MATEMÁTICA TEXTO - 3° ED SECUNDARIA.pdf
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Mar 05, 2024
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About This Presentation
LIBRO PARA TRABAJAR. MATEMÁTICA DE TERCER AÑO DE SECUNDARIA.
Slide Content
3
Educación Secundaria
Texto Escolar
Pilares
Proyecto educativo
Grandes Libros
G r u p o E d i t o r i a l
ARITMÉTICA ÁLGEBRA GEOMETRÍA
Carpeta INICIALES 3ro TEXTO OK.indd 1 25/01/2020 00:29:55
Educación Secundaria
Texto Escolar
Pilares
Proyecto educativo
Grandes Libros
G r u p o E d i t o r i a l
ARITMÉTICA ÁLGEBRA GEOMETRÍA
Carpeta INICIALES 3ro TEXTO OK.indd 1 25/01/2020 00:29:55
Compartimos nuestras
costumbres y valoramos la
diversidad de nuestro pa?s
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Enfoque tranversal
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Valores
Desempeños
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Observamos y respondemos
Geometría
a.
b.
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Metacognición
??Qu? aprend?? ?C?mo lo hice?
?4X?GL?FXOWDGHVWXYH"&?PRODV
VXSHU?"
??C?mo puedo aplicar lo aprendido en
RWUDVVLWXDFLRQHVGHPLYLGDGLDULD"
17
Aritmética
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Unidad 1 Tomamos medidas
necesarias para
mejorar nuestro planeta
Unidad I
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Unidad II
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Unidad III
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
70
71 Nos proponemos
lograr metas
trabajando en equipo
Unidad I
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Observamos y respondemos
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Unidad I
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
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117 El contenido del libro está dividido por áreas: Aritmética, Álgebra y Geometría, lo cual
ayudará al alumno a comprender con exactitud cada tema trabajado en clase.
Apertura del área
Presenta situaciones retadoras gracias a las cuales movilizarás tus habilidades,
destrezas, valores y afectos a través del diálogo y la apreciación personal.
Título del área
Presenta los aprendizajes
esperados.
Formula
preguntas para
orientar el análisis
de la imagen
Presenta
un texto
motivador
Se presenta un
conflicto cognitivo
relacionado con el
enfoque transversal.Organizadores internos
Conociendo nuestro libro
Se integra el enfoque transversal y los valores a trabajar en la unidad.
Cuando veas
los marcadores,
significa que te están
invitando a participar
de una experiencia
en REALIDAD
AUMENTADA, en
la que, además
de reforzar el
aprendizaje de la
unidad, te divertirás
mucho con esta
genial tecnología.
Carpeta INICIALES 3ro TEXTO OK.indd 2 25/01/2020 00:29:57
costumbres y valoramos la
diversidad de nuestro pa?s
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Enfoque tranversal
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Geometría
a.
b.
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Metacognición
??Qu? aprend?? ?C?mo lo hice?
?4X?GL?FXOWDGHVWXYH"&?PRODV
VXSHU?"
??C?mo puedo aplicar lo aprendido en
RWUDVVLWXDFLRQHVGHPLYLGDGLDULD"
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Aritmética
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Unidad 1 Tomamos medidas
necesarias para
mejorar nuestro planeta
Unidad I
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
70
71 Nos proponemos
lograr metas
trabajando en equipo
Unidad I
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Aritmética
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Observamos y respondemos
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
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Unidad I
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Unidad IV
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
116
117 El contenido del libro está dividido por áreas: Aritmética, Álgebra y Geometría, lo cual
ayudará al alumno a comprender con exactitud cada tema trabajado en clase.
Apertura del área
Presenta situaciones retadoras gracias a las cuales movilizarás tus habilidades,
destrezas, valores y afectos a través del diálogo y la apreciación personal.
Título del área
Presenta los aprendizajes
esperados.
Formula
preguntas para
orientar el análisis
de la imagen
Presenta
un texto
motivador
Se presenta un
conflicto cognitivo
relacionado con el
enfoque transversal.Organizadores internos
Conociendo nuestro libro
Se integra el enfoque transversal y los valores a trabajar en la unidad.
Cuando veas
los marcadores,
significa que te están
invitando a participar
de una experiencia
en REALIDAD
AUMENTADA, en
la que, además
de reforzar el
aprendizaje de la
unidad, te divertirás
mucho con esta
genial tecnología.
Carpeta INICIALES 3ro TEXTO OK.indd 2 25/01/2020 00:29:57
2.
Si: AB // CD // EF
Se cumple:
x =
ab
ab
+
A C E
D
F
B
a b
x
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos in-
teriores tienen igual medida y lados homólogos
son proporcionales.
Los lados homólogos son aquellos lados opuestos
a los ángulos de igual medida.
A
α θ
β
C
B
+
α θ
β
P
R
Q
La notación entre dos triángulos semejantes es:
∆ABC a ∆PQR
Se lee: El triángulo ABC es semejante al
triángulo PQR.
Los lados homólogos son:
AB y PQ
; BC y QR
; AC y PR
Se cumple:
PQ
AB
QR
BC
PR
AC
==
De la misma manera que en la congruencia de
triángulos, la semejanza presenta los tres siguien-
tes criterios:
Caso 1: dos triángulos son semejantes, si tienen
al menos dos ángulos respectivamente de igual
medida.
A
α θ
C
B
α θ
P
R
Q
En el gráfico se tiene:
m∠BAC = m∠QPR y m∠BCA = m∠QRP
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 2: dos triángulos son semejantes, si tienen
un ángulo de igual medida y la longitud de los
lados que se determinan entre dicho ángulo son
respectivamente proporcionales.
A θ
B
Caa
bb
P
R
Q
θ
nn
mm
En la figura:
m∠BCA = m∠QRP ∧
n
b
m
a
=
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 3: dos triángulos son semejantes, si las
longitudes de sus lados son respectivamente
proporcionales.
A
B
C
bb
aac
c
P
R
Q
qq
pp
r
r
En la figura:
p
a
q
b
r
c
==
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Observación
Al trazar una recta paralela a uno de sus lados, se
forma un triángulo parcial semejante al total.
• Si
L
1
// AC
A C
B
P Q
L
1
β
α
α
θ
θ
∆ABC a ∆PBQ
• Si
L
1
// AC
A C
B
α
β
θ
θ α
P Q
L
1
∆ABC a ∆QBP
147
Geometría
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Unidad 1
c. Identidad de Cauchy:
Esta identidad se da al factorizar algunos
elementos de la suma o diferencia al cubo
• Suma
(a + b) 3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
• Resta
(a – b)3
= a
3
– b
3
– 3ab(a – b)
d. Identidad de Stevin:
Es también conocido como identidad de equivalencia.
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
e. Identidad trinómica de Árgan'd:
(a
2n
+ a
n
+ 1)(a2n
– a
n
+ 1) = a 4n
+ a
2n
+ 1
f. Identidad de Lagrange:
Es aquel producto de la suma de cuadrados,
como lo mostramos a continuación:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by) 2
+ (ay – bx) 2
g. Identidades condicionales:
Dados a; b y c
Si a + b + c = 0, entonces:
a
2
+ b
2
+ c
2
= –2(ab + bc + ac)
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
a
4
+ b
4
+ c
4
=2(ab + bc + ac)
2
6. Propiedades auxiliares
a. Si a
2n
+ b
2n
+ c
2n
= 0 ∀ n ∈ ℤ +
& a = b = c = 0
b. Si ab c
nn n22 2
++ =
0; ∀ n ∈ ℤ +
& a = b = c = 0
c. Si ab c
mm m
++ =
–(d
n
+ e
n
+ f
n
)
Además : m y n son pares
& a = b = c = 0 ∧ d = e = f = 0
d. En todo T.C.P. se cumple que su discrimi-
nante es igual a 0, es decir:
∆ = 0 ∨ b 2
– 4ac = 0
& b
2
= 4ac
1. Determina el valor de la siguiente expresión:
L = (x + 4)(x + 2) – (x + 3)
2
Por la identidad de Stevin tenemos:
(x + 4)(x + 2) = x
2
+(4 + 2)x + 4(2)
& (x + 4)(x + 2) = x
2
+ 6x + 8
Por el binomio al cuadrado:
(x + 3)
2
= x
2
+ 2(3)(x) + 3 2
= x
2
+ 6x + 9
& (x + 3)
2
= x
2
+ 6x + 9
Reemplazando en L:
L = x
2
+ 6x + 8 – (x 2
+ 6x + 9)
L = x
2
+ 6x + 8 – x 2
– 6x – 9 = –1
& L = –1
2. Reduce la siguiente expresión:
P = (m + n)(m – n)(m
2
+ n
2
) + (m4
+ n
4
) – 1
Por diferencia de cuadrados:
(m + n)(m – n) = m
2
– n
2
La expresión quedaría:
(m
2
– n
2
)(m
2
+ n
2
) + (m4
+ n
4
) –1
Nuevamente aplicamos diferencia de
cuadrados:
(m
2
– n
2
)(m
2
+ n
2
) = m 4
– n
4
Finalmente:
P = m
4
– n
4
+ m4
+ n
4
– 1
& P = 2m
4
– 1
3. Halla el equivalente de la siguiente expresión:
R = a
3
– 3ab(b – a) – b
3
+ 3ab2
– 3a
2
b + 2b 3
Desarrollamos:
3ab(b – a) = 3ab
2
– 3a
2
b
Entonces R queda de la siguiente manera:
R = a
3
– 3ab2
+ 3a2
b – b
3
+ 3ab2
– 3a
2
b + 2b3
& R = a 3
– b
3
+ 2b3
= a
3
+ b
3
Por lo tanto
R = a
3
+ b
3
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
79
Álgebra
Formula
preguntas para
orientar el análisis
de la imagen
Se presenta un
conflicto cognitivo
relacionado con el
enfoque transversal.
Los ejercicios resueltos
son ejemplos de como
se deben resolver los
problemas referidos a
los temas propuestos.
Para el desarrollo
del libro se
presentan
secciones
diferenciadas
por medio de
unidades.
Este es tu Texto Escolar,
no escribas en él. Para
practicar usa tu Libro de
Actividades.
Cajitas adicionales
Dato histórico: brinda información histórica
que narra hechos o personajes matemáticos que influyeron a lo largo del tiempo.
Enlace: como su nombre lo dice, vincula lo
trabajado con contenidos afines.
Dato importante: brinda información
sustancial al tema trabajado.
En 5 minutos: propone actividades sen-
cillas que deberás realizar en el aula.
TIC: sugiere enlaces de Internet, donde
encontrarás información adicional rela- cionada al tema tratado. Metacognición: son preguntas formu-
ladas para que reflexiones sobre tu propio aprendizaje.
Sabías que... presenta datos curiosos
que brindan información complemen- taria al tema.
En 5 minutos
Indica cuál de los enunciados son correctos.
••Seno y secante no son R.T. recíprocas
••Cotangen te y tangente son R.T. recíprocas
••Coseno y secante no son R.T. recíprocas
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Enlace
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego.
Nació en la isla de Samos en el año 497 a. C., fue
discípulo de Tales de Mileto y perteneció a su
escuela, hizo aportes al campo matemático los
cuales son muy importantes hasta la actualidad;
un ejemplo de sus aportes es el teorema de
Pitágoras.
Dato histórico
Dato importante
Para ubicar un punto P(x;y) en el plano
cartesiano, primero debemos reconocer el
signo de la abscisa y la ordenada para de
esta manera saber en que cuadrante se
encuentra.
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las su-
peré?
••¿Para que me sirve lo aprendido en este
tema?
El teorema de Pitagoras es una herramienta
muy usada en la resolución de problemas que
involucran las R.T. de ángulos agudos.
Sabías que... •
Si
:S
S
AS
=
S i
:
A
B
b. B/CD/EFe c/e uFe mpl/xaDpbe pja/DpCDne/je aCcCe aDpzjd
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h/exrEsu/ne
F
ó
eSeEe:ej
DCsCDxpCjFupcFce.el/E/LFjbF
qFe DFbyje t/CE∆aDpxFe c/e l/tE/jaCle l/e cFe E/d
cpFja/e/uexCxp/ja/ec/euFleuCjtparc/lgexrFjcCe/laFle
/lazje/-sD/lFcFle/jeuFeEplEFerjpcFcec/eE/cpcF,
: A x
bmbm jm
jm
PjaCjx/lel/eap/j/ne
hQ
S
r
r
R
;
= e&e
hQ
S
R
;
=
1/eEFj/DFet/j/DFuea/j/ECln
n B
dd t
t
qv
fi
=
s
=
B/CD/EFec/eBoFu/l
hpecCleD/xaFlexrFu/l=rp/DFgepja/Dl/xaFjeFecCleCeEzle
D/xaFle sFDFu/uFlge /jaCjx/le cpxoFle D/xaFle sFDFu/uFle
c/a/DEpjFje lCmD/e uFle cCle D/xaFle cFcFlge l/tE/jd
aCleD/ls/xapáFE/ja/esDCsCDxpCjFu/l,
:2
A:
P3
1P
=
i
/ C
B
r
Bá
Bg
c
S
p s
h/exrEsu/euCelptrp/ja/n
A2
A:
13
1P
= eee
A2
:2
13
P3
=
a. 2Cjl/xr/jxpFlec/uea/CD/EFec/eBFu/l
1FcCe /ue aDpzjtruCe Sie .e uFe D/xaFe
qe sFDFu/uFe Fe
i
el/eap/j/n
• A
:
i S
B
A
SA
:i
S:
=
Ojt/ue .e AjFe ápá/je /je sr/muCle cplapjaClge uCle xrFu/le
=r/cFje/jeuCeFuaCec/eECjaF?FlexCjaptrFlgelpje/Ed
mFDtCge FEmCle ap/j/je =r/e mFLFDe oFxpFe /ue sp/e c/e uFe
ECjaF?Fge sr/le lCuCe sCDe /l/e urtFDe sFlFe /ue D?Ce /je /ue
xrFue FupE/jaFje Fe lrle áFxFl,e AjFe uu/tFe ErxoCe Ezle
DzspcCe =r/e Ojt/uge sr/le uFe FuarDFe c/e uFe ECjaF?Fe
cCjc/e /uuFe ápá/e /le uFe EpaFce c/e uFe FuarDFe c/e uFe ECjd
aF?FecCjc/eápá/eOjt/u,e
?Ojt/ue D/xCDD/e uCe EplECe =r/e D/xCDD/e AjFe sFDFe
uu/tFDe Fue D?C?e ?2rzue /le uFe cp?/D/jxpFe /jaD/e FEmCle
D/xCDDpcCl?
Proporcionalidad y semejanza
146 3. Si: Ai B/CBDEF
e cum/A cBC cBcipEil:ulcBD/c cx
a. aEA/B/CBDEF
bculBjm nEDu B: u/FClBmlcECu/BnlBAECuijCiD/mClB
E:Bz/B=BFdB/CBmlcECu/n BnlBC/BcEA/B/CBDE/nm/n
z/B=BFd
t
B∠B/
t
B=Bt/
r
FB=Bt/F
r
B=BF
t
b. áiglml:Di/B/CBDEF
bculBjm nEDu B: u/FClBmlcECu/BnlBAECuijCiD/mClB
E:B z/B oB FdB /CB mlcECu/n B nlB C/B niglml:Di/B /CB
DE/nm/n
z/B:BFd
t
B∠B/
t
B:Bt/
r
FB=Bt/F
r
B:BF
t
4. aEA/BsBniglml:Di/BnlBDEF c
bculB mlcECu/n B ,il:lB n/n B j mB lCB jm nEDu B nlB
g/Du mlcB-ElBuil:l:BC/BcipEil:ulBg mA/x
z/B=BFdz/
r
B:B/FB=BF
r
dB∠B/
t
B=BF
t
z/B:BFdz/
r
B=B/FB=BF
r
dB∠B/
t
B:BF
t
5. ynl:uin/nlcB/niDi :/Clc
a. ynl:uin/nBnlBhlpl:nmlx
óCB ml/Ci./mB jlm/Di :lcB FLciD/cB D A B cEA/B
B niglml:Di/B /B C cB jm nEDu cB : u/FClcB
/:ulmi mlcqB : cB n/B D A B mlcECu/n B C/cB
cipEil:ulcB,/mi/Di :lcx
• ∆miAlm/B,/mi/DiP:
z/B=BFd
rB
=Bz/B:BFdB
r
B∠Brz/
r
B=BF
r
d
• alpE:n/B,/mi/DiP:
z/B=BFd
rB
:Bz/B:BFd
rB
∠BQ/F
b. Rmi: Ai B/CBDE/nm/n x Ril:lBlCBcipEil:ulBnlc/mm CC x
z/B=BFB=BDd
rB
∠/
r
B=BF
r
B=BD
r
B=Brz/FB= B/DB=BFDd
∆m nEDu cB: u/FClc
a :B jm nEDu cB C cB DE/ClcB clB Fuil:l:B nlB g mA/B
nimlDu/qB ci:B :lDlcin/nB nlB lglDuE/mB C/B jm jiln/nB
nicumiFEui,/BnlFin B/BC/Bg mA/BD/m/Dulm;cuiD/B-ElB
jmlcl:u/:1
1.
eECuijCiD/DiP:B/CplFm/iD/
al/BvqB/qBFB Aá9BclBDEAjClBC BcipEil:ulx
zvB=B/dzvB= BFdB∠ Bv
r
B=Bz/B=BFdvB= B/F
∆ Ci: Ai cBAECuijCiD/n cB ∆m nEDu
bflAjC Bx =lcElC,lBC/BcipEil:ulBAECuijCiD/DiP:B/CplFm/iD/x
eB∠BzvB=B2dzvB:B3d
∆ mBgPmAEC/Bul:lA cx
zvB=B2dzvB:B3dB∠Bv
r
B=z2=z:3ddvB=B2z:3d
&BzvB=B2dzvB:B3dB∠Bv
r
B=BrvB:Bt3
Oi:/CAl:ulx
e∠Bv
r
B=BrvB:Bt3
2.
Si: Ai B/CBDE/nm/n xB
Rl:lA cBC cBcipEil:ulcBD/c cx
a. aEA/B/CBDE/nm/n
z/B=BFd
r
B∠B/
r
B=Br/FB=BF
r
b. áiglml:Di/B/CBDE/nm/n
z/B:BFd
r
B∠B/
r
B:Br/FB=BF
r
óCB nlc/mm CC B nlCB Fi: Ai B /CB DE/nm/n B clB ClB
nl: Ai:/Bumi: Ai BDE/nm/n BjlmglDu 1zR1?1∆1d
?Fclm,/DiP:xBj/m/Bu n B:B Bá3BclBuil:lx
z/B:BFd
r:
B∠BzFB:B/d
r:
bCBniPvin BnlBD/mF : BlcBlCBjmi:Dij/CBmlcj :c/FClB
nlCBlglDu Bi:,lm:/nlm 1BbculBclBD :Dl:um/Bl:BC/B/u?
APcglm/BnlFin B/CBEc BnlBD AFEcuiFClBgPciClcBj/m/B
jm Dlc cBi:nEcumi/ClcBsBAlni cBnlBum/:cj mul1
?/mAlC/B nlcl/B D :cumEimB E:/B A/-Elu/B j/m/B ml?
jmlcl:u/mB um cB p/clcB nlB lglDu B i:,lm:/nlm 1B h/B
A/-Elu/B uil:lB nlB C/mp B z/B=B Fd
r
B DAB sB nlB /:D? B
z/
r
B=BF
r
B=Br/FdBDA1
?h/BA/-Elu/Bul:nmLBg mA/BDE/nm/n/?
??E?Bjm nEDu cB: u/FClcBD : Dlc?
Productos notables
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
78
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Carpeta INICIALES 3ro TEXTO OK.indd 3 25/01/2020 00:29:58
Si: AB // CD // EF
Se cumple:
x =
ab
ab
+
A C E
D
F
B
a b
x
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos in-
teriores tienen igual medida y lados homólogos
son proporcionales.
Los lados homólogos son aquellos lados opuestos
a los ángulos de igual medida.
A
α θ
β
C
B
+
α θ
β
P
R
Q
La notación entre dos triángulos semejantes es:
∆ABC a ∆PQR
Se lee: El triángulo ABC es semejante al
triángulo PQR.
Los lados homólogos son:
AB y PQ
; BC y QR
; AC y PR
Se cumple:
PQ
AB
QR
BC
PR
AC
==
De la misma manera que en la congruencia de
triángulos, la semejanza presenta los tres siguien-
tes criterios:
Caso 1: dos triángulos son semejantes, si tienen
al menos dos ángulos respectivamente de igual
medida.
A
α θ
C
B
α θ
P
R
Q
En el gráfico se tiene:
m∠BAC = m∠QPR y m∠BCA = m∠QRP
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 2: dos triángulos son semejantes, si tienen
un ángulo de igual medida y la longitud de los
lados que se determinan entre dicho ángulo son
respectivamente proporcionales.
A θ
B
Caa
bb
P
R
Q
θ
nn
mm
En la figura:
m∠BCA = m∠QRP ∧
n
b
m
a
=
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 3: dos triángulos son semejantes, si las
longitudes de sus lados son respectivamente
proporcionales.
A
B
C
bb
aac
c
P
R
Q
pp
r
r
En la figura:
p
a
q
b
r
c
==
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Observación
Al trazar una recta paralela a uno de sus lados, se
forma un triángulo parcial semejante al total.
• Si
L
1
// AC
A C
B
P Q
L
1
β
α
α
θ
θ
∆ABC a ∆PBQ
• Si
L
1
// AC
A C
B
α
β
θ
θ α
P Q
L
1
∆ABC a ∆QBP
147
Geometría
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Unidad 1
c. Identidad de Cauchy:
Esta identidad se da al factorizar algunos
elementos de la suma o diferencia al cubo
• Suma
(a + b) 3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
• Resta
(a – b)3
= a
3
– b
3
– 3ab(a – b)
d. Identidad de Stevin:
Es también conocido como identidad de equivalencia.
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
e. Identidad trinómica de Árgan'd:
(a
2n
+ a
n
+ 1)(a2n
– a
n
+ 1) = a 4n
+ a
2n
+ 1
f. Identidad de Lagrange:
Es aquel producto de la suma de cuadrados,
como lo mostramos a continuación:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by) 2
+ (ay – bx) 2
g. Identidades condicionales:
Dados a; b y c
Si a + b + c = 0, entonces:
a
2
+ b
2
+ c
2
= –2(ab + bc + ac)
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
a
4
+ b
4
+ c
4
=2(ab + bc + ac)
2
6. Propiedades auxiliares
a. Si a
2n
+ b
2n
+ c
2n
= 0 ∀ n ∈ ℤ +
& a = b = c = 0
b. Si ab c
nn n22 2
++ =
0; ∀ n ∈ ℤ +
& a = b = c = 0
c. Si ab c
mm m
++ =
–(d
n
+ e
n
+ f
n
)
Además : m y n son pares
& a = b = c = 0 ∧ d = e = f = 0
d. En todo T.C.P. se cumple que su discrimi-
nante es igual a 0, es decir:
∆ = 0 ∨ b 2
– 4ac = 0
& b
2
= 4ac
1. Determina el valor de la siguiente expresión:
L = (x + 4)(x + 2) – (x + 3)
2
Por la identidad de Stevin tenemos:
(x + 4)(x + 2) = x
2
+(4 + 2)x + 4(2)
& (x + 4)(x + 2) = x
2
+ 6x + 8
Por el binomio al cuadrado:
(x + 3)
2
= x
2
+ 2(3)(x) + 3 2
= x
2
+ 6x + 9
& (x + 3)
2
= x
2
+ 6x + 9
Reemplazando en L:
L = x
2
+ 6x + 8 – (x 2
+ 6x + 9)
L = x
2
+ 6x + 8 – x 2
– 6x – 9 = –1
& L = –1
2. Reduce la siguiente expresión:
P = (m + n)(m – n)(m
2
+ n
2
) + (m4
+ n
4
) – 1
Por diferencia de cuadrados:
(m + n)(m – n) = m
2
– n
2
La expresión quedaría:
(m
2
– n
2
)(m
2
+ n
2
) + (m4
+ n
4
) –1
Nuevamente aplicamos diferencia de
cuadrados:
(m
2
– n
2
)(m
2
+ n
2
) = m 4
– n
4
Finalmente:
P = m
4
– n
4
+ m4
+ n
4
– 1
& P = 2m
4
– 1
3. Halla el equivalente de la siguiente expresión:
R = a
3
– 3ab(b – a) – b
3
+ 3ab2
– 3a
2
b + 2b 3
Desarrollamos:
3ab(b – a) = 3ab
2
– 3a
2
b
Entonces R queda de la siguiente manera:
R = a
3
– 3ab2
+ 3a2
b – b
3
+ 3ab2
– 3a
2
b + 2b3
& R = a 3
– b
3
+ 2b3
= a
3
+ b
3
Por lo tanto
R = a
3
+ b
3
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
79
Álgebra
Formula
preguntas para
orientar el análisis
de la imagen
Se presenta un
conflicto cognitivo
relacionado con el
enfoque transversal.
Los ejercicios resueltos
son ejemplos de como
se deben resolver los
problemas referidos a
los temas propuestos.
Para el desarrollo
del libro se
presentan
secciones
diferenciadas
por medio de
unidades.
Este es tu Texto Escolar,
no escribas en él. Para
practicar usa tu Libro de
Actividades.
Cajitas adicionales
Dato histórico: brinda información histórica
que narra hechos o personajes matemáticos que influyeron a lo largo del tiempo.
Enlace: como su nombre lo dice, vincula lo
trabajado con contenidos afines.
Dato importante: brinda información
sustancial al tema trabajado.
En 5 minutos: propone actividades sen-
cillas que deberás realizar en el aula.
TIC: sugiere enlaces de Internet, donde
encontrarás información adicional rela- cionada al tema tratado. Metacognición: son preguntas formu-
ladas para que reflexiones sobre tu propio aprendizaje.
Sabías que... presenta datos curiosos
que brindan información complemen- taria al tema.
En 5 minutos
Indica cuál de los enunciados son correctos.
••Seno y secante no son R.T. recíprocas
••Cotangen te y tangente son R.T. recíprocas
••Coseno y secante no son R.T. recíprocas
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Enlace
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego.
Nació en la isla de Samos en el año 497 a. C., fue
discípulo de Tales de Mileto y perteneció a su
escuela, hizo aportes al campo matemático los
cuales son muy importantes hasta la actualidad;
un ejemplo de sus aportes es el teorema de
Pitágoras.
Dato histórico
Dato importante
Para ubicar un punto P(x;y) en el plano
cartesiano, primero debemos reconocer el
signo de la abscisa y la ordenada para de
esta manera saber en que cuadrante se
encuentra.
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las su-
peré?
••¿Para que me sirve lo aprendido en este
tema?
El teorema de Pitagoras es una herramienta
muy usada en la resolución de problemas que
involucran las R.T. de ángulos agudos.
Sabías que... •
Si
:S
S
AS
=
S i
:
A
B
b. B/CD/EFe c/e uFe mpl/xaDpbe pja/DpCDne/je aCcCe aDpzjd
truCe Fue aDFbFDe uFe mpl/xaDpbe pja/DpCDe D/uFapáFe Fe rje
uFcCgelCmD/ecpxoCeuFcCel/ec/a/DEpjFel/tE/jaCle
sDCsCDxpCjFu/leFeuCleCaDClecCl,
m
F
j
E
=/ C
D
ααα
EE FF
c. B/CD/EFe c/e uFe mpl/xaDpbe /-a/DpCDne /je aCcCe aDpzjd
truCe Fue aDFbFDe uFe mpl/xaDpbe /-a/DpCDe D/uFapáFe Fe rje
uFcCge lCmD/e uFe sDCuCjtFxpyje c/e cpxoCe uFcCe l/e
c/a/DEpjFje l/tE/jaCle sDCsCDxpCjFu/le Fe uCle
CaDClecCleuFcCl,
ee
i cS
C
u m
/
α
αp
F
m
r
á
= áeSexeier
DCsp/cFc/lesDpjxpsFu/ln
1.
α
α
i
S
/
lE
p
F
h/exrEsu/ne
F
ó
eSeEe:ej
DCsCDxpCjFupcFce.el/E/LFjbF
qFe DFbyje t/CE∆aDpxFe c/e l/tE/jaCle l/e cFe E/d
cpFja/e/uexCxp/ja/ec/euFleuCjtparc/lgexrFjcCe/laFle
/lazje/-sD/lFcFle/jeuFeEplEFerjpcFcec/eE/cpcF,
: A x
bmbm jm
jm
PjaCjx/lel/eap/j/ne
hQ
S
r
r
R
;
= e&e
hQ
S
R
;
=
1/eEFj/DFet/j/DFuea/j/ECln
n B
dd t
t
qv
fi
=
s
=
B/CD/EFec/eBoFu/l
hpecCleD/xaFlexrFu/l=rp/DFgepja/Dl/xaFjeFecCleCeEzle
D/xaFle sFDFu/uFlge /jaCjx/le cpxoFle D/xaFle sFDFu/uFle
c/a/DEpjFje lCmD/e uFle cCle D/xaFle cFcFlge l/tE/jd
aCleD/ls/xapáFE/ja/esDCsCDxpCjFu/l,
:2
A:
P3
1P
=
i
/ C
B
r
Bá
Bg
c
S
p s
h/exrEsu/euCelptrp/ja/n
A2
A:
13
1P
= eee
A2
:2
13
P3
=
a. 2Cjl/xr/jxpFlec/uea/CD/EFec/eBFu/l
1FcCe /ue aDpzjtruCe Sie .e uFe D/xaFe
qe sFDFu/uFe Fe
i
el/eap/j/n
• A
:
i S
B
A
SA
:i
S:
=
Ojt/ue .e AjFe ápá/je /je sr/muCle cplapjaClge uCle xrFu/le
=r/cFje/jeuCeFuaCec/eECjaF?FlexCjaptrFlgelpje/Ed
mFDtCge FEmCle ap/j/je =r/e mFLFDe oFxpFe /ue sp/e c/e uFe
ECjaF?Fge sr/le lCuCe sCDe /l/e urtFDe sFlFe /ue D?Ce /je /ue
xrFue FupE/jaFje Fe lrle áFxFl,e AjFe uu/tFe ErxoCe Ezle
DzspcCe =r/e Ojt/uge sr/le uFe FuarDFe c/e uFe ECjaF?Fe
cCjc/e /uuFe ápá/e /le uFe EpaFce c/e uFe FuarDFe c/e uFe ECjd
aF?FecCjc/eápá/eOjt/u,e
?Ojt/ue D/xCDD/e uCe EplECe =r/e D/xCDD/e AjFe sFDFe
uu/tFDe Fue D?C?e ?2rzue /le uFe cp?/D/jxpFe /jaD/e FEmCle
D/xCDDpcCl?
Proporcionalidad y semejanza
146 3. Si: Ai B/CBDEF
e cum/A cBC cBcipEil:ulcBD/c cx
a. aEA/B/CBDEF
bculBjm nEDu B: u/FClBmlcECu/BnlBAECuijCiD/mClB
E:Bz/B=BFdB/CBmlcECu/n BnlBC/BcEA/B/CBDE/nm/n
z/B=BFd
t
B∠B/
t
B=Bt/
r
FB=Bt/F
r
B=BF
t
b. áiglml:Di/B/CBDEF
bculBjm nEDu B: u/FClBmlcECu/BnlBAECuijCiD/mClB
E:B z/B oB FdB /CB mlcECu/n B nlB C/B niglml:Di/B /CB
DE/nm/n
z/B:BFd
t
B∠B/
t
B:Bt/
r
FB=Bt/F
r
B:BF
t
4. aEA/BsBniglml:Di/BnlBDEF c
bculB mlcECu/n B ,il:lB n/n B j mB lCB jm nEDu B nlB
g/Du mlcB-ElBuil:l:BC/BcipEil:ulBg mA/x
z/B=BFdz/
r
B:B/FB=BF
r
dB∠B/
t
B=BF
t
z/B:BFdz/
r
B=B/FB=BF
r
dB∠B/
t
B:BF
t
5. ynl:uin/nlcB/niDi :/Clc
a. ynl:uin/nBnlBhlpl:nmlx
óCB ml/Ci./mB jlm/Di :lcB FLciD/cB D A B cEA/B
B niglml:Di/B /B C cB jm nEDu cB : u/FClcB
/:ulmi mlcqB : cB n/B D A B mlcECu/n B C/cB
cipEil:ulcB,/mi/Di :lcx
• ∆miAlm/B,/mi/DiP:
z/B=BFd
rB
=Bz/B:BFdB
r
B∠Brz/
r
B=BF
r
d
• alpE:n/B,/mi/DiP:
z/B=BFd
rB
:Bz/B:BFd
rB
∠BQ/F
b. Rmi: Ai B/CBDE/nm/n x Ril:lBlCBcipEil:ulBnlc/mm CC x
z/B=BFB=BDd
rB
∠/
r
B=BF
r
B=BD
r
B=Brz/FB= B/DB=BFDd
∆m nEDu cB: u/FClc
a :B jm nEDu cB C cB DE/ClcB clB Fuil:l:B nlB g mA/B
nimlDu/qB ci:B :lDlcin/nB nlB lglDuE/mB C/B jm jiln/nB
nicumiFEui,/BnlFin B/BC/Bg mA/BD/m/Dulm;cuiD/B-ElB
jmlcl:u/:1
1.
eECuijCiD/DiP:B/CplFm/iD/
al/BvqB/qBFB Aá9BclBDEAjClBC BcipEil:ulx
zvB=B/dzvB= BFdB∠ Bv
r
B=Bz/B=BFdvB= B/F
∆ Ci: Ai cBAECuijCiD/n cB ∆m nEDu
bflAjC Bx =lcElC,lBC/BcipEil:ulBAECuijCiD/DiP:B/CplFm/iD/x
eB∠BzvB=B2dzvB:B3d
∆ mBgPmAEC/Bul:lA cx
zvB=B2dzvB:B3dB∠Bv
r
B=z2=z:3ddvB=B2z:3d
&BzvB=B2dzvB:B3dB∠Bv
r
B=BrvB:Bt3
Oi:/CAl:ulx
e∠Bv
r
B=BrvB:Bt3
2.
Si: Ai B/CBDE/nm/n xB
Rl:lA cBC cBcipEil:ulcBD/c cx
a. aEA/B/CBDE/nm/n
z/B=BFd
r
B∠B/
r
B=Br/FB=BF
r
b. áiglml:Di/B/CBDE/nm/n
z/B:BFd
r
B∠B/
r
B:Br/FB=BF
r
óCB nlc/mm CC B nlCB Fi: Ai B /CB DE/nm/n B clB ClB
nl: Ai:/Bumi: Ai BDE/nm/n BjlmglDu 1zR1?1∆1d
?Fclm,/DiP:xBj/m/Bu n B:B Bá3BclBuil:lx
z/B:BFd
r:
B∠BzFB:B/d
r:
bCBniPvin BnlBD/mF : BlcBlCBjmi:Dij/CBmlcj :c/FClB
nlCBlglDu Bi:,lm:/nlm 1BbculBclBD :Dl:um/Bl:BC/B/u?
APcglm/BnlFin B/CBEc BnlBD AFEcuiFClBgPciClcBj/m/B
jm Dlc cBi:nEcumi/ClcBsBAlni cBnlBum/:cj mul1
?/mAlC/B nlcl/B D :cumEimB E:/B A/-Elu/B j/m/B ml?
jmlcl:u/mB um cB p/clcB nlB lglDu B i:,lm:/nlm 1B h/B
A/-Elu/B uil:lB nlB C/mp B z/B=B Fd
r
B DAB sB nlB /:D? B
z/
r
B=BF
r
B=Br/FdBDA1
?h/BA/-Elu/Bul:nmLBg mA/BDE/nm/n/?
??E?Bjm nEDu cB: u/FClcBD : Dlc?
Productos notables
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
78
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
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ARITMÉTICA
1
Nos proponemos
lograr metas
trabajando en
equipo
6 - 7
Valores
Compañerismo,
solidaridad
Enfoque
tranversal
Búsqueda de la
excelencia
Lógica proposicional 9
Conjuntos 12
Sistema de numeración 16
Tabla de frecuencias para
datos agrupados y no agrupados 19
2
Divisibilidad 23
Números primos y compuestos 26
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
29
Número racionales (ℚ) 32
Gráficos estadísticos 34
Medidas de tendencia central 37
3
Números reales (ℝ) 42
Razones y proporciones 45
Reparto proporcional 48
Magnitudes proporcionales 50
Análisis combinatorio 52
Medidas de dispersión 55
4
Regla de tres simple y compuesta 59
Porcentajes 61
Regla de interés 63
Mezcla y aleación 65
Probabilidades 67
ÁLGEBRA
1
Tomamos
medidas
necesarias para
mejorar nuestro
planeta
70 - 71
Valores
Solidaridad
planetaria
Naturaleza
Enfoque
tranversal
Ambiental
Exponentes y radicales 73
Polinomios 75
Productos notables 78
División algebraica 81
2
Cocientes notables 85
Factorización 88
Introducción a los números complejos 91
Ecuaciónes de segundo grado 94
3
Inecuaciones lineales y cuadráticas 97
Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto
100
Logaritmos 102
Relaciones binarias 104
4
Funciones I 108
Funciones II 111
Funciones especiales 113
GEOMETRÍA
1
Compartimos
nuestras
costumbres y
valoramos la
diversidad de
nuestro país
116- 117
Valores
Identidad,
Respeto
Enfoque
tranversal
Intercultural
Ángulos entre rectas paralelas y secantes
119
Triángulos 121
Líneas notables en el triángulo 125
Puntos notables en el triángulo 128
Congruencia de triángulos 131
2
Polígonos 135
Cuadriláteros 138
Circunferencia 141
Ángulos asociados a la circunferencia 144 Proporcionalidad y semejanza
146
Relaciones métricas en el triángulo
149
3
Relaciones métricas en la circunferencia
153
Área de regiones triángulares 155
Área de regiones cuadrangulares 157
Área de regiones circulares 159
Geometría del espacio 161
Ángulos poliedros 164
4
Sólidos geométricos 168
Prisma y pirámide 171
Sólidos de revolución 173
Competencias
• Resuelve problemas de cantidad
• Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
• Resuelve problemas de movimiento, forma y localización
• Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Capacidades
• Traduce cantidades a expresiones numéricas
• Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones
• Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo
• Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones
• Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas
• Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas
• Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales
• Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia
• Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones
• Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas
• Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio
• Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas
• Representa datos con gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas
• Comunica la comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos
• Usa estrategias y procedimientos para recopilar y procesar datos
• Sustenta conclusiones o decisiones en base a información obtenida
Carpeta INICIALES 3ro TEXTO OK.indd 4 25/01/2020 00:29:59
1
Nos proponemos
lograr metas
trabajando en
equipo
6 - 7
Valores
Compañerismo,
solidaridad
Enfoque
tranversal
Búsqueda de la
excelencia
Lógica proposicional 9
Conjuntos 12
Sistema de numeración 16
Tabla de frecuencias para
datos agrupados y no agrupados 19
2
Divisibilidad 23
Números primos y compuestos 26
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
29
Número racionales (ℚ) 32
Gráficos estadísticos 34
Medidas de tendencia central 37
3
Números reales (ℝ) 42
Razones y proporciones 45
Reparto proporcional 48
Magnitudes proporcionales 50
Análisis combinatorio 52
Medidas de dispersión 55
4
Regla de tres simple y compuesta 59
Porcentajes 61
Regla de interés 63
Mezcla y aleación 65
Probabilidades 67
ÁLGEBRA
1
Tomamos
medidas
necesarias para
mejorar nuestro
planeta
70 - 71
Valores
Solidaridad
planetaria
Naturaleza
Enfoque
tranversal
Ambiental
Exponentes y radicales 73
Polinomios 75
Productos notables 78
División algebraica 81
2
Cocientes notables 85
Factorización 88
Introducción a los números complejos 91
Ecuaciónes de segundo grado 94
3
Inecuaciones lineales y cuadráticas 97
Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto
100
Logaritmos 102
Relaciones binarias 104
4
Funciones I 108
Funciones II 111
Funciones especiales 113
GEOMETRÍA
1
Compartimos
nuestras
costumbres y
valoramos la
diversidad de
nuestro país
116- 117
Valores
Identidad,
Respeto
Enfoque
tranversal
Intercultural
Ángulos entre rectas paralelas y secantes
119
Triángulos 121
Líneas notables en el triángulo 125
Puntos notables en el triángulo 128
Congruencia de triángulos 131
2
Polígonos 135
Cuadriláteros 138
Circunferencia 141
Ángulos asociados a la circunferencia 144 Proporcionalidad y semejanza
146
Relaciones métricas en el triángulo
149
3
Relaciones métricas en la circunferencia
153
Área de regiones triángulares 155
Área de regiones cuadrangulares 157
Área de regiones circulares 159
Geometría del espacio 161
Ángulos poliedros 164
4
Sólidos geométricos 168
Prisma y pirámide 171
Sólidos de revolución 173
Competencias
• Resuelve problemas de cantidad
• Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
• Resuelve problemas de movimiento, forma y localización
• Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Capacidades
• Traduce cantidades a expresiones numéricas
• Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones
• Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo
• Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones
• Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas
• Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas
• Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales
• Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia
• Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones
• Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas
• Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio
• Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas
• Representa datos con gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas
• Comunica la comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos
• Usa estrategias y procedimientos para recopilar y procesar datos
• Sustenta conclusiones o decisiones en base a información obtenida
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GEOMETRÍA
1
Compartimos
nuestras
costumbres y
valoramos la
diversidad de
nuestro país
116- 117
Valores
Identidad,
respeto
Enfoque
tranversal
Intercultural
Ángulos entre rectas
paralelas y secantes 119
Triángulos 121
Líneas notables en el triángulo 125
Puntos notables en el triángulo 128
Congruencia de triángulos 131
2
Polígonos 135
Cuadriláteros 138
Circunferencia 141
Ángulos asociados a la circunferencia
144
Proporcionalidad y semejanza 146
Relaciones métricas en el triángulo
149
3
Relaciones métricas en la circunferencia
153
Área de regiones triángulares 155
Área de regiones cuadrangulares 157
Área de regiones circulares 159
Geometría del espacio 161
Ángulos poliedros 164
4
Sólidos geométricos 168
Prisma y pirámide 171
Sólidos de revolución 173
Competencias
• Resuelve problemas de
cantidad
• Resuelve problemas de
regularidad, equivalencia y cambio
•
Resuelve problemas de
movimiento, forma y localización
•
Resuelve problemas
de gestión de datos e incertidumbre
Capacidades
•
T
expresiones numéricas
• Comunica su
comprensión sobre los números y las operaciones
•
Usa estrategias y
procedimientos de estimación y cálculo
•
Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéric
as y las
operaciones
• Traduce datos
y condiciones a expresiones algebraicas
•
Comunica su
comprensión sobre las relaciones algebraicas
•
Usa estrategias y
procedimientos para encontrar reglas generales
•
Argumenta afirmaciones sobre relaciones de c
ambio y equivalencia
• Modela objetos con
formas geométricas y sus transformaciones
•
Comunica su
comprensión sobre las formas y relaciones geométricas
•
Usa estrategias y
procedimientos para orientarse en el espacio
•
Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométric
as
• Representa datos con
gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas
•
Comunica la
comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos
•
Usa estrategias y
procedimientos para recopilar y procesar datos
•
Sustenta conclusiones
o decisiones en base a información obtenida
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1
Compartimos
nuestras
costumbres y
valoramos la
diversidad de
nuestro país
116- 117
Valores
Identidad,
respeto
Enfoque
tranversal
Intercultural
Ángulos entre rectas
paralelas y secantes 119
Triángulos 121
Líneas notables en el triángulo 125
Puntos notables en el triángulo 128
Congruencia de triángulos 131
2
Polígonos 135
Cuadriláteros 138
Circunferencia 141
Ángulos asociados a la circunferencia
144
Proporcionalidad y semejanza 146
Relaciones métricas en el triángulo
149
3
Relaciones métricas en la circunferencia
153
Área de regiones triángulares 155
Área de regiones cuadrangulares 157
Área de regiones circulares 159
Geometría del espacio 161
Ángulos poliedros 164
4
Sólidos geométricos 168
Prisma y pirámide 171
Sólidos de revolución 173
Competencias
• Resuelve problemas de
cantidad
• Resuelve problemas de
regularidad, equivalencia y cambio
•
Resuelve problemas de
movimiento, forma y localización
•
Resuelve problemas
de gestión de datos e incertidumbre
Capacidades
•
T
expresiones numéricas
• Comunica su
comprensión sobre los números y las operaciones
•
Usa estrategias y
procedimientos de estimación y cálculo
•
Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéric
as y las
operaciones
• Traduce datos
y condiciones a expresiones algebraicas
•
Comunica su
comprensión sobre las relaciones algebraicas
•
Usa estrategias y
procedimientos para encontrar reglas generales
•
Argumenta afirmaciones sobre relaciones de c
ambio y equivalencia
• Modela objetos con
formas geométricas y sus transformaciones
•
Comunica su
comprensión sobre las formas y relaciones geométricas
•
Usa estrategias y
procedimientos para orientarse en el espacio
•
Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométric
as
• Representa datos con
gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas
•
Comunica la
comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos
•
Usa estrategias y
procedimientos para recopilar y procesar datos
•
Sustenta conclusiones
o decisiones en base a información obtenida
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Nos proponemos
lograr metas
trabajando en equipo
Unidad I
• Resuelve problemas de conjuntos como:
unión, diferencia, intersección y diferencia
simétrica.
• Interpreta proposiciones lógicas haciendo
uso de los conectores lógicos.
• Efectúa problemas en donde intervienen
proposiciones lógicas, haciendo uso de las leyes de la lógica proposicional.
•
Identifica numerales escritos en otras bases
y efectúa conversiones de una base a otra.
• Construye e interpreta tablas de distribución
de frecuencias para datos no agrupados
• Interpreta los conceptos básicos como
intervalos de clase, ancho de clase, marca de clase, etc., para la construcción de tablas de frecuencias de datos agrupados.
Unidad II
• Reconoce los criterios de divisibilidad y
resuelve problemas por medio de dichos criterios.
•
Elabora conceptos y relaciona las
propiedades sobre números primos.
• Resuelve problemas aplicando correctamente
las propiedades de MCD y MCM.
• Interpreta las distintas propiedades de los
números racionales y resuelve problemas
relacionados con los números racionales.
• Representa datos estadísticos mediante
gráficos como circular, barras, histogramas, etc.
• Resuelve problemas en los que debe
calcular la tendencia central sobre la media, mediana y moda; tanto para datos agrupados como no agrupados.
El ser humano, por naturaleza, busca siempre ir mejorando, es por ello, que es importante que se plantee retos y trabaje de manera constante para cumplirlos.
El trabajo en equipo es un factor que permite a la persona alcanzar metas de forma más rápida; además, le per-
mite ampliar sus conocimientos en distintos ámbitos.
Búsqueda de la excelencia
Enfoque transversal
Desempeños
Compañerismo, solidaridad
Valores
6Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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1 LOGICA PROPORCIONAL 3ERO - TEXTO.indd 6 24/01/2020 22:45:06
lograr metas
trabajando en equipo
Unidad I
• Resuelve problemas de conjuntos como:
unión, diferencia, intersección y diferencia
simétrica.
• Interpreta proposiciones lógicas haciendo
uso de los conectores lógicos.
• Efectúa problemas en donde intervienen
proposiciones lógicas, haciendo uso de las leyes de la lógica proposicional.
•
Identifica numerales escritos en otras bases
y efectúa conversiones de una base a otra.
• Construye e interpreta tablas de distribución
de frecuencias para datos no agrupados
• Interpreta los conceptos básicos como
intervalos de clase, ancho de clase, marca de clase, etc., para la construcción de tablas de frecuencias de datos agrupados.
Unidad II
• Reconoce los criterios de divisibilidad y
resuelve problemas por medio de dichos criterios.
•
Elabora conceptos y relaciona las
propiedades sobre números primos.
• Resuelve problemas aplicando correctamente
las propiedades de MCD y MCM.
• Interpreta las distintas propiedades de los
números racionales y resuelve problemas
relacionados con los números racionales.
• Representa datos estadísticos mediante
gráficos como circular, barras, histogramas, etc.
• Resuelve problemas en los que debe
calcular la tendencia central sobre la media, mediana y moda; tanto para datos agrupados como no agrupados.
El ser humano, por naturaleza, busca siempre ir mejorando, es por ello, que es importante que se plantee retos y trabaje de manera constante para cumplirlos.
El trabajo en equipo es un factor que permite a la persona alcanzar metas de forma más rápida; además, le per-
mite ampliar sus conocimientos en distintos ámbitos.
Búsqueda de la excelencia
Enfoque transversal
Desempeños
Compañerismo, solidaridad
Valores
6Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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1 LOGICA PROPORCIONAL 3ERO - TEXTO.indd 6 24/01/2020 22:45:06
Unidad III
• Reconoce las propiedades fundamentales
del conjunto de los números reales.
• Analiza los datos disponibles en la aplicación
de las propiedades sobre razones y
proporciones.
• Emplea procedimientos matemáticos para
resolver problemas relacionados al reparto proporcional.
•
Identifica gráficos y expresiones
matemáticas referentes a magnitudes proporcionales.
•
Interpreta postulados y teoremas basados
en el análisis combinatorio.
• Determina el valor de la desviación media,
estándar y varianza de los datos expresados en una tabla de frecuencias.
Unidad IV
• Elabora diseños y esquemas para la
aplicación de la regla se tres simple o compuesta.
•
Identifica las reglas de descuento y aumento
sucesivos referente al tanto por ciento en aplicaciones comerciales.
•
Establece relaciones entre datos y las
transforma a expresiones que incluyen la media aritmética, geométrica y armónica.
•
Selecciona la estrategia conveniente para
resolver problemas que involucran mezclas y aleaciones.
•
Examina propuestas de modelos de
probabilidad condicional que involucran eventos aleatorios.
Aritmética
• ¿
• ¿Sabes como trabajar adecuadamente en equipo?
• ¿Cómo el trabajo en equipo ayuda a los estudiantes a lograr sus metas?
Observamos y respondemos
7Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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1 LOGICA PROPORCIONAL 3ERO - TEXTO.indd 7 24/01/2020 22:45:09
• Reconoce las propiedades fundamentales
del conjunto de los números reales.
• Analiza los datos disponibles en la aplicación
de las propiedades sobre razones y
proporciones.
• Emplea procedimientos matemáticos para
resolver problemas relacionados al reparto proporcional.
•
Identifica gráficos y expresiones
matemáticas referentes a magnitudes proporcionales.
•
Interpreta postulados y teoremas basados
en el análisis combinatorio.
• Determina el valor de la desviación media,
estándar y varianza de los datos expresados en una tabla de frecuencias.
Unidad IV
• Elabora diseños y esquemas para la
aplicación de la regla se tres simple o compuesta.
•
Identifica las reglas de descuento y aumento
sucesivos referente al tanto por ciento en aplicaciones comerciales.
•
Establece relaciones entre datos y las
transforma a expresiones que incluyen la media aritmética, geométrica y armónica.
•
Selecciona la estrategia conveniente para
resolver problemas que involucran mezclas y aleaciones.
•
Examina propuestas de modelos de
probabilidad condicional que involucran eventos aleatorios.
Aritmética
• ¿
• ¿Sabes como trabajar adecuadamente en equipo?
• ¿Cómo el trabajo en equipo ayuda a los estudiantes a lograr sus metas?
Observamos y respondemos
7Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación SecundariaProhibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
8Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
ARITMÉTICA
1 LOGICA PROPORCIONAL 3ERO - TEXTO.indd 8 24/01/2020 22:45:10
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación SecundariaProhibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
8Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
ARITMÉTICA
1 LOGICA PROPORCIONAL 3ERO - TEXTO.indd 8 24/01/2020 22:45:10
Lógica proposicional
Lógica proposicional
Es una oración que se caracteriza por tener la pro-
piedad de ser verdadera o falsa, pero no ambas a
la vez; aquellas que asumen ambos valores según
las variables, se le llaman enunciados abiertos.
Ejemplos:
•
Cristóbal Colón descubrió América.
• Lima fue fundada el 18 de enero de 1532.
• x + 3 = 8 es un enunciado abierto (si x = 5 es
verdadera, si x = 4, es falsa.)
Notación Una proposición lógica se representa mediante
letras minúsculas: p, q, r, s, t,….
•
p: Lima es la capital del Perú.
• q: Todo conjunto vacío no tiene elementos.
Si el valor de verdad de una proposición lógica es
verdadero, se le asigna la letra «V» y si es falsa, se
le asigna la letra «F».
Ejemplos:
•
p: 2 es un número primo. (V)
• q: El conjunto vacío tiene al menos un
elemento. (F)
Tipos de proposiciones Las proposiciones lógicas pueden ser: a.
Simples o atómicas: Son aquellas que se consti-
tuyen por una sola proposición, no lleva conec-
tivos lógicos, ni la negación.
Ejemplos:
• 2020 es un año bisiesto.
• 24 es un número divisible entre 6.
b. Compuestas o moleculares: Son aquellas que
están formadas por dos o más proposiciones
simples unidas mediante conectores lógicos.
Fernanda desea ingresar al equipo de vóley de la escuela, por esta razón entrena de forma constante para mejorar su rendimiento.
Mirtha, su madre, busca motivarla en su objetivo,
por eso coloca algunos afiches en su cuarto con
las frases: «¡Sigue adelante!», «Si entrenas con
esmero lograrás tu objetivo». ¿De qué forma
apoya Mirtha a su hija?
¿Cuál de las frases anteriores se consideran
proposiciones?
Ejemplos:
• Machu Picchu se ubica en Cusco y fue
construida por los Incas.
Esta proposición está formada por:
p: Machu Picchu se ubica en Cusco.
q: Machu Picchu fue construida por los Incas.
•
Si 24 es par, entonces es divisible entre 2.
Esta proposición está formada por: p: 24 es un número par. q: 24 es divisible entre 2.
Conectivos lógicos Son aquellos símbolos que reemplazan a los co-
nectores lógicos gramaticales y al adverbio de ne-
gación «no». Se muestran en la siguiente tabla:
Lenguaje común Símbolo Proposición
No es cierto que …
~ Negación
… y …
˄ Conjunción
… o …
˅ Disyunción
Si … entonces …
→ Condicional
… si y solo si…
↔ Bicondicional
Tipos de proposiciones compuestas
1. Negación (
~): Para una proposición «p», la ne-
gación de p, se denota por ~p y se lee : «no p»,
o «no es cierto que p», que la convierte en falsa
cuando es verdadera y en verdadera cuando es
falsa, su tabla de verdad viene dada por:
p ~p
V F
F V
UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación Secundaria
9Aritm?tica
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 1
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1 LOGICA PROPORCIONAL 3ERO - TEXTO.indd 9 24/01/2020 22:45:11
Lógica proposicional
Es una oración que se caracteriza por tener la pro-
piedad de ser verdadera o falsa, pero no ambas a
la vez; aquellas que asumen ambos valores según
las variables, se le llaman enunciados abiertos.
Ejemplos:
•
Cristóbal Colón descubrió América.
• Lima fue fundada el 18 de enero de 1532.
• x + 3 = 8 es un enunciado abierto (si x = 5 es
verdadera, si x = 4, es falsa.)
Notación Una proposición lógica se representa mediante
letras minúsculas: p, q, r, s, t,….
•
p: Lima es la capital del Perú.
• q: Todo conjunto vacío no tiene elementos.
Si el valor de verdad de una proposición lógica es
verdadero, se le asigna la letra «V» y si es falsa, se
le asigna la letra «F».
Ejemplos:
•
p: 2 es un número primo. (V)
• q: El conjunto vacío tiene al menos un
elemento. (F)
Tipos de proposiciones Las proposiciones lógicas pueden ser: a.
Simples o atómicas: Son aquellas que se consti-
tuyen por una sola proposición, no lleva conec-
tivos lógicos, ni la negación.
Ejemplos:
• 2020 es un año bisiesto.
• 24 es un número divisible entre 6.
b. Compuestas o moleculares: Son aquellas que
están formadas por dos o más proposiciones
simples unidas mediante conectores lógicos.
Fernanda desea ingresar al equipo de vóley de la escuela, por esta razón entrena de forma constante para mejorar su rendimiento.
Mirtha, su madre, busca motivarla en su objetivo,
por eso coloca algunos afiches en su cuarto con
las frases: «¡Sigue adelante!», «Si entrenas con
esmero lograrás tu objetivo». ¿De qué forma
apoya Mirtha a su hija?
¿Cuál de las frases anteriores se consideran
proposiciones?
Ejemplos:
• Machu Picchu se ubica en Cusco y fue
construida por los Incas.
Esta proposición está formada por:
p: Machu Picchu se ubica en Cusco.
q: Machu Picchu fue construida por los Incas.
•
Si 24 es par, entonces es divisible entre 2.
Esta proposición está formada por: p: 24 es un número par. q: 24 es divisible entre 2.
Conectivos lógicos Son aquellos símbolos que reemplazan a los co-
nectores lógicos gramaticales y al adverbio de ne-
gación «no». Se muestran en la siguiente tabla:
Lenguaje común Símbolo Proposición
No es cierto que …
~ Negación
… y …
˄ Conjunción
… o …
˅ Disyunción
Si … entonces …
→ Condicional
… si y solo si…
↔ Bicondicional
Tipos de proposiciones compuestas
1. Negación (
~): Para una proposición «p», la ne-
gación de p, se denota por ~p y se lee : «no p»,
o «no es cierto que p», que la convierte en falsa
cuando es verdadera y en verdadera cuando es
falsa, su tabla de verdad viene dada por:
p ~p
V F
F V
UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación Secundaria
9Aritm?tica
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 1
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1 LOGICA PROPORCIONAL 3ERO - TEXTO.indd 9 24/01/2020 22:45:11
Ejemplo:
• p: Mi polo es de color rojo.
• ~p: Mi polo no es de color rojo.
2. Conjunción (
˄): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples p y q, que se rela-
cionan mediante el conector "y", se denota
por «p
˄ q» y se lee «p y q», su tabla de ver-
dad viene dada por:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ejemplo:
•
p: 28 es un número divisible por 4
• q: 28 es divisible por 11
Entonces: •
p ˄ q: 28 es un número divisible por 4 y por 11.
• El valor de verdad de esta proposición es:
V ˄ F = F
3. Disyunción (
˅): Proposición compuesta por dos
proposiciones simples «p» y «q», que se relacionan
mediante el conector «o». Se denota por p ˅ q y se
lee «p o q», su tabla de verdad viene dada por:
p q p ˅ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ejemplo:
•
p: 28 es un número divisible por 4
• q: 28 es divisible por 11
Entonces: •
p ˅ q: 28 es un número divisible por 4 o por 11.
• El valor de verdad de esta proposición es:
V ˅ F = V
4. Condicional (
→): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples «p» y «q», que se re-
lacionan mediante el conector «Si … entonces
…». Se denota por p
→ q y se lee «Si p entonces
q», su tabla de verdad viene dada por:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ejemplo:
•
p: 28 es un número divisible por 2
• q: 28 es un número compuesto
Entonces: •
p → q: Si 28 es un número divisible por 2
entonces es 28 un número compuesto.
• El valor de verdad de esta proposición es:
V
→ V = V
5.
Bicondicional (
↔): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples «p» y «q», que se re-
lacionan mediante el conector «si y solo si». Se
denota por p
↔ q y se lee «p si y solo si q». Su
tabla de verdad viene dada por:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo:
•
p: Un triángulo es equilátero
• q: Un triángulo es equiángulo
Entonces: •
p ↔ q: Un triángulo es equilátero si y solo si
es equiángulo
• El valor de verdad de esta proposición es:
V
↔ V = V
En general, el número de valores de verdad que
se asigna a cada variable resulta de aplicar la fór-
mula 2
n
, donde n es el número de variables pro-
posicionales que hay en el esquema molecular.
Esquemas moleculares
Un esquema molecular es la agrupación de pro-
posiciones y conectivos lógicos. Para encontrar
el valor de verdad de un esquema molecular,
es necesario determinar los valores de verdad a
partir de cada una de las variables proposicio-
nales, los esquemas pueden ser:
10Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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• p: Mi polo es de color rojo.
• ~p: Mi polo no es de color rojo.
2. Conjunción (
˄): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples p y q, que se rela-
cionan mediante el conector "y", se denota
por «p
˄ q» y se lee «p y q», su tabla de ver-
dad viene dada por:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ejemplo:
•
p: 28 es un número divisible por 4
• q: 28 es divisible por 11
Entonces: •
p ˄ q: 28 es un número divisible por 4 y por 11.
• El valor de verdad de esta proposición es:
V ˄ F = F
3. Disyunción (
˅): Proposición compuesta por dos
proposiciones simples «p» y «q», que se relacionan
mediante el conector «o». Se denota por p ˅ q y se
lee «p o q», su tabla de verdad viene dada por:
p q p ˅ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ejemplo:
•
p: 28 es un número divisible por 4
• q: 28 es divisible por 11
Entonces: •
p ˅ q: 28 es un número divisible por 4 o por 11.
• El valor de verdad de esta proposición es:
V ˅ F = V
4. Condicional (
→): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples «p» y «q», que se re-
lacionan mediante el conector «Si … entonces
…». Se denota por p
→ q y se lee «Si p entonces
q», su tabla de verdad viene dada por:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ejemplo:
•
p: 28 es un número divisible por 2
• q: 28 es un número compuesto
Entonces: •
p → q: Si 28 es un número divisible por 2
entonces es 28 un número compuesto.
• El valor de verdad de esta proposición es:
V
→ V = V
5.
Bicondicional (
↔): Proposición compuesta por
dos proposiciones simples «p» y «q», que se re-
lacionan mediante el conector «si y solo si». Se
denota por p
↔ q y se lee «p si y solo si q». Su
tabla de verdad viene dada por:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo:
•
p: Un triángulo es equilátero
• q: Un triángulo es equiángulo
Entonces: •
p ↔ q: Un triángulo es equilátero si y solo si
es equiángulo
• El valor de verdad de esta proposición es:
V
↔ V = V
En general, el número de valores de verdad que
se asigna a cada variable resulta de aplicar la fór-
mula 2
n
, donde n es el número de variables pro-
posicionales que hay en el esquema molecular.
Esquemas moleculares
Un esquema molecular es la agrupación de pro-
posiciones y conectivos lógicos. Para encontrar
el valor de verdad de un esquema molecular,
es necesario determinar los valores de verdad a
partir de cada una de las variables proposicio-
nales, los esquemas pueden ser:
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a. Taut Cuando todos los valores de verdad
del resultado final de la tabla son verdaderos.
b. Contradictorios: Cuando todos los valores de
verdad del resultado final de la tabla son falsos.
c. Contingencia: Cuando en el resultado final hay
por lo menos una verdad y una falsedad.
Ejemplos:
Clasifica los siguientes esquemas moleculares
a partir de la clasificación anterior.
a. ~p ˅ (~q → p)
p q ~p ˅(~q→ p)
V V F V F V V
V F F V V V V
F V V V F V F
F F V V V F F
Por lo tanto, es tautología
b. (p ˅ q) → ~q
p q (p ˅q)→ ~q
V V V V V F F
V F V V F V V
F V F V V F F
F F F F F V V
Por lo tanto, es contingencia.
Leyes de la lógica proposicional 1.
Idempotencia
p ˅ p = p p ˄ p = p
2. Conmutativa
p ˅ q = q ˅ p p ˄ q = q ˄ p
3. Asociativa
(p ˅ q) ˅ r = p ˅ (q ˅ r)
(p ˄ q) ˄ r = p ˄ (q ˄ r)
4. Distributiva
p ˅ (q ˄ r) = (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
p ˄ (q ˅ r) = (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
Ejercicios resueltos
1. Expresa de manera simbólica la siguiente
expresión:
"Si estudias todos los días, entonces tendrás
buenas notas y obtendrás el primer puesto".
Sean:
p: estudias todos los días
q: tendrás buenas notas
r: obtendrás el primer puesto
Formalizando:
p → (q ˄ r)
2. Establece el valor de verdad de:
p ˄ (~q ˄ ~p)
p q p ˄(~q˄~p)
V V V F F F F
V F V F V F F
F V F F F F V
F F F F V V V
Notemos que en este caso el esquema mo-
lecular resulta ser una contradicción.
3. Indica si el esquema molecular de:
[p → (q ∨ p)] ∧ q
Es tautología, contradicción o contingencia.
p q [p →(q∨p)]∧q
V V V V V V V V V
V F V V F V V F F
F V F V V V F V V
F F F V F F F F F
Luego, el esquema molecular es una con- tingencia.
11Aritm?tica
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del resultado final de la tabla son verdaderos.
b. Contradictorios: Cuando todos los valores de
verdad del resultado final de la tabla son falsos.
c. Contingencia: Cuando en el resultado final hay
por lo menos una verdad y una falsedad.
Ejemplos:
Clasifica los siguientes esquemas moleculares
a partir de la clasificación anterior.
a. ~p ˅ (~q → p)
p q ~p ˅(~q→ p)
V V F V F V V
V F F V V V V
F V V V F V F
F F V V V F F
Por lo tanto, es tautología
b. (p ˅ q) → ~q
p q (p ˅q)→ ~q
V V V V V F F
V F V V F V V
F V F V V F F
F F F F F V V
Por lo tanto, es contingencia.
Leyes de la lógica proposicional 1.
Idempotencia
p ˅ p = p p ˄ p = p
2. Conmutativa
p ˅ q = q ˅ p p ˄ q = q ˄ p
3. Asociativa
(p ˅ q) ˅ r = p ˅ (q ˅ r)
(p ˄ q) ˄ r = p ˄ (q ˄ r)
4. Distributiva
p ˅ (q ˄ r) = (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
p ˄ (q ˅ r) = (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
Ejercicios resueltos
1. Expresa de manera simbólica la siguiente
expresión:
"Si estudias todos los días, entonces tendrás
buenas notas y obtendrás el primer puesto".
Sean:
p: estudias todos los días
q: tendrás buenas notas
r: obtendrás el primer puesto
Formalizando:
p → (q ˄ r)
2. Establece el valor de verdad de:
p ˄ (~q ˄ ~p)
p q p ˄(~q˄~p)
V V V F F F F
V F V F V F F
F V F F F F V
F F F F V V V
Notemos que en este caso el esquema mo-
lecular resulta ser una contradicción.
3. Indica si el esquema molecular de:
[p → (q ∨ p)] ∧ q
Es tautología, contradicción o contingencia.
p q [p →(q∨p)]∧q
V V V V V V V V V
V F V V F V V F F
F V F V V V F V V
F F F V F F F F F
Luego, el esquema molecular es una con- tingencia.
11Aritm?tica
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Unidad 1
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Conjuntos
Conjuntos
Colección de elementos con características simi-
lares. Los elementos de un conjunto pueden ser:
personas, números, colores, letras, figuras, entre
otros.
Para representar a un conjunto se utilizan las le-
tras mayúsculas: A, B, C y, para denotar sus ele-
mentos, se usan letras o números separados por
punto y coma.
Ejemplo:
.20
.35 .15
.10 .40 .30
.45 .25 .5
A
A = { 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}
Relación de pertenencia
Es una relación que se da entre el elemento y el
conjunto, sirve para identificar si un elemento for-
ma parte de un conjunto determinado.
Notación:
Cuando un elemento «x» pertenece a un conjunto
A se denotará por "x ∈ A", caso contrario se deno-
tará como "x ∉ A "
Ejemplo:
Sea el conjunto:
A = {5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}
•
5 ∈ A
• 45 ∈ A
• 10 ∈ A
• 50 ∉ A
• 25 ∈ A
• 0 ∉ A
• 40 ∈ A
• 32 ∉ A
Santiago finalizó el año escolar con sobrepeso,
es por ello que durante las vacaciones llevó una
dieta estricta acompañada de una alimentación
balanceada. La dieta estaba conformada por ve-
getales, frutas, pescado y otros tipos de carne. Al
finalizar las vacaciones notó que la dieta había
funcionado, pues Santiago había bajado de peso.
¿De qué forma construirías un diagrama de
Venn que represente los alimentos de una die-
ta balanceada?
Determinación de un conjunto
Un conjunto se puede expresar de dos maneras:
a.
Extensión: Cuando se nombra explícitamente
cada uno de los elementos que pertenecen al
conjunto.
Ejemplo:
A = {0; 2; 4, 6; 8}
b. Comprensión: Cuando se indica una propie-
dad o una característica de los elementos del
conjunto.
Ejemplo:
A = { x/x ∈ N ^ x es par menor que 10}
Cardinal de un conjunto Dado un conjunto A, el cardinal de A es la cantidad
de elementos que posee el conjunto, se denota
por n(A) y se lee "el cardinal de A".
Ejemplos:
•
H = {0; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6} ⇒ n(H) = 7
• T = {a; e; i; o; u} ⇒ n(T) = 5
Clases de conjuntos
1. Conjunto finito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad finita
de elementos.
Ejemplo:
T = { x/x es número primo menor que 12}
T = {2; 3; 5; 7; 11}
⇒ n(T) = 5
2. Conjunto infinito
Es aquel conjunto que tiene infinitos elemen-
tos.
Ejemplo:
T = { x/x es número par}
T = {0; 2; 4; 6; 8;…}
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Conjuntos
Colección de elementos con características simi-
lares. Los elementos de un conjunto pueden ser:
personas, números, colores, letras, figuras, entre
otros.
Para representar a un conjunto se utilizan las le-
tras mayúsculas: A, B, C y, para denotar sus ele-
mentos, se usan letras o números separados por
punto y coma.
Ejemplo:
.20
.35 .15
.10 .40 .30
.45 .25 .5
A
A = { 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}
Relación de pertenencia
Es una relación que se da entre el elemento y el
conjunto, sirve para identificar si un elemento for-
ma parte de un conjunto determinado.
Notación:
Cuando un elemento «x» pertenece a un conjunto
A se denotará por "x ∈ A", caso contrario se deno-
tará como "x ∉ A "
Ejemplo:
Sea el conjunto:
A = {5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}
•
5 ∈ A
• 45 ∈ A
• 10 ∈ A
• 50 ∉ A
• 25 ∈ A
• 0 ∉ A
• 40 ∈ A
• 32 ∉ A
Santiago finalizó el año escolar con sobrepeso,
es por ello que durante las vacaciones llevó una
dieta estricta acompañada de una alimentación
balanceada. La dieta estaba conformada por ve-
getales, frutas, pescado y otros tipos de carne. Al
finalizar las vacaciones notó que la dieta había
funcionado, pues Santiago había bajado de peso.
¿De qué forma construirías un diagrama de
Venn que represente los alimentos de una die-
ta balanceada?
Determinación de un conjunto
Un conjunto se puede expresar de dos maneras:
a.
Extensión: Cuando se nombra explícitamente
cada uno de los elementos que pertenecen al
conjunto.
Ejemplo:
A = {0; 2; 4, 6; 8}
b. Comprensión: Cuando se indica una propie-
dad o una característica de los elementos del
conjunto.
Ejemplo:
A = { x/x ∈ N ^ x es par menor que 10}
Cardinal de un conjunto Dado un conjunto A, el cardinal de A es la cantidad
de elementos que posee el conjunto, se denota
por n(A) y se lee "el cardinal de A".
Ejemplos:
•
H = {0; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6} ⇒ n(H) = 7
• T = {a; e; i; o; u} ⇒ n(T) = 5
Clases de conjuntos
1. Conjunto finito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad finita
de elementos.
Ejemplo:
T = { x/x es número primo menor que 12}
T = {2; 3; 5; 7; 11}
⇒ n(T) = 5
2. Conjunto infinito
Es aquel conjunto que tiene infinitos elemen-
tos.
Ejemplo:
T = { x/x es número par}
T = {0; 2; 4; 6; 8;…}
12Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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3. C
Es aquel conjunto que no tiene elementos, se
le denota por: Ø, { }
Ejemplo:
R = { x/x ∈ N ^ 0 < x < 1} = { }
4. Conjunto unitario
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.
Ejemplo:
P = { x/x es un número que es par y primo} = {2}
5. Conjunto universal
Conjunto de referencia que se elige de modo
que contenga a todos los elementos conside-
rados.
Ejemplo:
R = {0; 2; 4; 6; 8; 10}
Un conjunto universal (U), será:
U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
6.
Conjunto potencia
Es aquel conjunto formado por todos los posi-
bles subconjuntos del conjunto de referencia.
Para un conjunto A, su conjunto potencia se le
denota por P(A).
Ejemplo:
Si A = { 0; 1}, entonces:
P(A) = { Ø; { 0}; { 1}; { 0; 1} }
En general, para un conjunto finito A se cumple:
n [ P(A) ] = 2
n(A)
Para el conjunto del caso anterior:
n [ P(A) ] = 2
n(A)
= 2
2
=4
Relaciones entre conjuntos 1.
Inclusión: Un c
onjunto A está incluido en un conjunto B,
si todos los elementos del conjunto A, también
son elementos del conjunto B.
Notación: A
⊂ B
A ⊂ B ; C ⊄ B
B C
.x
A
2. Igualdad: Dos c
onjuntos son iguales, cuando comparten
los mismos elementos (cuando uno está inclui-
do en el otro y viceversa).
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplos:
• A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}
• B = { x/x es un número primo menor que 18}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17} Entonces A = B
3.
Conjuntos disjuntos:
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no
tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
A = {x/ x es un número par}
B = {x/ x es un número impar}
A y B son disjuntos
Operaciones entre conjuntos
1. Unión (∪)
A ∪ B = { x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Gráficamente, se tienen los siguientes casos:
a. No disjuntos
A B
U
b. Disjunt
U
A B
c. C
U
B
A
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Unidad 1
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Es aquel conjunto que no tiene elementos, se
le denota por: Ø, { }
Ejemplo:
R = { x/x ∈ N ^ 0 < x < 1} = { }
4. Conjunto unitario
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.
Ejemplo:
P = { x/x es un número que es par y primo} = {2}
5. Conjunto universal
Conjunto de referencia que se elige de modo
que contenga a todos los elementos conside-
rados.
Ejemplo:
R = {0; 2; 4; 6; 8; 10}
Un conjunto universal (U), será:
U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
6.
Conjunto potencia
Es aquel conjunto formado por todos los posi-
bles subconjuntos del conjunto de referencia.
Para un conjunto A, su conjunto potencia se le
denota por P(A).
Ejemplo:
Si A = { 0; 1}, entonces:
P(A) = { Ø; { 0}; { 1}; { 0; 1} }
En general, para un conjunto finito A se cumple:
n [ P(A) ] = 2
n(A)
Para el conjunto del caso anterior:
n [ P(A) ] = 2
n(A)
= 2
2
=4
Relaciones entre conjuntos 1.
Inclusión: Un c
onjunto A está incluido en un conjunto B,
si todos los elementos del conjunto A, también
son elementos del conjunto B.
Notación: A
⊂ B
A ⊂ B ; C ⊄ B
B C
.x
A
2. Igualdad: Dos c
onjuntos son iguales, cuando comparten
los mismos elementos (cuando uno está inclui-
do en el otro y viceversa).
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplos:
• A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}
• B = { x/x es un número primo menor que 18}
B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17} Entonces A = B
3.
Conjuntos disjuntos:
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no
tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
A = {x/ x es un número par}
B = {x/ x es un número impar}
A y B son disjuntos
Operaciones entre conjuntos
1. Unión (∪)
A ∪ B = { x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Gráficamente, se tienen los siguientes casos:
a. No disjuntos
A B
U
b. Disjunt
U
A B
c. C
U
B
A
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Unidad 1
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2. Int ∩)
A ∩ B = { x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficamente, se tienen los siguientes casos:
a. No disjuntos
A B
U
b. Disjunt
U
A B
c. C
U
B
A
3. Dif –)
A – B = { x/x ∈ A ⋀ x ∉ B}
Gráficamente, se tienen los siguientes casos: a.
No disjuntos
A B
U
b. Disjunt
U
A B
c. C
U
B
A
4. Dif △)
Tiene dos definiciones equivalentes, estas vie-
nen dadas por:
A △ B = { x/x ∈ (A ∪ B) ⋀ x ∉ (A ∩ B) }
A △ B = { x/x ∈ (A – B) ⋁ x ∈ (B – A) }
Gráficamente, se tienen los siguientes casos:
a. No disjuntos
A B
U
b. Disjunt
U
A B
c. C
U
B
A
5. C
c
)
Se define como:
A
c
= { x/x ∉ A }
Gráficamente
U
A
Dato importante
Dado cualquier conjunto A siempre se va a
cumplir:
A ∪ A
c
= U
Donde U denota el conjunto universal.
14Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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2 CONJUNTOS ARITMETICA 3ERO - TEXTO.indd 14 24/01/2020 22:45:15
A ∩ B = { x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficamente, se tienen los siguientes casos:
a. No disjuntos
A B
U
b. Disjunt
U
A B
c. C
U
B
A
3. Dif –)
A – B = { x/x ∈ A ⋀ x ∉ B}
Gráficamente, se tienen los siguientes casos: a.
No disjuntos
A B
U
b. Disjunt
U
A B
c. C
U
B
A
4. Dif △)
Tiene dos definiciones equivalentes, estas vie-
nen dadas por:
A △ B = { x/x ∈ (A ∪ B) ⋀ x ∉ (A ∩ B) }
A △ B = { x/x ∈ (A – B) ⋁ x ∈ (B – A) }
Gráficamente, se tienen los siguientes casos:
a. No disjuntos
A B
U
b. Disjunt
U
A B
c. C
U
B
A
5. C
c
)
Se define como:
A
c
= { x/x ∉ A }
Gráficamente
U
A
Dato importante
Dado cualquier conjunto A siempre se va a
cumplir:
A ∪ A
c
= U
Donde U denota el conjunto universal.
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Principales leyes del álgebra de conjuntos
1. Unidad
A ∪ U = U A ∩ U = A
A ∪ Ø = A A ∩ Ø = Ø
2. Idempotencia
A ∪ A = A
A ∩ A = A
3. Conmutativa
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
4. Asociativa
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5. Distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6. De Morgan
(A ∪ B)
c
= A
c
∩ B
c
(A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c
Ejercicios resueltos
1. Observa el conjunto:
C = {2; {2}; {2; 3}}
Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones, justifica tu respuesta.
a. {2; 3} ⊂ C b. 3 ∈ C c. {2; {2; 3}} ⊂ C
a. Falso:
Al ser {2; 3} un element
o de C la relación
que hay entre ambos es de pertenencia
mas no de inclusión, por lo tanto {2; 3} ⊄ C.
b.
Falso:
Pues los únic
os elementos de C son:
2; {2}; {2; 3}
Por lo tanto, 3 ∉ C
c.
Verdadero:
Al ser �{2}; {2; 3}� un subconjunto de
C entonces la relación que hay entre
ambos es de inclusión, por lo tanto:
�{2}; {2; 3}� ⊂ C
4. Si se sabe que:
n [ P (A
∩ B) ] = 4 n [ P (A – B) ] = 8
n [ P (A
∪ B) ] = 128
Calcula la cantidad de elementos de la potencia del conjunto B.
•
n [ P (A ∩ B) ] = 4 ⇒ 2
n (A ∩ B)
= 2
2
⇒ n (A ∩ B) = 2
•
n [ P (A – B) ] = 8 ⇒ 2
n (A – B)
= 2
3
⇒ n (A – B) = 3
•
n [P (A
∪ B) ] = 128 ⇒ 2
n [ (A ∪ B) ]
= 2
7
⇒ n [ (A ∪ B) ]=7
Graficando:
A B
U
.3 .x.2
3 + 2 + x = 7 ⇒ 5 + x = 7 ⇒ x = 2
Piden la cantidad de elementos de la por- tencia de B
2
n(B)
= 2
4
= 16
En el siglo XIX, en Europa, habían retoma- do el estudio de la lógica Aristotélica y de la lógica hecha por George Boole, fue en ese tiempo que Augustus Morgan logra la for- malización de las leyes correspondientes, actualmente llamadas Leyes de Morgan.
Dato histórico
(A ∪ B)
c
= A
c
∩ B
c
(A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c
15Aritm?tica
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad 1
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1. Unidad
A ∪ U = U A ∩ U = A
A ∪ Ø = A A ∩ Ø = Ø
2. Idempotencia
A ∪ A = A
A ∩ A = A
3. Conmutativa
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
4. Asociativa
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5. Distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6. De Morgan
(A ∪ B)
c
= A
c
∩ B
c
(A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c
Ejercicios resueltos
1. Observa el conjunto:
C = {2; {2}; {2; 3}}
Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones, justifica tu respuesta.
a. {2; 3} ⊂ C b. 3 ∈ C c. {2; {2; 3}} ⊂ C
a. Falso:
Al ser {2; 3} un element
o de C la relación
que hay entre ambos es de pertenencia
mas no de inclusión, por lo tanto {2; 3} ⊄ C.
b.
Falso:
Pues los únic
os elementos de C son:
2; {2}; {2; 3}
Por lo tanto, 3 ∉ C
c.
Verdadero:
Al ser �{2}; {2; 3}� un subconjunto de
C entonces la relación que hay entre
ambos es de inclusión, por lo tanto:
�{2}; {2; 3}� ⊂ C
4. Si se sabe que:
n [ P (A
∩ B) ] = 4 n [ P (A – B) ] = 8
n [ P (A
∪ B) ] = 128
Calcula la cantidad de elementos de la potencia del conjunto B.
•
n [ P (A ∩ B) ] = 4 ⇒ 2
n (A ∩ B)
= 2
2
⇒ n (A ∩ B) = 2
•
n [ P (A – B) ] = 8 ⇒ 2
n (A – B)
= 2
3
⇒ n (A – B) = 3
•
n [P (A
∪ B) ] = 128 ⇒ 2
n [ (A ∪ B) ]
= 2
7
⇒ n [ (A ∪ B) ]=7
Graficando:
A B
U
.3 .x.2
3 + 2 + x = 7 ⇒ 5 + x = 7 ⇒ x = 2
Piden la cantidad de elementos de la por- tencia de B
2
n(B)
= 2
4
= 16
En el siglo XIX, en Europa, habían retoma- do el estudio de la lógica Aristotélica y de la lógica hecha por George Boole, fue en ese tiempo que Augustus Morgan logra la for- malización de las leyes correspondientes, actualmente llamadas Leyes de Morgan.
Dato histórico
(A ∪ B)
c
= A
c
∩ B
c
(A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c
15Aritm?tica
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 1
2 CONJUNTOS ARITMETICA 3ERO - TEXTO.indd 15 24/01/2020 22:45:15
Sistemas de numeración
Sistemas de numeración
Es el conjunto de reglas y leyes que permiten
la formación de la escritura y de la lectura de
números.
Principios
1.
La cifra que forma parte de un numeral tiene
asociado un orden y un lugar. Recuerda que, el
orden se cuenta de derecha a izquierda a partir
de 0 y; mientras el lugar de la cifra se cuenta de
izquierda a derecha a partir de 1.
Ejemplo:
Orden
4 3 2 1 0
4 8 3 0 6
1 2 3 4 5
Lugar
2. La base de un sistema de numeración siempre
será mayor que 1.
3. Toda cifra que forma parte del numeral, es me-
nor que la base.
Ejemplo:
16 unidades en base 3
1 conjunto
de 3 decenas
2 conjunto
de 3 unidades
1 unidad
1 2 1
(3)
Fidel entrena para ganar la medalla de oro en el
campeonato de lanzamiento de bala que orga-
niza la provincia en donde vive. Previo a partici-
par en el campeonato, debe competir con otros
deportistas y ser elegido c
omo representante
de su escuela, por ello, Fidel realiza una rutina
de ejercicios de 212 minutos, esta consiste en
realizar 25 planchas, 80 saltos, entre otros más.
¿Él número 212 es capicúa? ¿Cómo se expresaría
este en el sistema nonario?
Principales sistemas de numeración
Entre los principales sistemas tenemos:
Base Nombre Cifras a utilizar
2 Binario 0; 1
3 Terciario 0; 1; 2
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
Debemos tener en cuenta lo siguiente:
1.
En una igualdad de numerales se cumple que
el mayor numeral aparente tendrá menor base
y viceversa.
Ejemplos:
• 104
(m)
= 1000
(n)
Se cumple que n < m pues 1000 > 104
•
41
(p)
= 53
(q)
Se cumple que q < p, pues 53 > 41
2.
Un numeral de base n puede usar cifras cuyo
valor es como máximo: 0; 1; 2; …; (n – 1)
Ejemplo:
• 1111
(12)
•
99
(10)
= 99
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3 SISTEMAS DE NUMERACION 3ERO - TEXTO.indd 16 24/01/2020 23:42:19
Sistemas de numeración
Es el conjunto de reglas y leyes que permiten
la formación de la escritura y de la lectura de
números.
Principios
1.
La cifra que forma parte de un numeral tiene
asociado un orden y un lugar. Recuerda que, el
orden se cuenta de derecha a izquierda a partir
de 0 y; mientras el lugar de la cifra se cuenta de
izquierda a derecha a partir de 1.
Ejemplo:
Orden
4 3 2 1 0
4 8 3 0 6
1 2 3 4 5
Lugar
2. La base de un sistema de numeración siempre
será mayor que 1.
3. Toda cifra que forma parte del numeral, es me-
nor que la base.
Ejemplo:
16 unidades en base 3
1 conjunto
de 3 decenas
2 conjunto
de 3 unidades
1 unidad
1 2 1
(3)
Fidel entrena para ganar la medalla de oro en el
campeonato de lanzamiento de bala que orga-
niza la provincia en donde vive. Previo a partici-
par en el campeonato, debe competir con otros
deportistas y ser elegido c
omo representante
de su escuela, por ello, Fidel realiza una rutina
de ejercicios de 212 minutos, esta consiste en
realizar 25 planchas, 80 saltos, entre otros más.
¿Él número 212 es capicúa? ¿Cómo se expresaría
este en el sistema nonario?
Principales sistemas de numeración
Entre los principales sistemas tenemos:
Base Nombre Cifras a utilizar
2 Binario 0; 1
3 Terciario 0; 1; 2
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
Debemos tener en cuenta lo siguiente:
1.
En una igualdad de numerales se cumple que
el mayor numeral aparente tendrá menor base
y viceversa.
Ejemplos:
• 104
(m)
= 1000
(n)
Se cumple que n < m pues 1000 > 104
•
41
(p)
= 53
(q)
Se cumple que q < p, pues 53 > 41
2.
Un numeral de base n puede usar cifras cuyo
valor es como máximo: 0; 1; 2; …; (n – 1)
Ejemplo:
• 1111
(12)
•
99
(10)
= 99
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Valor absoluto y relativo
a. Valor absoluto (V.A): Es el valor que tiene la cifra
por su definición.
b. Valor relativo (V.R): Es el valor que toma la cifra
teniendo en cuenta la base y su respectivo orden. Ejemplo:
En el siguiente numeral: 1234
(5)
, se tiene:
V.A (1) = 1 V.R (4) = 4 × 5
0
V.A (2) = 2 V.R (3) = 3 × 5
1
V.A (3) = 3 V.R (2) = 2 × 5
2
V.A (4) = 4 V.R (1) = 1 × 5
3
Expresión literal de un número
Toda cifra de un numeral, se puede representar
por una letra del abecedario, sea minúscula o ma-
yúscula, cubriéndolas con una barra horizontal.
•
pq
n
: Es cualquier número de dos cifras en la
base n.
• abcd: Es cualquier número de cuatro cifras en
la base 10.
• abc25: Es cualquier número de cinco cifras en
la base 10 que termina en 25.
Descomposición polinómica de un número Es expresar el numeral como la suma de los valo-
res relativos de todas sus cifras, veamos:
Ejemplos:
•
1054
(6)
= V.R. (1) + V.R. (0) + V.R. (5) + V.R. (4)
1054
(6)
= 1 × 6
3
+ 0 × 6
2
+ 5 × 6 + 4 = 250
•
1054
(7)
= V.R. (1) + V.R. (0) + V.R. (5) + V.R. (4)
1054
(7)
= 1 × 7
3
+ 0 × 7
2
+ 5 × 7 + 4 = 382
Recuerda que la descomposición polinómica de
un numeral se puede realizar por bloques, veamos:
abcd
(n)
= ab × n
2
+ cd
Conversión de un numeral en base 10 a una
base n cualquiera
Se efectúa usando las divisiones sucesivas, para lo
cual se debe dividir el número entre la base n, si
el cociente es mayor o igual que n se divide nue-
vamente entre n y así hasta obtener un cociente
menor que n, el numeral se forma concatenando
el número formado por el último cociente y to-
dos los residuos de derecha a izquierda.
Ejemplo:
•
Expresa 104 en base 5
Solución: Por divisiones sucesivas se tiene:
104 5
4 20 5
0 4
⇒ 104 = 404
(5)
Conversión de un numeral de base n a base m
El proceso se reduce a expresa el número de base
n a base 10 y de base 10 a base m.
Ejemplo:
• Expresa 124
(6)
en base 5
Solución: Convirtiendo 124
(6)
a base 10:
124
(6)
= 1 × 6
2
+ 2 × 6 + 4 = 52
Luego, convirtiendo 52 en base 5, se tiene:
52 5
2 10 5
0 2
⇒ 124
(6)
= 202
(5)
Propiedades fundamentales
1. Numeral con cifras de valor máximo
(n – 1) (n – 1) ... (n – 1)
(n)
= n
k
– 1
k cifras
2. Bases sucesivas
1a
1b
1c
1m
(n)
= n + a + b + c + ... + m
...
Metacognición
••¿Qué apr
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
super
é?
••¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
17Aritm?tica
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Unidad 1
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a. Valor absoluto (V.A): Es el valor que tiene la cifra
por su definición.
b. Valor relativo (V.R): Es el valor que toma la cifra
teniendo en cuenta la base y su respectivo orden. Ejemplo:
En el siguiente numeral: 1234
(5)
, se tiene:
V.A (1) = 1 V.R (4) = 4 × 5
0
V.A (2) = 2 V.R (3) = 3 × 5
1
V.A (3) = 3 V.R (2) = 2 × 5
2
V.A (4) = 4 V.R (1) = 1 × 5
3
Expresión literal de un número
Toda cifra de un numeral, se puede representar
por una letra del abecedario, sea minúscula o ma-
yúscula, cubriéndolas con una barra horizontal.
•
pq
n
: Es cualquier número de dos cifras en la
base n.
• abcd: Es cualquier número de cuatro cifras en
la base 10.
• abc25: Es cualquier número de cinco cifras en
la base 10 que termina en 25.
Descomposición polinómica de un número Es expresar el numeral como la suma de los valo-
res relativos de todas sus cifras, veamos:
Ejemplos:
•
1054
(6)
= V.R. (1) + V.R. (0) + V.R. (5) + V.R. (4)
1054
(6)
= 1 × 6
3
+ 0 × 6
2
+ 5 × 6 + 4 = 250
•
1054
(7)
= V.R. (1) + V.R. (0) + V.R. (5) + V.R. (4)
1054
(7)
= 1 × 7
3
+ 0 × 7
2
+ 5 × 7 + 4 = 382
Recuerda que la descomposición polinómica de
un numeral se puede realizar por bloques, veamos:
abcd
(n)
= ab × n
2
+ cd
Conversión de un numeral en base 10 a una
base n cualquiera
Se efectúa usando las divisiones sucesivas, para lo
cual se debe dividir el número entre la base n, si
el cociente es mayor o igual que n se divide nue-
vamente entre n y así hasta obtener un cociente
menor que n, el numeral se forma concatenando
el número formado por el último cociente y to-
dos los residuos de derecha a izquierda.
Ejemplo:
•
Expresa 104 en base 5
Solución: Por divisiones sucesivas se tiene:
104 5
4 20 5
0 4
⇒ 104 = 404
(5)
Conversión de un numeral de base n a base m
El proceso se reduce a expresa el número de base
n a base 10 y de base 10 a base m.
Ejemplo:
• Expresa 124
(6)
en base 5
Solución: Convirtiendo 124
(6)
a base 10:
124
(6)
= 1 × 6
2
+ 2 × 6 + 4 = 52
Luego, convirtiendo 52 en base 5, se tiene:
52 5
2 10 5
0 2
⇒ 124
(6)
= 202
(5)
Propiedades fundamentales
1. Numeral con cifras de valor máximo
(n – 1) (n – 1) ... (n – 1)
(n)
= n
k
– 1
k cifras
2. Bases sucesivas
1a
1b
1c
1m
(n)
= n + a + b + c + ... + m
...
Metacognición
••¿Qué apr
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
super
é?
••¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
17Aritm?tica
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Unidad 1
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Ejercicios resueltos
1. Determina el valor de p, si se verifica que:
102
(11)
= 2p4
(7)
Convirtiendo 102
(11)
a base 10, tenemos:
102
(11)
= 1 × 11
2
+ 2 = 123
Convirtiendo 2p4
(7)
a base 10, tenemos:
2p4
(7)
= 2 × 7
2
+ 7p + 4 = 102 + 7p
Igualando:
123 = 102 + 7p
21 = 7p
p = 3
2. Convierte el número 1242
5
a base 3.
Efectuando la descomposición polinómica:
1242
(5)
= 1 × 5
3
+ 2 × 5
2
+ 4 × 5 + 2
1242
(5)
= 125
+ 50 + 20
+ 2
1242
(5)
= 197
Luego, pasando a base 3 tenemos:
197 3
265 3
221 3
0 7 3
1 2
197 = 21022
(3)
3. Se v
13
(14)
(pq)
= 51
(8)
Calcula pq + 4
Usando la propiedad fundamental
tenemos:
13
(14)
(pq)
= 51
(8)
� 13
(pq + 4)
= 41
Luego, descomponiendo el numeral, se tiene:
pq + 4 + 3 = 41
� pq + 7 = 41
� pq = 34
� pq + 4 = 34 + 4 = 38
4. Expresa el numeral (a +2)(a+1)a en base 3, si se
cumple que:
11a31
(4)
= 15a
(9)
+ 14aa
(5)
Efectuando la descomposición polinómica
de cada uno de los elementos:
• 11a31
(4)
= 1×4
4
+1×4
3
+a×4
2
+3×4+1
= 256+64+16a+12+1
⇒ 11a31
(4)
= 333 + 16a
•
15a
(9)
= 1×9
2
+5×9+a = 81+45+a
⇒ 15a
(9)
= 126 + a
•
14aa
(5)
= 1×5
3
+4×5
2
+a×5+a = 125+100+5a+a
⇒ 14aa
(5)
= 225 + 6a
� 333+16a = (126+a) + (225+6a)
16a – 7a = 351 – 333
9a = 18
a = 2
Reemplazando tenemos:
(a+2)(a+1)a = 432
Convirtiendo 432 a base 3:
4323
0144 3
048 3
0 16 3
1 5 3
2 1
⇒ 432 = 121 000
(3)
5. Si los numerales mostrados están correctamente
escritos, determina abc.
140
(a)
; 2aa
(c)
; 3c4
(b)
; b62
(8)
Se cumple:
• a � 4
• b � c; b � 4
• c � a
• b � 8
Entonces:
8 � b � c � a � 4
Luego, los únicos valores posibles para a; b
y c son:
a = 5; b = 7; c = 6
Reemplazando tenemos:
abc = 576
18Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3 SISTEMAS DE NUMERACION 3ERO - TEXTO.indd 18 24/01/2020 23:42:20
1. Determina el valor de p, si se verifica que:
102
(11)
= 2p4
(7)
Convirtiendo 102
(11)
a base 10, tenemos:
102
(11)
= 1 × 11
2
+ 2 = 123
Convirtiendo 2p4
(7)
a base 10, tenemos:
2p4
(7)
= 2 × 7
2
+ 7p + 4 = 102 + 7p
Igualando:
123 = 102 + 7p
21 = 7p
p = 3
2. Convierte el número 1242
5
a base 3.
Efectuando la descomposición polinómica:
1242
(5)
= 1 × 5
3
+ 2 × 5
2
+ 4 × 5 + 2
1242
(5)
= 125
+ 50 + 20
+ 2
1242
(5)
= 197
Luego, pasando a base 3 tenemos:
197 3
265 3
221 3
0 7 3
1 2
197 = 21022
(3)
3. Se v
13
(14)
(pq)
= 51
(8)
Calcula pq + 4
Usando la propiedad fundamental
tenemos:
13
(14)
(pq)
= 51
(8)
� 13
(pq + 4)
= 41
Luego, descomponiendo el numeral, se tiene:
pq + 4 + 3 = 41
� pq + 7 = 41
� pq = 34
� pq + 4 = 34 + 4 = 38
4. Expresa el numeral (a +2)(a+1)a en base 3, si se
cumple que:
11a31
(4)
= 15a
(9)
+ 14aa
(5)
Efectuando la descomposición polinómica
de cada uno de los elementos:
• 11a31
(4)
= 1×4
4
+1×4
3
+a×4
2
+3×4+1
= 256+64+16a+12+1
⇒ 11a31
(4)
= 333 + 16a
•
15a
(9)
= 1×9
2
+5×9+a = 81+45+a
⇒ 15a
(9)
= 126 + a
•
14aa
(5)
= 1×5
3
+4×5
2
+a×5+a = 125+100+5a+a
⇒ 14aa
(5)
= 225 + 6a
� 333+16a = (126+a) + (225+6a)
16a – 7a = 351 – 333
9a = 18
a = 2
Reemplazando tenemos:
(a+2)(a+1)a = 432
Convirtiendo 432 a base 3:
4323
0144 3
048 3
0 16 3
1 5 3
2 1
⇒ 432 = 121 000
(3)
5. Si los numerales mostrados están correctamente
escritos, determina abc.
140
(a)
; 2aa
(c)
; 3c4
(b)
; b62
(8)
Se cumple:
• a � 4
• b � c; b � 4
• c � a
• b � 8
Entonces:
8 � b � c � a � 4
Luego, los únicos valores posibles para a; b
y c son:
a = 5; b = 7; c = 6
Reemplazando tenemos:
abc = 576
18Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3 SISTEMAS DE NUMERACION 3ERO - TEXTO.indd 18 24/01/2020 23:42:20
Tabla de frecuencias para
datos agrupados y no agrupados
Tabla de distribución de frecuencias para
datos no agrupados
Es aquella tabla en donde se organiza datos se-
gún la variable estadística que se va a estudiar.
Para elaborar una tabla de frecuencias debemos
de tener en cuenta los siguientes conceptos.
1.
Frecuencia absoluta (f
i
): Indica el número de
veces en que se repite un dato en una muestra
de n datos. La suma de todas las frecuencias
absolutas es igual al total de datos (n).
f
1
+f
2
+f
3
+ ...+f
k
= n
Donde: k es el número de valores distintos que existen en el conjunto estudiado.
2.
Frecuencia absoluta acumulada (F
i
): Es la suma
de frecuencias absolutas de valores iguales o inferiores al valor i considerado.
F
i
= f
1
+f
2
+f
3
+ ... +f
i
3. Frecuencia relativa (h
i
): Es la frecuencia absolu-
ta de un intervalo dividida entre el número de datos o tamaño de la muestra.
h
n
f
i
i=
4. Frecuencia relativa acumulada (H
i
): Es la suma
de frecuencias relativas de valores iguales o in- feriores al valor i considerado.
Hh hh hi1 23 i f=+ ++ +
5. Frecuencia relativa porcentual (h
i
%): Representa
el tanto por ciento de la frecuencia relativa.
h
i
% = h
i
× 100%
A continuación, mostraremos cómo elaborar una tabla de frecuencias.
La profesora del 3° año de secundaria desea que sus estudiantes mejoren su aprendizaje, por ello, propone aplicarles al final de cada mes una encuesta acerca de las dificultades que presentan, de modo que se puedan absolver sus dudas posteriormente.
¿Crees que es importante la encuesta realizada
por la profesora?
¿Será útil construir una tabla de frecuencias
para el estudio de los resultados de la encuesta?
Ejemplo:
En el siguiente arreglo se muestra las edades de
los padres de familia del 3° año de secundaria.
32 40 40 48 39 32 35 40 35 32
39 35 35 39 32 35 42 42 35 40
Elabora una tabla de frecuencia.
Solución:
• Primero verifica los datos en la muestra:
a
1
=32; a
2
=35; a
3
=39;
a
4
=40; a
5
=42; a
6
=48
•
Luego, las frecuencias absolutas para cada uno
de los datos de la muestra son:
f
1
=4; f
2
=6; f
3
=3;
f
4
=4; f
5
=2; f
6
=1
•
Ahora, determinamos las frecuencias relativas:
h
n
f
20
4
0,201
1== =
h
n
f
20
4
0,204
4== =
h
n
f
20
6
0,302
2== =
h
n
f
20
2
0,105
5== =
h
n
f
20
3
0,153
3== =
h
n
f
20
1
0,056
6== =
Edades f
i
F
i
h
i
H
i
H
i
%
32 4 4 0,20 0,20 20%
35 6 10 0,30 0,50 50%
39 3 13 0,15 0,65 65%
40 4 17 0,20 0,85 85%
42 2 19 0,10 0,95 95%
48 120 0,05 1 100%
19Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 1
4 TABLA DE FRECUENCIAS 3ERO - TEXTO.indd 19 24/01/2020 22:45:59
datos agrupados y no agrupados
Tabla de distribución de frecuencias para
datos no agrupados
Es aquella tabla en donde se organiza datos se-
gún la variable estadística que se va a estudiar.
Para elaborar una tabla de frecuencias debemos
de tener en cuenta los siguientes conceptos.
1.
Frecuencia absoluta (f
i
): Indica el número de
veces en que se repite un dato en una muestra
de n datos. La suma de todas las frecuencias
absolutas es igual al total de datos (n).
f
1
+f
2
+f
3
+ ...+f
k
= n
Donde: k es el número de valores distintos que existen en el conjunto estudiado.
