Matemáticas 1 bach cn anaya. Solucionario

Solucionario Anaya 1 bachillerato ciencias COMPLETO.

1. Página 26
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
El número áureo
Para hallar la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular, da los si-
guientes pasos:
a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes.
Recordamos los ángulos de un pentágono:
1º. α = = 72°; β= = 54°; 2 β= 108°
2º. γ= = 36°
3º.
^
B= 108° – 2 · 36° = 36°
^
E=
^
D= = 72°
Sabíamos que γ= 36°.
El triángulo BECes idéntico al BED:
^
C=
^
E=
^
D= 72°⇒
^
F= 72°
Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales ⇒ son semejantes.
180° – 36°
2
180° – 108°
2
180° – 72°
2
360°
5
Unidad 1. Números reales
1
NÚMEROS REALES1
C
B
D
E
A
F
2β
α
β
β
108°
γ
γ
γ
γ
36°
36°
B
B
ED
FC
γ

2. b) Llamando l = = = y tomando como unidad el
lado del pentágono, = = = = 1, a partir de
la semejanza anterior has de llegar a la siguiente ecuación:
=
Despejando l obtendrás su valor.
Por ser semejantes (apartado a)) ⇒ = , es decir: = .
Despejamos l:
l(l– 1) = 1 ⇒l
2
– l– 1 = 0 ⇒l= =
Como les una longitud, la solución válida es la positiva:
l= . Este es el número áureo, Φ
Página 27
El rectángulo áureo
El rectángulo adjunto tiene la peculiaridad de que
si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que
queda, MBCN, es semejante al rectángulo inicial
ABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso,
el rectángulo es áureo, es decir:
= Φ(número de oro)
Tomamos como unidad el lado pequeño del rectángulo: = = 1, y llamamos
x= = . Así:
Al ser semejantes los rectángulos, tenemos que: =
Despejamos x:
x(1 + x) = 1 ⇒ x
2
+ x– 1 = 0 → x= =
–1 ±√5
2
–1 ±√1 + 4
2
1
x
1 + x
1
NCMB
BCAD
AB
AD
1 + √5
2
1 ±√5
2
1 ±√1 + 4
2
1
l– 1
l
1
—
ED
—
FC
—
BD
—
BC
1
l– 1
l
1
EFEDBFBC
ECBDBE
Unidad 1. Números reales 2
B
C
D
E
1
F
A
AMB
DNC
1A Bx
x
DC N
M
1
111

3. Como xes una longitud, la solución válida es la positiva:
x=
Hallamos la razón entre los lados del rectángulo:
= = 1 + x= 1 + = = = Φ
Obtenemos el número de oro.
Página 29
1.Halla gráficamente y .
2.Inventa dos números irracionales dados en forma decimal.
Por ejemplo: 2,01001000100001 …
3,122333444455555 …
3.Razonando sobre la figura del margen,
CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO ÁUREO , justifica
que si = = 1, entonces = Φ.
• Si = 1, entonces = = = .
• Si = y = 1, aplicando el teorema de Pit ágoras, tenemos que:
= =
• Por tanto: = + = + = = Φ
Página 31
1.Representa los siguientes conjuntos:
a) (–3, –1) b) [4, +∞) c) (3, 9] d) (–∞, 0)
1 + √5
2
√5
2
1 2
OBODBD
√5
2
1
√
1 + —
4
OB
AB
1 2
OA
1 2
ODOCOAAC
BDACAB
√13√6
1 + √5
2
2 – 1 + √5
2
–1 + √5
2
1 + x
1
—
AB
—
AD
–1 + √5
2
Unidad 1. Números reales
3
√
—
6
√
—
5
√
—
13
2
2
1
1
3
a)
c)
b)
d)
–3
3
–10
09 6
0
0
4

4. 2.Representa los siguientes conjuntos:
a)
{x/–2 ≤x< 5 } b) [–2, 5) U(5, 7]
c) (–∞, 0) U(3, +∞) d) (– ∞, 1) U(1, +∞)
Página 32
1.Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11| b) | π| c) |– |
d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |
g) |1 – | h) | – | i) |7 – |
a) 11 b) π c)
d) 0 e) π– 3 f) |3 – |=3 –
g) |1 –|= – 1h) | – |= – i) |7 – |= – 7
2.Averigua para qué valores de xse cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5 b) | x| ≤5 c) | x– 4| = 2
d) |x– 4| ≤2e) | x– 4| > 2 f ) | x+ 4| > 5
a) 5 y –5 b) – 5 ≤x≤5; [–5, 5]
c) 6 y 2 d) 2 ≤x≤6; [2, 6]
e) x< 2 o x> 6; (–∞, 2)
U(6, +∞) f) x< – 9 o x> 1; (–∞, –9) U(1, +∞)
Página 33
1.Simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = b) = c) = y
2
d) = = e) = = = f ) = =
2.¿Cuál es mayor, o ?
Reducimos a índice común:
= ; =
Por tanto, es mayor .
4
√31
12
√28 561
3
√13
12
√29 791
4
√31
3
√13
4
√31
√3
8
√3
4
8
√81
3
√4
3
√2
2
9
√2
6
9
√64√2
6
√2
3
6
√8
5
√y
10
3
√x
2
12
√x
8
4
√x
3
12
√x
9
8
√81
9
√64
6
√8
5
√y
10
12
√x
8
12
√x
9
√50√50√2√3√3√2√2√2
√2√2
√5
√50√3√2√2
√2
√5
Unidad 1. Números reales 4
a)
c)
b)
d)
01
05–2 –2057
03

5. 3.Reduce a índice común:
a) y b) y
a) = ; = b) = ;
4.Simplifica:
a)
(√
—
√
—
)
8
b)
5
√
—
3
√
—
c)
3
√
—
()
6
a) ()
8
= k b) = c) = x
Página 34
5.Reduce:
a) · b) · c) · ·
a) · = b) · = c) · · =
6.Simplifica:
a) b) c) d)
a) = = b)
6
=
c)
6
=
6
= d)
4
=
4
=
4
7.Reduce:
a) b) c) d)
a)
6
= b)
6
= =
c)
10
= = d)
4
= = 3
8.Suma y simplifica:
a) 5 + 3 + 2 b) + –
c) + – – d) – + + e) –
√18a√50a√8√12√50√27√8√2√50√18
√2√25 · 2√9 · 2√x√x√x
4
√3
4
√
3
6
3
2
10
√8
10
√2
3
√
2
8
2
5
3
√3
2
6
√3
4
√
3
6
3
2
6
√3√
3
4
3
3
4
√729
√3
5
√16
√2
√
–
9
3
√
–
3
3
√3
2
√3
√
a
b c
1
c√
a
b c
5√
a
3
b
5
c
a
2
b
6
c
6
6
√a
–1
√
1
a√
a
3
a
4
6
√a b√
a
3
b
3
a
2
b
2
√x
–2
√
1
x
2√
x
3
x
5
4
√a
3
· b
5
· c
√a· b
3
· c
3
6
√a
3
3
√a
2
√a · b
3
√a· b
5
√x
3
√x
8
√2
7
8
√2
8
√2
2
8
√2
4
6
√3
5
6
√3
6
√3
4
15
√2
8
15
√2
3
15
√2
5
8
√2
4
√2√2
6
√3
3
√9
5
√2
3
√2
6
√x
6
3
√x
2
15
√x
10
8
√k
√xx
10
√k
9
√132650
9
√132651
3
√51
36
√a
14
18
√a
7
36
√a
15
12
√a
5
9
√132 650
3
√51
18
√a
7
12
√a
5
Unidad 1. Números reales 5

6. a) 10
b)
3+ 5 – = 7
c) + – – = + – – =
= 3 + 5 – – 2= 5
d) – + + = 3 –5+ 2+ 2= 5 – 3
e) – = 5 – 3 = 2
Página 35
9.Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b) c) d) e)
f) g) h) i ) j )
a) = b) = = c) = =
d) = = e) = = =
f) = = = = g) = =
h) = = = =
i) = = = =
j) = = = =
10.Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b) c) d) e)
f) g)
+ + h) +
1
√
–
x+ √
–
y
1
√
–
x– √
–
y
1
√
–
2+ 1
1
√
–
2– 1
1
√
–
2
3√
–
2 + 2√
–
3
3
√
–
2– 2√
–
3
1
2
√
–
3– √
–
5
√
–
x+ √
–
y
√
–
x– √
–
y
a – 1
√
–
a– 1
x + y
√
–
x+ √
–
y
1
√
–
2+ 1
3
√10
5
2
3
√10
10
2
3
√2· 5
2· 5
2
3
√2
2
· 5
2
2
3
√100
3
√6
2
3
3
√6
6
3
3
√2· 3
2· 3
3
3
√2
2
· 3
2
3
3
√36
3
√25
10
3
√5
2
10
1
2
3
√5
2
3
√2
3
· 5
1
3
√40
2
3
√5
5
2
3
√5
2
2
3
√25
2√2
3
4√2
6
4
3√2
4
√2 · 3
2
4
√18
3√2
10
3
5√2
3
√2 · 5
2
3
√50
√a
a
2
1
a √a
1
√a
3
√21
3
√7
√3√
7
3
3
3
√2
2
3
3
√2
2
3
3
√4
5√7
7
5
√7
2
3
√
—
100
3
3
√
—
36
1
3
√
—
40
2
3
√
—
25
4
√18
3
√50
1
√a
3√
7
3
3
3
√
—
4
5
√7
√2a√2a√2a√2· 3
2
· a√2 · 5
2
· a
√2√3√2√3√2√3√2
3
√2
2
· 3√2· 5
2
√3
3
√2√2√2√2√2
√2
3
√2√2· 5
2
√2· 3
2
√8√2√50√18
√2√2√2√2
√x
Unidad 1. Números reales 6

7. a) = = – 1
b) = =
c) = = + 1
d) =
e) = =
f ) = = = 5 + 2
g) + + = + 2 =
h) =
Página 37
1.Calcula en notación científica sin usar la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 10
12
b) 0,486 · 10
–5
+ 93 · 10
–9
– 6 · 10
–7
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 10
12
= [(8 · 10
5
) : (2 · 10
–4
)] · (5 · 10
11
) =
= (4 · 10
9
) · (5 · 10
11
) = 20 · 10
20
= 2 · 10
21
b) 0,486 · 10
–5
+ 93· 10
–9
– 6 · 10
–7
= 4860 · 10
–9
+ 93 · 10
–9
– 600 · 10
–9
=
= (4860 + 93 – 600) · 10
–9
= 4353 · 10
–9
= 4,353 · 10
–6
2.Opera con la calculadora:
a) (3,87 · 10
15
· 5,96 · 10
–9
) : (3,941 · 10
–6
) b) 8,93 · 10
–10
+ 7,64 · 10
–10
– 1,42 · 10
–9
a) 3,87
15 5,96 9 3,941 6
Es decir: 5,85 · 10
12
b) 8,93 10 7,64 10 1,42 9
Es decir: 2,37 · 10
–10
2√
—
x
x– y
√
—
x+ √
—
y+ √
—
x– √
—
y
x– y
5√
—
3
2
√2
√2
2
√
—
2– 1
1
√
—
2+ 1
1
√2
2
√6
30 + 12√
—
6
6
18 + 12 + 12√
—
6
6
(3√
—
2 + 2√
—
3 )
2
18 – 12
2√
—
3 + √
—
5
7
2√
—
3 + √
—
5
12 – 5
2√
—
3 + √
—
5
(2
√
—
3– √
—
5 ) (2√
—
3+ √
—
5 )
x+ y+ 2 √
—
xy
x– y
(√
—
x+ √
—
y) (√
—
x+ √
—
y)
(
√
—
x– √
—
y) (√
—
x– √
—
y)
√a
(a– 1) (√
—
a+ 1)
(a– 1)
(a– 1) (√
—
a+ 1)
(
√
—
a– 1) (√
—
a+ 1)
x√
—
x– x√
—
y+ y√
—
x– y√
—
y
x– y
(x+ y) (√
—
x– √
—
y )
x– y
(x+ y) (√
—
x– √
—
y )
(
√
—
x+ √
—
y) (√
—
x– √
—
y)
√2
√
—
2 – 1
2 – 1
√
—
2 – 1
(
√
—
2 + 1) (√
—
2 – 1)
Unidad 1. Números reales
7

8. Página 40
1.Halla:
a) log
2
16 b) log
2
0,25 c) log
9
1 d) log
10
0,1 e) log
4
64
f) log
7
49 g) ln e
4
h) ln e
–1/4
i) log
5
0,04 j ) log
6()
a) log
2
16 = log
2
2
4
= 4 b) log
2
0,25 = log
2
2
–2
= –2 c) log
9
1 = 0
d) log
10
0,1 = log
10
10
–1
= –1 e) log
4
64 = log
4
4
3
= 3 f) log
7
49 = log
7
7
2
= 2
g) ln e
4
= 4 h) ln e
–1/4
= –
i) log
5
0,04 = log
5
5
–2
= –2 j) log
6()
= log
6
6
–3
= –3
2.Halla la parte entera de:
a) log
2
60 b) log
5
700 c) log
10
43 000
d) log
10
0,084 e) log
9
60 f) ln e
a) 2
5
= 32 ; 2
6
= 64 ; 32 < 60 < 64
5 < log
2
60 < 6 → log
2
60 = 5, …
b) 5
4
= 625 ; 5
5
= 3125 ; 625 < 700 < 3125
4 < log
5
700 < 5 → log
5
700 = 4, …
c) 10
4
= 10 000 ; 10
5
= 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000
4 < log
10
43 000 < 5 → log
10
43 000 = 4, …
d) 10
–2
= 0,01 ; 10
–1
= 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1
–2 < log
10
0,084 < –1 → log
10
0,084 = –1, …
e) 9
1
= 9 ; 9
2
= 81 ; 9 < 60 < 81
1 < log
9
60 < 2 → log
9
60 = 1, …
f) ln e= 1
3.Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la
calculadora:
a) log
2
1 500 b) log
5
200 c) log
100
200 d) log
100
40
En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación.
a) = 10,55; 2
10,55
≈1500 b) = 3,29; 5
3,29
≈200
log200
log5
log1500
log2
1
216
1 4
1
216
Unidad 1. Números reales
8

9. c) = 1,15; 100
1,15
≈200 d) = 0,80; 100
0,80
≈40
4.Sabiendo que log
5
A= 1,8 y log
5
B= 2,4, calcula:
a) log
5
3
b) log
5
a) log
5
3
= [2 log
5
A– log
5
25 – log
5
B] = [2· 1,8 – 2 – 2,4] = ☛–0,27
b) log
5
=log
5
5 + log
5
A– 2 log
5
B= 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1
5.Averigua la relación que hay entre xe y, sabiendo que se verifica:
ln y= 2x– ln5
ln y= 2x– ln5 →ln y= ln e
2x
– ln5
ln y = ln →y=
Página 44
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Números racionales e irracionales
1Expresa como fracción cada decimal y opera:
0,
)
12 – 5,
)
6 – 0,23
)
+ 3,1
☛
Recuerda que 5,6
)
= ; 0,23
)
= .
– – + = – = –2,6
)
78
2Demuestra que el producto 4,0
)
9 · 1,3
)
9 es un decimal exacto.
☛
Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales exactos.
4,0
)
9 = = = 4,1 1,3
)
9 = = = 1,4
4,0
)
9 · 1,3
)
9 = 4,1 · 1,4 = 5,74
126
90
139 – 13
90
369
90
409 – 40
90
442 16531 1021 9051 9912 99
23 – 2
90
56 – 5
9
e
2x
5
e
2x
5
3
2
3 25√A
3
B
2
–0,8
3
1 31 3
√
A
2
25B
5√A
3
B
2√
A
2
25B
log40
log100
log200
log100
Unidad 1. Números reales
9

10. 3Calcula: a) b)
a) = = 1,
)
3 b) = = 0,
)
4
4Indica cuál, de cada par de números, es mayor:
a) y b) 0,52
)
6 y 0,
)
526 c) 4,
)
89 y 2 d) –2,098 y –2,1
a) b) 0,52
)
6 c) 4,
)
89 d) –2,098
5Observa cómo hemos representado algunos números irracionales:
En el triángulo OAB, = 1, = 1 y = = .
Por tanto, el punto Drepresenta a .
¿Qué números representan los puntos Fy H? Justifica tu respuesta.
Frepresenta , pues = = = ( )
2
+ 1
2
=
Hrepresenta , pues = = ( )
2
+ 1
2
=
6¿Cuáles son los números racionales a, b, c, drepresentados en este gráfico?
a=
b=
c=
d= –
Potencias
7Halla sin calculadora:(
– )
–2
(
– )
–1
+ 4
()
–2
· (
–)
–1
+ 4 = ()
2
· (
–)
+ 4 = –4 + 4 = 0
9
4
4 34 93 4
7 91 33 43 2
1 7
5 7
4 7
2 7
√6√5OGOH√6
√3√2√
—
OD2
+
—
DC
2OCOF√3
√2
√2√1
2
+ 1
2
OAABOB
√2
√6√2
140
99
2 34 94 3
√
16
9
√
1,3
)
3
√1,
)
7
Unidad 1. Números reales 10
01 D
B
H
GECA
F23
1
2
abc
d
m es un segmento
cualquiera
m
m
mmmmm m
1
0

11. 8Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
a) b) c) d)
☛
Mira, en EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS , el n-º 2 c).
a) = b) = =
c) = = 2
–8
= d) =
9Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-
nario y simplifica:
a) · b) c)
a) a
2/5
· a
1/2
= a
9/10
= b) = x
1/6
= c) a
–3/4
=
10Resuelve, sin utilizar la calculadora:
a) b) c) d) e) f)
a) = 2 b) = 7 c) = 5
d) = = 0,5 e) = 2
4
= 16 f ) = 0,1
11Expresa como una potencia de base 2:
a) b) (–32)
1/5
c) ()
4
a) 2
–1/2
b) (–2
5
)
1/5
= –2 c) 2
4/8
= 2
1/2
12Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:
a) 4 ·
(
– )
3
b) (
– )
4
· ()
–1
·
c) d)
a) 2
2
· · = = b) · · = =
c) = = =
d) = – =
–3
400
3
5
2
· 2
4
3
2
· 5
2
–2 · 3 · 5 · 2
3
· 5
3
18
125
2 · 3
2
5
3
5
3
· 2
9
· 3
4
3
2
· 5
2
· 2
8
· 5
4
(–5)
3
· (–2
3
)
3
· (–3
2
)
2
3
2
· 5
2
· (2
2
· 5)
4
9
256
3
2
2
8
1
2
3
3
2
2
1
2
4
–9
2
–3
2
2
(–3)
3
2
3
1
3
(–30)
–1
· 15
2
10
3
(–5)
3
(–8)
3
(–9)
2
15
2
· 20
4
1 82 91 23 21 3
8
√2
1
√2
3
√0,1
3
3
√2
12
1 2
√
1
4
4
√5
4
3
√7
3
5
√2
5
3
√0,001
3
√8
4
√0,25
4
√625
3
√343
5
√32
4
√a
–3
6
√x
x
2/3
x
1/2
10
√a
9
1
4
√a
3
3
√x
2
√x
√a
5
√a
2
a
2
c
8
b
6
c
7
a
5
c
a
3
b
4
b
2
1
256
1
2
8
3
2
· 5
2
· 2
–3
2
3
· 3
3
· 2
2
· 5
2
80
27
2
4
· 5
3
3
3
4
· 2
4
· 3
–2
5
–1
· 3
5
5
2
3
6
· 2
5
· 5
2
3
6
· 2
6
· 5
a
–3
b
–4
c
7
a
–5
b
2
c
–1
15
2
· 8
–1
6
3
· 10
2
3
4
· 16 · 9
–1
5
–1
· 3
5
3
6
· 2
5
· 5
2
9
3
· 4
3
· 5
Unidad 1. Números reales 11

12. Unidad 1. Números reales 12
13Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
a)
b) 16
1/4
·
3
·
a) = a
–7/4
=
b) (2
4
)
1/4
· (2
2
)
–1/3
· (2
2
)
–1/6
= 2 · 2
–2/3
· 2
–1/3
= 2
0
= 1
14Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en
las falsas:
a) = 1 b) (3
–2
)
–3
()
2
= 1
c) = d) ()
–2
– (–3)
–2
=
a) Falsa. =
b) Verdadera. (3
–2
)
–3
· ()
2
= 3
6
· ()
2
= 3
6
· = = 1
c) Verdadera. = = =
= + =
d) Verdadera.
()
–2
– (–3)
–2
= 3
2
– = 3
2
– = 9 – = =
15Demuestra, utilizando potencias, que:
a) (0,125)
1/3
= 2
–1
b) (0,25)
–1/2
= 2
a) (0,125)
1/3
= ()
1/3
= ()
1/3
= ()
1/3
= = 2
–1
b) (0,25)
–1/2
= ()
–1/2
= ()
–1/2
= ()
–1/2
= (2
2
)
1/2
= 2
1
2
2
1
4
25
100
1 21
2
3
1
8
125
1 000
80
9
81 – 1
9
1 91
3
2
1
(–3)
2
1
3
8
15
1 51 3
(1/3 – 1/5) (1/3 + 1/5)
(1/3 – 1/5)
(1/3
2
) – (1/5
2
)
1/3 – 1/5
3
–2
– 5
–2
3
–1
– 5
–1
3
6
3
6
1
3
6
1
3
3
1
27
a
4
b
4
a
2
· b
–2
a
–2
· b
2
80
9
1 38
15
3
–2
– 5
–2
3
–1
– 5
–1
1
27
a
2
· b
–2
a
–2
· b
2
1
4
√7
a
3/4
· a
–1
a· a
1/2
1
6
√4√
1
4
4
√a
3
· a
–1
a√a

13. Página 45
Radicales
16Introduce los factores dentro de cada raíz:
a) 2 b) 4
3
c)
d)
3
e) 2 f)
a) = b)
3
= = =
c) = d)
3
=
3
e) = = = f )
3
=
3
=
3
17Saca de la raíz el factor que puedas:
a) b) 4 c)
d) e) f )
g) h) i)
a) = 2 b) 4 = 4 · 2 = 8 c) = 10
d) = 2 a e) = f ) =
g) h) = 2 i) =
18Simplifica:
a) b) c)
4
a)
6
=
6
=
6
= ()
3/6
= ()
1/2
=
b)
8
=
8
=
8
= ()
4/8
= ()
1/2
=
c)
4
=
4
= ()
2/4
= ()
1/2
= =
√5
2
√5
√4
5 45 4
√
5
2
4
2√
25
16
√
1
5
1 51 5
√(
2
)
4
10√
2
4
10
4√
16
10 000
√
3
10
3
10
3
10√(
3
)
3
10√
3
3
10
3√
27
1 000
√
1 +
9
16
8
√0,0016
6
√0,027
5√a
12√
25a
16 · 9
√a
2
+ 1√4(a
2
+ 1)
√
1
a
4
a
√13
1 6
√
13
36√
5
b
5a
4√
5
3
· a
2
2
4
· b
3
√a
2
3
√2
3
· a
5
√10√2
3
· 5
3
√2√2√2
3
3
√2
3
√2
4
aa
√
—+—
916
√4a
2
+ 4
√
16
a
3
11
√
—+—
49√
125a
2
16b
3
√8a
5
√1 000√8
3
√16
√
3
25√
3
5
2√
3 · 5
5
3
√8√2
3
4
√2
6
4
√2
4
· 2
2
√
3
5√
3
3
· 5
2
5
3
· 3
2√
3
2x√
2
2
· 3x
x
2
· 2
3
3
√16
3
√2
4
3
√4
2
√
4
3
4
3
√24
3
√3 · 2
3
3
√15
1
5
4
√4
√
25
9
3 5
√
3x
8
2
x√
1
4
3
√3
Unidad 1. Números reales 13

14. 19Simplifica los siguientes radicales:
a) b) c)
d) e)
4
f) :
a) = 2 b) = 3
3/6
= 3
1/2
= c) – = –3
d) = = · = ·
e)
4
= = =
f ) : = : = 1
20Reduce a índice común y ordena de menor a mayor:
a) , , b) , c) , d) , ,
a) , , ; = <
b) , ; <
c) , ; <
d) , , ; < <
21Realiza la operación y simplifica si es posible:
a) 4 · 5 b) 2 · c)
d)
()
2
e) ()
3
f) :
a) 20 = 20 = 20 = 180
b) 2 = 2 = 6
c) = =
d)
()
2
= = 2 = 2
e)
()
3
= = = 2
2
= 4
f ) : = 2 : = 2
3
√3
3
√3
3
√3
3
√2
3
· 3
√2√2√2
5
6
√2
15
6
√2
5
3
√18
3
√2 · 3
2
3
√2
4
· 3
2
3
√2
2
· 3
1
2√
1
4√
2
8
√
1
2√
9
2√
4 · 27
3 · 8
√2√2 · 3
4
√3
3
· 2 · 3√27 · 6
3
√3
3
√24
6
√32
3
√12
√
1
8
√2
√
27
8√
4
3
√6√27
4
√72
6
√100
3
√9
12
√10 000
12
√6 561
12
√373 248
5
√10
4
√6
20
√10 000
20
√7 776
√6
3
√4
6
√16
6
√216
3
√3√2
4
√4
12
√64
12
√81
12
√64
6
√100
3
√9
4
√72
5
√10
4
√6
3
√4√6√2
3
√3
4
√4
√5√5
4
√5
2
8
√5
4
3√2
4
3
2√2
3
√2
3√
3
4
2
6
4
√y√2
4
√y
4
√2
2
4
√2
2
· y
12
√2
6
· y
3
3
√2
2
3
√3
3
· 2
2
√3
6
√3
3
3
√3
3
√2
3
· 3
4
√25
8
√625
√
81
64
12
√64 y
3
3
√–108
6
√27
3
√24
Unidad 1. Números reales 14

15. 22Efectúa y simplifica, si es posible:
a) · b) ·
3
c) ()
3
d) :
☛
En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, respec-
tivamente.
a) =
b) · · =
c)
(
6
)
3
= (
6
)
3
=
6
= =
d) : = : =
23Expresa con solo una raíz:
a)
4
√
—
3
√
—
b)
3
√
—
2
4
√
—
c)( · ):
a)
b) = =
c)
20
= = a
24Racionaliza los denominadores y simplifica:
a) b) c) d) e)
a) = = =
b) =
c) =
d) = = =
e) = = = 8
8√8
√8
3√8 + 6√

8 – √

8
√8
√2
3
· 3
2
+ 3√

2
5
– √

2
3
√2
3
3 – √3
2
3 (3 – √3)
2 · 3
9 – 3√3
6
3 (3 – √3)
9 – 3
2 – √2
2
(√2 – 1) √

2
2
3
√4
2
3
√4
2
√6
3
2√6
3 · 2
2√3
3√2
2√3
√2 · 3
2
√72 + 3 √

32 –√

8
√

8
3
3+
√
–
3
√2 – 1
√2
2
3
√2
2√3
√18
20
√a
20
√a
21
√
a
15
· a
16
a
10
12
√128
12
√2
7
12
√2
4
· 2
3
12
√4
√a
5
√a
4
4
√a
3
84
6
√3
6
√2
2
6
√2
2
· 3√
3
√

2
2
3
√√

2
2
· 3
1
4
1
2
2
√
1
2
12√
1
2
4√
2
5
2
9
√a√a
1
3
√a
3
√a
6
√108
6
√2
2
· 3
3
√
3
√

4
3
√2√

3
6
√32
√8
√a
√
1
a
3
√a√3
3
√2
Unidad 1. Números reales 15

16. 25Calcula y simplifica:
a) 5 + 6 – 7 + b) + 2 – –
c) + – – d)
(+ )( – 1)
a) 25 + 18 – 14 + 6 = 35
b) 2 + 2 – 3– 21 = –20
c) 5 + 3 – 3– 2 = 2 +
d) – + – = 2 – + 3 – = + 2
26Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a) 3 – 2 + 5 – 4
b) – 4 +
c) 7 – 2 +
a) 3 – 2+ 5 – 4 = 6 – 10 + 15 – 4 = 7
b) – 4 + = – + =
c) 7 – 2 + = 21 – 2a + =
(
– 2a)
27Efectúa y simplifica:
a)
(+ )
2
– (– )
2
b) (+ )2
c)
(– )(+ ) d) (2– 3 )
2
e) (– 1)(+ 1)
a) (+ + – )· (+ – + )= 2· 2 = 4
b) 2 + 2 = 4 + 2
c) 5 – 6 = –1
d) 20 + 18 – 12 = 38 – 12
e) (2 – 1) =
√3√3
√10√10
√10√3√10√12
√6√2√3√2√3√2√3√2√3√2√3
√3√2√2
√2√5√6√5√6√5
√2√5√6√2√3√2√3
3
√3a
106
5
3
√3a
5
3
√3a
3
√3a
3
√3a
5
3
√3a
4
3
√3
4
· a
√
2
5
–53
45√
2
5
2 9
√
2
5
12
5√
2
5√
2
3
3
2
· 5
1
3√
2 · 3
2
5
3√
2
5
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2 · 3
3
3
√2 · 5
3
3
√2
4
3
√
–
3a
5
3
√3a
4
3
√81a
√
8
45
1
3√
18
125√
2
5
3
√2
3
√54
3
√250
3
√16
√2√3√3√2√2√3√3√18√2√12
√6√5√6√5√6√5
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
3
√2
√5√5√5√5√5
√6√3√2√24√45√54√125
3
√250
21
5
3
√54
3
√2
3
√16√80
3 2
√20√45√125
Unidad 1. Números reales 16

17. 28Racionaliza y simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = = = =
= =
b) = = = = 1 +
c) = = = –
d) = = 3
(+ 2)= 3 + 6
e) = = = 2 – 3
f ) = = =
= = =
29Racionaliza y efectúa:
a) – b) –
a) = = + 5
b) = =
= = –2
√35
2√
—
7 (–2√
—
5 )
2
(√
—
7 – √
—
5 + √
—
7 – √
—
5 ) (√
—
7 – √
—
5 – √
—
7 – √
—
5 )
7 – 5
(√
—
7 – √
—
5 )
2
– (√
—
7 + √
—
5 )
2
(√
—
7 + √
—
5 ) (√
—
7 – √
—
5 )
√2√3
3√
—
3+ 3√
—
2 – 2√
—
3+ 2√
—
2
3 – 2
3(√
—
3 + √
—
2 )– 2(√
—
3 – √
—
2 )
(
√
—
3 – √
—
2 ) (√
—
3 + √
—
2 )
√
–
7 +√
–
5
√
–
7–√
–
5
√
–
7 –√
–
5
√
–
7+√
–
5
2
√
–
3 +√
–
2
3
√
–
3 –√
–
2
√2
23√2
23
27√
—
2 – 4√
—
2
23
9√
—
2 · 3
2
– 4√
—
2
23
9√
—
18 – 6√
—
6 + 6√
—
6 – 4√
—
2
27 – 4
(3√
—
6 + 2√
—
2) (3√
—
3 – 2)
(
3√
—
3 + 2) (3√
—
3 – 2)
√5
11(2√
—
5 – 3)
11
11(2√
—
5 – 3)
20 – 9
11(2√
—
5 – 3)
(
2√
—
5 + 3) (2√
—
5 – 3)
√5√5
3(√5 + 2)
5 – 4
3(√5 + 2)
(√5 – 2) (√
—
5 + 2)
√3 + √
—
5
4
√3 + √
—
5
–4
√3 + √
—
5
2 (3 – 5)
(√3 + √
—
5 )
2(√3 – √
—
5 ) (√
—
3 + √
—
5 )
√6
6
6 + √6
6
(2√3 + √
—
2 ) √
—
3
2√3 · √
—
3
2√3 + √
—
2
2√3
2√3 + √
—
2
√2
2
· 3
√6 – 1
3
2(√6 – 1)
3 · 2
2√6 – 2
3 · 2
(2√3 – √
—
2 ) √
—
2
3√2 · √
—
2
2√3 – √
—
2
3√2
2√3 – √
—
2
√2 · 3
2
3√
–
6+ 2√
–
2
3
√
–
3+ 2
11
2
√
–
5 + 3
3
√
–
5 – 2
1
2
(√
–
3 –√
–
5)
2√
–
3 +√
–
2
√
–
12
2√
–
3 –√
–
2
√
–
18
Unidad 1. Números reales 17

18. Página 46
30Opera y simplifica: +
+ = 1 + + 1 – = 2
Notación científica
31Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas:
a)
b)
c)
a) 1,41 · 10
2
b) –1,58 · 10
5
c) –2,65 · 10
6
32 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a
notación científica los que no lo estén:
a) 3,27 · 10
13
; 85,7 · 10
12
; 453 · 10
11
b) 1,19 · 10
–9
; 0,05 · 10
–7
; 2 000 · 10
–12
a) 8,57 · 10
13
> 4,53 · 10
13
> 3,27 · 10
13
b) 5 · 10
–9
> 2 · 10
–9
> 1,19 · 10
–9
33Efectúa:
–7,268 · 10
–12
34Expresa en notación científica y calcula:
= 150
35Considera los números: A= 3,2 · 10
7
; B= 5,28 · 10
4
y C= 2,01 · 10
5
.
Calcula .
0,00793125 = 7,93125 · 10
–3
B+ C
A
(6 · 10
4
)
3
· (2 · 10
–5
)
4
10
4
· 7,2 · 10
7
· (2 · 10
–4
)
5
60 000
3
· 0,00002
4
100
2
· 72 000 000 · 0,0002
5
2 · 10
–7
– 3 · 10
–5
4 · 10
6
+ 10
5
5,431 · 10
3
– 6,51 · 10
4
+ 385 · 10
2
8,2 · 10
–3
– 2 · 10
–4
(12,5 · 10
7
– 8 · 10
9
)(3,5 · 10
–5
+ 185)
9,2 · 10
6
(3,12 · 10
–5
+ 7,03 · 10
–4
)8,3 · 10
8
4,32 · 10
3
√3√3
1
1 – √
—
3 + √
—
3
1 –
√
—
3
1
1 + √
—
3 – √
—
3
1 +
√
—
3
1
1 +
√
—
3
1 –
√
—
3
1
1 –
√
—
3
1 +
√
—
3
Unidad 1. Números reales
18

19. 36Si A= 3,24 · 10
6
; B= 5,1 · 10
–5
; C= 3,8 · 10
11
y D= 6,2 · 10
–6
, calcula(
+ C)
· D.
2 749 882,353 ≈2,7499 · 10
Intervalos y valor absoluto
37Expresa como desigualdad y como intervalo y represéntalos:
a) xes menor que –5.
b) 3 es menor o igual que x.
c) xestá comprendido entre –5 y 1.
d) xestá entre –2 y 0, ambos incluidos.
a) x< –5; (–∞, –5)
b) 3 ≤x; [3, +∞)
c) –5 < x< 1; (–5, 1)
d) –2 ≤x≤0; [–2, 0]
38Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:
a) –3 ≤x≤2 b) 5 < x c) x≥–2
d) –2 ≤x< 3/2 e) 4 < x< 4,1 f ) –3 ≤x
a) [–3, 2] b) (5, + ∞)
c) [–2, +∞) d)
[
–2, )
e) (4; 4,1) f ) [ –3, +∞)
39Escribe la desigualdad que verifica todo número xque pertenece a estos in-
tervalos:
a) [–2, 7] b) [13, + ∞) c) (– ∞, 0)
d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f) (– ∞, +∞)
a) –2 ≤x≤7 b) x≥13 c) x< 0
d) –3 < x≤0 e) ≤x< 6 f ) –∞< x< +∞
40Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (AIB)
e (IIJ):
a) A= [–3, 2]; B= [0, 5] b) I= [2, ∞); J= (0, 10)
a) [0, 2] b) [2, 10]
3
2
3 2
A B
Unidad 1. Números reales 19
–50
03
–501
–20
–32 0
0
4
4,1 5
–2
–3
5
–20
0
3/2

20. 41Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades:
a) x< 3 y x≥5 b) x> 0 y x< 4
c) x≤–1 y x> 1 d) x< 3 y x≤–2
☛
Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-
cribe: (–∞,3)U[5, +∞)
a) (–∞, 3) U [5, ∞) b) (0, 4)
c) (–∞, –1] U (1, ∞) d) ( –∞, –2]
42Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas
expresiones:
a) |x| < 7 b) | x| ≥5 c) |2 x| < 8
d) |x– 1| ≤6 e) | x+ 2| > 9 f ) | x– 5| ≥1
a) (–7, 7) b) [ –∞, –5] U [5, +∞] c) ( –4, 4)
d) [–5, 7] e) ( –11, 7) f) ( –∞, 4] U [6, +∞)
43Averigua qué valores de xcumplen:
a) |x– 2| = 5 b) | x– 4| ≤7 c) | x+ 3| ≥6
a) 7 y –3
b) –3 ≤x≤11; [–3, 11]
c) x≤–9 y x≥3; (–∞, –9) U [3, ∞)
44Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener xpara que se
pueda calcular la raíz en cada caso:
a) b) c)
d) e) f)
a) x– 4 ≥0 ⇒ x≥4; [4, +∞)
b) 2x+ 1 ≥0 ⇒ 2x≥–1 ⇒ x≥–;
[
–, +∞ )
c) –x≥0 ⇒ x≤0; (–∞, 0]
d) 3 – 2x≥0 ⇒ 3 ≥2x ⇒x≤;
(
–∞, ]
e) –x– 1 ≥0 ⇒ –1 ≥x; (–∞, –1]
f ) 1 + ≥0 ⇒ 2 + x≥0 ⇒ x≥–2; [–2, +∞)
x
2
3 23 2
1 21 2
√
1 +
x
2
√–x– 1√3 – 2x
√–x√2x+ 1√x– 4
Unidad 1. Números reales 20

21. 45Halla la distancia entre los siguientes pares de números:
a) 7 y 3 b) 5 y 11 c) –3 y –9 d) –3 y 4
a) |7 – 3|= 4 b) |11 – 5|= 6
c) |–9 – (–3)|= |–9 +3|= |– 6| = 6
d) |4 – (–3)|= 7
46Expresa como un único intervalo:
a) (1, 6] U[2, 5) b) [–1, 3)U(0, 3] c) (1, 6] I[2, 7) d) [–1, 3) I(0, 4)
a) (1, 6]U[2, 5) = (1, 6] b) [ –1, 3)U(0, 3] = [–1, 3]
c) (1, 6]I[2, 7) = [2, 6] d) [ –1, 3) I(0, 4) = (0, 3)
Página 47
47Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos:
a) Centro –1 y radio 2 b) Centro 2,5 y radio 2,01
c) Centro 2 y radio 1/3
a) (–1 –2, –1 + 2) = (–3, 1) b) (2,5 – 2,01; 2,5 + 2,01) = (0,49; 4,51)
c)
(
2 – , 2 + )
= (
, )
48Describe como entornos los siguientes intervalos:
a) (–1, 2) b) (1,3; 2,9) c) (–2,2; 0,2) d) (–4; –2,8)
a)C= = ; R= 2 – =
Entorno de centro y radio .
b)C= = 2,1 ; R= 2,9 – 2,1 = 0,8
Entorno de centro 2,1 y radio 0,8
c)C= = –1 ; R= 0,2 – (–1) = 1,2
Entorno de centro –1 y radio 1,2.
d)C= = –3,4 ; R= –2,8 – (–3,4) = 0,6
Entorno de centro –3,4 y radio 0,6.
–4 + (–2,8)
2
–2,2 + 0,2
2
1,3 + 2,9
2
3 21 2
3 21 21 2–1 + 2
2
7 35 31 31 3
Unidad 1. Números reales 21

22. 49Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones:
a) |a| < bequivale a –b< a< b b) |–a| = –|a|
c) |a+ b| = |a| + |b| d) | a· b| = |a| · |b|
a) Verdadera (siempre que b> 0).
b) Falsa; pues –|a| ≥0 y –|a| ≤0.
(Solo sería cierta para a= 0).
c) Falsa. Solo es cierta cuando a y btienen el mismo signo.
En general, |a+ b| ≤|a| + |b|.
d) Verdadera.
Logaritmos
50Calcula:
a) log
2
1 024 b) log0,001 c) log
2
d) log3
e) log
3
f) log
2
g) log
1/2
h) log
π
1
a) log
2
2
10
= 10 b) log10
–3
= –3 c) log
2
2
–6
= –6
d) log
√
—
3
()
2
= 2 e) log
3
3
1/2
= f) log
2
2
3/2
=
g) log
1/2()
1/2
= h) 0
51Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
a) log
2
64 + log
2
– log
3
9 – log
2
b) log
2
+ log
3
– log
2
1
a) 6 – 2 – 2 – =
b) –5 – 3 – 0 = –8
52Calcula la base de estos logaritmos:
a) log
x
125 = 3 b) log
x
= –2
a) x
3
= 125; x= 5
b) x
–2
= ; x= 3
1
9
1 9
3 21 2
1
27
1
32
√2
1 4
1 21 2
3 21 2
√3
1
√2
√8√3
√3
1
64
Unidad 1. Números reales
22

23. 53Calcula el valor de xen estas igualdades:
a) log3
x
= 2 b) log x
2
= –2 c) 7
x
= 115 d) 5
–x
= 3
a) x= = 4,19 b) 2 log x= –2; x=
c) x= = 2,438 d) x= – = –0,683
54Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación.
a) log b) log2,3 · 10
11
c) log7,2 · 10
–5
d) log
3
42,9 e) log
5
1,95 f) log
2
0,034
a) 1,085 b) ln (2,3 · 10
11
) ≈26,16 →e
26,161
≈2,3 · 10
11
c) ln (7,2 · 10
–5
) ≈ –9,54 →e
–9,54
≈7,2 · 10
–5
d) 3,42
e) 0,41 f) –4,88
55Calcula la base de cada caso:
a) log
x
1/4 = 2 b) log
x
2 = 1/2 c) log
x
0,04 = –2 d) log
x
4 = –1/2
☛
Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despe-
jar x.
En c) , x
–2
= 0,04 ⇔ = .
a) x
2
= → x= b) x
1/2
= 2 → x= 4
c) x
–2
= 0,04 → x= 5 d) x
–1/2
= 4 → x=
56Halla el valor de xen estas expresiones aplicando las propiedades de los
logaritmos:
a) ln x= ln17 + ln13 b) log x= log36 – log9
c) ln x= 3 ln5 d) log x= log12 + log25 – 2 log6
e) ln x= 4 ln2 – ln25
☛a)
Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13)
a) ln x= ln(17 · 13) ⇒ x= 17 · 13 = 221
b) log x= log ⇒ x= = 4
c) ln x= ln5
3
⇒ x= 5
3
= 125
d) log x= log ⇒ x=
25
3
12 · 25
6
2
36
9
36
9
1 2
1
16
1 21 4
4
100
1
x
2
√148
log 3
log5
log 115
log7
1
10
2
log3
Unidad 1. Números reales
23

24. e) ln x= ln2
4
– ln
ln x= ln16 – ln5
ln x= ln ⇒ x=
57Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;
0,3; 0,03; 0,003.
log30 = log(3 · 10) = log3 + log10 = 0,477 + 1 = 1,477
log300 = log(3 · 10
2
) = log3 + 2 log10 = 2,477
log3 000 = 0,477 + 3 = 3,477
log0,3 = log(3 · 10
–1
) = 0,477 – 1 = –0,523
log0,03 = log(3 · 10
–2
) = 0,477 – 2 = –1,523
log0,003 = 0,477 – 3 = –2,523
58Sabiendo que log k= 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) log b) log0,1 k
2
c) log
3
d) (log k)
1/2
a) log k– log100 = 14,4 – 2 = 12,4
b) log0,1 + 2 log k= –1 + 2 · 14,4 = 27,8
c) (log1 – log k) = –· 14,4 = –4,8
d) (14,4)
1/2
= = 3,79
59Sabiendo que ln k= 0,45, calcula el valor de:
a) ln b) ln c) ln
a) ln= ln k– ln e= 0,45 – 1 = –0,55
b)ln = ln k= · 0,45 = 0,15
c) ln = 2 ln e – ln k= 2 – 0,45 = 1,55
60Calcula xpara que se cumpla:
a) x
2,7
= 19 b) log
7
3x= 0,5 c) 3
2+x
= 172
a) log x
2,7
= log19 ⇒ 2,7 log x= log19 ⇒ log x= = 0,47
x= 10
0,47
= 2,98
log 19
2,7
e
2
k
1
3
1 3
3
√k
k
e
e
2
k
3
√k
k
e
√14,4
1 31 3
√
1
k
k
100
16
5
16
5
√25
Unidad 1. Números reales 24

25. b) 7
0,5
= 3x⇒ x= = 0,88
c) log3
2 + x
= log172 ⇒ (2 + x) log3 = log172 ⇒ 2 + x=
x= – 2 = 2,685
61Si log k= x, escribe en función de x:
a) log k
2
b) log c) log
a) 2 log k= 2x b) log k– log100 = x– 2 c) log10k= (1 + x)
62Comprueba que = –(siendo a≠1).
= = –
Ha de ser a≠1 para que log a≠0 y podamos simplificar.
Página 48
PARA RESOLVER
63En 18 g de agua hay 6,02 · 10
23
moléculas de este compuesto. ¿Cuál es la ma-
sa, en gramos, de una molécula de agua?
18 : (6,02 · 10
23
) = 2,99 · 10
–23
gramos
64Tenemos un hilo de cobre de 3 mm de diámetro. ¿Qué longitud debemos to-
mar para que la resistencia sea de 20 omhios?
Resistividad del cobre: ρ= 1,7 · 10
–8
Ω· m
☛
La resistencia viene dada por la fórmula R = ,donde l es la longitud y s la
sección del hilo.
l= = = 8 315,98 metros
65La velocidad mínima que debe llevar un cuerpo para que escape del campo
gravitatorio terrestre es v= en la que Ges la constante de gravita-
ción universal, Mla masa de la Tierra y Rel radio de la Tierra. Calcula v,
sabiendo que:
G= 6,67 · 10
–11
N m
2
/kg
2
, M= 5,98 · 10
24
kg y R= 6,37 · 10
6
m.
2 GM
R
20 · π· (0,0015)
2
1,7 · 10
–8
R· s
ρ
ρl
s
1
6
–1/2 log a
3 log a
–log a+ 1/2 log a
3 log a
1
6
log (1/a) + log√
—
a
log a
3
1
2
1 2
√10k
k
100
log 172
log3
log 172
log3
7
0,5
3
Unidad 1. Números reales 25

26. v= = 11 190,74 m/s
66Comprueba que
√
—
6 +√
—
27·√
—
6 –√
—
27 es un número entero.
√
—
6 + √
—
27· √
—
6 – √
—
27 = (6 + )(6 – )=
= 6
2
– ()
2
= = = 3
67Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) – 2a + 3a – b) · 30
c)
(+ )( – 1)
a) a – 2a + 3a – a =
b) · 30 = = 30
c) – + – = 2 – + 3 – = + 2
68Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) – b) – +
c) + –
a) = = 2
b) – + = – – + 2 + =
= 3 + – – + 2 + = 5
c) + – = + – =
= – – = = =
= –
2√6
3
√2
2
3√
—
2 – 4√
—
6
6
5√
—
6 – √
—
6 + 3√
—
2 – 8√
—
6
6
4√6
3
(√
—
6 – 3√
—
2)
6
5√6
6
4√6
3
2(√
—
6 – 3√
—
2)
–12
5√6
6
4√6
3
2(√
—
6 – 3√
—
2)
6 – 18
5√6
6
√3√2√3√2
√3√2√3
7(3 + √
—
2)
7
2 + √
—
3
4 – 3
√
—
3 + √
—
2
3 – 2
7(3 + √
—
2)
9 – 2
√
—
2 + 1 – √
—
2 + 1
2 – 1
(√
—
2 + 1)– (√
—
2 – 1)
(
√
—
2 – 1)(√
—
2 + 1)
4√
–
2
√
–
3
2
√
–
6 + 3√
–
2
5
√
–
6
1
2 –
√
–
3
1
√
–
3 –√
–
2
7
3 –
√
–
2
1
√
–
2 + 1
1
√
–
2 – 1
√2√3√3√2√2√3√3√18√2√12
4√
—
2 · 30 √
—
3
4
√
—
2 √
—
3
√3
7√
—
2 – 3 √
—
2
√2
5
· 3
√a√a√a√a√a
√6√3√2
√3
√
–
98 – √
–
18
√
–
96
8
√a
12
6
√a
3
4
√a
2
√a
3
√9√36 – 27√27
√27√27
√
2 · 6,67 · 10
–11
· 5,98 · 10
24
6,37 · 10
6
Unidad 1. Números reales 26

27. CUESTIONES TEÓRICAS
69Explica si estas frases son verdaderas o falsas:
a) Todo número entero es racional.
b) Hay números irracionales que son enteros.
c) Todo número irracional es real.
d) Algunos números enteros son naturales.
e) Hay números decimales que no pueden ser expresados como una fracción.
f) Todos los números decimales son racionales.
g) Entre dos números enteros hay siempre otro número entero.
h) Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales.
i) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales.
j) Los números racionales llenan la recta.
a) V b) F c) V d) V e) V
f ) F g) F h) V i) V j) F
70
Si x∈ ç, explica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:
a) x
2
es siempre positivo o nulo.
b) x
3
es siempre positivo o nulo.
c) solo existe si x≥0.
d) x
–1
es negativo si lo es x.
e) –x
2
es siempre negativo.
a) V b) F c) F d) V e) F (puede ser nulo)
71¿Cuál es la respuesta correcta?
a) (–27) b) 4
–
a) –3 b) 2
–1
72¿Entre qué números enteros está el logaritmo decimal de 348?
☛
10
2
< 348 < 10
3
. Toma logaritmos.
Entre 2 y 3.
73Si log x = a, ¿cuál será el valor de log?
log1 – log x= –log x= –a
1
x
1
2
3
–3
–9
1
3
3
√x
Unidad 1. Números reales 27
1/
2
–1
–2
√2

28. 74¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? Explica por qué:
a) log m + log n= log (m + n)
b) log m + log n= log (m ·n)
c) log m – log n=
d) log m – log n= log
e) log x
2
= log x+ log x
f) log (a
2
– b
2
) = log (a+ b) + log (a– b)
a) Falso. log m+ log n= log(m· n) ≠log(m+ n)
b) Verdadero. Es una propiedad de los logaritmos.
c) Falso. log m– log n= log
()
≠
d) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos.
e) Verdadero. log x
2
= log(x· x) = log x+ log x
f ) Verdadero. log(a
2
– b
2
) = log[(a+ b) · (a– b)] = log(a+ b) + log(a– b)
Página 49
PARA PROFUNDIZAR
75Si n≠0 es natural, determina para qué valores de nestos números perte-
necen a
Z:
a) b) c) n– 5 d) n+ e)
a) n par.
b) n= 1 o n= 3.
c) ncualquier natural.
d) Ninguno.
e) ncuadrado perfecto.
76Si log a= 1 + log b, ¿qué relación hay entre ay b?
log a– log b= 1 → log= 1 → = 10 → a= 10b
77Si log a+ log b= 0, ¿qué relación existe entre ay b?
log(ab) = 0 → ab= 1 → a=
1
b
a
b
a
b
√n
1 23
n
n
2
log m
log n
m
n
m
n
log m
log n
Unidad 1. Números reales
28

29. 78Sean my ndos números racionales. ¿Qué puedes decir del signo de my
nen cada uno de estos casos?
a) m· n> 0 y m+ n> 0 b) m· n> 0 y m+ n< 0
c) m· n< 0 y m– n> 0 d) m· n< 0 y m– n< 0
a) m> 0, n> 0 b) m< 0, n< 0
c) m> 0, n< 0 d) m< 0, n> 0
79Demuestra que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logarit-
mos de los factores.
☛
Para demostrar que log
a
(P · Q)= log
a
P + log
a
Q, hacemos:
log
a
P = p → P = a
P
⇒ P · Q = a
p + q
log
a
Q = q → Q = a
q
Toma logaritmos de base a en esta igualdad y sustituye p y q.
log
a
PQ= log
a
a
p+ q
→ log
a
PQ= p+ q→ log
a
PQ= log
a
P+ log
a
Q
80Demuestra que el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividen-
do menos el logaritmo del divisor. (Repite el procedimiento anterior divi-
diendo las igualdades).
Tenemos que demostrar que log
a()
= log
a
P– log
a
Q. Hacemos:
log
a
P= p→P= a
p
Dividiendo → = a
p– q
log
a
Q= q→Q= a
q
log
a
= log
a
a
p– q
→log
a
= p– q
log
a
= log
a
P– log
a
Q
81Demuestra que el logaritmo de una potencia es igual al exponente multipli-
cado por el logaritmo de la base.
☛
Hay que demostrar que log
a
P
n
= n · log
a
P. Haz log
a
P= p →a
p
= P, eleva a
n los dos miembros de la igualdad y toma log
a
.
Tenemos que demostrar que log
a
P
n
= n log
a
P. Hacemos:
log
a
P= p→a
p
= P
Elevando a n:
a
np
= P
n
→log
a
a
np
= log
a
P
n
np= log
a
P
n
→n log
a
P= log
a
P
n
→log
a
P
n
= n log
a
P
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
Unidad 1. Números reales
29
por definición
de logaritmo
multiplica
estas
igualdades













30. 82Demuestra que el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando
dividido por el índice de la raíz.
☛
Recuerda que = p
1/n
y repite el proceso del ejercicio anterior.
Tenemos que probar que log= . Hacemos:
log = log P
1/n
(*)
= log P=
(*)
Ver ejercicio anterior.
83Demuestra que
log
a
P = log P / log a.
☛Haz log
a
P = p →a
p
= P. Toma logaritmos decimales y luego despeja p.
a
p
= P→log a
p
= log P→p log a= log P
Así, log
a
P= .
84Si x∈
Ny x> 1, ordena estos números:
x –
–< < < < x
85Ordena de menor a mayor los números a, a
2
, 1/ay en estos dos casos:
I) Si a> 1 II) Si 0 < a< 1
I) < < a< a
2
II) a
2
< a< <
PARA PENSAR UN POCO MÁS
86Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5… Cada
uno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él.
I Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que la superficie de A0 es 1 m
2
,
calcula las dimensiones de una hoja A4 (que es la de uso más frecuente)
redondeando hasta los milímetros. Comprueba el resultado midiendo una
hoja A4 que tengas a mano.
1
a
√a√a
1
a
√a
1
x
1
x+ 1
–1
x+ 1
1
x
1
–x– 1
1
x
1
x
1
x+ 1
log P
log a
log P
n
1
n
n
√P
log P
n
n
√P
n
√p
Unidad 1. Números reales 30
A0
A2
A3
A4
A5
A1

31. II Demuesta que cualquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente:
Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene MNPQtiene la
peculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángu-
lo MRSQsemejante a él (MNPQsemejante a MRSQ).
I)
La superficie de A0 es 1 m
2
, es decir:
xy= 1 m
2
⇒ y=
Por la semejanza entre A0 y A1, tenemos que:
= ⇒ = x
2
⇒y
2
= 2x
2
()
2
= 2x
2
⇒ = 2x
2
⇒1 = 2x
4
⇒ = x
4
x=
4
= , y=
Las dimensiones de A0 son:
largo = m, ancho = m
1
4
√2
4
√2
4
√2
1
4
√2√
1
2
1
2
1
x
2
1
x
y
2
2
x
y/2
y
x
1
x
Unidad 1. Números reales
31
A1
A0
x
y/2
y
M N
PQ
MR
SQ
A3
A4
A0
x
x/4
y/4
y
A4x/4
y/4

32. Las dimensiones de A4 serán:
largo = = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm
ancho = = 0,210 m = 21 cm = 210 mm
II)
La razón entre los lados del rectángulo (A0, A1, …) es: = =
()
2
=
(es la misma en A0, A1…, pues todos ellos son semejantes).
La razón entre los lados del rectángulo MNPQes:
= = = + 1
Queremos probar que MRQSes semejante a MNPQ; para ello bastará ver que:
= + 1
Veámoslo:
= = = = = + 1
Como queríamos probar.
87Para numerar las páginas de un libro un tipógrafo ha empleado 2 993 dígi-
tos. ¿Cuántas páginas tiene el libro? (El 0, el 1, el 2… son dígitos. El número
525 se escribe con tres dígitos).
Las 9 primeras páginas → 9 dígitos
De la 10 a la 99 → 90 · 2 = 180 dígitos
De la 100 a la 999 → 900 · 3 = 2 700 dígitos
Llevamos: 9 + 180 + 2 700 = 2 889 dígitos
Nos faltan: 2 993 – 2 889 = 104 dígitos, que pertenecen a números de cuatro cifras.
Luego: 104 : 4 = 26 páginas más.
Así: 999 + 26 = 1 025 páginas tiene el libro.
√2
√2 + 1
2 – 1
√2 + 1
(√2 – 1)(√
—
2 + 1)
1
√2 – 1
x/x
y/x– x/x
x
y– x
√2
—
MQ
—
MR
√2
√2 + 1
1
y/x+ x/x
x/x
y + x
x
√2
4
√2
4
√2
1/
4
√2
y
x
1
4
4
√2
4
√2
4
Unidad 1. Números reales
32
x
x
xxy – x
QS P
MR N
y

33. Página 50
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
¿Cuántas parejas de conejos?
¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pa-
reja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a
su vez desde el segundo mes?
Razonando del modo que se propone, llegamos a que el número de parejas, mes a mes, es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
Así, el número total de parejas al final del año es de 144 (la que había al principio y otras
143 nuevas).
La sucesión de Fibonacci y el número Φ
Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtene-
mos:
1123581321
1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,619
Comprueba, calculando nuevos cocientes, que el número al que se aproximan es
el número áureo.
= 1,61764…; = 1,61818…; = 1,61797…
Se aproximan al número áureo φ= = 1,61803…
Página 51
Una representación gráfica
¿Cuál es el lado del 8-º? ¿Y del 9-º?
Observa también los rectángulos
que se forman sucesivamente:
Compruébalo para los cuatro si-
guientes rectángulos:
13 : 8, 21 : 13, 34 : 21, 55 : 34
1 + √5
2
144
89
89 5555 34
21 1313
8
8 55 33 22 11 1
Unidad 2. Sucesiones 1
SUCESIONES2
8 : 5
5 : 32 : 1 3 : 2

34. El lado del 8º cuadrado es 21 y el lado del 9º cuadrado es 34.
= 1,625; = 1,615; = 1,619…; = 1,617…
Se aproximan al número áureo φ= = 1,61803 …
Página 52
1.Di el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos térmi-
nos a cada una:
a) 3, 8, 13, 18, 23, … b) 1, 8, 27, 64, 125, …
c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, …
d) 8; 4; 2; 1; 0,5; …
e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …
g) 1, –2, 3, –4, 5, –6, … h) 20, 13, 6, –1, –8, …
a) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole 5 al anterior: a
6
= 28, a
7
= 33.
b) Cada término es el cubo del lugar que ocupa: b
6
= 216, b
7
= 343.
c) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 10 el anterior:
c
6
= 100 000, c
7
= 1 000 000.
d) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por (dividiendo entre 2)
el anterior: d
6
= 0,25, d
7
= 0,125.
e) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: e
7
= 29,
e
8
= 47.
f) Cada término, a partir del tercero, se obtiene restando los dos anteriores: f
7
= 16,
f
8
= –25.
g) Cada término es el número del lugar que ocupa, con signo positivo si es impar, y nega-
tivo si es par: g
7
= 7, g
8
= –8.
h) Cada término, a partir del segundo, se obtiene restándole 7 al anterior: h
6
= –15,
h
7
= –22.
Página 53
2.Forma una sucesión recurrente, a
n
, con estos datos:
a
1
= 2, a
2
= 3, a
n
= a
n–2
+ a
n–1
.
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
3.Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como térmi-
no general:
a
n
= 3 + 5(n– 1) b
n
= 3 · ()
n–1
c
n
= (–1)
n
2
n
d
n
= (n– 1)(n– 2) e
n
= n
2
+ (–1)
n
n
2
1
2
1 2
1 + √5
2
55 3434 2121 1313
8
Unidad 2. Sucesiones
2

35. a
1
= 3, a
2
= 8, a
3
= 13, a
4
= 18 b
1
= 3, b
2
= , b
3
= , b
4
=
c
1
= –2, c
2
= 4, c
3
= –8, c
4
= 16 d
1
= 0, d
2
= 0, d
3
= 2, d
4
= 6
e
1
= 0, e
2
= 8, e
3
= 0, e
4
= 32
4.Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea a
n
=a
n–1
+ n.
Si tomamos, por ejemplo, a
1
= 1, entonces quedaría: a
2
= 1 + 2 = 3, a
3
= 3 + 3 = 6,
a
4
= 6 + 4 = 10, a
5
= 10 + 5 = 15, a
6
= 15 + 6 = 21, a
7
= 21 + 7 = 28, …
5.Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes:
a) 3, 8, 13, 18, 23, … b) 1, 8, 27, 64, 125, …
c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, … d) 8, 4, 2, 1, …
e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … f) 8, 3, 5, –2, 7, –9, …
g) 1, –2, 3, –4, 5, –6, … h) 20, 13, 6, –1, –8, …
a) a
n
= 3 + (n– 1) · 5 b) b
n
= n
3
c) c
n
= 10
n– 1
d) d
n
= 8 · ()
n– 1
e) Es recurrente f) Es recurrente
g) g
n
= (–1)
n– 1
· n h) h
n
= 20 – 7 · (n– 1)
Página 54
1.¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas? En cada
una de ellas di su diferencia y añade dos términos más:
a) 3, 7, 11, 15, 19, … b) 3, 4, 6, 9, 13, 18, …
c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, … d) 10, 7, 4, 1, –2, …
e) 17,4; 15,8; 14,2; 12,6; 11; … f) –18; –3,1; 11,8; 26,7; 41,6; …
a) Es una progresión aritmética con d= 4; a
6
= 23, a
7
= 27.
b) No es una progresión aritmética.
c) No es una progresión aritmética.
d) Es una progresión aritmética con d= –3; d
6
= –5, d
7
= –8.
e) Es una progresión aritmética con d= 1,6; e
6
= 9,4; e
7
= 7,8.
f) Es una progresión aritmética con d= 14,9; f
6
= 56,5; f
7
= 71,4.
1
2
3 83 43 2
Unidad 2. Sucesiones 3

36. 2.En la sucesión 1a), halla el término a
20
y la suma de los 20 primeros térmi-
nos.
a
20
= a
1
+ 19 · d= 3 + 19 · 4 = 3 + 76 = 79
S
20
= = = 820
3.En la sucesión 1d), halla el término d
40
y la suma de los 40 primeros términos.
d
40
= d
1
+ 39 · (–3) = 10 – 117 = –107
S
40
= = = –1 940
4.En la sucesión 1e), halla el término e
100
y la suma de los 100 primeros térmi-
nos.
e
100
= e
1
+ 99 · (–1,6) = 17,4 – 158,4 = –141
S
100
= = = –6 180
5.En la sucesión 1f), halla los términos f
8
, f
17
y la suma f
8
+ f
9
+ … + f
16
+ f
17
.
f
8
= f
1
+ 7 · 14,9 = –18 + 104,3 = 86,3
f
17
= f
1
+ 16 · 14,9 = –18 + 238,4 = 220,4
En la suma pedida hay 10 sumandos.
S= = = 1 533,5
Página 55
6.¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas? En cada
una de ellas di su razón y añade dos términos más:
a) 1, 3, 9, 27, 81, … b) 100; 50; 25; 12,5; …
c) 12, 12, 12, 12, 12, … d) 5, –5, 5, –5, 5, –5, …
e) 90, –30, 10, –10/3, 10/9, …
a) Es una progresión geométrica con r= 3; a
6
= 243, a
7
= 729.
b) Es una progresión geométrica con r= ; b
5
= 6,25, b
6
= 3,125.
c) Es una progresión geométrica con r= 1; c
6
= 12, c
7
= 12.
d) Es una progresión geométrica con r= –1; d
7
= 5, d
8
= –5.
e) Es una progresión geométrica con r= –; e
6
= –, e
7
= .
10
81
10 271 3
1 2
(86,3 + 220,4) · 10
2
(f
1
+ f
17
) · 10
2
(17,4 – 141) · 100
2
(e
1
+ e
100
) · 100
2
(10 – 107) · 40
2
(d
1
+ d
40
) · 40
2
(3 + 79) · 20
2
(a
1
+ a
20
) · 20
2
Unidad 2. Sucesiones
4

37. 7.Calcula la suma de los 10 primeros términos de cada una de las progresiones
geométricas del ejercicio anterior.
a) a
10
= a
1
· r
9
= 1 · 3
9
= 19 683
S
10
= = = 29 524
b) b
10
= b
1
· r
9
= 100 · ()
9
= =
S
10
= = Φ199,805
c) c
10
= 12; S
10
= 12 · 10 = 120
d) d
10
= –5
S
10
= 0
e) e
10
= e
1
· r
9
= 90 · (
–)
9
= =
S
10
= = Φ67,499
8.¿En cuáles de las progresiones geométricas del ejercicio anterior puedes calcu-
lar la suma de sus infinitos términos? Hállala.
Podemos calcular la suma de sus infinitos términos en las progresiones geométricas
con |r|< 1:
b) S
∞
= = = = 200
e) S
∞
= = = = 67,5
Página 56
9.Calcula: 1
2
+ 2
2
+ … + 30
2
= = 9 455
30 · 31 ·61
6
30 ·(30 + 1) · (60 + 1)
6
90
4
—
3
90
1
1 –
(
–—)
3
e
1
1 – r
100
1
—
2
100
1
1 –
—
2
b
1
1 – r
10
—– 90
6 561
1
–
—– 1
3
e
10
· r– e
1
r– 1
–10
2 187
–90
19 683
1 3
25 1
—· —– 100
128 2
1
—– 1
2
b
10
· r– b
1
r– 1
25
128
100 5121 2
19 683 · 3 – 1
3 – 1
a
10
· r– a
1
r– 1
Unidad 2. Sucesiones 5

38. 10.Calcula: 50
2
+ 51
2
+ … + 60
2
(1
2
+ … + 60
2
) – (1
2
+ … + 49
2
) = – =
= 73 810 – 40 425 = 33 385
11.Calcula: 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + 15
3
= 14 400
12.Calcula: 2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ … + 20
3
2
3
+ 4
3
+ 6
3
+ … + 20
3
= (2 · 1)
3
+ (2 · 2)
3
+ (2 · 3)
3
+… + (2 · 10)
3
=
= 2
3
· 1
3
+ 2
3
· 2
3
+ 2
3
· 3
3
+ … + 2
3
· 10
3
=
= 2
3
(1
3
+ 2
3
+ 3
3
+… + 10
3
) =
= 8 · = 8 · 3 025 = 24 200
Página 57
1.Representa la sucesión a
n
= y asígnale un valor a su límite.
a
1
= 14, a
2
= 6, a
3
= 4,4; a
4
Φ3,71;
a
5
Φ3,33, …, a
10
Φ2,63, …;
a
100
Φ2,06; …; a
1 000
Φ2,006, …
lím a
n
= 2
2.Representa la sucesión b
n
= – 2n+ 3 y asigna un valor a su límite.
b
1
= 1,25; b
2
= 0; b
3
= –0,75; b
4
= –1; b
5
= –0,75;
b
6
= 0; b
7
= 1,25; b
8
= 3; b
9
= 5,25; b
10
= 8, …,
b
100
= 2 303, …
lím b
n
= +∞
n
2
4
4n+ 10
2n– 1
10
2
· 11
2
4
15
2
· 16
2
4
49 · 50 · 99
6
60 · 61 ·121
6
Unidad 2. Sucesiones
6
5
2
10 15
4
6
8
10
12
14
5
2
10
–2
4
6
8

39. Página 59
3.Estudia el comportamiento de estas sucesiones para términos muy avanzados e
indica sus límites:
a) a
n
= b) b
n
= c) c
n
= 3 – 2
n
d) d
n
= 5 –
a)a
10
Φ2,83; a
100
Φ32,83; a
1 000
Φ332,83, … lím a
n
= +∞
b)b
10
Φ1,133; b
100
Φ1,876; b
1 000
Φ1,987, … lím b
n
= 2
c)c
10
= –1 021; c
100
Φ–1,27 · 10
3
, … lím c
n
= –∞
d)d
10
= 4,999; d
100
= 4,999999, … lím d
n
= 5
4.Di, razonadamente, cuáles de las siguientes sucesiones tienen límite:
a) a
n
= – b) b
n
= (–1)
n
c) c
n
= (–1)
n
n d) d
n
= (–1)
n
a)a
10
= –0,02; a
100
= –0,0002; a
1 000
= –0,000002, … lím a
n
= 0.
b)b
10
Φ0,714; b
11
Φ–0,733; b
100
Φ0,962; b
101
Φ–0,962, …
Los términos pares son positivos y tienden a 1; los términos impares son negativos
y tienden a –1. La sucesión no tiene límite.
c)c
1
= –1, c
2
= 2, c
3
= –3, … c
1 000
= 1 000, c
1 001
= –1 001, …
Los términos impares son negativos y tienden a –∞; los términos pares son positi-
vos y tienden a +∞. La sucesión no tiene límite.
d)d
1
= –2; d
2
= 0,5; …; d
100
= 0,0002; d
101
= –0,000196, … lím d
n
= 0.
Página 61
1.Obtén los ocho primeros valores de a
n
(términos de la sucesión) y de S
n
(su-
mas parciales) en cada una de las progresiones siguientes. Calcula en cada una
el lím S
n
:
a) 125, 50, 20, … b) 125, –50, 20, … c) 17, –17, 17, …
d) 17, 17, 17, … e) 10; 12; 14,4; … f) 10; –12; 14,4; …
a)a
1
= 125, a
2
= 50, a
3
= 20, a
4
= 8, a
5
= = 3,2; a
6
= = 1,28; a
7
= = 0,512;
a
8
= = 0,2048.
S
1
= 125; S
2
= 175; S
3
= 195; S
4
= 203; S
5
= 206,2; S
6
= 207,48; S
7
= 207,992;
S
8
= 208,1968.
Como r= = 0,4 < 1; lím S
n
= = = = 208,
∧
3
625
3
125
2
1 –
—
5
a
1
1 – r
2
5
128 625
64
125
32 2516
5
2
n
2
n
n+ 4
2
n
2
1
n
3
2n– 3
n+ 5
2n– 3
6
Unidad 2. Sucesiones
7

40. b)b
1
= 125; b
2
= –50; b
3
= 20; b
4
= –8; b
5
= 3,2; b
6
= –1,28; b
7
= 0,512; b
8
= –0,2048.
S
1
= 125; S
2
= 75; S
3
= 95; S
4
= 87; S
5
= 90,2; S
6
= 88,92; S
7
= 89,432; S
8
= 89,2272.
Como r= –= –0,4 < 1; lím S
n
= = = Φ89,286
c)c
1
= 17; c
2
= –17; c
3
= 17; c
4
= –17; c
5
= 17; c
6
= –17; c
7
= 17; c
8
= –17.
S
1
= 17; S
2
= 0; S
3
= 17; S
4
= 0; S
5
= 17; S
6
= 0; S
7
= 17; S
8
= 0.
S
n
no tiene límite.
d)d
1
= 17; d
2
= 17; d
3
= 17; d
4
= 17; d
5
= 17; d
6
= 17; d
7
= 17; d
8
= 17.
S
1
= 17; S
2
= 34; S
3
= 51; S
4
= 68; S
5
= 85; S
6
= 102; S
7
= 119; S
8
= 136.
lím S
n
= +∞.
e)e
1
= 10; e
2
= 12; e
3
= 14,4; e
4
= 17,28; e
5
= 20,736; e
6
= 24,8832; e
7
= 29,85984;
e
8
= 35,831808.
S
1
= 10; S
2
= 22; S
3
= 36,4; S
4
= 53,68; S
5
= 74,416; S
6
= 99,2992; S
7
= 129,15904;
S
8
= 164,99084.
Como r= 1,2 > 1; lím S
n
= +∞.
f)f
1
= 10; f
2
= –12; f
3
= 14,4; f
4
= –17,28; f
5
= 20,736; f
6
= –24,8832; f
7
= 29,85984;
f
8
= –35,831808.
S
1
= 10; S
2
= –2; S
3
= 12,4; S
4
= –4,88; S
5
= 15,856; S
6
= –9,0272; S
7
= 20,83264;
S
8
= –14,999168.
S
n
no tiene límite.
Página 64
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1Describe el criterio con el que se forman estas sucesiones y añade tres tér-
minos a cada una:
a) 1, , , , , … b) 1, , , 2, , …
c) 2, 5, 10, 17, 26, … d) 0, 3, 8, 15, 24, …
e) 1, 3, 6, 10, 15, …
√5√3√2
1
5
1 41 31 2
625
7
125
2
1 +
—
5
b
1
1 – r
2
5
Unidad 2. Sucesiones
8

41. a) Cada término lo obtenemos dividiendo 1 entre el lugar que ocupa el término:
a
6
= , a
7
= , a
8
=
b) Cada término es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a
6
= , a
7
= , a
8
=
c) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa más 1 unidad: a
6
= 37, a
7
= 50,
a
8
= 65
d) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa menos 1 unidad: a
6
= 35,
a
7
= 48, a
8
= 63
e) Cada término, a partir del segundo, se obtiene sumándole al lugar que ocupa el
término anterior: a
6
= 21, a
7
= 28, a
8
= 36
2 Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos gene-
rales son estos:
a) a
n
= 3 + b) b
n
= c) c
n
=
d) d
n
= 2
–n
e) e
n
= 1 · 2 · 3 · … · n f) f
n
=
a)a
1
= 3,2; a
2
= 3,02; a
3
= 3,002; a
4
= 3,0002; a
5
= 3,00002
b)b
1
= 0; b
2
= ; b
3
= ; b
4
= ; b
5
=
c)c
1
= 1; c
2
= ; c
3
=2; c
4
= ; c
5
=
d)d
1
= ; d
2
= ; d
3
= ; d
4
= ; d
5
=
e)e
1
= 1; e
2
= 2; e
3
= 6; e
4
= 24; e
5
= 120
f)f
1
= –1; f
2
= 0; f
3
= –3; f
4
= 0; f
5
= –5
3 Escribe el término general de estas sucesiones:
a) , , , , … b) 1, , , , …
c) 0, , , , , … d) 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001; …
a)a
n
= b) b
n
= ()
n– 1
c) c
n
= d) d
n
= 5 +
4 Construye dos sucesiones cuyas leyes de recurrencias sean las siguientes:
a) a
1
= 0 a
2
= 2 a
n
=
b) a
1
= 1 a
2
= 2 a
n
=
a
n–1
· a
n–2
2
a
n–1
+ a
n–2
2
1
10
n
n
2
– 1
n
2
+ 1
1
3
n
n– 1
24
26
15 178
10
3 5
1
27
1 91 34 53 42 31 2
1
32
1
16
1 81 41 2
7 311
5
5 3
24
5
15
4
8 33 2
(–1)
n
n– n
2
3n– 1
n+ 1
n
2
– 1
n
2
10
n
√8√7√6
1
8
1 71 6
Unidad 2. Sucesiones 9

42. a) 0, 2, 1, , , , , , b) 1, 2, 1, 1, , , , , …
5 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones:
a) 4, 7, 3, –4, –7, … b) 2, 3, , , , …
a)a
1
= 4, a
2
= 7, a
n
= a
n– 1
– a
n– 2
para n> 2
b)b
1
= 2, b
2
= 3, b
n
= para n> 2
6 De las siguientes sucesiones, di cuáles son progresiones aritméticas y escribe su
término general:
a) 1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 6; … b) 5; 4,6; 4,2; 3,8; 3,4; …
c) 1, 2, 4, 7, 11, … d) 14, 13, 11, 8, 4, …
a) Es una progresión aritmética con a
1
= 1,2 y d= 1,2.
a
n
= 1,2 + (n– 1) · 1,2 = 1,2n.
b) Es una progresión aritmética con b
1
= 5 y d= –0,4.
b
n
= 5 + (n– 1) · (–0,4) = –0,4n+ 5,4.
c) y d) no son progresiones aritméticas.
7 De las sucesiones siguientes, indica cuáles son progresiones aritméticas:
a) a
n
= 3n b) b
n
= 5n– 4
c) c
n
= d) d
n
=
e) e
n
= 5 + f) f
n
= n
2
– 1
a)a
n
– a
n– 1
= 3n– 3(n– 1) = 3n– 3n+ 3 = 3
Es una progresión aritmética con d= 3.
b)b
n
– b
n– 1
= 5n– 4 – [5(n– 1) – 4)] = 5n– 4 – 5n+ 5 + 4 = 5
Es una progresión aritmética con d= 5.
c)c
1
= 1, c
2
= , c
3
= , c
4
= , …
c
2
– c
1
= ≠c
3
– c
2
= . No es una progresión aritmética.
1
6
–1
2
1 41 31 2
n
2
8 – 3n
4
1
n
b
n– 1
b
n– 2
1
3
1 23 2
1
128
1
16
1 41 243 3221 1611
8
5 43 2
Unidad 2. Sucesiones 10

43. d)d
n
– d
n– 1
= – = =
Es una progresión aritmética con d= .
e)e
n
– e
n– 1
= 5 +– (
5 + )
= 5 +– 5 – += .
Es una progresión aritmética con d= .
f)f
1
= 0, f
2
= 3, f
3
= 8, f
4
= 15, …
f
2
– f
1
= 3 ≠f
3
– f
2
= 5. No es una progresión aritmética.
8 Calcula los términos a
10
y a
100
de las siguientes progresiones aritméticas:
a) –4, –2, 0, 2, 4, … b) 2, –3, –8, –13, –18, … c) , 1, , , , …
a)a
10
= a
1
+ 9d= –4 + 9 · 2 = –4 + 18 = 14
a
100
= a
1
+ 99d= –4 + 99 · 2 = –4 + 198 = 194
b)a
10
= a
1
+ 9d= 2 – 9 · 5 = 2 – 45 = –43
a
100
= a
1
+ 99d= 2 –99 · 5 = 2 – 495 = –493
c)a
10
= a
1
+9d= + 9 · = = 3
a
100
= a
1
+ 99d= + 99 · = =
9 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones
aritméticas:
a) 3, 6, 9, 12, 15, … b) 5; 4,9; 4,8; 4,7; 4,6; …
c) c
n
= 4n– 2 d) d
n
=
a)a
1
= 3; a
25
= a
1
+ 24d= 3 + 24 · 3 = 75
S
25
= = = 975
b)b
1
= 5; b
25
= b
1
+ 24d= 5 – 24 · 0,1 = 2,6
S
25
= = = 95
c)c
1
= 2; c
25
= 98
S
25
= = = 1 250
(2 + 98) · 25
2
(c
1
+ c
25
) · 25
2
(5 + 2,6) · 25
2
(b
1
+ b
25
) · 25
2
(3 + 75) · 25
2
(a
1
+ a
25
) · 25
2
1 – 2n
2
51
2
102
4
1 43 4
12
4
1 43 4
7 43 25 43 4
1 2
1 21 2n
2
n
2
n– 1
2
n
2
–3
4
–3
4
8 – 3n– 8 + 3n– 3
4
8 – 3(n– 1)
4
8 – 3n
4
Unidad 2. Sucesiones
11

44. d)d
1
= ; d
25
=
S
25
= = = = –312,5
10 De las siguientes sucesiones, ¿cuáles son progresiones geométricas? Escribe
tres términos más en cada una y también su término general.
a) 32, 16, 8, 4, 2, … b) 1; 0,1; 0,01; 0,001; …
c) 1, 4, 9, 16, 25, … d) , 2, 2 , 4, 4 , …
a) Es una progresión geométrica con a
1
= 32 y r= .
a
6
= 1, a
7
= , a
8
= ; a
n
= 32 · ()
n– 1
= = 2
6 – n
b) No es una progresión geométrica; b
6
= 36, b
7
= 49, b
8
= 64, b
n
= n
2
.
c) Es una progresión geométrica con c
1
= 1 y r= 0,1.
c
6
= 0,00001; c
7
= 0,000001; c
8
= 0,0000001; c
n
= 1 · 0,1
n– 1
= 0,1
n– 1
d) Es una progresión geométrica con d
1
= y r= .
d
6
= 8; d
7
= 8 ; d
8
= 16; d
n
= · ()
n– 1
= ()
n
.
11 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones
geométricas y halla la suma de los infinitos términos en los casos que sea
posible:
a)a
1
= 32, r= b) a
1
= 10, r= c) a
1
= 2
–10
, r= 2
S
25
= =
a)S
25
= = 63,99999809 Φ64 S
∞
= = = = 64
b)S
25
= = 11,1 = S
∞
= = = = 11,1
c)S
25
= = 32 767,99902 Φ32 768
S
∞
= +∞
2
–10
· 2
25
– 2
–10
2 – 1
100
9
10
1
1 –
—
10
a
1
1 – r
100
9
1
10 · (
—)
25
– 10
10
1
—– 1
10
32
1
—
2
32
1
1 –
—
2
a
1
1 – r
1
32 ·
(
—)
25
– 32
2
1
—– 1
2
a
1
· r
25
– a
1
r– 1
a
25
· r– a
1
r– 1
1
10
1 2
√2√2√2√2
√2√2
2
5
2
n– 1
1
2
1 41 2
1 2
√2√2√2
–625
2
149(
– —– —)
· 25
22
2
(d
1
+ d
25
) · 25
2
–49
2
–1
2
Unidad 2. Sucesiones
12

45. 12 Calcula los términos a
10
, a
100
y a
1 000
, en cada sucesión e indica cuál es su
límite:
a) a
n
= b) a
n
= 1 + c) a
n
=
d) a
n
= e) a
n
= – 1 f) a
n
= 3 – 7n
a)a
10
= 0,
)
1; a
100
= 0,
)
01; a
1 000
= 0,
)
001
lím a
n
= 0
b)a
10
= 1,1; a
100
= 1,001; a
1 000
= 1,00001
lím a
n
= 1
c)a
10
= 2,5; a
100
= 2,05; a
1 000
= 2,005
lím a
n
= 2
d)a
10
= 45; a
100
= 4 995; a
1 000
= 499 995
lím a
n
= +∞
e)a
10
= –0,5; a
100
= –0,95; a
1 000
= –0,995
lím a
n
= –1
f)a
10
= –6,7; a
100
= –697; a
1 000
= –6 997
lím a
n
= –∞
Página 65
13 Halla algunos términos muy avanzados de las siguientes sucesiones e indica
cuál es su límite:
a) a
n
= 5n– 10 b) b
n
= 100 – n
c) c
n
= d) d
n
=
a)a
10
= 40; a
100
= 490; a
1 000
= 4 990
lím a
n
= +∞
b)b
10
= 90; b
100
= 0; b
1 000
= –900
lím b
n
= –∞
c)c
10
= 0,63; c
100
Φ0,9603; c
1 000
Φ0,996
lím c
n
= 1
d)d
10
Φ0,476; d
100
Φ0,498; d
1 000
Φ0,4998
lím d
n
= 0,5 =
1
2
n
2n+ 1
n– 3
n+ 1
5
n
n
2
– 10
2
2n+ 5
n
10
n
2
1
n– 1
Unidad 2. Sucesiones
13

46. PARA RESOLVER
14 Calcula el 15-º término en la siguiente progresión: 3; 2,7; 2,4; 2,1; …
Es una progresión aritmética con a
1
= 3 y d= –0,3.
Por tanto, a
15
= a
1
+ 14d= 3 – 0,3 · 14 = 3 – 4,2 = –1,2.
15 Halla el cuarto término de una progresión aritmética en la que d= 3 y
a
20
= 100.
a
20
= a
4
+ 16d→a
4
= a
20
– 16d= 100 – 16 · 3 = 52
16 Calcula la suma de todos los números impares de tres cifras.
Es la suma de los términos de una progresión aritmética en la que el primer térmi-
no es 101, el último es 999, y hay 450 sumandos:
S= = 247 500
17 ¿Cuánto vale la suma de los 100 primeros múltiplos de 7?
Queremos calcular la suma de los 100 primeros términos de una progresión aritmé-
tica en la que a
1
= 7 y d= 7.
S
100
= = = 35 350
18 En una progresión aritmética sabemos que d=3,a
n
= 34 y S
n
= 133. Calcula
ny a
1
.
34 = a
1
+ 3n– 3 →a
1
= 37 – 3n
133 = →266 = (71 – 3n)n
266 = 71n– 3n
2
→3n
2
– 71n+ 266 = 0
n= = =
= =
a
1
= 37 – 3 · 19 = 37 – 57 = –20 →a
1
= –20
19Los lados de un hexágono están en progresión aritmética. Calcúlalos sabien-
do que el mayor mide 13 cm y que el perímetro vale 48 cm.
Llamamos a los lados a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
y a
6
.
n= 14/3 (no vale)
n= 19
71 ± 43
6
71 ±√1 849
6
71 ±√5 041 – 3 192
6
(37 – 3n+ 34) · n
2




a
n
= a
1
+(n– 1) · d→34 = a
1
+(n– 1) · 3
(a
1
+ a
n
) · n (a
1
+ 34) · n
S
n
= ——— →133 = ———
22
(7 + 700) · 100
2
(a
1
+ a
100
) · 100
2
(101 + 999) · 450
2
Unidad 2. Sucesiones
14

47. Sabemos que a
6
= 13 cm y que S
6
= 48. Por tanto:
48 = 78 – 15d→15d= 30 →d= = 2 →d= 2
a
1
= 13 – 5 · 2 = 13 – 10 = 3 →a
1
= 3
Los lados del hexágono miden 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm, 11 cm y 13 cm.
20En un cine, la segunda fila de butacas está a 10 m de la pantalla y la séptima
fila está a 16 m. ¿En qué fila debe sentarse una persona que le guste ver la
pantalla a una distancia de 28 m?
a
7
= 16 →a
7
= a
2
+ 5d= 10 + 5d= 16 →d= 1,2
(La distancia entre las dos filas consecutivas es de 1,2 metros).
Buscamos npara que a
n
= 28 m:
a
n
= a
1
+(n– 1) · d= 8,8 + (n– 1) · 1,2 = 28 →8,8 + 1,2n– 1,2 = 28
1,2n= 20,4 →n= 17
La fila 17 está a 28 metros.
21Escribe los términos intermedios de una progresión aritmética de la que co-
nocemos a
1
= –3 y a
10
= 18.
a
10
= a
1
+ 9d= –3 + 9d= 18 →d= =
Los términos son: a
1
= –3, a
2
= –, a
3
= , a
4
= 4, a
5
= , a
6
= , a
7
= 11,
a
8
= , a
9
= , a
10
= 18.
22Halla los dos términos centrales de una progresión aritmética de 8 términos
sabiendo que S
8
= 100 y que a
1
+ 2a
8
= 48.
Tenemos que calcular a
4
y a
5
. Sabemos que:
Restando a la 2-
a
ecuación la 1-
a
, queda:
a
8
= 23 →a
1
= 25 – a
8
= 25 – 23 = 2 →a
1
= 2
a
8
= a
1
+ 7d= 2 + 7d= 23 →d= 3
Por tanto:
a
4
= 11
a
5
= 14


a
4
= a
1
+ 3d= 2 + 9 = 11
a
5
= a
4
+ d= 11 + 3 = 14



(a
1
+ a
8
) · 8
S
8
= ——— = (a
1
+ a
8
) · 4 = 100 →a
1
+ a
8
= 25
2
a
1
+ 2a
8
= 48





47
3
40
3
26
3
19
3
5 32 3
7 321
9
30 15
a
6
= a
1
+5d→13 = a
1
+5d→a
1
= 13 – 5d
(a
1
+ a
6
) · 6
S
6
= ——— →48 = (13 – 5d+ 13) · 3 →48 = (26 – 5d) · 3
2





Unidad 2. Sucesiones
15

48. 23En una progresión geométrica, a
1
= 8 y a
3
= 0,5.Calcula a
5
y la expresión
de a
n
.
a
3
= a
1
· r
2
= 8r
2
= 0,5 →r
2
= 0,0625 →r= ± 0,25 = ±
1
er
caso: r= 0,25 =
a
5
= a
1
· r
4
= 8 · ()
4
= = 0,03125
a
n
= a
1
· r
n– 1
= 8 · ()
n– 1
= =
2
o
caso: r= –0,25 = –
a
5
= a
1
· r
4
= = 0,03125
a
n
= 8 · ()
n– 1
24En una progresión geométrica de razón r= 3 conocemos S
6
= 1 456. Cal-
cula a
1
y a
4
.
S
6
= = = = =
= 364a
1
= 1 456 →a
1
= 4
a
4
= a
1
· r
3
= 4 · 27 = 108
25La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es igual a 4
y a
2
= 1. Calcula a
1
y la razón.
4r
2
– 4r+ 1 = 0 →r= = = →r= →a
1
= 2
26La maquinaria de una fábrica pierde cada año un 20% de su valor. Si costó 4
millones de euros, ¿en cuánto se valorará después de 10 años de funciona-
miento?
– Al cabo de 1 año valdrá →(4 · 10
6
) · 0,8 €
– Al cabo de 2 años valdrá →(4 · 10
6
) · 0,8
2
€
…
– Al cabo de 10 años valdrá →(4 · 10
6
) · 0,8
10
€429 496,73 €
1
2
1 24 84 ±√16 – 16
8
1
a
2
= a
1
· r= 1 →a
1
= —
r
a
1 1/r 1
S
∞
= —= —= —= 4 →1 = 4r– 4r
2
1 – r1 – rr– r
2







728a
1
2
a
1
· 729 – a
1
2
a
1
· r
6
– a
1
r– 1
a
6
· r– a
1
r– 1
1
4
1
32
1 4
1
2
2n– 5
2
3
2
2n– 2
1
4
1
32
1 4
1 4
1 4
Unidad 2. Sucesiones 16

49. 27El 1 de enero depositamos 5 000 €en una cuenta bancaria a un interés anual
del 6% con pago mensual de intereses. ¿Cuál será el valor de nuestro dinero
un año después?
☛
Un 6% anual corresponde a mensual. Cada mes el dinero se multiplica por
1,005.
– Al cabo de 1 mes tendremos →5 000 · 1,005 €
– Al cabo de 2 meses tendremos →5 000 · 1,005
2
€
…
– Al cabo de 12 meses tendremos →5 000 · 1,005
12
€5 308,39 €
28Durante 5 años depositamos en un banco 2 000€al 4% con pago anual de in-
tereses.
a) ¿En cuánto se convierte cada depósito al final del quinto año?
b) ¿Qué cantidad de dinero hemos acumulado durante esos 5 años?
a) Al final del 5º año:
– Los primeros 2 000 €se convierten en 2 000 · 1,04
5
€€2 433,31 €
– Los segundos 2 000 €se convierten en 2 000 · 1,04
4
€€2 339,72 €
– Los terceros 2 000 €se convierten en 2 000 · 1,04
3
€€2 249,73 €
– Los cuartos 2 000 €se convierten en 2 000 · 1,04
2
€= 2 163,2 €
– Los quintos 2 000 €se convierten en 2 000 · 1,04€= 2 080 €
b) Sumamos las cantidades anteriores:
2 000 · 1,04
5
+ 2 000 · 1,04
4
+ 2 000 · 1,04
3
+ 2 000 · 1,04
2
+ 2 000 · 1,04 =
= 2 000(1,04
5
+ 1,04
4
+ 1,04
3
+ 1,04
2
+ 1,04) =
(*)
= 2 000 · = 11 265,95 €
(*)
Suma de una progresión geométrica con a
1
= 1,04 y r= 1,04.
29Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy
avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas:
a) a
n
= 3n
2
– 10 b) b
n
= 3n– n
2
c) c
n
= 10 – 5n+ n
2
d) d
n
= (1 – 2n)
2
e) e
n
= (4 – n)
3
f) f
n
= 1 – (n+ 2)
2
a)a
10
= 290; a
100
= 29 990; a
1 000
= 2 999 990
lím a
n
= +∞
b)b
10
= –70; b
100
= –9 700; b
1 000
= –997 000
lím b
n
= –∞
1,04
6
– 1,04
1,04 – 1
6
1 200
Unidad 2. Sucesiones
17

50. c)c
10
= 60; c
100
= 9 510; c
1 000
= 995 010
lím c
n
= +∞
d)d
10
= 361; d
100
= 39 601; d
1 000
= 3 996 001
lím d
n
= +∞
e)e
10
= –216; e
100
= –884 736; e
1 000
= –988 047 936
lím e
n
= –∞
f)f
10
= –143; f
100
= –10 403; f
1 000
= –1 004 003
lím f
n
= –∞
30Representa gráficamente los 10 primeros términos de las siguientes sucesio-
nes, comprueba que tienden a un número y di cuál es:
a)a
n
= b) b
n
= 3 + c) c
n
= – 2 d) d
n
=
a)
lím a
n
= 2
b)
lím b
n
= 3
n+ 1
2n
2
1
n
2
(–1)
n
n
2n– 1
n
Unidad 2. Sucesiones
18
n 12345678910
a
n
1 1,5 1,6
)
1,75 1,8 1,83
)
1,86 1,875 1,8
)
1,9
n 12345678910
b
n
2 3,5 2,6
)
3,25 2,8 3,16
)
2,86 3,125 2,8
)
3,1
246810n
a
n
1
2
2
1
46810n
b
n
2
3
4

51. c)
lím c
n
= –2
d)
lím d
n
= 0
31Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy
avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas:
a)a
n
= b) b
n
= c) c
n
= d) d
n
=
a)a
10
= 0,15625; a
100
= 0,01656; a
1 000
= 0,00167
lím a
n
= 0
b)b
10
= 0,297; b
100
= 0,029997; b
1 000
= 0,002999997
lím b
n
= 0
c)c
10
= –1; c
100
= –0,01; c
1 000
= –0,0001
lím c
n
= 0
d)d
10
= 0,0909; d
100
= 0,0099; d
1 000
= 0,000999; d
1 001
= –0,000999
lím d
n
= 0
(–1)
n
n+ 1
–100
n
2
3n
n
2
+ 1
5
3n+ 2
Unidad 2. Sucesiones
19
n 12345678910
c
n
–1–1,75–1,8
)
–1,94–1,96–1,97–1,98–1,98–1,99–1,99
n 12345678910
d
n
1 0,5 0,22 0,16 0,12 0,10 0,08 0,07 0,06 0,06
246810n
c
n
–2
–1
246810n
d
n
1
2

52. Página 66
32Comprueba, dando a nvalores grandes, que las siguientes sucesiones tien-
den a un número y di cuál es ese número:
a) a
n
= b) b
n
=
c) c
n
= 1 + d) d
n
=
a)a
10
= 2,238; a
100
= 2,473; a
1 000
= 2,497
lím a
n
= 2,5 =
b)b
10
= –1,970; b
100
= –1,9997; b
1 000
= –1,999997
lím b
n
= –2
c)c
10
= 1,000977; c
20
= 1,000000954
lím c
n
= 1
d)d
10
= 0,195; d
100
= 0,019995; d
1 000
= 0,001999995
lím d
n
= 0
33Calcula el límite de las siguientes sucesiones:
a) a
n
= b) b
n
= c) c
n
=
d) d
n
= e) e
n
= f ) f
n
=
a)a
10
= 0,7864; a
100
= 0,9798; a
1 000
= 0,9980
lím a
n
= 1
b)b
10
= 0,5025; b
100
= 0,500025; b
1 000
= 0,50000025
lím b
n
= 0,5 =
c)c
10
= 9,80; c
100
= 30,1; c
1 000
= 94,90
lím c
n
= +∞
d)d
10
= 1,756; d
100
= 1,973; d
1 000
= 1,997
lím d
n
= 2
e)e
10
= 20,797; e
100
= 107,278; e
1 000
= 1 007,027
lím e
n
= +∞
f)f
10
= 0,760; f
100
= 0,909; f
1 000
= 0,969
lím f
n
= 1
1
2
√n
1 + √n
(1 + n)
3
(n– 2)
2√
4n– 3
n+ 2
3n+ 1
√n
√n
2
+ 1
2n
(n– 1)
2
n
2
+ 3
5
2
2n
2
– 5
n
3
1
2
n
1 – 2n
2
n
2
+ 1
5n– 3
2n+ 1
Unidad 2. Sucesiones
20

53. 34Comprueba si tienen límite las siguientes sucesiones:
a) a
n
= (–1)
n
b) b
n
= 1 + (–1)
n
c) c
n
= d) d
n
=
a)a
100
= 2,01; a
101
= –2,0099; a
1 000
= 2,001; a
1 001
= –2,000999
Los términos pares tienden a 2 y los impares a –2.
a
n
no tiene límite.
b)b
1
= 0; b
2
= 2; b
3
= 0; b
4
= 2, …
Los términos impares son 0 y los pares son 2.
b
n
no tiene límite.
c)c
1
= 0; c
2
= 1; c
3
= 0; c
4
= 0,5; …; c
100
= 0,02
Los términos impares son cero y los pares tienden a cero.
lím c
n
= 0.
d)d
1
= 0; d
2
= 1,5; d
3
= 0,67; d
4
= 1,25; …; d
100
= 1,01; d
101
= 0,99
lím d
n
= 1.
35Dadas las sucesiones a
n
= n
2
y b
n
= , estudia el límite de:
a) a
n
+ b
n
b) a
n
· b
n
c)
a)A
n
= a
n
+ b
n
= n
2
+
A
10
= 100,0099; A
100
= 10 000,0001
lím(a
n
+ b
n
) = +∞
b)B
n
= a
n
· b
n
= n
2
· =
B
10
= 0,9901; B
100
= 0,9999
lím(a
n
· b
n
) = 1
c)C
n
= = = n
2
(n
2
+ 1) = n
4
+ n
2
C
10
= 10 100; C
100
= 100 010 000
lím
()
= +∞
a
n
b
n
n
2
1(n
2
+ 1)
a
n
b
n
n
2
n
2
+ 1
1
n
2
+ 1
1
n
2
+ 1
a
n
b
n
1
n
2
+ 1
n+ (–1)
n
n
1 + (–1)
n
n
2n+ 1
n
Unidad 2. Sucesiones
21

54. 36Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy
avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas:
a) a
n
= (
1 + )
2n
b) b
n
= (
1 + )
n+3
c) c
n
= (
1 + )
n
2
d) d
n
= (
1 – )
–n
a)a
10
= 2,6533; a
100
= 2,7115; a
1 000
= 2,7176; a
1 000 000
= 2,71828; …; lím a
n
= e
b)b
10
= 2,6206; b
100
= 2,7052; b
1 000
= 2,7169; b
1 000 000
= 2,71828; …; lím b
n
= e
c)c
10
= 2,7048; c
100
= 2,7181; c
1 000
= 2,71828; …; lím c
n
= e
d)d
10
= 2,8680; d
100
= 2,7320; d
1 000
= 2,7196; d
1 000 000
= 2,71828; …; lím d
n
= e
37Determina, dando valores grandes a n, cuál es el límite de las siguientes su-
cesiones:
a)a
n
= (
2 + )
n
b) b
n
= ()
n
c) c
n
= (
1 + )
n
2
d) d
n
= (
1 + )
n
a)a
10
= 1 667,988; a
100
= 2,987 · 10
30
lím a
n
= +∞
b)b
10
= 0,00605; b
100
= 5,72 · 10
–30
lím b
n
= 0
c)c
10
= 13 780,61; c
100
= 1,64 · 10
43
lím c
n
= +∞
d)d
10
= 1,1046; d
100
= 1,01005; d
1 000
= 1,0010005
lím d
n
= 1
38Halla el término general de la sucesión: 2, , , , , … y estudia su lí-
mite.
a
n
= = 2
1/n
a
1
= 2; a
2
= Φ1,4142; a
3
= Φ1,2599; a
4
= Φ1,1892; …; a
10
Φ1,0718
a
100
Φ1,00696; lím a
n
= 1
39Dadas las sucesiones a
n
= n+ 3 y b
n
= 2 – n, calcula los siguientes límites:
a)lím(a
n
+ b
n
) b) lím(a
n
– b
n
) c) lím(a
n
· b
n
) d) lím
a)A
n
= a
n
+ b
n
= n+ 3 + 2 – n= 5
lím(a
n
+ b
n
) = 5
b)B
n
= a
n
– b
n
= n+ 3 – (2 – n) = n+ 3 – 2 + n= 2n+ 1
B
10
= 21; B
100
= 201; B
1 000
= 2 001
lím(a
n
– b
n
) = +∞
a
n
b
n
4
√2
3
√2√2
n
√2
5
√2
4
√2
3
√2√2
1
n
2
1
n
n+ 2
2n
1
n
1
n
1
n
2
1
n+ 3
1
2n
Unidad 2. Sucesiones
22

55. c)C
n
= a
n
· b
n
= (n+ 3) (2 – n) = 2n– n
2
+ 6 – 3n= –n
2
– n+ 6
C
10
= –104; C
100
= –10 094; C
1 000
= –1 000 994
lím(a
n
· b
n
) = –∞
d)D
n
= =
D
10
= –1,625; D
100
= –1,051; D
1 000
= –1,005
lím = –1
CUESTIONES TEÓRICAS
40Sea a
n
una progresión aritmética con d> 0. ¿Cuál es su límite?
Si d> 0, la sucesión se va haciendo cada vez mayor. Por tanto, lím a
n
= +∞.
41La sucesión 3, 3, 3, 3, …, ¿es una progresión aritmética? ¿Y geométrica?
– Es una progresión aritmética con d= 0.
– También es una progresión geométrica con r= 1.
42Si a
n
es una progresión geométrica con r= , ¿cuál es su límite?
Al ir multiplicando por sucesivamente, los términos se van aproximando a cero.
Es decir, lím a
n
= 0.
43En una progresión geométrica cualquiera, a, ar, ar
2
, ar
3
, …, comprueba
que: a
1
· a
6
= a
2
·a
5
= a
3
·a
4
. ¿Se verifica también a
3
·a
7
= a
4
·a
6
?
Enuncia una propiedad que exprese los resultados anteriores.
Son iguales
Son iguales
Propiedad:Si a
n
es una progresión geométrica, se verifica que a
p
· a
q
= a
m
· a
n
siempre que p+ q= m+ n.
44El número 3,9
)
podemos considerarlo como la suma de los infinitos térmi-
nos de la sucesión: 3, , , , …
Calcula la suma y halla su límite.
3 + + + + … = 3 + 0,9 + 0,99 + 0,999 + … = 3,
)
9
9
1 000
9
100
9
10
9
1 000
9
100
9
10


a
3
· a
7
= (a· r
2
) · (a· r
6
) = a
2
· r
8
a
4
· a
6
= (a· r
3
) · (a· r
5
) = a
2
· r
8




a
1
· a
6
= a· (a· r
5
) = a
2
· r
5
a
2
· a
5
= (a· r) · (a· r
4
) = a
2
· r
5
a
3
· a
4
= (a· r
2
) · (a· r
3
)= a
2
· r
5
1
3
1 3
a
n
b
n
n+ 3
2 – n
a
n
b
n
Unidad 2. Sucesiones 23

56. Si consideramos la progresión geométrica , , , … y sumamos todos
sus términos, queda:
S
∞
= = = = 1
Por tanto: 3 +
(
++ + … )
= 3 + 1 = 4
45Inventa dos sucesiones cuyo límite sea infinito y que al dividirlas, la sucesión
que resulte tienda a 2.
Por ejemplo: a
n
= 2n; b
n
= n+ 1
lím a
n
= +∞; lím b
n
= +∞
lím = lím = 2
46Inventa dos sucesiones cuyo límite sea 0 y que al dividirlas, la sucesión que ob-
tengas no tienda a 0.
Por ejemplo: a
n
= ; b
n
=
lím a
n
= 0; lím b
n
= 0
lím = lím= ≠0
PARA PROFUNDIZAR
47El término central de una progresión aritmética de 17 términos es igual a
11. Calcula la suma de los 17 términos.
El término central es a
9
. Como a
1
+ a
17
= a
2
+ a
16
= a
3
+ a
15
= … = a
9
+ a
9
, enton-
ces:
S
17
= = = = = 187
48La sucesión x
2
– x+ 1; x
2
+ 1; x
2
+ x+ 1, ¿es una progresión aritmética?
Si lo fuese, calcula el quinto término y la suma de los cinco primeros térmi-
nos.
Llamamos a
1
= x
2
– x+ 1; a
2
= x
2
+ 1; a
3
= x
2
+ x+ 1.
Veamos si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:
a
2
– a
1
= x
2
+ 1 – (x
2
– x+ 1) = x
2
+ 1 – x
2
+ x– 1 = x
a
3
– a
2
= x
2
+ x+ 1 – (x
2
+ 1) = x
2
+ x+ 1 – x
2
– 1 = x
Por tanto, sí es una progresión aritmética con a
1
= x
2
– x+ 1 y diferencia d= x.
22 · 17
2
(11 + 11) · 17
2
(a
9
+ a
9
) · 17
2
(a
1
+ a
17
) · 17
2
1
2
1 2a
n
b
n
2
n
1
n
2n
n+ 1
a
n
b
n
9
1 000
9
100
9
10
9
—
10
9
—
10
9
—
10
1
1 –
—
10
a
1
1 – r
9
1 000
9
100
9
10
Unidad 2. Sucesiones
24

57. Así, tenemos que:
a
5
= a
1
+ 4 · d = x
2
– x+ 1 + 4x= x
2
+ 3x+ 1
S
5
= = =
= (x
2
+ x+ 1) · 5 = 5x
2
+ 5x+ 5
Página 67
49Dibuja un cuadrado de lado cm y sobre cada lado un triángulo rectángulo
isósceles; después dos, luego cuatro, como indican las figuras:
a) Forma la sucesión de los perímetros de las figuras obtenidas. ¿Cuál es su
límite?
b) Forma también la sucesión de las áreas. ¿Cuál es su límite?
1
er
paso: 2º paso: 3
er
paso:
Perímetro = 8 cm Per ímetro = 8 cm Per ímetro = 8 cm
Área = 2 + 2 = 4 cm
2
Área = 2 + 1 = 3 cm
2
Área = 2 + = cm
2
… Paso n-ésimo:
a) 8, 8, 8, 8, …; P
n
= 8; lím P
n
= 8
b) 4, 3, , …; A
n
= 2 + 2 · ()
n– 1
; lím A
n
= 2
(que es el área del cuadrado de lado ).
√2
1
2
5 2
Perímetro = 8 cm
1
Área = 2 + 2 ·
(
—)
n– 1
cm
2
2





5
2
1 2
√2
(2x
2
+ 2x+ 2)· 5
2
(x
2
– x+ 1 + x
2
+ 3x+ 1) · 5
2
(a
1
+ a
5
) · 5
2
Unidad 2. Sucesiones
25
11
11
1/21/2
1/4
1/41/2
1/2
11
11
√
—
2
√
—
2

58. 50Los términos de la sucesión 1, 3, 6, 10, 15 se llaman números triangulares
porque se pueden representar así:
Calcula a
10
y a
n
.
a
1
= 1; a
2
= 1 + 2 = 3; a
3
= 1 + 2 + 3 = 6; a
4
= 1 + 2 + 3 + 4 = 10;
a
10
= 1 + 2 + 3 +… + 10 = = = 55
a
n
= 1 + 2 + 3 +… + n=
51Los términos de la sucesión 1, 5, 12, 22, 35 se llaman números pentagonales
porque se pueden representar así:
Calcula a
6
, a
10
y a
n
.
☛
Esos números se pueden escribir así: 1; 1 + 4; 1 + 4 + 7; 1 + 4 + 7 + 10; 1 + 4 + 7 + 10
+ 13
a
1
= 1; a
2
= 1 + 4 = 5; a
3
= 1 + 4 + 7 = 12; a
4
= 1 + 4 + 7 + 10 = 22
Observamos que vamos obteniendo las sumas de los términos de una progresión
aritmética con a
1
= 1 y d= 3. En el paso n-ésimo tendremos:
a
n
= 1 + 4 + 7 + … + (1 + (n– 1) · 3) = 1 + 4 + 7 +… +(3n– 2) =
= = =
Por tanto:
a
6
= = 17 · 3 = 51; a
10
= = 145
29 · 10
2
17 · 6
2
(3n– 1) · n
2
(1 + 3n– 2) · n
2
(1 + (3n– 2)) · n
2
(1 + n) · n
2
11 · 10
2
(1 + 10) · 10
2
Unidad 2. Sucesiones
26
221251

59. 52Utiliza las propiedades de las progresiones para simplificar la expresión del
término general y calcular el límite de las siguientes sucesiones:
a)a
n
= + + + … + b) b
n
= 2n(
+ + + … + )
a)a
n
= (1 + 2 + 3 + … +n) = ()
= · ()
=
Hallamos el límite: a
10
= 0,55; a
100
= 0,505; a
1 000
= 0,5005; lím a
n
= 0,5 =
b)b
n
= (1 + 2 + 3 + … +n) = ()
= · ()
= =
= = = n+ 1
b
10
= 11; b
100
= 101; b
1 000
= 1 001; lím b
n
= +∞
PARA PENSAR UN POCO MÁS
53La sucesión de Fibonacci se puede obtener a partir de una fórmula muy
complicada:
a
n
= [()
n
– ()
n
]
Con ayuda de la calculadora podemos obtener cualquiera de sus términos.
Por ejemplo, sabemos que a
6
= 8. Obtengámoslo con la fórmula:
1
5 2 6 1 5 2 6 5
φCalcula de este modo a
8
= 21.
φObserva que el sustraendo ()
n
toma valores muy próximos a 0 pa-
ra nun poco grande.
Esto nos permite obtener un valor muy aproximado de a
n
mediante
()
n
. Por ejemplo, a
7
≈12,98 ≈13.
Calcula, así, a
10
y a
20
.
•Para calcular a
8
escribimos en la calculadora:
1
5 2 8 1 5 2 8 5
Obtenemos a
8
= 21.
1 + √
—
5
2
1
√5
1 – √
—
5
2
1 – √
—
5
2
1 + √
—
5
2
1
√5
2n
2
(n+ 1)
2n
2
2n
3
+ 2n
2
2n
2
2n
2
+ 2n
3
2n
3
n+ n
2
2
2n
n
3
(1 + n) · n
2
2n
n
3
2n
n
3
1
2
n
2
+ n
2n
2
n+ n
2
2
1
n
2
(1 + n) · n
2
1
n
2
1
n
2
n
n
3
3
n
3
2
n
3
1
n
3
n
n
2
3
n
2
2
n
2
1
n
2
Unidad 2. Sucesiones
27

60. •Obtenemos de forma aproximada a
10
y a
20
:
a
10
☛55,0036 →a
10
= 55
a
20
☛6 765,00003 →a
20
= 6 765
54Dos sucesiones emparejadas
Observa las siguientes sucesiones:
l
1
= 1 d
1
= 1
l
2
= 1 + 1 = 2 d
2
= 2 + 1 = 3
l
3
= 2 + 3 = 5 d
3
= 2 · 2 + 3 = 7
…… ……
l
n
= l
n–1
+ d
n–1
d
n
= 2l
n–1
+ d
n–1
φCalcula los diez primeros términos de cada una de estas sucesiones.
φComprueba que el cociente d
n
/l
n
se parece cada vez más a .
Este par de sucesiones fueron construidas por los pitagóricos. Tienen la par-
ticularidad de que no solo son recurrentes sino que cada una ha de recurrir
a la otra.
El límite de d
n
/l
n
es , igual que el cociente entre la diagonal, d, y el la-
do, l, de un cuadrado.
•Calculamos los diez primeros términos de cada sucesión:
COCIENTES
l
1
= 1 d
1
= 1 d
1
/l
1
= 1
l
2
= 1 + 1 = 2 d
2
= 2 + 1 = 3 d
2
/l
2
= 1,5
l
3
= 2 + 3 = 5 d
3
= 2 · 2 + 3 = 7 d
3
/l
3
= 1,4
l
4
= 12 d
4
= 17 d
4
/l
4
☛1,41666…
l
5
= 29 d
5
= 41 d
5
/l
5
☛1,4137931…
l
6
= 70 d
6
= 99 d
6
/l
6
☛1,4142857…
l
7
= 169 d
7
= 239 d
7
/l
7
☛1,4142011…
l
8
= 408 d
8
= 577 d
8
/l
8
☛1,4142156…
l
9
= 985 d
9
= 1 393 d
9
/l
9
☛1,4142131…
l
10
= 2 378 d
10
= 3 363 d
10
/l
10
☛1,4142136…
Los cocientes se aproximan a: ☛1,4142135…
√2
√2
√2
Unidad 2. Sucesiones 28

61. Página 68
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1
1.Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis,
a un almacén de frutos secos. Ante un saco de almendras, el dueño les dijo:
—Coged las que queráis.
Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cada
vez, se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9
veces, cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 81 almendras). Ade-
más, cada padre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo.
Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo.
• ¿Cómo se llama el hijo de Antonio?
• ¿Y el de Juan?
• ¿Cuántas almendras se llevaron entre todos?
•2-º caso: 15 × 3
(x+ y) (x– y) = 45
Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almen-
dras) y su hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras).
•3
er
caso: 45 × 1
(x+ y) (x– y) = 45
Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo,
22 puñados de 22 almendras (484 almendras).
Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2
puñados.
Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo 7
puñados.
Sumando: 2x= 46 → x= 23
Restando: 2y= 44 → y= 22


x+ y= 45
x– y= 1
Sumando: 2x= 18 → x= 9
Restando: 2y= 12 → y= 6


x+ y= 15
x– y= 3
Unidad 3. Álgebra
1
ÁLGEBRA3

62. Por tanto:
• Antonio se lleva 9 puñados y José 6.
• Juan coge 23 puñados y Julio 22.
• Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2.
• El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.
Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será:
81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1 183 almendras
Página 69
Problema 2
2.Un galgo persigue a una liebre.
La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-
tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre. ¿Cuán-
tos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura?
Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 uel galgo.
Cada 2 · 2 saltos de galgo y 3 · 2 de liebre se acerca 2 uel galgo.
Cada 2 · 3 saltos de galgo y 3 · 3 de liebre se acerca 3 uel galgo.
… …
Cada 2 · 90 saltos de galgo y 3 · 90 de liebre se acerca 90 uel galgo.
Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90ude ventaja), serán:
2 · 90 = 180 saltos el galgo
3 · 90 = 270 saltos la liebre
De esta forma el galgo recorre 180 · 5u= 900u; y la liebre 270 · 3u= 810u.
Como tenía 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u
Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.
Página 71
1.Descompón factorialmente los siguientes polinomios:
a) x
6
– 9x
5
+ 24x
4
– 20x
3
b) x
6
– 3x
5
– 3x
4
– 5x
3
+ 2x
2
+ 8x
c) x
6
+ 6x
5
+ 9x
4
– x
2
– 6x– 9
a)x
6
– 9x
5
+ 24x
4
– 20x
3
= x
3
(x
3
– 9x
2
+ 24x– 20)
x
6
– 9x
5
+ 24x
4
– 20x
3
= x
3
(x– 2)
2
(x– 5)
1 –9 24 –20
2 2 –14 20
1–7 10 0
2 2 –10
1–5 0
Unidad 3. Álgebra
2

63. b)x
6
– 3x
5
– 3x
4
– 5x
3
+ 2x
2
+ 8x= x(x
5
– 3x
4
– 3x
3
– 5x
2
+ 2x+ 8)
x
2
+ x+ 2 = 0 →x=
no tiene solución
x
6
– 3x
5
– 3x
4
– 5x
3
+ 2x
2
+ 8x= x(x– 1) (x+ 1) (x– 4) (x
2
+ x+2)
c)x
6
+ 6x
5
+ 9x
4
– x
2
– 6x– 9
x
2
+ 1 = 0→x
2
= –1 →no tiene solución
Así, x
6
+ 6x
5
+ 9x
4
– x
2
– 6x– 9 = (x+ 3)
2
(x+ 1) (x– 1) (x
2
+ 1)
2.a) Intenta factorizar x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 7x+ 4.
b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x
2
+x+ 1.
a) El polinomio dado no tiene raíces enteras (de hecho, no tiene raíces reales).
b) Hacemos la división:
x
4
+4x
3
+8x
2
+7x+ 4x
2
+ x+ 1
–x
4
–x
3
–x
2
x
2
+3x+ 4
3x
3
+ 7x
2
+ 7x+ 4–3x
3
– 3x
2
– 3x
4x
2
+ 4x+ 4–4x
2
– 4x– 4
0
Los polinomios x
2
+ x+ 1 y x
2
+ 3x+ 4 son irreducibles (las ecuaciones
x
2
+x+ 1 = 0 y x
2
+ 3x+ 4 = 0 no tienen solución). Por tanto:
x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 7x+ 4 = (x
2
+ x+ 1) (x
2
+ 3x+ 4)
1 6 9 0–1–6–9
–1 –1 –5 –4 4 –3 9
154–43–90
–3 –3 –6 6 –6 9
12–22–30
–3 –3 3 –3 3
1 –1 1 –1 0
1101
1010
–1 ±√1 – 8
2
1–3–3–5 2 8
1 1 –2 –5 –10 –8
1 –2 –5 –10 –8 0
–1 –1 3 2 8
1–3–2–8 0
4448
1120
Unidad 3. Álgebra
3

