) a<b y d<e + (be-ad) > 0 d) ab<0 y a<b + b_1 < a-1
14. Para números reales positivos a y b, a=b, hallar el valor de verdad de
(as siguientes proposiciones:
_ v a * b _ 2ab a . b ^ „
a) 2 ~ a— c) b + T > 2
b) a* + b a > atb + b*a d| a < b ♦ an < bn , neZ
15. Si a.b.ceR , demostrar que: a1+b*+c* > ab+ac+bc, a menos que a=b=c.
10. Si afb son núneros positivos, demostrar que:
17. Sean a,b,c núneros reales tales que: a+bic>0, a>0, IPO; demostrar que:
1 + a * 1 + b ^ 1 + c
18. Si a,b,c,x,y,z son núneros reales positivos, todos diferentes, tales
que: at+bt+c,=l y 3?+yl+zt=l, demostrar que:
ax + by + cz < 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

249. 236 Capitulo 4: Números Reales
19. Si m,n,r son números positivos y — < — < — , demostrar que:
m n r
JL < a + b + c < c_
m m + h + r r
20. Si a,b,c son números reales positivos, todos diferentes, demostrar que:
(a + b + c)x > 27abc
(Sugerencia: aplicar MA > MG para tres números diferentes y positivos)
21. Si a,b,c son números reales positivos y diferentes, demostrar que:
ab(a+b) + bcfb+cj + ca(c+a) > 6abc
22. Demostrar que s i O < a 4 b, entonces: -? + — + 3
b a o
(Sug. Partir de (a-b)x40, luego, dividir entre axb)
23. Si a,b,c son números reales positivos y diferentes, demostrar que:
(a + b + c)x < 3(ax + b1 + cz)
24. Si a,b,c,x,y,z son números reales positivos y diferentes, demostrar que
(a* + b* + c ^ f x1 +■ y3, * zx) > fax + by + cz)1
25. Si a,b,c y d son mineros reales, demostrar que:
(ab * cd) 1 (ax + cx)(b* + d x)
26. Determinar el valor de verdad de:
■Si x.yeK*, xfy * — + < 2"
/y /x
27. Si a y beR, demostrar que: (^jr)’ ^
28. Demostrar que: (a1 + dx)(b * + cx) 4abcd, Vo,b,c,deR.
29. Demostrar que Va,b,c,deR se curple: ax+bx=l y cx+dx=l * ac+bd 4 1
30. Sean los números reales a>0 y b>0, taie s que a+b=l. Demostrar que:
ab 4 1/4 (Sugerencia: Considerar (a-b)x 5- 0).
31. Si a,beR+', demostrar que: (ax+bx)(a+b)i £ 8axb x.
(Sugerencia: Considerar (a-b)x i- 0).
s _ » I
32. Si a.b.ctR y 0<a<b<c, demostrar que: ^ ° < o + b + c
3 C{ v“Q/
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

250. Sección 4.8: Inecuaciones 237
INECUACIONES
Una inecuación es toda desigualdad condicional que contiene una o más
cantidades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para
determinados valores de dichas variables.
Las inecuaciones de una variable son propos i dones que tienen la forma:
Por la solución de una inecuación entendemos al conjunto de todos los núme­
ros, cada uno de los cuales, al reemplazar la variable x, hace verdadera la
desigualdad.
A continuación veremos las técnicas para resolver diversos tipos de inecua­
ciones de una variable en R.
Una inecuación lineal o de primer grado en una variable x, es una
desigualdad de la forma:
p(x): ax+b > 0 o p(x): ax+b < 0
La técnica para resolver una inecuación lineal es muy sencilla y análoga a
la solución de una ecuación lineal con una incógnita. Se basa en la aplica­
ción de los axiomas de orden y de teoremas aplicados en aquellos, en lugar
de los postulados de igualdad.
EJEMPLO 1. Hallar el conjunto solución de: 3x-5 > 5x+l
Solución. Según el axioma 0.3: a<b++a + c<b + c; entonces:
3x-5 > 5x+l -* 3x-5+(-5x+5) > 5x+l+(-5x+5)
— (3-5)x + (5-5) > (5-5)x + (1+5)
Por tanto, el conjunto solución es: S = (»R|a<-3l
Nota. En la práctica, para resolver una inecuación lineal se transpone to­
dos los términos que contiene la variable x al primer miembro y las
constantes al segundo miembro de la desigualdad.
EJEM PLO 2. Resolver: - (2x-6)i
Solución. Multiplicando ambos extremos por 4 se tiene:
p(x) > 0 , p(x) < 0 , p(x) i- 0 , p(x) 4 0
INECUACIONES LINEALES
-*■ -2x > 6 x<-3 ( T . 2 7 )Sólo fines educativos LibrosVirtual

251. 238 Capitulo 4: N úm eros R eales
12x-6-8x+24 » x-3 ++ (12-8-l)x -3-24+6 3x >s -21
S = {jceR|x í- -7)
EJEMPLO 3. Hallar el conjunto de enteros que satisfacen la inecuación:
< l (2.x) >
Solución. En este caso, se descompone el sistema en dos inecuaciones, cuya
solución es la intersección de las soluciones parciales, esto es,
> -3 (8 -Sx)
++ (6x-45 < 20-lOx) ~ (10-Sx > 16-10:c)
++ (16x < 65) - (Sx > 6) ~ - f < x < j j
Por lo tanto, el conjunto de enteros es: S = 12,3,41
EJEMPLO 4. En R se define la operación a*b - , según esto, hallar el
conjunto solución de: (x-l)*2 4 (3*x)*l/2 4 (l+2x)*S
Solución. Aplicamos la operación * a cada término de la inecuación y obte-
nemosc (x-l)*2 = (x~ V ~ 2 = ^
3-x 1_
(3*x) * | = (2j) = J L j - 1 = 1 2 * . (i+2x)*5 = (1*2x)~5 = x-2
Entonces: 4 ~ r -4 x-2 +*■ 2x-6 4 2-x 4 4x-8
2 4
++ (2x-6 4 2-x) * (2-x 4. 4x-8)
++ ( x 4 8/3) (x > 2 )
S = lxeR|2 « * « 8/3)
EJEMPLO 5. Sea la operación binaria interna: *R x R + R
(a,b) + a*b
tal que: a*b=a+b-3. Si c~‘ representa el inverso de c, respecto de la opera
ción *, Hallar el conjunto solución de la inecuación: (2x)*7 > (x*l)*2~'.
Solución. Hallemos, en primer lugar, el elemento nuetro de la operación *.
Según 0 6.3: 3eeR¡a*e=e*a=a, VacR. Entonces: a*e = a+e-3=a *» e=3
Luego, por 06.4: aa'1eR|a*a"1=a~l*a=3, -VaeR
Aplicando *2 a cada extremo de la inecuación se tiene:
(2x)*7*2 > (x*l)*2~1 *2 ; pero: 2~1*2 = 2*2~1=3 (• es conmutativa)
Entonces: (2x)*(7*2) > (x*l)*3 (* es asociativa)Sólo fines educativos LibrosVirtual

252. Sección 4.8: Inecuaciones 239
Aplicando la operación *: (2x)*(7+2-3) > (x+l-3)*3 (2x)*6 > (x-2)*3
+- 2 x + 6 -3 > x-2+3-3 ** x > -5
.'. S = < x e R |x > -5 }
INECUACIONES CUADRATICAS
_________________________^
Una inecuación cuadrática es una desigualdad condicional que, redu­
cida a su más simple expresión, tiene la forma:
p(x): ax2 + bx + c > 0 (1)
o p(x): ax2 + bx + c < 0 (2)
donde a,b,c son números reales y alo.
Para determinar los valores de x que satisfagan las inecuaciones (1) y (2)
existen dos métodos:
a) Método de Factorización
b) Método de Completar el Cuadrado
a) Método de Factorización. Se utiliza cuando el trinomio ax +bx+c es fac
torizable y su resolución se basa en la apli­
cación del Teorema 30 (Regla de los signos para la muít iplicación).
i) a.b > 0 * * [(a > 0 ~ b > 0) v (a < 0 +. b < 0))
ii) a.b < 0 *-* tía > 0 ~ b < 0) * (a < 0 * b > 0))
y si p(x) y q(x) son dos proposiciones en la variable x, entonces:
{xeR|pfxJ v q(x>} = (xeR|pfe)) U {xeR|qfx)| (3)
|xeR|p(xJ a q(x)i = |xeR|p(x)} fl |xeR|qfx)} (4)
son las soluciones de las inecuaciones (1) y (2) respectivamente.
EJEMPLO 6. Resover: x 2 - x - 6 5- 0
Solución. Por factorización:
I x e R ^ - x - f í ^ 0} = |x e R | (x- 3 ) (x+2) 0 |
* (x-3)(x+2) } 0 « (x-3i0 ~ X+2Z.0) v (x-3$0 „ x+2<0)
*-* fx >, 3 « x -2) v ( x ^ 3 » x ^ -2)
(i i 3) v fx í -2)
Por lo tanto, según (3), se tiene:
S = |x eR |x -í -2} u {xcRjx >, 3J = |xeR|x -2 v x 3}
EJEMPLO 7. Resolver: 3x2-llx+6 < 0
Solución. Por factorización: 3x2-llx+6 = (3x-2)(x-3)
4.8 .2Sólo fines educativos LibrosVirtual

253. 240 Capitulo 4: Núm eros R eales
* (3x-2)(x-3) < O <-* (3x-2 > 0 ~ x-3 < 0) v (3x-2 < 0 ~ x-3 > 0)
<- (x > 2/3 ~ a: < 3) v (x < 2/3 - x > 3;
(x > 2/3 - x < 3)
v ( 4> )
Según (4): S = ixeR|x>2/3} Í1 ixeR|x<3} = <x c r| 2 / 3 < x < 31
b) M é t o d o d e C o m p l e t a r el C u a d r a d o .
El método consiste en transformar el trinomio p(x) :ax2+bx+c a la forma
p(x): a(x +-^JI=k, con el objeto de hacer uso de los teoremas:
T.33: Si b i* 0 - a 1 > b q > / f e v a <-/B
1.34: Si b > 0 - a1 < b «- -VE < a < /B
EJEMPLO 8. Resolver: 3xl-2x-5 < 0
Solución. 3xl -2x-5 < 0 *•* x ’ - -|x + (^)l < (j¡)*
~ ~ - Í < * - 7 < T (T-34>
-* -1 < x < 5/3 * S = ixcR|-J < x < 5/3}
EJEMPLO 9. Resolver: 2x1-x-10 ^ 0
Solución. 2 x l-x-10 » 0 •— x l - | x + (j)1 » 5 + ( p *
. . . J , j v 81 t i s 9. * i ^ 9.
( x ' l } ' Te <x ~ 1 ' v (x " T '1>
■— (X >y 5/2) V (x 4 -2)
S = ixcRix < -2 v x » 5/2}
EJEMPLO 10. Resolver: x t-6x+25<ll
Solución. x i-6x+25<ll *-'■ x 2-6x<-14
Completando el cuadrado: x 2-6x+(3)2 < -14+(3)2 ~ (x-3)1 < -5
En este caso no se puede aplicar el Teorema 34, toda vez que b=-5<0, es de­
cir, * x e R |(x- 3 ) 2<-5 . Por tanto: S = 4
EJEMPLO 11. Resolver: 4x2-12x+9 -5 0
Solución. Completando el cuadrado obtenemos: (x-3/2)2 4 0 (Verificar)
Aqui tampoco se puede aplicar el Teorema 34, porque b=0, sin em­
bargo, la solución no es 4> , ya que x=3/2 hace verdadera la proposición.
.'. S = {3/2 }Sólo fines educativos LibrosVirtual

254. Sección 4.8: Inecuaciones 241
EJEMPLO 12. Resolver: x*-8x+8 > 4-4x
Solución. x l-8x+8 > 4-4x x z-4x > -4 (x-2)* > O
Vemos que VxsR, es verdadera la proposición, excepto para x-2 ya
que 0 ± 0. .'. S = R-{2(
EJEMPLO 13. Hallar los valores de m para que la ecuación cudrática:
(m+3)x1-2mx+4=0 tiene soluciones reales.
Solución. Recordemos que una ecuación cuadrática tiene soluciones reales
si b*-4ac>0 o si b l-4ac=0
Entonces: (-2m)*-4(m+3)(4) > 0 *■» m l-4mtl2 — + (m-2)*216
<-* (m-2>4) v (m-24-4) (T.33)
«-► (m>6) v (m<-2)
Dado que mf-3 ■* S = {meR|mí-2 v mi6) - {-3}
EJEMPLO 14. Determinar los valores de k para que la función cuadrática
f(x)=4x1+k(l-4x)+2 no tenga interceptos con el eje X.
Solución. f(x)=4x1-4kx+(2+k)
La gráfica de una función cuadrática no intercepta al eje X cuan
do el discriminante de la ecuación f(x)=0 es menor que cero, esto es:
bl-4ac<0 * 16k*-4(4)(2+k) < O
«- k*-k < 2 •— (k-1/2)1 <9/4 •— (- ~ < k - j < ~)
■— (-1 < k < 2)
.'. S = lkeR|-J<k<2J
INECUACIONES RACIONALES
Una inecuación racional es una desigualdad condicional que reducida
a su más simple expresión tiene la forma:
-£Í£? > 0 o P *X * < 0
Q M Q(x)
donde P(x) y Q(x) son monomios, binomios o polinomios no nulos con coefi­
cientes reales.
Entre las variadas técnicas para resolver una inecuación racional, destaca­
mos los siguientes casos:Sólo fines educativos LibrosVirtual

255. 242 Capítulo 4: Números Reales
PRIMER CASO. La inecuación racional tiene la forma:
°x±t> > 0 „ S£íí? < o
cx+d cx+d
Según el Teorema 24 (a~l tiene el mismo signo que a), estas inecuaciones
pueden reducirse a una inecuación cusdrát ica equivalente:
(ax+b)(cx+d) > 0 o (ax+b)(cx+d) < 0
de modo tal que pueda ser aplicable el Teorema 30 para su solución.
Y+ I
EJEMPLO 15. Resolver la inecuación: > 0
Solución. La inecuación equivalente es: (x+1)(x-2) > 0
- (x+l)(x-2) > 0 <- (x+l>0 ~ x-2>0) v (X+1<0 ~ x-2<0) (T.30)
*- (x>-l ~ x>2) v (x<-l ~ x<2)
++ (x > 2) v (x < -1)
.'. S = )xeR|x<-2 v jc>2(
EJEMPLO 16. Resolver: 5 3
Solución. -35-0 — ■ ^ 50 ^ -í 0 (T.27)
X ¿ X ¿ X ¿
Inecuación equivalente: (x-2) (x-3) -í 0 , xf2
- (x-2) (x-3) v< 0 (x-2 > 0 ~ x-3 i 0) v (x-2 < 0 - x-3 5 0) (T.30H)
+-+ (x > 2 ~ x -í 3) v (x < 2 ~ o: 5 3)
+-+ (2 < x 4 3) v ( 4 ; -- (2 < x ¿ 3)
S = <xeR|2 < x S 3)
SEGUNDO CASO. La inecuación tiene la forma:
ax2+bx+c > q axí+bx+c < Q
a'xl+b'x+c' a'xz+b’x+c'
Primera Hipótesis. Uno de los dos trinomios no tiene soluciones reales o
tiene una raíz doble. Es decir, si tr=b1-4ac<0, o si
n=b1-4ac-0; entonces, axz+bx+c ó a'x1+b'x+c' tienen signo fijo (>0, Vx eR).
EJEMPLO 17. Resolver: xl~x ~12 < o
x*-2x+3
Solución. Inecuación equivalente: (xz-2x+3)(x2-x-12) < 0 (I)
Para el primer factor: fi =(-2)z-4(l)(3) = -8 < 0, luego no tiene
soluciones reales, por lo que x 2-2x+3 > 0, VxcR.Sólo fines educativos LibrosVirtual

256. Sección 4.8: Inecuaciones 243
Para el segundo factor: A=(-l)1-4(l)(-12) = 49 > O
Luego, para hallar los valores de x que satisfacen (1), bastará resolver:
x z-x-12 < O <-* (x-4)(x+3) < O
— + (x-4 > O ~ x+3 < 0) v (x-4 < O * x+3 > 0)
—*■ (x > 4 ~ x < -3) v (x < 4 y. x > -3)
+— ( * ) v (~3 < x < 4) *-* (-3 < x < 4)
S = {xeR|-3<x<4}
EJEMPLO 18. Resolver: 1 + ■ > O
X +X-0
Solución. Efectuando operaciones se tiene: > O
Inecuación equivalente: (x2-6x+9)(xz+x-6) > O (1)
Para el primer factor: A=(-8)2-4(l)(9)=0, el trinomio es un cuadrado perfec
to, por lo que: x2-6x+9 = (x-3)2>0, VxeR-{3}. En este caso x=3 es un valor
restringido porque no satisface ¡a inecuación original.
Para el segundo factor: a=(l)2-4(l)(-6) = 25 > O
Luego, para que se enripia (1), bastará resolver la inecuación:
x 2+x-6 > O ++ (x+3)(x-2) > O , xf3 (Restricción)
+-+ (x+3 > O x-2 > O) v (x+3 < O y, x-2 < 0) , xf3
++ (x > 2) v (x < -3) , xf3
.'. S = fxeR|x<-3 v x>2}-{3)
Segunda Hipótesis. Ambos trinomios tienen raíces reales y distintas, enton
ces la inecuación equivalente se transforma en una ine­
cuación polinómica.
TERCER CASO. La inecuación racional tiene la forma:
Z í £ ¿ > o o I Í E ¿ < o
Q (x) Q(x)
donde P(x) y Q(x) son pol inomios no nulos de grado mayor que dos.
Nota. Debido a las diversas alternativas que se presentan en la resolución
de inecuaciones de este caso, asi como de la segunda hipótesis del
caso anterior, los ejemplos ilustrativos correspondientes se darán más ade­
lante, cuando desarrollemos, en las siguientes secciones, el estudio de la
recta real y los intervalos.Sólo fines educativos LibrosVirtual

257. 244 Capitulo 4: Números Reales
EJERCICIOS: Grupo 23
Hallar el con/unto solución de las siguientes inecuaciones:
10. 8(x-l)z > 8-(x-4)21. Á\(4x+2)-(x-2) 4 jJí4x+5)
_ x-3 5 < _x 2x+9
3 4 12 15
3. 11 - | x < j(5x+14) í- % ( 2 +x)
4■ -2+ í < - 4 + 1-S > 2 * - í í
5. 3xl-10x+3 < 0
6. 4x1-x-5 4 0
7. x(3x+2) < (x+2)2
8. 4x*-8x+l < 0
9. 5x2-14x+9 4 0
1 1.
12.
13.
14.
15.
16.
3x+8
x-1
x-1
í- - 2
x+3
> x
2x+3 < .
x-4 '
> 4
x+1
> 7-2x
x-3
x +2x+3 .. „
x*-3x+2 > 0
17. j > 6
x+1 x-1
jg .£. < -mi < _ L
3 x+3 9
19. Sean los conjuntos A=ixeR|x2-x-2í0) y S=1xeR|x2-4x-SíO). Hallar AnB.
20. Si a,b son reales; se definen las operaciones: a*b=b-a y a#b=2a+2. Ha­
llar el conjunto solución de: í(x+3)*(x+2j]*(x+6) >,xtt(x+2).
21. Definimos la operación * del siguiente modo: x*z=x(z+2), Vx,zeR. Hallar
el conjunto solución de: (z-3)*z > 0
22. En R definimos la operación * por: a*b = ; según esto, resolver:
(2-x)*l 4 (2*xj*|-< (3+2x)*5
23. Sea la ooeración binaria interna *:R * R ~ R
(a,b) + a*b
tal que a*b=a+b-7. Si c' 1 representa el inverso de c respecto de ¡a ope
ración *, hallar el conjunto slución de: 3'2* x 4 (4x)*(5*2) ~l.
24. En R definimos la operación binaria * por: a*b=a-b+2. Según esto, resol
ver: 2~**x4 (2x»5)*(l*3)'1.
25. Determinar para qué valor de k, la inecuación (x+k)(x+3) > <x+2k)(x+2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

258. Sección 4.9: La Recta Real 245
tiene un conjunto solución S=lxeR|x<-2}.
1 3
26. Si A=(xeR| < 2x-i ^ ’ ^a ^ ar *a suna de los elementos de ZflA.
3x~4k
27. Determinar para qué valor de k, k>0 y 2x+3 < — ^
--, es x>3.
28. Sea el conjunto A= <x eZ|x2<601 . Hallar los elementos del conjunto A que
3x-l
están en el conjunto solución de la inecuación: - > 1
29. Si 9-2t-4x1-S-7x, VxcR, hallar el menor valor de t que satisfaga la desi_
goaldad.
30. Sean los conjuntos A=ixeN|x2<68) y B=lxeR| ~^¡ > 3} ; sí n es el número
de elementos de P(Ar\£B), hallar m-n. (Considerar OeN)
31. Determinar m de manera que la raíz de la ecuación en R: — = , sea
H x 5+2m
menor que 1.
32. Sea A=lxeR|0 < x 2< 5 0 1 n N, y sea B el conjunto solución de la inecuación:
, en R. Hallar la suma de los elementos de AfíB.
33. Hallar los valores de m para que el conjunto solución de la ecuación:
(m+5)xi+3mx-4(m-5)=0 no esté contenido en R.
*
m LA RECTA REAL
____________
Si sobre una recta orientada L se fija un punto A, de modo que le co­
rresponde el número "0", y convenimos en asegurar números mayores que cero
a los puntos que están a la derecha de A, (P¡,PZ,P¡,... ,Pn) y números meno
res que cero a los puntos a la izquierda de A, (Qi ,QZ,QZ, ■.. ,Qn), hasta que
ningún punto quede sin su correspondiente número real y ningún número real
sin su correspondiente punto; habremos establecido una correspondencia biu-
nívoca o perfecta entre los elementos de R y los puntos de la recta L : 0 ^ A ,
1 ++ Pi, 2 P z , -1 ** Q z, -2 Q z, etc. Es decir, a cada punto de una
recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real le
corresponde un único punto sobre la recta.
Esta correspondencia se objetivisa de la siguiente manera:Sólo fines educativos LibrosVirtual

259. 246
_________________________________________________Capítulo 4: Números Reales
Q Qa Qi Qi A P i Pz P3 P
n n
_ * i i i i * i < i •• i m
-x -3-2-10123 x
y constituye lo que se denomina la recta real o recta mmérica o eje lineal
de coordenadas.
Ejemplos. (1) El conjunto solución de la ecuación (x+1)(x-2)(x-5)=0 es:
{-1,2,5} y se representa en la recta real:
------------------------------------------------------------------------3------------------------------ V2 ---------------------'-1----r5 R
(2) El conjunto solución de la inecuación (x+2)(x-3)<0 es ixeR|-2<x<3} y en
la recta real se representa asi:
-2
Obsérvese que el conjunto solución de una inecuación se representa en la
recta real como un subconjunto de R, es decir, un segmento de recta en la
que están incluidos infinidad de puntos cuyas coordenadas satisfacen la de­
sigualdad, excepto los extremos -2 y 3.
Esto nos obliga a definir ciertas notaciones para subconjuntos de R, a los
que daremos representaciones geométricas en la presente sección.
[ 5 2 INTERVALOS
____________________________________________
Si representamos la desigualdad a<b sobre una recta numérica:
A x B
vemos que el punto A, que representa al número a, está a la izquierda del
punto B que representa al número b. Esto nos da una idea de que existen nú­
meros reales entre a y b o tcmbién que existen números que están antes que
a y después de b (Subconjuntos de R). Si ocurre que a<x y x<b, esto se pue­
de escribir como una desigualdad continua de la siguiente manera:
a < x < b
A estos subconjuntos numéricos en R, que están definidos mediante la propie
dad de sus elementos satisfacen ciertas desigualdades, se les denomina
intervalos.Sólo fines educativos LibrosVirtual

260. Sección 4.10: Intervalos 247
D e f i n i c i ó n 4 . 1 S I N T E R V A L O A B I E R T O
Si a y b son números reales tales que 0 4 b, se denomi­
na intervalo abierto al conjunto de todos los reales x para los cuales:
a < x < b. (No están incluidos los extremos a y b). Se denota <a,b> o tam­
bién: ]a,b[ , de modo que:
<a,b> = ixeR|a<ac<b} „ , r
a h
o si xe(p,by ** a<x<b
Obsérvese que si a-b * (p.b) = 4
En la representación gráfica del intervalo, los puntos extremos se indican
con círculos en blanco.
D e f i n i c i ó n 4 . 1 6 : I N T E R V A L O C E R R A D O
Si a y b son números reales tales que a 4 b, se deno­
mina intervalo cerrado al conjunto de todos los reales x para los cuales:
0 4x4b. (Están incluidos los extremos a y b). Se denota por: [a,b] de mo
do que:
[a,b] = (xcR|a ^ x 4 bj ■«
--— *.R
o si xe[a,b] *-* a 4 x 4 b ° **
Obsérvese que si a=b * [a,b] = {a} o (b|
En la representación gráfica del intervalo, los extremos se indican con cír
culos en negro.
D efinición 4.17: I N T E R V A L O S E U I A B I E R T O P O R L A I Z Q U I E R D A
Sí a y b son números reales tales que a < b, se denomi­
na intervalo semiabierto por la izquierda al conjunto de todos los números
reales x para los cuales: a < x 4 b . Se denota: <a,b], tal que,
<a,b] = {xeíí|a < * < b}
_________._________ x .
o si xe<£,b] <-*■ a < x 4 b 1 r
Definición 4.18: I N T E R V A L O S E U I A B I E R T O P O R L A D E R E C H A
Si a y b son números reales tales que a < b, se denomina
intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos los reales x para
los cuales: a 4 x < b. Se denota por: [a,b> de modo que:
[a,b> = { xER¡a ^ x < b}
_________ __________
o si x e £ a , b > ■<-* 04 x < b 1 <^ |||M|||||>>||^ ^ ^ a||||||Mlaa|||||||^.. f m gSólo fines educativos LibrosVirtual

261. 248 Capítulo 4: Números Reales
Definición 4.19: INTERVALOS INFINITOS
Para indicar a los conjuntos de números reales que se ex­
tienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda de un número a,
existen los llamados intervalos infinitos, que tienen la forma:
a) <a,+“> = {jccR|x > a}
b) [a,+«> = {xeR|x ^ a}
c) <-“ ,<£> = lxeR|x < al
d) <-“ ,a] = lxeR|;r-í al
e) <-»,+*■> = {xeR|xeRl
O
Nota. La notación ■», que se lee infinito, no es un número real, sino un
símbolo que se utiliza para indicar que a partir de un número x hay
números tan grandes como se quiera, por la derecha (+“•) o por la izquierda
(--)
P C T 1 OPERACIONES CON INTERVALOS
_______________________^
Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible
realizar con ellos las propiedades operativas de conjuntos, como son la in­
tersección, unión, diferencia y complementación.
E J E M P L O 1. Sean los conjuntos A= IxeR|-3<x<21, B={xeR| (x-12*-S4l y C=fxeR|
-4<xi61. Efectuar las siguientes operaciones:
a) C-(ADB) b) (A-B)'-C c) (BBC) ’-(AUB) ’
Solución. En B: (x-2)144 *-► -2 -í x-2 -í 2 <-► 0 i x í- 4
Entonces: A = <-3,2> , B = 10,4] , C = <-4,6]
A
3
----------------1
h _ ¡
-------------» > p , -------1
i ¡ o c ; * !
1 ' A h B '
I C-(ABB) 2 C-(At\B) !
<52ZX///////ZZZ&>
_______
-4 0 2 < TSólo fines educativos LibrosVirtual

262. Sección 4.10: Intervalos 249
a) Los pasos que se siguieron para C-(AflB) son ios siguientes:
(1) A n B = 10,2> (Conjunto de elementos comunes de A y B)
(2) C-(AfíB) es el conjunto de elementos de C que no pertenecen a AOB.
(3) Obsérvese que: Oe(AT)B) -* 04ÍC-(AO B) ] (Abierto en 0)
2t(A(\B) - 2c[C-(A(\B)) (Cerrado en 2)
(4) Por lo tanto: C-(AOB) = <-4,0> U [2,6]
b) (A-B)’-C
I 0 4 |
I ¡ C l
1
---------------- f
A-B 1 I
1
<**>' : i 1 « - » >
• n
(A-B)'-C >
.277////7/////A
i (A-B)'-C
1 Z Z Z Z Z Z L + .
-4 6
(1) A-B es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no a B.
Obsérvese que: OcB -* 04(A-B) -* A-B - <-3,0>
(2) (A-B)' es el conjunto de elementos que no pertenecen a (A-B).
Como -34 (A-B) y 04(A-B) -» -3,0c (A-B)' - (A-B) ' = < - » , -3] U [£»,+->
(3) (A-B)'-C es el conjunto de elementos que pertenecen a (A-B)’ y no a
C. Vemos que: -44C -* -4c(A-B)' (Cerrado en -4)
6cC ■* 64(A-B) ' (Abierto en 6)
(4) Por lo tanto: (A-B)’-C = - 4 ] U < 6 , + ”*>
c) (BnC)'-(AUB)'
r = ¡ — t — 1
! i
i I
i — !
--------------?
i : i,
i I o
lBnc>' i I ;
i í
-------------
i
A U B j I
i
i
-4
ÍBH O '- Í A U B ) '!
i
_______________s_______LSólo fines educativos LibrosVirtual

263. 250 Capitulo 4: Números Reales
(1) Vemos que B ^ C - BflC = [0,4] - C B n C J ' =< ~ , 0 > U <4,+->
(2) A U B = <-3,2> U 10, 4] = <-3,4] - (AUB) ' = <-»,-3]U <4,+“>
(3) Por lo tanto: (BOC)'-(AU B ) ' = <-3,0>
EJEMPLO 2. Supuesto que los antecedentes son verdaderos, establecer el
valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si (5x+l)c<-3,2> - (j±¿) e , - -j|->
b) Si (2x-3)c<-7,12> - f-3x+5>e<-18,8>
c) Si (5x-l)t<4,9> - <3^2>e<-1’2>
Solución. (1) Si (5x+l)c<-3,2> -3 < 5x+l < 2 (Def. 4.15)
~ -±<x<± ~ < 2x < | ~ - 1| <2x-2< - |
5 _ L s 5 - 1 ' ^ 5 5.
8 2x-2 ~ 18 ~ <2x-2) E < 8 ’ 18
L a afirmación es verdadera.
(2) Si (2x-3)e<-7,12> <- -7 < 2x-3 < i2 -2 < x < -j (Q 3)
<- - ^ 4 < -3x < 6 -► - < -3x+5 < J1
Entonces: (-3x+5)c<- J¿~, 11> <£ <-48, 8> * (-3x+5)¿<-18,8>
La afirmación es falsa.
(3) Si (5 x-l)z <4,9> 4 < 5x-l < 9 «- 1 < x < 2 3 < 3x < 6
~ J < 3x-2 < 4 ~
Como: -1 < - j y 1 < 2 - - J < < 2 - ( 3 ¿ 2 ) c < ~1 ,2 >
La afirmación es verdadera.
EJEMPLO 3. Dados los conjuntos A=[xeR| [x- 3 ]e[ - 5 , 3 > ] , B= [x eR| ( ~ ^ ) £[”4,2]}
C = (x eR| (•^— ■)e<~3, 4>) . Hallar P=[(A-B)u (B-C)](\ (AuC).
Solución. Para A: (x-3) e[ - 5 , 3 > -5 < x-3 <3'*-*-2<x<6«-» x e[ - 2 , 6 >
Para B: [-^í ]e[-4,2] «-> -4 í ^ « 2 1- -8 < 2 - x < 4
-- -4 $ x-2 4 8 -2 4 x 4 10 ~ xel-2,10]
Para C: (2S^ )c<-3,4> — -3 < < 4 -> -6 < 3x-l < 8
** -5 < 3 x < 9 *-* ~ ^ < x < 3 * * xe<-5/3,3>
Luego, A-B = [-2,6> - [-2,20] = <t> (ACB)Sólo fines educativos LibrosVirtual

264. Sección 4.11: Operaciones con Intervalos 251
B-C = 1-2,10] - <-5/3,3> = [-2,-5/3 ] u [3,10]
A U C = [-2,ff]u<-5/3,3> = [-2,6] = A (CcA)
Luego: P = (* U [-2,-5/3] Ü [3.10]) n [-2,6] = [-2,-5/3] U [3,6]
EJEMP LO 4. Dados los siguientes conjuntos: A=(xeR|2<x<5}, B=(xeR| -3íx<2},
0 } x e R j x > 5 } ; P- fxeR|xeA «-* xeB}, Q={xeR|xeC -*• xe A } . Hallar el
conjunto P n Q.
Solución. Tenemos: A=<2,5], B=[-3,2> , C=<5,+“>
En la equivalencia lógica: p *-* q = (p ~ q) v v(p v q)
si hacemos: p=A y q=B * A *-► B = (A 0 B) v (A U B) '
Entonces: xe A •*-* xeB = x e f A n B J v x e ( A U B ) ' = xefAflB) v x/(A u B)
= x e / < 2 , 5 ] n [-3,2>) v x * í < 2 , 5 ] u [ - 3 , 2 > 3
h x e f * ) v x * ( [ - 3 , 5 ] - 1 2 U = xt([-3,5]-[2})
= x e< - “ , -3> u < 5 , + “ > U 121
Luego: P = <— >,-3>U <5,+“ > U [2]
En Q útil izamos la equivalencia condicional: p ■* q s ''-pv q
x eC •►'■xeA s xiC v xeA = x^<5,+“> v xe<2,5]
= x e< - " ,5 ] v x e< 2 , 5 3 = < - “ , 5 ] = Q
-3
p o q = <— ,-3>ul2)
EJ EMPLO 5. Si (2x+l)e[5,9], hallar el menor valor de M que satisface la
desigualdad: < M
X~~D
x+3 8 8
Solución. Efectuando la división: — ? = 1 + — ¡ -* 1 + — ^ < M (a)
X~ O X “ 0 X ”“0
Partiremos de (2x+l)c[5,9] para llegar a la expresión (a)
(1) Si (2x+l)e[5,9] 5 < 2x+l < 9 «- 2 < x < 4 (0.3)
(2) Sumando -5: *— -3 < x-5 < -1
(3) Inviniendo: — ■ < ^ 5 < ~ 3 ** ~8 < ~ £ j < ~ J <T-29 y r -28>
(4) Simando -1: « -7 < 1 + < - "f"
(5) Comparando (a) y (B) se deduce que: M = -5/3Sólo fines educativos LibrosVirtual

265. 252 Capitulo 4: Números Reales
EJEMPLO 6. Si xe[l/4,3/2], hallar el mayor número m que satisface la de-
x-2
siguaIdad: ■ ^ >, m
x-2 2 2
Solución. Efectuando la división: = 1 -» 1 + >sm (a)
Partiremos de xt[l/4,3/2 ] para construir la expresión (a):
(1) Si x e[ 1 / 4 , 3 / 2 ] *- ~ * x ~4 < " T (Def .4.15 y 0.3)
(2) invirt iendo: ~ - j « ¿ .< - -± ~ - ± « J L « - - f - (T.29)
(3) Sumando 1: ~ 4 1 t •£ JJ ÍB)
(4) Comparando (a) y (B) se deduce que: m = 1/5
EJEMPLO 7 . Dados los conjuntos: í l = < - 2 , 1 4 ] , A = (x e í) |x e< -3 , 5 ] - * x ¿ < 0 , 9 > ) ,
B = [ x e ¡ ] | x > -I <-► xi<-2,2>\ y las siguientes operaciones bina­
rías: p*q=v(p «-* q), p#q=%fp q). Si A 1= [xe I)|xe A * X e B ) , /V = [x e U |x ¿ A # x¿B),
Q=[xe(/|xeA1 * xiN\. Hallar (MU MJ ' h Q
Solución. Para el conjunto A tenemos: p * q = vpv q
A = [ x e I / | x e < - 3 , 5 ] - x t < 0 , 9 > \ - A = í x e U | x ¿ < - 3 , 5 ] v x í<0,9>)
- A = [ x e ü | x e < - 2 , - 3 ] u < 5 , 1 4 ] v x e < - 2 , 0 ] u [ 9 , 1 4 ] ) = [ x e { / | x e < - 2 , 0 ] U < 5 , 1 4 ] ) .
Para el conjunto B: p *-» q = (p a q) v v(p v q)
- B=[xe[/|xe[ - 1,14] — xi! <-2,2>) = )x e(1|xe[-1,14] — x e [ 2 ,1 4 ] )
h. B = [xeU |xe([-1 ,1 4 ] n 12,14)) V x * ( [ - l , 1 4 ] U [ 2 ,1 4 ] ) )
= [x e[/|x e[2 , 1 4 ] v xi' [ - 1 , 1 4 ] ) = (x eI/|x e[ 2 , 14) v x e< - 2 , - 1 > )
Entonces: B = < - 2 , - 1 > u [ 2 , 1 4 ]
Para el conjunto M = (x eU |x eA * x eB)
Por la operación *: A*B = v(A « B) = •'•[(AnB) u (A uS)']
i [ (A n B) U (A u B) ’ ] ’ = (AhB)' h ( A u B )
A n B = (<-2,0] U <5,14]) f) (<-2,-l> u [2,14]) = <-2,-l>U <5,14]
Entonces: ( A O B ) ' = [ - 1 , 5 ]
A u B = f<-2,0] ü <5,14]) u (<-2,-l> u [2,14]) = <-2,0] U [2,14]
Luego: M = [ - 1 , 5 ] fl ( < - 2 , 0 ] U [ 2 , 1 4 ] ) = [ - 1 , 0 ] u [ 2 , 5 ]
(Verificar el resultado para M en una escala real)
Para el conjunto N = [x eO |x¿A # xiB], se tiene:
Por la definición de complemento: xtí # x¿B = A'ttB'
Por la operación i: A'tt B = v(A' -*• B') s A'flB (v(p -*■ q) = p A-vq)
A ’=<0,5] y B=<-2,-l>u [2,14] - N = A'nB=[2.5]Sólo fines educativos LibrosVirtual

266. Ejercicios: Grupo 24 253
Para el conjunto Q={xet/|xeM * xtN), se tiene:
M*N' = *(M ~ N') 2 (M-*N')' = l(MnN') u (MUN')]'
= (M n N') 'O (Mu N’) (Comp. C. 9 y C. 6)
Ai fl N' = (l-l,0]ü 12,5]) n (<-2,2>0 <5,14]) = 1-1,0]
Entonces: (MnN')' = <-2, -1> U <0,14], ; MUN' = <-2,14] = U
Luego: Q = (<-2,-l>u <0,14]) n (<-2,14]) = <-2,-1>u <0,14]
MU N = l-l ,0]U [2,5] - (MUN)' = <-2,-1> U <0,2> U <5,14]
Ilustración gráfica de (MUN)'OQ:
Q Q
? 1 ? ?-
....................... T
<¡>.
(MUN)'
I
9-
i
(MUN)' ^
M S / M / / / A Y / / / / / / / / M Y / / / / / / / / / / / / / / A L
-2 -1 O 2 5 14
(MUN)'(\Q= (MUN)’ = <-2,-l> U <0,2> U <5,14]
EJERCICIOS: Grupo 24
1. Sean los intervalos: Á=<S,12>, B=<7,16], C=[16,+^>. Hallar (At\B) ’-C'.
2. Si A-<-7,'-3], B=<-3,4> y C=(xeR|x>4}. Hallar: C'-(AUB)'.
3. Si A={xeR|xe<-5,5> a xe[0, 8]}, B={xeR|xs [-4, 6] v xe[4, JO]}, OíxeR|xe[-5,2]
* xe[0,8]}. Hallar: (AOB)&C.
4. Sean los intervalos: A=[-2,5], B=<1,3] y C=<-3,5]. Cuáles de las siguien
tes afirmaciones son verdaderas?
a) A ' C B ' b) (A-B) ' fí C' = 4> c) A-B = C-tBufC-A;]
5. Si se dan los conjuntos en R: A=<-3,8>-{1 J, B=<-“ ,3] y C=í6,+a>. Cuáles
de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) ( A ü B J c < - " , ? ] c) ( A n C ) U B = <6,8> U <-~,-3>
b) (C-A) = [8,+~> d) A' = - 3 ] U [8,+=>
6. Sean: A=N n (<5,8] u [20,36]), B=N(\<7,24]; ONB<22,40]; D=[(B U C)-(C-B)]
U(A-B’); E=CU [(A-B) U C'] 1. Hallar el número de elementos de D 0 E.
7. Si A= {xeR ¡ 2x+4<x- 7), B= (xeR | x-1 <2x<x+81, C=[l ,3]. De las afirmaciones si.
guientes, cuántas son verdaderas?
a) (BUC)-A = B b) (B-C)U<1,3> = <■-!,+ »>Sólo fines educativos LibrosVirtual

267. 254 Capitulo 4: Números Reales
c) A ’-B = 1-11,-11 U [8,+~> d) ( A U C ) O <-11,1> = <-->,3]
8. Demostrar que:
a) Si xe<-3,2> - O < - ^ r < 4 - c> Si xe<-2,5> - e <0,1>
( ( ¿X+Ü
b) Si xe<-3,5> - e <0,1> d) Si xe<2,4> - ( ¿ ¿3) e < ¡ 7 > ~J >
9. Determinar el menor Al y el mayor m tal que si x e[-2,3], entonces:
10. Determinar el mayor -valor de M de modo que si xe<4-AI,4+At> * /xe<2,3>.
•»*+?
22. Si (2x+l)c[S,91, hallar el menor valor de M que satisface 7^5 -S
12. Para xe[2/2,3/2], sea M el menor valor y m el mayor valor que satisface
x+2
la desigualdad: M - hallar M-m.
13. Determinar el menor Al y el mayor m. tal que Yxt[2,51, entonces:
. 4xi+xz+8x+2 . „
m '$
---2x1Í2x_ “ < Aí
14. Hallar el menor número Al con la propiedad de que VxeR: 3+36x-12x 1 -í Al.
15. Hallar el mayor número m con la propiedad de que -VxeR: m ^ 4xz-12x+3.
16. Sabiendo que xe<-~,-3> u <3, +°>, hallar M y m, si Al y m son respectiva­
mente el menor y el mayor vaior que satisfacen; m < Q^y-x») - ■‘O1 < M
11. Sean AMxeAí| 3$ocí20}, B=IxeJV|x>7) , C={7,8,9,10). Hallar:
(A-B) U C U (BOA').
18. Dados los conjuntos: A=<xeR| (x-2,)e[-3,5>} , B={xeR| (2~— -)z<-2,4]} ,C={xeR|
xiB XeAI, D=(xeR|xe/\ f xeC}. Hallar los intervalos que corresponden
a la siguientes operaciones:
a) (A-B)nC b) (AuB)-D c) (CnDJUA d) (A'-D')-B
20. Dados los siguientes conjuntos: A={xeR| (^-^)sl~4,4]}, B={xeR¡
2>) , C= {xeR|(4x-2)e<-l,31), D=lxeR|(3-2x)e<-6,4>). Hallar los interva­
los correspondientes a los siguientes conjuntos: AÍ={x eR |x eA +■» xcO) ,
N=lxeR|xeA *-► x eB} ; P = Ix eR |x¿ B v x¿Cf ; r={XeR|x¿C -► x eD) .
21. Dados los siguientes conjuntos: A={xeR|(-x-3)*l-2.6>}, B=lxcR\(2x/5)e
1-10,21), C=lxeR|-xeA xtfBl. Hallar (C-B) ir (AfíC).Sólo fines educativos LibrosVirtual

268. Ejercicios: Grupo 24 255
22. Dados los conjuntos: S=(xeR| (~)sl-3,2>}, T={xcR\(~)e<-4, lll, AÍ=teR
|(4x-l)el-2,2]]; P={xeR|(2-3x)e<-3,I>). Hallar los intervalos correspon
a los siguientes conjuntos: A={xeR|x^S + xeTt ; B=ixeR]xe.W ** xePi ;
O t o R j x e S v x$P\ ; D=ixeR|x^T ~ xeM].
23. Dados los conjuntos: .W=lxeR| (~x/3)cl~2,4>], S=ixeR|3xs[-2,3]}, T=íxeR|
(l-x)e<-l, 5>). Hallar el intervalo correspondiente a P=ixeR|xe(Ai fl T) *
xeS).
24. Dados los conjuntos: A=ixeR| (x/3)el-3,2>i, B={xcR|3xe<-2,3]), C=íxeR|
(2-x)e<-l,+°>> ; efectuar: a) A-B , b) B'fíC’ , c) A'UC' , d) A'-(BDC)'
25. Dados los conjuntos: M=ixeR| (■^~)c<~2,2]i, N=(xsR| (3x/2)f<-l, 4> l,
P=íxeR| (2-x)<3 x>2). Hallar el o los intervalos que corresponden al
conjunto A=IxeR|xeM **■ xc(NnP)).
26. Dados los conjuntos: A=<xeR| ^ — -)e<-2,41); 2J=íxeR|2x2+3x+I<0}; C=lxeR|
x z>2 - x*<-2). Efectuar: (A-B)U(BfíC)
27. Dados los conjuntos: A=ixzR\xí-4iO ~ x 2-25501; B={x£R\x*-6Z-xv x~-x<-l)
C=lxt:R\xl+x+l>0 * x2<x). Hallar el intervalo correspondiente al conjun-
20 0=ixeRjxe(A-B2 «- xe(C-A)].
28. Dados los conjuntos: A={xeR|(x2-3.)e[-3,ff>l; B - t o R j(3-2x)cl-4,2]},
C=4xeR|xeA ■* xeBl. Hallar el conjunto D, sí D=ixeR|xeA *-* xeC}.
29. Sean a~(2+rr3) ~l y b=(2-S3)~l. Dado un número 2e[a,b], determinar el nú­
mero fe{0,2) tai que: 2=ta+(l-t)b
30. Sean a y b números reales fijos, tales que a<b. Demostrar que dado
kela.b3, existe un romero único te[0,l], tal que k=ta+(l-t)b.
31. Dados los conjuntos: A-{x^R\('2~^)^<1/4,21] , B=lxeRj^j- > x+6) y
o _ 2 _ A
C=(xeR| ---g- í x +6}. Construir el conjunto: M={xeR¡xe(C-A) * xeBl.
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

269. 256 Capitulo 4: Números Reales
3 E RESOLUCION GRAFICA DE INECUACIONES EN R
________y
Cuando realizamos el estudio de la técnica para resolver inecuacio­
nes cuadrát icas y racionales, habíamos visto como éstas se podían resolver
en forma sencilla aplicando el Teorema 30 (Regla de los signos):
i) ab > 0 *- (a > fl » b > 0) v (a < 0 ^ b < 0)
i i) ab < 0 (a > 0 * b < 0) v (a < 0 * b > 0)
Obviamente, si el producto hubiera consistido de tres o más factores linea­
les, la aplicación de este teorema se haría miy difícil y compl icado por el
mayor número de alternativas que aparecerían. Para evitar esta dificultad
existe un método de resolver inecuaciones en R haciendo uso de la represen­
tación gráfica de los números reales en la recta real, y consiste en lo si­
guiente:
(1) Dada una inecuación en R, se descompone ésta en factores lineales
dándole la forma: atPO o at^O
(2) Se resuelve la ecuación ab=0 ** a-0 v b=0
(Las raíces de esta ecuación se llaman valores o puntos críticos de la
inecuación dada)
(3) Se ubica los puntos críticos en la recta real, determinando en ella los
intervalos de variación, luego se estudia el signo (-) | (+)
de cada factor en dichos intervalos, por el crite- Í
x < c c x> c
rio siguiente: Por ejemplo, sí c es un punto crítico: , „ ■ . ,
(x-c)< 0 i (xrc) > 0
A la derecha de c, VxeR: x>c * (x-c)>0, se escribe (+) *
A la izquierda de c, ¥.»R : x^c * (x-c)<0, se escribe (-)
(4) Se determina el signo de cada intervalo mult iplicando verticalmente los
signos de cada factor. El resultado se ubica en la recta real.
(5) Según sea el sentido de la desigualdad dada se eligen el o los interva­
los que constituirán el conjunto solución.
Si la inecuación tiene la forma P(x) < 0, el conjunto solución lo conforman
(a unión de los intervalos donde aparece el signo (-).
Si la inecuación es de la forma P(x) > 0, el conjunto solución estará dada
por la unión de los intervalos donde aparece el signo (+).
EJEMPLO 1. Resolver: lxeR|x1-x-6<01
Solución. (1) x 2-x-6 = (x+2)(x-3)
(2) (x+2)(x-3) = 0 x=-2 o x=3 (Puntos críticos)Sólo fines educativos LibrosVirtual

270. Sección 4.12: Resolución Gráfica de Inecuaciones en R 257
(x+2)
(-> ¡
r+) 1 (+)
(x-3)
M !
(-) i (*)
i * JL *
______
<« © " 2 Q 3 ©
(S) Dado que P(x)<0, el signo (-) corresponde al intervalo <-2,3>, entonces
S = <-2,3> = <ieR|-2 < x < 3)
EJEMPLO 2. Resolver: ' " * ^ 4 ^ 2 >x 0
„ , , - 2xl +3x-2 (2x-l)(x+2) . n
Solución.
------------ = — - >s O
x*+4x-12 (x+6)(x-2)
(1) Inecuación equivalente: (2x-l)(x+2)(x+6)(x-2) >s O , xf-6 , x/2
(2) (2x-l)(x+2)(x+6)(x-2)=0 ** x=l/2, x=-2, x=-6, x=2; son los puntos crí_
ticos de los cuales deben ser excluidos x=-6 y x=2.
(x+6)(-) ¡ (*)
! <+)
! !
(+)
(x+2)(-)
1
I
! (+)
! <*> !
(+)
(2xrl) (-) J <-) 1 (~} i (*> i (+)
(x-2)(-)
!
; (-)
I 1
| (-) | (+)
* i + l + ¡ ♦ ! +
— •«
-------------4----------4-------- ¿ 4 — ■ ■ '> 4»
(4> 0 ^ O O l 7 * O 8 ©
Í5> En este caso P(x)>0, entonces interesa los intervalos con signo positi­
vo. S = <-»>, -6> u [-2,1/2] u <2, +=>
Observación. Nótese que en la solución de las inecuaciones de los ejemplos
anteriores, el signo del último intervalo (derecha) es siem­
pre positivo, después los signos se van al temando en cada intervalo, de de
recha a izquierda: (+),(-),(+) De este suceso se puede establecer una
técnica para resolver inecuaciones de orden superior y que es mucho más sen
cilio y práctico que la regla gráfica de ¡os signos. Esta nueva técnica se
basa en ¡a aplicación del algoritmo de la división para un polinomio P(x) y
que es llamada: el método de tos valores críticos.Sólo fines educativos LibrosVirtual

271. 258 Capitulo 4: Números Reales
INECUACIONES POLINOMICAS
Las inecuaciones polinómicas tienen la forma:
P(x): a¿xn + a ,arn *+ o,xn . . . . + an > 0
P(x): a¿xn + a,xn *+ a¿xn *+ . . . . + an < 0 (2)
(1)
y son llamadas también inecuaciones de orden superior.
Para un polinomio de grado n, con coeficientes reales;
existen n números reales r ,, r , , . . . , rn (no necesariamente distintos)
tales que:
Si uno de los factores de (3) es (x-r), entonces se dice que r es un cero o
raíl de P(x); si m de estos factores son precisamente (x-r), r se llama un
cero de multipl icidad m.
Se dice que un valor crítico es un cero simple si su multipl icidad es uno,
en todo caso, se dice que es un cero eúltiple. Por ejemplo, si:
Existen tres casos para resolver inecuaciones polinómicas y son los si­
guientes:
CASO l. Los ceros del polinomio P(x) son de multiplicidad simple, es de-
donde: r t < r* < r, < . . . < rn
Los pasos a seguir son los siguientes:
(1) Se halla los valores críticos factor izando el polinomio P(x) y resol­
viendo la ecuación P(x)=0.
(2) Se ubica los valores críticos sobre una recta real y se señalan los in­
tervalos de variación.
(3) Se anota con signo (+) el último intervalo <rn,+->, luego en los demás
intervalos se alterna los signos (-),(+),(-),.., de derecha a izquierda.
(4) El conjunto solución lo conforman la unión de intervalos con signo pos¿
tivo si P(x)>0, o la unión de intervalos con signo (-) si P(x)<0.
P(x) = a,(x-rx)(x-rJ. . . .(x-rn ) (3)
entonces:
cir, son reales y diferentes. Esto es:
P(x) = a(x-r¡)(x-r1) . . . .(x-rn)Sólo fines educativos LibrosVirtual

272. Sección 4.13: Inecuaciones Polinómicas 259
EJEMPLO 1. R e s o l v e r : x ' + 2 x3-9xl-2x+8 > O,
Solución. Sea P(x) = x'+2x3-9x2-2x+8 = (x+4)(x+1)(x-1)(x-2)
(1) Si P(x)=0 + x=-4 , x=-l , x=l , x=2 (valores críticos)
(2)
W O "* O O O 0
(4) Como P(x)>0, el conjunto solución lo conforman la unión de los
intervalos con signo positivo, esto es:
S = <-=, -4> U <-1, 1> U <2, +■»>
EJEMPLO 2. Resolver: 2x'-7x3-llx1+22x+24 4 0
Solución. Sea P(x) = 2xl'-7x‘-llx 2 +22x+24 = (2x+3)(x+l)(x-2)(x-4)
(1) Si P(x)=0 + x=-3/2, x=-l, x =2, x=4 son los valores críticos.
m
-----------------------------------------------------------------------------------------------
m © O © 2 O 4 ©
(4) Como P(x)sO, el conjunto solución lo constituye la unión de los interva
los con signo negativo, esto es:
S = [-3/2,-J]u [2,4]
P(oc) P(x)
Observación. Las inecuaciones racionales de la forma > 0 o Qfccj < ®
donde P(x) y Q(x) son pol inomios no nulos de grado > 2, tam­
bién pueden ser resueltos por el método de los valores críticos, teniendo
cuidado de restringir las raíces de Q(x)= 0.
EJEMPLO 3. Resolver: °. < 0
x -3x -x+3
r» 1 •' x2-x-20 _ (x+4)(x-5) , n
ucion. x 2-3x2-x+3 ~ (x+1)(x-l)(x-3)
Inecuación equivalente: (x+4)(x+1)(x-l)(x-3)(x-5) $ C
Valores restringidos: x)±l , x43
(1) Puntos críticos: P(x)=0 + x=-4, x=-l, x=l, x=3, x=5
(2) -1__
m © "’ © -1 © ' © 3 0 5 ©
(4) Como P(x)40, el conjunto solución lo conforman la unión de los interva­
los con signo negativo, esto es:
S = <-” ,-4] u <.-!,!>u <3,5]Sólo fines educativos LibrosVirtual

273. 260 Capitulo 4: Números Reales
CASO II. Los factores de P(x) son todos lineales y algunos son ceros de
muí tipl icidad múltiple. Supongamos que (x-r ¡) es el factor que
se repite m veces, entonces puede ocurrir lo siguiente:
A) Si m es par, los signos de los intervalos donde figure r¡ son iguales, es
decir, no son al temados. Entonces se elimna el factor (x-r¡) y se traba
ja con los demás factores como en el Caso I. Esto es, si:
a) (x-r t)m (x-a)(x-b) > 0 *-* (x-aj(x-b) > 0 y x¿r¡ (restricción)
b) (x-r¡)m (x-a)(x-b) < 0 <-► (x-a)(x-b) < 0 y xjr¿ (restricción)
c) (x-r i )m (x-a) (x-b) í. 0 <-*• (x-a) (x-b) i. 0 5 x=r¡
d) (x-ri)m (x-a)(x-b) S 0 «-► (x-a)(x-b) S 0 ó x=r¡
Obsérvese que en las desigualdades estrictas (>0 ó <0) se restringe la
raíz x=r¡ , lo contrario sucede para las desigualdades no estrictas (%0 6
SO).
EJEMPLO 4. Resolver: x'-4xs-3xz+14x-8 'i-0
Solución. Sea P(x)=x'-4x’-3xz+14x-8 = (x+2)(x-l)z(x-4)
(4) El conjunto solución es la unión de los intervalos con signo (+).
Dado que (x-l)l%.0, VxeR, entonces, según el Caso IIAc, se tiene:
Inecuación equivalente: (x+2)(x-4)i.O o x=l
(1) Valores críticos: P(x)=0 * x=-2 , x=4
♦
1
+ ao
/. 5 = <-«, -2 ] ü {I } U [ 4, +«>
EJEMPLO 5. Resolver: x i-5x*+2xz+14xz-3x-9 < 0
Solución. Sea P(x) = x*-5x'+2x,+14xz-3x-9 = (x+1) 2(x-1)(x-5)z
Como (x+l)z>0, VtceR-{-I} y (x-3)z>0, -WocejR-{3}, hay dos restric­
ciones: xj-l y x¿3
Inecuación equivalente: x-1 < 0
(1) En este caso, el único valor crítico es x=l
(2) .oo
(3)
(4) Como P(x) < 0 + S = <-co,i> - { -i }Sólo fines educativos LibrosVirtual

274. Sección 4.13: Inecuaciones Potinomicas 261
B) Si m es impar, el factor (x-rt)m tiene el mismo signo del factor (x-r¡),
en consecuencia, la inecuación se resuelve como en el Caso I, esto es/ si
a) (x-ri)m (x-a)(x-b) > O (x-r¡)(x-a)fx-b) > O
b) (x-r i )m (x-a)(x-b) < O — * (x-r¡) (x-a)(x-b) < O
EJEMPL O 6. Resolver: (x+2)(x-l)3(x-3)(x-6) < O
Slución. Según el Caso IIB, la inecuación equivalente es:
P(x): (x+2)(x-l)(x-3)(x-6) < O
(1) Valores críticos: Si P(x)-0 *-*• x=-2, x=l, x=3, x=6
(
2) ¿
<3> © ‘ 2 G 1 O 3 O ” ©
(4) Como P(x) < 0, el conjunto solución es la unión de los intervalos con
signo negativo: S = <-2,l>a<3,6>
CASO III . Cuando tos factores de P(x) son lineales y cuadral icos, siendo
los ceros del factor cuadrát ico no reales.
Ilustraremos el caso con los siguientes ejemplos:
E JE MPL O 7. Resolver: x i-2x'-x‘-2xz-20x+24 < 0
Solución. x í-2xs-x,-2xz-20x+24 = (x+2)(x-1) (x-3) (xz+4)
El factor x z+4 tiene raíces no reales (&<0), por lo que x ‘+4>0 ,
■VxcR. Podemos entonces prescindir de este factor y analizar los signos de
los intervalos para la inecuación equivalente: (x+2)(x-l)(x-3) < 0
(1) Valores críticos: P(x)=0 '-*x=-2, x=l, x=3
(2) g ^ r - ' r r - - % ,
o , o ‘ 2 O 1 O 3 0
(4) Como P(x)<0, el conjunto solución es la unión de los intervalos con sig
no negativo: .'. S = <-», -2> u <J ,3>
EJEMP LO 8. Resolver: x i-2x‘,-Sx3-10xl-12x+16 > 0
Solución. Factorizando obtenemos: (x+1)(x-l)(x-4)(xI-2x+4) > 0
El factor cuadrát ico tiene soluciones no reales (comprobar que
&<0), por lo que x I-2x+4>0, VxzR. Prescindiendo de este factor, la inecua­
ción equivalente es P(x): (x+l)(x-l)(x-4) > 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

275. 262 Capítulo 4: Números Reales
(1) Valores críticos: P(x)-0 + x=-l , x=l , x=4
<2)
w Q -1 Q 1 O 4 G
(4) Dado que P(x) >0, el conjunto solución lo conforman los intervalos con
signo positivo, esto es: S = u <4,+”>
EJEMPLO 9. Resolver: (x,-8)<xl-9)í(xl+4) ^ Q
(xi-4)(x-l)
Solución. Factorizando en el nunerador y denominador se tiene:
(x-2)(xl+2x+4)(x+3)*(x-3)1(x1+4) . .
« ■ u
(x+2)(x-2)(x-l)
Observamos aqui lo siguiente:
a) Existen tres valores restringidos: xf-2 , xfl , xf2
b) Se debe prescindir de los factores (x+3) y (x-3) por el Caso II:A.d y el
factor (x-2) por cancelación.
c) Se debe prescindir de los factores (x*+4) y (xl+2x+4) por ser ambos posi_
tívos VxtR (Verificar que ¿<0>.
£ntonces, de la inecuación original queda: (x +2)(x-l) ^ 0 ’ x*2 ’ ■r=±3
Inecuación equivalente P(x): (x+2) (x-1) -í 0 , xf2, xf-2, xfl, x=±3
(1) Valores críticos: P(x)=0 +-+ x=-2 , x=l
(2).c o
---------------------
(3) " 2 O
(4) Como P(x)<0, entonces: S = <-2,-l > U {-3,3}
EJEMPLO 10. Resolver : <xl~2x+2>> U'*)* <x+2>* >, q
x*(x*+5x+4)
Solución. Según el Caso II.B.a, la inecuación es equivalente a:
(xt-2x+2)(l-x)(x+2)2 >irQ „ (x1-2x+2)(l-x) o , xfO , x=-2
x*(x+l)(x+4) (x+1)(x+4)
Como x l -2x+2>0, -VxcR (Verificar que í<0), entonces, de la inecuación origi-
nal <*ueda: (x+lHx+4) » 0 ~ (x+l7(x+4) * 0 . x t O . x=-2
Inecuación equivalente: P(x): (x-1)(x+1)(x+4) ■$ 0, x¿0,-1,-4 , x=-2
(1) Valores críticos: P(x)=0 ** x=-4, x=-l, x=lSólo fines educativos LibrosVirtual

276. Sección 4.13: Inecuaciones Polinámicas 263
(4) Como P(x)SO, el conjunto solución lo conforma la unión de intervalos
con signo negativo y el número x=-2, esto es:
S = u {-2) u
EJEMPLO 11. Construir una inecuación entera o pol inómica de grado mínimo
cuyo conjunto solución sea i> U<J,2> u <3,5>.
Solución. Si XC<-~,1> u <1,2> U <3,5> * ace<— , 2> U <3, 5>-11}
Como x=l es un valor restringido, el polinomio P(x) tiene la for
ma: P(x) = (x-1) (x-2)(x-3)(x-5). Siendo m par * m=2 (grado mínimo)
Para saber si P(x)<0 o P(x)>0, ubicamos los valores críticos: x=l,2,3,5 en
la recta real y aplicamos la regla conocida:
- ° ■ .’j)
---------qí ■ > --
- 1 _ 2 + 3 5 + ■
/. P(x) < O - (x-l)z(x-2)(x-3)(x-5) < O
•— x s-12x"+24x‘-34x*+23x-30 < O
EJEMPLO 12. Si A es el conjunto solución de: i > O , y B es
(X+l ) (X +H )
3x+2
el conjunto solución de la inecuación < 8 bailar A ' n B
Solución. En A se tiene: t , < O
(x+1) ( x +4)
Como (x+l)*>0, VxcR-l-ll y x I+4>0, VxtR, la inecuación equivalen,
te a A es (x-l)(x+2) < O , xf-1
Por el método de los valores críticos obtenemos: A=<-2,l>-{-li (Verificar)
Entonces: A ’ = - 2 ] U [2,+“> U 1-2}
En B: - ^ 7 - 8 < O <- ^ 7 > O
x-1 x-1
«-> B = 1> u <2, +“> (Verificar)
Ilustración gráfica de A ' A B:
A'
; B i 4> o —
A'nB , ' i A' n b
I ITT——- T ^ - 7Vv, ' -
-2-1 1 2
A' b B = -2] u 1-J 1 u <2, +”>Sólo fines educativos LibrosVirtual

277. 264 Capitulo 4: Números Reales
EJERCICIOS: Grupo 25
En los ejercicios siguientes resolver la inecuación dada. Representar la so
lución sobre una recta real y expresar el resultado como un intervalo o u-
nión de intervalos.
1. ( x 2 + 2 x - 3 ) ( 3 x - 4 - x 2 ) > 0 9. < x , - l ) ( x , - x ‘ + 2 x - 2 ) ( x - 2 ) <
2.4 x ' + 4 x s + x 2 + 4 x - 3 4 0 10.
3 x - 2 < _ £ _
x + 1 x - 2
3.x ' - 3 x l - 1 5 x 2 + 1 9 x + 3 0 < 0 11. - s > -2
x - 1 x - 2
4.x ' - 4 x 2 - 3 x l + 1 4 x - 8 í- 0 12.
2 x l - 3 x + 3 . 1
6 + X - 2 X 1 2
S. ( x 2 + x 2 - 9 x - 9 ) ( x - 2 ) 2 < 0 13.
3*-6 * 2 - 3ÍTT
6.2 x * + 7 x 2 + 2 x - 3 < 0 14.
( x 2 - x - 6 ) * ( 2 - x ) > ( 3 + x ) 2 ^ n
( 2 x + l ) ( x 3 - 8 ) ( x i - 4 x ) '
7.( x - 2 - x 2 ) ( x 2 + 2 x - 8 ) < 0 15.
x h - 2 x 3 - x 2 - 4 x ~ 6 „ „
x * - 4 x i + x - 4 0
8.x ' - 5 x ' + 5 x 3 - 3 x 2 - 6 x + 8 >, 0 16.
x 2 . 8a2
■ “ 1 2* Q^O
x-<¿ x+a x -a
17.x , - 2 x ' - 4 x ' + 1 4 x ' - 3 3 x 2 + 6 0 x - 3 5 4 0
18.x 2 - 2 x * - 1 0 x ' + 2 0 x " + 5 x * - 7 x 2 + 7 x - 2 4 40
19.Hallar una inecuación entera de coeficien íes racionales, de grado mí¡
nk>, cuya solución es: <-=,-2> U <-2,2> U <3, +«>
20. Hallar la inecuación racional más simple cuyo conjunto solución es:
<-<■■.-3> U[-i,l> u[4,+->
21. Construir una inecuación racional cuyo conjunto solución sea:
< - » , - 2 > U [-1,3]U <4,+~>
22. Si A y B son los conjuntos solución correspondientes a las inecuaciones
(x-l)2-l , „ (x+3)(3-5x) _ „ , ,,
en R: TxÍ3-)(2-5x) < ° ; <x+l)(2x-+3)' * 0 •' hallar: AflB
23. Dados los conjuntos: A = I x e R ] ^ ♦ *
d - ,__D]<x'+2)(x-l)i(2x-l)(xt-4)
...........
B - \xcK — -— — — — — — —— r— — > 01 . Hallar A & B.
(x-2)(x-3)(x-l)(-3x-l)
.. 2x +jc3- x2 +6x-8
24. Si A es el conjunto solución de la inecuación ■? 0
hallar AfídO.l])’.Sólo fines educativos LibrosVirtual

278. Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con radicales 265
ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES
_______y
4.14.1 ECUACIO N ES C O N RADICALES
Son aquellas en que la variable aparece bajo un signo radical.
Por ejemplo, si p(x) es una proposición que contiene a la variable x, enton
ces:
Sp(x) = b , 'Sp(x) = c , V p(x) = d , etc.
son ecuaciones con radicales.
Aquí solo desarrollaremos una técnica para resolver ecuaciones radicales
que contengan raíces cuadradas. Pero antes de empezar directamente con el
problema, recordemos que si:
p(x) es un número real positivo * p(x)cR y p(x) 2 0
Esta inecuación constituye el universo U dentro del cual se resuelve la e-
cuación radical.
La técnica de resolver ecuaciones con radicales consiste en escribir una e-
cuación equivalente que contenga un solo radical en un lado y todos los de
más términos en el otro. Después eliminar el radical elevando al cuadrado
anbos lados, aplicando el siguiente teorema:
TEOREMA 40. Si beR y aeR*, entonces:
Sa = b a 5-0 . (b 2- 0 ~ a=b*)
EJ EMPLO 1. Resolver: 12-/x+8 = 2-2x
Solución. Ordenando términos: /x+8 = 10+2x
Universo de la ecuación U: x+820 <-» 12-8
Por el Teorema 40: xcU ~ (10+2x20 ~ (x+8=(10+2x)1)
- xeü „ [tó-5 - (4xl+39x+92=0)] - x2-5 - (x=-4 v x=-23/4)
Dado que: -4>-5 y -23/4<-S, entonces, x=-4 es la única solución válida.
EJEMPLO 2. Resolver: A x + /Sx+Í = 4
Solución. Como b=4>0, elevamos al cuadrado obtenemos: Áx + 4 = 2(8-x)
Universo de la ecuación: 2x+4 >, 0 ■*— t > - 2
Por el Teorema 40: (x >, -2} (8-x >, 0) * [2x+4 = 4(8-x)*J
++ (x 2- -2) (x 4 8) ~ (2xl-33x+2S=0) *- (-2 x 4 8) +■ (x=6 v x=21/2)
Vemos que: 6*1-2,8] y 21/2 i [-2,81 + x=6 es la única solución válida.
4.14Sólo fines educativos LibrosVirtual

279. 266 Capitulo 4: Números Reales
EJEMPLO 3. Resolver: S U R + /x73 = 3
Solución. Los universos parciales son: Ui:2x-li0 U¡ = x e[ 1 / 2 , + “ >
Ví :x+3Z0 •— Vi = xe[-3,+“ >
Universo de la ecuación: U = U, n U» = xe[l/2,+«>
Ecuación equivalente: ¿2x-l = 3 - /x+3
Elevando al cuadrado obtenemos: 6/x+3 = I3-x
Por el Teorema 40: (x 1/2 « J3-x >^0) ~ [36fx+31 = fI3-x>*]
++ (1/2 <6 x < 13) ~ (xx-62x+61-0)
++ (1/2 <S x~f 13) ~ (x-1 v x=6’J) + Je[ J / 2 ,í3 ] y 61^(1/2,13]
Luego, la única solución válida es x=l
EJEMPLO 4. Resolver: / x + 2 + ^x+8 = / & C + I
Solución. Universos parciales: x+lZO , X+8Z0 , 6x+lZ0
+ U = (x >S -1) n (x >S -8) fí(x >, -1/6) ++ U = xe[-i/ 6,+»>
Elevando ambos lados al cuadrado obtenemos: >/x1+9x+8 = 2x-4
Por el Teorema 40: (xi-1/6 ~ 2x-4Z0) ~ [x1+9x+8 = (2x~4)x ]
*+ (xZ-1/6 - x?2; C3xt-25x+8=0; +-+ (xZ2) ~ fx=J/3 v x=8;
Vemos que: 1/3 V- [2,+”> y 8^12,+“>; luego: S = <S>
EJERCICIOS: Grupo 26
Resolver las siguientes ecuaciones:
I./2x-3 + /x-J = /3x-2 II. /x-2a = /x-3a - /x+3a , a >0
2./2+x - / F x = x 12../ax*-2x+9 + /3x1-2x-4 = 13
3./3x-6 + /2x+6 = /flx+4 13./ 2x=3 = /8x-I¿ - /x+T
4./2x+7 - /x-5 = /x" 14./4x*-4x-3 - /2x1+5x-J2 = /2x-3
5./x-2a = /x-5a - /x+3a, a>0 1 5 ./2x+5 - / 2 x - U = /2x-16
6./x+2a + •'x' = / I2x + a , a>0 16./lx,+7x+15 - /2x'+5x-3 = /x*+2x-3
7./3x+16 - /2x+9 = 1 17./ Ü P S = / í f ^ - /x^fí
8./3x*-7x-30 - /2x*-7x-5 = x-5 18./i=l * /x + 4 = /3x+10
9.
/1+x + /l-x _ 3
19.
/x" + / x - A _ ,
/I+x - /I-i /x - / x-8
10. / 2 Ó R - / 3x+J0 + /F T = 0 20. /2x¿-ftr+4 + 3/2x-i = /2x2+2Ix-JiSólo fines educativos LibrosVirtual

280. Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 267
21. Si A=lxeR|/x+5 + /x-l - /2x+3=l}, hallar el conjunto potencia de A.
22. En R, sean A el conjunto solución de /ll-x-/x+6=3 y B el conjunto solu­
ción de /x+2 + /x = — ~ r . Hallar la sima de los elementos de AUB.
/x+2
23. Dada la ecuación * + /x + /1+x = 4, El valor de x que la satis-
& i - &
face es x=c/d con c y d enteros primos entre si. Hallar c l-d.
*
INECUACIONES CON RADICALES éé4.1 4 .2
En ía resolución de inecuaciones con radicales se sigue el mismo
criterio para resolver ecuaciones con radicales, pero fundamentalmente me­
diante la apiicación de los Teoremas 35, 35, 37, 38 y 39.
EJEMPLO 1. Resolver: /.x1+x-20 - /'x+16 < 0
Solución. Por el Teorema 35ii, se tiene:
/x1+x-20 < /x+6 +-+ 0 $ x l+x-20 < x+6
«— (x1+x-20 0) ~ (x1+x-20 < x+6)
*-+ (x+5 )<x-4) >,0 ~ (x1 < 36)
++■ (x 4 -5 v x í-4) * (-6 < x < 6)
de donde: S = xc<-6,-5] [4,6>
EJEMPLO 2. Resolver: /x*-6x+5 < -/x2-7x+10
Solución. /x2-6x+5 + /xx-7x+10 < 0
+-+ (x2-6x+5=0; « (x2-7x+10=0) (T.37H)
— (x=l x=5> (x=2 x=5) +-+ x=5
EJEMPLO 3. Resolver: /x2-2x-15 > -3
Solución. La raíz cuadrada de todo número real positivo es siempre mayor
que cero, entonces, la proposición dada es válida VxeU, donde V
es el universo de ¡a variable x. Esto es:
Si x *-2x-l5 0 (x-5)(x+3) >y0 ++ x 4 -3 v x >,5
.’. S = x e < - < ° ,-3] U [5, +">
EJEMPLO 4. Resolver: i/x2-x-2 < 5 - xSólo fines educativos LibrosVirtual

281. 268 Capitulo 4: Números Reales
Solución. Según el T.381Í: S~a < b < - *05.0 ~ (b>0 *■ a<bz) (a)
Resolveremos las siguientes inecuaciones:
(1) Cálculo del universo, a 5- O : x*-x-2 >sO -» (x-2)(x+l) >* O
(x ¿ -1 ■* x >, 2)
(2) b>0 *• 5-x>0 ■— x<5
(3) Eliminación del radical (a<b*): x*-x-2 < (S-x)z ** x<3
(4) En (a): S = (x < -1 v x > 2 ) ~ (x<5 * x<3)
= (xi-1 v xi2) ~ {x<3) = xS-I v (2$x<3)
S = x e< —,-2] U 12,3>
EJEMPLO 5. Resolver: /xz-3x-10 >/2-i
Solución. Por el T.39i: /aib ♦-* aiO * [i><0 v (biO a'ib1) (a)
Resolveremos las siguientes inecuaciones:
(1) Cálculo del universo (atO): x z-3x-10^0 ■** (x-5)(x+2)Z0 ■<-* x$-2 v xJ5
(2) b>0 * 2-xiO ** x$2 ; (b<0 * x>2)
(3) Eliminación del radical (aibz): x z-3x-102(2-x)’ xZ14
(4) En (a): S = <x$-2 v x>,5) ~ l(x>2) v (x$2 ~ XZ14)]
= (xS-2 v xiS) ~ C(x>2) v ( * 33 = CxS-2 v x}5) *. (x>2)
S = 1oceR|x£5) = [5,+“>
EJEMPLO 6. Resolver: /x+5 + /x < 5
Solución. En este caso, el universo de la inecuación es la intersección de
los universos parciales: U=(x+5ZO) ~ (xiO) = xe [ 0,+*»>
Siendo ambos extremos positivos Vxelj, elevando al cuadrado se tiene:
f-^c+5 * */x)z<25 *-» /x(x+5) < 10-x
Según el T.38H: / ¡ < b * * i i V 5 « (b > 0 *■ a < b 1) (a)
(1) Cálculo del universo parcial U,(a20): x(x+S)iO «-* x^-5 » x~iO
Entonces: U(\US - xelO,+~>
(2) b > 0 - 10-x > 0 •— xVIO
(33 Eliminación del radical (a<bz): x z+Sx < (10-x ) 1 x<4
(4) En (a): x W * (x<10 ~ x<4) = xiO ~ (x<4) - S = lxeR|0Sx<4> = [ 0,4>
EJEMPLO 7. Resolver: /x - /2x+3 < 1
Solución. Por el T.35H: / a < / E ■*-*• 0 4 a < b
Entonces: /x - /~2x+3 < 2 +-*■ O4 x - / 2x+3 < 2Sólo fines educativos LibrosVirtual

282. Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 269
(A) (B)
(A): /2x+3 S
x « 2x+3 i- O ~ (x > O ~ 2x+3 $ x 1) (T.38i i)
*— x í. -3/2 ~ (x > O ~ x2-2x-3 í- 0)
-+ x >, -3/2 ~ [x > O - (x n< -J v x 3/]
<- x >- -3/2 « f x > / 3 ; « x V 3 - S, = [3,+“>
(B): S2X+3 > x-J *-» 2x+3 > / 0 . [x-J < O v fx-J >,. O ~ 2x+3 > fx-l>2] (T.39)
*-» x *• -3/2 » [i < í v (xíaJ~ x2 - 4x- 2 < O/]
-► x í- -3/2 - [x < J v (x 5- i - 2-/6 < x < 2+/6J]
-» x >- -3/2 » [i < 1 v (i < x < 2+/6/J
-» (x > -3/2) . ( x < 2+/6> - S, = l-3/2.2+/6>
S = S ,0S2 = [3,+-> n 1-3/2,2+/6> = [3,2+/6>
EJEMPLO 8. Resolver: < O
’/x2 -4x+3
Solución. El universo de la inecuación lo obtenemos del radical de índice
par, esto es, para /x2-4, t/:x2-4 í- O *-» x2 i- 4 x-í -2»x í-2
Entonces: U = <->», -2] u [2, +“ >
Según el Teorema 36iv. si n es un número entero positivo impar, entonces:
n/a tiene el mismo signo de a. Luego, el ¡minando los radicales resolvemos
la inecuación, dentro de U.
x+4 „ _
_____ x+4__ . . , .
x2 -4x+3 (x-Dtx-3) (a)
Inecuación equivalente P(x): (x+4)(x-i)(x-3) < O, x / J , x/3
/l/ Valores críticos: P(x)=0 <-► x=-4 , x=J , x=3
w O - 4 0 J O 3 o
(4/ Los intervalos con signo negativo satisfacen (a) -» S, = <-»,-4] U <I,3>
S = UnSi = <-“ , -4] U [2,3>
EJEMPLO 9. Resolver: / j .xt4..+ 2 $ *-4
/ 2 - /5Í?
Solución. Universo parcial U1:x+4 >s0 *-* U¡ = xe[-4,+-»>
Según el T.38i: /a<b-*-*ai-0~ (b > 0 „ a ^ b1)Sólo fines educativos LibrosVirtual

283. 270 Capitulo 4: Números Reales
(1) Cálculo del Universo: a Z O - ■ x+4 - 2 >, 0 (a)
2 - /x+4
Dado que /x+4+2 > 0, Yx^U , la desigualdad (u) se cumple si:
2 - /x+4 > O /x+4 < 2 ** O 4 x+4 < 4 (T.35: Corol.b)
-4 4 x < O + U = xeí-4,0>
(2) Nótese que b=x-4 < O, YxzU, entonces: S i = (b > O « a 4 bl) = ♦
(3) Por lo tanto: S = l/flSi = [-4,0>(1 f* ) = *
EJEMPLO 10. Resolver: f X 3x 4- » x z-2x-29
/ 5-//6-X2
Solución. Por el T.39i: /á >, b ++ a >, 0 ~ [b < 0 a (b >s 0 ~ a >s b*)]
-v»*
_
(1) Cálculo del universo: a > 0 *► — >s 0
5 - //6-x2
■— (xl-3x-4 >, 0 ~ 5-//6-X2 > 0) v fx2-3x-4 -í 0 - 5-//6-X2 < 0)
V — I * \ ■■■.................. *
A B
En A: (x-4)(x+l) > 0 ~ /l6-x2 < 5
« ( i í - l v x H J « ( 0 v < 16-xl < 25) (T.35H)
++ (x 4 -1 v x 5- 4/ - fx* << 16 - x 1 > -9)
++ (x 4 -1 v x 4) *. (-4 4 x 4 4 * R)
++ (x 4 -1 v x >, 4) *■ (-4 4 x 4 4)
En B se niega las proposiciones dadas en A, luego, su solución lo obtenemos
tomando complementos en las soluciones de A, esto es:
B: (-1 < X < 4) - [X < -4 v X > 4) = ♦
Por lo tanto: U = A = (x 4 -lvx%-4) ~ (-4 4 x4 4) = xe[-4, -J ] U [4)
(2) Nótese que b=xx-2x-29 < 0, YxoU. En consecuencia, la ecuación original
se puede escribir: /— — 3x 4— í- 0 > x*-2x-29
V 5 - /16-x2
cuya solución es precisamente xoU + S = xe[-4,-J]u [41
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Determinar el valor de m de modo que la inecuación:
(2m2-3m)x2+(4m-6)x+(18-8mz) < 0, se satisfaga Yxz<-5/2,4/3>
Solución. La inecuación cuadrática que tiene por conjunto solución el in­
tervalo dado es: (x+5/2)(x-4/3) < 0 6xz +7x-20 < 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

284. Sección 4.14: Ecuaciones y Inecuaciones con Radicales 271
Esta inecuación es equivalente a la dada, entonces sus coeficientes deben
ser proporcionales, esto es:
2m*-3m _ 4m-6 18-8ml
6 7 -20
- (14ml-21m = 24m-36) ~ (-80m+120 = 126-56m2)
- (14m*-4m+36=0) * (28m1-40m-3=0) ~ (m=3/2 v m=12/7) ~ (m=3/2 v m=-l/14)
de donde: m = 312
EJ ERC ICI O 2. Hallar el valor de m para que la desigualdad
Solución. El trinomio x*-x+l > O, VxeR (verificar que &<0)
Entonces en la desigualdad tenemos:
-3(x*-x+l) < x2+mx-2 < 2(x2-x+l)
(-3x2+3x-3 < x 2+mx-2) ~ (x2+mx-2 < 2x2-2x+2)
+-* I4x2+(m-3)x+l > 0] -■> lx2-(m+2)x+4 > 0]
Anbas desigualdades se verifican Vx eR ■» A<0
- l(m-3)2-4(4)(l) < 0] ~ [(m+2)2-4(l)(4) < 0]
- l(m-3)2 < 16] ~ L(m+2)2 < 16] -* (-4 < m-3 < 4) ~ (-4 < m+2 < 4)
(-1 < m < 7) ~ (-6 < m < 2) -1 < m < 2
Luego, si me<-l,2>, entonces la desigualdad dada se cumple VxeR.
EJ ERCICIO 3. Dados los conjuntos: A=(xeR|3x-6 < -2x+8 < 5-8xí y
Solución. En A: (3x-6 < -2x+8) *■ (-2x+8 < 5-8x1 *-*• x < -1/2
Entonces: A = xe<-",-l/2>
„ _ x 2+mx-2 „ „ ,, „
-3 x r-x+l ’ se cumPla
, x es negativo]; hallar A t B.
En B: x(m2+2m) = m 2-m+3x-6 •» x =
m 2-m-6 _ (m-3)(m+2)
m 1+2m-3 ~ (m+3)(m-l)
Si x < 0 4 0 , mf-3 , mfl
(1) Valores críticos: m=-3 , m=-2 , m-1 , m=3
(4) Los intervalos con signo negativo satisfacen (a)
B = <-3, -2] u <1,3]
Ilustración gráfica de A A B:Sólo fines educativos LibrosVirtual

285. 272 Capitulo 4; Números Reales
A-B I I A-B ' i B-A :
-3 -2 -1/21 3
A A B = (A-B) (B-A) = -3 ] íi <-2, -1 /2> u <1, 3 ]
EJERCICIO 4. Sean m y n raíces de la ecuación (a-2)x3+2¿Tx-a=0, a/2 , ha­
llar los valores de a que satisfacen: m3n3+ m3n3 > 0.
Solución. De las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática obte
22 a
nemos: m+n =
-----y y m.n = ---s
a-2 J a-2
m 3n 3+ia3n 3 = m 3n 3(m2+n3) = (mn)3 l(m+n)2-2mn]
a1 r 2 2a-i _ 2a V a - i i1
‘ ' (a-2) 3 Ha-2) 2 + a-2J " ~ '0-2) 1
Luego, si m 3n 3+m3n 3 > 0 •* > < ®
Inecuación equivalente: a(a-2) < 0 , a/2 , a?l
Finalmente, por el método de los valores críticos obtenemos:
ae<0,l> u <1,2>
EJERCICIO S. Resolver: / ^ - x - 2 _ 2 > x 4
f 2 - /x+4
Solución. Por el T.39i: 2a>b++ai-0*. Ib <0v(bH*0*.a 4 b ' i ]
(1) Cálculo del universo, a 4 0: — —
- 4 0
2 - 2xZ~4
+-+ ( 2 x3- x - 2 - 2 4 0 *. 2 - J & 4 > 0 ) v ( / x l - x - 2 - 2 < 0 ~ 2-/xÍ4 < 0 )
«- (/x3-x-2 4 2 *. 2x^4 < 2) v (/x2-r-2 4 2*. 2xTT > 2)

---------------------------------------------------- ' -^---------------------------V--------------------------------'
A B
En A; (x3-x-2 t* 0 *. x 3-x-2 4 4) a (0 4 x+4 < 4)
«-* (x3-x-2 4 4) *. (-4 4 x < 0) +-+ (x 4 -2 v x 4 3) ~ (-4 4 x < 0)
~ (-4 4 x 4 -2) + A = xel-4,-2 ]
En B: (0 4 x 3-x-2 4 4)*. (x+4 4 0 *■ x+4 > 4)
-> (x‘-x-2 4 0 *. x ‘-x-2 4 4) *. (x 4 -4 ~ x > 0)
+ ~ í ( x - 2 ) ( x + l ) 4 0 *. ( x - 3 ) ( x + 2 ) 4 0 ) *. ( x > 0 )
+-* l(x 4 -1 v x >* 2) « (-2 4 x 4 3) \ * (x > 0) - * 24X4 3
Luego: B = x e [ 2 , 3 ] + U = A U B = [-4,-2] u [2,3 ]Sólo fines educativos LibrosVirtual

286. Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 273
(2) Nótese que b=x-4 < O, VxtU. En consecuencia, resolver la inecuación da-
//jjí — 2
da equivale a resolver la inecuación: / >, O
2 - /x+4
cuya solución es V. Entonces: S = xe[-4,-2] u [2,3]
//*
-.ion:
EJERCICIO 6. Dados los conjuntos: A={xcR\//x-¿ - /13-x i- 0},
(x-6)*(x+2)
,/x=9 (x+5)
B=}XeR|/x*-9 > x/31, C={xeR¡, » 0}
Hallar: a) P=}XeR|xeB •» xeA} ; b) C-A
Solución. En A se tiene; /x-5 - /13-x >,0 +-* /13-x 4 /x-6
O 4 13-x 4 x-5 (13-x >y 0) ~ (13-x 4 x-5) — + 9 4 x 4 13
Entonces A = xe[9,J3]
En B: /x*-9 > | -* (x'-9 i- 0) » [| < O v f| O ~ x*-9 (T.38i¡>
fx' í- S} - Ix < O v fx >- 0 « x ‘ > 8J/8>)
■— fx -í - 3 v x > / 3 } - íx<0 v txíO ~ (x > - j » x < -
** (X -í -3 v x %■ 3) - Ix < O v (x > ^-¡r-)
4
Entonces: B = xe<--,-3ÍU
4
B , C " 7>«-«
Inecuación equivalente: (x+2)(x-9)(x+5) t* 0 , x/9 , xl-5 , x=6
(1) Valores críticos: x=-5 , x--2 , x=9
m . . . , , g w w l .
m 0 " 5 © " 2 O ' 8 0
Í4> La proposición (a) es válida solo para los intervalos con signo positi­
vo; luego: C = <-5.-2) tt<9.+-> U <6}
a) P = xeB * xeA = xtB v xeA - 8 'U A (p * q = ""pvq)
.*. P = < - 3 . ^ ] U [9.13]
b) C-A = < -5 ,-2 ] U<9,+“> U 16) - [9,43] = < -5,-2]U < J3,+»>u)6}
(x-3)l.‘/xl+13x+36 >/4rx ^ Q
EJERCICIO 7. Resolver:
Sx+7 (x+2 )>(x’+x1 -2x)
Solución. Factorizando y el iminando radicales de índice impar se tiene:
(x-3)2 (x+9) (x+4). 'vfihx , 0
/x¿7 (x+2)s(x+2)(x-l)xSólo fines educativos LibrosVirtual

287. 274 Capítulo 4: Números Reales
De los radicales de índice par obtenemos el universo de la inecuación, esto
es: (4-x >sO) ~ (x+7 > 0) *- (x 4 4 * x > -7) - ü = xc<-7,4]
n i i •- (x-3)z(x+9)(x+4) , n ,
Resolvemos la inecuación: (x+2)1(x-l)x ’ ^
en el universo U.
Como x=-94U, el factor (x+9) puede cancelarse y la inecuación se reduce a:
4 O , x=3 , xf-2 , x-,tO , xfl (i)
Inecuación equivalente: x(x+4)(x-l) 4 O , x=3, xf-2 , xfO , xfl
(1) Valores críticos: x=-4 , x=0 , x=I
(
2) T - ,
< » © -< © 0 © 1 © 3
(4) La proposición ($) es válida para los intervalos con signo negativo, en
tonces: S¡ = <-7,-4]u <0,1> U Í3l
y según (a), la solución de la inecuación dada e s:
S = <-7,-4]U <0,1> U {3,4}
EJERCICIOS: Grupo 27
Resolver las inecuaciones dadas y representar sus soluciones sobre una rec­
ta real.
11. /24-2x-xl i- 2x-3
13. >l'x1+4x >, 5x-l
15. < 1
17. / 3 + / x =2 < A F x
19. \/x2-5x+6( 15+2x-x2) > 0
2. /24-2x-xl < x
4. /x*+x-12 - /x+13 < 0
10.
0. +3-3x 4 /21+4x-x1
8. /x l-2x-J5 > x+1
/ Ü E f + / E * > £,
v x+2 y x + i
12. A - /F x - /T -x > o
14.
¥ 4 - /xz-9
18. / x - i/x + /4-x 0
16.
20. / x 2-x-12(x-5)(2xz-3x-2) < 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

288. Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 275
21 v f
-x-2
>, x-3 22. / /xl^ J i-i > x-4
2- Sxt4 V ✓9-x2 - 1
23. / ^ X ' 3X 4— í- x-8 24. / ^ x ~5x+4 ~ 2 í- x-6
¥ ¿21 - / x 2 - 4 ' 2 - ' ' x - 2
25. Si A=lx<=R|2x+3/x-5 >.01 y B^xcRlx-fi-'x^+S > 0\; hallar AflB.
26. Si A=lxeR|l2x2-5x-3 > 01 y B=txeR| (’g^;e<|, J ] y x>-Jl; hallar A a B.
27. Para qué valores de m, la inecuación (3mz -m)x3 +(2m-9)x+2m2-5 < O, tiene
como solución el intervalo <l/2,3/7>.
28. Para qué valores de m, la inecuación (m2+l)x2+(l-3m2)x-(m3 +3) < O se sq
tisface Vxe<-2/5,3>.
29. Determinar el valor de m para que la inecuación: -4 < < 3 , se
cumple VxcR.
„ . A2-x. %/xl-9x-10(x-2)'. '*'x+6(x-l)\ „
30. Resolver: 5
-----------5 - 4 O
V x +3íx2 +7x-8) (x-12) (x3-27)
31. Si A=lxeZ|>^3-3x - / 4 X + 2 I - X 1 -í 01 y B=(xeA|ay£Z|x=y2I , hallar el comple­
mento de A en B.
32. Sea B el conjunto definido por: B=lpER| — — ^ 4 x * - 4 x + 5 ^ ^ > 4 ’ ■
Hallar el conjunto potencia de A, donde A={x eAI|x eB1 .
3 A 2 _ T / —_ ! \ * /-v. J _
o, r» , V x 2-J (x-l)l(x*-13x+12) > n
33. Resolver: i
------—-- ^ 0
(x+4)3(x3+8x2+4x-48)
34. Determinar los valores de m para que la inecuación: -3 < ,X x ^ x + l~< 3 ,
s e cumpla -Hx eR .
35. S i A=lxeR|^3c--6 > -2 ~ /xÍ6 < 0 } y B = ( x e R | ^ x 2 - 4 x + 3 < /x2-7x+i2l; h a l l a r :
a ) A n B , b j A' O B 1
D , , 3>^x2 - 2 x - J 5 (x3-6x‘+9x) < n
36. Resolver: a)
----------¡ - •? 0
(x-1)‘'(x-2)3
(x1-16)(x-3)3(xl+4)l(x+l)(x+8) ^ c
fx2 +9x+8)(x3-64)(3 Sx-i)x3
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

289. 276 Capítulo 4: Números Reales
VALOR ABSOLUTO
Definición 4.20 El valor absoluto de un número real a, denotado
por |a|, se define por la regla:
a , si a >s 0
-a , si a < 0
Por ejemplo, si a=3 -*■ |a| = 3
a=6 * |0| = 0
a=-5 + |- 5 | = -(-5) = 5
Vemos que el valor absoluto de un número positivo o cero es igual al mismo
número, mientras que el valor absoluto de un número negativo es el nánero
positivo correspondiente. Esto significa que para cada número real a, hay
un número -a, cuyo valor absoluto representa su distancia a i origen, el po­
sitivo a la derecha y el negativo a la izquierda. Geométricamente se repre­
senta como:
I- 5 1=5
------4 *------ I51=5 ------
-4-3 -2 -1 0
►+a>
Para dos números a y b, |a-b|=|b-a|, representa la distancia entre estos
puntos, sin importar la dirección; asi, lá distancia entre a=-4 y b=3 es:
|a-b| = |-4-3| = |-7| = 7 ; |b-a| = |3-í-4>| = |7| = 7
Geométricamente se representa:
L
--------- [a-b1=7 ----------
-4
Tendremos ecuaciones e inecuaciones que involucran valores absolutos, éstas
se resuelven basándose en los teoremas siguientes.
F E m TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO 6
TEOREMA 41. VaeR: i) |a¡ 0
ii) ¡a| = 0 a=0
Demostración. i) En efecto, consideremos: a < 0 , a=0 , a > 0 (0.1)
(1) Si a < 0 * la|=-a •> - 1 a 1 =a - 1 a | < 0 +*■ |a| > 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

290. Sección 4.15: Valor Absoluto 277
(2) Si a=0 -*• [ o | = a = 0
(3) Si a > 0 ■* |a[ = a ■* |a | > 0 |a | > 0
i i) (1) Demostraremos que si |a|=0 * a=0
En efecto, |a|=0 -» 0=a 0=-a (Def
-* a=0 a=-0=0 -» a=0
(2) Demostraremos que si: a=0 ■* ja| =0
En efecto, si: a=0 ■* |o|=a -*■ |a|=0
Por lo tanto: )a| =0 «-► a=0
TEOREMA 42. VacR: |a |* = a 1
Demostración. En efecto:
(1) Por definición de potencia: ¡a|l = |a||a|
(2) Si a i 0 -* |o|* — a.a -* |a|*=a*
(3) Si a < 0 -* |a¡* = (-a)(-a) -» ¡a) 1 = o*
TEOREMA 43. VacR: |a| = /a7
Demostración. En efecto:
(1) Por el T.42: |a |* = a 1
(2) Entonces: /\a\* - ✓S7 ’
(3) /. j o | = /S7
TEOREMA 44. VacR: |a | = |- a|
Demostración. Consideremos los casos: a > 0 , a = 0 , a < 0
(1) Si a > 0 ■* |a| = a
Por (-1): -a < 0 ■* |- a | = -(-al = a |a | •
(21 Si a = 0 ■* |a | = 0
Por (-11: -a = 0 -* j —a| = 0 .". |a| = |-a|
(31 Si a < 0 ■*> |a | = -a
Por (-11: -a > 0 ■* |- a | = -a |a j = | —a|
TEOREMA 45. Va.bcR: |a b | = |a | | b |
Demostración. En efecto:
(11 Por el T.43: |a b | = /(ab>2
(21 Por propiedad de potencia: |ab¡ = / a 2b2
(31 Entonces: |a b | = / a 7 . / ? = |a |j b |
4.20}
(T.43)Sólo fines educativos LibrosVirtual

291. 278 Capítulo 4: Números Reales
TEOREMA 46. Va.beR, bfO, entonces: I -2- I = -L2l
b |b|
Demostración. En efecto:
(1) Sea £ = c * 1-2-1 = |C |
b ' b
'a
(2) Entonces: a = be ■* |a| = |bc| = |b| |c|
|b|
(3) Luego, de (1) y (2): j-2-| = M
\b\
TEOREMA 47. Va.beR: |a+b| -í |a| + |b| (Desigualdad Triangular)
Demostraión. En efecto:
(1) |a+b| 2 = (a+b)* = a z+2ab+bl (T.42)
(2) 4 a2+2|a.b|+b2 fab-í|ab|)
(3) 4 |a|*+2|a||b| + |b.|* (T.42 y T.45)
(4) 4 f|a| + |b(> 2
(5) Como ja+bj y f|a| + |b|> son ambos positivos, entonces:
|a + b| 4 |a| + |b|
TEOREMA 48. Va.beR: i) |a-b| « |a| + |b|
i i) |a| - |b| -í ¡a - b|
Demostración. i) En efecto:
(1) |a - b| = |a + (-b)\ (Def. de Diferencia)
(2) Entonces: |a - b| ^ |a| + |-b| (T.47)
(3) Luego: |a - b| « |a| + |b| (T.44)
La demostración de ii) se deja como ejercicio.
I
TEOREMA 49. |a| = b •— (b > 0) ~ (a = b v a = -b)
Demostración. En efecto:
(1) Por el T.41: |a| >/«, VaeR
(2) Entonces, si |a|=b, implica que: b >* O
(3) Por definición: |a| = a v — |a| = a
(4) Luego si:[a|=b * b = a v b = -a ■* a = b
v a = -b
(5) Por tanto, de 2 y 4: |a|=b (b 0) ». (a=b v a=-b)
TEOREMA 50. |a| = |b| « a = b v q = -b
Demostración. Consideremos los casos: b > O y b < OSólo fines educativos LibrosVirtual

292. Sección 4.15: Valor Absoluto 279
(1) Si b i* O - |b| = b
Luego: |a| = |b| ■*-*• |a| = b ** a = b v a = -b (T.49)
(2) Si b < O - | b ] = -b > O
Luego: |a| = |b| |a| = -b ** a = -b v a = -(-b)
a = -b v a = b
(3) Por lo tanto: |a| = |b| a = b v a = -b
TEOREMA 51. Si b ^ 0 y |a| b — -b i a i b
Danostración, i) Demostraremos que s i b í ' O y l a l ^ b •* - b i a i b
En efecto:
(1) VaeR: a i |a|, y por hipótesis: |a| b
(2) Luego, por trans i t ividad: a i b
(3) Del paso (1): -b i — j a|
(4) Memas, VoeR: -|a| -S a
(5) Entonces de (3) y (4): - b i a (Transitividad)
(6) Finalmente de (2) y (5): - b i a i b
i i) Demostraremos ahora que si b 0 y - b i a i b * | a | 'í b
fii efecto, considerando los casos: a i- 0 y a < 0
(1) Por definición de V.A., si a 0 * |a| = a
(2) Por hipótesis: a i b
(3) Luego, de (1) y (2): |a| -í b
(4) Si a < 0 - |a| = -a (Def. V.A.)
(5) Por hipótesis: -b i a * -a i b
(6) Luego, de (4) y (5): |a| b
Por ¡o tanto, de i) y ii) queda demostrado:
S ¿ b ^ 0 y | a | í b " -b i a i b
Corolario. S i b í ' 0 y | a | < b ** -b< a< b
TEOREMA 52. Si |a| l b -* a>,bv ai -b
La demostración se deja como ejercicio.
Corolario. Sí | a| > b ** a > b •» a < -b
TEOREMA 53. -Va.beR: |a| í |b| «■» a‘ i b1Sólo fines educativos LibrosVirtual

293. 280 Capítulo 4: Números Reales
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1.
Demostración.
Demostrar que si a y b son números reales cualesquiera,
tonces: | | a | -1b| | 4 |a-b|
En efecto:
(1) 1 a| = |fa-b;+b| -
(2)
(3) Análogamente: |b|
(4)
|a|-S |a-b| + |b| 11.47)
l°l- |b| -S |a-b|
| fb-aj | - |b | -S |b -a | + |a |
- Ib|— |a| ^ |b—a|
(5) Pero por el T.44: |b—a| = |a —b| ■* - ( |a |- |b |) - S |a—b|
(6) Por el T.49: || a | - | b |¡ = r | a | - | b | ; v - ( | a | - | b | ;
(7) Por lo tanto, de (2) y (5), queda demostrado que:
||a|-|bU< |a—b|
EJERCICIO 2. Demostrar que -Va.beR, se cumple:
IaI— Ib| 4 | )a|- 1b| | |a-b| -f |a| + |b|
Demostración. En efecto:
(1) Si y t- 0 ■* |i| í y ** -y-$ y (T.51)
(2) Por -1: -1*1 ^ -y -*■ -y 4 -|x|
(3) Como a:=|x| ó x=|-x|, de (1) y 2) obtenemos:
I x | « X ^ | x |
(4) Entonces, para a.czR se cumplen: -|a| í o í |a|
- 1c| -í c 4 |c|
(5) Sumando se tiene: - ( |a | + |c | ) -4 a + c-S |a| + |c|
(6) Entonces, por el T.51: |a + c| ^ |a| + |c|
(Otra forma de demostrar la desigualdad triangular)
(7) Haciendo c=-b * }a—b| 4: |a| + |b| C| —b| = [b|>
(8) Por el Ejercicio 1: ||a|-|b|| 4 ja-b|
(9) De (3): x 4 |x|, sí x = |a|-|b| - |a|-|b| í IIa¡- 1b||
(10) Por lo tanto, de (6), (7) y (9), queda demostrado que:
M - | b | 4 | M - I M I ^ |a-b| -S laM bl
EJERCICIO 3. Demostrar que Va,b,ceR se cumple que:
IaI - lbl - M ¿ |a-b-e|
Demostración. En efecto:Sólo fines educativos LibrosVirtual

294. Sección 4.15: Valor A bsoluto 281
(1) |a| = \a+(b+c)-(b+c)| = |(a-b-c.) + (b+c)|
(2) |fa-t>-c,) + (b+c)\ 4 |a-b-c| + |b+c| (T.47)
(3) 4 |a-b-c| + |b[ + |c¡ (T.47)
(4) Luego, en (1): |a| -í |a - b - c| + |b| + |c|
(5.) Por lo tanto: |a| - |b| - |c| -s |a - b - c|
EJ ERCICIO 4. Si a,b,ceR-{0}, demostrar que:
1 * 1 - 1 ^ 1 - 1 ^ 1 >. |a + b + c|
Demostración. En efecto, se sabe que para dos números a.bcRsu media geo
métrica es menor o igual que su media aritmética, esto es:
MG 4 MA - / a b 4 - ¿ b — a + b 5- 2/ab
Utilizando esta propiedad podemos escribir:
(1) 1 * 1 + l^fl |2f| = 2/cT 2 = 2\c\ (T.43)
(2) 1 ^ + 1 * 1 >'2y/í * | | * | = 2 f c = 2 1 b | (T.43)
<3> 1 ^ 1 + 1* 1 2 /|2§| = 2/ñ* = 2 ¡a| (T.43)
(4) Sumando ambos extremos de estas desigualdades se tiene:
2( 1 * 1 ♦ l ^ l * l * U 2f|a| * |b| ♦ |c|;
(5) Pero, por el T.47: |a| + |b| + |c| i- |a + b + c|
(6) Por lo tanto: | ^ | + | ^ | + | ^| i- |a + b + c|
EJ ERC ICI O 5. Si a,b,c,dcR, demostrar que: a" + b" + c' + d' i- 4|abcd|
Demostración. En efecto:
(1) Va,beR: (at-b1)1 i. O - a' + b" i. 2a1b1
(2) Vc.dcR: fc2-d2) 2 í- O - c' + d' 2c 2d2
(3) Asi mismo: ( |ab|-|cd|J2 O ■+ |ab|2+|cd| 2 V2|ab||cd|
-» a2b2 + c2d2 >s 2\abcd\
(4) Sumando (1) y (2): a' + b' + c' + d* i- 2(azb2 + c2d 2)
(5) De (3) y (4) por 0.2: a* + b' + c' + d* >, 4|abcd¡
EJER CIC IO 6. Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
(1) \x\ < 1 -* 12x-31 < 1 (2) \x\ < 1 + | ¿3I < 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

295. 282 Capitulo 4: Números Reales
(3) Si \x\ < 1 * | < S
Solución. (1) a) Si |x | < 1 — -1 < x < 1 •— -2 < 2 x < 2 (T.51)
b) Sumando -3: ■*+ -5 < 2x-3 < -J
c) Multiplicando p o r -1: 1 < 3 - 2 x < 5
d) Pero como 1 > -5 ** -5 < 3 - 2 x < 5 ** |3 -2 x | < 5 (T.51)
e) P o r el T.44: ** |2 x -3 | < 5
P o r lo tan to , la afirmación es falsa
(2) a) Si |x | < 1 •— -2 < x < 2 ** 1 < 3- 2 x < 5 (Afirmación 1)
b) I n v i n i e n d o : ~ j < _ í _ < , « < _ | _ < j < 1 )
c) P o r el T.S1 y T.44: - 1 ^ 1 < 2 ~ | ¿ ¿ | < 1 (a)
Luego, la afirmación es verdadera.
(3) a) Si |x | < I ** -1 < x < I -6 < Sx-1 < 4
b) Multiplicando por -1: *■» -4 < 1-Sx < 6
c) Pero como -6 < -4: **■ -6 < 1 - S x < 6 * * |2-5x| < 6 (S)
d) Multiplicando (a) por (&): | | ^ | | < 6
Luego, ia afirmación es verdadera.
E J E R C I C I O 7. Establecer el valor d e verdad d e cada una d e las siguientes
afirmaciones: a) (x-3)e<-5,-l> * |x -3 | < 5
b) <X-2)c<-3,-1> * |ac-2| > 2 c) |x -5 | < 4 •— xe<2,9>
Solución, a) Si (x-3)e<-5,-l> ** -5 < x - 3 < -2 — -5 < x-3 < 5 (~1<5)
-* ¡x-3| < 5 (T.51)
La afirmación es verdadera.
b) SI (x-2)e<-3,-l> •— -3 < x- 2 < -2 — -2 < x < 2 |x | < 2 (T.51)
Luego. |x | < 2 |x -2 | > 1 , es la implicación equivalente a la o r igi­
nal. ' p ' q
E n efecto, vemos q u e para x=0, V(p) = V y V(q) = V
x=4, V(p) = F y V(q) = V
E n antros casos: V(p * q) = V .'.La afirmación es verdadera.
c) (*) Si |x -5 | < 4 — -4 < x- 5 < 4 — 1 < x < 9 ** xt<l,9>
SI XC<1,B> * * 1 < x < 9 * * -4 < x^ 5 < 4 * * |x -S | < 4
L u ego ta afirmación es verdadera.
EJERCICIO S. Hal l a r el valor d e E = ]& r* i2 l-2 |2 x -6 | si x C < 0 3>
3xSólo fines educativos LibrosVirtual

296. Sección 4.15: Valor Absoluto 283
Solución. Eliminamos las barras de valor absoluto, partiendo de la condi­
ción dada, esto es:
Si xe<0,3> - O < x < 3 * O < 5x < 15 * 12 < 5x+12 < 27
Dado que: 5x+12 > O, Vxc<0,3> - | 5 x + I 2 | = 5x+12 (Def. V.A.)
Si xe<0,3> - O < x < 3 - O < 2x < 6 + -6 < 2x-6 < O
Aqui se observa que: 2x-6 < O * | 2 x - 6 | = -(2x-6) (Def. V.A.)
D . . . „ (5X+12) + 2(2 x-6 ) 9x ,
Por lo tanto: E = -
------ ^ = 3
EJ ERCICIO 9. Dado el conjunto E = + 3 | x e < - l , 2 ] } , expresarlo como
un intervalo
Solución. Sea y = | ~ | | + 3 , tal que x e < - I , 2 ]
Entonces:
Si x e< -í,2 ] - I < x
Pero * -2 < i -
4 x+2
Luego, de (1) : O í y-3 < 2
EJER CICIO 10. Hallar el menor núnero M que satisfaga la desigualdad:
l^jrj ~ j\ Para xe[4,71.
o 2x+l _ „ ¡5 |2x+i 5 1 1 _ 13 ^ 5 i ,
Solución. ^ 2 + x-2 I x-I ' 2^ " I 2 x-2 " 2^ ~ ¡2 x-2^ s M
(1) Si xe[4, 7] 7 « 2 s < x - 2 s < 5 ~ 4 -í —
5 x-2 2
C2) Multiplicando por 5; ■*-*■ I ^ ^
f3 J Sumando J: • <-+ | < ^ * 4
(4> Pero -4 < -| + - 4 « | + J L v< 4 _ || + _2_| x< 4
(5) De donde se deduce que: M=4
EJ ERC ICI O 11. Hallar el mayor número m tal que ^ ^ m < S1
Solución. x2+6x+14 = (x+3J2+ 5 > 0, ttoeR +• |x2 +6x+J4| = (x+3)2+5
Luego, a partir de xe£-2,2^¡, formemos el numerador y denomina­
= £ í l - lJ
- - 2 - I
x+2 1
(1)
*- 1 < x+2< 4 *-►1 < - L - < j
4 x+2 1
3 < _ 3.
x+2 4
-2 <1
--— < —
2 x+2 4
< 2 •++ O íu
x+2
I < 2 ( | a
— 3 í y <5 - £ == [3,5>Sólo fines educativos LibrosVirtual

297. 284 Capítulo 4: Números Reales
dor de la expresión dada:
(1) Si xe[-2,2] - 2 4 x 4 2 «- 1 4 x + 3 4 5 -*■ 1 4 (x+3)3 4 25
(2) Sumando 5: ** 6 4 (x+3)2+5 4 30 ** 6 4 |(x+2.)l+5| < 30 (a)
(3) Para el denominador: xcl-2,2] *— -2 4x42*— -8 4 x 3 48
(4) Sumando 27: 19 4 x 3+27 4 35 *- -p j j f * J J <B>
(5) Como la expresión es decreciente en 1-2,2], multiplicamos en as-
6 „ |xz+6x+i4| „ 30
pa (a) y (6), resultando: Jg-4-1— ’^ + Y f 35
(6) Por lo tanto, el mayor número buscado es m=6/19.
EJERCICIOS: Grupo 28
1. Demostrar la validez da cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si |x| < 3 - | ^ | < 1 c) xel-S,4> - |3x-5| -í 20
b) Si |x-i| < 4 - (J+£)e<0,l> d) |x| < J - ¡ | ^ | | < 6
e) Si a,b,ceR |a + b + c| -S |a| + |b| + |.c|
2. En las siguientes implicaciones, el antecedente es verdadero, demostrar
que el consecuente también es verdadero.
a) Si xe<0,l> - | ^ | <-§ c) Si |x| < 1 - |¡±f| < 3
b) Si a.bcR - |a-b| -í |a| + |b| d) Si |x-2 ¡ < 1 - |x| + |x-2| = 2
3. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
Si \ ^ 2 - l\ < j y x > 0 * x > 12
b) Si x e [-3,2] - |xs-2xz+3x-4| < 28
c) Si j a—b | < c -► |a| < |b| + c, con c > 0
4. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones para números
reales.
a) Si x < 0 * (x-1)(3x-x2-2) > 0 c) x 2-7x+10 < 0 - |2x-7| < 3
W l» 3 , < Í "■ |x_S| * 2 d; W < 3 + (¿ 7 ) C < ~ Í 3- Ú >
5. Demostrar que -Va,beR: | |a b| | ^ ja+t>|Sólo fines educativos LibrosVirtual

298. Sección 4.14: Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales 28 5
6. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
°> l * - S l < 2 - ¡ ^ § l < i O < |x| < I - i < i
w |*| < j - If^fl < 3 d) Si xe<-2,5> -
7. Demostrar que si O < b S a * | |a| -|b| | -í (a+b) (a-b) \
8. Sabiendo que b > O y |x-a| < 2b, demostrar que ,1>
9. Demostrar que si a 4 b í c + |b| ^ |a| + jc|
10. Demostrar que Va,b,c,dcR: ¡a—d| -S |a-b|+|b-c|+|c-d|
11. Demostrar que -Va,b,ccR; se cimple:
íIaI + |í>|;c|a| + |c|;e|b| + |c|> i /8\ábc\
12. Sean los núneros reales a,b,c tales que a y c son de signos diferentes
. demostrar que si a < b < c -► |b|<|a| + |c|.
,, n , |2 + x| - |2 - x| ( 2 , si O < x < 2
13. Demostrar que: — ¡
-----!---!-------= <
* L 4/x , si x > 2
14. En los ejercicios siguientes, hallar el valor de la expresión E en el
intervalo indicado.
a) E = . si X€<0tJ> c) E = 3[3x-8\-\5x+24\ _ s¡ Xl<_5f^
b) E = l7*+2|-[3x+2[ ( si X c<0,3> d) E = |6*+3 2 |-4|8-x| ^ g( Xe<_3 _2>
15. Si xe[J,3], hallar el menor número M, tal que: 1 Jx+jI ^ M
16. Si (2/x)cll/5,6l, hallar el menor número M tal que: l^gl ^ M.
17. Si (Hx)^J&(<-'°,l> D <2, +">>, hallar el menor número M tal que | ~¡ ^| -í M
18. Si |2x-S| <? 3, hallar el menor núnero M tal que se cunpla l^rfl < M-
19. Si xe[J,3], determinar el menor número M tal que: |-* Zx+81 ^ ^ '
20. Si (2/x)t[l/6,1/2], hallar el menor núnero M, tal que: I j I
21. Hallar el mayor número m tal que VxcR: x2-4|x+2|-6 2, m.
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

299. 286 Capitulo 4: Números Reales
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor abso
luto son los siguientes:
Teorema 49: Si |a| = b ( b > / 0 ) • (a=b v a=-b)
Ajui, b es el universo dentro del cual se resuelve la ecuación.
Teorema SO: Si |aj = |b| <■+ a=b v a=-b
EJEMPLO 1. Resolver: 13x-5¡ = 7-x
Solución. Usaremos el T.49:
13 x - 51 =7-x -* (7-x>,0) ~ (3x-5=7-x) v <3x-5=-7+x)
~ (x 4 7) ~ (x=3 v x=-l)
x=3 y x=-l pertenecen al universo !/=<— •, 7] * S = 1-1,31
EJEMPLO 2. Resolver: \2x-l\ = 5
Solución. Siendo S = |5 | > 0, cumple la condición de que b %. 0, entonces,
be<-«, +<■> = R. Util izaremos el T.50.
|2x-l| = 5 •*- (2x-l=S) v (2x-l=-5)
— >■ (x=3) v (x=-2) * S = 1-2,31
EJEMPLO 3. Resolver: \2x-7\ = i-S
Solución. |2x-7|^r-S «• fx-5 0) a tí2x-7=x-5) v (2x-7=-x+S)] (T.49)
«-*■ (x t- 5) a (x=2 v x=4>
En este caso, x-2 y x=4 no pertenecen al universo l/=[5,+~> * S = *
EJEMPLO 4. Resolver: |x-2| = |3-2x|
Solución. A%ui el universo es U=R, por tanto, usaremos el T.50:
|x-2| = |3-2x| (x-2 = 3-2x) v (x-2 - -3+2x)
(x = 513) v (x = 1) - S = 11,5/31
EJEMPLO S. Resolver: 3 |x - 3 |*-1 4|x - 3 |-5 = 0
Solución. Sea |x-3|=m , tal que, m %. 0
Entonces: 3mt-14m-S=0 (m=-l/3) v (m=S)
Para m=S>0, se tiene: |x-3| = 5 -*-*■ (x-3-5) v (x-3=-5)
(x=8 v x=-2) * S = {-2,8}
(T. 50)Sólo fines educativos LibrosVirtual

300. Sección 4.15: Valor Absoluto 287
Nota. Cuando se trata de resolver ecuaciones en las que figuran dos o más
términos, no semejantes, con barras de valor absoluto, no se utili­
zan directanente los Teoremas 49 y 50 para su solución. En estos casos es
conveniente utilizar el método de los valores críticos, que consiste en lo
siguiente:
(1) Se iguala a cero cada término entre barras de valor absoluto, se resuel
ve la ecuación resultante, hallando de este modo los valores críticos.
(2) Se ubican los valores críticos en una recta real, obteniendo de esta mg
ñera los intervalos de variación (Universos parciales).
(3) Se analiza por intervalo el signo de cada valor absoluto, luego reempla
zando en la ecuación original obtendremos la solución parcial de cada
intervalo.
(4) Se establece el conjunto solución uniendo las soluciones parciales.
E JEM PLO 6. Resolver: 4 |oc—J | + x = |x-3| * 5
Solución. (1) Obtención de los valores críticos:
(x-l=0) v (x-3-0) x=l v x=3
(2)
, 1> <1,3>
|x - i | = -(x-l) 1 |x-l| = +(x-l)
|x-3| = -{x-3; j |x-3| = -(x-3)
(*)
<3,+">
I
|x~ 11 = +{x-í;
|x-3| = +ÍX-3;
(3) Para x*<-~,l>, en (*): -4(x-l) + x = -{x-3;+5 *■* x=-2
-2e<— ,i> - Si = 1-21
4(x-l)+x = -(X-3)+5 *-* x=2
2e<l,3> - S* = 121
4(x-l)+x = (x-3;+5 «-* x=3/2
(3/2) i <3, +=>> - S, = ♦
(4) Por lo tanto: S = S,U SZU S, = 1-2,21
Para xe<l,3>, en (*):
Para xe<3,+~>, en (*):
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
______________
En la resolución de inecuaciones con valor absoluto intervienen
fundamentalmente los siguientes teoremas:
Teorema 51. Si b i- 0 y | a | .$ b +■* -b £ a i b
Teorema 52. Si ja| i-b «-* {a >+ b) v (a 4 -b)
Teorema 53. Va,btfl: j a j •$ |b| ♦* a 1 -5 b*
4.1 5 .3Sólo fines educativos LibrosVirtual

301. 288 Capitulo 4: Números Reales
EJEMPLO 1. Resolver: \2x-3 1 -í 3x-8
Solución. Según el Teorema 51:
|2x-3| -í 3x-8 — * (3x-8 >0) * (-3x+8 4 2x-3 4 3x-8)
« - (x > 8/3) ~ [~3x+8 4 2x-3) „ (2x-3 4 3x-8) ]
* - (x >8/3) ~ [ ( 5 x >11) ~ (x >5)1
<-» (x > 8/3) ~ (x > 5) x > 5
.'. S = l x e / i |x > 5) = [5 ,+ = >
EJEMPLO 2. Resolver: |5-3x| > 2x+6
Solución. Por el Teorema 52, se tiene:
15-3.x| > 2x+6 < - (5-3x > 2x+6) v (5-3x < -2x-6)
~ (x < -1/5) v (x > 11)
.'. S = (xeít|x < 1/5 » i > 51 = -1 /5> U <11, .+">
EJEMPLO 3. Resolver: |4-x| < |3+2x|
Solución. Según el Teorema 53:
|4-x| < 13 +2x| < - (4-x)1 < (3+2X)1
<-* 16-8x+x1 < 9+12x+4x1 *-> 3xI+20x-7 > O
- - (3x-l)(x+7) > O x < - 7 v x > 1/3
.'. S = x e < - « ,-7> ü < J/3, +»>
EJEMPLO 4. Resolver: 3|x| + |x-2| ^ 6 (*)
Solución. Siguiendo el mismo criterio para resolver ecuaciones con varios
términos con valor absoluto, se tiene:
(1) Obtención de los valores críticos: x=0 y x=2
<—,0> 0 10.2> 2 [2, +">
4 | T + co
| x | = -x I f x | = X l j X | = X
| x -2| = -(x-2) ¡ | x -2| = -(x-2) ¡ | x -2| = +(x-2)
(3) a) Para xt<-=,0>, en (*): -3x-(x-2) 4 5 « x >-1 -*■ x e [ - l , + - >
Entonces: S, = <-»,0> fl [-1, +»> = [ —2 , 0>
b) Para xe[0,2>, en (*): 3x-(x-2) 46 *-* x .5 2 ■» xe<-” ,2]
Entonces: S2 = [0,2> 0 <-»>,2] = [0,2>
c) Para xe[2,+~>, e n (*): 3x+x-2 4 6 «-> x>í 2 ■» xe<-~,2]
Entonces: S 3 = 12, + “ > 0<-°,2] = (2)
S = S . U S j U S j = [ - J , 0 > U [ 0 ,2 > U (2) = [ - J . 2 ]Sólo fines educativos LibrosVirtual

302. Sección 4.15: Valor Absoluto 289
EJEMPLO 5. Resolver: x*-3|x-2|-4 > O (*)
Solución. En el punto crítico x=2 se tiene:
a) Para x<2 ** x-2<0 - |x-2| = -(x-2) (Def. V.A.)
Entonces en (*): (x < 2) ~ Ix1 +3(x-2)-4 > O]
- ► ( x < 2) ~ [fi+5Kx-2> > 0]
- - (x < 2) ~ ( x < - 5 v x > 2) - S , = x e < - “ , - 5 >
b} P a r a x > 2 •— x-2 > O - | x - 2 | = (x-2) (Def. V.A.)
En (*) : (x > 2) ~ [x*-3íx-2;-4 > 0 ] -* fx > 2) - t f x - i . H x - 2 ) > 0]
•— fx > 2) ~ [fx < 1) v fx > 2)1 - Sz = xc< 2, +” >
S = S, u Sz = < — ,-5> U <2, +=>>
EJEMPLO 6. Resolver: |3x-i|s< |2x+i| + |x-2|
Solución. Según el T.47: ¡a + b| |a| + |b| , Va,beR.
Luego, si (3x-l) = (2x+l) + (x-2) -*■ j3x—i | = | (2x+l) + (x-2) |
- 13x-J | -í 12x+l | + |x-2|
Es una desigualdad triangular que es válida -VxeR. .'. S = <-»,+«>
EJEMPLO 7. Resolver; l* -10! + l **4! < 2 (*)
Solución. (1) Obtención de los valores críticos:
x-10=0 * x=10 ; x+4=0 ~ x=-4
<—,-4> -4 C -4,10> 10 [i0,+~>
— »— — — <|) ■—
...i....— ■■ <p-— i
|x+4|= -(x+4) i | jc+4 ) = +(x+4) ! |*+4| = +(x+4)
| x - i O | = - ( x - 1 0 ) ¡ | x—2 01 = - ( x - 1 0 ) j | x —2 01 = + (x - 1 0 )
... . _ . .. ... ~(x-10)-x-(x+4) ^ „ 6-3x . „
(3) a) Para xe<-",-4>, en (*): —1 x + l ""x+T
^=-4 > 0 •— x < -1 V x > 4/5
x+l
Entonces: S, = <-*»,-4> n (i < -] v x > 4/5.) = <■-•=,-4>
b) Para xe[-4,10>, en (*): .-.(x-10)-xf(x+4) < ¿ ^ l ± x < ¿
*-» >0+--x<-lvx>4
x+.l
Entonces: S, = [- 4,2 0 > f K x < -1 v x > 4) = 1-4, -1> U <4,10>
c) Para xe[J0,+=>. en (*): < 2 - < 2
x+l x+l ■Sólo fines educativos LibrosVirtual

303. 290
Capitulo 4: Números Reales
S i = [JO, + ~ > n (x < -8 v x > -1) = [10, + ~>
S = = <^~, -4> u [-4, -1 > U <4,10> u [10, +=>
= -1 > 0 <4, + «■>
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Sea A = [xeRll;^! > 2-|x-2|), hallar el complemento de A.
Solución, a) Si x > 2 -*■ x-2 > 0 » |jc—2 1 = +(x-2)
. _ i _ > 2_(lrí) « > o
Como (x-3)2 > 0, YxcR- 13} -*■ x-2 > 0 +-+ x > 2 -*■ S i = <2f+®>-{3}
b) Si x < 2 - x-2 < 0 - \x-2\ = -(x-2)
. . _ i _ > 2 + (x-2) ~ < 0
Como (x-1)1 > 0, -HxeR-Ul - x-2 < 0 <- x < 2 - S 2 = <-»,2> - {1 1
Luego, A = S¡u S 2 = 2> u <2, +•»> - {i, 31 = R - 11,2,3}
A' = 11,2,3}
EJERCICIO 2. Sean los conjuntos: A= ÍJceR| |jc-2| *-3jjc—2 1-4 > 01 y B=(xeR|
f2^ £[í ¿ l J ] >- Ha“ ar
Solución. En A: (\x-2¡-4)(\x-2\+l) > 0 . Dado que el factor (\x-2\+l) > 0,
VxtR, entonces los elementos de A se obtienen de: |x-2|-4 > 0
- |ac-2 1 > 4 <- (x-2 > 4) V (x-2 < -4) <-» (x > 6) v (x < -2)
Luego, si A=<-», -2> u <6, +“> -*■ A ’ = [-2,6]
Z"*: < - d 6 >cli d ' 1] - F o ^ x h * 1 ~ 1 4 2X+6 4 10 « - j .< x .< 2
Si B = [-5/2,2] - B' = -5/2> U <2,+->
/. A'-B' = [-2,2]
EJERCICIO 3. Si A es el conjunto solución de la inecuación:
||8-2x|-4| .$ 6-x, hallar n(NOA).
Solución. | | 8 - 2x| - 4 | 4 6 -x -*• (|8-2x|-4 « 6-x) a ( | 8 - 2x| - 4 >,. -6+x) a ( 6 - x > 0)
<-> (x 4 6) a (|8-2x| -í 10-x) a (| 8-2x] >,x-2)
(1) ( 2)
Resolveremos (1) y (2) teniendo en cuenta que el universo es U: x ^ 6Sólo fines educativos LibrosVirtual

304. Sección 4.15: valor A bsoluto 291
En (1): |8-2x| « 10-x — ( 8-2 x 4 10-x) ~ (8-2x 4- -10+x)
*-* (x >/-2) * (x 4 6) * Sx = 1-2,6]
En (2): |8-2x| 4- x-2 «-» (8-2x 4- x-2) v (8-2x-$ -x+2/
( x 4 10/3) v <x >, 6) - S, = <— ,J0/3]u [ 6,+->
Ilustración gráfica de A = S t n S, en (/=<-“ , 63:
S2
-2 10/3 6
Luego: A = S ^ S , = [-2,10/3] u 16) - tfnA = 11,2,3,6} •* n(NOA) = 4
EJERCICIO 4. Si A=lxeR| |2-|4-3x| | > 1) y B=1xeR| \— | 3), hallar A ' O B
Solución. En A: |2-¡4-3x|| > 1 «- í2-|4-3x| > 1) v [2-|4-3x| < -1) (T.52)
«- (|3x-4I < 1) V (|3x-4| > 3) (T.44)
.
-----„----, x----^----/
<1) ( 2)
En (1): |3x-4| < 1 — 1 < 3x-4 < -1 ** 5/3 < x < 1 - 5, = <5/3,J>
En (2): |3x-4| > 3 -<• (3x-4 > 3) v (3x-4 < -3) <x > 7/3) v (x < 1/3)
— S* = <-»,l/3>u <7/3,+”>
Luego, A = S t o S* = <— ,l/3> u <1,5/3> U <7/3, +~>
/. A' = [1/3,1] U [5/3, 7/3]
2
En B:
[x-1
-4 3 . Cano x-1 > 0, -KceR-U), se tiene:
2 4 3 | x - l | - | x - l | 4. 2 / 3 ~ (x-1 >s2/3) v f x - 1 « - 2 / 3 / , x / 1 ( T . 5 2 /
( x 4 - 5 / 3 / v f x < 1 / 3 / , x ¿ l
B = <—, 1 / 3 ] U [ 5 / 3 , + - »
B B
A'
1/3 1 5/3 7/3
/. A ’flB = 11/3)u [5/3,7/33
EJERCICIO 5. Si A = (xe*| |-^j| 4- hallar A ’.
5 ^ 1
Solución. Por el T.46: Dado que los denominadores son
12x-li ^ |x-2|
siempre positivos, se tiene: 5 | x - 2 | 4- | 2 x - l | . x/1/2 , x¿2
+ 2 5 Í X - 2 / * 4- (2X-1)1 — 25(x-2)1 - (2X-1)1 >,Q
Factorizando: *■» [ 5 í x - 2 / + [ 2 x - I / ] [ 5 f x - 2 / - [ 2 x - l / ] 4- 0
<-*• (7x-U)(x-3) 4 - 0 <->■ (x 4 11/7) v [1 4 3 ) , x4l/2 , x ¿ 2
Luegro: A = < — , l l / 7 ] u [ 3 , + » > - 1 1 / 2 } + A' = < l l / 7 , 3 > 0{1 / 2 }Sólo fines educativos LibrosVirtual

305. 292 Capitulo 4: Números Reales
I 1 I — .v
EJERCICIO 6 . Dado ei con/urtto A = bceJ2|-l ^ í 2}, bailar:
B = {yeR|y = -í , x e£A, x/0) .
Solución. En A consideremos los casos: x > 0 y x < 0
a) Si x > 0 |2jc+l|-x-í 2x ■* |2a:+i| -S 3x
— x > 0 - [ -S 3*; - (2x+l > -3x) ]
«-► x > 0 ~ [(se ^ 1) a (i í- -1/5)1 x > 1 S, = [!,+”>
b) Si x < 0 » |2x+2|-oc >✓ 2x (Se cambia el sentido de la desigualdad)
- 12x+l | >✓ 3x <-*■ (2x+l V 3 x ) v (2x+l S -3x)
** (x -S ij v (x -í —2 /5 J *->
Luego: (x < 0) »■ (x-í 1) S* = <-■°, 0>
A = S,U S* = <-“ ,£)> u [Í,+»> - A' = Í0,1>
Para B: y = 1/x , xeA' , xfO ■* xc<0,l> -*-*• 0 < x < 1
Si x < 1 - x > 1 ■ y si x > 0 + < +°> . Por lo tanto: B = <i,+”>
EJERCICIO 7. Resolver: | j ~ > a |¿j|
Solución. Siendo positivos ambos extremos de la inecuación, entonces:
|rc-2 ¡ 2 > |a:2-4r+2| , si X¿1 y x*-4x+2/0
** |sc2-4oc+2| -í x l-2x+l , si x/1 , x/2±/2
*- (xl-4x+2 « x l-2x+l) a (x*-4x+2 i -x1+2x-l)
«- (-2s: C -JJ a. (2xl-6x > -3) <- (x > 1/2) a í(x-3/2)1 >3/41
** (x > j) ~ l(x >, J v (x -S ^~y) ]. x/1 , x/2±/2
^s ¡ s s & ¿ s s ¡ s s i ^ .
2 2-/2 3-/3 1 3+/, 3 2+/2
:. S = [j, ^ j - l u C ^ j p » +~> - 12-/2,2+/2)
EJERCICIO 8. Si A = to R | |sc2-3sc-6| > ¡sc+6|) y B=(xeR| |*-2 |+*| > / ^ } .
hallar A ’uB'.
Solución. En A: |x2-3x-6| > |x+6| (x*-3x-6)* > (x+6)2 (T.53)
-i-* (x*-3x-6)l-(x+6) 1 > 0 *+ x(x-2)(x+2)(x-6) > 0 (*)
(1) Valores críticos: x=-2 , x=0 , x=2 , x=6
w ^
<*> 0 ' 2 0 0 0 2 O 6 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

306. Sección 4.15: Valor Absoluto 293
(4) Los in te rv a lo s con sign o p o s it iv o s a t is fa c e n (*), luego:
^ _2>u <0,2>u <6,+»>
En B, el u n iv e rso del ra d ic a l es - x >> O x 4 O -*• x-1 S O * |cc -i | = - fjc-2 J
Entonces: (x S 0) ~ [ | - ( x - J > + x | > / - x ] •*-*• (x -.< 0) ~ (1 > V^x)
~ (x 4 0) - (1 > -x ) (x 4 0) - (x > -1 ) - B = < - 2 , 0 3
Ubicando B en la s o lu c ió n g r á f ic a de A observamos que: Af)B = $
A'll B' = (AnB) '■ = ( * )' = R
EJERCICIO 9. Dados los s ig u ie n t e s conjuntos A = {x eR | | 2 ^ | | < ¡}, B = {x eR|
| x - 3 | + | x - 2 | > -21, C = { x e R | | x 2- 4 | = | x 2- 3 x + 2 | }. H a lla r el con­
junto M, s i M = { x e R |x e A -*■ x e(B -C )}.
Solución. En A: | ^ | | < I « < 1) „ > -!) (T .5 1)
~ 3 > °> ~ ^ 3 > °>
- > ( x > - 3 ) » ( x < - 3 v x > - 1 / 2 ) < - (x > - 1 /2 ) - A = < -1 / 2,+ ">
En B: | x - 3 | + | x - 2 | > - 2
Por d e f i n i c i ó n de v a lo r absoluto, | x —3 ¡ y ]x - 2 ¡ son siempre p o si t i v o s ,
entonces su su m a también lo es, p o r lo tanto: B = <-■»,+“ > = R
En C: | x 2- 4 | = ¡ x 2- 3 x + 2 | - > ( x i -4 = x í -3x+2) v f x 2- 4 = - x 2+ 3 x - 2 ) (T.5 0)
*-* (3x=6) v (2x*-3x-2=0)
*-* (x=2) v ( x = - l/ 2 v x=2) * C = {- 1 /2 ,2 }
Luego: Ai = Ix eR |x eA •» xe(B-C)} = (x eR |x¿A v x e (B-C)} (p ■* q = v p v q)
- M = A ’ U (B-C) = <-~,-l/2] u(R-{-l/2,2}) = R-{21
E JE RCICIO 10. Resolver en R la siguiente inecuación:
| | 2 x 2- i 4 x ¿ - 2 4 | + | x 2+ 4 | | < | | 3 x 2- 2 7 x + 5 4 | + x 2+ 4 |
Solución. Dado que x 2+4 > 0, VxcR * | x 2+ 4 | = x 2+4
- | | 2 x 2- J 4 x + 2 4 | + | x 2+ 4 | | < | | 3 x 2- 2 7 x + 5 4 | + | x 2 + 4 | |
Aplicando la desigualdad triangular en cada lado de la inecuación se tiene:
\2x*-14x+24| + | x 2 + 4 | < | 3 x 2 - 2 7 x + 5 4 | + | x 2+ 4 |
•— | 2 x 2 - i 4 x + 2 4 | < | 3x2 - 2 7x+ 5 4 | — (2xl-14x+24)* - (3x*-27x+54)1 < 0
«-■ (5xl-41x+78)(-xl+13x-30) < 0 ~ (5x-26)(x-3)(x-10)(x-3) > 0
Inecuación equivalente: (5x-26)(x-10) > 0 , x/3
Por el método de los valores críticos: S = < - ~ , 2 6 / 5 >u<10,+“> - ( 3 )
EJERCICIO. Sean los conjuntos: A = { x e R| | 4 x / 3 ~ 8 | < | x / 3 - 6 | + | x - 2 | } ,
B = { x e Z\ | x 2 + x | < | x + 4 | } . Hallar A A B.Sólo fines educativos LibrosVirtual

307. 294 Capitulo 4: Números Reales
Solución. si -|x - 8 = í-|x - 6) + (x-2)
+ |£c - 8| = | f | - 6) + (x-2>| * ||oc - 8| s | | - 6| + |x-2|
Es una desigualdad triangular que es válida VxtR ■* A = R
En B: |x2+x| < |x+4| <- (x*+x) 2 < (x+4)1 ~ íx2+x> 2 - (x+4)1 < 0 (T.53)
de donde: (x1+2x+4)(x+2)(x-2) < 0 (1)
Pero: x 1+2x+4 > 0, VxcR (Verificar que: 4 < 0)
Entonces, la desigualdad (1) se cimple si (x+2)(x-2) <0*-*-2< x< 2
Luego: B = lxtZ|-2 < x < 2} - (-1,0,1 )
A i B = (A ü B)-(A n B) = R- [-1,0,1)
EJERCICIO 12. Si A es el conjunto solución de | |x-21 —3 j í 4-x y B es el
conjunto solución de: l¿z?4¿7gl ^ ]x-7] ’ ha,iar
Solución. En A: ||x-2|-3| -í 4-x
•— (4-x >,0)~ (|x-2|-3 $ 4-x ~ |x—2 1 -3 > -4+x) (T.51)
~ <x 4 4) ~ f | j c - 2 [ $ 7-x ~ | j c - 2 | > x-1)
-* (x 4 4) ~ [fx-2 -í 7-x ~ x-2 >✓ -7+x) * (x-2íx-J v x-2i-x+l)]
~ (x S 4) ~ l(x < 9/2 . í > J ) » H > ' 0 ' I n < 3/2)]
(X 4 4) ~ [fx ¿ 9/2 *. R) - (4 V x 4 3/2) ]
— fx $ 4) - [(x ¿ 9/2) ~ (x < 3/2)] ++ x 4 3/2 + A = <-»,3/2]
En B, por el T.46: — LíZiJ— $ —
|x*-4x+8| |x-l|
Dado que x2-4x+8 > 0, VxtR (ver.if icar que 4 < 0) + |x-2 | 2 -í x 1-4x+8, x/1
~ x 1-2x+l 4 x 1-4x+8 , x/l^++ x 4 7/2 , x/1 + B = <— , J>u <J, 7/2]
A 0 8 = <-«>,i>U <1,3/2]
EJERCICIO 13. Resolver: x l IX 1 11 ~ 12 - 1 I1-00! ~ 3 [ o
|x+2| + 1 |x-J| + 4
Solución. X H J I ~ J 1 ~ 12 >- ~ (*)
|jc+2| ♦ 1 |x-J| + 4
El segundo miembro de (*) es siempre positivo, también lo es el denominador
del primer miembro. Por lo tanto, la desigualdad es válida si y sálo si:
x| jx| - J | -12 4- 0 - x||x| - 1| 4- 12 (1)
Habrá solución en (1), si x > 0, dado que ||x|-l| es siempre positivo.
Luego, si x > 0 * |x| = x -*• x|x-i | >„ 12
a) Para x > 1 + xfx-J] >„ 12 +-+ x 2-x-12 4- 0 +-* x i -3 v x >, 4Sólo fines educativos LibrosVirtual

