Matematica 4 - Editorial Pilares X2 Ccesa007.pdf

4
Educación Secundaria
Libro de Actividades
Pilares
Proyecto educativo
ARITMÉTICA ÁLGEBRA GEOMETRÍA
Grandes Libros
G r u p o E d i t o r i a l
INICIALES MATS4 CT.indd 1 27/02/2020 18:58:18

Practicamos la democracia
para convivir en armon?a
−

Enfoque tranversal

Valores
Desempeños
? ???
? ??? ?
? ???????
Observamos y respondemos
Geometría
Unidad I
? ? ?

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?
?
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Unidad II
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Unidad III
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Unidad IV
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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
128
129 Aritm?tica
Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Unidad 1
21
Nivel intermedio
4. −−−−−

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−−

−

−

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5. ?−?
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Nivel avanzado
8. ?? ??????????? ?
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71
¡Qué importante es
trabajar en equipo!
Unidad I
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Unidad II
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Unidad III
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Unidad IV
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− ? ?
? ? ?
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Enfoque transversal
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?
Valores
Desempeños
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Observamos y respondemos
Álgebra
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial . El contenido del libro está dividido por áreas: Aritmética, Álgebra y Geometría, lo cual
ayudará al alumno a comprender con exactitud cada tema trabajado en clase. Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
20
Operaciones básicas en
:
Recordamos lo aprendido
−

−

−

−

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−
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?
−??
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−

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−
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−
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−
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. ??
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−

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−
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2. ?????
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3. ????
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?−?−?
? ???
−??????
??−???−?
Apertura del área
Presenta situaciones retadoras gracias a las cuales movilizarás tus habilidades,
destrezas, valores y afectos a través del diálogo y la apreciación personal.
Título del área
Presenta los aprendizajes
esperados.
Formula
preguntas para
orientar el análisis
de la imagen.
Presenta
un texto
motivador.
El desarrollo de
los ejercicios
se encuentra
diferenciado por
3 niveles: básico,
intermedio y
avanzado.
Se presenta un
resumen de la teoria
que sirve de apoyo
en la resolución de
los ejercicios. Valoramos a todas las
personas por igual
Unidad I
? −

?

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?
?

? −
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?

Unidad II
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Unidad III
?

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? −

?

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Unidad IV
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?

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−
Enfoque transversal
Desempeños
Aritmética
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Valores
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Observamos y respondemos
6 7
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Organizadores internos
Conociendo nuestro libro
Se integra el enfoque transversal y los valores a trabajar en la unidad.
INICIALES MATS4 CT.indd 2 27/02/2020 18:58:20

TIC: sugiere enlaces de Internet, donde
encontrarás información adicional rela-
cionada al tema tratado.
TIC
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
177
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. SieilponmP xmP pi(omnmP (ixP )o29oineiP elm iCoaP
cu0S1P6oPcS
P:PA=
–M
S
i e
l
p
a. +m
A
b. +m
3
c. m
A
d. m
2. SixPlapHao(iP
EmxxmPixP[mxalP(iPmM
=–+ ponmnSP
a. ???? b. ???? c. ????? d. ??
3. −?
???
Si
Si
ei
ei
l
p o
n
a. ?? b. ?? c. ??? d. ??
4. ?−?
CmxC9xmPixP[mxalP(iP−M
Si
ei
il p
o
a
Si
a. ??? b. ?? c. ?? d. ??
Nivel intermedio
5. snPixP2lGRoCabP
???
−
i
e
l
p
o
o
nm
P
xm( )2(
a.
3
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b.
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+
c.
A
+A?+
d.
3
+A
6. −?????
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(ieilponmPixP[mxalP(iP?
M
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p
o
a. ? b. ? c. ?? d. ?
7. 6imP ixP elm iCoaP cu0SMP 6oP xmP (oRilinComP (iP xm)P
?
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MP
Sie
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o
n m
P
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Nivel avanzado
8. 6imP cu0SP 9nP elm iCoaP o)f)Cixi)P gP 0SsP 9nP
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P
x
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9. ?−???
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6oP?
P:P?−? ???
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M
a. ? b. ? c. ?? d. ??
Nivel destacado
(UNMSM 2017 - II)
10. snP xmP Ro29lmbP cu0SP i)P 9nP mlmxixa2lmpaP C9gaP
?? ?−?
P i)P Ho)iCelo.P (ixP
Gn29xaP cS0MP
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MPP
−
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c. 3
d. ??
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] A + 3 4 q I j 7 ]r
m H ( m C m C m ( H
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Álgebra
97
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
4. Si el polinomio
Px
x
x
()−
i
2
9
Calcula
P(0)
P(16)
Nivel intermedio
5. Si:
A(x) = x – 2
M(x) = x + 3

Halla E = M[M[A(–1)]] + A[A[M(2)]]
6. Sea el polinomio:
I(x) = (ax – b)(x – 4) – 5(x
2
– c)
Si I(x) = 0,
encuentra a × b × c
7. Sea el polinomio:
Px xy mn
nm()− ii1595
22
Si se sabe que: GR(x) = 52 y GR(y) = 47