64. 3.Intenta factorizar 6x
4
+7x
3
+6x
2
– 1. Hazlo ahora sabiendo que – y son
raíces del polinomio.
El polinomio dado no tiene raíces enteras.
Por tanto:
6x
4
+ 7x
3
+ 6x
2
– 1 = (
x+ )(
x– )
6(x
2
+ x+ 1) = (2x+ 1) (3x– 1) (x
2
+ x+ 1)
Página 73
1.Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguien-
tes, y súmalas: ; ; –
m · c· m = x(x+ 1)
Reducimos a común denominador:
= =
=
–= – = – = –
Las sumamos:
+ – = + + =
= =
2.Efectúa: + –
+ – = + – =
= + – =
= = =
x
2
– 3x+ 1
x
2
– 1
1 + 2x
2
– 2x– x
2
– x
x
2
– 1
1 + 2x(x–1) – x(x+ 1)
(x– 1) (x+ 1)
x(x+ 1)
(x– 1) (x+ 1)
2x(x–1)
(x– 1) (x+ 1)
1
(x– 1) (x+ 1)
x
x– 1
2x
x+ 1
1
(x– 1) (x+ 1)
x
x– 1
2x
x+ 1
1
x
2
– 1
x
x– 1
2x
x+ 1
1
x
2
– 1
–x
2
+ 8x+ 5
x
2
+ x
x
2
+ 8x+ 7 + x–2 –2x
2
–x
x
2
+ x
–2x
2
– x
x(x+ 1)
x– 2
x(x+ 1)
x
2
+ 8x+ 7
x(x+ 1)
2x+ 1
x+ 1
x– 2
x
2
+ x
x+ 7
x
2x
2
– x
x(x+ 1)
2x
2
+ x
x(x+ 1)
(2x+ 1)x
x(x+ 1)
2x+ 1
x+ 1
x– 2
x(x+ 1)
x– 2
x
2
+ x
x
2
+ 8x+ 7
x(x+ 1)
(x+ 7) (x+ 1)
x(x+ 1)
x+ 7
x




x= x
x
2
+ x= x(x+ 1)
x+ 1 = x+ 1
2x+1
x+ 1
x– 2
x
2
+ x
x+ 7
x
1 31 2
6 7 6 0 –1 6 x
2
+ 6x+ 6 = 0
–1/2 –3 –2 –2 1 6( x
2
+ x+ 1) = 0
64 4–2 0
–1 ±√1 – 4
____
1/3 2 2 2 x=
__________
no tiene solución
66 6 0
2
1
3
1 2
Unidad 3. Álgebra 4

65. Página 74
3.Efectúa estas operaciones:
a) · b) :
a) · = =
= =
b) : = · = =
= =
4.Calcula:
a) :
(
· )
b) ·
a) :
(
· )
= : = · =
= = =
=
b) · = = = =
= = = x
2
– 1
Página 75
1.Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x
4
– x
2
– 12 = 0 b) x
4
– 8x
2
– 9 = 0
a)x
2
= = 2 y –2
b)x
2
= = 3 y –3
9→ x= ±3
–1→ (no vale)
8 ± 10
2
8 ±√64 + 36
2
4→ x= ±2
–3→ (no vale)
1 ± 7
2
1 ±√1 + 48
2
(x
2
+ 1) (x
2
– 1)
x
2
+ 1
x
4
– 1
x
2
+ 1
x
4
(x
4
– 1)
x
4
(x
2
+ 1)
x
8
– x
4
x
6
+ x
4
(x
4
– x
2
) (x
4
+ x
2
)
(x
2
+ 1)x
4
x
4
+ x
2
x
4
x
4
– x
2
x
2
+ 1
6x
2
+ 15x+ 6
x
3
– x
2
3(2x
2
+ 4x+ x+ 2)
x
3
– x
2
3(2x+ 1) (x+ 2)
x
2
(x– 1)
3(2x+ 1)
(x– 1)x
x+ 2
x
(x– 1)x
3(2x+ 1)
x+ 2
x
x
2x+ 1
x– 1
3
x+ 2
x
x
4
+ x
2
x
4
x
4
– x
2
x
2
+ 1
x
2x+ 1
x– 1
3
x+ 2
x
x
3
+ 3x
2
– 7x+ 15
2x
2
– x– 6
x
3
– 2x
2
+ 3x+ 5x
2
– 10x+ 15
2x
2
+ 3x– 4x– 6
(x
2
– 2x+ 3) (x+ 5)
(x– 2) (2x+ 3)
x+ 5
2x+ 3
x
2
– 2x+ 3
x– 2
2x+ 3
x+ 5
x
2
– 2x+ 3
x– 2
2x
3
– x
2
+ 9
x
2
+ 3x– 10
2x
3
+ 3x
2
– 4x
2
– 6x+ 6x+ 9
x
2
+ 5x– 2x– 10
(x
2
– 2x+ 3) (2x+3)
(x– 2) (x+ 5)
2x+ 3
x+ 5
x
2
– 2x+ 3
x– 2
2x+ 3
x+ 5
x
2
– 2x+ 3
x– 2
2x+ 3
x+ 5
x
2
– 2x+ 3
x– 2
Unidad 3. Álgebra
5

66. 2.Resuelve:
a) x
4
+ 10x
2
+ 9 = 0 b) x
4
– x
2
– 2 = 0
a) x
2
= =
No tiene solución.
b) x
4
– x
2
– 2 = 0 y
2
– y– 2 = 0
y = = =
Hay dos soluciones: x
1
= – ; x
2
=
Página 76
1.Resuelve:
a) – + 1 = x b) – = 4 c) 2 + = x
d) 2 – = x e) – 1 =
a) 1 – x=
1 + x
2
– 2x= 2x– 3; x
2
– 4x+ 4 = 0; x= 2 (no vale)
No tiene solución.
b) 2x– 3 = 16 + x+ 7 + 8
x– 26 = 8
x
2
+ 676 – 52x= 64 (x+ 7)
x
2
+ 676 – 52x= 64x+ 448
x
2
– 116x+ 228 = 0; x=
x= 114
c) = x– 2; x= x
2
+ 4 – 4x; 0 = x
2
– 5x+ 4
x= =
x= 4
d) 2 – x= ; 4 + x
2
– 4x= x; x
2
– 5x+ 4 = 0
x=
x= 1
4→ (no vale)
1
√x
4
1→ (no vale)
5 ± 3
2
5 ±√25 – 16
2
√x
114
2→ (no vale)
116 ± 112
2
√x+ 7
√x+ 7
√2x– 3
√8 + 2x√3x+ 3√x
√x√x+ 7√2x– 3√2x– 3
√2√2
y= –1 →x
2
= –1 →No vale
y= 2 →x
2
= 2 →x= ±√2
––
1 ± 3
2
1 ±√9
2
1 ±√1 + 8
2
x
2
= y
→
–1→ (no vale)
–9→ (no vale)
–10 ± 8
2
–10 ±√100 – 36
2
Unidad 3. Álgebra
6

67. e) – 1 =
3x+ 3 = 1 + 8 – 2x+ 2
5x– 6 = 2
25x
2
+ 36 – 60x= 4(8 – 2x)
25x
2
– 52x+ 4 = 0
x=
Así, x= 2.
2.Para ir de Ahasta Chemos navegado a 4 km/h
en línea recta hasta P , y hemos caminado a 5
km/h de Pa C. Hemos tardado, en total, 99 mi-
nutos (99/60 horas).
¿Cuál es la distancia, x, de Ba P?
—
AP
2
= x
2
+ 9 = t
—
PC= 6 – x =
(
– t)
t=
t= – +
+ =
15 + 12 (6 – x) = 99
15 + 72 – 12 x= 99
15 = 12 x+ 27
225 (x
2
+ 9) = 144x
2
+ 729 + 648x
225x
2
+ 2 025 = 144x
2
+ 729 + 648x
81x
2
– 648x+ 1 296 = 0
x
2
– 8x+ 16 = 0
x= = 4
Así, la distancia de Ba P es de 4 km.
8
2
√x
2
+ 9
√x
2
+ 9
√x
2
+ 9
99 606 – x
5
√x
2
+ 9
4
99 606 – x
5
√x
2
+ 9
4
99 606 – x
5
√x
2
+ 9
4
x= 2
x= 0,08 →no vale
52 ± 48
50
√8 – 2x
√8 – 2x
√8 – 2x√3x+ 3
Unidad 3. Álgebra 7
3 km
6 km
x
A
P
B
ARENA
MAR
C



















= – +
99
60
6 – x
5
√x
2
+ 9
4

68. Página 77
1.Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + = b) + = 4 c) + =
a) 10 (x+ 3) + 10x= 3x(x+ 3)
10x+ 30 + 10x= 3x
2
+ 9x
0 = 3x
2
– 11x– 30
x= =
x
1
= 5,489; x
2
= –1,822
b) 12 (x– 2) + 2x(x+ 1) = 12x(x– 2)
12x– 24 + 2x
2
+ 2x= 12x
2
– 24x
0 = 10x
2
– 38x+ 24
0 = 5x
2
– 19x+ 12; x= =
x
1
= 3; x
2
=
c) 4x+ 4 = 3x
2
; 0 = 3x
2
– 4x– 4
x= =
x
1
= 2; x
2
=
2.Resuelve:
a) + = 3 b) + = c) – =
a)x(x+ 1) + 2x(x– 1) = 3 (x
2
– 1)
x
2
+ x+ 2x
2
– 2x= 3x
2
– 3
x= 3
b) 10 (x+ 3) + 2x(x+ 2) = 3 (x
2
+ 5x+ 6)
10x+ 30 + 2x
2
+ 4x= 3x
2
+ 15x+ 18
0 = x
2
+ x– 12
x= = =
x
1
= 3; x
2
= –4
3
–4
–1 ± 7
2
–1 ±√1 + 48
2
26
35
x
2
+ 1
x
2
– 1
x+ 3
x – 1
3
2
x
x + 3
5
x + 2
2x
x + 1
x
x – 1
–2
3
2
–2/3
4 ± 8
6
4 5
3
4/519 ± 11
10
5,489
–1,822
11 ± 21,93
6
3 41
x
2
1
x
2(x+ 1)
3(x – 2)
4
x
3
10
1
x + 3
1
x
Unidad 3. Álgebra
8

69. c) 35 (x+ 3) (x+ 1) – 35 (x
2
+ 1) = 26 (x
2
– 1)
35 (x
2
+ 4x+ 3) – 35 (x
2
+ 1) = 26 (x
2
– 1)
35x
2
+ 140x+ 105 – 35x
2
– 35 = 26x
2
– 26
26x
2
– 140x– 96 = 0
x= = =
x
1
= 6; x
2
=
Página 79
1.Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2
3x
= 0,5
3x+ 2
b) 3
4 – x
2
=
c) = 186 d) 7
x+ 2
= 5 764 801
a) 2
3x
= 2
–3x– 2
; 3x= –3x– 2; 6x= –2; x=
b) 3
4 – x
2
= 3
–2
; 4 – x
2
= –2; x
2
= 6; x= ±
x
1
= ; x
2
= –
c) = 186; 2
2x– 2 – x– 2
= 186; 2
x– 4
= 186
log2
x– 4
= log186; (x– 4) log2 = log186
x= 4 + = 11,54
d) 7
x+ 2
= 7
8
; x= 6
2.Resuelve:
a) 3
x
+ 3
x+ 2
= 30 b) 5
x+ 1
+ 5
x
+ 5
x–1
=
c) 2log x– log(x+ 6) = 3log 2 d) 4 log
2
(x
2
+ 1) = log
2
625
a) 3
x
+ 3
x
· 9 = 30
3
x
(10) = 30; 3
x
= 3; x= 1
b) 5 · 5
x
+ 5
x
+ =
5
x
· = ; x= 0
31
5
31
5
31
5
5
x
5
31
5
log186
log2
2
2x– 2
2
x+ 2
√6√6
√6
–1
3
4
x– 1
2
x+ 2
1
9
–8
13
6
–8/13
70 ± 86
26
70 ±√70
2
– 4 · 13 · (–48)
26
Unidad 3. Álgebra
9

70. c)log = log8
x
2
= 8x+ 48; x
2
– 8x– 48 = 0; x= =
x= 12
d)log
2
(x
2
+ 1)
4
= log
2
5
4
; x
2
+ 1 = 5; x
2
= 4; x= ±2
x
1
= 2; x
2
= –2
Página 81
1.Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b) c)
a)
x
2
– 9 = 2x– 1; x
2
– 2x– 8 = 0
x= = =
x
1
= 4; y
1
= 7
x
2
= –2; y
2
= –5
b)
y= 5 – x
x(5 – x) = 6; 5x– x
2
= 6; x
2
– 5x+ 6 = 0
x
1
= 2; y
1
= 3
x
2
= 3; y
2
= 2
c)x= 2y+ 1
– = 2; = 2 +
3y+ 1 = 4 + y+ 1 + 4 ; 2y– 4 = 4 ; y– 2 = 2
y
2
+ 4 – 4y= 4y+ 4; y
2
– 8y= 0
y= 8→ x= 17
y= 0 (no vale)
x= 17; y= 8
√y+ 1√y+ 1√y+ 1
√y+ 1√3y+ 1√y+ 1√3y+ 1
x= 2
x= 3


y+ x= xy– 1
xy= 6
4
–2
2 ± 6
2
2 ±√4 + 32
2


y= 2x– 1
y= x
2
– 9
x= 2y+ 1
√
—
x+ y– √
—
x– y= 2



11 1
—+ —= 1 – —
xy xy
xy= 6





2x– y – 1 = 0
x
2
– 7 = y + 2



12
–4 (no vale)
8 ± 16
2
x
2
x+ 6
Unidad 3. Álgebra 10

71. 2.Resuelve:
a) b) c)
a)y= 1 – x; x
2
+ x(1 – x) + (1 – x)
2
= 21
x
2
+ x– x
2
+ 1 + x
2
– 2x= 21; x
2
– x– 20 = 0
x= = =
x
1
= –4; y
1
= 5
x
2
= 5; y
2
= –4
b)x= 27 + y
log= 1
10y= 27 + y; 9y= 27; y= 3
= 10; x= 10y; x= 30
x= 30; y= 3
c)log = 1
5
x+ 1
= 5
2y+ 2
x= 2y+ 1
4y
2
+ 1 + 4y+ y= 20y+ 10 – 20y
4y
2
+ 5y– 9 = 0
y= = =
x
1
= 3; y
1
= 1
x
2
= ; y
2
=
Página 82
1.Reconoce como escalonados y resuelve:
a) b)
3x+ 4y= 0
2y= –6
5x+y– z= 17





x = 7
2x– 3y = 8
3x+y– z= 12





–9
4
–7
2
–9/4 → x= –7/2
1 → x= 3
–5 ± 13
8
–5 ±√25 + 144
8



x
2
+ y= 10x– 20y
x+ 1 = 2y+ 2
x
2
+ y
x– 2y
x
y
x
y
5 → y= –4
–4 → y= 5
1 ± 9
2
1 ±√1 + 80
2
log (x
2
+ y) – log (x– 2y) = 1
5
x+ 1
= 25
y+ 1



x– y = 27
log x– 1 = log y



x2
+ x y + y
2
= 21
x+ y= 1



Unidad 3. Álgebra
11











72. c) d)
2.Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
a) b)
c) d)
x= –1
y= –2
z= –2







y=
–10
= –2
5
x=
–5 –y
= –1
3
z= x+ 2y+ 3 = –2




x+2y–z=–3
3x+y =–5
5y =–10
b)
x= 1
y= –5
z= 4




y= –5
z= 4
x= 1



y =–5
2z=8
3x =3
a)
4x+ y– z= 7
2y= 8
3x = 9





x– 5y+ 3z= 8
3y–z= 5
4z= 4





x+ 2y– z=–3
3x+y =–5
5y = –10





y= –5
2z=8
3x =3





x= 8
y= 4
z= –3




y=4
z= y– 7 = 4 – 7 = –3
x= 11 + z= 11 – 3 = 8



y =4
x –z=11
y–z=7
d)
x= –1
y= 4
z= 4




x=–1
y= 4
z=2x+ y+ 2 = –2 + 4 + 2 = 4



3x =–3
5y =20
2x+y–z=–2
c)
x= 4
y= –3
z= 0






–6
y=
—– 3
2
–4y
x=
—= 4
3
z= 5x+ y– 17 = 20 – 3 – 17 = 0




3x+4y =0
2y =–6
5x+y–z=17
b)
x= 7
y= 2
z= 11






x= 7
y=
2x– 8
= 2
3
z= 3x+ y– 12 = 21 + 2 – 12 = 11




x =7
2x–3y =8
3x+y–z=12
a)
y=4
x– z= 11
y– z=7





3x = –3
5y= 20
2x+ y– z= –2





Unidad 3. Álgebra
12

73. Página 83
3.Resuelve por el método de Gauss:
a) b)
4.Resuelve:
a) b)
2 · 1-ª + 3-ª
2-ª
3-ª : 2



13x– 5z=13
2x+y–2z=1
–2x +10z=–2
1-ª + 4 · 2-ª
2-ª
3-ª – 3 · 2-ª



5x–4y+3z=9
2x+y–2z=1
4x+3y+4z=1
a)
2x– 5y+ 4z= –1
4x– 5y+ 4z= 3
5x – 3z= 13





5x– 4y+ 3z= 9
2x+y– 2z= 1
4x+ 3y+ 4z= 1





x= 4
y= 2
z= –3







x=
20
= 4
5
y=
14 – 2x
= 2
3
z= –3 – x+ 2y= –3 – 4 + 4 = –3




2x+3y =14
x–2y+z=–3
5x =20
1-ª
2-ª
3-ª + 1-ª



2x+3y =14
x–2y+z=–3
3x–3y =6
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª



2x+3y =14
x–2y+z=–3
2x–y–z=9
b)
x= 1
y= –2
z= 3




x= 1
z= 4 – x= 3
y= 2 – x– z= 2 – 1 – 3 = –2




x+y+z=2
x +z=4
x =1 



x+ y+z=2
2x +2z=8
2x =2
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª + 1-ª



x+y+z=2
x–y+z=6
x–y–z=0
a)
2x+ 3y= 14
x– 2y+ z= –3
2x–y–z= 9





x+ y+ z= 2
x–y+ z= 6
x–y– z= 0





x= 3
y= 4
z= 9







x=
9
= 3
3
y=
8
= 4
2
z= 4x+ y– 7 = 9




4x+ y–z=7
2y =8
3x =9
d)
x= 15
y= 2
z= 1






z= 1
y=
5 + z
= 2
3
x= 8 + 5y– 3z= 8 + 10 – 3 = 15




x–5y+3z=8
3y– z=5
4z=4
c)
Unidad 3. Álgebra 13

74. Página 84
1.Resuelve estas inecuaciones:
a) 3x+ 2≤10 b) x– 5 > 1
a) 3x+ 2 ≤10 →3x≤8 →x≤
Soluciones: x/ x≤ =
(
–∞, ]
b)x– 5 > 1 →x> 6
Soluciones: {x/ x> 6} = (6, +∞)
2.
Resuelve:
a) b)
a)
No tiene solución
b)
No tiene solución
Página 85
3.Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x
2
– 3x– 4 < 0 b) x
2
– 3x– 4 ≥0
c) x
2
+ 7 < 0 d) x
2
– 4 ≤0


2x≥11 → x≥11/2
3x≤14 → x≤14/3


3x≤8 → x≤8/3
x> 6
2x– 5 ≥6
3x+ 1 ≤15



3x+ 2 ≤10
x– 5 > 1



8
3


8
3



8
3
x= 2
y=
1
5
z= –1






x= 2
5x– 13
z= –––––––––= –1
3
2x+ 4z+ 1 1
y= ––––––––––– =
—
55




2x–5y+4z=–1
2x =4
5x –3z=13
1-ª
2-ª – 1-ª
3-ª



2x–5y+4z=–1
4x–5y+4z=3
5x –3z=13
b)
x= 1
y= –1
z= 0






x= 1
z=
–1 + x
= 0
5
y= 1 – 2x+ 2z= –1




24x =24
2x+y–2z=1
–x +5z=–1
Unidad 3. Álgebra
14

75. a) x
2
– 3x– 4 < 0 → intervalo (–1, 4)
b)x
2
– 3x– 4 ≥0 → (–∞, –1] U [4, +∞)
c) x
2
+ 7 < 0 → No tiene solución
d)x
2
– 4 ≤0
La parábola y= x
2
– 4 queda por debajo del eje xen el intervalo (–2, 2); y cor-
ta al eje xen x= –2 y en x= 2.
Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [–2, 2].
4.Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) b)
a) 2 x– 7 > 5 → 2x> 12 → x> 6 → (6, +∞)
x
2
– 3x– 4 ≥0 → (–∞, –1] U [4, +∞)
Solución:(6, +∞)
• Las soluciones de la primera inecuación son lon puntos del intervalo [–2, 2]. (Ver
apartado d) del ejercicio anterior).


x
2
– 4 ≤0
x– 4 > 1
b)
x
2
– 4 ≤0
x– 4 > 1



x
2
– 3x– 4 ≥0
2x– 7 > 5



Unidad 3. Álgebra
15
y = x
2
– 3x – 4
2
4
24
–2
–2
Y
X
y = x
2
+ 7
4
8
24
12
–2
Y
X
y = x
2
– 3x – 4
2
4
24
–2
–2
Y
X

76. • Las soluciones de la segunda inecuación son:
x– 4 > 1 →x > 5 →(5, +∞)
• Las soluciones del sistema serán los puntos en común de los dos intervalos. Por
tanto, el sistema no tiene solución.
Página 90
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Ecuaciones
1Resuelve:
a) 7 – + = –
b)
(
3x– )
· (
3x+ )
– 4 = (3x– 5)
2
+
c) + = – 1
a) 189 – 9x– 36 + 9x= 5x+ 8 – 15x– 165
10x= –310 ⇒ x= –31
b) 9x
2
– – 4 = 9x
2
+ 25 – 30x+
30x= 30 ⇒ x= 1
c) – x+ x– = 2 + x–
x= –; x = – ⇒ x= –
2Entre estas seis ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solu-
ción, dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única.
Identifica cada caso y resuelve las que sea posible:
a) = x– b) x+ – 1 = x
c) – = –
d) 0,2x+ 0,6 – 0,25(x– 1)
2
= 1,25x– (0,5x+ 2)
2
e) (5x– 3)
2
– 5x(4x– 5) = 5x(x– 1)
f ) – = –
(x– 2)
2
2
x– 2
2
(x+ 1) (x– 2)
2
2x+ 1
7
2 + x
4
(x– 1)
2
16
1 + x
2
(x+ 1)
2
16
2
3
3 – x
3
2x+ 3
4
x+ 1
2
√15
3
√5
√3
√5√3
√15√5√15√5√5√3√15
5 94 9
2√
–
3 + x
√
–
3
x– 1
√3
√
–
5 – x
√
–
5
5
9
2 32 3
5(x+ 11)
9
5x+ 8
27
x
3
x+ 4
3
Unidad 3. Álgebra
16

77. a) 2x+ 2 = 4x– 2x– 3; 5 = 0
No tiene solución.
b) 3x+ 3 – x– 3 = 2x; 0 = 0
Infinitas soluciones.
c) – = –
2x– 8 – 8x= –2x– 8 – 4x; 0 = 0
Infinitas soluciones.
d) 0,2x+ 0,6 – 0,25 (x
2
+ 1 – 2x) = 1,25x– (0,25x
2
+ 4 + 2x)
0,2x+ 0,6 – 0,25x
2
– 0,25 + 0,5x= 1,25x– 0,25x
2
– 4 – 2x
1,45x= –4,35
x= –3
e) 25x
2
+ 9 – 30x– 20x
2
+ 25x= 5x
2
– 5x; 9 = 0
No tiene solución.
f) 4x+ 2 – 7(x
2
– x– 2) = 7x– 14 – 7(x
2
+ 4 – 4x)
4x+ 2 – 7x
2
+ 7x+ 14 = 7x– 14 – 7x
2
– 28 + 28x
58 = 24x
x=
3Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + ( x– 2)
2
= b) 0,5( x– 1)
2
– 0,25(x+ 1)
2
= 4 – x
c) (0,5x– 1) (0,5x+ 1) = (x+ 1)
2
– 9 d) (
– 2)
2
– = –
e) x
2
– 2x+ 2 – 3 = 0 f ) x
2
– x– 2 – = 0
g) + = + 1 h) 0,3
)
x
2
– x– 1,3
)
= 0
☛
Expresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás soluciones
enteras.
a) 2x
2
– 2 + 6 (x
2
+ 4 – 4x) = 3x
2
+ 6
2x
2
– 2 + 6x
2
+ 24 – 24x= 3x
2
+ 6
5x
2
– 24x+ 16 = 0
x= =
x
1
= 4; x
2
=
4
5
4
4/5
24 ± 16
10
(3x– 2)
2
8
x(x+ 2)
4
x(x– 3)
2
√2√3
x– 1
4
1 8x+ 1
8
x
2
3 2
x
2
+ 2
2
x
2
– 1
3
29 12
8 + 4x
16
x
2
+ 1 – 2x
16
8 + 8x
16
x
2
+ 1 + 2x
16
Unidad 3. Álgebra
17

78. b) 0,5 (x
2
+ 1 – 2x) – 0,25 (x
2
+ 1 + 2x) = 4 – x
0,5x
2
+ 0,5 – x– 0,25x
2
– 0,25 – 0,5x= 4 – x
0,25x
2
– 0,5x– 3,75 = 0
x
2
– 2x– 15 = 0
x= =
x
1
= –3; x
2
= 5
c) 0,25x
2
– 1 = x
2
+ 1 + 2x– 9
0 = 0,75x
2
+ 2x– 7
x= =
x
1
= 2; x
2
= –
d)
(
+ 4 – 2x )
– = –
3x
2
+ 48 – 24x– x– 1 = 1 – 2x+ 2; 3x
2
– 23x+ 44 = 0
x= =
x
1
= 4; x
2
=
e)x= = = = 1 ± =
=
x
1
= 1 +
*
= ; x
2
= 1 –
*
= 2 –
* Esta igualdad se podría probar viendo que:
(– 1)
2
= 4 – 2
f)x= = = =
=
1 ±√9 + 4√
—
2
2
1 ±√1 + 8 + 4√
—
2
2
1 ±√1 – 4(–2 – √
—
2 )
2
√3√3
√3√4 – 2√

3√3√4 – 2√

3
√4 – 2√

3
2 ± 2√4 – 2√
—
3
2
2 ±√16 – 8√
—
3
2
2 ±√4 – 8√
—
3 + 12
2
11
3
4
11/3
23 ± 1
6
2x– 2
8
1 8x+ 1
8
x
2
4
3 2
14
3
2
–70/15 = –14/3
–2 ± 5
1,5
5
–3
2 ± 8
2
Unidad 3. Álgebra
18
1 +
*
=
1 –
*
= 2 – √3√4 – 2√

3
√3√4 – 2√

3
*
= 1 +
*
= –√2
1 – √9 + 4√
—
2
2
√2
1 + √9 + 4√
—
2
2

79. x
1
=
*
= 1 + ; x
2
=
*
= –
* Esta igualdad se podría probar viendo que:
(1 + 2)
2
= 9 + 4
g) 4x(x– 3) + 2x(x+ 2) = 9x
2
+ 4 – 12x+ 8
4x
2
– 12x+ 2x
2
+ 4x= 9x
2
+ 4 – 12x+ 8
0 = 3x
2
– 4x+ 12 → No tiene solución.
h)– – = 0 → x
2
– 3x– 4 = 0
x= = =
x
1
= 4, x
2
= –1
4Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fór-
mula general:
☛
Recuerda que: ax
2
+ c = 0 se resuelve despejando x. ax
2
+ bx = 0 se resuelve
sacando factor común e igualando a cero cada factor.
a) (x+ 1)
2
– (x– 2)
2
= (x+ 3)
2
+ x
2
– 20
b) – =
c) – = –
d) +
[
x
2
– 2 – x ]
=
e) (x– a)
2
+ x(x+ b)= 8b
2
– x(2a– b)+ a
2
f ) + = +
a)x
2
+ 1 + 2x– x
2
– 4 + 4x= x
2
+ 9 + 6x+ x
2
– 20
0 = 2x
2
– 8; x
2
= 4
x
1
= –2; x
2
= 2
b) 6x
2
– 12x+ 30 – 3x
2
– 9x= 2x
2
– 8x+ 30
x
2
– 13x= 0
x
1
= 0; x
2
= 13
c) 6x+ 2 – 15x
2
– 9 = 3x
2
– 3 – 2x– 4
0 = 18x
2
– 8x; 2x(9x– 4) = 0
x
1
= 0; x
2
=
4
9
x+ 1
6
x– 3
2
x– 4
3
x(x– 2)
4
x
2
– 5
4
1 21 23x
2
– 1
4
x+ 2
3
x
2
– 1
2
5x
2
+ 3
2
3x+ 1
3
x
2
– 4x+ 15
6
x
2
+ 3x
4
x
2
– 2x+ 5
2
4
–1
3 ± 5
2
3 ±√9 + 16
2
4 33x
3
x
2
3
√2√2
√2
1 – √9 + 4√
—
2
2
√2
1 + √9 + 4√
—
2
2
Unidad 3. Álgebra
19

80. d) 3x
2
– 1 + 2x
2
– 4 – x= x
2
– 5
4x
2
– x = 0
x
1
= 0; x
2
=
e)x
2
+ a
2
– 2ax+ x
2
+ bx= 8b
2
– 2ax+ bx+ a
2
2x
2
= 8b
2
; x
2
= 4b
2
; x= ±2b
x
1
= 2b; x
2
= –2b
f) 3x
2
– 6x+ 4x– 16 = 6x– 18 + 2x+ 2
3x
2
– 10x= 0; x(3x– 10) = 0
x
1
= 0; x
2
=
5Resuelve estas ecuaciones bicuadradas:
a) x
4
– 5x
2
+ 4 = 0 b) x
4
+ 3x
2
– 4 = 0
c) x
4
+ 3x
2
+ 2 = 0 d) x
4
– 9x
2
+ 8 = 0
a)x
2
= = =
x
1
= 2; x
2
= –2; x
3
= 1; x
4
= –1
b)x
2
= = =
x
1
= 1; x
2
= –1
c)x
2
= = = → No tiene solución
d)x
2
= = =
x
1
= 1; x
2
= –1; x
3
= 2 ; x
4
= –2
6Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) = 3 + 2 x b) x+ = 1
c) + x = 0 d) + = 0
e) + = 4 f ) =
5x– 7
6√
7x+ 1
4
√5x– 6√2x
√x– 5√2x+ 3√3√2 – 5x
√7 – 3x√5x+ 6
√2√2
8
1
9 ± 7
2
9 ±√81 – 32
2
–1
–2
–3 ± 1
2
–3 ±√9 – 8
2
1
–4 (no vale)
–3 ± 5
2
–3 ±√9 + 16
2
4
1
5 ± 3
2
5 ±√25 – 16
2
10
3
1 4
Unidad 3. Álgebra 20

81. a) 5x+ 6 = 9 + 4x
2
+ 12x; 0 = 4x
2
+ 7x+ 3
x= = =
x
1
= –1; x
2
= –
b) 7 – 3x= 1 + x
2
– 2x; 0 = x
2
+ x– 6
x= = =
x= –3
c) 2 – 5x= 3x
2
; 0 = 3x
2
+ 5x– 2
x= = =
x= –2
d) 2x+ 3 = x– 5; x= –8 (no vale)
No tiene solución.
e) 5x– 6 = 16 + 2x– 8
3x– 22 = –8
9x
2
+ 484 – 132x= 64 · 2x; 9x
2
– 260x+ 484 = 0
x= =
x= 2
f) =
63x+ 9 = 25x
2
+ 49 – 70x; 0 = 25x
2
– 133x+ 40
x= =
x= 5
Factorización
7Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces:
a) x
3
– 2x
2
– x+ 2 b) x
4
– 5x
2
+ 4
c) 2x
3
– 3x
2
– 9x+ 10 d) x
5
– 7x
4
+ 10x
3
– x
2
+ 7x– 10
e) 6x
4
– 5x
3
– 23x
2
+ 20x– 4 f ) x
5
– 16x
g) 4x
2
– 25 h) 4 x
2
+ 4x+ 1
5
8/25 (no vale)
133 ± 117
50
25x
2
+ 49 – 70x
36
7x+ 1
4
484/18 = 242/9 (no vale)
2
260 ± 224
18
√2x
√2x
1/3 (no vale)
–2
–5 ± 7
6
–5 ±√25 + 24
6
2 (no vale)
–3
–1 ± 5
2
–1 ±√1 + 24
2
3 4
–1
–3/4–7 ± 1
8
–7 ±√49 – 48
8
Unidad 3. Álgebra
21

82. a) (x+ 1) (x– 1) (x– 2) → Raíces: –1, 1, 2
b) (x– 1) (x+ 1) (x– 2) (x+ 2) → Raíces: 1, –1, 2, –2
c) (x– 1) (x+ 2) (4x– 10) → Raíces: 1, –2,
d) (x– 1) (x– 2) (x– 5) (x
2
+ x+ 1) → Raíces: 1, 2, 5
e) (x+ 2) (x– 2) (2x– 1) (3x– 1) → Raíces: –2, 2, ,
f)x(x– 2) (x+ 2) (x
2
+ 4) → Raíces: 0, 2, –2
g) (2x+ 5) (2x–5) → Raíces: , –
h) (2x+ 1)
2
→ Raíz: –
Página 91
8Halla, en cada uno de los siguientes casos, el M.C.D. [A(x), B(x)] y el m.c.m.
[A(x), B(x)]:
a) A(x) = x
2
+ x– 12; B(x) = x
3
– 9x
b) A(x) = x
3
+ x
2
– x– 1; B(x) = x
3
– x
c) A(x) = x
6
– x
2
; B(x) = x
3
– x
2
+ x– 1
a)A(x) = (x– 3) (x+ 4); B(x) = x(x– 3) (x+ 3)
M.C.D. = (x– 3)
m.c.m. = x(x– 3) (x+ 3) (x+ 4)
b)A(x) = (x– 1) (x+ 1)
2
; B(x) = x(x– 1) (x+ 1)
M.C.D. = (x– 1) (x+ 1)
m.c.m. = x(x– 1) (x+ 1)
2
c)A(x) = x
2
(x+ 1) (x– 1) (x
2
+ 1); B(x) = (x– 1) (x
2
+ 1)
M.C.D. = (x– 1) (x
2
+ 1)
m.c.m. = x
2
(x+ 1) (x– 1) (x
2
+ 1)
9Resuelve las siguientes ecuaciones, factorizando previamente:
a) x
3
– 7x– 6 = 0 b) 2 x
3
– 3x
2
– 9x+ 10 = 0
c) x
4
– 5x
3
+ 5x
2
+ 5x– 6 = 0 d) 3 x
3
– 10x
2
+ 9x– 2 = 0
e) x
5
– 16x= 0 f ) x
3
– 3x
2
+ 2x= 0
g) x
3
– x
2
+ 4x– 4 = 0
1
2
5 25 2
1 31 2
10
4
Unidad 3. Álgebra
22

83. a) x
1
= –1; x
2
= –2; x
3
= 3
b) x
1
= 1; x
2
= –2; x
3
=
c) x
1
= 1; x
2
= –1; x
3
= 2; x
4
= 3
d) x
1
= 1; x
2
= 2; x
3
=
e)x(x
4
– 16) = 0; x(x
2
– 4) (x
2
+ 4) = 0
x
1
= 0; x
2
= 2; x
3
= –2
f)x(x
2
– 3x+ 2) = 0; x(x– 1) (x– 2) = 0
x
1
= 0; x
2
= 1; x
3
= 2
g) x= 1
1
3
5 2
Unidad 3. Álgebra 23
10 –7–6
–1 –116
1–1–60
–2 –26
1–30
33
10
2–3–910
12 –1–10
2–1–10 0
–2 –410
2–50
1–555 –6
11 –416
1–4160
–1 –15 –6
1–560
22 –6
1–30
33
10
3–10 9 –2
13 –72
3–720
26 –2
3–10
1–14 –4
1 104
1040

84. Fracciones algebraicas
10Simplifica las fracciones:
a) b)
a) =
b) =
11Opera y simplifica el resultado:
a) : b) ·
c) –– d)
(
– )
: (
1 + )
e) (
1 – · )
:
a) =
b) =
c) = = 0
d) : = · =
= =
e) · (x+ 2) =
12Demuestra las siguientes identidades:
a)
(
+ )(
–1)
= b) : = 1
a
2
+ 2a+ 1
a
2
– a– 2
a
2
– 1
a
2
– 3a+ 2
1
x
1
x
2x
1 – x
2
1
1 + x
1
x+ 2
x
2
+ 4 + 4x– x
2
– 4x– 3
(x+ 2)
2
3x+ 2
2x(x+ 1)
3x+ 2
x(2x+ 2)
x+ 2
2x+ 2
3x+ 2
x(x+ 2)
x+ 2 + x
x+ 2
(x+ 1) (x+ 2) – x
2
x(x+ 2)
x
2
– x– x
2
+ 2x– x
(x– 2) (x– 1)
x(x– 1) – x(x– 2) – x
(x– 2) (x– 1)
x+ 3
(x– 2) (x+ 1)
(x+ 3) (x– 1) (x– 2)
2
(x– 2)
3
(x+ 1) (x– 1)
1
4
3(a+ 1) (a+ 1) (a– 1)
12 (a– 1) (a+ 1)
2
1
x+ 2
x+ 3
x+ 2
x + 1
x+ 2
x
x+ 2
x
x+ 2
x + 1
x
x
x
2
– 3x+ 2
x
x– 1
x
x– 2
(x– 2)
2
x
2
– 1
x
2
+ 2x– 3
(x– 2)
3
(a+ 1)
2
a
2
– 1
3a+ 3
12a– 12
3x
2
+ 4x+ 1
x
2
+ 2x
(x– 2) (x+ 1) (3x+ 1)
x(x– 2) (x+ 2)
–(3 + x)
x
(3 – x) (3 + x)
x(x– 3)
3x
3
– 2x
2
– 7x– 2
x
3
– 4x
9 – x
2
x
2
– 3x
Unidad 3. Álgebra 24
3–2–7–2
2682
3410
–1 –3–1
310

85. c) (
– )
: (
– )
= 2x–5
a)
()
· ()
= ()
· ()
= ()
· =
b) : = = 1
c)
()
: ()
=
= : =
= : = = 2 x– 5
13Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones:
a) + 3 x= b) + = 1
c) = – d) –= +
☛
Ten en cuenta que 2 – x = –(x – 2).
e) + = 1 + f ) + = x
a) 2x+ 4 + 6x
2
= 5x
2
+ 6x
x
2
– 4x+ 4 = 0; x= 2
b) 8 (x– 6) + (12 – x) (x+ 6) = x
2
– 36
8x– 48 + 12x+ 72 – x
2
– 6x= x
2
– 36
0 = 2x
2
– 14x– 60
0 = x
2
– 7x– 30
x= =
x
1
= 10; x
2
= –3
c) (x– 2)
2
= x
2
+ (x– 1)
2
x
2
+ 4 – 4x= x
2
+ x
2
+ 1 – 2x
0 = x
2
+ 2x– 3
x= =
x= –3
1 (no vale)
–3
–2 ± 4
2
–2 ±√4 + 12
2
10
–3
7 ± 13
2
√2
√2
x
x
√2
2x+ 3
x
2
x+ 1
x
3x+ 1
x
3
x+ 6
6 – x
x
6
1 2x
x– 6
x– 1
2 – x
x
2
(x– 1) (x– 2)
x– 2
x– 1
12 – x
x– 6
8
x+ 6
5x+ 6
2
x+ 2
x
(2x– 5) (x– 3) (x– 2)
(x– 3) (x– 2)
1
(x– 3) (x– 2)
(2x– 5)
(x– 3) (x– 2)
x– 2 – x+ 3
(x– 3) (x– 2)
(x– 2 + x– 3) (x– 2 – x+ 3)
(x– 3) (x– 2)
(x– 2) – (x– 3)
(x– 3) (x– 2)
(x– 2)
2
– (x– 3)
2
(x– 3) (x– 2)
(a+ 1) (a– 2)
(a– 2) (a+ 1)
(a+ 1)
2
(a– 2) (a+ 1)
(a+ 1) (a– 1)
(a– 2) (a– 1)
1
x
1 – x
x
1
1 – x
1 – x
x
1 + x
(1 – x) (1 + x)
1 – x
x
1 – x+ 2x
1 – x
2
1
x– 2
1
x– 3
x – 3
x– 2
x – 2
x– 3
Unidad 3. Álgebra
25

86. d) 6x– 3(x– 6) = x(x– 6) – 6(x+ 6)
6x– 3x+ 18 = x
2
– 6x– 6x– 36
0 = x
2
– 15x– 54
x= =
x
1
= –3; x
2
= 18
e) 3x+ 1 + x
2
(x+ 1) = x
3
+ 2x
2
+ 3x
3x + 1 + x
3
+ x
2
= x
3
+ 2x
2
+ 3x
0 = x
2
– 1
x
1
= 1; x
2
= –1
f)x
2
+ 2 = 2x
2
; 2 = x
2
x
1
= ; x
2
= –
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
14Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 3
x
=
☛
Expresa como potencia de base 3.
b) 2
x
· 2
x+ 1
= 8
☛
Multiplica el primer miembro.
c) 5 · 7
–x
= 35
☛
Divide los dos miembros por 5.
d) (0,5)
x
= 16
☛
0,5 es una potencia de base 2.
e) =
f) 2
1/x
= 16
g) = 81
h)
()
x
=
i) 2
x
· 5
x
= 0,1
☛
Recuerda que 2
x
· 5
x
= (2 · 5)
x
.
a) 3
x
= 3
2/3
⇒ x= b) 2
2x+ 1
= 2
3
⇒ x= 1
2
3
8
125
2 5
3
3x – 2
3
x + 3
1
49
√7
x
3
√9
3
√9
√2√2
18
–3
15 ± 21
2
Unidad 3. Álgebra
26

87. c) 7
–x
= 7 ⇒ x= –1d)2
–x
= 2
4
⇒ x= –4
e) 7
x/2
= 7
–2
⇒ x= –4f)2
1/x
= 2
4
⇒ x=
g) 3
3x– 2 – x – 3
= 3
4
⇒ x= h) ()
x
= ()
3
⇒ x= 3
i) 10
x
= 10
–1
⇒ x= –1
Página 92
15 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones:
a) = 27 b) e
x– 9
= c) 2
x
· 3
x
= 81 d) = 1
a) = 27 → = e
x
→ln= ln e
x
x= ln= ln1 – ln27 = 0 – ln27 →x×3,296
b)e
x–9
= →ln e
x–9
= ln
x– 9 = ln73 →x= 9 + →x×11,145
c) 6
x
= 81; x log6 = log81
x= ≈2,453
d) = 1;
()
x
= 3; x log= log3
x= ≈–2,710
16Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable:
a) 2
x
+ 2
1 – x
= 3 b) 2
x+ 1
+ 2
x– 1
= c) 8
1 + x
+ 2
3x– 1
=
d) 2
2x
– 5 · 2
x
+ 4 = 0 e) 9
x
– 3
x
– 6 = 0 f ) 7
1 + 2x
– 50 · 7
x
+ 7 = 0
a) 2
x
+ = 3
z= 2
x
→ z+ = 3; z
2
+ 2 = 3z
z
2
– 3z+ 2 = 0; z= = =
x
1
= 2; x
2
= 1
2
1
3 ± 1
2
3 ±√9 – 8
2
2
z
2
2
x
17
16
5 2
log3
log2 – log3
2
3
2 32
x
3
x
· 3
log81
log6
ln73
2
1 2
√73√73
1
27
1
27
1
27
1
e
x
2
x
3
x+ 1
√73
1
e
x
2 52 59 2
1 4
Unidad 3. Álgebra 27

88. b) 2 · 2
x
+ = ; 4 · 2
x
+ 2
x
= 5; 2
x
= 1
x= 0
c) 2
3 + 3x
+ 2
3x– 1
=
8 · (2
x
)
3
+ =
(128 + 8) (2
x
)
3
= 17; (2
x
)
3
= =
x= –1
d) (2
x
)
2
– 5 · 2
x
+ 4 = 0
2
x
= = =
x
1
= 0; x
2
= 2
e) (3
x
)
2
– 3
x
– 6 = 0; 3
x
= = =
x= 1
f) 7 · (7
x
)
2
– 50 · 7
x
+ 7 = 0; 7
x
= =
x
1
= –1; x
2
= 1
17Resuelve las ecuaciones:
a) log(x
2
+ 1) – log(x
2
– 1) = log
b) ln(x– 3) + ln(x+ 1) = ln3 + ln(x– 1)
c) 2ln(x– 3) = ln x– ln4
d) log(x+ 3) – log(x– 6) = 1
a)log = log
12x
2
+ 12 = 13x
2
– 13; 25 = x
2
x
1
= –5; x
2
= 5
b)ln (x
2
– 2x– 3) = ln (3x– 3)
x
2
– 2x– 3 = 3x– 3; x
2
– 5x= 0
x= 5 (x= 0 no vale)
13
12
x
2
+ 1
x
2
– 1
13
12
7
1/7
50 ± 48
14
3
–2 (no vale)
1 ± 5
2
1 ±√1 + 24
2
4
1
5 ± 3
2
5 ±√25 – 16
2
1 817
136
17 16(2x)
3
2
17
16
5 22
x
2
Unidad 3. Álgebra 28

89. c)ln (x– 3)
2
= ln
x
2
+ 9 – 6x=
4x
2
+ 36 – 24x= x; 4x
2
– 25x+ 36 = 0
x= =
x= 4
d)log = 1
x+ 3 = 10x– 60; 63 = 9x
x= 7
18 Resuelve las ecuaciones:
a) log(x+ 9) = 2 + log x b) log + log = 1
c) 2(log x)
2
+ 7log x– 9 = 0 d) log(x
2
– 7x+ 110) = 2
☛
Haz log x= y.
e) log(x
2
+ 3x+ 36) = 1 + log(x+ 3) f ) ln x+ ln2x+ ln4x= 3
a)log = 2
x+ 9 = 100x; 9 = 99x; x= =
x=
b) = 1; 3 x
2
+ 5x– 100 = 0
x= =
x= 5
c)log x= = =
d)x
2
– 7x+ 110 = 100; x
2
– 7x+ 10 = 0
x= = =
x
1
= 2; x
2
= 5
e)log = 1
x
2
+ 3x+ 36 = 10x+ 30; x
2
– 7x+ 6 = 0
x
2
+ 3x+ 36
x+ 3
5
2
7 ± 3
2
7 ±√49 – 40
2
1; x
1
= 10
–18/4 = –9/2; x
2
= 10
–9/2
–7 ± 11
4
–7 ±√49 + 72
4
5
–40/6 (no vale)
–5 ± 35
6
log(x(3x+ 5))
2
1
11
1
11
9
99
x+ 9
x
√x√3x+ 5
x+ 3
x– 6
4
9/4 (no vale)
25 ± 7
8
x
4
x
4
Unidad 3. Álgebra
29

90. x= = =
x
1
= 1; x
2
= 6
f)ln x+ ln2x+ ln4x= 3
ln(x· 2x· 4x) = 3
ln(8x
3
) = 3 →8x
3
= e
3
→x
3
=
x=
3
== →x=
Sistemas de ecuaciones
19Resuelve:
a) b)
c) d)
a) 6y+ 6x= 5xy 4 – 4x+ 6x=
y= 6 x+ 12 = 10x– 10x
2
10x
2
– 4x+ 12 = 0
5x
2
– 2x+ 6 = 0
No tiene solución.
b)x=
= 15; y
2
= 9
x
1
= 5, y
1
= 3; x
2
= –5, y
2
= –3
c) 2x
2
– 10x+ 12 = 0; x
2
– 5x+ 6 = 0
x= = =
x
2
+ y
2
– 5x– 5y+ 10 = 0
–x
2
+ y
2
+ 5x– 5y– 2 = 0
2y
2
– 10y+ 8 = 0
3
2
5 ± 1
2
5 ±√25 – 24
2
y= 3 → x= 5
y= –3 → x= –5
5y
2
3
5y
3
2 – 2x
3
5x(2 – 2x)
3
(x+ y) (x– y) = 7
3x– 4y= 0



x
2
+ y
2
– 5x– 5y+ 10 = 0
x
2
– y
2
– 5x+ 5y+ 2 = 0



e
2
e
2√
e
3
8
e
3
8
6
1
7 ± 5
2
7 ±√49 – 24
2
Unidad 3. Álgebra
30
+ =
2x+ 3y= 2
5
6
1
y
1
x
x· y= 15
=
5
3
x
y
















91. y
2
– 5y+ 4 = 0
y= = =
x
1
= 3, y
1
= 4; x
2
= 3, y
2
= 1; x
3
= 2, y
3
= 4; x
4
= 2, y
4
= 1
d)x=
· = 7
y
2
= 9; y= ±3
x
1
= 4, y
1
= 3; x
2
= –4, y
2
= –3
20Resuelve:
a)
y
2
– 2y+ 1 = x
b)
2= y+ 1
+ y= 5 2x– 3y= 1
c)
+ x= 12
d)
+ 2 = x+ 1
2x– y= 6 2 x– y= 5
a)x= (5 – y)
2
y
2
– 2y+ 1 = 25 + y
2
– 10y
8y= 24; y= 3; x= 4
x= 4; y= 3
b) 4x+ 4 = y
2
+ 1 + 2y; x=
x= =
y
2
+ 2y– 3 = 2 + 6y
y
2
– 4y– 5 = 0
y= = =
x
1
= –1, y
1
= –1; x
2
= 8, y
2
= 5
c)y= 2x– 6
= 12 – x
9x– 18 = 144 + x
2
– 24x
0 = x
2
– 33x+ 162
x= =
x= 6; y= 6 (x= 27, y= 48 no vale)
27 → y = 48 (no vale)
6 → y = 6
33 ± 21
2
√3(3x– 6)
5 → x= 8
–1 → x= –1
4 ± 6
2
4 ±√16 + 20
2
2 + 6y
4
1 + 3y
2
y
2
+ 2y– 3
4
√x+y√3(x+ y)
√x
√x+ 1
y
3
7y
3
4y
3
4
1
5 ± 3
2
5 ±√25 – 16
2
Unidad 3. Álgebra
31













92. d)y= 2x– 5
= x– 1
3x– 5 = x
2
+ 1 – 2x
0 = x
2
– 5x+ 6
x= = =
x
1
= 2, y
1
= –1; x
2
= 3, y
2
= 1
21Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
3x
2
– 5y
2
= 7
b)
2 = 3 + y
2x
2
= 11y
2
– 3
+ = 3
a) 3x
2
– 5y
2
= 7 6 x
2
– 10y
2
= 14
2x
2
– 11y
2
= –3–6x
2
+ 33y
2
= 9
23y
2
= 23; y= ±1
33x
2
– 55y
2
= 77
–10x
2
+ 55y
2
= 15
23x
2
= 92
x
2
= 4; x= –2
x
1
= 2, y
1
= 1; x
2
= 2, y
2
= –1; x
3
= –2, y
3
= 1; x
4
= –2, y
4
= –1
b) 4x= 9 + y
2
+ 6y
y
2
+ 6y+ 4x– 36 = 27y
y
2
+ 6y+ 9 + y
2
+ 6y– 36 = 27y
2y
2
– 15y– 27 = 0
y= =
x
1
= 36, y
1
= 9; x
2
= , y
2
=
22Resuelve:
a) b)
c) d)
e) f )
ln x– ln y= 2
ln x+ ln y= 4



x– y= 25
log y= log x– 1



x
2
– y
2
= 11
log x– log y= 1



log(x
2
y)= 2
log x= 6 + log y
2



log x+ log y= 3
log x– log y= –1



–3
2
9
16
9 → x= 36
–3/2 → x= 9/16
15 ± 21
4
4(x– 9)
9y
y+ 6
9
√x
3 → y= 1
2 → y= –1
5 ± 1
2
5 ±√25 – 24
2
√3x– 5






Unidad 3. Álgebra
32
log
2
x+ 3log
2
y= 5
log
2
= 3
x
2
y











93. a) 2 log x= 2
x= 10; y= 100
b)log
2
x+ 3 log
2
y= 5 log
2
x+ 3 log
2
y= 5
2 log
2
x– log
2
y= 3 6 log
2
x– 3 log
2
y= 9
7 log
2
x = 14
x= 4; y= 2
c) 2 log x+ log y= 2 4 log x+ 2 log y= 4
log x– 2 log y= 6 log x– 2 log y= 6
5 log x = 10→ log x= 2
x= 100
y=
d)log= 1; = 10; x= 10y
100y
2
– y
2
= 11; 99y
2
= 11; y
2
= → y= ±
x= ; y=
(
y= –no vale )
e)x= 25 + yy = 0,1x
log= –1 0,9x= 25
x= ; y=
Restando a la 2ª
-ecuación la 1ª -, queda:
2 ln y= 2 →ln y= 1 →y= e
Solución: x= e
3
; y= e
23 Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalo-
nados:
a) b)
– y+z= –5
– 7z= 14
x+ y+z= 2





13x– 2y= 9
7x = 3



Sumando las dos ecuaciones, queda:
2 ln x= 6 →ln x= 3 →x= e
3


ln x– ln y= 2
ln x+ ln y= 4
f)
25
9
250
9
y
x
1
3
1 310
3
1 31 9
x
y
x
y
1
100
Unidad 3. Álgebra
33

















94. Página 93
24Transforma los siguientes sistemas en escalonados y resuélvelos:
a) b)
☛
b) Sustituye la 3-ª ecuación por (3-ª) + (2-ª).
y=
x= = Solución: x= , y=
25Resuelve por el método de Gauss:
a) b)
–17
x= ––––
6
20
y= ––––
3
1
z= ––––
2









–17
x=
—
6
20
y= 1 – 2x=
—
3
1
z= x– y+ 10 =
—
2




x–y–z=–10
2x+y =1
7x =–16
1-ª
2-ª
3-ª + 2 · 2-ª



x–y–z=–10
2x+y =1
3x–2y =–18
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª + 1ª



x–y–z=–10
x+2y+z=11
2x–y+z=–8
a)
x+ y+ z= 3
2x–y+ z= 2
x–y+ z= 1





x–y–z= –10
x+ 2y+ z=11
2x–y+ z=–8





x= 1
z= 3 – x= 2
y= 2x+ z– 7 = –3




x +z=3
2x–y+z=7
2x =2
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª



x +z=3
2x–y+z=7
y–z=–5
b)
28
23
35 2335 235y
4
28 23


23y= 28
4x– 5y= 0
1-ª · 4 – 2ª- · 3
2-ª


3x+ 2y= 7
4x– 5y= 0
a)
x+z=3
2x– y+ z=7
y–z= –5





3x+ 2y= 7
4x– 5y= 0



x= 1
y= 3
z= –2







14
x=
––– =–2
–7
y= z+ 5 = –2 + 5 = 3
x= 2 – y– z= 2 – 3 + 2 = 1




– y+ z= –5
– 7z= 14
x+ y+ z= 2
b)
3
x=
—
7
–12
y= ––––
7







3
x=
—
7
13x– 9–12
y=
––––––= ––––
27


13x– 2y= 9
7x = 3
a)
Unidad 3. Álgebra
34

95. 26Aplica el método de Gauss para resolver los sistemas siguientes:
a) b)
27Resuelve por el método de Gauss:
a) b)
1-ª
2-ª
3-ª – 2-ª



x+y–2z=9
3x +2z=13
3x +4z=8
1-ª
2-ª + 1ª
3-ª + 1ª



x+y–2z=9
2x–y+4z=4
2x–y+6z=–1
a)
2x–3y+z= 0
3x+ 6y– 2z= 0
4x+y–z= 0





x+ y–2z=9
2x–y+ 4z=4
2x–y+ 6z= –1





x= 1
y= –2
z= 3







69
z=
––– =3
23
y= 7 –3z= 7 – 9 = –2
x= 2 – y– z= 2 + 2 – 3 = 1




x+y+z=2
y+3z=7
23z=69
1-ª
2-ª
3-ª + 6 · 2ª-




x+y+z=2
y+3z=7
–6y+5z=27
1-ª
2-ª – 2 · 1ª-
3-ª – 1ª-



x+y+z=2
2x+3y+5z=11
x–5y+6z=29
b)
x= 9
y = 6
z = 3




x= 9
z = x– 6 = 3
y = 18 – x– z= 6



x+y+z=18
x –z=6
2x =18
1-ª
2-ª
3-ª
+2-ª




x+y+z=18
x –z=6
x +z=12
1-ª
2-ª
3-ª
:3




x+y+z=18
x –z=6
3x+3z=36
1-ª
2-ª
3-ª + 2 · 1ª



x+y+z=18
x –z=6
x–2y+z=0
a)
x+y+z= 2
2x+ 3y+ 5z= 11
x–5y+ 6z= 29





x+y+ z= 18
x – z=6
x– 2y+ z=0





x= 1
y= 1
z= 1






x= 1
5 – 3x
z= ———= 1
2
y= 3 – x– z= 1




x+y+z=3
3x +2z=5
–x =–1
1-ª
2-ª
3-ª – 2-ª



x+y+z=3
3x +2z=5
2x +2z=4
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª + 1ª



x+y+z=3
2x–y+z=2
x–y+z=1
b)
Unidad 3. Álgebra
35

96. 28Resuelve por el método de Gauss:
a) b)
Solución: x= 2, y= , z=
Inecuaciones
29Resuelve estas inecuaciones:
a) 5(2 + x) > –5x b) > x– 1 c) x
2
+ 5x< 0
d) 9x
2
– 4 > 0 e) x
2
+ 6x+ 8 ≥0f) x
2
– 2x– 15 ≤0
a) 10 + 5x> –5x; 10x> –10; x> –1
(–1, +∞)
b)x– 1 > 2x– 2; 1 > x
(–∞, 1)
x– 1
2
3 21 2






x= 2
5x–91
y= ———–=
—
22
3
z= 2x– y– 2 =
—
2




2x–y–z=2
–x =–2
5x–2y =9
1-ª
2-ª – 2 · 1ª-
3-ª + 5 · 1ª-



2x–y–z=2
3x–2y–2z=2
–5x+3y+5z=–1
b)
x= 2
y = 1
z = 3




y= 1
x = 1 + y= 2
z = x+ y= 3



x–y =1
–y =–1
x+y–z=0
1-ª
2-ª + 3 · 1-ª
3ª-




x–y =1
–3x+y =–4
x+y–z=0
1-ª
2-ª – 5 · 3ª-
3-ª



x–y =1
2x+6y–5z=–4
x+y–z=0
a)
2x–y–z= 2
3x–2y–2z= 2
–5x+ 3y+ 5z= –1





x–y = 1
2x+ 6y– 5z= –4
x+y–z= 0





x= 0
y= 0
z= 0




2x–3y+z=0
7x =0
6x–2y =0
1-ª
2-ª + 2 · 1ª
3-ª + 1ª



2x–3y+z=0
3x+6y–2z=0
4x+y–z=0
b)
x= 6
y= –2
–5
z= ––––
2






–5
z= ——
2
13 – 2z
x= ———— = 6
3
y= 9 – x+ 2z= 9 – 6 – 5 = –2




x+y–2z=9
3x +2z=13
2z=–5
Unidad 3. Álgebra
36

97. c)x(x+ 5) < 0
(–5, 0)
d)
(
–∞, – )
U (
, +∞)
e) = =
(–∞, –4] U [–2, +∞)
f) = =
[–3, 5]
30Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) b)
c) d)
☛
Resuelve cada inecuación y busca las soluciones comunes. Uno de los sistemas
no tiene solución.
a)
(–4, 1)
b)
(4, +∞)
c)
(17, +∞)
d)
No tiene solución
31Resuelve:
a) x
2
– 7x+ 6 ≤0 b) x
2
– 7x+ 6 > 0
c) (x+ 1) x
2
(x– 3) > 0 d) x(x
2
+ 3) < 0
a) = =
[1, 6]
b) (–∞, 1) U (6, +∞)
6
1
7 ± 5
2
7 ±√49 – 24
2







3
x>
—
2
1
x< –
—
5




x> 17
19
x>
—
5




5
x> –
—
3
x> 4


x< 1
x> –4
2x– 3 > 0
5x+ 1 < 0



5– x< –12
16 – 2x< 3x– 3



3x– 2 > –7
5 – x< 1



4x– 3 < 1
x+ 6 > 2



5
–3
2 ± 8
2
2 ±√4 + 60
2
–2
–4
–6 ± 2
2
–6 ±√36 – 32
2
2 32 3
Unidad 3. Álgebra 37

98. c)
(3, +∞)
(–∞, –1) U (3, +∞)
(–∞, –1)
d) (–∞, 0)
32Resuelve estas inecuaciones:
a) > 0 b) ≥0
c) < 0 d) < 0
a)x– 3 > 0→ (3, +∞)
b) 3x+ 5 ≥0; x≥–→
[
–, +∞ )
c)x+ 4 < 0; x< –4 → (–∞, –4)
d)
→ Ø
→ (–2, 3)
PARA RESOLVER
33Un inversor, que tiene 28 000 €, coloca parte de su capital en un banco al 8%
y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente
200 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?
xal 8% 0,08 x
(28 000 – x) al 6% 0,06 (28 000 – x)
0,08x= 0,06 (28 000 – x) + 200; 0,08x= 1 680 – 0,06x+ 200 → x= 13 428,57 €
Colocó 13 428,57 €al 8% y 14 571,43 €al 6%.
34Dos grifos llenan un depósito de 1 500 litros en una hora y doce minutos.
Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo.
¿Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado?
Entre los dos → 1 500 l en 1,2 horas
+ = (en 1 hora)
=
t(t+ 1)
1,2t(t+ 1)
1,2 (t+ t+ 1)
1,2t(t+ 1)
1
1,2
1
t
1
t+ 1

1-º → t+ 1
2-º → t
1 año
→
1 año
→


x< 3
x> –2

x– 3 < 0
x+ 2 > 0


x> 3
x< –2

x– 3 > 0
x+ 2 < 0
5
3
5 3
x– 3
x+ 2
x
2
x+ 4
3x+ 5
x
2
+ 1
2
x– 3


x< –1
x< 3

x+ 1 < 0
x– 3 < 0


x> –1
x> 3

x+ 1 > 0
x– 3 > 0
Unidad 3. Álgebra
38










99. 2,4t+ 1,2 = t
2
+ t
t
2
– 1,4t– 1,2 = 0
t= =
El primero tardaría 3 horas y el segundo, 2 horas.
35Un granjero espera obtener 36 €por la venta de huevos. En el camino al mer-
cado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta
en 0,45€el precio de la docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio?
☛
Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de las que
quedan.
Tenía xdocenas → €/docena
Le quedan x– 4 docenas →
(
+ 0,45)
€/docena
(
+ 0,45)
(x– 4) = 36
(36 + 0,45x) (x– 4) = 36x
36x– 144 + 0,45x
2
– 1,8x= 36x
0,45x
2
– 1,8x– 144 = 0
x= 20 (x= –16 no vale) ⇒ Tenía 20 docenas.
36Un tendero invierte 125 €en la compra de una partida de manzanas. Dese-
cha 20 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40€ cada kilo so-
bre el precio de compra, por 147 €. ¿Cuántos kilogramos compró?
☛
Iguala el coste de las que se desechan más las ganancias al aumento de coste de
las que quedan.
Compró xkg → €/kg
Vende (x– 20) kg →
(
+ 0,40)
€/kg
(
+ 0,40)
(x– 20) = 147
(125 + 0,40x) (x– 20) = 147x
125x– 2 500 + 0,40x
2
– 8x= 147x
0,40x
2
– 30x– 2 500 = 0
x= 125 (x= –50 no vale)
Compró 125 kg.
125
x
125
x
125
x
36
x
36
x
36
x
2
–0,6 ¡Imposible!
1,4 ± 2,6
2
Unidad 3. Álgebra
39

100. 37Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 € por el
total de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invi-
tan, debiendo aumentar su aportación en 0,80€cada uno. ¿Cuántos amigos
son?
Número de amigos → x→ €/consumición
(x– 2)
(
+ 0,80)
= 6
(x– 2) (6 + 0,80x) = 6x
6x+ 0,80x
2
– 12 – 1,6x= 6x
0,80x
2
– 1,6x– 12 = 0
x= 5 (x= –3 no vale)
Son 5 amigos.
Página 94
38El cuadrilátero central es un rombo de 40 m de perímetro. Calcula las di-
mensiones del rectángulo sabiendo que la base es el triple de la altura.
4x= 40; x= 10 m
39El número de visitantes a cierta exposición durante el mes de febrero se in-
crementó en un 12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo su-
frió un descenso del 12% respecto a febrero. Si el número de visitantes de
enero superó en 36 personas al de marzo, ¿cuántas personas vieron la ex-
posición en enero?
Enero Febrero Marzo
x 1,12x 0,88 · 1,12x= 0,9856x
x= 0,9856x+ 36 ⇒ x= 2 500 personas
–12%
→
+12%
→
Base: 18 m
Altura: 6 m




10b
2
– 60b= 0
b(10b– 60) = 0
b= 0, b= 6

b
2
+ (3b– 10
2
) = 10
2
b
2
+ 9b
2
+ 100 – 60b= 100
6
x
6
x
Unidad 3. Álgebra
40
3b – 10
3b
b
10

101. 40La superficie de un triángulo equilátero es de 50 m
2
. Calcula el lado.
h
2
+ ()
2
= l
2
h
2
= l
2
– = ; h=
Área = = 50
l
2
= → l= = 10,75 m
41Para cubrir el suelo de una habitación, un solador dispone de dos tipos de
baldosas:
Eligiendo el tipo A, se necesitarían 40 baldosas menos que si se eligiera el
tipo B. ¿Cuál es la superficie de la habitación?
Superficie: 12x= 10 (x+ 40)
12x= 10x+ 400
2x= 400
x= 200 baldosas
200 · 12 = 2 400 dm
2
= 24 m
42En un número de dos cifras, las decenas son el triple de las unidades. Si se
invierte el orden de las cifras, se obtiene otro número 54 unidades menor.
Calcula el número inicial.
· → 30x+ x= 31x
· → 10x+ 3x= 13x
El número es el 93.
43Le pregunté a mi padre:¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafete-
ría de la esquina?
—No sé, nunca me he fijado.
—Pero hombre…, lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos herma-
nas, tú y yo. ¿Cuánto has pagado?
—Algo más de 14 euros.
3x
U
x
D
x
U
3x
D


n-º baldosas A → x
n-º baldosas B → x+ 40
√200
√√
—
3
200
√3
√3l
2
4
√3l
2
3l
2
4
l
2
4
l
2
Unidad 3. Álgebra
41
ll
l
h
3 dm
4 dm 5 dm
2 dm
A
B
31x= 13x+ 54
18x= 54
x= 3






102. —El domingo pasado, además de nosotros seis, invitaste a dos amigos
míos. ¿Cuánto pagaste?
—Era poco menos de 20 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta.
¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina?
6x> 14 → x> 2,
)
3
8x< 20 → x< 2,5
Entre 2,34 y 2,50 €.
44Resuelve:
a) 3x
4
– 75x
2
= 0 b) x
4
– 9x
2
+ 20 = 0
c) = x+ 2 d) + 2 = x
e) – = 2 f) + = 9
g) + = h) x– =
i) x· (x+ 1) · (x– 2) ·
(
x– )
= 0 j) ( x
2
– 9) ( + 3) = 0
k) ( – x+ 2)x= 0
a) 3x
2
(x
2
– 25) = 0
x
1
= 0; x
2
= 5; x
3
= –5
b)x
2
= = =
x
1
= 2; x
2
= –2; x
3
= ; x
4
= –
c) 4x+ 5 = x
2
+ 4 + 4x; 1 = x
2
x
1
= 1; x
2
= –1
d)x= x
2
+ 4 – 4x; 0 = x
2
– 5x+ 4 = 0
x= =
x
1
= 4; x
2
= 1 (no vale)
x= 4
e) 2x– 3 = 4 + x– 5 + 4
x– 2 = 4
x
2
+ 4 – 4x= 16 (x– 5)
√x– 5
√x– 5
5 ± 3
2
5 ±√25 – 16
2
x= 1
x= –1
√5√5
5
4
9 ± 1
2
9 ±√81 – 80
2
√x
√x
1 2
4
3
4
3x
3
10
x
5(x+ 3)
1
x+ 2
6x
x+ 1
3x
x– 1
√x– 5√2x– 3
√x√4x+ 5
Unidad 3. Álgebra 42

103. x
2
+ 4 – 4x= 16x– 80
x
2
– 20x+ 84 = 0
x= =
x
1
= 6; x
2
= 14
f) 3x(x+ 1) + 6x(x– 1) = 9 (x
2
– 1)
3x
2
+ 3x+ 6x
2
– 6x= 9x
2
– 9
–3x= –9; x= 3
g) =
10x+ 30 + 2x
2
+ 4x= 3x
2
+ 15x+ 18
0 = x
2
+ x– 12
x= =
x
1
= 3; x
2
= –4
h) 3x
2
– 4 = 4x; 3x
2
– 4x– 4 = 0
x= = =
x
1
= 2; x
2
= –
i)x
1
= 0; x
2
= –1; x
3
= 2; x
4
=
j)x
1
= 3; x
2
= –3
k)x= 0
= x– 2
x
1
= 0; x
2
= 4 (x= 1 no vale)
45Resuelve:
a)

= 4 b) x
2
– 1= 3
x
1
= 2
x
2
= –2



x
2
– 1 = 3⇒ x
2
= 4⇒ x= ±2
x
2
– 1 = –3⇒ x
2
= –2 (no vale)
b)
x
1
= 11
x
2
= –5







x– 3
–––––– = 4⇒ x – 3 = 8 ⇒ x= 11
2
x– 3
–––––– = –4⇒ x – 3 = –8 ⇒ x= –5
2
a)
x– 3
2
√x
1 2
2 3
2
–2/34 ± 8
6
4 ±√16 + 48
6
3
–4
–1 ± 7
2
3(x
2
+ 5x+ 6)
10 (x+ 2) (x+ 3)
10 (x+ 3) + 2x(x+ 2)
10 (x+ 2) (x+ 3)
14
6
20 ± 8
2
Unidad 3. Álgebra
43

104. 46Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despe-
jar la incógnita:
a) + = 0 b) – = 0
c) – = 0 d) – = 0
e) –– = 0
a) = 0 ⇒ x= –
3
= ⇒ x=
b) = 0 ⇒ x
4
= = ⇒ x
1
= ; x
2
=
c)x
3
– 2 = 0 ⇒ x=
d) 4 – 25x
4
= 0 ⇒ x
4
=
x= ±
4
= ± = ±
x
1
= ; x
2
=
e) (x+ 1) (x+ 1) – x· x
2
– 1 = 0
x
2
+ 2x+ 1 – x
3
– 1 = 0
–x
3
+ x
2
+ 2x= 0
–x(x
2
– x– 2) = 0
x
1
= 0, x
2
= –1, x
3
= 2
47Resuelve:
a) b)
c)
a)y= 8 – x
– =
= –
2x– 8 = 8 + 2x– 2
2 = 16
√16x
√16x
√2x√8√2x– 8
√2x√2x– 8√8
(x+ 3) (y– 5) = 0
(x– 2) (y– 1) = 0



√
—
4y + 2x= √
—
3y + x – 1
y+ x= –5


√
—
x + y– √
—
x – y= √
__
2x
x+ y= 8



–√10
5
√10
5
√10
5√
2
5√
4
25
4
25
3
√2
–2
3
2 32
4
3
4
16 8181x
4
– 16
8 · 81x
3
–5
3
–5
3√
125
27
27x
3
+ 125
45x
2
1
x
3
+ x
2
x
x+ 1
x+ 1
x
2
5x
3
2
2
5x
1
x
2
x
2
2
81x
3
x
8
25
9x
2
3x
5
Unidad 3. Álgebra
44

105. 8 = 16
= 2
x= 4; y= 4
b)x= –5 – y
= – 1
= – 1
2y– 10 = 2y– 5 + 1 – 2
2= 6
= 3
2y– 5 = 9
x= –12; y= 7
c)x
1
= –3, y
1
= 1; x
2
= 2, y
2
= 5
48Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x– 5= 3x– 1 b) x+ 2= x– 6
c) x
2
– 3x+ 1 = 1 d) x
2
– x= 1 – x
2

a)x– 5 = 3x– 1 ⇒ –2x= 4; x= –2 (no vale)
5 – x= 3x– 1 ⇒ 6 = 4x; x=
x=
b)x+ 2 = x– 6 ⇒ Imposible
x+ 2 = 6 – x⇒ 2x= 4
x= 2
c)x
2
– 3x+ 1 = 1 ⇒ x
2
– 3x= 0 ⇒ x(x– 3) = 0
x
2
– 3x+ 1 = –1 ⇒ x
2
– 3x+ 2 = 0
x= = =
x
1
= 0; x
2
= 1; x
3
= 2; x
4
= 3
d)x
2
– x= 1 – x
2
⇒ 2x
2
– x– 1 = 0
x
2
– x= x
2
– 1 ⇒ x= 1
x= = =
x
1
= ; x
2
= 1
–1
2
1
–1/2
1 ± 3
4
1 ±√1 + 8
4
2
1
3 ± 1
2
3 ±√9 – 8
2
3 2
3 2
√2y– 5
√2y– 5
√2y– 5
√2y– 5√2y– 10
√3y– 5 – y√4y– 10 – 2y
√x
√x
Unidad 3. Álgebra 45

106. Página 95
49Resuelve por tanteo:
a) 2
x
= x
3
b) ln x= x
a) 2
x
= x
3
; x≈1,37 b) No tiene soluci ón
50Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen una solu-
ción en el intervalo indicado:
a) x
3
– x– 2 = 0 en [1, 2] b) 3 x
3
+ x
2
– 3 = 0 en [0, 1]
a) x≈1,52 b) x≈0,90
51Queremos repartir, mediante un sistema de ecuaciones, 330 euros entre tres
personas de forma que la primera reciba 20 euros más que la segunda y la ter-
cera la mitad de lo que han recibido entre las otras dos. ¿Cómo lo hacemos?
Llamamos xa los euros que recibe la primera; ya los que recibe la segunda, y z
a los que recibe3 la tercera. Así, tenemos que:
Solución: x= 120 €recibe la 1ª-; y= 100 €recibe la 2ª-; z= 110 €recibe la 3ª-
52La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas
es una unidad mayor que la suma de las otras dos.
Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades.
¿Cuál es ese número?
Llamamos xa la cifra de las centenas, ya la de las decenas, y z a la de las uni-
dades. Así, el número es:
xyz →100x+ 10y+ z
Tenemos que:




x+y+z=7
x +z=3
x –z=–1
1-ª
2-ª : 2
3-ª



x+y+z=7
2x +2z=6
x –z=–1
1-ª
2-ª + 1-ª
3-ª



x+y+z=7
x–y+z=–1
x –z=–1




x+y+z=7
x–y+z=–1
99x –99z=–99



x+ y+ z = 7
y= x+ z+ 1
100z+ 10y+ x= 100x+ 10y+ z+ 99




x= 120
y= x– 20 = 100
z= 330 – x– y= 110



x+y+z= 330
x–y =20
2x = 240
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª



x+y+z= 330
x–y =20
x+y = 220
1-ª
2-ª
3-ª : 3




x+y+z= 330
x–y =20
3x+3y = 660
1-ª
2-ª
3-ª + 2 · 1ª



x+y+z= 330
x–y =20
x+y–2z=0







x+ y+ z= 330
x= y+ 20
x+ y
z=
–––––––
2
Unidad 3. Álgebra
46

107. Solución: El número es el 142.
CUESTIONES TEÓRICAS
53¿Qué valores ha de tomar kpara que x
2
– 6x+ k= 0 no tenga soluciones
reales?
36 – 4k< 0; 36 < 4k; 9 < k; k> 9
54Escribe un polinomio cuyas raíces sean 1, 4, – 4 y 0.
(x– 1) (x– 4) (x+ 4) x= x
4
– x
3
– 16x
2
+ 16x
55Halla el valor de m para que el polinomio 5x
4
+ mx
3
+ 2x– 3 sea divisible
por x+ 1.
m= 0
56Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x
6
+ 4x
5
– 2x+ 3 para x= –2.
¿Es divisible P(x) entre x+ 2?
P(–2) = –57. No es divisible entre x + 2.
57Halla mpara que al dividir el polinomio 2x
4
+ 9x
3
+ 2x
2
– 6x+ mentre
x+ 4, el resto sea igual a 12.
m– 8 = 12 ⇒ m= 20
58Escribe un polinomio de grado 4 que sólo tenga por raíces 0 y 1.
Por ejemplo:P(x) = x
3
(x– 1); Q(x) = x
2
(x– 1)
59Justifica por qué este sistema de ecuaciones no puede tener solución:
La primera y la tercera ecuación son contradictorias.
x+ y–z= 3
2x–y+ z= 5
x+ y–z= 2





x= 1
y= 4
z= 2




x= 1
z= 3 – x= 2
y = 7 – x– z= 7 – 1 – 2 = 4



x+y+z=7
x +z=3
2x =2
1-ª
2-ª
3-ª + 2-ª
Unidad 3. Álgebra
47
5 m 02 –3
–1 –55 – mm – 53 – m
5m– 55 – mm – 3–m= 0
1400 0 –23
–2 –2–48 –16 32–60
12 –48 –16 30–57
292 –6 m
–4 –8–48 –8
21 –22 m– 8

108. 60Invéntate ecuaciones que tengan por soluciones los valores:
a) 3; –3; y – b) 5; 0,3 y –2
a) (x– 3) (x+ 3)
(x– )(x+ )= (x
2
– 9) (x
2
– 7) = x
4
– 16x
2
+ 63
b) (x– 5) (x– 0,3) (x+ 2) = x
3
– 3,3x
2
– 9,1x+ 3
PARA PROFUNDIZAR
61Resuelve estas ecuaciones de segundo grado en las que la incógnita es x:
a) abx
2
– (a+ b) x+ 1 = 0
☛
Al aplicar la fórmula general, verás que el discriminante es un cuadrado per-
fecto: a
2
+ b
2
– 2ab = (a – b)
2
b) (x– a)
2
– 2x(x+ a) – 4a
2
= 0
c) ax
2
+ bx+ b– a= 0
d) (a+ b) x
2
+ bx– a= 0
a)x= = =
= =
x
1
= ; x
2
=
b)x
2
+ a
2
– 2ax– 2x
2
– 2ax– 4a
2
= 0
x
2
+ 4ax+ 3a
2
= 0
x= = = =
=
x
1
= –a; x
2
= –3a
c)x= = =
= =
x
1
= –1; x
2
=
a– b
a
–b+ 2a– b2a – 2ba – b
—––––––––– = ––––––– = –––––
2a 2aa
–b– 2a+ b
—––––––––– = –1
2a
–b±√(2a– b)
2
2a
–b±√b
2
– 4ab+ 4a
2
2a
–b±√b
2
– 4a(b– a)
2a
–4a+ 2a –2a
—––––––– = ––––– = –a
22
–4a– 2a –6a
—––––––– = ––––– = –3a
22
–4a±2a
2
–4a± √4a
2
2
–4a± √16a
2
– 12a
2
2
1
b
1
a
a+ b+ a– b2a 1
—––––––––––––– = ––––– = ––––
2ab 2ab b
a+ b– a+ b2b1
—––––––––––––– = ––––– = ––––
2ab 2ab a
a+ b±(a– b)
2ab
a+ b± √a
2
+ b
2
+ 2ab– 4ab
2ab
a+ b± √(a+ b)
2
– 4ab
2ab
√7√7
√7√7
Unidad 3. Álgebra 48

109. d)x= = = =
=
x
1
= –1; x
2
=
62Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x
4
– 4x
2
< 0 b) x
3
– x
2
– 6x< 0
c) > 0 d) < 0
a)x
2
(x
2
– 4) < 0 ⇒ x
2
– 4 < 0 b) x(x
2
– x– 6) < 0
x≠0 x(x– 3) (x+ 2) < 0
(–2, 0) U (0, 2) ( –∞, –2) U (0, 3)
c)
(–2, 2) d) x≠1; (1, +∞)
PARA PENSAR UN POCO MÁS
63Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a
7. En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar de
cada vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción
alcohol-agua sea de 3 a 5?
alcohol alcohol alcohol
La proporción de alcohol es:
x+ (12 – x) · = · 12
+ = ; 3 x+ 48 – 4x= 45; x= 3
Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.
9
2
24 – 2x
5
3x
10
3 82 53
10
3 82 53
10


x≠3
4 – x
2
> 0
–2
(x– 1)
3
4 – x
2
(x– 3)
2
a
a+ b
–b+ 2a+ ba
—––––––––– = –––––––
2(a+ b) a + b
–b– 2a– b –(2a+ 2b)
—––––––––– = —––––––––– = –1
2(a+ b)2( a+ b)
–b±(2a+ b)
2(a+ b)
–b±√b
2
+ 4a
2
+ 4ab
2(a+ b)
–b±√b
2
+ 4a(a+ b)
2(a+ b)
Unidad 3. Álgebra
49
3 alcohol
7 agua
x cazos
V
1
2 alcohol
3 agua
(12 – x) cazos
V
2
3 alcohol
5 agua
12 cazos

110. 64Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en 1 hora y se da cuen-
ta de que, a ese paso, llegará 1 hora tarde. Entonces acelera el paso y recorre
el resto del camino a una velocidad de 5 km/h, llegando media hora antes de
que salga el tren. ¿Qué distancia tenía que recorrer?
t= tiempo que tarda en recorrer xa 3,5 km/h
Si va a 5 km/h tarda t– 1,5 (1 hora y media menos)
Luego:
3,5t= 5t– 7,5; t= 5 horas
x= 17,5 km
Tenía que recorrer 17,5 km (21 km si contamos los 3,5 km del principio).
Página 98
RESUELVE TÚ
En unas elecciones hay 20 000 votantes y se reparten 10 escaños. Concurren 5
partidos, A, B, C, D, E, que obtienen los números de votos que figuran en la pri-
mera columna.
a) Comprueba la validez de los resultados de las restantes columnas y di el repar-
to de escaños según el método D’Hondt.
b) Haz el reparto de escaños aplicando el método del mayor resto.
c) Suponiendo que el número de escaños a repartir fuera 8, haz nuevamente el
reparto por ambos métodos.
a) Método D’Hondt:
Los escaños se reparten sucesivamente así: A B A C B A A B A C
Por tanto, se asignan así: A– 5, B– 3, C– 2, D– 0, E– 0
b) Método del mayor resto:
El “precio” del escaño es 20 000 votos/10 escaños = 2 000 votos cada escaño.


x= 3,5t
x= 5 (t– 1,5)
Unidad 3. Álgebra
50
1 h
tren
x3,5 km
8 435 (1)4 217 (3)2 812 (6)2 109 (7)1 687 (9)
6 043 (2)3 021 (5)2 014 (8)1 511
3 251 (4)1 625 (10)
1 150
1 121
A
B
C
D
E
12345

111. Por tanto:
Si se aplicara el método del mayor resto, el partido D le quitaría un escaño al
partido A.
c) Para la asignación de los 8 escaños sirve la misma tabla de arriba, obteniéndose:
A B A C B A A B
Es decir, A– 4, B– 3, C– 1, D– 0, E– 0
Para aplicar el método del mayor resto tenemos en cuenta que, ahora, el “precio” del
escaño es 20 000 : 8 = 2 500 votos cada escaño.
8 435 2 500
935 3
El partido A “compra” 3 escaños y le sobran (tiene un resto de 935) votos.
Ahora son los dos partidos pequeños los que les quitarían sendos escaños a los dos
grandes.
Unidad 3. Álgebra
51
8 435 4 435 4
6 043 3 43 3
3 251 1 1 251 1 + 1 = 2
1 150 0 1 150 0 + 1 = 1
1 121 0 1 121 0
8
A
B
C
D
E
VOTOS
ESCAÑOS DE
RESTO TOTAL ESCA ÑOS
ASIGNACIÓN DIRECTA
SEGÚNMÉTODO D ’HONDT
5
3
2
0
0
8 435 3 935 3
6 043 2 1 043 2
3 251 1 751 1
1 150 0 1 150 0 + 1 = 1
1 121 0 1 121 0 + 1 = 1
6
A
B
C
D
E
VOTOS
ESCAÑOS DE
RESTO TOTAL ESCA ÑOS
ASIGNACIÓN DIRECTA
SEGÚNMÉTODO D ’HONDT
4
3
1
0
0

112. Página 102
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1
Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el procedimiento que utili-
zó Tales de Mileto para hallar la altura de una pirámide de Egipto: comparar
su sombra con la de una vara vertical cuya longitud es conocida.
Hazlo tú siguiendo este método y sabiendo que:
— la vara mide 124 cm,
— la sombra de la vara mide 37 cm,
— la sombra del árbol mide 258 cm.
Para solucionar este problema habrás utilizado la semejanza de dos triángulos.
=
x= = 864,65 cm
La altura del árbol es de 864,65 cm.
Problema 2
Bernardo conoce la distancia AB
––
a la que está del árbol y los ángulos CBA y
BAC; y quiere calcular la distancia BC
—
a la que está de Carmen.
Datos: AB
—
= 63 m
CBA = 42
o
BAC = 83
o
—
BC= 42 mm
Deshaciendo la escala:
—
BC= 42 m
258 · 124
37
37
258
124
x
Unidad 4. Resolución de triángulos
1
RESOLUCIÓN
DE TRIÁNGULOS
4
x
124 cm
258 cm
37 cm
A
CB
63 m
42°
83°

113. Página 103
Problema 3
Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos
lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la dis-
tancia del castillo a la abadía. Para ello debe, previamente, medir el ángulo CBA.
Datos: BC
—
= 1 200 m;BA
—
= 700 m;CBA = 108
o
.
100 m → 1 cm
1 200 m → 12 cm
700 m → 7 cm
—
CA= 14,7 cm ⇒
—
CA= 1 470 m
Problema 4
Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras:
a) Los lados iguales de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 1.
b) La altura de un triángulo equilátero de lado 1.
Haz todos los cálculos manteniendo los radicales. Debes llegar a las siguientes solu-
ciones:
x =
,
y =
√3
2
√2
2
Unidad 4. Resolución de triángulos
2
A
B C
1200 m → 12 cm
700 m → 7 cm
108°
NOTA: El triángulo está construido al 50% de su tamaño.
1
y
2
1
x
x
1

114. a) b) 1
2
= y
2
+ ()
2
y
2
= 1 – =
y=
Página 104
1.Considera este triángulo:
a) Calcula la proyección de MNsobre MP.
b) Halla la altura correspondiente a la baseMP.
c) Calcula el área del triángulo.
a)cos52°= = ⇒
—
MN'= 5 cos52°= 3,08 cm
b)sen52°= ⇒ h = 5 · sen52°= 3,94 cm
c)A= = = · 7 · 5 · sen52°= 13,79 cm
2
Página 105
1.Halla tg 76
o
y cos 38
o
15' 43''.
tg76°= 4,0107809
cos38°15' 43" = 0,7851878
2.Pasa a grados, minutos y segundos (
) el ángulo 39,87132
o
.
39,87132°= 38°52' 16,7"
3.Halla αy βsabiendo que cos α= 0,83 y tg β= 2,5.
cosα = 0,83 → α ≈33,901262°= 33°54' 4,54"
tgβ = 2,5 → β ≈68,198591°= 68°11' 54,9"
4.Sabiendo que tg β= 0,6924, halla cos β.
tgβ = 0,6924 → β ≈34,698729°→ cosβ ≈0,8222
1
2
b·
—
MN· sen52°
2
b· h
2
h
5
—
MN'
5
—
MN'
MN
√3
2
3 41 4
1 2
Unidad 4. Resolución de triángulos 3
1
2
= x
2
+ x
2
1 = 2x
2
x
2
=
x= =
√2
2
1
√2
1 2
7 cm
5 cm
52°
MP
N
5 cm
52°
MP
N
h
N'

115. Página 106
1.Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y he-
mos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal,
obteniendo un valor de 40
o
. ¿Cuánto mide el poste?
tg40°= → a= 7 tg40°= 5,87 m
Página 108
1.Razonando sobre el triángulo sombreado de arriba, y teniendo en cuenta que su
hipotenusa es = 1, justifica que los segmentos y corresponden, efec-
tivamente, a las razones trigonométricas cos α,senα.
cosα = = =
—
OA' sen α = = =
—
A'A
2.
Aplicando el teorema de Pitágoras en el correspondiente triángulo rectángulo, jus-
tifica que:
(senβ)
2
+ (cos β)
2
= 1
(Ten en cuenta que (–x)
2
= x
2
).
(senβ)
2
+ (cosβ)
2
= (
—
B'B)
2
+ (
—
OB')
2
(*)
= (
—
OB)
2
= 1
2
= 1
(*)
Teorema de Pitágoras.
Si consideramos una circunferencia no goniométrica (r≠1):
(senβ)
2
+ (cos β)
2
= ()
2
+ ()
2
=
(*)
= = 1
3.
Di el valor de senα y cos α para ángulos de 0
o
, 90
o
, 180
o
, 270
o
y 360
o
.
sen0°= 0 sen90°= 1 sen180°= 0 sen270°= –1 sen360°= 0
cos0°= 1 cos90°= 0 cos180°= –1 cos270°= 0 cos360°= 1
4.
En este círculo se da el signo de senφsegún el cuadrante en el que se
halle situado el ángulo φ. Comprueba que es correcto y haz algo simi-
lar para cosφ.
(
—
OB)
2
(
—
OB)
2
(
—
B'B)
2
+ (
—
OB')
2
(
—
OB)
2
—
OB'
—
OB
—
B'B
—
OB
—
A'A
1
—
A'A
—
OA
—
OA'
1
—
OA'
—
OA
A'AOA'OA
a
7
Unidad 4. Resolución de triángulos
4
A
B
b = 7 cm
40°
C
c a
++
––
+
−
+
+
+
−
−
+−
−
−
+
sen φ cos φ

116. Página 109
5.Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos OA'A
y OUT, y que OU
—
= 1, demuestra que:
tg α=
tgα = = =
6.
Construye una circunferencia de 10 cm de radio sobre papel milimetrado. (Las ho-
jas de este papel suelen tener 19 cm de ancho. Corta de arriba una tira de 1 cm y
pégala en el lateral; así podrás dibujar la circunferencia completa).
Señala ángulos diversos: 27
o
, 71
o
, 113
o
, 162
o
, 180
o
, 211
o
, 270
o
, 280
o
, 341
o
con el
transportador.
Lee sobre la cuadrícula el seno y el cosenode cada uno, cuidando de dar correcta-
mente el signo.
sen27°= 0,45 = ()
sen211°= –0,52
cos 27°= 0,89 =
()
cos211°= –0,86
sen71°= 0,95 sen270°= –1
cos71°= 0,33 cos270°= 0
sen113°= 0,92 sen280°= –0,98
cos113°= –0,39 cos280°= 0,17
sen162°= 0,31 sen341°= –0,33
cos162°= –0,95 cos341°= 0,95
sen180°= 0
cos180°= –1
Página 111
1.Calcula las razones trigonométricas de 55
o
, 125
o
, 145
o
, 215
o
, 235
o
, 305
o
y 325
o
a partir de las razones trigonométricas de 35
o
:
sen 35
o
= 0,57;cos 35
o
= 0,82;tg 35
o
= 0,70
•55°= 90°– 35°⇒ 55°y 35°son complementarios
tg55°= = = 1,43
(
También tg55°= = ≈1,43 )
1
0,70
1
tg35°
0,82
0,57
sen55°
cos55°

sen55°= cos35°= 0,82
cos55°= sen55°= 0,57
8,9 cm
10 cm
4,5 cm
10 cm
senα
cos α
—
A'A
—
OA'
—
TU
—
OU
sen α
cos α
Unidad 4. Resolución de triángulos
5
O A' U
T
A
tg α
sen α
cos αα

117. •125°= 90°+ 35°
sen125°= cos35°= 0,82
cos125°= –sen35°= –0,57
tg125°= = = –1,43
•145°= 180°– 35°⇒ 145°y 35°son suplementarios
sen145°= sen35°= 0,57
cos145°= –cos35°= –0,82
tg145°= –tg35°= –0,70
•215°= 180°+ 35°
sen215°= –sen35°= –0,57
cos215°= –cos35°= –0,82
tg215°= tg35°= 0,70
•235°= 270°– 35°
sen235°= –cos35°= –0,82
cos235°= –sen35°= –0,57
tg235°= = = = = 1,43
•305°= 270°+ 35°
sen305°= –cos35°= –0,82
cos305°= sen35°= 0,57
tg305°= = = – = – 1,43
•325°= 360°– 35°(= –35°)
sen325°= –sen35°= –0,57
cos325°= cos35°= 0,82
tg325°= = = –tg35°= –0,70
2.Averigua las razones trigonométricas de 718
o
, 516
o
y 342
o
, utilizando la calcu-
ladora solo para hallar razones trigonométricas de ángulos comprendidos
entre 0
o
y 90
o
.
•718°= 360°+ 358°⇒ Las razones trigonométricas de 718°serán las mismas que las
de 358°. Calculemos estas:
358°= 360°– 2°
–sen 35°
cos 35°
sen325°
cos325°
1
tg35°
–cos35°
sen35°
sen305°
cos305°
1
0,70
1
tg35°
–cos35°
–sen35°
sen235°
cos235°
–1
0,70
–1
tg35°
Unidad 4. Resolución de triángulos
6
125°
35°
35°
145°
215°
35°
235°
35°
305°
35°
325°
35°

118. sen718°= sen358°= –sen2°= –0,0349
cos718°= cos358°= cos2°= 0,9994
tg718°= tg358°
(*)
= –tg2°= –0,03492
(*)
tg358°= = = –tg2°
•516°= 360°+ 156°(razonando como en el caso anterior):
156°= 180°– 24°
sen516°= sen156°= sen24°= 0,4067
cos516°= cos156°= –cos24°= –0,9135
tg516°= –tg24°= –0,4452
OTRA FORMA DE RESOLVERLO:
516°= 360°+ 156°
156°= 90°+ 66°
sen516°= sen156°= cos66°= 0,4067
cos516°= cos156°= –sen66°= –0,9135
tg516°= tg156°= = = –0,4452
•342°= 360°– 18°
sen342°= –sen18°= –0,3090
cos342°= cos18°= 0,9511
tg342°= –tg18°= –0,3249
3.Dibuja, sobre la circunferencia goniométrica, ángulos que cumplan las si-
guientes condiciones y estima, en cada caso, el valor de las restantes razones
trigonométricas:
a) sen α= –,tg α> 0 b) cos α= ,α> 90º
c) tg β= –1, cos β< 0 d) tg α= 2, cos α< 0
a)
→cosα< 0 → α ∈3
er
cuadrante
tgα≈0,58
b)
→α∈ 4
er
cuadrante
tgα≈–0,88


senα ≈–0,66
cos α =3/4


cosα = 3/4
α > 90º


senα = –1/2
cos α ≈–0,86


senα = –1/2 < 0
tgα > 0
3
4
1 2
–1
2,2460
–1
tg 66°
–sen 2°
cos 2°
sen358°
cos358°
Unidad 4. Resolución de triángulos
7

119. c)
→senβ> 0 → β ∈2-º cuadrante
tgβ= –1
d)
→senα< 0 →α∈ 3-º cuadrante
tgα= 2
Página 112
1.Repite la demostración anterior en el caso de que B
^
sea
obtuso. Ten en cuenta que:
sen (180
o
– B
^
)= sen B
^
sen
^
A = →h = b sen
^
A
sen
^
B= sen(180 –
^
B) = →h = a sen
^
B
b sen
^
A = a sen
^
B→ =
2.Demuestra, detalladamente, basándote en la demostración anterior, la siguien-
te relación:
= .
Lo demostramos para
^
Cángulo agudo. (Si fuese un ángulo obtuso razonaríamos
como en el ejercicio anterior).
Trazamos la altura h desde el vértice B. Así, los triángulos obtenidos AHBy CHB
son rectángulos.
c
sen C
^
a
sen A
^
b
sen
^
B
a
sen
^
A
h
a
h
b


senα ≈–0,9
cos α ≈–0,45


tg α = 2 > 0
cos α < 0


senβ ≈0,7
cos β ≈–0,7


tg β = –1 < 0
cos β < 0
Unidad 4. Resolución de triángulos
8
A BH
C
(180° – B)
^
b
c
a
B
C
H
h
A

120. Por tanto, tenemos:sen
^
A= →h = c sen
^
A
sen
^
C= →h = a sen
^
C
c sen
^
A= a sen
^
C
=
Página 113
3.Resuelve el mismo problema anterior (a= 4 cm, B
^
= 30
o
) tomando para blos
siguientes valores: b= 1,5 cm, b= 2 cm, b= 3 cm, b= 4 cm. Justifica gráfica-
mente por qué se obtienen, según los casos, ninguna solución, una solución o
dos soluciones.
•b= 1,5 cm
= → = →sen
^
A= = 1,
)
3
¡Imposible, pues sen
^
A∈[–1, 1] siempre!
No tiene solución. Con esta medida, b= 1,5 cm, el lado bnunca podría tocar al
lado c.
4 · 0,5
1,5
1,5
sen30°
4
sen
^
A
b
sen
^
B
a
sen
^
A
c
sen
^
C
a
sen
^
A
h
a
h
c
Unidad 4. Resolución de triángulos
9
b
c
a
B
C
H
h
A
a = 4 cm
b = 1,5 cm
30°
B

121. •b= 2 cm
= → = →sen
^
A= = 1 →A= 90°
Se obtiene una única solución.
•b= 3 cm
= →sen
^
A= = 0,
)
6 →
Las dos soluciones son válidas, pues en ningún caso ocurre que
^
A+
^
B> 180°.
•b= 4 cm
= →sen
^
A= = 0,5 →
→
La solución
^
A
2
= 150°no es válida, pues, en tal caso, sería
^
A+
^
B= 180°. ¡Imposible!
^
A
1
= 30°→Una solución válida
^
A
2
= 150°



4 · 0,5
4
4
sen30°
4
sen
^
A
^
A
1
= 41°48' 37,1"
^
A
2
= 138°11' 22,9"



4 · 0,5
3
3
sen30°
4
sen
^
A
4 · 0,5
2
2
sen30°
4
sen
^
A
b
sen
^
B
a
sen
^
A
Unidad 4. Resolución de triángulos
10
a = 4 cm
b = 2 cm
30°
B
a = 4 cm
b = 3 cm
b = 3 cm
30°
B
a = 4 cm
b = 4 cm
30°
B

122. Página 115
4.Resuelve los siguientes triángulos:
a) a= 12 cm; b= 16 cm; c= 10 cm
b) b= 22 cm; a= 7 cm; C
^
= 40
o
c) a= 8 m; b= 6 m; c= 5 m
d)b= 4 cm; c= 3 cm; A
^
= 105
o
e)a= 4 m; B
^
= 45
o
y C
^
= 60
o
f) b= 5 m; A
^
= C
^
= 35
a)•a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos
^
A
12
2
= 16
2
+ 10
2
– 2 · 16 · 10 cos
^
A
144 = 256 + 100 – 320 cos
^
A
cos
^
A= = 0,6625
A= 48°30' 33"
•b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos
^
B
256 = 144 + 100 – 2 · 12 · 10 cos
^
B
cos
^
B= = –0,05
B= 92°51' 57,5"
•
^
A+
^
B+
^
C= 180°→
^
C= 180 –
^
A–
^
B
^
C= 38°37' 29,5"
b)•c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cos
^
C
c
2
= 7
2
+ 22
2
– 2 · 7 · 22 cos40°=
= 49 + 484 – 235,94 = 297,06
c= 17,24 cm
• = → =
sen
^
A= = 0,26
A=
(La solución A
2
no es válida, pues
^
A
2
+
^
C> 180°).
•
^
B= 180°– (
^
A+
^
C) = 124°52' 15,7"
^
A
1
= 15°7' 44,3"
^
A
2
= 164°52' 15,7" → No válida



7 sen40°
17,24
17,24
sen40°
7
sen
^
A
c
sen
^
C
a
sen
^
A
144 + 100 – 256
240
256 + 100 – 144
320
Unidad 4. Resolución de triángulos
11
C
B
A
12 cm
16 cm
10 cm
C
B
A
22 cm
40°
7 cm

123. c)•a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos
^
A
64 = 36 + 25 – 2 · 6 · 5 cos
^
A
cos
^
A = = –0,05
^
A= 92°51' 57,5"
•b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos
^
B
36 = 64 + 25 – 2 · 8 · 5 cos
^
B
cos
^
B = = 0,6625
^
B= 48°30' 33"
•
^
C= 180°– (
^
A+
^
B) = 38°37' 29,5"
(
NOTA: Compárese con el apartado a). Son triángulos semejantes).
d)•a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos
^
A=
= 16 + 9 – 2 · 4 · 3 cos105°= 31,21
a= 5,59 m
• =
=
sen
^
B= = 0,6912
^
B=
(La solución
^
B
2
no es válida, pues
^
A
2
+
^
B
2
> 180°).
•
^
C= 180°– (
^
A+
^
B) = 31°16' 34,7"
e)•
^
A= 180 – (
^
B+
^
C) = 75°
• =
=
b= = 2,93 m
• = → =
c= = 3,59 m
4 · sen60°
sen75°
c
sen60°
4
sen75°
c
sen
^
C
a
sen
^
A
4 · sen45°
sen75°
b
sen45°
4
sen75°
b
sen
^
B
a
sen
^
A
^
B
1
= 43°43' 25,3"
^
B
2
= 136°16' 34,7" → No válida



4 · sen105°
5,59
4
sen
^
B
5,59
sen105°
b
sen
^
B
a
sen
^
A
64 + 25 – 36
80
36 + 25 – 64
60
Unidad 4. Resolución de triángulos
12
C
B
A
6 cm
5 cm
8 cm
C
B
A
3 cm
105° 4 cm

124. f)•
^
B= 180 – (
^
A+
^
C) = 110°
• = → =
a= = 3,05 m
•Como
^
A=
^
C→a= c→c= 3,05 m
5.Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm y uno de sus lados 7 cm. El án-
gulo que forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos
es de 32
o
. Calcula lo que mide el otro lado y el área del trapecio.
•Los triángulos APBy DPCson semejantes,
luego:
= →17x= 10 (x+ 7) →x= 10
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo
APBtenemos:
—
AB
2
= x
2
+ y
2
– 2xy cos32°
10
2
= 10
2
+ y
2
– 2 · 10y· cos32°
0 = y
2
– 16,96y
De nuevo, por semejanza de triángulos, tenemos:
= → = →10 (z+ 16,96) = 17 · 16,96
10z= 118,72 →z= 11,872 cm mide el otro lado,
—
AD, del trapecio.
•Como PDCes un triángulo isósceles donde
—
DC=
—
CP= 17 cm, entonces:
^
D= 32°→sen32°= ⇒ h= z· sen32°= 11,872 · sen32°≈6,291
Así:
Área
ABCD
= · h= · 6,291 = 84,93 cm
2
6.Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio,
A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes
ángulos: BAC= 46
o
y BCA= 53
o
. ¿A qué distancia de cada estación se encuen-
tra el barco?
^
B= 180°– 46°– 53°= 81°
17 + 10
2
B+ b
2
h
z
17
z+ 16,96
10
16,96
—
DC
—
DP
—
AB
—
AP
y= 0 → No válido
y= 16,96 cm



x+ 7
17
x
10
5 · sen35°
sen110°
a
sen35°
5
sen110°
a
sen
^
A
b
sen
^
B
Unidad 4. Resolución de triángulos
13
P
10 cm
17 cm
7 cm
32°
x
z
y
A
D
B
C

125. • = →a= = = 36,4 km
• = →c= = = 40,4 km
7. Para hallar la altura de un globo, realizamos las medi-
ciones indicadas en la figura. ¿Cuánto dista el globo
del punto A? ¿Cuánto del punto B? ¿A qué altura está
el globo?
A
∧
GB= 180°– 72°– 63°= 45°
• = →b= = 25,2 m
• = →a= = 26,9 m
•sen75°= = →x= 25,2 · sen75°= 24,3 m
x
25,2
x
b
20 · sen 72°
sen45°
20
sen45°
a
sen72°
20 · sen 63°
sen45°
20
sen45°
b
sen63°
50 · sen53°
sen81°
b sen
^
C
sen
^
B
b
sen
^
B
c
sen
^
C
50 · sen46°
sen81°
b sen
^
A
sen
^
B
b
sen
^
B
a
sen
^
A
Unidad 4. Resolución de triángulos
14
50 km
46°
A C
B
53 °
B
90°
75°
72°63°
20 m
x
a
G
b
A
H

126. Página 120
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1Sabiendo que el ángulo αes obtuso, completa la siguiente tabla:
a)sen
2
α + cos
2
α = 1 →0,92
2
+ cos
2
α = 1 →cos
2
α = 1 – 0,92
2
cos
2
α = 0,1536 →cosα = –0,39
↑
αobtuso
→cosα< 0
tgα= = –2,36
(Se podrían calcular directamente con la calculadora α= sen
–1
0,92, teniendo
en cuenta que el ángulo está en el segundo cuadrante).
b) = 1 + tg
2
α→ = 1 + 0,5625 →cos
2
α= 0,64 →cosα= –0,8
tgα= →senα= tgα· cosα= (–0,75) · (–0,8) = 0,6
c)sen
2
α= 1 – cos
2
α= 1 – 0,0144 = 0,9856 →senα= 0,99
tgα= = = –8,25
d)sen
2
α= 1 – cos
2
α= 1 – 0,64 = 0,36 →senα= 0,6
tgα= = = 0,75
(
NOTA: es el mismo ángulo que el del apartado b)).
e)cos
2
α= 1 – sen
2
α= 1 – 0,25 = 0,75 →cosα= –0,87
tgα= = = –0,57
f) = 1 + tg
2
α= 1 + 16 →cos
2
α= 0,059 →cosα= –0,24
senα= tgα· cosα= (–4) · (–0,24) = 0,96
1
cos
2
α
0,5
–0,87
senα
cosα
0,6
–0,8
senα
cosα
0,99
–0,12
senα
cosα
senα
cosα
1
cos
2
α
1
cos
2
α
senα
cosα
Unidad 4. Resolución de triángulos
15
sen α0,92 0,5
cos α –0,12–0,8
tg α –0,75 –4
sen α0,92 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96
cos α–0,39–0,8–0,12–0,8–0,87–0,24
tgα –2,36–0,75–8,25–0,75–0,57–4
a) b) c) d) e) f)

127. 2Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (C
^
= 90
o
) hallando la medida
de todos los elementos desconocidos:
a) a= 5 cm, b= 12 cm. Halla c, A
^
, B
^
.
b) a= 43 m, A
^
= 37
o
. Halla b, c, B
^
.
c) a= 7 m, B
^
= 58
o
. Halla b, c, A
^
.
d) c= 5,8 km, A
^
= 71
o
. Halla a, b, B
^
.
e) c= 5 cm, B
^
= 43
o
. Halla a, b, A
^
.
a)c
2
= a
2
+ b
2
→ c
2
= 5
2
+ 12
2
= 169 → c= 13 cm
tg
^
A= = 0,416 → A= 22°37' 11,5°
^
B= 90°–
^
A= 67°22' 48,5"
b)
^
B= 90°– 37°= 53°
sen
^
A= → c= = 71,45 m
tg
^
A= → b= = 57,06 m
c)
^
A= 90°– 58°= 32°
cos
^
B= → c= = 13,2 m
tg
^
B= → b= 7 · tg58°= 11,2 m
d)
^
B= 90°– 71°= 19°
sen
^
A= → a= 5,8 · sen71°= 5,48 km
cos
^
A= → b= 5,8 · cos71°= 1,89 km
b
5,8
a
5,8
b
7
7
cos 58°
7
c
43
tg 37°
43
b
43
sen37°
43
c
5
12
Unidad 4. Resolución de triángulos
16
12 cm
5 cm
A
c
BC
b
37°
a = 43 m
A
c
BC
b
58°
a = 7 m
A
c
BC
b
71°
a
A
c
= 5,8 km
BC

128. e)
^
A= 90°– 43°= 47°
cos
^
B= → a= 5 · cos43°= 3,66 cm
sen
^
B= → b= 5 · sen 43°= 3,41 cm
3Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta
una altura de 15 metros, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta?
sen
^
A= = 0,6 →
^
A= 36°52' 11,6"
4Una persona de 1,78 m de estatura proyecta una sombra de 66 cm, y en ese
momento un árbol da una sombra de 2,3 m.
a)¿Qué ángulo forman los rayos del Sol con la horizontal?
b)¿Cuál es la altura del árbol?
a)tg
^
B= = 2,
)
69 →
→ B= 69°39' 21,2"
b)
^
B'=
^
B, luego:
tg
^
B'= →
→ x= 2,3 · tg
^
B'= 6,2
)
03 m
(
NOTA: Se podría resolver con el teorema de Tales).
5Calcula los lados iguales y el área de un triángulo isósceles cuyo lado desi-
gual mide 24 cm y el ángulo opuesto a la base mide 40
o
.
x
2,3
178
66
15 25
b
5
a
5
Unidad 4. Resolución de triángulos
17
b
43°
a
A
c = 5 cm
BC
A
25 m
15 m
B
C
A
A'
C'
x
B'
2,3 m 66 cm
1,78 m
BC
A
CB
c b
b
h
h
24 cm 12 cm
40° 20°

129. Unidad 4. Resolución de triángulos 18
8 cm
x
y
19°
38°
45°
30°
20 m
45°
C
B A
a b
h
x
30°
20 – x







→







→
sen20°= →
^
b= ≈35,1 cm = c
tg20°= →
^
h= ≈33 cm →
^
A= = = 396 cm
6El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 38
o
.
¿Cuánto miden las diagonales del rombo?
sen19°= →
^
y= 8 · sen19°= 2,6 cm →
^
d= 5,2 cm
cos38°= →
^
x= 8 · cos19°= 7,6 cm →
^
D= 15,2 cm
7Hemos colocado un cable sobre un mástil que
lo sujeta como muestra la figura.
¿Cuánto miden el mástil y el cable?
tg45°= →
^
x= = = h
tg30°=
→
^
tg30°= →
^
(20 – h) tg30°= h→
^
20 tg30°– h tg30°= h
→
^
20 tg30°= h+ h tg30°→
^
h= = 7,32 m (m ástil)
sen45°= →
^
a= = = 10,35 m
sen30°= →
^
b= = = 14,64 m
→
^
a+ b= 24,99 m (cable)
7,32
sen 30°
h
sen 30°
h
b
7,32
sen 45°
h
sen 45°
h
a
20 tg30°
1 + tg30°
h
20 – h
h
20 – x
h
1
h
tg 45°
h
x
x
8
y
8
24 · 33
2
b· h
2
12
tg 20°
12
h
12
sen20°
12
b

130. 8Resuelve los siguientes triángulos:
a) a= 100 m B
^
= 47
o
C
^
= 63
o
b) b= 17 m A
^
= 70
o
C
^
= 35
o
c) a= 70 m b= 55 m C
^
= 73
o
d) a= 122 m c= 200 m B
^
= 120
o
e) a= 25 m b= 30 m c= 40 m
f) a= 100 m b= 185 m c= 150 m
g) a= 15 m b= 9 m A
^
= 130
o
h) b= 6 m c= 8 m C
^
= 57
o
a)•
^
A= 180°– (
^
B+
^
C) = 70°
• = →
→ = →
→b= = 77,83 m
• = →c= = 94,82 m
b)•
^
B= 180°– (
^
A+
^
B) = 75°
• = →a= = 16,54 m
• = →c= = 10,09 m
c)• c
2
= 70
2
+ 55
2
– 2 · 70 · 55 · cos73°= 5 673,74 →c= 75,3 m
•70
2
= 55
2
+ 75,3
2
– 2 · 55 · 75,3 · cos
^
A→
→cos
^
A= = 0,4582 →A= 62°43' 49,4"
•
^
B= 180°– (
^
A+
^
C) = 44°16' 10,6"
d)• b
2
= 122
2
+ 200
2
– 2 · 122 · 200 · cos120°= 79 284 →b= 281,6 m
•a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos
^
A→cos
^
A= →
→cos
^
A= = 0,92698 →A= 22°1' 54,45"
•
^
C= 180°– (
^
A+
^
B) = 37°58' 55,5"
281,6
2
+ 200
2
– 122
2
2 · 281,6 · 200
b
2
+ c
2
– a
2
2bc
55
2
+ 75,3
2
– 70
2
2 · 55 · 75,3
17 · sen35°
sen75°
c
sen35°
17
sen75°
17 · sen70°
sen75°
a
sen70°
17
sen75°
100 · sen63°
sen70°
c
sen63°
100
sen70°
100 · sen47°
sen70°
b
sen47°
100
sen70°
b
sen
^
B
a
sen
^
A
Unidad 4. Resolución de triángulos
19
A
B
C
a
b
c

131. e)• a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos
^
A→
→cos
^
A= = = 0,7812 →A= 38°37' 29,4"
•cos
^
B= = = 0,6625 →B= 48°30' 33"
•
^
C= 180°– (
^
A+
^
B) = 92°51' 57,6"
f)• cos
^
A= = = 0,84189 →A= 32°39' 34,4"
•cos
^
B= = = –0,0575 →B= 93°17' 46,7"
•
^
C= 180°– (
^
A+
^
B) = 54°2' 38,9"
g)• = →sen
^
B= = 0,4596 →puede ser:
→
La solución
^
B
2
no es válida, pues
^
A+
^
B
2
> 180°.
•
^
C= 180°– (
^
A+
^
B) = 22°38' 13,2"
• = →c= = 7,54 m
h)• = →sen
^
B= = 0,6290 →
→
La solución B
2
no es válida, pues
^
C+
^
B
2
> 180°.
•
^
A= 180°– (
^
B+
^
C) = 84°1' 24,3"
• = →a= = 9,5 m
9Al recorrer 3 km por una carretera, hemos ascendido 280 m. ¿Qué ángulo
forma la carretera con la horizontal?
sen
^
A= = 0,09
)
3 →
→A= 5°21' 19,44"
280
3 000
8 · sen
^
A
sen57°
a
sen
^
A
8
sen57°
^
B
1
= 38°58' 35,7"
^
B
2
= 141°1' 24,3"



6 · sen57°
8
6
sen
^
B
8
sen57°
15 · sen
^
C
sen130°
c
sen
^
C
15
sen130°
^
B
1
= 27°21' 46,8"
^
B
2
= 152°38' 13,2"



9 · sen130°
15
9
sen
^
B
15
sen130°
100
2
+ 150
2
– 185
2
2 · 100 · 150
a
2
+ c
2
– b
2
2ac
185
2
+ 150
2
– 100
2
2 · 185 · 150
b
2
+ c
2
– a
2
2bc
25
2
+ 40
2
– 30
2
2 · 25 · 40
a
2
+ c
2
– b
2
2ac
30
2
+ 40
2
– 25
2
2 · 30 · 40
b
2
+ c
2
– a
2
2bc
Unidad 4. Resolución de triángulos 20
A
B
C
3 km
280 m