308. Sección 4.15: Valor Absoluto 295
S t = (x > 1) (x 4 -3 v oc >,4) = xe[4,+->>
b) Para O < x < 1 + x(l-x) >,12 ++ x l-x+12 4 O
Pero x*-x+12 > O, VxcR (A < 0) + S2 = t
Por lo tanto, el universo de (*) es: V = S lu S2 = [4,+~>
En U: |x| = x , |x+2| = x+2 , |x-l| = x-1
< " » • . *» <*>= ^ r 1 ^
También en U: |x-4| = x-4 + 5
Siendo (x+3) positivo en U: -> (x-4)(x+3) >, (x-4)
+-+ (x-4)(x+2) >, O <-*• x 4 -2 v x 3¡. 4
Por lo tanto, en V: S - )xeR|x 5-4) = [4,+“>
EJERCICIO 14. Dados los conjuntos A = )xeR| |— -— | <
------), B = )xeR|
| x | - 4 |x * -2 ff|
/x*-l e<-4,4>). Hallar el conjunto: C={xeR|xeA »xeS).
S o lu c ió n . El primer miembro de A es siempre positivo, entonces el segundo
miembro de A también tiene que ser positivo, esto se verifica
para x > 0 + |x|=x. Luego, en A se tiene:
■ F Í T < |x - 4 f |x + 4 | * X > 0 ’ X * ±4
Ahora bien: | > 0, por ser x > 0 y x il ±4
Eliminando esta expresión, la inecuación equivalente es:
x < |x ^ | + x|x+4| < 1 + x(x+4) < 1 (x+4 > 0)
«-► (x+2)1 < 5 ++■ -2-/5 < x < /5-2
++ 0 < x < /5-2 (x > 0)
Entonces: A = <0,V5-2>
En B: /x 2-4 <= <-4,4> ++ -4 < /x*-l < 4 (Pero: ¿a >s 0)
- 0 4 /xz-l < 4 ++ 0 4 x*-2 < 46 <- (x* 5- 1) * (x1 < 17)
- - ( x 4 -1 v x > / l ) « Í-/J7 < x < S ¡ 7 )
Entonces: B = <-/J7,-2]u
C = 3x£R|xeA + x^Bl = 3x£R|x?A v x^Bl (p + q = vpV q)
Luego: C = A' u B , pero B c A ’ +■ C=A' C = <-“ ,03 U [/S -2,+“>
EJERCICIO 15. Si A = {xeRh— > j) y b = { xeR|-l*Zll < J) , determ¿
I X “i j —¿ x-3
nar el conjunto S = {xeR|A-<-+ B}.
Solución. En A consideremos los casos: x < 1 y x > 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

309. 296 Capitulo 4: Números Reales
a) Si x < 1 -» |x-i| = -(x-1) - > í ~ “ } < O
Batanees: fx < 1) „ (-1 < x < -1/2) *->■ -1 < x < -1/2
b) Si x > 1 •+ |x-I | = +fx-2) -* (x -'i)-2 > ^ ¿ 3 > ® ** x > 3
-► fx > i; .. fx > 3) — * x > 3
Luego: A = <-1,-l/2> u <3,+~>
Análogamente se determina el conjunto: B = <-~,3>
Si p(x)=xtA y q(x)=xcB, entonces por la equivalencia bicondicionat:
p ♦ + q s (p « q) v <vfp ^ q), tendremos: S = (xeR|x£fAn.B; v x¿fAfl.BJ}
= |xeR|xefAnfl; v x e f A u B ; ' }
Pero: A O B = <-l,-l/2> y A u B = R-{-l,-l/2,3)
Entonces: S = <-l,-l/2> u i-1,-1/2,3} - l-l,-1/2} \) {3}
EJERCICIO S: G rupo 29
En los ejercicios del 1 al 18, determinar el conjunto solución de las ecua­
ciones dadas.
1.|3x-i| = 2x+5 10.2|x*-2|+S = 6|2x*-3|
2.|x*-4| = 4-2x 11.3||x+l|—4 1*—5 j |x+i|—4 1 = 2
3.2+31— 1 = 3x+5 12.|3x-j|-|x+2| = i
4.|x-4|*-5|x-4|+6 = 0 13.3|x+í|-2|x-2| = 2x-i
S.||x+2|-l|*-5||x+2|-l|-e = 0 14. i ^ x í - l l = |3x-2|+5
6.14x+61 +x = 2 12x+31 15.||x*-5x+25|-xl+8| = |3x+9|
7.|2x-3|+2 = |x-5| 16.| 2jc-3 | -i = |x-3|
8.||x|-3| = |3x+2| 17.|x+I |+2|x-2| = |x-S|
9.2|x+J |-3|x-2| + |x-5| = x+2 18.2| |x-51+2|l-li||x-5 |+21+22 =
10. Sean A=fxeR| |3x-i |= 2 x + 5 } B = f x e R | |x+i |+9=3x}. Hallar la suma de los e-
lementos de A u B .
20. St A=fxeR| |2x+3| = |x + 3 |h B=lxeR||2x+J2|=2x+12} y C={xeR| |3x+4| < x j;
hol lar (Afí.B) ' U C.
En los ejercicios del 21 al 36, hallar los números reales que satisfagan laSólo fines educativos LibrosVirtual

310. Ejercicios: Grupo 29 297
desigualdad dada; dar el intervalo solución.
21. |3 - 2 x | < 3x-8 29. |x | + 2 |x -2 .| - |2 x -5 j < 3
22. 15 x - 41 > 3x-2 30. | x * - 2 | - | x + 3 | -S |x -2 |
23. 12 x l-31 >y 5x 31. |6 x l - 9 x - 3 | < 12x*-9x+2|
24. |x * - 2 x - 5 | >. | x l +4x+2| 32. (\x\-l)(2x+l)(\x\+3) l O
25. (|x-2| + |x+2|,)(|2-x|-|2-x| 5- x*-6 33. la:1- 4 1- Jx-91 « |x-2|
26. 3 | x - 3 | 2- 2 |x - 3 | < 8 34. |x + 4 |- |2 x + 3 | -í 4
27. | x - 3 | + 2 |x | < 5 35. |x l - 5 1 l - | x 2- 51 ¿ 22
28. 12 x + 81 -í |x+2 | +3 36. ( |x - 2 ¡ + | x - 3 |) (| 2 - x | - | 3 - x | ) >. | x 1-2 |
En los ejercicios del 37 al 52, determinar el conjunto solución de las ine­
cuaciones dadas.
37.
1 x1 —2 1 + x „ .
45.
i x2-26, 87X+42 „ .
x + 2 C 3 1 x-3 * 9-xl "
38.
|x-6| - x + |x+2| „
3 46.
x+2 _ x-4
x - ¿
|x+8| ' *~3
39.
lx-8| - x + |x+4| „
3
47.
|x-5| + 1x + 2| , ,
x + 2 x - i " 3
40.
|x+4| - |x-5| „ ,
48.
|Xi+3x+22, _
x - 7 1 x-2 1 v 3
41.M U x
x-5 x+1
49.
*¿ i
42.
1 1 x+2 1 -2k ,
50.1 X~1 1 -S 1 1 1
2 - 1*1
'x -4x+8' ^ 'x-2 1
43. 51.
]x-4| + |2x+3| , ,
X - 5
l* - 2 1 - i
44.
|x-2| - 2 ^ _
52.
1*1 - 3 . 2 - |x|
x + 3 '
5 - |x| |x | + 2
53.Resolver: ( / j x - 2 | - 3
i 1
—■*.
1
ü
1
»
x-2-3 + /ó-\x-4\) -í x-6
54.Reslver: í / | x - 2 | - 4- / 6 - | x - 3 | 2 f / | a—2|-4 + / 6 - | x - 3 | 2 •$ |x -2 |
55.Resolver: / \x+1\
I M M I _ ,
+ / * - *-3 ,
|x - 2 | | x 2+ 4| x2+x+4Sólo fines educativos LibrosVirtual

311. 298 Capitulo 4: Números Reales
56. Resolver: V ^ I"*1 1 2.\-7. .6 - j lx *3 l 11 + /íhx >, O
|x-2|+5 |x+i|+2
57. Expresar los siguientes conjuntos como un intervalo de números reales.
a) A = lx e R | j- ^ p 7 < O -> x|x-3| > 0}
b) A = (x eR| /| 2x-i | - 13x+61 .í /| 4x-2| - |x-S| 1
c) A = U + |^|||xe<-l,2]l
58. Si A es el conjunto solución de la inecuación ||6-2x|-6| 4 6-x, hallar
n(NhA).
59. Hallar m de modo que la solución de mx I+2mx ^ 5nxx-1 sea la misma de:
\x-3/2\ ^ 7/2.
60. Sean A= 1xeR| |x- J | > | x | — J } y B= (xeR| | : ^ | < ¡}. Hallar A-B'.
oc ^ mC l
61. Resolver el sistema: < |x i-jg~| y 1*1
62. Si A es el conjunto solución de la inecuación |x—3 ¡ < 2x+5 y B el con­
junto solución de la inecuación 3 < x 2-l < 8, hallar A-B.
63. Sean los conjuntos A=(xeR| %• *1 y B=)XeR|3 < |2x+i| < S), ha­
llar A h B.
64. Sea M el conjunto solución, en R, de I ¿ + < 3^0 ’ se £lene Hue:
M n [ 0 , + ”> = <N, +“>; hallar N.
65. Si A=|xeR||9-x2 | 71 y B=|xeR| |¿x-3 | < ^ ' £ia££ar
66. Dados los conjuntos A= )xcR| |x2-x| <x+31, B=txeR||x2-2| i.x+61, C-JxeR|
|x2-2|=¡x2-4| 1. Hallar el conjunto Al, sí Al=(xeR|xeA -► XeíBíIQ).
67. Sea A=(xeR||^| $ ^ | l ; B=(XeR|¡4~X j * j 2 x + 3 l ^ 2) . Hallar A n B.
68. Sean los conjuntos A=JxeR|IjtjI + l*'2| > 21, B=(xeR|( |x-i|+|x-2 |jx
f|2-x|— [2-x|> -í x2-6(. Si C=A-B, hallar en C la solución de la inecua­
ción 11 S-2x | - 4 1 -í S-x.
69. Sea A=lxeR| |x| + |x+2| > |x-3|l, hallar el n(ZnA').
70. Hallar A=fxe Z |l5a~g o l~l3a~g Q i + |2x-3| $ |x|-2} donde ae<-3,-2>Sólo fines educativos LibrosVirtual

312. Sección 4.16: E l M áxim o E ntero de un Núm ero real 299
71. Sean a,b,c números enteros positivos y consecutivos tal que a=i. Si xeR
resolver y analizar las soluciones de la inecuación |jx-a|-£>| -í (c-x).
72. Sean A={xcR| \x-31 2-3|x-31-28 > 0} y B= {xeR | g [ j| , 2 ]} Hallar A ’tiB'
73. Dados los conjuntos A={xeR|-^^jJ- > 1} y B={xeR| < 3). Hallar A U B .
74. Sean A=ixeR| |x-21 y B={xeH| |— HallarA()B-
75. Sean los conjuntos A=}xeR||x +-^| í f?>, B=ixeR|||5x+7|-|x-l|-i7|<2x+3},
C=AOB. Sí xeC, hallar el valor de E = -lü£¿£j— l^x ^
x
*
EL MAXIMO ENTERO DE UN NUMERO REAL
S e a n x un número real fijo y Aíx el conjunto de los números enteros n
que son menores o iguales a x , e s t o e s ,
Mx = } n e Z |n x}
E n to n c e s , a i mayor de los números enteros de este conjunto se le conoce co-
rao el máximo entero real de x , y se denota:
E x H = max(Ux)
= TOOX}neZ¡n x l
Por ejemplo, para x = 7 /2 = 3 . 5 tendremos el conjunto:
M3. S = |n e Z |n « 3 .5 } = <
------,-2,-1,0,1,2, 3}
e s decir: [[3 .5 ]1 = max(M¡_¡) = 3
que geométricamente se interpreta asi: jj^

----------------------- «3 .5 i x

................................... .................. ....................................... ' i o
-2 0 1 2 3 3 . 5 4
n
Definición 4.21 En el sistema de los números reales se define el má
ximo entero de un número real x, a la expresión de­
notada por QxJ] = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x,
es decir:
(jx]] = n jjxj) = maxí ne Z | n .$ x}Sólo fines educativos LibrosVirtual

313. 300 Capítulo 4: Números Reales
Ejemplos: n í i
(1) x = 2.7 - [[x]l = p . / J = 2 > porque: 2 4 2.7
(2) x = V J ■* ¡Joc][ = {£—/2_JJ = -2, porque: -2 4 -•'2
(3) x = -5 ■* [[x]} = [[-5]) = ~5, porque: -5 4 - 5
Para calcular [Jx]] gráficamente, se construye los elementos del conjunto M
a la izquierda de x, el mayor de todos ellos es obviamente flxj . Así para
x = ~/2, del ejemplo (2):
M
* x : 1
-5 -4 -3 -2 -/2 -1
n
Cuando x es entero entonces n y x coinciden, es decir, (Jx]] = x (Ejemplo 3).
2 J J J TEOREMAS SOBRE EL MAXIMO ENTERO DE UN NUMERO REAL #
TEOREMA 54. Qx]] eZ, KreR
Demostración. En efecto:
Por definición: [[xj = max{neZ|n>$ x) = ntZ
Luego, [[x]¡ eZ, VxtR
TEOREMA 55. Si [[x]¡ = X — ■ x e Z
Demostración. En efecto:
(1) (+) Por el T.54: [[xj e Z
Luego, sí (Jx]] = x -► x e Z
(2) (+■) Si x e Z * [[xj] = maxineZ\n 4 x ) (Def. [[ ]] )
- [ * H = x
TEOREMA 56. [[x]] S x < [[x]] + 1, VxeR
Demostración. En efecto:
(1) Por definición: [JxJJ = neZ
(2) Si n 4 x + [[xD ■$ x
(3) Si x < n+1 - x < H x J + 1
(4) Luego, de (2) y (3): flx]] 4 x < [[x]] + J
TEOREMA 57. Si flxfl = n +-+ n 4 x < n+1 , nsZ
Demostración. En efecto:Sólo fines educativos LibrosVirtual

314. Sección 4.16: E l m áxim o E ntero d e un Núm ero R eal 301
TEOREMA 58.
Demostración.
TEOREMA 59.
Demostración.
TEOREMA 60.
Demos trac ión.
(+)
(1) (+) Si ¡£r]j = n ■+ ncZ (Def. [[ {J )
(2) Según el T.56: JxJ] £ x < fx ] ] + 1
(3) -» n 4 x < n + l
(4) (+) Si ncZ y n •$ x < n+1 -* n = [JxJ]
Si aeZ, Jxfl ^ a <-» x >, a
En efecto:
(1) (+) Por el T.56: d*íl -í x < I M I + 1
(2) Por hipótesis: |JxJJ >^a y por definición: IJxfl ^ x
(3) -+ a ¿ |[*U S x
(4) -*aífx—*x>, a
f5> (+) Si x i-a y acZ, entonces por definición:
(6) [[xj = maxlVaeZ| d a H-£ xl, pero [[a]] = a (T. 55)
(7) a \< x í Ixfl -» a ¿ flxU [[xj] >✓ a
Si (JxJ) < a +-+ x < a, VacZ
En efecto:
(1) (+) Si [[xj] < a, donde (JxJ eZ y aeZ + d x Da-1
(Puesto que: a-2 < a-1 < a)
(2) - a-1 ¿ x < (a-l)-H (T.57)
(3) ■+ a-1 x < a ■* x < a
(4) (+) Por el T.56: Jx]] -S x < [[x]] + 1
( 5 ) Entonces, si x < a y Jjxj] < x
(6) Por transitividad: [[x]j < a
Si aeZ y d x B ^ a «-» x < a+1
En efecto:
(1) Si dxll a -► Ol^D = a v 0*1! < a>
(2) Si ffxjj = a, tal que aeZ -* a ^ x < a+1 (T.57)
(3) - x < a+1
(4) Si [JxU < a -» x < a
(5) Luego, de (3) y (4): |[xj] < a -» x < a+1
(6) Por el T.56: d*I] * *
Í7; Sí x < a+1 - llxlj < x < a+1 - d*Il < a+1
(8) Si a e Z ■* (a+1) e Z y como d x U e Z ■* ¡Jx]j = a,a-1,a-2,.
(9) ■* d * I ¡ í aSólo fines educativos LibrosVirtual

315. 302 Capitulo 4: Números Reales
T E O R E M A 61.
Demostración.
T E O R E M A 62.
Demostración.
T E O R E M A 63.
Demostración.
Si meZ + | x + m]] = [[x]¡ + m
En efecto:
(1) Por el T. 5 7 : [[xj] = n n 4 x < n+1
(2) Sumando m se tiene: n + m $ x + m < n + l + m
(3) Si meZ + ( m + n ) c Z
(4) + n + m 4x+m<(n+m)+l
(5) Por definición: |Jx-«i]| = n+m
(6) Pero n = [[x]] * |Jx + m]] = Jxj] + m , m e Z
Vx.yzR, [ [xj + fly]] < | x + y j
En efecto:
(1) Si n 4 x < n+1 + d x | = n
(2) Si m 4 y < m+1 +■ ( JyJ = m
(3) Sumando: n + m 4 x + y < (n+1) + (m+1)
(4)’ * n + m 4 x + y < (n+m+1) + 1
(5) Como m,neZ * (n+m)eZ
(6) Luego, por el T.S8: flx + yJJ > n + m
(7) * [[x + y j > [ x ] | + d y]J «- Qx]| + ( ¡ y j < I * + y j
*rER: ffx]] + E - x J = { 0 ' si X EZ
[-1 , si xe(R-Z)
En efecto:
(1) Si xcZ - Bxfl = x (T. 55)
(2) Si xeZ + a(-x)tZ\ n - x j = -x
(3) Sumando se tiene: ¡fx]] + [[-x]] = x - x = 0
(4) Si xc(R-Z) * x = [[xl + n , donde 0 < n < 1 +-+ [[n D = 0
(5) Multiplicando (4) por -1: -x = -Jx]] + (-n)
(6) + f - x j = jf-flxj + í-n)]] * {[-x]J = d - H x l + J[-n]l (T.61)
(7) Como [[xj] sZ * -fxj eZ> luego: [[-|x]]]] = "{[x ]]
(8) Además: O < n < 1 - -1 < -n < O + |- n]j = -1
(9) Luego, en (6): f-x]] = -¡[xj] - 1
(10) Entonces: f - x ] J + (JxJ] = -1, V x e(R-Z)
(11) Por lo tanto, de (3) y (10) queda demostrado el T.63.
T E O R E M A 64. Vxsft, x-1 < flxflí: x
Demostración. £h efecto:Sólo fines educativos LibrosVirtual

316. Sección 4.16: El Máximo Entero de un Número real 303
T E O R E M A 65.
Demostración.
T E O R E M A 66.
Demostración.
T E O R E M A 67.
Demostración.
T E O R E M A 68.
Demostración.
(1) Si xeR ■* x = {[xj] + n , donde: 0 4 n < 1
(2) Qxjj = x - n
(3) Si 0 4 n < 1 - -1 < -n 4 0
(4) Sumando x a cada extraño se tiene: x-1 < x-n 4 x
(5) Luego de (2): x-1 < flxj ^ x
VyeZ y xeR, si y > x * y %-flxj] + 1 > [[xj]
& i efecto:
(1) Por el T.56: flxjj < x <1^11 + 1
(2) Por transít ividad: Jxjj < [jxj] + 1 * Qx]] *1 > [[xj]
(3) Por el T.64: x-1 < flxU -í x
(4) Por hipótesis: y > x , yeZ , xeR.
(5) Entonces de (3) y (4): j[x jj 4 x < y ■* [[xj] < y, yeZ
(6) Como M J e y son enteros * ¡[xjj < y-1 * (¡xj +1 4 y
(7) Por lo tanto, de (2) y (6): y » [[xj| * 1 > (Jxjj
Yx.ydt, si x 4 y * ¡xj] -£ fyj]
En efecto:
(1) Por el T.64: x-1 < ¡xj] « x
(2) Por hipótesis: x 4 y [jxj] 4 x 4 y
(3) Por transít ividad: -* [[xj] ^ y
(4) Por el T.56: ¡>j] í y < fl>I] + 1 , Uyj ] e Z
(5) De (3): H*J ] -í y < [jyj] + 1 - [[xj] < [[y]] + 1
(6) Como: ([y]] e z - [[xj] i ([y]] + 1 - 1 ■* ¡jxj -S ¡jy]j
Si n = x - ([xj] •* 0 -4 n < 1
En efecto:
(1) Por el T.56: Qxj] -í x < [jxjj + 1
(2) ** ( [[xJ-Sx; - (x <UxI] + 1)
(3) -* (0 4 x - M ) ' (x - M < 1)
(4) (0 4 x - [jxjj < 1) 0 4 n < 1
Si xeR|x=y+n , 0 4 n < i -► y = (jxj]
En efecto:
(1) Por hipótesis: O 4 n < 1
(2) Simando y: y 4 y*n < y+1Sólo fines educativos LibrosVirtual

317. 304 Capitulo 4: Números Reales
(3) Pero: x = y+n + y -S x < y +1
(4) Como yzZ - d x Q = y ** y = ftx]]
TEOREMA 69. VxtR y cualquier ncZ, n > O, se cumple: || | = ;}-í-
Demostración. En efecto:
(1) Supongamos que:
fl*I
i -
I M n ri
(2) Entonces: a -í < a + 1 + an £ |jx[] < an +n (n > 0)
(3) Como I x B es un número entero puede tomar los siguientes
valores entre an y an+n:
(JxJ = an * an .$ x < an + 1
íjxli = an+l + an+l •£ x < an+2
(Jxjj - an+2 + an+2 $ x < an+3
|¡ x 11 = an+(n-l) -> an+(n-l) s x < an+n
(4) Uniendo los intervalos obtenemos: an ¿ x < an + n
(5) + a < a + 1 - [ i ] = a
(6) Por lo tanto, de (1) y (5): jJÜ íILj = lj_-jj-jj
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Hallar si valor de E - 11 ^ "
Solución. Como: 2 < +6 < 3 -» i < rW-1 < 2 -» 4 < — — < 3
✓ÍF-j
y si: 4 < 2, entonces: 2 £ — — < 3 + E = |T— — fj = 2
¿6-1 “•.4F-IU
EJERCICIO 2. Hallar el valor de E
■IHSI
-2v _ „
+1
Por el T. 61: E - \-2 + A J -2 + ] J - J (1)
+ 3-2u c
Solución. Efectuando la división: — — = -2 + -2­
' u+i n+iSólo fines educativos LibrosVirtual

318. Sección 4.16: El Máximo Entero de un Número Real 305
Dado que: 3 < u < 4 - * 4 < i t + i < 5 •+ 4 ' < < "7 "*■ J < ~ < T
n 5 u + 1 4 tt+ J 4
Entonces: [J j^y jj = ^ '• lue9°< en f-í) : E = _2+J =
EJERCICIO 3. Si xe[-i,i], hallar el valor de E
Solución, a) Si xc[-l,0>, o sea para x < 0 -*• |x| = -x
■ * I M J ■ U fll - ff'á :
Si xc[-l ,0> ■+ -1 ^ x < O -» -4 $ x-3 < -3 -+ - -j < £ - -jj
- - i- < _JL <_A- _2<j + _5_ < _ i_
3 x-3 ' 4 3 x-3 ' 4
Entonces: jjI + ^ 73 J] = luego: E = -1, Vx^í-1,0> (1)
b) Si xelO.l], o sea para x >, 0 ■+ |x| = x - ¡[ § zf j] = ¡J'! + 3ZJ ]]
Si 0 $ x $ 1 -+ -i -< -x .$ 0 -+ 2 f. 3-x $ 3 -+ | í -j
§ < -1 * 3T-< - i - H - - 1 + ^ H = - J
Luego, E = -I , Vxc[0,l] (2)
Por lo tanto, de (1) y 12): E = -1 , V í x e [ - J ,J ]
EJERCICIO 4. Determinar por extensión el conjunto A = ) [[ 3x-l j] |xe[0,1 ]}
Solución. Si J 3x-J ]] = n «-> n -í 3x-l < n+1 <-+ $ x < , xe[0,i]
Dando valores a n hasta cubrir el intervalo [0,1], se tiene:
Si n = - J -+ O 4 x < 1/3 n = i - 2/3 _< x < J
n = 0 -» 1 / 3 S< 1 < 2/3 n = 2 ~ x = 1
Por lo tanto: A = {-1,0,1,2)
EJERCICIO 5. Hallar todos los elementos de A = ( |xe<-J , 8>|.
\x-6\-l
x+3
Solución. Dado que: Xe<-1,8> = Xe<-1, S> U [6,8> , se tiene:
a) Si xe<-l,6>, o sea para x < 6 •+ |x-6| = -(x-6)
xe<-i, 6> - -i < x < 6 - 2 < x+3 < 9 -+ 4 < < 4
9 x + 3 ¿
-+ - < JL <4 - i < -1 + JL. < 3
9 x+3 9 x+3Sólo fines educativos LibrosVirtual

319. 306 Capitulo 4: Números Reales
Ccmo; <_ j . -i <_J + _§. < 3 „ j£_j + _ § .]] = -i'O.í,2
Luego, A = 1-1,0,1,2) , para xe<-l,6> fl)
b) Si xe[6,8>, o sea para x > 6 *» |i~0| = x-6
- * - [ f í j " 1P - i S j
Si 6 -S x < 8 -* 9 S x+3 < 11 -
1
< J L
1
11x+3 9
10 1
11 9
< i
10 <
x+3
1
9 v ar+3 11 9 " * x+3 11
como: -1 < -j¡ y Jj K i - -i * * --M < * - r r . _ _ i O i
Luego, A = (-1,0), para xe[6,8> (2)
Por lo tanto, de (1) y (2): A = 1-1,0,1,2)
EJERCICIO 6. Resolver la ecuación:
Solución. [| = 4 +- 4 4 <4+1 (T.S7)
de donde: 5 -í |x-2| < 7 <- f|x-2| >,5) ~ (|x-2| < 7)
«- fx-2 >, 5 v x-2 « -5) - (-7 < x-2 < 7)
« (i >/ 7 . i í -3) - f-5 < x < 9)
- - hwa«e*»accia| is*»&giK3«ftfaft - +-
-5-3 7 9
S = <-5,-3] U [7,9>
EJERCICIO 7. Si x.beR*. x < b, hallar: E = | | J ] + |-JJ
Solución. Si x,beR+ -* x > 0 y b > 0 -
Supongamos que: y = ^ ■+ [fyj] < y < flyll + J (T.56)
- Ü M < Í Í J * <
ttiU ip licm to p o r f : - | J J ] < 1 < f [ | J » §Sólo fines educativos LibrosVirtual

320. Sección 4.16: E l M áxim o E ntero d e un N úm eroR eal 307
Como x < b y b > O - ■?■ < i ->• 1 + £ < 2
O D
U.ego, en (*): - < | Q £ J ♦ f < 2) < £ | | ] + £ ,
y Por el T.57: E - [ f 1 £ J * £ ] - i
EJERCICIO 8. Resolver la ecuación: fll4xj¡ = 3x+3
Solución. [T j] = 3x+ 3 (3x+3)eZ ~ (3x+3 4 4x < 3x+3+1) (T.57)
Como 3eZ jm- (3x)cZ * (x %. 3 * x < 4)
♦-* (3x)cZ * (3 4 x < 4)
-<• (3x)cZ * (9 4 3x < 12)
Entonces: 3x = 9,10,11 +-+ x = 3,10/3,11/3 * S = {3,10/3,11/3}
EJERCICIO 9. Hallar todos los elementos del conjunto:
A = lxeü| |jj ~ |] - \ / - £ - | = </x , donde 0 < m < 1/4}
Solución. Universo de la ecuación: (x > 0) ~ ( — — :> 0.)
*-► (x > 0) » fx-m í- 0) <-> (i > fl) a fa mj , me<0,l/4>
Si ü r a y m > 0 * — >, 1 0 < ( — )~l 4 1 (T.24a)
m m
Anal icemos cada caso:
a) Si 0 < ~ < 1 - [[ £ ]] = 0 . Bi A: |0 - = /x -
de donde: x l-x+m=0 ■** x * r/l-4m) , si me<0,l/4>
1 " I x II = I- ^ A: I-* ' / x " \ = S* * l = /* — x = 1
b) Si ^
EJERCICIO 10. Resolver: |J x - | | 4. 1
Solución. Según eJ T.58: x - JJ I x - £ ^ J
(x-2)(x+l) Q
x
Por el método de los valores críticos, verificar que el conjunto solución
de la inecuación es: S = {-1,0> U[2,+»>Sólo fines educativos LibrosVirtual

321. 308 Capítulo 4: Números Reales
EJERCICIO 11. Resolver: /( (T — 11 - l)1 = O
* 11 11*1] JJ
Solución. Por el T. 43: |a | = / i 1 -*• j | | jj ~ J | = 0
-*(T — 11 = J — 1 4 — < 2 (*)
II II*D 1*D
donde: lx| ] i 6 <-*■ x i [0,1>
Entonces, debemos considerar dos casos:
a) Si x í- 1 ■* 1 x ] ] e Z +
Entonces en ( * ) : H x J -S x < 2 f x j ] ♦-» f H x J] í x ) « fx < 2 [ x l [ ;
-- f l*] ] -í *■> ~ | í | < I x J j
(Por el T.56: d x J] « x , VxcR) «- (xeR) ~ f x >^1) - S, = [i,+->
b) Si x < O +■ [ £ x J ] e Z ~
Entonces en (*): J x J i - x > 2 [ [ x ] ] <-► ¿ J x ] ] < x-S 1 * H
*-*■ (1 * 1 1 < f ) ~ (*-s [1*1]j
-» st = z~ n r ~ = z~
.'. S = S,U S2 = Z' U [!,+->
EJERCICIO 12. Resolver
Solución. Si l - l í L l i ] ] >,3 « M J >,3 . I x J # 0 - x ¿ [0,J>
11 I x l II I x J ^
Sea [x]] = n +-+ n 4- x < n+1 , neZ -+ n ~~ ^ ^
Consideremos dos casos:
a) Si (n > 0) ~ (n 4 x < n+1)
En (1): |x|-2 >. 3n ■* |x| 3n+2 ■++ (x >y 3n+2) v [x 4 ~(3n+2)J
~i r — ¿ c
~(3n+2) n n+1 3n+2
Corito no existe intersección, el conjunto solución para este caso es:
S , = * , Vn=l,2,3,...
b) Si (n < 0) ~ (n 4 x < n+1)
Enil): |x|-2 ¿ 3n - |x| ^ 3n+2
Como n < 0 -* 3n+2 < 0, por tanto, el conjunto solución para este caso
es: Sj ~ $ , Vn=-1,-2,-3,...
S - Si u S2 = 4>Sólo fines educativos LibrosVirtual

322. Sección 4.16: El Máximo Entero de un NúmeroReul 309
EJERCICIO 13. Resol v e r : [J 2
Solución. ~ 7 ^ <2+1 ** > 0 (T.60)
Por el método de los valores críticos: (x > 4) v (x < 9/4)
S = <— », 9/4> U<4,+»>
EJERCICIO 14. Resolver: ..AX \'Z _ ^ Q
Solución. Universo de ía inecuación: |x|-2 i- O -* |x| i-2
++ (x 4 -2) v (x >* 2) -» U = <-»,-2] U [2,+»>
La incoación dad a es válida si: (xeU) * ( J x2-2x-3 ]] < 0)
+— (xcU) * (x2-2x-3 < 0) ■•-*■ íxeC/J ~ (x+i> (x-3) < 0
«-► íxct/; ~ (-1 < x < 3) -+ S = [2,3>
EJERCICIO 15. Resolver: [ [ / } + 3 x ~ x2 ¡J 2 < 4
Solución. U /4+3x-x2 J] 1 < 4 *■* -2 < [[/4+3x-xl ]] < 2 (T.34Í i)
Pero: /a i- 0, VaeR •» ¡J/ áJ] >, 0
Luego: C 4 d A+3x-xl J < 2 0 4 /’4+3x-x2 < 2 (T. 5 8 y T. 59)
*-*■ 0 í 4+3x-x* < 4
*-* (x2-3x-4 4 0 ) * (4+3x-xl < 4)
++ (x-4)(x+l) 4 0 * x(x-3) > 0
++ (-1 4 x 4 4) *(x<0vx> 3)
.-. S = [-2,0>U <3.4]
EJERCICIO 16. Resolver: [ [xj ' -8[[ x]] 2 + 7 0
Solución. Sea m = [[xj] , meZ
-» m*-8m2+7 i- 0 «-► (m+l)(m-l)(m+vT)(m-/7) ’z.O
Por el método de los puntos críticos: m=-2 , m=l , m=~/T , m=/f
se determina que: me<-~,-/7] u [-J,I] u +*"> (Verificar)
Para m e<—»,-/?] -+ [[xj) 4 -/7, pero mzZ — d.xj] 4 -3 **■ x < -3+1
++ x < -2 -* xe<-»,-2>
me [ -2,2 ] -♦ -1 4 JxJ] J ~ -1 4 x < 1+1 (T.58 y T.60)
++ -1 4 x < 2 xe [ -2, 2>
mc[/7,+-> — ffxll í. 3 -» x 3 — xe[3,+“ >
S = <-“>.2> U Q-2,2> U C3,+<»>Sólo fines educativos LibrosVirtual

323. 310 Capitulo 4: Números Reales
E J E R C I C I O 17. Resolver: < - ^
Solución. Como (-13/5)tZ, no podemos aplicar directamente el Teorema 59.
1 ^ 1 * 1 ^ 1 -
Significa que: < -2 ■+ < "* (T-S9)
de donde: > 0 (1)
a) Si x i-1 - x-l > O — |x-l| = x-1
En (1): (x >1) - ( > 0) - (x i. 1) *. ( - ^ < 0)
+-+ (x i-1) ~ (3 < x < 4) -» S, = <3,4>
b) Si x < 1 -+ x-l < O -+ |x-i | = -(x-l)
En (1): (x < 1) * ( > 0) ~ <x < 1) * ( - g § < O)
+-+ (x < 1) ^ (2 < x < 3) ■+ S t = »
S = S , U S, = S, = <3,4>
E J E R C I C I O 18. Resolver: , / | [ 2 x ] ] - 2 { [ x J + 4 > 2
Solución. Cálculo del universo de la inecuación:
(1) jj[2xJ-2[[xJ]+4 5-0 - [T2x l -2[[ x]l > - 4
(2) Si ([x^] = n +— n 4 x < n+1, neZ (T. 57)
(3) Multiplicando por (2): 2n 4 2x < (2n+l)+l
Significa que: [[2xJ = 2n o j 2 x j ] = 2n+l
(4) Para obtener un único valor para j2xj), dividamos el intervalo (n,n+l>
en dos partes de longitudes iguales, esto es:
*
----------------£------------------------------ *o -----------------
n n+ n+1
[n,n+l> = [n,n + -^> u [n + , n+l>
(5) Si n 4 x < n+1 ¡2 ■+ 2n 4 2x < 2n+l
(6) Luego, si [ £ x j | = n y | [ 2 x J = 2 n -* Jf 2 x j ) - 2 j [ x ] ] = 2n-2(n) = 0
(7) n+1/2 4 x < n+1 -» 2n+l 4 2x < 2n+2
(8) Luego, si [[xj = n y Ü 2 x J = 2n+l — [[2xJ-2[[xJ] - 2n+l-2(n) = 1
(9) De (6) y (8) podemos escribir: j[2x]J-2|Ixj] ~ Si xt^-n >n+1/2>
Ll, sí xe[n+l/2,n+l>
(10) Esto significa que el primer miembro de la desigualdad (1) toma valo­
res 0 o 1 y que, ambos satisfacen dicha relación. Por lo tanto, la soluciónSólo fines educativos LibrosVirtual

324. Ejercicios: Grupo 30 311
de (1) es el conjunto R, esto es: V = <— ,+»>
(11) El iminación de la raíz de: / J 2 x J|-2[[x2]+4 > 2
(12) Elevando al cuadrado: f 2 x J-2JxJ) +4 > 4 -* ¡ J j Q - 2 [ £ j c > O
Pero de (9) sabemos que j 2 x j ] - 2 j x ] ] es O o 1, de los cuales 1 satis­
face la relación (12). En consecuencia, la unión de los intervalos de la
forma: t n+l/2,n+I> , es decir, la mitad derecha del intervalo [n,n+l> es la
solución de la inecuación dada:
S = U + | . n+l>
n=l
EJERCICIOS: Grupo 30
1. Hallar el valor de: a) [ p j r f J] b) ¡ j— —-J|
2. Determinar por extensión el conjunto A = 1 jj |jce<-i,5>}
3. Hallar el mayor y el menor elemento del conjunto
A - l x j x [ [ - | ] j ] ] |xe<0,+«>1 ’
En los ejercicios del 4 al 21, resolver las ecuaciones dadas:
4. [[ 2 x - 3 j =-5
5.
6. | ] - , M | + pc-l|-2j| = i
7. J / 3 - x J) = 2
8. flV-2x]] 3
9. J 3x-5 ]] = 2x+J
10. 13x ]] = 2x+2
n . I f f J l - i
1 2
. J x + i U = 2x
22. Si A es el conjunto solución de la ecuación f x - ( £ x J J + d I-x]]=5, cual
de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Ac[-7,-4> b) Ac£-6,-S> c) AC. <-6,-4] d) A - R
13. Q>xl]-|x-l|= 2x-3
14. [jl^ K 3 ]] = 4
15. ([-xl+x+3/4J] = 0
18. I x | l- H x| - 6 = 0
17. I x - l ] ] ^ 2 | I x J ] * = 57
18. / x - [ [ x l = x
19. [ [ 5 x ] ] = 4x+3
20- - *
21. / 9 - J x] ] 1 + /jx| -3 = 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

325. 312 Capitulo 4: Números Reales
23. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
a) [[2x * H 2\ 1 = x j c) ü x j + ffx + 1/2]] = [[2x1]
b) d - x+2 B = d x - l j d) [[a: + Jx]] J = 2jx]]
24. Demostrar que Va.beR, entonces: [[a + b j ^ |[ a J + [ [ b f l. En que caso o­
curre la igualdad?
En los ejercicios siguientes, resolver las inecuaciones dadas.
25. [ [ 2 x - ^ J s . l 31. d x U * —2[[x U -2 < O
26. H í- 5 32 ■ ¿ O
U- 2 d xl_2x_i9II
21. dJ-^-fJ] -< 1 33. ([x U *-iO[[x J] *+9 S O
28. d 4jc1-5x-4 J] -í 1 34. /[[x]]I-12 ( [[ x J 2- d x[] -6) >, O
29. < 2 35. / J x J l - 9 f d x j ' ^ d x l - i s ; « O
30. [[ |2x*+5x|-2]] < 1 36. 2|x| - [[2xJ] >,0
37. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) r = x - J x ] ] -► 0 S z < 1
b) VneZ, [ [ x + n j2 = ][ x ]] 2+2 n [ [ x ]]+ n2
c) Sea neZ, (z = x-n) ~ (0 4 z < 1) * d x I = n
d) Si x < -1 - | d 1 / x J + 11 = d -2/jcH
38. Dados los conjntos A = lxeR|2(x+2.)-8/x+2+6 i- Oí y B= Ixeft | d X _ 1 ]]l +
2 d x J] 2=57). Hallar A A B'.
39. Si A'=ixeR| d^-1 U 1 + 2 dJCH >^17, si d x+2]]=5t, hallar A.
40. Expresar el conjunto A en términos de inter~valos:
-4|+|2x
lx-2 1-2
a) A = {xcR¡ i* -S 0 , si d jc* +4JC-6 ]] < -3/2Í.
b) A = lxeR| I / Í Ó ^&r ^x2 ]]2 -í 9 «- d * -*!!^ }.
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

326. 313
V i;
RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R
EL PRODUCTO CARTESIANO DERxR
En la Sección 3.3 señalábanos que el producto cartesiano AxB de dos
conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los pares ordenados
(a,b) en los cuales la primera componente a, es elemento de A y la segunda
componente b, es elemento de B, esto es:
Análogamente, el producto cartesiano RxR, que se denota R * , donde R es el
conjunto de los números reales, se define como:
En el Capítulo 4, Sección 4.9, introdujimos la noción de la recta real y vi
mos la correspondencia biunívoca que existe entre puntos de la recta y el
conjunto de números reales. Cada punto sobre una recta numérica es ¡a gráfi
ca de un solo número real y viceversa. ..
Para graficar una relación debemos disponer de un procedimiento para grafi-
car pares ordenados. El dispositivo más conurmente usado para este propósi­
to es el sistema coordenado rectangular o sistema coordenado cartesiano. El
sistema consiste en dos rectas nunéricas, llamadas ejes de coordenadas, cor
todas perpendicularmente en un punto 0, llamado origen de coordenadas del
sistema. El eje horizontal se llana eje X o eje de las x y el eje vertical,
eje Y o eje de las y. Los puntos a la derecha del origen tienen coordenadas
positivas y a la izquierda del origen, negativas. Análogamente los puntos
AxB - {(a,£>)eAxB|aEA y beBlSólo fines educativos LibrosVirtual

327. 314 Capitulo 5: Relaciones
del eje Y arriba del origen tienen coordenadas positivas y los que están a­
bajo del origen tienen coordenadas negativas. Los ejes X e Y dividen al pía
no en cuatro regiones llamadas cuadrantes y
que se emmeran por I, II, III y IV (Fig.5.1)
en sentido antihorario.
Construido un sistema coordenado rectangular
podemos establecer una correspondencia uno a
uno entre el conjunto de puntos del plano y
el conjunto de los pares ordenados de números
reales. Sea P un punto cualquiera del plano.
Su proyección perpendicular sobre el eje X es
un punto cuya coordenada es el numero real tí­
nico a. La proyección perpendicular de P so­
bre el eje V es un punto que tiene como coor­
denada al número real único b. Si tomamos a a como el primer elemento de un
par y a b como el segundo, entonces con cada punto P del plano hemos asocia
do un par de núneros reales (a,b), único, y viceversa. El asociar a cada
par ordenado (a,b) un punto P nos lleva a las siguientes definiciones:
Definición 5.1 Si (a,b) es el par asociado con el punto P, entonces los nú
meros a y b se llaman coordenadas de P; a se llama coordena
da x o abscisa de P; b es la coordenada y, u ordenada de P.
Definición 5.2 Si P es el punto asociado con el par ordenado (a,b), enton­
ces se dice que P es la gráfica de (a,b).
Ejemplo. Graficar el conjunto de pares ordenados: í(2,3),(-3,2),(0,-2),
(4,-1)} y nombrar el cuadrante en que queda cada uno.
Solución. Construimos primero el sistema rec
tangular XV, luego representamos y
marcamos cada uno de los puntos P(2,3),Q(-3,2)
S(0,-2) y T(4,-l). Asi, P queda en el I cua­
drante, Q en el II, S queda sobre el eje Y, no
está en ningún cuadrante y T en el IV cuadran
te.Sólo fines educativos LibrosVirtual

328. S e c c ió n 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 315
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean AÍXi.y-i), B(xz,yz) y C ( x lry¡)
estén situados sobre una línea horizontal
B y C sobre una línea vertical. (Fig.5.2)
Entonces, por lo visto en valor absoluto:
d(A,C) = |AC| = |x2-x, | = |x2-x2 |
d(C,B) = |CB| = |y2-y2 | = |y»-y2 |
Luego, por el Teorema de Pitágoras:
| Á s | z = | a c | 1 + | c b | 1
- d(A,B) = /(x l-xl;z + (yt-y, ) 1
Ejemplo. Si P(a,a+1) es un punto que equ
el valor de a.
Solución. Se debe verificar que: d(A,P) ■
Entonces, por la fórmula de di:
/(a-2)1+[(a+l)-l Jz = A a + 6 ) 1+[(a+l)-5]1
■+ (al-4a+4)+a* = (al+12a+36)+(a1-8a+16) ,
res puntos en R z , tales que A y C
¡dista de A(2,l) y B(-6,5), hallar
= d(B,P) .
¡tanda entre dos puntos:
de donde: a=-6
GRAFICAS DE RELACIONES DE R EN R
__________;________
Un conjunto G de puntos del plano cartesiano es la gráfica de la reía
ción R si verifican la propiedad:
"P(a,b)cG -* (a,b)cR"
En la práctica, la gráfica de una ecuación de la forma E(x,y)=0 o inecuacio
nes de las formas: E(x,y) < 0, E(x,y) > 0, E(x,y) 4 0, E(x,y) £ 0 , en las
variables x e y, es la gráfica de la relación:
R = Ux,y>|Eíx,y)}
Veamos a continuación algunos ejemplos de gráficas de relaciones más impor­
tantes.
2 J J GRAFICAS DE RELACIONES LINEALES DE LA FORMA: j #
R - {(x,y)|ax+by+c = 0)
Tienen por gráfica una línea recta.
5.3
EJEMPLO 1. Trazar la gráfica de la relación: fij = { tx,y)£fi2|3x-2y+6=0]Sólo fines educativos LibrosVirtual

329. 316 Capitulo 5: Relaciones y funciones en R2
S o lu c ió n . S e g ú n un p o s tu la d o d e la g e o m e tr ía q u e a f ir m a q u e d o s p u n to s d is tin to s de
te r m in a n u n a r e c ta y s ó lo u n a , b a s t a r á h a l l a r d o s p a r e s d e la m is m a , d e la
s ig u ie n te m a n e ra :
Si y = 0 ~¥ 3 x + 6 = 0 «-> x = - 2 . A s í, ( - 2 ,0 ) e s u n a s o ­
lu c ió n d e la e c u a c ió n d a d a .
Si x = 0 -> - 2 y + 6 = 0 <-> y = 3
L u e g o , ( 0 .3 ) es u n a s e g u n d a s o lu c ió n .
P a r a o b te n e r la g r á f i c a r e q u e r id a , s o lo n e c e s i t a ­
m os u n ir lo s p u n to s P ( - 2 ,0 ) y Q ( 0 ,3 ) c o n u n a lín e a
r e c ta , d a d a q u e:
G ( R , ) = {P ( - 2 ,0 ) , Q ( 0 ,3 ) ,
...........+ ~ )
C o m o v e m o s : D o m ( R , )= R a n (R , ) = (-oo,+ oo) = R
EJEMPLO 2 T r a z a r la g r á f ic a d e la r e la c ió n : R2 = { ( x ,y ) e R2l2 x - 3 y = 0 )
S o lu c ió n . L a r e la c ió n R , tie n e la f o r m a a x + b y + c = 0 , e n la q u e c = 0 . E n e s to s c a s o s
(0 ,0 ) es u n a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n 2 x - 3 y = 0 , e s
d e c ir, la r e c ta p a s a p o r el o r ig e n d e c o o r d e n a d a s .
N e c e s ita m o s un s e g u n d o p u n to p a r a d e te r m in a r la
re c ta .
Si x = 3 —» 2 ( 3 ) - 3 y = 0 <-> y = 2 - » P ( 3 ,2 ) e s el o tr o
p u n to .
C o m o G ( R , ) = { (0 ,0 ) , ( 3 , 2 )
...........+■»} -> D o m (R
EJEMPLO 3
S o lu c ió n .
T ra z a r la g r á f ic a d e la r e la c ió n : S = { ( x ,y ) e R2l(x + 2 ) ( y -3 ) = 0 }
S e g ú n e l T .4 .1 4 / : a b = 0 <-> a = 0 v b = 0
- » ( x + 2 ) ( y - 3 ) = 0 <-» x + 2 - 0 v y - 3 = 0 <-> x = - 2 v y = 3
L a g r á f ic a d e S e s la u n ió n de la s g r á f ic a s d e
R ,= { ( x ,y ) e R2lx = - 2 ) c o n R ,= { ( x ,y ) e R2ly = 3 } , e s
d e c ir: G (R , ) = { (- 2 ,0 ) , (-2 ,1 ), ( - 2 ,2 )
..........( - 2 ,n ) )
es u n a r e c ta v e r t i c a l c u y o s p u n to s tie n e n a b s c is a
c o n s ta n te : x = h
O se a D o m (R ,) = { - 2 ) y R a n ( R ,) = R
G (R , ) = { (- 2 ,3 ) , (-1 ,3 ) ,( 0 ,3 )
.........( n ,3 )}
e s u n a r e c ta h o r i z o n t a l c u y o s p u n to s tie n e n o r d e n a d a c o n s ta n te : y = k
O se a: D o m ( R ,) = R y R a n (R , ) = { 3 ) —» G ( S ) U G ( R , ) = T o d a la c r u z
.■. D o m ( S ) = D o m ( R , ) = R y R a n ( S ) = R a n ( R ,) = RSólo fines educativos LibrosVirtual

330. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 317
EJEMPLO 4. Trazar la gráfica de la relación:
T = Ifx.yJeR1 |5x-3y+7=0, xc<-2,4]l.
Solución. Podemos observar que el dominio de T está restringido al interva
lo <-2,4]. Luego, para esbozar su
gráfica temaremos los valores extremos de di
cho intervalo, esto es:
Si x=-2 - 5f-2}-3y+7=0 «- y=-l
- P(-2,-1) i G(T)
Si x=4 * 5(4)-3y+7=0 *■* y=9 - Q(4,9)eG(T)
Trazando el segmento PQ, sin incluir al pun­
tó P, tendremos la gráfica de T.
Dom(T)=<-2,4] y Ran(T)=<~l ,9)
2 S GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA:
_____________j |
R i = ( Cx,yJeRl|x2+ y l= r2 }; ft a = { (x,y)e R 2| (x-hj2 +(y-k)1 =r 2)
Tienen por gráfica una circunferencia de radio r y centro C x(0,0) y Cz(h,k)
respectivamente. Asi mismo, las relaciones de la forma R=l(x,y)eR2\x2+y2+Üx
+Ey+F=0} tienen por gráfica una circunferencia o uno de sus casos especia­
les. En efecto, completando el cuadrado para las variables x e y se tiene:
(x +-2)2 + (y + f r-4(D2 + E24F)
Haciendo: t = D 2+E2+4F) , ocurre que:
a) Si t > 0, la gráfica de R es una circunferencia de centro (- »-
radio r=t
D E
b) Si t=0, la gráfica de R es un punto ~
c) Si t < 0, R no tiene representación gráfica, es un conjunto vacío.
EJEMPLO 1 . Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de (a relación:
R, = {fx.y>eR1 |x>+y*=41
Solución. La gráfica de R lJes una circunferencia de centro C(0,0) y radio
r=2
Para determinar el dominio despéjanos y:
y = t/4-x2 * ay ** 4-x2 V 0
«-* x* 4 - 4 - ~ + -2 ^x^2
Para determinar el rango despejamos x:
x = ± / 4 - y2 -*■ 3 x +-*■ 4-y2 » 0 +-*■ -2 £ y 4 2Sólo fines educativos LibrosVirtual

331. 318 Capítulo 5: Gráficos de Relaciones
Dom(Ri) = R a n f R J = [-2,2}
Nota. Dado que la gráfica de una circunferencia, de radio r, es simétrica
respecto de su centro, entonces, una forma práctica de hallar su domi
nio y su rango es la siguiente:
a) Si el centro está en C(0,0) •+ Dom(R) = Ran(R) = [-r,r]
b) Si el centro está en C(h,k) ■+ Dom(R)=íh-r,h+r] y Ran(R)=[k-r,k+r]
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
Rt = Ifx.yJ eR214x2+4y1-12x+24y+9=01 .
Solución. Completando el cuadrado para las variables x e y se tiene:
4(x2-3x+9/4)+4(y2+6y+9) = -9+9+36
de donde: (x-3/2)1+(y+3)1=9 +■ h=3/2 , k=-3
La gráfica de R2 es una circunferencia de cen
tro C(3/2,-3) y radio r=3.
Dominio de Rt: y=f(x) ~+ y+3 = ±f9-(x-3/2) 2
- 3y ++ 9-(x-3/2) 2 > 0 ++ (x-3/2)* S 9
++■-3 4 x-3/2 4 3 ++ -3/2 4 x 4 9/2 - [h-r,h+rj
Rango de Rt: x=f(y) — x-3/2 = ±/9-(y+3)1
■+ ix ++ 9-(y+3)* >*0 +-+ (y+3)2 4 9
++-3 4 y+3 4 3 ++ -6 4 y 4 0 = [k-r,k+r]
Dom(Rt) = í-3/2,9/23 y Ran(Rt) = 1-6,0]
Observaciones:
(1) Si de (x-h)*+(y-k)í=r1, despejamos y=f(x), obtenemos las ecuaciones:
y = k ±/rl-(x-h)1
Obsérvese que ambas ecuaciones difieren en el signo ± antes del radical.
Con relación a sus gráficas puede ocurrir lo siguiente:
a) La gráfica de la relación y=k+’/r1-(x~h)1 es una semicircunferencia de ra
dio r y centro C(h,k), ubicada en el semipleno superior de la recta y=k.
Entonces: Dom(R)=íh-r,h+r] y Ran(R)=ík,k+r]
b) La gráfica de la relación y=k- /r*-(x-h)2 es una semicircunferencia de
centro C(h,k) y radio r, ubicada en el semiplano inferior de la recta
y=k. Entonces: Dom(R)=íh-r,h+r] y RanfR>=Ck-r,k]
(2) Si de (x-h)*+(y-k),=rt despejamos x=f(y), obtenemos las ecuaciones:
x = h ± /r*-(y-k)z
a) La gráfica de x=h+ ¡/r2-(y-kf es una semicircunferencia de centro C(h, k)
y radio r, ubicada en el semiplano derecho de la recta x=h. Entonces:Sólo fines educativos LibrosVirtual

332. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 31 9
Dom(R)-íh,h+r] y Ran(R)=[k-r,k+r]
b) La gráfica de x=h-/rz-(y-k)z e s una semicircunferencia de centro C(h,k)
y radio r, u b i c a d a en el semipleno izquierdo de la recta x=h. Entonces:
Dom(R)=[h-r,h] y Ran(R)=[k-r, k + r ] .
EJEMPLO 3. Hallar el deminio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R3 = l(x,y)eRz \y+2 = /5+4x-xz }
Solución, y = -2 + /9-(x-2)z
El signo + antes del radical indica que la gráfica de R¡ está en
el semip l a n o s u p e r i o r de la recta y=-2 (y -2)
Luego, la ecuación dada es equivalente a :
(y+2)z=9-(x-2)z, y (x-2)z+(y+2)z=9, y >.- -2
Semicircunferencia de centro C(2,-2) y r=3
Entonces: h=2, k=-2 y r= 3
Luego: Dom(Rs) = [h-r,h+r] = [ - 1 , 5 ]
Ran(R,) = [ k , k + r ] = [ - 2 , 1 ]
y
- 2
ñ ■ j
11
1 d . .
EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R t = {(x,y)cRz \y = - /3 - 3 .X -xz ) .
Solución, y = -/3-(xz +2x+l)+l = - /4-(x+l)z
Aqui, k=0 y el signo negativo antes del radical indica que la
gráfica de R t está en el semiplano inferior del eje X (y 0). Luego, la é-
- y,
cuacion dada es equivalente a:
yz=4-(x+l)z, y -S O <-► (x+l)z + (y-0)z=4, y S O ?—|— '— o -
Entonces: h = - l , k=0 y r=2
Dom(R^) = [h-r,h+r] = [ - 3 , 1 ]
R an(RJ = [k-r,k] = [ - 2 , 0 ]
EJEMPLO 5. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de ¡ a relación:
((x,y)cRz ¡ x = -1 + /7+6y-yz
Solución, x = -1 + /16-(y-3)z
El signo + antes del radical indica
que la gráfica de ñ , está a la derecha del se­
miplano de la recta x=-1 (x i- -1). Entonces la
ecuación equivalente es: (x+1 )z+(y-3)z=16, x >, -1
h = - l , k=3 y r=4 -+ Dom(Rs) = [ h , h + r ] = [ - l , 3 ]
Ran(Rs) = [k-r,k+r] = [ - 1 ,7 ]Sólo fines educativos LibrosVirtual

333. 320 Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA: R=i(x,y)cR1 |y-oDcl+bx+c)
Tienen por gráfica una parábola. Mediante el método de completar el
cuadrado, las ecuaciones de este tipo de relaciones pueden transformarse a
la'forma: y = a(x-h)I+k , en donde V(h,k) es el vértice de cada parábola.
Hay dos características importantes que tienen en común todas las parábolas
a) Simetría. Cada parábola es simétrica con respecto a una línea vertical
llamada eje de simetría.
b) Vértice. Es el punto donde la parábola intersecta a su eje de simetría.
Si la gráfica de la parábola se abre hacia arriba (a > 0), su
vértice es el punto más bajo de la curva; si se abre hacia abajo (a < 0)
su vértice es el punto más alto.
En las Figuras 5.3 y 5.4 se muestran parábolas típicas, junto con las ecua-
En la Fig.5.3, se observa que tanto las gráficas de y=(x-4)1 como la de y=
(x+4)1 tienen la misma forma que la de y=x*, solo que están desplazadas ho­
rizontalmente 4 unidades a la derecha e izquierda respectivamente.
Análogamente, en la Fig.5.4, las gráficas de y=x*+3 y de y=x*-3 son las mis
mas que la de y=xl , solo que desplazadas verticalmente 3 unidades hacia a ­
rriba y abajo respectivamente.
En general:
(1) La gráfica de y=a(x-h)* tiene la misma forma que la de y=ax2, pero des­
plazada horizontalmente h unidades hacia la derecha si h > 0, o hacia
la izquierda si h < 0.
(2) La gráfica de y=ax2+k tiene la misma forma que la de y=ax2 pero despla­
zada verticalmente k unidades hacia arriba si k > 0 o hacia abajo si k< o.Sólo fines educativos LibrosVirtual

334. Sección 5.3: G ráficas de Relaciones de R en R
__________________________________________321
Combinando estos dos criterios podemos graficar parábolas de la forma:
y=a(x-h)z +k, tomando como base la gráfica de y-ax1.
EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R¡ = 1 (x,y)cRz |y=x2-6cc+51
Solución. Completando el cuadrado: y=(x2-6x+9)-4
Tomando como base la gráfica de y=x2,
se desplaza h=3 (h>0) unidades a la derecha
y luego k=-4 (k<0) unidades hacia abajo.
Como a > O, el punto más bajo de la parábo­
la es el vértice V(3,-4).
Entonces: Dom(R¡) = R
Ran(Rl) = [-4,+->
EJEMPLO 2. Trazar la gráfica de la relación R2 = ( (x.y)cR114y+x2-4x=0).
Soiución. Completando el cuadrado se tiene: 4y=-(x2-4x*4)+4
-- y =-í(x-2)2+l » h=2, k=l
Como a=-l/4 < O, la curva se abre hacia abajo
o sea que el punto más alto es el vértice de
la parábola: V(2,l). Sin usar el criterio an­
terior, esbozamos la gráfica de R z encontran­
do otros dos puntos de la parábola.
Para y=0 ■* x 2-4x=0 «-> x=0 o x=4
Uniendo el vértice con los puntos 0(0,0) y P(4,0) obtenemos la gráfica de
la relación. Entonces: Dom(Rz)=R y Ran(Rz)=<-a, 1 ].
Observaci ones:
(1) Las relaciones de la forma: (x.yJeR 1|x=ayz+by+c) tienen por gráfica
una parábola de eje horizontal. Mediante el método de completar el cua­
drado es posible transformar la ecuación a la forma: x-a(y-k)2+h, y esbozar
su gráfica por los métodos ya conocidos.
Cuando a > O, la curva se abre indefinidamente hacia la derecha , y cuando
a < O, la curva se abre indefinidmente hacia la izquierda.
EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:
R 3 = { (x,y)zR2ly2-6y-4x+5=0} .Sólo fines educativos LibrosVirtual

335. 322 Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
Solución. Completando el cuadrado para la variable y, se tiene:
(y1 -6y+9)=4x-5+9 (y-3)2=4(x+l)
1,
x = ~(y-3)2-l h=-l y k=3
Vértice de la parábola: V(-l,3) .
Como a=l/4 > 0 , la curva se habré hacia la de
recha sin límite.
Para x=0 -+ y 2-6y+S=0 •*-*• y=l o y=5
Uniendo el vértice con los puntos P(0,1) y
Q(0,5) obtendremos la gráfica de Rj.
Dom(Rj>=[-J,+“> , Ran(Rs)=R
(2) tas relaciones de la forma: R = I (Jc.yJeR2 |y = k ± b^-fx-h) , b > 0) tie
nen por gráfica una semiparábola de eje horizontal (y-k).
En efecto, de la ecuación anterior: x=a(y-k)2+h, despejamos y=f(x):
(y-k)1 = jj(x-h) ** y = k ± /^(x-h)
Dado que a puede ser positivo o negativo, entonces haciendo: -i = (ib)2
obtenemos: y = k ± bSi(x-h) , b > 0
La forma como están ubicadas las gráficas de las parábolas respecto de su e
je y-k, dependen de los signos i antes del radical, y la forma como se ex­
tienden o se abren las parábolas (hacia la derecha o izquierda) dependen de
los signos ± dentro del radical. En consecuencia, existirán dos casos:
/
-----
a) y = k + bV+fx-h)
b) y = k + bS- (x-h)
Caso 1: y= k + b/±(x-h)
En este caso, la gráfica de la semiparábola se encuentra en el semiplano su
perior del eje y=k (y ^ k).
En a) la curva se abre hacia la derecha y en b), hacia la izquierda.
______ a) y - k - b/+(x-h)
Caso 2. y = k - b/t (x-h) ■*-*■ i
b) y = k - b/-(x-h)Sólo fines educativos LibrosVirtual

336. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 323
En este caso, la gráfica de la semiparábola se encuentra en el samiplano in
ferior del eje y=k (y S k). En a) la curva se abre hacia la derecha y en b)
hacia la izquierda.
EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de las relacio­
nes: R¡=((x,y)eRz|y+3 = /2x+5f y ñ2= {(x,y)eRz|y-i =-/2-x) .
Solución. En R¡: y = -3 + (/2)/+(x+5/2) * h=-5/2 y k=-3
Tenemos el Caso la, la gráfica de la semiparábola está en el se-
miplano superior del eje k=-3 y la curva se habré hacia la derecha.
En Ri : y = 1 - /-(x-2) -*■ h=2 y k=l. Tenemos el Caso 2b; la gráfica de la
semiparábola está en el semiplano inferior del eje k=l,-y la curva se abre
Gráfica de Ri Gráfica de R 2
Dom(Ri)-l-5/2,+m>, Ran(Rl) = [-3,+a>> Dom(R1)=<-a¡, 2], Ran(Rl)=<-°>, 1 ]
0 0 3 GRAFICAS DE RELACIONES PE LA FORMA
______________
R={(x,y)eRz |A r 1+Cy2+Qr+jEy+F=0} ; R=l(x,y)tR* \ - í ! + Z l = 1}
a z b 1
r = U x , y ; c s 2 | .ÍZ:.h ) 1 + <y~k) 1 = 1}
az b z
Tienen por gráfica una elipse, donde a es el semieje mayor, b es el semieje
menor y C(h,k) es el centro de la elipse.Sólo fines educativos LibrosVirtual

337. 324 C apitulo 5: G ráficas d e Relaciones
EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:
St=<(x,y)cR*¡4xz+9yt-36}.
Solución. 4x*+9yl=3G ** -jj- + -¡¿ = 1
de donde: a1=9 * a=3
b* =4 - b=2
D c m i R . M - a . a M - S . S ] ; RanfR,;=[-b,bJ=[-2,2]
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R»=l (x, y)cR* j 1+9yz-64x+l8y-71=0\i
Solución. Completando cuadrados para las variables x e y, se tiene:
16(xz-4x+4)+9(yl+2y+l)=144
** f * - ^ 1 * (y * » 1 - i
9 16 '
de donde: az=lG * a=4 ; b*=9 * b=3
h=2 y k--l * C(2,-l)
Dom(R,.)=[h-b,h+b}=l-l ,5]
Ran(Rt)=lk-a,k+a]=t-5,3]
GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA:
_____________^
R=lfí.y;eR1|Ax:1-Cyl+Cte+Ey+F=0} ; R={(x,y)tR* | — = 1
a1 b1
R ^ i s . y J e R 1! (x ~h )1 - Í Z ± ¿ ! = j } ¡ R = U x ,y )E R I |xy=±cl /2 l
a1 b 1
R=l(x,y)cRt | (x-h)(y-k)=±al/2
Tienen por gráfica una hipérbola, donde a es el semieje transverso o real,
b el semieje conjugado o imaginario y C(h,k) el centro de la hipérbola.
EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:
R i=i(x,y)cR ‘ 19y'l-4x*=3GI
Solución. 9yl-4xz=3G = 1
de donde: a *=4 -» a=2; b*=9 - b=3
i, y i, son asíntotas de la hipérbola, se ob­
tienen de: 9yt-4x*=0 «-► (3y+2x)(3y-2x)=0
■** tl:3y+2x=0 o tt:3y-2x=0
Dom(Ri)-R ¡ Ran(Rl)=<— ,-21 U [2,+<»>
5 . 3 . 5Sólo fines educativos LibrosVirtual

338. S e c c ió n 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 32 5
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
Ri={(x,y)eRl\xl-4y*+2x+24y-51=0).
Solución. Completando el cudrado para x e y se tiene:
(xl+2x+l)-4(y1-6y+9)=51+1-36
(x+1)2 _ (y-3)1 =
16 4
de donde: a‘=16 -*■ a=4 , bl=4 •* b=2
h=-l y k=3 - C(-l,3)
Luego, Dom(R1)=<-a,-5] U [3,+°>
R a n ( R í ) = R
Nota. Las hipérbolas equi lateras de la forma: ocy =±aI/2, tienen como asíntg
tas a los ejes coordenados, y las hipérbolas equilateras de la forma
(x-h)(y-k)-¿a2/2, tienen como asíntotas a las rectas x=h, y=k.
EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R¡=t(x.y)cR1\xy=-2).
Solución. Si xy=-2 * -al/2 = -2 ■* a*=4
- a=2
Luego, Dom(R,) = Ran(R¡) = R - { 0 (
EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R*={(x,y)eRl\xy-2x-3y=2].
Solución. Despejando y~f(x) se tiene:
2x+2 „ 8
y = 3 = 2 + í=3
y-2
8
x-3
(x-3) (y-2)=3
Entonces: a212 = 8 a 2=16 -*• a=4
h=3 y k=2
DomfR,l=R-(3í , RanfR,J=R-12t
GRAFICAS DE RELACIONES CON VALOR ABSOLUTO
En R, según el T.49: |x|=y (y 0) a (x=y v x=-y)
Entonces, si: y=|x| (y 0) a (y=x v y=-x)
y si aplícanos la definición de valor absoluto para el término |x|, ocurreSólo fines educativos LibrosVirtual

339. 326 C apitulo 5: G ráficas de R elaciones
que: y = y =
X , si X
En consecuencia, la gráfica de y=|jc| equivale
a la gráfica de cada una de las rectas: y=x ,
y=-x, pero en el semiplano superior del eje X.
(y i-0).
Este mismo criterio se sigue para esbozar gráficas de relaciones que invol¿
eran el valor absoluto.
EJEMPLO 1. Halar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:
R^Ux.yjtR'iy =
Solución. Si x > 2 •* x-2 > O * | * " 2 | = x-2
x < 2 * x-2 < O - | x -2| = -(x-2) = 2-3e
x-2 _ _
__ _ _
... , „ , - „
si x < 2Luego, si x >■ 2 ■* y =
Entonces, la gráfica de Ri consiste en dos
partes: ¡a parte de la recta y=-l para x>2,
y la parte de la recta y=l, para x<2.
Dom(Rl)=R-{2) y R a n f R , M - i ,i >
y=l
1
1
(" i b *
-1
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar ¡a gráfica de la relación:
Rt=l(x,y )^\ y = < ^ n ± Z l l l
\x-2\*(x-l)
Solución. Eliminaremos las barras de valor absoluto utilizando el método
de los puntos críticos, que en este caso son: x-1 y x=2
x < 2 1 1 ¿ x < 2 t> .2
|x-i| = -(x-1) { |x-i| = +fx-i; |x-l| = +(x-l)
|x-2| = -(x-2) i |x-2| = -(x-2) |x-2|= +(x-2)
Para: x < 1, en R t: y =
(3c-2)-(x-1) _
(2-x) + (x-1) *
y .
i
1 i x < 2, en R t: y =
(x-2)+(x-l) „ »
(2-x)+(x-l) " J
x i 2, en R t: y =
(x-2)+(x-l) ,
(X-2)t-(x-l) ~ 1
0
-i
/
’ X
Dcm(Ri)-R y Ranfa2>=[-2,iJSólo fines educativos LibrosVirtual

340. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de Ren R 327
EJEMPLO 3. Dada la relación R s=Ux,y.)eR*|y = ha i lar su dominio,
1*1 -2
rango y trazar su gráfica.
Solución. En este caso, los puntos críticos son: x=0 y x=2
x < O O O S x < 2 2 x > 2
........... 'f — ------- ?.................
|x| = -x | |x| = +X I ¡x| = +x
|x-2| = -(x-2) j |x- 2| = -(x-2) j |x- 2| = +(x-2)
Para: x < O, en R,: y = = 1 - ^ ~ (x+2)(y-l)=-4
O S x < 2, en Rs: y = = -1
x > 2, en Rs: y = “ | = 1
Obsérvese que para x < O tenemos la ecua
ción de una hipérbola equilatera de cen­
tro C(-2,l).
Dom(Rs) = R- {-2,2)
Ran(Rt) = ] U tj , +»>
EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de ¡a relación:
R,=ifx,y;eR‘ ||x|+|y|=a, a > 0).
Solución. |x|+|y|=a * |y|=a-|x|
En este caso, aplicaremos la definición de valor absoluto para x
y luego, el T.49, de los números reales para |y|, esto es:
a) Si x í- 0 -*• |x|=x ■» |y|=o-x *-► fa-x ^ 0) - (y=a-x v y=-a+x)
■<-* (0 -í x í a) * (y=a-x v y=x-a>
b) Si x < 0 * |x|=-x * |y|=a +x (a+x >s 0) *■ íy=o+x v y=-a-x>
*-* (-a i x < 0) * (y=x+a v y=-x-a)
Si 0 -í x -í o y =
- r
i *
x
x-a
^ ^ /i ^ f
- a -í x < 0 * y = | ^ _ a
Trazando la gráfica de cada una de estas
rectas en el intervalo indicado, obtene­
mos la gráfica de Rt,. Nótese que es un
cuadrado de centro (0,0) y cuyas diagona
tes miden 2a. Entonces
Dam(R¡,) = Ran(Rt>) = f-a.ajSólo fines educativos LibrosVirtual

341. 328
___________________________________________Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
A base de ¡a gráfica de |x|+|y|=a podemos construir otras gráficas de rela­
ciones de la forma: |x-h| +|y-fc|=a, mediante una traslación de los ejes coor
denados el nuevo origen C(h,k), centro del cuadrado de diagonales 2a.
EJEMPLO 5. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:
R, = {(x,y)eRlHx-3¡ + ly-ll=3).
Solución. Aqui tenemos: h-3 y k=l * C(3,l) es el cent o del cuadrado cuyas
diagonales miden 2a=6; luego, trasladando los ejes coordenados
al centro del cuadrado, medimos de este punto 3 unidades sobre los nuevos e
jes, encontrando asi los vértices del cuadra- y
do. Uniendo los cuatro vértices obtendremos
la gráfica de la relación dada.
* Dom(Rs) = [h-a,á+a] = [ 0 , 6 ]
____
Ran(Rj) = [k-a,fc+a] = 1-2,4]
EJEMPLO 6. Hallar el dorriinio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R t = {(x.y)cR11|x|-|y|=a, a > Ot.
Solución. |jc|- |y| =a -*• |y¡=|x|-a
Siguiendo los mismos pasos del ejemplo 4, tendremos:
a) x t- 0 -» |x|=x |y|=x-a *-» (x-a í- 0) ~ (y=x-a v y--x+a)
fx í- o] ~ (y=x-a * y=a-x)
b) x < 0 * |x|=-x -*• |y|=-x-a (-x-a 0) ~ (y=-x-a v y=x+a)
(x í -a) ~ (y=-x-a v y=x+a)
Sixia - y = { * 1 ° ^
, f -x-a
x ¿ -a * y = <
l x + ° s
Entonces: DomfR,)=<-«, -a] U [a, +»> ~0' ’
Ran(R,)=R
Obsérvese que aqui la gráfica de R6 se
obtiene fácilmente prolongando los la­
dos del cuadrado (trazo punteado), cuyos vértices están sobre el eje X.
y=-x-a / \
y=x+a
\
y=x-a
/ y=a-x
EJEMPLO 7. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R7 = ( fx,y]e R 2 | |x+J |-|y-2|=2}.
Solución. Aqui tenemos: h=-l y k=2 ■* C(-l,2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

342. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 329
Si trasladamos los ejes coordenados de mo
do tal que el origen coincida con el cen­
tro C, tendremos que en el nuevo sistema
X'Y', la ecuación de R se transforma en:
|:c'|-¡y'|=2, ecuación similar a la del e­
jemplo 6, con a=2. En consecuencia, traza
mos su gráfica en idéntica forma.
Dom(R7j=<-°,h-a] U [h+a, +«>
= <-*>, -3 ] U [1, +*»>
Ran(R7) = R
EJEMPLO 8. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
R,={(x,y)eR‘¡|y|-|x|=a, a > OJ.
Solución. |y|-|a|=a » |y|=|x|+a
Como en los ejemplos anteriores consideremos las condiciones:
a) Si x > y 0 * | x | ■* ¡y|-x+a * - * (x+a í . 0) » (y=x+a v y--x~a)
(x >, 0 *. x -a » x t. 0) «-» (i J.0) « <y=x+a v y=-x-a)
b) Si x < 0 * |ccj =—jc -► |y|=-x+a ** (a-x >^0) ~ (y=-x+a v y=x-a)
(Pero: x<0^xS-a*x<0) «-* (x < 0) ~ (y=a-x v y=x-a,)
Luego, si x i- 0 -* y -
• - /i fa-x
si x < 0 - y = | ^ _ a
ílátese que la gráfica de este tipo de relacio­
nes, se obtienen prolongando los lados del cua
drado (trazo punteado) cuyos vértices están
sobre el eje Y.
Dom(R,)=R y Ran(R,)=<-*, -a] u [a,+~>
EJEMPLO 9. Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:
S={(x,y)eRz | y= 13+2x-x*|}.
Solución. y = |-fx1-2x+l)+4| = |-fx-l>1+4| = |(x-2)l-4|
*-► (y i - 0) ~ [y=(x-l),-4 v y=-(x-l)t+4]
(1) ( 2)
Luego, la gráfica de la relación S consiste en la unión de las gráficas de
las parábolas (1) y (2) ubicadas en el semiplano superior del eje X, ya que
y "i, 0. La parábola (1) tiene su vértice en Vi(1,-4) dirigida hacia arribaSólo fines educativos LibrosVirtual

343. 330 Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
(a=l > 0) .y la parábola (2) tiene su vértice
en V z(l,4) dirigida hacia abajo (a=-l < 0).
Nótese en el resultado final (trazo continuo)
como la parte de la parábola (1) que se encuen
tra en el semiplano inferior (trazo punteado)
se ha reflejado hacia la parte superior, te­
niendo como espejo al eje X.
.’. Dom(S)=R y Ran(S)=[0,-t-=>
EJERCICIOS: Grupo 31
Rallar el domin o, rango y esbozar la gráf ica de cada una de las siguientes
reí aciones.
1.R={(x,y)eR12x-3y+6=0} 16. R={(x,y)eRl|y+J=/3x+5)
2. R={(x,y)eR*xy-2x+y-2=0J 17.R={(x,y)eRí|y=S+/6-3x}
3.R=Ux,y;eH*2x-3y+8=0, ye.<2,6]} 18. R={(x,y)eR1|4x*+9y2-I6x+i8y=2J}
4. R = {(x,y)eRl4x1+4y1-16x+4y-47=0) 19. R={(x,y)eRl|9x*+4y*+18x-32y=--37)
5.R={(x,y)eRíy=I-/l5-2x-x*) 20.R-{(x,y)eR1xy-2x-y+l=0)
6.R={(x,y)eRly=-3+/4x-x* } 21.R=4(x,y)cR1|y=|x-i|+x}
7.R={(x,y)eRlx=2+A¡y-y2 } 22.R={(x,y)'eR*||x-2| = |y+l|, y i.0)
8.R=l(x,y)eRtx*+y*-2|x|-6y+l=0) 23. R={(x,y)eR1 | y = - Í £ l L + x>
9.R=i(x,y)cR*x*+y*-2x-4|y|-11=0} 24.R={(x,y)eR21 k | + |y|=4}
10. R=l<x,y)cRzy=x*-2|x|+3} 25.R=\(x,y)eR1||x+2|+|y-3|=4}
11.R^Kx.yjzR1x 1+2x-2y+7=0) 26.R=i(x,y)eR*1|x|+ |y+i|=2)
12.R={(x,y)*R12x1-4x+y+3=0) 27.R= f(x,y)eR*1|x-i|_ |y+2|=31
13.R={(x,y;eR*y*+4y+3x-8=0\ 28.R= Ux, y ; e R *¡|y-3|-|x-J|=21
14.R=Wx,y,)eR*y=J+/2-x) 29.R={(x,y)eRl|y=|x*+4x+J|}
15.R=<(x,y)eRzy--^6-2x1 30.R=i(X,y)eRl| y= 13-/l 5-2x-x* |}Sólo fines educativos LibrosVirtual

344. Sección '5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 331
2 2 GRAFICAS DE RELACIONES DEFINIDAS POR INECUACIONES
I) DESIGUALDADES LINEALES
Si el signo de igualdad de la relación R={(x,y)eR*lax+by+c=0} se susti­
tuye por uno de orden (<, , >^ , >), la relación resultante se llama desi­
gualdad lineal en x e y.
Sabemos que la gráfica de R es una linea recta
no vertical (bfO) cuya ecuación se puede escri
bir:
a c
bx b
+~* L: y = mx + k
Esta gráfica divide al plano XY en dos regio­
nes o semiplanos R, y R z, y sirve de frontera
a dichas regiones, cuyas gráficas se basan en el siguiente teorema.
TEOREMA 5.1 El punto P,(x,,y,) está en el semiplano superior de la rec­
ta L:y=mx+k si y sólo si y,*mx,+k, y está en el semiplano
inferior si y sólo si y,<mx,+k.
Danostración. En efecto, consideremos en el plano XY dos puntos con igual
abscisa: P,(x,,y¡) y P z(x,,yz), de modo que Pz esté sobre la
recta L (frontera), es decir:
Si P z(xi,yi)zL yz = mxi + k (1)
Se observa que si P , está en el semiplano superior (R,) de ¡a recta L (Figu
ra 5.5), si y sólo si, y, > y z
Sustituyendo en (1), se tiene: -*-* y , > mx, + k
Del mismo modo, P, está en el semiplano inferior (Rz) de la recta L (Figura
5.6), si y sólo si: y, < y z
y , < mx, + kSólo fines educativos LibrosVirtual

345. 332 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
EJEMPLO 1. Construir la gráfica de la relaciónR-i (x.yJeR*\2x+y > 4 ) .
Solución. Los pasos que se deben seguir para construir gráficas de relacio
nes de este tipo son los siguientes:
(1) Despejar y en términos de x
2x+y > 4 «-► y > 4-2x
(2) Graficar la frontera L:y=4-2x
(Con trazo punteado por la desigualdad es
trida >)
(3) Aplicar el Teorema 5.1. Por (1), la gráfj
ca de R es (a totalidad de puntos que se
encuentran en el semipleno superior de ¡a
recta L, sin incluir los puntos de frontera
Se sombrea el semiplano superior.
(4) Como comprobación tomemos un punto del semiplano inferior, tal como el
origen (O.O), y sustituyamos en R: 2(0)+0 > 4 -*-*■ O > 4, es falso.
Los puntos del semiplano inferior no satisfacen la desigualdad.
Como consecuencia del Teorema 5.1, enunciemos el siguiente:
Corolario. El punto P t(x¡,y,) está en el semiplano superior y sobre la rec­
ta L:yznx+k si sólo si y¡ i-mxl+k, y está en el semiplano infe­
rior y sobre ella, si y sólo si: y, -í mx»+Je.
EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la relación: fi=l (x.y)cR1 \ 2x-y+2 >. 0).
Solución. (1) 2x-y+2 >, O — ► y 5 2x+2
(2) Graficamos la frontera L:y=2x+2
con trazo continuo.
(3) Por (1), la gráfica de R está constituida
por los puntos sobre L y la totalidad de
puntos del semiplano inferior a ella.
EJEMPLO 3. Construir la gráfica de la región que consta de los puntos que
satisfacen la relación: R=l(x,y)cR1\(x+3y i- 6) ~ (2x-y+5 > 0)i
Solución. (1) Si x+3y-6 i- 0 + + y 4 > 2-x/3 ; 2x-y+5 > 0 ■*-+ y < 2x+5
(2) Sean L±:y=2-x/3 ; Lz:y=2x+5
Trazamos las gráficas de Li con trazo continuo y la de con trazo pun­
teado.
y¡
í,v ;
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1
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346. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 333
(3) Según (1), la gráfica de R está constitui­
da por los puntos de intersección de la re
gión ubicada en el semiplano superior y sobre
la recta L,, con la región ubicada en el semi­
plano inferior de la recta L í.
EJEMPLO 4. Construir la gráfica de la relación;
S = U x , y J e R2|2xz-3Jcy-2yl+&c+4y < ni
Solución. 2x*-3xy-2y1+8x+4y = (2x+y)(x-2y+4)
(1) Sean las rectas L1:2x+y=0
• L 2:x-2y+4=0
(2) Lín L¡ determinan en el plano 4 regiones
Rx > Ri > Rs y R* •
Tamaños un punto de cada región y compro­
bemos si satisfacen a la relación:
S = l(x,y)eRl¡(2x+y)(x-2y+4) 4 01
(3) (1,0)eR¡ - (2+0)(1-0+4) 4 0 - 10 4 0, es falso .'. R,i!S
(0,3)tRi - (0+3) (0-6+4) 4 0 - -6 4 0, verdadero RtcS
(~5,0)eR¡ - (-10+0)(-5-0+4) 4 0 -+ 10 4 0 , falso R,¿S
(-l,0)eR, •+ (-2+0)(-1-0+4) 4 0 -+ -6 4 0 , verdadero .'. R¡cS
(4) Por lo tanto, la gráfica de S es la de R zu R,, o sea:
Graf(S) = Graf(Rl{j R^)
y
i V '- ’ c í S :
1 2 w
R 3
A'\
EJEMPLO 5. Construir la gráfica de la relación:
S = {(x,y)eR1|xe[-3,5>, ye[-2,4]l
Solución. (1) Si xe[-3,5> ++ -3 4 x < 5 (Rx)
ye[-2,4] ++ -2 4 y 4 4 (Rz)
(2) R t es la intersección del semiplano a la
derecha de x=-3 con el semiplano a la iz­
quierda de x=5 (No incluida)
f e
5 a ;
-2
Rj es la intersección del semiplano superior ~3
de la recta y=-2 con el semiplano inferior de
la recta y=4.
(3) Por lo tanto, la gráfica de S es el área rectangular conformada por las
rectas x=-3 , x=5 , y=4 , y=-2Sólo fines educativos LibrosVirtual

347. 334 C apitulo 5: G ráficas de R elaciones
EJEMPLO 6. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relación
T = Ux.yjdl'lloc+il 4 3, |y-2| > i>.
Solución. (1) |x+i| 4 3 -3 4 x+1 4 3
« - K < l s < 2 (RJ
\y-21 > I ++ y-2 > 1 v y-2 < -1
** (y > 3) v fy < 1) (Rt)
(2) Ri es la intersección del semiplano a la
derecha de x--4, con el semiplano a la iz
quierda de x=5. R t es la unión del semiplano
superior de la recta y=3 con el semiplano in­
ferior déla recta y=1 (Las fronteras y=1, y =3
no están incluidas).
(3) Entonces: Graf(T) = Graf(R¡) Graf(Rx) es e
Dam(T)=l-4,2] y Ran(T)=<-°>, 1> U <3, +“>
EJEMPLO 7. Construir la gráfica de la relación:
S = ifx,y)EB2 | |x|+|y| >s2, si xy >, O o |x| + |y|-í 2, si xy<0)
Solución. (1) |jc| + |y| 2 , si xy >^0
xy 1 0 ++ (x >s 0 » y > /0) v (xv< 0 « y í OJ
Si (x *■ 0) ~ (y i 0) ♦ x + y i 2 « y > / 2-x (RJ
(x 4 0) ~ (y 4 0) + -x-y i. 2 •<-+ y -2-x (Rt)
Considerando las restricciones del dominio y rango, Rt es la totalidad de
puntos en el semiplano superior de la recta Li:y-2-x, y R, está formado por
los puntos del semiplano inferior de la recta L t :y=-2-x.
(2) |x| + |y| -S 2, si xy < 0
xy<0++(x>0~y<0)\/(x<0~y>0)
(x >0 » y <0) * x-y ^ 2 «-* y í. x-2 (R,)
(x <0 - y> 0) * -x+y 4 2 «- y 4 x+2 (Rt)
Considerando las restricciones del dominio y
rango, R, es la totalidad de puntos en el se­
miplano superior y sobre ia recta L,:y=x-2, y
R t está formada por los puntos en el semipla­
no inferior y sobre la recta L s:y=x+2.
(3) Graf(S)=GraffR,U R, ) U Graf(R, U R t)
i
..............
m ■
m
-4
m m
M
2 x
i área sombreada.
EJEMPLO 8. Construir la gráfica de la relación:
T = í (x,y) eR2 10 -S |x| « 3 , |x-3| « |y+l |)Sólo fines educativos LibrosVirtual

348. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 335
Solución. (1) Si |x| 3 ** -3 4 x ^ 3
Pero |*| £ O ♦ O 4 * -j 3 (S)
Entonces: S= {(x,y)eR‘¡0 4 x 4 3 >
jx-3| >í ¡y+l| - |ac—3 11 4 jy+J| *
~ (x-3) l-(y+l) 24 O ~~ (x*y-2)(x-y-4) 4 O
(2) Sean L l:x+y-2-0 y L x:x-y-4=0, entonces
L lflLx, determinan en el plano 4 regiones
Ri > Rz i Rj i R * •
Veamos cual de estas regiones satisface la re
loción: R=í(x,y)eR2¡(x+y-2)(x-y-4) 4 0).
(4,-l)cRx - (4-l-2)(4+l-4) 4 O - 1 i O , falso - (4,-l)¿R
(3,0)eRx - (3+0-2)(3-0-4) 4 O - -1 4 O, verdad - (3,0)di
(0,0)*R, * (0+0-2)(0-0-4) 4 O * 8 4 O, falso * (0,0)tR
(3,-2)eRi, * (3-2-2) (3*2-4) 4 0 * - 1 4 0, verdad - (3,-2)cR
(3) Luego: Graf(R) = Graf(Rx) U Graf(R<)
(4) Por io tanto: Graf(T) = Graf(S)n Graf(R)
Esto es, la gráfica de T es la porción de R xiiRt entre 0 4 x 4 3.
EJEMPLO 9. Resolver gráficamente y determinar el conjunto de coordenadas
enteras, no nulas y positivas de la relación:
R = i(*,y> zR!¡2x+3y-12 4 O , 2x-Sy+5 < 01.
Solución. (1) Si 2x+3y-12 4 0 * y 4 4-2x/3
2x-5y+5 < O * y > 2x/5+l
(2) Sean Li:y=4-2x13 , L x:y=l+2xl5
Construimos las rectas L t con trazo conti
nuo y L¡ con trazo punteado.
(3) Según (1), la gráfica de R ¡o constituyen
la totalidad de puntos de intersección de
¡a región ubicada en el semiplano inferior y
sobre la recta L¡, con la región ubicada en el
semiplano superior de la recta Li.
(4) En el I cuadrante se trazan lineas paralelas a los ejes coordenados cu­
yas intersecciones nos darán las coordenadas pedidas, esto es:
S = {(1,2),(1,3),(2,2))
Nótese que P(3,2) satisface 2x+3y-12 4 O, pero no a 2x-5y+5 < 0.Sólo fines educativos LibrosVirtual

349. 336 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
EJERCICIOS: Grupo 32
Construir la gráfica de la región descrita por las siguientes relaciones:
1.R =(x.y)cR|(2x+y~3 i d ) « (x-y+2 > 0))
2. R =(x.y)eR| (x+4y-6 4 0) * (2x-6y+7 i-0)1
3.R =(x.y)eR| (2x-y-5 4 0) v (y-3x+3 4 0)1
4. R =(x.y JeR| (Zx-y+8 4 0) ^ (4y-4x+l í. 0) >
S.R =(x.y)zR\(3x+y-17 Z.0) * (5x-2y-10 > 0)}
6. R = (x.y)eR| (2x-y+l >.0) * (6x-3y-2 < 0)}
7.R =( x . y ) e R|C3r-10y-4 < 0) v (4x+6y-15 < 0)1
8.R =(X.y)eR|x-2y-4 i 0, 6x+y-l1 i 0, 4x+Sy-20 4 0}
9.R =(x.y)dt|í3x+y-4 > 0) * (x-2y+l < 0) * (2x+3y-19 < 0)}
10.R =(x,y)cR| (x-2 i. 0) * (y+5 >* 0) * (x-y > 0) .s (2x+y-20 < 0) >
11.R =( x . y ) c R| |y+i j i-3 * |x-l| < 6 12. R = « x , y > e R z | |x-2|+3y-4 <
13. R =(x.y'jcR|0 < y . # x y > 1*1-11 14. R={fx,y)eRz | ¡y - * | í 2x1
15.R =(x.yJcR1 l * M y | i- 2 * x-4y+4 i- 0)
18.R =(x.y)eR| |x+2| + |x+3|+4y-5 4 0 * x-y 4 0}
17.R =(x.y)eR|y 5-x, |x| + |y| 4 6, x >/0)
18.R =(x.y)eR|y ^ - |* | , 2 < |x | í 4 , y i- -6\
19.R =(x.y)cRl |y | = W . W + lyl í i» 20. R=l(x,y)cRl | |x+y| í 1}
21.R =(x.y)eR1 |x |- |y | -6 2. i y | « 1)
22.R =( x,y)eRU l * l - |y | >' 4> ~ (1*1 -s w i
23.R =(X,y)eR|( |x + 2 |- |y - 3 | i. 4) ~ f|*+ 2| 4 6 ) * f |y - 3 | .$ 5>>
24.R =(x.y)zR|( |x - 2 | + |y -3 | 4 6 ) * í |y | í xj»
25.Consruir la gráfica d e la región descrita por las relaciones:
a) R = ) fi,y ;eR 1 |x 1 -2xy+2x+2y-3 4 0)
b) S = U x .y Je R * |2 x z -5 ay + 2 y * + x -2 y %. 0}
(Sugerencia: Factorizar y aplicar la regla d e los signos)
28. Hallar el área de la región acotada p o r la relación:Sólo fines educativos LibrosVirtual

350. S e c c ió n 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 337
R = <fx,yJeR2 | |x|+|y| >, 2 , |x| 4 6 , |y| 4 4)
Resolver gráficamente y determinar las coordenadas enteras no nulas y posi­
tivas de las siguientes relaciones:
27. R = U x , y ; £ R2|(x+2y 4 8) ~ (x-3y+3 < 0)1
28. R = ((x.y)eR1\(5x-2y > 0) ~ (8x+5y < 40)1
29. R = {(x,y)cR*l(5x-2y >10) ~ f2x+3y 4 12))
*
II) DESIGUALDADES CUADRATICAS
En conexión con las ecuaciones cuadráticas de dos variables vamos a
considerar inecuaciones relacionadas de la siguiente manera:
y > axt+bx+c x > ay1+by+c
y < axl+bx+c ' x < ay*+by+c
donde a,b,ceR.
La parábola cuya ecuación es y=ax1+bx+c divide al plano en dos regiones (se
miplanos), en una de las cuales y > axl+bx+c y en la otra y < axI+bx+c. Nin
guna de las regiones contiene a dicha parábola (frontera).
La gráfica de una inecuación cuadrática se basa fundcenentalmente en los si­
guientes teoremas:
TEOREMA 5.2. El punto P¡(x¡,yi) está en el semiplano interior de la paró
bola P:y=ax*+bx+c, a > O, si y sólo si, y, > axi+bxi+c y es
tá en el semiplano exterior de ella si y sólo si y, < ax\+bxí+c.
Demostración. En efecto, consideremos dos puntos con igual abscisa P»fXi,yi)
y Pi (x i,y i) de modo tal que P2 esté sobre la parábola p, es
decir:
Pi(Xi,yt)eP y, = ax}+bx¡+c (1)Sólo fines educativos LibrosVirtual

351. 338 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
En la figura 5.7 se observa que P, está en el semipleno interior de la paró
bola P, si y sólo si: y t > y2
y sustituyendo en (1) se tiene: y t > ax\+bxí +c
De igual modo, P, está en el semiplano exterior de la parábola P (Fig.5.8),
si y sólo si: y 2 < y2
esto es: y¡ < aarj+bxi+c
Corolario. El punto Pifari.yj) está en el semiplano interior y sobre la paró
bola P:y=ax1+bx+c, a > 0, ■*+ y, ax\+bx1+c , y está en el se­
miplano exterior y sobre ella, yi 4 axl+bx1+c
Nota. Para la parábola P:x=ay*+by+c, a > 0, se sigue el mismo criterio para
construir gráficas de relaciones: x > ayl+by+c, a > 0
jc < ayl+by+c, a > 0
Esto es, el punto P1(x1,yl) está en el semiplano interior y sobre la parábo
la P:ar=ayl+by+c, a > 0, x¡ > ayi+by¡ +c, y está en el semiplano externo
y sobre ella ♦ - * * , < a y í + b y ^ c
TEOREMA 5.3 El punto P J a r ^ y , ) está en el semiplano interior de la paró
bola P:y=axz+bx+c, a < 0, si y sólo si y, < arf+bi,+c, y es
tá en el semiplano exterior y sobre ella -«-y, > ayi+byj+c.
TEOREMA 5.4 El punto P,(x,,y,) está en el semiplano interior de la paró
bola P:rxr=ay *+by+c, a < 0, «• x, < ay\+by¡+c , y está en el
semiplano exterior de la parábola ■*+ x, > ayj+by,+c.
E J E M P L O 1. Construir la gráfica de la relación:
R1={(x,y)eRz ¡xl-2x-3-y ■$ 0}.
Solución. (1) Despejemos y en términos de x:
y 4- x 1-2x-3
(2) Trazamos la parábola P:y=xz-2x-3=(x-l)1-4
de donde: h-1 y k=-4 ■* V( 1,-4)
Para y=0 ■* x z-2x-3=0 x=-l o x=3
Con estos 3 puntos construimos la parábola
(3) Según el Teorema 5.2, fa=l > 0), la totaU
dad de puntos de la relación R lf se encuen
tra en el semiplano interior de la parábola.Sólo fines educativos LibrosVirtual

352. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 339
EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la relación:
= \(x,y) eRl\x+2yl+4y-3 >,0\.
Solución. (1) En este caso despejamos x en términos de y: x l -2yl-4y+3
(2) Sea la parábola P:x = -2y*-4y+3 *-* x = -2(y+l)l+5
de donde: h=5 y k=-l -*■ V(5,-1)
Para y=0 ■* x=3 -*■ A(3,0)c P . Un punto simétri
co de A respecto del eje k=-l es B(3,-2).
Luego, construimos la parábola que pasa por
estos tres puntos.
(3) Según (1): a--2 < O, entonces por el leo
rema 5.4, la totalidad de puntos que sa­
tisfacen la relación R z están en el semiplano
exterior de la parábola (se sombrea esta región).
EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relación
S = {(:c,y>ER2!y-x2+i0;c >,24, x+y-6 < 0}.
Solución. (1) y Z. x*-10xt-24 (Rt) ; y < 6-x (Rz)
(2) Sean, P:y=x1-10x+24 y=(x-5)2-l , y L:y=6-x
De la ecuación de la parábola: h=5 y k=-l - V(5,-l)
(3) P O L = A(6,0) y B(3,3)
(4) Construimos la parábola que pasa por V, A
y B, y ia recta L que pasa por A-y B.
(4) Según (1), R z es la totalidad de puntos en
el interior y sobre la parábola P, y R z es
el conjunto de puntos en el semiplano inferior
de la recta L.
(6) :. Graf(S) = Graf(Ri)(\Graf(R1)
= La parte sombreada.
(7) Dom(S) = <3,6> , Ran(S) = l~l,3>
Nota. En conexión con las ecuaciones cuadráticas E(x,y)=0 (circunferencia,
elipse, Hipérbola) están las gráficas de las desigualdades asociadas:
E(x,y) > O , E(x,y) í, O , E(x,y) < O , E(x,y) „< O
La gráfica de cada una de estas inecuaciones cuadráticas se basan en la ti­
pil cae i ór< del siguiente teorema:
TEOREMA 5. 5 Sea P(x,y) un punto de una de las regiones en que una
gráfica de la ecuación E(x,y)-0 divide al plano. Sí E(x,y)>0Sólo fines educativos LibrosVirtual

353. 340 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
para P(x,y) entonces E(x,y) > 0 para cualquier otro punto de la región de P
Como consecuencia de este teorema es posible trzar la gráfica de cualquier
desigualdad cuadrática de la siguiente manera:
(1) Dibujando la gráfica de la ecuación E(x,y)=0.
(2) Comprobando la verdad de la desigualdad dada en un punto P(x,y) de cada
una de las dos regiones en que la gráfica de E(x,y)=0 divide al plano.
(3) Sombrear la región o regiones en las cuales la prueba anterior es afir­
ma t iva.
EJEMPLO 1. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la relación
R = ((x,y)cRz )xí+y2-8x+4y+ll í 0}.
Solución. (1) Sea C:x2+y2-8x+4y+ll=0 (frontera)
Completando el cuadrado para x e y se tiene:
(x2-8x+16) + (y2 +4y+4)— 11+20 ** C: (x-4)z+(y+2)*=S
de donde: h=4, k=-2, r-3 ■*• C(4,-2)
(2) Tomamos un punto cualquiera del plano, de
preferencia, el origen. Entonces:
Es (0,0)eR? - 0z+0z-8(0)+4(0)+ll ¿ O
*■* 11 i O, es falso, luego (0,0)<¿R
(3) Por lo tanto, la gráfica de R es la región
interior de la circunferencia incluyendo
¡a frontera C.
(4) Dom(R) = [h-r,h+r] = [1,7]
Ran(R) = [fc-r,k+r] = [-5,1]
EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la relación: R=i(x,y)eRz\3xz+4yz >^12)
Solución. (1) Sea E:3x*+4yz=12 (frontera)
1
b=/3
- i1 + r
4 3
de donde: az=4 -► a=2, bz=3
(2) Es (0,0)eR?
- 3(0)*+4(0)1 >, 12 ~ 0 >„ 12, es falso
(3) Luego, la gráfica de R es la región exte­
rior de la elipse, incluyendo la frontera E.
m
—
a v v ’*
. - > A V p \ * •
A x f.\
EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la
relación: R = {(x.yje R2|jc2-y2 >9}.Sólo fines educativos LibrosVirtual

354. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 341
Solución. (1) Sea H:xz-yz-9 (frontera)
Hipérbola equilatera de la forma
Dibujamos la frontera con linea de puntos.
(2) Es (0,0)eR?
- (0)2-(0)* > 9 •— O > 9, es falso
(3) Entonces, la gráfica de R es la región in­
terna de las dos ramas de la hipérbola sin
incluir la frontera H.
(4) Dom(R) = - 3 > U <3,+“> ; Ran(R) = R
x2-y2=a* ■* a*=9 -*• a=3
EJEMPLO 4. Construir la gráfica de la relación:
R = i(x,y)eR1\xy+x-2y-4 >, 0).
Solución. (1) Sea H:xy+x-2y-4=0 (frontera)
■» y(x-2)=4-x ■* y
4-x
x-2
y - -1 + — 2 " (x-2)(y+l)=2
Hipérbola equilatera de la forma: (x-h)(y-k)=a /2
Entonces: h=2, k=-l - C(2,-l), a1 =4 -*■ a=2
Dibujamos la frontera con linea continua.
(2) Es (O,0)cR?
- 0(0)+0-2(0)-4 é O - -4 >0, es falso
(3) Entonces, la gráfica de R es la totalidad
de puntos en el interior de las dos ramas
de la hipérbola, incluyendo la frontera.
GRAFICAS DE RELACIONES INVERSAS
Sabemos que una relación directa de A en B es el conjunto:
y su inversa, el conjunto:
R* = f(y,xJeB*A|(x.yJeR)
Esto es, si A=\1,2,4Í y ¡j=lü,3), entonces:
R = 1(1,0),(1,3),(2,0),(2,3),(4,0),(4,3)}
y R* = 1(0,1),(3,1),(0,2),(3,2),(0,4),(3,4))
Ubiquemos cada uno de los pares de R y R* sobre un mismo plano cartesiano.
En la figura se observa que los pares de R y R* son equidistantes de la rec
ta L:y=x. Entonces, si consideramos la recta L como espejo, los pares de R *Sólo fines educativos LibrosVirtual

355. 342 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
se pueden obtener cano reflexión o imagen de
de los pares de R, simétricamente, a través
de diho espejo
Esta caraterística de las relaciones inversas
puede ser aprovechada para construir sus grá­
ficas cuando se conocen o son dadas las gráfi
cas de las relaciones directas.
EJEMPLO 1. Construir la gráfica de la relación R y su inversa, si:
R = {(x,y)tRx¡4x-5y+ll=0 , xe<-4,l]l.
Solución. (1) Siendo la gráfica de R una linea recta, determinemos dos pun­
tos de ésta en xc<-4,l1
Si x=-4 - -16-5y+ll=0 - y=-i - A(-4,-l)
x=l - 4-Sy+ll=0 y=3 * B(l,3)
(2) Trazamos el segmento de la recta L:
4x-5y+ll=0, uniendo los puntoa A y B.
(3) Si A(-4,-l)m - A'(-l,-4)tR*
B(l,3)eR - B'(3,l)sR*
(4) Uniendo A' y B' obtenemos la gráfica de R*
EJEMPLO 2. Si S=l(x,y)cRt |y=x*+2}, construir la gráfica de la relación S
y su inversa.
Solución. La gráfica de la relación S es la
parábola P:y=xx+2, cuya ecuación
es de la forma: y=(x-h)x+k, de eje vertical
(h-0) y vértice en V¡(0,2)
La gráfica de la relación inversa S* es la
parábola P*:x=yx+2, ecuación de la forma:
x=(y-k)x+h, con eje horizontal (k=0) y vérti
ce en Vi(2,0).
EJEMPLO 3. Construir la gráfica de la relación S y su inversa, si:
S = <(;c.y,)ER1¡2x-3y+6 o).
Solución. (1) 2x-3y+6 4 0 •+ y 2x/3 + 2
(2) Sea L:2x-3y+6=0Sólo fines educativos LibrosVirtual

356. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de Ren R 343
Intersectando L con los ejes coordenados se~
tiene: si x-0 + -3y+6=0 ** y=2 -+ A(0,2)
y=0 + 2x+6=0 ++ x=-3 ■* B(-3,0)
(3) Trázanos la recta L que pasa por A y B.
Según (1) ¡a gráfica de S es el conjunto
de puntos en el semiplano superior y sobre L
(4) La relación inversa de S es el conjunto:
S*= {(x,y) cRl 12y-3x+G 4 0}
Si 2y-3x+6 4 0-* y 4 3x/2 - 2
(5) Luego, la gráfica de S* es la totalidad
de puntos que están en el semiplano in­
ferior y sobre la recta L,:2y-3x+6=0 que pa
sa por A'(2,0) y B'(0,-3), simétricos de A y
B respecto de la recta y-x.
y
m ®
8 § ® ¡i
fjr / \
L / '
/y=x /
L t / £ —
0 Á i S & k *
feKSs
jSSSis
EJEMPLO 4. Indicar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación
inversa de R, si R=C(x,y]eB*| |x| ^ y-i, y 4 x+3, 1 4 x x< 3).
Solución. (1) Sea R1: |x| y-1 -*-* (y-1 >, 0) ~ {x 4 y-1 ~ x >, 1-y)
+-+ (y i 1) ~ ( } > , x+1 1-x)
Si L j:y-x+l y L¡:y=l-x, la gráfica de R 1 es
la totalidad de puntos comunes que están en
el semiplano superior de las rectas L í y Lz
arriba de y=l.
(2) y < x+3
La gráfica de R z es el conjunto de pun­
tos en el semiplano inferior y sobre la rec
ta L s:y=x+3.
(3) R¡:1 < x < 3
La gráfica de R , es la región entre dos
rectas verticales x=l y x=3.
(4) Luego, Graf(R) = Graf(Rl) fl Graf(Rx) fl Graf(Rt) = Región sombreada
Obsérvese que es un paral el agramo.
(5) Por lo tanto, los vértices del paralelogramo R* se obtienen de los de R
por simetría respecto de la recta y=x, tal como se indica en la figura.
(6) Dom(R•) = [Z.fi] y Ran(R*) = [J.3]
>■
/
yV'-i- " > ó / y s x
x x
X2
s
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hv V X
1i i 3
' *>Sólo fines educativos LibrosVirtual

357. 344 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Sea la relación R- {(oc, y) eR21-J < x-y < 2Í. De las siguien­
tes afirmaciones, cuáles son verdaderas?
(1) R es reflexiva , (2) R es simétrica , (3) R es transitiva
Solución. (1) Si hacemos x=y * -1 < x-x < 2, es siempre verdadero VxeR.
Entonces (x.x)zR. La afirmación es verdadera.
(2) Si hacemos y=x * -1 < x-y < 2, no es equivalente a -1 < y-x < 2; esto
es, (x,y)£R ~ (y.x)f-R, entonces, R no es simétrica. La afirmación es F.
(3) Se debe cumplir que: (x.y)zR ~ (y,z)zR * (x,z)eR
Veamos un ejemplo: (5,4)zR ~ ( 4,3)tR * (5,3)eR
El antecedente es verdadero, pero el consecuente es falso, ya que 5-3=2 f- 2
entonces, R no es transitiva. La afirmación es falsa.
Por lo tanto, sólo la afirmación fl) es verdadera.
EJERCICIO 2. Sean las relaciones en R: Ri={(x,y)\2 x < 5), Ri=(fx,y^|
-2 < y-í 2), R¡=i(x,y) |4x-3y > 14}. Hallar el valor de ver­
dad de'las siguientes afirmaciones:
a) (5,2;cfRinR>> c) (2.2)e(Rl-R,)nRt
b) (4,-l)c(R,n R*n R>) d) (2,-2)t(Ri(\j&R¡)
Solución, a) Vemos que 5fDom(Ri) y (5,2)tR,, pues 4(5)-3(2)=14 ? 14
Entonces: (5,2)t(R¡{\ R>). La afirmación es falsa.
b) 4cDom(Rí), -leRan(Ri) y (4,-l)e R, - 4(4)-3(4)=19 > 14
Entonces: (4,-1 JcfRi fl Rifl Rj>. La afirmación es verdadera.
c) Por definición: R,-R s = ( x , y ) e R ¡ * (x,y)fR¡
Vemos que: (2,2)eRi y (2,2)tR,; también (2,2)eRl
Luego, (2,2)e(R¡-R,)(\ R*. La afirmación es verdadera.
d) Dado que -2fRan(Ri) * (2,-2)t(R1n¿Ri). La afirmación es verdadera.
EJERCICIO 3. Indicar el dominio, el rango y el área acotada por la rela­
ción: R = I (x,y)eR‘ jy -S 6-x1 , y í-xl-2}.
Solución, fl) Sean Pi:y=6-x*=-(x-0)**6 y P,:y=x1-2=(x-0)*-2
Intersectando ambas parábolas se tiene: 6-xx=xl-2 *-* x l=4
«- x=-2
(2) Ambas parábolas tienen la forma: y=a(x-h)l+k -*• Vj(0,6) y V¡(0,-2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

358. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones ele R en R 345
(3) Como las coordenadas del origen satisface
a ambas desigualdades, la gráfica déla re
lación R es el conjunto de puntos en el inte­
rior de ambas parábolas.
(4) Dcm(R)=[-2,2], Ran(R)=i-2,8 ]
(5) El área de un sector parabólico es igual
a 2/3 del área del rectángulo que subtien
de dicho sector.
- a í S J = a(R2) = |(4x4) =
.’. a(R) = a(8,;«¡(R») = ^ uz
EJERCICIO 4. Sean las relaciones: R^fíx.yJcR1! {jc| + 1>>¡ ^ 4} y
R 2=i(x,y)cRz¡xz+yz >^8}. Rallar el área de
Solución. (1) La gráfica de 8, es el conjunto de puntos en el interior del
cuadrado de diagonal 2(4)=8
y lado 4/2 - a ( R J = (4/2)z = 32uz
(2) Es (0,0)eR2?
■* Oz+Oz i-8 -*• o £ 8 , es falso
Luego, la gráfica de R» es el conjunto de pun
tos que están fuera y sobre la circunferencia
C:xz+yz=8, cuyo círculo tiene por área:
a(C) = nrz = 8wu*
(3) /. 0(8 , 0 8*)= a(R2)-a(C) = 8 (4-v)uz
EJERCICIO 5. Dadas las relaciones: R l={(x,y)eRz¡xz+3yz-4x+6y-20 4- 0) y
RI={(cc,y.)eRI | |x -2 | + |y + i| J .3 ) , hallar el área acotada por
8 , 0 8»-
Solucíón. (1) Sea E:xz+3yz-4x+6y-20=0
«E . , <2¿ i l' = i
c‘- 27 9
- az=27 + a=3/T , bz=9 - b=3 ; C(2',-l)
(2) La gráfica de 8, es la totalidad de pun
tos en el interior y sobre la elipse E.
Area de la elipse = tab * a(R,>=9n/5u*
(3) La gráfica de |jc-2| + |yf-J | = 3 es un cuadra
da de lado 3/2 y centro C(2,-l), el mismo de la elipse. Entonces la gr¿Sólo fines educativos LibrosVirtual

359. 346 Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
fica de R2 es la totalidad de puntos en el exterior y el borde del cuadrado
(4) a(Rt h R¡) = a(R, )-a(Rx) = 9i/3 - (3/2)1 = 9(*/3-2) u1
EJERCICIO 6. Hallar el área de intersección acotada por tas gráficas de
las relaciones: Ri = {(x.yleR1 1 |x|-|y| ■£ 2} y R ¡=i(x,y)eRí |
M -5 i».
Solución. (1) Construimos el cuadrado de diagonal 4, con trazo punteado.
La gráfica de |x|-|y|=2 se obtiene prolongando los lados de
este cuadrado, cuyos vértices están sobre el
eje X.
(2) Como (0,0)eRl, la totalidad de puntos de
R, están en la región donde se encuentra
el origen de coordenadas.
(3) La gráfica de |y| -í 1 +-» -1 -í y 4 1
es la región entre las rectas horizonta­
les: y=-l , y=l
(4) En (1), si x
i . 0, y 4. 0 -+ x-y=2
Luego: (y=l) n (x-y=2) = P(3,l)
(5) R, R2 es la zona sombreada de la figura
•* a ( R,n üj) = 2(área del trapecio de bases 4 y 6, y altura 1)
10 u1
EJERCICIO 7. Si Rj-1 fx.yJeR1 Ix’+y1 « 9), R x={ (x.yjeR1 |x2-4y* SI,
R j = ((x,y)eRl||x+3| ^ yl, R , = {(x,y)cR*||x-3| yl, hallar el
área de S =(R ,n R1) - ( R , U Rt ) .
Solución. (1) Cano las coordenadas del origen
satisfacen a R, y R I( entonces:
Graf(R¡n¡tt)-Graf(Ri), conjunto de puntos en
el interior y sobre la circunferencia x*+y*=9
(2) En R,: |x+3| -S y
*• y >/ í « (x+3 ( y . x+3 4. -y)
+-» y 4 0 - (y 4 x+3 ~ y 4 -x-3)
Luego, la gráfica de R t es el conjunto de pun
tos en el semiplano superior y sobre las rec­
tas Li:y=x+3 , Li:y=-x-3 , y el eje X (y 4- 0)Sólo fines educativos LibrosVirtual

360. Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R 347
(3) En R . : |x-3| -< y
~ ( y >' 0) ~ (x-3 s < j . x - 3 > / -y)
*~*(y 0) « (y í- x-3 ^ y 3-xJ
L gráfica de ñ, es el conjunto de punt03 en el
semiplano superior de las rectas
Lj :y=x-3, L, :y=3-x, el eje X (y ^ 0)
(4) Por lo tanto, el a(R,-R,UR*) es la región
rayado y es igual al área del semicírculo
de radio 3 más el área del triángulo ABC.
Esto es: a(S) = ^(*)(3jl + j{6*3) = |f*+2)u*
EJERCICIO 8. Dadas las relaciones: R 1=í(x,y)eR1 |yl í 8x3 y Ri-=3(x,y)cRt |
x i+yl-4x-12 -S 03, hallar el área acotada por R,r\R i.
Solución. Ii) ñi Ü!.- y* í te
La gráfica de R, es el conjunto
de puntos en el interior de la parábola
P:y*=8x
(2) En R t, sea C:xt+y1-4x-12=0
++ C:(x-2)*+(y-0)t=16
-* C(2,0) y r=4
Como (0,0)eC ♦ la gráfica de Ri es el con­
junto de puntos en el interior y sobre la
circunferencia C.
(3) Pt)C = A(2,4) y B(2,-4)
(4) a ( R , O R t> = (área del semicírculo) + (área del sector parabólico AOB)
= j(')(4)z + |(2*8) = |(3*+4> u l -
EJERCICIO 9. Dada la relación R= lfx,y,)eR*|y í |x+i| + |x-l|, y < 4 ) , cons­
truir y hallar el área de la inversa de la relación R.
Solución. (I) Sea R¡:y >, |x+l| + |x-j|
El ¡minando las barras de valor absoluto por el método de los
valores críticos se determina lo siguiente:
Si: x < -1 * y í -2x
-1 S x < 1 ■* y i 2
x i-1 - y i 2xSólo fines educativos LibrosVirtual

361. 348 C apitulo 5: G ráficas de Relaciones
¡M ego, la gráfica de R, es el conjunto de los
puntos que están en el semiplano superior de
las rectas L l:y=-2x, Ll:y=2, L¡:y=2x
(2) Sea Rt:yi 4. Su gráfica consta de todos
los puntos en el semiplano inferior de la
recta y=4.
(3) Entonces Graf(R)-Graf(Rí )0 Craf(Rz)
•» Graf(R) = área del trapecio de la figura
(4) La gráfica de R* se obtiene de la gráfica
de R por simetría respecto de la recta y=x
- a(R*) = j(4+2)(2) 6ul
EJERCICIO 10. Dada la relación R={ (x,y)eR2 ¡ |y-x| = [[ x ]]}, esbozar su grá­
fica indicando su dominio y rango.
Solución. Según el Teorema 49:
|y-x| = O I I -* ( O H í- 0) ~ (y-x” O I I v y - x =- OI) >
— ( O í i- 0) - ( y = x + O I v y = i - [ i l )
Universo de la relación: |Jx|] i. 0 +-* x í- 0 •» Dom(R) = (0,+“>
Por el T. 57, si [[xfl'n *"*' n 4 x < n+1, ncZ
Luego, la gráfica de R es la unión de las gráficas de:
R,=((x,y.)eR1 |y=x+n( o R z = ) (x,y)e.R* |y=x-nt
Dando valores a n en cada intervalo [n,n+l>, se tiene:
Para: y=x+n
y
•
Si n=0*x c [ Ü ,1>- y=x 6
n=l*xc [J , 2>
+ y=x+l
n=2-x e [2 ,3 >-*• y=x+2
5
n=3-x c[3,4>- y=x+3 4
Ran(R
>=10,1> u 12,3> u [4,5>u . ..
Para: y=x-n
5
Si n-0*x e [ 0 . J >* y=x
2
n-1■*x c[I , 2>■» y-x-1
n=2 x c [ 2 ,3 >- y=x-2 1
n -3
+x c [ 3 ,4>- y-x-3
n-4-xe[4,5>- y-x-4 C
Note que Ran(R2)- [0,1>
Ran(R) = Ran(R¡)u Ran(R2) = [0,1> U [2,3 > U [4, 5 > U .. = (J [2n,2n+l>
n=0Sólo fines educativos LibrosVirtual

362. E je r c ic io s : G r u p o 3 3 349
EJERCICIOS: Grupo 33
En los ejercicios del 1 al 9, indicar el dominio, rango y esbozar la gráfi­
ca de la región acotada por las siguientes relaciones:
1. R=l(x,y)eR* |x2+ y2S25, x 2>2y+l} 5. R = U x , y ) e R 2|x2-8 4: y, x+4 > y}
2. R=i(x,y)cRí\9x1+i^yí425, 3x+l 4 2yl 6. R=f(x,y.KR2|y24 4x, 2x+y 4 4}
3. R={(x,y)eR!¡y lx*-6x+5, 2x+y < 5!
7. RH<-x,y,)ER2|x+y ^ 3, y$- x2-3x+6)
4. R=l(x,yleR2|x-2yíl, x 24--2y, x 2+ y 2i251 8. R= ((x.yl&R2j |y~x| + |y+x| ,$2}
fl. R={(x,y)eR2| (Jx-J J 2+2¡£x]] 4 2, x 2+ y l 5- 1)
10. Si R { ( x , y )eR2|x Rj=lfx,y)rR2|x 4. yK. Rj={(x,y,/íR2¡x2+y2 ^ 16}.
Hallar el área acotada por R i n R 2 nf:,.
11. Dada la relación R=i(x,y)£R í | |x| + jy¡ 5- c:, sr*yl 4 i, y 4-xí, donde atR*
hallar el valor de a de 1nodo que el áren acotado por la gráfica de tí
sea 25(*-2) u 2. .
12. Dadas las relaciones R, = {(x,y)eR~ |x2+j*: < 25, :: 4 .:y i y S 2= lf.v.y|eR21
x l-9 4 0, y '-4 4 0), hallar el área acolada par la gráfica «Je R-.-.'ít.
En cada uno de los ejercicios del 13 al 22, contruir la gráfica de las rclg
dones dadas.
13. R = Ux,y.)eR2|x2+y2 -S 9, y 4 |x+y| + |x-2¡, |x| ■$ |2y| )
14. R - I(x,y)eR2 |x2+yl i 4 o (x-2)l+yz 4 1 y x 4- y)
15. R = {(x.y.leR2 1 4 4 x 2+y2 4- 9 , |x|+2 ^ y 4: |x|+3}
16. R = {(x,y>eR2 |y2+8x-2y 4 15 , (x-I,>2+(y+2J2 ^ 25}
17. R = I (x.y)eR1 |x2+y2 4- 9 , x+y+3 4 0 , y* 4 2x}
18. R = Kx.yjcR1 |x2+4y2 4: 16 , x 2+y2 « 9 , |x| + |y| 4. 2}
19. R = 2 fx.yJeR2 |3y2-xl 4 2 , x1 4 16y>
20. R = {(x,y)eR2 |xy-x-2y-2 ,s 0 , 2x+y-ll 4■ 0}
21. R = H x . y l e R 2 |4xl-4yl ^ 9 , 2y 2-2x-3 4: 0}
22. R = {(x.ylcR1 |x2-y2 4: 4 , y2+x-2 4 0 , y 1-2 4 x)
23. Sean R={ (x,yleR2| |x+4| + |y-3| 2}, S=í (x,y) £ R 2 | |x+41 ^ 1},
T={ (x,y) e JÍ| |y-3| l}. Hallar el área acotada por R n £(ShT).Sólo fines educativos LibrosVirtual

363. 350 C apitulo 5: G ráficas de Relaciones
24. Dadas las relaciones R=)(x,y)zR2 |y >, x|, S=l(x,y>ERz ||x|+|y| -í 8},
T={ (x,y)cRl | x >, 0}. Hallar el área de la región acotada por S n ShT.
25. Sean: R={ (x.y)cR1 1 fx -5 n > I + (y-5ir>2 wS 2 5*1}, S=)(x,yjeR2¡y 4 5v},
T={ (x,y)cR2 ¡ (y x+5n) * (y+x 4. J 5 tt >}. Hallar el área de R n (S u T).
26. Sean R={(x.y)cR2 ||x + 2|-| y - 3| i, 4}, S={(x,y)cR2|\x+2\ 4 6}, T = U x , y ) e R 2 |
|y-3| -i 6). Hallar el área acotada por la gráfica de R n S n T .
27. Si S={(x, yjeR2 | | x | + | y | -S 41 y T=( (x,y)eR2 | |x+y | + |x - y | >,.4/2), hallar el
área de la región acotada por la gráfic de ShT.
En cada uno de los ejercicios del 28 al 35, graficar y hallar el área de la
región acotada por las siguientes relaciones.
28. R=)(x,y)eR2 | |x | í. |y | , x 2+y2 ^ 9 , | x | + | y | >s 3)
29. _R={(x,y)eR2\3x2+y2 4 27 , |x | + | y| 3 , x ^ y)
30. R={(x,y)eR2\2x2+4x-Sy-43 4 O , 4 x 2+8x+9y-5 -S 0)
31. R=)(x,y)eR2\9x2+16y2+18x-64y-71 4 O , | x + i | + | y - 2 | >,2 , x-y+3 -0)
32. R = U x ,y ) e R l || x ¡ + |y - x | -,< 12) 33. R={ (x.y)zR 2 1 |y | ^ | i - 2 | x | | l
34. R={ (x,y)eR2\2 |x | +3 |y | .$ 61 35. R={ (x,y)cR2 | |y | í: |x|, x*+y*44x)
36. Construir la gráfica de las siguientes relaciones:
a) R=1 (x, y je R 2 | [[ x+ y JJ + y = 01
b) R = U x ,y J e f i2 | [ l 4 x 2- y 2 ]] = 0)
c) R={(x,y)eR2\Ijc]] + l[y3] = 2)
d) R={(x,y)eR2¡ | y 2- 2 y | + 2 | x - i| 4 Jtrl
En los ejercicios siguientes, graficar en un mismo plano la relación R dada
y su inversa. Hallar el área acotada por R*.
37. R-{(x,y)eR2 ¡y >, |x | + | x - i | , y -S 51
38. R={ (x.yjeR2 | |x+ i | - | y - 31 >,4 , 2 4 y 4 4)
39. R={(x,y)eR2 \x2+y2+4x-6y+4 4 0 , x-2y+8 4 0)
40. R=( ( x ,y ) e R 2 | |y | x - 2 , x .S 61
41. R={ (x,yjeR2\x2+y2-8x+2y+13 >, 0 , | x - 41 + ¡y+J ¡ ^< 4 , x - y 51Sólo fines educativos LibrosVirtual

364. S e c c ió n 5 .3 : G r á fic a s d e R e la c io n e s d e R e n R 351
CRITERIOS G EN E R A LE S PA R A G RAFIC AR U N A RELACION ||
Ai hacer el estudio de la gráfica de una relación de R en R, había­
mos visto las gráficas de relaciones lineales y cuadráticas y sus asociadas
con inecuaciones. Todas ellas tenían una forma especial que las caracteriza
ba y que resultaba fácil su trazado en el plano XY. Sin embargo, existen o­
tras relaciones cuyas gráficas no tienen tales características y que para
su trazado es necesario seguir ciertos pasos o reglas. En seguida veremos
algunos métodos que permiten estudiar los pasos previos a la discusión y
trazado de la gráfica de dichas relaciones.
I) COORDENADAS A L O RIG EN (Interceptos con los ejes coordenados)
Una gráfica puede tener una, varias o ninguna coordenada al origen. El
método de averiguarlo es el siguiente:
a) Interceptos con el eje X:
Hacemos y=0 , y se resuelve ¡a ecuación E(x,0)-0
b) Interceptos con el eje Y:
Hacemos x=0 , y se resuleve la ecuación E(0,y)-0
Ejemplo. Dada la relación R=i (x.y)eR1- \x1+yl+2xy-x+5y-6=0), hallar sus coor
Luego, -2 y 3 son las abscisas al origen y los puntos A(-2,0) y B(3,0) son
los interceptos de la gráfica de R con el eje X.
b) Para x=0 * E(0,y): y 1+5y-6=0 *-* y=-6 o y=l
Luego, -6 y 1 son las ordena das. al origen y los puntos C(0,-6) y D(0,1)
son los interceptos de la gráfica de R con el eje Y.
II ) S I M E T R I A S
Se consideran solo dos tipos se simetría: respecto a un punto y respec
to a una recta.
Definición 5.3 Se dice que dos puntos P y P' están pi
denadas al origen de su gráfica.
Solución. Sea E(x,y):xl+yl+2xy-x+5y-6=0
a) Para y=0 * E(x,0): x1-x-6=0 x=-2 o x-3
pecto a un tercer punto M — — M es el punto medio del
segmento que los une. En ese caso, M es un centro de
simetría del segmento PP'.
local izados simétricamente con res-Sólo fines educativos LibrosVirtual

365. 352 C a p itu lo 5 : G r á fic a s d e R e la c io n e s
Definición 5.4 Se dice que dos puntos P y P' están
localizados simétricamente con res­
pecto a una recta L L es la mediatriz del segmen
to que los une. (Al punto P' se le denomina refle­
xión o imagen de P respecto a la recta L, a la cual
se le llama eje de simetría).
Veamos en seguida el uso de estas definiciones en la simetría de gráficas
de ecuaciones.
a) Simetría respecto al eje X
Si un conjunto R es simétrico respecto al eje
X, entonces, para cada punto P(x,y)eR debe haber
un punto correspondiente P' (x,-y)eR, es decir, si
R tiene por ecuación E(x,y)=0, entonces R será
simétrico respecto al eje X si y sólo si:
E(x,y) = ± E(x,-y)
(La ecuación no cambia si se reemplaza y por -y)
Por ejemplo, para la relación R = i(x,y)eR*|y*-4x=0l, sea E(x,y):y*-4x=0
Entonces: E(x,-y): (-y)*-4x=0 <-► E(x,-y): y 1-4x=0
Como vemos: E(x,y)=E(x,-y), entonces, R es simétrica respecto al eje X.
b) Simetría respecto al eje ¥
Si un conjunto R es simétrico respecto del
eje Y, entonces, para cada punto P(x,y)eR debe
haber un punto correspondiente P'(~x,y)eR, es
decir, si R tiene por ecuación E(x,y)=0, enton
ces R será simétrica respecto del eje Y, si y
sólo si: E(x,y) = - E(-x,y)
(La ecuación no cambia si se reemplaza x por -x)
Por ejemplo, para la relación R = {(x,y)eR*¡y)+8xt=0¡, sea E(x,y):y,+8x1=0
Entonces: E(-x,y): y >+(-x)*=0 ♦-* E(-x,y) :y,+Sxt=0
Como E(x,y)=E(-x,y), la gráfica de R es simétrica respecto del eje Y.
c) Simetría respecto del origen Y ‘
Los puntos P(x,y) y P'(-x.-y) son simétricos
respecto del origen, por tanto, si para un con­
junto R ocurre que: P(x,y)e R -<->■ P ’ (~x, -y) e R
a'
P '
PSólo fines educativos LibrosVirtual

366. Sección 5.3: G ráficas de R elaciones d e R en R
entonces se dice que el conjunto R tiene su centro de simetría el origen,es
decir, si R tiene por ecuación E(x,y)=0, entonces:
E(x,y) = ± E(-x.-y)
(La ecuación no cambia si se sustituyen simultáneamente x por -x e y por -y)
Por ejemplo, para la relación: R={(x,y)eR* |x*+y*=4}, sea E(x,y):x*+y*=4
En ton ces: E(-x,~ y): (~x)‘ +(-y)t=4 ■*— E(-x, -y) :x1+yl=4
Vemos que: E(x,y)=E(-x,-y), por lo tanto, la gráfica de R es simétrica res­
pecto al origen.
111) EXTENSION
Para determinar donde se localiza la gráfica de una relación, se recu
rre a lo siguiente:
a) Despejar, si es posible, cualquiera de las dos variables:
y = f(x) (Para calcular el dominio de la relación)
x = g(y) (Para determinar el rango de la relación)
P(x)
b) Si la ecuación de la relación tiene la forma: f(x) =
donde P(x) y Q(x) son polinomios que no tengan factores comunes que con­
tengan a x, tratar de factorizar el denominador y excluir aquellos valores
de x para los cuales Q(x)=0
c) Si la ecuación de la relación tiene la forma:
y 1 = función racional
tratar de factorizar el segundo mieni>ro y mediante inecuaciones determinar
los intervalos o regiones del plano en los cuales y*¿0, y excluir los valo­
res de x para los cuales y‘<0.
Ejenplo. Discutir la extensión de la gráfica de la relación:
R=i(x,y)eBt¡4x1*9y1=36i.
2,
Solución. Despejando y=f(x), se tiene: y = t -j/9-x2
-» ny ** 8-x* í - 0 - * x* •$ 9 — ► -3 x<$ 3
Entonces: Dom(fl)=[-3,3]
Valores excluidos: <-» , - 3 > U <3,+~>
La gráfica de la relación R está contenida en
tre las rectas verticales x=-3 y x=3 -3
Análogamente: x = ± -|V 4-yz
3x * * 4-y1 í- 0 i ■*-*• -2 4 y-g 2
Luego, Ran(R)=fc2,2}. Valores excluidos: <-a¡,-2>u <2,*x»
-2
» ..l ».
* <-í* » t1\ * *sr.Sólo fines educativos LibrosVirtual

367. 354 C apitulo 5: G ráficas d e R elaciones
La gráfica de R está contenida- entre las rectas horizontales y=-2, y=2.
Luego, se scabrea el rectángulo que determina la extensión de la curva en
el plano. Dado que la curva está encerrada en un rectángulo de dimensiones
finitas, se trata de un caso de gráfica acotada.
A SI NTO TAS (IV)
Si para una curva € existe una recta L tal que si nos movemos a lo largo de
L indefinidamente, la distancia entre L y E tiende a cero, entonces se dice
que L es una recta asíntota, o que C es asintática a L.
Una curva puede tener una, varias o ninguna asíntota. Entre las clases de a
síntotas figuran ¡as asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
a) Asíntotas Horizontales. Tienen la forma: y=k
Para hallar las asíntotas horizontales de una
curva se ordena su ecuación E(x,y)=0 en potencias decrecientes de x y se
hace cero, sí es posible, el coeficiente de la mayor potencia de x, lue­
go se despeja y.
Ejemplo. Hallar las asíntotas horizontales de la gráfica de ¡a relación
R=l(x.y)eR1 | * V +^ y *-x*-i=0}.
Solución. Ordenando en potencias decrecientes de x se tiene:
E(x. y): (y1 -1 )x* +y!lx~l =0
AjuT vemos que la mayor potencia de x es x*, y su coeficiente es y*-l.
Luego, si y l-l=0 ** y=-l o y=l son las asíntotas horizontales de la gráfica
de R.
b) Asíntotas Verticales. Tienen la forma: x=h
Para hallar las asíntotas verticales de una curva de ecuación E(x,y)=0,
se ordena ésta en potencias decrecientes de y, se hace cero, si es posible
el coeficiente de la mayor potencia de y, luego se despeja x.
Ejemplo. Hallar las asíntotas de la gráfica de la relación
R=i(x,y)cRt lx‘y-xy-2y-l=0}.
S o lu c ió n . Ordenando se tiene: (xt-x-2)y-l=0
Aquí el coeficiente de la mayor potencia de y es: x ‘-x-2, Luego,
si r 1-1-2=0 *-* x=-l o x=2 son las asíntotas verticales de la curva.
V) TABULACION (Trazado de la Curva). Consiste en calcular un número adecúa
do de puntos para obtener una gráfica aproximada de la ecuación dada.Sólo fines educativos LibrosVirtual

368. Sección 5.3: G ráficas de R elaciones de R en R 355
EJER C IC IO S ILUSTRATIVOS
Dom(R) = R- {I}
. Valor excluido: y=2
EJEMPLO 1. Discutir y graficar la relación: R=((x,y)eR1¡3y-2x-y-2=0}
Solución. Sea E(x,y):xy-2x-y-2=0
I) Intersecciones con los ejes coordenados:
a) Con el eje X. E(x.O):-2x-2-0 ** x=-i - A(-1,0)
b) Con el eje Y. E(0,y):-y-2=0 «- y=-2 - B(0,-2)
I¡) Simetría: Dado que la ecuación no tiene potencias pares de x e y, la
curva no es simétrica respecto de los ejes coordenados.
III) Extensión, a) y=f(X) •* y =
Valor excluido: x=l
b) x=g(y) -*■ x
IV) Asíntotas, a) Asíntotas Horizontales:
(y-2)x-y-2=0 * y-2=0 *-»• y=2
b) Asíntotas verticales: (x-l)y-2x-2=0
■* x-l=0 *-► x=l
V) Construcción de la gráfica,
a) Si existen, se trazan las líneas de guía
(Asíntotas). x=l , y=2
b) Se ubican los interceptos con los ejes X e
Y. A(-1,0) y B(0,-2)
c) De y=f(x), se analizan los intervalos para
los cuales y es positivo o negativo.
En Illa): y > 0, para: x > 1 y x < -1
y < 0, para -1 < x < 1
Ran(R) = R-12)
y
_________2! V -
- + _ ? £ ?
-----
1
i *x
1 1 Xst
EJEMPLO 2. Discutir y graf icar: R={(x,y) efi1 Ix'y-íly-Sx^O}
Solución. Sea E(x,y) :x2y~9y~3x1=0
I) Intersecciones con los ejes coordenados
a) Con el eje X. E(x, 0) :-3x'=0 * x=0
b) Con el eje Y. E(0,y):-9y=0 * y=0
No hay interceptos con los ejes coordenados, la curva pasa por el origen
II) Simetría, a) Con el eje X: E(x,-y)=xz(-y)-9(-y)-3x2 -*■ -x2y+9y-3x2~0
* E(x,-y) 4 E(x,yj .'. No es simétricaSólo fines educativos LibrosVirtual

369. 356 C a p ítu lo 5 : G r á fic a s d e R e la c io n e s
b) Con el eje y.- E(-x,y) = (-x)zy-9y-3(-x)z » x^y-9y-3x*=0
-* E(x,-y) = E(x,y) /. Sí es simétrica
c) Con el origen: E(-x,-y) = (-x)l(-y)-9(-y)-3(-x)z ■* -xzy+9y-3xz=0
■* E(-x, -y) i E(x,y) .'. No es simétrica
III) Extensión, a) y=f(x) * y = 7^73 77^
Valores excluidos: x=-3, x=3 ■* Dom(R)=R-{-3, 31
b) x=g(y) - x = ±3 - ax — > 0 « -(y í 0) v (y > 3)
Entonces: Ran(R) = <-=,0]U <3,+=>
/V) Asíntotas, a) Asíntotas Horizontales
(y-3)xl-9y=0 * y-3=0 - y=*
b) Asíntotas Verticales.
(x1-9)y-3x =0 * x*-9=0 x=±3
V) Construcción de la curva.
a) Trazamos las asíntotas: x=±3 , y=3
b) La curva pasa por el origen simétri_ ¡ I
comente respecto del eje Y.
c) En Illa): Para xe<-3,3>, y í 0
La curva se extiende hacia abajo.
Para x < -3 o x > 3, y > 3
La curva se extiende asintóti comente.
EJEMPLO 3. Discutir y graficar: R={ (x,y)eRz ¡x3+xyz-2y2=0}
Solución. Sea E(x,y):x,+xy‘-2yí=0
I) Intersecciones con los ejes coordenados
Dado que la ecuación carece de término independiente, la curva pasa por el
origen (No hay interceptos con los ejes).
II) Simetría, a) Con el eje X: E(x,-y) = x ,+x(-y)z-2(-y)t = x ’+xyz-2y1
■* E(x,-y) = E(x,y) .’. Si es simétrica
b) Con el eje V. Comprobar que: E(-x,y) f E(x,y) .'. No es simétrica.
c) Con el origen. Comprobar que: E(-x, -y) f E(x,y) No es simétrica
III) Extensión, a) y=f(x) — y = ± x/ j ~
- ay -* j^¡, >, 0 ~ 0 4 x < 2 * Dom(R) = [0,2>
IV) Asíntotas, a) Asíntotas Horizontales: La curva no tiene asíntotas horj
zontales porque el coeficiente de x 3 es constante.Sólo fines educativos LibrosVirtual