2.
Frecuencia absoluta acumulada (F
i
): Es la suma
de frecuencias absolutas de valores iguales o inferiores al valor i considerado.
F
i
= f
1
+f
2
+f
3
+ ... +f
i
3. Frecuencia relativa (h
i
): Es la frecuencia absolu-
ta de un intervalo dividida entre el número de datos o tamaño de la muestra.
h
n
f
i
i=
4. Frecuencia relativa acumulada (H
i
): Es la suma
de frecuencias relativas de valores iguales o in- feriores al valor i considerado.
Hh hh hi1 23 i f=+ ++ +
5. Frecuencia relativa porcentual (h
i
%): Representa
el tanto por ciento de la frecuencia relativa.
h
i
% = h
i
× 100%
A continuación, mostraremos cómo elaborar una tabla de frecuencias.
La profesora del 3° año de secundaria desea que sus estudiantes mejoren su aprendizaje, por ello, propone aplicarles al final de cada mes una encuesta acerca de las dificultades que presentan, de modo que se puedan absolver sus dudas posteriormente.
¿Crees que es importante la encuesta realizada
por la profesora?
¿Será útil construir una tabla de frecuencias
para el estudio de los resultados de la encuesta?
Ejemplo:
En el siguiente arreglo se muestra las edades de
los padres de familia del 3° año de secundaria.
32 40 40 48 39 32 35 40 35 32
39 35 35 39 32 35 42 42 35 40
Elabora una tabla de frecuencia.
Solución:
• Primero verifica los datos en la muestra:
a
1
=32; a
2
=35; a
3
=39;
a
4
=40; a
5
=42; a
6
=48
•
Luego, las frecuencias absolutas para cada uno
de los datos de la muestra son:
f
1
=4; f
2
=6; f
3
=3;
f
4
=4; f
5
=2; f
6
=1
•
Ahora, determinamos las frecuencias relativas:
h
n
f
20
4
0,201
1== =
h
n
f
20
4
0,204
4== =
h
n
f
20
6
0,302
2== =
h
n
f
20
2
0,105
5== =
h
n
f
20
3
0,153
3== =
h
n
f
20
1
0,056
6== =
Edades f
i
F
i
h
i
H
i
H
i
%
32 4 4 0,20 0,20 20%
35 6 10 0,30 0,50 50%
39 3 13 0,15 0,65 65%
40 4 17 0,20 0,85 85%
42 2 19 0,10 0,95 95%
48 120 0,05 1 100%
19Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 1
4 TABLA DE FRECUENCIAS 3ERO - TEXTO.indd 19 24/01/2020 22:45:59
Tabla de distribución de frecuencias para
datos agrupados
Es aquella tabla en la que los datos se clasifican
en intervalos de clase que se utiliza cuando la
cantidad de datos de la muestra es muy grande.
Para elaborar este tipo de tablas debemos tener
en cuenta los siguientes conceptos:
1.
Tamaño de la muestra (n): indica el número to-
tal de datos.
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra el peso de los pa-
cientes del pabellón 10 del hospital de la pro-
vincia de Cañete.
Tabla 1
50 52 54 56 56 58 60 60 62 64
64 66 68 68 68 70 72 74 76 80
El tamaño de la muestra es: n =20
2. Alcance (A): es el intervalo cerrado cuyos extre-
mos son el mayor y menor valor de los datos.
Ejemplo:
En la tabla 1, se tiene que:
A = [80; 50]
3. Rango (R): es la longitud del alcance y se obtie-
ne de la diferencia entre los valores del mayor y
menor de los datos, también recibe el nombre
de recorrido.
Ejemplo:
En la tabla 1: R = 80 – 50 ⇒ R = 30
4.
Intervalo de clase (I
i
): es una partición del
alcance.
Ejemplo:
l
i
=
54;607
Límite inferior
= (L
i
) Límite superior
= (L
s
)
5. Número de intervalos de clase (k): es la can-
tidad de intervalos de clase en que se divide
el alcance. Se puede determinar mediante la
Regla de Joule o la regla de Sturges.
k = n k = 1 + 3,3 (log n)
Regla de Joule Regla de Struges
Se aproxima el resultado al número entero más próximo.
Ejemplo:
En la tabla 1, el número de intervalos es:
k204,47
k4.
==
Por lo tanto, el número de intervalos es 4.
6. Ancho de clase (w
i
): es la longitud del intervalo
de clase.
w
i
= L
s
– L
i
Observación:
Para que el ancho de clase tenga la misma lon-
gitud debe cumplir:
w
k
R
=
Para la tabla 1 se tiene que:
w
4
30
7,5==
7. Marc
i
): es la media aritmética entre
los extremos de los intervalos de clase.
x
2
LL
i
si
=
+
Luego, la tabla de frecuencias para la tabla 1 es la siguiente:
L
i
x
i
f
i
F
i
h
i
H
i
[50; 57,5〉 53,755 5
20
5
0,25= 0,25
[57,5; 65〉 61,256 11
20
6
0,30= 0,55
[65; 72,5〉 68,756 17
20
6
0,30= 0,85
[72,5; 80]76,25320
20
3
0,15= 1
TIC
Ingresa a la siguiente página web para completar lo
aprendido en clase
https://www.youtube.com/
watch?v=5z-jDh0H-Ik
20Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4 TABLA DE FRECUENCIAS 3ERO - TEXTO.indd 20 24/01/2020 22:46:00
datos agrupados
Es aquella tabla en la que los datos se clasifican
en intervalos de clase que se utiliza cuando la
cantidad de datos de la muestra es muy grande.
Para elaborar este tipo de tablas debemos tener
en cuenta los siguientes conceptos:
1.
Tamaño de la muestra (n): indica el número to-
tal de datos.
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra el peso de los pa-
cientes del pabellón 10 del hospital de la pro-
vincia de Cañete.
Tabla 1
50 52 54 56 56 58 60 60 62 64
64 66 68 68 68 70 72 74 76 80
El tamaño de la muestra es: n =20
2. Alcance (A): es el intervalo cerrado cuyos extre-
mos son el mayor y menor valor de los datos.
Ejemplo:
En la tabla 1, se tiene que:
A = [80; 50]
3. Rango (R): es la longitud del alcance y se obtie-
ne de la diferencia entre los valores del mayor y
menor de los datos, también recibe el nombre
de recorrido.
Ejemplo:
En la tabla 1: R = 80 – 50 ⇒ R = 30
4.
Intervalo de clase (I
i
): es una partición del
alcance.
Ejemplo:
l
i
=
54;607
Límite inferior
= (L
i
) Límite superior
= (L
s
)
5. Número de intervalos de clase (k): es la can-
tidad de intervalos de clase en que se divide
el alcance. Se puede determinar mediante la
Regla de Joule o la regla de Sturges.
k = n k = 1 + 3,3 (log n)
Regla de Joule Regla de Struges
Se aproxima el resultado al número entero más próximo.
Ejemplo:
En la tabla 1, el número de intervalos es:
k204,47
k4.
==
Por lo tanto, el número de intervalos es 4.
6. Ancho de clase (w
i
): es la longitud del intervalo
de clase.
w
i
= L
s
– L
i
Observación:
Para que el ancho de clase tenga la misma lon-
gitud debe cumplir:
w
k
R
=
Para la tabla 1 se tiene que:
w
4
30
7,5==
7. Marc
i
): es la media aritmética entre
los extremos de los intervalos de clase.
x
2
LL
i
si
=
+
Luego, la tabla de frecuencias para la tabla 1 es la siguiente:
L
i
x
i
f
i
F
i
h
i
H
i
[50; 57,5〉 53,755 5
20
5
0,25= 0,25
[57,5; 65〉 61,256 11
20
6
0,30= 0,55
[65; 72,5〉 68,756 17
20
6
0,30= 0,85
[72,5; 80]76,25320
20
3
0,15= 1
TIC
Ingresa a la siguiente página web para completar lo
aprendido en clase
https://www.youtube.com/
watch?v=5z-jDh0H-Ik
20Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4 TABLA DE FRECUENCIAS 3ERO - TEXTO.indd 20 24/01/2020 22:46:00
Ejercicios resueltos
1. Luis a encuestado a 20 familias acerca del
número de miembros que conforman cada
uno de sus hogares y obtuvo los siguientes
resultados.
4 2 3 5 6 2 3 3 4 5
3 7 2 2 3 6 3 3 4 2
Elabora una tabla de frecuencias y responde
a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántas familias están conformadas por 4
integrantes?
b. ¿Qué porcentaje representa las familias
compuestas por 6 integrantes?
c. ¿Cuánto es el valor de f
2
+F
4
?
d.
¿Cuántas familias tienen menos de 5
integrantes?
La tabla de frecuencias está dada de la
siguiente forma:
Integrantes f
i
F
i
h
i
2 5 5 0,25
3 7 12 0,35
4 3 15 0,15
5 2 17 0,10
6 2 19 0,10
7 1 20 0,05
a. El total de familias conformada por 4
integrantes son 3.
b. Nos piden determinar el porcentaje que
representa las familias compuestas por 6 integrantes, es decir, nos piden el valor de h
5
%:
%%
% ,% %%
hh
hh
100
010100 10
55
55
&
#
#
=
==
^ ^h h
c. Si f
2
=7 ∧ F
4
=17 ; entonces:
f
2
+F
4
= 7+17 = 24 ⇒ f
2
+F
4
= 24
d.
La cantidad de familias que tienen menos
de 5 integrantes está representada en la tabla como F
3
:
F
3
=15
2. EL pro
de la cantidad de horas que dedicaban sus estudiantes a practicar durante la semana lo aprendido en clase.
1 8 10 14 15 21
16 16 10 3 4 12
16 11 17 12 10 5
3 9 4 8 7 6
3 5 10 12 10 6
Construye una tabla de datos agrupados y
determina el intervalo que registra la mayor
frecuencia relativa.
Primero debemos determinar el número
de intervalos utilizando la regla de Joule,
teniendo en cuenta el número de dato de
la muestra es n = 30.
k305,48
k5&
.=
=
Ahora, determinamos el ancho de clase (w):
R = 21 – 1 ⇒ R=20
Entonces:
w
k
R
5
20
4== =
La amplitud o ancho de clase es 4. Por lo tanto, los intervalos serán:
1;5;5;9;9;13;13;17;17;2188 88 8 A
Luego, las marcas de clase son:
x
2
15
3;x
2
59
7;
x
2
913
11;x
2
13 17
15
x
2
1721
19
12
34
5
=
+
==
+
=
=
+
==
+
=
=
+
=
Finalmente, la tabla de datos no agrupados es
L
i
x
i
f
i
F
i
h
i
H
i
[1; 5〉 3 6 6 0,200,20
[5; 9〉 7 7 13 0,230,43
[9; 13〉 11 10 23 0,330,76
[13; 17〉 15 5 28 0,170,93
[17; 21]19 2 30 0,07 1
Por lo tanto, luego de construir la tabla, podemos decir que el intervalo con mayor
frecuencia relativa es
9;138 .
21Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 1
4 TABLA DE FRECUENCIAS 3ERO - TEXTO.indd 21 24/01/2020 22:46:01
1. Luis a encuestado a 20 familias acerca del
número de miembros que conforman cada
uno de sus hogares y obtuvo los siguientes
resultados.
4 2 3 5 6 2 3 3 4 5
3 7 2 2 3 6 3 3 4 2
Elabora una tabla de frecuencias y responde
a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántas familias están conformadas por 4
integrantes?
b. ¿Qué porcentaje representa las familias
compuestas por 6 integrantes?
c. ¿Cuánto es el valor de f
2
+F
4
?
d.
¿Cuántas familias tienen menos de 5
integrantes?
La tabla de frecuencias está dada de la
siguiente forma:
Integrantes f
i
F
i
h
i
2 5 5 0,25
3 7 12 0,35
4 3 15 0,15
5 2 17 0,10
6 2 19 0,10
7 1 20 0,05
a. El total de familias conformada por 4
integrantes son 3.
b. Nos piden determinar el porcentaje que
representa las familias compuestas por 6 integrantes, es decir, nos piden el valor de h
5
%:
%%
% ,% %%
hh
hh
100
010100 10
55
55
&
#
#
=
==
^ ^h h
c. Si f
2
=7 ∧ F
4
=17 ; entonces:
f
2
+F
4
= 7+17 = 24 ⇒ f
2
+F
4
= 24
d.
La cantidad de familias que tienen menos
de 5 integrantes está representada en la tabla como F
3
:
F
3
=15
2. EL pro
de la cantidad de horas que dedicaban sus estudiantes a practicar durante la semana lo aprendido en clase.
1 8 10 14 15 21
16 16 10 3 4 12
16 11 17 12 10 5
3 9 4 8 7 6
3 5 10 12 10 6
Construye una tabla de datos agrupados y
determina el intervalo que registra la mayor
frecuencia relativa.
Primero debemos determinar el número
de intervalos utilizando la regla de Joule,
teniendo en cuenta el número de dato de
la muestra es n = 30.
k305,48
k5&
.=
=
Ahora, determinamos el ancho de clase (w):
R = 21 – 1 ⇒ R=20
Entonces:
w
k
R
5
20
4== =
La amplitud o ancho de clase es 4. Por lo tanto, los intervalos serán:
1;5;5;9;9;13;13;17;17;2188 88 8 A
Luego, las marcas de clase son:
x
2
15
3;x
2
59
7;
x
2
913
11;x
2
13 17
15
x
2
1721
19
12
34
5
=
+
==
+
=
=
+
==
+
=
=
+
=
Finalmente, la tabla de datos no agrupados es
L
i
x
i
f
i
F
i
h
i
H
i
[1; 5〉 3 6 6 0,200,20
[5; 9〉 7 7 13 0,230,43
[9; 13〉 11 10 23 0,330,76
[13; 17〉 15 5 28 0,170,93
[17; 21]19 2 30 0,07 1
Por lo tanto, luego de construir la tabla, podemos decir que el intervalo con mayor
frecuencia relativa es
9;138 .
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Aritm?tica Unidad 1
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Educación Secundaria
Divisibilidad
Se dice que un número «m» es divisible por «n», si
la división entre «m» y «n» es exacta.
Ejemplos:
• 84 es divisible por 12
• 100 es divisible por 25
• 2500 es divisible por 250
Dados dos números «a» y «b» se dice que «b» es
divisor de «a» si lo divide de forma entera y exacta.
Múltiplos
Se dice que un número «m» es múltiplo de «n»,
si «m» se puede escribir como el producto de «n»
con un número entero, o cuando «m» contiene a
«n» un número entero y exacto de veces.
Simbólicamente:
A es múltiplo de B si ∃ n ∈ N / A = B × n
Notación
Si A es múltiplo de B, lo denotaremos por: A=
B
°
Ejemplos:
• 5
°
= {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; …}
• 10
°
= {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; …}
• 3
°
= {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; …}
• 7
°
= {0; 7; 14; 21; 28; …}
• 11
°
= {0; 11; 22; 33; 44; …}
Propiedades de los múltiplos
1. El 0 es múltiplo de todos los números naturales.
2. La unidad es divisor de cualquier número natu-
ral o entero.
3. Todo número tiene infinitos múltiplos, pero fi-
nitos divisores.
Ejemplos:
• 5
°
= {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; … }
• 5 tiene dos divisores
• 1 es divisor de cualquier número natural
Números no divisibles
Recordando que un número «a» es divisible entre
«b», si al efectuar la división de «a» entre «b» esta
es exacta, pero cuando la división es inexacta, se
dice que el dividendo es múltiplo del divisor más
un residuo.
&
A = Bq + r
A B
r q
Ejemplo:
& 36 = 7(5) + 1
36 = 7
°
+ 1
36 7
1 5
& 36 = 7(6) – 6
36 = 7
°
– 6
36 7
6 6
Observa que:
=7
°
+ 1
suman 7
7
°
– 6
Por defecto Por exceso
Operaciones con múltiplos
1. La suma de los múltiplos de un número es otro
múltiplo del número.
Ejemplo:
16 + 24 = 40
̠̠
̠ 4
°
+ 4
°
= 4
°
Divisibilidad
Es importante cuidar nuestro ambiente de
estudio, como la biblioteca y el aula de clases.
Por esta razón, los 135 estudiantes del 3° de
secundaria se plantearon como objetivo
mantener el aula ordenada y limpia. Para ello
trabajan en equipo conformados, cada uno, por
la misma cantidad de integrantes.
¿Es importante mantener el aula limpia?
¿El número de estudiantes es un número
divisible por 3; 9 y 5?
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Divisibilidad
Se dice que un número «m» es divisible por «n», si
la división entre «m» y «n» es exacta.
Ejemplos:
• 84 es divisible por 12
• 100 es divisible por 25
• 2500 es divisible por 250
Dados dos números «a» y «b» se dice que «b» es
divisor de «a» si lo divide de forma entera y exacta.
Múltiplos
Se dice que un número «m» es múltiplo de «n»,
si «m» se puede escribir como el producto de «n»
con un número entero, o cuando «m» contiene a
«n» un número entero y exacto de veces.
Simbólicamente:
A es múltiplo de B si ∃ n ∈ N / A = B × n
Notación
Si A es múltiplo de B, lo denotaremos por: A=
B
°
Ejemplos:
• 5
°
= {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; …}
• 10
°
= {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; …}
• 3
°
= {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; …}
• 7
°
= {0; 7; 14; 21; 28; …}
• 11
°
= {0; 11; 22; 33; 44; …}
Propiedades de los múltiplos
1. El 0 es múltiplo de todos los números naturales.
2. La unidad es divisor de cualquier número natu-
ral o entero.
3. Todo número tiene infinitos múltiplos, pero fi-
nitos divisores.
Ejemplos:
• 5
°
= {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; … }
• 5 tiene dos divisores
• 1 es divisor de cualquier número natural
Números no divisibles
Recordando que un número «a» es divisible entre
«b», si al efectuar la división de «a» entre «b» esta
es exacta, pero cuando la división es inexacta, se
dice que el dividendo es múltiplo del divisor más
un residuo.
&
A = Bq + r
A B
r q
Ejemplo:
& 36 = 7(5) + 1
36 = 7
°
+ 1
36 7
1 5
& 36 = 7(6) – 6
36 = 7
°
– 6
36 7
6 6
Observa que:
=7
°
+ 1
suman 7
7
°
– 6
Por defecto Por exceso
Operaciones con múltiplos
1. La suma de los múltiplos de un número es otro
múltiplo del número.
Ejemplo:
16 + 24 = 40
̠̠
̠ 4
°
+ 4
°
= 4
°
Divisibilidad
Es importante cuidar nuestro ambiente de
estudio, como la biblioteca y el aula de clases.
Por esta razón, los 135 estudiantes del 3° de
secundaria se plantearon como objetivo
mantener el aula ordenada y limpia. Para ello
trabajan en equipo conformados, cada uno, por
la misma cantidad de integrantes.
¿Es importante mantener el aula limpia?
¿El número de estudiantes es un número
divisible por 3; 9 y 5?
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2. La dif
otro múltiplo del número.
Ejemplo:
40 – 24 = 16
̠̠
̠̠ 4
°
– 4
°
= 4
°
3. El
otro múltiplo del número.
Ejemplo:
40 × 24 = 16
̠̠
̠̠ 4
°
× 4
°
= 4
°
4. El múltiplo de un número elevado a una de-
terminada potencia, sigue siendo múltiplo de
dicho número.
Ejemplo:
(12)
2
= 144
̠̠
̠̠ 4
°
2
`j = 4
°
5. No siempre es cierto que la división entre dos
múltiplos de un número, sea múltiplo de dicho número.
Ejemplo:
20
100
= 5 &
10
10
°
°
≠ 10
°
Criterios de divisibilidad
Son reglas que permiten saber si un número es divisible por otro, sin necesidad de realizar la división.
a.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, cuando su última
cifr
a es 0 o un número par.
Ejemplos:
48 es divisible por 2 pues 8 = 2
°
210 es divisible por 2 pues su última cifra es 0
b. Divisibilidad por 3 y por 9
Un número es divisible entre 3 (o entre 9) si y solament
e si, la suma de sus cifras es múltiplo
de 3 (o de 9).
De manera general, por ejemplo, para un
número de 4 cifras:
abcd = 3
°
a + b + c + d = 3
°
a = 9
°
a + b + c + d = 9
°
Ejemplos:
• 276 es divisible entre 3, pues;
2 + 7 + 6 = 15 y 15 = 3
°
• 9
9 + 0 + 9 = 18 y 18 = 9
°
c. Divisibilidad entre potencias de 2
Veamos los siguientes casos:
• Un número es divisible entre 2 (2 = 2
1
) sí y
solo sí su última cifra es par o es 0.
•
Un número es divisible entre 4 (4 = 2
2
) sí y
solo sí el número formado por sus dos últimas
cifras es múltiplo de 4.
•
Un número es divisible entre 8 (8 = 2
3
) sí y
solo sí el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8.
Simbólicamente:
Si abcde = 2
°
⇔ e = 2
°
Si a = 4
°
⇔ d = 4
°
Si a = 8
°
⇔ cd = 8
°
d. Divisibilidad entre potencias de 5
Veamos los siguientes casos:
• Un número es divisible entre 5 (5 = 5) sí y solo
sí su última cifra es 0 o 5.
• Un número es divisible entre 25 (25 = 5
2
)
sí y solo sí el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25.
•
Un número es divisible entre 125 (125 = 5
3
)
sí y solo sí el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 125.
Simbólicamente:
Si abcde = 5
°
⇔ e = 0 o 5
Si abcde = 25
°
⇔ d = 25
°
Si a = 125
°
⇔ cd = 125
°
e. Crit
Para saber si un número es divisible por 7 se
procede de la siguiente manera:
Sea el abcdef de derecha a izquierda se
multiplicará cada cifra por:
abcdef
–2 -3 –1 +2 +3 +1
Si la suma del resultado es multiplo de 7
entonces abcdef es divisible por 7. Es decir:
abcdef = 7
°
⇔ f + 3e + 2d – c – 3b – 2a = 7
°
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otro múltiplo del número.
Ejemplo:
40 – 24 = 16
̠̠
̠̠ 4
°
– 4
°
= 4
°
3. El
otro múltiplo del número.
Ejemplo:
40 × 24 = 16
̠̠
̠̠ 4
°
× 4
°
= 4
°
4. El múltiplo de un número elevado a una de-
terminada potencia, sigue siendo múltiplo de
dicho número.
Ejemplo:
(12)
2
= 144
̠̠
̠̠ 4
°
2
`j = 4
°
5. No siempre es cierto que la división entre dos
múltiplos de un número, sea múltiplo de dicho número.
Ejemplo:
20
100
= 5 &
10
10
°
°
≠ 10
°
Criterios de divisibilidad
Son reglas que permiten saber si un número es divisible por otro, sin necesidad de realizar la división.
a.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, cuando su última
cifr
a es 0 o un número par.
Ejemplos:
48 es divisible por 2 pues 8 = 2
°
210 es divisible por 2 pues su última cifra es 0
b. Divisibilidad por 3 y por 9
Un número es divisible entre 3 (o entre 9) si y solament
e si, la suma de sus cifras es múltiplo
de 3 (o de 9).
De manera general, por ejemplo, para un
número de 4 cifras:
abcd = 3
°
a + b + c + d = 3
°
a = 9
°
a + b + c + d = 9
°
Ejemplos:
• 276 es divisible entre 3, pues;
2 + 7 + 6 = 15 y 15 = 3
°
• 9
9 + 0 + 9 = 18 y 18 = 9
°
c. Divisibilidad entre potencias de 2
Veamos los siguientes casos:
• Un número es divisible entre 2 (2 = 2
1
) sí y
solo sí su última cifra es par o es 0.
•
Un número es divisible entre 4 (4 = 2
2
) sí y
solo sí el número formado por sus dos últimas
cifras es múltiplo de 4.
•
Un número es divisible entre 8 (8 = 2
3
) sí y
solo sí el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8.
Simbólicamente:
Si abcde = 2
°
⇔ e = 2
°
Si a = 4
°
⇔ d = 4
°
Si a = 8
°
⇔ cd = 8
°
d. Divisibilidad entre potencias de 5
Veamos los siguientes casos:
• Un número es divisible entre 5 (5 = 5) sí y solo
sí su última cifra es 0 o 5.
• Un número es divisible entre 25 (25 = 5
2
)
sí y solo sí el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25.
•
Un número es divisible entre 125 (125 = 5
3
)
sí y solo sí el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 125.
Simbólicamente:
Si abcde = 5
°
⇔ e = 0 o 5
Si abcde = 25
°
⇔ d = 25
°
Si a = 125
°
⇔ cd = 125
°
e. Crit
Para saber si un número es divisible por 7 se
procede de la siguiente manera:
Sea el abcdef de derecha a izquierda se
multiplicará cada cifra por:
abcdef
–2 -3 –1 +2 +3 +1
Si la suma del resultado es multiplo de 7
entonces abcdef es divisible por 7. Es decir:
abcdef = 7
°
⇔ f + 3e + 2d – c – 3b – 2a = 7
°
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Ejemplo:
Veamos si 7 182 es múltiplo de 7, por criterio de
divisibilidad por 7 se tiene:
7182
–1 +2 +3 +1
⇒ 2×1 + 8×3 + 1×2 + 7×(–1) = 21
21 =7
°
Ent
f. Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 sí y solo sí la
diferencia entre la suma de sus cifras de orden
par y la suma de las cifras de orden impar, es un
múltiplo de 11.
Ejemplo:
709181 es divisible entre 11, pues:
709181
Cifras de orden par: 8, 9, 7
Cifras de orden impar: 1, 1, 0
• S
8 + 9 + 7 = 24
• Suma de cifras de orden impar:
1 + 1 + 0 = 2
• Diferencia entre estas sumas:
24 – 2 = 22 y 22 = 11
°
1. ¿Cuánt
de 11?
Sea ab un numeral de dos cifras, además
es multiplo de 11, entonces ab = 11
°
. Es decir:
ab = 11k, k ∈ N
Queremos saber cuántos número hay de
dos cifras, entonces ab será mayor o igual a
10 pero menor a 100.
Entonces:
10 # ab < 100
10 # 11k < 100
11
10
# k <
11
100
& 0,9... # k < 9,09...
Como k es natural:
⇒ k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
Así 9 números de dos cifras son múltiplos de 11.
2. ¿Qué v
numeral a237ex es divisible entre 5
Por el criterio de divisibilidad entre 5, se
debe cumplir que:
x = 0 ∨ x = 5.
3. ¿Cuánt
menores que 54, son de la forma 7
°
+ 1?
Como los números son de la forma 7
°
+ 1,
entonces se les puede escribir como 7k + 1,
según la desigualdad:
2 # 7
°
+ 1 < 54
2 # 7k + 1 < 54
1 # 7k < 53
0,14… # k < 7,57…
Como solo nos interesan los números natu- rales, entonces:
k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
Entonces, 7 números verifican dicha condición
4. Cuál
siguiente igualdad para que se cumpla lo siguiente.
aa685 = 3
°
Primero «a» no puede ser 0, pues no existi-
ría el numeral, entonces 0 �a ≤ 9. Así a pue-
de tomar los valores: 1; 2; ... ; 9 y por el criterio
de divisibilidad entre 3, la suma de cifras de dicho numeral debe ser múltiplo de 3, así:
a + a + 6 + 8 + 5 =
3
°
2a + 19 = 3
°
Si a = 1 & 2 + 19 = 21 = 3
°
(cumple)
a = 2 & 4 + 19 = 23 ≠ 3
°
(no cumple)
El mínimo valor para «a» es 1
5. Determina el valor de «a» en la siguiente
igualdad:
5a2a3 = 11
°
Por el criterio de divisibilidad entre 11
cifras de orden par: a; a
5a2a3
cifras de orden impar: 3; 2; 5
a + a – (3 + 2 + 5) = 11
°
2a – 10 = 11
°
& a = 5
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Veamos si 7 182 es múltiplo de 7, por criterio de
divisibilidad por 7 se tiene:
7182
–1 +2 +3 +1
⇒ 2×1 + 8×3 + 1×2 + 7×(–1) = 21
21 =7
°
Ent
f. Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 sí y solo sí la
diferencia entre la suma de sus cifras de orden
par y la suma de las cifras de orden impar, es un
múltiplo de 11.
Ejemplo:
709181 es divisible entre 11, pues:
709181
Cifras de orden par: 8, 9, 7
Cifras de orden impar: 1, 1, 0
• S
8 + 9 + 7 = 24
• Suma de cifras de orden impar:
1 + 1 + 0 = 2
• Diferencia entre estas sumas:
24 – 2 = 22 y 22 = 11
°
1. ¿Cuánt
de 11?
Sea ab un numeral de dos cifras, además
es multiplo de 11, entonces ab = 11
°
. Es decir:
ab = 11k, k ∈ N
Queremos saber cuántos número hay de
dos cifras, entonces ab será mayor o igual a
10 pero menor a 100.
Entonces:
10 # ab < 100
10 # 11k < 100
11
10
# k <
11
100
& 0,9... # k < 9,09...
Como k es natural:
⇒ k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
Así 9 números de dos cifras son múltiplos de 11.
2. ¿Qué v
numeral a237ex es divisible entre 5
Por el criterio de divisibilidad entre 5, se
debe cumplir que:
x = 0 ∨ x = 5.
3. ¿Cuánt
menores que 54, son de la forma 7
°
+ 1?
Como los números son de la forma 7
°
+ 1,
entonces se les puede escribir como 7k + 1,
según la desigualdad:
2 # 7
°
+ 1 < 54
2 # 7k + 1 < 54
1 # 7k < 53
0,14… # k < 7,57…
Como solo nos interesan los números natu- rales, entonces:
k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
Entonces, 7 números verifican dicha condición
4. Cuál
siguiente igualdad para que se cumpla lo siguiente.
aa685 = 3
°
Primero «a» no puede ser 0, pues no existi-
ría el numeral, entonces 0 �a ≤ 9. Así a pue-
de tomar los valores: 1; 2; ... ; 9 y por el criterio
de divisibilidad entre 3, la suma de cifras de dicho numeral debe ser múltiplo de 3, así:
a + a + 6 + 8 + 5 =
3
°
2a + 19 = 3
°
Si a = 1 & 2 + 19 = 21 = 3
°
(cumple)
a = 2 & 4 + 19 = 23 ≠ 3
°
(no cumple)
El mínimo valor para «a» es 1
5. Determina el valor de «a» en la siguiente
igualdad:
5a2a3 = 11
°
Por el criterio de divisibilidad entre 11
cifras de orden par: a; a
5a2a3
cifras de orden impar: 3; 2; 5
a + a – (3 + 2 + 5) = 11
°
2a – 10 = 11
°
& a = 5
25Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Aritm?tica Unidad 2
5 DIVISIBILIDAD.indd 25 24/01/2020 22:47:00
Números primos
Son los números que solo son divisibles por si mis-
mos y por la unidad, en otras palabras son aquellos
números que poseen solamente dos divisores.
Ejemplos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; …
Observación:
Los números primos y la unidad forman el con-
junto de números llamado "números simples"
Números compuestos
Son aquellos números mayores a 2 que no son pri-
mos. Este resulta de la multiplicación de dos o más
números primos y tienen más de dos divisores.
Ejemplos:
10, pues D(10) = {1; 2; 5; 10}
12, pues D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
15, pues D(15) = {1; 3; 5; 15}
Números primos entre sí (PESI)
Se dicen que dos o más números son primos en-
tre sí cuando solo tienen como único divisor en
común a la unidad (1).
Ejemplos:
9 y 20 son PESI, pues:
D(9) = {1; 3; 9}
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Solo tienen a 1 como divisor común.
Criba de Eratóstenes
Eratóstenes estableció un criterio para obtener
los números primos hasta cierta cantidad, vea-
mos cómo encontrar los números primos desde
el 1 hasta el 100.
El criterio es el siguiente:
1.
Empieza con el número 2, resalta el número 2
como primo, pero tacha todos los múltiplos de
2 (4; 6; 8; 10; …)
2. Continua con el número 3, resalta el número 3
como primo, pero tacha todos los múltiplos de 3 (6; 9; 12; 15; …)
3.
Continua con el número 5, resalta el número 5
como primo, pero tacha todos los múltiplos de 5 (5; 10; 15; 20; …)
4.
Continúa con el 7 y tacha todos sus múltiplos
hasta el 100
5. Repite el proceso hasta llegar al número no ta-
chado, así tendrás los números primos meno- res que 100, estos son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Teorema fundamental de la aritmética
Todo número natural mayor que 1 se puede ex-
presar como producto de sus divisores primos ele-
vados a cierta potencia, a esto se le conoce como
descomposición canónica.
Números primos y compuestos
Por el aniversario del colegio se realizan diversas actividades. Cada aula debe presentar un número artístico. El aula de Marcos va a presentar una danza, es por ello que cada uno de los integrantes debe comprar su vestimenta.
Los padres de familia tienen un fondo de S/ 825
y desean repartirlo entre 33 estudiantes, ¿a cada
uno le tocará una cantidad exacta?
¿El número 825 es un número primo?
26Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
6 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.indd 26 24/01/2020 23:42:36
Son los números que solo son divisibles por si mis-
mos y por la unidad, en otras palabras son aquellos
números que poseen solamente dos divisores.
Ejemplos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; …
Observación:
Los números primos y la unidad forman el con-
junto de números llamado "números simples"
Números compuestos
Son aquellos números mayores a 2 que no son pri-
mos. Este resulta de la multiplicación de dos o más
números primos y tienen más de dos divisores.
Ejemplos:
10, pues D(10) = {1; 2; 5; 10}
12, pues D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
15, pues D(15) = {1; 3; 5; 15}
Números primos entre sí (PESI)
Se dicen que dos o más números son primos en-
tre sí cuando solo tienen como único divisor en
común a la unidad (1).
Ejemplos:
9 y 20 son PESI, pues:
D(9) = {1; 3; 9}
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Solo tienen a 1 como divisor común.
Criba de Eratóstenes
Eratóstenes estableció un criterio para obtener
los números primos hasta cierta cantidad, vea-
mos cómo encontrar los números primos desde
el 1 hasta el 100.
El criterio es el siguiente:
1.
Empieza con el número 2, resalta el número 2
como primo, pero tacha todos los múltiplos de
2 (4; 6; 8; 10; …)
2. Continua con el número 3, resalta el número 3
como primo, pero tacha todos los múltiplos de 3 (6; 9; 12; 15; …)
3.
Continua con el número 5, resalta el número 5
como primo, pero tacha todos los múltiplos de 5 (5; 10; 15; 20; …)
4.
Continúa con el 7 y tacha todos sus múltiplos
hasta el 100
5. Repite el proceso hasta llegar al número no ta-
chado, así tendrás los números primos meno- res que 100, estos son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Teorema fundamental de la aritmética
Todo número natural mayor que 1 se puede ex-
presar como producto de sus divisores primos ele-
vados a cierta potencia, a esto se le conoce como
descomposición canónica.
Números primos y compuestos
Por el aniversario del colegio se realizan diversas actividades. Cada aula debe presentar un número artístico. El aula de Marcos va a presentar una danza, es por ello que cada uno de los integrantes debe comprar su vestimenta.
Los padres de familia tienen un fondo de S/ 825
y desean repartirlo entre 33 estudiantes, ¿a cada
uno le tocará una cantidad exacta?
¿El número 825 es un número primo?
26Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
6 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.indd 26 24/01/2020 23:42:36
Procedimiento:
Se debe dividir al número por el menor de sus
divisores primos, el cociente se divide también
por el menor de sus divisores primos y se sigue el
proceso con los demás cocientes hasta tener un
cociente primo, que se dividirá consigo mismo.
Ejemplo:
3960 = 2
3
× 3
2
× 5 × 11
3960 2
1980 2
990 2
495 3
165 3
55 5
11 11
1
De manera general un número «n» puede ser ex-
presado de la siguiente manera:
n = ...pp pn1 2## #
a b c
Donde:
• p
1
; p
2
; …; p
n
: números primos
• α; β; …; γ: números naturales
Cantidad de divisores de un número
Sea «n» un número primo que viene expresado en
sus factores primos de la siguiente manera:
n = ...pp pn1 2## #
a b c
La cantidad de divisores de «n» o CD(n) viene dado por:
CD(n) = (α + 1)(β + 1) … (γ + 1)
Ejemplo:
Determina la cantidad de divisores de 36
36 = 2
2
× 3
2
CD(36) = (2 + 1)(2 + 1) = 9
36 2
18 2
9 3
3 3
1
La cantidad total de divisores de un número «n» siempre cumple la siguiente relación:
CD(n) = CD
simples
+ CD
compuestos
CD(n) – 1 = CD
propios
En el ejemplo anterior:
CD (36)=9 CD
simples
=3
CD
compuestos
= 9 – 3=6
De manera general:
CD(n) = CD
primos
+ CD
compuestos
+ 1
Propiedades 1.
La unidad no es considerada número primo, ni
compuesto.
2. La descomposición en factores primos de un
número es única.
3. Dos números consecutivos, siempre serán PESI.
Suma de divisores de un número
Sea «n» un número primo que viene expresado en
sus factores primos de la siguiente manera:
n = ...pp pn1 2## #
a b c
La suma de divisores de «n» viene dado por:
SD(n) = ...
p
p
p
p
p
p
1
1
1
1
21
1n
1
1
1
2
2
1 1
-
-
-
-
-
-
a b c+ + +
J
L
K
K
K
KK J
L
K
K
K
KK J
L
K
K
K
KKN
P
O
O
O
OO N
P
O
O
O
OO N
P
O
O
O
OO
Ejemplo:
Calcula la suma de divisores de 36.
Como se vio 36 = 2
2
× 3
2
, entonces:
SD(36) =
21
21
31
31
3 3
-
-
-
-
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
& SD(36) = 91
Producto de los divisores de un número (PD(n))
El producto de los divisores de un número «n» vie-
ne dado por:
PD(n) = n
()CDn
Ejemplo:
PD(36) = 36 6
918
= = 6
9
Función de Euler
Dado un número natural «n» la función de Euler
de «n» representada por f(n), indica la cantidad
de naturales menores que «n» y que son primos
relativos con «n», de manera general, si:
n = ...pp pn1 2## #
ab c
Entonces:
f(n) = ...p p pp p p11 1 n n1
1
1 2
1
2
1## #-- -
a b c- - -
__ _ii i
Ejemplo:
24 = 2
3
× 3
f(24) = 2
3 – 1
(2 – 1) × 3
1 – 1
(3 – 1) = 8
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Se debe dividir al número por el menor de sus
divisores primos, el cociente se divide también
por el menor de sus divisores primos y se sigue el
proceso con los demás cocientes hasta tener un
cociente primo, que se dividirá consigo mismo.
Ejemplo:
3960 = 2
3
× 3
2
× 5 × 11
3960 2
1980 2
990 2
495 3
165 3
55 5
11 11
1
De manera general un número «n» puede ser ex-
presado de la siguiente manera:
n = ...pp pn1 2## #
a b c
Donde:
• p
1
; p
2
; …; p
n
: números primos
• α; β; …; γ: números naturales
Cantidad de divisores de un número
Sea «n» un número primo que viene expresado en
sus factores primos de la siguiente manera:
n = ...pp pn1 2## #
a b c
La cantidad de divisores de «n» o CD(n) viene dado por:
CD(n) = (α + 1)(β + 1) … (γ + 1)
Ejemplo:
Determina la cantidad de divisores de 36
36 = 2
2
× 3
2
CD(36) = (2 + 1)(2 + 1) = 9
36 2
18 2
9 3
3 3
1
La cantidad total de divisores de un número «n» siempre cumple la siguiente relación:
CD(n) = CD
simples
+ CD
compuestos
CD(n) – 1 = CD
propios
En el ejemplo anterior:
CD (36)=9 CD
simples
=3
CD
compuestos
= 9 – 3=6
De manera general:
CD(n) = CD
primos
+ CD
compuestos
+ 1
Propiedades 1.
La unidad no es considerada número primo, ni
compuesto.
2. La descomposición en factores primos de un
número es única.
3. Dos números consecutivos, siempre serán PESI.
Suma de divisores de un número
Sea «n» un número primo que viene expresado en
sus factores primos de la siguiente manera:
n = ...pp pn1 2## #
a b c
La suma de divisores de «n» viene dado por:
SD(n) = ...
p
p
p
p
p
p
1
1
1
1
21
1n
1
1
1
2
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-
-
-
-
-
-
a b c+ + +
J
L
K
K
K
KK J
L
K
K
K
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L
K
K
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KKN
P
O
O
O
OO N
P
O
O
O
OO N
P
O
O
O
OO
Ejemplo:
Calcula la suma de divisores de 36.
Como se vio 36 = 2
2
× 3
2
, entonces:
SD(36) =
21
21
31
31
3 3
-
-
-
-
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
& SD(36) = 91
Producto de los divisores de un número (PD(n))
El producto de los divisores de un número «n» vie-
ne dado por:
PD(n) = n
()CDn
Ejemplo:
PD(36) = 36 6
918
= = 6
9
Función de Euler
Dado un número natural «n» la función de Euler
de «n» representada por f(n), indica la cantidad
de naturales menores que «n» y que son primos
relativos con «n», de manera general, si:
n = ...pp pn1 2## #
ab c
Entonces:
f(n) = ...p p pp p p11 1 n n1
1
1 2
1
2
1## #-- -
a b c- - -
__ _ii i
Ejemplo:
24 = 2
3
× 3
f(24) = 2
3 – 1
(2 – 1) × 3
1 – 1
(3 – 1) = 8
27Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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6 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.indd 27 24/01/2020 23:42:37
1. De
tienen elementos PESI?
A = {33; 26}
B = {40; 35; 20}
• Para A = {33; 26} :
D(33) = {1; 3; 11; 33}
D(26) = {1; 2; 13; 26}
Son PESI, pues tienen a la unidad en
c
omún
•
Para B = {40; 35; 20} :
D(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
D(35) = {1; 5; 7; 35}
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
No son PESI, pues tienen al 1 y el 5 como divisores comunes.
Solo el conjunto A tiene elementos PESI.
2. ¿Cuant
1200 = 2
4
× 3 × 5
2
CD (1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30
1200 2
600 2
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
1
El número 1 200 tiene 30 divisores
3. ¿Cuánt
número: 8
6
– 8
4
?
Hallamos la cantidad de divisores de 8
6
– 8
4
Factorizaremos y aplicaremos descomposi-
ción polinómica:
8
6
– 8
4
= 8
4
(8
2
– 1) = 2
12
× 3
2
× 7
Así:
CD(8
6
– 8
4
) = (12 + 1)(2 + 1)(1 + 1)
CD(8
6
– 8
4
) = 78
CD
simples
= 4
⇒ CD
compuestos
= 78 – 4 = 74
4. ¿Cuánt
700 = 2
2
× 5
2
× 7
Divisores primos: 2; 5; 7 700 tiene 3 divisores primos
700 2
350 2
175 5
35 5
7 7
1
5. Determina el valor de «n», si se sabe que 16
n
tiene 45 divisores menos que 18
n
Se sabe que:
16
= 2
4
18 = 2 × 3
2
Así: a.
CD(16
n
) = CD(2
4n
) = 4n + 1
CD(16
n
) = 4n + 1 (α)
b.
CD(18
n
) = CD(2
n
× 3
2n
) = (n + 1)(2n + 1)
CD(18
n
) = (n + 1)(2n + 1) (β)
Por dato y de (α) y (β):
4n + 1 + 45 = (n + 1)(2n + 1) 4n + 1 + 45 = 2n
2
+ n + 2n + 1
4n + 46 = 2n
2
+ 3n + 1
⇒ 2n
2
– n – 45 = 0
Por aspa simple se tiene: (2n + 9)(n – 5) = 0
& n = 5 ∨ n =
2
9
-
Como «n» es natural & n = 5
6. Determina el valor de «n», si M = 12 × 15
n
tiene
60 divisores.
Se sabe que: 12 = 2
2
× 3
15 = 3 × 5
M = 2
2
× 3 × 3
n
× 5
n
= 2
2
× 3
n + 1
× 5
n
Entonces:
3(n + 1 + 1)(n + 1) = 60
(n + 2)(n + 1) = 20 = 5×4
⇒ n + 2 = 5 ∨ n + 1 = 4
⇒ n = 3
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tienen elementos PESI?
A = {33; 26}
B = {40; 35; 20}
• Para A = {33; 26} :
D(33) = {1; 3; 11; 33}
D(26) = {1; 2; 13; 26}
Son PESI, pues tienen a la unidad en
c
omún
•
Para B = {40; 35; 20} :
D(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
D(35) = {1; 5; 7; 35}
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
No son PESI, pues tienen al 1 y el 5 como divisores comunes.
Solo el conjunto A tiene elementos PESI.
2. ¿Cuant
1200 = 2
4
× 3 × 5
2
CD (1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30
1200 2
600 2
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
1
El número 1 200 tiene 30 divisores
3. ¿Cuánt
número: 8
6
– 8
4
?
Hallamos la cantidad de divisores de 8
6
– 8
4
Factorizaremos y aplicaremos descomposi-
ción polinómica:
8
6
– 8
4
= 8
4
(8
2
– 1) = 2
12
× 3
2
× 7
Así:
CD(8
6
– 8
4
) = (12 + 1)(2 + 1)(1 + 1)
CD(8
6
– 8
4
) = 78
CD
simples
= 4
⇒ CD
compuestos
= 78 – 4 = 74
4. ¿Cuánt
700 = 2
2
× 5
2
× 7
Divisores primos: 2; 5; 7 700 tiene 3 divisores primos
700 2
350 2
175 5
35 5
7 7
1
5. Determina el valor de «n», si se sabe que 16
n
tiene 45 divisores menos que 18
n
Se sabe que:
16
= 2
4
18 = 2 × 3
2
Así: a.
CD(16
n
) = CD(2
4n
) = 4n + 1
CD(16
n
) = 4n + 1 (α)
b.
CD(18
n
) = CD(2
n
× 3
2n
) = (n + 1)(2n + 1)
CD(18
n
) = (n + 1)(2n + 1) (β)
Por dato y de (α) y (β):
4n + 1 + 45 = (n + 1)(2n + 1) 4n + 1 + 45 = 2n
2
+ n + 2n + 1
4n + 46 = 2n
2
+ 3n + 1
⇒ 2n
2
– n – 45 = 0
Por aspa simple se tiene: (2n + 9)(n – 5) = 0
& n = 5 ∨ n =
2
9
-
Como «n» es natural & n = 5
6. Determina el valor de «n», si M = 12 × 15
n
tiene
60 divisores.
Se sabe que: 12 = 2
2
× 3
15 = 3 × 5
M = 2
2
× 3 × 3
n
× 5
n
= 2
2
× 3
n + 1
× 5
n
Entonces:
3(n + 1 + 1)(n + 1) = 60
(n + 2)(n + 1) = 20 = 5×4
⇒ n + 2 = 5 ∨ n + 1 = 4
⇒ n = 3
28Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
6 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.indd 28 24/01/2020 23:42:38
Máximo común divisor (MCD)
El máximo común divisor (MCD) de un conjunto
de números es el mayor divisor común que tienen
dichos números.
Ejemplo:
Números Divisores
16 1; 2; 4; 8; 16
24 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
28 1; 2; 4; 7; 14; 28
Divisores comunes: 1; 2; 4
MCD (16; 24; 28)
= 4
Divisores del MCD
Divisores comunes de 16, 24, 28
(1; 2; 4)
Se verifica:
n° de divisores comunes = n° de divisores del MCD
Ejemplo:
Determina la cantidad de divisores comunes que
tienen 100 y 120.
MCD (100; 120) = 20
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Como 20 tiene 6 divisores, entonces 100 y 120 tie-
nen 6 divisores comunes.
Propiedades del MCD
1. El MCD nunca es mayor que uno de los números.
Ejemplo:
MCD(15; 20; 40) = 5
5 , 15; 5 , 20; 5 , 40
2. Si el menor de los números es divisor común
de los otros, entonces el MCD será ese menor
número.
Ejemplo:
MCD (4; 16; 24; 28) = 4
Menor
Divisor común
De manera general:
Si A = B
°
& MCD(A; B) = B
3. El MCD de dos números primos entre sí, es la
unidad.
Ejemplos:
• MCD(K; K + 1) = 1, k ∈ N
• MCD(abc; ab(c + 1) ) = 1
• MCD (32; 43) = 1
Cálculo del MCD
1. Descomposición simultánea
Ejemplo:
30 – 20 – 10 2
15 – 10 – 5 5
5 – 2 – 1
MCD(30; 20; 10) = 10
2. Por descomposición canónica
Ejemplo:
Sean: A = 2
2
× 3
5
B = 2
5
× 3
3
Se t
sus menores componentes, así:
MCD (A; B) = 2
2
× 3
3
Máximo común divisor y mínimo común múltiploDe forma inesperada les comunicaron a los
estudiantes que debían adornar sus aulas con
banderas y escudos hechos de papel de seda.
Rápidamente formaron grupos para poder
decorar su aula. Colocaron las banderas cada
120 cm y los escudos cada 150 cm. Al final del
día lograron dejar decorado su aula.
¿Por qué motivo tuvieron que adornar el aula?
¿En algún momento se colocaron una bandera
y un escudo en el mismo lugar?
29Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 2
7 MCD - MCM.indd 29 24/01/2020 22:47:09
El máximo común divisor (MCD) de un conjunto
de números es el mayor divisor común que tienen
dichos números.
Ejemplo:
Números Divisores
16 1; 2; 4; 8; 16
24 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
28 1; 2; 4; 7; 14; 28
Divisores comunes: 1; 2; 4
MCD (16; 24; 28)
= 4
Divisores del MCD
Divisores comunes de 16, 24, 28
(1; 2; 4)
Se verifica:
n° de divisores comunes = n° de divisores del MCD
Ejemplo:
Determina la cantidad de divisores comunes que
tienen 100 y 120.
MCD (100; 120) = 20
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Como 20 tiene 6 divisores, entonces 100 y 120 tie-
nen 6 divisores comunes.
Propiedades del MCD
1. El MCD nunca es mayor que uno de los números.
Ejemplo:
MCD(15; 20; 40) = 5
5 , 15; 5 , 20; 5 , 40
2. Si el menor de los números es divisor común
de los otros, entonces el MCD será ese menor
número.
Ejemplo:
MCD (4; 16; 24; 28) = 4
Menor
Divisor común
De manera general:
Si A = B
°
& MCD(A; B) = B
3. El MCD de dos números primos entre sí, es la
unidad.
Ejemplos:
• MCD(K; K + 1) = 1, k ∈ N
• MCD(abc; ab(c + 1) ) = 1
• MCD (32; 43) = 1
Cálculo del MCD
1. Descomposición simultánea
Ejemplo:
30 – 20 – 10 2
15 – 10 – 5 5
5 – 2 – 1
MCD(30; 20; 10) = 10
2. Por descomposición canónica
Ejemplo:
Sean: A = 2
2
× 3
5
B = 2
5
× 3
3
Se t
sus menores componentes, así:
MCD (A; B) = 2
2
× 3
3
Máximo común divisor y mínimo común múltiploDe forma inesperada les comunicaron a los
estudiantes que debían adornar sus aulas con
banderas y escudos hechos de papel de seda.
Rápidamente formaron grupos para poder
decorar su aula. Colocaron las banderas cada
120 cm y los escudos cada 150 cm. Al final del
día lograron dejar decorado su aula.
¿Por qué motivo tuvieron que adornar el aula?
¿En algún momento se colocaron una bandera
y un escudo en el mismo lugar?
29Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 2
7 MCD - MCM.indd 29 24/01/2020 22:47:09
3. Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides
Se base en el algoritmo de la división, vamos:
D d
r q
dividiendo
residuo cociente
divisor
Se siguen los siguientes pasos:
I. Divide el número mayor entre el menor.
II. Si:
• Si la división es exacta, el divisor es el MCD.
• Si la división no es exacta, dividimos
el divisor entre el resto obtenido y
continuamos hasta obtener la división
exacta, siendo el último divisor el MCD.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 36 y 30
Ubicamos los números 36 y 30 en la siguiente
tabla:
36 30
Dividimos 36 ÷ 30 colocando el cociente en la
parte de arriba y el residuo en la parte de abajo, como en la tabla:
1
36 30 6
6
El residuo 6 ocupa el siguiente casillero central
y se efectúa 30 ÷ 6
1 5
36 30 6
6 0
A
Por lo tanto: MCD (36; 30) = 6
Propiedades del máximo común divisor
1. Si MCD (A; B; C) = d, entonces:
• MCD (An; Bn; Cn) = dn
• MCD(
n
A
;
n
B
;
n
C
) =
n
d
Ejemplos:
• MCD(25; 50; 75) = 25 × MCD(1; 2; 3) = 25 × 1
• MCD(6; 8) =
3
1
× MCD(18; 24)
3
6
2=
2. MCD (A; B; E; F) = MCD (M; N)
Donde M = MCD(A; B); N = MCD (E; F)
Ejemplos:
Si MCD(A; B) = 36, MCD (B; C) = 54
Determina el MCD de A, B y C
Según la propiedad:
MCD (A; B; B; C) = MCD (36; 54)
MCD (A; B; C) = MCD (36; 54) = 9
3. Si MCD(A; B; C) = d
d
A
= p
d
B
= q
d
C
= r
Entonces:
A = pd B = qd C = rd
Se verifica que: p, q, r son PESI.
Ejemplos: •
Sabemos que MCD (45; 60; 75) = 15, entonces:
15
45
= 3
15
60
= 4
15
75
= 5
Se cumple que 3; 4 y 5 son primos entre sí.
• Sabemos que MCD (10; 25; 35) = 5, entonces:
5
10
= 2
5
25
= 5
5
35
= 7
Se cumple que 2; 5 y 7 son primos entre sí.
Mínimo común múltiplo (MCM)
Es el menor de todos los múltiplos comunes de
un conjunto de números, siendo. El MCM siempre
es un número natural distinto de 0.
Ejemplo:
Determina el MCM de 8 y 12
• 8
°
= {0; 8; 16; 24 ; 32; 40; 48 ; ...}
• 12
°
= {0; 12; 24 ; 36; 48 ; 60; ...}
Los números en verde son los múltiplos comunes,
así el MCM (8; 12) es 24.
Propiedad:
Múltiplos comunes
de (A; B y C)
=Múltiplos del MCM
de A; B y C
Ejemplo:
Determina cuántos múltiplos comunes tiene 9 y
6 entre 180 y 360.
MCM (9; 6) = 18 Múltiplos comunes: 18K
Por dato: 180 , 18K , 360
& 10 , K , 20
Dónde: K = 11; 12; … ; 19 Entonces, hay 9 múltiplos comunes.
30Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Se base en el algoritmo de la división, vamos:
D d
r q
dividiendo
residuo cociente
divisor
Se siguen los siguientes pasos:
I. Divide el número mayor entre el menor.
II. Si:
• Si la división es exacta, el divisor es el MCD.
• Si la división no es exacta, dividimos
el divisor entre el resto obtenido y
continuamos hasta obtener la división
exacta, siendo el último divisor el MCD.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 36 y 30
Ubicamos los números 36 y 30 en la siguiente
tabla:
36 30
Dividimos 36 ÷ 30 colocando el cociente en la
parte de arriba y el residuo en la parte de abajo, como en la tabla:
1
36 30 6
6
El residuo 6 ocupa el siguiente casillero central
y se efectúa 30 ÷ 6
1 5
36 30 6
6 0
A
Por lo tanto: MCD (36; 30) = 6
Propiedades del máximo común divisor
1. Si MCD (A; B; C) = d, entonces:
• MCD (An; Bn; Cn) = dn
• MCD(
n
A
;
n
B
;
n
C
) =
n
d
Ejemplos:
• MCD(25; 50; 75) = 25 × MCD(1; 2; 3) = 25 × 1
• MCD(6; 8) =
3
1
× MCD(18; 24)
3
6
2=
2. MCD (A; B; E; F) = MCD (M; N)
Donde M = MCD(A; B); N = MCD (E; F)
Ejemplos:
Si MCD(A; B) = 36, MCD (B; C) = 54
Determina el MCD de A, B y C
Según la propiedad:
MCD (A; B; B; C) = MCD (36; 54)
MCD (A; B; C) = MCD (36; 54) = 9
3. Si MCD(A; B; C) = d
d
A
= p
d
B
= q
d
C
= r
Entonces:
A = pd B = qd C = rd
Se verifica que: p, q, r son PESI.
Ejemplos: •
Sabemos que MCD (45; 60; 75) = 15, entonces:
15
45
= 3
15
60
= 4
15
75
= 5
Se cumple que 3; 4 y 5 son primos entre sí.
• Sabemos que MCD (10; 25; 35) = 5, entonces:
5
10
= 2
5
25
= 5
5
35
= 7
Se cumple que 2; 5 y 7 son primos entre sí.
Mínimo común múltiplo (MCM)
Es el menor de todos los múltiplos comunes de
un conjunto de números, siendo. El MCM siempre
es un número natural distinto de 0.
Ejemplo:
Determina el MCM de 8 y 12
• 8
°
= {0; 8; 16; 24 ; 32; 40; 48 ; ...}
• 12
°
= {0; 12; 24 ; 36; 48 ; 60; ...}
Los números en verde son los múltiplos comunes,
así el MCM (8; 12) es 24.
Propiedad:
Múltiplos comunes
de (A; B y C)
=Múltiplos del MCM
de A; B y C
Ejemplo:
Determina cuántos múltiplos comunes tiene 9 y
6 entre 180 y 360.
MCM (9; 6) = 18 Múltiplos comunes: 18K
Por dato: 180 , 18K , 360
& 10 , K , 20
Dónde: K = 11; 12; … ; 19 Entonces, hay 9 múltiplos comunes.
30Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Cálculo del mínimo común múltiplo
Veremos dos métodos para calcular el MCM de
un conjunto de números:
1. Por descomposición simultánea
Ejemplo:
Determina el MCM de 180 y 240
MCM(180; 240) = 2
4
× 3
2
× 5
MCM(180; 240) = 720
180–240 2
90–120 2
45–60 2
45–30 2
45–15 3
15–5 3
5–5 5
1–1
2. Por descomposición canónica
Para ello toma los factores primos comunes y no
comunes elevados a sus mayores exponentes.
Ejemplo:
Si A = 2
6
× 3
5
× 5
4
y B = 2
4
× 5
3
× 7
2
Ent= 2
6
× 3
5
× 5
4
× 7
2
Propiedades
a. El MCM nunca es menor que alguno de los
números.
MCM (8; 16; 32) = 32
b. Si el mayor número es múltiplo de los otros,
entonces el MCM es el mayor número.
MCM (10; 20; 40; 80) = 80
c. El MCM de dos números primos entre sí, es el
product
o de dichos números.
MCM(A; B) = A × B donde A y B son PESI
d. Dados dos números A y B:
MCM(A; B) × MCD (A; B) = A × B
1. Si el MCD de 45A y 63B es igual a 36, determina
el MCD de 25A y 35B.
Sean A y B dichos números entonces:
MCD (45A; 63B) = 36
MCD (9 × 5A; 9 × 7B) = 9 × 4
&
MCD (5A; 7B) = 4
MCD (5 × 5A; 5 × 7B) = 5 × 4 = 20
2. Determina el valor de «K», si:
• MCD (A; B) = K
• MCD(C; D) =
K
4
• M= 12
Por propiedad, se cumple que:
MCD(A; B; C; D)
= MCD(M; N)
Donde M = MCD(A; B)
N = MCD(C; D)
Así: MCD K;
4
K
4
K
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = 12
Entonces: K = 4 × 12 = 48
3. Determina la cantidad de divisores compuestos
del MCM de 260 y 240.
Hallamos el MCM de ambos:
MCM(260; 240)
= 2
4
× 3 × 5 × 13
MCM(260; 240) = 3 120
260–240 2
130–120 2
65–60 2
65–30 2
65–15 3
65–5 5
13–5 13
1–1
Sea A = MCM(260; 240) = 2
4
× 3 × 5 × 13
⇒ A = 2
4
× 3 × 5 × 13
Luego hallamos la cantidad de divisores de A:
CD(A) = (4+1) × (1+1) × (1+1) × (1+1)
= (5) × (2) × (2) × (2) = 40
Recordemos que:
CD(A) = CD
primos
+ CD
compuestos
+1
⇒ 40 = 4 + CD
compuestos
+1
⇒ CD
compuestos
= 40 – 5
⇒ CD
compuestos
= 35
Metacognición
••¿Qué apr
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
super
é?
••¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
31Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 2
7 MCD - MCM.indd 31 24/01/2020 22:47:13
Veremos dos métodos para calcular el MCM de
un conjunto de números:
1. Por descomposición simultánea
Ejemplo:
Determina el MCM de 180 y 240
MCM(180; 240) = 2
4
× 3
2
× 5
MCM(180; 240) = 720
180–240 2
90–120 2
45–60 2
45–30 2
45–15 3
15–5 3
5–5 5
1–1
2. Por descomposición canónica
Para ello toma los factores primos comunes y no
comunes elevados a sus mayores exponentes.
Ejemplo:
Si A = 2
6
× 3
5
× 5
4
y B = 2
4
× 5
3
× 7
2
Ent= 2
6
× 3
5
× 5
4
× 7
2
Propiedades
a. El MCM nunca es menor que alguno de los
números.
MCM (8; 16; 32) = 32
b. Si el mayor número es múltiplo de los otros,
entonces el MCM es el mayor número.
MCM (10; 20; 40; 80) = 80
c. El MCM de dos números primos entre sí, es el
product
o de dichos números.
MCM(A; B) = A × B donde A y B son PESI
d. Dados dos números A y B:
MCM(A; B) × MCD (A; B) = A × B
1. Si el MCD de 45A y 63B es igual a 36, determina
el MCD de 25A y 35B.
Sean A y B dichos números entonces:
MCD (45A; 63B) = 36
MCD (9 × 5A; 9 × 7B) = 9 × 4
&
MCD (5A; 7B) = 4
MCD (5 × 5A; 5 × 7B) = 5 × 4 = 20
2. Determina el valor de «K», si:
• MCD (A; B) = K
• MCD(C; D) =
K
4
• M= 12
Por propiedad, se cumple que:
MCD(A; B; C; D)
= MCD(M; N)
Donde M = MCD(A; B)
N = MCD(C; D)
Así: MCD K;
4
K
4
K
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = 12
Entonces: K = 4 × 12 = 48
3. Determina la cantidad de divisores compuestos
del MCM de 260 y 240.
Hallamos el MCM de ambos:
MCM(260; 240)
= 2
4
× 3 × 5 × 13
MCM(260; 240) = 3 120
260–240 2
130–120 2
65–60 2
65–30 2
65–15 3
65–5 5
13–5 13
1–1
Sea A = MCM(260; 240) = 2
4
× 3 × 5 × 13
⇒ A = 2
4
× 3 × 5 × 13
Luego hallamos la cantidad de divisores de A:
CD(A) = (4+1) × (1+1) × (1+1) × (1+1)
= (5) × (2) × (2) × (2) = 40
Recordemos que:
CD(A) = CD
primos
+ CD
compuestos
+1
⇒ 40 = 4 + CD
compuestos
+1
⇒ CD
compuestos
= 40 – 5
⇒ CD
compuestos
= 35
Metacognición
••¿Qué apr
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
super
é?
••¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
31Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 2
7 MCD - MCM.indd 31 24/01/2020 22:47:13
Número racional
Se dice que un número es racional cuando se en-
cuentra expresado como el cociente de dos nú-
meros enteros, además, se representa mediante
una fracción.
El conjunto de los números racionales
Se denota con la letra Q, y se encuentra definido
de la siguiente manera:
b
a
/a,b b0QZ /!!='1
Comparación de números racionales
1. Ley de Tricotomía
Dados los números racionales p
b
a
= y q
d
c
=
se pueden comparar únicamente de 3 formas:
pq pq pq//21 =
2. Orden de una fracción
a. Fracciones con igual denominador: para sa-
ber si dos fracciones es menor o mayor, sólo
analizamos el numerador de cada fracción.
b
a
,
b
c
Qd
Es decir: comparar a y c
b. Fracciones con igual numerador: analizamos
únicamente el denominador y determina- mos cual es menor y mayor.
a
,
d
a
Qd
c
Es decir: comparar c y d
c. Fracciones con distinto numerador y deno-
minador: buscaremos la fracción equivalente
de cada fracción y luego comparamos como en los casos anteriores.
a
,
d
b
Qd
c
Números racionales ( Q)
Ejemplo:
Compara
3
2
;
5
7
; se cumple la tercera observación,
hacemos
3
2
15
10
= y
5
7
15
21
=; observamos 10 < 21
Clasificación de los números racionales
Los números racionales se clasifican de la siguien-
te manera:
1. Por la relación de los términos de la fracción:
a. Fracción propia: Cuando el denominador es
mayor que el numerador y la fracción es me-
nor a la unidad, es decir:
Si p
b
a
ab p1<<& /=
b. Fr Cuando el denominador
es menor que el numerador, y la fracción es mayor a la unidad, es decir:
Si
p
b
a
ab p1>>& /=
2. Por grupo de fracciones:
a. Fracciones homogéneas: Los denominado-
res del grupo de fracciones son iguales
b
a
,
b
c
Qd
b. Fr Los denominado-
res del grupo de fracciones son diferentes.
a
,
d
b
,
f
dondec deQd !!
ce
3. Por los divisores de sus términos
a. Fracciones reductibles: se dice así, cuando el
numerador y denominador tienen más de un
divisor en común. Por ejemplo:
8
6
;
12
27
;
15
5
;
24
64
b. Fr se dice así, cuando
el numerador y denominador son PESI. Por ejemplo:
3
2
;
5
7
;
13
11
;
25
63
El mes pasado Josefina obtuvo en el examen de
matemáticas 11
2
1
puntos.
A partir de esto, ella estuvo estudiando y
practicando de forma constante y así logro
elevar su nota en el siguiente mes a 15
2
1
, con lo
cual quedó muy contenta.
¿Cómo logró Josefina subir su nota de
matemáticas?
¿En qué fracción se elevó su nota?
32Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
8 NUMEROS RACIONALES.indd 32 24/01/2020 22:47:50
Se dice que un número es racional cuando se en-
cuentra expresado como el cociente de dos nú-
meros enteros, además, se representa mediante
una fracción.
El conjunto de los números racionales
Se denota con la letra Q, y se encuentra definido
de la siguiente manera:
b
a
/a,b b0QZ /!!='1
Comparación de números racionales
1. Ley de Tricotomía
Dados los números racionales p
b
a
= y q
d
c
=
se pueden comparar únicamente de 3 formas:
pq pq pq//21 =
2. Orden de una fracción
a. Fracciones con igual denominador: para sa-
ber si dos fracciones es menor o mayor, sólo
analizamos el numerador de cada fracción.
b
a
,
b
c
Qd
Es decir: comparar a y c
b. Fracciones con igual numerador: analizamos
únicamente el denominador y determina- mos cual es menor y mayor.
a
,
d
a
Qd
c
Es decir: comparar c y d
c. Fracciones con distinto numerador y deno-
minador: buscaremos la fracción equivalente
de cada fracción y luego comparamos como en los casos anteriores.
a
,
d
b
Qd
c
Números racionales ( Q)
Ejemplo:
Compara
3
2
;
5
7
; se cumple la tercera observación,
hacemos
3
2
15
10
= y
5
7
15
21
=; observamos 10 < 21
Clasificación de los números racionales
Los números racionales se clasifican de la siguien-
te manera:
1. Por la relación de los términos de la fracción:
a. Fracción propia: Cuando el denominador es
mayor que el numerador y la fracción es me-
nor a la unidad, es decir:
Si p
b
a
ab p1<<& /=
b. Fr Cuando el denominador
es menor que el numerador, y la fracción es mayor a la unidad, es decir:
Si
p
b
a
ab p1>>& /=
2. Por grupo de fracciones:
a. Fracciones homogéneas: Los denominado-
res del grupo de fracciones son iguales
b
a
,
b
c
Qd
b. Fr Los denominado-
res del grupo de fracciones son diferentes.
a
,
d
b
,
f
dondec deQd !!
ce
3. Por los divisores de sus términos
a. Fracciones reductibles: se dice así, cuando el
numerador y denominador tienen más de un
divisor en común. Por ejemplo:
8
6
;
12
27
;
15
5
;
24
64
b. Fr se dice así, cuando
el numerador y denominador son PESI. Por ejemplo:
3
2
;
5
7
;
13
11
;
25
63
El mes pasado Josefina obtuvo en el examen de
matemáticas 11
2
1
puntos.
A partir de esto, ella estuvo estudiando y
practicando de forma constante y así logro
elevar su nota en el siguiente mes a 15
2
1
, con lo
cual quedó muy contenta.
¿Cómo logró Josefina subir su nota de
matemáticas?
¿En qué fracción se elevó su nota?
32Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
8 NUMEROS RACIONALES.indd 32 24/01/2020 22:47:50
Operaciones en Q
Estudiaremos las propiedades que poseen las
principales operaciones en el conjunto de los nú-
meros racionales.
1.
Adición en Q
Al igual que en la adición de números natura-
les, a los elementos de la adición de los núme-
ros racionales se les llamará sumandos y al re-
sultado suma. Simbólicamente:
b
a
d
c
bd
adbc
#
##
+=
+
Propiedades de la adición
a. Clausura:
SI
b
a
;
d
c
b
a
d
c
QQ&!! +bl
b. C
b
a
d
c
d
c
b
a
;
b
a
,
d
c
Q6 !+=+
c. Asociativa:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q6 !++ =++b bl l
d. Elemento neutro aditivo: el elemento neutro
aditivo en los racionales es el cero “0”.
b
a
00
b
a
b
a
b
a
Q6!+=+=
e. Propiedad de monotonía:
Si
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
;
d
c
f
e
f
e
Q& 6 != +=+
f. Propiedad cancelativa:
Si
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
;
d
c
f
e
f
e
Q& 6 !+=+ =
2. Multiplicación en Q
Es la misma operación de los números natura-
les, a los elementos de la multiplicación se le
llama factores y al resultado producto.
b
a
d
c
bd
ac
b
a
;
d
c
Q#
#
#
6 !=
Propiedades de la multiplicación
a. Clausura:
Si
b
a
;
d
c
b
a
d
c
QQ&#!!bl
b. Asociativa:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q## ## 6 !=b bl l
c. C
b
a
d
c
d
c
b
a
b
a
;
d
c
Q## 6 !=
d. Distributiva:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q## #!! 6 !=bl
e. Elemento neutro multiplicativo:
b
a
11
b
a
b
a
b
a
Q## 6!==
f. Elemento inverso multiplicativo:
b
a
a
b
/
b
a
a
b
a
b
b
a
1QQ ##67!! ==bbll
Donde: a
b
es el inverso multiplicativo de
b
a
y 1
es elemento neutro.
3. División en Q
La división es una operación que también se
puede dar para los números racionales. Para
efectuar la división de dos fracciones se multi-
plica el dividendo por el inverso multiplicativo
del divisor, es decir:
b
a
b
a
bc
ad
b
a
;
d
c
d
c d
Q' #
#
#
6 !==
c
1. Simplifica la siguiente expresión:
15
6
6
1
5
1
3
2
9
4
12
7
8
3
5
4
10
3
9
2
6
1
#
+- +-
++ -
b bl l
a. En
15
6
6
1
5
1
+- , se tiene MCM (15; 6; 5) = 30
15
6
6
1
5
1
30
265161
30
11## #
+-=
+ -
=
b. En
3
2
9
4
12
7
+- , se tiene MCM (3; 9; 12) = 36
3
2
9
4
12
7
36
1224437
36
19## #
+-=
+ -
=
30
11
36
19
10
3
10
3
9
2
6
1
1080
209
90
59
209
708
++ -
==
bbll
33Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 2
8 NUMEROS RACIONALES.indd 33 24/01/2020 22:47:53
Estudiaremos las propiedades que poseen las
principales operaciones en el conjunto de los nú-
meros racionales.
1.
Adición en Q
Al igual que en la adición de números natura-
les, a los elementos de la adición de los núme-
ros racionales se les llamará sumandos y al re-
sultado suma. Simbólicamente:
b
a
d
c
bd
adbc
#
##
+=
+
Propiedades de la adición
a. Clausura:
SI
b
a
;
d
c
b
a
d
c
QQ&!! +bl
b. C
b
a
d
c
d
c
b
a
;
b
a
,
d
c
Q6 !+=+
c. Asociativa:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q6 !++ =++b bl l
d. Elemento neutro aditivo: el elemento neutro
aditivo en los racionales es el cero “0”.
b
a
00
b
a
b
a
b
a
Q6!+=+=
e. Propiedad de monotonía:
Si
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
;
d
c
f
e
f
e
Q& 6 != +=+
f. Propiedad cancelativa:
Si
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
;
d
c
f
e
f
e
Q& 6 !+=+ =
2. Multiplicación en Q
Es la misma operación de los números natura-
les, a los elementos de la multiplicación se le
llama factores y al resultado producto.
b
a
d
c
bd
ac
b
a
;
d
c
Q#
#
#
6 !=
Propiedades de la multiplicación
a. Clausura:
Si
b
a
;
d
c
b
a
d
c
QQ&#!!bl
b. Asociativa:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q## ## 6 !=b bl l
c. C
b
a
d
c
d
c
b
a
b
a
;
d
c
Q## 6 !=
d. Distributiva:
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
b
a
;
d
c
;
f
e
Q## #!! 6 !=bl
e. Elemento neutro multiplicativo:
b
a
11
b
a
b
a
b
a
Q## 6!==
f. Elemento inverso multiplicativo:
b
a
a
b
/
b
a
a
b
a
b
b
a
1QQ ##67!! ==bbll
Donde: a
b
es el inverso multiplicativo de
b
a
y 1
es elemento neutro.
3. División en Q
La división es una operación que también se
puede dar para los números racionales. Para
efectuar la división de dos fracciones se multi-
plica el dividendo por el inverso multiplicativo
del divisor, es decir:
b
a
b
a
bc
ad
b
a
;
d
c
d
c d
Q' #
#
#
6 !==
c
1. Simplifica la siguiente expresión:
15
6
6
1
5
1
3
2
9
4
12
7
8
3
5
4
10
3
9
2
6
1
#
+- +-
++ -
b bl l
a. En
15
6
6
1
5
1
+- , se tiene MCM (15; 6; 5) = 30
15
6
6
1
5
1
30
265161
30
11## #
+-=
+ -
=
b. En
3
2
9
4
12
7
+- , se tiene MCM (3; 9; 12) = 36
3
2
9
4
12
7
36
1224437
36
19## #
+-=
+ -
=
30
11
36
19
10
3
10
3
9
2
6
1
1080
209
90
59
209
708
++ -
==
bbll
33Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 2
8 NUMEROS RACIONALES.indd 33 24/01/2020 22:47:53
Gráficos estadísticos
Son aquellas construcciones gráficas que se utili-
zan para representar de manera visual datos esta-
dísticos con respecto a una determinada variable
estadística. A continuación, mostraremos algunos
tipos de gráficos:
1.
Gráfico de barras
Se utilizan para representar y comparar fre-
cuencias de variables cuantitativas o compor-
tamientos en un tiempo determinado.
Datos x
Diagrama de barras
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
2.
Diagr
Este diagrama se suele utilizar para variables cualitativas para ver su comportamiento a lo largo del tiempo (minutos, horas, días, sema- nas, años, etc). Mediante este gráfico se puede comprobar rápidamente el cambio de tenden- cia de los datos.
Para dibujar un gráfico de líneas debemos te-
ner en cuenta lo siguiente:
•
En el eje horizontal (X) se colocan los periodos
de tiempo.
• En el eje vertical (Y) se colocan las frecuencias
absolutas o relativas.
• A cada periodo de tiempo le corresponde un
punto en el valor de su frecuencia.
• Finalmente se unen los puntos consecutivos
mediante segmentos de líneas.
Gráficos estadísticos
Temperatura (C°)
Enero
Febrero
Marzo
Abril
M ay o
Junio
Julio
30
25
20
15
10
5
0
3. Gr
Es una representación gráfica que consiste en
dividir el círculo en sectores, cuyo tamaño es
proporcional a la frecuencia relativa de los dis-
tintos valores de la variable estadística.
Se emplea principalmente para fines compara-
tivos y para representar variables cualitativas en
porcentajes.
α
β
A
a%
B
b%
C
c%
D
d%
E
e%
θ
ω
γ
Sectores: A; B; C; D; E
Partición de los sectores: a%; b%; c%; d%; e%
Ángulos de los sectores: α; β; θ; ω; γ
Se cumple que:
(Ángulo del sector)= (Partición del sector)(360°)
También por:
Totald edatos(n)
Frecuenciaabsoluta(f )
360
Gradosdelsector
°
i
=
Año Promedio
1° 16,5
2° 14,5
3° 15
4° 15,5
5° 17
El director de la escuela
desea que sus estudiantes
mejoren su promedio
académico, es por ello
que anota en una tabla el
promedio en general de
cada año.
¿Qué gráfico podría
utilizar para representar
los datos de la tabla?
34Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
9 GRAFICOS ESTADISTICOS.indd 34 24/01/2020 23:42:48
Son aquellas construcciones gráficas que se utili-
zan para representar de manera visual datos esta-
dísticos con respecto a una determinada variable
estadística. A continuación, mostraremos algunos
tipos de gráficos:
1.
Gráfico de barras
Se utilizan para representar y comparar fre-
cuencias de variables cuantitativas o compor-
tamientos en un tiempo determinado.
Datos x
Diagrama de barras
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
2.
Diagr
Este diagrama se suele utilizar para variables cualitativas para ver su comportamiento a lo largo del tiempo (minutos, horas, días, sema- nas, años, etc). Mediante este gráfico se puede comprobar rápidamente el cambio de tenden- cia de los datos.
Para dibujar un gráfico de líneas debemos te-
ner en cuenta lo siguiente:
•
En el eje horizontal (X) se colocan los periodos
de tiempo.
• En el eje vertical (Y) se colocan las frecuencias
absolutas o relativas.
• A cada periodo de tiempo le corresponde un
punto en el valor de su frecuencia.
• Finalmente se unen los puntos consecutivos
mediante segmentos de líneas.
Gráficos estadísticos
Temperatura (C°)
Enero
Febrero
Marzo
Abril
M ay o
Junio
Julio
30
25
20
15
10
5
0
3. Gr
Es una representación gráfica que consiste en
dividir el círculo en sectores, cuyo tamaño es
proporcional a la frecuencia relativa de los dis-
tintos valores de la variable estadística.
Se emplea principalmente para fines compara-
tivos y para representar variables cualitativas en
porcentajes.
α
β
A
a%
B
b%
C
c%
D
d%
E
e%
θ
ω
γ
Sectores: A; B; C; D; E
Partición de los sectores: a%; b%; c%; d%; e%
Ángulos de los sectores: α; β; θ; ω; γ
Se cumple que:
(Ángulo del sector)= (Partición del sector)(360°)
También por:
Totald edatos(n)
Frecuenciaabsoluta(f )
360
Gradosdelsector
°
i
=
Año Promedio
1° 16,5
2° 14,5
3° 15
4° 15,5
5° 17
El director de la escuela
desea que sus estudiantes
mejoren su promedio
académico, es por ello
que anota en una tabla el
promedio en general de
cada año.
¿Qué gráfico podría
utilizar para representar
los datos de la tabla?
34Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
9 GRAFICOS ESTADISTICOS.indd 34 24/01/2020 23:42:48
4. Hist
Se emplea para representar variables continuas
o cuando los datos están agrupados en inter-
valos. Sobre el eje X se colocan los distintos in-
tervalos o clases y sobre cada uno de ellos se
levanta un rectángulo de altura igual a la fre-
cuencia absoluta del intervalo.
Datos x
Diagrama de rectángulos
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
5.
Polígonos de frecuencias
El polígono de frecuencias se obtiene al unir los
puntos medios superiores de cada barra vertical
del histograma; estos puntos coinciden con la
marca de clase de cada intervalo del histograma.
Observación:
Los polígonos de frecuencias se crea a partir de
un histograma de frecuencias.
Datos x
Diagrama de frecuencia
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
1. Escribe v erdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Los gráficos estadísticos
representan datos estadísticos con respecto a varias variables estadísticas.
(V )
b. El
también como diagrama de líneas.
(F )
c. Si
el total de datos es 40 entonces el grado del sector es 90°.
(V )
2. El siguiente gráfico de barras muestra las notas del
aula del 3° año de secundaria del colegio Pilares.
Notas
N° de estudiantes
17
9
10
20
20
5
15
4
158
12
12
0
d.
¿Cuánt
e. ¿Cuál fue la nota de mayor frecuencia?
a. La cantidad de estudiantes que aprobaron
son 15 + 20 + 12 + 9 = 56
Por lo tanto, aprobaron 56 estudiantes.
b. De acuerdo a la tabla, la nota que presenta
mayor frecuencia es 15.
3. El gobierno destina S/ 300 000 para mejorar el
bienestar del pueblo. Esta cantidad se invierte en educación, salud y transporte tal como se muestra en el siguiente diagrama circular.
αω
β
45%
35%
x%
Educación
Salud
Transporte
a. ¿Qué cantidad de dinero se destina al sector
transporte?
b. ¿Qué ángulo central le corresponde al sector
educación?
a. Sea x%, el porcentaje de dinero destinado
al sector transporte, entonces:
x%+35%+45%=100% ⇒ x%=20%
Luego: x%(300 000) = 20%(300 000)
x%(300 000) = 60 000
Por lo tanto, el Gobierno destina S/ 60 000
al sector transporte.
b. Utilizamos la fórmula del ángulo central
para un diagrama circular.
α = 45%(360°) ⇒ α =162°
Por lo tanto, el ángulo central es 162°
35Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 2
9 GRAFICOS ESTADISTICOS.indd 35 24/01/2020 23:42:49
Se emplea para representar variables continuas
o cuando los datos están agrupados en inter-
valos. Sobre el eje X se colocan los distintos in-
tervalos o clases y sobre cada uno de ellos se
levanta un rectángulo de altura igual a la fre-
cuencia absoluta del intervalo.
Datos x
Diagrama de rectángulos
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
5.
Polígonos de frecuencias
El polígono de frecuencias se obtiene al unir los
puntos medios superiores de cada barra vertical
del histograma; estos puntos coinciden con la
marca de clase de cada intervalo del histograma.
Observación:
Los polígonos de frecuencias se crea a partir de
un histograma de frecuencias.
Datos x
Diagrama de frecuencia
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
12
10
8
6
4
2
0
Frecuencia
1. Escribe v erdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a. Los gráficos estadísticos
representan datos estadísticos con respecto a varias variables estadísticas.
(V )
b. El
también como diagrama de líneas.
(F )
c. Si
el total de datos es 40 entonces el grado del sector es 90°.
(V )
2. El siguiente gráfico de barras muestra las notas del
aula del 3° año de secundaria del colegio Pilares.
Notas
N° de estudiantes
17
9
10
20
20
5
15
4
158
12
12
0
d.
¿Cuánt
e. ¿Cuál fue la nota de mayor frecuencia?
a. La cantidad de estudiantes que aprobaron
son 15 + 20 + 12 + 9 = 56
Por lo tanto, aprobaron 56 estudiantes.
b. De acuerdo a la tabla, la nota que presenta
mayor frecuencia es 15.
3. El gobierno destina S/ 300 000 para mejorar el
bienestar del pueblo. Esta cantidad se invierte en educación, salud y transporte tal como se muestra en el siguiente diagrama circular.
αω
β
45%
35%
x%
Educación
Salud
Transporte
a. ¿Qué cantidad de dinero se destina al sector
transporte?
b. ¿Qué ángulo central le corresponde al sector
educación?
a. Sea x%, el porcentaje de dinero destinado
al sector transporte, entonces:
x%+35%+45%=100% ⇒ x%=20%
Luego: x%(300 000) = 20%(300 000)
x%(300 000) = 60 000
Por lo tanto, el Gobierno destina S/ 60 000
al sector transporte.
b. Utilizamos la fórmula del ángulo central
para un diagrama circular.
α = 45%(360°) ⇒ α =162°
Por lo tanto, el ángulo central es 162°
35Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 2
9 GRAFICOS ESTADISTICOS.indd 35 24/01/2020 23:42:49
4. El siguiente gráfico muestra la cantidad de turistas
que visitan Chavín en algunos meses del año.
Miles
Cantidad de turistas
Meses
Enero
Marzo
M ay o
Julio
Septiembre
Diciembre
120
110
100
70
50
40
a. ¿Dur qué meses del año, la cantidad de
turistas fué mínima y en qué meses, el máximo?
b. ¿En qué meses la cantidad de turistas superó
los 80 000?
a. Con respecto al gráfico, en mayo la
cantidad de turistas fue la más baja y en el
mes de setiembre, Chavín recibió la mayor
cantidad de turistas.
b.
El diagrama de líneas nos dice que los
meses en que Chavín recibió más de
80 000 turistas fueron enero, setiembre y diciembre.
5. El siguiente histograma se elaboró con una
muestra de 55 personas.
f
i
I
i
3
2x+1
12
10
8x
7x+6
2x
6 9 12 15 18
Determina el valor de f
5
+ 2f
3
Por dato, la muestra fue de 55 personas, en-
tonces, del gráfico podemos deducir que:
2x12x12108 x7x6 55
19x236 55
19x1755
19x38x 2&
++ ++ ++ -=
+-=
+=
==
Nos piden:
f2f8x2(12)
f2f8x248224
f2f40
53
53
53(
+=+
+=+= +
+=
_i
6. La siguiente tabla nos muestra el peso de 65
docentes de la Facultad de Ciencias Matemáticas.
Peso f
i
F
i
[50; 60〉 16 16
[60; 70〉 a 24
[70; 80〉 10 34
[80; 90〉 b 48
[90; 100〉 2 50
[100; 110〉 10 c
[110; 120] d 65
Completa la tabla de frecuencia indicando las marcas de clase y
elabora una gráfica de
polígonos de frecuencia.
Primero determinamos las marcas de clase:
x
2
5060
55;x
2
60 70
65;12=
+
==
+
=
x
2
70 80
75;x
2
80 90
85;34=
+
==
+
=
x
2
90100
95;x
2
100 110
105;56=
+
==
+
=
x
2
110 120
1157=
+
=
Por otro lado, con respecto a la tabla quedaría de la siguiente manera:
16a24a 8
34b48b 14
50 10 cc 60
cd 65
60d65
d5
&
&
&
+==
+==
+==
+=
+=
=
Peso f
i
F
i
[50; 60〉 16 16
[60; 70〉 8 24
[70; 80〉 10 34
[80; 90〉 14 48
[90; 100〉 2 50
[100; 110〉 10 60
[110; 120] 5 65
Finalmente, el polígono de frecuencias es:
f
i
I
i
50
55 65 75 85 95 105 115
60 70 80 90 100 110 120
16
14
10
8
5
2
0
36Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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que visitan Chavín en algunos meses del año.
Miles
Cantidad de turistas
Meses
Enero
Marzo
M ay o
Julio
Septiembre
Diciembre
120
110
100
70
50
40
a. ¿Dur qué meses del año, la cantidad de
turistas fué mínima y en qué meses, el máximo?
b. ¿En qué meses la cantidad de turistas superó
los 80 000?
a. Con respecto al gráfico, en mayo la
cantidad de turistas fue la más baja y en el
mes de setiembre, Chavín recibió la mayor
cantidad de turistas.
b.
El diagrama de líneas nos dice que los
meses en que Chavín recibió más de
80 000 turistas fueron enero, setiembre y diciembre.
5. El siguiente histograma se elaboró con una
muestra de 55 personas.
f
i
I
i
3
2x+1
12
10
8x
7x+6
2x
6 9 12 15 18
Determina el valor de f
5
+ 2f
3
Por dato, la muestra fue de 55 personas, en-
tonces, del gráfico podemos deducir que:
2x12x12108 x7x6 55
19x236 55
19x1755
19x38x 2&
++ ++ ++ -=
+-=
+=
==
Nos piden:
f2f8x2(12)
f2f8x248224
f2f40
53
53
53(
+=+
+=+= +
+=
_i
6. La siguiente tabla nos muestra el peso de 65
docentes de la Facultad de Ciencias Matemáticas.
Peso f
i
F
i
[50; 60〉 16 16
[60; 70〉 a 24
[70; 80〉 10 34
[80; 90〉 b 48
[90; 100〉 2 50
[100; 110〉 10 c
[110; 120] d 65
Completa la tabla de frecuencia indicando las marcas de clase y
elabora una gráfica de
polígonos de frecuencia.
Primero determinamos las marcas de clase:
x
2
5060
55;x
2
60 70
65;12=
+
==
+
=
x
2
70 80
75;x
2
80 90
85;34=
+
==
+
=
x
2
90100
95;x
2
100 110
105;56=
+
==
+
=
x
2
110 120
1157=
+
=
Por otro lado, con respecto a la tabla quedaría de la siguiente manera:
16a24a 8
34b48b 14
50 10 cc 60
cd 65
60d65
d5
&
&
&
+==
+==
+==
+=
+=
=
Peso f
i
F
i
[50; 60〉 16 16
[60; 70〉 8 24
[70; 80〉 10 34
[80; 90〉 14 48
[90; 100〉 2 50
[100; 110〉 10 60
[110; 120] 5 65
Finalmente, el polígono de frecuencias es:
f
i
I
i
50
55 65 75 85 95 105 115
60 70 80 90 100 110 120
16
14
10
8
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2
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36Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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37Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 2
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
Son medidas estadísticas que pretenden resumir
en un solo valor a un conjunto de valores, estas
representan un centro entorno al cual se encuen-
tra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas
de tendencia central más utilizadas son: media,
mediana y moda.
Medidas de tendencia central para datos no
agrupados
1. Media aritmética (x), Sean los siguientes da-
tos: a
1
; a
2
; a
3
; a
4
; …; a
n
, la media aritmética viene
dada por:
x =
a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n
n
Donde: n = Cantidad de datos.
Ejemplo:
Para los siguientes datos: 8; 24; 10; 14; 16 y 12, en-
cuentra la media aritmética. Solución: La cantidad de datos es n=6, luego:
x =
8 + 24 + 10 + 14 + 16 + 12
6
= 14
Propiedades de la media aritmética:
a. Si a todos los valores de la variable se le suma
una misma cantidad, la media aritmética
queda aumentada en dicha cantidad.
b. La media aritmética está comprendida entre
el valor máximo y el valor mínimo del con- junto de datos, es decir:
min {x
1
, x
2
, ... x
n
} ≤
x
1
+x
2
+ ... + x
n
n ≤ max {x
1
, x
2
, ... x
n
}
c. Si t-
plican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante.
2.
Mediana (Me): La mediana de un conjunto de
datos ordenados, es el valor que divide a los da- tos en dos grupos de igual número de elemen- tos. Para su cálculo tenemos los siguientes casos.
•
Caso 1: Para una cantidad impar de datos, la
mediana viene dada por el dato central.
• Caso 2: Para una cantidad par de datos, la
mediana viene dada por la semisuma de los
dos datos centrales.
Ejemplo:
Para lo siguientes datos: 3,8; 4,6; 5,2; 9; 8,4; 3,6.
Calcula la mediana.
Solución:
Ordenamos los datos de manera creciente:
3,6; 3,8; 4,6; 5,2; 8,4; 9
Como el total de datos n = 6 es par, la media-
na será la semisuma del tercer y cuarto dato:
Me =
4.6 + 5.2
2
=
9,8
2
= 4,9
3. Moda (M
o
): Es el valor de la variable que se repi-
te con mayor número de veces en una distribu-
ción de datos.
Ejemplo:
Calcula la moda del siguiente conjunto de datos:
10; 13; 11; 8; 9; 10; 13; 8; 10; 14; 11, 12
Solución:
Ordenando los datos, tenemos:
8; 8; 9; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 13; 13; 14
El dato con mayor repetición es 10, por lo
tanto: M
o
= 10
Rosa y 4 amigos quieren ganar la competencia de atletismo que organiza la escuela, por eso trotan cierta cantidad de minutos durante la semana, tal como muestra la tabla:
Lu Ma Mi Ju ViSa Do
32 30 34 32 35 33 31
¿Cuál es el valor de la media, la moda y la mediana?
10 MEDIDAS DE TENDECIA CENTRAL.indd 37 24/01/2020 22:47:40
Aritm?tica
Unidad 2
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
Son medidas estadísticas que pretenden resumir
en un solo valor a un conjunto de valores, estas
representan un centro entorno al cual se encuen-
tra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas
de tendencia central más utilizadas son: media,
mediana y moda.
Medidas de tendencia central para datos no
agrupados
1. Media aritmética (x), Sean los siguientes da-
tos: a
1
; a
2
; a
3
; a
4
; …; a
n
, la media aritmética viene
dada por:
x =
a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n
n
Donde: n = Cantidad de datos.
Ejemplo:
Para los siguientes datos: 8; 24; 10; 14; 16 y 12, en-
cuentra la media aritmética. Solución: La cantidad de datos es n=6, luego:
x =
8 + 24 + 10 + 14 + 16 + 12
6
= 14
Propiedades de la media aritmética:
a. Si a todos los valores de la variable se le suma
una misma cantidad, la media aritmética
queda aumentada en dicha cantidad.
b. La media aritmética está comprendida entre
el valor máximo y el valor mínimo del con- junto de datos, es decir:
min {x
1
, x
2
, ... x
n
} ≤
x
1
+x
2
+ ... + x
n
n ≤ max {x
1
, x
2
, ... x
n
}
c. Si t-
plican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante.
2.
Mediana (Me): La mediana de un conjunto de
datos ordenados, es el valor que divide a los da- tos en dos grupos de igual número de elemen- tos. Para su cálculo tenemos los siguientes casos.
•
Caso 1: Para una cantidad impar de datos, la
mediana viene dada por el dato central.
• Caso 2: Para una cantidad par de datos, la
mediana viene dada por la semisuma de los
dos datos centrales.
Ejemplo:
Para lo siguientes datos: 3,8; 4,6; 5,2; 9; 8,4; 3,6.
Calcula la mediana.
Solución:
Ordenamos los datos de manera creciente:
3,6; 3,8; 4,6; 5,2; 8,4; 9
Como el total de datos n = 6 es par, la media-
na será la semisuma del tercer y cuarto dato:
Me =
4.6 + 5.2
2
=
9,8
2
= 4,9
3. Moda (M
o
): Es el valor de la variable que se repi-
te con mayor número de veces en una distribu-
ción de datos.
Ejemplo:
Calcula la moda del siguiente conjunto de datos:
10; 13; 11; 8; 9; 10; 13; 8; 10; 14; 11, 12
Solución:
Ordenando los datos, tenemos:
8; 8; 9; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 13; 13; 14
El dato con mayor repetición es 10, por lo
tanto: M
o
= 10
Rosa y 4 amigos quieren ganar la competencia de atletismo que organiza la escuela, por eso trotan cierta cantidad de minutos durante la semana, tal como muestra la tabla:
Lu Ma Mi Ju ViSa Do
32 30 34 32 35 33 31
¿Cuál es el valor de la media, la moda y la mediana?
10 MEDIDAS DE TENDECIA CENTRAL.indd 37 24/01/2020 22:47:40
38Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Conceptos previos
Veamos ahora el caso especial de distribución
de frecuencias o tabla de frecuencias de una va-
riable continua, conocido como agrupación en
intervalos.
La tabla de frecuencias es una tabla donde los da-
tos originales se clasifican en intervalos de clase,
las razones de la agrupación por intervalos de cla-
se se debe al gran número de datos obtenidos en
la recolección.
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra la masa en kilogramos
de un grupo de 50 estudiantes.
73 47 67 82 67 70 60 67 61 80
65 70 57 85 59 70 57 73 77 58
69 58 76 67 52 68 69 66 72 86
76 79 77 88 94 67 77 54 93 56
73 64 70 46 68 63 72 84 63 74
a. El rango viene dado por la diferencia entre
el mayor (x
máx
) y menor (x
mín
) de los datos
obtenidos.
R = x
máx
– x
mín
De la tabla, se tiene:
R = 94 – 46 = 48
b. Para obtener el número de intervalos de cla-
se, no hay una fórmula específica para el cál- culo de intervalos, pero si existen algunas aproximaciones.
Las aproximaciones más conocidas se realizan
según:
•
Número de clases (k):
k = 5, si n ≤ 25
k = n, si n � 25
Ejemplo: De la tabla, n = 50 � 25, entonces:
k =
50 ≈ 7,07 es decir, el número de intervalos
de clase puede ser 6, 7 u 8.
• Fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3 log(n)
Ejemplo:
De la tabla, n = 50, aplicando la fórmula:
k = 1 + 3, 3 log50 ≈ 6,6, es decir el número de
intervalos de clase puede ser: 6; 7 u 8.
c.
Para obtener el tamaño de los intervalos, o ampli-
tud de clase, es conveniente que los intervalos de
clase sean del mismo tamaño, es decir:
w =
R
k
Para nuestra tabla, tomando k = 8, la amplitud de cada clase será:
w =
48
8
= 6
d. Para la determinación de los límites de clase, se
recomienda que el límite inferior del intervalo de la primera clase sea el menor de los datos, en seguida, se agrega C para obtener el límite superior de dicha clase.
Para nuestra tabla, tenemos que el intervalo se-
miabierto de la primera clase es:
[46; 52〉
Límite inferior Límite superior
e. La determinación de la frecuencia de clase
consiste en determinar el número de datos que caen en cada intervalo de clase, por ejemplo, en el intervalo [46; 52〉 encontramos dos datos, entonces f
1
= 2.
f.
La marca de clase, es el punto medio del inter-
valo de clase, para nuestro primer intervalo I
1
=
[46; 52〉, se tiene:
Marca de clase (x
1
) =
46 + 52
2
= 49
Organizando todos los datos, tenemos la si- guiente tabla:
Masa (kg) Marca (x
i
) f
i
[46; 52〉 49 2
[52; 58〉 55 5
[58; 64〉 61 7
[64; 70〉 67 12
[70; 76〉 73 10
[76; 82〉 79 7
[82; 88〉 85 4
[88; 94] 91 3
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Conceptos previos
Veamos ahora el caso especial de distribución
de frecuencias o tabla de frecuencias de una va-
riable continua, conocido como agrupación en
intervalos.
La tabla de frecuencias es una tabla donde los da-
tos originales se clasifican en intervalos de clase,
las razones de la agrupación por intervalos de cla-
se se debe al gran número de datos obtenidos en
la recolección.
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra la masa en kilogramos
de un grupo de 50 estudiantes.
73 47 67 82 67 70 60 67 61 80
65 70 57 85 59 70 57 73 77 58
69 58 76 67 52 68 69 66 72 86
76 79 77 88 94 67 77 54 93 56
73 64 70 46 68 63 72 84 63 74
a. El rango viene dado por la diferencia entre
el mayor (x
máx
) y menor (x
mín
) de los datos
obtenidos.
R = x
máx
– x
mín
De la tabla, se tiene:
R = 94 – 46 = 48
b. Para obtener el número de intervalos de cla-
se, no hay una fórmula específica para el cál- culo de intervalos, pero si existen algunas aproximaciones.
Las aproximaciones más conocidas se realizan
según:
•
Número de clases (k):
k = 5, si n ≤ 25
k = n, si n � 25
Ejemplo: De la tabla, n = 50 � 25, entonces:
k =
50 ≈ 7,07 es decir, el número de intervalos
de clase puede ser 6, 7 u 8.
• Fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3 log(n)
Ejemplo:
De la tabla, n = 50, aplicando la fórmula:
k = 1 + 3, 3 log50 ≈ 6,6, es decir el número de
intervalos de clase puede ser: 6; 7 u 8.
c.
Para obtener el tamaño de los intervalos, o ampli-
tud de clase, es conveniente que los intervalos de
clase sean del mismo tamaño, es decir:
w =
R
k
Para nuestra tabla, tomando k = 8, la amplitud de cada clase será:
w =
48
8
= 6
d. Para la determinación de los límites de clase, se
recomienda que el límite inferior del intervalo de la primera clase sea el menor de los datos, en seguida, se agrega C para obtener el límite superior de dicha clase.
Para nuestra tabla, tenemos que el intervalo se-
miabierto de la primera clase es:
[46; 52〉
Límite inferior Límite superior
e. La determinación de la frecuencia de clase
consiste en determinar el número de datos que caen en cada intervalo de clase, por ejemplo, en el intervalo [46; 52〉 encontramos dos datos, entonces f
1
= 2.
f.
La marca de clase, es el punto medio del inter-
valo de clase, para nuestro primer intervalo I
1
=
[46; 52〉, se tiene:
Marca de clase (x
1
) =
46 + 52
2
= 49
Organizando todos los datos, tenemos la si- guiente tabla:
Masa (kg) Marca (x
i
) f
i
[46; 52〉 49 2
[52; 58〉 55 5
[58; 64〉 61 7
[64; 70〉 67 12
[70; 76〉 73 10
[76; 82〉 79 7
[82; 88〉 85 4
[88; 94] 91 3
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 2
Medidas de tendencia central para datos
agrupados
1. Media aritmética (x)
x =
∑
n
i = 1
x
i
f
i
n
x = ∑
n
i=1
x
i
h
i
h
n
f
i
i=
Donde:
• x
i
:
marca de clase.
• f
i
:
frecuencia absoluta.
• h
i
:
frecuencia relativa.
• n:
cantidad de datos.
2. Mediana (M
e
)
M
e
= L
inf
+ w ×
f
me
n
2
– F
me – 1
Donde: •
Linf : límite inferior de la clase mediana.
• w : ancho de la clase.
• Fme – 1: frecuencia absoluta acumulada de la
clase anterior a la clase mediana.
• fme: frecuencia absoluta simple de la clase
mediana.
3. Moda (M
o
)
M
o
= L
inf
+ w ×
Δ
1
Δ
1
+ Δ
2
Donde:
• Linf : Límite inferior de la clase modal.