Halla: m+n
8. Calcula: P(10) si se rige bajo la siguiente ley
Px
xx xx xx
()−
i
i
ii
i
ii
e
l
p
o
n
m
11
32
1
56
22 2
9. Halla: a – b + c; si se sabe que el polinomio:
Q(x) = x(a – 10) + x(a – b+5) + x(c – b + 6)
Es completo y ordenado en forma decreciente.
Reemplazamos los valores de x de la si- guiente manera:
xP
xP
Si −
e
−
Si −
e
−
00
20
09
0
16 0
216
169
32
5
()
()
()
()
()
()
Entonces tenemos:
P
P
()
()
0
16
0
32
5
=
Por lo tanto,
P(0)
P(16)
= 0
Resolvemos paso por paso:
A(–1) = (–1) – 2 = –3 ⇒ M(–3) = –3 + 3 = 0
⇒ M(0) = 3 ⇒ M [M [A(–1)]] = 3
M(2) = 2 + 3 = 5 ⇒ A(5) = 5 – 2 = 3
⇒ A(3) = 3 – 2 = 1 ⇒ A[A[M(2)]] = 1
Por lo tanto, E = 3 + 1 = 4
Si: I(x) = ax
2
– bx – 4ax + 4b – 5x
2
+ 5c
I(x) = (a – 5)x
2
– (b + 4a)x + (4b + 5c)
Y por dato: I(x)=0
⇒(a – 5)x
2
– (b + 4a)x + (4b + 5c) = 0
Entonces:
a – 5 = 0 ∧ b + 4a = 0 ∧ 4b + 5c = 0
a = 5 ∧ b + 4(5) = 0 ∧ 4b + 5c = 0
a = 5 ∧ b = –20 ∧ 4(–20) + 5c = 0
a = 5 ∧ b = –20 ∧ 5c = 80
a = 5 ∧ b = –20 ∧ c = 16
Por lo tanto, a × b × c = (5)(–20)(16) = –1600
Como:
GR(x) = 52 entonces 2m + n = 52
GR(y) = 47 entonces m + 2n = 47
Sumamos ambos resultados:
2m + n + m + 2n = 52 + 47
⇒ 3m + 3n = 99
Por lo tanto, m + n = 33
Como es completo sabemos que tiene que
tener todos sus exponentes.
Y como es ordenado de forma decreciente
tenemos que:
a – 10 = 2
a – b + 5 = 1
c – b + 6 = 0
Los exponen-
tes de forma
decreciente.
De la primera ecuación tenemos: ⇒ a = 12
Reemplazamos “a”: 12 − b + 5 = 1 ⇒ b = 16
Reemplazamos “b”: c − 16 + 6 = 0 ⇒ c=10
De lo que nos piden tenemos:
a − b + b = 12 − 16 + 10
Por lo tanto, a − b + c = 6
Reemplazamos el valor de x de la
siguiente manera: x = 10

x
P
P
−
iS
e
e
ee
e
ee
l
p
o
n
m
P
10
10
1
10 10
1
1031
02
1
105106
22
2
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1
110
1
132
1
156
)Se e

x
P
P
−
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e
e
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m
P
10
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1
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1
1051
06
22
2
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(110
1
110
1
132
1
156
)Se e
x
P
P
−
iS
e
e
ee
e
ee
l
p
o
n
m
P
10
10
1
10 10
1
103102
1
105106
22 2
()
() () () () ()
(110
1
110
1
132
1
156
)Se e
Por lo tanto, P(10) =
3
130
Formula preguntas para orientar el análisis de la imagen.
Para el desarrollo del libro se presentan secciones diferenciadas por medio de unidades.
Se plantea una serie de ejercicios para reforzar en casa lo aprendido en clase.
Se presenta un ejercicio con un nivel mayor a los ya mencionados, para fomentar la investigación en los estudiantes.
Cajitas adicionales
Enlace: como su nombre lo dice, vincula lo
trabajado con contenidos afines.
Dato importante: brinda información
sustancial al tema trabajado.
En 5 minutos: propone actividades sen-
cillas que deberás realizar en el aula.
Metacognición: son preguntas formu-
ladas para que reflexiones sobre tu propio aprendizaje.
Sabías que... presenta datos curiosos
que brindan información complemen- taria al tema.
En 5 minutos
Indica cuál de los enunciados son correctos.
••Seno y secante no son R.T. recíprocas
••Cotangente y tangente son R.T. recíprocas
••Coseno y secante no son R.T. recíprocas
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Enlace
Dato importante
Para ubicar un punto P(x;y) en el plano
cartesiano, primero debemos reconocer el
signo de la abscisa y la ordenada para de
esta manera saber en que cuadrante se
encuentra.
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las su-
peré?
••¿Para que me sirve lo aprendido en este
tema?
El teorema de Pitagoras es una herramienta
muy usada en la resolución de problemas que
involucran las R.T. de ángulos agudos.
Sabías que... Básico Intermedio Avanzado
1 74
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Cuadrilateros
Recordamos lo aprendido
Sielp onp mPxp ()2imPxp 9) nC9PCnxp onp i)p
ailoC9m( nCPc
Spupipupepuplp0p16:A
=Cl–na9P
eno9l)lcpep0p
lpupM
+
e
M
l
3
HE
[
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l
M
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E
H
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Mpppl
+
?
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l
M
E
E
a
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H
E
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3
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H
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3
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H
E
3
[
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E
H
E [
3
Sp0pi
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. ?????
4x
2x
5x
3x
A
C
D
B
3PePp nxp i)p ailoC9m( nCPp mlp xielp onp mPxp
()2imPxp9) nC)Pxpnxp92ilmplp16:A
?
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???np16:A
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16:A
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2. ???−
p0p+:ppp
A
a
B C
D
a
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?
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A
B C
D1010
3PePp[3pn?n? ?
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+
p
??
epn?? Básico Intermedio Avanzado
96
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Polinomios
SielponmlPx(lxn)pi2o9ol
lpmnxCi2ipn(
acu0x1xn

