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Matemática - grados y sistema sexagesimal

1. 41. Calcular el ángulo de referencia 8, para cada ángulo dado en posición normal.
a) B = 137°56'327"
b) B=10,1379
c) —769°12'89"
4) In rad.
e) = rad
f) 1,724.565°
9) 4.25 rad.
h) 91%0'27"
i) —228.75 gradianes.
j) 11093555, recuerde 19 = 100, 17 = 100°
k) 3765

2. El sistema sexagesimal

En este sistema, además de dividirse la vuelta completa en 360 grados, cada uno de
estos grados se divide en 60 partes llamadas minutos, y cada unos de estos minutos
en 60 pequeñas partes llamadas segundos. Para representar los minutos y los
segundos se usan las comillas sencilla y dobles respectivamente. Por ejemplo, para
representar 35 grados, 18 minutos y 43 segundos se escribe: 35° 18’ 43’!

Esta forma de medir las partes de grado, aunque aún es usada con frecuencia, está
pasando al desuso. En la actualidad es más común dividir cada uno de los 360 grados
en forma decimal. Es decir, cada grado se divide en diez décimas, cada décima en diez
centésimas, cada centésima en diez milésimas, etc. Por ejemplo, para representar 89
grados, 5 décimas, 9 centésimas y una milésima se escribe: 89.591°.

3. Angulos de referencia

Los ángulos de referencia es un ángulo agudo positivo que representa un ángulo de cualquier medida

con el eje x. Para ello, se deben tener en cuenta cada uno de los cuadrantes.

t > | 6
9 Or 8,
8
6
af Dr

4. CUADRANTE

Angulo de Referencia

Or = ©

Ox = 180” - O
-1-©

Or = © - 180°
=0-1

Or = 360° - O
= 2-0

Ejemplo: Calcular el ángulo de referencia para un ángulo de 200 grados

Como el ángulo esta en el cuadrante III, se reemplaza en la fórmula:

8 R=200 - 180 = 20 grados

5. 1. Conversiones entre grados, radianes y gradianes

A) De grados a radianes
Para convertir un angulo de grados (°) a radianes (rad), usamos la siguiente formula:

i = a
Radianes = Grados x 180

Ejemplo:
Convierte 60° a radianes:
T 607 m

di. = 60° x —=—=-
Radianes = 60° x 180 m grad

6. B) De radianes a grados

Para convertir de radianes (rad) a grados (°), usamos esta formula:
180
Grados = Radianes x —
T

Ejemplo:
Convierte i radianes a grados:
180

x 180 _ ase
m

Grados =

ala

7. ©) De grados a gradianes

Para convertir de grados (°) a gradianes (gon), usamos esta fórmula:

400
Gradi = Grad —
radianes rados x 360

Ejemplo:
Convierte 45” a gradianes:

. o 400 _
Gradianes = 45° x 360 — 50 gon

8. D) De gradianes a grados

Para convertir de gradianes (gon) a grados (°), utilizamos la formula:

360
ados = di —
Grados = Gradianes x 200

Ejemplo:

Convierte 50 gon a grados:

360 o
Grados = 50 gon x ai 45

9. Suma de ángulos

13°
+ 25°
31°
69°

45’
37
12’
94

38"
56”
49”

143”

10. 312 17 49”

Recordando que 60” = 1'

pensamos con 143” ¿Cuántos

13° 45 38” autos podemos formar?

25° 37 56”

69° 94’
2—

96 23" a 94 le sumam

11. pens
g los podemos formar?

Podemos formar 1” y quedan
36

Luego e restamos 60’ y

a69 umamos 1”,
El resultado final es

70° 36' 23”

12. Resta de ángulos

13. Resta de ángulos

Luego 12' queda en

94” 11’ y hacemos
11 34” + = 94”
_ 52 we Luego -42”=

14. Resta de ángulos Para restar a 11' el

valor 35” debemos

ar pedir 1° a 52°, luego
El se hacemos
51 + 60" 11’ + 60’ =
. 52 we 34” Ahora hacemos
27° 35’ 42” -35' =

36’ 52”

15. Resta de ángulos

51

27°
24°

wv
60’

117%

x
35'
36°

94”
60”
34”
42”
52”

Finalmente hacemos
51°-27°=

16. 1. Calcular el ángulo de referencia 0), para cada ángulo dado en posición normal.

a) 8 = 137°56/32"

Este ángulo está en grados, minutos y segundos. Primero, observamos que está en el segundo cuadrante
(porque es mayor que 90° pero menor que 180°). Para encontrar el ángulo de referencia, restamos el ángulo
dado de 180°:

8, = 180° — 137°56'32" = 42°3'28”

Angulo de referencia: 6, = 42°3'28"

17. Fórmula general:

Minutos S id
Grados decimales = Grados + + SEE
Ejemplo:

Supongamos que tenemos un ángulo en formato sexagesimal: 45°30'15”

1. Tomamos los grados: 45°
2. Convertimos los minutos a grados:

30' + 60 = 0.5°
3. Convertimos los segundos a grados:
15” + 3600 = 0.004167°
4. Sumamos todo:

45° + 0.5” + 0.004167° = 45.504167

18. 1b) 8 = 10, 137g (gradianes)