• w : ancho de la clase
• ∆1 : fmo – fmo - 1
• ∆2 : fmo – fmo + 1
• fmo: frecuencia absoluta simple de la clase
modal.
• fmo + 1: frecuencia absoluta simple de la
clase posterior a la clase modal.
• fmo – 1: frecuencia absoluta simple de la
clase anterior a la clase modal.
La clase mediana es aquella cuya frecuencia
absoluta acumulada es mayor o igual que
2
n
.
La clase modal es aquella cuya frecuencia absoluta
simple es la mayor de todas.
Ejemplo:
Para la siguiente tabla de distribución de frecuen-
cias, determina la media, mediana y moda.
Edad
Marca de
clase (x
i
)
Frecuencia
absoluta f
i
Frecuencia
acumulada F
i
[0 – 10〉 5 3 3
[10 – 20〉 15 6 9
[20 – 30〉 25 7 16
[30 – 40〉 35 12 28
[40 – 50] 45 3 31
+
+
+
+
=
=
=
=
=
Cálculo de la media aritmética:
x =
5 × 3 + 15 × 6 + 25 × 7 + 35 × 12 + 45 × 3
31
x =
15 + 90 + 175 + 420 + 135
31
=
835
31
= 26,94
Cálculo de la mediana:
Identificamos la clase mediana:
n
2
=
31
2
= 15,5 ⇒ F
3
= 16 � 15,5
Edad
Marca de
clase (x
i
)
Frecuencia
absoluta f
i
Frecuencia
acumulada F
i
[0 – 10〉 5 3 3
[10 – 20〉 15 6 9
[20 – 30〉 25 7 16
[30 – 40〉 35 12 28
[40 – 50] 45 3 31
n
2
= 15,5
Por lo tanto, nos ubicamos en el tercer intervalo:
M
e
= L
inf
+ w ×
f
me
n
2
– F
me – 1
Reemplazamos en la fórmula:
M
e
= 20 + 10 ×
15.5 – 9
7
= 29. 286
10 MEDIDAS DE TENDECIA CENTRAL.indd 39 24/01/2020 22:47:41
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 2
Medidas de tendencia central para datos
agrupados
1. Media aritmética (x)
x =
∑
n
i = 1
x
i
f
i
n
x = ∑
n
i=1
x
i
h
i
h
n
f
i
i=
Donde:
• x
i
:
marca de clase.
• f
i
:
frecuencia absoluta.
• h
i
:
frecuencia relativa.
• n:
cantidad de datos.
2. Mediana (M
e
)
M
e
= L
inf
+ w ×
f
me
n
2
– F
me – 1
Donde: •
Linf : límite inferior de la clase mediana.
• w : ancho de la clase.
• Fme – 1: frecuencia absoluta acumulada de la
clase anterior a la clase mediana.
• fme: frecuencia absoluta simple de la clase
mediana.
3. Moda (M
o
)
M
o
= L
inf
+ w ×
Δ
1
Δ
1
+ Δ
2
Donde:
• Linf : Límite inferior de la clase modal.
• w : ancho de la clase
• ∆1 : fmo – fmo - 1
• ∆2 : fmo – fmo + 1
• fmo: frecuencia absoluta simple de la clase
modal.
• fmo + 1: frecuencia absoluta simple de la
clase posterior a la clase modal.
• fmo – 1: frecuencia absoluta simple de la
clase anterior a la clase modal.
La clase mediana es aquella cuya frecuencia
absoluta acumulada es mayor o igual que
2
n
.
La clase modal es aquella cuya frecuencia absoluta
simple es la mayor de todas.
Ejemplo:
Para la siguiente tabla de distribución de frecuen-
cias, determina la media, mediana y moda.
Edad
Marca de
clase (x
i
)
Frecuencia
absoluta f
i
Frecuencia
acumulada F
i
[0 – 10〉 5 3 3
[10 – 20〉 15 6 9
[20 – 30〉 25 7 16
[30 – 40〉 35 12 28
[40 – 50] 45 3 31
+
+
+
+
=
=
=
=
=
Cálculo de la media aritmética:
x =
5 × 3 + 15 × 6 + 25 × 7 + 35 × 12 + 45 × 3
31
x =
15 + 90 + 175 + 420 + 135
31
=
835
31
= 26,94
Cálculo de la mediana:
Identificamos la clase mediana:
n
2
=
31
2
= 15,5 ⇒ F
3
= 16 � 15,5
Edad
Marca de
clase (x
i
)
Frecuencia
absoluta f
i
Frecuencia
acumulada F
i
[0 – 10〉 5 3 3
[10 – 20〉 15 6 9
[20 – 30〉 25 7 16
[30 – 40〉 35 12 28
[40 – 50] 45 3 31
n
2
= 15,5
Por lo tanto, nos ubicamos en el tercer intervalo:
M
e
= L
inf
+ w ×
f
me
n
2
– F
me – 1
Reemplazamos en la fórmula:
M
e
= 20 + 10 ×
15.5 – 9
7
= 29. 286
10 MEDIDAS DE TENDECIA CENTRAL.indd 39 24/01/2020 22:47:41
40 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Cálculo de la moda:
Identificamos el intervalo modal:
Edad
Marca de
clase (x
i
)
Frecuencia
absoluta f
i
Frecuencia
acumulada F
i
[0 – 10〉 5 3 3
[10 – 20〉 15 6 9
[20 – 30〉 25 7 16
[30 – 40〉 35 12 28
[40 – 50] 45 3 31
Intervalo modal:
Mayor frecuencia absoluta
Por lo tanto nos ubicamos en el cuarto intervalo:
M
o
= L
inf
+ w ×
Δ
1
Δ
1
+ Δ
2
M
o
= 30 + 10 ×
12 – 7
(12 – 7) + (12 – 3)
M
o
= 30 + 10 ×
5
5 + 9
M
o
= 30 + 10 ×
5
14
M
o
= 33, 57
Ejercicios resueltos
1. Dada la siguiente tabla de distribución de
frecuencias complétala y halla el valor de
f
1
+ f
2
+ f
5
.
Intervalo f
i
h
i
F
i
H
i
[10; 20〉 0,1
[20; 30〉
[30; 40〉 24 0,3
[40; 50〉 30 0,85
[50; 60]
Recordando que: hi =
f
1
n
donde n es el to-
tal de datos, se tiene:
• En I
3
, h
3
= 0,3 =
24
n
→ n = 80
• En I
1
, h
1
= 0,1 =
f
1
80
→ f
1
= 8
Finalmente en la tabla tenemos:
Intervalo f
i
h
i
F
i
H
i
[10; 20〉 8 0,1 8 0,1
[20; 30〉 6 0,075 14 0,175
[30; 40〉 24 0,3 38 0,475
[40; 50〉 30 0,375 68 0,85
[50; 60]12 0,15 80 1
Finalmente:
f
1
+ f
2
+ f
5
= 8 + 6 + 12 = 26
2. De la siguiente tabla de distribución de fre-
cuencias, calcula la media y la mediana.
Intervalo x
i
f
i
h
i
F
i
H
i
[10; 20〉 15 8 0,1 8 0,1
[20; 30〉 25 6 0,075 14 0,175
[30; 40〉 35 24 0,3 38 0,475
[40; 50〉 45 30 0,375 68 0,85
[50; 60] 55 12 0,15 80 1
• Cálculo de la media:
x =
15 × 8 + 25 × 6 + 35 × 24 + 45 × 30 + 55 × 12
80
x =
120 + 150 + 840 + 1 350 + 660
80
x =
3 120
80
= 39
• Cálculo de la mediana:
n
2
= 40
Nos ubicamos en el cuarto intervalo:
[40; 50〉 45 30 0,375 68 0,85
⇒ M
e
= 40 + 10 ×
40 – 38
30
= 40,666
10 MEDIDAS DE TENDECIA CENTRAL.indd 40 24/01/2020 22:47:41
Cálculo de la moda:
Identificamos el intervalo modal:
Edad
Marca de
clase (x
i
)
Frecuencia
absoluta f
i
Frecuencia
acumulada F
i
[0 – 10〉 5 3 3
[10 – 20〉 15 6 9
[20 – 30〉 25 7 16
[30 – 40〉 35 12 28
[40 – 50] 45 3 31
Intervalo modal:
Mayor frecuencia absoluta
Por lo tanto nos ubicamos en el cuarto intervalo:
M
o
= L
inf
+ w ×
Δ
1
Δ
1
+ Δ
2
M
o
= 30 + 10 ×
12 – 7
(12 – 7) + (12 – 3)
M
o
= 30 + 10 ×
5
5 + 9
M
o
= 30 + 10 ×
5
14
M
o
= 33, 57
Ejercicios resueltos
1. Dada la siguiente tabla de distribución de
frecuencias complétala y halla el valor de
f
1
+ f
2
+ f
5
.
Intervalo f
i
h
i
F
i
H
i
[10; 20〉 0,1
[20; 30〉
[30; 40〉 24 0,3
[40; 50〉 30 0,85
[50; 60]
Recordando que: hi =
f
1
n
donde n es el to-
tal de datos, se tiene:
• En I
3
, h
3
= 0,3 =
24
n
→ n = 80
• En I
1
, h
1
= 0,1 =
f
1
80
→ f
1
= 8
Finalmente en la tabla tenemos:
Intervalo f
i
h
i
F
i
H
i
[10; 20〉 8 0,1 8 0,1
[20; 30〉 6 0,075 14 0,175
[30; 40〉 24 0,3 38 0,475
[40; 50〉 30 0,375 68 0,85
[50; 60]12 0,15 80 1
Finalmente:
f
1
+ f
2
+ f
5
= 8 + 6 + 12 = 26
2. De la siguiente tabla de distribución de fre-
cuencias, calcula la media y la mediana.
Intervalo x
i
f
i
h
i
F
i
H
i
[10; 20〉 15 8 0,1 8 0,1
[20; 30〉 25 6 0,075 14 0,175
[30; 40〉 35 24 0,3 38 0,475
[40; 50〉 45 30 0,375 68 0,85
[50; 60] 55 12 0,15 80 1
• Cálculo de la media:
x =
15 × 8 + 25 × 6 + 35 × 24 + 45 × 30 + 55 × 12
80
x =
120 + 150 + 840 + 1 350 + 660
80
x =
3 120
80
= 39
• Cálculo de la mediana:
n
2
= 40
Nos ubicamos en el cuarto intervalo:
[40; 50〉 45 30 0,375 68 0,85
⇒ M
e
= 40 + 10 ×
40 – 38
30
= 40,666
10 MEDIDAS DE TENDECIA CENTRAL.indd 40 24/01/2020 22:47:41
UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
3
Educación Secundaria
41
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
ARITMÉTICA
11 NUMEROS REALES (R).indd 41 24/01/2020 22:50:19
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Educación Secundaria
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ARITMÉTICA
11 NUMEROS REALES (R).indd 41 24/01/2020 22:50:19
Números reales
Los números reales es aquel conjunto de núme-
ros que incluyen a los conjuntos de los números
racionales y de los irracionales.
x/xesracionaloirracionalR=#-
R
Q
Z
N
I
Subconjuntos de los números reales
1. Números naturales (N )
Los números naturales son aquellos números
cuyo valor son mayor o igual que 0.
0;1;2;3; 4; 5;6;;n;N ff=#-
2. Números enteros (Z)
Los números enteros incluyen a los números naturales y los opuestos a estos (los números negativos).
...; 4; 3;2;1;0;1;2;3; 4; ...Z=- -- -#-
3. Números racionales (Q)
/
q
p
p,qq 0QZ /!!=(2
Los decimales de las fracciones de los números racionales se dividen en:
a.
Exactos: 2,2 ; 3,5
Números reales (R)
b.
Periódicos: que a su vez este se divide en:
• Puros: 2,15;3,12Y Y
• M 5,0152\
4. Números irracionales (I)
Es el complemento de los números racionales,
y se denota por
x/ xIR Q RQd g=== #-
Observación:
a. Números algebraicos:
Un número es algebraico si es solución de al-
gún polinomio con coeficientes racionales. Ejemplo:
,p0pxq
x
p
q
&
!=
=
es un número algebraico.
b. Números trascendentes:
Un número real es trascendente si no es raíz de
ningún polinomio con coeficientes racionales.
Ejemplo:
xa 0x alogl og&-= =__ii es un número
trascendental.
El número cero tuvo su origen en la civili-
zación Maya quienes lo usaron de distin-
tas maneras.
Este se representaba con una concha
marina.
Dato histórico
Felipe tenía una deuda en el banco de
S/ 5 231,72 por lo que paga cuotas mensualmente.
Esto generaba una diferencia de S/ 155,30 entre
sus ingresos y gastos, es por ello que todos los
integrantes de su familia decidierón reunir sus
ahorros y apoyar con el pago. Después de un
arduo trabajo, lograron cancelar dicha deuda.
¿Fue importante la colaboración de todos?
¿Qué tipo de números reales identificas en el
texto?
42Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
11 NUMEROS REALES (R).indd 42 24/01/2020 22:50:21
Los números reales es aquel conjunto de núme-
ros que incluyen a los conjuntos de los números
racionales y de los irracionales.
x/xesracionaloirracionalR=#-
R
Q
Z
N
I
Subconjuntos de los números reales
1. Números naturales (N )
Los números naturales son aquellos números
cuyo valor son mayor o igual que 0.
0;1;2;3; 4; 5;6;;n;N ff=#-
2. Números enteros (Z)
Los números enteros incluyen a los números naturales y los opuestos a estos (los números negativos).
...; 4; 3;2;1;0;1;2;3; 4; ...Z=- -- -#-
3. Números racionales (Q)
/
q
p
p,qq 0QZ /!!=(2
Los decimales de las fracciones de los números racionales se dividen en:
a.
Exactos: 2,2 ; 3,5
Números reales (R)
b.
Periódicos: que a su vez este se divide en:
• Puros: 2,15;3,12Y Y
• M 5,0152\
4. Números irracionales (I)
Es el complemento de los números racionales,
y se denota por
x/ xIR Q RQd g=== #-
Observación:
a. Números algebraicos:
Un número es algebraico si es solución de al-
gún polinomio con coeficientes racionales. Ejemplo:
,p0pxq
x
p
q
&
!=
=
es un número algebraico.
b. Números trascendentes:
Un número real es trascendente si no es raíz de
ningún polinomio con coeficientes racionales.
Ejemplo:
xa 0x alogl og&-= =__ii es un número
trascendental.
El número cero tuvo su origen en la civili-
zación Maya quienes lo usaron de distin-
tas maneras.
Este se representaba con una concha
marina.
Dato histórico
Felipe tenía una deuda en el banco de
S/ 5 231,72 por lo que paga cuotas mensualmente.
Esto generaba una diferencia de S/ 155,30 entre
sus ingresos y gastos, es por ello que todos los
integrantes de su familia decidierón reunir sus
ahorros y apoyar con el pago. Después de un
arduo trabajo, lograron cancelar dicha deuda.
¿Fue importante la colaboración de todos?
¿Qué tipo de números reales identificas en el
texto?
42Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
11 NUMEROS REALES (R).indd 42 24/01/2020 22:50:21
Propiedades de los números reales
1. Propiedades de la adición: a.
Propiedad de clausura:
∀ a, b ∈ R: a + b ∈ R
b. Propiedad asociativa:
∀ a, b, c ∈ R :(a + b) +c = a + (b + c)
c. Propiedad conmutativa:
∀ a, b ∈ R: a + b = b + a
d. Elemento neutro aditivo:
∀ a ∈ R: 0 + a = a + 0 = a
e. Elemento inverso aditivo:
∀ a ∈ R: a + (–a) = –a + a = 0
Observación: •
Los números con signos iguales se suman y
conservan el signo
• Los números con signos diferentes se restan y
prevalece el signo del mayor valor numérico. Ejemplos:
a.
5 12 7+-=-^h
b. 3 2 1+-=+^h
c. 27 9+=+
d. 25 7-+-=-^ ^h h
2. Propiedades de la multiplicación:
a. Propiedad de clausura:
Si a y b ∈ R: a•b ∈ R
b. Propiedad asociativa:
Si a, b y c ∈ R: (a•b)•c = a•(b•c)
c. Propiedad conmutativa:
Si a y b ∈ R: a•b = b•a
d. Propiedad distributiva:
Si a, b y c ∈ R:
a • (b + c) = a • b + a• c
e. Elemento neutro multiplicativo:
Si a ∈ R: a • 1 = 1 • a = a
f. Elemento inverso multiplicativo:
Si a ∈ R – �0�: aa a
a
1
1
1
::==
-
3. Propiedades de la división:
La división no es c
onmutativa, pues al cambiar el
orden de sus términos el resultado también varía.
•
Cero dividido entre cualquier número da cero
• No se puede dividir por cero, pues no existe.
Características de los números reales
a. Orden
T
odos los números reales tienen un orden
b.
Tricotomía
a � b ∨ a = b ∨ a � b; a, b ∈ R:
c. Infinitud L
os números racionales e irracionales son
infinitamente numerosos.
1. Indica si los números son naturales, enteros,
racionales o irracionales; además, señala los
que no pertenecen al conjunto de los reales.
a. 36
b. ∀∈
c. 5-
d. 2.2111111
e. 0.12Y
f. 0
a. 36 = ±6; ±6 ∈ Z
b. ∀∈∈ I
c. 5- ∉ R
d. 2.2111111 =
90
199
;
90
199
∈ Q
e. 0.12Y =
33
4
;
33
4
∈ Q
f. 0 ∈ N
2. ¿Cuánt
15 existen entre
3
2
y 1?
Homogenizando las fracciones con deno-
minador 15.
35
25
x
15
115
15
10
x
15
15
<< <<&
#
##
Las fracciones son:
15
11
;
15
12
;
15
13
y
15
14
En total son 4 fracciones.
43Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 3
11 NUMEROS REALES (R).indd 43 24/01/2020 22:50:22
1. Propiedades de la adición: a.
Propiedad de clausura:
∀ a, b ∈ R: a + b ∈ R
b. Propiedad asociativa:
∀ a, b, c ∈ R :(a + b) +c = a + (b + c)
c. Propiedad conmutativa:
∀ a, b ∈ R: a + b = b + a
d. Elemento neutro aditivo:
∀ a ∈ R: 0 + a = a + 0 = a
e. Elemento inverso aditivo:
∀ a ∈ R: a + (–a) = –a + a = 0
Observación: •
Los números con signos iguales se suman y
conservan el signo
• Los números con signos diferentes se restan y
prevalece el signo del mayor valor numérico. Ejemplos:
a.
5 12 7+-=-^h
b. 3 2 1+-=+^h
c. 27 9+=+
d. 25 7-+-=-^ ^h h
2. Propiedades de la multiplicación:
a. Propiedad de clausura:
Si a y b ∈ R: a•b ∈ R
b. Propiedad asociativa:
Si a, b y c ∈ R: (a•b)•c = a•(b•c)
c. Propiedad conmutativa:
Si a y b ∈ R: a•b = b•a
d. Propiedad distributiva:
Si a, b y c ∈ R:
a • (b + c) = a • b + a• c
e. Elemento neutro multiplicativo:
Si a ∈ R: a • 1 = 1 • a = a
f. Elemento inverso multiplicativo:
Si a ∈ R – �0�: aa a
a
1
1
1
::==
-
3. Propiedades de la división:
La división no es c
onmutativa, pues al cambiar el
orden de sus términos el resultado también varía.
•
Cero dividido entre cualquier número da cero
• No se puede dividir por cero, pues no existe.
Características de los números reales
a. Orden
T
odos los números reales tienen un orden
b.
Tricotomía
a � b ∨ a = b ∨ a � b; a, b ∈ R:
c. Infinitud L
os números racionales e irracionales son
infinitamente numerosos.
1. Indica si los números son naturales, enteros,
racionales o irracionales; además, señala los
que no pertenecen al conjunto de los reales.
a. 36
b. ∀∈
c. 5-
d. 2.2111111
e. 0.12Y
f. 0
a. 36 = ±6; ±6 ∈ Z
b. ∀∈∈ I
c. 5- ∉ R
d. 2.2111111 =
90
199
;
90
199
∈ Q
e. 0.12Y =
33
4
;
33
4
∈ Q
f. 0 ∈ N
2. ¿Cuánt
15 existen entre
3
2
y 1?
Homogenizando las fracciones con deno-
minador 15.
35
25
x
15
115
15
10
x
15
15
<< <<&
#
##
Las fracciones son:
15
11
;
15
12
;
15
13
y
15
14
En total son 4 fracciones.
43Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 3
11 NUMEROS REALES (R).indd 43 24/01/2020 22:50:22
3. De los siguientes números
3
11
;4y
3
1
. ¿Cuáles
no puede tomar a para que la expresión
E sea un número natural?
E
10
3a1
=
-
Reemplazando:
• E
10
3
3
11
1
1=
-
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O O
; 1 ∈ N
•
()
E
10
341
10
11
=
-
=;
10
11
∈ N
• E
10
3
3
1
1
0=
-
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
; 0 ∈ N
Los valores que toma a son:
3
11
y
3
1
4. Calcula la suma de los tres primeros valores de «x».
M
5
x7
Zd=
-
+
Los tres primeros valores de M={ 1; 2 y 3}
• M1
5
x7
1x 12&&=
-
==
• M2
5
x7
2x 17&&=
-
==
• M3
5
x7
3x 22&&=
-
==
⇒ 12+17+22 = 51
5. En la siguiente figura, el radio del círculo es 4 cm.
r =4
a. El perímetro es un número
b. El diámetro es un número
c. El área es un número
a. Perímetro 2.r2 48 cmππ π== =_i ; 8=- ∈ I
b. Diámetro 2r24 8cm== =_i ; 8 ∈ N
c. Área .r 416cm
22 2
ππ π== =; 16=- ∈ I
6. Observa cada numero de la tabla y marca con
un aspa (x) según el conjunto al que pertenece:
Número N Z Q I R
– 8 x x x
2/3 x x
1,333... x x
8
3
- x x x
2
18
x x x x
3
=--
x x
7. En una tienda de ropa, se muestra lo siguiente:
¿Cuánto gastará un comprador si lleva 2
pantalones, 3 camisas y 2 pares de zapatillas?
Se realizan las operaciones que se están
pidiendo:
Pantalones ⇒ 2 × 89,90 = 179,80
Camisas ⇒ 3 × 72,50 = 217,50
Casaca ⇒ 2 × 60,20 = 120,40
Ahora se procede a hacer la suma:
179,80 + 217,50 + 120,40 = 517,70
8. Calcula el área de un triángulo equilátero, cuyo
lado mide 2,5 cm, redondear al centésimo.
2.5 cmConsidera:
31,73=
Recordando la formula del área del trián-
gulo equilátero:
A
4
L3
2
=3 , donde L = lado del triangulo
Reemplazando L = 2,5 cm y operando se tiene:
A
4
(2,5)3
2,70cm
2
2
==3
44Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
11 NUMEROS REALES (R).indd 44 24/01/2020 22:50:25
3
11
;4y
3
1
. ¿Cuáles
no puede tomar a para que la expresión
E sea un número natural?
E
10
3a1
=
-
Reemplazando:
• E
10
3
3
11
1
1=
-
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O O
; 1 ∈ N
•
()
E
10
341
10
11
=
-
=;
10
11
∈ N
• E
10
3
3
1
1
0=
-
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
; 0 ∈ N
Los valores que toma a son:
3
11
y
3
1
4. Calcula la suma de los tres primeros valores de «x».
M
5
x7
Zd=
-
+
Los tres primeros valores de M={ 1; 2 y 3}
• M1
5
x7
1x 12&&=
-
==
• M2
5
x7
2x 17&&=
-
==
• M3
5
x7
3x 22&&=
-
==
⇒ 12+17+22 = 51
5. En la siguiente figura, el radio del círculo es 4 cm.
r =4
a. El perímetro es un número
b. El diámetro es un número
c. El área es un número
a. Perímetro 2.r2 48 cmππ π== =_i ; 8=- ∈ I
b. Diámetro 2r24 8cm== =_i ; 8 ∈ N
c. Área .r 416cm
22 2
ππ π== =; 16=- ∈ I
6. Observa cada numero de la tabla y marca con
un aspa (x) según el conjunto al que pertenece:
Número N Z Q I R
– 8 x x x
2/3 x x
1,333... x x
8
3
- x x x
2
18
x x x x
3
=--
x x
7. En una tienda de ropa, se muestra lo siguiente:
¿Cuánto gastará un comprador si lleva 2
pantalones, 3 camisas y 2 pares de zapatillas?
Se realizan las operaciones que se están
pidiendo:
Pantalones ⇒ 2 × 89,90 = 179,80
Camisas ⇒ 3 × 72,50 = 217,50
Casaca ⇒ 2 × 60,20 = 120,40
Ahora se procede a hacer la suma:
179,80 + 217,50 + 120,40 = 517,70
8. Calcula el área de un triángulo equilátero, cuyo
lado mide 2,5 cm, redondear al centésimo.
2.5 cmConsidera:
31,73=
Recordando la formula del área del trián-
gulo equilátero:
A
4
L3
2
=3 , donde L = lado del triangulo
Reemplazando L = 2,5 cm y operando se tiene:
A
4
(2,5)3
2,70cm
2
2
==3
44Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
11 NUMEROS REALES (R).indd 44 24/01/2020 22:50:25
Razón
Comparación entre dos magnitudes que puede
hacerse empleando la sustracción o la división,
según estas operaciones pueden clasificarse en:
1.
Razón aritmética: Comparación entre dos can-
tidades mediante la sustracción, nos determina
el exceso de una cantidad sobre la otra.
Ejemplo:
La estatura de Janet es 140 cm y la estatura de
David es 182 cm, ¿cuál es la razón aritmética de dichas estaturas?
Razón aritmética: 182 – 140 = 42 cm
De manera general una razón aritmética puede
escribirse como:
a – b = r
a
•
a
• b: consecuente
• r
a
: razón aritmética
2. Razón geométrica: Comparación entre dos
cantidades mediante la división, nos determina
la cantidad de veces que una cantidad contie-
ne a la otra.
Ejemplo:
El salario de José es de S/ 10 000 mensuales, y
el de Miguel es de S/ 2 000, ¿Cuál es la razón geométrica entre dichas cantidades?
Razón geométrica:
2 000
10000
= 5
De manera general una razón geométrica
puede escribirse como:
b
a
= r
g
Donde:
• a: antecedente
• b: consecuente
• r
g
: razón geométrica
Proporción
Igualdad que se produce entre dos razones arit-
méticas o dos razones geométricas, estas pueden
clasificarse en:
1.
Proporción aritmética: Es la igualdad entre dos
razones aritméticas.
Ejemplo:
40 – 21 = 19
102 – 83 = 19
Entonces: 40 – 21 = 102 – 83
De manera general:
a – b = c – d
Donde:
• a y d: términos extremos
• b y c: términos medios
Propiedad:
Toda proporción aritmética cumple que la
suma de sus términos medios es igual a la
suma de sus términos extremos.
Simbólicamente:
a – b = c – d & a + d = b + c
Clasificación de las proporciones aritméticas
a. Discreta: Se cumple que los t érminos medios
son diferentes.
a – b = c – d b ≠ c
Se dice que d es la cuarta diferencial de a, b y c
b. Continua: Se cumple que los términos me-
dios son iguales.
a – b = b – c
Razones y proporciones
Danilo tenía dificultades en Matemáticas y
Química, por eso decidió practicar cierta cantidad de horas semanalmente. La profesora le recomendó distribuir su tiempo de estudio: por cada 3 horas de Matemáticas, debía estudiar 2 horas de Química. Luego de unos meses, Danilo notó que gracias a ello las clases se volvieron más fáciles de entender.
Si Danilo estudia estos dos cursos un total de
30 h a la semana, ¿cuántas horas estudia Química?
45Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 3
12 RAZONES Y PROPORCIONES.indd 45 24/01/2020 23:43:02
Comparación entre dos magnitudes que puede
hacerse empleando la sustracción o la división,
según estas operaciones pueden clasificarse en:
1.
Razón aritmética: Comparación entre dos can-
tidades mediante la sustracción, nos determina
el exceso de una cantidad sobre la otra.
Ejemplo:
La estatura de Janet es 140 cm y la estatura de
David es 182 cm, ¿cuál es la razón aritmética de dichas estaturas?
Razón aritmética: 182 – 140 = 42 cm
De manera general una razón aritmética puede
escribirse como:
a – b = r
a
•
a
• b: consecuente
• r
a
: razón aritmética
2. Razón geométrica: Comparación entre dos
cantidades mediante la división, nos determina
la cantidad de veces que una cantidad contie-
ne a la otra.
Ejemplo:
El salario de José es de S/ 10 000 mensuales, y
el de Miguel es de S/ 2 000, ¿Cuál es la razón geométrica entre dichas cantidades?
Razón geométrica:
2 000
10000
= 5
De manera general una razón geométrica
puede escribirse como:
b
a
= r
g
Donde:
• a: antecedente
• b: consecuente
• r
g
: razón geométrica
Proporción
Igualdad que se produce entre dos razones arit-
méticas o dos razones geométricas, estas pueden
clasificarse en:
1.
Proporción aritmética: Es la igualdad entre dos
razones aritméticas.
Ejemplo:
40 – 21 = 19
102 – 83 = 19
Entonces: 40 – 21 = 102 – 83
De manera general:
a – b = c – d
Donde:
• a y d: términos extremos
• b y c: términos medios
Propiedad:
Toda proporción aritmética cumple que la
suma de sus términos medios es igual a la
suma de sus términos extremos.
Simbólicamente:
a – b = c – d & a + d = b + c
Clasificación de las proporciones aritméticas
a. Discreta: Se cumple que los t érminos medios
son diferentes.
a – b = c – d b ≠ c
Se dice que d es la cuarta diferencial de a, b y c
b. Continua: Se cumple que los términos me-
dios son iguales.
a – b = b – c
Razones y proporciones
Danilo tenía dificultades en Matemáticas y
Química, por eso decidió practicar cierta cantidad de horas semanalmente. La profesora le recomendó distribuir su tiempo de estudio: por cada 3 horas de Matemáticas, debía estudiar 2 horas de Química. Luego de unos meses, Danilo notó que gracias a ello las clases se volvieron más fáciles de entender.
Si Danilo estudia estos dos cursos un total de
30 h a la semana, ¿cuántas horas estudia Química?
45Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 3
12 RAZONES Y PROPORCIONES.indd 45 24/01/2020 23:43:02
Se dic
además se verifica que:
b =
ac
2
+
Donde c es la tercera diferencial de a y b.
2. Proporción geométrica: Igualdad entre dos o
más razones geométricas.
Ejemplo:
18
4
9
2
=
27
6
9
2
=
18
4
27
6
=
De manera general, se tiene:
b
a
d
c
=
Donde:
• a y d: términos extremos.
• b y c: términos medios.
Observación
• Los numeradores de toda proporción
geométrica, también son llamados
antecedentes.
• Los denominadores de toda proporción
geométrica, también son llamados consecuentes.
Propiedad:
Toda proporción geométrica cumple que el
producto de sus términos medios es igual al producto de sus términos extremos.
Simbólicamente:
b
a
d
c
= & ad = bc
Clasificación de las proporciones geométricas
a. Discreta: Es aquella donde sus t érminos me-
dios son diferentes.
b
a
d
c
= b ≠ c
Donde:
d es la cuarta proporcional de a, b y c.
b. Continua: Es aquella que tiene sus términos
medios iguales.
b
a
c
b
=
Se verifica que: b = ac
Donde: b es la media proporcional de a y c. c es la tercera proporcional de a y b.
Principales propiedades de la proporción
geométrica
Para una proporción geométrica de la forma
b
a
d
c
= se cumple que:
1.
b
ab
d
cd+
=
+
2.
b
ab
d
cd-
=
-
3.
a
ab
c
cd+
=
+
4.
a
ab
c
cd-
=
-
5.
ab
a
cd
c
+
=
+
6.
ab
ab
cd
cd
-
+
=
-
+
7.
bd
ac
b
a
d
c
+
+
==
Serie de razones geométricas equivalentes Es una igualdad de dos o más razones geométri-
cas que verifican:
...
b
a
b
a
b
a
b
a n
n
11
2
2
3
3
== == = k
A partir de esto tenemos:
a
1
= kb
1
; a
2
= kb
2
; ….; a
n
= kb
n
Se cumple las siguientes propiedades:
•
...
...
...
bb
aa
b
a
b
a
b
a
b
a nn
n
n
1
1
1
1
2
2
3
3
++
++
== == = = k
•
...
...
bb b
aa a n
n
1212
## #
## #
= k
n
•
...
...
bb
aa
m
n
m
m
n
m
1
1
++
++
= k
m
1. La suma de las edades de dos hermanos es 84
años,
si la razón geométrica
3
4
es, determina la
edad del hermano mayor dentro de 4 años
Sea:
A
= edad del 1° hermano.
B = edad del segundo hermano.
Por dato:
A + B = 84
B
A
k
k
3
4
=
4k + 3k = 84
⇒ 7k = 84
⇒ k = 12
A tiene 48 años y B tiene 36 años
Dentro de 4 años el mayor tendrá 52 años
46Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
12 RAZONES Y PROPORCIONES.indd 46 24/01/2020 23:43:04
además se verifica que:
b =
ac
2
+
Donde c es la tercera diferencial de a y b.
2. Proporción geométrica: Igualdad entre dos o
más razones geométricas.
Ejemplo:
18
4
9
2
=
27
6
9
2
=
18
4
27
6
=
De manera general, se tiene:
b
a
d
c
=
Donde:
• a y d: términos extremos.
• b y c: términos medios.
Observación
• Los numeradores de toda proporción
geométrica, también son llamados
antecedentes.
• Los denominadores de toda proporción
geométrica, también son llamados consecuentes.
Propiedad:
Toda proporción geométrica cumple que el
producto de sus términos medios es igual al producto de sus términos extremos.
Simbólicamente:
b
a
d
c
= & ad = bc
Clasificación de las proporciones geométricas
a. Discreta: Es aquella donde sus t érminos me-
dios son diferentes.
b
a
d
c
= b ≠ c
Donde:
d es la cuarta proporcional de a, b y c.
b. Continua: Es aquella que tiene sus términos
medios iguales.
b
a
c
b
=
Se verifica que: b = ac
Donde: b es la media proporcional de a y c. c es la tercera proporcional de a y b.
Principales propiedades de la proporción
geométrica
Para una proporción geométrica de la forma
b
a
d
c
= se cumple que:
1.
b
ab
d
cd+
=
+
2.
b
ab
d
cd-
=
-
3.
a
ab
c
cd+
=
+
4.
a
ab
c
cd-
=
-
5.
ab
a
cd
c
+
=
+
6.
ab
ab
cd
cd
-
+
=
-
+
7.
bd
ac
b
a
d
c
+
+
==
Serie de razones geométricas equivalentes Es una igualdad de dos o más razones geométri-
cas que verifican:
...
b
a
b
a
b
a
b
a n
n
11
2
2
3
3
== == = k
A partir de esto tenemos:
a
1
= kb
1
; a
2
= kb
2
; ….; a
n
= kb
n
Se cumple las siguientes propiedades:
•
...
...
...
bb
aa
b
a
b
a
b
a
b
a nn
n
n
1
1
1
1
2
2
3
3
++
++
== == = = k
•
...
...
bb b
aa a n
n
1212
## #
## #
= k
n
•
...
...
bb
aa
m
n
m
m
n
m
1
1
++
++
= k
m
1. La suma de las edades de dos hermanos es 84
años,
si la razón geométrica
3
4
es, determina la
edad del hermano mayor dentro de 4 años
Sea:
A
= edad del 1° hermano.
B = edad del segundo hermano.
Por dato:
A + B = 84
B
A
k
k
3
4
=
4k + 3k = 84
⇒ 7k = 84
⇒ k = 12
A tiene 48 años y B tiene 36 años
Dentro de 4 años el mayor tendrá 52 años
46Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
12 RAZONES Y PROPORCIONES.indd 46 24/01/2020 23:43:04
2. En una proporción geométrica discreta la suma
de los extremos es 48 y su diferencia es 12, si los
antecedentes están en razón de 5 a 2, determina
el valor de la razón geométrica de la proporción, si todos sus términos son números naturales.
La proporción geométrica discreta, viene
dada por:
b
a
d
c
=
Además: a + d = 48
a – d = 12
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
2a = 60
⇒ a = 30 ∧ d = 18
Como los antecedentes están en razón de 5 a 2:
c
a
2
5
= ⇒
c
30
2
5
=
⇒ c = 12
Valor de la proporción:
45
30
18
12
=
3. Los c
equivalentes son 12; 5 y 10. Si el producto de los antecedentes es 16 200, ¿cuánto suman los mismos?
Las tres razones geométricas verifican que:
abc
12510
== = k
a = 12k b = 5k c = 10k
Producto de antecedentes es 16 200, entonces:
(12k)(5k)(10k) = 16 200
600k
3
= 16 200
⇒ k
3
= 27 ⇒ k=3
Suma de antecedentes:
12k + 5k + 10k = 27(3) = 81
4. Si se v
abc d
74 126
== =
A+ cd = 2 500, encuentra el valor de
a + c
abc d
74 126
== = = k
ab + cd = 2 500
(7k)(4k)+(12k)(6k) = 2 500
28k
2
+ 72k
2
= 2 500
100k
2
= 2 500
⇒ k
2
= 25
⇒ k = 5
Nos piden: a + c = 7k + 12k = 19k
⇒ a + c = 95
5. En la siguiente proporción geométrica:
m
A
n
B
p
C
q
D
== =
La suma de los antecedentes es 12 y la suma de
consecuentes es 75, calcula el valor de:
T = Am Bn Cp Dq++ +
m
A
n
B
p
C
q
D
== = = k
A = mk B = nk C = pk D=qk
Por dato:
A + B + C + D = 12
m + n + p + q = 75
(m + n + p + q)k = 12 & k =
75
12
25
4
=
Am Bn Cp Dq++ +
=mk nk pk qk
22 22
++ +
=mk nk pk qk++ +
⇒ k(m+n+p+q) =
5
2
(75) = 30
6. En una proporción geométrica de constante
positiva, los antecedentes son 2; 3: 7 y 11. Si el
producto de los consecuentes es 37 422. Halla
la constante de proporcionalidad.
a
2
b
3
c
7
d
11
K
abcd
2371 1
K
4
&
## #
## #
== == =
Por dato: a×b×c×d = 37 422
37 422
462
abcd
2371 1
KK
44
&&
## #
## #
==
K
3
1
81
1
K
4
&==
7. La c
es a la cantidad de peras como 3 es a 2; y la cantidad de peras es a la cantidad de duraznos que tiene como 3 es a 5. Sabiendo que las cantidades de naranjas y duraznos suman 95. ¿Cuántas peras tiene el negociante?.
N = naranjas
P = peras
D= duraznos
P
N
2
3
P
D
3
5
;MCM2,36/== =^h
Si: P = 6k ⇒ N = 9k ∧ D = 10k
Por dato: N + D = 95
⇒ 10k + 9k = 19k = 95
⇒ k = 5
P = 6k = 30
47Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritmética Unidad 3
12 RAZONES Y PROPORCIONES.indd 47 24/01/2020 23:43:06
de los extremos es 48 y su diferencia es 12, si los
antecedentes están en razón de 5 a 2, determina
el valor de la razón geométrica de la proporción, si todos sus términos son números naturales.
La proporción geométrica discreta, viene
dada por:
b
a
d
c
=
Además: a + d = 48
a – d = 12
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
2a = 60
⇒ a = 30 ∧ d = 18
Como los antecedentes están en razón de 5 a 2:
c
a
2
5
= ⇒
c
30
2
5
=
⇒ c = 12
Valor de la proporción:
45
30
18
12
=
3. Los c
equivalentes son 12; 5 y 10. Si el producto de los antecedentes es 16 200, ¿cuánto suman los mismos?
Las tres razones geométricas verifican que:
abc
12510
== = k
a = 12k b = 5k c = 10k
Producto de antecedentes es 16 200, entonces:
(12k)(5k)(10k) = 16 200
600k
3
= 16 200
⇒ k
3
= 27 ⇒ k=3
Suma de antecedentes:
12k + 5k + 10k = 27(3) = 81
4. Si se v
abc d
74 126
== =
A+ cd = 2 500, encuentra el valor de
a + c
abc d
74 126
== = = k
ab + cd = 2 500
(7k)(4k)+(12k)(6k) = 2 500
28k
2
+ 72k
2
= 2 500
100k
2
= 2 500
⇒ k
2
= 25
⇒ k = 5
Nos piden: a + c = 7k + 12k = 19k
⇒ a + c = 95
5. En la siguiente proporción geométrica:
m
A
n
B
p
C
q
D
== =
La suma de los antecedentes es 12 y la suma de
consecuentes es 75, calcula el valor de:
T = Am Bn Cp Dq++ +
m
A
n
B
p
C
q
D
== = = k
A = mk B = nk C = pk D=qk
Por dato:
A + B + C + D = 12
m + n + p + q = 75
(m + n + p + q)k = 12 & k =
75
12
25
4
=
Am Bn Cp Dq++ +
=mk nk pk qk
22 22
++ +
=mk nk pk qk++ +
⇒ k(m+n+p+q) =
5
2
(75) = 30
6. En una proporción geométrica de constante
positiva, los antecedentes son 2; 3: 7 y 11. Si el
producto de los consecuentes es 37 422. Halla
la constante de proporcionalidad.
a
2
b
3
c
7
d
11
K
abcd
2371 1
K
4
&
## #
## #
== == =
Por dato: a×b×c×d = 37 422
37 422
462
abcd
2371 1
KK
44
&&
## #
## #
==
K
3
1
81
1
K
4
&==
7. La c
es a la cantidad de peras como 3 es a 2; y la cantidad de peras es a la cantidad de duraznos que tiene como 3 es a 5. Sabiendo que las cantidades de naranjas y duraznos suman 95. ¿Cuántas peras tiene el negociante?.
N = naranjas
P = peras
D= duraznos
P
N
2
3
P
D
3
5
;MCM2,36/== =^h
Si: P = 6k ⇒ N = 9k ∧ D = 10k
Por dato: N + D = 95
⇒ 10k + 9k = 19k = 95
⇒ k = 5
P = 6k = 30
47Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Aritmética Unidad 3
12 RAZONES Y PROPORCIONES.indd 47 24/01/2020 23:43:06
Reparto proporcional
Reparto proporcional
El reparto proporcional como se estudió anterior-
mente puede ser simple o compuesto, veamos
los siguientes casos:
1. Reparto proporcional simple
Consiste en descomponer una cantidad en par- tes que pueden ser directa o inversamente pro- porcional a unos números llamados índices.
a.
Reparto simple directo (D.P)
Veamos este reparto por medio de un ejemplo.
Ejemplo:
• Reparte 1 200 en partes D.P a los números 2;
3 y 7. Indica las partes repartidas.
1 200
Índices
D.P.Partes Donde:
2 ⇒ a = 2K
3 ⇒ b = 3k
7 ⇒ c = 7k
k
23 7
1200
100=
++
=
⇒ a = 200; b = 300 y c = 700
b. Reparto simple inverso (I.P)
Las cantidades a repartir son inversamente pro-
porcionales a los índices.
Ejemplo:
• Reparte 900 en partes I.P a los números 3; 4 y 6.
Indica las partes repartidas.
900
IP��DP Partes
a4k
b3k
c2k
3
3
1
124
4
4
1
123
6
6
1
122
"&
"&
"&
#
#
#
=
=
=
=
=
=
Ojo: 12 = M.C.M (3; 4; 6)
k
432
900
100=
++
=
Donde:
⇒ a = 400; b = 300 y c = 200
2. Reparto proporcional compuesto
En este tipo de reparto, se trata de repartir una cantidad en forma D.P a ciertos números y a la vez en forma I.P a otros, se procede de la si- guiente manera:
a.
Se convierte la relación I.P a D.P (invirtiendo
los índices)
b. Se multiplican los índices de las dos relacio-
nes D.P
c. Realiza un reparto simple directo con los
nuevos índices.
Ejemplos:
a. Reparte 648 en forma D.P a 4 y a 6 y a la vez
en forma I.P a 3 y 9.
Convertimos de I.P. a D.P.
648
4
3
1
6
9
1
D.P.D.P.
Multiplicamos estos índices y tenemos los
nuevos índices de reparto:
648
3
3
4
3
1
3
4
4k
6
9
1
3
2
2k
#
#
==
==
D.P.ÍndicesD.P.
En cualquier reparto podemos multiplicar o dividir a conveniencia a todos los términos.
2k6484k
6486kk 108"
+=
==
Por lo tanto las cantidades son:
1°parte:4108432
2°parte:2108 216
#
#
=
=
Desde pequeña, Luisa siempre soñó con ser policía. Su mamá, al escuchar el deseo de su hija, la matriculó en un colegio pre-policial, donde le brindaron 3 horas diarias de enseñanza académica y 4 de entrenamiento físico. Luego de culminar la etapa escolar, Luisa ha ingresado a la escuela de policía obteniendo el mejor puntaje en el examen de rendimiento académico y físico.
¿Qué tipo de reparto se usó en las horas de
aprendizaje?
48Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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13 REPARTO PROPORCIONAL.indd 48 24/01/2020 22:49:10
Reparto proporcional
El reparto proporcional como se estudió anterior-
mente puede ser simple o compuesto, veamos
los siguientes casos:
1. Reparto proporcional simple
Consiste en descomponer una cantidad en par- tes que pueden ser directa o inversamente pro- porcional a unos números llamados índices.
a.
Reparto simple directo (D.P)
Veamos este reparto por medio de un ejemplo.
Ejemplo:
• Reparte 1 200 en partes D.P a los números 2;
3 y 7. Indica las partes repartidas.
1 200
Índices
D.P.Partes Donde:
2 ⇒ a = 2K
3 ⇒ b = 3k
7 ⇒ c = 7k
k
23 7
1200
100=
++
=
⇒ a = 200; b = 300 y c = 700
b. Reparto simple inverso (I.P)
Las cantidades a repartir son inversamente pro-
porcionales a los índices.
Ejemplo:
• Reparte 900 en partes I.P a los números 3; 4 y 6.
Indica las partes repartidas.
900
IP��DP Partes
a4k
b3k
c2k
3
3
1
124
4
4
1
123
6
6
1
122
"&
"&
"&
#
#
#
=
=
=
=
=
=
Ojo: 12 = M.C.M (3; 4; 6)
k
432
900
100=
++
=
Donde:
⇒ a = 400; b = 300 y c = 200
2. Reparto proporcional compuesto
En este tipo de reparto, se trata de repartir una cantidad en forma D.P a ciertos números y a la vez en forma I.P a otros, se procede de la si- guiente manera:
a.
Se convierte la relación I.P a D.P (invirtiendo
los índices)
b. Se multiplican los índices de las dos relacio-
nes D.P
c. Realiza un reparto simple directo con los
nuevos índices.
Ejemplos:
a. Reparte 648 en forma D.P a 4 y a 6 y a la vez
en forma I.P a 3 y 9.
Convertimos de I.P. a D.P.
648
4
3
1
6
9
1
D.P.D.P.
Multiplicamos estos índices y tenemos los
nuevos índices de reparto:
648
3
3
4
3
1
3
4
4k
6
9
1
3
2
2k
#
#
==
==
D.P.ÍndicesD.P.
En cualquier reparto podemos multiplicar o dividir a conveniencia a todos los términos.
2k6484k
6486kk 108"
+=
==
Por lo tanto las cantidades son:
1°parte:4108432
2°parte:2108 216
#
#
=
=
Desde pequeña, Luisa siempre soñó con ser policía. Su mamá, al escuchar el deseo de su hija, la matriculó en un colegio pre-policial, donde le brindaron 3 horas diarias de enseñanza académica y 4 de entrenamiento físico. Luego de culminar la etapa escolar, Luisa ha ingresado a la escuela de policía obteniendo el mejor puntaje en el examen de rendimiento académico y físico.
¿Qué tipo de reparto se usó en las horas de
aprendizaje?
48Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
13 REPARTO PROPORCIONAL.indd 48 24/01/2020 22:49:10
b. Reparte S/ 1 400 de manera D.P a 12 y 24 y a la
vez D.P a
3
1
y
8
1
.
Como los índices están dados de manera D.P
no hay necesidad de realizar conversiones,
entonces:
1 400
12
3
1
24
8
1
D.P.D.P.
Multiplicamos y obtenemos los nuevos índi- ces, así tenemos:
1 4004
3
12
3
1
24
8
1
&
&
D.P.ÍndicesD.P.
Efectuamos el nuevo reparto:
• 1 400 = 4k + 3k
1 400 = 7k ⇒ k = 200
Por lo tanto: •
1° parte: 4 × 200 =800
• 2° parte: 3 × 200 =600
Ejercicios resueltos
1. Reparte 7 200 D.P a 200;392y288,encuen-
tra la menor de las partes luego de dicha repar-
tición.
Tenemos las siguientes partes:
• 200= 58
• 392= 78
• 288= 68
Se puede multiplicar o dividir a los 3
términos a conveniencia:
7 200
5k
8
58k
=
7k
8
78k
=
8
68k
6k=
5k + 6k + 7k = 7 200
⇒ 18k = 7 200
⇒ k = 400
Nos piden: 5k = 2 000
2. Reparte S/ 6 513 en partes inversamente proporcionales a: 0,2; 0,3; 2,5 y 3,2.
6 513
5K2401200K# =
3
10k
240800K# =
5
2k
24096K# =
16
5k
24075K# =
MCM (3; 5; 16) = 240
2171K6513
k3
=
=
Por lo tanto las cantidades son:
• 1° parte = 1 200(3) = 3 600
• 2° parte = 800(3) = 2 400
• 3° parte = 96(3) = 288
• 4° parte = 75(3) = 225
3. Ana
proporcional a los números 7; 5 y 4. Si la mayor
parte excede a la menor en S/ 1 800. Halla la
cantidad repartida.
Herencia
7k
5k
4k
Luego:
7k4k1800
3k1800
k600
-=
=
=
Nos piden: 7k + 5k + 4k
⇒ 16k = 16 (600)
⇒ 16k = 9 600
Por lo tanto:
La herencia es de S/ 9 600.
TIC
Puedes seguir aprendiendo sobre reparto propor-
cional compuesto entrando a la siguiente dirección:
ht
tps://www.youtube.com/
watch?v=8zLJYMDXF9k
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Aritmética Unidad 3
13 REPARTO PROPORCIONAL.indd 49 24/01/2020 22:49:12
vez D.P a
3
1
y
8
1
.
Como los índices están dados de manera D.P
no hay necesidad de realizar conversiones,
entonces:
1 400
12
3
1
24
8
1
D.P.D.P.
Multiplicamos y obtenemos los nuevos índi- ces, así tenemos:
1 4004
3
12
3
1
24
8
1
&
&
D.P.ÍndicesD.P.
Efectuamos el nuevo reparto:
• 1 400 = 4k + 3k
1 400 = 7k ⇒ k = 200
Por lo tanto: •
1° parte: 4 × 200 =800
• 2° parte: 3 × 200 =600
Ejercicios resueltos
1. Reparte 7 200 D.P a 200;392y288,encuen-
tra la menor de las partes luego de dicha repar-
tición.
Tenemos las siguientes partes:
• 200= 58
• 392= 78
• 288= 68
Se puede multiplicar o dividir a los 3
términos a conveniencia:
7 200
5k
8
58k
=
7k
8
78k
=
8
68k
6k=
5k + 6k + 7k = 7 200
⇒ 18k = 7 200
⇒ k = 400
Nos piden: 5k = 2 000
2. Reparte S/ 6 513 en partes inversamente proporcionales a: 0,2; 0,3; 2,5 y 3,2.
6 513
5K2401200K# =
3
10k
240800K# =
5
2k
24096K# =
16
5k
24075K# =
MCM (3; 5; 16) = 240
2171K6513
k3
=
=
Por lo tanto las cantidades son:
• 1° parte = 1 200(3) = 3 600
• 2° parte = 800(3) = 2 400
• 3° parte = 96(3) = 288
• 4° parte = 75(3) = 225
3. Ana
proporcional a los números 7; 5 y 4. Si la mayor
parte excede a la menor en S/ 1 800. Halla la
cantidad repartida.
Herencia
7k
5k
4k
Luego:
7k4k1800
3k1800
k600
-=
=
=
Nos piden: 7k + 5k + 4k
⇒ 16k = 16 (600)
⇒ 16k = 9 600
Por lo tanto:
La herencia es de S/ 9 600.
TIC
Puedes seguir aprendiendo sobre reparto propor-
cional compuesto entrando a la siguiente dirección:
ht
tps://www.youtube.com/
watch?v=8zLJYMDXF9k
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Aritmética Unidad 3
13 REPARTO PROPORCIONAL.indd 49 24/01/2020 22:49:12
Magnitudes proporcionales
Magnitudes proporcionales
Las magnitudes matemáticas son todas aquellas
que se pueden medir. El término proporcional hace
referencia a una relación de correspondencia entre
varias magnitudes.
1. Magnitudes directamente proporcionales (DP)
Una magnitud A es D.P. a otra magnitud B, cuan- do al aumentar o disminuir el primero, el segun- do también aumenta o disminuye, respectiva- mente en la misma relación o proporción.
Ejemplo:
Consideremos el caso de una balanza y un saco
de arroz.
N° sacos Peso (Kg)
1 36
2 72
3 108
2
1
18
×2
×3
÷2
×2
×3 ÷2
Gráfica de la magnitud directamente proporcional
El gráfico de la proporcionalidad directa es una
recta que se origina en el eje de coordenadas.
a
n
a
1
b
1
b
2
b
n
a
2
B
A
A DP B ⇒
b
a
b
a
b
a
b
a
k
n
n
1
1
2
2
3
3
g=== ==
2. Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Una magnitud A es I.P. a otra magnitud B, cuando al aumentar o disminuir uno de ellos, el otro disminuye o aumenta, respectivamente en la misma relación o proporción.
Ejemplo:
Consideremos el caso del tiempo de viaje de la
casa al colegio si nos trasladamos en moto.
Velocidad(km/h) Tiempo(h)
40 2
80 1
20 4
200
5
2
×2 ÷2
÷4 ×4
×10 ÷10
Gráfica de la magnitud inversamente proporcional
El gráfico de proporcionalidad inversa es una
hipérbola.a
n
a
1
a
2
b
1
b
2
b
n
B
A
A IP B ⇒ ab ab ab ab k
nn11 22 33
g== == =
A diferencia de las magnitudes directas, en las magnitudes inversas la constante está determinada por el producto de los valores de la magnitud A y la magnitud B.
Mario participó en el concurso de gimnasia artística; sin embargo, no consiguió sorprender al jurado. Su entrenador le aconsejó entrenar un poco más Mario, hizo caso a su entrenador y aumentó sus horas diarias de práctica. Luego de seguir esta rutina por 3 años, él volvió a concursar, logrando conseguir el primer puesto en todas las disciplinas.
¿Qué magnitudes encuentras? ¿Son directas o
inversamente proporcionales?
50Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
14 MAGNITUDES PORPORCIONALES.indd 50 24/01/2020 22:49:01
Magnitudes proporcionales
Las magnitudes matemáticas son todas aquellas
que se pueden medir. El término proporcional hace
referencia a una relación de correspondencia entre
varias magnitudes.
1. Magnitudes directamente proporcionales (DP)
Una magnitud A es D.P. a otra magnitud B, cuan- do al aumentar o disminuir el primero, el segun- do también aumenta o disminuye, respectiva- mente en la misma relación o proporción.
Ejemplo:
Consideremos el caso de una balanza y un saco
de arroz.
N° sacos Peso (Kg)
1 36
2 72
3 108
2
1
18
×2
×3
÷2
×2
×3 ÷2
Gráfica de la magnitud directamente proporcional
El gráfico de la proporcionalidad directa es una
recta que se origina en el eje de coordenadas.
a
n
a
1
b
1
b
2
b
n
a
2
B
A
A DP B ⇒
b
a
b
a
b
a
b
a
k
n
n
1
1
2
2
3
3
g=== ==
2. Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Una magnitud A es I.P. a otra magnitud B, cuando al aumentar o disminuir uno de ellos, el otro disminuye o aumenta, respectivamente en la misma relación o proporción.
Ejemplo:
Consideremos el caso del tiempo de viaje de la
casa al colegio si nos trasladamos en moto.
Velocidad(km/h) Tiempo(h)
40 2
80 1
20 4
200
5
2
×2 ÷2
÷4 ×4
×10 ÷10
Gráfica de la magnitud inversamente proporcional
El gráfico de proporcionalidad inversa es una
hipérbola.a
n
a
1
a
2
b
1
b
2
b
n
B
A
A IP B ⇒ ab ab ab ab k
nn11 22 33
g== == =
A diferencia de las magnitudes directas, en las magnitudes inversas la constante está determinada por el producto de los valores de la magnitud A y la magnitud B.
Mario participó en el concurso de gimnasia artística; sin embargo, no consiguió sorprender al jurado. Su entrenador le aconsejó entrenar un poco más Mario, hizo caso a su entrenador y aumentó sus horas diarias de práctica. Luego de seguir esta rutina por 3 años, él volvió a concursar, logrando conseguir el primer puesto en todas las disciplinas.
¿Qué magnitudes encuentras? ¿Son directas o
inversamente proporcionales?
50Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
14 MAGNITUDES PORPORCIONALES.indd 50 24/01/2020 22:49:01
Ejercicios resueltos
1. La magnitud A
2
es inversamente proporcional
a B. El valor de A es 4 cuando B es 64. ¿Qué
valor toma B cuando A es 16?
Buscamos la proporcionalidad:
A
2
. B = K
Entonces:
si: A=4 ⇒ B=64
Luego, A=16 ⇒ B =?
Reemplazo:
4
2
• 64 = 16
2
• B
⇒ B = 4
2. Si A es directamente proporcional a B
3
,
además cuando A es 20; B= 125 . Determina el
valor de A cuando B= 64.
Hallamos la proporcionalidad:
B
A
K
3
=
Entonces:
Si: A=20 ⇒ B =125
Luego, A=? ⇒ B=64
Reemplazo:
A
A
125
20
64
16
33
&
=
=
3. Si par
2
de un terreno se demora 12
horas. ¿Cuántas horas se demorará en arar un terreno de 32m
2
?
Magnitud A
Área(m
2
)
48
32
Magnitud B
Tiempo(h)
12
?
↑ Área = ↑ Tiempo
Entonces:
Tiempo
rea
k
x
xh oras
12
4832
8
Á
&
=
=
=
4. A partir de la siguiente tabla:
A 2 4 Y 8
B 4 X 108 256
Determina el valor de X+ Y.
Determinamos la proporcionalidad
SiA2 B4
4
2
4
8
2
SiA8 B256
256
8
256
512
2
B
A
k2
3
3
3
&
&
&
==
==
==
==
==
Entonces:
A4 BX
X
4
2
X32
3
&==
=
=
AY B108
108
Y
2
Y216
Y6
3
3
&==
=
=
=
X + Y = 32 + 6 = 38
5. Calcula y – x
3
.
12
6
x 6 y
A
B
4
En la gráfica de magnitudes directas:
x
4
6
12
x2&
=
=
En la gráfica de magnitudes inversas:
12 × 6 = 6 × y
y = 12
Luego:
yx 122
yx 4
33
3
-= -
-=
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Aritm?tica Unidad 3
14 MAGNITUDES PORPORCIONALES.indd 51 24/01/2020 22:49:02
1. La magnitud A
2
es inversamente proporcional
a B. El valor de A es 4 cuando B es 64. ¿Qué
valor toma B cuando A es 16?
Buscamos la proporcionalidad:
A
2
. B = K
Entonces:
si: A=4 ⇒ B=64
Luego, A=16 ⇒ B =?
Reemplazo:
4
2
• 64 = 16
2
• B
⇒ B = 4
2. Si A es directamente proporcional a B
3
,
además cuando A es 20; B= 125 . Determina el
valor de A cuando B= 64.
Hallamos la proporcionalidad:
B
A
K
3
=
Entonces:
Si: A=20 ⇒ B =125
Luego, A=? ⇒ B=64
Reemplazo:
A
A
125
20
64
16
33
&
=
=
3. Si par
2
de un terreno se demora 12
horas. ¿Cuántas horas se demorará en arar un terreno de 32m
2
?
Magnitud A
Área(m
2
)
48
32
Magnitud B
Tiempo(h)
12
?
↑ Área = ↑ Tiempo
Entonces:
Tiempo
rea
k
x
xh oras
12
4832
8
Á
&
=
=
=
4. A partir de la siguiente tabla:
A 2 4 Y 8
B 4 X 108 256
Determina el valor de X+ Y.
Determinamos la proporcionalidad
SiA2 B4
4
2
4
8
2
SiA8 B256
256
8
256
512
2
B
A
k2
3
3
3
&
&
&
==
==
==
==
==
Entonces:
A4 BX
X
4
2
X32
3
&==
=
=
AY B108
108
Y
2
Y216
Y6
3
3
&==
=
=
=
X + Y = 32 + 6 = 38
5. Calcula y – x
3
.
12
6
x 6 y
A
B
4
En la gráfica de magnitudes directas:
x
4
6
12
x2&
=
=
En la gráfica de magnitudes inversas:
12 × 6 = 6 × y
y = 12
Luego:
yx 122
yx 4
33
3
-= -
-=
51Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica Unidad 3
14 MAGNITUDES PORPORCIONALES.indd 51 24/01/2020 22:49:02
Análisis combinatorio
Análisis combinatorio
Ténicas de conteo
1. Principio de la multiplicación: Si un evento A
ocurre de «m» maneras y para cada una de
estas, otro evento B ocurre de «n» maneras,
entonces el evento A seguido de B ocurre de
«m × n» maneras.
Ejemplo:
Janet tiene 3 camisas, 3 pantalones y dos pares
de zapatos, todas prendas diferentes, ¿de cuán-
tas maneras distintas puede lucir una vestimen-
ta constituida por camisa, pantalón y zapatos.
Solución:
Tenemos lo siguiente:
•
Evento A: Elección de camisa (3 formas)
• Evento B: Elección de pantalón (3 formas)
• Evento C: Elección de un par de zapatos (2
formas)
Graficando se tiene:
C
1
P
1
Z
1
C
2
P
2
C
3
P
3
Z
2
Camisas Pantalones Zapatos
3 × 3 × 2
18 maneras distintas
Por lo tanto, Janet tiene 18 maneras distintas
de vestirse.
2. Principio de la adición: Si un evento A ocurre
de «m» maneras y otro evento B ocurre de «n» maneras, entonces el evento A o B, ocurre de
«m + n» maneras.
Ejemplo
Nicole quiere viajar de Lima a Cusco y tiene a su
disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres,
¿de cuántas maneras podrá realizar dicho viaje?
Solución:
Nicole puede elegir viajar por vía aérea o por
vía terrestre, pero no puede hacerlo simultá-
neamente por las dos vías.
Viendo la situación de manera gráfica:
Vía terrestre ( 5 opciones)Vía terrestre ( 5 opciones)
A
B
Vía aérea ( 2 opciones)
Entonces:
Evento A
Viajar por aire
2
opciones
Evento B
Viajar por tierra
5
opciones
+ =7
Por lo tanto, Nicole podrá realizar el viaje de 7
maneras diferentes.
Leonard tiene dificultad para algunos deportes. Luego de buscar algunas academias deportivas, le interesaron 5, sin embargo, solo podía inscribirse en 2 de ellas. Le costó un poco elegir, pero al final pudo tomar una decisión. Luego de unos meses notó que sus prácticas estaban dando resultado, por lo que continuó con la misma rutina.
¿Es importante la disciplina en el deporte?
¿Cuántas formas de inscripción tuvo como
opción?
52Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 52 24/01/2020 23:43:31
Análisis combinatorio
Ténicas de conteo
1. Principio de la multiplicación: Si un evento A
ocurre de «m» maneras y para cada una de
estas, otro evento B ocurre de «n» maneras,
entonces el evento A seguido de B ocurre de
«m × n» maneras.
Ejemplo:
Janet tiene 3 camisas, 3 pantalones y dos pares
de zapatos, todas prendas diferentes, ¿de cuán-
tas maneras distintas puede lucir una vestimen-
ta constituida por camisa, pantalón y zapatos.
Solución:
Tenemos lo siguiente:
•
Evento A: Elección de camisa (3 formas)
• Evento B: Elección de pantalón (3 formas)
• Evento C: Elección de un par de zapatos (2
formas)
Graficando se tiene:
C
1
P
1
Z
1
C
2
P
2
C
3
P
3
Z
2
Camisas Pantalones Zapatos
3 × 3 × 2
18 maneras distintas
Por lo tanto, Janet tiene 18 maneras distintas
de vestirse.
2. Principio de la adición: Si un evento A ocurre
de «m» maneras y otro evento B ocurre de «n» maneras, entonces el evento A o B, ocurre de
«m + n» maneras.
Ejemplo
Nicole quiere viajar de Lima a Cusco y tiene a su
disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres,
¿de cuántas maneras podrá realizar dicho viaje?
Solución:
Nicole puede elegir viajar por vía aérea o por
vía terrestre, pero no puede hacerlo simultá-
neamente por las dos vías.
Viendo la situación de manera gráfica:
Vía terrestre ( 5 opciones)Vía terrestre ( 5 opciones)
A
B
Vía aérea ( 2 opciones)
Entonces:
Evento A
Viajar por aire
2
opciones
Evento B
Viajar por tierra
5
opciones
+ =7
Por lo tanto, Nicole podrá realizar el viaje de 7
maneras diferentes.
Leonard tiene dificultad para algunos deportes. Luego de buscar algunas academias deportivas, le interesaron 5, sin embargo, solo podía inscribirse en 2 de ellas. Le costó un poco elegir, pero al final pudo tomar una decisión. Luego de unos meses notó que sus prácticas estaban dando resultado, por lo que continuó con la misma rutina.
¿Es importante la disciplina en el deporte?
¿Cuántas formas de inscripción tuvo como
opción?
52Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 52 24/01/2020 23:43:31
3. Principio de inclusión – exclusión: Para este
tema se usará la versión más simple, que tiene
que ver con el cardinal de la unión de conjuntos,
así se tiene:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
4. Permutaciones: Son los diferentes arreglos u
ordenaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En toda permutación, la caracte- rística fundamental es el orden con el que se disponen los elementos.
a.
Permutación lineal: Es un ordenamiento en
fila, donde el número de permutaciones que
se pueden realizar con n elementos es:
Pn!n=
Donde:
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 3 × 2 × 1
Ejemplo:
Seis amigos van al cine para celebrar su amis-
tad. Si desean sentarse en una fila de seis asien-
tos, de ¿cuántas maneras podrán sentarse?
Solución:
Número de elementos: n = 6
Entonces: P
6
= 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720
b.
Permutación circular: Son agrupaciones
donde no hay primer ni último elemento por
hallar. Todos estos elementos están ubicados
en una línea cerrada (circunferencia). Para
hallar el número de permutaciones circula-
res que se pueden formar con «n» objetos dis-
tintos de un conjunto, hay que considerar fija
la posición de un elemento, los n – 1 restantes
podrán cambiar de lugar de (n – 1)! formas di-
ferentes, tomando todas las posiciones sobre
la circunferencia relativa al primer punto.
Por lo tanto:
Pn 1!c
n
=-_i
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5
amigos alrededor de una mesa circular?
Solución:
Número de elementos: n = 5, así:
P5 1!4!24c
5
=- ==_i
c. Permutación con elementos repetidos: Es un
arreglo de elementos, en los cuales algunos
pertenecen a una misma clase. Si se dispo-
nen de n elementos, en los cuales hay:
n
1
: elementos de la primera clase.
n
2
: elementos de la segunda clase.
...
n
k
: elementos de la k– ésima clase.
Tal que: n
1
+n
2
+n
3
+ ... +n
k
≤ n
El número de permutaciones que se obtie-
nen con estos elementos está dado por:
Pn,n,,n
n!n! n!
n!
12 k
12 k## #
f
f
=_i
Ejemplo:
¿Cuántas conjugaciones diferentes se pueden
formar con las letras de la palabra BANANA?
Solución:
Tenemos lo siguiente:
•
Número de veces que se repite la letra A = 3
• Número de veces que se repite la letra N = 2
• Número total de elementos:
n = 1 + 3 + 2 = 6
Aplicando la fórmula:
P3,2
3!2!
6!
60
#
==
_i
En total se pueden formar 60 conjugaciones
diferentes con las letras de la palabra BANANA.
5. Combinaciones: Una combinación es un grupo
que se puede formar con una parte o con to- dos los elementos disponibles de un conjunto, donde no interesa el orden de sus elementos. El número de combinaciones de «n» elemen- tos diferentes tomados de «k» en «k» se calcula como:
!!
!
C
knk
n
k
n=
-
_i
, 0 ≤ k ≤ n
Ejemplos:
a. De un grupo de 7 personas se quiere formar
una comisión de 3 personas, ¿de cuántas
maneras diferentes se puede formar dicha
comisión?
Solución:
C
4! 3!
7!
353
7
#
==
Se podrán formar 35 comisiones.
53Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Aritmética Unidad 3
15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 53 24/01/2020 23:43:34
tema se usará la versión más simple, que tiene
que ver con el cardinal de la unión de conjuntos,
así se tiene:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
4. Permutaciones: Son los diferentes arreglos u
ordenaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En toda permutación, la caracte- rística fundamental es el orden con el que se disponen los elementos.
a.
Permutación lineal: Es un ordenamiento en
fila, donde el número de permutaciones que
se pueden realizar con n elementos es:
Pn!n=
Donde:
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 3 × 2 × 1
Ejemplo:
Seis amigos van al cine para celebrar su amis-
tad. Si desean sentarse en una fila de seis asien-
tos, de ¿cuántas maneras podrán sentarse?
Solución:
Número de elementos: n = 6
Entonces: P
6
= 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720
b.
Permutación circular: Son agrupaciones
donde no hay primer ni último elemento por
hallar. Todos estos elementos están ubicados
en una línea cerrada (circunferencia). Para
hallar el número de permutaciones circula-
res que se pueden formar con «n» objetos dis-
tintos de un conjunto, hay que considerar fija
la posición de un elemento, los n – 1 restantes
podrán cambiar de lugar de (n – 1)! formas di-
ferentes, tomando todas las posiciones sobre
la circunferencia relativa al primer punto.
Por lo tanto:
Pn 1!c
n
=-_i
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5
amigos alrededor de una mesa circular?
Solución:
Número de elementos: n = 5, así:
P5 1!4!24c
5
=- ==_i
c. Permutación con elementos repetidos: Es un
arreglo de elementos, en los cuales algunos
pertenecen a una misma clase. Si se dispo-
nen de n elementos, en los cuales hay:
n
1
: elementos de la primera clase.
n
2
: elementos de la segunda clase.
...
n
k
: elementos de la k– ésima clase.
Tal que: n
1
+n
2
+n
3
+ ... +n
k
≤ n
El número de permutaciones que se obtie-
nen con estos elementos está dado por:
Pn,n,,n
n!n! n!
n!
12 k
12 k## #
f
f
=_i
Ejemplo:
¿Cuántas conjugaciones diferentes se pueden
formar con las letras de la palabra BANANA?
Solución:
Tenemos lo siguiente:
•
Número de veces que se repite la letra A = 3
• Número de veces que se repite la letra N = 2
• Número total de elementos:
n = 1 + 3 + 2 = 6
Aplicando la fórmula:
P3,2
3!2!
6!
60
#
==
_i
En total se pueden formar 60 conjugaciones
diferentes con las letras de la palabra BANANA.
5. Combinaciones: Una combinación es un grupo
que se puede formar con una parte o con to- dos los elementos disponibles de un conjunto, donde no interesa el orden de sus elementos. El número de combinaciones de «n» elemen- tos diferentes tomados de «k» en «k» se calcula como:
!!
!
C
knk
n
k
n=
-
_i
, 0 ≤ k ≤ n
Ejemplos:
a. De un grupo de 7 personas se quiere formar
una comisión de 3 personas, ¿de cuántas
maneras diferentes se puede formar dicha
comisión?
Solución:
C
4! 3!
7!
353
7
#
==
Se podrán formar 35 comisiones.
53Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritmética Unidad 3
15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 53 24/01/2020 23:43:34
b. A la final de un torneo de ajedrez clasifican 15
jugadores, ¿cuántos partidas se jugarán en la
final, si se juega todos contra todos?
!!
!
C
132
15
1052
15
#
==
6. V Se llaman variaciones ordina-
rias de «m» elementos tomados de «n» en «n»
(m ≥ n) a los distintos grupos formados por «n»
elementos de modo que:
• No participan todos los elementos.
• Si importa el orden.
Vm m1m2m3 (mn1)n
m
f=- -- -+__ _ii i
Mediante factoriales:
V
mn !
m!
n
m=
-
_i
Ejemplo:
Calcula las variaciones de 6 elementos tomados
de 3 en 3.
V
63!
6!
3!
6x5x4x3!
1203
6=
-==
_i
Ejercicios resueltos
1. Se desea ubicar a 5 hombres y 4 mujeres en una
fila, de manera que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras se puede realizar dicho ordenamiento?
Debido a que en la fila hay 9 personas en total, se tiene 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los 5 hombres).
De manera gráfica:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Luego: P
4
= 4! = 24 (número de formas en las que se
pueden ubicar las mujeres) P
5
= 5! =120 (número de formas en las que se
pueden ubicar los hombres) Entonces, por el principio de multiplicación,
el total de formas de ubicarlos será:
24 × 120 = 2 880
2. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un e
xamen. ¿De cuántas maneras puede
elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
a. El orden en que se elijan las preguntas no int
eresa, y como no pueden repetirse
usamos la combinación. Entonces, el total de formas está dado por:
C
107!7!
10!
32 1
1098
1207
10
# ##
##
=
-
==
_i
b. Si las 4 primeras son obligatorias, entonces
se debe escoger 3 de las 6 restantes para completar las 7 que se exigen.
Luego, el total de formas está dado por:
C
63!3!
6!
3213 !
6543 !
203
6
# ## #
## #
=
-
==
_i
3. ¿De cuántas formas pueden combinarse los siete
colores del arcoíris, tomándolos de tres en tres?
• No participan todos los elementos.
• No importa el orden.
• No se repiten los elementos.
C
3!73!
7!
3214 !
765 4!
353
7
## #
## #
=
-
==
^h
Luego, pueden combinarse de 35 formas.
4. ¿De cuántos partidos consta una liguilla
formada por 5 equipos de fútbol si se juega
todos contra todos?
• No participan todos los elementos.
• No importa el orden.
• No se repiten los elementos.
C
52!2!
5!
3!2!
54 3!
102
5
# #
##
=
-
==
^h
Luego, la liguilla consta de 10 partidos.
Metacognición
••¿Qué apr
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
super
é?
••¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
54Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 54 24/01/2020 23:43:36
jugadores, ¿cuántos partidas se jugarán en la
final, si se juega todos contra todos?
!!
!
C
132
15
1052
15
#
==
6. V Se llaman variaciones ordina-
rias de «m» elementos tomados de «n» en «n»
(m ≥ n) a los distintos grupos formados por «n»
elementos de modo que:
• No participan todos los elementos.
• Si importa el orden.
Vm m1m2m3 (mn1)n
m
f=- -- -+__ _ii i
Mediante factoriales:
V
mn !
m!
n
m=
-
_i
Ejemplo:
Calcula las variaciones de 6 elementos tomados
de 3 en 3.
V
63!
6!
3!
6x5x4x3!
1203
6=
-==
_i
Ejercicios resueltos
1. Se desea ubicar a 5 hombres y 4 mujeres en una
fila, de manera que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras se puede realizar dicho ordenamiento?
Debido a que en la fila hay 9 personas en total, se tiene 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los 5 hombres).
De manera gráfica:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Luego: P
4
= 4! = 24 (número de formas en las que se
pueden ubicar las mujeres) P
5
= 5! =120 (número de formas en las que se
pueden ubicar los hombres) Entonces, por el principio de multiplicación,
el total de formas de ubicarlos será:
24 × 120 = 2 880
2. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un e
xamen. ¿De cuántas maneras puede
elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
a. El orden en que se elijan las preguntas no int
eresa, y como no pueden repetirse
usamos la combinación. Entonces, el total de formas está dado por:
C
107!7!
10!
32 1
1098
1207
10
# ##
##
=
-
==
_i
b. Si las 4 primeras son obligatorias, entonces
se debe escoger 3 de las 6 restantes para completar las 7 que se exigen.
Luego, el total de formas está dado por:
C
63!3!
6!
3213 !
6543 !
203
6
# ## #
## #
=
-
==
_i
3. ¿De cuántas formas pueden combinarse los siete
colores del arcoíris, tomándolos de tres en tres?
• No participan todos los elementos.
• No importa el orden.
• No se repiten los elementos.
C
3!73!
7!
3214 !
765 4!
353
7
## #
## #
=
-
==
^h
Luego, pueden combinarse de 35 formas.
4. ¿De cuántos partidos consta una liguilla
formada por 5 equipos de fútbol si se juega
todos contra todos?
• No participan todos los elementos.
• No importa el orden.
• No se repiten los elementos.
C
52!2!
5!
3!2!
54 3!
102
5
# #
##
=
-
==
^h
Luego, la liguilla consta de 10 partidos.
Metacognición
••¿Qué apr
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
super
é?
••¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
54Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 54 24/01/2020 23:43:36
Medidas de dispersión
Medidas de dispersión
Cuando estudiamos medidas de tendencia cen-
tral, nombramos al rango como la diferencia en-
tre el mayor y el menor de todos los datos; vea-
mos ahora las medidas de dispersión que son las
que se encargan de estudiar el comportamiento
de todos los datos y como se distribuyen alrede-
dor de un valor central. Dentro de estas medidas
se encuentran: el rango, la desviación media, la
desviación estándar y la varianza.
1. Medidas de dispersión para datos no agrupados
a. Rango (R): Es la variación o diferencia entre
el mayor y el menor dato de un conjunto de datos recolectados.
b.
Desviación media (D.M): Es el promedio de
distancias o diferencias entre cada dato con la media aritmética. Se usa para medir la va- riabilidad de un conjunto de datos y se calcu- la usando la siguiente fórmula:
.
||
DM
n
xx
i
n
1
=
-
=
r
/
Ejemplo:
Calcula la desviación media para el siguiente conjunto de datos:
5 10 15 20 25 30 35
Solución:
En primer lugar calculamos la media:
x
n
x
ii
n
1
=
=/
x
7
510152025303 5
x
7
140
x20&
=
++ ++ ++
==
r
rr
Ordenando en tablas, se tiene:
x |xx|-r
5 15
10 10
15 5
20 0
25 5
30 10
35 15
Por lo tanto:
||xx 60
i
n
1
-=
=
r/
Finalmente, la desviación media viene dada
por:
.
||
.DM
n
xx
7
60
857i
n
1
=
-
==
=
r/
c. Vσ
2
): La varianza puede considerarse
como el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y la media arit- mética del conjunto de datos. La varianza se representa con el símbolo (σ
2
).
En forma matemática:
n
xx xx xx
n
2
1
2
2
22
f
v=
-+-+ +-rr r__ _ii i
De forma abreviada, se tiene:
()
n
xx
ii
n
2 1
2
v=
-
=
r
/
Donde n es el total de datos.
Manuel se propuso reducir el uso de su celular, para ello, anotó en una tabla la cantidad de horas que lo utilizaba.
Lu Ma Mi Ju ViSa Do
4 3 4 4 3 6 6
Poco a poco fue reduciendo su tiempo de uso. ¿Es posible determinar la deviación media de las horas?
55Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 3
16 MEDIDAS DE DISPERSION.indd 55 24/01/2020 22:48:46
Medidas de dispersión
Cuando estudiamos medidas de tendencia cen-
tral, nombramos al rango como la diferencia en-
tre el mayor y el menor de todos los datos; vea-
mos ahora las medidas de dispersión que son las
que se encargan de estudiar el comportamiento
de todos los datos y como se distribuyen alrede-
dor de un valor central. Dentro de estas medidas
se encuentran: el rango, la desviación media, la
desviación estándar y la varianza.
1. Medidas de dispersión para datos no agrupados
a. Rango (R): Es la variación o diferencia entre
el mayor y el menor dato de un conjunto de datos recolectados.
b.
Desviación media (D.M): Es el promedio de
distancias o diferencias entre cada dato con la media aritmética. Se usa para medir la va- riabilidad de un conjunto de datos y se calcu- la usando la siguiente fórmula:
.
||
DM
n
xx
i
n
1
=
-
=
r
/
Ejemplo:
Calcula la desviación media para el siguiente conjunto de datos:
5 10 15 20 25 30 35
Solución:
En primer lugar calculamos la media:
x
n
x
ii
n
1
=
=/
x
7
510152025303 5
x
7
140
x20&
=
++ ++ ++
==
r
rr
Ordenando en tablas, se tiene:
x |xx|-r
5 15
10 10
15 5
20 0
25 5
30 10
35 15
Por lo tanto:
||xx 60
i
n
1
-=
=
r/
Finalmente, la desviación media viene dada
por:
.
||
.DM
n
xx
7
60
857i
n
1
=
-
==
=
r/
c. Vσ
2
): La varianza puede considerarse
como el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y la media arit- mética del conjunto de datos. La varianza se representa con el símbolo (σ
2
).
En forma matemática:
n
xx xx xx
n
2
1
2
2
22
f
v=
-+-+ +-rr r__ _ii i
De forma abreviada, se tiene:
()
n
xx
ii
n
2 1
2
v=
-
=
r
/
Donde n es el total de datos.
Manuel se propuso reducir el uso de su celular, para ello, anotó en una tabla la cantidad de horas que lo utilizaba.
Lu Ma Mi Ju ViSa Do
4 3 4 4 3 6 6
Poco a poco fue reduciendo su tiempo de uso. ¿Es posible determinar la deviación media de las horas?
55Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 3
16 MEDIDAS DE DISPERSION.indd 55 24/01/2020 22:48:46
d. Des σ): Es la medida de dis-
persión más frecuente por ser la más práctica,
podemos definirla como la raíz cuadrada de la
varianza, es decir:
n
xx xx xx
n1
2
2
22
f
v=
-+-+ +-rr r__ _ii i
De manera abreviada:
()
n
xx
ii
n
2
1
v=
-
=
r
/
2. Medidas de dispersión para datos agrupados
a. Desviación media (D.M)
.DM
n
fxx
ii
i
n
1
=
-
=
r
/
b. Vσ
2
)
()
n
fxx
iii
n
2 1
2
v=
-
=
r
/
c. Desσ )
()
n
fxx
iii n
2 1
2
v=
-
=
r
/
Ejercicios resueltos
1. Halla la desviación media del siguiente conjunto
de datos.
3; 4; 2; 7; 5; 4
Primero hallemos la mediana:
x
6
342754
4,167=
++ ++ +
=
Ahora hallemos la desviación media:
.
||
DM
n
xx
i
n
1
=
-
=
r
/
.
,, ,, ,,
DM
6
116701672167283308330167
=
++ ++ +
Finalmente, tenemos:
.
,
.,
DM
DM
6
7334
1222&
=
=
2. Calcula la media y la desviación media del siguiente conjunto de datos.
5,42 6,22 8,42 7,54 6,44 6,76
5,90 6,18 7,16 6,80 7,32 8,12
6,84 7,12 8,21 8,13 7,25 7,34
5,56 8,32 7,45 7,43 6,87 7,10
Ordenando los datos en una tabla de frecuencias se tiene:
Intervalos
Frecuencia
absoluta
(f
i
)
Marca
de clase
(x
i
)
x
i
f
i
|x
i
– x|
[5 – 5,5> 1 5,25 5,25 1,81
[5,5 – 6> 2 5,75 11,5 1,31
[6 – 6,5> 3 6,25 18,75 0,81
[6,5 – 7> 4 6,75 27 0,31
[7 – 7,5> 8 7,25 58 0,19
[7,5 – 8> 1 7,75 7,75 0,69
[8 – 8,5> 5 8,25 41,25 1,19
Total 24 169,50 6,31
Luego, para hallar la media usamos:
x
n
fx
ii
i
n
1
=
=/
x
n
xfxf xf
nn
11 22
f
=
++ +
r
Reemplazando se tiene:
x
24
5.25 11.51 8.75 41.25f
=
++ ++
x
24
169,5
x7,06
&
&
=
=
Luego, tenemos:
.
.
.
||
,
,
DM
DM
DM
n
xx
24
631
026
i
n
1
&
&
=
-
=
=
=
r/
56Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
16 MEDIDAS DE DISPERSION.indd 56 24/01/2020 22:48:48
persión más frecuente por ser la más práctica,
podemos definirla como la raíz cuadrada de la
varianza, es decir:
n
xx xx xx
n1
2
2
22
f
v=
-+-+ +-rr r__ _ii i
De manera abreviada:
()
n
xx
ii
n
2
1
v=
-
=
r
/
2. Medidas de dispersión para datos agrupados
a. Desviación media (D.M)
.DM
n
fxx
ii
i
n
1
=
-
=
r
/
b. Vσ
2
)
()
n
fxx
iii
n
2 1
2
v=
-
=
r
/
c. Desσ )
()
n
fxx
iii n
2 1
2
v=
-
=
r
/
Ejercicios resueltos
1. Halla la desviación media del siguiente conjunto
de datos.
3; 4; 2; 7; 5; 4
Primero hallemos la mediana:
x
6
342754
4,167=
++ ++ +
=
Ahora hallemos la desviación media:
.
||
DM
n
xx
i
n
1
=
-
=
r
/
.
,, ,, ,,
DM
6
116701672167283308330167
=
++ ++ +
Finalmente, tenemos:
.
,
.,
DM
DM
6
7334
1222&
=
=
2. Calcula la media y la desviación media del siguiente conjunto de datos.
5,42 6,22 8,42 7,54 6,44 6,76
5,90 6,18 7,16 6,80 7,32 8,12
6,84 7,12 8,21 8,13 7,25 7,34
5,56 8,32 7,45 7,43 6,87 7,10
Ordenando los datos en una tabla de frecuencias se tiene:
Intervalos
Frecuencia
absoluta
(f
i
)
Marca
de clase
(x
i
)
x
i
f
i
|x
i
– x|
[5 – 5,5> 1 5,25 5,25 1,81
[5,5 – 6> 2 5,75 11,5 1,31
[6 – 6,5> 3 6,25 18,75 0,81
[6,5 – 7> 4 6,75 27 0,31
[7 – 7,5> 8 7,25 58 0,19
[7,5 – 8> 1 7,75 7,75 0,69
[8 – 8,5> 5 8,25 41,25 1,19
Total 24 169,50 6,31
Luego, para hallar la media usamos:
x
n
fx
ii
i
n
1
=
=/
x
n
xfxf xf
nn
11 22
f
=
++ +
r
Reemplazando se tiene:
x
24
5.25 11.51 8.75 41.25f
=
++ ++
x
24
169,5
x7,06
&
&
=
=
Luego, tenemos:
.
.
.
||
,
,
DM
DM
DM
n
xx
24
631
026
i
n
1
&
&
=
-
=
=
=
r/
56Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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16 MEDIDAS DE DISPERSION.indd 56 24/01/2020 22:48:48
3. Determina la media del conjunto de datos.
1; 3; 5; 4; 2; 5; 5; 3; 4; 2; 1; 5; 3; 2; 3; 2; 1; 4; 2; 1; 3; 4; 5; 5.
Ordenando los datos en una tabla de
frecuencias se tiene:
Intervalos
Frecuencia
absoluta
(f
i
)
Marca
de clase
(x
i
)
x
i
f
i
[1 – 2> 4 1,5 6
[2 – 3> 5 2,5 12,5
[3 – 4> 5 3,5 17,5
[4 – 5> 4 4,5 18
[5 – 6> 6 5,5 33
Total 24 87
Luego, para hallar la media usamos:
x
n
xfxf xf
nn
11 22
f
=
++ +
r
Reemplazando se tiene:
x
24
1,512,517,53 3
24
87
3,625
f
=
++ ++
==
4. Del problema anterior, calcula la desviación
media.
En la tabla anterior, añadimos una columna para agregar el valor absoluto de la diferencia entre la media y la marca de clase de cada intervalo, y otra columna para indicar el producto de la frecuencia por el valor absoluto de la diferencia.
Intervalos f
i
x
i
|x
i
– x| f
i
|x
i
– x|
[1 – 2> 4 1,5 2,125 8,5
[2 – 3> 5 2,5 1,125 5,625
[3 – 4> 5 3,5 0,125 0,625
[4 – 5> 4 4,5 0,875 3,5
[5 – 6> 6 5,5 1,875 11,25
Total 24 6,125 29,5
Luego, tenemos:
.
||
.
,
,
DM
n
fxx
DM
24
295
1229
ii
n
1
=
-
==
=
r
/
5. Determina la varianza y la desviación estándar del conjunto de datos del ejercicio número 3.
Añadimos a la tabla anterior la siguiente columna.
Intervalos f
i
x
i
|x
i
– x| (x
i
– x)
2
[1 – 2> 4 1,5 2,125 4,516
[2 – 3> 5 2,5 1,125 1,266
[3 – 4> 5 3,5 0,125 0,016
[4 – 5> 4 4,5 0,875 0,766
[5 – 6> 6 5,5 1,875 3,516
Total 24 6,125
Luego multiplicamos la última columna por las frecuencias absolutas.
Intervalos f
i
x
i
(x
i
– x)
2
f
i
(x
i
– x)
2
[1 – 2> 4 1,5 4,516 18,06
[2 – 3> 5 2,5 1,266 6,30
[3 – 4> 5 3,5 0,016 0,08
[4 – 5> 4 4,5 0,766 3,064
[5 – 6> 6 5,5 3,516 21,096
Total 24 48,63
Luego, tenemos:
n
fxxf xx fx x
nn
2
11
2
22
22
f
v=
-+ -+ +-__ _ii i
Finalmente la varianza es:
24
48,63
2,026
2
rf==
Además, la desviación estándar es:
1,423&rf=
Metacognición
••¿Qué apr
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
super
é?
••¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
57Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Aritmética Unidad 3
16 MEDIDAS DE DISPERSION.indd 57 24/01/2020 22:48:50
1; 3; 5; 4; 2; 5; 5; 3; 4; 2; 1; 5; 3; 2; 3; 2; 1; 4; 2; 1; 3; 4; 5; 5.
Ordenando los datos en una tabla de
frecuencias se tiene:
Intervalos
Frecuencia
absoluta
(f
i
)
Marca
de clase
(x
i
)
x
i
f
i
[1 – 2> 4 1,5 6
[2 – 3> 5 2,5 12,5
[3 – 4> 5 3,5 17,5
[4 – 5> 4 4,5 18
[5 – 6> 6 5,5 33
Total 24 87
Luego, para hallar la media usamos:
x
n
xfxf xf
nn
11 22
f
=
++ +
r
Reemplazando se tiene:
x
24
1,512,517,53 3
24
87
3,625
f
=
++ ++
==
4. Del problema anterior, calcula la desviación
media.
En la tabla anterior, añadimos una columna para agregar el valor absoluto de la diferencia entre la media y la marca de clase de cada intervalo, y otra columna para indicar el producto de la frecuencia por el valor absoluto de la diferencia.
Intervalos f
i
x
i
|x
i
– x| f
i
|x
i
– x|
[1 – 2> 4 1,5 2,125 8,5
[2 – 3> 5 2,5 1,125 5,625
[3 – 4> 5 3,5 0,125 0,625
[4 – 5> 4 4,5 0,875 3,5
[5 – 6> 6 5,5 1,875 11,25
Total 24 6,125 29,5
Luego, tenemos:
.
||
.
,
,
DM
n
fxx
DM
24
295
1229
ii
n
1
=
-
==
=
r
/
5. Determina la varianza y la desviación estándar del conjunto de datos del ejercicio número 3.
Añadimos a la tabla anterior la siguiente columna.
Intervalos f
i
x
i
|x
i
– x| (x
i
– x)
2
[1 – 2> 4 1,5 2,125 4,516
[2 – 3> 5 2,5 1,125 1,266
[3 – 4> 5 3,5 0,125 0,016
[4 – 5> 4 4,5 0,875 0,766
[5 – 6> 6 5,5 1,875 3,516
Total 24 6,125
Luego multiplicamos la última columna por las frecuencias absolutas.
Intervalos f
i
x
i
(x
i
– x)
2
f
i
(x
i
– x)
2
[1 – 2> 4 1,5 4,516 18,06
[2 – 3> 5 2,5 1,266 6,30
[3 – 4> 5 3,5 0,016 0,08
[4 – 5> 4 4,5 0,766 3,064
[5 – 6> 6 5,5 3,516 21,096
Total 24 48,63
Luego, tenemos:
n
fxxf xx fx x
nn
2
11
2
22
22
f
v=
-+ -+ +-__ _ii i
Finalmente la varianza es:
24
48,63
2,026
2
rf==
Además, la desviación estándar es:
1,423&rf=
Metacognición
••¿Qué apr
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
super
é?
••¿Cómo puedo aplicar lo aprendido en
otras situaciones de mi vida diaria?
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Aritmética Unidad 3
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UNIDAD
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Proyecto educativo
4
Educación SecundariaProhibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
58
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
ARITMÉTICA
17 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA.indd 58 24/01/2020 22:51:15
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Proyecto educativo
4
Educación SecundariaProhibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
58
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ARITMÉTICA
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UNIDAD
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Proyecto educativo
4
Educación Secundaria
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Aritmética
Unidad 4 58
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
ARITMÉTICA
Regla de tres
La regla de tres es un método que nos permi -
te resolver problemas donde intervienen dos o
más magnitudes, este método puede ser: regla
de tres simple (directa e inversa) o regla de tres
compuesta.
1.
Regla de tres simple
Solo intervienen dos magnitudes, donde co -
nociéndose tres valores, dos pertenecientes a
una de las magnitudes y la tercera a la otra
magnitud, se debe calcular el cuarto valor.
a.
Regla de tres simple directa
Las magnitudes
que intervienen son directa-
mente proporcionales y se representan me-
diante el siguiente esquema:
Magnitud A D.P.
a
c
b
x
Magnitud B
Para obtener el valor de x, se aplica el método
de los productos cruzados:
ax = bc
⇒ x =
bc
a
Ejemplos:
Sebastián es un carpintero que trabaja en Tala
Peruana SAC, cuya eficiencia es tal que fabrica
40 mesas en 8 días. Si un empresario compra
56 mesas a la empresa, ¿en cuántos días se fa-
bricarán las 56 mesas, si el trabajo lo realizará
Sebastián?
Regla de tres simple y compuesta
Solución:
Identificamos las magnitudes:
Obra (número de mesas) y tiempo (días).
Como se puede apreciar, a mayor cantidad
de días, se podrá elaborar mayor cantidad de
mesas.
Por lo tanto, tenemos:
Obra
(N° de mesas)
Tiempo
(días)
40
56
5
x
D.P.
40x = 56 × 5
40x = 280
⇒ x = 7
Finalmente, Sebastián fabricará las 56 mesas
pedidas en 7 días.
b. Regla de tres simple inversa
Las magnitudes que intervienen son inversa-
mente proporcionales y se representan me-
diante el siguiente esquema:
Magnitud A I.P.
a
c
b
x
Magnitud B
Para obtener el valor de x, multiplicamos de
manera horizontal:
ab = cx
⇒ x =
ab
c
Gerardo y Julia van a participar en el concurso de plan lector, para ello practican diariamente. Las primeras semanas, ellos leen 20 páginas diarias en 4 horas, y poco a poco van mejorando. Luego de participar, ellos quedaron muy contentos, pues obtuvieron los primeros puestos en sus respectivos salones.
¿Cuántas páginas leían en 1 semana?
¿Cuántas hubiesen leído si la lectura tenía el
doble de dificultad?
17 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA.indd 59 24/01/2020 22:51:16
Pilares
Proyecto educativo
4
Educación Secundaria
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Aritmética
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
ARITMÉTICA
Regla de tres
La regla de tres es un método que nos permi -
te resolver problemas donde intervienen dos o
más magnitudes, este método puede ser: regla
de tres simple (directa e inversa) o regla de tres
compuesta.
1.
Regla de tres simple
Solo intervienen dos magnitudes, donde co -
nociéndose tres valores, dos pertenecientes a
una de las magnitudes y la tercera a la otra
magnitud, se debe calcular el cuarto valor.
a.
Regla de tres simple directa
Las magnitudes
que intervienen son directa-
mente proporcionales y se representan me-
diante el siguiente esquema:
Magnitud A D.P.
a
c
b
x
Magnitud B
Para obtener el valor de x, se aplica el método
de los productos cruzados:
ax = bc
⇒ x =
bc
a
Ejemplos:
Sebastián es un carpintero que trabaja en Tala
Peruana SAC, cuya eficiencia es tal que fabrica
40 mesas en 8 días. Si un empresario compra
56 mesas a la empresa, ¿en cuántos días se fa-
bricarán las 56 mesas, si el trabajo lo realizará
Sebastián?
Regla de tres simple y compuesta
Solución:
Identificamos las magnitudes:
Obra (número de mesas) y tiempo (días).
Como se puede apreciar, a mayor cantidad
de días, se podrá elaborar mayor cantidad de
mesas.
Por lo tanto, tenemos:
Obra
(N° de mesas)
Tiempo
(días)
40
56
5
x
D.P.
40x = 56 × 5
40x = 280
⇒ x = 7
Finalmente, Sebastián fabricará las 56 mesas
pedidas en 7 días.
b. Regla de tres simple inversa
Las magnitudes que intervienen son inversa-
mente proporcionales y se representan me-
diante el siguiente esquema:
Magnitud A I.P.
a
c
b
x
Magnitud B
Para obtener el valor de x, multiplicamos de
manera horizontal:
ab = cx
⇒ x =
ab
c
Gerardo y Julia van a participar en el concurso de plan lector, para ello practican diariamente. Las primeras semanas, ellos leen 20 páginas diarias en 4 horas, y poco a poco van mejorando. Luego de participar, ellos quedaron muy contentos, pues obtuvieron los primeros puestos en sus respectivos salones.
¿Cuántas páginas leían en 1 semana?
¿Cuántas hubiesen leído si la lectura tenía el
doble de dificultad?
17 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA.indd 59 24/01/2020 22:51:16
60 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ejemplo:
Si un grupo de 10 obreros pueden realizar una
obra en un tiempo de 9 días, ¿en cuánto tiem-
po podrán hacer la misma obra, un grupo de 15
obreros?
Solución:
Como se puede apreciar, a mayor cantidad
de obreros, la obra se podrá realizar en me-
nos días.
Por lo tanto:
Obreros Tiempo
10
15
9
x
I.P.
10 × 9 = 15x
90 = 15x
⇒ x = 6
Finalmente, 15 obreros podrán realizar dicha
obra en 6 días.
2. Regla de tres compuesta:
En este método intervienen tres o más mag- nitudes proporcionales, para resolver proble- mas de este tipo, se sigue el siguiente método práctico:
•
Coloca los valores correspondientes a la
misma magnitud, uno debajo de otro.
• Compara cada par de magnitudes
proporcionales con el que contiene la
incógnita.
• Para saber si son directa o inversamente
proporcionales con el par que contiene la incógnita, se sigue:
Si son directamente proporcionales
Arriba –
Abajo +
Si son inversamente
proporcionales
Arriba +
Abajo –
El valor de la incógnita viene dado por una
fracción cuyo numerador es el producto de to-
das las cantidad afectadas por el signo (+ ) y
cuyo denominador es el producto de las can-
tidades afectadas por el signo (– ), en todos los
problemas, sin excepción, el valor numérico,
que es de la misma especie que la incógnita,
llevará signo (+ ).
Ejemplo:
Para efectuar la pavimentación de una pista
de 180 metros de la Av. Brasil, 18 obreros tar-
dan 21 días. ¿Cuántos días se necesitarán para
pavimentar 120 metros de la pista con 4 obre-
ros menos?
Solución:
Identificamos las magnitudes:
N° de obreros, obra y N° de días.
N° de obreros Obra N° de días
18 (+) 180 (–) 21 (+)
14 (–) 120 (+) x
Tenemos que: •
Mayor cantidad de obreros, terminarán la
obra en menos días. (I.P)
• Para avanzar más obra se necesitarán mayor
cantidad de días. (D.P)
⇒ x =
21 × 18 × 120
14 × 180
= 18
Por lo tanto, se necesitará 18 días para
terminar la obra.
Ejercicios resueltos
1. Se
cuarta parte de una obra que les fue encomenda- da, ¿cuántos días empleará otro grupo de 30 obre- ros doblemente hábiles para terminar la obra?
Identificamos las magnitudes: N° de días, N° de obreros, obra y habilidad.
N° de
días
N° de
obreros
Obra Habilidad
24(+) 15 (+)
1
4
(–)
1 (+)
x 30 (–)
3
4
(+)
2 (–)
Luego, tenemos:
x =
30 ×
1
4
× 2
24 × 15 ×
3
4
× 1
= 18
Por lo tanto, se necesitarán 18 días para ter- minar la obra.
17 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA.indd 60 24/01/2020 22:51:17
Ejemplo:
Si un grupo de 10 obreros pueden realizar una
obra en un tiempo de 9 días, ¿en cuánto tiem-
po podrán hacer la misma obra, un grupo de 15
obreros?
Solución:
Como se puede apreciar, a mayor cantidad
de obreros, la obra se podrá realizar en me-
nos días.
Por lo tanto:
Obreros Tiempo
10
15
9
x
I.P.
10 × 9 = 15x
90 = 15x
⇒ x = 6
Finalmente, 15 obreros podrán realizar dicha
obra en 6 días.
2. Regla de tres compuesta:
En este método intervienen tres o más mag- nitudes proporcionales, para resolver proble- mas de este tipo, se sigue el siguiente método práctico:
•
Coloca los valores correspondientes a la
misma magnitud, uno debajo de otro.