370. Sección 5.3: Gráficas de R elaciones d e R e n R
__________________________________________357
b) Asíntotas Verticalesk
(x-2)yz+x ‘=0 - x-2=0 ■>-x=2
V) Construcción de la curva:
a) Trazamos ¡a asíntota x=2
b) La curva pasa por el origen.
c) Para xe[0,2>, la curva se extiende simé­
tricamente y asintóti comente bacía la lí
neo x=2.
EJEMPLO 4. Discutir y graficar: ftHfx,;y.)eR1lxy1-.x— 2 y J+i=0}
Solución. Sea E(x,y)=xyl-x-2y1+l
I) Intersecciones con los ejes coordenados
a) Con el eje X. E(x,0): -x+l=0 * x-l -» A(1,0)
b) Con el eje Y. E(O.y):-2yx+l=0 - + y=±¿2/2 ■* B(0,/f/2), C(0,-/fl2)
II) Simetrías, a) Con el eje X: E(x,-y) = x(-y)x-x-2(-y)x+l = xyx-x-2yx+l
■* E(x,-y) = E(x,y) Es simétrica
b) Con el eje Y. Comprobar que E(-x,y) t E(x.y) .’. No es simétrica
c) Con el origen. Comprobar que E(-x,~y) í E(x,y) No es simétrica
III) Extensión, a) y=f(x) •* y - ±
-* 3 y «-» ^3^ í ' O « i í 1 o x > 2 -* x e < - . í ] U < 2 , +<=>>
b) x=g(y) ■* x = xc y = ±1 - Ran(R)=R-{-1,1}
IV) Asíntotas, a) Asíntotas Horizontales:
fyl-i7x-2y*+i=0 - y 1-1=0 ** y=±l
b) Asíntotas Verticales:
(x-2)y*-x+l=0 - x-2=0 *•» x=2
Construcción de la curva.
a) Trazamos las asíntotas: x=2 , y=±1
b) Ubicamos los interceptos: A, B y C.
c) En Illa): Para xc<-~,l], la curva pasa por
A, B y C, y se extiende simétrica y asintó
ticamente hacia las rectas y=±l.
Para x e< 2 , + - > , la curva se extiende simétrica
y asintót ¡cemente hacia las rectas x=2, y=±ISólo fines educativos LibrosVirtual

371. 358 C a p ítu lo 5 : G r á fic a s d e R e la c io n e s
EJEMPLO 5. Construir la gráfica de R= ífx.y) eR2| x,,- 4 x 3+4;xy2 -y '=0 J
Solución. Factorizando se tiene: E(x,y) = (x+y)(x-y)(xz+y1-4x)
Nota. Cuando se trata de graficar relaciones de ecuaciones factorizables,
no es necesario discutir lo relacionado a interceptos, simetría, etc,
dado que, por lo general, las gráficas son rectas o curvas de característi­
cas ya conocidas.
Discutir y graficar las siguientes relaciones:
13. R = U x , y ) e R 2 |x3- y 3- x2y+ay2-9x+9y=0f 17. R={(x,y)eRz\yz=9x1-12x+4)
14. R = U x , y ) e R 2|y3+:¡3;2-4xy-4x2=0} 18. R={ (x,y)eRz |x2y 2-4x3+4xy2-y'=0}
15. R = {(x,y.)e:R2|x3-x2y-xy+y2=01 19. R={(x,y)eRz¡x3+xz+2xyz+2yz-4x=4)
pasan por el origen, L í:x+y=0 y Li:x-y=0
respe ctivamente.
x
R 5:x2+y2-4x=0 «-► (x-2)z+(y-0)z=4
Es una circunferencia de centro C(2,0) y r=2
:. Graf(R) = GraffRJ u Graf(R^) U Graf(R,)
1. R={(x,y)tRz \xy+3y-x+2=0
2. R = U x , y ) e R 2 |xy-x-4y+3=0
3. R = U x , y ) e R 2 |x2y-9y-2x2=01
4. R={(x,y)cR1 ¡xIy-y-x1-0)
5. R={(x,y)eR1lxly-3xy-6=0)
6. R-{(x,y)eRz|xly-J2=0)
7. R=lCx,y>eR2 |x3y+y-2=0}
8. R=t(x,y)eR2|x2y 2-4x2-y=0}
9. R=(fx,yJeR2|y2=xCx+3Kx-2J (
10. R=Ux,y.)eR2|x3+y2-4y+4=0}
11. R={(x,y)eRz\xz+ocyz-yz=0)
12. R=l(x,y)eRz\(xz-3x-10)y=2x+l]
Construir las gráficas de las siguientes relaciones:
16. R = Ux,y)efl2 | y V y * - x 2-x=0) 20. R=) (x,y)eRz |y3-xy2-xy+x2=0}
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

372. S e c c ió n 5 .4 : F u n c io n e s R e a le s d e V a ria b le R e a l 359
E l f u n c i o n e s r e a l e s p e v a r i a b l e r e a l
_______________ ¡ g
En el Capítulo 3, Sección 3.9, habíamos estudiado a las funciones de
una forma muy general sin fijamos en la naturaleza de los objetos que lo
forman, pero dado que nuestro interés está dirigido al análisis, nos intere
san aquéllas funciones cuyos pares ordenados están formados y^or números rea
les. Esto es, nos referimos a las funciones del tipo f:R * R, a las cuales
llomaremos funciones reales de variable real y denotaremos:
f = <Oc,y}eR*R|y=/-t;)c,n
o bien: f = {(x,f(x))eRxR\xeDom(f)\
Según esta notación, si f(x) es una función de x y aeDom(f), la expresión
f(a) significa la imagen de a o el valor numérico obtenido por f(x) al sus­
tituir x por a. Por esta razón siempre se define una función mediante una
regla que permite calcular para cualquier xeDom(f), su imagen y=f(x).
En consecuencia, una función queda completamente determinada o bien defini­
da si se conocen: .
i) Su., regí a de correspondencia f (x)
i i) Su dominio
EJEMPLO 1. Dada la función f={ (x,2x-l) |asR(, hallar:
a) f(2) b) fía) c)
Solución . Si xeR * (2x-l)eR, luego, Dom(f)=R y Ran(f)=R. La regla de co­
rrespondencia de f es f(x)=2x-l, entonces, la función está bien
definida. Por lo que:
a) f(2) = 2(2)-l = 3 b) f(a) = 2(a)-l = 2a-l
c) f(x+h)=2(x+h)-l=2x+2h-l ~ íí:5+J l^ f (x) = M t i h zjFÍ.2^ 1 > = 2
EJEMPLO 2. Determinar si el conjunto f={ (xf-l ,x) |jceR} es o no una función
Solución. La regla de correspondencia de f es f(x*-l)=x
Para x=2 - f(4-l)=f(3)=2 - (3,2)ef '
x=-2 - f(4-l)=f(3)=-2 - (3,-2)ef
Según la propiedad: (x,y)ef (x,z)e.f * y=z
se sigue que: (3,2)ef a (3,-2)ef - 2 = -2 , lo cual es absurdo
Luego, f no es una función.
|Nota. No todas las funciones se definen por medio de una fórmula única.Sólo fines educativos LibrosVirtual

373. 360 C apitulo 5: F unciones
Por ejemplo, si escribimos: f(x) = I S1 xelO,2
l x*-3x+2, si xe<2,
22
61
tenemos una definición perfecta de una función. Algunos de sus valares son:
f(l) = /2(1)-(1)l = 1 y f(3) = (3)l-3(3)+2 = 2
B B GRAFICA DE UNA FUNCION
Cuando el dominio y rango de una función consisten en números reales
ambos, es posible plasmar el comportamiento de la función en forma gráfica.
Definición. Dada una función f:A*B, donde AcrR y 3cR, se define la gráfi
ca de f y se denota "Gr(f)", al conjunto de todos los pares
ordenados en los que xeA está como primer elemento y su imagen y-f(x)eR co­
mo segundo elemento. Es decir:
Gr(f) = U x , ; y ^ R z |xeA, ye/-(a:;£R}cAxB
o bien: Gr(f) = í (x,;y.)eR* |xeAÍC AxB
EJEMPLO 3. Sea la función f :A*B\f(x)=2x-3 y los conjuntos A=12,5> y B=íl,
7>, esbozar la gráfica de f mostrando el conjunto AxB.
Solución. En primer lugar construimos el
rectángulo A»B (zona sombreada),
luego esbozamos la gráfica de f eligiendo
dos puntos de A=Dom(f)
x=2eA ~ f(2)=2(2 3=1
x=5{A ■* f(5)=2(5)-3=7
Obsérvese que aunque (5,7)$Gr(f) este pun­
to nos sirve como referencia para el traza
do de la Gr(f).
Grf/,;=l('x,2x-3j|x£:[2,S>}cA xB
Y-
r
B
i,
----->7 - 7 - * Jp
P m
■' '-''-firrrr Gr(f)c AxB
' / i
/ 1
r ^
......V
i .
0 2 5 ' "
1 - A-*|
PROPIEDADES DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION
G.l: V xeA, existe un par ordenado (x.y)eGr(f),
G.2: (x,yhGr(f) ~ (x.zhGr(f) - y=z
G.3: Si P(x,y)cGr(f) * P(x,y)ef
esto es Dom(Gr(f))=A
(Unicidad)
EJEMPLO 4. Sea la función real f(x)=6+2x-xf. Decir si los siguientes pa­
res ordenados pertenecen o no a la Gr(f).
a) (-2,-2) W (3,3) c) (6,18)Sólo fines educativos LibrosVirtual

374. S e c c ió n 5 .6 : C a lc u lo d e l D o m in io d e u n a F u n c ió n 361
S o l u c i ó n . Según ¡a propiedad G.3, se tiene:
a) f(-2) = 6+2(-2)-(-2)l = -2 + (-2,-2)zGr(f)
b) f(3) = 6+2(6)-(6)í = 3 - (3,3)cGr(f)
c) f(6) = 6+2(6)-(6)* = -18 - (6,18)¿Gr(f) -
Observación. Sabernos que una función no debe tener dos pares ordenados
con la misma primera componente. Según esta propiedad si se
presenta la gráfica de una función en R2 se debe cumplir la siguiente pro­
piedad fundamental: "Una relación f:A+B, A c R y BcR, es una función real
si y sólo si cada línea vertical L corta a la gráfica de f a lo más en un
punto P". Es decir: Gr(f)í]L - {Pl, P eR1
Esta observación proporciona un criterio visual para funciones.
EJEMPLO 5. En las siguientes gráficas, establecer la diferencia entre grá
Solución. La gráfica de a) es la de una función porque una línea vertical
L corta a la curva en un solo punto P, esto es, a cada elemento
del dominio le corresponde una de la imagen: x, ->■ y¡
x, - y,
La gráfica de b) es el de una relación que no es una función pues una línea
vertical L corta a la curva en dos puntos P l y P lt es decir, a cada elemen­
to del dominio x t le corresponde varias imágenes, las comprendidas entre y,
e y t.
1 2 3 CALCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCION
_________§¡|
Cuando una /‘unción viene dada por una fórmula o regla de corresponden
cia, se suele sobreentender que el dominio consiste de todos los números pa
ra los que la regla de correspondencia está bien definida.
Ahora bien, el dominio de una función puede describirse explícitanente jun­
to con ¡a función o estar implícito en la fórmula que define a la función.
Por ejemplo, para las funciones: f(x)=l-2x, -3<x$5 y g(x)=x*-x, x<3Sólo fines educativos LibrosVirtual

375. 362 Capitulo 5: F unciones
el dominio está descrito explícitamente, pues: Dam(f)=ixcR¡-3<xi5l = <-3,51
y Dom(g) = { x t R l i ^ ) = <-” ,31
Por su parte:
a) has funciones racionales de la forma: f(x) tienen como dominio im
plicito a R-{xeR¡q(x)=0}
b) Las funciones con raíces de índice par: f (x)=^1^g(x), neZ+, tienen como
dominio implícito al conjunto ixeR¡g(x)20)
c) Las funciones con raíces de índice impar: f(x)-^n+^/g(x), neZ* tienen co
mo dominio implícito al dominio de g, e s t o e s : Dom(f)=Dom(g).
EJEMPLO 6. Hallar el dominio de las funciones:
a) f(x) = b) g(x) = x ■ c) h(x) = \f —
/x*-5x-14 v x ‘-Sx1-4x+20
Solución, a) La función tiene sentido *■» 9-x‘^O « i ‘í S — ► -3$x$3
Entonces: Dcm(f) = íxeR|-3$x^3) = [-3,3]
b) g(x) = x
--- * Dom(g) = {xeR| (x+2)(x-7)>0) = [xeR|x<-2 ó x>7)
/(x+2)(x-7)
= <--,-2> U <?,+*»>
c) h es una función con raíz de índice impar, luego: Dcm(h)=Dom(f), donde
x+I
______
(x+2)(x-2)(x-5)
CALCULO DEL RANGO PE UNA FUNCION
_______________
Caso 2. Cuando el dominio está implícito en la regla de correspondencia que
define a la función.
En este caso se despeja x en términos de y, luego se analiza para que valo­
res de y, x es real.
EJEMPLO 7. Hallar el rango de Ja función: f(x) = " r rj
S o l u c i ó n . Sea y=f(x) ■* y(x*-4)=3xx+4 *-* x = i
Entonces: xeR «-► í- O y§-I 5 y>3
Ran(f) = JyeR|y$-i ó y>3) = <-»,-! ] u<3,+=>>
f(x) =
-----—------ , x )« -2,2,5 * Dom(h) = R-{-2,2,5}
Caso 2. Cuando el dominio está descrito explícitamente junto con la fórmula
que define a la función. Es decir, si f:A*B, entonces Ran(f)=f(A),
donde f(A) es el conjunto de imágenes de x, tal que xcA.Sólo fines educativos LibrosVirtual

376. Sección 5.6: Calculo d e l D om inio d e una F unción 363
EJEMPLO 8. Sea la función f={(x,y) dR¡f(x)=4+2x-x1. xcl-2,4 ]. Hallar su
rango.
Solución. Si f(x)=5-(x 1-2x+l) * f(x)=5-(x-l)1. Llegaremos al segundo ex
tremo de esta fórmula partiendo del dominio de la función.
(1) Si xsl-2,41 -2$c$4 ~ -34X-143
(2) Elevando al cuadrado: O 4 (x-l) 1 4 9 *■ -9 4 -(x-l)1 4 O
(3) Sumando S: — 4 4 5-(x-l)* 4 5 ->■ -4 < f(x) < S
(4) Por tanto: Ran(f) = f([-2,4 ]> = fcyeR|-4 3 y 4 5} = [-4,5]
EJEMPLO 9. Hallar el rango de la función: f - {(x, j JC > 2).
Solución. Regla de correspondencia de f: f(x) = - j r j = ^
Si A=<2, +«■> ■» Ran(f) = f(A) = f(<2,+^>).
5
x-l
(1) Si x > 2 -* x-l > 1 ■*
x-l
< 1
(2) Como x-l > 1, también x-l > O •* > O (Si a^R y a>0
(3) Luego, de los pasos (1) y (2) se sigue que: 0 < < 1
5 e
(4) Multipl icando por -5: -5 <
----; < 0
x-l
(5) Por tanto: Ran(f) = ]xeR|-3 < y < 2) = <-3,2>
- >
0)
3 < 2 —t < 2
x-l
Definición. F U NCI ON RESTRINGIDA
Sean los conjuntos A,B y D subconjuntos de R y sea la función
f:A*B. Si definimos la función g:D*B, tal que: f(x)=g(x ), VxcD, D e A
entonces se dice que la función g es la restricción de f al conjunto D.
Equivalentemente, si f :A*B tiene una restricción g:D*B, D e A, entonces se
dice que f es uno extensión de g al conjunto A.
EJEMPLO 10. Dada la función f:l-l,3>'*<-2,7]\f(x)=9-x1, Indicar el domi­
nio, rango y construir la gráfica de la función g, sabiendo
que g es la restricción de f al conjunto Dci-1,3>.
Solución. Para f, el conjunto de partida es
A=l-1,3> y el conjunto de ¡legada
es B=<-2,71. Si g:D~B\f(x)=g(x), VxeD, para
hallar D se procede del modo siguiente:
(1) Se construye el rectángulo A*B.
(2) Se traza la parábola y=9-x*, con vértice
en V(0,9).Sólo fines educativos LibrosVirtual

377. 364 C a p itu lo 5 : F u n c io n e s
(3) Interceptamos las rectas y=7, x=3 (restricción) con la parábola.
Si xf3 - yf9-9=0 - (3,0)iGr(f)
Si y=7 ■* 7=9-0c1 ■* x l=2 * x=/2 (pues x>0) ♦ (/2, 7)cGr(f)
(4) Luego: D=Dom(g)=[/2,3> y Ran(g)=f(D)=<0,7]cB
EJEMPLO 11. Sea la función f:í-2,6> - l-4,4l\f(x) = ?X+4 , hallar
el dominio, rango y construir la gráfica de la función g que
es la restricción de f al conjunto Dc[-2,6>.
Solución. En f, el conjunto de partida es A=[-2,6> y el conjunto de ¡lega
da es B=[-4,4]. Si g:D -► B\f(x)=g(x), VxcD, se tiene:
(1) f(x) = = x *-4x-l , x+4
(2) Trazamos el rectángulo AxB y luego la paró
bola y=(x-2)1-5, xf4, de vértice V(2,-5).
(3) Interceptamos ¡as rectas y=4, y=-4 (extre­
mos de B) con la parábola y=xz-4x-l'
Si y=4 * x 1-4oc-5=0 *+■ x=-l ó x=5
y=-4 ■» xl-4x+3=0 x=l ó x=3
(4) Si x M * yfl6-l6-l=-l - P(4, -l)iGr(f)
(5) Luego, Dom(g)=[-l,1] uÍ3,5]-{4}
Ran(g)=f(D)=l-4,4]-{-l)
EJEMPLO 12. Hallar una función f(x) que exprese el área del rectángulo de
base x y perímetro 2a (a>0). Hallar también el dominio y ran­
go de f.
Solución. (1) Si x e y son las dimensiones del rectángulo * f(x)=xy
(2) Dado que: p=2x+2y=2a x+y=a , de donde: y=a-x
(3) Entonces, en (1): f(x)=x(a-x) , a>0 , es la función buscada.
(4) Dominio de la función f. Como el área es un valor positivo, entonces:
f(x) > O ■— x(x-a) > O O < x < a * Dom(f)=<0,a>
(5) Rango de la función. De (1): f(x) = ax-x1 = - (x-
(6) Si O < x < a * ~ J < x - O ^ (x- j)* < j
- - < -(x - A)* x< O * O < -Sí - (x- 4 - f * O < f(x) v<
(7) Por lo que: Ran(f) = <0,a1/4 ]Sólo fines educativos LibrosVirtual

378. Ejercicios: Grupo 35 365
EJERCICIOS: Grupo 35
En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l 4 , d e te r m i n a r s i e l c o n ju n to d ad o d e p a r e s o r d e ­
n a d o s , e s o no una fu n c iG n .
1 . ( ( x + 2 ,x ) |x e R ) 3 . { ( ( x + l , y - 3 M x , y ) ) |( x , y ) e R * }
2 . ( ( x l + 2 ,x ) |x e R ) 4 . ( ( ( x ,y * ) , ( x , y ) ) |( x , y ) e R ’ }
5 . S i f e s u n a fu n c ió n r e a l d e v a r i a b l e r e a l , t a l q u e f ( x + 3 ) = x * - l , h a l l a r
, , , f (a + 2) - £ (2) , , .
e l v a l o r d e —-—
------- , a/2
6. S i f e s una fu n c ió n r e a l d e v a r i a b l e r e a l , t a l q u e , f (x + l) = x * + 3 , h a l l a r
, , , f ( a + 2) - f ( a -2) ,.
e l v a l o r d e —
----- —--------- a a/1
a-1 ^
7 . D e te rm in a r una fu n c ió n c u a d r á t i c a f ( d a r s u r e g l a d e c o r r e s p o n d e n c ia )
q u e t i e n e a .R como s u d o m in io y t a l q u e , f ( - l } = 3 , f ( 2 ) = 0 , f ( 4 ) = 2 8
8. Sean f : R ■* R y g :R * R, t a l e s q u e : f(x + 3 )= 4 x + 2 , g ( x + 5 ) = 3 x - l, s i A=(xcR|
f ( x ) < g ( x ) t , h a l l a r A '0 < - “ / 3 0 ] .
9 . S i f : < 0 , 1 ] - R |f ( x ) = 1 + j
De l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c i o n e s , c u á l e s so n v e r d a d e r a s ?
a ) f ( 1 / 3 5 ,1 / 7 9 ) = 1 1 5 /1 1 4 b ) f ( x ) e < l ,2 > , -¥ x e < 0 ,l]
c ) S i saeR t a l q u e b = f ( a ) , e n to n c e s /c e R t a l q u e c = f ( b )
O En l o s e j e r c i c i o s 1 0 -1 5 , d i g a s i l a r e l a c i ó n d a d a e s o no u n a f u n c ió n .
H a l la r e l d o m in io , ra n g o y c o n s t r u i r l a g r á f i c a d e c a d a r e l a c i ó n .
1 0 . R = ((x ,y )c R * |x l - y = l ) 1 3 . R=( ( x ^ J e R1 |4 y l -x * = 1 4 4 , y > , 0 )
1 1 . R = ((x ,y )e R1|x ‘ -4x -2y + 10= 0) 1 4 . R = { (x ,y )e R * |4 y * = x * -4 x )
1 2 . R = ((x .y Je R1|y*+4x=4 , y 0} 1 5 . R=( ( x ,y ) e R l |x * + y í + 2x-4y=4)
O En l o s e j e r c i c i o s d e 16 a l 1 9 , h a l l a r e l ra n g o d e l a f u n c ió n .
1 6 . f : [ - l , 2 > * R |f ( x ) = x ‘ +2 1 8 . f : [ - 2 , 2 > - H |f(x )= 3 + 2 x -x *
1 7 . f : < - 2 , 3 ) - R |f ( x ) = x ’ + 4 x - l 1 9 . f : < - l , 2 ] - R |f{ x )= l+ /3 + 2 x -x *
□ En l o s e j e r c i c i o s d e l 20 a l 29 s e d a una f u n c ió n f :A * B, h a l l a r e l domi
n i o , ra n g o y c o n s t r u i r l a g r á f i c a d e l a f u n c ió n g : D —B qu e e s l a r e s t r i c
c ió n d e f a l c o n ju n t o D e A.
2 0 . f : < - 4 , l > * [ 0 , 5 ] |f ( x ) = x ‘ +4x+3 2 2 . f : [ - 3 , 3 > - < - l , 7 ] |f ( x ) = 3 - 2 x
21. f: [ - 2 , 2 ] * [ 1 ,3 ] |f(x)=/5-x* 2 3 . f - . [ - 3 , 3 ] - < 2 , 5 ]|f(x)=|x|+|x-l|Sólo fines educativos LibrosVirtual

379. 366 C a p ítu lo 5 : F u n c io n e s
24. f: [—2,3> - [-1,2 ]|f(x)= x1-2 27. f : < - l , 5 ] - [-3,5]|f(x)=5+2x-x*
x s+x J-3x+l
25 f:[-2,3> - [-2,6>| f (x)=x *-9 28. f:<-5,2] - [-1,7> f(x) =
26. f :[1,4> - [-l,5>|f(x)=x*-4x+3 29. f:[l,5> - [0,6>lf(x) =
*
x-l
1 2 x + 7 x 2- x 3
x-3
Q | FUNCIONES ESPECIALES
Q 2 ) FUNCION IDENTIDAD
Es aquella función denotada por I:R -*■ R, donde el dominio y el ran­
go es el conjunto de los números reales y que
tiene como regla de correspondencia:
I(x) = x
Es decir, en esta función cada número real se
corresponde a si mismo. Su gráfica es la rec-
de pendiente m=Tan45°=l, determinada por:
{[x,x)|xeR[ y que pasa por el origen.
Cuando el dominio de la función identidad es­
tá restringido a un conjunto A c R, se denota:
IA , esto es:
IA (x)=x, VxtA
se dice entonces que es la función Identidad sobre A.
y■
Xl{x)=x
0
0 2 FUNCION CONSTANTE
Es aquella función, denotada por C, con dominio R y el rango consis
te en un número real, cuya regla de correspon
dencia es:
C = Ux,y>|;y=c}
o bien, <C(x)=c. La gráfica de la función cons
tante es el conjunto de pares ordenados:
Ux, c)|xeR}, o sea una recta horizontal. En
particular, si c=0, la función constante es nula: y=0, VxeR, cuya gráfica
es el eje X.Sólo fines educativos LibrosVirtual

380. S e c c ió n 5 .7 : F u n c io n e s E s p e c ia le s 367
FUNCION LINEAL
_________
Es aquella función con dominio
ya regla de correspondencia es:
f (x) = mx+b
donde m y b son constantes y mfO.
Su gráfica es una recta cuya pendiente
m=tga y su ordenada en el origen es b.
EJEMPLO 1. Sea f una función lineal de pendiente m, e intercepto con el
eje Y igual a b, tal que f(mz-2b)=f(b+12-2mz) y f(2m+b-2)=
f(m+b-l); hallar la función g si se tiene g(x+4)-x=f j+fft3^ ) .
O o
Solución. Sea la función lineal f(x)=mx+b, mfO
f(mz-2bj=f(b+12-2mz) m(mz-2b)+b = m(b+12-2mz) b=mz-4 (1)
f(2m+b-2)=f(m+b-l) -* m(2m+b-2)+b=m(m+b-l)+b , de donde: m=3
Luego, en (1): b=5 -*■ f(x)=3x+5
Entonces: ffij^j+ff3^ ) = f(l)+f(-l/3) = 3(l)+5+3(-l/3)+5 = 12
Liuego, g(x+4)-x = 12 g(x+4)=(x+4)+8 g (x)=x +8
E 2 D PUNCION CUADRATICA
Es aquella función con dominio R y definida por la regla de corres­
pondencia: f(x) = ax1+bx+c
donde a.b y c son constantes y ato
Su gráfica es una parábola simétrica respecto a la recta vertical x=h, lla­
mada eje de simetría, abierta hacia arriba si a > 0 (Fig.5.9) y hacia abajo
F i g u r a 5 .9 F i g u r a 5. 1 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

381. 368 Capítulo 5: F unciones
El vértice de la parábola se puede ubicar transformando la función a la for
ma: y=a(x-h)z +k, mediante el artificio de completar el cuadrado:
. . 2 b bz . bz , b,z 4ac-bz
* f(x) = a(x + -x + \) + c - ~r = a(x + tt-) + — ;
---
' a 4az 4a 2a 4a
. . . b , 4ac-bz
donde: h = - x— "
2a * ~ 4a
Para a > O, la función tiene su valor mínimo k, cuando x=-b/2a, es decir el
punto mas bajo de la gráfica es el vértice V(h,k).
Para a < O, la función tiene su valor máximo k, cuando x=-b/2a, es decir el
punto más alto de la gráfica es el vértice V(h,k).
EJEMPLO 2. Si f(x)=-3xz+6x+2, determinar su valor máximo o mínimo.
Solución. Completando el cuadrado obtenemos: f (x)=-3(x-l) z+5 ■+ h-1 y k=5
Como a=-3<0, el punto más alto de la parábola es el vért. V(l, 5)
o sea el valor máximo de la función es y=5.
EJEMPLO 3. Sea g una función cuadrát ica tal que g(0)=l y tal que g(x+l/2)
-g(x-l/2)=4(2x-l), VxzR. Hallar el único valor de xcR¡g(x)-0.
Solución. Sea la función cuadrát ica g(x)=axz+bx+c
Si g(0)=l -* l=0+0+c -+ c=l -*■ g(x)=axz+bx+l
g(x+l/2)-g(x-l/2)=8x-4 - a(x+l/2)z+b(x+l/2)+l - a(x-l/2)z-b(x-l/2)-l=8x-4
de donde: 2ax+b = 8x-4 . Identificando coeficientes se tiene: a~4 y b=-4
Entonces: g(x)=4xz-4x+l = (2x-¡ )z. Luego, si g(x)=0 -*■ (2x-l)z=0 x=l 12
EJEMPLO 4. Un hombre que dispone de ISO pies de alambre desea cercar una
superficie de forma rectangular. Si uno de los lados no necesi_
ta cerco, cuáles deben ser ¡as dimensiones para que el área sea máxima?
Solución. Sean x e y las dimensiones del terreno
Area de la superficie: A=xy (1)
Perímetro por cercar = 2x+y » 2x+y-l60
- y=160-2x 12)
(2) en (1): A(x)=x(160-2x)=-2(x-40)z+3200
Como a=-2<0, la función A alcanza su máximo valor de 3200 cuando x=40 pies,
luego, en (2): y=160-80=80 pies.Sólo fines educativos LibrosVirtual

382. S e c c ió n 5 .7 : F u n c io n e s E s p e c ia le s 369
2 2 FUNCIO
Es aquella función con dominio el con
junto de los números reales positivos y cuya
regla de correspondencia es:
f = {fx.yj |y=-'S>
para (a cual f(x) = /x es el número cuyo cuadra
do es x. Los elementos del conjunto f son pa­
res de la forma: i-0}
Esto es, Dom(f)=[0,+*=> y Ran(f )=[().+•»>.
Nótese que cuando elevamos al cuadrado ambos lados, la ecuación y=/X toma
una forma conocida, y l=x.
Esta ecuación representa una parábola de eje horizontal con vértice en el o
rigen que se abre hacia la derecha. Por lo tanto, la gráfica de y=»i5c es par
te de la gráfica de la parábola y*=x con y í-0.
EJEMPLO 1. Construir la gráfica de f(x)-/2x-4, dar su dominio y rango.
Solución.(1) Sea y=/2x-4 -* ay «-*■ 2x-4 0
Entonces: Dom(f)=[2,+~>
(2) Dado que y >s0, VxcDom(f) -» Ran(f)=[0,+~>
(3) Elevando al cuadrado se tiene: y 1=2(x-2)
■* x = \y*+2 > es una parábola de eje ho­
rizontal, con vértice en V(i,0). Luego se
construye parte de esta parábola arriba del eje X.
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, el rango y trazar la gráfica de la función
f(x)=/xl-3x-4 .
Solución. (1) Dominio de la función: y = /x*-3x-4 = /(x+l)(x-4)
■* 3y «-* (x+l)(x-4) % . 0 + - + x £ - l v x % . 4
■* Dom(f )=<-*,-1] O [4,+~>
(2) Rango de la función. Como el dominio de la
función es la unión de dos intervalos cu­
yos extremos son ±», su gráfica es una curva
abierta que se extiende indefinidamente arri­
ba del eje X (y >_0). .'. Ran(f)=[0,+~>
(3) En (1), elevando al cuadrado se tiene:
y 2 = x 2-3x-4 ** (x-3/2)2-(y-0)2=25/4Sólo fines educativos LibrosVirtual

383. 370 C a p itu lo 5 : F u n c io n e s E s p e c ia le s
Luego, la g r á f ic a de la fu n ción es p a rte de la h ip é rb o la de la forma:
( x - h )2- ( y - k ) 2=a1 , con cen tro en C ( 3 / 2 ,0 ) , a-á/2, a r r ib a del e je X.
2 J 3 FUNCION POLINOMICA DE GRADO n
Es a quella fu n ción con dominio Ii y cuya re g la de correspon den cia es
tá dada por:
,.. . n n-1 n-2
f ( x ) = a¡,x + a , x + a2x +....+ on
donde n es un entero p o s it iv o y a 0 , a¡r a2 , . . . , a n son constantes re a le s
(a,*0)
Es evidente que las fu n cion es constante, lin e a l y c u ad rá tica son casos p a r­
t ic u la r e s de una fu n ción pol inómica de grado n.
2 5 3 FUNCION RACIONAL
Sí f y g son funcion es pol inóm ícas, la fu n ción F, cuya re g la de co­
rrespondencia es:
F (x )
f ( x ) _ ajX 11 + a Ia:n - 1 +
9( x ) f0
b j x 0 t b 1x n ~ l + . . . . + b n
se denomina fu n ción ra c io n a l.
C ualquier fu n ción polinom ial e s una fu n ción r a c io n a l, esto o c u rre cuando
g(x) es una fu n ción constante, en part ic u l a r cuando g ( x ) = l , VxcDom(g).
El dominio de una fu n c ió n ra cio n a l es el conjunto de los números re a le s ta­
les que g (x )f 0 . _
EJEMPLO 1. H a lla r el dominio, rango y tra za r la g r á f ic a de la función :
x 3+4x2+x-6 '
f ( x ) =
x 2 +2x-3
Solución. Factorizan do los términos de la fu n ción r a c i o n a l s e t i e n e :
f (x) = T 11 * f(x)=x+2' x *-3 ’ x n
R e s t r ic c io n e s : x= -3 ■* y=-3+2=-l
x —1 ~ y = l +2=3
Luego, la g r á f ic a de la fu n ción dada es la
recta L:y-x+2, s in los puntos P ( l , 3 ) y
Q ( - 3 , - l ) . Luego, Dom(f) =
P.an(f) = R - { - l , 3 )Sólo fines educativos LibrosVirtual

384. S e c c ió n 5 .7: F u n c io n e s E s p e c ia le s 371
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función
, (x>-4x1-5x)(x1-6x+8)
f(x) = x r~-6xr+3xTTÓ
--
Solución. Factorizando los términos de la función racional se tiene:
x¿-l , xf2 , xf5
f(x) = x(xrl)(x-5)(x-2)Lx:4) = x(x„4)
(xfl)(x-2)(x-5)
- f(x)=(x-2j*-4 , x¿-l,2,5
La gráfica de f es la de una parábola de vér­
tice en V(2,-4). Entonces: Dom(f) = R-i-1,2,5)
Para determinar el rango hallamos tos puntos
excluidos, esto es:
Si x——l - y=(-3)*-4=5 * P(-l,5)1G(f)
x-2 - y=(0)*-4=-4 - V(2,-4)iG(f)
x=5 * y=(3)*-4=5 - Q(5,5)tG(f)
Obsérvese que los puntos P y Q tienen la m is­
ma ordenada, entonces habrá que quitar y=5
del rango, esto es: Ran(f)=<-4,5> u <5,+“>
FUNCIONES SECCIONADAS
Hasta aquí' hemos tratado solamente funciones de tipo f(x)=y, donde
una misma fórmula nos describe el comportamiento de la función en todo su
dominio. Sin embargo, podemos tener funciones que tengan distinto comporta­
miento dependiendo de los valores del dominio. Es decir, si una función es­
tá definida por dos o más secciones, entonces:
fi(x) , xeA
f^x) , xeB
'f,(£) , xeCf(x) = ‘
tales que: A n S í l C d . . . = ♦ - G(f) = G(fx) U G(fz) U G(f,) U . . .
y Dom(f) = Dom(fi) U Dam(fz)li Dom(f¡) U . . .
Ran(f) = Ran(f,)u Ran(f z) u Ran(f 3) u . . .
f-1, si x < -2
EJEMPLO 1. Graficar y hallar el rango de: f(x) = < J, si - 2 -S x < 2
[3, si x 2
Solución. Obsérvese que el dominio de la función se ha dividido en tresSólo fines educativos LibrosVirtual

385. 372 C apitulo 5: F unciones E speciales
subconjuntos: A=<-“ ,-2>, B=í-2,2>, C=[2,+“>, tales que: A D B n C f ♦ , y que
los valores de la función dependen de donde esté local izada x. Por ejemplo:
f(-4)=-l, puesto que -2>
f(0)=l , puesto que 0et-2,2>
f(5)=3, puesto que 5e[2,+“>
Entonces la gráfica de f(x) en cada sección
es una recta paralela al eje X, dado que:
fi(x)=-l , ft(x)=l , ft(x)=3 , son funcio­
nes constantes. Dom(f)=R -, Ran(f)={-!,!,3}
.'. G(f) = GífijOGíUjuGfft)
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, el rango y trazar la gráfica de la /unción
x*-4 . si x < 2
¡x-21, si x i- 2
Solución. Aquí el dominio de la función se ha
A=<-«,2> y B=[2,+~> •* Dcm(f) - Ail
(2) Determinación del rango:
Sea fl(x)=x1-4 (Parábola con vértice en
V(0, -4)). Si x < 2 * (x < 0) v ( 0 ^ x < 2)
- (xl > 0) v (0 < x 1 < 4)
■* x* í- 0 ■* x*-4 >y -4 ■* fi(x) -4
.'. Ran(fí)=[-4,+°>
(3) Si x i- 2 * x-2 > 0 - ft(x)=x-2
Entonces: ft (x) >* 0, luego, Ran(fi)=lO, +">
(4) Ran(f) = 1-4, +*> U [0, +“> = t-4,+~>
B C 3 R FUNCION ESCALON UNITARIO
_________________________|¿
dividido en dos subconjuntos
B = R
Es aquella función denotada por uQ , que se lee "escalón unitario de
paso a" y que está definida por: X
1| T
Uq(x) = u(x-a)
i0 , si x < a
{_ 2 , si x a
cuyo Dom(ua J=R y Ran(u<,.M0,11
EJEMPLO. Sea una función que consiste en el conjunto de pares ordenados
(x,y), donde y está relacionado con x por: f(x)=u(x)-2u(x-l)+
u(x-2), donde u es la función escalón unitario. Indicar su dominio, rango y
construir su gráfica.Sólo fines educativos LibrosVirtual

386. Sección 5.7: F unciones Especiales 373
u(x)=u0(x)=
Solución. Sea y = u(x)-2u(x-l)+u(x-2)
Por definición:
0, x<2
1, x>2
siguiendo el método de los puntos críticos, determinamos los intervalos de variación en
x=0, x=l y x=2. En cada intervalo, la función u tomará los valores de 0 y 1, a la izquierda
y derecha, respectivamente, del punto crítico correspondiente.
0 , x<0 0 , x<l
u(x-l)=u,(x)= ; u(x-2)=u2(x)=
. 1 , x>0 1 , X>1
x < 0 0 0 < x < i 0 < x < 2 2 x > 2
u(x)=0 ¡ u(x)-1 u(x)=l | u{x)=l
BÍ X -1 ) = 0 ' u(.x-l)=0 u(x- 1)= 1 ■ u(x-l)=l
u(x-2)=0 1 u(x-2)=0 u(x-2)=0 ! u(x-2)=-l
Luego, en (1): si x < 0
0 < x < 1
1 < x < 2
x > 2
— >
y = 0-2(0)+0 = 0
y = l-2(0)+0 = 1
y = l-2(l)+0 = -1
y = 1-2(1)+1 = 0
Por lo tanto, la regla de correspondencia de la función es:
0 , si x < 0
1 , si 0 < x < 1
-1 , si 1 < x < 2
0 , si x > 2
D o m (f)=R , Ran(f)={-1,0,1)
/(x) =
5.7.10 FUNCION SIGNO
Es aquella función denotada por “Sgn(x)”, que se lee “signo de x”, y que
está definida por:
’ -1 , si x < 0
Sgn(x) = • 0 , si x = 0
1 , si x > 0
En donde: Dom(Sgn) = R
Ran(Sgn) = {-1,0,1}
E J E M P L O . Construir la gráfica de la función f(x)=Sng(lx2-2l-2), Hallar su dominio
y rango.
-1 , si lx2-2l-2 < 0
Solución. Por deñnición: Sgn(lx2-2l-2)= ■ 0 , si lx!-2l-2 = 0
1 , si lx!-2l-2 > 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

387. 374 C a p ítu lo 5 : F u n c io n e s E s p e c ia le s
Entonces, si: |x2-2| < 2 •*-*- (x1-2 < 2) <s (x z~2 > -2)
(xz < 4) ~ (x1 > 0) «- x e< - 2 , 2 > - ( 0 }
|x2-2| = 2 (xz-2=2) v (xz-2=-2)
*— (x2=4) v (x2=0) *->■ x=±2 x=0
|x2-2| > 2 (x 2-2 > 2) v (xz-2 < -2)
■>-* ( x 1 > 4) v ( x 2 < 0) « xe<-»,- 2 >u <2,+°>
FUNCION VALOR ABSOLUTO
Es aquella función con dominio R y cuya regla de correspondencia
f X , s i x 0 •
es: f(x) = |x| =■(
|^ -x , si x < 0
Los elementos del conjunto f son pares ordena
dos de la forma {f x , ¡ x |)|xeK1 y su gráfica es
la unión de dos partes de rectas cuyos puntos
son simétricos respecto del eje Y.
y i 0 , (y=x, si x i- 0 v y=-x, si x < 0)
Dom(f)=R y Ran(f)=ÍO, +”>
y
y = - x > E y=x
0
X
EJEMPLO 1. Construir la gráfica de la función: f(x)= |x-2|-3
Solución. Sea: y+3=|x-2|, entonces por definición de valor absoluto:
(y+3 i- 0) „ [ (y+3=X-2, si
X 2) v fy+3=-x+2, S i X < 2)]
(y > *■ Cíy=*-5, si x >^2) v (y=-x-l, si x < 2)]
La gráfica de f es la unión de dos partes de
rectas cuyos puntos son simétricos respecto
de la recta x=2.
fL,:y=x-5, si i í-2
(y >y -3) ~ j
[ L 2 :y=-x-l, sí x < 2
Dom(f)=R y Ran(f)=[-3,+a>Sólo fines educativos LibrosVirtual

388. Sección 5.7: F unciones E speciales 375
EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la función f(x)-\x1-4\
Solución. Si y=\x'-4\ - y = í 1 **4 ' s¿ * 4
l -(xt-4), si x1 < 4
■* (y >,0) ~ l(y=xl-4, si x ^ -2 o x I 2) v (y=4-xz, si -2 < x < 2)1
Entonces, la gráfica de f es la unión de dos
partes de parábolas, en el semiplano superior
del eje X.
P l:y=x*-4, con vértice en V¿0,-4) y
P 1:y=4-xt, con vértice en Vt(0,4).
f P l:y=x*-4, si x 4 -2 o x %■ 2
■* (y t- 0) p í;y=4-x tt si -2 < x < 2
Dom(f)=R , Ran(f)=[0,+“>
EJEMPLO 3. Hallar el rango y trazar la gráfica de la función:
f(x) = \x-l l+|x-2|
Solución. Sea y=|x-I | + |x-2|
Seguiremos el método de los puntos críticos para determinar los
intervalos de variación y eliminar las barras de valor absoluto según sea
el signo que adopten en cada intervalo. En este caso los valores críticos
son: x=l y x=2
x < 1 1 1 4 x < 2 2 x i. 2
|x-l|=-íx-i; ¡
\x-2\=-(x-2) ¡
Si x < 1 - y=-(x~l)-(x-2)=3-2x
1 < x < 2 * y=+(x-l)-(x-2)=l
x > 2 ■* y=+(x-l)+(x-2)=2x-3
~3-2x , si x < 1
* f(x) = • 1 , si 1 4- x < 2
2x^3 , si x i. 2
Dcm(f)=R y Ran(f )=[!,+->
|x-í|=+fx-I)
|x-2|=-íx-2)
|x-J|=+fx-l)
|x-2|=+fx-2}
EJBfLO 4. Sea f:R + R definida por: f(x) =
y trazar la gráfica de f.
|x-l|-|x-2|
, hallar el rango
Solución. Procediendo en forma análoga al ejemplo anterior se tiene:
Valores críticos: x=I y x=2.Sólo fines educativos LibrosVirtual

389. 376 C apitulo 5: F unciones E speciales
x < l
r
1 4 x < 2
Si x < 1 -
|x-i |=-fx-2,) ; |x-2|=+fx-22
|x-2|=-(x-2; | |x-2| =-(x-2)
1
x » 2
|x-2|=+fx-2)
\x-2\=+(x-2)
1 4 x < 2 - y =
x i- 2 - y =
-(x-l)+(x-2)
1
= -i
(x-l)+(x-2) 2x-3
1 = 2
(x-1)-(x-2)
En el intervalo íl,2> la gráfica de f pre
senta una asíntota vertical x=3/2, por lo
que la curva se extiende indefinidamente
encima de ¡a recta y-1 y debajo de la rec
ta y=-l. Ran(f)=<-“ , -1 ] U [ 2 , +~>
0 0 E B FUNCION MAXIMO ENTERO
y.
iL_
o'
1 - i
i
1
£s la función con dominio R y cuya regla de correspondencia esté
dada por:
f(x) = ( [ x j
donde [[xj es el máximo entero no mayor que x, es decir, si
[[xj = n *-* = max<neZ|n -S x)
Según el Teorema 57, si: |Jx]]=n <"* n 4 x < n+1, m Z
Entonces el dominio de la función máximo entero, es la unión de intervalos
de la forma Cn,n+l>, ncZ, esto es:
Dom(f) R = xe y [n,n+2>
neZ
f ( x ) = l x j ¡ =
- t - - ?
y como f(x)-n ■+ Ran(f) = Z
Luego, para trazar la gráfica de / í x ) = j x j , especificaremos f para algunos
intervalos de longitud unitaria a cada lado del origen.
-2, si -2 4 x < -1, n=-2
-1, si -1 4 x < 0 , n=-2
0, si 0 4 x < 1 , n=0
1, si 11 4 x < 2 , n=l
w 2, si 2 4 x < 3 , n=2
Nótese que la gráfica de f se obtiene dando
valores a n, esto es, para cada valor de n
obtenemos un intervalo en el cual se tiene
t
I
l
i
" T
i
-
1-4
i
iSólo fines educativos LibrosVirtual

390. S e c c ió n 5 .7 : F u n c io n e s E s p e c ia le s 377
una función constante de rango n.
EJEMPLO 1. Construir la gráfica de la función f(x,) = X x/2 J
Solución. Si |[x/2]]=n ** n 4 ^ < n+1 ++ 2n 4 x < 2(n+l)
Entonces: Dom(f) = lx|xe[2n,2(n+i}> ( ncZi
Obsérvese que aquí los subintervalos del dominio de f son de longitud doble
EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la función f(x.) = J rnx J], mcZ
Solución. Si [£mx]]=n «-* n -S mx < n+1 (1)
Puede ocurrir dos casos:
a) si m < O - & } < * < £ * D o m ( f ) - , i] y f ( x ) = n
b) Si m > O + x <-=±-J + Dom(f) - ¿ [ 3 , _ Z £ > y f(x)-_n
En a) nótese que cuando n es positivo el intervalo de x es negativo y vice­
versa (m < 0). Luego, dando valores a n en ambos casos se tiene:
-2, -1/m<X4-2 / mn+-2 - 2 ,-2/m X
<-1/m, n=-2
-1, 0
<
X -1/mn=-l -1, -1/m X
<0 rt=-l
0, 1/m<X 0 n=0 f ( x ) = '0. 0 X<1/m, n=0
1,2/m
<
X 1/m ,n=l 1,1/m
<;
X<2/mn=i
2,3/m
<
X-S2/m , n=2 2,
L
2/m X<3/mrt=2
\ yj
2
m < 0
1
' i '
1 ; ^
3/m 2/m 17m 0
-1<
-2
's-l/m -2/m *
\
y.
2
m > 0
1
^ I '
-2(m -1/m sd lím 2/m 3/m *
i
*•1
J Éh b¿
----
-2
ySólo fines educativos LibrosVirtual

391. 378 C apitulo 5: F unciones E speciales
EJEMPLO 3. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función
. ■
Solución. Dado que ¿xeR *♦ j >/ 0 y J x J e Z , tenemos que:
fl}íc]]=n ++ (x O) ~ (O n < Sx < n+1 , ncZ+
++ n1 4 x < (n+1)2, nzZ*
Entonces: Dom(f)={xeR+ ¡xe[nt,(n+])í>, VneZ 11 = [0,+“>
Siendo: f(x)=n + Ran(f)-Z+ V{0\
Observación. Las gráficas de las funciones del tipo f <'x.)= [[ g(x) J , tienen
por característica fundamental lo siguiente:
Supongamos un intervalo xe[a,b> del dominio de f, sabemos que para rieZ, si:
f(x) = ([gfxj J = n ++ n g(x) < n+1 , -Kre[a,b>
Si interpretamos geométricamente este resultado veremos que la gráfica de
f(x) en [a,b> es la proyección vertical de la gráfica de g(x) en dicho in­
tervalo. Entonces, dada una función g, cuya
gráfica es conocida, (línea punteada), la
gráfica de la función f = H g J estará consli
tuida por segmentos horizontales uno de cu­
yos extremos estará sobre la gráfica de g.
Esta característica importante puede ser u-
til izada para esbozar gráficas de funciones
d e 1 t i po mencionado.
EJEMPLO 4. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función
f(x)=jL**2
Solución. Construimos con trazo punteado, la parábola g(x)=x?
y.
n+L
g(x)
f(x)=n‘
3
/ ] 1 ^ [ 1 3(x) 11
i i A ,
0 a x 6 xSólo fines educativos LibrosVirtual

392. Sección 5.7: F unciones E speciales 379
Luego, determinemos tos intervalos [a,b>. Si [[x*I]=n *-+ n 4 x l < n+1 (1)
Como x 1 ?• Ó, YxeR ■* £ x 1 J » O, esto es, n >,0
Eitonces en (I): O 4 n 4 |x| * < n+1 ++ vfi < |x| < Ai+l
Caso 1. Si x < O + |x|=-x + /fT4 -x < Jñ+1
+■+ -/n+1 < x -/ñ + xe<-/fi+I ,-/fT]
Caso 2. Si x > 0 + 1*1=^ -+ /ñ 4. x < /n+1 •* xc[/fi, /h+1>
y como ffx)=n + Ran(f)=Z* U (0)
f M =
0 , s i X £ < -1 .0 ] U [0,1 > = < - ! ,! >
1 , si xe<-/Z,-l ] u [!,/?>
2 , si xc<-/3,-/2]olS2,/3>
3 , si xt<-2,-/T] u [/f,2>
^
-------3
, 2
' 1 *
--------**!
1 i
1 i 1 ' ^
* 1 , '
----i •
A i i i
y \ i'i
-2 - Y 0 i 2 *
EJEMPLO 5. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función
f(x)=ll-2x^
Solución. (1) Trazamos, con línea punteada, la gráfica de la recta y=l-2x
(2) Determinación del dominio y rango de f:
Si Jl-2x]j=n +-*• n 4 l-2x < n+1 +-+ -(n+1) < 2x-l 4 -n
-n < 2x 4 -n+1
-2- < -r < iin
2 2
EJEMPLO 6. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función
f(x) =
Solución. (1) Dibújanos, con trazo punteado, la gráfica de g(x) = j ~ r
Hornada, curva de Agnesi, que tiene como asíntota el eje X.
(2) Dado que x 2 ^ 0 , VxcR ■+ x * + l i- 1 + 0 <
1+xt* 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

393. 380 C apitulo 5: F unciones E speciales
I J í o F j = 0,1,2,3,4 ; esto es Ran(f)=i0,l,2,3,4 )
Como ia gráfica de g(x) se extiende a lo largo del eje X ■+ Dom(f)=R.
Conocidos los elementos del rango, podemos determinar los subintervalos del
4
dominio haciendo: l l f r l - " n — i < n+1
1+x
Para n=0
n=l - 1 .$
0 4 t^ < 1
1+x
1+x1
4
< 2
1+x* > 4 •— x 1 > 3 +*■ x > ¿3 o x < - • '7
♦— xe<-~,-/3> O </J, +»>
x e [ V J , - i > u <j,/3] (Verificar)
n=2 + 2 * T¡x* K 3 ~ xet-l,-l//3>d <l//3,1] (Verificar)
n?3 - 3 í < ■! *- xe[-l//3.0>O<0,l/S3] (Verificar)
EJEM PLO 7. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función
f(x)= | x | - I * U
Solución. Si £ x j = n «-► n 4 x < n+1. Consideremos dos casos:
a) Si x í. 0 -+ |x|=x -* ffx)=x-([x]]
-*• f(x)=x-n +-+ xe[n,n+I>, n í- 0 , neZ+ (1)
b) Si x < 0 -+ |x|=-x -* f(x>=-x-J[xJ=-x-n «-» xe[n,n+l>, ncZ~ (2)
Luego, de (1) y (2): Dom(f)=R
Para determinar el rango consideremos también dos casos:
a) Si x >, O ■* n 4 x < n+1 «-► £ x ] ] = n , ntZ
-* n 4 |x| < n+1
Restando n a cada lado: n-n 4 |x|-n < n+l-n
-» 0 4 !^c| — [T^ J < 1 — yelO,l>
b) Si x < O •* -m-I 4 x < -m, meZ -* [[x J¡=-(m+l)
.Multiplicando por -i: m < -x 4 m+1 ■* m < |x¡ ^ m+1
Sumando m+1 a cada lado: m+(m+l) < |x|+ím+J) ^ m+l+(m+l)
-+ 2m+l < |a:|-[[xj ^ (2m+l)+lSólo fines educativos LibrosVirtual

394. S e c c ió n 5 .7: F u n c io n e s E s p e c ia le s 381
Haciendo 2m+l=ncZ impar n < f(x) ^ n+1 -+ yc<n,n+l ], ncZ impar
~ yRan(f) = 10,1 > (J <n,n+1 ], ncZ impar
n=l
Dando valores a n en (1) y (2) obtenemos:
2-x, xe[-2,-l> , n=-2
f(x) = i
1-x, xeí-l,0>
x , xelO,l>
x-1, xe[2 ,2>
x-2, xel2,3>
n=-l
n=0
n=l
n-2
K
tst
-2 -1
EJEMPLO 8. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función:
f(x) = 4c|-[[x]]
Solución. La función es real <-+ |x|-|£x J í- O <-+ J x J -í |x|
Si x O + |x |= x . La desigualdad J x J 4 x es v á l i d a VxeR+ (Se-
(1)
(2)
gún el T.56). Luego, Dom(f)=R +
Si x < O ■+ |x|=-x -* | x | -í -x, es válida VxeR" -* Dom(f)=R'
Por lo tanto, de (1) y (2): Dom(f)=R
Para determinar el rango consideremos también: x i- O y x < O
a) Si x ir O -+ n - í x < n+1 " J x J|=n , ntz -+ n í |x| < n+1
Restando n a cada lado: n-n 4 |x|-n < n+l-n
<-+ 0 4- jxj - | X x ]] <2 <-+0 4 . / f * | - ¡ I * U < 1 ~+ y e [ 0 , 2 >
b) Si x < O + -m-1 -S x < -m, m e Z -*• J x J=-ím+2.)
Multiplicando por -1: m < -x 4 m+1 -+ m < |x| m+1
Simando m+1: m+(m+l) < |x|+fm+j; 4 m+l+(m+l) -+ 2m+l < |x|-[[ x j í (2m+l)+l
-+ /2m+l < /|x|-][xl v< S(2m+1)+1
Haciendo 2m+l=neZ+ impar: /n < f(x) -5 Jñ+1 , ncZ* impar.
Ran(f)=[0,l>y¡<'/ñ,Sn+Í], neZ* impar
Sí x í- O + y=»íc-[[x J , y si x < O ■+ y = / - x - £ x j
f(x) =<
/x
/x=2
/x=2
/ F x
/ F x
/ F x
si O 4 x < 2
si 2 -í x < 2
si -2 4 x < -1,Sólo fines educativos LibrosVirtual

395. 382 C apitulo 5: F unciones E speciales
f(x) =
ilf
I
, *ce[-3,43
EJEMPLO 9. Construir la gráfica y hallar el rango de la función
Jx-2]] , si I * | es par
3* - J x + I ]J , si I * ] ] es impar
Solución. Sabemos que si mtZ -* [[x-en]] = £* ] ! + m
Entonces, sean: fi(x) = I * j ] - 2 , sí J * J es par
fz(x) = 3x-{[x])-I , si |*j] es impar
- Graf(f) = Graf(fi) U Graf(fz)
En f,: £* ]] = n = 2k «~ 2k ~i x < 2k+I, keZ * fJx)=2k-2
01 fe- 1* 1 ! = n - 2k+1 ■t- 2k+1 -i X < 2k*2, keZ * f 1(x)-3x-2-2k
. 2k-2 , 2k 4- x < 2k+l
f(x)
(T.61)
■C
3x-2-2k, 2k+l 4 x < 2k+2
Luego, en flf para k=-l,0,l
y en fi, para k=-2,-1,0,1; obtenemos:
-4 , xe[-2,-l>
-2 , xe[0,2> l n par
O , xe[2,3> J
3x+2 , xe[-3,-2> -
3* , *e[-2,0>
3*-2 , *e[2,2>
3x-4 , xe[3,4>
f(x) =
n impar
fionf/^C-7,-4] u [-3,0] ü [1,4] u [5,S>
FUNCIONES PARES5.7,13
Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas res­
pecto del eje Y, es decir, si en ellas se cumple:
i) Si xeDom(f) -* -xeDom(f)
ii) f(x) = f(-x) , VxcDom(f)
Ejemplos. (1) Sea la función: f(x)=3xl -x*
- f(-x) = 3(-x)l-(-x)' = 3xl-x'
-» f(x) = f(-x) f es una función par. .
(2) Sea la función: f(x)~|x*+2x¡ , xe<-5,5>
i) Si xs<-5,5> ** -S<x< 5 * * 5 > - x > . - S *■ -xe<-5,5>
ii) f(-x) = | f - * ; 3 + 2 f - * ; | = | -x3 - 2x| = |- Cx3t2x] | = |x3+ 2x|
f(~x) = f(x) f es una función par.Sólo fines educativos LibrosVirtual

396. Sección 5 .7: F unciones E speciales 383
g J J J FU N C IO N ES IM PARES
______________________________ §
Son aquellas que se caracterizan por ser simétricas respecto del
origen de coordenadas, esto es:
i) Si xeDom(f) -* -xeDom(f)
ii) f(x) = -f(-x) , YxeDan(f)
EJerrplos. fl) Sea la función /fx)=x’-x
-+ f(-x) = (-x)'-(-x) = -x3+x = -(x'-x)
-+ f(-x) = -f(x) — ► f(x) = -f(-x) f es impar
(2) Sea la función f(x) = ,/íc(l + |aj)
» f(-x) = *.¿xfi+|-x|) = - ’/ifl+lxl)
-» f(-x) = -/fx) +-*• /fx) = -f(-x) / es una función impar.
| [ FU N C IO N ES PERIO DICAS
___________________________
Una función f en R, se dice que es periódica si existe un número
740, llamado período, tal que:
í) Si (x+T)eDom(f) -»-*■ xeDom(f)
i i) /Íx+T) = /fx) , VxcDom(f)
Ejenplos. fl) Probar que la función /fx)=([ 2xJ-2[[x]| es una función pe­
riódica.
En efecto: i) Como Dom(f)=R, entonces, si xeR ■* (x+T)cR
Por lo tanto, f es una función periódica.
Otros ejemplos clásicos de funciones periódicas lo constiluyen las funcio­
nes trigonométricas.
Asi tenemos que: Sen(x+2i) = Senx , VxeR ■* T=2»
ción seno, siendo T=2* el menor periodo positivo.
Entonces se define período mínimo de f al menor de los períodos positivos.
(2) Sea la función /fx)=Cosfhx+a), donde b > 0, hallar el período de la fun
ción.
Se debe verificar que: ffx+T) = / fx)
■+ Cos¡b(x+T)+a] = Cosfbx+a) -*■ Cos[(bx+a)*bT] = Cosfhx+a)
ii) /fx+T) = l[2x+2T]]-2[[x+T| = t[2x|+2T-2fl[xl+T)
= [][2x]J + 27 - 2 | [ x j - 27 = l 2 x J - 2 f l > J = /fx)
tant>ién: Senfx+4») - Senx , YxzR -* T=4rr es un período de la fun-Sólo fines educativos LibrosVirtual

397. 384 C apitulo 5: F unciones E speciales
-► Cos(bx+a).Cos(bT)-Sen(bx+a).Sen(bT) = Cos(bx+a)
La igualdad se cumple s i : Cos(bT)=l y Sen(bT)=0
En ambos casos: bT=0 o bT=2v -» T-0 o T=2n/b
Pero como T/0 -* T = 2 n /b es el mínimo período
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
x * — Q
EJERCICIO 1. Si f(x) = x¡_2x -3 es una funci°n reaí con dominio A y ran­
go B, hallar (AhB)'.
Solución. f(x) - -g f f i g f j = f f . * « - A - R-l-1.3)
1 + 3 3
Para x=3 -*■ y = ; como x¿3 -*■ y¿3/2
- x = • y H ~ s = R- U ’3/2 »
Luego, A fl 3 = R-\-l, 1,3/2, 3} - (A fl B) ' = 1-1,1,3/2,31
EJERCICIO 2. Sean f y g dos funciones: f (x)=^ 2x-3 j] - 4 , g(x) -
y si A=)xeR|/'(x.)=0), entonces hallar ¡A ' n Dom(g) ] ’.
Solución. Si f(x)=0 -* |[2x+3j=4 * - 4 4 2x+3 < 5 — 1/2 4 X < 1
A=ll/2,1> - Ai/2> U [i ,+“>
En g: Si |2x-3|-2=0 - |2x-3|=2 •— f2x-3=2> v (2x-3=-2)
*-* (x=5/2; v (x=l/2)
Entonces: Dom(g)=R-{l/2, 5/2); luego: A' fl Dom(g) = <-■>, 1 /2> U [ J , +“>-{5/21
•\ ¡A' n Dom(g) ¡ ' = [ J/2,1> ü (5/21
EJERCICIO 3. Si f es la función de variable real definida por:
f(x) = / x + d - x j + x j x ] ] , demostrar que -VxzDom(f),
-x eDom(f) y f(-x)-f(x).
Demostración. En efecto, siendo f una función de variable real, entonces
3f •— x + d -x]| * 0 — • 1£-x ]) i--x . Vxeft (1)
Pero, por el T.56: J-xJ¡ ■$ -x , YxzR (2)
Entonces de (1) y (2), se sigue que: J-x]] = -x «— -xeZ (T. 55)
x = -(-x)cZ
Luego, si [[x]]=x -*• Dom(f)=Z. Entonces en f: f(x)=/x+(-x) + x(x) = x*
Por lo tanto, VxF.Dom(f)-Z: -xcZ y f(-x)=(-x? =x* = f(x)Sólo fines educativos LibrosVirtual

398. Sección 5.7:F unciones E speciales 385
EJERCICIO 4. Sea f una función reai definida en [~2,4> por la regla de
correspondencia f(x) = . Hallar el rango de f.
l+\x-3\
Solución. Como los puntos críticos x=-l y x-3 pertenecen al dominio de f,
entonces, para eliminar las barras de valor absoluto debemos ex­
presar el intervalo C-2,4> como una unión de subintervalos, esto es:
í-2,4> - [-2, -1> U [-J, 3> u [3,4>
y hallar el rango de f en cada subintervalo.
a) Si xe[-2, -1 > - |x+i | —-(x+1) y ¡x-3¡=-(x-3) -* f(x) =~ = 1 + ¿
xe[-2,-J> — -2 4 x < -1 — -6 4 x-4 < -5
1 < _ L _ ¿ _ J.
5 x-4 " 6
8 . 8 . 4 3 . . 8 . 1 o / c i /o
- t < — . 4 - z r **-► - — < 1 + z m 4 ' -s ~ y c < - 3 / 5 , - 1 / 3 ]
x-4 x-4
b) Si xe[-l,3> -*■ |x+i|=x+i y |x-31 =-(x-3) -* f(x) = -p-
_ (x+1)-3 _
(x-3) 4-x
xe[-l,3> -1 4
X < 3 ■— -3 < -X 4 1 i < 4-x 4 5 <- 4 < 1
5 4-x
+ 2 <i
5 4-x
ye [-3/5,1>
v+ 1-3
c) Si xe[3,4> + |x+j|=x+4 y |x-3|=x-3 -» f(x) = ¡+xlj - i - y e U )
Ran(f) = <-3/5,-J/3] u [-3/5, J> i) U 1 = [-3/5,i]
EJERCICIO 5. Determinar anal í t ¡comente el rango de la función f definida
x
en R por: f(x) - j + ^
Solución, a) Si x J, O ■» |x|=x — f(x)
Graficar la función.
l+x
Si x í- Ox+1 >'1 ~ o <-¿¿4 1 ~ -I « - < o
(1)
*- O 4 1 - — ¡. < 1 - ye[0,J>
b) Si x < O - |x|=-x - ffx/ =
Si x < O -* -x > O — 1-x > 1 — O < < 1
1 -X
— -!<-!+ < O - ye<-l,0>
.'. Ran(f) = C0.J>u<-j,0> = <-J,J>
De (i/ obtenemos: (x+I)(y-l)=-l
Entonces, la gráfica de (1) es parte de laSólo fines educativos LibrosVirtual

399. 386 C apitulo 5: F unciones E speciales
de la hipérbola H, de centro Ci(-l,I), para x ^ O.
De (2), se tiene: (l-x)(y+l)=l *-*■ (x-l)(y+l)--l
Luego, la gráfica de (2) es parte de ia hipérbola H z , de centro C z(l,-1),
para x < 0.
f-i, si x < O
EJER CICIO 6. Se define la función g en R por g(x) = -í O, si x-0
(_ 1, si X > O
hallar el dominio, rango y graficar la función f(x)=g(-g^)
Solución. Por definición, g es la función signo, entonces:
EJERCICIO 7. Sea f una función con dominio [-a,a],donde a > 0. Demostrar
que f se puede expresar como f(x)=f,(x)+fz(x), donde f¡ es
una función par y f, es una función impar.
Luego, f x(x) es una función par.
Si fi(x) es una función impar, se debe cumplir que: fz(-x) = -ft(x)
Luego, f es una función inpar. Por lo tanto, en (1): f(x)=fi(x)+fz(x)
'-1, si < 0 — -2 < x < 3
x+2
f(x) = Sgn(~^) = ■ 0, si = 0 - x-3
1, si ^ > 0 x < -2 o x > 2
► X+2
? - 1 -?
Ran(f J H - i , 0,1)
’x
-1
Danostración. En efecto, haciendo: f(x) = ^f(x) + (x) + -f(-x) - j¡f(-x)
- f(x) = j[f(x) + f(-x)] +jlf(x) - f(-X)l
(1)
Sean f X(x) = ~2[f(x) + f(-x)] y fz(x) = ^lf(x) - f(-x)]
Si fi(x) es una función par, se debe cumplir que: f l(~x)=fX(x)
Entonces: fi<-x) = j[f(-x) + f(-(-x))¡ =~ff(-x) + f(x)) = f X(x)
Entonces: fx(-x) = í[f(-x) - f(-(-x))] = j-lf(-x) - f(x)¡ = - fi(x)Sólo fines educativos LibrosVirtual

400. Sección 5 .7: F unciones E speciales 387
EJERCIC IO 8. En w triángulo ABC cuya base AB=10 y cuya altura H=6, está
inscrito un rectángulo PQRS tal que el lado SR ez lado AB.
Si "y” es el área de dicho rectángulo, expresar "y" como una función de su
base x. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima.
Solución. Sea h la altura del rectángulo
Area del rectángulo: S = xh (1)
10 6
6-h
t A B C - L P Q C * $ = §
de donde: h - | f 10-x) (2)
Sustituyendo (2) en (1), se tiene:
S(x) = ^c(lO-x) ++ y = - ^(x*-10x)
£
Completando el cuadrado: y = - -gfx-53*+I5
Parábola de la forma: y=a(x-h)z+k
Como a=-3/S < 0, la parábola tiene su punto
más alto en el vértice V(S,15). Esto es,
ymax=1S Para x=5- En (2), se tiene: h=3
Luego, x=5 y h=3 son las dimensiones del rec
tángulo de área óptima.
EJER CICIO S. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función
f(x)=2+(-l)n , donde n = j x j .
Solución. Si ( [ x j = nn 4 x < n+1 . Consideremos dos casos:
2k
a) Para n=número par + n=2k, k eZ + (-1) - 1
.'. f(x) = 2+1=3, Vx£Í2k,2k+l>
2k+1
b) Para n=número impar » n=2k+l •* (-1) = -1
.'. f(x) =2-1 = 1 , Vxc[2k+1,2k+2>
Luego, Dom(f)=R y Ran(f)=ll,3 }
f 3 , si xc[2k,2k+l>
y f(x) = < o
-----Sólo fines educativos LibrosVirtual

401. 388 Capítulo 5: F unciones E speciales
EJERCICIO 10. Sea f una función real definida por f(x)=x ]| -4x[[ y
cuyo dominio es <0,6], hallar el rango de la función.
Solución. Si [[■jjj’Ij = n «-* n S jjj < n+1 , m •> 0 m.n*$ x < m(n+l)
xc [mn,m(n+l)>
Obsérvese que los subintervalos en que se divide el dominio <0,6] para
m i l y m u son de longitud doble y triple respectivamente, es decir:
a) Si m=2 ■* xc[2n,2(n+l)>, n=0,1,2,3; ya que 0 < ^ 4 3
Entonces para cada valor de n tendremos:
xc<0,2> U (2,4> UÍ4,6> U (61
b) Si m=3 * xc[3n, 3(n+l )>, n=0,l,2; ya que 0 < j -í 2 (1)
Entonces para cada valor de n se tiene: xc<0,3> u [3, 6> u (6) (2)
Interceptando (1) y (2) resulta: xc<2, 3> U [ 3, 4> U [ 4, 6> U Í6¡
Luego, si f(x) = x 2 ^ J¡ — ix J ^ J| , hallaremos los valores de üyl] y II
en cada uno de estos intervalos.
(1) Para xc<2,3> ■* (x/2)c<l,3/2> y (x/3)c<2/3,1>
f(x) - x1 (l)-4x(0) = x1 ■* f(x)c<4,9>
(2) Para xc[3,4> -» (x/2)c[3/2,2> y (x/3)c[l,4/3>
f(x) =x*(l)-4x(l) - x z-4x ■* f(x)c[ -3,0>
(3) Para xc[4,6> - (x/2)e(2,3> y (x/3)c(4/3.2>
f(x) = x l(2)-4x(l) = 2xz-4x - f(x)c[16,48>
(4) Para x=6 - f(x) = f(5) = 36(3)-24(2) = 60
.'. Ran(f) = 1-3, 0> u<4,9> u (16,48> U (60}
EJERCICIO 11. Si 4f(x-3)=xz+4, hallar los valores de a tales que el ran­
go de g sea <-3,3>, donde: g(x) =
Solución. 4f( x-3)=xz+4 -► 4f(2x-3) = (2x)z+4 = 4xz+4 •* f(2x-3)=xz+l
- V (x) - • Si X™<9>=<-3.3> - -3 < f ^ S ± - J < 3 (¡)
Dado que x z+x+l > 0, -VxeR (Verificar), entonces en (1) se tiene:
-3(xz+x+l) < x z-ax+l < 3(xz+x+l)
de donde: [4xz-(a-3)x+4 > 0] ~ [2xz+(a+3)x+2 > 0] (2)
Para que se cumpla ambas desigualdades de (2), el discriminante de los pri­
meros miembros debe ser negativo, esto es:
f(a-3)2-4(4)(4) < 0) a l (a+3)2-4(2)(2) < 0) «-*• a e <-5 ,i> (Verificar)Sólo fines educativos LibrosVirtual

402. S e c c ió n 5 .7: F u n c io n e s E s p e c ia le s 38 9
EJERCICIO 12. Hallar el rango y construir la gráfica de la función:
, si -7 4 x < -2
f (x) =
r/\x\+2
m
l-\x+l\
2x-l
+ x1 , si |jc| .$ 2
, si 2 < 5
Solución. (1) Sea f1(x) = /\x\+2 , si -7 4 x < -2
Dado que x < O -+ |x|=-x -*■ f,(x) = J'2-x
Si -7 4 x < -2 — 2< - x4 7+-*4< 2-x v< 9 « 2 < / ^ x < 3 -> y c<2,3)
(2) Sea f¡(x) = lyjl+x* , si -2 4 x i 2
Sl IT]f 11 = n ** n 4 j < n+1 +-+ 2n 4 x < 2(n+l)
Luego, si f¡(x)=n+x2, damos valores a n hasta cubrir el intervalo [-2,2]
Í
-l+xx, si -2 4 x < O , n=-l + yc<-l,3]
O+x2, si O 4 x < 2 , n=0 + ye[0,4>
l+x1, si x=2 , n=l + yt {5}
(3) Sea f¡(x) = i Lfíii, si 2 < x s 5 . Como x > O + |x+l| = x+1
2x-l -f i ( x ) = - si 2 < x 4 5 yc<-2/3,-5/9] (Verificar)
2x-l ’
:. Ran(f) = <2,3] u <-J,3] u 10, 4> u 15 > U <-2/3, -5/9] = <-l,4>U{ 5}
r/2-x , si -7 4 x < -2
x l-l , si -2 4 x < O
f(x) = • x 2 , si O 4 x < 2
x x+l , si x = 2
- si 2 < x 4 5
EJERCICIO 13. Sea f una función definida en R por f(x) = .
llar el dominio, rango y graficar i a función.
Solución. La función es real ** |x|-|£xll f O
Consideremos los siguientes casos:
Caso 1. Si x < O -+ [[xj] -i y |x| > O -»
Pero si x < O -* |x|=-x -► Ixl+x = O
Luego, si f(x)=0, toe<-=,0>
Caso 2. Si x > O -+ |x|=x
Si |x| - (f x I =0 - ([ xJj =x +
+ xeR - Ran(f) = {01
(xzZ) ~ (i>,0 J <-► xcZi
(1)
(2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

403. 390 C apitulo 5: F unciones E speciales
Entonces de (1) y (2) se tiene que: Dom(f) = R-Z+
Para determinar el rango en el Caso 2, consideremos: a) O < x < 1 y
b) x > l¡xéZ+
a) o < x < i - { [ * H = o y W = * - f w = f r f = 2
- Ran(f) = {21, 3ác<0,J> (3)
b) x > i|xtZ*. |[ x ]] =n n 4 x < n+1, n 0
* ~ x - n = 2 * 3¡^j xe[n,n+I> , n >y O
Si n -4 x < n+1 - + 0 4 x-n < 1 -+ > 1 (4)
Pero como i > i y [ i j = n -* 2n i, 2 > O , luego, en (4)
x = n > J ~ x=n * 2n ~ 2 + 3 ^ * 2n+2 f<x) > 2n+2 (per0 n * X)
-+ f(x) > 4 -+ ye<4, <••»>, sí x > 1, x¿Z* (5)
Por lo tanto, de (1), (3) y (5): Ran(f) = <4,+»> lt{0,2)
|x - ffx]]| , si U x J es par
|x - J x + 1 1 1 , sí I x l es impar
Solución. (1) Sea f l(x) = \x - H x J | , sí Jx]] es par.
Por el T. 56: ([ x ]] 4 x < ¡J x J +1, Vx eR -+ 0 -í x~ [fxj| < J
Entonces: I x - ü x J l =x-[[xIJ -* f,fx) =x-[[xj], sí J x J es par.
[[xj] = n = 21c — ► 2k 4 x < 2k+l, keZ + f^íxl^x-Zk, si 2k 4 x < 2k+l
(2) Sea ft(x) = |x-Jx+.l]]| = |x-[[x]]-l|
Pero de (1): x-[[x]] < 1 -* x-[|xIj-2 < 0
Luego, f2(x) = - í x - J x J - j ; = j t - x + j x j , sí |J x ]] es impar.
H x J| = r» = 2k+l +-+ 2k+l ^ x < 2k+2 * f2 (x)-2k+2-x
De (1) y (2), la regla de correspondencia de f es:Sólo fines educativos LibrosVirtual

404. Sección 5.7:F unciones E speciales 391
_ í x-2k , si 2k-í x < 2k+l
\2k+.2-x , si 2k+l í i < 2k+2
Entonces, para algunos valores de k obtenemos:
fi (x)
x+4 si-4 ¿X<-3, k=~2 -2-x, si-3 X<-2
x+2 si-2 <X<-1, k=-l -x,s i- iX<0
X s i 0 .<X<1 k=0 fz M = ‘ 2-x, si i X <2
x-2 s i 2 .<X<3 ,k=l 4-x, s i 3 SX<4
x -4s i4 .<X<5 ,k=2 6-x,
\
si5 <X<6
Obsérvese que la función f tiene un período mínimo T=2.
EJERCICIO 15. Hallar el rango y construir la gráfica de la función:
2-x
f(x)
Solución, a) Si x > O
(1*3
, si xe[ -4,4]
f i (x) --
2-x
X-ff* íI
Vemos que ef x - f i j ] JO*-* j£ Je D i x
Es decir, Domf/',,) = [ O, 4]-{0,1,2, 3, 4]
Si ([ac {] = n
, si xe[0,4]
' x 1 Z*
n4x<n+l * fx(x) = j ^ . n=0,l,2,3
fx<x) =
2-x
, O < x < 1 , n-0
J fi(O) = +•» (Asíntota x=0)
•I fx(l) = i
b) Si x < O
2-x j < x < 2 n=1 _ j f,(l) = +*» (Asíntota x=l)
X ~1 ' ’ 1 fx(2) = O
- -1, 2 < x < 3, n-2 ■» f x (x)--l (Constante)
„ f fi(3) = -«■ (Asíntota x=3)
\fi(4) = -2
2-x x-2
. 3 < x < 4 , n=3
x-j
fz(X) =
-x- H X j] x+ li X j
3fz *-* x + J x j] * O *-* IJ x ¡] ^ -x x g Z~
xd-4,0>Sólo fines educativos LibrosVirtual

405. 392 C a p ítu lo 5 : F u n c io n e s E s p e c ia le s
Es decir, Dom(f) = 1-4,0> - 1-4,-3,-2,-li
Si [[xj = n
x-2
h M =
n 4 x < n+1 * filx) = ^ , n = -1,-2,-3,-4
, -1 4 x < O , n=-l - ft(-l)=3/2 ; M 0 > = 2
, -2 4 x < -1 , n=-2 -* fi(x)=l (constante)
x-2
x-3
x-2
x-4
, -3 4 x < -2 , n=-3
- 4 4 x < -3 , n=-4
fl(-3)=5/6 ; fz(-2)=4/5
fi (~4)=3/4 ; f*(-3)=5/7
EJERCICIOS: Grupo 36
J. Sean las funciones f y g de variable real definidas por f(x)=3xl+6x+8 y
g(x) = -¿L¿'■ Hallar [Dom(f) U Ran(f)]’.
/ I?f r - r*
2. Hallar el dominio de la función f(x) = J
------
y |2x-5|
3. Sean f y g dos funciones definidas por f(x)=-/2-x+3 y g(x)=x2+14x+50. Ha
llar Ran(f) n Ran(g)
4. Sean fíx)=Hx+2]] + [[ J-xj], g'fx> = jx+2|-| J-x|, hallar Ran(f) nRan(g).
2x*
5. Si f(x) = ■ x i+2X+2 ’ Hallar todos los valores de a para los cualesSólo fines educativos LibrosVirtual

406. Ejercicios: G rupo 36 393
-1 < f(x) < 3, VxcR
6. Sea f una función definida en R por la igualdad f(x) =
--------- , ha-
|5x2-3x+I |
(lar todos los valores reales de m para los cuales f(x) > 1.
7. Si A es el dominio de la función f(x) =
---- y B es el rango de
„ - [[i-xj+l
Í7to>-| H*]] I' h a l í a r A O B .
8. Si f es una función cuadrática, tal que f(j -l)-f(j +l)=-8(x+l), Vx eR;
hallar el valor mínimo de f, si f(0)=l.
9. Hallar el mínimo valor de la función f definida en R por:
f(x)=2xí+(2/5-l)x-/5.
10. Una ventana rectangular está rematada en la parte superior por un semi­
círculo. El parímetro (total) de dicha ventana es 2 m. Hallar cual debe
ser la longitud de la base de dicho rectángulo para que la superficie
de la ventana sea mayor posible.
11. Sea BCD un triángulo como se muestra en
la figura adjunta.
Eligiendo cuatro puntos de este triángulo
se construye un rectángulo como PQRS.
a) Expresar el área del rectángulo como fun
ción de la longitud x del lado indicado.
b) Determinar las dimensiones del rectángu­
lo como PQRS, que tenga área máxima.
12. Un fabricante puede producir calzados a un costo de Í20 cada par. Calcu
la que si fija un precio de x dólares por par, podrá vender 120-x pares
de calzado al mes.
a) Expresar la utilidad mensual del fabricante como una función del precio
al cual vende cada par de calzados.
b) Si se conoce la cantidad de dólares obtenidos como utilidad de un mes,
por la venta de calzados, ¿es posible determinar el precio de venta de e
se mes?. Justificar demostrando una propiedad de la función hallada en a).
c) Cuál es la utilidad mensual máxima que puede obetner el fabricante por
la venta de los calzados?
13. Un fabricante de automóviles encuetra que el costo diario total para x
automóviles es (80+63x) dólares. Sabiendo que la función demanda en el
mercado local viene dada por $(105-x)=p, hallar la función de utilidadSólo fines educativos LibrosVirtual

407. 394 C a p itu lo 5 : F u n c io n e s E s p e c ia le s
y la máxima utilidad, sabiendo que como incentivo por ventas se le dá
$80 adicionales.
14. Un pedazo de alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Una de
las partes es doblada en forma de cuadrado y la otra en forma de circun
ferencia.
a) Determinar las longitudes de la circunferencia y del perímetro del cua­
drado, de modo que sea mínima la suma de las áreas de las figuras forma­
das.
b) Qué porción del área mínima total es el área del cuadrado correspondiente
15. Hallar el dominio y rango de la función f= {(x,£^)\Sx(xl-4) 5-0).
16. Dadas las funciones f(x) = y ff(*J=|x|+|3-x| , hallar:
Dom(f) A Ran(g).
17. Determinar analíticamente el rango de las funciones:
f(x)=4-/xl+12x+27 , xe<-~,-lll y g(x)=x*+6x+6, xe<0,+“>.
18. Hallar todos los valores reales de x, si es que existen, tales que:
S3nf] f R ; + Sgn(£ri) = 0
-1/T4 J
19. Si f(x) = x i+2x+2 ’ h a , *ar £o<íos l°s valores reales de k para los cua­
les -1 < f(x) < 3, VxeR.
20. Determinar el rango y trazar la gráfica de cada una de las siguientes
funciones:
a> f(x) = |x-l| + |x+J| c) f(x) = |2x-l |+|x-2|
b) f(x) =' |x+2|-2|3-x|, xe[-I0,10] d) f(x) = |x+2|+|x-2|-|x|-l
21. Graficar y hallar el dominio de la función definida en R por:
f(x) = (x*+4) i 2x+3 fl .
22. Determinar el rango y la gráfica de la función definida en R por:
f(x) = xe<l,3].
23. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función dada:
a) f(x) = 2u(x)+x2u(x-l)-u(x~2)
b) f(x) = xu([[x+3 J)-xSgn('|x|-.l.)
, x * H ^ £ - f l +3*-J
24. Hallar el rango de la función: f(x) -
------Jsi xe<-2,l/5>
\5x-l\-15+6\x+2\Sólo fines educativos LibrosVirtual

408. Ejercicios: Grupo 36 395
Para cada una de las siguientes funciones, hallar el dominio, el rango y es
bozar su gráfica.
25. f(x) = /x*-3x-4
„ (x+l)(x*+3x-10)
27■ f(x) - ' x>+6¿ + 5
----
29. f(x)
x * - 3 x , - l l x * + 2 3 x + 6
x 2-x-6
31. f(x) - |x | + |x-J |
33. f(x) = x - H x T)
3 5 . f(x) = - l í L
II ^ D
37. f(x) = | x-21 + 1 or+i |
39. f(x) = /[[ x ]¡ -x
2-x
41. f(x)
43. f(x)
|x|-(12x 2
J t t x D . si Hxj
~ ]2x- [Tx+l í], si
j] es par
ITx B es
impar
45. f(x) =
47. f(x) =
49. f(x) =
2x+l , si xe[-2,J]
x 2-3x, si xz<l,4]
|x+3| , si -5 < x í -1
2x2 , si -1 < x ¿ 2
12-2x, si x > 2
x*-2 , si -3 S x < O
x -|x -2 |. si O 4 x < 4
2+¿x-4 , si 4 (■ x < 8
26. f(x) =
28. f(x) =
x ’-x2-13x-3
x+3
x 2+9x2+27x+35
x+5
(x2+5x+6)(x2+2x-24)
30. f(x) - x iz2x-8 - -
32. f(x) = | x | . |x"Ij
34. f(x) = (x - H x J l;2
36- f M =
38. f(x) = */|í x J] -3x
40. f(x) = [JxT| + /i-|T x[j
42. f(x) = |x - ||x j ] |, si |TxJ] es par
44. f(x)
46. f(x)
48. f(x) =
50. f(x) =
-2x-2
x+l
, si x d - 3 , 2 >
, si x e [ 2 , 4 >
í1 - 2 x , si - 4 S x < - 1
| x - J | + x . si - 1 ¿ x < 2
( x 2- 4 x + 4 , si 2 S x < 5
y , x 2 - 9 , s i - 5 < x $ - 3
|x+3|-2, si - 3 < x i 5
x 2 - 1 0 x + 2 6, si 5 < x -í 7
5 - x , si - 2 < x < 3
* + Í Á B ' sí 3'"** 5
5 1 . Determinar analíticamente el rango de la función g definida por:
g(x) J x ] ^ ° x + 2 1 . si xcl-7,-5>ol-2,-l> Graficar ¡a funci6n,
(yx+1 + 1 . si xe<-l,3]
52. Sea la función: f(x) =
_ í / x 2-
( x 2-4
-2x , si xe( |x-l | >1)0) |x-l | < 3)
4x-4Sgn( |x |-3 ), si x e )|x -3 |il) n)|jc-j| -S 1)
Hallar su dominio, rango y construir su gráfica.Sólo fines educativos LibrosVirtual

409. 396 Capitulo 5: F unciones E speciales
53. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de la función:
-2f \x\ + 2 , si -7 4 x <
f(x > = '• II f D + * • Sl 1*1 < 2
i - Ij+íI
, sí 2 í. x 4. 5
V 2x-l
54. Determinar analíticamente el rango de las funciones dadas. Trazar sus
gráfi cas.
x+5
x-2
si x-2 > 3
f ~ 4 , si /x(xz-36) ty O
a) f(x) /x1+4x-l , si O < x < l b) f(x)
y2+12x-5 I , si 2 x s 3
. 1
/3x-l/2, si -x -S x s t
O 4
x + /x, si 9/4 < x 4
4
\ II x+2 ]]
, si 4 < x < 6
55. Sí el gráfico de la función f está y
representado por la figura adjunta,
hallar la regla de correspondencia
OÁ\ |BC y QX| |AB. ct=45°
2.5 ti.5
56. Si el gráfico de la función f(x) está dado por:
S X
b) Resolver la inecuación: > ®
57. Para cada una de las siguients funciones, determinar si es par, impar o
ninguna de las dos.
a) f(x) = 2xl-3x',+ 5 b) f(x) = 5x*-3x+l c) h(x) = 3-2x1+Cos*x
d) f(x) = (x|x| + ijSenx1 e) g(x) = (x+3)*(xs¡j f) f(x) = ** * 1
e - 1
9) f(x) = /a'+ax+x2 - /a 2-ax+x2 h) g(x) = /x+|j -xj] + x[f x f|Sólo fines educativos LibrosVirtual

410. S e c c ió n 5 .8 : A lg e b r a d e la s F u n c io n e s 39 7
58. Comprobar si la siguiente función es par o impar. Bosquejar su gráfica.
-xz+8x-10 , si 2 4 x ^ 6
-xl-8x-10 , si -6 4 x < -2
59. Sea f(x)=xz+3x+2. Si h(x)=f(x)+f(-x) y g(x)=f(x)-f(-x), determinar cuál
de las funciones, h o g, es par y cuál es impar.
60. Demostrar que la función definida en R por /'fxj = [[ m r l]~ m [[x ]] es una
función periódica.
61. Demostrar que las siguientes funciones son periódicas y hallar el perio
do mínimo para cada función.
a) f(x)=Sen(ax+b) b) f(x) = - Senlx c) f (sc} = |senx|
d) f(x)=2Cos(-y-) e) f (x)-Sen(^x)
*
A L G E B R A DE LAS FU N C IO N ES £ i
Sean f y g dos funciones reales cuyas reglas de correspondencia son
f(x) y g(x). Se define entonces las cuatro operaciones: suma, diferencia,
producto y cociente de f y g del modo siguiente:
(1) La función suma, denotada por "f+g":
f+g = {(x,y)\y=f(x)+g(x), xeDom(f)nDom(g)}
(2) La función diferencia, denotada por "f-g":
f-g - l(x,y)\y=f(x)-g(x), xcDom(f) n Dom(g)}
(3) La función producto, denotada por "f.g":
f.g = {(x,y)\y=f(x).g(x), xcDom(f) n Dom(g) }
(4) La función cociente, denotada por " £ ":
-£ ■- = - g ^ y . xeDom(f) O Dom(g) , g(x)fO}
EJEMPLO 1. Si f={(-3,2),(0,0),(2,4),(3,-l),(4,3)} y g={ (2,0), (3,4), (4,7),
(6,2)}. Hallar: a) f+g b) f.g c) f/g d) fl+3g
Solución. Dcm(f)={-3,0,2,3,4) y Dom(g)={2,3,4,6) - Dom(f)nDom(g)={2,3,4 }
Aplicando la definición correspondiente se tiene:
a) f+g = í(x,f(x)+g(x))|x e{2,3,4}} = {(2,4+0),(3,-1+4),(4,3+7)}
= {(2,4),(3,3),(4,10)}
5.8Sólo fines educativos LibrosVirtual

411. 398 C apitulo 5: A lgebra d e las F unciones
b) f.g = {(x,f(x).g(x)\xs{2,3,4}} = {(2,4*0),(3,-1x4),(4,3*7)}
= 1(2,0),(3,-4),(4,21)}
c) - £ = { (x , y ^ x t . { 2 , 3 , 4 } } = {(2,4/0), (3,-1/4), (4,3/7)} = { ( 3 , - ±), (4,j)}
Obviamente, 2iDom(f/g) porque g(2)=0
d) fl+3g = {(x,fí(x)+3g(x))\xei2,3,4}} = i(2,41+0),(3,(-1)*+12),(4,31+21)}
= 1(2,16),(3,13),(4,30)}
EJEMPLO 2. Si f(x)=2x*+3x-l y g(x)={ (-1./2), (O, -1), (/1,9), (3,12)}. Deter­
minar; a) (f'-3g)(/2) b) (3f+Sgx)(-!)
Solución, a) f(/2)=2(/2)l+3(/2)-l=3(l+/2) y g(/2)=9
Entonces: (fl-3g)(/2) = 9(l+/2)l-3(9) = 18/2
b) (3f+5g*)(-l) = 3f(-l)+Sgx(-l) = 3(2-3-l)+S(/2)1 = 4
EJEMPLO 3. Hallar el dominio de la función f(x) = /4x-xl + -íí? — F = = =
x-3 oe*-4
Solución. Si f = fi + fi + fi * Dorn(f) ■= Dom(fi) ODom(fi) n Dom(fi)
fi(x) = Á x - x l * ef ■>-* 4x-x5 í 0 " x(x-4) 4 O
*-*04x44 — Dom(f i)~ÍO,4)
f z ( x ) = ~| - ef* ~ x/3 - Dcm(fi) = R-13}
fi(x) = * 3f i ** x*-4 > 0 —►xl >4-*-*x<-2 o x > 2
xt~4 Dom(fi) = <-»,-2>u <2,+~>
Ilu stra c ió n gráfica de la intersección de los dominios;
* Dom(f3)
• V
Dom(fz) i | Dcm(fi) Í-Vv; Cuifii. Dom(fz) ■ |
-2 O 2 3
Dam(f) =■ <2,3>U <3,4]
EJEMPLO 4. Determinar el dominio de {a función;
f(X ) = Sl:te:.2\ + /lsgn(xl) + x 1 U-2
Solución. Sea fi (x) = ^ 4 ~ \* ~ 2 \ 3 f -*-*• 4 - |x -2 | 0 * xfO
«-*• Jx-2¡ 4 4 * x/O -4 4 x-2 4 4 a x/O + Dcm(f i)=[^2,6\-l0}
Si fi(x) = / i s & n f x ^ + x 2 ] ] ^ - 3 f +-*■ Ü S s m f x ^ + x 2 ! v 2 (1)Sólo fines educativos LibrosVirtual

412. Sección 5.8: A lgebra de las F unciones 399
-1 , si x 2 < O No puede ser (xl es + VxzR)
Por definición: Sgn(x2) = O , si x 2=0 No puede ser (En fl
I[_ J , sí x 1 > O Si puede ser
Luego, si Sgn(x2)-1, en (1): |ÍJ+x 2 j] 2 + J + |íxI ¡] 2 ■»
«->■ x 2 >, 1 *-> x >, 1 o x $ -1 — Dom(f1) = U [J,+->
Intersección de los dominios:
Dom( f2 ) Dom(f 2)
x fO )
fi ** II >,l
v ^ V . : 4 .
i 6
Entonces: (f+g)(x) =
-1 0
Dom(f) = Domífjfl Dom(f1) = (-2, -1 ] u [ J , 6]
EJEMPLO 5. Sean, f(x)=4x-x*-2, xe(0,4) y g(x)= ^ ^•e'V'-c'V '
Hallar (f+g)(x) y graficar en un mismo plano f, g y f+g.
Solución. Vemos que g es una función seccionada cuyas subfunciones son fun
dones constantes, entonces si g ¡(x)=l y g 1(x)=3, se tiene:
Dom(f) fl Dom(gl) = (0,4) 0 [-1,2> = [0,2>
Dom(f) n Dom(gl) = (0,4)0 (2,6> = (2,4)
f4x-x2-2+l = 4x-x2-1
[4x-x2-2+3 = 4x-xz+l
Sea y=4x~x2-2--(x-2)1+2
Construimos las gráficas de la parábola con
vértice en V(2,2) y las rectas y=l, y =3.
Obsérvese que la gráfica de f+g en Í0,2> tie
ne la misma forma que la gráfica de f, sien­
do paralela a ésta, obteniéndose por un des­
plazamiento vertical de f. Lo mismo se pue­
de notar en la gráfica de f+g en (2,4).
En general, si g(x)=c - f+g={(x,f(x)+c)\
xcDom(f)n Oom(g) }. Es decir, a cada valor de
la ordenada de f se le debe sumar la constante c.
f(x) =
EJEMPLO 6. Sean las funciones f y g, cuyas reglas de correspondencia son
3x-2, si xc(0.2) fot2, sí xe[0,3>
. g(x) ' ’
J-x , si x e<2, 5] ^4 , sí x e [ 3 , 6 ]
Hallar f+g, su rango y construir su gráfica.
Solución. En este caso vemos que tanto f como g son funciones seccionadas,Sólo fines educativos LibrosVirtual

413. 400 C a p itu lo 5 : A lg e b r a d e la s F u n c io n e s
entonces los pasos para determinar f+g son los siguientes:
(1) Considerar a f y g como la suma de dos funciones, esto es:
f¡(x)=3x-2 , si xe[0,2] ; g í(x)=x* , si xe[0,3>
fi(x)=l-x , si xe<2,5] ; g z(x)=4 , si xe[3,6]
Entonces: f+g - (fx + fz) + (gx + g j
= Cfi+gJ + (ft+ax) * (fz+9 1> + (fz+9z)
(2) Hallar los dominios de cada una de las simas parciales
Dom(fi+gi) = Dom(fl)nDom(g1) = [0,2] n[0,3> = [0,2]
D°m(fi+<fi) = Dam(fl) n Dom(gt) = [0,2] n [3,6] = * -* i(f ,+g2>
Oom(fz+gx) = Dom(ft) n Dom(g,> = <2,5] n[0,3> = <2,3>
Domlft+gx) = Dom(fi) n Dom(gx) = <2,5] n[3,6] = [3,5]
(3) Sumar las imágenes correspondientes
para obtener la regla de corresponden
cía de f+g.
x z+3x-2 , xt[0,2]
(f+g)(x) =x z-x+l
5-x
Ran(f+g) = [-2,8]
xe<2,3>
x e [ 3 , 5 ]
EJEMPLO 7. Dadas las funciones f:[-3,3] -* [-2,2] \ f(x)=xt-4, g:R + R|
g(x)=/lhP, y h={(-3,2),(-2,3),(0,1),(1,-1),(2,4),(6,5)].
a) Construir la gráfica de f y hallar su dominio, b) Hallar f+g y g-h.
Solución, a) Construyamos el rectángulo [-3, 3]x[-2,2]. Luego, tracemos la
gráfica de la parábola: y=xz-4 con vértice en V(0,-4).
Interceptando las rectas y=-2, y =2 con la pg y
rabola obtenemos:
Para y=-2 - -2=xl-4 + x 2=2 ~ x=+fi
y=2 -* 2=xz-4 + x* =6 +-+ x-±/6
Dom(f) = [-/6,-S2]U[/2,/6]
b) Si g(x)=/9-xz -+ 3g 9-x2 >s 0
++ x z¿ 9 ++ -3 4 x 3 -» Dom(g)=[-3,3]
■+ Dom(f) 0 Dom(g) = Dom(f)
.'. (f+g)(x) = x t-4+/9=x i, xe[-/6, ~/2] U [/2,/6] _tf
Dom(h)={-3,-2,0,l,2,6] y Dom(g)=[-3,3] * Dom(g) n Dom(h) = {-3,-2,0,1,2}
Calculamos las ordenadas de g para cada uno de estos valores de x, esto es.Sólo fines educativos LibrosVirtual

414. Sección 5.8: A lgebra d e las F unciones 401
si g(x)='9-xl - g={(-3,0), (-2,^5), (0,3), (1,2^2), (2,^5))
/. g-h = i(-3,-2), (-2^5-3), (0,2), (1,2/2+1), (2,■'5-4))
EJEMPLO 8. Se definen las funciones f y g de la siguiente manera:
f(x)=<'xz-16 y g(x)=2-\x-4\, xe<-6,8]. Hallar: f+g y f/g
Solución. Determínanos los dominios de cada función:
Si f (x)=/xl-16 -*■ sf *->■ x 2 - 1 6 O <-» x l 5- 16 <-* x -S -4 ó x í- 4
Dado que en Ja función g, el punto x=4c<-6,8], debemos desdoblar su dominio
en: <-6,4> u [ 4 , 8 ] y volver a definir esta función del modo siguiente:
jjc— i | =-(x-4) si x < 4, y | x - 4 | =(x-4) si x z. 4
, , (2+(x-4) = x-2 , si xe<-6,4>
- g (x ) = i
= 6-x , si x e [ 4 , 8 ]
Intersección de los dominios: (x -í -4 ó x >, 4) n (-6 < x < 4) = -6 < x ¿ -4
(x $ -4 ó x >. 4) fl (4 S x £ 8) = 4 ¿ x „< 8
'¿x1-16
(f+g)(x) =
I /x*-16+x-2, si xe<-6,-4]
s'xz-16+6-x, si xe[4,8]
<g> M =|/x—
x-2 ’
16I ^ - h
6-x
si xz<-6,-4]
Si xe [ 4, 8 ] -161
EJEMP LO 9. Sean las funciones reales definidas por:
f(x) = \x-3\ + \x+l\ y g(x) = { ' s •' x V j 7
Si definimos una función h:<-l,3> ■* R\h(x)=f (x)+g(x); hallar el rango de h
y esbozar su gráfica.
Solución. Siguiendo el método de los puntos críticos para f se tiene:
x < -1 -1 -1 < x < 3 3 x > 3
-O-
|x+i j =—(x+l)
|x-3|=-fx-3>
-I
I
I
I
|x+l |=+fx+U
|x-3|=-fx-3;
I
|x+l|-+(x+l)
|x-3|=+(x-3)
Como el Dom(h)=<-l, 3>, nos interesa el segundo intervalo, en donde:
. f4+(3x-l)=3x+3 , si -1 < x < 1
-» h(x) = >
l<4+(2-x)=6-x , si 1 4 x < 3
Geométricamente: Ran(h)=<0,6>
Verificar analít¡comente el Ran(h).
) y
» 6
-- - p
s
/ * \
3.
1
1
• 1
1 1
1 >
. 1 1 J
-1 0 1 ? 3Sólo fines educativos LibrosVirtual

415. 402 Capitulo 5: A lgebra d e las F unciones
EJEMPLO 10. Sea g(x)=Senx, h(x)=u(x+-n)-u(x-v), donde u es la función es­
calón unitario. Verificar si la función: f(x)=g(x).h(x) es
par o impar y graficar f(x).
Solución. Según el método de los puntos críticos, en la función u se tiene
X < - w - * - * . $ x < » » X > *
-r
u (x+v)=l
u(x-t)=l
h(x)
f(x) = g(x).h(x) =í ° 's Senx,
10 .
u(x+»)=0 ¡ u(x+n)=l
u(x-ir)=0 J u(x-ir)=0
(
O , si X < -«
I , si -* -í x < *
O , sí x i- *
Como g(x)=Senx y Dom(g)=R -* Dom(g.h)=Dom(h)
si x < -»
ii -u <: x < n
si x >, *
Comprobaremos si f es una función par o impar arreglando convenientemente
su regla de correspondencia, esto es:
O , s i x 4 ->
f(x) =- Senx, si -» < x < * -
O , si x í- »
Í
O , si x i *
Senx, si -» < x < »
O , si x<:-»
— f(-x) = -f(x) «
Luego, Vx^Dom(f), -x^Dom(f) y
f(-x)=-f(x), por lo tanto, f es
una función impar.
EJEMPLO 11. Dadas las siguientes funciones:
'[[x-l]], xe<-4,-U
f(x) = <
5 , si xe<-3,-l>
-2, xs[0,2>
-3, xeí~l,0> ti [2,3>
[[x]]+í, xel0,23 g(x)
|x-21+3, xe<-l,0>U<2,3]
Hallar f-tg y construir su gráfica.
Solución. Simplificaremos la función f eliminando las barras de valor abso
y los corchetes para intervalos de longitud unitaria.
- 4 < K - 3 + -5<x-l<-4 ++ [ ¡ V i ] ] =-5
-3(x<-2 + -4$c-2<-3 ++ J x - i ]]=-4
0(x<l ♦ [[x J] =0 - [ [ x j + l = 1
líx < 2 + Q >]]=1 - [[ x U + l = 2Sólo fines educativos LibrosVirtual

416. Sección 5.8: Algebra de las Funciones 403
-2(-x<-l * -3ix-l<-2 *-* |[x-l J=-3
x=-J -+ x-1=-2 ■*-*• Jx-l]]=-2
Si xe<-l,0> -+ |x-2|=-(x-2) -
xc<2,3] -*■ |x-2|=+(x-2) -
x=2 * [£a:* J x J + i = 3
|x-2|+3 = -x+2+3 = 5-x
|x-2¡+3 = x-2+3 = x+l
f(x) =
9<x) =
(f+g)(x) =<
-4+5=1,, xe<-3,-2>
-3+5=2, xe[-2,-l>
-2-3=-5 , x=-l
1-2=-l , xe[0,l>
2-2=0 , xc[l,2>
3-3=0 , x = 2
5-x-3=2-x, xe<-l,0>(j n p)
x+l-3=x-2, xe<2,3> ( k n p )
(bn m)
(cnm)
(dnp)
(en n)
(hn n)
(inp)
xd-l,0>Ul2,3> íp)
EJEMPLO 12. Dadas las funciones f y g, definidas en R por:
’Sgnf|x*-4|J, si |x| -í 3
rX+ 6
f<x) = g(x)=3, si xe<-»,®>
F r J • s i xc<3’ 9>
x l+10x+21, si |x-3| > 6
Construir la gráfica de f+g, indicando explícitamente su rango.
Solución. Vamos a definir f, eliminando las barras y los corchetes.
(1) Sea f,(x)=Sgn(\xl-4\) , si -34x43
(-1, si I x*- 4 1 < -1 (no puede ser:
Pordefinición: S g n ( \x '- 4 \) = ^ 0. si I jcj- 4 1 = 0 + -» x=-2 ó x=2
] , s i \ ¿ - 4 \ > J + + X E R -1-2,2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

417. 404 C a p ítu lo 5 : A lg e b r a d e la s F u n c io n e s
Luego, si xe[-3,3] - ft(x) = 1 ° ' XE< 2 '2i
[l , x e[ -3, -2> u<- 2,2 >U <2,31
(2) Sea ft(x) = [[^xjj- xe<3,9> ~+ 3 < x < 9 +-* 3 < ~ < 5 ^ ¡ [ ^ 1 = 3,4
H ^ | = 3 , xe<3,6> | r
\ - U M = | J
4 * *f-6 < 5í^fb4 ’
xe <3,6>
xe[6,9>
(3) Sea f¡(x)=xl+10x+21, |x-3| > 6 +-+ xe<-” , - 3 > u <9,+“>
0 , x M - 2 , 2 ]
1 , xe[-3,-2>U <-2,2>U <2,3]
Luego: f(x) = ■ 3 , xe<3,6>
4 , xt[6,9>
x z+10x+21 , xe<-»,-3> U <9,+">
Entonces: f+g = 1 (x,y.) ly^/Yxj+gfx.), xeDom(f) n Dom(g) }
Dom(f) = R-{91 y Dom(g)=<-*°,9> + Dom(f+g) = <-“ ,9>
3 , xe{-2,2]
4 , xe[-3,-2>U <-2,2>U <2,3]
(f+g) (x) = < 6 , xe<3,6>
7 , xe[6,9>
x í+10x+24, xe<-",-3>
£i rango de f+g se determina geométricamente a partir del vértice de la pa­
rábola y=xz+10x+24=(x+5)2-l + V(-5,-l), Ran(f+g) = [~i,+”>
EJEMPLO 13. Sea F la función de variable real x definida por:
/ x + 2 .
F(x) = / 9 - x * . S g n < ^ > +
Determinar el dominio, el rango y construir su gráfica.
Solución. (1) Sea f(x) = /9-x2 -* 3f «-► 9-xl ^ 0 <-* x l -í 9 +♦ xe[-3,3]Sólo fines educativos LibrosVirtual

418. S e c c ió n 5 .8 : A lg e b r a d e la s F u n c io n e s 405
/r+2
g(x)=Sgn(-±j) - 3g ah xf-3
Entonces: Dom(F) = Dom(f) H Dom(g) fl Dom(h) = [-3,3 3 n (1-2, +<■»-<! }) n (R- {-3>>
- Dom(F) = [ - 2 , 3 ] - U ) = [-2,1>U<1,3]
(2) Para construir la gráfica y determinar el rango de F, el ¡minaremos los
corchetes y evaluaremos la función signo, esto es:
2x+5
x+3
Si xcDom(F) -* -2 -í x S 3, xfl -► 1 < x+3 ^ 6 <-» .í < 1
[[ “ x+3 E
= -i
Luego: | [ ^ f J =2-1=1 - F(x) = / ¡ T P . S g n ( ' ^ ) (a)
Pero: Sgn(
Jx+2
x-l
) =
-1
0
1
■ + X+ 2 * n
si— ^ 0
. /x+2 .
SI = 0
si > 0
x-l
-2 < x < 1
x=-2
(x > -2) v (x > 1)
(3) Interceptando con el dominio de F
obtenemos en (a):
F(x) = < 0
/9-x1
, si xc<-2,l>
, si x = -2
, si x <1,3]
'*’* i/8
y
/
/
/
/
/
l
. V
! - 2? ' 0
1 í 3* x
\ i
1 /
l /
\ '
\ ¡
1 /
/ 5 ¡ ^
J
el intervalo indicado, la gráfica de F es
una parte de la circunferencia x l+yl=9
•\ Ran(F) = l-3,-/5> U [0,2/2>
EJEMPLO 14. Sean f y g dos funciones definidas por:
= í x ^ ^ l + t o - l , Xe<-2,1 ]
[x+8 , xe<2,8]
x-l|+6|x+2|-15 , x e [-3 ,0]
, x e[1,6]
a) Hallar el dominio y la regla de correspondencia de la función f/g.
b) Hallar el rango de la función f/g.
Solución, a) Sean: f x (xl=x2 ]j +3x-l, xc<-2,l ] y fz(x)=x+8, xe<2,8]
El ¡minaremos las barras en g teniendo en cuenta que 1/5 i [-3,0> y -2e[-3,0>Sólo fines educativos LibrosVirtual

419. 406 C a p ítu lo 5 : A lg e b r a d e la s F u n c io n e s
Si -3 -í x < -2 - |5x-i |=-(5x-i) y |x+2|=-íx+2;
-2v< x < O -* 15x-2 | =-(5x-l) y |x+2|=+(x+2]
- g í (x)=-(5x-l)-6(x+2)-15=-llx-26 y g t(x)=-(5x-l)+6(x+2)-15=x-2
-llx-26 , X e [-3,-2> (gt)
g(x) = , x-2 , xc[-2,0> (g1)
3x-4 , x e [J,6] (g,)
Intersección de los dominios de f y g:
Dom(f¡)nDom(g¡) = <-2,1 ] n [-3,-2> = (No existe f/g)
■ Dom(f ¡) n Dom(gl) = <-2,i ] n [-2,0] = <-2,0]
Dom(fl) 0 Dcm(gi) = <-2,l] n [2,6] = [2>
Dom(f1) n Dom(gi) = <2,8] 0 [ - 3 , -2> = * (No existe f/g)
Dom(fz)n Dom(gi) = <2,81 n 1-2,0> = ♦ (No existe f/g)
Dom(fz) n Dom(g¡) = <2 ,8] n [1,6] = <2,6]
El ¡minemos el corchete en xe<-2,0] y calculemos fi(l) y g¡(l):
2-x „ , _ ir 2-x
Si -2 < x O - O <(■ -x < 2 ~ 2 S 2-x < 4
fi(l) = J + 3 íi]- i = l(0)+3-l = 2 ;
x I+3x-l
g,(l) = 3(1)-4 = -1
(t)(x) =
x-2
x+8
3x-4
xe <-2,0]
, x e< 2 , 6 ]
Dcm(f/g) = <-2,0] u 11) u <2,6]
Ran(hl)=[l/2,1] (Verificar)b) Para xe<-2,0], si hi(x] =
Para x=l ■* h,(x)=-2 * Ran(h1)=\-2)
Para xe<2,6], si h,(x) = 7 ¡ ^ i f - Ran(h,) = íl, 5> (Verificar)
Ran(f/g) = [2/2,2 ] U 4-2} U [2,5> = {-2}U[l/2,5>
EJERCICIOS: Grupo 37
1. Si f= ((0 ,/2 ),O ,/2 + /5 ),(2 ,0 )} y g = [(0 ,/S ),(2 ,1 /2 ),(4 ,/3 )], determinar:
a) (f+g)(2) b) (f.g )(2 ) c) ( f 2+3g)(2)
2. Determinar gráficamente Xas líneas que representan a f+g y g-f, si:
a) f(x)=|x| , g(x)=x b) f(x)=x , g=í(—1,2),(1/2,3/4),(2,-3),(4,/2)}
c) f(x) =x, xeR ; g(x)=([xj], xe[-2,3]Sólo fines educativos LibrosVirtual

420. Ejercicios: G rupo 37 407
3- Dadas l a s f u n c io n e s : f ( x ) “ ’ g j * > q ' g (x )= S g n (x ) • S® d e f i n e l a
f u n c ió n H ( x ) = f ( x + 2 ) + g ( x - 2 ) , h a l l a r e l ra n g o d e H.
4 . Sea f : B -► R d e f i n i d a p o r f ( x ) = ^ 3 ’ g^ 3 < * ^ ¡5 • s i g ( x ) = f ( 3 x ) + f ( x - 2 )
h a l l a r e l d o m in io d e g .
5 . S i f = { ( 0 , / 2 ) , ( 1pi/5 ) , ( 2 , 0 ) ) y g = { ( 0 , / § ) , ( 2 , l / 2 ) , ( 4 , / 3 ) } . H a l la r
6. S i f ( x ) * xe<2*5] y g (x } ■ { ? ! x e [ 3 Í 6 ) 5 h a l l a r f+ « y c o n s­
t r u i r su g r á f i c a .
7 . Se d e f in e n l a s f u n c io n e s f y g d e l a s i g u i e n t e m an e ra: f ( x ) = / 9 - x * y
g ( x ) =2- | x -1| , x e < -2,5] , h a l l a r f + g .
8. Dadas l a s f u n c io n e s f ( x ) = | x - 2 | - 1 , x e [ - 2 ,6 > y g ( x ) = ’ x e [2 ^ 6 > >
H a l l a r f+ g y c o n s t r u i r l a s g r á f i c a s d e f , g y f + g .
9 - Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s de l a s i g u i e n t e m anera:
f ( x ) = f X+3 ' « < “M J , g U ) = - «1-3.21 . hangr f+g.
{_3x+2, xe< 0,5> L2 - x » x e< 2 ,8 ]
1 0 . D adas l a s s i g u i e n t e s f u n c io n e s , f : [ - 2 , 3 ] -► [ 1 ,4 > |f ( x ) = x * - 2 x + 1 , g:H ■* r |
g (x )= 2 x + 1 , y e [ -1,3>5 h :R * R |h ( x ) = |x * - 1 |+ x , y 2 .
a ) G r a f i c a r l a f u n c ió n g+h . b ) H a l l a r e l d o m in io d e f - g .
1 1 . D adas l a s f u n c io n e s f : R ♦ R |f ( x ) = x - |x - 1 j ; g :R -► R |g ( x ) = x * - 2 , x £ - 2 ;
h :R + R |h ( x ) = /x * - 9 , h a l l a r e l d o m in io d e l a f u n c ió n ( f + g ) . h
1 2 . Sean l a s f u n c io n e s f : R * R |f (x ) = x * -2 x + 2 , y i 5 ¡ g :R * R ¡ g ( x ) = 2 |x - 1 |+ 1 ,
x e [ - 3 , 4 > . H a l l a r f + g , s u ra n g o y e s b o z a r s u g r á f i c a .
13- S ean f( x ) = x * y g ( x ) = | 2 x |, t r a z a r l a g r á f i c a de f+ g y h a l l a r s u ra n g o .
1 4 . Dadas l a s f u n c io n e s : f ( x ) = y » g ( x ) = [ [ / x - 1 J , x e [ 0 ,9 > , h a l l a r :
a ) f+ g b) Dom(f+g) c ) D om (f/g)
1 5 . S ean l a s f u n c io n e s f :< - 3 > 5 ] ♦ [ - 5 , 3 ] |f(x )= -x * + 2 x + 3 y g :R ♦ R |g ( x ) = /9 - x *
h a l l a r : a ) f / g b ) D om (f/g)
1 6 . S i f ( x ) J i x- l | I S g n ( 3 - x ) ] ] , x e ( 0 ,6 ] y g ( x ) f |x - 2 | ,
|.x* , xe< 6,10> x | x - 21,
h a l l a r g / f .
1 7 . S i f ( x ) = • “ < - 3 .» > y g ( x ) = Í
l |x*+i| , xe< i,6> (
x c < - 8 ,3 ]
xe<3,8]
h a l l a r g / f .
(£-x]]-2x, - 4 < x jC -1
|x - 5 | , 0 < x ^ 3
H a l l a r l a f u n c ió n f+ g y e s b o z a r s u g r á f i c a .Sólo fines educativos LibrosVirtual

421. 408 C apítulo 5: A lg eb ra de las F unciones
18. Sean las funciones: f(x) =
Sgn|x2-4| , si |x| ^ 3
x+6
1[ , si 3 < x < 9 ; g(x)=3 , xe<-»,9>
x z + 1 0 x + 2 1 , si |x—3| > 6
Hallar f+g y construir su gráfica indicando su rango.
19* Sean f y g las funciones definidas por:
f(x) = - si 2 ,< x < 4 _ = /|[x /2 II , si K < x < 6
I 12x—101 , si 8 N< x < 12| x 2 - 1 4 x + 4 8 , si 6 s< x < 1 0
a) Determinar la función f-g
b) Graficar la función f-g» indicando explícitamente su rango.
|
x2-2x , si xe[-4,2]
x/2 +5» si xe<2,6]
2x-4 , si xe<6,9]
Hallar las funciones: h t(x)=f(x)-g(x) y h2(x) = fr— r
g(x) J x ' * si xe<0’2>
¡3 , si xe[2,8>
2 1 . Sean las funciones:
(i*x+[[xj) , si -3 < x < 0 _
|x2+1|-3 , 1 < x < 6 ’
Hallar la función f+g y esbozar su gráfica.
f(x) = g(x) = |jl-
fííí
-x || -5x , si -4 < x < 1
3| , si 0 < x < 2
22. Dadas las funciones:
|x2-4| , xe[-6,0]
f(x) = g(x)
2
2 , x >sZ I 1 , x < -2
Hallar la regla de correspondencia de f/g y su rango.
_ í x+2 , x
11 , x <
23. Dadas las funciones: (Trazar la gráfica de f+g, indicando su rango)
f x - 2 JJ , si (T x 7] es par
f ( x ) =
3x-[[x+lJ], si [f x J] es impar
i g(x)=Sgn(x2-4), si jxj ^ 3
2 4 . Sean las funciones:
, xe<2,4> 1-2 , x Í. 2
2x-1
x-1
25. Construir la gráfica de f-g, sabiendo que:
j x | +2 , -7 <: x < -2
f (x ) + <- jj + x2, | x ¡ <? 2 ; g (x )
1-|x+i|
2x-1
2 < x v<5
, X > - 1 , X¿1
i x—1 1
Sgn( |x2—1 ¡-1) , x < -1
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

422. Sección 5.9: Composición de Funciones 409
COMPOSICION DE FUNCIONES
__________________________
En el Capítulo 3, Sección 3.9.4, habíamos descrito que bajo ciertas
condiciones era p o s i b l e obtener, a partir de dos funciones f y g, una nueva
función h, llamada ¡a compuesta de aquellas, denotada por h-gof y definida
por: (gof)(x) = glf(x)], VxeDom(gof)
gof = \(x,glf(x)])\xeDom(gof)}
donde: Dom(gof) = ixcDom(f)lf(x)eDom(g)}
= lx |x e D o m ( fJ ~ f(x)eDom(g)\
y cuya interpretación geométrica se muestra en el siguiente diagrama:
O B S E R V A C I O N E S
(1) Dom(gof) c Dom(f) = A
(2) Ran(gof) c Ran(g) c D
(3) 3(gof) « - Ran(f)B Dom(g) t *
(4) Cuando el Ran(f) está contenido en el Dom(g), entonces la función gof
está definida en el Dom(f), esto es, si:
Ran(f) c Dom(g) * Dom(gof) = Dom(f)
(5) Cuando Ran(f) <£ Dam(g) * Dom(gof) = ix\xeDom(f) -« f(x)eDom(g))
(6) La aplicación se hace de derecha a izquierda, es decir, la función de
■ partida es l a que está a la derecha de la notación "o".
En g°f. f es 1 ° función de partida y g la función de llegada.
En fog, g es la función de partida y f la función de llegada.
(7) Si g:A * B y f:C * D, entonces: (fog)(x) = flg(x)], VxeDom(fog)
(8) Dom(fog) c Dom(g) = A
(9) Ran(fog) c r Ran(f) e DSólo fines educativos LibrosVirtual

423. 410 Capítulo 5: Funciones
(10) 3(fog) Ran(g) n Dom(f) f ♦
(11) Cuando Ran(g) Q Dom(f) - * Dom(fog) = Dom(g)
(12) Cuando Ran(g) Dom(f) — Dom(fog) = {a:|a:eOom(g> ~ g(x)zDom(f) )
E J E M P L O 1. Sean f y g dos funciones definidas por: f (x)=/x1-4 y
g = {(-1,-2/2),(2,-1), (4,/5),(3,4),(7,/5)}. Hallar fog.
Solución. El rango de la función de partida es: Ran(g)-{-275,-l,/5,4}
sf *-+ x z-4 O +-* x 1 i - 4 x 4 -2 o x >, 2
- * Dom(f) = -2 ] U 12, +~>
Ran(g) o Dom(f) = {-2/2,/5,4} f ♦ -» 3fog
Entonces, para x=-2/2,/S,4, obtenemos en f: y=2,1,2/5, respectivamente.
Luego, f = l(-2/2,2),(/5,l),(4,2/3)
Ahora, si (l,-2r¡5)cg ~ (-2^2,2)tf -*■ (1,2)e(fog)
(4,/$.)tg * (/¡¿. Dcf - (4,l)e(fog)
(7,/5)cg - (/5,1)tf - (7,l)e(fog)
i
__________i
(3,4)cg ~ (4,2/3)ef - (3,2/3)c(fog)
* 77*fog = {(1,2),(4,1),(7,1),<3,2/3)}
E J E M P L O 2. Dadas la s funciones f:R * Rlflx+l)^1, xc<-l,7] y g:R * R|
g(x-l)=2x-l, xc[l,+">, hallar: a) (fog)(x) , b) (gof)(x)
Solución. Si f(x+l)=xl ■* f (x)=(x-l)1, g(x-l )=2x-l -* g(x)~2 (x+1 )-l =2x+l
a l (fog)(x) = flg(x)] = f(2x+l) = (2X+1-1)1 = 4x1
■* Dom(fog) = ixcR\xcDom(g) * g(x)cDom(f)\ = * c [ ! , + « > ^ (2x+l)e<-l ,7}
= (x i- 1) ~ (-1 < 2x+l 4 7) = (x í - 1) ~ (-1 < x 4 3) = [ 1 , 3 ]
(fog)(x) = 4x2 , are [ i , 3 ]
b) (gof)(x) = glf(x)) = gl(x-l)1] = 2(x-l)1+l = 2x1-4x+3
Dom(gof) = {xcR\xeDom( f ) ~ f(x)eDom(g) } = xe<-l,7] ~ (x-l)1e[ ! , + “ >
= (-1 < x 4 7) ~ (x-1)1 >- 1 = (-1 < x 4 7) ~ f x í - 2 o x 4 0)
.'. (gof)(x) = 2x1-4x+3, xe<-l, 0] u 12, 7]
PROPIEDADES
__________________________________________ | a
Para las funciones f, g, h, 1 (Función identidad) se cirnplen las
siguientes propiedades:
FC.l: (fog)oh = fo(goh) (Ley Asociativa)
FC.2: En general: fog f gof (No es conmutat iva)Sólo fines educativos LibrosVirtual

424. Sección 5.9: Composición de Funciones 411
PC.3: (f+g)oh = (foh)+(goh) (Ley Distribuí iva para la suma)
PC.4: (f.g)oh = (foh)(goh) (Ley Distributiva para la muít iplicación)
PC.5 : 5/1 \fol = ¡of = f , Vf
PC.6: í n o í m = I™, n,meZ+
PC. 7: Ino(f+g) = (f+g)n , nzZ*
EJEMPLO 3. Si f = 2 í 2- 3 1 y g = l2- í + 2 , hallar fog y gof.
Solución, fog = (2Iz-3I)o(iz-l+2) = 2Ilo(lz-I+2)-3lo(ll-l+2)
= 2(li-I+2)z-3(Iz-i+2) = 2I*-4I3+7l2- 5 í + 2
gof = (Iz-i+2)o(211-3I) = lzo(2Il-31)-lo(2Iz-3I)+2o(2Iz-3l)
= (2lz-3l)z-(21z-3I)+2 = 41'-12l*+7Jz+3I+2
fog t gof
EJEMPLO 4. Sean f:R * R\f(x)=2x~3, x e < - 1 , 3 ] , g:R - R | g ( x ) = x + 2 , xe[-2,4>,
h:R + R |h ( x , ) = 3 x + 7 , x e < - 6 , 0 ] . Hallar fogoh y su rango.
Solución. Según FC.l: fogoh = (fog)oh = fo(goh)
Entonces, sea F=fog (g=función de partida, f=función de llegada)
(1) Como Ran(g)-[0,6> Dom(f) -+ Dom(F)={xcR\xzDom(g) ~ g(x)zDom(f)\
- Dcm(F) = (-2 ■& x < 4) „ í x + 2 ) e < - 1 , 3 ] = (-2 i x < 4) - (-1 < x+2 - í 3)
= (-2 x < 4) . f - 3 < x í l ) = - 2 v < i x< ]
(2) Entonces: F(x) - (fog)(x) = f[g(x)] = f(x+2) = 2(x+2)-3 ~2x+l, x e [ - 2 ,1)
(3) Ran(h) <f Dom(F) -* Dom(Foh) = ix E R lx eD o m fh ; „ híx)cDom(F))
- Dom(Foh) = x e < - 6 , 0 ] ^ (3x+7)e[-2,1 ] = (-6 < x -S 0) - f - 2 Jí 3 x + 7 „< 1)
= (-6 < x ¿ 0) ~ (-3 »< x í - 2 ) = - 3 ¿ x -í - 2
(4) -* (Foh)(x) = F[h(x)] = F(3x+7) = 2(3x+7)+l = 6x+15, x e [ - 3 , - 2 ]
fogoh = { l x , y ) E R 1 |y = fix + 1 5 , x e [ - 3 , - 2 ] ]
(5) Si x e[ - 3 , - 2 ] * - - 3 - í x > f - 2 « - -18 4 6x < - 1 2 < - - 3 - í 6 x + 1 5 3
Ran(fogoh) = [ - 3 , 3 ]
EJEMPLO 5. Si f(x)=x1-3x+S, hallar dos funciones g para los cuales
(fog)(x) = x2- x + 3 .
S o l u c i ó n . S i (fog)(x)-xz-x+3 -► f[g(x)]=xz-x+3
Sea u^g(x) -*• f(u)=xz-x+3 (1)
Pero f(x)=x?-3x+5 -* f(u)=if.-3u+5 -
Sustituyendo en (1): u2- 3 u + 5 = x2- x + 3 u2-3u-(xz-x-2)-0
(FC.3)
(FC.7)
(FC.3)
(FC.7)Sólo fines educativos LibrosVirtual

425. 412 Capitulo 5: Composición de Funciones
EJEMPLO 6. Dadas las funciones siguientes, h a l l a r (fog)(x).
x • x e íí <3> ; *e c2 >s>
t
(x-3)*, x e 13 , 7>{
4 , x e [ 5 , 7 >
Solución. Citando se trata de efectuar una composición de funciones seccío-
f - A u ftü ü / n . donde Dom(f)-Dom(fl) UDam(fx)v . . . uDom(fn)
g = ST iU g'tU • • • U S ) , , donde Dam(g)=Dom(gl)UDom(gt)ü . . . uDom(gn), entonces:
-+ fog = (fíogl) u ( f logx) U ( f xog1) u ( f xogx)U . . . .u (fn ogn)
(1) Luego, sean: fí(x-3)=x -* ft(x)=x+3 , X e [ 1 , 3>
En gx : x e[ S , 7 > , y=4 constante -► Ran(gx)={4)
(3) Ran(gt) * [ l , 3 > n [ - l , 2 > i t, ♦ n(flogl)
Como Ran(gx) i- Dcm(fl) -* Dam(flogl) = { x jx e C o m fff,) a g , (x)sDcm(fl ) )
-» Dom(fxogx) = xz[2,5> a (x-3)e[l,3> = <2 4. x < 5) a <1 x - 3 < 3)= [4,5>
-* (fiOgi)(x) = flígí(x)¡ =f,(x-3) = (x-3)+3 = x , xe[4,5>
( 4 ; R a n í g i J O D o n f / ! ; = H ) n [ i , 3 > = 4. -► f(flogl)
(5) Ran(gx) nD o m f f J = [ - l , 2 > n [ 3 , 7 > = ♦ * i(fíog1)
(6) Ran(gx)t)Dom(fx) = { 4 | n [ 3 , 7 > ¿ * - s i í ^ o g » ;
Como 14 ) C [3,7> -* Dom(fxogx) = Dom(fx) = 13,7> (O b s . U )
Entonces, fx[gt(x)J = fx(4) ~ (4)l = 1 5 , x e [ 3 , 7 >
EJEMPLO 7. D e t e r m in a r (fog)(x), si f(x)=x?-2x, xel-l,7> y
g(x) Á 1'2* * s i x e < - “ ' - 1 >
) X + 2 , s i x e < 2 , + » > ,
S o lu c ió n . (I) Sean: g,(x)=l-2x y gx(x)=x+2 - * fog - (fog,) u (fogx)
n a d a s , esto es, si:
f i (x-3)=(x-3)t — f x(x)=x* , x e [ 3 ,7>
gl (x-l)=x-4 ■* g , (x)=í>c-3 , xe[2,5>
gx(x-l)=4 -* gx(x)=4 , xe[5 ,7 >
(2) Determinación de los rangos de g, y de gx
En g , : x e [2 ,5> «-* 2 s x < 5 ■<->• -1 4 x-3 < 2
« - 1 4 g x(x) < 2 — Ran(gl)=[-l,2>
(7) Por l o tanto, de (3) y (6): <fog)(x) =
’x , s i x e [ 4 , 5 >
1 6 , s i x e [ 3 , 7 >Sólo fines educativos LibrosVirtual

426. Sección 5.9: Composición de Funciones 413
(2) Verificar que Ran(gt)=<3,+’°> y Ran(g1)=<4, +«•>
Como Ran(g,)0 Dom(f) ¿ ♦ y Ran(g,) n Dom(f) f ♦ -+ existen fog¡ y fogl
(3) Cálculo de cada uno de los dominios:
Ran(gJ <¿ Dom(f)
-+ Danifog J = t x |x c Z ) o m f g J a g¡(x)eDf}
-*■ x e < - “ , - I > A (l - 2 x )e [ - l , 7>
■— (X < -1) a (-1 4 l - 2 x < 7)
++ ( x < - i ; - ( - 3 < x -S 1)
Dom(fog¡)=<-3,l>
(4) Determinación de las r e g l a s d e correspondencia:
f[g,(x)] = f(l-2x) I f[gt(x)l = f(x+2)
= (l-2x)1-2(l-2x)=4x1-l | = fx + 2 > I -2 fx + 2 1
xe<-3,-1>
x e < 2 ,5 >
Ran(gt) <£ Dom(f)
Dom(fog1)={x\xeDom(g1) a sr2íx>eD/'>
+ x e < 2 , + “ > ( x + 2 1 e [ - J , 7 >
( x > 2.) a f - J ..< x + 2 < 7)
++ ( x > 2) a (-3 4 x < 5)
Dom(fogt)=<2,5>
x l +2x
(fog)(x)
f 4X1- ! ,
|_ x I +2x ,
EJEMPLO 8. Sean las funciones f(x)=/l+x , -1 4- x < 2, y
g(x) = | I x í , x < O Hallar fog y graficaria.
[ x * - J , x >s O
S o l u c i ó n . Sean gr, ( x ; = | [ x jj y g t(x)=x*-l -» fog = (fogt) o (fogt)
(1) Cálculo de los dominios de fog.
Dom(fog,)={x\xcDom(g¡) a g l(x)eDfi
- f x < 0 ) a ( ü x J e [ - l , 2 > )
( x < 0> a ( x e { - I , 0 , 1 H
++ x eI -1 1
D o m (fo g ,)= < x |x e D a m (g 2) - g i í x l E D f )
- (x >, Q) a f x * - l l E [ - l , 2 >
++ (x >s0) a (-1 4 x l-l < 2)
«-+ (x >, 0) a (0 4 x < /3)
++ 0 -S x < /3
( 2 ) Determinación de las reglas de correspondencia:
f[g,(x)J = / Y [ [ x ] ] l = / l + l x l . x e ( - 1 >
- (fogl)(x) = / F 7 = 0 , x = - l
f[g i(x)] = f(xl-l) = /l+xz-l
- í / o g , J ( x > = |* l = * > x s [ 0 , / 3 >
(fog) (x)
_ f0 , si x=-l
|^ x , si x e[ 0 , / 3 >
EJEMPLO 9. Dadas las funciones siguientes; hallar, si existe, (gof)Oc)
f x 2j j x 2 ]] —2 1 x | , si -fi< X í 0
xj |x -3 | U+2 , sí 2< x < 4
f(x) =I / ¡ 5 ¡ 1 ' " -U*<1
| x | , si X > , 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

427. 414 C apitulo 5: C om posición d e F unciones
S o l u c i ó n . Volvamos a definir f y g el¡minando las barras y los corchetes.
(1) En f: si -1 < x < 1 1 < x+2 < 3
- J < ~ “ < 1 ~ < < 1 " í / — — I = 0
3 |x+2| V3 y \x+ 2\ II / |x+2| il
Si x > 1 -+ | x | = x
(2) En g: Para S T < x i O — | x | = - x
~/2 < x -i O = <-/2 < x ¿ -1) v (-1 < i i 0)
— (1 ¿ -x < /2) v (O ¿ -x < 1) - <1 -S x 1 < 2) v (O -í x 2 < 1)
- ( f l V D = J> v f H x M l = o ;
Si2<x<4=(2<x<3)v(3<x<4)
-+ (-1 < x-3 < 0) v (O < x - 3 < 1) -* ÍO < |x - 3 1 < 1) * (0 < | x - 3 | < i ;
- f | x - 3 | f l = 0 , xc<2,4>
Í
x 2 + 2x , s í - / J < x -í -1 (g¡)
2x , si -1 < x S 0 (gi)
2 , si 2 < x < 4 (g3)
Entonces, gof está definida +-+ Dom(g) n Ran(f) ¿ ♦
(3) Determinación de los rangos de f3 y f3:
En f3, Ran(fl)=0 , constante.
En f1: y=x, si x 4- 1 -* y > , J -► Ran(fz ,) = [ ! , +” >
(4) Interceptando el rango de f3 con los dominios de g 3, g z y g 3, se deduce
que sólo Ran(fx)hDom(gz) = -* ^(gzof3)
- Dom(gzof,) = ixIxeD om C /-, .) - f l(x)tDom(g1)}
= (-1 < x < 1) ~ Oe(-l < x S 0)
= (-1 < x < 1) ~ ( - 1 < X s < 0) = <-l,0]
- gilfi(x)] = gzfo; = 2(o; = o , s¡ xe<-j,o]
(5) Interceptando el rango de fz con los dominios de g t, g z y g 3 vemos que
sólo Ran(fz)n Dam(g,) í 4 -» *(g3ofz)
Como [ 1 , +"> 4- < 2, 4> ■+ Dom(g,ofz) = f x Ix e D o m f /'! ) ~ f ¡(x)cDom(gt))
-+ Dom(g3of3) = (x >/ 1) ~ (xc<2,4>) = <2,4>
- gslfi(x)] = g 3(x) = 2 , xc<2,4>
(6) Por ¡o tanto, de (4) y (5): (gof)(x) = f° ' S l " J < * ^ 0
¡2 , si 2 < x < 4
EJEMPLO 9. Sean f y g dos funciones reales definidas por:
f M = j I L ^ J ’ s i “ < - J ’ i> ; g(x) = t ó • s í « [ - 2 , - l >
( / x 2 + 2 x , s i x e [ i , 2 > ( 1 - x , s i x e < 0 , 6 >
H allar el dominio y la regla de correspondencia de gof.
■::
s i -1 < X < 1 <f3)Sólo fines educativos LibrosVirtual

428. Sección 5.9: Composición de Funciones 415
Solución. En f, dado que Oe<-1,1> -* < - ! , ! > = <-l,0> u <0,1>
(1) Para x e < -l,0 > - | x | = - x - | ^ | j ] = [ [ l + ¿ ] J (1)
-1 < x < O -+ -4 < x-3 < -3 ~ - j < - X~3 < ~ - f
~ - 1 " J +Á <-T-* I 1+^ 5 ] ] = - J
W S i x e < 0 , 1> - | , | = x - ( [ £ § ] ! = [ [ - 1 + 3^ |
O < x < 1 -+ -1 < -x < O « - 2 < 3 - x < 3 - - 4 < -r_ < 4
J J-JC «
~ - I < - 1 + F i < - I - H - 1 + F í l - - J • * < 0 - J>
Por lo tanto, de (1) y (2): [ [ ^ | ~ 2 j ) = -1 , t f r e < - I , l >
[-1 , si x e < - l , l > (fz) í - ^ i , si xe[-2,-l> (g¡)
f W M
______ ; g(x) = 1
( / x 2 +2x, si x e [ l , 2 > (fz) [ l - x , si oce<0,6> (gz)
La composición gof está definida +-+ Dom(g) n Ran(f) 4 ♦
(3) Determinación de los r a n g o s de f , y f1 :
Ran(fl)=-l, constante. En fz, y=/x 1+2x = /(x+l)1-!
Si 14- x < 2 - 2 4 x+l < 3 *-+ 4 4 (x+l) 1 < 9 < - 3 -S (x+l)1-! < 8
■++ /3 4 /(x+l) 1 -1 < /8 - Ran(fz)=[/3,2/2>
(4) Como Ran(fz) ñ Dom(g¡)=$ y Ran(f¡) fl Dom(gz)=$ , no están definidas gzofz
y gi°fi-
(5) Ran(ft)n DomfgJ = ♦ -► 4(g,ofz)
Ran(fz)n Dom(gz) 4 * -* ^(gzofz)
Dado que Ran(fz) c Dom(g2) -*• Dom(gzofz) = Dom(fz) = [1,2> (Obs.4)
g i l f i W l = gi(/x* +2x) = 1 -/x1 +2x -*■ (gof)(x) = l-/x1+2x, x e [ l , 2 >
EJEMPLO 10. Sean f y g funciones reales definidas por:
f(X) =/l*l ' S i « < ^ . 0 3 ; g(x) J 3X ’ xe<-1’n
l- ''x =I , si x e [ 1,10> ( H x l ] l , x e [ 2 , 4 ]
Hallar, s i existe, gof.
Solución. Sean: f 2 ( x j ^ l x l , x e < - l , 0 ] , g , ( x ) = 3 x , x e < - l , l ]
fz(x)=/5PÍ , x e [ 1 , 1 0> , ] ] , x e [ 2 , 4 ]
• L a función gof está definida ++ Dom(g) fl Ran(f) 4 ♦
(1) Determinación de los rangos de fi y fz:
x £ < -1,0] «-»- -i < x.$ 0 +~+ 0 4 |x| < 1 -+ Ran(fi)=[o, 1>
x c D , 1 0 > +-* 1 4 x < 10 +-+■ O4 x-1 < 9 + + 04 / j F T < 3 + Ran(f2)=[0,3>Sólo fines educativos LibrosVirtual