132. 10Halla con la calculadora el ángulo α:
a) sen α= –0,75,α< 270
o
b) cos α= –0,37,α> 180
o
c) tg α= 1,38, sen α< 0
d) cos α= 0,23, sen α< 0
a) Con la calculadora →α = –48°35' 25" ∈ 4-º cuadrante
Como debe ser → α ∈ 3
er
cuadrante
Luego α = 180°+ 48°35' 25" = 228°35' 25"
b) Con la calculadora: 111°42' 56,3"
→ α ∈ 3
er
cuadrante
→
α = 360°– 111°42' 56,3"
→ α = 248°17' 3,7"
c)
cos< 0 → α ∈ 3
er
cuadrante
Con la calculadora: tg
–1
1,38 = 54°4' 17,39"
α = 180°+ 54°4' 17,39" = 234°4' 17,4"
d)
→ α ∈ 4-º cuadrante
Con la calculadora: cos
–1
0,23 = 76°42' 10,5"
α= –76°42' 10,5" = 283°17' 49,6"
11Halla las restantes razones trigonométricas de α:
a) sen α= –4/5 α< 270
o
b) cos α= 2/3 tg α< 0
c) tg α= –3 α< 180
o


cos α = 0,23 > 0
sen α < 0


tg α = 1,38 > 0
sen α < 0


cos α < 0
α > 180°


senα < 0
α < 270°



Unidad 4. Resolución de triángulos
21




133. a)
→ α ∈ 3 ercuadrante →
• cos
2
α= 1 – sen
2
α= 1 – = →cosα= –
• tgα= = =
b)
→sen α < 0 → α ∈ 4-º cuadrante
• sen
2
α= 1 – cos
2
α= 1 – = →sen α= –
• tgα= = –
c)
→ α ∈ 2-º cuadrante →
• = tg
2
α + 1 = 9 + 1 = 10 →cos
2
α = →cosα = –
• tgα= →senα = tgα · cosα = (–3)
(
– )
=
12Expresa con un ángulo del primer cuadrante:
a) sen 150
o
b) cos 135
o
c) tg 210
o
d) cos 225
o
e) sen 315
o
f) tg 120
o
g) tg 340
o
h) cos 200
o
i) sen 290
o
a) 150°= 180°– 30°→sen150°= sen30°
b) 135°= 180 – 45°→cos135°= –cos45°
c) 210°= 180°+ 30°→tg210°= = = tg30°
d) 255°= 270°– 15°→cos255°= –sen15°
e) 315°= 360°– 45°→sen 315°= –sen45°
f ) 120°= 180°– 60°→tg120°= = = –tg60°
(
También 120°= 90°+ 30°→tg120°= = = – )
g) 340°= 360°– 20°→tg340°= = = –tg20°
–sen20°
cos20°
sen340°
cos340°
1
tg30
–cos 30°
sen 30°
sen120°
cos120°
sen60°
–cos60°
sen120°
cos120°
–sen30°
–cos30°
sen210°
cos210°
3√10
10
√10
10
senα
cosα
√10
10
1
10
1
cos
2
α
sen α > 0
cos α < 0





tg α < 0
α < 180°
√5
2
senα
cosα
√5
3
5 94 9


cos α > 0
tg α < 0
4
3
–4/5
–3/5
senα
cosα
3
5
9
25
16 25
senα < 0
cosα < 0
tgα > 0







sen α < 0
α < 270°
Unidad 4. Resolución de triángulos
22

134. h) 200°= 180°+ 20°→cos 200°= –cos20°
i) 290°= 270°+ 20°→sen290°= –cos20°
(También 290°= 360°– 70°→sen290°= –sen70°)
13Si sen α= 0,35 y α< 90
o
, halla:
a) sen (180
o
– α) b) sen (α + 90
o
)
c) sen (180
o
+ α) d) sen (360
o
– α)
e) sen (90
o
– α) f) sen (360
o
+ α)
a)sen(180°– α) = senα= 0,35
b)
→
→sen(α+ 90°) = cosα = 0,94
c)sen(180°+ α) = –senα= –0,35
d)sen(360°– α) = –senα= –0,35
e)sen(90°– α) = cosα= 0,94 (calculado en el apartado b))
f)sen(360°+ α) = senα= 0,35
14Busca un ángulo del primer cuadrante cuyas razones trigonométricas coin-
cidan, en valor absoluto, con el ángulo dado:
a) 124
o
b) 214
o
c) 318
o
d) 100
o
e) 190
o
50' f) 295
o
g) 140
o
h) 258
o
a) 124°= 180°– 56°→56° b) 214°= 180°+ 34°→34°
c) 318°= 360°– 42°→42° d) 100°= 180°– 80°→80°
e) 190°50' – 180°= 10°50' f) 360 °– 295 = 65°
g) 180°– 140°= 40° h) 258°– 180°= 78°
15Si tg α= 2/3 y 0 < α< 90
o
, halla:
a) sen α b) cos α
c) tg (90
o
– α) d) sen (180
o
– α)
e) cos (180
o
+ α) f) tg (360
o
– α)
a)tgα= →senα= tgα· cosα
= tg
2
α + 1 → = + 1 = →
→cosα= = =
senα= tgα· cosα= · =
2√13
13
3√13
13
2 3
3√13
13
3
√13√
9
13
13
9
4 91
cos
2
α
1
cos
2
α
sen α
cos α


sen(α+ 90°) = cos α
sen
2
α+ cos
2
α= 1→cos
2
α= 1 – 0,35
2
= 0,8775 ⇒cosα≈0,94
Unidad 4. Resolución de triángulos
23

135. b) Calculado en el apartado anterior: cosα=
c)tg(90°– α) = = =
d)sen(180°– α) = senα=
e)cos(180°+ α) = –cosα=
f)tg(360°– α) = = = –tgα= –
Página 121
PARA RESOLVER
16Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del
suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15
o
y la estatua bajo un ángulo de
40
o
. Calcula la altura del pedestal.
tg15°= →y=
tg55°= →y=
→x tg55°= 2,5 tg15°+ x tg15°→
→x= = 0,58 m (el pedestal)
17Un avión vuela entre dos ciudades, Ay B, que distan 80 km. Las visuales
desde el avión a Ay a Bforman ángulos de 29
o
y 43
o
con la horizontal,
respectivamente. ¿A qué altura está el avión?
2,5 · tg15°
tg55°– tg15°
2,5 + x
tg55°
2,5 + x
y
x
tg15°
x
y
2 3–sen α
cos α
sen (360°– α)
cos (360°– α)
–3√13
13
2√13
13
3 2cos α
sen α
sen (90°– α)
cos (90°– α)
3√13
13
Unidad 4. Resolución de triángulos
24
40°
2,5 m
x
y
15°







→ = →
2,5 + x
tg55°
x
tg15°
80 km
43°29°
V (avión)
h
x
AB

136. tg29°= →x=
tg43°= →x=
→ = →h tg43°= 80 tg43°tg29°– h tg29°→
→h= = 27,8 km
18De un triángulo rectángulo se sabe que su área vale 864 cm
2
y un cateto
mide 48 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos.
→ A= ⇒ 864 = → c= 36 cm
b
2
= a
2
+ c
2
= 48
2
+ 36
2
= 3 600 →b= 60 cm
sen
^
A= = = sen
^
B= sen90°= 1 sen
^
C= =
cos
^
A= = = cos
^
B= cos90°= 0 cos
^
C= =
tg
^
A= tg
^
C=
19Calcula los lados y los ángulos del triángulo ABC.
☛
En el triángulo rectángulo ABD, halla AB
—
y
BD
—
. En BDC, halla C
^
y DC
—
. Para hallar B
^
, sabes
que A
^
+ B
^
+ C
^
= 180
o
.
•En ABD:
cos50°= →
—
AB= = 4,7 cm
tg50°= → BD= 3 tg50°= 3,6 cm
•En BDC:
sen
^
C= = ≈0,5143→ C= 30°56' 59"
cos
^
C= →
—
DC= 7 · cos
^
C≈6 cm
•Así, ya tenemos:
^
A= 50° a= 7 cm
^
B= 180°– (
^
A+
^
C) = 99°3' 1" b=
—
AD+
—
DC= 9 cm
^
C= 30°56' 59" c= 4,7 cm
—
DC
7
3,6
7
—
BD
7
—
BD
3
3
cos50°
3
—
AB
3
4
4 3
4 548 603 536 60c
b
3 536 604 548 60a
b
48 · c
2
a· c
2

Área = 864 cm
2
a= 48 cm
80 tg43°tg29°
tg43°+ tg29°
80 tg43°– h
tg43°
h
tg29°
80 tg43°– h
tg43°
h
80 – x
h
tg29°
h
x
Unidad 4. Resolución de triángulos
25
a
c
A
BC
b
A
D C
B
3 cm
50°
7 cm

137. 20En una circunferencia de radio 6 trazamos una
cuerda AB a 3 cm del centro. Halla el ángulo AOB.
☛
Los triángulos AOP y BOP son iguales. En ambos
conoces un cateto y la hipotenusa. Halla el ángulo AOP,
que es la mitad de AOB.
—
OP= 3 cm
—
OB= 6 cm
OPB= 90°
→ AOB= 2 · POB= 2 · 60°= 120°
21Halla el ángulo que forma la diagonal de la cara de
un cubo y la diagonal del cubo.
☛
Llama l a la arista del cubo y expresa, en función de l
la diagonal AD. Calcula sen αen el triángulo ADC.
•La diagonal
—
ACdivide la base en dos triángulos rec-
tángulos isósceles iguales, donde
—
ACes la hipotenusa.
Así:
—
AC
2
= l
2
+ l
2
= 2l
2
(por el teorema de Pitágoras)
•ACDes un triángulo rectángulo, donde
—
ADes la hipotenusa. Así:
—
AD
2
= l
2
+
—
AC
2
= l
2
+ 2l
2
= 3l
2
→
—
AD= l
•En ACD, senα= = = = → α= 35°15' 51,8"
22Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, Ay B, que distan
entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora.
Estas direcciones forman con ABángulos de 40
o
y 65
o
. ¿A qué distancia de
Ay Bse encuentra la emisora?
√3
3
1
√3
l
√3l
l
—
AD
√3
Unidad 4. Resolución de triángulos 26
BA
O
P
P
6 cm
3 cm
B
O
D
A
C
l
α







→ cos POB= = → POB= 60°→
1
2
3 6
E
A
ab
B
10 km
65°40°

138. ^
E= 180°– (
^
A+
^
B) = 75°
Aplicando el teorema de los senos:
= → a= = 6,65 km dista de B
= → b= = 9,38 km dista de A
23En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m
y 8 m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo
qué ángulo se ve la portería desde ese punto?
Aplicando el teorema del coseno:
b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac· cos
^
B→
→ cos
^
B= = = 0,5 →B= 60
24Calcula el área y las longitudes de los lados y de
la otra diagonal:
☛
BAC = ACD = 50
o
. Calcula los lados del triángulo
ACD y su área. Para hallar la otra diagonal, conside-
ra el triángulo ABD.
•Los dos triángulos en que la diagonal divide
al paralelogramo son iguales.
Luego bastará resolver uno de ellos para cal-
cular los lados:
^
B= 180°– (
^
A+
^
C) = 110°
= →a= = 14,7 m
= →c= = 6,6 m
Así:
—
AB=
—
CD= c= 6,6 m
—
BC=
—
AD= a= 14,7 m
18 · sen20°
sen110°
18
sen110°
c
sen20°
18 · sen50°
sen110°
18
sen110°
a
sen50°
8
2
+ 5
2
– 7
2
2 · 8 · 5
a
2
+ c
2
– b
2
2ac
10 · sen65°
sen75°
10
sen75°
b
sen65°
10 · sen40°
sen75°
10
sen75°
a
sen40°
Unidad 4. Resolución de triángulos
27
A C
B
(balón)
b = 7 m
a = 8 m
c = 5 m
(portería)
18 m
20°
50°
A
B
D
C
B
a
c
A
C
h
18 m
20°
50°

139. Para calcular el área del triángulo ABC:
sen50°= →h= c· sen50°→
→Área
ABC
= = = = 45,5 m
2
El área del paralelogramo será:
Área
ABCD
= 2 · Área
ABC
= 2 · 45,5 = 91 m
2
•Para calcular la otra diagonal consideremos el triángulo ABD:
^
A= 50°+ 20°= 70°
Aplicando el teorema del coseno:
—
BD
2
= 6,6
2
+ 14,7
2
– 2 · 6,6 · 14,7 · cos 70°≈
≈193,28 →BD= 13,9 m
25Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes
comunes forman un ángulo de 30
o
. Calcula la distancia entre los centros.
Los triángulos AMPy BNPson rectángulos.
La recta que une los centros (Ay B) es la bisectriz del ángulo 30°:
BPN= APM= 15°
Así:
sen15°= →
—
BP= = 38,6 cm
sen15°= →
—
AP= = 50,2 cm
Y, por tanto:
—
AB=
—
AP–
—
BP= 50,2 – 38,6 = 11,6 cm
13
sen15°
13
—
AP
10
sen15°
10
—
BP
18 · 6,6 · sen50°
2
18 · c· sen50°
2
18 · h
2
h
c
Unidad 4. Resolución de triángulos
28
6,6 m
70°
14,7 m
A
D
B
13 cm
A
M
N
P
B
30°
10 cm

140. 26Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo
de 127
o
. El primero sale a las 10 h de la mañana con una velocidad de 17 nu-
dos, y el segundo sale a las 11 h 30 min, con una velocidad de 26 nudos. Si el
alcance de sus equipos de radio es de 150 km, ¿podrán ponerse en contacto
a las 3 de la tarde?
(Nudo = milla / hora; milla = 1 850 m)
La distancia que recorre cada uno en ese tiempo es:
Barco A →
—
PA= 17 · 1 850 m/h · 5 h = 157 250 m
Barco B →
—
PB= 26 · 1 850 m/h · 3,5 h = 168 350 m
Necesariamente,
—
AB>
—
PAy
—
AB>
—
PB, luego:
—
AB> 168 350 m
Como el alcance de sus equipos de radio es 150 000 m, no podrán ponerse en con-
tacto.
(
NOTA: Puede calcularse
—
ABcon el teorema del coseno →
—
AB= 291 432,7 m).
27Halla el perímetro del cuadrilátero ABCDinscrito en
una circunferencia de 6 cm de radio.
☛
Ten en cuenta que los triángulos AOB, BOC, COD
y DOA son isósceles.
Como el radio es 6 cm, los lados iguales a cada uno
de esos triángulos isósceles miden 6 cm.
Así, para cada triángulo, conocidos dos lados y el
ángulo comprendido, podemos hallar el tercer lado
con el teorema del coseno.
•En AOB:
—
AB
2
= 6
2
+ 6
2
– 2 · 6 · 6 · cos60°= 36 →
—
AB = 6 cm
(Como era de esperar por ser un triángulo equilátero).
•En BOC:
—
BC
2
= 6
2
+ 6
2
– 2 · 6 · 6 · cos80°= 59,5 →
—
BC= 7,7 cm
•En COD:
—
CD
2
= 6
2
+ 6
2
– 2 · 6 · 6 · cos100°= 84,5 →
—
CD= 9,2 cm
•En DOA:
—
DA
2
= 6
2
+ 6
2
– 2 · 6 · 6 · cos120°= 108 →
—
DA= 10,4 cm
•Por tanto, Perímetro= 6 + 7,7 + 6,6 + 6,9 = 33,3 cm
Unidad 4. Resolución de triángulos
29
127°
A
B
P
A
D
O
C
B
60°
80°
100°

141. Página 122
28En un rectángulo ABCDde lados 8 y 12 cm, se traza desde Buna perpendicu-
lar a la diagonal AC, y desde D, otra perpendicular a la misma diagonal. Sean
My Nlos puntos donde esas perpendiculares cortan a la diagonal. Halla la lon-
gitud del segmento
—
MN.
☛En el triángulo ABC, halla C
^
. En el triángulo BMC, halla MC
—
. Ten en cuenta que:
MN
—
=AC
—
– 2 MC
—
Los triángulos ANDy BMCson iguales, luego
—
AN=
—
MC
Como
—
MN=
—
AC–
—
AN–
—
MC, entonces:
—
MN=
—
AC– 2
—
MC
Por tanto, basta con calcular
—
ACen el triángulo ABCy
—
MCen el triángulo BMC.
•En ABC:
—
AC
2
= 8
2
+ 12
2
= 208 (por el teorema de Pitágoras) →
—
AC= 14,4 cm
Calculamos C(en ABC):
tg
^
C= = 1,5 → C= 56°18' 35,8"
•En BMC:
cos
^
C= →
—
MC= 8 · cos(56°18' 35,8") = 4,4 cm
Por último:
—
MN=
—
AC– 2
—
MC= 14,4 – 2 · 4,4 = 5,6 cm
29
Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden 9 m y
4 m, respectivamente. Halla el ángulo 2αque forman sus tangentes comunes.
☛Los radios forman con las tangentes dos triángulos rectángulos. Como OP
—
= 4 +x,
se tiene:
sen α = y sen α =
Calcula x y después α.
9
17 + x
4
4 + x
—
MC
8
12
8
Unidad 4. Resolución de triángulos
30
BA
CD
N
M
12 cm
8 cm
9
4
α
P
x
O' O

142. —
OP= 4 + x→ senα=
—
O'P= 9 + 4 + 4 + x= 17 + x→ senα=
→ = → 4 (17 + x) = 9 (4 + x) →
→ 68 – 36 = 9x– 4x→ 32 = 5x→ x= 6,4 m
Sustituyendo xpor su valor:
senα= = = = 0,3846 → α= 22°37' 11,5"
Así: 2α= 45°14' 23"
30
Halla la altura de la torre QRde pie inaccesible y
más bajo que el punto de observación, con los datos
de la figura.
Llamemos xe ya las medidas de la altura de las dos
partes en que queda dividida la torre según la figura
dada; y llamemos za la distancia de Pa la torre.
tg48°= → x= z· tg48°
tg30°= → x= (z+ 50) tg30°
→ z·tg48°= (z+ 50) tg30°→
→ z· tg48°= z· tg30°+ 50 · tg30°→ z= = 54,13 m
Sustituyendo en x= z· tg48°= 54,13 · tg48°= 60,12 m = x
Para calcular y: tg20°= → y= z· tg20°= 54,13 · tg20°= 19,7 m
Luego:
—
QR= x+ y= 79,82 m mide la altura de la torre.
31
Calcula la altura de QR, cuyo pie es inaccesible y
más alto que el punto donde se encuentra el obser-
vador, con los datos de la figura.
Llamemos xa la distancia del punto más alto a la
línea horizontal del observador; ya la distancia
de la base de la torre a la misma línea; y za la
distancia
—
R'P, como se indica en la figura.
y
z
50 tg30°
tg48°– tg30°
x
z+ 50
x
z
4
10,4
4
4 + 6,4
4
4 + x
9
17 + x
4
4 + x
9
17 + x
4
4 + x







→
P P'
48°30°
20°
Q
R
50 m
P P'
48° 30°
20°
Q
x
z
y
R
50 m
P'
32°
22°
P
Q
R
18°
50 m







→
Unidad 4. Resolución de triángulos
31

143. tg(18°+ 22°) = tg40°= →x= z· tg40°
tg32°= →x= (z+ 50) tg32°
→z · tg40°= (z+ 50) tg32°→z= = 145,84
Sustituyendo en x= z· tg40°= 145,84 · tg40°= 122,37 m
Para calcular y:
tg18°= →y= z· tg18°= 145,84 · tg18°= 47,4 m
Por tanto:
—
QR= x– y= 74,97 m mide la altura de la torre
32
La longitud del lado de un octógono regular es 8 cm. Halla los radios de las cir-
cunferencias inscrita y circunscrita al octógono.
Consideremos el triángulo isósceles formado por el centro del
polígono y uno de sus lados:
^
C= = 45 °
•El radio de la circunferencia inscrita será la altura hde ese
triángulo:
tg = tg22,5°= →h = = 9,66 cm
•El de la circunferencia circunscrita será el lado ldel triángulo:
sen = sen22,5°= →l= = 10,45 cm
CUESTIONES TEÓRICAS
33Explica si las siguientes igualdades referidas al triángulo ABC
son verdaderas o falsas:
1)a = 2) c = a cos
B
^
3)c = 4) b = a sen C
^
5)tg B
^
· tg C
^
= 1 6) c tg B
^
= b
7)sen
B
^
– cos C
^
= 0 8) a =
b
cos C
^
b
tg C
^
b
sen
B
^
4
sen 22,5°
4
l
45°
2
4
tg22,5°
4
h
45°
2
360°
8
y
z
50 tg32°
tg40°– tg32°
x
z+ 50
x
z
Unidad 4. Resolución de triángulos
32







→
P'
32°
22°
P
Q
R
R'
18°
50 m
x
y
z
8 cm
C
l
h
B
a
b
c
C
A

144. 9)b = 10) =
11 )sen
B
^
· cos C
^
= 1 12) = 1
1) Verdadera, pues sen
^
B= →a=
2) Verdadera, pues cos
^
B= →a· cos
^
B= c
3) Falsa, pues tg
^
C= →c= b· tg
^
C
4) Falsa, pues sen
^
C= →a· sen
^
C= c≠b
5) Verdadera, pues tg
^
B· tg
^
C= · = 1
6) Verdadera, pues tg
^
B= →b= c· tg
^
B
7) Verdadera, pues sen
^
B– cos
^
C= – = 0
8) Verdadera, pues cos
^
C= →a=
9) Falsa, pues tg
^
B= →b= c· tg
^
B
10) Verdadera, pues sen
2
^
B+ cos
2
^
B= 1 →cos
^
B=
Como cos
^
B= → =
11) Falsa, pues sen
^
B· cos
^
C= · = ≠1 (porque b≠a)
12) Verdadera, pues = = 1
34
Prueba que en un triángulo cualquiera se verifica:
= = = 2 R
Res el radio de la circunferencia circunscrita.
☛Traza el diámetro desde uno de los vértices del
triángulo ABC. Aplica el teorema de los senos en los
triángulos ABC y A'BC.
c
sen
C
^
b
sen
B
^
a
sen A
^
b/a
b/a
sen
^
B
cos
^
C
b
2
a
2
b
a
b
a
c
a
√1 – sen
2
^
B
c
a
√1 – sen
2
^
B
b
c
b
sen
^
C
b
a
b
a
b
a
b
c
c
b
b
c
c
a
c
b
c
a
b
sen
^
B
b
a
sen B
^
cos C
^
c
a
√1– sen
2
B
^
c
tg
B
^
Unidad 4. Resolución de triángulos
33
B
A
A'
C
O

145. Aplicamos el teorema de los senos en los triángulos ABCy A'BC:
•En ABC→ = =
•En A'BC→ =
Sucede que:
—
BC= a
^
A'=
^
A(ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco)
—
A'C= 2R
A'BC= 90°(medida de ángulos inscritos en una circunferencia)
La igualdad queda: = → = = 2R
•Por último, sustituyendo en la primera expresión, se obtiene el resultado:
2R= = =
35
Prueba que solo existe un triángulo con estos datos: b= m, a= 1,5 m, A
^
= 60°
¿Existe algún triángulo con estos datos?
C
^
= 135°, b= 3 cm, c= 3 cm
•a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos
^
A
1,5
2
= ()
2
+ c
2
– 2c cos60°
2,25 = 3 + c
2
– 2c ·
c
2
– c+ 0,75 = 0
c= = m
La ecuación de segundo grado solo tiene una raíz. Solo hay una solución.
(
NOTA: También se pueden estudiar las dos soluciones que salen para Bcon el
teorema del seno y ver que una de ellas no es válida, pues quedaría
^
A+
^
B> 180°).
•Podemos resolverlo con el teorema del coseno, como antes, o con el teorema
del seno. Resolvemos este apartado con el segundo método mencionado:
= → = →
→ sen
^
B= = sen135°= 1→
^
B= 90°
Pero:
^
C+
^
B= 135°+ 90°> 180°¡Imposible!
Luego la solución no es válida y, por tanto, concluimos que no hay ningún
triángulo con esos datos.
√2
3√2 sen135°
3
3
sen135°
3√2
sen
^
B
c
sen
^
C
b
sen
^
B
√3
2
√
—
3 ±√3 – 3
2
√3
1 2
√3
√3√3
√2
√3
c
sen
^
C
b
sen
^
B
a
sen
^
A
2R
1
a
sen
^
A
2R
sen90°
a
sen
^
A
—
A'C
sen A'BC
—
BC
sen
^
A'
c
sen
^
C
b
sen
^
B
a
sen
^
A
Unidad 4. Resolución de triángulos
34
a = 1,5 m
b = √
—
3 m
60°
C
B
A

146. Página 123
PARA PROFUNDIZAR
36Dos vías de tren de 1,4 m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un
ángulo de corte es de 40°, ¿cuánto valdrá el lado del rombo?
sen40°= →l= = 2,18 m
37En un tetraedro regular, halla el ángulo que forman dos caras contiguas.
(Observa que es el ángulo que forman las alturas concurrentes de esas dos
caras).
En un tetraedro regular, cada cara es un triángulo equiláte-
ro de altura h, donde:
l
2
= h
2
+ ()
2
→h
2
= l
2
– = l
2
→h = l
El triángulo formado por las alturas concurrentes de dos
caras y una arista es isósceles.
Aplicamos el teorema del coseno:
l
2
= h
2
+ h
2
– 2h h cosα→ cosα= = =
= 1 – = 1 – = 1 – = 1 – =
α= 70°31' 43,6"
38Queremos calcular la distancia entre dos puntos
inaccesibles, Ay B.Desde C y D tomamos los
datos: CD
—
= 300 m, ADB = 25
o
,ACB=32
o
,ACD =
46
o
,BDC = 40 o
. Calcula AB
—
.
Si conociésemos
—
ACy
—
BC,podríamos hallar
—
AB
con el teorema del coseno en ABC.
Calculemos, pues,
—
ACy
—
BC:
•En el triángulo ADC:
^
A= 180°– 65°– 46°= 69°
Por el teorema del seno:
= →
→
—
AC= = 291,24 m
300 · sen65°
sen69°
—
AC
sen65°
300
sen69°
1
3
2 31
3/2
l
2
2 · (3/4)l
2
l
2
2h
2
2h
2
– l
2
2h
2
h
2
+ h
2
– l
2
2h h
√3
2
3 4l
2
4
l
2
1,4
sen40°
1,4
l
Unidad 4. Resolución de triángulos
35
40°
40°
1,4 m
l
l
α
l
h
C
A
25°
40°
46°
32°
B
D
300 m
300 m
65° 46°
A
CD

147. •En el triángulo BCD:
^
B= 180°– 40°– 78°= 62°
Por el teorema del seno:
= →
→
—
BC= = 218,40 m
•Podemos centrarnos ya en el triángulo ABC, y aplicar el
teorema del coseno:
—
AB
2
= 291,24
2
+ 218,40
2
– 2 · 291,24 · 218,40 · cos32°=
= 24 636,019
—
AB= 156,96 m
39En un círculo de 15 cm de radio, halla el área comprendida entre una cuerda
de 20 cm de longitud y el diámetro paralelo a ella.
Podemos dividir la zona sombreada en tres, de forma
que:
I = III → sectores circulares de ángulo α desconocido.
II → triángulo isósceles de lados iguales 15 cm y de
lado desigual 20 cm.
•En II:
Calculemos la altura h desde C:
15
2
= h
2
+ 10
2
→ h = = 11,18 cm
Así: Área
II
= = = 111,8 cm
2
Calculemos el ángulo β (el ángulo desigual) aplicando el teorema del coseno:
20
2
= 15
2
+ 15
2
– 2 · 15 · 15 · cosβ
cosβ= = 0,
)
1 → β= 83°37' 14,3"
•En I:
Conocido βpodemos calcular αfácilmente:
α= = 48 °11' 22,9"
180°– β
2
15
2
+ 15
2
– 20
2
2 · 15 · 15
20 · 11,18
2
base × altura
2
√15
2
– 10
2
300 · sen40°
sen62°
—
BC
sen40°
300
sen62°
Unidad 4. Resolución de triángulos
36
300 m
40°
78°
B
CD
291,24 m
218,40 m
32°
B
C
A
20 cm
α α
β
15 cm
I
II
III
C

148. Y, con esto, el área:
Área
I
= · α= · α= 94,62 cm
2
•Por último, el área pedida será:
A
T
= Área
II
+ 2 · Área
I
= 111,8 + 2 · 94,62 → A
T
= 301,04 cm
2
40Para medir la altura de una montaña AB
—
nos
hemos situado en los puntos C y D distantes
entre sí 250 m, y hemos tomado las siguien-
tes medidas:
ACB= 60
o
BCD = 65
o
BDC = 80
o
Calcula la altura de la montaña.
Para poder calcular la altura
—
ABen el triángulo BACnecesitamos
—
BC, que lo
podemos obtener aplicando el teorema del seno en el triángulo BCD:
CBD= 180°– 80°– 65°= 35°
= →
—
BC= = 429,24
En BAC:
sen60°= →
—
AB=
—
BC sen60°= 429,24 · sen60°
—
AB= 371,73 m
41Calcula el ángulo que forma la tangente a las
circunferencias de la figura con la línea que
une sus centros. Los radios miden 4 y 9 cm, y
la distancia entre sus centros es de 16 cm.
En AMP→ senα =
4
—
AP
—
AB
—
BC
250 · sen80°
sen 35°
—
BC
sen80°
250
sen 35°
π· 15
2
360°
πr
2
360°
Unidad 4. Resolución de triángulos 37
t
9 cm
4 cm
A P
N
M
B
t α

149. En BNP→ senα =
4 (16 –
—
AP) = 9
—
AP→ 64 – 4
—
AP= 9
—
AP→ 64 = 13
—
AP→
—
AP=
Sustituyendo en la primera ecuación:
senα = = = 0,8125 → α = 54°20' 27,3"
PARA PENSAR UN POCO MÁS
42Las razones trigonométricas sen, cosy tgse amplían con estas otras:
secante: secα=
cosecante: cosecα=
cotangente: cotgα=
Demuestra mediante semejanza de triángulos que estas razones trigonométricas
se representan sobre la circunferencia goniométrica del siguiente modo:
secα=
OT
—, cosecα= OQ
—
, cotgα= PQ
—
•Como OCS~ ORT→ = ; además,
—
OR= 1 (radio)
Así: secα= = = = = =
—
OT
•Como OCS~ QPO→ = ; además,
—
OP= 1
Así: cosecα= = = = = =
—
QO
•Como ORT~ QPO→ = ; además,
—
OP= 1
Así: cotgα= = = = = =
—
PQ
43
En un triángulo cualquiera cada bisectriz interior divide al lado opuesto en dos
segmentos proporcionales a los otros dos lados. Es decir:
=
Demuestra esta igualdad y expresa las igualdades correspondientes a las otras
dos bisectrices, AA' y CC'.
BA
—
BC
—
B'A
—
B'C
—
—
PQ
1
—
PQ
—
OP
—
OR
—
TR
1
—
TR
1
tg α
—
PQ
—
OP
—
OR
—
TR
—
QO
1
—
QO
—
OP
—
OS
—
SC
1
—
SC
1
sen α
—
QO
—
OP
—
OS
—
SC
—
OT
1
—
OT
—
OR
—
OS
—
OC
1
—
OC
1
cosα
—
OT
—
OR
—
OS
—
OC
1
tgα
1
senα
1
cosα
52
64
4
64/13
64 13
9
16 –
—
AP
Unidad 4. Resolución de triángulos
38
1
P
O Cc R
ts
TS
Q
A
βα
B
B'
C
2
B
^
2 B
^

150. • En ABB'→ = → sen=
• En CBB'→ = → sen=
=
Como α + β = 180°→ senα = senβ
=
Las igualdades correspondientes a las otras dos bisectrices son:
= y =
44
Demuestra que en un triángulo de lados a, b, cel valor de
la mediana, m
a
, sobre el lado aes:
m
a
=
(Aplica el teorema del coseno en los triángulos
ABM
a
y ABCutilizando, en ambos casos, la ex-
presión en la que figura cos
B
^
).
En ABC → b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos
^
B
En ABM
a
→ m
a
2
= ()
2
+ c
2
– 2 c cos
^
B
Despejamos cos
^
Ben la primera ecuación y después sustituimos en la segunda:
cos
^
B=
m
a
2
= + c
2
– ac cos
^
B
m
a
2
= + c
2
– ac· = + c
2
– =
= =
= = (2 b
2
+ 2c
2
– a
2
)
Luego:
m
a
= (2b
2
+ 2c
2
– a
2
) → m
a
=
√2b
2
+ 2c
2
– a
21
2
1 4
1 4–a
2
+ 2c
2
+ 2b
2
4
a
2
+ 4c
2
– (2a
2
+ 2c
2
– 2b
2
)
4
a
2
+ c
2
– b
2
2
a
2
4
a
2
+ c
2
– b
2
2ac
a
2
4
a
2
4
a
2
+ c
2
– b
2
2ac
a
2
a
2
√2b
2
+ 2c
2
– a
21
2
—
C'B
—
CB
—
C'A
—
CA
—
A'C
—
AC
—
A'B
—
AB
—
B'C
—
BC
—
B'A
—
BA
—
B'C sen β
—
BC
—
B'A sen α
—
BA
—
B'C sen β
—
BC
^
B
2
—
BC
senβ
—
B'C
sen
^
B/2
—
B'A sen α
—
BA
^
B
2
—
BA
senα
—
B'A
sen
^
B/2
Unidad 4. Resolución de triángulos
39
B
c b
A
C
2
a
2 aM
a
m
a
√

151. Página 126
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
1.Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la
página siguiente, puedes resolverlas ahora:
a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?
b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?
c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de radianes?
d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270º?
a) 2π b) = 57° 17' 44,8"
c) · = 90° d) · 2 π= 3
Página 128
2.Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 30° b) 72° c) 90° d) 127° e) 200° f ) 300°
Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo:
30° = 30 · rad = rad ≈0,52 rad
a) · 30° = rad ≈0,52 rad
b) · 72° = rad ≈1,26 rad
c) · 90° = rad ≈1,57 rad
d) · 127° ≈2,22 rad
e) · 200° = rad ≈3,49 rad
f) · 300° = rad ≈5,24 rad
5π
3
2π
360°
10π
9
2π
360°
2π
360°
π
2
2π
360°
2π
5
2π
360°
π
6
2π
360°
π
6
π
180
π
2
270° 360°π
2
360°
2π
360°
2π
π
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
1
FUNCIONES Y FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
5

152. 3.Pasa a grados los siguientes ángulos:
a) 2 rad b) 0,83 rad c) rad d) rad e) 3,5 rad
a) · 2 = 114° 35' 29,6"
b) · 0,83 = 47° 33' 19,8"
c) · = 36°
d) · = 150°
e) · 3,5 = 200° 32' 6,8"
4.Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, cose-
noy tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo aparta-
do:
La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto.
Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera.
Página 133
1.Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:
cos(α + β) = cos α cos β– sen α sen β
cos(α– β) = cos(α+ (–β)) = cosαcos (–β) – senαsen(–β) =
= cosαcosβ– senα(–senβ) =
= cosαcosβ+ senαsenβ
2.Demuestra la fórmula II.3 a partir de la fórmula:
tg(α–β) =
tg(α– β) = tg(α+ (–β)) =
(*)
= =
=
(*) Como → tg(–α) = –tgα


sen(–α) = –senα
cos(–α) = cos α
tgα– tgβ
1 + tgαtgβ
tgα+ (–tg β)
1 – tgα(–tgβ)
tgα+ tg(–β)
1 – tgαtg(–β)
tgα+ tgβ
1 – tgαtgβ
360°
2π
5π
6
360°
2π
π
5
360°
2π
360°
2π
360°
2π
5π
6
π
5
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
2
GRADOS 0 30 60 90 135 150 210 225 270 330 360
RADIANES ππ πππ
7
4
5 34 32 3π
4

153. 3.Demuestra la fórmula II.3 a partir de las fórmulas:
sen(α– β) = sen α cos β– cos α– sen β
cos(α– β) = cos α cos β+ sen α– sen β
tg(α– β) = =
(*)
=
= =
(*) Dividimos numerador y denominador por cosαcosβ.
4.Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°.
Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,
utilizando las fórmulas (I) y (II).
•sen12° = 0,2
cos12° = = = 0,98
tg12° = = 0,2
•sen37° = 0,6
cos37° = = = 0,8
tg37° = = 0,75
• 49° = 12° + 37°, luego:
sen49° = sen(12° + 37°) = sen12°cos37° + cos12°sen37° =
= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748
cos49° = cos(12° + 37°) = cos12°cos37° – sen12°sen37° =
= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664
tg49° = tg(12° + 37°) = = = 1,12
(
Podría calcularse tg49° = )
.
• 25° = 37° – 12°, luego:
sen25° = sen(37° – 12°) = sen37°cos12° – cos37°sen12° =
= 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428
cos25° = cos(37° – 12°) = cos37°cos12° + sen37°sen12° =
= 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904
tg25° = tg(37° – 12°) = = = 0,478
0,75 – 0,2
1 + 0,75 · 0,2
tg37° – tg12°
1 + tg37°tg12°
sen49°
cos49°
0,2 + 0,75
1 – 0,2 · 0,75
tg12° + tg37°
1 – tg12°tg37°
0,6
0,8
√1 – 0,36√1 – sen
2
37°
0,2
0,98
√1 – 0,04√1 – sen
2
12°
tgα– tgβ
1 + tgαtgβ
senαcos βcos αsen β
—————— – ——————
cos αcos βcos αcos β
cos αcos βsen αsen β
—————— + ——————
cos αcos βcos αcos β
sen αcosβ– cosαsen β
cos αcos β+ sen αsen β
sen (α– β)
cos (α– β)
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
3

154. 5.Demuestra la siguiente igualdad:
=
= =
= = =
6.Demuestra las tres fórmulas (III.1), (III.2) y (III.3) haciendo α= βen las fór-
mulas (I).
sen2α= sen(α+ α) = senαcos α+ cos αsen α= 2 sen αcos α
cos2α= cos(α+ α) = cos αcos α– sen αsen α= cos
2
α– sen
2
α
tg2α= tg(α+ α) = =
7.Halla las razones trigonométricas de 60° a partir de las de 30°.
sen60° = sen(2 · 30°) = 2 sen30°cos30° = 2 · · =
cos60° = cos(2 · 30°) = cos
2
30° – sen
2
30° = ()
2
– ()
2
= – = =
tg60° = tg(2 · 30°) = = = = =
8.Halla las razones trigonométricas de 90° a partir de las de 45°.
sen90° = sen(2 · 45°) = 2 sen45°cos45° = 2 · · = 1
cos90° = cos(2 · 45°) = cos
2
45° – sen
2
45° = ()
2
– ()
2
= 0
tg90° = tg(2 · 45°) = = → No existe.
9.Demuestra que = .
= = =
Página 134
10.Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmu-
las IV.1, IV.2 y IV.3.
•cosα = cos
(
2 · )
= cos
2
– sen
2
α
2
α
2
α
2
1 – cos α
1 + cosα
2 sen α(1 – cos α)
2 sen α(1 + cosα)
2 sen α– 2 sen α cos α
2 sen α+ 2 sen α cos α
2 sen α– sen 2α
2 sen α+ sen 2α
1 – cos α
1 + cos α
2 sen α– sen 2α
2 sen α+ sen 2α
2 · 1
1 – 1
2 tg45°
1 – tg
2
45°
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√3
2 · √
—
3/3
2/3
2 · √
—
3/3
1 – 3/9
2 · √
—
3/3
1 –
(√
—
3/3)
2
2 tg30°
1 – tg
2
30°
1
2
2 41 43 41 2√3
2
√3
2
√3
2
1 2
2 tgα
1 – tg
2
α
tgα+ tg α
1 – tg αtg α
1
tg a
cos a
sen a
2 cos a cos b
2 sen a cos b
cos a cos b– sen a sen b+ cos a cos b+ sen a sen b
sen a cos b+ cos a sen b+ sen a cos b– cos a sen b
cos(a+ b) + cos(a– b)
sen(a+ b) + sen(a– b)
1
tg a
cos (a+ b) + cos (a– b)
sen (a+ b) + sen (a– b)
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
4

155. Como por la igualdad fundamental:
cos
2
+ sen
2
= 1 →1 = cos
2
+ sen
2
De aquí:
a) Sumando ambas igualdades:
1 + cosα= 2 cos
2
→cos
2
= →cos= ±
b) Restando las igualdades (2-ª – 1-ª):
1 – cosα= 2 sen
2
→sen
2
= →sen= ±
• Por último:
tg= = =
11.Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razones
trigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.
•cos78° = 0,2
sen78° = = = 0,98
tg78° = = 4,9
•sen39° = sen = = = 0,63
cos39° = cos = = = 0,77
tg39° = tg = = = 0,82
12.Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5.
•cos60° = 0,5
•sen30° = sen = = 0,5
cos30° = cos = = 0,866
tg30° = tg = = 0,577
√
1 – 0,5
1 + 0,5
60°
2
√
1 + 0,5
2
60°
2
√
1 – 0,5
2
60°
2
√
1 – 0,2
1 + 0,2√
1 – cos78°
1 + cos78°
78°
2
√
1 + 0,2
2√
1 + cos78°
2
78°
2
√
1 – 0,2
2√
1 – cos78°
2
78°
2
0,98
0,2
√1 – 0,2
2
√1 – cos
2
78°
√
1 – cos α
1 + cos α
±
√
1 – cos α
2
±
√
1 + cos α
2
senα/2
cosα/2
α
2
√
1 – cos α
2
α
2
1 – cos α
2
α
2
α
2
√
1 + cos α
2
α
2
1 + cos α
2
α
2
α
2
α
2
α
2
α
2
α
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
5

156. 13.Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0.
•cos90° = 0
•sen45° = sen = = =
cos45° = cos = =
tg45° = tg = = = 1
14.Demuestra que 2tg α· sen
2
+ sen α= tg α.
2 tgα· sen
2
+ senα= 2 tgα· + senα=
= (1 – cosα) + senα= senα
(
+ 1)
=
= senα
()
= senα· =
= = tgα
15.Demuestra que = tg
2.
= =
= = = tg
2
Página 135
16.Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos:
• Expresa en función de αy β:
cos (α+ β) = … cos (α– β) = …
• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones.
• Sustituye en las expresiones anteriores:
α+ β= A
α– β= B
• cos(α+ β) = cosαcosβ– senαsenβ
cos(α– β) = cosαcosβ+ senαsenβ
Sumando → cos(α+ β) + cos(α– β) = 2 cosαcosβ(1)
Restando → cos(α+ β) – cos(α– β) = –2 senαsenβ(2)
α
2
1 – cos α
1 + cos α
2 senα(1 – cos α)
2 sen α(1 + cos α)
2 senα– 2 senα cos α
2 sen α+ 2 senα cos α
2 senα– sen2α
2 sen α+ sen2α
α
2
2sen α– sen 2α
2sen α+ sen 2α
sen α
cos α
1
cos α
1 – cosα + cos α
cos α
1 – cos α
cos α
sen α
cos α
1 – cos α
2
α
2
α
2
√1
√
1 – 0
1 + 0
90°
2
√2
2√
1 + 0
2
90°
2
√2
2√
1
2√
1 – 0
2
90°
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
6

157. • Llamando → α= , β= (al resolver el sistema)
• Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:
(1) → cos A+ cos B= 2 cos cos
(2) → cos A– cos B= –2 sen sen
17.Transforma en producto y calcula:
a) sen 75° – sen 15° b) cos 75° + cos 15° c) cos 75° – cos 15°
a)sen75° – sen15° = 2 cos sen =
= 2 cos45°sen30° = 2 · · =
b)cos75° + cos15° = 2 cos cos =
= 2 cos45°cos30° = 2 · · =
c)cos75° – cos15° = –2 sen sen =
= –2 sen45°cos30° = –2 · · = –
18.Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta frac-
ción y simplifica el resultado:
= = = tg3a
Página 137
1.Resuelve estas ecuaciones:
a) 2cos
2
x+ cos x– 1 = 0 b) 2 sen
2
x– 1 = 0
c) tg
2
x– tg x= 0 d) 2 sen
2
x+ 3cos x= 3
a)cos x= = =
Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial).
1/2 → x
1
= 60°, x
2
= 300°
–1 → x
3
= 180°
–1 ± 3
4
–1 ±√1 + 8
4
2 sen3a
2 cos3a
4a+ 2a 4a– 2a
2 sen
——–—— cos—–———
22
4a+ 2a 4a– 2a
2 cos
——–—— cos—–———
22
sen4a+ sen2a
cos4a+ cos2a
sen 4a+ sen 2a
cos 4a+ cos 2a
√6
2
√3
2
√2
2
75° – 15°
2
75° + 15°
2
√6
2
√3
2
√2
2
75° – 15°
2
75° + 15°
2
√2
2
1 2√2
2
75° – 15°
2
75° + 15°
2
A– B
2
A+ B
2
A– B
2
A+ B
2
A– B
2
A+ B
2

α+ β= A
α– β= B
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
7

158. b) 2 sen
2
x– 1 = 0 → sen
2
x= → sen x= ± = ±
• Si sen x= → x
1
= 45°, x
2
= 135°
• Si sen x= – → x
3
= –45° = 315°, x
4
= 225°
Todas las soluciones son válidas.
c)tg
2
x– tg x= 0 → tg x(tg x– 1) = 0 →
→
tg x = 0 → x
1
= 0°, x
2
= 180°
tg x= 1 → x
3
= 45°, x
4
= 225°
Todas las soluciones son válidas.
d) 2 sen
2
x+ 3 cos x= 3
(*)
→2 (1 – cos
2
x) + 3 cos x= 3
(
*
)
Como sen
2
x+ cos
2
x= 1 → sen
2
x= 1 – cos
2
x
2 – 2 cos
2
x+ 3 cos x= 3 → 2 cos
2
x– 3 cos x+ 1 = 0
cos x= = =
Entonces: • Si cos x= 1 → x
1
= 0°
• Si cos x= → x
2
= 60°, x
3
= –60° = 300°
Las tres soluciones son válidas.
2.Resuelve:
a) 4cos2x+ 3cos x= 1 b) tg2x+ 2cos x= 0
c) cos(x/2) – cos x= 1 d) 2 sen x cos
2
x– 6sen
3
x= 0
a) 4 cos2x+ 3 cos x= 1 → 4 (cos
2
x– sen
2
x) + 3 cos x= 1 →
→ 4 (cos
2
x– (1 – cos
2
x)) + 3 cos x= 1 → 4 (2 cos
2
x– 1) + 3 cos x= 1 →
→ 8 cos
2
x– 4 + 3 cos x= 1 ⇒ 8 cos
2
x+ 3 cos x– 5 = 0 →
→ cos x= = =
• Si cos x= 0,625 → x
1
= 51° 19' 4,13", x
2
= –51° 19' 4,13"
• Si cos x= –1 → x
3
= 180°
Al comprobar las soluciones, las tres son válidas.
b)tg2x+ 2 cos x= 0 → + 2 cos x= 0 →
→ + cos x= 0 → + cos x= 0 →
sen x/cos x
1 – (sen
2
x/cos
2
x)
tg x
1 – tg
2
x
2 tg x
1 – tg
2
x
10/16 = 5/8 = 0,625
–1
–3 ± 13
16
–3 ±√9 + 160
16
√2
1 2
1
1/23 ± 1
4
3 ±√9 – 8
4
√2
2
√2
2
√2
2
1
√2
1 2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

159. → + cos x= 0 → sen x cos x+ cos x(cos
2
x– sen
2
x) = 0 →
→ cos x(sen x + cos
2
x– sen
2
x) = 0 → cos x(sen x+ 1 – sen
2
x– sen
2
x) →
→ cos x(1 + sen x– 2 sen
2
x) = 0 →
→
cos x= 0
1 + sen x– 2 sen
2
x= 0 → sen x= =
• Si cos x= 0 → x
1
= 90°, x
2
= 270°
• Si sen x= –→ x
3
= 210°, x
4
= 330° = –30°
• Si sen x= 1 → x
5
= 90° = x
1
Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas.
c)cos– cos x= 1 → – cos x= 1 →
→ – cos x= 1 → = 1 + cos x→
→ 1 + cos x= 1 + cos
2
x+ 2 cos x→ cos
2
x+ cos x= 0 → cos x(cos x+ 1) = 0
• Si cos x= 0 → x
1
= 90°, x
2
= 270°
• Si cos x= –1 → x
3
= 180°
Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son:
x
1
= 90° y x
3
= 180°
d) 2 sen x cos
2
x– 6 sen
3
x= 0 → 2 sen x(cos
2
x– 3 sen
2
x) = 0 →
→ 2 sen x(cos
2
x+ sen
2
x– 4 sen
2
x) = 0 → 2 sen x(1 – 4 sen
2
x) = 0
• Si sen x= 0 → x
1
= 0°, x
2
= 180°
• Si sen
2
x= → sen x= ±⇒ x
3
= 30°, x
4
= 150°, x
5
= 210°, x
6
= 330°
Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.
3.Transforma en producto sen3x– sen xy resuelve después la ecuación
sen3x–sen x= 0.
sen3x– sen x= 0 → 2 cos sen = 0 → 2 cos2x sen x= 0 →
→
• Si cos2x= 0 →
• Si sen x= 0 ⇒ x
5
= 0°, x
6
= 180°
Comprobamos que las seis soluciones son válidas.
2x= 90° → x
1
= 45°
2x= 270° → x
2
= 135°
2x= 90° + 360°→ x
3
= 225°
2x= 270° + 360°→ x
4
= 315°







cos2x= 0
sen x= 0



3x– x
2
3x+ x
2
1 21 4
√1 – cos x√1 + cos x
√
1 + cos x
2
√2
x
2
√2
1 2
–1/2
1–1 ±√1 + 8
–4
sen x cos x
cos
2
x– sen
2
x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
9




160. 4.Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen(π– x) = cos
(
– x)
+ cosπ
b) sen
(
– x)
+ sen x= 0
a)sen(π– x) = sen x
cos
(
– x)
= –sen xEntonces, la ecuación queda:
cosπ= –1
sen x= –sen x– 1 → 2 sen x= –1 → sen x=
Si sen x= → x
1
= rad, x
2
= rad
Al comprobar vemos:
x
1
= →sen(π– x) = sen (
π– )
= sen =
cos
(
– x)
= cos(
– )
= cos = cos=
Luego la solución es válida, pues:
sen(π– x) = = cos
(
– x)
+ cosπ= + (–1)
x
2
= →sen(π– x) = sen (
π– )
= sen()
= –
cos
(
– x)
= cos(
– )
= cos()
= cos()
=
Luego también es válida esta solución, pues:
sen(π– x) = = cos
(
– x)
+ cosπ= + (–1)
Por tanto, las dos soluciones son válidas: x
1
= rad y x
2
= rad
b)sen
(
– x)
= sen cos x– cos sen x= cos x– sen x
Luego la ecuación queda:
cos x– sen x+ sen x= 0 → cos x+ sen x= 0 →
cos x+ sen x= 0 → cos x= –sen x→ x
1
= rad, x
2
= rad
Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución.
7π
4
3π
4
√2
2
√2
2
√2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
π
4
π
4
π
4
11π
6
7π
6
1 23π
2
–1
2
1 2–π
3
–2π
6
11π
6
3π
2
3π
2
1 2–5π
6
11π
6
11π
6
1 23π
2
–1
2
1 2π
3
2π
6
7π
6
3π
2
3π
2
–1
2
–π
6
7π
6
7π
6
11π
6
7π
6
–1
2
–1
2
3π
2
√2
π
4
3π
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
10








161. 5.Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican:
a) tg x= – b) sen x= cos x
c) sen
2
x= 1 d) sen x= tg x
a)x= 120° + k· 360° o bien x= 300° + k· 360°
Las dos soluciones quedan recogidas en:
x= 120° + k· 180° = + kπrad = xcon k∈
Z
b)x= + kπrad con k∈ Z
c) Si sen x= 1 → x= + 2kπrad
Si sen x= –1 → x= + 2kπrad
d) En ese caso debe ocurrir que:
O bien sen x= 0 → x= kπrad
O bien cos x= 1 → x= 2kπrad
Página 142
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Grados y radianes
1Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) b) c) d) e)
☛
Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que πradianes = 180°.
a) 120° b) 240° c) 225° d) 210° e) 810°
2Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) 1,5 b) 3,2
c) 5 d) 2,75
a) · 1,5 = 85° 56' 37" b) · 3,2 = 183° 20' 47"
c) · 5 = 286° 28' 44" d) · 2,75 = 157° 33' 48"
360°
2π
360°
2π
360°
2π
360°
2π
9π
2
7π
6
5π
4
4π
3
2π
3
3π
2
π
2
π
4
2π
3
√3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 11







→ x= + kπrad con k∈ Z
π
2



→ x= kπrad con k∈ Z

162. 3Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados.
Exprésalos en función de π:
a) 40° b) 108° c) 135°
d) 240° e) 270° f) 126°
☛
Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14…
a)
=
a) · 40° = b) · 108° =
c) · 135° = d) · 240° =
e) · 270° = f) · 126° =
4Halla, sin utilizar la calculadora:
a) 5cos – cos0 + 2cosπ– cos + cos2π
b) 5tg π+ 3cos – 2tg 0 + sen – 2sen2π
a) 5 · 0 – 1 + 2 · (–1) – 0 + 1 = –2
b) 5 · 0 + 3 · 0 – 2 · 0 + (–1) – 2 · 0 = –1
5Prueba que:
a) 4sen + cos + cosπ= 2
b) 2sen + 4sen – 2sen = 3
a) 4 sen+ cos+ cosπ= 4 · + · + (–1) = 2 + 1 – 1 = 2
b) 2sen + 4 sen– 2 sen= 2 · + 4 · – 2 · 1 = 3 + 2 – 2 = 3
6Halla el valor de Asin utilizar la calculadora:
a) A= sen + sen + senπ
b) A= sen + sen – sen2π
c) A= cos π– cos 0 + cos – cos
3π
2
π
2
4π
3
2π
3
π
2
π
4
1 2√3
2
√3
π
2
π
6
2π
3
√3
√2
2
√2
1 2π
4
√2
π
6
π
2
π
6
2π
3
√3
π
4
√2
π
6
3π
2
π
2
3π
2
π
2
7π
10
2π
360°
3π
2
2π
360°
4π
3
2π
360°
3π
4
2π
360°
3π
5
2π
360°
2π
9
2π
360°
2π
9
40π
180
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
12

163. a) A= + 1 + 0 = + 1
b) A= +
(
–)
– 0 = 0
c) A= –1 – 1 + 0 – 0 = –2
7Expresa con un ángulo del primer cuadrante:
a) sen 1 215° b) cos (–100°) c) tg (–50°)
d) cos 930° e) tg 580° f ) sen (–280°)
a)
→ sen1 215° = sen135° = sen45°
b) 100° = 180° – 80°→ cos(–100°) = cos100° = –cos80°
c)tg(–50°) = = = – tg50°
d)cos930°
(*)
= cos210° = cos(180° + 30°) = –cos30°
(*)
930° = 2 · 360° + 210°
e)tg580°
(**)
= tg220° = tg(180° + 40°) = = = tg40°
(**)
580° = 360° + 220°
f)sen(–280°) = sen(–280° + 360°) = sen80°
8Busca, en cada caso, un ángulo comprendido entre 0º y 360°, cuyas razones
trigonométricas coincidan con el ángulo dado:
a) 3 720° b) 1 935° c) 2 040°
d) 3 150° e) –200° f) –820°
a) 3 720° = 10 · 360° + 120°→ 120°
b) 1 935° = 5 · 360° + 135°→ 135°
c) 2 040° = 5 · 360° + 240°→ 240°
d) 3 150° = 8 · 360° + 270°→ 270°
e) –200° + 360° = 160°→ 160°
f ) –820° + 3 · 360° = 260°→ 260°
9Halla, en radianes, el ángulo αtal que sen α= 0,72 y cosα< 0.
α ∈2-º cuadrante → α ≈0,8 rad


senα = 0,72 > 0
cosα < 0
–sen40°
–cos40°
sen(180° + 40°)
cos(180° + 40°)
–sen50°
cos50°
sen(–50°)
cos(–50°)


1 215° = 3 · 360° + 135°
135° = 180° – 45°
√3
2
√3
2
√2
2
√2
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
13

164. 10Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes
ángulos:
a) 2 rad b) 3,5 rad c) 5 rad
☛
Ten en cuenta que:
≈1,57; π≈3,14; ≈4,7; 2π≈6,28
a) 2-º cuadrante b) 3
er
cuadrante c) 4- º cuadrante
Fórmulas trigonométricas
11Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75° sabiendo que
75° = 30° + 45°.
sen75° = sen(30° + 45°) = sen30°cos45° + cos30°sen45° =
= · + · =
cos75° = cos(30° + 45°) = cos30°cos45° – sen30°sen45° =
= · – · =
tg75° = tg(30° + 45°) = = = =
= = = =
= = 2 +
NOTA: También podemos resolverlo como sigue:
tg75° = = = = =
= = 2 +
12Sabiendo que sen x= y que < x< π, calcula, sin hallar previamente
el valor de x:
a) sen 2x b) tg c) sen
(
x+ )
d) cos(
x– )
e) cos f) tg (
x+ )
☛Tienes que calcular cos x = – 1– ()
2
= –y tg x = –, y aplicar las fór-
mulas.
3
4
4 53 5
π
4
x
2
π
3
π
6
x
2
π
2
3 5
√3
8 + 4√
—
3
4
2 + 6 + 2√
—
12
4
(√
—
2 + √
—
6)
2
6 – 2
√
—
2 + √
—
6
√
—
6 – √
—
2
sen75°
cos75°
√3
12 + 6√
—
3
6
9 + 3 + 6√
—
3
6
(3 + √
—
3)
2
9 – 3
3 + √
—
3
3 –
√
—
3
(√
—
3 + 3)/3
(√
—
3 – 3)/3
√
—
3/3 + 1
1 –
√
—
3/3
tg30° + tg45°
1 – tg30°tg45°
√
—
6 – √
—
2
4
√2
2
1 2√2
2
√3
2
√
—
2 + √
—
6
4
√2
2
√3
2
√2
2
1 2
3π
2
π
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
14
√

165. cos x= – = – 1 – = – (Negativo, por ser del 2- º cuadrante).
tg x= = –
a)sen2x= 2 sen x cos x= 2 · ·
(
–)
= –
b)tg= = = = 3
Signo positivo, pues si x∈2-º cuadrante, entonces ∈1
er
cuadrante.
c)sen
(
x+ )
= sen x cos+ cos x sen=
= · +
(
–)
· =
d)cos
(
x– )
= cos x cos+ sen x sen=
=
(
–)
· + · =
e)cos
(*)
= = = = =
(*)
Signo positivo, porque ∈1
er
cuadrante.
f)tg
(
x+ )
= = = =
13Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15° de dos formas, conside-
rando:
a) 15° = 45° – 30° b) 15° =
a)sen15° = sen(45° – 30°) = sen45°cos30° – cos45°sen30° =
= · – · = = 0,258819
cos15° = cos(45° – 30°) = cos45°cos30° + sen45°sen30° =
= · + · = = 0,965926
tg15° = = = =
= = 2 – = 0,267949
√3
8 – 4√
—
3
4
6 + 2 – 2√
—
12
6 – 2
√
—
6 – √
—
2
√
—
6 + √
—
2
sen15°
cos15°
√
—
6 + √
—
2
4
1 2√2
2
√3
2
√2
2
√
—
6 – √
—
2
4
1 2√2
2
√3
2
√2
2
30°
2
1 71 – 3/4
1 + 3/4
–3/4 + 1
1 – (–3/4) · 1
tg x+ tgπ/4
1 – tg x tgπ/4
π
4
x
2
√10
10√
1
10√
1/5
2√
1 – 4/5
2√
1 + cos x
2
x
2
3√
—
3– 4
10
√3
2
3 51 24 5
π
3
π
3
π
3
3√
—
3– 4
10
1
2
4 5√3
2
3 5
π
6
π
6
π
6
x
2
√
9/5
1/5√
1 – (–4/5)
1 + (–4/5)√
1 – cos x
1 + cos x
x
2
24 254 53 5
3 4sen x
cos x
4 59
25
√1 – sen
2
x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 15
√

166. b)sen15° = sen = = = =
= = 0,258819
cos15° = cos = = = = 0,9659258
tg15° = = = 0,2679491
14Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2cos
2
x– sen
2
x+ 1 = 0
b) sen
2
x– sen x= 0
☛
Saca factor común e iguala a cero cada factor.
c) 2cos
2
x– cos x= 0
d) sen
2
x– cos
2
x= 1
e) cos
2
x– sen
2
x= 0
f) 2cos
2
x+ sen x= 1
g) 3tg
2
x– tg x= 0
a) 2 cos
2
x– sen
2
x+ 1 = 0
cos
2
x
cos
2
x= 0 → cos x= 0 →
Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego:
x
1
= 90° + k· 360° = + 2kπ
x
2
= 270° + k· 360° = + 2kπ
Lo que podemos expresar como:
x= 90° + k· 180° = + kπcon k∈
Z
b)sen x(sen x– 1) = 0 →
→
sen x= 0 → x
1
= 0°, x
2
= 180°
sen x= 1 → x
3
= 90°
Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego:
π
2
3π
2
π
2
x
1
= 90°
x
2
= 270°



√3
√3
0,258819
0,9659258
√2 – √
—
3
√2 + √
—
3
√
2 + √
—
3
4√
1 + √
—
3/2
2√
1 + cos30°
2
30°
2
√2 – √
—
3
2
√
2 – √
—
3
4√
1 – √
—
3/2
2√
1 – cos30°
2
30°
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
16









→ 2 cos
2
x– cos
2
x= 0







con k∈ Z

167. x
1
= k· 360° = 2kπ
x
2
= 180° + k· 360° = π+ 2kπ
x
3
= 90° + k· 360° = + 2kπ
O, de otra forma:
x
1
= kπ= k· 180°
x
3
= + 2kπ= 90° + k· 360°
(x
1
así incluye las soluciones x
1
y x
2
anteriores)
c)cos x
(2 cos x– )= 0 →
→
cos x= 0 → x
1
= 90°, x
2
= 270°
cos x= → x
3
= 30°, x
4
= 330°
Las cuatro soluciones son válidas. Luego:
x
1
= 90° + k· 360° = + 2kπ
x
2
= 270° + k· 360° = + 2kπ
x
3
= 30° + k· 360° = + 2kπ
x
4
= 330° + k· 360° = + 2kπ
NOTA: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como una
sola de la siguiente forma:
x= 90° + k· 180° = + kπ
d) (1 – cos
2
x) – cos
2
x= 1 → 1 – 2 cos
2
x= 1 → cos
2
x= 0 →
→ cos x= 0 →
Las dos soluciones son válidas. Luego:
x
1
= 90° + k· 360° = + 2kπ
x
2
= 270° + k· 360° = + 2kπ
O, lo que es lo mismo:
x= 90° + k· 180° = + kπcon k∈
Z
π
2
3π
2
π
2
x
1
= 90°
x
2
= 270°



π
2
11π
6
π
6
3π
2
π
2
√3
2
√3
π
2
π
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
17







con k∈ Z





con k∈ Z















con k∈ Z







con k∈ Z






168. e) (1 – sen
2
x) – sen
2
x= 0 → 1 – 2 sen
2
x= 0 →
→ sen
2
x= → sen x= ±
• Si sen x= → x
1
= 45°, x
2
= 135°
• Si sen x= – → x
3
= 225°, x
4
= 315°
Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego:
x
1
= 45° + k· 360° = + 2kπ
x
2
= 135° + k· 360° = + 2kπ
x
3
= 225° + k· 360° = + 2kπ
x
4
= 315° + k· 360° = + 2kπ
O, lo que es lo mismo:
x= 45° + k· 90° = + k· con k∈
Z
f ) 2 (1 – sen
2
x) + sen x= 1 → 2 – 2 sen
2
x+ sen x= 1 →
→ 2 sen
2
x– sen x– 1 = 0 →
→ sen x= = =
Las tres soluciones son válidas, es decir:
x
1
= 90° + k· 360° = + 2kπ
x
2
= 210° + k· 360° = + 2kπ
x
3
= 330° + k· 360° = + 2kπ
g)tg x
(3 tg x– )= 0 →
→
tg x= 0 → x
1
= 0°, x
2
= 180°
tgx x= → x
3
= 30°, x
4
= 210°
Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que las
cuatro son válidas.
√3
3
√3
11π
6
7π
6
π
2
1 → x
1
= 90°
–1/2 → x
2
= 210°, x
3
= 330°
1 ± 3
4
1 ±√1 + 8
4
π
2
π
4
7π
4
5π
4
3π
4
π
4
√2
2
√2
2
√2
2
1 2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 18















con k∈ Z











con k∈ Z






169. Entonces:
x
1
= k· 360° = 2kπ
x
2
= 180° + k· 360° = π+ 2kπ
x
3
= 30° + k· 360° = + 2kπ
x
4
= 210° + k· 360° = + 2kπ
Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro an-
teriores:
x
1
= k· 180° = kπ
x
2
= 30° + k· 180° = + kπcon k∈ Z
Página 143
15Halla el valor exacto de estas expresiones:
a) sen + cos – sen
b) cos + tg– tg
c) cos+ sen– cos– 2sen
a) – +
(
–)
– (
–)
= –
b) + – = =
c) · + – · – 2 · = + – 1 – 3 = –2
16Sabiendo que sen x= y que xes un ángulo del primer cuadrante,
calcula:
a) sen2x b) tg c) cos(30° – x)
sen x= cos x, tg x> 0
x∈1
er
cuadrante
→
∈1
er
cuadrante →
sen x/2 > 0
cos x/2 > 0
tg x/2 > 0





x
2
2 3
x
2
2 3
1 23 2√3
2
√3
√2
2
√2
1 2√3
2
√3
3 + 4√
—
3
6
3 + 6√
—
3 – 2√
—
3
6
√3
3
√3
1 2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
π
3
√3
π
4
√2
π
6
π
6
√3
7π
6
4π
3
5π
3
7π
4
3π
4
5π
4
π
6
7π
6
π
6
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
19











con k∈ Z








 









170. • cos x= = 1 – =
• tg x= =
a)sen2x= 2 sen x cos x= 2 · · =
b)tg= = = =
= = =
c)cos(30° – x)= cos30°cos x+ sen30°sen x= · + · =
= + =
17Si tg α= – 4/3 y 90° < α< 180°, calcula:
a) sen
(
– α)
b) cos(
180° – )
c) tg(900° + α)
90° < α < 180°→
Además, ∈1
er
cuadrante
• tgα = –
• = tg
2
α + 1 = + 1 = →cos
2
α = →cosα = –
• senα = = 1 – = =
a)sen
(
– α)
= sen cosα – cos senα = 1 · (
–)
– 0 · = –
b)cos
(
180° – )
= cos180°cos+ sen180°sen= –cos=
= – = – = – =
= – = – = –
c)tg(900° + α)= tg(2 · 360° + 180° + α) = tg(180° + α) =
= = = –
4
3
0 + (–4/3)
1 – 0 · (–4/3)
tg180° + tgα
1 – tg180°tg α
√5
5√
1
5√
2
10
√
5 – 3
10√
1 + (–3/5)
2√
1 + cosα
2
α
2
α
2
α
2
α
2
3 54 53 5π
2
π
2
π
2
4 5
√
16
25
9
25
√1 – cos
2
α
3
5
9
25
25
9
16
9
1
cos
2
α
4
3
α
2
sen α> 0
cos α< 0



α
2
π
2
3√15 + 5
15
1 3√15
5
2 31 22√5
5
√3
2
√9 – 4√

5√
45 – 20√
—
5
5√
25 + 4 · 5 – 20√
—
5
25 – 4 · 5
√
5 – 2√
—
5
5 + 2√
—
5√
1 – 2√
—
5/5
1 + 2√
—
5/5√
1 – cos x
1 + cos x
x
2
4√5
9
√5
3
2
3
2√5
5
2/3
√5/3
√5
3
4 9
√1 – sen
2
x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 20
√

171. 18Sabemos que cos x= –y sen x< 0. Sin hallar el valor de x, calcula:
a) sen x b) cos(π+ x) c) cos2x
d) tg e) sen
(
– x)
f) cos(
π– )
→ x∈3
er
cuadrante ⇒ ∈2-º cuadrante
a)sen x= – = – 1 – = – = –
b)cos(π+ x) = cosπcos x– senπsen x= –cos x=
c)cos2x= cos
2
x– sen
2
x= – = =
d)tg= – = – = =
e)sen
(
– x)
= sen cos x– cos sen x= cos x= –
f)cos
(
π– )
= cosπcos+ senπsen= –cos=
= –
(
– )
= = =
19Si cos78° = 0,2 y sen37° = 0,6, calcula sen41°, cos41° y tg41°.
41° = 78° – 37°
•sen78° = = = 0,98
•cos37° = = = 0,8
Ahora ya podemos calcular:
•sen41° = sen(78° – 37°) = sen78°cos37° – cos78°sen37° =
= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664
•cos41° = cos(78° – 37°) = cos78°cos37° + sen78°sen37° =
= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748
•tg41° = = = 0,8877
0,664
0,748
sen41°
cos41°
√1 – 0,6
2
√1 – sen
2
37°
√1 – 0,2
2
√1 – cos
2
78°
√8
8√
1
8√
1 – 3/4
2√
1 + cos x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
3 4π
2
π
2
π
2
√7
√
7
1√
1 + 3/4
1 – 3/4√
1 – cos x
1 + cos x
x
2
1 82
16
7
16
9
16
3 4
√7
4√
7
16
9
16
√1 – cos
2
x
x
2

cos x= –3/4
sen x< 0
x
2
π
2
x
2
3 4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 21
√

172. 20Si tg(α+ β) = 4 y tgα= –2 , halla tg2β.
tg(α+ β) = → 4 = →
→ 4 + 8 tgβ= –2 + tgβ→7 tgβ= –6 →tgβ= –
Luego:
tg2β= = = = = –
PARA RESOLVER
21En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ángu-
lo central en grados y en radianes.
☛
Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporción entre las longitu-
des de los arcos y la medida de los ángulos.
Como la circunferencia completa (α= 100,53 cm) son
2πrad, entonces:
= →α= = 1,25 rad
α= · 1,25 = 71° 37' 11"
22Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y 2πtal que sus razones
trigonométricas coincidan con las de .
0 < α< 2π
= → = 2π+ ⇒ α =
23Demuestra que = .
☛
Aplica las fórmulas de sen (α+ β) y sen (α– β). Divide tanto el numerador co-
mo el denominador entre cos αcos βy simplifica.
=
(*)
=
= =
(*)
Dividimos numerador y denominador entre cosαcosβ.
tgα+ tgβ
tgα– tgβ
senα cos βcosα sen β
——––––—— + —–—–––——
cos α cos βcos α cos β
senα cos βcosα sen β
——––––—— – —–—–––——
cos α cos βcos α cos β
senαcos β+ cos αsen β
senαcos β– cos αsen β
sen(α+ β)
sen (α– β)
tgα + tgβ
tgα – tgβ
sen(α + β)
sen(α – β)
3π
4
3π
4
11π
4
8π+ 3π
4
11π
4
11π
4
360°
2π
20 · 2π
100,53
2π
α
100,53
20
84 13–12 · 49
7 · 13
–12/7 13/492 · (–6/7)
1 – 36/49
2 tgβ
1 – tg
2
β
6
7
–2 + tgβ
1 + 2tg β
tgα+ tgβ
1 – tg αtg β
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
22
16 cm
2
0
c
m
α

173. 24Prueba que 2tg x cos
2
– sen x= tg x.
☛
Sustituye cos
2
= .
Como cos= ± →cos
2
=
Y sustituyendo en la expresión:
2 tg x cos
2
– sen x= 2 · – sen x=
=
(*)
=
= = = tg x
(*)
Sacando factor común.
25Demuestra que cos
(
x+ )
– cos(
x+ )
= cos x.
☛
Desarrolla y sustituye las razones de y .
cos(
x+ )
– cos(
x+ )
=
=
[
cos x cos– sen x sen ]
– [
cos x cos– sen x sen ]
=
=
[
(cos x) – (sen x) ]
– [
(cos x) (
–)
– (sen x) ]
=
= cos x– sen x+ cos x+ sen x= cos x
26Demuestra que cosαcos(α– β) + senαsen(α– β) = cosβ.
☛
Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común.
cosα cos(α– β) + sen αsen(α– β) =
= cos α(cos αcos β+ sen αsen β) + sen α(sen αcos β– cos αsen β) =
= cos
2
αcos β+ cos αsen αsen β+ sen
2
αcos β– sen αcos αsen β=
= cos
2
αcos β+ sen
2
αcos β
(*)
= cos β(cos
2
α+ sen
2
α) = cos β· 1 = cos β
(*)
Extraemos factor común.
27Prueba que = tg
2
.
= = =
= = tg
2
α
2
1 – cos α
1 + cos α
2 senα(1 – cos α)
2 sen α(1 + cos α)
2 senα– 2 sen α cos α
2 sen α+ 2 sen α cos α
2 senα– sen 2α
2 sen α+ sen 2α
α
2
2senα – sen2α
2senα + sen2α
√3
2
1 2√3
2
1 2
√3
2
1 2√3
2
1 2
2π
3
2π
3
π
3
π
3
2π
3
π
3
2π
3
π
3
2π
3
π
3
sen x
cos x
sen x[1 + cos x– cos x]
cos x
sen x (1 + cos x) – sen x cos x
cos x
1 + cos x
2
sen x
cos x
x
2
1 + cos x
2
x
2√
1 + cos x
2
x
2
1 + cos x
2
x
2
x
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
23

174. 28Simplifica:
☛
Al desarrollar el numerador obtendrás una diferencia de cuadrados.
=
= =
= =
= = =
= = 1
29Demuestra: =
=
(*)
=
= =
30Simplifica la expresión y calcula su valor para α= 90°.
= =
Por tanto, si α = 90°⇒ = = = 0
31Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen
(
+ x)
– sen x= 0
b) sen
(
– x)
+ cos(
– x)
=
c) sen2x– 2cos
2
x= 0
☛
Desarrolla sen 2x y saca factor común.
d) cos2x– 3sen x+ 1 = 0
☛
Desarrolla cos 2x y sustituye cos
2
x = 1 – sen
2
x
1
2
π
3
π
6
√2
π
4
2 · 0
1
2 cos α
sen α
sen2α
1 – cos
2
α
2 cos α
sen α
2 senα cos α
sen
2
α
sen2α
1 – cos
2
α
sen2α
1 – cos
2
α
1 + tg αtgβ
1 – tg αtgβ
cos α cos βsen α sen β
——––––—— + —–—–––——
cos α cos βcos α cos β
cos α cos β sen α sen β
——––––—— – —–—–––——
cos α cos βcos α cos β
cos αcosβ+ sen αsen β
cos αcosβ– sen αsen β
cos (α– β)
cos (α+ β)
1 + tgα tgβ
1 – tgα tgβ
cos(α – β)
cos(α + β)
cos
2
α– sen
2
α
cos
2
α– sen
2
α
2 · 1/2 cos
2
α– 2 · 1/2 sen
2
α
cos
2
α– sen
2
α
2 · [(√
—
2/2)
2
cos
2
α– (√
—
2/2)
2
sen
2
α]
cos
2
α– sen
2
α
2 (cos
2
45°cos
2
α– sen
2
45°sen
2
α)
cos
2
α– sen
2
α
2 (cos45°cos α– sen45°sen α) (cos45°cos α+ sen45°sen α)
cos
2
α– sen
2
α
2 cos(45°+ α) cos(45°– α)
cos 2α
2cos(45° + α) cos(45° – α)
cos2α
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
24
(*)
Dividimos numerador y
denominador entre:
cos αcos β

175. a)sen cos x+ cos sen x– sen x= 0
cos x+ sen x– sen x= 0
cos x– sen x= 0 → cos x– sen x = 0 →
→cos x= sen x → x
1
= , x
2
=
Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego:
x
1
= + 2k π= 45°+ k· 360°
x
2
= + 2kπ= 225°+ k· 360°
Podemos agrupar las dos soluciones en:
x= + kπ= 45°+ k· 180°con k∈
Z
b)sen cos x– cos sen x+ cos cox x+ sen sen x=
cos x– sen x+ cos x+ sen x=
cos x+ cos x= → cos x=
Comprobamos y vemos que:
x
1
→ sen(
– )
+ cos(
– )
= sen(
–)
+ cos0 = + 1 =
x
2
→ sen(
– )
+ cos(
– )
= sen(
–)
+ cos(
–)
= 1 – =
Son válidas las dos soluciones. Luego:
x
1
= + 2kπ= 60°+ k· 360°
x
2
= + 2kπ= 300°+ k· 360°
c) 2 sen x cos x– 2 cos
2
x= 0 → 2 cos x(sen x– cos x) = 0 →
→
Comprobamos las soluciones. Todas son válidas:
x
1
= 90°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 270°+ k· 360°= + 2kπ
3π
2
π
2
cos x= 0 → x
1
= 90°, x
2
= 270°
sen x= cos x→ x
3
= 45°, x
4
= 225°



5π
3
π
3
1 21 24π
3
3π
3
5π
3
π
3
5π
3
π
6
1 2–1
2
π
6
π
3
π
3
π
3
π
6
x
1
= π/3
x
2
= 5π/3
1
2
1 21 21 2
1 2√3
2
1 2√3
2
1 2
1 2π
3
π
3
π
6
π
6
π
4
5π
4
π
4
5π
4
π
4
√2
2
√2
2
√2
√2
2
√2
2
√2
π
4
π
4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
25







con k∈ Z







con k∈ Z

176. x
3
= 45°+ k· 360°= + 2kπ
x
4
= 225°+ k· 360°= + 2kπ
También podríamos expresar como:
x
1
= 90°+ k· 180°= + kπ
x
2
= 45°+ k· 180°= + kπ
d)cos
2
x– sen
2
x– 3 sen x+ 1 = 0 → 1 – sen
2
x– sen
2
x– 3 sen x + 1 = 0 →
→ 1 – 2 sen
2
x– 3 sen x+ 1 = 0 → 2 sen
2
x+ 3 sen x– 2 = 0 →
→ sen x= = =
Comprobamos que las dos soluciones son válidas.
Luego:
x
1
= 30°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 150°+ k· 360°= + 2kπ
Página 144
32Resuelve estas ecuaciones:
a) 4 sen
2
x cos
2
x+ 2cos
2
x– 2 = 0
☛
Al hacer sen
2
x = 1 – cos
2
x, resulta una ecuación bicuadrada.
Haz cos
2
x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes.
b) 4sen
2
x+ sen x cos x– 3cos
2
x= 0
☛
Divide por cos
2
x y obtendrás una ecuación con tg x.
c) cos
2
+ cos x– = 0
d) tg
2
+ 1 = cos x
e) 2sen
2
+ cos 2x= 0
a) 4 (1 – cos
2
x) cos
2
x+ 2 cos
2
x– 2 = 0
4 cos
2
x– 4 cos
4
x + 2 cos
2
x– 2 = 0
4 cos
4
x– 6 cos
2
x+ 2 = 0 → 2 cos
4
x – 3 cos
2
x+ 1 = 0
x
2
x
2
1 2x
2
5π
6
π
6
1/2 → x
1
= 30°, x
2
= 150°
–2 → ¡Imposible¡, pues sen x≤1
–3 ± 5
4
–3 ±√9 + 16
4
π
4
π
2
5π
4
π
4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
26







con k∈ Z







con k∈ Z

177. Sea cos
2
x= z→ cos
4
x= z
2
Así:
2z
2
– 3z+ 1 = 0 → z= =
z
1
= 1 → cos x= ±1
z
2
= → cos x= ±
Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto:
x
1
= k· 360°= 2kπ
x
2
= 180°+ k· 360°= π+ 2kπ
x
3
= 45°+ k· 360°= + 2kπ
x
4
= 315°+ k· 360°= + 2kπ
x
5
= 135°+ k· 360°= + 2kπ
x
6
= 225°+ k· 360°= + 2kπ
O, agrupando las soluciones:
x
1
= k· 180°= kπ
x
2
= 45°+ k· 90°= + k
b) Dividiendo por cos
2
x:
+ – = 0 →
→ 4 tg
2
x+ tg x– 3 = 0 →
→ tg x= = =
–1 ± 7
8
–1 ±√1 + 48
8
3 cos
2
x
cos
2
x
sen x cos x
cos
2
x
4 sen
2
x
cos
2
x
π
2
π
4
7π
4
3π
4
5π
4
π
4
x
3
= 45°, x
4
= 315°
x
5
= 135°, x
6
= 225°
√2
2
1 2
x
1
= 0°
x
2
= 180°
3 ± 1
4
3 ±√9 – 8
4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
27























con k∈ Z





con k∈ Z
→
–1 →
x
3
= 135°
x
4
= 315°



x
1
= 36°52' 11,6"
x
2
= 216°52' 11,6"



3
4










178. Las cuatro soluciones son válidas:
x
1
= 36°52' 11,6" + k· 360°≈+ 2kπ
x
2
= 216°52' 11,6" + k· 360°≈ + 2kπ
x
3
= 135°+ k· 360°= + 2kπ
x
4
= 315°+ k· 360°= + 2kπ
O, lo que es lo mismo:
x
1
= 36°52' 11,6" + k· 180°≈+ kπ
x
2
= 135°+ k· 180°= + kπ
c) + cos x– = 0 → 1 + cos x+ 2 cos x– 1 = 0 →
→ 3 cos x= 0 → cos x= 0 → x
1
= 90°, x
2
= 270°
Las dos soluciones son válidas. Luego:
x
1
= 90°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 270°+ k· 360°= + 2kπ
Agrupando las soluciones:
x= 90°+ k· 180°= + kπcon k∈
Z
d) + 1 = cos x → 1 – cos x+ 1 + cos x= cos x+ cos
2
x→
→ 2 = cos x+ cos
2
x→ cos
2
x+ cos x– 2 = 0 →
→ cos x= =
Luego:
x= k· 360°= 2kπcon k∈
Z
e) 2 · + cos
2
x– sen
2
x= 0 →
→ 1 – cos x+ cos
2
x– (1 – cos
2
x) = 0 → 1 – cos x+ cos
2
x– 1 + cos
2
x= 0 →
→ 2 cos
2
x– cos x= 0 → cos x(2 cos x– 1) = 0 →
→
cos x= 0 → x
1
= 90°, x
2
= 270°
cos x= 1/2 → x
3
= 60°, x
4
= 300°



1 – cos x
2
1 → x= 0°
–2 → ¡Imposible!, pues cos x≤1
–1 ± 3
2
–1 ±√1 + 8
2
1 – cos x
1 + cos x
π
2
3π
2
π
2
1 21 + cos x
2
3π
4
π
5
7π
5
3π
5
6π
5
π
5
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
28















con k∈ Z







con k∈ Z







con k∈ Z

179. Se comprueba que son válidas todas. Por tanto:
x
1
= 90°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 270°+ k· 360°= + 2kπ
x
3
= 60°+ k· 360°= + 2kπ
x
4
= 300°+ k· 360°= + 2kπ
Agrupando las soluciones quedaría:
x
1
= 90°+ k· 180°= + kπ
x
2
= 60°+ k· 360°= + 2kπ
x
3
= 300°+ k· 360°= + 2kπ
33Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) cos 2x+ 3sen x= 2
b) tg 2x· tg x= 1
c) cos x cos 2x+ 2cos
2
x= 0
d) 2sen x= tg 2x
e) sen + cos x– 1 = 0
f) sen 2x cos x= 6sen
3
x
g) tg
(
– x)
+ tg x= 1
a)cos
2
x– sen
2
x+ 3 sen x= 2 → 1 – sen
2
x– sen
2
x+ 3 sen x= 2 →
→ 2 sen
2
x– 3 sen x+ 1 = 0 →
→ sen x= =
Las tres soluciones son válidas:
x
1
= 90°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 30°+ k· 360°= + 2kπ
x
3
= 150°+ k· 360°= + 2kπ
5π
6
π
6
π
2
1 → x
1
= 90°
1/2 → x
1
= 30°, x
2
= 150°
3 ± 1
4
3 ±√9 – 8
4
π
4
x
2
√3
5π
3
π
3
π
2
5π
3
π
3
3π
2
π
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
29















con k∈ Z











con k∈ Z











con k∈ Z

180. b) · tg x= 1 → 2 tg
2
x= 1 – tg
2
x→ tg
2
x= →
→ tg x= ± →
Las cuatro soluciones son válidas:
x
1
= 30°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 210°+ k· 360°= + 2kπ
x
3
= 150°+ k· 360°= + 2kπ
x
4
= 330°+ k· 360°= + 2 kπ
Agrupando:
x
1
= 30°+ k· 180°= + kπ
x
2
= 150°+ k· 180°= + kπ
c)cos x(cos
2
x– sen
2
x) + 2 cos
2
x= 0 →
→ cos x(cos
2
x– 1 + cos
2
x) + 2 cos
2
x= 0 →
→ 2 cos
3
x– cos x + 2 cos
2
x = 0 → cos x(2 cos
2
x + 2 cos x – 1) = 0 →
→ cos x= 0 → x
1
= 90°, x
2
= 270°
cos x= = =
= ≈
Las soluciones son todas válidas:
x
1
= 90°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 270°+ k· 360°= + 2kπ
x
3
= 68°31' 51,1" + k· 360°≈0,38π+ 2kπ
x
4
= 291°28' 8,9" + k· 360°≈1,62π+ 2kπ
3π
2
π
2
–1,366 → ¡Imposible!, pues cos x≤–1
0,366 → x
3
= 68°31' 51,1", x
4
= 291°28' 8,9"
–1 ±√
—
3
2
–2 ± 2√
—
3
4
–2 ±√4 + 8
4
5π
6
π
6
11π
6
5π
6
7π
6
π
6
x
1
= 30°, x
2
= 210°
x
3
= 150°, x
4
= 330°



√3
3
1 32 tg x
1 – tg
2
x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
30















con k∈ Z







con k∈ Z













con k∈ Z

181. Agrupadas, serían:
x
1
= 90°+ k· 180°= + kπ
x
2
= 68°31' 51,1" + k· 360°≈0,38π+ 2kπ
x
3
= 291°28' 8,9" + k· 360°≈1,62π+ 2kπ
d) 2 sen x= → 2 sen x– 2 sen x tg
2
x= 2 tg x→
→ sen x – sen x = →
→ sen x cos
2
x– sen x sen
2
x= sen x cos x→
→ sen x(cos
2
x– sen
2
x– cos x) = 0 →
→ sen x(cos
2
x– 1 + cos
2
x – cos x) = 0 →
→
sen x= 0 → x
1
= 0°, x
2
= 180°
2 cos
2
x– cos x – 1 = 0°→ cos x= =
=
Las cuatro soluciones son válidas. Luego:
x
1
= k· 360°= 2kπ
x
2
= 180°+ k· 360°= π+ 2kπ
x
4
= 240°+ k· 360°= + 2kπ
x
5
= 120°+ k· 360°= + 2kπ
Que, agrupando soluciones, quedaría:
x
1
= k· 180°= kπ
x
2
= 120°+ k· 360°= + 2kπ
x
3
= 240°+ k· 360°= + 2kπ
e) + cos x– 1 = 0 → = (1 – cos x)
2
→
→ 3 – 3 cos x = 2 (1 + cos
2
x– 2 cos x) → 2 cos
2
x – cos x– 1 = 0 →
→ cos x= = =
1 → x
1
= 0°
–1/2 → x
2
= 120°, x
3
= 240°
1 ± 3
4
1 ±√1 + 8
4
3 – 3 cos x
2√
1 – cos x
2
√3
4π
3
2π
3
2π
3
4π
3
1 → x
3
= 0°= x
1
–1/2 → x
4
= 240°, x
5
= 120°
1 ±√1 + 8
4
sen x
cos x
sen
2
x
cos
2
x
2 tg x
1 – tg
2
x
π
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
31







con k∈ Z













con k∈ Z














con k∈ Z

182. Al comprobar vemos que las tres soluciones son válidas:
x
1
= k· 360°= 2kπ
x
2
= 120°+ k· 360°= + 2kπ
x
3
= 240°+ k· 360°= + 2kπ
f) 2 sen x cos x cos x= 6 sen
3
x→ 2 sen cos
2
x= 6 sen
3
x→
→ 2 sen x(1 – sen
2
x) = 6 sen
3
x→ 2 sen x– 2 sen
3
x= 6 sen
3
x→
→ sen x= 0 → x
1
= 0°, x
2
= 180°
sen
2
x= → sen x= ±→
Comprobamos que todas las soluciones son válidas.
Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro:
x
1
= k· 180°= kπ
x
2
= 30°+ k· 90°= + k·
g) + tg x= 1 → + tg x= 1 →
→ 1 + tg x+ tg x– tg
2
x= 1 – tg x→ tg
2
x– 3 tg x= 0 →
→ tg x(tg x– 3) = 0 →
→
Las cuatro soluciones son válidas:
x
1
= k· 360°= 2kπ
x
2
= 180°+ k· 360°= π+ 2kπ
x
3
= 71°33' 54,2" + k· 360°≈ + 2kπ
x
4
= 251°33' 54,2" + k· 360°≈ + 2kπ
O, lo que es lo mismo:
x
1
= k· 180°= kπ
x
2
= 71°33' 54,2" + k· 180°≈ + kπ
2π
5
7π
5
2π
5
tg x= 0 → x
1
= 0°, x
2
= 180°
tg x= 3 → x
3
= 71°33' 54,2", x
4
= 251°33' 54,2"


1 + tg x
1 – tg x
tg(π/4) + tg x
1 – tg(π/4) tg x
π
2
π
6
x
3
= 30°, x
4
= 150°
x
5
= 210°, x
6
= 330°
1
2
1 4
4π
3
2π
3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
32









con k∈ Z





con k∈ Z











con k∈ Z





con k∈ Z

183. 34Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen 3x– sen x= cos 2x b) = 1
c) = d) sen 3x– cos 3x= sen x– cos x
☛
Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos.
a) 2 cos sen = cos2x
2 cos2x sen x= cos2x→2 sen x= 1 →
→sen x= →x
1
= 30°, x
2
= 150°
Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego:
x
1
= 30°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 150°+ k· 360°= + 2kπ
b) = 1 → = 1 → = 1 →
→ = 1 →2 sen2x= 1 →sen2x= →
2x= 30°→x
1
= 15°+ k· 360°= + 2kπ
→
2x= 150°→x
2
= 75°+ k· 360°= + 2kπ
2x= 390°→x
3
= 195°+ k· 360°= + 2 kπ
2x= 510°→x
4
= 255°+ k· 360°= + 2 kπ
Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas.
c) = = – = →tg x= – →
Ambas soluciones son válidas. Luego:
x
1
= 150°+ k· 360°= + 2kπ
x
2
= 330°+ k· 360°= + 2 kπ
d)sen3x– sen x= cos3x– cos x →
→2 cos2x sen x= –2 sen2x sen x→(dividimos entre 2 sen x)
→cos 2x= –sen2x→ = –1 →tg2x= –1 →
sen 2x
cos2x
11π
6
5π
6
x
1
= 150°
x
2
= 330°



√3
3
√3
1
tg x
cos x
–sen x
2 sen2x cos x
–2 sen 2x sen x
17π
12
13π
12
5π
12
π
12
1 22 sen2x cos 2x
cos2x
sen(2 · 2x)
cos2x
sen4x
cos2x
2 sen4x cos x
2 cos2x cos x
5π
6
π
6
1 2
3x– x
2
3x+ x
2
√3
sen 3x+ sen x
cos 3x– cos x
sen 5x+ sen 3x
cos x+ cos 3x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
33







con k∈ Z





























con k∈ Z







con k∈ Z

184. 2x= 315°→x
1
= 157,5°+ k· 360°
→
2x= 135°→x
2
= 67,5°+ k· 360°
2x= 675°→x
3
= 337,5°+ k· 360°
2x= 495°→x
4
= 247,5°+ k· 360°
Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas:
x= 67,5°+ k· 90°con k∈
Z
35a) Demuestra que sen 3x= 3sen x cos
2
x– sen
3
x.
b) Resuelve la ecuación sen 3x– 2sen x= 0.
☛
a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen 3x por el resultado
anterior.
a)sen3x= sen(2x+ x) = sen2x cos x+ cos 2x sen x=
= 2 sen x cos x cos x+ (cos
2
x– sen
2
x) sen x=
= 2 sen x cos
2
x+ sen x cos
2
x– sen
3
x= 3 sen x cos
2
x– sen
3
x
b)sen3x– 2 sen x= 0 → por el resultado del apartado anterior:
3 sen x cos
2
x– sen
3
x– 2 sen x= 0 → 3 sen x(1 – sen
2
x) – sen
3
x– 2 sen x= 0 →
→ 3 sen x– 3 sen
3
x– sen
3
x– 2 sen x= 0 →
→ 4 sen
3
x– sen x= 0 → sen x(4 sen
2
x– 1) = 0 →
→
sen x= 0 → x
1
= 0°, x
2
= 150°
sen x= ±1/2 → x
3
= 30°, x
4
= 150°, x
5
= 210°, x
6
= 330°
Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como:
x
1
= k· 180°= kπ
x
2
= 30°+ k· 180°= (π/6) + kπ
x
3
= 150°+ k· 180°= (5π/6) + kπ
36Resuelve:
a) sen 3x– sen x cos 2x= 0
b) cos 3x– 2cos(π– x) = 0
c) cos 3x+ sen 2x– cos x= 0
☛
b) Expresa cos 3x en función de sen x y cos x haciendo cos 3x = cos (2x + x).
a) Por el ejercicio 35, a): sen3x= 3 sen x cos
2
x– sen
3
x.
Luego:
3 sen x cos
2
x– sen
3
x– sen x(cos
2
x– sen
2
x) = 0 →
→3 sen x cos
2
x– sen
3
x– sen x cos
2
x– sen
3
x= 0 →
→2 sen
3
x– 2 sen x cos
2
x= 0 →sen x(sen
2
x– cos
2
x) = 0 →
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
34

















con k∈ Z







con k∈ Z




185. →
sen x= 0 →x
1
= 0°, x
2
= 180°
sen
2
x– cos
2
x= –cos2x= 0 →
Las soluciones (todas válidas) se pueden expresar como:
x
1
= k· 180°= kπ
x
2
= 45°+ k· 90°= + k·
donde x
1
engloba las dos primeras soluciones obtenidas y x
2
las cuatro restantes.
b)cos(π– x) = –cos x
cos3x= cos(2x+ x) = cos2x cos x– sen 2x sen x=
= (cos
2
x– sen
2
x) cos x – 2 sen x cos x sen x=
= cos x(cos
2
x– sen
2
x– 2 sen
2
x) =
= cos x(cos
2
x– 3 sen
2
x) = cos x(1 – 4 sen
2
x)
Así, sustituyendo en la ecuación:
cos x(1 – 4 sen
2
x) – 2 (–cos x) = 0 →
→cos x (1 – 4 sen
2
x) + 2 cos x= 0 →cos x(1 – 4 sen
2
x+ 2) = 0 →
→cos x(3 – 4 cos x) = 0 →
→
cos x= 0 →x
1
= 90°, x
2
= 270°
sen
2
x= →sen x= ± →x
3
= 60°, x
4
= 120°, x
5
= 240°, x
6
= 300°
Todas las soluciones son válidas y las podemos agrupar, expresándolas como:
x
1
= 90°+ k· 180°= + kπ
x
2
= 60°+ k· 180°= + kπ
x
3
= 120°+ k· 180°= + kπ
c) Utilizando los resultados obtenidos en el ejercicio 36 b), para cos3xy sustitu-
yendo en la ecuación, se obtiene:
cos x(1 – 4 sen
2
x) + 2 sen x cos x– cos x= 0 →
→cos x(1 – 4 sen
2
x+ 2 sen x– 1) = 0 →
→cos x(–4 sen
2
x+ 2 sen x) = 0 →
2π
3
π
3
π
2
√3
2
3 4
π
2
π
4
2x= 90°→ x
3
= 45°
2x= 270°→ x
4
= 135°
2x= 450°→ x
5
= 225°
2x= 630°→ x
6
= 315°







Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
35
    
con k∈ Z

























con k∈ Z

186. →
cos x= 0 →x
1
= 90°, x
2
= 270°
2 sen
2
x– sen x= sen x(2 sen x– 1) = 0 →
sen x= 0 →
sen x= →
Las soluciones quedan, pues, como:
x
1
= k· = k· 90°
x
2
= + 2k· π= 30°+ k· 360°
x
3
= + 2k· π= 150°+ k· 360°
donde x
1
engloba las cuatro primeras soluciones.
37Demuestra las siguientes igualdades:
a) cos (α+ β) · cos (α– β) = cos
2
α– sen
2
β
b) sen
2
()
– sen
2
()
= sen α· sen β
c) cos
2
()
– cos
2
()
= sen α· sen β
a)cos(α+ β) cos(α– β) = (cos αcosβ– sen αsen β) (cos αcos β+ sen αsen β) =
= cos
2
αcos
2
β– sen
2
αsen
2
β=
= cos
2
α(1 – sen
2
β) – (1 – cos
2
α) · sen
2
β=
= cos
2
α– cos
2
αsen
2
β– sen
2
β+ cos
2
αsen
2
β=
= cos
2
α– sen
2
β
b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego pode-
mos factorizarlo como una suma por una diferencia:
[
sen()
+ sen() ]
· [
sen()
– sen() ]
(*)
=
=
[
2 sen cos ]
· [
2 cos sen ]
=
= 4 · · · =
= =
= = = senαsenβ
√sen
2
α· sen
2
β√(1 – cos
2
α) (1 – cos
2
β)
√(1 – cos α) (1 + cosβ) (1 + cosα) (1 – cosβ)
√
1 – cos β
2√
1 + cos α
2√
1 + cos β
2√
1 – cos α
2
β
2
α
2
β
2
α
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α+ β
2
α– β
2
α– β
2
α+ β
2
5π
6
π
6
π
2
x
5
= 30°
x
6
= 150°



1
2
x
3
= 0°
x
4
= 180°



Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
36
        


















con k∈ Z

187. (*)
Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que:
+ = αy – = β
c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora:
+ = αy – = –β
cos
2
()
– cos
2
()
=
=
[
cos()
+ cos() ]
· [
cos()
– cos () ]
=
=
[
2 cos cos ]
· [
–2 sen sen ]
= [
2 cos cos ]
· [
2 sen sen ]
=
= 4 · · · =
= = = senαsenβ
NOTA: También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior como
sigue:
cos
2
()
– cos
2
()
= 1 – sen
2
()
– 1 + sen
2
()
=
= sen
2
()
– sen
2
()
(*)
= sen αsen β
(*)
Por el apartado b).
38Expresa sen 4αy cos 4αen función de sen αy cos α.
•sen4α= sen(2 · 2α) = 2 senαcos 2α=
= 2 · 2 senαcosα· (cos
2
α– sen
2
α) =
= 4 (sen αcos
3
α– sen
3
αcosα)
•cos4α= cos(2 · 2α) = cos
2
2α– sen
2
2α=
= (cos
2
α– sen
2
α)
2
– (2 senαcosα)
2
=
= cos
4
α+ sen
4
α– 2 cos
2
αsen
2
α– 4 sen
2
αcos
2
α=
= cos
4
α+ sen
4
α– 6 sen
2
αcos
2
α
39Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al
primer cuadrante:
a) b)
☛
Haz cos
2
y = 1 – sen
2
y y cos
2
x = 1 – sen
2
x.
c)
sen x+ cos y= 1
x + y= 90°



sen
2
x+ cos
2
y= 1
cos
2
x– sen
2
y= 1



x+ y= 120º
sen x– sen y= 1/2



α – β
2
α + β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
√sen
2
α· sen
2
β√(1 – cos
2
α) (1 – cos
2
β)
√
1 – cos β
2√
1 – cos α
2√
1 + cos β
2√
1 + cos α
2
β
2
α
2
β
2
α
2
−β
2
α
2
−β
2
α
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α – β
2
α + β
2
α – β
2
α + β
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
37

188. a) De la segunda ecuación:
2 cos sen =
Como:
x+ y= 120°→ 2 cos60°sen = →
→ 2 · sen = → sen = →
→ = 30°→ x– y= 60°
Así:x+ y= 120°
x– y= 60°
2x= 180°→ x= 90°→ y= 30°
Luego la solución es: (90°, 30°)
b) Como
El sistema queda:
→
(Sumando ambas igualdades) → –2 sen
2
y= 0 → sen y= 0 → y= 0°
Sustituyendo en la segunda ecuación (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene:
cos
2
x– 0 = 1 → cos
2
x = 1 =
Luego la solución es: (0°, 0°)
c)x+ y= 90°→ complementarios → sen x= cos y
Sustituyendo en la primera ecuación del sistema:
cos y+ cos y= 1 → 2 cos y= 1 → cos y= → y= 60°→
→ x= 90°– y= 90°– 60°= 30°
Luego la solución es: (30°, 60°)
40Demuestra que para cualquier ángulo αse verifica:
sen α+ cos α= cos
(
– α)
π
4
√2
1 2
cos x= 1 → x= 0°
cos x = – 1 → x= 180°∈2-º cuadrante





sen
2
x– sen
2
y= 0
–sen
2
x– sen
2
y= 0


sen
2
x+ 1 – sen
2
y= 1
1 – sen
2
x– sen
2
y= 1


cos
2
y= 1 – sen
2
y
cos
2
x= 1 – sen
2
x
x– y
2
1 2x– y
2
1 2x– y
2
1 2
1 2x– y
2
1 2x– y
2
x+ y
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
38

189. Desarrollamos la segunda parte de la igualdad:
· cos
(
– α)
= (
cos cosα+ sen senα )
=
=
(cosα+ senα )=
= · (cosα+ senα) = (cosα+ senα) =
= cosα+ senα
41Demuestra que – = 2 tg2x.
– = =
= =
=
(*)
= = =
= = 2 · = 2 · tg2x
(*)
Dividimos numerador y denominador entre cos
2
x.
42Simplifica la expresión 2 tgxcos
2
– sen x.
2 tg x cos
2
– sen x= 2 · ()
– sen x=
= – sen x= sen x
(
– 1)
=
= sen x
()
= sen x· ()
= tg x
Página 145
CUESTIONES TEÓRICAS
43¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que
miden y radianes?
+ = = π → son suplementarios, luego:
sen = sen
(
π– )
= sen
4π
5
4π
5
π
5
5π
5
4π
5
π
5
4π
5
π
5
1
cos x
1 + cos x– cos x
cos x
1 + cos x
cos x
sen x(1 + cos x)
cos x
1 + cos x
2
sen x
cos x
x
2
x
2
2 tg x
1 – tg
2
x
4 · tg x
1 – tg
2
x
4 · (sen x/cos x)
1 – (sen
2
x/cos
2
x)
4 · (sen x cos x/cos
2
x)
cos
2
x– sen
2
x/cos
2
x
4 sen x cos x
cos
2
x– sen
2
x
cos
2
x+ sen
2
x+ 2 sen x cos x– cos
2
x– sen
2
x+ 2 sen x cos x
cos
2
x– sen
2
x
(cos x+ sen x)
2
– (cos x– sen x)
2
(cos x– sen x)
2
– (cos x+ sen x)
2
cos x– sen x
cos x+ sen x
cos x+ sen x
cos x– sen x
cos x– sen x
cos x+ sen x
cos x+ sen x
cos x– sen x
2
2
√2
2
√2
√2
2
√2
2
√2
π
4
π
4
√2
π
4
√2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 39

190. cos= –cos;tg= –tg
44Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo α:
a)sen (π– α); cos (π– α); tg (π– α)
b)sen (π+ α); cos (π+ α); tg (π+ α)
c)sen (2π– α); cos (2π– α); tg (2π– α)
a) → tg(π– α) = –tgα
b) → tg(π+ α) = tgα
c) → tg(2π– α) = –tgα
45Expresa A(x) en función de sen xy cos x:
a) A(x) = sen (–x) – sen (π– x)
b) A(x) = cos (–x) + cos (π+ x)
c) A(x) = sen (π+ x) + cos (2π– x)
a)A(x) = sen(–x) – sen(π– x) = –sen x– sen x= –2 sen x
b)A(x) =cos(–x) + cos(π+ x) = cos x+ (–cos x) = 0
c)A(x) = sen(π+ x) + cos(2π– x) = –sen x+ cos x
46Demuestra que si α, βy γson los tres ángulos de un triángulo, se verifica:
a) sen (α+ β) – senγ= 0
b) cos (α+ β) + cosγ= 0
c) tg (α+ β) + tgγ= 0
☛
Ten en cuenta que α+ β= 180° – γy las relaciones que existen entre las razo-
nes trigonométricas de los ángulos suplementarios.
Como en un triángulo α+ β+ γ= 180°→α+ β= 180°– γ, entonces:
a)sen(α+ β) = sen(180°– γ) = senγ→sen(α+ β) – senγ= 0
b)cos(α+ β) = cos(180°– γ) = –cosγ→cos(α+ β) + cosγ= 0
c)tg(α+ β) = tg(180°– γ) = –tgγ→tg(α+ β) + tgγ= 0
47Demuestra que si α+ β+ γ= 180°, se verifica:
tg α+ tg β+ tg γ= tg α· tg β· tg γ
☛
Haz α+ β= 180° – γy desarrolla tg (α+ β) = tg (180º – γ).
sen(2π– α) = –senα
cos(2π– α) = cos α



sen(π+ α) = –senα
cos(π+ α) = –cos α



sen(π– α) = senα
cos(π– α) = –cos α



4π
5
π
5
4π
5
π
5
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
40

191. Si α+ β+ γ= 180°→α+ β= 180°– γ→
→tg(α+ β) = tg(180°– γ) = –tgγ⇒tgγ= –tg(α+ β)
Así, sustituyendo:
tgα+ tgβ+ tgγ
(*)
= tgα+ tgβ– tg(α+ β) =
= tgα+ tgβ– =
= =
= = (sacando factor com ún)
= = –tgα· tgβ· tg(α+ β) =
= tgα· tgβ[–tg(α+ β)]
(*)
= tgα· tgβ· tgγ
(*)
tgγ= –tg(α+ β)
48Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos2x, dan-
do a xvalores comprendidos entre 0 y 2πradianes y represéntala gráfica-
mente.
49Representa las funciones:
a) y= cos
(
x + )
b) y= sen (
x + )
c) y= cos (
– x)
π
2
π
2
π
2
–tgαtgβ (tgα+ tgβ)
1 – tgαtgβ
–tg
2
αtgβ– tgαtg
2
β
1 – tgαtgβ
(tgα– tg
2
αtgβ) + (tgβ– tgαtg
2
β) – (tgα+ tgβ)
1 – tgαtgβ
tgα+ tgβ
1 – tgαtgβ
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
41
x 0
y= cos2x10 –– – – 1–– –
1
2
√2
2
√3
2
√3
2
√2
2
1 2√2
2
√3
2
2π
3
5π
8
7π
12
π
2
5π
12
3π
8
π
3
π
4
π
8
π
12
π 2π
01 –10 0
√3
2
√2
2
7π
8
5π
4
11π
12
7π
8
3π
4
1
0
–1
π
—
π
2
— 2π3π
2
1
–1
π 2π
π 2π
π 2π
a)
1
–1
c)
1
–1
b)
—
3π
2
—
3π
2
—
π
2
—
3π
2
—
π
2
—
π
2

192. PARA PROFUNDIZAR
50Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al
primer cuadrante:
a)
sen x+ sen y=
cos x+ cos y= 1
b)
sen
2
x+ cos
2
y= 3/4
cos
2
x– sen
2
y= 1/4
c)
cos (x+ y) = 1/2
sen (x– y) = 1/2
a) Despejando en la segunda ecuación:
cos x= 1 – cos y
(*)
Como sen x=
sen x= = =
Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene:
sen x+ sen y= → + sen y= →
→sen y= –
Elevamos al cuadrado:
sen
2
y= 3 + (2 cos y– cos
2
y) – 2
sen
2
y+ cos
2
y– 2 cos y– 3 = –2
1 – 2 cos y– 3 = –2
–2 (1 + cos y) = –2
Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado:
(1 + cos y)
2
= 3 (2 cos y– cos
2
y) →
→ 1 + cos
2
y+ 2 cos y= 6 cos y– 3 cos
2
y →
→ 4 cos
2
y– 4 cos y+ 1 = 0 → cos y= = → y= 60°
Sustituyendo en
(*), se tiene:
cos x= 1 – = → x= 60°
1
2
1 2
1 24 ±√16 – 16
8
√3 (2 cos y– cos
2
y)
√3 (2 cos y– cos
2
y)
√3 (2 cos y– cos
2
y)
√3 (2 cos y– cos
2
y)
√2 cos y– cos
2
y√3
√3√2 cos y– cos
2
y√3
√2 cos y– cos
2
y√1 – 1 – cos
2
y+ 2 cos y√1 – (1 – cos y)
2
√1 – cos
2
x
√3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 42














entonces:

193. b)sen
2
x+ cos
2
y=
cos
2
x– sen
2
y=
sen
2
x+ cos
2
x + cos
2
y– sen
2
y= 1 →
→ 1 + cos
2
y– sen
2
y= 1 →
→ 2 cos
2
y= 1 → cos
2
y= → cos y= → y= 45°
(Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante).
Sustituyendo en la primera ecuación:
sen
2
x+ cos
2
y= → sen
2
x+ = →
→ sen
2
x= – → sen
2
x = → sen x= ±
Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así:
sen x= → x= 30°
Luego la solución es: (30°, 45°)
c)
→
Teniendo esto en cuenta:
cos(x+ y) = →x+ y= 60°
sen(x– y) = →x– y= 30°(Sumamos ambas ecuaciones)
2x= 90°→ x= 45°
Sustituyendo en la primera ecuación y despejando:
y= 60°– x= 60°– 45°= 15°
La solución es, por tanto: (45°, 15°)
51Demuestra que:
a) sen x=
b) cos x=
c) tg x=
2tg x/2
1 –tg
2
x/2
1 – tg
2
x/2
1 +tg
2
x/2
2tg x/2
1 +tg
2
x/2
1
2
1 2
x+ y∈1
er
cuadrante
x– y∈1
er
cuadrante







Como x, y∈1
er
cuadrante
y ademáscos(x+ y) > 0
sen(x– y) > 0
1
2
1 21 41 23 4
3 41 23 4
√2
2
1 2
1 4
3 4
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 43







Sumando:

194. a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad:
= = =
= = (1 + cos x) =
= (1 + cos x)
2
= =
= = = sen x
b) = = = = cos x
c) = = =
= = =
= · (1 + cos x)
2
· =
= =
= · = · sen x= tg x
PARA PENSAR UN POCO MÁS
52Demuestra que, en la siguiente figura, α= β+ γ.
1
cos x
√sen
2
x
1
cos x
√(1 – cos
2
x
1
cos x
√(1 + cos x) (1 – cos x)
1
cos x
1 – cos x
1 + cos x
1
cos x
√
1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x
cos x
2
√
1 – cos x
1 + cos x
2 cos x
1 + cos x
2
√
1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x– 1 + cos x
1 + cos x
2
√
1 – cos x
1 + cos x
1 –
1 – cos x
1 + cos x
2 tg(x/2)
1 – tg
2
(x/2)
2 cos x
2
1 + cos x– 1 + cos x
—–––––––––––––————
1 + cos x
1 + cos x+ 1 – cos x
—–––––––––––––————
1 + cos x
1 – cos x
1 –
—————
1 + cos x
1 – cos x
1 +
—————
1 + cos x
1 – tg
2
(x/2)
1 + tg
2
(x/2)
√sen
2
x√1 – cos
2
x
√(1 + cos x) (1 – cos x)
1 – cos x
1 + cos x
√
1 – cos x
1 + cos x
2
√
1 – cos x
1 + cos x
2
1 + cos x
2
√
1 – cos x
1 + cos x
1 + cos x+ 1 – cos x
1 + cos x
2
√
1 – cos x
1 + cos x
1 +
1 – cos x
1 + cos x
2 tg(x/2)
1 + tg
2
(x/2)
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
44
√
γ β α

195. a) Puedes realizar la demostración recurriendo a la fórmula de la tangente
de una suma.
b) Hay una posible demostración, más sencilla y elegante que la anterior,
reconociendo los ángulos α, β y γen la siguiente figura:
a)tg(β+ γ) = = = = = 1
tgα= 1
Así, vemos que tg(β+ γ) = tgα
Como α, β, γ∈1
er
cuadrante
b)α= BOD. Basta observar que se trata de uno de los ángulos agudos del triángu-
lo rectángulo que se forma con la diagonal de un cuadrado.
β= COD, por ser el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo cuyos cate-
tos miden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetos
de dos y una unidad.
γ= AOC, pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeños por unida-
des, se trata del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos 3 y 1 unidades
(OAy AC, respectivamente).
Así, podemos observar fácilmente en el dibujo que α = β + γ, pues:
BOD= AOD= AOC+ COD
53Obtén la fórmula siguiente:
sen α+ cos α= cos(α– 45°)
☛
Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la fórmula correspon-
diente.
cosα = sen(90°– α)
Sustituyendo en el primer miembro de la igualdad y desarrollando (transformare-
mos en producto):
√2
5/6 5/65/6
1 – 1/6
1/2 + 1/3
1 – 1/2 · 1/3
tgβ+ tgγ
1 – tgβtgγ
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
45










β + γ = α
A
B
C
D
O

196. senα+ cos α= senα+ sen(90°– α) =
= 2 sen cos =
= 2 sen cos =
= 2 sen45°cos(α– 45°) =
= 2 (cosα– 45°) = cos(α– 45°)√2
√2
2
2α– 90°
2
90°
2
α– (90°– α)
2
α+ (90°– α)
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
46

197. Página 146
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
El paso de Z a Q
→Imaginemos que solo se conocieran los números enteros, Z.
Sin utilizar otro tipo de números, intenta resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3x = 15 b) –2 x= 18
c) 11x= –341 d) 4 x= 34
→a) x= 5 b) x= –9
c) x= –31 d) No se puede.
→Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Zy para cuáles es
necesario el conjunto de los números enteros,
Q.
a) –5x= 60 b) –7 x= 22
c) 2x+ 1 = 15 d) 6 x– 2 = 10
e) –3x– 3 = 1 f) – x+ 7 = 6
→a) x= –12 b) x= –
c) x= 7 d) x= 2
e) x= – f) x= 1
Para b) y e) necesitamos
Q.
Página 147
El paso de Qa ç
→Intenta resolver, sin salir de Q, las siguientes ecuaciones:
a) 3x
2
– 12 = 0 b) x
2
– 6x+ 8 = 0
c) 2x
2
+ x– 1 = 0 d) x
2
– 2 = 0
→a) x
1
= –2, x
2
= 2 b) x
1
= 2, x
2
= 4
c) x
1
= –1, x
2
= d) x
2
= 2 → No se puede.
1
2
4 3
22
7
Unidad 6. Números complejos
1
NÚMEROS COMPLEJOS6

198. →Resuelve, ahora, las siguiente ecuaciones:
a) x
2
– 9 = 0 b) 5 x
2
– 15 = 0
c) x
2
– 3x– 4 = 0 d) 2 x
2
– 5x+ 1 = 0
e) 7x
2
– 7x= 0 f) 2 x
2
+ 3x= 0
¿Qué ecuaciones se pueden resolver en
Q?
¿Para qué ecuaciones es necesario el conjunto de los números reales,
ç?
→a) x
1
= –3, x
2
= 3 b) x
1
= – , x
2
=
c) x
1
= –1, x
2
= 4 d) x
1
= , x
2
=
e) x
1
= 0, x
2
= 1 f) x
1
= – , x
2
= 0
Para b) y d), necesitamos
ç.
ç aún no es suficiente
→Intenta resolver en ç las siguientes ecuaciones:
a) x
2
– 2 = 0 b) 2 x
2
– 5x+ 1 = 0
c) 5x
2
– x– 2 = 0 d) x
2
+ 1 = 0
e) x
2
– 2x+ 5 = 0 f ) 5 x
2
+ 10 = 0
→a) x
1
= – , x
2
= b) x
1
= , x
2
=
c) x
1
= , x
2
= d) x
2
= –1 → No se puede.
e) x= → No se puede. f) x
2
= –2 → No se puede.
→Resuelve las tres últimas ecuaciones d), e) y f) utilizando para las soluciones
números reales y la expresión .
→d) x= ± , x
1
= – , x
2
=
e) x
1
= 1 – 2 , x
2
= 1 + 2
f) x
1
= – , x
2
=
Página 149
1.Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son
reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros:
5 – 3i; + i; –5i; 7; i; 0; –1 – i; –7; 4i
√3
5
4
1 2
√–1√2√–1√2
√–1√–1
√–1√–1√–1
√–1
2 ±√–16
2
1 + √41
10
1 – √41
10
5 + √17
4
5 – √17
4
√2√2
3 2
5 + √17
4
5 – √17
4
√3√3
Unidad 6. Números complejos 2