• Compara cada par de magnitudes
proporcionales con el que contiene la
incógnita.
• Para saber si son directa o inversamente
proporcionales con el par que contiene la incógnita, se sigue:
Si son directamente proporcionales
Arriba –
Abajo +
Si son inversamente
proporcionales
Arriba +
Abajo –
El valor de la incógnita viene dado por una
fracción cuyo numerador es el producto de to-
das las cantidad afectadas por el signo (+ ) y
cuyo denominador es el producto de las can-
tidades afectadas por el signo (– ), en todos los
problemas, sin excepción, el valor numérico,
que es de la misma especie que la incógnita,
llevará signo (+ ).
Ejemplo:
Para efectuar la pavimentación de una pista
de 180 metros de la Av. Brasil, 18 obreros tar-
dan 21 días. ¿Cuántos días se necesitarán para
pavimentar 120 metros de la pista con 4 obre-
ros menos?
Solución:
Identificamos las magnitudes:
N° de obreros, obra y N° de días.
N° de obreros Obra N° de días
18 (+) 180 (–) 21 (+)
14 (–) 120 (+) x
Tenemos que: •
Mayor cantidad de obreros, terminarán la
obra en menos días. (I.P)
• Para avanzar más obra se necesitarán mayor
cantidad de días. (D.P)
⇒ x =
21 × 18 × 120
14 × 180
= 18
Por lo tanto, se necesitará 18 días para
terminar la obra.
Ejercicios resueltos
1. Se
cuarta parte de una obra que les fue encomenda- da, ¿cuántos días empleará otro grupo de 30 obre- ros doblemente hábiles para terminar la obra?
Identificamos las magnitudes: N° de días, N° de obreros, obra y habilidad.
N° de
días
N° de
obreros
Obra Habilidad
24(+) 15 (+)
1
4
(–)
1 (+)
x 30 (–)
3
4
(+)
2 (–)
Luego, tenemos:
x =
30 ×
1
4
× 2
24 × 15 ×
3
4
× 1
= 18
Por lo tanto, se necesitarán 18 días para ter- minar la obra.
17 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA.indd 60 24/01/2020 22:51:17
61Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 4
Tanto por ciento
Cuando una cantidad se divide en 100 partes igua-
les, cada parte representa el
1
100
del total, esta
fracción se puede representar como 1%.
Por ejemplo, si tomamos 24 partes, tendríamos
24
100
de todo o simplemente el 24%.
Notación:
k por ciento =
k
100
= k%
Cálculo de porcentajes:
El P % de N =
P
100
× N
Ejemplos:
••El 24% de 450 es:
24
100
× 450 = 108
••El 30% de 720 es:
30
100
× 720 = 216
1. Operaciones con porcentajes
Para un número N , están definidas las
operaciones de adición y sustracción.
a% de N ± b % de N = (a ± b)% de N
Ejemplos:
••24% P + 15% P = (24 + 15)% P
⇒ 24% P + 15% P = 39% P
••28% M – 25% M = (28 – 25)% M
⇒ 28% M – 25% M = 3% M
Porcentajes
2.
Variaciones porcentuales Se refiere a las variaciones o cambios que ex-
perimentan las magnitudes, las cuales pueden
ser expresadas en forma de tanto por ciento.
Ejemplos:
a.
Si R aumenta en 20%, ¿en qué porc entaje
aumenta R
2
?
Solución: Si R aumenta en 20%, entonces el nuevo va-
lor será: R + 20%R = 120%R
A R
2
le corresponderá un aumento de:
(120%R)
2
= 120% × 120% × R
2
= 144%R
2
Por lo tanto, el aumento será de:
144% – 100% = 44%
b.
Si el lado de un cuadrado disminuye en un 20%,
¿en qué porcentaje disminuye el área? Solución:
L
Inicialmente: Luego del cambio
80% L
A'A
Del gráfico: A = 100% A = L
2
A' = (80% L)
2
= (80%) (80%) L
2
A' = 64% L
2
⇒ A' = 64% A
100% – 64% = 36%
Por lo tanto, el área disminuye en un 36%.
Los estudiantes del 3
er
año de secundaria se
plantearon como meta enseñar a sus compañe-
ros a reciclar.
Durante varias semanas realizaron campañas en
favor del reciclaje y qué métodos para reciclar
existen. El trabajo en equipo dio frutos, puesto que,
al finalizar el año, el material destinado a reciclar
pasó de 100 gr a 60 kg.
¿En qué porcentaje aumentó el peso del material
para reciclar?
18 PORCENTAJES.indd 61 24/01/2020 22:51:56
Aritm?tica
Unidad 4
Tanto por ciento
Cuando una cantidad se divide en 100 partes igua-
les, cada parte representa el
1
100
del total, esta
fracción se puede representar como 1%.
Por ejemplo, si tomamos 24 partes, tendríamos
24
100
de todo o simplemente el 24%.
Notación:
k por ciento =
k
100
= k%
Cálculo de porcentajes:
El P % de N =
P
100
× N
Ejemplos:
••El 24% de 450 es:
24
100
× 450 = 108
••El 30% de 720 es:
30
100
× 720 = 216
1. Operaciones con porcentajes
Para un número N , están definidas las
operaciones de adición y sustracción.
a% de N ± b % de N = (a ± b)% de N
Ejemplos:
••24% P + 15% P = (24 + 15)% P
⇒ 24% P + 15% P = 39% P
••28% M – 25% M = (28 – 25)% M
⇒ 28% M – 25% M = 3% M
Porcentajes
2.
Variaciones porcentuales Se refiere a las variaciones o cambios que ex-
perimentan las magnitudes, las cuales pueden
ser expresadas en forma de tanto por ciento.
Ejemplos:
a.
Si R aumenta en 20%, ¿en qué porc entaje
aumenta R
2
?
Solución: Si R aumenta en 20%, entonces el nuevo va-
lor será: R + 20%R = 120%R
A R
2
le corresponderá un aumento de:
(120%R)
2
= 120% × 120% × R
2
= 144%R
2
Por lo tanto, el aumento será de:
144% – 100% = 44%
b.
Si el lado de un cuadrado disminuye en un 20%,
¿en qué porcentaje disminuye el área? Solución:
L
Inicialmente: Luego del cambio
80% L
A'A
Del gráfico: A = 100% A = L
2
A' = (80% L)
2
= (80%) (80%) L
2
A' = 64% L
2
⇒ A' = 64% A
100% – 64% = 36%
Por lo tanto, el área disminuye en un 36%.
Los estudiantes del 3
er
año de secundaria se
plantearon como meta enseñar a sus compañe-
ros a reciclar.
Durante varias semanas realizaron campañas en
favor del reciclaje y qué métodos para reciclar
existen. El trabajo en equipo dio frutos, puesto que,
al finalizar el año, el material destinado a reciclar
pasó de 100 gr a 60 kg.
¿En qué porcentaje aumentó el peso del material
para reciclar?
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62 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3. Aumentos y descuentos sucesivos
a. Aumentos sucesivos: son aumentos que se
van efectuando uno a continuación de otro,
sobre una cantidad determinada.
Ejemplo:
¿A cuánto equivale dos aumentos sucesivos
del 25% y 50%?
Solución:
Tomamos como cantidad inicial a 100, entonces:
100
125
187,5
A
1
= 25% de 100 = 25
A
2
= 50% de 125 = 62,5
Aumento equivalente: 187,5% – 100% = 87,5%.
Regla práctica para dos aumentos sucesivos (A
u
)
A
u
= A
1
+ A
2
+
A
1
× A
2
100
%
b. Descuentos sucesivos: son descuentos que se
van efectuando uno a continuación de otro,
sobre una cantidad determinada.
Ejemplo:
Una tienda anuncia primero un descuento
del 20% sobre un producto, pero luego de
un par de horas aplica otro descuento del
20%, sobre el mismo producto, ¿a qué des-
cuento único equivale?
Solución:
100
80
64
D
1
= 20% de 100 = 20
D
2
= 20% de 80 = 16
Descuento equivalente: 100% – 64% = 36%. Regla práctica para dos descuentos sucesivos (D
u
)
D
u
= D
1
+ D
2
–
D
1
× D
2
100
%
4. Aplicaciones comerciales de los porcentajes
Nombre Definición
Precio de
costo (P
c
)
Es el precio que paga un co-
merciante por un producto.
Precio de
venta (P
v
)
Es lo que un cliente paga para
adquirir un producto.
Precio
fijado (P
f
)
Es el valor que pide un comer-
ciante por el producto que
ofrece.
Ganancia (G)
Es aquella cantidad que el co-
merciante obtiene a su favor.
Pérdida (P)
Es aquella cantidad desfavora-
ble al comerciante.
Además se cumple lo siguiente:
P
v
= P
c
+ G P
v
= P
c
− P P
v
= P
f
− D
Donde: D = descuento.
Ejercicios resueltos
1. Si el 40% de A es el 50% de B, ¿qué tanto por
ciento es B de A?
Por dato:
40
100
A =
50
100
B
4A = 5B ⇒
A
B
=
5
4
Entonces:
y
100
× A = B ⇒
y
100
=
4
5
Luego, A es el 80% de B.
2. Dos c
cada una, si en la primera se ganó el 10% y en la segunda se perdió el 10%. Entonces, en general, el vendedor, ¿ganó o perdió?
•
1° computadora (ganancia):
2 970 = P
c
+ 10%P
c
⇒ 2 970 = 110%P
c
⇒ P
c
= 2 700 ⇒ G
= S/ 270
•
2° computadora (pérdida):
2 970 = P
c
– 10%P
c
⇒ 2 970 = 90%P
c
⇒ P
c
= 3 300 ⇒ P
= S/ 330
P – G = S/ 330 – S/ 270 = S/ 60
Por lo tanto, el vendedor perdió S/ 60.
18 PORCENTAJES.indd 62 24/01/2020 22:51:56
3. Aumentos y descuentos sucesivos
a. Aumentos sucesivos: son aumentos que se
van efectuando uno a continuación de otro,
sobre una cantidad determinada.
Ejemplo:
¿A cuánto equivale dos aumentos sucesivos
del 25% y 50%?
Solución:
Tomamos como cantidad inicial a 100, entonces:
100
125
187,5
A
1
= 25% de 100 = 25
A
2
= 50% de 125 = 62,5
Aumento equivalente: 187,5% – 100% = 87,5%.
Regla práctica para dos aumentos sucesivos (A
u
)
A
u
= A
1
+ A
2
+
A
1
× A
2
100
%
b. Descuentos sucesivos: son descuentos que se
van efectuando uno a continuación de otro,
sobre una cantidad determinada.
Ejemplo:
Una tienda anuncia primero un descuento
del 20% sobre un producto, pero luego de
un par de horas aplica otro descuento del
20%, sobre el mismo producto, ¿a qué des-
cuento único equivale?
Solución:
100
80
64
D
1
= 20% de 100 = 20
D
2
= 20% de 80 = 16
Descuento equivalente: 100% – 64% = 36%. Regla práctica para dos descuentos sucesivos (D
u
)
D
u
= D
1
+ D
2
–
D
1
× D
2
100
%
4. Aplicaciones comerciales de los porcentajes
Nombre Definición
Precio de
costo (P
c
)
Es el precio que paga un co-
merciante por un producto.
Precio de
venta (P
v
)
Es lo que un cliente paga para
adquirir un producto.
Precio
fijado (P
f
)
Es el valor que pide un comer-
ciante por el producto que
ofrece.
Ganancia (G)
Es aquella cantidad que el co-
merciante obtiene a su favor.
Pérdida (P)
Es aquella cantidad desfavora-
ble al comerciante.
Además se cumple lo siguiente:
P
v
= P
c
+ G P
v
= P
c
− P P
v
= P
f
− D
Donde: D = descuento.
Ejercicios resueltos
1. Si el 40% de A es el 50% de B, ¿qué tanto por
ciento es B de A?
Por dato:
40
100
A =
50
100
B
4A = 5B ⇒
A
B
=
5
4
Entonces:
y
100
× A = B ⇒
y
100
=
4
5
Luego, A es el 80% de B.
2. Dos c
cada una, si en la primera se ganó el 10% y en la segunda se perdió el 10%. Entonces, en general, el vendedor, ¿ganó o perdió?
•
1° computadora (ganancia):
2 970 = P
c
+ 10%P
c
⇒ 2 970 = 110%P
c
⇒ P
c
= 2 700 ⇒ G
= S/ 270
•
2° computadora (pérdida):
2 970 = P
c
– 10%P
c
⇒ 2 970 = 90%P
c
⇒ P
c
= 3 300 ⇒ P
= S/ 330
P – G = S/ 330 – S/ 270 = S/ 60
Por lo tanto, el vendedor perdió S/ 60.
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63Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 4
Regla de interés
Conceptos previos
Antes de entrar de manera profunda a este tema,
es necesario recordar algunos conceptos, como
los siguientes:
1.
Capital (C):
En este tema, el capital será toda cantidad de
dinero que se va a prestar o depositar para ge-
nerar un interés.
2.
Interés (I):
Es el pago que se debe realizar por un agente, por utilizar dinero prestado.
3.
Tasa de interés (r%):
Indica la parte del capital que se obtendría de interés y se expresa como porcentaje por uni- dad de tiempo.
4.
Tiempo (t):
Es
el periodo en el cual se va a prestar o impo-
ner el capital.
5.
Monto (M):
Viene dado por la suma del capital (C) y del
interés (I).
Monto (M) = Capital(C) + Interés (I)
Clases de interés
a. Interés simple Es el interés que se genera sobre el capital en
cada intervalo unitario de tiempo, dicho interés,
al igual que el capital, permanecen invariables.
También se dice que es la ganancia generada
solo por el capital (o cantidad de dinero pres-
tada) bajo una tasa de interés durante todo el
tiempo que dure el préstamo.
Regla de interés
Ejemplo:
El banco le presta a Leonor la suma de S/ 4 000
a una tasa de interés simple del 10% mensual.
¿Cuánto es el interés total en tres meses?
Solución:
Si el préstamo duró 3 meses, entonces:
•
Interés del primer mes:
10
100
× 4 000 = 400
• Interés del segundo mes:
10
100
× 4 000 = 400
• Interés del tercer mes:
10
100
× 4 000 = 400
El interés total será:
400 + 400 + 400= 1 200
Fórmula general:
Donde r% y t deben de estar expresados en las
mismas unidades de tiempo.
I = C × r% × t
Ejemplo:
Se presta S/ 6 000 al 7% anual durante 3 años,
¿cuál será el monto acumulado?
Solución:
Identificamos los elementos:
•
C = S/6 000
• r % = 7% anual
• t = 3 años (la tasa y el tiempo están en las
mismas unidades)
• I = C × r% × t = 6 000 ×
7
100
× 3 = 1 260
• M = C + I = 6 000 + 1 260 = 7 260
Betsy y su esposo quieren obtener ganancias
con el dinero que reunieron luego de vender un
terreno. Para ello depositan los S/ 30 000 que
tienen en un banco con un interés compuesto
del 5% anual. Al final del año obtuvieron un
monto de ganancia debido al dinero ahorrado
en el banco, y con ello compraron muebles.
¿Qué nombre recibe el dinero entregado por el
banco?
¿Conoces el término interés simple?
19 REGLA DE INTERES.indd 63 24/01/2020 23:43:38
Aritm?tica
Unidad 4
Regla de interés
Conceptos previos
Antes de entrar de manera profunda a este tema,
es necesario recordar algunos conceptos, como
los siguientes:
1.
Capital (C):
En este tema, el capital será toda cantidad de
dinero que se va a prestar o depositar para ge-
nerar un interés.
2.
Interés (I):
Es el pago que se debe realizar por un agente, por utilizar dinero prestado.
3.
Tasa de interés (r%):
Indica la parte del capital que se obtendría de interés y se expresa como porcentaje por uni- dad de tiempo.
4.
Tiempo (t):
Es
el periodo en el cual se va a prestar o impo-
ner el capital.
5.
Monto (M):
Viene dado por la suma del capital (C) y del
interés (I).
Monto (M) = Capital(C) + Interés (I)
Clases de interés
a. Interés simple Es el interés que se genera sobre el capital en
cada intervalo unitario de tiempo, dicho interés,
al igual que el capital, permanecen invariables.
También se dice que es la ganancia generada
solo por el capital (o cantidad de dinero pres-
tada) bajo una tasa de interés durante todo el
tiempo que dure el préstamo.
Regla de interés
Ejemplo:
El banco le presta a Leonor la suma de S/ 4 000
a una tasa de interés simple del 10% mensual.
¿Cuánto es el interés total en tres meses?
Solución:
Si el préstamo duró 3 meses, entonces:
•
Interés del primer mes:
10
100
× 4 000 = 400
• Interés del segundo mes:
10
100
× 4 000 = 400
• Interés del tercer mes:
10
100
× 4 000 = 400
El interés total será:
400 + 400 + 400= 1 200
Fórmula general:
Donde r% y t deben de estar expresados en las
mismas unidades de tiempo.
I = C × r% × t
Ejemplo:
Se presta S/ 6 000 al 7% anual durante 3 años,
¿cuál será el monto acumulado?
Solución:
Identificamos los elementos:
•
C = S/6 000
• r % = 7% anual
• t = 3 años (la tasa y el tiempo están en las
mismas unidades)
• I = C × r% × t = 6 000 ×
7
100
× 3 = 1 260
• M = C + I = 6 000 + 1 260 = 7 260
Betsy y su esposo quieren obtener ganancias
con el dinero que reunieron luego de vender un
terreno. Para ello depositan los S/ 30 000 que
tienen en un banco con un interés compuesto
del 5% anual. Al final del año obtuvieron un
monto de ganancia debido al dinero ahorrado
en el banco, y con ello compraron muebles.
¿Qué nombre recibe el dinero entregado por el
banco?
¿Conoces el término interés simple?
19 REGLA DE INTERES.indd 63 24/01/2020 23:43:38
64 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
b. Interés compuesto
Este tipo de interés es muy especial, pues des-
pués de un periodo de tiempo se determina el
monto, y este se convierte en el nuevo capital
para el próximo periodo, y así sucesivamente.
C C + l
1 C + l
1
+
l
2
C + l
1
+
l
2
+
l
3
l
1 l
2
l
3
Donde:
• Capital: C
• Intereses: I
1
; I
2
; I
3
•
M= C + I
1
+ I
2
+ I
3
La capitalización indica el periodo al térmi-
no del cual se agregan los intereses al capital.
La capitalización puede ser: anual, semestral,
diaria, etc.
Fórmula general
Si la tasa (r%) y el tiempo (t) están en las mis-
mas unidades que el periodo de capitalización:
M = C × (1 + r%)
t
Ejemplo:
Si S/ 4 000 se depositan al 10% anual durante
2 años, con una capitalización anual, ¿cuánto
será el interés generado?
Solución:
Tenemos por fórmula:
M = C × (1 + r%)
t
M = 4 000(1 + 10%)
2
= 4 840
El interés será de 4 840 – 4 000 = S/ 840.
Observación:
Es importante recordar las siguientes equivalen-
cias comerciales en el tiempo:
1 mes comercial <> 30 días
1 año comercial <> 360 días
1 año común <> 365 días
Para tasas equivalentes:
3% mensual <> 36% anual
24% trimestral <> 8% mensual
k% semestral <> 2k% anual
Cuando no se especifica el periodo de la tasa de in-
terés, se sobreentiende que es un año (tasa anual).
Ejercicios resueltos
1. La siguiente tabla muestra el capital y la tasa, a
partir de ello determina el interés respectivo.
Capital Tasa (r%) Tiempo (t)
6 000 10% anual 6 meses
1 500 20% anual 2 meses
Tenemos como dato:
• Capital(C) : S/ 6 000
• Tasa de interés (r%): 10% anual
• Tiempo: 6 meses
Como la tasa está expresada de manera
anual, convertimos el tiempo a años:
6 meses = 0,5 años
Luego:
I = C × r% × t = 6 000 ×
10
100
×
1
2
= S/ 300
Tenemos como dato:
• Capital(C) : S/ 1 500
• Tasa de interés (r%): 20% anual
• Tiempo: 2 meses
Como la tasa está expresada de manera
anual, convertimos el tiempo a años:
2 meses =
2
12
años
Luego:
I = C × r% × t = 1 500 ×
20
100
×
2
12
= S/ 50
2. Loren-
dad de S/ 20 000, a un interés compuesto del 21% anual durante 6 meses con capitalización anual. ¿Cuánto recibirá Lorenzo al final de los 6 meses?
Por dato tenemos:
•
Capital(C) : S/ 20 000
• Tasa de interés (r%): 21% anual = 0,21
• Tiempo: 6 meses =
6
12
=
1
2
año
M20 00010,21
M20 0001,1
M22 000
2
1
#
#
=+
=
=
_i
19 REGLA DE INTERES.indd 64 24/01/2020 23:43:39
b. Interés compuesto
Este tipo de interés es muy especial, pues des-
pués de un periodo de tiempo se determina el
monto, y este se convierte en el nuevo capital
para el próximo periodo, y así sucesivamente.
C C + l
1 C + l
1
+
l
2
C + l
1
+
l
2
+
l
3
l
1 l
2
l
3
Donde:
• Capital: C
• Intereses: I
1
; I
2
; I
3
•
M= C + I
1
+ I
2
+ I
3
La capitalización indica el periodo al térmi-
no del cual se agregan los intereses al capital.
La capitalización puede ser: anual, semestral,
diaria, etc.
Fórmula general
Si la tasa (r%) y el tiempo (t) están en las mis-
mas unidades que el periodo de capitalización:
M = C × (1 + r%)
t
Ejemplo:
Si S/ 4 000 se depositan al 10% anual durante
2 años, con una capitalización anual, ¿cuánto
será el interés generado?
Solución:
Tenemos por fórmula:
M = C × (1 + r%)
t
M = 4 000(1 + 10%)
2
= 4 840
El interés será de 4 840 – 4 000 = S/ 840.
Observación:
Es importante recordar las siguientes equivalen-
cias comerciales en el tiempo:
1 mes comercial <> 30 días
1 año comercial <> 360 días
1 año común <> 365 días
Para tasas equivalentes:
3% mensual <> 36% anual
24% trimestral <> 8% mensual
k% semestral <> 2k% anual
Cuando no se especifica el periodo de la tasa de in-
terés, se sobreentiende que es un año (tasa anual).
Ejercicios resueltos
1. La siguiente tabla muestra el capital y la tasa, a
partir de ello determina el interés respectivo.
Capital Tasa (r%) Tiempo (t)
6 000 10% anual 6 meses
1 500 20% anual 2 meses
Tenemos como dato:
• Capital(C) : S/ 6 000
• Tasa de interés (r%): 10% anual
• Tiempo: 6 meses
Como la tasa está expresada de manera
anual, convertimos el tiempo a años:
6 meses = 0,5 años
Luego:
I = C × r% × t = 6 000 ×
10
100
×
1
2
= S/ 300
Tenemos como dato:
• Capital(C) : S/ 1 500
• Tasa de interés (r%): 20% anual
• Tiempo: 2 meses
Como la tasa está expresada de manera
anual, convertimos el tiempo a años:
2 meses =
2
12
años
Luego:
I = C × r% × t = 1 500 ×
20
100
×
2
12
= S/ 50
2. Loren-
dad de S/ 20 000, a un interés compuesto del 21% anual durante 6 meses con capitalización anual. ¿Cuánto recibirá Lorenzo al final de los 6 meses?
Por dato tenemos:
•
Capital(C) : S/ 20 000
• Tasa de interés (r%): 21% anual = 0,21
• Tiempo: 6 meses =
6
12
=
1
2
año
M20 00010,21
M20 0001,1
M22 000
2
1
#
#
=+
=
=
_i
19 REGLA DE INTERES.indd 64 24/01/2020 23:43:39
Mezcla
Es la unión de dos o más sustancias homogéneas
(ingredientes) que al mezclarlas en cantidades arbi-
trarias cada una de ellas conserva su naturaleza.
Regla de mezcla
Esta regla se aplica generalmente en el comercio,
donde se acostumbra mezclar diversas clases de
mercadería (ingredientes) de diferentes precios
para poder venderlo a un precio intermedio.
Precio medio (Pm)
Es el precio de costo por unidad de mezcla.
Está dado por:
P
CC C
PC PC PC
m
n
nn
12
11 22
:: :
f
f
=
++ +
++ +
Donde:
C
i
= cantidad de ingrediente "i".
P
i
= precio del ingrediente "i".
i = 1; 2; 3; ... ; n.
Un caso particular se da cuando las cantidades
son iguales, es decir:
C = C
1
= C
2
= ... = C
n
Así:
P
CC C
PC PC PC
m
n12:: :
f
f
=
++ +
++ +
P
n
PP P
m
n12 f
=
++ +
P
m
: promedio aritmético de los precios.
Para el precio de venta (P
v
) se cumple:
P
v
= P
m
+G, donde G es ganancia
P
v
= P
m
– P, donde P es perdida
Mezcla y aleación
Ejemplo:
Un comerciante posee 210 Kg de arroz tipo A y
160 Kg de tipo B, cuyos precios por kilo son S/ 3
y S/ 3,5 respectivamente. Si desea venderlo a un
único precio, motivo por el cual decide combinar
los dos tipos.
Determina el precio aproximado por
kilo de la mezcla, si al momento de venderlo no se gana ni se pierde.
Solución:
Como no se gana ni se pierde, el precio por kilo de
la mezcla será equivalente al precio medio:
210kg
160kg
210kg
160kg
P
CC
PC PC
m
12
11 22::
=
+
+
P
210160
21031603.5
m
::
=
+
+
P
m
= 3,216
Por lo tanto, el precio por kilo será: S/ 3,216.
Mezclas alcohólicas
Son mezclas donde intervienen agua (0°) y sus-
tancias alcohólicas, las cuales pueden ser alcohol
puro (100°) o sustancias que posean cierto grado
de alcohol.
Grado de alcohol (°)
Es el porcentaje de alcohol puro que posee una
mezcla.
Grado
dealcoholVolumentotaldelamezcla
Volumendealcoholpuro
100°#=
La policía se propuso hacerle frente a la estafa de falsos lingotes de oro. Hace sólo unos días, arrestaron a un hombre que había estafado a una persona con 31 g de un lingote de oro que era falso y en realidad era resultado de la aleación de 85% cobre, 4% aluminio, 4% de zinc y 1% de estaño. Luego de un arduo trabajo disminuyeron en un 40% este tipo de delincuencia.
¿Cuántos gramos de cada metal ordinario
tendrá el lingote mencionado en el texto?
65Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 4
20 MEZCLA Y ALEACION.indd 65 24/01/2020 22:52:34
Es la unión de dos o más sustancias homogéneas
(ingredientes) que al mezclarlas en cantidades arbi-
trarias cada una de ellas conserva su naturaleza.
Regla de mezcla
Esta regla se aplica generalmente en el comercio,
donde se acostumbra mezclar diversas clases de
mercadería (ingredientes) de diferentes precios
para poder venderlo a un precio intermedio.
Precio medio (Pm)
Es el precio de costo por unidad de mezcla.
Está dado por:
P
CC C
PC PC PC
m
n
nn
12
11 22
:: :
f
f
=
++ +
++ +
Donde:
C
i
= cantidad de ingrediente "i".
P
i
= precio del ingrediente "i".
i = 1; 2; 3; ... ; n.
Un caso particular se da cuando las cantidades
son iguales, es decir:
C = C
1
= C
2
= ... = C
n
Así:
P
CC C
PC PC PC
m
n12:: :
f
f
=
++ +
++ +
P
n
PP P
m
n12 f
=
++ +
P
m
: promedio aritmético de los precios.
Para el precio de venta (P
v
) se cumple:
P
v
= P
m
+G, donde G es ganancia
P
v
= P
m
– P, donde P es perdida
Mezcla y aleación
Ejemplo:
Un comerciante posee 210 Kg de arroz tipo A y
160 Kg de tipo B, cuyos precios por kilo son S/ 3
y S/ 3,5 respectivamente. Si desea venderlo a un
único precio, motivo por el cual decide combinar
los dos tipos.
Determina el precio aproximado por
kilo de la mezcla, si al momento de venderlo no se gana ni se pierde.
Solución:
Como no se gana ni se pierde, el precio por kilo de
la mezcla será equivalente al precio medio:
210kg
160kg
210kg
160kg
P
CC
PC PC
m
12
11 22::
=
+
+
P
210160
21031603.5
m
::
=
+
+
P
m
= 3,216
Por lo tanto, el precio por kilo será: S/ 3,216.
Mezclas alcohólicas
Son mezclas donde intervienen agua (0°) y sus-
tancias alcohólicas, las cuales pueden ser alcohol
puro (100°) o sustancias que posean cierto grado
de alcohol.
Grado de alcohol (°)
Es el porcentaje de alcohol puro que posee una
mezcla.
Grado
dealcoholVolumentotaldelamezcla
Volumendealcoholpuro
100°#=
La policía se propuso hacerle frente a la estafa de falsos lingotes de oro. Hace sólo unos días, arrestaron a un hombre que había estafado a una persona con 31 g de un lingote de oro que era falso y en realidad era resultado de la aleación de 85% cobre, 4% aluminio, 4% de zinc y 1% de estaño. Luego de un arduo trabajo disminuyeron en un 40% este tipo de delincuencia.
¿Cuántos gramos de cada metal ordinario
tendrá el lingote mencionado en el texto?
65Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 4
20 MEZCLA Y ALEACION.indd 65 24/01/2020 22:52:34
Ejemplo:
Si se tiene los recipientes A y B que poseen 15L
de agua y 25L de alcohol puro respectivamente.
Determina el grado de alcohol que se obtiene al vertir las dos sustancias en un nuevo recipiente.
Solución:
Del problema:
V
A
= 15 L , V
B
= 25 L ⇒ V
C
= 15 L + 25 L = 40 L
Piden saber cual es el grado de alcohol de C:
C
Grado
dealcoholVolumentotaldelamezcla
Volumendealcoholpuro
100°#=
Grado
dealcoholC40L
25 L
100°62,5°#==
Por lo tanto, el grado de alcohol será 62,5°.
Grado de alcohol medio (G
m
)
Es el grado de alcohol de la mezcla de varios alco-
holes, cada uno de ellos con su respectivo grado
de alcohol.
G
VV VV
VG VG VG VG
m
12 n1 n
11 22 n1 n1 nn:: ::
f
f
=
++ ++
++ ++
-
--
Donde n: es la cantidad de alcoholes.
Aleación
Es el proceso realizado por la fusión de los me- tales cuyo proceso intervienen siempre un metal fino y uno o varios metales ordinarios, los cuales determinarán la pureza del mineral.
Metales finos: oro, plata, aluminio, platino.
Metales ordinarios: cobre, hierro, zinc, níquel.
Las aleaciones se pueden describir de 2 maneras:
Ley de la aleación Ley: se le llama así al valor que representa el metal
fino respecto del total de la aleación.
totaldelmetal
delmetalfino
Ley
Peso
Peso
= 0Ley1##
Liga de la aleación
Liga: se le llama así al valor que representa el me-
tal ordinario respecto del total de la aleación.
totaldelmetal
delmetal ordinario
Liga
Peso
Peso
= 0Liga1##
De ambos, se cumple lo siguiente:
Ley Liga1+ =
El valor de la ley de un metal fino es 1, y de su liga es 0.
Ley media (L
m
)
Sean P
1
, P
2
, ... , P
n
los pesos de los metales, y
L
1
, L
2
, ... , L
n
sus respectivas leyes, entonces:
L
PP PP
LP LP LP LP
m
12 n1 n
11 22 n1 n1 nn:: ::
f
f
=
++ ++
++ ++ ---
Kilate
El kilate es la representación comercial de la ley del
oro, la cual está relaciona de la siguiente manera:
Ley
24
K
=
Donde K es el número de kilates.
Ejemplo:
Maritza tiene una sortija de oro compuesta por
6 g de oro y 12 g de hierro. ¿De cuántos kilates es
la sortija de Maritza?
Solución:
Calculamos la ley de la sortija
Ley
6g12g
6g
18
6
Ley
3
1
&=
+
==
Luego, tenemos:
3
1
24
K
K8&==
Por lo tanto, la sortija es de 8 kilates.
1. Jacint un orfebre que trabaja con platino.
Cierto día le piden una cadena de ley 0,55. Si
él solo dispone de platino de 0,40 y 0,60 de
ley.
Determina el valor de la ley del metal que
más usó.
Sean P
1
y P
2
los pesos del platino de 0,4 y 0,6
de ley respectivamente.
Aplicando la fórmula de la ley media, se
tiene:
0,55
PP
0,4P 0,6P
0,55P0,55P 0,4P 0,6P
0,15P0,05P
3PP
12
12
12 12
12
12
&
::
:: ::
::
=
+
+
+ = +
=
=
Notamos que el metal más usado es el
segundo, por lo tanto la ley del metal que
más se usó es 0,60.
66Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
20 MEZCLA Y ALEACION.indd 66 24/01/2020 22:52:35
Si se tiene los recipientes A y B que poseen 15L
de agua y 25L de alcohol puro respectivamente.
Determina el grado de alcohol que se obtiene al vertir las dos sustancias en un nuevo recipiente.
Solución:
Del problema:
V
A
= 15 L , V
B
= 25 L ⇒ V
C
= 15 L + 25 L = 40 L
Piden saber cual es el grado de alcohol de C:
C
Grado
dealcoholVolumentotaldelamezcla
Volumendealcoholpuro
100°#=
Grado
dealcoholC40L
25 L
100°62,5°#==
Por lo tanto, el grado de alcohol será 62,5°.
Grado de alcohol medio (G
m
)
Es el grado de alcohol de la mezcla de varios alco-
holes, cada uno de ellos con su respectivo grado
de alcohol.
G
VV VV
VG VG VG VG
m
12 n1 n
11 22 n1 n1 nn:: ::
f
f
=
++ ++
++ ++
-
--
Donde n: es la cantidad de alcoholes.
Aleación
Es el proceso realizado por la fusión de los me- tales cuyo proceso intervienen siempre un metal fino y uno o varios metales ordinarios, los cuales determinarán la pureza del mineral.
Metales finos: oro, plata, aluminio, platino.
Metales ordinarios: cobre, hierro, zinc, níquel.
Las aleaciones se pueden describir de 2 maneras:
Ley de la aleación Ley: se le llama así al valor que representa el metal
fino respecto del total de la aleación.
totaldelmetal
delmetalfino
Ley
Peso
Peso
= 0Ley1##
Liga de la aleación
Liga: se le llama así al valor que representa el me-
tal ordinario respecto del total de la aleación.
totaldelmetal
delmetal ordinario
Liga
Peso
Peso
= 0Liga1##
De ambos, se cumple lo siguiente:
Ley Liga1+ =
El valor de la ley de un metal fino es 1, y de su liga es 0.
Ley media (L
m
)
Sean P
1
, P
2
, ... , P
n
los pesos de los metales, y
L
1
, L
2
, ... , L
n
sus respectivas leyes, entonces:
L
PP PP
LP LP LP LP
m
12 n1 n
11 22 n1 n1 nn:: ::
f
f
=
++ ++
++ ++ ---
Kilate
El kilate es la representación comercial de la ley del
oro, la cual está relaciona de la siguiente manera:
Ley
24
K
=
Donde K es el número de kilates.
Ejemplo:
Maritza tiene una sortija de oro compuesta por
6 g de oro y 12 g de hierro. ¿De cuántos kilates es
la sortija de Maritza?
Solución:
Calculamos la ley de la sortija
Ley
6g12g
6g
18
6
Ley
3
1
&=
+
==
Luego, tenemos:
3
1
24
K
K8&==
Por lo tanto, la sortija es de 8 kilates.
1. Jacint un orfebre que trabaja con platino.
Cierto día le piden una cadena de ley 0,55. Si
él solo dispone de platino de 0,40 y 0,60 de
ley.
Determina el valor de la ley del metal que
más usó.
Sean P
1
y P
2
los pesos del platino de 0,4 y 0,6
de ley respectivamente.
Aplicando la fórmula de la ley media, se
tiene:
0,55
PP
0,4P 0,6P
0,55P0,55P 0,4P 0,6P
0,15P0,05P
3PP
12
12
12 12
12
12
&
::
:: ::
::
=
+
+
+ = +
=
=
Notamos que el metal más usado es el
segundo, por lo tanto la ley del metal que
más se usó es 0,60.
66Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
20 MEZCLA Y ALEACION.indd 66 24/01/2020 22:52:35
Probabilidades
Probabilidad
El estudio de la probabilidad nos brinda una teo-
ría matemática para medir la posibilidad de ocu-
rrencia de un determinado evento.
1.
Experimento aleatorio (Ɛ)
Es aquel experimento o prueba cuyo resultado
no es predecible en forma absoluta, los posi-
bles resultados de un experimento aleatorio
dependen del azar.
Ejemplo:
a.
Lanzar dos monedas simultáneamente y ob-
servar el resultado de las caras superiores.
2. Espacio muestral (�)
Es el conjunto de todos los resultados posibles de
un determinado experimento aleatorio y se deno-
ta por � .
Ejemplo:
Para el caso anterior.
a.
�
1
= {CC; CS; SC; SS}
3. Evento
Es cualquier subconjunto del espacio muestral � .
Una manera de saber la cantidad de eventos
que se pueden obtener de un espacio muestral
es:
Si � = {w
1
; w
2
; w
3
; ... ;w
n
} es un espacio muestral
finito de n elementos, entonces se pueden defi-
nir 2
n
eventos diferentes (subconjuntos).
Entre los distintos tipos de eventos tenemos:
a.
Evento imposible (� ): es todo evento que
no posee elementos o puntos muestrales, al
hacer una prueba de este experimento no
se obtienen casos favorables, se le designa
por �.
Ejemplo:
A: Lanzar un dado y obtener 8 como resultado.
b.
Evento unitario: es aquel evento que contie-
ne un solo elemento o punto muestral.
Ejemplo:
B: Lanzar un dado y obtener como puntaje 5.
c. Evento seguro: es aquel evento que siempre
va a ocurrir. Además, posee todos los ele-
mentos del espacio muestral.
Ejemplo:
C: Lanzar un dado y obtener un número natural.
d. Evento complementario: dado un evento A,
el evento complementario es aquel que po-
see los puntos muestrales que no posee A y
se le denota como (A' o A
c
).
A
c
= � – A
Ejemplo:
Sea el experimento aleatorio lanzar dos mo-
nedas y sea el evento A sacar alguna cara, en-
tonces, A
c
será no sacar alguna cara.
4.
Operaciones con eventos
Sean los eventos A y B que son subconjuntos del mismo espacio muestral, definimos:
a.
Unión:
A∪B =� w ∈ � / w ∈ A ∨ w ∈ B�
b. Intersección:
A∩B =� w ∈ � / w ∈ A ∧ w ∈ B�
c. Diferencia:
A – B =� w ∈ � / w ∈ A ∨ w ∉ B�
Claudia estuvo ensayando durante varios
meses técnicas de actuación con el objetivo de
presentarse a un casting y postular por el papel
protagónico. Además de ella se presentaron 8
mujeres más para el mismo papel. Los ensayos
de Claudia dieron resultado puesto que al final
ella se quedó con el papel principal.
¿Qué probabilidad tenía Claudia de ser elegida?
¿Qué tendría que haber ocurrido para que
disminuya la probabilidad de obtener el papel
protagónico?
67Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 4
21 PROBABILIDAD.indd 67 24/01/2020 22:52:43
Probabilidad
El estudio de la probabilidad nos brinda una teo-
ría matemática para medir la posibilidad de ocu-
rrencia de un determinado evento.
1.
Experimento aleatorio (Ɛ)
Es aquel experimento o prueba cuyo resultado
no es predecible en forma absoluta, los posi-
bles resultados de un experimento aleatorio
dependen del azar.
Ejemplo:
a.
Lanzar dos monedas simultáneamente y ob-
servar el resultado de las caras superiores.
2. Espacio muestral (�)
Es el conjunto de todos los resultados posibles de
un determinado experimento aleatorio y se deno-
ta por � .
Ejemplo:
Para el caso anterior.
a.
�
1
= {CC; CS; SC; SS}
3. Evento
Es cualquier subconjunto del espacio muestral � .
Una manera de saber la cantidad de eventos
que se pueden obtener de un espacio muestral
es:
Si � = {w
1
; w
2
; w
3
; ... ;w
n
} es un espacio muestral
finito de n elementos, entonces se pueden defi-
nir 2
n
eventos diferentes (subconjuntos).
Entre los distintos tipos de eventos tenemos:
a.
Evento imposible (� ): es todo evento que
no posee elementos o puntos muestrales, al
hacer una prueba de este experimento no
se obtienen casos favorables, se le designa
por �.
Ejemplo:
A: Lanzar un dado y obtener 8 como resultado.
b.
Evento unitario: es aquel evento que contie-
ne un solo elemento o punto muestral.
Ejemplo:
B: Lanzar un dado y obtener como puntaje 5.
c. Evento seguro: es aquel evento que siempre
va a ocurrir. Además, posee todos los ele-
mentos del espacio muestral.
Ejemplo:
C: Lanzar un dado y obtener un número natural.
d. Evento complementario: dado un evento A,
el evento complementario es aquel que po-
see los puntos muestrales que no posee A y
se le denota como (A' o A
c
).
A
c
= � – A
Ejemplo:
Sea el experimento aleatorio lanzar dos mo-
nedas y sea el evento A sacar alguna cara, en-
tonces, A
c
será no sacar alguna cara.
4.
Operaciones con eventos
Sean los eventos A y B que son subconjuntos del mismo espacio muestral, definimos:
a.
Unión:
A∪B =� w ∈ � / w ∈ A ∨ w ∈ B�
b. Intersección:
A∩B =� w ∈ � / w ∈ A ∧ w ∈ B�
c. Diferencia:
A – B =� w ∈ � / w ∈ A ∨ w ∉ B�
Claudia estuvo ensayando durante varios
meses técnicas de actuación con el objetivo de
presentarse a un casting y postular por el papel
protagónico. Además de ella se presentaron 8
mujeres más para el mismo papel. Los ensayos
de Claudia dieron resultado puesto que al final
ella se quedó con el papel principal.
¿Qué probabilidad tenía Claudia de ser elegida?
¿Qué tendría que haber ocurrido para que
disminuya la probabilidad de obtener el papel
protagónico?
67Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
Unidad 4
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5. Diagr
El diagrama del árbol es una herramienta que
se utiliza para determinar todos los posibles re-
sultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo:
Maribel compra tres cuadernos en tres librerías
distintas (un cuaderno en cada librería). Si cada
librería únicamente tienen cuadernos de color
amarillo y verde.
Determina el espacio muestral
que contenga todas las posibles combinacio- nes de colores de los cuadernos.
Solución:
Para resolver el ejercicio utilizaremos el diagra-
ma del árbol.
1° Lib. 2° Lib. 3° Lib. Resultados
A
A
A AAA
V AAV
V
A AVA
V AVV
V
A
A VAA
V VAV
V
A VVA
V VVV
Por lo tanto, los colores de los cuadernos que compró Maribel está determinada por el si- guiente espacio muestral:
Ω = {AAA; AAV; AVA; AVV; VAA; VAV; VVA; VVV}
6.
Probabilidad de un evento (Regla de Laplace)
Sea A un evento de un espacio muestral Ω que
consta de “n” sucesos, los cuales son equipro-
bables. La regla de Laplace define la probabili-
dad de que ocurra el suceso A (denotada como
P(A)) mediante la siguiente fórmula:
()PA
ndecasosposibles
ndecasosfavorablesdeleventoA
=
c
c
()
()
()
PA
n
nA
=
Ω
Propiedades de la probabilidad
1. Dado un evento A, se cumple que:
0 ≤ P(A) ≤ 1
2. El valor de la probabilidad de una evento se-
guro es uno, es decir:
P(�)=1
3. El valor de la probabilidad de una evento im-
posible es cero, es decir:
P(�)=0
4. La probabilidad de un evento A se puede
expresar en función de la probabilidad del
evento contrario.
P(A) = 1 − P(A')
7. Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos
Se dice que dos eventos A y B son mutuamen- te excluyentes si no pueden ocurrir ambos a la vez. Es decir:
Si A ∩ B = ∅ ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B)
Por otro lado, si A y B son eventos no excluyen- tes, se cumple que:
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
8. Eventos independientes
Se dice que dos eventos A y B son indepen- dientes cuando pueden ocurrir ambos a la vez. Además, se cumple:
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B)
9. Probabilidad condicional
Definiremos esta probabilidad cuando exista un evento «A» que ocurre condicionado a que haya ocurrido previamente otro evento «B» y lo
denotaremos por
P
B
A
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O.
Se lee: "probabilidad de que ocurra A dado que
ha ocurrido B".
P
B
A
n()
n(B)
n()
n(AB)
n(B)
n(AB)
+
+
X
X
==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
TIC
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=0lxZMaoeUno
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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El diagrama del árbol es una herramienta que
se utiliza para determinar todos los posibles re-
sultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo:
Maribel compra tres cuadernos en tres librerías
distintas (un cuaderno en cada librería). Si cada
librería únicamente tienen cuadernos de color
amarillo y verde.
Determina el espacio muestral
que contenga todas las posibles combinacio- nes de colores de los cuadernos.
Solución:
Para resolver el ejercicio utilizaremos el diagra-
ma del árbol.
1° Lib. 2° Lib. 3° Lib. Resultados
A
A
A AAA
V AAV
V
A AVA
V AVV
V
A
A VAA
V VAV
V
A VVA
V VVV
Por lo tanto, los colores de los cuadernos que compró Maribel está determinada por el si- guiente espacio muestral:
Ω = {AAA; AAV; AVA; AVV; VAA; VAV; VVA; VVV}
6.
Probabilidad de un evento (Regla de Laplace)
Sea A un evento de un espacio muestral Ω que
consta de “n” sucesos, los cuales son equipro-
bables. La regla de Laplace define la probabili-
dad de que ocurra el suceso A (denotada como
P(A)) mediante la siguiente fórmula:
()PA
ndecasosposibles
ndecasosfavorablesdeleventoA
=
c
c
()
()
()
PA
n
nA
=
Ω
Propiedades de la probabilidad
1. Dado un evento A, se cumple que:
0 ≤ P(A) ≤ 1
2. El valor de la probabilidad de una evento se-
guro es uno, es decir:
P(�)=1
3. El valor de la probabilidad de una evento im-
posible es cero, es decir:
P(�)=0
4. La probabilidad de un evento A se puede
expresar en función de la probabilidad del
evento contrario.
P(A) = 1 − P(A')
7. Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos
Se dice que dos eventos A y B son mutuamen- te excluyentes si no pueden ocurrir ambos a la vez. Es decir:
Si A ∩ B = ∅ ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B)
Por otro lado, si A y B son eventos no excluyen- tes, se cumple que:
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
8. Eventos independientes
Se dice que dos eventos A y B son indepen- dientes cuando pueden ocurrir ambos a la vez. Además, se cumple:
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B)
9. Probabilidad condicional
Definiremos esta probabilidad cuando exista un evento «A» que ocurre condicionado a que haya ocurrido previamente otro evento «B» y lo
denotaremos por
P
B
A
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O.
Se lee: "probabilidad de que ocurra A dado que
ha ocurrido B".
P
B
A
n()
n(B)
n()
n(AB)
n(B)
n(AB)
+
+
X
X
==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
TIC
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cuadrantales:
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Ejercicios resueltos
1. En una urna hay 15 bolas numeradas del 2 al
16. Extraemos una bola al azar y observamos el
número que tiene escrito.
a. Describe los sucesos escribiendo todos sus
elementos: •
A : Obtener número par
• B: Obtener número impar
• C: Obtener número primo
• D: Obtener número impar menor a 9.
b. ¿Qué relación hay entre los sucesos A y B y
entre C y D?
c. ¿Cuál es el suceso A∪B y C∩D?
Se tiene:
a. Elementos de los sucesos:
• A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
• B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
• C = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
• D = {3, 5, 7}
b. Se tiene: B = A
c
y D⊂C
c.
A∪B = �, C∩D = D
2. En un c
bolas verdes y 2 rojas, y en la caja B hay 7 bolas verdes, una blanca y 5 bolas rojas. Tienes que elegir una bolsa y sacar una bola roja para ganar un premio. ¿Qué probabilidad tienes de ganar?
Del enunciado, realizamos un diagrama de árbol:
2
1
5
3
5
2
13
7
13
5
2
1
A
V
R
V
B
R
B
13
1
PR PA P
A
R
P(B) P
B
R
PR
2
1
5
2
2
1
13
5
PR
130
51
&
##
##
= +
= + =
_
_
_ b
_
bi
i
i l
i
l
Por lo tanto, la probabilidad que tengo para
ganar es
130
51
3. Una urna tiene ocho esferas rojas, cinco ama-
rillas y siete verdes. Si se extrae una al azar. De-
termina la probabilidad que:
a. No sea roja
b. No sea amarilla
a. Probabilidad que no sea roja:
A
= {extraer una esfera roja}
A' = {no extraer una esfera roja}.
Luego:
P(A') = 1 – P(A) = 1 –
8
20
=
12
20
=
3
5
b. Probabilidad que no sea amarilla:
B
= {extraer una esfera amarilla}
B' = {no extraer una esfera amarilla}.
Luego:
P(B') = 1 – P(B) = 1 –
5
20
=
15
20
=
3
4
4. En un viaje organizado alrededor de Europa por
120 personas, 48 de los que van saben hablar
inglés, 36 saben hablar francés y 12 de ellos hablan
los dos idiomas, se escoge uno de los viajeros al
azar, responde las siguientes preguntas:
a.
¿Cuál es la probabilidad de hable alguno de
los dos idiomas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés,
sabiendo que habla inglés?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable fr
ancés?
Organizando los datos en una tabla se tiene:
Hablan
francés
No hablan
francés
T
Hablan
inglés
12 36 48
No hablan
inglés
24 48 72
Total 36 84 120
Denotamos por I: habla inglés, F: habla francés, entonces:
a.
PIFP IPFP IF,+= + -_ __ _i ii i
PIF
120
48 36 12
120
72
5
3
0,6,=
+-
== =_i
b. P
I
F
48
12
4
1
0,25== =
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
c. P(Fnoinglés)
120
24
5
1
0,2+ == =
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Aritm?tica Unidad 4
21 PROBABILIDAD.indd 69 24/01/2020 22:52:45
1. En una urna hay 15 bolas numeradas del 2 al
16. Extraemos una bola al azar y observamos el
número que tiene escrito.
a. Describe los sucesos escribiendo todos sus
elementos: •
A : Obtener número par
• B: Obtener número impar
• C: Obtener número primo
• D: Obtener número impar menor a 9.
b. ¿Qué relación hay entre los sucesos A y B y
entre C y D?
c. ¿Cuál es el suceso A∪B y C∩D?
Se tiene:
a. Elementos de los sucesos:
• A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
• B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
• C = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
• D = {3, 5, 7}
b. Se tiene: B = A
c
y D⊂C
c.
A∪B = �, C∩D = D
2. En un c
bolas verdes y 2 rojas, y en la caja B hay 7 bolas verdes, una blanca y 5 bolas rojas. Tienes que elegir una bolsa y sacar una bola roja para ganar un premio. ¿Qué probabilidad tienes de ganar?
Del enunciado, realizamos un diagrama de árbol:
2
1
5
3
5
2
13
7
13
5
2
1
A
V
R
V
B
R
B
13
1
PR PA P
A
R
P(B) P
B
R
PR
2
1
5
2
2
1
13
5
PR
130
51
&
##
##
= +
= + =
_
_
_ b
_
bi
i
i l
i
l
Por lo tanto, la probabilidad que tengo para
ganar es
130
51
3. Una urna tiene ocho esferas rojas, cinco ama-
rillas y siete verdes. Si se extrae una al azar. De-
termina la probabilidad que:
a. No sea roja
b. No sea amarilla
a. Probabilidad que no sea roja:
A
= {extraer una esfera roja}
A' = {no extraer una esfera roja}.
Luego:
P(A') = 1 – P(A) = 1 –
8
20
=
12
20
=
3
5
b. Probabilidad que no sea amarilla:
B
= {extraer una esfera amarilla}
B' = {no extraer una esfera amarilla}.
Luego:
P(B') = 1 – P(B) = 1 –
5
20
=
15
20
=
3
4
4. En un viaje organizado alrededor de Europa por
120 personas, 48 de los que van saben hablar
inglés, 36 saben hablar francés y 12 de ellos hablan
los dos idiomas, se escoge uno de los viajeros al
azar, responde las siguientes preguntas:
a.
¿Cuál es la probabilidad de hable alguno de
los dos idiomas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés,
sabiendo que habla inglés?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable fr
ancés?
Organizando los datos en una tabla se tiene:
Hablan
francés
No hablan
francés
T
Hablan
inglés
12 36 48
No hablan
inglés
24 48 72
Total 36 84 120
Denotamos por I: habla inglés, F: habla francés, entonces:
a.
PIFP IPFP IF,+= + -_ __ _i ii i
PIF
120
48 36 12
120
72
5
3
0,6,=
+-
== =_i
b. P
I
F
48
12
4
1
0,25== =
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
c. P(Fnoinglés)
120
24
5
1
0,2+ == =
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Aritm?tica Unidad 4
21 PROBABILIDAD.indd 69 24/01/2020 22:52:45
Tomamos medidas
necesarias para
mejorar nuestro planeta
Unidad I
• Aplica las distintas propiedades de
potenciación y radicación de números reales
para la solución de problemas.
• Clasifica las expresiones algebraicas,
monomios, binomios, trinomios y polinomios.
•
Resuelve operaciones algebraicas entre
monomios y polinomios.
• Reconoce los productos notables más
usuales y los utiliza para la resolución de problemas.
•
Identifica los principales métodos que se usan para dividir polinomios, método de Horner y método de Ruffini.
Unidad II
• Utiliza adecuadamente los cocientes notables
para el desarrollo de problemas algebraicos.
• Emplea los métodos de factorización y los
relaciona con los productos notables.
• Representa gráficamente los números
complejos y usa adecuadamente sus propiedades.
•
Identifica las distintas representaciones de
los números complejos, forma binómica, forma polar y forma trigonométrica.
•
Resuelve ecuaciones de segundo grado,
usando la fórmula general y los métodos de factorización.
Actualmente, nuestro planeta pasa por cambios muy graves debido al uso indiscriminado de los recursos naturales de nuestro medioambiente. Esto ha traído como consecuencia la destrucción de ecosistemas, espacios vitales para los seres vivos que habitan en cada uno; por ello, es necesario co- menzar a tomar medidas para revertir esta problemática. ¿Qué acciones debemos ejercer?
Nuestro deber como ciudadanos es actuar de forma responsable, practicando acciones que contribu-
yan con la protección del planeta en el que vivimos.
Ambiental
Enfoque transversal
Solidaridad planetaria
Naturaleza
Valores
DesempeñosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
70Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1 Exponentes y radicales.indd 70 24/01/2020 22:54:11
necesarias para
mejorar nuestro planeta
Unidad I
• Aplica las distintas propiedades de
potenciación y radicación de números reales
para la solución de problemas.
• Clasifica las expresiones algebraicas,
monomios, binomios, trinomios y polinomios.
•
Resuelve operaciones algebraicas entre
monomios y polinomios.
• Reconoce los productos notables más
usuales y los utiliza para la resolución de problemas.
•
Identifica los principales métodos que se usan para dividir polinomios, método de Horner y método de Ruffini.
Unidad II
• Utiliza adecuadamente los cocientes notables
para el desarrollo de problemas algebraicos.
• Emplea los métodos de factorización y los
relaciona con los productos notables.
• Representa gráficamente los números
complejos y usa adecuadamente sus propiedades.
•
Identifica las distintas representaciones de
los números complejos, forma binómica, forma polar y forma trigonométrica.
•
Resuelve ecuaciones de segundo grado,
usando la fórmula general y los métodos de factorización.
Actualmente, nuestro planeta pasa por cambios muy graves debido al uso indiscriminado de los recursos naturales de nuestro medioambiente. Esto ha traído como consecuencia la destrucción de ecosistemas, espacios vitales para los seres vivos que habitan en cada uno; por ello, es necesario co- menzar a tomar medidas para revertir esta problemática. ¿Qué acciones debemos ejercer?
Nuestro deber como ciudadanos es actuar de forma responsable, practicando acciones que contribu-
yan con la protección del planeta en el que vivimos.
Ambiental
Enfoque transversal
Solidaridad planetaria
Naturaleza
Valores
DesempeñosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad III
• Resuelve inecuaciones lineales,
identificando el conjunto solución de las
mismas.
• Usa los métodos para la solución de
inecuaciones cuadráticas.
• Utiliza las propiedades de valor absoluto
para dar la solución de ecuaciones e inecuaciones
•
Emplea las propiedades del logaritmo para
resolver ejercicios de aplicación.
• Reconoce las relaciones que se pueden dar entre los números reales y los representa en el diagrama sagital.
Unidad IV
• Interpreta pas diferencias entre relaciones y
funciones, señalando su dominio y su rango.
• Grafica mediante tabulación las distintas funciones que se presentan.
•
Identifica la gráfica y el comportamiento de
las funciones, monotonía de funciones.
• Conoce las aplicaciones de las funciones en
la vida real.
• Identifica la regla de correspondencia y la
gráfica de las funciones más usuales.
• ¿
• Actualmente, ¿crees que la sociedad se preocupa por los problemas ambientales? Explica. ¿Qué
podemos hacer para contribuir con el cuidado del medioambiente?
Observamos y respondemos
Álgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
71Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1 Exponentes y radicales.indd 71 24/01/2020 22:54:13
• Resuelve inecuaciones lineales,
identificando el conjunto solución de las
mismas.
• Usa los métodos para la solución de
inecuaciones cuadráticas.
• Utiliza las propiedades de valor absoluto
para dar la solución de ecuaciones e inecuaciones
•
Emplea las propiedades del logaritmo para
resolver ejercicios de aplicación.
• Reconoce las relaciones que se pueden dar entre los números reales y los representa en el diagrama sagital.
Unidad IV
• Interpreta pas diferencias entre relaciones y
funciones, señalando su dominio y su rango.
• Grafica mediante tabulación las distintas funciones que se presentan.
•
Identifica la gráfica y el comportamiento de
las funciones, monotonía de funciones.
• Conoce las aplicaciones de las funciones en
la vida real.
• Identifica la regla de correspondencia y la
gráfica de las funciones más usuales.
• ¿
• Actualmente, ¿crees que la sociedad se preocupa por los problemas ambientales? Explica. ¿Qué
podemos hacer para contribuir con el cuidado del medioambiente?
Observamos y respondemos
Álgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
1
Educación SecundariaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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72
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Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
1
Educación SecundariaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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1 Exponentes y radicales.indd 72 24/01/2020 22:54:15
Unidad 1 Casos especiales
• a
0
= 1, a ≠ 0
• 0
n
= 0, n ≠ 0
• 0
0
no está definido
2. Radicales Sea a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, n > 1, la expresión algebraica
a
n
se da la siguiente manera:
aa
n
n
1
=
Donde "a" es el radicando, "n" el índice, y a
n
la
raíz n–ésima de a.
Por convención: aa
2
=
Los valores de "n" restringen los valores de "a":
• Si n es par, entonces necesariamente a > 0
• Si "n" es impar, entonces "a" toma cualquier
valor real.
Ejemplos:
• 25- no existe, pues tiene índice par y
radicando negativo.
• 27
3
- si existe, pues posee índice impar,
además 27
3
- = 27
3
- .
• 16 si existe, pues tiene índice par y
radicando positivo.
• 27
3
si existe, pues posee índice impar.
•
64
8
3
-
si existe, pues posee índice impar,
además
64
8
3
-
= –
64
8
3
.
Si b = a
n
, entonces b
n
= a
Ejemplos:
• 16 = 4, pues 4
2
= 16
• 27
3
- = –3, pues (–3)
3
= –27
1. Exponentes enteros
Sea a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, la expresión algebraica a
n
se define de la siguiente manera:
Notación:
...aa aa a
n
nveces«»
### #=
12 3444444444444444444
Donde "a" es la base. "n" el exponente, y a
n
la
potencia n–ésima de a.
Ejemplo:
•
2
5
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Esta definición se extiende al caso de potencias
negativas, es decir a
–n
, de la siguiente maneras:a
–n
=
a a
1 1
n
n=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O ,
n ∈ ℕ ∧ a ≠ 0
Ejemplos:
• 2
–3
=
2
1
222
1
8
1
3 ##
==
•
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
27
8
33
3
3
3
== ==
-J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
K
K
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
O
O
O
O
OO
N
P
O
O
O
Propiedades
Sea a ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, se tiene:
• a
n
× a
m
= a
n+m
•
a
a
m
n
= a
n–m
; a ≠ 0
• (a
n
)
m
= a
nm
Ejemplos:
• 2
5
× 2
3
= 2
5+3
= 2
8
•
3
3
2
5
=
3
5–2
= 3
3
= 27
• (5
3
)
2
= 5
3×2
= 5
6
Los pesticidas, fertilizantes y demás químicos em-
pleados en sectores como la agricultura y la ga-
nadería, son otra causa directa del calentamiento
global. T
odos poseen un alto contenido de óxido
de nitrógeno, el cual es perjudicial para la atmós-
fera. El mes pasado usó 2 toneladas de fertilizan-
tes, el siguiente mes el doble y así sucesivamente.
Est
o es preocupante, por ello, deben tomarse me-
didas de control.
¿Cuántas t
oneladas se utilizó en el octavo mes?
¿A cuánto equivale 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2?
Exponentes y radicales
UNIDADProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
73?lgebra
1 Exponentes y radicales.indd 73 24/01/2020 22:54:18
• a
0
= 1, a ≠ 0
• 0
n
= 0, n ≠ 0
• 0
0
no está definido
2. Radicales Sea a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, n > 1, la expresión algebraica
a
n
se da la siguiente manera:
aa
n
n
1
=
Donde "a" es el radicando, "n" el índice, y a
n
la
raíz n–ésima de a.
Por convención: aa
2
=
Los valores de "n" restringen los valores de "a":
• Si n es par, entonces necesariamente a > 0
• Si "n" es impar, entonces "a" toma cualquier
valor real.
Ejemplos:
• 25- no existe, pues tiene índice par y
radicando negativo.
• 27
3
- si existe, pues posee índice impar,
además 27
3
- = 27
3
- .
• 16 si existe, pues tiene índice par y
radicando positivo.
• 27
3
si existe, pues posee índice impar.
•
64
8
3
-
si existe, pues posee índice impar,
además
64
8
3
-
= –
64
8
3
.
Si b = a
n
, entonces b
n
= a
Ejemplos:
• 16 = 4, pues 4
2
= 16
• 27
3
- = –3, pues (–3)
3
= –27
1. Exponentes enteros
Sea a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, la expresión algebraica a
n
se define de la siguiente manera:
Notación:
...aa aa a
n
nveces«»
### #=
12 3444444444444444444
Donde "a" es la base. "n" el exponente, y a
n
la
potencia n–ésima de a.
Ejemplo:
•
2
5
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Esta definición se extiende al caso de potencias
negativas, es decir a
–n
, de la siguiente maneras:a
–n
=
a a
1 1
n
n=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O ,
n ∈ ℕ ∧ a ≠ 0
Ejemplos:
• 2
–3
=
2
1
222
1
8
1
3 ##
==
•
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
27
8
33
3
3
3
== ==
-J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
K
K
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
O
O
O
O
OO
N
P
O
O
O
Propiedades
Sea a ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, se tiene:
• a
n
× a
m
= a
n+m
•
a
a
m
n
= a
n–m
; a ≠ 0
• (a
n
)
m
= a
nm
Ejemplos:
• 2
5
× 2
3
= 2
5+3
= 2
8
•
3
3
2
5
=
3
5–2
= 3
3
= 27
• (5
3
)
2
= 5
3×2
= 5
6
Los pesticidas, fertilizantes y demás químicos em-
pleados en sectores como la agricultura y la ga-
nadería, son otra causa directa del calentamiento
global. T
odos poseen un alto contenido de óxido
de nitrógeno, el cual es perjudicial para la atmós-
fera. El mes pasado usó 2 toneladas de fertilizan-
tes, el siguiente mes el doble y así sucesivamente.
Est
o es preocupante, por ello, deben tomarse me-
didas de control.
¿Cuántas t
oneladas se utilizó en el octavo mes?
¿A cuánto equivale 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2?
Exponentes y radicales
UNIDADProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
73?lgebra
1 Exponentes y radicales.indd 73 24/01/2020 22:54:18
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Propiedades:
Sea a ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, se tiene:
•
,
||,
a
asinesimpar
asinespar
nn
=
Z
[
\
]
]]
]
]]
• aa
mn nm
=
Ejemplo:
• 2
33
- ^h = |–2| = 2
• 3
33
- ^h = –3
• 55 5
32 23 6
==
#
3. Exponentes fraccionarios
Sea a ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, la expresión algebraica
an
m
se define de la siguiente manera:
an
m
= a
mn
Propiedades:
• a
mn
= a
n
m
`j
• an
m
=
a
1
n
m
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Ejemplos:
• () ()8 8
23 3
2
=`j = 2
2
= 4
• 4
4
12
1 21
=
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
En general, con estos conceptos, obtenemos
las siguientes propiedades:
Propiedades:
Sea a, b ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, donde a y b cum-
plen las condiciones necesarias para ser radi-
candos y bases.
• (ab)
n
= a
n
b
n
•
b
a
b
a
n
n
n
=
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
; b ≠ 0
•
b
a
a
b
n n
=
-J
L
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
O; a, b ≠ 0
• ab ab
nn n
=
•
b
a
b
a
n
n
n
=
; b ≠ 0
• ()aa a
nqm npqmpp
=
+
• aa a
nn xy
m
p
== ; donde x = ,my n
px
=
Ejemplos:
• (3 × 5)
2
= 3
2
× 5
2
•
5
3
5
3
25
9
2
2
2
==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
•
6
5
5
6
5
6
25
36
2 2
2
2
== =
-J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
• 94 94##= = 3 × 2 = 6
Radicales sucesivos
n p
xxx x
()
a b c
m anbpc
mnp
=
++
n p
xyz xy z
a b c
m anpbpcmnp
=
1. Determina el valor de E
E
1433
23 711
42
35 42
### #
=
Descomponemos los números compuestos:
14 = 2 × 7 ∧ 33 = 3 × 11
Reemplazamos:
() ()
E
1433
23 711
27 311
23 711
42
35 42
42
35 42
#
## #
## #
## #
==
2731 1
23 711
44 22
35 42
## ### #
= = 2
–1
× 3
3
× 7
0
× 11
0
& E =
2
1
× 27 × 1 × 1 =
2
27
2. Efectúa y expresa su valor en forma radical.
2799
43
2799
43
= 27 × 33
24 23
#
= 3
3
×34
2
× 33
2
= 3
3
4
2
3
2
++
= 33 312
3668
12
50
6
25==++
& 2799 33
43 256
6
25
==
3. Resuelve: 3
83
1
2020
0
Como 2020
0
= 1 & 3
83
1
2020
0
= 3
83
1
1
De la misma manera:
3
1
3
1
33
1
883
1
1
3
1
&
==
88 23 39
3 82
3
1
3
1
&== ==
3
83
1
2020
0
= 9
74
1 Exponentes y radicales.indd 74 24/01/2020 22:54:21
Sea a ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, se tiene:
•
,
||,
a
asinesimpar
asinespar
nn
=
Z
[
\
]
]]
]
]]
• aa
mn nm
=
Ejemplo:
• 2
33
- ^h = |–2| = 2
• 3
33
- ^h = –3
• 55 5
32 23 6
==
#
3. Exponentes fraccionarios
Sea a ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, la expresión algebraica
an
m
se define de la siguiente manera:
an
m
= a
mn
Propiedades:
• a
mn
= a
n
m
`j
• an
m
=
a
1
n
m
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Ejemplos:
• () ()8 8
23 3
2
=`j = 2
2
= 4
• 4
4
12
1 21
=
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
En general, con estos conceptos, obtenemos
las siguientes propiedades:
Propiedades:
Sea a, b ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, donde a y b cum-
plen las condiciones necesarias para ser radi-
candos y bases.
• (ab)
n
= a
n
b
n
•
b
a
b
a
n
n
n
=
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
; b ≠ 0
•
b
a
a
b
n n
=
-J
L
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
O; a, b ≠ 0
• ab ab
nn n
=
•
b
a
b
a
n
n
n
=
; b ≠ 0
• ()aa a
nqm npqmpp
=
+
• aa a
nn xy
m
p
== ; donde x = ,my n
px
=
Ejemplos:
• (3 × 5)
2
= 3
2
× 5
2
•
5
3
5
3
25
9
2
2
2
==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
•
6
5
5
6
5
6
25
36
2 2
2
2
== =
-J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
• 94 94##= = 3 × 2 = 6
Radicales sucesivos
n p
xxx x
()
a b c
m anbpc
mnp
=
++
n p
xyz xy z
a b c
m anpbpcmnp
=
1. Determina el valor de E
E
1433
23 711
42
35 42
### #
=
Descomponemos los números compuestos:
14 = 2 × 7 ∧ 33 = 3 × 11
Reemplazamos:
() ()
E
1433
23 711
27 311
23 711
42
35 42
42
35 42
#
## #
## #
## #
==
2731 1
23 711
44 22
35 42
## ### #
= = 2
–1
× 3
3
× 7
0
× 11
0
& E =
2
1
× 27 × 1 × 1 =
2
27
2. Efectúa y expresa su valor en forma radical.
2799
43
2799
43
= 27 × 33
24 23
#
= 3
3
×34
2
× 33
2
= 3
3
4
2
3
2
++
= 33 312
3668
12
50
6
25==++
& 2799 33
43 256
6
25
==
3. Resuelve: 3
83
1
2020
0
Como 2020
0
= 1 & 3
83
1
2020
0
= 3
83
1
1
De la misma manera:
3
1
3
1
33
1
883
1
1
3
1
&
==
88 23 39
3 82
3
1
3
1
&== ==
3
83
1
2020
0
= 9
74
1 Exponentes y radicales.indd 74 24/01/2020 22:54:21
Unidad 1 • Gr
El grado de 3a
2
b
4
c es 2 + 4 + 1 = 7
Otros datos a saber:
•
Variables
Las variables de 3a
2
b
4
c son: a; b y c
•
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando
tienen la misma parte literal.
2x
2
y
3
z es semejante a 5x
2
y
3
z
3.
Operaciones con monomios
a. Suma de monomios
Dos o más monomios se podr
án sumar solo
si son semejantes y darán como resultado un
monomio con la misma parte literal.
ax
n
+ bx
n
+ cx
n
= (a + b + c) x
n
b. Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante, pues las operaciones básicas solo afectan al coeficiente.
4(3a
2
b
4
c) = 12a
2
b
4
c
c. Producto de un monomio
Esto formará otro monomio cuyo coeficiente se hallará por el producto de coeficientes y también de la parte literal.
ax
n
bx
m
= abx
n + m
d. Cociente de monomios
Est
o formará otro monomio cuyo coeficiente
se hallará por la división de los coeficientes y de la parte literal.
bx
ax
b
a
x
m
n
nm
=
-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
; b ≠ 0
Expresión Algebraica
Es un conjunto de letras y números unidas por
los signos de las operaciones básicas.
1. Valor numérico de una expresión algebraica
Es el número que se obtiene al reemplazar un
valor numérico dado y realizar las operaciones
indicadas.
2.
Clasificación de las expresiones algebraicas
• Monomio: Un monomio es una expresión
algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
2a; a
3
; 4abc; 2a
2
b
3
c
• Binomio: Un binomio es una expresión
algebraica formada por dos monomios.
a + b; a
2
+ b
3
; c + 4d; a + d
3
• T Un trinomio es una expresión
algebraica formada por tres monomios.
a
2
+ 2ab + b
2
; a + b + c
2
; b + 4d + 6e
• Polinomio: Un polinomio es una expresión
algebraica formada por más de un monomio, denotados por una letra en mayúscula.
P(a;b;c;d) = a + bc + 4d + abc + ac
2
a. Notación:
Part
es de un monomio:
3a
2
b
4
c
Donde :
3 ⟶ coeficiente
a
2
b
4
c ⟶ parte literal
La tala de árboles es un factor que contribuye al ca-
lentamiento global. Los bosques son recursos con
los que cuenta nuestro planeta par
a mantenerse
equilibrado, por eso, es importante cuidarlos.
En un determinado país la cantidad aproximada
de árboles talados durante los últimos 5 años está
representado por la siguiente expresión:
P(x) = 25x + 1245
¿Qué nombre recibe la expresión anterior?
¿Cuál es el grado del polinomio?
PolinomiosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
75?lgebra
2 Polinomios.indd 75 25/01/2020 00:07:24
El grado de 3a
2
b
4
c es 2 + 4 + 1 = 7
Otros datos a saber:
•
Variables
Las variables de 3a
2
b
4
c son: a; b y c
•
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando
tienen la misma parte literal.
2x
2
y
3
z es semejante a 5x
2
y
3
z
3.
Operaciones con monomios
a. Suma de monomios
Dos o más monomios se podr
án sumar solo
si son semejantes y darán como resultado un
monomio con la misma parte literal.
ax
n
+ bx
n
+ cx
n
= (a + b + c) x
n
b. Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante, pues las operaciones básicas solo afectan al coeficiente.
4(3a
2
b
4
c) = 12a
2
b
4
c
c. Producto de un monomio
Esto formará otro monomio cuyo coeficiente se hallará por el producto de coeficientes y también de la parte literal.
ax
n
bx
m
= abx
n + m
d. Cociente de monomios
Est
o formará otro monomio cuyo coeficiente
se hallará por la división de los coeficientes y de la parte literal.
bx
ax
b
a
x
m
n
nm
=
-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
; b ≠ 0
Expresión Algebraica
Es un conjunto de letras y números unidas por
los signos de las operaciones básicas.
1. Valor numérico de una expresión algebraica
Es el número que se obtiene al reemplazar un
valor numérico dado y realizar las operaciones
indicadas.
2.
Clasificación de las expresiones algebraicas
• Monomio: Un monomio es una expresión
algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
2a; a
3
; 4abc; 2a
2
b
3
c
• Binomio: Un binomio es una expresión
algebraica formada por dos monomios.
a + b; a
2
+ b
3
; c + 4d; a + d
3
• T Un trinomio es una expresión
algebraica formada por tres monomios.
a
2
+ 2ab + b
2
; a + b + c
2
; b + 4d + 6e
• Polinomio: Un polinomio es una expresión
algebraica formada por más de un monomio, denotados por una letra en mayúscula.
P(a;b;c;d) = a + bc + 4d + abc + ac
2
a. Notación:
Part
es de un monomio:
3a
2
b
4
c
Donde :
3 ⟶ coeficiente
a
2
b
4
c ⟶ parte literal
La tala de árboles es un factor que contribuye al ca-
lentamiento global. Los bosques son recursos con
los que cuenta nuestro planeta par
a mantenerse
equilibrado, por eso, es importante cuidarlos.
En un determinado país la cantidad aproximada
de árboles talados durante los últimos 5 años está
representado por la siguiente expresión:
P(x) = 25x + 1245
¿Qué nombre recibe la expresión anterior?
¿Cuál es el grado del polinomio?
PolinomiosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
75?lgebra
2 Polinomios.indd 75 25/01/2020 00:07:24
e. Pot
Para realizar la potencia de un monomio se
eleva, cada elemento de éste, al exponente
de la potencia, teniendo en cuenta las
propiedades.
(ax
m
)
n
= a
n
x
mn
4. C
Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = a
n
x
n
+ a
n–1
x
n–1
+ a
n–2
x
n–2
+ ... + a
1
x
1
+ a
0
Siendo:
•
a
n
; a
n–1
; ...; a
1
; a
0
los coeficientes.
• n un número natural
• x la variable o indeterminada
• a
n
es el coeficiente principal
• a
0
es el término independiente
a. Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor
exponente al que se encuentra elevada la
variable x.
b.
Tipos de polinomios
• Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
P(x) = 0
• Polinomio completo
Un polinomio está completo si tiene todos los términos, desde el término independiente hasta el término de mayor grado, para que sea un polinomio completo, no importa el orden.
P(x) = 3x
2
+ 4x
3
– 7x + 5
• Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x
2
+ 5x – 3
c. Tipos de polinomios según su grado
• Polinomio de grado cero
P(x) = 5
• Polinomio de primer grado
P(x) = 1 + 4x
• Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x
2
+ 3x + 2
• Polinomio de tercer grado
P(x) = 3x
2
+ 2x
3
+ 4x + 6
• Polinomio de cuarto grado
P(x) = x
4
+ x
3
– 2x
2
+ 3x + 2
5. Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable por un número cualquiera.
P(x) = 2x
3
+ 5x – 3; x = 1
P(1) = 2 × 1
3
+ 5 × 1 – 3
P(1) = 2 + 5 – 3 = 4
6.
Suma de polinomios
P(x) = 2x
3
+ 5x – 3
Q(x) = 4x – 3x
2
+ 2x
3
Q(x) = 2x
3
– 3x
2
+ 4x
P(x) + Q(x) = (2x
3
+ 5x – 3) + (2x
3
– 3x
2
+ 4x)
P(x) + Q(x) = 2x
3
+ 2x
3
– 3x
2
+ 5x + 4x – 3
P(x) + Q(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 9x – 3
7. Resta de polinomios
P(x) – Q(x) = (2x
3
+ 5x – 3) – (2x
3
– 3x
2
+ 4x)
P(x) – Q(x) = 2x
3
+ 5x – 3 – 2x
3
+ 3x
2
– 4x)
P(x) – Q(x) = 2x
3
– 2x
3
+ 3x
2
+ 5x – 4x – 3
P(x) – Q(x) = 3x
2
+ x – 3
8.
Producto de polinomios
a. Producto de un número por un polinomio
3(2x
3
– 3x
2
+ 4x – 2) = 6x
3
– 9x
2
+ 12x – 6
b. Producto de un monomio por un polinomio
3x
2
(2x
3
– 3x
2
+ 4x – 2) = 6x
5
– 9x
4
+ 12x
3
– 6x
2Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
76
2 Polinomios.indd 76 25/01/2020 00:07:24
Para realizar la potencia de un monomio se
eleva, cada elemento de éste, al exponente
de la potencia, teniendo en cuenta las
propiedades.
(ax
m
)
n
= a
n
x
mn
4. C
Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = a
n
x
n
+ a
n–1
x
n–1
+ a
n–2
x
n–2
+ ... + a
1
x
1
+ a
0
Siendo:
•
a
n
; a
n–1
; ...; a
1
; a
0
los coeficientes.
• n un número natural
• x la variable o indeterminada
• a
n
es el coeficiente principal
• a
0
es el término independiente
a. Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor
exponente al que se encuentra elevada la
variable x.
b.
Tipos de polinomios
• Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
P(x) = 0
• Polinomio completo
Un polinomio está completo si tiene todos los términos, desde el término independiente hasta el término de mayor grado, para que sea un polinomio completo, no importa el orden.
P(x) = 3x
2
+ 4x
3
– 7x + 5
• Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x
2
+ 5x – 3
c. Tipos de polinomios según su grado
• Polinomio de grado cero
P(x) = 5
• Polinomio de primer grado
P(x) = 1 + 4x
• Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x
2
+ 3x + 2
• Polinomio de tercer grado
P(x) = 3x
2
+ 2x
3
+ 4x + 6
• Polinomio de cuarto grado
P(x) = x
4
+ x
3
– 2x
2
+ 3x + 2
5. Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable por un número cualquiera.
P(x) = 2x
3
+ 5x – 3; x = 1
P(1) = 2 × 1
3
+ 5 × 1 – 3
P(1) = 2 + 5 – 3 = 4
6.
Suma de polinomios
P(x) = 2x
3
+ 5x – 3
Q(x) = 4x – 3x
2
+ 2x
3
Q(x) = 2x
3
– 3x
2
+ 4x
P(x) + Q(x) = (2x
3
+ 5x – 3) + (2x
3
– 3x
2
+ 4x)
P(x) + Q(x) = 2x
3
+ 2x
3
– 3x
2
+ 5x + 4x – 3
P(x) + Q(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 9x – 3
7. Resta de polinomios
P(x) – Q(x) = (2x
3
+ 5x – 3) – (2x
3
– 3x
2
+ 4x)
P(x) – Q(x) = 2x
3
+ 5x – 3 – 2x
3
+ 3x
2
– 4x)
P(x) – Q(x) = 2x
3
– 2x
3
+ 3x
2
+ 5x – 4x – 3
P(x) – Q(x) = 3x
2
+ x – 3
8.
Producto de polinomios
a. Producto de un número por un polinomio
3(2x
3
– 3x
2
+ 4x – 2) = 6x
3
– 9x
2
+ 12x – 6
b. Producto de un monomio por un polinomio
3x
2
(2x
3
– 3x
2
+ 4x – 2) = 6x
5
– 9x
4
+ 12x
3
– 6x
2Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
76
2 Polinomios.indd 76 25/01/2020 00:07:24
Unidad 1 c. Producto de polinomios
Multiplicas cada monomio del primer
polinomio con cada monomio del segundo
polinomio.
P(x) = 2x
2
– 3 ∧ Q(x) = 2x
3
– 3x
2
+ 4x
Sumas los monomios que compartan el mismo grado
P(x)Q(x) = (2x
2
– 3) (2x
3
– 3x
2
+ 4x)
4x
5
– 6x
4
+ 8x
3
– 6x
3
+ 9x
2
– 12x
Obtendrás otro polinomio cuyo grado será igual a la suma de los grados de los polinomios que lo originaron (P(x) y Q(x))
4x
5
– 6x
4
+ 2x
3
+ 9x
2
– 12x
1. Halla P(x)Q(x) si :
P(x) = 3x
3
+ 2x
2
+ x + 4
Q(x) = x
2
– 2x
P(x)Q(x) = (3x
3
+ 2x
2
+ x + 4) (x
2
– 2x)
Multiplicamos monomio por monomio
P(x)Q(x) = 3x
5
+2x
4
+x
3
+4x
2
– 6x
4
– 4x
3
– 2x
2
– 8x
Agrupamos los monomios del mismo grado
P(x)Q(x) = 3x
5
+2x
4
– 6x
4
+x
3
– 4x
3
+4x
2
– 2x
2
– 8x
Sumamos los monomios semejantes
P(x)Q(x) = 3x
5
– 4x
4
– 3x
3
+ 2x
2
– 8x
2. Sea
P(x)
= 3x
3
+ 2x + 4
Q(x) = 2x
3
– x
2
+ 3x + 2
R(x) = 4x
2
+ 2x – 3
Calcula: 2P(x) – 3Q(x) + R(x)
Producto de un número por un polinomio
2P(x) = 2(3x
3
+ 2x + 4)
2P(x) = 6x
3
+ 4x + 8
3Q(x) =3(2x
3
– x
2
+ 3x + 2)
3Q(x) = 6x
3
– 3x
2
+ 9x + 6
2P(x) – 3Q(x) + R(x) = 6x
3
+ 4x + 8 –(6x
3
– 3x
2
+
9x + 6) + 4x
2
+ 2x – 3
= 6x
3
+ 4x + 8 – 6x
3
+ 3x
2
– 9x – 6 + 4x
2
+ 2x – 3
2P(x) – 3Q(x) + R(x) = 3x
2
– 5x + 2 + 4x
2
+ 2x – 3
= 7x
2
– 3x – 1
3. Si
P(x)
= x
2
+ 2x + 2
Q(x) = x – 1
Halla 2R(3) si:
R(x) = P(x)Q(x) – 2Q(x)
R(x) = (x
2
+ 2x + 2)(x – 1) –2(x – 1)
= x
3
– x
2
+ 2x
2
– 2x + 2x – 2 – 2x + 2
= x
3
+ x
2
+ (2x – 2x – 2x) +2 – 2
R(x) = x
3
+ x
2
– 2x
R(3) = 3
3
+ 3
2
– 2 × 3
R(3) = 27 + 9 – 6
R(3) = 30
Nos piden 2R(3)
& 2 × 30 = 60
4. Completa la tabla:
Polinomio Grado N° de
términos
Variables
12x
3
+ 2x
2
+ 1 3 3 x
5x
2
y
2
+ 2xy 2 2 x; y
x
x
3
3
2
+
2 2 x
–3x + 7 1 2 x
x
4
+ 2x
2
+ 5 4 3 x
5x
3
+ 2x
2
+ 1 3 3 x
5.
Dado los polinomios, calcula:
A = –2x
3
+ 10x
2
+ x – 7 y B = x
2
+ 3x – 1
a) 2A – B b) A ∙ B c) A –2B
a.
Se procede a hacer las operaciones:
2(
–2x
3
+ 10x
2
+ x – 7) – (x
2
+ 3x – 1)
= –4x
3
+ 20x
2
+ 2x – 14 – x
2
– 3x + 1
= –4x
3
+ 20x
2
– x
2
+ 2x – 3x – 14 + 1
= –4x
3
+ 19x
2
– x – 13
b.
Reemplazando y resolviendo la operación:
(–2x
3
+ 10x
2
+ x – 7)(x
2
+ 3x – 1)
= –2x
5
– 6x
4
+ 2x
3
+ 10x
4
+ 30x
3
– 10x
2
+ x
3
+ 3x
2
– x – 7x
2
– 21x + 7
Agrupando y resolviendo se tiene:
=–2x
5
+ 4x
4
+ 33x
3
– 14x
2
– 22x + 7
c.
Resolviendo la operación:
–2x
3
+ 10x
2
+ x – 7 – 2(x
2
+ 3x – 1)
= –2x
3
+ 10x
2
+ x – 7 – 2x
2
– 6x + 2
= –2x
3
+ 8x
2
– 5x – 5Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
77?lgebra
2 Polinomios.indd 77 25/01/2020 00:07:25
Multiplicas cada monomio del primer
polinomio con cada monomio del segundo
polinomio.
P(x) = 2x
2
– 3 ∧ Q(x) = 2x
3
– 3x
2
+ 4x
Sumas los monomios que compartan el mismo grado
P(x)Q(x) = (2x
2
– 3) (2x
3
– 3x
2
+ 4x)
4x
5
– 6x
4
+ 8x
3
– 6x
3
+ 9x
2
– 12x
Obtendrás otro polinomio cuyo grado será igual a la suma de los grados de los polinomios que lo originaron (P(x) y Q(x))
4x
5
– 6x
4
+ 2x
3
+ 9x
2
– 12x
1. Halla P(x)Q(x) si :
P(x) = 3x
3
+ 2x
2
+ x + 4
Q(x) = x
2
– 2x
P(x)Q(x) = (3x
3
+ 2x
2
+ x + 4) (x
2
– 2x)
Multiplicamos monomio por monomio
P(x)Q(x) = 3x
5
+2x
4
+x
3
+4x
2
– 6x
4
– 4x
3
– 2x
2
– 8x
Agrupamos los monomios del mismo grado
P(x)Q(x) = 3x
5
+2x
4
– 6x
4
+x
3
– 4x
3
+4x
2
– 2x
2
– 8x
Sumamos los monomios semejantes
P(x)Q(x) = 3x
5
– 4x
4
– 3x
3
+ 2x
2
– 8x
2. Sea
P(x)
= 3x
3
+ 2x + 4
Q(x) = 2x
3
– x
2
+ 3x + 2
R(x) = 4x
2
+ 2x – 3
Calcula: 2P(x) – 3Q(x) + R(x)
Producto de un número por un polinomio
2P(x) = 2(3x
3
+ 2x + 4)
2P(x) = 6x
3
+ 4x + 8
3Q(x) =3(2x
3
– x
2
+ 3x + 2)
3Q(x) = 6x
3
– 3x
2
+ 9x + 6
2P(x) – 3Q(x) + R(x) = 6x
3
+ 4x + 8 –(6x
3
– 3x
2
+
9x + 6) + 4x
2
+ 2x – 3
= 6x
3
+ 4x + 8 – 6x
3
+ 3x
2
– 9x – 6 + 4x
2
+ 2x – 3
2P(x) – 3Q(x) + R(x) = 3x
2
– 5x + 2 + 4x
2
+ 2x – 3
= 7x
2
– 3x – 1
3. Si
P(x)
= x
2
+ 2x + 2
Q(x) = x – 1
Halla 2R(3) si:
R(x) = P(x)Q(x) – 2Q(x)
R(x) = (x
2
+ 2x + 2)(x – 1) –2(x – 1)
= x
3
– x
2
+ 2x
2
– 2x + 2x – 2 – 2x + 2
= x
3
+ x
2
+ (2x – 2x – 2x) +2 – 2
R(x) = x
3
+ x
2
– 2x
R(3) = 3
3
+ 3
2
– 2 × 3
R(3) = 27 + 9 – 6
R(3) = 30
Nos piden 2R(3)
& 2 × 30 = 60
4. Completa la tabla:
Polinomio Grado N° de
términos
Variables
12x
3
+ 2x
2
+ 1 3 3 x
5x
2
y
2
+ 2xy 2 2 x; y
x
x
3
3
2
+
2 2 x
–3x + 7 1 2 x
x
4
+ 2x
2
+ 5 4 3 x
5x
3
+ 2x
2
+ 1 3 3 x
5.
Dado los polinomios, calcula:
A = –2x
3
+ 10x
2
+ x – 7 y B = x
2
+ 3x – 1
a) 2A – B b) A ∙ B c) A –2B
a.
Se procede a hacer las operaciones:
2(
–2x
3
+ 10x
2
+ x – 7) – (x
2
+ 3x – 1)
= –4x
3
+ 20x
2
+ 2x – 14 – x
2
– 3x + 1
= –4x
3
+ 20x
2
– x
2
+ 2x – 3x – 14 + 1
= –4x
3
+ 19x
2
– x – 13
b.
Reemplazando y resolviendo la operación:
(–2x
3
+ 10x
2
+ x – 7)(x
2
+ 3x – 1)
= –2x
5
– 6x
4
+ 2x
3
+ 10x
4
+ 30x
3
– 10x
2
+ x
3
+ 3x
2
– x – 7x
2
– 21x + 7
Agrupando y resolviendo se tiene:
=–2x
5
+ 4x
4
+ 33x
3
– 14x
2
– 22x + 7
c.
Resolviendo la operación:
–2x
3
+ 10x
2
+ x – 7 – 2(x
2
+ 3x – 1)
= –2x
3
+ 10x
2
+ x – 7 – 2x
2
– 6x + 2
= –2x
3
+ 8x
2
– 5x – 5Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
77?lgebra
2 Polinomios.indd 77 25/01/2020 00:07:25
3. Binomio al cubo
Mostramos los siguientes casos:
a.
Suma al cubo Est
e producto notable resulta de multiplicarle
un (a + b) al resultado de la suma al cuadrado
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
b. Dif
Este producto notable resulta de multiplicarle
un (a − b) al resultado de la diferencia al
cuadrado
(a – b)
3
= a
3
– 3a
2
b + 3ab
2
– b
3
4. Suma y diferencia de cubos
Este resultado viene dado por el producto de
factores que tienen la siguiente forma:
(a + b)(a
2
– ab + b
2
) = a
3
+ b
3
(a – b)(a
2
+ ab + b
2
) = a
3
– b
3
5. Identidades adicionales
a. Identidad de Legendre:
Al realiz
ar operaciones básicas como suma
o diferencia a los productos notables
anteriores, nos da como resultado las
siguientes variaciones:
•
Primera variación
(a + b)
2
+ (a – b)
2
= 2(a
2
+ b
2
)
• Segunda variación
(a + b)
2
– (a – b)
2
= 4ab
b. Trinomio al cuadrado:
Tiene el siguiente desarrollo:
(a + b + c)
2
=a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + ac + bc)
Productos notables
Son productos los cuales se obtienen de forma directa, sin necesidad de efectuar la propiedad distributiva debido a la forma característica que presentan.
1.
Multiplicación algebraica
Sea x, a, b ∈ ℝ se cumple lo siguiente:
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
Polinomios multiplicados Producto
Ejemplo : Resuelve la siguiente multiplicación algebraica:
M = (x + 7)(x – 5)
Por fórmula tenemos:
(x + 7)(x – 5) = x
2
+(7+(–5))x + 7(–5)
& (x + 7)(x – 5) = x
2
+ 2x – 35
Finalmente:
M= x
2
+ 2x – 35
2.
Binomio al cuadrado: Tenemos los siguientes casos:
a.
Suma al cuadrado
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
b. Dif
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
Al desarrollo del binomio al cuadrado se le
denomina trinomio cuadrado perfecto.(T.C.P.)
Observación: para todo n ∈ ℕ se tiene:
(a – b)
2n
= (b – a)
2n
El dióxido de carbono es el principal responsable
del efecto invernadero. Este se concentra en la at-
mósfera debido al uso de combustible fósiles para
proc
esos industriales y medios de transporte.
Carmela desea construir una maqueta para re -
presentar otros gases de efecto invernadero. La
maqueta tiene de largo (
a + b)
2
cm y de ancho
(a
2
+ b
2
+ 2ab) cm.
¿La maqueta tendrá forma cuadrada?
¿Qué productos notables conoces?
Productos notablesProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
78
3 Productos Notables.indd 78 24/01/2020 22:54:35
Mostramos los siguientes casos:
a.
Suma al cubo Est
e producto notable resulta de multiplicarle
un (a + b) al resultado de la suma al cuadrado
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
b. Dif
Este producto notable resulta de multiplicarle
un (a − b) al resultado de la diferencia al
cuadrado
(a – b)
3
= a
3
– 3a
2
b + 3ab
2
– b
3
4. Suma y diferencia de cubos
Este resultado viene dado por el producto de
factores que tienen la siguiente forma:
(a + b)(a
2
– ab + b
2
) = a
3
+ b
3
(a – b)(a
2
+ ab + b
2
) = a
3
– b
3
5. Identidades adicionales
a. Identidad de Legendre:
Al realiz
ar operaciones básicas como suma
o diferencia a los productos notables
anteriores, nos da como resultado las
siguientes variaciones:
•
Primera variación
(a + b)
2
+ (a – b)
2
= 2(a
2
+ b
2
)
• Segunda variación
(a + b)
2
– (a – b)
2
= 4ab
b. Trinomio al cuadrado:
Tiene el siguiente desarrollo:
(a + b + c)
2
=a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + ac + bc)
Productos notables
Son productos los cuales se obtienen de forma directa, sin necesidad de efectuar la propiedad distributiva debido a la forma característica que presentan.
1.
Multiplicación algebraica
Sea x, a, b ∈ ℝ se cumple lo siguiente:
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
Polinomios multiplicados Producto
Ejemplo : Resuelve la siguiente multiplicación algebraica:
M = (x + 7)(x – 5)
Por fórmula tenemos:
(x + 7)(x – 5) = x
2
+(7+(–5))x + 7(–5)
& (x + 7)(x – 5) = x
2
+ 2x – 35
Finalmente:
M= x
2
+ 2x – 35
2.
Binomio al cuadrado: Tenemos los siguientes casos:
a.
Suma al cuadrado
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
b. Dif
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
Al desarrollo del binomio al cuadrado se le
denomina trinomio cuadrado perfecto.(T.C.P.)
Observación: para todo n ∈ ℕ se tiene:
(a – b)
2n
= (b – a)
2n
El dióxido de carbono es el principal responsable
del efecto invernadero. Este se concentra en la at-
mósfera debido al uso de combustible fósiles para
proc
esos industriales y medios de transporte.
Carmela desea construir una maqueta para re -
presentar otros gases de efecto invernadero. La
maqueta tiene de largo (
a + b)
2
cm y de ancho
(a
2
+ b
2
+ 2ab) cm.
¿La maqueta tendrá forma cuadrada?
¿Qué productos notables conoces?
Productos notablesProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
78
3 Productos Notables.indd 78 24/01/2020 22:54:35
Unidad 1 c. Identidad de Cauchy:
Esta identidad se da al factorizar algunos
elementos de la suma o diferencia al cubo
• Suma
(a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
• Resta
(a – b)
3
= a
3
– b
3
– 3ab(a – b)
d. Identidad de Stevin:
Es también conocido como identidad de equivalencia.
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
e. Identidad trinómica de Árgan'd:
(a
2n
+ a
n
+ 1)(a
2n
– a
n
+ 1) = a
4n
+ a
2n
+ 1
f. Identidad de Lagrange:
Es aquel producto de la suma de cuadrados, como lo mostramos a continuación:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
+ (ay – bx)
2
g. Identidades condicionales:
Dados a; b y c
Si a + b + c = 0, entonces:
a
2
+ b
2
+ c
2
= –2(ab + bc + ac)
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
a
4
+ b
4
+ c
4
=2(ab + bc + ac)
2
6. Propiedades auxiliares
a. Si a
2n
+ b
2n
+ c
2n
= 0 ∀ n ∈ ℤ
+
& a = b = c = 0
b. Si ab c
nn n22 2
++ = 0; ∀ n ∈ ℤ
+
& a = b = c = 0
c. Si ab c
mm m
++ = –(d
n
+ e
n
+ f
n
)
Además : m y n son pares
& a = b = c = 0 ∧ d = e = f = 0
d. En todo T.C.P. se cumple que su discrimi-
nante es igual a 0, es decir:
∆ = 0 ∨ b
2
– 4ac = 0
& b
2
= 4ac
1. Determina el valor de la siguiente expresión:
L = (x + 4)(x + 2) – (x + 3)
2
Por la identidad de Stevin tenemos:
(x + 4)(x + 2) = x
2
+(4 + 2)x + 4(2)
& (x + 4)(x + 2) = x
2
+ 6x + 8
Por el binomio al cuadrado:
(x + 3)
2
= x
2
+ 2(3)(x) + 3
2
= x
2
+ 6x + 9
& (x + 3)
2
= x
2
+ 6x + 9
Reemplazando en L:
L = x
2
+ 6x + 8 – (x
2
+ 6x + 9)
L = x
2
+ 6x + 8 – x
2
– 6x – 9 = –1
& L = –1
2. Reduce la siguiente expresión:
P = (m + n)(m – n)(m
2
+ n
2
) + (m
4
+ n
4
) – 1
Por diferencia de cuadrados:
(m + n)(m – n) = m
2
– n
2
La expresión quedaría:
(m
2
– n
2
)(m
2
+ n
2
) + (m
4
+ n
4
) –1
Nuevamente aplicamos diferencia de
cuadrados:
(m
2
– n
2
)(m
2
+ n
2
) = m
4
– n
4
Finalmente:
P = m
4
– n
4
+ m
4
+ n
4
– 1
& P = 2m
4
– 1
3. Halla el equivalente de la siguiente expresión:
R = a
3
– 3ab(b – a) – b
3
+ 3ab
2
– 3a
2
b + 2b
3
Desarrollamos:
3ab(b – a) = 3ab
2
– 3a
2
b
Entonces R queda de la siguiente manera:
R = a
3
– 3ab
2
+ 3a
2
b – b
3
+ 3ab
2
– 3a
2
b + 2b
3
& R = a
3
– b
3
+ 2b
3
= a
3
+ b
3
Por lo tanto
R = a
3
+ b
3Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
79?lgebra
3 Productos Notables.indd 79 24/01/2020 22:54:36
Esta identidad se da al factorizar algunos
elementos de la suma o diferencia al cubo
• Suma
(a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
• Resta
(a – b)
3
= a
3
– b
3
– 3ab(a – b)
d. Identidad de Stevin:
Es también conocido como identidad de equivalencia.
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
e. Identidad trinómica de Árgan'd:
(a
2n
+ a
n
+ 1)(a
2n
– a
n
+ 1) = a
4n
+ a
2n
+ 1
f. Identidad de Lagrange:
Es aquel producto de la suma de cuadrados, como lo mostramos a continuación:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
+ (ay – bx)
2
g. Identidades condicionales:
Dados a; b y c
Si a + b + c = 0, entonces:
a
2
+ b
2
+ c
2
= –2(ab + bc + ac)
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
a
4
+ b
4
+ c
4
=2(ab + bc + ac)
2
6. Propiedades auxiliares
a. Si a
2n
+ b
2n
+ c
2n
= 0 ∀ n ∈ ℤ
+
& a = b = c = 0
b. Si ab c
nn n22 2
++ = 0; ∀ n ∈ ℤ
+
& a = b = c = 0
c. Si ab c
mm m
++ = –(d
n
+ e
n
+ f
n
)
Además : m y n son pares
& a = b = c = 0 ∧ d = e = f = 0
d. En todo T.C.P. se cumple que su discrimi-
nante es igual a 0, es decir:
∆ = 0 ∨ b
2
– 4ac = 0
& b
2
= 4ac
1. Determina el valor de la siguiente expresión:
L = (x + 4)(x + 2) – (x + 3)
2
Por la identidad de Stevin tenemos:
(x + 4)(x + 2) = x
2
+(4 + 2)x + 4(2)
& (x + 4)(x + 2) = x
2
+ 6x + 8
Por el binomio al cuadrado:
(x + 3)
2
= x
2
+ 2(3)(x) + 3
2
= x
2
+ 6x + 9
& (x + 3)
2
= x
2
+ 6x + 9
Reemplazando en L:
L = x
2
+ 6x + 8 – (x
2
+ 6x + 9)
L = x
2
+ 6x + 8 – x
2
– 6x – 9 = –1
& L = –1
2. Reduce la siguiente expresión:
P = (m + n)(m – n)(m
2
+ n
2
) + (m
4
+ n
4
) – 1
Por diferencia de cuadrados:
(m + n)(m – n) = m
2
– n
2
La expresión quedaría:
(m
2
– n
2
)(m
2
+ n
2
) + (m
4
+ n
4
) –1
Nuevamente aplicamos diferencia de
cuadrados:
(m
2
– n
2
)(m
2
+ n
2
) = m
4
– n
4
Finalmente:
P = m
4
– n
4
+ m
4
+ n
4
– 1
& P = 2m
4
– 1
3. Halla el equivalente de la siguiente expresión:
R = a
3
– 3ab(b – a) – b
3
+ 3ab
2
– 3a
2
b + 2b
3
Desarrollamos:
3ab(b – a) = 3ab
2
– 3a
2
b
Entonces R queda de la siguiente manera:
R = a
3
– 3ab
2
+ 3a
2
b – b
3
+ 3ab
2
– 3a
2
b + 2b
3
& R = a
3
– b
3
+ 2b
3
= a
3
+ b
3
Por lo tanto
R = a
3
+ b
3Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
79?lgebra
3 Productos Notables.indd 79 24/01/2020 22:54:36
4. Calcula el valor de A +
2
7
, si tenemos que.
x + y + z = 0 y A =
xyyzxz
xy z
44 4
22 2
-- -
++
Factorizando el denominador:
A =
(( ))xyyzxz
xy z
22
22 2
-+ +
++
Como x + y + z = 0 por las identidades adi-
cionales tenemos:
x
2
+ y
2
+ z
2
= –2(xy + yz + xz)
Reemplazando este resultado en A
()
A
xy z
xy z
2
22 2
22 2
=
++
++
& A =
2
1
Nos piden:
AA
2
7
2
1
2
7
2
8
44&+=+= ==
5. Sea a + b = 4 y además ab = 3. Halla el valor de
a – b si a < b
Por propiedad de binomio al cuadrado
tenemos:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Reemplazando los valores:
(4)
2
= a
2
+ 2(3) + b
2
& 16 = a
2
+ b
2
+ 6
& a
2
+ b
2
= 10 ...(1)
Ahora nuevamente aplicamos la propiedad
de binomio al cuadrado, esta vez para la
diferencia:
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
= a
2
+ b
2
– 2ab
Por (1) y por dato tenemos:
(a – b)
2
= 10 – 2(3) = 4
& a – b = ±2
Como a < b & a – b < 0
Por lo tanto:
a – b = –2
6. Determina si la expresión L = 4x
2
+ 12x + 9 es o
no un cuadrado perfecto.