429. 416 Capítulo 5: Composición de Funciones
(2) in tersecció n -d el Ran(ft) con los dominios de g , y g t :
a) Ranif¡) n Domíg,) = [ 0 ,l > n < - l .l ] 4 * - a l g .o f ,)
Como Ran(fl) c Dom(g,) -* Domfglo /'1l = Dcm(ft) = <-1.0]
B it o n c e s : g j f j x ) } = f | o c ¡ > = 3 | x | , xe<-l,0]
b) Ran(ft) nDom(gt) = [0,1>{\[2,4] = + - í í g . o f , )
(3) Intersección del Ran(ft) con los dominios de g , y g t:
a) Ran(ft)n Dcm(gt) = [ 0 ,3 > n < - l,l] 4 * — a íg .o f ,)
Ran(ft) Domíg,) -► Dcmlglo f I ) = {xlxcDomí/-, ) - fi(x)eDom(g,) )
- Domig^fx) = (x*[l,10>) a í / x ^ t c - l . l ))
* 11 -í x < 10) - 10 < x-1 í 1) = f l -< x í 2)
Entonces: giifx(x)] = gil»l'í r i ) = 3^x-l , x « [ l,2 )
b) Ran(fx) 0 Dom(gx) = 10,3>>'12.4) / ♦ - aíg .o f» )
Ran(fx) Dam(gx) -» Dom(gxofx) = lx|xcDomíf, ) - fx(x)eDcm(gx)i
- Dom(g,ofx) = (xell,10>) a l/c = ic[.2 .4 ]) = 11 ¿ x < 10) a (2 ^ /3FI 4- 4)
= (1 ■$ x < 10) ~ (4 4 x-1 < 16) = 5 ¿ x < 10
■~9xlft<x)) = 9x(’^ ri> = í í ^ ) ‘ í = l l * - l l l . xe[5,10>
|
3 |x | , s i x e< -l,1 0 ]
3/ic-l , s i x e [ l,2 ]
H x - l ] ] ( s i x e [ 5 ,1 0 »
EJEMPLO 11. Sean las funciones reales f y g definidas por:
Hallar la regla de correspondencia de la función fog.
Solución. Por el método de los puntos c r ític o s en x=2 y x=3, verificar que
la función g se puede redefinir de la sig u ie n te manera:
En tonces la función fog está definido **■ Dom(f) n Ran(g) 4 +
11) Verificar que los rangos de las funciones g ,, g , y g , son:
Raníg,) = <2,+-> ; Ran(gt) = <-l»0> ; Ran(g,) = I-l,+ ->
12) Intersección del Ran(g¡) con los dominios de f , y
a) <2,+->n <--,3> 4 4 - s íf .o g ,)
Raníg,) Dcm(fl) -♦ Doral/',og,) = ix|xcDomíg,) a g,íx)cDomlf,)}
•* Domí/,og,) = íx < 2) ~ (4-x < 3) = íx < 2) ~ lx > 1) = 1 < x < 2
= 11 -í x < 10) a 1-1 < 2x=7 -S 1)
* | ^ 3 |
|x -2 |
fíx ) =
x*-4 . x < 3 í f , )
8-x . x >, 3 1 /,)
4-x , x < 2 íg ,)
g ix ) = 2-x , 2 < x < 3 (g1)
x-4 , x ^ 3 íg ,)Sólo fines educativos LibrosVirtual

430. Sección 5.9: Composición de Funciones 417
-* fllgl(x)J = f¡(4-x) = (4-x)2-4 = x 2-8x+12 , xc<l,2>
b) Ran(g1) n Dom(fz) = <2, + -> fl [ 3 , +»> i * —• 3(fzog¡)
Como Ran(g¡) <¿Dom(fz) -<■ Dom(ftog¡) = ( x ljc e D o m fg j) ~ g , (x)cDom(fz ) )
-+ Dom(f1ogi) = (x < 2) ~ ( 4 - x i, 3) = (x < 2) „ (x ■( 1) = x -í 1
— f i í g i M ] = fi(4-x) - 8-(4-x) = x + 4 , x e < - » , l ]
(31 Intersección del Ran(gz) con los dominios de f¡ y fz:
a) Ran(gz) n Dom(f¡) = < - i , 0> n < - » ,3> ^ ¿ -► 3(f1og1)
Ron(gz) <z Dom(f¡) — Dom(fíog1) = Dom(gz) = < 2 ,3 >
- fitgi(x)] = fi(2-x) = (2-x) 2-4 = x 2-4x , xc<2,3>
b) Ran(gz) íl Dom(ft) = <-l,0> n [3,+ » > = $ -» i(fzogz)
(4) Intersección del Ran(g¡) con los dominios de f¡ y fz:
a) Ran(g3) fl Dom(f¡) = [ - 1 , +»> 0 < - - , 3 ] i 4. — 3 (f3og3)
Ran(g3) Dom(f¡) - Dom(f¡og3) = { x |x e D o m f g ,; ~ g 3(x)cDom(f¡) (
-+ Dom(flogi) = (x t. 3) „ (x-4 <3)=3^x<7
-+ f j g 3(x)J = f¡(x-4) = (x-4)2-4 = x 2-8x+12 , x e [ 3 , 7 >
b) Ran(g,) n Dom(f1) = [ - 1 , +=•> n [ 3 , *“ > ¿ 4 + ?(f3og3)
Ran(g,) Dom(fz) — Dom(fzog3) = |x |x e D a m ( g j ) - g 3(x)cDom(fz)}
— Dom(f zog3) = (x í- 3) * (x-4 %■ 3) - x >' 7
■* filgi(x)} = fi(x-4) = 8-(x-4) = 1 2 - x , x e [ 7 , + “ >
x+4 , x c < - “ , j ]
x*-8x+12 , xc<I,2> U t 3 , 7 >
x*-4x , x e< 2 ,3 >
1 2 - x , x e [ 7 , + " >
(5> Por lo tanto: (fog)(x) =
Tf*-f 7 .
EJEMPLO 12. Sea g(x) = con Dcm(g)=[-1, 1> u < 1, 4); la función f tiene
Dom(f)=<-l,1>u<1,2] y e s tal que (fog)(x)=x2-x+l. Hallar la
regla de correspondencia de f(x), el dominio y el rango de la función fog.
Solución. (1) Cálculo de f(x):
JC+I
flg(x)] = x 2-x+l - f(— 1) = x 2-x+l
c x+1 u+1 , .u + 1 , , .u+1. . u2+3
u = —J <-> X = - J - f (u) = ( - ) 2-(— ¡)+l = _ _
x 2+3
Volviendo a l a variable original: f(x) =
----------
(x-1)2
(2) Cálculo del Dom(fog): Dom(fog) = lx |x c D o fn (g > ~ g(x)cDom(f))
— Dom(fog) = x e [ - l , 1>U <1,4] - ( | í i ; e < - l . 1 > u < 1 ,2 ]
- r | ^ , ) e <- i , l > U <i , 2 ] <-> (-1 < ^ < 1) v <1 < f r j í 2>
(a)Sólo fines educativos LibrosVirtual

431. 418 Capitulo 5: Composición de Funciones
~ < 1)] v [íF i > 1} ~ * 2)i
~ °>l ' “ ¿ i > 0 ) ~ < M >'
« l(x < o V X > 1) ~ (x < 1)] V [ ( i > 1) * (x < 1 v i ^ 3 ) ]
<-► (x < 0 ) v (x > , 3) X e < - “ ,0 > u [ 3 , + “ >
Luego, en (a): Dam(fog) = (xe[-l,l> u <1,4]) n (xe<-=,0> U [3,+<■>>;
i
----------------i-------------------------------
|W A '» 2 J S é i
!■ . ■ ]
- 1 0 1 3 4
. Dom(fog) = [ - 1 , 0 > U [ 3 , 4 ]
(3) Cálculo del Ran(fog): (fog)(x) = x*-x+l = (x-1/2)1 + 3/4
Si xel-l,0>0 Í3,4] « - (-1 - í x < 0) V (3 -S x 4 4)
~ % 4 x - { <
/ 1 + 3 < 1\iJ.3 < 9 + 3 \ /•
í x " 2 ; +4< 4 + 4 ;vf
1 5 + i v< fx
4 4' (X
. J , ‘ + 3 « 1 2 + 3 ,
2 4 4 4
(1 < (fog)(x) ¿ 3) v ( 7 ¿ (fog)(x) í 1 3 ;
Ran(fog) = < 1 ,3 3 u [ 7 ,1 3 3
EJERCICIO S: G rupo 38
1. Sea f ( x ) = y g ( x ) = . H a l l a r D o m (fo g )n D ora(gof).
2 . S i f , g y h so n f u n c io n e s d e f i n i d a s p o r l a s e c u a c i o n e s : f ( x ) = x I ,
g (x )= 3 x y h ( x ) = x - 5 . S i s e s a b e que ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , h a l l a r l o s v a l o ­
r e s de x t a l e s q u e : [ h o f o ( g + h ) ] (x )=0.
3 . S i f , g y h so n f u n c io n e s de R en R y t a l e s que f ( x ) = x l - 4 , g (x )= 3 x y
1 i(x )= 3 x - s . H a l l a r e l d o m in io de ( h o f o g ) ( x ) .
4 . S i f : [3,+~> ■» R e s t á d e f i n i d a p o r f ( x ) = -JL y g : [ l /2,+ “ > ■+ R e s t á d e f i
x-2 -
n id a p o r g ( x ) = l i l i , h a l l a r e l D om (gof).
5. Sean f ( x ) = 2 x - 3 y g(x)=x*+ 1 d o s f u n c io n e s r e a l e s . H a l l a r l a suma de t o ­
d o s l o s v a l o r e s de x t a l e s q u e : ( f o g ) ( x ) = ( g o f ) ( x )Sólo fines educativos LibrosVirtual

432. Sección 5.9: Composición de Funciones 419
6. S i ( f o g ) ( x ) = x2+x+1 y g ( x )= x s +1, h a l l a r ( g o f ) ( 9 ) .
~ o t í - ft \ f x2+2x+2 , 0 -í x < 3 / \ f4x+5 , 0Sx<1
7 . Sean l a s f u n c io n e s : f ( x ) = / , g ( x ) = J
(_2x+4 , x 3 [ 3 x 2+2, x i 1
H a l l a r ( f o g ) 0 / 4 ) + l 6 ( g o f ) ( 1 / 2 ) .
1
8. Sean l a s f u n c io n e s r e a l e s : f(x )= = /1 -x y g ( x ) =
_______ . E l d o m in io de l a
|x2 -1|
fu n c ió n fo g e s A. H a l l a r A '.
9 . Dadas l a s f u n c io n e s r e a l e s f y g , t a l e s q u e : f ( x - l ) = 3 x2+ax+12,
g (x +1)=5x+7; h a l l a r e l v a l o r de a t a l que ( f o g ) ( - 2 ) = - 4 a .
10. S i f ( x ) = / 2 x - 1 , g ( x ) = / 2 x l - 7 , h a l l a r una f u n c ió n h t a l que ( f o h ) ( x ) = g ( x ) .
11. Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s en R p o r l a s e c u a c io n e s f ( x ) = x 2+2 y
g (x )= x + p , p f i j o . H a l l a r l a suma de to d o s l o s v a l o r e s de p que s a t i s f a ­
ce a : ( f o g ) ( p + 3 ) = ( g o f ) ( p - 3 ) •
2
12. S i f ( x - 2 ) = — ^ , h a l l a r e l v a l o r de x de modo que ( f o f ) ( 2 / x ) = 5 .
13- S i f ( x ) = x X, h ( x ) = / x y ( h o g o f ) (x )= , h a l l a r g ( x ) .
14 . S i f ( x ) = 2 x2- 4 x - 5 , h a l l a r d o s f u n c io n e s g p a r a l a s c u a l e s ( f o g ) ( x ) = 2 x 2+
16x+25.
15- H a l l a r to d o s l o s p o lin o m io s f ( x ) d e p r im e r g ra d o t a l e s q u e :
( f o f ) ( l / x ) = , x¡¿0
16. Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s en R, t a l e s q u e :
f ( x ) = ( X+2 ■ « i * < 1 . ( g o f ) ( x ) 2 , s i x > 2
_ (x -1)2+3, s i x > 1 L x - 5 > s i x ^ 2
H a l l a r l a f u n c ió n g ( x ) . G r a f i c a r l a f u n c ió n g.
17- Sean l a s f u n c io n e s : f ( x ) = / X > s i x < 1 ^ g (x ) = / _X ’ X < 2
|_ - x $, s i x i - 2 l_2x , s i x >y 4
H a l l a r e l D om (gof).
18. Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s p o r : f ( x ) = [ £ x j ¡ , x e [ 4 , 9 ] .
g ( x ) = x2- x + l / 4 , x e [ - 3 , 0 ] . H a l l a r e l D om (fog).
19. Sean l a s f u n c io n e s de v a r i a b l e r e a l : f ( x ) = 1 * > s i x * 1
l _ x ’ > s i x ^
/ \ I x-1 , s i x < 2 , .
g' ' = 1 2 , s i x i 4 • H a l l a r e l Dom ( g o f ) .
2 0 . Sean l a s f u n c io n e s : f ( x ) = 2 í2+ 1, s i x e < -2 ,2 0 > , g (x ) = x e<6 +“ >
H a l l a r f o g .Sólo fines educativos LibrosVirtual

433. 420 C apitulo 5: F unciones
{
2x+3 x :> 1
3x-1 , x < -1
E s t a b l e c e r e l v a l o r de v e rd a d d e l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c i o n e s :
a ) x e[ -2 ,- 3 / 2 > -» ( g o f ) (x )= 6x + 4 c ) x < -1 ( f o g ) ( x ) = - 2
b) R a n (f )- R a n ( g ) = [ -2,1>
2 2 . D e te rm in a r fo g s i f(x ) = 3 x + 2 , s i x e < - ~ , -3> y g (x ) _ J ^ x ’ s i x 0
| -3x , s i x >, 1
23* Sean l a s f u n c io n e s r e a l e s de v a r i a b l e r e a l :
f ( x ) = J X+^ ’ X ^ ^ , g ( x ) = { X > x < 0 _ H a l l a r fo g y su d o m in io .
| x-1 , x > 1 \ 1- x 2 , x í. 0
2 4 . Sean f y g f u n c io n e s d e f i n i d a s en R p o r:
\ f x2-3x , s i x í 3 / \ Í 3- x , s i x í 1 „ , , ,
f ( x ) = 2 , g ( x ) = J . H a l l a r fo g y s u ra n g o
( - x z +3, s i x > 3 ( 5- x , s i x > 1
25- Dadas l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s en R, p o r:
Í
x+3 , s i x e [ - 5 , - 3 ]
2x-1 , s i x e < -3 ,1 > . H a l l a r ( f o g ) ( x ) .
4x+1 , s i x c [1,3]
2 6 . Sean l a s fu n c io n e s f y g d e f i n i d a s p o r :
[ l X+6l , s i -4 < x .< -1
g ( x ) = < |x + 3 |-3
[/ITx -2 , si -1 < X < 5
27* Sean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s p o r :
f ( x ) ’ s i xe< - 3 .1 > . g ( x ) = s i x « [ 0 .4 ] _ H a l l a r fo g
| 1/ x , s i x e [3,8] [0 , s i x e < 4 ,7 >
ííTi - ««-I."» í II x II . xe[0,1>
2 8 . S i f ( x ) - \ ; g ( x ) =< . H a l l a r f o g .
||x+1|, xe<1,2> | /x2-1 , x c[1,3]
29* Dadas l a s f u n c io n e s :
f ( x ) = / W ' . g ( x ) J I X- 1I1> x £ [ ° - 2> . H a l l a r g o f .
|2 , xc[1,2] | x1 , xe[2,3]
30. Sea l a f u n c ió n f ( x ) J -2+xSS " U2- 1 ) , * [ - 2 , 3 ]
| / 7 + 2 , XE [ 4,9]
H a l l a r , s i e x i s t e , f o f .
f (x )1-x'
|(x+2)2
, si x < -2
= [ - 2 , - 1 ]Sólo fines educativos LibrosVirtual

434. Sección 5.10: Funciones Crecientes y Decrecientes 421
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
____________§¡|
Definición 5.5 Una función f es no decreciente en un intervalo ía,b ] d e su
dominio, si para dos números x t, X i e t a . b ] , se cumple:
Xl < *1 ■* f(Xt) 4 f(xz)
y si ocurre que: x¡ < x z — f(xt) < f(x¡.)
entonces se dice que f es estrictamente creciente o simplemente creciente.
Es decir, u n a función es creciente o no decreciente en [ a , b ] , si al crecer
la variable x tos valores de la función también crecen (Figura 2) o permane
cen constantes (Figura 1: f (xl)-f(xt) en el trono CD)
(Función no decreciente) (Función creciente)
Definición 5.6 Una función f es no creciente en un intervalo Ca,b] de su
dominio, sí para dos números a ^ e t a . b ] , s e cumple:
X ¡ < X ! — f ( X , ) f(X x )
y si ocurre que:
Xi < x x -* f(xx) > f(x%)
entonces se dice que f es estrictamente decreciente o simplemente decrecien
5.10
F i g u r a 3
(Función no creciente)
F i g u r a 4
(Función decreciente)Sólo fines educativos LibrosVirtual

435. 422 Capitulo 5: F unciones
Es decir, u n a función es decreciente o no creciente en [ a , b ] , s í a i crecer
la variable x, los valores de i a función decrecen ( F i g u r a 4) o permanecen
constantes (Figura 3: f(x, )=f(Xz) en el tramo CD).
Definición 5 . 7 Una función f se dice que es monótona en un i n t e r v a l o [ a , b ]
d e s u d o m i n i o , s i y s ó l o s i c o r r e s p o n d e a c u a l q u i e r a d e l a s
dos definiciones antes mencionadas.
EJEMPLO . Analizar l a v e r d a d o falsedad de las siguientes p r o p o s i c i o n e s •
a) Si f(x)=ax+b, entonces x, < x 2 no implica q u e f(xz) < f(x2)
b) La función g(x)=axz+bx+c, a > 0, es monótona, entonces el rango de g es:
Solución, a) Sean X i y x 2 dos puntos del dominio de f(x)=ax+b | x« < x *
Para a > 0, si x, < x 2 -* ax¡ < ax2 ax¡+b < ax2+b
,f(xt) < f(x2) , f es creciente
Para a < 0, si x, < x 2 * ax i > a x 2 -*■ dx2+b > aX2+b
-*■ f(xi) > f(xi) , f es decreciente
Luego, si f(x)=ax+b, entonces: x¡ < x2 y* f(x2) < f(x2)
Por lo tanto, la proposición es verdadera.
o) Sea p:La función g(x)=axz+bx+c, a > 0, es monótona.
, j r 4ac-bz -
q:el rango de g es: ^ ,+“>
Tenemos la proposición; p * q
En p, completando el cuadrado obtenemos:
. , , b,z 4ac-bl
g(x) = a f x + Ta) * - i r
Si a > 0, la gráfica de g es una parábola cón
u • i ^ i. b i 4ac-bz
cava hacia a r r i b a , donde y k - —
Según el diagrama, g no es u n a función monoto
na, porque para x e < - “ , b ] g es decreciente y
p a r a x e [ h , +"> , g e s creciente. Por lo tanto, V(p)=F
Dado que Ran(g)=Uc , +“ > ■* V(q)=V. Luego: V(p •* q) s V(F ■* V) s F
2 D FUNCION INYECTIVA
_____________________;______________g
Definición 5.8 Sea f :A * 8 una función. Si c a d a elemento y del conjunto B
e s imagen de u n solo elemento x del conjunto A, s e dice quASólo fines educativos LibrosVirtual

436. Sección 5.10: Funciones Crecientes y Decrecientes 423
i a función f es u n a inyección o es inyectiva.
Dicho de otro modo:
Una función f:A * B es una inyección si Vx,,xz¿A
i) f(Xi)-f(Xi) en B * x, = x t en A
o equivalentemente:
íi) Xi ¿ x 2 en A * f(xt) i f(xt) en B
Es decir, en una inyección, la igualdad de las imágenes en el conjunto B de
llegada implica la igualdad de los elementos en el conjunto de partida A,
(1) Una función f:R •* fi e s inyectiva o univalente si una recta horizontal
(2) Una función que es creciente o decreciente en un intervalo la,b ] es ade
más univalente.
En la Figura 5: x x < x, * f(xx) < /(x,) , f es creciente.
x» f x x en A=[a,b] » f(xx) f f(xt) en B=lf(a),f(b)jSólo fines educativos LibrosVirtual

437. 424 Capitulo 5: F unciones
En i a Figura 6: x l <x¡. •* f(xj > f(xt) , f es decreciente
x¡ 4 x 2 en A = [ a , b ] ■* f(xl) 4 f(xzJ en B=[f(b),f(a)], f es univalente.
(3) Si una función inyectiva f es continua en un intervalo [a,b] su rango
se determina calculando los valores f(a) y f(b).
Asi, en la Figura 5, f es creciente en x e [ a , b ] -► Ran(f)=[f(a),f(b))
En la Figura 6, f es decreciente en x e [ a , b ] -► Ran(f)=[f(b),f(a) ]
(4) Para verificar si una función f:A * B es inyectiva se toman (x,y)ef y
(z,y)ef y se demuestra que x = z .
EJEMPLO 1. Sea la función definida en R: f(x)=3x+2. Es f inyectiva?
Solución. Sean x l,xzdDom(f ) , tales que: f(xl)=3xí+2 y f(xz)=3xz+2
Debemos probar que si f(xj=f(xz) -*■ i , = i ,
En efecto, si f(xl)=f(xz) ■* 3xz+2 = 3 x z+2 -* 3 x z = 3 x z
— i , = x 2 , f es inyectiva
x+l
EJEMPLO 2. Sea la función f(x)=e , demostrar q u e f es inyectiva VxeR.
Demostración. En efecto, sean x¡,xz Dom(f). Supónganos que:
f(Xi)=f(xz) — ex%+1= eXx+1 -* (Xi+l)lne = (x z+l)lne
-* X x + 2 = x z+2 -*■ Xi=xz .'. f es inyectiva
EJEMPLO 3. La función g: O ] + R, definida por g(x)=x2-l, e s inyectiva
Abe e < - “ , 0 ] ?
Solución. Sean x z, x z e < - ~ , 0 ] , tales que g(x¡)=xf-l y g(xz)=xz-l
Si g(xz)=g(xz) -+ x\-l = x\-l — « i = x\ -w- | x , | = | x 2 |
P e r o com o, x e < - » , 0 ] -*■ - x z = - x 2 -* x z = x 2 g es inyectiva:
EJEMPLO 4. Dada la función f(x)=2+2oc-xz, restringir su dominio de tal mg
do que f sea inyectiva.
Solución. Completando el cuadrado: f(x)=-(x-l)*+3
La gráfica de f es u n a parábola de
vértice en V(l,3).
Sean x l,xzeDcm(f) tales que: f(xl)=f(xz)
- 3 - ( x , - J) l = 3 - f x z- I ) 1 | x , - J ¡ = | x 2- I |
(xz-l=xz-l) v ( x 2- I = - x 2+JU
i-» (xi = xi) v f x x = 2-Xi)Sólo fines educativos LibrosVirtual

438. Sección 5.11: Función Inyectiva 425
S e o b s e r v a que se presentan dos alternativas, de las cuales solo interesa
la primera por cumplir con la condición de inyección.
En consecuencia, para restringir el dominio de f se presentan dos casos:
a) Para signos positivos (a la derecha del vértice): x-l % O -* x 1
-* f z(x)=3-(x-l)*, si x e [ J , + ” >, es inyectiva.
b) Para signos negativos (a la izquierda del vértice): x-¡ s O -<■ i v< J
-* f l(x)=3-(x-l)1, si es inyectiva.
Nota. Cuando se trata de funciones s e c c i o n a d a s , e s t o e s , s i :
I
f 3( x ) , X c D o m ( f 3)
f z ( x ) , x c D o m ( f z )
f , ( x ) , X e D o m ( f 3)
fn (x) , XeDom( fn ) .
donde: f = f l u fz U f, ll ■ • • Ufn
y Dom(f) = Dom(f3) U Dom(ft)u Dom(f 3) u . - • . U Dom(f )
entonces, la función f es inyectiva, si y sólo si:
i) Las funciones parciales: f 3, fz, f,, . . . , fn son inyectivas, y
i i) Ran(fl)h Ran(fz) = *
Ran(fi) r\Ran(fz) - $
Ran(fz) n Ran(fz) - $
Es decir, los rangos parciales deben ser dis­
juntos dos a dos. El diagrama de la figura ad
junta muestra una función f inyectiva seccio­
nada: f ¡ u f z, con dominio xc[a,b> u [b.c] = [a,c]
y en donde se observa l o siguiente:
a) f z e s inyectiva y creciente en [ a , b > , por
tanto, su rango e s [ f t ( a ) , f l ( b ) > .
b ) fz es inyectiva y decreciente en [b,c] ,
por tanto, su rango es [fz(c),fz(b)].
De a) y b) se observa que Ran(f¡)C\Ran(fz) = luego, f es inyectiva.
EJEMPLO 5. Determinar si la función f(x) = i ^ ^ ,1 > _ e s ¡nygc
( 4 x - x l - 3 , xc[2,4>
' tiva o no. Trazar su gráfica.
Solución. Sean: fz(x)=3-2x, xel~2,l>
y fz(x)=l-(x-2)1, Xc[2,4>
i) En /■,: s i fz(xt)=fz(xz) -* 3-2xl=3-2xl — -2xt = -2xz
-* i , = x , fi e s inyectivaSólo fines educativos LibrosVirtual

439. 426 Capitulo 5: F unciones
En f2: f2(x2)=ft(x2) - l-(xl-2)1=l-(x2-2)1 -* | x , - 2 | = | x í - 2 |
Dado q u e x c [ 2 , 4 > , esto es, x >, 2 ■* x-2 í- 0 -* | x - 2 | = x - 2
Luego: x¡-2 = x 2-2 -* X! = x 2 f2 es inyect iva.
ii) Determinación de los rangos de f , y f2:
En f¡(x)=3-2x, xeí-2,l>: para x¡=-2 f¡(-2)=3-2(-2)=7
x2=l - f i(1)=3-2(1)=1
Vemos que: X i < x 2 -» f(x2) > f(x2)
fi es decreciente -y Ran(f¡)=<f 2(x2),f¡(Xi)]
Ran(fi) = <1,7]
En f 2(x)=4x-xI-3, x c[2,4>
Entonces, para x¡=2 -*■ f2(xl)-l
x 2 =4 ->■ f2(x2)=-3
Vemos también que: X i < x 2 ■* f2(x¡) > f2(x2)
f2 es decreciente -*• Ran(f2)=<f2(x2),f2(x¡)]
Ran(f2) = < - 3,11
Luego, Ran(fl)DRan(f2) = ♦ •* f es inyectiva.
g j g FUNCION SOBREYECTIVA
Definición 5.8 Sea la función f:A ■+ B. Se llama sobreyección o función so­
breyectiva (suryect iva) a una función f de un conjunto A so
bre un conjunto B cuando todo elemento de B es imagen de por lo menos un e­
lemento de A; es decir, cuando el rango o imagen es todo B (conjunto de lie
gada). Formalmente:
ÍVycB , 3 x e A |f f x ) = y
1°
I, Ran (f) = B
f es sobreyectiva
Función Sobreyecti va Función no Sobreyect iva
EJEMPLO 1. Determinar si la función f :RR\ f(x )=2 x+3 es sobreyect iva.Sólo fines educativos LibrosVirtual

440. Sección 5.13: Función Biyectiva 427
Solución. (1) Se tiene: ycR (R es el conjunto de llegada) ->• y-2x+3
(2) Despejando x: x - xeDam(f)=R
(3) Aplicando f a cada lado de (2) se tiene: f(x)=f(-^) -* f(x)=2('~)+3- y
* f(x) = y , ¥ytR. Por lo tanto, f es sobreyect iva.
EJEMPLO 2. Sea la función f:R * R\f(x)=x*-1. Averiguar si es o no sobre­
yect iva.
Solución. (1) Sea yzR (Conjunto de llegada) — y=xz-l
(2) Despejando x: x = - </y+l * *x y+1 >, O * Ran(f)=[-!,+“>
(3) Aplicando f en (2): f(x)=f(±Sy+l) * f(x)=(±Sy+l)z-l=(y+l)-l = y
Por lo tanto: f(x)=y, Vy e [ - l , + “ >
(4) Dado que el conjunto de llegada es R y Ran(f)=í-1 ,+ ” > # R, entonces f
no es sobreyectiva.
Obsérvese que toda función es sobreyectiva sobre su rango, es decir, toda
función de la forma f:A * Ran(f) es siempre sobreyectiva. En consecuencia,
para s a b e r s i una función es sobreyectiva bastará hallar su rango y ver si
coincide con el conjunto de llegada.
EJEMPLO 3. Sea la apiicación f:l-l,5> * <-7,5]\f(x)=3-2x. Demostrar que
es sobreyectiva.
Solución. (1) Sea y e < - 7 , 5 ] (Conjunto de llegada) * y=3-2x
(2) Si x e [ - J , 5 > * - * - l S x < 5 - ' - > -7 < 3-2x -S 5 - y e < - 7 , 5 ]
(3) Entonces: Ran(f)=<-7, 5 ] = Conjunto de llegada. .’. f es sobreyect iva.
FUNCION BIYECTIVA
Definición 5.9 Se dice que una función f:A -* B es biyectiva o es una b i y e c
ción si a la vez es inyectiva y sobreyectiva. Formalmente:
y e fl , a¡xeA, tal que y=f(x)
r| Ranl
f es biyectiva
1 Ran(f) = B
En l a sigiente página se una interpretación gráfica de esta definición.
EJEMPLO 1. Demostrar que la función f(x)=mx+n, m,ncR, miO, es biyectiva.
Demostración. Debemos probar simultáneamente que f es inyectiva y sobreyec
tiva. En efecto:Sólo fines educativos LibrosVirtual

441. 428 Capitulo 5: Funciones
-------------- A --------------------►)
Función Biyecti va
Ran(f)=B
Función no Biyectiva
Ran(f)JB
(1) Sean x x,xzc:Doin(f) -* f(xl)=mxl+n y f(xz)=mxz+n
(2) Si f(xl)=f(xz) ■* mxi+n = mx¡+n -* mx¡ = mxz
-*■ x, = x¡ , f es inyectiva.
(3) Sea ytRan(f)=R -* y=mx+n
(4) Despejando x: x = ¿LH -» f(x ) = f(2~D) -* f(x) = m(^-^)+n
r m m m
-*• f(x) = y, f es sobreyect iva
(5) Por lo tanto, de (2) y (4) queda demostrado que f es biyect iva.
EJEMPLO 2. Determinar si la función f:[-l,6> -*■ [-7, ll>\f (x)=2x-5 es bi-
yectiva.
Solución. (1) Sean x z ,xzcl~l ,6> -•* f(xx)=2x,-5 y f(xz)=2xz - 5
(2) Si f(xx)=f(xz) - 2xx- 5 = 2xz - 5 - 2xx -- 2xz
-* x 2 = x 2 , + í r e [ - l , 6 > , f es inyectiva.
(3) Sea yc[-7,ll> (Conjunto de llegada) -» y=2x- 5
(4) Para xel-l,6> - Ran(f)={f(-l),f(6)> = [ - 7 . 7> i [-7,11>, esto es:
Ran(f) 4 Conjunto de llegada, luego, f no es sobreyect iva.
(5) Por lo tanto, f no es biyect iva.
FUNCION INVERSA Q
Definición 5 . 9 S e a la función f:A * Ran(f), cuya regla de correspondencia
es f- Vx,y) , xcDomff)}. Si f posee l a propiedad de
ser inyectiva, entonces se define la función inversa de f, denotada por f*,
a la función:
f* = {(y,x)\x-f*(y), xcDom(f))
Formalmente: y=f(x) *-► x=f*(y), VxeDom(f)
5.14Sólo fines educativos LibrosVirtual

442. Sección 5.14: Función Inversa 429
Observaciones.
(1) De la definición se tiene, f :A -~Ran(f), entonces, f*:Ran(f) -* A
Significa que: Dom(f*)=Ran(f) y Ran(f*)=Dom(f)
(2) Según la definición, f es inyectiva, entonces f* también lo es.
De aqui se deduce que (f*)* = f
(3) Si f es una api icación de A en B (f:A -» B) tiene función inversa
f*:B -* A, si y sólo si f es biyectiva.
(4) Si f es una api icación f :A -* B, tiene su función invrsa f*:Ran(f) -» A
(api icación), si y sólo si f es inyectiva.
PROPIEDADES DE LA FUNCION INVERSA
____________'
a) Si la función f:A * B es inyectiva y si f*:B ■* A es la función inversa
de f, entonces:
i) f*of = IA , siendo Domd^) = Dom(f)
ii) fof* = / g , s i e n d o Domíl^) = Ran(f)
b) Si f , g y h son funciones univalentes entonces:
i i i) fog es univalente v) Si h=fog ■* f=hog*
iv) (fog)* = g*of* vi) Si h=fog -» g=f*oh
Demostraciones
i) Sea acDom(f) -* f(a)-b , donde (a,b)cf
Esto implica que (b,a)tf*, o sea-f*(b)=a
Luego, para acDom(f): f*[f(a)¡ = f*(b) = a
Si xcDom(f) -* f*[f(x)) = f*(y) = x — f o f = I A
i i) Sea acRan(f), esto es, sea acDom(f*) -* f*(a)=b, donde (a,b)cf*
Esto implica que (b,a)cf, o sea que f(b)=a ■
Luego, si aeRan(f) -* flf*(a)¡ = f(b) = a
y si xcRan(f) — f[f*(x)¡ = f(y) = x *->• fof* = J 3
i i i ) Demostraremos q u e fog es univalente
En efecto, sea h=fog y s e a n x l,x1eDom(fog)
Si h(x1)=h(xí) - (fog)(x¡)=(fog)(x1) ■* f[g(x3)]=flg(xí)] d i
Si x 3,x3cDom(f) y siendo f univalente f(x,)=f(x3) -► x 3 = x 3
De (1): x 3=g(x¡) y - g(x3) = g(x3)
y dado que g e s univalente ■* x t = x z .'. fog es univalente,
iv) Demostraremos que: (fog)* = g*of*
En efecto, de i i i), fog es univalente, entonces existe (fog)*.
5.14.1Sólo fines educativos LibrosVirtual

443. 430 Capítulo 5: F unción Inversa
Según la definición formal 5.9, si y=(fog)(x) * x=(fog)(y) (1)
SÍ y=flg(x)I - g(x)=f*(y) - x=g*lf*(y)l=(g*of*)(y) (2)
De (1) y (2) se tiene: (fog)*(x) = (g*of*)(y) , VycRan(fog) = x = Dom(fog)*
- (fog)* = g*of*
Corolario. Si f,g y h son funciones u n i v a l e n t e s , tales que (fogoh)* existe,
entonces: (fogoh)* = h*og*of*
vi) Demostraremos que si: h=fog -* g=f*oh
(1) En efecto, si h=fog -*■ f*oh-f%(fog) (Composición por la izq. con f*)
(2) * f*oh = (f*of)og (Ley Asociativa)
(3) * f*oh = (Propiedad i))
(4) * (f*oh)(x) = (IDfog)(x)
(5> = lDflg(x)] = g(x), s i g(x)cDom(f)
(6) Pero Dom(fog) = )x |x eD o m (g ,) ~ g(x)zDom(f)l
(7) Entonces: (f*oh)(x) = g(x), si xcDom(fog)
(8) ■» f*oh = g , VxcDom(fog)
EJEMPLO 1. Dada la función f=i(l,3),(2,5),(4,7),(3,8)1, hallar: f*, f*of
y M * .
Solución. (1) Sea A-{1,2,3,4)=Dom(f) y B={3,5,7,8]=Ran(f). Por simple ins­
pección f es univalente (No existe dos pares con la misma se
gunda componente), entonces e x i s t e f*.
Por definición: f*={(3,l),(S,2),(7,4),(8,3)\ - Dom(f*)=Ran(f)=B={3,5,7,8)
(2) f*of = l(l,f*lf(l))),(2,f*lf(2))),(4,f*[f(4)]),(3,f*If(3)))}
= \(l,f*(3)),(2,f*(5)),(4,f*(7)),(3,f*(8))\
= 1(1,1),(2,2),(4,4),(3,3)) = / A
= Identidad sobre A = Dom(f) = U,2,3,4)
(3) fof* = l(3,f!f*(3)]),(5,f[f*(5)l),(7,flf*(7)¡),(8,flf*(8)))\
= i(3,f(l)),(5,f(2)),(7.f(4)),(8.f(3))\
= {(3,3),(5,5),(7,7),(8,8)) = %
= Identidad sobre B = Dom(f*) = { 3 , 5 , 7 , 8 1
EJEMPLO 2. Sea la función f:[-2,l> + R |f(x)-2x+3. Hallar la función f*,
si existe, y construir las gráficas de f y f*.
Solución. Si A-[-2,l>, la función tiene la forma, f:A * B
(1) Determinación del rango de f:Sólo fines educativos LibrosVirtual

444. Sección 5.14: Función Inversa 431
Si xe[-2,l> -2 ^ x < 1 <-* - J ^ 2x+3 < 5 +-► -1 4. f(x) < 5
Ran(f)=í-1,5> c. R , f no es sobreyectiva
Entonces, según la observación 4, la función inversa de f, si existe, ten­
drá la forma, f*:Ran(f) -» A
(2) Probaremos la inyectividad de f:
Sean
x t ,X x el- 2 ,l> -» y f(xt)=2xt+3
Si f(x,)=f(xt) ■* 2xt+3 = 2 x z+3 ■* x 2 = Xt , f es inyectiva - 3f*
(3) P a r a determinar la función inversa de f existen dos métodos:
a) Haciendo uso de la propiedad: fof*=l
Si f(x)-2x+3 y (fof*)<x)=x - f(f*(x)l=x - 2[f*(x)]*3=x f*(x)= £ £
b)Método de intercambio de variables (x por y e y por x)
x-3
x e [ - l , 5>S í y=2x+3, cambiando variables: x=2y+3 -*■ y-f*(x)=
f*:í-l,5> - t - 2 , l > | y
En las gráficas de f y f* podemos o b s e r v a r
que el punto P(0,3)ef es el reflejo del pan
to Q(3,0)ef* respecto de I(x), o sea que la
recta y = x es la mediatriz del segmento de
recta que une P con Q. En general el punto
P(a,b)ef es el reflejo del punto Q(b,a)cf*
respecto de la recta y=x. De aquí que la grá
fica de f* se obtiene por reflexión de la
gráfica de f, respecto de la recta y=x.
EJEMPLO 3. Sea la función f=i(x,y)\y=xt-4, xe<-»,-2]í. Determinar f*, s í
existe. Verificar que fof*=l para xeRan(f) y f*of=I, xcDom(f)
Solución. (1) Debemos probar que f es inyectiva en todo s u dominio.
Sean x 1(x , , e < - » , - 2 ] ■* f f , x , ) = x í - 4 y f(xí)=xl~4 .
Si f(xí)=f(xt) ■* xl~4 = x|-4
- x \ = x l * - |x,|=|**l
Dado que x e < - “ , -2] -* -x, = -x*
-* x, = x t , f es i n y e c t i v a 3f*
(2) Rango de f: Si x - S -2 * x* i- 4
-* x * - 4 O -» y >, O Ran(f)=lO, +“ >
(3) Cálculo de f* por intercambio de varia
bles: x = y * - 4 y=±/x+4
Como el Dom(f)-Rxm(f*)= < - « , - 2 ] , debemosSólo fines educativos LibrosVirtual

445. 432 Capitulo 5: Función Inversa
elegir: y=-/x+4 -*• f*(x)=-*'x+4 , x e [(),+••>
(4) En las gráficas de f y f* se puede observar la simetría de ambas respec
to de la recta y = x .
(5) De las funciones f(x)=x1-4 y f*(x)=-Sx+4 se tiene:
(fof*)(x) = flf*(x)) = f(-/x+4) = (-/x+4)*-4 = x, para x e [ 0 ,+ » >
(f*of)(x) = flf(x)) = f*(xl-4) = -/x*-4+4 = - | x | = - ( - x ) = x , x e < - “ , - 2 ]
fof* = I , para x e [ 0 , + “ >= Ran(f)
f*of = I , para x e < - “ , - 2 3 = Dom(f)
E J E M P L O 4. Sea la función f:R * R, definida por f(x)=x*-2x+3. Establecer
si existe función inversa de f; en caso contrario, restringir
su dominio de modo que exista tal función.
Solución. (1) Completando el cuadrado: f(x)=(x-l)z+2
Probemos si f es inyectiva VxcR.
Sean x,,xteDom(f). Si f(xl)=f(xl) ■* (xí-l)z+2 = (x1-l)z+2
* | x i - l | = | x j - i | *■» (Xi-l-x^-1) v f x ! - l = - x , + 2 ; *-* (Xi=xt) v (Xi=2-Xi)
Luego, f no es inyectiva porque i , tiene dos valores diferentes. Por lo que
no existe función i n v e r s a d e f.
(2) Trazando l a gráfica de f vemos que
Ran(f)-l2,+'¡‘>, y que l a condición de ín-
yect ividad ocurre para x í- 1 (derecha del vér­
tice, f es creciente) o para i \ < 1 (izquierda
del vértice, f e s decreciente).
(3) Cambiando variables: x-(y-l)z+2
*■* y = 1 ± /3 F 2
(4) Como Dam(f)=Ran(f*), veamos la restric­
ción del dominio en cada caso:
Para x i. 1 » Ran(f*)=íl,+a>, en (3): y = 2 + / x - 2
x < J + Ran(f*)-<-“ , 1\, en (3): y=l-/x=7
(5) Por l o t a n t o : f * ( x ) = l + / x - 2 , s i x e [ 2 , + » >
f*(x)=l-2x-2, si x e [ 2 , +“ >
E J E M P L O S. Determinar, si existe, la función inversa de:Sólo fines educativos LibrosVirtual

446. Sección 5.14: Función Inversa 433
Solución. Siendo f una función s e c c i o n a d a p r o b a r e m o s la inyectividad de ca­
da u n a de las subfune iones:
t a l = | * , |1) Si fl<xj= f¡(x1) -
Para x e [ —i , 2 > , x < O
Si fl(xí)=f3.(xl) -
Si f,(xl)=f,(xl) -
-* -X j = - X j -* x , = X j , fj e s inyectiva
/ 5 + x , = /2 + X j -<• 2+x1=2+x1 ■* X j= x , , / j e s inyectiva
1- ^X j i - | x j X j , / , e s i n y e c t i v a
Con lo que queda demostrado la inyectividad de f.
2) Determinación de los rangos de f í , ft y / , :
f j es decreciente en x e [ - 4 , - 2 > -» Ran(fL) = <ft(-2),f(-4)] = < 3 ,9 ]
/ , e s creciente en x e [ - 2 , 2 ] -* Ran(fz) = / » / £ > ] = [ 0 , 2 ]
/ , e s decreciente en x e < 2 , 6 ] Ran(f= [f,(6),f(2)> = [ - 2 , 0 >
(Nota. En f, d e i p a s o ( i ] , verificar que | [ “ j p j | = •!> e n x s < 2 ,6 ] >
3 ) Dado que Ran(f1)ñRan(f¡) = $
Ran(f¡)0 Ran(ft) = $
Ran(f1)nRan(f¡) = $
Procedemos a c a l c u l a r las funciones
inversas de cada subfunción:
4) En / , : x - - | y ‘ + i * y = ± /2 x - 2
Como Ran(f*)=Dom(fl)=[-4,-2>
*■ y= - / 2 x - 2 , x e < 3 , 9 ]
E n / t : x = / 2 + y -» > ^ * - 2 , X e [ 0 , 2 ] ,
En / , : x = l - y / 2 - * y = 2 - 2 x , X e [ - 2 , 0 >
- / 2 x - 2 , x e < 3 , 9 ]
f * f x ) = x * - 2 , X e [ 0 , 2 ]
2 - 2 x , X c [ - 2 , 0 >
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCIC IO 1. Sean g(x)=2xt-4x+5 con xc<2,5> y h f x > = | x | - 2 . Hallar el domi
ni o de g*oh.
Solución. (1) Veamos la inyectividad de g en x e < 2 ,5 >
Completando el cuadrado: g(x)-2(x-l ) * + 3 . La gráfica de g e s
una parábola con vértice en V(l,3). Luego, g es inyectiva para x i-1 (dere­Sólo fines educativos LibrosVirtual

447. 434 C apitulo 5: Función Inversa
cha del vértice), es decir, para xc<2,5> c l [ í , + » > .
(2) Rango de g: S ie n d o g una función creciente para xe<2,5>, entonces:
Raníg) = <g(2),g(5)> - Raníg) = Domíf*) = <5,35>
Í3) Dom(g*oh) = lx|xeDom<7i.) * h(x) eDamíg*) l = ÍR) * í \x\-2) e < 5 ,3 5 >
= 5 < | x | - 2 < 3 5 «-► 7 < | x | < 37
de donde: Domíg*oh) = <-37,-7> u < 7 , 3 7 >
EJERCICIO 2. Dada la función fíx)=3xt-6x+2 con dominio {-112,2/3]. Deter
minar el valor de verdad de cada afirmación:
a) f es inyectiva b) Ran{f)={f(-l/2),f{2/3)]
c) La función inversa de f es y-1- jj/3x+3 con dominio {-2/3,23/4]
Solución, a) Completando el cuadrado: f(x)=3(x-l) * - i . La gráfica d e f es
una parábola de vértice en V(l,-1) y es inyectiva para x i, 1
o x ^ - 1 . Como {-1/2,2/3] c -» f es inyectiva. La afirmación es V.
b) Para x^-1/2 - f{xl)=3í-l/2-l)í-l = 23/4
x z=2/3 - ftxz) = 3{2/2-l)t-l = -2/3
Vemos que: x , < x z -» f(xt) > ffxz) , f es decreciente en {-1/2,2/3]
-» Ranff) = Íf(xí), f(xí) ] = ífí2/3),fí-l/2)]. La afirmación es F a l s a .
c) Interccmbiando variables: x=3(y-l)t-l *■* y = 1 ± ^ / 3 x + 3
Como Ranff*) = Domff) - {-1/2,2/3], esto es, y < 1
Luego, y = 1 - /3x+3 , x e [-2 /3,23/4], La afirmación es verdadera.
EJERCICIO 3. Sean f y g funciones inyectivas tales que: f*(x) =
g f x > = ^ 3 •' si (9*of)(u)=3, hallar íf*og)(u+2).
Solución. (1) Intercambiando v a r i a b l e s , en f*: x = -► y =
- f M - ■ fl. g: X = £ f - g*íx) - ^ í f - 3 + ¿
(2) Si (g*of) íu)=3 - g*[f(u)]=3 - g*(f^) = 3
/ o > r\ _ * ✓ 3 u * __ r> , 6 3 (2u~l)
(3) Pero: g*{-^) - 3 * - -¡¡j j-
u-2 ~
Í4) De (2) y (3): - 3 , de donde: u=2
ÍS) Luego, íf*og)(u+2) = f*[g(4)J = f í f f i = f*(7) =Sólo fines educativos LibrosVirtual

448. Sección 5.14: F unción Inversa 435
EJERCICIO 4. Sea f:l 3 ,+ - > - R definida por f(x) = > x e t3 < 9 ]
|5cc—9 , xe<9,+<”>
Determinar el valor de verdad de las siguientes a f i r m a c i o n e s
a) f no es inyectiva Í3 + Sx , * e [ 0 , 3 6 ]
b) f(f(7)l = 71 c ) f * W ? L .
t Xe<36,+~>
Solución, a) Sean f¡(x)=(x-3)z, x e [ 3 , 9 ] y x t,XzCDom(ft)
Si fi(xx)=fX(xl) -* (xl-3)i=(xí-3)i «-*■ | x , - 3 | = |* i - 3 [
Pero como x e [ 3 , 9 J , x > 3 ■* X i- 3 = X i- 3 -*■ i i = X j , f , es inyectiva.
Sean fz(x)=5x-S y x t,Xz^Dom(f t)
Si f¡(x,)=fz(x1) •* 5xi-9=5xz~9 ■* 5x¡=Sxt -*■ x,=xz , fz es inyectiva.
Ran(fz)=lfi(3),fi(9)3 = [ 0 ,3 6 ] ; Ran(fl)=<fz(9),fl(~)>=<36,+~>
Siendo fi y fz inyectivas y Ran(fl)nRan(fl) = ♦ , entonces, f es inyectiva.
Luego, la afirmación es falsa.
b) f(7)=(7-3)z=16 - fíf(7)J = f(16) = 5(16)-9 = 71
La afirmación es verdadera.
c) Por a), f e s i n y e c t i v a ■* 3f * . Luego, intercanbiando variables en f, y
f i S e tiene: En f , : x=(y-3) 1 **■ y=3±¿x
Pero como e l Ran(ft) = Dom(fz) = [ 3 ,9 3 * y=3+</x , x e [ 0 , 3 6 ]
En fi: x=5y-9 ■* y = j¡(x+9) , xc<36, +">
(3+Jx , x e [ 0 , 3 S ]
Entonces: f*(x) - < Q -L a afirmación es verdadera.
, x e < 3 6 ,+ » >
EJERCICIO 5 . Definimos en R la función f por f(x) = —— —
I + |*|
a) Determinar si f es biyectiva de R a <-4,4>
b) Determinar si existe la función f*.
c) Esbozar la gráfica de f y f* en un mismo sistema coordenado.
Solución. Sean f¡(x) = ^ = 4 - , x O y ft(x) = j r | - = "4 + j ^ j j , x<0
a) Veamos la inyectividad de f , y f , :
& i f , , sean x „ x teDom(f ¡). Si f,(x,)=f1(x1) -* 4 - = 4 - j ~
** = - x * = x * • f > es i " y e c t i v a -
En f „ sean x ltx teDom(f t). Si f, f * , ; = f t f * t 3 - -4 + = -4 + -¡¡3j r
-* J - * ! = l - * i -+ x , = x , , f t es inyectiva.
Determinación de los rangos de f L y f t.Sólo fines educativos LibrosVirtual

449. 436 Capítulo 5: Funciones
f i(x) = 4 - e s creciente f e e [ 0 , + <”> -*■ Ran(fx) = lfi(0), f(+a)>= [0,4>
f i(x) = -4 + e s creciente Vxe < - “% 0 > -» Ran(ft) = <f(-m),f(0)> = <-4,0>
(Verificar analíticamente los rangos de f x y fi)
Siendo f, y fi inyectivas y Ran(f ¡) n Ran(ft)=‘> -* f es inyectiva VxeR
Como el Ran(f)=Ran(fí)uRan(fi) = <-4,4>=Conjunto de llegada, entonces f es
biyectiva de R a <-4,4>. y
b) Siendo f inyectiva, existe la función f*.
Intercambio de variables:
En y =
4 - x
x
4 + x
x e [ 0 , 4 >
X E < - 4 ,0>
f*(x) =
4-x
, x e[0,4>
- , xt<-4,0>
4+x
c) Obsérvese que la fráfica de f* se ob­
tiene de la gráfica de f por reflexión
respecto de la recta y=x.
EJERCICIO 6. Hallar, si existe, la función inversa de:
¡ >/x-x1+2 + 1 , -1 4- x 4 1/2
f(x) =
(2 - 7/x+l , 2 < x < 4
Si existe f*, graficar f y f* en el m ism o plano.
Solución. Veamos la inyect ividad de f:
(1) Sean f i(x) = / 2 + x - x 1 +1 = /9/4-(x-l/2)i +1 y x ,.Xi^Domff¡)
Si fi(Xi)=fi(xt) - / 9 / 4 - f X i - J/2) l+l = /9/4-(xí-l/2)t+l
- (xl-l/2)1=(xl-l/2)1 - | x , - l / 2 | = | x » - J / 2 |
Como x e [ - 1 , 1 / 2 ] , x - í 1/2 - -(xi-l/2)=-(xl-l/2) - x x=Xi, f x es inyectiva.
(2) Sean: ft(x) = 2- y x .
,X i^ - D o m ( fz)
Si f2(xx) = f t(Xi)
7 7
2 -¡ = 2
---------j
x,+1 x t+l
Xi+1 = x t+l
-* Xi = Xi , ft es inyectiva
(3) Determinación de los rangos de f 1 y f¡.
fi es creciente en [-1,1/2] * Ran(fi) = [ft(-l),fi(¡/2)] = [ 1 , 5 / 2 ]
/ , es creciente en <2,4> * Ran(ft) = <f¡(2),fi(4)> = <-l/3,3/5>
Siendo fx y f , inyectivas y Ran(ft ) O Ran(f¡)=i , f es inyectiva -+ sf*.Sólo fines educativos LibrosVirtual

450. Sección 5.14: Función Inversa 437
(4) intercambio de variables:
En f t: x = / 9/4-(y-l/2)l*l ~ y = 1/2 t /9/4-(x-l/2)1
Ran(f\)-Dom(fk) = [ - J , i / 2 ] , o sea y S 1/2 — y
En fz: x = 2
1/2 - J9/4-(x-l/2) 2
f*(x)
2-x
~(l-/5+8x-4xl), x e [ i , 5 / 2 ]
x+5
2-x
, xc<-l/3,3/5>
(5) Obsérvese que las gráficas de f l y
f* son p a r t e s d e l a s circunferencias
C 1:(X-l/2)*+(y-l)z=9/4 y
€ 2 :(x-1)*+(y-l/2)2 =9/4 respectivamente
EJERCICIO 7 . Demostrar que la función f definida por: f(x)=6-2x- x 2 con
Dom(f) = [-4,-2]u <0,2] es univalente y hal lar f*.
Solución. f(x)=8--^(%+2)*, xc(-4,-2]u <0,2]
La gráfica de f en R 2 e s la parábola de vértice V(-2,8)
(1) Sean x ¡,x1cDom(f) y si f(xl)=f(xl)
- 8- jf x 1+ 2 > 2 = 8- | Í X j + 2 ] 2
(1)- I * . + 2 I = k i + 2 l
a) Para x , , x 2e [ - 4 , - 2 ]
Como x -2 -» x + 2 .$ 0 -<■ |x + 2 |= - ( x + 2 ]
Luego, en (1): -(xl+2)=-(xz+2) -* x t = x 2
b> P a r a X j . X j E í O ^ ^ x > 0 -* |x + 2 |= x + 2
En (1): x , + 2 = x z +2 -» x ¡ = x l
(2) Rango de f en cada intervalo:
f¡(x)=8- \(x+2)1 e s creciente en [ -4,-2] /
2 I
Ran(fi) = [ /• 1f - 4 ] , / - 1f - 2 ; ] = [ 6 . 8 ] ~
f¡(x)=8- - ^ f x + 2 ] 2 e s decreciente en <0,2] -* Ran(fz) = [ / ' I f 2 ] , / " 2 ('0 ]> = [ 0 ,6 >
P o r a ] , t>] y Ran(f ¡) n Ran(fz) = $, f es univalente -* a /’*.
( 3 J Intercambiando variables: x - 8 - ¿(y+2)1 «-» y = -2 ± /16-2x
Si Ran(f*)=Dom(f,)=(-4,-2] , y S -2 - y =-2-/16-2x , xe.16,8]
Si Ran(ft)=Dom(fz)=<0,2l , y > 0 y = -2+S16-2x , x e [ 0 , 6 >Sólo fines educativos LibrosVirtual

451. 438
Capítulo 5: Funciones
1-2 - 4 6 ^ , x e [ 6 ,8 ]
••• f * M = i
______
|-2 + /16-2x , x e [ 0 , 6 >
EJERCICIO 8. Sea la función definida por f(x) = • Hollar los valo­
res de a y b si se cumple simultáneanente las condiciones:
a) Dom(f*)=R-{2) y b) f*=f
Solución Sea v = -► x = 2J?yt§. f*/x \ - 2bx+¡>c o i u c i o n . c e a y 3x_2b x 3 y _Q j tx> 3 x _a
Entonces, f* es real +-* 3x-a = O *-+ x = a / 3 -*■ Dom(f*)=R-{a/3)
Por a): Dom(f*)=R-{2\ - a/3 = 2 •— a = 6
Por b): f*(x) = /" ( x ) -» g = § ~ T ~ f b ' L a ‘ffooldad se cumple si: b=3
r<*> = !P § • 0=6 • b=3
EJERCICIO 9. Sea la función f definida por f(x)= J x J +/x- J x J , x e [ - l , 3 ]
a) Hallar l a función f*.
b j Graficar f y f* en u n mismo plano.
Solución, a) Puesto que x - [ £ x j | O, VxtR, entonces, si
j j x j | = n ** n < x < n+1, neZ ■+ f(x)=n+/x-n, xe[n,n+l>
(1) Veamos si f es inyectiva Vxe[n,n+1>
Sean x¡,xzcDom(f), si f(x¡)=f(xz) ■*■ n+/xx-n = n+/xz-n
■+ x í-n=x2-n - x , = x 2 , f e s inyectiva
(2) Cálculo del rango de la función f:
[ [ x j ] = n +-+ n 4 x < n+1 *-*0 4 x-n < 1 *-+ O 4 / x - n < 1
*-* n 4 n + /x-n < n+1
*-+ n 4 f(x) < n+1 -+ yc[n,n+l>Sólo fines educativos LibrosVirtual

452. Sección 5.14: F unción Inversa 439
dando valores a n, (n=-l,0,1,2) de modo que cubra todo el intervalo [ - 1 . 3 ] ,
f(x)
-1 + /x + 7 , xe[-l,0>
/x , x e ( 0 , í >
¡ + /x-l , xe[l,2>
2 + /x^ 2 , x e [ 2 , 3 >
3 , x=3
-1 + (x+l)z , x e [ - í , 0 >
x* , x e [ 0 , ] >
f*(x) = \l + (x-l)1 , xc[l,2>
2 + (x-2)1 , xe[2,3>
3 , x=3
(x+2)(2xz-7x+6)(x-l)
EJERCICIO 10. Sea la función f(x) -
--------(x-2) (xi+x-2)-------
a) Demostrar que f es univalente,
b) Hallar f* y esbozar las gráficas de f y f* en un mismo plano.
(x+2)(2x-3)(x-2)(x-l)
Solución, a) En efecto, f(x) = - 2x-3 , XeR-
(x-2)(x+2)(x-l)
Si Dom( f)=R-{-2,1,2] ■+ Ran(f)=R- {f(-l), f(l), f(2) )=R-
Sean x í,x¡cDom(f). Si f(xl)=f(xl) ■* 2xí-3=2x1-3
Luego, f es univalente, por lo tanto, existe f*.
b) Intercambio de variables:
■> ■> x+3
x = 2y-3 + y = —
f*(x) = ■ xcR~-7,-1,1)
EJERCICIO 11. Dadas las funciones:
. í 2-x* , /'ó A x -í 2 , , / i ,
f(x) ( v ' ; g(x)= / I x 1
l l-/xz-4 , x S -4
-4|-3, x e<-",-4]u
<0,2]
tales que f-h*og.
a ) Demostrar que f y g son funciones univalentes.
b) Hallar la función h.
Solución, a) Sean f ¡(x)=2-x*, xe[//3,2] y f¡(x)=l-/xI-4, x e< -= > ,-4 ]
(1) En f ¡: Si -* 2-x\=2-x\ -> | x , | = | x 2 |
Como xt[/3,2], x > 0 -» |x | = x -► x l=x1 , f t es univalente
(2) En f2 : Si fl(x¡)=fl(x1) - 1- /x\-4 = 1- / x f - 4 - | x 2 | = | x 2 |
Siendo x e < - ~ , - 4 ] , x < O -* | x | = - : ; ■* - x 2= - x 2-> x 2= x 2 . fx es univalente
(3) Determinación de los rangos:
f t(x)=2-xz es decreciente en [/3,2] + Ran(fl)=lfí(2),fl(/^)]-[-2,-l]Sólo fines educativos LibrosVirtual

453. 440 C apitulo 5: F unciones
f 2 (x) e s creciente en < - “ , - 4 3 -* Ran(fi)=<fi (-*>),fi(-4)] = < - “ , 1-2/3)
Siendo Ran(fi)nRan(fz) = 4>, entonces existe f*.
-4 , si * * >y 4 <-► ( x 4 -2) v ( * í - 2)
si -2 < x < 2
Interceptando los dominios parciales con el Dom(g) =<-<»,-4] u <0,2 J obte-
(4) |jcz -4fI =
_ í * 1 - 4
{ 4 - * *
m o s : g(x) =,
si x 4 - 4
( /4 - jc * - 3 , si 0 < x 4 2
(5) Sean * ,,xzeDam(gl). Si g 1(xl)=gl(x1) -
—*
Como x 4 -4, o sea, x < 0 -* -xx = - * z
(6) Sean x l,xlcDom(gí). Si gí(x1)=g1(x1) —
(Bi>
(9i)
AcfA-S = /rf-4-3
x\-4 = x\-4 - | * t j = | * i |
-*■ x t = x t , g t es univalente.
/4-x\-3 = /4-xl-3
— 4 - * í = 4-xt -♦ ¡o:» | = |* z |
Como * e < 0 , 2 > , o s e a * > 0 -*■ | * | = i ■* xi = * i , g t es univalente.
Luego, de (5) y (6), g es univalente -Vx^Domíg)
b) Si f - h*og -*■ fog* = (h*og)og* = h*o(gog*) = h*oI = h*
-► (fog*)* = (h*)* * gof* = h
(7) Intercambio de variables en f t : x=2-yl *-* y = -•'2-x
Siendo Dom(fl)=Ran(fl)=[/3,2 3 -* y=<72-x , * e [ - 2 , - l 3
(8) En f, : * = l-/y*-4 y = t/4+ d - x) 1
- 4 3 -» y = -/(x-l)1 +4, * £ < - “ , 1 - 2 / 3 3
* e [ - 2 , - l 3 (fl )
z+4 , * e < - » , i - 2 / 3 3 (ft )
9) gof* está definida *-* Dom(g) t\Ran(f*) f
Dado que Ran(f*) = Dom(f¡) = [ /W,2] y Ran(f*)=Dom(fz)=<-«>,-4]
Vemos que solo existen: g tof$ y g z o f f
Ran(f*)c Dom(gt) -* Domlg^f*) = Dom(f%) = <-«-,1-2/3]
Ran(f*)cz Dom(gt) -» Domfg^of*) = Dom(f*) = [-2,-1]
10) Luego: (g,of*)(x) = g^fiíx)] = g¡[-/(x-l)*+41 = /(x-l)*+4-4-3=¡x-l\-3
Siendo xc<--,1-2/3], o s e a * < 1 -+ (gvofZ)(x) = -(x-l)-3 = - * - 2
= g t[f*(x)) = g i í / F S ; = / 4 - f 2 - * ; - 3 = / * Í 2 - 3
/x+2-3 , s í * e [ - 2 , - 1 3
Dom(ft) = Ran(ft) = <
f*(x) == f/^
Í - / í * - j ; 2
h(x) = gíf*(X)] -
EJ ERCICIO 12. Sea la función: f(x) =
Determinar, si existe, la función f*
■x-2 , si * e < —“ ,Í-2 /3 T 1
-(x+2)x-4 , xel-5,-2]
2 * [[* + 3 J , * e < - 2 , -1>
/* + ! + 2 , * e < - i ,3 >
4 , si * = - J
Graficar f y f* en un mismo p l a n o .Sólo fines educativos LibrosVirtual

454. Sección 5.14: Función Inversa 441
S o l u c i ó n . Determinemos la univalencia de cada una de las subfunciones de f.
(1) Sean: f z(x)=-(x+2)z-4 , x 2 , x 2e [ - 5 , - 2 ] , x < 0
Si fi(x¡)=f z(xz) ■* -(x¡+2)1-4 = -(xz+2)1-4 - | x , + 2 | = | x 2+ 2 |
Pero como x < 0 -* -(Xi+2) - ~(xz+2) -*■ x¡.=xz , fi es univalente.
(2) Sea / V x ; = 2 x [ [ x + 3 ] ] , x e < - 2 , - l > - - 2 < x < - 1 - 1 < x + 3 < 2
Luego, si ¡ f x + 3 j ] = I -*■ fz(x)=2x (función lineal) -» fz es univalente.
(3) Sean: f¡(x)=Sx+l+2 , x l,xze<-l,3>
Si fz(xz)=f¡(xz) -* /Xi+1+2 = / x 2+1+2 x z+l = Xi+1
i i = i i , f i e s univalente.
(4) f*(-l)=4 , es un punto del plano ■* fH es univalente.
(5) Verificar que los respectivos rangos son:
Ran(fi)=l-13, - 4 ] . Ran(fz)=<-4,-2> , Ran(f,)=<2,4> , Ran(fJ={4l
Como no hay intersección dos a dos entre los rangos, la función f es u­
nivalente ítc Dom(f) y por lo tanto, existe f*.
(6) Intercambio de variables:
En f í : x=-(y+l)l-4 -*-► y=-2 ± / - x - 4
Pero Dom(fx)=Ran(f*)=[-5,-2], y 4. -2 -► y=-2-/-(x+4)
- f*z(x) = -2-/-(x+4) , Xel-13,-4]
En fz: x=2y - y=x/2
— ■ f*(x)~x/2 , xe<-4,-2>
En f3: x=/y+l+2 -*■ y=(x-2)l-l
- fl(x)=(x-2)I-l, x e < 2 ,4>
En fh: y=-l , si x=4
-2-/-(x+4), X e [ -
f*(x)
x/2
(x-2)>
-1Sólo fines educativos LibrosVirtual

455. 442 C apitulo 5: F unciones
EJERCICIOS: Grupo 39
1 . f e s u n a f u n c ió n r e a l d e v a r i a b l e r e a l e i n y e c t i v a . S i f ) =a J
f * ( x ) = ¿x+1 ’ Pa r a c i e r t o r e a l x , h a l l a r e l v a l o r d e n = 4 x -5 .
2 . L as f u n c io n e s f y g s o n t a l e s que f ( x ) = g * ( x ) = ~ y
s e s a b e que e x i s t e un núm ero r e a l a t a l que ( f * o g ) ( a ) =6. H a l l a r e l núae
r o n = ( g * o f) ( a + | | ) .
3 . S ean l a s f u n c io n e s f y g d e f i n i d a s en R p o r f ( x ) = 3 2 , x¿2, g ( x ) = - ^ 3
x ^ 2 . S i ( g * o f ) ( u ) = 3 , h a l l a r ( f * o g ) ( u + 2 ) .
4 . S ea f una f u n c ió n d e f i n i d a en R p o r l a r e g l a : f ( x ) = -3 * 3 ° . g i f * (3)=
2a-36 y f * (5) -3a + b , h a l l a r e l v a l o r n = f* { a -3b ) .
5. S ean f(x ) = x * + 2 , g ( x ) = S i g * [ f * ( x ) ] = - 4 / 3 , h a l l a r n = g * (a + 5 ).
6. S ean f y g f u n c io n e s r e a l e s de v a r i a b l e r e a l t a l e s que f (x )= 3 x + 5 , g (x ) =
mx+b y f [ g ( x ) ] = x , VxeB. H a l l a r ( f * o g ) ( 1 / a + 5 ) .
7 . f e s una f u n c ió n r e a l b i y e c t i v a t a l qu e f [ f ( a ) ] = f (8) ; f * ( 8 ) = 3 . H a l l a r
e l v a l o r de n = f * [ f ( a ) J + - ^ f [ f * ( 5 ) ] .
8. S i f * e s u n a f u n c ió n b i y e c t i v a t a l q u e h a l l a r e l c o n ju n to so
l u c i ó n d e f ( c ) >
9- S ea l a f u n c ió n f : [ l , 4 ] •» [ a , b ] , t a l que f ( x ) = x2-2 x + 3 . D e m o strar que l a
f u n c ió n f e s i n y e c t i v a y h a l l a r a y b p a r a qu e f s e a b i y e c t i v a .
10 .' S i f , g y h s o n f u n c io n e s de R en R, d e f i n i d a s p o r l a s e c u a c io n e s f ( x ) =
2 | x | - x , g ( x )= > h (x )= 2 x + 3 . D e te rm in a r e l v a l o r de v e rd a d de l a s s i ­
g u i e n t e s a f ir m a c i o n e s :
a ) f e s i n y e c t i v a b ) g e s s o b r e y e c t i v a c ) h e s i n y e c t i v a
1 1 . S i f : B * R d e f i n i d a p o r f (x )= 2 ¡[ 2x ] ] , e s t a b l e c e r e l v a l o r de v e rd a d de
l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c i o n e s :
a ) f e s s o b r e y e c t i v a b ) f e s i n y e c t i v a c ) f ( l /2) - f (2/3)+ f(i^5 )= 12
1 2 . S ean l a s f u n c io n e s i n y e c t i v a s : f ( x ) = 3 x2-6 x + 4 , x e [ l ,+«■> y g (x )= -^ -p p X jM
S i f * [ g * ( a )] = 2 , h a l l a r n = f [ g ( a + 8 / 5 ) ] .
1 3 . Dadas l a s f u n c io n e s : f = { ( x , x 2) | / x ( x - 1) i - 0} y g= {( x,/ 3 - x ) | - 1 v< i 4 3 ! >
h a l l a r , s i e x i s t e , f o g * .Sólo fines educativos LibrosVirtual

456. Ejercicios: Grupo 39 443
14. Sea f(A)=B, una función definida en A=[-1,4] por:
_ j-<-3x , xef-l^* Hallar el valor de verdad de las afirma-
= / 5 ' 3x
(3xz--6x+12 , x e [ 2 , 4 ] ciones siguientes:
a) f es biyectiva b) B=<-1,36] c) f*(10)=1+»/3/3 d) f*(4)+f*(21 )=10/3
15- Dadas las funciones reales f(x) = í s(x) = -jp x/0; hallar el domi
nio de f*og*. (No es necesario hallar f* y g*).
16. Demostrar que la función f:R * <-1,1> |f(x) = | es Diyectiva.
17- Determinar analíticamente si la función f:R -► [-1/2,1/2] |f(x) = -| +x 2
es biyectiva.
18. Sea f una función real definida por f(x) = x¡X¡t< xe[0,+<»>-)2). Determi­
nar si f es biyectiva.
19- Sea f (x)= J 2x-4 J| (x2+2). a) Si f:[l,3] ■* R> hallar el rango y graficar
la función, b) Determinar, si existe, inversa de f(x).
20. Analizar si las funciones reales f y g son inyectivas:
f(x)
-2x+10 , x < 0
/x2+16 , 0 x <: 3 g(x)
¿ I . si x > 3
-x*-10x-21, xe[-5,-l]
, x«<1,2]
|x +3 |
21. Sea la función lineal f(x)=ax+b, xe[-3,3], a > 1/2
a) Si h(x)=f(x)+f*(x) = -|x + , hallar a y b.
b) Si g(x)=|x+3|-|x+1|, hallar fog, si existe.
22. Sea la función f inyectiva definida en R por la ecuación:
I
-/1 -X , x < 1
x-IxU , 1 -s X < 2 . Hallar f*(-2)+2f*0/2)+3f*(2)
3x-5 , 2 ^ x < 4
2x+1
23. Sea f una función real de variable real definida por f(x) = ■ ■ , x¿2
a) Determinar el dominio y el rango de f.
b) Determinar f* (si es posible) demostrando lo que fuera necesario.
c) Es verdad que el gráfico de f es simétrico respecto a la recta y=x?
d) Existe algún número real cuya imagen según f sea él mismo? Justifi­
car e interpretar geométricamente.
24. Decimos que una función f:A R, con A C R es estrictamente decreciente-
si: ¥xi,x*eDom(f): x x < x t f(xx) > f(x*). Demostrar que si una fun­
ción g:A ♦ B, con B C R es sobreyectiva y estrictamente decreciente, en-Sólo fines educativos LibrosVirtual

457. 444 Capítulo 5: Funciones
to n o e s : a ) g t i e n e i n v e r s a . b ) g* e s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e .
25. S i h ( x ) =
-2x + 2 , s i x í 0 a ) D e m o stra r que h e s e s t r i c t a m e n t e
-3 x -6 x + 2 , s i x > 0 d e c r e c i e n t e , b) D e te rm in a r h * .
26. Sea l a f u n c ió n f : < - 1 , 1 > -► R |f ( x ) = H a l l a r , s i e x i s t e , f * .
27. Sea l a f u n c ió n : f ( x ) = | ~ X ~2x ’ x e [ - 3 > -1> _ a ) H a l l a r , s i e x i s t e , f *
l2 + /3 + 2 X -X 1 , x e[ - 1 , 1 ]
b ) E sb o z a r l a s g r á f i c a s d e f y f * en un mismo p l a n o .
-1
28. D em o strar que l a f u n c ió n f ( x ) = —(12-4x+x*) , x e [o ,1 > U [ 2 ,3 ] e s u n i v a l e n ­
t e y h a l l a r l a f u n c ió n f * .
En l o s e j e r c i c i o s d e l 29 a l 3 8 , s e dan l a s f u n c io n e s r e a l e s f ; p r o b a r que
son u n i v a l e n t e s y h a l l a r , e n c a d a c a s o , l a f u n c ió n f * .
í 4 - / x l +12x+27, x 4 -1
29- f ( x)
31. f ( x ) =
+6x+6 , x > 0
x*+2x-2 , xe[-3,-2>
lX + 3 l , xe<-1,2>
x-2 -1
33. f ( x ) _ íx * + 4 x -5 , x e [ - 2 ,1 >
l^ x > 5 , x e [5 ,+ = >
35- f ( x ) =
4x-x* , x e < -~ ,2 >
3 0 . f ( x )= J|XI+1 ’
[/x+2 ,
x e [ - 4 ,- 2 >
x c [ - 2 , 2 ]
3 2 . f ( x )
-2 x* + 8 x -7 , x < 2
/ M , x >. 2
3 4 . f(x) = | xI-8x+7> xe< - 3 .
( ^7-2x , xe[-1,
{
x*+2x+2, x í. 1
x 5+4 , x < 1
-3 ,-1 > u < v 3
3>
3 6 . f ( x )
37. f ( x ) =
f + 1 , xe[-4,-2>
/2ÍÍ , xe[-2,2]
1 - j , xe<2,6]
3 8 . f ( x )
x1 , xe[l, 2>
[[ x J +«^- |X x ]], xe [-1 ,i>
-S=i , xe[-9,-1>
39- Dadas l a s f u n c io n e s r e a l e s de v a r i a b l e r e a l :
f ( x ) = i2 x ’ ^ ^ X ^ 2 . g ( x )= |x- 21, - 4 - í x -3/2
{ 1 - / x ‘ - 4 , x -í - 4
D e te rm in a r ( g + f * ) ( x ) .
4 0 . Sean l a s f u n c io n e s : f ( x ) =
x-1 , x £ [ - 1 ,2 ]
L x e < 2 ,3 >
1 2x J -2 [[ x ]] _ ’ g (x ) = ~ | > x /2
H a l l a r , s i e x i s t e n , l a s f u n c io n e s : f * y g * .Sólo fines educativos LibrosVirtual

458. Sección 5.15: Im agen D irecta de un Conjunto 445
x-3 1
41. Sea la función f(x) = — ? + 7— rn - 1» xe<1,2>; demostrar que f es uni
x-1 (x-1)2 n -
valente y hallar f*.
42. Dadas las funciones: f(x) = jXl-1 ’ X < -1 , g(x) J 2x'1- X < 0
I X + 1 , X -1 { / X , X í, 0
Hallar, si existe, fog*.
43- Sean las funciones f y g definidas por:
i Í 1 0 - / 2 - X , x < -2 / , í 4-x , x í -3
f(x) = I ’ ; g(x) =J
!
(x2+4 , 2 ^ x 4 | /2x-3, 3 ^ x ^ 4
Determinar una función h, si existe, tal que g=h*of.
44. Si f:[-4,6] -*■ [-2,2]u<3»9] está definida por:
|x2+1 , xe[-4,-2>
/2+x , xe[-2,2] . Demostrar que f es biyectiva.
1 - , xé < 2,6 ]
2x2 -12x+2 , -2 < x _< 3
f(x)
2+x - ' — '| A ±2 f x > 3
45- Sean f(x) = ^ , x < -2 y g(x) = ^
Hallar f*og indicando su dominio y regla de correspondencia.
46. Sea la función real f:A - B|f(x) = J~ 2^xí_2x"5^’ xet1’4 ^
¡ -2x + 3 , xe[- 2,1>
Haciendo las restricciones posibles, hallar A y B para que f sea biyec­
tiva, de modo tal que el dominio restringido sea el mayor posible.
47. Sean f,g,h y t funciones reales definidas por:
' 0Í2-x, x < 0 . h(x) x >. 1 . t( x ) J - 1 V 3 T , x <
|3-x, x > 4 | x , x < 0 | x-3 , x >
f (x)
' ' ' 4
Si t=hogof, hallar g y g* si es que existe.
*
f j j ) IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO
Definición 5.10 Sea una función f:A + B, donde A c R y B e R. si MC.A=Dom(f)
se denomina la imagen directa de M mediante-f, al conjunto
f(M), donde:
f(M) = ( /- f U lx e A i }
y se lee "Conjunto de las imágenes de x, tal que jceAí"Sólo fines educativos LibrosVirtual

459. 446 Capitulo 5: Funciones
o bien: f(M) = (y e B |a ;rc M „ f(x)=y)
Según esta definición:
ycf(M) «■ axcM\y=f(x)
En particular si M=A, entonces f(A) se llama imagen del d o m i n i o p o r f. Ade­
más, para toda función f se tiene: f(4)=i. Obviamente, f es s o b r e y e c t i v a s i
y sólo si, f(A)=B.
EJEMPLO 1. Sean los conjuntos: A={0,1,2,3,5, 7}, B={-1,1,3,4,6},
M={1,2,3,5} y N={0,5,3,7}, y sea la función f-{(O,1),(1,3),
(2,2),(-1,6),(7,5),(3,7)}. Hallar: a) f(M) b) f(N) c) f(MON) d) f(MDN)
Solución, a) M C A - f(M)={f(x) \x€M}={f(l),f(2),f(3),f(5)}. En f se tiene
f(l)=3 , f(2)=2 , f(3)=7 , f(5)=no existe - f(M) = {3,2,7}
b) N c A - f(N)={f(x)\xcN}={f(0),f(3),f(S),f(7)}.
En f: f(0)=l, f(3)=7, f(5) no existe, f(7)=S - f(N)={l,7,5}
c) M U N = 10,1,2,3, 7}C A - f(MdN) = {f(0),f(l),f(2),f(3),(7)}={l,3,2,7,S)
d) M n N = {1,3)CA - f(MDN) = {f(l),f(3)\ = ( 3 , 7 }
O b s e r v a c i ó n . f ( M ) u f ( N ) = { 3 , 2 , 7 } U { 1 . 3 , 7 } =11,2,3,5,7} = f(MON)
f(M) 0 f(N) = {7} JÍ f(MON)
PROPIEDADES DE LA IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO
Sea la función f:A ->■ B y M y N subconjuntos del dominio A.
ID.l Si un subconjunto del dominio es parte de otro, entonces la misma re­
lación vale para sus imágenes. Esto es:
Si f:A * B , M C A , N C A y M C N - f(M)cf(N)
Demostración. En efecto:
(1) Si M C N •— (xeM ~ xeN) ' (Def.c)Sólo fines educativos LibrosVirtual

460. Sección 5.15: Im agen Directa de un Conjunto 447
(2) Sea zcf(M) * 3xcM\f(x)=z (Def. de I .D)
(3) -*■ 3 x e N | / ( x , ) = z (Por ser M CN )
(4) - zef(B) (Def. de l.D)
(5) Por lo tanto, de (2) y (4): f(M) <= f(N) (Def.c)
ID.2 La imagen de la unión de dos subconjuntos del dominio, es igual a la
unión de sus imágenes. Esto es:
Si f:A - B , M C A y N C A - f(MUN) = f(M) U f(N)
Demostración. Probaremos la igualdad por doble inclusión
a) f (M O N) C f(M) u f(N)
En efecto:
(1) Sea zcf(MuN) - axc(M UN) | f(x)=z (Def. de Í.D)
(2) -► 3x|(XEAf v xcN) „ f(x)=z (Def. de U)
(3) * ( 3 x | x e A í ^ f(x)=z) v ( 3 x | x e N ^ f(x)=z) (Intersec. 1.12)
(4) - zcf(M) V zcf(N) (Def. de I.D)
(5) -> zcf(M) df(N) ■ (Def. de o)
(6) Luego, de (1) y (ó): f(M u N) C- f(M) u f(N) (Def.cz)
b) Probaremos ahora que: f(M) U f(N) cz f(MüN)
En efecto:
(1) Por la propiedad U.7 (Unión de conjuntos): A c ( A u B ) , VB
B C ( A u B ) , VA
(2) Si M c ( M u N ) - f ( M ) c f ( M ü N ) (ID.l)
(3) Si N C ( M d N ) - f(N) <r f(MUN)
(4) Entonces: f(M) U f(N) cz f(M UN)
Por lo tanto, de a) y b) queda demostrado que: f(MuN) = f(M)uf(N)
ID.3 La imagen de / a intersección de dos subconjuntos del dominio está in­
cluida en la intersección de las imágenes. Esto es:
Si f:A - B , M C A , N C A - f (M fl N) C f(M)nf(N)
La igualdad se cumple en el caso de que f sea inyectiva.
Demostración. En efecto:
(1) Sea zcf(MnN) 3 X e (Af n N) \f(x)=z (Def. de I.D)
(2) Í3XEAf|/7x,)=z.> „ f 3 X E A /|f r x ;= z ; (Def. n ;
(3) - [zcf(M)] „ [zcf(N)l (Def. de I.D)
(4) * zclf(M) O f(N)l (Def. P)
(5) Por lo tanto, de (1) y (4): f(MnN) c f(M)nf(N) (Def.C)Sólo fines educativos LibrosVirtual

461. 448 Capitulo 5: Funciones
ID.4 La diferencia de imágenes de dos subconjuntos del dominio está incluj_
da en la imagen de su diferencia. Esto es:
Si f:A - B , M C A y N C A - f(M)-f(N) S,f(M-N)
Se cunple l a igualdad en el caso de que f sea inyect iva.
Demostración. En efecto:
(1) Sea zz(f(M)-f(N)] - sxe[f(M)-f(N)]\f(x)=z (Def. de I.D)
(2) ( a x e f (M) | f (x)=z) „ (txcf(N)\f(x)=z) (Def. Dif.)
(3) - íztf(M)] ~ ¡ztf(N)] (Def. de I.D)
(4) - ze[f(M-N)] (Def. Dif.)
(5) Por lo tanto, de (1) y (4): f(M)-f(N) c f(M-N) (Def.c.)
i m IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO U
Definición 5.11 Sea una función f:A ■* B, A,B c R. Si S<=B=Ran(f), se
denomina l a imagen inversa o preimagen del conjunto S me­
diante f, a l conjunto f*(S), donde:
f*(S) = (xeDom(f)|f(X.) eS}
- Xef*(S) ~ f(x)eS
Es decir, un elemento del dominio pertenece a la imagen inversa de S s i y
sólo si su imagen pertenece a S.
EJEMPLO 1. Sean los conjuntos A={0,1,2,3,5,7), B={-1,1,3,4,6), S={-1,3,4.
6} y la función: f={(0,1),(1,3),(2,2),(-1,6),(7,5),(3,7)}, ha
llar f*(S).
S o l u c i ó n , f* = 1(1,0),(3,1),(2,2),(6,-1),(5,7),(7,3))
S C B - f*(S) = i * e D a m f f ; | / ( * ; e S ) = |/* ( x ,> |x e S |
- f*(S) = if*(-l),f*(3),f*(4),f*(6))
En f*: f*(-l) no existe, f*(3)=l , f*(4) no existe, f*(6)=-l
f*(S) = I I , -1)Sólo fines educativos LibrosVirtual

462. Sección 5.15: Im agen D irecta de un C onjunto 449
EJEMPLO 2. Dado el conjunto S=i-3,l,3l. Si f(x)=2x-5, hallar f*(S).
Solución. f*(S) = lxcDom(f)\f(x)eS)
SI f(x)=-3 * 2x-5=-3 « - x=l
f(x)—l - 2x-5=l -«• x=3
f(x)=3 * 2x-5=3 ~ x=4
f*(S) = )1,3,4í
PROP IEDADES D E LA IMAGEN INVERSA D E VN CONJUNTO
Para la función f:X •* Y y los conjuntos A d i y B c Y se c is n p ie n l a s s i ­
g u i e n t e s propiedades:
11.1 Si un subconjunto del dominio es parte de otro, entonces la misma re­
lación vale para sus imágenes inversas. Esto es:
Si AC.B - f*(A)cf*(B)
Demostración. En efecto:
(1) Si A C B * - (jce.4 - xeB) (Def. c )
(2) Sea zef*(A) ■* 3yeA|f(a:>eA (Def. de I.I)
(3) •* syeB| /(x)eB (Hipótesis: A cB)
(4) * Zef(B) (Def. de I.I)
(5) Por lo tanto, de (2) y (4): f*(A)c.f*(B) (Def.c)
11.2 La imagen inversa de la unión es igual a la unión de las imágenes in­
versas. Es decir:
f ( A u B ) = f*(A) u f*(B)
Demostración. En efecto:
(1) Si Xef*(A ÜB) f(x)e(AilB) ' (Def. de I.I)
(2) ~ (f(x)eA) u (f(x)eB) (Def.U)
(3) xef(A) v xef*(B) (Def. de I.I)
(4) ~ xc(f*(A) uf*(B)j (Def.U)
(5) Por lo tanto, de (1) y (4): f ( A U B ) = f*(A)tíf*(B)
11.3 La imagen inversa de la intersección es igual a la intersección de
las imágenes inversas. Es decir:
f*(Af) B) = f*(A)(if*(B)
La demostración queda como ejercicio.Sólo fines educativos LibrosVirtual

463. 450 Capitulo 5: Funciones
11.4 La imagen inversa del complemento de un conjunto del rango es igual
al complemento de su imagen. Es decir:
f*(A') = (f*(A)]'
Demostración. En efecto:
(1) Si xef*(A') — f(x)eA' (Def. de I.l)
(2) +-*■ f(x) i A <-► 'i*(f(x)eA] (Def. Comp. y Neg.)
(3) -* -v(xef*(A)j - - x i f*(A) (Def. 1.1 y Neg.)
(4) ~ xe[f*(A)]' (Def. Comp.)
(5) Por lo tanto, de (1) y (4): f*(A') = [f*(A)]'
11.5 La imagen inversa de la diferencia es igual a la diferencia de las i­
mágenes inversas. E s decir: f*(A-B) = f*(A)-f*(B)
Demostración. En efecto:
(1) Sea xe[f*(A-B)] * f(x)e(A-B) (Def. de 1.1)
(2) - f(x)cA „ f(x)iB (Def. Dif.)
(3) - xcf*(A) ~ xtf*(B) (Def. de 1.1)
(4) - xclf*(A)-f*(B)) (Def. Dif.)
(5) Luego, de (1) y (4): f*(A-B) = f*(A)-f*(B)
EJEMPLO 1. Dado el conjunto M=<-3,2 ] y la función f:R R |f f x > = |j c - J | + i ,
hallar f(M) y construir su gráfica.
Solución. Eliminemos las barras de valor absoluto en x=leM y volvamos a de
finir f de modo tal que su dominio cubra al conjunto M=<-3,2]=
<-3,l> U[l,2]; esto es: Si x < 1 -* f(x)=-(x-l)+l=2-x-+ f 1(x)=2-x, xe<-3,l>
x 'i. 1 -* f(x)=(x-l)+l=x ■* fi(x)=x, v r e [ i , 2 ]
Luego, VxcM\=<-3, 1>: -3 < x < 1 «-* -1 < -x < 3
*■» i < 2-x < 5 *-► 1 < fi(x) < 5
VxeMz=[l ,2]: 14x42-* 14 fz(x) 4 2
Entonces: f(M) = {f (x)=f¡ (x) U fz(x) IxcCM jU M t) ]
/ . f(M) = < 1 ,5 > U [ i , 2 ] = [1,5>
EJEMPLO 2. Sea la función f:R ■* R\f(x)=xt-2x+2. Determinar la imagen in­
versa del subconjunto del rango <2,5].
Solución. Si S=<2, 5 ] - Y * fS ; = [ x e R |y íf x ] e < 2 , 5 ] } (Def. de 1.1)
- 2 < f(x) 4 5 *-* 2 < (x-l)*+l 4 5 ** 1 < | x - i | í 4
~ (|x~l | > 1) ~ f | x - j | -s 4), de donde: f(<2,5]) = [-l,0>U <2,3]Sólo fines educativos LibrosVirtual

464. Sección 5.15: Im agen D irecta d e un Conjunto 451
EJEMPLO 3. Sea f:A + B u n a función definida por f(x)=xl+2x. Si SCB, de­
finimos f*(S)={xeA\f(x)eS). Según esto, si S = l y d l |3 < y ■$ S},
hallar las imágenes inversas de S.
Solución. xef*(S) +-+ f(x)E<3,81
<-*■ 3 < x z+2x 4 8 ■
' (x*+2x-3 > 0) * (xl+2x-8 4 0)
->-• (x+3) (x-1) > O * (x+4) (x-2) 4 O
*-* (x < -3 v x > 1) /s (-4 i í 2)
f*(S) = l-4,-3>ü<l,2)
--------2
Y
¡V— - - -
\ '
i \
-----------ji
m \ *
h-/¡{
*1
! i i
; í !
t 'llllf1! r "ii í11 .
-4 x - 3 0 f A
+ +
f * ( S > f * ( S )
EJ EMPLO 4. Para u n a función f:A •* B cualquiera y S C B , se define:
f*(S)=(xcA\f(x)cS). Según esto, para la función:
f(x) =
_Í8-4x , xe<-3,1 ] U <2, +■»> .
( 2 x + 2 2 , x c < - “ , - 3 ] U < i , 2 ]
hallar f*(<6,161)
Solución. Dado que S=<6,16] y S C f i , h a l l e m o s el Ran(f)=B.
(1) Sea f l(x)-8-4x , xe < - 3 ,1 ] U <2, +«■>
Si xe<-3,1 ] -3 < x 4 1 -4 4 -4x < 12 +-<■ 4 4 8-4x < 20
-> RanffJ = [4,20>
xs<2,+*>> +* x > 2 +-+ -4x < -8 «-*• 8-4x < 0 -*■ R a n(fx) = < - » , 0>
Ran(fx) = < - • »,0> U [4,20>
(2) Sea fx(x)=2x+22, x e < - » , - 3 ] U < I , 2 ]
Si x e < — , - 3 ] - x í - 3 - 2x 4 ~6 2x+22 4 16 -» Ran(fx) =
x e<1,2] ~*1< x42~2 4< 2x+22 4 26 ->■ Ran(ft) = <24,261
.'. Ran(ft) = <-«■, 1 6 ] o <24,261
(3) Determinación de f*(<6,161) = lx e A |/Y x J e S }
a) Vemos que: <6,161<Z(4,20> - f*(<6,161) = i x e A |f 1 6 ] } V
-* (8-4x)e<6 ,16] •— 6 < 8-4x 4 16
*-* -2 < -4x 4 8 -2 4 x < 1/2
b) También: <6, 1 6 J c < - ~ , i 6 ]
- f } C < 6 , i 6 ] 3 - { x e A |f j f x j e - í S , 1 6 ] >
- (2x+22)c<6,16] 6 < 2x+22 4 16
«-* -8 < x 4 ~3
(4) L u e g o , de a) y b), se tiene:
f*(<6,16]) = < - 8 , - 3 ] u [ ~ 2 , l / 2 >
f*(S)
( x k SSólo fines educativos LibrosVirtual

465. 452 Capítulo 5: F unciones
EJEMPLO 5. Sea f:A + B una fu n ción c u a lq u ie ra . Si S C B , d e fin im o s:
f * (S ) = { x e A \ f (x )c S ) . Si iy c R| ¡ y + 1 1 + 1y - 3 \ 4 6> y f ( x ) = l / x , ha
l l a r f* (S ).
Solución. Determinemos el conjunto S po r el método de los puntos c r í t i c o s .
y < -1 -1 -1 4 y .< 3 3 y i- 3
— CO ^ * i ■ I l i l i I. I y ... ■ . — . , »- 4 . 0 0
\ y + l|= - ( y + l ) ! | y + l | = + (y + l) ¡ | y + l | = + í y + l 1 '
| y - 3 | = - f y - 3 ; ¡ | y - 3 | = - [ y - 3 ; | | y - 3 | = + f y - 3 ;
Para y < -1, en S: - ( y + l ) - ( y - 3 ) 4; 6 «-=■ y >, -2 -» y e [ - 2 , - l >
-1 i y < 3, en S: ( y + l ) - ( y - 3 ) 4 6 +— 4 4 6 ->■ y e [ - l , 3 >
y 5. 3 , en S: (y + 1 )+ (y -3 ) i 6 +-+ y 4 4 -+ y e [ 3 , 4 ]
. \ S = [ - 2 , - f > u [-J ,3 > u [3.4] = [ - 2 , 4 ]
Entonces: f* (S ) = [xeA | (1 /x ) t [ - 2 , 4 ] } . Si ( í ) e [ - 2 , 4 ] ++ -2 4 S 4
*-* (i * ~2) ~ (í * 4) ~ (~ ¿ * 0) - (~¡r % 0)
+-+ (x 4 - 1 /2 V x > 0) „ (x < 0 V x 1 /4 ) <-> (x 4 -1 /2 v x >„ 1/4)
. f* (S ) = < - - , - 1 / 2 ] u [2/4, +»>
EJERCICIOS: Grupo 40
1. Sean l o s c o n ju n to s A=( - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 5 ,6] , B=1 - 1 , 0 , 3 , 5 , 7 ( , M = { - 1 ,0 ,2 ,3 t ,
S = l - 1 , 0 , 3 , 7 t y l a f u n c ió n f ( x ) = 2 x - 1 . H a l l a r f(M ) y f * ( S ) .
2 . Sean f:A + B una f u n c ió n y l o s s u b c o n ju n to s MCA y N C B . D e m o strar l a s
s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s :
a ) M C f* [f(M )] c ) f* (B -N ) = A -f*(N )
b ) f [ f * ( N ) ] c N d ) f [ M f lf * ( N ) ] = f ( M ) 0N
3- Sea f:A + B. D e m o stra r l a e q u iv a l e n c ia d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c io n e s ,
c u a l e s q u i e r a que s e a n MCA y N C B .
a ) f * [ f ( M ) ] = M c ) NCM - f(M-N) = f( M )-f(N )
b ) M 0 N = 4 -* f (M) O f(N ) = 4
4 . Sea A =R-[2l y l a f u n c ió n f:A + R, d e f i n i d a p o r : f ( x ) - x+~*.
x+2
a ) D e te rm in a r f * ( 4 / 3 ) b) S i M = [-1 ,2 /5 > » h a l l a r f(M )
c ) Es v e rd a d que f ( x ) < 1 , VxeA. J u s t i f i c a r .Sólo fines educativos LibrosVirtual

466. Ejercicios: Grupo 40 453
5 . Sea l a f u n c ió n f : R * B d e f i n i d a p o r f ( x ) = 3 x * - 1 2 x - 4 .
a ) C o n s id e r a r M = [-5i8] y r e p r e s e n t a r g r á f ic a m e n te ( i , f ( x ) | x H l , i n d ic a n
do e x p lí c it a m e n te e l c o n ju n to f( M ) .
b ) R e s o lv e r 0 < 3*1 - 1 2 x - 4 < 92 y e x p r e s a r a n a l í t i c a y g r á f ic a m e n te l a
v i n c u l a c i ó n d e l c o n ju n to s o l u c ió n con e l g r á f i c o de f .
c ) D e m o strar q u e f e s i n y e c t i v a en [ - 4 , 1 ] .
6. Dado e l c o n ju n to A, s e d e f i n e un a f u n c ió n f :P ( A ) ♦ [ 0 ,+ “ > , que cum ple
l a s i g u i e n t e p r o p ie d a d : -WC,YeP(A): XOY = ♦ + f(X U Y ) = f(X )+ f(Y )
D e m o stra r q u e : a ) f ( 4 ) = 0
b ) ¥H,NcP(A) t a l e s que MCH, s e cum ple f(M ) 4 f (N )
c ) ¥K,HeP(A) s e cu m ple: f(M U N ) = f(M )+ f ( N ) - f (H (1 ü )
7 . En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s s e dan una f u n c ió n f:A » B, un c o n ju n to
S C B . S i s e d e f i n e : f * ( S ) = l x e A |f ( x ) e S | ; h a l l a r f * ( S ) .
a ) f ( x ) = 2 x -1 , S={yeB| < -1}
b ) f ( x ) = x l -2 x -1 , S = l y e R |( |y - l | + | y - 2 | ) ( | l - y | - | 2 - y | ) Í . y * -6I
c ) f ( x ) = ^ , S = iy c R |J ¿2l i=2 t 0 )
d ) f ( x ) = JL , S = < y e R |^ L < 2}
e ) f ( x ) = 1 /x , S= { y e : R |- ^ | > OI
8. Dada una f u n c ió n f :A * B y S C B , d e f in im o s f * ( S ) = { x e A |f ( x ) e S I . E n to n c e s
p a r a l a f u n c ió n d e f i n i d a p o r f ( x ) = ” (3 x + 4 ), h a l l a r ^ ( < - “ , 0 ] ) ,
9 . Sea S={yeH| < 0 ) . S i f ( x ) = , x ^ - 3 e s un a f u n c ió n , h a l l a r :
f * ( S ) = l x e R |f ( x ) s S l .
10 . Dada u n a f u n c ió n f :A » B, y N C B , H C B , d e m o s tr a r q u e :
f * ( H f1N) = f*(M ) 0f* (N )
1 1 . Dada l a f u n c ió n : f ( x ) = ^ ( 4 -6 0 x - 1 8 x * )
a ) E s b o z a r s u g r á f i c o c ) G r a f i c a r g ( x ) - | f ( x ) |
b ) D e te rm in a r f * ( [ 4 ,+ » > ) d ) D e te rm in a r g * ( [ 4 ,+ “ >)
1 2 . P a ra un a f u n c ió n f :A ♦ B c u a l q u i e r a y S C B , s e d e f i n e f * ( S ) = { x e A |f ( x ) tS
S egún e s t o , p a r a f ( x ) = / 3 ^ 2 x , x e < - 2 , l ] O < 3 ,+ " > ( h a l l a r f * C < - " ,- 4 ] )
l3 x + 5 , x e < - - , - l ] u < 1 ,3 ]
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

467. 454
F X J W € I © N í E S
EXPONENCIALES
Y L O G A R I T M I C A S
LA FUNCION EXPONENCIAL
____________________________^
Antea de dar la definición para una función exponencial, comencemos
construyendo las gráficas de las ecuaciones:
y = 2 * e y = {\f
formando una tabla de valores para cada ecuación, esto es:
X -3 -2 -1 0 1 2 3
y
1/81/41/21248
X -3 -2 -1 0 1 2 3
y 8 4 2 1 1/2 1/41/8
Llevando cada par ordenado (x,y) sobre un plano coordenado obtenemos:Sólo fines educativos LibrosVirtual

468. Sección 6.1: La Función E xponencial 455
Se o b s e r v a claramente en ambas gráficas que para cada número real x existe
uno, y sólo uno, número real "y" tal que:
*X ,1 ,x
y = 2 o y = (¿)
Vemos entonces que la ecuación y=2x define una función univalente / ^ ( ( x . y ) !
cuyo dominio es R. Esta función se llama función exponencial de base
X
2. De manera semejante podemos afirmar que toda ecuación de la forma y=b ,
en donde b > 0, define una función exponencial sobre R.
Si b > 1, la gráfica de cualquier función de la forma ) (x,y) |y= b'X} s e pare­
ce mucho a la gráfica de y=2x . Si estudiamos esta gráfica (Fig. 6.1) vemos
que es p o s i b l e convenir en aceptar las siguientes propiedades para cada u n a
d e tales funciones.
(1) El rango o imagen de la función exponencial es el conjunto de los núme­
ros reales positivos (R ). Es decir, que para cada xcR, y = b > 0.
(La gráfica está dispuesta encima del eje X)
(2) Si x = 0 * bX=l ; x > 0 - bX > 1 ; x<0-*0< dX <1
(3) A medida que x crece, crece también y-bx . (f es estrictamente creciente)
Es decir, si x í,xzef\xí > x z -*• f(x1) > f(xz)
Si 0 < b < 1, la gráfica de la función de la forma t(x.y)tendrá una
apariencia distinta. Sin embargo, cada una de esas funciones tendrá la for-
Í JC
ma general de la gráfica de y^l-^) ■ (Fig. 6.2).
Las siguientes propiedades son válidas para las funciones de este tipo.
(1) El rango o imagen de la función es R e s decir, YxzR, bX > 0.
(2) Si x=0 * bX=l ; x > 0 ■* 0 < bX < 1 ; x < 0 - bX > 1
(3) A medida que x crece, decrece y=bx . (f es estrictamente decreciente)
Es decir, si X j . X j e / 'I x , > i , -► f(xt) < f(xz)
Esta propiedad se expresa brevemente con la notación:
o- ^ i. ^ . I b1 •* 0 cuando x * +•»
S i 0 < b < 1, entonces: <
[ b -* <• cuando x * -■»
De este breve análisis, la siguiente definición para la función exponencial
Definición 6.1 Sea b cualquier número real positivo distinto de 1.
Entonces una función f, denotada por expb , se llama
función exponencial de base b si, y sólo si: f=i(x,y)¡f(x)-t/x, xcR I
o bien: e x p ^ = ( f x , y > |e x p j) Cx>=br , x e R lSólo fines educativos LibrosVirtual

469. 456 Capítulo 6: F unciones E xponenciales y Logarítm icas
El siguiente teorema resume todo lo dicho y lo aceptamos sin demostración:
TEOREMA 6.1 Si R+= ( x e R |x > 0 1 , entonces la función exponencial:
. f : R + R + =l(x,y)\f(x)=bX }
a) Es biyect iva si b > 0 y bfl, esto es, si:
i) x¡,xzcf y bXl=bXl x l=x1
i i) Ran(f)=R+
b) Es estrictamente creciente si b > 1. Es decir, si:
x ¡,x1sf y x , < x z - f(xz) < f(xz) -
c) Es estrictamente decreciente si 0 < b < 1. Es decir, si:
x l,xzzf y x z < x z * f(x¡) > f(xz)
EJEMPLO 1. La gráfica de cierta función exponencial contiene al punto
P(3/2,27). Cuál es la base y la regla de correspondencia de
la función?
Solución. Sea la función exponencial: f(x)-h
Si P(3/2,27)cf - 2 7 = b 3/ 2 - (33 )*■= b *-* b=9
f=\(x,y)|y = 9 X l
EJEMPLO 2. Dada la función f(x)=l+exp3 | x - 2 | , construir su gráfica y ha­
llar su dominio y rango. Es inyect iva?
Solución. Si f(x)=l+exp3\x-2\ — y - i = 3 ^ X 2 ^
x-2 > 0 + \x-2\=+(x-2) - y - J = 3 X~2
x - 2 < 0 - | x - 2 |=-(x-2) - y - J=(j)X~2
1 + 3X ~2 , si x >, 2
1 + (j)X 2 , si x < 2
En f¡(x)=l+3X 2, la base es b=3, b > 1,
entonces su gráfica es similar al de la fi_
gura 6.1, es creciente Vx i, 2.
En fz(x)=l + (jj)x 2 , la base es b=l/3, esto
es, 0 < b < 1, luego su gráfica es similar
al de la figura 6.2, es decreciente Vx < 2.
Por lo tanto: Dom(f)=R y Ran(f) = l2,+=>> . Geométricamente vemos que f no es
inyectiva, dado que u n a r e c t a horizontal corta al curva en dos p u n t o s .Sólo fines educativos LibrosVirtual

470. Sección 6.2: Logaritm os 457
LOGARITMOS
Si b es un número positivo diferente de 1 y si N es cualquier número
positivo dado, entonces existe un número real único L, tal que:
N = bL
Se dice que el número L es el l o g a r i t m o d e N de base b y se escribe:
L = logbN
Esta definición se puede enunciar de una forma más concisa como sigue:
Definición 6.2 Si N y b s o n números positivos y si b/1, entonces:
logbN = L N = bL
Según esta definición, vem os que el concepto de un exponente y el de un lo­
garitmo son simplemente dos formas diferentes de ver exactamente l a m ism a
c o s a . L a s d o s ecuaciones N=bL y logbN=L son equivalentes por lo que podemos
u s a r indistintamente las dos formas.
Ejemplos: a) logz8 = 3 2’=8 c) b* = b -» logb (b) = 1
b) log,(l/4)=-2/3 8-»/>= ~ d) b‘=l - logb<l) = 0
Ahora veamos algunos ejemplos de apiicación de la equivalencia de la definí
ción 6.2 para calcular el logaritmo L, el número ¡V y la base b.
EJEMPLO 1. Hallar el logaritmo de 16 en base /2.
A _ ,„.x/2
Solucion. Si log^lS = x «-► 16=(/2)X — 2 = (2j*
4 = f ,-8
Luego: Log6 = 8
EJEMPLO 2. Hallar el número cuyo logaritmo en base 1/16 es -0.75.
75 3
Solución. Sea x el número buscado, y 0.75 =
. / v 3 / 1, - 3 / 4 , , - . 3 / 4 , , 4 . 3 / 4
- 91/16 = ' 4 ~ * = (16) = (16) = (2 }
- * x = 23 = 8
EJEMPLO 3. Si logx (9/4) = -2/3, hallar x.
O . 2 9 -2/3 .9,-3/2 ,4.3/2
Solución. logx (9/4) = = x «-* (j) = x *-*• ( pSólo fines educativos LibrosVirtual

471. 458 Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
* - ( J ; 3 = x - x = 8/27
EJEMPLO 4. Hallar el valor de E=( log? -^) (log40.2S)
, J / 7 T- 1
Solución. Sea l o g ^ - ^ = x «-► —j t - < ~- ^-2 = x ~ x = - 5 / 3
Si log^0.25 = y « - 0 . 2 5 = 4y = 4y - y = - J
Luego: E = (S/3)(-l) = 5/3
EJEMPLO 5. Si log (1/81) = log8(l/16) , hallar x.
Solución. Sea log (1/16) = y * - j | = 8y *- 2~4 = 23y - y = - 4 / 3
L u e g o : logx (l/81) = - 4/3 - * / ¿ r l = x ' 4 / 3 — (3~4)'3/4= x
< - 3 3 = x - x = 2 7
EJEMPLO 6. Hallar el valor de:
E = 2Log1/4(32) - 3L ogi / f i f 3/ J 6 > + | log343(49) - \LogJ8~3'2)
Solución. Sean: Log1/4(32) = x , - * 32 = (^.)x ‘ * - 2 5 = 2 ~ 2Xl - x , = - 5 / 2
Log1/8(3/l6)= X ,- 3/í6 = / | ; X l
¿4/3 _ 2 3 x 2 ^
^ 3 4 3
(49) = X j —» 49 = (343)Xl
, , j2 _ 2
x ’ = 3
Log4(8
-3/2 f
= x , " 8
■3/2 _
4X '— 2~9/2 = 22Xs
9
* = - I
Luego: E = 2 f - f ; - 3(-
’ í> +2 3
- 1(- £ ; = - 1
3 4 2
EJERCICIOS: Grupo 41
1. Una función f cuyo dominio es el conjunto {-2,-1,0,1,2} está definida
por f(x)=4 X
a) Escribir f como un conjunto de pares ordenados.
b) Escribir los elementos que pertenecen al rango de f.
1 1 1 1 1 1
2. Si g es una función cuyo dominio es D = |- — ,- — ,- r-,0, ~r , ~ , — }
2 3 o o 3 2Sólo fines educativos LibrosVirtual

472. Sección 6.2: Logaritm os 459
y g (x )= 6 4 x , e x p r e s a r g como un c o n ju n to de p a r e s o rd e n a d o s .
3- En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s , h a l l a r l a b a s e de un a f u n c ió n e x p o n e n c ia l
cuy a g r á f i c a i n c l u y e a l o s p u n to s d a d o s .
a ) ( 3 ,2 7 ) b ) ( - 2 ,1 / 1 0 0 ) c ) ( 2 , 1 / 4 ) d ) ( - 2 / 3 , 1 / 4 )
4 . En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s , t r a z a r l a g r á f i c a p a r a c a d a una de l a s -
f u n c io n e s d a d a s . I n d i c a r e l d o m inio y e l ra n g o .
a ) K x , y ) |y =2* / 2 } f ) f ( x ) = 2+ e x p ^ ,3 ( |x -21)
b ) { ( x , y ) |y = | ( 3 * ) ) g ) f ( x ) = 5+exp2y3|2x+7|
c ) l ( x , y ) | y = 2X+3} h ) f ( x ) » e x p .^ 2[ [ x ] ¡
d) f ( x ) = 1-e x p2( x + l) i ) f ( x ) = exp 2[ [ x ] ]
e ) f ( x ) = -1+exp2y3( | x+1 | ) 0) f ( x ) = 1-e x p 2 ¡[ x+1 ]]
5- D e te rm in a r e l v a l o r de x , s i :
a ) Logx ( ’ /25) = 1 /3 b ) Log 0/27(x ) = L o g ^ / í S c ) Logx125 = Log2/8
6. H a l l a r e l v a l o r d e :
E = ÍL o g 3 (8 1 ) + 3Log10( 0 .0 0 1 ) + 2Log5d 2 5 ) - ^ ° g g ( 2 ) * 5Loge ( 45/ Í 6 )
l o g j l j - í ó ' ) X Log ( 9 3 /^ )
7 . H a l l a r e l v a l o r d e : E — ■
L o g ^ ( 3 ') + Log^(6 )
b O g y g g í S l ) + L O g 8 ( 4 )
Logl / a 27 - Log2/5( 2 5 /4 )
8. H a l l a r e l v a l o r d e : E
PRO PIED AD ES f u n d a m e n t a l e s d e LOS LO G AR ITM O S
i
PR OPIEDAD L.l: Para todo número real positivo x,y,b, en donde b / 1 ,
se verifica:
Logb(x.y) = Logb<x) + Logh(y)
"El logaritmo de u n producto de dos números reales positivos es la su
ma de los logaritmos de ambos números"Sólo fines educativos LibrosVirtual

473. 460 Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Demostración. En efecto, si hacemos: Logb (x)=A y Log^(y)=B
por la definición 6.2, se tiene:
Log^(x) = A ++ x=b^ ; Log^(y) = B ++ y=bB
Efectuando el producto: xy = (bA )(bB) = bA+B
De modo que usando nuevamente la definición 6.2: Log^(xy) = A+B
y por sustitución:
L°9b (xy) = Logb (x) + hogh (y)
PR OPIEDAD L.2: Para todo número real positivo x,b, tales que bfl
y para cada número real n: .
Logb (xn) = nLogb(x)
"El logaritmo de la n - é s i m a potencia de un número positivo es n ve­
ces el logaritmo del mismo".
Demostración. En efecto, si hacemos: Logb(x) = A ++ x
_ n ,.A,n .nA
Pero: x = (b ) = b
De donde se tiene: Logb(xn) = nA
y por sustitución: L o g ^ x 1) = nLogb (x)
PROPIEDAD L.3: Para todo número real positivo x,y,b, tal que bfl,
L ° 9 b ( f > = L ° g b ( x ) - L o g b ( y )
"El logaritmo de un cociente de dos núneros reales positivos es la
diferencia de los logaritmos del dividendo y divisor".
£
Demostración. En efecto, si hacemos: Logb(x)=A *— x=b (Def. 6.2)
Logb (y)=B y=bB (Def. 6.2)
Entonces, dividiendo: — = bA B + Log.(-) = A-B (Def. 6.2)
y d y
y por sustitución: Logb(£) = Logb(x) - L.ogb(y)
PROPIEDAD L.4: Para todo número real positivo x,b, tales que bfl y para
todo número real n:
Log (l/x) = ÍLog (x)
b n b
= b (Def. 6.2)
(Ley de Exp.)
(Def. 6.2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

474. Sección 6.2: Logaritmos 461
"El logaritmo de la raíz n-ésima de un número real positivo es igual al lo­
garitmo del número dividido entre el índice de la raiz".
- A
Demostración. En efecto, sea: Log^(x) - A " x = b (Def. 6.2)
_ 1/n ,.A,l/n .A/n , . 1/n, A
Pero: x -(b) = b •* Logb (x ) = — (Def. 6.2)
y por sustitución: Logb(nSx) = jEog^íx)
Nota. Las propiedades obtenidas se llaman fundamentales o generales, pues­
to que ellas no dependen de la base b (siempre que b>0).
Las propiedades, entre otras, que se dan a continuación son las llamadas,
propiedades part iculares, cuyas demostraciones se dejan como ejercicio para
el lector.
PROPIEDAD L.S: Logb (x) = Logbn(xn) = Logny^(1/x)
PROPIEDAD L.6: Log.n(x) = -Loar, (x)
b n b
PROPIEDAD L. 7: Logjn(x ) = -Logjx)
b n °b
PROPIEDAD L.8: Logb(x) . Log^b) = 1
Loga (x) Logx
PROPIEDAD L.9: Log ,.(x) = , . . . = :
--------:----r
a a / b I-Loga (b) Loga-Logb
Log (x) Logx
PROPIEDAD L.10: Log . (x) = , ° . . = :
--------:— r
aab l+Loga(b) Loga+Logb
PROPIEDAD L .11: Cambio de base de un sistema de logaritmos a otro.
L°gh (x)
Log (x) = -.—iLy-r
3 a ' ' Logb (a)
Por ejemplo, bailar por dos métodos diferentes: Log^(8)
Primer Método: Por la definición 6.2: Log^(8) = x 8 = 2*
« • 23 = 2X - x=3
3
Segundo Método: Por la propiedad L .11: Log^8 = = X o g f " = ^
D E FI NIC ION 6.3 Se denomina cologaritmo de un número N al logaritmo
de su inversa, esto es:
Cologb(N) = Logb(jj) = Logh (I)-Logb(N) = -Logb(N)Sólo fines educativos LibrosVirtual

475. 462 Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
De modo que el cologaritmo del número N es el logaritmo del mismo núnero to
modo con signo contrario. Esta definición permite escribir la propiedad L.3
como sigue:
tog.É) = Log.(x) - Log.(y) = Log.(x) + Colog.(y)
DEFIN ICI ON 6.4 Se denomina ant i logaritmo al número c o r r e s p o n d í e n
te al logsari tmo dado, esto es, si L es el logarit
mo de N en base b, entonces:
antilogb (L) = N * antilogb (L) = b L
De esta definición se d e d u c e q u e ;
antilog^(logbN) = N
logb(antilogbN) = Al
Los ejemplos que siguen ilustran las api icaciones de las propiedades y def¿
niciones establecidas en esta sección.
EJEMPLO 1. Representar cada una de las expresiones dadas como un solo l o
garitmo con coeficiente uno.
a) A = 2Loga(y) + jLoga(x) - 3LogQ(z)
b) B = Logb (x) + 3Logb(y) - 2Logb (9) - 5
Solución, a) A = LogQ(y)‘ + Loga(/x) - Loga(z)* (L.2 y L.4)
- A = LogJ X ' y F ) (L.lyL.3)
b) Dado que Logb (b)=l podemos escribir:
B = Logb(x) + Logb (y)’ - Logb <9)* - Logb(b)‘ (L.2)
* B = L o g b ( ^ r ) y L-3)
EJEMPLO 2. Hallar el valor de E = Log9
' 64(1/8) * /
Solución. E = Log2(/Sl2) - Log¿ (64) - Log2<l/8)* + Log2 (l/4)% (L.l y L.3)
= jLog2 (512) + 5Log(l/4) - Log2 (64) -2Log2 (l/8) (L.4 y L.2)
= jLog2(2)9 * SLog2 (2~2) - Log2 (26) - 2Logz <2~3)Sólo fines educativos LibrosVirtual

476. Sección 6.2: Logaritm os 463
y por L.2: E = | log¿ (2) - 10Log2 (2) - 6Log2 (2) + 6Log2<2) = -11/2
EJEMPLO 3. Simplificar: E = Log( - 2Log(p +
Solución. E = L o g í j |> + Log( | ) 2 + ( L .2 J
r- , ,3*25, , , 9 , 2 , , 2 * i 6 , r , 3*25*81*2*16, , „
E = + L o g ( - ¡r ) * L o g ( j ^ j ) = ^ 9 < -¡6x25x3*8¡ ) = L og2
EJEMPLO 4. Dado Loga (,S(a(^2-l) ]') = hallar el valor de:
E = Loga('Slc(S2+l)l'}.
Solución. E = ^Log [a(’/2+l)¡ = -f/Xogr (a) + Log (S~2+i)¡ (L.4 y L.l)
o Cl í> O G
- 1 " + Lo^-]Z?r] = ~sl1 +
* £ = | í J - LogQ( ñ - l )] (1)
Si Loga (i/la(/2-l)]i) = | - | loga(a(J2-l)) = |
Log Ja)+Log (¿2-1) = ^ + Log (J2-1) = - 4
U U D u D
3 4 27
Luego, en (1), se tiene: E = -^(1 + -jr) =
EJEMPLO 5. Si Logí2(3)=b, hallar Logl2<8).
Solución. LogJ2(8) = Log12(2)3 = 3Log¡2(2) = 3Log12(^)
= 3[Log12(12)-Log12(3*2)l = 3[l-Log¡2(3)-Log12(2)J
= 3 - 3b - 3Log¡2(2) = 3 - 3b - LogJ2(8)
Entonces: 2Log12(8) = 3(l-b) *— Log¡2(8) =
EJEMPLO 6. Hallar el valor de: E - Log^z(ant i log^8)-ant i logaZ(Logg)2)
Solución. E - Log^ilib')'} - antilogai(2Loga2] (Def.6.4 y L.6)
= Logb zl(bl)li] - antilogal[Loga2*]
= lSLogbt(b*) - antiljgQl[2Logal(4)] (L.6)
* E = 16(1) - antHogcl(Logal16) = 16 - 16 = 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

477. 464 Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
EJEMPLO 7. Si Log2=k, h a l l a r e l valor de: E - Log5 + Log(^) - Log(-jj)
Solución. E - Logó + Log(^r)2 - Log(2)~3 = Logó + 2(Log5-Log2) + 3Log2
10
= 3Log5 + Log2 = 3Log(— ^)+Log2 = 3(LoglO-Log2) + Log2
= 3(l-Log2) + Log2 = 3-2Log2 * E = 3-2k
EJEMPLO 8. Demostrar que: ~Log(3+2/2)-4Log(’/2+l) = —^Logf^l-l)
Solución. En efecto, sea: E = Log(3+2^2)-4Log(C2+l)
Dado que: (¿2+1)l=3+2/2 - E = j¿Log(/2+l)l-4Log(/2+l)
Luego: E = - ~Log(22+l) = ^ o g ( - J - ) = Log(72-l)
EJEMPLO 9. Calcular: E = 811-10932 +
S o l u c i ó n . £ = 34<l*9'B-Log,2) . jLog74~1 = 34Lo3¡(9/2) + 7Log74~1
= 32Log,(9/2)\ 7Log,4~1 = 3Logi(9/2)í + ^ o g , 4 _J
De la definición 6.2 se deduce fácilmente que: N = b^0^tF
9 2 -1811
Entonces, según e s t a propiedad: E = ( y ) + 4 = = 20.5
EJEMPLO 10. Hallar el valor de x en:
^ o g s L o g t L o g ^ x + l ) .Log75 j ^ 11Logl,LogtLog,3 .Log¡ ,.13 j _ 2
Solución. Ordenando los exponentes de c a d a factor, se tiene:
^7(Log75)(Log¡LogiLog,(x+l))^11(Logll13)(LogliLoglLogi3)^ _ 2
Aplicando sucesivamente la propiedad: N = , obtenemos:
^LogtlogtLogtfx+l) j^^ogiiLogxLogtS} = 2 * (Log^Log, (x+1) }[LoglLogi31=2
* Logi[Log,(x+l) .Log¡3] = 2 * Log1[Log,(x+l)l = 2 (L.U)
* Log,(x+l) = 2 Z = 4 x+l=5 ' , de dende: x=624
EJEMPLO 11. Si x e y son dos números consecutivos y
L o a 6+Log 6 = Log 6.Log 6, hallar el valor de x+y.
x y x y
Solución. Sea y=x+l — Logreó + Logx+j6 - Log^S . Log,JC+j ó
Según la propiedad L.8, se tiene:Sólo fines educativos LibrosVirtual

478. Sección 6.2: Logaritmos 465
1 * TñnTvTi = < r 7 ^ ) ( r „ n L + i > - L°9*x + Losr«■(*+!> = 1
Log,x Log, x+l Log, xLog, x+l
* Log,x(x+l) = Log, 6 +~* x(x+l)=6 +-+ x*+x-6=0 *-*• x = 2 ó x=-3
Dado que x>0, la única solución es x=2 + x+y=5
EJEMPLO 12. Si Logabc=x, Log^ac=y, Logcab=z; calcular el valor de:
F - _ L + 1 + _ L
x+l 3+1 z+1
Solución. Se tiene: x+l = Logabc + LogQa = Loga (abc)
y+1 = Logbac + Log^b = Logb(abe)
z+1 = Logcab + Logcc = Logc(abc)
De modo que. E - J2ig^(abc J + Logb (abe) + Logc(abe)
y por L.8: E = Logabc<a) + Logabc(b) + L o g ^ f c ) = Logabc(abe) = 1
EJEMPLO 13. Se sabe que: x l=Loglx í, x 1=Logíx , , x,=Log,x,, x,.x,.x,=128,
x z+x3-6. Hallar: x ¡,xz,x, y x h.
Solución. Si Xi=LogtXi + xz =2X l ; Xi=LogtX, + x,=2x*;
x,=Log1x„ + x * = 2 x> - x » . x , . x , = ¿Xl+Xi+Xl
+ 128 = 2’ = 2X‘ +Xl+Jej xt+Xí+Xt = 7 . Pero: Xz+x, = 6
Entonces: x,+6=7 ++ x z=l ; x 2=2 ; x s = 2 l =4 ; x » = 2 '= I 6
EJEMP LO 14. Si Log,15=a y LogZzl8-b, c a l c u l a r e n términos de a y b:
Log,,24. Mostrar que la expresión obtenida es un número real.
Solución. Logz,24 = Log5z(2*.3) = jLog,(2*.3) = jLog,2 + ^Log,3 (1)
a = Log,15 = h °? i15 =
------1 , + Lo9 i3¡ - aLog,3 + aLog,2 = l+Log,3
Log,6 Log,3 + Log,2
+ (a-l)Log,3 + aLog,2 = 1 (2)
b = Logxzl8 = = í1^ ) 3.* h??.>2 + 2bhog,2+bLog,3 = 2Log,3+Log,2
Log,12 2Log,2 + Log,3
- (b-2)Log,3+(2b-l)Log,2 = 0 (3)
Resolviendo (2) y (3) obtenemos:
Log 2 = , Log 3 = J _ 2 b
5 a(b-2)+(a-l)(l-2b) 5 a(b-2)+(a-l)(l-2b)
y al sustituir estas dos expresiones en (1) se obtiene:Sólo fines educativos LibrosVirtual

479. 466 Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Log9r24 =
-----------------------
0 2(2b-a-ab-l)
La expresión obtenida es real ++■ 2b-a-ab-l 4 O
En efecto, si a=Lo£Fg i 5 ■— 6a = 15 * 61 < 6a < ó 2’ - 1 < a < 2 (4)
-* -2 < -a < -1 (5)
- b=Log1218 « - 12b=18 - 121 < 12b < 123 U - 1 < b < 3/2 (6)
- 2 < 2b < 3 (7)
Multipl icando (4) y (8) se tiene: 1 < a b < 3 —■ - 3 < - a b < -1 (8)
Sumando (5),(7) y (8) resulta: -3 < 2b-a-ab < 1
Luego: -4 < 2b-a-ab-.l < O -*■ 2b-a-ab-l 4 O
Por lo tanto, la expresión bailada es un número real.
EJERCICIOS: Grupo 42
En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l 3 , u s a r l a s p r o p i e d a d e s de l o s l o g a r i t m o s p a ra
r e p r e s e n t a r c a d a u n a de l a s e x p r e s i o n e s d a d a s como un s o l o lo g a r itm o con
c o e f i c i e n t e u n o .
1. 2Loga ( x - b ) - aLoga ( x - c ) + ^L og 81 - x
2 4
2. 3Log2 a + -^Log2 125 - -|Log2 27 - a •
3 . |L o g e 128 - 4Log2( 0 .2 ) + ^L oge ( 0 .0 2 7 ) - -|L o g e 2 l 6 + 2
En l o s e j e r c i c i o s d e l 4 a l 8, h a l l a r l a r e p r e s e n t a c i ó n n u m é ric a más s im p le
de x .
4 . x = 2 L o g ( ^ |) + L o g ( ^ l j ) - L o g ( ^ ^ ) + L o g ( ^ )
5 . x = 2 L o g (j) + L o g ( ^ |2 ) - 2 L o g ( ^ ) + L o g ( ^ ||)
6. x = L og/84 + L og/65 0 - íjLog546
7. x = L o g ( ' 2 ^ 2 9 T v ^ \ 2 7 ^ ^ ) 8. x = Log,(3/32.3 A ó Á k ,8~3^h )
En los ejercicios del 9 al 12, despejar x de las expresiones dadas.
9 . Logx = Í L o g l6 - ^L og8 + 1 1 0 . Logx = 2 + -l(Log18+Log8-2L og25)
1 1 . 3Logx - Log32 = 2 L o g (x /2 ) 1 2 . 2Log2( x - 2 ) = Log2( 7 a - l ) - 2aSólo fines educativos LibrosVirtual

480. Ejercicios: G rupo 42 ^ 467
13. S a b ie n d o que Log ( V [ a ( / 2 - 1 )]* ) = 0 .6 , c a l c u l a r e l v a l o r d e :
x=Loga ( / [ a ( / 2 + 1 ) ] a ) .
1 4 . D e m o strar que AFx>1: Log, (x + / x 4- 1 ) = -Log. ( x - / x 1 - 1 )
b b
15- S i Log2 ( a l b s )= L o g ^ (a /b )= k , h a l l a r , e n té r m in o s d e k , e l v a l o r d e :
Log2 ( a b ) .
16. S i L ogjg3= a y L o g jQ5=b, h a l l a r Log^Q8 .
17- Sean a , b , k núm eros m ayores que 1 , s i (L o g ^ k )^ = 1 6{L og^k)^t h a l l a r una
r e l a c i ó n e n t r e l a s b a s e s .
18. S i A=Log>/^ [ a n t i l o g b , ( 4 ) ] y B ^ a n tilo g ^ j [L og^j (4 ) ] , h a l l a r e l v a l o r d e AB
19- H a l l a r e l á n g u lo o e< 0 ,v/2 > , t a l q u e :
Log^Sen2a = Log^Log^ gLogba n t i l o g b ( 0 . 5 ) , s ie n d o n>0 y n / 1 .
2 0 . S i Log2 (3 )= p , h a l l a r Log^g243 en té r m in o s de p .
21 . S i a ,b e R +-{1} y Loga b ( a ) = 5 , h a l l a r : L o g ^ C ’ / a / V E ) .
2 2 . S i x=[Loga ( a n t i l o g a j 2 ) ] [ a n t i l o g a H(Loga>8 ) ] , h a l l a r x .
2 3 . S i L o g ja = l/2 y l o g ^ ( / a b / 9 ) = - 3 / 2 , h a l l a r e l v a l o r d e b .
24 . D e s p e ja r x d e : LoggX + Log^x + LogQx = 1 1 /2
2 5 . S i p,qe< 0,+ w > y Log^^( q ) =6, h a l l a r e l v a l o r d e E = L o g ^ ( '/ p / q * )
2 6 . C a lc u l a r : a n t i l o g ^ x = a n t i l o g 2C olog(/ g O h o g ^ 3 )
+ 1 ' 1
27- S ean a.bE R , s i a '+ b I =10ab, d e m o s tr a r que -gLogab-Log( a + b ) = 2 Log3-Log6
2 8 . S i x ^ L o g h a n tilo g h C o lo g h a n tilo g h C - l/b ) , h a l l a r e l v a l o r d e :
E = (Logbx b - C o lo g ^ b * )1 + C o log 1^ x (b x +b )
2 9 . S i L o g (a b l )=1 y L o g (a sb ) = - 1 , h a l l a r e l v a l o r d e E=ab.
3 0 . S i x ,y ,z e R +- { 1 }, h a l l a r Log x s a b ie n d o q u e 243(L og 2 ) ’ =32(Log z ) 5 .
y * y
3 1 . Sean a y b l a s l o n g i t u d e s d e l o s c a t e t o s y c l a l o n g i t u d de l a h ip o te n u
s a de un t r i á n g u l o r e c t á n g u l o . S i ( c - b ) / 1 y ( c + b ) / l , e x p r e s a r
2(L ogo ba )(L o g c+ba ) como suma d e l o g a r i t m o s e n l a s b a s e s a n t e r i o r e s .
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

481. 468 Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
E l LA FUNCION LOGARITMICA
____________________.________^
Sea ¡a ecuación logarítmica: y =
Sabemos que si beR+-ll), esta ecuación asocia un número real único "y" con
cada xeR +. De ahí que la ecuación defina una función que se puede expresar
del modo siguiente:
f - Logb = i (x,y)\y=Logbx, x>0)
Nótese que el dominio de cualquier función logarítmica es R+. Nos falta sa­
ber cual es la imagen o rango de una función tal. Esta pregunta se puede
responder examinando la parte (a) del Teorema 6.1 que nos permite definir
la función logarítmica como sigue:
D EFINICION 6.5. Si bcR+-íl), entonces la función logarítmica en
base b, denotado por Log^, es la función inversa
de la función exponencial expb :R ■* R . Esto es:
Logb :R+ * R = {(x,y)¡f(x)-Logbx, x>0l
o sea: Logb = (expb)*
Como consecuencia de esta definición se tiene que:
a) Logb[expb (x)] = x ■
b) expb[Logb(x)] = x
C) Logb (x) = y — ► x=kr>>
Puesto que )(x,y)¡y=Logbx) = i(x.y)|x=by i, podemos obtener la gráfica de la
ecuación y=Log^x, trazando la gráfica de la ecuación exponencial x ^ . Aquí
la variable independiente es la y; por tanto, para trazar su gráfica empezg
mos por seleccionar valores de y, para determinar los valores correspondiera
tes de x.
Por ejemplo, tracemos la gráfica de y^og^í^l
X 1 / 81/41/21 2 4 8
y-3 -2 - 1 0 1 2 3Sólo fines educativos LibrosVirtual

482. Sección 6.3: La Función Logarítmica 469
Aunque esta curva es la gráfica de una función logarítmica en particular, su
forma general y sus características son típicas de la gráfica de cualquier
función logarítmica y=Logyc, donde b>l.
Observaciones:
(1) El rango o imagen de una función logarítmica de base í»i es la totali­
dad de los números reales.
(2) Si O < x < 1, entonces Log^íx) < O
(La gráfica está dispuesta debajo del efe X)
Si x=J » Logyc=0 y si x>l * Logfcx>0
(La gráfica está dispuesta sobre el eje X)
(3) Si x t,xt son números reales posi t ivos, entonces:
Logyr, < LogyXx •*-* x, < x2 (La función es estrictamente creciente)
(i) Toda línea paralela al eje X corta a la curva en uno y solo un punto.
(La función logarítmica es inyectiva)
(5) Toda gráfica de una función logarítmica de la forma y=logbx, pasa por
el punto (1,0).
EJEMPLO 1. Sea f :R » <2, +~> definida por f(x)=exp2 (x+l)+2. Determinar el
a) f* es estrictamente creciente
b) x=2 es una asíntota de la gráfica de f*.
c) Dam(f*)=<2,+~>
d) y=2 es una asíntota de la gráfica de f.
Solución. Analicemos cada una de las afirmaciones dadas:
valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:
a) f(x)-2 = exp2 (x+l) = 2pCi’1
Cambiando de variables se tiene:
x-2 = 2?+1 * Log2 (x-2) = y+1
de donde: f*(x)--l+Log2 (x-2)
___
Sean x lPx tcDom(f*) = <2,+->
Si f*(x,) > f*(xt) -» -l+lj>g1(xl-2) > -l+Logt(xl-2)
1
* Logt(xx-2) > Log1(xí-2)
Siendo tas bases iguales * x¡-2 > x,-2 + x, > x,
f* es estrictamente creciente en todo su dominio.
Luego, ¡a afirmación es verdadera.Sólo fines educativos LibrosVirtual

483. 470 Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
b) Si x=2 * f*(2)=-l+Log2(0)=entonces x=2 es una asíntota vertical de
la gráfica de f*. La afirmación es verdadera.
c) Por definición f:R ■* <2,+~>, entonces, f*:<2,+m> * R
Esto es, Dom(f)=<2,+~>. La afirmación es verdadera.
d) f(x)=2+2Íx+^ -2( 1+2^). Cuando x tiende a entonces, 2 tiende a 0, lúe
go, y=2(l+0)=2 es una asíntota horizontal de la gráfica de f.
La afirmación es verdadera.
EJEMPLO 2. Si f(x)=Log4[Log1^í^°9jx:l 1 ■ hallar el dominio de f.
Solución. La función es real Loc^ ^ ( L o g ^ . ) > 0* (1)
Dado que ('■j>e<0,J>, se cumple (1) *-* 0 < Log^c < 1/2
(Log3x > 0) ~ (Log^x < 1/2) — (x > 3’) ~ (x < 3112)
-* (x > 1) ~ (x < /3) - Dom(f) = <l,/3>
EJEMPLO 3. Mostrar que la gráfica de la función y=Loga (x+Sx1+l) es simé­
trica respecto al origen. Hallar la función inversa.
Solución. Una función es simétrica respecto al origen cuando es impar, es­
to es: i) Si xcDom(f) * -xcDom(f)
i i) f(x) = -f(-x), ¥xcDom(f)
, r / J I.i. r (/xl+l-x)(/xl+l+x) , (X l+1)-X2
En efecto, f(-x)=Log (-x+'x +1) = Loo -
------— — = Loa - — ---
Q Q /~ x * u / j ,
OC +1+X Sx +1+X
-» f(-x) = Loga(x+-/x T+l) 1 = -Loga (x+/xl+l) = -f(x)
Luego, f(x) = -f(-x)
Para hallar la función inversa de f intercambiamos las variables:
x = Loga (y+Syl+l) - y+ty+l - ax - /y*+l - ax -y
■y» 9 v 1 *v» —y
Elevando al cuadrado obtenemos: 2a y = a -1 -* f*(x) = j(a -a )
2X
EJEMPLO 4. Hallar el dominio de la función inversa de y =
2y v x
Solución. Intercambiando variables: x =
------ -* 2J = -.—
1 + 2y J_JC
De donde, tomando logaritmos de base 2, se tiene: y = Loggl-j^)
La función es real *-*■ > 0 < 0 Dom(f*) = <0,t>Sólo fines educativos LibrosVirtual

484. Ejercicios: Grupo 43 471
EJEMPLO 5. Dada la función f definida por:
Log2 (x-l) , si 3 4x49
f(x) = - , si 1 4 x < 3
-l+SxíZ-x) , si O 4 x < 1
a) Hallar, si existe, f*(x).
b) Graficar f(x) y f*(x) en el mismo sistema de coordenadas.
Solución. (1) Sean: f¡ (x)=Log2 (x-l), xc [3, s] ; f» (x)= ^(x-l)*, xc [i, 3>
>' f,(x) = -lr/l-jx-l)1, xc[o,l>
(2) Siendo estas funciones univalentes y crecientes en su intervalo de defi
níción (verificar), entonces:
R antfO = [ft(3),fi(9)} = (1,3) = Dam(ft)
Ran(fz) = [ft(l),fi(3)> = [0,1> = Dcm(fí) ; Ran(f3)=[-1,0> (Verificar)
(3) Como Ran(f i) f\Ran(f i)\)Ran(f í)f\ Ran(f í)ü Ran(f i){\Ran(f *) = $ - af*(x)
(4) Determinación de las funciones inversas (Intercambiando variables).
En /■,: x=Log2(y-l) «-* y-l=2x ^
* fííx>=I+rC , xe[l,3) 9 1
En f3: x = ^(y-1)1 * y-l=2¿x
- fl(x)=l+2/x , xe(0,l> ¡\ /
En fx=-l*/l-(yr-l)í + (y-1 )2=l-(x+l J2 ¡ / / y = x
En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l &, t r a z a r l a g r á f i c a p a r a c a d a u n a d e l a s f u n c io
n e s d a d a s .
- fí(x)sl-/l-(x+l)2, xe[-l,0>
' 1+2x , xc(l,3¡
f*(x) = 1+2/x ' , xe(0,l>
1. f = i(x,y) |y=Eog.,/2(x)}
2. f - i(x,y)|y=Log3(x)l
4 . f = |( x ,y ) |y = L o g2( l / x ) }
5- f = { { x ,y )|y = L o g2| x - l | J
6. f = l( x ,y ) |y = L o g ( x +6)+1J3 . i = { (x ,y ) |y = L o g2[ [ x ] ] }Sólo fines educativos LibrosVirtual

485. 472 C apitulo 6: F unciones E xponenciales v Logarítm icas
7- f = <{x,y)|y=|Log2x|l 8. f = <(x,y)|y=|Log2|x¡|)
9- Una función f viene dada por la ecuación y*-1+Log 2(x-1)=0. Hallar el do
minio de la función dada y escribir la función inversa.
10. Hallar el dominio de las funciones que se indican:
a) y=Log[1-Log(x*-5x+16)] d) y=Log(i-Z|íí?)
b) y = L o g ( ^ + / 5 ^ ) e) yX g ( ^ )
c) y=Log(-|2í)
11. Sea ia,b,c,d,x}c-R+-tl}. Determinar el valor de verdad de cada una de
las siguientes afirmaciones:
a) Si x>1 y b<1 + Lo 6bx > 0 °) Logb (x) = - L o g ^ C x )
b ) ( L o g ^ b ) ( L o g ^ c ) ( L o g ^ d ) = L o g &d
12. Sean a,beR+-íl}, x ,x, ,x2e<0,+“’> . Establecer el valor de verdad de cada
afirmación:
a) Si x, < x t - L°gb (xi) < Logb (xi)
b) La gráfica de y=Logb (x) corta al eje X en x = 1 .
c) Si ceR, entonces la gráfica de y=Logbx corta a la recta y=c en un
pinto y sólo en uno.
d) La gráfica de y=Logbx pasa por el punto (a,Log^b).
13. Establecer el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones
a) a,bcH+ y ceR+-{l}. Si a < b -► LoSca < Logcb
b) La función exponencial en ba 3e b>0, b ¿ 1 , es inyectiva.
c) b>0, Logbx < L o g ^ -*■ x < y
14. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
a) Las gráficas de las funciones f(x)=Logbx y g ( x ) = L o g ^ b (x), b>0, b / 1 ,
son simétricas respecto del eje X.
b) Si bi > b t > 1, entonces Logjj x ^ Lo8b x > 1fxeR+
c) La ecuación Logbx = bx tiene solución solamente si 0 < b < 1.
15. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
a) La inecuación 0 < Log2^ ( x ) < 1 tiene como conjunto solución el in­
tervalo <0,1>.
b) Si a,,at , a*eR -{1}, la ecuación:
Log a,.Log. a..Log. a . Log. a .Log x = 1/2, tiene como con-
a, a j a , ’ an -1 n> ^“nSólo fines educativos LibrosVirtual

486. Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales 473
junto solución la 1
n
c) Si f:<1,+”> ■* R está definida por f(x)=Log? (x+1)-Log? (x-1), entonces
f*:R * <1,+”> está definida por f*(x)=jíí*+1
/
22+Log75 + 5Log,
-----i--ó---
,Log72
1 4
17. Sean f y g funciones reales de variable real, definida por:
f/|x|+1 , si - 7 í x < -2 f 2X~ I x í , si 2<x<5/2
,f(x) = ■{ ; g(x) =J
---
[ [£x/2 JJ+x1 , si 0 ,< x < 2 lhn/x*+2, s i 7 / 2 C x v < 4
Hallar, si existe, la función gof(x) y su dominio.
18. Sea la función: g(x) =
2x[[x+3]] , si xe<-2,0>
-3/5Lnx , si xe<e
x +1 , si xe< 1,+=>
a) Determinar si g es inyectiva.
b) Si A=[-4,+»>-14), determinar la función h:A * R tal que (goh)(x)=x,
VxeR.
19. Sean f y g funciones definidas en R por:
f 3x+2 , si i < 1 f Logv (-^r) , si x i-3
f ( x ) H 3m n ; g (x ) = 1 n
[ f l* 5 Si x > 1 [ [E x H 2 - 2x+ 2 , si x < 3
Hallar: (fog)(x).
Q | ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones exponenciales son aquelas que tienen la incógnita en
en el exponente.
Para resolver las ecuaciones exponenciales existen dos métodos fundamenta­
les: .
E S I METODO DE REDUCCION A UNA BASE COMUN
_________| |
Este método se basa en la apiicación de la propiedad:
Si b>0 y bfl ~ bx = b* ~~ x=y
EJEMPLO 1. Resolver: 3X+1 + S ^ 2 - 3?~3 + 3*~4 = 7 5 0
Solución. Haciendo uso de las leyes de los exponentes, se tiene:Sólo fines educativos LibrosVirtual

487. 474 Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
^■3 --¡j + p r = 750 ■* ^ <3 + i + é + = 750
- = 750 - 3X = 3 5 •— x=S
EJEMPLO 2. Resolver: 32x+S = 28(3X+1 - 2) = 55
Solución. 32x .35 - 28C3x .3-2> = 55 - 243(32 x )-84f3x )+i = 0
Haciendo: 3x=m (m>0) -► 243mx-84m+l=0 m-1/3 o m=l/81
Para: m = -*■ 3X = 3 ^ «-* x = -1
m = gj - 3* = 3 -4 «- x = -4
E J E M P L O 3. Resolver: 2.32x+1 - 13. 6* + 6.22x = 0
Solución. 2.32 x .3 - I3C3X .2X ) + 6f22x; = 0 -» 6(32x)-13(3e.Zs)+6(22x)
Sean: 3X=m y 2X=n (m>0 y n>0) ■+ 6ml-13mn+6nl=0
Factorizando: (3m-2n)(2m-3n)=0 « m = 2n/3 o m = 3n/2
Luego: 3? = ^|f2x ; - f|)x = ~ *="■*
s * . f 2 * , . r j > x = f ~ « = i
CS = {-1,1}
EJEMPLO 4. Resolver el sistema: 21+x + 22+2y = 24 ; 2? - 22y = 2
Solución. En la primera ecuación: 2.2x+4.22y=16 ■* 2x+2(22y)=8
Restando la segunda ecuación dada de (1), se tiene:
3.22y = 6 - 22y = 2 2y=l - y=l/2
Sustituyendo en (1): 2X+2(2)=8 — 2X = 22 «->• x=2
.*. C.S = {(2,1/2)}
EJEMPLO 5. Resolver el sistema, si ncZ , x>0 , y>0
n _y-Jí ... 2n y-x-n , „,
y = ar (1) ; x = y (2)
Solución. Multiplicando (1) y (2): (x*y)n = (xy)y X (y) n
n , \n / \~n , ,n, ,n . ,y-x
x (xy) = (xyy (y) -* (xy) (xy) = (xy)J
/ _ \2n , ,y-x
-* (ay) = (xyy
Caso 1. Si xy/1 — 2n=y-x — y=x+2n
= 0
(1)Sólo fines educativos LibrosVirtual

488. Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales
475
En (1): (x+2n)n=x2n * x+2n=xi * xz-x-2n=0 * x = jj(l+/T+8n)
•* y = 2n + í(l+ZI+8ñ)
-l
Caso 2. Si xy=l * y=x
, - I _ ,
En (i): (x = xX X «■ -n=x -x •» x*-nx-l=0 ■» x = -j(n+/nz+4)
* y = = j(/nz+4 - n)
n+/nz+4
EJEMPLO 6. Resolver el sistema en R: (3x+y)X~y = 9 (1)
324(x~y > =18xz+12xy+2yz (2)
1 2 4
Solución. En (2): (2ZX3')x~y=2(3x+y)1 * (2Tc~y )(3x~y )=2(3x+y)1 (3)
2 2 4 4
De (1): 3x+y = 3*~y ; en (3): (ZKry)(3X~y) = 2 ( f y )
2
de donde: 2? y = 2 +-+ = 1 * x-y = 2 (4)
Sustituyendo (4) en (1): (3x+y)z=9 3x+y=3 o 3x+y=-3
Luego: (x-y=2 ** 3x+y=3) x-5/4 , y=-3/4
(x-y=2 * 3x+y=-3) x=-l/4 , y=-9/4
;. C.S = 1(5/4,-3/4),(-1/4,-9/4)}
2 3 METODO DE LOGARITMACION EN AMBOS LADOS DE UNA ECUACION ü
c _ or ~+2
EJEMPLO 7. Dado Log2=0.3010, resolver la ecuación: 5 = 2r
Solución. Aplicamos logari tmos en ambos lados de la ecuación y obtenemos:
(5-3x)Log5 = (x+2)Log2 ■+ (5-3x)Log(^j) = (x+2)Log2
* (5-3x)(LoglO-Log2) = (x+2)Log2 - (5-3x)(l-Log2) = (x+2)Log2
. . w S-7Log2 5-7(0.3010) 2,893 .
de donde: x = — = - = —
----= 1 ■ 206
3-2Log2 3-2(0.3010) 2.348
EJEMPLO 8. Resolver: (a*-2azbz+b')X~J = (a-b)2x(a+b)~2
,, * u*v*,x-i (a-b)2x (a2-bí/)2x _ (a-b)2x
Solución, [(a-b ) ) -
-------—----- = -
(a+b) (a'-b1)* (a+b)1
(a+b)2x(a-b)2x _ (a-b)2x , ..x _ h
- (a+b) * (a-b)- - l ^ b F - <a+b) = a-b
Aplicando logaritmos: xhog(a+b) = Log(a-b) — x =Sólo fines educativos LibrosVirtual

489. 476 Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
E J E M P L O 9. Resolver: e3x-3e2x+4eX -4=0
«* T
S o lu c ió n . Haciendo: e =m , (m>0), se tiene:
m >-3ml+4m~4=0 * (m-2)(m%-m+2)=0 ++ m-2=0 o m 1-m+2=0
Unica solución real: m=2 , luego, si: ex=2, aplicando logaritmos en ambos
lados de la ecuación, se tiene: xLne=Ln2 (Pero: Lne=l)
.'. x - Ln2
EJERCICIOS: Grupo 44
Resolver las siguientes ecuaciones sin emplear logaritmos:
1. (2 /Í2 +3^V 6/T73)2/5 = ¿ 2xl' 2x~2 7. 3(2X+ 3) = 132(3X“3 )
2. 3X+2 + 9X+1 = 8 1 0 8. 2 2x+6 + 1 = 8(2X+1)
3- x ^ - U ^ x ^ + x » = 0 9. a2x (a‘+1) = (a3x +ax )a
4. (3X_1 + 3X+2)(5X+2 + 5X" 1 ) = 3528
5. 64(2x_5)x - 729(3X) X“ 5 = 0
15 247¿ ,x+1 _x-2
6. 3 + 3
3x- 1 - ^
10. (35"x )(52x_¿*) = 1511_3x
11. 4i+1/2.32x = 4x-1/2_32x-1
x x -1 ‘l/SZsñT’
1 2. (x3 ) 3 = ( - 8 )
Resolver las siguientes ecuaciones haciendo uso de logaritmos:
13. 3X+1 + 18(3"X ) = 29
14. 105-3x = 27-2x
15. 42*-1 = 5X+2
16. (a3-1 ) ^ 5*) = (ax+5)(b3 x)
17. 3(10X-10- X ) = 10X+10-X
18. 3e3x-7e2x-19eX-5+4e_X = 0
19. f ? + •¿T* =
2 0. 33 -1 - 25x = 3X+5 - 23x
21. Si Log2=k y Log3=h, resolver los sistemas de ecuaciones:
a) 2
,*+y
= 6y 3X - 3.2 y+1 b) 3'
1-x-y _ 4-y . 2 2x- 1 _ 33y-x
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
22. J^t+y = 2 ; (x+y)3y = 216 24. xy - y x
3 2
x = y
23. xX = y7 ; x7 « 2x
„ x+y x-y 2 A
25- x = y ; x y = 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

490. Sección 6.5: Ecuaciones Logarítmicas 477
2 6 . V 3 Í Í 7 = 2 ¡ ( x + y ) . 3 X = 2 7 9 9 3 6
27- = 2 /J ; (x+y)•2y_x = 3 , O < y < x
28. xx+y = yn ; y x+y = x^n .yn , y>0 , ncZ+ (dado)
29. (x+y)x+y = 8-(x+y)X ; (x+y)X-y = 8-l6(x+y)y_x , x,y enteros (>0)
L a ecuación con ! a incógnita bajo el signo de logaritmo se llama ecua
cion logarítmica. En general, una ecuación logarítmica se resuelve teniendo
en cuenta las condiciones iniciales que debe cumplir l a variable, esto es,
la determinación del universo de la variable dentro del cual se resuelve la
ecuación aplicando las propiedades descritas en la sección 6.2.1.
Si l a ecuación logarítmica tiene la forma:
e l universo de la ecuación se determina del modo siguiente:
a) Primera Condición: Base positiva y diferente de uno. (b > 0 bfl)
b) Segunda Condición: Número positivo (f(x) > 0)
Universo de la ecuación: U - (b>0 ~ bfl) (f(x) > 0)
Los ejemplos que siguen ilustran algunas de las técnicas que pueden emplear,
EJEMPL O 1. Resolver: 2Log(Logx) = Log(7-2Logx)-LogS
Solución, a) Aqui, la primera condición está dada: b=10
De donde: 5Log1x+2Logx-7=0 * (HLogx+7)(Logx-1 )=Q «-► Logx--?/5 o Logx=l
Vemos que la primera alternativa no cimple la segunda condición inicial.
Luego, si Logx=l ■» x=10sU C.S = 11 0}
30. x'
uv+Au-u1 (1+u)(2u-8)
- y = 8
2UV = 125(5)
xy1 = 1 } x + y 1 = 3
2 1 + 2x + g 2 + 4 y _ 4 z = 1 5
g3+Ay _ 41+z _ 24
*
ECUACIONES LOGARITMICAS
Logbf(x) = L
b) L o gx > 0 ■* x > 1 0 * ■* x > 1 U=<l,+°>
Según las propiedades L.2 y L.3: Log(Logx)2 = Log( 7 2^ >3X )
Como la función logaritmo es inyectiva * ( L o g x ) 2 = ^ 2^ >3XSólo fines educativos LibrosVirtual

491. 478 Capitulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
EJEMP LO 2. Resolver: Logx (12)-3bogx t(4)+Logx (6) = 4
Solución. Condiciones iniciales: (x > 0) ~ (x/1) — U=<0,+«>-{1}
7 1/2
Luego: Logx 12 - j C o g ^ + Logx 6 = 4 -* Logx12-Logx4 +Logx6 = 4
-* = 4 •* Logx9 = 4 ** 9=x* -* x 2-3 •*-* x - ¿3 o x =-/J
Dado que x=-/3íU •* C.S = {¿3\
EJEMPLO 3. Resolver: 3Log¿x - = 6Logx2
Solución. Condiciones iniciales: (x > 0) * (x¿l) -* U=<0,+°>>-{l}
£
Luego, según L.8: 3Log^s - Log¿x = -» (Log^c)2 = 4
«-* Log^x: = 2 o Log^x - -2 ■*-* x = 2 1 - 4 o x = 2'* = 1/4
Antxis raíces pertenecen al universo -* C.S = {1/4,4}
EJEMPLO 4. Resolver: Logaz(x‘) - Logx (a) = Logg(1/27}
(a>0 , a/1 ; x>0 , x/1)
Solución. Sea: Logg(l/27) = y *-* * = ^ * 3 - 3 = 32y — y = -3/2
1 1 3
En la ecuación dada: -^.og^x - ? ~ ^ . 6 y L.8)
de donde: 2(Logax ) 2+3Logax~2 = 0 +-► Loggx = 1/2 o Loggx = -2
** x = a112 ó x = a" 2
C.S = ^ , 2 / a ‘l
EJEMPLO 5. Resolver: 8 + Log3 (4l°9 **) = Log3(36L°9 **)
Solución. Según L.2: 8 + ( L o g ( L o g ^4) = (Logjx)(Log336)
•* 8+CLog^) (Log34)= (Log^xXLog^ + Log34) = (Logjx)(2+lAg34)
- 8+(Log¿x)(Log34) = 2Log^c +(Log^t:)(Log34)
Simplificando se tiene: Log^x = 4 *•* x = 3 ’ = 81 -* C.S = {81}
EJEMPLO 6. Resolver: Logx (3).Log8 1 / x (3) = -Logx _3(x) ; x > 1
Solución. Universo de la ecuación: U =<!,+<»> (dato)
Según las propiedades L.9 y L.6, se tiene:Sólo fines educativos LibrosVirtual

492. Sección 6.5: Ecuaciones Logarítmicas 479
, , ( í ° p l .(3) ) = . lfjna (rt . i ( d/4)Log33 \ 1
ax Vi - log¡.,x / -3 ax ' Log,x ( j 3
l-(l/4)Loggx
De donde: (Log^x)2-4Log^x+3 = O Log^ = 3 o Log^x-l +-* x = 3 J o x = 3 ‘
C.S = 13,27)
EJEMPLO 7. Resolver: Logx (2).Logx/ig(2) = Logx/g4(2)
Solución. Condiciones iniciales: (x > 0) ~ (xjl) -*• U=<0, +»>-)J)
Log^2 ^ log^,2
~64
r log 2 \ log 2
Según L.9: log 2 ( — — ^ ) = J
a x V 1-Log 16 J 1-Log
De donde: 6(Logx2)2-5LogJ+l - 0 -*■ Log^x-5Log ¿x+6=0 (L.8)
*-’• Logzx=3 o LogiX=2 ♦— x = 23 o x = 22 •» C.S = (4,8)
EJEMPLO 8. Resolver: Loo. (-) + Log2(x) = 1
OX JC O
Solución. Condiciones iniciales: (x > 0) ~ (8xjl) * U = <0, +<=>-(J/8)
Según L.3: LogSx(8) - Log^fx) + Log2(x) = 1
y P °r L - 8: L o g j s x ) - L ^ j s T ) + L° 3 I M = 1
1 1 . z _ 1
______l°9ge 2
* 1+LoggX l+Logx8 + 03 8* 1 +Loggx l+Log^x * 03 8* ~
Sea Log^c = m ■» + m 2 = 1 » m 2-nn2-2m - 0 «-» m=0 ó m=l ó m=-2
Para: m=G * = 3 *""* x = 8' = 1
m=l ■* LOffgX = 1 <-* x = 8* = 8
m=-2 -*• LofiTgX = -2 x= 8~2 = 1/64
.'. C.S = (1,8,1/64)
EJEMPLO 9. Resolver: Log2(100x) + Logl(10x) + Logx = 14
Solución. Por L.l: (LoglOO + Logx)2 + (LoglO + Logx)1 + Logx = 14
12+ Logx)2 + (1+Logx)2 + Logx = 1 4 ■» 2Log2x+7Logx-9=0
*-» Logx=¡ ó Logx=-9/2 *-► x=10 o x=10
2 (log 81-Log~x) 2S (Log,x - i )
EJEMPLO 10. Resolver: (f) x a ^ 2
„ (Log 3"-Logj x) , -2(Log_x - J )
Solución. (-p = f-j)Sólo fines educativos LibrosVirtual

493. 480 Capitulo 6: Ecuaciones Logarítmicas
*-» 4Logx3 - Log^x = -2Log^c + 5 + LoSg* ~ 5
de donde: Log*x - 5Logjx + 4 = 0 *— Logjx=l o Log^c=4
*+ x=3 o x=3'=81 - C.S = {3, Si)
EJEMPLO 11. Resolver el sistema: 2 ^ ^ = 512 ; Log/xy = l+Log2
yTy ^ 9
Solución. En la primera ecuación: 2 y = 2 ■*-* Sx + Jy = 9
Elevando al cuadrado se tiene: (x+y)+2¿xy = 81 (1)
En la segunda ecuación: LogJxy = LoglO + Log2 = Log20 * xy = 400 (2)
Sustituyendo (2) en (1): x+y+40=81 + x+y=41 (3)
De (2) y (3) formamos la ecuación cuadrática: m 2~41m+400-0
cuyas raíces: m=16 o m=25 , corresponden a los valores de x e y, esto es:
C.S = 1(16,25).(25,16)} '
(Log x) r ,o
EJ EMPLO 12. Resolver el sistema: y.x y = x (1)
(Log4y)(Logy (y-3x)] = i (2)
Solución. Condiciones iniciales: y>0 , yfl , x>0
En (2): Logy (y-3x) = L(^ ^ y = Logy4 *+ y~2x=4 (3)
En (1), aplicamos logaritmos de base x: Logx (y .x^°^yX ) = Log^x5^
- Log ¿y t Logyx.Logxx = | l ogxx - Log^y + =- |
de donde: 2(Log3y) l-5Log^/ + 2 = 0 *-+ Log^y = 2 o Log^y = -j
+-+ y=xx o y=/x + x=y 1
Si y=x*, en (3): x*-3x-4=0 +-+ x=4 o x=-l<0
x=yl, en (3): y-3yt=4 ■+ 3yz-y+4=0 , no tiene raíces reales.
Unica solución real: x=4 •+ y=(4)2=16 .'. C.S = i(4,16)}
EJEMPLO 13. Dado el sistema en R: Log^x-Log^xy = >
a) Plantear un sistema equivalente sin expresiones logarítmicas.
b) Determinar el máximo valor de k para el cual el conjunto solución es no
vacío y los correspondientes valores de x e y.
Solución. Condiciones iniciales: IoO, kfl , x>0 , xfl
£h la primera ecuación: (Logx2)(Logfx)(Log^xy) = 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

494. Ejercicios: Grupo 45 481
Aplicando sucesivamente la propiedad L .11 (cambio de base), se tiene:
Logk2.Log¿cy = 1 - Log^cy = 1 -* xy=k (1)
En la segunda ecuación dada, por L .11: Log^(x+y)=3Log^2 +-*■ x+y=8 (2)
(1) y (2) es el sistema buscado, del cual formamos la ecuación cuadrática:
m*-8m+k=0, cuyas raíces serán reales +-+ A >, O, esto es: bz-4ac ^ O
Entonces: (-8)z-4(l)(k) >, O «- k -S 16 - íce [0,16]-<1}
Luego, el máximo valor de k es k=16, para el cual las raíces son iguales:
x = y = 4
Log.z
EJ EMPLO 14. Resolver el sistema: Log„(x+y+z) - 3(- ) (1)
. o LiOQ
Log12z Log2 (z(x+y)] = (2)
x-2y = 2y (z~2)(z~6) ( 3)
Solución. En (1): Log3 (x+y+z) = 3(Log3z)(Log^2) = 3Log32 = Lcg323
■*-* x+y+z = 8 (4)
En (2): (Log^2z)(Log ^2) [Log2z(x+y)] = 1 . Aplicando L .11, se tiene:
(Log122)[Log2z(x+y)] = 1 * Log1¿z(x+y) =1 «- z(x+y) = 12 (5)
De (4) y (5): z(8-z) = 12 *-► zz-8z+12=0 *■* z=2 o z=6
(x+y=6) o (x+y=2)
En (3): (x-2y) = 2y - x-2y = 2
Luego, para z=2 -* (x+y=6) ~ (x-2y=2) +-+ x=14/3 , y=4/3
z=6 * (x+y=2) ~ (x-2y=2) ++■ x=2 , y=0
Dado que en (3), y/O, entonces: C.S = 1(14/3,4/3,2)1
EJERCICIOS: Grupo 45
R e s o lv e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c io n e s l o g a r í t m i c a s :
1.Logg (x5+8)-Logg (x + 2)=Logg7 6.Logx /f+L°gx5x- 2.25 = (Logx /5) 1
2.Logx 15+2Logx250-Logx6 = 3 7- Logx (/2). L°gx ^32 (/2) = Logx _,(/>)
3.
Logl6X+L°s4X+L°s2x = 7
8. Log^x + 2Logxa = 3» acR+- f 1 }
4. LogAx+4+Log/2x+3 = 1+Log1.5 9.Log(8)Logx- Log(2)Logx= Logxx x¡¿1
5.Log2(9X"1+7) = 2+Log2(3X"1+l)'1 0.Log^x + Log4(x-1) = LogA (Log4/5 8)Sólo fines educativos LibrosVirtual

495. 482 Capitulo 6: Ecuaciones Logarítmicas
1 1.
Logx3-Logx/9(3) = Log81x(3)
1 6.Log128 = Log23x 2x+1-Log12+Log5
12.(0.4)1+ (L°gx)2= (6.25)2‘Logx> 17.4Log2/ax = Logax , a>0
13.(Log2x4)(Log^x) + 0.5 = LoSx218.2Log(^c + 25 + = LoS3-Log2
14. x + Log(l+2X ) = xLog5 + Log 6 19.Logx (2xX_2-l) = 2x-4 , x¡¿1
15-Log/7x+5 + ^Log(2x+7)=1+Log4.5 2 0.(3/5)L°gx (x2+2) = 2Log3/27
21. Dado aeR +- ( 1 ) , h a l l a r e l c o n ju n to s o l u c i ó n d e :
Log ( a / x ) . L o g 2x >= ( l - L o g2x )L o g (a x )
a a a a
22. D e s p e ja r x d e : L o g(2X- l ) + L og(2X "*-1) = 1-Log2
2 3 . H a l l a r e l m enor núm ero p o s i t i v o x t a l q u e :
-|L o g (C s c x + 7 )-L o g (1 .2 ) = 1 - -|L o g (l4 + C sc x )
24. R e s o lv e r : L o g |x |( 2 ) . L° g | x | ( 2 ) = L°g[x |(2 )
16 64
25. R e s o lv e r : 31+L°S C o tSx . j ^ L o g T a n x + 8 = 0 ■
26. R e s o lv e r : LoS1/2^ í¿ ^ + 2Lo8 - j(x -3 )-L o g ^ (x + 2 ) = Log2(x+ 2) + Log2( x - 3 )
2 7 . R e s o lv e r : / L° g a ‘ / a x + Logx * /a x + / L° e a v/ f + Log. = a , a>0
/ L°g |X |V I \
2 8 . R e s o lv e r : Log2x . L o g ^ — ^ ) = -1
2 9 . R e s o lv e r p a r a xeR : Log^ /2^T fb +2Log3^x ~-5) ' Log3( x+2) = Log2 (x+2) +
+ Log2( x - 3 )
R e s o lv e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s :
30. 3x+y= y ; Log9 = 2L o g (x -y ) 3 5 . 2x*+y=75 ; Logx*-Logy=2Log2+Log3
31. Log2x y -L o g2(^ )=8 ; 2L° gX=4Logy 36. L o g (x2+y2)-1 = L g 1 3 ; L o g (^ Í|)= 3 L o g 2
32. x l - y 2=10 ; ( x - y ) L° g (x + y ) =103 3 7. x Lny=e~3 ; Ln2x + Ln2y =10
33- Log0_5(y -x )+ L o g2( l ) = - 2 ; x2+y2=25 3 8 . Lnx+3Lny=5 ; 2Lnx-Lny=3
3 4 . y+Logx= | a r c S e n1 ; xy=2Log0 .5 10 39- — gy- = ^ 1 -X¿ +y¿ =-§■
* L° s xy x - y 3
4 0 . R e s o lv e r : sy x ^ + “/ y 2^ = 34 ¡ 0 .4 (L o gx+ L ogy ) = 2+Log2.25Sólo fines educativos LibrosVirtual

496. Sección 6.6: Inecuaciones Exponenciales 483
41. Dados: a¡¿l/2, b^3 ; resolver
(2a)
Log2a _ Log(b/3) (^)Log(b/3) _ xLog2a
42. Hallar los valores de x e y tales que:
Log1(xy) - Logl(^) = 32
Logx _ ,Logy
43. Sean f ( x ) = L o g ^ x ^(^i^ ) y g(x-l)=x-3 , 0<x<5- Resolver: (fog)(x)
*
= -1.
INECUACIONES EXPONENCIALES
La resolución de inecuaciones exponenciales se basa fundamentalmente
en la api icación de los incisos (b) y (c) del Teorema 6.1. En efecto, consi
deremos las gráficas de las funciones exponenciales:
f:R - R + = Ux,y)|/'(*)=&*, b>l) g:R - R+ = f(x,y)\g(x)=bX , 0<b<l)
En la gráfica de f se observa que:
x, < x z -*• f(xx) < f(x2) f es creciente VxeDom(f)
y en la gráfica de g:
x, < x z ■» g(xx) > g(x1) g es decreciente VxeDom(g)
En fonma similar, si tenemos inecuaciones exponenciales de la forma:
bP<x) > bQ(x> o bP(x> < bQ(x)
donde P(x) y Q(x) son funciones de x, entonces podemos considerar los casos
siguientes:
Caso 1. Si b>l, entonces:
bP(x) > bQ(x) p(x) > Q(x)
bP(x) < bQ(x) ^ p(x) < Q(x)Sólo fines educativos LibrosVirtual

497. 484 Capitulo 6: Inecuaciones Exponenciales
Caso 2. Si O < b < 1, entonces:
bP<X> > bQ(x) «- P(x) < Q(x)
bP(x) <
b®(x) *•+ P(x) > Q(x)
EJEMPLO 1. Resolver: x+} / i ? * 3 < X ~[/322x+5
x+3 2x+5
Solución. La inecuación es equivalente a: (2 ’)x+X < (2i) x X
3x+9 10x+25
++ < 2 ~ ^ = T ~ (Caso 1: b=2>l)
„ 7xl+29x+34 y q
(x+l)(x-1)
Inecuación equivalente: (7x*+29x+34)(x+l)(x-l) > O (1)
Para el primer factor: ^-(29)-4(7)(34) = -111<0 ■+ 7x*+29x+34>0, VxeR
Luego, (1) se cumple si: (x+l)(x-l) > O *■* ,x>l v x<-l
C.S = <-»,-í>u <Z,+->
EJEMPLO 2. Resolver: X+l / (j^)*'3 < x+^ / (L)2x~2
2x-6 2x-2 -
Solución. Se tiene: (j) x+3 « (j) x+2 (Caso 2: O < j < 1)
2x-6 . 2x-2 x+l , „
** x+3 ' x+2 ** (x+3)(x+2) * U
Inecuación equivalente: (x+l) (x+2)(x+3) ¿ O , xf-3 , x¡t-2 (a)
Por el método de los valores críticos se determina que la solución de (a)
es: C.S = {x|jc<-3 v ~2<x<-l} = <-», -3> U <-2, -l] (Verificar)
EJEMPLO 3. Si A es el conjunto solución de la inecuación
X~2J ( O . O O s f 1 >, X l / (0,04)XfS
y B es el conjunto solución de: —x l-9x+20 0 ' ha,,ar (B-A)'
3(x-1) 2 (x+3)
Solución. En A: (0.2) x ~2 » (0.2) x ~X — ^ (Caso 2)
3x-3 2x+6 „ „ . (x-3)(x-5) „ „
~ !¿=I ' ~ i " 0 (x-2) (x-i) < 0
Inecuación equivalente: (x-3)(x-5)(x-2)(x-l) -$ O , xjl, x?2
Por el método de los valores críticos se determina que:
A = <l,2>tí ¡3,5] (Verificar)Sólo fines educativos LibrosVirtual

498. Sección 6.6: Inecuaciones Exponenciales 485
c n . • (x-1)1 (x-2} n
En B se tiene: (x.4)(x.5) » O
Inecuación equivalente: (x-2) (x-4) (x-5) >, O , x=l , x/4 , x/5
Por el método de los valores críticos se determina que:'
B = {i } U [2,4> u <5, +~> (Verificar)
A
,B % / / / / / / / / / / / / / A l
1 2 3 i 5
Luego: B-A = [2,3> u < 5 , +“> ull( -*■ (B-A) ’ = <-»,2> u [3,5]-U 1
EJEMPLO 4. Dado los conjuntos A = í x c R f ' ^ / í ^ ) ^ ) 2 ^ x+^/(9)(j¡)x l y
B=lxeR|/xz-2x > x+4); hallar: P={xeR|xeA x e B h
_________ x+2 2-2x
Solución. En A: X~ Y 3*.3* 4 Xfl / ( 3 2)(3~2)X -*■ 3X" 3 « 3 x+3
++ _íí| ^ 2^2x ^ 3pc*-x+jj 4 o (Caso 2: b=3>l)
x-3 x+3 (x+3)(x-3)
Inecuación equivalente: (xz-x+4)(x+3)(x-3) 4 O , xf-3 , x/3 (1)
En el primer factor: &=(-l)2-4(l)(4)=-15 < O + x 2-x+4 > O, VxcR
Luego, (1) se cumple si: (x+3)(x-3) < O *■* -3 < x < 3 ■» A=<-3,3>
En B: /a:2-2x > x+4
- (x2-2x >sO) ~ [x+4<0 v (x+420 ~ x 2-2x > (x+4)2)] (T.45H)
* x(x-2)20 « (x<-4 v (xi-4 ~ x<-8/5)]
+ (x40 v x^2) -v [x<-4 v (-4 4 x < -8/5)]
- Í(x40 v x>2) ~ (x<-4)] v [(x40 v x>2) ~ (-4 4 x < -8/5)]
- [(x<-4)] v [(-4 4 x < -8/5)] = -4> U £-4, -8/5> - B=<-“,-8/5>
Según la equivalencia lógica: p ++ q = (p ~ q) v ~ ^ q) , se tiene:
A «- B = (A ñ B ) u (A'(\ B') = (A fl B) U (AUB) '
A O B = <-3,3>n -8/5> = <-3,-8/5>
A U B = <-3,3> U <-•>, -8/5> = 3> - (AuB,)' = [3,+“>
P = lxeR|xeA ** x e B } = <-3,-8/5> u[3,+“>
EJEMPLO S. Si a, b e R + -{ 1} | a< b, resolver: a ^ ~ 1 < bx ~ 1
Solución. Según las condiciones dadas, construyamos en un
solo plano las gráficas de las funciones y=ax , y=bx .
Consideremos los siguientes casos:
0 < I < a < b ; 0 < a < 1 < b ; 0 < a < b < 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

499. 486 Capitulo 6: Inecuaciones Exponenciales
.< a < b O < a < 1 < b O < a < b < 1
i) x < O - ax > bx i) x < O ■* ax > bx i) x < O - ax > bx
ii) x > O - ax < bx ii) x > O - ax < bx ii) x > O - ax < bx
Obsérvese que en los tres casos considerados, en los que a<b, la desigual-
X X
dad a <b se cumple cuando x>0; entonces, si:
ax < bx "J - x 1-J > O - x 1 > 1 -*■ v (x>l)
xe<-®»f -1> U <1, +“>
EJERCICIOS: Grupo 46
R e s o lv e r l a s s i g u i e n t e s i n e c u a c i o n e s :
1. x+1/ ( ° - ° 1 ) X‘ 2í x+3/ ( 0.1 )2X' 3 6 . X- 2/ ( 0 . 0 0 8 ) X- 1 >. X- y ( 0 . 0 4 ) x+3
2 (2 2x' ^ ) ( 2 4~x ) < x + y 22x+3
5 x - 5 / ^ 4 ^ x + 1 / p í
3. X+V ( 0 . 0 4 ) 2x-1 >
7. Dados los conjuntos A=(xeR|/x2-x-2 > x-1) y B=)xeR|25X_^ ^ :3y/|,(0.2)X+^}
Hallar: A B'
xa — “5
8. Dados l o s c o n ju n to s A=)xeR| .g 0 , B = {xeR |xi'- 8 1 0} , C=(xeR|
27X-2 x
x+2 >, 81 l ; h a l l a r ( A n C ) n B
9 . Dados l o s c o n ju n t o s : A = { x eR |/x -5 e [ - 2 ,4 > ) , B={xeR| ( 0 .1 )X-^ •$ 10x+^} y
c = ( x e R | ^ > ¿ z | ) . h a l l a r (A-B) U (B n.C ).
10. Sean l o s c o n ju n t o s : M =)xeR|x+^ / s i x+^ > x 2* / 9 2x ^} y
N =(xeR |''2x+5 > x+1) , h a l l a r e l c o n ju n t o : P=txeR|xeM + xeN) .
2 j2x-1 g ( _ 2 _ ) X(J_)4x1+1 < ( l ) x+2( _ L l x2r3xSólo fines educativos LibrosVirtual

500. Sección 6.1: Inecuaciones Logarítmicas 487
11. Sean los conjuntos: M=<xeR| 2x_y ( 0 . 0 0 0 3 2) X+2 < X“V ( 1 / 5) 3X-1 \ y
N={xeR| | x j + 2 1 x—1 1-|2x-5 | < 31, hallar el conjunto P=íxeR¡xeM «-* xeN).
*
Q Q INECUACIONES LOGARITMICAS
________________________§ |
Para una mayor comprensión en la resolución de inecuaciones logaritmx
cas es necesario remitirnos, en primer lugar, a la definición de logari tmos
esto es:
Log^N = x +- N = bx
En segundo lugar, a la observación de la gráfica de la función y=Logbx cuan
do b>l y 0<b<l, y al hecho importante de que en el campo de los números rea
les, solo tienen logaritmo los números pos iti vos.
0 < b < 1 b > 1
Los casos que se presentan son los siguientes:
Caso 1. Cuando 0 < b < 1
En la gráfica de y=Logy>c se observa que:
(1) Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo (y<0)
(2) Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo positivo (y>0)
Entonces para cualquier x l,xzdl se tiene:
Si 0<b<l y 0<xl<x1 «-»■ f(xt) > f(xt) (f es decreciente)
^>9t)x 1 > Logbx z
de donde se deducen las siguientes relaciones:
a) Si x>0 , 0<b<l y mtR * Log x > m <-» 0 < x < tí1'
b
b) Si x>C , 0 < b < 1 y mcR * Logyc < m x > b"Sólo fines educativos LibrosVirtual

501. 488 Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas
Caso 2. Cuando la base b > 1
En la gráfica de y-Log^x se observa lo siguiente:
(1) Los números mayores que l tienen logaritmo positivo (y > O)
(2) Los números entre O y 1 tienen logaritmo negativo (y < 0)
Entonces para cualquier x ¡,xzdt se tiene:
Si b > I y O < Xi < i-, -‘-1- f(Xi) < f(xz) (f es creciente)
<— Log^x, < Log^x2
de donde podemos deducir las siguientes relaciones:
a) Si x > O , b > 1 y mcR * Logyx > m •*-* x > bm
b) Si x > O , b > I y mcR * Logyx < m x < bm
EJEMPLO 1. Resolver: Log^(2x-5) > 2
Solución. Dado que 3>1, entonces según el Caso 2a, se tiene:
Log3 (2x-5) > 2 — (2x-5 > 0) * (2x-5 > 3 1)
(x > 5/2) ~ (x > 7) *-*• xz<7,+•*>
EJEMPLO 2. Resolver: Log3 \3-4x\ > 2
Solución. En esta desigualdad se pueden tomar valores positivos y negati­
vos pare x, excepto x=3/4. Luego, según el Caso 2a:
Log3 ¡3-4x¡ > 2 «- |3~foc| > 3l ~ xt3/4
14x-31 > 9 *”*■ 4x-3 > 9 o 4x-4 < -9
<- x > 3 o x < -3/2
xz<-~,-3/2>u <3,+-> = R- [-3 /2 , 3]
EJEMPLO 3. Resolver: LogJ/2\2x-3\ > -3
Solución. Como (l/2)c<0,l>, tenemos el Caso la:
- Log1/2\2x-3\ > -3 ~ (x/3/2) „ (O < |2 x - 3 | < (l/2)~3)
Dado que |2 x - 3 |> 0 , V xeR -)3/2[ - (xÍ3/2) „ |2 x - 3 | < 25
(X)13/2) ~ -8 < 2x-3 < 8
de donde obtenemos: xz<5/2,ll/2>-{3/2]
EJEMPLO 4. Resolver: L o g y 3 \Log4(xl-5) | > O
Solución. Tenemos el Caso la, (l/3)z<0,1>
- LogJ/3|Log4(x2-5;| > O ~ O < L o g ^ x ’-Ó) < (1/3)’Sólo fines educativos LibrosVirtual

502. Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas 489
Si Log4 (x*-5) > O ** (x*-5 > 0) - (x1-5 >4')
++ (x1-5 > 1) +-> x 1 > 6 ** x < ~/6 o x >
+ S, = <-•,-/§> u </é, +->
Si Log4(xl-S) < 1 *» (x*-5 > 0) - fx*-5 < 4*J ~ (x*>5) ~ (x
-*• ( i > / 5 v i < - / i ) í-3 < x < 3 )
* S i = < - 3 , - > ' 5 > U < / 5 , 3 >
C.S = S in S i = <-3, -/§> Ü </$, 3>
EJEMPLO 5. Si í»2, resolver: Logyx + Logb (x+l) < Logb (2x+6)
Solución. Logbx+Logb<x+l)-Logb (2x+6) < 0 ++ Logb(*2x+Ú^ < 0
tato b>l - .2g j ¿ > o . < b- -1
(1) ( 2)
Por el método de los valores críticos se determina que:
S* = <~3,-l> U <0,+«•> y S, = <— , -3> U <-2,3>
.'. C.S = s , n Si = <-2,-l>ü <0,3>
EJEMP LO 6. Si x e R + - ( I}, resolver:
Solución. Siendo la base una variable, debemos considerar las
condiciones iniciales:
a) Base positiva y diferente de 1: x>0 y xfl
b) Número o argimento positivo: ^ > O <-» x < - 3 o x > 0
Universo parcial de la variable: U¡ = ArtB = <0,+->-il)
y j . 3
c) Además, por el radical: Log^(-y^) >, 0
Caso 1. Si 0 < x < 1 y Logx ( ^ ) >„ 0 + (0<x<l) ~ (0 i ^ <
- 10 < x < 1) ~ < 1) = ♦ - S, = ♦
Coso 2. Si x > 1 y Logx í. 0 + (x > 1) O ^ g ^ x ' )
+ ( x > 1) S O ) - (x > 1) * (0 < x s 3) + S,
Universo parcial de la variable: U 2 = S , U S i = <2,3]
Universo de la inecuación: U = UifíUi = <2,3]
(Caso 2a)
/6
*<9)
(Caso 2b)
(Verificar)
siguientes
x •;
,=<2,3]Sólo fines educativos LibrosVirtual

503. 490 Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas
d) Ahora resolveremos la inecuación dada teniendo en cuenta que x>l.
L°9X < ^ > < 1 - l°9x(^J¿) k 1 ~ < x ‘ (CaS0 2b)
~+ <2x'3£ x+1) > o — • (-1 < x < 0 v x > 3/2)
Luego, si: (x > 1) + (-1 < x < 0 v x > 3/2) - C.S = <3/2,3j
EJEMPLO 7. Hallar el dominio de la función: f(x) = ¿Log2x_g(x-4) - 1
Solución. La función es real *-» -l+Log2 g(x-4) i- 0 +-+ Log2x_g(x-4) í- 1
Condiciones iniciales: (Cálculo del Universo)
a) Base positiva y diferente de 1: (2x-9>0) ~ (2x-9/l) + A = <9/2,+“>-t5)
b) Argumento positivo: x-4>0 + x>4 ♦ B = <4,+->
Universo de la variable: U = A n B - <S/2,+»>-(5}
Caso 1. Si 0 < 2x-9 < 1 y Log2 x g (x-4) >^1
♦-* 9/2 < x < 5 „ (0 < x-4 S 2x-9)
«-+ 9/2 <i<5»U>4«x>, = < + S, = *
Caso 2. Si 2x-9 > 1 y Log2x_g(x-4) >. i
+-» /x > 5/ fx-4 ^ 2x-9) — * (x > 5) ~ (x S 5) + S¡ = $
Dom(f) = U n ( S , u S z) = *
EJEMPLO 8. Resolver en R: L o g | ^ 14x-8|-2/ < 0
Solución. Condiciones iniciales:
a) Siendo la base positiva VxcR-{2/3) + x/2/3
Ada-nas; |3x-2|/i (x/1) v (x/1/3) + A = R-ti 13,2/3, ¡ 1
b) 14x-81 -2 > 0 * 14x-81 * 2 -+ x < 3/2 o x > 5/2
- G = <-*>, 3/2> U <5/2, +">
Universo de la variable: U = A n B = <-“ ,3/2> U <5/2,+“> - U / 3 , 2 / 3 , 1 1
Caso i. Si 0 < |3x-2| < 1 y Log j 3jc_2 j < |4x-8|-2; < 0
0 < |3x-21 < 1 ~ (|3x-2| > 0/ ~ f|3x-2| < 1)
~ (x/2/3) - (-K3x-2<1) = <J/3, J>-(2/3( (1)
í.og|3x _2|fHx-8|-2; < 0 + |4x-8|-2 > |3x-2|'=J
+ |4x-8|>3 +-+ /4x-8>3/ v (4x-8<-3)
+- (x > 11/4) v (x < 5/4) (2)
.'. S = (1)0(2) = <1/3, l>~{2/3) = <l/3,2/3> u <2/3,1>
Caso 2. Si |3x-2| > 1 y Log ^3 x 2 ^( \4x-8\-2) < 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

504. Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas 491
|3x-2| > 1 (3x-2>l) (3x-2<-l) (x < 1/3) v (x > 1)
L °9 \3x-2\ ( \4x~8 \~2) K 0 -* l4 x ~8 l“2 < 1 3x-210 =1
• 14x-81 < 3 ~ 5/4 < x < 11/4 (
Entonces: S 2 = (3) n (4) = <5/4,ll/4>
C.S = t/nfS.US,; = <l/3,2/3>U <2/3, l > u <5/4,3/2>U <5/2,ll/4>
EJEMPLO 9. Resolver: Log^x ^^(\x-l\-2) > i/2
Solución. Condiciones iniciales:
a) Base positiva y diferente de 1: (\x\/4 > 0) ^ l|x|/4 / 1)
+ (XcR-[O]) ■* (x/4 o xf-4) + A = R-i-4,0,4)
b) Argunento positivo: |x-l|-2>0 |x-l|>2 (x-l>2) v (x-l<-2)
«- (x>3) V fx<-i; - fl=<-“ ,-J>u<3,+“>
Universo de la variable: U = AflB = -4> U<-4,-1> U <3,4> u < 4,+“>
Caso 1. 0 < |x|/4 < 1 y Log|x |/4(|x-l|-2> > j
Luego, C = Si n S z = S»
Coso 2. S i |x|/4 > 1 y L o g ^ /4(¡x-l¡-2) > 1/2
(3) Si |x| > 4 x<-4 o x>4 + S, = <-«,-4> U <4,+»> (Complem. de S l)
( 4 ) L o g , , /4(\x-l\-2)>± - |x-l|-2 > r|x|/4>Í/2 - |x-l |-2 > /jíj/2
Como por condición inicial: |x-l|-2 > 0 + |x-l|-2 <
Elevando al cuadrado obtenemos: 4(x-l)*-16¡x-l¡+16 < |x|
Por el método de los valores críticos se determina que:
Sz = <--8(9+/l7); +(-9+/l7)>U<£,4> (Verificar)
Elevando al cuadrado se tiene: 4(x-l)*-16¡x-l¡+16 > |x|
cuya solución es el complemento de S2.
+ S, = -Í(9+/T7)>U <|f-9+/í?;, |> U <4,-r»>
Entonces: D = S 3 f) S % = S s = <-», -4> U <4, +»>
C.S = U n ( C U D ) = -4> U < - ~(9+/T7), -1> U <3,4> u <4, +=>
O
EJEMPLO 10. Resolver: Log2 x [Logx (2x+3)] > 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

505. 492 Capítulo 6: Inecuaciones Logarítmicas
Solución. Condiciones iniciales:
a) Bases positivas y diferentes de 1: 2x>0 + x>0 x>0
2x/l - x/1/2 x/1
Luego: A = <0,+'*>-{1/2,11
b) Argumentos positivos: 2x+3 > O + x>-3/2
Logx (2x+3) > O
i) Si <Kx<l + O < 2x+3 < x % ++ -3/2 < x < -1
+ (O < x < 1) ~ (-3/2 < x < 1) = *
i i) Si x > 1 + 2x+3 > x* - x > -1
Luego: (x > 1) ~ (x > -1) - x > 1 + B = < Í , + ~ >
Universo de la variable: U = Af)B =
Análisis de los casos: O < b < 1 y b > 1
Dado que el universo de la variable es ‘x>1, debemos aplicar el Caso 2a, es­
to es, si x>l + 2x>2, luego, para que: Log2x¡Logx (2x+3)] > O , se debe cum­
plir que: Logx (2x+3) > 1 ++ 2x+3 > x l ++ x > -3
c.s = u n (x > -3) = <!,+»>
EJEMPLO 11. Resolver: Log , CCost + Cosx) < 1
C o s ( ~ ^ ) q
Solución. I) Condiciones iniciales:
a) Base positiva y diferente de 1:
~ ,v-4x, . n „ ,4x-ir v ^ « ir n, . 4x-n ^ ir
Cos(—g~) > 0 +■<■ Cos(— g-) > 0 ++ ” 2 — 8~ 2
+ 4k* < x < -|it + 4ícir (1)
C o s f ^ y ) # I <- ^ y x f ± + 4kv (2)
b) Argumento positivo: Cosj + Cosx > 0
+ Cosx > - ¿2/2 ++ - -|it + 2kn < X < y r + 2kv (3)
Universo de la variable: U = (1)11(2)0(3)
_+ U = <- , -|ir + 4kir> - {^ + 4kir}
II) Análisis de los casos: 0 < b < 1 y b > 1
Como la base está entre 0 y 1, api icaremos el Caso Ib:
0 < Cosf2^ ; < 1 ++ Cos* + Cosx > C os l ^ J ^ )
2Cos(j + |>.Cosf| - f; > Cosí| - §)Sólo fines educativos LibrosVirtual

506. Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas 493
de donde: Cos(4 + 4) > 4 *“•' - 4 + 2k» < 4 + 4 < 4 + 2k»
o ¿ Z U o ¿ o
- Si = <-j|* + 4k* , | | + 4k*>
C.S = unSi ' + 4k* , 4 1 + 4k»> - ij + 4101}
4 12 4
EJEMPLO 12. Resolver: LogTgx(Senx + 1/2) < 0 , xe [0,4ti]
Solución. I) Condiciones Iniciales:
a) Base positiva y diferente de 1
Tgx > o *•* (21ct < x < ~ t 21c) (* + 21c < x < |« + 21c) , k=0,l (1)
Tgx / 1 *•* x ¿ k* + | , k=0,l,2,3 x ^ | , -|n , -|n , ^ir
b) Número o argignento positivo:
Senx + p > 0 Senx > - *-► - + 2k» < x < + 2kit, k=0,l (3)
V = fij fl C2; n f3> = (2k* < x < | + 2kn; U (it+2kn < x < |* + 2k*J -
k = 0,1
II) Análisis de los casos: 0 < b < 1 y b > 1
Caso Ib. Si 0 < Tgx < 1 - Senx + 1/2 > (Tgx)‘=l
f 21c < x < 4 + 2kir ’l
a) 0 < Tgx < 1 *"•' > c ^ k = 0,1
( n + 2kn < x < + 2kn J
bj Senx + > 1 * Senx > -j
4 + 2ku < x < 4 " + 2kir , k = 0,1
• o o
S, = (a) fl fb; = | + 2kir < x < | + 2k* , k = 0,1
Caso 2b. Si Tanx > 1 -► Senx + < 1 ♦ Senx < ^
a) Tanx > I « + 2k„ < x < i + 2kir) u f|ir +2kn < x < -|ir +2ku) , k=0,1
b) Senx < 1/2 <-* (2kii < x < +2kTt) U + 2kn < x < 2* + 2 ^ ) , k=0,l
• O oSólo fines educativos LibrosVirtual

507. 694 Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas
(a ) D ( b ) = + 2 k n < x < + 2 krt , k = 0,1
►O
EJEMPLO 13. Dado a>0 , a#i , se define:
Log x , si Log x i O
L g : R + - R|Lg„fxJ = 1 a a
Loga(1/x), si LogQx < O
i) En base a la gráfica de logaritmos deducir la gráfica de Lga (x).
i i) Resolver: Lgg(x2-2x) < 1/2
Solución. i) Sean: f(x)-Logax y g(x)=l.oga ( 1 /x) = -Log^x
Graf[LgQ(x) ] = Graflf(x)]uGraf[g(x)J
Tracemos las gráficas de f y g considerando los casos: 0<a<l y a>l
O < a < 1
La gráfica de Cgax se deduce así:
Cuando el argumento es xc<0,l>, se u­
tiliza la gráfica de f(x)=Logax
Si el argumento es xe<J,+“>, se usa
a > 1
En este caso, si el argumento es
xc<0,l> se utiliza la gráfica de
g(x)=-Logax, y cuando xc<l,+<»> se
usa la gráfica de f(x)=Logax.la gráfica de g(x)=-LogQx.
ii) Lg^(x2-2x) < 1/2 . Dado que a=9 (a>l), utilizaremos el segundo caso:
a) Si el argumento es: O < x 2-2x < 1, y -Log,(x2-2x) < 1/2
* (x‘-2x > 0) „ (x2-2x < 1) ^ ¡Log,(x2-2x) > -1/2]Sólo fines educativos LibrosVirtual

508. Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales - 495
- [(x-1)1 > 1 ~ (x-1)1 <2] ~ (xz-2x > 9~1/2
* [<1-/2 < x < 0) v (2 < x < 1+/2)] ~ (x < 1 - ¿y v x > 1 + ^ y )
- S, = <2,l+/2>
b) Argumento: x 2-2x > 1 y Log0(xl-2x) > 1/2
- [(x-1)1 > 2] ~ fx*-2x < 9112)
- [(x < 1 -fi)v (x > 1+/2)) ^ (-1 < x < 3) -<■ S 1 = <-l,l-/2> U <l+/2,3>
/. C.S = S ^ S * = <-l,i-/2>(J <2,3>-{J+^f)
Logi jiSenx
EJEMPLO 14. Resolver: Log , , lx-2»l J.
-l£-í-l ,---------
- a ¥ + j ii Lo^ x - i | t t ¥ + j ii
Solución. Según la propiedad L .11 (Cambio de base), se tiene:
L09rrrlxl ti\X ~2"\ > Í 0 9t\xI Senx (1)
[ F f + i J I 1! 1 +
I) Condiciones Iniciales:
q) Base positiva y diferente de 1: + 1 J > 0 ■++ -Lyl- + 1 %■ 0+1
+-+ | x | >^0 + xeft (2)
t t - l j f l + ¿ I * j ~ * o
++ 0 Jt -lyi fi 1 * Jfi < 0 O
++ (*) o f|x| >, 2) +■+ x i- -2 o x >,2 (3)
| x~l | > 0 - x;ti (4)
|x-i| iti ++ x f 0 o x jt 2 (5)
b) Argumentos positivos: |x-2»| > 0 <-* x t 2n
Senx > 0 +-<■ 2kn < x < »+2ku (6)
Entonces: U = (2) f) (3) n (4) n (5) n (6)
U — <2, tt> U <2Rtí, u+2ícir>, k^Z— {0)
II) Ana tisis de los casos: 0 < b < 1 y b > 1
Sabemos que |x| i- 2 , M + i >.2 * j i f L + l]\ > 2 rt»i;
Luego, en (1): |x-2»| ^ Senx ++ x-2» ^ Senx o x-2» -í -Senx
Sean las funciones: f(x)=x-2n , g(x)=Senx , h(x)=-Senx
Tracemos las gráficas de cada una de estas funciones en un mismo plano:
En la figura podemos observar que: f 5- g para xe[2»,+=>>
-*■ x - 2 » Senx +-* x 4- 2» (7)Sólo fines educativos LibrosVirtual

509. 496 Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas
f < h , para xe<-“ ,2*]
•* x-2« < -Senx x < 2n (8)
Luego, de (7) y (8) se determina que
|x-2n| > Senx, VxcR * S, = R
Entonces: C.S = U nS¡ - U
C.S=<2, i> u <2kn, v+2ki¡>, keZ-{01
EJEMPLO 15. Graficar el conjunto de puntos de R 2 tales que:
R = ifcc,yj \Logx 2_y i(xl+yl) Z-0).
Solución. I) Condiciones iniciales: (Gráfica del universo)
a) Base positiva y diferente de 1:
x 2-y2 > 0 ■* x 2 > y 1
<->■ x>y o x<-y <-► y<x o y<-x
Es el conjunto de puntos en el semiplano
inferior de las rectas y=x , y=-x
x 2- y V i *-*• x 2-y2<i o x 2-y 2>I
Es el conjunto: R 2-{x2-y 2= l >.
b) Argumento positivo: x 2+y2 > 0
Es el conjunto R l, la gráfica es simétrica
respecto de los ejes X e Y.
U = (y<x o y<-x)n (Rt-{x1-y*=l\)
II) Análisis de los casos: 0 < b < 1 y b > 1
a) 0 < x 2-y 2 < 1 - 0 < x 2+ y 2 -S (xz+y2)*=l
(x2-y2>0 ~ x 2+y 1<1) ~ fx2+ y 2>0 ~ x 2+y*Sl)
Si = (y<x v y<-x) ~ (xl-yl<l) - (x*+y2Sl)
Ri es el conjunto de puntos comprendido entre
los semiplenos inferiores de las rectas y=x ,
y=-x, la parte exterior de las dos ramas de
la hipérbola x*-y2=l y en el interior de ¡a
circunferencia x 2+y2=l
b) x 2-y2>I » x 1+y1i-(x2-y2)’=l
R t = (x2-yl>l) - fx2+y2il)
1:\V'N-V
y=xJ h
<*\ '**¿5 .A
\i A-.r:-
para Logx t2(x2+y 2) i O
* *
% :
/
\
\Sólo fines educativos LibrosVirtual

510. Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas 497
Luego, Ri es el conjunto de puntos ubicados en el interior de las ramas de
la hipérbola x 1-y1=l y en el exterior de la circunferencia x 1+y1=l.
Graf(R) = Graf(U) n [GraffRJ U Graf(Ri) ]
EJEMPLO 16. Graficar: R = Ux,y)ef?|Log„I+y(x2-y2,) < J).
Solución. I) Condiciones Iniciales (Gráfica del Universo)
a) Base positiva y diferente de 1: y
x l+y > O <-* y > -x 1
vi i /Av
Conjunto de puntos en el semiplano exterior /
de la parábola y--x2.
x 2+y t i - y t 1-x2
y < 1-x1 o y > 1-x2 ■ -
Conjunto de puntos en R 1, excepto en y=l-x
b) Argumento positivo: ... . „ ,,
x 2- y 2>0 - x 2 > y 2 ''M'''':/
« x>y o x<-y y<x o y<-x v=-xl
Conjunto de puntos en los semiplanos inferio-*f¿f
res de las rectas: y=x o y=-x
.'. U = (y > -x 1) n (y t 1-x1) n (y<x o y<-x)
/ y . i-'i-v'-'-' > •' ■'
II) Análisis de los casos: 0 < b < 1 y
a) Si 0 < x 2+y < 1 y x 2- y 2 > fx2+y > 2
-► (x2+y>0 ~ x 2+y<1) ~ (x2-yz > x 2+y)
- (y> - x 2 ~ y<l-xz) ~ (y1+y<0)
- R , = (y>-x2 ~y<l-x2) ~ <-l<y<0)
b) Si x 2+y > 1 * x 2- y 2 < (x2+y; *
(y > 1-x1) ~ (y 2+y > 0)
Ri = (y > 1-x1) ~ (y>0 o y<-l)
b > 1y Lo9x*+y<x2-y2) < 1
1..
/
...
/
Ri
& W \ .. . .
>yRlY /
Graf(R) = Graf(U) n [Graf(R ,) U Graf(R x) ] /
+. /fyy-
/
y=-¡Sólo fines educativos LibrosVirtual

511. 498 Capitulo 6: Inecuaciones Logarítmicas
EJERCICIOS: Grupo 47
Hallar el conjunto solución cié las siguientes inecuaciones:
1 .Log1^( 2 x + 6 ) < -2 10.
> ’
2 .Log2 (3x+2)-Log2 (l-2x) > 2 11.
3 .Logj(3x+9)-Logj(2x-1) > 1 12.
Lo6Tanx(x,-x-5) ” 0
9 .Logg|3-9x| > 3 13.
> / x - 9 . „
Logl / 3 T O < ‘ 1
5.Log1/3|2x-3| > -1 1 9 .Log1^3 (xl-9x+3) í- -1
6. Log2 (|x-2|-1) > 1 15.Log1^ [ L o g 4 (xl-5)] > 0
7.L°S2(| f E | l + 7) > 3
16.Logx (4x'5 )
X | x - 2 |
8. Log,(x - 3/x+1 + 3) < 1 17-
Logy x 7 i(‘2T ^ ) >- °
9-LosQ ^{xt-x-^/U)
> 2-Log25 18.Log2x_g( I X J - 2 X - 6 ) i 1
19-Dado los conjuntos A = {x eR|x>0 a J = 1». B = ( XeR|1 ^ i ( U A } .
Si xeB-<1l, resolver Logx (x+l/2) >0.
2 0 .Resolver: ^jOg&(^ ^ ^ ) < 1 , si a> 1
2 1 .Resolver: Log _ i _ i I *-2tt |
I 1! 1 - 1I
^ L O g |x-l|(x2-2,)
1/58 |x-1i i 1# * ’ !
22. Considerando que Cos(x/2)>0 y Sen(| + J) > 0, graficar el lugar geomé­
trico de los puntos tales que: Logx+^(l+Senx+Cosx) < Logx+^(2/5)
u ir
2 3. Graficar: R = K x . y J c R 1 |LogTanx(SenX2C°SX) lLo6Senx(y) I > °>
Construir la gráfica de las siguientes relaciones:
29. R = l(x,y)eRl |Logxt_y ( |x|+2|y|)i1J 26. RH( x, y ) e R * |Logxl_y l (x*+2x-y)>0
25. R=l(x,y)eHl |Logx.xy+1(^+2y) > 1} 27. R=((x,y)eR l |0<Logx+yl(2x-y)<1J
28. Si f(x)=9x*-9y*-36 y g(x) = ^ ( x 1+yl-9), graficar: Logf ^x jg(x) ¿,0Sólo fines educativos LibrosVirtual

512. 499
Uno de loe métodos de demostración de más importancia en Matemática
es el llamado de inducción completa o matemática, que se utiliza generalmen
te para demostrar por recurrencia la validez de proposiciones abiertas cuan>
tificadas universalmente y con dominio, de la variable n, en el conjunto de
los números naturales (N) o el conjunto de los números enteros positivos
(Z+ ). A continuación enunciaremos los principios en los que se basa funda­
mentalmente el método de inducción matemática.
( Q PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN
___________________________Q
Todo subconjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mín[
mo
Esto es, si A c N y A¿$ -» a.'aeAl-VxcA , a S x
Ejemplos: (1) Si es par!. Entonces, el elemento mínimo o primer e­
lemento es a=2, f>orque 4 í t e A , 2 $ x.
(2) Si B={4,9,16,.. .} ->■ a=4 es el elemento mínimo porque VxcB, 4 4 x.
TEOREMA 7.1. Si S es un subconjunto de N que satisface:
i) lcS
i i) Si heS - (h+l)cS
Entonces S es el conjunto de los números naturales (S=N).
Es decir: "Todo subconjunto de N que incluye al 1, y al siguiente de h,siem
pre que incluya ai h, es igual al N".
Demostración. (Prueba del absurdo)Sólo fines educativos LibrosVirtual

513. 500 Capitulo 7: Inducción Matemática
Hipótesis: S c N , i) leS
ii) heS - (h+l)eS
Tesis: S = N
En efecto:
(1) Supongamos que la tesis no es verdadera, es decir, S t N
(2) Entonces: sTcN\T=N-S y 7¥*
(3) Por el principio del buen orden T contiene un elemento mínimo m,tal que
m f 1 (leS por hipótesis).
(4) Siendo m natural, se tiene: m > 1 -*• m-1 > O
(5) Como m-l<m, por ser m el mínimo de T * (m-l)cS
(6) Según la hipótesis ii): (m-l)eS ■* {(m-l)+lJcS * m^S
(T) Entonces: m i T
(8) Por (3) meT y por (7), mi-T lo cual es una contradicción.
(9) Luego, !=♦ y N c S, y como por hipótesis S cN, resulta que S=N
(La que habíamos supuesto falsa es correcta).
TEOREMA 7.2 Sea P(n) una función proposicional que contiene a la varia­
ble n z N y que tiene la propiedad de que P(n) es cierta o
falsa, pero no ambas, para cada ncN. Si P(n) satisface las dos condiciones:
i) P(l) es verdadera
ii) Si de la verdad de P(h) se deduce la verdad de P(h+1)
entonces, P(n) es verdadera VneN.
Demostración. En efecto, el subconjunto S de números naturales para los
cuales P(n) es verdadera, contiene al 1, y al siguiente de
h siempre que contenga a h. Luego, por el Teorema 7.1, S=N. Esto es, P(n)
es verdadera VneN.
Observación. Una demostración por inducción completa consiste de las 3 par
tes siguientes:
Parte 1. Verificación de la variable proposicional para el menor valor de
n para el cual el teorema es val ido.
Parte 2. Demostración de la propiedad inductiva. Si la función proposicio­
nal vale para n=h, donde h designa un valor cualquiera de n, en­
tonces vale para n=h+l.
Parte 3. Conclusión: La función proposicional vale para todo valor de n
Q ] PRINCIPIO DE INDUCCION COMPLETASólo fines educativos LibrosVirtual

514. Sección 7.3: Principio de Inducción Completa 501
igual o mayor que aquel para el cual se verificó en la parte 1.
EJEMPLO 1. Demostrar que n ’+2n es divisible por 3, es decir, 3 es un fac_
tor de n 3+2n.
Demostración. Sea P(n)=n3+2n.
(1) Si n=l - P(l)=(l)3+2(1)=3, es divisible por 3.
Luego, P(1) es verdadera.
(2) Para n=hcN, supongamos que: P(h)=h3+2h es divisible por 3, o sea, P(h)
es verdadera. (Hipótesis inductiva)
Debemos probar que para n=h+l, la función proposicional:
P(h+l)=(h+l)3+2(h+l) es divisible por 3.
En efecto:
P(h+1) = h 3+3hz+3h+l+2h+2 = (h3+2h) + 3(h3+h+l)
Aquí los dos simandos entre paréntesis son divisibles por 3, el primero por
hipótesis inductiva y el segundo por contener como factor el 3. Esto es:
P(h+1) = (3m)+3(h1+h+l) = 3(m+hí+h+l)
Luego, P(h+1) es divisible por 3, o sea P(h+1) es verdadera.
(3) Conclusión. Se ha demostrado que:
P(l) es V » P(h) es V ■* P(h+1) es V
EJEMPLO 2. Danostrar que: 10n+3(4n+2)+5 es divisible por 9.
Demostración. Sea P(n) = {neN\lOn+3(4n+^)+5 es divisible por 9}
(1) Si n=l * P(l)=10+3(43)+5=207, es divisible por 9
Luego P(l)- es verdadera.
(2) Para n=h^N, supongamos que P(h)=l(/t+3(Jx+^)+5 es divisible por 9, es de_
cir, P(h) es verdadera (Hipótesis inductiva) .
Debemos probar que para n-h+1, la proposición:
P(h+1) = l(fl+*+3(4*1+'*)+5 es divisible por 9
En efecto: P(h+1) = 10. l(fl+3(4.4h+2)+5 = 10. l(f'+12(4h+2)+5
- P(h+1) = (9-K ^ +k/1) + (9.4h+2+3./‘+2) + 5
= 9(10h+4h+2) + (10h+3.4h+2+S)
Las simas entre paréntesis son divisibles por 9, la primera por tener a 9
como factor y la segunda por hipótesis inductiva.
- P(h+1) = S(10h +4h+2l + (m9) = 9(l(/l+4h+2-m)
Luego, P(h+1) es divisible por 9, o sea P(h+1) es verdadera.Sólo fines educativos LibrosVirtual

515. 502 Capítulo 7: Inducción Matemática
(3) Conclusión. Se ha demostrado que: P(l) es V . P(h) es V + P(h+1) es V
EJEMPLO 3. Demostrar por inducción que VneN: 32n+2-2n+1 tiene como factor
al número 7.
Demostración. Sea P(n) = {ncN\32n+2-2n+^ - (7 significa múltiplo de 7)
(1) Si n=l + P(l)=3k -21 -77 - 7 , es verdadera
2 i+2 h+1 0
(2) Para n-h, supongamos que P(h)-3 1 -2 =7 , es verdadera.
n v. l. , rwu . i o 2h+4 -h+2 %
Probaremos que para n-h+1, P(h+1) = 3 -2 = 7
r' e * rw L , . -2h+2 -2 nb + l n
iui efecto, P(h+1) - 3 .3-2 .2
Sumando y restando 2^+^.32 a P(h+1), se tiene:
P(h+1) = 32h+2.32-2h+1.32+2h+1.32-2M .2 = 9(32h+2-2h+1 )+2h+I (S-2)
0 h+1 -
= 9( 7 ) + 7.2 (Hipótesis inductiva)
= S(m7) + 7.2h+1 = 7(9m + 2h+1)
Luego, P(h+1) tiene como factor 7, es decir, P(h+1) es verdadera.
(3) Conclusión: Se ha probado que P(l) es V ~ P(h) es V * P(h+1) es V
EJEMPLO 4. Demostrar que: x2n ^+y2n * es divisible por x+y.
Demostración. Sea PfnJ=(ne:W|x^n 1 +y2n 1 es divisible por x+y)
■ (l) Si n-1 + P(l)=x+y, luego P(l) es verdadera.
(2) Para n-h, supongamos que: P(h)-x2^ ^+y2^ * es divisible por x+y
Probaremos que para n-h+1, P(h+1 )=x2 ^ +^ *+ y ^ ^ +^ ^ es divisible por
x+y.
,, , , , . 2h+l 2h+l 2h-l 2 2h-l 2
En efecto: P(h+1) = x +y = x .x+y .y
2h-l 2 2h-l 2 2h-l 2 2h-l 2
= x .x - x .y + x .y + y .y
2h+l . i i , 2 / 2h-l 2h-l ,
= x (x*-y* ) + y1 (x + y )
n u- • 2h-l 2h-l , ,
Pero, por hipótesis inductiva; ;c +y =m(x+y)
Entonces: P(h+1) = x2tx+í (x+y) (x-y)+y2 [m(x+y)] = (x+y)[x2^+* (x-y)+my2¡
Luego, P(h+1) es divisible por x+y + P(h+1) es verdadera
(3) Conclusión: Se ha probado que P(l) es V « P(h) es V + P(h+1) es V
EJEMPLO 5. Demostrar por inducción que la proposición dada es cierta -¥ncN
1' + 3‘ + 5’ + +(2n-l)s = n1(2nl-l)Sólo fines educativos LibrosVirtual

516. Sección 7.3: Principio de Inducción Completa 503
Demostración. Sea P(n) = <heíV| 1 3+S3+S3 + .... +(2n-l)3=n3(2nz-l)
(1) Si n=l - P(l): (2-1)* = (l)l(2-l) - 1=1 - P(l) es V
(2) Para n=hcN, supongamos que la proposición:
P(h): l 3+33 +5 ’+ .... +(2h-l),=h1(2h1-l) es verdadera. (Hip. Ind.)
Debemos probar que para n=h+l, la proposición:
P(h+1): 1 3+33+53+
--- +(2h-l)3+(2h+l)3 = (h+1)z(2(h+l)*-1¡ es cierta
En efecto, sumando el término h+1 a cada lado de P(h) se tiene:
1 3+33+53+
--- +(2h-l) 3+(2h+l)3 = h l(2hz-l) + (2h+l)3
= (h+l)z(2h1+4h+l) = (h+1)*[2(h+l) 2-¿ J
que es precisamente la proposición P(n) para n=h+l; luego, queda demostrado
la parte (2).
(3) Conclusión: Se ha probado que P(l) es V * P(h) es V + P(h+1) es V
EJEMPLO 6. Demostrar por inducción que:
3+2x3 3+3*33+
___ +nx3n = — [ (2n-l)3n+1 +3) , VnilcN.
Demostración. Sea P(n) = {neN\3+2x3*+3x33+ ...,+nx3n = ~f(2n-l)3n+1+3¡
(1) Si n=l - P( 1): (l)x3l = í((2-l)3z+3] - 3=3 - P(l) es V
(2) Para n=hcN, supongamos que:
P(h): 3+2x3*+3x3 3+
--- +hx3h = -j( (2h-l)3h+1+3] es V. (Hip. ¡nd.)
Debemos probar que para n=h+l, la proposición:
P(h): 3+2x3* +3x33+ ... +hx3^+(h+l)x3^+^ = í((2h+l)3^+2+3] es verdadera.
En efecto, sumando el término h+1 a cada lado de P(h) se tiene:
3+2x3l+3x33+
--- +hx3h+(h+l)x3h+1 = (2h-l)3h+1+3] + (h+l)3h+I
= ±{(2h-l)3h+1+3+4(h+l)3h+1)
= ~l3h+1(6h+3)+3) = -4((2h+l)3h+2+3)
Luego, P(h+1) es verdadera.
(3) Conclusión: Se ha probado que P(l) es V * P(h) es V + P(h+1) es V
EJEMPLO 7. Demostrar por inducción que:
1 1 1 1
_________n_
1x3 * 3x5 * 5x7 * ' ' ' ' + (2n-l) (2n+l) ~ 2n+l
Demostración. Sea P(n) la proposición dada:
(1) Para n=l - P(l): (2-l)(2+1) ~ 2+1 * 3 ~ J “ P(1) es VSólo fines educativos LibrosVirtual

517. 504 C apitulo 7: Inducción M atem ática
(2) Para n-li, supongamos que la proposición:
P(h): F 3 + >5 + W + * ’ ' + (¿h-l)(2h+l) = 2hi7 ' es V‘ íff,P-índ->
Debemos probar que para n=h+l. la proposición:
i . 1 . 1 . . 1 . 1 _ h+1
( '• 1*3 * 3 * 3 5*7 ' • • * (2h-l)(2h*l) <Éh+lf(2h+3) ~ lh+3
es verdadera.
&i efecto, sumando el término h+I a cada extremo de P(h) se tiene:
-J _ +_JL + . 1 , 1 _ 1 , 1
1*3 3*5 ' ' ' (2h-l)(2h+l) (2h*l)(2h+3) ~ 2h+l (¿h+l)(2h+3)
h(2h+3)H
(2h+l)(2h+3)
= h+1
2h+3
Luego, se ha demostrado que P(h-t-l) es verdadera.
(3) Conclusión: Se ha probado que P(l) es V ~ P(h) es V -*• P(h+1) es V.
m DEFINICIONES RECURSIVAS (Definiciones por Inducción) #
Se dice que tenemos una definición recursiva de f(n) para una función
f = Un,y) \y¡=f(n), neN\, si:
i) f(l) está dada
i i) Para n>I, fin) está expresada en términos de uno o más de los valores
f(i) con i<n en tal forma que, dado cualquier hcN, f(h) esté unívocamen
te definida.
EJEMPLO 8. Determinar una fórmula para f(n) en términos de n, haciendo u­
so del principio de inducción matemática, para la proposición
definida recursivamente por: i) f(l) = 1
ii) f(n) - nf(n-l), m N y n>l
Solución. Por definición: f(2) = 2f(l) = 2.1 = 2
f(3) = 3f(2) = 3.2.1 = 6
f(4) = 4f(3) = 4.3.2.1 = 24
f(n) = nf(n-l) = n(n-l)(n-2).... 1 = n!
Minero que se conoce con el nombre de "factorial de n".
Demostración por inducción:
(1) Para n=l -* f<l) = 1! = 1, es verdadera.Sólo fines educativos LibrosVirtual

518. Sección 7.4: Definiciones Recursivas 505
(2) Para n=h, supongamos que f(h)=h! es verdadera. (Hip.Ind.)
Debemos probar que para n=h+l + f(h+l) = (h+1)!
En efecto, por definición: f(n+l)=(h+l)f(h) + f(h+1)=(h+l)h! (Hip.Ind.)
- f(h+l)=(h+l)<
(3) Conclusión. Se ha probado que: P(l) es V ~ P(h) es V * P(h,l) es V.
EJEMPLO 9. Demostrar la ley de los exponentes: am .an = á n+n (respecto a
n), haciendo uso de la definición recursiva: a l=a
n n-1 ,
a =a.a , ncN y n>l
r> * •- c- n, i m n m+n T..... n 1 m+1
Demostración. Sea P(n): a .a =a + P(l): a .a = a
r... , m h m+h
+ P(h): a .a = a
, m h+1 m+h+1
- P(h+l): a .a = a
y**™,,' ^ * ■ ■ ■' m+1 m+1-1 m
(1) P(l) es cierta porque según la definición: a = a.a = a.a-
(2) Si P(h) es cierta (Hip. Ind.), probaremos que P(h+1) es cierta.
r. * * m h+1 m, h+1-1 , m. h, e n .
En efecto: a .a = a (a.a ) - a (a.a ) (Def. Recursiva)
m h , , m+h .... . , .
= a .a (a) = a .a (Hip. Ind.)
(m+h)+l m+(h+l)
= a = a
(3) Se ha probado que: P(l) es V ~ P(h) es V + P(h+1) es V
EJEMPLO 10. Dada la definición: i) f(l)=25
ii) f(n)=f(n-l)+4 , n>¡
Determinar una fórmula para f(n) y luego demostrarla por el principio de in
ducción matemática.
Solución. Por definición: f(2) = f(l) + 4 = 25 + 4
f(3) = f(2)+4 = (25+4)+4 = 25+2(4)
f(4) = f(3)+4 = [25+2(4)1+4 = 25+3(4)
- f(n) = 25+(n-l)(4) = 4n+21
Demostración por inducción: (1) f(l) = 4(1)+21 = 25 , es cierta.
(2) Supongamos que f(h)=4h+21 es verdadera (Hip. Ind.)
Demostraremos que f(h+l)=4(h+l)+21
En efecto, por definición: f(h+l)=f(h+l-l)+4=f(h)+4=(4h+21)+4 (Hip.Ind.)
= 4(h+1)+21 , es verdadera
(3) Conclusión. Se ha probado que f(l) es V ~ f(h) es V + f(h+l) es V.Sólo fines educativos LibrosVirtual

519. EJEMPLO 11. Sea f:N * R una función tal que: i) f(4) = 15
i i) f(n+l) = 2f(n)+l
Hallar el valor de f(10).
Solución. Por definición: f(4) = 15 = 2'-l
-► f (4+1) = f(5) = 2f(4) + 1 = 2(2'>-l)+l = 2 5-l
- f(5+l) = f(6) = 2f(5) + 1 = 2(2 *-1) + I = 2 ‘-l
f(n) = 2f(n-l)+l = 2(2n~1-l)+l = 2n-l
.'. f(10) = 2 l,-l = 1023
EJEMPLO 12. Definimos por inducción f:Nt)(5,+~> + R en la siguiente for­
ma: i) f(5) = 15
ii) f(n+l) = af(n)+5 , n > 5
Hallar f(10) si f(8)=155.
Solución. Por definición: f(5+l) - f(5) = af(5)+5 = 15a+5
f(6+l) = f(7) = af(6)+5 = a(15a+5)+5 =5(3a1+a+l)
f(7+l) - f(8) = af(7)+ 5 = 5a(3a1+a+l)+5
Entonces: 5a(3a1+a+l)=155 - (a-2)(3a*+7a+15) = O
Vnica solución real: a-2 * f(9)-af(8)+5=2( 1551+5 = 315
- f(10) = af(9)+5 = 2(315)+5 = 635
506
_______________________________________________Capitulo 7: Inducción Matemática
EJERCICIOS: Grupo 48
En cade uno de loa ejercicios siguientes, usar el principio de inducción
matemática para demostrar que la proposición o fórmula dada es verdadera pa
ra cualquier número natural n.
1. n(n+l)(n+5) es divisible por 6, -Vn >, 1
2. 4n-1 es divisible por 3, -Vn >, 1
3- 2^n es divisible por 15, Afn ^ 1
4. 2^"+5 es divisible por 8, ¥n >_ 1
5. 3^n+7 es divisible por 8, ^ n >, 1
6. n ’-n es divisible por 7, ■Vn >, 1
7. 3n*+15n+6 es divisible por 6, ¥n ^ 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

520. Ejercicios: G rupo 48 507
8. 32n+3 + 2n+^ tiene como factor el número 7, -Vn %■ 1
9. 3^n+2 + 2^n+1 tiene como factor el número 1 1, -Vn ^ 1
10. 1 + 3 + 6 + . . . . + ^ (n + 1 ) = -jr(n+1)(n+2}
11. 1* + 3* + 5* + . . . . + (2n-1 )* = |(4n*-l)
12. 1* + 2* + 3* + . . . . + n* - $ n + l ) *
13. 2» + 4* + 6* + . . . . + (2n)' = 2 n * ( n + D l
14. 1* + 3* + 5* + - . . . + (2n-1)' » n*(2n*-1)
15. 1*2 + 2x3 + ....+ n(n+l) s, ^(n+l)(n+2)
16. 1x3 + 2x4 + 3x5 +....+ n(n+2) = g(n+l)(2n+7)
17- 2x5 + 3x6 + 4x7 + ....+ (n+l)(n+4) = ^(n+4)(n+5)
3
1A _ 1 _ _ 1 _ _1_
____________________ 1_n_
1x2 2x3 + 3x4 + * • ' ’ + n (n + 1 ) “ n+1
1Q 1 1 1
_______________1_______n(3n+5)
1x3 + 2x4 + 3x5 + + n(n+ 2) " 4(n+1)(n+2)
20. 1x2 + 2x2* + 3x2* +....+ nx2n = (n-l)x2n+1 + 2
2 1 . 1x1* + 2x3* + 3x5* + ....+ n (2n -1)* = - |( n + l ) (6n * -2n - l )
22. 1x3 + 3x3* + 5x3* +....+ <2n-l)x3n = (n-1)x3n+1 + 3
1 1 1 1 n-1 ,, . _
23. 2x4 + 4x6 6x8 + ’ ' ' ' + 2n(2n-2) = 4n ’ ^ ^ 2
24. D e m o strar p o r in d u c c ió n q u e : x n + yn , VneM , V x,yeR +
. . 2
[S u g . Use (x - y ) ( x - y ) i 0]
25- H aciend o u so de l a d e f i n i c i ó n : i ) a1 = a
i i ) a n = a . a n - \ neN y n>1
d e m o s tra r p o r i n d u c c ió n , r e s p e c t o a n , l a s l e y e s de l o s e x p o n e n te s p a ­
r a e n t e r o s p o s i t i v o s : (1) ( a m) n = a m
(2 ) ( a b ) n = a V 1
2 6 . De l a s s i g u i e n t e s a f ir m a c i o n e s , c u á l e s s o n v e r d a d e r a s ?
(1) -Vnell, n*-n+ 1 7 e s un número p rim o .
( 2 ) -Vne*, n^1 : 1 - 2 * t 3* - 4 * + . . . . + ( - 1 ) n _ 1 .n * - ( - i T '- f C n + l )
( 3 ) S i f : B + R e s t á d a d a p o r f ( l ) = 1 y f(n + 1 ) = f ( n ) +8n ■» f ( n ) = ( 2 n - 1 ) 1 .Sólo fines educativos LibrosVirtual

521. 508 Capítulo 7: Inducción Matemática
27- S ea f :N + R d e f i n i d a i n d u c t i v a m e n t e p o r : f ( l ) = 1 y f ( n + l ) = | f ( n ) , -VneH,
rii-l. Según e s t o , d e t e r m i n a r e l v a l o r d e v e rd a d d e l a s s i g u i e n t e s a f ir m a
c i o n e s : ( 1 ) f ( n ) = 1 5 ( | ) n _ \ VneN ( 2 ) f ( 5 ) - f ( 6 ) =
( 3 ) f ( 3 ) [ f ( 3 ) - | x ] = f ( 5 ) * x=14
2 8 . S ea f : N + R u n a f u n c ió n d e f i n i d a i n d u c tiv a m e n te p o r f ( 5 ) = 1 7 y
f ( n + 1 ) = 2 f ( n ) - 1 . H a l l a r e l v a l o r d e 3 f ( l ) + 2 f ( 3 )
29- S ea f :N + Z u n a f u n c ió n d e f i n i d a i n d u c tiv a m e n te p o r : f ( 0 ) = - 1 , f ( l ) = 2 y
f ( n + 1 ) + f ( n - 1 ) = f ( n ) , riZSI. De l a s s i g u i e n t e s a f i r m a c i o n e s , c u á l e s s o n v e r
d a d e r a s ? ( 1 ) f ( 8 ) + f ( 6 ) = f ( l ) ( 2 ) f ( 7 4 ) + f ( 9 7 ) = 5
( 3 ) S i r e s e l r e s i d u o de d i v i d i r n e n t r e 6 + f ( n ) = f ( r )
3 0 . S ea f : Z + + R d e f i n i d a p o r : f ( l ) = 4 , f ( 2 ) = 4 , f ( n + 2 ) = 4 + f ( n ) . De l a s a f ir m a
c io n e s s i g u i e n t e s , c u á l e s s o n v e r d a d e r a s ? ( 1 ) f ( 8 ) = 1 ó (2 ) f ( 3 5 ) = 6 8
( 3 ) 1fneZ+ : f ( n ) e s m ú l t i p l o d e 4 ' ( 4 ) f ( 9 5 ) - f ( 7 5 ) = f ( 2 0 )
3 1 . S ea f :N + R d e f i n i d a in d u c tiv a m e n te p o r : f ( l ) = 2 , f ( 2 ) = 3 y
f ( n + 1 ) + f ( n - 1 ) = f ( n ) , p a r a ni-1. H a l l a r f ( 8 7 ) - f (1 2 4 J .
32. S ea f :N + R d e f i n i d a i n d u c tiv a m e n te p o r : f ( 0 ) = 1 y f ( n ) = 2 f ( n ~ 1 j+ 5 ’
■VneH. C o n s id e r a r ta m b ié n : g ( n ) = / n \ +1 , -VneN. H a l l a r i-
y f ( n ) + 1 ’ g ( n - 1 )
33- S ea f :N + R u n a f u n c ió n d e f i n i d a p o r : f ( l ) = 1 , f ( n + 1 ) = f ( n ) + 8 n , h a l l a r :
f ( n + 1 ) + f ( n ) + 2 .
3 4 . Sean a ,b e R y s e a f :H + R d e f i n i d a i n d u c tiv a m e n te p o r f ( l ) = a , f ( 2 ) = b y
f ( n + 1 ) = f ( n ) - f ( n - 1 ) . H a l l a r e l v a l o r d e f ( 6 5 ) + f ( 7 5 ) .
35- Se d e f i n e : f ( l ) = 1 y -¥n£Z+=H: f ( n + 1 ) = f ( n ) + ( n + 1 ) . H a l l a r f ( n + 2 ) .
36. Se d e f i n e f :N + R p o r i n d u c c i ó n : i ) f ( l ) = c + d i i ) f ( n + 1 ) = c + f ( n )
H a l l a r f ( 3 l ) .
37- D e m o stra r p o r i n d u c c ió n q u e :
1 r r o r S e n [ ( x / 2 ) ( 2 n + 1 ) ]
■p + Cosx + Cos2x +....+ Cosnx = t i —í—ü -L
2 S e n ( x /2 )
[ S u g e r e n c ia : U s a r l a i d e n t i d a d : 2CosxCosy = S e n ( x + y ) - S e n ( x - y ) ]
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

522. Sección 7.5: Sumatorias 509
| 2 ] SUMATORIAS
En matemáticas es muy fi ente tratar con sumas de muchos términos,
tales corno: 1 + 2 +....+ n
1+3 + ....+ (2n-l)
1* + 3* +....+ n1
Para facilitar la escritura de has sumas introducimos una notación llama
da signa (Z). Así tenemos que:
n
y [ i = 1 + 2 + 3 + . . . . + n
i—1
n
l (2i-l) = 1 + 3 + 5 + . . . . + (2n-l)
i=l
n
l i2 = l2 + 22 + 32 +....+ n2
i=l
En general, si m y n son enteros tales que rtKn y F(m), F(m+1), .... , F(n)
son núneros reales, entonces:
n
l F(i) = F(m> + F(m+1) + F(m+2) + . . . + F(n)
i=tn
En esta fórmula, el segundo miembro es la suma de (n-m+1) términos, el pri­
mero de los cuales se obtiene remplazando i por m en F(i), el segundo reem
plazando i por m+1 en F(i) y así sucesivamente, hasta que se obtiene el úl­
timo término remplazando i por n en F(i). Los números m y n se llaman lími
te inferior y superior de la suma, respectivamente. El símbolo arbitrario i
se llama índice de la siena.
7
Por ejmplo: l F(i) = F(3) + F(4) + F(5) + F(6) + F(7)
'^3 + + + + +
l i2 = 32 + 41 + 52 + 62 + 72
i =3
Otra forma de definir una surnatoria y que es de mucha utilidad para demos­
traciones por inducción matemática, es la siguiente definición recursiva:
n í F(l) , si n = 1
l F(i) = { n-1 (I)
i=l I F(n) + £ F(i) , si n > 1
v i=l
EJEMP LO 1. Demostrar que:
1 + 3 + 5 + . . . . + (2n-l) = n2Sólo fines educativos LibrosVirtual

523. S10 Capitulo 7: Inducción Matemática
n
Demostración. Sea la proposición: P = JneAf| 2 ) (2i-l) = n M
1 i=1
(1) Para n=l - P(l): 2 (2i-l) = (i)1 - 2(1)-1 = i* - 1 = 1
i=l
Luego, P(l) es verdadera, es decir: leP
h
(2) Para n-h, supongamos que P(h): 2 (2i-l) = h1 (Hip. Ind.)
i—1
Debemos probar que para n=h+l, la proposición:
h+1
P(h+1): 2 (2i~l) = (h+1)1 es verdadera
i=l
h+1 h
En efecto: P(h+1): 2 (2i~l) = 2(h+l)-l + Y (2 i~l ) (Def. I)
i=l i—1
= 2h+l + h* = (h+1)1 (Hip. Ind.)
Luego, P(h+1) es verdadera, es decir, (h+l)eP
(3) Conclusión. Se ha probado que P(l) es V « P(h) es V + P(h+1) es V
n .
EJEMPLO 2. Demostrar que: 2 = — y
i=l i(i+l) 1
n i n
Demostración. Sea la proposición: P = {nEAj| 2 ’i+i) =
(1) Paran?! - P(l): ¿ ^ = - £ * ^ \ . j , j.
Luego, P(l) es verdadera. ^
(2) Supongamos que para n=h, P(h): 2 '((¡+1) = ffTl ’ es (Hip. Ind.)
h+1
Probaremos que para n-h+1, P(h+1): ¿ i+f) = "H+1 ’ es ve rc*acie ra.
h+1 . . h .
En efecto: E 7 7 7 7 7 7 = (ñ+l)(h+i) + ^ Ü T ñ ) ' (Def‘ 1}
1 + ¿ n <HiP ■ Ind->
" (h+l)(h+2) h+1
= I h í T u h + l ) ^ " P<h+1) e s l a d e r a .
(3) Conclusión. Se ha probado que P(l) es V « P(h) es V -» P(h+1) es V
n
EJEMPLO 3. Demostrar que: 2 (~^~) ~ 2
i?l 2 l 2'
n+2
,n
j n+2
Demostración. Sea la proposición: P = (neN| 2 ~ 2
------}
¡ = I 2 1 Z 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

524. Sección7.5: Sumatorias 511
(1) Para n=l - P(l): ¿ = 2 - ^ ■‘ 4 = 4 - ¿-negro, Pfl) es V.
i=2 2* ¿ ¿ i
(2) Supongamos que para n^heN, la proposición:
^ í k ( o
P ( W : Z = 2 S • es verdadera. (Hip. Ind.)
2=2 2 ¿
h+i . h+3
Probaremos que para n=h+I, P(h+1): 2 (— r) = 2 r— ; , es verdadera
i=1 2l 2n l
En efecto, (por la Def.I): jf(-Í) = - £ 3 + Z (-4) * + (2 - - Í ¡ Á
i=l 2 r 1 i—1 2 Z 1 1 r
= 2 - pjjf' P(b+1) es verdadera.
(3) Conclusión. Se ha probado que: P(l) es V ~ P(h) es V * P(h+1) es V
n í 1
EJEMPLO 4. Demostrar que: Z Ln(-r-r) = Ln(—— r)
2 + ¿ n + i
n i 2
Demostración. Sea la proposición: P = ind4\'22Ln(~j^j) = Ln(-^j))
(1) Para n=l - P(l): T.Lni-^) = bní^— ) * Ln(j) = Lnfj), P(l) es V
(2) Supongamos que para n=hcN, la proposición:
h . .
P(h): Z ¿^¿Tr7¿ ~ ^ h + l ) • es venadera (Hip. Ind.)
írl
h+1 .
Probaremos que para n=h+l, P(h+1): £ Lníj^) , es verdadera.
i=l
1 h + J J X i
£h efecto: = W j r A ) * V * f ‘ O
i=l i =2
= Ln(%¡) + Ln(j~j) = Ln(j±) * P(h+1) es V.
(3) Conclusión. Se ha probado que: P(l) es V * P(h) es V * P(h+1) es V
EJEMPL O 5. Demostrar que -VncZ*: jtcos(2i-l)x = ^ ¿ ¿ ¿
, n Ssti2tix
Demostración. Sea la proposición: P = [n¿Z \^Cos(2i-l)x =
(1) Para n=l * P(l): ¿ Cos(2i-l) = ffjjpjf - Cosí = Cosx
Luego, P(22 es verdadera.Sólo fines educativos LibrosVirtual

525. 512 Capitulo 7: Inducción Matemática
+ ^ Sen2bx
(2) Supongamos que para n=heZ , P(h): Z Cos(2i~l)x - — , es verdadera
¿=I snX
Froborernos que para n=h+l, P(h+1): ¿ Cos(2i-l)x = » es 7.
h+i h
En fecto, P(h+1): ZCos(2i-l)x = Cos(2(h+l)-l]x + ¿^Cos(2i-l)x (Def. I)
i=l i-1
= Cos(2bx*x) + (Mp- ¡nd.)
2Senx(Cos2hxCosx-Sgn2hxSenx) + Sen2hx
2Senx
_ Sen2xCos2x + Sen2hx(l-2Senlx)
~ 2Sertx
- Sen2xCos2hx + Sen2hxCos2x _ Sen(2hx+2x)
2¿enx 2$enx
~ ■* P(h+1) es verdadera
(3) Conclusión. Se da probado que P(l) es V . P(h) es V -* P(h+1) es V
EJERCICIOS: Grupo 49
D emostrar por in d u cció n m atem ática cada una de l a s s i g u ie n t e s fó rm u la s:
1. 2 + 5 + 8 + . . . . + (3n-1> =-|(3nl+ n)
_ 11 _2f nf
_____ n(n+ 1)
1x3 + 3»5 + ‘ - • + (2 n -1 )(2 n + l) = 2(2 n + l)
, 1 1 _1
____________ 1 n
+ 4x7 + 7x10 + • • • • + (3n-1 )(3 n + l) = 3n+1
k. 1x3 + 3x3* + 5x3‘ + ....+ (2n-1)x3n = (n-l)x3n+1+3
5- Z [ a + ( k - 1 ) d ] = -§[2a+(n-l)d] 9- Z ( 3i_2 )(3 ^ ) = 2(3n+2)
n
6. ¿ i 1 = X ( R+1) 2 10- Z i- 2 1 = 2 + C«-1) -2]
i=1 4 i»1
,n+1
n . A n . „ n+1 ¡ \ n .
' -■'* . i- 1 nx ~(n+1Jx +1
> i . x 3S
---------------------------
i=1 ( 1 - x ) 1
7. 11. i i ,
2k+1 n(n+2)
i=1 2
n
' i l ^ i + 3 ^ ~ L n ( n + 2 ) f n + 3 )
12- Z
k=1 k2(k+1)* (n + 1 )2Sólo fines educativos LibrosVirtual

526. Sección 7.6: Propiedades de las Sumatoria 513
13. ¿ S e n ( 2 l - 1 ) x = 16. Z a ( r ^ ) = a ( 4 ^ 4 ) - «*1
i-1 2Senx i=1
14. X ( i x)ü = x[(n+l)!-l] 17. E (-1)1 (2Í+1) = 2n
i=1 i=1
15- E i - 3 1”1 = i t í ^ l L L 18. E S e n ( ^ i ) = 2Sen(|n)Sen(-2¿Pir)
i=1 i=1 5 ° °
*
( Q PROPIEDADES PE LA SUMATORIA
______________________^
n
S.i: E c = cn • donde c es una constante,
i—1
n
En efecto, E c = c + c + c + c + ---- + c = nc
i =1
n n
S.2: X c F ( i ) = c Z F ( i )
i=1 i=l
n
En efecto, E cFfi1 = cF(l) + cF(2) + cF(3) + . . . + cF(n)
i=l n
= c[F( 1) + F(2) + F<3) + . . . + F(n)] = c E F (‘)
i =1
ri n n
S.3: Z l F<'> + G(i)l = E F(i) +
¿=1 ¡=1 1=1
En efecto:
n
X t F (i>+G (¡)1 = [F(l )+G(¡} J + [F(2)+G(2)l + . . . + ÍF(n)+G(n)¡
i =1
= [F(l)+F(2)+ ... +F(n)] + [G(I)+G(2)+ ... +G(n))
n n
= E F <i> + E c (‘>
i=i i=i
n -
S.4. E - F(i-1)¡ = F <n) - F(0)
i=l
En efecto:
n
E /fYU-Fíi-l); = ¡F(l )-F(0) ] + [F(2)-F(l)¡ + [F(3)-F(2) ] + . . .
i=l
+ [F(n-l)-F(n-2)l + (F(n)-F(n-i))
Efectuando las simplificaciones correspondientes obtenemos:Sólo fines educativos LibrosVirtual

527. 514 Capítulo 7: Inducción Matemática
n
E ¡ F ( i ) - F(i-l)) = F(n) - F(0)
i -1
n
S.5: J^,[F(i+l) - F(i-l)} = F(n+1) + F(n) - F(l) - F(0)
i=l
(Nota. A las propiedades S.4 y S .5 se les denomina propiedades teles­
cópicas de la sumatoria)
n+1 n
S.6: E,F(i) = F(n+1) + Ff i J
¡=1 i-1 .
rt m n
S.7: Si n > m > 1 + E,F(i) = E F ( i ) + £ F( i)
i =1 i =1 í =m+l
n n-m+1
S.8: Si n > m > 1 + E F ( i ) = E F(iHn-l)
i=m i=l
S.9: Cambio de subíndice:
n n+h n n-h
a) Ef c í) = £ m - h ) b) Zy a > = 12 F <i+h>
i=l i=l+h i=l i=l-h
El valor de una sumatoria no se altera si al argumento F(i) se le res
ta, (a), o se le suma, (b), un entero h; si simultáneamente se le su­
ma o se le resta dicho entero, respectivamente, a los subíndices supe
rior e inferior de la sumatoria.
m FORMULAS IMPORTANTES DE LA SUMATORIA___________^
n
F.l: £ i = 2 ( n + i ;
i=l
Demostración. Aplicando sumatorias a la identidad: it-(i-l)1 = 2i-l
se ti ene:
¿ n ' - a - i ) * ] = E ( 2 i- i) - n*-(0)* = Z3f2¡; - E2(d <s -4- s -3>
i —1 i=l i=l i=l .
n n n
+ n 1 = 2]T i - n <-► y i = -z(n+l)
i—1 i=l
n
F.2. £ i1 = %(n+l)(2n+l)
i—1 0
Demostración. De la identidad: i3-(i-l)> = 3i*-3i+l, se tiene:
n n
E(i>-(i-l)*] = Efsi'-zi+i)
í=2 í=2Sólo fines educativos LibrosVirtual

528. Sección7.7: Formulas Importantes de la Sumatoria 515
n n n
Según S.4: n*-(0)* = 3 ¡ £ i* - 3 2 ¿ + 2 <l>
i=l i—1 i=l
n . n
- n* = 3 2 i* - in(n+l) + n ** 2 «* = £f n+ l K 2 n + l )
i=I ¿ i=l 6
F .3 : ¿ i * = Y ín+I>‘
i=l *
Demostración. De la identidad: i'-d-l)' = 4í■— J# se tiene:
n n
2 n w i - i r j = .
i=l i=l
n n n n
- n* - roí* = 4 ¿ i» - f* + 4 2 i - 2 2 (i)
i=J i=l ¿=1 i=l
r> n n*
-* n' = 4 2 í’ “ n(n+l)(2n+l) +2n(n+lj - n -* 2 •’ =_J ( n + M 1
i=l t=l
n
F .4; 2 *' = ssín+lHen'+Sn*-**!-!;
Í=1
La demostración se deja como ejercicio.
(Sug. Partir de: í * -( í —2 > * = 5i*-10i*+10íx-5i+l)
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
n
EJERCIC IO 1. Hallar la fórmula para: 2 ^ i x-3i+l)
i=l
n n n n
Solución. 2 (3i*-3Í+1) = 3 2 i* " 3 2 ¿ + Z) CS.3 y 5.2)
¿=1 i=l f=l i=l
= 3.-Sfn+l){2n+l) - 3.-2(n+l) + n (F.2, F.l y S.l)
= j(n+l)í(2n+lj-3J + n = n J
EJERCICIO 2. Sea f:N R la función definida por: f(x) = •5x* 1~—
¿c+9
40 40
5í A = 2/'(•') y B = 2 f(i-l)> Hallar el valor de A-B.
i=l i—1 ,
40
Solución. A - B = £ [ f ( U - f(¡-l)J . Por S.4: A - B = /f40) - f(0)
¿=1Sólo fines educativos LibrosVirtual

529. 516 Capitulo 7: Inducción Matemática
, „ 7000 ^ 1000 4000
Luego, A-B = — y + — y = — y
4 4
EJERCICIO 3. Determinar a y b si: 22 (ak+b)=10 y 2 (oi +b)=14.
k=0 i—1
4 4 4 4
Solución. 22 (ak+b) = a(0)+b + V" (ak+b) = b + a Y l k + F] ib
k=0 k=l k=l k=l
Según F.l y S.l, para n=4: b+a[^(4+l)]+4b = 10, de donde: 2a+b=2 (1)
4 4 4
)F(ai+b)=14 - a £ í + J ^ b = 14 - al\(4+l)]+4b=14 - 5a*2b=7 (2)
i—1 . i=l i—1
Luego, de fl) y (2) obtenemos: a=3 y b=-4
Nota. En la lista de fórmulas importantes de la sumatoria se omitió la fór­
mula de la serie geométrica, cuya demostración queda como ejercicio.
n . - j n
F.5: 2 2 ar' ~ . rfl
i-r
n .
EJERCICIO 4. Calcular: 22 <~J>
i=l 2
n
Solución. Según S.4: ¿ f— t- - ■ ■ |-il = 0 - n
i=l t-2 2 -1 2 2 2°
i 2 i . ,l,i-h
- ~ V f
- 5 ' - * 5 ^ M ■ # - - 5 ' ? ' ’ * 7 -
n
22 <-j) = 2(i - -i; - -ií = 2
i=l 2 2
n
EJERCICIO 5. Calcular: 22
i=l (3i+2)(3i-l)
, _ . . . 3 A B
Solución. Por fracciones parciales: (3í+2)(3Í-T) = 3i+2 JT^l
de donde: 3=A(3i-l)+B(3i+2) ♦ 3 = (2B-A) + (3A-r3B)i
Identificando coeficientes: (2B-A=3) ~ (3A+3B=0) *-* A=-l , B=1
Entonces:
Vemos que si: F(i) = l/(3i+2) — F(i-l) = l/(3i-l)Sólo fines educativos LibrosVirtual

530. Sección 7.7: Formas Importantes de la Sumatoria 517
Luego, por la propiedad telescópica S.4, se tiene:
3 _ , 1 l . 3n
~ ' ' ” “ ' n + 7 ' ~
i—1 (3i+2)(3i-l) 3n+2 0+2 2(3n+2)
12 40
___
EJERCICIO 6. Hallar el valor de S = Y.Í 12 (/2k+1 - /2k-l)](2i-5)
i=3 k=l
Solución. En el corchete: F(k) - /2k+l + F(k-l) = S2k-1
12 12
Luego, por S.4: S -• Y[/2(40)+i - S2(0)+l)(2i-5) = y3(2i-S)
i=3 i=3
Dado que el límite inferior es i=3>l, debemos aplicar ¡a propiedad S.8 pera
la cual tenemos: n-m+1 = 12-3+1 = 10 (límite superior)
i+m-1 = i+3-1 - i+2 (argumento)
12 10 10
9Í-1 1 - SI 9 ■ 2\S = 82_,(2i-5) = SJ2 ¡2(i+2)-5] = ( 2 ¡ - l ) = 812.— (10+1 )-10] = 800
i =3 i -1 i=l
n
EJERCICIO 7. Hallar una fórmula para:
Y Sen(2i-1 )x
i=1
A+D A -Q
Solución. Partimos de la identidad: CosA-CosB = -2Sen(— ^-)Se-n(~r-) (1)
Como el argumento de la sumatoria es (2i-l)x, hacemos:
.A+B. , 0 . , .
(~2~) = (2t-l)x
S de donde: A-(2i+l)x y 8=(2i-3)x
( ~ ) = 2x
IMego, en (1): Cos(2i+l)x-Cos(2i-3)x - -2Sen(2i-l)x.Sen2x
n n
y [Cos(2i+l)x-Cos(2i-3)x] = -2Senx. y Sen(2i-l)x
i=l i-1
Ahora bien, si: F( i )=Cos(2i-l)x ■* F( i+l)=Cos(2i+l )x y F( i-1 )=Cos(2i-3)x
Entonces, según la propiedad telecópica S.5, se tiene:
■ n
Cos[2(n+l)+l]x+Cos(2n-l)x-Cos(2-ljx-Cos(-x) = -2Sen2x. y Sen(2i-1)x
i —1
n
+ Cos(2n+l)x+Cos(2n-l)x-Cosx-Cosx - -2Sen2xY Sen(2i-1)x
i—1
Transformando a producto los dos primeros términos se tiene:
2Cos2nxCosx-2Cosx = -2Sen2xY Sen(2i-l)x - Y Sen(2i-l)x = 1-&>s2nx
& & 2Sen*Sólo fines educativos LibrosVirtual

531. 518 Capitulo 7: Inducción Matemática
EJERCICIO 8. Sean A y B números enteros y positivos tales que si:
A B
V í i 1 -4 - y T\(2i-l)=1024 ; hallar A+B.
i—1 3 3 i¿í
A .
Solución. jT (i1 - - 5 - -jJ = j(A+l)(2A+l) - (j¡)A - .j(A+l)
-+ -^(A+1)[(2A+1)-1] = 1944 , de donde: A=18
B B
J^(2í-1) = 1024 - 2.j(B+l) - B = 1024 - B l=1024 - B=32
A + B = 50
+ 2 ~ k 2 k
EJERCICIO 9, Dados n*Z , , y=a ; hallar C y D tales que:
TI ' t
' Z ( L o g a - L o g b ) 1 = ¿(4n+1-l)C-2D.
fc=0 * y 3
n . -
Solución. Por la propiedad L.6: S = 2 (2 Log.a - 2Log b)1
■ k=0 0 0
- S = £ (¿Logia - 2 + 4~kLog*b) = (’Z 4 k)Log*a -2^(1) + 4~k)Log*b
k-0 ° a k =0 0 k=0 k=0 a
1 Z 1*1 1-/1
- 5 = — )Logía - 2 (n+1) + (¿J A / * '—)Log*b
*-4 D i-J/4 0
= \(4n+1-l)Log^ü - 2(n+l) + ~(4~n)(4n+1-l)Log*b
= j(4n+1-l)(Log¿a + 4~nLog*b) - 2 (n+1)
Comparando con ¡a relación dada, se deduce que: C=Log^a+Log^b y D=n+1
B Q NOTACION DE PRODUCTO DE LOS TERMINOS DE UNA SUCESION Ü
Dada una sucesión de números reales: F(l), F(2), F(3), . . . , F(n);
el producto de todos estos números se denota por:
n
T T F ( í ; = F(1).F(2).F(3). . . . F(n)
i—1
y se lee: "producto de los números F(i), desde i=l hasta i=n".
Ejemplos: 4
(1) T T(3i-2) = (3(l)-2][3(2)-2)(3(3)-2)(3(4)-2)
i-1
= 1x4x7x10 = 210Sólo fines educativos LibrosVirtual

532. Sección7.9: Propiedades de la Productora 519
n
(2) T T (i) = l*2*3*4x. . . ,*n = nJ (Definición de factorial)
i?=l
n
(3) TTf-Ü = (-l)(-2)(-3) . . . . (-n) = (-l)n!
i=l
u
C U PROPIEDADES DE ü F (>)
¡=1
Las propiedades del producto de los términos de una sucesión son muy
similares a las propiedades de las sudatorias, por lo que enunciaremos cada
una de ellas y su demostración se deja como ejercicio para el lector.
P.l: fí e - Cn P.S: TTlFÍÍ)/" = ( J T F ( i ) f
i—2 i = l i=l
n n n+1 n
P.2. TTcF(i) = c n T T f rn > P.S: TTF(i) = F(n+l)[TTF(i)J
i—1 i - 1 1=1 1=1
n n n n-1 n
P.S: T\F(i).G(i) = T T f T U . T T g í O P.7: T l f l U = T T F n - 1 )
1=1 i = l 1=1 1=1 1=1
P.4: T T _ Z Í 1 2 _ = £ Í H ¿ P.S: f^LogF(i) = Log.ílT F( i) )
i—1 F(i-l) F(0) i—1 ° ° 1=1
n n
EJEMPLO 1. Determinar una fórmula para: a) T T (~i) b) T T (i*+2l)
i—1 1=1
n n n n
Solución, a) T T f - o = TT (-l)i = T T f - U - T T ' <p -3>
i—1 1=1 1=1 i—1
= (~l)n (1.2.3 . . . . n) (P.l)
= (-l)nn! ' (Def. de factorial)
n n n
b) fT id+2) = TT í - T T (i*2) (P.3)
i-1 i=l 1=1
= n!(n+2)l (Def. de factorial)
2n+l . .
EJEMP LO 2. Demostrar que: T J O —f¿i) = * -VhcZ .
4. , i
D e m o s tra c ió n . Sea la proposición: P = {ntZ | | T < 1 - - ¿ r ) 3
„ k=2 kSólo fines educativos LibrosVirtual

533. 520 Capitulo 7: Inducción Matemática
Luego, P(l) es verdadera.
eZ*
2h+l
(2) Supongamos que para n=hcZ+, se cumple la proposición:.
P(h): T T d ~—) ~ -ñ., . (Hipótesis Inductiva)
k=2 kz n l
2h+I 1 h+2
Probaremos que para n=h+l se ampie, P(h+1): T J ( 1 ) = -57—5-
k=2 kl
2h+3 . . . 2h+l
En efecto: JJ(1-— ) = [1
-------—J(l- -----— i TT(1 - — ) (P.6)
k=2 k* (2h+3)z (2h+2)z k=2 kz
- [ < ™ ±
..: - i | Q m p . ind.)
L (2h+3)z -1 L (2h+2)x J ¿h l
_ f4<h+2)(hH)] r(2h+3)(2h+l)~\ , h+1.
»- J L 4 ( h + l ) % J 2h+1
= jj¿~! * P(h+1) es verdadera.
(3) Conclusión. Se ha probado que: P(l) es V ~ P(h) es V P(h+1) es V
EJEMPLO 3. Siendo x = — — -— r y A = V] Log\Sec(2kx)+l |, probar que A=0
1 + 2 T 1 k = 0
n . n .
Demostración. A = '¡TLog\Sec(2 x)+i| = LogJT" |Secf2 x)+l | (1) (P.8)
k=0 k=0
O C 1 i 1 + Cos(2kx) 2Cos*(2k~1x)
Pero: Sec(2 x)+i =
-----¡-— + 1 = ------r--- =-----— r:---
Cos(2 x) Cosí2 x) Cos(2 x)
2 Iv X
Luego, desarrol lando: P = TT |~——— —— I » se tiene:
k=0 Cos(2 x)
p | T2Cosz(xl2)-\ r ¿Cos2a 1 f2CosY2xf| [2Cosz (2n~1x)~\ I
IL
Cosx J \ Cos(2x)} L_Cos7Fx}J ' ' * ' L Cos(2nx) -I'
2n+1 ¡Co$z(x/2).Cosx.CosBx
.........Cos(2nJ x )
1 Cos(2x)
= 2n + 1 1 —(.rJ.P I ] Cos(x/2). Cosx.Cos2x
.........Cos(2n-i:rj|
ICos(2nx)'
= 2n I
---Co sM 2 ) 11 2Sen(x/2)Cos(x/2). Cosx. Cos2x. . . . C o s í / 1'1*) |
•Cos(!Tx)Sen(x/2) I
’n 1 ^ear.CosJC.Cosí.r. . . . Cos(2n~1x) |
Cos(2nx)Tan(x/2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

534. Ejercicios: Grupo 50 521
P =
lCos(2nx).Tan(x/2)
ICos(2nx).TTan(x/2)|
|2Senx.Cosx.Cos2x . . .Cos(2n ^x)
|\Sen2(2n '1x)| =
\cos(2nx). T<m(x/2)\
| \Sen(2nx) |
P = . Pero: x + x . / * + 1 = 2 , - f ♦ 2 *
• r a n ( x / 2 ) l ^
x = » ■* 2nx = » -
Luego, por ser suplementarios: Tan(2nx) = Tan (* - y) = -Tan(x/2)
Entonces: P = |-l| = 2 . Por tanto, en fl): A •= Log(P) = Logrfl) = 0
EJERCICIOS: Grupo 50
En los ejercicios del 1 al 12, calcular o hallar una fórmula para las sumos
indicadas.
41
_____ ___
1. ^ ( ’/Si^í - V3Í+2 )
i=1
7- ¿ ( i . 2 1 )
1=1
2. (101+1 - 101 )
i=1
100
3. z; _ 1 _
i=1 Í(i+1)
8. Z ! Cos(2k-1 )x
k=1
n
9- Z l Coslíkx )
k=1
4. Z ü ( k *+2k+1)
k=1
10. ¿ Cos2l(2x)
k=1
5. S C n - k + D 1
k=1
6. 3* + 5* + 7 1 + (2n+1)* 12. Z T (kx)k ¡
k=1
13. Demostrar que: y* (n -i-t-1) ♦ = J " 1*
i=1 i=1
5 5
14. Si ZI (ai+b)=7 y ZI (ai+b)=20, hallar a-b.
i=-1 i=1
15- Sea f:H + R una función definida por f(x)
2x*-200
60 60
Si A = Z ] f (i ) y B = Z l f(i'1) ; hallar A_B
i=1 i=1
/3x+16Sólo fines educativos LibrosVirtual

535. 522 Capítulo 7: Inducción Matemática
16.
17.
18.
21.
2 2.
2 3 ­
24.
25.
26.
27 ­
28.
29.
30.
31.
n k
Hallar el valor de n, si ^ 2 = 255.
k=0
En los ejercicios del 17 al 20, hallar el valor de la sumatoria dada.
15 . i 4 i
£ 3 ( 4 ) 2k+3 19. £ ( £ k 2)
k=3 i=2 k=0
5 k 10 i
£ [ £ (-1) (k-i+2)] 20. £ ( £ k 2)
k=1 i=1 i=8 k=0
10 12
Si £ (Ak-B)=22 y £ ( A k - r~B)=62, hallar A+B.
k=0 k=3
4 5
Si se cumple que: £ (a2i-ai) = £ ( a k + 6 ) , hallar: E=3a*-7a-10.
i=2 k=3
20
Se define por inducción: i) aa=h . Hallar E = £ a .
1
n+1 n
ii) £ a = h + £ a
1=0 1 i=0 1
n .
Si £ ( i 2_ ■§ -■?) =72, hallar el valor de n.
i=1 5
20 25 20
Si £ k x - £ ( 2 x - 3 ) - £ [ ( k - 3 ) 2-(k-4)2] = 0, hallar x.
k=1 k=5 k=2
n
Sea f:R +• R definida por f(x)=x2+2x+1. Si £ [f(i+1)-f(i)] =143, calcu
lar el valor de E=2n2-n. ^ ^
Determinar a,b y c tales que la igualdad dada sea cierta:
1 + 4 + 7 + . • • • + (3n-2) = a n 2+bn+c.
Hallar el número de términos necesarios para que la suma:
2+6+10+
........ sea 12,800.
k n
Si S = £ i , entonces hallar: £ S, .
* i=1 k=1 K
n 1 1 n-1 •
Probar que: TT (1 + -r— q)1 = —
----- , ^ > 2
1=2 1-1 (n-1)!
2n 1 2n , 1 ,r+1
Demostrar por inducción matemática: £ (-¡-) = £ — — , -Vníl
k=n+1 r=1 rSólo fines educativos LibrosVirtual

536. Sección 7.10: El Binomio de Newton 523
EL BINOMIO DE NEWTON
Antes de enunciar y demostrar el teorema del binomio es necesario in
troducir algunas notaciones que son muy frecuentes en el enunciado del teo­
rema.
Definición 7.1 El factorial de un número entero y positivo n,
que se denota por n!, se define como:
n! -1.2.3. . . . n, si n>l
0! = 1 , si n=0
Como el factorial de n es el producto de una sucesión de números enteros del
1 hasta n, por analogía con la notación de sumas, podemos usar la notación
para representar productos, esto es:
n
n ! = TT i = 1 - 2 . 3 . . . . ( n - l ) n
i = l
5 ’
Por ejemplo: 5! = T T 1 = 1.2.3. A. 5 = 120
i=l
o bien: 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3.' = 120
En general:
_______________
n ! = n ( n - l ) !
Es decir, el factorial de un número es igual al producto de dicho número
por el factorial del anterior.
Definición 7.2 Sean n y r números enteros positivos tales que rcn.
Se denomina coeficiente binamiaI o número combínalo
rio de "n sobre r”, al símbolo (^)definido por:
n!
r!(n-r)!
- . , ,5. 5! 5.4.3! 5.4
Por ejemplo: (¿) = -jrjT = 2!3/" =X 7 = 10
Casos Especiales. C.E.l: (®) = 5 7 -5 7 = 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

537. 524 Capítulo 7: Inducción Matemática
c -E -3: 0 = 7 n T 5 7 = J
C.E.5: (n+1) = X 2 í i 4 = í m u n l = n H
n nt.l! n!
Nota. Se dice que dos números combinatorios son de orden complementarios
cuando tienen igual numerador y la suma de sus denominadores es igual
a aquel.
9 9
Por ejemplo: (2) y (j)
2 J S ) PROPIEDADES DEL COEFICIENTE BINOM1NAL
___________^
B.l: Dos números combinatorios de orden complementarios son iguales:
(n ) = lí = _ T-üí = ( n )
r* n-r*
rt(n-r)! (n-r)tr!
B.2: Para dos coeficientes binarniales que tienen igual nunerador y denomina
dores consecutivos, vale la fórmula:
(n ) + ( n ) = (n+1)
r r+1 r+1
„ . . .n. , n , nf , n!
En efecto: (r) + (r+1) = '
rt(n-r)! (r+1)!(n-r-1)!
n! n!
rt(n-r)(n-r-1)! (r+l)r!(n-r-1)!
= n! 1 + — ] - n! r n+1 i
r! (n-n~l)! n r r+1 r! (n-r) ¡\.(n-r) (r+l)\
_ n+l)n! _ (n+l)¡
(r+l)r!(n-r)(n-r-1) (r+1)!(n-r)!
_________(n+1)! _ (n+lj
(r+l)t[(n+l)-(r+l)]t r+1
B '3: <"+!> = 7Ti<r>
_ . . . n , n! n!(r+l)
En efecto: ( ) = -
rt(n-r)! r! (r+1)(n-r)(n-r-1)!
— — = r— -— -
r! (n-r)! l(r+1)! (n-r-1) ti n~r
J2Í
_____
1r+lM r'
(r+1)!(n-r-1)+Sólo fines educativos LibrosVirtual

538. Sección 7.10: El Binomio de Newíon 525
B.4: r(n) = n(n {)
r r - i
_ , . ,n. rn! n! n!
. En efecto: r( ) = ~ -
r r!(n-r)! (r-l)!(n-r)! (r-1)!I(n-l)-(r-l))!
(r-l)![(n-l)-(r-l)]!
7 . 1 0 . 2 E L T E O R E M A D E L B I N O M I O
Sí a y b son nüneros reales diferentes de cero y n un número
entero positivo, entonces:
(a + b)n = ¿ (nj a n -rb r
r
Daaostración. Por inducción completa:
En efecto, sea P = {ncN¡ (a+b)n = ^2(n)an rbr }
r=0 r
(1) Para n=J + P(l): (a+b)1 = f ' ( 1)a1~rbr + a+b = (í)a1'°b0+(1,)a1~1b1
f=0r 0 1
+ a+b = (l)a(l) + (¡DaPb1 = a+b — P(l) es verdadera
(2) Para n=heZ+, supongamos que se cumple la proposición:
P(h): (a+b)h = ^ A o ll'rbr (Hip. Ind.)
r=0 r
Entonces debemos probar que, P(h+1): (a+b)tx+1 = ^2 (h+1 )ah+1 rbr, es V.
r=0 r
En efecto: (a+b)11*1 = (a+b)(a+b)lx = (a+b)"¿ (^la11 rbr (Hip. Ind.)
r=0 r
,h. h-r.r . ,h, h-r.r
( J a b + b¿_,( J a b
r=0 r=0
V> ,h,h-r+l.r ¿i Ji. „h-r. r+1
= ¿ ^ ( J a b + ¿l,( J a b
r=0 r=0
. . . .bti .h.h+1.0 -A .h.h-r+lr %-i ,h. h-r.r+1 ,h.0,h+l
+ (a+b) = ( J a b + ¿ _ ( j a b + 2_^( J a b + (h)a b
r=l r=0Sólo fines educativos LibrosVirtual

539. 526 Capítulo 7: Inducción Matemática
+ (a+bj = (0 >a b + 2_ 1 / , J + (,.-^-1° b + b
r=l
per0: O = C 1!* y C > + <r-l> = <*?>
» (a+b)h+1 = rh¿ V +V + ¿ (h+r1)ah-r+1br + íj:iía°bh+1
r-1
■* (a+b)*1** = 2 )a^+1 rbr ■* P(h+1) es verdadera.
r=0 r
(3) Conclusión. Se ha probado que P(l) es V a P(h.) es V -*■ P(h+1) es V.
(a+b)n = 2 (n )an~rbr
r=0
Si designamos por Ti el primer término del desarrollo; T2 el segundo, T3 el
tercero y así sucesivamente, entonces:
Ti = (nQ)an
<r¡ ) ~ n
T 3 = Í > " ' V
T = ( n .)an~r+1br~1
r r-1
Así, el término general del desarrollo es:
r+1
(n )an-rbr
Observaciones:
(1) El desarrol lo de la potencia n-ésima de un binomio tiene n+1 términos,
según lo indica la variación de r, desde O hasta n.
(2) El coeficiente binomial de cada término del desarrol lo tiene como nisne-
rador el exponente del binomio, y el denominador es variable de O hasta
n.
(3) El exponente de a es la diferencia entre el numerador y denominador, y
el de b es igual al denominador del coeficiente binomial. Es decir, la
suma de ambos exponentes es igual a n, para todos los términos.
(4) Los términos equidistantes de los extremos tienen igual coeficiente, por
ser números combinatorios de órdenes complementarios.Sólo fines educativos LibrosVirtual

540. Sección 7.10: El Binomio de Newton Sil
n _
(5) Si en la fórmula del binomio: (a+b)n = Z (n)an rbr (I)
r=0 r
hacemos b=-b, entonces: (a-b)n = (-I)r Z O 0” r,t)r U I)
r=0 r
(6) Si a=b=l, la fórmula (I) se convierte en la suma de los coeficientes bi
n n
namiales, esto es: (l+l)n = Z ('!) ♦ Z . O =
r=0 r=0 r
. . yn > i t • v
o oten: (Q) + (1) + ( y + <3> + • • • • + <n> = 2 (1)
n
Si en (II): a=b=J ♦ 0 = í - l / Z O
r=0
Entonces: ( p - ( p * ( p - ( p * ( p - ( p + . . . + (-l)n( p = 0
- [íp) + + f"; + • • •] - [(p + < p + < p + ■■■]= 0 (2)
Sumando (l)+(2) se tiene: 2 \_ ( p + ( p + ( p + ■ ■ ■ • 1 = 2n
- (p + < p + ( p + .... = 2n ~1 (3 )
y restando (l)-(3) obtenemos: ( p + ( p + ( p + ....= 2n 1 (4)
n
En resumen: T.B.J: 2 O = • Sl o-b=l
r=0
T.B.2: '¿'(p(-l)r = 0 , si a=l, b=-l
r=0
T.B.3: Z í " , ) = 2° 1 , si r par, r=2k , kzZ+
r=0 r
T.B.4: Z (n) = 2n l , si r impar , r-2k+l, kcZ+
r=0 r
2
EJEMPLO 1. Hallar la expanción del binomio: (x1y + — ) 1
Solución. Por la fórmula (I): (x1y + “ )5 = Z (P(x*y)^ (zX
r=0
* <xly +| r = ( p < x 1y)iX 51)(xly)X^) * (52)<x'y)é)1 *
* (Ixx'yxl)' * < \ x p 'Sólo fines educativos LibrosVirtual

541. 528 C a p ítu lo 7: I n d u c c ió n M a te m á tic a
(xly + | ; 5 = a:1 "y* + 5 r x y > ( | ) + 10(xiy 3)(4x-1) + l O f x ^ K S x ' 3) +
. + 5 (x2y)(16x — ) + l(32x-*)
= jc* ',y i+10x1y''+40x''yí+80xyí+80x'ly+32x~i
EJEMPLO 2. Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones:
a) 2(n!)-(n-l)(n-1)! = n!+(n-l)! , neZ+
b) (nr> = r r2) + + (nrz22)
Demostración, a) 2n!-(n-l) (n-1)! = 2n(n-l) !-(n-l)(n-l)! = (n-1) l[2n-(n-lf¡
= (n-1)!(n+1) = n(n-l)! + (n-1)!
= n! + (n-1) ’
b) (nr) = (n~2) + + ( ^ + = ("'h + (B.2)
y nuevamente por B.2: = f " ;
EJEMPLO 3. Simpl ificar cada una de las sumas indicadas:
. „ _ .n -1. , n - 2. ,n -3 . yri-4. .n - 4 .
a) S = ( ,) + ( n) + ( o) + ( .) + ( c)
r-1 r-2 r-3 r-4 r - 5
b) l(j) + 2 ( p + + ....+ n i " ;
Solución. a) Aplicando sucesivamente la propiedad B.2 en cada dos últimos
términos, se tiene:
c - fn~ l) + ,n~2 ) + ,n- 3 ) + , r‘- 3 ) _ .n -1 . n-2 n - 2 .
s - fr _ p + (r_2) + <r_3) + (r_4) - (r_}) + <r_2) + í r _3 ;
= í n - i ) + f " " 1; = c " )
' r - i ' r- 2 r-1
b) Apoyándonos en la propiedad B .4 : r ( " ; = n i " j ; , s e tie n e :
s = ♦ n ^ : J ; + + ...+■ ní^:j;
= n[ín¿J,-+ fr,J2) + <n23) + ■■■■+ (”:{)] = n ¿ ( n~r1) (1)
r=0
Pero s i : £ Ó = ^ - E f n " J J = 2 n ~i ( T . B . l )
r=0 r - 0
Por lo tanto, en ( 1 ) : S = n (2 n *)
EJEMPLO 4. Hallar los valores de x, tales que: (^f) = (^ )
Solución. Por ser números combinatorios iguales: x l=2x ■*-* x-0 o x=2Sólo fines educativos LibrosVirtual

542. Ejercicios Ilustrativos 529
y por ser compleoentarios, según la propiedad B.l: x zr2x-35 —► x-5 o x=-7
Pero - U N - C.S - 10,2,5}
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Hallar el valor de n para que: 22 (2r+l)(n) = 2n+4
r=0 r
Solución. 22<2r+l > 0 = 2 I > 0 + ¿ O = Z 72r O + ¿n (1)
r=0 r=0 r=0 r=0
- = 0(n) + J 2 r (n) = n j ^ ^ Z 1) = n . J 1' 1 (B.4)
r=0 r-l r r=0 r
n n-1 . .
y por la propiedad S.Sb: 2 r(” ) = n ^ 2 ( n ) = n. í1 (T.B.l)
r=0 r=0
n ,
Entonces, en (1): J2(2r-hl)(n) = 2 n .í l~1 + 2n = ^(0+1)
r=0 r
Luego, si: 2n (n+l) = 2n+4 * 2n (n+l) = 24.2n * n+l=24=lS * n=l5
1 3 Ir 1
EJERCICIO 2. Simplificar: S = (r + 2 ) .' [ ¿ f V ) + E ("Vil )]
r=0 K k=2
Solución. S = (r+2)![(nr) * f ¿ j ) + (?+*) +
y por B.2.- 5 - * O + > C ^
- S = = 0 + 2 )
->------------------------ = (r>+3)!..
r (r+3)! (n-r)! (r+3)(n-r)!
n
EJERCICIO 3. Demostrar que: ^2 r(r!) = (n+l)!-l
’ r=l
n
Solución. Según S .4: 22 Lr (r!)-(r-l)(r-l)¡] = n.n! - 0 (0 )!
r=l
n
-* 21 " r(r-l)! + (r -I)/J = n.n!
r=l
n -
+ 2] [r(r!) ~ r '• + (r-l)t2 - n.n!
r=l
n n n
* ZE2r(r!) - 72 [>•’ ~ (r~i) 0 = n-n! * 72r(r!) ~ (n! ~ - n,n?
r=l r=l r=lSólo fines educativos LibrosVirtual

543. 530 Capítulo 7: Inducción Matemática
n ■
+ £ r ( r ! ) = n.n! + n! - 1 = (n+l)n! - 1 = (n+l)!-l
r=J
100 9fí ,
EJERCICIO 4. Demostrar que: 'P.LoQ(2k+l) = L o g
------------
k=i 100!(21U )
100 100
Demostración. En efecto: ~^Log(2k+l) = Log1~f (2k+l) = Log(3.5.7... 201)
k=l k=l
Sea: x = 1.3.5.7....201 * x
= Log(l.3.5.7 201) (1)
1.2.3.4. 5 201
2.4.6
.............200
201! 201! 201!
a . 2) (2.2) (2.3)
-------(2.100) 2100(1.2.3 ____100) 2100(100!)
100 9011 '
Luego, en (1): ^Log(2k+l) = Log
k=l 100!(2100)
EJERCICIO 5. Sean n y k números naturales t a l e s que n>k. Demostrar que:
n _ n k n-k
S =
k
¿ e * P í o ¡ " ¿ L o g i - ¿ L o g ¡ - J^Logi + (n-k)Logx+kLogy\
k=l li=l i=l i = 1 J
es equivalente a: (x+y)n - xn .
n n
Demostración. En efecto: 21 Log i = L ogTT ¡ = Logn! (Def. de factorial)
i=l i=l
+ S = ¿ exp,. (Logn! - Logk! - Log(n-k)! + Logxn ^ + Logykl
k=l 1 J
Z
n r. n! , ,n-k, ,Jcl ■Q-',n, n-k k
explt\Log (x) (y) = ¿ j ( ü x y
k=l L k!(n-k)! J k=l
o ^ /ti, n-k k ,n, n-0 0 ^ ,n, n-k k n
* s = Z <k>x y - (n)x y = Z , ( J x y - *
k=0 k=0
. • r* / n
. . S = (x+y) - y
EJERCICIO 6. Hallar el coeficiente de x ** en e l desarrollo de:
(x'^x-1)1*.
S o lu ció n . Si Tr+1= (nr)an'rbr + T , +J x (13)(x>)13~r(-2X'*)r
- Tr+1 = (1l)(-2)r(x)39~5r . Si x 39~5r = x 14 ++ 39-5r=14 ~ r=5
13 5
Luego, e l coeficiente del término buscado es: C4 = ( §)(~2) - -41,184Sólo fines educativos LibrosVirtual

544. Ejercicios Ilustrativos 531
EJERCIC IO 7. Eí coeficiente del tercer término del desarrollo de
(xSx+x~k)n es mayor que el coeficiente del segundo término
en 44. Hallar el término que no contiene a x.
Solución. Si C,=Ci+44 •* ( p = (p+44 ~ p n + 1 ) = n+44
de donde: n l-3n-B8=0 n-11 o n--8(N
Término general del desarrollo: Tr+1 = (^p(x^x)1^ r(x~'')r ’
Entonces, si (x878)1* r(x = sP +— pll-r)-4r = O +— r=3
Luego, el término buscado e s : T* = (7p = 165
EJERCICIO 8. Si aeR, afO. Si un término del desarrollo de (jjxy-2y*)n es
n+a
33aV y 1' , hallar: y\(n]a).
k=0
Solución. Si Tr+1 = (nr)an~rbr * (p(%cy)n~r(-2y*)r = 33a*x7y 17.
de donde: xn r = x 7 *■+ n-r = 7 1
n+r 17 , 7 I * r=S
y = y «-» n+r = 17 J
Cálculo de a: (1p ( j ) 7(-2)5 = 33a8 - a = - = S .
n+(1 6 R K
2 ( ) = T. Ó = 2 = 64
k=0 k k=0 K
EJERCICIO 9. Hallar la menor potencia a la que hay que elevar a+b de tai
manera que el desarrollo contenga el coeficiente 84. En qué
lugar?
Solución. Dado que: ( p = 84 = 2**3*7; busquemos la menor potencia de n
dando valores a r, esto es:
Para r=l ■» (p=84 * n=84
r=2 - (p=84 * J(n-l) = 84 - n(n-l) = 2'*3*7
Como (n-l)n es el producto de dos números enteros consecutivos, no existe
ncN que satisfaga la ecuación para r=2.
Para r=3 - ( p = 84 - = 2**3x7 - n(n-l)(n-2)=2i*3tx7=9x8x7Sólo fines educativos LibrosVirtual

545. 532 Capitulo 7: Inducción Matemática
Como el segundo miembro es el producto de tres m in e ro s enteros consecut ivos
entonces, la menor potencia a la que hay que elevar (a+b) es n=9. Obviamen­
te, existe dos términos equidistantes de los extremos que tienen como coefi
dente 84. Conocido un término para r=3 y n=9, el otro término se determina
aplicando la propiedad B.l: (n )=( n ). Esto es, (t)=(t)=84. Por tanto, los
r n-r 3 o
térm in o s son: T , y T7.
45
EJERCICIO 10. Si el coeficiente binomial de x en el desarrollo de
7<¡ 70 An—O
(x+x -*) es ( ) siendo a<20, hallar el coefic. de x .
Solución. Término general: T = (78)(x)78~r(x-l)r = (78)x78~3r
r+i r r
s í (7y 8-3r - <7y 5
78-3r = 45 + r=ll
r+a = 78 + a=67>20
r = a + a=ll<20
Luego, el coeficiente que contiene a x4a 8 lo obtenemos de: x4a 8 = x 78 3r,
si a=ll + x36 = x 78' 3 r ~ 36=78-3r - r=14.
7R
Por tanto, el coeficiente buscado es: C ¡t=(14).
EJERCICIO 11. Determinar el coeficiente de x * en e i desarrollo de:
(l+3x*-2x')‘.
Solución. En e s t e c a s o se trata de un trinomio al cual se le puede dar la
forma de un binomio agrupando sus términos convenientemente:
(l+Ox'^x'))*.
- /it(3x*-.2x',>J‘ = E (8)(l)6~r(3x*-2x')r = ¿ f ® K 3 x * - 2 x ' ; r (1)
r=0 r r-0 r
(3xl-2x'f = 2 (l)(3x1)r~k (-2x')k = 2 (Z)(3)r~k(-2)kx2r*2k
k=0 K k=0 K
En (1): (l+3x'-2x')< = E E ( i) O ( 3 ) r' k(-2)kx2r+2k
r=0 k=0 r K
Para los enteros r y k se deben cumplir las siguientes condiciones:
0 4 k 4 r 4 6
Para x * : 2r+2k = 8 + r+k=4
Dando valores a k (k 4 r) encontraremos los valores de r correspondientes,
esto es, para: k=0 + r=4 , k=l + r=3 , k=2 + r=2Sólo fines educativos LibrosVirtual

546. Sección 7.10: El Binomio de Newton 533
Entonces en el desarrollo de la potencia dada, hay tres sumandos con x’, cu
ya sima t o t a l e s e l c o e f i c i e n t e buscado:
- C = + (\)(22 )(Z)'(-2)1 = 1215-1080i60
:. c = ios
n
EJERCICIO 12. Hallar la fórmula para: S = £ r < ■>
r=l
Solución. Expresando: rl-r(r-l)+r , se tiene:
S = *t[r(r-l)+r)]fy = ¿ r f r - I + J T r f y
r=l r=l r=l
n n
Para r-1, el primer sumando e s c e r o * S = ^ r ( r - l ) ( r ) + r( ) (1)
r(r-l)(n) = r(r- ^ n! - r(r-l)n!
r!(n-r)¡ r(r-l)(r-2)! (n-r)! (r-2) ’. (n-r)!
= n(n-l)(nr:22)
(r-2)![(n-2)-(r-2)]!
En (1): S = n ( n - l ) Z ( T 22) * Z n C -7'> (B’4)
r=2 r £ r=l
= n ( n - l ) X < nZ2) + ri'¿(nZ1) = n(n-1)2n"2+n2n~1 (S.9b y T.B.l)
r=0 r=0
= n.2n~2 (n-1 + 2) = n(n+l).2n~2
5 4
EJ ERCICIO 13. Hallar el valor de: S = ( ZEZ l ( > * 2kiI>
i=l k=l
5 4 4 5 , .
S o lu c ió n . S = Z ( Z Q + 2i Z Z kl = T t 4 ( ¡ ) + 2i.l(4il)l (S.lyF.l)
i =1 k=l k=l i=l
5 5 5
= 4 ' Z ( 5.) i 2 o f Z i = 4 / £ ('i) ~ Ó l + 20.5? ( 5 H )
i=l * i=l i=0
= 4(2S - 1) + 300 = 424Sólo fines educativos LibrosVirtual

547. 534 Capítulo 7: Inducción Matemática
EJERC ICIO S: G rupo 51
En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l 4 , d e s a r r o l l a r u sa n d o e l Teorem a d e l B ino m io.
1- ( - f x- ¿ ) 6 3 . ( ^ t *)5
2- 4 . ( f f + ^ ) 4
5 . D e m o stra r q u e :
3n!
( n - 3 ) ! ( n - 2 ) ! ( n - 1 )!
6. D e m o stra r q u e : ( n + l ) [ n . n 1 + ( 2 n - l ) ( n - l ) ! + ( n - l ) ( n - 2 ) ! ] = (n + 2 )!
n D . (n+ 2)! 72n ! .
7 . R e s o lv e r : -i
------— - _______ = 0
, ( n -2) ! ( n -2)!
n
S. H a l l a r e l v a l o r de E = T 1 \ ^ ( . ) 1
k=1 i=0 1
9 . S i ( a ) + I 4 ( g ) + 3 6(j) + 2 4 (J|) = 2 5 6 , h a l l a r e l v a l o r de n .
10. S i m p l i f i c a r : E = ( £ ) + ( ” ) + ( n ^ 1 ) + ( n +2 ) + ....+ ( J ^ )
11. S i m p l i f i c a r : S - ( » ) + ( £ ) + ( £ * ) + ( £ ) + ( £ j ) + £ j )
12. S i s e cum ple l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n :
( " ) + 3 ( " ) + 5 ( " ) +....+ (2n+1) ( ” ) 23
( " ) + 2 (g ) ♦ 3 ( 3 ) +
..............................+ n ( " )
. . , h a l l a r e l v a l o r de n .
11
e . /n +1. /n +1. /n + 1. /n +1. 5 .
13‘ Sl : ( m } = 1 y ( m } : (m-1> " J ’ hallar m-n
1 4 . S i ( ” ) = ( " ) y 4 ( ” ) = 5 ( " ) > h a l l a r m+n.
m m +1 m m —1
15- S i m p l i f i c a r : ( a ' 2 ) + £ ( £ ” ^ )
16. S i ( 2 2 ) : (2^ ) = y ( m 3^ ) - ( m22 ) = m+2> h a l l a r e l v a l o r d e m*+
17. S i ( n ) = B (n ) y ("* ? )-( 1? ) = 0 , p a r a m=2, h a l l a r e l v a l o r de m+n.
5 4 4 m+2
80 80
18. S i ncN y ( j n i_¿f ) = ( g n > h a l l a r e l v a l o r de E =n’-5Sólo fines educativos LibrosVirtual