199. • Reales: 7, 0 y –7
Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i, –1 – i, 4i
Imaginarios puros: –5i, i, 4i
• Representación:
2.Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas:
a) x
2
+ 4 = 0 b) x
2
+ 6x+ 10 = 0 c) 3x
2
+ 27 = 0 d) 3x
2
– 27 = 0
a)x= = = ± 2 i;
x
1
= 2i, x
2
= –2i
b) x= = =
= = –3 ± i;x
1
= –3 – i, x
2
= –3 + i
c)x
2
= –9 → x= ± = ±3i
x
1
= –3i, x
2
= 3i
√–9
–6 ± 2i
2
–6 ±√–4
2
–6 ±√36 – 40
2
±4i
2
±√–16
2
√3
√3
5 41 2
Unidad 6. Números complejos 3
i
— + — i
1
2
5
4
5 – 3i
4i
–5i
7–7
–1 – i
√
—
3i
1
–3 + i
–3 – i
3i
–3i
2i
–2i

200. d)x
2
= 9 → x= ±3
x
1
= –3, x
2
= 3
3.Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 3 – 5i b) 5 + 2i
c) –1 – 2i d) –2 + 3i
e) 5 f) 0
g) 2i h) –5i
a) Opuesto: –3 + 5i
Conjugado: 3 + 5i
b) Opuesto: –5 – 2i
Conjugado: 5 – 2i
c) Opuesto: 1 + 2i
Conjugado: –1 + 2i
Unidad 6. Números complejos
4
–33
–3 + 5i 3 + 5i
3 – 5i
–5 – 2i
5 + 2i
5 – 2i
–1 – 2i
–1 + 2i 1 + 2i

201. d) Opuesto: 2 – 3i
Conjugado: –2 – 3i
e) Opuesto: –5
Conjugado: 5
f) Opuesto: 0
Conjugado: 0
g) Opuesto: –2i
Conjugado: –2i
h) Opuesto: 5i
Conjugado: 5i
Unidad 6. Números complejos
5
–2 + 3i
–2 – 3i 2 – 3i
5–5
0
2i
–2i
5i
–5i

202. 4.Sabemos que i
2
= –1. Calcula i
3
, i
4
, i
5
, i
6
, i
20
, i
21
, i
22
, i
23
. Da un criterio
para simplificar potencias de ide exponente natural.
i
3
= –ii
4
= 1 i
5
= ii
6
= –1
i
20
= 1 i
21
= ii
22
= –1 i
23
= –i
CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:
i
n
= i
4c+ r
= i
4c
· i
r
= (i
4
)
c
· i
r
= 1
c
· i
r
= 1 · i
r
= i
r
Por tanto, i
n
= i
r
, donde res el resto de dividir nentre 4.
Página 151
1.Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) b) (2 – 3 i) – (5 + 4i) + (6 – 4i)
c) (3 + 2i) (4 – 2i) d) (2 + 3 i) (5 – 6i)
e) (–i+ 1) (3 – 2i) (1 + 3i)f)
g) h)
i) j)
k) l) 6 – 3
(
5 + i )
m)
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) = 6 – 5i+ 2 – i+ 10 – 12i= 18 – 18i
b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) = 2 – 3i– 5 – 4i+ 3 – 2i= –9i
c) (3 + 2i) (4 – 2i) = 12 – 6i+ 8i– 4i
2
= 12 + 2i+ 4 = 16 + 2i
d) (2 + 3i) (5 – 6i) = 10 – 12i+ 15i– 18i
2
= 10 + 3i+ 18 = 28 + 3i
e) (–i+ 1) (3 – 2i) (1 + 3i) = (–3i+ 2i
2
+ 3– 2i) (1 + 3i) = (3 – 2 – 5i) (1 + 3i) =
= (1 – 5i) (1 + 3i) = 1 + 3i– 5i– 15i
2
= 1 + 15 – 2i= 16 – 2i
f ) = = = = = i
g) = = = = =
= – i
13
10
–1
10
–1 – 13i
10
3 – 13i– 4
9 + 1
3 – i– 12i+ 4i
2
9 – i
2
(1 – 4i) (3 – i)
(3 + i) (3 – i)
1 – 4i
3 + i
20i
20
20i
16 + 4
8 + 4i+ 16i+ 8i
2
16 – 4i
2
(2 + 4i) (4 + 2i)
(4 – 2i) (4 + 2i)
2 + 4i
4 – 2i
1
2
(–3i)
2
(1 – 2i)
2 + 2i
2
5
4 – 2i
i
1 + 5i
3 + 4i
5 + i
–2 – i
4 + 4i
–3 + 5i
1 – 4i
3 + i
2 + 4i
4 – 2i
1
2
Unidad 6. Números complejos
6

203. h) = = = =
= = – i= – i
i) = = = = =
= + i
j) = = = =
= = + i
k) = = = –4i– 2 = –2 – 4i
l) 6 – 3
(
5 + i )
= 6 – 15 + i= –9 + i
m) = = = =
= = = =
= = + i= + i
2.Obtén polinomios cuyas raíces sean:
a) 2 + i y 2 – i
b)–3i y 3i
c) 1+ 2i y 3 – 4i
(Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).
a)[x– (2 + i )] [x– (2 – i )]=
=
[(x– 2) – i ][(x– 2) + i ]= (x– 2)
2
– (i)
2
=
= x
2
– 4x+ 4 – 3i
2
= x
2
– 4x+ 4 + 3 = x
2
– 4x+ 7
b) [x– (–3i)] [x– 3i] = [x+ 3i] [x– 3i] = x
2
– 9i
2
= x
2
+ 9
c) [x– (1 + 2i)] [x– (3 – 4i)] = [(x– 1) – 2i] [(x– 3) + 4i] =
= (x– 1) (x– 3) + 4 (x– 1)i– 2(x– 3)i– 8i
2
=
= x
2
– 4x+ 3 + (4x– 4 – 2x+ 6)i+ 8 = x
2
– 4x+ 11 + (2x+ 2)i=
= x
2
– 4x+ 11 + 2ix+ 2i= x
2
+ (–4 + 2i)x+ (11 + 2i)
√3√3√3
√3√3
√3√3
27
4
9 454
8
18
8
18 + 54i
8
–18 + 54i+ 36
4 + 4
–18 + 18i+ 36i– 36i
2
4 – 4i
2
(–9 + 18i) (2 – 2i)
(2 + 2i) (2 – 2i)
–9 + 18i
(2 + 2i)
–9 (1 – 2i)
(2 + 2i)
9i
2
(1 – 2i)
(2 + 2i)
(–3i)
2
(1 – 2i)
(2 + 2i)
6
5
6 52 5
–4i+ 2i
2
1
(4 – 2i) (–i)
i(–i)
4 – 2i
i
11 2523 2523 + 11i
25
3 + 11i+ 20
9 + 16
3 – 4i+ 15i– 20i
2
9 – 16i
2
(1 + 5i) (3 – 4i)
(3 + 4i) (3 – 4i)
1 + 5i
3 + 4i
3
5
–11
5
–11 + 3i
5
–10 + 3i– 1
5
–10 + 5i– 2i+ i
2
4 + 1
(5 + i) (–2 + i)
(–2 – i) (–2 + i)
5 + i
–2 – i
16
17
4
17
32 348
34
8 – 32i
34
–12 – 32i+ 20
9 + 25
–12 – 20i– 12i– 20i
2
9 – 25i
2
(4 + 4i) (–3 – 5i)
(–3 + 5i) (–3 – 5i)
4 + 4i
–3 + 5i
Unidad 6. Números complejos
7

204. 3.¿Cuánto debe valer x,real, para que (25 – xi)
2
sea imaginario puro?
(25 – xi)
2
= 625 + x
2
i
2
– 50xi= (625 – x
2
) – 50xi
Para que sea imaginario puro:
625 – x
2
= 0 → x
2
= 625 → x= ± = ±25
Hay dos soluciones: x
1
= –25, x
2
= 25
4.Representa gráficamente z
1
= 3 + 2i, z
2
= 2 + 5i, z
1
+ z
2
. Comprueba que
z
1
+z
2
es una diagonal del paralelogramo de lados z
1
y z
2
.
z
1
+ z
2
= 5 + 7i
Página 153
1.Escribe en forma polar los siguientes números complejos:
a) 1 + i b) + i c) –1 + i
d) 5 – 12i e) 3i f) –5
a) 1 + i= 2
60°
b) + i= 2
30°
c) –1 + i=
135°
d) 5 – 12i= 13
292°37'
e) 3i= 3
90°
f) –5 = 5
2.Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 5
(π/6) rad
b) 2
135º
c) 2
495º
d) 3
240º
e) 5
180º
f) 4
90º
a) 5
(π/6)
= 5(
cos+ i sen )
= 5(+ i )= + i
b) 2
135°
= 2(cos135°+ i sen135°) = 2 (– + i )= –+ i
√2√2
√2
2
√2
2
5 25√3
2
1 2√3
2
π
6
π
6
√2√3√3
√3√3
√625
Unidad 6. Números complejos 8
7i
i
5i
z
1
+ z
2
z
1
z
2
12345

205. c) 2
495°
= 2
135°
= –+ i
d) 3
240°
= 3(cos240°+ i sen240°) = 3 (–– i )= –– i
e) 5
180°
= –5
f) 4
90°
= 4i
3.Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo z= r
α
.
Opuesto: –z= r
180°+ α
Conjugado:
–
z= r
360°– α
4.Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo:
z = 8 (cos 30º + i sen 30º)
z= 8
30°
= 8 (cos30°+ i sen30°) = 8 (+ i )= + i= 4 + 4i
5.Sean los números complejos z
1
= 4
60º
y z
2
= 3
210º
.
a) Expresa z
1
y z
2
en forma binómica.
b) Halla z
1
· z
2
y z
2
/z
1
, y pasa los resultados a forma polar.
c) Compara los módulos y los argumentos de z
1
· z
2
y z
2
/z
1
con los de z
1
y
z
2
e intenta encontrar relaciones entre ellos.
a)z
1
= 4
60°
= 4 (cos60°+ i sen60°) = 4 (+ i )= 2 + 2i
z
2
= 3
210°
= 3 (cos210°+ i sen210°) = 3 (–– i )= –– i
b)z
1
· z
2
= (2 + 2i )(–– i )=
= –3– 3i– 9i– 3i
2
= –3– 12i+ 3 = –12i= 12
270°
= = =
= = = =
()
150°
c)z
1
· z
2
= 4
60°
· 3
210°
= (4 · 3)
60°+ 210°
= 12
270°
= = ()
210°– 60°
= ()
1
3
4
3 4
3
210°
4
60°
z
2
z
1
3
4
–6√
—
3 + 6i
16
–3√
—
3 + 6i– 3√
—
3
4 + 12
–3√
—
3 – 3i+ 9i+ 3√
—
3i
2
4 – 12i
2
3√
—
33
(– —–— – —i )(2 – 2√
—
3i)
22
(2 + 2√
—
3i) (2 – 2√
—
3i)
3√
—
33
(– —–— – —i )
22
(2 + 2√
—
3i)
z
2
z
1
√3√3√3√3
3
2
3√3
2
√3
3 23√3
2
1 2√3
2
√3
√3
2
1 2
√3
8 28√3
2
1 2√3
2
3√3
2
3 2√3
2
1 2
√2√2
Unidad 6. Números complejos 9

206. Página 155
1.Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica:
a) 1
150º
· 5
30º
b) 6
45º
: 3
15º
c) 2
10º
· 1
40º
· 3
70º
d) 5
(2π/3)rad
: 1
60º
e) (1 – i )
5
f) (3 + 2i) + (–3 + 2i)
a) 1
150°
· 5
30°
= 5
180°
= –5
b) 6
45°
: 3
15°
= 2
30°
= 2 (cos30°+ i sen30°) = 2 (+ i )= + i
c) 2
10°
· 1
40°
· 3
70°
= 6
120°
= 6 (cos120°+ i sen120°) = 6 (–+ i )= –3 + 3i
d) 5
(2π/3)rad
: 1
60°
= 5
120°
: 1
60°
= 5
60°
= 5 (cos60°+ i sen60°) =
= 5
(
+ i )
= + i
e)
(1 – i )
5
= (2
300°
)
5
= 32
1 500°
= 32
60°
= 32 (cos60°+ i sen60°) =
= 32
(
+ i )
= 16 + 16i
f) 4i= 4
90º
2.Compara los resultados en cada caso:
a) (2
30º
)
3
, (2
150º
)
3
, (2
270º
)
3
b) (2
60º
)
4
, (2
150º
)
4
, (2
270º
)
4
, (2
330º
)
4
a) (2
30º
)
3
= 2
3
3·30º
= 8
90º
(2
150º
)
3
= 2
3
3·150º
= 8
450º
= 8
90º
(2
270º
)
3
= 8
3·270º
= 8
810º
= 8
90º
b) (2
60º
)
4
= 2
4
4·60º
= 16
240º
(2
150º
)
4
= 16
600º
= 16
240º
(2
270º
)
4
= 16
1 080º
= 16
0º
(2
330º
)
4
= 16
1 320º
= 16
240º
3.Dados los complejos z= 5
45º
, w= 2
15º
, t= 4i, obtén en forma polar:
a) z· t b) c) d)
z= 5
45°
w= 2
15°
t= 4i= 4
90°
z · w
3
t
z
3
w· t
2
z
w
2
√3
√3
2
1 2
√3
5√3
2
5 2√3
2
1 2
√3
√3
2
1 2
√3
1 2√3
2
√3
Unidad 6. Números complejos 10

207. a)z· w= 10
60°
b) = = = ()
15°
c) = = ()
–60°
= ()
300°
d) = = 10
0°
= 10
4.Expresa cos 3α y sen 3αen función de sen αy cos αutilizando la fórmula
de Moivre. Ten en cuenta que (a+ b)
3
= a
3
+ 3a
2
b+ 3ab
2
+ b
3
.
(1
α
)
3
= 1 (cosα+ i senα)
3
=
= cos
3
α+ i3 cos
2
αsenα+ 3i
2
cosαsen
2
α+ i
3
sen
3
α=
= cos
3
α+ 3 cos
2
αsenαi– 3 cosαsen
2
α– i sen
3
α=
= (cos
3
α– 3 cosαsen
2
α) + (3 cos
2
αsenα– sen
3
α)i
Por otra parte: (1
α
)
3
= 1
3α
= cos3α+ i sen3α
Por tanto:cos3α= cos
3
α– 3 cosαsen
2
α
sen3α= 3 cos
2
αsenα– sen
3
α
Página 157
1.Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica.
= = 1
(360°· k)/6
= 1
60°· k
;k= 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
1
0°
= 1 1
60°
= + i 1
120°
= –+ i
1
180°
= –11
240°
= –– i 1
300°
= – i
Representación:
√3
2
1 2√3
2
1 2
√3
2
1 2√3
2
1 2
6
√1
0°
6
√1
5
45°
· 8
45°
4
90°
z · w
3
t
125
32
125
32
125
135°
2
15°
· 16
180°
z
3
w· t
2
5
4
5
45°
4
30°
z
4
30º
z
w
2
Unidad 6. Números complejos
11
1

208. 2.Resuelve la ecuación z
3
+ 27 = 0. Representa sus soluciones.
z
3
+ 27 = 0 → z= = = 3
(180°+ 360°n)/3
= 3
60°+ 120°n
; n= 0, 1, 2
z
1
= 3
60°
= 3 (cos60°+ i sen60°) = 3 (
+ i )
= + i
z
2
= 3
180°
= –3
z
3
= 3
240°
= 3 (cos240°+ i sen240°) = 3 (
–– i )
= –– i
3.Calcula:
a) b)
4
√
——
–8 + 8i c) d)
3
a) = = 1
(270°+ 360°k)/3
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
1
90°
= i 1
210°
= –– i 1
330°
= + i
b) = = 2
(120°+ 360°k)/4
= 2
30°+ 90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
2
30°
= 2(
+ i )
= + i
2
120°
= 2(
–+ i )
= –1 + i
2
210°
= 2(
–– i )
= –1 – i
2
300°
= 2(
– i )
= – i
√3
1
2
√3
2
√3
√3
2
1 2
√3
√3
2
1 2
√3
1 2√3
2
4
√16
120°
4
√–8 + 8√
—
3i
1
2
√3
2
1 2√3
2
3
√1
270°
3
√–i
–2 + 2i
1 +
√
–
3i
√–25√3
3
√–i
3√3
2
3 2√3
2
1 2
3√3
2
3 2√3
2
1 2
3
√27
180°
3
√–27
Unidad 6. Números complejos 12
z
1
z
2
z
3
–3

209. c) = = 5
(180°+ 360°k)/2
= 5
90°+ 180°k
; k= 0, 1
Las dos raíces son: 5
90°
= 5i;5
270°
= –5i
d)
3
=
3
= =
(75°+ 360°k)/3
=
25°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
25°
;
145°
;
265°
4.Resuelve las ecuaciones:
a) x
4
+ 1 = 0
b) x
6
+ 64 = 0
a)x
4
+ 1 = 0 → x= = = 1
(180°+ 360°k)/2
= 1
45°+ 90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
1
45°
= + i; 1
135°
= – + i; 1
225°
= –– i; 1
315°
= – i
b)x
6
+ 64 = 0 → x= = = 2
(180°+ 360°k)/6
= 2
30°+ 60°k
; k= 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
2
30°
= 2(
+ i )
= + 1 2
90°
= 2i
2
150°
= 2(
– + i )
= – + i 2
210°
= 2(
–– i )
= –– i
2
270°
= –2i 2
330°
= 2(
– i )
= – i
5.Comprueba que si zy wson dos raíces sextas de 1, entonces también lo son
los resultados de las siguientes operaciones:
z· w, z/w, z
2
, z
3
zy wraíces sextas de 1 → z
6
= 1, w
6
= 1
(z· w)
6
= z
6
· w
6
= 1 · 1 = 1 → z· wes raíz sexta de 1
()
6
= = = 1 → es raíz sexta de 1
z
2
= (z
2
)
6
= z
12
= (z
4
)
3
= 1
3
= 1 → z
2
es raíz sexta de 1
z
3
= (z
3
)
6
= z
18
= z
16
· z
2
= (z
4
)
4
· z
2
= 1
4
· 1
2
= 1 · 1 = 1 → z
3
es raíz sexta de 1
z
w
1 1z
6
w
6
z
w
√3
1 2√3
2
√3
1 2√3
2
√3
1 2√3
2
√3
1 2√3
2
6
√64
180°
6
√–64
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
4
√1
180°
4
√–1
6
√2
6
√2
6
√2
6
√2
6
√2
3
√√

2
75°√
√
—
8
135°
2
60°√
–2 + 2i
1 + √
—
3 i
√25
180°
√–25
Unidad 6. Números complejos 13

210. 6.El número 4 + 3ies la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla las
otras tres raíces cuartas de z.
4 + 3i= 5
36°52'
Las otras tres raíces cuartas de zserán:
5
36°52' + 90°
= 5
126°52'
= –3 + 4i
5
36°52' + 180°
= 5
216°52'
= –4 – 3i
5
36°52' + 270°
= 5
306°52'
= 3 – 4i
7.Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones:
a) b) c) d)
3
e)
5
– f)
a) = = 3
(180°+ 360°k)/2
= 3
90°+ 180°k
; k= 0, 1
Las dos raíces son:
3
90°
= 3i; 3
270°
= –3i
b) = = 3
(180°+ 360°k)/3
= 3
60°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z
1
= 3
60°
= 3 (cos60°+ i sen60°) = 3 (
+ i )
= + ii
z
2
= 3
180°
= –3
z
3
= 3
300°
= 3 (cos300°+ i sen300°) = 3 (
– i )
= – i
3√3
2
3 2√3
2
1 2
3√3
2
3 2√3
2
1 2
3
√27
180°
3
√–27
√9
180°
√–9
3
√8i
32
i
1 – i
1 + i
3
√2– 2i
3
√–27√–9
Unidad 6. Números complejos 14
–3i
3i
z
1
z
2
z
3
–3
√ √

211. c) = =
(315°+ 360°k)/3
=
105°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z
1
=
105°
= –0,37 + 1,37i
z
2
=
225°
= (
–– i )
= –1 – i
z
3
=
345°
= 1,37 – 0,37i
d)
3
=
3
= = 1
(270°+ 360°k)/3
= 1
90°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
1
90°
= i; 1
210°
= –– i; 1
330°
= – i
e)
5
=
5
= = = 2
(90°+ 360°k)/5
= 2
18°+ 72°k
; k= 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
z
1
= 2
18°
= 1,9 + 0,6i
z
2
= 2
90°
= 2i
z
3
= 2
162°
= –1,9 + 0,6i
z
4
= 2
234°
= –1,2 – 1,6i
z
5
= 2
306°
= 1,2 – 1,6i
f) = = 2
(90º + 360º k)/3
= 2
30º + 120º k
; k= 0, 1, 2
Las tres son:
z
1
= 2
30º
z
2
= 2
150º
z
3
= 2
270º
3
√8
90°
3
√8i
5
√32
90°
5
√32i√
–
32 (–i)
i(–i)√
–
32
i
1
2
√3
2
1 2√3
2
3
√1
270°√
√
—
2
315°
√
—
2
45°√
1 – i
1 + i
√2
√2
2
√2
2
√2√2
√2
√2√2
3
√√

8
315°
3
√2 – 2i
Unidad 6. Números complejos 15
z
1
z
2
i
–i
z
3
–1
1
1
210° 1
330°
i
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
1
z
2
z
3

212. Página 162
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Números complejos en forma binómica
1Calcula:
a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) b) 3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i)
c) –2i– (4 – i)5i d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)
2
a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i) = 6 – 3i+ 4i– 2i
2
– 2 + 3i+ 2i – 3i
2
=
= 6 – 3i+ 4i+ 2 – 2 + 3i+ 2i+ 3 = 9 + 6i
b) 3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i) = 3 – 2i+ 2i
2
– 5 + 4i= 3 – 2i– 2 – 5 + 4i= –4 + 2i
c)–2i– (4 – i)5i= –2i– 20i+ 5i
2
= –22i– 5 = –5 – 22i
d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)
2
= 16 – (3i)
2
– 16 – 9i
2
+ 24i=
= 16 + 9 – 16 + 9 + 24i= 18 + 24i
2Calcula en forma binómica:
a) b)
c) (1 – i) d) +
a) = = = =
= = = 3 + 6 i
b) = = = =
= = = = – i
c) (1 – i) = = = =
= = = + i
d) + = + =
= + = + =
= = = + i
13
10
–7
10
–7 + 13i
10
2 + 6i– 9 + 7i
10
–9 + 7i
10
1 + 3i
5
–3 + 9i– 2i– 6
1 + 9
2 + i+ 2i– 1
4 + 1
(–3 – 2i) (1 – 3i)
(1 + 3i) (1 – 3i)
(1 + i) (2 + i)
(2 – i) (2 + i)
–3 – 2i
1 + 3i
1 + i
2 – i
23
13
15 1315 + 23i
13
21 + 14i+ 9i– 6
9 + 4
(7 + 3i) (3 + 2i)
(3 – 2i) (3 + 2i)
7 + 3i
3 – 2i
2 – 2i+ 5i+ 5
3 – 2i
2 + 5i
3 – 2i
7
20
9
20
9 – 7i
20
18 – 14i
40
12 + 4i– 18i+ 6
36 + 4
(–2 + 3i) (–6 – 2i)
(–6 + 2i) (–6 – 2i)
–2 + 3i
–6 + 2i
–2 + 3i
–4 + 4i– 2i– 2
–2 + 3i
(4 + 2i) (–1 + i)
24 + 48i
8
36 + 36i+ 12i– 12
4 + 4
(18 + 6i) (2 + 2i)
(2 – 2i) (2 + 2i)
18 + 6i
2 – 2i
12 – 6i+ 12i– 6i
2
2 – 2i
(3 + 3i) (4 – 2i)
2 – 2i
–3 – 2i
1 + 3i
1 + i
2 – i
2 + 5i
3 – 2i
–2 + 3i
(4 + 2i) (–1 + i)
(3 + 3i) (4 – 2i)
2 – 2i
Unidad 6. Números complejos
16

213. 3Estos números complejos son los resultados de las operaciones que los
siguen. Opera y di cuál corresponde a cuál:
2i, 20, –i, –2, –i
a) (1 – i) (4 – 2i) (1 + 3i) b) (2 + i) + (2 – i)
c) –
()
d)
e) +
a) (1 – i) (4 – 2i) (1 + 3i) = (4 – 2i– 4i– 2) (1 + 3i) =
= (2 – 6i) (1 + 3i) = 2 + 6i– 6i+ 18 = 20
b) (2 + i) + (2 – i) = + =
= =
= =
= = =
= = –2
c) –
()
= – []
=
= –
[]
= – ()
= – =
= = = = – i
d) = = = =
= = = = 2 i
e) + = + =
= + = + =
= = = – i
17
5
1 51 – 17i
5
–10 – 10i+ 11 – 7i
5
11 – 7i
5
–2 – 2i
1
6 + 3i– 10i+ 5
4 + 1
–2i– 2
1
(3 – 5i) (2 + i)
(2 – i) (2 + i)
(2 – 2i) (–i)
i(–i)
3 – 5i
2 – i
2 – 2i
i
26i
13
12 + 18i+ 8i– 12
4 + 9
(6 + 4i) (2 + 3i)
(2 – 3i) (2 + 3i)
6 + 4i
2 – 3i
3 + 2i
(2 – 3i)/2
4 – 1 + 4i+ 1 – 1 – 2i
(2 – 3i)/2
(2 + i)
2
+ (1 – i)
2
1 – (3/2)i
1
5
1 51 – i
5
2 – 2i
10
7 – i– 5 – i
10
5 + i
10
7 – i
10
25 + 5i
10
1 57 – i
10
1 – 3i+ 8i+ 24
1 + 9
1 56 + 2i– 3i+ 1
9 + 1
(1 + 8i) (1 – 3i)
(1 + 3i) (1 – 3i)
1
5
(2 – i) (3 + i)
(3 – i) (3 + i)
1 + 8i
1 + 3i
1
5
2 – i
3 – i
–10
5
3 + 4i+ 6i– 8 + 3 – 4i– 6i– 8
5
(1 + 2i) (3 + 4i) + (1 – 2i) (3 – 4i)
5
(1 + 2i) (4 – 1 + 4i) + (1 – 2i) (4 – 1 – 4i)
4 + 1
(1 + 2i) (2 + i)
2
+ (1 – 2i) (2 – i)
2
(2 – i) (2 + i)
(1 – 2i) (2 – i)
(2 + i)
(1 + 2i) (2 + i)
(2 – i)
1 – 2i
2 + i
1 + 2i
2 – i
3 – 5i
2 – i
2 – 2i
i
(2 + i)
2
+ (1 – i)
2
1 – (3/2)i
1 + 8i
1 + 3i
1
5
2 – i
3 – i
1 – 2i
2 + i
1 + 2i
2 – i
17
5
1 51 51 5
Unidad 6. Números complejos 17

214. 4Calcula:
a) i
37
b) i
126
c) i
87
d) i
64
e) i
–216
a)i
37
= i
1
= i
b)i
126
= i
2
= –1
c)i
87
= i
3
= –i
d)i
64
= i
0
= 1
e)i
–216
= = = = 1
5Dado el número complejo z= –+ i, prueba que:
a) 1 + z+ z
2
= 0 b) = z
2
a)z
2
= (
–+ i )
2
= + i
2
– i= – – i=
= –– i = –– i
1 + z+ z
2
= 1 + (
–+ i )
+ (
–– i )
= 1 – + i– – i= 0
b) = = = = =
= = = = –– i
z
2
= –– i(lo habíamos calculado en a)
Por tanto: = z
2
6Calcula my npara que se verifique la igualdad:
(2 + mi) + (n+ 5i) = 7 – 2i
(2 + mi) + (n+ 5i) = 7 – 2i
(2 + n) + (m+ 5)i= 7 – 2i→
n= 5
m= –7


2 + n= 7
m+ 5 = –2



1
z
√3
2
1 2
√3
2
1 2–1 – √3i
2
2(–1 – √3i)
4
2(–1 – √3i)
1 + 3
2(–1 – √3i)
(–1 + √
—
3i) (–1 – √
—
3i)
2
–1 +
√
—
3i
1
–1 + √
—
3i
———–—
2
1
1√
—
3
–
— + —i
22
1
z
√3
2
1 2√3
2
1 2√3
2
1 2√3
2
1 2
√3
2
1 2√3
2
2 4
√3
2
3 41 4√3
2
3 41 4√3
2
1 2
1 z
√3
2
1 2
1 11
i
0
1
i
216
Unidad 6. Números complejos
18

215. 7Determina kpara que el cociente sea igual a 2 – i.
= = = =
=
()
+ ()
i= 2 – i →
Por tanto, k= 3.
8Calcula ay bde modo que se verifique (a+ bi)
2
= 3 + 4i.
☛
Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4.
(a+ bi)
2
= 3 + 4i
a
2
+ bi
2
+ 2abi= 3 + 4i
a
2
– b
2
+ 2abi= 3 + 4i→
b= =
a
2
– ()
2
= 3 → a
2
– = 3 → a
4
– 4 = 3a
2
→ a
4
– 3a
2
– 4 = 0
a
2
= =
a= –2 → b= –1
a= 2 → b= 1
9Dados los complejos 2 – aiy 3 – bi, halla a y bpara que su producto sea
igual a 8 + 4i.
(2 – ai) (3 – bi) = 8 + 4i
6 – 2bi– 3ai+ abi
2
= 8 + 4i
6 – 2bi– 3ai– ab= 8 + 4i
(6 – ab) + (–2b– 3a)i= 8 + 4i
b=
4 + 3a
–2
6 – ab= 8
–2b– 3a= 4



a
2
= 4 → a= ±2
a
2
= –1 (no vale)
3 ± 5
2
3 ±√9 + 16
2
4
a
2
2
a
2
a
4
2a
a
2
– b
2
= 3
2ab= 4



1 – k
2
k+ 1
2
(k+ 1) + (1 – k)i
2
k– ki+ i+ 1
1 + 1
(k+ i) (1 – i)
(1 + i) (1 – i)
k+ i
1 + i
k+ i
1 + i
Unidad 6. Números complejos
19







= 2 → k= 3
= –1 → k= 3
1 – k
2
k+ 1
2

216. 6 – a()
= 8 → 6 + = 8
= 2 → 4a+ 3a
2
= 4 → 3a
2
+ 4a– 4 = 0
a= =
10Calcula el valor de ay bpara que se verifique a– 3i= .
a– 3i=
(a– 3i) (5 – 3i) = 2 + bi
5a– 3ai– 15i– 9 = 2 + bi
(5a– 9) + (–3a– 15)i= 2 + bi
11Halla el valor de bpara que el producto (3 – 6i) (4 + bi) sea:
a) Un número imaginario puro.
b) Un número real.
(3 – 6i) (4 + bi) = 12 + 3bi– 24i+ 6b= (12 + 6b) + (3b– 24)i
a) 12 + 6b= 0 → b= –2
b) 3b– 24 = 0 → b= 8
12Determina apara que (a– 2i)
2
sea un número imaginario puro.
(a– 2i)
2
= a
2
+ 4i
2
– 4ai= (a
2
– 4) – 4ai
Para que sea imaginario puro, ha de ser:
a
2
– 4 = 0 → a= ±2 → a
1
= –2, a
2
= 2
13Calcula xpara que el resultado del producto (x+ 2 + ix) (x– i) sea un nú-
mero real.
☛
Efectúa el producto. Iguala la parte imaginaria a 0 y resuelve la ecuación.
(x+ 2 + ix) (x– i) = x
2
– xi+ 2x– 2i+ x
2
i– xi
2
=
= x
2
– xi+ 2x– 2i+ ix
2
+ x= (x
2
+ 3x) + (x
2
– x– 2)i
Para que sea real, ha de ser:
x
2
– x– 2 = 0 → x= = =
x
1
= –1
x
2
= 2
1 ± 3
2
1 ±√1 + 8
2
a= 11/5
b= –108/5


5a– 9 = 2
–3a– 15 = b
2 + bi
5 – 3i
2 + bi
5 – 3i
–4 ± 8
6
–4 ±√16 + 48
6
4a+ 3a
2
2
4a+ 3a
2
2
4 + 3a
–2
Unidad 6. Números complejos
20
a= = → b= –3
a= = –2 → b= 1
–12
6
2 34 6

217. Números complejos en forma polar
14Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjuga-
dos, y exprésalos en forma polar:
a) 1 – i b) –1 + i c) + i d) – – i
e) – 4 f) 2 i g) –i h) 2 + 2i
a) 1 – i=
315°
Opuesto: –1 + i=
135°
Conjugado: 1 + i=
45°
b)–1 + i=
135°
Opuesto: 1 – i=
315°
Conjugado: –1 – i=
225°
c) + i= 2
30°
Opuesto: –– i= 2
210°
Conjugado: – i= 2
330°
d)–– i= 2
210°
Opuesto: + i= 2
30°
Conjugado: –+ i= 2
150°
e)–4 = 4
180°
Opuesto: 4 = 4
0°
Conjugado: –4 = 4
f) 2i= 2
90°
Opuesto: –2i= 2
270°
Conjugado: –2i= 2
2
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√2
√2
√2
√2
√2
√2
√3
3
4
√3√3
Unidad 6. Números complejos 21
1 – i
–1 + i 1 + i
–1 – i
–1 + i
1 – i
√
—
3 – i
√
—
3 + i
–√
—
3 – i
–√
—
3 + i √
—
3 + i
–√
—
3 – i
4–4
2i
–2i

218. g)–i= ()
270°
Opuesto: i= ()
90°
Conjugado: i= ()
90°
h) 2 + 2i=
60°
Opuesto: –2 – 2i=
240°
Conjugado: 2 – 2i=
300°
15Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 2
45º
b) 3
(π/6)
c)
180º
d) 17
0º
e) 1
(π/2)
f) 5
270º
g) 1
150º
h) 4
100º
a) 2
45°
= 2 (cos45°+ i sen45°) = 2 (
+ i )
= + i
b) 3
(π/6)
= 3(
cos+ i sen )
= 3(
+ i )
= + i
c)
180°
= (cos180°+ i sen180°) = (–1 + i· 0) = –
d) 17
0°
= 17
e) 1
(π/2)
= cos+ i sen= i
f) 5
270°
= –5i
g) 1
150°
= cos150°+ i sen150°= – + i= – + i
h) 4
100°
= 4 (cos100°+ i sen100°) = 4 (–0,17 + i· 0,98) = –0,69 + 3,94i
1
2
√3
2
1 2√3
2
π
2
π
2
√2√2√2√2
3 23√3
2
1 2√3
2
π
6
π
6
√2√2
√2
2
√2
2
√2
√14√3
√14√3
√14√3
3 43 4
3 43 4
3 43 4
Unidad 6. Números complejos 22
3i/4
–3i/4
2 + 2√
—
3i
–2 – 2√
—
3i
2 – 2√
—
3i

219. 16Calcula en forma polar:
a) (–1 – i)
5
b)
4
√
—
1 – i c)
d) e)
(–2 + 2i )
6
f ) (3 – 4i)
3
a) (–1 – i)
5
= (
225°
)
5
= 4
1 125°
= 4
45°
= 4(
+ i )
= 4 + 4i
b) = =
(300°+ 360°n)/4
=
75°+ 90°n
; n= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
75° 165° 255° 345°
c) = =
(360°k)/4
= 2
90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
2
0°
= 2 2
90°
= 2i2
180°
= –22
270°
= –2i
d) = = 2
(90°+ 360°k)/3
= 2
30°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
2
30°
= + i 2
150°
= –+ i 2
270°
= –2i
e)
(–2+ 2i )
6
= (4
150°
)
6
= 4 096
900°
= 4 096
180°
= –4 096
f) (3 – 4i)
3
= (5
306°52'
)
3
= 125
920°36'
= 125
200°36'
Página 163
17Calcula y representa gráficamente el resultado:
a) b)
()
3
c)
3
a) = = = =
= = = –1
–2
2
–1 – 1
2
i
2
– 1
2
i
14
– i
2i
8
i
7
– 1/i
7
2i
i
7
– i
–7
2i
√
1 + i
2 – i
1 – i
√3 + i
i
7
– i
–7
2i
√3
√3√3
3
√8
90°
3
√8i
√2√2√2√2√2√2√2√2
√2
4
√2
6
4
√64
0°
4
√64
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
300°
4
√1 – √

3i
√2
2
√2
2
√2√2√2√2
√3
3
√8i
6
√64√3
Unidad 6. Números complejos 23
–1

220. b)()
3
= ()
3
= (( )
285°)
3
= ()
855°
= ()
135°
=
= (cos135°+ i sen135°) =
=
(– + i )= + i
c)
3
=
3
=
3
=
3
+ i=
=
3
()
71°34'
= ()
(71°34' + 360°k)/3
=
6
23°51' + 120 k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
6
23°51'
= 0,785 + 0,347i
6
143°51'
= –0,693 + 0,56i
6
263°51'
= –0,092 – 0,853i
18Calcula y representa las soluciones:
a)
3
√
——
4 – 4i b) c)
a)
3
√
——
4 – 4i= = 2
(300°+ 360°k)/3
= 2
100°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
2
100°
= –0,35 + 1,97i
2
220°
= –1,53 – 1,26i
2
340°
= 1,88 – 0,68i
b) = = 2
(180°+ 360°k)/4
= 2
45°+ 90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
2
45°
= + i 2
135°
= –+ i
2
225°
= –– i 2
315°
= – i
√2√2√2√2
√2√2√2√2
4
√16
180°
4
√–16
3
√8
300°
√3
3
√8i
4
√–16√3
√
2
5
√
2
5
√
2
5
√
2
5
6
√10
3
√5
√10
5
3 51 5
√
1 + 3i
5√
(1 + i) (2 + i)
(2 – i) (2 + i)√
1 + i
2 – i
1
4
–1
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2
2
√2
315°
2
30°
1 – i
√3 + i
Unidad 6. Números complejos 24
–1
–
— + —i
1
4
1
4
1
i
2
2
2
22
22

221. c) = = 2
(90°+ 360°k)/3
= 2
30°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
2
30°
= + i 2
150°
= –+ i 2
270°
= –2i
19Calcula pasando a forma polar:
a)
(1 + i )
5
b) (–1 – i )
6
(– i )
c)
4
√
——
– 2 + 2 i d)
e) f)
g) h)
a) (1 + i)
5
= (2
60°
)
5
= 32
300°
= 32 (cos300°+ i sen 300°) =
= 32
(
– i )
= 16 – 16i
b)
(–1 – i )
6
(– i)= (2
240°
)
6
(2
330°
) = (64
1 440°
) (2
330°
) =
= (64
0°
) (2
330°
) = 128
330°
= 128 (cos330°+ i sen 330°) =
= 128
(+ i )= 64– 64i
c) = =
(120°+ 360°k)/4
=
30°+ 90°k
=
=
30°+ 90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
30°
= + i
120°
= – + i
210°
= –– i
300°
= – i
d) = = = =
()
–135°
= ()
225°
=
=
225°
= (cos225°+ i sen225°) = (
–– i )
= –1 – i
√2
2
√2
2
√2√2√2
2
√2
8
4√2
8
0°
4√
—
2
135°
8
0°
4√
—
2
1 575°
8
0°
(√
—
2
315°
)
5
8
(1 – i)
5
√6
2
√2
2
√2
√2
2
√6
2
√2
√6
2
√2
2
√2
√2
2
√6
2
√2
√2
4
√2
2
4
√4
4
√4
120°
4
√–2 + 2√

3i
√3
–1
2
√3
2
√3√3
√3
√3
2
1 2
√3
2 – 2i
–3 + 3i
3
√–i
√–1 – i
6
√–64
8
(1 – i)
5
√3
√3√3√3
√3√3
3
√8
90°
3
√8i
Unidad 6. Números complejos 25
22
2

222. e) = =
(180°+ 360°k)/6
= 2
30°+ 60°k
; k= 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
2
30°
= + i 2
90°
= 2i 2
150°
= –+ i
2
210°
= –– i 2
270°
= –22
330°
= – i
f ) = =
(225°+ 360°k)/2
=
112°30' + 180°k
; k= 0, 1
Las dos raíces son:
112°30'
= –0,46 + 1,1i
292°30'
= 0,46 – 1,1i
g) = = 1
(270°+ 360°k)/3
= 1
90°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
1
90°
= i 1
210°
= –– i 1
330°
= – i
h) = =
()
180°
= ()
(180°+ 360°k)/2
=
=
()
90°+ 180°k
; k= 0, 1
Las dos raíces son:
()
90°
= i ()
270°
= – i
20Calcula mpara que el número complejo 3 – mitenga el mismo módulo
que 2 + i.
3 – mi= = 5 → 9 + m
2
= 25 → m
2
= 16
2+ i= 5 m= ±4
Hay dos posibilidades: m= –4 y m= 4
21Expresa en forma polar z, su opuesto –z, y su conjugado
–
zen cada uno
de estos casos:
a) z= 1 –i b) z= –2 – 2i c) z= –2 + 2i
a)z= 1 – i= 2
300°
; –z= –1 + i= 2
210°
;
–
z= 1 + i= 2
60°
b)z= –2 – 2i= 2
225°
; –z= 2 + 2i= 2
45°
;
–
z= –2 + 2i= 2
135°
c)z= –2+ 2i= 4
150°
; –z= 2– 2i= 4
330°
;
–
z= –2– 2i= 4
210°
√3√3√3
√2√2√2
√3√3√3
√3√3
√5√5
√9 + m
2
√9 + m
2
√5√5
√
2
3√
2
3√
2
3√
2
3
√
2
3
√
2
3
2
3√
2√
—
2
315°
3√
—
2
135°√
2 – 2i
–3 + 3i
1
2
√3
2
1 2√3
2
3
√1
270°
3
√–i
4
√2
4
√2
4
√2
4
√2√√

2
225°
√–1 – i
√3√3
√3√3
6
√2
6
6
√64
180°
6
√–64
Unidad 6. Números complejos 26






223. 22Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las si-
guientes raíces:
a) b) c)
4
√
——
2+ 2i
a) = = 1
(90°+ 360°k)/5
= 1
18°+ 72°k
; k= 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
1
18°
1
90°
1
162°
1
234°
1
306°
Representación del polígono (pentágono):
b) = = 1
(180°+ 360°k)/6
= 1
30°+ 60°k
; k= 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
1
30°
1
90°
1
150°
1
210°
1
270°
1
330°
Representación del polígono (hexágono):
c) = =
(30°+ 360°k)/4
=
7°30' + 90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
7°30' 97°30' 187°30' 277°30'
√2√2√2√2
√2
4
√2
2
4
√4
30°
4
√2√

3 + 2i
6
√1
180°
6
√–1
5
√1
90°
5
√i
√3
6
√–1
5
√i
Unidad 6. Números complejos 27
1
1

224. Representación del polígono (cuadrado):
PARA RESOLVER
23Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus
argumentos , y la suma de sus módulos 8.
☛
Llámalos r
α
y s
β
y escribe las ecuaciones que los relacionan:
= 3
0º
(0º es el argumento del cociente, α–β= 0º); r + s = 8 y α+ β= .
= 3
r+ s= 8
α+ β=
α– β= 0°
Hallamos sus módulos:
= 3
r+ s= 8
Hallamos sus argumentos:
α+ β=
α– β= 0
Los números serán: 6
π/6
y 2
π
24El producto de dos números complejos es 2iy el cubo de uno de ellos divi-
dido por el otro es 1/2. Hállalos.
z· w= 2i
=
1
2
z
3
w
π
3
r
s
π
3
r
s
π
3
r
α
s
β
π
3
Unidad 6. Números complejos
28
√
—
2





r= 3s
3s+ s= 8; 4s= 8; s= 2; r= 6





α= β; 2β= ; β= ; α=
π
6
π
6
π
3





2z
3
= w; z· 2z
3
= 2i; 2z
4
= 2i; z
4
= i

225. z= = = 1
(90°+ 360°k)/4
= 1
22°30' + 90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Hay cuatro soluciones:
z
1
= 1
22°30'
→ w
1
= 2z
1
3
= 2 · 1
67°30'
= 2
67°30'
z
2
= 1
112°30'
→ w
2
= 2
337°30'
z
3
= 1
202°30'
→ w
3
= 2
607°30'
= 2
247°30'
z
4
= 1
292°30'
→ w
4
= 2
877°30'
= 2
157°30'
25El producto de dos números complejos es –8 y uno de ellos es el cuadrado
del otro. Calcúlalos.
w
3
= –8
w= = = 2
(180°+ 360°k)/3
= 2
60°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Hay tres soluciones:
w
1
= 2
60°
→ z
1
= 4
120°
w
2
= 2
180°
→ z
2
= 4
0°
= 4
w
3
= 2
300°
→ z
3
= 4
600°
= 4
240°
26De dos números complejos sabemos que:
• Tienen el mismo módulo.
• Sus argumentos suman 17π/6.
• El primero es conjugado del cuadrado del segundo.
¿Cuáles son esos números?
Llamamos a los números: z= r
α
y w= s
β
Tenemos que:
r= s
α+ β=
r
α
=
—
(s
β
)
2
r
α
=
—
s
2
2β
= s
2
2π– 2β
= r
2
2π– 2β
→
r= 1
2π– 2β+ β= ; β= – = rad →α= rad
Por tanto, los números son:
1
11π/3
y 1
–5π/6
= 1
7π/6
11π
3
7π
6
5π
6
17π
6
17π
6
3
√8
180°
3
√–8


z· w= –8
z= w
2
4
√1
90°
4
√i
Unidad 6. Números complejos 29













α= 2π– 2β
r= r
2
→
r= 0 (no vale)
r= 1

226. 27Calcula cos75º y sen75º mediante el producto 1
30º
· 1
45º
.
1
30°
· 1
45°
= 1
75°
= cos75°+ i sen75°
1
30°
· 1
45°
= (cos30°+ i sen30°) (cos45°+ i sen45°) = (
+ i)(
+ i )
=
= + i+ i– = + i
Por tanto:
cos75°= sen75°=
28Halla las razones trigonométricas de 15º conociendo las de 45º y las de
30º mediante el cociente 1
45º
: 1
30º
.
1
45°
: 1
30°
= 1
15°
= cos15°+ i sen15°
= = = =
= = = + i
Por tanto:
cos15°= sen15°=
29¿Para qué valores de xes imaginario puro el cociente ?
= = =
= = + i
Para que sea imaginario puro, ha de ser:
= 0 → x
2
+ 3x= 0 → x(x+ 3) = 0
30Halla, en función de x, el módulo de z= .
Demuestra que |z| = 1 para cualquier valor de x.
z=

= = 1
1 + xi
1 – xi
1 + xi
1 – xi
x= 0
x= –3
x
2
+ 3x
x
2
+ 1
x
2
– x– 2
x
2
+ 1
x
2
+ 3x
x
2
+ 1
(x
2
+ 3x) + (x
2
– x– 2)i
x
2
+ 1
x
2
– ix+ 2x– 2i+ x
2
i+ x
x
2
+ 1
(x+ 2 + xi) (x– i)
(x+ i) (x– i)
x+ 2 + xi
x+ i
x+ 2 + xi
x + i
√
—
6 – √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2i+ √
—
6i+ √
—
2
3 + 1
(√
—
2 + i√
—
2 ) (√
—
3 – i )
(
√
—
3 + i ) (√
—
3 – i )
√
—
2 + i√
—
2
√
—
3 + i
√
—
2/2 + i( √
—
2/2)
√
—
3/2 + i(1/2)
cos45°+ i sen45°
cos30°+ i sen30°
1
45°
1
30°
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2
4
√
—
6 + √
—
2
4
√
—
6 – √
—
2
4
√2
4
√2
4
√6
4
√6
4
√2
2
√2
2
1 2√3
2
Unidad 6. Números complejos
30
√1 + x
2
√1 + x
2

227. O bien:
z= = = = + i
z=
()
2
+ ()
2
= = =
= = = 1
31Calcula xpara que el número complejo que obtenemos al dividir
esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.
☛
El número complejo a + bi se representa como el punto (a, b), su afijo. Para
que esté en la bisectriz del primer cuadrante, debe ser a = b.
= = = + i
Ha de ser:
= → 4x– 6 = 3x+ 8 ⇒ x= 14
32La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus mó-
dulos es 10. ¿Cuáles son esos números?
Como z= 
–
z ⇒ z= 5
Si llamamos:
z= a+ bi→
–
z= a– bi
z+
–
z= a+ bi+ a– bi = 2a= 8 →a= 4
z=
–
z = = = 5 →16 + b
2
= 25 →
→b
2
= 9 →b= ± = ±3
Hay dos soluciones:
z
1
= 4 + 3i→
–
z
1
= 4 – 3i
z
2
= 4 – 3i→
–
z
2
= 4 + 3i
33La suma de dos números complejos es 3 + i. La parte real del primero es 2,
y el cociente de este entre el segundo es un número real. Hállalos.
Llamamos z= a+ biy w= c+ di
Tenemos que:
a+ c= 3
b+ d= 1 → b= 1 – d



z+ w= 3 + i
a= 2 → c= 1



√9
√16 + b
2
√a
2
+ b
2


z+
–
z= 8
z+ 
–
z= 10
3x+ 8
25
4x– 6
25
3x+ 8
25
4x– 6
25
4x+ 3xi+ 8i– 6
16 + 9
(x+ 2i) (4 + 3i)
(4 – 3i) (4 + 3i)
x+ 2i
4 – 3i
x+ 2i
4 – 3i
√1
√
(1 + x
2
)
2
(1 + x
2
)
2
√
x
4
+ 2x
2
+ 1
(1 + x
2
)
2√
1 + x
4
– 2x
2
+ 4x
2
(1 + x
2
)
2
2x
1 + x
2
1 – x
2
1 + x
2
2x
1 + x
2
1 – x
2
1 + x
2
1 – x
2
+ 2xi
1 + x
2
(1 + xi) + (1 + xi)
(1 – xi) (1 + xi)
1 + xi
1 – xi
Unidad 6. Números complejos
31
√

228. = = = = + i
Para que sea un número real, ha de ser:
= 0 → –2d+ b= 0 → b= 2d
2d= 1 – d→ 3d= 1 → d= , b=
Por tanto, los números son:
z= 2 + iy w= 1 + i
34Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar y
calcula el lado del triángulo formado al unir esos tres puntos.
= =
(225°+ 360°k)/3
=
75°+ 120°k
Las tres raíces son:
z
1
=
75°
z
2
=
195°
z
3
=
315°
Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno:
l
2
= ()
2
+ ()
2
– 2· · cos120°= 2 + 2 – 4 (
–)
= 4 + 2 = 6
l=
35Los afijos de las raíces cúbicas de 8ison los vértices de un triángulo equilá-
tero. Compruébalo.
¿Determinan el mismo triángulo los afijos de , o ?
Representa gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido.
• = = 2
(90°+ 360°k)/3
= 2
30°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
3
√8
90°
3
√8i
3
√–8
3
√8
3
√–8i
√6
1
2
√2√2√2√2
√2√2√2
√2√2
3
√√

8
225°
3
√–2 – 2i
3
√–2 – 2i
1
3
2 3
2 31 3
–2d+ b
1 + d
2
z
w
–2d+ b
1 + d
2
2 + bd
1 + d
2
2 – 2di+ bi+ bd
1 + d
2
(2 + bi) (1 – di)
(1 + di) (1 – di)
2 + bi
1 + di
z
w
Unidad 6. Números complejos
32
√
—
2
120°
z
1
l
z
2
z
3

229. Las tres raíces son:
z
1
= 2
30°
z
2
= 2
150°
z
3
= 2
270°
Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 120°, el triángulo
que determinan es equilátero.
• = = 2
(270°+ 360°k)/3
= 2
90°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z
1
= 2
90°
z
2
= 2
210°
z
3
= 2
330°
• = = 2
360°k/3
= 2
120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z
1
= 2
0°
z
2
= 2
120°
z
3
= 2
240°
• = = 2
(180°+ 360°k)/3
= 2
60°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z
1
= 2
60°
z
2
= 2
180°
z
3
= 2
300°
•Representación:
Página 164
36¿Pueden ser z
1
= 2 + i, z
2
= –2 + i, z
3
= –1 – 2iy z
4
= 1 – 2i, las raíces de un
número complejo? Justifica tu respuesta.
No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número com-
plejo, formarían entre ellas un ángulo de 90°; y ni siquiera
forman el mismo ángulo, como vemos en la representación
gráfica:
37Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos hexá-
gonos:
3
√–8
3
√8
3
√–8i
3
√8i
3
√8
180°
3
√–8
3
√8
0°
3
√8
3
√8
270°
3
√–8i
Unidad 6. Números complejos 33
z
1
z
2
z
3
z
1
z
2
z
3
z
1
z
2
z
3
z
1
z
2
z
3
1
i
22

230. 1
er
hexágono:
z
1
= 2
0°
= 2 z
2
= 2
60°
= 1 + iz
3
= 2
120°
= –1 + i
z
4
= 2
180°
= –2 z
5
= 2
240°
= –1 – iz
6
= 2
300°
= 1 – i
2-º hexágono:
z
1
= 2
30°
= + iz
2
= 2
90°
= 2iz
3
= 2
150°
= –+ i
z
4
= 2
210°
= –– iz
5
= 2
270°
= –2iz
6
= 2
330°
= – i
38¿Pueden ser las raíces de un número complejo z, los números 2
28º
, 2
100º
,
2
172º
, 2
244º
y 2
316º
?
☛
Como todos tienen el mismo módulo, sólo tienes que comprobar que los ángulos
entre cada dos de ellas son = 72º. Para hallar z, eleva una de ellas a la quin-
ta potencia.
28°+ 72°= 100° 100°+ 72°= 172°
172°+ 72°= 244° 244°+ 72°= 316°
Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quinta
cualquiera de ellas:
z= (2
28°
)
5
= 32
140°
39El complejo 3
40º
es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices
y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices.
☛
Para obtener los otros vértices puedes multiplicar cada uno por 1
72º
.
Los otros vértices serán:
3
112°
3
184°
3
256°
3
328°
El número será:
z= (3
40°
)
5
= 243
40Una de las raíces cúbicas de un número complejo zes 1 + i. Halla zy las
otras raíces cúbicas.
☛
Ten en cuenta que si = 1 + i →z = (1 + i)
3
.
1 + i=
45°
Las otras raíces cúbicas son:
45°+ 120°
=
165° 165°+ 120°
=
285°
Hallamos z:
z= (1 + i)
3
= (
45°)
3
=
135°
= (cos135°+ i sen135°) =
=
(
– + i )
= –2 + 2i
√2
2
√2
2
√8
√8√8√2
√2√2√2√2
√2
3
√z
360º
5
√3√3
√3√3
√3√3
√3√3
Unidad 6. Números complejos 34

231. Ecuaciones en ‚
41Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binó-
mica:
a) x
2
+ 4 = 0 b) x
2
+ x+ 4 = 0
c) x
2
+ 3x+ 7 = 0 d) x
2
– x+ 1 = 0
a)x
2
+ 4 = 0 → x
2
= –4 → x= ± = ±2i
x
1
= –2i, x
2
= 2i
b)x
2
+ x+ 4 = 0 → x= = =
x
1
= –– i, x
2
= –+ i
c)x
2
+ 3x+ 7 = 0 → x= = =
x
1
= –– i, x
2
= –+ i
d)x
2
– x+ 1 = 0 → x= = =
x
1
= – i, x
2
= + i
42Resuelve las ecuaciones:
a) x
5
+ 32 = 0 b) ix
3
– 27 = 0
a)x
5
+ 32 = 0 → x
5
= –32
x= = = 2
(180°+ 360°k)/5
= 2
36°+ 72°k
; k= 0, 1, 2, 3, 4
Las cinco raíces son:
2
36°
2
108°
2
180°
2
252°
2
324°
b)ix
3
– 27 = 0 → x
3
+ 27i= 0 → x
3
= –27i
x= = = 3
(270°+ 360°k)/3
= 3
90°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
3
90°
3
210°
3
330°
43Resuelve las siguientes ecuaciones en ‚:
a) z
2
+ 4 = 0 b) z
2
– 2z + 5 = 0 c) 2 z
2
+ 10 = 0
a)z
2
+ 4 = 0 → z
2
= –4 → z= ± = ±2i
z
1
= –2i, z
2
= 2i
√–4
3
√27
270°
3
√–27i
5
√32
180°
5
√–32
√3
2
1 2√3
2
1 2
1 ±√3i
2
1 ±√–3
2
1 ±√1 – 4
2
√19
2
3 2√19
2
3 2
–3 ±√19i
2
–3 ±√–19
2
–3 ±√9 – 28
2
√15
2
1 2√15
2
1 2
–1 ±√15i
2
–1 ±√–15
2
–1 ±√1 – 16
2
√–4
Unidad 6. Números complejos 35

232. b)z
2
– 2z+ 5 = 0 → z= = = = 1 ± 2 i
z
1
= 1 – 2i, z
2
= 1 + 2i
c) 2z
2
+ 10 = 0 → 2z
2
= –10 → z
2
= –5 → z= ±i
z
1
= –i, z
2
= i
44Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) z
4
– 1 = 0 b) z
4
+ 16 = 0 c) z
4
– 8z= 0
☛
En a) y b) despeja z y halla las cuatro raíces. En c) haz z( z
3
– 8)= 0 e
iguala a 0 cada factor.
a)z
4
– 1 = 0 → z
4
= 1 → z= = = 1
360°k/4
= 1
90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
1
0°
= 1 1
90°
= i 1
180°
= –1 1
270°
= –i
b)z
4
+ 16 = 0 → z
4
= –16 → z= = = 2
(180°+ 360°k)/4
=
= 2
45°+ 90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
2
45°
= + i 2
135°
= –+ i
2
225°
= –– i 2
315°
= – i
c)z
4
– 8z= 0 → z(z
3
– 8) = 0
= = 2
(360°k)/3
= 2
120°k
; k= 0, 1, 2
Las soluciones de la ecuación son:
0 2
0°
= 2 2
120°
= –1 + i 2
240°
= –1 – i
45Resuelve estas ecuaciones y expresa las soluciones en forma binómica:
a) z
3
+ 8i= 0 b) iz
4
+ 4 = 0
a)z
3
+ 8i= 0 → z= = = 2
(270°+ 360°k)/3
= 2
90°+ 120°k
; k= 0, 1, 2
Las tres raíces son:
2
90°
= 2i 2
210°
= –– i 2
330°
= – i
b)iz
4
+ 4 = 0 → z
4
– 4i= 0 → z
4
= 4i
z= = =
(90°+ 360°k)/4
=
22°30' + 90°k
; k= 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
22°30'
= 1,3 + 0,5i
112°30'
= –0,5 + 1,3i
202°30'
= –1,3 – 0,5i
292°30'
= 0,5 – 1,3i
√2√2
√2√2
√2√2
4
√4
90°
4
√4i
√3√3
3
√8
270°
3
√–8i
√3√3
3
√8
0°
3
√8
z= 0
z=
3
√
—
8
√2√2√2√2
√2√2√2√2
4
√16
180°
4
√–16
4
√1
0°
4
√1
√5√5
√5
2 ± 4i
2
2 ±√–16
2
2 ±√4 – 20
2
Unidad 6. Números complejos
36

233. 46Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones:
1 + iy 2 – 3i
☛
Ten en cuenta que si z
1
y z
2
son soluciones de una ecuación de segundo grado,
esta será de la forma (z – z
1
)(z – z
2
)= 0.
La ecuación pedida será [z – (1 + i)] [z – (2 – 3i)] = 0. Multiplica y exprésala en for-
ma polinómica.
[z– (1 + i)] [z– (2 – 3i)] = z
2
– (2 – 3i)z– (1 + i)z+ (1 + i) (2 – 3i) =
= z
2
– (2 – 3i+ 1 + i)z+ (2 – 3i+ 2i– 3i
2
) =
= z
2
– (3 – 2i)z+ (5 – i) = 0
47Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 2 – 3iy 2 + 3i.
[z– (2 – 3i)] [z– (2 + 3i)] = [(z– 2) + 3i] [(z– 2) – 3i] =
= (z– 2)
2
– (3i
2
) = z
2
– 4z+ 4 – 9i
2
=
= z
2
– 4z+ 13 = 0
Interpolación gráfica de igualdades entre complejos
48Representa los números complejos ztales que z+
–
z = –3.
☛
Escribe z en forma binómica, súmale su conjugado y representa la condición
que obtienes.
Llamamos z= x+ iy
Entonces:
–
z= x– iy
Así:
z+
–
z= x+ iy+ x– iy= 2x= –3 → x= –
Representación:
49Representa los números complejos que verifican:
a)
–
z = –z b) |z +
–
z| = 3 c) | z –
–
z| = 4
a)z= x+ iy→
–
z= x– iy
–
z= –z→ x– iy= –x– iy→ 2x= 0 → x= 0 (es el eje imaginario)
3
2
Unidad 6. Números complejos
37
1–1–2
x = – —
3
2

234. Representación:
b)z+
–
z= x+ iy+ x– iy= 2x
z+
–
z= 2x= 3
Representación:
c)z–
–
z= x+ iy– z+ iy= 2yi
z–
–
z= 2yi= 2y= 4
Representación:
50Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya re-
presentación gráfica es la siguiente:
2y= 4 → y= 2
2y= –4 → y= –2
2x= 3 → x= 3/2
2x= –3 → x= –3/2
Unidad 6. Números complejos
38
1–1
x = 0
1 2–1–2
x = —
3
2
x = – —
3
2
2
–2
–31
1
3
1
2
–11
1
2
2–3
3
–2
a)
d)
b)
e)
c)
f)

235. ☛ En a), b) y f) es una igualdad.
En c) y d), una desigualdad.
En e), dos desigualdades.
a) Re z= –3 b) Im z= 2
c) –1 ≤Re z≤1d) 0 ≤Im z< 2
e) f) z= 3
Página 165
CUESTIONES TEÓRICAS
51¿Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es 0?
No, también son reales los números con argumento 180°(los negativos).
52Prueba que |z| =
Si z= x+ iy, entonces
–
z= x– iy.
Así:
z·
–
z= (x+ iy) (x– iy) = x
2
– (iy)
2
= x
2
– i
2
y
2
= x
2
+ y
2
Por tanto:
= = z
53Si z= r
α
, ¿qué relación tienen con zlos números r
α+ 180º
y r
360º – α
?
r
α+ 180°
= –z(opuesto de z)
r
360°– α
=
–
z(conjugado de z)
54Comprueba que:
a)
–—–
z + w =
–
z +
–
w b)
–—–
z · w =
–
z ·
–
w c)
—
kz = k
–
z, con k∈ç
z= a+ bi= r
α
→
–
z= a– bi= r
360°–α
w= c+ di= r'
β
→
–
w= c– di= r'
360°– β
a)z+ w= (a+ c) + (b+ d)i→
—
z+ w= (a+ c) – (b+ d)i
–
z+
–
w= a– bi+ c– di= (a+ c) – (b+ d)i=
—
z+ w
b)x· w= (r· r')
α+ β
→
—
z· w= (r· r')
360°– (α+ β)
–
z·
–
w= (r· r')
360°– α+ 360°– β
= (r· r')
360°– (α+ β)
=
—
z· w
c)kz= ka+ kbi→
—
kz= ka– kbi
k
–
z= ka– kbi=
—
kz
√x
2
+ y
2
√z·
–
z
√z·
–
z
–3 < Re z< 2
–2 < Im z< 3



Unidad 6. Números complejos
39

236. 55Demuestra que ||= .
= =
()
–α
= ()
360°– α
→

= =
56El producto de dos números complejos imaginarios, ¿puede ser real? Aclára-
lo con un ejemplo.
Sí. Por ejemplo:
z= i, w= i
z· w= i· i= i
2
= –1 ∈ ç
57Representa el número complejo z= 4 – 3i. Multiplícalo por iy comprueba
que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a zun giro de 90º.
iz= 4i– 3i
2
= 3 + 4i
58Halla el número complejo zque se obtiene al transformar el complejo 2 + 3i
mediante un giro de 30º con centro en el origen.
2 + 3i=
56°18'
z=
56°18'
· 1
30°
=
86°18'
= 0,23 + 3,60i
59¿Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto?
Se diferencian en 180°. Si el argumento del número es α, el de su opuesto es:
180°+ α
60¿Qué condición debe cumplir un número complejo z= a+ bipara que
–
z= ?
☛
Halla , e iguala a a – bi.
= = = = a– bi
a– bi
a
2
+ b
2
a– bi
(a+ bi) (a– bi)
1
a+ bi
1
z
1
z
1
z
√13√13
√13
1
z
1
r
1
z
1
r
1
r
1
0°
r
α
1
z
1
|z|
1 z
Unidad 6. Números complejos 40
90°
4 – 3i
3 + 4i

237. = a = a
2
+ b
2
→ a
2
+ b
2
= 1 (módulo 1)
= –b Ha de tener módulo 1
PARA PROFUNDIZAR
61La suma de dos números complejos, z = a + bi, w = c + di, dividida por su
diferencia, es un número imaginario puro.
Prueba que los dos números zy whan de tener el mismo módulo.
☛
Haz , calcula la parte real de ese cociente e iguala a 0.
= = =
= =
=
Para que sea imaginario puro, su parte real ha de ser 0:
= 0 → a
2
– c
2
+ b
2
– d
2
= 0
a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
→ = → z= w
62Sea z≠0 un complejo y w=
–+ i. Prueba que los afijos de z, zwy
zw
2
son los vértices de un triángulo equilátero.
☛
Expresa w en forma polar y recuerda el significado de la multiplicación por 1
α
z= r
α
, w= 1
120°
z· w= r
α
· 1
120°
= r
α+ 120°
z· w
2
= r
α
· (1
120°
)
2
= r
α
· 1
240°
= r
α+ 240°
Como los tres tienen el mismo módulo y forman entre sí 120°, sus afijos son los
vértices de un triángulo equilátero.
63Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de
sus vértices en el punto
(, ).
Halla los otros vértices y la longitud de su lado.
√2√2
√3
2
1 2
√c
2
+ d
2
√a
2
+ b
2
a
2
– c
2
+ b
2
– d
2
(a– c)
2
+ (b– d)
2
(a
2
– c
2
+ b
2
– d
2
) + [(a+ c) (b– d) + (b+ d) (a– c)]i
(a– c)
2
+ (b– d)
2
(a
2
– c
2
) + (a+ c) + (b– d)i+ (b+ d) + (a– c)i– (b
2
– d
2
)i
2
(a– c)
2
+ (b– d)
2
[(a+ c) + (b+ d)i] [(a– c) – (b– d)i]
[(a– c) + (b– d)i] [(a– c) – (b– d)i]
(a+ c) + (b+ d)i
(a– c) + (b– d)i
z+ w
z– w
z+ w= (a+ c) + (b+ d)i
z– w= (a– c) + (b– d)i


z= a+ bi
w= c+ di
(a + c)+ (b + d)i
(a – c)+ (b – d)i
–b
a
2
+ b
2
a
a
a
a
2
+ b
2
Unidad 6. Números complejos
41








238. El punto (, )corresponde al afijo del número complejo z= + i= 2
45°
.
Para hallar los otros vértices, multiplicamos zpor 1
72°
:
z
2
= 2
117°
= –0,91 + 1,78iz
3
= 2
189°
= –1,97 – 0,31i
z
4
= 2
261°
–0,31 – 1,97iz
5
= 2
333°
= 1,78 – 0,91i
Los otros tres vértices serán:
(–0,91; 1,78) (–1,97; –0,31) (–0,31; –1,97) (1,78; –0,91)
Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno:
l
2
= 2
2
+ 2
2
– 2 · 2 · cos72°
l
2
= 4 + 4 – 4 · 0,31
l
2
= 8 – 1,24
l
2
= 6,76
l= 2,6 unidades
64Si el producto de dos números complejos es –8 y dividiendo el cubo de uno
de ellos entre el otro obtenemos de resultado 2, ¿cuánto valen el módulo y el
argumento de cada uno?
r
α
· r'
β
= (r· r')
α+ β
= 8
180°
→
= =
()
3α– β
= 2
0°
→
Así:
α+ 3α= 180°→ 4α= 180°→
Por tanto: z= 2
45°
, w= 4
135°
65Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráfica-
mente el resultado:
a) 3
π/3
b) 2i c) –1 + i
¿Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número comple-
jo y de su inverso?
α= 45°
β = 135°





α + β= 180°
3α = β
r= 2
r'= 4





r· r'= 8
r
3
= 2r'
r
3
r'
r
3
3α
r'
β
(r
α
)
3
r'
β
r· r'= 8
α + β = 180°









z= r
α
w= r'
β
–8 = 8
180°
2 = 2
0°
√2√2√2√2
Unidad 6. Números complejos 42
2
2
l
72°





= 2
3α– β= 0°
r
3
r'







r'=
r'=
r
3
2
8
r
= → 16 = r
4
→
r
3
2
8
r

239. a) = = ()
–π/3
= ()
b) = = i
c)–1 + i=
135°
= = ()
–135°
= ()
225°
= –– i
Si z= r
α
, entonces = ()
360°– α
66Representa gráficamente las igualdades siguientes. ¿Qué figura se determina
en cada caso?
a) |z– (1 + i)| = 5 b) | z– (5 + 2i)| = 3
a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.
1
r
1
z
1 21 21
√2
1
√2
1
0°
√2
135°
1
–1 + i
√2
–1
2
–i
2
1
2i
1
3
1 3
1
0°
3
π/3
1
3
π/3
Unidad 6. Números complejos
43
π/3
3
π/3
(1/3
–π/3
) –π/3
2i
–1/2i
–1 + i
1
–1 + i
———
1
(1, 1)
1
5

240. b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.
67Escribe la condición que verifican todos los números complejos cuyos afijos
estén en la circunferencia de centro (1, 1) y radio 3.
z– (1 + i)= 3
PARA PENSAR UN POCO MÁS
68Demuestra, utilizando números complejos, que en
un paralelogramo cualquiera la suma de los cuadra-
dos de las diagonales es igual al doble de la suma de
los cuadrados de los lados.
☛
Al formar un paralelogramo cuyos lados contiguos
sean dos números complejos, z y w, observa qué rela-
ción tienen con estos las diagonales.
Y recuerda (ejercicio 52) que el cuadrado del módulo de un complejo, |z|
2
, es
igual al producto de z por su conjugado
–
z. Es decir |z|
2
= z ·
–
z (*)
Para demostrar la igualdad propuesta, exprésala utilizando los cuadrados de los
módulos de los complejos correspondientes, desarróllala utilizando la propiedad
(*), opera y simplifica.
Suma de los cuadrados de los lados: z
2
+ w
2
Suma de los cuadrados de las diagonales: z+ w
2
+ z– w
2
Operamos:
z+ w
2
+ z– w
2
= (z+ w) (
–
z+
–
w) + (z– w) (
–
z–
–
w) =
= z
–
z+ z
–
w+ zw+ w
–
w+ z
–
z– z
–
w– zw+ w
–
w=
= z
–
z+ z
–
z+ w
–
w+ w
–
w= 2z·
–
z+ 2w·
–
w= 2 (z
–
z+ w
–
w) =
= 2 (z
2
+ w
2
)
Unidad 6. Números complejos
44
2
5
(5, 2)
3
z – w
z + w
z
w

241. Página 168
RESUELVE TÚ
Aparte de la Luna y el Sol, los objetos celestes que se nos presentan con más bri-
llo son planetas: Venus, Marte y Júpiter. Después de ellos, el astro más brillante
es la estrella Sirio. Observándola con seis meses de diferencia, presenta una pa-
ralaje de 0,72". ¿A qué distancia se encuentra?
Como hemos visto:
d=
Si α = 0,72", quedaría:
d= = 8,6 · 10
13
km ≈9 años-luz
150 000 000
sen(0,72"/2)
150 000 000
sen(α/2)
Unidad 6. Números complejos
45

242. Página 172
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Multiplica vectores por números
→Copia en un papel cuadriculado los siguientes vectores:
Representa:
a) 2
→
a b) 5
→
b c)
→
c
Expresa el vector
→
d como producto de uno de los vectores
→
a,
→
b o
→
c por un
número.
Designa los vectores anteriores mediante pares de números. Por ejemplo:
→
a (2, 3).
Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente.
→ •
→
d = –2,5
→
b =
→
b
•
→
a (2, 3)
→
b (–2, –2)
→
c (3, 0)
→
d (5, 5)
•2
→
a = 2 (2, 3) = (4, 6)
5
→
b = 5 (–2, –2) = (–10, –10)
→
c = (3, 0) = (1, 0)
1
3
1 3
–5
2
1 3
Unidad 7. Vectores 1
VECTORES7



→
a
→
c
→
d
→
b
2a
1/3 c
→
→
d = –5/2 b
→→
5b
→

243. Página 173
Suma de vectores
→Efectúa gráficamente:
a)
→
a +
→
c b)
→
b +
→
c c)
→
b +
→
a d)
→
a +
→
b +
→
c
siendo
→
a,
→
b y
→
c los del ejercicio anterior.
Realiza las mismas sumas con pares de números. Por ejemplo:
→
a +
→
c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
→a)
→
a +
→
c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
b)
→
b +
→
c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2)
c)
→
b +
→
a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1)
d)
→
a +
→
b +
→
c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1)
Combina operaciones
→
Con los vectores
→
u,
→
v y
→
w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y
mediante pares de números:
a) 2
→
u + 3
→
v b) –
→
v + 5
→
w c) 2
→
u + 3
→
v – 4
→
w
¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación?
→a) 2
→
u + 3
→
v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4)
b)–
→
v + 5
→
w= –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3)
c) 2
→
u + 3
→
v – 4
→
w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0)
Vector nulo:
→
0
Unidad 7. Vectores
2
a + c
a
→
→
a
→ a
→
c
→
c
→
c
→
b
→
b
→
b
→
→
b + c
→
→
b + a
→
→
a + b + c
→
→→
a) b) c) d)
→
u
→
v
→
w

244. Página 177
1.Si
→
u(–2, 5) y
→
v(1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una
base, halla las coordenadas respecto de la misma base de:
a) 2
→
u +
→
v b)
→
u –
→
v c) 3
→
u +
→
v d) –
→
u – 2
→
v
a) 2
→
u +
→
v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6)
b)
→
u –
→
v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)
c) 3
→
u +
→
v = 3 (–2, 5) + (1, –4) = (–6, 15) + (
, )
= (
, )
d)–
→
u – 2
→
v = –(–2, 5) – 2 (1, –4) = (
1, )
+ (–2, 8) = (
–1, )
Página 178
1.Demuestra las propiedades 1, 3, 5 y 8.
•Propiedad 1: Si
→
u =
→
0 ⇒
→
u ·
→
v= 
→
u
→
vcos(
→
u,
→
v) =
= 
→
0
→
vcos(
→
u,
→
v) =
= 0 · 
→
vcos(
→
u,
→
v) = 0
Si
→
v =
→
0 ⇒ se demuestra de forma análoga
•Propiedad 3: Si
→
u ·
→
v = 0 ⇒ 
→
u
→
vcos(
→
u,
→
v ) = 0
Como:
→
u ≠
→
0 ⇒ 
→
u≠0
→
v ≠
→
0 ⇒ 
→
v≠0
Tiene que ser cos(
→
u,
→
v) = 0 ⇒
→
u,
→
v = 90°⇒
→
v ⊥
→
u
11
2
–5
2
1 21 2
41
3
–17
3
–4
3
1 31 31 3
1 21 3
Unidad 7. Vectores 3
2u
→
2u + 3v
→→
3v
→ –v
→
5w
→
–v + 5w
→→
a) b)
2u
→
3v
→
–4w
→
c)








245. •Propiedad 5:
→
u ·
→
v = 
→
u
→
vcos(
→
u,
→
v)
(*)
= 
→
v
→
ucos(
→
v,
→
u) =
→
v ·
→
u
(*)
pues cosα= cos(–α)
•Propiedad 8: Si B(
→
x,
→
y ) es una base ortonormal →
→
→
x ⊥
→
y → por la propiedad 2:
→
x ·
→
y = 0 →
→ por la propiedad 5:
→
x ·
→
y =
→
y ·
→
x = 0
Además:
→
x ·
→
x = 
→
x
→
xcos0°= 
→
x
→
x· 1 = 1
→
y ·
→
y = 
→
y
→
ycos0°= 
→
y
→
y· 1 = 1
pues en una base ortogonal 
→
x= 1, 
→
y= 1.
2.Reflexiona sobre lo que significan las propiedades 6 y 7. Pon ejemplos y justi-
fícalos.
•Propiedad 6:λ(
→
u ·
→
v) = λ [
→
u
→
vcos(
→
u,
→
v)]=
= λ
[
→
u· proy
→
v sobre
→
u]
(λ
→
u) ·
→
v= λ
→
u
→
vcos(
→
u,
→
v) =
= (λ
→
u) 
→
vcos(
→
u,
→
v) =
= (λ
→
u) proy
→
v sobre
→
u
En ambos casos, a la proyección de
→
v sobre
→
u la multiplicamos por λ y por 
→
u
(ambas escalares). Luego se trata de la longitud de un segmento proporcional al
segmento OP(proyección de
→
v sobre
→
u).
Ejemplo: supongamos λ = 2, 
→
u= 3, 
→
v= 1
O'P"= (λ
→
u) ·
→
v
•Propiedad 7:
→
u · (
→
v +
→
w) = 
→
u· proy. de (
→
v +
→
w) sobre
→
u
→
u ·
→
v +
→
u ·
→
w= 
→
u· proy. de
→
v sobre
→
u + 
→
u· proy. de
→
w sobre
→
u =
= 
→
u(proy. de
→
v sobre
→
u + proy. de
→
w sobre
→
u)
Luego en ambos casos hay que multiplicar por 
→
u. Solo vemos que la proyección
de (
→
v +
→
w) sobre
→
u es igual que la suma de las proyecciones de ambos vectores
por separado.
O'P'=
→
u ·
→
v
O'P"= λ(
→
u ·
→
v)



Unidad 7. Vectores
4
λv = 2v
→→
v
→
→
O' P'
PO
P" O' P' P"
u
→
PO
u

246. Veamos un ejemplo:
→
—
OR=
—
OQ+
—
QR=
→
OQ+
→
OP
y ya se tiene el resulado.
3.A partir de la propiedad 4, demuestra que si
→
v≠0, entonces:
(proyección de
→
u sobre
→
v ) =
Por la propiedad 5:
→
u ·
→
v =
→
v ·
→
u
Y aplicando ahora la propiedad 4:
→
u ·
→
v =
→
v ·
→
u = 
→
v· (proyección de
→
u sobre
→
v)
Entonces, si 
→
v≠0, se tiene:
(proyección de
→
u sobre
→
v ) =
Página 184
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Los vectores y sus operaciones
1La figura ABCDes un rombo.
Compara el módulo, la dirección y el sentido
de los siguientes pares de vectores:
a)
→
AB y
→
BC b)
→
AQ y
→
BC
c)
→
BM y
→
PD d)
→
OC y
→
OD
→
u·
→
v

→
v
→
u ·
→
v

→
v





—
OP= proy de →
v sobre
→
u
—
OQ= proy de
→
w sobre
→
u
Como
—
OP=
—
QR
Unidad 7. Vectores
5
v
→
u
→
w
→
v + w
→→
OP QR
B
C
A
M
N
Q
P
D
O

247. a)
→
AB= 
→
BC
Tienen distinta dirección.
b)

→
AQ
= 
→
BC

→
→
AQ =
→
BC
c) Los dos vectores tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo senti-
do, luego:
→
BM=
→
PD
d)
→
OC< 
→
OD
Sus direcciones son perpendiculares →
→
OC⊥
→
OD
2Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores iguales a
→
NCy otros tres igua-
les a
→
MQ.
→
NC=
→
BN=
→
AQ=
→
QD
→
MQ=
→
NP=
→
BO=
→
OD
3Sustituye los puntos suspensivos por un número, de forma que estas igual-
dades sean verdaderas para el rombo del ejercicio 1:
a)
→
CD = 2
→
CP b)
→
MN= …
→
AC
c)
→
OC = …
→
OA d)
→
NB= …
→
BC
a)
→
CD = 2
→
CP b)
→
MN=
→
AC
c)
→
OC= –
→
OA d)
→
NB= –
→
BC
4Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en el
rombo del ejercicio 1, sean verdaderas:
a)
→
AM +
→
MN =
→
AN b)
→
MN+
→
…C=
→
MC
c)
→
M… +
→
OP =
→
OD d)
→
AM +
→
A… =
→
AO
a)
→
AM +
→
MN =
→
AN b)
→
MN+
→
NC=
→
MC
c)
→
MA+
→
OP=
→
OD d)
→
AM+
→
AQ=
→
AO
1
2
1 2
1 2





Dirección de
→
AQ= dirección de
→
BC
Sentido de
→
AQ= sentido de
→
BC
1
2
Unidad 7. Vectores
6

248. 5Observa el rombo de la figura y calcula:
a)
→
AB +
→
BC b)
→
OB +
→
OC
c)
→
OA +
→
OD d)
→
AB +
→
CD
e)
→
AB +
→
AD f)
→
DB –
→
CA
Expresa los resultados utilizando los vértices del
rombo.
a)
→
AC b)
→
AB=
→
DC
c)
→
BA=
→
CD d)
→
AA=
→
0
e)
→
AC f) 2
→
DC
6Considera el vector
→
w:
Dibuja en cada uno de estos casos un vector
→
v que sumado con
→
u dé como
resultado
→
w:
a) b)
c) d)
7Los vectores
→
a,
→
b y
→
c los he-
mos obtenido operando con
los vectores
→
x,
→
y,
→
z.
¿Qué operaciones hemos he-
cho en cada caso?
→
b =
→
x +
→
y –
→
z
→
c =
→
x –
→
y +
→
z
Unidad 7. Vectores
7
B
O C
A
D
→
w
→
u
→
u
→
u
→
u
u
→
u
→
u
→
u
→
v
→
v
→
v
→ v
→
w
→
w
→
w
→
w
→
a)
d)
b) c)
→
z→
x
→
y
–
→
z
→
a
→
c
→
a =
→
y –
→
z –
→
x
–
→
x
→
y
→
b

249. 8Al dibujar los vectores
→
x + 2
→
y;
→
y +
→
z +
→
x;
→
y –
→
z;
→
z –
→
x – 2
→
y, siendo
→
x,
→
y y
→
z
los vectores del ejercicio anterior, hemos obtenido:
Asocia cada expresión a su resultado.
→
u =
→
y +
→
z +
→
x
→
w =
→
z –
→
x – 2
→
y
→
t =
→
y –
→
z
9Expresa el vector
→
z como combinación lineal de
→
x e
→
y. Hazlo después con
el vector
→
u.
☛
Dibuja
→
x,
→
y,
→
z con el mismo origen. Prolonga los vectores
→
x,
→
y en los dos
sentidos. Desde el extremo de
→
z, traza paralelas a
→
xe
→
y hasta formar un
paralelogramo del que
→
z sea una diagonal.
→
z = 3,5
→
x –
→
y
→
u = –4
→
x + 2
→
y
Con coordenadas, sería:
→
z = a
→
x + b
→
y = a(0, 2) + b(4, 3) = (–4, 4) → →
→ →
→
z =
→
x –
→
y
→
u = a(0, 2) + b(4, 3) = (8, –2) → →
→ →
→
u = –4
→
x + 2
→
y
Página 185
Bases y coordenadas
10A la vista de la figura, dibuja los vectores:
–
→
u +
→
v,
→
u –
→
v,
→
u +
→
v, –
→
u –
→
v
–
→
u + 2
→
v,
→
u – 2
→
v
Si tomamos como base (
→
u,
→
v ), ¿cuáles son las coordenadas de los vectores
que has dibujado?


b= 2
2a+ 3 · 2 = –2 → a= –4





0a+ 4b= 8
2a+ 3b= –2



7
2

b= –1
2a+ 3 (–1) = 4 → a= 7/2





0a+ 4b= –4
2a+ 3b= 4



Unidad 7. Vectores
8
→
t
→
u
→
v =
→
x + 2
→
y
→
w
→
u
→
z
→
x
→
y
→
v
→
u

250. –
→
u +
→
v = (–1, 1)
→
u –
→
v = (1, –1)
→
u +
→
v = (1, 1)
–
→
u –
→
v = (–1, –1) –
→
u + 2
→
v = (–1, 2)
→
u – 2
→
v = (1, –2)
11Expresa gráficamente el vector
→
y de la forma:
→
y = m
→
x + n
→
z.
¿Qué signo tendrán my n? ¿Cómo serán, mayores o meno-
res que 1?
m, n> 0
m> 1, n< 1
12Escribe los vectores
→
u,
→
v,
→
w como combinación lineal de
→
x e
→
y.
¿Cuáles serán las coordenadas de esos vectores respecto a la base B(
→
x,
→
y)?
→
u = –
→
x +
→
y, luego
→
u = (
–, )
respecto de B(
→
x,
→
y).
→
v =
→
x +
→
y, luego
→
v = (
, 1)
respecto de B(
→
x,
→
y).
→
w =
→
x +
→
y, luego
→
w = (
, 1)
respecto de B(
→
x,
→
y).
3
2
3 2
3 43 4
1 21 21 21 2
Unidad 7. Vectores 9
u
→
–u
→
–u
→
–u
→
–v
→
–v
→
–2v
→
2v
→
–u + v
→→
–u – v
→→
u – v
→→
u – 2v
→→
–u + 2v
→→
u + v
→→
v
→
v
→
u
→
u
→
v
→
u
→
→
x
→
y
→
z
x
→
z
→
y
→
mx
→
nz
→
→
v
→
u
→
y
→
x
→
w

251. 13Escribe las coordenadas de los vectores
→
a,
→
b,
→
c,
→
d,
→
e con respecto a la ba-
se B(
→
x,
→
y).
→
a (–1, –1)
→
b (3, 3)
→
c (–2, –3)
→
d (4, –1)
→
e (–4, 0)
14Si las coordenadas de los vectores
→
u y
→
v son (3, –5) y (–2, 1), obtén las
coordenadas de:
a) –2
→
u +
→
v b) –
→
u–
→
v c) (
→
u +
→
v) – (
→
u –
→
v)
a)–2 (3, –5) + (–2, 1) = (–6, 10) +
(
–1, )
= (
–7, )
b)–(3, –5) – (–2, 1) = (–3, 15) + (
, )
= (
, )
c)[(3, –5) + (–2, 1) ]– [(3, –5) – (–2, 1) ]= (1, –4) – (5, –6) =
=
(
, –2)
+ (
, 4)
= (
, 2)
15Halla el vector
→
b tal que
→
c = 3
→
a –
→
b, siendo
→
a(–1, 3) y
→
c(7, –2).
(7, –2) = 3 (–1, 3) –(b
1
, b
2
) →
→
b (–20, 22)
16Halla las coordenadas de un vector
→
v tal que
→
a = 3
→
u – 2
→
v, siendo
→
a (1, –7)
y
→
u(
,)
.
(1, –7) = 3
(
, )
–2(v
1
, v
2
) →
→
v (
, )
9
2
3 4


1 = 5/2 – 2v
1
→ v
1
= 3/4
–7 = 2 – 2v
2
→ v
2
= 9/2



2
3
5 6
2 35 6


7 = –3 – 1/2b
1
→ b
1
= –20
–2 = 9 – 1/2b
2
→ b
2
= 22



1
2
1 2
–17
6
–10
3
1 2
2 31 22 31 2
72
5
–9
5
–3
5
6 53 5
11
2
1 21 2
2 31 23 51 2
Unidad 7. Vectores 10
→
c
→
e
→
y
→
x
→
a
→
b
→
d

252. 17Dados los vectores
→
a (3, –2),
→
b(–1, 2) y
→
c(0, –5), calcula my nde modo
que:
→
c = m
→
a + n
→
b.
(0, –5) = m(3, –2) + n(–1, 2) →
Resolvemos el sistema:
Despejando en la primera ecuación n= 3my sustituyendo en la segunda:
–5 = –2m+ 6m→ –5 = 4m→ m= → n=
18Expresa el vector
→
a(1, 5) como combinación lineal de
→
b(3, –2) y
→
c(
4, – )
.
☛
Calcula m y n tales que
→
a= m
→
b+ n
→
c.
(1, 5) = m(3, –2) + n (
4, – )
→
Resuelvo el sistema por reducción (por ejemplo).
Para ello, multiplico la segunda ecuación por 8 (en los dos miembros) y sumo
miembro a miembro las dos:
1 = 3m+ 4n
40 = –16m– 4n
41 = –13m→ m=
Sustituyo en una de las dos ecuaciones y despejo n:
1 = 3m+ 4n→ 1 = 3
()
+ 4n→ 1 = + 4n→ = 4n
→ n= =
Así, podemos decir:
→
a = –
→
b –
→
c
19¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base?
a)
→
u(3, –1),
→
v(–3, 1)
b)
→
u(2, 6),
→
v(
,2)
c)
→
u(5, –4),
→
v(5, 4)
a) No, pues tienen la misma dirección (
→
u = –
→
v).
b) No, por la misma razón (
→
u = 3
→
v).
c) Sí, tienen distinta dirección (
→
u ≠k
→
v para cualquier k). Basta con representarlos
gráficamente para comprobarlo.
2
3
36 1341 13
36 13136
52
–123
13
136
13
–41
13
41
–13
1 = 3m+ 4n
5 = –2m– 1/2n


1
2
1 2
–15
4
–5
4
0 = 3m– n
–5 = –2m+ 2n



Unidad 7. Vectores
11

253. Producto escalar
20Dados
→
u(2, 3),
→
v(–3, 1) y
→
w(5, 2), calcula:
a) (3
→
u + 2
→
v ) ·
→
w b)
→
u ·
→
w –
→
v ·
→
w
c) (
→
u ·
→
v)
→
w d)
→
u(
→
v ·
→
v)
☛
a) Halla primero las coordenadas de 3
→
u+ 2
→
v.
c) Efectúa
→
u·
→
v. Multiplica el resultado (un número)por el vector
→
w. Obtendrás un
vector.
En b) obtendrás un número y en d), un vector.
a) 3
→
u + 2
→
v = 3 (2, 3) + 2 (–3, 1) = (6, 9) + (–6, 2) = (0, 11)
(3
→
u + 2
→
v) ·
→
w = (0, 11) · (5, 2) = 0 · 5 + 11 · 2 = 0 + 22 = 22
b)
→
u ·
→
w = (2, 3) ·(5, 2) = 10 + 6 = 16
→
v ·
→
w = (–3, 1) ·(5, 2) = –15 + 2 = –13
→
→
u ·
→
w –
→
v ·
→
w = 16 – (–13) = 16 + 13 = 29
c)
→
u ·
→
v = (2, 3) ·(–3, 1) = –6 + 3 = –3
(
→
u ·
→
v)
→
w = –3 (5, 2) = (–15, –6)
d)
→
v ·
→
v = (–3, 1) ·(–3, 1) = 9 + 1 = 10
→
u (
→
v ·
→
v ) = (2, 3) ·10 = (20, 30)
21Calcula x, de modo que el producto escalar de
→
a(3, –5) y
→
b(x, 2) sea igual
a 7.
(3, –5) ·(x, 2) = 7 → 3x– 10 = 7 → x=
22Dado el vector
→
u(–5, k) calcula kde modo que:
a)
→
u sea ortogonal a
→
v(4, –2).
b) El módulo de
→
u sea igual a .
a)
→
u ⊥
→
v ⇒
→
u ·
→
v = 0 → (–5, k) ·(4, –2) = 0 → –20 – 2k= 0 → k= –10
b)
→
u= = = → 25 + k
2
= 34 → k
2
= 9 → k= ±3
Hay, pues, dos soluciones.
23Halla las coordenadas de un vector
→
v(x, y), ortogonal a
→
u(3, 4) y que mida
el doble que
→
u.
→
u ⊥
→
v →
→
u ·
→
v = 0 → 3x+ 4y= 0

→
v= 2
→
u → = 2 = 2 = 10 → x
2
+ y
2
= 100
√25√9 + 16√x
2
+ y
2
√34√25 + k
2
√(–5)
2
+ k
2
√34
17
3
Unidad 7. Vectores
12


→






254. Resolvemos el sistema:
Despejamos xen la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
x= y→
(
y)
2
+ y
2
= 100 → y
2
+ y
2
= 100 → y
2
= 100 → y= ±6
Si y
1
= 6 → x
1
= · 6 = –8 →
→
v
1
(–8, 6)
Si y
2
= –6 → x
2
= · (–6) = 8 →
→
v
2
(8,
–6)
El problema tiene dos posibles soluciones,
tales que:
→
v
1
= –
→
v
2
24Dados
→
a(2, 1) y
→
b(6, 2), halla un vector
→
v tal que
→
v ·
→
a = 1 y
→
v ⊥
→
b.
Resolvemos el sistema:
Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por (–1) y sumamos miem-
bro a miembro:
–2x– 2y= –1
6x+ 2y= 0
4x = –1 → x=
Sustituimos en una ecuación; por ejemplo en la segunda y despejamos la otra in-
cógnita:
6x+ 2y= 0 → 6 ·
()
+ 2y= 0 → 2y= = → y=
Así, nuestro vector será:
→
v (
, )
25Siendo
→
u(5, –b) y
→
v(a, 2), halla ay b,sabiendo que
→
u y
→
v son ortogo-
nales y que 
→
v= .
Si
→
u ⊥
→
v, entonces
→
u ·
→
v = 0 → (5, –b) · (a, 2) = 0 → 5a– 2b= 0
Si 
→
v= , entonces = → a
2
+ 4 = 13
√13√a
2
+ 2
2
√13
√13
3
4
–1
4
3 43 26 4–1
4
–1
4


(x, y) · (2, 1) = 1 → 2x+ 2y= 1
(x, y) · (6, 2) = 0 → 6x+ 2y= 0
–4
3
–4
3
25
9
16
9
–4
3
–4
3
Unidad 7. Vectores
13
v
1
→
v
2
→
u
→

255. Resolvemos el sistema:
a
2
+ 4 = 13 → a= ±3
Entonces: Si a= 3 → b= =
Si a= –3 → b= =
Luego hay dos posibles soluciones:
→
u (
5, )
,
→
v (3, 2)
O bien:
→
u (
5, )
,
→
v (–3, 2)
26Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:
a)
→
u(3, 2),
→
v(1, –5) b)
→
m(4, 6),
→
n(3, –2) c)
→
a(1, 6),
→
b(
–, –3)
a) Utilizamos las dos expresiones para calcular
→
u ·
→
v:
→
u ·
→
v = 3 · 1 + 2 (–5) = –7
→
u ·
→
v = 
→
u ·
→
v·cos(
→
u,
→
v) = · · cos(
→
u,
→
v)
Igualando las dos expresiones, se tiene:
–7 = · · cos(
→
u,
→
v) → cos(
→
u,
→
v) = = –0,38
Luego: (
→
u,
→
v) = 112°22' 48"
b) Despejando directamente en la definición:
→
m ·
→
n = 
→
m ·
→
n·cos(
→
m,
→
n) →
→ cos(
→
m,
→
n) = = = = 0
de donde: (
→
m,
→
n) = 90°(basta con ver que
→
m ·
→
n = 0)
c)cos(
→
a,
→
b) = = = = = –
Luego: (
→
a,
→
b) = 135°
Página 186
27En una circunferencia de centro Oy de radio 2 cm, se inscribe un hexágo-
no de vértices A, B, C, D, E, F.
√2
2
–1
√2
–37/2
(37√
—
2)/2
–1/2 – 18
√
—
37 · √
—
37/2
→
a ·
→
b

→
a·
→
b
0
√
—
52 · √
—
13
4 · 3 + 6 · (–2)
√
—
52 · √
—
13
→
m ·
→
n

→
m·
→
n
–7
√
—
13 ·
√
—
26
√26√13
√26√13
1
2
15
2
–15
2
–15
2
5a
2
15
2
5a
2
Unidad 7. Vectores
14

256. Calcula los productos:
a)
→
OA·
→
OB b)
→
OA·
→
OC
c)
→
AB·
→
ED d)
→
BC·
→
EF
a)
→
OA·
→
OB= 
→
OA·
→
OBcos(
→
OA,
→
OB)
= 2 · 2 · cos60°= 2 · 2 · = 2
b)
→
OA·
→
OC= 2 · 2 · cos120°= 2 · 2 ·
(
–)
= –2
c)
→
AB·
→
ED
(*)
= 2 · 2 · cos0°
(*)
= 2 · 2 · 1 = 4
(*)
OABes un triángulo equilátero, luego:

→
AB= 
→
OA= 2
Razonamos igual para 
→
ED.
d)
→
BC= –
→
EF(mismo módulo, misma dirección y sentido opuesto)
Luego:
→
BC·
→
EF= 2 · 2 · cos180°= 2 · 2 · (–1) = –4
28Dado el vector
→
u(6, –8), determina:
a) Los vectores unitarios (módulo 1) de la misma dirección que
→
u.
b) Los vectores ortogonales a
→
u que tengan el mismo módulo que
→
u.
c) Los vectores unitarios y ortogonales a
→
u.
a) Si
→
v tiene la misma dirección que
→
u, entonces:
O bien (
→
u,
→
v
1
) = 0°
O bien (
→
u,
→
v
2
) = 180°
•En el primer caso, si el ángulo que foman es 0°, entonces:
→
u ·
→
v
1
= 6x– 8y= 
→
u·
→
v
1
·cos0°→
→ 6x– 8y= 10 · 1 · 1 = 10 → 6x– 8y= 10
•Por otro lado, como 
→
v
1
= 1 → = 1 → x
2
+ y
2
= 1
Resolvemos el sistema:
x= =
que, sustituyendo en la segunda ecuación, queda:
5 + 4y
3
10 + 8y
6
√x
2
+ y
2
1
2
1 2
Unidad 7. Vectores 15
A
B
C
D
E
O
F 60°

257. x
2
+ y
2
= 1 → + y
2
= 1 →
→25 + 16y
2
+ 40y+ 9y
2
= 9 →25y
2
+ 40y+ 16 = 0
y= =
Calculemos ahora x:
x= = =
Así:
→
v
1
= (
, )
•En el segundo caso, es decir, si (
→
u,
→
v
2
) = 180°, entonces debe ocurrir que
→
v
2
y
→
v
1
formen 180°, es decir, que sean opuestos.
Luego:
→
v
2(
, )
b)
→
v ⊥
→
u → (x, y) · (6, –8) = 0 → 6x– 8y= 0 → x= = y

→
v= 
→
u → = 10 → x
2
+ y
2
= 100
(
y)
2
+ y
2
= 100→ y
2
+ y
2
= 100 → y
2
= 100 → y
2
= 36 → y= ±6
• Si y
1
= 6 → x
1
= 6 = 8 →
→
v
1
(8, 6)
• Si y
2
= –6 → x
2
= –8 →
→
v
2
(–8, –6)
c)
→
v= 1 → = 1 →x
2
+ y
2
= 1
→
u ⊥
→
v →6x– 8y= 0 →x= =
→
()
2
+ y
2
= 1 → y
2
+ y
2
= 1 → y
2
= 1 →y
2
= →y= ±
• Si y
1
= →x
1
= · =
• Si y
2
= →x
2
= · ()
=
Así,
→
v
1
= (
, )
,
→
v
2(
, )
PARA RESOLVER
29Dados los vectores
→
a = 2
→
u –
→
v y
→
b = –3
→
u + k
→
v, siendo
→
u = (2, 3) y
→
v = (–3, 0),
halla kde modo que (
→
a +
→
b ) sea ortogonal a (
→
a –
→
b).
–3
5
–4
5
3 54 5
–4
5
–3
5
4 3–3
5
4 53 54 33 5
3 525
9
25
9
16
9
4y
3
4y
3
8y
6
√x
2
+ y
2
4
3
25
9
16
9
4 3
√x
2
+ y
2
4
3
8y
6
4 5–3
5
–4
5
3 5
3 55 + 4 · (–4/5)
3
5 + 4y
3
–4
5
–40 ±√1 600 – 1 600
50
25 + 16y
2
+ 40y
9
Unidad 7. Vectores
16





→

258. ☛Escribe las coordenadas de (
→
a+
→
b) y(
→
a–
→
b).
Si (
→
a+
→
b)⊥(
→
a–
→
b), entonces (
→
a+
→
b)· (
→
a–
→
b)= 0. Obtendrás una ecuación cuya
incógnita es k.
→
Ahora, como el producto escalar de ambos vectores debe ser 0, por ser ortogonales:
(1 – 3k, –3) · (13 + 3k, 15) = 0 → (1 – 3k) (13 + 3k) + (–3) · 15 = 0
13 + 3k– 39k– 9k
2
– 45 = 0 → 9k
2
+ 36k+ 32 = 0
k= = =
= =
30Halla el valor que debe tener kpara que los vectores
→
x = k
→
a +
→
b e
→
y=k
→
a–
→
b sean perpendiculares, siendo
→
a(1, –3) y
→
b(2, 5).
→
x = k(1, –3) + (2, 5) = (k+ 2, –3k+ 5)
→
y = k(1, –3) – (2, 5) = (k– 2, –3k– 5)
Como queremos
→
x ⊥
→
y ⇒
→
x ·
→
y = 0
(k+ 2, –3k+ 5) · (k– 2, –3k– 5) = 0
(k+ 2) (k– 2) + (–3k+ 5) (–3k– 5) = 0
k
2
– 4 + 9k
2
– 25 = 0 → 10k
2
= 29 → k= ± (dos soluciones)
31Tomando como base B(
→
x,
→
y ), representa los vectores
→
u(1, 1),
→
v(1, –2) y
→
w(
–, )
.
3
2
1 2
√
29
10
–24/18 = –4/3 = k
1
–48/18 = –8/3 = k
2
–36 ± 12
18
–36 ±√144
18
–36 ±√1 296 – 1 152
18
→
a +
→
b = (1 – 3k, –3)
→
a –
→
b = (13 + 3k, 15)






→
a = 2 (2, 3) – (–3, 0) = (7, 6)
→
b = –3 (2, 3) + k(–3, 0) = (–6 – 3k, –9)
Unidad 7. Vectores
17







Entonces:
→
y
→
x
u
→
v
→
1x
→
1x
→
1y
→
–2y
→
(3/2)y
→
(–1/2)x
→
w
→

259. 32Expresa los vectores
→
a,
→
b y
→
c como combinación lineal de
→
x e
→
y.
→
a = –
→
x + 2
→
y
→
b =
→
x + 2
→
y
→
c =
→
x –
→
y
33De los vectores
→
a y
→
b sabemos que 
→
a= 3 y 
→
b= 5 y que forman un
ángulo de 120°. Calcula 
→
a –
→
b.
☛
Mira el problema resuelto n
o
8.
Como:
→
v ·
→
v = 
→
v
→
vcos0°= 
→
v
2
· 1 = 
→
v
2
entonces podemos decir que:

→
a –
→
b
2
= (
→
a –
→
b) · (
→
a –
→
b) =
→
a ·
→
a – 2
→
a ·
→
b +
→
b ·
→
b =
= 
→
a
2
– 2 
→
a
→
bcos(
→
a,
→
b) + 
→
b
2
=
= 3
2
– 2 · 3 · 5 · cos120°+ 5
2
= 9 – 30 · (
–)
+ 25 = 49
Luego: 
→
a –
→
b= 7
34Si 
→
u= 3 y (
→
u +
→
v ) · (
→
u –
→
v ) = –11, halla 
→
v.
☛
(
→
u+
→
v) · (
→
u–
→
v) =
→
u·
→
u–
→
v·
→
v= –11. Como
→
u·
→
u= 
→
u
2
= 9, calcula 
→
v.
(
→
u +
→
v) · (
→
u –
→
v ) =
→
u ·
→
u –
→
v ·
→
v = 
→
u
2
– 
→
v
2
= –11
Como 
→
u= 3, se tiene que:
3
2
– 
→
v
2
= –11 → 
→
v
2
= 20 → 
→
v=
35Sabiendo que 
→
u= 3, 
→
v= 5 y
→
u ⊥
→
v , halla 
→
u +
→
vy 
→
u –
→
v.

→
u +
→
v
2
= (
→
u +
→
v) · (
→
u +
→
v ) =
→
u ·
→
u + 2
→
u ·
→
v +
→
v ·
→
v =
=
(*)

→
u
2
+ 
→
v
2
= 3
2
+ 5
2
= 34 → 
→
u +
→
v=
(*)
→
u ⊥
→
v →
→
u ·
→
v = 0

→
u –
→
v
2
= (
→
u –
→
v) · (
→
u –
→
v ) =
→
u ·
→
u – 2
→
u ·
→
v +
→
v ·
→
v =
= 
→
u
2
+ 
→
v
2
= 3
2
+ 5
2
= 34 → 
→
u –
→
v=
√34
√34
√20
1
2
1 21 21 2
Unidad 7. Vectores 18
→
a
→
c
→
y
→
b
→
x

260. 36Si 
→
u= 7, 
→
v= 5 y 
→
u +
→
v= 10, ¿qué ángulo forman
→
u y
→
v?
Razonando como en el problema resuelto número 8, llegamos a:

→
u +
→
v
2
= 
→
u
2
+ 2 
→
u 
→
vcos(
→
u,
→
v) + 
→
v
2
Sustituyendo los valores conocidos:
10
2
= 7
2
+ 2 · 7 · 5 · cos(
→
u,
→
v ) + 5
2
100 = 49 + 70 cos(
→
u,
→
v ) + 25
cos(
→
u,
→
v ) = = 0,37143 → (
→
u,
→
v ) = 68°11' 46,5"
37Se sabe que
→
c =
→
a + 2
→
b y
→
d = 5
→
a – 4
→
b son perpendiculares y que
→
a y
→
b son
unitarios.
¿Cuál es el ángulo que forman
→
a y
→
b?
☛
Si
→
c·
→
d = 0 →(
→
a+ 2
→
b)· (5
→
a– 4
→
b)= 0.
Si
→
c ⊥
→
d →
→
c ·
→
d = 0 → (
→
a + 2
→
b) · (5
→
a – 4
→
b) = 0
5
→
a ·
→
a – 4
→
a ·
→
b + 10
→
b ·
→
a – 8
→
b ·
→
b = 0
Como
→
a y
→
b son unitarios → 
→
a= 1 = 
→
b
5 
→
a
2
+ 6
→
a ·
→
b – 8 
→
b
2
= 5 + 6
→
a ·
→
b – 8 = 0
→
a ·
→
b = = → 
→
a
→
bcos(
→
a,
→
b) = cos(
→
a,
→
b) = → (
→
a,
→
b) = 120°
38Calcula xpara que los vectores
→
a(7, 1) y
→
b(1, x) formen un ángulo de 45°.
→
a ·
→
b = 7 + x= 
→
a
→
bcos45°→
7 + x= · · →
14 + 2x= → = →
= → = 1 + x
2
→
49 + x
2
+ 14x= 25 + 25x
2
→24x
2
– 14x– 24 = 0 →
12x
2
– 7x– 12 = 0 →x=
x
1
= 4/3
x
2
= –3/4
7 ±√49 + 576
24
49 + x
2
+ 14x
25
√1 + x
27 + x
5
√1 + x
214 + 2x
10
√100 (1 + x
2
)
√2
2
√1 + x
2
√50
–1
2
–1
2
–3
6
100 – 49 – 25
70
Unidad 7. Vectores
19

261. 39Calcula xpara que
→
a(3, x) y
→
b(5, 2) formen un ángulo de 60°.
→
a ·
→
b = 
→
a 
→
bcos60°
15 + 2x= · · →30 + 4x= →
900 + 16x
2
+ 240x= 29 (9 + x
2
) →13x
2
+ 240x– 639 = 0
x= = =
40Halla las coordenadas de cierto vector
→
x, sabiendo que forma un ángulo de
60° con
→
a(2, 4) y que los módulos de ambos son iguales.

→
a= = 
→
x
Sea
→
x(m, n)
2m+ 4n= · · → 2m+ 4n= 10
= → m
2
+ n
2
= 20
Resolvemos el sistema:
m= = 5 – 2n
Sustituyendo en la segunda ecuación:
(5 – 2n)
2
+ n
2
= 20 → 25 + 4n
2
– 20n+ n
2
= 20 → n
2
– 4n+ 1 = 0
n= =
• Si n
1
= 0,27 → m
1
= 5 – 2 · 0,27 = 4,46 →
→
x
1
= (4,46; 0,27)
• Si n
2
= 3,73 → m
2
= 5 – 2 · 3,73 = –2,46 →
→
x
2
= (–2,46; 3,73)
41Determina un vector
→
a que forme con
→
b(–1, –2) un ángulo de 30° y tal que

→
a= 
→
b.
Sea
→
a(x, y) →
–x– 2y= 
→
a 
→
bcos30°
→
= ·
→
–x– 2y=
(· )· · ()
→
–x– 2y=
x
2
+ y
2
= 15 x
2
+ y
2
= 15
Resolvemos el sistema:
x= –2y–
15
2
15
2
√3
2
√5√5√3
√5√3√x
2
+ y
2
√3
n
1
= 0,27
n
2
= 3,73
4 ± 2√3
2
4 ±√16 – 4
2
10 – 4n
2
√20√m
2
+ n
2
1
2
√20√20
√20
x
1
= –2,36
x
2
= 20,82
–240 ± 301,4
26
–240 ±√90 828
26
–240 ±√57 600 + 33 228
26
√29 (9 + x
2
)
1
2
√29√9 + x
2
Unidad 7. Vectores 20





→
→
a ·
→
x = 
→
a 
→
xcos60°→




















→

262. Sustituyendo en la segunda ecuación:
(
4y
2
+ + 30y )
+ y
2
= 15 →5y
2
+ 30y+ = 0
20y
2
+ 120y+ 165 = 0 →4y
2
+ 24y+ 33 = 0
y= = = –3 ±
Así:
→
a (– , –3 + )o
→
a = (+ , –3 – )
42Dados los vectores
→
u(1, 3) y
→
v(6, 4), halla la proyección de
→
v sobre
→
u.
☛
Sabes que
→
u·
→
v= 
→
u· proy. de
→
v sobre
→
u.
→
u ·
→
v = 
→
u· (proy. de
→
v sobre
→
u)
(proy. de
→
v sobre
→
u) = = = = =
43Dados los vectores
→
a(5, 2) y
→
b(4, –3), calcula la proyección de
→
a sobre
→
b
y la de
→
b sobre
→
a.
→
a ·
→
b = 
→
a· (proy. de
→
b sobre
→
a)
→
a ·
→
b = 
→
b· (proy. de
→
a sobre
→
b)
proy. de
→
b sobre
→
a = = = =
proy. de
→
a sobre
→
b = = =
44Demuestra que el vector (
→
b ·
→
c)
→
a – (
→
a ·
→
c)
→
b es perpendicular al vector
→
c.
☛
Debes probar que [(
→
b·
→
c)
→
a – (
→
a·
→
c)
→
b]·
→
c = 0.
Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0.
•Veamos primero cuáles son las coordenadas del primer vector:
(
→
b ·
→
c)
→
a – (
→
a ·
→
c)
→
b = (b
1
c
1
+ b
2
c
2
) (a
1
, a
2
) – (a
1
c
1
+ a
2
c
2
) (b
1
, b
2
) =
=
((b
1
c
1
+ b
2
c
2
) a
1
, (b
1
c
1
+ b
2
c
2
) a
2)– ((a
1
c
1
+ a
2
c
2
) b
1
, (a
1
c
1
+ a
2
c
2
) b
2)=
= (a
1
b
1
c
1
+ a
1
b
2
c
2
, a
2
b
1
c
1
+ a
2
b
2
c
2
) – (a
1
b
1
c
1
+ a
2
b
1
c
2
, a
1
b
2
c
1
+ a
2
b
2
c
2
) =
= (a
1
b
1
c
1
+ a
1
b
2
c
2
– a
1
b
1
c
1
– a
2
b
1
c
2
, a
2
b
1
c
1
+ a
2
b
2
c
2
– a
1
b
2
c
1
– a
2
b
2
c
2
) =
= (a
1
b
2
c
2
– a
2
b
1
c
2
, a
2
b
1
c
1
– a
1
b
2
c
1
)
14
5
20 – 6
√25
→
a ·
→
b

→
b
14√29
29
14
√29
20 – 6
√29
→
a ·
→
b

→
a
9√10
5
18√10
10
18
√10
6 + 12
√10
→
u ·
→
v

→
u
√3
2
√3
–3
2
√3
2
√3
–3
2
√3
2
–24 ± 4√3
8
–24 ±√576 – 528
8
165
4
225
4
Unidad 7. Vectores
21







→





→

263. •Calculamos ahora:
[(
→
b ·
→
c)
→
a – (
→
a ·
→
c)
→
b]·
→
c =
= (a
1
b
2
c
2
– a
2
b
1
c
2
, a
2
b
1
c
1
– a
1
b
2
c
1
) · (c
1
, c
2
) =
= (a
1
b
2
c
2
– a
2
b
1
c
2
) c
1
+ (a
2
b
1
c
1
– a
1
b
2
c
1
) c
2
=
= a
1
b
2
c
2
c
1
– a
2
b
1
c
2
c
1
+ a
2
b
1
c
1
c
2
– a
1
b
2
c
1
c
2
= 0
CUESTIONES TEÓRICAS
45Indica si el resultado de las siguientes operaciones es un número o un vector:
a) 2
→
a ·
→
b b) (
→
a ·
→
b)
→
c
c) (3
→
a – 2
→
b ) ·
→
c d) (
→
a +
→
b ) · (
→
a –
→
b)
a) Número b) Vector
c) Número d) N úmero
Página 187
46Si B(
→
a,
→
b ) es una base de los vectores del plano, señala cuáles de los si-
guientes pares de vectores pueden ser otra base:
a) (3
→
a, –2
→
b ) b) (–
→
a –
→
b,
→
a +
→
b)
c) (
→
a –
→
b,
→
a +
→
b ) d) (
→
a –
→
b,
→
b –
→
a)
a) Sí, pues no tienen la misma dirección, ya que 3
→
a tiene la dirección de
→
a y –2
→
b
tiene la dirección de
→
b (que, por ser B(
→
a,
→
b) base, no es la misma).
b) No, pues –
→
a –
→
b = –1(
→
a +
→
b), luego los dos vectores tienen la misma dirección
(y sentidos opuestos).
c) Sí, pues tienen distinta dirección.
d) No, pues tienen la misma dirección al ser
→
a –
→
b = –1(
→
b –
→
a).
47Sean
→
a y
→
b dos vectores no nulos. Indica qué ángulo forman en los si-
guientes casos:
a)
→
a ·
→
b = 
→
a
→
b b)
→
a ·
→
b = 0
c)
→
a ·
→
b = –
→
a
→
b d)
→
a ·
→
b = 0,5 
→
a
→
b
Unidad 7. Vectores
22
a
→
b
→
a – b
→→
a + b
→→

264. a)cos(
→
a,
→
b) = 1 → (
→
a,
→
b) = 0°
b)
→
a ⊥
→
b → (
→
a,
→
b) = 90°
c)cos(
→
a,
→
b) = –1 → (
→
a,
→
b) = 180°
d)cos(
→
a,
→
b) = 0,5 → (
→
a,
→
b) = 60°
48¿Es cierto que
→
a ·
→
u =
→
a ·
→
v =
→
a ·
→
w? Justifica la respuesta.
☛
→
a·
→
u= 
→
a· proy. de
→
u sobre
→
a. Observa las proyecciones
de
→
u,
→
vy
→
w sobre
→
a.
→
a ·
→
u = 
→
a· (proy. de
→
u sobre
→
a)
→
a ·
→
v = 
→
a· (proy. de
→
v sobre
→
a)
→
a ·
→
w = 
→
a· (proy. de
→
w sobre
→
a)
Como las proyecciones de
→
u, de
→
v y de
→
w sobre
→
a son iguales, entonces se ve-
rifica que:
→
a ·
→
u =
→
a ·
→
v =
→
a ·
→
w
49Busca un contraejemplo para demostrar que si
→
a ·
→
b =
→
a ·
→
c, no se deduce que
→
b =
→
c.
Fijándonos en el ejercicio anterior, podemos encontrar
fácilmente un ejemplo en el que
→
b ≠
→
c siendo:
→
a ·
→
b =
→
a ·
→
c
→
a ·
→
b = 
→
a· proy. de
→
b sobre
→
a
→
a ·
→
c = 
→
a· proy. de
→
c sobre
→
a
Como ambas proyecciones coinciden:
→
a ·
→
b =
→
a ·
→
c
Y, sin embargo:
→
b ≠
→
c
50Prueba que si
→
a ⊥
→
b y
→
a ⊥
→
c, entonces:
→
a ⊥(m
→
b + n
→
c ), m,
n ∈
ç.
Hay que probar que
→
a · (m
→
b + n
→
c ) = 0. Veamos:
→
a · (m
→
b + n
→
c)
(*)
= m(
→
a ·
→
b) + n(
→
a ·
→
c)
(*)
Propiedades 6 y 7 del producto escalar.
Como:
→
a ⊥
→
b →
→
a ·
→
b = 0
→
a ⊥
→
c →
→
a ·
→
c = 0
Unidad 7. Vectores
23
→
a
→
w
→
v
→
u
a
→
c
→
b
→









→
→
a · (m
→
b + n
→
c ) = m· 0 + n· 0

265. 51Prueba que si
→
a ⊥
→
b y
→
a ⊥(
→
b +
→
c) →
→
a ⊥
→
c.
Si
→
a ⊥
→
b →
→
a ·
→
b = 0
Si
→
a ⊥ (
→
b +
→
c) →
→
a · (
→
b +
→
c ) =
→
a ·
→
b +
→
a ·
→
c = 0
52Justifica por qué 
→
a ·
→
b≤
→
a
→
b.
☛
Ten en cuenta que –1 ≤cos α≤1.