En nuestro problema a = 4; b = 12 y c = 9
Calculemos la discriminante ∆ = b
2
– 4ac
∆ = 12
2
– 4(4)(9) = 144 – 144 = 0
& ∆ = 0
Por lo tanto: L = 4x
2
+ 12x + 9 es un cuadra-
do perfecto y se reduce a L = (2x + 3)
2
7. Si t–
x
1
= 4, determina el valor de
la siguiente expresión Q = x
x
13
3
-
Por la identidad de Cauchy para la resta:
x
x
x
x
x
x
x
x
1 1
3
11
3
3
3
- =- - -
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Reemplazando los valores:
(4)
3
= x
3
–
x
1
3
–3(4)
&x
3
–
x
1
3
= 64 + 12 = 76
Nos piden hallar:
Qx
x
1
762193
3
=- ==
& Q = 2 19
8. Si a + b + c = 0 reduce la expresión A:
()() ()
A
ab ac bc
ab cb ca ca b222
222
=
++
++ ++ ++ ++
Como a + b + c = 0 tenemos:
()() ()
A
ab ac bc
ab cb ca ca b222
222
=
++
++ ++ ++ ++
()()()
A
ab ac bc
ab c
ab ac bc
ab c
22 2 22 2
=
++
++
=
++
++
Por la identidad condicional:
a
2
+ b
2
+ c
2
= –2(ab + bc + ac)
Reemplazando en A:()
A
abbcac
abbcac2
2=
++
-+ +
=-
& A = –2
9. Si t
2
+ b
2
= 20, x
2
+ y
2
=1, ade-
más ax + by = 2. Determina el valor de la si-
guiente expresión N = 2(bx – ay)
Por dato, podemos usar la identidad de
Lagrange
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
+ (ay – bx)
2
Reemplazando:
20(1) = (2)
2
+ (ay – bx)
2
& (ay – bx)
2
= (bx – ay)
2
= 16
(bx – ay) = ±4
Nos piden: N = 2(bx – ay) = ±8
& N = ±8Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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2
7
, si tenemos que.
x + y + z = 0 y A =
xyyzxz
xy z
44 4
22 2
-- -
++
Factorizando el denominador:
A =
(( ))xyyzxz
xy z
22
22 2
-+ +
++
Como x + y + z = 0 por las identidades adi-
cionales tenemos:
x
2
+ y
2
+ z
2
= –2(xy + yz + xz)
Reemplazando este resultado en A
()
A
xy z
xy z
2
22 2
22 2
=
++
++
& A =
2
1
Nos piden:
AA
2
7
2
1
2
7
2
8
44&+=+= ==
5. Sea a + b = 4 y además ab = 3. Halla el valor de
a – b si a < b
Por propiedad de binomio al cuadrado
tenemos:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Reemplazando los valores:
(4)
2
= a
2
+ 2(3) + b
2
& 16 = a
2
+ b
2
+ 6
& a
2
+ b
2
= 10 ...(1)
Ahora nuevamente aplicamos la propiedad
de binomio al cuadrado, esta vez para la
diferencia:
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
= a
2
+ b
2
– 2ab
Por (1) y por dato tenemos:
(a – b)
2
= 10 – 2(3) = 4
& a – b = ±2
Como a < b & a – b < 0
Por lo tanto:
a – b = –2
6. Determina si la expresión L = 4x
2
+ 12x + 9 es o
no un cuadrado perfecto.
En nuestro problema a = 4; b = 12 y c = 9
Calculemos la discriminante ∆ = b
2
– 4ac
∆ = 12
2
– 4(4)(9) = 144 – 144 = 0
& ∆ = 0
Por lo tanto: L = 4x
2
+ 12x + 9 es un cuadra-
do perfecto y se reduce a L = (2x + 3)
2
7. Si t–
x
1
= 4, determina el valor de
la siguiente expresión Q = x
x
13
3
-
Por la identidad de Cauchy para la resta:
x
x
x
x
x
x
x
x
1 1
3
11
3
3
3
- =- - -
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Reemplazando los valores:
(4)
3
= x
3
–
x
1
3
–3(4)
&x
3
–
x
1
3
= 64 + 12 = 76
Nos piden hallar:
Qx
x
1
762193
3
=- ==
& Q = 2 19
8. Si a + b + c = 0 reduce la expresión A:
()() ()
A
ab ac bc
ab cb ca ca b222
222
=
++
++ ++ ++ ++
Como a + b + c = 0 tenemos:
()() ()
A
ab ac bc
ab cb ca ca b222
222
=
++
++ ++ ++ ++
()()()
A
ab ac bc
ab c
ab ac bc
ab c
22 2 22 2
=
++
++
=
++
++
Por la identidad condicional:
a
2
+ b
2
+ c
2
= –2(ab + bc + ac)
Reemplazando en A:()
A
abbcac
abbcac2
2=
++
-+ +
=-
& A = –2
9. Si t
2
+ b
2
= 20, x
2
+ y
2
=1, ade-
más ax + by = 2. Determina el valor de la si-
guiente expresión N = 2(bx – ay)
Por dato, podemos usar la identidad de
Lagrange
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
+ (ay – bx)
2
Reemplazando:
20(1) = (2)
2
+ (ay – bx)
2
& (ay – bx)
2
= (bx – ay)
2
= 16
(bx – ay) = ±4
Nos piden: N = 2(bx – ay) = ±8
& N = ±8Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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3 Productos Notables.indd 80 24/01/2020 22:54:44
Unidad 1 I. Se c
D(x) y d(x), en forma descendente.
II. Se divide el primer término del D(x) con
el primer término del d(x), el resultado se
multiplica por cada uno de los términos
del d(x) y el producto se coloca debajo del
mayor grado del D(x) y se resta, colocando
cada termino con su semejante.
III.
Se baja el siguiente término del D(x) y se
repite el paso anterior hasta que se hayan bajado todos los términos del D(x).
IV.
Veamos un ejemplo:
10x
3
– 7x
2
y – 16xy
2
+ 12y
3
÷ (5x – 6y)
Dividendo
10x
3
– 7x
2
y – 16xy
2
+ 12y
3
10x
3
– 12x
2
y
5x
2
y – 16xy
2
5x
2
y – 6xy
2
–10xy
2
+ 12y
3
–10xy
2
+ 12y
3
5x – 6y
2x
2
+ xy – 2y
2
0
Por lo tanto, el cociente de la ecuación es:
2x
2
+ xy – 2y
2
y el residuo es 0.
b.
Método de Horner
Es una técnica de división lo cual tiene como
objetivo operar en columnas usando el esquema:
b
0
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
–b
1
–b
2
q
0
q
1
q
2
r
0
r
1
Coeficientes
de q(x)
Coeficientes de
r(x)
División algebraica
Es la operación matemática que tiene como objetivo dividir dos polinomios y a estos polino- mios se les llaman dividendo y divisor que de- terminan dos nuevos polinomios llamados co- ciente y residuo, los cuales cumplan la siguiente relación.
D(x) = d(x) ∙ q(x) + R(x )
Donde:
•
D(x): Dividendo • d(x): Divisor
• q(x): Cociente • R(x): Resto o Residuo
1. Propiedades generales
En toda división algebraica el grado del cociente
es la diferencia entre los grados del dividendo
y divisor.
[q]° = [D]° – [d]°
En toda división algebraica el máximo valor que puede alcanzar el grado del residuo es el grado del divisor disminuido en la unidad.
max[R]°= [d]° – 1
Cuando se dividen polinomios homogéneos (términos de igual grado), el cociente y residuo, también son homogéneos, y trae como consecuencia que el grado absoluto del residuo es igual al grado absoluto del dividendo.
G.A.(R) = G.A.(D)
2. Para el caso de dos polinomios:
Podemos utilizar cualquiera de los siguientes
métodos:
a. Método general
Para dividir dos polinomios en general. Se sigue los siguientes pasos:
El aumento excesivo de residuos favorece al calenta-
miento global. A mayor cantidad de residuos aumen-
tan los niveles de gas metano en nuestra atmósfera;
además, las f
ábricas aumentan sus niveles de produc-
ción y generan gases de tóxicos. Fernanda encontró
en una re
vista que la cantidad de residuos que produ-
ce un determinado país está representada así:
x
xx x
1
71
32
--+ -
¿Es posible simplificar esta expresión?
¿Conoces el método de Ruffini?
División algebraicaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
81?lgebra
4 División Algebraica.indd 81 24/01/2020 22:54:44
D(x) y d(x), en forma descendente.
II. Se divide el primer término del D(x) con
el primer término del d(x), el resultado se
multiplica por cada uno de los términos
del d(x) y el producto se coloca debajo del
mayor grado del D(x) y se resta, colocando
cada termino con su semejante.
III.
Se baja el siguiente término del D(x) y se
repite el paso anterior hasta que se hayan bajado todos los términos del D(x).
IV.
Veamos un ejemplo:
10x
3
– 7x
2
y – 16xy
2
+ 12y
3
÷ (5x – 6y)
Dividendo
10x
3
– 7x
2
y – 16xy
2
+ 12y
3
10x
3
– 12x
2
y
5x
2
y – 16xy
2
5x
2
y – 6xy
2
–10xy
2
+ 12y
3
–10xy
2
+ 12y
3
5x – 6y
2x
2
+ xy – 2y
2
0
Por lo tanto, el cociente de la ecuación es:
2x
2
+ xy – 2y
2
y el residuo es 0.
b.
Método de Horner
Es una técnica de división lo cual tiene como
objetivo operar en columnas usando el esquema:
b
0
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
–b
1
–b
2
q
0
q
1
q
2
r
0
r
1
Coeficientes
de q(x)
Coeficientes de
r(x)
División algebraica
Es la operación matemática que tiene como objetivo dividir dos polinomios y a estos polino- mios se les llaman dividendo y divisor que de- terminan dos nuevos polinomios llamados co- ciente y residuo, los cuales cumplan la siguiente relación.
D(x) = d(x) ∙ q(x) + R(x )
Donde:
•
D(x): Dividendo • d(x): Divisor
• q(x): Cociente • R(x): Resto o Residuo
1. Propiedades generales
En toda división algebraica el grado del cociente
es la diferencia entre los grados del dividendo
y divisor.
[q]° = [D]° – [d]°
En toda división algebraica el máximo valor que puede alcanzar el grado del residuo es el grado del divisor disminuido en la unidad.
max[R]°= [d]° – 1
Cuando se dividen polinomios homogéneos (términos de igual grado), el cociente y residuo, también son homogéneos, y trae como consecuencia que el grado absoluto del residuo es igual al grado absoluto del dividendo.
G.A.(R) = G.A.(D)
2. Para el caso de dos polinomios:
Podemos utilizar cualquiera de los siguientes
métodos:
a. Método general
Para dividir dos polinomios en general. Se sigue los siguientes pasos:
El aumento excesivo de residuos favorece al calenta-
miento global. A mayor cantidad de residuos aumen-
tan los niveles de gas metano en nuestra atmósfera;
además, las f
ábricas aumentan sus niveles de produc-
ción y generan gases de tóxicos. Fernanda encontró
en una re
vista que la cantidad de residuos que produ-
ce un determinado país está representada así:
x
xx x
1
71
32
--+ -
¿Es posible simplificar esta expresión?
¿Conoces el método de Ruffini?
División algebraicaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
81?lgebra
4 División Algebraica.indd 81 24/01/2020 22:54:44
Se realiza los siguientes pasos:
• Se completa y se ordenan los polinomios del
D(x) y d(x) en forma descendente.
• Se coloca en forma horizontal los coeficientes
del D(x) y en forma vertical los coeficientes
del d(x) con signo cambiado a excepción del
primero.
•
Se traza una línea vertical separando los
coeficientes del D(x), tantas columnas a partir de la derecha, indicado por el grado del d(x).
•
Se divide el primer coeficiente del D(x) entre
el primero del d(x) y se obtiene el primer q(x) que se ubicará en la parte inferior del esquema. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del d(x) y el resultado se coloca en la segunda fila, corriéndose un lugar a la derecha.
•
Se suma la columna y se divide por el
coeficiente del grado mayor del d(x), este resultado es el segundo coeficiente del q(x) , el cual se ubica en la parte inferior.
•
El segundo coeficiente de q(x) se multiplica
por los otros coeficientes del d(x) y se coloca en las columnas seguidamente, y así sucesivamente hasta llegar a la línea trazada.
•
Se suman directamente los números que
están en las columnas que corresponde a los coeficientes del R(x).
•
El grado del cociente queda determinado
por la diferencia entre los grados del D(x) y d(x).
c.
Método de Ruffini
Es un método de división el cual se usa cuando el divisor es de grado 1 de la forma d(x) = ax + b . Se usa el siguiente esquema:
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
a
b
-
Q
0
Q
1
Q
2
Q
3
Resto
Coeficientes del cociente
Se realiza los siguientes pasos:
• Se completa y se ordena en forma
descendente el polinomio del D(x) y sus
coeficientes se ubican en la parte superior.
• El d(x) se iguala a cero y se despeja x, éste se ubica en la parte izquierda del esquema
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O.
• La segunda línea vertical siempre se traza
delante del último coeficiente del D(x).
• El primer coeficiente baja y es el primer
coeficiente del grado mayor del q(x), luego este
multiplica a
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O O y el resultado se ubica debajo
del segundo coeficiente del mayor grado.
• Luego, se suma el D(x) con el número
generado anteriormente y esto se multiplica
con
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O.
• Se coloca debajo del D(x) en orden y así
sucesivamente hasta llegar al R(x).
• El grado del cociente queda determinado
por la diferencia entre los grados del D(x) y
d(x).
d. Teorema del resto
Es una regla que tiene como función hallar de forma directa el residuo de una división. Se formula de la siguiente manera: En toda división de la forma P(x) ÷ (ax + b), el residuo
es igual al número de P(x) cuando x =
a
b
-
()
axb
px
+
⟶ Residuo o resto = P
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
1. Calcula el valor de "a" si la división es exacta:
x
xx xa
4
25 102
32
+
+- +
Usaremos Ruffini:
2 5 –102a
–4 –8 12–8
2–3 2 0
Resolviendo:
2a – 8 = 0
a = 4
El cociente es: 2x
2
– 3x + 2
El residuo es: 0Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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• Se completa y se ordenan los polinomios del
D(x) y d(x) en forma descendente.
• Se coloca en forma horizontal los coeficientes
del D(x) y en forma vertical los coeficientes
del d(x) con signo cambiado a excepción del
primero.
•
Se traza una línea vertical separando los
coeficientes del D(x), tantas columnas a partir de la derecha, indicado por el grado del d(x).
•
Se divide el primer coeficiente del D(x) entre
el primero del d(x) y se obtiene el primer q(x) que se ubicará en la parte inferior del esquema. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del d(x) y el resultado se coloca en la segunda fila, corriéndose un lugar a la derecha.
•
Se suma la columna y se divide por el
coeficiente del grado mayor del d(x), este resultado es el segundo coeficiente del q(x) , el cual se ubica en la parte inferior.
•
El segundo coeficiente de q(x) se multiplica
por los otros coeficientes del d(x) y se coloca en las columnas seguidamente, y así sucesivamente hasta llegar a la línea trazada.
•
Se suman directamente los números que
están en las columnas que corresponde a los coeficientes del R(x).
•
El grado del cociente queda determinado
por la diferencia entre los grados del D(x) y d(x).
c.
Método de Ruffini
Es un método de división el cual se usa cuando el divisor es de grado 1 de la forma d(x) = ax + b . Se usa el siguiente esquema:
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
a
b
-
Q
0
Q
1
Q
2
Q
3
Resto
Coeficientes del cociente
Se realiza los siguientes pasos:
• Se completa y se ordena en forma
descendente el polinomio del D(x) y sus
coeficientes se ubican en la parte superior.
• El d(x) se iguala a cero y se despeja x, éste se ubica en la parte izquierda del esquema
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O.
• La segunda línea vertical siempre se traza
delante del último coeficiente del D(x).
• El primer coeficiente baja y es el primer
coeficiente del grado mayor del q(x), luego este
multiplica a
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O O y el resultado se ubica debajo
del segundo coeficiente del mayor grado.
• Luego, se suma el D(x) con el número
generado anteriormente y esto se multiplica
con
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O.
• Se coloca debajo del D(x) en orden y así
sucesivamente hasta llegar al R(x).
• El grado del cociente queda determinado
por la diferencia entre los grados del D(x) y
d(x).
d. Teorema del resto
Es una regla que tiene como función hallar de forma directa el residuo de una división. Se formula de la siguiente manera: En toda división de la forma P(x) ÷ (ax + b), el residuo
es igual al número de P(x) cuando x =
a
b
-
()
axb
px
+
⟶ Residuo o resto = P
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
1. Calcula el valor de "a" si la división es exacta:
x
xx xa
4
25 102
32
+
+- +
Usaremos Ruffini:
2 5 –102a
–4 –8 12–8
2–3 2 0
Resolviendo:
2a – 8 = 0
a = 4
El cociente es: 2x
2
– 3x + 2
El residuo es: 0Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad 1 2. Determina el residuo de la siguiente división:
x
xx x
1
21
75
-+- +
Por el teorema de resto:
x – 1 = 0
x = 1
Si: D(x) = x
7
+ 2x
5
– x + 1
Reemplazamos x = 1 en D(x)
D(1) = 1
7
+ 2(1)
5
– 1 + 1
D(1) = 1 + 2 – 1 + 1
El residuo entonces es:
R(x) = 3
3. Resuelve la siguiente división algebraica:
xx
xx xx x
43
81 45 16 32
2
54 32
++
++ ++ +
Resolviendo por el método de Horner
4 8 14 5 16 3 2
–1 –2 –6
–3 12–3 –9
–4 1 3
8 –2 –6
2 3 –1 2 4 –4
El cociente de la división es: 2x
3
+ 3x
2
– x + 2
El residuo de la división es: 4x – 4
4. Determina la suma de coeficientes del cocien-
te y el residuo
A
xx yy
xx yx yy
23
65 26 33
22
32 23
=
-+
+- +
Usaremos el método general
6x
3
+ 5x
2
y – 26xy
2
+ 33y
3
6x
3
– 9x
2
y + 3xy
2
14x
2
y – 29xy
2
+ 33y
3
14x
2
y – 21xy
2
+ 7y
3
–8xy
2
+ 26y
3
2x
2
– 3xy + y
2
3x + 7y
El cociente es: 3x + 7y
el residuo es: –8xy
2
+ 26y
3
Piden 3 + 7 – 8 + 26 = 28
5. De la siguiente división algebraica, calcula el
cociente.
P(x) =
xy
xx yx yy
56
10 71 42 4
32 23
+
++ +
10x
3
+ 7x
2
y + 14xy
2
+ 24y
3
÷ (5x + 6y)
Dividiendo
10x
3
+ 7x
2
y + 14xy
2
+ 24y
3
10x
3
+ 12x
2
y
–5x
2
y + 14xy
2
–5x
2
y – 6xy
2
20xy
2
+ 24y
3
20xy
2
+ 24y
3
5x + 6y
2x
2
– xy + 4y
2
0
Por lo tanto, el cociente de la ecuación es:
2x
2
– xy + 4y
2
6. Si ax
2
+ bx + c es el coeficiente de la siguiente
división exacta:
xx
xx
23 5
38 65 27
2
43
+-
-+
Halla a
2
+ b
2
+ c
2
Completando valores
xx
xx xx
25 3
38 65 00 27
2
43 2
-+
-+ ++
Resolviendo por el método de Horner
2 38 –65 0 0 27
5 95 –57
–3 30 75 –45
18 45 –27
19 15 9 0 0
El cociente de la división es:
19x
2
+ 15x + 9
Por tanto:
a = 19; b = 15 y c = 9
Piden a
2
+ b
2
+ c
2
= 19
2
+ 15
2
+ 9
2
= 667Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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x
xx x
1
21
75
-+- +
Por el teorema de resto:
x – 1 = 0
x = 1
Si: D(x) = x
7
+ 2x
5
– x + 1
Reemplazamos x = 1 en D(x)
D(1) = 1
7
+ 2(1)
5
– 1 + 1
D(1) = 1 + 2 – 1 + 1
El residuo entonces es:
R(x) = 3
3. Resuelve la siguiente división algebraica:
xx
xx xx x
43
81 45 16 32
2
54 32
++
++ ++ +
Resolviendo por el método de Horner
4 8 14 5 16 3 2
–1 –2 –6
–3 12–3 –9
–4 1 3
8 –2 –6
2 3 –1 2 4 –4
El cociente de la división es: 2x
3
+ 3x
2
– x + 2
El residuo de la división es: 4x – 4
4. Determina la suma de coeficientes del cocien-
te y el residuo
A
xx yy
xx yx yy
23
65 26 33
22
32 23
=
-+
+- +
Usaremos el método general
6x
3
+ 5x
2
y – 26xy
2
+ 33y
3
6x
3
– 9x
2
y + 3xy
2
14x
2
y – 29xy
2
+ 33y
3
14x
2
y – 21xy
2
+ 7y
3
–8xy
2
+ 26y
3
2x
2
– 3xy + y
2
3x + 7y
El cociente es: 3x + 7y
el residuo es: –8xy
2
+ 26y
3
Piden 3 + 7 – 8 + 26 = 28
5. De la siguiente división algebraica, calcula el
cociente.
P(x) =
xy
xx yx yy
56
10 71 42 4
32 23
+
++ +
10x
3
+ 7x
2
y + 14xy
2
+ 24y
3
÷ (5x + 6y)
Dividiendo
10x
3
+ 7x
2
y + 14xy
2
+ 24y
3
10x
3
+ 12x
2
y
–5x
2
y + 14xy
2
–5x
2
y – 6xy
2
20xy
2
+ 24y
3
20xy
2
+ 24y
3
5x + 6y
2x
2
– xy + 4y
2
0
Por lo tanto, el cociente de la ecuación es:
2x
2
– xy + 4y
2
6. Si ax
2
+ bx + c es el coeficiente de la siguiente
división exacta:
xx
xx
23 5
38 65 27
2
43
+-
-+
Halla a
2
+ b
2
+ c
2
Completando valores
xx
xx xx
25 3
38 65 00 27
2
43 2
-+
-+ ++
Resolviendo por el método de Horner
2 38 –65 0 0 27
5 95 –57
–3 30 75 –45
18 45 –27
19 15 9 0 0
El cociente de la división es:
19x
2
+ 15x + 9
Por tanto:
a = 19; b = 15 y c = 9
Piden a
2
+ b
2
+ c
2
= 19
2
+ 15
2
+ 9
2
= 667Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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83?lgebra
4 División Algebraica.indd 83 24/01/2020 22:54:51
UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
Educación Secundaria
2Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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84
5. COCIENTES NOTABLES.indd 84 24/01/2020 22:54:58
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
Educación Secundaria
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84
5. COCIENTES NOTABLES.indd 84 24/01/2020 22:54:58
d. Si «n» es par o impar, se tiene:
xa
xa
nn
-+
, esta división no es exacta
El resto no será cero, es decir que no es un
cociente notable en ninguna caso
2. Signos de los cocientes notables
a. Si el denominador es (a − b)
En este caso todos los términos serán positivos.
b. Si el denominador es (a + b)
En este caso los términos pares serán negati-
vos, por ende, los impares serán positivos, es
decir, los signos estarán intercalados.
3.
Cálculo de un término cualquiera en un co-
ciente notable
xa
xa
nn
+
+
Tx ak
nk k1!=
--
Donde:
k = posición del termino deseado
Signos:
••Si el divisor es (a – b), entonces todos los tér-
minos tienen signo positivo (+ ).
••Si el divisor es (a + b), entonces:
Si k (impar) entonces será positivo (+)
Si k (par) entonces será negativo (−)
••Si ha
Si n es impar entonces
T
C
= Tn
2
1+
Si n es par entonces:
TTC1 n
2
= ∧
TTC2
1
n
2
=
+
Cocientes notables
Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente se obtiene sin necesidad de efectuar la operación de división.
Son de la forma:
xa
xa
nn
!!
, n ∈ ℤ
Siempre deberán ser divisiones exactas, es decir,
de residuo cero.
1. Casos de cocientes notables a.
Para todo «n» natural, se cumple:
xa
xa
nn
--
= x
n−1
+ x
n−2
a + ⋯ + xa
n−2
+ a
n−1
b. Si «n» es impar, se cumple:
xa
xa
nn
++
= x
n−1
− x
n−2
a + − ⋯ − xa
n−2
+ a
n−1
De lo contrario, el cociente no tendrá resto
cero y no será un cociente notable, pues que
la división sea exacta es un requisito para la
existencia de un cociente notable
c.
Si «n» es par, se cumple:
xa
xa
nn
+-
= x
n−1
− x
n−2
b + − ⋯ − xb
n−2
+ b
n−1
De lo contrario, el cociente no tendrá resto cero y no será un cociente notable, pues si «n» es par, no generaría una división exacta, que es requisito para que exista un cociente notable.
El calentamiento global pone en peligro la pro- ducción de algunos alimentos básicos. Esto, a su vez, genera el incremento del precio de dichos productos afectando principalmente los países con pobreza extrema. El año pasado la produc- ción de trigo en un determinado país está repre- sentada por la expresión: P(x) = x ^ 3 + 1.
Si la cantidad de consumidores es x+1, ¿qué for-
ma tiene la expresión que representa la canti-
dad de trigo que le tocaría a cada consumidor?
Cocientes notables
UNIDAD?lgebra
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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85
5. COCIENTES NOTABLES.indd 85 24/01/2020 22:55:00
xa
xa
nn
-+
, esta división no es exacta
El resto no será cero, es decir que no es un
cociente notable en ninguna caso
2. Signos de los cocientes notables
a. Si el denominador es (a − b)
En este caso todos los términos serán positivos.
b. Si el denominador es (a + b)
En este caso los términos pares serán negati-
vos, por ende, los impares serán positivos, es
decir, los signos estarán intercalados.
3.
Cálculo de un término cualquiera en un co-
ciente notable
xa
xa
nn
+
+
Tx ak
nk k1!=
--
Donde:
k = posición del termino deseado
Signos:
••Si el divisor es (a – b), entonces todos los tér-
minos tienen signo positivo (+ ).
••Si el divisor es (a + b), entonces:
Si k (impar) entonces será positivo (+)
Si k (par) entonces será negativo (−)
••Si ha
Si n es impar entonces
T
C
= Tn
2
1+
Si n es par entonces:
TTC1 n
2
= ∧
TTC2
1
n
2
=
+
Cocientes notables
Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente se obtiene sin necesidad de efectuar la operación de división.
Son de la forma:
xa
xa
nn
!!
, n ∈ ℤ
Siempre deberán ser divisiones exactas, es decir,
de residuo cero.
1. Casos de cocientes notables a.
Para todo «n» natural, se cumple:
xa
xa
nn
--
= x
n−1
+ x
n−2
a + ⋯ + xa
n−2
+ a
n−1
b. Si «n» es impar, se cumple:
xa
xa
nn
++
= x
n−1
− x
n−2
a + − ⋯ − xa
n−2
+ a
n−1
De lo contrario, el cociente no tendrá resto
cero y no será un cociente notable, pues que
la división sea exacta es un requisito para la
existencia de un cociente notable
c.
Si «n» es par, se cumple:
xa
xa
nn
+-
= x
n−1
− x
n−2
b + − ⋯ − xb
n−2
+ b
n−1
De lo contrario, el cociente no tendrá resto cero y no será un cociente notable, pues si «n» es par, no generaría una división exacta, que es requisito para que exista un cociente notable.
El calentamiento global pone en peligro la pro- ducción de algunos alimentos básicos. Esto, a su vez, genera el incremento del precio de dichos productos afectando principalmente los países con pobreza extrema. El año pasado la produc- ción de trigo en un determinado país está repre- sentada por la expresión: P(x) = x ^ 3 + 1.
Si la cantidad de consumidores es x+1, ¿qué for-
ma tiene la expresión que representa la canti-
dad de trigo que le tocaría a cada consumidor?
Cocientes notables
UNIDAD?lgebra
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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85
5. COCIENTES NOTABLES.indd 85 24/01/2020 22:55:00
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 4. Otras formas para los cocientes notables (pro-
piedad del número de términos):
Los cocientes notables también presentan la
siguiente forma:
ab
ab
qr
mp
!
!
Cumpliendo las mismas características anteriores, cumplen con esta propiedad, que será de suma importancia para las posteriores resoluciones de problemas.
q
m
r
p
== número de terminos
1. ¿Cuánt
notable?
xy
xy
aa
27
69
2
+
+
--
Por propiedad de número de términos
ab
ab
qr
mp
!
!
⇒
q
m
r
p
= = número de términos
En el problema
xy
xy
aa
27
69
2
+
+
--
Igualando los exponentes:
aa
2
6
7
9
2
-
=
-
Resolviendo la igualdad queda
42 − 7a = 2a
2
− 18
0 = 2a
2
+ 7a − 60
0 = (2a + 15)(a − 4)
Los posibles valores para «a» son
2
15-
y 4
Reemplazando en la ecuación
Si a = 4, entonces existe 1 término
Si a =
2
15-
, entonces existen
4
3-
términos.
Si consideramos los valores, el número de
términos del cociente notable es 1.
2. Calcula el valor de: «a
2
+ 2b + 3m», si el término
central del cociente notable generado al dividir:
xy
xy
ab
34
-
-
Es: x
m
y
28
Para encontrar un término determinado de un cociente notable podemos aplicar:
T
k
= m
n−k
n
k−1
La expresión
x
x
y
y
a b
34
=, debemos reescribirla
de la siguiente manera:
xy
xy
34
34
a b
3 4
-
-_ `i j
Pues los factores del denominador deben ser los mismos del numerador, de esta forma:
a
a
b
b3
3
4
4
# /#==
Reemplazando en la ecuación inicial:
x
m
y
28
= (x
3
)
n−k
(y
4
)
k−1
Igualando los exponentes de ambos lados de la ecuación tenemos:
m = 3(n − k) ……. (1)
28 = 4(k − 1) ……. (2)
Resolviendo la ecuación (2), tenemos que:
k = 8
Para calcular el valor de n debemos recor- dar que:
#de terminos = 2(Lugar del Tc) − 1
donde Tc = término central
Entonces:
n = 2(8) − 1
n = 16 − 1
n = 15
Reemplazando los valores de n y k en la ecuación (1)
m = 2(15 − 8)
m = 2 × 7
m = 14
Luego usamos la propiedad del número de términos
Es decir que:
ab
34
15==
a = 45 → a
2
= 2025
a = 60 → 2b = 120
m = 14 → 3m = 42
a
2
+ 2b + 3m = 2025 + 120 + 42
a
2
+ 2b + 3m = 2187
86
5. COCIENTES NOTABLES.indd 86 24/01/2020 22:55:02
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 4. Otras formas para los cocientes notables (pro-
piedad del número de términos):
Los cocientes notables también presentan la
siguiente forma:
ab
ab
qr
mp
!
!
Cumpliendo las mismas características anteriores, cumplen con esta propiedad, que será de suma importancia para las posteriores resoluciones de problemas.
q
m
r
p
== número de terminos
1. ¿Cuánt
notable?
xy
xy
aa
27
69
2
+
+
--
Por propiedad de número de términos
ab
ab
qr
mp
!
!
⇒
q
m
r
p
= = número de términos
En el problema
xy
xy
aa
27
69
2
+
+
--
Igualando los exponentes:
aa
2
6
7
9
2
-
=
-
Resolviendo la igualdad queda
42 − 7a = 2a
2
− 18
0 = 2a
2
+ 7a − 60
0 = (2a + 15)(a − 4)
Los posibles valores para «a» son
2
15-
y 4
Reemplazando en la ecuación
Si a = 4, entonces existe 1 término
Si a =
2
15-
, entonces existen
4
3-
términos.
Si consideramos los valores, el número de
términos del cociente notable es 1.
2. Calcula el valor de: «a
2
+ 2b + 3m», si el término
central del cociente notable generado al dividir:
xy
xy
ab
34
-
-
Es: x
m
y
28
Para encontrar un término determinado de un cociente notable podemos aplicar:
T
k
= m
n−k
n
k−1
La expresión
x
x
y
y
a b
34
=, debemos reescribirla
de la siguiente manera:
xy
xy
34
34
a b
3 4
-
-_ `i j
Pues los factores del denominador deben ser los mismos del numerador, de esta forma:
a
a
b
b3
3
4
4
# /#==
Reemplazando en la ecuación inicial:
x
m
y
28
= (x
3
)
n−k
(y
4
)
k−1
Igualando los exponentes de ambos lados de la ecuación tenemos:
m = 3(n − k) ……. (1)
28 = 4(k − 1) ……. (2)
Resolviendo la ecuación (2), tenemos que:
k = 8
Para calcular el valor de n debemos recor- dar que:
#de terminos = 2(Lugar del Tc) − 1
donde Tc = término central
Entonces:
n = 2(8) − 1
n = 16 − 1
n = 15
Reemplazando los valores de n y k en la ecuación (1)
m = 2(15 − 8)
m = 2 × 7
m = 14
Luego usamos la propiedad del número de términos
Es decir que:
ab
34
15==
a = 45 → a
2
= 2025
a = 60 → 2b = 120
m = 14 → 3m = 42
a
2
+ 2b + 3m = 2025 + 120 + 42
a
2
+ 2b + 3m = 2187
86
5. COCIENTES NOTABLES.indd 86 24/01/2020 22:55:02
3. Determina el cociente notable que genera la
siguiente suma.
x
24
+ x
20
y
3
+ x
16
y
16
+ ⋯ y
18
Se observa que el polinomio es de dos va-
riables entonces tendrá como bases x
4
e y
3
.
Como n − 1 = 6 y el desarrollo de los signos
es positivo tiene la siguiente forma.
xa
xa
xx ax aa
nn
nn nn12 21
g
-
-
=+ ++ + --
--
xy
xy
xy
xy
43
4
7
3
7
43
28 21
-
-
=
-
-_ `i j
4. Halla el grado absoluto del quinto término del desarrollo del siguiente cociente notable:
ab
ab
mm
23
46
--
-+
Reemplazando:
mm
2
4
3
6-
=
+
Resolviendo la igualdad:
3(m − 4) = 2(m + 6)
3m − 12 = 2m + 12
m = 24
Reemplazando el valor de m en la ecua- ción inicial
ab
ab
ab
ab
mm
23
46
23
2442 46
-
-
=
-
-
-+ -+
ab
ab
23
20 30
-
-
Para poder aplicar la ecuación debemos darle forma al cociente notable.
ab
ab
232
10
3
10
-
-__ii
Aplicando la propiedad del término “k”
T
k
= a
n−k
b
k−1
T
5
= (a
2
)
10−5
(b
3
)
5−1
T
5
= a
10
b
12
El G.A. del T
5
es: 10 + 12 = 22
5. Si el c
xy
xy
nn
nn
23
94 7
-
-
-+
Es exacto, halla el valor de «n» (n ∈ ℕ)
Se aplica la propiedad del número de términos.
ab
ab
qr
mp
!
!
⇒
q
m
r
p
= = número de terminos
Resolviendo:
n
n
n
n
23
94 7
-
+
=
Simplificando:
n
n
23
94
7
-
+
=
Operando:
9n + 4 = 7(2n − 3)
9n + 4 = 14n − 21
4 + 21 = 14n − 9n
25 = 5n
5n = 25
n = 5
6. Determina el número de términos del cocien-
te notable:
xy
xy
m
m
22
36 82
+
-
+ +
Para calcular el número de términos:
m
m
2
36
2
82
+
=
+
36 × 2 = (8m + 2)(m + 2) = 72
72 = (8 × 2 + 2)(2 + 2) = 18 × 4
m = 2
∴ El número de términos es 9.
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema??lgebra
Unidad 2
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5. COCIENTES NOTABLES.indd 87 24/01/2020 22:55:03
siguiente suma.
x
24
+ x
20
y
3
+ x
16
y
16
+ ⋯ y
18
Se observa que el polinomio es de dos va-
riables entonces tendrá como bases x
4
e y
3
.
Como n − 1 = 6 y el desarrollo de los signos
es positivo tiene la siguiente forma.
xa
xa
xx ax aa
nn
nn nn12 21
g
-
-
=+ ++ + --
--
xy
xy
xy
xy
43
4
7
3
7
43
28 21
-
-
=
-
-_ `i j
4. Halla el grado absoluto del quinto término del desarrollo del siguiente cociente notable:
ab
ab
mm
23
46
--
-+
Reemplazando:
mm
2
4
3
6-
=
+
Resolviendo la igualdad:
3(m − 4) = 2(m + 6)
3m − 12 = 2m + 12
m = 24
Reemplazando el valor de m en la ecua- ción inicial
ab
ab
ab
ab
mm
23
46
23
2442 46
-
-
=
-
-
-+ -+
ab
ab
23
20 30
-
-
Para poder aplicar la ecuación debemos darle forma al cociente notable.
ab
ab
232
10
3
10
-
-__ii
Aplicando la propiedad del término “k”
T
k
= a
n−k
b
k−1
T
5
= (a
2
)
10−5
(b
3
)
5−1
T
5
= a
10
b
12
El G.A. del T
5
es: 10 + 12 = 22
5. Si el c
xy
xy
nn
nn
23
94 7
-
-
-+
Es exacto, halla el valor de «n» (n ∈ ℕ)
Se aplica la propiedad del número de términos.
ab
ab
qr
mp
!
!
⇒
q
m
r
p
= = número de terminos
Resolviendo:
n
n
n
n
23
94 7
-
+
=
Simplificando:
n
n
23
94
7
-
+
=
Operando:
9n + 4 = 7(2n − 3)
9n + 4 = 14n − 21
4 + 21 = 14n − 9n
25 = 5n
5n = 25
n = 5
6. Determina el número de términos del cocien-
te notable:
xy
xy
m
m
22
36 82
+
-
+ +
Para calcular el número de términos:
m
m
2
36
2
82
+
=
+
36 × 2 = (8m + 2)(m + 2) = 72
72 = (8 × 2 + 2)(2 + 2) = 18 × 4
m = 2
∴ El número de términos es 9.
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema??lgebra
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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5. COCIENTES NOTABLES.indd 87 24/01/2020 22:55:03
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 2. Factorización por productos notables
Consiste en reducir un polinomio en sus factores
primos utilizando los productos notables.
Recordemos los productos notables más
utilizados:
• a
2
− b
2
= (a − b)(a + b)
• (a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
•
a
3
± b
3
= (a ± b)(a
2
∓ ab + b
2
)
• (a ± b)
3
= a
3
± 3a
2
b + 3ab
2
± b
3
•
(
3
= a
3
± 3(ab)(a ± b) ± b
3
Ejemplo:
• M(y) = 8y
3
+ m
3
El polinomio M(y) se puede expresar de la si-
guiente manera:
M(y) = (2y)
3
+ (m)
3
Utilizando la suma de cubos:
M(y) = (2y + m)((2y)
2
− (2y)(m) + (m)
2
)
M(y) = (2y + m)(4y
2
− 2ym + m
2
)
3.
Factorización de un trinomio de la forma
ax
2
+ bx + c
Se busca los números enteros p y q, cuya suma sea b, y cuyo producto sea ac. El trinomio se reescribe como ax
2
+ px + qx + c , para luego
agrupar y factorizar.
Ejemplo:
•
S(w) = 4w
2
− 11w − 3
Tenemos: a = 4,b = −11 y c =−3, luego, los valo-
res buscados serán: p =−12 y q = 1.
Así:
S(w) = 4w
2
− 12w + w − 3
S(w) = 4w(w − 3) + (w − 3)
S(w) = (w − 3)(4w + 1)
Factorización
Es la transformación de una expresión en un pro-
ducto de factores primos con coeficientes reales.
Factor primo: es aquel polinomio que ya no pue-
de descomponerse como producto de otros fac-
tores con coeficientes reales.
Ejemplos:
•
P(x) = (x − 4)(x + 8a)
Los factores primos son: x − 4; x + 8a.
• Q(a) = (a
2
+ 2)(a + 3)
3
Los factores primos son: a
2
+ 2; a + 3
1.
Factorización por factor común
ac + bc = (a + b) × c
Ejemplo:
Factorizar:
P(a) = a
3
(a − 1) + 2a
2
(a − 1)
Un factor común del polinomio dado es (a − 1).
Factorizando:
P(a) = a
3
(a − 1) + 2a
2
(a − 1)
= (a − 1)(a
3
+ 2a
2
)
Otro factor común es a
2
.
Factorizando:
P(a) = (a − 1)(a
3
+ 2a
2
)
= (a − 1)[a
2
(a + 2)]
Agrupando:
P(a) = a
2
(a − 1)(a + 2)
El aumento de la temperatura del mar genera
como consecuencia huracanes más violentos,
los cuales afectan con mayor fuerza los centros
poblados por donde pasan. Es por esta razón
que se realizan simulacros para estar prevenidos.
En el último simulacro la cantidad de personas
que participaron está representada por la expre-
sión 2x
3
+ 2x
2
− x − 1.
¿De qué forma se puede representar la expre-
sión anterior de una forma más simple?
Factorización
88
6. FACTORIZACIÓN.indd 88 25/01/2020 00:07:14
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 2. Factorización por productos notables
Consiste en reducir un polinomio en sus factores
primos utilizando los productos notables.
Recordemos los productos notables más
utilizados:
• a
2
− b
2
= (a − b)(a + b)
• (a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
•
a
3
± b
3
= (a ± b)(a
2
∓ ab + b
2
)
• (a ± b)
3
= a
3
± 3a
2
b + 3ab
2
± b
3
•
(
3
= a
3
± 3(ab)(a ± b) ± b
3
Ejemplo:
• M(y) = 8y
3
+ m
3
El polinomio M(y) se puede expresar de la si-
guiente manera:
M(y) = (2y)
3
+ (m)
3
Utilizando la suma de cubos:
M(y) = (2y + m)((2y)
2
− (2y)(m) + (m)
2
)
M(y) = (2y + m)(4y
2
− 2ym + m
2
)
3.
Factorización de un trinomio de la forma
ax
2
+ bx + c
Se busca los números enteros p y q, cuya suma sea b, y cuyo producto sea ac. El trinomio se reescribe como ax
2
+ px + qx + c , para luego
agrupar y factorizar.
Ejemplo:
•
S(w) = 4w
2
− 11w − 3
Tenemos: a = 4,b = −11 y c =−3, luego, los valo-
res buscados serán: p =−12 y q = 1.
Así:
S(w) = 4w
2
− 12w + w − 3
S(w) = 4w(w − 3) + (w − 3)
S(w) = (w − 3)(4w + 1)
Factorización
Es la transformación de una expresión en un pro-
ducto de factores primos con coeficientes reales.
Factor primo: es aquel polinomio que ya no pue-
de descomponerse como producto de otros fac-
tores con coeficientes reales.
Ejemplos:
•
P(x) = (x − 4)(x + 8a)
Los factores primos son: x − 4; x + 8a.
• Q(a) = (a
2
+ 2)(a + 3)
3
Los factores primos son: a
2
+ 2; a + 3
1.
Factorización por factor común
ac + bc = (a + b) × c
Ejemplo:
Factorizar:
P(a) = a
3
(a − 1) + 2a
2
(a − 1)
Un factor común del polinomio dado es (a − 1).
Factorizando:
P(a) = a
3
(a − 1) + 2a
2
(a − 1)
= (a − 1)(a
3
+ 2a
2
)
Otro factor común es a
2
.
Factorizando:
P(a) = (a − 1)(a
3
+ 2a
2
)
= (a − 1)[a
2
(a + 2)]
Agrupando:
P(a) = a
2
(a − 1)(a + 2)
El aumento de la temperatura del mar genera
como consecuencia huracanes más violentos,
los cuales afectan con mayor fuerza los centros
poblados por donde pasan. Es por esta razón
que se realizan simulacros para estar prevenidos.
En el último simulacro la cantidad de personas
que participaron está representada por la expre-
sión 2x
3
+ 2x
2
− x − 1.
¿De qué forma se puede representar la expre-
sión anterior de una forma más simple?
Factorización
88
6. FACTORIZACIÓN.indd 88 25/01/2020 00:07:14
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 4. Factorización por agrupación de términos.
Se agrupa convenientemente los términos de
alguna expresión con el objetivo de repetir
alguna estructura.
Ejemplo:
P(a; b) = a
2
+ ab − a − b
Agrupando dos a dos:
P(a; b)= a
2
+ ab − a − b
P(a; b)= (a
2
+ ab) − (a + b)
P(a; b)= a(a + b) − (a + b)
estructura repetida
P(a; b)= a(a + b) − (a + b)
P(a; b)= (a + b)(a − 1)
5. Factorización por aspas a.
Aspa simple o identidad de Steve
Este método sirve para factorizar trinomios
de grado par de la siguiente forma:
P(x; y) = ax
2m
+ bx
m
y
n
+ cy
2n
Esquema:
ax
2m
+bx
m
y
n
+cy
2n
a
1
x
m
c
1
y
n
a
2
x
m
c
2
y
n
Donde:
• a
1
a
2
= a ∧ c
1
c
2
= c
• (a
1
x
m
) )(c
2
y
n
) + (a
2
x
m
) (c
1
y
n
) = bx
m
y
n
• ∴ P(x; y) = (a
1
x
m
+ c
1
y
n
)(a
2
x
m
+ c
2
y
n
)
Ejemplo:
M(x) = x
2
− 2x − 35
x
2
− 2x − 35 = 0
x
5
x −7
Donde:
−7x + 5x = −2x
∴ La factorización es (x + 5)(x − 7)
b. Aspa doble
Est
e método se utiliza para factorizar algu-
nos polinomios de dos variables y de seis tér-
minos cuyo grado sea par.
P(x; y) = ax
2m
+bx
m
y
n
+cy
2n
+dx
m
+ey
n
+f
Esquema:
ax
2m
+bx
m
y
n
+cy
2n
+dx
m
+ey
n
+f
a
1
x
m
c
1
y
n
f
1
a
2
x
m
c
2
y
n
f
2
P(x; y) (a
1
x
m
+ c
1
y
n
+ f
1
)(a
2
x
m
+ c
2
y
n
+f
2
)
c. Aspa doble especial
Est
e método se utiliza para factorizar algu-
nos polinomios de cuarto grado los cuales
deben estar completos y ordenados.
P(x; y) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+dx + e
Esquema:
ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e
a
1
x
2
n
1
x e
1
→a
2
x
2
e
1
+
a
2
x
2
n
2
x e
2
→a
1
x
2
e
2
mx
2
cx
2
− mx
2
= nx
2
P(x) = (a
1
x
2
+ n
1
x+e
1
)(a
2
x
2
+ n
2
x + e
2
)
Ejemplo:
P(x) = x
4
+ 2x
3
+ 5x + 2
x
4
+2x
3
+0x
2
+5x+2
x
2
3x 1→ x
2
+
x
2
−x 2→2x
2
3x
2
0x
2
− 3x
2
= −3x
2
∴ P(x) = (x
2
+ 3x + 1)(x
2
− x + 2)
6. Factorizar por divisores binómicos
Este método se utiliza para factorizar
polinomios de grado mayor o igual a 2, que
poseen un factor lineal.
Cero de un polinomio
Es un valor el cual se asume para que el
polinomio se anule.
"m" es un cero de P(x) ↔ P(m) = 0
Posibles ceros racionales (PCR)
Como su propio nombre lo dice, es el conjunto
de los posibles valores que puede asumir “x” y
que posiblemente anulen al polinomio.
min
PCR
Divisoresdel coeficienteprincipal
Divisoresdeltr oindependienteé
!=
Z
[
\
]
]]
]
]]
_
`
a
b
bb
b
bb?lgebra
89Unidad 2
6. FACTORIZACIÓN.indd 89 25/01/2020 00:07:14
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 4. Factorización por agrupación de términos.
Se agrupa convenientemente los términos de
alguna expresión con el objetivo de repetir
alguna estructura.
Ejemplo:
P(a; b) = a
2
+ ab − a − b
Agrupando dos a dos:
P(a; b)= a
2
+ ab − a − b
P(a; b)= (a
2
+ ab) − (a + b)
P(a; b)= a(a + b) − (a + b)
estructura repetida
P(a; b)= a(a + b) − (a + b)
P(a; b)= (a + b)(a − 1)
5. Factorización por aspas a.
Aspa simple o identidad de Steve
Este método sirve para factorizar trinomios
de grado par de la siguiente forma:
P(x; y) = ax
2m
+ bx
m
y
n
+ cy
2n
Esquema:
ax
2m
+bx
m
y
n
+cy
2n
a
1
x
m
c
1
y
n
a
2
x
m
c
2
y
n
Donde:
• a
1
a
2
= a ∧ c
1
c
2
= c
• (a
1
x
m
) )(c
2
y
n
) + (a
2
x
m
) (c
1
y
n
) = bx
m
y
n
• ∴ P(x; y) = (a
1
x
m
+ c
1
y
n
)(a
2
x
m
+ c
2
y
n
)
Ejemplo:
M(x) = x
2
− 2x − 35
x
2
− 2x − 35 = 0
x
5
x −7
Donde:
−7x + 5x = −2x
∴ La factorización es (x + 5)(x − 7)
b. Aspa doble
Est
e método se utiliza para factorizar algu-
nos polinomios de dos variables y de seis tér-
minos cuyo grado sea par.
P(x; y) = ax
2m
+bx
m
y
n
+cy
2n
+dx
m
+ey
n
+f
Esquema:
ax
2m
+bx
m
y
n
+cy
2n
+dx
m
+ey
n
+f
a
1
x
m
c
1
y
n
f
1
a
2
x
m
c
2
y
n
f
2
P(x; y) (a
1
x
m
+ c
1
y
n
+ f
1
)(a
2
x
m
+ c
2
y
n
+f
2
)
c. Aspa doble especial
Est
e método se utiliza para factorizar algu-
nos polinomios de cuarto grado los cuales
deben estar completos y ordenados.
P(x; y) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+dx + e
Esquema:
ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e
a
1
x
2
n
1
x e
1
→a
2
x
2
e
1
+
a
2
x
2
n
2
x e
2
→a
1
x
2
e
2
mx
2
cx
2
− mx
2
= nx
2
P(x) = (a
1
x
2
+ n
1
x+e
1
)(a
2
x
2
+ n
2
x + e
2
)
Ejemplo:
P(x) = x
4
+ 2x
3
+ 5x + 2
x
4
+2x
3
+0x
2
+5x+2
x
2
3x 1→ x
2
+
x
2
−x 2→2x
2
3x
2
0x
2
− 3x
2
= −3x
2
∴ P(x) = (x
2
+ 3x + 1)(x
2
− x + 2)
6. Factorizar por divisores binómicos
Este método se utiliza para factorizar
polinomios de grado mayor o igual a 2, que
poseen un factor lineal.
Cero de un polinomio
Es un valor el cual se asume para que el
polinomio se anule.
"m" es un cero de P(x) ↔ P(m) = 0
Posibles ceros racionales (PCR)
Como su propio nombre lo dice, es el conjunto
de los posibles valores que puede asumir “x” y
que posiblemente anulen al polinomio.
min
PCR
Divisoresdel coeficienteprincipal
Divisoresdeltr oindependienteé
!=
Z
[
\
]
]]
]
]]
_
`
a
b
bb
b
bb?lgebra
89Unidad 2
6. FACTORIZACIÓN.indd 89 25/01/2020 00:07:14
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Ejemplo:
P(x) = x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
Buscamos los posibles ceros racionales (PCR):
Término independiente: 6
Coeficiente principal: 1
min
PCR
Divisoresdel coeficienteprincipal
Divisoresdeltr oindependienteé
!=
Z
[
\
]
]]
]
]]
_
`
a
b
bb
b
bb
,,,.PCR
1
6
1236!!==( "2 ,
P(−1) = (−1)
3
+ 6(−1)
2
+ 11(−1) + 6 = 0
Así (x−(−1)) = (x + 1) es un factor de P(x). Dividimos ya que es exacta. Aplicando Ruffini:
1 6 11 6
−1 −1 −5 −6
1 5 6 0
P(x) = (x + 1)(x
2
+ 5x + 6)
Aplicando la identidad de Steve:
x
2
+ 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
Por lo tanto
P(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 2)
1. Factoriza
P(x) = 23x + 3x
2
− 36
Ordenamos el polinomio y aplicamos aspa
simple
3x
2
+23x − 36
3x
−4
x +9
Para corroborar:
3x(9) + x(−4) = 23x
∴P(x) = (3x − 4)(x + 9)
2. Factoriza el siguiente polinomio.
P(x; y) = −15y
2
+ 7xy +2x
2
+ 22y − 6x − 8
Ordenamos el polinomio:
2x
2
+ 7xy − 15y
2
− 6x + 22y − 8
Aplicamos aspa doble:
2x
2
+7xy− 15y
2
− 6x+22y − 8
2x −3y 2
x 5y −4
Se cumple:
(2x)(5y) + (x)(−3y) = 7xy
(−3y)(−4) + (5y)(2) = 22y
(2x)(−4) + x(2) = −6x
∴P(x; y) = (2x − 3y + 2)(x + 5y − 4)
3. Factoriza y determina la cantidad de factores
primos de:
T(x) = x
3
− x
2
− x + 1
Agrupando:
T(x) = (x
3
− x
2
) − (x − 1)
Factorizando:
T(x) = x
2
(x − 1) − (x − 1)
Agrupando:
T(x) = (x − 1)(x
2
− 1) = (x − 1)(x − 1)(x + 1)
⇒ T(x) = (x − 1)
2
(x+1)
T(x) posee 2 factores primos: (x − 1) y (x + 1).
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
90
6. FACTORIZACIÓN.indd 90 25/01/2020 00:07:14
P(x) = x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
Buscamos los posibles ceros racionales (PCR):
Término independiente: 6
Coeficiente principal: 1
min
PCR
Divisoresdel coeficienteprincipal
Divisoresdeltr oindependienteé
!=
Z
[
\
]
]]
]
]]
_
`
a
b
bb
b
bb
,,,.PCR
1
6
1236!!==( "2 ,
P(−1) = (−1)
3
+ 6(−1)
2
+ 11(−1) + 6 = 0
Así (x−(−1)) = (x + 1) es un factor de P(x). Dividimos ya que es exacta. Aplicando Ruffini:
1 6 11 6
−1 −1 −5 −6
1 5 6 0
P(x) = (x + 1)(x
2
+ 5x + 6)
Aplicando la identidad de Steve:
x
2
+ 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
Por lo tanto
P(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 2)
1. Factoriza
P(x) = 23x + 3x
2
− 36
Ordenamos el polinomio y aplicamos aspa
simple
3x
2
+23x − 36
3x
−4
x +9
Para corroborar:
3x(9) + x(−4) = 23x
∴P(x) = (3x − 4)(x + 9)
2. Factoriza el siguiente polinomio.
P(x; y) = −15y
2
+ 7xy +2x
2
+ 22y − 6x − 8
Ordenamos el polinomio:
2x
2
+ 7xy − 15y
2
− 6x + 22y − 8
Aplicamos aspa doble:
2x
2
+7xy− 15y
2
− 6x+22y − 8
2x −3y 2
x 5y −4
Se cumple:
(2x)(5y) + (x)(−3y) = 7xy
(−3y)(−4) + (5y)(2) = 22y
(2x)(−4) + x(2) = −6x
∴P(x; y) = (2x − 3y + 2)(x + 5y − 4)
3. Factoriza y determina la cantidad de factores
primos de:
T(x) = x
3
− x
2
− x + 1
Agrupando:
T(x) = (x
3
− x
2
) − (x − 1)
Factorizando:
T(x) = x
2
(x − 1) − (x − 1)
Agrupando:
T(x) = (x − 1)(x
2
− 1) = (x − 1)(x − 1)(x + 1)
⇒ T(x) = (x − 1)
2
(x+1)
T(x) posee 2 factores primos: (x − 1) y (x + 1).
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
90
6. FACTORIZACIÓN.indd 90 25/01/2020 00:07:14
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Números complejos especiales
Dado el complejo z = a + bi; a, b ∈ ℝ, se define:
• Conjudado de z (z) : z = a − bi
• Opuesto de z (z*): z* = −a − bi
4. Representación gráfica Los números complejos se representan en
el plano cartesiano. El eje X se llama eje
real y el eje Y, eje imaginario. El número
complejo z = a + bi es represento por (a,b)
que se llama afijo, o mediante un vector de
origen (0,0) y extremo (a,b).
Graficamente en el plano cartesiano:
(a,b)
b
a
Eje imaginario
Eje real
5. Resolución de ecuaciones de segundo grado
Cualquier ecuación de segundo grado con
coeficientes reales que no tenga solución
real tiene dos soluciones imaginarias que son
números complejos conjugados.
Ejemplo:
x
2
+ 4 = 0
x
2
= −4
xi i44 2
2
!! !=- ==
x = +2i o x = −2i
Por lo tanto el conjunto solución es {2i; −2i}
Introducción a los números complejos
Los números complejos surgen por la necesidad
de resolver ecuaciones del tipo.
x
2
+ a = 0; a > 0
1. Definición:
El conjunto de todos los números complejos es
denotado por ℂ y se define por:
ℂ = {a + bi / a, b ∈ ℝ}
Donde: i = 1-
Además: i es llamado unidad imaginaria
a + bi es llamado número complejo
Notación:
z = a + bi
Donde: a: parte real de z
b: parte imaginaria de z
2. Potencia de la unidad imaginaria:
i
1
= i ; i
2
= −1 ; i
3
= −i ; i
4
= 1
Propiedades:
i
i
i
1
1
-
+
= ∧
i
i
i
1
1
+
-
=-
(1 + i)
2
= 2i ∧ (1 − i)
2
= −2i
3. Clasificación de los números complejos:
Dado el complejo z = a + bi; a, b ∈ ℝ
•
Si b = 0, entonces z es un complejo real
• Si a = 0 y b ≠ 0, entonces z es imaginario puro
• Si a = 0 y b = 0, entonces z es un complejo nulo
• Si a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces z es imaginario
Un cambio de temperatura puede generar
que zonas templadas sean más propensas a
adquirir la propagación de determinadas en-
fermedades, las cuales podrían afectar seria-
mente a la población.
Si representamos la cantidad de personas con
algún tipo de enfermedad mediante la ex-
presión x
2
+ 1 y esta expresión la igualamos
a cero, ¿qué tipo de ecuación se forma? ¿Se
puede factorizar?
Introducción a los números complejos?lgebra
91Unidad 2
7. Introducción a los números complejos.indd 91 24/01/2020 22:55:37
Dado el complejo z = a + bi; a, b ∈ ℝ, se define:
• Conjudado de z (z) : z = a − bi
• Opuesto de z (z*): z* = −a − bi
4. Representación gráfica Los números complejos se representan en
el plano cartesiano. El eje X se llama eje
real y el eje Y, eje imaginario. El número
complejo z = a + bi es represento por (a,b)
que se llama afijo, o mediante un vector de
origen (0,0) y extremo (a,b).
Graficamente en el plano cartesiano:
(a,b)
b
a
Eje imaginario
Eje real
5. Resolución de ecuaciones de segundo grado
Cualquier ecuación de segundo grado con
coeficientes reales que no tenga solución
real tiene dos soluciones imaginarias que son
números complejos conjugados.
Ejemplo:
x
2
+ 4 = 0
x
2
= −4
xi i44 2
2
!! !=- ==
x = +2i o x = −2i
Por lo tanto el conjunto solución es {2i; −2i}
Introducción a los números complejos
Los números complejos surgen por la necesidad
de resolver ecuaciones del tipo.
x
2
+ a = 0; a > 0
1. Definición:
El conjunto de todos los números complejos es
denotado por ℂ y se define por:
ℂ = {a + bi / a, b ∈ ℝ}
Donde: i = 1-
Además: i es llamado unidad imaginaria
a + bi es llamado número complejo
Notación:
z = a + bi
Donde: a: parte real de z
b: parte imaginaria de z
2. Potencia de la unidad imaginaria:
i
1
= i ; i
2
= −1 ; i
3
= −i ; i
4
= 1
Propiedades:
i
i
i
1
1
-
+
= ∧
i
i
i
1
1
+
-
=-
(1 + i)
2
= 2i ∧ (1 − i)
2
= −2i
3. Clasificación de los números complejos:
Dado el complejo z = a + bi; a, b ∈ ℝ
•
Si b = 0, entonces z es un complejo real
• Si a = 0 y b ≠ 0, entonces z es imaginario puro
• Si a = 0 y b = 0, entonces z es un complejo nulo
• Si a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces z es imaginario
Un cambio de temperatura puede generar
que zonas templadas sean más propensas a
adquirir la propagación de determinadas en-
fermedades, las cuales podrían afectar seria-
mente a la población.
Si representamos la cantidad de personas con
algún tipo de enfermedad mediante la ex-
presión x
2
+ 1 y esta expresión la igualamos
a cero, ¿qué tipo de ecuación se forma? ¿Se
puede factorizar?
Introducción a los números complejos?lgebra
91Unidad 2
7. Introducción a los números complejos.indd 91 24/01/2020 22:55:37
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 6. Operaciones con números complejos en forma
binómica
Sean los complejos z
1
= a + bi y z
2
= c + di, tenemos:
a.
Suma
z
1
+ z
2
= (a+bi) + (c+di) = (a +c) + (b+d)i
b. Resta
z
1
− z
2
= (a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i
c. Multiplicación
z
1
z
2
=(a+bi)∙(c +di ) = (ac − bd)+(ad +bc)i
Si multiplicamos un número complejo por
su conjugado obtenemos un número real:
zz
11
= (a + bi) ∙ (a – bi) = a
2
– (bi)
2
= a
2
− b
2
i
2
= a
2
+ b
2
d. División
Multiplic
amos y dividimos por el conjugado
del denominador.
z
z
cdi
abi
cdi
abi
cdi
cdi
=
+
+
=
+
+
-
-
l
^
^ ^
^
h
h
h
h
cd
acbdbcadi
22
=
+
++ -^h
Observación:
a. La suma y la multiplicación de números
complejos cumplen con las propiedades
asociativa y conmutativa.
b. El 0 es el elemento neutro de la suma y el 1 es
el elemento neutro del producto.
c. Los números a+bi y −a−bi se llaman opuestos
d. Todos los números complejos, a + bi, salvo el
0, tienen un inverso:
abi
1
+^h
7. Módulo de un número complejo ( |z| )
Sea z
= a+bi un número complejo donde el
módulo o valor absoluto de z esta represen-
tado por |z| =
ab
22
+ y llamaremos longi-
tud del vector a |z|.
8. Argumento de un número complejo ( arg(z) )
Es el ángulo que forma el vector con el eje real
positivo. En forma general:
Arg(z) = 2kπ + α; k = 0; 1; 2; ...
Observación:
I. El argumento principal de z se da cuando k = 0
II.
α
b
a
z
Re
Im
0
De la gráfica Tanα =
a
b
& α = arctan
a
b
9. Forma trigonométrica o polar de un numero complejo
Sea z = a + bi un número complejo con modulo
r = ab
22
+ con lo que podemos deducir lo
siguiente:
z = r∙(cosα + isenα) = r∙cis(α)
10. Forma exponencial de un número complejo
Dado un c
omplejo z = a + bi se define:
Z = r∙e
iα
Donde α es el argumento principal de z y e es
el número Napier
Ejemplo:
Sea z = 3 + 4i.
Calcula z en su forma
trigonométrica y su forma exponencial. Como a = 3 y b = 4
r =
34 255
22
+= =
Luego:
α = arctag
3
4
= 53° en radianes = 53 x
3180
53rr
=
En su forma trigonométrica:
z = 5 × (cos53° + isen53°α)
En su forma polar z = e5180
53
:
r
Muchos de los fenómenos de la ciencias
naturales y de la física se pueden expli-
car gracias a los números complejos.
Por ejemplo, los fractales.
92
7. Introducción a los números complejos.indd 92 24/01/2020 22:55:39
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 6. Operaciones con números complejos en forma
binómica
Sean los complejos z
1
= a + bi y z
2
= c + di, tenemos:
a.
Suma
z
1
+ z
2
= (a+bi) + (c+di) = (a +c) + (b+d)i
b. Resta
z
1
− z
2
= (a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i
c. Multiplicación
z
1
z
2
=(a+bi)∙(c +di ) = (ac − bd)+(ad +bc)i
Si multiplicamos un número complejo por
su conjugado obtenemos un número real:
zz
11
= (a + bi) ∙ (a – bi) = a
2
– (bi)
2
= a
2
− b
2
i
2
= a
2
+ b
2
d. División
Multiplic
amos y dividimos por el conjugado
del denominador.
z
z
cdi
abi
cdi
abi
cdi
cdi
=
+
+
=
+
+
-
-
l
^
^ ^
^
h
h
h
h
cd
acbdbcadi
22
=
+
++ -^h
Observación:
a. La suma y la multiplicación de números
complejos cumplen con las propiedades
asociativa y conmutativa.
b. El 0 es el elemento neutro de la suma y el 1 es
el elemento neutro del producto.
c. Los números a+bi y −a−bi se llaman opuestos
d. Todos los números complejos, a + bi, salvo el
0, tienen un inverso:
abi
1
+^h
7. Módulo de un número complejo ( |z| )
Sea z
= a+bi un número complejo donde el
módulo o valor absoluto de z esta represen-
tado por |z| =
ab
22
+ y llamaremos longi-
tud del vector a |z|.
8. Argumento de un número complejo ( arg(z) )
Es el ángulo que forma el vector con el eje real
positivo. En forma general:
Arg(z) = 2kπ + α; k = 0; 1; 2; ...
Observación:
I. El argumento principal de z se da cuando k = 0
II.
α
b
a
z
Re
Im
0
De la gráfica Tanα =
a
b
& α = arctan
a
b
9. Forma trigonométrica o polar de un numero complejo
Sea z = a + bi un número complejo con modulo
r = ab
22
+ con lo que podemos deducir lo
siguiente:
z = r∙(cosα + isenα) = r∙cis(α)
10. Forma exponencial de un número complejo
Dado un c
omplejo z = a + bi se define:
Z = r∙e
iα
Donde α es el argumento principal de z y e es
el número Napier
Ejemplo:
Sea z = 3 + 4i.
Calcula z en su forma
trigonométrica y su forma exponencial. Como a = 3 y b = 4
r =
34 255
22
+= =
Luego:
α = arctag
3
4
= 53° en radianes = 53 x
3180
53rr
=
En su forma trigonométrica:
z = 5 × (cos53° + isen53°α)
En su forma polar z = e5180
53
:
r
Muchos de los fenómenos de la ciencias
naturales y de la física se pueden expli-
car gracias a los números complejos.
Por ejemplo, los fractales.
92
7. Introducción a los números complejos.indd 92 24/01/2020 22:55:39
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 1. Indica el módulo de una de las raíces de «x»
sabiendo que es un número complejo
x
2
−
x1240+=
Utilizando fórmula general para ecuacio-
nes de segundo grado:
x
a
bb ac
2
4
2
!
=
--
Reemplazando en la ecuación anterior:
x
2
12 1216
2
!
=
-`j
x
2
23 12 16!
=
-
x
2
23 4!
=
-
x
i
2
23 2!
=
xi3!=
Los valores de x son xi xi33
12
/=+ =-
Calculamos el módulo de x:
Módulo:
x 313 14 2
1
2
2=+ =+
==`j
2. Reduce la siguiente expresión:
M = (1+i)
12
+ (1−i)
12
Utilizando la segunda propiedad de uni-
dad imaginaria tenemos que:
(1+i)
2
= 2i y (1−i)
2
= −2i ...(α)
De la expresión:
M
= (1+i)
12
+ (1−i)
12
= ((1+i)
2
)
6
+ ((1−i)
2
)
6
...(β)
Reemplazando (α) en (β)
M = (2i)
6
+ (−2i)
6
M = 2
6
i
6
+ (−2)
6
i
6
M = 2
7
i
6
Recordemos que: i
6
= i
4
i
2
= 1(−1) = −1
Entonces
M = 2
7
(−1) M = –128
3. Halla el valor del parámetro k sabiendo que
i
ki
43
32
-
-
Es un número complejo real.
Para eliminar el número imaginario del denominador se recomienda realizar una multiplicación por su conjugada.
Entonces:
i
ki
i
i
i
ki i
43
32
43 43
43
32 43
2 2
#
-
-
+ +
=
-
-+^
^
^h
h
h
kiik i
169
1289 6
2
=
+
-+ -
ik k
25
1289 6
=
- -+^h
k k i
25
126
25
89
=
+
-
-^h
Para que sea un número real, la parte ima-
ginaria debe ser cero.
k i
25
89
0-
-
=
^h
k
25
89
0-
-
=
^h
−(8k − 9) = 0
k
8
9
=
4. Del ejercicio anterior, calcula el cociente de di-
cho número complejo.
i
ki
43
32
-
-
Para calcular el cociente, sustituimos el va-
lor de “k” por
8
9
i
ki
i
i
43
32
43
32
8
9
-
-
=
-
-
i
i
i
i
i
i
43
3
4
9
43
4
129
443
129
-
-
=
-
-
=
-
-
^h
i
i
443
343
4
3
-
-
=
^
^
h
h
El cociente de la ecuación es
4
3?lgebra
93Unidad 2
7. Introducción a los números complejos.indd 93 24/01/2020 22:55:41
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 1. Indica el módulo de una de las raíces de «x»
sabiendo que es un número complejo
x
2
−
x1240+=
Utilizando fórmula general para ecuacio-
nes de segundo grado:
x
a
bb ac
2
4
2
!
=
--
Reemplazando en la ecuación anterior:
x
2
12 1216
2
!
=
-`j
x
2
23 12 16!
=
-
x
2
23 4!
=
-
x
i
2
23 2!
=
xi3!=
Los valores de x son xi xi33
12
/=+ =-
Calculamos el módulo de x:
Módulo:
x 313 14 2
1
2
2=+ =+
==`j
2. Reduce la siguiente expresión:
M = (1+i)
12
+ (1−i)
12
Utilizando la segunda propiedad de uni-
dad imaginaria tenemos que:
(1+i)
2
= 2i y (1−i)
2
= −2i ...(α)
De la expresión:
M
= (1+i)
12
+ (1−i)
12
= ((1+i)
2
)
6
+ ((1−i)
2
)
6
...(β)
Reemplazando (α) en (β)
M = (2i)
6
+ (−2i)
6
M = 2
6
i
6
+ (−2)
6
i
6
M = 2
7
i
6
Recordemos que: i
6
= i
4
i
2
= 1(−1) = −1
Entonces
M = 2
7
(−1) M = –128
3. Halla el valor del parámetro k sabiendo que
i
ki
43
32
-
-
Es un número complejo real.
Para eliminar el número imaginario del denominador se recomienda realizar una multiplicación por su conjugada.
Entonces:
i
ki
i
i
i
ki i
43
32
43 43
43
32 43
2 2
#
-
-
+ +
=
-
-+^
^
^h
h
h
kiik i
169
1289 6
2
=
+
-+ -
ik k
25
1289 6
=
- -+^h
k k i
25
126
25
89
=
+
-
-^h
Para que sea un número real, la parte ima-
ginaria debe ser cero.
k i
25
89
0-
-
=
^h
k
25
89
0-
-
=
^h
−(8k − 9) = 0
k
8
9
=
4. Del ejercicio anterior, calcula el cociente de di-
cho número complejo.
i
ki
43
32
-
-
Para calcular el cociente, sustituimos el va-
lor de “k” por
8
9
i
ki
i
i
43
32
43
32
8
9
-
-
=
-
-
i
i
i
i
i
i
43
3
4
9
43
4
129
443
129
-
-
=
-
-
=
-
-
^h
i
i
443
343
4
3
-
-
=
^
^
h
h
El cociente de la ecuación es
4
3?lgebra
93Unidad 2
7. Introducción a los números complejos.indd 93 24/01/2020 22:55:41
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. b. Mét
Consiste en factorizar el polinomio de segun-
do grado: ax
2
+ bx + c = 0 siempre y cuando
se pueda.
Los pasos de este método son los siguientes:
•
Se trasladan todos los términos a un sólo
miembro dejando el otro miembro igual
a cero.
• Se factoriza este miembro por el método
del aspa simple.
• Para obtener las raíces de la ecuación, se
iguala cada factor a cero
Estudio de las raíces a partir del discriminante.
Sea: ax
2
+ bx + c = 0, ∀ a ≠ 0.
Primer caso:
Si ∆ > 0 entonces las raíces x
1
y x
2
son reales y
diferentes.
Se cumple:
I.
Si ∆ es un cuadrado perfecto las raíces x
1
y x
2
son racionales.
II.
Si ∆ no es un cuadrado perfecto las raíces x
1
y
x
2
son irracionales conjugadas.
Segundo caso: Si ∆ = 0 entonces las raíces x
1
y x
2
son reales e
iguales (raíces dobles) donde:
xx
a
b
2
12==-
Tercer caso: Si ∆ < 0 entonces las raíces x
1
y x
2
son complejas
y conjugadas.
1.
Definición
Llamadas también ecuaciones cuadráticas, son
aquellas que presentan la siguiente forma:
ax
2
+ bx + c = 0
Donde: a ≠ 0 ∧ a, b, c ∈ ℝ
Observaciones
•
Los términos
a, b y c son llamados coeficientes.
•
El término
a se llama coeficiente cuadrático
o de segundo grado.
•
El término
b se llama coeficiente lineal o de
primer grado.
•
El coeficiente
c se llama término independiente.
•
Si b y c son distintos de 0, entonces la ecua-
ción será llamada ecuación de segundo grado
completa.
• Si b o c son iguales a 0, entonces la ecuación
será llamada ecuación de segundo grado incompleta.
•
Toda ecuación de segundo grado presenta
dos raíces o soluciones.
Métodos para calcular las raíces
a. Fórmula general:
De la ecuación
ax
2
+ bx + c = 0
Despejamos la variable.
x
a
bb ac
2
4
2
!
=
--
Donde:
x
a
bb ac
x
a
bb ac
2
4
2
4
1
2
2
2 /=
-- -
=
-+ -
Definimos b
2
– 4ac como el discriminante
de la ecuación cuadrática y se le denota por:
∆ = b
2
– 4ac
El derretimiento de los glaciares es una conse-
cuencia del calentamiento global. Esto genera la
poc
a disponibilidad del agua tanto para la agri-
cultura como para el consumo humano, así como
el aument
o del nivel del mar y cambios en los pa-
trones de circulación del agua en los océanos.
La e
xpresión que representa la cantidad de agua
proveniente de los glaciares derretidos es: 3x
2
+ x - 1.
¿Cómo se calcula el discriminante de una ecuación
cuadrática?
Ecuaciones de segundo grado
94
8. ECUACIONES DE 2DO GRADO.indd 94 25/01/2020 00:07:07
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. b. Mét
Consiste en factorizar el polinomio de segun-
do grado: ax
2
+ bx + c = 0 siempre y cuando
se pueda.
Los pasos de este método son los siguientes:
•
Se trasladan todos los términos a un sólo
miembro dejando el otro miembro igual
a cero.
• Se factoriza este miembro por el método
del aspa simple.
• Para obtener las raíces de la ecuación, se
iguala cada factor a cero
Estudio de las raíces a partir del discriminante.
Sea: ax
2
+ bx + c = 0, ∀ a ≠ 0.
Primer caso:
Si ∆ > 0 entonces las raíces x
1
y x
2
son reales y
diferentes.
Se cumple:
I.
Si ∆ es un cuadrado perfecto las raíces x
1
y x
2
son racionales.
II.
Si ∆ no es un cuadrado perfecto las raíces x
1
y
x
2
son irracionales conjugadas.
Segundo caso: Si ∆ = 0 entonces las raíces x
1
y x
2
son reales e
iguales (raíces dobles) donde:
xx
a
b
2
12==-
Tercer caso: Si ∆ < 0 entonces las raíces x
1
y x
2
son complejas
y conjugadas.
1.
Definición
Llamadas también ecuaciones cuadráticas, son
aquellas que presentan la siguiente forma:
ax
2
+ bx + c = 0
Donde: a ≠ 0 ∧ a, b, c ∈ ℝ
Observaciones
•
Los términos
a, b y c son llamados coeficientes.
•
El término
a se llama coeficiente cuadrático
o de segundo grado.
•
El término
b se llama coeficiente lineal o de
primer grado.
•
El coeficiente
c se llama término independiente.
•
Si b y c son distintos de 0, entonces la ecua-
ción será llamada ecuación de segundo grado
completa.
• Si b o c son iguales a 0, entonces la ecuación
será llamada ecuación de segundo grado incompleta.
•
Toda ecuación de segundo grado presenta
dos raíces o soluciones.
Métodos para calcular las raíces
a. Fórmula general:
De la ecuación
ax
2
+ bx + c = 0
Despejamos la variable.
x
a
bb ac
2
4
2
!
=
--
Donde:
x
a
bb ac
x
a
bb ac
2
4
2
4
1
2
2
2 /=
-- -
=
-+ -
Definimos b
2
– 4ac como el discriminante
de la ecuación cuadrática y se le denota por:
∆ = b
2
– 4ac
El derretimiento de los glaciares es una conse-
cuencia del calentamiento global. Esto genera la
poc
a disponibilidad del agua tanto para la agri-
cultura como para el consumo humano, así como
el aument
o del nivel del mar y cambios en los pa-
trones de circulación del agua en los océanos.
La e
xpresión que representa la cantidad de agua
proveniente de los glaciares derretidos es: 3x
2
+ x - 1.
¿Cómo se calcula el discriminante de una ecuación
cuadrática?
Ecuaciones de segundo grado
94
8. ECUACIONES DE 2DO GRADO.indd 94 25/01/2020 00:07:07
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 2. Propiedades de las raíces de una ecuación de
segundo grado
Sea la ecuación de segundo grado:
ax
2
+ bx + c = 0, a ≠ 0 y sus raíces x
1
y x
2
tendremos las siguientes propiedades:
a. Suma de raíces:
x
1
+ x
2
=
a
b
-
b. Producto de raíces:
x
1
x
2
=
a
c
c. Dif
|x
1
− x
2
| =
a
T
d. Suma de cuadrados de las raíces:
x
1
2
+ x
2
2
=
a
ba c2
2
2
-
e. Identidad de Legendre aplicada a las raíces
(x
1
+ x
2
)
2
− (x
1
− x
2
)
2
=
a
c4
3. Construcción de una ecuación de segundo gra-
do conociendo sus raíces
Conociendo las dos raíces x
1
y x
2
de una
ecuación de segundo grado, esta se construye
empleando la suma y el producto de dichas
raíces.
Luego la ecuación que dio origen a x
1
y x
2
es:
x
2
− (x
1
+ x
2
)x + (x
1
x
2
) = 0
Llamada forma canónica de la ecuación de
segundo grado.
Es decir:
x
2
− Sx + P = 0
Donde: S = x
1
+ x
2
∧ P = x
1
x
2
4.
Propiedades adicionales de las raíces
• La ecuación de segundo grado:
ax
2
+ bx + c = 0, ∀ a ≠ 0 tiene raíces simétricas
(raíces de igual valor, pero de signo contrario)
cuando b = 0 es decir x
1
= −x
2
⇒ x
1
+ x
2
= 0
•
La ecuación de segundo grado:
ax
2
+ bx + c = 0, ∀ a ≠ 0 tiene raíces recípro-
cas (una de las raíces es la inversa de la otra)
cuando a = c es decir x
1
=
x
12
⇒ x
1
x
2
= 1
5. Raíz Unidad
Dada la ecuación de segundo grado:
ax
2
+bx+c= 0, ∀ a ≠ 0, si esta presenta una raíz
unidad (x = 1) entonces:
a + b + c = 0
6. Teorema de las ecuaciones cuadráticas
equivalentes
Sean las ecuaciones cuadráticas (o de segundo
grado)
ax
2
+ bx + c = 0 ∀ a ≠ 0
mx
2
+ nx + p = 0 ∀ m ≠ 0
Si estas ecuaciones tienen las mismas raíces se
dice que dichas ecuaciones son equivalentes y
se cumple que:
m
a
n
b
p
c
== ; m, n, p ≠ 0
Es decir que los coeficientes de cada término semejante son proporcionales entre sí.
7.
Teorema de la raíz común Sean las siguientes ecuaciones cuadráticas:
ax
2
+ bx + c = 0 ∀ a ≠ 0
mx
2
+ nx + p = 0 ∀ m ≠ 0
Si admiten una raíz común, se cumplirá la siguiente relación (regla del aspa)
(an − mb)(bp − nc) = (ap − mc )
2
1. Calcula
4x
2
− 20x − 24 = 0
En la siguiente ecuación
M = (x
1
+ x
2
)
2
− (x
1
− x
2
)
2
+ 2x
1
x
2
Aplicando la propiedad de Legendre:
(x
1
+ x
2
)
2
− (x
1
− x
2
)
2
= 4x
1
x
2
M = 4x
1
x
2
+ 2x
1
x
2
= 6x
1
x
2
… (i)
Propiedad de producto de raíces:
x
1
x
2
=
a
c
4
24
=
-
= −6 … (ii)
Reemplazando (ii) en (i)
M = 6 × −6 = −36?lgebra
95Unidad 2
8. ECUACIONES DE 2DO GRADO.indd 95 25/01/2020 00:07:07
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 2. Propiedades de las raíces de una ecuación de
segundo grado
Sea la ecuación de segundo grado:
ax
2
+ bx + c = 0, a ≠ 0 y sus raíces x
1
y x
2
tendremos las siguientes propiedades:
a. Suma de raíces:
x
1
+ x
2
=
a
b
-
b. Producto de raíces:
x
1
x
2
=
a
c
c. Dif
|x
1
− x
2
| =
a
T
d. Suma de cuadrados de las raíces:
x
1
2
+ x
2
2
=
a
ba c2
2
2
-
e. Identidad de Legendre aplicada a las raíces
(x
1
+ x
2
)
2
− (x
1
− x
2
)
2
=
a
c4
3. Construcción de una ecuación de segundo gra-
do conociendo sus raíces
Conociendo las dos raíces x
1
y x
2
de una
ecuación de segundo grado, esta se construye
empleando la suma y el producto de dichas
raíces.
Luego la ecuación que dio origen a x
1
y x
2
es:
x
2
− (x
1
+ x
2
)x + (x
1
x
2
) = 0
Llamada forma canónica de la ecuación de
segundo grado.
Es decir:
x
2
− Sx + P = 0
Donde: S = x
1
+ x
2
∧ P = x
1
x
2
4.
Propiedades adicionales de las raíces
• La ecuación de segundo grado:
ax
2
+ bx + c = 0, ∀ a ≠ 0 tiene raíces simétricas
(raíces de igual valor, pero de signo contrario)
cuando b = 0 es decir x
1
= −x
2
⇒ x
1
+ x
2
= 0
•
La ecuación de segundo grado:
ax
2
+ bx + c = 0, ∀ a ≠ 0 tiene raíces recípro-
cas (una de las raíces es la inversa de la otra)
cuando a = c es decir x
1
=
x
12
⇒ x
1
x
2
= 1
5. Raíz Unidad
Dada la ecuación de segundo grado:
ax
2
+bx+c= 0, ∀ a ≠ 0, si esta presenta una raíz
unidad (x = 1) entonces:
a + b + c = 0
6. Teorema de las ecuaciones cuadráticas
equivalentes
Sean las ecuaciones cuadráticas (o de segundo
grado)
ax
2
+ bx + c = 0 ∀ a ≠ 0
mx
2
+ nx + p = 0 ∀ m ≠ 0
Si estas ecuaciones tienen las mismas raíces se
dice que dichas ecuaciones son equivalentes y
se cumple que:
m
a
n
b
p
c
== ; m, n, p ≠ 0
Es decir que los coeficientes de cada término semejante son proporcionales entre sí.
7.
Teorema de la raíz común Sean las siguientes ecuaciones cuadráticas:
ax
2
+ bx + c = 0 ∀ a ≠ 0
mx
2
+ nx + p = 0 ∀ m ≠ 0
Si admiten una raíz común, se cumplirá la siguiente relación (regla del aspa)
(an − mb)(bp − nc) = (ap − mc )
2
1. Calcula
4x
2
− 20x − 24 = 0
En la siguiente ecuación
M = (x
1
+ x
2
)
2
− (x
1
− x
2
)
2
+ 2x
1
x
2
Aplicando la propiedad de Legendre:
(x
1
+ x
2
)
2
− (x
1
− x
2
)
2
= 4x
1
x
2
M = 4x
1
x
2
+ 2x
1
x
2
= 6x
1
x
2
… (i)
Propiedad de producto de raíces:
x
1
x
2
=
a
c
4
24
=
-
= −6 … (ii)
Reemplazando (ii) en (i)
M = 6 × −6 = −36?lgebra
95Unidad 2
8. ECUACIONES DE 2DO GRADO.indd 95 25/01/2020 00:07:07
UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
3
Educación SecundariaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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9. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 96 24/01/2020 22:55:56
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ÁLGEBRA
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9. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 96 24/01/2020 22:55:56
5. Las siguientes relaciones siempre verifican:
Si: a . b y c . d & a + c . b + d
Si: a . b y c . d . 0 & ac . bd
Clases de intervalos
1. Intervalo cerrado: Se toman en cuenta los ex-
tremos a y b.
a bx
Luego: a # x # b
2. Intervalo abierto: No se toman en cuenta los ex-
tremos a y b.
a bx
Luego: a , x , b
Recuerda que los intervalos no acotados los
escribiremos como intervalos abiertos.
Ejemplo: x ! [3; +3H
x3–3 +3
Inecuación lineal o de primer grado
Una inecuación de primer grado es una expresión
de la forma:
ax + b U c
Resolver una inecuación consiste en encontrar el
valor o valores que la verifican (conjunto solución),
al contrario de las ecuaciones de primer grado, las
inecuaciones pueden tener infinitas soluciones
agrupadas en un conjunto.
El método de resolución de inecuaciones de pri-
mer grado es similar a la resolución de ecuacio-
nes salvo por el hecho de que si multiplicamos los
dos miembros de una inecuación por un número
negativo cambia el sentido de la inecuación.
Inecuaciones
Desigualdad
Una desigualdad es una expresión que indica que
una cantidad real, es mayor o menor que otra, en-
tre ellas tenemos las siguientes:
•
a > b : a es mayor que b.
• a < b: a es menor que b.
• a $ b: a es mayor o igual que b.
• a # b: a es menor o igual que b.
Propiedades de las desigualdades 1.
El sentido de una desigualdad no se modifica
si a ambos lados de ella se le suma o se le resta
una misma cantidad.
Si: a . b & a ! c . b ! c; c ! R
2. El sentido de una desigualdad no se altera, si se
multiplica o se divide por un número positivo a ambos lados.
Si: a . b y k . 0 & ka . kb y
k
a
k
b
2
3. El -
do, se multiplica o se divide por un número ne- gativo a ambos lados.
Si: a . b y k , 0 & ka , kb y
k
a
k
b
1
4. Si se v
a > b ∧ a, b, n > 0 & a
n
> b
n
y a
–n
, b
–n
Ejemplo:
Si 7
> 5, con n = 2 & 7
2
> 5
2
es decir 49 > 25;
pero se tiene:
7
–2
< 5
–2
&
49
1
25
1
1 .
Se sabe que una de las formas de disminuir el ca-
lentamiento global es cultivar árboles, por ello, los
estudiant
es del 3
er
año de secundaria decidieron
cultivar cierta cantidad de plantas cada mes, en
un campo cercano a su escuela.
En el primer mes, la cantidad de plantas cultivadas
se representó mediante la siguiente expresión:
15 < x + 2 < 23
x: número de plantas.
¿De qué gr
ado es la inecuación? ¿La cantidad de
plantas cultivadas puede ser 24?
Inecuaciones lineales y cuadráticas
UNIDAD?lgebra
Unidad 3
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9. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 97 24/01/2020 22:55:58
Si: a . b y c . d & a + c . b + d
Si: a . b y c . d . 0 & ac . bd
Clases de intervalos
1. Intervalo cerrado: Se toman en cuenta los ex-
tremos a y b.
a bx
Luego: a # x # b
2. Intervalo abierto: No se toman en cuenta los ex-
tremos a y b.
a bx
Luego: a , x , b
Recuerda que los intervalos no acotados los
escribiremos como intervalos abiertos.
Ejemplo: x ! [3; +3H
x3–3 +3
Inecuación lineal o de primer grado
Una inecuación de primer grado es una expresión
de la forma:
ax + b U c
Resolver una inecuación consiste en encontrar el
valor o valores que la verifican (conjunto solución),
al contrario de las ecuaciones de primer grado, las
inecuaciones pueden tener infinitas soluciones
agrupadas en un conjunto.
El método de resolución de inecuaciones de pri-
mer grado es similar a la resolución de ecuacio-
nes salvo por el hecho de que si multiplicamos los
dos miembros de una inecuación por un número
negativo cambia el sentido de la inecuación.
Inecuaciones
Desigualdad
Una desigualdad es una expresión que indica que
una cantidad real, es mayor o menor que otra, en-
tre ellas tenemos las siguientes:
•
a > b : a es mayor que b.
• a < b: a es menor que b.
• a $ b: a es mayor o igual que b.
• a # b: a es menor o igual que b.
Propiedades de las desigualdades 1.
El sentido de una desigualdad no se modifica
si a ambos lados de ella se le suma o se le resta
una misma cantidad.
Si: a . b & a ! c . b ! c; c ! R
2. El sentido de una desigualdad no se altera, si se
multiplica o se divide por un número positivo a ambos lados.
Si: a . b y k . 0 & ka . kb y
k
a
k
b
2
3. El -
do, se multiplica o se divide por un número ne- gativo a ambos lados.
Si: a . b y k , 0 & ka , kb y
k
a
k
b
1
4. Si se v
a > b ∧ a, b, n > 0 & a
n
> b
n
y a
–n
, b
–n
Ejemplo:
Si 7
> 5, con n = 2 & 7
2
> 5
2
es decir 49 > 25;
pero se tiene:
7
–2
< 5
–2
&
49
1
25
1
1 .
Se sabe que una de las formas de disminuir el ca-
lentamiento global es cultivar árboles, por ello, los
estudiant
es del 3
er
año de secundaria decidieron
cultivar cierta cantidad de plantas cada mes, en
un campo cercano a su escuela.
En el primer mes, la cantidad de plantas cultivadas
se representó mediante la siguiente expresión:
15 < x + 2 < 23
x: número de plantas.
¿De qué gr
ado es la inecuación? ¿La cantidad de
plantas cultivadas puede ser 24?
Inecuaciones lineales y cuadráticas
UNIDAD?lgebra
Unidad 3
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Ejemplos:
Determina el conjunto solución de la siguiente
inecuación.
a(x – b) – b(x – a) # a
2
– b
2
con a < b
Desarrollamos los productos:
ax – ab – bx + ab # a
2
– b
2
ax – bx # a
2
– b
2
Por diferencia de cuadrados:
a
2
– b
2
= (a + b)(a – b)
Se tiene:
(a – b)x # (a + b)(a – b)
Como: a < b, entonces: a – b < 0
x > a + b
Inecuaciones de segundo grado
Es una inecuación polinomial que viene dada por:
P(x) = ax
2
+ bx + c U 0 a ≠ 0 {a; b; c} 1 R
Para resolver una inecuación de este tipo, se hará
uso del método de los puntos críticos, bajo los si-
guientes pasos:
1.
Factoriza el polinomio, por cualquiera de los
métodos que ya conoces.
2. Ubica los puntos críticos, para ello iguala cada
factor a cero y ubica en la recta numérica.
3. De derecha a izquierda ubica los signos (+) y
menos (–) de forma alternada en cada intervalo.
4. Si se cumple P(x) $ 0, entonces toma los inter-
valos positivos (+) y si P(x) # 0 se tomarán los
intervalos negativos (–).
Ejemplo:
Resuelve la siguiente inecuación:
x
2
– 2x – 8 # 0 x –4
x 2
& (x – 4)(x + 2) # 0
Ahora ubicamos los puntos críticos:
& x – 4 = 0 ∧ x + 2 = 0
P.C. = {4; –2}
Estos puntos críticos los ubicamos en la recta y hacemos la distribución de signos:
–2 4
– ++
Seleccionamos la región que está marcada con el símbolo (–) pues P(x) # 0, por lo tanto:
C.S = [–2; 4]
1. Resuelve la siguiente ecuación:
9
2
(x + 4)(3x – 1) ≤ 0
Multiplicando ambos miembros por
2
9
tenemos lo siguiente:
(x + 4)(3x – 1) # 0
Luego:
Usamos el método de los puntos críticos:
& (x + 4)(3x – 1) = 0
& (x + 4) = 0 ∨ (3x – 1) = 0
&
x = –4 ∨ x =
3
1
Como la desigualdad es menor o igual a 0 se
pintan los puntos críticos.
Graficamos en la recta numérica
–4
– ++
3
1
C.S = ;4
3
1
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
2. Determina el conjunto solución de la siguiente
inecuación:
x
2
+ x – 72 $ 0
Factorizando el polinomio tenemos:
x
2
+ x – 72 = (x + 9)(x – 8)
Luego:
Usaremos el método de los puntos críticos:
& (x + 9)(x – 8) = 0
& x + 9 = 0 ∨ x – 8 = 0
& x = –9 ∨ x = 8
Como la desigualdad es mayor o igual a 0 se
pintan los puntos críticos.
Graficamos en la recta numérica
–9 8
– ++
+3–3
C.S = ⟨ - ∞ ; –9 ] ∪ [8; + ∞⟩
98
9. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 98 24/01/2020 22:55:58
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Ejemplos:
Determina el conjunto solución de la siguiente
inecuación.
a(x – b) – b(x – a) # a
2
– b
2
con a < b
Desarrollamos los productos:
ax – ab – bx + ab # a
2
– b
2
ax – bx # a
2
– b
2
Por diferencia de cuadrados:
a
2
– b
2
= (a + b)(a – b)
Se tiene:
(a – b)x # (a + b)(a – b)
Como: a < b, entonces: a – b < 0
x > a + b
Inecuaciones de segundo grado
Es una inecuación polinomial que viene dada por:
P(x) = ax
2
+ bx + c U 0 a ≠ 0 {a; b; c} 1 R
Para resolver una inecuación de este tipo, se hará
uso del método de los puntos críticos, bajo los si-
guientes pasos:
1.
Factoriza el polinomio, por cualquiera de los
métodos que ya conoces.
2. Ubica los puntos críticos, para ello iguala cada
factor a cero y ubica en la recta numérica.
3. De derecha a izquierda ubica los signos (+) y
menos (–) de forma alternada en cada intervalo.
4. Si se cumple P(x) $ 0, entonces toma los inter-
valos positivos (+) y si P(x) # 0 se tomarán los
intervalos negativos (–).
Ejemplo:
Resuelve la siguiente inecuación:
x
2
– 2x – 8 # 0 x –4
x 2
& (x – 4)(x + 2) # 0
Ahora ubicamos los puntos críticos:
& x – 4 = 0 ∧ x + 2 = 0
P.C. = {4; –2}
Estos puntos críticos los ubicamos en la recta y hacemos la distribución de signos:
–2 4
– ++
Seleccionamos la región que está marcada con el símbolo (–) pues P(x) # 0, por lo tanto:
C.S = [–2; 4]
1. Resuelve la siguiente ecuación:
9
2
(x + 4)(3x – 1) ≤ 0
Multiplicando ambos miembros por
2
9
tenemos lo siguiente:
(x + 4)(3x – 1) # 0
Luego:
Usamos el método de los puntos críticos:
& (x + 4)(3x – 1) = 0
& (x + 4) = 0 ∨ (3x – 1) = 0
&
x = –4 ∨ x =
3
1
Como la desigualdad es menor o igual a 0 se
pintan los puntos críticos.
Graficamos en la recta numérica
–4
– ++
3
1
C.S = ;4
3
1
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
2. Determina el conjunto solución de la siguiente
inecuación:
x
2
+ x – 72 $ 0
Factorizando el polinomio tenemos:
x
2
+ x – 72 = (x + 9)(x – 8)
Luego:
Usaremos el método de los puntos críticos:
& (x + 9)(x – 8) = 0
& x + 9 = 0 ∨ x – 8 = 0
& x = –9 ∨ x = 8
Como la desigualdad es mayor o igual a 0 se
pintan los puntos críticos.
Graficamos en la recta numérica
–9 8
– ++
+3–3
C.S = ⟨ - ∞ ; –9 ] ∪ [8; + ∞⟩
98
9. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 98 24/01/2020 22:55:58
3. Mediante factorización de aspa simple
determina el conjunto solución de la siguiente
inecuación:
x
2
– 11x + 28 > 0
Factorizamos:
x
2
– 11x + 28 . 0
x –7
x –4
Luego usamos el método de los puntos
críticos:
x – 7 = 0 & x = 7
x – 4=0 & x = 4
Como la desigualdad es mayor que 0.
Graficamos en la recta numérica
4 7
– ++
+3–3
C.S = G–3; 4H , G7; +∞H
4. Halla el conjunto solución de la siguiente desigualdad:
xx x
3
5
2
3
4
1
1
-
++
-
Multiplicamos a la desigualdad por 12 :
12
xx x
3
5
2
3
4
1
1
-
++
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
4(x – 5) + 6x < 36 + 3 (x – 1)
4x – 20 + 6x < 36 + 3x – 3
10x – 20 < 33 + 3x
7x < 53
x <
7
53
Por lo tanto el C.S = ⟨–∞;
7
53
⟩
5. Determina el conjunto solución de:
x
x
2
4
2$
-
+
Resolvemos:
x
x
2
4
20$
-
+
-
() ()
x
xx
2
42 2
0$
-
+- -
&
x
x
2
8
0$
-
-
& Los puntos críticos son: x = 8; x = 2
C.S = ⟨–∞ ; 2⟩ ∪ [8; + ∞⟩
2 8
– ++
Recordemos que
x ≠ 2 para que la
desigualdad exista
6. Sea la inecuación ;
2(x
+ 2)
2
–3(x – 1)
2
≥
– 27
Halla a y b si el conjunto solución de la
inecuación tiene la forma de [a; b].
Desarrollamos la inecuación:
2(x
2
+ 4x + 4) – 3 (x
2
– 2x + 1) ≥ – 27
2x
2
+ 8x + 8 – 3x
2
+ 6x – 3 ≥ –27
–x
2
+ 14x + 32 ≥ 0
x
2
– 14x – 32 ≤ 0
x –16
x 2
Ent
onces (x – 16)(x + 2) ≤ 0
Usando el método de los puntos críticos
x – 16 = 0 ∨ x + 2 = 0
& x = 16 ∨ x = –2
Como la desigualdad es menor o igual a 0.
Graficamos en la recta numérica
–2 16
– ++
C.S = [–2; 16]
Por lo tanto a = –2 y b = 16
7. Determina el conjunto solución de la siguiente inecuación.
(x – 1)
2
– 1 $ (x – 2)
2
Desarrollamos los binomios al cuadrado:
x
2
– 2x + 1 – 1 $ x
2
– 4x + 4
–2x $ – 4x + 4
2x $ 4
x $ 2
2
C.S = [2; +∞ ⟩
La programación lineal es un área de
la matemática en donde se estudia la
manera de optimizar modelos matemá-
ticos y en ellas usaremos las ecuaciones
e inecuaciones lineales?lgebra
Unidad 3
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9. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 99 24/01/2020 22:55:59
determina el conjunto solución de la siguiente
inecuación:
x
2
– 11x + 28 > 0
Factorizamos:
x
2
– 11x + 28 . 0
x –7
x –4
Luego usamos el método de los puntos
críticos:
x – 7 = 0 & x = 7
x – 4=0 & x = 4
Como la desigualdad es mayor que 0.