2
x:xn
A

2x=xA
x:x–––x:xn2x=xA
ux:xn
2
Mxn

x+x6
apl)9ionoiP3
A–x
eliH9e9i2Eioia
u)c0c0S
i
A
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???
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???
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?
?? ?? ? ?? ??
????????
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. ?= ?=–=??= P93
??
[
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2. ?3=?=–=n
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c0−
ie
l
p
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A
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x Pl2x
?
3. ??= i(=eliH9e9i2Ei= oi(=?= n(=?= i(=
)l(92lm9l3=
x acuMxs0x ?

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x??
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? 2x+x[x x2x–?⇒? x–[
? nx–? ?⇒xnx–xc –[0 x ?⇒xnx x[
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x xA
cn
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x–xA0x xc[0
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x–xAx ?
alpx (lx En2Elrx (lx q5ix 2lPx )9oi2x iPx i(x eliH9f
e9i2Eixoi(xml2lm9l3xAx+? ?
INICIALES MATS4 CT.indd 3 27/02/2020 18:58:21

ARITMÉTICA
1
Valoramos
a todas las
personas por
igual
6 − 7
Valores
Tolerancia
Compañerismo
Enfoque
tranversal
Inclusivo o de
atención a la
diversidad
Lógica proposicional 9
Teoría de conjuntos 12
Sistemas de numeración 16
Operaciones básicas en el conjunto Z
+
20
Teoría de la divisibilidad 23
Estadística 26
2
Estudio de los divisores
positivos de un número 31
MCD y MCM 34
Razones y proporciones 37
Fracciones 41
Gráficos estadísticos 45
3
Magnitudes proporcionales 50
Regla de tres 54
Porcentajes 58
Promedios 61
Regla de interés 65
Medidas de tendencia central 68
4
Regla de mezcla 72
Regla de descuento 76
Análisis combinatorio 79
Probabilidad 83
Medidas de tendencia no central 87
ÁLGEBRA
1
¡Qué importante
es trabajar en
equipo!
90 − 71
Valores
Empatía
Generosidad
Enfoque
tranversal
Orientación al bien
común
Teoría de exponentes
93
Polinomios 96
Productos notables 100
División algebraica 103
Factorización 106
2
Radicación y racionalización 110
Factorial de un número 113
Binomio de Newton 116
Números complejos 119
Ecuaciones lineales y cuadráticas 122
3
Ecuación bicuadrada 126
Matrices y determinante 130
Sistema de ecuaciones lineales 133
Logaritmos 136
Ecuaciones logarítmicas 139
4
Inecuaciones lineales y cuadráticas 143
Inecuaciones irracionales y valor absoluto
146
Funciones I 149
Funciones II 152
Límites 155
GEOMETRÍA
1
Practicamos
la democracia
para convivir en
armonía
158− 159
Valores
Responsabilidad
Autonomía
Enfoque
tranversal
de derechos
Ángulos 161
Triángulos 164
Triángulos notables 167
Congruencia de triángulos 171
Cuadriláteros 174
2
Polígonos
179
Circunferencia 183
Proporcionalidad geométrica 186
Semejanza de triángulos 190
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
193
3
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos
198
Relaciones métricas en la circunferencia
202
Puntos notables en el triángulo 205
Área de figuras geométricas 209
Geometría del espacio I 213
4
Geometría del espacio II 217
Poliedros regulares 220
Prisma y pirámide 224
Cilindro y cono 228
Esfera y sólidos de revolución 232
Geometría analítica 236
Competencias
• Resuelve problemas de cantidad
• Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
• Resuelve problemas de movimiento, forma y localización
• Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Capacidades
• Traduce cantidades a expresiones numéricas
• Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones
• Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo
• Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones
• Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas
• Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas
• Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales
• Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia
• Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones
• Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas
• Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio
• Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas
• Representa datos con gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas
• Comunica la comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos
• Usa estrategias y procedimientos para recopilar y procesar datos
• Sustenta conclusiones o decisiones en base a información obtenida
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GEOMETRÍA
1
Practicamos
la democracia
para convivir en
armonía
158− 159
Valores
Responsabilidad
Autonomía
Enfoque
tranversal
de derechos
Ángulos 161
Triángulos 164
Triángulos notables 167
Congruencia de triángulos 171
Cuadriláteros 174
2
Polígonos 179
Circunferencia 183
Proporcionalidad geométrica 186
Semejanza de triángulos 190
Relaciones métricas
en el triángulo rectángulo 193
3
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos
198
Relaciones métricas en la circunferencia
202
Puntos notables en el triángulo 205
Área de figuras geométricas 209
Geometría del espacio I 213
4
Geometría del espacio II 217
Poliedros regulares 220
Prisma y pirámide 224
Cilindro y cono 228
Esfera y sólidos de revolución 232
Geometría analítica 236
Competencias
• Resuelve problemas de
cantidad
• Resuelve problemas de
regularidad, equivalencia y cambio
•
Resuelve problemas de
movimiento, forma y localización
•
Resuelve problemas
de gestión de datos e incertidumbre
Capacidades
•
T<> raduce cantidades a
expresiones numéricas
• Comunica su
comprensión sobre los números y las operaciones
•
Usa estrategias y
procedimientos de estimación y cálculo
•
Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las
operaciones
•
Traduce datos
y condiciones a expresiones algebraicas
•
Comunica su
comprensión sobre las relaciones algebraicas
•
Usa estrategias y
procedimientos para encontrar reglas generales
•
Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia
•
Modela objetos con
formas geométricas y sus transformaciones
•
Comunica su
comprensión sobre las formas y relaciones geométricas
•
Usa estrategias y
procedimientos para orientarse en el espacio
•
Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas
•
Representa datos con
gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas
•
Comunica la
comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos
•
Usa estrategias y
procedimientos para recopilar y procesar datos
•
Sustenta conclusiones
o decisiones en base a información obtenida
INICIALES MATS4 CT.indd 5 27/02/2020 18:58:21