→
a ·
→
b= 
→
a 
→
bcos(
→
a,
→
b)= 
→
a 
→
bcos(
→
a,
→
b)
(*)
≤
→
a
→
b
(*)
Como para cualquier ángulo αse da que –1 ≤cosα≤1 → cosα ≤1.
53Comprueba que el módulo de la suma de dos vectores es menor o igual que
la suma de los módulos de dichos vectores.
¿Cómo tienen que ser los vectores para que el módulo de su suma sea igual a
la suma de sus módulos?

→
a +
→
b
2
= (
→
a +
→
b) · (
→
a +
→
b) =
→
a ·
→
a +
→
b ·
→
b + 2
→
a ·
→
b =
= 
→
a
2
+ 
→
b
2
+ 2
→
a
→
bcos(
→
a,
→
b)
(*)
≤
→
a
2
+ 
→
b
2
+ 2
→
a
→
b =
=
(
→
a+ 
→
b)
2
(*)
–1 ≤cosα ≤1
Hemos obtenido, por tanto, que:

→
a +
→
b
2
≤(
→
a+ 
→
b)
2
Entonces, puesto que siempre 
→
v≥0, podemos decir que:

→
a +
→
b≤
→
a+ 
→
b
La igualdad 
→
a +
→
b= 
→
a+ 
→
bse dará cuando:
cos(
→
a,
→
b) = 1 → (
→
a,
→
b) = 0°
PARA PROFUNDIZAR
54Dados los vectores
→
a(2, 6) y
→
b(5, 1), calcula:
a) Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que
→
b.
b) Un vector de la misma dirección que
→
b y cuyo módulo sea igual a la pro-
yección de
→
a sobre
→
b. (Vector proyección de
→
a sobre
→
b).
Unidad 7. Vectores
24





→
→
a ·
→
c = 0 →
→
a ⊥
→
c

266. a) Habrá dos soluciones (
→
v y –
→
v)
• Si
→
v es vector unitario → 
→
v= 1
• Si
→
v es de la misma dirección que
→
b →
→
v = k
→
b = (k5, k)
= 1 → k= ± = ±
Luego las soluciones son:
→
v = ( , )y –
→
v = ( , – )
b) proy. de
→
a sobre
→
b = = = = =
Luego, 
→
v=
y
→
v = k
→
b = (5k, k)
Así:
→
v (
, )
, –
→
v (
, )
55Dados
→
a(1, 2) y
→
b(3, 5), expresa el vector
→
b como suma de dos vectores:
uno de la misma dirección que
→
a y otro ortogonal a
→
a.
→
b =
→
x +
→
y, donde:
•
→
x tenga la dirección de
→
a →
→
x = k
→
a = (k, 2k)
•
→
y ⊥
→
a →
→
y ·
→
a = (m, n) · (1, 2) = 0 → m+ 2n= 0
→
→
b =
→
x +
→
y → (3, 5) = (k, 2k) + (m, n)
Además, debe ocurrir: m+ 2n= 0
→
→(3 – k) + 2 (5 – 2k) = 0 →
m+ 2n= 0
m= 3 – =
n= 5 – 2 · =
Por tanto,
→
b =
→
x +
→
y, donde:
→
x = (
, )
→
y = (
, )
–1
5
2 526
5
13
5
–1
5
13
5
2 513
5


3 = k+ m→ m= 3 – k
5 = 2k+ n→ n= 5 – 2k



–8
13
–40
13
8
13
40 13
8√26
13
8√26
13
16√26
26
16
√26
10 + 6
√26
→
a ·
→
b

→
b
√26
26
–5√26
26
√26
26
5√26
26
√26
26
1
√26
√25k
2
+ k
2
Unidad 7. Vectores 25




























→







→ = → k= ±
8
13
8√26
13
√26k
2
→3 – k+ 10 – 4k= 0 →k= →
13
5

267. 56Sean
→
a y
→
b los vectores que definen los lados de un rombo, partiendo de
uno de sus vértices (cada vector define un par de lados paralelos):
a) Expresa las diagonales del rombo en función de
→
a y
→
b.
b) Demuestra vectorialmente que las diagonales del rombo son perpendicu-
lares.
a)
→
AC=
→
a +
→
b
→
BD=
→
b –
→
a = –
→
a +
→
b
b) Hay que probar que
→
AC·
→
BD= 0. Veámoslo:
→
AC·
→
BD= (
→
a +
→
b) · (
→
b –
→
a ) =
→
b ·
→
b –
→
a ·
→
a = 
→
b
2
– 
→
a
2
Como 
→
b= 
→
apor ser la medida de los lados, se cumple que:
→
AC·
→
BD= 0
57Sean
→
a y
→
b dos vectores y sea OC
—
la proyección de
→
a sobre
→
b y OD
—
la
proyección de
→
b sobre
→
a.
Comprueba, por semejanza de triángulos, que se verifica 
→
b·
—
OC= 
→
a·
—
OD.
Los triángulos OCAy ODBson semejantes (por ser triángulos rectángulos con un
ángulo en común). Luego se verifica:
=
Como
—
OA= 
→
ay
—
OB= 
→
b:
= →
→
b·
—
OC= 
→
a·
—
OD
Es decir:

→
b· (proy. de
→
a sobre
→
b) = 
→
a· (proy. de
→
b sobre
→
a)

→
a

→
b
—
OC
—
OD
—
OA
—
OB
—
OC
—
OD
Unidad 7. Vectores
26
a
→
b
→
b
→
a
→
AC
B
D
→
a
A
D
O C B
→
b

268. 58Calcula la medida de los ángulos del triángulo
MPC.
☛
Las coordenadas de
→
MC son (4, 2).
Escribe las coordenadas de
→
MD y halla CMD.
Halla el ángulo MCA con
→
CM y
→
CA.
•CMP= CMD= (
→
MC,
→
MD)
→
MC(4, 2)
→
MD(4, –2)
→ cos CMP= = = 0,6
Luego: CMP= 53°7' 48,37"
•MCP = MCA = (
→
CM,
→
CA)
→
CM(–4, –2)
→
CA(–4, –4)
→ cos MCP= = = 0,94868
Luego: MCP= 18°26' 5,82"
•Por último, MPC= 180°– (CMP+ MCP) = 108°26' 5,81"
PARA PENSAR UN POCO MÁS
59a) Comprueba que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vérti-
ces A(–2, 5), B(4, 11), C(10, 1), D(0, –1) son los vértices de un paralelo-
gramo.
(¡Recuerda! Una condición que caracteriza a los paralelogramos es que
sus lados opuestos son iguales y paralelos).
b) Demuestra que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cual-
quiera son los vértices de un paralelogramo.
☛
Llama A(a, a'), B(b, b'), C(c, c'), D(d, d')a los vértices del cuadrilátero inicial,
halla sus puntos medios P, Q, R, S, y comprueba, vectorialmente, que se cumple el
criterio dado en el apartado a).
16 + 8
√
—
20 ·
√
—
32
→
CM·
→
CA

→
CM
→
CA
16 – 4
√
—
20 ·
√
—
20
→
MC·
→
MD

→
MC
→
MD
Unidad 7. Vectores
27
→
x
→
y
A
M
BC
D
P
→
x
→
y
A
M
B C
D
P









→









→

269. a)
Sean P, Q, Ry Slos puntos medios de los lados del cuadrilátero, como se in-
dica en la figura.
•
→
PQ=
→
AB+
→
BC= (6, 6) + (6, –10) = (3, 3) + (3, –5) = (6, –2)
→
SR=
→
AD+
→
DC= (2, –6) + (10, 2) = (1, –3) + (5, 1) = (6, –2)
Luego:
→
PQ=
→
SR(misma dirección, mismo módulo)
Por tanto, los lados
—
PQy
—
SRson iguales y paralelos.
•
→
SP=
→
DA+
→
AB= (–2, 6) + (6, 6) = (–1, 3) + (3, 3) = (2, 6)
→
RQ=
→
DC+
→
CB= (10, 2) + (–6, 10) = (5, 1) + (–3, 5) = (2, 6)
Así,
→
SP=
→
RQ ⇒ los lados opuestos
—
SPy
—
RQson iguales y paralelos.
•Podemos concluir, por tanto, que PQRSes un paralelogramo.
b) Probaremos que la propiedad del apartado anterior se verifica para cualquier
cuadrilátero de vértices A(a, a'), B(b, b'), C(c, c'), D(d, d').
Supongamos P, Q, Ry Slos puntos medios de los lados (como antes). Entonces:
•
→
PQ=
→
AB+
→
BC= (b– a, b'– a') + (c– b, c'– b') =
=
(
+ , + )
= (
, )
→
SR=
→
AD+
→
DC= (d– a, d'– a') + (c– d, c'– d') =
=
(
+ , + )
= (
, )
Luego:
→→
PQ=
→
SR
c' – a'
2
c– a
2
c' – d'
2
d' – a'
2
c– d
2
d– a
2
1 21 21 21 2
c' – a'
2
c– a
2
c' – b'
2
b' – a'
2
c– b
2
b– a
2
1 21 21 21 2
1 21 21 21 2
1 21 21 21 2
1 21 21 21 2
1 21 21 21 2
Unidad 7. Vectores 28
A
P
Y
X
B
Q
C
R
D
S

270. •Análogamente, se puede probar
→
SP=
→
RQ.
Veamos, sin embargo, otra forma de hacerlo sin necesidad de usar las coorde-
nadas:
→
SP=
→
DA+
→
AB= (
→
DA+
→
AB) =
→
DB
→
RQ=
→
DC+
→
CB= (
→
DC+
→
CB) =
→
DB
•Podemos concluir, por tanto, que PQRSes un paralelogramo.
1
2
1 21 21 2
1 21 21 21 2
Unidad 7. Vectores 29







→
→
SP=
→
RQ

271. Página 188
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Punto medio de un segmento
Toma los puntos P(2, 5),
Q(10, 3) y represéntalos
en el plano:
(Localiza gráficamente el punto medio Mdel segmentoPQy da sus coordenadas.
¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de My las de Py Q?
(Haz lo mismo con los segmentos de extremos:
a) P'(5, 1), Q'(9, 7) b) P''(0, 1), Q''(10, 5)
(Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las
coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.
(M(6, 4)
M
(
, )
(a) M'(7, 4)
b) M"(5, 3)
(Sean A(a
1
, a
2
) y B(b
1
, b
2
) los extremos de un segmento.
El punto medio de ABserá M
( , ).
a
2
+ b
2
2
a
1
+ b
1
2
3 + 5
2
10 + 2
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
1
GEOMETRÍA ANALÍTICA.
PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS
8




P (2, 5)
Q (10, 3)
P (2, 5)
Q (10, 3)
Q'
Q"
P"
P'
M"
M'
M

272. Ecuaciones de la recta
Observa las siguientes ecuaciones:
(Comprueba que, dando a tlos valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos que es-
tán todos sobre una recta.
(Comprueba que las ecuaciones corresponden tambi én a una recta,
hallando varios de sus puntos. (Dale a tlos valores –2, –1, 0, 1, 2, 3 y repre-
senta los puntos correspondientes; comprobarás que todos están sobre la mis-
ma recta).
(Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo:
–– Despeja ten la primera ecuación.
–– Sustituye su valor en la segunda.
–– Reordena los términos de la ecuación resultante.
Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.
(
(
t=
t= 4 – y
→y= x+
14
3
–1
3
x– 2
3
x= 2 + 3t
y= 4 – t



x= –3 + 3t
y= 2t



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
2
t –2 –10123
(x, y)(–4, 6) (–1, 5) (2, 4) (5, 3) (8, 2) (11, 1)
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)
(11, 1)
Y
X
r





→ = 4 – y→x– 2 = 12 – 3y→y= →
–x+ 14
3
x– 2
3

273. Página 189
Distancias en el plano
(Halla la distancia de Py de Qa cada una de las rectas ry s.
(Halla la distancia entre los puntos Py Q(ayúdate del Teorema de Pitágoras).
(Halla, también, la distancia entre:
a) P'(0, 5), Q'(12, 0) b) P''(3, 1), Q''(7, 4)
(d(P, r) = 1; d(P, s) = 8; d(Q, r) = 5 = d(Q, s)
(d(P, Q) =
—
PQ→
—
PQ
2
= 3
2
+ 4
2
= 25 →
—
PQ= 5
(a) d(P', Q') =
—
P'Q'→
—
P'Q'
2
= 5
2
+ 12
2
= 169 →
—
P'Q'= 13
b) d(P", Q") =
—
P"Q"→
—
P"Q"
2
+ 4
2
+ 3
2
= 25 →
—
P"Q"= 5
(d(A, B) = , donde A(a
1
, a
2
) y B(b
1
, b
2
).
d(A, B) = 
→
AB
Página 191
1.Halla las coordenadas de
→
MNy
→
NM,siendo M(7, –5) y N(–2, –11).
→
MN= (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)
→
NM= (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)
2.Averigua si están alineados los puntos P(7, 11), Q(4, –3) y R(10, 25).
→ = → A, By Cestán alineados.
–14
28
–3
6





→
PQ= (–3, –14)
→
QR= (6, 28)
√(b
1
– a
1
)
2
+ (b
2
– a
2
)
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 3
P (3, 2)
Q (5, 7)
s
r

274. 3.Calcula el valor de kpara que los puntos de coordenadas A(1, 7), B(–3, 4),
C(k, 5) estén alineados.
→ = → –4 = –3k– 9 → 3k= –5 → k=
Página 192
4.Dados los puntos P(3, 9) y Q(8, –1):
a) Halla el punto medio de PQ.
b) Halla el simétrico de Prespecto de Q.
c) Halla el simétrico de Qrespecto de P.
d) Obtén un punto Ade PQtal que
—
PA/
—
AQ= 2/3.
e) Obtén un punto Bde PQtal que
—
PB/
—
PQ= 1/5.
a)M
(
, )
= (
, 4)
→ P'(13, –11)
c) Llamamos Q'(x', y') al simétrico de Qrespecto de P.
Q'(–2, 19)
d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:
→
PA = AQ
→
→(x– 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y)
A(5, 5)
e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos.
→
PB = PQ
→
→(x– 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2)
B(4, 7)


x– 3 = 1 →x= 4
y– 9 = –2 →y= 7
1
5
1 5







2
x– 3 =
—(8 – x) →x= 5
3
2
y– 9 =
—(–1 – y) →y= 5
3
2
3
2 3







x'+ 8
—––––– = 3 →x'= –2
2
y'+ (–1)
—–––––––– = 9 →y'= 19
2
Así:







3 + x
—––––– = 8 →x= 13
2
9 + y
—––––– = –1 →y= –11
2
b)
11
2
9 + ( –1)
2
3 + 8
2
–5
3
–3
1
–4
k+ 3





→
AB= (–4, –3)
→
BC= (k+ 3, 1)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
4
P' (x, y)
Q (8, 1)
P (3, 9)
Q
P
Q'

275. Página 194
1.Escribe las ecuaciones paramétricas de las rectas:
a) Que pasa por A(–3, 7) y tiene una dirección paralela al vector
→
d(4, –7).
b) Que pasa por M(5, 2) y es paralela a
→
d'(2, 2).
En ambos casos, dando valores al parámetro, obtén otros cinco puntos de la
recta.
a)
→
OX=
→
OA+ t
→
d→(x, y) = (a
1
, a
2
) + t(d
1
, d
2
) →
→ →
b)
→
OX=
→
OM+ t
→
d'→(x, y) = (m
1
, m
2
) + t(d'
1
, d'
2
) →
→ →
2.Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por:
a) P(5, –2) y Q(0, 4) b) M(3, 7) y N(3, 0)
c) A(0, 0) y B(7, 0) d) R(1, 1) y S(3, 3)
a) El vector dirección es:
→
PQ= (–5, 6) →
b)
→
d=
→
MN= (0, –7) →
c)
→
d=
→
AB= (7, 0) →
d)
→
d=
→
RS= (2, 2) →
3.Halla kpara que S(–5, k) pertenezca a r:
→ k= 2 – 4(–2) = 10


–5 = 1 + 3t→ t= –6/3 = –2
k= 2 – 4t



x= 1 + 3t
y= 2 – 4t



x= 1 + 2t
y= 1 + 2t



x= 7t
y= 0



x= 3
y= 7 – 7t



x= 5 – 5t
y= –2 + 6t



x= 5 + 2t
y= 2 + 2t



x= m
1
+ td'
1
y= m
2
+ td'
2



x= –3 + 4t
y= 7 – 7t



x= a
1
+ td
1
y= a
2
+ td
2



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
5
t –2 –10123
(x, y)(–11, 21) (–7, 14) (–3, 7) (1, 0) (5, –7) (9, –14)
t –2 –10123
(x, y)(1, –2) (3, 0) (5, 2) (7, 4) (9, 6) (11, 8)

276. Página 195
1.Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:
r
1
: r
2
:
Los vectores directores de r
1
y r
2
son, respectivamente,
→
d
1
(–2, 1) y
→
d
2
(–4, 3).
cosα= = = = ≈0,984 → α= 10°18' 17,4"
2.Obtén para las rectas del ejercicio anterior:
a) La paralela a r
1
que pase por el punto (5, 7).
b) Una perpendicular a r
2
que pase por (0, 0).
a)
→ → r:
b)
→r':
Página 196
1.Considera las siguientes rectas:
r
1
: r
2
: r
3
: r
4
:
Halla la posición relativa de r
1
y r
2
, r
2
y r
3
, r
3
y r
4
.
•Posición relativa de r
1
y r
2
Por 2 la 1-ª ecuación y se suman:
10t– 2s= –10
–3t+ 2s= 3
7t = –7 → t= –1 → de la 1-ª ecuación: s= 5 + 5(–1) = 0
Como tiene solución única, entonces r
1
y r
2
se cortan en el punto P(2, 1) (que
se obtiene sustituyendo t= –1 en r
1
o s= 0 en r
2
).
•Posición relativa de r
2
y r
3
Las dos ecuaciones son equivalentes.
Luego el sistema tiene infinitas soluciones. Por tanto, r
2
= r
3
(son la misma recta).


s– 3t= 3
–2s+ 6t= –6

2 + s= 5 + 3t
1 – 2s= –5 – 6t


5t– s= –5
–3t+ 2s= 3

7 + 5t= 2 + s
–2 – 3t= 1 – 2s
x= 5 – 2t
y= –12 + 4t



x= 5 + 3t
y= –5 – 6t



x= 2 + t
y= 1 – 2t



x= 7 + 5t
y= –2 – 3t



x= 3t
y= 4t






r'⊥r
2
→
→
d'⊥
→
d
2→
→
d'= (3, 4)
P(0, 0)
x= 5 – 2t
y= 7 + t






→
d=
→
d
1
P∈r


r// r
1
P(5, 7) ∈r
11√5
25
11
5√5
8 + 3
√
—
5 · √
—
25

→
d
1
·
→
d
2


→
d
1

→
d
2

x= 1 – 4t
y= 4 + 3t



x= 3 – 2t
y= 7 + t



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
6

277. •Posición relativa de r
3
y r
4
→ No tienen solución.
Luego no tienen ningún punto en común. Por tanto, son paralelas.
Es decir, r
3
// r
4
.
Página 197
1.Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene por ecuación:
5x – 3y + 8=0
Sea x= t→ 5t– 3y+ 8 = 0 →
NOTA– 2-º MÉTODO
El vector (5, –3) es perpendicular a r. Por tanto, el vector (3, 5) es paralelo a r. Po-
demos tomarlo como vector dirección:
→
d= (3, 5)
Si x= 0 → y= . Luego
(
0, )
∈r
Así, las ecuaciones paramétricas son:
r:
(equivalente a la obtenida por el otro método).
2.Halla la ecuación implícita de la recta:
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y las sumamos:
2x= 10 – 6t
3y= –3 + 6t
2x+ 3y= 7 → r: 2x+ 3y– 7 = 0
NOTA– 2-º MÉTODO:x= 5 – 3t→ t=
y= –1 + 2t→ t=
2x– 10 = –3y– 3
r: 2x+ 3y– 7 = 0
y+ 1
2
x– 5
–3
x= 5 – 3t
y= –1 + 2t



x= 3t
y= 8/3 + 5t



8
3
8 3
x= t
y= 8/3 + (5/3)t





3t+ 2s= 0
–6t– 4s= –7

5 + 3t= 5 – 2s
–5 – 6t= –12 + 4s
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
7







=
y+ 1
2
x– 5
–3

278. Página 199
1.Escribe la ecuación de la recta de pendiente 3 y cuya ordenada en el origen es –5.
→r: y= –5 + 3(x– 0) →
→ r: y= 3x – 5 →
ECUACIÓN EXPLÍCITA
→ r: 3x– y – 5 = 0 → ECUACIÓN IMPLÍCITA
2.Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:
a) (–7, 11), (1, 7) b) (3, –2), (1, 4)
c) (6, 1), (11, 1) d) ( –2, 5), (–2, 8)
a)m= = = = y – 7 = (x– 1)
Tomando el punto (1, 7) x+ 2y– 15 = 0
b)m= = = –3 y – 4 = –3(x– 1)
Tomando el punto (1, 4) 3x+ y – 7 = 0
c)m= = 0
y – 1 = 0 → y= 1
Tomando el punto (6, 1)
d)m= ¡Imposible! Entonces, no tiene pendiente.
No se puede poner de forma explícita. Es la recta x= –2, paralela al eje Y.
3.Halla dos puntos de la recta y= –3x+ 4. Calcula a partir de ellos su pendiente,
y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación.
Si x= 0 → y= 4 → A(0, 4) ∈r
Si x= 1 → y= 1 → B(1, 1) ∈r
m= = = –3
Efectivamente, es la de la recta y= –3x+ 4.
4. Escribe las ecuaciones de las rectas representadas.
s: → Como s: y= mx+ n→ s: y= x+ 3
–1
2
m
s
= –1/2
P
s
(0, 3)



–3
1
1 – 4
1 – 0
8 – 5
–2 + 2
1 – 1
11 – 6
6
–2
4 + 2
1 – 3
–1
2
–1
2
–4
8
7 – 11
1 – (–7)
y
1
– y
0
x
1
– x
0


m= 3
P(0, –5) ∈r
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
8


















s r
t

279. r: → r: y= x+ 2; t: → t: y= 1
Página 201
1.Averigua la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
a) b)
Se puede resolver el sistema o bien observar los coeficientes y el término indepen-
diente de ambas ecuaciones:
a) = = = = =
Es decir: = = → Son la misma recta.
b)≠ → ≠ → Las rectas se cortan en un punto.
Para calcular el punto de corte, bastará con resolver el sistema.
Despejando en la primera ecuación: y= –3 – 5x
Sustituyendo en la segunda ecuación:
x– 2(–3 – 5x) + 16 = 0 → x+ 6 + 10x+ 16 = 0 → 11x= –22 → x= –2
Con lo que:
y= –3 – 5(–2) = 7 → (x, y) = (–2, 7) → Punto de corte
2.¿Cuál es la posición relativa de estos dos pares de rectas?
a) b)
a) = ≠→ = ≠→ Son paralelas.
Son dos rectas que se cortan en el punto (4/3, 4/3)
Página 202
1.Obtén la distancia entre los siguientes pares de puntos:
a) (3, –5), (1, 4) b) (0, 7), (–5, 7) c) (–2, 5), (–3, –7) d) (8, 14), (3, 2)
a) dist(P, Q) = 
→
PQ= = =
√85√4 + 81√(1 – 3)
2
+ (4 + 5)
2
3x= 4 →x= 4/3
y= 4/3

2x+ x– 4 = 0
x = y

2x+ y– 4 = 0
x– y= 0
b)
C
C'
B
B'
A
A'
–8
4
5
10
3 6
2x+ y– 4 = 0
x– y= 0



3x+ 5y– 8 = 0
6x+ 10y+ 4 = 0



B
B'
A
A'
1
–2
5
1
C
C'
B
B'
A
A'
C
C'
4
–12
B
B'
3
–9
–1
3
A
A'
5x+ y+ 3 = 0
x– 2y+ 16 = 0



–x+ 3y+ 4 = 0
3x– 9y– 12 = 0



m
t
= 0
P
t
(0, 1)



2
3
m
s
= 2/3
P
r
(0, 2)



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9

280. b) dist(P, Q) = 
→
PQ= = = 5
c) dist(P, Q) = 
→
PQ= =
d) dist(P, Q) = 
→
PQ= = = 13
2.Halla la distancia de Q(–3, 4) a las siguientes rectas:
a) 2x+ 3y= 4 b) = c) d) + = 1
a) 2x+ 3y– 4 = 0
dist(Q, r) = = = ≈0,55
b) = → 5x– 5 = 2y– 8 → 5x– 2y+ 3 = 0
dist(Q, r) = = = ≈3,71
c)t=
t=
dist(Q, r) = = = = ≈4,11
d) 3x+ 2y= 6 → 3x+ 2y– 6 = 0
dist(Q, r) = = = ≈1,94
Página 207
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Ecuaciones de la recta
1Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(–3, 7) y
tiene una dirección paralela al vector
→
d(4, –1). Dando valores al parámetro,
obtén otros cinco puntos de la recta.
x= –3 + 4t
y= 7 – t



7√13
13
–9 + 8 – 6
√13
3 · (–3) + 2· 4 – 6
√3
2
+ 2
2
13√10
10
13
√10
–9 – 4
√10
3 · (–3) – 4
√9 + 1
y – 3
–6
x– 1
–2
20√29
29
–15 – 8 + 3
√29
5 · (–3) – 2 · 4 + 3
√5
2
+ (–2)
2
y – 4
5
x– 1
2
2√13
13
–6 + 12 – 4
√13
2 · (–3) + 3 · 4 – 4
√2
2
+ 3
2
y
3
x
2
x= 1 – 2t
y= 3 – 6t


y– 4
5
x– 1
2
√169√(3 – 8)
2
+ (2 – 14)
2
√145√(–3 + 2)
2
+ (–7 – 5)
2
√25 + 0√(–5 – 0)
2
+ (7 – 7)
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 10







= → –6x+ 6 = –2y+ 6 → 6x– 2y= 0 →3x– y= 0
y – 3
–6
x– 1
–2
t –2 –1123
(x, y)(–11, 9) (–7, 8) (1, 6) (5, 5) (9, 4)

281. 2Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por:
a) P(6, –2) y Q(0, 5) b) M(3, 2) y N(3, 6) c) A(0, 0) y Q(8, 0)
Halla, en todos los casos, la ecuación implícita.
a)
→
PQ= (–6, 7)→ r: ≡r: →
(Usando el punto P) (Usando Q)
→t=
t=
→7x= –6y+ 30 →r: 7x+ 6y– 30 = 0
b)
→
MN= (0, 4) →r: x= 3 →recta paralela al eje Y
c)
→
AQ= (8, 0) →r: →r: y= 0 →eje X
3Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:
a) 2x– y= 0 b) x– 7 = 0 c) 3y– 6 = 0 d) x+ 3y= 0
a) Si x= t→ 2t– y= 0 → y= 2t→ r:
b) c) d)
4Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas.
☛
Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son los
vectores de la base.
Eje X: → Eje X: → y= 0
Eje Y: → Eje Y: → x= 0
5Halla la ecuación de la paralela a 2x– 3y= 0 cuya ordenada en el origen es –2.
☛
La recta pasa por el punto (0, –2).
r: 2x– 3y= 0
→ → y= x– 2 → 2x– 3y– 6 = 0
ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACI ÓN IMPLÍCITA
2
3
m
s
= m
r
= 2/3
P(0, –2) ∈s





s// r→ pendiente de sha de ser igual a la de r
P(0, –2) ∈s
x= 0
y= t



O(0, 0) ∈ eje Y
→
d
Y
= (0, 1)



x= t
y= 0



O(0, 0) ∈ eje X
→
d
X
= (1, 0)



x= –3t
y= t



x= t
y= 6/3 = 2



x= 7
y= t



x= t
y= 2t



x= 8t
y= 0



x= 3
y= 2 + 4t



y– 5
7
x
–6
x= –6t
y= 5 + 7t



x= 6 – 6t
y= –2 + 7t



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
11







→ =
y– 5
7
x
–6

282. 6Dada la recta 4x+ 3y– 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendicular a
ella en el punto de corte con el eje de ordenadas.
☛
El eje de ordenadas es el vertical: x = 0.
•Veamos primero cuál es el punto de corte, P(x, y), de la recta con el eje de or-
denadas.
r: → 4 – 0 + 3y– 6 = 0 → 3y= 6 → y= 2
Luego P(0, 2) ∈ry también debe ser P(0, 2) ∈s, donde s⊥r.
•Como s⊥r→ sus pendientes deben cumplir:
m
s
· m
r
= –1 → m
s
= = =
•Como P(0, 2) ∈sy m
s
= → y= x+ 2 → 3x– 4y+ 8 = 0
7Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:
a) Su vector de posición es
→
a(–3, 1) y su vector de dirección
→
v(2, 0).
b) Pasa por A(5, –2) y es paralela a:
c) Pasa por A(1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x– 3y+ 6 = 0.
d) Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P(0, 4) y
Q(–6, 0), en su punto medio.
a) La ecuación vectorial será:
→
OX=
→
a+ t
→
v→ (x, y) = (–3, 1) + t(2, 0) →
b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al de
la recta (pues debe ser paralela a ella).
Luego:
→
d(–1, 2)
Como debe pasar por A(5, –2) →
c) La pendiente de la recta r: 2x– 3y+ 6 = 0 es:
m
r
= → m
s
= (pues m
r
· m
s
= –1 por ser r⊥s)
Un vector director puede ser
→
s= (2, –3).
Además, A(1, 3) ∈s.
Por tanto, s:
x= 1 + 2t
y= 3 – 3t



–3
2
2 3
x= 5 – t
y= –2 + 2t



x= 1 – t
y= 2t



x= –3 + 2t
y= 1



x= 1 – t
y= 2t



3
4
3 4
3 4–1
–4/3
–1
m
r
4x+ 3y– 6 = 0
Eje Y: x= 0



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
12

283. d) El punto medio de PQes m (
, )
= (–3, 2)
→
PQ= (–6, –4)
→
Luego, s:
Coordenadas de puntos
8El punto P(5, –2) es el punto medio del segmento AB, y conocemos
A(2, 3). Halla B.
☛
Si B = (x, y), (
, )
= (5, –2)
→ (
, )
= (5, –2) →
→ → B= (8, –7)
9Halla el punto simétrico de P(1, –2) respecto del punto H(3, 0).
☛
H es el punto medio entre P y su simétrico.
Si P'(x, y) es simétrico de P(1, –2) respecto de H(3, 0) →
→ Hes el punto medio de PP'→
→
(
, )
= (3, 0) → → P'(5, 2)
10Halla las coordenadas del vértice Ddel paralelogramo ABCD, sabiendo
que A(1, 2), B(5, –1) y C(6, 3).
Sea D(x, y).
Debe cumplirse:
→
AB=
→
DC
(5 – 1, –1 – 2) = (6 – x, 3 – y) →
→ → → D(2, 6)
11Da las coordenadas del punto Pque divide al segmento de extremos
A(3, 4) y B(0, –2) en dos partes tales que
→
BP= 2
→
PA.
Sea P(x, y).
Sustituimos en la condición que nos imponen:
x= 2
y= 6



4 = 6 – x
–3 = 3 – y





x+ 1 = 6 → x= 5
y– 2 = 0 → y= 2



y– 2
2
x+ 1
2


x+ 2 = 10 → x= 8
y+ 3 = –4 → y= –7



y+ 3
2
x+ 2
2

Si B= (x, y)
Como Pes punto medio de AB
y + 3
2
x + 2
2
x= –3 + 4t
y= 2 – 6t



m(–3, 2) ∈s
→
d(4, –6) es un vector director de s, pues
→
d⊥
→
PQ



4
2
–6
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
13
A (1, 2)
B (5, –1)
C (6, 3)
D (x, y)

284. →
BP= 2
→
PA→ (x– 0, y– (–2)) = 2 (3 – x, 4 – y) →
→ → → →
→ → P(2, 2)
12Determina kpara que los puntos A(–3, 5), B(2, 1) y C(6, k) estén aline-
ados.
Debe ocurrir que
→
ABy
→
BCsean proporcionales.
→ = → 5k– 5 = –16 → k=
Distancias
13Halla la distancia del punto P(2, –3) a las siguientes rectas:
a) b) y= c) 2 x+ 5 = 0
a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta:
→ = –y→x+ 2y= 0
Entonces:
dist(P, r) = = = =
b)y= →y– = 0
Por tanto:
dist(P, r) = = =
c)dist(P, r) = =
14Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas:
a) 3x– 4y+ 12 = 0 b) 2 y– 9 = 0
c)x= 3 d) 3 x– 2y= 0
a)dist(0, r) = =
12
5
3 · 0 – 4 · 0 + 12
√3
2
+ (–4)
2
9
2
2 · 2 + 5
√2
2
+ 0
21
4
–3 – 9/4
√1
1(–3) – 9/4
√0
2
+ 1
2
9
4
9 4
4√5
5
4
√5
2 – 6
√5
1 · 2 + 2 (–3)
√1
2
+ 2
2
x
2
t= x/2
t= –y



9
4
x= 2t
y= –t



–11
5
–4
k– 1
5
4





→
AB= (5, –4)
→
BC= (4, k– 1)
x= 2
y= 2



3x= 6
3y= 6



x= 6 – 2x
y+ 2 = 8 – 2y



x= 2 (3 – x)
y+ 2 = 2 (4 – y)



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
14

285. b)dist(0, r) = =
c)dist(0, r) = = = 3
d)dist(0, r) = = = 0
(es decir, la recta 3x– 2y= 0 pasa por el origen).
15Halla la longitud del segmento que determina la recta x– 2y+ 5 = 0 al cor-
tar a los ejes de coordenadas.
Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de
coordenadas.
Calculamos primero dichos puntos:
• → –2y+ 5 = 0 → y= →
→ A
(
0, )
es el punto de corte con el eje Y
• → x+ 5 = 0 → x= 5 →
→ B(5, 0) es el punto de corte con el eje X
•Luego
—
AB= dist(A, B) = (5 – 0)
2
+ (
0 – )
2
=
= 25 + = =
16Halla la distancia entre las rectas r: x– 2y+ 8 = 0 y r': –2x+ 4y– 7 = 0.
☛
Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distan-
cia a r'.
Sus pendientes son m
r
= = m
r'
→ Son paralelas.
Entonces, la distancia entre ry r'será:
dist(P, r') donde P∈r
Sea x= 0.
Sustituyendo en r→ y= = 4 → P(0, 4) ∈r
Así:
dist(r, r') = dist(P, r') = = = =
9√5
10
9
2√5
16 – 7
√20
–2 · 0 + 4 · 4 – 7
√(–2)
2
+ 4
2
–8
–2
1
2
√5
5 2
√
125
4
25
4
5 2
x– 2y+ 5 = 0
y= 0



5
2
5 2
x– 2y+ 5 = 0
x= 0



0
√13
3 · 0 – 2 · 0
√3
2
+ 2
2
3
1
0 – 3
√1
2
+ 0
2
9
2
2 · 0 – 9
√0
2
+ 2
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 15

286. 17Determina cpara que la distancia de la recta x– 3y+ c= 0 al punto (6, 2)
sea de unidades. (Hay dos soluciones).
dist(P, r) = = = =
Hay dos soluciones:
Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:
18Calcula el valor de apara que la distancia del punto P(1, 2) a la recta
ax+ 2y– 2 = 0 sea igual a .
dist(P, r) = → = →
= → a+ 2 =
= – → a+ 2 = –
Al elevar al cuadrado obtenemos la misma ecuación en ambos casos.
→ (a+ 2)
2
= 2 (a
2
+ 4) → a
2
+ 4a+ 4 = 2a
2
+ 8 →
→ a
2
– 4a+ 4 = 0 → a= = 2
Página 208
Ángulos
19Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) b)
c) c)
a)
→ sus pendientes son:
tgα =

=

=

= 1 → α = 45°
5
–5
2 – (–3)
1 + 2 (–3)
m
r
– m
s
1 + m
r
m
s
m
r
= 2
m
s
= –3





r: y= 2x+ 5
s: y= –3x+ 1
2x– y= 0
2y+ 3 = 0



x= –1 –3t
y= 4 + t



x= 3 – t
y= 2t



3x– 5y+ 7 = 0
10x+ 6y– 3 = 0



y = 2x+ 5
y= –3x+ 1



4 ±√16 – 16
2
√2(a
2
+ 4)√2
a+ 2
√a
2
+ 4
√2(a
2
+ 4)√2
a+ 2
√a
2
+ 4
√2
a· 1 + 2 · 2 – 2
√a
2
+ 4
√2
√2
√10
c
√10
6 – 6 + c
√10
1 · 6 – 3 · 2 + c
√1 + 9
√10
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 16
= → c
1
= 10
= – → c
2
= –10
√10
c
√10
√10
c
√10







x – 3y + 10 = 0
x – 3y – 10 = 0
P







⇒

287. b)
→ α ≡ r
1
r
2
=
→
v,
→
w→
→ cosα = = = 0 → α = 90°
c) Los vectores directores de esas rectas son:
→
d
1
= (–1, 2) y
→
d
2
= (–3, 1)
Entonces:
cosα = = = = = →α = 45°
d)
→ α ≡ r
1
r
2
=
→
a
1
,
→
a
2
→
→ cosα = = = = = =
≈0,4472 → α = 63°26' 5,82"
20¿Qué ángulo forma la recta 3x– 2y+ 6 = 0 con el eje de abscisas?
☛
No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es la
tangente del ángulo que forma r con el eje de abscisas. Halla el ángulo con la pen-
diente de r.
La pendiente de res m
r
= .
La pendiente de res, además, tg α:
m
r
= tgα → tgα = → α = 56°18' 35,8"
3
2
3 2
√5
5
1
√5
2
√5 · 2
0 – 2
√
—
5 · √
—
4

→
a
1
·
→
a
2


→
a
1

→
a
2






→
a
1
= (2, –1) ⊥ r
1
→
a
2
= (0, 2) ⊥ r
2
√2
2
1
√2
5
5√2
3 + 2
√
—
5 · √
—
10

→
d
1
·
→
d
2


→
d
1

→
d
2

30 – 30

→
v
→
w

→
v·
→
w

→
v
→
w





→
v= (3, –5) ⊥ r
1
→
w= (10, 6) ⊥ r
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
17
Y
r
α
X

288. 21¿Qué ángulo forma la recta 2x– y+ 5 = 0 con el eje de ordenadas?
☛
El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje
de abscisas.
El ángulo pedido, α, es complementario de β → tgβ=
Por otro lado, tgβ= m
r
= 2:
tgα= = → α= 26°33' 54,2"
22Calcula nde modo que la recta 3x+ ny– 2 = 0 forme un ángulo de 60°con
el OX.
tg60°=
m
r
= –
Como tg60°= m
r
, se tiene que:
= –→ n= = = –
PARA RESOLVER
23Calcula my nen las rectas de ecuaciones:
r: mx– 2y+ 5 = 0 s: nx+ 6y– 8 = 0
sabiendo que son perpendiculares y que rpasa por el punto P(1, 4).
☛
Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expre
sa la perpendicularidad con vectores o con pendientes y halla n.
•P(1, 4) ∈r→ m· 1 – 2 · 4 + 5 = 0 → m= 3
•(m, –2) ⊥r
(n, 6) ⊥s → (m, –2) ⊥(n, 6) →
Como deben ser r⊥s
→ (m, –2) · (n, 6) = 0 → m· n+ (–2) · 6 = 0 →
→ 3n– 12 = 0 → n= 4
√3
–3√3
3
–3
√3
3
n
√3
3
n
√3
1 21
tg β
1
tg α
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
18
Y
r
β
α
X
Y
r
60°
X













289. NOTA: Usando las pendientes m
r
= y m
s
= , para que r⊥sdebe ser
m
r
·m
s
= –1, es decir:
·
()
= –1 → –mn= –12 → –3n= –12 → n= 4
24Halla las ecuaciones de las rectas r, s, ty p.
•p: Pasa por los puntos (–3, –3) y (1, 4).
Así, su pendiente es:
m= =
Por tanto:
p: y= 1 + (x– 4) → 7x– 4y+ 9 = 0
•r: Su pendiente es 0 y pasa por el punto
(
0, )
.
Por tanto:
r: y= –
•s: Su vector director es (0, 1) y pasa por (2, 0).
Por tanto:
s:
•t: Pasa por los puntos (1, 0) y (–3, 2).
Así, su pendiente es:
m= = = –
Por tanto:
t: y= –(x– 1) → x+ 2y– 1 = 0
1
2
1 22
–4
2 – 0
–3 – 1
x= 2
y= t



3
2
–3
2
7 4
7 44 – (–3)
1 – (–3)
–n
6
m
2
–n
6
m
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
19



Y
Xp
s30°
r
t
Y
r
α
X
180° – β
s
t
r
p
30°
30°
β

290. 25Dada la recta r: halla kde modo que rsea paralela a la
bisectriz del segundo cuadrante.
•La bisectriz del segundo cuadrante es x= –y→ (en paramétricas).
Su vector director es
→
d= (–1, 1).
•El vector director de res
→
r= (3, k).
•Como queremos que r// bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores
directores deben ser proporcionales:
= → k= –3
26En el triángulo de vértices A(–2, 3), B(5, 1), C(3, –4), halla las ecuaciones de:
a) La altura que parte de B.
b) La mediana que parte de B.
c) La mediatriz del lado CA.
a) La altura que parte de B, h
B
, es una recta perpendicular a ACque pasa por el
punto B:
h
B
⊥AC(5, –7) → el vector director de h
B
es
→
h
B
(7, 5)
→
B(5, 1) ∈h
B
→ h
B
: → → = →
→ h
B
: 5x– 7y– 18 = 0
b)m
B
(mediana que parte de B) pasa por By por el punto medio, m, de AC:
m
(
, )
= (
, –)
∈m
B
B(5, 1) ∈m
B
→
→
m
B(
5 – , 1 + )
= (
, )
es vector director de m
B
.
Luego:
m
B
:
3
2
9 21 21 2
1 21 23 – 4
2
–2 + 3
2
y– 1
5
x– 5
7
x= 5 + 7t
y= 1 + 5t



1
k
–1
3
x= –t
y = t



x= –1 + 3t
y= 2 + kt



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
20
t =
t =
y– 1
5
x– 5
7












x = 5 + t
y = 1 + t
3
2
9 2












→
→→
2x= 10 + 9t
t =
2y– 2
3






291. → → = → m
B
: 6x– 18y– 12 = 0
c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CApor el punto medio del lado,
m'. Así:
→
CA= (–5, 7) ⊥ z→ vector director de z:
→
z(7, 5)
m'
(
, )
= (
, –)
∈z
→ z: → → = →
→ z: 20x– 28y– 24 = 0 →z: 5x– 7y– 6 = 0
27La recta 2x+ 3y– 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, un
segmento AB.
Halla la ecuación de la mediatriz de AB.
☛
Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa y
opuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación.
•A= rIeje Y: → 3y– 6 = 0 → y= 2 → A(0, 2)
•B= rIeje X: → 2x– 6 = 0 → x= 3 → B(3, 0)
•
→
AB= (3, –2) ⊥m
AB
(mediatriz de AB) →
→
m
AB
= (2, 3)
m
AB(
, )
= (
, 1)
(punto medio de AB) ∈mediatriz
→ y– 1 =
(
x– )
→ y= x– → m
AB
: 6x– 4y– 5 = 0
5
4
3 23 23 2
3 22 23 2
2x+ 3y– 6 = 0
y = 0



2x+ 3y– 6 = 0
x= 0



2y+ 1
10
2x– 1
14
1 21 2–4 + 3
2
3 – 2
2
2y– 2
3
2x– 10
9
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
21
t =
t =
2y– 2
3
2x– 10
9












→
x = + 7t
y = –+ 5t
1
2
1 2







t =
t =
2y+ 1
10
2x– 1
14







Y
A
B
X





→

292. 28Determina los puntos que dividen al segmento AB, A(–2, 1), B(5, 4), en tres
partes iguales.
☛
Si P y Q son esos puntos,
→
AP =
→
AB.
Escribe las coordenadas de
→
AP y de
→
AB y obtén P. Q es el punto medio de
—
PB
•
→
AP=
→
AB→ (x+ 2, y– 1) = (7, 3) →
→→ P
(
, 2)
•Qes un punto medio de PB→ Q (
, )
→ Q (
, 3)
29¿Qué coordenadas debe tener Ppara que se verifique que 3
→
PQ– 2
→
QR= 0,
siendo Q(3, 2) y R(–1, 5)?
3
→
PQ= 2
→
QR→ 3 (3 – x, 2 – y) = 2 (–4, 3) →
→ → → P
(
, 0)
30Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un parale-
logramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices:
A(3, 8) B(5, 2) C(1, 0) D(–1, 6)
P
(
, )
= (4, 5)
Q(3, 1); R(0, 3); S(1, 7)
→
PQ= (3 – 4, 1 – 5) = (–1, –4)
→
SR= (0 – 1, 3 – 7) = (–1, –4)
→
SP= (4 – 1, 5 – 7) = (3, –2)
→
RQ= (3 – 0, 1 – 3) = (3, –2)
8 + 2
2
5 + 3
2
17
3
9 – 3x= –8
6 – 3y= 6



8
3
2 + 4
2
1/3 + 5
2
1 3
1 31 3
1
3
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
22
A
P
Q
B
x + 2 = → x= – 2 =
y – 1 = → y= 1 + 1 = 2
3
3
1 37 37 3







x=
y= 0
17
3










→
PQ=
→
SR
A
B
P
Q
S
R
C
D





→
SP=
→
RQ

293. 31Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1, –2) a la recta
r: x– 2y+ 4 = 0.
☛
Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r.
Sea s la recta perpendicular a rdesde Py
→
r= (2, 1) vector director de r.
Así,
→
PP'⊥
→
r⇒ el vector director de s,
→
s, también es perpendicular a
→
r(
→
s⊥
→
r),
luego podemos tomar
→
s(1, –2). Como P(1, –2) ∈s:
s: → x– 1 = →–2x+ 2 = y+ 2 →
→s: 2x+ y= 0
El punto P'(x, y) es tal que:
P'= sIr
Sustituyendo en la segunda ecuación:
x– 2(–2x) + 4 = 0 →x+ 4x+ 4 = 0 →
→x= →y= –2
()
=
Luego: P'
(
, )
32Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son AB: x+ 2y– 4 = 0,
AC: x– 2y= 0, BC: x+ y= 0. Halla:
a) Los vértices del triángulo.
b) El vector que une los puntos medios de ABy AC. Comprueba que es
paralelo a
→
BC.
☛
b) Las coordenadas de
→
BC deben ser proporcionales a las del vector que has ha-
llado.
8
5
–4
5
8 5–4
5
–4
5
s: 2x+ y= 0 → y= –2x
r: x– 2y+ 4 = 0



y+ 2
–2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
23
P (1, –2)
P' (x, y)
r : x – 2y + 4 = 0
s
x= 1 + t→ t= x– 1
y= –2 – 2t→ t=
y+ 2
–2






294. a)A= ABIAC
B= ABIBC
C= ACIBC
•A:
AB: x+ 2y– 4 = 0
AC: x– 2y = 0 Sumamos las ecuaciones:
2x – 4 = 0 → x= 2
Sustituyendo en AC: 2 – 2y= 0 → y= 1
Luego: A(2, 1)
•B:
AB: x+ 2y– 4 = 0
BC: x+ y = 0 → x= –y
→
→ –y+ 2y– 4 = 0 → y= 4 → x= –4
Luego: B(–4, 4)
•C:
AC: x– 2y= 0
BC: x+ y= 0 → x= –y
→
→ –y– 2y= 0 → y= 0 → x= 0
Luego: C(0, 0)
b) El punto medio de ABes M
AB(
–1, )
.
El punto medio de ACes M
AC(
1, )
.
M
AB
→
M
AC
= (2, –2)
→
BC= (4, –4)
33Halla el área del cuadrilátero de vértices:
A(–4, 3), B(0, 5), C(4, –2) y D(–3, –2)
☛
Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base.
1
2
5 2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 24
A
B C











 







Así, M
AB
→
M
AC
//
→
BC, pues: M
AB
→
M
AC
=
→
BC
1
2

295. •La diagonal ACdivide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya
medida es:

→
AC= (8, –5)=
•Sean h
B
y h
D
las alturas desde By D, respectivamente, a la base:
h
B
= dist(B, r) y h
D
= dist(D, r)
donde res la recta que contiene el segmento
→
AC.
Tomando como vector director de rel vector
→
AC, la ecuación de dicha recta es:
–20 + 24 + k= 0 ⇒ k= –4 ⇒ r: 5x+ 8y– 4 = 0
Luego:
h
B
= dist(B, r) = =
h
D
= dist(D, r) = =
•Así:
A
ABCD
= A
ABC
+ A
ADC
= + = ( h
B
+ h
D
) =
=
(
+ )
=
34Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
r: x= 3 s: 2x+ 3y– 6 = 0 t: x– y– 7 = 0
71
2
35
√89
36
√89
√89
2
b
2
b· h
D
2
b· h
B
2
35
√89
5(–3) + 8 (–2) – 4
√89
36
√89
5 · 0 + 8 · 5 – 4
√89


5x+ 8y+ k= 0
Como (–4, 3) ∈r
√89
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 25
B (0, 5)
A (–4, 3)
D (–3, –2) C (4, –2)
A
B
s
t
r
C

296. •A= rI s → 6 + 3y– 6 = 0 → y= 0
Luego: A(3, 0)
•B= rI t → 3 – y– 7 = 0 → y= –4
Luego: B(3, –4)
•C= sI t →
→ 2(y+ 7) + 3y– 6 = 0 →
→ 2y+ 14 + 3y– 6 = 0 → 5y+ 8 = 0 ⇒ y= →
→ x= + 7 =
Luego: C
(
, )
•Consideramos el segmento ABcomo base:

→
AB= (0, –4)= = 4
•La altura desde Ces h
C
= dist(C, r) = =
•Así:
Área = = =
Página 209
35Traza, por el punto B(0, 5), una recta de pendiente 1/3. Por el punto
C(5, 0), traza una recta perpendicular a la anterior. Se cortan en un punto
A. Halla el área de triángulo ABC.
•Sea rla recta por Ay B. Su pendiente es m
r
= → r: y= x+ 5
1
3
1 3
46
5
4 · 23/5
2

→
AB · h
C
2
23
5
(–8/5) – 3
√1
2
+ 0
2
√16
–8
5
27
5
27
5
–8
5
–8
5
2x+ 3y– 6 = 0
x– y– 7 = 0 → x= y+ 7



x= 3
x– y– 7 = 0



x= 3
2x+ 3y– 6 = 0



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
26
B (0, 5)
C (5, 0)
A (3, 6)
r
r

297. •Sea sla recta por Ay C. Su pendiente es m
s
= –3 (pues r⊥ s):
s: y– 0 = –3(x– 5) → s: y= –3x+ 15
•A= rI s → x+ 5 = –3x+ 15 →
→ x= 10 → x= 3 → y= · 3 + 5 = 6
Luego: A(3, 6)
•La base del triángulo es: 
→
AB= (–3, –1)=
La altura es: 
→
AC= (2, –6)= = 2
El área es: A
ABC
= = = 10
36En el triángulo de vértices A(–1, –1), B(2, 4) y C(4, 1), halla las longitudes
de la mediana y de la altura que parten de B.
•Mediana. Es el segmento BMdonde Mes el punto medio de AC.
M
(
, 0)
→
→
BM= (
– 2, 0 – 4 )
= (
–, –4 )
La longitud de la mediana es: 
→
BM= =
•Altura. Es el segmento BPdonde Pes el pie de la perpendicular a ACdesde B.
→
AC= (5, 2) ⇒ la recta que contiene ese segmento es:
r: → = → 2x– 5y– 3 = 0
→
v= (–2, 5) ⊥
→
AC⇒la recta s⊥rque pasa por B:
s: → = →5x+ 2y– 18 = 0
P= rI s→
Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 5, y sumamos:
4x– 10y– 6 = 0
25x+ 10y– 90 = 0
29x– 96 = 0 → x= →
96
29
r: 2x– 5y– 3 = 0
s: 5x+ 2y– 18 = 0



y– 4
5
x– 2
–2
x= 2 – 2t
y= 4 + 5t



y+ 1
2
x+ 1
5
x= –1 + 5t
y= –1 + 2t



√65
2
√1/4 + 16
1 23 23 2
√
—
10 · 2√
—
10
2

→
AB
→
AC
2
√10√40
√10
1
3
10
3
1 3
y= (1/3)x+ 5
y= –3x+ 15



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
27

298. → 2 · – 5y– 3 = 0 → 5y= – 3 = →
→ y= : 5 =
Luego: P
(
, )
Así: h
B
=
→
BP=
(
, – )
= ≈≈ 3,528
37Halla el punto de la recta 3x– 4y+ 8 = 0 que equidista de A(–6, 0) y B(0,–6).
P(x, y) debe verificar dos condiciones:
1. P(x, y) ∈r⇒ 3x– 4y+ 8 = 0
2. dist(A, P) = dist(B, P) ⇒ =
→ → →
→ 3x– 4x+ 8 = 0 → x= 8 = y→ P(8, 8)
38Determina un punto en la recta y= 2xque diste 3 unidades de la recta
3x–y+ 8 = 0.
→
→ → = 3 → = 3 →
→dos posibilidades:
x+ 8
√10
3x– 2x+ 8
√10
P(x, y) ∈r: y= 2x
dist(P, r') = 3, donde r': 3x– y+ 8 = 0



3x– 4y+ 8 = 0
x= y



3x– 4y+ 8 = 0
x
2
+ 12x+ 36 + y
2
= x
2
+ y
2
+ 12y+ 36



√x
2
+ (y+ 6)
2
√(x+ 6)
2
+ y
2
√10 469
29√
10 469
29
2
95 2938 29
21 2996 29
21 29105
29
105
29
192
29
96 29
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 28
r
P
A (–6, 0)
B (0, –6)
y = 2x
= 3
3x– y+ 8
√10










x+ 8 = 3 →x
1
= 3 – 8 →
x+ 8 = –3 →x
2
= –3 – 8 →
√10√10
√10√10

299. →y
1
= 6 – 16 P
1
(3 – 8, 6– 16)
→y
2
= –6 – 16
→
P
2
(–3 – 8, –6 – 16)
39Halla los puntos de la recta y= –x+ 2 que equidistan de las rectas x+2y–5=0
y 4x– 2y+ 1 = 0.
Sean r
1
, r
2
y r
3
las tres rectas del ejercicio, respectivamente.
Buscamos los puntos P(x, y) que cumplan:
=
→
→ = →
→–x– 1= →→
→ → → →
→ →
40Calcula cpara que la distancia entre las rectas 4x+ 3y– 6 = 0 y 4x+ 3y+ c= 0
sea igual a 3.
Sea P∈r
1
donde x
0
= 0 →y
0
= 2 →P(0, 2) ∈r
1
Así, dist(r
1
, r
2
) = dist(P, r
2
) = = 3 →
→ = 3 →
6 + c= 15 → c
1
= 9
6 + c= –15 → c
2
= –21



6 + c
5
4 · 0 + 3 · 2 + c
√16 + 9
x
1
= 1/8
x
2
= 5/4



8x= 1
4x= 5



–2x– 2 = 6x– 3, o bien
–2x– 2 = –6x+ 3



6x– 3
2
4x– 2(–x+ 2) + 1
2√5
x+ 2 (–x+ 2) – 5
√5
4x– 2y+ 1
√20
x+ 2y– 5
√5
P∈r
1
⇒y= –x+ 2
dist(P, r
2
) = dist(P, r
3
) →



√10√10√10
√10√10√10
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 29
r
r'
P
1
P
2










–x– 1 = , o bien
–x– 1 =
–6x+ 3
2
6x– 3
2







y
1
= –+ 2 =
y
2
= –+ 2 =
3
4
5 4
15
8
1 8







P
1(
, )
P
2(
, )
3
4
5 4
15
8
1 8








300. 41El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(1, –2) y
B(4, 3).
El vértice Cestá en la recta 3x– y+ 8 = 0.
Halla las coordenadas de Cy el área del triángulo.
•La recta del lado desigual (base) tiene como vector director
→
AB= (3, 5):
r: → = →r: 5x– 3y– 11 = 0
•La recta que contiene la altura tiene por vector director
→
a= (–5, 3) ⊥
→
ABy pasa
por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por m
(
, )
:
h
c
: → = →
→h
c
: 12x+ 20y– 40 = 0 →h
c
: 6x+ 10y– 20 = 0
•C= sI h
c
donde s: 3x– y+ 8 = 0
→
12y– 36 = 0 →y= = 3 →
→3x– 3 + 8 = 0 →3x+ 5 = 0 →x=
Luego: C
(
, 3)
•Área = =
(*)
= ≈14,17
→
AB= (3, 5) →
→
AB=
→
Cm
(
, )
→
→
Cm=
42Dos casas están situadas en los puntos A(4, 0) y B(0, 3). Se quiere construir un
pozo que esté a la misma distancia de Ay de B, y a 8 m de una tubería que une
Ay B. ¿Cuál es el lugar adecuado?
La recta que une Ay Btiene por vector director:
→
AB= (–4, 3) →r: → = → r: 3x+ 4y– 12 = 0
El pozo debe estar en un punto P(x, y) tal que:
y
3
x– 4
–4
x= 4 – 4t
y= 3t



√850
6
–5
2
–25
6
√34
√
—
34 · (√
—
850/6)
2

→
AB
→
Cm
2
base × altura
2
–5
3
–5
3
36 12
–6x+ 2y– 16 = 0
6x+ 10y– 20 = 0



3x– y+ 8 = 0
6x+ 10y– 20 = 0



2y– 1
6
2x– 5
–10
x= 5/2 – 5t
y= 1/2 + 3t



1
2
5 2
y+ 2
5
x– 1
3
x= 1 + 3t
y= –2 + 5t



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 30







(*)

301. →
→ →
→→
→

3 · + 4 y– 12

= 40 →18y+ 21 + 32y– 96= 320 →
→50y– 75= 320 →→
→
Luego: P
1(
, )
, P
2(
, )
(Son dos puntos de la mediatriz del segmento AB).
43Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas ry sy forma un ángulo de 45°con la recta: x+ 5y– 6 = 0.
r: 3x– y– 9 = 0 s: x– 3 = 0
P= rI s: → 9 – y– 9 = 0 → y= 0
Luego: P(3, 0)
3x– y– 9 = 0
x– 3 = 0



–49
10
–14
5
79 1034
5
50y– 75 = 320
50y– 75 = –320



6y+ 7
8
dist(P, r) = 8
dist(P, A) = dist(P, B)



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
31
= = 8
= → x
2
– 8x+ 16 + y
2
= x
2
+ y
2
– 6y+ 9
√x
2
+ (y– 3)
2
√(x– 4)
2
+ y
2
3x+ 4y– 12
5
3x+ 4y– 12
√9 + 16







3x+ 4y– 12= 40
–8x+ 16 = –6y+ 9 → x=
6y+ 7
8





y
1
= = → x
1
= = =
y
2
= = → x
2
= =
–14
5
6 · (–49/10) + 7
8
–49
10
–320 + 75
50
34
5
(474 + 70)/10
8
6 · (79/10) + 7
8
79 10320 + 75
50







P
1
P
2
A
B

302. Como la recta pedida y x+ 5y– 6 = 0 forman un ángulo de 45°, entonces si sus
pendientes son, respectivamente, m
1
y m
2
, se verifica:
tg45°=

→ 1 =

→
→ 1 =

→
→ →
→
Hay dos posibles soluciones:t
1
: y– 0 = (x– 3) → t
1
: y= x+
t
2
: y– 0 = (x– 3) → t
2
: y= x–
44Dadas las rectas:
r: 2x– 5y– 17 = 0 s: 3x– ky– 8 = 0
Calcula el valor de kpara que ry sse corten formando un ángulo de 60°.
☛
Halla la pendiente de r. La pendiente de s es 3/k. Ten en cuenta que obtendrás
dos soluciones.
Las pendientes de ry sson, respectivamente:
m
r
= y m
s
=
Entonces:
tg60°=

→ =

→ dos casos:
(5k+ 6) = 2k– 15 → 5k+ 6 = 2k– 15
–(5k+ 6) = 2k– 15 → –5k– 6 = 2k– 15
→ k
1
= , k
2
=
–15 + 6√3
–5√3 – 2
–15 – 6 √3
5√3 – 2
√3√3√3
√3√3√3
2k– 15
5k+ 6
√3
2/5 – 3/k
1 + 2/5 · 3/k
3
k
2 5
6 32 34 6
9 2–3
2
–6
4
4m
1
= –6 → m
1
= –6/4
6m
1
= 4 → m
1
= 4/6



5 – m
1
= –1 – 5m
1
, o bien
–(5 – m
1
) = –1 – 5m
1



–1 – 5 · m
1
5 – m
1
(–1/5) – m
1
1 + (–1/5) · m
1
m
2
– m
1
1 + m
2
· m
1
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 32





→





→

303. 45Las rectas r: 3x– 2y+ 6 = 0, s: 2x+ y– 6 = 0 y t: 2x– 5y– 4 = 0 son los
lados de un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos.
m
r
=
m
s
= –2;
m
t
=
tg(r,s) =

= =
Luego: (r, s) = 60°15' 18,4"
tg(r, t) =

=

=
Luego: (r, t) = 34°30' 30,7"
Por último, (s, t) = 180°– (r, s) – (r, t) = 85°14' 11"
46Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A(–3, 2), B(8, –1) y C(3,–4).
☛
Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso.
→
AB= (11, –3);
→
BA(–11, 3)
→
AC= (6, –6);
→
CA(–6, 6)
→
BC= (–5, –3);
→
CB(5, 3)
cos
^
A= = ≈0,868
Luego:
^
A= 29°44' 41,6"
cos
^
B= = ≈0,692
Luego:
^
B= 46°13' 7,9"
Así,
^
C= 180°– (
^
A+
^
B) = 104°2' 10,5"
55 – 9
√
—
130 √
—
34
→
BA·
→
BC

→
BA
→
BC
66 + 18
√
—
130 √
—
72
→
AB·
→
AC

→
AB
→
AC
11
16
15 – 4
10 + 6
3/2 – 2/5
1 + 3/2 · 2/5
7
4
7/2
2
3/2 – (–2)
1 + 3/2 · (–2)
2
5
3 2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 33
Y
X
t
r s
Y
X
A (–3, 2)
C (3, –4)
B (8, –1)

304. 47Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 2) y forma un ángulo
de 30°con la recta x= 3.
☛
La recta que buscamos forma un ángulo de 60°o de 120°con el eje OX.
La recta rforma un ángulo de 60°o de 120°con el eje
OX.
Su pendiente es:
m
1
= tg60°= , o bien
m
2
= tg120°= –
Teniendo en cuenta que debe pasar por P(0, 2), las
posibles soluciones son:
r
1
: y= x+ 2
r
2
: y= –x+ 2
48La recta 2x+ y= 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es
(
–,1 )
.
Halla las ecuaciones de los lados del ángulo.
Las pendientes de las tres rectas son:
m
b
= –2, m
r
, m
r'
tg45°=

→ 1 =

→
→ →
→
r: y– 1 = 3
(
x+ )
→ y= 3x+
r': y– 1 =
(
x+ )
→ y= x+
5
6
–1
3
1 2–1
3
5 21 2
1 – 2m
r
= –2 – m
r
→ m
r
= 3
–1 + 2m
r'
= –2 – m
r'
→ m
r'
= –1/3



–2 – m
r
1 – 2m
r
m
b
– m
r
1 + m
b
m
r
1
2
√3
√3
√3
√3
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 34
Y
X
r
1
r
2
x = 3
(0, 2)
30°
60°
120°





45°
45°
b: 2x + y = 0
r
r'
V (
– —, 1)
1
2








305. 49Encuentra un punto en la recta x– 2y– 6 = 0 que equidiste de los ejes de
coordenadas.
→ →
→
= →dos casos:
x– 2y– 6 = 0
→ →
50Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(–2, 2) y forman un án-
gulo de 60°con la recta x= y.
b: x= y→ su pendiente es m
b
= 1
tg60°=

→ =

→
→
+ m= 1 – m→ m
1
=
–– m= 1 – m→ m
2
=
Teniendo en cuenta que pasan por A(–2, 2):
r
1
: y– 2 = ( x+ 2)
r
2
: y– 2 = ( x+ 2)
ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE
1 + √3
–√3 + 1
1 – √3
√3 + 1
1 + √3
–√3 + 1
√3√3
1 – √3
√3 + 1
√3√3
1 – m
1 + m
√3
1 – m
1 + 1 · m
P
1
(–6, –6)
P
2
(2, –2)



y– 2y– 6 = 0 → y
1
= –6 → x
1
= –6
–y– 2y– 6 = 0 → y
2
= –2 → x
2
= 2



x= y
x= –y →



x
√0
2
+ 1
2
y
√0
2
+ 1
2
dist(P, eje X) = dist(P, eje Y)
x– 2y– 6 = 0







Eje X: y= 0
Eje Y: x= 0
P(x, y) ∈r
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
35
Y
X
r
P
1
P
2








306. 51Un rayo luminoso parte del punto P(2, 4) y se refleja
sobre el eje de las abscisas en el punto Q(5, 0). Halla
la ecuación del rayo reflejado.
•Sea β el ángulo que forma PQcon el eje X.
Como
→
PQ= (3, –4):
tgβ=
•Por otra parte, α= 180°– β → tgα= tg(180°– β) = –tgβ
tgα=
•Como la pendiente de res m
r
= tgα= y esa recta, r, pasa por Q(5, 0):
r: y– 0 = (x– 5) →r: y= x–
52Escribe la ecuación de la recta rque pasa por A(2, 3) y B (5, 6) y halla la
ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a rsea igual a la distan-
cia entre Ay B.
•r: → r: →
→ = → 3x– 3y+ 3 = 0 → r: x– y+ 1 = 0
•s// r→ m
s
= m
r
= 1 → y= x+ c→ s: x– y+ c= 0
dist(r, s) = dist(A, s) = dist(A, B) →
→ = 
→
AB →
→ = →
→ s
1
: x– y+ 7 = 0
s
2
: x– 5 = 0
53Halla el punto simétrico de P(1, 1) respecto a la recta x– 2y– 4 = 0.
•
→
PP'⊥
→
vdonde P'es el simétrico de Prespecto a esa recta y
→
ves el vector di-
rector de la misma.
→
PP'·
→
v= 0→ (x– 1, y– 1) · (2, 1) = 0 →
→ 2(x– 1) + (y– 1) = 0 → 2x+ y– 3 = 0
–1 + c= 6 ⇒ c
1
= 6 + 1 = 7
–1 + c= –6 ⇒ c
2
= –6 + 1 = –5



√18
1 + c
√2
2 – 3 + c
√1
2
+ (–1)
2
y– 3
3
x– 2
3
x= 2 + 3t
y= 3 + 3t



vector director
→
AB= (3, 3)
pasa por A(2, 3)



20
3
4 34 3
4 3
4 3
–4
3
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
36



Y
Q X
αα
rP

307. •Además, el punto medio de PP', m, debe pertenecer a la recta. Luego:
m
(
, )
∈r→ – 2 – 4 = 0 →
→ x+ 1 – 2y– 2 – 8 = 0 →
→ x– 2y– 9 = 0
•Así, teniendo en cuenta las dos condiciones:
→
→ 2 (9 + 2y) + y– 3 = 0  18 + 4y+ y– 3 = 0 → y= = –3
→ x= 9 + 2 (–3) = 9 – 6 = 3
Luego: P'= (3, –3)
54Un rombo ABCDtiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vérti-
ces opuestos son B(3, 1) y D(–5, –3).
Halla las coordenadas de los vértices Ay Cy el área del rombo.
Sea A∈eje Y→A= (0, y
1
) y sea el punto C= (x
2
, y
2
).
Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales ACy BDse cortan en
su punto medio, M.
Además, AC⊥BD.
•M
(
, )
= (–1, –1) es el punto medio de BD(y de AC).
•Sea dla recta perpendicular a BDpor M(será, por tanto, la que contiene a AC):
→
BD= (–8, –4)→
→
d= (4, –8) es vector director de d
→
M(–1, –1) ∈d
→
La pendiente de des m
d
= = –2
→
M (–1, –1) ∈d
→d: y+ 1 = –2(x+ 1) → y= –2x– 3
•Así:
A= dI eje Y: →y= –3 →A(0, –3)


y= –2x– 3
x= 0



–8
4
1 – 3
2
3 – 5
2
–15
5


2x+ y– 3 = 0
x– 2y– 9 = 0 → x= 9 + 2y



y+ 1
2
x+ 1
2
y+ 1
2
x+ 1
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
37
XM
C
A
B (3, 1)
D (–5, –3)
Y









308. •Mes punto medio de AC→(–1, –1) = ( , )→
→
–1 = →x
2
= –2
–1 = →y
2
= 1
•Área =

→
AC= (–2, 4)= = 2

→
BD= (–8, –4)= = 4
55En el triángulo de vértices A(–3, 2), B(1, 3) y C(4, 1), halla el ortocentro y
el circuncentro.
☛
El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. El circuncentro es el pun-
to de intersección de las mediatrices.
ORTOCENTRO:R= h
A
I h
B
I h
C
donde h
A
, h
B
y h
C
son las tres alturas (desde A,
By C, respectivamente).
•h
A
→ h
A
: →
→ = →h
A
: 3x– 2y+ 13 = 0
•h
B
→h
B
: →
→x– 1 = →h
B
: 7x– y– 4 = 0
•h
C
→h
C
: →
→x– 4 = →h
C
: 4x+ y– 17 = 0
Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersección:
h
B
I h
C
:
Sumando:
11x – 21 = 0 →x=
y= 7x– 4 = 7 · – 4 = =
103
11
147 – 44
11
21 11
21 11
7x– y– 4 = 0
4x+ y– 17 = 0



y– 1
–4
x= 4 + t
y= 1 – 4t



→
c⊥
→
AB= ((4, 1) →
→
c= (1, –4)
C ∈h
C



y– 3
7
x= 1 + t
y= 3 + 7t



→
b⊥
→
AC= (7, –1) →
→
b= (1, 7)
B ∈h
B



y– 2
3
x+ 3
2
x= –3 + 2t
y= 2 + 3t



→
a⊥
→
BC= (3, –2) →
→
a= (2, 3)
A ∈h
A



√5√8
√5√20

→
AC
→
BD
2
–3 + y
2
2
x
2
2
–3 + y
2
2
0 + x
2
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 38





→Área = = 20
2√
—
5 · 4√
—
5
2







→C(–2, 1)














R(
, )
103
11
21 11

309. NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en h
A
. Basta con
sustituir en su ecuación.
CIRCUNCENTRO: S= m
A
Im
B
Im
C
, donde m
A
, m
B
y m
C
son las tres mediatrices
(desde A, By C, respectivamente).
•m
A
→
→y– 2 =
(
x– )
→y= x–
•m
C
→
→y– = –4(x+ 1) →y= –4x–
Así:
S= m
A
Im
C
: → x– = –4x– →
→6x– 7 = –16x– 6 →22x= 1 →x= →
→y= –4 · – = =
Así, S
(
, )
.
NOTA: Se podría calcular m
B
y comprobar que S∈m
B
.
56La recta 2x+ y– 4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo
en el punto (0, 0). Halla las coordenadas del otro extremo.
–37
22
1
22
–37
22
–4 – 33
22
3 21
22
1
22
3 27 43 2
3 25 2
7 43 25 23 2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 39





→
a⊥
→
BC→
→
a= (2, 3)
Punto medio de BC: m
(
, 2)
∈m
A
5
2





→
c⊥
→
AB= (4, 1) →
→
c= (1, –4)
Punto medio de AB: m'
(
–1, )
∈m
C
5
2
O (0, 0) A (x, y)
r: 2x + y – 4 = 0







y= x–
y= –4x–
3
2
7 43 2

310. Un vector director de la recta es el
→
v= (1, –2).
•Debe verificarse que:
→
v⊥
→
OA=
→
v·
→
OA= 0
(1, –2) · (x, y) = 0 → x– 2y= 0 → x= 2y
•Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta:
M
(
, )
∈r→ 2 · + – 4 = 0 →
→ 2 · + – 4 = 0 → 4y+ y– 8 = 0 →
→ y= → x= 2 · =
Luego: A
(
, )
Página 210
57Los puntos P(–2, 4) y Q(6, 0) son vértices consecutivos de un paralelogra-
mo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla:
a) Los otros dos vértices.
b) Los ángulos del paralelogramo.
a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que
es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices:
R(2, –4), S(–6, 0)
b)
→
PQ=
→
SR= (8, –4) →
→
QP=
→
RS= (–8, 4)
→
PS=
→
QR= (–4, –4) →
→
SP=
→
RQ= (4, 4)
cos
^
P= = = –0,31623 →
^
P= 108°26' 5,8" =
^
R
–32 + 16
√
—
32 · √
—
80
→
PS·
→
PQ

→
PS
→
PQ
8
5
16
5
16
5
8 58 5
y
2
2y
2
y
2
x
2
y
2
x
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
40
X
OS
R
P (–2, 4)
Q (6, 0)
Y

311. ^
S= = 71 °33' 54" =
^
Q
NOTA: Podríamos haber calculado
^
Scon los vectores:
cos
^
S= = = 0,31623 →
^
S= 71°33' 54"
58Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x+ y– 2 = 0 y
x–2y+ 4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6, 0). Halla los otros vértices.
•Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice:
→
3y– 6 = 0 → y= 2 →
→ x+ 2 – 2 = 0 → x= 0
Luego un vértice es A(0, 2).
•El vértice que nos dan, C(6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores
(pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustitu-
yendo los valores de xe ypor las coordenadas de C). Así pues, el vértice C
no es consecutivo de A.
Sean s
1
//r
1
una recta que pasa por Cy s
2
//r
2
una recta que pasa por C.
Se trata de las rectas sobre
las que están los otros la-
dos.
Así, los otros vértices, By
D, serán los puntos de cor-
te de:
r
1
I s
2
= B r
2
I s
1
= D
s
1
: → s
1
: x+ y– 6 = 0
s
2
: → s
2
: x– 2y– 6 = 0
•B= r
1
I s
2
:
Resolviendo el sistema:
De la primera ecuación → x= 2 – y→ en la segunda → 2 – y– 2y– 6 = 0 →
→ y= → x= → B
(
, )
–4
3
10
3
10
3
–4
3
x+ y– 2 = 0
x– 2y– 6 = 0



x– 2y+ b= 0
C∈s
2
→ 6 – 0 + b= 0 → b= –6



x+ y+ a= 0
C∈s
1
→ 6 + 0 + a= 0  a= –6



x+ y– 2 = 0
–x+ 2y– 4 = 0



x+ y– 2 = 0
x– 2y+ 4 = 0



r
1
:
r
2
:
32 – 16
√
—
32 · √
—
80
→
SP·
→
SR

→
SP
→
SR
360°– (
^
P+
^
R)
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
41
r
1
r
2
s
1
s
2
D
C
A
B

312. •D= r
2
I s
1
: → 6 – y– 2y+ 4 = 0 →
→ y= → x= → D
(
, )
59Halla un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x+ 3y+ 6 = 0
y 3x+ 4y– 9 = 0.
P(x, 0) debe verificar dist(P, r) = dist(P, s):
= →
→→ P
1
(–15, 0), P
2(
, 0)
60Dada la recta r: x– 2y– 4 = 0 y el punto P(1, 1), halla los vértices de un
cuadrado que tiene en Puno de sus vértices y un lado sobre r.
☛
Traza la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte, Q. Halla la pa-
ralela a r que pasa por P y las paralelas a PQ a una distancia igual a PQ. Hay
dos cuadrados.
•Un segundo vértice estaría en el punto de corte de rcon la perpendicular a r
por P, s(de vector director (1, –2)).
→ 2 + 1 + C= 0 → C= –3 → s: 2x+ y– 3 = 0
Así: Q= sI r
Resolvemos el sistema y obtenemos Q(2, –1).
•Un tercer vértice estará en una recta t, t//r, que pase por P(1, 1).
Entonces:
→1 – 2 + k= 0 →k= 1 →t: x– 2y+ 1 = 0
Así, el tercer y cuarto vértices serán los puntos de corte de la recta paralela (hay dos
soluciones) a sa una distancia igual a PQ, con ty con r, respectivamente.
Sea m//s→ 2x+ y+ M= 0, con:
dist(P, m) = dist(P, Q) → = →
→ = →3 + M= 5 →
→
3 + M = 5 → M
1
= 2 → m
1
: 2x+ y+ 2 = 0
3 + M= –5 → M
2
= –8 → m
2
: 2x+ y– 8 = 0



√5
3 + M
√5
√1
2
+ (–2)
22 · 1 + 1 + M
√5


t: x– 2y+ k= 0
P(1, 1) ∈t
x– 2y– 4 = 0
2x+ y– 3 = 0





s: 2x+ y+ C= 0
P(1, 1) ∈s
3
7
4x+ 6 = 3x– 9 → x
1
= –15
4x+ 6 = –(3x– 9) → x
2
= 3/7



3x+ 4 · 0 – 9
√25
4x+ 3 · 0 + 6
√25
10
3
8 38 310
3


x+ 2y+ 4 = 0
x+ y– 6 = 0 → x= 6 – y



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
42

313. Calculemos, por último, los vértices Ry S(habrá dos soluciones para cada
uno):
R
1
= m
1
I r →
→2 (4 + 2y) + y+ 2 = 0 →5y= –10 →y= –2 →x= 0
Luego: R
1
(0, –2)
R
2
= m
2
I r →
→2 (4 + 2y) + y– 8 = 0 →5y= 0 →y= 0 →x= 4
Luego: R
2
(4, 0)
S
1
= m
1
I t →
→2(2y– 1) + y+ 2 = 0 →5y= 0 →y= 0 →x= –1
Luego: S
1
(–1, 0)
S
2
= m
2
I t →
→2(2y– 1) + y– 8 = 0 →5y= 10 →y= 2 →x= 3
Luego: S
2
(3, 2)
•Por tanto, hay dos cuadrados: PQR
1
S
1
y PQR
2
S
2
NOTA
: Podríamos haber calculado S
1
y S
2
teniendo en cuenta que el punto me-
dio de las dos diagonales coincide.
61Halla el punto de la recta 2x– 4y– 1 = 0 que con el origen de coordenadas
y el punto P(–4, 0) determina un triángulo de área 6.
☛
Si tomamos como base 
→
PO= 4, la altura del triángulo mide 3. El punto que
buscamos está a 3 unidades de PO y en la recta dada. Hay dos soluciones.
Los vértices son O(0, 0), P(–4, 0), Q(x, y).
Si tomamos como base OP, entonces:
Área = → 6 = → h= 3
El punto Q(x, y) ∈r→ 2x– 4y– 1 = 0 y debe verificar que d(Q, OP) = 3.
La recta sobre la que se encuentra OPtiene por vector director
→
OP(–4, 0) y pasa
por (0, 0). Luego es el eje X: y= 0.
4 · h
2

→
OP· h
2


2x+ y– 8 = 0
x– 2y+ 1 = 0 → x= 2y– 1





2x+ y+ 2 = 0
x– 2y+ 1 = 0 → x= 2y– 1





2x+ y– 8 = 0
x– 2y– 4 = 0 → x= 4 + 2y





2x+ y+ 2 = 0
x– 2y– 4 = 0 → x= 4 + 2y



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
43

314. Así:
2x– 4y– 1 = 0
= 3 → →
→
2x– 4 · 3 – 1 = 0 → x
1
=
2x– 4(–3) – 1 = 0 → x
2
=
Luego hay dos triángulos, OPQ
1
y OPQ
2
, donde:
Q
1(
, 3)
y Q
2(
, –3)
62Dados los puntos A(–2, –1) y B(4, 0), determina un punto Ctal que
→
AC= 2
→
BC.
Halla la recta que pasa por Cy tiene pendiente igual a 2. Llama Dal punto
de corte de esa recta con el eje de ordenadas.
Demuestra que el área del triángulo ACDes el doble de la del triángulo
BCD.
•
→
AC= 2
→
BC→ (x+ 2, y+ 1) = 2 (x– 4, y– 0) →
→ → C(10, 1)
•r: y– 1 = 2 (x– 10) → y= 2x– 19
•D= rI eje Y→ D(0, –19)
•Área
ACD
=
Área
BCD
=
Pero como Ces tal que
→
AC= 2
→
BC, entonces:
A, By Cestán alineados → h
D
= h'
D

→
AC= 2 
→
BC → = 2
Luego:
Área
ACD
= = = 2 Área
BCD
2
→
BC· h'
D
2

→
AC· h
D
2
√37√148

→
BC· h'
D
2

→
AC· h
D
2
x+ 2 = 2x– 8 → x= 10
y+ 1 = 2y → y= 1



–11
2
13
2
–11
2
13
2
y
1
= 3
y
2
= –3



y
√0
2
+ 1
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 44













315. 63Sean A, B, C, Dlos puntos de corte de las rectas x– 2y+ 2 = 0 y 2x– y– 2 = 0
con los ejes de coordenadas.
Prueba que el cuadrilátero ABCDes un trapecio isósceles y halla su área.
Sean:A= rI eje OX: → x= –2 ⇒ A(–2, 0)
B= rI eje OY: → y= 1 ⇒ B(0, 1)
C= sI eje OX: → x= 1 ⇒ C(1, 0)
D= sI eje OY: → y= –2 ⇒ D(0, –2)
Calculamos los vectores dirección de los lados:
→
AB= (2, 1)
→
BC= (1, –1)
→
CD= (–1, –2)
→
DA= (–2, 2)
Luego, efectivamente, ABCDes un trapecio isósceles de bases BCy DA.
Para calcular el área necesitamos la altura:
Como → y= –x– 2 → AD: x+ y+ 2 = 0,
h= dist(B, AD) = = =
Así:
Área = · = · = =
64La recta x+ y– 2 = 0 y una recta paralela a ella que pasa por el punto (0, 5)
determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles. Halla
su área.
→ 0 + 5 + k= 0 → k= –5
Luego s: x+ y– 5 = 0


s//r: x+ y– 2 = 0 ⇒ x+ y+ k= 0
P(0, 5) ∈s
9
2
9 · 2
4
3√2
2
√
—
2 + 2√
—
2
2
3√2
2

→
BC+
→
DA
2
3√2
2
3
√2
0 + 1 + 2
√2



→
AD(2, –2)
D(0, –2)
2x– y– 2 = 0
x= 0



2x– y– 2 = 0
y= 0



x– 2y+ 2 = 0
x= 0



x– 2y+ 2 = 0
y= 0



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
45
→
















→
DA= –2
→
BC→
→
BC//
→
DA

→
AB= = 
→
CD
√5

316. •Sean:A= rI eje X: → x= 2 ⇒ A(2, 0)
B= rI eje Y: → y= 2 ⇒ B(0, 2)
C= sI eje X: → x= 5 ⇒ C(5, 0)
D= sI eje Y: → y= 5 ⇒ D(0, 5)
•
→
AB= (–2, 2);
→
CD= (–5, 5)
Área = · h= · dist(A, s) =
= · = · = · =
65Los puntos A(1, –2) y B(2, 3) son vértices de un triángulo de área 8. El vér-
tice Cestá sobre la recta 2x+ y– 2 = 0. Hállalo.
•Área = → 8 = → 8 = → h=
•h= dist(C, AB)
→ AB: y+ 2 = 5 (x– 1) →
→ AB: y= 5x– 7 → AB: 5x– y– 7 = 0
h= dist(C, AB) → = →
→ → hay dos soluciones:
C
1
: →
→ 5x– 2 + 2x– 7 = 16 → 7x= 25 → x= →
→ y= 2 – 2 · = → C
1(
, )
C
2
: →
→ 5x– 2 + 2x– 7 = –16 → 7x= –7 → x= –1 →
→ y= 4 → C
2
(–1, 4)
5x– y– 7 = –16
r: 2x+ y– 2 = 0 → y= 2 – 2x



–36
7
25
7
–36
7
25
7
25
7
5x– y– 7 = 16
r: 2x+ y– 2 = 0 → y= 2 – 2x



5x– y– 7 = 16
5x– y– 7 = –16



5x– y– 7
√26
16
√26





→
AB= (1, 5) → pendiente m= 5
A(1, –2) ∈AB
16
√26
√26 · h
2
(1, 5)· h
2

→
AB· h
2
21
2
3
√2
7√2
2
3
√2
2√
—
2 + 5√
—
2
2
2 + 0 – 5
√1
2
+ 1
2
√
—
8 + √
—
50
2

→
AB+
→
CD
2

→
AB+
→
CD
2
x+ y– 5 = 0
x= 0



x+ y– 5 = 0
y= 0



x+ y– 2 = 0
x= 0



x+ y– 2 = 0
y= 0



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
46

317. 66Un punto P, que es equidistante de los puntos A(3, 4) y B(–5, 6), dista el
doble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. ¿Cuáles son las coordena-
das de P?
•d(P, OX) = 2d(P, OY) → y= 2x→
•
→
AP= 
→
PB → = →
→ x
2
+ 9 – 6x+ y
2
+ 16 – 8y= x
2
+ 25 + 10x+ y
2
+ 36 – 12y→
→ –6x– 8y+ 25 = 10x– 12y+ 61 → 16x– 4y+ 36 = 0 → 4x– y+ 9 = 0
•Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones:
P
1
: → 4x– 2x+ 9 = 0 → x= → y= –9
Luego: P
1(
, –9)
P
2
: → 4x+ 2x+ 9 = 0 → x= = → y= 3
Luego: P
2(
, 3)
67De todas las rectas que pasan por el punto A(1, 2), halla la pendiente de
aquella cuya distancia al origen es 1.
☛
La ecuación y = 2 + m(x – 1)representa a todas esas rectas. Pásala a forma ge-
neral y aplica la condición d(O, r)= 1.
•Esas rectas tienen por ecuación:
y= 2 + m(x– 1) → mx– y+ (2 – m) = 0
•d(0, r) = 1 → = 1 →→
→(2 – m)
2
= m
2
+ 1 →4 + m
2
– 4m= m
2
+ 1 →
→4 – 4m= 1 →m=
68Dado el triángulo de vértices A(–4, –2), B(–1, 5) y
C(5, 1), halla las ecuaciones de las rectas ry sque
parten de By que cortan a AC, dividiendo al trián-
gulo en tres triángulos de igual área.
•La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de
Bal lado AC.Por tanto, tendrán la misma área si tie-
nen la misma base. Así, se trata de hallar los puntos, P
y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales:
3
4
2 – m
√m
2
+ 1
–3
2
–3
2
–9
6
y= –2x
4x– y+ 9 = 0



–9
2
–9
2
y= 2x
4x– y+ 9 = 0



√(–5 – x)
2
+ (6 – y)
2
√(x– 3)
2
+ (y– 4)
2
y= 2x
y= –2x



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 47
2 – m=
2 – m= –√m
2
+ 1
√m
2
+ 1





B
C
A
Y
X
1
1
r
s

318. OP
→
== (
– , –1 )
;
→
OQ== (
, 0)
•La recta res la que pasa por By por P:
m= = = –18
y= 5 – 18 (x+ 1) →r: 18x+ y+ 13 = 0
•La recta ses la que pasa por By por Q:
m= = = –
y= 5 – (x+ 1) →11y= 55 – 15x– 15 →s: 15x+ 11y– 40 = 0
69Dada la recta r: 2x– 3y+ 5 = 0, halla la ecuación de la recta simétrica de r,
respecto al eje OX.
•Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo:
A(2, 3) y B(5, 5)
•Los dos puntos simétricos respecto al eje OXde Ay B son A'(2, –3) y B'(5, –5)
•La recta, r', simétrica de r respecto al eje OXserá la que pasa por A'y B':
m= = =
La recta r'es:
y= –3 – (x– 2) →3y= –9 – 2x+ 4 →2x+ 3y+ 5 = 0
•De otra forma:
Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, –y) es un simétrico respecto
al eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de rrespecto al eje
OX,será:
2x– 3(–y) + 5 = 0 →2x+ 3y+ 5 = 0
Página 211
CUESTIONES TEÓRICAS
70Prueba que si las rectas ax+ by+ c= 0 y a'x+ b'y+ c' = 0 son perpendicu-
lares, se verifica que aa' + bb' = 0.
•El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax+ by+ c= 0.
•El vector (a', b') es perpendicular a la recta a' x+ b' y+ c'= 0.
•Si las dos rectas son perpendiculares, entonces:
(a, b) ·(a', b') = 0; es decir, aa'+ bb'= 0.
2
3
–2
3
–5 + 3
3
–5 – (–3)
5 – 2
15
11
15 11–5
(–11/3)
5 – 0
(–1) – (8/3)
–6
(1/3)
–1 – 5
(–2/3) – (–1)
8
3
OC
→
+ 2O
→
C
3
2
3
2O
→
A+ O
→
C
3
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
48

319. 71Dada la recta ax+ by+ c= 0, prueba que el vector v
→
= (a, b) es ortogonal a
cualquier vector determinado por dos puntos de la recta.
☛
Llama A (x
1
, y
1
) y B (x
1
, y
1
) y haz v
→
· AB
→. Ten en cuenta que A y B verifican
la ecuación de la recta.
•Si A(x
1
, y
1
) pertenece a la recta, entoncesax
1
+by
1
+ c = 0
•Si B(x
2
, y
2
) pertenece a la recta, entoncesax
2
+by
2
+ c = 0
•Restando las dos igualdades: a(x
1
– x
2
) + b(y
1
– y
2
) = 0
Esta última igualdad significa que:
(a, b) ·(x
1
– x
2
, y
1
– y
2
) = 0; es decir, que el vector (a, b) es perpendicular al vec-
tor AB
→
, siendo Ay Bdos puntos cualesquiera de la recta.
72a)¿Qué se puede decir de una recta si en su ecuación general falta el térmi-
no independiente?
b)¿Y si falta el término en x?
c)¿Y si falta el término en y?
a) La recta pasa por (0, 0).
b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX).
c) Es una recta vertical (paralela al eje OY).
73Prueba que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P(x
1
, y
1
) y
Q(x
2
, y
2
) puede escribirse de la forma:
=
Un vector director de la recta es
→
PQ= (x
2
– x
1
, y
2
– y
1
) y un punto de la recta es
P(x
1
, y
1
).
Entonces, las ecuaciones paramétricas de la recta serán:
x= x
1
+ (x
2
– x
1
) t→ t=
y= y
1
+ (y
2
– y
1
) t→ t=
→ = → =
o, lo que es lo mismo:
=
y
2
– y
1
x
2
– x
1
y– y
1
x– x
1
y– y
1
x– x
1
y
2
– y
1
x
2
– x
1
y– y
1
y
2
– y
1
x– x
1
x
2
– x
1
y– y
1
y
2
– y
1
x– x
1
x
2
– x
1
y
2
– y
1
x
2
– x
1
y– y
1
x– x
1
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 49







→

320. Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 50
74Demuestra que si una recta corta a los ejes en los puntos (a, 0) y (0, b), su
ecuación es:
+ = 1
Como A(a, 0) y B(0, b) son dos puntos de la recta, podemos tratar como vector
director
→
AB= (–a, b).
La pendiente de la recta será:
m= –
Luego su ecuación es:
y= –x+ b(ecuación implícita)
bx+ ay= ab
Dividimos entre a· blos dos miembros de la ecuación:
+ = → + = 1
75Dada la recta r: Ax + By+ C= 0 y un punto (x
0
, y
0
) que no pertenece a r,
estudia la posición de estas rectas con respecto a r:
s: A(x– x
0
) + B(y– y
0
) = 0 t: B(x– x
0
) – A(y– y
0
) = 0
•s: A(x– x
0
) + B(y– y
0
) = 0 → Ax+ By– Ax
0
– By
0
= 0
Como = = 1:
— Si = 1 → coinciden ry s
— Si ≠1 → son paralelas r// s
Es decir:
— Si Ax
0
+ By
0
+ C= 0 → coinciden; pero esto significará que (x
0
, y
0
) ∈r, lo
cual es falso. Por tanto, r≠s.
— Si Ax
0
+ By
0
≠–C→ r// s. Ahora bien, como
(x
0
, y
0
) ∉r→ Ax
0
+ By
0
+ C≠0 → Ax
0
+ By
0
≠–C
Por tanto, r// s.
•t: B(x– x
0
) – A(y– y
0
) = 0 → Bx– Ay+ Ay
0
– Bx
0
= 0
El vector director de tes
→
t= (A, B) y el de res
→
r= (B, –A).
Luego t⊥r(pues
→
t·
→
r= 0).
Además, (x
0
, y
0
) ∈t, pues verifica su ecuación.
Por tanto, tes la recta perpendicular a rque pasa por el punto (x
0
, y
0
).
C
–Ax
0
– By
0
C
–Ax
0
– By
0
B
B
A A
y
b
x
a
ab abay
ab
bx
ab
b
a
b
a
y
b
x
a

321. 76¿Cómo varía la pendiente de la recta Ax + By+ C= 0 si se duplica A? ¿Y si
se duplica B? ¿Y si se duplica C?
•t: 2Ax+ By+ C= 0 → m
t
=
r: Ax+ By+ C= 0 → m
r
=
•s: Ax+ 2By+ C= 0 → m
s
= → m
s
= (la pendiente se reduce a la mitad)
•n: Ax+ By+ 2C= 0 → m
n
= = m
r
(la pendiente no varía)
77Demuestra que las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices
A(x
1
, y
1
) B(x
2
, y
2
) C(x
3
, y
3
) son:
G
(
, )
☛2
→
GM =
→
BG; M es el punto medio de AC.
El baricentro (punto donde se cortan las medianas) verifica, para cualquier triángu-
lo de vértices A, B, Cque
→
BG= 2
→
GM, donde Ges el baricentro, G(x,y), y M
es el punto medio de AC.
Así:
(x– x
2
, y– y
2
) = 2(
– x, – y )
→
x– x
2
= 2 · → x– x
2
= x
1
+ x
3
– 2x
y– y
2
= 2 · → y– y
2
= y
1
+ y
3
– 2y
3x= x
1
+ x
2
+ x
3
→x=
3y= y
1
+ y
2
+ y
3
→y=
Luego:
G(x, y) =
(
, )
PARA PROFUNDIZAR
78Un rombo tiene un vértice en el punto (6, 1) y una diagonal que mide 2
sobre la recta 2x+ y– 3 = 0. Halla los otros tres vértices.
•A(6, 1) ∉r: 2x+ y– 3 = 0, pues no verifica la ecuación.
√5
y
1
+ y
2
+ y
3
3
x
1
+ x
2
+ x
3
3
y
1
+ y
2
+ y
3
3
x
1
+ x
2
+ x
3
3
y
1
+ y
2
– 2y
2
x
1
+ x
3
– 2x
2
y
1
+ y
3
2
x
1
+ x
3
2
y
1
+ y
2
+ y
3
3
x
1
+ x
2
+ x
3
3
–A
B
m
r
2
–A
2B
–A
B
–2A
B
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
51







m
t
= 2m
r
(la pendiente se duplica)

322. Entonces, la diagonal que está en ry que mide 2 será BD(llamando ABCD
al rombo), pues es la que no contiene al punto A.
Así, 
→
BD= 2
•La otra diagonal, AC, es perpendicular a ry pasa por A.
Sea sla recta que contiene dicha diagonal.
Será:
→ 6 – 2 + G= 0 → G= –4 →
→ s: x– 2y– 4 = 0
•El punto de corte de ambas rectas será el punto medio de las diagonales, y punto
donde se cortan:
M= rI s → 8 + 4y+ y– 3 = 0 → y= –1 →
→ x= 2 → M(2, –1)
•Además, Mes el punto medio de ambas diagonales. Luego Mes punto medio
de AC:
(2, –1) =
(
, )
→
Luego: C(–2, –3)
•By Destán en las rectas que equidistan de AC. Dichas rectas son todos los
puntos P(x, y) tales que:
d(P, s) = = = → = →
→
x– 2y– 4 = 5 → t
1
: x– 2y– 9 = 0
x– 2y– 4 = –5 → t
2
: x– 2y+ 1 = 0



√5
x– 2y– 4
√5
√5
2√5
2
—
BD
2
1 + C
2
2
6 + C
1
2


2x+ y– 3 = 0
x– 2y– 4 = 0 → x= 4 + 2y



s: x– 2y+ G= 0
Como A(6, 1) ∈s



√5
√5
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 52
X
C
B
D
s
t
2
t
1
M
A(6, 1)
r: 2x + y – 3 = 0
Y
2 = → C
1
= –2
–1 = → C
2
= –3
1 + C
2
2
6 + C
1
2








323. Así:
B= t
1
I r: →
→ 2 (9 + 2y) + y– 3 = 0 → 18 + 4y+ y– 3 = 0 → 5y+ 15 = 0
→ y= –3 → x= 9 + 2 (–3) = 3 → B(3, –3)
D= t
2
I r: →
→ 2(–1 + 2y) + y– 3 = 0 → –2 + 4y+ y– 3 = 0 → 5y– 5 = 0
→ y= 1 → x= –1 + 2 = 1 → D(1, 1)
79Un cuadrado tiene una diagonal sobre la recta x+ 5y– 6 = 0 y uno de sus
vértices es A(–2, –1). Halla los otros vértices y la longitud de la diagonal.
•Se comprueba que A∉s
•Luego la otra diagonal en la que está Aserá rtal que r⊥s:
→ –10 + 1 + G= 0 → G= 9 → r: 5x– y+ 9 = 0
•M= rI sserá el punto medio de las dos diagonales:
→ 5 (6 – 5y) – y+ 9 = 0 →
→ 30 – 25y– y+ 9 = 0 → y= = → x= 6 – 5 · =
Luego: M
(
, )
•Mes el punto medio de AC→ (
, )
= (
, )
→
→ → C(–1, 4)


–3 = –2 + C
1
→C
1
= –1
3 = –1 + C
2
→C
2
= 4



–1 + C
2
2
–2 + C
1
2
3
2
–3
2
3 2–3
2
–3
2
3 23 239 26


5x– y+ 9 = 0
x+ 5y– 6 = 0 → x= 6 – 5y





5x– y+ G= 0
Como A∈r
x– 2y+ 1 = 0 → x= –1 + 2y
2x+ y– 3 = 0



x– 2y– 9 = 0
2x+ y– 3 = 0



Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
53
X
C
B
D
r
t
2 t
1
M
A(–2, –1)
s: x + 5y – 6 = 0
Y

324. •By Destán en las rectas que equidistan de AC.
Dichas rectas son todos los puntos P(x, y) tales que:
d(P, r) = =
pues, al ser un cuadrado, sus diagonales son iguales. Es decir:
d(P, r) = = = →
→ = → →
→
Así:
B= t
1
I s: →
→30 – 25y– y– 4 = 0 →y= 1 →x= 1 ⇒ B(1, 1)
D= t
2
I s: →
→30 – 25y– y+ 22 = 0 →y= 2 →x= –4 ⇒ D(–4, 2)
•La longitud de la diagonal será:

→
AC= 
→
BD=
80De un cuadrado conocemos dos vértices contiguos A(3, 1) y B(4, 5). Calcula
los otros vértices. ¿Cuántas soluciones hay?
Cy Dson puntos de las rectas sy rperpendiculares a AB, y cuyas distancias
a By A, respectivamente, son 
→
AB:
• → 4 + 20 + k= 0 ⇒ k= –24 →
→ s: x+ 4y– 24 = 0



→
AB= (1, 4) → s: x+ 4y+ k= 0
Como B ∈s
√26


5x– y+ 22 = 0
x+ 5y– 6 = 0 → x= 6 – 5y





5x– y– 4 = 0
x+ 5y– 6 = 0 → x= 6 – 5y



t
1
: 5x– y– 4 = 0
t
2
: 5x– y+ 22 = 0



5x– y+ 9 = 26/2
5x– y+ 9 = –26/2



√26
2
5x– y+ 9
√26
√26
2
(1, 5)
2
—
AC
2
—
AC
2
—
BD
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
54
D
2
D
1A
t
r
s
BC
2
C
1

325. • → 3 + 4 + k'= 0 → k'= – 7 →
→ r: x+ 4y– 7 = 0
• → 12 – 1 + k"= 0 → k"= –11 →
→ t: 4x– y– 11 = 0
•Cy Dson puntos que están en las rectas cuya distancia a ABes 
→
AB= .
Sean P(x, y) tales que:
d(P, t) = =
Son dos rectas paralelas. Hay dos soluciones. Así:
C
1
= t
1
I s →
→ 96 – 16y– y– 28 = 0 → y= 4 → x= 8 → C
1
(8, 4)
C
2
= t
2
I s →
→ 96 – 16y– y+ 6 = 0 → y= 6 → x= 0 → C
2
(0, 6)
D
1
= t
1
I r →
→ 28 – 16y– y– 28 = 0 → y= 0 → x= 7 → D
1
(7, 0)
D
2
= t
2
I r →
→ 28 – 16y– y+ 6 = 0 → y= 2 → x= –1 → D
2
(–1, 2)
4x– y+ 6 = 0
x+ 4y–7 = 0 → x= 7 – 4y



4x– y– 28 = 0
x+ 4y– 7 = 0 → x= 7 – 4y



4x– y+ 6 = 0
x+ 4y– 24 = 0 → x= 24 – 4y



4x– y– 28 = 0
x+ 4y– 24 = 0 → x= 24 – 4y



t
1
: 4x– y– 28 = 0
t
2
: 4x– y+ 6 = 0



4x– y– 11 = 17 →
4x– y– 11 = –17 →



√17
4x– y– 11
√17
√17



→
AB= (1, 4) → t: 4x– y+ k"= 0
Como A ∈t



→
AB= (1, 4) → r: x+ 4y+ k'= 0
Como A ∈r
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
55
X
C
2
D
2
C
1
D
1
B
A
Y

326. 81La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por
extremos los puntos A(–3, –2) y C(1, 2). Halla los vértices By Dy el
perímetro del rombo.
•
→
AC= (4, 4) → 
→
AC= = 4
Como esta diagonal mide lo mismo que el lado, entonces el perímetro será:
Perímetro= 4 
→
AC= 16
•Los otros dos vértices están en la perpendicular a
→
ACpor ser su punto medio
M(–1, 0).
→
→ –3 + 2 + k= 0 → k= 1 → AC: x– y+ 1 = 0
La recta sperpendicular a ACserá:
→ –1 + k'= 0 → k'= 1 → s: x+ y+ 1 = 0
Los puntos B y Cserán los (x, y) que estén en sy cuya distancia al vértice A
sea igual a la diagonal, es decir, igual a 4 .
(x, y) ∈s→ x+ y+ 1 = 0 → x= –1 – y
= 4 → (x+ 3)
2
+ (y+ 2)
2
= 32
→ (2 – y)
2
+ (y+ 2)
2
= 32 → 4 + y
2
– 4y+ y
2
+ 4 + 4y= 32 → 2y
2
= 24 →
→ y
2
= 12 →
Luego, los vértices By Cson:
(–1 – 2 , 2 ) y (–1 + 2 , –2)
√3√3√3√3
√2√(x+ 3)
2
+ (y+ 2)
2
√2


s: x+ y+ k'= 0
Como M(–1, 0) ∈s


La recta ACtiene por vector director (1, 1) → x– y+ k= 0
Como, además, A(–3, –2) ∈recta AC
√2
√2√32
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 56
X
B
D
A(–3, –2)
C(1, 2)
Y
y
1
= 2 → x
1
= –1 – 2
y
2
= –2 → x
2
= –1 + 2
√3√3
√3√3






327. 82Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3, 1) y forma con la
parte positiva de los ejes de coordenadas un triángulo de área 6.
•Las rectas que pasan por P(3, 1), tienen de ecuación: y– 1 = m(x– 3)
•Los vértices Ay Bserán los puntos de corte de la recta con los ejes:
x= 0 → y– 1 = –3m→ y= 1 – 3m
y= 0 → 0 – 1 = mx– 3m→ x=
Luego: A(0, 1 – 3m) y B
(
, 0)
•Como Área =
Tomando como base OAy altura OB:
6 = → (1 – 3m)
()
= 12 →
→ = 12 → –9m
2
– 1 + 6m= 12m→
→ 9m
2
+ 6m+ 1 = 0 → m= = –3
Luego la recta es:
r: y– 1 = –3(x– 3) → r: y= –3x+ 10
83Determina la ecuación de una recta de pendiente –2 que forma con los ejes
un triángulo de área igual a 81. ¿Cuántas soluciones hay?
•Las rectas de pendiente –2 tienen por ecuación:
y= –2x+ k
•Los puntos de corte con los ejes, Ay B, son:
Si x= 0 → y= k→ A(0, k)
–6 ±√36 – 36
2
–9m
2
– 1 + 6m
m
3m– 1
m
3m– 1
(1 – 3m) (
————)
m
2
base × altura
2
3m– 1
m
3m– 1
m
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
57
Y
X
P(3, 1)
O B
A
r

328. Si y= 0 → x= → B (
, 0)
•Así:
Área = = 81 → k
2
= 324 →
Dos soluciones:
r
1
: y= –2x+ 18 y r
2
: y= –2x– 18
84Conocemos dos vértices de un trapecio rectángulo A(1, 1) y B(5, 1) y sa-
bemos que uno de sus lados está sobre la recta y= x+ 1. Calcula los otros
dos vértices. (Hay dos soluciones.)
Podemos comprobar que A, B∉r.
Como un lado está sobre r, los otros dos vértices están en ry, por tanto, Ay B
son vértices consecutivos.
Además, un vector director de res
→
r= (1, 1), que no es proporcional a
→
AB= (4, 0).
Por tanto,
→
r//
→
AB→ los lados ABy CDno son paralelos, luego no son las ba-
ses del trapecio.
Podemos construir dos trapecios:
a)ABC
1
D
1
, donde ABes la altura del trapecio:
C
1
y D
1
serán los puntos de corte de rcon las rectas perpendiculares a AB
que pasan por By A, respectivamente.
•t⊥
→
AB→ 4x+ k= 0
Como A(1, 1) ∈t
Así: D
1
= tI r → y= 2 → D
1
(1, 2)
•s⊥
→
AB→ 4x+ k= 0
Como B(5, 1) ∈s
Así: C
1
= s I r: → y= 6 → C
1
(5, 6)
x= 5
y= x+ 1



x= 1
y= x+ 1



k
1
= 18
k
2
= –18



k/2 · k
2
k
2
k
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
58
A
B
r
1
r
2





4 + k= 0 → k= –4 → t: 4x– 4 = 0 → t: x= 1





4 · 5 + k= 0 → k= –20 → s: 4x– 20 = 0 → s: x= 5

329. b)ABC
2
D
2
, donde C
2
D
2
es la altura del trapecio:
C
2
y D
2
serán los puntos de corte de rcon las rectas perpendiculares a rque
pasan por By C, respectivamente (es decir, C
2
y D
2
son los pies de dichas
perpendiculares).
•
→ 1 = –1 + k→ k= 2 → t: y= –x+ 2
Así: D
2
= tIr: → –x+ 2 = x+ 1 → 1 = 2x→
→ x= → y= →
→ D
2(
, )
•
→ 1 = –5 + k→ k= 6 → s: y= –x+ 6
Así: C
2
= sIr: → –x+ 6 = x+ 1 → 5 = 2x→
→ x= → y= → C
2(
, )
7
2
5 27 25 2
y= –x+ 6
y= x+ 1





s⊥r→ y= –x+ k
Como B∈s
3
2
1 2
3 21 2
y= –x+ 2
y= x+ 1





t⊥r→ y= –x+ k
Como A∈t
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
59
X
B
t
s
r
A
D
1
C
1
Y
X
B
t s
r
A
D
2
Y
C
2

330. 85Las rectas x+ y– 2 = 0 y 9x– 3y– 4 = 0 son dos alturas del triángulo ABC
de vértice A(2, 2). Halla las ecuaciones de los lados del triángulo.
☛
Halla las pendientes de los lados AB y AC que son perpendiculares a las alturas.
Obtén los puntos B y C como intersección de la altura y el lado correspondiente.
Comprobamos queA∉r: x+ y– 2 = 0
A∉s: 9x– 3y– 4 = 0
Pendientes: m
r
= –1, m
s
= 3
Luego ry sson las alturas correspondientes a los puntos By C.
•
→
AC⊥ r→ la ecuación de ACserá:
AC: x– y+ k= 0 (pues la pendiente m
AC
= 1 por AC⊥r)
Como A∈ AC, entonces:
2 – 2 + k= 0 → k= 0 → AC: x– y= 0
•
→ 6 + 18 + k= 0 →
→ k= –24 → AB: 3x+ 9y– 24 = 0 →
→ AB: x+ 3y– 8 = 0
•B= rI AB: →
2y– 6 = 0 →
→ y= 3 → x= 2 – y= –1 → B(–1, 3)
C= sI AC: → 9y– 3y– 4 = 0 →
→ y= = → x= → C
(
, )
2
3
2 32 32 34 6
9x– 3y– 4 = 0
x– y= 0 → x= y



–x– y+ 2 = 0
x+ 3y– 8 = 0



x+ y– 2 = 0
x+ 3y– 8 = 0






→
AB⊥s→ AB: 3x+ 9y+ k= 0
Como A(2, 2) ∈AB
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos
60
B
s
r
A(2, 2)
C

331. Así:
→
BC=
(
, )
→ la pendiente es m
BC
= =
Como B∈BC:
BC: y– 3 = (x+ 1) → BC: y= x+ → BC: 7x+ 5y– 8 = 0
86Supongamos que la recta r: x+ 2y– 4 = 0 es un espejo sobre el que se refle-
ja un rayo luminoso que parte de A(1, 5) y llega a B(6, 2). ¿En qué punto de
la recta incidió el rayo?
•Hallamos el punto A'simétrico de Arespecto a la recta r:
→
→2 – 5 + k= 0 →k= 3 →AA': 2x– y+ 3 = 0
C'= rI AA': →
→2(4 – 2y) – y+ 3 = 0 →8 – 4y– y+ 3 = 0 →
→5y= 11 ⇒y= →x= →C'
(
, )
C'es el punto medio de AA'→
→
(
, )
= (
, )
→→
→→→ A'
(
, )
–3
5
–9
5
x= –9/5
y= –3/5



–4 = 5x+ 5
22 = 5y+ 25



y+ 5
2
x+ 1
2
11
5
–2
5
11
5
–2
5
–2
5
11
5
x+ 2y– 4 = 0 → x= 4 – 2y
2x– y+ 3 = 0



Como AA'⊥ r→ AA': 2x– y+ k= 0
Como A∈AA'



8
5
–7
5
–7
5
–7
5
–7/3
5/3
–7
3
5 3
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 61
r: x + 2y – 4 = 0
A(1, 5)
B(6, 2)
A'
C'
C α
α
=
=
y+ 5
2
11
5
x+ 1
2
–2
5








332. •
→
A'B= (
6 + , 2 + )
= (
, )
→la pendiente es: m
A'B
= =
Además, B∈ A'B.
A'B: y– 2 = (x– 6) →A'B: x– 3y= 0
•Por último, el punto Cen el que incidió el rayo será el punto de corte de rcon
A'B:
C= rI A'B: →
→(4 – 2y) – 3y= 0 →4 – 5y = 0 →
→y = →x= 4 – 2 · = →C
(
, )
PARA PENSAR UN POCO MÁS
87El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P(x
0
, y
0
) se llama
haz de rectasde centro Py su expresión analítica es:
→a(x– x
0
) + b(y– y
0
) = 0 o bien
y= y
0
+ m(x– x
0
)
Dando valores a a y b en
→se obtie-
ne una recta del haz, excepto en el caso
a= 0 y b= 0.
Dando valores a men
se obtiene una recta del haz, excepto la paralela al
eje OY.
a) Escribe la ecuación del haz de rectas de centro (3, –2).
b) Halla la ecuación de la recta de ese haz, que pasa por el punto (–1, 5).
c) ¿Cuál de las rectas del haz es paralela a 2x+ y= 0?
d) Halla la recta del haz cuya distancia al origen es igual a 3.
a) a(x– 3) + b(y+ 2) = 0; o bien y= –2 + m(x– 3)
b) Si pasa por (–1, 5), entonces, sustituyendo en y= –2 + m(x– 3), obtenemos:
5 = –2 + m(–1 – 3) →7 = –4m→m= –; es decir:
y= –2 – (x– 3)→4y= –8 –7x+ 21 →7x+ 4y– 13 = 0
c) Si es paralela a 2x+ y= 0 tendrá pendiente –2;
por tanto, será:
y = –2 – 2(x– 3) →y= –2 – 2x+ 6 →2x+ y– 4 = 0
7
4
7 4
4 512
5
12
5
4 54 5
x+ 2y– 4 = 0 → x= 4 – 2y
x– 3y= 0



1
3
1 313 3913
5
39
5
3 59 5
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 62
P (x0, y0)

333. d) Una recta del haz tiene por ecuación:
y = –2 + m(x– 3) →y= –2 + mx– 3m→mx– y–3m– 2 = 0
Su distancia al origen ha de ser igual a 3:
= 3; es decir:
|–3m– 2| = 3 . Elevamoso al cuadrado y operamos:
9m
2
+ 12m+ 4 = 9(m
2
+ 1)
9m
2
+ 12m+ 4 = 9m
2
+ 9
12m= 5 →m=
Por tanto, será:
x– y– – 2 = 0 →5x– 12y– 39 = 0
88Determina el centro del haz de rectas de ecuación 3kx+ 2y– 3k + 4 = 0.
Llamamos (x
0
, y
0
) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan de
la forma a(x– x
0
) + b(y– y
0
) = 0:
3kx + 2y– 3k+ 4 = 0 →3k(x– x
0
) + 2(y– y
0
) = 0
3kx – 3kx
0
+ 2y– 2y
0
= 0
3kx + 2y– 3kx
0
– 2y
0
= 0
Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto:
–3kx
0
= –3k→x
0
= 1
–2y
0
= 4 →y
0
= –2
El centro del haz es el punto (1, –2).
15
12
5
12
5
12
√m
2
+ 1
|–3m– 2|
√m
2
+ 1
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 63