Graficamos en la recta numérica
4 7
– ++
+3–3
C.S = G–3; 4H , G7; +∞H
4. Halla el conjunto solución de la siguiente desigualdad:
xx x
3
5
2
3
4
1
1
-
++
-
Multiplicamos a la desigualdad por 12 :
12
xx x
3
5
2
3
4
1
1
-
++
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
4(x – 5) + 6x < 36 + 3 (x – 1)
4x – 20 + 6x < 36 + 3x – 3
10x – 20 < 33 + 3x
7x < 53
x <
7
53
Por lo tanto el C.S = ⟨–∞;
7
53
⟩
5. Determina el conjunto solución de:
x
x
2
4
2$
-
+
Resolvemos:
x
x
2
4
20$
-
+
-
() ()
x
xx
2
42 2
0$
-
+- -
&
x
x
2
8
0$
-
-
& Los puntos críticos son: x = 8; x = 2
C.S = ⟨–∞ ; 2⟩ ∪ [8; + ∞⟩
2 8
– ++
Recordemos que
x ≠ 2 para que la
desigualdad exista
6. Sea la inecuación ;
2(x
+ 2)
2
–3(x – 1)
2
≥
– 27
Halla a y b si el conjunto solución de la
inecuación tiene la forma de [a; b].
Desarrollamos la inecuación:
2(x
2
+ 4x + 4) – 3 (x
2
– 2x + 1) ≥ – 27
2x
2
+ 8x + 8 – 3x
2
+ 6x – 3 ≥ –27
–x
2
+ 14x + 32 ≥ 0
x
2
– 14x – 32 ≤ 0
x –16
x 2
Ent
onces (x – 16)(x + 2) ≤ 0
Usando el método de los puntos críticos
x – 16 = 0 ∨ x + 2 = 0
& x = 16 ∨ x = –2
Como la desigualdad es menor o igual a 0.
Graficamos en la recta numérica
–2 16
– ++
C.S = [–2; 16]
Por lo tanto a = –2 y b = 16
7. Determina el conjunto solución de la siguiente inecuación.
(x – 1)
2
– 1 $ (x – 2)
2
Desarrollamos los binomios al cuadrado:
x
2
– 2x + 1 – 1 $ x
2
– 4x + 4
–2x $ – 4x + 4
2x $ 4
x $ 2
2
C.S = [2; +∞ ⟩
La programación lineal es un área de
la matemática en donde se estudia la
manera de optimizar modelos matemá-
ticos y en ellas usaremos las ecuaciones
e inecuaciones lineales?lgebra
Unidad 3
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99
9. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 99 24/01/2020 22:55:59
Ejemplos:
• |2x
2
+ 1| $ 0; ∀ x ! ℝ
•
|x – 3| = 0 + x – 3 = 0 + x = 3
• |x
2
– 5x + 6| = |(x – 3) (x – 2)| = |x – 3| |x – 2|
• |(x – 4)
2
| = |x – 4|
2
= (x – 4)
2
•
()x23
2
- = |2x – 3|
Ecuaciones con valor absoluto
Ejemplos:
1. Resolver: |2x – 1| = 9
Solución:
2x – 1 = 9 ∨ 2x – 1 = –9
x = 5 ∨ x = –4
C.S. = {–4; 5}
2. Resolver: |x – 8| = 7
Solución:
x – 8 = 7 ∨ x – 8 = –7
x = 15 ∨ x = 1
C.S. = {1; 15}
3. Resolver: |5x – 1| = x + 3
Solución:
5x – 1 = x + 3 ∨ 5x – 1 = –x – 3
x = 1 ∨ x =
3
1
-
C.S. = ;
3
1
1-(2
Inecuaciones con valor absoluto Para resolver problemas de inecuaciones con va-
lor absoluto, debes tener en cuenta las siguientes
propiedades:
•
|x| # b + b $ 0 ∧ (–b # x # b)
• |x| $ b + x $ b ∨ x # –b
• |x| # |y| + x
2
# y
2
Valor absoluto
Interpretación en la recta
El valor absoluto es la distancia de un número
ubicado en la recta real al punto 0.
Noción gráfica :
|–x|
–x 0 x +3–3
|x|
Definición
El valor absoluto de un número real «x», deno-
tado por |x|, es un número real no negativo que
cumple:
|x| =
x; x . 0
0; x = 0
–x; x , 0
Ejemplos:
• |4| = 4; pues 4 > 0
• |3x
2
+ 2| = 3x
2
+ 2; pues 3x
2
+ 2 > 0
∀ x ! ℝ
• |–25| = – (–25) = 25; pues – 25 < 0
Principales propiedades del valor absoluto 1.
|x| $ 0; ∀ x ! ℝ
2. |x| = 0 + x = 0
3. |xy| = |x||y| ∀ x,y ! ℝ
4.
y
x
y
x
= , ∀ x ! ℝ, y ! ℝ – {0}
5. |x
2
| = |x|
2
= x
2
∀ x ! ℝ
6. x
2
= |x| ∀ x ! ℝ
7. –|x| # x # |x| ∀ x ! ℝ
8. |x| = |–x| ∀ x ! ℝ
9. |x + y| # |x| + |y| (Desigualdad triangular)
Sharon asistió a una charla sobre el calentamiento
global. En esta se habló principalmente del efecto
invernadero y cómo este afectaba a nuestro planeta.
Sharon se quedó preocupada al saber que en
ciertos lugares en donde la temperatura era de
-3°C, esta ascendió a los +3°C, en menos de 3 años.
¿Crees que es importante informarnos sobre los
efectos del calentamiento global?
¿Es correcta la siguiente igualdad: 3 = |-3| = |+3|?
¿Es correcto decir que |x| ≥ 0? (x ∈ ℝ)?
Ecuaciones e inecuaciones con valor absolutoProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
100
10. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.indd 100 25/01/2020 00:06:58
• |2x
2
+ 1| $ 0; ∀ x ! ℝ
•
|x – 3| = 0 + x – 3 = 0 + x = 3
• |x
2
– 5x + 6| = |(x – 3) (x – 2)| = |x – 3| |x – 2|
• |(x – 4)
2
| = |x – 4|
2
= (x – 4)
2
•
()x23
2
- = |2x – 3|
Ecuaciones con valor absoluto
Ejemplos:
1. Resolver: |2x – 1| = 9
Solución:
2x – 1 = 9 ∨ 2x – 1 = –9
x = 5 ∨ x = –4
C.S. = {–4; 5}
2. Resolver: |x – 8| = 7
Solución:
x – 8 = 7 ∨ x – 8 = –7
x = 15 ∨ x = 1
C.S. = {1; 15}
3. Resolver: |5x – 1| = x + 3
Solución:
5x – 1 = x + 3 ∨ 5x – 1 = –x – 3
x = 1 ∨ x =
3
1
-
C.S. = ;
3
1
1-(2
Inecuaciones con valor absoluto Para resolver problemas de inecuaciones con va-
lor absoluto, debes tener en cuenta las siguientes
propiedades:
•
|x| # b + b $ 0 ∧ (–b # x # b)
• |x| $ b + x $ b ∨ x # –b
• |x| # |y| + x
2
# y
2
Valor absoluto
Interpretación en la recta
El valor absoluto es la distancia de un número
ubicado en la recta real al punto 0.
Noción gráfica :
|–x|
–x 0 x +3–3
|x|
Definición
El valor absoluto de un número real «x», deno-
tado por |x|, es un número real no negativo que
cumple:
|x| =
x; x . 0
0; x = 0
–x; x , 0
Ejemplos:
• |4| = 4; pues 4 > 0
• |3x
2
+ 2| = 3x
2
+ 2; pues 3x
2
+ 2 > 0
∀ x ! ℝ
• |–25| = – (–25) = 25; pues – 25 < 0
Principales propiedades del valor absoluto 1.
|x| $ 0; ∀ x ! ℝ
2. |x| = 0 + x = 0
3. |xy| = |x||y| ∀ x,y ! ℝ
4.
y
x
y
x
= , ∀ x ! ℝ, y ! ℝ – {0}
5. |x
2
| = |x|
2
= x
2
∀ x ! ℝ
6. x
2
= |x| ∀ x ! ℝ
7. –|x| # x # |x| ∀ x ! ℝ
8. |x| = |–x| ∀ x ! ℝ
9. |x + y| # |x| + |y| (Desigualdad triangular)
Sharon asistió a una charla sobre el calentamiento
global. En esta se habló principalmente del efecto
invernadero y cómo este afectaba a nuestro planeta.
Sharon se quedó preocupada al saber que en
ciertos lugares en donde la temperatura era de
-3°C, esta ascendió a los +3°C, en menos de 3 años.
¿Crees que es importante informarnos sobre los
efectos del calentamiento global?
¿Es correcta la siguiente igualdad: 3 = |-3| = |+3|?
¿Es correcto decir que |x| ≥ 0? (x ∈ ℝ)?
Ecuaciones e inecuaciones con valor absolutoProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
100
10. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.indd 100 25/01/2020 00:06:58
Ejemplos:
1. Resolver: |x – 3| ≥ 7
Solución: |x – 3| ≥ 7
+ x – 3 ≥ 7 ∨ x – 3 ≤ –7
x ≥ 10 + x ≤ –4
x ! G–3; –4] ∪ [10; +3H
2. Resolver:
x23
1
11
-
Solución:
|2x – 3| > 1 ∧ x ≠
2
3
2x – 3 > 1 ∨ 2x – 3 < –1
x > 2 ∨ x < 1
1 2
+3–3
2
3
` x ! G–3; 1H ∪ G2; +3H
1. Resuelve la siguiente inecuación:
|x – 2|
2
> 4|x – 2| + 5
|x – 2|
2
– 4|x – 2| – 5 > 0
(|x – 2| – 5)(|x – 2| + 1) > 0
Solo trabajamos con: |x – 2| – 5 pues se sabe
que:
|x – 2| + 1 > 0
Así nos queda:
|x – 2| – 5 > 0
|x – 2| > 5
x – 2 > 5
∨ x – 2 < –5
x > 7 ∨ x < –3
–3 7
+3–3
x ! G–3; –3H ∪ G7; +3H
2. Calcula el conjunto solución de la siguiente
inecuación:
|3x – 4 | + 10 < 6
Operamos: |3x – 4 | + 10 < 6
& |3x – 4 | < 6 – 10
& |3x – 4 | < –4
Como | |≥ 0 & 0 < –4 (imposible)
Por lo tanto C.S = ∅ = { }
3. Halla el conjunto solución de la siguiente
ecuación:
4 + 3 |2x – 6| = 16
Operamos : 4 + 3 |2x – 6| = 16
& 3 |2x – 6| = 12 & |2x – 6| = 4 & 2x – 6 = 4 ∨ 2x – 6 = –4 & 2x = 10 ∨ 2x = 2 & x = 5 ∨ x =1
Por lo tanto C.S = {1; 5}
4. Encuentra el conjunto solución de la siguiente
desigualdad:
x
1
1#
Tenemos que
x
1
1#
Por propiedad de valor absoluto se tiene :
x
1
1
1##-
(II)
(I)
Analizamos el caso (I):
x
1
1
#-
• S> 0 & –x ≤ 1 & x ≥ –1
& C.S
1
= ⟨0; +∞⟩
•
Si x < 0 & –x ≥ 1 & x ≤ –1
& C.S
2
= ⟨–∞; –1]
El C.S (I) = C.S
1
∪
C.S
2
= ⟨–∞; –1] ∪ ⟨0; +∞⟩
Analizamos el caso (II):
x
1
1#
• S> 0 & 1 ≤ x
& C.S
3
= [1; +∞⟩
•
Si x < 0 & 1 ≥ x
& C.S
4
= ⟨–∞; 0⟩
El C.S (II) = C.S
3
∪
C.S
4
= ⟨–∞; 0⟩ ∪ [1; +∞⟩
Hallamos el conjunto solución de sistema,
para esto graficaremos el C.S (I) y C.S (II).
–1 0 1
De acuerdo a la gráfica se tiene:
El C.S
sistema
= C.S (I) ∩ C.S (II)
= ⟨–∞; –1⟩ ∪ [1; +∞⟩Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
?lgebra
101Unidad 3
10. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.indd 101 25/01/2020 00:07:00
1. Resolver: |x – 3| ≥ 7
Solución: |x – 3| ≥ 7
+ x – 3 ≥ 7 ∨ x – 3 ≤ –7
x ≥ 10 + x ≤ –4
x ! G–3; –4] ∪ [10; +3H
2. Resolver:
x23
1
11
-
Solución:
|2x – 3| > 1 ∧ x ≠
2
3
2x – 3 > 1 ∨ 2x – 3 < –1
x > 2 ∨ x < 1
1 2
+3–3
2
3
` x ! G–3; 1H ∪ G2; +3H
1. Resuelve la siguiente inecuación:
|x – 2|
2
> 4|x – 2| + 5
|x – 2|
2
– 4|x – 2| – 5 > 0
(|x – 2| – 5)(|x – 2| + 1) > 0
Solo trabajamos con: |x – 2| – 5 pues se sabe
que:
|x – 2| + 1 > 0
Así nos queda:
|x – 2| – 5 > 0
|x – 2| > 5
x – 2 > 5
∨ x – 2 < –5
x > 7 ∨ x < –3
–3 7
+3–3
x ! G–3; –3H ∪ G7; +3H
2. Calcula el conjunto solución de la siguiente
inecuación:
|3x – 4 | + 10 < 6
Operamos: |3x – 4 | + 10 < 6
& |3x – 4 | < 6 – 10
& |3x – 4 | < –4
Como | |≥ 0 & 0 < –4 (imposible)
Por lo tanto C.S = ∅ = { }
3. Halla el conjunto solución de la siguiente
ecuación:
4 + 3 |2x – 6| = 16
Operamos : 4 + 3 |2x – 6| = 16
& 3 |2x – 6| = 12 & |2x – 6| = 4 & 2x – 6 = 4 ∨ 2x – 6 = –4 & 2x = 10 ∨ 2x = 2 & x = 5 ∨ x =1
Por lo tanto C.S = {1; 5}
4. Encuentra el conjunto solución de la siguiente
desigualdad:
x
1
1#
Tenemos que
x
1
1#
Por propiedad de valor absoluto se tiene :
x
1
1
1##-
(II)
(I)
Analizamos el caso (I):
x
1
1
#-
• S> 0 & –x ≤ 1 & x ≥ –1
& C.S
1
= ⟨0; +∞⟩
•
Si x < 0 & –x ≥ 1 & x ≤ –1
& C.S
2
= ⟨–∞; –1]
El C.S (I) = C.S
1
∪
C.S
2
= ⟨–∞; –1] ∪ ⟨0; +∞⟩
Analizamos el caso (II):
x
1
1#
• S> 0 & 1 ≤ x
& C.S
3
= [1; +∞⟩
•
Si x < 0 & 1 ≥ x
& C.S
4
= ⟨–∞; 0⟩
El C.S (II) = C.S
3
∪
C.S
4
= ⟨–∞; 0⟩ ∪ [1; +∞⟩
Hallamos el conjunto solución de sistema,
para esto graficaremos el C.S (I) y C.S (II).
–1 0 1
De acuerdo a la gráfica se tiene:
El C.S
sistema
= C.S (I) ∩ C.S (II)
= ⟨–∞; –1⟩ ∪ [1; +∞⟩Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
?lgebra
101Unidad 3
10. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.indd 101 25/01/2020 00:07:00
Ejemplo:
Simplifica la siguiente expresión
M = Log
3
8
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O O + Log
3
64 – Log
3
4
Solución:
La propiedad 2, se tiene:
M = Log
3
8
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O + Log
3
64 – Log
3
4
= Log
3
x
8
1
64
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O– Log
3
4
= Log
3
8 – Log
3
4
Luego, por la propiedad 3 tenemos:
M = Log
3
8 – Log
3
4 = Log
3
4
8
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = Log
3
2
Finalmente:
M = Log
3
2
Cambio de base
Dado Log
a
b ∈ ℝ, sea c > 0 y c ≠ 1, se cumple:
Log
a
b =
Loga
Logbcc
Ejemplo:
Halla el valor de
LogL og
Log
84
16
77
7
-
Solución:
Por propiedad, tenemos:
LogL og
Log
Log
Log
Log
Log
84
16 16
2
16
77
7
7
4
8
7
7
7-
== J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Luego, por el cambio de base, tenemos:
Log
Log
2
16
7
7
= Log
2
16 = 4
Regla de la cadena:
Si a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1; c > 0; d > 0; entonces:
Log
a
b × Log
b
c × Log
c
d = Log
a
d
Logartimos
Sean a y b números reales tal que a > 0, a ≠ 1 y
b > 0, el número real x se denomina logaritmo
de b en base a si y solo si a
x
= b.
Notación:
Log
a
b = x
De la definición, se tiene:
Log
a
b = x ⟺ a
x
= b
Donde:
a: base del logaritmo
b: número del logaritmo
x: logaritmo de b en la base a
Ejemplo:
• Log
3
9 = 2, pues 3
2
= 9
•
Log
5
125 = 3, pues 5
3
= 125
Propiedades Sea a ∈ ℝ , a ≠ 1 y A, B > 0 se cumple:
1.
Log
a
1 = 0 y Log
a
a = 1.
2. Log
a
AB=Log
a
A + Log
a
B.
3. Log
a B
A
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = Log
a
A – Log
a
B.
4. Log
a
A
n
= nLog
a
A; n ∈ ℕ.
5. Log
a
A
n
=
n
1
Log
a
A; n ∈ ℕ, n ≥ 2
6. LogAa
m
n =
n
m
Log
a
A; n ≠ 0
7. Log
a
A = Log
a
B ⟺ A = B
8. a
Log
a
b
= b; b > 0
Juan platicó con sus amigos acerca de cómo nos
afecta el aumento de la temperatura. Él les co-
mentó que había leído un artículo en donde de-
cía que el índice de población afectada por una
enf
ermedad era alarmante, el cual estaba deter-
minado por la expresión:
N(x) = 10 Log
x
10
12-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
; donde x: días
¿Es importante cuidar nuestro planeta?
¿Qué operación nueva observas en la expresión?
LogaritmosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
102
11. LOGARITMOS.indd 102 24/01/2020 22:56:34
Simplifica la siguiente expresión
M = Log
3
8
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O O + Log
3
64 – Log
3
4
Solución:
La propiedad 2, se tiene:
M = Log
3
8
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O + Log
3
64 – Log
3
4
= Log
3
x
8
1
64
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O– Log
3
4
= Log
3
8 – Log
3
4
Luego, por la propiedad 3 tenemos:
M = Log
3
8 – Log
3
4 = Log
3
4
8
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = Log
3
2
Finalmente:
M = Log
3
2
Cambio de base
Dado Log
a
b ∈ ℝ, sea c > 0 y c ≠ 1, se cumple:
Log
a
b =
Loga
Logbcc
Ejemplo:
Halla el valor de
LogL og
Log
84
16
77
7
-
Solución:
Por propiedad, tenemos:
LogL og
Log
Log
Log
Log
Log
84
16 16
2
16
77
7
7
4
8
7
7
7-
== J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Luego, por el cambio de base, tenemos:
Log
Log
2
16
7
7
= Log
2
16 = 4
Regla de la cadena:
Si a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1; c > 0; d > 0; entonces:
Log
a
b × Log
b
c × Log
c
d = Log
a
d
Logartimos
Sean a y b números reales tal que a > 0, a ≠ 1 y
b > 0, el número real x se denomina logaritmo
de b en base a si y solo si a
x
= b.
Notación:
Log
a
b = x
De la definición, se tiene:
Log
a
b = x ⟺ a
x
= b
Donde:
a: base del logaritmo
b: número del logaritmo
x: logaritmo de b en la base a
Ejemplo:
• Log
3
9 = 2, pues 3
2
= 9
•
Log
5
125 = 3, pues 5
3
= 125
Propiedades Sea a ∈ ℝ , a ≠ 1 y A, B > 0 se cumple:
1.
Log
a
1 = 0 y Log
a
a = 1.
2. Log
a
AB=Log
a
A + Log
a
B.
3. Log
a B
A
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = Log
a
A – Log
a
B.
4. Log
a
A
n
= nLog
a
A; n ∈ ℕ.
5. Log
a
A
n
=
n
1
Log
a
A; n ∈ ℕ, n ≥ 2
6. LogAa
m
n =
n
m
Log
a
A; n ≠ 0
7. Log
a
A = Log
a
B ⟺ A = B
8. a
Log
a
b
= b; b > 0
Juan platicó con sus amigos acerca de cómo nos
afecta el aumento de la temperatura. Él les co-
mentó que había leído un artículo en donde de-
cía que el índice de población afectada por una
enf
ermedad era alarmante, el cual estaba deter-
minado por la expresión:
N(x) = 10 Log
x
10
12-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
; donde x: días
¿Es importante cuidar nuestro planeta?
¿Qué operación nueva observas en la expresión?
LogaritmosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
102
11. LOGARITMOS.indd 102 24/01/2020 22:56:34
Unidad 3 Observación:
• Cuando el logaritmo es de base 10 se le llama
logaritmo decimal y se denota omitiendo la
base, es decir:
Log
10
A = LogA
Cologaritmo
Definimos el cologaritmo de x en base b como
el logaritmo en base b del inverso multiplicativo
de x.
Notación
colog
b
x
De la definición se tiene:
colog
b
x = Log
b
x
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O O;
x > 0, b > 0, b ≠ 1
Propiedad:
Sean x > 0, b > 0, b ≠ 1, entonces:
colog
b
x = –log
b
x
Ejemplos:
•
colog
2
4 = Log
2
4
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
= Log
2
4
–1
= –Log
2
4 = –2
• –colog
3
9 = – Log
3
9
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O O = Log
3
9
1
J
L
K
K K
N
P
O
O O
–1
= Log
3
9 = 2
Antilogaritmo
Se define como la operación inversa al logaritmo.
Notación
antilog
b
x
De la definición, se tiene:
antilog
b
x = b
x
; b > 0, b ≠ 1, x ∈ ℝ
Ejemplos: •
antilog
7
3 = 7
3
= 343
•
antilog
16
2
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
= 16 16
,05
= = 4
Propiedades:
Sea b > 0,b ≠ 1, entonces se cumple:
1.
antilog
b
(Log
b
x) = x; ∀ x ∈ ℝ
+
2. Log
b
(antilog
b
x) = x; ∀ x ∈ ℝ
Ejemplo: Reduce la siguiente expresión:
k = Log
8
(antilog
8
14) + Log
7
(antilog
7
2)
Solución: Por la propiedad 2 se tiene:
Log
8
(antilog
8
14) = 14 ∧ Log
7
(antilog
7
2) = 2
Entonces :
k = 14 + 2 = 16
1. Calcula el valor de
R = Log
8
64 + Log
3
81 + Log10000 + colog
3
27
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Por definición, se tiene:
• Log
8
64 = 2, pues 8
2
= 64
• Log
3
81 = 4, pues 3
4
= 81
• Log10000 = 4, pues 10
4
= 10000
•
colog
3
27
1
J
L
K
K K
N
P
O
O O= Log
3
27 = 3, pues 3
3
= 27
Reemplazando, tenemos:
R = 2 + 4 + 4 + 3 = 13
& R = 13
2. Halla el valor de:
M = Log
2
Log
4
Log
2
16
Por definición, se tiene:
Log
2
16 = 4, pues 2
4
= 16
Luego:
M = Log
2
Log
4
Log
2
16 = Log
2
Log
4
4
Además:
Log
4
4 = 1
Entonces:
M = Log
2
Log
4
Log
2
16 = Log
2
Log
4
4 = Log
2
1
Luego:
M = Log
2
Log
4
Log
2
16 = Log
2
1 = 0
& M = 0
3. Reduce la siguiente expresión:
A =
LogL og
LogL og
52
25 4
77
77
+
+
En el numerador, se tiene:
Log
7
25 + Log
7
4 = Log
7
(25 × 4) = Log
7
100
En el denominador, se tiene:
Log
7
5 + Log
7
2 = Log
7
(5 × 2) = Log
7
10
Reemplazando:
A =
LogL og
LogL og
52
25 4
77
77
+
+
=
Log
Log
10
100
7
7
Cambiando de base, se tiene:
A =
Log
Log
10
100
7
7
= Log
10
100 = 2
& A = 2Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
103?lgebra
11. LOGARITMOS.indd 103 24/01/2020 22:56:40
• Cuando el logaritmo es de base 10 se le llama
logaritmo decimal y se denota omitiendo la
base, es decir:
Log
10
A = LogA
Cologaritmo
Definimos el cologaritmo de x en base b como
el logaritmo en base b del inverso multiplicativo
de x.
Notación
colog
b
x
De la definición se tiene:
colog
b
x = Log
b
x
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O O;
x > 0, b > 0, b ≠ 1
Propiedad:
Sean x > 0, b > 0, b ≠ 1, entonces:
colog
b
x = –log
b
x
Ejemplos:
•
colog
2
4 = Log
2
4
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
= Log
2
4
–1
= –Log
2
4 = –2
• –colog
3
9 = – Log
3
9
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O O = Log
3
9
1
J
L
K
K K
N
P
O
O O
–1
= Log
3
9 = 2
Antilogaritmo
Se define como la operación inversa al logaritmo.
Notación
antilog
b
x
De la definición, se tiene:
antilog
b
x = b
x
; b > 0, b ≠ 1, x ∈ ℝ
Ejemplos: •
antilog
7
3 = 7
3
= 343
•
antilog
16
2
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
= 16 16
,05
= = 4
Propiedades:
Sea b > 0,b ≠ 1, entonces se cumple:
1.
antilog
b
(Log
b
x) = x; ∀ x ∈ ℝ
+
2. Log
b
(antilog
b
x) = x; ∀ x ∈ ℝ
Ejemplo: Reduce la siguiente expresión:
k = Log
8
(antilog
8
14) + Log
7
(antilog
7
2)
Solución: Por la propiedad 2 se tiene:
Log
8
(antilog
8
14) = 14 ∧ Log
7
(antilog
7
2) = 2
Entonces :
k = 14 + 2 = 16
1. Calcula el valor de
R = Log
8
64 + Log
3
81 + Log10000 + colog
3
27
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Por definición, se tiene:
• Log
8
64 = 2, pues 8
2
= 64
• Log
3
81 = 4, pues 3
4
= 81
• Log10000 = 4, pues 10
4
= 10000
•
colog
3
27
1
J
L
K
K K
N
P
O
O O= Log
3
27 = 3, pues 3
3
= 27
Reemplazando, tenemos:
R = 2 + 4 + 4 + 3 = 13
& R = 13
2. Halla el valor de:
M = Log
2
Log
4
Log
2
16
Por definición, se tiene:
Log
2
16 = 4, pues 2
4
= 16
Luego:
M = Log
2
Log
4
Log
2
16 = Log
2
Log
4
4
Además:
Log
4
4 = 1
Entonces:
M = Log
2
Log
4
Log
2
16 = Log
2
Log
4
4 = Log
2
1
Luego:
M = Log
2
Log
4
Log
2
16 = Log
2
1 = 0
& M = 0
3. Reduce la siguiente expresión:
A =
LogL og
LogL og
52
25 4
77
77
+
+
En el numerador, se tiene:
Log
7
25 + Log
7
4 = Log
7
(25 × 4) = Log
7
100
En el denominador, se tiene:
Log
7
5 + Log
7
2 = Log
7
(5 × 2) = Log
7
10
Reemplazando:
A =
LogL og
LogL og
52
25 4
77
77
+
+
=
Log
Log
10
100
7
7
Cambiando de base, se tiene:
A =
Log
Log
10
100
7
7
= Log
10
100 = 2
& A = 2Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
103?lgebra
11. LOGARITMOS.indd 103 24/01/2020 22:56:40
Solución:
a. A × B = {(3; a), (4; a), (5; a), (3; b), (4; b), (5; b)}
b. B × A = {(a; 3), (a; 4), (a; 5), (b; 3), (b; 4), (b; 5)}
Propiedades del producto cartesiano
1. El producto cartesiano no es conmutativo (sal-
vo en el caso que los conjuntos sean iguales),
es decir:
A × B ≠ B × A
2. Para calcular el número de elementos del pro-
ducto cartesiano de dos conjuntos, usamos:
n(A × B) = n(A) × n(B)
Ejemplo:
Sea A = {1; 2; 3}
Hallar: A × A
Solución:
A × A = {1; 2; 3} × {1; 2; 3}
A × A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
Forma gráfica de obtener el producto cartesiano Encontremos el producto cartesiano de dos con-
juntos A = {3; 4; 5} y B = {c; d} de las siguientes
maneras:
a.
Diagrama de árbol lógico
(3; c) (3; d) (4; c) (4; d) (5; c) (5; d)
c&
&
&
&
&
&
3
4
4
c
c
d
d
d
Siguiendo el recorrido de las ramas, se tiene:
A × B = {(3; c), (3; d), (4; c), (4; d), (5; c), (5; d)}
Relaciones binarias
Par ordenado
Un par ordenado es una dupla de objetos cuales-
quiera «a» y «b» denotado por (a; b), es decir:
Notación:
(a; b) se lee: "par ordenado a; b"
2
do
componente
1
er
componentePropiedades de los pares ordenados
1. Un par ordenado no es conmutativo.
(a; b) ≠ (b; a)
2. Igualdad de pares ordenados:
Si: (x; y) = (a; b) entonces: x = a ∧ y = b
Ejemplo:
Halla los valores de x e y en la siguiente igualdad:
(x + 3; 8) = (6; y + 4)
(x + 3; 8) = (6; y + 4) & x + 3 = 6 ∧ y + 4 = 8
x = 3 ∧ y = 4
Producto cartesiano
Dados los conjuntos A y B; A × B es el produc-
to cartesiano que está formado por conjuntos de
pares de la forma (a; b); de modo que la primera
componente está en A y la segunda en B.
Es decir:
A×B = {(a; b) | a ! A y b ! B}
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = {3; 4; 5}
B = {a; b}
Determina: a.
A × B
b. B × A
Luego de escuchar al profesor acerca de las con-
secuencias del efecto invernadero, algunos estu-
diantes decidieron aportar de alguna manera al
cuidado del medio ambiente: Ariana dijo que iba
sembrar plantas pequeñas, Alexis no va usar in-
secticidas y Tamara reciclará las botellas de plás-
tico de su casa.
¿Qué te parecen las medidas tomadas por estos
estudiantes?
¿De qué forma puedes establecer una relación
binaria
Relaciones binariasProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
104
12. RELACIONES BINARIAS.indd 104 25/01/2020 00:06:43
a. A × B = {(3; a), (4; a), (5; a), (3; b), (4; b), (5; b)}
b. B × A = {(a; 3), (a; 4), (a; 5), (b; 3), (b; 4), (b; 5)}
Propiedades del producto cartesiano
1. El producto cartesiano no es conmutativo (sal-
vo en el caso que los conjuntos sean iguales),
es decir:
A × B ≠ B × A
2. Para calcular el número de elementos del pro-
ducto cartesiano de dos conjuntos, usamos:
n(A × B) = n(A) × n(B)
Ejemplo:
Sea A = {1; 2; 3}
Hallar: A × A
Solución:
A × A = {1; 2; 3} × {1; 2; 3}
A × A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
Forma gráfica de obtener el producto cartesiano Encontremos el producto cartesiano de dos con-
juntos A = {3; 4; 5} y B = {c; d} de las siguientes
maneras:
a.
Diagrama de árbol lógico
(3; c) (3; d) (4; c) (4; d) (5; c) (5; d)
c&
&
&
&
&
&
3
4
4
c
c
d
d
d
Siguiendo el recorrido de las ramas, se tiene:
A × B = {(3; c), (3; d), (4; c), (4; d), (5; c), (5; d)}
Relaciones binarias
Par ordenado
Un par ordenado es una dupla de objetos cuales-
quiera «a» y «b» denotado por (a; b), es decir:
Notación:
(a; b) se lee: "par ordenado a; b"
2
do
componente
1
er
componentePropiedades de los pares ordenados
1. Un par ordenado no es conmutativo.
(a; b) ≠ (b; a)
2. Igualdad de pares ordenados:
Si: (x; y) = (a; b) entonces: x = a ∧ y = b
Ejemplo:
Halla los valores de x e y en la siguiente igualdad:
(x + 3; 8) = (6; y + 4)
(x + 3; 8) = (6; y + 4) & x + 3 = 6 ∧ y + 4 = 8
x = 3 ∧ y = 4
Producto cartesiano
Dados los conjuntos A y B; A × B es el produc-
to cartesiano que está formado por conjuntos de
pares de la forma (a; b); de modo que la primera
componente está en A y la segunda en B.
Es decir:
A×B = {(a; b) | a ! A y b ! B}
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = {3; 4; 5}
B = {a; b}
Determina: a.
A × B
b. B × A
Luego de escuchar al profesor acerca de las con-
secuencias del efecto invernadero, algunos estu-
diantes decidieron aportar de alguna manera al
cuidado del medio ambiente: Ariana dijo que iba
sembrar plantas pequeñas, Alexis no va usar in-
secticidas y Tamara reciclará las botellas de plás-
tico de su casa.
¿Qué te parecen las medidas tomadas por estos
estudiantes?
¿De qué forma puedes establecer una relación
binaria
Relaciones binariasProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
104
12. RELACIONES BINARIAS.indd 104 25/01/2020 00:06:43
b. Diagr
A B
3
4
5
c
d
Siguiendo el recorrido de las flechas, se tiene:
A × B = {(3; c), (3; d), (4; c), (4; d), (5; c), (5; d)}
c. Diagrama cartesiano
Ubicamos en el plano las coordenadas de los
elementos.
B
A × B
A
d
c
3
(3; d)
(3; c)
(4; d)
(4; c)
(5; d)
(5; c)
4 5
Así se tiene:
A × B = {(3; c), (3; d), (4; c), (4; d), (5; c), (5; d)}
Relaciones binarias
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se dice que
R es una relación de A en B, si R es un subconjun-
to del producto cartesiano A × B.
R: A " B + R ⊂ A×B
Ejemplos:
a. Sea A = {2; 3; 4} y B = {2; 3; 5} encuentra la si-
guiente relación:
R = {(x; y) ! A × B | x > y}
Para este caso, encontramos el producto
cartesiano de A con B, y tenemos:
A × B = {(2; 2), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 3), (3; 5), (4; 2),
(4; 3), (4; 5)}
Pero en la relación se nos exige que x > y, es decir
que los elementos de la primera componente
sean mayores que los de la segunda, entonces:
R = {(3; 2), (4; 2), (4; 3)}
b. ¿Sea A = {5; 6; 7} encuentra la relación:
R = {(x; y) ! A × A / x + y # 12}
Encontramos el producto cartesiano de A con
A, y tenemos:
A × A = {(5; 5), (5; 6), (5; 7), (6; 5), (6; 6), (6; 7), (7; 5),
(7; 6), (7; 7)}
Como en la relación se nos exige que x + y ≤ 12,
entonces:
R = {(5; 5), (5; 6), (5; 7), (6; 5), (6; 6), (7; 5)}
Dominio y rango de una relación
• El dominio de una relación es el conjunto
formado por las primeras componentes de los
pares ordenados de dicha relación.
• El rango de una relación es el conjunto formado
por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación.
Ejemplo:
Para la siguiente relación:
R = {(5; 5), (5; 6), (5; 7), (6; 5), (6; 6), (7; 5)}
Tenemos que:
• Dom (R) = {5; 6; 7}
• Ran (R) = {5; 6; 7}
1. Sean los conjuntos:
A = {10; 20; 30; 40}
B = {a; b}
Encuentra el producto A × B y señala el número
de elementos.
Encontramos el producto cartesiano de A
con B y tenemos:
A × B = {(10; a), (10; b), (20; a), (20; b), (30; a),
(30; b), (40; a), (40; b)}
Según la fórmula:
n(A × B) = n(A) × n(B) = 4 × 2 = 8
2. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 5}
B = {1; 2; 4}
Halla la relación:
M = {(x; y) ! A × B / y = 2x}
Encuentra la suma de los elementos de los
pares ordenados de M.
Encontramos el producto cartesiano de A
con B y tenemos:
A × B = {(1; 1), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 4), (5; 1),
(5; 2), (5; 4)}
Entonces:
M = {(1; 2), (2; 4)}
Suma de elementos: 1 + 2 + 2 + 4 = 9Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
?lgebra
105Unidad 3
12. RELACIONES BINARIAS.indd 105 25/01/2020 00:06:43
A B
3
4
5
c
d
Siguiendo el recorrido de las flechas, se tiene:
A × B = {(3; c), (3; d), (4; c), (4; d), (5; c), (5; d)}
c. Diagrama cartesiano
Ubicamos en el plano las coordenadas de los
elementos.
B
A × B
A
d
c
3
(3; d)
(3; c)
(4; d)
(4; c)
(5; d)
(5; c)
4 5
Así se tiene:
A × B = {(3; c), (3; d), (4; c), (4; d), (5; c), (5; d)}
Relaciones binarias
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se dice que
R es una relación de A en B, si R es un subconjun-
to del producto cartesiano A × B.
R: A " B + R ⊂ A×B
Ejemplos:
a. Sea A = {2; 3; 4} y B = {2; 3; 5} encuentra la si-
guiente relación:
R = {(x; y) ! A × B | x > y}
Para este caso, encontramos el producto
cartesiano de A con B, y tenemos:
A × B = {(2; 2), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 3), (3; 5), (4; 2),
(4; 3), (4; 5)}
Pero en la relación se nos exige que x > y, es decir
que los elementos de la primera componente
sean mayores que los de la segunda, entonces:
R = {(3; 2), (4; 2), (4; 3)}
b. ¿Sea A = {5; 6; 7} encuentra la relación:
R = {(x; y) ! A × A / x + y # 12}
Encontramos el producto cartesiano de A con
A, y tenemos:
A × A = {(5; 5), (5; 6), (5; 7), (6; 5), (6; 6), (6; 7), (7; 5),
(7; 6), (7; 7)}
Como en la relación se nos exige que x + y ≤ 12,
entonces:
R = {(5; 5), (5; 6), (5; 7), (6; 5), (6; 6), (7; 5)}
Dominio y rango de una relación
• El dominio de una relación es el conjunto
formado por las primeras componentes de los
pares ordenados de dicha relación.
• El rango de una relación es el conjunto formado
por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación.
Ejemplo:
Para la siguiente relación:
R = {(5; 5), (5; 6), (5; 7), (6; 5), (6; 6), (7; 5)}
Tenemos que:
• Dom (R) = {5; 6; 7}
• Ran (R) = {5; 6; 7}
1. Sean los conjuntos:
A = {10; 20; 30; 40}
B = {a; b}
Encuentra el producto A × B y señala el número
de elementos.
Encontramos el producto cartesiano de A
con B y tenemos:
A × B = {(10; a), (10; b), (20; a), (20; b), (30; a),
(30; b), (40; a), (40; b)}
Según la fórmula:
n(A × B) = n(A) × n(B) = 4 × 2 = 8
2. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 5}
B = {1; 2; 4}
Halla la relación:
M = {(x; y) ! A × B / y = 2x}
Encuentra la suma de los elementos de los
pares ordenados de M.
Encontramos el producto cartesiano de A
con B y tenemos:
A × B = {(1; 1), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 4), (5; 1),
(5; 2), (5; 4)}
Entonces:
M = {(1; 2), (2; 4)}
Suma de elementos: 1 + 2 + 2 + 4 = 9Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
?lgebra
105Unidad 3
12. RELACIONES BINARIAS.indd 105 25/01/2020 00:06:43
3. A partir de los siguientes diagramas, describe
las relaciones por extensión.
f
1
2
3
4
5
6
h
3
4
2
1
5
6
g
1
3
5
2
4
6
Observando las gráficas tenemos:
• f = {(1; 6), (2; 4), (3; 5)}
• g = {(1; 2), (3; 6), (5; 2), (5; 4)}
• h = {(3; 5), (4; 6), (2; 1)}
4. Sean los conjuntos P = {3; 5; 7; 9} y Q = {1; 2; 3; 4}
determina la relación R = {(a; b) ! P × Q / a + b > 9}
y encuentra los elementos del dominio y del rango.
Hallamos el producto cartesiano de P y Q
de manera y tenemos:
P Q
3
5
7
9
1
2
3
4
Entonces P × Q = {(3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4),
(5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4),
(7; 1), (7; 2), (7; 3), (7; 4),
(9; 1), (9; 2), (9; 3), (9; 4)}
Como (a; b) ! R / a + b > 9
Así obtenemos R:
R = {(7; 3), (7;4), (9; 1), (9; 2), (9; 3), (9; 4)}
A partir de esto, tenemos:
•
Dom (R) = {7; 9}
• Ran (R) = {1; 2; 3; 4}
5. Sea los conjuntos A y B definidos de la siguiente
manera:
A = {x ∈ ℤ / 1.7 ≤ x ≤ 5.4}
B = {x ∈ ℤ / x
3
10
2
19
## }
a. Determina la relación
M = {(x; y) ∈ A × B / y = 2x + 1}
• H
conjuntos A y B, sabiendo que «x» e «y»
son número enteros; entonces:
• A = {2; 3; 4; 5}
• B = {4; 5; 6; 7; 8; 9}
Ahora hallamos el producto cartesiano A × B.
Entonces A × B = {(2; 4), (2; 5), (2; 6), (2; 7),
(2; 8), (2; 9), (3; 4), (3; 5),
(3; 6), (3; 7), (3; 8), (3; 9),
(4; 4), (4; 5), (4; 6), (4; 4),
(4; 8), (4; 9), (5; 4), (5; 5),
(5; 6), (5; 7), (5; 8), (5; 9)}
C
omo (x; y) ∈ M & y = 2x + 1
Así tenemos: M = {(2;5), (3; 7), (4; 9)}
b. Determina el dominio y rango de M
Por lo anterior tenemos M = {(2;5), (3; 7), (4; 9)}
Entonces : Dom(M) = {2; 3; 4}
Ran(M) = {5; 7; 9}
c. Dibuja el diagrama sagital de M
M
2 5
3 7
4 9Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
106
12. RELACIONES BINARIAS.indd 106 25/01/2020 00:06:43
las relaciones por extensión.
f
1
2
3
4
5
6
h
3
4
2
1
5
6
g
1
3
5
2
4
6
Observando las gráficas tenemos:
• f = {(1; 6), (2; 4), (3; 5)}
• g = {(1; 2), (3; 6), (5; 2), (5; 4)}
• h = {(3; 5), (4; 6), (2; 1)}
4. Sean los conjuntos P = {3; 5; 7; 9} y Q = {1; 2; 3; 4}
determina la relación R = {(a; b) ! P × Q / a + b > 9}
y encuentra los elementos del dominio y del rango.
Hallamos el producto cartesiano de P y Q
de manera y tenemos:
P Q
3
5
7
9
1
2
3
4
Entonces P × Q = {(3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4),
(5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4),
(7; 1), (7; 2), (7; 3), (7; 4),
(9; 1), (9; 2), (9; 3), (9; 4)}
Como (a; b) ! R / a + b > 9
Así obtenemos R:
R = {(7; 3), (7;4), (9; 1), (9; 2), (9; 3), (9; 4)}
A partir de esto, tenemos:
•
Dom (R) = {7; 9}
• Ran (R) = {1; 2; 3; 4}
5. Sea los conjuntos A y B definidos de la siguiente
manera:
A = {x ∈ ℤ / 1.7 ≤ x ≤ 5.4}
B = {x ∈ ℤ / x
3
10
2
19
## }
a. Determina la relación
M = {(x; y) ∈ A × B / y = 2x + 1}
• H
conjuntos A y B, sabiendo que «x» e «y»
son número enteros; entonces:
• A = {2; 3; 4; 5}
• B = {4; 5; 6; 7; 8; 9}
Ahora hallamos el producto cartesiano A × B.
Entonces A × B = {(2; 4), (2; 5), (2; 6), (2; 7),
(2; 8), (2; 9), (3; 4), (3; 5),
(3; 6), (3; 7), (3; 8), (3; 9),
(4; 4), (4; 5), (4; 6), (4; 4),
(4; 8), (4; 9), (5; 4), (5; 5),
(5; 6), (5; 7), (5; 8), (5; 9)}
C
omo (x; y) ∈ M & y = 2x + 1
Así tenemos: M = {(2;5), (3; 7), (4; 9)}
b. Determina el dominio y rango de M
Por lo anterior tenemos M = {(2;5), (3; 7), (4; 9)}
Entonces : Dom(M) = {2; 3; 4}
Ran(M) = {5; 7; 9}
c. Dibuja el diagrama sagital de M
M
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3 7
4 9Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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12. RELACIONES BINARIAS.indd 106 25/01/2020 00:06:43
Unidad 4
Álgebra UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
4
Educación SecundariaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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13. FUNCIONES I.indd 107 24/01/2020 22:57:12
Álgebra UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
4
Educación SecundariaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
107
13. FUNCIONES I.indd 107 24/01/2020 22:57:12
Propiedad:
Sea f una función, entonces:
Si (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f ⟹ y = z
Dominio y rango de una función
Dada una función f : A ⟶ B
Dominio de f: es el conjunto de los elementos que
pertenecen al conjunto de partida. Es decir:
Dom(f) = {x ∈ A / ∃! y ∈ B ∧ (x; y) ∈ f}
Rango de f : es el conjunto de los elementos que pertenecen al conjunto de llegada, es decir:
Ran(f) = {y ∈ B / x ∈ A ∧ (x; y) ∈ f}
Propiedades
Sea f : A ⟶ B una función, se cumple:
Dom(f) ⊂ A ∧ Ran(f) ⊂ B
Dada una función f de A en B; se dice que
f es una aplicación si y solo si su dominio
es igual al conjunto de partida.
Es decir;
f de aplicación ⟺ Dom(f) = A
Introducción:
Como ya se había visto en las relaciones, las fun-
ciones son una particularidad de estas, dotándo-
las de ciertas propiedades.
Definición:
Dada una relación f de A en B; es decir f ⊂ A × B. Se
dice que f es una función de A en B si para cada
elemento de A, existe a lo más un elemento de
B tal que, el par (x; y) ∈ f, es decir que dos pares
ordenados distintos no pueden tener la misma
primera componente
f es función ⟺ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B / (x; y) ∈ f
Notación: f: A ⟶ B
Ejemplos:
a. Dado el siguiente gráfico
1
2
3
4
5
0
–1
2
–2
A B
f
f es función pues cada elemento de A esta
relacionado con un único elemento de B
b. Dado el siguiente gráfico, ℎ no es una función
debido a que para los números 0 y 1 estos tie- nen el mismo elemento de partida.
h
1
2
–1
0
1
A B
Para concientizar a la comunidad sobre los pro-
blemas del cambio climático, los estudiantes de
la
institución Jóvenes del futuro deciden realizar
afiches y colocarlos en las principales avenidas de
su localidad.
A los alumnos del primer año se les encarga difun-
dir acerca de las causas del cambio climático; a los
de segundo año, sus c
onsecuencias; y a los de ter-
cero, las posibles propuestas para contrarrestarlo.
¿Cuál es el dominio de esta f
unción?
Funciones IProhibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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13. FUNCIONES I.indd 108 24/01/2020 22:57:13
Sea f una función, entonces:
Si (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f ⟹ y = z
Dominio y rango de una función
Dada una función f : A ⟶ B
Dominio de f: es el conjunto de los elementos que
pertenecen al conjunto de partida. Es decir:
Dom(f) = {x ∈ A / ∃! y ∈ B ∧ (x; y) ∈ f}
Rango de f : es el conjunto de los elementos que pertenecen al conjunto de llegada, es decir:
Ran(f) = {y ∈ B / x ∈ A ∧ (x; y) ∈ f}
Propiedades
Sea f : A ⟶ B una función, se cumple:
Dom(f) ⊂ A ∧ Ran(f) ⊂ B
Dada una función f de A en B; se dice que
f es una aplicación si y solo si su dominio
es igual al conjunto de partida.
Es decir;
f de aplicación ⟺ Dom(f) = A
Introducción:
Como ya se había visto en las relaciones, las fun-
ciones son una particularidad de estas, dotándo-
las de ciertas propiedades.
Definición:
Dada una relación f de A en B; es decir f ⊂ A × B. Se
dice que f es una función de A en B si para cada
elemento de A, existe a lo más un elemento de
B tal que, el par (x; y) ∈ f, es decir que dos pares
ordenados distintos no pueden tener la misma
primera componente
f es función ⟺ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B / (x; y) ∈ f
Notación: f: A ⟶ B
Ejemplos:
a. Dado el siguiente gráfico
1
2
3
4
5
0
–1
2
–2
A B
f
f es función pues cada elemento de A esta
relacionado con un único elemento de B
b. Dado el siguiente gráfico, ℎ no es una función
debido a que para los números 0 y 1 estos tie- nen el mismo elemento de partida.
h
1
2
–1
0
1
A B
Para concientizar a la comunidad sobre los pro-
blemas del cambio climático, los estudiantes de
la
institución Jóvenes del futuro deciden realizar
afiches y colocarlos en las principales avenidas de
su localidad.
A los alumnos del primer año se les encarga difun-
dir acerca de las causas del cambio climático; a los
de segundo año, sus c
onsecuencias; y a los de ter-
cero, las posibles propuestas para contrarrestarlo.
¿Cuál es el dominio de esta f
unción?
Funciones IProhibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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13. FUNCIONES I.indd 108 24/01/2020 22:57:13
Unidad 4
?lgebra Ejemplo:
Dada la siguiente función representada en el dia-
grama sagital
1
2
3
4
–1
0
1
A B
g
Determina los elementos de la función, indican- do su dominio y rango.
Indica si g es una aplicación
Solución:
Del diagrama observamos lo siguiente:
g = {(1; 1), (2; −1), (4; 1)}
Entonces, decimos que:
Dom(g) = {1; 2; 4} / Ran(g)
= {−1; 1}
g no es una aplicación debido a que el conjunto
de partida es A = {1; 2; 3; 4} mientras que el domi-
nio de g es Dom(g) = {1; 2; 4}, es decir:
{1; 2; 3; 4} = A ≠ Dom(g) = {1; 2; 4}
Funcion real de variable real
Definición:
Dada una función f: A ⟶ B. Se dice que f es una
función real de variable real, si A y B son subcon-
juntos del conjunto de los números reales ℝ.
Matemáticamente: f: A ⟶ B / A, B ⊂ ℝ.
Es decir, f = {(x, y) ∈ ℝ
2
/ x ∈ Dom(f) / y = f (x) }
Donde, «x» es la variable independiente e «y» es la
variable dependiente y la regla de corresponden-
cia esta dado por y = f(x).
Una forma práctica de saber si una gráfica es una
función, hay que trazar una recta vertical sobre el
gráfico y esta debe cortar a lo más en un punto.
Ejemplo:
Y
X
(I)
Y
X
(II)
En (I) no es una función puesto que la recta
vertical corta en dos puntos a la gráfica.
En (II) si lo es, pues lo corta en un solo punto, en
toda recta vertical sobre el eje X.
Tabulación
Sirve para dibujar una gráfica de una función de
manera sencilla, solo es necesario darle valores a
la variable independiente «x».
Ejemplo:
Tabula la siguiente función y grafica en el plano
cartesiano. f(x) =
3
2
–1
Solución: I.
Hacemos nuestra tabla
x f(x) =
3
2
x –1
–1 f(–1) =
3
2
(–1)–1 = –
3
5
0 f(0) =
3
2
(0) –1 = –1
1 f(1) =
3
2
(1) –1 = –
3
1
2 f(2) =
3
2
(2) –1 =
3
1
II. T
;,;,;,;f 1
3
5
01 1
3
1
2
3
1
=-- - -
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
^
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
h
III. Ubic
luego unimos los puntos por medio de rectas.
Y
X
-
(0; -1)
-1 2
-1
10
3
1
3
1
b l;1
3
1
-
b l-1;
3
5
-
3
5
-
b l;2
3
1
Criterios para determinar el dominio y rango
1. Para el dominio: Se despeja la variable y
• Si y =
()
()
Qx
Px
; tener en cuenta:
()
()
Qx
Px
∈ ℝ ⟺ Q(x) ≠ 0
• Si y = ()Px, tener en cuenta:
()Px⟺ P(x) ≥ 0Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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13. FUNCIONES I.indd 109 24/01/2020 22:57:14
?lgebra Ejemplo:
Dada la siguiente función representada en el dia-
grama sagital
1
2
3
4
–1
0
1
A B
g
Determina los elementos de la función, indican- do su dominio y rango.
Indica si g es una aplicación
Solución:
Del diagrama observamos lo siguiente:
g = {(1; 1), (2; −1), (4; 1)}
Entonces, decimos que:
Dom(g) = {1; 2; 4} / Ran(g)
= {−1; 1}
g no es una aplicación debido a que el conjunto
de partida es A = {1; 2; 3; 4} mientras que el domi-
nio de g es Dom(g) = {1; 2; 4}, es decir:
{1; 2; 3; 4} = A ≠ Dom(g) = {1; 2; 4}
Funcion real de variable real
Definición:
Dada una función f: A ⟶ B. Se dice que f es una
función real de variable real, si A y B son subcon-
juntos del conjunto de los números reales ℝ.
Matemáticamente: f: A ⟶ B / A, B ⊂ ℝ.
Es decir, f = {(x, y) ∈ ℝ
2
/ x ∈ Dom(f) / y = f (x) }
Donde, «x» es la variable independiente e «y» es la
variable dependiente y la regla de corresponden-
cia esta dado por y = f(x).
Una forma práctica de saber si una gráfica es una
función, hay que trazar una recta vertical sobre el
gráfico y esta debe cortar a lo más en un punto.
Ejemplo:
Y
X
(I)
Y
X
(II)
En (I) no es una función puesto que la recta
vertical corta en dos puntos a la gráfica.
En (II) si lo es, pues lo corta en un solo punto, en
toda recta vertical sobre el eje X.
Tabulación
Sirve para dibujar una gráfica de una función de
manera sencilla, solo es necesario darle valores a
la variable independiente «x».
Ejemplo:
Tabula la siguiente función y grafica en el plano
cartesiano. f(x) =
3
2
–1
Solución: I.
Hacemos nuestra tabla
x f(x) =
3
2
x –1
–1 f(–1) =
3
2
(–1)–1 = –
3
5
0 f(0) =
3
2
(0) –1 = –1
1 f(1) =
3
2
(1) –1 = –
3
1
2 f(2) =
3
2
(2) –1 =
3
1
II. T
;,;,;,;f 1
3
5
01 1
3
1
2
3
1
=-- - -
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
^
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
h
III. Ubic
luego unimos los puntos por medio de rectas.
Y
X
-
(0; -1)
-1 2
-1
10
3
1
3
1
b l;1
3
1
-
b l-1;
3
5
-
3
5
-
b l;2
3
1
Criterios para determinar el dominio y rango
1. Para el dominio: Se despeja la variable y
• Si y =
()
()
Qx
Px
; tener en cuenta:
()
()
Qx
Px
∈ ℝ ⟺ Q(x) ≠ 0
• Si y = ()Px, tener en cuenta:
()Px⟺ P(x) ≥ 0Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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13. FUNCIONES I.indd 109 24/01/2020 22:57:14
2. Par Se despeja la variable x y se ana-
liza como en el caso anterior o teniendo como
dato el dominio de la función.
Ejemplo:
1. Determina el dominio y el rango de la fun-
ción f, donde: f: ℝ ⟶ ℝ / y = f(x) =
x
x
23
42
+
-
Solución:
De acuerdo a los criterios para hallar el dominio,
Tenemos el primer caso: y =
x
x
23
42
+
-
y ∈ ℝ ⟺ 2x + 3 ≠ 0
⟺ x ≠ −
2
3
⟹ x ∈ ℝ −
2
3
-(2
` Dom(f) = ℝ −
2
3
-(2
Ahora hallamos el rango: y =
x
x
23
42
+
-
para esto
despejamos "x" : y (2x + 3) = 4x – 2
& 2xy + 3y = 4x − 2
& 2 + 3y = 4x − 2xy
& 2 + 3y = x (4 − 2y)
& x =
2+3y
4−2y
Aplicando el mismo criterio que el anterior,
tenemos:
x ∈ ℝ ⟺ 4 – 2y ≠ 0
⟺ y ≠ 2
& y ∈ ℝ − {2}
` Ran(f) = ℝ − {2}
2. Determina el rango de la función f, la cual vie- ne dado por f: ℝ ⟶ ℝ / y = f(x) = 5x + 7; x ∈ ⟨2; 5]
Solución:
Como nos dan el dominio de la función,
partiremos de ahí para hallar su rango.
Tenemos que: x ∈ ⟨2; 5]
⟹ 2 < x ≤ 5
multiplicamos por 5 ⟹ 10 < 5x ≤ 25
luego sumamos 7 ⟹ 17 < 5x + 7 ≤ 32
⟹ 17 < f(x) ≤ 32
El rango de f es Ran(f) = ⟨17; 32]
1. Analiza la siguiente función
f = {(5; m+n), (3; n−m), (3; 5), (5; 7)} y halla el valor
de E = m
2
+ n
2
Como nos dicen que el siguiente conjunto
es una función, las primeras componentes
de cada par ordenado deben tener la mis-
ma imagen.
(5; m+n) = (5; 7)
(3; n−m) = (3; 5)
⟹ n−m= 5…(I) ∧ m+n= 7…(II)
⟹ sumando (I) y (II), tenemos 2n = 12
⟹ n= 6…(III)
⟹ reemplazando (III) en (I):
m+ 6 = 7 ⟹ m= 1
Reemplazando en E = 1
2
+ 6
2
= 37
2. Sea la f=5x + 2. El rango de esta fun-
ción es: Ran(f) = {12; 22; 32; 42}. Determina su
dominio.
Recordemos que y = f(x) entonces: •
5x
1
+ 2 = 12 ⟹ x
1
= 2
• 5x
2
+ 2 = 22 ⟹ x
2
= 4
• 5x
3
+ 2 = 32 ⟹ x
3
= 6
• 5x
4
+ 2 = 42 ⟹ x
4
= 8
Así tenemos que el dominio de f es: Dom(f) = {2; 4: 6; 8}
3. Observa la siguiente tabla, sabiendo que la fun-
ción está dada por f(x) = mx + n, luego calcula
m − n
x 3 6
f(x) 7 19
Como nos dan la regla de correspondencia
f(x) = mx + n
Y la tabla de valores, solo es cuestión de re- emplazar los datos:
f(6) = 19 = m(6) + n
f(3) = 7 = m(3) + n
12 = 3m ⟹ m = 4
–
Luego, n = –5 Nos piden: m – n= 4 – (–5) = 9Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
110
13. FUNCIONES I.indd 110 24/01/2020 22:57:15
liza como en el caso anterior o teniendo como
dato el dominio de la función.
Ejemplo:
1. Determina el dominio y el rango de la fun-
ción f, donde: f: ℝ ⟶ ℝ / y = f(x) =
x
x
23
42
+
-
Solución:
De acuerdo a los criterios para hallar el dominio,
Tenemos el primer caso: y =
x
x
23
42
+
-
y ∈ ℝ ⟺ 2x + 3 ≠ 0
⟺ x ≠ −
2
3
⟹ x ∈ ℝ −
2
3
-(2
` Dom(f) = ℝ −
2
3
-(2
Ahora hallamos el rango: y =
x
x
23
42
+
-
para esto
despejamos "x" : y (2x + 3) = 4x – 2
& 2xy + 3y = 4x − 2
& 2 + 3y = 4x − 2xy
& 2 + 3y = x (4 − 2y)
& x =
2+3y
4−2y
Aplicando el mismo criterio que el anterior,
tenemos:
x ∈ ℝ ⟺ 4 – 2y ≠ 0
⟺ y ≠ 2
& y ∈ ℝ − {2}
` Ran(f) = ℝ − {2}
2. Determina el rango de la función f, la cual vie- ne dado por f: ℝ ⟶ ℝ / y = f(x) = 5x + 7; x ∈ ⟨2; 5]
Solución:
Como nos dan el dominio de la función,
partiremos de ahí para hallar su rango.
Tenemos que: x ∈ ⟨2; 5]
⟹ 2 < x ≤ 5
multiplicamos por 5 ⟹ 10 < 5x ≤ 25
luego sumamos 7 ⟹ 17 < 5x + 7 ≤ 32
⟹ 17 < f(x) ≤ 32
El rango de f es Ran(f) = ⟨17; 32]
1. Analiza la siguiente función
f = {(5; m+n), (3; n−m), (3; 5), (5; 7)} y halla el valor
de E = m
2
+ n
2
Como nos dicen que el siguiente conjunto
es una función, las primeras componentes
de cada par ordenado deben tener la mis-
ma imagen.
(5; m+n) = (5; 7)
(3; n−m) = (3; 5)
⟹ n−m= 5…(I) ∧ m+n= 7…(II)
⟹ sumando (I) y (II), tenemos 2n = 12
⟹ n= 6…(III)
⟹ reemplazando (III) en (I):
m+ 6 = 7 ⟹ m= 1
Reemplazando en E = 1
2
+ 6
2
= 37
2. Sea la f=5x + 2. El rango de esta fun-
ción es: Ran(f) = {12; 22; 32; 42}. Determina su
dominio.
Recordemos que y = f(x) entonces: •
5x
1
+ 2 = 12 ⟹ x
1
= 2
• 5x
2
+ 2 = 22 ⟹ x
2
= 4
• 5x
3
+ 2 = 32 ⟹ x
3
= 6
• 5x
4
+ 2 = 42 ⟹ x
4
= 8
Así tenemos que el dominio de f es: Dom(f) = {2; 4: 6; 8}
3. Observa la siguiente tabla, sabiendo que la fun-
ción está dada por f(x) = mx + n, luego calcula
m − n
x 3 6
f(x) 7 19
Como nos dan la regla de correspondencia
f(x) = mx + n
Y la tabla de valores, solo es cuestión de re- emplazar los datos:
f(6) = 19 = m(6) + n
f(3) = 7 = m(3) + n
12 = 3m ⟹ m = 4
–
Luego, n = –5 Nos piden: m – n= 4 – (–5) = 9Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
110
13. FUNCIONES I.indd 110 24/01/2020 22:57:15
Unidad 4 2. Función decreciente:
Dada la función f, donde f: ℝ → ℝ; se dice f es
decreciente si para cada x
1
, x
2
∈ Dom(f) se
verifica la condición:x
1
< x
2
⟹ f(x
1
) . f(x
2
)
Gráficamente se tiene:
Función creciente Función decreciente
f
Y
X
f
Y
X
3. Función No decreciente: Dada la función f, donde f: ℝ → ℝ; se dice f es
no decreciente si para cada x
1
, x
2
∈ Dom(f) se
verifica la condición:
x
1
< x
2
⟹ f(x
1
) ≤ f(x
2
)
4. Función No creciente: Dada la función f, donde f: ℝ → ℝ; se dice f es no
creciente si para cada x
1
, x
2
∈ Dom(f) se verifica
la condición:
x
1
< x
2
⟹ f(x
1
) ≥ f(x
2
)
Funciones notables
1. Función par
Dada la función f: ℝ → ℝ; sea x ∈ Dom(f).
Si −x ∈ Dom(f) y f(x) = f(−x), entonces; se dice
que f es una función par.
2. Función impar
Dada la función f: ℝ → ℝ; sea x ∈ Dom(f).
Si −x ∈ Dom(f) y −f(x) = f(−x), entonces; se dice
que f es una función impar.
Propiedades:
a.
La gráfica de una función par es simétrica con
respecto al eje de ordenadas (eje y)
b. La gráfica de una función impar es simétrica
con respecto al origen de coordenadas.
Gráficamente se tiene:
Y
y
f
(x; f(x))(–x; f(–x))
Xx–x
y
y
Y
(x; f(x))
(–x; f(–x))
X
x
–x
Función par Función impar
f
Funciones Monótonas 1.
Función Creciente
Dada la función f: ℝ → ℝ; se dice f es creciente si
para cada x
1
; x
2
∈ Dom(f) se verifica la condiciónSi x
1
< x
2
⟹ f(x
1
) < f(x
2
)
Funciones II
Una de las medidas a tomar para hacer frente
a la contaminación ambiental es el reciclaje. En
los últimos años, la cantidad de personas que
recicla en nuestro país está representada por la
siguiente gráfica:
¿Cada año se ha incrementa-
do la cantidad de peruanos
que reciclan? ¿Qué tipo de
función indica la gráfica?
Y
Xx x
fProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
?lgebra
111
14. FUNCIONES II.indd 111 25/01/2020 00:06:21
Dada la función f, donde f: ℝ → ℝ; se dice f es
decreciente si para cada x
1
, x
2
∈ Dom(f) se
verifica la condición:x
1
< x
2
⟹ f(x
1
) . f(x
2
)
Gráficamente se tiene:
Función creciente Función decreciente
f
Y
X
f
Y
X
3. Función No decreciente: Dada la función f, donde f: ℝ → ℝ; se dice f es
no decreciente si para cada x
1
, x
2
∈ Dom(f) se
verifica la condición:
x
1
< x
2
⟹ f(x
1
) ≤ f(x
2
)
4. Función No creciente: Dada la función f, donde f: ℝ → ℝ; se dice f es no
creciente si para cada x
1
, x
2
∈ Dom(f) se verifica
la condición:
x
1
< x
2
⟹ f(x
1
) ≥ f(x
2
)
Funciones notables
1. Función par
Dada la función f: ℝ → ℝ; sea x ∈ Dom(f).
Si −x ∈ Dom(f) y f(x) = f(−x), entonces; se dice
que f es una función par.
2. Función impar
Dada la función f: ℝ → ℝ; sea x ∈ Dom(f).
Si −x ∈ Dom(f) y −f(x) = f(−x), entonces; se dice
que f es una función impar.
Propiedades:
a.
La gráfica de una función par es simétrica con
respecto al eje de ordenadas (eje y)
b. La gráfica de una función impar es simétrica
con respecto al origen de coordenadas.
Gráficamente se tiene:
Y
y
f
(x; f(x))(–x; f(–x))
Xx–x
y
y
Y
(x; f(x))
(–x; f(–x))
X
x
–x
Función par Función impar
f
Funciones Monótonas 1.
Función Creciente
Dada la función f: ℝ → ℝ; se dice f es creciente si
para cada x
1
; x
2
∈ Dom(f) se verifica la condiciónSi x
1
< x
2
⟹ f(x
1
) < f(x
2
)
Funciones II
Una de las medidas a tomar para hacer frente
a la contaminación ambiental es el reciclaje. En
los últimos años, la cantidad de personas que
recicla en nuestro país está representada por la
siguiente gráfica:
¿Cada año se ha incrementa-
do la cantidad de peruanos
que reciclan? ¿Qué tipo de
función indica la gráfica?
Y
Xx x
fProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
?lgebra
111
14. FUNCIONES II.indd 111 25/01/2020 00:06:21
Gráficamente se tiene:
Función no
decreciente
Función no
creciente
f
Y
X
f
Y
X
Ejemplo:
Sea f : ; /
; ;
; ;
fx
xsix
six
14
13
3 34
R"
d
d
H
=
-
-
^h6
7
6
@
@
Z
[
\
]
]]
]
]]
.
Determina si es una función no decreciente.
Solución:
Sean x
1
< x
2
y x
1
, x
2
∈ [1; 3]
Como x
1
< x
2
⟹
xx fx fx1212&22-- ^^hh por
ser función constante Luego f es no decreciente
Composición de Funciones
1. Definición
Dadas las funciones f y g:
f: ℝ→ ℝ / y = f(x); x ∈ Dom(f)
g: ℝ → ℝ / y = g(x); x ∈ Dom(g)
Se define la función f compuesta con g (en ese
orden), denota por f o g de la manera siguiente:
f ∘ g: ℝ ⟶ ℝ / y = (f ∘ g)(x) = f(g(x))
Siendo el dominio:
Dom(fog) = {x/x ∈ Dom(f) ∧ g(x) ∈ Dom(g)}
2. Propiedades
Para las funciones f, g y ℎ
I. ∃ f ∘ g ↔ Ran(g) ∩ Dom(f) ≠ 0
II. En general f ∘ g ≠ g ∘ f
III. (f ∘ g) ∘ ℎ = f ∘ (g ∘ ℎ)
IV. (f + g) ∘ ℎ = (f ∘ ℎ) + (g ∘ ℎ)
V. (f × g) ∘ ℎ =(f ∘ ℎ) × (g ∘ ℎ)
VI. Siendo i la función identidad f ∘ I = f = I ∘ f
1. Determina la función f ∘ g, sabiendo que:
f: ℝ ⟶ ℝ / y = f(x) = 3x + 6; x ∈ ⟨−4; 5]
g: ℝ ⟶ ℝ / y = g(x) = 4x − 1; x ∈ ⟨−2;0⟩
Hallemos el dominio de f ∘ g de la manera
siguiente:
Dom(f ∘ g) = {x/x ∈ Dom(g) ∧ g(x) ∈Dom(f)}
x ∈ [−1; 1⟩ ∧ 4x − 1 ∈ ⟨ −2; 7]
−1 ≤ x < 1 ∧ −2 < 4x −1 ≤ 7
−1 ≤ x < 1 ∧
4
1
- < x ≤ 2
4
1
< x < 2 ⇔ x ∈ 〈
4
1
-; 2〉
De donde Dom(f ∘ g) ≠ ∅, existe f ∘ g
Hallemos la regla de correspondencia de la
manera siguiente y =(f ∘ g)(x) = f(g(x))
f(x) = x + 6
f(g(x)) = 3g(x) + 6 = 3(4x − 1) +6
f(g(x)) = 12x − 3 + 6 = 12x + 3
y = (f ∘ g) = 12x + 3; x ∈ 〈
4
1
-; 2〉
2. Indica en que intervalo la función es decre- ciente.
Sea f:
;/ fx
x
x
5
1
15
R"3GH-+ =
+
-
^h
Sean x
1
< x
2
y x
1
, x
2
∈ ;
5
1
3GH-+
f(x
2
) – f(x
1
) =
x
x
x
x
51 512
2
1
1+
-
+
=
xx
xxx x
51 51
51 51
21
2 11 2
++
- +--+
_
__
__i
i
i
i
i
=
xx
xxxx xx
51 51
55
21
21 21 21
++
-- ++^^ hh
=
xx
xx
51 51
021
12
2
++
-
^^ hh
Pues x
1
− x
2
< 0; x
2
+ 1 > 0; x
1
+ 1 > 0
⟹ f(x
1
) − f(x
2
) > 0
⟹ f(x
1
) > f(x
2
)
Luego f es decrecienteProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
112
14. FUNCIONES II.indd 112 25/01/2020 00:06:23
Función no
decreciente
Función no
creciente
f
Y
X
f
Y
X
Ejemplo:
Sea f : ; /
; ;
; ;
fx
xsix
six
14
13
3 34
R"
d
d
H
=
-
-
^h6
7
6
@
@
Z
[
\
]
]]
]
]]
.
Determina si es una función no decreciente.
Solución:
Sean x
1
< x
2
y x
1
, x
2
∈ [1; 3]
Como x
1
< x
2
⟹
xx fx fx1212&22-- ^^hh por
ser función constante Luego f es no decreciente
Composición de Funciones
1. Definición
Dadas las funciones f y g:
f: ℝ→ ℝ / y = f(x); x ∈ Dom(f)
g: ℝ → ℝ / y = g(x); x ∈ Dom(g)
Se define la función f compuesta con g (en ese
orden), denota por f o g de la manera siguiente:
f ∘ g: ℝ ⟶ ℝ / y = (f ∘ g)(x) = f(g(x))
Siendo el dominio:
Dom(fog) = {x/x ∈ Dom(f) ∧ g(x) ∈ Dom(g)}
2. Propiedades
Para las funciones f, g y ℎ
I. ∃ f ∘ g ↔ Ran(g) ∩ Dom(f) ≠ 0
II. En general f ∘ g ≠ g ∘ f
III. (f ∘ g) ∘ ℎ = f ∘ (g ∘ ℎ)
IV. (f + g) ∘ ℎ = (f ∘ ℎ) + (g ∘ ℎ)
V. (f × g) ∘ ℎ =(f ∘ ℎ) × (g ∘ ℎ)
VI. Siendo i la función identidad f ∘ I = f = I ∘ f
1. Determina la función f ∘ g, sabiendo que:
f: ℝ ⟶ ℝ / y = f(x) = 3x + 6; x ∈ ⟨−4; 5]
g: ℝ ⟶ ℝ / y = g(x) = 4x − 1; x ∈ ⟨−2;0⟩
Hallemos el dominio de f ∘ g de la manera
siguiente:
Dom(f ∘ g) = {x/x ∈ Dom(g) ∧ g(x) ∈Dom(f)}
x ∈ [−1; 1⟩ ∧ 4x − 1 ∈ ⟨ −2; 7]
−1 ≤ x < 1 ∧ −2 < 4x −1 ≤ 7
−1 ≤ x < 1 ∧
4
1
- < x ≤ 2
4
1
< x < 2 ⇔ x ∈ 〈
4
1
-; 2〉
De donde Dom(f ∘ g) ≠ ∅, existe f ∘ g
Hallemos la regla de correspondencia de la
manera siguiente y =(f ∘ g)(x) = f(g(x))
f(x) = x + 6
f(g(x)) = 3g(x) + 6 = 3(4x − 1) +6
f(g(x)) = 12x − 3 + 6 = 12x + 3
y = (f ∘ g) = 12x + 3; x ∈ 〈
4
1
-; 2〉
2. Indica en que intervalo la función es decre- ciente.
Sea f:
;/ fx
x
x
5
1
15
R"3GH-+ =
+
-
^h
Sean x
1
< x
2
y x
1
, x
2
∈ ;
5
1
3GH-+
f(x
2
) – f(x
1
) =
x
x
x
x
51 512
2
1
1+
-
+
=
xx
xxx x
51 51
51 51
21
2 11 2
++
- +--+
_
__
__i
i
i
i
i
=
xx
xxxx xx
51 51
55
21
21 21 21
++
-- ++^^ hh
=
xx
xx
51 51
021
12
2
++
-
^^ hh
Pues x
1
− x
2
< 0; x
2
+ 1 > 0; x
1
+ 1 > 0
⟹ f(x
1
) − f(x
2
) > 0
⟹ f(x
1
) > f(x
2
)
Luego f es decrecienteProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
112
14. FUNCIONES II.indd 112 25/01/2020 00:06:23
Unidad 4 Gráficamente, se representa de la siguiente manera:
x
I
y
45°
Dom(I)= ℝ
Ran(I)= ℝ
Ejemplo:
Grafica la función I(x)= x; x ∈ [3, 8]
Solución:
x
3 8
y
I(x) = x
45°
3. Función lineal: Es la f
unción cuya regla de correspondencia es:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = ax + b,
Donde : a es diferente de 0
Gráficamente
y= ax + b
L
1
b
α
x
y
Dom(f)= ℝ
Ran(f)= ℝ
Funciones especiales:
1. Función constante:
La función constante en ℝ o en un intervalo de
este, asigna un mismo número para cualquier
variable independiente.
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = c
Donde c es un número real.
y
x
(0;c)
y = c
c
{
Dom(f)= ℝ
Ran(f)= {c}
Ejemplo:
Representa gráficamente la función:
f(x)=6, x ∈ [–4;7]
Solución:
f(x)=6 es una función constante, entonces:
–4
6
7 x
y
f(x)= 6
2. Función identidad: La f
unción identidad asigna a cada valor de la
variable independiente, el mismo valor.
I: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ I(x) = x
El cultivo de árboles ayuda a reducir los gases del
efecto invernadero. Además, contribuye al cuidado
del agua. Se dice que por cada árbol que plante-
mos, se garantiza agua para tres personas. El año
pasado, en la provincia donde vive Daniel, los po-
bladores durante dos meses cultivaron árboles, esta
cantidad se representa en la siguiente expresión:
p(x) = x
2
+ 2x + 1
¿Qué tipo de función representa la expresión
anterior?
Funciones especialesProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
113?lgebra
15. FUNCIONES ESPECIALES.indd 113 24/01/2020 22:57:39
x
I
y
45°
Dom(I)= ℝ
Ran(I)= ℝ
Ejemplo:
Grafica la función I(x)= x; x ∈ [3, 8]
Solución:
x
3 8
y
I(x) = x
45°
3. Función lineal: Es la f
unción cuya regla de correspondencia es:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = ax + b,
Donde : a es diferente de 0
Gráficamente
y= ax + b
L
1
b
α
x
y
Dom(f)= ℝ
Ran(f)= ℝ
Funciones especiales:
1. Función constante:
La función constante en ℝ o en un intervalo de
este, asigna un mismo número para cualquier
variable independiente.
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = c
Donde c es un número real.
y
x
(0;c)
y = c
c
{
Dom(f)= ℝ
Ran(f)= {c}
Ejemplo:
Representa gráficamente la función:
f(x)=6, x ∈ [–4;7]
Solución:
f(x)=6 es una función constante, entonces:
–4
6
7 x
y
f(x)= 6
2. Función identidad: La f
unción identidad asigna a cada valor de la
variable independiente, el mismo valor.
I: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ I(x) = x
El cultivo de árboles ayuda a reducir los gases del
efecto invernadero. Además, contribuye al cuidado
del agua. Se dice que por cada árbol que plante-
mos, se garantiza agua para tres personas. El año
pasado, en la provincia donde vive Daniel, los po-
bladores durante dos meses cultivaron árboles, esta
cantidad se representa en la siguiente expresión:
p(x) = x
2
+ 2x + 1
¿Qué tipo de función representa la expresión
anterior?
Funciones especialesProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
113?lgebra
15. FUNCIONES ESPECIALES.indd 113 24/01/2020 22:57:39
Ejemplo:
Gráfica la función f(x) = x + 3; x ∈ [–2, 6]
Solución:
–2
1
6x
y
9
Pendiente de la recta (m): es la tangente del
ángulo de inclinación de la recta, el cual se
forma de la recta con el eje de abscisas en
sentido antihorario.
Si la gráfica de la función lineal se expresa así
y
x
B(x
2
;y
2
)
ℒ
A(x
1
;y
1
)
θ
El valor de la pendiente se obtiene de la
siguiente manera:
m = tg(θ) =
xx
yy21
21-
-
4. Función cuadrática:
Es una función polinomial de grado dos, definida por:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = (x – h)
2
+ k
Donde (h; k) es el vértice de la parábola.
Gráficamente
f
h
V(h;k)
k
Y
X
Ejemplo:
Grafica la función f(x) = x
2
+ 4x + 4; x ∈ [−6, 2]
Solución: Sea la función f(x) = x
2
+ 4x + 4
factorizaremos de la siguiente manera:
x
2
+ 4x + 4
x +2
+2x
& f(x) = (x + 2 ) (x + 2) = (x + 2)
2
Entonces su gráfica es de esta manera :
(–2; 0)–6 2
16
y
x
5. Función cubica:
Es una función de grado tres, definida por:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = x
3
Gráficamente:
y
x
f(x) = x
3
Dom(f)= ℝ
Ran(f)= ℝ
Ejemplo:
Gráfica la función f(x) = x
3
+ 1; en el intervalo
[–1; 2] Solución:
Tabulamos la función f(x) = x
3
+ 1
Para x = –1; f(–1) = (–1)
3
+ 1
= 0
Para x = 0; f(0) = (0)
3
+ 1
= 1
Para x = 2; f(2) = (2)
3
+ 1
= 9
Ahora graficaremos:
y
x
(–1;0)
(2;9)
(0;1)
2
9
f
Por lo tanto la gráfica es como se muestra.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
114
15. FUNCIONES ESPECIALES.indd 114 24/01/2020 22:57:39
Gráfica la función f(x) = x + 3; x ∈ [–2, 6]
Solución:
–2
1
6x
y
9
Pendiente de la recta (m): es la tangente del
ángulo de inclinación de la recta, el cual se
forma de la recta con el eje de abscisas en
sentido antihorario.
Si la gráfica de la función lineal se expresa así
y
x
B(x
2
;y
2
)
ℒ
A(x
1
;y
1
)
θ
El valor de la pendiente se obtiene de la
siguiente manera:
m = tg(θ) =
xx
yy21
21-
-
4. Función cuadrática:
Es una función polinomial de grado dos, definida por:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = (x – h)
2
+ k
Donde (h; k) es el vértice de la parábola.
Gráficamente
f
h
V(h;k)
k
Y
X
Ejemplo:
Grafica la función f(x) = x
2
+ 4x + 4; x ∈ [−6, 2]
Solución: Sea la función f(x) = x
2
+ 4x + 4
factorizaremos de la siguiente manera:
x
2
+ 4x + 4
x +2
+2x
& f(x) = (x + 2 ) (x + 2) = (x + 2)
2
Entonces su gráfica es de esta manera :
(–2; 0)–6 2
16
y
x
5. Función cubica:
Es una función de grado tres, definida por:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = x
3
Gráficamente:
y
x
f(x) = x
3
Dom(f)= ℝ
Ran(f)= ℝ
Ejemplo:
Gráfica la función f(x) = x
3
+ 1; en el intervalo
[–1; 2] Solución:
Tabulamos la función f(x) = x
3
+ 1
Para x = –1; f(–1) = (–1)
3
+ 1
= 0
Para x = 0; f(0) = (0)
3
+ 1
= 1
Para x = 2; f(2) = (2)
3
+ 1
= 9
Ahora graficaremos:
y
x
(–1;0)
(2;9)
(0;1)
2
9
f
Por lo tanto la gráfica es como se muestra.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
114
15. FUNCIONES ESPECIALES.indd 114 24/01/2020 22:57:39
Unidad 4 6. Función valor absoluto
Es una función real definida por:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = |x|
Donde:
|x| =
,
,
x
x
x
x
0
0
1
1-
(2
Gráficamente:
y
x
f(x)= |x|
–3 –2 –10 1 2 3
4
3
2
1
Dom(f)= ℝ
Ran(f) = [0; + ∞⟩
Propiedades:
1. |x| ≥ 0; para todo x ∈ ℝ.
2. |x| = 0 ⟺ x = 0; x ∈ ℝ.
3. |xy| = |x||y|; x, y ∈ ℝ.
4. |x+y| ≤ |x|+|y| ; x, y ∈ ℝ.
5. –|x| ≤ x ≤ |x|; x ∈ ℝ.
6. |–x| = |x|; x ∈ ℝ.
7. |x| = |y| ⟺ x = y ∨ x = –y; x, y ∈ ℝ.
8. |x – y| ≤ |x – z|+|z – y|; x, y, z ∈ ℝ.
9. ||x| – |y|| ≤ |x – y|; x, y ∈ ℝ.
10. |x| ≤ y ⟺ –y ≤ x ≤ y; x, y ∈ ℝ.
|x| ≥ y ⟺ x ≤ –y ∨ y ≤ x; x, y ∈ ℝ.
1. Calcula el vértice de la función f(x) = –x
2
+ 14x – 48
Completamos cuadrados:
–x
2
+ 14x – 48
= –x
2
+ 14x – 48 + 49 – 49
= –x
2
+ 14x – 49 + 1 = –(x
2
– 14x + 49) + 1 = –(x – 7)
2
+ 1
Recordemos que la ecuación cuadrática es
de la forma (x – h)
2
+ k entonces h = 7 y k = 1
por lo tanto el vértice es igual a V (7; 1).
2. Halla la función lineal g, si se cumple:
g(5) = 2 y 2g(3) = 7. Grafíquela.
Sea g(x) = ax + b.
⇒ 2 = g(5) = 5a+b
Además:
2g(3) = 7
⇒ 2(3a + b) = 7
Luego tenemos:
5a + b = 2 ∧ 6a + 2b = 7
a =
4
3-
∧ b =
4
23
Por lo tanto: g(x) = x
4
3
4
23-
+
y
x
;0
4
23
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
;
3
23
0
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
3. Sea f(x) = x
2
– 2 y g(x) = x + 4, encuentra los
puntos de intersección entre las funciones.
f(x) = x
2
– 2 = x + 4 = g(x)
x
2
– x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2)= 0
x = 3 , x = –2
⟹ y = 7, y = 2
Luego los puntos de intersección son:
P
1
=(3; 7) y P
2
=(–2; 2)
La gráfica queda definida así:
y
x
(3; 7)
(0; 4)
(–2; 2)
V(0; –2)
–2 3
7
–4
fProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
115?lgebra
15. FUNCIONES ESPECIALES.indd 115 24/01/2020 22:57:42
Es una función real definida por:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = |x|
Donde:
|x| =
,
,
x
x
x
x
0
0
1
1-
(2
Gráficamente:
y
x
f(x)= |x|
–3 –2 –10 1 2 3
4
3
2
1
Dom(f)= ℝ
Ran(f) = [0; + ∞⟩
Propiedades:
1. |x| ≥ 0; para todo x ∈ ℝ.
2. |x| = 0 ⟺ x = 0; x ∈ ℝ.
3. |xy| = |x||y|; x, y ∈ ℝ.
4. |x+y| ≤ |x|+|y| ; x, y ∈ ℝ.
5. –|x| ≤ x ≤ |x|; x ∈ ℝ.
6. |–x| = |x|; x ∈ ℝ.
7. |x| = |y| ⟺ x = y ∨ x = –y; x, y ∈ ℝ.
8. |x – y| ≤ |x – z|+|z – y|; x, y, z ∈ ℝ.
9. ||x| – |y|| ≤ |x – y|; x, y ∈ ℝ.
10. |x| ≤ y ⟺ –y ≤ x ≤ y; x, y ∈ ℝ.
|x| ≥ y ⟺ x ≤ –y ∨ y ≤ x; x, y ∈ ℝ.
1. Calcula el vértice de la función f(x) = –x
2
+ 14x – 48
Completamos cuadrados:
–x
2
+ 14x – 48
= –x
2
+ 14x – 48 + 49 – 49
= –x
2
+ 14x – 49 + 1 = –(x
2
– 14x + 49) + 1 = –(x – 7)
2
+ 1
Recordemos que la ecuación cuadrática es
de la forma (x – h)
2
+ k entonces h = 7 y k = 1
por lo tanto el vértice es igual a V (7; 1).
2. Halla la función lineal g, si se cumple:
g(5) = 2 y 2g(3) = 7. Grafíquela.
Sea g(x) = ax + b.
⇒ 2 = g(5) = 5a+b
Además:
2g(3) = 7
⇒ 2(3a + b) = 7
Luego tenemos:
5a + b = 2 ∧ 6a + 2b = 7
a =
4
3-
∧ b =
4
23
Por lo tanto: g(x) = x
4
3
4
23-
+
y
x
;0
4
23
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
;
3
23
0
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
3. Sea f(x) = x
2
– 2 y g(x) = x + 4, encuentra los
puntos de intersección entre las funciones.
f(x) = x
2
– 2 = x + 4 = g(x)
x
2
– x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2)= 0
x = 3 , x = –2
⟹ y = 7, y = 2
Luego los puntos de intersección son:
P
1
=(3; 7) y P
2
=(–2; 2)
La gráfica queda definida así:
y
x
(3; 7)
(0; 4)
(–2; 2)
V(0; –2)
–2 3
7
–4
fProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
115?lgebra
15. FUNCIONES ESPECIALES.indd 115 24/01/2020 22:57:42
Compartimos nuestras
costumbres y valoramos la
diversidad de nuestro país
Nuestro país está privilegiado por la gran diversidad biológica existente en las distintas regiones de
nuestro territorio, además, dependiendo de dónde vivamos, tenemos distintas costumbres y lenguas.
Es por ello que debemos aprender a valorar, respetar y compartir cada una de estas diferencias para
poder conocer mejor nuestro Perú.
Intercultural
Enfoque tranversal
Identidad, respeto
Valores
Desempeños
Unidad I
• Reconoce las distintas posiciones y ángulos
entre las rectas.
• Clasifica los triángulos de acuerdo a la
medida de sus ángulos y de sus lados.
• Identifica las líneas notables de los triángulos,
mediana, altura, bisectriz y mediatriz.
• Diferencia los puntos notables de los
triángulos con sus respectivas propiedades
• Resuelve problemas de triángulos usando
métodos de congruencia.
Unidad II
• Aplica las propiedades para calcular el
número de diagonales y la medida de los ángulos de los polígonos.
•
Reconoce los elementos asociados a los
cuadriláteros.
• Identifica los elementos de la circunferencia
y las posiciones relativas entre ellas.
• Utiliza las propiedades de los ángulos de la
circunferencia y los relaciona con la medida de los arcos.
•
Aplica los criterios de proporcionalidad para
la solución de problemas de semejanza de triángulos.
•
Asocia la semejanza de triángulos con las
propiedades de relaciones métricas.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
116
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 116 24/01/2020 22:59:59
costumbres y valoramos la
diversidad de nuestro país
Nuestro país está privilegiado por la gran diversidad biológica existente en las distintas regiones de
nuestro territorio, además, dependiendo de dónde vivamos, tenemos distintas costumbres y lenguas.
Es por ello que debemos aprender a valorar, respetar y compartir cada una de estas diferencias para
poder conocer mejor nuestro Perú.
Intercultural
Enfoque tranversal
Identidad, respeto
Valores
Desempeños
Unidad I
• Reconoce las distintas posiciones y ángulos
entre las rectas.
• Clasifica los triángulos de acuerdo a la
medida de sus ángulos y de sus lados.
• Identifica las líneas notables de los triángulos,
mediana, altura, bisectriz y mediatriz.
• Diferencia los puntos notables de los
triángulos con sus respectivas propiedades
• Resuelve problemas de triángulos usando
métodos de congruencia.
Unidad II
• Aplica las propiedades para calcular el
número de diagonales y la medida de los ángulos de los polígonos.
•
Reconoce los elementos asociados a los
cuadriláteros.
• Identifica los elementos de la circunferencia
y las posiciones relativas entre ellas.
• Utiliza las propiedades de los ángulos de la
circunferencia y los relaciona con la medida de los arcos.
•
Aplica los criterios de proporcionalidad para
la solución de problemas de semejanza de triángulos.
•
Asocia la semejanza de triángulos con las
propiedades de relaciones métricas.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
116
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 116 24/01/2020 22:59:59
• ¿
• ¿Qué costumbres típicas tienen en el lugar donde vives?
• ¿Por qué crees que es importante respetar las distintas costumbres que tenemos?
Observamos y respondemos
Geometría
Unidad III
• Utiliza las principales relaciones métricas de la
circunferencia para la solución de ejercicios.
• Aplica las fórmulas para hallar el área de los
diversos tipos de triángulos.
• Identifica la manera de cómo resolver
problemas asociados al área de regiones cuadrangulares y circulares.
•
Analiza las posiciones relativas de los planos.
• Conoce el concepto intuitivo de ángulo diedro
y ángulos poliedros.
• Identifica un ángulo diedro y clasifica los tipos
de ángulos poliedros.
Unidad IV
• Identifica los elementos de un poliedro,
vértices, caras, diagonales, aristas.
• Reconoce los principales poliedros regulares.
• Resuelve problemas donde se tengan
que hallar el perímetro, área y volumen de poliedros regulares.
•
Identifica los elementos de los prismas y de
las pirámides, así como sus propiedades.
• Calcula el perímetro, área y volumen de
prismas y pirámides.
• Encuentra la manera de como generar
una esfera o un cono a partir de una figura bidimensional.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 117 24/01/2020 23:00:00
• ¿Qué costumbres típicas tienen en el lugar donde vives?
• ¿Por qué crees que es importante respetar las distintas costumbres que tenemos?
Observamos y respondemos
Geometría
Unidad III
• Utiliza las principales relaciones métricas de la
circunferencia para la solución de ejercicios.
• Aplica las fórmulas para hallar el área de los
diversos tipos de triángulos.
• Identifica la manera de cómo resolver
problemas asociados al área de regiones cuadrangulares y circulares.
•
Analiza las posiciones relativas de los planos.
• Conoce el concepto intuitivo de ángulo diedro
y ángulos poliedros.
• Identifica un ángulo diedro y clasifica los tipos
de ángulos poliedros.
Unidad IV
• Identifica los elementos de un poliedro,
vértices, caras, diagonales, aristas.
• Reconoce los principales poliedros regulares.
• Resuelve problemas donde se tengan
que hallar el perímetro, área y volumen de poliedros regulares.
•
Identifica los elementos de los prismas y de
las pirámides, así como sus propiedades.
• Calcula el perímetro, área y volumen de
prismas y pirámides.
• Encuentra la manera de como generar
una esfera o un cono a partir de una figura bidimensional.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
117
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 117 24/01/2020 23:00:00
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
118
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 118 24/01/2020 23:00:01
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
118
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 118 24/01/2020 23:00:01
SiL1 // L2 entonces se tiene a = q
Ángulos internos: q = a, b = f
Ángulos externos: a = d, b = c
2. Ángulos correspondientes
α
γ
β
θ
L2
L1
Si L1 // L2 entonces se tiene: a = b y q = g
3. Ángulos conjugados internos
α
θ
γ
β
L2
L1
Si L1 // L2 entonces se tiene:
a + b =180° / q + g = 180°
4. Ángulos opuestos por el vértice
αα
L2
L1
O
C
A
B
D
∡AOC y ∡BOD son opuestos por el vértice
m∠AOC = m∠BOD
m∠COB = m∠AOD
Posiciones relativas entre rectas
• Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas en el plano si estas no
tienen puntos en común.
L1
L2
En el gráfico L1 // L2
• R
Dos rectas son secantes si estas tienen un punto en común (de intersección).
Punto de intersección
L1
L2
• Re
Son rectas que se intersectan (secantes) formado un ángulo de 90°.
90°
L1
L2
En el gráfico L1 9 L2
Ángulos formados entre dos rectas paralelas y
una secante
Tenemos los siguientes casos: ángulos alternos
internos, correspondientes, conjugados internos
opuestos por el vértice y especiales.
1.
Ángulos alternos
a
cd
b
α
φ
θ
β
L2
L1
Alumnos del 3er año de secundaria deciden
hacer un croquis que represente todo el re-
corrido del río Rímac a través de Lima, en el
proceso notan que paralelo al río se encuentra
la Vía de Evitamiento y, además, durante todo
su recorrido interseca varios puentes de Lima.
¿Qué tipo de rectas forman en el croquis el rio
Rímac con la vía evitamiento? ¿Que represen-
tarian las rectas secantes al rio en el croquis?
Ángulos entre rectas paralelas y secantes
UNIDAD
119Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 119 24/01/2020 23:00:03
Ángulos internos: q = a, b = f
Ángulos externos: a = d, b = c
2. Ángulos correspondientes
α
γ
β
θ
L2
L1
Si L1 // L2 entonces se tiene: a = b y q = g
3. Ángulos conjugados internos
α
θ
γ
β
L2
L1
Si L1 // L2 entonces se tiene:
a + b =180° / q + g = 180°
4. Ángulos opuestos por el vértice
αα
L2
L1
O
C
A
B
D
∡AOC y ∡BOD son opuestos por el vértice
m∠AOC = m∠BOD
m∠COB = m∠AOD
Posiciones relativas entre rectas
• Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas en el plano si estas no
tienen puntos en común.
L1
L2
En el gráfico L1 // L2
• R
Dos rectas son secantes si estas tienen un punto en común (de intersección).
Punto de intersección
L1
L2
• Re
Son rectas que se intersectan (secantes) formado un ángulo de 90°.
90°
L1
L2
En el gráfico L1 9 L2
Ángulos formados entre dos rectas paralelas y
una secante
Tenemos los siguientes casos: ángulos alternos
internos, correspondientes, conjugados internos
opuestos por el vértice y especiales.
1.
Ángulos alternos
a
cd
b
α
φ
θ
β
L2
L1
Alumnos del 3er año de secundaria deciden
hacer un croquis que represente todo el re-
corrido del río Rímac a través de Lima, en el
proceso notan que paralelo al río se encuentra
la Vía de Evitamiento y, además, durante todo
su recorrido interseca varios puentes de Lima.
¿Qué tipo de rectas forman en el croquis el rio
Rímac con la vía evitamiento? ¿Que represen-
tarian las rectas secantes al rio en el croquis?
Ángulos entre rectas paralelas y secantes
UNIDAD
119Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 119 24/01/2020 23:00:03
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 5. Casos especiales
a.
α
β
x
L
2
L1
Si L1 y L2 son paralelas & x = a + b
b. Si L1 // L2 entonces:
α
β
θ
γ
x
y
z
L2
L1
Se cumple:
x + y + z = a + b + q + g
c. Si L1 // L2, se cumple:
x
b
a
L2
L1
x + a + b = 360°
1. Si L1 y L2 son paralelas, indica el valor de «x».
30°
x
126°
L2
L1
Completando ángulos, tenemos:
30°
30°
x
54°
126°
L2
L1
Por el caso especial, se tiene:
x = 30° + 54°
⇒ x = 84°
2. Calcula «x» en el siguiente gráfico, si las rectas
L1 y L2 son paralelas.
60°
x°
50°
70°
30°
20°
L2
L1
Por caso especial:
x + 70° + 20° = 60° + 50° + 30°
⇒ x + 90° = 140°
⇒ x = 50°
3. Si L1 y L2 son paralelas, halla el valor de «x»
4φ
x°
2φ
3φ 3φ
L1
L2
Por caso especial:
2f + 3f = 90°
5f =90° & f = 18°
También: 4f +3f = x
⇒ 7f = x
⇒ x = 126°
4. Si L1 // L2 determina el valor de «x»:
110°
130°
x
L2
L1
L3
L4
110°
110°
130°70°50°
x
L2
L1
L3
L4
∑ de ∢
s
de un triángulo = 180°
⇒ x + 70° + 50° = 180°
⇒ x + 120° = 180°
⇒ x = 60°
120
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 120 24/01/2020 23:00:04
a.
α
β
x
L
2
L1
Si L1 y L2 son paralelas & x = a + b
b. Si L1 // L2 entonces:
α
β
θ
γ
x
y
z
L2
L1
Se cumple:
x + y + z = a + b + q + g
c. Si L1 // L2, se cumple:
x
b
a
L2
L1
x + a + b = 360°
1. Si L1 y L2 son paralelas, indica el valor de «x».
30°
x
126°
L2
L1
Completando ángulos, tenemos:
30°
30°
x
54°
126°
L2
L1
Por el caso especial, se tiene:
x = 30° + 54°
⇒ x = 84°
2. Calcula «x» en el siguiente gráfico, si las rectas
L1 y L2 son paralelas.
60°
x°
50°
70°
30°
20°
L2
L1
Por caso especial:
x + 70° + 20° = 60° + 50° + 30°
⇒ x + 90° = 140°
⇒ x = 50°
3. Si L1 y L2 son paralelas, halla el valor de «x»
4φ
x°
2φ
3φ 3φ
L1
L2
Por caso especial:
2f + 3f = 90°
5f =90° & f = 18°
También: 4f +3f = x
⇒ 7f = x
⇒ x = 126°
4. Si L1 // L2 determina el valor de «x»:
110°
130°
x
L2
L1
L3
L4
110°
110°
130°70°50°
x
L2
L1
L3
L4
∑ de ∢
s
de un triángulo = 180°
⇒ x + 70° + 50° = 180°
⇒ x + 120° = 180°
⇒ x = 60°
120
1. Ángulos entre dos rectas paralelas.indd 120 24/01/2020 23:00:04
b. Obtusángulo: Tiene un ángulo cuy a medida
es mayor que 90°.
CB
A
α
α . 90°
c. Rectángulo: Uno de sus ángulos mide 90°.
A C
B
AB y BC: Catetos AC: Hipotenusa
2. Según las longitudes de sus lados
a. Escaleno: Las longitudes de los lados son di-
ferentes entre sí.
A C
a
c
b
B
Se cumple:
a ≠ b ≠ c
b. Isósceles: Tiene dos lados de la misma
longitud.
α α
A
L L
C
M
B
Se cumple:
AB = BC = L y L ≠ M
Triángulos
Un triángulo es una figura geométrica formada
por la unión de tres segmentos consecutivos y
con extremos comunes.
Elementos asociados a un triángulo:
CA
B
Región triangular
c
α θ
ω
β
a
b
Triángulo ABC o 3ABC
• Vértices: A, B, C
• Lados: AB, BC, AC
• Án a, b, q
• Ángulo externo: w
• Longitudes de los lados: a, b, c
• Perímetro (2P): a + b + c
• Semiperímetro (P):
ab c
2
++
Clasificación de los triángulos
1. Según la medida de sus ángulos a.
Acutángulo: Las medidas de sus ángulos son
menores que 90°.
A C
B
θ
α ω
0° < α, θ, ω < 90°
La empresa “El placer de viajar” ofrece vuelos en
helicóptero para poder apreciar las líneas de naz-
ca, la empresa ofrece dos opciones:
En la primer
a opción el helicóptero recorre las lí-
neas de Nazca en forma triangular de tal manera
que dos de los lados del rec
orrido tienen la mis-
ma longitud. En la segunda opción el helicóptero
hac
e un recorrido de forma triangular de tal mane-
ra que los lados del recorrido tienen igual medida.
¿Cuál de los rec
orridos forma un triángulo isósce-
les? ¿Cuál de ellos forma un triángulo equilátero?
Triángulos
121Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
2. TRIÁNGULOS.indd 121 25/01/2020 00:24:45
es mayor que 90°.
CB
A
α
α . 90°
c. Rectángulo: Uno de sus ángulos mide 90°.
A C
B
AB y BC: Catetos AC: Hipotenusa
2. Según las longitudes de sus lados
a. Escaleno: Las longitudes de los lados son di-
ferentes entre sí.
A C
a
c
b
B
Se cumple:
a ≠ b ≠ c
b. Isósceles: Tiene dos lados de la misma
longitud.
α α
A
L L
C
M
B
Se cumple:
AB = BC = L y L ≠ M
Triángulos
Un triángulo es una figura geométrica formada
por la unión de tres segmentos consecutivos y
con extremos comunes.