Valoramos a todas las
personas por igual
Unidad I
• Interpreta proposiciones lógicas y las
expresa mediante lenguaje matemático.
• Resuelve operaciones entre conjuntos que
involucren unión, intersección, diferencia
simétrica y complemento de un conjunto.
• Convierte numerales a distintas bases de
numeración.
• Efectúa problemas de números enteros
haciendo uso de sus propiedades.
• Reconoce los criterios de divisibilidad para la
resolución de ejercicios.
• Interpreta los conceptos básicos de la
estadística, población, muestra, variable, etc.
• Construye tablas de distribución de
frecuencias para datos no agrupados y agrupados.
Unidad II
• Clasifica los números según su cantidad de
divisores usando las distintas propiedades.
• Identifica el MCD y MCM de un conjunto de
números mediante distintos métodos.
• Determina el tipo de razón que tienen un
grupo de números: razón geométrica o aritmética.
•
Resuelve problemas que involucren
fracciones haciendo uso de sus propiedades.
• Representa datos estadísticos mediante gráficos como: circular, barras, histogramas, etc.
•
Analiza los gráficos estadísticos para dar una
correcta interpretación de los mismos.
Hoy en día, sin importar nuestra situación, debemos de tener una educación de calidad y en la cual el desarrollo de la misma no se limite por las distintas discapacidades que podamos tener, ya sea física, lingüística, sensorial, etc. Es por ello, que tenemos que aprender a respetar a todas las personas independientemente de su condición, para que así, todos tengamos las mismas oportunidades y condiciones para nuestro desarrollo personal.
Inclusivo o de atención a la diversidad
Enfoque transversal
Desempeños
Tolerancia, compañerismo
ValoresProhibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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6
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Unidad III
• Reconoce si dos o más magnitudes son
directa o inversamente proporcionales.
• Emplea la regla de tres simple o compuesta
para el desarrollo de problemas.
• Identifica las reglas de descuento y aumento
sucesivos referente al tanto por ciento en
aplicaciones comerciales.
• Calcula los distintos tipos de promedio que
puedan tener un conjunto de números.
• Resuelve problemas relacionados a interés
simple o interés compuesto.
• Determina el valor de las diversas medidas
centrales de un conjunto de datos.
Unidad IV
• Selecciona la estrategia conveniente para
resolver problemas que involucran mezclas y aleaciones.
•
Reconoce los elementos y las clases
de descuento: descuento comercial y descuento racional.
•
Calcula las posibles combinaciones y
permutaciones que puedan tener distintas situaciones.
•
Determina la probabilidad de que ocurra
cierto evento aleatorio.
• Interpreta las medidas de tendencia no
centrales; cuartiles, deciles, percentiles.
Aritmética
• ¿<> Crees que todos tenemos que tener las mismas oportunidades de desarrollo personal?
• Actualmente ¿La sociedad contribuye para qué se dé la equidad de oportunidades?
• ¿De qué forma podemos ayudar?
Observamos y respondemosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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7
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UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación Secundaria
ARITMÉTICABásico Intermedio Avanzado
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8
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Aritmética UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación SecundariaBásico Intermedio Avanzado
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Unidad 1
9
Lógica proposicional
Recordamos lo aprendido
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p ∨ q
V V V V F V
F V V F F F
Conjunción
p y q ≡ p ∧ q
Disyunción
p o q ≡ p ∨ q
p q p ∆ q
V V F V F V
F V V F F F
p q p ↓ q
V V F V F F
F V F F F V
Disyunción Exclusiva
o p o q ≡
p ∆ q
Negación Conjunta
ni p ni q ≡
p ↓ q
p q p ↔ q
V V V V F F
F V F F F V
p q p → q
V V V V F F
F V V F F V
Bicondicional
p si solo si
q ≡ p
↔ q
Condicional
si p entonces
q ≡ p
→ q
Leyes de la lógica proposicional
1. Ley de identidad:
p ∨ V ≡ V; p ∨ F ≡ p; p ∧ V ≡ p; p ∧ F ≡ F
2. Le<> y de absorción:
p ∨ (p ∧ q) ≡ p; p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (∼p ∧ q) ≡ p ∨ q

p ˄ (∼p ˅ q) ≡ p ∧ q
3. Ley de Morgan:
∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q

∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q
4. Ley de la condicional:
p → q ≡ ∼p ∨ q ; p → q ≡ ∼q → ∼p
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Simboliza la siguiente proposición:
Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol
y las brujas no se peinan.
p: Llueve.
q: Hace sol.
r: Las brujas se peinan.
(p ∧ ∼r) ∨ (q ∧ ∼r)
2. Expresa en símbolos la siguiente proposición:
Cuando uno no tiene imaginación, la muerte
es poca cosa; cuando uno la tiene, la muerte es
demasiado.
p: Tener imaginación.
q: La muerte es poca cosa.
(∼p → q) ∧ (p → ∼q)
3. Identifica si la siguiente fórmula lógica resulta ser
una tautología, contradicción o contingencia:
(∼p ∧ ∼q) → ∼p
p q (∼p ∧∼q) → ∼p
V V F F F V F
V F F F V V F
F V V F F V V
F F V V V V V
Es una tautología porque su tabla de ver- dad es verdadera.
4. Simplifica:
(p → ∼q) ∧ (q → ∼p) ∧ q
(∼p ∨ ∼q) ∧ (∼q ∨ ∼p) ∧ q
(∼p ∨ ∼q) ∧ (∼p ∨ ∼q) ∧ q
(∼p ∨ ∼q) ∧ q
∼p ∨ (∼q ∧ q)
∼p ∨ F
∼p
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Básico Intermedio Avanzado
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 10
Nivel intermedio
5. Resuelve la tabla de verdad de la siguiente ex-
presión:
∼p ∨ [q ↔ ∼(p ∆ ∼q)]
e indica el resultado de la matriz principal.
p q ∼p ∨[q↔∼(p ∆∼q)]
V V F F V F F V V F
V F F F F F V V F V
F V V V V V V F F F
F F V V F V F F V V
Por lo tanto, el resultado de la matriz prin- cipal es:
FFVV
6. Simplifica:
[∼(p
→ q) → ∼(q → p)] ∧ (p ∨ q)
[∼(∼p ∨ q)
→ ∼(q → p)] ∧ (p ∨ q)
[(∼p ∨ q) ∨ ∼(∼q ∨ p)] ∧ (p ∨ q)
[(∼p ∨ q) ∨ (q ∧ ∼p)] ∧ (p ∨ q)
Asociando adecuadamente:
[∼p ∨ (q ∨ (q ∧ ∼p))] ∧ (p ∨ q)
Por absorción: (∼p ∨ q) ∧ (p ∨ q)
Por distributiva: (∼p ∧ p) ∨ q ≡ F ∨ q ≡ q
7. Simboliza la siguiente proposición:
Si los elefantes volaran o supieran tocar el acor-
deón, pensaría que estoy loco y dejaría que me
internaran en un psiquiátrico.
p: Los elefantes vuelan.
q: Los elefantes tocan el acordeón.
r: Estar loco.
s: Internar en un psiquiátrico.
(p ∨ q) → (r ∧ s)
8. Expresa en símbolos la siguiente proposición:
Como la materia no se crea ni se destruye, solo
se transforma, luego el universo siempre ha
existido.
p: La materia se crea.
q: La materia se destruye.
r: La materia se transforma.
s: El universo siempre ha existido.
[(∼p ∧ ∼q) → r] → s
Nivel avanzado
9. Se define el siguiente operador lógico p @ q
mediante la siguiente tabla:
p q p @ q
V V F
V F F
F V F
F F V
Indica el resultado de la matriz principal de:
(p @ q) @ (q @ p)
p q (p @ q)@ (q@ p)
V V V F V V V F V
V F V F F V F F V
F V F F V V V F F
F F F V F F F V F
Por lo tanto, el resultado de la matriz prin- cipal es:
VVVF
10. Se define el siguiente operador lógico p ⊛ q mediante la siguiente tabla:
p q p ⊛ q
V V F
V F V
F V V
F F F
Halla los valores de verdad de:
[(∼p ⊛ q) ⊛ p] ∨ ∼p
p q [( ∼p⊛ q)⊛p]∨∼p
V V F V V F V F F
V F F F F V V V F
F V V F V F F V V
F F V V F V F F V
Por lo tanto, el resultado de la matriz prin- cipal es:
FVVF
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Aritmética Básico Intermedio Avanzado
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Unidad 1 11
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Simboliza la siguiente proposición:
“Mi perro es juguetón pero ya está viejo”
a. p ↔ q b. p ∧ q c. p ∨ q d. p → q
2. Expresa en símbolos la siguiente proposición:
“Escribiré con un lapicero negro en el examen
si y solo si tiene tinta”
a. p ↔ q b. q → p c. p → p d. q ∧ p
3. Simboliza la siguiente expresión:
“Si apruebo el examen iré de vacaciones a la
playa pero si no apruebo, iré a vacacional”