334. Página 213
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas
αCompleta la siguiente tabla, en la que αes el ángulo que forman las generatri-
ces con el eje, e, de la cónica y βes el ángulo del plano πcon e.
Página 215
1.Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:
a) Mediatriz del segmento de extremos A(–5, –3), B(7, 1). Comprueba que es
una recta perpendicular al segmento en su punto medio.
b) Circunferencia de centro C(–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el
origen de coordenadas.
c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas:
r
1
: 5x+ y+ 3 = 0
r
2
: x– 2y+ 16 = 0
Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan
en el mismo punto que r
1
y r
2
.
a) Los puntos X(x, y) deben cumplir dist(X, A) = dist(X, B):
=
Elevamos al cuadrado y desarrollamos:
x
2
+ 10x+ 25 + y
2
+ 6y+ 9 = x
2
– 14x+ 49 + y
2
– 2y+ 1
10x+ 14x+ 6y+ 2y+ 34 – 50 = 0 → 24x+ 8y– 16 = 0
3x+ y– 2 = 0 → y= –3x+ 2
√(x– 7)
2
+ (y– 1)
2
√(x+ 5)
2
+ (y+ 3)
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 1
LUGARES GEOMÉTRICOS.
CÓNICAS
9
punto punto recta
circunferenciaelipse hip érbolaparábola
dos rectas que
se cortan en V
V
β= 90°β> αβ = αβ < α
πPASA POR
EL VÉRTICE
πNO PASA
POR EL
VÉRTICE

335. •El punto medio de ABes M(1, –1) que, efectivamente, está en la recta (pues
verifica la ecuación).
•La pendiente de la recta es m
r
= –3, y la del segmento es:
m
AB
= = =
Cumplen que m
r
· m
AB
= (–3) ()
= –1 → AB⊥r
b) Los puntos X(x, y) son tales que:
dist(X, C) = 5 → = 5 → x
2
+ 6x+ 9 + y
2
– 8y+ 16 = 25 →
→ x
2
+ y
2
+ 3x– 8y+ 25 = 25 → x
2
+ y
2
+ 3x– 8y= 0
c) Son los puntos X(x, y):
dist(X, r
1
) = dist(X, r
2
) → =
Se dan dos casos: (5x+ y+ 3) = (x– 2y+ 16)
(5x+ y+ 3) = – (x– 2y+ 16)
Son dos rectas:b
1
: (5– )x+ (+ 2 )y+ 3– 16 = 0
b
2
: (5+ )x+ (– 2 )y+ 3 + 16 = 0
•Sus pendientes son:m
1
=
m
2
=
→ m
1
· m
2
= = = –1 → b
1
⊥b
2
•Calculamos el punto de corte de las rectas iniciales y comprobamos que está tam-
bién en ambas bisectrices:
→
→ x– 2(–5x– 3) + 16 = 0 → x+ 10x+ 6 + 16 = 0 →
→ 11x= –22 → x= –2
Luego: y= –5(–2) – 3 = 7
El punto de corte es (–2, 7), que se puede comprobar fácilmente que está en b
1
y b
2
sustituyendo en sus ecuaciones respectivas:
b
1
:(5– )· (–2) + (+ 2 )· 7 + 3– 16 =
= –10 + 2 + 7 + 14 + 3 – 16 = 0
√26√5√26√5√26√5
√26√5√26√5√26√5


r
1
: 5x+ y+ 3 = 0 → y= –5x– 3
r
2
: x– 2y+ 16 = 0
99
–99
25 · 5 – 26
5 – 4 · 26
–(5√
—
5 + √
—
26)
√
—
5 – 2√
—
26
–(5√
—
5 – √
—
26)
√
—
5 + 2√
—
26
√26√5√26√5√26√5
√26√5√26√5√26√5
√26√5
√26√5
x– 2y+ 16
√5
5x+ y+ 3
√26
√(x+ 3)
2
+ (y– 4)
2
1
3
1 34
12
1 – (–3)
7 – (–5)
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
2









→

336. b
2
:(5+ )· (–2) + (– 2 )· 7 + 3 + 16 =
= –10– 2+ 7 – 14 + 3 + 16 = 0
•Por tanto, b
1
y b
2
son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo
punto que r
1
y r
2
.
Página 217
1.Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba
que pasa por el punto (0, 0).
(x+ 5)
2
+ (y– 12)
2
= 169 →x
2
+ y
2
+ 10x– 24y= 0
Si sustituimos x= 0, y= 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferen-
cia pasa por (0, 0).
2.¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias
a los puntos M(6, 0) y N(–2, 0) es 3 (es decir,
—
PM/
—
PN= 3)?
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, entonces:
= 3 → = 3
(x– 6)
2
+ y
2
= 9 [(x+ 2)
2
+ y
2
]
x
2
– 12x+ 36 + y
2
= 9 [x
2
+ 4x+ 4 + y
2
]
x
2
– 12x+ 36 + y
2
= 9x
2
+ 36x+ 36 + 9y
2
8x
2
+ 8y
2
+ 48x= 0
x
2
+ y
2
+ 6x= 0
Es una circunferencia de centro (–3, 0) y radio 3.
Página 219
3.En el ejercicio resuelto anterior, resuelve el sistema de ecuaciones para hallar
el punto de tangencia de la recta s
1
y la circunferencia C.
y=
x
2
+ ()
2
– 6x– 4 ()
– 12 = 0
x
2
+ – 6x– 3x+ 26 – 12 = 0
16x
2
+ 9x
2
– 156x+ 676 – 96x– 48x+ 416 – 192 = 0
25x
2
– 300x+ 900 = 0 →x
2
– 12x+ 36 = 0
(x– 6)
2
= 0 →x= 6 →y= –2
El punto de tangencia es (6, –2).
9x
2
– 156x+ 676
16
3x– 26
4
3x– 26
4
3x– 26
4


x
2
+ y
2
– 6x– 4y– 12 = 0
3x– 4y– 26 = 0
√(x– 6)
2
+ y
2
√(x+ 2)
2
+ y
2
—
PM
—
PN
√26√5√26√5√26√5
√26√5√26√5√26√5
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 3

337. 4.¿Para qué valor de bla recta y = x + b es tangente a x
2
+ y
2
= 9?
El centro de la circunferencia es C(0, 0) y el radio es r= 3. La distancia de Ca la
recta s: x– y+ b= 0 ha de ser igual al radio:
dist(C, s) = = = 3 →|b|= 3
Luego las rectas y= x+ 3 e y= x– 3 son tangentes a la circunferencia dada.
5.Halla la posición relativa de la circunferencia C: x
2
+ y
2
– 6x+ 8y= 0 respecto
a las rectas: s
1
: x+ y= 10, s
2
: 4x+ 3y+ 20 = 0 y s
3
: 3x– 4y= 0.
El centro de la circunferencia es O
c
(3, –4) y su radio es r= = = 5.
Hallamos la distancia de O
c
a cada una de las rectas:
d
1
= dist(O
c
, s
1
) = = ≈7,78
d
2
= dist(O
c
, s
2
) = = = 2
d
3
= dist(O
c
, s
3
) = = = 5
d
1
> r→La recta s
1
es exteriora la circunferencia.
d
2
< r→La recta s
2
y la circunferencia son secantes.
d
3
= r→La recta s
3
es tangentea la circunferencia.
Página 221
1.Halla la ecuación de la elipse de focos F
1
(4, 0), F
2
(–4, 0) y cuya constante es 10.
Una vez puesta la ecuación inicial, pasa una raíz al segundo miembro, eleva al
cuadrado (¡atención con el doble producto!), simplifica, aísla la raíz, vuelve a
elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuación 9x
2
+ 25y
2
= 225.
Si P(x, y) es un punto de la elipse, entonces:
dist(P, F
1
) + dist(P, F
2
) = 10
+ = 10
= 10 –
Elevamos al cuadrado: (x– 4)
2
+ y
2
= 100 + (x+ 4)
2
+ y
2
– 20
Operamos: x
2
– 8x+ 16 + y
2
= 100 + x
2
+ 8x+ 16 + y
2
– 20
20 = 16 x+ 100
5= 4 x+ 25
Elevamos al cuadrado: 25(x
2
+ 8x+ 16 + y
2
) = 16x
2
+ 200x+ 625
Simplificamos:
25x
2
+ 200x+ 400 + 25y
2
= 16x
2
+ 200x+ 625 →9x
2
+ 25y
2
= 225
√(x+ 4)
2
+ y
2
√(x+ 4)
2
+ y
2
√(x+ 4)
2
+ y
2
√(x+ 4)
2
+ y
2
√(x+ 4)
2
+ y
2
√(x– 4)
2
+ y
2
√(x+ 4)
2
+ y
2
√(x– 4)
2
+ y
2
25
5
|9 + 16|
√9 + 16
10
5
|12 – 12 + 10|
√16 + 9
11
√2
|3 – 4 – 10|
√2
√25√9 + 16
√2√2
b= 3√2
b= –3 √2
√2
|b|
√2
|b|
√1 + 1
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 4

338. 2.Halla la ecuación de la hipérbola de focos F
1
(5, 0), F
2
(–5, 0) y cuya constante
es 6. Simplifica como en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresión
16x
2
–9y
2
= 144.
Si P(x, y) es un punto de la hipérbola, entonces:
|dist(P, F
1
) – dist(P, F
2
)| = 6
dist(P, F
1
) – dist(P, F
2
) = ±6
– = ±6
= ±6 +
Elevamos al cuadrado:
x
2
– 10x+ 25 + y
2
= 36 + x
2
+ 10x+ 25 + y
2
±12
±12 = 20 x+ 36
±3 = 5 x+ 9
Elevamos al cuadrado: 9 (x
2
+ 10x+ 25 + y
2
) = 25x
2
+ 90x+ 81
9x
2
+ 90x+ 225 + 9y
2
= 25x
2
+ 90x+ 81
16x
2
– 9y
2
= 144
3.Halla la ecuación de la parábola de foco F(–1, 0) y directriz r: x= 1. Simplifi-
ca hasta llegar a la expresión y
2
= –4x.
Si P(x, y) es un punto de la parábola, entonces:
dist(P, F) = dist(P, r)
= |x– 1|
Elevamos al cuadrado: x
2
+ 2x+ 1 + y
2
= x
2
– 2x+ 1
Simplificamos: y
2
= –4x
Página 223
1.Una elipse tiene sus focos en los puntos F(5, 0) y F'(–5, 0) y su constante es k
= 26. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.
•Semieje mayor: k= 26 →2a= 26 →a= 13
•Semidistancia focal:
—
FF'= 10 →2c= 10 →c= 5
•Semieje menor: b
2
= a
2
– c
2
= =
= = 12 →b= 12
•Excentricidad: = ≈0,38 →
→ exc≈0,38
•Ecuación reducida: + = 1
y
2
144
x
2
169
5
13
c
a
√144
√169 – 25
√(x+ 1)
2
+ y
2
√(x+ 5)
2
+ y
2
√(x+ 5)
2
+ y
2
√(x+ 5)
2
+ y
2
√(x+ 5)
2
+ y
2
√(x– 5)
2
+ y
2
√(x+ 5)
2
+ y
2
√(x– 5)
2
+ y
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 5
F' F
–12
–13 13
12

339. Página 224
2.Representa y di su excentricidad:
+ = 1
c= =
exc= ≈0,87
3.Representa y di su excentricidad:
+ = 1
c= =
exc= ≈0,87
Página 226
1.Una hipérbola tiene sus focos en los puntos F
1
(5, 0) y F
2
(–5, 0) y su cons-
tante es k= 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Re-
preséntala.
•Semieje: k= 2a= 6 →a= 3
•Semidistancia focal:
—
F
1
F
2
= 10 →c= 5
•Cálculo de b: b
2
= c
2
– a
2
→
→b= = = 4 →b= 4
•Excentricidad: exc= = ≈1,67
•Asíntotas: y= x; y= –x
•Ecuación reducida: – = 1
y
2
16
x
2
9
4
3
4 3
5 3c
a
√16√25 – 9
√48
8
√48√64 – 16
(y– 7)
2
64
(x– 3)
2
16
√12
4
√12√16 – 4
(y– 2)
2
4
(x+ 5)
2
16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 6
–5
2
7
3
4
–4
3–3F
1
F
2

340. Página 227
2.Representa:
– = 1
3.Representa:
– = 1
Página 228
1.Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F(1,5; 0) y directriz x= –1,5.
Si P(x, y) es un punto de la parábola: dist(P, F) = dist(P, d), donde des la di-
rectriz y Fel foco.
= |x+ 1,5|
x
2
– 3x+ 2,25 + y
2
= x
2
+ 3x+ 2,25 →y
2
= 6x
•De otra forma:
Distancia del foco a la directriz: p= 3
Ecuación reducida: y
2
= 6x
2.Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F(0, 2) y directriz y= –2.
Si P(x, y) es un punto de la parábola: dist(P, F) = dist(P, d), donde des la direc-
triz y Fel foco.
= |y+ 2|
x
2
+ y
2
– 4y+ 4 = y
2
+ 4y+ 4 →x
2
= 8y
•De otra forma:
Distancia del foco a la directriz: p= 4
Ecuación reducida: x
2
= 8y.
√x
2
+(y– 2)
2
√(x– 1,5)
2
+ y
2
(x– 3)
2
16
(y– 7)
2
64
(y– 2)
2
4
(x+ 5)
2
16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 7
2
–5
7
3

341. Página 233
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Circunferencia
1Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferen-
cias y, en ellas, halla su centro y su radio:
a)x
2
+ y
2
– 8x+ 2y+ 10 = 0
b)x
2
– y
2
+ 2x+ 3y– 5 = 0
c)x
2
+ y
2
+ xy– x+ 4y– 8 = 0
d) 2x
2
+ 2y
2
– 16x+ 24 = 0
e) x
2
+ y
2
+ 6x+ 10y= –30
a) Los coeficientes de x
2
e y
2
son 1. No hay término en xy.
()
2
+()
2
– C= 16 + 1 – 10 = 7 > 0.
Es una circunferencia de centro (4, –1) y radio .
b) Los coeficientes de x
2
e y
2
no son iguales. No es una circunferencia.
c) Hay un término xy. No es una circunferencia.
d) Los coeficientes de x
2
e y
2
son iguales y no tiene término en xy. Dividimos
entre 2 la igualdad: x
2
+ y
2
– 8x+ 12 = 0.
()
2
+()
2
– C= 16 + 0 – 12 = 4 > 0.
Es una circunferencia de centro (4, 0) y radio = 2.
e) Los coeficientes de x
2
e y
2
son 1. No hay término en xy.
()
2
+()
2
– C= 9 + 25 – 30 = 4 > 0
Es una circunferencia de centro (–3, –5) y radio 2.
2Los puntos A(1, 2) y B(3, 6) son los extremos de un diámetro de una cir-
cunferencia C. Halla su ecuación.
El centro de la circunferencia es el punto medio del segmento AB:
P= Centro =
( , )= (2, 4)
El radio es la distancia del centro a uno de los puntos:
r= dist(P, A) = |
→
PA|= |(–1, –2)|= =
Por tanto, la ecuación es: (x– 2)
2
+(y– 4)
2
= 5 →x
2
+ y
2
– 4x– 8y+ 15 = 0
√5√1 + 4
2 + 6
2
1 + 3
2
B
2
A
2
√4
B
2
A
2
√7
B
2
A
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
8

342. 3¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos
que distan 5 unidades del punto P(–3, 2)?
Represéntalo gráficamente y halla su ecua-
ción.
Es una circunferencia de centro P(–3, 2) y ra-
dio 5.
Ecuación: (x+ 3)
2
+(y– 2)
2
= 25
x
2
+ y
2
+ 6x– 4y– 12 = 0
4Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(–2, 1) y que pasa por
P(0, –4).
El radio de la circunferencia es la distancia de Pa C:
r= |
→
PC|= |(–2, 5)|= =
La ecuación es: (x+ 2)
2
+(y– 1)
2
= 29, o bien, x
2
+ y
2
+ 4x– 2y– 24 = 0
5Estudia la posición de la recta x+ y= 0 con relación a la circunferencia:
x
2
+ y
2
+ 6x+ 2y+ 6 = 0.
El centro de la circunferencia es C(–3, –1) y su radio es r= = = 2.
Hallamos la distancia de Ca la recta s: x+ y= 0:
d= dist(C, s) = = = = 2 ≈2,83 > 2 = r
La recta es exteriora la circunferencia.
6¿Para qué valor de bla recta y= x+ b es tangente a la circunferencia
x
2
+ y
2
= 1?
El centro de la circunferencia es C(0, 0) y su radio es r= 1.
Hallamos la distancia de Ca la recta s: x– y+ b= 0: d= dist(C, s) =
Para que la recta sea tangente a la circunferencia, ha de ser d= r, es decir:
= 1 →|b|=
7Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su
posición relativa:
a) b)
a)
Las circunferencias se cortan en el punto (–2, 0).
4 – 6x– 16 = 0 →–6x= 12 →x= –2
4+y
2
= 4 →y
2
= 0 →y= 0



x
2
+ y
2
– 6x– 16 = 0
x
2
+ y
2
= 4
x
2
+ y
2
– 6x– 4y+ 9 = 0
x
2
+ y
2
– 6x+ 2y+ 9 = 0



x
2
+ y
2
– 6x– 16 = 0
x
2
+ y
2
= 4



b=√2
b= –√2
√2
|b|
√2
|b|
√2
√2
4√2
2
4
√2
|–3 – 1|
√2
√4√9 + 1 – 6
√29√4 + 25
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 9
(–3, 2)

343. La primera circunferencia tiene centro en (3, 0) y radio 5; la segunda tiene centro
en (0, 0) y radio 2. La distancia entre sus centros es d= 3. Como la diferencia
entre sus radios es 5 – 2 = 3 = d, las circunferencias son tangentes interiores.
b)
x
2
– 6x+ 9 = 0 →(x– 3)
2
= 0 →x= 3
Las circunferencias se cortan en el punto (3, 0).
La primera circunferencia tiene su centro en (3, 2) y radio 2; la segunda tiene su
centro en (3, –1) y radio 1. La distancia entre sus centros es d= 3, igual que la
suma de sus radios. Por tanto, las circunferencias son tangentes exteriores.
8Halla la longitud de la cuerda común a las circunferencias de ecuaciones:
x
2
+ y
2
– 4x+ 2y– 4 = 0 y x
2
+ y
2
– 4 = 0.
Hallamos los puntos de corte:
x
1
= = = →y
1
=
x
2
= – = = →y
2
=
Las dos circunferencias se cortan en P
(
, )
y en Q (
, )
.
La longitud de la cuerda común es igual a la distancia entre Py Q:
dist(P, Q) = |
→
QP|= ()
2
+()
2
= ()
2
+()
2
=
= + = = 4
9Calcula la distancia del centro de la circunferencia x
2
+ y
2
– 2y– 1 = 0 a la rec-
ta r: 2x– y+ 3 = 0. ¿Cuál es la posición de rrespecto a la circunferencia?
El centro de la circunferencia es C(0, 1) y su radio es R= . La distancia de C
a res:
dist(C, r) = = ≈0,89 < ≈1,41
Luego la circunferencia y la recta son secantes.
√2
2
√5
|–1 + 3|
√5
√2
√16
64
5
16
5
8
√5
4
√5
8√5
5
4√5
5
–4√5
5
–2√5
5
4√5
5
2√5
5
–4√5
5
–2√5
5
–2
√5√
4
5
4√5
5
2√5
5
2
√5√
4
5
–4x+ 2y= 0 →y= 2x
x
2
+ 4x
2
– 4 = 0 →5x
2
= 4



x
2
+ y
2
– 4x+ 2y– 4 = 0
x
2
+ y
2
– 4 = 0
Restando a la 2-
a
ecuación la 1-
a
:
6y= 0 →y= 0



x
2
+ y
2
– 6x– 4y+ 9 = 0
x
2
+ y
2
– 6x+ 2y+ 9 = 0
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
10
x
2
=
4
5

344. Elipse
10Halla los vértices, los focos, los puntos en los ejes, las excentricidades, y re-
presenta las elipses dadas por sus ecuaciones:
a) + = 1i b) + = 1
c) 9x
2
+ 25y
2
= 25 d) 9 x
2
+ 4y
2
= 1
a)Vértices:(10, 0); (–10, 0); (0, 6) y (0, –6).
Focos:c= = 8
F(8, 0) y F'(–8, 0)
Excentricidad:exc= = 0,8
b)Vértices:(8, 0); (–8, 0); (0, 10) y (0, –10).
Focos:c= = = 6
F(0, 6) y F'(0, –6)
Excentricidad:exc= = 0,6
c) 9x
2
+ 25y
2
= 25 → + = 1
Vértices:
(, 0); (–, 0); (0, 1) y (0, –1).
Focos:c= = =
F
(
, 0)
y F'(
–, 0)
Excentricidad:exc= = = 0,8
4
5
4/3 5/3
4 34 3
4 3
√
16
9√
25
– 1
9
5
3
5 3
y
2
1
x
2
25/9
6
10
√36√100 – 64
8
10
√100 – 36
y
2
100
x
2
64
y
2
36
x
2
100
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 11
6
–6
–10 10 FF'
10
–10
–88
F
F'
1
–1
5
—
3
–5
—
3
FF'

345. d) 9x
2
+ 4y
2
= 1 → + = 1
Vértices:
(
, 0)
; (
–, 0)
; (
0, )
y (
0, – )
.
Focos:c= – = =
F
(
0, )
y F'(
0, – )
11Halla las ecuaciones de las elipses determinadas de los modos siguientes:
a) Focos (–2, 0), (2, 0). Longitud del eje mayor, 10.
b)F(–3, 0) y F'(3, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,5.
c) Eje mayor sobre el eje X, 10. Pasa por el punto (3, 3).
d) Eje mayor sobre el eje Y, 2. Excentricidad, 1/2.
a)c= 2; 2a= 10 →a= 5; b= = =
Ecuación: + = 1
b)c= 3; exc= = 0,5 →a= = = 6
b
2
= a
2
– c
2
= 36 – 9 = 27
Ecuación: + = 1
c) 2a= 10 →a= 5; + = 1
Como pasa por (3, 3) → + = 1 →9b
2
+ 225 = 25b
2
→
→16b
2
= 225 →b
2
=
Ecuación: + = 1, o bien, + = 1
d)exc= = →c= (a= 1, pues 2a= 2)
b
2
= a
2
– c
2
= 1 – =
Ecuación: + = 1, o bien, + y
2
= 1
4x
2
3
y
2
1
x
2
3/4
3
4
1 4
1 21 2c
1
16y
2
225
x
2
25
y
2
225/16
x
2
25
225
16
9
b
2
9
25
y
2
b
2
x
2
25
y
2
27
x
2
36
3
0,5
c
0,5
c
a
y
2
21
x
2
25
√21√25 – 4√a
2
– c
2
√5
6
√5
6
√5
6√
5
36
1 91 4
1 21 21 31 3
y
2
1/4
x
2
1/9
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 12
F
F'
1
—
3
–1
—
3
1
—
2
–1
—
2

346. 12Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distan-
cias a P(–4, 0) y Q(4, 0) es 10.
Es una elipse de focos P(–4, 0) y Q(4, 0), y constante k= 10, es decir, 2a= 10
y c= 4.
Así: a= 5; b
2
= a
2
– c
2
= 25 – 16 = 9
La ecuación será: + = 1
13Halla los puntos de intersección de la elipse + = 1 con la circunfe-
rencia cuyo centro es el origen y pasa por los focos.
Los focos de la elipse son:
c
2
= a
2
– b
2
→c
2
= 25 – 9 = 16 →c= 4
F(4, 0) y F'(–4, 0)
Luego la circunferencia tiene su centro en
(0, 0) y radio 4.
La ecuación de la circunferencia es: x
2
+ y
2
= 16.
Hallamos los puntos de intersección de la cir-
cunferencia con la elipse:
9x
2
+ 400 – 25x
2
= 225 →175 = 16x
2
→x
2
=
x= →y= ±
x= →y= ±
Hay cuatro puntos:
(
, )
; (
, –)
; (
, )
y (
, –)
14Calcula la longitud de la cuerda definida por la elipse x
2
+ 3y
2
= 28 y la rec-
ta 5x+ 3y= 14.
Hallamos los puntos de corte de la recta y la
elipse:
x=
14 – 3y
5

5x+ 3y= 14
x
2
+ 3y
2
= 28
9
4
–5√7
4
9 4–5√7
4
9 45√7
4
9 45√7
4
9 4–5√7
4
9 45√7
4
175
16
y
2
= 16 – x
2
9x
2
+ 25y
2
= 225 →9x
2
+ 25(16 – x
2
) = 225




x
2
+ y
2
= 16
x
2
y
2
—+ —= 1
25 9
y
2
9
x
2
25
y
2
9
x
2
25
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 13
–55–4
–4
4
–3
3
40
x= ± =
±5√7
4√
175
16

347. ()
2
+ 3y
2
= 28 → + 3y
2
= 28
196 – 84y+ 9y
2
+ 75y
2
= 700 →84y
2
– 84y– 504 = 0
y
2
– y– 6 = 0 →y= =
Se cortan en los puntos P(1, 3) y Q(4, –2).
La longitud de la cuerda es la distancia entre Py Q:
|
→
PQ|= |(3, –5)|= = ≈5,83
15Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y
focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P(8, –3) y que
su eje mayor es igual al doble del menor.
El eje mayor es igual al doble del menor, es decir: a= 2b. Además, pasa por el
punto P(8, –3). Luego:
+ = 1 → + = 1 → + = 1 → = 1 →
→25 = b
2
; a
2
= 4b
2
= 100
La ecuación es: + = 1
16Escribe la ecuación de la elipse de focos F(1, 1) y F'(1, –1) y cuya constan-
te es igual a 4.
Si P(x, y) es un punto de la elipse, entonces:
dist(P, F) + dist(P, F') = 2a, es decir:
+= 4
Operamos para simplificar:
= 4 –
(x– 1)
2
+ (y– 1)
2
= 16 + (x– 1)
2
+ (y+ 1)
2
– 8
x
2
+ 1 – 2x+ y
2
+ 1 – 2y= 16 + x
2
+ 1 – 2x+ y
2
+ 1 + 2y– 8
–4y– 16 = –8
(4y+ 16)
2
= 64 [(x– 1)
2
+ (y+ 1)
2
]
16y
2
+ 256 + 128y= 64 [x
2
+ 1 – 2x+ y
2
+ 1 + 2y]
16y
2
+ 256 + 128y= 64x
2
+ 64 – 128x+ 64y
2
+ 64 + 128y
√(x– 1)
2
+ (y+ 1)
2
√(x– 1)
2
+ (y+ 1)
2
√(x– 1)
2
+ (y+ 1)
2
√(x– 1)
2
+ (y+ 1)
2
√(x– 1)
2
+ (y– 1)
2
√(x– 1)
2
+ (y+ 1)
2
√(x– 1)
2
+ (y– 1)
2
y
2
25
x
2
100
25
b
2
9
b
2
16
b
2
9
b
2
64
4b
2
y
2
b
2
x
2
a
2
√34√9 + 25
y= 3→x= 1
y= –2→x= 4
1 ± 5
2
1 ±√1 + 24
2
196 – 84y+ 9y
2
25
14 – 3y
5
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
14

348. 128 = 64x
2
– 128x+ 48y
2
8 = 4x
2
– 8x+ 3y
2
12 = 4x
2
– 8x+ 4 + 3y
2
12 = (2x– 2)
2
+ 3y
2
12 = 4(x– 1)
2
+ 3y
2
1 = +
+= 1
•De otra forma:
El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une Fcon F', es decir:
(
, )
= (1, 0)
Por otra parte:
2c= dist(F, F') = |
→
F'F|= |(0, 2)|= 2 →c= 1
2a= 4 →a= 2 →a
2
= 4
b
2
= a
2
– c
2
= 4 – 1 = 3
Por tanto, la ecuación es: + = 1
Página 234
Hipérbola
17Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas, y dibuja las
hipérbolas dadas por las ecuaciones:
a) – = 1 b) – y
2
= 1
c) x
2
– 4y
2
= 1 d) x
2
– 4y
2
= 4
e) – = 1 f) y
2
– 16x
2
= 16
g) 9x
2
– 4y
2
= 36 h) 4 x
2
– y
2
+ 16 = 0
a)a= 10, b= 6, c= = = 2 , exc= ≈1,17
Vértices:(10, 0) y (–10, 0). Focos:F
(2, 0)y F'(–2, 0)
Asíntotas:y= x; y= –x
3
5
3 5
√34√34
2√34
10
√34√136√a
2
+ b
2
x
2
36
y
2
4
9x
2
16
y
2
36
x
2
100
y
2
4
(x– 1)
2
3
1 – 1
2
1 + 1
2
y
2
4
(x– 1)
2
3
3y
2
12
4(x– 1)
2
12
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 15

349. b) – y
2
= 1 → – = 1
a= , b= 1, c= = , exc= = = 1,25
Vértices:
(
, 0)
y (
–, 0)
. Focos:F (
, 0)
y F'(
–, 0)
Asíntotas:y= x; y= –x
c)x
2
– 4y
2
= 1 → – = 1
a= 1, b= , c= = , exc= = ≈1,12
Vértices:(1, 0) y (–1, 0). Focos:F
(
, 0)
y F'(
–, 0)
Asíntotas:y= x; y= –x
1
2
1 2
√5
2
√5
2
√5
2
√5/2
1
√5
2√
1 +
1
4
1
2
y
2
1/4
x
2
1
3 43 4
5 35 34 34 3
5 45/3 4/35 3
√
16
+ 1
9
4
3
y
2
1
x
2
16/9
9x
2
16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 16
6
–10 10 FF'
–6
1
FF'
–1
4
—
3
–4
—
3
1–1 FF'
1
—
2
–1
—
2

350. d)x
2
– 4y
2
= 4 → – = 1
a= 2, b= 1, c= = , exc= ≈1,12
Vértices:(2, 0) y (–2, 0). Focos:F
(, 0)y F'(–, 0)
Asíntotas:y= x; y= –x
e)Vértices:(0, 2) y (0, –2). Focos:F
(0, )y F'(0, – )
exc= ≈3,16. Asíntotas:y= x; y= –x
f)y
2
– 16x
2
= 16 → – = 1
Vértices:(0, 4) y (0, –4)
Focos:F
(0, )y F'(0, – )
exc= ≈1,03
Asíntotas:y= 4x; y= –4x
√17
4
√17√17
x
2
1
y
2
16
1
3
1 3√40
2
√40√40
1
2
1 2
√5√5
√5
2
√5√4 + 1
y
2
1
x
2
4
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 17
6–6
–2
2
F
F'
2
1
–1
–2 FF'
1–1
–4
4
F
F'

351. g) 9x
2
– 4y
2
= 36 → – = 1
Vértices:(2, 0) y (–2, 0)
Focos:F
(, 0)y F'(–, 0)
exc= ≈1,80
Asíntotas:y= x; y= –x
h) 4x
2
– y
2
+ 16 = 0 →y
2
– 4x
2
= 16 →
→ – = 1
Vértices:(0, 4) y (0, –4)
Focos:F
(, 0)y F'(–, 0)
exc= ≈1,12
Asíntotas:y= 2x; y= –2x
18Halla las ecuaciones de las hipérbolas determinadas de los modos siguientes:
a) Focos (–4, 0), (4, 0). Distancia entre los vértices, 4.
b) Asíntotas, y= ±x. Vértice, (2, 0).
c) Asíntotas, y= ± 3x. Pasa por el punto (2, 1).
d) Focos (–3, 0), (3, 0). Excentricidad, 3.
a)c= 4; 2a= 4 →a= 2; b= = =
La ecuación es: – = 1
b)a= 2; = → = →b=
Ecuación: – = 1, o bien, – = 1
c) = 3 →b= 3a→ – = 1
Como pasa por (2, 1) → – = 1 →36 – 1 = 9a
2
1
9a
2
4
a
2
y
2
9a
2
x
2
a
2
b
a
25y
2
4
x
2
4
y
2
4/25
x
2
4
2
5
1 5b
2
1 5b
a
y
2
12
x
2
4
√12√16 – 4√c
2
– a
2
1
5
√20
4
√20√20
x
2
4
y
2
16
3
2
3 2
√13
2
√13√13
y
2
9
x
2
4
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 18
2–2
–3
3
FF'
2–2
–4
4
F
F'

352. 35 = 9a
2
→a
2
= →b
2
= 9a
2
= 35
Ecuación: – = 1, o bien, – = 1
d)c= 3, = = 3 →a= 1
b
2
= c
2
– a
2
= 9 – 1 = 8
Ecuación: – = 1
19Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de dis-
tancias a F'(–4, 0) y F(4, 0) es 6.
Es una hipérbola de focos Fy F'y constante 2a= 6. Por tanto, a= 3, c= 4,
b
2
= c
2
– a
2
= 16 – 9 = 7.
La ecuación es: – = 1
20Halla la ecuación de la hipérbola que tiene el centro en el origen de coorde-
nadas y los focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto
P( , 1) y que una de sus asíntotas es la recta y= 2x.
La pendiente de la asíntota es = 2 →b= 2a
Luego – = 1 es la ecuación.
Como pasa por el punto P
( , 1), entonces:
– = 1 →10 – 1 = 4a
2
→9 = 4a
2
→a
2
= →b
2
= 4a
2
= 9
La ecuación será: – = 1, es decir: – = 1
Parábola
21Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas, y re-
preséntalas:
a) y
2
= 6x b) y
2
= –6x
c) y= x
2
d) y=
e) y
2
= 4 (x– 1) f) ( y– 2)
2
= 8x
g) x
2
= 4 (y+ 1) h) ( x– 2)
2
= –6y
x
2
4
y
2
9
4x
2
9
y
2
9
x
2
9/4
9
4
1
4a
2
5/2
a
2
√5/2
y
2
4a
2
x
2
a
2
b
a
√5/2
y
2
7
x
2
9
y
2
8
x
2
1
3
a
c
a
y
2
35
9x
2
35
y
2
35
x
2
35/9
35
9
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
19

353. a) 2 p= 6 →p= 3 → =
Vértice:(0, 0)
Foco:
(
, 0)
Directriz:x= –
b)Vértice:(0, 0)
Foco:
(
–, 0)
Directriz:x=
c)Vértice:(0, 0)
Foco:
(
0, )
Directriz:y= –
d)Vértice:(0, 0)
Foco:(0, 1)
Directriz:y= –1
e)Vértice:(1, 0)
Foco:(2, 0)
Directriz:x= 0
1
4
1 4
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2p
2


y
2
= 2px
y
2
= 6x
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
20
1
1
F
1
1
F
1
1
F
1
1F
1
1
F

354. f)Vértice:(0, 2)
Foco:(2, 2)
Directriz:x= –2
g)Vértice:(0, –1)
Foco:(0, 0)
Directriz:y= –2
h)Vértice:(2, 0)
Foco:
(
2, – )
Directriz:y=
22Halla las ecuaciones de las parábolas determinadas de los siguientes modos:
a) Directriz, x= –5. Foco, (5, 0).
b) Directriz, y= 3. Vértice, (0, 0).
c) Vértice (0, 0) y pasa por (2, 3). (2 soluciones).
a) = 5 →p= 10 →2p= 20. Ecuación: y
2
= 20x
b) El foco será F(0, –3). Si P(x, y) es un punto de la parábola y d: y– 3 = 0 es
la directriz, entonces:
dist(P, F) = dist(P, d) → = |y– 3| →
→x
2
+ y
2
+ 6y+ 9 = y
2
– 6y+ 9 →x
2
= –12y
c) Hay dos posibilidades:
I) Eje horizontal: y
2
= 2px. Como pasa por (2, 3), entonces:
9 = 4p→p= →y
2
= x
II) Eje vertical: x
2
= 2py. Como pasa por (2, 3), entonces:
4 = 6p→p= = →x
2
= y
4
3
2 34 6
9 29 4
√x
2
+(y+ 3)
2
p
2
3 2
3 2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 21
2
2 F
–1
F
2
F
3
—
2
–3
—
2

355. 23Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (3, 0) y de
la recta y= –3.
Es una parábola cuyo foco es F(3, 0) y cuya directriz es d: y+ 3 = 0. Si P(x, y)
es un punto de la parábola, entonces:
dist(P, F) = dist(P, d) → = |y+ 3| →
→x
2
– 6x+ 9 + y
2
= y
2
+ 6y+ 9 →y= – x
O bien: (x– 3)
2
= 6(
y+ )
24Escribe la ecuación de la parábola de foco F(2, 1) y directriz y+ 3 = 0.
Si P(x, y) es un punto de la parábola, F(2, 1) el foco, y d: y+ 3 = 0 la directriz,
entonces:
dist(P, F) = dist(P, d) → = |y+ 3| →
→(x– 2)
2
+ (y– 1)
2
= (y+ 3)
2
→
→(x– 2)
2
+ y
2
– 2y+ 1 = y
2
+ 6y+ 9 →
→(x– 2)
2
= 8y+ 8 →(x– 2)
2
= 8(y+ 1)
Lugares geométricos
25Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos Ptales que 
→
AP=3,
siendo A(2, 1). Represéntala.

→
AP= 3 → = 3 →
→ (x– 2)
2
+ (y– 1)
2
= 9
Es una circunferencia de centro (2, 1) y radio 3.
26Halla la ecuación que cumplen todos los puntos cuya distancia al origen de
coordenadas es 5. Represéntala.
P(x, y) cumple que dist(P, 0) = 5 → = 5 →
→ x
2
+ y
2
= 25
Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio 5.
27Halla el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya diferencia de cuadra-
dos de distancias a los puntos A(0, 0) y B(6, 3) es 15. ¿Qué figura obtienes?.
[dist(P, A)]
2
– [dist(P, B)]
2
= 15
x
2
+ y
2
– [(x– 6)
2
+ (y– 3)
2
] = 15
√x
2
+ y
2
√(x– 2)
2
+ (y– 1)
2
√(x– 2)
2
+ (y– 1)
2
3
2
x
2
6
√(x– 3)
2
+ y
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 22
1
2
5
5

356. Desarrollamos y simplificamos:
x
2
+ y
2
– x
2
– 36 + 12x– y
2
– 9 + 6y= 15 →
→12x+ 6y– 60 = 0 →r: 2x+ y– 10 = 0
Veamos que la recta obtenida es perpendicular al segmento AB:
→
AB= (6, 3) →pendiente: m
AB
= =
La pendiente de res m
r
= –2.
m
AB
· m
r
= (–2) = –1 →
→
AB⊥r
Veamos ahora en qué punto se cortan la recta obtenida, r, y el segmento AB.
Para ello, escribamos primero la ecuación de la recta AB:
AB → y= x
Así:
Q= rI AB → 2x+ x– 10 = 0 →
→ 4x+ x– 20 = 0 → x= = 4 → y= 2
Luego: Q(4, 2) = ABI r
28Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 4x–3y+11=0
es 6.
☛
El valor absoluto dará lugar a dos rectas.
P(x, y) cumple que dist(P, r) = 6→ = 6 →
→ 4x– 3y+ 11= 30 → →
→
Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, a su vez, a la recta dada.
29Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas:
r: 3x– 5y+ 11 = 0 y s: 3x– 5y+ 3 = 0
Interpreta las líneas obtenidas.
P(x, y) donde d(P, r) = d(P, s) → = →
→
3x– 5y+ 11 = 3x– 5y+ 3 → 11 = 3 ¡¡Imposible!!
3x– 5y+ 11 = –3x+ 5y– 3 → 6x– 10y+ 14 = 0 → r: 3x– 5y+ 7 = 0



3x– 5y+ 3
√34
3x– 5y+ 11
√34
r
1
: 4x– 3y– 19 = 0
r
2
: 4x– 3y+ 41 = 0



4x– 3y+ 11 = 30
4x– 3y+ 11 = –30



4x– 3y+ 11
√16 + 9
20
5
1 2
2x+ y– 10 = 0
y= (1/2)x



1
2
m
AB
= 1/2
A(0, 0) ∈AB



1
2
1 23 6
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 23

357. Es una recta paralela a las dos rectas dadas que, a su vez, son paralelas entre sí,
como puede verse por sus coeficientes, pues:
= = 1 ≠ =
30Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r
y s:
r: 4x– 3y+ 8 = 0 y s: 12x+ 5y– 7 = 0
Son todos los puntos P(x, y) tales que d(P, r) = d(P, s):
= → = →
→ →
→ →
→
Luego hay dos soluciones, bisectrices
de los ángulos cóncavo y convexo
que forman las rectas ry s.
Ambas bisectrices se cortan en el
punto de corte de las rectas ry s, y
son perpendiculares.
31Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la rec-
ta y= 3 es igual al valor absoluto de la suma de sus coordenadas.
Buscamos los puntos P(x, y) tales que d(P, r) = x+ ydonde res la recta
dada, r: y= 3. Es decir:
= x+ y→ y– 3= x+ y→
→
Luego los puntos P(x, y) que verifican esa con-
dición son los de las dos rectas:
r
1
: x= –3 y r
2
: x+ 2y– 3 = 0
NOTA: Se puede comprobar resolviendo los siste-
mas que r
1
I r
2
I r= Q(–3, 3)
x= –3
x+ 2y– 3 = 0



y– 3 = x+ y→
y– 3 = –x– y→



0 + y– 3
√1
8x+ 64y– 139 = 0
112x– 14y+ 69 = 0



52x– 39y+ 104 = 60x+ 25y– 35
52x– 39y+ 104 = –60x– 25y+ 35



13 (4x– 3y+ 8) = 5 (12x+ 5y– 7)
13 (4x– 3y+ 8) = –5 (12x+ 5y– 7)



12x+ 5y– 7
13
4x– 3y+ 8
5
12x+ 5y– 7
√169
4x– 3y+ 8
√25
11
3
C
C'
B
B'
A
A'
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
24
r
s
1
1
–1–3 3 X
Yr
1
r
2 3
5

358. Página 235
PARA RESOLVER
32Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y di-
bújalas:
a) 4x
2
+ 9y
2
= 36 b) 16 x
2
– 9y
2
= 144
c) 9x
2
+ 9y
2
= 25 d) x
2
– 4y
2
= 16
e) y
2
= 14x f ) 25x
2
+ 144y
2
= 900
a) 4x
2
+ 9y
2
= 36 → + = 1
Es una elipse →a= 3, b= 2, c=
exc= ≈0,75
b) 16x
2
– 9y
2
= 144 → – = 1
Es una hipérbola →
5
a= 3, b= 4, c= 5; exc=
—≈1,67
3
44
Asíntotas: y=
—x; y= – —x
33







y
2
16
x
2
9
√5
3
√5
y
2
4
x
2
9
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 25
2
–2
–33 FF'
3–3
–4
4
FF'

359. c) 9x
2
+ 9y
2
= 25 →x
2
+ y
2
=
Es una circunferencia de centro (0, 0)
y radio .
d)x
2
– 4y
2
= 16 → – = 1
Es una hipérbola →
e) Es una parábola.
Vértice: (0, 0)
Foco:
(
, 0)
Directriz: x= –
7
2
7 2
2√
—
5√
—
5
a= 4, b= 2, c= 2√—
5; exc= ——= ——≈1,12
42
11
Asíntotas: y=
—x; y= – —x
22







y
2
4
x
2
16
5
3
25
9
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
26
4
2
–2
–4 FF'
5/3
–5/3
–5/3 5/3
1
1
F

360. f) 25x
2
+ 144y
2
= 900 → – = 1
Es una elipse →a= 6, b= ,c=
exc= ≈0,91
33Halla las ecuaciones de las siguientes circunferencias:
a) Centro (3, 5) y es tangente a la recta: 4x+ 3y– 2 = 0
b) Pasa por A(0, 1) y B(–1, 0) y su radio es .
c) Pasa por el origen de coordenadas y por los puntos A(4, 0) y B(0, 3).
d) Tiene su centro en la recta x– 3y= 0 y pasa por los puntos (–1, 4) y (3, 6).
a) El radio de la circunferencia es la distancia del centro C(3, 5) a la recta
s: 4x+ 3y– 2 = 0:
r= dist(C, s) = = = 5
La ecuación es: (x– 3)
2
+ (y– 5)
2
= 25, o bien, x
2
+ y
2
– 6x– 10y+ 9 = 0
b) El centro pertenece a la mediatriz del segmento AB:
—Pendiente de la recta que pasa por Ay B→m= = 1
La mediatriz tiene pendiente = = –1.
—El punto medio de ABes
(
, )
.
—La ecuación de la mediatriz es:
y= – 1
(
x+ )
→y= – x– →y= –x
—Un punto de la mediatriz es de la forma P(x, –x).
Buscamos Ptal que dist(P, A) = dist(P, B) = , es decir:
= →x
2
+ x
2
+ 1 + 2x= 5 →2x
2
+ 2x– 4 = 0 →
→x
2
+ x– 2 = 0 →x= =
x= 1 →y= –1
x= –2 →y= 2
–1 ± 3
2
–1 ±√1 + 8
2
√5√x
2
+(–x– 1)
2
√5
1
2
1 21 21 2
1 2–1
2
–1
1
–1
m
0 –1
–1 – 0
25
5
|12 + 15 – 2|
√16 + 9
√5
√119
12
√119
12
5 2
y
2
25/4
x
2
36
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 27
5/2
6–6
–5/2
FF'

361. Hay dos soluciones:
• Centro (1, –1) →(x– 1)
2
+(y+ 1)
2
= 5 →x
2
+ y
2
– 2x+ 2y– 3 = 0
• Centro (–2, 2) →(x+ 2)
2
+(y– 2)
2
= 5 →x
2
+ y
2
+ 4x– 4y+ 3 = 0
c) El centro pertenece a la mediatriz del segmento que une O(0, 0) y A(4, 0), es
decir, pertenece a la recta x= 2.
También pertenece a la mediatriz del segmento que une O(0, 0) y B(0, 3), es
decir, pertenece a la recta y= .
Por tanto, el centro de la circunferencia es C
(
2, )
.
El radio es la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos:
r= dist(C, O) = |
→
OC|= = =
La ecuación es: (x– 2)
2
+(
y– )
2
= , o bien, x
2
+ y
2
– 4x– 3y= 0
d) Si el centro está sobre la recta x– 3y= 0, es de la forma C(3y, y).
El centro está a igual distancia de A(–1, 4) que de B(3, 6). Además, esta dis-
tancia es el radio, r, de la circunferencia:
r= dist(A, C) = dist(B, C) →|
→
AC|= |
→
BC| →
→ =
9y
2
+ 1 + 6y+ y
2
+ 16 – 8y= 9y
2
+ 9 – 18y+ y
2
+ 36 – 12y
28y= 28 →y= 1 →x= 3y= 3
Por tanto, el centro de la circunferencia está en C(3, 1), y su radio es:
r= |
→
AC| = = = 5
La ecuación es: (x– 3)
2
+(y– 1)
2
= 25, o bien, x
2
+ y
2
– 6x– 2y– 15 = 0
34Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos
en (4, 0) y (–4, 0).
La ecuación es: + = 1
• Como pasa por (3, 1) → += 1
• Como a
2
= b
2
+ c
2
y sabemos que c= 4 →a
2
= b
2
+ 16
1
b
2
9
a
2
y
2
b
2
x
2
a
2
√25√16 + 9
√(3y– 3)
2
+ (y– 6)
2
√(3y+ 1)
2
+(y– 4)
2
25
4
3 2
5 2
√
25
4√
4 +
9
4
3
2
3 2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 28

362. Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores:
+ = 1 →9b
2
+ b
2
+ 16 = b
4
+ 16b
2
→b
4
+ 6b
2
– 16 = 0
b
2
= = =
Así: a
2
= 2 + 16 = 18
Por tanto, la ecuación de la elipse será: + = 1
35Se llama hipérbola equilátera a aquella en que a=b. Halla la ecuación de la
hipérbola equilátera cuyos focos son (5, 0) y (–5, 0).
La ecuación será: –= 1
Como c
2
= a
2
+ b
2
, y sabemos que c= 5 y que a
2
= b
2
, entonces:
25 = 2a
2
→a
2
=
Por tanto, la ecuación es: – = 1, o bien, x
2
– y
2
=
36Halla la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas y= ±xy
los focos (2, 0) y (–2, 0).
•Si los focos son (2, 0) y (–2, 0), entonces c= 2.
•Si las asíntotas son y= ±x, entonces: =
•Como c
2
= a
2
+ b
2
, tenemos que a
2
+ b
2
= 4.
•Teniendo en cuenta los dos últimos resultados:
•Por tanto, la ecuación será: – = 1, o bien, – = 1
37Una circunferencia del plano pasa por los puntos (1, 3) y (3, 5) y tiene el
centro sobre la recta x+ 2y= 3. Halla su centro y su radio.
•Si el centro está sobre la recta x+ 2y= 3 →x= 3 – 2y; entonces es de la for-
ma C(3 – 2y, y).
•La distancia del centro a los dos puntos dados, A(1, 3) y B(3, 5) es la misma.
Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia:
17y
2
18
17x
2
50
y
2
18/17
x
2
50/17
934 a
2
a
2
+ —a
2
= 4 →——= 4 →34a
2
= 100
25 25
100 50 18
a
2
= ——= —→b
2
= 4 – a
2
= —
34 17 17




3
b= —a
5
a
2
+ b
2
= 4
3
5
b
a
3 5
3 5
25
2
y
2
25/2
x
2
25/2
25
2
y
2
a
2
x
2
a
2
y
2
2
x
2
18
b
2
= 2
b
2
= –8
–6 ± 10
2
–6 ±√100
2
–6 ±√36 + 64
2
1
b
2
9
b
2
+16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
29

363. r= dist(C, A) = dist(C, B) →|
→
AC|= |
→
BC| →
→|(2 – 2y, y– 3)|= |(–2y, y– 5)| →
→ =
4 + 4y
2
– 8y+ y
2
+ 9 – 6y= 4y
2
+ y
2
+ 25 – 10y
–4y= 12 →y= –3 →x= 3 – 2y= 9
•El centrode la circunferencia es C(9, –3).
•El radioes: r= |
→
AC|= = = 10 = r
38Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas:
a) Foco (0, 0); directriz y= –2.
b) Foco (2, 0); directriz x= –1.
c) Foco (1, 1); vértice
(
1, )
.
a) Si P(x, y) es un punto de la parábola, debe cumplir: dist(P, F) = dist(P, d);
donde Fes el foco y dla directriz.
= |y+ 2| →x
2
+ y
2
= y
2
+ 4y+ 4 →x
2
= 4(y+ 1)
b) Si P(x, y) es un punto de la parábola: dist(P, F) = dist(P, d); siendo Fel fo-
co y dla directriz.
= |x+ 1| →x
2
– 4x+ 4 + y
2
= x
2
+ 2x+ 1
y
2
= 6x– 3 →y
2
= 6 (
x– )
c) Si el foco es F(1, 1) y el vértice es (
1, )
, la directriz tiene que ser la recta
d: y= 0, ya que la distancia del vértice al foco ha de ser igual a la distancia del
vértice a la directriz. Así, si P(x, y) es un punto de la parábola:
dist(P, F) = dist(P, d)
= |y| →(x– 1)
2
+ y
2
– 2y+ 1 = y
2
(x– 1)
2
= 2y– 1 →(x– 1)
2
= 2 (
y– )
39a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(–1, 1) y es tan-
gente a la recta 3x– 4y– 3 = 0.
b) De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encuentra
las que sean tangentes a la circunferencia hallada en el apartado anterior.
a) El radio, r, de la circunferencia es la distancia del centro C(–1, 1) a la recta
s: 3x– 4y– 3 = 0; es decir:
1
2
√(x– 1)
2
+ (y– 1)
2
1
2
1 2
√(x– 2)
2
+ y
2
√x
2
+ y
2
1
2
√100√64 + 36
√(–2y)
2
+ (y– 5)
2
√(2 – 2y)
2
+(y– 3)
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 30

364. r= dist(C, s) = = = 2
La ecuación será: (x+ 1)
2
+(y– 1)
2
= 4, o bien, x
2
+ y
2
+ 2x– 2y– 2 = 0
b) Las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante son de la forma y= x+ k,
es decir, t: x– y+ k= 0. La recta tes tangente a la circunferencia cuando la
distancia del centro de la circunferencia, C(–1, 1), a la recta es igual al radio, 2.
Es decir:
dist(C, t) = = 2 → = 2 →
→|k– 2|= 2
Hay dos rectas:
40Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(3, 2) y una
de cuyas rectas tangentes tiene por ecuación: 4x– 3y– 5 = 0
Determina si el punto X(3, 3) es interior, es exterior o está en la circunfe-
rencia.
•El radio, r, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, C(3, 2), a la
recta s: 4x– 3y– 5 = 0; es decir:
r= dist(C, s) = =
La ecuación es: (x– 3)
2
+(y– 2)
2
= , o bien, x
2
+ y
2
– 6x– 4y– = 0 →
→25x
2
+ 25y
2
– 150x– 100y– 324 = 0
•Veamos si X(3, 3) es interior, exterior o está en la circunferencia:
dist(C, X) = |
→
CX| = |(0, 1)|= 1 > radio =
Luego el punto es exteriora la circunferencia.
41a) Determina la ecuación que define el lugar geométrico de los puntos del
plano que son centro de las circunferencias que pasan por los puntos
P(2, 0) y Q(0, 1).
b) Una circunferencia de longitud 3π, que contiene al origen de coordena-
das, está centrada en uno de los puntos del lugar definido en a). Halla su
centro.
1 5
324
25
1
25
1 5|12 – 6 – 5|
√16 + 9
y= x+ 2 + 2√2
y= x+ 2 – 2 √2



k= 2 + 2√2
k= 2 – 2 √2
k– 2 = 2√2 →
k– 2 = –2 √2 →
√2
|k– 2|
√2
|–1 – 1 + k|
√2
10
5
|–3 – 4 – 3|
√9 + 16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 31

365. a) Si C(x, y) es el centro de la circunferencia, la distancia de Ca Py a Qha
de ser la misma, es decir:
dist(C, P) = dist(C, Q) →|
→
PC|= |
→
QC|
=
x
2
– 4x+ 4 + y
2
= x
2
+ y
2
– 2y+ 1 →4x– 2y–
3 = 0
Obtenemos una recta, que es la mediatriz del seg-
mento PQ.
b) Longitud = 2πr= 3π→ radio = r=
Su centro está en un punto de la recta 4x– 2y– 3 = 0 y pasa por el punto P(0, 0).
El centro es de la forma C
(
x, )
:
r= dist(P, C) = |
→
PC| = x
2
+()
2
=
x
2
+= →4x
2
+ 16x
2
+ 9 – 24x= 9 →
→20x
2
– 24x= 0 →x(20x– 24) = 0
Hay dos soluciones: C
1(
0, – )
y C
2(
, )
42Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por focos los puntos F(–3, 0) y
F'(3, 0) y que pasa por el punto P(8, 5 ).
•Hallamos la constante de la hipérbola: |dist(P, F) – dist(P, F')|= 2a
||
→
FP| – |
→
F'P||= 2a→ ||(11, 5)| – |(5, 5)||= 2a
– = 2 a→14 – 10 = 2a→4 = 2a→a= 2
•Como a= 2 y c= 3, entonces b
2
= c
2
– a
2
= 9 – 4 = 5.
•La ecuación es: – = 1
43Calcula la ecuación de la elipse cuyo focos son los puntos F(–1, 2) y F'(3, 2)
y cuya excentricidad es igual a 1/3.
•El centro de la elipse es el punto medio entre los focos:
(
, )
= (1, 2)
2 + 2
2
–1 + 3
2
y
2
5
x
2
4
√25 + 75√121 + 75
√3√3
√3
9
10
6 53 2
3
x= 0 →y= –
—
2
69
x=
—→y= —
510
9
4
16x
2
– 24x+ 9
4
3 24x– 3
2
4x– 3
2
3 2
√x
2
+(y– 1)
2
√(x– 2)
2
+ y
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 32
1
1P
Q
x
y

366. •La semidistancia focal es c= 2.
•La excentricidad es exc= = = →a= 6
•Obtenemos b
2
→b
2
= a
2
– c
2
= 36 – 4 = 32
•La ecuación es: + = 1
44La parábola y
2
– 4y– 6x– 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su
directriz.
y
2
– 4y= 6x+ 5 →y
2
– 4y+ 4 = 6x+9 →
→(y– 2)
2
= 6(
x+ )
El vértice de la parábola es V (
–, 2)
.
Como el foco es F(0, 2), entonces la directriz es x= –3.
45Un segmento de longitud 3 apoya sus extremos sobre los ejes de coordena-
das tomando todas las posiciones posibles.
a) Determina la ecuación del lugar geométrico del punto del segmento que
está situado a distancia 1 del extremo que se apoya sobre el eje OY.
b) Identifica la cónica resultante.
a) Llamamos αal ángulo que forma el segmento
con el eje X, como indica la figura. Así, tene-
mos que:
x
2
+ = cos
2
α+ sen
2
α= 1 →x
2
+= 1
b) Es una elipse con centro en el origen y focos en el eje OY. Sus elementos son
a= 2, b= 1, c= = .
Focos
(0, )y (0, – ). Excentricidad: exc= = ≈0,87
46Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales que su dis-
tancia al punto (4, 0) es el doble de su distancia a la recta x= 1. Comprueba
que dicho lugar geométrico es una cónica y halla sus focos.
Sea P(x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de Pal punto
Q(4, 0) ha de ser el doble que la distancia de Pa la recta s: x– 1 = 0; es decir:
dist(P, Q) = 2dist(P, s) → = 2|x– 1|
√(x– 4)
2
+ y
2
√3
2
c
a
√3√3
√3√4 – 1
y
2
4
y
2
4


x
2
= cos
2
α
y
2
= 4sen
2
α


x= 1cosα
y= 2senα
3
2
3 2
(y– 2)
2
32
(x– 1)
2
36
1
3
2
a
c
a
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
33
1–13
FF'
2
F
V 2
–3 –3
—
2
P(x, y)
x
y
X
Y
2
1
α
α

367. (x– 4)
2
+ y
2
= 4(x– 1)
2
→x
2
– 8x+ 16 + y
2
= 4(x
2
– 2x+ 1)
x
2
– 8x+ 16 + y
2
= 4x
2
– 8x+ 4 →3x
2
– y
2
= 12 → – = 1
Es una hipérbola, centrada en (0, 0).
a
2
= 4; b
2
= 12 →c
2
= a
2
+ b
2
= 16 →c= 4
Por tanto, los focos son F(4, 0) y F(–4, 0).
Página 236
47Aplica dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta 4x+ 3y– 8 = 0
es exterior, tangente o secante a la circunferencia (x–6)
2
+(y– 3)
2
= 25.
Razona tu respuesta.
αPrimer método:
•Hallamos la distancia del centro de la circunferencia C(6, 3) a la recta dada
s: 4x+ 3y– 8 = 0:
d= dist(C, s) = = = 5
•Como esta distancia es igual al radio de la circunferencia, d= r= 5, enton-
ces, la recta es tangente a la circunferencia.
αSegundo método:
•Obtenemos los puntos de intersección de la recta y la circunferencia, resol-
viendo el sistema de ecuaciones:
x
2
– 12x+ 36 + ()
2
– 6 ()
+ 9 = 25
x
2
– 12x+ 36 + – 16 + 8x+ 9 = 25
9x
2
– 108x+ 324 + 64 – 64x+ 16x
2
– 144 + 72x+ 81 = 225
25x
2
– 100x+ 100 = 0 →x
2
– 4x+ 4 = 0 →(x– 2)
2
= 0
x= 2 →y= = 0 →Se cortan en (2, 0).
Como solo se cortan en un punto, la recta es tangente a la circunferencia.
48Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto
(4, 0) es igual a la mitad de la distancia a la recta: x– 16 = 0. Representa la
curva que obtienes.
Sea P(x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de Pa (4, 0) ha
de ser igual a la mitad de la distancia de Pa la recta x– 16 = 0; es decir:
8 – 4x
3
64 – 64x+ 16x
2
9
8 – 4x
3
8 – 4x
3
8 – 4x
y=
————
3
x
2
– 12x+ 36 + y
2
– 6y+ 9 = 25





4x+ 3y– 8 = 0
(x– 6)
2
+ (y– 3)
2
= 25
25
5
|24 + 9 – 8|
√16 + 9
y
2
12
x
2
4
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 34

368. = |x– 16|
(x– 4)
2
+ y
2
= (x– 16)
2
x
2
– 8x+ 16 + y
2
= (x
2
– 32x+ 256)
4x
2
– 32x+ 64 + 4y
2
= x
2
– 32x+ 256
3x
2
+ 4y
2
= 192 → += 1
Es una elipse, en la que a= 8 y b= ≈6,93.
La representamos:
Los focos están en F(4, 0) y F'(–4, 0).
La excentricidad es: exc= = = = 0,5
49Halla el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las
pendientes de las rectas trazadas desde Pa los puntos: A(–2, 1) y B(2, –1)
sea igual a 1. ¿Qué figura obtienes? Represéntala.
•La pendiente de la recta que une Pcon Aes:
•La pendiente de la recta que une Pcon Bes:
•El producto de las pendientes ha de ser igual a 1, es decir:
()
· ()
= 1 → = 1 →y
2
– 1 = x
2
– 4
x
2
– y
2
= 3 → – = 1
Es una hipérbola, en la que a= b= y c= .
Los focos son F
(, 0)y F(–, 0).
Las asíntotas son: y= xe y= – x
La excentricidad es: exc= = = ≈1,41
50Describe las siguientes cónicas. Obtén sus elementos y dibújalas.
a) + = 1 b) + = 1
c) – = 1 d) – = 1
(x– 3)
2
16
(y+ 2)
2
4
(y+ 2)
2
4
(x– 3)
2
16
(y+ 2)
2
25
(x– 3)
2
9
(y+ 2)
2
9
(x– 3)
2
25
√2
√6
√3
c
a
√6√6
√6√3
y
2
3
x
2
3
y
2
– 1
x
2
– 4
y+ 1
x– 2
y– 1
x+ 2
y+ 1
x– 2
y– 1
x+ 2
1
2
4 8c
a
√48
y
2
48
x
2
64
1
4
1 4
1 2
√(x– 4)
2
+ y
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 35
–88 FF'
√
—
48
–√
—
48
FF'
√
—
3
√
—
3
–√
—
3
–√
—
3

369. a) Es una elipse de centro P(3, –2).
a= 5, b = 3,
c = = = = 4.
Los focos son F(7, –2) y F'(–1, –2).
La excentricidad es: exc= = 0,8
b) Es una elipse de centroP(3, –2).
a= 5, b= 3, c= 4.
Los focos son F(3, 2) y F'(3, –6).
La excentricidad es: exc= = 0,8
c) Es una hipérbola de centro P(3, –2).
a= 4, b = 2,c = = = 2 .
Los focos son:
F
(3 + 2 , –2 )y F'(3 – 2, –2 )
La excentricidad es: exc= = ≈1,12
Las asíntotas son:
y+ 2 = (x– 3); y+ 2 = –(x– 3)
d) Es una hipérbola de centro P(3, –2).
b= 2, a = 4,c = = 2 .
Los focos son:
F
(3, –2 + 2 )y F'(3, –2 – 2 )
La excentricidad es: exc= =
Las asíntotas son:
y+ 2 = (x– 3); y+ 2 = –(x– 3)
51Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que se dan
a continuación:
a) + = 1 b) x
2
+ = 1 c) + = 1 d) + y= 1
x
4
y
2
4
x
2
4
y
2
4
y
2
9
x
2
4
1
2
1 2
√5
2√5
2
√5√5
√5√20
1
2
1 2
√5
2
2√5
4
√5√5
√5√20√16 + 4
4
5
4 5
√16√25 – 9√a
2
– b
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 36
–1
135
FPF'
–2
13
F
P
F'
F
3
–2F'
F
3
–2
F'

370. e) + y= 1 f ) – = 1 g) y
2
– = 1 h) + y
2
= 0
i) – y
2
= 0 j ) – y= 0 k) x
2
– y
2
= 1 l ) xy= 1
a)
VI b) V c) IV d) I e) VIII f) XI
g) XII h) III i) II j) VII k) IX l) X
PARA PROFUNDIZAR
52Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de lados:
y= 0 3x– 4y= 0 4x+ 3y– 50 = 0
Si P(x, y) es el centro de la circunferencia, entonces:
•dist(P, r
1
) = dist(P, r
3
) → = |y| →5|y|= |3x– 4y|
5y= 3x– 4y→9y= 3x→x= 3y
5y= –3x+ 4y→y= –3x←No vale; la bisectriz que buscamos es la
otra.
|3x– 4y|
5
x
2
4
x
2
4
x
2
4
x
2
4
y
2
9
x
2
4
x
2
4
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 37
UNA RECTA
DOS RECTAS UN PUNTO
(0, 0)
y = —
x
2
y = –—
x
2
I
IX X
XI
IV V VIII III
XII
VIII
VII
(0, 0)
(8, 6)
P(x, y)
(12,5; 0)
4x + 3y – 50 = 0 ← r
2
y = 0 ← r
3
3x – 4y = 0 ← r
1

371. •dist(P, r
2
) = dist(P, r
3
) → = |y| →5|y|= |4x+ 3y– 50|
El punto de corte de las dos bisectrices es el incentro, es decir, el centro de la cir-
cunferencia inscrita en el triángulo.
El centro es P
(
, )
.
El radio es dist(P, r
3
) = y= = radio
La ecuación es:
(
x– )
2
+(
y– )
2
= ; o bien:
x
2
– 15x++ y
2
– 5y+=
x
2
+ y
2
– 15x– 5y+= 0 →4x
2
+ 4y
2
– 60x– 20y+ 225 = 0
53Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (–3, 2) y (4, 1) y es tan-
gente al eje OX.
Si P(x, y) es el centro de la circunferencia, y llamamos a los puntos A(–3, 2) y
B(4, 1); la distancia de Pa los dos puntos y al eje OXha de ser la misma. Ade-
más, esta distancia es igual al radio de la circunferencia.
dist[P, eje OX] = |y|
dist(P, A) = han de ser iguales.
dist(P, B) =
=
x
2
+ 6x+ 9 + y
2
– 4y+ 4 = x
2
– 8x+ 16 + y
2
– 2y+ 1
14x– 2y– 4 = 0 →7x– y– 2 = 0 →y= 7x– 2
= |y|
x
2
+ 6x+ 9 + y
2
– 4y+ 4 = y
2
x
2
+ 6x– 4(7x– 2) + 13 = 0
x
2
+ 6x– 28x+ 8 + 13 = 0 →x
2
– 22x+ 21 = 0
√(x+3)
2
+(y– 2)
2
√(x– 4)
2
+(y– 1)
2
√(x+3)
2
+(y– 2)
2
√(x– 4)
2
+(y– 1)
2
√(x+3)
2
+(y– 2)
2
225
4
25
4
25
4
225
4
25
4
5 215
2
5 2
5 215
2
25 5
6y+ 4y= 25 →10y= 25 →y=
——= —
10 2
15
x= 3y=
—
2







x= 3y
2x+ 4y= 25
5y= 4x+ 3y– 50 →y= 2x– 25 ←No vale; es la otra bisectriz.
5y= –4x– 3y+ 50 →2x+ 4y= 25
|4x+ 3y– 50|
5
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
38






372. x= = =
Hay dos soluciones:
1-
a
) Centro (21, 145) y radio 145:
(x– 21)
2
+(y– 145)
2
= 21 025; o bien: x
2
+ y
2
– 42x– 290y+ 441 = 0
2-
a
) Centro (1, 5) y radio 5:
(x– 1)
2
+ (y– 5)
2
= 25; o bien: x
2
+ y
2
– 2x– 10y+ 1 = 0
54Determina la ecuación de la circunferencia de radio 10 que, en el punto
(7, 2), es tangente a la recta 3x– 4y– 13 = 0.
El centro pertenece a la recta perpendicular a la dada que pasa por (7, 2).
—Una recta perpendicular a 3x– 4y– 13 = 0 es de la forma 4x+ 3y+ k= 0. Co-
mo (7, 2) pertenece a la recta: 28 + 6 + k= 0 →k= –34. El centro pertene-
ce a la recta:
4x+ 3y– 34 = 0 →y=
—El centro es C
(
x, )
. La distancia de Cal punto (7, 2) es igual al ra-
dio, que es 10, es decir:
(x– 7)
2
+(
– 2)
2
= 10
(x– 7)
2
+()
2
= 100
x
2
– 14x+ 49 + = 100
9x
2
– 126x+ 441 + 16x
2
– 224x+ 784 = 900
25x
2
– 350x+ 325 = 0 →x
2
– 14x+ 13 = 0
x= = =
Hay dos soluciones:
1-
a
) Centro (13, –6) y radio 10:
(x– 13)
2
+(y+ 6)
2
= 100 →x
2
+ y
2
– 26x+ 12y+ 105 = 0
2-
a
) Centro (1, 10) y radio 10:
(x– 1)
2
+ (y– 10)
2
= 100 →x
2
+ y
2
– 2x– 20y+ 1 = 0
x= 13 → y= –6
x= 1 →y= 10
14 ± 12
2
14 ±√144
2
14 ±√196 – 52
2
16x
2
– 224x+ 784
9
–4x+ 34
3
–4x+ 34
3
–4x+ 34
3
–4x+ 34
3
x= 21 →y= 145
x= 1 →y= 5
22 ± 20
2
22 ±√400
2
22 ±√484 – 84
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
39
√

373. 55Halla la ecuación de la parábola de vértice en el punto (2, 3) y que pasa por
el punto (4, 5).
Hay dos posibilidades:
1) (y– 3)
2
= 2p(x– 2)
Como pasa por (4, 5) →4 = 4p→p= 1
(y– 3)
2
= 2(x– 2)
2) (x– 2)
2
= 2p'(y– 3)
Como pasa por (4, 5) →4 = 4p'→p'= 1
(x– 2)
2
= 2(y– 3)
56Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las cónicas siguientes:
a) 9x
2
+ 16y
2
– 36x+ 96y+ 36 = 0
b) x
2
– 4y
2
– 2x– 3 = 0
c)x
2
+ 9y
2
– 36y+ 27 = 0
a) 9x
2
+ 16y
2
– 36x+ 96y+ 36 = 0
9x
2
– 36x+ 36 + 16y
2
+ 96y+ 144 – 36 – 144 + 36 = 0
(3x– 6)
2
+(4y+ 12)
2
– 144 = 0
[3(x– 2)]
2
+ [4(y+ 3)]
2
= 144
9(x– 2)
2
+ 16(y+ 3)
2
= 144
+= 1
Es una elipsede centro(2, –3).
a= 4, b= 3, c= =
Vértices:(6, –3); (–2, –3); (2, 0) y (2, –6)
Focos:
(2 + , –3 )y (2 – , –3 )
Excentricidad:exc= = ≈0,66
b)x
2
– 4y
2
– 2x– 3 = 0
x
2
– 2x+ 1 – 4y
2
– 1 – 3 = 0
(x– 1)
2
– 4y
2
= 4
– y
2
= 1
Es una hipérbolade centro(1, 0).
a= 2, b= 1, c= =
Vértices:(3, 0) y (–1, 0)
Focos:
(+ 1, 0)y (– + 1, 0)
Excentricidad:exc= ≈1,12
√5
2
√5√5
√5√4 + 1
(x– 1)
2
4
√7
4
c
a
√7√7
√7√a
2
– b
2
(y+ 3)
2
9
(x– 2)
2
16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 40
12345
1
2
3
4
5
1
2

374. c)x
2
+ 9y
2
+ 36x+ 27 = 0
x
2
+ 9 (y
2
+ 4y) + 27 = 0
x
2
+ 9 (y+ 2)
2
– 36 + 27 = 0
x
2
+ 9 (y+ 2)
2
= 9
+ = 1
Es una elipsecon a= 3, b= 1, c= .
Vértices:(–3, 0), (3, 0), (0, –1), (0, 1)
Focos:
(–, 0), (, 0)
Excentricidad:exc= = ≈0,94
57Un segmento PQde 3 cm de longitud se mueve apoyándose tangencial-
mente sobre la circunferencia x
2
+ y
2
– 4x+ 6y+ 9 = 0.
Si el extremo Pes el punto de tangencia, ¿cuál es el lugar geométrico que
describe el otro extremo Q?
La circunferencia dada tiene su centro en (2, –3) y su radio es = 2.
Como la tangente es perpendicular al radio, la distan-
cia de Qal centro será siempre la misma:
x= =
Por tanto, Qdescribe una circunferencia con el mis-
mo centro que la dada y radio .
Su ecuación será:(x– 2)
2
+(y+ 3)
2
= 13; o bien
x
2
+ y
2
– 4x+ 6y= 0
58Pon la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidistan
del punto F(6, –1) y de la recta r: 3x– 4y– 2 = 0.
(Encontrarás una ecuación complicada. No te molestes en simplificarla).
¿De qué figura se trata? Para responder a esta pregunta, fíjate en cómo se ha
definido y no en cuál es su ecuación.
Representa ry F. ¿Cómo habrá que situar unos nuevos ejes coordenados
para que la ecuación de esa curva sea y
2
= kx?
¿Cuánto vale k?
Ecuación: =
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto (foco) y de una rec-
ta (directriz) es una parábola.
|3x– 4y– 2|
5
√(x– 6)
2
+ (y+ 1)
2
√13
√13√9 + 4
√4 + 9 – 9
√8
3
c
a
√10√10
√8
(y+ 2)
2
1
x
2
9
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 41
3
2
P Q
x

375. La ecuación de la parábola respecto a
los nuevos ejes es y
2
= 2px, donde p
es la distancia del foco a la directriz:
dist(F, r) = = = 4
Si p= 4, entonces k= 8.
La ecuación es y
2
= 8xrespecto a los
nuevos ejes.
59Demuestra que el lugar geométrico de los puntos P, cuyo cociente de dis-
tancias a un punto fijo Fy a una recta fija des igual a k, es una cónica de
excentricidad k.
☛ Toma como foco (c, 0), como recta x = y como constante k = , y estudia
los casos k < 1, k > 1 y k = 1. ¿Qué cónica se obtiene en cada caso?
F(c, 0)
d: x– = 0 = →dist(P, F) = · dist(P, d)
P(x, y)
k=
= ·

x–

(x– c)
2
+ y
2
= (
x– )
2
x
2
– 2cx+ c
2
+ y
2
= (
x
2
– x+ )
x
2
– 2cx+ c
2
+y
2
= x
2
– 2cx+ a
2
a
2
x
2
+ a
2
c
2
+ a
2
y
2
= c
2
x
2
+ a
4
(a
2
– c
2
) x
2
+ a
2
y
2
= a
2
(a
2
– c
2
)
+= 1
•Si k< 1, es decir, si < 1 →c< a→c
2
< a
2
→a
2
– c
2
> 0
(cy ason positivos, pues kera un cociente de distancias).
En este caso, la ecuación corresponde a una elipse.
La excentricidad es , es decir, k.
c
a
c
a
y
2
(a
2
– c
2
)
x
2
a
2
c
2
a
2
a
4
c
2
2a
2
c
c
2
a
2
a
2
c
c
2
a
2
a
2
c
c
a
√(x– c)
2
+ y
2
c
a
c
a
c
a
dist(P, F)
dist(P, d)
a
2
c
c
a
a
2
c
20
5
|18 + 4 – 2|
√9 + 16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 42
–1
F
r
NUEVO
EJE
Y
NUEVO
EJE
X












376. •Si k> 1, es decir, si > 1 →c> a→c
2
> a
2
→a
2
– c
2
< 0
En este caso, la ecuación corresponde a una hipérbola.
La excentricidad es , es decir, k.
•Si k= 1, la distancia al punto es igual a la distancia a la recta, es decir, obtene-
mos una parábola.
60Dado un segmento ABde longitud 4, halla la ecuación del lugar geométrico
de los puntos Pdel plano que verifican: 2
—
AP
2
+
—
BP
2
= 18
☛ Toma como eje X la recta que contiene al segmento y como eje Y la mediatriz de
AB.
Tomamos como eje Xla recta que contiene al segmento AB, y como eje Y, la
mediatriz de AB.
Así, las coordenadas de Ay Bserían: A(–2, 0) y
B(2, 0).
Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, debe
cumplir: 2
—
AP
2
+
—
BP
2
= 18; es decir:
2[(x+ 2)
2
+ y
2
] + [(x– 2)
2
+ y
2
] = 18
2[x
2
+ 4x+ 4 + y
2
] + [x
2
– 4x+ 4 + y
2
] = 18
2x
2
+ 8x+ 8 + 2y
2
+ x
2
– 4x+ 4 + y
2
= 18
3x
2
+ 3y
2
+ 4x– 6 = 0
Esta ecuación corresponde a una circunferencia de centro
(
– , 0)
y radio .
61Sea runa recta y Fun punto cuya distancia a res 1. Llamemos Ha la
proyección de un punto cualquiera, P, sobre r. Halla el L. G. de los puntos
que verifican:
—
PH+
—
PF= 3
☛ Toma los ejes de modo que las coordenadas de F sean (0, 1).
Tomamos los ejes de forma que el eje Xcoin-
cida con la recta r, y el eje Ypase por F.
Así, la recta res y= 0 y F(0, 1):
Si P(x, y), entonces H(x, 0).
Así,
—
PH+
—
PF= 3 queda:
|y| + = 3
Operamos: = 3 – |y|
x
2
+(y– 1)
2
= 9 + y
2
– 6|y|
x
2
+ y
2
– 2y+ 1 = 9 + y
2
– 6|y|
x
2
– 2y+ 1 – 9 = –6|y|
√x
2
+(y– 1)
2
√x
2
+(y– 1)
2
√22
3
2 3
c
a
c
a
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
43
A
(–2, 0)
B
(2, 0)
X
Y
P(x, y)
H(x, 0)
F(0, 1)
1
r
y

377. 6|y|= 2y+8 – x
2
Obtenemos dos parábolas.
62a) Halla el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y) del plano cuya su-
ma de cuadrados de distancias a los puntos A(–3, 0) y B(3, 0) es 68. Pue-
des comprobar que se trata de una circunferencia de centro O(0, 0).
¿Cuál es su radio?
b) Generaliza: Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de cuadrados de distancias a A(–a, 0) y B(a, 0) es k(constante), y com-
prueba que se trata de una circunferencia de centro O(0, 0). Di el valor
de su radio en función de ay de k. ¿Qué relación deben cumplir ay k
para que realmente sea una circunferencia?
a) [dist(A, P)]
2
+ [dist(B, P)]
2
= 68 → (x+ 3)
2
+ y
2
+ (x– 3)
2
+ y
2
= 68 →
→ x
2
+ 6x+ 9 + y
2
+ x
2
– 6x+ 9 + y
2
= 68 →
→ 2x
2
+ 2y
2
= 68 – 18 → 2x
2
+ 2y
2
= 50 →
→ x
2
+ y
2
= 25, que es la ecuación de una circunferencia de centro P(0, 0) y
radio r= 5.
Comprobemos que, efectivamente, se trata de esa circunferencia.
Despejamos y→ y= → P(x, y) = (x, )
Debe verificarse que:
dist(O, P) = r
Es decir, que:
= 5 → = 5 → = 5
Por tanto, como se cumple la condición, podemos asegurar que se trata de esa
circunferencia.
b) [dist(A, P)]
2
+ [dist(B, P)]
2
= k→ (x+ a)
2
+ y
2
+ (x– a)
2
+ y
2
= k→
→ x
2
+ 2ax+ a
2
+ y
2
+ x
2
– 2ax+ a
2
+ y
2
= k→
→ 2x
2
+ 2y
2
= k– 2a
2
→ x
2
+ y
2
= – a
2
que es la ecuación de una circunferencia de centro (0, 0) y radio:
r= – a
2
Para que realmente sea una circunferencia, debe ocurrir que r> 0. Por tanto,
debe verificarse:
– a
2
> 0 →k> 2a
k
2
k
2
k
2
√25√x
2
+ (25 – x
2
)√x
2
+ y
2
√25 – x
2
√25 – x
2
x
2
6y= 2y+ 8 – x
2
→4y= 8 – x
2
→y= 2 – —
4
x
2
–6y= 2y+ 8 – x
2
→–8y= 8 – x
2
→y= — – 1
8
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
44
√

378. PARA PENSAR UN POCO MÁS
63Sean las rectas: r: y= x, s: y= –x. Tomamos un segmento de longitud
4, uno de cuyos extremos esté en ry el otro en s. Queremos hallar el lugar
geométrico de los puntos medios de dichos segmentos. Para ello:
a) Expresa ry sen coordenadas paramétricas, usa un parámetro distinto
para cada una.
b) Expresa un punto Rde ry un punto Sdes.
c) Obtén, mediante dos parámetros, la expresión del punto medio del seg-
mento RS.
d) Expresa analíticamente dist(R, S) = 4.
e) Relacionando las expresiones obtenidas en c) y en d), obtendrás la ecua-
ción implícita del L. G. buscado: x
2
+ 16y
2
= 16
f ) Identifica el tipo de curva de que se trata.
a)r: s:
b)R(2λ, λ) ∈r; S(–2µ, µ) ∈s
c) Punto medio del segmento RS:
M=
(
, )
= (
λ– µ, )
, es decir:
λ= x+ y– = y+ →λ= y+ ; µ= y–
d)dist(R, S) = 4 →|
→
SR|= 4
→
SR(2λ+ 2µ, µ– λ)
= 4
4λ
2
+ 4µ
2
+ 8λµ+ µ
2
+ λ
2
– 2λµ= 16
5λ
2
+ 5µ
2
+ 6λµ= 16
√(2λ+ 2µ)
2
+ (µ– λ)
2
x
2
x
2
x
2
x
2
x= λ–µ→λ = x+µ
λ+µ 2y– xx
y= —
——→2y= x+ µ+ µ→2y= x+ 2µ→µ = — ——= y– —
222





λ+ µ
2
λ+ µ
2
2λ– 2µ
2
x= –2µ
y= µ



x= 2λ
y=λ



1
2
1 2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 45

379. e) Utilizando lo obtenido en c) y d), tenemos que:
5
(
y+ )
2
+ 5(
y– )
2
+ 6 (
y+ )(
y– )
= 16
5
(
y
2
++ xy )
+5(
y
2
+– xy )
+6(
y
2
– )
= 16
5y
2
++ 5 xy+ 5y
2
+ – 5xy+ 6y
2
– = 16
x
2
+ 16y
2
= 16
f)x
2
+ 16y
2
= 16 → + y
2
= 1.
Es una elipse, en la que a= 4, b= 1 y c= .
Focos:
(, 0)y (–, 0). Excentricidad = ≈0,97
Página 240
RESUELVE TÚ
1.A veces, en el andén del metro se produce el siguiente fenómeno: una persona
oye hablar a otra con absoluta nitidez, pero no la encuentra cerca. Mirando a
su alrededor, llega a descubrir que la voz procede de alguien que está en el an-
dén de enfrente y que no está hablando más fuerte que los demás. Explica a
qué se debe este hecho, partiendo de que la bóveda del andén es semielíptica.
La persona que habla está situada sobre uno de los focos de la elipse y la persona que
escucha está en el otro lado.
2.Lewis Caroll, el matemático autor de Alicia en el País de las Maravillas, se cons-
truyó una mesa de billar de forma elíptica. En ella, si una bola pasa por un fo-
co, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco después de rebotar. Y
así, sucesivamente, hasta que se pare. Explica por qué.
Llamamos Pal punto en el que rebota la bola que ha
pasado por F. Hemos visto que si tes tangente a la
elipse en P, entonces tes la bisectriz exterior de los
radios rectores PFy PF'. Llamamos r a la otra bisec-
triz. Tenemos que el ángulo formado por ry PF'
coincide con el ángulo formado por ry PF'. Por tan-
to, la bola que pase por F, necesariamente pasará por
el otro foco, F', al rebotar.
√15
4
√15√15
√15
x
2
16
3x
2
2
5x
2
4
5x
2
4
x
2
4
x
2
4
x
2
4
x
2
x
2
x
2
x
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
46
P
FF'
r
tαα

380. 3.Halla la ecuación de la tangente a la elipse + = 1 en los puntos de abs-
cisa 3.
☛ Utiliza el hecho de que la recta tangente es la bisectriz del ángulo que forman los
radios vectores. De las dos bisectrices, tendrás que elegir la adecuada.
Los focos de la elipse son F(3, 0) y F'(–3, 0).
Hallamos los puntos de abscisa x= 3:
+ = 1 →y= ±
Hay dos puntos: P
(
3, )
y P'(
3, – )
.
•Para P
(
3, )
: Obtenemos las bisectrices de los ángulos formados por las rectas que
pasan por PFy por PF':
— recta, r
1
, que pasa por PF→x= 3 →x– 3 = 0
— recta, r
2
, que pasa por PF'→m= →y= (x+ 3) →8x– 15y+ 24 = 0
Bisectrices:dist
((x, y), r
1)= dist((x, y), r
2)
|x– 3| =
La tangente que buscamos es la que tiene pendiente negativa; es decir: 3x+ 5y– 25 = 0
•Para P'
(
3, – )
, tendríamos:
— recta, r
3
, que pasa por P'F→x= 3 →x– 3 = 0
— recta, r
4
, que pasa por P'F'→m'= – →y= –(x+ 3) →
→8x+ 15y+ 24 = 0
Bisectrices:dist
((x, y), r
3)= dist((x, y), r
4)
|x– 3| =
La tangente en este caso es la que tiene pendiente positiva; es decir: 3x– 5y– 25 = 0
17x– 51 = 8x+ 15y+ 24 →3x– 5y– 25 = 0
17x– 51 = –8x– 15y– 24 →25x+ 15y– 27 = 0
|8x+ 15y+ 24|
17
8
15
8
15
16
5
17x– 51 = 8x– 15y+ 24 →3x+ 5y– 25 = 0
17x– 51 = –8x+ 15y– 24 →25x– 15y– 27 = 0
|8x– 15y+ 24|
17
8
15
8
15
16
5
16
5
16
5
16
5
y
2
16
9
25
y
2
16
x
2
25
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 47
P(
3, —)
16
5
P'
(
3, –—)
16
5
FF'
4
–4
–5
(–3, 0) (3, 0)
5

381. 4.Halla la tangente a la hipérbola – = 1 en el punto de abscisa 5.
☛ Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz de los radios vectores y elige la
adecuada.
Hallamos los puntos de abscisa x= 5:
– = 1 →y
2
= →y= ±
Hay dos puntos: P
(
5, )
y P'(
5, – )
.
•Para P
(
5, )
— recta, r
1
, que pasa por PF→x– 5 = 0
— recta, r
2
, que pasa por PF':
m= = →y= (x+ 5) →9x– 40y+ 45 = 0
Bisectrices:dist
((x, y), r
1)= dist((x, y), r
2)
|x– 5| =
La recta que buscamos tiene pendiente positiva; por tanto, es 5x– 4y– 16 = 0.
•Para P'
(
5, )
— recta, r
3
, que pasa por P'F→x– 5 = 0
— recta, r
4
, que pasa por P'F':
m'= = →y= (x+ 5) →9x+ 40y+ 45 = 0
Bisectrices:dist
((x, y), r
3)= dist((x, y), r
4)
|x– 5| =
La recta que buscamos tiene pendiente negativa; por tanto, es 5x+ 4y– 16 = 0.
41x– 205 = 9x+ 40y+ 45 →16x– 20y– 125 = 0
41x– 205 = –9x– 40y– 45 →5x+ 4y– 16 = 0
|9x+ 40y+ 45|
41
–9
40
–9
40
–9/4
10
–9
4
41x– 205 = 9x– 40y+ 45 →16x+ 20y– 125 = 0
41x– 205 = –9x+ 40y– 45 →5x– 4y– 16 = 0
|9x– 40y+ 45|
41
9
40
9
40
9/4
10
9 4
9 49 4
9 481 16y
2
9
25 16
y
2
9
x
2
16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas 48
P(
5, —)
9
4
P'
(
5, –—)
9
4
F(5, 0)
t
t'
F'(–5, 0)
3
–3
4–4

382. 5.Halla la tangente a la parábola y
2
= 12xen el punto de P(3, 6).
☛ Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz del ángulo formado por el radio
vector PF y la recta perpendicular por P a la directriz.
•Hallamos el foco y la directriz de la parábola:
F(3, 0); d: x= –3
— recta, r
1
, que pasa por Py por F:
x= 3 →x– 3 = 0
— recta, r
2
, que pasa por Py es perpen-
dicular a d:
y= 6 →y– 6 = 0
Bisectriz del ángulo formado por r
1
y r
2
: dist((x, y), r
1)= dist((x, y), r
2)
|x– 3| = |y– 6|
La tangente que buscamos es la que tiene pendiente positiva, es decir, x– y+ 3 = 0.
x– 3 = y– 6 →x– y+ 3 = 0
x– 3 = –y+ 6 →x+ y– 9 = 0
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
49
F
(3, 0)
P(3, 6)
t
d
6
4
2
12–3–2–1

383. Página 244
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1
Las siguientes gráficas co-
rresponden a funciones, al-
gunas de las cuales conoces
y otras no. En cualquier
caso, vas a trabajar con
ellas.
⇔Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas son:
a) y = b) y = c) y = d) y = x
2
– 6x+ 11
Asigna a cada gráfica su ecuación haciendo uso, sucesivamente, de:
• el conocimiento que ya tienes de algunas de ellas;
• la comprobación, mediante cálculo mental, de algunos de sus puntos;
• y, en caso de necesidad, recurriendo a la calculadora para obtener varios de
sus puntos.
a) ⇔ III b) ⇔ II c) ⇔ IV d) ⇔ I
Página 245
Problema 2
⇔Teniendo en cuenta los pasos descritos antes, representa gráficamente las si-
guientes funciones:
a) y= b) y= c) y=
x+ 5 si x≤0
2x si x> 0



3 si x< –2
2 – xsi x≥–2



x+ 3 si x< 1
5 – xsi x≥1



3
x
√x+ 1
4
x
2
Unidad 10. Funciones elementales
1
FUNCIONES ELEMENTALES10
I
III
II
IV

384. Página 247
1.Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y= b) y= c) y=
d) y= e) y= f) y= 1/
g) y= 1/ h) y= 1/ i) y= 1/
j) y= 1/ k) y= x
3
– 2x+ 3 l) y=
m) y= n) y= ñ) y=
o) y=
p) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A= l
2
.
a)
ç b) [1, ∞)c)(– ∞. 1]
d) [–2, 2] e) (– ∞, –2] U[2, ∞)f)(– ∞, –1) U(1, ∞)
g) (1, ∞)h)(– ∞, 1) i) (–2, 2)
j) (–∞, –2) U(2, ∞)k)
ç l)ç– {0}
m)
ç– {0} n) ç– {–2, 2} ñ) ç
o)ç– {–1} p) l> 0
Página 248
1.Representa la siguiente función: y= –2x+ 7, x∈(1, 4].
1
x
3
+ 1
1
x
2
+ 4
1
x
2
– 4
1
x
2
1
x
√x
2
– 4
√4 – x
2
√1 – x√x– 1
√x
2
– 1√x
2
– 4√4 – x
2
√1 – x√x– 1√x
2
+ 1
Unidad 10. Funciones elementales 2
1234
1
2
3
4
a)
c)b)
–2
0
1
1
Y
X

385. 2.Una función lineal fcumple: f(3) = 5, f(7) = –4, D(f) = [0, 10]. ¿Cuál es su
expresión analítica? Represéntala.
m= = –
y= 5 – (x– 3) = –x+ , x∈[0, 10]
Página 249
1.Representa las parábolas:
a) y= x
2
– 2x+ 3 b) y= –x
2
– 2x– 3 c) y= x
2
– 6x+ 5
d) y= 2x
2
– 10x+ 8 e) y= x
2
– x + 3 f ) y= x
2
+ x– 2
2.Representa las funciones:
a) y= x
2
– 6x+ 1, x∈[2, 5)
b) y= –x
2
+ 3x, x∈[0, 4]
c) y= x
2
– 4, x∈(–∞, –2) ∪(2, –∞)
1
4
1 3
47
4
9 49 4
9 4–4 – 5
7 – 3
Unidad 10. Funciones elementales
3
4
8
12
–12
–8
–4
24 6810
Y
X
a)
–22
2
–2
4
6
4
–4
c)
–22
2
–2
4
6
4
–4
b)
–22
2
–2
4
4
–4
–6
d)
–22
2
–2
4
6
4
–4
f)
2
–4
4
–6–10
–8
8
12
e)
–22
2
–2
4
4
6
8
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X

386. Página 250
1.Representa y= x
2
. A partir de ella, representa:
a) y= x
2
+ 5 b) y= x
2
– 2
2.Teniendo en cuenta el ejercicio anteior, representa:
a) y= –x
2
b) y= –x
2
+ 2
1
4
1 4
1 41 4
1 4
Unidad 10. Funciones elementales 4
24
a) c)
6
–2
–4
–6
–8
XY
1
b)
1
X
Y
2–2
2
4
6
8
X
Y
–22
2
4
4–4
–22
2
4
6
4–4
8
10
y = — x
2
1
4
a)
b)
–22
2
–2
4
6
4–4
–4
Y
X
YY
X
X
a) b)
–22
2
–2
4–4
–4
–6
X
Y
–22
2
–2
4–4
–4
–6
–8
X
Y

387. Página 251
1.Representa y= f(x) = x
2
para x≥1.
A partir de ella, representa:
a) y= f(x– 5) b) y= f(x+ 1)
c) y= f(–x) d) y= f(–x+ 2)
Página 252
1.Representa:
a) y= b) y= –
c) y= d) y= + 2
4
x– 3
4
x– 3
4
x
4
x
1 4
Unidad 10. Funciones elementales 5
1357
1
3
5
7
13579
1
3
5
7
a)
–1–3–5
1
3
5
7
c)
13
1
3
5
7
b)
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
–1–3–5–7
1
3
5
7
d) Y
X

388. 2.Representa estas funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
Página 253
1.Representa las siguientes funciones:
a) y= 3 + b) y=
c) y= d) y= + 2
3
√–x
3
√–x
√2 – x√x– 4
x– 1
x+ 1
x+ 1
x– 1
4x+ 3
x+ 1
3x+ 2
x+ 1
Unidad 10. Funciones elementales
6
a)
24–4–2
2
–2
–4
d)
246–2
2
–2
–4
c)
246–2
2
–2
–4
b)
2–4–2
2
–2
–4
Y
X
Y
X
4
Y
X
Y
X
a) b)
24–2–4
2
4
–2
24–2–4
4
–2
Y
X
Y
X
2
c) d)
24–2–4
2
4
–2
–4
2–2–4
4
–2
Y
X
Y
X
2

389. 2.Representa:
a) y= + 1 b) y=
c) y= d) y= –
Página 254
1.Representa esta función:
f(x) =
x+ 1 x∈[–3, 0)
x
2
– 2x+ 1x∈[0, 3]
4 x∈(3, 7)





√4 – x
3
√–x+ 1
3
√x+ 1
3
√x
Unidad 10. Funciones elementales 7
a)
4812
4
8
14
c)
b)
–2–4 24
2
–4
–2
Y
X
Y
X–8–6–4–2
2
4
6
Y
X
d)
–2–4 24
2
–4
–2
Y
X
a)
c)
b)
d)
1–1–4 4
1
–1
2
Y
X
2–4–2 4
1
–1
–2
Y
X
1–1–4 4
1
–1
–2
2
Y
X
–2–4 24
2
–4
–2
Y
X
4
2
2 6–2–4
–4
–2
Y
X

390. 2.Haz la representación gráfica de la siguiente función:
b) g(x) =
Página 255
1.Representa: y= –x
2
+ 4x+ 5
2.Representa gráficamente: y=

– 3

Página 256
1.Si f(x) = x
2
– 5x+ 3 y g(x) =x
2
, obtén las expresiones de f[g(x)] y g[f(x)].
Halla f[g(4)] y g[f(4)].
f[g(x)] = f[x
2
] = x
4
– 5x
2
+ 3
g[f(x)] = g[x
2
– 5x+ 3] = (x
2
– 5x+ 3)
2
f[g(4)] = 179; g[f(4)] = 1
x
2
2x+ 1 x< 1
x
2
– 1 x≥1



Unidad 10. Funciones elementales
8
4
2
2–2–4–6
–4
–2
Y
X
4
2
4
2 6–2
6
8
Y
X
4
2
4
Y
X
2 6810
6

391. 2.Si f(x) = sen x, g(x) = x
2
+ 5, halla f
°
g, g
°
f, f
°
fy g
°
g.
Halla el valor de estas funciones en x= 0 y x= 2.
f
°
g(x) = sen(x
2
+ 5); f
°
g(0) = –0,96; f
°
g(2) = 0,41
g
°
f(x) = sen
2
x+ 5; g
°
f(0) = 5; g
°
f(2) = 5,83
f
°
f(x) = sen(sen x); f
°
f(0) = 0; f
°
f(2) = 0,79
g
°
g(x) = (x
2
+ 5)
2
+ 5; g
°
g(0) = 30; g
°
g(2) = 86
Página 257
1.Representa y= 2x, y= x/2 y comprueba que son inversas.
2.Comprueba que hay que descomponer y= x
2
– 1 en dos ramas para hallar sus
inversas respecto de la recta y= x. Averigua cuáles son.
a)y= x
2
– 1 si x≥0b) y= x
2
– 1 si x< 0
y
–1
= y
–1
= –
3.Si f(x) = x+ 1 y g(x) = x– 1, comprueba que f[g(x)] = x. ¿Son f(x) y g(x)
funciones inversas? Comprueba que el punto (a,a+ 1) está en la gráfica de f
y que el punto (a+ 1, a) está en la gráfica de g.
Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y=x.
√x+ 1√x+ 1
Unidad 10. Funciones elementales 9
y = 2x
y = x
y = x/2
Y
X
y = x
2
– 1
y = √x + 1
y = x
y = x
Y
X
y = x
2
– 1
y = –√x + 1
Y
X

392. f[g(x)] = f(x– 1) = (x– 1) + 1 = x
Son funciones inversas.
Página 266
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1¿Cuáles de estas gráficas son funciones?
Son funciones a), b) y d).
2Indica si los valores de x: 0; –2; 3,5; ; –0,25 pertenecen al dominio de es-
tas funciones:
a) y= b) y=
c) y= x– d) y=
e) y= f) y=
a) 3,5; b) Todos salvo –2
c) Todos d) Todos
e) 3,5 f ) Todos
√2
√7 – 2x√x– 3
√x
2
+ 4√2
x
x
2
– 4
1
√x
√2
Unidad 10. Funciones elementales 10
y = x + 1
y = x – 1
Y
X
a) b) c)
d) e) f)
YY Y
YYY
X
X
X
X
X
X

393. 3Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
e) y= f) y=
a)
ç – {–1, 0} b) ç – {2}
c)
ç – {–1/2} d) ç
e) ç – {0, 5} f ) ç – {–, }
4Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
a) (–∞, 3] b) [1/2, + ∞)
c) (–∞, –2] d) ( –∞, 0]
5Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y= b) =
c) y= d) y=
e) y= f ) y=
g) y= h) y=
a) x
2
– 9 ≥0 → (x+ 3) (x– 3) ≥0 → Dominio = (+∞, –3] U [3, +∞)
b) x
2
+ 3x+ 4 ≥0 → Dominio = ç
c) 12x– 2x
2
≥0 → 2x(6 – x) ≥0 → Dominio = [0, 6]
d) x
2
– 4x– 5 ≥0 → (x+ 1) (x– 5) ≥0 → Dominio = (–∞, –1] U [5, +∞)
e) 4 – x> 0 → 4 > x→ Dominio = (–∞, 4)
f) x
2
– 3x> 0 → x(x– 3) > 0 → Dominio = (–∞, 0) U (3, +∞)
g) x
3
– x
2
= 0 → x
2
(x– 1) = 0 → x
1
= 0, x
2
= 1 → Dominio = ç– {0, 1}
h) x
4
– 1 = 0 → x
4
= 1 → x= ± = ±1 → Dominio = ç– {–1, 1}
4
√1
2x
x
4
– 1
–1
x
3
– x
2
1
√x
2
– 3x
1
√4 – x
√x
2
– 4x– 5√12x– 2x
2
√x
2
+ 3x+ 4√x
2
– 9
√–3x√–x– 2
√2x– 1√3 – x
√2√2
1
x
2
– 2
2
5x– x
2
1
x
2
+ 2x+ 3
x– 1
2x+ 1
x
(x– 2)
2
3
x
2
+ x
Unidad 10. Funciones elementales
11

394. 6Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación:
a) y= x+ b) y= –x+ 8
c) y= 0,025x– 0,05 d) y= 12x– 30
7Asocia a cada una de estas parábolas una de estas ecuaciones:
a) y= x
2
– 2 b) y= –0,25x
2
c) y= (x+ 3)
2
d) y= –2x
2
a) II b) I c) IV d) III
8Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte
con los ejes de coordenadas y algún punto próximo al vértice:
a) y= 0,5x
2
– 3 b) y= –x
2
+ 3
c) y= 2x
2
– 4 d) y= –
a)
Vértice: (0, –3). Corte con los ejes:
(–, 0 ), (, 0), (0, –3)
√6√6
3x
2
2
1
5
10
3
5 3
Unidad 10. Funciones elementales 12
15
5
123
60
30
515
a) b) c) d)
4
15
5
10 30
0,2
0,1
26
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
–2
–4
–6
I
–8
2–2
4
IV
–4–2–6
II
2–2
2
III
2–2
–2
–4
–6
–8
2
6
Y
Y Y
Y
X
X
X
X
2
–4
–2
24–4–2
Y
X

395. b)
Vértice: (0, 3). Corte con los ejes:
(, 0), (–, 0 ), (0, 3)
c)
Vértice: (0, –4). Corte con los ejes:
(, 0), (–, 0 ), (0, –4)
d)
Vértice: (0, 0). Corte con los ejes: (0, 0)
9Representa las siguientes funciones:
a)y= x
2
+ 2x+ 1 b) y= + 3x+ 1
c)y= –x
2
+ 3x– 5 d) y= + 3x+ 6
x
2
3
x
2
2
√2√2
√3√3
Unidad 10. Funciones elementales 13
2
–4
–2
24–4–2
Y
X
2
–4
–2
24–4–2
Y
X
–4
–6
–8
–2
24–4–2
Y
X
2
24–4–2
a)
4
2
2–4–2
b)
–4
–6
–2
c)
24–4–2
–4
–6
–2
d)
2
4
6
–4–6–8 –2
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X

396. Página 267
10En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de
ellas corta al eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda
del vértice y represéntalas gráficamente:
a)y= 4 (x
2
+ x + 1) b) y= 5 (x+ 2)
2
+ 1
c)y= –x
2
–2 d) y= –(x
2
+ 2)
a) b)
Vértice:
(
–, 3)
Vértice: (–2, 1)
c) d)
Vértice: (0, –2) V értice:
(
0, – )
11Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de defi-
nición y su recorrido:
Los dominios son, por orden: [–2, 2]; (–∞, 2) U (2, +∞) y [–1, +∞).
Los recorridos son, por orden: [0, 2], (0, +∞) y [0, +∞).
12Representa las siguientes funciones en las que se ha restringido voluntaria-
mente su dominio:
a) y= x
2
– 4, si x∈[–2, 3] b) y= 5 – , si x∈[2, +∞)
x
2
3 2
1 2
3 4
Unidad 10. Funciones elementales 14
22 2–2 –1
YY Y
X
X
X
2
24–4–2
4
Y
X
2
24–4–2
4
Y
X
–2
–4
–6
24–4–2
Y
X
–2
–4
–6
24–4–2
Y
X
a) b)
–2
–6
2
6
26 14182210
–2
–2
–4
24
–4–2
Y
X
Y
X

397. 13De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esqui-
nas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales
miden x.
a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x.
b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?
a) A(x) = 16 – 2x
2
b) Dominio: (0, 2). Recorrido: (8, 16)
14Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/2 y
2xcm.
a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x.
b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 l de volumen.
¿Cuál es su recorrido?
a) V(x) = x
3
b) Domini: (0, 10). Recorrido: (0, 1 000)
15Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y= b) y=
16Representa f(x) = 4 – x
2
y, a partir de ella, representa:
a) g(x) = f(x) – 3 b) h(x) = f(x+ 2)
–2x– 1 si x< 1
(3x– 15)/2 si x≥1



–2 si x< 0
x– 2 si 0 ≤x< 4
2 si x≥4





Unidad 10. Funciones elementales
15
4
x
x
b)a)
2
24
–4
–2
–4–2
24
–4
–2
–6
–4–2
Y Y
X
X
a)
2
f (x) = 4 – x
2
24
4
–4
–2
–4–2
2
2
4
–4
–2
–6
–4–2
b)
2
2
4
–4
–2
–4–2
YY
X
X

398. 17Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
a) (–∞, 0] U [2, +∞) b)
ç
c) [–, ] d) (–∞, 1] U [2, +∞)
18Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
a) y= + 2 b) y= c) y= – 3 d) y=
a) II b) III c) IV d) I
19Esta es la gráfica de la función y= f(x):
Representa, a partir de ella, las funciones:
a) y= f(x) b) y= f(x– 1) c) y= f(x) + 2
1
x– 4
1
x
1
x+ 3
1
x
√5√5
√x
2
– 3x+ 2√5 – x
2
√x
2
+ 3√x
2
– 2x
Unidad 10. Funciones elementales 16
4
2
–2
I
–4
624
II
2
–2
24
III
IV
2
4
–2
–4
2–4–2
2
–2
–4
24–4–2
–6
Y Y
YY
XX
X
X
2
2
Y
X

399. Página 268
20Haz una tabla de valores de la función y=3
x
. A partir de ella, representa la
función y= log
3
x.
☛
Si el punto (2, 9)pertenece a y = 3
x
, el punto (9, 2)pertenecerá a y = log
3
x.
21Con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores de la función y= ()
x
y represéntala gráficamente.
3
5
Unidad 10. Funciones elementales
17
2
2
4
4–4–2
Y
Xa)
c)
2
2
4
–4–2
Y
Xb)
4
2
2
4
–4–2
Y
X
x –2–10 1 2
3
x
1/9 1/3 1 3 9
2
4
2
(1, 0)
(0, 1)
y = 3
x
y = log
3
x
Y
X–4 –2
–2
6
8
4
x –3–2–10123
y4,63 2,78 1,67 1 0,6 0,36 0,22
1
2
2
y =
(
—)
x3
5
Y
X–2
3
4
1 34–1–3–4
x1/9 1/3 1 3 9
log
3
x–2–10 1 2

400. 22Representa la función y= ()
x
. ¿Es creciente o decreciente?
Es una función creciente en todo
ç.
23Considera las funciones fy gdefinidas por las expresiones f(x)=x
2
+ 1
y g(x) = .
Calcula:
a) (f
°
g) (2) b) ( g
°
f) (–3)
c) (g
°
g) (x) d) ( f
°
g) (x)
a) b)
c) g(g(x)) = x d) f(g(x)) =
24Dadas las funciones f(x) = cos xy g(x) = , halla:
a) (f
°
g) (x) b) ( g
°
f) (x) c) ( g
°
g) (x)
a) f[g(x)] = cos
b) g[f(x)] =
c) g[g(x)] =
25Halla la función inversa de estas funciones:
a) y= 3x
b) y= x+ 7
c) y= 3x– 2
a) x= 3y→ y= →f
–1
(x) =
b) x= y+ 7 →y= x– 7 →f
–1
(x) = x– 7
c) x= 3y– 2 →y= →f
–1
(x) =
x+ 2
3
x+ 2
3
x
3
x
3
4
√x
√cos x
√x
√x
1 + x
2
x
2
1
10
5 4
1
x
6 5
Unidad 10. Funciones elementales 18
1
2
2
f(x) =
(
—)
x
6
5
Y
X
–2
3
1 3–1–3

401. 26Representa la gráfica de y= log
1/3
xa partir de la gráfica de y= ()
x
.
27Comprueba que las gráficas de y= 3
x
e y= ()
x
son simétricas respecto al
eje OY.
☛
Represéntalas en los mismos ejes.
PARA RESOLVER
28Representa: a) y= b) y=
(2x+ 2)/3 si x< 2
–2x+ 6 si x≥2



x/2 + 2 si x≤2
x– 3/2 si x> 2



1
3
1 3
Unidad 10. Funciones elementales 19
y = log
1/3
x
1
2
2
y =
(
—)
x
1
3
Y
X
–1
3
4
1 3 4 5–1–2
2
4
4
Y
X
6
8
2–2–4
(0, 1)
y = 3
x
y = (
—)
x
1
3
a) b)
2
24
–2
–4–2
24
–4
–2
–4–2
Y
X
Y
X

402. 29Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
30Representa:
a) y= b) y=
31A partir de la gráfica de f(x) = 1/x, representa:
a) g(x) = f(x) – 2
b) h(x) = f(x– 3)
c) i(x) = –f(x)
d) j(x) = f(x)
(–x
2
/2) + 2 si x< 1
x– 3 si x≥1



–x– 1 si x≤–1
2x
2
– 2 si –1 < x< 1
x– 1 si x≥1





–x
2
si x< 0
x
2
si x≥0



–x
2
– 4x– 2 si x< –1
x
2
si x≥–1



x
2
– 2xsi x≤2
3 si x> 2



x
2
si x≤1
(2x– 1)/3 si x> 1



Unidad 10. Funciones elementales
20
a) b)
c) d)
2
4
24
–2
–4–2
2
4
24
–2
–4–2
2
24
–2
–4
–4–2
2
42
–4
–2
–4–2
Y
YY
Y
X
XX
X
a) b)
2
24
–2
–4–2
2
42
–2
–4–2
YY
XX

403. 32Representa la función f(x) = y dibuja, a partir de ella:
a) g(x) =
b) h(x) = – 3√x
√x+ 1
√x
Unidad 10. Funciones elementales 21
a) b)
c) d)
g(x)
i(x)
j(x)
h(x)
5
10
Y
X5
–10
–5
10–5–10
5
10
Y
X5
–10
–5
10–5–10
5
10
Y
X5
–10
–5
10–5–10
5
10
Y
5
–10
–5
10–5–10
X
a)
g(x) f(x)
0,2
0,4
Y
X
0,5
0,6
0,8
1
1–0,5–1
b)
h(x)
f(x)1
Y
X
0,4
–1
–2
–3
0,8 10,2 0,6

404. 33La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido 24,82 euros por
12 m
3
, y en octubre, 43,81 por 42 m
3
.
a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m
3
consumi-
dos y represéntala.
b)¿Cuánto pagarán si consumen 28 m
3
?
a)y= 24,82 + 0,633 (x– 12)
y(28) = 34,94 euros
b)y= 24,82 + 0,633 (x– 12) = 0,633x+ 17,22
34El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros re-
corridos. Por 57 km he pagado 2,85 euros y por 168 km, 13,4 euros. Calcula
el precio de un billete para una distancia de 100 km. ¿Cuál es la función que
nos indica el precio según los kilómetros recorridos?
y= 2,85 + 0,095(x– 57)
y(100) = 6,94 euros
La función es: y= 2,85 + 0,095 (x– 57) = 0,095x– 2,565
Página 269
35La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente,
hasta un máximo de 15 g. Representa la función peso del paciente-cantidad
de medicamentoy halla su expresión analítica.
y= 0,25xhasta un máximo de 15 g: 0,25x= 15 → x= 60 kg
y=
0,25x0 < x< 60
15 x≥60



Unidad 10. Funciones elementales
22
10
20
10 20
30
40
50
304050
IMPORTE (euros)
CONSUMO (m
3
)
DOSIS (g)
PESO (kg)
5
10
20 40
15
6080100

405. 36Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de xteleviso-
res son G= 3 000 + 25x, en miles de euros, y los ingresos mensuales son
I= 50x– 0,02x
2
, también en miles de euros.
¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos
gastos) sea máximo?
La función Beneficioviene dada por la expresión:
B= I– G= 50x– 0,02x
2
– 3 000 – 25x= –0,02x
2
+ 25x– 3 000
Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo.
El máximo de la función se encuentra en el vértice:
x
0
= = = 625
El beneficio máximo se obtendrá para 625 televisores.
37Midiendo la temperaura a diferentes alturas, se ha observado que por cada
180 m de ascenso el termómetro baja 1°C.
Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 10°C, ¿cuál será la tem-
peratura en la cima?
Representa gráficamente la función altura-temperaturay busca su expre-
sión analítica.
☛ Haz una tabla de valores y represéntala.
T(h) = 10 – ; T(800) = 5,56 °C
38Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio.
La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + 64t– 16t
2
(ten se-
gundos y h en metros).
a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5].
b) Halla la altura del edificio.
c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?
h
180
–25
–0,04
–b
2a
Unidad 10. Funciones elementales
23
6
8
10
4
2
200 400 600 800 1000
ALTURA (m)
TEMPERATURA (°C)

406. a)
b) 80 metros.
c) 2 segundos.
39El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p= 12 – 0,01x
(x= número de artículos fabricados; p= precio, en cientos de euros).
a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obte-
nidos?
b) Representa la función Nº de artículos-Ingresos.
c)¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos?
a) Si se venden 500 artículos, su precio será:
12 – 0,01 · 500 = 7 cientos de euros → Ingresos = 350 000 €
b)
c) Deben fabricar 600 artículos para obtener los ingresos máximos (360 000 euros).
40Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada
uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 electrodomésticos
menos.
a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros?
b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos
mensuales.
c)¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos?
Unidad 10. Funciones elementales
24
60
80
100
40
20
12345
TIEMPO (s)
ALTURA (m)
120
140
1 000
2 000
3 000
4 000
100 600
Nº DE
ARTÍCULOS
INGRESOS
1 200
I(x) = p · x = 12x – 0,01x
2

407. a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 450 euros cada uno; luego los in-
gresos serían de 450 · 90 = 40 500 euros.
b)I(x) = (400 + 10x) (100 – 2x) = –20x
2
+ 200x+ 40 000
(x= decenas de euros)
c) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola:
x= = = 5 → 50 euros
41El coste de producción de xunidades de un producto es igual a (1/4)x
2
+
+35x+ 25 euros y el precio de venta de una unidad es 50 – x/4 euros.
a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las xunida-
des producidas.
b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio
sea máximo.
☛Los ingresos por la venta de x unidades son x(50–x/4)euros.
a)B(x) = 50x– – (
x
2
+ 35x+ 25 )
= – + 15x– 25
b) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: x= = 15
Deben venderse 15 unidades.
42Busca la expresión analítica de estas funciones:
a) f(x) = b) f(x) =
43Representa la función y= x– 5y comprueba que su expresión analítica
en intervalos es:
y=
–x+ 5 si x< 5
x– 5 si x≥5



x
2
si x≤2
4 si x> 2



–x– 1 si x≤3
2 si x> 3



–15
–1
x
2
2
1
4
x
2
4
–200
–40
–b
2a
Unidad 10. Funciones elementales
25
–4–2
–2
2
4
6
–4
246
–4–2
–2
2
4
6
246
a)
2
4
246
6
81012

408. 44Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos:
a) y= 4 – x b) y= x– 3
a) y=
b) y=
45Representa las siguientes funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
46Representa las siguientes funciones:
a) y= b) y= –
c) y= 2 + d) y= 1 – √x√x
√x+ 3√x– 1
–1
x– 3
–1
x
1
x– 1
1
x+ 1
–x+ 3 si x< 3
x– 3 si x≥3



4 – xsi x< 4
–4 + xsi x≥4



Unidad 10. Funciones elementales
26
2
4
246
6
81012
2
4
246
6
81012
a)
2
4
24
–4
–2
–2–4
b)
2
4
24
–4
–2
–2–4
c)
2
24
d)
–4
–2
–2–4
4
2
4
2
–4
–2
–2–4