548. Ejercicios: Grupo 51 535
(m+1)! m! (m -1 )! , _ , „ , , , , , , , n ,
19. S i .1
_____ + + -i — - 6 y n=2m +1, h a l l a r e l v a l o r de ( )
m! (m- 2) ! (m-2)! m
20. S i ( = (* .,o^í?; ) . h a l l a r e l p r o d u c to de to d o s l o s p o s i b l e s v a l o -
X —¿Xj M O -1 4 X
r e s e n t e r o s d e x .
2 1 . Sea x eNK x2+i ° x i o ^ 5 x + 6 ^ * e n ^ o n c e s h a l l a r e l v a l o r de A= (* )•
2 2 . S i ( 3^ ) = ( X+1S )> h a l l a r e l v a l o r de S = (* ) + (* )
n
23- H a l l a r e l v a l o r de n t a l q u e : ^ (2 k + 1 )(P ) = 80
k=0
2 4 . Al d e s a r r o l l a r ( 2 x - y 2) 7 s e t i e n e l o s té rm in o s Mx^y*, Nx*y^. H a l l a r M-N
25+ E l s e x t o té rm in o d e - 2 y 2) n e s 3 3 a x 7y 17, h a l l a r ( a + n ) '.
2 6 . S i S j y S j so n l a s sumas de to d o s l o s c o e f i c i e n t e s d e l o s d e s a r r o l l o s
d e ( l + x ) n y ( l + x ) m, r e s p e c t iv a m e n t e , y s i : Sj--.8S 2 y S l S za 5 1 2 t d e te r m i­
n a r e l v a l o r de mn.
27+ Al d e s a r r o l l a r (x + a y )n , en o rd e n d e c r e c i e n t e con r e s p e c t o a l a s p o te n ­
c i a s de x , s e t i e n e e l c u a r t o té rm in o i g u a l a 6 7 2 x 6y 3. H a l l a r n - a .
2 8 . Sea A e l té rm in o c e n t r a l en e l d e s a r r o l l o de (— + —) 18 y E e l té rm in o
x a
3 1
i n d e p e n d ie n te de x en e l d e s a r r o l l o d e (-^x2 - 9 * h a l l a r A+18B.
29- S i ax^y e s un té rm in o d e l d e s a r r o l l o de ( x 2- 2 . 3./y ) 8, h a l l a r : a - b
30. E l té rm in o que c o n ti e n e a x 1^ en e l d e s a r r o l l o d e :
8 /3~
(— x 2/ 3y 1/ ' - —x _ I/ 2y ~ 2/ 3) 18 tam b ién c o n ti e n e a y . H a l l a r su e x p o n e n te
3 1 . Qué té rm in o d e l d e s a r r o l l o de - — ) 18 t i e n e a x e y con e l mismo
y 2 X 5
e x p o n e n te .
3x 2 v 2
32. Qué té r m in o d e l d e s a r r o l l o de ( - — ) 15 e s t á form ado p o r p o t e n c i a s
y 3x*
i g u a l e s de x e y .
33+ Dado e l b in om io (-^-j - 3 x 2) n , s i en su d e s a r r o l l e e l mayor e x p o n e n te de
x e s 2 4 , h a l l a r e l c o e f i c i e n t e d e l té rm in o que c o n ti e n e a x %.
3 4 . En e l d e s a r r o l l o d e ( x ~ * - x ~ l ) 1# l o s té r m in o s que ocupan l o s l u g a r e s :
7m+2 y 2m t i e n e n c o e f i c i e n t e s i g u a l e s . H a l l a r d ic h o s té r m in o s .Sólo fines educativos LibrosVirtual

549. 536 Capitulo 7; Inducción Matemática
U
35- S ea e l k -é s im o té r m in o d e l d e s a r r o l l o d e (x+ y) y T’ ^ e l ( n - k ) - é s i
mo té r m in o d e l d e s a r r o l l o de (x+y)**. H a l l a r e n s u form a más s im p le :
3 6 . H a l l a r e l v a l o r d e : 2 ( . n . ) ( - l / 2 ) * f (S u g . H a ce r cam b io d e v a r i a b l e s )
le=1 . ,
n k+1 . .
3 7 . C a lc u l a r e l v a l o r d e : A = 5 3 t Z ü ( 1 ) 1
k=0 r=1 r _
xo e i / 2 n - 1 . ; 2 n - 1 . _ ✓ 2n—3 \ /2 n —3 \ . . A 132 , . .
3 8 . S ean A=( n _2 M n _-j) 7 B=( n _ i ' + ^ n ' q u e : "B “ "35 ’ h a l l a r n *
39- E l r - é s i m o té r m in o d e (2 k x + y 1) 1* e s 8 >0 6 4 x ,y , , . H a l l a r : 2 k + r
6 0 . S i e l q u i n to té r m in o d e l d e s a r r o l l o (2 x * - -^xy*)n e s 2 6 6 0 x l *y11, d e t e r
m in a r e l c o e f i c i e n t e d e l té r m in o q u e c o n ti e n e a x 1 ’ .
6 1 . En e l d e s a r r o l l o d e l b in o m io (9 * * - * | ) 1*. h a l l a r e l c o e f i c i e n t e d e l
t é r m in o que c o n ti e n e a x ‘ x .
6 2 . D e m o stra r q u e ¥ n e |:
( " ) + 3 ( " ) + 5 ( | ) + ....+ ( 2 n + 1 ) ( " ) = ( n + l ) 2 n
[ S u g e r e n c ia . E x p r e s a r ( q ) e n f u n c ió n d e
6 3 . A n a l iz a r l a v e rd a d o f a l s e d a d d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :
n , „ „ / „ > n n+1
a ) 5 3 i r = *n r ....j, ,;¿1 , -VneZ+
i=1 ( 1 - r ) *
11 1
b ) No e x i s t e neZ + t a l q u e : 2 1 ) = 6 6 ( n - 1 )
k=2 K_1
6 6 . D e te rm in a r e l c o e f i c i e n t e d e x** e n e l d e s a r r o l l o d e (3 x + 2 x ’ - x _*) * .
H a l l a r ta m b ié n e l té r m in o in d e p e n d i e n t e .
6 5 . H a l l a r e l c o e f i c i e n t e d e l té r m in o que c o n t i e n e a x*y* e n e l d e s a r r o l l o
de ( p x , + qx y + ry 1 ) * ; p , q , r c o n s t a n r e s .
6 6 . Dado n c l , r e s o l v e r e l s i s t e m a :Sólo fines educativos LibrosVirtual

550. 537
SUCESIONES
01 INTRODUCCION
___________________________________ • Q
Es una experiencia común el encontrarse con un conjuntó de números
dispuestos en algún orden. El orden y disposición puede conocerse de antema
no, o posiblemente habrá que descubrir una ley para ellos a partir de algu­
nos datos. Por ejemplo, sea el conjunto: '
1 6 , 8 , 4 , 2 , 1 ,, 1 / 2 . .. . . ?
+ ♦ + + + t i
a» a* a, a» a¡ a,
an
Vemos que a cada número natural le corresponde un número an , entonces pode­
mos expresar dicho conjunto por la fórmula:
an = a(n) = 16(2)1'n , n*N
Esto define una función f cuyos elementos son los pares ordenados i(n,an)}.
Esto es:
/ = 1(1,16).(2,8),(3,4),(4,2),. . . . }
El dominio de f es N y el rango es:
{16,8,4,2, . . .1 = ia(n) jneW, a(n)=18(2)1~n )
Una función tal se llama sucesión numérica infinita.
D E F I N I C I O N 8.1 Una sucesión es una función cuyo dominio es el con
junto de los números naturales o subconjunto están
dar de él. Si el dominio es N, se llam a sucesión infinita; si en cam­
bio es un subconjunto estándar de N, se lleena sucesión finita. Los nú­
meros del rango de la sucesión, llamados elementos de la sucesión, es­
tán restringidos a los números reales.Sólo fines educativos LibrosVirtual

551. 538 C a p ítu lo 8 : S u c e s io n e s
Ya que el dominio de toda sucesión es siempre N o Z+, podemos usar la n o t a ­
ció n {f(n))o ta n } para denotar una sucesión.
Ejemplos:
(1) a = ((1,-1),(2,1),(3,3),(4,5), . . .1 e s una sucesión infinita, en don­
de el n-ésimo término de la sucesión es an=2n-3, de modo que podemos es
cribir: ía ^ í = { 2n-3( = -1,1,3,5, . . . ,2n-3
(2) b = 1(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)} es una sucesión finita, en donde,
t>n=2n, neN, 1 4- n 4 5 , de modo que: = { 2n\n < 6} = 2,4,5,8,10
entonces: f = {(1,1),(2,1/2),(3,1),(4,1/3),(5,1)
....................}
es una sucesión infinita.
Nota. Otro método para definir ung sucesión es dar el primer término y una
fórmula para el término n+1 en función del n-ésimo término. Tal tipo
de fórmulas se llaman fórmulas de recurrencia.
EJEMPLO 1. Escribir los términos de la sucesión lan > en la que: a ¡=16 y
an+l = (l )an
Solución. Si a¡=16 + a 2=(j)(16)=8 , a 3=(j)q2=4 , a 3=(^-)a¡=2
EJEMPLO 2. Escribir cuatro términos de la sucesión cuyo primer término
(a ) 3
es 2 y en la que: a , = 0_
___
n 1 (an - l)(an + 1)
Solución. Se sustituye a¡=2 en la fórmula de recurrencia para obtener a 2,
luego éste para obtener a, y a s í sucesivamente.
(3) La sucesión para la cual: f(n) =
tiene como elementos: i , | , I , | , 1 , |
y así sucesivamente. Luego: ía ^ l = 16,8,4,2,1
* a * (2-1)(2+1) 3
(2)' - 1 . a
1 /9j.í I 1 ’ U3
(4/3)í _ 16_
(16!7)1 256
207
16Sólo fines educativos LibrosVirtual

552. Sección 8.2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas 539
, . . „ 4 16 256
Luego: = 2 , y , -j , m
E J SUCESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS
____________^
Hay dos tipos de sucesiones que son importantes en la matemát ica ele­
mental como para garantizar un e s t u d io especial. La s u c e s ió n ton ), en donde
d = a - a ,, Vn>l, se llama sucesión aritmética o progresión aritmética,
n n-1 *
d se llana diferencia canún.
a
La sucesión )a (, en la que r = --------, Vn>l, s e llama s u c e s ió n geométrica o
n an-l
progresión geométrica, r se llama razón común.
a) Sea la sucesión aritmética: = O i , o ¡ , a j , . . -,on (1)
Por definición: d = a z - a¡ ■* a ¿ = a L + d
d = a,-a¡ = a,-al-d * a , = a , + 2d
d = a , - a J = a , - a1- 2 d * a , = a , + 3d
d = an - an - i - an = a l r (n-l)d
Luego, en (1): (a^} = a , , a,-*!, a ,+ 2 d , a,+ 3 d , . . . , a , + (n-1)d
de donde: an = a , + (n-l)d
b) Sea la sucesión geométrica: {a^} = a , , a , , a , , . . . , c (2)
Por definición: a2 = r . a4
a , = r .a , = r(r.a,) = atr*
a , = r.a, = r ( a ,.rz) = a¡.r*
' . n-2, n-1
an = r.an l = r(atr ) = a 4r
Luego, en (2): = a 4 , a 4r , a4r2 , a4r3 , . . . , a4r n 1
de donde: a = a.rn 1
n 1
Por tanto, tenemos fórmulas que comprenden el primer término, el n-ésimo
término, n , d o r. Podemos usarlas para encontrar cualquiera de las varia­
bles cuando se conocen las otras tres.
EJEMPLO 1. Qué término de la sucesión aritmética:
fan > = -15,-13,-11, ...., es 89?Sólo fines educativos LibrosVirtual

553. 540 C apitulo 8: Sucesiones
Solución. De la sucesión dada; a i= -1 5 , an~89 y d=-13-(-15)=2
Si on= a,+ fn -2 > d -* 89=-15+(n-l)2 , de donde: n=53
Luego, a,,=89
EJEMP LO 2. El cuarto término de una progresión aritmética es 16 y el déci
mo término es 28. Hallar el término 50.
Solución. Se tiene: a* = i6 •» a,+3d = 16 (1)
Ahora de (1) y (2) obtenemos: a ¡=10 y d=2
Luego: a s , = a¡+49d = 10+49(2) = 108 -
EJEMPLO 3 . Si a,b,c son tres números en progresión aritmética, y si aumen
tamos en 1,4 y 9 respectivamente, son directamente
proporcionales a los números 3,9 y 18; hallar el valor de E=a+b+c.
Solución. Sea k el factor de proporcionalidad, si: a+1 = 3k •* a = 3k-l
b+4 = 9k - b = £>k-4
c+9 = 18k + c = 18k-9
Dado que a,b,c es sucesión aritmética + d = b-a = c-b
+ 9k-4-(3k-l) = 18k-9-(9k-4>, de donde: k=2/3
Luego: a=3(2/3)-l=l , b=9(2/3)-4=2 , c=18(2/3)-9=3 - E = a+b+c = 6
EJEMPLO 4. La suma de tres números en progresión aritmética es 12 y la
suma de sus cuadrados es 66. Hallar la sucesión.
S o lu c ió n . Sea ¡a sucesión: lan f = a - d , a , a+d (1)
+ (a-d) + a + (a+d) = 12 , de donde: a=4
(a-d)1 + a 1 + (a+d)1 = 66 - 3a*+2dl =66
3(4)1+2d1=66 + d*=9 ++ d=3 o d=-3
Luego, en (1): = 1,4,7 o {a^} = 7,4,1
EJEMPLO 5. Si los términos de lugares p,q,r de una progresión aritmética
son a,b y c, respectivamente, hallar el v a l o r de:
E=(q-r)a+(r-p)b+(p-q)c.
Solución. Si: dp = a a +(p-l)d = a (1)
a¡,= 28 * a,+9d = 28
(2)
bq = b + a +(q-l)d = b
cr = c •* a +(r-l)d = c
( 2)
(3)Sólo fines educativos LibrosVirtual

554. Sección 8.2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas 541
Restando: (l)-(2) , (2)-(3) , (l)-(3) , obtenemos respectivamente:
a-b = (p-q)d , b-c = (q-r)d , c-a = (r-p)d
Luego: E = ( ^ ) a + ( ^ ) b + ( ^ ) c = ^ - aC> + ^ - a b ) + <ac-bc)
de donde: E = 0
EJ EMPLO S. Los números reales a , , a j , . . . ,an son positivos y están en
Si T =
n
progresión aritmética de razón común d.
J a , + / a l / a l + J a l Ja~, + J a l /an-l + / a n
obtener una expresión simplificada de Tn en términos de a¡, a^ y n.
Solución. Racional izando el denominador de cada sumando se tiene:
j _ / o í " / a ~ i ^ J a l - / a l ^ J a l - J a l ^ ^ ^ an n-1
n ” a , - a , a , - a z a„ - a» • ■ ■ + - an _i
_ / a l - Jai Ja, - Jal Ja\ - Ja, /an-l
------- + - + -------j----- + ...-+------
_g T g — a — - • • • - — 3 ------------
Ja - Jal a -a,
Simplificando queda: T =
--------¡ ; pero: a = a,+(n-l)d * d = -
Luego: T
n d ' -
-------------
(n-l)( J a n - JcT,) n _ J
n an ~ a ‘ Ja~ + Ja~,
n 1
E J EM PLO 7. Demostrar que si a,b y c están en progresión geométrica, se
cumple: (a+b+c)(a-b+c) = a*+bl+cl.
Demostración. En efecto, como a , b , c están en progresión geométrica, enton-
b c b ,
c e s: — = r y -r- = r * a = — y c = br
a i> v .
Luego: (a+b+c)(a-b+c) = + b + br)(^ - b +br) = b l f(j; + r)+l]((~ + r)-l]
= b 2f(j: + r)1 - 1] = b'fjr, + i + rz)
= (^)z + b 1 + (br)1 = a2 + b l + c l
EJ EMPLO 8. La suma de tres números en P.O. es 70, si se multiplican los
dos extremos por 4 y el intermedio por 5, los productos están
en P.A. Hallar la sucesión geométrica.
Solución. Sea la sucesión geométrica: la n ) = -fl- : a : arSólo fines educativos LibrosVirtual

555. 542 Capitulo 8: Sucesiones
* — + a + ar = 70 ~ af1 * r + r *j = 7 0 (1)
r r
Sea la sucesión aritmética: = 4(— ) , Sa , 4ar
* r
* 5a - 4(— ) = 4ar - 5a , de donde: 2r*-5r+2=0 +-+ r=2 o r=l/2
r
Sustituyendo ambos valores en (1) se obtiene: a=20
ia„} = 10 : 20 : 40 o ía„> = 40 : 20 : 10
EJEMPLO 9. Tres números diferentes cuya sima es igual a 93 forman una P.
C. También se pueden c o n s i d e r a r como el primero, el segundo y
el sétimo términos de una P.A. respectivamente. Hallar el producto de tales
núnero s.
Solución. Sean los números en P.G.: a : a+d : a+6d
Entonces: a + (a+d) + (a+6d) = 93 ** 3a+7d = 93 (1)
Además: — t ...? = - 2 ^ - - (a+d)* = a(a+6d) - d=4a (2)
De (1) y (2) obtenemos: a=3 y d=12 * {an } = 3 : 15 : 75
P = (3)(15)(75) = 3 ,375
EJEMPLO 10. En una P.C. se tiene: a t=2, an-¡=-486 y an=13,122. Hallar la
razón y el número de términos.
Solución. Si an- 3 = -486 * airn 4 = -486 (1)
an = 13,122 - a i r " _J = 13,122 (2)
-J't 1 « n i n n
D iv id ien d o (2) entre (1) se tiene: * = ■ ■log' r J = -2 7 *► r = -3
n-4 -4oo
r
Luego en (1): 2(-3)n'4 = -486 - (~3)n~4 = (~3)5 ~ n-4=5 - n=9
EJEMPLO 11. Dividir 45 en cuatro partes que están en P.G. y tales que el
producto de la primera por (a tercera es al producto de la
segunda por la cuarta como 1 es a 4.
S o lu c ió n . Sean las partes de 45: -2 ; a : ar : ar2 (1)
♦ — + a + ar + ar2 = 45 * a(4 + r * r — Í-JL-) = 45 (2)
r r
- (a/r)(ar) 1 ,
Ademas:
-----------!— - = , de donde: r = 4 * r=2
a(ar*) 4
Sustituyendo en (2): a=6 . Luego, en (1) se tiene: 3 : 6 : 12 : 24Sólo fines educativos LibrosVirtual

556. Ejercicios: Grupo 52 543
En l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l 5> e x p r e s a r l o s p r im e r o s c in c o té r m in o s d e l a s
s u c e s io n e s d a d a s .
En l o s e j e r c i c i o s d e l 6 a l 11, h a l l a r un a fó rm u la p a r a e l té r m in o n -é sim o
de l a s s u c e s i o n e s cu y o s p rim e ro s 4 té r m in o s s e d a n .
1 2 . La suma d e l seg u n d o y q u i n t o té r m in o s d e una P .A . e s i g u a l a 1 4 , l a s u ­
ma d e l t e r c e r o y s é tim o té r m in o s e s i g u a l a 8 . H a l l a r e l té rm in o c i n ­
c u e n ta .
13- La suma d e l t e r c e r y s e x t o té r m in o s d e un a P .A . e s i g u a l a 3 , y l a suma
d e s u s c u a d ra d o s e s i g u a l a 4 5 , h a l l a r l a s u c e s i ó n .
1 4 . D e te rm in a r e l v a l o r d e k de modo que l a s u c e s i ó n : ( 8 k + 4 ,6 k -2 ,2 k -7 1 s e a
a r i t m é t i c a .
15- La suma d e t r e s té r m in o s e n P .A . e s 27 y s u p r o d u c to 5 0 4 . H a l l a r l a s u ­
c e s i ó n .
1 6 . D i v i d i r 20 e n c u a t r o p a r t e s que e s t á n e n P .A . y t a l e s que e l p r o d u c to
d e l a p r im e r a p o r l a c u a r t a s e a a l p r o d u c to d e l a se g u n d a p o r l a t e r c e ­
r a como 2 e s a 3*
17* L as c i f r a s de un número e n t e r o p o s i t i v o que t i e n e t r e s d í g i t o s e s t é n en
P .A . y s u suma e s 2 1 . S i l o s d í g i t o s s e i n v i e r t e n , e l nuevo núm ero e s
396 u n id a d e s m ayor que e l núm ero o r i g i n a l . H a l l a r e l núm ero o r i g i n a l .
18. S i l o s núm eros p o s i t i v o s a j . a j y a , e s t á n en P .A . y l o s núm eros p o s i t i ­
v o s b , , b j y b» e s t á n e n P . G . , y s e s a b e que a ,= b » = 3 , a ,- b a = 6 y a , = b , , h a
1. {2n*+1>
2 . « - I ) n+1( 2 n - 1 ) l
a i 2 a
3 . a ,= 1 , a n+1 = a „ + 3
4 . a i= 1 0 0 , a n + -| = ^ ( a n - 2 )
5 . a ,= 3 , a i = 1 , a n+2=an+i - a n , -VaeH
6 . 4 , 8 , 1 2 , 1 6 , . . 9 . 2 , 6 , 1 0 , 1 4
....................
1 0 . ( 1 x 2 ) , - ( 3 * 4 ) , ( 5 » 6 ) ,- ( 7 x 8 ) , . .
n JL ± _L J L
3 * ' 4 ’27 ’ “ 18
....................
7-....- 2 , 7 , 2 2 , 4 3....................
A 1 11 1
**• 2 ’ " 3 ’ 4 ’ 5 ’ '
3
l l a r e l v a l o r d e : £ ( a ¿ + b j ) .Sólo fines educativos LibrosVirtual

557. 544 Capitulo 8: Sucesiones
1 9 ­
2 0.
21.
2 2.
2 3 .
2 4 .
2 5 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
2 9 ­
30 .
H a l l a r e l núm ero d e té r m in o s d e l a p r o g r e s i ó n : 3 2 4 ;- 1 0 8 ;3 6 ; . . . ;
D adas l a s s u c e s i o n e s : (a n } = 1 /3 ,1 , 5 / 3 , 7 / 3 , . . . , a n y ) b n l = l / 5 , 4 / 5 , 7 / 5
..........
>bn í h a l l a r : a ) b ) 1 5 (2 n + ^ n )
En una P .O .: a , = 1 /2 7 y a , = l / 2 4 3 ; h a l l a r l o s t r e s p rim e r o s té r m in o s d e
l a p r o g r e s i ó n .
E l p ro d u c to d e t r e s núm eros en P .G . e s 216 y l a suma de l o s p r o d u c to s
que r e s u l t a n tom ado s d o s a d o s e s 1 5 6 . H a l l a r l o s n ú m e ro s.
Una P .A . y o t r a P .G . t i e n e n p o r p r im e r té rm in o 3 . s u s t e r c e r o s té r m in o s
i g u a l e s y l a d i f e r e n c i a e n t r e e l se g u n d o té r m in o de l a P .A . menos e l s e
gundo té r m in o d e l a P .G . e s 6 . H a l l a r e l se g u n d o té r m in o d e l a P .G .
La suma de t r e s núm eros e n P .A . e s 1 5 . S i e s t o s nú m eros s e au m en tan en
2 ,1 y 3 r e s p e c t iv a m e n t e , l a s sum as q u e d an en P .G .. C a l c u l a r l o s núm eros
En una P .G .: a , * 3 , a n+3= -38 4 y a n = 3072. H a l l a r l a r a z ó n y e l núm ero d e
t é r m i n o s .
H a l l a r c u a t r o núm eros p o s i t i v o s qu e c o n fo rm a n una P . G . , t a l e s q u e :
a l + a,= 1 5 , a ,+ a ,= 6 0 .
T r e s m ad re s i m p a c ie n te s e s p e r a n c o n s u l t a co n n iñ o s d e 1 , 37 y 289 d i a s
d e n a c i d o . E l m édico p a r a e n t r e t e n e r l a s , l e s p id e q u e a v e r i g ü e n d e n t r o
c u a n to s d i a s l a s e d a d e s d e s u s n i ñ o s e s t a r á n e n P .G .
D e m o stra r qu e s i t r e s núm eros m ,n ,p c o n s e c u t iv o s p e r te n e c e n a l a v e z a
u n a P .A . y a u n a P .G . y o cu p an e n e l l a s e l mismo l u g a r , e n to n c e s s e cum
, n - p p-ra m-n „
p i e : m .n .p = 1
S ea l a s u c e s i ó n (a n ) , ncH, d onde a n = l / / n . Usando p r o p ie d a d e s d e núm eros
r e a l e s p r o b a r q u e p a r a c u a l q u i e r n , s e t i e n e :
2 / n+1 - 2 / ñ < -1- < 2 / n - 2 /ñ-T
/ñ
Una s u c e s i ó n ( a n ) de núm ero s r e a l e 3 c u m p le : a n+-|-2 a n +an _ i » 1 , b 2
a ) D e d u c ir u n a e x p r e s i ó n d e an e n té r m in o s d e a i , a t y n
b ) D e m o stra r p o r i n d u c c i ó n , que l a e x p r e s i ó n h a l l a d a en a ) e s v á l i d a pa
r a to d a n i. 2 .
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

558. Sección 8.3: Sucesiones Monótonas 545
SUCESIONES MONOTONAS
DEFIN ICI ON 8.2 Se dice que una sucesión {an ( e s :
a) Creciente si y sólo si: an 4 c¡n+l>
b) Estrictamente creciente si y sólo si: an < an+j, VncN
c) Decreciente si y sólo si: an >, an +I > VntN
d) Estrictamente Decreciente si y sólo si: an > an+j, VncN
Si se cumple cualquiera de estas cuatro propiedades, se dice que la
su c e s ió n e s monótona.
EJEMPLO 1. Averiguar si la sucesión es creciente, decreciente o
monótona.
Solución. Supongamos que an -4 an+¡ ■* ^ ¿n+3^
Como n>0, muítiplicamos cada extremo de (1) por (2n+l)(2n+3)
* n(2n+3) 4 (n+l)(2n+l) *-*■ 2n*+3n 4 2nl>-3n+I (2)
La igualdad (2) es válida VncN ya que el extremo derecho es igual al extre­
mo izquierdo más uno.
Por tanto, la desigualdad (1) es válida y asi la sucesión es creciente.
- >n+J1
EJEMPLO 2. Determinar si la s u c e s ió n -i' (■ e s c r e c i e n t e , d e c r e c i e n t e
- í(-l)n 11
non { ^ )
o no mono tona.
Solución. La sucesión puede escribirse:
, _ , L 1 1 ( - D n+1 < - D n+2 (-1 )n+3
n ~ 1 ’ 2 ' 3 ' 4 ’■■■ ’ ñ ’ ñ+l ’ ñ+2
de dende: a t =J , a¡=-l/2 , a,=l/3
Vemos que a , > a , , pero a , < a s , entonces consideremos tres elementos consecut¿
vos: an , an+l , a n+2
Si n es impar - a„ > an+1 y an+i < an+2
Si n es par - a„ < a n+1 y an+J > an+2
Luego, la sucesión no es creciente ni decreciente y por lo tanto no es mono
tona.Sólo fines educativos LibrosVirtual

559. 546 Capitulo 8: Sucesiones
. s~ ^
no monótona.
EJEMPLO 3. Determinar si la s u c e s ió n jjjjjrí r es crecienle, decreciente o
Solución. Los elementos de la sucesión se pueden escribir:
. , , , 3 5 n+1 n+2
lan ) - 2 , l , $ , 7 2n_1 , 2n+l
Vemos que: a¡=2 y ax=l , y asi: a¡ > a2
r- . „ n + l ^ n+3 . . .
En general: an >„ an+¡ + >,. ¿-j- (1)
- (n + 1) (2n+l) >, (n+2)(2n-l) «- 2o1+3n+2 >, 2nl+3n-2 (2)
La igualdad (2) obviamente es válida VneN. Por lo tanto, la desigualdad (1)
es válida y asi la sucesión dada es decreciente.
DE FINICION 8.3 El número C se ¡lama cota inferior de la sucesión
la n } s i C £ an , para todo entero positivo n, y el
número S se llama cota superior de la sucesión Jan } s i S > a rl, VneN.
Por ejemplo en la sucesión:
, , _ J 2 3 ± n
10,1 3 ' ó ' 7 ’ 9
....................2n+l
El número O es una cota inferior, lo mismo 1/3, y cualquier otro número que
sea menor o igual a 1/3 es una cota inferior de esta sucesión.
Para la sucesión jj-J cuyos elementos son:
,,.111 1
ian ) - 1 , 2 • 3 ■ 4 n
El número l es una c o ta s u p e r i o r , 5 también lo es. Cualquier número que sea
mayor o igual a 1 es una cota superior de esta sucesión y cualquier número
negativo servirá como una cota inferior.
Vemos entonces que una s u c e s ió n puede tener muchas cotas superiores o infe­
riores.
DE FINICION 8.4 Si m es una c o ta inferior de una sucesión {a l y
si C < m, entonces m s e llama máxima cota inferior
de la sucesión. Análogamente, si M es una c o ta s u p e r i o r de una s u c e ­
s ió n la n ) y si Ai < S, entonces Ai se llama la mínima cota superior de
la s u c e s ió n .Sólo fines educativos LibrosVirtual

560. Ejercicios: Grupo 53 547
La máxima c o ta inferior de j e s 1/3 ya que toda cota inferior de la su
c e s ió n es menor o igual que 1/3. La mínima cota superior de ¡a sucesión j —
|n
es 1 ya que toda cota superior de la s u c e s ió n es mayor o igual que 1.
DEFI NIC ION 8.5 Una sucesión {an } s e dice que está acotada si y
sólo si tiene una cota superior y una inferior.
Ya que la sucesión jjjJ tiene una cota superior 1 y una cota inferior 0, es­
to es: 0 < — < 1, VneN, entonces se dice que está acotada. Esta sucesión es
n
también una sucesión decreciente y por tanto es una sucesión monótona acota
da.
La sucesión {2n } está a c o ta d a inferiormente por 2, pues 2 2 , VneN. No e­
xiste cota superior, porque no hay un número fijo S que satisfaga: 2n $ S ,
-MeN.
EJERCICIOS: Grupo 53
Dis c u t ir las cotas y monotonía de las su c esio n es s i g u i e n t e s.
1- f é * } 2- f e s k * } 3- { 777;}
• $} - HW 6- M
7- { 7 } 8 ‘ (nt + n} 9 ‘ {1 3 5 - i . (2 n -1 ) }
10_ fl 3 5 ( 2 n - l )1 r _ n * 1 12.
l J l n + 1J '-/mr ^T v
13' t “ ~¡} 1A’ 1(- I)n -/H' 15‘
1 9 . jL ogí*2 — ) | 2 0 . | ( - 1 ) n - ^ } 21 ■ iC osrnr}
4
2 2 . D e m o strar que l a s u c e s i ó n : a = ( c 11 + d n ) ^ n * con 0 < c < d , e s a c o t a -
da y m onótona.Sólo fines educativos LibrosVirtual

561. 548 Capítulo 8: Sucesiones
LIM ITE PE UNA SUCESION
________________________________^
Recordando la definición 8.1, convendrá marcar los núneros a i , a t , a 9>.
. . . , a n sobre una recta numérica. Para evitar confusión marcaremos los pun­
tos asociados con los núneros de la sucesión mediante símbolos que les re­
presenta en la sucesión.
a, Oj a, an
" 0 ° 0 * f(n)
De esta manera podemos establecer una correspondencia entre los términos de
una sucesión de núneros y un c o n ju n to d e p u n to s sobre la recta numérica.
Para estudiar el comportamiento de una sucesión de núneros y de los puntos
correspondientes a ellos, consideremos los siguientes ejemplos:
a) ian ) ^ 1 , 2 ■ 4 • 8 ’ 16 ’ ' ' ' ' ’ ¿n-l
a5 a» a, a* a,
. U n
. . . I— O O O " O ' ■ ■ — 0 ■ I.
O II.» n
0 A 1 L 1 1
16 8 4 2
Los puntos que corresponden a términos sucesivos de la s u c e s ió n s e apro­
ximan cada vez más a l p u n to 0 a medida que n crece, es decir, tiende
a cero (an * 0) a medida que n crece.
k , i i 1 2 3 4 n
b) <an l ~ 3 ’ 5 ’ 7 ' 9
........................ 2ntl
Un trazo de algunas parejas ordenadas en esta sucesión se muestra en la
figura siguiente.
1
2
an
(2,2/5)
(3,3/7) <4’4/9)
(5,5/11)
t
(1,1/3)
• T T 1
" t
T
i
! !
i i
i l
l 1
l 1
i i
1
1
1
1
1
I
1 t
0 J 2 3 4 5
Ahora tracemos en un eje horizontal los puntos correspondientes a los ele­
mentos sucesivos de la sucesión.Sólo fines educativos LibrosVirtual

562. Sección 8.4: Limite de una Función 549
3
Vemos que los elementos sucesivos de la sucesión se aproximan cada vez más
a 112 cuando n crece. Se observa también que fijada la distancia e > O aire
dedor de 1/2, los números an = ff^j se encontrarán dentro del intervalo:
< -j - e , j + e> para los índices n 5-6 > S = k. Obviamente si se varía la
distancia e alrededor de 1/2, los números an se encontrarán en el mismo in­
tervalo pero con otro índice n/6.
Expresando esto de otra manera, podemos hacer \an~l/2\ menor que cualquier
€ dada tomando n bastante grande. Es decir, para e > O existe un número k>0
(que depende de e) tal que \an~l/2\ < e siempre que n > k.
En general, si existe un núnero L tal que |an~L¡ e s arbitrariamente pequeño
para n suficientemente grande, decimos que ¡a s u c e s ió n |a n } t ie n e límite L.
± J>
9 11
DE FINICION 8.6 Una sucesión (an } s e dice que tiene1ímite L, si
para c > 0 existe un núnero k>0 ta lque |a n -L | < e
para todo entero n > k, y escribimos:
l im an = L
n++a
o equivalentemente
Si lim an = L ++
n++~
Ve > 0, s í c > 0 | s ín>k •* |a n - L |< e
Llamaremos entorno del número L al conjunto de números reales que satisfa­
cen la desigualdad:
|a n - L| < e *-► L -e < a n < L+e
Gi a i Qj an a*
L-e L L+e
‘f(n)
Por ejemplo, para L=3 y e=0.1, el entorno del número 3 es el intervalo:
<2.9,3.1> .
Geométricamente, el entorno del núnero L representa el intervalo <L-e,L+e>
Si los términos de la sucesión se representan por puntos del eje real, c u a l
quier entorno del número L que tomemos, comenzando de un núnero determinado,
todos los términos de la sucesión caen en este entorno y no salen de él,con
tinuando acumulándose alrededor del punto L, que representa el límite de laSólo fines educativos LibrosVirtual

563. 550 Capítulo 8: Sucesiones
sucesión numérica.
EJEMPLO 1. Dada la sucesión: an=l/n, demostrar que: lim an = O
Demostración. Apoyándonos en el principio de Arquímides que dice: "Si r es
un número real positivo entonces existe un número natural n
tal que 1 < nr, esto es: O < — < r"
M n
Entonces, dado e > O existe un número natural k > 0 tal que: 0 < < e
De modo que si considéranos n í ,k, tenemos: -p- ^ -jj
E sto e s : 0 < E> Vn>k • Luego, por la definición 8.6: |-i - 0| < e
Lo que demuestra que: lim an = 0
n -*•<*>
EJEMPLO 2. Usar la definición 8.6 para demostrar que la sucesión ^ n + j }
tiene límite 1/2.
Demostración. En efecto:
(1) lim an = ■— «-► ¥z > 0, 3k > 0\si n > k * ~ < e
n+<*>
(2) I— — - —I = i— —— I = — —
Xi> <2n+l 21 14n + 2' 4n+2
(3) Debemos encontrar un número k>0, tal que si:
1 1 ~ 2
k > 0 -»■ -5— s < e , de donde: n >
4n+2 4 e
1 ~2
(4) Por tanto, si n > k •* k = — . La definición 8.6 es válida.
4e
Por ejemplo, para c=l/8, obtenemos: k=3/2 * _ ~j¡\ K jj < Vn>3/2
En efecto, si tomamos n=2 + | ^ j - - | | = |y g | = Jq < J
EJEMPLO 3. Si a = 4^7f y l im a = L, hallar el mínimo entero k tal que
n 3n+3 n n
s i n > k, entonces: ~ L| < 0.005
Solución. En el ejem p lo 1 se demostró que lim(l/n) - 0. En general si c es
un número real finito, entonces: lim (c/n) = 0
n*"
(1) Aplicando esta propiedad evaluaremos L dividiendo numerador y denomina-
de an entre n.Sólo fines educativos LibrosVirtual

564. Sección 8.5: Teoremas sobre Limites 551
„ . , , ■ 2 + 6/n 2 + 0 2
Entonces: L = l un
-------------- = ~T~T~d = ~3
n-*« 3 + 3/n
t n \ 12n+6 2^i 12n+6-2n-2i _ 4
' ' '3n+3 " 31 = 1 3n+3 1 ~ 3n+3
(3)( Luego, si n > k ~ ^ < e ~ n > ^
(4) Para e = ^ . obtenem os: n > 265§
Dado que n > k, el mínimo entero es k=265.
EJEMPLO 4. Demostrar que: lim ■L +3n f = ~ ~3
n-*-» *• -*
Demostración. En efecto:
(1) VcX), akX)|S¡ n > k - < e
i 5 -n i . _ i15-3n+2+3n, 17
{¿) ' 2+3n 31 ~ 1 3(2+3n) 1 ~ 6+9n
(3) Luego, si n > k - < e - n > -
(4) P or tanto, necesitamos elegir k = p a r a p r o b a r que:
. . í 5 - n i _ 1
l 2 + 3 n j " 3
f l - * a a L J
TEOREMAS SOBRE LIM ITES
TÉOREMA 8.1 (Teorema de Unicidad)
Si lim a = L , y lim an - L 2, se verifica que: L , = L ,
Demostración. En efecto:
(1) Supongamos que L¡ f L x - |L ,-L, | > 0
(2)Parae^c/2 ■* ak, > 0 |S i n > k , -*
lan ' L ‘l
< Ei =e/2
ak, > 0 |S ¡ n > k j ■*
l“n ‘ < 2 l L *
- L,l
(3) ParaCi=e/2 -»akj > 0 1Si n > k , —
lQn ' L *l
< El =
c/2
akj > 0 |S i n > k l -*|a „ - L , | - Lzl
(4) De (2) y (3) para n > m a x t k i . k i l , el mayor entre dos valores, tenemos:
lan - L i| + |a n - L i| < |L i - L i|
(5) Pero: | a n - L , | + |a n - L z | = |L , - a n | + |a n - L*| i- |L , - L j |
(Desigualdad Triangular)Sólo fines educativos LibrosVirtual

565. 552 Capítulo 8: Sucesiones
(6) Combinando (4) y (5) obtenemos: |L, - L2 | < |L1 - L 2 |
(7) La hipótesis (1) conduce a un absurdo, por tanto: L ¡ = L z
TEOREMA 8.2 La sucesión constante {c} tiende a c como su límite.
TEOREMA 8.3 Lim c(a ) = c.Lim a
TEOREMA 8.4 Lim (an + bn ) = Lim an + Lim bn
H'*'00
Demostración. En efecto:
Sean: Lim an = L z y Lim bn = L 2
n -*-<*>
Dado un e > 0, usando la definición de límite para cada caso se tiene:
(2) Para e2= e/2 ■* akz > 0 | s ¡ n > k x ->• |a n - L j < E!
(3) Para e2= e/2 ■* afc2 > 0 | s i n > k z » |a n - L 2 | < e2
(4) Luego, si n > mwc{lc1( k 2} | C + bn )-(L1 + L z) ¡ < e2 + e2 = e
(5) Pero: |( a „ - L J + fbn - L J | 4 ¡an - L 2| + ¡ bn - L 2|
(6) Combinando (4) y (5) se deduce que:
lan " L il + lbn ” l íI < e • Vn>k, donde k=max{k1,kz}.
(7) Por tanto, se concluye que: Lim (an + bn ) = L t + Lz = Lim an + Lim bn
n->" n
TEOREMA 8.5 Lim (an )(bn ) = (Lim an)(Lim bn)
n-*-“ n-” ° n-*-"
Lim a„ .
an 1 i'in
TEOREMA 8.6 Lim (-r~) = ■ . , si Lim bn i 0
O , , L i l i l í D n •*
n-»-“ n n n-*-“
n*“
DEFINI CIO N 8.7 Si una sucesión tiene un límite L, se dice
que ¡a s u c e s ió n e s c o n v e rg e n te , y decimos que an
converge a L (se denota an =* L).
Si la sucesión no tiene el límite L se dice que es divergente.
EJEMPLO 4. Determinar si la s u c e s ió n a = es convergente o diver­
gente
S o lu c ió n . Sea L = lim a * L = lim ? n .— = 1 ¡m -
------------------= -§~2 = -f-
rt-*
u - * - » ~ - - 1 1 tu - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - — c_ñ
n n-*“ 5nz-6 n~" 5- (6/n1)
Luego, la sucesión an es convergente, esto es: (an } -*■ L - 3/5Sólo fines educativos LibrosVirtual

566. Sección 8.5: Teoremas Sobre Limites 553
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJ ERCICIO 1. Se define la sucesión bn=3n1-2n y se tiene la sucesión
an =0,2,6,12,20,... . Si ahora se define la sucesión
c_ = — , hallar: lim c„
n h n
n n-n»
Solución. Hallamos el término n-ésimo de an por el método de las diferen­
cias sucesivas: 0 2 6 12 20
2 4 6 8
2 2 2
Como la diferencia constante se obtuvo en el segundo intento, la ley de for
maqión del término n-ésimo de an está dada por la ecuación: y=an1+bn+c
Si n=l + 0=a+b+c ; n=2 + 2=4a+2b+c ; n=3 + 6=9a+3b+c
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: a=l , b=-l , c=0
Entonces: an = n*-n
Si L = lim cn + L = lim
3n1 - 2n
_ . JI-1 . ' V n _ 1
— i tm n n — ( im ' r “
o n -z o o /
n**> 3 - 2/n
EJ ERC ICI O 2. Hallar el lim
n-M»
/9n1+5n-4
5 n+7
Solución. En este caso debemos dividir los términos del denominador entre
n y los del numerador entre: n = /n * .
Á + 0 - 0 3
— L = lim
/9 + 5/n - 4/n1
5 t U n 5 + 0
EJ ERCICIO 3. Hallar: lim (/n+1 - / ñ + 1)
Solución. Sea L lim [(/n+l+l)-/ñj = lim
n-**> n-Mo
[(/ñTi+l)-/ñH (/ñ ñ+l )+/ ñ]
(/n+1+1) + Vn
- i.„ (/■” +Í+l)'-(/ñ)1 _ 2 + 2/ñ+i
= lim ■ — - i im
-------------------——
n-«» l+/ñ + /1+n n+~ 1 + / ñ + /n+1
Dividiendo el numerador y denominador entre n i se tiene:
0 + 2 / T To
L = lim
2/n1 f 2/1 + 1/n
n-*» 1/n1 + /l + A + 1/n 0 + 1 + /l + 0
= 1
EJ ERCICIO 4. Hallar: lim i (l1 + 2* + ... .+ n1)
n+<* ,n*Sólo fines educativos LibrosVirtual

567. 554 Capitulo 8: Sucesiones
n j . j
Solución. La suma: E 1’ - y (n+1)1 + L = lim (— ¡l.^rín+1)1
i=l n+~ n q
- L = lim ÍUllIl = í lim (2-1-1)* =4- lim (1 + l)* = - f
4n* 4 n~ " 4 n ~ " 4
E JE RCICIO 5. Hallar el límite de la sucesión: i'/ñ'-ñ' + n i , ncN
Solución. Haciendo uso de la identidad: a'+b3 = (a+b)(al-ab+b*), se tiene:
s/n i_n t + n - (3¿n*-n' + n)('/(n*-n')2 - n.'/n'-n' n*)
'/(n'-n3)' - rc. 3/ ^ 3 + n*
_
________( ‘/ n ^ - n 3,)* *■ n3 _ n _______________
n .3/n+2n3 + n 3 - n . 3/ n 3- n 3 + n 3 3/ n + 2 n 3+ n 3 - 3/ n 3- n 3 + n
* L = lim ( Vn3-n3 + n.) = 1 iiim
rr*" n<~ 3/n+2n*+n' - 3/n2-n3 + n
Dividiendo cada término del rumerador y del denominador entre n, se tiene:
L - lim — ■ ■
............ 4... = — ........ .............
n*~ 3/l/n2 + 2/n + 1 - '/ l / n - 1 + 1 '¿0 + 0 + 1 - '¿O - 1 + 1
de donde: L = 1 / 3
EJ ERC ICI O 6. Sea la sima de n términos de la sucesión:
1(2n-l),2(2n-3),3(2n-5).4(2n-7),. . .1 y sea S, la sima de
n términos de la s u c e s ió n : í^ -^ - , 4a- , 5 a /0
a a a o J
u . i i • S , + S 2 - n'la
H a lla r : lim —¡
-z -------------
n+~ n 3
n n n
Solución. S, = y.k[2n-(2k-l)) = ( 2 n + l ) T k - 2 T k ?
. k=l k=l k-1
= (2n+l)2(n+l) - 2(n+D(2n+l) = ~(n+l)(2n+l)
Sl = £ = | Z ^ - - 2 - a 3 E-c3 -2(n+l) - « - ^ ( n + D a n + l )
k=l a k=l a k=I ° a o
- S t =-S-2 - -* S , + S 2 - ^ = 2 f n + m 2 n + J K i - a i j
S , * S , - n*/a w i l a* U m + l ) ( 2 + h =
o _ n n o
EJERCICIO 7 . Sea S t ía suma de io s rt primeros términos de i a sucesión:
' { ¿ 2 (0> ’ Á (l} ’ M < 2 > ’ •••} y ¡o sima de los nSólo fines educativos LibrosVirtual

568. Sección 8.5: Teoremas Sobre Limites 555
primeros términos de la sucesión: . J . Hallar:
. . { nSt 2n+3 \
l,m ( ~ s ¡ ñ + r)
n+est \ * /
n 1 n n 1
Solución. Tenemos: S¡. = 'Z,
------------------- (Z) y S2 = £
k=0 (k+l)(k+2) k k=i
d ) í (n) = - J — n ! ^
---------
' * / /L-xtUl/x1)! ' L-'
(k+l)(k+2) ' k ' ~ (k+l)(k+2) k!(n-k)! (k+2)!(n-k)>
(n+l)(n+2) 'k+2
(n+2)! _ 1 .n+2.
(n+1)(n+2)(k+2)![(n+2)-(k+2))
1 n 9 I n+2 +9
Sl = (n+1)(n+2) {^qK+2* = (n+1)(n+2) k * (Cambio de índice)
n+2
- s , = ' 1
i r v (n+2) . (n+2) - (n+2) i
(n+1) (n+2) L é o fc 0 1 -I
n n+h , .
Pero: j t O = 2n - H(nt ) = 2 (T.B.l)
r=0 r=0
_» 5
--------1----- T 2n+13 - 1 - (n+2) 1 = — __~ ^ ~ 3
(n+1)(n+2) L ( ; J (n+1)(n+2)
(2) (k+1 )(k+2) = k+í " k¿2 * S * = ^ ~ (k^2 ~ k+I) = ~(ñ+2 " Ó+2') (S’4)
~ S2 = ”
Í f n +2J
, , , . / nS, 2n + 3 \ r 2 ( 2 n+ 2-n-3> 2 n+3 1
Luego: L = ¡ , m ^ - = ! .m
------I m - - - ^ j
' 1 ' ri-*-co l. j
, . n/n + 3, . . A + 3/n w 0. „
= iim -2( ■ - j) = lim
-(--------------)(-2) - -2
n-*-® . 1 + 1/n
EJERCICIO 8. Sean: S 2 = (h+l)(1k)+2)(k+3)(k) y S* = ñT2(k-2}
Hallar: lim (Sj - S2 + ^ ^ )
o , , , , (n+l)(n+3) ,n. _ (n+l)(n+3) n!
Solución. (1) :
---—------1— (%) ------------- --------------
(kfl)(k+2)(k+3) (k+l)(k+2)(k+3) k!(n-k)!
(n+3)! _ 1 ,n+3¡
( n + 2 ;( k + 3 ; / ( (n + 3 ;-( k + 3; )! n ¿ K JSólo fines educativos LibrosVirtual

569. 556 Capítulo 8: Sucesiones
S* = M 2"+3 - 1
c - J_ n'T, n+2) - 2 V ’2 / n + 2 , 2 ,-S'+2t - 2n+3
* n+2 f-‘¿ k - 2 ) ~ n+2 k ’ ~ n+21 ' " n+2
k=2 k=0 '
Luego: L = lim (Sl - S* + ^ ) = lint = -1
EJERCICIOS: Grupo 54
En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s , u s a r l a d e f i n i c i ó n de l í m i t e p a r a p r o b a r que
l a s u c e s ió n d ad a t i e n e l í m i t e h a ll a n d o k p a r a e d a d o .
1.
4.
{ ¿ i} - ™
( Ü í j •
2.
{ i f e } - «
{jS g } • l - 1/2
{ J . L =0
6 - {^ J •
En l o s e j e r c i c i o s s i g u i e n t e s d e te r m i n a r s i l a s u c e s i ó n d a d a e s c o n v e rg e n te
o d i v e r g e n te . S i l a s u c e s ió n c o n v e r g e , h a l l a r s u l í m i t e .
7. A , A , . . . }
9. {j , 2 ,-f . - ¡ f . ...}
12. l / ñ í i - /ñ}
1 3 . l/n * -5 n + 6 - n i
1 4 .
1 5 .
16.
w 7 i J
I . "» 1
V 2n * + V
17- Sea lim (■ . ) = L. H a l l a r e l m enor num ero n a t u r a l k t a l q u e :
2n+1
- L| < „ * n > k
18. Se t i e n e una P .A . no c o n s t a n t e , cuyo p r im e r té r m in o e s a ,= 1 y donde a ¡ ,
a i* y a >* so n té r m in o s c o n s e c u t iv o s de un a P .G . de r a z ó n r . H a l l a r :
Lim f a n * n r >)
n-*~> \ n /
19. Sea l a s u c e s ió n {an > d e f i n i d a p o r : a n+1= /3 a n » a ,= 1 . H a l l a r lim a n .
n-><®Sólo fines educativos LibrosVirtual

570. Ejercicios: Grupo 54 557
«« tt , t \ ■ f (n + 3 ) l ( 2 - 3 n ) ( n - 2 ) ( 2 - n ) "i * .. . I^ ^ / 1 x k
2 0 . H a l l a r : a ) lim -— —±-L + 1 Í2 í ; b ) lim ¿2 (•=)
n->“ L ( n - l ) ( 2 - n ) 2 (n + 1 ) 3 J n-*® k=n
2 1 . Em pleando l a d e f i n i c i ó n de l í m i t e de un a s u c e s i ó n , d e m o s tr a r q u e :
a ) lim l 1 + b ) 3
Lg + 7 (1 0 ) J 7 n-*-=> U - . 1 0 n + 2 J
2 2 . S e a n : A = lim [2 + (-1 A ^ ) ] . B=lim — y C=lim (■^ | S . ) . H a l l a r :
n-*-® n-*-® — + 2n n-*-«
n
A+B+C•
2
2 3 . Sea l a s u c e s i ó n {a^} d e f i n i d a p o r : a 0=4 y a ^ = a n-1 + —n’ n ^ ’ H a l l a r :
lim a ^
n
n-M»
2 4 . Se d e f i n e l a s u c e s i ó n bn =2n2- 5 n y s e t i e n e l a s u c e s i ó n {an } = - 2 ,7 r2 2 ,4 3 ,
7 0 , . . . - S i cn = (a n ) : ( b n ) , h a l l a r : lim c n -
n-*-=
+ a n - 1 +an -2
25- Sea l a s u c e s i ó n { a ^ , neZ d e f i n i d a p o r : a ,= 0 , a ,= 1 , a n = g >
n ^ 3
2 2 (-1)
a ) D e m o stra r p o r in d u c c ió n m a te m á tib a q u e : a = — p p y , s i n ^ , 2 .
b ) H a l l a r : lim [a - - / " ^ +3 ) ^ _ n - |
n-»-® *- n n ( / n 2+5 + n ) J
2 6 . Dada l a s u c e s ió n l a n ) , neN d e f i n i d a p o r : a ,= 1 , a 2 = l / 2 y
a n = + a n - 2 ^ ’ n ^ 3 > d e m o s tr a r q u e |a n - a n _ 1 | = (j)n 1 , -VneN,
n > 2
27- A n a l iz a r l a c o n v e r g e n c ia de l a s u c e s i ó n {a } d e f i n i d a de l a s i g u i e n t e
m an era: a : = -6 /5 , a_ =
------------------- , n >/ 2 .
3 + [[an_1 Il
2 8 . S i {an l y {bn } so n s u c e s i o n e s e n R t a l e s que lim a n = AeR y lim bn =BeR
n-*»
d e m o s tr a r q u e : lim ( a n ) ( b n ) = AB.
rr*“
29- Em pleando l a d e f i n i c i ó n d e l í m i t e d e un a s u c e s i ó n c o n v e r g e n te , p r o b a r
q u e : S i neN y t e R |- 1 < t < 1 ■* lim t n = 0
n>»
5 0 . S ea Sj, l a suma de n t é r m in o s de l a P .A . c u y o s p r im e r o s t é r m in o s so n :
2 ^ - 1 > h a ^ 3 t _ H a lla r ¡ Um S„
) ( 2 n - l ) , 2 ( 2 n - 3 ) , 3 ( 2 n - 5 ) , 4 ( 2 n - 7 ) , . . . } ; h a l l a r : l i m Ü »
n+<*> n3Sólo fines educativos LibrosVirtual

571. 5 5 8 Capítulo 8: Sucesiones
I r - , -2_ -2- -_2_ . . . i h a l l a r : lim Sn
[1x2 2x3 * 3x4 ’ 4x5 ’ J * «
33- S i S i , S j , . . . , Sp so n l a s sumas r e s p e c t i v a s d e n té r m in o s de p r o g r e
s i o n e s a r i t m é t i c a s cu y o s p r im e r o s té r m in o s so n 1 , 2 , 3 , A , . . . , y c u y a s d i -
1 P
f e r e n c i a s so n 1,3,5,7, ■ ■ • • ; h a l l a r : lim (— ) y 7 Sn-
n - “ n k=1
3 4 . S ean : l a suma de n t é r m in o s de l a s u c e s i ó n :
{
1111 1
-—— , ■=—r , " r, , 7m i • • • y S, l a suma de n té r m in o s de l a s u c e -
1x3 3x5 5x7 7x9 J
ción: |i(q) . > ^ ( 3) > ^ (3) ’ } ’ hallar! lim + ■%)
L J n-*« 2
35* S i S e s l a suma de l o s n p r im e r o s t é r m in o s de l a s u c e s i ó n { a „ í = ín (-§ )^ n }
n 3
c a l c u l a r : lim (Sn + ^ a n ) .
n-*-m
_2
36. Sea íapj> l a s u c e s i ó n s e núm eros r e a l e s , e n l a c u a l a ^ =
( 2 k + 1 )( 2 k - 1 )
S i Sn = 2 a k » h a l l a r : lim Sn
k=1
3 7 . Dada l a s u c e s i ó n { a ^ } , keZ + , donde a[c=k2 ( ” ) ; c a l c u l a r :: Lim / ^ \
n *“ V 2n _ 1 . n 2/
s ie n d o : Sn = • (S u g . E x p r e s a r : k 2= k (k -1 )+ k )
k=1 “ ■
38. Sea Sx l a suma de l o s n p r im e ro s té r m in o s de l a s u c e s i ó n :
fn+1 / n ■« n+1 / n \ n+1 / n \ 1 _ ¡n+1 \
{—( 1 ) 1 ~ ( 2 } * — ( 3 ) ” Í y S l = ig ( k - 2 )
H a l l a r : lim
----— *,,'1 ■—
n-^® 2 n 2 (S 2 - S x)
39. Dada l a s u c e s i ó n : |= Í L , -=ÍL , , . . .}
a ) H a l l a r Sn , l a suma de l o s n p rim e r o s té r m in o s de l a s u c e s i ó n .
b) D e m o strar p o r in d u c c ió n m a te m á tic a , l a fó rm u la Sn , h a l l a d a en a ) .
c ) H a l l a r : lira Sn .
n -H*
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

572. Sección 8.6: Series Infinitas 559
SERIES INFINITAS
Sea = a , , a , , a», . . . . , a^, una sucesión y
n '
Sn - X! Qfc = Oí + o , + a2 + . . . + an , una suma. Entonces, la serie infi-
k=0 ^
nita denotada por ^ a . , es la sucesión: t a t , a , + a , , a (+ a1+ a2, .. .. | , donde
k=0 K
el número a, se denomina término k-ésimo de la serie, y el número s , suma
k ■ ' n
parcial n-ésima.
De modo que si convenimos en asignar: s t = a ,
S i — Q o + a x
S i — Q o + fli + Gj
sn = a* + Qi + q z + . . .
la suma (sn ( se denomina sucesión de las simas parciales de la serie X ay
- k=0
Observaciones:
(1) Decir que la serie Z o | t converge al número L es decir que la sucesión
k--0
1sn > converge al número L. Esto es:
™ n
Si X a f c = L -» lim sn = lim X ap■ = L
k=0 n-»” n-»“" k=0
(2) Decir que la serie X a ^ diverge, es decir que la suma {sn } diverge.
k=0 .
(3) Si la serie X o |c converge al número L, entonces L se llama sima de la
k=0 a
serie y escribimos: X a k = L o a, + a , + a2 + ....= L
k=0
oo
EJEMPLO 1. La serie: X 2™ es divergente
k=0 .
En efecto, observamos que la n-ésim a suma parcial viene dada por:
sn = 1 + 2 + 2* +....+ 2n
Como la sucesión í s n > no es acotada (no tiene cota superior) no puede con­
verger, por lo tanto, la serie dada es divergente.
Z
lf
(-1) es divergente
k=lSólo fines educativos LibrosVirtual

573. 560 Capitulo 8: Sucesiones
En efecto, a q u í: s n = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . . . + n , esto es:
'-1 , para n impar: 1,3,5, . . . .
sn =
. 0 , para n par: 2,4,6
.............
Luego, |sn ) tiene dos límites diferentes, en consecuencia no existe lim sn ,
es decir, l s n l no converge. -
Una de las series que tiene muchas apiicaciones se presenta en el siguiente
E J E M P L O 3. L A S E R I E G E O M E T R I C A
a) Si |r| < J *
k=0 1 r
b) Si ¡ r | > 1 * 2Ü r diverge
k=0 =
Demostración. En efecto, una suma parcial de la serie geométrica: j C r k , es
.. ” n k=0
el numero: Sn = 2L, r = l + r + rt + ....+r (1)
k=0
Muítipl¡cando por r se tiene: rSn = r + r* +■ r5 + . . . . r n+* (2)
Restemos ahora (l)-(2), obteniendo:
<l-r)Sn = J - r n+I - Sn = 1 ~J:r
........ . r 4 1 (3)
Si | r | < 1, entonces: rn*^ -* O y, por tanto, en (3): Sn -* ~ j ~
CS
Z
h 1
r = 7—
k=0 i _ r
Para r=l, ut i I izando (1) vemos que: Sn = l + (1+1+1 + . . .)= 1 + n
Por tanto, la serie diverge.
Para r > 1, rfl, utilizamos (2). Como en este caso {rn + J > diverge, entonces
ÍS"} diverge.
e s
* \ ' 2 1
Un caso especial de ¡a serie geométrica es: = 7
------775 = 2
k=0 2k 1 ~ íl¿
Dado que: ¿ (K-) = 1 + ¿ <^-r)
k=0 2 k=l 2 „
Comenzando la sim a en k=l, en lugar de en k=0, obtenemos: 2 ü (^-r) = 1
, k=l 2
cuyas sutás parciales: s t = jSólo fines educativos LibrosVirtual

574. Sección 8.6: Series Infinitas 561
. - i + 1 JL - I I
’ " 2 4 8 16 ~ 16
1 1 1 JL A - M.
s> ~ 2 + 4 8 + 16 ' 32 ~ 32
se ilustran en ia figura siguiente:
1 1 L i i M
2 4 8 16 32
Si Si Sj s, i> í
Podemos observar que cada nueva suma parcial se sitúa a medio camino entre
la suma previa y el número 1.
&i el sistema decimal, ia serie geométrica desempeña un papel importante.
Para comprobarlo, tomemos la serie para r-1/10
y> 1
______1 ___ 1 1_
k=o7? 1 ~ 11X0 k=l 10k 9
Im n-ésima suma parcial de esta última serie es:
Sn = j ^ + — + — + - • • • +
10 101 10* 10
Tomemos ah o ra la serie: — ~k)‘ con ae^,l,2, • • -,91 (41
Las sumas p a r c i a l e s en este caso son:
t - ° z J- a 3 -*■ + ^ 4. + 1 l - Q o
10* 203 10^ 1 2 O1 1(P
Como {Sn} converge, entonces ( s n l es acotada. Esto implica que ( tnf e s aco­
tada. Dado que { fn ( e s creciente, será convergente, esto es , la serie (4)
converge. La suma de esta serie es lo que da sentido a la fracción decimal:
. 0.a1ata,....
EJEMPLO 4. Hallar la fracción generatriz de la fracción decimal 0.136...
Solución. Comenzamos por escribir la fracción decimal como una serie de su
mas p a r c i a l e s , esto es:
0.1363636
---- = 0.1 + (0.036 + 0.00036 t . . . )
103 10* 107
La suma entre paréntesis es la serie geométrica infinita en la que:
36 _ 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

575. 562 C apitulo 8: Sucesiones
/100
_ i + _ ! £ _ _3_
10 990 ~ 22
La serie geométrica aparece naturalmente en muchas otras c u e s t io n e s .
EJEMP LO 5. Una pelota cae de una a l t u r a de 48m y rebota 2/3 de la distan
cía desde la cual cae. Si continua cayendo y rebotando en es­
ta forma, qué distancia recorrerá antes de quedar en reposo.
Solución. La pelota antes del primer rebote
recorre 48m, luego sube y baja una
distancia igual a 2/3 desde la cual cae. Si d
es la distancia que recorre antes de quedar
Z
2 k
- a 3 ^
en donde: a ~^(d8) = 32
Entonces: d = 48 + 2(:
32
48
2/3
k=l
) + 48 + 192 = 24ftn
\ /T\
\ i
\¡
\
i /
1/
1
1 ,n
EJEMP LO 6. Sea an = an-j + 9(j+)'", tti >^J y a,=4. Hallar: lim an
Solución. Hallemos una fórmula para el término an -
Para n-1 Qi = a , + 9(jj¡) = 4 + 9(j¿¡)
n=2
n=3 a , = a 2 + 9(jj¡)3
10*
1
9(10 + W 1 + 10i}
- L + . . . , - L ) = 4
10’ 10'
En la n-ésima suma parcial del paréntesis: ai=l/10 y r=l/10
Entonces: lim a _ = 4 + 9 f — — — — H = 4 + 9(í) = 5
n+~ 1-2 - 1/20-1 y
EJEMPLO 7. Los tres primeros términos de una P.G. son: 100+h, 50+h, 20+h,
donde h es una constante real. Si Sn es la suma de n términos
déla progresión, hallar lim Sn .
n+°
Solución. Si (100+h):(50+h):(20+h) están en progresión geométrica>entonces:Sólo fines educativos LibrosVirtual

576. Ejercidos: Grupo 55 563
50+h
100+h
20+h
50+h
, de donde: h-25
50+25 _ 1 < ,
100+25 ~ 5
Luego, los tres primeros términos de la progresión son: 125:75:45
I im Sn = a. Z 4 ) k = 1 2 5 / ^
n .» k=l s 1
. _ 625
3/5 ' 2
EJERCICIOS: Grupo 55
Cada una de l a s s e r i e s s i g u i e n t e s co n v e rg e . H a l l a r su suma.
1. Z
-----2---- 2 . ± 1 3 . Z
k=3 (k+ 1)(k+ 2) k=0 (k+3)(k+4) k=0 (k+2)(2k+2)
* ( /i\^ -k , k .i nk
4. Z H - 5. Z 2 — r - 6 -
k=0 5 k=0 5 k=0 3
7. ± ( * L - - ± ) 8. Z - | ^ 9- Z
' ‘in* m n K/ ok+ 1 v_nk=0 ' 10" 1 0 0 " ' k=1 2 "t * k=0 2k+3
" „k+3 “ ,k -1 „k “ „k ,k
i o . z v 11. z2— 12. z ^ 2-
k=0 3 k=0 5 k=0 6
En l o s e j e r c i c i o s que s ig u e n , e s c r i b i r cad a f r a c c i ó n d ecim al como s e r i e i n ­
f i n i t a y e x p r e s a r l a suma como c o c i e n t e de l o s e n t e r o s .
13- 0 .2 4 2 4 2 4 16. 1 .4 2 4 2 4 2
--------
14. 0 .1 1 2 1 1 2 1 1 2 17. 0 .3 7 2 5 1 2 5 1 2 5 1 ...
15. 0 .6 2 4 5 4 5 4 5 .... 18. 0 .315315315
-------
19- D em ostrar que:
Z a . = L +■+ Z i = L - ( a « t a i + • • ■ » . )
k=0 k k=i+1 k 1
20. U t i l i z a r l a s e r i e g e o m é tric a p a r a d e m o s tr a r l o s i g u i e n t e :
eo
a) ; ■ ■)— = Z ( - I ) kr k , p a r a | r | < 1
1 * r k=0
b) — — = Z ( “ l ) kr 2k , p a r a | r | < 1
1 + r 1 k=0Sólo fines educativos LibrosVirtual

577. 564 Capítulo 8: Sucesiones
2 1 . C uánto d i n e r o h a de d e p o s i t a r un hom bre a l 5% de i n t e r é s (co m p u esto a ­
n u a lm e n te ) s i d e s e a que s u s d e s c e n d i e n t e s p u ed an r e t i r a r a p e r p e t u id a d
100 d ó l a r e s p o r a ñ o ? E x p r e s a r l a r e s p u e s t a como s e r i e g e o m é tric a .
2 2 . Empleando p r o p ie d a d e s s o b r e l í m i t e s de u n a s u c e s ió n c o n v e r g e n te , demos­
t r a r que s i Sn = ¿ i i — ¿ - i donde a j , re R , | r ¡ < 1 , neH lim Sn =
-r n»“ -r
n , .
2 3 . H a l l a r n , s i : £ 3 = 120
k=1
2 4 . H a l l a r e l nüm ero d e té r m in o s que s e d eb en sum ar de l a P .A : 9 ,1 1 ,1 3 > - .- >
p a r a que l a suma s e a i g u a l a l a d e l o s 9 p rim e r o s té r m in o s de l a p r o g r e
s i ó n g e o m é tric a : 3 : - 6 : 1 2 : - 2 4 : . . . .
25 . Una b o la ab an d o n ad a d e s d e un a a l t u r a d e h m e tro s r e b o t a h a s t a u n a a l t u ­
r a d e a h m e t r o s , donde a e s un a c o n s t a n t e p o s i t i v a m enor que 1 . H a l l a r
l a d i s t a n c i a t o t a l r e c o r r i d a p o r l a b o la s i s e d e jó c a e r i n i c i a l m e n t e
d e sd e una a l t u r a de h , m e tr o s .
_n+1
2 6 . S i Sn = 2
------— , h a l l a r a , y a n . Qué s e r i e e s ?
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

578. 565
V ;
INTRODUCCION
Dentro del campo de los números reales podemos hallar números x tales
que x z=a, si a>0. Pero que sucede cuando a<0. No existe ningún número real
que satisfaga esta ecuación pues, el cuadrado de todo número real es siem­
pre positivo o cero. Por tanto, pare resolver la ecuación debemos ampliar
Esta expresión es llamada núnero imaginario o unidad imaginaria. Podemos en
tonces investígar el conjunto de números de la fonrnt a+bi (llamados números
complejos), donde a y b se eligen del conjunto de números reales. Estos nú­
meros son parejas de números reales (a,b), donde el símbolo i sirve so lamen
te para conservar separados dos números. Esto es, s í designamos por C a di­
cho conjunto, entonces:
La combinación de los números complejos con los números reales se llama sis
tema de números complejos. Entonces a semejanza con el estudio desarrollado
en forma axiomática de los números reales comenzaremos por definir este sis
tema en función de los números r e a l e s .
El sistema de números complejos es el conjunto C de todos los pares
ordenados de números reales (a.b), provisto de una relación de equivalencia
y dos operaciones llanmdas de adición y multiplicación, tales que, para dos
elementos cualesquiera (a,b)cC y (c,d)cC se tiene:
i) Ig u a ld a d : ( a , b ) ~ (c,d) «-» a=c a b-d
i i) Adición: (a.b) + (c,d) = (a+c,b+d)
iii) Multiplicación: (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc)
el sistema numérico e incluir expresiones semejantes a i~/-l, tal que í 2= -i
C = <( a ,b)-arbij a ,bs.R a í2=-lt
EL SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOSSólo fines educativos LibrosVirtual

579. 566 Capitulo 9: Números Complejos
Nota. Los elementos del conjunto C se denotan por las letras u>, w, z, etc.
de modo que si: zzC ++ z=(a,b) , a.beR
weC " w=(c,d) , c.dcR
^ 3 PROPIEDADES DE LA ADICION
A.l
A.2
A.3
A.4
Para los números complejos z , , z 2 , z3eC, se cumple las siguientes pro
piedades:
¥zl,z¡tC + f z , + z 2)eC (Clausura)
-V z,,z2eC ■» z , + z , = z2 + z , (Conmutat ividad)
-Vz,, z 2, z 3eC + f z , + z 2) + z¡ = z , + f z2 + z 3) fA so c ia t ividad)
3.'ztcCl¥zeC: z + z„ = z
(Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo z„-(0,0))
A.5: Para cada ze.C, existe un único (~z)cC\z + (-z) = z„= fC ,0)
( E x is te n c ia y unicidad del in v e rso aditivo)
Demostración de A.2: z , + z¿ = z2 + z,
£n efecto, sean z t=(a,b) y z2= f c ,d ) dos números complejos.
->■ z , + z2 = (a.b) + (c.d) = (a+c,b+d) (Def. de suma)
= (c+a,d+b) (Conmutat ividad en R)
= (c.d) + (a.b) - z2 + z , (Def. de suma)
La suma de complejos es conmutat iva.
Demostración de A.3: f z , + z 2) + z3 - Zi + (zi + z 3)
■ En efecto, sean: z , = fa,t>), z2=(c.d) y z 3=(e,f)\a,b,c,dcR
+ (z i+z 2)+zj = l(a,b) + (c,d)] + (e.f)
= (a+c,b-:d) + (e.f) (Def. de surtía)
= ¡(a+c)+e , (b+d)+f] (Def. de suma)
= [a+(c+e) , b+(d+f)] (Asociatividad en R)
= f a ,b ) + [(c+e),(d+f)] (Def. de suma)
= (a.b) + ((c.d) + (e.f)) (Def. de suma)
= Z , + (Z 2 + Z 3)
La suma de complejos es asociat iva.
Demostración de A.4: s!z 3cC\¥zcC: z + z, = z
£n efecto, sean: z,=(x,y) y z=(a,b)
Averiguaremos que valores deben tomar x e y de modo que: z+z t = zSólo fines educativos LibrosVirtual

580. Sección 9.3: Propiedades de la Adición 567
- (a,b) + (x,y) = (a,b)
+ (a+x , b+y) = (a,b)
+ (a+x = a) ~ (b+y = b) (Def. de Igualdad)
+ x - O y = O
Entonces el elemento neutro aditivo es z,=(0,0). La unicidad de z, resulta
de la unicidad de los valores de x e y.
z,=(0,0) es el elemento neutro aditivo de C.
Demostración de A.5: YzeC, 3!(-z)eCjz + (-z) = z,
En efecto, sean: z=(a,b) y - z = ( x ,y)
Averiguaremos que valores deben tomar x e y, tal que: z + (-z) = z,
+ (a,b) + (x, y) = (0,0)
, .. » ,« fa + x = O + x = -a
+ (a+x , b+y) = (0,0) ++ |b + y = 0 „ y = _b
Luego, si z=(a,b) + -z=(-a,-b)
-z=(-a,-b) es el inverso aditivo u opuesto de z=(a,b)
Según esta propiedad, se puede definir la resta: zi-z1 por la siguiente re­
lación:
z! + (~zz)
E j e m p l o s :
(1) Si z¡=(-2,-3) , zl=(5,2); verificar que: z l+z1 = z 2+zi
£n efecto: z ,+ z2 = (-2,-3)+(5,2) = (-2+5,-3+2) = (3,-1)
= [5+(-2),2+(-3)} = (3,-1)
Z, + Zj = z2 + z ,
(2) Si z l=(2,3) , z^f-3,2) y z,=(2,-4) ; verificar A.3
En efecto: z l+(zl+z,) = (1,3) + [(-3,2)+(2,-4)} = (2,3)+(-3+2,2+(-4)]
= (2,3) + (-1,-2) = (1,1)
(z l+zí)+z| = l(2,3)+(-3,2)l + (2,-4) = [2+(-3),3+2) + (2,-4)
= (-l,5)+(2,-4) = (1,1)
.*. Z, + fZ j + Z jJ = (zx + z ¡ ) + z ,
(3) Si z^(2,3) y z,=(0,0) + z¡+z, = (2,3)+(0,0) = (2+0,3+0) = (2,3)
z , + z , = z ,
(4) Si z=(3,5) y -z=(-3,-5) + z + (-z) = (3-3,5-5) = (0,0) = z ,
(5) Si z ¡=(7,5) y zl=(-l,3)
♦ z , - z t = z x + (-zx) = (7,5)+(l,-3) = (8,2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

581. 568 Capítulo 9: Números Complejos
^ 3 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION
Para z ¡,zl,zseC, se cumplen las siguientes propiedades:
M.l: VZí.ZiZC ■* f z , . z 2;eC
M.2: -VZx.ZjEC ■* Zi.Zi = Z j.Zx
tí. 3: Vz¡,Zi,z,eC * (Zi.zx).z, = z 1.(zl.zi)
(Clausura)
(Conmutatividad)
(Asociatividad)
M.4: 5'iueC, ufz,\9zzC: z.w =z, donde u=(l,0)
(Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo)
U.S: Vz¿C, ztzi, 3 J z '* e C |z . z _1= o>
(Existencia y unicidad del elemento in v e rso multipl icativo)
tí.6: Vzi,zz,zi^C: Zi.(zz+Z¡) = Zi.Zz + Zj.Zs
(Propiedad Distributiva)
Demostración de M.2: -Vzi,zzeC, z¡.zi=zz.zi
En efecto, sean: z1=(a,b) y zz=(c,d)
(1) * z , . z2 = (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc) (Def. de Mult.)
(2) * Z j.Z j = (c,d)(a,b) = (ca-db,cb+da) (Def. de Mult.)
(3) = (ac-bd,ad+bc) (Conmutat ividad en R)
(4) Luego, de (1) y (3): z , . z * = z , . z ,
£1 producto de m ineros complejos es conmutativo
Demostración de M.3: (z¡.z1).z¡ = zi.(z1.zi)
En efecto, sean: zi=(a,b) , Zz=(c,d) y z,=(x,y)
(1) * (Zi.Zi).Zz = (ac-bd,ad+bc).(x,y)
(2) = l(ac-bd)x~(ad+bc)y,(ac-bd)y+(ad+bc)x]
(3) = (acx-bdx-ady-bcy , acy-bdy+adx+bcx)
(4) = (acx-ady-bdx-bcy , acy+adx-bdy+bcx)
(5) = [a(cx-dy)-b(cy+dx) , a(cy+dx)+b(cx-dy)]
(6) = (a,b)(cx-dy, cy-tdx)
(7) = (a,b)[(c,d).(x,y)] = zi.(zz.z¡)
.'. El producto de números complejos es asociat ivo
Demostración de M.4: 3/u e C |YztC; z.a=z, a=(l,0)
En efecto, demostraremos que: u>=(1,0). Sean: z=(a,b) y a=(x,y)
(1) Si z.iii = z -* (a,b). (x,y) = (a.b)
(2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

582. Sección 9.4: Propiedades de la Multiplicación 569
(3) Multiplicando (a) por a: azx - aby = a1
(4) " (s) " b: b zx + aby = b l
(5) Simando (3)+(4): (a*+bz)x = a*+bl -► x=l
(6) Sustituyendo en (e): b+ay = b ■* y=0 . E n to n c e s: u=(2,0>
a=(l,0) es el elemento neutro multiplicativo de C.
N ota. El elemento neutro multiplicativo definido en M.4 se llama también
unidad compleja o uno complejo y se denota por 1. Esto es, to=l=(l,0)
Demostración de M.S: -VzeC, ztzt, 3¡z~icC\z.z~l= u
En efecto, se a n z - ( a , b ) y z ~ '= ( x ,y )
(1) Si z . z - l =u (a,b). (x,y) = (1,0)
(2) - (azrby , ay+bcc) = (1,0) ~ {“ " ^ ¡ ¿
(3) Resolviendo el s is te m a para x e y obtenemos:
a -b
x =
--------------- , y = ------------
a1 + b1 a 1 + b1
(4) Luego, si z=(a,b) - z~z=(x;y) = (¿ i ° i,
(ai°bz’a* + b es e * in v e r s o muí tipl ¡cativo de z=(a,b)
y es único.
Nota. El elemento inverso multiplicativo de z-(a,b) definido en M.S, se de
nomina también recíproco de z. Es costumbre representar a z*1 como -j.
Según esta propiedad, se puede definir la división de z entre w por la si­
guiente relación:
______________________________
i = z . í l ) = z . f w - . J
De esta definición se obtiene la regla para dividir dos nímeros complejos:
z=(a,b) y w=(c,d).
z (a,b) , . . , ,. , . . . c -d . ,ac+bd -ad+bc.
w ~ (c,d) ~ (c 'd >~ (a,b). (cZ+<¡t’cz+dz) ~ (c*h1*’ cz-tdi*
(a>*>) = ( o c j _ b d be - ad \
(c,d) \ c1 + d 1 c1 + d z )Sólo fines educativos LibrosVirtual

583. 570 Capítulo 9: Números Complejos
EJEMPLO 1. Si z=(5,3) yw=(3,-l), hallar: z/w
Solución. Según la regla para la división:
z_ _ (5,3) _ ,15-3 9+5. J \
v (3,-1) ' ' 9+1 ’ 9+1 5 ’ 5
EJEMPLO 2. Hallar el valor de z para: (2,-l)z+(-4,3) = (1,1)(1,-2)(1,3)
Solución. Debido a la propiedad Ai.3 no interesa el orden en que se empie­
cen a multiplicar los factores en el segundo extremo.
- (2, - l ) z + ( - 4 ,3 ) = ( l + 2 , - 2 + l ) ( l , 3 ) = ( 3 , - l ) ( l , 3 ) = (3 + 3 ,9 -1 ) = (6 ,8 )
- ( 2 , - l ) z = ( 6 , 8 ) - ( - 4 , 3 ) = ( 6 , 8 ) + ( 4 , - 3 ) = (1 0 ,5 )
. . (1 0 ,5 ) _ ,20-5 10+10 , _
•• 2 " T I T - í ) ' ~ 4 + I - ~ T f T ) ‘ ( J ’ 4)
R COMO SUBCONJUNTO DE C
Veremos enseguida la relación que existe entre los números complejos
y los números reales.
Sea A=i (a, 0) |aeH C C } , el conjunto de los complejos de parte imaginaria nula
Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre A y los reales de
la siguiente manera:
La función f:A + R, definida por f[(a,0)]=a, asigna a cada complejo real su
primera componente.
f es inyectiva, p u e s to que si: zl=(a,,0) y z2= ( a2,0,) y zxfz2
+■ (aí, 0) f (az,0) ->-*■ a ¡ ± a2
Además como: f(z2) = f[(al,0)] = a l y f(z2) = f[(az,0)j = a2
tenemos que: a , f a2 -*■ f(z¡) f f(zz)
de donde se concluye que, si zz t z2 + f(zz) / f (z¡)
f es sobreyectiva, pues VaeR, existe (a,0)eA\f[(a,0)]=a.
Por tanto, f es una función biyectiva. Esto es, V(a,0)eA le corresponde el
elemento a en lo s reales, lo cual se indica escribiendo:
(a,0) *— a, VaeR
Veamos el comportamiento de las operaciones i i) y i i i) de 9.2 en los conjun
tos A y R. Si z¡=(ai,0) y z2=(az,0), entonces:
z , + z2 = (al,0) + (aí,0) = (al+al,0) *-> a ¡+a¡
zl.zl = (a ¡,0) (az, 0) = (al.aí,0) «-* a2. a2
Aplicando f a cada una de estas operaciones se tiene:Sólo fines educativos LibrosVirtual

584. Sección 9.6: Forma Cartesiana de un Número Complejo 571
f ( z , + z j = f[(al,0)+(al,0)] = f[(a¡+al,0)]
= + « i = f[(aítO)] + f[ (alt0)] = f(zj + f(zt)
f(zl.zí) = f[(al,O).(al,0)] = f[(a1.al,0)j
= a l.al = fl(ai,0)].fj(al,0)] = fízj.fízj
Esta analogía permite identificar cada complejo real con el real correspon­
diente, es decir, es válida la igualdad:
(a,0) = a , VaeR
o sea, podemos afirmar entonces que A=R y como A cC, tenemos que: R C C
De aquí se considera que el sistema de los números complejos es una amplia­
ción del sistema de los números reales.
m FORMA CARTESIANA DE UN NUMERO COMPLEJO Q
LA UNIDAD IMAGINARIA
El número complejo imaginario cuya segunda componente es la unidad se
denomina unidad imaginaria y se denota por:
i = (0,1)
Tiene la propiedad de que si:
i* = (
0,1)<0,1) = (0-1,0.1+0.1) = (-1,0)
y por la analogía de los complejos reales con los reales:
i1 = -1 + i = / T
Podemos usar esta notación para obtener diversas p o te n c ia s de i:
i• = 1 Análogamente:
¡> = i i» = i
i 2 = -i ¿« = -i
¡3 = i 3 i = (-i)i = -i ¡ » = -i
¡ ' = (ií)(i*)=(-l)(-l)=l i> = 1
Obsérvese que para cada 4 potencias sucesivas de i se repiten los mismos re
sultados. Luego, si el exponente de i es ncN, al efectuar la división entreSólo fines educativos LibrosVirtual

585. 572 Capítulo 9: Números Complejos
cuatro se obtiene 4k+r, donde O r < 4, entonces:
.n _ ,4k+r _ .4. .r
En consecuencia, in se reduce a uno de los cuatro considerados en primer lu
gar, según el valor que tenga r.
Usando la convención de identificar los números complejos de la forma (a,0)
con el número r e a l a, podemos escribir el número complejo z=(a,b) en la for
Notación que se conoce con el nombre de forma cartesiana, rectangular, cañó
nica o binómica de un número complejo, donde a es su parte real y b su par­
te imaginaria, y se denotan, respect ivamente:
a = Re(z) , b = Im(z)
de modo que podemos escribir:
z = Re(z) + Im(z)i
Una ventaja de escribir los números complejos en forma cartesiana es que la
suma y la multiplicación se pueden efectuar sin referirse a las definicio­
nes en términos de pares ordenados.
Si usamos la notación zi=(a,b)=a+bi , Zi=(c,d)=c+di para efectuar la multi­
plicación Zi.Zi donde consideramos los términos a,b,c,d, i, como si todos e­
llos obedecieran a la s leyes de los números reales y reemplazando i1 por -1
tendríamos: z 2.z2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi*
En adelante adoptaremos la representación cartesiana para efectuar las ope­
raciones de suma, diferencia, multiplicación y división de números comple­
jos.
ma: z = (a,b) = (a,0) + (0,b)
= (a,0) + (b,0)(0,1)
= (a,0) + b(0,l) = a + bi
En consecuencia: z = a + bi
= (ac-bd) + (ad+bc)i
= (ac-bd,ad+bc)
Por ejemplo, si z,=(-2,3) y z2=(l,-2), entonces:
Zx.Zt = (~2+3i)(l-2i) = (-2)(l)+(-2)(-2i)+(3i)(l)+(3i)(-2i)
= -2 + 4 i + 3 i - 6 i2 = -2+7Í+6 = 4+7i = (4,7)Sólo fines educativos LibrosVirtual

586. Sección 9.7: Representación Geométrica de los Números Complejos 573
f j Q REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS S
La idea de representar geométricamente un número complejo es realmen­
te muy simple. Se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los
núneros complejos y los puntos del plano cartesiano de acuerdo con el esque
ma:
Núnero Complejo Punto del plano
(a,b) - a + bi ► P(a,b)
Asi, cada número complejo a+bi corresponde a un punto único del plano
cuyas coordenadas son x=a, y=b. Recíprocamente, cada punto P(a,b) del p la n o
corresponde a un núnero único a+bi.
El punto P(a,b) recibe el nombre de punto
afijo o gráfica del núnero complejo a+bi.
El plano donde suponemos representados los
afijos de todos los núneros complejos, se
llama plano complejo. El eje OX de este
plano contiene todos los afijos de los com
piejos de la forma (a,0)=a+0i , es decir,
los núneros reales. Por esta razón recibe
el nombre de eje real.
El eje OY contiene los afijos de los núneros imaginarios puros (0,b) y se
llama eje imaginario. La línea OP que r e p r e s e n ta la magnitud del complejo
a+bi se llama radio vector.
^ ^ 0 REPRESENTACION GRAFICA DE LA SUMA Y DIFERENCIA Q
Si en un plano complejo representamos los complejos z1= f a1, b 1; y
Zz=(at,bi) por sus respectivos radios vectores r , j r ¡ , entonces el vector
sima Zz+Zi es la diagonal del paralelogramo construido sobre los radios vec
lores representativos de los sumandos.
En efecto:
&ODN o &NEP , por tener: Z pg
Entonces: a=CB = QA+AB = OA+NE = OA + OÜ = a l + ax
b = PB = PE + EB = MD + NA = bx + b x
Por lo ta n to : z = a + bi = (a1+al) + (bt+bt)i = z , + z2
Para la diferencia: z = zx - zx, construimos el inverso aditivo de zx: 0N'
de modo que: OM - ON = CM + ON' = OP ~ z = z¡+ (-zx)Sólo fines educativos LibrosVirtual

587. 574 Capítulo 9: Números Complejos
H 2 J CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO
Si z=(a,b) es un número complejo, enton
ces 7= ( a , - b ) se denomina conjugado complejo o
simplemente, conjugado de z.
Geométricamente dos complejos conjugados esta
rán representados por dos puntos simétricos
respecto del eje real.
n r m p r o p i e d a d e s
klm(z)
z=a+bi
Re(z)
z=a-bi
OC.l: a) La sima de dos complejos conjugados es igual al doble de la parte
real.
b) El producto de dos complejos conjugados es un número real no nega­
tivo.
Demostración. En efecto, sea z=a+bi, entonces:
a) z + z = (a+bi) * (a-bi) = 2a = 2Re(z)
b) z.z = (a+bi)(a-bi) = a1 - (bi)l= a1 + tf-
Dado que a,beR, se tiene: (z.z)eR ~ (z.z) i- 0
CC.2: Un número complejo es real si y Sólo si es igual a su conjugado.
Demostración. En efecto:
i) zzR + z = a + Oi ■* (z=a) ~ (z=a) - z = 7
ii) Si z = z * a+bi = a-bi + 2bi=0 + b=0- . Luego, z=a, o sea: zeRSólo fines educativos LibrosVirtual

588. Sección 9.8: Conjugado de un Número Complejo 575
CC.3: El conjugado de una suma es igual a la suma de los conjugados.
Si Z,WcC •» z + w = z + w
Demostración. En efecto:
(1) Sean z=(a,b) y w=(c,d)
(2) Si z + w = (a+c,b+d) -► z + w = (a+c,-b-d)
(3) Igualmente, si: ~z=(a,-b) y \¡p(c,-d) •* z" + w = (a+c,-b-d)
(4) ¡Mego, de (2) y (3), se tie n e : z + w = z + w
CC.4: El conjugado de un producto es igual al producto de los conjugados.
Si z,weC -► z .w = z.w
Demostración. En efecto:
(1) Sean z=(a,b) y w=(c,d)
(2) Si z.w = (ac-bd,ad+bc) * z.w = (ac-bd,-ad-bc)
(3) Si z=(a,-b) y w=(c,-d) * "z.w = (ac-bd,-ad-bc)
(4) Luego, de (2) y (3): z.w = ~z.w
CC.5: Si zcC ■* (z) = z
CC.6: Si z=a+b¿ y z= a-b í a = Re(z) = " |(z + ~z) ; t> = Im(z) = - j j(z-z)
Nota. Una apiicación importante de la conjugación en C e s e l d e la s i m p li­
f i c a c i ó n de la división de dos números complejos. En efecto , según
la propiedad CC.lb, el producto de cualquier complejo y su conjugado es un
número real positivo. Entonces consideremos el problema de encontrar el co­
ciente de z=a+bi y w=c+di de la siguiente manera:
_z _ z .w _ (a+bi)(c-di) _ (ac+bd) + (bc-ad)i
w w ' w (c+d¡)(c-d¡) c ‘ + d*
.Ejemplo. Si z=2+Si yw=3-i, hallar:
Solución. Si w = 3-1 * w = 3+i
Entonces: - i = (™LL(¿ÍÍ> = (**> + ( ™ S ) i = i +17i
w (3-i)(3+i) 3l + 11 10Sólo fines educativos LibrosVirtual

589. 576 Capítulo 9: Números Complejos
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Se sabe que: (3, 5) (x-1, 4)=(y-2,5)+(3, -1) para ciertos núme­
ros complejos. Hallar t y u , tales que:
(5x-4,u+t)=(3t+l,-5y-19).
S o lu ció n . (3,5)(x-l,4)-(y-2,5)+(3,-l) - (3X-3-20,12+5x-5)=(y-2+3,5-1)
y=-129l5
(3x-23,5x+7) = (y+1,4) ~ \3x-23=y+l + 3x-y=24
. Le
Si (5x-4,u+t) = (3t+l,-5y-19) + (-3-4,u+t) = (3t+l,129-19)
f - 7 = 3 t+ i ■* £ = -8/3
+ (-7,u+t) = (3t+l,110)
'-u + t =110 + u = 338/3
EJERCICIO 2. Determinar el complejo: 5z+2wí+u, sabiendo que:
z = w = u = r ' + u i - i f 21]31
Solución. Para calcular potencias de 1+i y 1-i, tener presente lo siguien­
te: (1 + i)2 = l+2i+i1 = 1+2Í-1 = 2 i
(1-i)1 = 1-2 i+ i2 = 1-2i-1 = -2 i
Entonces: (1+i)' = [(1+i)3]1 = (2i)3 = 4il = -4
(1-i)' = [(1-i)1]1 = (-2i)* = 4 i3 = -4
, _ -8 - 8 ( 2 - i) 8 ( 2 - i) _ 8,,.,
Luego: z - 2+¡ - (2+i)(2-i) ~ " 4+1 ~ S(2 l)
.11 _ .4x2+3 _ .3 _ . -4i-i -5i (1-2i) _ - 5 ( 1 - 2 0 _ _(z+n
1 " 1 - i - - i w - J+2¡ - (i+2i) (l-2i) 1+4 ~ ' }
+ w1 = (2+i)1 = 4+4i+iz = 3+4i
.75 = .4x18+3 = f3 = ^ u = = _ i+(1_ i}6 = _ i+[(1_¡)2]3
+ u = -i+(-2i)3 = -i-8i3 - -i+8.i = 7 i
5z+2w3+u = -8(2+i)+2(3+4i)+7i = -10+7Í
EJERCICIO 3. Calcular: E = -■1 , donde m Z +
( l - i T 2
„ , n (l+i)2 (l+i)n~2 ,l+ i,0-2 _ o ; r (1+i)1 10-2
Solución. E = -
------ á ---- = 2i (-=—j ) = 21 -----
a-o a-uu+o J
= 2i( ^)n~2 = 2i(i)n~2 = 2in~1
EJERCICIO 4. Hallar el valor de: E - 1 (2+l) + (2~l)
= r (2+0 + (2-t) -i*
L (í+i)1 JSólo fines educativos LibrosVirtual

590. Sección 9.8: Conjugado de un Número Complejo 577
S o lu c ió n . Según la identidad: (a+b)1+(a-b)1 = 2(az+b*)
2(4 + i2) - | , _ ,_3_ _ 81 _ « i . _ « i
E ~ L 2i(l+i) J ’ (l-i} (-2 i) 4 i 4
EJERCIC IO 5 . Expresar en la forma binómica: z = 1 + 1
1 +
1 + ~i+r
Solución. z = 1 + — = 1 +
-----------------¡--------- = i +-----------Y¡—
J+7S7 1+7?~¥> 1+1JJJ
i+i ¿ ¿
+ x - í , ' = J +
_______i_______ = J = Í M L = 1Í M1
Z J ( 3 , 3 ; .9+3 9 - 3 . 1 6(2,1) 3(2,1) 3(2,1)
(3,1) ( 10 ’ 10}
2,6+4 8^3 _ ± 2.
3 5 ' 5 3 3
EJERCICIO 6. Comprobar la identidad:
x"+4 = (x-l-i)(x-l+i)(x+l-i)(x+l+i)
Solución. En efecto: (l + i)z=2i y (1-i)z=-2i + (1+i)1 = -(1-i)1
Entonces: x'+4 = = x ' - ( 2 U 2 = x 3-](1+i)1j1
Factorizando: x"+4 = f x2 + (l+i)1][x1 - (1+i)1] = [x1-(l-i)1][x1-(l+i)1}
= Cx+i- i)(x-1 + i ;(x+1 +i)(x-l-i)
y por la propiedad conmutativa del producto en C, obtenemos:
x"+4 = (x-l-i)(x-l+i)(x+1-i)(x+l+i)
Nota. Para simplificar ciertas operaciones con números complejos tener pre
sente lo siguiente: a) (l+i/J)3 = (l-i/3)3 = -8
b) (/3+i)*=8i y (f3-i) 3=-8i
EJERCICIO 7. Si z - — hallar Im(zl) '
(/3-i)3
. _ (l + i)'(l+i) _ (2i)1(l+i) _ i(l + i) _ 1, ,
Solución, z
-----------=§1-------------------zy]---------------------------J (1 l)
+ z2 = j(l-i)z = ^ ( - 2 0 = ~ \ i + /m (z) = - j
EJERCICIO 8. Si w=2ü+v , v=-u+(l-i) , u+(l-i)=2(l + i). Efectuar:
z = v *2^ ’
-----— + 2i-l + u 3, expresando el resultado en for­
ma de par ordenado.
Solución. ~ü = -(1-i )+2(l-i) = 1-i + u = 1 + iSólo fines educativos LibrosVirtual

591. 578 Capítulo 9: Números Complejos
Luego: z =
v = -u + (1-i) = -(1+i) + (1-i) = -2 i
w = 2u + v = 2(l-i)-2i = 2-4i + w = 2+4i
2 i + 2(2+4i) - (1 + i)
(l+i)z-2(l+2i)
2 i+4+8 i-1-i
+ (-1-2 i) + (1+i)1(1 + i)
2 i-2-4 i
-l-2i+2i(l + i) = - = - |
~(8+2i) = -3(2,1/2)
EJERCICIO 9. Expresar en la forma rectangular el complejo:
■ 32 0 .7Z
i .2i 4i10¡+ 6i" *
f / 3 - i)’
Solución. Para potencias de i, de la forma: i se tiene:
fSi n = %
o
n = 4+1
o
n = 4+2
o
n = 4+3
o
n = 4+3
p >, 0 + z=l
p i 0 + z = i
p 5- 2 + z = 1
p es par + z = i
p es impar ■+ z = -i
Para:
.4*8+0 .0
: n=7 = 4 + 3 , p=2 (par)
. 7Z .
i = i
JO 3
10 = 4 + 2 , p=3 (p > 2) - i
.10s
= 1
1 13 o 1 13
: n = 11 = 4 + 3 , p=5 (impar) - i11
, (l)(2i) + 4(1) - 6i
Luego: z - L-Li—< /
----
4(l-i)
~ s rí‘
EJERCICIO 10. Resolver el sistema: -2zi + Zi = 2+3i
. 1- 5 .
iz, + jZz = ~2 + i
Solución. En (1): -2Zz + zz = 2+3i + -2zi + z2 = 2-3i
Multiplicando por -1: 2z¡ - h =-2+3i
Multiplicando (2) por 2: 2iz j + z¡ = 5+2i
Sumando (3)+(4): 2(l + i)zl = 3+5i ,, de donde: z2 = 2 + ^
1 :
(1)
(2)
(3)
(4)
(Verificar)
En (1): -2(2 - ji) + z ,2+3i + z2 = 6+2í C.S = l(2,l/2),(6,2)}
EJERCICIO 11. Demostrar que Vw,z,veC:
wlm(z.v) + zlm(v.w) + vlm(w.z) = (0,0)Sólo fines educativos LibrosVirtual

592. Ejercicios Ilustrativos
____________________'____________________________________579
Demostración. En efecto, sean: v^ía.b) , z=(c,d) y v=(e,f)
+ •vp(a,-b) , z=(c,-d) , v=(e,-f)
+ T .v = (c,-d)(e,f) = (ce+df,cf-de)
~ v .w = (e,-f)(a,b) = (ea+bf, be-af)
+ w .z = (a,-b)(c,d) = (ac+bd,ad-bc)
Luego: wlm(z.v) = (a,b)(cf-de)i = (acf-ade)i + (bcf-bde)i
= (bde-bcf) + (acf-ade)i (1)
zJm (v.w) = (c,d)(be-af)i = (bce-acf)i + (bde-adf) i
= (adf-bde) + (bce-acf)i (2)
vlm(w.z) = (e,f)(ad-bc)i = (ade-bce)i + (adf-bcf)i
= (bcf-adf) + (ade-bce)i (3)
Simando (l)+(2)+(3), obtenemos:
wlm(z.v) + zlm(v.w) + v l m ( w . z ) - O+Oi = (0,0)
EJERCICIO 12. Hallar el valor de: z = ( --3 ~ -‘ V [ i - t - l) »
' ^ + i ' ' 1 - i'
Solución. Calculemos z por partes:
( S3 - ¿ V . r í ' 3 - i)1 1» _ (S3 - i)' . t(S3 - i)’]l(/3 - i)z
~ l 3 + 1 J "■ 4 - ?
= <-8i)*(2-2'3i) = -l(i - j/3)
= 4 % = ■ ’ = ■ ’
- iV3)i = - j(/3 + o
EJERCICIO 13. Sean w,zsC tales que: w+z y w .z son reales. Demostrar que
w = T.
Demostración. En efecto:
(1) Sean: w = a+bi , z = c+di
(2) Entonces: w + z = (a+c)+(b+d)i , w .z = (ac-bd) + (ad+bc)i
(3) Dado que: w + z es real * b+d = 0 •* d = -b
w .z es real * ad + be = 0 ■* a ( -b ) + b c = 0 + a = c
(4) Luego, de (3) se deduce que z-a-bi ■* 7 = a+bi + w = z
EJERCICIO 14. En C definimos la operación * de la siguiente manera:
z*w = z+w*zw, tz .u e C , hallar el valor de z tal que:
z*(l+i) = 0.Sólo fines educativos LibrosVirtual

593. 580 Capítulo 9: Números Complejos
Solución. Aplicando la operación * a z*(l + i)=0 se tiene: z+(l+i)+z(l+i)=0
Si z=(a,b) * (a+l.b+1) + (a,b)(l,i) = (0,0)
* (a+l.b+1) + (a-b.a+b) = (0,0) ~ í ^ o - b = O - 2a-b+l = O (1)
'■b+l+a+b = O - a+2b+l = O (2)
Resolviendo (1) y (2) obtenemos: a = - 3 /5 y ¿>=-1/5 -*• z = (-3/5,-1/5)
EJERCICIOS: Grupo 56
1 . D e t e r m i n a r l o s nú m eros r e a l e s x e y q u e s a t i s f a c e n l a s e c u a c i o n e s :
a ) ( 2 - 5 i ) x + ( l + 3 i ) y - 8 + 9 i = 0 d ) ( ^ ) * + = 1 + i
b ) ( - 1 +i ) x + ( U 2 i ) y = 1 x ( i - 2 1 ) . + y ( 2 + 3 1 ) »
c ) ( i + 2 i ) x + ( 3 - 5 i ) y = 1 -3 1 ’ 3 - 2 i
f ) 2 x + 3 y i+ 4 x i-2 y -5 + 1 0 i = ( x + y + 2 ) - ( y - x - 5 ) i
g ) x ( 3 + 4 i } - y ( 8 - 3 i ) = ( 2 x i - 1 0 y + 4 ) i ( 4 y i- 2 x + 7 i )
2 . En l o s s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s , o b t e n e r z , ¿ an d o e l r e s u l t a d o e n l a form a
d e p a r o rd e n a d o .
a ) z = 2 4 ( i 1* + i 1’ + i* 1 )* - 4 ( 1 - 1 ) ' + 3 ( 2 - 3 i ) *
i* + i 9 + i , s 2 ( 2 - 1 ) 4 i 1 5 “
b ; z =
------------------------- d ) z = —i - ■ ■■ + --------
2 - i ' + i “ + i l ! ( 1 - i ) ' ( / 3 - i ) 1 2
, (1 + i ) * . (1 - i ) * - 1
3» C a l c u l a r : a ) . ú c ; »■ ■
(1 - i ) ’ (1 + i) * + 1
b) (r r i)7 d) +
4 . D e m o stra r: a ) V z1 , z J ,z , e C : zl .(z1 + z a ) = z , . z , + z , - z ,
b ) V a .b e R , ¥ z e C : ( a + b ) z = a z + bz
c ) S i z y w so n d o s nú m eros c o m p le jo s d i f e r e n t e s , e n to n c e s :
Re(—— ) - Re(— ) = 1
z-w z-w
d ) S I z , i , , i,,...,: s o n núm eros c o m p le jo s , e n to n c e s :
z ( z , * Zt + ... + Z n ) = ZZl + Z Z j + . . . + ZZj,
5 . S i 2, = ( 2 , - 1 ) , z a = ( l , 3 ) y z 1 . z , = 2 z l , h a l l a r : z , y z * 1 .Sólo fines educativos LibrosVirtual

594. Ejercicios: Grupo 56 581
6 . C a l c u l a r : a ) ( 1+í/ 5 ? ( - 2 +2í) ( - ^ +í)
( 2 - 2 ^ i ) ( l t i ) ‘
b ) i 3 + i 3 ’ + i 3 * + i 3 ’ + . . . . + i 3 "
c ) i 1 + i 6 + i 1** i l , + . . . . + i s *
7- Dados l o s núm eros c o m p le jo s z , = 2 - i , z 2=2+i^3i, z 3= 5 - 4 /'3 i. h a l l a r I m ( z ) ,
s i z = 3 z x - z 2 + z 3.
8 . S i z a= ( - 1 , 3 ) , z2=(-5/3,1) y z 2. z 3= 3 z 2 , h a l l a r : z
9- S i z = | ( 1-í^5 ) , c a l c u l a r : --!■
1 0 . H a l l a r z t a l q u e : — = 4 i+ 8
z ( 2 + i )
1 1 . Sea z = ^ ( 1 - 3í)i h a l l a r ( i + z ) 7 en l a form a a + b i .
1 2 . O b te n e r z en l o s s i g u i e n t e s c a s o s :
a ) z = ( 6 + 2 / 3 i ) ( 7 + 7 i ) ( 4 / 5 + 1 2 i ) c ) z
-----------------------------------
b ) z = (/§ + « '5 i)* -> l€ i + ( - + X~^) * 1 - i --------1 1 2 ­
13- Qué r e l a c i ó n d eb e e x i s t i r e n t r e x e y p a r a qu e s ie n d o z = x + y i, xeR, yeR ,
z+1
s e te n g a que e l c o c i e n t e -j—- te n g a p a r t e r e a l n u l a .
1 4 . La suma d e d o s núm eros c o m p le jo s e s 3 + 2 i. La p a r t e r e a l d e uno de e l l o s
e s 2 . D e te rm in a r d ic h o s n ú m ero s, s a b ie n d o que su c o c i e n t e e s im a g in a r io
p u r o .
15- Dados l o s n úm ero s: w ,= 3 + 2 i, w2=1+4i y s u s a f i j o s Mx y M2; s e p i d e :
a ) La e x p r e s i ó n b in ó m ic a d e l c o m p le jo z= a + b i t a l que s u s a f i j o s e s t á n a
l i n e a d o s con M, y M2, y l a suma w2+ z , s e a i m a g i n a r i o p u ro .
b ) La e x p r e s i ó n b in ó m ic a d e l núm ero c o m p le jo z x= a , + b , i t a l que l a r e s u l
t a n t e d e l a suma w 3+Zj, p a s e p o r e l a f i j o ( - 3 , 1 2 ) .
1 6 . R e s o lv e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s de e c u a c io n e s :
a ) ( 3 - i ) z + (4 + 2 i)w = 2 + 6 i c ) ( 3 - i ) z - (1+ 3í)w = 5 + 5i
( 4 + 2 i) z - (2 + 3 i)w = 5 + 4 i ( 4 + i ) z + ( 5 - 3 i) w = 7+ 6 i
b ) (3 - 4)z + 2w = 3 + 4 i d ) ( 2 - 3 i ) z - ( 1+ í)w = 4 - 3 i
, ( 3 - i ) z + (1 + 2 í)w = 11+ i
4 i z + (3 + i)w = - 4Sólo fines educativos LibrosVirtual

595. 582 Capitulo 9: Números complejos
e ) 3z* + iw* = 7 i h ) 3 i z , + 2 z , - i z , = 1 - 2 i
z ’ i + 2w5 - O - z , - 2 z 3 -íz2 - ” 6
( t + 1 ) ' * -1 2 z , - Z j + z , = 6 - i
f ) ( i - i ) ? , - zt + (2 + 1 ):!, = 3 - 4 i i ) ( l + i ) z , + i z , + z , = 1
z , + ( 1 - í ) z , + ( 1 + I ) z , = 3 i 2 z , t z, + ( 2 - i ) z , = 1+ 2i
( l - i ) z , + ( 2 + i ) z , - z , = - i 2 z , + ( 1 -í)z, + ( 1 + 2 ) z , = O
g) z , . z f , = 10 + 1 1 i ó) z , + z , + z , = 2
z , + z , = 7 - 3 i i z , + 2 z , + ( 2 + 3 i ) z , = 12+ 4 i
R e ( z ,) - 3 z , - i z , + z , = 2 i
17. S i z , = ( x , - y ) ¡i OeC, z y z , . z ,= ( a ,f c ) ; c a l c u l a r : a ' t b 1 .
• * n+ ^ 1
18 . D e m o strar que V z E C -H I, VneZ : 1 + z + z* + . . . . + z ° = —
-------7—
z-1
(S u g . S ea S»1+z+z*+ .... +zn , m u l t i p l i c a r z S , lu e g o r e s t a r z S -S )
19- H a l l a r to d o s l o s v a l o r e s p o s i b l e s d e : S = 1 + i + i*+...+ i n , n e z t
n h 1 ■¡n+”'
n p a r . (S u g . S = 51 i = — 5—:------- » lu e g o , a n a l i z a r S p a r a n=2k)
h=0 1
100 k 100 k
2 0 . O b te n e r l o s s i g u i e n t e s c o m p le jo s : a ) z = 5 1 i b ) z = T T j
k=0 k -1
MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO
Dado z-a+bi, el módulo o valor absoluto d e z es la raiz cuadrada no
negativa de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria.
Se denota por:
r = \z\ = Á l+bz
Geométricamente, el módulo de un complejo re­
presenta la magnitud del radio vector r del a
fijo correspondiente, al origen.
Por ejemplo, si z=4-3i + ¡ z | - /(4)2+(-3)z
+ r - ¿25 = 5
U J J PROPIEDADES
VA. 1: El módulo de todo número complejo es m ayor o ig u a l que cero.Sólo fines educativos LibrosVirtual

596. Sección 9.9: Modulo de un Número Complejo 583
| z | Z O , \z\ = O — z = 2, = (0,0)
VA.2: El módulo de todo núnero complejo es mayor o ig u al que su parte real
y su parte imaginaria.
|z| ZRe(z) y | z | Zlm(z)
Demostración. En efecto:
(1) Sea z=a+bi * | z | * = a l+b1
(2) Pero: [ a | * = a 1 * ¡ a l ^ a ’ +b1
(3) Según (2): | a | * Iz I * - l a l -í 1*1
(4) Dado que aeR * a 4 | a | , y por (3): |o | •$ |z |
(5) De donde se tiene: | z | Z Re(z)
Análogamente se demuestra que: | z | Z ¡m(z)
VA.3: El módulo de un complejo es igual a i módulo de su conjugado y de su
inverso aditivo.
1*1 = 1*1 = l~*l
VA.4: El producto de cualquier complejo por su conjugado es igual a i cuadra
do del módulo.
z.z = {z| 1
VA.5; El módulo de un producto de de complejos es igual al producto de los
módulos.
|z .w | = | z | | w |
VA.6: El módulo de la suma de dos complejos es menor o igual que la sema de
los módulos.
|z + w| -í ¡z¡ + |w| (Desigualdad Triangular)
Danostración. En efecto:
(1) |z + w| 1 = (z + w)(z + w) (VA.4)
(2) = (z + w)(z + w) (CC.3)
(3) = z . z + z .w + w.z + w.w (Prop. Distrib.)
(4) = | z | * + z .w + z .w + |w| * (VA.4 y M.2)
(5) = | z | 1 + z .w + z .w + |w| 1 (z.w = z .w = J.w)
(6) Como los términos centrales son complejos conjugados, entonces:
\z + w| 1 = ¡ z | * + 2Re(z.w) + |w |* (CC. 6J
(7) 4 |z| * * 2|z.w| + |w|* (VA.2)
(8J $ jz | 1 + 2 |z||w | + Iwl1 (VA. 5)
(9) 4 | z | l + 2|z||w | + |w|* (VA.3;Sólo fines educativos LibrosVirtual

597. 584 Capítulo 9: Números Complejos
(10) -* |z + w |z ^ (\z\ + |w|>2
(11) |z + w| ^ 1z1 + Iwl
(Prop. en R)
VA.7: El módulo de un cociente es igual al cociente de los m ódulos.
± i = M, siempre que w ¿ w0 = (0,0)
Demostración. En efecto: (1) | (í)v
(2) A p lic a n d o VA.5 se tiene: | — | |w|
(3) Despejando:
z
w
= M
1*1
O bservación. Geométricamente, el módulo o valor absoluto de un número com­
plejo significa la distancia entre el origen y el afijo corres
pondiente a l complejo. Apiicaremos esta propiedad para hallar la distancia
entre dos puntos.
Sean P ¡(x¡,yl) y Pl(x1,y1) los afijos de los
complejos z, y zt respectivamente.
Por definición de módulo: d(P¡,P1) = |z |
Pero: z = z ,- Z j . | z | = | z , - z , |
. d(Pl,P1) = \zl-zl\ =
díP^Pt) = /<x,-xt )*+ í y . - y * ) 2
Por ejemplo, si zt=2+3i y zt=5-i, la distan
cía entre sus afijos P l(2,3) y Pt(5,-1) es:
| Z l—z j = d(Pí,Pl) = /(2-5)1 + (3+1 j1 = 5
g j f l LA RAIZ C U AD R AD A DE UN N U M E R O C O M P L E JO
Sea el complejo: z = a+bi
cuya raiz cu ad rad a es el complejo: w = / z | w = x+yi
Entonces: w 1 = z +-+ (x + yi)1 = a + bi
Aplicando módulos: |(x + y ¡.)2 | = |a + b i | * |x+yi| 2 = /a1 + b2
* x2 + yz = /a2 + b2 = |z|
Desarrollando (1): x2 - y2 + 2xy¿
Simando y luego restando (2) y (3) se tiene:
i - a + bi ++ | * ~ y ~ a
l 2xy = b
(1)
(2)
(3)
(4)Sólo fines educativos LibrosVirtual

598. Ejercicios Ilustrativos 585
2xx = Izl + Q
2
2y* = \z\ - a * y = t
2
Se obtiene cuatro pares de valores reales, de las cuales se seleccionan dos
de acuerdo con la condición (4):
i) Si b > 0. entonces x e y se eligen con el mismo signo,
ii) Si b < O, entonces x e y se eligen con distinto signo.
EJEMPLO. Hallar las raíces cuadradas de los siguientes complejos:
(1) z=5-12i ; (2) z=8i ; (3) z=-9
Solución. (1) z=5-12i - a=5 y b=-12 - \z\ = /(5)x+(-12)* = 13
x = ± = +3 ; y = ± = t2
Dado que b=-12<0, x e y se eligen con distinto signo, esto es:
x=3, y=-2 o x=-3, y=2
Luego, si w = / 5 -12i * w,=3-2i y w^-3+21 (Note que w,=-w,,)
(2) z=8i * a=0, b=8 * M = S
Como a=0 ■* x = y = ± ~ * / j ~
b=2>0, x e y se eligen con el mismo signo. Entonces, las soluciones son
(2,2) y (-2,-2). Luego, si w = /SI * v,=2+2i o wx=-2-2t (w¡=-w,)
(3) z--9 * a= -3 y b=0 * |z |= S
Entonces: X = ± = O ; y = ± - ±3
Como b=0, en este caso, los cuatro pares se reducen a d o s : (0,3),(0,-3)
Luego, si w = /-§ * w,=3i o w t=-3i
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Simplificar: E = (\z+2i\ + \2-iz\)(\l-2i | ;
Solución. E = (\z+2i\+\i(-2i-z)\)(\z-r-2i\) (’| z | = | z | ;
= (\z+2i\ + \i\\-z-2i\)(\z+2i\) (CC.5 y VA.5)
= í|z+2i| + .\z+2i\)(\z+2t\) ff í|=I y VA.3)
= (2\z+2i\)(¡z+2i\)
= 2|z+2i | ’Sólo fines educativos LibrosVirtual

599. 586 Capitulo 9: Números Complejos
EJERCICIO 2. Si z,\f-C, demostrar que: ¡z + w| 2 + | z - w| 2 = 2( \ z\ 2 + lw| *)
Qué significado geométrico tiene esta identidad?
Demostración. En efecto, apoyándonos en la propiedad: | z |2= z .z , se tiene:
I z + w| 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w)
= z.z + z.w + w.J + w.w (1)
Iz - w| 2 = (z - w)(z - w) = (z - w)(z - w)
= z.z - z.w - w.J + w.w (2)
Sumando (l)+(2), obtenemos:
|z + w| 2 + \z - w| 2 = 2(z.~z + w.w) = 2( | z| 2 + |w |2>
El significado geométrico de la identidad es el de un teorema de la geome­
tría elemental: "La suma de los cu ad rad o s d e las diagonales del paralelogra
mo e s igual a la suma de los cuadrados de sus lados".
En efecto, si P y Q son lo s afijos de z y w q
respectivamente, entonces:
OP = |z | y OQ = |w|
Además, R es el afijo de z+w + OR=|z+w| |w
Q también es el afijo de z-w + K ?=|z-w |
E ntonces: ÓR2+ PQ2 = 0Q2+ PR2 + 0P2+ QRl
Pero como: OQ=PR y OP=QR
Oft2 + K?2 = 2C0P2 + C & ) - |z + w | 2 + |z - w| 2 = 2 ( | z| 2
EJERCICIO 3. Demostrar que: \z - -Ai\ = 4- , s i z = ,2S. ,
’ 1 4 ' 4 1+2ir
O 1 .
Demostración. En efecto, |z - -^i \ = - ^ |4 z - 3 i | (1)
\4z-3i I = )^ ~ 4r - 3 i I - i-4í 4 r - 3 i - 6 i z r , _ i i+2r,
* I ' i +2 i r 1 1+2i r 1 ~ ‘l+ 2 i r•
= íÍXLÍHV)! = Jji| P 27rj_ (VA 5 y yA 3;
1+2 ir
i +2 i r
\4z-3i\ = i l Ü £ í d _ = i por tanto, en (1): |z --fil =4
Ii+2i r |
EJERCICIO 4. Resolver la ecuación: | x | - x = l+2i , xeC.
S o lu ció n . Sea x=(a,b)
- / a2 + b2 - (a,b) = (1,2) ++ K 0* +
L-h = 7
b2 - a = i
-b = 2 - b = -2
Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos: a=3/2 + x-(3/2,-2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

600. Ejercicios Ilustrativos 587
EJERCICIO S. Si w y z son dos números complejos y u=fwz, verificar la i-
dentídad: |-— - u | + + u | = jw| + | z |
Demostración. En efecto, sea: E = - u | + + u|
* £ = I=i|/z - *5|2 +h/z* *D|2 (Pero: z.z=\z\')
■* E - (fz - fw) (fz - fw) + (fz + /¡5) (’r'z + ]
= 'j¡[(’rZ - fw) (fz - fw) + (fz + fw) (fz * fw) ]
Efectuando las operaciones indicadas obtenemos:
E = % [2/w.fÜ + 2fz~.fi] = |/Si| 1 + | / z | 2 * £ = |w| + |z |
EJERCICIO 6. Demostrar que YzeC: i) | z| 2 % 2\Re(z)\\lm(z)\
ii) ¿2\z¡ i \Re(z) + Im(z)\
Demostración. En efecto:
i) (1) Sea z-(x.y), donde: x=Re(z), y=Im(z)
(2) Entonces: í"iaf[-|y| O * | x| 2 + |y | * >,2|x | ¡y|
(3) * | z| 1 ^ 2 | x | [y|
(4) - | z | 2 >2\Re(z)\\lm(z)\
i i) Si | z j = / x2 + y1 ■» | z| 2 = x2 + y2 = | x| 1 + | y | 2
(5) De (3): * | z j 2 í- 2 ¡xj ¡y| ♦ 2 | z| 2 i | z| 2 + 2 | x | j y |
(6) Entonces: 2 | z | * >, ( | * l + Í y|->2 v f jz I 1*1 + M
(7) Por tanto: f2¡z¡ >, |Re(z)\ + \lm(z)\
EJER CICIO 7. Dados z.wcC, demostrar que: |z -w | >, | | z | - | w | |
En qué condiciones se cumple la igualdad?
Demostración. En efecto:
(1) Iz - w| 2 = (z - w)(z - w) = (z - w)(z - w) (VA.4 y CC.3)
(2) = z . z - z.w - w .z + w.w = ¡ z |2-z.w -w z+ |w| 2
(3) = | z | 2 + |w| 2 - (z.w + w.~z)
(4) = | z| 2 + jw j2 - 2Re(z.w) (CC.6)
(5) Pero por VA.2: Re(z) f | z | ■» Re(z.w) ^ |z.w\ -* -2Re(z.w) Z.-2\z.w\
(6) Luego, en (4): | z - w| 2 >, ¡ z |2 + .|w| 2 - 2|z| |w| (Pero: |w| = |w |)
(7) Entonces: |z - w| 2 i. ( | z | - |vu| ) 2 -» |z - w| ¡ |z | - |w| |
Veamos ahora en que condiciones se cumple Ja igualdad.Sólo fines educativos LibrosVirtual

601. 588 Capitulo 9: N úm eros C om plejos
Sean: z=(c,b) y w~(c,d) + \z-w\ = /(a-c)l+(b-d)*; \ z\=/a*+b*; |w| =/c2+d2
Entonces: /(a-c)* + (b-d)* = /a2 + b2 + /c2 + d2
Elevando al cuadrado y luego simplificando términos se llega a:
(ad-bc)* = O +-+ ad-bc = O + ad = be + -?=■§ = fc
o a
Por tanto, la igualdad se cumple, si y sólo si, las partes reales y las par
tes im a g in a r ia s de lo s complejos son proporcionales.
EJERCICIO 8. Determinar algebraicamente las raíces cuadradas de z=8+4/ói
S o lu c ió n . Si z=a+bi + a=8 y \z\ = /82 + (4/5)* = 12
Sea: w = /z = x + y i + x = ± . y = —-
Entonces: x + ±/l0 , y = ±/S" . Corno b=4/5>0 + x e y deben tener el mis­
mo signo. Luego, si w=x+y¡ + wl=/l0+/2i o wi=-/l0-/2i ; son las raíces
de la ecuación ciada.
EJERCICIO 9. Resolver la ecuación en C: x2 +(-2-2i )x - 3-6i
Solución. x*-2(1+i)x-(3-6i)=0 + x = (1 + i) ± S( 1 + i)* + (3-6i)
■ - x = (i + i) * /¡TTi (i)
Sea: /3-4 i = c + di + c. = • ti = ——
Si a-3 y | z | = / 32+42 = 5 + c = ±2 y d = ±1
Como b--4<0, entonces c y d se eligen de distinto signo, esto es:
/3-4i = ±(2-i). Sustituyendo en (1): x = ü + i.) ± (2-il «-<■ x,=3 o x=-l+2i
C.S =
EJERCICIOS: Grupo 57
1. Si w = y z = -g-4 , hallar: |w + z| .
3-1
1 2+1 1 1
2. Si z = (1 + i ) (-3 + 3i) # h a U a r |z|_
(1—i )(3i)(1 -
/ 3 i)
3. Calcular z2 , siendo: z = -|-l+i] + /Ii
4. Analizar la verdad o falsedad de los siguientes enunciados:
a) i17 + i " * + i1 '" = 1
b) I— — + 1^2/ Vz,weC-lz,í , z, = (0,0)
1 1*1 M 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

602. E je r c ic io s : G r u p o 5 7 589
c) | _ 5 ! _ | = B 4 > ' W O
l2(l+i)wl |w| 4
5. Analizar la verdad o falsedad de los siguientes enunciados:
a) Si z^O , ~ = z 1 }z| =1 b) Si z =(l + i ) C o s ^ * |z| = /2Cos|*
c ) + *1 í j 2 l *• M , d ) t w *z + z = R e ( z . u + z ) + I m ( z )
M
6. Hallar z, y z, tale que: z, + z, = 4+i . z,.zt=5+5i, -|i = j^(l-i) ,
|z4 |*=10 *
7. Resolver la ecuación: ¡x| + x = 2+i , xeC
8. Hallar z, si z lt z, y z, son vértices de un triángulo equilátero tal
que: z,=4+6i , z1={l-i)z,.
9. Dados z»-=8+5i y z,=(5/0)/ calcular el complejo z=(3»y) que forma con
los anteriores un triángulo isósceles de vértice de lados iguales el z,
10. Determinar el complejo cuyo afijo equidista de los afijos de z,=(-2,0),
Zi=(3»3) y Zj=(0/-2)
11. Sean z 1 ,z1 ,zleC. Demostrar que si Zi+z»+Zj=0 y |zi | = |zj |=*|z, |=1, enton­
ces z i , z, y z, son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en
una circunferencia de radio 1.
12. Dados v, y v, tales que |v,| = |w,|=l, v,=iv,( demostrar que ¥zcC, se cían
pie: z = Re(-£-)w, + Re(§-)v»
W 1 »»
13. Si ztC, resolver: |z+i|*-z+l = 4-2i, Re(z) >, 0.
14. Si w y zcCi demostrar que: |z-w|* 4: (l+|z|*)(l+|v|*)
15. Si v y zcCt demostrar que:
| z—w | % + |z+v|* + 2|z*-w*|* = élíz.z)1 + (v.v)1 + 2z.w.z’.v]
16. Dados z, / z , , w , , w tcC, demostrar que:
I*»•»»-**-W»|* - (|zi|l + IzilMílv.l* + |v,|») - |z,.vt + z.-v,]*
17. Si v,zcC, demostrar que: ¡l-w-z)* - |v-z|* = (l-|v|*)(l-|z|*)
18. Sean zltZi,. . -/Z^eC, tales que: . . . =|zn | = 1. Demostrar
que: |z, ♦ z* + . . . + Zn| = | i + ±- + . . .' + i_|
19. Sea z*C, si se cumple: (z + ¿)cR, demostrar que lm(z)=0 o |z| =1.Sólo fines educativos LibrosVirtual

603. 590 C a p itu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
20. Hallar z t ,z2cC tales que: {zx[ = ¡z2 j = |z1+zI|=1 , z,.z2 es un imaginario
puro.
21. Demostrar que si para i=l»2, , cada z^ es un número complejo» enton
ces: |z2 + z x + . . . + zn | -í |z,| + |z2 | + . . . + |zn j
22. Sabiendo que z y w son números complejos tales que ¡z|=|w|=l, demostrar
b) En el caso a): si |zi| -S 1, demostrar que |w| 1.
24. Determinar algebraicamente las ralees cuadradas de los siguientes com-
El término lugar geométrico se aplica normalmente al conjunto de
todos los puntos que tienen alguna característica geométrica común. Asi por
ejemplo, son lugares geométricos, la recta, la circunferencia, la parábola,
la elipse, etc. Haciendo uso de la noción de módulo, a continuación descri
biremos analítica y geométricamente algunos de estos lugares geométricos.
EJEMPLO 1. Representar en el plano complejo ¡as siguientes relaciones:
que ^~r~, (z f -w ) , es un imaginario puro,
z+w
23. Sean Zi,Zí£C:
a) Si w = lZl Zl , demostrar que: w.w =
|z.|* + IZil* - (Zi.Zl+Zi.Z,)
1 + |Zx | 1 ¡Zx, | * - (Zi-Zx+Zx-Zi)
piejos.
a) z = -15-8i d) z = -8+6i g) z = -2/3+2i j) z = -l+4/5i
b) z = 3-4i e) z = 5-12Í h) z = 7+24i
c) z = -11+60Í f) z = -8-6i i) z = 6 + |i
25. Resolver la ecuación en C: (z-l-i)(z-l+i)(z+l+i)(z+l-i) = 5
26. Resolver las siguientes ecuaciones en C.
a) zl-(2+i)z+(3+i) = 0
b) zz-(2+i)z+(-l+7i) = 0
c) zz-(3-2i)z+(5-5i) = 0
d) (2+i)zz-(5-i)z+(2-2i) = 0
«Sí-
l u g a r e s GEOMETRICOS EN C
3 J 5 1 LA LINEA r e c t a
a) Re(z) = 3
b) lm(z) = 2
c) Re(z) + lm(z) = 1
d) Re(z) - Im(z) = z.Sólo fines educativos LibrosVirtual

604. S e c c ió n 9.11: L u g a r e s G e o m é tr ic o s e n C 591
Solución, a) Re(z)=3, es el conjunto de todos los pares ordenados para los
cuales x=3, es decir, es el lugar geométrico de los afijos de
la forma z=(3,y). La ecuación x=3 corresponde a la recta paralela al eje í-
maginario que pasa por el punto ds abscisa 3 (Fig. 1).
b) lm(z)=2, es el lugar geométrico de todos los puntos o afijos para los
cuales y=2, es decir, L.G. = {z\z=(x,2) }. Su gráfica corresponde a la rec­
ta paralela al eje real que pasa por el punto de ordenada 2 (Fig. 2).
c) Re(z)+Im(z)=l, es el lugar geométrico de todos los puntos tales que: -
(x ,0) + (O,y) = 1 ■*+ x(l,0)+y(0,l) = (1,0) ->-* L :x+y=l
Es una recta que pasa por los puntos (1,0) y (0,1), (Fig. 3).
d) Re(z)-Im(z)=z0 , está representado en el plano complejo por iodos los pun
tos tales que:
(x,0)-(0,y) = (0,0) x(l,0)-y(0,l) = (0,0) ** L:x-y^O
Es una recta que pasa por el origen de coordenadas y biseca al primer y
tercer cuadrantes (Fig. 4).
EJEMPLO 2. Determinar la ecuación de (a recta cuyos puntos equidistan de
dos puntos dados.
Solución. Sean P%(Xi,yi) y Pz(Xz,yz) los afijos de los complejos z, y Zz
respectivamente, y sea z=P(x,y)eL.G.
Se debe cunplir que: d(P,,P) = d(Pt,P) ■* |z - z,| = \z - z,|
— | z - fac1,yi> | = |z -
Esta ecuación nos describe el L.G. de todos los afijos de z que equidistanSólo fines educativos LibrosVirtual

605. 592 C apitulo 9: N úm eros Complejos
de los afijos de z¡ y zt, y que es la media
triz del segmento que une P, y Pz.
Por ejemplo, si Zi=(-1,3) y z2=(3,5)
- \z-(-l,3)\ = |z-f3,52|
—■ | (x+1 ,y-3) | = |fjc-3,y-5j|
— /(x+1)2 + (y-3)2 = A x - 3) 2 + (y-5) 2
de donde, L:2x+y-6=0
LA CIRCUNFERENCIA
_________
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que e
quidistan de un punto fijo llamado centro.
Sean Q(Xo,yo) el afijo del complejo w y
P(x,y) el afijo generatriz del complejo z.
Por definición: d(Q,P) = r * |z-w | = r
Entonces: A=fz\|z-w | =r, r>0, wfijot, nos
describe el L.G. de todos los afijos de z
a una distancia r del punto fijo w. Es de
cir, A es una circunferencia de centro w
y radio r. Si \\f=za=(0,0), entonces la ecua
ción compleja | z - z ( |= r representa una cir­
cunferencia con centro en el origen y ra­
dio r. En efecto, | (x,y)-(0,0) \ = r / (x-0 )2 +(y-0) 2 = r + x2 + y1 - r2
EJEMPLO 3. Sea A - L.G. de los afijos de z | | z-5+7i | = | iz-l+3i | y sea:
B = L.G. de los afijos de z \\z+l+2i | =5. a) Grafi car A U S.
b) Hat lar Ai) B.
Solusión. Según VA. 3: |z| = |z| \z-(5-7i)\ = |í(z+3+i)|
- | z-(5+7 i) | = | í | | z - r - 3 - O | - \z-(5, 7) | = | z - f - 3 , - i ; |
La ecuación compleja representa la mediatriz del segmento que une los pun­
tos (5,7) y (-3,-1).
Entonces: /(x-5) 1 + (y-7) 1 = /(x+3)1+(y+l)2, de donde, L:x+y=4
En B: \z-(-l,-2) |=5
Circunferencia de centro Q(-l,-2) y radio 5
- /(x+l)í+(y+2y = 5 (x+l) 1 + (y+2) 1 = 25
b) A flS : De A: y-4-x ; sust i tuyendo en B: (x+l)*+(4-x+2)1 = 25
9.11.2Sólo fines educativos LibrosVirtual

606. Sección 9.11: Lugares G eom étricos en C 593
de donde: x*-5x+6=0 ■ x,=3
y.
La gráfica de A U B se deja como ejercicio.
c,=3 o x t=2 1
,/,=! o y,=2 J
A B B = (3,J>,Í2,2>
LA PARABOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
Caso 1. El eje de ¡a parábola coincide o es paralelo con el eje real.
Sean: P(x,y) el afijo genérico del complejo z; el foco F(p,0), el
afijo del complejo z, y L:x+p=0, ta directriz; donde p es la distancia del
vértice al foco de la parábola.
Por definición: d(P,F)=d(P,D)
* |z~zt | = |P£ + £D| = \Re(z)+p\
|z-íp,o;| = |x+p|
Es la ecuación compleja de la parábola con
vértice en el origen y eje de simetría coin
cidente con el eje real.
En efecto, /(x-p),+yt = |x+p|
Elevando al cuadrado: (x-pj^y1 = (x+p)*, de donde: y l=4px
Si el vértice coincide con el punto V(h,k) la ecuación toma la forma:
(y~k)*=4p{x-h). Cuando p>0, la curva se abre hacia la derecha y cuando p<0,
hacia la izquierda.
Re
Caso 2. El eje de la parábola es coincidente o paralelo al eje imaginarlo.
En forma similar que el caso 1, tenemos: z=P(x,y), z t=F(0,p),
L:y+p=0. Luego: d(P,F) = d(P,D)
* |z-za | = |P£ + ED| -► \z-(Q,p)\ = \¡m(z)+p\
- |z - (0,p)\ = |y+p|
£s la ecuación compleja de la parábola con
vértice en el origen y eje coincidente con
el eje imaginario, fii efecto:
/x l+(y-p>* = |y+p| - x l+(y-p)' = (y+p)1
de donde: x l=4py
Si el vértice coincide con el punto V(h,k)
la ecuación toma la forma: (x-h)*=4p(y-k)
Cuando p>0, la curva se abre hacia arriba y cuando p<0, hacia abajo.Sólo fines educativos LibrosVirtual

607. 594 C apitulo 9: N úm eros C om plejos
EJEM PLO 4. Construir el lugar geométrico: |i2+3-2t| = |Re(zJ-4¡ '
Solución. \i(z-2-3i)\ = |x-4| - | i | |z-(2,3; | = |jc- 4 j - \z-(2,3)\=\x-4\
Foco de la parábola: F (2,3), directriz, L:x-4=0
♦ A x-2) * + (y-3) 1 = |zc-4 j
- (x-2)* * (y-3)* = (x-4)1
- (y-3; 1 = -4(x-3)
Vértice de la parábola: V(3,3)
4p = -4 * p - -l<0
La curva se abre hacia la izquierda.
=P(jc,y;
La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las
distancias a dos puntos fijos es una constante 2a.
En una elipse se tiene los siguientes elementos:
Eje mayor: A¡Ai=2a jm
Eje menor: B íB z=2b
Distancia focal: F,Ft=2c, donde F i y Ft son
los focos de la elipse, de modo que se a m ­
pie la relación: a 1 = bl + c1
<? es el centro de la elipse *
Determinación de la ecuación:
Sean F¡(x¡,y¡), F(xt,yi) los afijos de los
complejos z¡ y z» respectivamente.
Por definición: d(P,Fi)+d(P,Fz) = 2a * |z-Zi
0 = j(F>+Fz)
z-ziI = 2a
- |z-(x,,y,;| + |z-(Xí,y»;| = 2a
es la ecuación compleja de la elipse.
EJEMPLO 5. Construir el lugar geométrico: |z-J-3í| + |z+2-2i| = 4
Solución. |z-(J+3¿; |+|z-(-2+2í;|=4
- |z-(i,3;|+|z-(-2 ,2;| = 4
De donde: 2a=4 - a=2 ; F ,(I,3 ; y Fl(-2,2)
d(F¡,Fl) = |F,-F*| = |(3 ,i;|
2c = = / ¡ O * c = / I S / 2
Como c < a, el L.G. es una elipse de centro:
<? = *Ft)(-1/2,5/2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

608. Sección 9.11: Lugares geom étricos en C 595
9.11.5LA HIPERBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia
de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual
a 2a.
Una hipérbola tiene por elementos, los siguientes:
Focos: F,(x,,y,) y F2 fx2 ,y2)
Eje transverso: A¡A2 = 2a
Eje conjugado: B 2B2 = 2b
Distancia focal: FlF1 = 2c
c > a - c1 = a1 + b1
Centro: Q = j(F2 + F2)
Determinación de su ecuación:
Sea P(x,y) el afijo genérico del complejo z
y sean F, y F 2 los afijos de los complejos
z, y z2 , respect ivamente.
Por definición: |d(P,F,)-d(P,F 2) | = 2a
* |\z - 2,|-|z - z2 || = 2a ■
es la ecuación compleja de una hipérbola.
I I z - Í X i . y ^ H z - t e . y , ; ! I =2a
EJEMPLO 6. Esbozar el lugar geométrico de los afijos zcC, tales que:
(\\iz-3+4i\-\z+3i-2\\-3)(\z-l+3i¡-\z+2-2i\) = 0
Solución. Sea A = L.G. de los afijos de z | ||iz-3+4i |- |Z+3Í-2||-3 = 0
B = L.G. de los afijos de z | \z-l+3i\-\z+2-2i\ = 0
En A: \\ i(z+3i+4)\-\z-(2-3i) \\ = 3
- | | ( ||z - ( - 4 - 3 i )|- \ z - ( 2 + 3 i) || - 3
- | \z-(-4,-3)\-\z-(2,3) \ | = 3
de donde: a=3/2, Fí=(-4,-3), F2=(2,3)
- d(F,,F 2 ) = |F,-F,| = | C6.6) |
- 2c = /ó1 +6l = 6/2 - c = 3/2
Como c > a, el L.G. es una hipérbola cuyo
centro es: Q = Fl+F1) = (-1,0)
En 3: ¡Z-C1,-3;| = |z-(-2,2;|
Es /a ecuación compleja de la mediatriz
del segmento que une a P¡(l,-3) y P1(-2,2)
■» y (x-1 )* -r(y+3)z = /(x+2)1 + (y-2)1, de donde, L:3x-5y-l=0Sólo fines educativos LibrosVirtual