a. (p → q) ∧ (∼q ∨ p)
b. (q → p) ∧ r
c. (p → q) ∧ (∼p → r)
d. (q → p) ∨ r
4. Identifica si la siguiente fórmula lógica resulta
ser una tautología, contradicción u otros valo-
res de contingencia:
[(p ∆ q) ↓ p]
→ ∼q
a.
Tautología
b. VFVV
c. Contradicción
d. FVVF
Nivel intermedio
5.
Reconozca si la siguiente fórmula lógica resul- ta ser una tautología, contradicción u otros va- lores de contingencia:
(∼q
→ p) ↔ (p ∆ q)
a.
VFFF
b. Contradicción
c. FVVV
a. Tautología
6. Simplifica:
[(∼p ∧ q)
→ (q → p)] ∧ q
a.
q
b. p
c. q ∧ p
a. q ∨ p
7. Identifica si la siguiente fórmula lógica resulta ser una tautología, contradicción u otros valo- res de contingencia:
(∼p ∧ q)
→ (p ∨ q)
a.
VFFF
b. Contradicción
c. FVVV
d. Tautología
8. Resuelve la tabla de verdad de la siguiente ex- presión: ∼(p ∧ r) ∆ (q
→ ∼p)
Indica el resultado de la matriz principal.
a. VFFVVFFV
b. VFVFVFVF
c. FVVFFFFF
d. FVVFVVVV
Nivel avanzado
9.
Resuelve la tabla de verdad de la siguiente ex- presión:
(r
→ p) ↔ (p ∆ q)
a.
VFVVFVVF
b. FFVVFVVF
c. FFVVFVFV
d. VFVFVFVF
10. Efectúa la tabla de verdad de la siguiente ex- presión:
[(p
→ q) ∧ (q → r)] → (p → r)
Indica el resultado de la matriz principal.
a. FVFVFVFV
b. VFVFVFFV
c. VVVVVVVV
d. FFFVVVFF
11. Halla la tabla de verdad de la siguiente expre- sión:
[(p ∧ q)
→ r] ↔ ∼q
De la matriz principal identifica la diferencia de la cantidad de verdades con la cantidad de falsedades.
a.
8 b. 0 c. 1 d. 2
12. Resuelve la tabla de verdad de la siguiente ex -
presión:
[(∼p ∨ q) → (q ∧ p)] ↔ [(r → p) ↔ (p ∆ q)]
De la matriz principal halla la diferencia de la cantidad de verdades con la cantidad de falsedades.
a.
0 b. 1 c. −3 d. 2
Nivel destacado
13. Se define el siguiente operador lógico p ⊚ q.
p q p ⊚ q
V V F
V F V
F V F
F F F
Desarrollamos [(p ⊚ ∼q) ∨ (p ⊚ q)]
→ (∼p ⊚ q)
para obtener a y b.
Sean a la cantidad de V = verdaderos que sa-
len en la matriz principal y b la cantidad de
F = falsos.
Halla a
b
.
a. 3 b. 2 c. 4 d. 1
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b a c a c c d c b c d a c
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Básico Intermedio Avanzado
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Teoría de conjuntos
Recordamos lo aprendido
Teoría de conjuntos
Un conjunto es una agrupación o colección de
objetos que poseen algo en común.
Propiedades de cardinalidad
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) ⟺ A ∩ B = ∅
Propiedades de Inclusión de conjuntos
I. A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⟹ A = B
II. A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⟹ A ⊂ C
III. ∅ ⊂ A
Clases de conjuntos
a. Conjunto vacío: No tiene elementos.
b. C<> onjunto unitario: Tiene solo un elemento.
c. C<> onjunto universal: Contiene a los otros con-
juntos y está denotado con U.
d. Conjunto potencia P(A): Sus elementos son
todos los subconjuntos del conjunto A.
Propiedad:
n[P(A)] = 2
n(A)
Operaciones entre conjuntos
a) A ∪ B = B ∪ A
b) A ∪ A = A
c) A ∪ ∅ =A
d) A ∪ U = U
Unión Intersección
a) A ∩ B = B ∩ A
b) A ∩ A = A
c) A ∩ U = A
d) A ∩ ∅ = ∅
Diferencia(–): A – B = {x / x ∈ A y x ∉ B}
Propiedades con diferencia
I. A – A = ∅
II. A – ∅ = A
III. ∅ – A = ∅
IV. A – B ≠ B – A. (A ≠ B)
Diferencia simétrica(△): A △ B = (A – B) ∪ (B – A)
= (A ∪ B) – (B ∩ A)
Complemento del conjunto (A
C
):
A
C
= {x / x ∈ U ∧ x ∉ A}
Leyes de Morgan
• (<> A ∪ B)
C
= A
C
∩ B
C
• (<> A ∩ B)
C
= A
C
∪ B
C
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Dados los siguientes conjuntos, indica cuál de
ellos es un conjunto vacío. Justifica tu respuesta.