409. 47Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20 minutos en llegar a su casa, que
está a 1 km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta em-
plea el mismo tiempo que en el de ida.
a) Representa la función tiempo-distancia.
b) Busca su expresión analítica.
b)f(x) =
Página 270
48Representa y define como funciones “a trozos”:
a) y=

b) y= 3x+ 6
c) y=

d) y= –x– 1
☛Mira el ejercicio resuelto número 6.
2x– 1
3
x– 3
2
(1/20)x si 0 ≤x≤20
1 si 20 < x≤50
–1/20 (x– 70) si 50 < x≤70





Unidad 10. Funciones elementales
27
a) b)
c) d)
2
4
24
6
68
2
4
24
6
68
–2
–6
–4
24
–2
6
–2
–6
–4
24
–2
6
a)DISTANCIA A SU CASA (km)
TIEMPO (min)20
1
50 70

410. a)
y=
– si x< 3 b) y=
si x≥3
c)
y=
si x< d) y=
si x≥
49Utilizando la relación = cociente + podemos escribir
la función y= de esta forma:
y= 2 +
Comprueba que su gráfica coincide con la de y= 1/xtrasladada 1 unidad
hacia la izquierda y 2 hacia arriba.
y=
1
x
1
x+ 1
2x+ 3
x+ 1
resto
divisor
Dividendo
divisor
1 22x– 1
3
–x– 1 si x< –1
x+ 1 si x≥–1


 1
2
–2x+ 1
3
x– 3
2
–3x– 6 si x< –2
3x+ 6 si x≥–2


x– 3
2
Unidad 10. Funciones elementales
28
a) b)
2
4
24
6
6–4–8
2
4
2
6
–2–4–6
c) d)
2
4
2
6
–2–4–6
2
4
2
6
4–2–4
1
1
2
–3
–2
–1
23–2–1–3–4
Y
X















411. y= 2 +
50Representa las funciones y= , y= utilizando el procedimiento
del problema anterior.
y= = 3 +
y= = 1 +
2
x– 4
x– 2
x– 4
3
x– 1
3x
x– 1
x– 2
x– 4
3x
x– 1
1
x+ 1
Unidad 10. Funciones elementales
29
3
1
Y
X
2
2
–2
–4
–6
4
6
8
–2–4 46810
Y
X
1
1
2
3
4
–1
2–2–1–3–4–5
Y
X

412. 51Con las funciones f(x) = x– 5, g(x) = , h(x) = , hemos obtenido,
por composición, estas otras:
p(x) = q(x) = – 5 r(x) =
Explica cómo, a partir de f, gy h, se pueden obtener p, qy r.
p= g
°
f q= f
°
g r= h
°
g
52Representa las funciones:
a) y= 2
x
+ 1 b) y= 2
x
– 3
☛
Utiliza la gráfica de y = 2
x
.
53Representa las siguientes funciones:
a) y= 2
x– 1
b) y= ()
x+ 3
c) y= 1 – 2
x
d) y= 2
–x
1
2
1
√x+ 2
√x√x– 5
1
x+ 2
√x
Unidad 10. Funciones elementales 30
b)a)
y = 1
y = 2
x
y = 2
x
+ 1
2
4
4
Y
X
6
8
10
62–2–4
–2
y = –3
y = 2
x
y = 2
x
– 3
Y
2
4
4
X
6
8
10
62–2–4
–2
(
0, —)
1
8
b)
1
2
4
Y
X
3
4
62–2–4
(
0, —)
1
2 2
4
4
Y
X
6
8
10
12
14
16
2–2–4
a)

413. 54De la función exponencial f(x) = ka
x
conocemos f(0) = 5 y f(3) = 40.
¿Cuánto valen ky a?
f(0) = 5 → 5 = k
f(3) = 40 → 40 = 5 · a
3
→ a= 2
La función es f(x) = 5 · 2
x
55Halla la función inversa de las siguientes funciones:
a) y= 3 · 2
x– 1
b) y= 1 + 3
x
a)x= 3 · 2
y– 1
; = 2
y– 1
; log
2
= y– 1
y= 1 + log
2
→ f
–1
(x) = 1 + log
2
b)x= 1 + 3
y
; x– 1 = 3
y
; log
3
(x– 1) = y→ f
–1
(x) = log
3
(x– 1)
56Estas gráficas corresponden a funciones del tipo y=a
x
, y= log
a
x.
Identifícalas e indica, en cada caso, si es a> 1 o 0 < a< 1.
x
3
x
3
x
3
x
3
Unidad 10. Funciones elementales
31
4
Y
X
6
8
10
12
14
2–2–4 4
2
c)
d)
y = 1
4
Y
X
–5
–6
–4
–3
–2
–1
1
2–2–4
(0, 1)
1)
Y
X
2)
Y
X
3)
Y
X
4)
Y
X

414. 1) y= log
a
x, 0 < a< 1 2) y= a
x
, 0 < a< 1
3) y= log
a
x, a> 1 4) y= a
x
, a> 1
57Representa estas funciones a partir de la gráfica de y= log
2
x:
a) y= 1 + log
2
x b) y= log
2
(x– 1)
☛
En b), el dominio es (1, +∞).
a) y= 1 + log
2
x
b) y= log
2
(x– 1)
58¿Cuál es el dominio de esta función?: y= log
2
(2 – x). Represéntala.
Dominio: (–∞, 2)
Unidad 10. Funciones elementales
32
(
—, 0)
1
2
y = 1 + log
2
x
y = log
2
x
1
2
Y
X
1
2
3
4
2
3
3 4 5 61
2
Y
X
–2
–4
3 4 5 61 2
x = 1
y = log
2
x
y = log
2
(x – 1)
x = 2
1
6
Y
X
1
2
3
4
2
3
42–2–4–6

415. 59La gráfica de una función exponencial del tipo y=ka
x
pasa por los puntos
(0; 0,5) y (1; 1,7).
a) Calcula ky a.
b) Representa la función.
a) →
La función es y= 0,5 · (3,4)
x
b)
60Se llama inflación a la pérdida de valor del dinero; es decir, si un artículo
que costó 100 euros al cabo de un año cuesta 106 euros, la inflación ha sido
del 6%.
Suponiendo que la inflación se mantiene constante en el 6% anual, ¿cuánto
costará dentro de 7 años un terreno que hoy cuesta cinco mil euros?
Para un capital Cy una inflación del 6% durante xaños, el valor de ese capital
será:
C'= C· (1,06)
x
Para x= 7 años y C= 5 000 euros:
C'= 5 000 · (1,06)
7
= 7 518 euros
Página 271
61En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 6%
anual.
a) Si empieza ganando 10 000 euros anuales, ¿cuánto ganará dentro de 10
años?
b) Calcula cuánto tiempo tardará en duplicarse su sueldo.
a) 10 000 · (1,06)
10
≈17 908,48 euros
b) 1,06
x
= 2 → x≈12 años tardará en duplicarse.
k= 0,5
a= 3,4
0,5 = k
1,7 = k· a


0,5 = k· a
0
1,7 = k· a
1
Unidad 10. Funciones elementales
33
2
4
42–4 –2

416. 62Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de yen cada una
de estas expresiones:
a) y= arc sen0,8 b) y= arc sen(–0,9)
c) y= arc cos0,36 d) y= arc cos(–0,75)
e) y= arc tg3,5 f ) y= arc tg(–7)
a) 0,93 rad→ 53°7' 48" b) –1,12 rad→ –64°9' 29"
c) 1,20 rad→ 68°53' 59" d) 2,42 rad→ 138°35' 25"
e) 1,29 rad→ 74°3' 17" f ) –1,43 rad→ –81°52' 11"
63Obtén el valor de estas expresiones en grados, sin usar la calculadora:
a) y= arc sen b) y= arc cos
c) y= arc tg1 d) y= arc sen(–1)
e) y= arc cos
(
–)
f) y= arc tg
a) 60° b) 60°
c) 45° d) –90°
e) 120° f ) 60°
64Calcula xen las siguientes expresiones:
a) arc sen x= 45° b) arc cos x= 30°
c) arc tg x= –72° d) arc sen x= 75°
e) arc cos x= rad f ) arc tg x= 1,5 rad
a) b)
c) –3,078 d) 0,966
e) f ) 14,101
CUESTIONES TEÓRICAS
65Si f(x) = 2
x
y g(x) = log
2
x, ¿cuál es la función (f
°
g) (x)? ¿Y (g
°
f) (x)?
(f
°
g) (x) = (g
°
f) (x) = x
1
2
√3
2
√2
2
π
3
√3
1 2
1 2√3
2
Unidad 10. Funciones elementales
34

417. 66Dada la función f(x) = 1 + , halla f
–1
(x). Representa las dos funciones
y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del 1
_
er
cuadrante.
f
–1
(x) = (x– 1)
2
, x≥1
67Dada la función y= a
x
, contesta:
a) ¿Puede ser negativa la y? ¿Y la x?
b) ¿Para qué valores de aes creciente?
c) ¿Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y= a
x
?
d) ¿Para qué valores de xse verifica 0 <a
x
< 1 siendo a> 1?
a) La yno puede ser negativa, la xsí.
b) a> 1
c) (0, 1)
d) Para x< 0.
68Una parábola corta al eje de abscisas en x= 1 y en x= 3. La ordenada del
vértice es y= –4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola?
y= k(x– 1) (x– 3) = k(x
2
– 4x+ 3)
Vértice → x= = 2 → y(2) = –k= –4 → k= 4
La ecuación es: y= 4 (x
2
– 4x+ 3) = 4x
2
– 16x+ 12
PARA PROFUNDIZAR
69Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y= b) y=
√
x– 9
x√
x+ 3
x– 2
4
2
√x
Unidad 10. Funciones elementales 35
y = (x – 1)
2
, x ≥ 1
Y
X
y = 1 + √x
y = x
2
4
6
8
2468

418. a) ≥0 Dominio = ( –∞, –3] U (2, +∞)
b) ≥0 Dominio = ( –∞, 0) U [9, +∞)
70Representa y define como funciones “a trozos”:
a) y= x
2
– 4 b) y= x
2
– 2x– 4
c) y=

– + 2

d) y= x
2
+ 2x– 2
a) y= b) y=
c) y= d) y=
x
2
+ 2x– 2 si x< –2,7
–x
2
– 2x+ 2 si –2,7 ≤x≤0,7
x
2
+ 2x– 2 si x> 0,7





(x
2
/2) – 2 si x< –2
(–x
2
/2) + 2 si –2 ≤x≤2
(x
2
/2) – 2 si x> 2





x
2
– 2x– 4 si x< –1,2
–x
2
+ 2x+ 4 si –1,2 ≤x≤3,2
x
2
– 2x– 4 si x> 3,2





x
2
– 4 si x< –2
–x
2
+ 4 si –2 ≤x≤2
x
2
– 4 si x> 2





x
2
2
x– 9
x
x+ 3
x– 2
Unidad 10. Funciones elementales
36
x> 2
x≤–3


x+ 3 ≤0
x– 2 < 0





x+ 3 ≥0
x– 2 > 0



x≥9
x< 0


x– 9 ≤0
x< 0





x– 9 ≥0
x> 0



a) b)
2
4
2
6
4–2–4
Y
X
Y
X
2
4
2
6
4–2–4
c) d)
2
4
2
6
4–2–4
Y
XX
2
4
2
6
4–2–4
Y

419. 71Representa estas funciones y exprésalas en intervalos:
a) y= 1 – x
b) y= x– 1– x
a) y= b) y=
72Las tarifas de una empresa de transportes son:
• 40 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 20 t.
• Si la carga es mayor que 20 t, se restará, de los 40 euros, tantos euros como
toneladas sobrepasen las 20.
a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte
(carga máxima: 30 t).
b) Obtén la expresión analítica.
a)
b)f(x) =
Es decir:
f(x) =
40x si 0 ≤x≤20
60x– x
2
si 20 < x≤30



40x si 0 ≤x≤20
[40 – (x– 20)]xsi 20 < x≤30



1 si x≤0
1 – 2xsi 0 < x< 1
–1 si x≥1





1 – xsi x≥0
1 + xsi x< 0



Unidad 10. Funciones elementales
37
10
200
400
600
800
1 000
INGRESOS
CARGA
(t)
20 30
2
2
–2
46–2–4–6
1
–1
123–1–2–3

420. PARA PENSAR UN POCO MÁS
73En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua. Un nadador se lanza to-
mando impulso y elevándose 1 m antes de empezar a caer. El nadador al-
canza el agua a 8 m del borde del trampolín.
a) Si tomamos como origen de coordenadas la proyección del extremo del
trampolín sobre el agua y el vértice de la parábola es (a,b), ¿cuánto va-
le b?
b) La ecuación del movimiento es y= k(x– α)
2
+ 9. Justifícala y halla k
y α.
a)b= 8 + 1 = 9
b) El vértice es (α, 9), por eso la ecuación es y= k(x– α)
2
+ 9.
–= → (8 – α)
2
= 9α
2
→ 8α
2
+ 16α– 64 = 0
α
2
+ 2α– 8 = 0 → α=
La ecuación será, por tanto:
y= –(x– 2)
2
+ 9
1
4
2 → k= –1/4
–4 (vemos por la gráfica que no vale)
–9
(8 – α)
2
1
α
2
k= –1/α
2
k= –9/(8 – α)
2


Como y(0) = 8 →8 = kα
2
+ 9
Como y(8) = 0 →0 = k(8 – α)
2
+ 9
Unidad 10. Funciones elementales
38
Y
X
8 m
8 m

421. Página 272
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
El valor de la función f(x) = para x= 5 no se puede obtener directa-
mente porque el denominador se hace cero. Lo obtendremos por aproximaciones
sucesivas, dando a x los valores 4; 4,9; 4,99; …
≥Comprueba que:
f(4) = 6,5; f(4,9) = 6,95; f(4,99) = 6,995
≥Calcula f(4,999); f(4,9999); f(4,99999); …
≥¿Te parece razonable afirmar que, cuando xse aproxima a 5, el valor de f(x)
se aproxima a 7? Lo expresamos así: f(x) = 7
≥Si f(x) = , entonces:
f(4,999) = 6,9995; f(4,9999) = 6,99995; f(4,99999) = 6,999995
f(x) = 7
≥Calcula, análogamente, .
≥f(2) = 5,5; f(2,9) = 5,95; f(2,99) = 5,995; f(2,999) = 5,9995; f(2,9999) = 5,99995
f(x) = 6
Problema 1
Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si
es continua o discontinua:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
x
2
x< 0
2x 0 ≤x< 3
x+ 2x≥3





√
—
x+ 3x< 1
2/xx ≥1



4 x< 0
4 – x 0 ≤x≤5
2x– 11x> 5





x
2
+ 3x< 1
5 – x
2
x≥1



lím
x→ 3
x
2
+ 6x– 27
2x– 6
lím
x→ 3
lím
x→ 5
x
2
+ 4x– 45
2x- 10
lím
x→ 5
x
2
+ 4x– 45
2x– 10
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
1
LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
11

422. Las tres primeras son continuas y d) es discontinua.
Página 273
Problema 2
Vamos a comprobar que la gráfica de la función y = f (x) = se
aproxima a la recta de ecuación y = x– 2.
Completa en tu cuaderno esta representación, obteniendo los valores de f(x)
para los siguientes valores de x:
5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11
x
2
– 3x+ 1
x– 1
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
2
2
4
2–2
–2
6
a) b)
2
4
24–4–2
–2
6
68
c)
2
4
24–4–2
–2
6
–4
6
d)
2
4
24–2
6
8
6

423. Comprueba para valores muy grandesde xque la diferencia entre curva y
recta llega a ser muy pequeña.
De este modo se comprueba que la recta y= x– 2 es asintota de la función
y=
≥Comprueba, mediante pasos similares a los anteriores, que la función
y= tiene por asíntota a la recta de ecuación y= x+ 2.
≥
≥
Para y= f(x) =
Página 275
1.Explica por qué la función y= x
2
– 5 es continua en todo ç.
Porque es polinómica.
2.Explica por qué la función y= es continua en (– ∞, 5].
Porque (–∞, 5] es su dominio, y en él no hay ningún punto crítico.
√5 – x
x
3
x
2
– 2x
x
3
x
2
– 2x
x
2
– 3x+ 1
x– 1
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
3
x 50 100 1 000
y= f(x)
y= x– 2
DIFERENCIA
x 50 100 1 000
y= f(x) 47,98 97,99 997,999
y= x– 2 48 98 998
DIFERENCIA 0,02 0,01 0,001
x 50 100 1 000
y= f(x) 52,08 102,04 1 002,004
y= x+ 2 52 102 1 002
DIFERENCIA 0,08 0,04 0,004
x 567891011
f (x)2,75 3,8 4,83 5,86 6,88 7,89 8,9
2
4
24–2
–2
6
8
10
6810
2
4
24–2
–2
6
8
10
68

424. 3.Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es con-
tinua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:
a) y = b) y = c) y =
d) y= e) y= f) y=
a) Rama infinita en x= 3 (asíntota vertical).
b) Discontinuidad evitable en x= 0 (le falta ese punto).
c) Rama infinita en x= 0 (asíntota vertical).
d) Rama infinita en x= 0 (asíntota vertical).
e) Salto en x= 3.
f ) Salto en x= 4.
Página 278
1.Calcula el valor de los siguientes límites:
a) b) (cos x– 1)
a) – b) –2
2.Calcula estos límites:
a) b) log
10
x
a) b) –1
Página 279
3.Calcula kpara que y= sea continua en ç.
(x
3
– 2x+ k) = 21 + k
21 + k= 7 → k= –14
f(3) = 7
Página 281
4.Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del
punto. Representa gráficamente los resultados.
a) f(x) = en –2, 0 y 2 b) f(x) = en 2, 0 y 3
c) f(x) = en 1 y –3 d) f(x) = en 0 y –3
x
4
x
3
+ 3x
2
x
2
– 2x+ 1
x
2
+ 2x– 3
4x– 12
(x– 2)
2
x
3
x
2
– 4
lím
x→ 3
x
3
– 2x+ ksi x≠3
7 si x= 3



√3
lím
x→ 0,1
√x
2
– 3x+ 5lím
x→ 2
3
2
lím
x→ 0
3
x– 2
lím
x→ 0
3 si x≠4
1 si x= 4



3x– 4,x< 3
x+ 1,x≥3



1
x
2
x
2
– 3
x
x
2
– 3x
x
x+ 2
x– 3
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
4






425. a)f(x) =
f(x) = –∞
f(x) = +∞
f(x) = 0
f(x) = –∞
f(x) = +∞
b)f(x) =
f(x) = –∞
f(x) = –3
f(x) = 0
c)f(x) =
f(x) = 0
f(x) = +∞
f(x) = –∞
d)f(x) =
f(x) = 0
f(x) = –∞
f(x) = +∞lím
x→ –3
+
lím
x→ –3
–
lím
x→ 0
x
4
x
2
(x+ 3)
lím
x→ –3
+
lím
x→ –3
–
lím
x→ 1
(x– 1)
2
(x– 1) (x+ 3)
lím
x→ 3
lím
x→ 0
lím
x→ 2
4(x– 3)
(x– 2)
2
lím
x→ 2
+
lím
x→ 2
–
lím
x→ 0
lím
x→ –2
+
lím
x→ –2
–
x
3
(x+ 2) (x– 2)
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 5










No existe f(x)lím
x→ –2
No existe f(x)lím
x→ 2





No existe f(x)lím
x→ –3





No existe f(x)lím
x→ –3
2–2 3
–3
23
–31
–3

426. Página 282
1.Di el límite cuando x→ +∞de las siguientes funciones dadas por sus gráficas:
f
1
(x) = –∞ f
2
(x) = –3
f
3
(x) = +∞ f
4
(x) no existe
Página 283
1.Di el valor del límite cuando x→ +∞de las siguientes funciones:
a) f(x) = –x
2
+ 3x+ 5 b) f(x) = 5x
3
+ 7x c) f(x) = x– 3x
4
d) f(x) = e) f(x) = – f) f(x) =
a) –∞ b) +∞ c) –∞
d) 0 e) 0 f ) –∞
2.Como ( x
3
– 200x
2
) = +∞, halla un valor de xpara el cual x
3
– 200x
2
sea mayor que 1 000 000.
Por ejemplo, para x= 1 000, f(x) = 800 000 000.
3.Como = 0, halla un valor de xpara el cual sea
menor que 0,0001.
Por ejemplo, para x= 1 000, f(x) = 0,00000101.
Página 284
4.Calcula f(x) y representa sus ramas:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = – d) f(x) = 3x– 5
1
x
2
3
x
1
3x
lím
x→ +∞
1
x
2
– 10x
1
x
2
– 10x
límx→ +∞
lím
x→ +∞
x
3
– 1
–5
1
x
2
1
3x
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
6
y = f
1
(x)
y = f
2
(x)
y = f
3
(x)
y = f
4
(x)

427. Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 7
a) 0
c) 0
b) 0
d) +∞
a) –∞ b) 0
c) +∞ d ) –1
–1





x= –1 es asíntota vertical





x= –1 es asíntota vertical
–1
–1
–1
–1
5.Calcula f(x) y representa sus ramas:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
Página 285
1.Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
a) y= b) y=
a) f(x) = –∞
f(x) = +∞
b) f(x) = +∞
f(x) = –∞lím
x→ –1
+
lím
x→ –1
–
lím
x→ –1
+
lím
x→ –1
–
x
2
+ 3x
x+ 1
x
2
+ 3x+ 11
x+ 1
1 – x
3
1 + x
3
x
3
x
2
– 3
x
2
– 3
x
3
x
3
– 1
–5
lím
x→+∞

428. 2.Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
a) y= b) y=
a) f(x) = +∞
f(x) = –∞
f(x) = –∞
f(x) = +∞
b) f(x) = +∞
f(x) = +∞
Página 287
3.Halla las ramas infinitas, cuando x→ +∞, de estas funciones. Sitúa la curva
respecto a su asíntota:
a) y= b) y=
a) f(x) = 0 → y= 0 es asíntota horizontal.
b)y= x+ → y= xes asíntota oblicua.
4.Halla las ramas infinitas, x→ +∞, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a
sus asíntotas, si las hay:
a) y= b) y=
2x
3
– 3x
2
+ 7
x
x
2
+ 2
x
2
– 2x
–x
1 + x
2
lím
x→ +∞
x
3
1 + x
2
x
1 + x
2
lím
x→ 1
+
lím
x→ 1
–
lím
x→ 2
+
lím
x→ 2
–
lím
x→ 0
+
lím
x→ 0
–
x
2
+ 2
x
2
– 2x+ 1
x
2
+ 2
x
2
– 2x
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
8





x= 2 es asíntota vertical





x= 0 es asíntota vertical





x= 1 es asíntota vertical
2
1
1
1

429. a) f(x) = 1 → y= 1 es asíntota horizontal.
b) grado de P– grado de Q≥2
f(x) = +∞ → rama parabólica hacia arriba.
Página 288
1.Halla f(x) y representa la rama correspondiente:
f(x) = –2x
3
+ 7x
4
– 3
f(x) = 7 x
4
= +∞
2.Halla f(x) y traza las ramas correspondientes:
a) f(x) = (x
2
+ 3)/(–x
3
) b) f(x) = –x
3
/(x
2
+ 3)
a) f(x) = = = 0
b) f(x) = = –x= +∞
Página 289
3.Halla las ramas infinitas, x→ –∞de estas funciones y sitúa la curva respecto a
las asíntotas:
a) y= b) y= c) y= d) y=
x
3
1 + x
2
x
2
1 + x
2
x
1 + x
2
1
x
2
+ 1
lím
x→ –∞
–x
3
x
2
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
1
–x
lím
x→ –∞
x
2
–x
3
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas9
1

430. a) f(x) = 0 → y= 0 es asíntota horizontal.
b) f(x) = 0 → y= 0 es asíntota horizontal.
c) f(x) = 1 → y= 1 es asíntota horizontal.
d) y= x+ → y= xes asíntota oblicua.
4.Halla las ramas infinitas, cuando x→ –∞, y si tienen asíntotas, sitúa la curva
respecto a ellas:
a) y= b) y= c) y= d) y=
a) grado P– grado Q≥2
f(x) = +∞ → rama parabólica.
b) f(x) = 1 → y= 1 es asíntota horizontal.
c)y= x+ 2 + → y= x+ 2 es asíntota oblicua.
d) f(x) = (2 x
2
– 3x) = +∞lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
–2
x+ 1
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
2x
3
– 3x
2
x
x
2
+ 3x
x+ 1
x
2
+ 2
x
2
– 2x
x
4
x
2
+ 1
–x
1 + x
2
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
10
1
1
1
–2
2
1

431. Página 297
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1a)¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua?
b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.
a) Solo la a).
b) b) Rama infinita en x= 1 (asíntota vertical).
c) Rama infinita en x= 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x= 2.
e) Punto desplazado en x= 1; f(1) = 4; f(x) = 2.
f ) No está definida en x= 2.
2Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
e) y= f) y=
a) 0 y –1 b) 2
c) – d) Continua
e) 0 y 5 f ) y –
√2√2
1
2
1
x
2
– 2
2
5x– x
2
1
x
2
+ 2x+ 3
x– 1
2x+ 1
x
(x– 2)
2
3
x
2
+ x
lím
x→ 1
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
11
a) b) c)
d) e) f)
2
2
–22
2
–2
4
–22
2
–2
–22
–22
2
4
4–2 2
2
4
4–2

432. 3Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x= 0 y en x= –2:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
a) No es continua ni en x= 0 ni en x= –2.
b) Sí es continua en x= 0, no en x= –2.
c) No es continua en x= 0, sí en x= –2.
d) Continua en x= 0 y en x= –2.
4Indica para qué valores de
ç son continuas las siguientes funciones:
a) y= 5 – b) y=
c) y= d) y=
a)
ç b) [3, +∞)
c) (–∞, 0] d)
(
–∞, ]
5Calcula los siguientes límites:
a)
(
5 – )
b) ( x
3
–x)
c) d) 2
x
e) f) log
2
x
g) cos x h) e
x
a) 5 b) 0
c) –2 d)
e) 4 f ) 2
g) 1 h) e
2
6Calcula el límite cuando x→ +∞de cada una de las siguientes funciones.
Representa el resultado que obtengas.
a) f(x) = x
3
– 10x b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
x
2
– 2x
–3
3 – x
2
√x
2
– 4
√2
lím
x→ 2
lím
x→ 0
lím
x→ 4
√10 + x– x
2
lím
x→ –2
lím
x→ 0,5
1 – x
x– 2
lím
x→ 3
lím
x→ –1
x
2
lím
x→ 0
5
2
√5 – 2x√–3x
√x– 3
x
2
√7 – 2x√x
2
– 4
x
x
2
– 4
1
√x
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 12

433. ☛ Dale a x “valores grandes” y saca conclusiones.
a) f(x) = +∞ b) f(x) = +∞
c) f(x) = –∞ d) f(x) = –∞
7Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x→ –∞y
representa la información que obtengas.
a) f(x) = –∞ b) f(x) = +∞
c) f(x) = +∞ d) f(x) = –∞
8Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tienden a
0 cuando x→+∞.
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
Representa gráficamente su posición sobre el eje OXo bajo el eje OX.
a) f(x) = 0 b) f(x) = 0
c) f(x) = 0 d) f(x) = 0lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
2
10x
2
– x
3
–7
√x
100
3x
2
1
x
2
– 10
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
13

434. 9Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
a) (7 + x– x
3
)b)
c)
(
– + – 17 )
d) (7 – x)
2
10Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x→–∞y
representa la información que obtengas.
Resolución de los ejercicios 9 y 10:
a) (7 + x– x
3
) = –∞; (7 + x– x
3
) = +∞
b) = + ∞
c)
(
+ – 17 )
= –∞
d) (7 – x)
2
= +∞
Página 298
11Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
12Calcula el límite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando x→ –∞.
Resolución de los ejercicios 11 y 12:
3 – 2x
5 – 2x
lím
x→ +∞
2 – 3x
x+ 3
lím
x→ +∞
x
2
+ 5
1 – x
lím
x→ +∞
2x– 1
x+ 2
lím
x→ +∞
1
(2 – x)
3
lím
x→ +∞
–1
x
2
– 1
límx→ +∞
–2x
2
3 – x
límx→ +∞
3
(x– 1)
2
lím
x→ +∞
lím
x→ ±∞
x
2
–x
4
3
límx→ ±∞
x
2
– 10x– 32
5
lím
x→ ±∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
x
2
x
4
3
límx→ +∞
x
2
– 10x– 32
5
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
14

435. a) = 0; = 0
b) = + ∞; = –∞
c) = 0; = 0
d) = 0; = 0
e) = 2; = 2
f) = –∞; = + ∞
g) = –3; = –3
h) = 1; = 1
3 – 2x
5 – 2x
lím
x→ –∞
3 – 2x
5 – 2x
lím
x→ +∞
2 – 3x
x+ 3
lím
x→ –∞
2 – 3x
x+ 3
lím
x→ +∞
x
2
+ 5
1 – x
lím
x→ –∞
x
2
+ 5
1 – x
lím
x→ +∞
2x– 1
x+ 2
lím
x→ –∞
2x– 1
x+ 2
lím
x→ +∞
1
(2 – x)
3
lím
x→ –∞
1
(2 – x)
3
lím
x→ +∞
–1
x
2
– 1
límx→ –∞
–1
x
2
– 1
límx→ +∞
–2x
2
3 – x
límx→ –∞
–2x
2
3 – x
límx→ +∞
3
(x– 1)
2
lím
x→ –∞
3
(x– 1)
2
lím
x→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
15
–2
Y
X
–42
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–42
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–42
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–42
2
4
–4
–2
4
–2
Y
X
–42
2
4
–4
–2
4

436. 13Dada la función y= , halla:
a) b)
c) d)
Representa gráficamente los resultados obtenidos.
a) +∞
b) –∞
c) –2
d) –2
14
Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones:
f
1
(x) = y f
2
(x) =
¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x→ –2?
☛
Observa la función cuando x → –2 por la izquierda y por la derecha.
f
1
(x) = +∞
f
1
(x) = +∞
f
2
(x) = +∞
f
2
(x) = –∞
15 Sobre la gráfica de la función f(x), halla:
a) f(x)b) f(x)
c) f(x)d) f(x)lím
x→ –∞
lím
x→ 0
lím
x→ –3
+
lím
x→ –3
–
lím
x→ –2
+
lím
x→ –2
–
lím
x→ –2
+
lím
x→ –2
–
–1
x+ 2
1
(x+ 2)
2
2x
1 – x
lím
x→ –∞
2x
1 – x
lím
x→ +∞
2x
1 – x
lím
x→ 1
+
2x
1 – x
lím
x→ 1
–
2x
1 – x
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
16
1
–2
f
1
(x)
–2
f
2
(x)
–2
–3 2





f
1
(x) = +∞lím
x→ –2





No existe f
2
(x)lím
x→ –2

437. e) f(x)f) f(x)
g) f(x)h) f(x)
a) +∞ b) –∞
c) 2 d) 0
e) 0 f ) 3
g) +∞ h) 0
16Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión
analítica y di si son continuas o discontinuas en x= 1.
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) =
a) Continua
b) Discontinua
c) Discontinua
17Dada la función f(x) = , halla:
a) f(x)b) f(x)c) f(x)
☛
Para que exista límite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los límites
laterales.
a) 5
b) 4
c) f(x) = f(x) = f(x) = 1lím
x→ 0
lím
x→ 0
+
lím
x→ 0
–
lím
x→ 0
lím
x→ 3
lím
x→ –2
x
2
+ 1 si x< 0
x+ 1 si x≥0



x
2
si x≠1
–1 si x= 1



x+ 2 si x< 1
3 si x> 1



1 – x
2
si x≤1
x– 1 si x> 1



lím
x→ –2
lím
x→ +∞
lím
x→ 2
+
lím
x→ 2
–
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
17
2
2
–2
2
2
–2
2
2
–2

438. 18Comprueba si la función f(x) = es continua en x= 0.
☛
Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que
f(x)= f(0).
f(x) = f(x) = f(x) = –1 = f(0)
Es continua en x= 0.
Página 299
19Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se
indican:
a) f(x) = en x=–1
b) f(x) = en x= 2
c) f(x) = en x= 1
a) No, pues no existe f(–1).
b) f(x) = f(x) = f(2) = –2. Sí es continua en x= 2.
c) f(x) = 3 ≠ f(x) = 4. No es continua en x= 1.
PARA RESOLVER
20Calcula los siguientes límites:
a) b)
c) d)
☛
Saca factor común y simplifica cada fracción.
a) = –2b) = 3
c) = 0 d) = –
7
4
h(h– 7)
4h
lím
h→ 0
h
2
(3h– 2)
h
lím
h→ 0
x(2x+ 3)
x
lím
x→ 0
4x
x(x– 2)
lím
x→ 0
h
2
– 7h
4h
lím
h→ 0
3h
3
– 2h
2
h
límh→ 0
2x
2
+ 3x
x
lím
x→ 0
4x
x
2
– 2x
límx→ 0
lím
x→ 1
+
lím
x→ 1
–
lím
x→ 2
+
lím
x→ 2
–
3x si x≤1
x+ 3 si x> 1



2 – x
2
si x< 2
(x/2) – 3 si x≥2



(3 – x)/2 si x< –1
2x+ 4 si x> –1



lím
x→ 0
lím
x→ 0
+
lím
x→ 0
–
lím
x→ 0
x
2
– 1 si x< 0
x– 1 si x≥0



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
18

439. 21Resuelve los siguientes límites:
a) b)
c) d)
e) f)
a) = 2
b) = = = –3
c) = – d) = 3
e) = – f ) = 2
22Resuelve los siguientes límites:
a) b) 1 – (x– 2)
2
c) d)
a) 3 b) –∞ c) 0 d) +∞
23Calcula el límite cuando x→ +∞y cuando x→–∞de las siguientes fun-
ciones y representa las ramas que obtengas:
a) f(x) = b) f(x) = 10x– x
3
c) f(x) = d) f(x) =
a) f(x) = 0; f(x) = 0
b) f(x) = –∞; f(x) = +∞
c) f(x) = +∞; f(x) = –∞
d) f(x) = –4; f(x) = –4lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
1 – 12x
2
3x
2
x
2
x– 1
–1
x
2
x
3
+ 1
5x
lím
x→ –∞
1 – x
(2x+ 1)
2
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
3x
2
(x– 1)
2
lím
x→ +∞
(x– 1) (x
3
+ x
2
+ x+ 1)
(x– 1) (x+ 1)
lím
x→ 1
1
2
(x+ 3)
(x+ 3) (x+ 1)
lím
x→ –3
(x+ 1) (x– 2)
(x– 2)
lím
x→ 2
1
4
(x+ 2)
(x+ 2) (x– 2)
lím
x→ –2
3
–1
(x+ 1) (x
2
– x+ 1)
x(x+ 1)
lím
x→ –1
x
3
+ 1
x
2
+ x
límx→ –1
(x+ 1) (x– 1)
(x– 1)
lím
x→ 1
x
4
– 1
x
2
– 1
límx→ 1
x+ 3
x
2
+ 4x+ 3
límx→ –3
x
2
– x– 2
x– 2
lím
x→ 2
x+ 2
x
2
– 4
límx→ –2
x
3
+ 1
x
2
+ x
límx→ –1
x
2
– 1
x– 1
lím
x→ 1
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
19
–4

440. 24Calcula el límite de la función f(x) = en x= 3, x= 0 y x= –1.
f(x) = f(x) = 0
f(x) = +∞ f(x) = –∞
25Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su
denominador:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(t) =
a) f(x) = +∞; f(x) = –∞
b) f(x) =
f(x) = –∞; f(x) = +∞; f(x) = –∞; f(x) = +∞
c) f(x) =
f(x) = = ; f(x) = +∞; f(x) = –∞
d) f(t) = ; f(t) = –2
26Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva con respecto a ellas:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
e) f(x) = f) f(x) =
a) Asíntota vertical: x= 3
Asíntota horizontal: y= 2
–1
(x+ 2)
2
3x
x
2
– 1
1
x
2
+ 9
1
2 – x
x– 1
x+ 3
2x
x– 3
lím
t→ 0
t
2
(t– 2)
t
2
lím
x→ –2
+
lím
x→ –2
–
1
2
2 4
lím
x→ 2
x(x– 2)
(x– 2) (x+ 2)
lím
x→ 2
+
lím
x→ 2
–
lím
x→ 0
+
lím
x→ 0
–
x– 1
x(x– 2)
lím
x→ –2
+
lím
x→ –2
–
t
3
– 2t
2
t
2
x
2
– 2x
x
2
– 4
x– 1
x
2
– 2x
3x
2x+ 4
lím
x→ –1
+
lím
x→ –1
–
lím
x→ 0
3
4
lím
x→ 3
x
2
x
2
+ x
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 20
3
2

441. b) Asíntota vertical: x= –3
Asíntota horizontal: y= 1
c) Asíntota vertical: x= 2
Asíntota horizontal: y= 0
d) Asíntota vertical: y= 0
No tiene más asíntotas.
e) Asíntota vertical: x= 1, x= –1
Asíntota horizontal: y= 0
f) Asíntota vertical: x= –2
Asíntota horizontal: y= 0
27Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua.
Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
e) f(x) = f) f(x) =
–2x
2
+ 3
2x– 2
2x
3
– 3
x
2
– 2
x
2
+ x– 2
x– 3
4x
2
– 3
2x
3 + x– x
2
x
3x
2
x+ 1
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 21
–3
1
2
1–1
–2

442. a) = 3 x– 3 +
Asíntota oblicua: y= 3x– 3
b) = –x+ 1 +
Asíntota oblicua: y= –x+ 1
c) = 2 x–
Asíntota oblicua: y= 2x
d) = x+ 4 +
Asíntota oblicua: y= x+ 4
e) = 2 x+
Asíntota oblicua: y= 2x
f) = –x– 1 +
Asíntota oblicua: y= –x– 1
28Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ca-
da una de ellas:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y =
3x
2
x+ 2
x
3
x
2
– 4
x
2
x
2
+ x+ 1
x+ 2
x
2
– 1
5x– 2
2x– 7
(3 – x)
2
2x+ 1
1
2x– 2
–2x
2
+ 3
2x– 2
4x– 3
x
2
– 2
2x
3
– 3
x
2
– 2
10
x– 3
x
2
+ x– 2
x– 3
3
2x
4x
2
– 3
2x
3
x
3 + x– x
2
x
3
x+ 1
3x
2
x+ 1
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 22
1
–3
1
1
1
1
1
1
–4
4
–1
–1

443. a) y= x– +
Asíntotas: x= –; y= x–
b) Asíntotas: y= ; x=
c) Asíntotas: y= 0; x= ±1
d) Asíntotas: y= 1
e) y= x+
Asíntotas: y= x; x= –2, x= 2
f ) Asíntotas: x= –2; y= 3x– 6
4x
(x+ 2) (x– 2)
7
2
5 2
13
4
1 21 2
49/4
2x+ 1
13
4
1 2
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 23
2–246 8
–2
–4
2
X
Y
2–2–4–646
–2
–4
2
4
X
Y
2–2–4–646
–2
–4
2
4
X
Y
2–2–4–646
–2
2
4
X
Y
–4
2–2–4–646
–2
2
4
X
Y
–4
1–1–2–323
–1
–3
1
2
X
Y
–2

444. 29Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa
la curva:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y =
a) f(x) = +∞; f(x) = +∞
Asíntota vertical: x= 0
b) Asíntota vertical: x= –1
Asíntota horizontal: y= 1
c) Asíntotas verticales: x= 3, x= –3
Asíntota horizontal: y= 0
d) Asíntota horizontal: y=
e) Asíntota vertical: x= –3
Asíntota oblicua: y= 2x– 6
f) f(x) = +∞; f(x) = +∞
Asíntota vertical: x=
5
2
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
1
2
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
x
3
2x– 5
2x
2
x+ 3
x
2
– 1
2x
2
+ 1
1
9 – x
2
(x+ 3)
2
(x+ 1)
2
x
4
– 1
x
2
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
24
–33
321
–1
1
1
–44
–6

445. Página 300
30Prueba que la función f(x) = solo tiene una as íntota vertical y otra
horizontal.
☛
Al hallar f (x)verás que no es ∞.
f(x) = 2; f(x) = –∞; f(x) = +∞; f(x) = 1
Asíntota vertical: x= 0
Asíntota horizontal: y= 1
31Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que
obtengas:
a)
b)
a) = =
b) = =
Calculamos los límites laterales:
= +∞; = –∞
No existe
32Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a)
b)
c)
d)
2x
2
– 8
x
2
– 4x + 4
límx→ 2
x
4
– 1
x– 1
lím
x→ 1
x
3
+ x
2
x
2
+ 2x+ 1
límx→ –1
x
2
– 2x
x
3
+ x
2
lím
x→ 0
x
2
– 3x+ 2
x
2
– 2x+ 1
límx→ 1
x– 2
x– 1
lím
x→ 1
–
x– 2
x– 1
lím
x→ 1
–
x– 2
x– 1
lím
x→ 1
(x– 2) (x– 1)
(x– 1)
2
lím
x→ 1
x
2
– 3x+ 2
x
2
– 2x+ 1
límx→ 1
5
3
(x– 3) (x+ 2)
x(x– 3)
lím
x→ 3
x
2
– x– 6
x
2
– 3x
límx→ 3
x
2
– 3x+ 2
x
2
– 2x+ 1
límx→ 1
x
2
– x– 6
x
2
– 3x
límx→ 3
lím
x→ ±∞
lím
x→ 0
+
lím
x→ 0
–
lím
x→ 2
lím
x→ 2
x
2
– 4
x
2
– 2x
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
25
1
123
1
2
3

446. a) = =
Calculamos los límites laterales:
= +∞; = –∞
b) = =
Calculamos los límites laterales:
= –∞; = + ∞
c) = = 4
d) = =
Calculamos los límites laterales:
= –∞; = + ∞
33Halla las asíntotas de las funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
e) y= f) y= x+ 1 +
a) y= x+ b) As íntota vertical: x= 0
Asíntotas verticales: x= –1, x= 1
Asíntota oblicua: y= x
c) Asíntota horizontal: y= 2 d) As íntota horizontal: y= 0
Asíntotas verticales: x= ±1
e) x= 5, y= x f ) Asíntota vertical: x= 0
Asíntota oblicua: y= x+ 1
x
(x– 1) (x+ 1)
5
x
x
2
– 5x+ 4
x– 5
x
2
+ 1
(x
2
– 1)
2
2x
2
+ 5
x
2
– 4x+ 5
x
3
+ 1
x
x
3
x
2
– 1
2(x+ 2)
x– 2
lím
x→ 2
+
2(x+ 2)
x– 2
lím
x→ 2
–
2(x+ 2)
x– 2
lím
x→ 2
2(x– 2) (x+ 2)
(x– 2)
2
lím
x→ 2
2x
2
– 8
x
2
– 4x+ 4
límx→ 2
(x– 1) (x
3
+ x
2
+ x+ 1)
x– 1
lím
x→ 1
x
4
– 1
x– 1
lím
x→ 1
x
2
x+ 1
límx→ –1
+
x
2
x+ 1
límx→ –1
–
x
2
x+ 1
límx→ –1
x
2
(x+ 1)
(x+ 1)
2
lím
x→ –1
x
3
+ x
2
x
2
+ 2x+ 1
límx→ –1
x– 2
x(x+ 1)
lím
x→ 0
+
x– 2
x(x+ 1)
lím
x→ 0
–
x– 2
x(x+ 1)
lím
x→ 0
x(x– 2)
x
2
(x+ 1)
límx→ 0
x
2
– 2x
x
3
+ x
2
lím
x→ 0
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
26
–1
2
1
4

447. 34Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en alguno
de sus puntos:
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) =
a) Discontinua en x= 3.
b) Función continua.
c) Discontinua en x= 2.
35a) Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior en x= –3 y x= 5.
b) Halla, en cada una de ellas, el límite cuando x→+∞y cuando x→–∞.
a) f(x) = –7; f(x) = 0; f(x) = –∞; f(x) = –∞
b) f(x) = 1; f(x) = 26; f(x) = +∞; f(x) = 1
c) f(x) = 7; f(x) = 5; f(x) = +∞; f(x) = +∞lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ 5
lím
x→ –3
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ 5
lím
x→ –3
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ 5
lím
x→ –3
x
2
– 2 si x< 2
x si x> 2



1 si x≤0
x
2
+ 1 si x> 0



2x– 1 si x< 3
5 – xsi x≥3



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
27
–2
12345
2
4
Y
X
6
2–2–4 468
2
4
6
8
Y
X
–2
1–1
2345
2
4
Y
X

448. 36Calcula los límites cuando x→+∞y cuando x→–∞de las siguientes fun-
ciones:
a) f(x) = 2
x– 1
b) f(x) = 0,75
x
c) f(x) = 1 + e
x
d) f(x) = 1/e
x
a) f(x) = +∞; f(x) = 0
b) f(x) = 0; f(x) = +∞
c) f(x) = +∞; f(x) = 1
d) f(x) = 0; f(x) = +∞
37Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales:
a) y= 2
x+ 3
b) y= 1,5
x
– 1
c) y= 2 + e
x
d) y= e
–x
a) f(x) = +∞; f(x) = 0
Asíntota horizontal cuando x→ –∞: y= 0
b) f(x) = +∞; f(x) = –1
Asíntota horizontal cuando x→ –∞: y= –1
c) f(x) = +∞; f(x) = 2
Asíntota horizontal cuando x→ –∞: y= 2
d) f(x) = 0; f(x) = +∞
Asíntota horizontal cuando x→ –∞: y= 0
38Calcula, en cada caso, el valor de kpara que la función f(x) sea continua
en todo
ç.
a) f(x) =
b)f(x) =
c) f(x) =
(x
2
+ x)/xsi x≠0
k si x= 0



6 – (x/2) si x< 2
x
2
+ kxsi x≥2



x
2
– 4 si x≤3
x+ ksi x> 3



lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
28

449. a) f(x) = 5 = f(3)
f(x) = 3 + k
b) f(x) = 5
f(x) = 4 + 2k= f(2)
c) f(x) = = 1 → k= 1
39Estudia la continuidad de estas funciones:
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) =
a) f(x) = f(x) = f(1) = 1 → Continua en x= 1
x≠1 → Continua
Es continua en
ç.
b) f(x) = f(x) = f(–1) = 0 → Continua en x= 1
f(x) = f(x) = f(1) = 0 → Continua en x= 1
x≠1 y x≠–1 → Continua
Es continua en
ç.
c) f(x) = 1 ≠ f(x) = 2 → Discontinua en x= 0
Si x≠0, es continua.
lím
x→ 0
+
lím
x→ 0
–
lím
x→ 1
+
lím
x→ 1
–
lím
x→ –1
+
lím
x→ –1
–
lím
x→ 1
+
lím
x→ 1
–
1 – x
2
si x≤0
2
x+ 1
si x> 0



–x– 1 si –1 ≥x
1 – x
2
si – 1 < x< 1
x– 1 si x≥1





2 – xsi x< 1
1/xsi x≥1



x(x+ 1)
x
lím
x→ 0
lím
x→ 0
lím
x→ 2
+
lím
x→ 2
–
lím
x→ 3
+
lím
x→ 3
–
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
29





5 = 3 + k→ k= 2





5 = 4 + 2k→ k= 1/2

450. 40Calcula apara que las siguientes funciones sean continuas en x= 1:
a) f(x) = b) f(x) =
a) f(x) = 2 = f(1)
f(x) = 4 – a
b) f(x) = = 2
f(1) = a
41En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes reali-
zados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrena-
miento según la función M(t) = ( ten días).
a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo?
b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un
mes.
c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrena-
miento?
a)M(1) = 6 montajes el primer día.
M(10) = 21,43 → 21 montajes el décimo día.
b)
c) Se aproxima a 30
(
pues = 30 )
.
Página 301
42El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta, x. Así:
g(x) =
0,6x+ 200 si 0 ≤x≤1 000
1 000x/(x+ 250) si x> 1 000



30t
t+ 4
lím
t→ +∞
30t
t+ 4
(x– 1) (x+ 1)
(x– 1)
lím
x→ 1
lím
x→ 1
lím
x→ 1
+
lím
x→ 1
–
(x
2
– 1)/(x– 1) si x≠1
a si x= 1



x+ 1 si x≤1
4 – ax
2
si x> 1



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
30





2 = 4 – a→ a= 2





a= 2
5
10
510
15
20
25
15202530

451. donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros.
a) Representa g(x) y di si es función continua.
b) Calcula el límite de g(x) cuando x→ +∞y explica su significado.
a)
Es continua.
b) g(x) = 1 000.
Como máximo gastan 1 000€ al mes en alimentación.
CUESTIONES TEÓRICAS
43¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función
no esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto?
Sí se puede calcular, pero no puede ser continua.
44¿Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, pon
un ejemplo.
Sí. Por ejemplo, f(x) = tiene x= 0 y x= 1 como asíntotas verticales.
45El denominador de una función f(x) se anula en x= a. ¿Existe necesaria-
mente una asíntota vertical en x= a? Pon ejemplos.
No. Por ejemplo, f(x) = en x= 0; puesto que:
f(x) = = 1
46¿Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales?
Sí.
47Representa una función que cumpla estas condiciones:
f(x) = +∞, f(x) = 2, f(x) = 0
¿Es discontinua en algún punto?
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ 3
x(3x+ 1)
x
lím
x→ 0
lím
x→ 0
3x
2
+ x
x
1
x– x
2
lím
x→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
31
200
400
1 000
600
800
1 000
2 0003 0004 000

452. Sí, es discontinua al menos en x= 3.
48Representa una función que verifique estas condiciones:
f(x) = 2
f(x) = 0
f(x) = +∞
f(x) = –∞
49Si f(x) = 5, ¿podemos afirmar que fes continua en x= 2?
No. Para que fuera continua debería ser, además, f(2) = 5.
50¿Existe algún valor de kpara el cual la función f(x) = sea
continua en x= 0? Justifica tu respuesta.
No, puesto que no existe f(x).
PARA PROFUNDIZAR
51Calcula los siguientes límites:
a) b)
c) d)
3x– 1
√x
2
+ 4
límx→ +∞
√x
2
+ 1
x
lím
x→ –∞
√x+ 1
x
lím
x→ +∞
√
x+ 3
x– 2
límx→ +∞
lím
x→ 0
1/xsi x≠0
k si x= 0



lím
x→ 2
lím
x→ 1
+
lím
x→ 1
–
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
32
2–2–4 4
2
4
Y
X
2–2–4 4
2
–2
–4
4
Y
X

453. a) = = = = 1
b) = = = 0
c) === –1
d) = = = 3
52Puesto que ( x
2
– 3x) = +∞halla un valor de xpara el cual x
2
– 3x
sea mayor que 5 000.
Por ejemplo, para x= 100, f(x) = 9 700.
53Halla un valor de xpara el cual f(x) = sea menor que 0,001.
Por ejemplo, para x= 1 000, f(x) = 0,00033.
54Halla los siguientes límites:
a) ( – x)b)(2
x
– x
3
)
c) d) 0,75
x
– x
a) –∞ b) +∞
c) 0 d) + ∞
55¿Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su límite
cuando x→+∞:
a) y= log
2
(x– 3)
b) y= ln(x+ 2)
a) Asíntota vertical: x= 3
f(x) = +∞
b) Asíntota vertical: x= –2
f(x) = +∞lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
x
e
x
lím
x→ +∞
lím
x→ +∞
√xlím
x→ +∞
1
3x– 5
lím
x→ +∞
3x
x
lím
x→ +∞
3x
√x
2
lím
x→ +∞
3x– 1
√x
2
+ 4
límx→ +∞
x
x
lím
x→ –∞
√x
2
x
límx→ –∞
√x
2
+ 1
x
lím
x→ –∞
1
√x
límx→ +∞
√x
x
lím
x→ +∞
√x+ 1
x
lím
x→ +∞
√1√1lím
x→ +∞√
x
x
límx→ +∞√
x+ 3
x– 2
límx→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
33

454. PARA PENSAR UN POCO MÁS
56Raquel quiere subir en bicicleta al mirador de la montaña y luego bajar, de
modo que la velocidad media con la que realice el recorrido de ida y vuelta
sea de 40 km/h. Ya ha subido y lo ha hecho a 20 km/h. Se pregunta a qué ve-
locidad deberá bajar para conseguir su objetivo.
a) Halla la velocidad media final para velocidades de bajada de 60, 80, 100 y
200 km/h.
b) Halla la expresión de la velocidad media final, V, para una velocidad de
bajada de xkm/h.
c) Comprueba que la velocidad media deseada, 40 km/h, es el límite V.
¿Qué significa esto?
d) Vuelve sobre el enunciado razonando del siguiente modo: si la velocidad
media en la subida es la mitad de la deseada es porque el tiempo emplea-
do ha sido el doble, es decir, el tiempo que tardó en subir es tanto como
tenía para subir y bajar. Se ha quedado sin tiempo. ¡Ha de bajar a veloci-
dad infinita!
a)
b) Llamamos d= distancia que tiene que recorrer en la subida. Por tanto, entre la
subida y la bajada recorre 2d.
Recordamos que: velocidad =
El tiempo que tarda en total será el que tarda en subir (a 20 km/h) más el que
tarda en bajar (a xkm/h):
+ = d
(
+ )
= d()
La velocidad media final será entonces:
V= = = = → V(x) =
c) Por tanto: V(x) = 40
Significa que, por muy rápido que baje, su velocidad media total no superará los
40 km/h.
lím
x→ +∞
40x
x+ 20
40x
x+ 20
2 · 20x
x+ 20
2d
d[(x+ 20)/20x]
2d
t
x+ 20
20x
1
x
1
20
d
x
d
20
espacio
tiempo
lím
x→ +∞
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas
34
VELOCIDAD DE BAJADA 60 80 100 200
VELOCIDAD MEDIA FINAL 30 32 33,33 36,36

455. Página 302
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Tomar un autobús en marcha
En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús
que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.
y corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para coger el auto-
bús en marcha.
a) Al viajero
lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la veloci-
dad a la que corre.
b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo alcanza el
pasajero
? ¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?
a) El pasajero 2 llega a la parada 10 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 6 s
después, 50 m más allá.
Corrió, por tanto, a = 8,33 m/s. Es decir: 8,33 · 3,6 = 30 km/h
b) En el instante 15 s está a 43 m de la parada. En el instante 17 s está a 59 m de la
parada.
Velocidad media = = 8 m/s = 28,8 km
Las velocidades del pasajero 2 y del autobús son, aproximadamente, iguales en el mo-
mento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.
Página 303
¿Es preferible esperar o correr tras el autobús?
Los viajeros
y , en el momento de la salida del autobús, estaban a 100 m de
la parada. El
decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí.
El
tiene un extraño comportamiento. ¿Extraño?
16 m
2 s
50
6
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
1
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE
DERIVADAS. APLICACIONES
12
5 s
50 m
10 s 15 s 20 s
1
2

456. a) Describe el movimiento del pasajero →.
b) Explica por qué el comportamiento del pasajero
→ es mucho más sensato que
el del
), quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús.
a) Intenta alcanzar aproximadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él
suavemente.
b) El pasajero 4 accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproximada-
mente); sin embargo, el 3 no.
Carrera de relevos
La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo,
durante una carrera de relevos:
a)¿Por qué en las carreras de relevos 4 × 100 m cada relevista echa a correr antes
de que llegue su compañero?
b)¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?
c)¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? ¿Cómo son
sus velocidades en el momento de la entrega del “testigo”?
a) Para que el “testigo” pase sin brusquedades del que llega al que se va.
b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo.
c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproximadamente.
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
2
5 s
50 m
10 s 15 s 20 s
4
3
100 m
2-º relevista
1-
er
relevista

457. Página 304
1.Dibuja una función y señala dos puntos en ella (a, f (a) )y (b, f (b) )tales que
a< b y f (b) < f (a). Observa en ella que la T.V.M. es negativa.
Vemos que la T.V.M. es negativa,
puesto que T.V.M. = ,
siendo en este caso f(b) – f(a) < 0
y b– a> 0.
2.Dibuja una función en la que puedas señalar dos puntos
(c, f (c) )y (d, f (d) )ta-
les que c< d y f (c) < f (d). ¿Cómo es T.V.M. [c, d]?
T.V.M. [c, d] = →
→positiva, ya que f(d) – f(c) > 0
y d– c> 0.
Página 305
3.Halla la T.V.M. de la función y = x
2
– 8x+ 12 en los intervalos [1, 2], [1, 3],
[1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8].
T.V.M. [1, 2] = = = –5
T.V.M. [1, 3] = = = –4
T.V.M. [1, 4] = = = –3
T.V.M. [1, 5] = = = –2
T.V.M. [1, 6] = = = –1
T.V.M. [1, 7] = = = 0
T.V.M. [1, 8] = = = 1
12 – 5
7
f(8) – f(1)
8 – 1
5 – 5
6
f(7) – f(1)
7 – 1
0 – 5
5
f(6) – f(1)
6 – 1
–3 – 5
4
f(5) – f(1)
5 – 1
–4 – 5
3
f(4) – f(1)
4 – 1
–3 – 5
3
f(3) – f(1)
3 – 1
0 – 5
1
f(2) – f(1)
2 – 1
f(d) – f(c)
d– c
f(b) – f(a)
b– a
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
3
f (a)
f (b)
ba
f (d)
f (c)
dc

458. 4.Halla la T.V.M. de y= x
2
– 8x+ 12 en el intervalo variable [1, 1 + h]. Com-
prueba, dando a h los valores adecuados, que se obtienen los resultados del
ejercicio anterior.
T.V.M. [1, 1 + h] = = =
= = = h – 6
Dando a h los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio
anterior.
Página 308
1.Halla la derivada de y= 5x–x
2
en los puntos de abscisas 4 y 5.
f'(4) = = =
= = = =
= ( –h – 3) = –3
f'(5) = = =
= = ( –5 – h) = –5
2.Halla la derivada de y= en los puntos de abscisas 1, –1 y 5.
f'(1) = = =
= = = = –3
f'(–1) = = =
= = = = –
f'(5) = = =
= = = = –
1
3
–1
h + 3
lím
h → 0
3 – h – 3
h (h + 3)
lím
h → 0
[3/(h + 3)] – 1
h
lím
h → 0
[3/(5 + h – 2)] – 1
h
lím
h → 0
f(5 + h) – f(5)
h
lím
h → 0
1
3
1
h – 3
lím
h → 0
3 + h – 3
h (h – 3)
lím
h → 0
[3/(h – 3)] + 1
h
lím
h → 0
[3/(–1 + h – 2)] – (–1)
h
lím
h → 0
f(–1 + h) – f(–1)
h
lím
h → 0
3
h – 1
lím
h → 0
3 + 3h – 3
(h – 1) h
lím
h → 0
[3/(h – 1)] + 3
h
lím
h → 0
[3/(1 + h – 2)] – (–3)
h
lím
h → 0
f(1 + h) – f(1)
h
lím
h → 0
3
x– 2
lím
h → 0
(5 + h) (5 – 5 – h)
h
lím
h → 0
5 (5 + h) – (5 + h)
2
– 0
h
lím
h → 0
f(5 + h) – f(5)
h
lím
h → 0
lím
h → 0
h(–h – 3)
h
lím
h → 0
–h
2
– 3h
h
lím
h → 0
20 + 5h – 16 – h
2
– 8h – 4
h
lím
h → 0
5 (4 + h) – (4 + h)
2
– 4
h
lím
h → 0
f(4 + h) – f(4)
h
lím
h → 0
h (h – 6)
h
h
2
– 6h
h
(1 + h)
2
– 8 (1 + h) + 12 – 5
h
f(1 + h) – f(1)
h
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
4

459. 3.Halla la derivada de y= en los puntos de abscisas –2, –1, 1 y 2.
f'(–2) = = =
= = =
f'(–1) = = =
= = = –1
f'(1) = = =
= = = –1
f'(2) = = =
= = = =
4.Halla la derivada de y= x
2
– 2xen los puntos de abscisas –2, –1, 0, 1, 2, 3 y 4.
f'(–2) = = =
= = = = –6
f'(–1) = = =
= = = = –4
f'(0) = = = = –2
f'(1) = = =
= = = 0
h
2
h
límh → 0
1 + h
2
+ 2h – 2 – 2h + 1
h
lím
h → 0
(1 + h)
2
– 2 (1 + h) – (–1)
h
lím
h → 0
f(1 + h) – f(1)
h
lím
h → 0
h (h – 2)
h
lím
h → 0
h
2
– 2h – 0
h
lím
h → 0
f(0 + h) – f(0)
h
lím
h → 0
h (h – 4)
h
lím
h → 0
h
2
– 4h
h
lím
h → 0
1 + h
2
– 2h + 2 – 2h – 3
h
lím
h → 0
(–1 + h)
2
– 2(–1 + h) – 3
h
lím
h → 0
f(–1 + h) – f(–1)
h
lím
h → 0
h (h – 6)
h
lím
h → 0
h
2
– 6h
h
lím
h → 0
4 + h
2
– 4h + 4 – 2h – 8
h
lím
h → 0
(–2 + h)
2
– 2(–2 + h) – 8
h
lím
h → 0
f(–2 + h) – f(–2)
h
lím
h → 0
–1
4
–1
4 + 2h
lím
h → 0
h
h·(4 + 2h)
lím
h → 0
(2 – 2 – h)/2·(2 + h)
h
lím
h → 0
[1/(2 + h)] – (1/2)
h
lím
h → 0
f(2 + h) – f(2)
h
lím
h → 0
–1
1 + h
lím
h → 0
(1 – 1 – h)
h(1 + h)
lím
h → 0
[1/(1 + h)] – 1
h
lím
h → 0
f(1 + h) – f(1)
h
lím
h → 0
1
h – 1
lím
h → 0
h/(h – 1)
h
lím
h → 0
[1/(–1 + h)] – (–1)
h
lím
h → 0
f(–1 + h) – f(–1)
h
lím
h → 0
–1
4
1
2h – 4
lím
h → 0
h/(–4 – 2h)
h
lím
h → 0
[1/(–2 + h)] – (–1/2)
h
lím
h → 0
f(–2 + h) – f(–2)
h
lím
h → 0
1
x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
5

460. f'(2) = = =
= = = = 2
f'(3) = = =
= = = = 4
f'(4) = = =
= = = = 6
Página 309
1.Halla la derivada de f(x) = 5x– x
2
y comprueba que, a partir de ella, se pue-
den obtener los valores concretos hallados en el ejercicio resuelto 1 y en el
ejercicio 1 de la página anterior.
f'(x) = = =
= = =
= = ( –h – 2x+ 5) = –2x+ 5
Sustituyendo xpor los valores indicados, obtenemos:
f'(1) = 3 f'(0) = 5 f'(3) = –1 f'(4) = –3 f'(5) = –5
2.Halla la derivada de f(x) = x
3
.
f'(x) = = =
= = =
= = 3 x
2
3.Halla la derivada de f(x) = y comprueba que, a partir de ella, se pueden
obtener los valores concretos calculados en el ejercicio resuelto 2 y en el ejer-
cicio 2 de la página anterior.
3
x– 2
h(h
2
+ 3xh + 3x
2
)
h
lím
h → 0
h
3
+ 3xh
2
+ 3x
2
h
h
lím
h → 0
x
3
+ 3x
2
h + 3xh
2
+ h
3
– x
3
h
límh → 0
(x+ h)
3
– x
3
h
límh → 0
f(x+ h) – f(x)
h
lím
h → 0
lím
h → 0
h(–h – 2x+ 5)
h
lím
h → 0
–h
2
– 2xh + 5h
h
lím
h → 0
5x+ 5h – x
2
– h
2
– 2xh – 5x+ x
2
h
límh → 0
5(x+ h) – (x+ h)
2
– (5x– x
2
)
h
lím
h → 0
f(x+ h) – f(x)
h
lím
h → 0
h (h + 6)
h
lím
h → 0
h
2
+ 6h
h
lím
h → 0
16 + h
2
+ 8h – 8 – 2h – 8
h
lím
h → 0
(4 + h)
2
– 2 (4 + h) – 8
h
lím
h → 0
f(4 + h) – f(4)
h
lím
h → 0
h (h + 4)
h
lím
h → 0
h
2
+ 4h
h
lím
h → 0
9 + h
2
+ 6h – 6 – 2h – 3
h
lím
h → 0
(3 + h)
2
– 2 (3 + h) – 3
h
lím
h → 0
f(3 + h) – f(3)
h
lím
h → 0
h (h + 2)
h
lím
h → 0
h
2
+ 2h
h
lím
h → 0
4 + h
2
+ 4h – 4 – 2h
h
lím
h → 0
(2 + h)
2
– 2 (2 + h) – 0
h
lím
h → 0
f(2 + h) – f(2)
h
lím
h → 0
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
6

461. f'(x) = = =
= = =
= = =
Sustituyendo xpor los valores indicados, obtenemos:
f'(4) = – f'(1) = –3 f'(–1) = – f'(5) = –
4.Halla la función derivada de y= x
3
+ x
2
.
f'(x) = = =
= =
= = (3 x
2
+ 3xh + h
2
+ 2x+ h) = 3x
2
+ 2x
Página 311
Halla la función derivada de las siguientes funciones:
1.f(x) = 3x
2
– 6x+ 5
f'(x) = 6x– 6
2.f(x) = +
f'(x) = +
3.f(x) = +
f'(x) = +
4.f(x) =
f(x) = x
–3/2
→ f'(x) = –x
–5/2
= =
5.f(x) = sen x cos x
f'(x) = cos
2
x– sen
2
x
–3
2x
2
√x
–3
2√x
5
3
2
1
x√x
5
3
3
√5x
1
√2x
3
√5x√2x
1
3
3
√x
2
1
2√x
3
√x√x
lím
h → 0
h(3x
2
+ 3xh + h
2
+ 2x+ h)
h
lím
h → 0
x
3
+ 3x
2
h + 3xh
2
+ h
3
+ x
2
+ 2xh + h
2
– x
3
– x
2
h
límh → 0
(x+ h)
3
+ (x+ h)
2
– (x
3
+ x
2
)
h
lím
h → 0
f(x+ h) – f(x)
h
lím
h → 0
1
3
1 33 4
–3
(x– 2)
2
–3
(x– 2) (x+ h – 2)
lím
h → 0
–3h
h(x– 2) (x+ h – 2)
lím
h → 0
3x– 6 – 3x– 3h + 6
h(x– 2) (x+ h – 2)
lím
h → 0
3(x– 2) – 3(x+ h – 2)
h(x– 2) (x+ h – 2)
lím
h → 0
3/(x+ h – 2) – 3/(x– 2)
h
lím
h → 0
f(x+ h) – f(x)
h
lím
h → 0
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
7

462. 6.f(x) = tg x
f'(x) = 1 + tg
2
x=
7.f(x) = x e
x
f'(x) = e
x
+ x e
x
= e
x
(1 + x)
8.f(x) = x· 2
x
f'(x) = 2
x
+ x· 2
x
· ln2 = 2
x
(1 + x ln2)
9.f(x) = (x
2
+ 1) · log
2
x
f'(x) = 2x log
2
x+ (x
2
+ 1) · · = 2 x log
2
x+
10.f(x) =
f'(x) = = =
11.f(x) =
f'(x) = = = 2 x+ 3 –
12.f(x) =
f'(x) = =
Página 312
Halla la función derivada de las siguientes funciones:
13.f(x)= sen(x
2
– 5x+ 7)
f'(x) = (2x– 5) cos(x
2
– 5x+ 7)
14.f(x) = = (5 x+ 3)
2/3
f'(x) = (5x+ 3)
–1/3
· 5 =
10
3
3
√5x+ 3
2
3
3
√(5x+ 3)
2
1 – ln10 log x
x
2
ln10
[1/(ln10)] – log x
x
2
log x
x
3
x
2
2x
3
+ 3x
2
– 3
x
2
(3x
2
+ 6x– 5)x– (x
3
+ 3x
2
– 5x+ 3)
x
2
x
3
+ 3x
2
– 5x+ 3
x
–4x
(x
2
– 1)
2
2x
3
– 2x– 2x
3
– 2x
(x
2
– 1)
2
2x(x
2
– 1) – (x
2
+ 1) 2x
(x
2
– 1)
2
x
2
+ 1
x
2
– 1
(x
2
+ 1)
x ln2
1
ln2
1
x
1
cos
2
x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
8

463. 15.f(x)= sen(3x+ 1) · cos(3x+ 1)
f'(x) = 3 [cos
2
(3x+ 1) – sen
2
(3x+ 1)]
16.f(x)=
f(x) = → f'(x) =
17.f(x)= cos(3x– π)
f'(x) = –3 sen(3x– π)
18.f(x)=
f'(x) =
19.f(x)= x e
2x+ 1
f'(x) = e
2x+ 1
+ x e
2x+ 1
· 2 = e
2x+ 1
(1 + 2x)
20.f(x)=
f'(x) = =
=
Página 313
1.Calcula la función derivada de f(x) = x
3
– 4x
2
+ 1 y halla:
a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas –1, 1 y 3.
b) Las ecuaciones de dichas rectas tangentes.
c) Las abscisas de los posibles máximos y mínimos relativos.
d) ¿Es f(x) creciente o decreciente en x= 2?
f'(x) = 3x
2
– 8x
a) 11, –5 y 3
b)y= 11 (x+ 1) – 4; y= –5(x– 1) – 2; y= 3 (x– 3) – 8
c)f'(x) = 0 → x= 0, x= 8/3
d)f'(2) = –4 < 0 → decreciente
2x(1 – x
2
) cos(x
2
+ 1) + x sen(x
2
+ 1)
√(1 – x
2
)
3
2x√
—
1 – x
2
cos(x
2
+ 1) + [x sen(x
2
+ 1)]/√
—
1 – x
2
1 – x
2
sen(x
2
+ 1)
√1 – x
2
1
√1 + 2x
√1 + 2x
2 (1 – ln10 log x)
x
2
ln10
2 log x
x
log x
2
x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

464. Página 315
1.Representa estas funciones:
a) y= 2x
3
– 3x
2
– 12x+ 8
b) y= –3x
4
+ 4x
3
+ 36x
2
– 90
c) y= x
4
+ 4x
3
a)f'(x) = 6x
2
– 6x– 12 = 0 → x
1
= –1, x
2
= 2
Máximo en (–1, 15).
Mínimo en (2, –12).
b)f'(x) = –12x
3
+ 12x
2
+ 72x= –12x(x
2
– x– 6) = 0
x= 0
x= = =
Máximo en (–2, –26) y en (3, 99).
Mínimo en (0, –90).
c)f'(x) = 4x
3
+ 12x
2
= 4x
2
(x+ 3) = 0
Mínimo en (–3, –27).
Punto de inflexión en (0, 0).
f(x) = 0 → x
3
(x+ 4) = 0
Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–4, 0)
Página 317
1.Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la pági-
na anterior:
a) y = b) y = c) y =
x
2
x
2
+ 1
x
2
+ 3x
x+ 1
x
2
+ 3x+ 11
x+ 1
x= 0
x= –4
x= 0
x= –3
x= 3
x= –2
1 ± 5
2
1 ±√1 + 24
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
10
10
20
–20
24–4–2
–10
100
200
–200
24–4–2
–100
20
40
–40
24–4–2
–20

465. d) y= e) y= f) y=
a)f'(x) = = =
= = 0 → x
1
= 2, x
2
= –4
Máximo en (–4, –5).
Mínimo en (2, 7).
Asíntota vertical: x= –1
Asíntota oblicua: y= x+ 2
b)f'(x) = = =
= ≠0
Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (–3, 0)
Asíntota vertical: x= –1
Asíntota oblicua: y= x+ 2
c)f'(x) = = = → x= 0
Mínimo en (0, 0).
Asíntota horizontal: y= 1
d)f'(x)= → x= 0
Máximo en (0, 1).
Asíntota horizontal: y= 0
–2x
(x
2
+ 1)
2
2x
(x
2
+ 1)
2
2x
3
+ 2x– 2x
3
(x
2
+ 1)
2
2x(x
2
+ 1) – x
2
· 2x
(x
2
+ 1)
2
x
2
+ 2x+ 3
(x+ 1)
2
2x
2
+ 2x+ 3x+ 3 – x
2
– 3x
(x+ 1)
2
(2x+ 3) (x+ 1) – (x
2
+ 3x)
(x+ 1)
2
x
2
+ 2x– 8
(x+ 1)
2
2x
2
+ 2x+ 3x+ 3 – x
2
– 3x– 11
(x+ 1)
2
(2x+ 3) (x+ 1) – (x
2
+ 3x+ 11)
(x+ 1)
2
x
2
– 1
x
2
x
2
+ 2
x
2
– 2x
1
x
2
+ 1
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
11
10
20
–20
48–8–4
–10
10
20
–20
48–8–4
–10
1
2
–2
24–4–2
–1
1
2
–2
24–4–2
–1

466. e)f'(x) = = =
= = 0 → x= =
Máximo en (0,73; –2,73).
Mínimo en (–2,73; 0,73).
Asíntotas verticales: x= 0, x= 2
Asíntota horizontal: y= 1
f)• Dominio = ç– {0}
•Asíntota vertical:
x= 0 es asíntota vertical
•Asíntota horizontal:
y= = 1 – ;y= 1 es asíntota horizontal
Cuando x→–∞, y< 1; y cuando x→+∞, y< 1.
Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota.
•Puntos singulares:
f'(x) = = = =
f'(x) ≠0 →f(x) no tiene puntos singulares
Observamos que f'(x) < 0 si x< 0; y que f'(x) > 0 si x> 0. Luego la fun-
ción es decreciente en (–∞, 0) y es creciente en (0, +∞).
•Corta al eje xen (–1, 0) y (1, 0).
•Gráfica:
2
x
3
2x
x
4
2x
3
– 2x
3
+ 2x
x
4
2x·x
2
– (x
2
– 1)·2x
x
4
1
x
2
x
2
– 1
x
2







x
2
– 1
lím
—= –∞
x→ 0
–x
2
x
2
– 1
lím
—= –∞
x→ 0
+x
2
x
1
= 0,73
x
2
= –2,73
–2 ±√12
2
–2x
2
– 4x+ 4
(x
2
– 2x)
2
2x
3
– 4x
2
– 2x
3
+ 2x
2
– 4x+ 4
(x
2
– 2x)
2
2x(x
2
– 2x) – (x
2
+ 2) (2x– 2)
(x
2
– 2x)
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
12
2
4
–4
24–4–2
–2
2
24
y = 1
–4–2
–4
–2
–6

467. Página 322
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos:
a) [–2, 0]
b) [0, 2]
c) [2, 5]
a) T.V.M. [–2, 0] = = = 1
b) T.V.M. [0, 2] = = = –
c) T.V.M. [2, 5] = = =
2Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [1, 3] e
indica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo:
a) f(x) = 1/x b) f(x) = (2 – x)
3
c) f(x) = x
2
– x + 1 d) f(x) = 2
x
☛ Si la T.V.M. es positiva, la función crece.
T.V.M. [1, 3] = =
a) T.V.M. [1, 3] = = –→ Decrece
b) T.V.M. [1, 3] = = –1 → Decrece
c) T.V.M. [1, 3] = = 3 → Crece
d) T.V.M. [1, 3] = = 3 → Crece
3Dada la función f(x) =x
2
–1, halla la tasa de variación media en el interva-
lo [2, 2 + h].
T.V.M. [2, 2 + h] = = = h + 4
4 + h
2
+ 4h – 1 – 3
h
f(2 + h) – f(2)
h
8 – 2
2
7 – 1
2
–1 – 1
2
1 31/3 – 1
2
f(3) – f(1)
2
f(3) – f(1)
3 – 1
1
3
1 – 0
3
f(5) – f(2)
5 – 2
3
2
0 – 3
2
f(2) – f(0)
2 – 0
3 – 1
2
f(0) – f(–2)
0 + 2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
13
25–2
0

468. 4Comprueba que la T.V.M. de la función f(x)=–x
2
+5x–3 en el intervalo
[1, 1 + h] es igual a –h + 3.
Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [1, 2], [1; 1,5], utilizando la
expresión anterior.
T.V.M. [1, 1 + h] = = =
= 3 – h = –h + 3
T.V.M. [1, 2] = 2
T.V.M. [1; 1,5] = 2,5
5Compara la T.V.M. de las funciones f(x) = x
3
y g(x)= 3
x
en los intervalos
[2, 3] y [3, 4] y di cuál de las dos crece más en cada intervalo.
Para f(x): T.V.M. [2, 3] = 19
T.V.M. [3, 4] = 37
Para g(x): T.V.M. [2, 3] = 18
T.V.M. [3, 4] = 54
En [2, 3] crece más f(x).
En [3, 4] crece más g(x).
6Aplicando la definición de derivada, calcula f'(–2) y f'(3), siendo:
f(x)=
f'(–2) = = = =
= =
f'(3) = = = =
= =
7Halla la derivada de las siguientes funciones en x= 1, utilizando la defini-
ción de derivada:
a) f(x) = 3x
2
– 1 b) f(x) = (2x+ 1)
2
c) f(x) = 3/x d) f(x) = 1/(x+ 2)
2
5
2 5
lím
h → 0
6 + 2h – 3 – 3
5h
lím
h → 0
2 (3 + h) – 33
—————— – —55
h
f(3 + h) – f(3)
h
lím
h → 0
2
5
2 5
lím
h → 0
–4 + 2h – 3 – 7
5h
lím
h → 0
2(–2 + h) – 37
——————– – —55
h
f(–2 + h) – f(–2)
h
lím
h → 0
2x– 3
5
–(1 + h
2
+ 2h) + 5 + 5h – 3 – 1
h
f(1 + h) – f(1)
h
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
14

469. a)f'(1) = = =
= = =
= = 6
b)f'(1) = = =
= = = = 12
c)f'(1) = = = = –3
d)f'(1) = = =
= = –
8Halla el valor del crecimiento de f(x) = (x–3)
2
en los puntos x = 1 y x = 3.
f'(x) = 2 (x– 3)
f'(1) = –4; f'(3) = 0
9Halla la pendiente de la tangente a la curva y=x
2
–5x+ 1 en el punto de
abscisa x=–2.
f'(x) = 2x– 5; m= f'(–2) = –9
10Halla la pendiente de la tangente a la curva y=4x–x
2
en el punto de abs-
cisa x= 2.
f'(x) = 4 – 2x; f'(2) = 0
11Comprueba que la función y= x
2
– 5x+ 1 tiene un punto de tangente hori-
zontal en x= 2,5.
f'(x) = 2x– 5 = 0 → x= 2,5
12Comprueba, utilizando la definición, que la función derivada de las siguien-
tes funciones es la que se indica en cada caso:
a) f(x) = 5x→ f'(x) = 5 b) f(x) = 7x
2
→ f'(x) = 14x
c) f(x) = x
2
+ x→ f'(x) = 2x+ 1 d) f(x) = → f'(x) =
–3
x
2
3
x
1 93 – h – 3
3 (h + 3) h
lím
h → 0
11
————— – —1 + h + 2 3
h
lím
h → 0
f(1 + h) – f(1)
h
lím
h → 0
3 – 3 – 3h
h (1 + h)
lím
h → 0
3/(1 + h) – 3
h
lím
h → 0
f(1 + h) – f(1)
h
lím
h → 0
h (4h + 12)
h
lím
h → 0
4h
2
+ 9 + 12h – 9
h
lím
h → 0
(2h + 3)
2
– 9
h
lím
h → 0
(2 (1 + h) + 1)
2
– 9
h
lím
h → 0
f(1 + h) – f(1)
h
lím
h → 0
h (3h + 6)
h
lím
h → 0
3 + 3h
2
+ 6h – 3
h
lím
h → 0
3 (1 + h
2
+ 2h) – 3
h
lím
h → 0
3 (1 + h)
2
– 1 – 2
h
lím
h → 0
f(1 + h) – f(1)
h
lím
h → 0
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
15

470. a)f'(x) = = = =
= = 5
b)f'(x) = = =
= = =
= = 14 x
c)f'(x) = = =
= = =
= = 2 x+ 1
d)f'(x) = = =
= = = =
= = =
13Sabiendo que la derivada de f(x) = es f'(x) = , responde:
a) ¿Cuál es la ecuación de la tangente en x= 1?
b) ¿Tiene fpuntos de tangente horizontal?
c) ¿Es creciente o decreciente en x= 4?
a)m= f'(1) = ; g(1) = 1
La recta es: y= (x– 1) + 1 = x– + 1 = x+
b) No, puesto que f'(x) ≠0
c)f'(4) = = > 0 → Es creciente en x= 4.
1
4
1
2√4
1 21 21 21 21 2
1 2
1
2√x
√x
–3
x
2
–3
x(x+ h)
lím
h → 0
–3h
hx(x+ h)
lím
h → 0
–3h
—————x(x+ h)
h
lím
h → 0
3x– 3x– 3h
——————x(x+ h)
h
lím
h → 0
3x– 3(x+ h)
———————x(x+ h)
h
lím
h → 0
33
———– —x+ hx
h
lím
h → 0
f(x+ h) – f(x)
h
lím
h → 0
h (h + 2x+ 1)
h
lím
h → 0
h
2
+ 2xh + h
h
lím
h → 0
x
2
+ h
2
+ 2xh + x+ h – x
2
– x
h
lím
h → 0
(x+ h)
2
+ (x+ h) – (x
2
+ x)
h
lím
h → 0
f(x+ h) – f(x)
h
lím
h → 0
h (7h + 14x)
h
lím
h → 0
7h
2
+ 14xh
h
lím
h → 0
7(x
2
+ h
2
+ 2xh) – 7x
2
h
límh → 0
7(x+ h)
2
– 7x
2
h
límh → 0
f(x+ h) – f(x)
h
lím
h → 0
5h
h
lím
h → 0
5x+ 5h – 5x
h
lím
h → 0
5(x+ h) – 5x
h
lím
h → 0
f(x+ h) – f(x)
h
lím
h → 0
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
16

471. 14Halla los puntos singulares de la función y=2x
3
–3x
2
+ 1, de la que cono-
cemos su derivada y'= 6x
2
– 6x.
y'= 0 → x= 0, x= 1. Puntos (0, 1) y (1, 0).
Reglas de derivación
Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que
se indican:
15y= 2x
3
+ 3x
2
– 6; x= 1
y'= 6x
2
+ 6x; y'(1) = 12
16y= cos(2x+ π); x= 0
y'= –2 sen(2x+ π); y'(0) = 0
17y= + ; x= –
y'= ; y'
(
–)
=
18y= ; x= 0
y'= ; y'(0) = –7
19y= sen+ cos; x= π
y'=
(
cos – sen )
; y'(π) = –
20y= ; x= –1
y= 2 (x+ 3)
–3
→ y'= –6(x+ 3)
–4
=
y'(–1) = =
21y= + x
2
– ; x= 2
y'= x
2
+ 3x–; y'(2) =
23
2
1 23 2
x
2
3 2x
3
2
–3
8
–6
16
–6
(x+ 3)
4
2
(x+ 3)
3
1
2
x
2
x
2
1 2
x
2
x
2
–7
(7x+ 1)
2
1
7x+ 1
1
3
17
3
1 3
17
3
√2
x
3
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
17

472. 22y= ; x= 8
y'= ; y'(8) = –
Página 323
23y= x sen(π– x); x=
y'= sen(π– x) + x cos(π– x) · (–1) = sen(π– x) – x cox(π– x)
y'
()
= 1
24y= (5x– 2)
3
; x=
y'= 15 (5x– 2)
2
; y'()
= 15
25y= ; x= 3
y'= ; y'(3) = –
Halla la función derivada de estas funciones:
26a) y= b) y= (x
2
– 3)
3
a) y'= b) y'= 6x(x
2
– 3)
2
27a) y= b) y=
a) y'= 1 (si x≠0) b) y'=
28a) y= b) y= sen
a) y'= b) y'=
cos√x
2√x
2
3
3
√(x+ 6)
√x
3
√(x+ 6)
2
x
√x
2
+ 1
√x
2
+ 1
x
3
– x
2
x
2
e
x
+ e
–x
2
e
x
+ e
–x
2
5
2
–10
(x– 5)
2
x+ 5
x– 5
1
5
1 5
π
2
π
2
1
16
–1
2√(x – 4)
3
1
√x– 4
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 18

473. 29a) y= b) y= 7
x+ 1
· e
–x
a) y= –3 (1 – x
2
)
–1/2
; y'= (1 – x
2
)
–3/2
· (–2x) =
b) y'= 7
x+ 1
· ln7 · e
–x
+ 7
x+ 1
· e
–x
· (–1) = 7
x+ 1
· e
–x
(ln7 – 1)
30a) y= + b) y= ln3x+ e
√
—
x
a) y'= + b) y'= + e
√
—
x
= +
31a) y=
()
2
b) y= e
2x
· tg x
a) y'= 2
()
· = · =
b) y'= 2e
2x
tg x+ e
2x
(1 + tg
2
x) = e
2x
(2 tg x+ 1 + tg
2
x) = e
2x
(1 + tg x)
2
32a) y= b) y= cos
2
x+ e
sen x
a)y'= = = =
=
b) y'= 2 cos x (–sen x) + e
sen x
· cos x= cos x(–2 sen x+ e
sen x
)
33a) y= b) y=
()
3
· e
1 – x
a) y= ()
1/2
→ y'= ()
–1/2
· =
=
()
1/2
· = · · =
=
b) y'= 3
()
2
· e
1 – x
+ ()
3
· e
1 – x
· (–1) = x
2
e
1 – x
– x
3
e
1 – x
=
= e
1 – x
(3 – x) =
x
2
(3 – x) e
1 – x
8
x
2
8
1
8
3 8x
2
1 2x
2
x
4
– 12x
2
2√x
3
(x
2
– 4)
x
4
– 12x
2
√(x
2
– 4)
3
1
√x
3
1
2
3x
4
– 12x
2
– 2x
4
(x
2
– 4)
2
x
2
– 4
x
3
1
2
3x
2
(x
2
– 4) – x
3
· 2x
(x
2
– 4)
2
x
3
x
2
– 4
1
2
x
3
x
2
– 4
x
2√
x
3
x
2
– 4
x
3
– 3x
2
(x– 1)
3
3x
3
– 3x
2
– 2x
3
(x– 1)
3
3x
2
(x– 1) – 2x
3
(x– 1)
3
3x
2
(x– 1)
2
– x
3
· 2(x– 1)
(x– 1)
4
x
3
(x– 1)
2
2x(1 – x
2
)
(1 + x
2
)
3
1 – x
2
(1 + x
2
)
2
2x
(1 + x
2
)
1 + x
2
– x· 2x
(1 + x
2
)
2
x
1 + x
2
x
1 + x
2
e
√
—
x
2√x
1
x
1
2√x
3
3x
1
3
–1
3x
2
x
3
1
3x
–3x
√(1 – x
2
)
3
3
2
–3
√1 – x
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 19

474. 34a) y= sen b) y= log
a) y'= 0
b) y= log x
2
– log(3 – x) = 2 log x– log(3 – x)
y'= +
35a) y= tg
3
x
2
b) y=
a) y'= 3 tg
2
x
2
(1 + tg
2
x
2
) · 2x= 6x tg
2
x
2
(1 + tg
2
x
2
)
b) y'=
36a) y= arc sen b) y= arc tg(x
2
+ 1)
a) y'= · = =
b) y'= · 2x=
37a) y= arc cos b) y= arc tg
a) y'= · = =
b) y'= · = =
38a) y= b) y= arc cos e
–x
a) y'= · =
b) y'= · e
–x
· (–1) =
e
–x
√1 – e
–2x
–1
√1 – e
–2x
1
2 (1 + x
2
)√arc tg x
1
(1 + x
2
)
1
2√arc tg x
√arc tg x
1
√x(4 + x)
1
4√x(1 + (x/4))
1
4√x
1
1 + (√x/2)
2
1
x√x
2
– 1
1/x
2
√1 – 1/x
2
–1
x
2
–1
√1 – (1/x)
2
√x
2
1
x
2x
1 + (x
2
+ 1)
2
1
1 + (x
2
+ 1)
2
2x
√9 – x
4
2x/3
√1 – x
4
/9
2x
3
1
√1 – (x
2
/3)
2
x
2
3
1
2x√ln x
√ln x
1
(3 – x) ln10
2
x ln10
x
2
3 – x
3π
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
20

475. 39a) y= b) y= arc tg ()
a) y'= · (
1 + )
= · ()
= =
= =
b) y'= · =
= · =
= · = =
= = = =
PARA RESOLVER
40
Los coches, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 20% cada
año, aproximadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coche desde que
se compró hasta 12 años más tarde. Calcula lo que se deprecia el coche en
los dos primeros años, entre los años 4 y 6, y entre los años 8 y 10. ¿Es cons-
tante la depreciación?
Depreciación: [0, 2] → 9 000 €
[4, 6] → 3 500 €
[8, 10] → 1 500 €
La depreciación no es constante.
–1
x
2
+ 1
–2
2(x
2
+ 1)
–2
2x
2
+ 2
–2
1 + x
2
+ 2x+ 1 + x
2
– 2x
–2
(1 + x)
2
+ (1 – x)
2
–2
(1 + x)
2
(1 + x)
2
(1 + x)
2
+ (1 –x)
2
–1 – x– 1 + x
(1 + x)
2
1
1 + [(1 – x)
2
/(1 + x)
2
]
–1 (1 + x) – (1 – x)
(1 + x)
2
1
1 + [(1 – x)/(1 + x)]
2
2√x+ 1
4√x
2
+ x√
—
x
2√x+ 1
4
√x(x+ √
—
x)
2√x+ 1
4√x· √
—
x+ √
—
x
2√x+ 1
2√x
1
2√x+ √
—
x
1
2√x
1
2√x+ √
—
x
1 – x
1 + x
√x+√
—
x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 21
1
10
20
2345678910 TIEMPO (en años)
VALOR (en miles de euros)
11

476. 41Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones:
a) y = 3x
2
– 2x+ 1 b) y = x
3
– 3x
a) y'= 6x– 2 = 0 → x= . Punto
(
, )
b) y'= 3x
2
– 3 = 0 → x= –1, x= 1. Puntos (–1, 2) y (1, –2)
42Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y=x
2
– 5x+ 6 en el punto
de abscisa x= 2.
y'= 2x– 5; m= y'(2) = –1, y(2) = 0
La recta es y= –(x– 2) = 2 – x
43Escribe la ecuación de la tangente a y=–x
2
+2x+ 5 en el punto de abscisa
x=–1.
y'= –2x+ 2; m= y'(–1) = 4, y(–1) = 2
La recta es y= 4 (x+ 1) + 2 = 4x+ 6
44Escribe la ecuación de la tangente a y=x
2
+4x+ 1, cuya pendiente sea
igual a 2.
y'= 2x+ 4 = 2 → x= –1; y(–1) = –2
La recta es y= 2 (x+ 1) – 2 = 2x
45Halla la ecuación de la tangente a la curva y= en x = 0.
y'= ; m= y'(0) = , y(0) = 1
La recta es y= x+ 1
46La tasa de variación media de una función f(x) en el intervalo [3, 3 + h] es
igual a . ¿Cuál es el crecimiento de esa función en x=3?
f'(3) = = 2
47Escribe las ecuaciones de las tangentes a la curva y= x
3
– 3xque sean pa-
ralelas a la recta 6x–y+10=0.
☛
La pendiente de la recta es el coeficiente de x cuando la y está despejada.
y'= 3x
2
– 3 = 6 → x= –, x= . Puntos: (–, 0)y (, 0)
Rectas: y= 6 (x+ ), y= 6 (x– )
√3√3
√3√3√3√3
2 – 3h
h + 1
lím
h → 0
2 – 3h
h+ 1
1 2
1 21
2√x+ 1
√x+ 1
2
3
1 31 3
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 22

477. 48Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y=4–x
2
en los puntos
de corte con el eje de abscisas.
Puntos de corte con el eje de abscisas: 4 – x
2
= 0 → x= 2, x= –2
Puntos (2, 0) y (–2, 0)
y'= –2x, y'(2) = –4, y'(–2) = 4
Las rectas son:• En x= –2, y= 4x+ 8
• En x= 2, y= –4x+ 8
Página 324
49Halla los puntos de tangente horizontal de la función y = x
3
– 3x
2
– 9x– 1.
y'= 3x
2
– 6x– 9 = 0 → x= –1, x= 3.
Puntos (–1, 4) y (3, –28).
50¿En qué puntos de y= 1/xla tangente es paralela a la bisectriz del segundo
cuadrante? ¿Existe algún punto de tangente horizontal en esa función?
y'= – = –1 → x= –1, x= 1. Puntos (–1, –1) y (1, 1).
No existe ningún punto de tangente horizontal, pues y'= = 0 no tiene solución.
51a)¿Cuál es la derivada de y = 2x– 8 en cualquier punto?
b)¿Cuánto ha de valer x para que la derivada de y = x
2
– 6x+ 5 sea igual a 2?
c)¿En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función y = x
2
– 6x+ 5
es paralela a la recta y = 2x+ 8?
a)y'= 2
b)y'= 2x– 6 = 2 → x= 4
c) En el punto (4, –3).
52¿En qué puntos la recta tangente a y=x
3
–4xtiene la pendiente igual a 8?
y'= 3x
2
– 4 = 8 → x= –2, x= 2
Puntos (–2, 0) y (2, 0).
53Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y= que son
paralelas a la recta 2x+y=0.
y'= = = –2 → (x– 1)
2
= 1 → x= 0, x= 2
En (0, 0), y= –2x
En (2, 4), y= –2(x– 2) + 4 = –2x+ 8
–2
(x– 1)
2
2(x– 1) – 2x
(x– 1)
2
2x
x– 1
1
x
2
1
x
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
23

478. 54Halla f'en los puntos de abscisas –3, 0 y 4.
☛
Halla las pendientes de las tangentes trazadas en esos
puntos.
f'(–3) = –3, f'(0) = , f'(4) = –2
55Indica, en la gráfica del ejercicio anterior, los puntos en los que la derivada
es cero.
En x= 1, ¿la derivada es positiva o negativa? ¿Y en x=3?
f'(x) = 0 en (–2, 2) y en (2, 7).
En x= 1 la derivada es positiva. En x= 3 es negativa.
56¿Existe algún punto en esta función en el que la derivada sea
negativa?
Compara los valores de f'(–2), f'(2) y f'(0).
No, pues es creciente.
f'(–2) < f'(0) < f'(2)
57La ecuación de la recta tangente a una función f(x) en el punto de abscisa
x = 2 es 4x–3y+1=0. ¿Cuál es el valor de f'(2)? ¿Y el de f(2)?
☛
Halla la pendiente de esa recta y ten en cuenta su relación con la derivada.
La recta tangente es y= ; su pendiente es = f'(2)
f(2) = 3
58Indica en cada una de estas funciones los valores de x en los que f'es po-
sitiva y en los que f'es negativa.
☛
Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si x < –1.
a)f'> 0 si x< –1
f'< 0 si x> –1
b)f'> 0 si x< 0
f'< 0 si x> 0
c)f'> 0 si x∈(–∞, –1) U (1, +∞)
f'< 0 si x∈(–1, 1)
4
3
4x+ 1
3
3 2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 24
–2 2
2
4
6
4
f
–2 2
2
4
–2
–2
2
–2 2
2
–2 2
2

479. 59Representa una función y = f(x) de la que sabemos:
• Es continua.
• f(x) = +∞; f(x) = –∞
• Tiene tangente horizontal en (–3,
2) y en (1, 5).
Indica si los puntos de tangente
horizontal son máximos o míni-
mos.
(–3, 2) es un mínimo.
(1, 5) es un máximo.
60De una función polinómica sabemos que:
• f(x) = +∞; f(x) = +∞
• Su derivada es 0 en (–2, 2) y en (2,–1).
• Corta a los ejes en (0, 0) y en (4, 0).
Represéntala gráficamente.
61Representa la función continua y = f(x) de la que sabemos:
• En los puntos (–1, –2) y (1, 2) la tangente es horizontal.
• Sus ramas infinitas son así:
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
25
1
2
–2
123–2–3 –1
–1

480. 62Comprueba que la función y = (x– 1)
3
pasa por los puntos (0, –1), (1, 0) y
(2, 1). Su derivada se anula en el punto (1, 0). ¿Puede ser un máximo o un
mínimo ese punto?
y'(x) = 3 (x– 1)
2
:y(0) = –1 → pasa por (0, –1)
y(1) = 0 → pasa por (1, 0)
y(2) = 1 → pasa por (2, 1)
y'(1) = 0
El punto (1, 0) no es ni máximo ni mínimo.
63Comprueba que la función y = tiene dos puntos
de tangente horizontal, (–1, –2) y (1, 2); sus asíntotas son
x=0 e y=x y la posición de la curva respecto de las
asíntotas es la de la derecha. Represéntala.
y= x+
y'= 1 – = = 0 → x= –1, x= 1
Puntos (–1, –2) y (1, 2).
f(x) = +∞; f(x) = –∞
Asíntota vertical en x= 0.
Asíntota oblicua en y= x
Página 325
64Comprueba que la función y= :
• Tiene derivada nula en (0, 0).
• La recta y = 2 es una asíntota horizontal.
• Posición de la curva respecto a la asíntota:
Si x → –∞, y < 2
Si x → +∞, y < 2
Represéntala.
2x
2
x
2
+ 1
lím
x→ 0
–
lím
x→ 0
+
x
2
– 1
x
2
1
x
2
1
x
x
2
+ 1
x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
26

481. •y'(x) = =
y'(0) = 0; y(0) = 0
• = 2
65Completa la gráfica de una función de la que sabemos
que tiene tres puntos de tangente horizontal:
(
–3, – )
(0, 0) y (
3, )
y que sus ramas infinitas son las representadas.
66En cada una de las siguientes funciones, halla los puntos de tangente ho-
rizontal y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mí-
nimos.
Represéntalas:
a)y = x
3
– 3x
2
b) y = x
3
– 3x+ 2
c)y = x
4
+ 4x
3
d) y = x
3
– 9x
2
+ 24x– 20
e) y = 12x– x
3
f) y = –x
4
+ x
2
g) y = x
5
– 6x
3
– 8x– 1 h) y = x
4
– 8x
2
+ 2
5
2
5 2
2x
2
x
2
+ 1
límx→ ±∞
4x
(x
2
+ 1)
2
4x(x
2
+ 1) – 2x(2x
2
)
(x
2
+ 1)
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
27
–2
1
2

482. a)y'= 3x
2
– 6x
y'(x) = 0 ⇔ 3x
2
– 6x= 0
(x
3
– 3x
2
) = –∞
(x
3
– 3x
2
) = +∞
b)y'= 3x
2
– 3
y'(x) = 0 ⇔ x= ±1
(x
3
– 3x+ 2) = –∞
(x
3
– 3x+ 2) = +∞
c)y'= 4x
3
+ 12x
2
y'(x) = 0 ⇔
⇔
(x
4
+ 4x
3
) = ( x
4
+ 4x
3
) = +∞lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
x= 0 → f(0) = 0 → (0, 0)
x= –3 → f(–3) = –27 → (–3, –27)



lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
f(1) = 0 → (1, 0)
f(–1) = 4 → (–1, 4)



lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
x= 0 → f(0) = 0 → (0, 0)
x= 2 → f(2) = –4 → (2, –4)



Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
28
y = x
3
– 3x
2
2
–2
–2–4–6 246
–4
–6
–8
–10
4
6
y = x
3
– 3x + 2
2
–2
–2–4–6 246
–4
4
6
y = x
4
+ 4x
3
5
–5
–2–4–6 246
–10
–15
–20
–25
10

483. d)y'= 3x
2
– 18x+ 24; y'(x) = 0 ⇔
⇔ x= = =
(x
3
– 9x+ 24x– 20) = –∞
(x
3
– 9x
2
+ 24x– 20) = +∞
e)y'= 12 – 3x
2
; y'(x) = 0 ⇔x= ±2
(12x– x
3
) = +∞
(12x– x
3
) = –∞
f)y'(x) = –4x
3
+ 2x; y'(x) = 0 ⇔
x= 0 → f(0) = 0 → (0, 0)
⇔
x= → f
()= → (, )
x= – → f (–)= → (–, )
(–x
4
+ x
2
) = –∞; ( –x
4
+ x
2
) = –∞
g)y'= 5x
4
– 18x
2
– 8; y'(x) = 0 ⇔
⇔
(x
5
– 6x
3
– 8x– 1) = –∞
(x
5
– 6x
3
– 8x– 1) = +∞lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
x= 2 → f(2) = –33 → (2, –33)
x= –2 → f(–2) = 31 → (–2, 31)



lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
1
4
√2
2
1 4√2
2
√2
2
1 4√2
2
1 4√2
2
√2
2
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
f(2) = 16 → (2, 16)
f(–2) = –16 → (–2, –16)



lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
f(4) = –4 → (4, –4)
f(2) = 0 → (2, 0)



4
2
6 ± 2
2
6 ±√36 – 32
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
29
y = x
3
– 9x
2
+ 24x – 20
246
–5
5
–20
–4–2
24–4–2
–5
–10
–15
5
10
15
y = 12x – x
3









y = –x
4
+ x
2
1–1
–1
1
5 15–5–10–15
–10
–20
–40
–30
20
30
40
y = x
5 – 6x
3 – 8x – 1
10
10

484. h)y'= 4x
3
– 16x; y'(x) = 0 ⇔
⇔
(x
4
– 8x
2
+ 2) = +∞
(x
4
– 8x
2
+ 2) = –∞
67Representa estas funciones hallando los puntos de tangente horizontal y
estudiando sus ramas infinitas:
a) y = x
3
– 2x
2
+ x b) y = –x
4
+ 2x
2
c) y = d) y =
e) y = f ) y =
a)y'= 3x
2
– 4x+ 1 = 0 → x= , x= 1
Puntos de tangente horizontal:
(
, )
, (1, 0)
(x
3
– 2x
2
+ x) = +∞
(x
3
– 2x
2
+ x) = –∞
b)y'= –4x
3
+ 4x= –4x(x
2
– 1) = 0 →
→ x= 0, x= 1, x= –1
Puntos de tangente horizontal:
(–1, 1), (0, 0) y (1, 1)
(–x
4
+ 2x
2
) = –∞
(–x
4
+ 2x
2
) = –∞lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
4
27
1 3
1 3
2x
2
x+ 2
x
(x+ 5)
2
1
x
2
– 3x+ 2
x
x
2
+ 5x+ 4
lím
x→ –∞
lím
x→ +∞
x= 0 → f(0) = 2 → (0, 2)
x= 2 → f(2) = –14 → (2, –14)
x= –2 → f(–2) = –14 → (–2, –14)





Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
30
2
2
4
6
46
y = x
4
– 8x
2
+ 2
1–1
–1
1
y = x
3
– 2x
2
+ x
y = –x
4
+ 2x
2
21–2–1
–1
–2
–3
1

485. c)y'= = = 0 → x= 2, x= –2
Puntos de tangente horizontal: (–2, 1),
(
2, )
= 0
= 0
d)y'= = 0 → x=
Puntos de tangente horizontal:
(
, –4)
= 0
= 0
e)y'= =
= = 0 → x= 5
Puntos de tangente horizontal:
(
5, )
= 0; = 0
x
(x+ 5)
2
lím
x→ –∞
x
(x+ 5)
2
lím
x→ +∞
1
20
5 – x
(x+ 5)
3
(x+ 5)
2
– x· 2(x+ 5)
(x+ 5)
4
1
x
2
– 3x+ 2
límx→ –∞
1
x
2
– 3x+ 2
límx→ +∞
3
2
3 2–(2x– 3)
(x
2
– 3x+ 2)
2
x
x
2
+ 5x+ 4
límx→ –∞
x
x
2
+ 5x+ 4
límx→ +∞
1
9
–x
2
+ 4
(x
2
+ 5x+ 4)
2
x
2
+ 5x+ 4 – x(2x+ 5)
(x
2
+ 5x+ 4)
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
31
y = —————
x
x
2
+ 5x + 4
1
12–2–1
–3–4 3
1
12–2–1
–1
–2
–3
–4
–5
2
–3 3
y = —————
1
x
2
– 3x + 2 (
—, – 4 )
3
2
y = ————
x
(x + 5)
2
2
24–4–2
–2
–4
–6
–6 6

486. f)y'= = = = 0 → x= 0, x= –4
Puntos de tangente horizontal:
(–4, –16), (0, 0)
= 2x– 4
(asíntota oblicua)
68Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente horizontal.
Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los
ejes:
a) y = b) y = c) y = + 4x d) y =
a)y'= ≠0
Los puntos de corte son:
(
0, – )
, (3, 0)
b)y'= ≠0
Los puntos de corte son:
(1, 0), (–1, 0)
x
2
+ 1
x
2
3
2
5
(x+ 2)
2
1
(x– 2)
2
x
3
3
x
2
– 1
x
x– 3
x+ 2
lím
x→ ±∞
2x(x+ 4)
(x+ 2)
2
2x
2
+ 8x
(x+ 2)
2
4x(x+ 2) – 2x
2
(x+ 2)
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 32
y = ———
2x
2
x + 2
5
24–2
–5
–10
–15
–20
10
15
–4–6 6
y = ———
x – 3
x + 2
2
4
6
–2
–4
2468–4–2–6–8–10
y = ———
x
2
– 1
x
4
2
6
–2
–4
–6
246–4–2–6

487. c)y'= x
2
+ 4 ≠0
El punto de corte es: (0, 0)
d)y'= ≠0
El punto de corte es:
(
0, )
69Estudia y representa las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f ) y =
g) y = h) y =
i) y = j) y =
a)y'=
Asíntotas verticales: x= –4, x= 4
Asíntotas horizontales: y= 0
No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tan-
gente horizontal.
–x
2
– 16
(x
2
– 16)
2
x
2
– 5
2x– 4
x
2
– x+ 1
x
2
+ x+ 1
x
2
(x– 2)
2
x
2
x
2
– 4x+ 3
x
2
1 – x
2
x
2
– 1
x+ 2
(x– 1)
2
x+ 2
x+ 2
x
2
– 6x+ 5
x
1 – x
2
x
x
2
– 16
1
4
–2
(x– 2)
3
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
33
y = — + 4x
x
3
3 5
–5
246–4–2–6
y = ————
1
(x – 2)
2
4
2
246–4–2
y = ————
x
x
2
– 16
4
2
6
–2
–4
–6
246–4–2–6
Y
X

488. b)y'=
Asíntotas verticales: x= 1, x= –1
Asíntotas horizontales: y= 0
No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tan-
gente horizontal.
c)y'=
Asíntotas verticales: x= 5, x= 1
Asíntotas horizontales: y= 0
No hay asíntotas oblicuas.
Sus puntos de tangente horizon-
tal son, aproximadamente:
(–6,58; –0,052), (2,58; –1,197)
d)y'=
Asíntotas verticales: x= –2
Asíntotas oblicuas: y= x– 4
No hay asíntotas horizontales.
Sus puntos de tangente horizon-
tal son:
(1, 0), (–5, 12)
x
2
+ 4x– 5
(x+ 2)
2
–x
2
– 4x+ 17
(x
2
– 6x+ 5)
2
x
2
+ 1
(1 – x
2
)
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
34
y = ———
x
1 – x
2

2
1
3
–1
–2
–3
123–2–1–3
Y
X
y = —————
x + 2
x
2
– 6x + 5
1
0,5
1,5
–0,5
–1
–1,5
2 4 6–4 –2–6
Y
X
y = ————
y = x – 4
(x – 1)
2
x

+ 2
10
5
15
–5
–10
–15
–20
2 4 6–4 –2–6
Y
X

489. e)y'=
Asíntotas verticales: x= –2
Asíntotas oblicuas: y= x– 2
No hay asíntotas horizontales.
Sus puntos de tangente horizon-
tal son, aproximadamente:
(–0,26; –0,54), (–3,73; –7,46)
f)y'=
Asíntotas verticales: x= 1, x= –1
Asíntotas horizontales: y= –1
No hay asíntotas oblicuas.
Sus puntos de tangente horizontal son:
(0, 0)
g)y'=
Asíntotas verticales: x= 3, x= 1
Asíntotas horizontales: y= 1
No hay asíntotas oblicuas.
Sus puntos de tangente horizon-
tal son:
(0, 0),
(
, –3)
3
2
–4x
2
+ 6x
(x
2
– 4x+ 3)
2
2x
(1 – x
2
)
2
x
2
+ 4x+ 1
(x+ 2)
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
35
y = ———
y = x – 2
x
2
– 1
x

+ 2
246–2–4–6
–2
–4
–6
2
4
6
X
Y
y = ———
x
2
1 – x

246–2–4–6
–2
–4
–6
2
4
X
Y
y = —————
x
2
x
2
– 4x + 3
246–2–4–6
–2
–4
–6
2
4
6
X
Y

490. h)y'= –
Asíntotas verticales: x= 2
Asíntotas horizontales: y= 1
No hay asíntotas oblicuas.
Sus puntos de tangente horizon-
tal son: (0, 0)
i)y'=
Asíntotas horizontales: y= 1
No hay asíntotas verticales ni oblicuas.
Sus puntos de tangente horizontal son:
(
1, )
, (–1, 3)
j)y'=
Asíntotas verticales: x= 2
Asíntotas oblicuas: y= + 1
No hay asíntotas horizontales ni puntos de
tangente horizontal.
70Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (0, 1) y que la
pendiente de la recta tangente en el punto (2,–1) vale 0.
☛
Llama a la función f(x)=ax
2
+ bx + c y ten en cuenta que f(0)= 1, f(2)=–1 y
f'(2)=0.
f(x) = ax
2
+ bx+ c
f'(x) = 2ax+ b
La función es f(x) = x
2
– 2x+ 1.
1
2
a= 1/2
b= –2
c = 1




f(0) = 1 → 1 = c
f(2) = –1 → –1 = 4a+ 2b+ c
f'(2) = 0 → 0 = 4a+ b
x
2
2x
2
– 8x+ 10
(2x– 4)
2
1
3
2x
2
– 2
(x
2
+ x+ 1)
2
4x
(x– 2)
3
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
36
y = ————
x
2
(x – 2)
2
246–2–4–6
2
4
6
X
Y
y = —————
x
2
– x + 1
x
2
+ x + 1
246–2–4–6
–2
–4
–6
2
4
6
X
Y
y = ———
x
2
– 5
2x – 4
246–2–4
–2
–4
2
4
6
X
Y

491. 71Halla el vértice de la parábola y=x
2
+6x+ 11 teniendo en cuenta que en
ese punto la tangente es horizontal.
f'(x) = 2x+ 6 = 0 → x= –3
Punto (–3, 2).
72Determina la parábola y=ax
2
+bx+c que es tangente a la recta y=2x–3
en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5,–2).
f(x) = ax
2
+ bx+ c
f'(x) = 2ax+ b
La función es f(x) = –x
2
+ 6x– 7.
73Halla el valor de x para el que las tangentes a las curvas y=3x
2
–2x+5 e
y=x
2
+6xsean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes.
6x– 2 = 2x+ 6 ⇒ x= 2
Para y= 3x
2
– 2x+ 5 la tangente en x= 2 es:
y= 10 (x– 2) + 13 → y= 10x– 7
Para y= x
2
+ 6xla tangente en x= 2 es:
y= 10 (x– 2) + 16 → y= 10x– 4
74Halla a, b y c en f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c de modo que la gráfica de f ten-
ga tangente horizontal en x=–4 y en x= 0 y que pase por (1, 1).
f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx+ c
f'(x) = 3x
2
+ 2ax+ b
La función es f(x) = x
3
+ 6x
2
– 6.
Página 326
75Halla la función derivada de las siguientes funciones:
a) y= 3
x
2
+ 1
b) y= 5
√
—
x
c) y= d) y=
e) y= f ) y= cos
3
(2x+ 1)
√sen x
x
ln x
e
x
+ e
–x
2
a= 6
b= 0
c = –6




f'(–4) = 0 → 48 – 8a+ b= 0
f'(0) = 0 → b= 0
f(1) = 1 → 1 + a+ b+ c= 1


y= 3x
2
– 2x+ 5 → y'= 6x– 2
y= x
2
+ 6x→ y'= 2x+ 6
a= –1
b= 6
c = –7




f(2) = 1 → 4a+ 2b+ c= 1
f'(2) = 2 → 4a+ b= 2
f(5) = –2 → 25a+ 5b+ c= –2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
37

492. a)y'= 3
x
2
+ 1
· 2x· ln3
b)y'= 5
√
—
x
· · ln5
c)y'=
d)y'= =
e)y'= · cos x=
f)y'= 3cos
2
(2x+ 1) · (–sen(2x+ 1)) · 2 = –6 cos
2
(2x+ 1) · sen(2x+ 1)
76Aplica las propiedades de los logaritmos para derivar las siguientes funciones:
a) y= ln b) y= ln
c) y= ln x e
–x
d) y= log
e) y= log(tg x)
2
f) y= ln x
x
a)y= ln(x
2
+ 1) – ln(x
2
– 1)
y'= – = =
b)y= [ln x– ln(x
2
+ 1)]
y'=
[
– ]
= []
=
c)y= ln x+ ln e
–x
= ln x– x
y'= – 1 =
d)y= 3 log(3x– 5) – log x
y'= 3 · · – · =
[
– ]
=
= · =
6x+ 5
ln10 (3x
2
– 5x)
9x– 3x+ 5
(3x
2
– 5x)
1
ln10
1
x
9
3x– 5
1
ln10
1
ln10
1
x
1
ln10
3
3x– 5
1 – x
x
1
x
1 – x
2
2x
3
+ 2x
x
2
+ 1 – 2x
2
x
3
+ x
1
2
2x
x
2
+ 1
1
x
1 2
1 2
–4x
x
4
– 1
2x
3
– 2x– 2x
3
– 2x
x
4
– 1
2x
x
2
– 1
2x
x
2
+ 1
(3x– 5)
3
x
√
x
x
2
+ 1
x
2
+ 1
x
2
– 1
cos x
2√sen x
1
2√sen x
(ln x) – 1
ln
2
x
ln x– x· 1/x
(ln x)
2
e
x
– e
–x
2
1
2√x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 38

493. e)y= 2 log(tg x)
y'= 2 · · =
f)y= x ln x
y'= ln x+ x· = ln x+ 1
77Dada la función f(x) = x
3
– 6x
2
+ 9x+ 4, obtén su función derivada y estu-
dia su signo. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
f? ¿Tiene fmáximo o mínimo?
f'(x) = 3x
2
– 12x+ 9 = 3 (x
2
– 4x+ 3) = 3 (x– 1) (x– 3)
f'(x) = 0 → x= 1, x= 3
f'(x) > 0 → (–∞, 1) U (3, +∞) → Intervalos de crecimiento.
f'(x) < 0 → (1, 3) → Intervalo de decrecimiento.
Máximo en (1, 8) y mínimo en (3, 4).
78Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 3x
3
– 18x+ 1.
f'(x) = 9x
2
– 18 = 9 (x
2
– 2)
f'(x) = 0 → x= , x= –
f'(x) > 0 → (–∞, –) U (, +∞) → f(x) creciente
f'(x) < 0 → (–, ) → f(x) decreciente
79Estudia el crecimiento y el decrecimiento de estas funciones analizando el sig-
no de su derivada:
a) y = b) y = x
2
– 5x+ 3
c) y = d) y = 1 + 2x– x
2
e) y = x
3
f) y = (x+ 1)
4
g) y = (2 – x)
5
h) y= (3 – x)
3
a)y'= . Creciente para todo x.
b)y'= 2x– 5. Decrece en
(
–∞, )
. Crece en (
, +∞)
.
c)y'= . Decrece en
(
–∞, )
. Crece en (
, +∞)
.
d)y'= 2 – 2x. Crece en (–∞, 1). Decrece en (1, +∞).
1
3
1 33x– 1
2
5 25 2
1 5
3x
2
– 2x+ 1
4
x– 3
5
√2√2
√2√2
√2√2
1
x
2 (1 + tg
2
x)
tg x· ln10
1
ln10
1 + tg
2
x
tg x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
39