Elementos asociados a un triángulo:
CA
B
Región triangular
c
α θ
ω
β
a
b
Triángulo ABC o 3ABC
• Vértices: A, B, C
• Lados: AB, BC, AC
• Án a, b, q
• Ángulo externo: w
• Longitudes de los lados: a, b, c
• Perímetro (2P): a + b + c
• Semiperímetro (P):
ab c
2
++
Clasificación de los triángulos
1. Según la medida de sus ángulos a.
Acutángulo: Las medidas de sus ángulos son
menores que 90°.
A C
B
θ
α ω
0° < α, θ, ω < 90°
La empresa “El placer de viajar” ofrece vuelos en
helicóptero para poder apreciar las líneas de naz-
ca, la empresa ofrece dos opciones:
En la primer
a opción el helicóptero recorre las lí-
neas de Nazca en forma triangular de tal manera
que dos de los lados del rec
orrido tienen la mis-
ma longitud. En la segunda opción el helicóptero
hac
e un recorrido de forma triangular de tal mane-
ra que los lados del recorrido tienen igual medida.
¿Cuál de los rec
orridos forma un triángulo isósce-
les? ¿Cuál de ellos forma un triángulo equilátero?
Triángulos
121Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
2. TRIÁNGULOS.indd 121 25/01/2020 00:24:45
c. Equilát Todos sus lados son de la misma
longitud.
A C
60°
60° 60°
B
L
L L
Se cumple:
AB = BC = AC = L / m+A = m+B = m+C = 60°
Propiedades fundamentales asociadas al
triángulo
1. La suma de los ángulos internos de un triángu-
lo es 180°.
B
θ
ωα
A C
a + q + w = 180°
2. La suma de los ángulos externos de un triángu-
lo es 360°.
e
2
e
3
e
1
e
1
+ e
2
+ e
3
= 360°
3. Existencia de triángulos:
a
b
c
Si: a , b , c , entonces se cumple:
b – a , c , b + a
c – a , b , c + a
c – b , a , c + b
4. Al ángulo de mayor medida le corresponde el lado
de mayor medida y viceversa (correspondencia).
b
α ω
a
Si: a > b entonces a > w
5. En todo triángulo, la medida de un ángulo ex-
terior es igual a la suma de los ángulos no ad-
yacentes a él.
β
α
A C
x
B
α + β = x
6. En t-
riores es igual al interior no adyacente aumen- tado en 180°
α
β
θ
A C
B
α + β = θ + 180°
Propiedades adicionales asociadas al triángulo
1.
xα
θ
β
x = a + b + q
2.
α
β
x
y x + y = a + b
3.
θ
α β
α
x
ββ
x = 90° +
2
≠α
4.
θ
βα
α β
x
x = 90° –
2
≠α
122Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
2. TRIÁNGULOS.indd 122 25/01/2020 00:24:46
longitud.
A C
60°
60° 60°
B
L
L L
Se cumple:
AB = BC = AC = L / m+A = m+B = m+C = 60°
Propiedades fundamentales asociadas al
triángulo
1. La suma de los ángulos internos de un triángu-
lo es 180°.
B
θ
ωα
A C
a + q + w = 180°
2. La suma de los ángulos externos de un triángu-
lo es 360°.
e
2
e
3
e
1
e
1
+ e
2
+ e
3
= 360°
3. Existencia de triángulos:
a
b
c
Si: a , b , c , entonces se cumple:
b – a , c , b + a
c – a , b , c + a
c – b , a , c + b
4. Al ángulo de mayor medida le corresponde el lado
de mayor medida y viceversa (correspondencia).
b
α ω
a
Si: a > b entonces a > w
5. En todo triángulo, la medida de un ángulo ex-
terior es igual a la suma de los ángulos no ad-
yacentes a él.
β
α
A C
x
B
α + β = x
6. En t-
riores es igual al interior no adyacente aumen- tado en 180°
α
β
θ
A C
B
α + β = θ + 180°
Propiedades adicionales asociadas al triángulo
1.
xα
θ
β
x = a + b + q
2.
α
β
x
y x + y = a + b
3.
θ
α β
α
x
ββ
x = 90° +
2
≠α
4.
θ
βα
α β
x
x = 90° –
2
≠α
122Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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2. TRIÁNGULOS.indd 122 25/01/2020 00:24:46
5.
x
θ
α β
β
α
x =
2
≠α
6.
x
y
β
α
a + b = x + y
7.
α
β
a = b
8.
βθθ
α ω
β
x
x =
2
≠α+
9.
n
m
θ
α
α
ββ
θ =
mn
2
-
10.
m
x
n
α
β
β
α
x =
mn
2
+
1. En el triángulo ABC:
2m
∠BAD = 6m ∠DAC = 3m ∠DCA = 6x
Además: AC
= AB + DC
Determina el valor de «x»
A C
D
B
A C
D
b
3x
3x
x
4x
a
a
2x
B
a + b
a. Por ángulo externo
∡BDA = x + 2x = 3x
b. ∆ABD es isósceles, ∡BAD = ∡BDA
⇒ AB = BD
c. Sea DC = b
Por dato AC = a + b,
⇒ ∆ABC es isósceles
⇒ ∡BAC = ∡CBA = 4x
d. Suma de ángulos internos
4x + 4x + 2x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°
2. Determina los posibles valores que puede asu-
mir «x» en el siguiente triángulo.
7 6
x
Por la desigualdad triangular, se tiene:
7 – 6 < x < 7 + 6
1 < x < 13
x = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
123Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
2. TRIÁNGULOS.indd 123 25/01/2020 00:24:47
x
θ
α β
β
α
x =
2
≠α
6.
x
y
β
α
a + b = x + y
7.
α
β
a = b
8.
βθθ
α ω
β
x
x =
2
≠α+
9.
n
m
θ
α
α
ββ
θ =
mn
2
-
10.
m
x
n
α
β
β
α
x =
mn
2
+
1. En el triángulo ABC:
2m
∠BAD = 6m ∠DAC = 3m ∠DCA = 6x
Además: AC
= AB + DC
Determina el valor de «x»
A C
D
B
A C
D
b
3x
3x
x
4x
a
a
2x
B
a + b
a. Por ángulo externo
∡BDA = x + 2x = 3x
b. ∆ABD es isósceles, ∡BAD = ∡BDA
⇒ AB = BD
c. Sea DC = b
Por dato AC = a + b,
⇒ ∆ABC es isósceles
⇒ ∡BAC = ∡CBA = 4x
d. Suma de ángulos internos
4x + 4x + 2x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°
2. Determina los posibles valores que puede asu-
mir «x» en el siguiente triángulo.
7 6
x
Por la desigualdad triangular, se tiene:
7 – 6 < x < 7 + 6
1 < x < 13
x = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
123Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
2. TRIÁNGULOS.indd 123 25/01/2020 00:24:47
3. Calcula «x» en el siguiente triángulo.
A C
B
70°
40°
x
α
α
P
En ∆ABC, se tiene:
70° + 40° + 2a = 180°
110° + 2α = 180°
& α = 35°
En ∆APC, se tiene:
a + x + 90° = 180°
& 35° + x = 90°
& x = 55°
4. En un triángulo equilatero ABC se ubica in-
ternamente el punto Q, de tal manera que
m∠AQC = 90° y m∠ BAQ = 20°. Determina
m∠QCR. Si R es un punto en la prolongación de AC
.
60°
Q
50°
RA C
B
α
40°
20°20°
50° + a = 180°
⇒ a = 130°
5. De la siguiente figura, calcula el valor de «x».
x
θ
θ
α
α
160°
Por la propiedad adicional 3, tenemos:
160° = 90° +
x
2
& 70° =
x
2
& x = 140°
6. Calcula el valor de «x» en la siguiente figura.
x
A C
B
50°
α θ
θα
Según el gráfico:
m∠B = 180° – x
Por la propiedad adicional 5, tenemos:
50° =
x
2
180°-
& 100° = 180° – x
& x = 180° – 100°
& x = 80°
7. Del siguiente gráfico calcula el valor de a + b.
α
αα
β
β40°
40° + 180° = 2α + 2β
220° = 2α + 2β
⇒ a + b = 110°
8. Determina x + y en el gráfico.
α
α
α
ββββββ
Q 60°
A C
B
P
x
y
3α + 3β = 120°
⇒ α + β = 40°
y = 2α + β
x = 2β+α
⇒ x + y = 3(α + β)
⇒ x + y = 3 × 40
⇒ x + y = 120°
124Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
2. TRIÁNGULOS.indd 124 25/01/2020 00:24:48
A C
B
70°
40°
x
α
α
P
En ∆ABC, se tiene:
70° + 40° + 2a = 180°
110° + 2α = 180°
& α = 35°
En ∆APC, se tiene:
a + x + 90° = 180°
& 35° + x = 90°
& x = 55°
4. En un triángulo equilatero ABC se ubica in-
ternamente el punto Q, de tal manera que
m∠AQC = 90° y m∠ BAQ = 20°. Determina
m∠QCR. Si R es un punto en la prolongación de AC
.
60°
Q
50°
RA C
B
α
40°
20°20°
50° + a = 180°
⇒ a = 130°
5. De la siguiente figura, calcula el valor de «x».
x
θ
θ
α
α
160°
Por la propiedad adicional 3, tenemos:
160° = 90° +
x
2
& 70° =
x
2
& x = 140°
6. Calcula el valor de «x» en la siguiente figura.
x
A C
B
50°
α θ
θα
Según el gráfico:
m∠B = 180° – x
Por la propiedad adicional 5, tenemos:
50° =
x
2
180°-
& 100° = 180° – x
& x = 180° – 100°
& x = 80°
7. Del siguiente gráfico calcula el valor de a + b.
α
αα
β
β40°
40° + 180° = 2α + 2β
220° = 2α + 2β
⇒ a + b = 110°
8. Determina x + y en el gráfico.
α
α
α
ββββββ
Q 60°
A C
B
P
x
y
3α + 3β = 120°
⇒ α + β = 40°
y = 2α + β
x = 2β+α
⇒ x + y = 3(α + β)
⇒ x + y = 3 × 40
⇒ x + y = 120°
124Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
2. TRIÁNGULOS.indd 124 25/01/2020 00:24:48
• E
A C
H
B
θ
P
θ > 90°
BH: altura relativa a AC .
AP: altura relativa a BC .
• En el triángulo rectángulo
A C
H
B
Se cumple:
BH: altura relativa a la hipotenusa AC .
AB: altura relativa al cateto BC .
CB: altura relativa al cateto AB .
d. Bisectriz: Es la c eviana que biseca (divide el án-
gulo en dos partes iguales) un ángulo interior o
exterior de un triángulo.
• Bisectriz interior:
B
θ
θ
A C
R
BR es la bisectriz interior del ángulo B y se
cumple:
m∠ABR = m∠RBC = θ
Líneas notables
Permiten un estudio detallado de las propieda-
des de los triángulos y cumplen funciones espe-
cíficas. Dentro de ellas tenemos:
a.
Ceviana: Segmento que parte desde un vértice,
hacia su lado opuesto o a la prolongación de
dicho lado.
P A Q
B
C
BQ y BP son las cevianas interior y exterior
respectivamente relativas al lado AC .
b. Mediana: C eviana que parte desde un vértice
hasta el punto medio del lado opuesto.
A M
B
C
,, , ,
BM es la mediana relativa al lado AC .
Se cumple: AM = MC .
c. Altura: Es la ceviana perpendicular al lado del
cual es relativo, según la medida de los ángulos tenemos los siguientes casos:
•
En un triángulo acutángulo
A C
H
B
P
BH: altura relativa a AC
AP: altura relativa a BC
Juan es un jardinero al cual se le ha encarga-
do remodelar las áreas verdes del parque de
la exposición, ubicado en Cercado de Lima. Él
recibió órdenes de que cada región triangu-
lar del parque debe dividirse de tal manera
que en una división debe haber flores de co-
lor amarillo y, en la otra, flores de color rosado.
¿Qué trazo debe hacer para que ambas partes
queden con un área igual? ¿Cuántos de estos
trazos puede hacer?
Líneas notables en el triángulo
125Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3. LINEAS NOTABLES.indd 125 24/01/2020 23:00:22
A C
H
B
θ
P
θ > 90°
BH: altura relativa a AC .
AP: altura relativa a BC .
• En el triángulo rectángulo
A C
H
B
Se cumple:
BH: altura relativa a la hipotenusa AC .
AB: altura relativa al cateto BC .
CB: altura relativa al cateto AB .
d. Bisectriz: Es la c eviana que biseca (divide el án-
gulo en dos partes iguales) un ángulo interior o
exterior de un triángulo.
• Bisectriz interior:
B
θ
θ
A C
R
BR es la bisectriz interior del ángulo B y se
cumple:
m∠ABR = m∠RBC = θ
Líneas notables
Permiten un estudio detallado de las propieda-
des de los triángulos y cumplen funciones espe-
cíficas. Dentro de ellas tenemos:
a.
Ceviana: Segmento que parte desde un vértice,
hacia su lado opuesto o a la prolongación de
dicho lado.
P A Q
B
C
BQ y BP son las cevianas interior y exterior
respectivamente relativas al lado AC .
b. Mediana: C eviana que parte desde un vértice
hasta el punto medio del lado opuesto.
A M
B
C
,, , ,
BM es la mediana relativa al lado AC .
Se cumple: AM = MC .
c. Altura: Es la ceviana perpendicular al lado del
cual es relativo, según la medida de los ángulos tenemos los siguientes casos:
•
En un triángulo acutángulo
A C
H
B
P
BH: altura relativa a AC
AP: altura relativa a BC
Juan es un jardinero al cual se le ha encarga-
do remodelar las áreas verdes del parque de
la exposición, ubicado en Cercado de Lima. Él
recibió órdenes de que cada región triangu-
lar del parque debe dividirse de tal manera
que en una división debe haber flores de co-
lor amarillo y, en la otra, flores de color rosado.
¿Qué trazo debe hacer para que ambas partes
queden con un área igual? ¿Cuántos de estos
trazos puede hacer?
Líneas notables en el triángulo
125Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3. LINEAS NOTABLES.indd 125 24/01/2020 23:00:22
• Bi
A P
C
B
D
θ
θ
BP es la bisectriz exterior relativa al lado AC
y se cumple:
m∠CBP = m∠DBP = θ
e. Mediatriz: Es la recta perpendicular al lado de
un triángulo que pasa por el punt
o medio de
dicho lado.
A C
B
R
L1L2
P
Se cumple que: L2 es la mediatriz relativa al
lado BC (BR = RC) y además L1 es la mediatriz
relativa al lado AC (AP = PC).
Propiedades asociadas a las líneas notables
1. En un triángulo equilátero la altura es bisectriz
y mediana.
60° 60°
Altura
Bisectriz
Mediana
Triángulo equilátero
30°30° 30°30°
a a
2a 2a
2. En
lado distinto es bisectriz y mediana.
θ° θ°
Altura Bisectriz mediana
Triángulo isósceles
α°α°α°α°
BaseBase
3. Ángulo formado por dos bisectrices interiores
x = 90° +
a
2
a
x
α
θ
θα
4. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores
x = 90° –
a
2
a
x
φ β
βφ
5. Ángulo formado por una bisectriz interior y otra
exterior
x =
a
2
a
C
A B P
D
x
α
α
θ
θ
Donde:
• AD es bisectriz interior del ∆ ACD
• BD es bisectriz exterior del ∆ ACB
6. En la figura, se cumple:
x =
ab
2
+
a
b
x
α
θ
θ
α
7. Dado el triángulo ABC; se cumple:
β ω
xx
AA CC
BB
αα αα
x =
2
θ∠-
1. Grafica las líneas notables solicitadas en cada caso:
a. Ceviana interior AP relativa a BC .
A C
B
P
b. Bisectriz interior QM relativa a PS .
P S
M
Q
aa
126Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3. LINEAS NOTABLES.indd 126 24/01/2020 23:00:23
A P
C
B
D
θ
θ
BP es la bisectriz exterior relativa al lado AC
y se cumple:
m∠CBP = m∠DBP = θ
e. Mediatriz: Es la recta perpendicular al lado de
un triángulo que pasa por el punt
o medio de
dicho lado.
A C
B
R
L1L2
P
Se cumple que: L2 es la mediatriz relativa al
lado BC (BR = RC) y además L1 es la mediatriz
relativa al lado AC (AP = PC).
Propiedades asociadas a las líneas notables
1. En un triángulo equilátero la altura es bisectriz
y mediana.
60° 60°
Altura
Bisectriz
Mediana
Triángulo equilátero
30°30° 30°30°
a a
2a 2a
2. En
lado distinto es bisectriz y mediana.
θ° θ°
Altura Bisectriz mediana
Triángulo isósceles
α°α°α°α°
BaseBase
3. Ángulo formado por dos bisectrices interiores
x = 90° +
a
2
a
x
α
θ
θα
4. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores
x = 90° –
a
2
a
x
φ β
βφ
5. Ángulo formado por una bisectriz interior y otra
exterior
x =
a
2
a
C
A B P
D
x
α
α
θ
θ
Donde:
• AD es bisectriz interior del ∆ ACD
• BD es bisectriz exterior del ∆ ACB
6. En la figura, se cumple:
x =
ab
2
+
a
b
x
α
θ
θ
α
7. Dado el triángulo ABC; se cumple:
β ω
xx
AA CC
BB
αα αα
x =
2
θ∠-
1. Grafica las líneas notables solicitadas en cada caso:
a. Ceviana interior AP relativa a BC .
A C
B
P
b. Bisectriz interior QM relativa a PS .
P S
M
Q
aa
126Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3. LINEAS NOTABLES.indd 126 24/01/2020 23:00:23
2. Del calcula el valor de θ.
θ
α
α
θ
ββ
ββ
40°40°
Según la propiedad 3, tenemos:
180° – 2θ = 90° +
2
40°
& 180° – 2θ = 90° + 20°
180° – 2θ = 110° & 70° = 2θ & θ = 35°
3. En la figura se cumple que a + 2b = 100°, calcula
el valor de «x».
aa
xx
AA
PP
OO
BB CC
α
β
β
α
bb
bb
3b3b
Sabemos que BP y OP son bisectrices inte-
rior y exterior respectivamente
b =
mBCO
2
+
∧ m∠BCO = 2b
aa
xx
AA
OO
BB CC
α
α bb
bb
2b2b
a+2ba+2b
Según la propiedad 3, tenemos:
x = 90° +
ab
2
2+
⇒ x = 90° +
2
100°
= 140°
4. De la siguiente figura, calcula «x».
B
x
α
α
θ
θ
A C
D
48°48°
Según la propiedad 5, tenemos:
& x =
2
48°
& x = 24°
5. Se tiene un triángulo ABC, m∠B = 80° se traza la
altura BH. Calcula la medida del menor ángulo que
determinan las bisectrices de BAC y HBC.
B
H M
A
α
α
β
β
θ
θ
C
80°80°
yy
m∠ABH = 90° – 2a
Así:
90° – 2a + 2q = 80°
2q = 2a – 10° ⇒ a – 5° = q
a + b = 90°
Además:
̠ y = q + b
̠ y = a – 5° + b
̠ y = a + b – 5 = 90 – 5 = 85°
6. Se tiene un triángulo ABC en el cual se traza la
bisectriz interior AQ ; en AQ se ubica el punto P
tal que BP = BQ. Si m∠C = 50°; calcula m∠ABP.
B
P
50°
A
θ
α
θ
C
Q
θ+αθ+α
θ+50°θ+50°
Sea a la medida del ángulo ABP
Como BPQ es isosceles:
q + a = q + 50°
a = 50°
7. Calcula el valor de «x» en la siguiente figura.
50
x
θ
α
α
θ
A
70
C
B
Según la propiedad 6, tenemos:
x =
2
7050°°+
⇒ x = 60°
127Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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3. LINEAS NOTABLES.indd 127 24/01/2020 23:00:24
θ
α
α
θ
ββ
ββ
40°40°
Según la propiedad 3, tenemos:
180° – 2θ = 90° +
2
40°
& 180° – 2θ = 90° + 20°
180° – 2θ = 110° & 70° = 2θ & θ = 35°
3. En la figura se cumple que a + 2b = 100°, calcula
el valor de «x».
aa
xx
AA
PP
OO
BB CC
α
β
β
α
bb
bb
3b3b
Sabemos que BP y OP son bisectrices inte-
rior y exterior respectivamente
b =
mBCO
2
+
∧ m∠BCO = 2b
aa
xx
AA
OO
BB CC
α
α bb
bb
2b2b
a+2ba+2b
Según la propiedad 3, tenemos:
x = 90° +
ab
2
2+
⇒ x = 90° +
2
100°
= 140°
4. De la siguiente figura, calcula «x».
B
x
α
α
θ
θ
A C
D
48°48°
Según la propiedad 5, tenemos:
& x =
2
48°
& x = 24°
5. Se tiene un triángulo ABC, m∠B = 80° se traza la
altura BH. Calcula la medida del menor ángulo que
determinan las bisectrices de BAC y HBC.
B
H M
A
α
α
β
β
θ
θ
C
80°80°
yy
m∠ABH = 90° – 2a
Así:
90° – 2a + 2q = 80°
2q = 2a – 10° ⇒ a – 5° = q
a + b = 90°
Además:
̠ y = q + b
̠ y = a – 5° + b
̠ y = a + b – 5 = 90 – 5 = 85°
6. Se tiene un triángulo ABC en el cual se traza la
bisectriz interior AQ ; en AQ se ubica el punto P
tal que BP = BQ. Si m∠C = 50°; calcula m∠ABP.
B
P
50°
A
θ
α
θ
C
Q
θ+αθ+α
θ+50°θ+50°
Sea a la medida del ángulo ABP
Como BPQ es isosceles:
q + a = q + 50°
a = 50°
7. Calcula el valor de «x» en la siguiente figura.
50
x
θ
α
α
θ
A
70
C
B
Según la propiedad 6, tenemos:
x =
2
7050°°+
⇒ x = 60°
127Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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3. LINEAS NOTABLES.indd 127 24/01/2020 23:00:24
2. Inc Es el punto de concurrencia de las bi-
sectrices interiores de un triángulo.
θ
α
α ββ
ββ
θθ
I
A C
B
I: Incentro
Propiedad
El c
entro de la circunferencia inscrita en un
triángulo viene a ser el incentro de dicho
triángulo.
x = 90° + br
A
B
Incentro
C
l
x
ββ
αα
αα θθ
θθ
ββ
• I
• r: inradio del triángulo ABC
• La circunferencia está inscrita al triángulo ABC.
• El triángulo ABC está circunscrito a la
circunferencia.
El incentro equidista de cada uno de los lados
del triángulo.
IM = IN = IP = r
A
B
I
r
r
r
C
M
P
N
3. OrtEs el punto de intersección de las
alturas o de sus prolongaciones en un triángu- lo, la ubicación del ortocentro depende del tipo de triángulo, veamos:
Saberes previos.
• R
rectas son concurrentes si se intersecan en un solo punto.
• A
Donde:
A
B
E
M
θ
α
α
H C
l
θθAltura: BH
Mediana: BM
Bisectriz int.: AI
Bisectriz ext.: BE
Puntos notables en el triángulo
1. Baricentro: Es el punto de corte (único) de las
medianas de un triángulo, también se le cono-
ce como centroide del triángulo.
A C
B
G
G: Baric
Propiedad
La distancia de un vértice hacia el baricentro es
el doble de la distancia del baricentro al punto
medio del lado opuesto.
A C
B
G
2n
n
m
2m
Julia es una estudiante de arqueología que está interesada en estudiar la civilización Caral, en medio de sus investigaciones, en una zona de forma triangular encuentra restos enterrados de la cerámica que la civilización uso. Sin embargo, su superior le da la orden de que con el fin de no dañar lo que está enterrado ella debe de co- menzar a excavar desde el “centro” del triángulo. ¿A qué se refiere el jefe de Julia con centro del triángulo? ¿Cómo se podrá hallar el centro del triángulo
Puntos notables en el triángulo
128Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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4. PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIANGULOS.indd 128 24/01/2020 23:00:33
sectrices interiores de un triángulo.
θ
α
α ββ
ββ
θθ
I
A C
B
I: Incentro
Propiedad
El c
entro de la circunferencia inscrita en un
triángulo viene a ser el incentro de dicho
triángulo.
x = 90° + br
A
B
Incentro
C
l
x
ββ
αα
αα θθ
θθ
ββ
• I
• r: inradio del triángulo ABC
• La circunferencia está inscrita al triángulo ABC.
• El triángulo ABC está circunscrito a la
circunferencia.
El incentro equidista de cada uno de los lados
del triángulo.
IM = IN = IP = r
A
B
I
r
r
r
C
M
P
N
3. OrtEs el punto de intersección de las
alturas o de sus prolongaciones en un triángu- lo, la ubicación del ortocentro depende del tipo de triángulo, veamos:
Saberes previos.
• R
rectas son concurrentes si se intersecan en un solo punto.
• A
Donde:
A
B
E
M
θ
α
α
H C
l
θθAltura: BH
Mediana: BM
Bisectriz int.: AI
Bisectriz ext.: BE
Puntos notables en el triángulo
1. Baricentro: Es el punto de corte (único) de las
medianas de un triángulo, también se le cono-
ce como centroide del triángulo.
A C
B
G
G: Baric
Propiedad
La distancia de un vértice hacia el baricentro es
el doble de la distancia del baricentro al punto
medio del lado opuesto.
A C
B
G
2n
n
m
2m
Julia es una estudiante de arqueología que está interesada en estudiar la civilización Caral, en medio de sus investigaciones, en una zona de forma triangular encuentra restos enterrados de la cerámica que la civilización uso. Sin embargo, su superior le da la orden de que con el fin de no dañar lo que está enterrado ella debe de co- menzar a excavar desde el “centro” del triángulo. ¿A qué se refiere el jefe de Julia con centro del triángulo? ¿Cómo se podrá hallar el centro del triángulo
Puntos notables en el triángulo
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIANGULOS.indd 128 24/01/2020 23:00:33
a. TEl ortocentro (H) está
en su interior.
A C
B
Ortocentro
HH
b. TEl ortocentro está en el
vértice del ángulo recto.
F G
H
c. TEl ortocentro está
ubicado exteriormente, se ubica haciendo
prolongaciones.
90° , q , 180°
A C
B
θ
H
Ortocentro
4. Circunc Es el punto de intersección de las
mediatrices de un triángulo, tiene por propie- dad que es el centro de la circunferencia cir- cunscrita al triángulo, equidista de los vértices y según el tipo de triángulo, tenemos los siguien- tes casos:
a.
Triángulo acutángulo: El circuncentro es un
punto interior.
A
O
C
B
Circuncentro
A
O
R
R R
C
B
OA = OB = OC
O: Circuncentro R: Circunradio
b. Triángulo rectángulo: El circuncentro se ubi-
ca en el punto medio de la hipotenusa.
A
B
C
OO
R R
R
c. T El circuncentro se ubica en
un punto exterior al triángulo.
B
A
O
R
C
CircuncentroCircuncentro
B
A
O
R
R R
C
5. Ex Punto de intersección de dos bisec-
trices exteriores y de una bisectriz interior del
tercer ángulo, tiene como propiedad que el ex-
centro coincide con el punto de la circunferen-
cia exinscrita al triángulo.
A
B
E
α
θ
θθ
β
ββ
α
C
E: Excentro relativo al lado BC
En el triángulo ABC:
BE, CE: bisectrices exteriores
AE: bisectriz interior
Como se mencionó, el excentro equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros dos lados.
A
C
R
a
R
a
R
a
B
Como propiedad fundamental, todo triángulo ABC tiene tres excentros, observa la figura:
CA C
Br
AB r
BC
r
AC
Puedes ver más teoría del tema entrando
al siguiente link:
https://bit.ly/2uw1ACO
TIC
129Geometr?a
Unidad 1
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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4. PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIANGULOS.indd 129 24/01/2020 23:00:34
en su interior.
A C
B
Ortocentro
HH
b. TEl ortocentro está en el
vértice del ángulo recto.
F G
H
c. TEl ortocentro está
ubicado exteriormente, se ubica haciendo
prolongaciones.
90° , q , 180°
A C
B
θ
H
Ortocentro
4. Circunc Es el punto de intersección de las
mediatrices de un triángulo, tiene por propie- dad que es el centro de la circunferencia cir- cunscrita al triángulo, equidista de los vértices y según el tipo de triángulo, tenemos los siguien- tes casos:
a.
Triángulo acutángulo: El circuncentro es un
punto interior.
A
O
C
B
Circuncentro
A
O
R
R R
C
B
OA = OB = OC
O: Circuncentro R: Circunradio
b. Triángulo rectángulo: El circuncentro se ubi-
ca en el punto medio de la hipotenusa.
A
B
C
OO
R R
R
c. T El circuncentro se ubica en
un punto exterior al triángulo.
B
A
O
R
C
CircuncentroCircuncentro
B
A
O
R
R R
C
5. Ex Punto de intersección de dos bisec-
trices exteriores y de una bisectriz interior del
tercer ángulo, tiene como propiedad que el ex-
centro coincide con el punto de la circunferen-
cia exinscrita al triángulo.
A
B
E
α
θ
θθ
β
ββ
α
C
E: Excentro relativo al lado BC
En el triángulo ABC:
BE, CE: bisectrices exteriores
AE: bisectriz interior
Como se mencionó, el excentro equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros dos lados.
A
C
R
a
R
a
R
a
B
Como propiedad fundamental, todo triángulo ABC tiene tres excentros, observa la figura:
CA C
Br
AB r
BC
r
AC
Puedes ver más teoría del tema entrando
al siguiente link:
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TIC
129Geometr?a
Unidad 1
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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4. PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIANGULOS.indd 129 24/01/2020 23:00:34
1. Si AB = BD, calcula el valor de «x» si se sabe
que: m∠ACD = 40°, m∠BAC = m∠CAD y
m∠BDC = m∠CDE.
A D E
CB
F
x
Graficando y completando ángulos,
tenemos:
A D E
CB
F
80° 40°
x
2α
α β
βα
Entonces:
mABD
2
+
= 40° & m∠ABD = 80°
∆ABD es isósceles:
m∠A = m∠D = 2α & 4α + 80° = 180°
4α = 100° & α = 25°
En ∆ABF: x + 25° + 80° = 180°
& x = 75°
2. En la figura F es el circuncentro del triángulo
ABC, calcula el valor de «x».
B
Q
F
E
10°
10°
150°
x
C D
N
A
Graficando y completando ángulos se tiene que:
B
Q
F
E
10°
10°
20°20°
20°20°
150°
x
C D
N
A
• DQ: Es la mediatriz de BC.
• Por propiedad ∆ DBC es isósceles.
• Finalmente en ∆ DNF:
x = 20° + 90° ⇒ x = 110°
3. Grafica un triángulo ABC, luego traza la mediana
BM, en dicho triángulo ubica el baricentro G, si
se cumple que GM = 5 cm y BG = (x – 3) cm,
calcula el valor de x.
Por propiedad:
A C
B
N
GG
5 cm5 cm
M
P
BG = 2GM , así:
x – 3 = 10 &
x = 13 cm
4. En la figura, H e I son el ortocentro y el incentro
del triángulo ABC respectivamente, a partir de
ello determina el valor de θ.
A C
M
I
H
B
θθ
θθ
Realizando trazos auxiliares y prolongando
AH hasta el punto N, se tiene:
A
CM
NI
H
B
2θ2θ
θθ
θθ θθ
θθ
90°−θ
• AN 9 BC
• NAC & ∡NAC = θ
• En el triángulo ABM: 5θ = 90° & θ = 18°
5. Calcula «x» en la siguiente figura.
I: incentro
100°
x
y
I
α θ
θα
Por ángulo suplementario:
100° + y = 180° & y = 80°
Como I es el incentro del triángulo, entonces:
⇒ x = 90° +
y
2
⇒ x = 130°
130Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIANGULOS.indd 130 24/01/2020 23:00:34
que: m∠ACD = 40°, m∠BAC = m∠CAD y
m∠BDC = m∠CDE.
A D E
CB
F
x
Graficando y completando ángulos,
tenemos:
A D E
CB
F
80° 40°
x
2α
α β
βα
Entonces:
mABD
2
+
= 40° & m∠ABD = 80°
∆ABD es isósceles:
m∠A = m∠D = 2α & 4α + 80° = 180°
4α = 100° & α = 25°
En ∆ABF: x + 25° + 80° = 180°
& x = 75°
2. En la figura F es el circuncentro del triángulo
ABC, calcula el valor de «x».
B
Q
F
E
10°
10°
150°
x
C D
N
A
Graficando y completando ángulos se tiene que:
B
Q
F
E
10°
10°
20°20°
20°20°
150°
x
C D
N
A
• DQ: Es la mediatriz de BC.
• Por propiedad ∆ DBC es isósceles.
• Finalmente en ∆ DNF:
x = 20° + 90° ⇒ x = 110°
3. Grafica un triángulo ABC, luego traza la mediana
BM, en dicho triángulo ubica el baricentro G, si
se cumple que GM = 5 cm y BG = (x – 3) cm,
calcula el valor de x.
Por propiedad:
A C
B
N
GG
5 cm5 cm
M
P
BG = 2GM , así:
x – 3 = 10 &
x = 13 cm
4. En la figura, H e I son el ortocentro y el incentro
del triángulo ABC respectivamente, a partir de
ello determina el valor de θ.
A C
M
I
H
B
θθ
θθ
Realizando trazos auxiliares y prolongando
AH hasta el punto N, se tiene:
A
CM
NI
H
B
2θ2θ
θθ
θθ θθ
θθ
90°−θ
• AN 9 BC
• NAC & ∡NAC = θ
• En el triángulo ABM: 5θ = 90° & θ = 18°
5. Calcula «x» en la siguiente figura.
I: incentro
100°
x
y
I
α θ
θα
Por ángulo suplementario:
100° + y = 180° & y = 80°
Como I es el incentro del triángulo, entonces:
⇒ x = 90° +
y
2
⇒ x = 130°
130Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIANGULOS.indd 130 24/01/2020 23:00:34
Aplicaciones geométricas de la congruencia de
triángulos
1. Teorema de la bisectriz
Todo punto que pertenece a la recta bisectriz
de un ángulo está a la misma distancia de los
lados del ángulo.
O
α
α
θ
θ
A
H
P
En la figura se verifica: PA = PH
2. T
Todo punto que pertenece a la mediatriz de un segmento está a la misma distancia de los extremos del segmento dado.
A B
M
P
En la figura se verifica: PA = PB
3. Segmentos entre paralelas
Los segmentos paralelos, comprendidos entre rectas paralelas tienen la misma longitud.
A D
B
α
α
θ
θ
C
L1
L2
Si: L1 // L2
⇒ AB = CD / AD = BC
Congruencia de triángulos
Se dice que dos triángulos son congruentes si los lados correspondientes tienen la misma longitud y los ángulos tienen la misma medida.
Gráficamente:
,
bb
A C
B
β
α θ
aacc
Q
R
P
β
α
θ
aabb
cc
Se dice que los triángulos ABC y PQR son con-
gruentes y se denota por: 3ABC , 3PQR
Para la congruencia de triángulos, se presentan
distintos casos, veamos:
1. Caso Lado – ángulo – lado (L.A.L)
,
A C
B
b
a
θ
P R
Q
b
a
θ
2. Caso ángulo – lado – ángulo (A.L.A)
,
A
B
b
C
α β
P
Q
b
R
α β
3. Caso lado – lado - lado (L.L.L)
,
B
C
a
b
c
A
P Q
R
a
b
c
Los alumnos del tercer año de secundaria del cole-
gio
Pilares participan en el IX concurso nacional de
danzas peruanas. El profesor propone interpretar
una danza típica de Ica, sin embargo, en los ensayos
hubo problemas al momento de formar entre todos
una figura rectangular en donde, a través de la diago-
nal de la misma tenían que estar ubicadas tres pare-
jas de baile. Un grupo de alumnos planteaba que los
triángulos formados no eran iguales, mientras que el
resto de alumnos decían lo contrario. ¿Qué grupos
de alumnos tiene la razón? ¿Por qué?
Congruencia de triángulos
131Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.indd 131 24/01/2020 23:00:40
triángulos
1. Teorema de la bisectriz
Todo punto que pertenece a la recta bisectriz
de un ángulo está a la misma distancia de los
lados del ángulo.
O
α
α
θ
θ
A
H
P
En la figura se verifica: PA = PH
2. T
Todo punto que pertenece a la mediatriz de un segmento está a la misma distancia de los extremos del segmento dado.
A B
M
P
En la figura se verifica: PA = PB
3. Segmentos entre paralelas
Los segmentos paralelos, comprendidos entre rectas paralelas tienen la misma longitud.
A D
B
α
α
θ
θ
C
L1
L2
Si: L1 // L2
⇒ AB = CD / AD = BC
Congruencia de triángulos
Se dice que dos triángulos son congruentes si los lados correspondientes tienen la misma longitud y los ángulos tienen la misma medida.
Gráficamente:
,
bb
A C
B
β
α θ
aacc
Q
R
P
β
α
θ
aabb
cc
Se dice que los triángulos ABC y PQR son con-
gruentes y se denota por: 3ABC , 3PQR
Para la congruencia de triángulos, se presentan
distintos casos, veamos:
1. Caso Lado – ángulo – lado (L.A.L)
,
A C
B
b
a
θ
P R
Q
b
a
θ
2. Caso ángulo – lado – ángulo (A.L.A)
,
A
B
b
C
α β
P
Q
b
R
α β
3. Caso lado – lado - lado (L.L.L)
,
B
C
a
b
c
A
P Q
R
a
b
c
Los alumnos del tercer año de secundaria del cole-
gio
Pilares participan en el IX concurso nacional de
danzas peruanas. El profesor propone interpretar
una danza típica de Ica, sin embargo, en los ensayos
hubo problemas al momento de formar entre todos
una figura rectangular en donde, a través de la diago-
nal de la misma tenían que estar ubicadas tres pare-
jas de baile. Un grupo de alumnos planteaba que los
triángulos formados no eran iguales, mientras que el
resto de alumnos decían lo contrario. ¿Qué grupos
de alumnos tiene la razón? ¿Por qué?
Congruencia de triángulos
131Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.indd 131 24/01/2020 23:00:40
4. T
Al unir dos puntos medios de dos de los lados
de un triángulo, el segmento resultante es
paralelo al tercer lado, además su longitud es la
mitad de dicho lado.
A C
B
a
2a
M N
Se cumple:
MN // AC ∧ MN =
AC
2
Prueba del teorema 4
a. Prolonga el lado MN hasta P de modo que
MN = NP
A C
B
α
α
θ
θ
M P
N
b. Según la figura tenemos que:
∆MBN , ∆NPC (Caso L – A – L )
c. Se tiene que AM = BM = PC y además m∠ B = α
d. Finalmente AMPC es un paralelogramo, así:
2(MN) = AC & M =
AC
2
5. T
En todo triángulo rectángulo la longitud de la
mediana relativa a la hipotenusa es igual a la
mitad de la longitud de la hipotenusa.
BM =
AC
2
CB
A
M
1. Calcula x + y en el siguiente gráfico
60°
x 3
a
20° 20°
100°
y 5
a
Los ángulos faltantes en los triángulos
son 100° y 60°, entonces tenemos el caso
(A – L – A)
3 = y x = 5
Así: x + y = 5 + 3 = 8
2. Calcula el valor de «x», si AC = CD
A
C
B
3x – 1
x + 5
D
E
Completando los ángulos y medidas dadas
tenemos:
x + 5
A
β
βθ
θC
B
3x – 1
D
E
Caso (A – L – A ), entonces:
3x – 1 = x + 5
& 2x = 6
& x = 3
3. Calcula PH, si PM = MR además HM = 6 y RH = 5
P
6
Q
R
MM
HH
55
Prolongamos MH de modo que MT = 6u
P
6
6
α
α
Q
R
T
MM
HH
55
Luego, como HRT es un triángulo rectángu- lo, entonces:
TR
2
= 5
2
+ 12
2
= 169 ∧ TR = 13
En los triángulos sombreados tenemos con- gruencia (caso L . A . L)
⇒
PH = TR = 13
132Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.indd 132 24/01/2020 23:00:40
Al unir dos puntos medios de dos de los lados
de un triángulo, el segmento resultante es
paralelo al tercer lado, además su longitud es la
mitad de dicho lado.
A C
B
a
2a
M N
Se cumple:
MN // AC ∧ MN =
AC
2
Prueba del teorema 4
a. Prolonga el lado MN hasta P de modo que
MN = NP
A C
B
α
α
θ
θ
M P
N
b. Según la figura tenemos que:
∆MBN , ∆NPC (Caso L – A – L )
c. Se tiene que AM = BM = PC y además m∠ B = α
d. Finalmente AMPC es un paralelogramo, así:
2(MN) = AC & M =
AC
2
5. T
En todo triángulo rectángulo la longitud de la
mediana relativa a la hipotenusa es igual a la
mitad de la longitud de la hipotenusa.
BM =
AC
2
CB
A
M
1. Calcula x + y en el siguiente gráfico
60°
x 3
a
20° 20°
100°
y 5
a
Los ángulos faltantes en los triángulos
son 100° y 60°, entonces tenemos el caso
(A – L – A)
3 = y x = 5
Así: x + y = 5 + 3 = 8
2. Calcula el valor de «x», si AC = CD
A
C
B
3x – 1
x + 5
D
E
Completando los ángulos y medidas dadas
tenemos:
x + 5
A
β
βθ
θC
B
3x – 1
D
E
Caso (A – L – A ), entonces:
3x – 1 = x + 5
& 2x = 6
& x = 3
3. Calcula PH, si PM = MR además HM = 6 y RH = 5
P
6
Q
R
MM
HH
55
Prolongamos MH de modo que MT = 6u
P
6
6
α
α
Q
R
T
MM
HH
55
Luego, como HRT es un triángulo rectángu- lo, entonces:
TR
2
= 5
2
+ 12
2
= 169 ∧ TR = 13
En los triángulos sombreados tenemos con- gruencia (caso L . A . L)
⇒
PH = TR = 13
132Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.indd 132 24/01/2020 23:00:40
4. Encuentra el valor de «x» en el siguiente gráfico.
A
B
θ
θ
D
C
O
2x – 12x – 1 19 cm19 cm
Completando los ángulos tenemos:
A
B
θ
θ
αα
D
C
O
2x – 12x – 1 19 cm19 cm
Caso A – L – A, así:
2x – 1 = 19
2x = 20 & x = 10 cm
5. En la figura, calcula «x».
A C
B
x° 60°
P Q
R
80°
Tenemos caso L – L – L, entonces
∡B = 80°
x + 60° + 80° = 180° & x = 40°
6. En AB = DE, BD // AC, AC = 8
y CE = 2, determina BD .
B
θ
θ
D
A
C
E
Como AB = DE y BD // AC
B
θ
θ
α
αβ
β
D
A
8
2 C
E
3ABC, 3BDE (ALA) AC
= BE
BE = BC + CE = BC + 2
8 = BC + 2 & BC = 6
BC = BD & BD = 6
7. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se
ubica un punto exterior P relativo a AB , tal que
m∠PAB = 50°, m∠BAC = 20° y AP = BC. Halla
m∠PCA.
P
A
50°
70°
20° α
C
B
En los triángulos APC y ABC tenemos con-
gruencia (Caso L.A.L.), así:
3ABC ≅ 3APC & m∠PCA = m∠BAC
& a = 20°
8. En un triángulo ABC se tr aza la ceviana
interior BD tal que m∠DBC = 90°; DC = 2AD ;
m∠ABD = m∠C. Calcula m∠C.
B
α α
α
A D
xx xx xx
xx
90°–α
90°–α
2α
M C
Trazando la mediana BM relativa a la hipo-
tenusa DC, se tiene: m∠ABM = 90°, notable
luego: 2a = 60° & a = 30°
9. En la siguiente figura, halla «x», si: AM = BC
A
B
M
34°
34°34°
34°34°
78°
x
C
A
B
M
34°
34°34°
34°34°
78°
78°
x
C
N
Como AM = BC y ∆ABN es isósceles
⇒ AN = NB
Luego: ∆NAM ≅ ∆NBC (L.A.L.) Así:
78° = x + 34°
& x = 44°
133Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.indd 133 24/01/2020 23:00:41
A
B
θ
θ
D
C
O
2x – 12x – 1 19 cm19 cm
Completando los ángulos tenemos:
A
B
θ
θ
αα
D
C
O
2x – 12x – 1 19 cm19 cm
Caso A – L – A, así:
2x – 1 = 19
2x = 20 & x = 10 cm
5. En la figura, calcula «x».
A C
B
x° 60°
P Q
R
80°
Tenemos caso L – L – L, entonces
∡B = 80°
x + 60° + 80° = 180° & x = 40°
6. En AB = DE, BD // AC, AC = 8
y CE = 2, determina BD .
B
θ
θ
D
A
C
E
Como AB = DE y BD // AC
B
θ
θ
α
αβ
β
D
A
8
2 C
E
3ABC, 3BDE (ALA) AC
= BE
BE = BC + CE = BC + 2
8 = BC + 2 & BC = 6
BC = BD & BD = 6
7. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se
ubica un punto exterior P relativo a AB , tal que
m∠PAB = 50°, m∠BAC = 20° y AP = BC. Halla
m∠PCA.
P
A
50°
70°
20° α
C
B
En los triángulos APC y ABC tenemos con-
gruencia (Caso L.A.L.), así:
3ABC ≅ 3APC & m∠PCA = m∠BAC
& a = 20°
8. En un triángulo ABC se tr aza la ceviana
interior BD tal que m∠DBC = 90°; DC = 2AD ;
m∠ABD = m∠C. Calcula m∠C.
B
α α
α
A D
xx xx xx
xx
90°–α
90°–α
2α
M C
Trazando la mediana BM relativa a la hipo-
tenusa DC, se tiene: m∠ABM = 90°, notable
luego: 2a = 60° & a = 30°
9. En la siguiente figura, halla «x», si: AM = BC
A
B
M
34°
34°34°
34°34°
78°
x
C
A
B
M
34°
34°34°
34°34°
78°
78°
x
C
N
Como AM = BC y ∆ABN es isósceles
⇒ AN = NB
Luego: ∆NAM ≅ ∆NBC (L.A.L.) Así:
78° = x + 34°
& x = 44°
133Unidad 1
Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.indd 133 24/01/2020 23:00:41
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
2
134
6. POLIGONOS.indd 134 25/01/2020 00:24:38
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
2
134
6. POLIGONOS.indd 134 25/01/2020 00:24:38
• E polígono cóncavo es aquel polígono que tiene
por lo menos un ángulo con medida mayor a
180°, una forma de identificarlos es tomando por
lo menos un par de puntos A y B interiormente
y comprobar que el segmento AB determinado,
no esté completamente en el polígono
A
B
Clasificación de los polígonos convexos
• Polígono equiángulo: Cuando todos sus ángulos
internos tienen la misma medida.
120°
120° 120°
120°
120° 120°
108°
108°108°
108° 108°
• PCuando todos sus lados
tienen la misma longitud.
• P Es aquel polígono que es
equilátero y equiángulo simultáneamente.
aa
C
α
α
α
α
E
D
F
O
αα
αα
ωω
aa
aa
aa
aa
aa
BB
AA
w: ángulo central =
n
360°
Donde: n es el número de lados del polígono
Polígono
Es la figura geométrica plana formada por un nú-
mero finito de segmentos rectos (de 3 a más) que
límita una región en el plano,
A
vértices lados
diagonales
ángulo
interno
ángulo
externo
E B
D C
Todo polígono en el plano, determina dos regio- nes: una exterior y una interior
Región exterior
Región interior
Polígono convexo y cóncavo
• El polígono convexo es aquel polígono en el que
todos sus lados tienen medidas menores que
180°, una forma de identificarlos es tomando
cualquier par de puntos A y B interiormente y
comprobar que el segmento AB
determinado,
esté dentro del polígono.
A
B
La ciudad del Cusco es uno de los lugares que tie-
ne más atractivos turísticos en todo el Perú. En el 2019 alrededor de 4,3 millones de turistas visitaron esta ciudad. Uno de los principales lugares que se suele
visitar es la calle Hatun Rumiyoq en donde
se encuentra la famosa piedra de los 12 ángulos, su popularidad se debe al bordeado de los 12 ángu-
los y al no existir asimetrías en sus uniones, lo cual destac
a la arquitectura perfeccionista de los incas.
¿Cuántos lados tiene la piedra de los doce ángu-
los? ¿Cuál es la suma de sus ángulos internos?
Polígonos
UNIDAD
135Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
6. POLIGONOS.indd 135 25/01/2020 00:24:41
por lo menos un ángulo con medida mayor a
180°, una forma de identificarlos es tomando por
lo menos un par de puntos A y B interiormente
y comprobar que el segmento AB determinado,
no esté completamente en el polígono
A
B
Clasificación de los polígonos convexos
• Polígono equiángulo: Cuando todos sus ángulos
internos tienen la misma medida.
120°
120° 120°
120°
120° 120°
108°
108°108°
108° 108°
• PCuando todos sus lados
tienen la misma longitud.
• P Es aquel polígono que es
equilátero y equiángulo simultáneamente.
aa
C
α
α
α
α
E
D
F
O
αα
αα
ωω
aa
aa
aa
aa
aa
BB
AA
w: ángulo central =
n
360°
Donde: n es el número de lados del polígono
Polígono
Es la figura geométrica plana formada por un nú-
mero finito de segmentos rectos (de 3 a más) que
límita una región en el plano,
A
vértices lados
diagonales
ángulo
interno
ángulo
externo
E B
D C
Todo polígono en el plano, determina dos regio- nes: una exterior y una interior
Región exterior
Región interior
Polígono convexo y cóncavo
• El polígono convexo es aquel polígono en el que
todos sus lados tienen medidas menores que
180°, una forma de identificarlos es tomando
cualquier par de puntos A y B interiormente y
comprobar que el segmento AB
determinado,
esté dentro del polígono.
A
B
La ciudad del Cusco es uno de los lugares que tie-
ne más atractivos turísticos en todo el Perú. En el 2019 alrededor de 4,3 millones de turistas visitaron esta ciudad. Uno de los principales lugares que se suele
visitar es la calle Hatun Rumiyoq en donde
se encuentra la famosa piedra de los 12 ángulos, su popularidad se debe al bordeado de los 12 ángu-
los y al no existir asimetrías en sus uniones, lo cual destac
a la arquitectura perfeccionista de los incas.
¿Cuántos lados tiene la piedra de los doce ángu-
los? ¿Cuál es la suma de sus ángulos internos?
Polígonos
UNIDAD
135Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
6. POLIGONOS.indd 135 25/01/2020 00:24:41
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Propiedades de los polígonos
1. En todo polígono el número de lados, coincide
con el número de vértices y con el número de
ángulos interiores.
N° lados = N° vértices = N° ángulos
2. En todo polígono convexo de n lados, la suma
de la medida de los ángulos interiores (S
i
) viene
dada por:
α
1
α
n
α
2
α
3
α
4
α
5
S
i
= α
1
+ α
2
+ α
3
+ ... + α
n
= 180°(n – 2)
3. La medida de un ángulo interior de un polígo-
no equiángulo, viene dada por:
α α
α α
αα
m∢
interior
=
()
n
n1802°-
Donde: n es el número de lados del polígono
4. La suma de los ángulos externos de todo polí-
gono convexo es de 360°.
Suma de ángulos externos = S
e
= 360°
5. En todo polígono de n lados, el número máxi-
mo de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es:
N
v
= n – 3
6. En todo polígono de n lados el número de dia-
gonales (total) viene dado por:
Total de diagonales = N
D
=
()nn
2
3-
7. El número total de diagonales medias de un
polígono de n lados viene dado por:
N° de diagonales medias =
()nn
2
1-
Nombre de los polígonos
N° de lados Nombre
3 lados triángulo
4 lados cuadrilátero
5 lados pentágono
6 lados hexágono
7 lados heptágono
10 lados decágono
11 lados endecágono
12 lados dodecágono
15 lados pentadecágono
20 lados icoságono
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
a. En un polígono regular, la medida del ángulo c
entral es igual a la
medida del ángulo exterior.
( V )
b. El polígono de 15 lados tiene 100
diagonales en total.
( F )
c. Si todos los lados de un polígono
tienen la misma medida entonces el polígono es equiángulo.
(
F )
136
6. POLIGONOS.indd 136 25/01/2020 00:24:41
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Propiedades de los polígonos
1. En todo polígono el número de lados, coincide
con el número de vértices y con el número de
ángulos interiores.
N° lados = N° vértices = N° ángulos
2. En todo polígono convexo de n lados, la suma
de la medida de los ángulos interiores (S
i
) viene
dada por:
α
1
α
n
α
2
α
3
α
4
α
5
S
i
= α
1
+ α
2
+ α
3
+ ... + α
n
= 180°(n – 2)
3. La medida de un ángulo interior de un polígo-
no equiángulo, viene dada por:
α α
α α
αα
m∢
interior
=
()
n
n1802°-
Donde: n es el número de lados del polígono
4. La suma de los ángulos externos de todo polí-
gono convexo es de 360°.
Suma de ángulos externos = S
e
= 360°
5. En todo polígono de n lados, el número máxi-
mo de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es:
N
v
= n – 3
6. En todo polígono de n lados el número de dia-
gonales (total) viene dado por:
Total de diagonales = N
D
=
()nn
2
3-
7. El número total de diagonales medias de un
polígono de n lados viene dado por:
N° de diagonales medias =
()nn
2
1-
Nombre de los polígonos
N° de lados Nombre
3 lados triángulo
4 lados cuadrilátero
5 lados pentágono
6 lados hexágono
7 lados heptágono
10 lados decágono
11 lados endecágono
12 lados dodecágono
15 lados pentadecágono
20 lados icoságono
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
a. En un polígono regular, la medida del ángulo c
entral es igual a la
medida del ángulo exterior.
( V )
b. El polígono de 15 lados tiene 100
diagonales en total.
( F )
c. Si todos los lados de un polígono
tienen la misma medida entonces el polígono es equiángulo.
(
F )
136
6. POLIGONOS.indd 136 25/01/2020 00:24:41
2. En un polígono de 9 lados, donde sus ángulos
int
ernos están en progresión aritmética, encuentra la suma del menor y mayor ángulo.
Suma de ángulos internos: 180°(n – 2) =
1260°
Sea r la razón entonces:
1° ángulo:
x – 4r
h ̠ h
5° ángulo: x h
̠ h
9° ángulo: x
+ 4r
x – 4r + x – 3r + … + x + x + r + … + x + 4r = 1260°
&
9x = 1260°
& x = 140°
Nos piden: (x
– 4r) + (x + 4r) = 2x
&
2x = 280°
3. ¿Cuántas diagonales en total se pueden trazar
en un polígono de 38 lados?
Como el polígono tiene 38 lados, entonces
n = 38, así:
N
D
=
()nn
2
3-
N
D
=
()
2
38 383-
N
D
= 35 × 19
N
D
= 665
4. En un polígono regular, un ángulo interior y un
ángulo exterior miden mθ y θ respectivamente,
donde m ! N, encuentra el menor número de
lados del polígono
Graficamente en el polígono se tiene:
mθ + θ = 180°
mθ
θ
q(m + 1) = 180°
q =
m1
180°
+
Es un polígono de n lados:
& θ =
n
360°
Luego:
m n1
1803 60°°
+
= & n = 2(m + 1)
Luego tomando el m mínimo pues n es el
menor número de lados, m = 1
n = 2(1 + 1) = 4
5. Calcula el valor de «x» en el siguiente polígono.
x + 10° x + 15°
x + 5° x + 20°
x + 25°
Para n = 5, la suma de ángulos internos es:
180°(5 – 2) = 540°, luego:
x + 10° + x + 15° + x + 20° + x + 25° + x + 5° = 540°
5x + 75° = 540° 5x = 465° & x = 93°
6. ¿Cuánt
de las medidas de ángulos internos y externos
es 1980°
• Suma de ángulos internos: 180°(n – 2)
• Suma de ángulos externos: 360°
180°(n – 2) + 360° = 1980°
180°n – 360° + 360° = 1980°
n = 11
7. Según el gráfico, los poligonos ABCDEF y
HBCPQ son equiángulos. Calcula «x».
A D
B C
F
QQ
PPHH
xx
E
• P= 5)
m∢
interior
=
()
°
5
1805 2
108
°-
=
• P= 6)
m∢
interior
=
()
°
6
1806 2
120
°-
=
Así:
x = 120° – 108° = 12°
Encuentra aplicaciones con los polígonos
entrando a: https://bit.ly/2QzhzIC
TIC
137Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
6. POLIGONOS.indd 137 25/01/2020 00:24:42
int
ernos están en progresión aritmética, encuentra la suma del menor y mayor ángulo.
Suma de ángulos internos: 180°(n – 2) =
1260°
Sea r la razón entonces:
1° ángulo:
x – 4r
h ̠ h
5° ángulo: x h
̠ h
9° ángulo: x
+ 4r
x – 4r + x – 3r + … + x + x + r + … + x + 4r = 1260°
&
9x = 1260°
& x = 140°
Nos piden: (x
– 4r) + (x + 4r) = 2x
&
2x = 280°
3. ¿Cuántas diagonales en total se pueden trazar
en un polígono de 38 lados?
Como el polígono tiene 38 lados, entonces
n = 38, así:
N
D
=
()nn
2
3-
N
D
=
()
2
38 383-
N
D
= 35 × 19
N
D
= 665
4. En un polígono regular, un ángulo interior y un
ángulo exterior miden mθ y θ respectivamente,
donde m ! N, encuentra el menor número de
lados del polígono
Graficamente en el polígono se tiene:
mθ + θ = 180°
mθ
θ
q(m + 1) = 180°
q =
m1
180°
+
Es un polígono de n lados:
& θ =
n
360°
Luego:
m n1
1803 60°°
+
= & n = 2(m + 1)
Luego tomando el m mínimo pues n es el
menor número de lados, m = 1
n = 2(1 + 1) = 4
5. Calcula el valor de «x» en el siguiente polígono.
x + 10° x + 15°
x + 5° x + 20°
x + 25°
Para n = 5, la suma de ángulos internos es:
180°(5 – 2) = 540°, luego:
x + 10° + x + 15° + x + 20° + x + 25° + x + 5° = 540°
5x + 75° = 540° 5x = 465° & x = 93°
6. ¿Cuánt
de las medidas de ángulos internos y externos
es 1980°
• Suma de ángulos internos: 180°(n – 2)
• Suma de ángulos externos: 360°
180°(n – 2) + 360° = 1980°
180°n – 360° + 360° = 1980°
n = 11
7. Según el gráfico, los poligonos ABCDEF y
HBCPQ son equiángulos. Calcula «x».
A D
B C
F
PPHH
xx
E
• P= 5)
m∢
interior
=
()
°
5
1805 2
108
°-
=
• P= 6)
m∢
interior
=
()
°
6
1806 2
120
°-
=
Así:
x = 120° – 108° = 12°
Encuentra aplicaciones con los polígonos
entrando a: https://bit.ly/2QzhzIC
TIC
137Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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6. POLIGONOS.indd 137 25/01/2020 00:24:42
a. Esc Todos sus lados tienen diferentes
longitudes.
α φ
β ω
B
b
b. Rectángulo: Tiene un par de ángulos rectos.
B
b
α
β
c. Isósc Tiene un par de lados de la misma
longitud.
B
h
b
α α
β β
Como propiedad concluimos que:
α + β = 180°
Donde: B: base mayor ∧ b: base menor
Elementos asociados al trapecio.
• Base media: Es el segmento de recta que une
los puntos medios de los lados no paralelos.
A
B
M N
C
D
Si BC, MN y AD son paralelos entonces:
MN =
ADBC
2
+
Cuadrilátero
Es un polígono de cuatro lados, de manera que
cualquier par de segmentos solo tienen en co-
mún los extremos.
βα
δ
γ
β
α δ
γ
Sea el cuadrilátero convexo o cóncavo, estos cum- plen la siguiente propiedad:
α + β + γ + δ = 360°
Los cuadriláteros se pueden clasificar en: trape- zoides, trapecios y paralelogramos.
1.
Trapezoide: Es aquel cuadrilátero que no tie-
ne lados paralelos, pueden ser asimétricos y
simétricos.
a. Simétrico: Presenta simetría respecto a un eje.
Eje de simetría
b. Asimétrico: No representa simetría.
2. T Cuadrilátero convexo que solo tiene
un par de lados paralelos llamados bases, pue-
de ser: escaleno, rectángulo e isósceles.
Los padres de Juan tienen una chacra en donde pueden cultivar papas, maíz y oca, por ello deciden plantar cada alimento por separado en distintos sectores. Juan da la idea de que se divida la chacra en tres parcelas de forma cuadrada, su papá pre-
fiere que se divida en forma rectangular, mientras que su mamá piensa que
es mejor plantar el maíz
en una parcela cuadrada mientras que las papas y el maíz en sectores de forma rectangular.
¿Cuál crees que sea la forma de la chacra de Juan?
¿Son todas las parcelas cuadriláteras?
Cuadriláteros
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7. CUADRILATEROS.indd 138 24/01/2020 23:01:01
longitudes.
α φ
β ω
B
b
b. Rectángulo: Tiene un par de ángulos rectos.
B
b
α
β
c. Isósc Tiene un par de lados de la misma
longitud.
B
h
b
α α
β β
Como propiedad concluimos que:
α + β = 180°
Donde: B: base mayor ∧ b: base menor
Elementos asociados al trapecio.
• Base media: Es el segmento de recta que une
los puntos medios de los lados no paralelos.
A
B
M N
C
D
Si BC, MN y AD son paralelos entonces:
MN =
ADBC
2
+
Cuadrilátero
Es un polígono de cuatro lados, de manera que
cualquier par de segmentos solo tienen en co-
mún los extremos.
βα
δ
γ
β
α δ
γ
Sea el cuadrilátero convexo o cóncavo, estos cum- plen la siguiente propiedad:
α + β + γ + δ = 360°
Los cuadriláteros se pueden clasificar en: trape- zoides, trapecios y paralelogramos.
1.
Trapezoide: Es aquel cuadrilátero que no tie-
ne lados paralelos, pueden ser asimétricos y
simétricos.
a. Simétrico: Presenta simetría respecto a un eje.
Eje de simetría
b. Asimétrico: No representa simetría.
2. T Cuadrilátero convexo que solo tiene
un par de lados paralelos llamados bases, pue-
de ser: escaleno, rectángulo e isósceles.
Los padres de Juan tienen una chacra en donde pueden cultivar papas, maíz y oca, por ello deciden plantar cada alimento por separado en distintos sectores. Juan da la idea de que se divida la chacra en tres parcelas de forma cuadrada, su papá pre-
fiere que se divida en forma rectangular, mientras que su mamá piensa que
es mejor plantar el maíz
en una parcela cuadrada mientras que las papas y el maíz en sectores de forma rectangular.
¿Cuál crees que sea la forma de la chacra de Juan?
¿Son todas las parcelas cuadriláteras?
Cuadriláteros
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7. CUADRILATEROS.indd 138 24/01/2020 23:01:01
La base media tambien puede presentarse de
la siguiente manera
A N D
C
M
B
a
m
b
tt
tt
xx y y
Si: x = y & m =
ab
2
+
• S
diagonales: Es el segmento que se forma al
tomar como extremos los puntos medios de las diagonales.
DA
B
P Q
C
PQ =
ADBC
2
-
3. Par Son cuadriláteros cuyos lados
opuestos son paralelos, estos a su vez se pue- den clasificar en: cuadrados, rectángulos, rom- boides y rombos.
a.
Cuadrado: Es aquel paralelogramo cuyos la-
dos son de igual longitud y sus ángulos inte-
riores son rectos.
b. Rectángulo: Es aquel par alelogramo cuyos
lados consecutivos son de diferente longitud y sus ángulos internos miden 90°.
c. Romboide: Es aquel par alelogramo cuyos la-
dos consecutivos son de diferente longitud y sus ángulos internos no son ángulos rectos.
α
α
β
β
d. Rombo: Es aquel par alelogramo cuyos lados
son de igual longitud y sus respectivos pares angulares no son rectos.
α°
α°
β°
β°
Propiedades
1. Para todo cuadrilátero la suma de las medidas
de dos ángulos exteriores es igual a la suma de
las medidas de los otros ángulos interiores
α
β
x y
a + b = x + y
2. Cálculo de la medida del ángulo que f or-
man las bisectrices interiores de los ángulos consecutivos.
β
α
m
m
n
n
x
x =
2
AN+
3. Al unir de forma consecutiva los puntos medios
de los lados de un cuadrilátero cualquiera, se forma un paralelogramo.
A
B
M
P
C
N
Q
D
• Si AB = BC = CD = DA y AC 9 BD & e
• Si AC = BD y AC 9 BD & e
Puedes seguir practicando entrando al
siguiente link:
https://bit.ly/36CW6UR
TIC
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7. CUADRILATEROS.indd 139 24/01/2020 23:01:02
la siguiente manera
A N D
C
M
B
a
m
b
tt
tt
xx y y
Si: x = y & m =
ab
2
+
• S
diagonales: Es el segmento que se forma al
tomar como extremos los puntos medios de las diagonales.
DA
B
P Q
C
PQ =
ADBC
2
-
3. Par Son cuadriláteros cuyos lados
opuestos son paralelos, estos a su vez se pue- den clasificar en: cuadrados, rectángulos, rom- boides y rombos.
a.
Cuadrado: Es aquel paralelogramo cuyos la-
dos son de igual longitud y sus ángulos inte-
riores son rectos.
b. Rectángulo: Es aquel par alelogramo cuyos
lados consecutivos son de diferente longitud y sus ángulos internos miden 90°.
c. Romboide: Es aquel par alelogramo cuyos la-
dos consecutivos son de diferente longitud y sus ángulos internos no son ángulos rectos.
α
α
β
β
d. Rombo: Es aquel par alelogramo cuyos lados
son de igual longitud y sus respectivos pares angulares no son rectos.
α°
α°
β°
β°
Propiedades
1. Para todo cuadrilátero la suma de las medidas
de dos ángulos exteriores es igual a la suma de
las medidas de los otros ángulos interiores
α
β
x y
a + b = x + y
2. Cálculo de la medida del ángulo que f or-
man las bisectrices interiores de los ángulos consecutivos.
β
α
m
m
n
n
x
x =
2
AN+
3. Al unir de forma consecutiva los puntos medios
de los lados de un cuadrilátero cualquiera, se forma un paralelogramo.
A
B
M
P
C
N
Q
D
• Si AB = BC = CD = DA y AC 9 BD & e
• Si AC = BD y AC 9 BD & e
Puedes seguir practicando entrando al
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Unidad 2
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7. CUADRILATEROS.indd 139 24/01/2020 23:01:02
1. Calcula el valor de «x» en el siguiente gráfico:
4x
2x
8x
6x
Los ángulos internos de un cuadrilátero su-
man 360°, entonces:
8x + 6x + 4x + 2x = 360°
20x = 360°
&
x=18°
2. Determina «x» en el siguiente gráfico.
140°
60°
x
α
α β
β
Los ángulos internos de un cuadrilátero su-
man 360°, entonces: 140° + 60° + 2α + 2β = 360° 200° + 2α + 2β = 360° 2α + 2β = 160° &
α + β = 80°
Luego en el triángulo: α + β = x
& x = 80°
3. Calcula la longitud del segmento PQ, si CD = 80 cm.
A
B
P QQ
C
53°
D
Trazando la altura:
b – a = 48
b – a
b
A
B
PQQ
C
80
53°
Da
a
(notable de 37° y 53°) Luego:
PQ
=
ba
2
-
PQ =
2
48
= 24 cm
4. En la figura ABCD es un cuadrado y ARD es un
triángulo equilátero, halla «x».
A
B
D
C
R
α
α
T
Pxx
Completando ángulos en la figura:
A
B
D
60°
x
30°
C
R
Q
α
α β
β
T
P
Por ángulo exterior:
∆ATQ: a = 30° + β
(–)
∆QRP: a = x + β
0° = 30° – x &
x = 30°
5. En el paralelogramo ABCD, determina PQ .
Si HQ = QD, PQ // CD, M es punto medio de BC y P
es punto medio de MC , además 2DC + AD = 32 cm
A
B C
H
Q
PM
D
Completando ángulos en la figura:
A
B
2a
a a
b
α
C
M2a
H
Q
P
D
4a4a
Trazamos HM en ∆BHC que será mediana re-
lativa a la hipotenusa. Si: PQ
// CD ⇒ HM // CD
Por dato: 2b + 4a = 32
⇒ b + 2a = 16
En HMCD (base media)
PQ =
HM CD ba
22
2+
=
+
⇒ PQ =
2
16
= 8
140Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
7. CUADRILATEROS.indd 140 24/01/2020 23:01:03
4x
2x
8x
6x
Los ángulos internos de un cuadrilátero su-
man 360°, entonces:
8x + 6x + 4x + 2x = 360°
20x = 360°
&
x=18°
2. Determina «x» en el siguiente gráfico.
140°
60°
x
α
α β
β
Los ángulos internos de un cuadrilátero su-
man 360°, entonces: 140° + 60° + 2α + 2β = 360° 200° + 2α + 2β = 360° 2α + 2β = 160° &
α + β = 80°
Luego en el triángulo: α + β = x
& x = 80°
3. Calcula la longitud del segmento PQ, si CD = 80 cm.
A
B
P QQ
C
53°
D
Trazando la altura:
b – a = 48
b – a
b
A
B
PQQ
C
80
53°
Da
a
(notable de 37° y 53°) Luego:
PQ
=
ba
2
-
PQ =
2
48
= 24 cm
4. En la figura ABCD es un cuadrado y ARD es un
triángulo equilátero, halla «x».
A
B
D
C
R
α
α
T
Pxx
Completando ángulos en la figura:
A
B
D
60°
x
30°
C
R
Q
α
α β
β
T
P
Por ángulo exterior:
∆ATQ: a = 30° + β
(–)
∆QRP: a = x + β
0° = 30° – x &
x = 30°
5. En el paralelogramo ABCD, determina PQ .
Si HQ = QD, PQ // CD, M es punto medio de BC y P
es punto medio de MC , además 2DC + AD = 32 cm
A
B C
H
Q
PM
D
Completando ángulos en la figura:
A
B
2a
a a
b
α
C
M2a
H
Q
P
D
4a4a
Trazamos HM en ∆BHC que será mediana re-
lativa a la hipotenusa. Si: PQ
// CD ⇒ HM // CD
Por dato: 2b + 4a = 32
⇒ b + 2a = 16
En HMCD (base media)
PQ =
HM CD ba
22
2+
=
+
⇒ PQ =
2
16
= 8
140Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
7. CUADRILATEROS.indd 140 24/01/2020 23:01:03
AP = AQA
Q
P
3. Si A y B son puntos de tangencia, se cumple:
a = b
AP = BP
P
A
α
β
O
B
4. Dos cuerdas paralelas, determinan arcos de la
misma medida.
⇒ ACBD=
& &
Si: AB // CD
A B
C D
5. T
biseca.
⇒ PM = PN
y BM BN=
& %
Si AB MN
M
A
N
B
P
O
6. Al
cuerdas de la misma longitud, estas perpendi-
culares conservan medida.
⇒ OP = OM
O: Centro
Si AB = CD
B
C
D
O
P
M
A
Circunferencia
Conjunto de todos los puntos de un plano que
equidistan de otro punto fijo de dicho plano de-
nominado centro. A la distancia constante de es-
tos puntos al centro se le denomina radio de la
circunferencia.
O
Centro
Radio
Elementos asociados a la circunferencia
Tenemos:
•
O: centro
H
O
T
N
R
C D
B
LS
LT
A
• R •
AB: diámetro
• CD: cuerda
• CD
&
: arco
• NH: flecha
• LS: recta secante
• LT: recta tangente
• T: punto de tangencia
Principales propiedades de la circunferencia 1.
Todo radio que llega al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
Si L1es recta tangente
⇒ OP L1
O
P
L1
2. Si se tr
punto exterior a la misma circunferencia, los
segmentos que se determinan tienen la misma
longitud.
Los alumnos de 3er año de secundaria del cole-
gio Pilares van a concursar en una comparsa, por ello
deciden participar con una danza típica de su
pueblo que represente el agradecimiento a la tie-
rra por las buenas cosechas venideras. En la coreo-
grafía participan 20 hombres y 18 mujeres forman distintas figur
as para poder hacer más llamativa
la danza y para terminar todos juntos forman una circunferencia alrededor de una pequeña ofrenda.
¿Se podrá formar circunferencias iguales con los
hombres y otra con las mujeres?
Circunferencia
141Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
8. CIRCUNFERENCIA.indd 141 24/01/2020 23:01:11
Q
P
3. Si A y B son puntos de tangencia, se cumple:
a = b
AP = BP
P
A
α
β
O
B
4. Dos cuerdas paralelas, determinan arcos de la
misma medida.
⇒ ACBD=
& &
Si: AB // CD
A B
C D
5. T
biseca.
⇒ PM = PN
y BM BN=
& %
Si AB MN
M
A
N
B
P
O
6. Al
cuerdas de la misma longitud, estas perpendi-
culares conservan medida.
⇒ OP = OM
O: Centro
Si AB = CD
B
C
D
O
P
M
A
Circunferencia
Conjunto de todos los puntos de un plano que
equidistan de otro punto fijo de dicho plano de-
nominado centro. A la distancia constante de es-
tos puntos al centro se le denomina radio de la
circunferencia.
O
Centro
Radio
Elementos asociados a la circunferencia
Tenemos:
•
O: centro
H
O
T
N
R
C D
B
LS
LT
A
• R •
AB: diámetro
• CD: cuerda
• CD
&
: arco
• NH: flecha
• LS: recta secante
• LT: recta tangente
• T: punto de tangencia
Principales propiedades de la circunferencia 1.
Todo radio que llega al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
Si L1es recta tangente
⇒ OP L1
O
P
L1
2. Si se tr
punto exterior a la misma circunferencia, los
segmentos que se determinan tienen la misma
longitud.
Los alumnos de 3er año de secundaria del cole-
gio Pilares van a concursar en una comparsa, por ello
deciden participar con una danza típica de su
pueblo que represente el agradecimiento a la tie-
rra por las buenas cosechas venideras. En la coreo-
grafía participan 20 hombres y 18 mujeres forman distintas figur
as para poder hacer más llamativa
la danza y para terminar todos juntos forman una circunferencia alrededor de una pequeña ofrenda.
¿Se podrá formar circunferencias iguales con los
hombres y otra con las mujeres?
Circunferencia
141Geometr?a
Unidad 2
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8. CIRCUNFERENCIA.indd 141 24/01/2020 23:01:11
Casos especiales
a.
AB = CD
A
B
C D
b.
AB = CD
A
C
D
B
Posiciones relativas entre dos circunferencias
1. Tangentes exteriores: Tienen un punto en co-
mún, que es el de tangencia.
d = R + r
R
R
Distancia entre
los centros (d)
Distancia entre
los centros (d)
Punto de tangencia
r
r
2. Tangentes interiores: Tienen un punto en co-
mún, que es el de tangencia.
d = R – r
dd
R
O
1O2
r
3. Circunf Comparten el
mismo centro, con diferentes radios.
O
R
r
4. CircunfSon circunferen-
cias secantes cuyos radios son perpendiculares
entre sí en los puntos de intersección.
d
2
= R
2
+ r
2
R
r
dd
Distancia entre
los centros (d)
Distancia entre
los centros (d)
Teorema de Pitot
En un cuadrilátero que circunscribe a una circun-
ferencia, la suma de lados opuestos son iguales.
a + b = c + da b
c
d
Teorema de Poncelet:
En todo triángulo rectángulo, la suma de las lon-
gitudes de los catetos es igual a la longitud de la
hipotenusa sumada con dos veces el radio de la
circunferencia inscrita.
a + b = c + 2r
a b
c
r
1. Calcula el valor de «x» en el siguiente gráfico.
A
B
xx
44
D
C
O
99
Como A, B y C son puntos de tangencia,
entonces:
OA = OB = 4
CD = BD = 9
Por lo tanto x = OB + BD = 4 + 9 = 13
2. Determina x + y en la siguiente figura.
3x + 8 4y + 6
2x – 3
3y + 26
Aplicando el teorema de Pitot:
3x + 8 + 4y + 6 = 2x – 3 + 3y + 26
3x + 4y + 14 = 2x + 3y + 23
3x + 4y – 2x – 3y = 23 – 14
x + y = 9
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8. CIRCUNFERENCIA.indd 142 24/01/2020 23:01:12
a.
AB = CD
A
B
C D
b.
AB = CD
A
C
D
B
Posiciones relativas entre dos circunferencias
1. Tangentes exteriores: Tienen un punto en co-
mún, que es el de tangencia.
d = R + r
R
R
Distancia entre
los centros (d)
Distancia entre
los centros (d)
Punto de tangencia
r
r
2. Tangentes interiores: Tienen un punto en co-
mún, que es el de tangencia.
d = R – r
dd
R
O
1O2
r
3. Circunf Comparten el
mismo centro, con diferentes radios.
O
R
r
4. CircunfSon circunferen-
cias secantes cuyos radios son perpendiculares
entre sí en los puntos de intersección.
d
2
= R
2
+ r
2
R
r
dd
Distancia entre
los centros (d)
Distancia entre
los centros (d)
Teorema de Pitot
En un cuadrilátero que circunscribe a una circun-
ferencia, la suma de lados opuestos son iguales.
a + b = c + da b
c
d
Teorema de Poncelet:
En todo triángulo rectángulo, la suma de las lon-
gitudes de los catetos es igual a la longitud de la
hipotenusa sumada con dos veces el radio de la
circunferencia inscrita.
a + b = c + 2r
a b
c
r
1. Calcula el valor de «x» en el siguiente gráfico.
A
B
xx
44
D
C
O
99
Como A, B y C son puntos de tangencia,
entonces:
OA = OB = 4
CD = BD = 9
Por lo tanto x = OB + BD = 4 + 9 = 13
2. Determina x + y en la siguiente figura.
3x + 8 4y + 6
2x – 3
3y + 26
Aplicando el teorema de Pitot:
3x + 8 + 4y + 6 = 2x – 3 + 3y + 26
3x + 4y + 14 = 2x + 3y + 23
3x + 4y – 2x – 3y = 23 – 14
x + y = 9
142Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
8. CIRCUNFERENCIA.indd 142 24/01/2020 23:01:12
3. SiAB = 4 y BC = 3. Calcula "r"
B
r
A
C
Por el teorema de pitágoras en el ABC
AB
2
+ BC
2
= AC
2
&
4
2
+
3
2
= AC
2
&
16 + 9 =
AC
2
&
25 =
AC
2
&
25 =
AC
&
5 =
AC
Por Poncelet tenemos:
4 + 3 = 5 + 2r
&
7 – 5 = 2r
&
r = 1
4. Halla «x», si O es centro y T es punto de tangencia.
2x x
O
T
A B
2x
4x2x x
O
T
A B
m∠OTB = 90° pues T es punto de tangencia
AO = OT porque son la medida del radio
⇒ ∆AOT isósceles
Por suma de ángulos externos
m∠TOB = 4x
En
OTB
⇒ 4x + x = 90°
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 18°
5. En el gráfico, calcula «x». Si O es centro de la
circunferencia.
C
D
27
B
EO
A
x
3
Como O es centro
C
D
27
B
EO
A
x
3
Según la propiedad 5:
CE = ED
& E es punto medio
& x
3
= 27
& x = 36. Calcula X + Y + Z, si el perímetro del ∆ ABC es
164.
C
A
B
Z
Y
X
C
A
B
Z Z
Y
Y
X
X
Los segmentos trazados desde un punto
externo hacia dos puntos de tangencia de
una misma circunferencia tienen la misma
longitud.
Sea el perímetro:
2Z + 2X + 2Y = 164
2(X + Y + Z) = 164
X + Y + Z = 82
143Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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8. CIRCUNFERENCIA.indd 143 24/01/2020 23:01:13
B
r
A
C
Por el teorema de pitágoras en el ABC
AB
2
+ BC
2
= AC
2
&
4
2
+
3
2
= AC
2
&
16 + 9 =
AC
2
&
25 =
AC
2
&
25 =
AC
&
5 =
AC
Por Poncelet tenemos:
4 + 3 = 5 + 2r
&
7 – 5 = 2r
&
r = 1
4. Halla «x», si O es centro y T es punto de tangencia.
2x x
O
T
A B
2x
4x2x x
O
T
A B
m∠OTB = 90° pues T es punto de tangencia
AO = OT porque son la medida del radio
⇒ ∆AOT isósceles
Por suma de ángulos externos
m∠TOB = 4x
En
OTB
⇒ 4x + x = 90°
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 18°
5. En el gráfico, calcula «x». Si O es centro de la
circunferencia.
C
D
27
B
EO
A
x
3
Como O es centro
C
D
27
B
EO
A
x
3
Según la propiedad 5:
CE = ED
& E es punto medio
& x
3
= 27
& x = 36. Calcula X + Y + Z, si el perímetro del ∆ ABC es
164.
C
A
B
Z
Y
X
C
A
B
Z Z
Y
Y
X
X
Los segmentos trazados desde un punto
externo hacia dos puntos de tangencia de
una misma circunferencia tienen la misma
longitud.
Sea el perímetro:
2Z + 2X + 2Y = 164
2(X + Y + Z) = 164
X + Y + Z = 82
143Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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8. CIRCUNFERENCIA.indd 143 24/01/2020 23:01:13
4. Ángulo interior: es aquel ángulo que tiene como
vértice a un punto interior de la circunferencia.
α =
2
_i+
B
θ
α α
ω
A D
P
C
5. Ángulo exterior: presenta varios casos, entre es-
tos tenemos:
• Ángulo formado por dos rectas secantes
x =
2
_i-
α
θ
x
• Án
tangente
T
ω
φ
α
A
B
P
T: punto de tangencia
α =
2
_i-
• Á
x =
2
_i-
T
xθα
P
Además, se cumple: x + θ = 180°
Ángulos asociados a la circunferencia
Los ángulos en la circunferencia vienen determi-
nados según la disposición de sus vértices y lados,
a cada uno de estos ángulos se le asocia diferen-
tes arcos.
Tipos de ángulos
1. Ángulo central: es aquel cuyo vértice se ubica
en el centro de la circunferencia.
A
B
α
α
O
O: centro de la circunferencia
m∠AOB = α (angulo central)
m∠AOB = mAB_i
%
& α = mAB_i
%
2. Ángulo inscrito: tiene su vértice en la circunfe-
rencia y sus lados son secantes a esta.
A
C
B
2α
α
Si: m∠BAC = α & mBC_i
%
= 2α
3. Ángulo semiinscrito: es aquel ángulo cuyo vér-
tice se ubica en la circunferencia, uno de sus
lados es tangente a esta y el otro es secante.
B
A
T
2α
α
B: punto de tangencia
BT: Recta tangente
BA: Recta secante
Si: m∠TBA = α
⇒ mAB_i
%
= 2α
La cultura Wari fue una civilización antigua que se extendió a lo largo de muchos departamen-
tos andinos del Perú. El complejo arqueológico W
ari, ubicado a 22 km al noreste de Ayacucho,
fue capital del estado Wari. Entre su arquitec-
tura destacan las áreas ceremoniales que ellos c
onstruyeron, una de las principales tiene el
nombre de Vegachayoq mogo, la cual tiene for- ma de semicircunferencia. ¿Como puedes ob- tener la medida de este centro ceremonial?
Ángulos asociados a la circunferencia
144Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
9. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 144 24/01/2020 23:01:19
vértice a un punto interior de la circunferencia.
α =
2
_i+
B
θ
α α
ω
A D
P
C
5. Ángulo exterior: presenta varios casos, entre es-
tos tenemos:
• Ángulo formado por dos rectas secantes
x =
2
_i-
α
θ
x
• Án
tangente
T
ω
φ
α
A
B
P
T: punto de tangencia
α =
2
_i-
• Á
x =
2
_i-
T
xθα
P
Además, se cumple: x + θ = 180°
Ángulos asociados a la circunferencia
Los ángulos en la circunferencia vienen determi-
nados según la disposición de sus vértices y lados,
a cada uno de estos ángulos se le asocia diferen-
tes arcos.
Tipos de ángulos
1. Ángulo central: es aquel cuyo vértice se ubica
en el centro de la circunferencia.
A
B
α
α
O
O: centro de la circunferencia
m∠AOB = α (angulo central)
m∠AOB = mAB_i
%
& α = mAB_i
%
2. Ángulo inscrito: tiene su vértice en la circunfe-
rencia y sus lados son secantes a esta.
A
C
B
2α
α
Si: m∠BAC = α & mBC_i
%
= 2α
3. Ángulo semiinscrito: es aquel ángulo cuyo vér-
tice se ubica en la circunferencia, uno de sus
lados es tangente a esta y el otro es secante.
B
A
T
2α
α
B: punto de tangencia
BT: Recta tangente
BA: Recta secante
Si: m∠TBA = α
⇒ mAB_i
%
= 2α
La cultura Wari fue una civilización antigua que se extendió a lo largo de muchos departamen-
tos andinos del Perú. El complejo arqueológico W
ari, ubicado a 22 km al noreste de Ayacucho,
fue capital del estado Wari. Entre su arquitec-
tura destacan las áreas ceremoniales que ellos c
onstruyeron, una de las principales tiene el
nombre de Vegachayoq mogo, la cual tiene for- ma de semicircunferencia. ¿Como puedes ob- tener la medida de este centro ceremonial?
Ángulos asociados a la circunferencia
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9. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 144 24/01/2020 23:01:19
1. Del calcula «x» si O es centro de la
circunferencia, además m∠AOB = x + 27°
O
A
74°
B
Por propiedad del ángulo central:
m∠AOB = x + 27° = 74°
Resolviendo la ecuación:
x + 27° = 74°
& x = 47°
2. Del siguiente gráfico, determina el valor de «x»:
54°
x°
100°
A
B
C
D
Por propiedad del ángulo interior:
180° – x =
2
54 100°°+
180° – x = 77° & x = 103°
3. Del siguiente gráfico, calcula la medida del
arco AE
%
.
E
D
80°
40°C
A
B
Por propiedad del ángulo formado por dos
rectas secantes, se tiene:
40° =
mAEmDB
2
-
% %
& 80° = mAE
%
– mDB
%
Por ángulo interior: 80° =
mAEmDB
2
+
% &
& 160° = mAE
%
+ mDB
%
Resolviendo estas ecuaciones:
80° = mAE
%
– mDB
%
(+)
160° = mAE
%
+ mDB
%
240° = 2 mAE
%
& mAE
%
= 120°
4. Halla θ, si A y B son puntos de tangencia.
A
B
θ
θ
Por ángulo inscrito: mAB
%
= 2θ
Por propiedad del ángulo exterior:
2θ + θ = 180°
3θ = 180°
& θ = 60°
5. En la circunferencia de centro O, se sabe que
los segmentos AC y BD son diámetros, si el
ángulo DOXC tiene como medida 100°, ¿cuánto
mide el ángulo ABWD?
D C
O
A B
Por ángulo central: m∠DOC = mDC
%
= 100°
Entonces el arco DA
&
tiene como medida 80°,
luego por ángulo inscrito: 2m∠ABD = 80°
& m∠ABO = 40°
6. Calcula la medida del arco AC
&
, si se sabe que
la medida del arco BD
&
es 160°.
A B
D
110°
C
Se sabe que la medida del arco BD
&
es 160°,
por la propiedad del ángulo interior:
110° =
mAC
2
160°+
%
220° = mAC
%
+ 160° & mAC
%
= 60°
Puedes ver más ejercicios del tema en-
trando al siguiente link:
https://bit.ly/2urdiOR
TIC
145Geometr?a
Unidad 2
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9. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 145 24/01/2020 23:01:22
circunferencia, además m∠AOB = x + 27°
O
A
74°
B
Por propiedad del ángulo central:
m∠AOB = x + 27° = 74°
Resolviendo la ecuación:
x + 27° = 74°
& x = 47°
2. Del siguiente gráfico, determina el valor de «x»:
54°
x°
100°
A
B
C
D
Por propiedad del ángulo interior:
180° – x =
2
54 100°°+
180° – x = 77° & x = 103°
3. Del siguiente gráfico, calcula la medida del
arco AE
%
.
E
D
80°
40°C
A
B
Por propiedad del ángulo formado por dos
rectas secantes, se tiene:
40° =
mAEmDB
2
-
% %
& 80° = mAE
%
– mDB
%
Por ángulo interior: 80° =
mAEmDB
2
+
% &
& 160° = mAE
%
+ mDB
%
Resolviendo estas ecuaciones:
80° = mAE
%
– mDB
%
(+)
160° = mAE
%
+ mDB
%
240° = 2 mAE
%
& mAE
%
= 120°
4. Halla θ, si A y B son puntos de tangencia.
A
B
θ
θ
Por ángulo inscrito: mAB
%
= 2θ
Por propiedad del ángulo exterior:
2θ + θ = 180°
3θ = 180°
& θ = 60°
5. En la circunferencia de centro O, se sabe que
los segmentos AC y BD son diámetros, si el
ángulo DOXC tiene como medida 100°, ¿cuánto
mide el ángulo ABWD?
D C
O
A B
Por ángulo central: m∠DOC = mDC
%
= 100°
Entonces el arco DA
&
tiene como medida 80°,
luego por ángulo inscrito: 2m∠ABD = 80°
& m∠ABO = 40°
6. Calcula la medida del arco AC
&
, si se sabe que
la medida del arco BD
&
es 160°.
A B
D
110°
C
Se sabe que la medida del arco BD
&
es 160°,
por la propiedad del ángulo interior:
110° =
mAC
2
160°+
%
220° = mAC
%
+ 160° & mAC
%
= 60°
Puedes ver más ejercicios del tema en-
trando al siguiente link:
https://bit.ly/2urdiOR
TIC
145Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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9. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 145 24/01/2020 23:01:22
•
QR
BQ
QP
AQ
=
B A
P R
Q
L
b. Ten todo trián-
gulo al trazar la bisectriz interior relativa a un
lado, sobre dicho lado se determina segmentos
proporcionales a los otros dos.
b
a
n
m
=
a b
x
ααα
mm nn
c. T en todo trián-
gulo al trazar la bisectriz exterior relativa a un lado, sobre la prolongación de dicho lado se determinan segmentos proporcionales a los otros dos lados.
vv
A
DB
b
c u
a
α
α
C
a
b
u
v
= v = c + u
Propiedades principales:
1.
α
α
A
B
a
Nm C
n
Se cumple:
a
2
= m × n
Proporcionalidad y semejanza
La razón geométrica de segmentos se da me-
diante el cociente de las longitudes, cuando estas
están expresadas en la misma unidad de medida.
P Q S V
5u5u 8u8u
Entonces se tiene:
SV
PQ
u
u
8
5
= &
SV
PQ
8
5
=
De manera general tenemos:
W R L M
pp qq
LM
WR
q
p
=
Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquiera, intersectan a dos o más rectas paralelas, entonces dichas rectas paralelas determinan sobre las dos rectas dadas, segmen- tos respectivamente proporcionales.
BC
AB
EF
DE
=
A
a b
L1
L2
L3
D
B E
C F
Se cumple lo siguiente:
AC
AB
DF
DE
=
AC
BC
DF
EF
=
a. C
Dado el triángulo PQR y la recta L paralela a
PR se tiene:
•
Q
P
A B
L
R
AP
QA
BR
QB
=
Ángel y Ana viven en pueblos distintos, los cuales quedan en lo alto de montañas contiguas, sin em-
bargo, ambos tienen que bajar hacia el pie de la montaña, pues solo por ese lugar pasa el río en el
cual alimentan a sus vacas. Ana llega mucho más rápido que Ángel, pues la altura de la montaña donde ella vive es la mitad de la altura de la mon-
taña donde vive Ángel.
¿Ángel rec
orre lo mismo que recorre Ana para
llegar al río? ¿Cuál es la diferencia entre ambos
recorridos?
Proporcionalidad y semejanza
146Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
10. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.indd 146 25/01/2020 00:24:32
QR
BQ
QP
AQ
=
B A
P R
Q
L
b. Ten todo trián-
gulo al trazar la bisectriz interior relativa a un
lado, sobre dicho lado se determina segmentos
proporcionales a los otros dos.
b
a
n
m
=
a b
x
ααα
mm nn
c. T en todo trián-
gulo al trazar la bisectriz exterior relativa a un lado, sobre la prolongación de dicho lado se determinan segmentos proporcionales a los otros dos lados.
vv
A
DB
b
c u
a
α
α
C
a
b
u
v
= v = c + u
Propiedades principales:
1.
α
α
A
B
a
Nm C
n
Se cumple:
a
2
= m × n
Proporcionalidad y semejanza
La razón geométrica de segmentos se da me-
diante el cociente de las longitudes, cuando estas
están expresadas en la misma unidad de medida.
P Q S V
5u5u 8u8u
Entonces se tiene:
SV
PQ
u
u
8
5
= &
SV
PQ
8
5
=
De manera general tenemos:
W R L M
pp qq
LM
WR
q
p
=
Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquiera, intersectan a dos o más rectas paralelas, entonces dichas rectas paralelas determinan sobre las dos rectas dadas, segmen- tos respectivamente proporcionales.
BC
AB
EF
DE
=
A
a b
L1
L2
L3
D
B E
C F
Se cumple lo siguiente:
AC
AB
DF
DE
=
AC
BC
DF
EF
=
a. C
Dado el triángulo PQR y la recta L paralela a
PR se tiene:
•
Q
P
A B
L
R
AP
QA
BR
QB
=
Ángel y Ana viven en pueblos distintos, los cuales quedan en lo alto de montañas contiguas, sin em-
bargo, ambos tienen que bajar hacia el pie de la montaña, pues solo por ese lugar pasa el río en el
cual alimentan a sus vacas. Ana llega mucho más rápido que Ángel, pues la altura de la montaña donde ella vive es la mitad de la altura de la mon-
taña donde vive Ángel.
¿Ángel rec
orre lo mismo que recorre Ana para
llegar al río? ¿Cuál es la diferencia entre ambos
recorridos?
Proporcionalidad y semejanza
146Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
10. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.indd 146 25/01/2020 00:24:32
2.
Si: AB // CD // EF
Se cumple:
x =
ab
ab
+A C E
D
F
B
a b
x
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos in-
teriores tienen igual medida y lados homólogos
son proporcionales.
Los lados homólogos son aquellos lados opuestos
a los ángulos de igual medida.
A
α θ
β
C
B
+
α θ
β
P R
Q
La notación entre dos triángulos semejantes es:
∆ABC a ∆PQR
Se lee: El triángulo ABC es semejante al triángulo PQR.
Los lados homólogos son:
AB y PQ; BC y QR; AC y PR
Se cumple:
PQ
AB
QR
BC
PR
AC
==
De la misma manera que en la congruencia de
triángulos, la semejanza presenta los tres siguien-
tes criterios:
Caso 1: dos triángulos son semejantes, si tienen
al menos dos ángulos respectivamente de igual
medida.
A
α θ
C
B
α θ
P R
Q
En el gráfico se tiene:
m∠BAC = m∠QPR y m∠BCA = m∠QRP
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 2: dos triángulos son semejantes, si tienen un ángulo de igual medida y la longitud de los lados que se determinan entre dicho ángulo son respectivamente proporcionales.
A
θ
B
C
aa
bb
P R
Q
θ
nn
mm
En la figura:
m∠BCA = m∠QRP ∧
n
b
m
a
=
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 3: dos triángulos son semejantes, si las longitudes de sus lados son respectivamente proporcionales.
A
B
C
bb
aacc
P R
Q
qq
pp
rr
En la figura:
p
a
q
b
r
c
==
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Observación
Al trazar una recta paralela a uno de sus lados, se
forma un triángulo parcial semejante al total.
• Si L
1
// AC
A C
B
P Q
L
1
β
α
α
θ
θ
∆ABC a ∆PBQ
• Si L
1
// AC
A C
B
α
β
θ
θ α
P Q
L1
∆ABC a ∆QBP
147Geometr?a
Unidad 2
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
10. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.indd 147 25/01/2020 00:24:33
Si: AB // CD // EF
Se cumple:
x =
ab
ab
+A C E
D
F
B
a b
x
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos in-
teriores tienen igual medida y lados homólogos
son proporcionales.
Los lados homólogos son aquellos lados opuestos
a los ángulos de igual medida.
A
α θ
β
C
B
+
α θ
β
P R
Q
La notación entre dos triángulos semejantes es:
∆ABC a ∆PQR
Se lee: El triángulo ABC es semejante al triángulo PQR.
Los lados homólogos son:
AB y PQ; BC y QR; AC y PR
Se cumple:
PQ
AB
QR
BC
PR
AC
==
De la misma manera que en la congruencia de
triángulos, la semejanza presenta los tres siguien-
tes criterios:
Caso 1: dos triángulos son semejantes, si tienen
al menos dos ángulos respectivamente de igual
medida.
A
α θ
C
B
α θ
P R
Q
En el gráfico se tiene:
m∠BAC = m∠QPR y m∠BCA = m∠QRP
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 2: dos triángulos son semejantes, si tienen un ángulo de igual medida y la longitud de los lados que se determinan entre dicho ángulo son respectivamente proporcionales.
A
θ
B
C
aa
bb
P R
Q
θ
nn
mm
En la figura:
m∠BCA = m∠QRP ∧
n
b
m
a
=
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Caso 3: dos triángulos son semejantes, si las longitudes de sus lados son respectivamente proporcionales.
A
B
C
bb
aacc
P R
Q
pp
rr
En la figura:
p
a
q
b
r
c
==
⇒ ∆ABC a ∆PQR
Observación
Al trazar una recta paralela a uno de sus lados, se
forma un triángulo parcial semejante al total.
• Si L
1
// AC
A C
B
P Q
L
1
β
α
α
θ
θ
∆ABC a ∆PBQ
• Si L
1
// AC
A C
B
α
β
θ
θ α
P Q
L1
∆ABC a ∆QBP
147Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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10. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.indd 147 25/01/2020 00:24:33
1. Si AB = 12 cm; BC = 20 cm y PQ = 36 cm,
calcula la longitud del segmento QR .
A
α θ α θ
C P R
B
Q
∆ABC a ∆PQR
⇒
QR36
1220
=
& QR =
12
2036#
& QR = 60 cm
2. Del determina el valor de «x».
P Q
θ
θ
α
B
A
C
xx
1414
66
2121
∆ABC a ∆PBQ
&
x
21
6
14
=
& x =
14
216#
& x = 9
3. Calcula el valor de «x» en la siguiente figura.
A
B
4
x
2
3
δ
δ
C
D
Q
P
• P
PC
AP
3
4
=
• P
PC
APx
2
=
Así, de las igualdades:
x
3
4
2
= & x =
3
8
4. Dado un par alelogramo ABCD, en la
prolongación de AB se ubica el punto E, ED
interseca a BC y AC en M y N respectivamente.
Calcula ED si MN = 9 y ND = 15.
A D
NN
B M 3k
9
15
5k
α
θ
θ
α
d
C
E
Sea: EM = d & ED = d + 24
Como MC // AD
⇒ ∆MNC a ∆AND,
⇒
AD
MC
15
9
5
3
==
MC = 3k ∧ AD = 5k & BM = 2k
como BE // DC
⇒
d
k
k
243
2
=
⇒ d = 16
⇒ ED = 40
5. En la figura mostrada: BM // CN y MC // ND, si
AB = a y BC = b, calcula el valor de CD en
función de a y b.
A
B C
M
N
D
Sean: AM = m ∧ MN = n
A
B C
M
N
xba
m
n
D
Por el teorema de Thales
En ∆ANC
n
m
b
a
=
En ∆AND
n
m
x
ab
=
+
⇒
b
a
x
ab
=
+
⇒ x = (a + b)
a
b
148Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
10. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.indd 148 25/01/2020 00:24:35
calcula la longitud del segmento QR .
A
α θ α θ
C P R
B
Q
∆ABC a ∆PQR
⇒
QR36
1220
=
& QR =
12
2036#
& QR = 60 cm
2. Del determina el valor de «x».
P Q
θ
θ
α
B
A
C
xx
1414
66
2121
∆ABC a ∆PBQ
&
x
21
6
14
=
& x =
14
216#
& x = 9
3. Calcula el valor de «x» en la siguiente figura.
A
B
4
x
2
3
δ
δ
C
D
Q
P
• P
PC
AP
3
4
=
• P
PC
APx
2
=
Así, de las igualdades:
x
3
4
2
= & x =
3
8
4. Dado un par alelogramo ABCD, en la
prolongación de AB se ubica el punto E, ED
interseca a BC y AC en M y N respectivamente.
Calcula ED si MN = 9 y ND = 15.
A D
NN
B M 3k
9
15
5k
α
θ
θ
α
d
C
E
Sea: EM = d & ED = d + 24
Como MC // AD
⇒ ∆MNC a ∆AND,
⇒
AD
MC
15
9
5
3
==
MC = 3k ∧ AD = 5k & BM = 2k
como BE // DC
⇒
d
k
k
243
2
=
⇒ d = 16
⇒ ED = 40
5. En la figura mostrada: BM // CN y MC // ND, si
AB = a y BC = b, calcula el valor de CD en
función de a y b.
A
B C
M
N
D
Sean: AM = m ∧ MN = n
A
B C
M
N
xba
m
n
D
Por el teorema de Thales
En ∆ANC
n
m
b
a
=
En ∆AND
n
m
x
ab
=
+
⇒
b
a
x
ab
=
+
⇒ x = (a + b)
a
b
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10. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA.indd 148 25/01/2020 00:24:35
2. TEl cuadrado de la longi-
tud de la altura relativa a la hipotenusa, es igual
al producto de las longitudes de las proyeccio-
nes de los catetos sobre dicha hipotenusa.