609. 596 Capítulo 9: Números Complejos
Observación. Tener mucho cuidado al identificar lugares geométricos cuyas
ecuaciones complejas tienen la forma: \z-zl \-\z-zz \-2a , pues
éstas representan solamente una de las dos ramas de la hipérbola.
EJEMPLO 7. Identificar y construir la gráfica del L.G: \z+3\-\z-3\=4
Solución. Se tiene: \z-(-3,0)\-\z-(3,0)\=4
Aparéntemente se trata de una hipérbola con focos en Fi(3,0) y
Fi(-3,0) y con centro Q(0,0). Además: 2a-4 , 2c=6 * b*=c1-aI = 5
3? v* a? v1
Ecuación de la hipérbola: — r - -fr - 1 — — r - = J
r ar Ir 4 5
Este mismo resultado lo obtenemos partiendo de la ecuación compleja dada:
|z+3| = 4+|z-3| - /(x+3P +y* = 4 + /(x-3)1 +y*
Elevando al cuadrado: 2/(x-3)1+y* = 3x-4
Pero, /a í- 0, VdtP
* (2/(x-3)1+y1)* = (3x-4)1 - 3x-4 > 0
de donde: 5xt-4y*=20, para x í- 4/3
Por tanto, la ecuación del L.G. representa
solamente la rama derecha de la hipérbola.
Nota. Asociadas a las gráficas de los lugares geométricos de ecuaciones
complejas estudiadas, están las gráficas de relaciones que involu­
cran desigualdades. Sus representaciones en el plano complejo se hacen en
idéntica forma tal como se hizo para las gráficas de relaciones en R?.
EJEMPLO 8. Representar en el plano complejo los conjuntos de puntos que
satisfacen a las siguientes relaciones:
(1) R, = í z | -2 -S Im(z) < 3» ’ (3) R, = {z\2 < \z-l \ ¿ 4)
(2) R, = iz\2Re(z)-3Im(z) < 61 (4) R, = (z| |z+i| í 4-|z-i|í
Solución. (1) La gráfica de R, es la intersección de las gráficas de:
[Im(z) i- -27 /. jlm(z) < 3]; es decir, R, es el conjunto de
puntos para los cuales: (y >, -2) - (y < 3), que corresponde al semipla­
no que contiene al origen cuyos bordes inferior y superior son las rec­
tas y=-2, y=3, respectivamente. (No se incluye la frontera y=3)
(2) La gráfica de Rt es el conjunto de puntos z=(x,y), tcrles que:
2
2x-3y -í 6 *•* y yc-2
Es deéir, es el conjunto de puntos situados en el semiplano superior de la
recta L:2x-3y=6, incluida la frontera L.Sólo fines educativos LibrosVirtual

610. Sección 9. I I : L ugares geom étricos en C 597
In
Im(z)=3
r1 ^
-Re
im(z)=-2
Gráfica de R¡
(3) Las gráficas de \z-l\=2 y |z-i|=4 son dos circunferencias concéntricas
de radios 2 y 4 y centro común en Q(1,0).
En efecto, si \z-l\=2 -*■ | (x-l,y,) |=2 * C 3: (x-l)1 + y 1 = 4
|z-l|=4 -*■ \(x-l,y)\=4 -*■ Ci'.(x-l)1 + y 1 = 76
En consecuencia, la gráfica de R 3 es el anillo circular comprendido en­
tre las circunferencias C¡ y C 2, incluyendo los bordes o fronteras.
(4) R, = (z| |z+i|+ |z~l| ¿4) .
Si \z-(-l,0)\ + \z-(l,0)\ 4 4 - 2a=4 - a=2 ; F 3=(-1,0) y FZ=(1,0)
d(F3,F3) = iFz-F,! = \(2,0)\ - 2c = /22+02 = 2 ~ c=l
Como a > c, la gráfica de ¡z+l\+\z-l\=4 es una elipse cuyo centro está
en Q = ■^(F1+F1) = (0,0). Ader.,ás, a 1=b1+c1 -» bz=4-l=3
^ x 2 v 2 x 2 v 2
Ecuación de la elipse: + "£? = 1 * F: + -J- = 1
Luego, la gráfica de R, es el conjunto de puntos que están en el inte­
rior de la elipse E incluyendo la frontera.
Gráfica de R 3 Gráfica de R*Sólo fines educativos LibrosVirtual

611. 598 C apitulo 9: N úm eros com plejos
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Determinar los conjuntos de puntos del plano complejo que
verifican: (z + z~l)cR.
Solución. Sea z-(x,y), tal que: z t z, = (0,0) * \z\ í 0 ■* x l+y* f 0
Luego, z + z~l = z + - l = x + yi +
x-yi
x z+y*
= (x +
Si (z + z-')tR Im(z + z~l) = 0 * y
x z+yz
_ y
x z+yz
„
y ( x z -t-yz - l ) = 0 ^ y f r l + y l - D = o „ a-í+.yl jí o
x z + y l
-» íy=0 o x z+yz=l) -» (xl+y* ¿ 0)
* (y=0 ~ x z+yz¿0) v (xz+y*=1 ~ x l+yzJ0)
La gráfica de (z + z~*)eR es la unión de la
gráfica de la circunferencia de radio r=l y
centro z,=(0,0) con la gráfica del eje real
y=0, exceptuando el origen.
x z+y1
)i
= 0
EJERCICIO 2. Demostrar que si c es una constante real positiva, entonces
los afijos de z*C, tales que l'frjl= c representa una circun­
ferencia si cfl y una recta si c=l.
Demostración. En efecto, sea z=(x,y> ♦ z+l=(x+l,y) y z-l-(x-l.y), de mo­
do que si |-f~|l= c * lz + 1 l = c\z-l\ * \z+l | *=cl |z-l | 1
* (x+l)t+yí=cz[(x-l)z+l] * (cz-l)xz+(cz-l)yz-2(cz+l)x+cz-l = 0 (1)
Sea a=c‘-l * axz+ayz-2(a+2)x+a = 0
Completando cuadrados se tiene: (x - + y* - “ 1
Tenemos una circunferencia de centro ( - ^ ,0) y radio: r = J 1 • P°ra
a i 0 , luego, cz-l f 0 - c ‘^1 * cfl
En (1), si c=l * -2(l+l)x = 0 * x=0, es una recta.
EJERCICIO 3. Analizar que lugar geométrico representa tos afijos de los
zeC| az.l+cz+cz+b=0, donde a.beR y ceC.Sólo fines educativos LibrosVirtual

612. Sección 9.11: Lugares Geométricos en C 599
Solución. Sea z=x+yl * |z|* = z.z - x*+y* ; Re(z) = ¿fz + z) = x
Luego, si: a12 j a + c(z + z) + b = O » afx*+y*2 + 2cx + b = O
x* + 2(-)x + y*
a
, a., , , c*-ab
(x * - 2 1 + y* = — —
C
El lugar geométrico es una circunferencia de centro (- — ,0) y r = — -—
EJERCICIO 4. Hallar el lugar geométrico que describe el afijo z cuando:
z = 1+1 + 77F7 • r E R -
Solución, z = i + i +
---— = (1 + — - -- , 1 - —
Entonces: x = 1 +
2 t- r 1
2
* 2 + r*
2 + r*
2
— >
2 + r*
_ 2-x
2 + r*
y = 2 = 2 - rf_
x-2
-2=2— r(x-l)
,2-x.
1 + r* 2 + r*
- y - 2 = -r(x-l) - fy-222 = r2fx-22* * fy-221 = (x-221
de donde: fy-221 = -fx*-3x+2) - -fx-3/221 + 2/4
(x-3/2)1 + fy-221 = 2/4
El lugar geométrico es una circunferencia de centro (3/2,1) y radio r=l/2.
EJERCICIO 5. Construir la gráfica de la relación:
R = {z| ||z+4-3i|-|iz-2i+5|| ^ 8}.
Solución. ||z+4-3í|-|iz-2i+5|| = ||z+4-3í|-|i (z-2-Si) ||
= ||z+4+3í| - |i||z-2-5i||
= ||z-f-4,- 3 2| - |z-f2,5 2 || = 8
de donde: 2a=8 * a=4 ; F t=(2,5)
y Ft=(-4,-3) - d(F,,F2) = | f2, S2-f-4, - 3 21
* <l(Fi,Ft) = |f6,82| * 2c = /36+S4 = 20 ♦ c=5 \./m
Cono c > a, el L.C. es una hipérbola con Í'.VV.
centro en Q = { - i , i ) . i * • ■ v . 4
Gra/ica de ¿a relación:
Sí I\z-(-4,-3)\-\z-(2,h)\ < 8
* /fx+42*+fy+32* - /fx-221+fy-521 -$ 8
Veamos si (0,0)zR
A * +32 - /(-2)* +(-S)z -í S
* >^25 - /¿i} f 8 , se cumple.
Luego, la gráfica de R es el conjunto de puntos ubicados entre las dos ra­
mas de la hipérbola, incluidos los bordes.
-■ ■■■■■ixX^.ReSólo fines educativos LibrosVirtual

613. 600
C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
EJERCICIO 6. Sean Rj={z| \z+l-2i | + | iz+2-3i | 6\ y
Rj=iz| \z+2-i \ -í |¡z+5— í¡| . Construir la gráfica de R,ni!,.
Solución. (1) Construcción de los lugares geométricos:
A: \z+l-2i|+|iz+2-3i|=6 y B: \z+2-i |=|iz+5-4i\
(2) En A: \z+l-2i\+\i(z-3-2i)\=6 + \z-(-l,2)\+\z-(3,2)\=6
(3) De donde: 2a=6 - a=3, F ^ O . 2 ) y F x(-1,2) - d(Fi,Ft)=\(3,2)-(-l,2)\
- d(Fi,Ft)=\(4,0)\ - 2c=4 - c=2
(4) Como c < a, A es una elipse con centro en Q = ^(F^+Ft) = (1,2)
Además: b i-ai-c1=9-4=5 -*■ b = /f>
(5) En B: \z+2-i\=\ i(z-4-5i)\ ■» \z+2+i\=\i\\z-4-Si\
- \z-(-2,-l)\=\z-(4,5)\
(6) El L.G. B es la mediatriz del segmento que une los puntos (-2,-1) y
(4,5). En efecto: \(x+2,y+1)\=](x-4,y-5)\
+ /(x+2)l+(y+l) 2 = /(x-4)2+(y~5) 2, de donde, L:x+y=3
(7) Gráfica de R l:
/(x+l)í+(y-2)z + /(x-3)z+(y-2 ) 1 ¿ 6
(8) Es (0,0)cR ? - /í+4 + /9Í4 4 6*
- /5 + /l3 ■< 6 , se cumple.
Luego, Si es la totalidad de puntos en
el interior de la elipse, incluyendo el
borde.
(9) Gráfica de Ri: x+y í 3 * y í 3-x
R 2 es el conjunto de puntos ubicados en
el semiplano inferior de la recta L, inclu­
yendo el borde L.
EJERCICIO 7. Sean: R,= (z| | íz+3i+2| + |z-5+6¿ | .< 12\ y R*= (z| | iz-i-4\ >,3}
Hallar el área de (Rif) R t).
Solución. Sean A :|¡z+3i+2|+|z-5+6¡\=12 y B :|iz-i-4\=3
(1) En A: \ i(z+3-2i)\+\z-5+6i\=12 - \z-(-3,2)\+\z-(5,6)\=12
(2) De donde: a=6, F,=(5,6), FJ-3,2) , d(Fl,FJ=\(5,6)-(-3,2)\ = \(8,4)¡
+ 2c=/82+4*=4/5 * c=2/5. Como a>c, A es una el ipse con centro en:
Q ^ A f F ^ F J = (1,4); a l=bl+c1 * b l=36-20=16 -- b=4
(3) En B: |i(z-l+4i)|=3 + |i|¡Z-1+4Í|=3 - \z-(l,4)\=3
Luego, B es una circunferencia de centro Q(l,4) y radio r=3.
(4) Gráfica de R,; \z-(-3,2)\+\z-(5,6)\ i 12Sólo fines educativos LibrosVirtual

614. Ejercicios: Grttpo 58 601
- /(x+3)í+(y-2)1 + S(xrS) *+(y-6) 1 $ 12
Es (O.OJzRi? * ^9+4 + S ñ í m - S 12
■*• /l3 + /61 -í 12, se cuvple
Luego, R¡ es el conjunto de puntos en el in
terior de la elipse, incluyendo el borde.
(5) Gráfica de Rz: \z-(l,4)\ 1 3
- <x-l)x+(y-4)* % 9
Es (0,0)eRz? - (l)x+(4)x í-S, se cumple.
Luego, la gráfica de R z es la totalidad de
puntos ubicados en la parte exterior a la circunferencia, incluyendo el bor
de. Entonces: a(Rlr\R1) = a(el ipse)-a(círculo) = *ab - vr* = v(6)(4)-n(3)z
.'. = 15* u*
Jm
- t -r- s t v-3
4 te #
\ /-i:/
" 1 * * i Re
EJERCICIOS: Grupo 58
1. Identificar el lugar geométrico de los puntos que representan los núme­
ros complejos z=x+yi, tales que:
a) |z|+Iin(z)=0 d) |z-2|=2|z+l| g) Iz-z^l^z-z*)
b) |z|-Re(z)=2 e) |z-2+i|=2 h) Imíz1 ) ^
c) z + z = |z|* f) |z+l-2i|+|z-l-2i|=8 i) |z|=Im(z)+l
2. Hallar el lugar geométrico de los afijos que representan a los números
complejos z=x+yi, que satisfacen a las desigualdades:
a) Iz-il-S 1 d) 0 < Re(iz) < 1 g) | |z-4i|-|z+2i| | ^.4
b) |z—i—1 | < 1 e) |z-2|-|z+2| > 3 h) ||z-5-ij- |iz+3i+5|| > 8
c) |z-2| + |z+4| -S 10 f) ¡2z| > |l+z*| i) |zH-5i| £ |iz+3-i|
3. Dadas las relaciones Ri y R n construir las gráficas de Rj R z.
a) Ri = íz||Im(z)-5| ^ |z+l-3i|) ; R=iz||z-3+2i| jiz+3i-4|K
b) Ri=tz| | | z+4i-31- 1z+5+2i | | 4: 8} : Ri={z| | iz-l+i | 4: 5}.
c) Ri=iz||z-l-2i|+|iz+6-3i| ^ 6 ; Ri=iz||z-2+4i| C 3 .
d) R 1 = {z | | iz-2-i | i. jRe(z)-3|} : R 2={z| |z-2-2i| ^ 3}.
4. Donde se halla el afijo de z si: T.oa - [ IZ 1 "I2 !-1--1- | < 2
3 \ |z|+2 /
5. Si el afijo del complejo z describe |z|=l< qué lugar describe el afijo
del complejo w=x+yi, sabiendo además que: w(z+l)*=4.Sólo fines educativos LibrosVirtual

615. 602 C a p itu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO
_____________^
Sea el número complejo no nulo z=x+yi. Como ya se ha visto, este nú­
mero se puede representar en un plano complejo por la pareja (x,y). Si tra­
zamos la recta desde el origen al punto (x,y), habremos determinado una dis
tanda r y un ángulo e en posición normal (medido en sentido ant ¡horario).
Esto es, el punto (x,y) ha sido representado
en términos de las coordenadas polares r y o,
mediante las relaciones:
x=rCos8 , y-rSen6
de modo que si: z=x+yi, entonces
z = r(Cose+iSene)
Esta representación del complejo z se llama
forma polar o trigonométrica de z, donde r
es el módulo, radio vector o norma y 0 el argumento o amplitud.
Observaciones. (1) El número complejo z puede ser representado en su forma
polar simpl ificada: z=rCis9
(2) Los valores de r y e se pueden hallar por las relaciones:
r = |r| = /x*+yl , Tana = e=arcTan (^)
(3) El argumento de un número complejo no es único, pero se tomará como ar­
gumento principal: 0 ^ e < 2n
(Algunos autores toman como argumento principal: -n < 9 n )
(4) La relación Tañe =-=£ da dos valores para e y el ángulo que se eligirá
será el que se determine por los signos de x e y.
(5) Dados dos complejos en su forma polar: z-rCisa y z l=r1Cisa entonces si:
z = zi <-► r=rl .»8l = 6+2kn , keZ
EJEMPLO 1. Determinar la forma polar de los siguientes complejos:
a) Z--2+2/3Í c) z=l+/3i e) z=3-3/3i
b) z=-/3-i d) z=-5+0i f) z=0-2i
Solución, a) z=-2+2S3i * r = |z| = /(-2)1+(2/3)*= 4
Para el argumento principal tenemos: x=-2 (negat ivo), y-2^3
(positivo), entonces B termina en el II cuadrante.
Luego, si Tañe = - ^ - = ~ ^ = - /3 * e=arcTan(-/5) * e=180‘-60'‘=120^ = 4*
X o
9.12Sólo fines educativos LibrosVirtual

616. Sección 9.13: O peraciones en la F orm a P o la r 603
z = 4Ci$(2*/3)
b) z= -/3 -i - r= |z| = / ( - / 3 ) 1+ ( - l ) t =2
Como x e y son ambos negativos, el argumento principal termina en el III
cuadrante. Entonces: Tana = ü = J L1¿ _ = ■—■* 8= ISO9+30* = 210* = -fu
x (Sj) 3 6
.'. z = 2Cis(7s/6)
c) z=i+/3i r = |z| * /j+f/3)2 = 2 ; Tan6 =-^-= </3 -*■ B=arcTan(*/5.)
Cíwio x e y son ambos positivos, el argumento figura en el I cuadrante.
Luego, e=60*=*f3 -» z = 2Cí s(ti/3)
d) z=-5+0i . Aqui, y=0 , x=-S (semieje real negativo) ■* r=|z|=|-5|=5
TanB = ^ = y- = 0 ■* a-v . Luego: z = SCis ir
e) z=3-3/3i ■* r = |z| = /(3)*+(3/3)* = 6
Como x=3 (positivo) e y=-3/3 (negativo), el argumento 8 termina en el IV
S -/3 - 8 = arcTan(-/3) = 360*-B0*cuadrante. Luego, Tana = ~ = — a3 - -V
X ü
8 = 300' = -I» . Entonces: z = 6Cts(5»/3J
f) z=0-3i . Aqui, x=0, y=-3 (semieje imaginario negativo) -* r=|z|=|-3|=3
Tan9 = .*£=— ¿ = - » (indeterminado) ■* a=270*=3v/2 -* z - 3Cis(3s/2)
EJEMP LO 2. Si A={zeC|i-< |z| -í 4, arg(z) -í Graficar e identifi­
car el conjunto A.
Solución. 1>S \z \ _< 4 , es un anillo
circular formado por las
circunferencias: |z|=I y |x|=4. Enton
ces A es un segmento de dicho anillo
que parte de 8=v/4 y termina en e=i .
C T H OPERACIONES EN LA FORMA POLAR
9.13.1 MULTIPLICACION
El producto de dos números complejos en forma polar es otro núme­
ro complejo en forma polar, cuyo módulo es el producto de los módulos de
los factores, y cuyo argumento es la sima de sus argunentos, esto es, si:
zl=ri(Cosa ¡*iSenal) y zt-rt (Cosa ¡Sene z)Sólo fines educativos LibrosVirtual

617. 604 C apitulo 9: N úm eros com plejos
Entonces: zi.Zi - ri.rt(Cos&l+iSene1)(CosS2+iSene1)
= r¡.rl[(Cos&íCosel-SenQ1Senel) + i(SenslCosdI+CoseíSen3í)]
- = r1.rí[Cos(sí+eí) + iSen(ax+e2))
Así tenemos que: z , .z2 = rl.r¡Cis(e¡+eí)
INTERPRET ACI ON GEOMETRICA. En un sistema cartesiano consideremos el
complejo unitario u=(l,0) y los afijos A y
B representantes de los complejos z 1= r 1Cís9 1 y z2=r¡Cise2,es decir, de coor­
denadas polares Afrj.B,; y B(r2,B2), res-
pectivanente.
Considerando a OB como homólogo de OU,
construimos el áOBP » &0UA. Resultando P
de coordenadas polares (r,sl+6t).
Determinamos r por la proporcionalidad de
lados homólogos, esto es:
d(0,P) _ d(0,A) ^ r_ _ r,
d(0,B) d(0, V) r * 1
de donde: r - rx.r2
Por lo tanto, el vector OP representa al
producto de los complejos z i y z%.
COCIENTE
_________________
£1 cociente de dos números complejos, dados en su forma polar, es
otro número complejo, también en forma polar, cuyo módulo es el cociente de
los módulos y cuyo argunento es la diferencia de los argumentos. Esto es,
si: Zi-riCisBi y z 1=r2Ciss1 -*• -£i. = ÜAfCosfBj-Bj,) * iSeri(e1-aí)]
Z 2 r t
En efecto, sea: w = rCisS (1)
Si V! = — -* w.z1 = zl
Z i .
-*• rC/sB. r2Cisez = r ¡Cise¡ ■* r. r íCis(B+el) = r lCisei
Por la igualdad de complejos: (r.rt = r t) ~ (0+b2 = Bl+2kf)
- (r = •£•*) - fe = «1-9», si k=0)
■ “ l
Luego, en (1): w = i i fC isí e,-&2)] «-*■ h = Z±[Cís(at-a2)l
2 z T'«
9.13.2Sólo fines educativos LibrosVirtual

618. S e c c ió n 9 .1 3 : O p e r a c io n e s e n la F o r m a P o la r 605
r±
ri
£i
ri
Por tanto, el vector OQ representa el co­
ciente de los complejos z i y zz.
IN TERPRETACION GEOMETRICA. Consideramos el complejo unitario u=(l,0)
( y los afijos A y B de ¡os complejos:
z,=r1Cissj y z2=r2Cis02 , cuyas coordenadas
polares son: A(rí,el) y B(rz,Bz).
Considerando a OU como homólogo de OB, cons
truimos sobre OU el W U Q - AOBA; resul tando
Q de coordenadas (r,$z-9z).
Según la proporcionalidad de lados homólo-
d(0,Q) d(0,A) _ r
gos: ' = ■■*■■■ *-*■ -r
d(0,U) d(O.B)
de donde: r
EJEMPLO 3. Sean: z,
3^3
2
-ki y zz=~2+2/3i, efectuar en forma polar las
siguientes operaciones: a) Zi-z2 ; b) —
Zz
Solución. En z¡: r 2 = |zj|=3 y TanBL=^-;
-3/2 1
/3x 3/3/2
Como x es positivo e y negativo, el argumento principal termina
en el IV cuadrante - 0 ^-arcTanj-l //3)=360l>-30a =330',=lH/6
Luego, z 1=3C¿s('JÍtt/5J
En zz=-2+2S3i , r l = \ Z i \ = 4 y TanQi=■
2/3
- 2
-V3
Como x es negativo e y positivo, el argumento principal termina en el II
cuadrante - 0í=arcTan(-/3)=180°-60°=120°=2n/3 - z1=4Cis(2*/3)
(3)(4)Cis(— 6v +Jit; 1 2 Cí s(-2 k)12Cis(2* + j) = 12Cis(j)a) z1.zz
* Z1.Z2 = 12(cos90°+iSen90°) = 12(0+i) = 12i
b) /-i = -.Cisí— ^ = % C i s ( b ) = -.Cis(180‘+30'‘) = ~(-Cos30>-iSen30°)
Zz 4 O J 4 o 4 4
* fz = - í (’r3 + i)
EJEMPLO 4. Calcular: z =
2(l-i)(Cosd - iSenB)
Solución. Sean: z,=l-i/3 y zz=l-i. Expresando ambos complejos en la forma
polar y teniendo en cuenta que sus argumentos principales termi­
nan en ei IV cuadrante, se tiene:Sólo fines educativos LibrosVirtual

619. 606 C a p itu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
Para zl: rt=2 y TanB^-ZS » 8^ 3 6 0 ’-60° =300° * zl=2Cis300°
z1: rt=/2 y Tanez=-1 - ez=360°-45°=315° * zt=Z2Cis31 5°
Luego, z = :!C,s300’ <Cise) = !^cis(300°-315° )Cis(e+B) = -r,Cis(-15° )Cis2e
2Z2Cis315°Cis(-e) ¿
- z = ^j[Co s(2b-15°)+iSen(26-15°)] = ~ 2lCos(2a - y|) + iSen(2<> - y p j
EJEMPLO 5. Representar gráficamente el L.G. de los afijos de los comple­
jos que cumplen con la relación ArgfltZ.Z?' )=0, donde: z¡=l + i y
zt--l+2i.
„ , -- o , , z-Zi (x-l)+(y-l)i
Solución. Sean: z=(x,y) y w = -— — =
----,r— ^----
Z\~Z2 ¿ l
+■ w = ~ l (2x-y-l)+(x+2y-3) i]
Si Arg(w) = arcTanC£*^Z_j) * Arg(w)=0 +■* (x+2y-3=0) - (2x-y-l >^0)
** (x+2y-3=0) ~ (y < 2x-l)
Sean L:x+2y-3=0 y L,:y=2x-1 L
Entonces, los afijos del L.G. que cumplen
con la relación dada se encuentran sobre ^
la recta L, en la región del semiplano in —
ferior (y<2x-l) de la recta L,.
L,
/
EJEMPLO 6. Si zeC||z-i|=J, G < Arg(z-l) < »; determinar Ar(z*-z) en fun­
ción de Arg(z).
Solución. |z-i|=l es una circunferencia con centro en Q(l,0) y radio r-1.
Entonces, sean: 8-Arg(z) y a=Arg(z-l)
Por la geometría elemental sabemos que:
m(fQOP)=m(tOPQ) (Subtienden arcos iguales)
Además: a = mf'fQ0P)+m(^0PQ) = 20
Luego: Arg(z1-z) = Argz(z-l)
= Arg(z) + Arg(z-l)
* Arg(z‘-z) = 8+20 = 38 = 3Arg(z)
ReSólo fines educativos LibrosVirtual

620. E je r c ic io s : G r u p o 5 9 607
EJERCICIOS: Grupo 59
1. Expresar los siguientes números complejos en su forma polar:
a) z = 6/3+6Í c) z = -|(-/3+i) e) z = -4+4>/3i
b) z = 3-3/3Í d) z = -5i^3-5i f) z = 2/2-2/2Í
2. Si Zj=6Cis30,< z2=2CislO0 y z3=3(Cos20ll-iSen200), hallar: z,.z2.z31.
3. Realizar la operación indicada y expresar el resultado en su forma rec­
tangular .
a) (/5cis224)(3Cis84’)(2Cis27 *)
(6Cis25 °)(Cisl83 °)
. (Cosl33 "tiSen767 °)(Cos317 0+iSen223 °)
' Cos30'r-iSen30’
. (Cosí 71 °+_iSen7290) (Cos284 "[phone])
CJ ‘ Cos330°-iSen330'
d j (Cos295“+iSen655*)[C o s(-20 *)+iSen7000]
Cos415 °-iSenl25”
4. Localizar en un plano complejo los afijos que representan a los números
complejos z=x+yi, tales que:
a) ií/ 6 < Arg(z) ^ 2x/3 c) ir /8 í Arg(z) ^ it/2 * |z| 4: 3
b) ir/4 .$ Arg(z) < 3x/4 d) x/3 .< Arg(z+i) ^ ir
5. Hallar la forma polar de: a) z = iCis(ir/3)+l
b) z = 1+iCotge , x < 0 < 3rr/2
6. Escribir en la forma polar el resultado de: (6+2/3Í)(7+7i)(4/5+12Í)
7. Si z,=l-2i y z2=2+i, graficar el lugar geométrico de los afijos de nüme
ros complejos que satisfacen la relación: A rg(-z ? * ) = 0
2 1-2 2
2Z
8. Si z=Cise, representar en forma polar: ■=
---
1-z *■
9. traficar los conjuntos:
a) A = {zeC|z=iwl, donde |w| =1 y Arg(w) e[ ir/6; ir/4] }
b) A = (zeC|z = (^p.) r |w¡ £-1 y Arg(w) e[ 11/6, ir/3] }
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

621. 608 C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
POTENCIACION DE NUMEROS COMPLEJOS
TEOREMA D E MOIVRE. La potencia n-ésima de un número complejo en
su forma polar tiene por módulo la potencia n-és¿
ma de su módulo, y por argumento el producto de su argumento por n.
Es decir, si:
z=rCis& * zn = rn (Cosne+iSenne)
Demostración. Por inducción completa, sea la proposición:
P(n) = {n\zn = r'teisnal.
(1) Para n=l * P(l): z l=r*CisB * z=rCiSB , es verdadera
(2) Supongamos que para n=h, la proposición:
P(h): z1 = r^Cish8 , es verdadera (Hip. Inductiva)
Demostraremos que para n=h+l, la proposición:
P(h+1): z^+^ = r^^Cislh+Ds , es verdadera
En efecto:
•s z 1** = z*.z = (rCise)^(rCise) =* (r^CishB) (rCise) (H-.ip. Ind.)
= rh .r[Cis(hB+B)J = rh+1 [Cis(h+1)BJ
(3) Conclusión. Se ha probado que: P(l) es V « P(h) es V ->■ P(h+1) es V
/3 1
EJEMPLO 1. Si z = - - y + ~^i , hallar: Re(z*’).
Solución. Expresamos z en su forma polar:
|z| = r = /(-/3I2)Z+(1/2)Z = 1 ; TanB = ^ - = M M - - —
- / 5 / 2 ñ
Como x<0 , y>0 , el argunento principal termina en el II cuadrante.
Entonces: 8=arcTan(-l//3) = 180°-30> = 150> = 5n/6
Luego, si z=rCise * z=lCis(5n/6) ->• z z>= 1 ziiCís20(5ti/6) (Moivre)
* z2t = Cisf8x2it + -|n) = Cos(2v/3) + iSen(2n/3)
:. Re(zl>) = Cos(y) = Cos(i r - -§/ = -C0s/|/ = - j
EJEMPLO 2. Usando el Teorema de Moivre, demostrar las siguientes identi­
dades: Sen3& = 3Sene - 4Sen’B
Cos3B = 4Cos19 - 3CosB
Solución. Sea el complejo unitario: z=Cos$+iSene (\z\=l)
Elevando al cubo: z 5 = Cos1B+3iCoszeSenB+3izCoseSen,B+i’Sen’BSólo fines educativos LibrosVirtual

622. Sección 9.14: Potenciación de Números Complejos 6 0 9
-* z 3 = ('Cos30-3COs8Sen10> + (3CoszBSen6-Sen3B)i
Por el Teorema de Moivre: z 3 = (Cóse+iSene)3 = Cos3B+iSen3B
-* Cos3B+iSen3B = (Cos 3 -3CosBSen1e)+(3CosíBSene~Sen*a)i
Igualando las partes reales y las partes imaginarias obtenemos:
Cos3B = Cos’B-3CosB(l-Cos2B) Cos3B = 4Cos3b-3CosB
Sen3B = 3(l-Sen2B)SenB-Sen3B Sen3B = 3SenB-4Sen3B
Nota 1. Dado un complejo z=rCis8 y un entero positivo n, se cimple
z n=r nCis(-nB), es decir, el Teorema de Moivre es válido
para potencias enteras negativas.
EJEMP LO 3. Dado z=l-i, hallar: z~3.
Solución. El complejo z en su forma polar es: z=/2Cis(lrt/4) (Verificar)
- z-3=(/2)-3Cis(-21v/4) = — [ C o s ( ^ ) - i S e n ( ^ ) ]
2/2
= ^[Cos(4v + ^v)-iSen(4v + ~t:)j = '^[Cos(~x)-iSen(~n) ]
= — 4[Cos(i + ¿)-iSen(j, + j)] = ~!-Cos(j)^iSen(j)J
/ 2 . /2 /2., 1 1.
- 7 = ~ 4 (- — 2 + ~2l) = " 4 + V
Nota 2. Si para un complejo unitario z=CisB aplicamos el Teorema de
Moivre, se cumplen las siguientes relaciones:
zn = CosnB+iSennB y z n = CosnB-¡SennB , ne-Z
de donde se obtiene:
CosnB = j;(zn + z n) , Serme = - 2 n)
Estas dos fórmulas se utilizan para expresar potencias de Seno y Coseno en
función de ángulos múltiples.
E JE MPL O 4. Hallar Sen3a y Cos 38 en términos de SenkB y CoskB, respectiva
mente.
Solución. Para n=l ♦ 2Cose = (z + -) ■* (2CosB)3 = (z + -)3
z z
- 32Cos38 = z 3 + Sz*(~) + 10z3(j)z + , z(^)3 + 5z(j)' + (j)3Sólo fines educativos LibrosVirtual

623. 610 Capitulo 9 : Núm eros C om plejos
* 32Cos'8 ? (Z’ +Jl) + 5(z3 +j t) + 10(z + +)
= (2COS59) + 5f2Cos3e) + 10(2Coss)
* C o s ’e = =i(CosSe + 5Cos3e + lOCose)
10
Análogamente, para n=l, 2iSene = z - í + (2iSen9)> = fz - J j 5
* 32¡*Sense - z 5 - 5 z s + JOz - ^ + -j-, - -jj
= f z s - 5 f z ’ + JO fz - - i;
-► 32iSen‘e = (2iSen5a) - 5(2iSen3a) + 10(2iSena)
S e n ’e = jj,(Sen5e - 5Sen30 + lOSene)
EJERCICIOS: Grupo 60
1. Calcular y expresar el resultado en la forma a+bi.
a ) {- 1 + 4 1 , . » g )
r (i-i)1 * (í+i)2 "
b) lrj + \i ) 1’* e) (2-21)1 "-(2+21) *• h) (/2+/S + i / í v f )«
c) ( x . i ) f) - ""2 ^ ^
2. Efectuar y expresar el resultado en la forma a+bi.
a) (2CÍS2258)1(3Cisl40*)* c) - {/2Cis445‘)1(/6Cisl400)*
(/3cis25*)'(■^Cis60’51 [2Cis(-130*)]1(3Cis345*)2
12Cis(-30*)(/Scisl35°)2
b)
24Cis(-150*)(/3Cisl05‘)2
3. Si z = ,/,2+'/3 + i,/2-VJ , hallar: Re(z*')
4. Simplificar (1 + v)n , donde w=Cis(2ir/3)
_ .... ,1 + Senx + iCosx.,
5 . S i m p l i f i c a r : - — j ) ‘
6. Representar mediante un polinomio de primer grado en términos de ángu­
los múltiplos de x< lo siguiente:
a) Sen'x b) C o s‘x c) Sen7x d) Cos’x
7. Expresar mediante Cosx y Senx lo siguiente:
a) Cos5x b) Cos8x c) Sen7xSólo fines educativos LibrosVirtual

624. S e c c ió n 9 .1 5 : R a d ic a c ió n d e N ú m e r o s C o m p le jo s 611
8. Dado n e Z +, demostrar que: f ^ )"* = Cos2nS + iSen2n8
LOt9 0 ~ -L
9. Si z=Cis8, hallar todos los valores de 8 para los cuales (z+1)2 es ima­
ginario puro.
10. Resolver: [(1 + /SiJ'z]2 = (1 - /5i)5z
11. Calcular z' siendo: a) z = (-/3+i)-1
b) z = •=
---r---, aeR « 0 í a < 2» c ) z = - -
Seno+iSeno /3-i
PTT3 RADICACION DE NUMEROS COMPLEJOS
_____________ j #
Por definición, dado un número complejo z y un entero positivo n, se
dice que el complejo w es raiz n-ésima de z si y sólo si, wn=z, se escribe:
n/— 1/n
w = vz , o bien: w = z
El problema de calcular w se resuelve fácilmente escribiendo z y w en forma
polar, esto es, si: z = r(Cose + iSene) y w = R(Cosii+iSen\¡¡) (1)
entonces por definición de raiz: wn = z
Por la fórmula de Moivre:
Rn (Cosn^ + iSennty) = rfCosB + iSenB)
y por la igualdad de números complejos:
„n . „ ni— , B+2kv
R = r „ n* = e+2kn ■* R = ■/r ^ \¡i = — -—
Luego, en (1):
8 +2kn , , - c
_, 8 +2kTr.n/-=,n~„,B+2kTi, . ;t,__,e+2kx , ,
jr[Cos(— -— ) + iSen(- -- )J ■
donde, para k=0,1,2,....,n-l, obtenemos los n valores de w, que lo designa­
remos por k=0,1,2,.... ,n-l, respectivamente.
En resumen, se ha demostrado el siguiente:
TEOREMA 9.1. Todo complejo no nulo admite n raíces n-ésimas dis­
tintas dadas por:
n s - X r . ,e + 2 k t i . ,e+2kn,i 1
w k = v/r |Cosf— — ) + iSen(— — Jj
donde: k=0,1,2,....,n-l , r=\z\ y e=Arg(z)
Dado que todas las raíces tienen el mismo módulo, éstas se encuentran sobreSólo fines educativos LibrosVirtual

625. 612 Capitulo 9: N úm eros C om plejos
una circunferencia de centro el origen y radio l^r, y difieren en el argu­
mento en múltiplos de 2* In. Por esla razón, las distintas n raíces de un
complejo no nulo, se identifican geométricamente con los vértices de un po­
lígono regular inscrito en la circunferencia mensionada.
EJEMPLO 1. Determinar y representar en un plano complejo las raíces quirt
tas de z=-16-16SJi
Solución, r = |z| = 16/3+3 = 32 ; Tañe = /3 + o=arcTan(/T)=180'+60°=240°
Si w = V I ■+ w fc = • para k=0,l,2,3,4
Para k-O * w, = 2Cis(48‘)
k=l * w l = 2Cis(120°)
k=2 + w* = 2Cis(192>)
k=3 + w, = 2Cis(264‘)
k=4 ♦ w t = 2Cis(338°)
Obsérvese que la diferencia entre los
argumentos de cada raiz es:
- 2* _ 360 _
o - — — - — = - - 7 2 °
n 5
EJEMPLO 2. Determinar las raíces cúbicas de la unidad: z=l
Solución. Si z=l ■+ |z|=i y e=Arg(z)=0 - w = */T\Cis( ^ * ^ ‘>]
♦ M>k = Cos( + iSen(-ipl , para k=0,l,2
Para k=0 * u»=CosO+iSenO = 1
k=l * «i = Cos(^¡) + iSen(^-j-) = - -j +
k=2 - «i = Cosf-^l + íSenC^l = - - — |i
Observaciones.
(1) Los afijos de las raíces cúbicas de la
unidad son los vértices de un triángulo
equilatero inscrito en la circunferen- —
cía de radio |z|=i.
(2) Las raíces cúbicas de la unidad se en­
cuentran igualmente espaciadas con una
de ellas un ángulo igual a *t=2*/3
(3) “ í= ■+ = 0
ReSólo fines educativos LibrosVirtual

626. Sección 9.15: R a d ic a c ió n d e Números Complejos 613
f c m ü ECUACIONES CUADRATICAS CON COEFICIENTES COMPLEJOS #
En anterior estudio vimos que una cuación cuadrática con coeficien
tes reales axz+bx+c=0, tiene por raíces:
-b - Sbz-4ac
* ~ 2a
En esta sección y, en idéntica forma, trataremos de hallar un proceso que
nos permita resolver una ecuación de la forma:
Az1 +Bz+C = 0 , A.B.CeC y AfO (1)
Completando el cuadrado se tiene:
A(z> + Rz+ J L ) = -C + * - ( Z + B}1 __B^4AC (2)
' A 4A1 4A 4AZ
B Bz-4AC
Supongamos que: w = z +_-r y u =
------
ZA - . 2
4A
de modo que en (2) tendremos: w* = u (3)
Puede ocurrir entonces que:
I) Si B 1-4AC=0, entonces u=0 y la ecuación (3) tendrá por solución el con­
junto IB/2A), esto es, si: w*=0 *■* z = -B/2A
En consecuencia, la ecuación (1) tendrá por: C.S = Í-B/2A)
II) Si Bz-4ACfO, la ecuación w*=u tiene dos soluciones denotados por w» y w,
D
Como w = z entonces las soluciones de la ecuación (1) serán:
s y *« = - s -
Pero en la sección 9.10 vimos que w ^ - w , , por tanto, el conjunto solución
es: S = jw, - -w, - jjjJ, donde w, es cualquiera de las dos soluciones
B z-4AC
de: w 2 = - - . En resurten hemos demostrado el siguiente:
4A1
TEOREMA 9.2 El conjunto de soluciones de la ecuación:
Az1 +Bz+O0, A,B,CcC y AfO es:
l) j- jjf} si Bz-4AC-0 y
n ) {' Ú + w* ’ " si Bl~4AC*° -
donde w, es una de las soluciones de la ecuación: w 1 = B l-4AC
4AlSólo fines educativos LibrosVirtual

627. 614 C apitulo 9: Núm eros C om plejos
EJEMPLO 3. Resolver: z1-(3+2i)z+(5+Si)=0
Solución. Tenemos: A=1, B=-(3+2i) y C=5+5i
(1) Entonces: B 1-4AC = (3+2i)*-4(l)(S+5i) = -15-8Í i O
(2) Resolvemos la ecuación: ^ 31 = - - 2i
4AZ 4 4
(3) Elegimos una de sus raíces cuadradas: w» = -j - 2 i
(4) Entonces: - ^ + w, = + j - 2i = 2-i
~ é~ w * = ^ r ~ i + 2i = í+3i
(5) C.S = 1 2 - 1 ,1 + 3 i }
RAICES PRIM ITIVAS PE LA UNIDAD
________’___________
Si z = Tl/7 = 1 y l=CosO+iSenO, entonces las n-ésimas raíces de la
unidad, según el Teorema de Moivre, están dadas por:
v/k = Cos(~-)+iSen(^-), k=Q,l,2,...,n-l (I)
Si k=l - w , = Cos(£~)+iSen(2l) -*■ = C o s ( ^ ) + i S e n ( ~ l )
Se observa que: , k=0,l,2,...,n-l
Esto significa que todas las raíces de la unidad son expresadas como poten­
cias de w i, es decir, w, genera todas las n-ésímas raíces de la unidad, de
aquí que w, recibe el nombre de raíz primitiva de la unidad de orden n.
En general, si w es la raiz n-ésima de la unidad tal que sus potencias:
w para k=0,1,2,....,n-l, son diferentes
entonces se dice que w es una raiz primitiva de orden n de ¡a unidad.
En el ejemplo 2 determinamos tas raíces cúbicas de la unidad:
. l/3. I ■/3.
“ . = J , <■>: = - ~ 2 * 1 > > “* = " 2 - 1 '
De las cuales u, y son raíces primitivas de la unidad de orden 3, porque
para k=n-l •+ k-2, se tiene:
*
= (- 2 + ~2i)l = " 2 —2' = diferente a &>i
u>i = (--j - ^ji)1 = - ^ i - “ i, es diferente a
“>» = (l)1 = 1, es igual, ■+ «, no es raiz primitiva de la unidad de orden 3.
Observemos que: n=3 y k=2 son primos entre si, es decir, mcd(2,3)=l
En consecuencia, el número de las raíces primitivas de la unidad de orden nSólo fines educativos LibrosVirtual

628. Ejercicio: Grupo 61 615
se deducen del siguiente:
TEOREMA 9.3 Sea O k < n. Entonces es una raiz primitiva de
la unidad de orden n, si y sólo si n y k son coprimos
(primos entre si).
EJEMPLO 4. Determinar todas las raíces de la unidad de orden 6.
Solución. Las raíces sextas de la unidad están dadas por (I) para n=6, es­
tas son: = Cos(^-)+iSen(~) , k=0,l,2,3,4,5
Según el Teorema 9.3, elegimos k de modo que mcd(k,6)=l, esto ocurre para:
¡o=l y k=5, entonces:
w, = C os ( ~ ) H S e n ( ^ ) = CosS0, + iSen60' = j + ~ i
Wj = Cos(~)+iSen(^) = Cos300"+¡Sen300# = j - ^ i
EJEMPLO 5. Demostrar que si u es raiz cúbica primitiva de 1, entonces:
(l-<=)(l-^)=3. p
Demostración. En efecto, si » es raiz cúbica primitiva de 1, entonces w*
también lo es, pues el mcd(2,3)=l
Luego: (l-u)(l-al) = 1 - u* - u + u*
= 1 - + o* (1)
Pero: I + u + u l = 0 (Ver ejemplo 2) * u 1+u = -1
Por tanto, en (1): (l-a)d-m1) = 1 - (-1) + 1 = 3
EJERCICIOS: Grupo 61
1. Calcular todas las raíces que se indican:
a) Las raíces cuartas de z=-&+8/3i
b) Las raíces cúbicas de z=-8i
c) Las raíces quintas de z=16-16/3i
2. Calcular: a) " Z i l i b) c) ?/ i ~ * .
V / 3 H V / 3 - i V l + i / 3
3. Si o»! y a2 son todas las raíces de la ecuación x s=l/ hallar el va­
lor de: a) «{ + a* + wf b) + ui.u^ + Wj.ujSólo fines educativos LibrosVirtual

629. 616 C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
4. Demostrar que si z, es una raiz cúbica de z y si 1, ta y o 2 son las raí­
ces cúbicas de la unidad, entonces z,, z,.#, z,.»1 son las tres raíces
cúbicas de z.
5. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) z l+(l-5i)z-(12+5i)=0 c) (zs-iz2)-(2+2i)(z2-iz)+2(iz-l)=0
b) z 2-(3+2i)z+(l+3i)=0 d) z 2+(4+3i)z+(7+i)=0
6. Hallar todas las soluciones de las ecuaciones siguientes:
a) z*+8+8>/'3i = 0 d) z s+6+6/3i = 0 g) z*+(2i-3)z*+5-i = 0
b) z*+4 = -4/3i e) z*-2z2+4 = 0 h) 16z’ = (z+1)'
c) z ‘+7zJ-8 = 0 f) z'+4z2+16 = 0 i) z*-35z*-36 = 0
j) (z+3)*=16i
7. Si u es una raiz cúbica de la unidad, demostrar que:
a) (1+w2)* = u c) (1-üH-U2 ) (1+<I)-Cd2 ) = 4
b) (1-o>)(1-co2)(1-u.')(1-u5)=9
8. Si u es una raiz n-ésima de la unidad, hallar el valor de:
a) S = 1'+ 2u> + 3u 2 + . . . + nun ^
b) S = 1 + 4<a + 9oi2 +....+ n 2un ^
9. Sean m y nez+ y sea M un múltiplo de m y n, tal que MeZ+ . Si u, es raiz
m-ésima de 1 y tit es raiz n-ésima de 1, probar que b, .u, es raia M-ési-
ma de 1.
*
LA EXPONENCIAL COMPLEJA
___________________________
Si z=x+yi, se define exponencial de z como:
exp(z) = ez = ex (Cosy+iSeny)
donde ex es la función exponencial real y e es la base de los logaritmos ne
per i anos (e=2. 71828..)
Si z es un imaginario puro, esto es, si x=0 z = yi
luego, en la exponencial compleja se tiene:
exp(yi) = eyl = Cosy + iSeny
Pero: eZ = (eXCosy + iexSeny) ■* 0 = arcTan(e J*erV^) = arcTan(Tany)
e Cosy
-* 0 = y
9.16Sólo fines educativos LibrosVirtual

630. S e c c ió n 9 .1 6 : L a E x p o n e n c ia l C o m p le ja 617
1 9
luego, la relación: exp(ie) = e = Cose+iSene
es la llanada: fórmula de Euler o exponencial compleja.
Siendo la representación de un número complejo:
z = r(Cose+iSene)
la fórmula de Euler da lugar a una representación alternativa de los núme­
ros complejos en la forma exponencial:
¡8
z = re
donde: r=\z\ y e=Arg(z).
Ejemplos: z = i = Cos(v/2) + iSen(it/2) ■* z = e '^lr^2 '*
| Jf
z = -1 = Cosit + iSenu ■* z = e
z = 1 = CosO + iSenO z = e 1"® = e l3lt
z = -i = Cos(3*/2)+iSen(3v/2) - z = e ,(3r,/2) = e~l(*/2>
z = -4+4/3Í = 8Cis(2n/3) ■* z ¿ 8el2'"/3
Nota. Si en la fórmula de Euler: e lB=Cose+iSene, se sustituye 8 por
w I 0
(-6) se obtiene: e =Cose-iSene
De estas dos ecuaciones resultan las identidades:
Cose = -|(eí8+e íe) ; Sene = j(e‘B-e í9>
que son de mucha utilidad en demostraciones de identidades trigonom.
EJEMPLO. Hallar Cos’e en función de Coske.
Solución. Cose = -|(eI8+e I81 ♦ Cos*8 = -^(e3 ‘B+3e2 ‘Be 18+3ei8e 2iB+e 3 ‘B)
* Cos*8 = -|[ |(e3l9+e_3l8> + | f e ‘9+e“ ,9l ] = ^(Cos3s + 3Cose)
PROPIEDADES DE LA EXPONENCIAL COMPLEJA £§9.16.1
, z w z+w
E C. 1 : e .e = e
Demostración. En efecto, sean: z=x+yi , w=a+bi
(1) * ez = e^iCosy+iSeny) , ew = ea (Cosb+iSenb)
(2) ez.ew = [ex (Cosy+ i Senyj] [eu(Cosb+iSenb.)]
(3) = ex+a[(CosyCosb-SenySenb) + i(CosySenb+SenyCosb)]Sólo fines educativos LibrosVirtual

631. 618 C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
(4) ■* ez .ew = ex+a [Cos(y+bl + i Sen (y+bl] = ex+a. e1 (y+ó)
(5) * ez.ew = eíxtaJ + iíy+W =
EC.2: — ^ eZ_W
IV
e
EC. 3: ez t 0 , VzcC
EC.4: \ez \ = ex , y=Arg(z), donde z=x+yi
Demostración. En efecto, por definición: eZ = eX (Cosy+iSeny)
* |ez | = ex y/(Cosyll + (Seny)z = ex
Sí eZ = eXCosy + ieXSeny e = Arg(z) = arcTan(— ) = arcTg(Tgy)
eXCosy
•> e = Arg(z) = y
EC. 5: Si y es real -«■ |e1 ^| = 1
EC.6: ez = 1 z = 2nm' , -VneZ
Demostración. En efecto, sea z=x+yi
(1) * eZ = eX+yí= ex .e1^’ = eX (Cosy+iSeny) = eXCosy+ieXSsny
(2) Si ez=l * exCosy+iexSeny = 1
X X
(3) Por la igualdad de complejos: e Cosy = 1 ~ e Seny = 0
(4) Como ex ¿0, entonces: Seny=0 *-* y=kv , k¿Z
k
(5) Ahora, si y=kv * Cosy = Cos ¡cu = (-1)
m L* 9I /1 *Y* L»
(61 Luego, en la primera igualdad de (3): e (~1) = 1 = (-1) -» e =(-11
(71 Pero ex > 0 -*• k=2n - = 1 ** x=0
fe~ = 1 *» x=
'■y = 2nu
(81 Por ¡o tanto: z = x+yi = 2nir¡ , -VtaeZ
(91 Recíprocamente, si z=2nisi ■* eZ = e ^ 1* 1 = Cos2nv + iSen2mt = 1+Oi = 1
EC. 7: eZ = ew ~ z = w2ki,i, ¥keZ
EC.8: (ez)n = e"Z , VncZ
9.16.2 OPERACIONES EN LA FORMA EXPONENCIAL
Las fórmulas relativas al producto, cociente, potenciación y radí
cación de números complejos en la forma polar son similares para dichas ope
raciones en la forma exponencial. Esto es:Sólo fines educativos LibrosVirtual

632. Sección 9. ¡6: La E xponencial Compleja 619
O
i 8, i 8,
2i .Zz = Kie ‘.rxe * r,.rte
ifs.+ej
iíj 4 i = ü4^ = ( ^ ) e i(^ - 6l)
rxe * 1
2t
n, i8.n n ín9
= (re ) = r ei i i) z
iv) z1/n = (reÍB)1/n = neZ+ y , .,n-I
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Si z = -■| + y w = - y - , determinar zn W \ don­
de n es un número entero.
Solución. Expresando z y w en su forma polar obtenemos:
z=Cis(2v/3) y w=Cis(4v/3) (Verificar)
. n n „ ,2nn, ,2nn. „ ,4ntr. _,4nn. ...
Luego: z + w = Cos(— jr)+tSen(~^~) + Cos(-j-)+iSen(-^~) (1)
Pero: Cosl20‘=-Co$60,> y Cos240[,=-Cos60' - Cosí-— J = Cos í y p )
Senl20‘=Sen60' y Sen240,=-Sen60l‘ * S e n < ~ ) = -Senf— 1)
Por tanto, en (1): zn + vP = 2Cos(^~-)
EJERCICIO 2. Aplicar la potenciación de números complejos para expresar
Tg6B en términos de TgB.
Solución. Por el Teorema de Moivre: Cos6B+iSen6B = (CosB+iSenB )•
Desarrollando la potencia y luego ordenando las partes reales y
las partes imaginarias, obtenemos:
Cos6B+iSente= (Cos,B-l5Cos*BSenzB+l5CoszBSen*B-Sen,e) +
+ i(6Cos‘BSenB-20Sen>6CosíB+6CosBSens6)
Por igualdad de números complejos:
Cos6B = Cos‘8-15Cosi,eSenz8+15Cos1eSen'e-Sens8l + Tanóe - SenSe
SenSB = 6CosiBSenB-20SeniBCos,B+6CosBSensB J C os6b
Finalmente, dividiendo cada término del numerador y denominador de TanSB en
tre Cos'B, resulta: Tan6 8 = 6Tani-20Tanz8+6Tan58
l-lSTan's+ISTan'e-Tan'eSólo fines educativos LibrosVirtual

633. 620 C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
EJERCICIO 3. Sea zeC, zfz„, demostrar que: (zn) = (z)n
Demostración. En efecto, si z~relS z=re 10 .
n n in0 , n, n -in 6 ...
z = r e (z ) = r e (1)
- - i 8 ,-,n n - i n S
z = re -*■ (z) = r e (2)
Por tanto, de (1) y (2): (zn) = (z)n
EJERCICIO 4. Hallar todas las raíces de la ecuación: z*+z''+l=0
l / 3 ~
Solución. Sea z H=u ■» u2+u+I=0 ♦-» u = - j ± — ji
Expresando cada una de estas raíces en su forma polar se tiene:
Ui=Cis(120‘) y Ui=Cis(240°)
Luego; si z" = Cis(120’) * w . = Cisi-20*2^ ), k=0,l,2,3
z“ = Cis(240°) ■* = Cis(240j2kv), k=0,1,2,3
Se deja al lector hallar las 8 raíces dando los respect ivos valores de k pa
ra cada z', luego ubicarlas en un plano complejo.
EJERCICIO 5. Si z=(/5-l) + (/3+l)i, hallar Re(ziz).
Solución. | z | = /(/3-l)z + (/3+l)z = /8 ; Tge = = 2+/3 - 6=75°
/3-i
Luego: z = /8Cis(75°) - z 12 = (/8)lzCis(12x75a) = 86Cis(900‘J
z 12 = 8lCis(180'1) = 8 6 (Cosv+iSemt)
Re(zlz) = 2 1,Cosn = - 2l'
EJERCICIO 6. Si | z 1 1 =S y Arg[z(l+i)]=u/6, hallar z en forma exponencial.
Solución. jzi | = |¡'|lz l = l2 l- Sl z=x+yi y |z|=8 -*• x z+yz=64 (1)
Arg[z(l+i)]=n/6 * Arg(x-y,x+y)=n/6 + = Tg(^) = -1-
x x 0 /3
♦ /3(x+y)=x-y
de donde, elevando al cuadrado obtenemos: 2xy = -32 (2)
Sunando (l)+(2): x z+2xy+yz=32 + (x+y)z=32 ■*->■ x+y = ±4/2 (3)
- /3(±4/2) = x-y - x-y = ±4/6 (4)
De (3) y (4) obtenemos cuatro soluciones:
x = 2(/2+/6) , x = -2(/6+/2) , x = 2(/2-/H) , x = 2(/6-/2)
y = 2(/2-/6) , y = 2(’/6-’'2) , y = 2(/2+S6) , y =-2(^6+^!)Sólo fines educativos LibrosVirtual

634. S e c c ió n 9 .1 6 : L a E x p o n e n c ia l C o m p le ja 621
(1) Tga = 2('/2/ V = -2+/J , x>0 , y<0
2(/2+/6)
= 360‘-15° = 315c = II* z = Se
6, en el IV cuadrante
i23i/12
(2) Tg82 = = - 2 + / T , x < 0 , y > 0 + 8, en e ¡ II cuadrante
-2(/6+S2)
e,= 180°-15* = 165‘ =
11
12*
z = Se
illn/12
(3) Tge, + 2{/2+/s) _ _2 _ /3 > ^<0 ; en e j cuadrante
2(/2-/6)
e,= 180'-75* = 105* = jf - * 8e
i7n¡12
(4) Tge. = - = -2-/3 , x>0 , y<0 •» e, en eí ÍV cuadrante
2(/6-/2)
+ 8,= 360'-75° = 285° = j|* ■* r = 8ell9*/12
EJERCICIO 7. Sean zl,zleC, demostrar que Cosy = £fl£¿i£i2, donde y es el
Iz iI Iz *I
ángulo comprendido entre los radios vectores que representan a zz y zz.
Demostración. En efecto, sean los complejos:
i a ’ ’ i 8
z, = r,e y zz = rze
Zi-Zj = ri.rle‘^a r1rzCis(u-s)
Entonces: Re(zl.Tz) ~ r,rzCos(a-&)
= |z! j |z2 |Cos<l>
Re(z1.zz) ■
de donde: Cosi> =
\Zl\\Zz\
Im
1 z
/
A *
0
EJERCICIO 8. Demostrar que si a I$=l y u41, entonces:
1 + 2u + 3ü2 + . . + ISu1
19
u-1
Demostración. En efecto, si a 1,=l -*■ <ii‘*-i=0
(1) + (“>-l)(“>¡t+a'7 + . . . + u + 1) — 0
(2) Como “>41 + “>-140 + “>s> + tu1’ +. . . + “> + 1 = 0
(3)Entonces, sea: S - 1 + 2“> + 3“>7 + . . + 19U1*
(4) + <¡>S = “> + 2v>7 +. . + 18'»í* + 19“>‘
(5) Restando:S — lúS = 1 + a) + u l + .. . + u 1* - 19“>¡*
0
(6)+ S(l-u)= 0-19<ü19 + S = _Z£üilí =
Ül-1
19(1) _ 19
w-1 10-1
EJERCICIO 9. Sea z=x+yi tal que: z**=l y z-1 . Hallar:
Re(z + z7- + z* + . . . + z¡7).Sólo fines educativos LibrosVirtual

635. 622 C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
Solución. Sea S = z + z z + z’+. . . + z’ 7 = z(l + z + z1 + . . . + z ” )
-*• S = z(^jf ■ ) . Pero z3,=z ,7.z7 * z37.zl=l ■+ zí7 = l/z7-
. s .
z+1) _ _ r(x+l ,y,h __r / (x+Dx+y1 xy-y(x+l) \ -j
2 L (x,y) -I «A x l+y/ ’ x l+yl / J
/ x ^ x f _ - y _ \ ^ Re(s)
V x 2+ y2 i ‘+ y V
x2+ y 2+x
x2+ y2
EJERCICIO 10. Uno de los vértices de un octógono regular coincide con el
afijo del complejo z=2Cosl5'-2iSenl5‘. Hallar los vértices
restantes (o una fórmula que permita calcularlos).
Solución. z=2[Cos(-15’)+iSen(-15’)]
Un octógono regular es descrito por los afijos de la raiz octava
de un determinado complejo. Ahora bien, sabemos que los argumentos de cada
raiz están igualmente espaciadas un ángulo a = ^ = 45’
Entonces, una fórmula que permite calcular los afijos de cada uno de los
vértices del octógono es:
z = 2[Cos(-15+45k)+iSen(-15+45k)] , k=0,l,2,3,4,5,6,7
Para k=0 - w,=2Cis(-15’) , k=4 - w^2Cis(165’)
k=l - w l=2Cis(30’) , k=5 * w í=2Cis(210‘)
k=2 » Wi=2Cis(75’) , k =6 - w i=2Cís(255‘)
k=3 ♦ w s-2Cis(120’) , k=7 - w 7=2Cis(300‘)
EJERCICIO 11. Determinar el total de números enteros positivos n de tres
.. , . . . . .1 /J. ,n 1 ¿3.
cifras que verifican la igualdad: (-j¡ + t) = j + —^i
Solución. Si 2 ~ g + ~ 2 ~ e (Verificar)
■* = -j + 2kT¡ (Igualdad de complejos)
de donde: n=6k+l , pero: 100 < n .£ 999 -» 100 < 6k+l ¿ 999
■* 16.5 < k ¿ 166.3 - 17 í. k 4. 166
Dado que, por cada k existe un n * n = (166-17)+1 = 150
EJERCICIO 12. Demostrar que para 9e[0,Pu] y n núnero natural:
.ItSenO+iCosQ ,n „ , ,» , ,n
I+Sen9-fCos8 ~ Cosln(2 ~ ^ + tSenln (2 ~Sólo fines educativos LibrosVirtual

636. S e c c ió n 9 .1 6 : L a E x p o n e n c ia l C o m p le ja 623
Demostración. En efecto, sean: z=l+Sene+iCose y w=l+Send-iCosB
■* z = Sen| + Sene + iSenfj - e) = 2Sen(| + j)Cos(^~ p+2iSen(^-^)Cos(^+ ~)
Pero, por ser complementarios: Cos ( + -|j = Senf^ - J.)
„„ , 1 1 6 , „ ,v 6. ,it 9. _ ,n 9,
-► z = 2Sen(-¿ + j)Cos(j - j ) + 2iSen(j + ^)Sen(^ - jJ
= 25en(| + fj[c°sf| - j ) + iSen(\ - |>] = 2Sen(~ + f)[ e,f ,,/4 ' 8/2>]
Por un razonamiento similar se demuestra que:
w = 2Sen(j + f;[Cos(| - |>-¡Senf| - f;] = 2Sen(j + |>[e' lf ll/ 4 ' e/2>]
r. , ,z>n in(Tt/2 - 9) _ ,ir ,u
Entonces: = e = Cosn (j - 9) + ¡Senn(j - 9.)
EJERCICIO 13. Dado 9efi, demostrar que si z + = 2Cose , entonces:
a) zm + - 4 = 2Cosme , mcZ+
m
z
b) zm - — = 2iSenme , mcZ+
m
z
Demostración. En efecto, sea z=r (Cose+iSene) + z _1= -í( Cose-i Sene)
Entonces: z + — ■ = (r + -j;)Cose + i(r - ^)Sene
Dado que: z + | es reaí * /mfz + í) = O
Esto es: (r - -j;)Sene = O ** (r - = 0) v (S e n e = 0.)
*-* r = 1 v 9=2ÍC¥
Para r=i -*■ z=Cose+iSene y z~1=Cose-iSene
-*■ zm - CosmB+iSenme y z~m = Cosme-iSenme
Por tanto, sumando y luego restando los extremos de ambas ecuaciones obtene
mos: a) zm + — = 2Cosme b) zm - — = 2iSenme
m m
z z
EJERCICIO 14. Si Sena+Senb+Senc=0 y Cosa+Cosb+Cosc=0, demostrar que:
Sen3a+Sen3b+Sen3c = 3Sen(a+b+c)
Demostración. En efecto, sean: A=Cosa+iSena , B=Cosb+iSenb , C=Cosc+iSenc
* A+B+C = (Cosa+Cosb+Cosc) + i(Sena+Senb+Senc)
Luego, si A+B+C=0 - [(A+B)+C]3=0 - (A+B) 3+3(A+B)1C+3(A+B)Cz+Cs = 0
- (A+B)'+C*+3C(A+B)(A+B+C) = 0 - (A+B)*+C3+3C(A+B)( 0 ) = 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

637. 624 C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
» (A+B)3+C3 = O - A 3+B3+C3+3AB(A+B) = O (Pero A+B=-C)
- A 3+B3+C3 = 3ABC
■* (Cos3a+Cos3b+Cos3c) + i (Sen3a+Sen3h+Sen3c) = 3( Co s ( a+b+c) + i Sen (a+b+c)}
Por igualdad de complejos, tomando la parte imaginaria obtenemos:
Sen3a+Sen3b+Sen3c = 3Sen(a+b+c)
» k
EJERCICIO 15. Sabiendo que ¥zeC, ez = 1 + ’Zl(jr;), demostrar que:
k=l K '
„ r3Sen2a r 3Sen3a r C o s „ .
rSena. + — +
---j-,— = e Sen(rSena)
Demostración. En efecto, sea: z = reia = rCisa
Desarrollando los tres primeros términos de la sumatoria se
r(Cosa+iSena) , z z z z 3
tiene: e ' Ti Y Y
rCosa irSena , rCisa ríCis2a r 3Cis3a
+ e .e = 1 + —j t + J T ~ +
---Y ~
-► er^OSa[Cos(rSena) + iSen(rSena)} = 1 + + r + — ^3^ °
Por igualdad de complejos, tomando las partes imaginarias obtenemos:
rCosa„ , „ , „ r3Sen2a r3Sen3a
e Sen(rSena) = rSena + y¡— +
----—
EJERCICIO 16. Demostrar que: + . . . = Senx
Demostración. En efecto, si en el ejercicio anterior sustituimos r=x y
a=*/2, tendremos:
_xCosK/2r,___ ..r.-..,11, . x 1Sen('t) . x 3Sen(3v/2) . x'Sen(2ii) ,
e Sen(xSen^) = xSen(-jj)
-+---j-,— + ---j-,----- + ----- +
x 3Sen(5*/2) x sSen(3rr) x 7Sen(7v/2)
+ r> f 6i
-------— r----
. e ' s e r v ^ d ) + j%°¿ + ^ ^ * ...
r. Senx = x - f¡ + - f , + ■ ■ ■
EJERCICIO 17. Para z=Cís(ti/4), hallar:
a) El módulo y el argumento de (l+iz)e.
b) Im(l+iz)‘ en sumas, usando el Teorema del binomio de Newton.
Solución, a) Sea 0=1’/4 + iz = i(CosQ+iSen&) = -Sen^+iCosB
+ 1+iz = (1-SenQ)+iCose = (Senn/2 -Sens)+iSen(*/2 -e)Sólo fines educativos LibrosVirtual

638. Sección 9.16: L a E xponencial Compleja 625
* 1+iz = 2Cos(~ + |)Sen(Z - ~) + 2iSen(| - j)Cos(~ - |)
Por ser complementarios: Cosf^ - ^|) = Sen(^ + -|)
* 1+iz = 2Sen(^ - |)[Cüs(^ + | ) + iSen(^ + -|)]
Pora e=u/4 + i+iz = 2Sen(*/8) [Cos(3i/8)+iSen(3s/8)]
+ ( l + i z ) ‘ = 2 ‘ S e n , (* /8 > [ C isC 9 n /4 > ]
- Mod(l+iz)* = 2 ' ( J ^y)' = (2-/S)s = 20-14¿? ; ArgCl+lz)* = 9*/4 =225*
b) (l+izl* = Í ( h ( l ) k (iz)6-k = Z f ^ f e i’ /2.eiei6-k
k=0 k=0 *
= j t ( 6X « Í('/2 +9))6~k = Z (6;.e‘7 l, / 2
fe=0 k k=0 k
Im(l + iz)‘ = ¿ f í > S e n f | + e)(6-Jc) = £ í£)Cos(6-(c)e
k=0 k=0
EJERCICIO 18. Simplificar: 2+(3)(2)Cose+(4)(3)Cos2e+ ... +(20)(19)Cosl8s
.. . íl98 , ie,,
sabiendo que: e =1 y e fl
Solución. Sean: A - 2+(3)(2)Cos8+(4)(3)Cos2B+ . . . + (20)(19)Cosl88
B = (3)(2)Sene+(4)(3)Sen2e+ . . . + (20)(19)Senl8a
Tomando el complejo unitario: u=Cose+iSene, obtenemos el complejo:
A+Bi = 2 + (3)(2)a + (4)(3)u1 + . . . + (20)(19)u'‘
Entonces, si Z=A+Bi, debemos simplificar A=Re(Z)
Luego, si: 2 = 2 + (3)(2)u + (4)(3)a1 + . . . + (20)(19)ul$
- u Z =
________________2 u + ( 3 K 2 ) t i ‘ + ■ ■ ■ + ( 1 9 ) ( 1 8 ) < * " + ( 2 0 ) ( 1 9 ) u l*
- (l-a)Z = 2 + 2(2)a + 3(2)n>2 + . . . + 19(2)a‘ * - (20)(19)<*1’
= 2 [1 + 2u + 3u 2 + . . . + Iftu1* ] - ( 2 0 ) ( 1 9 ) u * *
tp i i90
La expresión entre corchetes es = ■— j- (Ver ejercicio 8) y u1 ’=e =1
- (l-ulZ = 2(-i|> - (201(19) = -38(^— -y^-J - Z = - -r-Zfp (1)
!fl“ i ü)“ i U I ( U i /
u-l = Cos9-l+¡Sene = -2Sen2| + 2i5en|Cos| = 2¡Sen|(Cosj + iSenj)
- 2el'/2S e ^ ( e lt/2) + 2(Sen|)e¡í”/2+S/2')
1 e-H*/2+»/2) , -i(»/2+0/2) ,o-ií*+e)
- 2 S e n e /2 * ***&> en < ^ : Z =
---- : -------------------------
1 2 e ' 2Sen8/2 4Sen*8/2Sólo fines educativos LibrosVirtual

639. 626 Capitulo 9: Núm eros C om plejos
Entonces: A = Re(Z) = 380Cos(t/2+s/2) _ 38Cos(sfB) _ _ 380Sen*/2 + 38Coss
2Sens/2 4Sen 19/2 2Sens/2 2(l-Coss)
. _ ,HCose - 1.
•• A - J9f— T-losfl >
EJERCICIO 19. Hallar las raíces n-ésimas (n<18) de zcC, sabiendo que:
3 /3
= ( - £ ’
--2^ es una el fas y se conoce además que:
[ n - O C o s | | * - (1+i )Cos— sjn = 2n/2.i2"rl
Solución. | + ||» * Cosj|» = - Sen||»
* [íi-OCosf!» + CÍ+¿;Senj|»]n = 2" /2(eiV/2)2'n
- [ M - O C ó s H * + iCÍ-iJSenj|»jn = 2n/2(ei'/2)2~n
- [fi-i>(Cos||» * ¡Sen||»>]n = 2rt/2(e i1,/2;2 "n
Pero; I-i = S2Cis(7*/4) = S$exU/A
+ [/Ieí7*/4.eíiJ,/I2]n = 2n/2fe,,/2I2_n - ¿n/2 e i2n*/3 _ ¿n!2 (<¡i*/2 }2-n
de donde: » J(2-nJ + 2k», k=0.1,2,... ,n-l (Igualdad de complejos)
+ n = y(2k+l) , k=0,I,2, ..... n-I
Hallaremos n dando valores a k, tales que neZ+, esto es:
Para k=3 + n=8 (cimple con la condición: 6<18)
k=10 + n=18 (no cumple con la condición: 18 i 18)
Por lo tanto, se deben hallar las raíces sextas de z.
3 ^3 i 7w/6
Dado que: = ( - ,
--= 3e es una raiz sexta, es decir,
'/z = w k * z = (/3e,?t/6)* ? 27el7* = 2 7 e "
Por consiguiente, las raíces sextas de z están dadas por la fórmula:
w = / S C i s ( ^ ~ ) , k=0,l,2,3,4.5
EJERCICIO 20. Dado neZ+, convertir a producto la surta:
('l)CosnB + (”)Cos(n-l)e + (n.)Cos(n-2)S + . . . + (n)
v í a n
r\ n n
Solución. Sean: A = 'J?(t})Cos(n-k)Q y B = ^ (*})Sen(n~k)$
k=0 K k=0
n~k
Tomando el complejo unitario: z=Coss+íSens ■+ z =Cos(n-k)g+¡Sen(n-k)eSólo fines educativos LibrosVirtual

640. Sección 9.16: La E xponencial Compleja 627
n n -Ir
Pero: A+iB = £ i1}) [Cosfn-lcJ e+iSen(n-k)e] + A+iB = Z fiJ
k=0 k=0
n -Ir Ir
Por el binomio de Newton: (z+l)n = 2 (2.)zn (1) (2)
k=0 K
De (1) y (2) se deduce que: A + ÍB = (z+l)n
Ahora: z+1 = (l+Cose) + iSen& = 2Coslj + 2iSen^Cos~ = 2CospCosj + iSenp
Luego: (z+l)n = A+iB = 2nCosn ( p [Cosf^j) + iSen(^)]
A = Re(z+l)n = ¡flCosn(pCos(^j)
EJERCICIO 21. Convertir a producto la suma:
Cosx + (™)Cos2x + (pCos3x + . . . + (pCos(n+l)x
n n
Solución. Sean: A = £ (.)Cos(k+l)x y B = Z fySeník+Dx
k=0 k=0 K
k+1
Tomando el complejo unitario z=Cosx+iSenx * z =Cos(k+l)x+iSen(k+l)x
n n ir i
Luego: A+iB = Z. (?) ÍCosfk+i )x+iSen(k+l Jx] = 2 2 (2.)-2 +
k=0 k=0
n -Ir Ir
*■ A+íB = z ' ^ ( ,¿)(l)n (z) = z(l+z)n (Binomio de Newton)
k=0
Del ejercicio anterior: (l+z)n = 2nCosn (^) [Cos(^) + iSen(^)}
<► (l+z)n = 2nCosn (f)(einx/2)
Entonces: z(l+z)n = e ix.2nCosn ( p ( e Snx/2) .= 2nCosn ( p . e ‘(n+2}x/2
A = Re[z(l+z)n] = 2nCosn(j)Cos(n+2)j
EJERCICIO 22. Expresar en sumas y productos: (z + z)n
Solución, a) En productos: Si z=x+yi * x = j¡(z+z) (CC.l)
- (z + z f = (2x)n = (2rCosB)n = f írnCosn B
í 6
b) En sunas: z = rCisB = re
, -.n ■rr',n., ,k,-.n-k 'Q'.n., i B.k, -iB.n-k
(z + z) = ¿_,(¿(z) (z) = 2L.{^)(re ) (re )
k=0 k=0
* (z + zf = Z(")rn.e2kíe-ine = r V in9¿ (^(eí2eJk -
k=0 K k=0 k=0 KSólo fines educativos LibrosVirtual

641. 628 Capitulo 9: N úm eros C om plejos
E J E R C I C I O 23. Dado ne Z*, convertir a productos:
Cos2* + Cos23* + Cos25* +
......+ Cos2(2n-l)* - y
Solución. Basándonos en la identidad: C o s2* = y(l + Cos2*), la sum a dada se puede
escribir:
n n n
X c o s2( 2 k - 1)jc - y = | X [ 1 + Cos(2k - I )2jc] - ^ = f + T X c o s ( 2 k - 1)2* - \
k=l ¿ * k^l ¿ ¿ -
n n
X c o s2(2k - 1)* - y = 4 X c o s (2k - 1)2* ( 1)
k=l ' 2 L k=l
Consideremos el complejo unitario z = Cos2* + ¿Sen2* = e'2x
n n
y sean: A = X c o s ( 2 k - l ) 2 * y B = X Sen(2k - 1)2*
k=l k=l
n n n
-> A + / B = X c o s (2k - 1)2* + <Sen(2k - 1)2* = I z 2k'' = z X z{2i-~l)
k=l k=l k=l
l _ z2n rl —Cos2n(2x) —/Sen2n(2x) i
= Z ( T ^ ? “ ):=:ZI- 1 -Cos2(2x)-iScn2(2x) J
_ r2Seii2(2nj) -2iSen(2n*)Cosl2n*)i _ r-2iSen2nx(Cos2nx + iSen2n*)l
_ ZL 2Sen2 2* —2/Sen2* Cos2* J “ Z*- -2/Sen2x(Cos2* + ¡Sen2.v) i
, Sen2n* Sen2n* Sen4n.t
de donde: A+/B = ( — — -— )Cis2n* -* A = Re(A+/B) = (~z— -— )Cos2n* =■;
Sen2x/V" “ " ~ ~ v Sen2x ' 2Sen2*
1 v Sen4n*
Luego, en (1): y L Cos(2k - 1 )2* =
E J E R C I C I O 24. Convertir a productos:
1 - (" )Cos2* + )Cos4* - (¡j )Cos6* +
.....+ (-l)n( J )Cos2n*
Solución. Sea z = Cos2* + t'Sen2* -> zk = Cos2k* + iSen2k*
n n
y sean: A = 51 (-l)k(I )Cos2k* (suma dada), B = 51 (-l)k(¡ )Sen2k*
k=0 K k =0 *
n n
de m o d o que A+/ B = X (-l)k(¡ )(Cos2k* + iSen2k*) = X (-l)k(í )(z)k
k=0 k =0
n
= X (? )(-z)k(l)"'k = (-z + 1)" (Binomio de Newton)
k=0 11
Pero: 1 - z = 1 - Cos2* - /Sen2* = 2Sen2* - 2iSen*Cos* = 2/Sen*(Cos* + /Sen*)
= 2(e',*/2)Sen*(e11) = Sen*.e,u,c/2)
-» (l-z)“ = 2nSenn*.e'"(-‘ x/2) -» A = Re(l-z)" = 2nSen"*.Cosn(*-7t/2)Sólo fines educativos LibrosVirtual

642. S e c c ió n 9 .1 6 : L a E x p o n e n c ia l C o m p le ja 629
EJERCICIO 25. Hallar Im[(l-iz)n ¡, ncZ+, expresando en simas y productos.
ix
Solución, a) Expresando en sumas con: z=Cosx+iSenx=e
n , , n ,
(1-iz) = (-i z) = )(-iz)
k=0 k -0
- (l-íz)n = ¿ d)( e-i'/2.eixr k = ¿ (n)ei(x-v/2)(n-k)
k=0 k=0
n
Im[(l-iz)n ] = X C ) S e n í ( x - h(n-k)]
k=0 K *
b) Expresando en productos con z=Cosx+iSenx •* íz=-Serec+iCosx
i-iz = 1+Senx-iCosx = Sen| + Senx - t'Senfj - x,)
= 2Sen(í + |;CosC^ - f ) - 2 iSen- J)C os( | - i)
Pero: Cosf^ - = Senf-j + tj) , por ser complementarios.
* i-íz = 2Sen(¿ + §>[Cosí| - fj-ÍSen^- - j)] ‘
= 2Senf| + | ) [Cos(f - |j+¡Sen(f - = 2Sen(~ + .eÍ(x/2~*/4)
.'. Im[(l-iz)n ] = 2nSenn + |>.Senn(| -
EJERCICIO 26. Demostrar que si (n+l)x=ti, con n entero mayor que uno, en­
tonces: Sen2x + Sen12x + Sen23x + . . . + Sen1nx =
Demostración. En efecto, según la identidad: Sen2x = ~(l-Cos2x), se tiene:
n n . , n .
2 ]Senlkx = JZ ~?(I-Cos2kx) = -5 - -= 23 Cos2kx = •? - -5- (i)
k=I k=i . £ k=l ¿ ¿
i 2x
Sea el complejo unitario z-Cos2x+iSen2x=e
n n
Luego, si A = 23 Cos2kx * B = ^ Sen2kx
k=l k=i
n n . n . r . n
- A+iB = 21 (Cos2kx+iSen2kx) = 23 * ' = z Z - = zlrr2-)
k=I k=i k=I 1 z
t
I-Cos2rax-iSen2nxJ _ ^f2Sen1n x - 2¡SennxCosnxl
l-Cos2x-iSen2x J *- 2S e n 2x - 2iSenxCosx -*
_ T f~- 21 Sennx(Cosnx+ iSen n x)1 _ J>i x fS e n n x (e n
<- -2 i Senx( Cosx+ i Senx) J I- Senx(elx) 2
A+iB = ^ [ e' rn+i>"J * A = Re(A+iB> = ñ & ¿ f 0S(nH)x (2)
Dado que: (n+l)x=ii + nx=n-x * Sennx - Sen(v-x) = SenxSólo fines educativos LibrosVirtual

643. 630 C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
Luego, en (2): A = f ^ C o s n = -1 . Por tanto, en (1): J > n 2ta = - ^
EJERCICIO 27. Dado neZ*, convertir a producto:
C^)Cosra + (j)Cos(n-l)x + (^)Cos(n-2)x + . . . + Q
Solución. Sea el complejo unitario: z=Cosx+iSenx , y sea A la suma dada:
n n
A = H (?)Cos(n-k)x + B = X (?)Sen(n-k)x
k=0 k=0
' n n .
Luego: A+iB = 51 ('¿í [Cos(n-k)x+iSen(n-k)x] = 5] fijlz1 1
k=0 k=0
A+iB = 2Z (’¿ ) ( 1 ) zU = (1+z) (Teorema del Binomio)
k=0 K
= (l+Cosx+iSenx)n = (2Coszx/2 + 2iSenx/2Cosx/2)n
nn n .0 cc ■ n x«n nn„ n .x. r/-< /fix. • p .nx. >
- 2 Cos x/2(Cosj + iSen^) = 2 Cos (-^) [Cos(— ) + iSenf~) I
:. A = Re (A+iB) = 2nCosn (j)Cos(?j)
EJERCICIO 28. Calcular: Cos(-) + 2Cos(— ) + + (n-l)Cos2(n~1^
n n n
Solución. Sea el complejo unitario: z=Cosx+iSenx, donde: x=2n/n
Formemos el complejo A+iB en función del complejo z, de m o d o tal
que si: A = Cosx + 2Cos2x + 3Cos3x + . . . + (n-l)Cos(n-l)x
B = Senx + 2Sen2x + 3Sen3x + . . . + (n-l)Sen(n-ljx
+ A+iB = z + 2zz + 3z’ + . . . + (n-l)zn 1
+ z(A+iB) = z2 + 2z3 + . . . + (n-2)zn 1 + (n-l)zn
Restando ambos extremos de las dos igualdades obtenemos:
(1-z)(A+iB) = z + z1 + z3 + . . . + zn 1 - (n-l)zn
o . t-1
,, 5 , *, n ,1 z . / ^ , n
= z(l + z + z1 + z ) - (n-l)z = z( —j^£-)-(n-l)z
n . 1. n
- (n-l)z (1)
(1-z)1 1-z ' '
Pero: zn=l para x=2n/n (Verificar) . Luego, en (1): A+iB = (2)
z-1 = Cosx-l+iSenx = -2Senzx/2 + 2iSenx/2Cosx/2 = 2iSen~fCos j + iSerií]
= 2(eiV/2)Sen^[eix/2j = 2Sen\(ei(*/2+xl2))Sólo fines educativos LibrosVirtual

644. Sección 9.16: La E xponencial Compleja 631
Uiego, en (2): A+iB = +
A = Re(A+iB> - = <2s £ ¿ T2><-Se™ ' 2> = - T
EJ ERCICIO 29. Hallar las s u m a a : a) J - ( p + ( p ~ ( p +
___
• « k yll • yH > ,fl »
b; - <3) + (5) - <7> + . . . .
Solución. Sea el complejo: z = 1+i = </rS C i s ( ’*/4)
n
Por el Teorema del Binomio: (l+i)n = 2 1 (n)(l)n r(i)n
k-0 r
* (l+i)n = r ^ í + ( pt + (p i + (pi + ( pi + (pi + (pi + (pi +
... /H » » «fl « yH i * /fl « yfl » • y/1 » /fl X ■ «fl <
- i q) + ¡(¡I - (2) - + (4) * *($) ~ (q) ~ t(f) * ■ ■ •
- Re(l+if = < p - ( p + ( p - ( p + ... ; Im(l+i)n = ....
Pero; R ed+ Ü = S2Cos(*/4) + Re(l+i)n = ¿ " ^ C o sfn n /í)
Im(l+i) = /2Sen(*l4) - Im(l+i)n = /'l2Sen(ni/4)
Por lo tanto: a) 1 - + ( p - ( p . . . . = í l/2Cos(nn/4)
b) ( p - ( p + ( p - ( p + .... = 2n/2Sen(nw/4)
E JE RCI CIO 30. Demostrar que: 1 + ( p + ( p + ... = ^[2n~1+ 2n/2Cos(— )]
n - I r Ir
Demostración. En efecto, por el Teorema del Binomio: (a+b)n = £ ( p a n b
k=0 K
Si a=b=l * 2n = Z f i = ( p * <?>*♦ < P * < P - < P * ■ ■ ■
Sí a=l y b=-l + 0 = (~l)kp ^ ) = f y - ( p + ( p - ( p + ( p - ■ . .
Simando ambos lados de estas dos igualdades se tiene:
2n = 2[<n0) + ( p + ( p + ( p + . . . . ] + 2?1'1 = 1 + ( p + < p + ( p + .. .
Del ejercicio anterior: Re(l+i)n = 1 - ( p + ( p - (gj + . . .
Entonces: 2n~I + Re(l+i)n = 2[l + (n ) + ( p + . . . J
4 o
de donde: 1 + ( p + ( p + .... = + / ,/2 Cos(,£!^)]Sólo fines educativos LibrosVirtual

645. 632 C a p ítu lo 9: N ú m e r o s C o m p le jo s
EJERCICIO 31. Hallar la suma:
Cosa-Cos(a+x)+Cos(a+2x)~ . . . +(-l)n *Cos[a+(n-l)x]
Solución. Sea el coaplejo unitario: z = Cise = e lS. Si A es la suma dada,
n . . n . .
entonces: A = (~1) Cos(a+(k-l)x] y (-1) Sen[a+(k-l)x
k=l k=0
* A+iB = ¿ (.v ^ - \ e i í ^ ( k - l M = £ g i«(k-l) e i[a+(k-l)x]
k=0 k=0
_ g i(a-n-x) ^ [gi(v+x) jk _ g i(a-ir-x) g i (*+x) jp [gi (ir+x)}k-l
k=l k=l
** f1I+3:^n l ^i-Cosn(it +x)-iSenn(ir +x)iia fl - e iarl■
■ ' L,. ’ t •Cos Cn+x>-¡ Sen (v+x)
Procediendo como en ejercicios anteriores, obtenemos:
_ iaf Senn(v+x)/2 . e in<^+x^ 2 i
L Senil . e ^ * > ' 2 J
in(v+x)/2 , S e n f ^ x ) e¡a+(n.1)(^ )/2]
Sen(j + - ^ ) . e J Cosx/2
cv,„/n * , n x \
2 2 * . .n-1,
Cosx/2 2
Para n par: Senl^j + = ± Sen(nx/2)
Cos[(n-l)l + a + f^p.)jc] = ± Sen[a+(—^)x]
Para n impar: Sen(^jj + = ± Cos(nx/2)
Cos[(n-.¡,)|-+ a + (^y )xJ = ± Cosfa+f^pix./
, . Sen(nx/2) „ . ,n-l . ,
. . A =
-----— ■— - Sen[a + (— ñ~)x l . para n par
Cos(x/2) 2
A = C°s<nx/2J Cosía + (--Á)x] , para n impar
Cos(x/2)
EJERCICIOS: Grupo 62
, „ Í • n (11/3-lli) (9+9i)
1. Escribir en forma exponencial: z =
(-1+/3Í)(4-4i)
2. Calcular y expresar el resultado en la forma a+bi de: z =
3. Expresar Cos'x en términos de Cos4x y Cos2x.Sólo fines educativos LibrosVirtual

646. Ejercicios: Grupo 62 633
4. Expresar en términos sélo de potencias de Cosx.
Senx
5. Resolver las ecuaciones:
i/3 - 1
( - 4 / 3 - 4 ) + i ( 4 /3 - 4 ) . .
CJ = -i -1
z*
b) (z+1—i )* = 1 d) (iz- 1 ) 1 - z* = 0
6. Si z=rel8 , demostrar que la parte real de ’i/z+rVz" es 2. \/rC:os(— + ~ “ ) <
k=0,l,2,
___,n-l. Además, hallar la parte real de */T+i/3 + J/l-i/3
7. Para cada neZ , definimos: xn +iyn = (l+i/3)n con xn ,ynER. Demostrar que
2(n-l) ,
- ^ y ^ = 2 /%, W = Z - U » .
8. Demostrar que cualquiera que sea el complejo unitario z, entonces:
10. Si y es el ángulo comprendido entre dos vectores que representan a los
complejos z y w, demostrar que: z.w + z.vr = 2|z.w|Cos*.
11. Si z=3+4i y v=2+6i, hallar el coseno del ángulo comprendido entre (z-w)
y z-
12. Sean n c Z+ y aeR. Demostrar que:
b) Si »/-l , ia*=-l -*■ «'-«’+ti'-u+l = o
14. Si z=l+i/3, hallar: Re(z2“ ).
15. Si A=(zeC| | z+2-2/3i | / 2) ; hallar ZiEA de módulo máximo, z^eA de argu­
mento máximo.
16. Sea A=(zeC|l/5.í |z| -S 1, * /8 Arg(z) -í v/3), B={zeC|z£A). Graficar:
D=íizcC|zeB), y determinar la forma polar de zeD de módulo máximo y ar­
gumento mínimo.
|z-z2 | = 2| S e n ( ^ p ) |.
n .. i9 /, io> -i9 ,-, -i°\
9. Demostrar que: e (1-e )=e (1-e )
(l+Cosa+iSena)n = 2nCosn (-|) [Cos(^|)+iSen(^|))
13. Analizar la verdad o falsedad de:
17. Hallar Re(z), Im(z), tal que: (z+i)n = izn , neZ+Sólo fines educativos LibrosVirtual

647. 634 C a p itu lo 9 : N ú m e r o s C o m p le jo s
18. Simplificar: (1+iTanx) + (1-iTanx)
Demostrar que todas
reales y distintas.
19. Demostrar que todas las raíces de la ecuación (|+ i?)n = 2li neZ+ son
1-iz l-i
20. Si z + ¿ = 2Cos(4-), calcular: z* +
z 9 z*
21. En base a las expresiones de (l+i)n
a) Demostrar que:
(?) + i(?) - (?) - i(?) + (?) + ... + in (?) = 2n/2[Cos(2|)+iSen(-2|)]
b) Usando lo anterior, calcular: (^P) - í1?) + (*P) - (^P) + í1?)
1 3 5 7 9
22. Demostrar que:
a)(?)+
(5)+
b)(?)+
0 +
c)(?)+(?) +
v10;
lll'
= |[2n_1 + 2n/2Sen(-2|)]
. = ¿[2n_1 - 2n/2Cos(2|)]
. = ¿[2n_1 - 2n/2S e n ( ^ ) ]
23. Hallar la suma: (?) - ±(?) + |(?) - ¿¿(?) + . . . .
24. Demostrar que:
a) 1 + (?) + (?) +<?)+..
b) (?) + (?) + (?) + ( ^ ) +
c) (3) + (5) + (?) + «i") +
= 3[2n + 2003(2 5)]
. . = ^ [2n + 2Cos(2^ M
. . = -|[2n + 2Cos (~^~) * 1
25. Demostrar que:
Senx + Sen2x + Sen3x + . . + Sennx =
_ ,n+l. _ ,nx.
Sen(~2~ )x • Sen (— )
Sen(x/2)
26. Demostrar que:
1
+ Cosx + Cos2x + Cos3x + . + Cosnx =
_ ,2n+l.
S en (-5— )x
2Sen(x/2)
27. Hallar la suma:
Sena - Sen(a+x) + Sen(a+2x) -....+ (-l)n-^Sen[a+(n-l)x)
28. Hallar la suma:
Senx + (?)Sen2x + (?)Sen3x + . + (?)Sen(n+l)xSólo fines educativos LibrosVirtual

648. Ejercicios: Grupo 62 635
29. Hallar las sumas:
a) Cosx - (")Cos2x + (jJCosSx - . . . + (-l)n (^)Cos(n+l)x
b) Senx - (” )Sen2x + (í)Sen3x - . . . + (-l)n (n )Sen(n+l)x
1 2 n
30. Hallar la suma: Sen*x + Sen*3x + Sen*5x +....+ Sen*(2n-l)x
31. Demostrar que:
a) C o s’x + Cosl2x + ....+ Cos*nx
b) Sen*x + Sen*2x +....+ Sen*nx - f -
32. Demostrar que:
3Cos(— r- )xSen<— r) Cos{— q- )xSen(-rp)
a) Cos’x + C o s * 2 x + +Cos*nx = - . ■■ ■ +
.........
4Sen(x/2) 4Sen(3x/2)
,n+l, _ ,nx. _ ,3n+3. _ ,3nx.
3Sen (—5— ) xSen {—z) Sen(— r-)xSen(—5-)
b) Sen’x + S e n * 2 x + + Sen’nx =
--------------- - -—
4Sen(x/2) 4Sen(3x/2)
33. Demostrar que:
a) Cosx + 2Cos2x + 3Cos3x + .... + nCosnx = (n+l>C°snx-nCos(n+l)x-l
4Senl(x/2)
b) Senx -i- 2Sen2x + 3Sen3x + .... + nSennx = (n-tl)Sennx nSen(n+l)x
4Senl (x/2)
34. Hallar la suma: Senx - Sen2x +
__ + <—1)n *Sennx
35. Demostrar que: .
S e n í ^ J b .
a) Cosa + Cos(a+b) + ....+ Cos(a+nb) =
........ Cos(a + — r)
Senb/2
Sen(-0fi)b ^
b) Sena + Sen(a+b) + ....+ Sen(a+nb) = — — — Sen(a + -=•)
Sen(b/2)
36. Deido nez+ , demostrar que: 1 + T ‘. (?) ( Co3|cx ^ ^Cosí^-rjTg'
k=l K ' Cos x ' k=0
id
[Sugerencia: Desarrollar (1 + Q ^ g ) ]
37. Hallar el valor de Si si: S « Co3£* \
k=0 K V Cos x /
[Sugerencia: elx = Cosx(l+iTgx)]
k
■ xSólo fines educativos LibrosVirtual

649. 636 C apitulo 9: Núm eros C om plejos
38. Usando números complejos» convertir a producto: y Sen(— ~)X
k=l n
39. Calcular: ¿ C os^2nTI^' (Su9erencia: Hacer u - )
40. Resolver la ecuación en C: + (~|-)n = 2Cosa y mostrar que todas
sus raíces son imaginarias puras. (Sug. Hacer: u = ( ~ J ) n )
41. Resolver la ecuación: (1+z)s=(l-z ) 5
i ® n
42. Desarrollar en sumas y productos: Re(e -i)
43. Hallar el valor de: 23 (-l)*t+*Cos’(^jr?j
k=l
44. Hallar el valor exacto dé:
(/3).,(100) _ (/3)„ (100) + (/5)»*(1^0j _ (/3J..J100J + _ _
(Sug. Desarrollar: (•/3+i)1” ]
45. Demostrar que: 2nCos(2j) = ( J W ^ O W ^ O ) -(£)<3) + .... + <")(3 )n /2
siendo n un número entero positivo múltiplo de 4. [Sug. Des. (l+i»^3)n ]
_ .. i . n n**l n™2 n™3 . « . » .
46. Sea P(z) * z - z + z - 2 +.... -1, n íirpar# z^Cise# 2j*-l.
Hallar la forma polar de P(z). (Sug, Usar cocientes notables)
n k n k
47. Transformar a producto: a) 23 0 ( -*) CoskS : b) 23 )(—1 í Senko
k=0 k =0
48. Demostrar que: £ TgkxSec2kx -
n
49. Sin usar inducción matemática, demostrar que: 2 3 kCos(-^2.) = -y
k=l n x
50. Hallar la expresión más simple de: Cosx-Cos3x+Cos5x- .... +Cos(2n-l)x
51. Hallar el resultado de: Sen 5(l“) + Sen’(2*) +....+ Sen,(180’J
[Sug. Usar la identidad: Sen’x = 3Senx-Sen3x)]
52. Simplificar: 23 2^ ^Cos(2* ^x).Sen1 (2 kx)
k=l
n
52. Transformar a productos: 23 (t )Cos[k(a-b)+nb]
k=0 K
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

650. 637
Un polinomio en una variable com pleja z, es una función de la forma:
P(z) = a„z” + a .z " '1 +
................ + a ,z + a
v ' 0 I n-1 n
donde los números a.eC (i=0, 1, 2 ,
................, n-1) son sus coeficientes; a 0 es el coeficiente
principal, anes el coeficiente final o término constante, n=gr(P) es el grado del polinomio
siempre que aQ*0.
Observaciones:
(1) Si n = l, gr(P)=l —» P(z) = a |Jz + a | ; P es polinomio lineal.
(2) Si n=2, gr(P)=2 —» P(z) = a 0z2 + a (z + a 2; P es un polinomio cuadrático.
(3) Si n=0 y a 0* 0 -* gr(P)=0; P es un polinomio constante.
(4) Si n=0 y a„=0, el grado de P (polinomio nulo) se define convencionalm ente como -<*>,
esto es, gr(P)=-°°
(5) Si z=x+i (0) —» P(z) es un polinom io de variable real, esto es:
P(z) = P(jc) = a.xn + a tx*~x +
................+ a .x + a
' v ' 0 i n-1 n
donde los coeficientes as. K (K denota a los conjuntos Z, Q, I, R o C).
(6) Los polinomios con coeficiente principal 1 se llaman polinomios mónicos.
(7) Al conjunto de todos los polinomios en x, con coeficientes K, se denota por:
K(x) = (P(x)IP(x) = aQx" + QjX""1 +
....................+ an ¡x + an, n>0, a .s K )
rm IGUALDAD DE POLINOMIOS #
Dos polinomios P, y P, son iguales si, y sólo si, son del mismo grado y cada
coeficiente de P, es el mismo número que el correspondiente coefi-Sólo fines educativos LibrosVirtual

651. 638 Capitulo 10: P olinom ios
cíente de P*. Entonces se escribe:
P . = P ,
Esto es, si: P,(x.) = a ^ c1 + a,xn + ---- + an _ji +■ an
y P»fx; = b,xm + b,xm J +
- + b ^ x + í^,
Entonces: P,(x.J = P,(x) •*-» m=n ^ (a^ = b¿ , -Vi zN)
SUMA Y M ULTIPLICACION DE POLINOMIOS
_____________§ |
En el conjunto K(x) se definen las operaciones de suna (+) y otro de
producto (x) de la siguiente manera:
a) Suma: Dados P y Q tales que: P(x) = a,xn + a ixn ^ + .— + Qn _j3c + an
Q(x) = b»xn + bíxn * + .... + bn _jx + bn
Entonces: P(x) + Q(x) = (at+b¡,)xn + (ai+bi)xn 1 +
---+■ (an-l+bn-l^+an+bn
Se suma los términos correspondientes.
Aquellos términos en ¡os que el polinomio de mayor grado no tiene términos
correspondientes en el otro polinomio, permanecen sin cambio en P+Q.
EJEMPLO 1. Hallar la suma de: P(x) = 2x'+3x’-5x+2 y Q(x)=3xi-2x4‘+xl
Solución. Un polinomio esta completo si en su desarrollo existen todos los
términos que siguen al término principal. Como vemos, tanto P y
Q son polinomios incompletos, a P le faltan los términos en x s y x 1, y a Q
los términos en x* y x. Estos términos que faltan pueden escribirse con coe
ficientes nuios, esto es; P(x) = 0x*+2xl'+3x,+0x*-5x+2
Q(x) = 3x»-2x'+0x‘+xl+Ox+l
de modo que: P(x)-«i(x) = (0+3)x*+(2-2)x'+(3+0)x'+(0+l)xí+(-5+0)x+(2+l)
= 3x ‘+3x,+x*-5x+3
b) Producto. Si P(x) = a , x n + a , x n 1 + . . . . + an
y Q(x) = b,xm + b1xm_J + ....+ bm
Entonces, el producto P(x)xQ(x), es el polinomio definido por:
P(x)xQ(x) = ctxk +clJ c~1 + ....+ ck
Siendo: k=m+n y c¡ = aj-b.+aj-^b,* .... + a,b¡, con i=0,l,2, k
EJEMPLO 2. Hallar el producto de P(x)=2x3-3xt+l y Q(x)=x*+2x-3
10.3Sólo fines educativos LibrosVirtual

652. S e c c ió n 1 0 .4 : A lg o r itm o d e la D iv is ió n 639
Solución. Sean P(x)=a,xi+alx3’+azx+a 3 y Q(x)=btx*+blx+bt.
Vemos que gr(P)=3 y gr(Q)-2 ■* gr(P*Q)=3+2 =5
Memas: a,=2, al=-3, az=0, a,=l, at=a,=0 ; b,=l, b,=2, b2=-3, b3=b»=0
k k-1 k-2
Luego, para P(x)*Q(x) = c,x +czx +czx +
--- +cfc , se tiene:
c¡ = a¡bt + a¡_^bz + a ^ g b i + ....+ a,b¡ , i=0,l,2,3,4,5
- c. = a„b, = (2)(1) = 2
c, = a.b.+a.bj = (~3)(l)+(2)(2) = 1
c2 = ajb.+Oibi+a.bj = (0)(l)+(-3)(2)+(2)(-3) = -12 -
c, = a3b,+a2b3 + a3b2+a,, b3 = (■j;d;+('0;(,2; + f - 3 K - 3 > + f 2 K 0 > = 10
c, = a,b,+a3b1+a2b i+a1b3+a,b, = (0)(l)+(l)(2)+(0)(-3)+(-3)(0)+(2)(0) = 2
c¡ = a3b0+aHb3+a3b2+a2b3+a3b,+al!b3 = ('0>U)+f0;í2;+('JJ('-3>+f0;í0; +
+r-3Ko;+f2;fo; = -3
PCx>xQCx> = 2x*+x'-12x*+10xl+2x-3
La multiplicación de polinomios se puede hacer más rápidamente usando el me
todo de coeficientes separados, como se muestra en seguida, donde se puede
notar la similitud con el procedimiento para muítiplicar enteros.
2 -3 0 1
1 2 -3
-6 9 0 -3
4-602
-3 0 1
1 -12 10 2 -3
.'. P(x)*Q(x) = 2x¡ +x" -12x3+lOx1 +2x-3
ALGORITMO DE LA DIVISION
Existe algún entero no negativo q, tal que: 284 = 12xq?
La respuesta se puede determinar mediante el procedimiento de la división,
llamado algoritmo de la división:
284
24
44
36
12
IT
8
Como el residuo es 8, la respuesta es no. Sin embargo el algoritmo nos muésSólo fines educativos LibrosVirtual

653. 640 C a p ítu lo 1 0 : P o lin o m io s
tra que 284=(12)(23)+8; es decir, que 284 se puede expresar como el produc­
to de 12 por otro entero no negativo más un número menor que 12.
En general, si p y d son enteros no negativos, entonces el algoritmo de la
división nos permite escribir:
p = qxd + r, donde q,rtZ+ y r < d
Un resultado similar se tiene para polinomios.
Supongamos los pol inomios P(x)=2x‘> -5xz+x+12 , D(x)=xz-3x+2 y efectuamos la
división de P(x) entre D(x), recordando que debemos disponer cada polinomio
en potencias decrecientes de x, cuidando de poner cero como coeficiente a
las potencias de x que faltaran en P(x).
P(x) = + Ox3 - 5xz + x + 12
-2x“ + 6x3 - 4xz
8x3 - 9x2 + x
- 6x3 +18xz - 12x
- 3x + 2 = D(x)
2xl + 6x + 9 = Q(x)
9x1 - llx + 12
-9xl + 27x - 18
16x - 6 = R(x)
En resumen:
(1) Obtener el primer término del cociente (2x*) dividiendo el término ini­
cial del dividendo P(x) entre el término inicial del divisor D(x).
(2) Multipl icar el divisor D(x) por este término del cociente (2xz) y res­
tar el producto del dividendo P(x).
(3) Usar el residuo de esta resta, junto con los términos no útil izados del
dividendo, como nuevo dividendo (6x3-9xl+x) y seguir los pasos (1) a (3)
repectivamente, obteniendo cada vez un nuevo término del cociente.
(4) Cuando el residuo tenga grado menor que el del divisor (o que sea cero),
el proceso ha terminado.
En este ejemplo, el cociente es Q(x)=2xz+6x+9 y el residuo es R(x)=16x-6, de
modo que podemos indicar el resultado escribiendo:
2x'-5xz+x+12 = (x1-3x+2)(2x1+6x+9) + 16x-6
o sea:
P(x) = D(x)*Q(x) + fifi)
Este ejemplo ilustra el siguiente teorema conocido como algoritmo de la di­
visión.Sólo fines educativos LibrosVirtual

654. Sección 10.4:A lgoritm o de la D ivisión 641
TEORE MA 10.1 Dados un polinomio P(x) de grado n>l y un polinomio
D(x) de grado m, con 1 -í m 4 n ; entonces existen po
linomios únicos Q(x) y R(x), que tienen ¡a propiedad de que:
P(x) = D(x)xQ(x) + R(x)
en donde: gr[R(x)] < gr[D(x)]
Nota. Si al dividir P(x) entre D(x) se obtiene R(x)=0, es decir, si
P(x)=D(x)xQ(x), se dice que D(x) divide o es divisor o factor de
P(x). En cuyo caso se escribe: D(x)¡P(x)
E J EM PLO 3. Bajo que condición el polinomio x x+px +q es divisible por un
polinomio de la forma x x-mzc+1?
Solución. Sean P(x)=x'+pxx+q y D(x)=xxm x + 1 .
Dado que P es divisible por D, el resto de la división debe ser
cero y, por el Teorema 10.1: P(x)=D(x)xQ(x)
Como gr[P(x)}=gr[D(x)]+gr[Q(x)] * 4 = 2+gr[Q(x)¡ * gr[Q(x)]=2
Luego, si: Q(x)=axx+bx+c » x'+px^+q = (xx+mx+l)(axx+bx+c)
de donde: x'+pxx+q = ax',+(am+b)x1+(a+bm+c)xx+(b-mc)x+c
Por igualdad de polinomios:
Coeficientes de x ' : a = 1
" de x ’: am+b = O * b=-m
” de x l: a+brmc = p ■* l-mx+c = p (1)
” de x: b*nc = O * -m+mc = Q m=0 o c=l
Términos independientes: q=c ♦ q=l *+ m=0 o q=l
Entonces, en (1), existen dos condiciones:
a) Si m=0 -*• l*q = p ** q = p~l
b) Si q=1 * l-mx+l = p +-* m = ± /2-p
E J EM PLO 4. Calcular la raiz cuadrada del polinomio:
P(x) = 9x**6xx-23xx-3x+13
Solución. Dado que P(x) no es un cuadrado perfecto, la raiz cuadrada que
se busca tendrá la forma: A(x)=qxx+bx+c y el resto: R(x)=mx+n
Si considéranos a P(x) como dividendo, el divisor D(x) y el cociente Q(x)
serán iguales a A(x), entonces por el Teorema 10.1: P(x) = [A(x)]x+R(x)
-► 9x'+6x*-23xx-3x+13 = (axx+bx+c)x + mx+nSólo fines educativos LibrosVirtual

655. 642 Capítulo 10: Polinomios
de donde: 9x‘,+6x1-23x1-3x+13 = a ,x*+2abx*+(bl-2ac)xl+(2bc-nn)x+(cl-m)
Identificando coeficientes obtenemos: a=±3, b=±l, c=+4, m = 5, n=-3
A(x)-±(3x1+x-4) , R(x)= 5x-3
EJERCICIOS: Grupo 63
1. Multiplicar los polinomios:
a) P(x)=2x'-x3+ x 2+x+l , Q(x)=x2-3x+l
b) P(x)=x3+x 2-x-l , Q(x)=x2-2x-l
2. Efectuar la división con resto de:
a) P(x)=2x*-3x3+4x2-5x+6 entre D(x)=x2-3x+l
b) P(x)=x3-3x2-x-l entre D(x)=3x2-2x+l
3. Bajo que condición el polinomio x 3+px+q es divisible por un polinomio
de la forma x 2+mx-l?
4. Sin efectuar la división, demostrar que x H+2x3+5x2+12x-6 es divisible
entre x 2+2x-l.
5. Al dividir el polinomio x ,+a x 3+bx2-18x-12 por x 2+4x+3, el resto es 2x+3,
hallar a y b.
6. Calcular la raiz cuadrada de los siguientes polinomios:
a) P(x) = x •-12x3 +60x'-160x3+240x 2-192x+64
b) P( x ) = 16x 3 -40x3 +49x *-46x3 +29x 2 -12x+4
7. Hallar la condición para que el polinomio x*-2ax3+bx2-cx+l pueda ser un
cuadrado perfecto para todos los valores de x.
8. Determinar los valores de m y n para que el polinomio x*+mx3+nx2+12x+4,
sea un cuadrado perfecto.
*
LA DIVISIO N SINTETICA
______________________________' Q
Es un procedimiento práctico para obtener el cociente y el resto de
la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x-r), sin ne
cesidad de recurrir a la división ordinaria.
Supongamos el polinomio dividendo, de grado n:
P(x) = a,xn + a1jcn-í + ....+ + an (1)
10.5Sólo fines educativos LibrosVirtual

656. S e c c ió n 1 0 .5 : L a D iv is ió n S in té tic a 643
y el binomio divisor, de grado uno: D(x)=x-r
Entonces, por el Teorema 10.1: P(x) = (x-r)Q(x) + R (2)
donde R es un polinomio constante y Q(x) es un polinomio de grado n-1 , de
la forma:
Q(x) - b,xn 1 + bixn 2 + .... + bn-¿x + bn-i (3)
Sustituyendo (1) y (3) en (2) se tiene:
a,xn+a,xn 1+
--- +an lx+an = (x-r)(b,xn í+b,xn 2+ --- +bn-2x+bn-l*
- b,xn+(b,-rb,)xn 1+(bI-rb,)xn 2+ . . . .
+(bn-l'rbn-2)x + (R~rbn-1}
Por igualdad de polinomios:
Qo — be + be — Q|
ai = bi - rbe * b, = a, + rb,
ai = b z - rb, * bi = a2 + rb,
a , = b , - rb „ * b.=a,+rb~
n-1 n-1 n-2 n-1 n-1 n-2
a = R - rb , * R = a + rb ,
n n-1 n n-1
Estas relaciones nos permiten expresar los coeficientes sucesivos de Q(x) y
R en términos de los coeficientes de P(x) y Q(x) previamente determinados.
Para propósitos de cálculo, estas igualdades se pueden disponer de la forma
siguiente:
r
\
a# a x
1 s rb>
✓
a* ..
rb, ..
n-1
n-2
1 a
l n
| rbn-l
^ b í b i bz ..... b ,
n-1
1 R
Los números de la primera fila son los coeficientes de P(x) dispuestos en
forma decreciente respecto a las potencias de x. Como a,~bt, ésta se baja a
la tercera fila, luego, el producto rb, se escribe como primer elemento de
la segunda fila y se obtiene b,=a,+rb,. El producto rb, es el segundo ele­
mento de la segunda fila y b , es la sima de los elementos que están encima
de él, y así suces ¡varíente.
De la tercera fila de esta tabla escribimos el cociente:
Q(x) = b,xn 1+b,xn 2+
--- +bn-l • y el rest0: R ~ an+rbn-lSólo fines educativos LibrosVirtual

657. 644 C a p ítu lo 10 : P o lin o m io s
EJEMPLO 1. Obtener el cociente y el resto de la división de:
P(x)=2xi-14x,+8xz+7 entre D(x)=x+3.
Solución. Aqui r=3, se obtiene haciendo D(x)=0
Entonces, según el esquema anteriormente descrito se tiene:
2 0 -14 8 0 7
-3 * -6 18 -12 12 -36
■ Q(x)
2
=2x'-
-6
-6x,+4x1
4
-4x+12
-4
R=-29
12 -29
Observaciones:
(I) La división sintética también es aplicable cuando el divisor es un poli
nomio de segundo grado factor izable de la forma: (x-a)(x-b)
En efecto, si P(x) es el polinomio dividendo y x-a el binomio divisor, por
división sintética encontramos el cociente Q¡(x) y el resto R ¡, tales que:
P(x) = (x-a)Q¡(x) + R, (1)
Tomando Q l(x) como polinomio dividendo y x-b como binomio divisor encontra­
mos el cociente Q(x) y el resto R x, tales que:
Q z(x) = (x-b)Q(x) + R2 (2)
Sustituyendo (2) en (1) obtenemos:
P(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + R z(x-a) + R,
donde se observa que Q(x) es el cociente y el resto: R=Rz(x-a)+Rl.
EJEMPLO 2. Por división sintética, hallar el cociente y resto de la divi_
sión de P(x)=x',-3xs+5x2+22x-10 entre x z+x-2.
Solución. x z+x-2 = (x+2)(x-l) . Hallemos, sucesivamente Q¡(x) y Q(x) de la
división de P(x) entre (x+2) y (x-l), respectivamente:
.'. Q(x)=xz-4x+ll y el resto: R=3(x+2) +6=3x+l2Sólo fines educativos LibrosVirtual

658. Sección 10.6: Teorema del Resto 645
(11) La división sintética es tcsnbién aplicable cuando el divisor es un po­
linomio de segundo grado, factorizable o no factorizable, o un polino­
mio de grado mayor que 2. Esta división se realiza por el llamado método de
Homer. Se ilustra con el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 3. Por división sintética, hallar el cociente y el resto de la
división de P(x)=12x'-13x,-57xz+32x+8 entre D(x)~4x*+5x-6
Solución. La disposición de los coeficientes del polinomio dividendo y di­
visor es como sigue:
Erplicación. En la primera fila, a la derecha de la línea vertical llena,
se colocan los coeficientes del dividendo P(x). En la columna
a ¡a izquierda de la línea vertical llena van los coeficientes del divisor
D(x), con los signos cambiados, después del primero; la segunda fila se ob­
tiene multiplicando -5 y 6 por 3 (que resulta de dividir el primer coefi­
ciente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor). Luego se su­
man los términos de la segunda columna (esto da -28), el resultado se divi­
de entre el primer coeficiente del divisor (esto da -7), que es el segundo
coeficiente del cociente. En seguida se obtiene la tercera fila multiplican
do -5 y 6 por -7; la suma de los términos de la tercera columna (que es -4),
se divide entre el primer coeficiente del divisor (esto da -1), que es el
tercer término del cociente. La cuarta fila se obtiene multiplicando -5 y 6
por -1. Cuando se ha obtenido el número de términos deseados del cociente,
el residuo se obtiene sanando las demás coturnos restantes (después de la
línea vertical punteada).
Q(x)=3xz-7x-l y R(x)=-Sx+2
TEOREMA DEL RESTO
__________________________________
TEOREMA 10.2 Si un polinomio P(x) se divide entre x-r, siendo r una consSólo fines educativos LibrosVirtual

659. 646 C a p itu lo 10: P o lin o m io s
tante arbitraria, hasta obtener un cociente Q(x) y un residuo R, entonces,
P(r) = R
Demostración. En efecto, por el algoritmo de la división:
P(x) = (x-r)Q(x) + R
Como esta igualdad es válida para todo x, en particular para x=r, entonces:
P(r) = (r-r)Q(r) + R
= ( O )Q(r) + R + P(r) = R
EJEMPLO 4. Hallar el resto de la división de:
P(x)=x'-2x3-24x1+15x+50 entre D(x)=x+4
Solución. Por el Teorema 10.2: R=P(-4)
- fi = (-4)"-2(-4)3-24(-4)1+15(-4)+50 = 256+128-384-60+50 = -10
Como se puede observar en este ejemplo, el cálculo de R resulta bastante la
borioso. La división sintética puede usarse ventajosamente para calcular fi,
cuando la sustitución directa de r por x se dificulte.
En efecto, por la división sintética:
1 -2 -24 15 50
-4 -4 24
o
-60
1 -6 0 15 -10
determinamos fácilmente que: R=-10 y además: Q(x)-x’-6xi+15
TEOREMA DEL FACTOR
_________________________________¡|¡
TEOREMA 10.3 Dado un polinomio P(x), un número r es raiz de P(x) si y
sólo si (x-r) es un factor de P(x).
Demostración. i) En efecto, por el Teorema 10.1: P(x)=(x-r)Q(x)+R
Por el teorema del resto: P(r)=R, pero como r es un cero,
es decir, P(r)=0, entonces R=0.
Por lo tanto, P(x)=(x-r)Q(x), luego, (x-r) es un factor de P(x).
i i) Recíprocamente, si x-r es un factor de P(x), entonces: P(x)=(x-r)Q(x)
Como el resto R=P(r) es cero, entonces: P(r)=(r-r)Q(r)=0
Significa que r es una raiz de P(x).
EJEMPLO 5. Determinar si (x-3) es factor de P(x)=x¡-8xz +9x+18.
Solución. Bastará comprobar que P(r)=P(3)=0
10.7Sólo fines educativos LibrosVirtual

660. S e c c ió n 1 0 .7 : T e o re m a d e l F a c to r 647
En efecto, P(3) = (3)‘-8(3)l+9(3)+18 = 27-72+24+18 = O
Luego, (x-3) es un factor de P(x).
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO 1. Determinar m y n de manera que el polinomio
P(x)=x‘> +x¡-llxl-mx+n sea divisible por x*-9.
Solución. x z-9 = (x+3)(x-3). Aplicando sucesivamente el método de la divi­
sión sintética para cada factor se tiene:
1 1 -11 -m n
-3 -3 6 15 -45f3m
1 -2 -5 15-m 3m+n-45 = R¡
3 3 3 -«
1 1 -2 9-m =Rz
Los restos R v y R t deben ser igual a cero, esto es, si: -
Rz=0 » 9-m=0 •* m=9 ; R,=0 * 3m+n-45=0 -* n=18
EJERCICIO 2. Si P(x) es divisible por (x-l)1, pero al dividir P(x) entre
(x-l) y luego este resultado entre (x-2) se obtiene 4 de re_
si dúo y S(x) de cociente. Hallar S(l).
Solución. Sea P(x)=(x-l)(x-l)Q(x).
Dividiendo P(x) entre (x-l) obtenemos el cociente: (x-l)Q(x)
Luego, dividiendo este resultado entre (x-2) se obtiene:
(x-l)Q(x) = (x-2)S(x)+4 + S(x) = ~ - - S(l) = 4
EJERCICIO 3. Si P(x)=x‘‘+x,-19x2+ax+b y D(x)-x2+x-20, determinar ¡a[+|b|,
sí a y b permiten que P(x) se exprese como P(x)=D(x)xQ(x ) ,
para algún polinomio Q(x).
Solución. D(x)=(x+5)(x-4). Si P(x)-D(x)xQ(x) + D(x) es un factor de P(x)
Por el teorema del factor: x=-5 y x=4 son raíces de P(x), luego,
por el método de la división sintética se tiene: (en la página siguiente)
Si R z=0 - a~l ; si R z=0 - b-5a+25=0 - b=-20
\a\ + |b| = 21Sólo fines educativos LibrosVirtual

661. 648 C a p ítu lo 10: P o lin o m io s
1 1 -19
a b
-5 -5 20 -5 25-5a
1 -4 1 a-5 b-5af25 =
4 4 0 4
1 0 1 a-1 =Rz
EJERCICIO 4. Si (xl-4)(x+3) son factores del pol inomio:
P(x)=xs+x'-9x3+mxz+nx+p, con m,n y p constantes en R, deter
minar el valor de E=m+n+p.
Solución. (x2-4.) (x+3) = (x+2)(x-2)(x+3) -*■ x=-2, x=2 y x=-3 son raíces de
P(x), entonces, por el método de la división sintética se tiene:
2
11-9 m n \ p
26-6 2m-12 \ 4mf2n-24
-2
1 3 -3 m-6
-2 -2 10
2m+n-12 4m+2n+p-24 =
-2m-8
-3
1 1 -5
-3 6
m+4
-3
n-20 = R 2
1 -2 1 m+1 = R,
Por el Teorema del factor: ñ 1=fi2=ñ,=0
Resolviendo cada ecuación obtenemos: m=-l , n=20 , p=-12 -+ E=m+n+p=7
EJERCICIO 5. Si (x-k) 1 es un factor del polinomio P(x)=x5 -5ax+4b,
mostrar que: a 3=bs. -
Solución. En efecto, por el Teorema del factor, x=k es una raiz doble. En­
tonces por el método de la división sintética se tiene:
1 0 0 0 -5a 4b
k k k* k> k' k*-5ak
1 k k 1 k 3 k"-5a k 3-5ak+4b
k k 2k2 3k3 4k'
1 2k 3 k 24k3 5k*-5a= Rz
Como R l=R1=0 - (5k'-5a=0) - f k 5-5alc+4b=0J - (a=k') - (b=k3)
de donde: a 5 = b*Sólo fines educativos LibrosVirtual

662. S e c c ió n 1 0 .7 : T e o re m a d e l F a c to r 649
EJERCICIO 6. Sea el polinomio P(x)=ix3+2x2-ax+7+2i. Al restar del resto
de P(x) entre (x-3i), el resto de P(x) entre (x-2i) se ob­
tiene b+i. Hallar el residuo al dividir P(x) entre (x-3i)(x-2i).
Solución. Por el Teorema del resto: R t=P(3i) y R t=P(2i) ;¡-
Si Rí-Rj = b+i + P(3i)-P(2i) = b+i (1)
P(3i) = i(3i),+2(3i)1-a(3i)+7+2i = 16+2i-3ai (2)
P(2i) = i(2i)3+2(2i)2-a(2i)+7+2i = 7+2i-2ai (3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1): 16+2i-3ai-7-2i+2ai = b+i + 9-ai = b+i
de donde: b=9 y a=-l + P(x) = ix3+2x2+x+7+2i
Por el método de la división sintética se tiene:
i 2 1 7+2 i
3 i -3 -3 i 9+3 í
i -1 1-3 i 16+5 i =
2 i -2
i -3 l-9i Rz
Luego: R = Rl(x-3i)+R1 - (1-9i)(x-3i)+16+5i = (x-ll)+(2-9x)i
EJERCICIO 7. P(x) es un polinomio que dividido entre x 1 +x+6 da como co­
ciente Q(x) y como residuo -5. Hallar, en términos de a, el
resto de dividir P(x) entre (x-u-1) sabiendo que Q(-a2 )=u y u 3=l, afl.
Solución. Por el Teorema 10.1: P(x) = (x2+x+6)Q(x)-S
Dado que: Iü3=l + (a-l)(a3+a+l) = O
Cano ufl •* a-lfO ■* o»1 +o>+1=0 + -a2=a+l
Por el Teorema 10.2, el resto de dividir P(x) entre [x-(u+l)] es P(u+1).
Pero: P(a+1) = P(-a2) = [(-u2)2+(-n2)+6]Q(-a2)-5 = (a3-a2+6)^-5
+ R = P(a+1) = u 3(u2-l)+6iü-5 = l[(-a-l)-l]+6a-5 = 5o>-7
EJERCICIO 8. P(x)=x2f(x)+xf(x2), P(x) es una expresión polinomial entera
Se sabe que Va,btC: P(a)+P(b)=P(a+b). Demostrar que:
P(2a+1)=0 si a 3=l , uti
Demostración. En efecto, si: P(a)+P(b)=P(a+b) + P(a)+P(-a)=P(a-a)=P(0)
Pero: P(0)=02f(0)+0f(02)=0 - P(a)+P(-a)=0 + P(-a)=-P(a)
Si u>3=1 + ta3-l=0 + (a-l)(a2+a+l)=0
Como o¡fl + a2+a+l=0 -»■ at+1 - + 2a+l - u-u¡2Sólo fines educativos LibrosVirtual

663. 650 C a p ítu lo 10 : P o lin o m io s
Luego: P(2u+1) = P(u-wz) = P(u)+P(-uz) (Por condición dada)
= P(u) - P(l>z) [P(-a)=-P(a)J
•* P(2u¡+1) = [uzf(w)+ f(az)l - la "f(a z)+uzf(a ")]
- <úZf ( ( ú ) + lú f( tllZ) - til* • lílf (wz) - wzf(u3.u)
- P(2a+1) = uzf(») + af(az) - uf(az) - azf(u) = o
EJERCICIO S. Dados los polinomios P(x)=x*+pxI+q y Q(x)=xz+2x+5. Cuáles
son los valores de p y q respectivamente para los que P(x)
sea divisible por Q(x).
Solución. Apiicaremos la división sintética de Horner:
Para que P(x) sea divisible por Q(x), el resto debe ser cero, esto es:
(12-2p=0) ~ (q-5p+5=0) -* p=6 ~ q=25
EJERCICIO 10. Hallar el valor de m para que el polinomio x*-7x+5 sea fac
tor de P(x)=x>-2x’'-4x*+19xz'-31x+12-m.
Solución. Según la división sintética de Horner se tiene:
Por el Teorema del factor: Resto - P(r) = O m-3=0 * m=3
EJERCICIO 11. Se sabe que: xn+pyn+qzn es divisible por x z-(ay+bz)x+abyz,
yfO, zfO. Demostrar que: + — = -1
^ n ,n
a b
Demostración. En efecto: x Z~(ay+bz)x+abyz = (x-ay)(x-bz)
Por el Teorema del factor: (x-ay)(x-bz)=0 <-*■ x=ay o x=bz
->-*• y = x/a o z = x/bSólo fines educativos LibrosVirtual

664. S e c c ió n ¡ 0 .7 : T e o re m a d e l F a c to r 651
Luego, si P(y) = P(^) = O - x 1 + p(j¡)n + qzn = O (1)
P(z) = P<£) = 0 -* xn + pyn + q(^)n = 0 (2)
Sumando (l)+(2), se tiene: 2xn + xn ( ~ + — ) + pyn + qzn = 0 (3)
- an bn
n ✓ ,» rc n n n n n
Pero, en (1): x + py. + qz = 0 + py + qz = -x .
En (3): 2xn + xn (2- + 3-) - xn = 0 - xn (l + 2- + 3L) = 0
an bn an bn
EJERCICIO 12. Para qué valores de m, (x+lfn-xn-l es divisible por x 2+x+l
Solución. Sean: P(x)=(x+l)m -xn-l y Q(x)=x2+x+l
Si u es una raíz de Q(x), satisface a la ecuación cúbica a3=l,
toda vez que: u 3-l=0 * (u-1)(u2+uh-1)=0 -*■ (ufl) ~ (u¡3+o>+1=0)
Es decir, las dos raíces primitivas de la unidadad de orden 3 de Q(iú)=0 son
1/3. l/3. '
“ l = ' 2 + ~2l y “ * = "2 " ~ 2 l
Pero: 1+u = -a3 = X es una raíz primitiva de la unidad de orden 6 (Ver págf
na 615). Luego, si ueP(x), determinaremos bajo que condiciones el residuo:
P(a)=0 ■* P(a) = (a+i)m-urn-i = xm -üF-l , pero: x 1 = (-u2)2 = b ’.u = (D
- p(a) = X ^ X 2"1-! , si m=6n+k, k=0,1,2, 3, 4,5
* P(u) = (X*)n (Xk)-(X*)2n(X2k)-l. Como: u 3=(\2) 3 » i=X6
* P( a) = Xk-X2k-1
Para: fc=0 ■* m = 6n ♦ P(n>) = 1-1-1 = -1 ¿ 0
k=l -(71 = 6n+l * P(ui) = X-X2-l = (l+u)-u-l = 0
k=2 - m = 6n+2 * P(u) = X2-X*-l = X2+X-l ¡í 0
k=3 - m = 6n+3 - P(u) = X*-X*-i = -1-1-1 = -3 t 0
k=4 * m = 6n+4 - P(a) = X'-X’-l = -X-X2-l f 0
k=5 - m = 6n+5 - P(a) = X3-Xl,-1 = -X2+X-l = 0
Por lo tanto, P(x) es divisible por Q(x) si: m-6n+l y m=6n+5
EJERCICIO 13. Demostrar que: x3m+x3n+*+x3P+2 es divisible por x z+x+l.
Demostración. Sean: P(x)=x3m+x3n+1+x3P*2 y Q(x)=x2+x+l ■* Q(a)=u2+u+l
Si w es raiz de Q(x) * a 3=l, ya que: u>3-l=0Sólo fines educativos LibrosVirtual

665. 652 C a p ítu lo 10: P o lin o m io s
' + (u-1) (u2+u+l) = O + (j2+íií+J =0 , vfl
Probaremos entonces que el resto: P(o)=0
En efecto: P(u) = <u'^n + a^n+^ + m^p+^ = (tu3/71 + (<i¡3)n .u + (a3)p .u2
= (l)n + (lf.u + (1)P .ü)2 = i+w+w2 - P(m) = O
Por lo tanto, P(x) es siempre divisible por Q(x), Vm,n,pcZ*
EJERCICIO 14. Bajo que condición: x2m+x2n+1 +x2p+2 es divisible por
x*+¿c2+l.
Solución. Sean: P(x)=x2m+x2n+1+x2p+1 y Q(x)=xt+x2+l=(x2+x+l)(x2-x+l)
En el ejercicio anterior demostramos que Q,(x)=x2+x+l es siempre
divisor de P(x). Nos queda averiguar bajo que condición P(x) es divisible
por Q t(x)=x2-x+l. Luego, si X es raiz de Qi(x) + X3=-l, ya que: X3+1=0
+ (x+l)(x2-x+l) = O + x2-x+l=0 , Xf-1
Si XzP(x), probaremos bajo que condición: P(X)=0
+ P(X) = (X3)m + (X3)n .x + (X3)P .X2 = (~l)m + (-l)n X + (~1)PX2
=(-l f - (~l)n+1x + (-1 )p x2
Cuando m, n+1 y p son pares + P(X) = l-x+x 2 = O
Cuando m, n+1 y p son impares + P(x) = -l+x-x2 = -(1-X+X1) = O
Por lo tanto, P(x) es divisible por Q(x) cuando los números m, n+1 y p son
simultáneamente pares o impares.
49
EJERCICIO 15. Si P(x) = JT(l-x6k+1+x6k+5)(l-x6k+5+x6k+7), hallar el res
k=0
to de dividir P(x) entre Q(x)=x2+x+l
Solución. Sea ueQ(x) + Q(ih)=ih2+u+1. Si u es raiz de Q(x) + u 5 =1, toda
vez que: u 3-l=0 + (w-l)(tú2+<ii+l)=0 +-+ ufl ^ a2+a+l=0
Por el teorema del resto: R~P(i»)
- P(u) = TTil-(t*3)2k.u + (t*3)2k.u3][l - (u3)2k.o3 + (m3)2k.»7l
k=0
49 49
= 11 (i-u+w3)(i-us+u7) = y y(i-u+u2)(i-u>2+u)
k=0 k=0
49 49 49
= J~f'(l+a>+a>2-2u)(l+u+iú2-2u1) = | | (0-2u)(0~2a2) = | | (4a3)
k-0 k+0 k=0
.’. Resto = P(a) = 4 3‘ = 2 “ "Sólo fines educativos LibrosVirtual

666. E je r c ic io s : G r u p o 6 4 653
1 . P o r d i v i s i ó n s i n t é t i c a o b t e n e r e l c o c i e n t e y r e s t o d e l a s d i v i s i o n e s s i
g u i e n t e s :
a ) P (x ) = x * - 2 x 3+ 4 x 2-6x + 8 , e n t r e D (x)= x -1
b ) P (x ) = 4 x 3+ 6 x 2-2 x + 3 , e n t r e D(x)=2x+1
2 . H a la r e l r e s t o q u e r e s u l t a d e d i v i d i r P (x ) e n t r e D (x ):
a ) P (x ) = x 5+ ( 3 / 2 - 2 ) x s+ 2/2+ 7 ; D (x) = X-/2+1
b) P (x ) = x * + ( l + 2 i ) x M l + 3 i ) x * + 7 : D (x) = x+2+i
c ) P (x ) = 4 x '- 1 6 x 3+ 9 x2+ 3x -33 ; D (x) = 2 x 2- 5 x -7
d ) P (x ) = 2 x '- 7 x 3+ 12x2- l l x - 7 ; D (x) = 2 x 2- 3 x - 2
3 . S i p a r a l a c o n s t a n t e keR , a l d i v i d i r e l p o lin o m io P (x )= k x 3+ 3 x2- 5 x - 4 e n ­
t r e x -2 d a p o r r e s i d u o 2 2 / h a l l a r e l v a l o r d e k 3- k 2+ 4.
4 . S i e l p o lin o m io P (x )= 2 x '-m x 3+ x 2-nx+ 2 e s d i v i s i b l e p o r x * + x -2 , h a l l a r e l
v a l o r d e E=n-m.
5 . H a l l a r e l v a l o r d e m s i e l r e s i d u o d e d i v i d i r x 3-5x+ 12 e n t r e x 2+m x-l e s
c e r o .
6 . S i - 1 e s u n a d e l a s r a í c e s d e l p o lin o m io P (x ) = a x 5+ a x '+ 1 3 x 5- l l x I-1 0 x - 2 a
y P ( l ) = k / h a l l a r e l v a l o r d e a + k .
7 . E l p o lin o m io P ( x )= x 3+ bx2+cx+d e s m ú l t i p l o d e ( x 2- 9 ) y a l d i v i d i r e n t r e
x+l# d a un r e s t o d e - 8 . H a l l a r b, c y d .
8 . Dado e l p o lin o m io P (x ) = x 3- 2 x '- 6 x 3+mx2+nx+p; h a l l a r m/ n y p , s i P (x ) e s
d i v i s i b l e p o r e l p r o d u c to ( x - 3 ) ( x + l ) ( x - 1 ) .
9 . P ( x ) : { x 2-3 x + 2 ) t i e n e como r e s t o a x + b . S i P ( l ) = 4 y P (2 )= 2 / h a l l a r a y b .
1 0 . S i e l p o lin o m io P ( x ) = x '- 3 a x 3+ a 2x 2+ma3x - n a ' e s d i v i s i b l e e n t r e e l p o l in o
mió Q (x)= x 2-a x + 2 a 2 / h a l l a r e l v a l o r d e (m+n)(m2-mn+nl ) .
1 1 . Qué v a l o r d eb e t e n e r k p a r a qu e e l p o lin o m io P ( x )=x 3+ 2x3 +kx' - x 3 + 2 (8+ k)x2
+ 6 x -1 8 , s e a d i v i s i b l e p o r x*+2x2- 3 .
1 2 . E l p o lin o m io P (x ) = x 5-5 a x + 4 b d a un c o c i e n t e e x a c to a l d i v i d i r e n t r e D(x)
= ( x - k ) 2 . H a l l a r b - a e n té r m in o s d e k .
c ) P ( z ) = 4 z s+ z 2
d ) P ( z ) = z 3- z 2- z
e n t r e D (z )= z + l+ i
e n t r e z - l + 2 iSólo fines educativos LibrosVirtual

667. 654 C apitulo 10: P olinom ios
1 3 . S i x + i e s un f a c t o r d e x 1- 2 a x , + (3 a + b )x -3 b y d e x * -( a + 2 b )x + 2 a , h a l l a r a b
1 4 . Un p o lin o m io d e t e r c e r g r a d o , cu y o c o e f i c i e n t e p r i n c i p a l e s l a i n i d a d
e s d i v i s i b l e p o r x * - x - 2 , y a l d i v i d i r p o r x - 3 d a d e r e s t o 2 0 . Qué r e s t o
d a r í a a l d i v i d i r d i c h o p o lin o m io p o r x+3?
1 5 . H a l l a r un p o lin o m io P ( z ) d e t e r c e r g r a d o , c u y o c o e f i c i e n t e p r i n c i p a l e s
l a u n id a d y q u e e s d i v i s i b l e p o r z * - z - 6 , y q u e a l d i v i d i r e n t r e z+1 s u
r e s i d u o e s 9 .
16. Determinar A y B d e tal modo que el trinomio Ax'+Bx’+l sea divisible en
tre ( x - 1 ) * .
1 7 . D e te rm in a r A y B d e t a l modo q u e e l t r in o m i o Axn+1+Bxn +1 s e a d i v i s i b l e
p o r ( x - 1 ) * .
1 8 . Al d i v i d i r un p o lin o m io e n t e r o P (x ) e n t r e ( x - 1 ) ( x - 2 ) e l c o c i e n t e e s e l
p o lin o m io Q (x) con té rm in o in d e p e n d i e n t e 2 . S i P (0 )= 1 1 y P ( l ) = 2 0 , d e t e r
m in a r e l r e 3 t o d e l a d i v i s i ó n i n d ic a d a .
1 9 . Hallar un polinomio de tercer grado tal que sea divisible por x -1 y al
dividirlo separadamente por (x + 1 ) , (x + 2 ) , (x+ 3) el resto es siempre - 9 .
2 0 . B a jo q u é c o n d ic io n e s e l p o lin o m io P (x )= x ^ m- x ^ n+^ + x '^ >f^ e s d i v i s i b l e p o r
x * - x + l.
2 1 . B a jo qué c o n d ic ió n e l p o lin o m io x ^ + x ^ l e s d i v i s i b l e p o r x * + x+ l?
2 2 . P a r a qu é v a l o r d e m, ( x + l ) m+xm+ l e s d i v i s i b l e p o r x * + x + l?
2 3 . P a ra q u é v a l o r e s d e m, ( x + l ) ln- x m- l e s d i v i s i b l e p o r (x * + x + l) * .
2 4 . P a r a q u é v a l o r e s d e m, ( x + l) m+xm+ l e s d i v i s i b l e p o r (x * + x + l) * .
2 5 . Dados ncZ+ i n p a r , meZ+ p a r y s i :
. 3n 3 n -3 , 3 n -6 , , n - l , ,
P (x ) = x - x +x - . . . . + ( - 1 ) x +x
. 3m 3m -3, 3m-6 , , , ,m - l , . t
Q (x) = x - x +x - . . . . + ( - 1 ) x +x
Demostrar que P (x )+ Q (x ) es divisible por x * + x + l.
2 6 . P a r a qu é v a l o r e s d e a y n e l p o lin o m io xn- a x n ^ + a x - l e s d i v i s i b l e p o r
( x - 1 ) * .
2 7 . D e te rm in a r p y q d e modo que P ( x ) = x 5-9x*+ px+q a d m ita e l f a c t o r x -5 y o ­
t r o f a c t o r x - a e le v a d o a l c u a d r a d o .Sólo fines educativos LibrosVirtual

668. Sección 10.8: R aíces de un P olinom io 655
RAICES DE UN POLINOMIO
Por el Teorema del Factor sabemos que dado un polinomio P(x) con grq
do mayor o igual que 1. un número r se llama raiz o cero del polinomio P(x)
si P(r)=0.
EJEMPLOS:
(1) P l(x)=2x*-5x-3, tiene por raiz r=3, pues: P, (3)=2(3)1-5(3)-3=0
(2) P t(x)=x>+2x*-5x-10, tiene por raiz r=/¡>, pues:
Pz(/5) = (SZ)'+2(/o)’--SSS-10 = 0
(3) P a(x) =x*-5x* +4x-20, tiene por raiz r-2i, pues:
P,(2i) = (2i)>-5(2i)1+4(2i)-20 = -8Í+20+8Í-2O = 0
Como se puede observar en estos ejemplos, existen polinomios con coeficien­
tes en Q que pueden tener raíces racionales (como Pi), raíces reales (como
Pi) o raíces complejas (como P¡), y como todo complejo se puede expresar en
la forma a+bí, donde a y b son números reales, ocurre que todo polinomio,
con coeficientes en R o- C, tiene sus raíces en C necesariamente.
Este importante resultado fue formulado por el fraces D'Alembert y demostra
do luego el alemán Gauss y que se conoce con el nombre de:
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Todo polinomio de grado positivo n:
P(x) = a,xn + ajOcn 1 + .... + an _ jX + an
con gr(P) i. 1 y a,fO, definido sobre el campo de los números compie
jos, tiene por lo menos una raiz, ya sea real o compleja.
Supondremos válido el teorema, ya que su demostración escapa a los alcances
teóricos del presente tratamiento.
NUMERO DE RAICES DE UNA ECUACION POLINOMICA Q
TEOREMA 10.5 Todo polinomio de la forma:
P(x) = a,xn + a,xn 1 + .... + an _ji + an , a,#0
tiene exactamente n raíces.
Demostración. En efecto, por el Teorema Fundamental, P(x) tiene al menos u
na raiz r, y por el teorema del factor: P(x) = (x-rl)Ql(x)Sólo fines educativos LibrosVirtual