494. e)y'= 3x
2
. Creciente para todo x≠0.
f)y'= 4 (x+ 1)
3
. Decrece en (–∞, –1). Crece en (–1, +∞).
g)y'= –5 (2 – x)
4
. Decreciente para todo x≠2.
h) y'= 3 (3 – x)
2
· (–1) = –3 (3 – x)
2
; y'< 0 para x≠3; y' = 0 en x= 3.
La función es decreciente.
CUESTIONES TEÓRICAS
80Calcula la T.V.M. de f(x) = 3x–2 en los intervalos [–1, 2], [1, 3] y [–3, 4].
Justifica por qué obtienes el mismo resultado.
T.V.M. [–1, 2] = = 3
T.V.M. [1, 3] = = 3
T.V.M. [–3, 4] = = 3
T.V.M. = 3 para todos. La función es una recta de pendiente 3.
81Dibuja una función que tenga derivada nula en x= 1 y en x=–1, derivada
negativa en el intervalo [–1, 1] y positiva para cualquier otro valor de x.
82Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f'(x) = 2x. ¿Cuántas existen?
Existen infinitas.
f(x) = x
2
+ k, donde xes cualquier número.
83Esta es la gráfica de la función y = x
3
.
Halla su tangente en x= 0 y comprueba que obtienes
la recta y= 0.
¿Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es la
tangente de esa curva en (0, 0)?
Porque la ecuación del eje de abscisas es y= 0.
10 + 11
7
7 – 1
2
4 + 5
3
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
40
2
1
–1
–1
1
2
12

495. 84 ¿Qué relación existe entre f y g?
¿Y entre f' y g'?
Son rectas paralelas (de igual pendiente).
85¿Existe algún punto de la función y= 4x– x
2
en que la tan-
gente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 0) y
(3, 3)? En caso afirmativo, hállalo.
4 – 2x= 1 → x=
Punto
(
, )
86Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola
y=ax
2
+ bx+ c es x= .
y'= 2ax+ b= 0 → x=
87Si f'(2) = 0, ¿cuál de estas afirmaciones es correcta?
a) La función ftiene máximo o mínimo en x=2.
b) La tangente en x= 2 es horizontal.
c) La función pasa por el punto (2, 0).
La correcta es la b).
88 Esta es la gráfica de la función derivada de f
1
.
a) ¿Tiene f
1
algún punto de tangente horizontal?
b) ¿Es creciente o decreciente?
Justifica tus respuestas.
a) Sí, en x= 2,3, puesto que f'
1
(2, 3) = 0
b) Si x< 2,3 es creciente, pues f'
1
> 0; y si x> 2,3 es decreciente, pues f'
1
> 0.
–b
2a
–b
2a
15
4
3 2
3 2

y'= 4 – 2x
Pendiente de la recta = 1


f= g+ 1
f'= g'
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
41
Y
X
f
g
0
4
4
2
2
Y
X
f'
1

496. Página 327
PARA PROFUNDIZAR
89Halla la derivada de f(x) = en el punto de abscisa 2 aplicando la defi-
nición.
f'(2) = = =
= = =
= = =
90Halla los puntos singulares de las siguientes funciones y estudia el creci-
miento y decrecimiento para decidir si son máximos o mínimos.
a) y= x e
x
b) y= c) y= e
–x
2
a)y'= (1 + x)e
x
= 0 → x= –1
Mínimo en
(
–1, – )
b)y'= = 0 → x= 1
Mínimo en
(
1, )
c)y'= –2x e
–x
2
= 0 → x= 0
Mínimo en (0, 1)
91Halla la ecuación de la tangente a la curva y=ln xque es paralela a la recta
y=3x–2.
y'= = 3 → x= ; f
()
= ln= –ln3
La recta es y= 3
(
x– )
– ln3 = 3x– 1 – ln3
92¿Cuáles son los puntos singulares de las funciones y=sen xe y= cos xen
el intervalo [0, 2π]?
y= sen x→ y'= cos x= 0 → x= , x=
3π
2
π
2
1 3
1 31 31 31
x


y'> 0 si x< 0 → Crece
y'< 0 si x> 0 → Decrece
1
e

y'> 0 si x< 1 → Crece
y'< 0 si x> 1 → Decrece
1 – x
e
x
1
e

y'< 0 si x< –1 → Decrece
y'> 0 si x> –1 → Crece
x
e
x
1
2
√
—
2
1
√
—
2 + √
—
2
límh → 0
1
√
—
2 + h + √
—
2
límh → 0
h
h
(√
—
2 + h + √
—
2 )
lím
h → 0
(√
—
2 + h – √
—
2 )(√
—
2 + h + √
—
2 )
h (√
—
2 + h + √
—
2 )
lím
h → 0
√2 + h – √
—
2
h
lím
h → 0
f(2 + h) – f(2)
h
lím
h → 0
√x
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 42

497. Máximo en (
, 1)
y mínimo en (
, –1)
.
y= cos x→ y'= –sen x= 0 → x= 0, x= π
Máximo en (0, 1) y mínimo en (π, –1).
93¿Tiene algún punto de tangente horizontal la función y= tg x?
No, puesto que y'= ≠0 para todo x.
94Estudia y representa las siguientes funciones:
a) y= b) y=
c) y= d) y=
a)y'= = ≠0
No hay puntos de tangente horizontal.
Puntos de corte con los ejes:
(, 0), (–, 0)
Dominio = ç – {0}
Asíntota vertical: x= 0
Asíntota oblicua: y= –2x
b)y'= = = = =
= = 0 → x= 0, x= –= –1,5
Mínimo en (–1,5; 2,25).
Punto de inflexión en (0, 0).
Puntos de corte con los ejes: (0, 0).
Dominio =
ç – {–1}
Asíntota vertical: x= –1
3
2
x
2
(2x+ 3)
3(x+ 1)
2
2x
3
+ 3x
2
3(x+ 1)
2
6x
3
+ 9x
2
9(x+ 1)
2
9x
3
+ 9x
2
– 3x
3
9(x+ 1)
2
3x
2
· 3(x+ 1) – x
3
· 3
9(x+ 1)
2
√2√2
–2x
2
– 4
x
2
–4x
2
– 4 + 2x
2
x
2
x
4
– 2x
2
x
2
– 1
4 + 2x
2
– x
3
x
2
x
3
3(x+ 1)
4 – 2x
2
x
1
cos
2
x
3π
2
π
2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
43
2
4
–4
24–4–2
–2
Y
X
2
4
–4
24–4–2
–2
Y
X

498. c)y'= = =
= =
= = 0 → x= –2
Mínimo en (–2, 5).
Dominio =
ç – {0}
Asíntota vertical: x= 0
Asíntota oblicua: y= 2 – x
d)y'= = =
= = = 0 → x= 0
Mínimo en (0, 0).
Puntos de corte con los ejes:
(0, 0),
(, 0), (–, 0)
Dominio = ç – {–1, 1}
Asíntotas verticales: x= –1, x= 1
95Calcula el punto de corte de las tangentes a las curvas f(x) = x
2
– 5x+ 1 y
g(x) = en x=1.
Recta tangente a f(x) = x
2
– 5x+ 1 en x= 1:
f'(x) = 2x– 5; f'(1) = –3; f(1) = –3
y= –3(x– 1) – 3 = –3x+ 3 – 3 = –3x
Recta tangente a g(x) = en x= 1:
g'(x) = ; g'(1) = –1; g(1) = 1
y= –1(x– 1) + 1 = –x+ 1 + 1 = –x+ 2
Punto de corte:
–3x= –x+ 2; –2x= 2; x= –1; y= 3
El punto de corte es (–1, 3).


y= –3x
y= –x+ 2
–1
x
2
1
x
1
x
√2√2
2x(x
4
– 2x
2
+ 2)
(x
2
– 1)
2
2x[2x
4
+ 2 – 4x
2
– x
4
+ 2x
2
]
(x
2
– 1)
2
4x(x
2
– 1)
2
– 2x(x
4
– 2x
2
)
(x
2
– 1)
2
(4x
3
– 4x) (x
2
– 1) – (x
4
– 2x
2
) 2x
(x
2
– 1)
2
–x
3
– 8
x
3
4x
2
– 3x
3
– 8 – 4x
2
+ 2x
3
x
3
(4x– 3x
2
)x – (4 + 2x
2
– x
3
)2
x
3
(4x– 3x
2
)x
2
– (4 + 2x
2
– x
3
)2x
x
4
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
44
4
6
24–4–2
–4
8
Y
X
2
4
24–4–2
–2
–4
Y
X

499. 96Halla los polinomios de segundo grado que pasan por el origen de coorde-
nadas y tienen un mínimo en x= –. ¿Cuál de ellos pasa por el punto (5, 4)?
f(x) = ax
2
+ bx+ c; f'(x) = 2ax+ b
f(0) = 0 → c= 0
f'
(
–)
= 0 → –a+ b= 0 → b= a; a> 0 (para que sea mínimo).
Son los polinomios de la forma f(x) = ax
2
+ ax, con a> 0.
El que pasa por (5, 4) será:
f(5) = 4 → 25a+ 5a= 4; 30a= 4; a= =
f(x) = x
2
+ x
97Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x),
en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierte, x,
en miles de euros, por medio de la siguiente expresión:
R(x) = –0,001x
2
+ 0,04x+ 3,5
a) ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabi-
lidad?
b) ¿Qué rentabilidad se obtendrá?
a)R'(x) = –0,002x+ 0,04 = 0 → x= 20
Se deben invertir 20 000 €.
b)R(20) = 3,9
Se obtendrán 3 900 €de rentabilidad.
98El coste total de fabricación de qunidades de cierto artículo es:
C(q) = 3q
2
+ 5q+ 75 dólares
El coste medio por unidad es M(q) = .
a) ¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad
sea mínimo?
b) Calcula C(q) y M(q) para el valor de qque has hallado en el apartado a).
a)M(q) =
M'= = =
= = 0 → q
2
= 25 → q= 5 unidades
Se deben fabricar 5 unidades.
b)C(5) = 175; M(5) = 35
3q
2
– 75
q
2
6q
2
+ 5q– 3q
2
– 5q–75
q
2
(6q+ 5)q– (3q
2
+ 5q+ 75)
q
2
3q
2
+ 5q+ 75
q
C(q)
q
2
15
2
15
2
15
4
30
1 2
1 2
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 45

500. 99La función f(x) = indica los beneficios obtenidos por una empresa
desde que comenzó a funcionar (f(x) en miles de euros, xen años, x=0 in-
dica el momento de constitución de la empresa).
a) Haz una representación gráfica aproximada de la función teniendo en
cuenta el dominio válido en el contexto del problema.
b) ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál
es ese beneficio?
c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? ¿Es posible que llegue un
momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas? Razona la respuesta.
a)f'(x) = = = = 0 →
→ x= 3 (x= –3 no está en el dominio)
Máximo en (3, 10)
f(x) = 0 → asíntota horizontal: y= 0
La gráfica sería:
b) Beneficio máximo en x= 3 → A los 3 años.
El beneficio sería f(3) = 10 miles de euros.
c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pér-
didas, pues f(x) = 0 y f(x) > 0 para todo x > 0.
PARA PENSAR UN POCO M ÁS
100Averigua qué función y= f(x) cumple las siguientes condiciones:
a) Su derivada es f'(x) = 3x
2
+ 4x+ 5.
b) Pasa por el punto (–2, 6).
f(x) = x
3
+ 2x
2
+ 5x+ k, donde kes constante.
Hallamos el valor de kteniendo en cuenta que:
f(–2) = 6 → –8 + 8 – 10 + k= 6 → k= 16
Por tanto:
f(x) = x
3
+ 2x
2
+ 5x+ 16
lím
x→ +∞
–60x
2
+ 540
(x
2
+ 9)
2
60x
2
+ 540 – 120x
2
(x
2
+ 9)
2
60 (x
2
+ 9) – 60x· 2x
(x
2
+ 9)
2
60x
x
2
+ 9
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
46
2
26
4
6
8
10
48 10 1412 1618

501. 101La ecuación de un movimiento es e= t
2
– 6t+ 9, t≥3 (e= recorrido en me-
tros, t= tiempo en segundos).
Halla la ecuación de un movimiento uniforme (velocidad constante) que en
el instante t= 5 está en el mismo lugar y con la misma velocidad que el an-
terior.
Representa ambas ecuaciones en un diagrama e–t.
Llamamos a la función buscada f(t) = at+ b
Ha de cumplir que f(5) = e(5) y que f'(5) = e'(5)
Como:
f'(t) = a, e'(t) = 2t– 6
tenemos que:
Luego: f(t) = 4t– 16
Las gráficas serían:
Página 328
RESUELVE TÚ
Dejamos mil moscas en una isla en la que no había ninguna y en la cual hay con-
diciones para que vivan, a lo sumo, 600 000. Cada día, el número de moscas au-
menta el 2%.
a) Expresa el crecimiento según el modelo exponencial, como si no hubiera li-
mitación.
b) Expresa el crecimiento según el modelo logístico.
c) Compara el número de moscas que habría a los 10, 100, 150, 200, 250, 300 y
400 días según cada modelo y razona sobre las diferencias observadas.
a) La función exponencial que expresa el crecimiento de la población de moscas es
M
1
= 1 000·(1,02)
t
; ten días.
a= 4
b= –16


f(5) = e(5) → 5a+ b= 4
f'(5) = e'(5) → a= 4
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
47
1
13
2
–2
t
f (t)
e (t)
e
–1
3
4
5
24 56

502. b) El crecimiento, según el modelo logístico, será:
M
2
= 600 000· = 600 000· , ten días
c)
En los primeros días (0, 100 y 150) las diferencias son muy pequeñas. A partir de los
250 días se empieza a apreciar una mayor diferencia, siendo bastante grande al cabo
de los 300 días. A los 400 días el número de moscas, según el modelo exponencial,
no tiene nada que ver con el número de moscas que obtenemos según el modelo lo-
gístico (el nivel de saturación está alrededor de los 600 000 ejemplares).
1
1 + 599·(1,02)
–t
1
600 000
1 +
(
––––––––––– 1)
·(1,02)
–t
1 000
Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones
48
TIEMPOM
1
: MODELOM
2
: MODELO DIFERENCIA
(días) EXPONENCIAL LOG ÍSTICO M
1
– M
2
10 1 219 1 219 0
100 7 245 7 170 75
150 19 500 18 916 584
200 52 485 48 337 4 148
250 141 268 114 500 26 768
300 380 235 232 979 147 256
400 2 754 664 492 834 2 261 830

503. Página 332
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1
En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos variables que se
citan, haya relación funcional o relación estadística (correlación) y, en este últi-
mo caso, indicar si es positiva o negativa:
• En un conjunto de familias: estatura media de los padres-estatura media de los
hijos.
Correlación positiva.
•Temperatura a la que calentamos una barra de hierro-longitud alcanzada.
Funcional.
•Entro los países del mundo:volumen de exportación-volumen de importación
con España.
Correlación negativa.
• Entro los países del mundo:índice de mortalidad infantil-número de médicos
por cada 1 000 habitantes.
Correlación negativa.
• kWk consumidos en cada casa durante enero-coste del recibo de la luz.
Funcional.
• Número de personas que viven en cada casa-coste del recibo de la luz.
Correlación positiva.
•Equipos de fútbol:lugar que ocupan al finalizar la liga-número de partidos per-
didos.
Correlación positiva.
•Equipos de fútbol:lugar que ocupan al finalizar la liga-número de partidos ga-
nados.
Correlación negativa.
Página 333
Problema 2
En la siguente gráfica, cada punto corresponde a un chico. La abscisa es la estatu-
ra de su padre y la ordenada su propia altura.
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
1
DISTRIBUCIONES
BIDIMENSIONALES
13

504. a) Identifica a Guille y Gabriel, hermanos de buena estatura, cuyo padre es bajito.
b) Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es un gigantón.
c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las estaturas de estos 16 chi-
cos y las de sus padres?
a) Guille y Gabriel están representados por los puntos (160, 175) y (160; 177,5)
b) Sergio está representado por el punto (192,5; 172,5).
c) En general, sí.
Problema 3
Distintas personas lanzan hacia arriba una misma piedra de 2 kg de masa, que al-
canza más o menos altura según la fuerza con que ha sido impulsada. (La fuerza
actúa en un tramo de 1 m.)
a) ¿Qué altura, por encima de la mano, alcanzará la piedra si se impulsa con una
fuerza de 110 newton?
b) ¿Podríamos escribir una fórmula que dé directamente la altura que alcanza la
piedra, desde el momento en que se la suelta, en función de la fuerza con que
es impulsada hacia arriba?
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
2
ESTATURA HIJOS
ESTATURA
PADRES
190
180
170
160
160 170 180 190
ALTURA
(m)
FUERZA
(N)50
1
5
100
6
2
3
4
10

505. a) 4,5 m
b) Altura = – 1 para F ≥20
Obtención física de la fórmula:
La fórmula en la que se basa todo el desarrollo posterior es:
v=
donde v: Aumento de la velocidad en el tramo d.
a: Aceleración constante con la que se mueve el móvil.
d: Espacio que recorre con la aceleración a.
Así, la velocidad con que sale de la mano es:
v
s
= =
Además:
F= m(a+ g) → a= – g= – 10
Luego:
v
s
= 2 (
– 10)
=
Por otra parte, si se deja caer una piedra desde una altura h, adquiere una velocidad:
v
s
=
O bien, si se empuja una piedra hacia arriba de modo que salga con una velocidad
v
s
, alcanza una altura h.
En este caso:
v
s
= =
Igualando:
= → h= – 1
Para que h≥0, debe ser F≥20.
Página 335
1.Esta tabla muestra cómo se ordenan entre sí diez países A, B, C… según dos va-
riables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice de natalidad). Representa los
resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión y di cómo te pa-
rece la correlación.
F
20
√20h√F– 20
√20h√2 · 10 · h
√2gh
√F– 20
F
2
F
2
F
m
√2a√2a 1
√2ad
F
20
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
3
PAÍSESABCDEFGHI J
R.P.C.12345678910
I.N. 10695741382

506. La correlación es negativa y moderadamente alta (–0,62).
Página 337
1.Obtén mediante cálculos manuales los coeficientes de correlación de las distri-
buciones Matemáticas-Filosofía y Distancia-Número de encestes de la página
334. Hazlo también con una calculadora con
MODO LR.
Matemáticas-Filosofía:
–
x= = 6
–
y= = 5,25
σ
x
= = 2,45
σ
y
= = 1,92
σ
xy
= – 6 · 5,25 = 2,75
Por tanto: r= = 0,58
Distancia-Número de encestes:
–
x= = 4,5
–
y= = 4
σ
x
= = 2,29
σ
y
= = 3,71
σ
xy
= – 4,5 · 4 = –8
Por tanto: r= = –0,94
–8
2,29 · 3,71
80
8
√
238
– 4
2
8
√
204
– 4,5
2
8
32
8
36
8
2,75
2,45 · 1,92
411
12
√
375
– 5,25
2
12
√
504
– 6
2
12
63
12
72 12
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales 4
2
2
4
6
8
10
46810
12
I.N.
R.P.C.
x
i
y
i
x
i
2
y
i
2
x
i
y
i
191819
2 10 4 100 20
3693618
4 4 16 16 16
5 2 25 4 10
603600
714917
806400
36 32 204 238 80
x
i
y
i
x
i
2
y
i
2
x
i
y
i
22444
3592515
421648
4 7 16 49 28
5 5 25 25 25
6 4 36 16 24
6 6 36 36 36
7 6 49 36 42
7 7 49 49 49
8 5 64 25 40
10 5 100 25 50
10 9 100 81 90
72 63 504 375 411

507. Página 346
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1Para cada uno de los siguientes casos indica:
• Cuáles son las variables que se relacionan.
• Cuál es el colectivo de individuos que se estudia.
• Si se trata de una relación funcional o de una relación estadística.
• El signo de la correlación.
a) Familias: estatura media de los padres – estatura media de los hijos mayo-
res de 17 años.
b) Entre los países europeos: volumen de exportación – volumen de importa-
ción (con España).
c) Entre los países del mundo: índice de mortalidad infantil – número de mé-
dicos por cada 1 000 habitantes.
d) kW · h consumidos en cada casa de una ciudad durante el mes de
enero – coste del recibo de la luz.
e) Coste del recibo de la luz – número de personas que viven en cada casa.
Las variables que se relacionan están claras en todos los casos. El colectivo sobre el
que se hace el estudio también está claro salvo, acaso, en los apartados d) y e), en
qué es un grupo de casas (todas las de una barriada, una ciudad, un país…).
Solo hay relación funcional en d), el resto son relaciones estadísticas.
La correlación es positiva en a), d) y e), y es negativa en b) y c).
2a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bidi-
mensionales:
b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación
negativa?
c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión
analítica de la función que relaciona las dos variables?
d) Ordena de menor a mayor las correlaciones.
b) B y C tienen correlación positiva; A y D, negativa.
c) La A es relación funcional: y= 12 – 2x.
d) C, D, B, A (prescindiendo del signo).
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
5
A
5
10
5
10
B
5
10
5
10
C
5
10
5
10
D
5
10
5
10

508. 3Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12, 15, 17,
21, 22 y 25, tiene una correlación r= 0,99 y su recta de regresión es
y= 10,5 + 3,2x. Calcula
^
y(13),
^
y(20),
^
y(30),
^
y(100).
¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable y cuál no
se debe hacer?
Expresa los resultados en términos adecuados. (Por ejemplo:
^
y(13) = 52,1.
Para x= 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea próxi-
mo a 52.)
^
y(13) = 52,1;
^
y(20) = 74,5;
^
y(30) = 106,5;
^
y(100) = 330,5
Son fiables
^
y(13) e
^
y(20), porque 13 y 20 están en el intervalo de valores utiliza-
dos para obtener la recta de regresión.
^
y(30) es menos fiable, pues 30 está fuera del intervalo, aunque cerca de él.
^
y(100) es una estimación nada fiable, pues 100 está muy lejos del intervalo [12, 25].
4Los parámetros correspondientes a esta distribución bidimensional son:
–
x= 4,4
–
y= 4,9 σ
xy
= 3,67
σ
x
= 2,77 σ
y
= 2,31 r = 0,57
Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y sobre
X, y represéntalas junto con la nube de puntos.
m
yx
= = 0,48
Recta de regresión de Ysobre X:
y= 4,9 + 0,48 (x– 4,4) → y= 0,48x+ 2,79
m
xy
= = 0,69
Recta de regresión de Xsobre Y:
x= 4,4 + 0,69 (y– 4,9) → y= 1,45x– 1,48
σ
xy
σ
y
2
σ
xy
σ
x
2
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
6
x01233456789
y14624865369
2
X sobre Y
Y sobre X
2
4
6
8
10
46810
12
Y
X

509. 5Representa estos puntos y, sin efectuar cálcu-
los, contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación?
b) ¿Cómo son las dos rectas de regresión? Escribe su ecuación.
c) A la vista de la respuesta anterior, da el valor de m
yx
y el de m
xy
.
a) Los puntos están alineados todos ellos so-
bre la recta y= 12 – 2x. Por tanto, el coe-
ficiente de correlación es –1: r= –1.
b) Las dos rectas de regresión son coinciden-
tes. Su ecuación es y= 12 – 2x.
c) m
yx
= –2 (pendiente de la recta de regre-
sión de Ysobre X).
m
xy
= –1/2
6Calcula el coeficiente de correlación entre estas dos variables:
r= 0,5
7La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg y la de
sus estaturas, 170 cm.
Las desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm, respectivamente, y la covarianza
de ambas variables es 40.
a) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
b) Calcula la recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas.
c) ¿Cuánto estimas que pesará un individuo de 180 cm de estatura?
a)r= 0,8
b)y= 65 + 0,4 (x– 170) = 0,4x– 3 →
c)
^
y(180) = 69 kg
Página 347
PARA RESOLVER
8Estudia la correlación entre estas dos variables y explica el resultado:
r= 0,77
Hay una clara relación entre las dos variables.
x: estaturas en cm
y: pesos en kg



Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
7
x123456
y1086420
x: ALTITUD 365 450 350 220 150
y:
LITROS DE LLUVIA240 362 121 145 225
2
2
4
6
8
10
46810
12
Y
X
Esp. Hol. Gre. Ita. Irl. Fra. Din. Bél. Lux. Al. R.U.
ÍNDICE MORTALIDAD 7,4 8,2 8,7 9,4 9,4 10 10,8 11,1 11,3 11,6 11,8
MAYORES64 AÑOS11,3 11,6 13,2 13,6 10,7 15,4 14,5 14,4 13,5 15,3 15,3

510. 9De un muelle se cuelgan pesas y se obtienen los siguientes alargamientos:
Halla la recta de regresión de Y sobre X y estima el alargamiento que se
conseguirá con pesos de 100 g y de 500 g. ¿Cuál de las dos estimaciones es
más fiable?
r= 0,999; y= –0,01 + 0,051x
100 g → 5,09 cm
500 g → 25,49 cm (esta última es menos fiable).
10La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centíme-
tro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido:
a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por
cm
3
en función del tiempo.
b) ¿Qué cantidad de gérmenes por cm
3
es predecible encontrar cuando ha-
yan transcurrido 6 horas? ¿Es buena esa predicción?
a)y= 19,81 + 6,74x, donde: x→número horas, y→número de gérmenes
b)
^
y(6) = 60,25 ≈60 gérmenes.
Es una buena predicción, puesto que r= 0,999 (y 6 está cercano al intervalo de
valores considerado).
11En un depósito cilíndrico, la altura del agua que contiene varía conforme
pasa el tiempo según la siguiente tabla:
a) Halla el coeficiente de correlación lineal entre el tiempo y la altura e in-
terprétalo.
b) ¿Cuál será la altura del agua cuando hayan transcurrido 40 horas?
c) Cuando la altura del agua es de 2 m, suena una alarma. ¿Qué tiempo ha de
pasar para que avise la alarma?
a)r= –0,997. Hay una relación muy fuerte entre las dos variables, y negativa. A
medida que pasa el tiempo, la altura va bajando (se va consumiendo el agua).
b) La recta de regresión es y= 19,37 – 0,26x, donde: x→tiempo, y→altura.
^
y(40) = 8,97 m
c) 2 = 19,37 – 0,26x→x= 66,8 h
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
8
x: MASA DE LA PESA(g) 0 10 30 60 90 120 150 200 250 350
y:
ALARGAMIENTO(cm) 0 0,5 1 3 5 6,5 8 10,2 12,5 18
N-º DE HORAS 012345
N-º DE GÉRMENES20 26 33 41 47 53
TIEMPO(h) 8 22273350
ALTURA(m) 17 14 12 11 6

511. 12En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad de
pescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fue-
ron los siguientes:
a) ¿Cuál es el precio medio registrado?
b) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo.
c) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kilo de esa especie si se pesca-
sen 2 600 kg.
a)
–
y= 1,51 euros
b)r= –0,97. La relación entre las variables es fuerte y negativa. A mayor cantidad
de pescado, menor es el precio por kilo.
c) La recta de regresión es y= 2,89 – 0,0005x
^
y(2 600) = 1,59 euros
Página 348
13Durante 10 días, hemos realizado mediciones sobre el consumo de un coche
(litros consumidos y kilómetros recorridos). Los datos obtenidos han sido
los siguientes:
a) Halla el coeficiente de correlación lineal y la recta de regresión de Yso-
bre X.
b) Si queremos hacer un viaje de 190 km, ¿qué cantidad de combustible de-
bemos poner?
a)r= 0,99; y= 0,157 + 0,066x
b)
^
y(190) = 12,697 litros. Debemos poner, como mínimo, unos 13 litros.
14En una zona de una ciudad se ha tomado una muestra para estudiar el nú-
mero de habitaciones de que dispone un piso y el de personas que viven en
él, obteniéndose estos datos:
a) Representa la nube de puntos.
b) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación.
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
9
x(kg) 2 000 2 400 2 500 3 000 2 900 2 800 3 160
y(euros/kg)1,80 1,68 1,65 1,32 1,44 1,50 1,20
x (km) 100 80 50 100 10 100 70 120 150 220
y(l)6,5 6 3 6 1 7 5,5 7,5 10 15
N-º DE HABITACIONES2233444555
N-º DE PERSONAS 1223345456

512. a)
b)r= 0,88. Hay una correlación alta entre las dos variables.
15El consumo de energía “per cápita” en miles de kWh y la renta “per cápita”
en miles de euros de seis países de la U.E. son las siguientes:
a) Calcula la recta de regresión del consumo de energía (y) sobre la ren-
ta (x).
b) Indica el coeficiente de correlación entre el consumo y la renta.
c) ¿Qué predicción podemos hacer sobre el consumo de energía “per cápita”
de Grecia si su renta es de 4,4 miles de euros?
a)y= 0,8 + 0,4x
b)r= 0,93
c)
^
y(4,4) = 2,56 kWh
16La siguiente tabla relaciona el número atómico de varios metales de la mis-
ma fila en el sistema periódico (periodo 4), con su densidad:
Representa los puntos, calcula el coeficiente de correlación y halla la ecua-
ción de la recta de regresión. A partir de ella, estima la densidad del cromo
(Cr), cuyo número atómico es 24.
Haz otro tanto con la del escandio (Sc), de número atómico 21.
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
10
1
1
2
3
4
5
2345
6
6
N-º DE HABITACIONES
N-º DE PERSONAS
ALEMANIA BÉLGICA DINAMARCA ESPAÑA FRANCIA ITALIA
CONSUMO
(y) 5,7 5,0 5,1 2,7 4,6 3,1
RENTA(x) 11,1 8,5 11,3 4,5 9,9 6,5
ELEMENTO K Ca Ti V Mn Fe Co Ni
NÚMERO ATÓMICO 19 20 22 23 25 26 27 28
DENSIDAD(g/cm
3
) 0,86 1,54 4,5 5,6 7,11 7,88 8,7 8,8

513. r= 0,98
^
y= –16,5 + 0,93x
^
y(24) = 5,86
^
y(21) = 3,06
Las densidades del Cr y del Sc son, aproximadamente, 5,86 y 3,01. (Los valores rea-
les de estas densidades son 7,1 y 2,9.)
17La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflación
en 1987 fue:
a) Representa la nube de puntos.
b) Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de inflación.
c) ¿Se puede estimar la tasa de inflación a partir del IPC?
r= –0,24. La nube de puntos es muy dispersa. No se puede estimar de forma fia-
ble la tasa de inflación a partir del IPC (pues res muy bajo).
Página 349
CUESTIONES TEÓRICAS
18El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87. Si
los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficiente de
correlación de esta nueva distribución?
El mismo, puesto que rno depende de las unidades; es adimensional.
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
11
19
1
2
3
8
21 23 25 27
4
5
6
7
9
N-º ATÓMICO
DENSIDAD
ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO
IPC
0,7 1,1 1,7 2 1,9 1,9
TASA DE INFLACIÓN 6 6 6,3 6,2 5,8 4,9
0,5
4,5
6
1 1,5 2 2,5
5
5,5
6,5
I.P.C.
TASA DE INFLACIÓN

514. 19Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado
negativa. Justifica por qué podemos afirmar que, tanto el coeficiente de
correlación como las pendientes de las dos rectas de regresión, son núme-
ros negativos.
Hay que tener en cuenta que r= ; m
yx
= ; m
xy
= y que σ
x
≥0,
σ
y
≥0 siempre.
Luego r, m
yx
, m
xy
tienen el mismo signo que σ
xy
. (Además, suponemos σ
x
,
σ
y
≠0.)
20¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión?
El centro de gravedad de la distribución, (
–
x,
–
y).
21¿Qué condición debe cumplir rpara que las estimaciones hechas con la
recta de regresión sean fiables?
rdebe estar próximo a 1.
22Prueba que el producto de los coeficientes de regresión m
yx
y m
xy
es igual
al cuadrado del coeficiente de correlación.
m
yx
· m
xy
= · = ()
2
= r
2
23De una distribución bidimensional (x, y) conocemos los siguientes resultados:
• Recta de regresión de Ysobre X: y= 8,7 – 0,76x
• Recta de regresión de Xsobre Y: y= 11,36 – 1,3x
a) Calcula el centro de gravedad de la distribución.
b) Halla el coeficiente de correlación.
El centro de gravedad, (
–
x,
–
y), es el punto de corte entre las dos rectas:
8,7 – 0,76x= 11,36 – 1,3x
0,54x= 2,66
x= 4,93
y= 4,95
a) El centro de gravedad es (
–
x,
–
y) = (4,93; 4,95).
b) Para hallar rtenemos en cuenta el ejercicio anterior:
r
2
= m
yx
· m
xy
= –0,76 · = 0,58 → r= 0,76
1
–1,3


y= 8,7 – 0,76x
y= 11,36 – 1,3x
σ
xy
σ
x
σ
y
σ
xy
σ
y
2
σ
xy
σ
x
2
σ
xy
σ
y
2
σ
xy
σ
x
2
σ
xy
σ
x
σ
y
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales 12

515. 24La estatura media de 100 escolares de cierto curso de E.S.O. es de 155 cm con
una desviación típica de 15,5 cm. La recta de regresión de la estatura respec-
to al peso es y= 80 + 1,5x(x: peso; y: estatura).
a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?
b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?
a) La recta de regresión es:
y=
–
y+ m(x–
–
x) = 155 + 1,5 (x–
–
x) = 155 + 1,5x– 1,5
–
x= (155 – 1,5
–
x) + 1,5x=
= 80 + 1,5x→ 155 – 1,5
–
x= 80 →
–
x= 50 kg
b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).
PARA PROFUNDIZAR
25En una muestra de 64 familias se han estudiado el nú-
mero de miembros en edad laboral, x, y el número de
ellos que están en activo, y. Los resultados son los de
la tabla. Calcula el coeficiente de correlación lineal en-
tre ambas variables e interprétalo.
r= 0,31. La relación entre las variables es débil.
26Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el
número de conciertos dados, durante el verano, por 15 grupos musicales y
las ventas de discos de estos grupos (expresados en miles de CDs):
a) Calcula el número medio de CDs vendidos.
b) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
c) Obtén la recta de regresión de Ysobre X.
d) Si un grupo musical vende 18 000 CDs, ¿qué número de conciertos se pre-
vé que dé?
x→ CDs; y→ Conciertos
a)
–
x= 9,6 ≈10
b)r= 0,814
c)y= 13,51 + 2,86x
d)
^
y(18) = 64,99 ≈65 conciertos
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales
13
1
2
3
4
6
1
10
12
16
0
2
2
5
8
0
3
0
1
4
x
y
1 – 5
5 – 10
10 – 20
3
1
0
0
4
1
0
1
5
10 – 30 30 – 40 40 – 80
CONCIERTOS
(y)CDs (x)

516. PARA PENSAR UN POCO MÁS
27Hemos obtenido 10 medidas de las variables Xe Ycorrespondientes a una
distribución bidimensional. A partir de esos datos, conocemos:
Σx
i
= 200 Σy
i
= 50 r= –0,75
I. Una de las siguientes rectas es la de regresión de Ysobre X. Di cuál de
ellas es, justificadamente:
a) y= –4,5 + 2,5x b) y= 35 – 1,5x
c) y= 9 – 0,7x e) y= –200 + 50x
II. Halla la recta de regresión de Xsobre Y.
I)
–
x= = = 20
–
y= = = 5
La recta de regresión pasa por (
–
x,
–
y). Además, el signo de rcoincide con el
signo de la pendiente de la recta de regresión; luego es la b):
y= 35 – 1,5x
II) Por el ejercicio 22, sabemos que:
m
yx
· m
xy
= r
2
→ m
xy
=
La pendiente de la recta de regresión de Xsobre Yes:
= = = –2,67
Luego la recta es:
y= 5 – 2,67 (x– 20) = 58,4 – 2,67x
–1,5
(–0,75)
2
m
yx
r
2
1
m
xy
r
2
m
yx
50 10
Σy
i
n
200
10
Σx
i
n
Unidad 13. Distribuciones bidimensionales 14

517. Página 351
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
×Calcula matemáticamente cuál es la probabilidad de que “no toque raya” en la
cuadrícula de 3 cm ×3 cm una moneda de 1 cm de diámetro.
׿De qué tamaño debe ser un disco para que la probabilidad de que “no toque
raya” en una cuadrícula de 4 cm ×4 cm sea de 0,2?
×En una cuadrícula de 4 cm ×4 cm dejamos caer 5 000 veces una moneda y con-
tabilizamos que “no toca raya” en 1 341. Estima cuál es el diámetro de la mone-
da.
×Sobre un suelo de losetas hexagonales de 12 cm de lado se deja caer un disco de
10 cm de diámetro. ¿Cuál es la probabilidad de que “no toque raya”?
×Área del cuadrado grande = 3
2
= 9 cm
2
Área del cuadrado pequeño = (3 – 1)
2
= 4 cm
2
P= ≈0,44
×Área del cuadrado grande = 4
2
= 16 cm
2
Área del cuadrado pequeño = (4 – d)
2
P= = 0,2 → (4 – d)
2
= 3,2 → 4 – d= ±1,8
4 – d= 1,8 → d= 2,2 cm
4 – d= –1,8 → d= 5,8 cm → No vale
Ha de tener un diámetro de 2,2 cm.
(4 – d)
2
16
4
9
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
1
CÁLCULO
DE PROBABILIDADES
14

518. ×Área del cuadrado grande = 4
2
= 16 cm
2
Área del cuadrado pequeño = (4 – d)
2
P= = 0,2682 =
(4 – d)
2
= 4,2912 → d= 1,93 cm
×Área del hexágono grande = = 374,4 cm
2
Perímetro = 72 cm
a= = 10,4 cm
Área del hexágono pequeño = = 101,088 cm
2
a'= a– r= 10,4 – 5 = 5,4 cm
l
2
– = (a')
2
; = 29,16 → l= 6,24 cm → Perímetro = 37,44 cm
P= = 0,27
Página 352
1.Numeramos con 1, 2, 3 y 4 las cuatro caras alargadas
de una regleta.
Dejamos caer la regleta y anotamos el número de la ca-
ra superior.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Escribe un suceso elemental y tres no elementales.
c) ¿Cuántos sucesos tiene esta experiencia?
a)E = {1, 2, 3, 4}
b) Elementales → {1}, {2}, {3}, {4}
No elementales → {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4},
{2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {Ø}
c) 2
4
= 16 sucesos
Página 353
1.Justifica gráficamente las siguientes igualdades: AU(BIC) = (AUB)I(AUC)
101,088
374,4
3l
2
4
l
2
4
37,44 · 5,4
2
√12
2
– 6
2
72 · 10,4
2
(4 – d)
2
16
1 341
5 000
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
2
a
12
12 cm
a'
l
ll/2
E B
C
A U (B I C)
(A U B) I (A U C)
A U B
A U C
A
B
C
A
E

519. 2.Justifica gráficamente la siguiente igualdad: A – B= AIB'
Página 357
1.Lanzamos un dado “chapucero” 1 000 veces. Obtenemos f(1) = 117, f(2) = 302,
f(3) = 38, f(4) = 234, f(5) = 196, f(6) = 113. Estima las probabilidades de las dis-
tintas caras. ¿Cuáles son las probabilidades de los sucesos
PAR,MENOR QUE6, {1, 2}?
P[1] = = 0,117 P[2] = 0,302 P[3] = 0,038
P[4] = 0,234 P[5] = 0,196 P[6] = 0,113
P[
PAR] = 0,302 + 0,234 + 0,113 = 0,649
P[
MENOR QUE6] = 1 – P[6] = 1 – 0,113 = 0,887
P[{1, 2}] = 0,117 + 0,302 = 0,419
2.¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dos da-
dos correctos?
P= =
3.¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferencia de
sus puntuaciones sea 2?
P= =
2
9
8
36
1 94
36
117
1 000
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
3
123456
1123456
224681012
3 3 6 9 12 15 18
44812162024
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
123456
1012345
2101234
3210123
4321012
5432101
6543210
A – B

A I B'
B'
A



E
B
A

E
B
A

520. Página 359
1.Observa las bolas que hay en la urna.
a) Completa el cuadro de doble entrada en el que se repar-
tan las bolas según el color (V, R, N) y el número (1, 2).
b) Calcula la probabilidad de
ROJO, NEGRO, VERDE, 1 y 2, sin más que observar la
composición de la urna.
c) Comprueba que las probabilidades obtenidas en b) se pueden obtener su-
mando filas o columnas del cuadro formado en a).
d) Calcula las probabilidades condicionadas: P[1/
ROJO], P[1/ VERDE], P[1/ NEGRO],
P[2/
ROJO], P[2/ VERDE], P[2/ NEGRO].
e) Di si alguno de los caracteres
ROJO, NEGRO, VERDEes independiente de 1 o de 2.
a)
b) y c)P[R] = = = 0,5 P[1] = = = 0,6
P[N] = = 0,3 P[2] = = = 0,4
P[V] = = = 0,2
d)P[1/R] = ; P[1/V] = 1; P[1/N] =
P[2/R] = ; P[2/V] = 0; P[2/N] =
e) No son independientes.
Página 360
1.Calcula la probabilidad de obtener tres CUATROSal lanzar tres dados.
P= · · =
()
3
= ≈0,0046
1
216
1 61 61 61 6
1 33 5
2 32 5
1 52
10
2 54
10
3
10
3 56
10
1 25
10
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
4
12221
11
2
11
VRN
12226
20314
25310
VRN
1
2
2
3
2

521. 2.Calcula la probabilidad de NINGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. (Cuatro veces NO
SEIS
).
P= · · · =
()
4
= 0,48
3.Calcula la probabilidad de obtener
ALGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. (ALGÚN SEIS
es el suceso contrario de NINGÚN SEIS ).
1 – P[
NINGÚN 6] = 1 – 0,48 = 0,52
4.Calcula la probabilidad de obtener
ALGÚN SEIS al lanzar seis dados.
P[
NINGÚN 6] = ()
6
= 0,335
P[
ALGÚN 6] = 1 – P[ NINGÚN 6] = 1 – 0,335 = 0,665
Página 361
5.Tenemos un dado y las dos urnas descritas. Lan-
zamos el dado. Si sale 1 ó 2, acudimos a la urna I.
Si sale 3, 4, 5 ó 6, acudimos a la urna II.
Extraemos una bola de la urna correspondiente.
a) Completa las probabilidades en el diagrama
en árbol.
b) Halla: P[{3, 4, 5, 6} y ], P[ /1], P[ /5] y P[2 y ].
a) Ver el ejemplo en la propia página 343.
b) · = , , y · = =
Página 363
1.Tenemos dos urnas. La experiencia con-
siste en extraer una bola de I, introducirla
en II, remover y extraer, finalmente, una
bola de II.
Calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea:
a) roja
b) verde
c) negra
2
10
12 606
10
2 63
10
6
10
12 603
10
4 6
5
6
5 65 65 65 65 6
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 5
6
2
6 4
(1,2)
(3,4,5,6)
I II

522. a) P[2-ª ] = + + = =
b) P[2-ª ] = + + = =
c) P[2-ª ] = + + =
Página 365
1.En el ejercicio propuesto del apartado anterior, calcula:
a) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de que
la primera también lo fuera? P[1-ª/2-ª]
b) Sabiendo que la segunda bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de que la
primera haya sido negra? P[1-ª/2-ª]
c)¿Cuál es la probabilidad de que la primera fuera verde siendo verde la se-
gunda? P[1-ª/2-ª]
a) P[1-ª /2-ª ] = = =
b) P[1-ª /2-ª ] = = =
c) P[1-ª /2-ª ] = = = =
2
3
6 96/30 9/30P[ y ]
P[2-ª]
1
8
1/30 8/30P[ y ]
P[2-ª]
3
13
3/30
13/30
P[ y ]
P[2-ª]
13
30
6
30
4
30
3
30
3
10
9
30
6
30
2
30
1
30
4
15
8
30
3
30
4
30
1
30
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 6
P [ y ] = — · — = —
1
6
3
5
3
30
P
[ y ] = — · — = —
1
6
1
5
1
30
P
[ y ] = — · — = —
1
6
1
5
1
30
P
[ y ] = — · — = —
2
6
2
5
4
30
P
[ y ] = — · — = —
2
6
2
5
4
30
P
[ y ] = — · — = —
2
6
1
5
2
30
P
[ y ] = — · — = —
3
6
2
5
6
30
P
[ y ] = — · — = —
3
6
1
5
3
30
P
[ y ] = — · — = —
3
6
2
5
6
30
3/5
1/5
1/5
2/5
1/5
1/6
3/6
2/6
2/5
2/5
2/5
1/5
II
II
II

523. Página 368
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son (1, C), (1, +),
(2, C)…
a) Describe el espacio muestral con los doce elementos de los que consta.
Sean los sucesos:
A= “Sacar uno o dos en el dado”
B= “sacar + en la moneda”
D= {(1, C), (2, +), (3, C), (3, +), (6, +)}
b) Describe los sucesos Ay B mediante todos los elementos.
c) Halla AUB, AIB, AUD'
a)E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C), (3, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C),
(6, +)}
b)A = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +)}
B= {(1, +), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
c)AU B= {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
AI B= {(1, +), (2, +)}
D'= {(1, +), (2, C), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
AU D'= {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
2Sea U= {a
1
, a
2
, a
3
} el espacio de sucesos elementales de un experimento
aleatorio. ¿Cuáles de estas funciones definen una función de probabilidad?
Justifica la respuesta.
a)P[a
1
] = 1/2 b) P[a
1
] = 3/4
P[a
2
] = 1/3 P[a
2
] = 1/4
P[a
3
] = 1/6 P[a
3
] = 1/4
c)P[a
1
] = 1/2 d) P[a
1
] = 2/3
P[a
2
] = 0 P[a
2
] = 1/3
P[a
3
] = 1/2 P[a
3
] = 1/3
a)P[a
1
] + P[a
2
] + P[a
3
] = + + = 1
Sí define una probabilidad, pues P[a
1
], P[a
2
] y P[a
3
] son números mayores o
iguales que cero, y su suma es 1.
1 61 31 2
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 7

524. b)P[a
1
] + P[a
2
] + P[a
3
] = + + = > 1
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede
ser mayor que 1.
c)P[a
1
] + P[a
2
] + P[a
3
] = + 0 + = 1
Sí define una probabilidad, pues P[a
1
], P[a
2
] y P[a
3
] son números mayores o
iguales que cero, y su suma es 1.
d)P[a
1
] + P[a
2
] + P[a
3
] = + + = > 1
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede
ser mayor que 1.
3Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos Ay B:
P[A] = 1/4, P[B] = 1/2, P[AUB] = 2/3
Dos sucesos Ay Bson incompatibles cuando P[AI B] = 0.
Como:
P[AU B] = P[A] + P[B] – P[AI B]
= + – P[AI B] ⇒ P[AI B] = ≠0
los sucesos Ay Bson incompatibles.
4Para ganar una mano de cartas debemos conseguir o bien
ASo bien OROS.
¿Qué probabilidad tenemos de ganar?
P[A
SU OROS] = P[A S] + P[O ROS] – P[A SI OROS] = + – =
5En familias de tres hijos, se estudia la distribución de sus sexos. Por ejemplo
(V, M, M) significa que el mayor es varón y los otros dos mujeres. ¿Cuántos
elementos tiene el espacio muestral E?
Describe los siguientes sucesos: A= “La menor es mujer”, B= “El mayor es
varón”. ¿En qué consiste AUB?
Etiene 2
3
= 8 elementos.
A= {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M)}
B= {(V, V, V), (V, V, M), (V, M, V), (V, M, M)}
AU B= “O bien la menor es mujer, o bien el mayor es varón” =
= {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M), (V, V, V), (V, M, V)}
13
40
1
40
10 404
40
1
12
1 21 42 3
4 31 31 32 3
1 21 2
5 41 41 43 4
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 8

525. 6Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la mayor de las puntuacio-
nes sea un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, un 6.
☛
Completa esta tabla y razona sobre ella.
En la tabla vamos anotando la mayor puntuación obtenida. Así:
P[La mayor de las puntuaciones sea un 1] =
P[La mayor de las puntuaciones sea un 2] = =
P[La mayor de las puntuaciones sea un 3] =
P[La mayor de las puntuaciones sea un 4] =
P[La mayor de las puntuaciones sea un 5] = =
P[La mayor de las puntuaciones sea un 6] =
7Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las
alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas. Calcula la
probabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser:
a) Alumna o que aprueba las matemáticas.
b) Alumno que suspenda las matemáticas.
c) Sabiendo que es alumno, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe las ma-
temáticas?
d)¿Son independientes los sucesos
ALUMNOy APRUEBA MATEMÁTICAS ?
☛
Haz una tabla de contingencia.
Hacemos la tabla de contingencia:
11
36
1 49
36
7
36
5
36
1
12
3
36
1
36
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
9
123 456
1 123 4 56
2223456
3 333 4 56
4 444 4 56
5 555 5 56
6 666 6 66
ALUMNOS ALUMNAS
APRUEBAN MAT
.10 5 15
SUSPENDEN MAT.10 5 15
20 10 30

526. a)P[alumna U aprueba mat.] = P[alumna] + P[aprueba mat.] –
– P[alumna I aprueba mat.] =
= + – = =
b)P[alumno I suspende mat.] = =
c)P[aprueba mat./alumno] = =
d) Hay que ver si:
P[alumno I aprueba mat.] = P[alumno] · P[aprueba mat.]
Calculamos cada una:
P[alumno I aprueba mat.] = =
P[alumno] = =
P[aprueba mat.] = =
Por tanto, sí son independientes.
8Se elige al azar un número entre el 1 000 y el 5 000, ambos incluidos.
Calcula la probabilidad de que sea capicúa (se lee igual de izquierda a dere-
cha que de derecha a izquierda). Razona la respuesta.
— Entre 1 000 y 5 000 hay 4 · 10 = 40 números capicúas (pues la primera cifra pue-
de ser 1, 2, 3 ó 4; la segunda, cualquier número del 0 al 9; la tercera es igual que
la segunda; y la cuarta, igual que la primera).
— Entre 1 000 y 5 000 hay 4 001 números en total. Por tanto, la probabilidad pedida
es:
P= ≈0,009997
9Di cuál es el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias
aleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, dilos todos, y si tiene mu-
chos, descríbelo y di el número total.
a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número.
b) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo.
c) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo de cada
una.
d) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado.
e) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras.
40
4 001
1 215 30
2 320 30
1 310 30
1 210 20
1 310 30
2 320 305
30
15 3010 30
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 10
P[alumno] · P[aprueba mat.] = · =
1
3
1 22 3








527. a)E= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12}
b)E= {
OROS, COPAS, ESPADAS, BASTOS}
c) Llamamos: O=
OROS; C= COPAS; E= ESPADAS; B= BASTOS.
Entonces:
E= {(O, O), (O, C), (O, E), (O, B), (C, O), (C, C), (C, E), (C, B), (E, O), (E,C),
(E,E), (E, B), (B, O), (B, C), (B, E), (B, B)}
d)Etiene 2
6
= 64 sucesos elementales. Cada suceso elemental está compuesto por
seis resultados que pueden ser cara o cruz:
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
)
x
i
puede ser cara o cruz. Por ejemplo:
(C, +, C, C, +, C) es uno de los 64 elementos de E.
e)E= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Página 369
PARA RESOLVER
10En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos y
las otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra, sin
reemplazamiento.
a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea
positivo.
b) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea
negativo.
Hacemos un diagrama en árbol:
a)P[⊕ ⊕] + P[––] = + = = 0,4
b)P[⊕–] + P[–⊕] = + = = 0,6
6
10
3
10
3
10
4
10
2
10
2
10
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
11
P [⊕ ⊕] = — · — = —
1
2
2
5
2
10
P [⊕ ] =
— · — = —
1
2
3
5
3
10
P [ ⊕] =
— · — = —
1
2
3
5
3
10
P [ ] =
— · — = —
1
2
2
5
2
10
2/5
1/2
1/2
3/5
3/5
2/5
⊕
⊕
⊕
−
−
−−
−
−
−

528. 11En cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene
los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños.
Se escoge una persona al azar:
a) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga
ojos castaños?
b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabellos casta-
ños?
c)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
☛
Usa una tabla como la siguiente:
Hacemos la tabla:
a) = = 0,375
b) = = 0,6
c) = = 0,5
12De los sucesos Ay Bse sabe que:
P[A] = ,P[B] = y P[A'IB' ] = .
Halla P[AU B] y P[AI B].
• P[A'I B'] = P[(AU B)'] = 1 – P[AU B]
= 1 – P[AU B] → P[AU B] =
• P[AU B] = P[A] + P[B] – P[AI B]
= + – P[AI B]
P[AI B] =
1
15
1 32 52 3
2 31 3
1 31 32 5
1 250
100
3 515 25
3 815 40
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 12
OJOS CAST.OJOS NO CAST.
CAB. CAST.15 40
CAB. NO CAST.
25 100
OJOS CAST.OJOS NO CAST.
CAB. CAST.15 2540
CAB. NO CAST.10 50 60
25 75 100

529. 13Sean Ay Bdos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que:
P[A] = 0,4, P[B] = 0,3 y P[AIB] = 0,1
Calcula razonadamente:
1) P[AUB] 2) P[A'UB']
3) P[A/B] 4) P[A'IB']
1)P[AU B] = P[A] + P[B] – P[AI B] = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6
2)P[A'U B'] = P[(AI B)'] = 1 – P[AI B] = 1 – 0,1 = 0,9
3)P[A/B] = = =
4)P[A'I B'] = P[(AU B)'] = 1 – P[AU B] = 1 – 0,6 = 0,4
14A, By Cson tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en función
de ellos los sucesos:
a) Se realiza alguno de los tres.
b) No se realiza ninguno de los tres.
c) Se realizan los tres.
d) Se realizan dos de los tres.
e) Se realizan, al menos, dos de los tres.
a) AU BU C
b) A'I B'I C'
c) AI BI C
d) (AI BI C') U (AI B'I C) U (A'I BI C)
e) (AI BI C') U (AI B'I C) U (A'I BI C) U (AI BI C)
15Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que en la segunda ti-
rada se obtenga un valor mayor que en la primera.
En total hay 36 posibles resultados. De estos, en 6 casos los dos números son igua-
les; y, en los otros 30, bien el primero es mayor que el segundo, o bien el segundo
es mayor que el primero (con la misma probabilidad).
Luego, hay 15 casos en los que el resultado de la segunda tirada es mayor que el
de la primera.
Por tanto, la probabilidad pedida es:
P= =
(
NOTA: también se puede resolver el problema haciendo una tabla como la del ejer-
cicio número 6 y contar los casos).
5
12
15 36
1 30,1 0,3P[AI B]
P[B]
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
13

530. 16Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que
pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8
y la de que pase ambas es 0,5. Se pide:
a) Probabilidad de que pase al menos una prueba.
b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba.
c)¿Son las pruebas sucesos independientes?
d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado
la primera.
Tenemos que:
P[pase 1-ª] = 0,6; P[pase 2-ª] = 0,8; P[pase 1-ª I pase 2-ª] = 0,5
a)P[pase 1-ª U pase 2-ª]= P[pase 1-ª] + P[pase 2-ª] – P[pase 1-ª I pase 2-ª] =
= 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9
b) 1 – P[pase al menos una] = 1 – 0,9 = 0,1
c)P[pase 1-ª] · P[pase 2-ª] = 0,6 · 0,8 = 0,48
P[pase 1-ª I pase 2-ª] = 0,5 ≠0,48
No son independientes.
d)P[pase 2-ª/no pase 1-ª]= =
= =
= = = = 0,75
17En una comarca hay dos periódicos: El Progresistay El Liberal. Se sabe que
el 55% de las personas de esa comarca lee El Progresista(P), el 40% lee
El Liberal(L) y el 25% no lee ninguno de ellos.
Expresa en función de Py Lestos sucesos:
a) Leer los dos periódicos.
b) Leer solo El Liberal.
c) Leer solo El Progresista.
d) Leer alguno de los dos periódicos.
e) No leer ninguno de los dos.
f) Leer solo uno de los dos.
g) Calcula las probabilidades de: P, L, PIL, PUL, P– L, L– P, (LUP)',
(LIP)'.
h)Sabemos que una persona lee El Progresista. ¿Qué probabilidad hay de
que, además, lea El Liberal? ¿Y de que no lo lea?
3
4
0,3 0,40,8 – 0,5
1 – 0,6
P[pase 2-ª] – P[pase 1-ª I pase 2-ª]
P[no pase 1-ª]
P[pase 2-ª I no pase 1-ª]
P[no pase 1-ª]
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
14

531. Tenemos que:
P[P] = 0,55; P[L] = 0,4; P[P'I L'] = 0,25
a)P[P'I L'] = P[(PU L)'] = 1 – P[PU L]
0,25 = 1 – P[PU L] → P[PU L] = 1 – 0,25 = 0,75
P[PU L] = P[P] + P[L] – P[PI L]
0,75 = 0,55 + 0,4 – P[PI L] → P[PI L] = 0,2
P[leer los dos] = P[PI L] = 0,2
b)P[L] – P[PI L] = 0,4 – 0,2 = 0,2
c)P[P] – P[PI L] = 0,55 – 0,2 = 0,35
d)P[PU L] = 0,75
e)P[P'I L'] = 0,25
f)P[PI L'] + P[P'I L] = 0,35 + 0,2 = 0,55
g)P[P] =0,55; P[L] = 0,4; P[PI L] = 0,2; P[PU L] = 0,75
P[P–L] = P[P] – P[PI L] = 0,35
P[L–P] = P[L] – P[PI L] = 0,2
P[(LU P)'] = P[L'I P'] = 0,25
P[(LI P)'] = 1 – P[LI P] = 1 – 0,2 = 0,8
h)P[L/P] = = = = ≈0,36
P[L'/P] = = = = ≈0,64
(
o bien: P[L'/P] = 1 – P[L/P] = 1 – = )
18Una urna Atiene 3 bolas blancas y 7 negras. Otra urna Btiene 9 bolas
blancas y 1 negra. Escogemos una de las urnas al azar y de ella extraemos
una bola.
Calcula:
a)P[
BLANCA/A]
b) P[
BLANCA/B]
c)P[Ay
BLANCA]
d) P[By
BLANCA]
e)P[
BLANCA]
f) Sabiendo que la bola obtenida ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de
haber escogido la urna B?
7
11
4
11
7
11
35 550,35 0,55P[L'I P]
P[P]
4
11
20 550,2
0,55
P[LI P]
P[P]
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
15

532. a)P[ BLANCA/A] = = 0,3
b)P[
BLANCA/B] = = 0,9
c)P[Ay
BLANCA] = · = = 0,15
d)P[By
BLANCA] = · = = 0,45
e)P[
BLANCA] = P[Ay Blanca] + P[By Blanca] = + = = = 0,6
f)P[B/
BLANCA] = = = = = 0,75
Página 370
19Tenemos las mismas urnas del ejercicio anterior. Sacamos una bola de Ay
la echamos en By, a continuación, sacamos una bola de B.
a)¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra?
b) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de
que también la primera fuese negra?
a)P[2-ª
NEGRA]= P[1-ª BLANCAy 2-ª NEGRA] + P[1-ª NEGRAy 2-ª NEGRA] =
= · + · = + =
b)P[1-ª
NEGRA/2-ª NEGRA] = = =
= =
20Tenemos dos urnas con estas composiciones:
Extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del
mismo color? ¿Y la probabilidad de que sean de distinto color?
P[mismo color] = · + · + · = + + = =
P[distinto color] = 1 – P[mismo color] = 1 – =
37
54
17 54
17 5468
216
14
216
24
216
30
216
7
18
2
12
6
18
4
12
5
18
6
12
14 1714/110 17/110
7/10 · 2/11
17/110
P[1-ª NEGRAy 2-ª NEGRA]
P[2-ª
NEGRA]
17
110
14
110
3
110
2
11
7
10
1
11
3
10
3 49
12
9/20
12/20
P[By Blanca]
P[Blanca]
3
5
12 209
20
3
20
9
20
9
10
1 2
3
20
3
10
1 2
9
10
3
10
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
16

533. 21Un avión tiene cinco bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad
de destruirlo de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se des-
truya el puente si se lanzan las cinco bombas?
P[no dé ninguna de las 5 bombas] =
()
5
= 0,8
5
= 0,32768
P[dé alguna de las 5] = 1 – 0,8
5
= 0,67232
22Simultáneamente, se sacan dos cartas de una baraja española y se tira un da-
do. ¿Cuál es la probabilidad de que las cartas sean sotas y el número del da-
do sea par?
P[1-ª
SOTAy 2-ª SOTAy PARen el dado] = · · = =
23En un cajón de un armario, Juan guarda desordenadamente 3 pares de cal-
cetines blancos y cuatro pares de calcetinos rojos; otro cajón contiene 4 cor-
batas blancas, 3 rojas y 2 azules. Para vestirse saca al azar del primer cajón
un par de calcetines, y del segundo, una corbata.
Halla la probabilidad de que los calcetines y la corbata sean del mismo color.
P[
BLANCOy BLANCA] + P[ ROJOy ROJA] = · + · = =
24Un producto está formado de dos partes: Ay B. El proceso de fabricación
es tal, que la probabilidad de un defecto en Aes 0,06 y la probabilidad de
un defecto en Bes 0,07. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto no sea
defectuoso?
P[ningún defecto] = P[no defecto en A] · P[no defecto en B] =
= (1 – 0,06) · (1 – 0,07) = 0,94 · 0,93 = 0,8742
25Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 negras y 4 rojas. Si se extraen tres bo-
las con reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 blancas y
una roja?
P[BBR] + P[BRB] + P[RBB] = 3 · P[BBR] = 3 · · · = = 0,15
26Una urna Acontiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna Btiene 5 blan-
cas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resul-
tan ser blancas.
Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A.
Hacemos un diagrama en árbol:
3
20
4
20
10 2010 20
8
21
24 633 94 74 93 7
1
260
12
3 120
1 23
39
4
40
4 5
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 17
P [A y 2b] = — · — · — = —2bA6b 4n
1
2
6
10
5
9
1
6
— · —
6
10
5
9
P [B y 2b] = — · — · — = —2bB5b 9n
1
2
5
14
4
13
5
91
— · —
5
14
4
13
1/2
1/2

534. P[2b] = + =
La probabilidad pedida será:
P[A/2b] = = = = 0,752
27Sean Ay Bdos sucesos tales que: P[AUB] = ; P[B' ] = ; P[AIB] = .
Halla P[B], P[A], P[A'IB].
P[B] = 1 – P[B'] = 1 – =
P[AU B] = P[A] + P[B] – P[AI B]
= P[A] + – → P[A] =
P[A'I B] = P[B] – P[AI B] = – =
28En cierto país donde la enfermedad Xes endémica, se sabe que un 12% de
la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para de-
tectar la enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que da positiva en el
90% de los casos de personas realmente enfermas y también da positiva en
el 5% de personas sanas.
¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le
ha dado positiva?
P[
POSITIVO] = 0,108 + 0,044 = 0,152
La probabilidad pedida será:
P[
NO ENF./POSITIVO] = = = 0,289
29En tres máquinas, A, B y C, se fabrican piezas de la misma naturaleza. El
porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es, respecti-
vamente, 1%, 2% y 3%.
Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina, y se elige una pieza al azar, que
resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada
en la máquina A?
0,044
0,152
P[NO ENF. Y POSITIVO]
P[
POSITIVO]
1
12
1 41 3
2 31 41 33 4
1 32 3
1 42 33 4
91
121
1/6
121/546
P[Ay 2b]
P[2b]
121
546
5
91
1 6
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 18
P [ENF. y POSITIVO] = 0,12 · 0,9 = 0,108POSITIVOENFERMO
0,9
P [
NO ENF. y POSITIVO] = 0,88 · 0,05 = 0,044POSITIVONO ENFERMO
0,05
0,12
0,88
DEFECTUOSA P [A y DEF.] = — · — = —
1
3
1
100
1
300
DEFECTUOSA P [B y DEF.] = — · — = —
1
3
2
100
2
300
DEFECTUOSA P [C y DEF.] = — · — = —
A
1/100
1/3
1/3
1/3
B
C
1
3
3
100
3
300
2/100
3/100

535. P[DEF.] = + + =
La probabilidad pedida será:
P[A/
DEF.] = = =
30Una caja A contiene dos bolas blancas y dos rojas, y otra caja B contiene
tres blancas y dos rojas. Se pasa una bola de A a B y después se extrae una
bola de B, que resulta blanca. Determina la probabilidad de que la bola tras-
ladada haya sido blanca.
P[2-ª b] = + =
Por tanto, la probabilidad pedida será:
P[1-ª b/2-ª b] = = =
31Una urna A contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna B, 6 blancas y 4
negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser
negras. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la B.
P[2n] = + =
Por tanto, la probabilidad pedida será:
P[B/2n] = = =
CUESTIONES TEÓRICAS
32Sean Ay Bdos sucesos tales que P[A] = 0,40; P[B/A] = 0,25 y P[B]=b.
Halla:
a) P[AIB].
b) P[AUB] si b= 0,5.
c) El menor valor posible de b.
d) El mayor valor posible de b.
56
101
1/15
101/840
P[By 2n]
P[2n]
101
840
1
15
3
56
4 71/3
7/12
P[1-ª b y 2-ª b]
P[2-ª b]
7
12
1 41 3
1 61/300 6/300P[Ay DEF.]
P[
DEF.]
6
300
3
300
2
300
1
300
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
19
b; P [1-ª b y 2-ª b] = — · — = —
2
4
4
6
1
3
4b 2rb B4/6
2/4
2/4
b; P [1-ª r y 2-ª b] = — · — = —
2
4
3
6
1
4
3b 3rr B3/6
2b 2rA
2n P [A y 2n] = — · — · — = —
1
2
3
8
2
7
3
56
5b 3nA
— · —
3
8
2
7
1/2
1/2 2n P [B y 2n] = — · — · — = —
1
2
4
10
3
9
1
15
6b 4nB
— · —
4
10
3
9

536. a)P[AI B] = P[A] · P[B/A] = 0,40 · 0,25 = 0,1
b)P[AU B] = P[A] + P[B] – P[AI B] = 0,40 + 0,5 – 0,1 = 0,8
c) El menor valor posible de bes P[B] = P[AI B], es decir, 0,1.
d) El mayor valor posible de bes: 1 – (P[A] – P[AI B]) = 1 – (0,4 – 0,1) = 0,7
Página 371
33Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es p, ¿cuál es la pro-
babilidad de que al menos uno de los dos no ocurra? Razónalo.
Si P[AI B] = p, entonces:
P[A'U B'] = P[(AI B)'] = 1 – P[AI B] = 1 – p
34Razona la siguiente afirmación: Si la probabilidad de que ocurran dos suce-
sos a la vez es menor que 1/2, la suma de las probabilidades de ambos (por
separado), no puede exceder de 3/2.
P[A] + P[B] = P[AU B] + P[AI B] < 1 + =
pues P[AU B] ≤1 y P[AI B] < .
35Sean Ay Bdos sucesos de un experimento aleatorio. ¿Es posible que p
sea una probabilidad si: P[A]= , P[B]= y P[A'IB'] = ?
P[A'I B'] = P[(AU B)'] = 1 – P[AU B) = → P[AU B] =
Por otra parte:
P[AU B] = P[A] + P[B] – P[AI B]
= + – P[AI B] → P[AI B] =
Es imposible, pues una probabilidad no puede ser negativa.
36Sea Aun suceso con 0 <P[A]<1.
a) ¿Puede ser Aindependiente de su contrario A'?
b) Sea Botro suceso tal que B⊂A. ¿Serán Ay Bindependientes?
c) Sea Cun suceso independiente de A. ¿Serán AyC' independientes?
Justifica las respuestas.
a)P[A] = p≠0; P[A'] = 1 – p≠0
P[A] · P[A'] = p(1 – p) ≠0
P[AI A'] = P[Ø] = 0
No son independientes, porque P[AI A'] ≠P[A] · P[A'].
–1
10
1 52 57
10
7
10
3
10
3
10
1 52 5
1 2
3 21 2
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 20

537. b)P[AI B] = P[B]
¿P[A] · P[B] = P[B]? Esto solo sería cierto si:
• P[A] = 1, lo cual no ocurre, pues P[A] < 1.
• P[B] = 0. Por tanto, solo son independientes si P[B] = 0.
c)Aindependiente de C→ P[AI C] = P[A] · P[C]
P[AI C'] = P[A– (AI C)] = P[A] – P[AI C] =
= P[A] – P[A] · P[C] = P[A] (1 – P[C]) = P[A] · P[C']
Por tanto, Ay C'son independientes.
37Al tirar tres dados, podemos obtener suma 9 de seis formas distintas:
126, 135, 144, 225, 234, 333
y otras seis de obtener suma 10: 136, 145, 226, 235, 244, 334.
Sin embargo, la experiencia nos dice que es más fácil obtener suma 10 que
suma 9. ¿Por qué?
1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4 → cada uno da lugar a 3! formas distintas. Es decir:
3 · 3! = 3 · 6 = 18
1, 4, 4; 2, 2, 5 → cada uno da lugar a 3 formas distintas. Es decir: 2 · 3 = 6
18 + 6 + 1 = 25 formas distintas de obtener suma 9.
P[suma 9] = =
1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 3, 5 → 6 · 3 = 18 formas
2, 2, 6; 2, 4, 4; 3, 3, 4 → 3 · 3 = 9 formas
18 + 9 = 27 formas distintas de obtener suma 10.
P[suma 10] =
Está claro, así, que P[suma 10] > P[suma 9].
PARA PROFUNDIZAR
38Un hombre tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces, a lo sumo. Cada
apuesta es de 1 euro. El hombre empieza con 1 euro y dejará de jugar cuan-
do pierda el euro o gane 3 euros.
a) Halla el espacio muestral de los resultados posibles.
b) Si la probabilidad de ganar o perder es la misma en cada apuesta, ¿cuál es
la probabilidad de que gane 3 euros?
27
216
25
216
25
6
3
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
21

538. a) Hacemos un esquema:
El espacio muestral sería:
E= {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG, GGPPP, GPGGG, GPGGP, GPGPG,
GPGPP, GPP, P}
donde G significa que gana esa partida y P que la pierde.
b) Por el esquema anterior, vemos que gana 3 euros con:
GGG → probabilidad= · · =
GGPGG → probabilidad=
()
5
=
GPGGG → probabilidad=
()
5
=
Por tanto:
P[gane 3 euros] = + + = = 0,1875
39En una baraja de 40 cartas, se toman tres cartas distintas. Calcula la probabi-
lidad de que las tres sean números distintos.
P[3 números distintos] = 1 · P[2-ª dist. de la 1-ª] · P[3-ª dist. de la 1-ª y de la 2-ª] =
= 1 · · =
192
247
32 3836 39
3
16
1
32
1
32
1 8
1
32
1 2
1
32
1 2
1 81 21 21 2
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 22
1(3) FIN → GGPGG
–1(1) FIN → GGPGP
1(2)
1(1) FIN → GGPPG
–1(–1) FIN → GGPPP
–1(0)
–1(1)
1(3) FIN GGG
1(3) FIN → GPGGG
–1(1) FIN → GPGGP
1(2)
1(1) FIN → GPGPG
–1(–1) FIN → GPGPP
–1(0)
1(1)
–1(0)
1(2)
1
–1(–1) FIN GPP
–1(–1) FIN P

539. 40Escogidas cinco personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos
dos de ellas hayan nacido en el mismo día de la semana (es decir, en lunes,
martes, etc.)?
P[ninguna coincidencia] = 1 · P[2-ª en distinto día que la 1-ª] · …
… · P[5-ª en distinto día que 1-ª, 2-ª, 3-ª y 4-ª] =
= 1 · · · · = = 0,15
P[alguna coincidencia] = 1 – P[ninguna coincidencia] = 1 – 0,15 = 0,85
41Una moneda se arroja repetidamente hasta que sale dos veces consecutivas
el mismo lado. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) El experimento consta exactamente de 4 lanzamientos.
b) El experimento consta exactamente de n lanzamientos, con 2 ≤n∈
N.
c) El experimento consta, como máximo, de 10 lanzamientos.
a) Consta de cuatro lanzamientos si ocurre:
C + C C o bien + C + +
Por tanto:
P[cuatro lanzamientos] =
()
4
+ ()
4
= 2 · ()
4
= ()
3
=
b)P[nlanzamientos] =
()
n– 1
c)P[10 o menos lanzamientos] = P[2 lanzamientos] + P[3 lanzamientos] +
+ P[4 lanzamientos] + … + P[10 lanzamientos] =
()
+ ()
2
+ ()
3
+ … + ()
9
Nos queda la suma de 9 términos de una progresión geométrica con:
a
1
= y r=
Por tanto:
P[10 o menos lanzamientos] =
()
+ ()
2
+ ()
3
+ … + ()
9
=
= = = 1 –
()
9
= 1 – = = 0,998
PARA PENSAR UN POCO MÁS
42A Eva la invitan a la fiesta que se va a celebrar en el Club de los Pijos el pró-
ximo sábado. Todavía no sabe si irá o no, pero hace indagaciones y averigua
que, entre los pijos, la probabilidad de que uno de ellos sea
DIVERTIDOes ma-
yor si tiene melena que si está pelado:
(1)
PIJOS: P[DIVER./MELENA] > P[ DIVER./PELADO]
Decide que, si va a la fiesta, ligará con un melenudo.
511
512
1
512
1 21/2 [1 – (1/2)
9
]
1/2
1/2 – (1/2)
9
· 1/2
1 – 1/2
1
2
1 21 21 2
1 21 2
1 21 21 21 2
1 2
1 81 21 21 21 2
360
2 401
3 74 75 76 7
Unidad 14. Cálculo de probabilidades 23

540. Estando en esas le llaman del Club de los Macarras para invitarle a una fies-
ta a la misma hora. Hace indagaciones y llega a conclusiones similares:
(2)
MACARRAS: P[DIVER./MELENA] > P[ DIVER./PELADO]
Todavía no sabe a cuál de las dos fiestas irá, pero tiene claro que, vaya a la
que vaya, ligará con un melenudo.
Una hora antes de empezar las fiestas recibe una nueva llamada advirtiéndo-
le de que Pijos y Macarras se han puesto de acuerdo y hacen una única fies-
ta. Revisando sus notas, Eva descubre con asombro que en el conjunto de to-
dos ellos las cosas cambian radicalmente.
(3)
PIJOS+ MACARRAS: P[DIVERTIDO/MELENA] < P[ DIVERTIDO/PELADO]
Por tanto, deberá cambiar su estrategia y ligar con un pelado.
¿Cómo es posible que sea así? Para explicarlo, inventa unos números para
dos tablas como esta, una para
PIJOSy otra para MACARRAS, de modo que en la
primera se cumpla (1), en la segunda (2) y en la que resulta de sumar ambas
se cumpla (3):
Empecemos poniendo un ejemplo numérico para entender mejor la situación. Su-
pongamos que tenemos lo siguiente:
Si observamos estos resultados, vemos que la clave está en que hay más divertidos
entre este grupo de pijos que entre este grupo de macarras; y que hay muy pocos
pijos melenudos.
Si hay un pijo melenudo que sea divertido, ya supone un porcentaje alto del total
de pijos melenudos.
Unidad 14. Cálculo de probabilidades
24
MELENA PELADO
DIVERTIDO
ABURRIDO
10 Pijos
1 melenudo 1 divertido (100%)
9 pelados
8 divertidos (88,9%)
1 no divertido
10 Macarras
8 melenudos
5 divertidos (62,5%)
3 no divertidos
2 pelados
1 divertido (50%)
1 no divertido
Al juntarlos a todos, tendríamos que:
20 Personas
9 melenudos
6 divertidos (66,7%)
3 no divertidos
11 pelados
9 divertidos (81,8%)
2 no divertidos

541. Página 372
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1
Al lanzar cuatro monedas pueden darse 16 posibilidades: CCCC, CCC+, CC+C,
CC++, C+CC, …
Complétalas y justifica los resultados de esta tabla:
Haz la tabla correspondiente al “NÚMERO DE CARAS” que puede obtenerse al lanzar
cinco monedas. Represéntala gráficamente.
CCCC, CCC+, CC+C, C+CC, +CCC, CC++, C+C+, C++C, +CC+, +C+C, ++CC, C+++, +C++,
++C+, +++C, ++++
Estas son las 16 posibilidades. En ellas, si contamos el número de caras, obtenemos la
tabla:
Para el caso de tener cinco monedas, si contamos el número de caras en todas las po-
sibilidades, obtendríamos la tabla:
La representación sería:
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
1
DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD
15
N-º DE CARAS,x
i01234
FRECUENCIA, f
i14641
01234
N-º DE CARAS01234
FRECUENCIA 14641
N-º DE CARAS012345
FRECUENCIA 1 5 10 10 5 1
01234 5

542. Problema 2
Procediendo de la misma forma que en la página anterior, es decir, contando
cuadraditos, halla las siguientes probabilidades e interpreta lo que significan:
a) P[x≤2]
b) P[5 ≤x ≤10]
c) P[x≤10]
d) P[5 ≤x ≤6]
a)P[x≤2] = = 0,10
La probabilidad de tener que esperar menos de 2 minutos es 0,10 (del 10%).
b)P[5 ≤x≤10] = = 0,25
La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 10 minutos es del 25%.
c)P[x≤10] = = 0,50
La probabilidad de tener que esperar menos de 10 minutos es del 50%.
d)P[5 ≤x≤6] = = 0,05
La probabilidad de tener que esperar entre 5 y 6 minutos es del 5%.
Página 373
Problema 3
Halla las probabilidades siguientes e interpreta lo que significan:
a) P[x≤2]
b) P[5 ≤x ≤10]
c) P[x≤10]
d) P[5 ≤x ≤6]
En total hay 100 cuadritos (el área total es 100). Así:
a)P[x≤2] = = 0,19
La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 2 minutos es del 19%.
b)P[5 ≤x≤10] = = 0,3125
La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 10 minutos es del 31,25%.
(7,5 + 5)/2 · 5
100
(10 + 9)/2 · 2
100
5
100
50
100
25
100
10
100
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
2

543. c)P[x≤10] = = 0,75
La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 10 minutos es del 75%.
d)P[5 ≤x≤6] = = 0,0725
La probabilidad de que tengamos que esperar entre 5 y 6 minutos es del 7,25%.
Página 375
1.Calcula
–
xy σ en esta distribución: tiempo que emplean en ir de su casa al co-
legio un grupo de alumnos. [Recuerda: al intervalo (0, 5] le corresponde el va-
lor 2,5…]
Hallamos la marca de clase, x
i
, de cada intervalo y hacemos la tabla:
–
x= = = 12,5
σ = = = = 5,65
Página 377
1.Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad corres-
pondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado.
µ = = 3,5
σ = = = 1,71
√2,92
√
91
– 3,5
2
6
21
6
√31,94
√
6 775
– 12,5
2
36√
Σf
i
x
i
2
–
–
x
n
450
36
Σf
i
x
i
n
(7,5 + 7)/2 · 1
100
(10 + 5)/2 · 10
100
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
3
x
i
f
i
f
i
x
i
f
i
x
i
2
2,5 2 5 12,5
7,5 11 82,5 618,75
12,5 13 162,5 2 031,25
17,5 6 105 1 837,5
22,5 3 67,5 1 518,75
27,5 1 27,5 756,25
36 450 6 775
x
i
p
i
p
i
x
i
p
i
x
i
2
1 1/6 1/6 1/6
2 1/6 2/6 4/6
3 1/6 3/6 9/6
4 1/6 4/6 16/6
5 1/6 5/6 25/6
6 1/6 6/6 36/6
1 21/6 91/6
TIEMPO(minutos) (0, 5] (5, 10] (10, 15] (15, 20] (20, 25] (25, 30]
N-º DE ALUMNOS 21113631

544. 2.Si se tiran dos monedas podemos obtener 0, 1 ó 2 caras. Calcula la media y la
desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente.
µ= 1
σ = = = = 0,71
3.En una bolsa hay bolas numeradas: 9 bolas con un uno, 5 con un dosy 6 con
un tres. Sacamos una bola y vemos qué número tiene.
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación típica.
a)
b)
µ = = 1,85
σ = = = 0,85
Página 379
1.En una distribución binomial B(10; 0,4), halla P[x= 0], P[x= 3], P[x= 5],
P[x= 10] y el valor de los parámetros µ y σ.
P[x= 0] = 0,6
10
= 0,006047
P[x= 3] =
()
· 0,4
3
· 0,6
7
= 120 · 0,4
3
· 0,6
7
= 0,215
P[x= 5] =
()
· 0,4
5
· 0,6
5
= 252 · 0,4
5
· 0,6
5
= 0,201
P[x= 10] = 0,4
10
= 0,000105
µ = 10 · 0,4 = 4
σ = = = = 1,55
√2,4√10 · 0,4 · 0,6√n p q
10
5
10
3
√0,73
√
83
– 1,85
2
20
37
20
√
1
2√
3
– 1
2√
6
– 1
2
4
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad 4
x
i
p
i
p
i
x
i
p
i
x
i
2
0 1/4 0 0
1 2/4 2/4 2/4
2 1/4 2/4 4/4
1 1 6/4
x
i
p
i
1 9/20
2 5/20
3 6/20
1
x
i
p
i
p
i
x
i
p
i
x
i
2
1 9/20 9/20 9/20
2 5/20 10/20 20/20
3 6/20 18/20 54/20
1 37/20 83/20

545. 2.Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de 3 caras, 5 caras y 6 caras.
Halla los valores de µ y σ.
Se trata de una distribución binomial con n= 7 y p= 0,5 →B(7; 0,5)
P[x= 3] =
()
· (0,5)
3
· (0,5)
4
= 35 · 0,125 · 0,0625 ≈0,273
P[x= 5] =
()
· (0,5)
5
· (0,5)
2
= 21 · 0,03125 · 0,25 ≈0,164
P[x= 6] =
()
· (0,5)
6
· (0,5) = 7 · 0,015625 · 0,5 ≈0,0547
µ= n p= 7 · 0,5 = 3,5
σ = = ≈1,323
Página 381
1.Calcula kpara que f(x) = sea una funci ón de densidad.
Halla las probabilidades:
a) P[4 < x< 6] b) P[2 < x≤5]
c) P[x= 6] d) P[5 < x≤10]
Como el área bajo la curva ha de ser igual a 1, tenemos que:
P[–∞< x< +∞] = P[3 ≤x≤8] = 5k= 1 →k=
a)P[4 < x< 6] = (6 – 4) · =
b)P[2 < x≤5] = P[3 ≤x≤5] = (5 – 3) · =
c)P[x= 6] = 0
d)P[5 < x≤10] = P[5 ≤x≤8] = (8 – 5) · =
2.Calcula mpara que f(x) = sea una funci ón de densidad.
Halla las probabilidades:
a) P[3 < x< 5] b) P[5≤x< 7]
c) P[4 ≤x≤6] d) P[6 ≤x< 11]
El área bajo la curva (área del trapecio señalado)
ha de ser igual a 1:
P[–∞< x< +∞]= P[3 ≤x≤7] = =
= 20m= 1 →m=
1
20
(7m+ 3m) · 4
2
mx,x∈[3, 7]
0,x∉[3, 7]



3
5
1 5
2 51 5
2 51 5
1 5
k, x ∈[3, 8]
0, x∉[3, 8]



√7 · 0,5 · 0,5√n p q
7
6
7
5
7
3
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
5
3 m
7 m
3 7
Área = 1

546. a)P[3 < x< 5] = = =
b)P[5 ≤x< 7] = = =
c)P[4 ≤x≤6] = = =
d)P[6 ≤x< 11] = P[6 ≤x≤7] = =
Página 382
3.Halla la función de distribución de la v. a. cuya función de densidad es:
f(x) =
P[t≤x] = (x– 3) · =
La función de distribución es:
F(x) =
4.Halla la función de distribución de la v. a. cuya función de densidad es:
f(x) =
P[t≤x]= =
= =
La función de distribución es:
F(x) =
Página 384
1.Halla las siguientes probabilidades:
a) P[z≤0,84] b) P[z< 1,5] c) P[z< 2] d) P[z< 1,87]
e) P[z< 2,35] f) P[z≤0] g) P[z< 4] h) P[z= 1]
Mirando directamente la tabla, obtenemos:
a) 0,7996 b) 0,9332 c) 0,9772 d) 0,9693
e) 0,9906 f) 0,5000 g) 1 h) 0
0 si x≤3
x
2
– 9
–––––– si 3 ≤x≤7
40
1 si x≥7







x
2
– 9
40
(x+ 3)(x– 3)
40
(x/20 + 3/20) · (x– 3)
2
x/20,x∈[3, 7]
0,x∉[3, 7]



0 si x≤3
x– 3
––––– si 3 ≤x≤8
5
1 si x≥8






 x– 3
5
1 5
1/5,x∈[3, 8]
0,x∉[3, 8]



13
40
(7/20 + 6/20) · 1
2
1 210 20(6/20 + 4/20) · 2
2
3 512 20(7/20 + 5/20) · 2
2
2 58
20
(5/20 + 3/20) · 2
2
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
6
1/5
3 x 8
3/20
7/20
3 7x

547. 2.Di el valor de k en cada caso:
a) P[z≤k] = 0,7019 b) P[z< k] = 0,8997
c) P[z≤k] = 0,5040 d) P[z< k] = 0,7054
a) k= 0,53 b) k= 1,28
c) k= 0,01 d) k= 0,54
3.Di el valor aproximado de k en cada caso:
a) P[z< k] = 0,9533 b) P[z≤k] = 0,62
a) k≈1,68 b) k≈0,305
Página 385
4.Halla: a) P[z> 1,3] b) P[z< –1,3]
c) P[z> –1,3] d) P[1,3 < z < 1,96]
e) P[–1,96 < z < –1,3] f) P[–1,3 < z < 1,96] g) P[–1,96 < z < 1,96]
a) P[z> 1,3] = 1 – P[z< 1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968
b) P[z< –1,3] = 0,0968
c) P[z> –1,3] = 1 – 0,0968 = 0,9032
d) P[1,3 < z< 1,96] = 0,9750 – 0,9032 = 0,0718
e) P[–1,96 < z< –1,3] = 0,0718
f) P[–1,3 < z< 1,96] = 0,9750 – (1 – 0,9032) = 0,8782
g) P[–1,96 < z< 1,96] = 0,95
5.Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades:
a) P[–1 ≤z ≤1] b) P[–2 ≤z ≤2]
c) P[–3 ≤z ≤3] d) P[–4 ≤z ≤4]
a) P[–1 ≤z≤1] = 2 (P[z≤1] – 0,5) = 0,6826
b) P[–2 ≤z≤2] = 2 (P[z≤2] – 0,5) = 0,9544
c) P[–3 ≤z≤3] = 0,9974
d) P[–4 ≤z≤4] = 1
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
7
–1,3 1,30
–110

548. Página 386
6.En una distribución N(173, 6), halla las siguientes probabilidades:
a) P[x≤173] b) P[x≥180,5] c) P[174 ≤x ≤180,5]
d) P[161 ≤x ≤180,5] e) P[161 ≤x ≤170] f) P[x = 174]
g) P[x > 191] h) P[x < 155]
a) P[x≤173] = 0,5
b) P[x≥180,5] = P
[
z≥ ]
= P[z≥1,25] = 1 – 0,8944 = 0,1056
c) P[174 ≤x≤180,5] = P[0,17 ≤z≤1,25] = 0,3269
d) P[161 ≤x≤180,5] = P[–2 ≤z≤1,25] = 0,8716
e) P[161 ≤x≤170] = P[–2 ≤z≤–0,5] = 0,2857
f) P[x= 174] = P[z= 0,1667] = 0
g) P[x> 191] = P[z> 3] = 1 – φ(3) = 1 – 0,9987 = 0,0013
h) P[x< 155] = P[z< –3] = 1 – φ(3) = 0,0013
Página 388
1.Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales median-
te aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas, ten en cuenta el
ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una variable discreta a
una continua).
a) x es B(100; 0,1). Calcula P[x= 10], P[x< 2] y P[5 < x < 15].
b) x es B(1 000; 0,02). Calcula P[x> 30] y P[x< 80].
c) x es B(50; 0,9). Calcula P[x> 45] y P[x≤30].
a)xes B(100; 0,1) ≈x'es N(10; 3)
P[x= 10] = P[9,5 < x'< 10,5] = P[–0,17 < z< 0,17] = 0,135
P[x< 2] = P[x'≤1,5] = P[z≤–2,83] = 0,0023
P[5 < x< 15] = P[5,5 ≤x'≤14,5] = P[–1,5 ≤z≤1,5] = 0,8664
b)xes B(1 000; 0,02) ≈x'es N(20; 4,427)
P[x> 30] = P[x'≥30,5] = P[z≥2,37] = 0,0089
P[x< 80] = P[x'≤79,5] = P[z≤13,44] = 1
c)xes B(50; 0,9) = x'es N(45; 2,12)
P[x> 45] = P[x'≥45,5] = P[z≥0,24] = 0,4052
P[x≤30] = P[x'≤30,5] = P[z≤–6,83] = 0
180,5 – 173
6
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
8

549. Página 394
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Distribuciones de probabilidad
1Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros:
0,1 + 0,3 + P[2] + 0,1 = 1 → P[2] = 0,5
µ=
Σ x
i
p
i
= 1,6
σ = = = 0,8
2Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases (0, 1 ó 2).
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación típica.
a)
b) µ = 0,2; σ = 0,42
3Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una
tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y
la desviación típica.
µ = 1,5; σ = 0,87
√0,64√3,2 – 1,6
2
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad 9
x
i0123
p
i0,1 0,3 … 0,1
x
i
p
i
x
i
p
i
p
i
x
i
2
0 0,1 0 0
1 0,3 0,3 0,3
2 0,5 1 2
3 0,1 0,3 0,9
Σx
i
p
i
= 1,6Σp
i
x
i
2
= 3,2
x
i 01 2
p
i · 2 · · ·
3
39
4
40
36 394
40
35 3936 40
x
i0123
p
i
1
8
3 83 81 8
0
1/8
2/8
3/8
123
p
i
x
i

550. 4Recuerda cuáles son las puntuaciones de las 28 fichas de un dominó. Si en
cada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mitades, obtenemos las
posibles sumas 0, 1, 2…, 10, 11 y 12 con probabilidades distintas.
Haz la tabla con la distribución de probabilidades y calcula µ y σ.
µ = 6; σ = 3
5Un alumno ha estudiado 12 temas de los 30 que entran en el examen. Se
eligen 2 temas al azar. El alumno puede haber estudiado los dos, uno o nin-
guno. Haz la tabla con la distribución de probabilidad y represéntala gráfica-
mente.
6Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Se hacen dos extrac-
ciones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas.
a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad.
b) Haz otra tabla suponiendo que hay reemplazamiento.
a)
b)
7En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bolas
numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se saca una bola de
A, y si sale cruz, se saca de B. Se observa el número que tiene la bola.
a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad.
b) Represéntala gráficamente.
c) Calcula µ y σ.
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
10
x
i0123456789101112
p
i
1
28
1
28
2
28
2
28
3
28
3
28
4
28
3
28
3
28
2
28
2
28
1
28
1
28
x
i 012
p
i0,35 0,50 0,15
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
12
p
i
x
i
x
i 01 2
p
i · 2 · · ·
2
9
3
10
7 93
10
6 97
10
x
i 01 2
p
i()
2
2 · · ()
2
3
10
7
10
3
10
7
10

551. a)
b)
c) µ = 5,25; σ = 2,59
8Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes funciones:
a)f(x) = 0,5 + 0,5x, x∈[0, 2]
b)f(x) = 0,5 – x, x∈[0, 2]
c)f(x) = 1 – 0,5x, x∈[0, 2]
Veamos, en cada caso, si el área encerrada bajo la curva es 1:
a)
Área = = 1,5 →
b)f(2) = –1,5 < 0 →No puede ser función de densidad, pues tendría que ser
f(x) ≥0
→
Distribución binomial
9En una distribución binomial B(9; 0,2) calcula:
a) P[x< 3] b) P[x≥7]
c) P[x≠0] d) P[x≤9]
Sí puede ser función
de densidad




1 · 2
Área = ——= 1
2
f(x) > 0
c)
No puede ser función
de densidad
1,5 · 2
2
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
11
x
i 12345
p
i · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1
1
5
1 21 51 21 51 21 51 21 51 2
x
i 6789
p
i · = 0,125 0,125 0,125 0,125
1
4
1 2
1
0,1
0,2
23 456789
p
i
x
i
0,5
1
1,5
1,5
1 2
0,5
1
1,5
1 2

552. a) P[x= 0] + P[x= 1] + P[x= 2] = 0,738
b) P[x= 7] + P[x= 8] + P[x= 9] = 0,000314
c) 1 – P[x= 0] = 1 – 0,134 = 0,866
d) 1
10Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respues-
tas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 4 preguntas?
b) ¿Y la de que conteste bien más de 2 preguntas?
c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas.
xes B
(
10; )
a) P[x= 4] = ()
· 0,25
4
· 0,75
6
= 0,146
b) P[x> 2] = 1 – P[x≤2] = 1 – (P[x= 0] + P[x= 1] + P[x= 2]) =
= 1 – (0,056 + 0,188 + 0,282) = 1 – 0,526 = 0,474
c) P[x= 0] = 0,75
10
= 0,056
11Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su
color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la
probabilidad de obtener:
a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres rojas.
c) Más de tres rojas. d) Alguna roja.
Si consideramos éxito = “sacar roja”, xes B(5; 0,3).
a) P[x= 3] =
()
· 0,3
3
· 0,7
2
= 0,1323
b) P[x< 3] = P[x= 0] + P[x= 1] + P[x= 2] =
= 0,16807 + 0,36015 + 0,3087 = 0,83692 ≈0,8369
c) P[x> 3] = 1 – P[x≤3] = 1 – (0,1323 + 0,8369) = 0,0308
d) P[x≠0] = 1 – P[x= 0] = 1 – 0,7
5
= 0,8319
12La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea de-
fectuoso, es 0,2. Al revisar cinco aparatos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso?
b) ¿Y la de que haya alguno defectuoso?
xes B(5; 0,2)
a) P[x= 0] = 0,8
5
= 0,328
b) P[x≠0] = 1 – P[x= 0] = 1 – 0,328 = 0,672
5
3
10
4
1 4
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad 12

553. Manejo de la tabla N(0, 1)
13En una distribución N(0, 1), calcula las siguientes probabilidades:
a) P[z= 2] b) P[z≤2] c) P[z≥2]
d) P[z≤–2] e) P[z≥–2] f ) P[–2 ≤z ≤2]
a) P[z= 2] = 0
b) P[z≤2] = 0,9772
c) P[z≥2] = 1 – 0,9792 = 0,0228
d) P[z≤–2] = 1 – 0,9772 = 0,0228
e) P[z≥–2] = 1 – 0,0228 = 0,9772
f) P[–2 ≤z≤2] = 2 (P[z≤2] – 0,5) = 0,9544
14En una distribución N(0, 1), calcula:
a) P[z≤1,83] b) P[z≥0,27]
c) P[z≤–0,78] d) P[z≥2,5]
a) P[z≤1,83] = 0,9664 b) P[z≥0,27] = 0,3935
c) P[z≤–0,78] = 0,2177 d) P[z≥2,5] = 0,0062
Página 395
15En una distribución N(0, 1), calcula las siguientes probabilidades:
a) P[z= 1,6] b) P[–2,71 ≤z ≤–1,83]
c) P[1,5 ≤z ≤2,5] d) P[–1,87 ≤z ≤1,25]
a) P[z= 1,6] = 0
b) P[–2,71 ≤z≤–1,83] = P[1,83 ≤z≤2,71] = P[z≤2,71] – P[z≤1,83] = 0,0302
c) P[1,5 ≤z≤2,5] = P[z≤2,5] – P[z≤1,5] = 0,0606
d) P[–1,87 ≤z≤1,25] = P[z≤1,25] – P[z≤–1,87] = P[z≤1,25] – P[z≥1,87] =
= P[z≤1,25] – (1 – P[z< 1,87]) = 0,8637
16Calcula k en cada uno de los siguientes casos:
a) P[z< k] = 0,8365 b) P[z> k] = 0,8365 c) P[z< k] = 0,1894
a) k= 0,98 b) k= –0,98 c) k= –0,88
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
13
–1,87 1,250

554. Tipificación
17En un examen tipo test, la media fue 28 puntos y la desviación típica 10 pun-
tos. Calcula la puntuación tipificada de los alumnos que obtuvieron:
a) 38 puntos. b) 14 puntos.
c) 45 puntos. d) 10 puntos.
µ = 28; σ = 10
a) = 1 b) = –1,4
c) = 1,7 d) = –1,8
18Si en el mismo examen del problema anterior la puntuación tipificada de un
alumno fue 0,8, ¿cuántos puntos obtuvo? ¿Cuántos puntos corresponden a
un valor tipificado de –0,2?
0,8 → 0,8 · 10 + 28 = 36
–0,2 → –0,2 · 10 + 28 = 26
19Las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y –0,4 y sus notas
reales fueron 88 y 64 puntos. ¿Cuál es la media y la desviación típica de las
puntuaciones del examen?
= 0,8 88 – µ = 0,88σ
88 – 0,8σ= 64 + 0,4σ → σ= 20; µ = 72
= –0,4 64 – µ= –0,4σ
La media es 72 y la desviación típica 20.
Cálculo de probabilidades en N(µ, σ)
20En una distribución N(43, 10), calcula las siguientes probabilidades:
a) P[x≥43] b) P[x≤30]
c) P[40 ≤x ≤55] d) P[30 ≤x ≤40]
a)P[x≥43] = 0,5
b)P[x≤30] = P
[
z≤ ]
= P[z≤–1,3] = 1 – 0,9032 = 0,0968
c)P[40 ≤x≤55] = P
[
≤z≤ ]
= P[–0,3 ≤z≤1,2] = 0,5028
d)P[30 ≤x≤40] = P[–1,3 ≤z≤–0,3] = P[0,3 ≤z≤1,3] = P[z≤1,3] – P[z≤0,3] =
= 0,9032 – 0,6179 = 0,2853
55 – 43
10
40 – 43
10
30 – 43
10
64 – µ
σ
88 – µ
σ
10 – 28
10
45 – 28
10
14 – 28
10
38 – 28
10
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
14















555. 21En una distribución N(151, 15), calcula:
a) P[x≤136] b) P[120 ≤x ≤155]
c) P[x≥185] d) P[140 ≤x ≤160]
a)P[x≤136] = P
[
z≤ ]
= P[z≤–1] = P[z≥1] = 1 – P[z< 1] = 0,1587
b)P[120 ≤x≤155] = P[2,07 ≤z≤0,27] = 0,5873
c)P[x≥185] = P[z≥2,27] = 0,0116
d)P[140 ≤x≤160] = P[–0,73 ≤z≤0,6] = 0,5149
22La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm y la des-
viación típica, 10 cm. Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la
probabilidad de que un alumno elegido al azar mida más de 180 cm.
¿Cuántos alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm?
xes N(165, 10); n= 200 alumnos
P[x> 180] = P
[
z> ]
= P[z> 1,5] = 1 – 0,9332 = 0,0668
200 · 0,0668 = 13,36 ≈13 alumnos
23Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribución normal de media
65 kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado ele-
gido al azar pese:
a) Más de 61 kg. b) Entre 63 y 69 kg.
c) Menos de 70 kg. d) M ás de 75 kg.
xes N(65, 8)
a)P[x> 61] = P
[
z> ]
= P[z> –0,5] = P[z< 0,5] = 0,6915
b)P[63 < x< 69] = P[–0,25 < z< 0,5] = 0,2902
c)P[x< 70] = P[z< 0,625] = 0,7357
d)P[x> 75] = P[z> 1,25] = 1 – P[z≤1,25] = 0,1056
24Para aprobar un examen de ingreso en una escuela, se necesita obtener 50
puntos o más. Por experiencia de años anteriores, sabemos que la distribu-
ción de puntos obtenidos por los alumnos es normal, con media 55 puntos
y desviación típica 10.
a) ¿Qué probabilidad hay de que un alumno apruebe?
b) Si se presentan al examen 400 alumnos, ¿cuántos cabe esperar que ingre-
sen en esa escuela?
xes N(55, 10)
a)P[x≥50] = P
[
z≥ ]
= P[z≥–0,5] = P[z≤0,5] = 0,6915
b) 400 · 0,6915 = 276,6 ≈277 alumnos
50 – 55
10
61 – 65
8
180 – 165
10
136 – 151
15
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
15

556. 25En una ciudad, las temperaturas máximas diarias durante el mes de julio se
distribuyen normalmente con una media de 26°C y una desviación típica
de 4°C.
¿Cuántos días se puede esperar que tengan una temperatura máxima com-
prendida entre 22°C y 28°C?
xes N(26, 4)
P[22 < x< 28] = P[–1 < z< 0,5] = 0,5328
0,5328 · 31 = 16,52 ≈17 días
Binomial → Normal
26Si lanzamos un dado mil veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número de
cincos obtenidos sea menor que 100?
xes B(1 000; 0,1667) → x'es N(166,67; 11,79)
P[x< 100] = P[x'≤99,5] = P[z≤–5,70] = 0
27Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que el número de
caras:
a) Sea mayor que 200.
b) Esté entre 180 y 220.
xes B(400; 0,5) → x'es N(200, 10)
a)P[x> 200] = P[x'≥200,5] = P[z≥0,05] = 0,4801
b)P[180 < x< 220] = P[180,5 ≤x'≤219,5] = P[–1,95 ≤z ≤1,95] = 0,9488
28En un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9, y
cada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al bombo.
a) Si sacamos tres bolas, calcula la probabilidad de que el 0 salga una sola vez.
b) Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 0 salga
más de 12 veces.
a)xes B(3; 0,1)
P[x= 1] = 3 · 0,1 · 0,9
2
= 0,243
b)xes B(100; 0,1) → x'es N(10, 3)
P[x> 12] = P[x'≥12,5] = P[z≥0,83] = 0,2033
Página 396
PARA RESOLVER
29Tenemos una moneda defectuosa para la cual la probabilidad de obtener
cruz en un lanzamiento es 0,4. La lanzamos dos veces y anotamos el número
de cruces. Haz una tabla con la distribución de probabilidad, represéntala
gráficamente y calcula su media y su desviación típica.
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
16

557. xes B(2; 0,4)
µ = 0,8
σ = 0,69
30En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos.
Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos.
Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos de-
fectuosos:
a) Ninguno.
b) Uno.
c) Más de dos.
¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja?
xes B(50; 0,02)
a) P[x= 0] = 0,98
50
= 0,364
b) P[x= 1] = 50 · 0,02 · 0,98
49
= 0,372
c) P[x> 2] =1 – P[x≤2] = 1 – (P[x= 0] + P[x= 1] + P[x= 2]) =
= 1 – (0,364 + 0,372 + 0,186) = 1 – 0,922 = 0,078
Por término medio, habrá µ = 50 · 0,02 = 1 tornillo defectuoso en cada caja.
31El 20% de los alumnos con mejor nota de una escuela pueden acceder a es-
tudios superiores. Sabemos que las notas medias finales en esa escuela se
distribuyen normalmente con media 5,8 y desviación típica 2. ¿Cuál es la no-
ta media mínima que debe obtener un alumno si quiere hacer estudios supe-
riores?
Si llamamos Xa las notas medias finales, tenemos que X es N(5,8; 2).
Buscamos el valor de xpara el cual P[X> x] = 0,2.
Para una N(0, 1), P[z> k] = 1 – P[z≤k] = 0,2 →P[z≤k] = 0,8 →k= 0,84
Por tanto:
= 0,84 →x= 7,84
Debe obtener una media de 7,84 puntos o superior.
32En un estadio deportivo se quieren instalar focos para iluminar el campo de
juego. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es, apro-
ximadamente, normal con media de 1 500 horas y desviaci ón típica de
200 horas.
x– 5,8
2
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
17
x
i 012
p
i0,36 0,48 0,16
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
12
p
i
x
i

558. a) Escogiendo uno de los focos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que luzca
por lo menos 1 000 horas?
b) Si se decide comprar 1 500 focos, ¿cuántos puede esperarse que luzcan
por lo menos 1 000 horas?
xes N(1 500, 200)
a)P[x≥1 000] = P[z≥–2,5] = P[z≤2,5] = 0,9938
b) 1 500 · 0,9938 = 1 490,7 ≈1 491 focos
33El número de visitantes que diariamente acuden a una exposición se distri-
buye según una normal N(2 000, 250).
a) Halla la probabilidad de que un día determinado el número de visitantes
no supere los 2 100.
b) Calcula la probabilidad de que un día cualquiera los visitantes sean más
de 1 500.
c) En un mes de treinta días, ¿en cuántos días cabe esperar que el número de
visitantes supere los 2 210?
x~ N(2 000, 250) → z~ N(0, 1)
a)P[x≤2 100] = P[z≤0,4] = 0,6554
b)P[x≥1 500] = P[z≥–2] = P[z≤2] = 0,9772
c)P[x≥2 210] = P[z≥0,84] = 0,2004
30 · 0,2004 = 6,012 → 6 días
34La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dé en el blan-
co es 0,4. Si se lanzan 6 torpedos, halla la probabilidad de que:
a) Solo uno dé en el blanco.
b) Al menos uno dé en el blanco.
xes B(6; 0,4)
a) P[x= 1] =
()
· 0,4 · 0,6
5
= 0,1866
b) P[x≥1] = 1 – P[x= 0] = 1 – 0,6
6
= 0,9533
35a) Calcula el valor de kpara que la función sea una función de densidad.
f(x) =
b) Halla las probabilidades:
P[2 < x< 5] y P[4 <x< 6]
c) Obtén la expresión de la función de distribución.
0,x< 1
k,1 ≤x≤5
3k, 5 < x≤7
0,x> 7







6
1
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
18

559. a)
El área bajo la curva debe ser 1:
Área = 4k+ 2 · 3k= 4k+ 6k= 10k= 1 →k =
b)P[2 < x< 5] = (5 – 2) · = = 0,3
P[4 < x< 6] = P[4 < x< 5] + P[5 < x< 6] = + = = = 0,4
c) Si x≤1 →F(x) = 0
Si 1 ≤x≤5 →F(x) = (x– 1) · =
Si 5 ≤x≤7 →F(x) = + (x– 5) · = =
Si x≥7 →F(x) = 1
F(x) =
36En las últimas elecciones celebradas en un cierto país, la abstención fue del
25% del censo electoral.
a) Si se seleccionan al azar tres individuos del censo, ¿cuál es la probabilidad
de que ninguno haya votado?
b) Si se toman al azar 100 miembros del censo, ¿cuál es la probabilidad de
que se hayan abstenido al menos 30?
a)xes B(3; 0,25)
P[x= 3] = 0,25
3
= 0,0156
b)xes B(100; 0,25) → x'es N(25; 4,33)
P[x≥30] = P[x'≥29,5] = P[z≥1,04] = 0,1492
37Un examen tipo test tiene 50 preguntas y cada pregunta tres respuestas dife-
rentes, solo una de las cuales es correcta. Para aprobar, hace falta responder
correctamente a 25 preguntas; para un notable, 35; y para un sobresaliente,
45 respuestas.
Un estudiante responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe? ¿Y
la de que saque un notable? ¿Y un sobresaliente?
0 si x≤1
x– 1
–––––––si 1 ≤x≤5
10
3x– 11
–––––––––si 5 ≤x≤7
10
1 si x≥7
Por tanto:
3x– 11
10
4 + 3x– 15
10
3
10
4
10
x– 1
10
1
10
2 54
10
3
10
1
10
3
10
1
10
1
10
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
19
k
3k
1 5 7










560. xes B(50; 0,333) → x'es N(16,66; 3,33)
P[x≥25] = P[x'≥24,5] = P[z≥2,35] = 0,0094 → probabilidad de aprobar
P[x≥35] = P[x'≥34,5] = P[z≥5,36] = 0
La probabilidad de sacar notable o sobresaliente es 0.
Página 397
CUESTIONES TEÓRICAS
38En una distribución B(4; 0,25) comprueba que:
P[x= 0] + P[x= 1] + P[x= 2] + P[x= 3] + P[x= 4] = 1
0,75
4
+ 4 · 0,25 · 0,75
3
+ 6 · 0,25
2
· 0,75
2
+ 4 · 0,25
3
· 0,75 + 0,25
4
= 1
39Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. ¿Qué es más probable:
ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se to-
man en consideración.)
Ganar dos de cuatro:
B
(
4, )
; p[x= 2] = 6 · ()
2
· ()
2
=
Ganar tres de seis:
B
(
6, )
; p[x= 3] = 20 · ()
3
· ()
3
= =
Es más probable lo primero: ganar dos de cuatro.
40En una mano de póker se dan 5 cartas a cada jugador. Nos preguntamos por
la probabilidad de que un jugador tenga k figuras (k= 0, 1, 2, 3, 4 ó 5).
¿Por qué no es una distribución binomial?
Cada vez que se extrae una carta de la baraja, varía la composición de esta. Por tan-
to, la probabilidad de “
FIGURA” no es constante para cada una de las cinco cartas.
41Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial
y di los valores de n, p, µ y σ.
a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respuestas,
de las que solo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es el número de
preguntas acertadas?
b) En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las res-
puestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos pregunta-
mos cuántas de ellas acertará.
c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras.
d) El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque sea
el reintegro. En una familia juegan a 46 números.
e) El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Nú-
mero de soldaduras defectuosas que habrá.
5
16
20 641 21 21 2
6
16
1 21 21 2
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad 20

561. a) B(
50; )
; µ = = 16,67; σ = 3,33
b) B
(
30; )
; µ = 10; σ = 2,58 relativo a las que contesta al azar
c) B
(
400; )
; µ = 200; σ = 10
d) B(46; 0,11); µ = 5,06; σ = 2,12
e) B(1 000; 0,01); µ = 10; σ = 3,15
PARA PROFUNDIZAR
42En el proceso de fabricación de una pieza intervienen dos máquinas: la má-
quina A produce un taladro cilíndrico y la máquina B secciona las piezas
con un grosor determinado. Ambos procesos son independientes.
El diámetro del taladro producido por A, en milímetros, es N(23; 0,5).
El grosor producido por B, en milímetros, es N(11,5; 0,4).
a) Calcula qué porcentaje de piezas tienen un taladro comprendido entre
20,5 y 24 mm.
b) Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor entre 10,5 y
12,7 mm.
c) Suponiendo que solo son válidas las piezas cuyas medidas son las dadas
en a) y b), calcula qué porcentaje de piezas aceptables se consiguen.
☛
Se supone que las medidas están dadas exactamente.
a)P[20,5 ≤x≤24] = P[–5 ≤z≤2] = 0,9772 → 97,72%
b)P[10,5 ≤x≤12,7] = P[–2,5 ≤z≤3] = 0,9925 → 99,25%
c) 0,9772 · 0,9925 = 0,9699 → 96,99%
43Un test de sensibilidad musical da resultados que se distribuyen N(65, 18).
Se quiere hacer un baremo por el cual, a cada persona, junto con la puntua-
ción obtenida, se le asigna uno de los siguientes comentarios:
• duro de oído;
• poco sensible a la música;
• normal;
• sensible a la música;
• extraordinariamente dotado para la música,
de modo que haya, respectivamente, en cada uno de los grupos, un 10%, un
35%, un 30%, un 20% y un 5% del total de individuos observados.
¿En qué puntuaciones pondrías los límites entre los distintos grupos?
1
2
1 3
50
3
1 3
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad 21

562. Empezamos trabajando en una N(0, 1):
El valor de z bajo el cual un 10% de la población es opuesto a aquel por encima
del cual hay un 10%, es decir, por debajo del cual hay un 90%.
Este es, mirando las tablas, 1,28, aproximadamente.
(Obsérvese que P(z≤1,28) = 0,8997 es la más próxima a 0,9).
Por tanto, P[z≤–1,28] ≈0,1.
Análogamente, el valor correspondiente al 45% (10% + 35%) lo obtenemos bus-
cando en la tabla una probabilidad lo más próxima posible al 55%, es decir, a
0,5500.
Esta está en el 0,13.
Por tanto, P[z≤–0,13] ≈0,45
• P[z≤k] = 0,75→ k≈0,68
• P[z≤k] = 0,95→ k≈1,65
El baremo lo realizamos “destipificando” los valores obtenidos para z:
–1,28 →(–1,28) · 18 + 65 = 41,96
–0,13 →(–0,13) · 18 + 65 = 62,66
0,68 → 0,68 · 18 + 65 = 77,24
1,65 → 1,65 · 18 + 65 = 94,7
BAREMO
Hasta 41: duro de o ído
de 42 a 62: poco sensible a la m úsica
de 63 a 77: normal
de 78 a 94: sensible a la m úsica
de 95 en adelante: extraordinariamente dotado
PARA PENSAR UN POCO MÁS
44En una circunferencia se señalan 16 puntos igualmente espaciados.
Se eligen al azar tres de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo de-
terminado por ellos:
a) sea equilátero?
b) sea rectángulo?
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
22

563. a)
α = = 22,5 °= 22°30'
Para que el triángulo fuera equilátero, debería ser:
nα= 120°→ n= = 5,
)
3
que no es entero; por tanto, es imposible que el triángulo sea equilátero. (Para
poder obtenerlo, el número de puntos señalados debería ser múltiplo de 3).
Así: P[equilátero] = 0
b) Llamamos A, B, Ca los vértices.
Para que el triángulo sea rectángulo, dos de
sus vértices deben ser opuestos respecto al
centro de la circunferencia. Luego la probabi-
lidad pedida es:
P[Bopuesto a A] + P[Bno opuesto a A] ·
· P[Copuesto a Ao a B] =
= + · = = = 0,2
45Un grupo de viajeros, al acabar una excursión, intercambiaron sus fotogra-
fías. Averigua cuántos eran sabiendo que se intercambiaron 812 fotografías.
Si nes el número de viajeros, se intercambiaron n· (n– 1) fotografías; es decir:
n(n– 1) = 812
Descomponiendo 812 en factores primos, observamos que:
812 = 2
2
· 7 · 29 = 28 · 29
Por tanto, n= 29 viajeros.
46En la autopista, un cierto conductor cambia de carril cada minuto. Si la auto-
pista tiene cuatro carriles y el conductor pasa al azar de uno a otro, ¿cuál es
la probabilidad de que cuatro minutos más tarde se encuentre en el carril de
partida? (Estudia los casos en que el carril sea interior o exterior.)
Llamamos A, B, C, Da cada uno de los cuatro carriles.
1
5
3
15
2
14
14 151
15
120°
22,5°
360°
16
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
23
n α
α
A
B
C
ABCD

564. Hacemos un diagrama en árbol:
1
er
CASO
: parte de un carril exterior (de Ao de D):
P[acabar en Apartiendo de A] = + =
Análogamente:
P[acabar en Dpartiendo de D] =
2-º
CASO: parte de un carril interior (de Bo de C):
P[acabar en Bpartiendo de B] = + + + + =
Análogamente:
P[acabar en Cpartiendo de C] =
11
16
11 161 81
16
1 81 81 4
3 8
3 81 81 4
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad 24
1
_
er
minuto 2-º minuto 3
_
er
minuto 4-º minuto
A
C
BA
C
B
B
1
1
1
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
D
A
A
C
C
1
_
er
minuto 2-º minuto 3
_
er
minuto 4-º minuto
A
C
BA
C
B
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
D
B
B
B
C
D
1/2
1/2
1/2
1/2
1
A
C
B
B
D
1/2
1/2
1/2
1/2
1
B
D
1/2
1/2

565. Página 398
RESUELVE TÚ
Estimando la población española en 40 millones, ¿en cuántos de los españoles,
aproximadamente, se dará la circunstancia de que sus padres y alguno de sus
cuatro abuelos cumplan años el 1 de enero? (Para simplificar la resolución, ol-
videmos la posibilidad de nacer el 29 de febrero.)
P[una persona nazca el 1 de enero] =
P[padre y madre nazcan el 1 de enero] =
()
2
= 7,5 · 10
–6
P[ninguno de los cuatro abuelos nazca el 1 de enero] = ()
4
= 0,9891
P[alguno de los cuatro abuelos nazca el 1 de enero] = 1 – 0,9891 = 0,0109 = 1,09 · 10
–2
Por tanto:
P[los padres y uno de los abuelos nazca el 1 de enero] =
= 7,5 · 10
–6
· 1,09 · 10
–2
= 8,175 · 10
–8
8,175 · 10
–8
· 40 000 000 = 3,27
Es probable que en España haya 3 personas con esas circunstancias.
364
365
1
365
1
365
Unidad 15. Distribuciones de probabilidad
25