Para convertir de gradianes a grados, usamos la formula:

: 360
Grados — Gradianes x 200

Entonces, tenemos:
B = 10,137g x = = 9,135.3°
Ahora, reducimos el ángulo a un valor entre 0° y 360° al restar múltiplos de 360°:
6, = 9, 135.3° — 25 x 360° = 9, 135.3° — 9, 000° = 135.3°
Este ángulo está en el segundo cuadrante, por lo que el ángulo de referencia es:
6, = 180° — 135.3" = 44.7

Ángulo de referencia: 9, = 44.7°

19. d 6 = Errad
Primero, convertimos el ángulo de radianes a grados. Sabemos que m rad = 180°, por lo que:
180° 47

= er x = + x 180° = 169.2°

5 m 5

B

Este ángulo está en el segundo cuadrante, por lo que el ángulo de referencia es:
6, = 180° — 169.2 = 10.8"

Angulo de referencia: 0, = 10.8"

20. 2. Realiza las siguientes operaciones, expresando la respuesta en grados, minutos y
segundos sexagesimales,

a) 729 + Emrad-—20'37'86.34

b) 729 + rad — 20°37'586.34"

0) 92935" + 2x rad — 89°307'84.39"

d) 272920740" + 21 rad — 20°37'86.34"

21. Revisemos la operación del ejercicio (a):
1
72° 4 10724 20°37/86.34"
1. Convertimos in rad a grados:

Sabemos que 7 rad = 180°, por lo que:

1 1 ” m
Tgrrad= 10 x 180” = 18

2. Suma de grados:
72° + 18° = 90°.

Ahora tenemos:

90° — 20°37'86.34”

22. Pero debemos hacer las restas por separado:

1. Restar los segundos primero:

86.34” es mayor que 60, asi que debemos convertirlos:
86.34" = 1'26.34”
Asi que tenemos:
37'86.34” = 37’ + 1726.34” = 38/26.34”
Ahora tenemos:

90° — 20°38'26.34"

24. 9. Dadas las siguientes medidas angulares: a = 0,5236 rad ; B = 30950” ; 0 = 27°25'
ordenar de menor a mavor. Utilizar, x = 3,1416.

25. 1. a. = 0.5236 rad a grados sexagesimales:

180 "
a = 0.5236. 37475 © 30.0000

2.8 = 30950” a grados sexagesimales:
50
304 201 ds
8 = 30+ 755 = 30.50 gra

En sexagesimales:
8 = 30.50 x 0.9 = 27.45°
(Que es 27°27" aprox)

3.0 = 27°25! a grados decimales:

>
0=274+ — = 27.4167°
* 60

26. SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Los signos de las funciones trigonométricas se determinan por medio de la creación de un triángulo

rectángulo en cada uno de los cuadrantes de la siguiente manera:

cuadramtel |

razones 1 [IV

Seno

Coseno

|Tangente

Cotangente

Secante

++/+1+!+|+
1
++
I

Cosecante

27. 7. Aplicando ángulo de referencia, calcular el valor de:
C0s(360°-60°)+Cos(180°-60°)+Sen(90°+60°)

a) Sen(360°-30°)+Cos(180°+60°)+Tan(90°+45°)
b) Sen750°+Cos1500°+Tan1665°
Sen(-150°)-Cos(-120°)+Cot(-765°)

c) Cos10° + Cos20° + Cos30° + --- + Cos160° + Cos170° + Cos180°
Sen(sn-x)+Cos(Z+x) +Sen(8n-x)

QV oOo CXS agudo
Tan(45n+x)- cot(3*—x)+Tan(48n+x)’ 9
Sec240°+Csc?135°-2Tan?0.3n

e) 400

Cos(- 31m /6)-Sen2(* )
5 Cot? 240°-2Csc?315°-2Tan?0.6n

a AE mens
Cos(2509)-Sen?(*2°)" sec(-120°)

28. Tabla de Senos y Cosenos (angulos en grados)
sin(4)

Ángulo (*)
0°

30°

0

sl tS

BK

cos(#)

29. Grados | 0° | 30° | 45° | 60° 30° 180° 270° 360°

patimes|o alla = [al 2% |»

e 61413 2 2

Seno 0 pl FA AB 1 0 = 0
2 |2|2

Coseno | 1 Y v2 1 0 -1 0 1
2 2 2

Tangente | 0 ea 1 3 definida 0 definda 0

30. 7. Aplicando ángulo de referencia, calcular el valor de:
) Cos(360°-60°)+Cos(180°-60°)+Sen(90°+60°)
Sen(360°—30°) +Cos(180°+60°)+Tan(90°+45°)

1 Numerador:

1. c0s(360° — 60°) = cos(300°) = cos(60°) = 4
2. cos(180" — 60°) = cos(120°) = — cos(60°) = —4
3. \sen(90° + 60°) = cos(60*) = }

Numerador total:

9 Denominador:

1. \sen(360° — 30°) = \sen(330°) = —\sen(30°) = —}
2. cos(180° + 60°) = cos(240 cos(60°) = -1

3. tan(90° + 45°) = — cot(45°) = -1

Denominador total:

31. e
©

30°