669. 656 C a p ítu lo 1 0 : P o lin o m io s
Siendo Q,(x) el cociente de la división de P(x) por x-r¡.
Análogamente Q,(x) tiene una raiz r 2, de modo que:
P(x) = (x-rtHx-rtíQifx)
Como además cada nuevo cociente es de grado menor en una unidad al del co­
ciente anterior, podemos continuar el proceso hasta obtener finalmente:
P(x) = (x-rJlx-ri) .... (x-rn)Qn (r)
Dado que hay n factores (x-r¡), entonces Q n(r) debe ser la constante a0, en
consecuencia:
P(x) = a,(x-r,)(x-r1) .... (x-rn) (1)
donde cada r¡ es una raiz o cero de P(x).
Si en (a identidad (1) hacemos x=r, siendo r un número arbitrario, tenemos:
P(r) = a,(r-rl)(r-r1) .... (r-rn )
Si~rfr¡, Vi, ninguno de los factores (r-r¡) es cero, y como a,fO, f(r)fO, y
r no es cero de P(x); por lo tanto, hay exactamente n raíces, con lo que el
teorema queda demostrado.
MULTIPLICIDAD DE UN FACTOR
Definición. Una raiz r de un polinomio P(x), se dice que es de multiplici­
dad m >, 1, si P(x)=(x-r)mQ(x), donde Q(x)fO.
Por ejemplo, el polinomio P(x)=(x-l)(x+2)¡(x-4)1 es de grado 6 y sus raíces
son: 1,-2,-2,-2,4,4, y en donde:
r=l es una raiz simple
r=-2 es un cero de multiplicidad 3 o es una raiz triple
r=4 es un cero de multiplicidad 2 o es una raiz doble.
10.8.3MULTIPLICIDAD DE UN FACTOR
Por el Teorema Fundamental sabemos que todas las raíces de un
polinomio con coeficientes reales se encuentran en C, siendo algunas reales
y otras complejas.
Veremos en seguida que las raíces, tanto complejas como irracionales , se
presentan por pares.
TEOREMA 10.6 Sea P(x)=a,xn+alxn~1+ . . . +an_1x+an un polinomio real no
constante. Si un número complejo r=a+bi, b40, a,bcR es unaSólo fines educativos LibrosVirtual

670. S e c c ió n 1 0 .8 : R a íc e s d e u n P o lin o m io 657
raiz de P(x), entonces su conjugada r=a-bi también es raiz de P(x).
Demostración. En efecto, si r es una raiz, entonces P(a+bi)=0, esto es:
a,(a+bi)n + al(a+bi)n 1 + .... + an~i(a+bi) + an = O
Como los a. son reales, tomando conjugadas en ambos extremos se tiene:
at(a-bi)n + a¡(a-bi)n * + .... + an-i(a-bi) + an = 0
lo que demuestra que r=a-bi es una raiz de P(x).
Observación. El Teorema 10.6 es válido sólo si los coeficientes a¡ son núme
ros reales. Si los a¡ son números complejos no se puede asegu­
rar que si r es una raiz de P(x), entonces r también lo es.
Veamos un ejemplo, sea: P(x)=x,+2ix2--(l + i)x-7+6i
Podemos probar que r=2-i es una raiz de P(x).
En efecto, P(2-i) = (2-i),+2i(2-i)*-(l+i)(2-i)-7+6i
= (8-12i+6i*-i3)+2i(4-4i+iz)-(2+i-il)-7+6í
= (2-11 i)+(8+6i)-(3+i)-7+6i = 0
Ahora bien: P(r) = P(2+i) = (2+i)3 +2i(2+i)*-(l+i)(2-i)-7+6i
= (8+12¡+6i1 + i3) + 2 i(4+4i + i*) - (2+3i+i*)-7+6i
= (2+lli)+(-8+6i)-(l+3i)-7+6i = -14+20Í f 0
Luego, r=2+i no es raiz de P(x).
Corolario 1. Todo polinomio real P(x), con coeficientes reales y de grado
impar debe tener por lo menos una raiz real.
En efecto, si n=l, entonces:
P(x) = a,x+a¡, a tfO', a t,a¡^R ■* x = - — es una raiz real de
a.
P(x)=0. Si ni3 y rl=a+bi, bfO, es una raiz compleja de P(x), por el Teorema
10.6, rt=a-bi también es raiz de P(x).
Luego, por el teorema del factor: P(x) = (x-rL)(x-rz)Q(x)
= (x*-2ax+a2-b*)Q(x)
donde gr(Q)=n-2%l, siendo n-2 impar por ser n impar.
Si razonamos por inducción podemos afirmar que Q(x) tiene una raiz real que
también es raiz de P(x).
Corolario 2. Todo polinomio real P(x) con coeficientes reales puede expre­
sarse como producto de factores lineales y cuadrát icos con
coeficientes reales, correspondiendo cada factor lineal a un cero real y ca
da factor cuadrático a un par de ceros complejos conjugados.Sólo fines educativos LibrosVirtual

671. 658 C a p ítu lo 10: P o lin o m io s
EJEMPLO 1. Hallar todas las raíces del polinomio P(x)=xl,+xí+x1+llx+10,
sabiendo que una de sus raíces es l+2i.
Solución. Por el Teorema 10.6, si r ¡=l+2i es raiz de P(x) * rx=l-2i tam­
bién es raiz de P(x).
Formando una ecuación cuadrática de raíces r¡ y r 2 se tiene:
S = r l+rl = 1+2i+1-2i - 2 ; P = (l+2i)(l-2i) = 5
Luego, si D(x)=x*-Sx+P + D(x)=x1-2x+5
Dividiendo P(x) entre D(x) obtenemos el polinomio Q(x)=x2+3x+2, cuyas raí­
ces: x=-2 y x=-l son también raíces de P(x).
Por tanto, las cuatro raíces de P(x) son: l+2i, 1-2i, -2 y -1.
EJEMPLO 2. Hallar un polinomio con coeficientes reales, de
grado mínimo, que tenga como raíces rx=2 y rz=2-3i.
Solución. Por el Teorema 10.6, si rx=2-3i ■* r,=2+3i
Por el teorema del factor: P(x)=(x-r1)(x-r2)(x-r,)
* P(x) = (x-2)(x-2+3i)(x-2-3i) = (x-2)(x*-4x+13) = x ,-6x1+21x-26
TEOREMA 10.7 Si un binomio irracional a+/E es una raiz del polinomio
real P(x) con coefientes racionales, entonces el binomio
irracional a-/b es también raiz de P(x).
EJEMPLO 3. Hallar todas las raíces del polinomio P(x)=x‘,-9x‘+27xI-33x+14,
sabiendo que 3+S2 es una de sus raíces.
Solución. Por el Teorema 10.7, si r1=3+yS + rx=3-/2 es también raiz de
P(x). Formamos un polinomio cuadrát ico con r¡ y r2:
S = r1+rí = (3+/2)+(3-/2) = 6 ; P = (3+/2)(3-/2) = 7 * D(x)=x1-6x+7
Dividiendo P(x) entre D(x) obtenemos el polinomio reducido: Q(x)=xz-3x+2 cu
yas raíces x=l y x=2 son también raíces de P(x).
Por lo tanto, las raíces de P(x) son: 3+V2, 3-^2, 1 y 2
EJEMPLO 4. Construir un polinomio con coeficientes reales, de grado mín¿
mo, que tenga como raíces los números 1, 1+/5 y Si-
Solución. Sean r x=l, rj=i+/5 y rt=3i. Ahora, rx y r} admiten conjugadas,
entonces: rh=l-/5 y r¡=-3i ■» gr[P(x)]=5
Luego: P(x) = (x-1)(X-1-S5)(x-l+/5)(x-3i)(x+3i) = x ,-3x'+7x‘-23xl-18x+36Sólo fines educativos LibrosVirtual

672. Sección 10.8: R aices de un Polinom io 659
EJEMPLO 5. Construir una ecuación de grado seis, entre cuyas raíces se
encuentran los números: 1+i, 1+/S y 1/2.
Solución. Las conjugadas de 1+i y 1 + & son 1-i y 1-/2, respectivamente. Co
mo la ecuación buscada es de grado seis, las raíces serán:
r,=i+i, r 2=l-i, r 3= J + / f , r s=r,=2/2, es decir, 1/2 es una raiz do­
ble. Entonces: (x-r¡)(x-r1)(x-r3)(x-r3)(x-r3) z = O
- (x-l-i)(x-l+i)(x-l-/5)(x-l+/2)(x-l/2)1 = O
- (xt-2x+2)(xl-2x-l)(4xt-4x+l) = O - ■ix‘-20xi+37x'-32xs+5x1+6x-2=0
TEOREMA 10.8 (Regla de los signos de Descartes)
Si P(x)=0 es una ecuación entera con coeficientes
reales y con raíces reales, entonces:
a) El número de raíces positivas de P(x)=0 es igual al número de ya
riaclones (V) que presentan los signos de los coeficientes de
'P(x), o es menor que este número (V) en un número par.
b) El número de raíces negativas de P(x)=0 es igual al número de va
riaciones (V) que presentan los signos de los coeficientes de
P(-x), o es menor que este número (V) en un número par.
Esta proposición, conocida como la "Regla de los signos de Descartes", tam­
bién proporciona información acerca del número de raíces complejas. Sabemos
que si el polinomio P(x) es de grado n, entonces tiene exactamente n raíces
por tanto, el número de raíces complejas es igual a n menos el número de
raíces positivas y negativas.
EJEMPLO 6. Hallar toda la información posible acerca de la naturaleza de
las raíces del polinomio P(x)=x,+5x‘-x,+7x+2.
Solución. Por la regla de los signos de Descartes, tenemos:
P(x) = a:’ ~^ x J __+ 7x + 2
V V (2 variaciones)
P(-x) = -x’ + 5x* x*^ - 7x^+ 2
V V V (3 variaciones)
Vemos que P(x) tiene dos variaciones de signo, entonces la ecuación P(x)=0
tendrá, a lo más, 2 o 0 raíces positivas.
P(-x) tiene tres variaciones de signo, entonces la ecuación P(x)=0 tendrá,
a lo más, 3 o 1 raíces negativas.Sólo fines educativos LibrosVirtual

673. 660 C a p ítu lo 10: P o lin o m io s
Si designamos por C el número de raíces comple­
jas, el cuadro adjunto ilustra las posibles com
binaciones entre las raíces posi t ivas, negati­
vas y complejas. (La suma de cada fila debe ser
igual al grado del polinomio).
EJEMPLO 7. Determinar el mínimo número de raíces complejas del polinomio
P(x) = llx’+5x’-2x’+4x’+2xí-6x-2
Solución. Según la regla de los signos de Descartes, se tiene:
P(x) = llx* + 5x* - 2x’ + 4x’ + J x 1^- 6x - 2
V V V
P(-x) = - llx’ + 5x‘ ^ + 2x* + ^6x ^
V V V V
a) Raíces reates positivas:
P(x) tiene tres variaciones de signo.
Entonces, número de raíces positivas = 3 o 1 .
b) Raíces reales negativas:
P(-x) tiene 4 variaciones de signo.
■» Número de raíces negativas = 4 , 2 o O
c) En el cuadro adjunto vemos que el polinomio
P(x) tiene como mínimo 2 raíces complejas.
EJERCICIOS: Grupo 65
En los ejercicios siguientes, se dan una de las ralees del polinomio P(x).
Hallar las demás raíces.
1. P(x) = x*-6x1+14xI-14x+5 , x=2-i
2. P(x) = x*+2x5+5x2-2x+36 , x=-2+i/5”
3. P(x) = x'-3x’-6x1+14x+12 , x=l-/3
4. P(x) = 6x'+35xs-49xa+7x+7, x=-3+/2
Construir la ecuación de menor grado, con coeficientes reales, que tengan
las raíces indicadas.
5. x=-l, 3, l+i/3 6. x=2+4i, 2i 7. x=2, -3, 2-/S
8. x=l/2, -2+i,-1+2/2 9. x=2-i, l+/2,2,-l 10. x=l+i/3, 4+/2, 0, -1, -2
2
+ - C
3 4 2
3 2 4
3 0 6
1 4 4
1 2 6
1 0 8
+ - C
2 3 4
2 1 6
0 3 6
0 1 8Sólo fines educativos LibrosVirtual

674. S e c c ió n 1 0 .8 : R a íc e s d e u n P o lin o m io 661
Hallar toda la información acerca de la naturaleza de las raíces del polino
mió dado, por medio de la regla de los signos de Descartes.
11. P (x )= x 5 +4x7-6x 6+ 4x'-8 13. P(x)=8x7+4x5-3x'+5x 3-6x2+3x-2
12. P (x )=2x*-3x6- 9x5—x+5 14. P(x)=5xs-2x7+6x5+2x3-3x+5
15. Demostrar que el polinomio P(x)=3xs—x'+2x-8 tiene por lo menos dos raí­
ces complejas.
16. Demostrar que el polinomio P(x)=2x7- x l>+4 x 3— 5 tiene como roínimio cuatro
raíces complejas.
*
RAICES RACIONALES DE UN POLINOMIO
_____________Q
TEOREMA 10.9 (Teorema de Gauss)
Sea P(x) = a,xn+a¡xn .... +an _jjc+an , a,¿0 y an/0, un po
linomio cuyos coeficientes son enteros. Si el número racional p/q, expresa­
do en forma irreductible, es una raiz de P(x), entonces p es el divisor ex­
acto de an y q es un divisor exacto de a,.
Demostración. En efecto, como por hipótesis p/q es una raiz de P(x), enton
ces P(p/q)=0, esto es:
+ ....+ an-j,(E) + an = 0 (1)
Multiplicando por qn , obtenemos:
n n-1 n-1 n .
a,p + a,p q + .... + an_jpq + anq = 0
Pasemos anqn al segundo miembro y dividiendo la igualdad resultante entre p
, o , n
. • n-1 n-2 , , n-1 ,q .
se tiene: a tp + a^p q + .... + an-jq = ~an (j¡-)
Dado que cada a¿, p y q son enteros, el primer miembro de la igualdad es un
entero y, por ende, lo es también el segundo miembro. Además, p y q son pri
mos entre si, de modo que p no es divisor de q n ; luego, p es divisor exacto
de an .
Si en la ecuación (1), pasamos al segundo miembro a,pn y dividimos la igual
dad resultante por q, obtenemos:
n
a«pn-^ + aifP~2q + ....+ an-jpcf1-2 + anqn~J = - a,(£-)
10.8.4Sólo fines educativos LibrosVirtual

675. 662 C a p ítu lo 1 0: P o lin o m io s
y por un razonar ento similar, concluimos que q es divisor exacto de a,.
EJEMPLO 1. H' lar todas las raíces del polinomio
P(; =l2x"-44x>+37x1+llx-10
Solución. Divisores de an=-10: p = ± {1,2,51
Divisores de a,=12: q = ± {1,2,3,4)
Probables raíces racionales: r = £ = ±(1, \ \ • 2 > 3 >5 ' " f ’ J ' ^
(Nótese que hay en total 20 probables raíces racionales)
Por el teorema del resto hacemos la prueba con r=±l y encontramos que:
P(l)=6f0 y P(-1)=71J0. Entonces ±1 no son raíces de P(x).
Mediante la división sintética hacemos la prueba con x=2 y obtenemos:
12 -44 37 11 -10
2 24 -40 -6 10
12 -20 -3 5 0
Como el resto R=P(2)=0, x=2 es una raiz de P(x).
- P(x) = (x-2)(12x>-20x1-3x+5) (1)
Los otros factores probables de P(x) lo son de: Q(x)=12x’-20xz-3x +5
Usando nuevamente ¡a división sintética, encontramos que -2 y ±5 no son raí
ces de Q(x). Continuando el proceso, probamos con x=l/2
12 -20 -3 i 5
1
1/2 6 -7
! -5
12 -14 -10
Lj l
R=Q(l/2)=0 * x=l/2 es una raiz de Q(x) y, por ende, de P(x).
Luego, en (1): P(x) = (x-2)(x-l/2)(12x1-14x-10) = (x-2)(2x-l)(6xl-7x-5)
= (x-2)(2x-l)(2x+l)(3x-5)
lxeQ|P(x;=0} = {-1/2,1/2,513,2)
Corolario. Sea P(x) = xn+alxn . . . . +an-jx+an , un polinomio m¿
nico cuyos coeficientes son enteros. Si a,=l, entonces
cualquier número racional que sea raiz de P(x) es un entero y un di­
visor de an .
EJEMPLO 2. Determinar todas las raíces enteras del polinomio
P(x)=xh+2xl-13x*-14x+24
Solución. Los divisores de an=24 son: p = ± {1,2,3,4,6,12,24}Sólo fines educativos LibrosVirtual

676. S e c c ió n 1 0 .8 : R a íc e s d e u n P o lin o m io 663
Por el teorema del resto: P(1)=0 y P(-1)¿0. Entonces, mediante la división
sintética con x=l, se tiene:
1 2 -13 -14 24
1 1 3 -10 -24
1 3 -10 -24 0
* P(x) = <x-l)(x,+3x1-10x-24) (1)
Hagamos la prueba con x=-2 en Q(x)-x3 +3x1-10x~24
1 3 -10 -24
-2 -2
_o
¿
24
1 1 -12 0
Entonces en (1): P(x) = (x-l)(x+2)(x1+x~12) = (x-l)(x+2)(x+4)(x-3)
)jceC|P(x)=0l = i-4,-2,1,3\
Observaci on e s :
(1) Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales y positivos, la e­
cuación P(x)=0 no tiene raíces positivas.
(2) Si un polinomio P(x) tiene sus coeficientes reales y alternativamente
positivos y negativos, entonces la ecuación P(x)-0 no tiene raíces nega
tivas.
Por ejemplo: a) 2x'+7xl+7x+2=0 no tiene raíces positivas
b) 3x*-19x,+29x‘-29x+6=0 no tiene raíces negativas.
TEOREMA 10.10 (Teorema del Valor Intermedio)
Sea P(x) una función continua en [a,b] , entonces:
i) Si P(a) y P(b) tienen signo diferentes, es decir, si P(a)P(b) < O
entonces existe al menos un rc<a,b> o un número impar de ellas,
tal que P(r)=0
i i) Si P(a) y P(b) tienen el mismo signo, es decir, si P(a)P(b) > O,
ninguna raiz o un número par de ellas estarán en <a,b>
En la figura (1): P(a).P(b) < 0 •* 3re<a,b>\P(r)=0
En la figura (2): P(a).P(b) < O * a r , , rt, r,e<a,b>\P(r)=0
En la figura (3): P(a).P(b) > O * ¿re<a,i>>|P(r.)=0
En la figura (4): P(a).P(b) > O * ar,, r2c<a,b>\P(r)=0Sólo fines educativos LibrosVirtual

677. 664 C a p ítu lo 10 : P o lin o m io s
EJEMPLO 3. Determinar todas las raíces de la ecuación:
6x‘ -23x"+30x’-10xl-l6x+8=0
Solución. Sea: P(x)=6x>-23x+30xi-10x*-16x+8
Divisores de an=8: p = ±(1,2,4,8)
Divisores de a,=8: q= ±(1,2,3)
Probables raíces racionales: -£■ = (1,1/2,1/3,116,2,2/3,4,4/3,8,8/3)
P(0)=8 y P(l)=-5 * P(0).P(1) < O * src<0,l>\P(r)=0
Las posibles raíces son: r = 1/2 , 1/3 , 1/6 , 2/3
Hacemos la prueba con r-1/2
6 -23 30 -10 -16 1 8
1/2 3 -10 10 0\s
6 -20 20 0 -16
Ll
Luego, r=l/2 es una raiz de P(x)=0, y por el teorema del factor:
P(x) = (x-l /2) (6x' -20x3 +20x1-16) = (2x-l)(3xl,-10x,-H0xl-8) (1)
Haciendo la prueba con r=l/3 y r-2/3 en Q(x)=3x'-10x,+10xi-8 , encontramos
que ninguna es raiz de Q(x)=0.
Como Q(0)=-8 y Q(-l)=15 - Q(0).Q(-1) < O - are< -i,0>\Q(r)=0Sólo fines educativos LibrosVirtual

678. Sección 10.8.4: R a íces racionales de un polinom io 665
L a s p o s ib le s r a íc e s r a c io n a le s en ( -1 ,0 ) so n : - 2 /3 , - 1 /3 , -1 /2
H a c e m o s la p r u e b a c o n r = -2 /3
3 - 1 0 10 0 -8
-2 / 3
'I
- L S - 1 2 8
3 - 1 2 18 -1 2 0
L u e g o , r = -2 /3 e s u n a r a iz o x + 2 /3 e s u n f a c to r d e Q (x ).
-+ Q(jc) = (x + 2 /3 ) ( 3 x3 - 12x2 + 18x - 12) = (3 x + 2 ) ( x3 - 4x2 + 6x - 4 )
En (1 ): P (x ) = (2x - 1) ( 3 * + 2 ) (x3 - 4 x2 + 6x - 4 ) (2 )
S ie n d o Q j( x ) = x3 - 4 x2 + 6x - 4 un p o lin o m io m ó n ic o (a0 = 1) d e g r a d o im p a r, d e b e te n e r
p o r lo m e n o s u n a r a iz r e a l, e n te r a y p o s itiv a (lo s s ig n o s d e lo s c o e f ic ie n te s v a n a l t e r n a ­
d o s). E n to n c e s , h a c e m o s la p r u e b a co n r = 2:
1 -4 6 -4
2
2 - 4 4
1 - 2 2 0
Q ,(x ) = (x - 2) (x2 - 2x + 2); si x2 - 2x + 2 = 0 <-> x = 1 ± V Í - T = 1 ± i
L u e g o , en (2 ): P (x ) = (2x - 1 ) (3 x + 2 ) (x - 2 ) (x - 1 - i) (x - 1 + i)
( x s C l P ( x ) = 0 ) = { -2 /3 , 1/2, 2 , 1-1, 1 + 0
E J E M P L O 4 . H a lla r la s r a íc e s d e l p o lin o m io P (x ) = óx4 + 5 x3 + 19x3 + 15x + 3
S o lu c ió n . D iv is o r e s d e an = 3: p = ±{ 1 ,3}
D iv is o r e s d e ag = 5: q = ±{ 1, 2 , 3 , 6}
C o m o los s ig n o s d e lo s c o e f ic ie n te s d e P (x ) so n p o s itiv o s , la s r a íc e s r e a le s d e P (x ) = 0
d e b e r á n s e r n e g a tiv a s .
p
E n to n c e s , la s p r o b a b le s r a íc e s r a c io n a le s so n : q- = -{ 1 , 1 /2 , 1/3, 1/6, 3 , 3/2}
P (0 )= 3 y P ( - l)=8 - » P ( 0 ) .P ( - 1 ) > 0
P o r el T e o re m a 1 0 .1 0 , n in g u n a r a iz o u n n ú m e r o p a r d e e lla s e s tá n e n ( - 1 ,0 )
U s a n d o la d iv is ió n s i n t é t i c a h a c e m o s la p r u e b a c o n r = -1 /2 y r = -1 /3
i 3 5 19 15 3
-1/2
j -3 -1 -9 - 3
i 6
2
18 6 0
-1 /3
_2
0 -6
6 0 18 0
-+ P (x) = (x + 1/2) (x + 1/3) (6x2 + 18) = (2 x + 1) (3 x + 1) (x2 + 3)
{ x s C |P ( x ) = 0 } = { -1 /2 , - 1 /3 , -i-/}, tV T )Sólo fines educativos LibrosVirtual

679. 666 Capitulo 10: P olinom ios
j g g ACOTACION DE RAICES REALES
________________________
Una importante cuestión en el estudio de las raíces reales de un po­
linomio es la acotación de las mismas, es decir, la determinación de un in­
tervalo en donde se encuentran tales raíces.
Ilustraremos con un ejemplo el procedimiento a seguir para determinar dicho
intervalo.
EJEMPLO 5. Dado el polinomio P (x) = 1 2x í- 8x1 - 3j c+ 2 , hallar el intervalo
<m,M> tal que m<r<M, para toda raiz real r de P(x).
Solución. El método a seguir es el de las divisiones sintéticas sucesivas.
Se comienza dividiendo P(x) entre x-1, luego entre x-2, x-3, etc,
hasta obtener un residuo positivo o cero.
Veamos que información arroja la división entre x-1.
12 -8 -3 ¡ 2
1 12 4 ! 1
12 4 1 ( _ 3 _
~ P(x) - (x-l)(12xz+4x+l)+3 (1)
En seguida, dividimos el cociente Q(x)=12xz+4x+l entre x-1
12
* 1
1 12 16
12 16 17
- Q(x) = (x-l)(12x+6)+17 = (x-l)[12(x-l)+28]+17
- Q(x) = 12(x-l)*+28(x-l)+17
Sustituyendo en (1) obtenemos: P(x)=12(x-1)z+28(x-l)z+17(x-l)+3 (2)
En (2) se observa que todos los coeficientes de los binomios (x-1) son pos±
tivos, entonces P(x) > 0, Vx21. Luego, las raíces reales positivas de P(x)
no pueden ser mayores que 1. Es decir, M=1 es una cota superior de las raí­
ces reales y positivas de P(x).
Para determinar una cota inferior de las raíces reales negativas, hacemos
la sustitución: x=-y * P(-y) = 12(-y)z-8(-y)*-3(-y)+2 = -12ys-8yz+3y+2
Interesa que el coeficiente de y ‘ sea positivo, para ello hacemos:
- F(y) = -P(-y) = 12y’+8y*-3y-2
En este caso corresponde calcular una cota superior de las raíces reales de
F(y). Comenzaremos dividiendo F(y) entre y-1, luego entre y-2, y-3, etc, has
ta obtener un residuo positivo o cero.Sólo fines educativos LibrosVirtual

680. S e c c ió n 1 0 .9 : A c o ta c ió n d e R a íc e s R e a le s 667
12 8
-3
-2
1 12 20 17
12 20 17 15
F(y) = (y-l)(12y 2+20y+17)+15
Como el resto es positivo, es conveniente continuar la división por y-1, y
obtenemos: F(y) = (y-l)[12(y-l)l+44(y-l)+49]+15
= 1 2 (y-1)*+44(y-1) z+49(y-1)+15
Donde se observa que: F(y) > O, Vy>l. Como F(y)=-P(-y) ■+ P(-y) < O, ~Vy>l
Pero: x=-y ■* P(x) < O, Vx<-1
¡Mego, las raíces negativas no deben ser menores que -1, es decir, m=-l es
una cota inferior de las raíces reales negativas de P(x).
Por tanto, el intervalo buscado es <-l,l>.
En efecto, las raíces reales de P(x)=0 son: -1/2,1/2,2/3 y todas satisfacen
1 1 2
la propiedad: -1 < - '5<2< ~¡j K 1
Precisamos en este punto, lo que son las cotas superior e inferior de un
conjunto.
DEFINICION, i) Se dice que un conjunto AcR está acotado superiormente
si existe un número MeR, llamado cota superior, con la
propiedad de que: a 4 M, VaeA
ii) Se dice que un conjunto A c r está acotado inferiormente, si existe un
número meR, llamado cota inferior, con la propiedad de que:
m 4, a, VaeA
Existen varios criterios para determinar las cotas de las raíces reales de
un polinomio. El criterio elegido en el ejemplo S es el más sencillo de a­
plicar y, además, el que proporciona la mejor cota.
TEOREMA 10.11 Dado un polinomio con coeficientes reales:
P(x) = a txn + a txn * +
--- + an _jx + an , a,>0, an/0
Si c es un número real positivo, tal que la división de P(x) entre x-c
proporcionó un cociente con coeficientes no negativos b. y residuo R,
no negativo', tales que:
P(x) = a,(x-c)n + btíx-c)*1'1 + ....+ bn^j(x-c) + R
entonces c es una cota superior de las raíces reales positivas de P(x)Sólo fines educativos LibrosVirtual

681. 668 C a p ítu lo 10: P o lin o m io s
Demostración. En efecto, por el método de la división sintética s iene:
a, a 2 a 2- .■ ■ an-l an
c cat cbx cbn-2 rbn-i
a„ bx b2 i>n-l bn = R
donde at,b x,b2, ...., t>n—J y R=t>n son números positivos.
Si designamos por Q ¡(x) el cociente, entonces:
QxíxJ = a,xn 1 + b,ocn 2 + .... + bn _1
de modo que: P(x) = (x-c)Q1(x) + R ( 1)
Dividiendo nuevamente Q 1 (x) entre (x-c), se halla el cociente Q i y el re
siduo R 2, entonces: Q ¡(x) = (x-c)Q2(x) + R 2
Por razonamiento inductivo, en la última división se tiene:
Qn-l(x) = (x-c)a, + Rn
Sustituyendo estas igualdades sucesivamente en (1) obtenemos:
P(x) = a,,(oc-c)n + b ¡(x~c)n * + ....+ bn-i(x-c) + R, bjzR (2)
Si los coeficientes bj y R son todos positivos, se cumple que P(x)>0, ¥x>c;
luego, si reR es una raiz de P(x)=0, entonces r<c, es decir, c es una cota
superior de las raíces reales positivas de P(x), con lo queda demostrado el
teorema.
TEOREMA 10.12 Dado un polinomio con coeficientes reales:
P(x) = a^x1 + a ^ *+ .... + an-ix + an , a¡>0, anfO
Si c es un número real positivo tal que la división de P(-x) entre x-c
proporciona un cociente con coeficientes positivos y un residuo positi_
vo, entonces -c es una cota inferior de las raíces negativas de P(x).
La demostración de este teorema es una aplicación directa del teorema 10.11
Los dos teoremas anteriores se traducen en sendos criterios que permiten de
terminar las cotas superiores e inferiores de las raíces de los polinomios
con coeficientes reales.
Criterio 1. Si c es un número real positivo tal que al efectuar la divi­
sión sintética del polinomio P(x), con coeficientes reales, en
tre el binomio x-c, todos los números que aparecen en la tercera fila son
positivos, entonces c es una cota superior de las raíces positivas de P(x).Sólo fines educativos LibrosVirtual

682. S e c c ió n 1 0 .9 : A c o ta c ió n d e R a íc e s R e a le s 6 69
Criterio 2. Si c es un número real positivo tal que al efectuar la división
sintética del polinomio P(x ), con coeficientes reales, entre el
binomio oc-c, todos los números que aparecen en la tercera fila son positi­
vos, entonces -c es una cota inferior de las raíces negativas de P(x).
EJEMP LO 6. Dada la ecuación: 18xi-57x'+125x'-87xl-43x+20=0
a) Hallar la cota superior positiva y la cota inferior negati
va.
b) Presente el cuadro correspondiente al núnero de raíces positivas, negati
vas y complejas.
c) Hallar todas las raíces de la ecuación.
Solución, a) Sea P(x)=18xs-57x''+125x1-87xl-43x+20
- P(-x) = -18x>-57x''-125x1-87xz+43x+20
- P(y) = 18y¡+57y'+125y3 +87yl-43y-20
Cota superior positiva: En primer lugar, tomemos c=l
18 -57 125 -87 -43 20
1 18 -39 86 -1 -44
18 -39 86 -1 -44 -24
El residuo R=-14 es un número negativo, entonces corresponde tomar un c >1,
que puede ser c=2,3, pero ninguno de estos sirve (verificar). Luego, si c=4
18 -57 125 -87 -43 20
4 72 60 740 2512 9876
18 15 185 653 2469 9896
El residuo R=9896 y los demás coeficientes son todos positivos.
Luego, c=U=4 es una cota superior de las raíces reales positivas.
Cota inferior negativa. Basta hallar la cota superior de P(y).
Probemos con y=l 18 57 12 5 87 -43 -20
1 18 75 200 287 244
18 75 200 287 244 224
El resto R=224 y los demás coeficientes resultaron positivos. Luego, y=l es
una cota superior de P(y); pero como y=-x -* m=x=-l es una cota inferior
negativa de P(x).
Hemos hallado asi un intervalo <-l,4> en donde deben estar ubicadas todas
las raíces de P(x)=0.Sólo fines educativos LibrosVirtual

683. 670 Capitulo 10: P olinom ios
b) Por la regla de Descartes, las variaciones de signo son:
P ( . t ) = n S / - 5 7 * ‘ + 1 , 2 5 / - 8 7x; - 4 3a + 20
' V ' V 'V' V
4 variaciones —» Raíces reales (+ ):.4 ,2 o 0
P U ) = —1 S.v5 — 5 7 j:‘ — 1 2 5 .t5 — 8 7 / + 4 3 * + 20
'Y'
1 variación —» Raíces reales (-): 1
c) Divisores de a n = 20: p = ±(1, 2 ,4 , 5, 10, 20)
Divisores de a 0 = 18: q = ±(1, 2, 3, 6, 9, 18)
Probables raíces racionales: ~ = ± (1 , 1/2, 1/3, 1/6, 1/18, 2, 2/3, 2/9, 4/3, 4/9, 5/2, 5/3, 5/6,5/9,
5/18, 10/9, 20/9)
P(0) = 20, P( 1) = -24, P(2) = 250, P(-l) = -224
Por el teorema del valor intermedio: P ( 0 ) . P ( 1 ) < 0 - * 3 r, 6 (0,1) I P(r() = 0
P ( l ) . P(2) < 0 -> 3 r 2e (1,2) lp (r,) = 0
P(-l) . P(0) < 0 -> 3 r3s (-1,0) I P(r3) = 0
Por el proceso de la divición sintética verificar que con: x = 1/3 e (0,1), r = 4 / 3 s <1,2),
x = -1/2 6 (-1,0), los restos respectivos son ceros.
Entonces: P(*) = (Jt — 1/3) (x - 4/3) (jr + 1/2) (1 8jc2 — 36* + 90)
= (3 * - 1) (3 * - 4) (2 * + 1) (x2- 2x + 5)
{jceC I P(jc) = 0 ) = (-1/2, 1/3, 4/3, l-2i, l+2i)
E JE M P L O 7. Dada la ecuación 12*6 + 32r’ + 3-t4 + 7j3 + 32x? + 3x - 5 = 0
a) Aplicando la regla de los signos de Descartes, señale cuáles son todas las posibilidades de las
raíces positivas, negativas y complejas.
b) Factorizar la ecuación y de allí, hallar las raíces.
Solución, a) Sea P (j) = 12*6 + 32r’ + 3x* + 7x* + 3 2 *2 + 3x - 5
-> P(-Jt) = n / - 3 2 ^ , + — 3 jt — 5
Una variaciónde P(jt) —> Raíces (+): 1
5 variaciones en P(-jr) —> Raíces (-): 5, 3 o 1
Luego, todas las posibilidades de las raíces pósitivas
negativas y complejas se dan en tabla adjunta.
b) Divisores de an - 5: p = ±( 1, 5)
Divisores de a0 = 12: q = ±{1, 2, 3 ,4 , 6, 12)
Luego, el conjunto de las posibles raíces racionales de la ecuación es:
+ — C
1 5 0
1 3 2
1 1 4
+ ■ — r
4 1 0
T
i. 1 2
0 1 4Sólo fines educativos LibrosVirtual

684. Sección 10.9: A cotación d e Raíces Reales 671
P-+I» l i l i J. t i í 1 í i l
q " ~\2 ' 2 ‘ 3 ’ 4 ' 6 ' 12 ' 3 ’ 2 ’ 3 ' 4 ’ 6 ’ 12)
c) P(0)=-5, P(l)=84 - P(0).P(1) < O - sre<O,l>\P(r)=0
Cotno P(-1)=0, una raiz positiva en xc<0,l> puede ser: 1/3,1/2,1/4,1/6
Por el método de la división sintética probamos con x=l/3 y x=-l
12 32 3 7 32 3 -5
1/3 4 12 5 4 12 5
12 36 15 12 36
'
J5 0
-1 -12 -24 9 -21 -15
12 24 -9 21 15 0
- P(x) = (x -l/3)(x+l)(12x'+24x,-9xl+21x+15)
- (3x~l) (x-rl) (4x'+8x'-3xz+7x+5) (1)
Dado que en el polinomio Q(x)=4x'+8x‘-3xl+7x+5, a,=4, las otras raíces ra­
cionales y negativas de P(x) podrían ser: -1/2,-1/4,-5/2,-5/4
Verificar que con x=-l/2 y x=-5/2, los respectivos residuos son ceros.
- Q(x) = (x+l/2)(x+5/2)(4xz-4x+4) = (2x+l)(2x+5)(x*-x+l)
Luego, en (1): P(x) - (3x-l)(x+l)(2x+l)(2x+5)(x*-x+l)
ixeC¡P(x)=OÍ = {-5/2, -1, -1/2,1/3, j i^ji}
EJEMPLO 8. Dada la ecuación 9xi-15x‘‘-29x,+59xt-28x+4=0
a) Hallar el intervalo <m,M> donde deben estar ubicadas las
raíces de la ecuación.
b) Señalar los posibilidades del número de raíces positivas, negativas y
complejas.
c) Factorizar la ecuación y hallar sus raíces.
Solución, a) Sea: P(x) = 9x,-15xl'-29xi+59xz-28x+4
- P(-x) = -9xi-15x’’ +29x* +59x*+28x+4
* P(y) = 9yi+15y'-29y'-59y1-28y-4
Cota superior positiva: Las pruebas con c=l y c=2 no sirven (verificar), en
tonces, corresponde tomar c=3
9 -15 -29 59 -28 4
3 27 36 21 240 636
9 12 7 80 212 640
Siendo los coeficientes positivos y el residuo R=640 positivo, la cota supe
rior positiva es c=tí=3Sólo fines educativos LibrosVirtual

685. 672 C a p ítu lo 10 : P o lin o m io s
Cota inferior negat iva. Las pruebas con c=l y c=2 no sirven (verificar)
Entonces para c=3 en P(y¡ tendremos:
9 15 -29 -59 -28 -4
3 27 126 291 696 2004
9 42 97 232 668 2000
Como en la tercera fila, todos tos números son positivos, entonces una cota
superior positiva para P(y) es c=3, pero como y=~x -*■ m=c=3 es una cota in
ferior negativa para P(x)=0. Por tanto: xe<-3,3>.
b) Vemos que en P(x) hay 4 variaciones de signo y en P(-x) una variación de
signo.
Entonces: Número de raíces reales positivas =4, 2 o 0 + - C
Número de raíces reales negativas = 1 4 1 0
El cuadro adjunto muestra todas las posibilidades del 2 1 2
número de raíces positivas, negativas y complejas. 0 1 4
c) Divisores de an=4: p = ±(1,2,4)
Divisores de a0=9: q = ±(1,3,9)
Probables raíces racionales: = ± 11,1/3,1/9,2,2/3,2/9,4/3,4/9}
Como P(1)=P(2)=0 **• r=l y r=2 son raíces de P(x), luego, por el proceso de
la división sintética se deduce que:
P(x) = (x-l)(x-2)(9x’+12x1-llx+2) (1)
En el polinomio Q(x)=9x*+12x*-llx+2, a,=9 y an=2. Luego, las otras posibles
raíces de P(x) serían: ±(1/3,1/9,2/3)
Probando dos veces con 1/3 mediante la división sintética, se deduce que:
Q(x) = (x-l/3)(x-l/3)(9x+18) = (3x-l)l(x+2)
Sustituyendo en (1): P(x) = (x-l)(x-2)(3x-l)*(x+2)
{xeQ|P(x>=0} = i-2,1/3,1/3,1,2}
EJERCICIOS: Grupo 66
En los ejercicios del 1 al 10, se dan los polinomios P(x), para los cuales
se pide determinar: a) El número de raíces positivas, negativas y complejas
b) Las posibles raíces racionales, c) El conjunto solución de P(x)=0.
1. P(x)=6xs-5x*+4x’-4xl-2x+l 4. P (x )=12x!-40x'-48x2 +57x3+20x-3
2. P(x)=xs-2x5-4x*+14x*-33x* +60x—36 5. 4x'+21xz-24x’-6x+5 = P(x)
3. P(x)=2x'-7xs-35xl+13x+3 6. P(x)=x'-3xs+4x2-6x+4Sólo fines educativos LibrosVirtual

686. Ejercicios: Grupo 66 673
7. P(x)=35x‘+5x*+x’+5x1-2x
8. P(x)=2x'+3x*-10xl-12x+8
9. P(x)=9x*+15x‘—143xl+41x+30
10. P(x)=4x‘-16x',+17x’-19xt+13x-3
En los ejercicios siguientes se dan la ecuación y una de sus raíces. Hallar
las demás raíces.
11. 3x‘-19x‘ +45x*-49x‘+18x1+10x-4=0 , x=l-i
12. 6x‘+11x 5-34x'—107x’-32x 2 +46x+20=0 , x=-2+i
13. 3x‘-14x‘+10x*+3x2+10x-4=0 , x=l-i-/3
14. Descomponer el polinomio P(x)=12x‘+4x,+105x*+35x2-27x-9 en sus factores
lineales, sabiendo que una de las raíces de P(x)=0 es 3i.
15. Dado el polinomio P(x)=8xs-14x1-79x+105, probar por dos métodos distin­
tos y sin resolver la ecuación P(x)=0, que todas sus raíces son simples
(Sug. Tabular P(x) en xe[-3,4): como primer método aplique el T.V.I; co
mo segundo método aplique la regla de Descartes)
16. Dada la ecuación: lOx‘-8x7-13x5-3x*-2x3+x1-x+15=0
a) Aplicar la regla de los signos de Descartes y tabular el conjunto de
posibles raíces racionales.
b) Usando el T.V.I. garantizar la existencia de raíces positivas en
<0,1> y <1,2> . Como afecta esto a la tabulación dada por a).
c) Se sabe que al dividir (en forma sintética) un polinomio entre x-r,
con r<0, los coeficientes del cociente, incluyendo el residuo, tie­
nen signos alternados, entonces no hay raíces negativas menores que r.
Aplicar este criterio dado con r=-l. Interpretar el resultado obtenido
y explicar como afecta al conjunto de posibles raíces racionales.
En los ejercicio siguientes, se dan las ecuaciones P(x)=0, para la3 cuales
se pide determinar: a) El número de raíces positivas, negativas y complejas
b) Todas las posibles raíces racionales de la ecuación, c) Las cotas supe­
rior positiva e inferior negativa, d) El conjunto solución de la ecuación.
17. 12x’+4x *+7x5+14x2-34x+12=0 22. x»+3x*-13xJ-25x2+50x+24=0
18. 12x*-44xs+37xI+llx-10=0
19. 8x*-62x*+115x‘-28x 2+42x-l35=0
20. 6x ‘-19x *+20x j-12x*-x+2=0
21. 24x*-74x‘+ 1 3 3 x 1 4 5 x ’+81xl-21x+2=0
23. 12x‘-28x‘+21x *-15x»+3x *+13x-6=0
24. 6 x ’+ x ,+2x*+41xi+22x-12=0
25. 8x*-12x’-58x*+75x+50=0
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

687. 674 Capitulo 10: P olinom ios
CESE! RELACION ENTRE LAS RAICES Y LOS COEFICIENTES
T E O R E M A 10.13 S i r,, Tj, r3, , r. son la s n raíce s de la ecuación m ónica de
. grado n: i - '
: X" + a.X"'' + ÍJ,.rn3 + + a ,X + a - 0
■ ■ I 2 ■ ■ . ■ ■ ■ ■ i H • . B . ■ . ■
entonces las raíces y los coeficien tes están relacion ados por las siguien tes igualdades:
S j = r, + r2 + r3 +
......................+ r„ = -a, . . .' (Sum a de las raíces)
S j = r,r3 + r,r, + ........................+r,.i r« = (Su m a de los productos de las raíces
tom ados 2 a 2)
S , - r,r3r3 + r ,r2r4 +
..................... + r„.'»r..,ir« = ~a 3 (Su m a de lo s productos de las raíces
• -r tom adas 3 a 3)
s. « W » r. ~ ' . • ' ’
D em o stració n . E n e f e c to d a d o q u e :
x"+ a¡ x° '+ a2 x°'2+
......+ a . ,* + £ !. = (jr-r,) (jr-r,) ( x -r 3)...................(x - r j
= x" - ( r , + r , +
..........+ r .) ac-' + ( r ,r3+ r ,r 3+ .........+ r ..,r .) X1"2 +.
= x“ - S,*-1 + S,*"2 +
.....+ (-l)"Sn
I d e n tific a n d o c o e f ic ie n te s de p o te n c ia s ig u a le s de x , se tie n e :
n
a = - S . - » S . = -a. <-» E r . = -a.
i i i i /=! 1 i
n
a , = S, - » S, = a, «-» X r .r. = a,
■ - - - (-«c, > i -
«
n
a, = -S, —> S , = -a, <-» Z r .r .r. = -a,
3 3 3 3 ¡Kj <k , j k 3
n
fl. . (-1)»S„ -» S. = (-l)"a„ «-* Zr = (-!)■«.
i=l
Si el coeficiente de x n es a0, entonces la ecuación se escribe:
tfi , , an, c ,
.t'+ - r - t " - ' + — j r - J + + — ,t + — = 0
0 0(1 0g 0((
S,= -^i Sj= ^ s,= -^ s = (-1)" ( —)
«0 ’ 2 flo ’ “ 0 ’ a„
f
Entonces:
E JE M P L O 1. D ado el polinom io P(x) = 24*-’ + 46x2 + 9x - 9, resolver la ecuación
P(x) = 0, sabiendo que una de las raíce s e s el doble de la otra.
So lu c ió n . Sean las raíces: a , 2a , bSólo fines educativos LibrosVirtual

688. S e c c ió n 1 0 .1 0 : R e la c ió n E n tr e la s R a íc e s y lo s C o e fic ie n te s675
Entonces, según el teoremalO.13, tenemos:
* a+2a+b = - J f * 3a+b = - § (1>
S¡ = — - 2a*+3ab = - a(2a+3b.) = 4 " (2;
Q o ¿4 o
s, = - 2alb = - £ - 2 a *b = A. (3)
De (1) y (2) obtenemos: 56az+46a+3=0 *-* ai=-3/4 o ai=-l/14
-* b¡=l/3 o bi=-143/84
Se encontrará por tanteos que los valores de a t=-l/14 y bi=-143/84 no satis
facen (3). .'. C.S = i-314,-3/2,1/3)
EJEMPLO 2. Expresar por extensión el conjunto:
A={xeR¡x'-(3k+4)x1+(k+l)z=0, keRi, sabiendo que sus elementos
están en progresión aritmética.
Solución. Sean los elementos de A: a-3r , a-r , a+r , a+3r
Por las relaciones entre las raíces y los coeficientes tenemos:
a) (a-3r)+(a-r)+(a+r)+(a+3r) = - -2i- -*■ 4a = - 4" 0=0
a» i
-* A = l-3r,-r,r,3r} (1)
b) (-3r)(-r)+(-3r)(r)+(-3r)(3r)+(-r)(r)+(-r)(3r)+(r)(3r) = -£¿-
-+ -10rz = ~(3k+4) - 10rz=3k+4 (2)
c) (~3r)(~r)(r)(3r) = (-1)'^- - 9r'=(k+l)z - r* = ± ( ^ ) (3)
a» o
De (2) y (3) obtenemos: (k=2 - r=*l) v (k=-22/19 - r=±l//19)
Por tanto, en (1): A={-3,-l,l,3} o A=i-3/tt,-l//T9,l/ST9,3/Sr9\
EJEMPLO 3. Resolver la ecuación 3x‘+kx*-7x+3=0 y hallar el valor de k si
las raíces, en cierto orden, están en progresión geométrica.
Solución. Sean las raíces en P.G: — : a : ar
r
Por las relaciones entre raíces y coeficientes se tiene:
, a k ^ ,1+r+r*. k ...
a ) — + a + ar = - y + a(
----—; = - y (1)
b) fy(a) + ar) + (a)(ar) = * az( í ^ - ) = - | (2)
c) fy(a)(ar) = -1 - a*=-i - a=-l. '
r
Sustituyendo a=-l en (1) y (2), se obtiene k--7
Luego, en (1): 3rz+10r+3=0 ■— r=-3 o r=-l/3 - C.S = 11/3,-1,31Sólo fines educativos LibrosVirtual

689. 676 C apitulo 10: P olinom ios
E J E M P L O 4 . D a d a la e c u a c ió n x3+px+q c u y a s r a íc e s so n a.b y c, h a lla r :
a 3+ ó 3+ c 3.
S o l u c i ó n : S e g ú n la s r e la c io n e s e n tr e c o e f ic ie n te s y r a íc e s se tie n e :
a+b+c=0 , ab+bc+ac=p , abc=-q
3
Si x,=a , x = b , x,=c —» X * . = a+b+c= 0
' - 3 i=l ‘
3
C o m o : a2+b2+c2 = (a+b+c)2 - 2(ab+bc+ac) —» X*? = (O)2 - 2(p) - -2p
i=l 1
Si x2=-px-q
3 3 3
X-r,3 = -P .X-r, - X<7 = -P <0)-3q = -3q
/= 1 i= 1
3 3 3
x2= -px-q —* x3=-px3-qx3 - » X*3 = -p X*3 - q X*.3
i=l ’ i=l ' i=l
-* a3+b2+c3 = -p(-3q)-q(2p) = 5pq
Nota P a r a un p o lin o m io m ó n ic o : P (;t)= -r4- O J t3+ p . t2- Y r + \) / c u y a s r a íc e s so n a, b , c
y d , se c u m p le n la s s ig u ie n te s r e la c io n e s :
a+b+c+d=a
ab+ac+ad+bc+bd+cd = (3
abc+abd+acd+bcd = y
abcd =
I i i 1 _ I
a *b*c + d~\y
X * 3 = a 2 - 2(3
t=l '
4
X * 3 = a3 - 3a¡3 + 3y
;=] '
4
X - r 4 = a 4 - 4 a 2P + 4 a y +2|32 - 4\)/
t = l '
4
X-r1 = a5 - 5a3P + 5aP2 - 5Py - 5a\|i
/=1 '
E J E M P L O 5 . H a lla r c u a tr o n ú m e r o s c u y a s u m a e s 2 , la s u m a d e s u s c u a d r a d o s e s 3 0 , la
s u m a d e s u s c u b o s e s 4 4 y la s u m a d e la s c u a r ta s p o te n c ia s e s 3 5 4 .
S o l u c i ó n S e a n a , b , c y d lo s n ú m e r o s b u s c a d o s y q u e la s r a íc e s d e la e c u a c ió n :
x 4-a x 3+ $ x 2- y x + y = 0 (1)
S e g ú n la s r e la c io n e s e n tr e c o e f ic ie n te s y r a íc e s te n e m o s :
a) a+b+c+d = a —» a = 2 c ) abc+abd+acd+bcd = y
b ) ab+ac+ad+bc+bd+cd = /3 d ) abcd = »)»
S i a 2 + ó 3 + c 2 + d 2 = ot2 - 2 P - + 3 0 = ( 2 ) 3 - 2 P -+ P =-13
a2 + b2 + c2 + d2 = a 3-3ap + 3y -* 4 4 = 8 + 78 + 3 y —> Y = - 14
a* + b‘+ c‘+ d 4 = a 4- 4 a 2P + 4 a y + 2 P ! - 4\j/ - » 3 5 4 = 1 6 + 2 0 8 -1 1 2 + 3 3 8 -4 » )/ -> t(/=24
L u e g o , e n (1 ): x4 - 2 * 3 - 13-r2 + I4x + 24 = 0Sólo fines educativos LibrosVirtual

690. S e c c ió n 1 0 .1 0 : R e la c ió n e n tr e la s R a íc e s y lo s C o e fic ie n te s6 77
Por el método de la división sintética: (x+l)(x-2)(x+3)(x-4)=0
Por tanto, los nüneros son: -3,-1,2 y 4
EJEMPLO 6. Dada la ecuación x ’+2xz-2x+l=0 cuyas raíces son a.b y c; ha­
llar otra ecuación entera que tenga como raíces: a ’+l, b*+l y
Sea la ecuación buscada: y*-Ayz+By-C = O
donde: A - (a*+l)+(b*+l)+(c*+l) = a*+b*+c*+3
B = (a*+l)(b*+l)+(a*+l)(c*+l)+(b*+l)(c*+l) =(ab)’+(ac)*+(bc)*+2(a*+b*+c*)+3
C = (a*+l)(b*+l)(c*+l) = (abc)*+(ab)*+(bc)*+(ac)*+(a*+b*+c*)+l
Según las ecuaciones (1),(2) y (3) se tiene:
a z+bz+cz= (a+b+c)z-2(ab+bc+ac) -*■ Zxz = (-2)z-2(-2) = 8
x*+2xz-2x+l =0 - ix* = -2Zxz+2Zx-3 = -2(8)+2(-2)-3 = -23
Como abc=-l ■+ ab = - — , be = - — , ac = - — (4)
c a b ' '
Si x*+2xz-2x+l=0 + -jp - j p + -| + 1 = 0 - Z(l/x*)*2Z(l/xz)-2Z(l/x)-3 (5)
C = (-1) +(7)+(-23)+l = -16
Por tanto, la ecuación buscada es: y ’+20yz-36y+16=0
E J E M P L O 7. Sean a,b,c y d cuatro números no nulos cuya suma es cero. De­
mostrar que: 6(a*+b*+c*+d*)=5(az+bz+cz+dz)(a*+b*+c*+d*)
Demostración. En efecto, sea la ecuación: x l,-ax*+&xz-yx+1/ = O, con races:
a,b,c y d . D e las relaciones entre coeficientes y raíces ob­
tenemos: a+b+c+d = a + o-0 (condición del problema)
ab+ac+ad+bc+bd+cd = 8 , abe+abd+aed+bed = y , abed = V
c*+l.
Solución. Por el teorema 10.13: a+b+c = -2
ab+ac+bc = -2
abe = -1
(
1)
(2)
(3)
Luego, en (5): Z(l/x*) = 2(0)-2(2)-3 = -7
Finalmente, sustituyendo en A.B y C, se tiene: A = -23+3 = -20
B = (--¿)*+(--¡;)*+(--¿)*+2(a*+b*+c*)+3 = -(-7)+2(-23)+3 = -36Sólo fines educativos LibrosVirtual

691. 678 C apítulo lO: P olinom ios
-+i+-+l= Z(é) = t ; ai+bl+cl+di = Xfx1) = a2-2S + Ix2=-2S
Q b c d X V
x*-axs+3x2-YX+>l' = 0 ♦ X3-QX2tBx-Y + — = 0 •*■ Ex3 = aEx2-BEx+ZY+'l'Z('—,)
X X
* Ex3 = 0(-2&)-S(0)+4y-^(j) + Zx3 = 37
x'-ctr3+ e x i-YX+iii =
0 * Ex* = a l x a- s i x 2+YZx-i|> = 0(3y,)-86-28.)+-y(0.)-'1| = 2 s 2-t
X 5- a x V g X 3- Y X 2+ $S = o ■* E X 3 = a E X * - B E X 3+ Y Z X 2- ^ E X
- E x 3 = 0 f 2 B 2- « ; - B í 3 Y ; + Y f - 2 e > - 'l < ( ' 0 ; = - 5By
- 6ex3 = 6 ( - 5b y-> = S(-2e)(3iJ * 6 x x 3 = 5(zxz)(zx3)
6(a3+b3+c3+d3) = 5(az+bz+cz+dz)(a3+b3+c3+d3)
EJEMPLO 8. Dada la ecuación x 3+pvz+qx+r=0, cuyas raíces son a,b y c, ha­
llar el valor de la expresión:
E =
-------------- + -------- + - ------
(a-p)z(b-p)(c-p) (b-p)2(a-p)(c-p) (c-p)z(a-p)(b-p)
Solución. E = (b-PXc-p; * (a-p) (c-p) y (a-p) (b-p)
(o-p)z(b-p)z(c-p)1
. _ 3pz+bc-p(b+c)+ac-p(a+c)+ab-p(a+b)
[abc-p(ab+bc+ac)+pz(a+b+c)-p3]z
Por las relaciones entre coeficientes y raíces se tiene:
a+b+c = -p •* b+c=-(p+a) ; ab+ac+bc = q
. . r 1 1 1 ab+ac+bc q
abe = -r + be = ; — + -r + — = r
- = - -x.
a a b e abe r
3P 2 “ + PÍP+o) - t + P(P+b) - £ + p(p+c)
Luego, en (1): E = 2
-----------2-----------£--------
[-r-p(q)+pz(-p)-p3]z
E = 3pt ~ r(d + T> + c} + P<3P+a+b+c> _ 3pz - rf-q/r) i- p(3p-p)
(1)
(-r-pq-2p3)z (r+pq+2p3)z
/. E = 5P ^
(r+pq+2ps)í
EJEMPLO 9. Hallar los valores reales de p y q para los cuales las ecua­
ciones: x 3+pxl+18=0 y x 3+qx+12=0 tienen dos raíces comunes y
hallar dichas raíces.
Solución. Sean: a,b y c las raíces de x ‘+pxz+18-0
a,b y d las raíces de x ’+qx+12=0
Por las relaciones entre coeficientes y raíces en ambas ecuaciones se tiene:
a+b+c = -p ~ a+b+d = O •» c-d = -p (1)Sólo fines educativos LibrosVirtual

692. Sección 10.10: R elaciones entre las R aices y los Coeficientes 679
ab+ac+bc=0 ~ ab+cd+bd=q ; abc=J8 - abd=12 + c = (3/2)d (2)
De (1) y (2) obtenemos: d=-2p , c=-3p
Si a+b+d=0 + a+b=-d a+b=2p (3)
abe = 18 + «b = * £ = - « + ab = - | -
Si ab+bc+ac=0 * ab+c(a+b)=0 + ~ 'jf + (~3p)(2p)=0, de donde: p=-l
Entonces: d=2, c=3. En (3): a+b=-2 ~ ab-6 •* y*+2y+6=0 ++ y=-i ± /i-6
-*• a=-l+iS¡> , b=-l-¡S5
q=ab+ad+bd + q = 6+d(a+b) = 6+2(-2) = 2
p=-l, q=2, a=-l+iSS, b=-l-i/J , c=3, d=2
EJEMPLO 10. Usando las relaciones entre coeficientes y raíces, resolver
la ecuación z,-(8+i)z*+4(6+i)z-24+6i=0, sabiendo que el afi­
jo de una de sus raíces se halla sobre la bisectriz del primer cuadrante.
Solución. Sean las raíces: z¡=x+xi, zz=a+bi, z,=c+di, donde el afijo de z,
está sobre la, bisectriz del primer cuadrante.
a) x + xi + a + bi + c + di = 8+i jx+a+c ~ 8 m
Lx+b+d = i (2)
b) (x+xi)(a+bi)+(x+xi)(c+di)+(a+bi)(c+di) = 24+4Í 4
íax-bx+cx-dx+ac-bd = 24 (3)
'■ax+bx+cx+dx+ad+bc = 4 (4)
c) (x+xi)(a+bi)(c+di) = 24-6Í ~ jacx-bcx-adx-bdx = 24 (5)
\adx-bdx+acx-t-bcx = -6 ( 6)
Restando (l)-(2): a-b+c-d=7 . En (3): x(a-b+c~d)+ac-bd=24 * 7x+ac-bd=24
0
+ ac-bd=24-7x
Sumando (5)+(6): 2acx-2bdx=18 -* x(ac-bd)=9 ■+ x(24-7x)=9
• 3 3
de donde: 7xl-24x+9=0 ■*•+ x=3 o x=3/7 . Luego: z¡=3+3i o z, = j + ji
Por el proceso de la división sintética, se tiene:
3+3 i
1 -8-i 24+4 i
3+31 -21-9 i
-24+6 i
24-6 i
1 -5+2 i 3-5 i 0
Para z¡ = 4 + -|í , R
= «í
+ ji) * 0
-* zl+(-5+2i)z+(3-5i)=0
. . . 5-2i ± /(5-2Ü1--4(3-5 i)
z - ---■ 2
<-+ z = 4-i 0 z = 1-i
f*4C.S = l3+3i,4-i,l-i}Sólo fines educativos LibrosVirtual

693. 680 C a p ítu lo 10: P o lin o m io s
EJEMPLO 11. Las raíces de x ’+4x>-2x',+3xt-3x+2=0 son a¡, 1 4 i 4 6. Usan­
do solamente relaciones entre coeficientes y raíces, hallar:
6 r 6 ‘ ‘o r 6, a,
s = E I E — + — I
fc=jL ¿=j'a i ak ’i
Solución. cu + a2 + a» + a* + a* + a< = -4
a i q * 1 a 3 +a i Q* + . . . . + a * o « — -2
Gicuci$ + cuq*g* + GiQ2G»+ . ... + cuasQe =
0
aiazasa^-f G1Q2Q3G9+ G1G2G9G6+ . . . . + asa^osa* - 3
QiGiQs(z%Gs+ aiata3a^a$+ GiazasOsG** . . . . + azGsGtGsGt — 3
QiQiQsQiQsQs ~ 2
6 r ® 6 r ^ t t ® T
- E Z = z k E ¿;*f Zíatíl
k=l W=J' i ak /J k = l L i =1 1 ak i=l J
^ ^ ^ (^2 ía1a2a aa»as+ a ac(2a aa aa a-t ai<i2Q aciaGí + • • • \ +
k=l*- \ a aa 2a aa aa aa t /
+ ^-^(al+az+a¡+a*+a,+al¡)l-2(aiai+ala,+alak+ .. .jjJ
* s ‘ l f c ' 5 ' * 20£,'h’
.*. S = j(20) + 20(¿) = 60
EJERCICIOS: Grupo 67
1. Resolver la ecuación 2 x ’-x1-22x-24=0, estando dos de sus raíces en la
razón 3:4. .
2. Resolver la ecuación x'-8x’+14x1+8x-15=0 si las raíces, en cierto orden
estén en progresión aritmética.
3. Resolver la ecuación x*-9xI+kx-24=0 sabiendo que sus raíces, en cierto
orden, están en progresión aritmética. .
4. Probar que las raíces del polinomio P(x)=xí-3kxl+(3k1- a ,)x-k(k1-r1) es­
tán en progresión aritmética..
5. Probar que las raíces del polinomio P (x )= x 1-abx*+a2bx-a5 están en P.G.
6. Resolver la ecuación 54x’-39x1-26x+16=0, estando las raíces en P.G.
7. Si a,b y c son las raíces de la ecuación x*-px*+qx-r=0, hallar el valorSólo fines educativos LibrosVirtual

694. Ejercicios: Grupo 67 681
8. Si a,b y c son las raíces de la ecuación x 5 +qx+r=0, hallar el valor de:
E = a*+b'+c*.
9. Si A=IxeR|6xs-llx2-3x+2=0}=(a,b,c), hallar el valor de: 5 = — + r + - y
1 a b e
E = a*+b*+c*.
10. Si A={xeR|x*+px+q=0)={a,b,c) / hallar el valor de:
a) (b-c)2+(c-a)2+(a-b)2 d) (a+b)'(a+c)'(b+c)'
b) (btc)-*+(c+a)-+(a+b)-‘ e) b + a + t + f + c + b
c) (a2-bc)(b2-ac)(c2-ab) f) a'b2+a2b'+a*c2+á2c'+b*c2+b2c'
11. Demostrar que si el cuadrado de una de las raíces de la ecuación
x J+ax2+bx+c=0 es igual a la suma de los cuadrados de las otras dos, en­
tonces: a*(a1-2b)=2(a*-2ab+2c)1 .
12. Se sabe que el polinomio P(x)=x'-56x+15 tiene dos raíces cuyo producto
es la unidad. Hallar todas sus raíces.
13. Resolver las ecuaciones x*+8x2+20x+16=0 y x s-2x2-5x+6=0 sabiendo que am
bas tienen una solución común.
14. Dada la ecuación: 5x‘—35x5-15x'+185x’+90x2+70x+60=0.
a) Hallar la cota superior positiva y la cota inferior negativa.
b) Cuál es el máximo de raíces positivas y negativas que puede tener la
ecuación.
c) Cuál e3 la suma y el producto de las raíces de la ecuación.
d) Cuál es la suma de las raíces tomadas de 5 en 5 factores.
15. Si A={xeR|8x'-30x2+35x2-15x+2=0}=(a,b,c,d), hallar el valor de:
a) E = a+b+c+c+a(a-l)+b(b-l)+c(c-l)+d(d-l) + ■ " + { " + ■ ■ • + ”;
a D C O
b) Resolver la ecuación.
16. Dada la ecuación x 2+6x2-2x+4=0 cuyas raíces son a,b,c. Sin resolver la
ecuación, hallar una ecuación de raíces:
a) a 2-l , b 2-l , c 2-l b) a(b+c) , b(a+c) , c(a+b)
17. Hallar m, si existe, para que las raíces del polinomio:
P(x)=9x*-9mx2+(m-l)2 formen una progresión aritmética.
18. Demostrar que si x s+3px+q=0 tiene una raiz doble, entonces: q 2+4ps=0.
*Sólo fines educativos LibrosVirtual

695. 682 R e s p u e s ta s a e je r c ic io s p r o p u e s to s
RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS
GR UPO 1, Pag. 17
1. (c) ; 2. a) r (q * p) , b) (q ■» p)i(^r) , c) (p •— q) (r p)
3. V W V ; 4. VFV ; 5. (b) ; 6. Todos ; 7. Ninguno ; 8. F W V ; 9. Sólo A y B
10. Sólo C ; 11. Sólo A ; 12. FFF ; 13. F ; 14. V ; 15. W F V ; 16. F
17. a) V, b) V ; 18. V(A)=V, V(B)=V o F, V(C)=V ; 19.VFF ; 20. Sólo A y C
G R U P O 2. Pag. 25
Contingente: 1,6,9 y 12. Contradicción: 2 y 7. Tautología: 3,4,5,8,10,11.
13. Todas ; 14. Sólo 2 y 3 ; 15. a) ; 16. Contradicción ; 17. Sólo c y d ;
18. Contingencia: VVFVVVW ; 19. a) A C ¿ B , b) A B / C ; 20. A * K, B/C
C *• K ; 21. a) M - L, b) M / L ; 22. a) W FV V W F, b) F W V , c) VW VW VF, d)
VFFF.
G R U P O 3. Pag. 32
Son válidas: 1,2,3,6,8,9,10,11,12,13,14,16,17,18,19 y 20
Son falacias: 4,5,7 y 15
G R U P O 4. Pag. 41
1. P=p » q ; 2. v ( q A p) v r ; 3. a) p v q , b) q , c) p v •vq , d) (pA r) q
e) <vq , f) p a q , g) p a 9 ; 5. B=C ; 6. Todas ; 7. vq ; 8. Tautología
9. Pa q ; 12. p A q ; 13. p*q ; 14. paq ; 15. t=p ; 16. P = p A q, QsPAq ;
18. b) y e ) .
G R U P O 5. Pag. 56
1. a) •'.p, b) p q , c) p A q, d) -\,(p -► q), e) ~ P A q , f) P * q , g) P a r, h) p
2. a ) * _ p — r C'— 1_,, b ) ^ f " P - u ; c) ^j-p~u, d j ^ r P - ^ - u .
L. r I ’— q - J *— 'uq— I L - q — 'up— I
e) •— A-p — • , f) , b) •- -vq — >\,p — •
, d ) •— p q — • , e) •— p — A,q-*; 4. $2.4 y $6 ;
B ; 8. •— p — q — • , 9. $30 ; 10. A * - p - # B ; 11. P s p ,
Q * P A q ^ P * Q ■ •— 5 12- a) V , b) F ; 13. _ r _ Q P ^ J —Sólo fines educativos LibrosVirtual

696. R espuestas a Ejercicios propuestos 683
16. V ; 15. x=p ; 16. H T 4 > r — , ; 17. *— q — •
G R U P O 6. P a g . 78
____________________________
1. A=<-2,-l,4), B = {51, C = {-1,-2,5,-8,11}, D=<1,4,9,16) ;
2. A = H 3 n - 5 | n e M , l <: n -í 5), B = < 4 n - U | netJ), C X ^ ^ I n e N , l « n « 5 )
D = )3^ | n e N > , E = < | ( 3 n - 5 ) |neN, 1 < 5), F= | neN| 3 í n * 7 }
3. A=)2nI-3rH-l|neN), B“ )n1-2n+3|neíl) C=)3n1-5|neN), D“ <4n*+6|neN, l£ní6)
E=ix|x=(-1 )n ( ^ n^ ), neN), F-{x|x-10n -5, neZ, lín^8>; 4. <4nl+3¡neN,l$n<4)
5. A=* , B-OD-(*,.''3,6,-2/3,-l/5} ; 6. A={-5,2,l/5,/5,0.'3), B = { / :2,l+i),D=*
E-B ; 7. Son verdaderas: B,D y E, falsos: A,C y F ; 8. Todas ; 9. 5
10. a) [axeN|P(x)] + [VysT|g(x)], b) "Algunos números son impares y algunos
triángulos no son equiláteros" ; 11. FFFF ; 12. a) aacZ, abeZ|a<b * b<a
b) aasR, ¥n,eN|n>n, ~ n<a , c) aaeR, abeR|ab^0 (a#) ~ bj^}) , d) arcZ,
VbeZ, br es par y (b*-l)r es impar , e) 3xeR, VyeZ| (y > x ) v ( x i- y+1)
13. a) ¥e>0, ant |Vn, (n>n,) » |a|<e, ae>0, Vn,|an,(n>n,) a|a|2e
b) ¥«>0, ay>0|¥x, (a-y<x<a+y) - (L-e<f(x)<L+e)
3e>0, Vy>01 a x , (a-y<x<a+y) <s (L+e$f(x)£L-e) ; 14. FFFV ; 15. a) y b)
16. V ; 17. F ; 18. V ; 19. V(s)=V, V(t)=V, V(v)=F ; 20. V ; 21. FVFF; 22.F
23. a) V , b) F
__
__________________________ G R U P O 7. P a g .88 ______________________________________________________________
1. Tres ; 2. W F W ; 3. 38 ; 4. a) A=B, b) C-tD ; 5. a) W F F F , b) FVFV,
c) FFFVF, d) V F W ; 6. F W F .
__________________________ G R U P O 8. P a g . 108____________________________
1. a) <6,8,10), b) <1,4,9), c) <3,4,5,7), d) <4,9) ; 2. <5) ; 3. a) <<a),»>
b) ♦, c) E ; 4. a) <1), b) <0,1,4), c) ♦, d) <1,4) ; 5. 5 ; 6. Todas; 7.B-C
8. 4 ; 9. c) ; 10. <8) ; 11. Todas ; 12. 4 ; 13. a) ; 14. 2 y 3 ; 16. a y d
17. AHa.b.c), B=<a,c,d) ; 19. </2,3t/?,2i) ; 20. <-6,-3,0) ; 21. <-9,-/2,
0.*3',»,3i} ; 22. Sombrear las zonas: A=<1,2,3), B-<2,3,4,5), D=<1,2,3,4,5),
E=<3,4) ; 23. Sombrear: <4)=I ; 24. 5,6 y 7 ; 25. c) ; 26. d) ; 27. c)Sólo fines educativos LibrosVirtual

697. 684 R e s p u e s ta s ci e je r c ic io s p r o p u e s to s
30. a y b ; 32. 16 ; 33. BriC' ; 34. 1 y 3 ; 35. a) C , b) B u C ; 36. A' ;
37. * ; 38. { M , { 3 } , < * } } ; 39. A fl B ; 40. C ’ ; 41. B U C ; 42. AUBUC 43.A
44. A U ( B U D ) ; 59. Sombrear IU N=fl,4)
__________________________ G R U P O 9. P a g .122
1. 34 ; 2. 52 ; 3. 29 ; 4. 65 ; 7. a) 45 , b) 60 , c) 75 , d) 45 ; 8. 12
9. 6 ; 10. 28 ; 11. 10 ; 12. a) 160 , b) 496 ; 13. a) 351 , b) 3% ; 14a.105
14. b) 35 ; 15. a) 36, b) 17 ; 16. a) 240 , b) 120 ; 17. a) 60 , b) 32
’
__________________________ G R U P O 10. Pag. 132
1. a) {(-20,-5)}, b) {(2,-3)}, c) {(-1,2)}, d) {(3,2),(-2,-3)} ;
2. {(1,2),(3,2)} ; 3. n(P)=6 ; 4. a y b ; 5. a,c y d ; 6. 1(3,1)}; 7. b y c
8. Todas ; 9. Todas
G R U P O 11. Pa g . 151
________________________
1. 19 ; 2. 1H ; 3. s/t> ; 4. 10 ; 5. Todas ; 6. 7 ; 8. B=14,6,7} ; 10. 6
12. a y c ; 13. m=3, p=2, q=3 ; 14. FVV ; 15. Todas ; 16. a y c ; 17. Todas
18. b y c ; 19. Satisface para x=3, y=4, z=2 ; 21. Todas ; 22. Sólo a ; 23.
V W F ; 24. b y c ; 25. W F V
.
_____________G R U P O 13. P a g .171__________________________
1. FFV ; 2. 9 ; 3. ^ ( 3 x + 7 ) ; 4. 9 *€+1 ; 5. h ; 6. 1 ; 7. 37
8. 1 ; 9. 2 ; 10. 17 ; 11. 0 ; 12. 10/3
__________________________ G R U P O 12. P a g . 159
1. a y c ; 2. a,c y d ; 3. 2 ; 4. R¡ y R, ; 5. 16/9 ; 6. 2/3 ; 7. l-f(p)+
f(p)f(q) ; 8. b y c ; 9. (x+h)2 ; 10. Ninguna ; 11. a y b ; 12. 7 ; 13. a,b
y c ; 14. 25 ; 15. 11,4,15,34}.

________________________ G R U P O 14. Pag . 179_________________________
1. V W ; 2. V F W ; 3. F W ; 4. W F ; 5. FFF ; 6. VFV ; 7. FVFV ; 8. x=l
9. 24 ; 10. c 2 ; 11. VW ; 12. a y c ; 13. 10,1,2,3,4} ; 14. a,b y c; 15. 2
16. Todas ; 17. -1 ; 18. 5 ; 19. 1/2 ; 20. c ; 21. Todas ; 22. (a,b); 23. t
24. x=4 ; 25. a ; 26. x=l
_________________________ G R U P O 15. Pa g . 1 96_________________________
1. 2xy2-5x2 ; 2. 3x'-6x2-2 ; 3. 5xy+4y2 ; 4. a-b ; 5. 2x s+ x 2-18x-9 ; 6.
3x s-3x2-2x ; 21. a) x=l , b) x=5 , c) x=2n/(a-b) , d) x=a+b , e) x=a+b , f)
x=17a , g) x=a-b , h) x=m-nSólo fines educativos LibrosVirtual

698. Respuestas a Ejercicios Propuestos 685
___________________________GRUPO 1 6 . P a g .201__________________________
1. ax1 ; 2. 3n_m ; 3. 1/10 ; 4. 64 ; 5. 2700 ; 6. 4 ; 7. 5 ; 8. 7/8 ; 9. 1
10. 6 ; 11. x 1' ; 12. xz ; 13. a) x ‘- y ‘ , b) x*-8x'+4, c) x '-8 4 ; 17. E=0 ;
18. E=12 ; 19. E=0 ; 23. a) x ‘ -64az, b) x “- l ; 24. -2(mz+3nz) ; 31. 8ab
_______________________GRUPO 1 7 . P a g .207__________________________
1. 5/7-20/5 ; 2. 2 . ’/5 + 3/2 ; 3. 8 /B -/3 ; 4. /3 ; 5. 2 / ¡ P b ; 6. ( ^ ) /a ; 7.
12/6+10/5 ; 8. /5 (a + b )(a -b )2 ; 9. 2 ; 10. 4+3/5 ; 11. 78

______________.____________GRUPO 1 8 . Pag .2 0 9__________________________
1. 2+/6 ; 2. |( l + / 5 ) ; 3. 2(3/3-5) ; 4. 5+/7 ; 5. 47 ; 6. ¿(a+Za1^ 1) ; 7.
|(9 + /T 5 ) ; 8. ; 9. 4 x / Í M ; 10. ¿ ( 3 - 2 /1 5 ) ; 11. |(5+ /1Ó )
1 2 . -|(2+/l0-/5) ; 13. ^(/7+/J+/5) ; 14. -i(4+3/3+/5-2/T5); 15. -(2+/5+/5+/6)
16. -l(l-3/§+3/5) ; 17. 4+2. V 3 + 3/9 ; 18. ¿ ( 4 / 5 + 5 ) ; 1 9 . -¿/5 ; 20. 2-/5
21. a) iCl+ZÍ^x1) , b) ’/ 5 - l ; 22. 10+4/5 ; 23. -g( 2/3+9) ; 24. 1 ; 25. E=2n
26. b ; 27. E=1 ; 28. 289 ; 29. 12
GRUPO 1 9 . P a g . 212
__________________________
1. 2m.*/azra2n z ; 2. x . ’/x*” ; 3. ¿ ( * / x ‘y*) ; 4. x ; 5. n ^/x ; 6. /3T ; 7. a*
8. an ; 9. ?/8 ; 10. F ; 11. V ; 12. V ; 13. -’S p b ; 14. /x+/y

___________________________GRUPO 2 0 . P a g . 220________________________
1. k=-2 ; 2. m=2, m=-10/9, A=<7», A={-7/3> ; 3. a) b(3a^ ' ) , ,b) -^i(3ac-bz)
4. 10/3 ; 5. m=2 ; 6. -4 ; 7. m=5 ; 8. k=9/2 ; 9. { jS jljr } ; 10. k=±/c=q
11. ; 12. 16 ; 13. ^f-'(3 ac-b z) ; 14. m = - g ; 15. ; 16. 5 ;
17. 22/5 ; 18. 2/3-3 ; 19. 3xz+8x-16 ; 20. a zc zxz+(2azc z-b ')x + a zc z=0 ; 21.
xz-2 (p z-2q)x+pz(p z-4<j)=0 ; 22. xz-4mnx-(mz-n z)=0 ; 23. B=<xeR|nzxz-9(m-3)x+
n=0, n/0» ; 24. acxz+2b(2c+a)x+(2c+a)z=0 ; 25. k= a(c-a), b=c(a-2c) ; 27.
acxz+2b(a+c)x+(a+c)z=0 ; 29. (a+b+c)xz+2(c-a)x+(a+b*c)=0 ; 30. xz-2(a+b)x+
2ab=0.
GRUPO 2 1 . P a g .223
1. (-2,2,-3,3» ; 2. <l,-3,3±2/3» ; 3. <0,-3,1,-4» ; 4. <-3,2» ; 7. <3/2,2}Sólo fines educativos LibrosVirtual

699. 686 R espuestas a E jercicios P ropuestos
5. <4,-7 / 2 , |( l ± ^ 5 ) J ; 6. { -3 /2 ,-1 /6 ) ; 8. { -2 ,-2 ,i(-4 ± /ÍÜ )} ; 9. {9/13,4/13}
10. 12/13) ; 11. {-6,-2,1,3) ; 12. {-1/2,2} ; 13. {-2a,a,4a) ; 14. {-9/2,3,
|(-3±2g5)) ; 15. {-4a,0,3a,7a) ; 16. ,± ; 17. 14/9,1/4} ; 18.
{-2,-2,-2±*/Í5} ; 19. {l/a,aM; 20. {bV40,9a*/bl
GRUPO 2 2 . P a g ■234
____________________________
1. VVV ; 2 . b ) ; 3 . VVVF ; 4 . T odas ; 5 . a ) y d ) ; 1 0 . VFV;
11. R-r<d<R+r ; 12. VWF ; 13. FWF ; 14. VWF ; 26. F
___________________________GRUPO 2 3 . P a g . 244___________________________
1. xí2 ; 2. x<3 ; 3. 2<x<8 ; -4<x<4 ; 5. l/3<x<3 ; 6. -l$x$5/4 ; 7. x<-l o
x>2 ; 8. ^(2-/5)<x<i(2+-/3) ; 9. 13/2} ; 10. R-14/3) ; 11. x<-6/5 o x>l ;
12. x<-3 ; 13. -7^x<4 ; 14. -6<x<-l ; 15. x>3 ; 16. x<10 o x>2 ; 17. -1<x<1
18. 9<x<15 ; 19. {xeR|2<x$5}U {-1} ; 20. {xeR|x^5) ; 21. { z e R | z < - 2 o z>3)
22. {xeR|x*5/6) ; 23. <xeR|xi-l} ; 24. {xcR|xSl> ; 25. k=-2 ; 26. s«6 ; 27.
k=9/13 ; 28. 1-7,-6,-5,3,4,5,6,7) ; 29. t=144/32 ; 30. m-n=55; 31. -5/3<m<l
32. A B-15,6,7) - Ser 18 ; 33. -4<m<4
GRUPO 2 4 . P a g . 253
____________________________
1. [16,+“> ; 2. <-7,4> ; 3. <-“ ,-5> U[5,+«> ; 4. Ninguna ; 5. Sólo b ); 6. 2
7. 2 ; 9. m=3/5, M=4/5 ; 10. M=3 ; 11. M=-5/3 ; 12. 16/3 ; 13. m=2.1, M=9/4
14. M=30 ; 15. m=-6 ; 17. {xeN|x>3} ; 18. a ) $, b) [-1 ,7 > , c ) <-10,8> , d)
<-",-10> U [8,+“ > ; 19. <-“ ,-4>U < -5 /3 ,4> U <6,+~> ; 20. M=<-l/2,9/2>,
N--=<-»,-10>U [-7,6>U<17,+~>, P” <-” , l / 4 ] U <5/4,+">, T =<-l/2,9/2> ; 21.
< - 9 ,- l] u <5,9> ; 22. A -[-3,14>, B=<-»,-l/4> U [5/3,+ ->, C=R, D =<-»,3/4]U [14,
+“> ; 23. <-“ ,- 4 ] U [ - 2 /3 ,1 ] U[2,+"> ; 24. a) [ - 9 , - 1 / 3 ] U <1,6>, b) [3,+->
c) <-“ ,-9>U [3,+ ->, d) 4 ; 25. A=[-4,-2/3>Ü <8/3,+~> ; 26. < -/5 ,¿ 5 > ; 27.
<-” ,-3 ] U <-2,0>U <1,-h»> ; 28. D=[l/2,3> ; 29. t= l/2 ; 31. [ -1 ,3 ] Ü [6,+ ->-
{2,5/2}.
GRUPO 2 5 . P a g .264
___________________________
1. < -3,l> ; 2. [-3 /2 ,l/2 > ; 3. < -3 ,-l> U <2,5> ; 4 . < -~ ,-2 ]u [4 ,+ -> u {1} ;
5. <-3,-l>U <2,3> ; 6. <-<»,-3> u < -l,l/2 > ; 7. <-~,-4>U <l,+=> ; 8. [1 ,2 ]
[4,+<»> u {-1} ; 9. <-»,2] ; 10. <-l,0>U <2,4> ; 11. <— ,-l/2 > U < l,2 > u < 3 ,->
12. <— ,-3/2> u< 0,7/6> U <2,+-> ; 13. < --,-4 /3 > ; 14. [-2 ,-l/2 > U <0,3] U [4,^>
+{-3}-{2} ; 15. [ - 1 ,3 ] tí <4,+»> ; 16. [-2 a ,a > u <a,3a] ; 17. [-3,1>U {2} ; 18
< - » ,- 3 ] u [ - 2 ,l] 0{2} ; 19. (x-3)(x-2)(x+2)*>0 ; 24. <—,-2> U <-2,0>Sólo fines educativos LibrosVirtual

700. Respuestas a Ejercicios Propuestos 687
2 0 . ^ 0 : 2 1 . x»~ 2 x - 8 0 : 2 3 ' í - 2 ' -1 1 u [ - 1>í 3 ' :l> u u <4/+“ >
_________________________ G R U P O 26. P a g . 2 6 6__________________________
1. 12} ; 2. 10,±2} ; 3. 1-4,5} ; 4. 19} ; 5. l-10a/3} ; 6. la/4) ; 7.1-4,01
8. 1-5/2,6} ; 9. (3/5} ; 10. 14} ; 11. l-10a/3} ; 12. 1-10/3,4} ; 13. 16}
14. 13/2,12} ; 15. 110} ; 16. 1-3,5} ; 17. 17} ; 18. 15} ; 19. 15} ; 20.
11/2,5} ; 21. 114}, (1} ,A,iJ} : 22. -13/3 ; 23. 65
__________________________ G R U P O 27. P a g . 2 7 4_________________________
1. [2,3>u<6,+o> ; 2. <3,4] ; 3. [1,2> ; 4. <-5,-4] U [3,5> ; 5. <-~,l] ; 6.
[-2,1] ; 7. [ 1,2> ; 8. <-~,-3] ; 9. <2,4] ; 10. <-2,l>u[3,5] ; 11. [-6,3]
12. <-2,-l/2> ; 13. <-■»,—4] U [0,l/2> ; 14. [-2,2> U [4,+~> ; 15. [-6,3]; 16.
[-5,-3] u 15} ; 17. [2,3> ; 18. [-l,0>u[l,4] ; 19. [-3,2] U [3,5] ; 20.
<-»,-3] U [4,5] ; 21. [-4,-1] u (2} ; 22. <-2/2,-2] U [l,2/2> ; 23. <-5,-2]
[4,5> ; 24. [-2,0]U [4,5] ; 25. [2,5/2] ; 26. <-«,-2] U [-1/3,3/4] U<5,+~>
27. m=-2 ; 28. m=±3 ; 29. m E<3-2/10,2/IO-4> ; 30. [-1,3>U [10,12]-(1} ; 31.
A=l-2,-1,0,1}, B=(0,1} ; 32. P(A) = ( 11}, 12} ,A,4>}; 33. <-6,-4> U [-1,2> U [3,=>
34. me<-5,l> ; 35. a) <— .1] U 13}, b) <l,+=>-13} ; 36. a) [-3,0]U <2,5], b)
[-4,-l>U <-l,0>0 <0,1> U [3,4 > U <4,+“>
G R U P O 28. P a g .284
3. VFV ; 4. V F W ; 6. W F V ; 14. a) 5, b ) 4, c) -7, d) 2 ; 15. M=4/7 ; 16.
M=15/16 ; 17. M=13/ll ; 18. M=3 ; 19. M=3 ; 20. M=21/ll ; 21. ra=18
__________________________ G R U P O 29. P a g . 296_________________________
I. (-4/5,6} ; 2. 1-4,0,21 ; 3. 11/5,3} ; 4. 11,2,6,7} ; 5. 1-9,5} ; 6.
1-5,-1/3} ; 7. (-1,7/3} ; 8. (-5/4,1/4} : 9. 1-5,1/3,11/3} ; 10. l±/2,±2}
II. 1-7,-3,1,5} ; 12. (-1/2,2} ; 13. 12/7,8} ; 14. l-4,l+/3} ; 15. 17/4,16}
16. 1-1,7/3} ; 17. 1-5/2,11/4} ; 18. (3,7} ; 19. 51/5 ; 20. R-J-2,0} ; 21.
[5,+»> ; 22. <-=,3/4>U <l,+~> ; 23. <-~,l/2] U [3,+»> ; 24. <-=,-2] U [-1,1]
25. [-1,3] ; 26. <l,5>-(3} ; 27. <-2/3,2> ; 28. [-10,-2] ; 29. <-6,2> ; 30.
[- 5,3] ; 31. <-l/2,-l/4>U <2/5,l/2> ; 32. [-l,-l/2]U [l,+»> ; 33. [-5,/lí]
34. <-“ ,-8/3] U [2 ,+“> ; 35. [-3,-1] U [1,3] : 36. [/3-l,2] ; 37. <-»,4]-l-2}
38. <-~,2> U <9/2,+»> ; 39. <-=■,-2> U <3/2,+»> ; 40. <-«>,7> U [16,+=>> ; 41.
<-l,2-/5] u [4,5> ; 42. <-2,-1/2] U [3/2,2> ; 43. <— ,5> U <9,+~>; 44. <-<=,-3>
U [-1,1]; 45. [-4,-3>U <3,5] : 46. <3,26/5): 47. <— ,l> U [3,+~>; 48. [-5,-1]
49. [-/2,/2]-l0) ; 50. <-=,7/2> ; 51. <0,2> ; 52. <-5,-13/5]U [13/5,5>; 53.
[4,7] ; 54. [-3,-2] U [6,9] ; 55. <-=,-3] U [-i(l+-T7) ,3> U [|(3+/l7) ,+->Sólo fines educativos LibrosVirtual

701. 688 R espuestas a E jercicios Propuestos
56. [4,9] : 57. a) A= [-4,+”>, b) A=[-5,-13/4], c) A=[l,3> ; 58. 3 ; 59.
-1/10 : 60. <— ,-l> ; 61. <0,/iT-2> ; 62. <-2/3,2] U [3,+~> ; 63. <-3,-2>; 64.
N=1598/3 ; 65. [l,/2] : 66. <-=,-!]U [3,+®> ; 67. <0,2> ; 68. <-2,3>-)l,2}
69. n=6 ; 70. A={l,2,3) ; 72. <2,9] ; 73. <l,5/2> ; 74. <3,5> ; 75. E=-8
__________________________ G R U P O 30. P a g .311__________________________
1. a) -4, b) 4 ; 2. A={-1,0,1} : 4. [-l,-l/2> ; 5. <-9,-6]U [8,11> ; 6.
<-5/3,-2/3] U [8/3,ll/3> ; 7. <-6,-l] : 8. <1-/1>,-1) U [3,l+/5> ; 9. {6,13/2}
10. {2,5/2} ; 11. <11/2,8] ; 12. {1/2,1] ; 13. {-2,10/3,11/3,4}; 17.[-4,-3>
18. [0,1> ; 19. {3,13/4,7/2,15/4} ; 20. [3,+->; 21. {-3,3}; 22. c); 2 3 . V F W
25. [-2,0> U [5/2,+®> ; 26. <-»,-5] U [9,+®> ; 27. <-*>,5/3] U [5,+~> ; 28.
[-3/4,2] ; 29. <— >,-2> U <-l,3> ; 30. <-3,-3/2>U <-l,l/2> ; 31. [0,2] ; 32.
<1-2/5,-3] U [3,l+2/5> ; 33. [-3,0>U[1,4> ; 34. <-®,-3> U [4,+®>; 35.[-3,-2>
«
U [3,6> ; 36. 10,1> U ( U,<2n-l,2n]) ; 3 7 . V V W ; 38. <-~,-4> U [-3,-2> U < - 1,7>
n-1
39. A=[3,4> ; 40. a) <— ,-lJ U <0,2> U [5,+®>, b) <— ,-5> U <2,4> U [5,+~>
__________________________ G R U P O 31. P a g . 3 3 0________________________
1. D=R=R ; 2. D=R=R ; 3. D=<-1,5], R=<2,6] ; 4. D=[-2,6], R=[-9/2,7/2] ; 5.
D=[-5,3], R=[-3,l] ; 6. D=[0,4], R=[-3,-l]; 7. D={2,5], R=[0,6]; '8.D=[-4,4]
R-[0,6] : 9. D=[-3,5], R=[-6,6] ; 10. D=R, R=[2,+~> ; 11. D=R, R=[3,+®>; 12.
D=R, R=<-=>,5] ; 13. D=<— ,4], R=R ; 14. D=<-=,2], R=[.l,+®> ; 15. D=<-~,3],
R=<— ,0] ; 16. D=[-5/3,+®>» R=[-l,+“>; 17. D=<-®,2], R=<-®,5] ; 18.D=[-1,5]
R = [-3,1] ; 19. D=[-3,l] , R=[l,7] ; 20. D=R-{1}, R=R-{2} ; 21.D=R, R=[l,+“>
22. D=<-“ ,1]U [3,+“ >, R=[0,+»> ; 23. D=R-{1}, R=R ; 24. D=[-4,4], R=[-4,4]
25. D=[-6,2], R=[-l,1] ; 26. D=[-2,2], R=[-3,l] ; 27. D=<-»,-2], R=[4,+->
23. D=R, R-<-~,l] U [5,+-> ; 29. D=R, R=[0,+~>; 30. D=[-5,3], R=[0,3]
__________________________ G R U P O 32. P a g .336__________________________
26. 32u* : 27. {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)} ; 28. {(3,1),(3,2),(4,1)}
29. {(3,1),(3,2),(4,1)}.

_________________________ G R U P O 33. P a g .349___________________________
1. D=[-5,5], R=[-5,4> ; D=[-5/3,l], R=[-3/2,5/2] ; 3. D=<0,4>, R=[-4,5>
4. D=[-5,5], R = [-3,5] ; 5. D=[-2,4], R=[-8,8> ; D=[0,4], R=[-4,2] ; 7. D=
[-3,1], R=[l,33/4] ; 8. D=[-l,l], R=[-l,l] ; 9. D=[-l,2>, R=R ; 10. 6*u* ;
11. a=5/2 ; 12. 12ul ; 23. 4u* ; 24. 16u* ; 25. 25»í(»-l) : 26. 16u* ; 27.
32(3-2/5)u* ; 28. (9/2)(*-2)u* ; 29. (9/2)(*/3-2)ul ; 30. 24u*; 31. 2(3»-2)
32. 8u* ; 33. lu* ; 34. 12u* ; 35. 2(n+2)u* ; 36b. D=[0,+»>, R=R ; 37. 12u*Sólo fines educativos LibrosVirtual

702. Respuestas a Ejercicios Propuestos 689
38. 14u2 ; 39. (9n/2)u2 ; 40. 16u2 ; 41. 2(8-»)u2
G R U P O 34. P a g . 3 58
__________________________
1. D = R - [ 3 ) , R = R - [ 1 ) ; 2. D = R - Í 4 ) , R = R - [ 1 ) ; 3. D = R - [ - 3 , 3 ) , R=
< - » , 0 ] U < 2 , + - > ; 4. D = R - Í - 1 , 1 ) , R = < - » , 0 ] U < 1 , + - > ; 5. D = R - [ 0 , 3 1
R=< -m ,-8/3] U < 0 , + “ > ; 6. D = R - [0} , R = < 0 , + “> ; 7. D=R , R = < 0 , 2 ) ;
8. D=R-[0), R=<-2/0] ; 9. D=[-3,0]U [2,4~> , R=R ; 10. D=<-»,0], R=R ; 11.
D=<-»,1>, R=R ; 12. D=R-[-2,5), R=R ; 8. R=<-2,0] <2,+»>
__________________________ G R U P O 35. P a g . 3 6 5__________________________
1. Si ; 2. No ; 3. Si ; 4. No ; 5. a ; 6. 8 ; 7. f(x)=3x2-4x-4; 8. [-30,30]
9. c ; 10» D=R, R=[-l,+»> ; 11. D=R, R=[3,+»> ; 12. D=<-»,1], R=[0,+«>; 13.
D=R, R=<-»,6] U [6,+»> ; 14. D=<— .,0] U [4,+->, R=R ; 15. D=[-4,2], R=[-l,5]
16. [0,4> ; 17. <-5,20] ; 18. [3,4> ; 19. [l+/3,3> : 20. D=[-V6-2,-3]U [-1,
/£-2], R=[0,5] ; 21. D=[-2,2], R=[/5,3] ; 22. D=[-2,2>, R=<-1,7]; 23.D=[-2,
- 1 / 2 > U <3/2,3], R=<2,5] ; 24. D=[-2,-l]U [1,2], R=[-l,2] ; 25. D=[/7,3> ,
R=[-2,0> ; 26. D=[l,4>, R=[-l,3> ; 27. D=<-1,0] U [2,4], R=[-3,5]; 28.D=<-4,
- 2 ] U [0,1> U <1,2], R=[-l,2> U <2,7 ; 29. D=[-l,4]-[3), R=[0,4]; 30.D=<-1,1>
U<3,5]-[0,4) , R=<-2,6]-{l)
__________________________ G R U P O 36. P a g . 3 92 _________________________
1. <-»,-2> U [2,5> ; 2. [ —3,4] — ■{5/2} ; 3. [1,3] ; 4. [2,3); 5.ae<-4,2(/5-3)>
6. me<-»,-19/2] U [25/2,+”> ; 7. [0,1,3,4,5,...}; 8. f(x)=(2x+l)2 - min(f)=0
9. k = - | ( 2 / 5 + l ) 2 ; 10. b= ^ ; 11. a) A(x)= -j£(20-x), b) x=10 ; 12.a)
U(x)=(120-x) (x-20), b) Si, x=$50, c) Umax=$2,100 ; 13. U(x)=(105-x)x-(80i-
40 10 4
63x)+80, Max.Utilidad=$441 ; 14. a) p = C = b) S = ( ^ ) S T ; 15. D=
[2,4>U <4,+~>, R=<-®,—1J U <l,+®> U [0} ; 16. <-<“,-3> U [-1/2,0> U [1,3> : 17.
Rf=<-“ ,0] u [8,+”>, Rg=<6,+~> ; 18. xe<-»»,-2> u <-l,+->-[2); 19. k£<-4,2/5-6>
20. a) [2‘,+»>, b) [-18,5], c) [3/2, +->, d) [l,-u>>; 21. D=[-l,l]; 22.R=[0,5]
23. a) D=R, R=[0,2) U [3,+=*>, b) D=[-3,+~>, R=<-2,2> : 24. <2/9,1] ; 25. D=
<-»,-l] U [4,+->, R=[0,+»> ; 26. D=R-[-3), R=[-5,+=»>-[20} ; 27. D=R-[-5,-l),
R=R-[-7,-3) ; 28. D=R-[-5), R = [3,+“>-[12) ; 29. D=R-[-3,2), R=<-5,+~> ; 30.
D=R-[-2,4), R=[-9/4,+»> ; 31. D=R, R=[l,+~> ; 32. D=R, R=[0,+"> ; 33. D=R,
R=[0,1> ; 34. D=R, R=[0,1> ; 35. D=<-" ,0> U [1 ,+~>, R=[-1,0> U [1,2>; 37. D=R
R=[3,+-> ; 38. D=[-l,-l/3>, R=[0,1] ; 39. D=Z, R=[0) ; 40. D=R, R=R ; 44.
D=[-3,4>-[-l), R=<-4,7] ; 45. D=[-2,4], R=[-3,4] ; 46. D=[-4,5>, R=[0,9]
47. D=<5,+“> , R=<-“ ,0] ; 48. D=<-5,7], R=<-2,6] ; 49. D=[-3,8>, R=[-2,7]Sólo fines educativos LibrosVirtual

703. 690 R e s p u e s ta s a E je r c ic io s P r o p u e s to s
50. D=<-2,5], R=[2,7> ; 51. R=<-4,0]U <1,3] U [5,12> ; 52. D=<-2,4 , R=[0,4]
53. D=[-7,5], R=<-1<4> U {5} ; '54. a) R=<-4/3,10/3>, b) R=[0,3 ] U <15/4,6]
55. f (x )
x , O ^ x < 2.5
2.5 , 2.5 4 x < 4.5
x-2 , 4.5 •$ x < 5
8-x , 5 { x v< 8
56. a) f (x ) =
-x/2 , xe<-»,0>
(£ x/2 J¡, xe [0,8]
--|(x-12), xe<8,+«>
b) <-“ ,8>U <12,40/3>
57. a) par , b) No es par ni impar, c) par , d) impar , e) impar , f) No es
par ni impar , g) impar , h) par ; 58. f es par ; 60. a) T=2rr/a, b) T=*
c) T=tt/2 , d) T=6it , e) T=8
G R U P O 37. P a g . 4 0 6
1. a) 1/2, b) 0, c) 3 / 2 ; 3. [ - 1 , 0 , 1 , 2 } 4. [2]
Í
x 2+3x+4, xe[0,2]
x 2-x+l , xe<2,3>
5-x , xe[3,5]
x e [-2,2>Í
/ 5 ? « + i ,
/9-x2-x+3,
8. (f+g)(x). f —
[ x-l ,
10. Dom(f-g)=<-l,0]
xe[2,6>
11. xe
5. [(0 , 4 ) }
. xe<-2,l>
7. (f+g)(x)
xe[l,3]
(
3x-l , xe[-3,0]
5x-2 , xe<0,2]
2x+4 , xe<2,5]
-3,-1]
[3, +“> ; 12. (f+g)(x ) = íx2 4x+5 ' x e ^ 3,_
} x l+l , xe[3,4>
Ran(f+g)=[10,26] ; 13. Ran (f+g) = [ 0,+-> ; 14. b) [0,6] , c) [0,1>U[4,6]
15. (|)(x)
16. <|)(x)
— ~x2+3 , D=[-2,0] U [2,3>
/9-x2 20. h,(x)
x-2
|x-l|
x*-2x
1—x
x*-2x
, xe[0,3>-[l)
, xe<3,6]
, xe<6,8]
2X+15 , xe<2,6]
6x-12 , xe<6,8>
hj(x) =
x+10
3
2x-4
, xe<2,6]
xe<6,8>
17. (f+g)(x) =
18. (f+g)(x) =
2x-l, xe<-3,-l>-[-2}
2x , x - 2 , x=-l 21 • (f+g)(x) =
.x -x+6, xe<l,3]
(x+5)*-l, xe<-»,-3>
4 , xe[-3,3]-[-2,2}
3 , xe[-2,2}
6 , xe<3,6>
7 , x e [ 6 , ^
-x-l, xe<-3,-l>-[-2}
2 , x=-2
1 , x=—1
(x-2)1 , xe<0,2]
Ran(f+g) = [0,4>
x*-4 , xe[-6,-2>
22. (|)(x) =<{ 2-x , xe<-2,0]
5S2
t xe[2/+»>
Ran{f+g)=[-!/+«>Sólo fines educativos LibrosVirtual

704. Respuestas a Ejercicios Propuestos 691
19. (f-g)(x)
Vx-2-1, xe [2<4>
x 2-14x+45, x e[6,8>
x z-16x+58, x e[8,10>
Ran(f-g)=[-6,-2> U[-l,/2-l>
24. (f+g)(x)
|xz+l|+l, x e[-2<2>
x=2
xe<2,4>
2
1
x-1
Ran(f+g)=<l/3,4]
G R D P O 38. P a g . 4 1 8
____________
1. R-(-2,-l,0> ; 2. -|(5±/5) ; 3. R-(-2/3,2/3) ; 4. [3,4] ; 5. 6 ; 6. 1332
7. 555 ; 8. <-“ ,-/2] U [/2,+-> ; 9. a=53 ; 10. h(x)=xI-3 ; 11. -17/3 ; 12.
14/17 ; 13. 2x ; 14. g(x) : 15. f(x)=2x-l/3 , f(x)=l-2x ; 17.
<—“»»—2] U <-/2,l> U [2,+«> ; 18. [-3,-3/2) ; 19. u < - 1 ,1> U [4,+~>
20. (fog)(x) = / 2x i-4x+3, xe<-19,-2> . ^ m . 2 2 . (fog)(x) Í6x+2, x<-3/2
[ 8x2+l , x e<6/10> (2-9 x, x>1
Í
x 2-1 , x<l
x z+2 , -líx<0
3-xz , xiO
’ -xl+6x-6, x e < - “ ,0]
x*-3x , xe[0/1]
-xz+10x-22, x e < 1 , 2 >
. x z-7x+10 , x e[2,+">
x2+6x+7 , x e[-5,-3]
4x2-4x-1 , x e[-2,1>
16xz+8x-l, x=l
, x e<-4,-3>
, xe<-2,-l]
24. (fog)(x ) =
25. (fog)(x )
26. (fog)(x ) =
1
x+6
6
( ~ x ~ > 2 ' *e<-3'-2 ]
.5-x , x e[4,5>
27. (fog)(x )
28. (f og )(x ) =
29. (gof)(x)
30. (fof)(x)
/ 5 - x , xe<1,/5>
1 , xe<4,7>
x -4
r-i
i
, x e[/7,2/3]
, xe[0,1>
< x e[1,/2>
/x2-l-l
x2 , x e</2,/5>
x2 , x e[-3<-2]
0 , x e < - 2 , - 1 ]
4 , x e[1,2]
-4 , x=-l
-(x+4), XE<—1,0]
-4 , x—1
-x , xe<l,3>
-2 , x=3
//x+2 -2 , xe[4,9]
G R U P O 39. P a g .442
1. n=6 ; 2. a=ll/27, n=l/12 ; 3. -6 ; 4. n=55/3 ; 5. n=-l/2 ; 6. ^ ( l - 1 5 a )
7. n=4 ; 8. <-4,-l>U <0,2> ; 9. a=2, b=ll ; 10. FFV ; 11. FFV ; 12. ¿n ; 13
3-x2 , xe[0,/2]U (/3) ; 14. VFFV ; 15. <-l,l>-(0) ; 19. a) Ran(l)=
<-17/2,-17/4] U (0) U [29/4,10> lt (22) ; 20. f es inyectiva, g no es inyectiva
f4x+ll, x e[-3,-1>
21. a=2, b=3, (fog)(x)=( _ r , ,, : 22. 7 ; 23. a) Df=Rf=R-(2), b)
l, • / xe [ 1/JJ
f=f*< c) Si, porque para todo punto P(a,b)ef existe otro punto Q ( b , a ) E f *Sólo fines educativos LibrosVirtual

705. 692 R e s p u e s ta s a E je r c ic io s P r o p u e s to s
que son simétricos respecto a la recta y=x. Verificar para P(3,7) — Q(7,3)
d) Si/ x=2±/5, corresponde a los vértices de ambas ramas de la hipérbola e-
quilStera.
25. h*(x) = r ^ -3~ 1 ' XE< ” '2>
l l-z^TTl , Xe(2/+“>
{
1-/1-X / xe[-3,1>
____
l+/4x-x2, xe[2,4]
{
2->^2x-8 , xe<9/2,6]
24-/2x=8 , xe[4,9/2]
26. f*(x)
33. f*(x )
l+ |x|
-2+/X+9 , xe[-9,0>
= f " 2
U i
34. f*(x)
29. f*(x) =
32. f*(x)
’ -6-/x2-8x+25, x e < - “ ,0]
, /x+3-3 , xe^,-*-” *
-/2x=2 , x e<3,9]
x 2- 2 , x e [ 0 ,2]
-l-/x+3 , x e < - 2 , 1
, xe<-“ ,-5>
XE<-“ ,1>
, x e<1/2]
35. f*(x }
36. f*(x)
+5 / x e[0,+»>
4-/x+9 , x e<16/40]
4+/x+9 / x e<-9/0]
^ ( 7 - x 2), xe<l,3]
:-/4-x , x < 4
/x 2- 8x)/ x > 8
í - l 4 - / x ^ I , x >,
L , x <
37. f*(x) =
39. (g+f*)(x)

______ 38. f*(x )
(/x2-2x+5+x+2), x e[-4,1-2/5]
, x [-2,-3/2]
' /2x-2 , x e<3/9]
x 2- 2 / xe[0 / 2 ]
,2-2x / x e[-2,0>
/5f , x e[1/4>
x 2+2x / x e[-1 (0>
x 2 , xe[0,l>
- x 2 , x e[-3,-1>
y 4-1 1
40. ¿f* (f no es univalente)/ g*(x)=2(^j) ; 41. f*(x)=l4- Y -f/í+¿
42. (fog*)(x) =
I -^(x-t-l) 2-l, XE<-“ ,-3>
45. (f*og)(x) =
x24-1 , x e[0,4-~>
4 (x z- 6x4-1)
-2x 4-12x-l
2/X+2
43. h(x)
, x e<-2,3-/17/2>
10-/x-2 , xe[7/4-~>
(x24-3)2+4/ x e[ A , / 5 ]
/ XE<3/4-“ >
47. g(x) =
/x-3-/x-t-2
-l-Zx-2 / xe<2/4-” >
46. A=[-2,0> U [1,4]
B=[-3,7]
g*(x)
(x4-1)24-2 / x e< - ~ , - 1 >
x 24-1 , xe<-«°,-l> —/x+1 , xe<2,4-“ >
G R U P O 40. P a g . 4 5 2
1. f(M)={-3,-l,3,5], f*(S)=]0,2,4] ; 4. a) -5, b) f(M)=[0,7/12>; 7.a) <1,2>
b) [-1,0] u [2,3], c) <-“ ,l] U <5/3,2> U [3, + ~ > , d) <— ,0>U <0,l/2> U <1 ,+»>,
e) <— ,0>U<0,1/3>U<l/2,4-»> ; 8. £(<2/9,1/3]) ; 9. <-l,2> ; 11.b) [-8/3,|]Sólo fines educativos LibrosVirtual

706. Respuestas a Ejercicios Propuestos 693
d) 5+3/5)] u [-8/3,+» ; 12. <— ,-3] u [7/2,+»>.
__________________________ G R U P O 41. Pag. 4 5 8_________________________
3.a) b=3, b) b=10, c) b=l/2, d) b =8 ; 4.a) D=R, R=<0,+»>, b) D=R, R=<0,+~>
c) D—R/ R=<Oi+co>, d) D=R, R=<—*/l^i c) D=R, R=<—1,0], f) D—R, R= [3f+°^( 5)
4
D=R, R=(6,+~>, h) D=Xe [n,n+l>, n e Z , i) I>=xe [n,n+l>, neZ ; 5.a) x=25, b) x=j
c) x=25 ; 6. E=7/2 ; 7. E=-10/27 ; 8. E=16/15
__________________________ G R U P O 42. Pag. 4 6 6________________________
, . 27(x-b)z , 25a3 . , . ,20ez , . r _ c T c
1. L o g —
------; 2. Log_( -) : 3. Log (— 5-) ; 4. x=Log2 ; 5. x=Log5
3 a (y-c) 2 81.2a e 3
6. x=l ; 7. x=Log3 : 8. x=167/240 ; 9. x=20 ; 10. x=48 ; 11. x= 8; 13. x=3/2
12. x=2 ± ; 15. 4k/5 ; 16. 3(l-a-b) : 17. b=al ; 18. 24/2 ; 19. o=ir/4
«. 2a
20. ^ r S r r : 21. 11/3 ; 22. x=48 ; 23. b V 3 ; 24. x=8 ; 25.E— 77/4: 28. E=2
26. x=/2 ; 29. */!o ; 30. 3/2 ; 31. L o g ^ b (a)+Logc+b(a). (Sug. Partir del
Teorema de PitSgoras)
G R U P O 43. Pag. 471
_______________________
9. D o m ( f ) =< 1 » 3> , f * ( x ) = l + 2 x 1 - 1 : 1 0 . a ) x e < 2 , 3 > , b) x e [ 4 , 6 ] , c)
x e < - 2 , 2 > , d) x e < - l , l > 0 < 2 , + - > , e) x e [ l , 4 ] ; 11. F V V ; 12. F V V F
13. V F F : 14. V F F ; 1 5 . a ) F
S = < l , 2 / 5 > , b) F, 17. ( g o f )( x ) =
^ 2'/^~~X~ 2 , xe < - 1 7 / 4 , -2>
S = ( a , ) , c) V
2x l - 2 , x e < / 2 , / 5 7 2 >
L n ( / x ' + l ) , x c< / T 7 2 , 2 >
G R U P O 44. Pag. 47 6
______________________
1. (-1,2) ; 2. {21 ; 3. (1,2) ; 4. (1) ; 5. (2,3) ; 6. (3) ; 7. (3): 8.1-3)
9. (-1,1) ; 10. (3) : 11. (1) : 12. (-2 2) ; 13. : 1 4 -
{ £ § ! } • 15- t r o c a } ' 16- ■11' ' - H 2' : » •
»• • ^ S Ü i13} ■ *>■ U f f e } 2 “ ••> «-&■»•&
b) x = i f h ^ f ' y = 4(h^kj : 22, 1(3'5)> : 2 3 ‘ <<1/4,1/2)); 24.((9/4,27/4))
25. ((1/3,9)) ; 26. {(7,121)) ; 27. {(7,5)) ; 28. x= ^(/ÍTto-l), y=2n+-|(1-
/T+áS) : 29. ((2,0)) ; 30. x=|(3±/5), y = - | ( / 5 + / 2 ) , ir--5/3, v=7/5 ; 31.
((-1/2,1/2,1/2)1.Sólo fines educativos LibrosVirtual

707. ________________________ G R D P O 45. P a g . 4 8 1 ______________________
1. 1-1,3) ; 2. 15» ; 3. 116) ; 4. {3) ; 5. 11,2) ; 6. 15,»/§) ; 7. 18) ; 8.
la,a* h 9. ltog4) j 10. if o ^ ) ; u . U/3,81); 12. 110,10*); 13.l2,l/J/5)
14. U ) ; 15. )10) ; 16. (-4/3,2) ; 17. (l/a,10/a) ; 18. 110) : 19. 12)
20. 15) ; 21. ll//a) : 22. x=Log2 <— ; 23. x =*/6 ; 24. 1±4,±8); 25.x=k»
+arcTglO ; 26. x=29/8 ; 27. laa *,aa ) ; 28. ls/3,l/*/3) ; 29. 129/8,-21/8)
30. 1(1,-2)) ; 31. 1(100,10),(1/100,1/10)) ; 32. 1(505,495)) ; 33. 1(3,4),
(-7/1/2,^2/2)) ; 34. 1(1/10,2),(100,-1)) ; 35. 1(6,3)) ; 36. 1(9,5)) ; 37.
l ( e , e - , ) , ( e - ‘ , e ’ ) , ( e , , e - ‘ ) , ( e - , ,e ) l ; 38. K e S e ) ) ; 39. 1(8,4)) ; 40.
K S M ’M S ’^ 1)) : 41. l(2a,b/3),(l/2a,3/b)} ; 42.1 (10* ,10’ )) ; 43. x=-|(
11-/4I).
G R U P O 46. P a g . 4 8 6
__________________________
1. xc<-3,-l> U[3,+»> ; 2. xe<-l,+«>-{-1/2); 3.xe<-3,0>U <1/2,3> ; 4.xe<l,2>
U [3,5] ; 5. xe<—1,2] U <5,+«> ; 6. x b<-«,-2 ]U [-l/2,+«> ; 7. [3,+«> ; 8.
<-»,-3J ; 9. <0,+-> ; 10. [-5/2,-2/5) U [2,+«> : 11.<— ,-6)U <1/2,2> Uf3,+->
G R U P O 4 7. P a g . 4 9 8
__________________________
1. xe<2,+-> ; 2. xe<2/ll,l/2> ; 3. xs<l/2,7/3> ; 4. x e<— ,-5/4>u <11/4,+->
5. xe<0,3/2> 0 <3/2,3> ; 6. x e< —,-l> U <5,+«> ; 7. xe<7/2,5> U <5,+»> ; 8.
xc[-l,0>U <3,15> ; 9. x e<-1,-1/2>U <3/2,2> ; 10. xe<l,3> ; 11. xe* ; 12.
x e<3,+«> ; 13. xe<6,25/4> ; 14. xt[0,l> U <3,4] ; 15. xe<-2/2,-/5> u </6,2/2>
16. x e<-1+/6,2> U <2,5] ; 17. x e<0,1> U [2,+»> ; 18. x e<0,1/2> U <l,+*>> : 19.
xe<0,l/2>u <l,+«> ; 20. Si l<a<2 » 2<x<-|^, si a>2 » x < o x>2 ; 21.
x e < - ¿ ( l W l + l6Ít),-/2x > U < /2É, |(-1+/I+16Í)>
G R U P O 48. P a g . 5 06
__________________________
26. (2) y (3) : 27. F W ; 28. 16 ; 29. Todas ; 30. (1),(3) y (4) ; 31. 3
32. 3/4 ; 33. 8n‘+4 ; 34. f(40) ; 35. f(n)+2n+3 ; 36. 31c+d
_________________________ G R U P O 50. P a g . 521
1. V2-5 ; 2. 10(10n-l) ; 3. ; 4. |( 2n‘+9n+13) ; 5. S(n+l)(2n+l) ; 6.
§{4n*+12n+ll) ; 7. 2tl+(n-l)2n ] ; 8. 9 n + Cgs(n+l>Sen(nxj
3 2Senx 2 Senx
10. (l-Cos2n 2x)Cotg22x ; 11. Ln[,— — ,1 ; 12. x[(n+l)!-l] ; 14. 8
L(n+4)(n+3) J
694
_____________________________________________________R espuestas a E jercicios propuestosSólo fines educativos LibrosVirtual

708. Respuestas a Ejercicios Propuestos 695
15 . 550 ; 16. n=7 ; 17. 2 - ” (21*-l) ; 18. 12 ; 19. 19 ; 20. 874 ; 21. 10
22. -4 ; 24. n=6 : 25. 37/28 ; 26. 190 : 27. a=l/2, b=-l/2, c=0 ; 28. n=80
29. |(n+l)(n+2)
G R O P O 51. P a g . 5 3 4
__________________________
7. n=7 : 8. 2n+1-2 ; 9. n=4 ; 10. : 11. ; 12. n=22 ; 13. 18
14. 25 ; 15. ( £ ) > 16. 53 : 17 . 56 ; 18. 120 ; 19. 36 ; 20. 48 ; 21. 56
22. 56 ; 23. n=4 : 24. 392 : 25. 1,296 ; 26. 18 ; 27. 7 ; 28. 259; 29.-4480
30. -14/3 ; 31. T „ ; 32. T, ; 33. 495x2*x3*; 34.-816x*s* y -816x-“ ; 36.
-1/20+1 ; 37. 2n+2-n-3 ; 38. n=6 ; 39. 8 ; 40. -165/4 ; 41. 5/9; 43.Las dos
son falsas, en b) n=10 ; 44. 4020 y —540 ; 45. S p q ' + S O p ^ ^ + l O p ’r1 ; 46.
1(3/2,1/2) }.
G R U P O 52. P a g . 543
_________________________
1. 3,9,19,33,51 ; 2. 1,-3,5,-7,9 ; 3. 1,4,19,364,132499 ; 4. 100,23,21/4,
13/16,-19/64 ; 5. 3,1,-2,-3,-1 ; 6. a ^ n ; 7. an=3n*-5 ; 8. an= ; 9.
an=4n-2 ; 10. an=(-l)n+1(2n-l)(2n) ; 11. an=(-l)n+1(l/3)n ; 12. -86 ; 13.
12,9,6,3,0,-3 o -9,-6,-3,0,3,6 ; 14. k=l/2 ; 15. 4,9,14 o 14,9,4 ; 16. 2,4,
6 ,8 : 17. 579 ; 18. 84 ; 19. n=ll ; 20.a) 13, b) 19n-ll ; 21. 9,3,1 o -9,3,
-1 ; 22. 2,6,18 ; 23. 9 ; 24. 1,5,9 o 10,5,0 ; 25. r=-2, n=ll ; 26. 5,10,20
40 ; 27. 5 días ; 30. an= ^(n-2)(n-l)+(n-l)ai-(n-2)a 1
__________________________ G R U P O 53. P a g . 5 47__________________________
1. Creciente ; 2. No monótona ; 3. Creciente : 4. No monótona ; 5.Decrecien
te ; 6. Creciente ; 7. Decreciente ; 8. Creciente ; 9. Decreciente ; lO.Cre
cíente. 11. Creciente, acotada interiormente por 1/2, pero no acotada sup.
12. Creciente, acotada inferiormente por 4/5/5 y superiormente por 2
13. Decreciente, " " 0 * ” 2/5
14. No es monótona, no acotada ni suprior ni inferiormente.
15. Creciente, acotada inferiormente por 0 y superiormente por Log2
16. Decreciente, “ " " 1 "
17. Creciente, " " ” 1/2 "
18. Decreciente, “ " " 0 "
19. " “ ” “ 0 "
20. No monótona " " " 1/3 "
4
1
1/2
(l/3)Log3
4/9
21. No monótona * " -1 " " " 1Sólo fines educativos LibrosVirtual

709. 696 R e s p u e s ta s a E je r c ic io s P r o p u e s to s
__________________________ G R U P O 54. P a g .556
1. k = (3+e)/€ ; 2. (12-3e)/2e ; 3. 1/e1 ; 4. (5-3e)/4e ; 5. (7-6e)/4e ; 6.
l//3"e ; 7. Converge a 2 ; 8. Converge a 3/2 ; 9. Converge a 3/2 ; 10-Conver
ge a 3/2 ; 11. Divergente ; 12 Divergente ; 13. Converge a -5/2 ; 14.Conver
ge a 4 ; 15. Converge a /2/2 ; 16. Converge a Log2 ; 17. 832 ; 18. 10/3; 19.
3 : 20.a) -3, b) 0 ; 22. 3 ; 23. 17/4 ; 24. 3/2 ; 25.b) 1/3 ; 30. (a*-l)/a
32. 9 ; 33. p 2/2 ; 34. S,=n/2n+l, S,=(2n+ 1-l)/n+l, L=l/2 : 35. 100/441; 36.
-1 ; 37. 1/2 (Ver Ejerc.12, pag.533) ; 38. 1/2 : 39.a) Sn=-2n/3(2n+3), c)-j
G R U P O 55. P a g .563
1. 1/4 ; 2. 1/3 ; 3. 1/2 ; 4. 5/6 ; 5. 15/2 ; 6. -3/2 ; 7. 2150/99 ; 8. 1/2
9. 1/4 ; 10. 24 ; 11. 5/2 ; 12. 7/2 ; 13. 8/33 ; 14. 112/999 ; 15. 687/1100
16. 47/33 ; 17. 18607/49950 ; 18. 7/22
G R U P O 56. P a g . 5 80
1.a) x=3, y=2, b) x=-2/3, y=l/3, c) x=-4/ll, y=5/ll, d) x=2/5, y=-l/5, e)
x=-13/7, y=5/7, f) x=l, y=-2, g) x=2, y=-3 ; 2.a) z=(l,-12), b) z=(0,l), c)
z=(l,l), d) z=(-l,0), e) z=(-l/2,3/2) ; 3.a) 2, b) 8(l-i), c) -1, d) -i ;
5. z3=(2,-2), zr‘=(l/4,l/4) ; 6. 2[ (/3-l)+i(/3+1)] ; 7. Im(z)=-3.; 8. z 3"‘ =
(-2/17,-9/17) : 9. 1 ; 10. z=(17/100,-6/100) ; 11. (1/16,1/16) ; 12.a) z=
672(-l+i), b) z=i/6, c) z=-(3+i )/2 ; 13. x2+y2=l ; 14. 2+(l+/3)i, l+(l-/3)i
15.a) (-1,6), b) (-4,8) ; 16.a) z=l+i, w=i, b) z ^ (37,73), «=^(8,-15), c)
z=2+3i, w=l-i, d) z=2+i,'w=l-2i, e) z= ±i/2, w=-i(-l±i/3¡), t=-l±i, f) z 3=l
Zi=i, za=2i, g) Zi=3+2i, z2=4-i, h) Zi=l-i, z2=-l-i, z3=3, i) z3=2-i, z2=-2
+i, z3=-l+i, j) z3=i, z2=2i, z3=2-3í ; 17. 1 ; 19. S=l, S=i ; 20.a) 1, b)-l
G R U P O 57. P a g . 588
1. ¿2/2 ; 2. i^2 ; 3. 4i ; 4. V W ; 5. V W F ; 6. z3=(l,2), z2=(3,-l) ; 7. x=
3/4+i ; 8. z3=(7+2/3,4+3/3), z3=(7-2/3,4-3/3) ; 9. (3,2) o (3,8); 10. (|,|-)
13. z=(2,-2) ; 24.a) w=±(l-4i), b) w=±(2-i), c) w=±(5+6i), d) w=±(l+3i), e)
w=-(3-2i), f) w=±(l-3i), g) w=±(/2-/3,i/2+/3), h) w=±(4+3i), i) w=±(| +-|i)
j) w=±(/3+2i)
G R U P O 58. Pag .601
1.a) Eje imaginario para ySO, b) Parábola y 2=4(x+l), c) Circunferencia de
centro Q(-1,0) y r=l, d) Circunferencia de centro Q(-2,0) y r=2, e) Circun­
ferencia de centro Q(2,-l), r=2, f) Elipse, Focos: F a(1,2), F 2(-l,2), semi­
ejes: a=4, b=2/3, g) Mediatriz del segmento z 3z 2 , h) Hipérbola equiláteraSólo fines educativos LibrosVirtual

710. Respuestas a Ejercicios P ropuestos 697
xy=2, i) Parábola:x*=2y+l ; 2.a) El interior y el borde de la circunferen­
cia de radio 1 y centro Q(0,1), b) El interior de la circunferencia de ra­
dio 1 y centro Q(l,l), c) El interior y el borde de la elipse con focos en
F t(2,0) y Ftí-4,0), semiejes: a=5 y b=4, d) La franja -l<y<0. e) Interior
de rama izquierda de la hipérbola de focos F,(2,0) y F 1(-2,0), semieje real
a=3/2. f) Interior de |z-i|=/T y |z+i| =/2, excepto la región común, g) El
interior y el borde de las dos ramas de la hipérbola de centro Q( 0,0) y se­
miejes: a=2 y b=/5, focos: F, (0,4) y F,(0,-2). h) El interior de las dos
ramas de la hipérbola con centro en Q(l,2) y focos en F,(-3,5) y F I (5,-1),
semiejes: a=4, b=3. i) El semiplano superior y el borde de la recta x+4y=-4
4. En el interior de la circunferencia de centro (0,0) y radio r=5.
5. Parábola: y*=4(l-x)
G R P P O 59. P a g .607
1.a) z=12Cis30\ b) z=6Cis300\ c) z=Cisl50*, d) z=10Cis210', e) z=8Cisl20*
f) z=4Cis315'; 2. 2(l+i/3) ; 3.a) -1-i, b) ¿(l+i/3), c) i(-/2+i/2), d) -|(
/3-i) : 5.a) z=/2-/3Cis75*, b) z=|Cosec8|Cis(270*-8) ; 6. 672/2Cis(3w/4)
8. iCosece
. G R P P O 60. P a g . 6 1 0 ,
______________________
1.a) |{-l-i/3), b) -|(-l+i/3), c) 2*(l-i/3), d) (2-/3)1I+0i, e) 0-2“ i, f) 1
g) -64+Oi, h) 0+64i, i) -l+0i ; 2.a) -/3+i, b) -l+0i, c) l-i/3 : 3. -21*;
4. Cis(nn/3) : 5. -Cos6x+iSen6x : 6.a) |(Cos4x-4Cos2x+3), b) ^ ( C o s6x+
6Cos4x+15Cos2x+10), c) g^(-Sen7x+7Sen5x-21Sen3x+35Senx), d) ^(Cos7x +7C os5 x
+21Cos3x+35Cosx) : 7.a) C o s ’x-lOCos’xSen’x+SCosxSen’x, b)Cos,x-28Cos‘xSen1x
+70Cos*xSen’x-28Cos1xSen‘x+Sen * x , c ) 7Cos * xSenx-35Cos * xSenJ x+21Cos1xSen *x-
Sen’x ; 9. 8=k» o 8=kx-x/2 ; 10. ((0,0) , ^ ( l , / 3 ) ); 11.a) ^(- l+/5), b ) ^ ^ ¡
c) ^(-/5-i)
G R P P O 61. P a g .615
__________________________
1.a) ±(/3+i),±(-l+i/3) , b) 2i,-/J-i, /3-i, c) 2Cig(5l,^ klf), k=0,l,2,3,4.
2.a) (l/ll/ 2 ) C i s ( ^ p ) , k=0,l,2,3,4,5 : b) (l/1,/2)Cis(19l' ^ 4kl'), ke[0,7]
c) (l/‘V2)Cis( — g g — ), kc[0,5) ; 3.a) 0 , b)0 ; 5.a) (2+3i,-3+2i>, b)
(l+i,2+U, c) (0,l+i,l+i) , d) l-l+i,-3-4i) ; 6.a) ±(l+i/3),±(-/3+i) , b)
wk = 2C i s ( ^ ^ ) , k=0,l,2 , c) 1, -2, ¿(-l±/5i), l±i/3 , d) «k =
•/ISCist^ 2^ ), k=0,l,2 : e) ; (-1Ü/3)Sólo fines educativos LibrosVirtual

711. 698 R espuestas a E jercicios P ropuestos
g) ■■ - / ^ p > : h) 1, -1/3, --i(l±2i) ; i)
wk=/6cis(^|) o w ^ i s í 1 ^ ) , k=0,l,2 ,3 : j) w k=2[Cis( - ¿ 2 ) ] - 3 , k=0,
1,2,3 ; 8.a) Si u=l - S = ^ ( n + l ) , si u/1 - S =
¿ w —x
b) Si K =1 - S = |(n+l)(2n+l) , si <o/l -* S = IL^ ~ ^ i .n t M -M'¡'n(n+2>
6 (.- 1)*
__________________________ G R D P O 62. P a g . 6 3 2___________________________
99 i5*/3 -* i __ i
1. z = — ^(e ) ; 2. z=2 (-l+i/3) ; 3. -g(Cos4x+4Cos2x+3) ; 4. 15Cos'x-
12Cos1x+l ; 5.a) w,=Cis70’ , w,=Cisl90*, w ^ i s S l O * , b) w,=i, w,= | + ( l + ~ ) i
3 /T
«»= ~ ~2 * í1 2 }i ' c> '''•^Cis100* ' w,=2Cis220‘ , Wj=2Cis340‘ , d) z,=
¿<l-i), z1= ^ ( l + i ) ; 6. */5, -2 . s/2, */2 ; 11. -/5/5 ; 13.a) V , b) V ; 14.
-2” ; 17. Re(z)=-|cotg(-^ + , Im(z)=-l/2 ; 18. .?Cos”x ; 20. -2: 21.b 32
n-1 rw C° 3 X
2n Cos[a+(— )x]Sen{ 5)
\ /2 Sen{nn/6) ; 27.
-------------------- , si n es par
3 X>/¿ Cos(x/2)
Sen[a + <*§i)x]Cos(^)
-------C os(x/-2 )------ , si n es i upar ; 28. 2 Cos {^ÍSenC-y )x
29.a) 2nSenn (f)Cos[^ - (”+2lx] , b) 2nSenn (f JSentiül2^ ) ; 30. ¿ - | f ^ g -
S e n ^ í x C o s ^ ) C o s ^ J x S e n t 1^ )
34' coix72 ' n inpar :
-------C 5 S 7 2------- P*r
37. S-T=Tgn xCos(^§2) : 38. S e n ( ^ ) ; 39. -1/2 ; 41. 0, '
¿ ¿-n u +1 u*+l (a *+1
/ «=e2xl/^ ; 42. (£)Sen(n-k)9 = 2nSenn (^ - |)Cosn(| - -|) ; 43. 0
Sen(^ii)6
44. 2” ./3 ; 46. P(z)
-----— Cis(^í^) ; 47.a) 2nSenn (-|-)Cos(4) > n P31
Cos(B/2) ¿ ¿ ¿
2nSenn (— )Sen(-^), n impar ; b) -2nSenn (-j)Sen(^|), n par ; 2nSenn (y)Cos(-^),
n impar ; 50. §S2J2| , n par ; § 2 | Í S | , „ impar ; 51. -|[3Cotg(|)-Cotg(|) ]

________________________ G R P P O__63. P a g . 6 4 2________________________
1.a) 2x*-7x5+6xs-3x1-xt-2x+l , b) x ^ x ' ^ x ’+Sx+l ; 2.a) Q(x)=2xi+3x+ll ,
R(x)=25x-5 , b) Q(x)=-|(3x-7) , R(x)= |(13x+l) ; 3. p=-q*-l, m=q ; 5. a=4,Sólo fines educativos LibrosVirtual

712. R espuestas a E jercicios P ropuestos 699
b=2 ; 6.a) +(x)-6x1+12x-8), b) ±(4xs-5xl+3x-2) ; 7. a=c, b=a'/4 +2; 8. m=±6
n=13 o n=5.
G R P P O 64. P a g . 6 5 3
1.a) Q(x)=xs- x l+3x-3, R=5 ; b) Q(x)=2x*+2x-2, R=5; c) Q(z)=4zl-(3+4i)z-l+7i
R=8-6i ; d) Q(z)=zl-2iz-5-2i, R=-9+8i ; 2.a) 10-, b) -1-44Í , c) 2x-5 , d)
l-3x ; 3. 22 ; 4. 21 ; 5. 2 ; 6. -15 ; 7. b=2, c=-9, d=-18 ; 8. nt=8, n=5,
p=-6 ; 9. a=-2, b=6 ; 10. 215 ; 11. k=-2 ; 12. k'(k-l) ; 13. a=3, b=-4 ; 14
-10 ; 15. P(z)=z*--|z4- i | z + ; 16. A=3, B=4 ; 17. A=n, B=-n-l; 18. 5x+15
3 9 33 27
19. -gX5 + -^x1 + — x ; 20. Cuando m,n y p son simultáneamente pares o
inpares. 21. Si m no es divisible por 3 ; 22. Para m=6n+2 y m=6n+4 ; 23. S5
lo para m-6n+l ; 24. Sólo para m=6n+4 ; 26. n>2, a= n/n-2 ; 27. p=24, q=-20
__________________________ G R P P O 65. P a g . 6 6 0________ _______
1. 2+i, 1, 1 ; 2. -2-/Si, l±i/í ; 3. l+/T,-2,3 ; 4. -3-/7,1/2,-1/3 ; 5.
x *-4xJ +5x1 -2x-l2=0 ; 6. x'-4xs+24xl-16x+80=0 ; 7. x*-3x3-9x4+25x-6=0 ; 8.
2xs+llx,+ 6 x ,-42x*-52x+35=0 : 9. x 6-9x5+32x,-54x,+37x1+3x-10=0 ; 10. x'-7xs+
6x 5+22x*-56x J+48x2+112=0
__________________________ G R P P O 6 6. P a g . 6 7 2 _________________________
1. {-l/2,l/3,l,±i} ; 2. {-3,l,2,2,±i/3l ; 3. {-3,1/2,3+3/21 ; 4. {1/3,1/2,
3/2,|(l±i/f)} ; 5. {l,5,+|i} ; 6. {l,2,+i/2} ; 7. {0,-2,1/3,+i) : 8.{-2,-2,
2,1/2} ; 9. {-5,-1/3,2/3,3) ; 10. {1/2,1/2,3,±i) ; 11. {1+i,1/3,2,14/5} ;
12. {-24i,-1/2,2/3,14/3} ; 13. {l/3r|(-l+i/3),14i/3) ; 14.P(x)=(3x+l)(2x+l)
(2x-l)(x+3i)(x-3i) ; 17.c) x e<-2,1>, d) {-3/2,l/2,2/3,+i/2} ; 18.c) -l<x<4
d) {-1/2,1/2,5/3,21 ; 19.c) x e<0,8>, d) (3/2,9/4,5,|(-l±i/5) {; 20.c) -l<x<4
d) { -1/3,1/2,2,^(1 ü / 5 ) ; 21.c) xe<0,4> , d) {l/4,l/3,l/2,I/2(-l+i/7)} ;
22.c) x e<-6,4>, d) {-4,-3,2,14/5} ; 23.c) xe<-l,2>, d) {-2/3,1/2,1,3/2,+i>
24.c) Xe<-2,1> , d) {-3/2,-l,l/3,l±i/5}; 25.d -3<x<3, d) {-5/2,-l/2,2,5/2}
G R P P O 6 . 7 . Pag . 6 8 0
1. {-3/2,-2,4} ; 2. {-1,1,3,5} ; 3. k=26, {2.3,4} ; 6. {8/9,-2/3,1/2} ; 7.a
(qi-2pr}/r4 , b) (pl-2q)/r4 ; 8. E=2ql ; 9. E=157/36 , S=3/2 ; 10.a) - 6p
b) p/q , c) - p J , d) q" , e) -3 , f) -2p’-3q* ; 12. {2+/3,2-/J,-2±i/Ill
13. 1-2,-2,-4) y 1-2,1,31 ; 14.a) m=-3, M =8 , b) 2 y 4 , c) 7 y 12 , d) -14
15.a) 205/16 , b) U/4,1/2,1,2)' : 16.a) x J-37x*-121x-99=0 , b) x s+4x*+28x+
216=0 ; 17. r,=10 o m=10/19Sólo fines educativos LibrosVirtual

713. BIBLIOGRAFIA
1.- MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO
Louis Leithol - Editorial Haría
2 .-ÁLGEBRA SUPERIOR
Louis Leithol - Compañía Editorial Continental
3 .-EL CÁLCULO
Louis Leithol - Editorial Oxford University Press
4.- MATEMÁTICA BÁSICA con vectores y matrices
H.R. Taylor - T.L. Wade - Editorial Limusa - Wiley
5.- CONJUNTOS Y ESTRUCTURAS
Alvaro Pinzón - Colección Harper
6 .-MÉTODO DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA
. 1. Sorainski - Editorial Mir - Moscú
7.- PROBLEMAS DE ÁLGEBRA SUPERIOR
I. Sominski - Editorial Mir - Moscú
8.- FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
J. M. Silva - A. Lazo - Editorial Limusa
i
PEDIDOS A PROVINCIAS
Depositar a la Cta. de Ahorros del Bco. de Crédito
N* 193-03122265-0-02
Ricardo Figueroa García
Ediciones
Jr. Loreto 1696 - Breña (Alt. cdra. 9 y 10 de la Av. Brasil)
E-mail: ediciones_2@ hotmail.com
Telefax 423-8469
Lima - PerúSólo fines educativos LibrosVirtual

714. ANALISIS
MATEMATICO 1
ANALISIS
MATEMÁTICO 2
EL LÍMITE
Y C O N T IN U ID A D
DE UNA FUNCIÓN
G. N. B E R M A N
METRIA
LLIT1CA
Problemas y ejercicios de
ANALISIS
MATEMATICO
Tomo 1
Solucionario
por: R. Figueroa G.Sólo fines educativos LibrosVirtual