a. A = {x ∈ Z/ 7 ≤ x ∧ x ≤ 3}
b. B = {x ∈ Z/ x
2
= 9}
c. C = {x ∈ Z/ x + 3 = 3}
d. D = {x ∈ Z/ x
2
+ 2 = 0}
e. E = {x ∈ Z/ x ≠ 2k, k ∈ Z ∧ x divisible por 2}
A = ∅, pues no existe número que sea me-
nor que 3 y que a su vez sea mayor que 7.
D = ∅, pues no existe raíz cuadrada de un
número negativo.
E = ∅, pues si x es divisible por 2 entonces
x = 2k.
2. Clasifica de forma correcta los siguientes
conjuntos:
I. A = {x / x es un día del mes}
II. B = {x ∈ Z/ x número impar}
III. C = {x ∈ Z/ 7 ≤ x < 7}
IV. D = {x ∈ N/ x
2
– 2 = 0}
V. E = {x / x es un habitante del planeta tierra}
A es un conjunto finito,
B es un conjunto infinito,
C es un conjunto vacío,
D es un conjunto vacío,
E es un conjunto finito.
3. Escribe (V) si es verdadero o (F) si es falso en las siguientes proposiciones. Si A = {a; b; 0; 11; – 24}
I.
a ⊂ A ( )
II. 0 ∈ A ( )
III. ∅ ∈ A ( )
IV. A tiene 5 subconjuntos ( )
V. –24 ∈ A ( )
VI. A tiene 4 elementos ( )
I) (F) Porque ⊂ es de conjunto a conjunto.
II) (V)
III) (F) El ∅ está incluido en todo conjunto.
IV) (F) Se pueden formar más que 5 subconjuntos.
V) (V)
VI) (F) Porque tiene 5 elementos.
F
V
F
F
V
F
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Aritmética Básico Intermedio Avanzado
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Unidad 1 13
Nivel intermedio
4. Sea A y B dos conjuntos cualesquiera. Com-
pruebe que:
(A – B) ∪ (A ∩ B) = A y (A – B) ∩ (A ∩ B) = ∅
• (A – B) ∪ (A ∩ B) = (A ∩ B
c
) ∪ (A ∩ B)
= A ∩ (B
c
∪ B)
= A ∩ U = A
•
(A – B) ∩ (A ∩ B) = (A ∩ B
c
) ∩ (A ∩ B)
= A ∩ (B
c
∩ B)
= A ∩ ∅ = ∅
5. ¿Cuántos elementos tienen los conjuntos A y B, sabiendo que A y B solo tienen 2 elementos en común; además, A y B tienen la misma canti- dad de elementos y por último se tiene que el conjunto potencia de A U B tiene 64 elementos?
Sea «x» la cantidad de elementos de A y B.
Entonces por fórmula tenemos que:
n(P(A ∪ B)) = 2
n(A ∪ B)
= 2
n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Reemplazando los datos:
64 = 2
6
= x + x – 2
⇒ 6 = 2x – 2
⇒ x = 4
6. Dados los conjuntos A y B no vacíos. Reduce la
siguiente expresión:
A ∩ B – {(A ∆ B)
c
∩ (A ∪ B)}
Como A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)
c
Entonces: (A ∆ B)
c
= (A ∪ B)
c
∪ (A ∩ B)
→ (A ∆ B)
c
∩ (A ∪ B) = (A ∪ B) ∩ [(A ∪ B)
c
∪ (A ∩ B)]
= [(A ∪ B) ∩ (A ∪ B)
c
] ∪ [(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)]
= ∅ ∪ (A ∩ B) = A ∩ B
Finalmente:
A ∩ B – {(A ∆ B)
c
∩ (A ∪ B)} = ∅
7. Hay 150 personas en un bus que se dirige de
sur a norte. El chofer sabe que
2
3
de esas per-
sonas trabaja en Santa Elvira y los
4
5
de ellas
trabajan en Santa Inés. Si se sabe que 20 per-
sonas del bus no trabajan, ¿cuántas personas
trabajan en Santa Elvira y Santa Inés?
Por dato tenemos:
P. que trabajan en Sta. Elvira:
2
3
(150) = 100 y
P. que trabajan en Sta. Inés:
4
5
(150) = 120
100 – x 120 – x
20
x
U
SE SI
Entonces: 100 – x + 120 + 20 = 150,
⇒ x = 90
8. Si:
n(P(A)) = 256;
n(P(B)) = 64 y
n(P(A ∩ B)) = 4
Halla n(A ∪ B) + n(A – B) – n(B – A).
Por la fórmula sabemos que:
n(P(A)) = 2
n(A)
= 256 = 2
8
n(P(B)) = 2
n(B)
= 64 =2
6
n(P(A ∩ B)) = 2
n(A ∩ B)
= 4 = 2
2
⇒ n(A) = 8, n(B) = 6 y n(A ∩ B) = 2
Entonces:
•
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 8 + 6 – 2 = 12
• n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
= 8 – 2 = 6
• n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)
= 6 – 2 = 4
Entonces:
n(A ∪ B) + n(A – B) – n(B – A)
⇒ n(A ∪ B) = 12 + 6 – 4 = 14
ARITMETICA 4 CT UNID 1 T1, T2, T3, T4 y T5.indd 13 28/02/2020 18:49:02