A
B
C
H
h
mm nn
Se cumple: h
2
= m × n
• En todo triángulo rectángulo se cumple que
el producto de las longitudes de sus catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y de la altura relativa a dicha hipotenusa.
bb
A
B
C
H
aacc
hh
Se cumple: a × c = b × h
• Como aplicación de las relaciones métricas
en el triángulo rectángulo, se pueden aplicar a la circunferencia:
A
P
xx
B
h
m n
2R2R
Si: AB es diámetro
⇒ h
2
= m × n
También:
x
2
= m × 2R
Relaciones métricas en los triángulos
Veamos las principales partes de un triángulo rec- tángulo junto con sus proyecciones:
A
C
B
H
aa
cc
bb
mm nn
hh
En el gráfico:
• AC, CB: catetos
• AB: hipotenusa
• CH: altura relativa a la hipotenusa
• AH y HB: proyecciones de AC y CB sobre AB
respectivamente.
Veamos los principales teoremas:
1. Teorema del cateto: Para cualquier triángulo
rectángulo el cuadrado de la longitud de un
cateto, es igual al producto de las longitudes
de la hipotenusa y de la proyección de dicho
cateto sobre la hipotenusa.
bb
A
B
C
H
aacc
mm nn
c
2
= m × b ∧ a
2
= n × b
El Intihuatana sirvió como un reloj solar para los incas, tiene un metro de altura y debido a sus di- ferentes caras se proyectan sombras cuyas formas dependen del movimiento del sol y de la estación del año en la que estemos. En cierto momento la escultura se proyecta formando un triángulo rec- tángulo sobre el terreno.
¿Cómo se relacionan las medidas de las proyec-
ciones con la altura del Intihuatana?
¿Influirá en algo el tamaño de la proyección con
respecto a la posición del sol?
Relaciones métricas en el triángulo
149Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
11. RELACIONES METRICAS.indd 149 24/01/2020 23:02:19
tud de la altura relativa a la hipotenusa, es igual
al producto de las longitudes de las proyeccio-
nes de los catetos sobre dicha hipotenusa.
A
B
C
H
h
mm nn
Se cumple: h
2
= m × n
• En todo triángulo rectángulo se cumple que
el producto de las longitudes de sus catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y de la altura relativa a dicha hipotenusa.
bb
A
B
C
H
aacc
hh
Se cumple: a × c = b × h
• Como aplicación de las relaciones métricas
en el triángulo rectángulo, se pueden aplicar a la circunferencia:
A
P
xx
B
h
m n
2R2R
Si: AB es diámetro
⇒ h
2
= m × n
También:
x
2
= m × 2R
Relaciones métricas en los triángulos
Veamos las principales partes de un triángulo rec- tángulo junto con sus proyecciones:
A
C
B
H
aa
cc
bb
mm nn
hh
En el gráfico:
• AC, CB: catetos
• AB: hipotenusa
• CH: altura relativa a la hipotenusa
• AH y HB: proyecciones de AC y CB sobre AB
respectivamente.
Veamos los principales teoremas:
1. Teorema del cateto: Para cualquier triángulo
rectángulo el cuadrado de la longitud de un
cateto, es igual al producto de las longitudes
de la hipotenusa y de la proyección de dicho
cateto sobre la hipotenusa.
bb
A
B
C
H
aacc
mm nn
c
2
= m × b ∧ a
2
= n × b
El Intihuatana sirvió como un reloj solar para los incas, tiene un metro de altura y debido a sus di- ferentes caras se proyectan sombras cuyas formas dependen del movimiento del sol y de la estación del año en la que estemos. En cierto momento la escultura se proyecta formando un triángulo rec- tángulo sobre el terreno.
¿Cómo se relacionan las medidas de las proyec-
ciones con la altura del Intihuatana?
¿Influirá en algo el tamaño de la proyección con
respecto a la posición del sol?
Relaciones métricas en el triángulo
149Geometr?a
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
11. RELACIONES METRICAS.indd 149 24/01/2020 23:02:19
Teorema de proyecciones
En todo triángulo, la diferencia de los cuadrados
de las longitudes de dos lados es igual a la dife-
rencia de los cuadrados de las longitudes de sus
respectivas proyecciones sobre el tercer lado.
Primer Caso: Triángulo acutángulo
AA
BB
CC
HH
mmnn
aacc
En el gráfico, ΔABC: acutángulo.
AH y HC: proyecciones de AB y BC sobre AC
respectivamente. Se cumple:
a
2
– c
2
= m
2
– n
2
Segundo Caso: Triángulo obtusángulo
HH CC
BB
nn
aa
AA
cc
mm
En el gráfico, ∆ABC: obtusángulo.
AH y HC: proyecciones de AB y BC sobre AC
respectivamente. Se cumple:
a
2
– c
2
= m
2
– n
2
Teorema de la mediana En todo triángulo, la suma de los cuadrados de
las longitudes de dos lados es igual al doble de
la longitud de la mediana relativa al tercer lado
más la mitad del cuadrado de la longitud de di-
cho tercer lado.
CC
BB
AA MM
bb
cc aa
xx
En la figura, BM : mediana relativa a AC .
AB y BC: lados adyacentes a la mediana BM
Se cumple:
c
2
+ a
2
= 2x
2
+
b
2
2
Ley de cosenos
El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros 2 menos el
doble del producto de dichos lados y el coseno
del ángulo que estos determinan.
CC
ccAA
aa
aabb
BB
c
2
= a
2
+ b
2
– 2abCosα
1. En BH
de tal manera que AH = 5 y HC = 8. Calcula
BC
2
– AB
2
.
Graficando
BB
AA CC
HH5588
Por el teorema de la proyección en el primer caso se tiene que:
BC
2
– AB
2
= 8
2
– 5
2
= 64 – 25
⇒ BC
2
– AB
2
= 39
2. En un triángulo ABC sus lados AB; BC y AC están
relacionados con 4; 6 y 10 respectivamente.
Halla la longitud de la mediana relativa al lado
AC.
Graficando
BB
MMAA
xx
55 55
66
44
CC
Por el teorema de la mediana
AB
2
+ BC
2
= 2x
2
+
AC
2
2
4
2
+ 6
2
= 2x
2
+
2
10
2
16 + 36 = 2x
2
+ 50
52 – 50 = 2x
2
2 = 2x
2
& x = 1
150Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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11. RELACIONES METRICAS.indd 150 24/01/2020 23:02:19
En todo triángulo, la diferencia de los cuadrados
de las longitudes de dos lados es igual a la dife-
rencia de los cuadrados de las longitudes de sus
respectivas proyecciones sobre el tercer lado.
Primer Caso: Triángulo acutángulo
AA
BB
CC
HH
mmnn
aacc
En el gráfico, ΔABC: acutángulo.
AH y HC: proyecciones de AB y BC sobre AC
respectivamente. Se cumple:
a
2
– c
2
= m
2
– n
2
Segundo Caso: Triángulo obtusángulo
HH CC
BB
nn
aa
AA
cc
mm
En el gráfico, ∆ABC: obtusángulo.
AH y HC: proyecciones de AB y BC sobre AC
respectivamente. Se cumple:
a
2
– c
2
= m
2
– n
2
Teorema de la mediana En todo triángulo, la suma de los cuadrados de
las longitudes de dos lados es igual al doble de
la longitud de la mediana relativa al tercer lado
más la mitad del cuadrado de la longitud de di-
cho tercer lado.
CC
BB
AA MM
bb
cc aa
xx
En la figura, BM : mediana relativa a AC .
AB y BC: lados adyacentes a la mediana BM
Se cumple:
c
2
+ a
2
= 2x
2
+
b
2
2
Ley de cosenos
El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros 2 menos el
doble del producto de dichos lados y el coseno
del ángulo que estos determinan.
CC
ccAA
aa
aabb
BB
c
2
= a
2
+ b
2
– 2abCosα
1. En BH
de tal manera que AH = 5 y HC = 8. Calcula
BC
2
– AB
2
.
Graficando
BB
AA CC
HH5588
Por el teorema de la proyección en el primer caso se tiene que:
BC
2
– AB
2
= 8
2
– 5
2
= 64 – 25
⇒ BC
2
– AB
2
= 39
2. En un triángulo ABC sus lados AB; BC y AC están
relacionados con 4; 6 y 10 respectivamente.
Halla la longitud de la mediana relativa al lado
AC.
Graficando
BB
MMAA
xx
55 55
66
44
CC
Por el teorema de la mediana
AB
2
+ BC
2
= 2x
2
+
AC
2
2
4
2
+ 6
2
= 2x
2
+
2
10
2
16 + 36 = 2x
2
+ 50
52 – 50 = 2x
2
2 = 2x
2
& x = 1
150Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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11. RELACIONES METRICAS.indd 150 24/01/2020 23:02:19
3. Determina el valor de xz80 5+ + y en:
x
y
z
44 1616
Se cumple:
x
2
= 4 × 20
x
2
= 80 & x = 80
z
2
= 16 × 20 z
2
= 320 & z = 85
y
2
= 4 × 16
y
2
= 64 & y = 8
xz80 5+ + y = 80 + 40 + 8 = 128
4. La halla PH .
P
A D
C
BH 9
13
x
2
= 9 × 4
P
x
4 9
y
A D
C
BH
H
9
13
⇒ x
2
= 36
⇒ x = 6
x + y = 13
⇒ 6 + y = 13
⇒ y = 7
5. Halla «x» en el siguiente gráfico.
2
3
4
x
Trazando la hipotenusa en los triángulos
tenemos:
2
3
4
h
x
h
2
= 3
2
+ 4
2
h
2
= 25 & h = 5
Luego en el triángulo: 2
2
+ x
2
= h
2
& 2
2
+ x
2
= 5
2
4 + x
2
= 25
& x
2
= 21
& x = 21
6. Calcula «x» del siguiente gráfico:
99
77
xx
x
2
= 9(9 + 7)
& x
2
= 9(16)
& x = 12
7. Halla el valor de «x» en el siguiente gráfico, si AB
es diámetro.
A
xx
B
24242525
x
2
= 25(25 + 24)
& x
2
= 25(49)
& x = 35
8. De la siguiente gráfica, el triángulo obtusángulo
ABC se traza la altura BH . Determina la longitud
de la base del triángulo.
AA CC
BB
HH 33
66
99
mm
Por el teorema de la proyección podemos
hallar el valor AC
9
2
– 6
2
= m
2
– 3
2
m
2
= 54 & m = 3 6
Piden AC = 36 – 3
9. Determina el valor de «x» si se cumple que ab = 36.
4x4x
a
x
b
Según la propiedad se verifica:
ab = (4x)(x) 36 = 4x
2
9 = x
2
& x = 3
151Geometr?a
Unidad 2
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11. RELACIONES METRICAS.indd 151 24/01/2020 23:02:20
x
y
z
44 1616
Se cumple:
x
2
= 4 × 20
x
2
= 80 & x = 80
z
2
= 16 × 20 z
2
= 320 & z = 85
y
2
= 4 × 16
y
2
= 64 & y = 8
xz80 5+ + y = 80 + 40 + 8 = 128
4. La halla PH .
P
A D
C
BH 9
13
x
2
= 9 × 4
P
x
4 9
y
A D
C
BH
H
9
13
⇒ x
2
= 36
⇒ x = 6
x + y = 13
⇒ 6 + y = 13
⇒ y = 7
5. Halla «x» en el siguiente gráfico.
2
3
4
x
Trazando la hipotenusa en los triángulos
tenemos:
2
3
4
h
x
h
2
= 3
2
+ 4
2
h
2
= 25 & h = 5
Luego en el triángulo: 2
2
+ x
2
= h
2
& 2
2
+ x
2
= 5
2
4 + x
2
= 25
& x
2
= 21
& x = 21
6. Calcula «x» del siguiente gráfico:
99
77
xx
x
2
= 9(9 + 7)
& x
2
= 9(16)
& x = 12
7. Halla el valor de «x» en el siguiente gráfico, si AB
es diámetro.
A
xx
B
24242525
x
2
= 25(25 + 24)
& x
2
= 25(49)
& x = 35
8. De la siguiente gráfica, el triángulo obtusángulo
ABC se traza la altura BH . Determina la longitud
de la base del triángulo.
AA CC
BB
HH 33
66
99
mm
Por el teorema de la proyección podemos
hallar el valor AC
9
2
– 6
2
= m
2
– 3
2
m
2
= 54 & m = 3 6
Piden AC = 36 – 3
9. Determina el valor de «x» si se cumple que ab = 36.
4x4x
a
x
b
Según la propiedad se verifica:
ab = (4x)(x) 36 = 4x
2
9 = x
2
& x = 3
151Geometr?a
Unidad 2
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11. RELACIONES METRICAS.indd 151 24/01/2020 23:02:20
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
3
152
12. REL. METR. EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 152 24/01/2020 23:02:31
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
3
152
12. REL. METR. EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 152 24/01/2020 23:02:31
Relaciones métricas en la circunferencia
1. Teorema de las cuerdas: Si se tienen dos cuer-
das secantes en una circunferencia, el produc-
to de las longitudes de los segmentos de una
cuerda, es igual al producto de las medidas de
los segmentos de la otra.
A F
BE
C
aa nn
mm b b
Se verifica:
EC × CF = AC × CB
a × b = m × n
2. Teorema de las secantes: Si desde un punto ex-
terior se trazan dos secantes a una circunferen- cia, se verifica lo siguiente:
bb
A
C
P
BB
DD
nn
mm
aa
a × b = m × n
3. Teorema de la tangente: Si desde un punto
exterior P a una circunferencia se traza una se- cante y una tangente, se verifica la siguiente relación:
nn
aa
PP
mm
a
2
= m × n
Definiciones previas
Antes de entrar por completo al tema, es nece- sario recordar algunos elementos asociadas a la circunferencia.
AB
: cuerda
A
B
E
L1
L2
T
EB
%
: arco
L1: recta sec
L2: recta tangente
T: punto de tangencia
a. Cuerdas secantes
A F
BE
b. Sec
B
S
A
Q
P
c. Tangente y secante desde un mismo punto
B
Q
A
P
d. Cuadrilátero inscrito
B
C
A D
Relaciones métricas en la circunferencia
UNIDAD
Gabriela planta papayas, coconas, lúcumas
y piñas en un área de forma circular, para
ello divide el sector en cuatro partes disjun-
tas, usando cercos que se cortan tal como
se muestra en la imagen. Si
Gabriela conoce la medida
de tres de los segmentos que
dividen al sector. ¿Podrá ha-
llar la medida del otro sin ha-
cer mediciones?
153Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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12. REL. METR. EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 153 24/01/2020 23:02:34
1. Teorema de las cuerdas: Si se tienen dos cuer-
das secantes en una circunferencia, el produc-
to de las longitudes de los segmentos de una
cuerda, es igual al producto de las medidas de
los segmentos de la otra.
A F
BE
C
aa nn
mm b b
Se verifica:
EC × CF = AC × CB
a × b = m × n
2. Teorema de las secantes: Si desde un punto ex-
terior se trazan dos secantes a una circunferen- cia, se verifica lo siguiente:
bb
A
C
P
BB
DD
nn
mm
aa
a × b = m × n
3. Teorema de la tangente: Si desde un punto
exterior P a una circunferencia se traza una se- cante y una tangente, se verifica la siguiente relación:
nn
aa
PP
mm
a
2
= m × n
Definiciones previas
Antes de entrar por completo al tema, es nece- sario recordar algunos elementos asociadas a la circunferencia.
AB
: cuerda
A
B
E
L1
L2
T
EB
%
: arco
L1: recta sec
L2: recta tangente
T: punto de tangencia
a. Cuerdas secantes
A F
BE
b. Sec
B
S
A
Q
P
c. Tangente y secante desde un mismo punto
B
Q
A
P
d. Cuadrilátero inscrito
B
C
A D
Relaciones métricas en la circunferencia
UNIDAD
Gabriela planta papayas, coconas, lúcumas
y piñas en un área de forma circular, para
ello divide el sector en cuatro partes disjun-
tas, usando cercos que se cortan tal como
se muestra en la imagen. Si
Gabriela conoce la medida
de tres de los segmentos que
dividen al sector. ¿Podrá ha-
llar la medida del otro sin ha-
cer mediciones?
153Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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12. REL. METR. EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 153 24/01/2020 23:02:34
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 4. TPara dos cuerdas perpendi-
culares, se cumple la siguiente relación.
ca
b
d
R
4R
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
Propiedad: Sean A, B y C son puntos de tangencia.
A
R
r
B
d
d = Rr2
1. Determina el valor de «x» en cada caso.
a.
1616
99
xx
Por el teorema de la tangente, se tiene:
x
2
= 16 × (16 + 9)
⇒ x
2
= 16 × 25
⇒ x = 4 × 5
⇒ x = 20
b.
xx
88
88
44
Por el teorema de las secantes, se tiene:
(4 + 8) × 4 = 8x
⇒ 12 × 4 = 8x
⇒ 48 = 8x
⇒ x = 6
2. Calcula el valor de r, si O es centro de la
circunferencia.
4
4
r
O
5
Por el teorema de las cuerdas, se tiene:
4
4
r
O
P
N
BA
M
5
r – 4
AP × PB = MP × PN
⇒ (r – 4)(r + 4) = 4 × 5
⇒ r
2
– 16 = 20
& r
2
= 36
⇒ r = 6 u.
3. Desde un punt o exterior P se trazan la
tangente PA y la secante PS que interseca a
la circunferencia en el punto Q. Si se sabe que
PQ = 2 y QS = 8 cm, calcula el valor de PA .
A
P
Q
S
22
88
xx
x
2
= (8 + 2) × 2
⇒ x
2
= 20
⇒ x = 2
5 cm
4. Determina el valor de ED en la siguiente figura.
A E
B C D
55 22 22
mm
nn
xx
Por el teorema de las cuerdas:
(5 + 2) × 2 = m × n
⇒ 14 = m × n
Además:
m × n = 2(2 + x)
⇒ 14 = 2(2 + x)
⇒ 7 = 2 + x
⇒ x = 5
154
12. REL. METR. EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 154 24/01/2020 23:02:34
culares, se cumple la siguiente relación.
ca
b
d
R
4R
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
Propiedad: Sean A, B y C son puntos de tangencia.
A
R
r
B
d
d = Rr2
1. Determina el valor de «x» en cada caso.
a.
1616
99
xx
Por el teorema de la tangente, se tiene:
x
2
= 16 × (16 + 9)
⇒ x
2
= 16 × 25
⇒ x = 4 × 5
⇒ x = 20
b.
xx
88
88
44
Por el teorema de las secantes, se tiene:
(4 + 8) × 4 = 8x
⇒ 12 × 4 = 8x
⇒ 48 = 8x
⇒ x = 6
2. Calcula el valor de r, si O es centro de la
circunferencia.
4
4
r
O
5
Por el teorema de las cuerdas, se tiene:
4
4
r
O
P
N
BA
M
5
r – 4
AP × PB = MP × PN
⇒ (r – 4)(r + 4) = 4 × 5
⇒ r
2
– 16 = 20
& r
2
= 36
⇒ r = 6 u.
3. Desde un punt o exterior P se trazan la
tangente PA y la secante PS que interseca a
la circunferencia en el punto Q. Si se sabe que
PQ = 2 y QS = 8 cm, calcula el valor de PA .
A
P
Q
S
22
88
xx
x
2
= (8 + 2) × 2
⇒ x
2
= 20
⇒ x = 2
5 cm
4. Determina el valor de ED en la siguiente figura.
A E
B C D
55 22 22
mm
nn
xx
Por el teorema de las cuerdas:
(5 + 2) × 2 = m × n
⇒ 14 = m × n
Además:
m × n = 2(2 + x)
⇒ 14 = 2(2 + x)
⇒ 7 = 2 + x
⇒ x = 5
154
12. REL. METR. EN LA CIRCUNFERENCIA.indd 154 24/01/2020 23:02:34
3. Fórmula trigonométrica. El cálculo del área de
un triángulo cuando dos de sus lados forman
un ángulo a viene dado por:
a
bb
α
S =
ab
2
sena
La demostración de esta fórmula es muy sencilla de deducir, veamos:
a.
Trazamos la altura relativa al lado de longitud b.
a
bb
α
h
b. La altur= aSena, por lo
tanto el área es:
S =
bhbaSen
22
=+
=
4. Fórmula de Herón p: semiperímetro
a b
c
p =
ab c
2
++
S = () () ()ppap bp c-- -
Área(S)
El área es un número que indica la medida de la
superficie de la región de una figura geométrica.
Región poligonal
Es la región interior limitada por el perímetro de
un polígono.
Región triangular Región heptagonal
Fórmulas para el cálculo del área de regiones
triangulares
1. Para un triángulo acutángulo
h
aa
S =
ah
2
#
2. Par
bb
h
S =
bh
2
#
Los padres de Christian tienen dos terrenos en la
selva peruana, en los cuales han decidido sembrar
granos de café de dos distintos tipos: café especial
y café orgánico. Christian nota que el café especial
dará más ganancia que el café orgánico.
Si ambos terrenos tienen forma triangular, además,
las medidas de sus bases son iguales, pero el primer
terreno tiene el doble de altura que el segundo.
¿Qué determinara el área del terreno? ¿Cuál terreno
será más adecuado para sembrar café especial?
Área de regiones triángulares
155Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 3
13. ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES.indd 155 25/01/2020 00:24:23
un triángulo cuando dos de sus lados forman
un ángulo a viene dado por:
a
bb
α
S =
ab
2
sena
La demostración de esta fórmula es muy sencilla de deducir, veamos:
a.
Trazamos la altura relativa al lado de longitud b.
a
bb
α
h
b. La altur= aSena, por lo
tanto el área es:
S =
bhbaSen
22
=+
=
4. Fórmula de Herón p: semiperímetro
a b
c
p =
ab c
2
++
S = () () ()ppap bp c-- -
Área(S)
El área es un número que indica la medida de la
superficie de la región de una figura geométrica.
Región poligonal
Es la región interior limitada por el perímetro de
un polígono.
Región triangular Región heptagonal
Fórmulas para el cálculo del área de regiones
triangulares
1. Para un triángulo acutángulo
h
aa
S =
ah
2
#
2. Par
bb
h
S =
bh
2
#
Los padres de Christian tienen dos terrenos en la
selva peruana, en los cuales han decidido sembrar
granos de café de dos distintos tipos: café especial
y café orgánico. Christian nota que el café especial
dará más ganancia que el café orgánico.
Si ambos terrenos tienen forma triangular, además,
las medidas de sus bases son iguales, pero el primer
terreno tiene el doble de altura que el segundo.
¿Qué determinara el área del terreno? ¿Cuál terreno
será más adecuado para sembrar café especial?
Área de regiones triángulares
155Geometr?a
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 3
13. ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES.indd 155 25/01/2020 00:24:23
5. Área en función del inradio. El inradio de un
triángulo es el radio de la circunferencia inscri-
ta en dicho triángulo, entonces:
r
a
b
p: semiperímetro r : inradio
c
S = p 3 r
6. Área de un triángulo equilátero
L L
L
60°
S =
L
4
3
2
7. Área en función del circunradio (R)
c
b
a
R
O
S =
R
abc
4
8. Si
R
P
Q
A
mm nn
S = m × n
9. El área de un triángulo rectángulo es igual al product
o de los segmentos que la circunferen-
cia exinscrita relativa a uno de los catetos, de- termina sobre la hipotenusa.
B
APnm
S
ABC
= m × n
1. En un triángulo, la base y la altura relativa
a ella se encuentra en la relación de 3 a 2 respectivamente, si el área de la región triangular es de 81 cm
2
,
calcula la longitud de
dicha altura.
Graficando el triángulo, donde:
Base: 3k altura: 2k
3k
2k2k
S =
kk
2
32#
3k
2
= 81 & k = 33
Altura: 2k = 63
2. Si se cumple que BD = DC, encuentra el área
del triángulo ADC.
B
A D
8
C
45°
30°30°
En el triángulo:
• ABD: BD = 16 (por el triángulo de 30° y 60°)
• DCH: DC = 16 (por el triángulo de 45° y 45°)
Trazamos la altura CH relativa al lado AD , así:
B
30°
A HD8
8 cm
C
60°
60°
45°
30°30°
HC = 8 & S
ADC
=
2
88#
= 32 cm
2
Profundiza tus conocimientos sobre el
tema entrando al siguiente link:
https://bit.ly/2T7jzJT
TIC
156Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
13. ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES.indd 156 25/01/2020 00:24:25
triángulo es el radio de la circunferencia inscri-
ta en dicho triángulo, entonces:
r
a
b
p: semiperímetro r : inradio
c
S = p 3 r
6. Área de un triángulo equilátero
L L
L
60°
S =
L
4
3
2
7. Área en función del circunradio (R)
c
b
a
R
O
S =
R
abc
4
8. Si
R
P
Q
A
mm nn
S = m × n
9. El área de un triángulo rectángulo es igual al product
o de los segmentos que la circunferen-
cia exinscrita relativa a uno de los catetos, de- termina sobre la hipotenusa.
B
APnm
S
ABC
= m × n
1. En un triángulo, la base y la altura relativa
a ella se encuentra en la relación de 3 a 2 respectivamente, si el área de la región triangular es de 81 cm
2
,
calcula la longitud de
dicha altura.
Graficando el triángulo, donde:
Base: 3k altura: 2k
3k
2k2k
S =
kk
2
32#
3k
2
= 81 & k = 33
Altura: 2k = 63
2. Si se cumple que BD = DC, encuentra el área
del triángulo ADC.
B
A D
8
C
45°
30°30°
En el triángulo:
• ABD: BD = 16 (por el triángulo de 30° y 60°)
• DCH: DC = 16 (por el triángulo de 45° y 45°)
Trazamos la altura CH relativa al lado AD , así:
B
30°
A HD8
8 cm
C
60°
60°
45°
30°30°
HC = 8 & S
ADC
=
2
88#
= 32 cm
2
Profundiza tus conocimientos sobre el
tema entrando al siguiente link:
https://bit.ly/2T7jzJT
TIC
156Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
13. ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES.indd 156 25/01/2020 00:24:25
5. Área del paralelogramo
bb
aahb
ha
S = b × h
b
= a × h
a
Donde:
• h
a
: altura relativa al lado de longitud a
• h
b
: altura relativa al lado de longitud b
6. Área de un cuadrilátero inscrito en una
circunferencia
b
a c
d
p: semiperímetro =
abcd
2
++ +
S = () () () ()papbpc pd-- --
7. Área de un cuadrilátero convexo
A
B
α C
D
S =
ACBD
2
#
× Senα
a: ángulo formado por AC y BD
Introducción
En esta sección se dará a conocer las principales
fórmulas que se usan para el cálculo de las áreas
de regiones cuadrangulares.
1.
Área del rectángulo
a
b
S = a × b
2. Área del cuadrado
d
,
,
S = ,
2
=
d
2
2
3. Área del rombo
A
B
D
C S =
ACBD
2
#
Donde: •
AC: diagonal mayor
• BD: diagonal menor
4. Área de un trapecio
bb
BB
M Nhh
S =
()Bb
2
+
× h = MN × h
El acuario “Vida en el mar” decide traer más ani-
males para que aumenten los visitantes, es por
ello, que desde el Ama
zonas deciden traer a un
par de delfines rosados, sin embargo, antes de
ello tienen que construir un ambiente adecuado
a su hábitat. Dos de sus trabajadores presentan
proyectos para ello. El primero propone construir
un acuario cuya base tenga medidas de 30 × 40,
mientras que el segundo propone que la base
tenga una medida de 50 × 30. ¿Cuál de los dos
acuarios tendrá mayor base?
Área de regiones cuadrangulares
157Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
14. ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES.indd 157 24/01/2020 23:02:46
bb
aahb
ha
S = b × h
b
= a × h
a
Donde:
• h
a
: altura relativa al lado de longitud a
• h
b
: altura relativa al lado de longitud b
6. Área de un cuadrilátero inscrito en una
circunferencia
b
a c
d
p: semiperímetro =
abcd
2
++ +
S = () () () ()papbpc pd-- --
7. Área de un cuadrilátero convexo
A
B
α C
D
S =
ACBD
2
#
× Senα
a: ángulo formado por AC y BD
Introducción
En esta sección se dará a conocer las principales
fórmulas que se usan para el cálculo de las áreas
de regiones cuadrangulares.
1.
Área del rectángulo
a
b
S = a × b
2. Área del cuadrado
d
,
,
S = ,
2
=
d
2
2
3. Área del rombo
A
B
D
C S =
ACBD
2
#
Donde: •
AC: diagonal mayor
• BD: diagonal menor
4. Área de un trapecio
bb
BB
M Nhh
S =
()Bb
2
+
× h = MN × h
El acuario “Vida en el mar” decide traer más ani-
males para que aumenten los visitantes, es por
ello, que desde el Ama
zonas deciden traer a un
par de delfines rosados, sin embargo, antes de
ello tienen que construir un ambiente adecuado
a su hábitat. Dos de sus trabajadores presentan
proyectos para ello. El primero propone construir
un acuario cuya base tenga medidas de 30 × 40,
mientras que el segundo propone que la base
tenga una medida de 50 × 30. ¿Cuál de los dos
acuarios tendrá mayor base?
Área de regiones cuadrangulares
157Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
14. ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES.indd 157 24/01/2020 23:02:46
8. En t
relación:
A
S1
S2
S4
S3
B
C
D
S
1
× S
3
= S
2
× S
4
1. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6
cm, E es un punto que pertenece al lado BC ,
además el área de AECD es el doble del área
del triángulo ABE, calcula la longitud del
segmento EC .
Graficando el cuadrado, se tiene:
A D
B
E
6
k
2k
6
6
x6 – x
C
Sea k el área del ∆ABE, entonces 2k será el
área de AECD, por lo tanto:
• k =
()x
2
66-
• 2k=
x
2
6
6#
+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Por lo tanto:
6(6 – x) =
x
2
6+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
3 6
36 – 6x = 3x + 18
18 = 9x & x = 2
La longitud del segmento EC es 2 cm.
2. La base de un rectángulo es el doble de la altura,
si el área de la región es de 72 cm
2
,
determina
la altura de dicho rectángulo.
Sea:
b: base del rectángulo
b = 2h
h: altura del rectángulo
b 3 h = 2h 3 h = 72
2h
2
= 72
h
2
= 36
h = 6 cm
3. Si A determina su área si
AM = 33cm y AN = 3 cm.
A C
OM P
N
B
Sea «x» el lado del cuadrado AOBC realizan-
do trazos auxiliares y aplicando el teorema
de las cuerdas, tenemos:
x x
OM P
N
Q
P
B
3
33
CCAA
Como CP ⊥ QO ⟹ PA = AC
x
2
= 33 3``jj = 9
S
AOBC
= x
2
= 9 cm
2
4. C
cuadrado se puede formar un trapecio isósceles. Si el área de la región de este trapecio es de 32 cm
2
, calcula el perímetro del cuadrado central.
Graficando dicho trapecio, se tiene:
,
,
, , ,
,
Área del trapecio =
2
3,,+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
× , = 32 cm
2
2,
2
= 32
,
2
= 16
& , = 4 cm
Perímetro: 4, = (4) = 16cm
5. De la siguiente figura, halla el valor de «S».
10 – S
15 – S
SS
Se verifica:
S
2
= (10 – S)(15 – S)
S
2
= 150 – 25S + S
2
25S = 150
& S = 6
158Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
14. ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES.indd 158 24/01/2020 23:02:47
relación:
A
S1
S2
S4
S3
B
C
D
S
1
× S
3
= S
2
× S
4
1. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6
cm, E es un punto que pertenece al lado BC ,
además el área de AECD es el doble del área
del triángulo ABE, calcula la longitud del
segmento EC .
Graficando el cuadrado, se tiene:
A D
B
E
6
k
2k
6
6
x6 – x
C
Sea k el área del ∆ABE, entonces 2k será el
área de AECD, por lo tanto:
• k =
()x
2
66-
• 2k=
x
2
6
6#
+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Por lo tanto:
6(6 – x) =
x
2
6+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
3 6
36 – 6x = 3x + 18
18 = 9x & x = 2
La longitud del segmento EC es 2 cm.
2. La base de un rectángulo es el doble de la altura,
si el área de la región es de 72 cm
2
,
determina
la altura de dicho rectángulo.
Sea:
b: base del rectángulo
b = 2h
h: altura del rectángulo
b 3 h = 2h 3 h = 72
2h
2
= 72
h
2
= 36
h = 6 cm
3. Si A determina su área si
AM = 33cm y AN = 3 cm.
A C
OM P
N
B
Sea «x» el lado del cuadrado AOBC realizan-
do trazos auxiliares y aplicando el teorema
de las cuerdas, tenemos:
x x
OM P
N
Q
P
B
3
33
CCAA
Como CP ⊥ QO ⟹ PA = AC
x
2
= 33 3``jj = 9
S
AOBC
= x
2
= 9 cm
2
4. C
cuadrado se puede formar un trapecio isósceles. Si el área de la región de este trapecio es de 32 cm
2
, calcula el perímetro del cuadrado central.
Graficando dicho trapecio, se tiene:
,
,
, , ,
,
Área del trapecio =
2
3,,+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
× , = 32 cm
2
2,
2
= 32
,
2
= 16
& , = 4 cm
Perímetro: 4, = (4) = 16cm
5. De la siguiente figura, halla el valor de «S».
10 – S
15 – S
SS
Se verifica:
S
2
= (10 – S)(15 – S)
S
2
= 150 – 25S + S
2
25S = 150
& S = 6
158Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
14. ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES.indd 158 24/01/2020 23:02:47
3. Área de la corona circular
S
R
r
O
S = πR
2
– πr
2
= π(R
2
– r
2
)
4. Área del trapecio circular
A
O
r
R
E S
F
B
α°
S = S
AOB
– S
EOF
⇒ S =
Rr
360°
°
22
∆− -_i
5. Área del segmento circular
OR
A
α°
B
S
S = Área
sector ABO
– Área
∆ABO
S =
R
360°
°
2
∆−
–
RSen
2
°
2
∆−
Conceptos previos
a. Sect
Sector
Circular
O
b. Segmento circular
Segmento
Circular
O
c. Circunf
r
RR
O
Áreas de regiones circulares
1. Área del círculo
O
R
S = πR
2
2. Área del sector circular
O
R R
R
A
B
α°
S =
R
360°
°
2
∆−
En la selva peruana se pueden encontrar diversi-
dad de especies de arboles y de flora en general,
esto es muy importante ya que ayuda a la purifi-
cación del aire y del agua, una de las tantas plan-
tas que alberga nuestra amazonia es la planta
acuática llamada Victoria Regia la cual tiene for-
ma circular y crece en las aguas profundas del
rio amazonas. Si el radio de una de ellas es de
15 cm aproximadamente ¿Cuál será el área que
ocupa la planta? ¿el área que ocupa dependerá
del radio de la planta?
Área de regiones circulares
159Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
15. ÁREA DE REGIONES CIRCULARES.indd 159 24/01/2020 23:02:56
S
R
r
O
S = πR
2
– πr
2
= π(R
2
– r
2
)
4. Área del trapecio circular
A
O
r
R
E S
F
B
α°
S = S
AOB
– S
EOF
⇒ S =
Rr
360°
°
22
∆− -_i
5. Área del segmento circular
OR
A
α°
B
S
S = Área
sector ABO
– Área
∆ABO
S =
R
360°
°
2
∆−
–
RSen
2
°
2
∆−
Conceptos previos
a. Sect
Sector
Circular
O
b. Segmento circular
Segmento
Circular
O
c. Circunf
r
RR
O
Áreas de regiones circulares
1. Área del círculo
O
R
S = πR
2
2. Área del sector circular
O
R R
R
A
B
α°
S =
R
360°
°
2
∆−
En la selva peruana se pueden encontrar diversi-
dad de especies de arboles y de flora en general,
esto es muy importante ya que ayuda a la purifi-
cación del aire y del agua, una de las tantas plan-
tas que alberga nuestra amazonia es la planta
acuática llamada Victoria Regia la cual tiene for-
ma circular y crece en las aguas profundas del
rio amazonas. Si el radio de una de ellas es de
15 cm aproximadamente ¿Cuál será el área que
ocupa la planta? ¿el área que ocupa dependerá
del radio de la planta?
Área de regiones circulares
159Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
15. ÁREA DE REGIONES CIRCULARES.indd 159 24/01/2020 23:02:56
6. Área de figuras semejantes
La siguiente figura se forma al trazar
semicircunferencias en cada lado del triángulo
rectángulo, teniendo:
S1
S2
S3
Se cumple:
S
1
+ S
2
= S
3
En efecto, de la siguiente figura se tiene:
c c
c
a
a
b
b
a
S3
S2
S1
S
1
=
a
2
2
∆−
S
2
=
b
2
2
∆−
S
3
=
c
2
2
∆−
Por teorema de Pitágoras:
(2a)
2
+ (2b)
2
= (2c)
2
4a
2
+ 4b
2
= 4c
2
a
2
+ b
2
= c
Reemplazando:
S
3
=
()c ab
22
2 22
π π
=
+
S
3
=
ab
22
22
ππ
+
S
3
= S
1
+ S
2
1. Determina el área de la corona circular
mostrada.
3cm
7cm
O
R = 7cm
r = 3cm
S = π(R
2
– r
2
)
S = π(7
2
– 3
2
)
S = 40π cm
2
2. La figur
encuentra sombreado, si se sabe que la medida
del arco AB
&
es de 60° y el radio mide 8 cm,
calcula el área de dicho segmento.
O
A
R
B
Trazando segmentos auxiliares, tenemos:
A
R60°
R
R
O
B
S = S
sector ABO
– S
∆ABO
S
SectorABO
=
R
360°
°
2
∆−
S
∆ABO
=
Rsen
2
60°
2
Donde a° = 60°,así:
S =
360
60 8
4
83
3
32
163
°
°
2 2
##π
π-= -
S = cm
3
32483
3
16
23 3 2
π
π
-
= -
`j
3. En la figura, AB = 6 cm y BC = 10 cm, además P,
Q y T son puntos de tangencia. Calcula el área
de la región sombreada.
A C
Q
r
B
P
T
Piden el área de la región sombreada, así:
BAC (37° y 53°) & AC = 8 cm
BAC: Aplicando el teorema de Poncelet, se
tiene:
6 + 8 = 10 + 2r
14 = 10 + 2r & r = 2
Así: S = A − A
9
S = ()
2
68
2
2
#
∆−-
S = (24 – 4p) cm
2
160Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
15. ÁREA DE REGIONES CIRCULARES.indd 160 24/01/2020 23:02:57
La siguiente figura se forma al trazar
semicircunferencias en cada lado del triángulo
rectángulo, teniendo:
S1
S2
S3
Se cumple:
S
1
+ S
2
= S
3
En efecto, de la siguiente figura se tiene:
c c
c
a
a
b
b
a
S3
S2
S1
S
1
=
a
2
2
∆−
S
2
=
b
2
2
∆−
S
3
=
c
2
2
∆−
Por teorema de Pitágoras:
(2a)
2
+ (2b)
2
= (2c)
2
4a
2
+ 4b
2
= 4c
2
a
2
+ b
2
= c
Reemplazando:
S
3
=
()c ab
22
2 22
π π
=
+
S
3
=
ab
22
22
ππ
+
S
3
= S
1
+ S
2
1. Determina el área de la corona circular
mostrada.
3cm
7cm
O
R = 7cm
r = 3cm
S = π(R
2
– r
2
)
S = π(7
2
– 3
2
)
S = 40π cm
2
2. La figur
encuentra sombreado, si se sabe que la medida
del arco AB
&
es de 60° y el radio mide 8 cm,
calcula el área de dicho segmento.
O
A
R
B
Trazando segmentos auxiliares, tenemos:
A
R60°
R
R
O
B
S = S
sector ABO
– S
∆ABO
S
SectorABO
=
R
360°
°
2
∆−
S
∆ABO
=
Rsen
2
60°
2
Donde a° = 60°,así:
S =
360
60 8
4
83
3
32
163
°
°
2 2
##π
π-= -
S = cm
3
32483
3
16
23 3 2
π
π
-
= -
`j
3. En la figura, AB = 6 cm y BC = 10 cm, además P,
Q y T son puntos de tangencia. Calcula el área
de la región sombreada.
A C
Q
r
B
P
T
Piden el área de la región sombreada, así:
BAC (37° y 53°) & AC = 8 cm
BAC: Aplicando el teorema de Poncelet, se
tiene:
6 + 8 = 10 + 2r
14 = 10 + 2r & r = 2
Así: S = A − A
9
S = ()
2
68
2
2
#
∆−-
S = (24 – 4p) cm
2
160Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
15. ÁREA DE REGIONES CIRCULARES.indd 160 24/01/2020 23:02:57
2. Posiciones relativas entre dos planos
a. Planos secantes
Recta común
(Arista)
P
Q
A
B
▱P∩▱Q = AB",
b. Planos paralelos
▱P // ▱Q
P
Q
3. Posiciones relativas entre una recta y un plano
a. Recta secante a un plano
L
Q
P
b. Recta paralela a un plano
L
P
L // ▱P
c. Recta contenida en un plano
L
P
L ⊂ ▱ P
Conceptos previos
1. Plano: Es la superficie ilimitada formada por in-
finitos puntos, en la cual toda recta que pase
por dos de ellos está totalmente contenida en
dicha supeficie.
A
B
P
L
En el gráfico:
A y B son puntos que pertenecen al plano P, por
lo tanto la recta L esta contenida en el plano
Un plano se puede formar por:
a. Tres puntos no colineales
A
B
C
P
b. Dos rectas secantes
P
L1 L2
Q
c. Dos rectas paralelas
L1
L2
P
d. Una recta y un punto exterior a la recta
LM
P
Debido al crecimiento de los ríos en cier-
tas temporadas, algunas regiones de la selva
construyen sus casas con cierta elevación so-
bre el suelo, para ello usan palos que ayudan
como soporte y elevación de las viviendas para
que así sus casas no se vean afectadas por el
crecimiento del rio.
¿De qué manera deben de colocarse los sopor-
tes de las casas? ¿Son estas rectas paralelas?
Geometría del espacio
161Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
16. GEOMETRIA DEL ESPACIO.indd 161 25/01/2020 00:24:16
a. Planos secantes
Recta común
(Arista)
P
Q
A
B
▱P∩▱Q = AB",
b. Planos paralelos
▱P // ▱Q
P
Q
3. Posiciones relativas entre una recta y un plano
a. Recta secante a un plano
L
Q
P
b. Recta paralela a un plano
L
P
L // ▱P
c. Recta contenida en un plano
L
P
L ⊂ ▱ P
Conceptos previos
1. Plano: Es la superficie ilimitada formada por in-
finitos puntos, en la cual toda recta que pase
por dos de ellos está totalmente contenida en
dicha supeficie.
A
B
P
L
En el gráfico:
A y B son puntos que pertenecen al plano P, por
lo tanto la recta L esta contenida en el plano
Un plano se puede formar por:
a. Tres puntos no colineales
A
B
C
P
b. Dos rectas secantes
P
L1 L2
Q
c. Dos rectas paralelas
L1
L2
P
d. Una recta y un punto exterior a la recta
LM
P
Debido al crecimiento de los ríos en cier-
tas temporadas, algunas regiones de la selva
construyen sus casas con cierta elevación so-
bre el suelo, para ello usan palos que ayudan
como soporte y elevación de las viviendas para
que así sus casas no se vean afectadas por el
crecimiento del rio.
¿De qué manera deben de colocarse los sopor-
tes de las casas? ¿Son estas rectas paralelas?
Geometría del espacio
161Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
16. GEOMETRIA DEL ESPACIO.indd 161 25/01/2020 00:24:16
4. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
a. Las rectasL1y L2 son secantes y pertenecen
al plano P
L1 L2
P
b. Las rectas L1y L2 son paralelas y pertencen
al plano P
L1
L2
P
c. Rectas alabeadas o cruzadas: No tienen
ningun punto en común y no forman planos.
P L2
L1
Si L1∩L2 = ∅ / L1 y L2 no son
coplanares (no pertenecen a un mismo
plano) entonces L1 y L2 son alabeadas.
5. Recta perpendicular a un plano. Una recta es
perpendicular a un plano, cuando la recta es
perpendicular a todas las rectas que están con-
tenidas en dicho plano.
L1
L3
L2
P
Propiedad: Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes entonces es perpendicular al plano que determinan dichas rectas.
:;Si yPLL LLLL L
12 31 32 3
&+ Q= ==!
6. T
a. Teorema de las tres perpendiculares. Si por el
pie de una recta perpendicular a un plano, se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano y se une el pie de la segunda con cualquier punto de la primera, se obtiene una tercera recta perpendicular a la recta contenida.
Si: L1 ⊥ ▱ Q;
HE ⊥ L2
∧ F ∈ L1
⇒ FE ⊥ L2
L1
L2
F
H
E
Q
Ejemplo:
En la siguiente figura:
T
P
L
O
Q
El rayo OP es perpendicular al plano Q,
el segmento OT es perpendicular a la
recta L, entonces por el teorema de las
tres perpendiculares el segmento PT es
perpendicular a la recta L.
b. Teorema de Tales en el espacio: Sean los planos
P; Q y S tal como se muestra en la figura:
A E M
B F N
C H L
P
Q
S
Si los planos P, Q y S son paralelos entre sí, entonces:
BC
AB
FH
EF
NL
MN
== =k
Donde k: constante.
7. Ángulo entre rectas alabeadas
L2
L1
P
Para encontrar el ángulo entre las rectas
alabeadas L1y L2 se traza una recta paralela
a L2 que este contenida en el plano y que
corte a la recta L1. Gráficamente:
α
β
P
L2
L3
L1
P
Sean: L1y L2 rectas alabeadas:
• a, b: son ángulos determinados por L1y L2
• Si a = 90°, entonces:
L1y L2 son ortogonales.
162Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
16. GEOMETRIA DEL ESPACIO.indd 162 25/01/2020 00:24:17
a. Las rectasL1y L2 son secantes y pertenecen
al plano P
L1 L2
P
b. Las rectas L1y L2 son paralelas y pertencen
al plano P
L1
L2
P
c. Rectas alabeadas o cruzadas: No tienen
ningun punto en común y no forman planos.
P L2
L1
Si L1∩L2 = ∅ / L1 y L2 no son
coplanares (no pertenecen a un mismo
plano) entonces L1 y L2 son alabeadas.
5. Recta perpendicular a un plano. Una recta es
perpendicular a un plano, cuando la recta es
perpendicular a todas las rectas que están con-
tenidas en dicho plano.
L1
L3
L2
P
Propiedad: Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes entonces es perpendicular al plano que determinan dichas rectas.
:;Si yPLL LLLL L
12 31 32 3
&+ Q= ==!
6. T
a. Teorema de las tres perpendiculares. Si por el
pie de una recta perpendicular a un plano, se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano y se une el pie de la segunda con cualquier punto de la primera, se obtiene una tercera recta perpendicular a la recta contenida.
Si: L1 ⊥ ▱ Q;
HE ⊥ L2
∧ F ∈ L1
⇒ FE ⊥ L2
L1
L2
F
H
E
Q
Ejemplo:
En la siguiente figura:
T
P
L
O
Q
El rayo OP es perpendicular al plano Q,
el segmento OT es perpendicular a la
recta L, entonces por el teorema de las
tres perpendiculares el segmento PT es
perpendicular a la recta L.
b. Teorema de Tales en el espacio: Sean los planos
P; Q y S tal como se muestra en la figura:
A E M
B F N
C H L
P
Q
S
Si los planos P, Q y S son paralelos entre sí, entonces:
BC
AB
FH
EF
NL
MN
== =k
Donde k: constante.
7. Ángulo entre rectas alabeadas
L2
L1
P
Para encontrar el ángulo entre las rectas
alabeadas L1y L2 se traza una recta paralela
a L2 que este contenida en el plano y que
corte a la recta L1. Gráficamente:
α
β
P
L2
L3
L1
P
Sean: L1y L2 rectas alabeadas:
• a, b: son ángulos determinados por L1y L2
• Si a = 90°, entonces:
L1y L2 son ortogonales.
162Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
16. GEOMETRIA DEL ESPACIO.indd 162 25/01/2020 00:24:17
8. Pro
La proyección ortogonal de un punto sobre un
plano, es el pie de la perpendicular trazada de
dicho punto hacia el plano.
La proyección ortogonal de una recta sobre un
plano es el conjunto de proyecciones de los
puntos de la recta sobre dicho plano.
Plano de
proyección
A
A' B'
B
P'
P
Q
1. Grafica un plano, una recta contenida en él y
una recta paralela al plano.
P
L1
L2
2. Clasifica los planos según las posiciones entre
ellos.
A
B
Planos paralelos
A
B
Planos secantes
3. En el siguiente gráfico BP es perpendicular
al plano del cuadrado ABCD, si se tiene que
AB = BP = k, donde Q es punto medio de CD ,
encuentra el área de la región sombreada.
S
A D
Q
C
P
B
M
Del gráfico tenemos BP ⊥ ▱M, además, por
el teorema de las tres perpendiculares, al
trazar PC , se cumple PC ⊥ CD
kk
kk
S
A D
Q
C
P
k/2
k/2
B
kk
2k
M
kk
Luego:
S =
bh
2
#
; b =
k
2
h = k2
Por lo tanto:
S =
k
k
k
2
2
2
4
2
2#
=
4. Sea el segmento AB secante al plano P, donde las
mínimas distancias de A y B hacia el plano son 6 cm y
9 cm, respectivamente. Si la proyección del segmento
AB
sobre el plano es 30 cm. Encuentra la distancia
entre los puntos A y B.
P
A
A' B'
BH
30
99
66
99
Por el teorema de Pitágoras
AB
2
= AH
2
+ HB
2
AB
2
= 15
2
+ 30
2
AB = 155 cm
163Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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16. GEOMETRIA DEL ESPACIO.indd 163 25/01/2020 00:24:18
La proyección ortogonal de un punto sobre un
plano, es el pie de la perpendicular trazada de
dicho punto hacia el plano.
La proyección ortogonal de una recta sobre un
plano es el conjunto de proyecciones de los
puntos de la recta sobre dicho plano.
Plano de
proyección
A
A' B'
B
P'
P
Q
1. Grafica un plano, una recta contenida en él y
una recta paralela al plano.
P
L1
L2
2. Clasifica los planos según las posiciones entre
ellos.
A
B
Planos paralelos
A
B
Planos secantes
3. En el siguiente gráfico BP es perpendicular
al plano del cuadrado ABCD, si se tiene que
AB = BP = k, donde Q es punto medio de CD ,
encuentra el área de la región sombreada.
S
A D
Q
C
P
B
M
Del gráfico tenemos BP ⊥ ▱M, además, por
el teorema de las tres perpendiculares, al
trazar PC , se cumple PC ⊥ CD
kk
kk
S
A D
Q
C
P
k/2
k/2
B
kk
2k
M
kk
Luego:
S =
bh
2
#
; b =
k
2
h = k2
Por lo tanto:
S =
k
k
k
2
2
2
4
2
2#
=
4. Sea el segmento AB secante al plano P, donde las
mínimas distancias de A y B hacia el plano son 6 cm y
9 cm, respectivamente. Si la proyección del segmento
AB
sobre el plano es 30 cm. Encuentra la distancia
entre los puntos A y B.
P
A
A' B'
BH
30
99
66
99
Por el teorema de Pitágoras
AB
2
= AH
2
+ HB
2
AB
2
= 15
2
+ 30
2
AB = 155 cm
163Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
16. GEOMETRIA DEL ESPACIO.indd 163 25/01/2020 00:24:18
164Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ángulos poliedros
Se llama ángulo poliedro a la región del espacio
limitadas por tres o más planos que se cortan dos
a dos, según sus rectas concurrentes en un punto.
Clasificación
Según el número de planos que lo limita se pue-
den clasificar en: ángulo triedro y ángulo poliedro.
1.
Ángulo triedro Es aquel ángulo sólido que se determina por tres
rayos concurrentes coplanares entre sí dos a dos.
A
C
y
x
a
u
z
O
B
b
Notación:
triedo O − ABC
Elementos:
• Vértice: O
• Caras: a, b y c
• Arista: ,yAB C00 0
• Ánα , β y θ
Clasificación de los ángulos triedros
a. Triedro isósceles: es aquel que tiene dos de
sus caras de igual medida.
O
A
B
C
a
a
u
α ≠ θ
Ángulos diedros
Es aquel ángulo formado por la unión de dos semi-
planos que tienen en común una recta de origen,
la cual recibe el nombre de arista del ángulo die-
dro. Para medir un ángulo diedro se deben trazar
dos rectas perpendiculares hacia la recta común.
arista
P
H
cara
y
x
B
A
O
ucara
0° < θ < 180°
Si θ = 90° ⟹ ▱ P ⊥ ▱ H
Notación:
P - AB - H
a. Plano bisector de un ángulo diedro: es aquel
plano que divide en partes iguales a un ángulo diedro.
Q − AB− P = P − AB − H
u
u
H
P
M
N
A
T
B
Q
b. Diedros complementarios y suplementarios
• Diedros complementarios: dos diedros son
complementarios si suman 90°.
• Diedros suplementarios: se dice que dos
diedros son suplementarios si suman 180°.
La catarata Yumbilla, ubicada en Amazonas, junto
al margen del río Utcubamba posee cuatro caídas
durante todo su recorrido. En cada una de estas
caídas se forman ángulos diedros de mayor me-
dida. Si conforme van bajando las aguas de la ca-
tarata más va aumentando la medida del ángulo
diedro ¿Cuál de las cuatro c
aídas tendrá mayor án-
gulo? ¿Qué planos determinan el ángulo diedro?
Ángulos poliedros
17. ÁNGULOS POLIEDROS.indd 164 24/01/2020 23:03:16
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ángulos poliedros
Se llama ángulo poliedro a la región del espacio
limitadas por tres o más planos que se cortan dos
a dos, según sus rectas concurrentes en un punto.
Clasificación
Según el número de planos que lo limita se pue-
den clasificar en: ángulo triedro y ángulo poliedro.
1.
Ángulo triedro Es aquel ángulo sólido que se determina por tres
rayos concurrentes coplanares entre sí dos a dos.
A
C
y
x
a
u
z
O
B
b
Notación:
triedo O − ABC
Elementos:
• Vértice: O
• Caras: a, b y c
• Arista: ,yAB C00 0
• Ánα , β y θ
Clasificación de los ángulos triedros
a. Triedro isósceles: es aquel que tiene dos de
sus caras de igual medida.
O
A
B
C
a
a
u
α ≠ θ
Ángulos diedros
Es aquel ángulo formado por la unión de dos semi-
planos que tienen en común una recta de origen,
la cual recibe el nombre de arista del ángulo die-
dro. Para medir un ángulo diedro se deben trazar
dos rectas perpendiculares hacia la recta común.
arista
P
H
cara
y
x
B
A
O
ucara
0° < θ < 180°
Si θ = 90° ⟹ ▱ P ⊥ ▱ H
Notación:
P - AB - H
a. Plano bisector de un ángulo diedro: es aquel
plano que divide en partes iguales a un ángulo diedro.
Q − AB− P = P − AB − H
u
u
H
P
M
N
A
T
B
Q
b. Diedros complementarios y suplementarios
• Diedros complementarios: dos diedros son
complementarios si suman 90°.
• Diedros suplementarios: se dice que dos
diedros son suplementarios si suman 180°.
La catarata Yumbilla, ubicada en Amazonas, junto
al margen del río Utcubamba posee cuatro caídas
durante todo su recorrido. En cada una de estas
caídas se forman ángulos diedros de mayor me-
dida. Si conforme van bajando las aguas de la ca-
tarata más va aumentando la medida del ángulo
diedro ¿Cuál de las cuatro c
aídas tendrá mayor án-
gulo? ¿Qué planos determinan el ángulo diedro?
Ángulos poliedros
17. ÁNGULOS POLIEDROS.indd 164 24/01/2020 23:03:16
165Geometr?a
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Propiedades
a. La suma de las caras está comprendida entre 0°
y 360°, es decir:
0° < α + β + θ < 360°
b. La medida de una cara es mayor a la diferencia
y menor a la suma de las otras 2 caras.
α − θ < β < α + β
c. La suma de los diedros está comprendida entre
0° y 540°, es decir:
0° < x + y + z < 540°
d. A mayor cara se le opone mayor diedro.
Si: β > θ ⟹ x > y
e. A caras de igual medida, se le oponen diedros
de igual medida.
Si: α = β ⟹ x = z
2. Ángulo poliedro
Figura del espacio formada por varios planos
que comparten un mismo punto en común,
cuyo nombre será tomado del número de pla-
nos que lo conformen.
f
u
b
a
B
C
E
ab
c
A
D
O
Notación: O - ABCDE
Elementos de un ángulo poliedro:
• Vértice: O
• Arista: ,, ,.yAB CD E00 00 0
• C ,, .ABBCCDyDE00 00WW WW
• Ánα , β, θ, ϕ
Propiedad:
Se cumple que la sumatoria de los ángulos de las
caras que conforman el ángulo poliedro es mayor
a 0° y menor a los 360°
caras03 60°°11/
b. T es aquel que tiene todas
sus caras de igual medida.
O
A
B
C
u
uu
c. T es aquel que posee todas
sus caras de distinta medida.
O
C
B
A
u
b
a
α ≠ β ≠θ
d. Triedro rectángulo: es aquel que tiene una
cara con medida igual a 90°.
C
BA
O
e. T posee dos caras con
medida igual a 90°.
A
C
B
O
f. T posee tres caras con
medida igual a 90°.
A
C
B
O
17. ÁNGULOS POLIEDROS.indd 165 24/01/2020 23:03:17
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Propiedades
a. La suma de las caras está comprendida entre 0°
y 360°, es decir:
0° < α + β + θ < 360°
b. La medida de una cara es mayor a la diferencia
y menor a la suma de las otras 2 caras.
α − θ < β < α + β
c. La suma de los diedros está comprendida entre
0° y 540°, es decir:
0° < x + y + z < 540°
d. A mayor cara se le opone mayor diedro.
Si: β > θ ⟹ x > y
e. A caras de igual medida, se le oponen diedros
de igual medida.
Si: α = β ⟹ x = z
2. Ángulo poliedro
Figura del espacio formada por varios planos
que comparten un mismo punto en común,
cuyo nombre será tomado del número de pla-
nos que lo conformen.
f
u
b
a
B
C
E
ab
c
A
D
O
Notación: O - ABCDE
Elementos de un ángulo poliedro:
• Vértice: O
• Arista: ,, ,.yAB CD E00 00 0
• C ,, .ABBCCDyDE00 00WW WW
• Ánα , β, θ, ϕ
Propiedad:
Se cumple que la sumatoria de los ángulos de las
caras que conforman el ángulo poliedro es mayor
a 0° y menor a los 360°
caras03 60°°11/
b. T es aquel que tiene todas
sus caras de igual medida.
O
A
B
C
u
uu
c. T es aquel que posee todas
sus caras de distinta medida.
O
C
B
A
u
b
a
α ≠ β ≠θ
d. Triedro rectángulo: es aquel que tiene una
cara con medida igual a 90°.
C
BA
O
e. T posee dos caras con
medida igual a 90°.
A
C
B
O
f. T posee tres caras con
medida igual a 90°.
A
C
B
O
17. ÁNGULOS POLIEDROS.indd 165 24/01/2020 23:03:17
166Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1. Determina el mínimo valor de M = z(x + 2y), si
el triedro mostrado es trirectángulo.
(10z
3
+10)°
(4x + 38)°
(3y
2
− 15)°
O
C
B
A
Por dato:
4x + 38 = 90
⇒ 4x = 52
⇒ x = 13
3y
2
+ 15 = 90
⇒ 3y
2
= 75
⇒ y
2
= 25
⇒ y = ±5
10z
3
+ 10 = 90
⇒ 10z
3
= 80
⇒ z
3
= 8
⇒ z = 2
Así:
M
mín
= 2(13 + 2 × (−5))
M
mín
= 2(13 − 10) = 6
2. Dado
diámetro AB, tales que los planos que los con-
tienen son perpendiculares entre sí. Calcula el
valor de la tangente del diedro formado por
los planos que contienen al triángulo MDC y al
cuadrado ABCD, si AM
'
= MB
&
.
DA
M
C
B
DA
a
a
a
H 2a
2a
a
a
P
M
C
B
a
Trazamos
MH ⊥ AB
Como:
AM
'
= MB
&
⇒ AH = BH = a
Donde a es el radio de la semicircunferencia.
Trazamos HP // AD ⇒ HP ⊥ PC
Por ser planos perpendiculares MH ⊥ HP
Por el teorema de las tres perpendiculares:
MP ⊥ DC
Luego, α es el diedro buscado. Además, completando los lados del cuadrado:
tan α =
a
a
22
1
= ⇒ tan α =0,5.
3. En un triedro isósceles, donde la cara diferente
es la mayor, dos de sus caras están en relación
de 3 a 4. Calcula el mayor valor de estas, si son
valores enteros.
Del dato:
kk
4
3
34& /
b
a
ab== =
Luego, α = 3k es el valor de las caras iguales.
⇒ Σ
CARAS
= 3k + 3k + 4k < 360°
⇒ 10k < 360°
⇒ k < 36°
Por lo tanto, k
máx
= 35°
Así: Σ
CARAS
= 3(35) + 3(35) + 4(35)
∴ Σ
CARAS
máx
= 350°
4. En la siguiente figura, el ángulo diedro P − MN − Q,
mide 60°. Si AB = 2 u, AC = 4 u , y DB = 5 u.
Determina el valor en unidades de la longitud de DC
.
N
M
B
A
C
Q
P
D
N
M
B
A
C
R
24
4
Q
P
D
60°
5
Formamos el rectángulo ACRB trazando BR //AC.
Entonces:
AC = BR = 4, RB ⊥ MN ∧ AB = CR = 2,
⇒ m ∠ DBR = 60°.
Aplicamos ley de cosenos en el ∆DBR: DR
2
= 5
2
+ 4
2
− 2 × 5 × 4 × cos60° ⇒ DR
2
= 21
Además DB ⊥ MN ∧ BR ⊥ CR ⇒ DR ⊥ RC
Aplicamos Pitágoras en el ⊿DRC:
DR
2
+ 2
2
= DC
2
⇒ 21 + 4 = DC
2
∴DC = 5 u
17. ÁNGULOS POLIEDROS.indd 166 24/01/2020 23:03:18
1. Determina el mínimo valor de M = z(x + 2y), si
el triedro mostrado es trirectángulo.
(10z
3
+10)°
(4x + 38)°
(3y
2
− 15)°
O
C
B
A
Por dato:
4x + 38 = 90
⇒ 4x = 52
⇒ x = 13
3y
2
+ 15 = 90
⇒ 3y
2
= 75
⇒ y
2
= 25
⇒ y = ±5
10z
3
+ 10 = 90
⇒ 10z
3
= 80
⇒ z
3
= 8
⇒ z = 2
Así:
M
mín
= 2(13 + 2 × (−5))
M
mín
= 2(13 − 10) = 6
2. Dado
diámetro AB, tales que los planos que los con-
tienen son perpendiculares entre sí. Calcula el
valor de la tangente del diedro formado por
los planos que contienen al triángulo MDC y al
cuadrado ABCD, si AM
'
= MB
&
.
DA
M
C
B
DA
a
a
a
H 2a
2a
a
a
P
M
C
B
a
Trazamos
MH ⊥ AB
Como:
AM
'
= MB
&
⇒ AH = BH = a
Donde a es el radio de la semicircunferencia.
Trazamos HP // AD ⇒ HP ⊥ PC
Por ser planos perpendiculares MH ⊥ HP
Por el teorema de las tres perpendiculares:
MP ⊥ DC
Luego, α es el diedro buscado. Además, completando los lados del cuadrado:
tan α =
a
a
22
1
= ⇒ tan α =0,5.
3. En un triedro isósceles, donde la cara diferente
es la mayor, dos de sus caras están en relación
de 3 a 4. Calcula el mayor valor de estas, si son
valores enteros.
Del dato:
kk
4
3
34& /
b
a
ab== =
Luego, α = 3k es el valor de las caras iguales.
⇒ Σ
CARAS
= 3k + 3k + 4k < 360°
⇒ 10k < 360°
⇒ k < 36°
Por lo tanto, k
máx
= 35°
Así: Σ
CARAS
= 3(35) + 3(35) + 4(35)
∴ Σ
CARAS
máx
= 350°
4. En la siguiente figura, el ángulo diedro P − MN − Q,
mide 60°. Si AB = 2 u, AC = 4 u , y DB = 5 u.
Determina el valor en unidades de la longitud de DC
.
N
M
B
A
C
Q
P
D
N
M
B
A
C
R
24
4
Q
P
D
60°
5
Formamos el rectángulo ACRB trazando BR //AC.
Entonces:
AC = BR = 4, RB ⊥ MN ∧ AB = CR = 2,
⇒ m ∠ DBR = 60°.
Aplicamos ley de cosenos en el ∆DBR: DR
2
= 5
2
+ 4
2
− 2 × 5 × 4 × cos60° ⇒ DR
2
= 21
Además DB ⊥ MN ∧ BR ⊥ CR ⇒ DR ⊥ RC
Aplicamos Pitágoras en el ⊿DRC:
DR
2
+ 2
2
= DC
2
⇒ 21 + 4 = DC
2
∴DC = 5 u
17. ÁNGULOS POLIEDROS.indd 166 24/01/2020 23:03:18
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Geometr?a
Unidad 3 UNIDAD
4
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
167
18. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.indd 167 24/01/2020 23:03:25
Unidad 3 UNIDAD
4
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
167
18. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.indd 167 24/01/2020 23:03:25
168 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1. Elementos de un poliedro regular
Un poliedro posee los siguientes elementos:
a.
Caras: son las regiones poligonales que limi-
tan a la región.
b. Aristas: son los segmentos formados por la
interior de dos caras, reciben el nombre de
aristas básicas o laterales.
c. Vértice: son la intersección de tres o más aristas.
Cara superior
Arista lateral
Arista básica
Cara inferior
Cara lateral
Vértice
Área total (A
T
): es la suma de las áreas de todas
las caras del poliedro.
Volumen (V): representa el espacio que ocupa
el sólido. Se denota con la letra V.
A los poliedros regulares también se les
conoce como sólidos platónicos, ya que
Platón los utilizaba para representar los
elementos de la naturaleza.
El tetraedro representaba el fuego; el
cubo, la tierra; el octaedro, el aire; el
dodecaedro, el universo y el icosaedro,
ángulos.
Sólidos geométricos
Un sólido geométrico es aquella figura en el es- pacio que está compuesta de figuras geométricas planas.
Propiedades
• Todo sólido geométrico posee tres dimensiones.
• Por su naturaleza los sólidos geométricos
poseen volumen.
• Dado que los sólidos geométricos están
compuestos de figuras planas, se puede hablar
de área, esta puede ser lateral o total.
Sólidos de revolución: Es aquel sólido que se obtie-
ne al rotar una superficie plana alrededor de una
recta contenida en su mismo plano.
Observación
La recta sobre la cual rota la región se le denomina
eje de revolución.
Poliedros: Un poliedro es una región no plana que
es determinada por 4 o más caras, de tal forma
que el lado común entre dos caras adyacentes será
llamado arista, la diagonal de un poliedro es aque-
lla línea que une dos vertices que no pertenecen a
la misma cara.
Poliedros regulares
Son aquellos poliedros donde todas sus caras son
superficies congruentes.
Ejemplo:
H
D
A
E
C
G
B
F
Las Islas Ballestas, ubicadas en Pisco, Ica, son hogar de
animales tales como lobos marinos, pelícanos y pingüi-
nos de Humboldt. Estas islas atraen a miles de turistas
cada año; debido a ello, los ciudadanos del lugar tienen
como propósito construir un mirador desde la costa
para que se pueda observar las islas desde ese lugar. Si
se tienen como opción dos miradores de forma cúbica
cuyas aristas tienen 1,45 m y otro de 1,5 m. ¿Cuál de ellos
necesitará mayor material para su construcción?
Sólidos geométricos
18. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.indd 168 24/01/2020 23:03:26
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1. Elementos de un poliedro regular
Un poliedro posee los siguientes elementos:
a.
Caras: son las regiones poligonales que limi-
tan a la región.
b. Aristas: son los segmentos formados por la
interior de dos caras, reciben el nombre de
aristas básicas o laterales.
c. Vértice: son la intersección de tres o más aristas.
Cara superior
Arista lateral
Arista básica
Cara inferior
Cara lateral
Vértice
Área total (A
T
): es la suma de las áreas de todas
las caras del poliedro.
Volumen (V): representa el espacio que ocupa
el sólido. Se denota con la letra V.
A los poliedros regulares también se les
conoce como sólidos platónicos, ya que
Platón los utilizaba para representar los
elementos de la naturaleza.
El tetraedro representaba el fuego; el
cubo, la tierra; el octaedro, el aire; el
dodecaedro, el universo y el icosaedro,
ángulos.
Sólidos geométricos
Un sólido geométrico es aquella figura en el es- pacio que está compuesta de figuras geométricas planas.
Propiedades
• Todo sólido geométrico posee tres dimensiones.
• Por su naturaleza los sólidos geométricos
poseen volumen.
• Dado que los sólidos geométricos están
compuestos de figuras planas, se puede hablar
de área, esta puede ser lateral o total.
Sólidos de revolución: Es aquel sólido que se obtie-
ne al rotar una superficie plana alrededor de una
recta contenida en su mismo plano.
Observación
La recta sobre la cual rota la región se le denomina
eje de revolución.
Poliedros: Un poliedro es una región no plana que
es determinada por 4 o más caras, de tal forma
que el lado común entre dos caras adyacentes será
llamado arista, la diagonal de un poliedro es aque-
lla línea que une dos vertices que no pertenecen a
la misma cara.
Poliedros regulares
Son aquellos poliedros donde todas sus caras son
superficies congruentes.
Ejemplo:
H
D
A
E
C
G
B
F
Las Islas Ballestas, ubicadas en Pisco, Ica, son hogar de
animales tales como lobos marinos, pelícanos y pingüi-
nos de Humboldt. Estas islas atraen a miles de turistas
cada año; debido a ello, los ciudadanos del lugar tienen
como propósito construir un mirador desde la costa
para que se pueda observar las islas desde ese lugar. Si
se tienen como opción dos miradores de forma cúbica
cuyas aristas tienen 1,45 m y otro de 1,5 m. ¿Cuál de ellos
necesitará mayor material para su construcción?
Sólidos geométricos
18. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.indd 168 24/01/2020 23:03:26
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Geometr?a
Unidad 3 169
Datos de algunos poliedros
Poliedro N° caras N° aristasN° Vértices
Tetraedro 4 6 4
Hexaedro 6 12 8
Octaedro 8 12 6
Dodecaedro 12 30 20
Icosaedro 20 30 12
Teorema de Euler:
En todo poliedro se cumple la siguiente relación:
C + V = A + 2
Donde:
C: N° de carasV: N° de vérticesA: N° de aristas
a. Poliedro convexo: se dice así, cuando una recta
secante corta a su superficie solo en dos puntos.
1
2
b. Poliedro no convexo: Si la recta secante lo di-
vide en 3 puntos o más, será un poliedro no
convexo.
Propiedades
a. La suma de los ángulos de las caras de un
poliedro convexo.
S = 360°(A − C) = 360°(V − 2)
b. Número de diagonales del poliedro (ND)
ND = C
V
2−A−N°diagonales de las caras
c. Número de aristas de un poliedro formado
por caras con el mismo número de lados:
A
nC
2
#
=
n: N° de lados
2. Clasificación de un poliedro regular
a. Tetraedro regular
h
a
h
a
3
6
= Aa 3T
2
= V
a
12
2
3
=
b. He
a
D
D: diagonal
Aa6T
2=
Va
3
= Da 3=
c. Octaedro regular
a
Da 2= Aa23T
2
= V
a
3
2
3
=
d. Dodec
a
Aa32 5105T
2
=+
V
a
4
1575
3
= +`j
e. Ic
a
Aa53T
2=
V
a
12
5
35
3
= +`j
18. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.indd 169 24/01/2020 23:03:27
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Geometr?a
Unidad 3 169
Datos de algunos poliedros
Poliedro N° caras N° aristasN° Vértices
Tetraedro 4 6 4
Hexaedro 6 12 8
Octaedro 8 12 6
Dodecaedro 12 30 20
Icosaedro 20 30 12
Teorema de Euler:
En todo poliedro se cumple la siguiente relación:
C + V = A + 2
Donde:
C: N° de carasV: N° de vérticesA: N° de aristas
a. Poliedro convexo: se dice así, cuando una recta
secante corta a su superficie solo en dos puntos.
1
2
b. Poliedro no convexo: Si la recta secante lo di-
vide en 3 puntos o más, será un poliedro no
convexo.
Propiedades
a. La suma de los ángulos de las caras de un
poliedro convexo.
S = 360°(A − C) = 360°(V − 2)
b. Número de diagonales del poliedro (ND)
ND = C
V
2−A−N°diagonales de las caras
c. Número de aristas de un poliedro formado
por caras con el mismo número de lados:
A
nC
2
#
=
n: N° de lados
2. Clasificación de un poliedro regular
a. Tetraedro regular
h
a
h
a
3
6
= Aa 3T
2
= V
a
12
2
3
=
b. He
a
D
D: diagonal
Aa6T
2=
Va
3
= Da 3=
c. Octaedro regular
a
Da 2= Aa23T
2
= V
a
3
2
3
=
d. Dodec
a
Aa32 5105T
2
=+
V
a
4
1575
3
= +`j
e. Ic
a
Aa53T
2=
V
a
12
5
35
3
= +`j
18. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.indd 169 24/01/2020 23:03:27
170 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
1. Determina la altura y el volumen del tetraedro
regular mostrado.
9
h
h
a
3
6
3
96
==
⇒ h3 6=
V
a
12
2
12
92
33
==
⇒ V
4
2432
=
2. El
de 723cm
2
. Determina su volumen.
a
A
T
= 2a
2
3 = 723
⇒ a
2
= 36
⇒ a = 6 cm
V
a
3
2
3
62
33
==
⇒ V722= cm
3
3. En un poliedro el número de sus caras es igual al nú-
mero de vértices aumentado en 2. Si la razón entre
el número de aristas (A) y el número de caras es
3
5
.
Calcula la suma de C + V + A.
Si C = V + 2
Además
C
A
=
3
5
⟹ A = 5k ∧ C = 3k
Por el teorema de Euler
V + C = A + 2
3k − 2 + 3k = 5k + 2
k = 4
Nos piden C + V + A = 11k − 2 = 11(4) − 2
C + V + A = 42
4. Pedro pinta un cubo. Él se dio cuenta de que si
pintaba solo el área lat
eral del cubo le faltarían
32m
2
para terminar de pintar el cubo.
Calcula
la arista del cubo.
Sabemos que:
A
T
= 6a
2
; A
L
= 4a
2
Por dato: A
T
− A
L
= 6a
2
− 4a
2
= 32
⟹ 2a
2
= 32
⟹ a
2
= 16
⟹ a = 4
5. Si el v
regular es igual al valor numérico de la diagonal de un cubo de lado 4u.
Determina la diferencia
de volúmenes de dichos poliedros regulares
A
T
de un tetraedro = a
2
3u
2
El lado del cubo es 4u, entonces su diagonal
mide 43u
Por dato:
a
2
3 = 43
⟹ a
2
= 4
∴ a = 2
V
cubo
= 4
3
= 64u
3
V
tetraedro
=
a
12
2
12
82
3
22
3
==
u
3
Luego, la diferencia de volúmenes:
V
cubo
− V
tetraedro
= 64 −
3
22
u
3
V
cubo
− V
tetraedro
= u2
3
962
3-J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
18. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.indd 170 24/01/2020 23:03:29
1. Determina la altura y el volumen del tetraedro
regular mostrado.
9
h
h
a
3
6
3
96
==
⇒ h3 6=
V
a
12
2
12
92
33
==
⇒ V
4
2432
=
2. El
de 723cm
2
. Determina su volumen.
a
A
T
= 2a
2
3 = 723
⇒ a
2
= 36
⇒ a = 6 cm
V
a
3
2
3
62
33
==
⇒ V722= cm
3
3. En un poliedro el número de sus caras es igual al nú-
mero de vértices aumentado en 2. Si la razón entre
el número de aristas (A) y el número de caras es
3
5
.
Calcula la suma de C + V + A.
Si C = V + 2
Además
C
A
=
3
5
⟹ A = 5k ∧ C = 3k
Por el teorema de Euler
V + C = A + 2
3k − 2 + 3k = 5k + 2
k = 4
Nos piden C + V + A = 11k − 2 = 11(4) − 2
C + V + A = 42
4. Pedro pinta un cubo. Él se dio cuenta de que si
pintaba solo el área lat
eral del cubo le faltarían
32m
2
para terminar de pintar el cubo.
Calcula
la arista del cubo.
Sabemos que:
A
T
= 6a
2
; A
L
= 4a
2
Por dato: A
T
− A
L
= 6a
2
− 4a
2
= 32
⟹ 2a
2
= 32
⟹ a
2
= 16
⟹ a = 4
5. Si el v
regular es igual al valor numérico de la diagonal de un cubo de lado 4u.
Determina la diferencia
de volúmenes de dichos poliedros regulares
A
T
de un tetraedro = a
2
3u
2
El lado del cubo es 4u, entonces su diagonal
mide 43u
Por dato:
a
2
3 = 43
⟹ a
2
= 4
∴ a = 2
V
cubo
= 4
3
= 64u
3
V
tetraedro
=
a
12
2
12
82
3
22
3
==
u
3
Luego, la diferencia de volúmenes:
V
cubo
− V
tetraedro
= 64 −
3
22
u
3
V
cubo
− V
tetraedro
= u2
3
962
3-J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
18. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.indd 170 24/01/2020 23:03:29
2. Par
bb
ccaa
dd
• Ár A
T
= 2(ab + bc + ac)
• Volumen: V = abc
• Diagonal: D = ab c
22 2
++
3. Prisma oblicuo
Sección
recta (S.R.)
h
• Ár A
L
= (2p
S.R.
)
• Área total: A
T
= A
L
+ 2A
base
• V
V = (A
base
) 3 h
V = (A
S.R.
) 3 h
Observaciones
• Un prisma es recto si las aristas laterales son
perpendiculares a las bases, en caso contrario
será oblicuo
• En todo prisma el número de lados de la base
es igual al número de caras laterales.
• Un prisma se denomina según el polígono que
limita su base.
Prisma
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras pa- ralelas e iguales, llamadas bases mientras que sus demas caras, llamadas caras laterales, son paralelogramos.
Elementos asociados al prisma
A
B
C
A'
C'
B'B'
• B
• Aristas laterales: AA ', BB', CC'
• AAB , BC, AC, A'B', A'C', B'C'
• C
Tipos de prisma
1. Prisma recto
h
Abase
AbaseAbase
A' C'
A C
B'
B
• Ár A
L
= p 3 h
• Área total: A
T
= A
L
+ 2A
base
• V V = A
base
3 h
El castillo de Chancay ubicado en Lima, es un atrac-
tivo turístico el cual cuenta con un museo arqueoló-
gico de la cultura Chancay. Aquí podemos encontrar
una colección de animales disecados; además, cuen-
ta con distintos salones en donde están exhibidas
distintas culturas de todo el mundo. En uno de estos
salones se representa la cultura egipcia, en donde se
ubican pirámides a escala. Si dos de estas pirámides
tienen la misma base. ¿Qué determinara el volumen
de dichas pirámides? ¿En qué relación estarán sus vo-
lúmenes, si la altura de una es la mitad de la otra?
Prisma y pirámide
171Geometr?a
Unidad 4
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
19. PRISMA Y PIRAMIDE.indd 171 24/01/2020 23:03:40
bb
ccaa
dd
• Ár A
T
= 2(ab + bc + ac)
• Volumen: V = abc
• Diagonal: D = ab c
22 2
++
3. Prisma oblicuo
Sección
recta (S.R.)
h
• Ár A
L
= (2p
S.R.
)
• Área total: A
T
= A
L
+ 2A
base
• V
V = (A
base
) 3 h
V = (A
S.R.
) 3 h
Observaciones
• Un prisma es recto si las aristas laterales son
perpendiculares a las bases, en caso contrario
será oblicuo
• En todo prisma el número de lados de la base
es igual al número de caras laterales.
• Un prisma se denomina según el polígono que
limita su base.
Prisma
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras pa- ralelas e iguales, llamadas bases mientras que sus demas caras, llamadas caras laterales, son paralelogramos.
Elementos asociados al prisma
A
B
C
A'
C'
B'B'
• B
• Aristas laterales: AA ', BB', CC'
• AAB , BC, AC, A'B', A'C', B'C'
• C
Tipos de prisma
1. Prisma recto
h
Abase
AbaseAbase
A' C'
A C
B'
B
• Ár A
L
= p 3 h
• Área total: A
T
= A
L
+ 2A
base
• V V = A
base
3 h
El castillo de Chancay ubicado en Lima, es un atrac-
tivo turístico el cual cuenta con un museo arqueoló-
gico de la cultura Chancay. Aquí podemos encontrar
una colección de animales disecados; además, cuen-
ta con distintos salones en donde están exhibidas
distintas culturas de todo el mundo. En uno de estos
salones se representa la cultura egipcia, en donde se
ubican pirámides a escala. Si dos de estas pirámides
tienen la misma base. ¿Qué determinara el volumen
de dichas pirámides? ¿En qué relación estarán sus vo-
lúmenes, si la altura de una es la mitad de la otra?
Prisma y pirámide
171Geometr?a
Unidad 4
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
19. PRISMA Y PIRAMIDE.indd 171 24/01/2020 23:03:40
Pirámide
Sólido geométrico que tiene como base un po-
lígono y como caras laterales triángulos con un
vértice en común.
Elementos asociados a la pirámide
O
Altura
B E
A F
C D
Arista
lateral
Cara
lateral
Base
h
• O •
h: altura
• A
base
: área de la base
• Volumen : V = Ah
3
1
base##
Pirámide regular Es aquella cuya base está limitando por un po-
lígono regular (triángulo equilátero, cuadrado,
pentágono regular, etc), además todas sus aristas
tienen la misma longitud.
El apotema de una pirámide viene a ser la altura
de cualquiera de sus caras laterales.
O
C
DA
B
A
p
ap
H M
α
h
• A
p
: Apotema de la pirámide
• a
p
: Apotema de la base
• Área lateral: A
L
= p
base
× A
p
• Ár A
T
= p
base
(A
p
+ A
base
)
• Área de la base: A
base
= A
L
× cosα
• Volumen: V = Ah
3
1
base
##
1. La
equilátero cuya área es de 163 cm
2
. Siendo
el área lateral del prisma 240 cm
2
,
calcula el
volumen del prisma.
Por dato del problema, se tiene: A = 163
entonces:
L
A
L
hh
L
L
4
3
163
2
=
L
2
= 64 & L = 8 cm
Además:
A
L
= 240 cm
2
3L × h = 240
& h =
()38
240
= 10 cm
V = A × h = 163 × 10 = 1603cm
3
2. Un cuadrado de lado 6 cm es la base de una
pirámide regular, si la altura de dicho sólido
es 4 cm, calcula el valor de la longitud de su
apotema y la arista lateral.
Graficando la pirámide tenemos:
O
C
D6
3
3
3
A
B
H
M
44
Por el teorema de Pitágoras:
Ap
2
= 3
2
+ 4
2
& Ap = 5 cm
Arista lateral: a
2
= Ap
2
+ 3
2
&
a = cm34
172Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
19. PRISMA Y PIRAMIDE.indd 172 24/01/2020 23:03:41
Sólido geométrico que tiene como base un po-
lígono y como caras laterales triángulos con un
vértice en común.
Elementos asociados a la pirámide
O
Altura
B E
A F
C D
Arista
lateral
Cara
lateral
Base
h
• O •
h: altura
• A
base
: área de la base
• Volumen : V = Ah
3
1
base##
Pirámide regular Es aquella cuya base está limitando por un po-
lígono regular (triángulo equilátero, cuadrado,
pentágono regular, etc), además todas sus aristas
tienen la misma longitud.
El apotema de una pirámide viene a ser la altura
de cualquiera de sus caras laterales.
O
C
DA
B
A
p
ap
H M
α
h
• A
p
: Apotema de la pirámide
• a
p
: Apotema de la base
• Área lateral: A
L
= p
base
× A
p
• Ár A
T
= p
base
(A
p
+ A
base
)
• Área de la base: A
base
= A
L
× cosα
• Volumen: V = Ah
3
1
base
##
1. La
equilátero cuya área es de 163 cm
2
. Siendo
el área lateral del prisma 240 cm
2
,
calcula el
volumen del prisma.
Por dato del problema, se tiene: A = 163
entonces:
L
A
L
hh
L
L
4
3
163
2
=
L
2
= 64 & L = 8 cm
Además:
A
L
= 240 cm
2
3L × h = 240
& h =
()38
240
= 10 cm
V = A × h = 163 × 10 = 1603cm
3
2. Un cuadrado de lado 6 cm es la base de una
pirámide regular, si la altura de dicho sólido
es 4 cm, calcula el valor de la longitud de su
apotema y la arista lateral.
Graficando la pirámide tenemos:
O
C
D6
3
3
3
A
B
H
M
44
Por el teorema de Pitágoras:
Ap
2
= 3
2
+ 4
2
& Ap = 5 cm
Arista lateral: a
2
= Ap
2
+ 3
2
&
a = cm34
172Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
19. PRISMA Y PIRAMIDE.indd 172 24/01/2020 23:03:41
Cono de revolución o cono circular recto
El cono de revolución es el sólido generado por la
rotación de un triángulo rectángulo alrededor de
uno de sus catetos.
g
h
r
VérticeVértice
Generatriz (g)Generatriz (g)
Altura (h)Altura (h)
basebase
g
h
r
Desarrollo lateral
g
h
r
g
g
2πr2πr
β
Donde b es el ángulo de desarrollo.
Principales propiedades:
1. Área de la base (A
b
):
A
b
= pr
2
2. Área lat
L
):
A
L
= prg
3. Área total (A
T
):
A
T
= pr
2
+ prg = pr(r+g)
4. Volumen (V):
V =
3
1
pr
2
h
Cilindro de revolución o cilindro cicular recto
Es el sólido generado por la rotación de un rec-
tángulo alrededor de uno de sus lados, sus bases
son dos circulos paralelos cuyos centros pertene-
cen a un segmento perpendicular a las bases.
Eje de rotación
g
Donde sus elementos vienen dados por:
M
N
D C
r
r
h
g
A
B
BaseBase
Base
r: radio g: generatriz h: altura
Par
a estos cilindros, la generatriz es igual a la altura.Principales propiedades:
1. Área de la base (A
b
):
A
b
= pr
2
2. Área lat
L
):
A
L
= 2prg
3. Área total (A
T
)
A
T
= 2prg + 2pr
2
= 2pr(r + g)
4. Volúmen (V)
V = pr
2
h
La corriente peruana o Corriente de Humboldt,
llega a formar remolinos debido a la presencia
del Anticiclón del pacífico Sur, estos son cuerpos
de agua con forma de cono invertido que giran
sobre sí mismos. Normalmente a mayor profun-
didad del remolino mayor es la fuerza con la
que arrastran dichas aguas. Si se llegan a formar
dos remolinos cuyas bases tienen diámetros de
longitud 2 y 2,5 metros ¿Cuál de ellos crees que
tenga mayor arrastre, si es que ambos tienen vo-
lúmenes iguales? ¿Por qué?
Sólidos de revolución
173Geometr?a
Unidad 4
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
20. SOLIDOS DE REVOLUCIÓN.indd 173 25/01/2020 00:22:50
El cono de revolución es el sólido generado por la
rotación de un triángulo rectángulo alrededor de
uno de sus catetos.
g
h
r
VérticeVértice
Generatriz (g)Generatriz (g)
Altura (h)Altura (h)
basebase
g
h
r
Desarrollo lateral
g
h
r
g
g
2πr2πr
β
Donde b es el ángulo de desarrollo.
Principales propiedades:
1. Área de la base (A
b
):
A
b
= pr
2
2. Área lat
L
):
A
L
= prg
3. Área total (A
T
):
A
T
= pr
2
+ prg = pr(r+g)
4. Volumen (V):
V =
3
1
pr
2
h
Cilindro de revolución o cilindro cicular recto
Es el sólido generado por la rotación de un rec-
tángulo alrededor de uno de sus lados, sus bases
son dos circulos paralelos cuyos centros pertene-
cen a un segmento perpendicular a las bases.
Eje de rotación
g
Donde sus elementos vienen dados por:
M
N
D C
r
r
h
g
A
B
BaseBase
Base
r: radio g: generatriz h: altura
Par
a estos cilindros, la generatriz es igual a la altura.Principales propiedades:
1. Área de la base (A
b
):
A
b
= pr
2
2. Área lat
L
):
A
L
= 2prg
3. Área total (A
T
)
A
T
= 2prg + 2pr
2
= 2pr(r + g)
4. Volúmen (V)
V = pr
2
h
La corriente peruana o Corriente de Humboldt,
llega a formar remolinos debido a la presencia
del Anticiclón del pacífico Sur, estos son cuerpos
de agua con forma de cono invertido que giran
sobre sí mismos. Normalmente a mayor profun-
didad del remolino mayor es la fuerza con la
que arrastran dichas aguas. Si se llegan a formar
dos remolinos cuyas bases tienen diámetros de
longitud 2 y 2,5 metros ¿Cuál de ellos crees que
tenga mayor arrastre, si es que ambos tienen vo-
lúmenes iguales? ¿Por qué?
Sólidos de revolución
173Geometr?a
Unidad 4
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
20. SOLIDOS DE REVOLUCIÓN.indd 173 25/01/2020 00:22:50
Esfera
Sólido generado por la rotación de un semicírculo
alrededor de su diámetro, gráficamente se tiene:
Círculo menor
Círculo mayor
o máximo
R
R
R
2R2R
Principales propiedades:
1. Área (A):
A = 4pR
2
2. V
V =
3
4
pR
3
Huso esférico
Porción de superficie esferica comprendida entre
dos semicircunferencias máximas.
R
RR
RR
α
Área del huso (A
H
) =
R
90°
2
Donde:
a está en grados sexagesimales.
Cuña esférica Porción de esfera comprendida entre dos semi-
círculos máximos y su huso esférico.
R
RR
RR
α
Volumen de la cuña (V
C
) =
R
270°
3
Donde:
a está en grados sexagesimales
1. Un cilindro recto de volumen V, contiene
agua hasta los
4
3
de su volumen. Halla en que
relación se encuentran las alturas de los dos
volúmenes respectivamente.
Sea H la altura del cilindro y h la altura a la
que se ubica el nivel de agua, entonces:
H
h
r
V = (πr
2
)H /
4
3
V = (πr
2
)h
Dividiendo estas igualdades:
()
()
V
V
rh
rH
4
3
2
2
p
p
=
&
h
H
3
4
=
2. Un c
2p13cm
2
. Si el radio de la base es de 2 cm,
determina el volumen del cono.
Graficando el cono:
h
g
2 cm
Según la fórmula:
A
L
= prg
& 2p13 = p(2)g & g = 13 cm
Por el teorema de Pitágoras:
g
2
= h
2
+ r
2
& 13 = h
2
+ 2
2
h
2
= 9
h = 3 cm
Por lo tanto:
V =
3
1
pr
2
h
V =
3
1
3 p 3 4 3 3
V = 4p cm
3
174Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
20. SOLIDOS DE REVOLUCIÓN.indd 174 25/01/2020 00:22:51
Sólido generado por la rotación de un semicírculo
alrededor de su diámetro, gráficamente se tiene:
Círculo menor
Círculo mayor
o máximo
R
R
R
2R2R
Principales propiedades:
1. Área (A):
A = 4pR
2
2. V
V =
3
4
pR
3
Huso esférico
Porción de superficie esferica comprendida entre
dos semicircunferencias máximas.
R
RR
RR
α
Área del huso (A
H
) =
R
90°
2
Donde:
a está en grados sexagesimales.
Cuña esférica Porción de esfera comprendida entre dos semi-
círculos máximos y su huso esférico.
R
RR
RR
α
Volumen de la cuña (V
C
) =
R
270°
3
Donde:
a está en grados sexagesimales
1. Un cilindro recto de volumen V, contiene
agua hasta los
4
3
de su volumen. Halla en que
relación se encuentran las alturas de los dos
volúmenes respectivamente.
Sea H la altura del cilindro y h la altura a la
que se ubica el nivel de agua, entonces:
H
h
r
V = (πr
2
)H /
4
3
V = (πr
2
)h
Dividiendo estas igualdades:
()
()
V
V
rh
rH
4
3
2
2
p
p
=
&
h
H
3
4
=
2. Un c
2p13cm
2
. Si el radio de la base es de 2 cm,
determina el volumen del cono.
Graficando el cono:
h
g
2 cm
Según la fórmula:
A
L
= prg
& 2p13 = p(2)g & g = 13 cm
Por el teorema de Pitágoras:
g
2
= h
2
+ r
2
& 13 = h
2
+ 2
2
h
2
= 9
h = 3 cm
Por lo tanto:
V =
3
1
pr
2
h
V =
3
1
3 p 3 4 3 3
V = 4p cm
3
174Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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3. Encuentra la relación entre los volúmenes de
un cubo regular y un cilindro de revolución
inscrito de manera que sus bases pertenecen a
las caras opuestas del cubo.
a
O
a
a/2
V
V
a
a
a
a
a
2 4
cilindro
cubo
2
3
3
3
p
p
==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
&
V
V 4cilindrocubo
JL
=
4. Calcula el volumen del sólido formado por el
giro del cuadrado alrededor del eje L.
A
L
D
B
C
2 cm2 cm8
Como la figura a rotar es un cuadrado,
entonces:
AB = BC = 8 cm
El sólido generado es un cilindro, así:
V = pR
2
h
V = p(8
2
)(8)
V = 512p cm
3
5. Se tiene un cilindro de revolución, tal que el
área de su superficie lateral es numéricamente igual a su volumen.
Calcula la distancia del
centro de la base a una generatriz.
La distancia requerida viene a ser el radio,
como se muestra en la figura:
h
O
r
A
L
= V (numéricamente)
& 2πrh = πr
2
h
& r = 2u
6. El área de la superficie total de un cono es
200π m
2
, el producto de las longitudes de su
generatriz y el radio de la base es 136 m
2
.
Calcula
el radio de dicho cono.
g
h
O
RR
En la figura:
V =
Rh
3
2
JL
; g∙R = 136
Si: A
T
=
πRg + πR
2
Luego: A
T
= 200π
Reemplazando: Rg = 136
200π = 136π + πR
2
64
π = πR
2
64 = R
2
R = 8 m
7. Determina el volumen del sólido mostrado en
la figura.
33
O
2
V
sólido
= V
cono
+ V
semiesfera
Donde: r = 2, h = 3
V
cono
=
3
1
πr
2
h =
3
1
π(2
2
)3 = 4π cm
3
V
semiesfera
=
3
2
π(2
3
) =
3
16JL
cm
3
V
sólido
= 4π +
3
16
3
28pp
= cm
3
⇒ V
sólido
=
3
28JL
cm
3
Profundiza tus conocimientos sobre el
tema ingresando al siguiente link:
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TIC
175Geometr?a
Unidad 4
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un cubo regular y un cilindro de revolución
inscrito de manera que sus bases pertenecen a
las caras opuestas del cubo.
a
O
a
a/2
V
V
a
a
a
a
a
2 4
cilindro
cubo
2
3
3
3
p
p
==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
&
V
V 4cilindrocubo
JL
=
4. Calcula el volumen del sólido formado por el
giro del cuadrado alrededor del eje L.
A
L
D
B
C
2 cm2 cm8
Como la figura a rotar es un cuadrado,
entonces:
AB = BC = 8 cm
El sólido generado es un cilindro, así:
V = pR
2
h
V = p(8
2
)(8)
V = 512p cm
3
5. Se tiene un cilindro de revolución, tal que el
área de su superficie lateral es numéricamente igual a su volumen.
Calcula la distancia del
centro de la base a una generatriz.
La distancia requerida viene a ser el radio,
como se muestra en la figura:
h
O
r
A
L
= V (numéricamente)
& 2πrh = πr
2
h
& r = 2u
6. El área de la superficie total de un cono es
200π m
2
, el producto de las longitudes de su
generatriz y el radio de la base es 136 m
2
.
Calcula
el radio de dicho cono.
g
h
O
RR
En la figura:
V =
Rh
3
2
JL
; g∙R = 136
Si: A
T
=
πRg + πR
2
Luego: A
T
= 200π
Reemplazando: Rg = 136
200π = 136π + πR
2
64
π = πR
2
64 = R
2
R = 8 m
7. Determina el volumen del sólido mostrado en
la figura.
33
O
2
V
sólido
= V
cono
+ V
semiesfera
Donde: r = 2, h = 3
V
cono
=
3
1
πr
2
h =
3
1
π(2
2
)3 = 4π cm
3
V
semiesfera
=
3
2
π(2
3
) =
3
16JL
cm
3
V
sólido
= 4π +
3
16
3
28pp
= cm
3
⇒ V
sólido
=
3
28JL
cm
3
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175Geometr?a
Unidad 4
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20. SOLIDOS DE REVOLUCIÓN.indd 175 25/01/2020 00:22:53
Aritmética
Referencias bibliográficas
• Dr A Aritmética Teórico Practica. Madrid España
• Peterson, J. (2001).
Matemáticas básicas. México D.F
•
Gentile, Enzo.
Aritmética Elemental. OEA. Washington
•
Océano (2013).
El Mentor de matemáticas. Barcelona España
Enlaces bibliográficos
•
https://carc1975.files.wordpress.com/2018/07/aritmetica-de-baldor.pdf
• http://www.estalmat.org/archivos/TEORIA_de_conjuntos.pdf
• http://inst-mat.utalca.cl/tem/sitiolmde/temas/numeros/RazonesProporciones-res.pdf
Álgebra
Referencias bibliográficas
•
G.M. Bruño. Algebra Curso Superior Ediciones Bruño Madrid.
• Dr. Aurelio Baldor (1992). Álgebra Publicaciones Cultural Madrid España.
• Rondon, Jorge Eliécer. Algebra, Trigonometria Y Geometria Analitica. Unad. Bogota 2010
• STANLEY, A Smith, Y Otros.
Álgebra y Trigonometría. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana Colombia. 1997
Enlaces bibliográficos
•
http://materosnelda.blogspot.com/2016/12/pagina-de-inicio.html
• https://www.academia.edu/8308121/Problemas_de_Matem%C3%A1tica_Elementar_-_V._B._Lidski_1
• http://www.educando.edu.do/Userfiles/P0001/File/algebrabaldor.pdf
• http://www.fi.unsj.edu.ar/descargas/ingreso/Unidad5.pdf
Geometría
Referencias bibliográficas
•
Dr A Álgebra. Madrid España
• Leithol, L. (2007). Álgebra, Trigonometría y Geometría analítica. Oxford. México.
• Ballester Sampedro, F., Ballester Sampedro, J. y Ballester Sampedro. S. Ejercicios Con Sucesiones,
Progresiones aritmeticas y geométricas en secundaria. Madrid. Editorial Liber Factory, 88 P.
• BARNETT, Raymond A. Uribe Calad Julio A. Álgebra Y Geometría, Mc. Graw Hill, Bogotá, 1989.
Enlaces bibliográficos
•
http://www.educando.edu.do/Userfiles/P0001/File/algebrabaldor.pdf
• http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/pdf/Global.pdf
• http://www.acm.ciens.ucv.ve/main/GEOMETRIA-DarioDuran.pdf
• http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/pdf/Global.pdf
Bibliografía y páginas web
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Referencias bibliográficas
• Dr A Aritmética Teórico Practica. Madrid España
• Peterson, J. (2001).
Matemáticas básicas. México D.F
•
Gentile, Enzo.
Aritmética Elemental. OEA. Washington
•
Océano (2013).
El Mentor de matemáticas. Barcelona España
Enlaces bibliográficos
•
https://carc1975.files.wordpress.com/2018/07/aritmetica-de-baldor.pdf
• http://www.estalmat.org/archivos/TEORIA_de_conjuntos.pdf
• http://inst-mat.utalca.cl/tem/sitiolmde/temas/numeros/RazonesProporciones-res.pdf
Álgebra
Referencias bibliográficas
•
G.M. Bruño. Algebra Curso Superior Ediciones Bruño Madrid.
• Dr. Aurelio Baldor (1992). Álgebra Publicaciones Cultural Madrid España.
• Rondon, Jorge Eliécer. Algebra, Trigonometria Y Geometria Analitica. Unad. Bogota 2010
• STANLEY, A Smith, Y Otros.
Álgebra y Trigonometría. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana Colombia. 1997
Enlaces bibliográficos
•
http://materosnelda.blogspot.com/2016/12/pagina-de-inicio.html
• https://www.academia.edu/8308121/Problemas_de_Matem%C3%A1tica_Elementar_-_V._B._Lidski_1
• http://www.educando.edu.do/Userfiles/P0001/File/algebrabaldor.pdf
• http://www.fi.unsj.edu.ar/descargas/ingreso/Unidad5.pdf
Geometría
Referencias bibliográficas
•
Dr A Álgebra. Madrid España
• Leithol, L. (2007). Álgebra, Trigonometría y Geometría analítica. Oxford. México.
• Ballester Sampedro, F., Ballester Sampedro, J. y Ballester Sampedro. S. Ejercicios Con Sucesiones,
Progresiones aritmeticas y geométricas en secundaria. Madrid. Editorial Liber Factory, 88 P.
• BARNETT, Raymond A. Uribe Calad Julio A. Álgebra Y Geometría, Mc. Graw Hill, Bogotá, 1989.
Enlaces bibliográficos
•
http://www.educando.edu.do/Userfiles/P0001/File/algebrabaldor.pdf
• http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/pdf/Global.pdf
• http://www.acm.ciens.ucv.ve/main/GEOMETRIA-DarioDuran.pdf
• http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/pdf/Global.pdf
Bibliografía y páginas web
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