Básico Intermedio Avanzado
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Nivel avanzado
9. Dados los conjuntos A, B, C y D no vacíos. Iden-
tifica la alternativa que representa a la región
sombreada.
A B
CD
I. (A – B) ∪ [C ∩ (A ∪ D)]
II. [A – (B – C)] ∩ [(A ∪ D)]
III. (C ∩ D) ∪ [A – (B – C) ]
Construyamos la solución:
A B
CD
La primera sombra es A – B; la segunda som-
bra es A ∩ C y la última sombra es C ∩ D.
Entonces uniendo:
(A – B) ∪ (A ∩ C) ∪ (C ∩ D)
= (A – B) ∪ [C ∩ (A ∪ D)]
10. Escribe (V) si el enunciado es correcto y (F) si el
enunciado es incorrecto, justifica tu respuesta
en cada caso.
• Existe algún conjunto que sea subconjunto
de su complemento.
• Existe algún conjunto que sea disjunto con-
sigo mismo.
La primera es (V), pues el conjunto que es
subconjunto de su complemento es el con-
junto vacío.
La segunda es (V), pues el conjunto que es
disjunto consigo mismo es el conjunto vacío.
11. Si el conjunto A tiene (x + 3) elementos y tiene (2
x
+ 448) subconjuntos, además:
n(B) = 2x + 7 y n(A ∩ B) = 3x – 17, entonces,
halla n(A ∆ B).
Tenemos que:
n(A) = x + 3 y n(P(A)) = 2
n(A)
= 2
x
+ 448
⇒ 2
x+3
= 2
x
+ 448
⇒ 7(2
x
) = 448
⇒ x = 6
Entonces: n(B) = 19 y n(A ∩ B) = 1
Sabemos que:
n(A ∆ B) = n(A – B) + n(B – A)
⇒ n(A) – n(A ∩ B) + n(B) – n(A ∩ B)
= 9 – 1 + 19 – 1 = 26
12. Sean A y B dos conjuntos no vacíos finitos. Ta-
les que:
13.
A ∩ B = ∅
14. n(B) = 2n(A)
15. El número de subconjuntos de B excede en 56 al número de subconjuntos de A.
16. ¿Cuántos subconjuntos tiene B?
Tenemos que:
n(P(B)) = 2
n(B)
= 56 + n(P(A))
⇒ n(P(B))= 56 + 2
n(A)
además: 2
n(B)
= 2
2n(A)
= 56 + 2
n(A)
, luego:
(2
n(A)
)
2
– 2
n(A)
– 56 = 0, entonces:
2
n(A)
= 8 ∨ 2
n(A)
= –7,
luego n(A) = 3
entonces, los subconjuntos que tiene B es:
n(P(B)) = 2
n(B)
= 2
2(3)
= 64
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Unidad 1 15
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
• si n(A – B) = n(A) & A ∩ B = ∅
• A – B = A & B = ∅
• si A – B = B – A & A = B
a. VFV b. FVV c. VFF d. FVF
2. Halla la respuesta correcta para el siguiente
gráfico.
A B
C
a. (C – A) ∪ (A ∩ B)
b. (A ∩ B ∩ C) ∪ (A – B)
c. A – (B ∩ C)
d. C – (A ∪ C ∩ B)
3. Identifica si los subconjuntos son unitarios (U), vacíos (V) o infinitos (I).
Coloca la letra inicial de
cada palabra como respuesta.
• A = {x / x es un año bisiesto}
• B = {x / x es un número primo menor que 3}
• C = {x / x < 4 y 5 ≤ x }
a. IVV b. UIV c. VIV d. IUV
Nivel intermedio
4.
Halla el valor de x + y – z, si los siguientes con-
juntos son unitarios.
• A = {x + 5; 2x + 5}
• B = {–4; y
2
– 4y}
• C = {z
2
; 0}
a. 0 b. 2 c. 1 d. 5
5. Ángel comió palta y/o queso en su desayuno
cada mañana durante un mes que posee el
menor número de días en el año 2 000. Si co-
mió palta 18 días y 20 días queso, ¿cuántos días
comió queso y palta en el desayuno?
a.
5 b. 9 c. 3 d. 0
6. En una capacitación de trabajo de 120 postu-
lantes, hay 50 hombres provincianos, 30 muje-
res limeñas y el número de hombres limeños
es excedido en 16 por el número de mujeres
provincianas. ¿Cuántas mujeres provincianas
hay en la capacitación?
a.
32 b. 30 c. 31 d. 28
7. Marca la alternativa que corresponde al si-
guiente gráfico.
A B
C
a. (A – C) ∩ B
b. (A ∩ B) – C
c. (A – B) ∪ (B – C)
d. (B – A) ∪ (B – C)
Nivel avanzado
8.
Se tiene los conjuntos A y B tal que:
n[P(A)] = 512
n[P(B)] = 256
n[P(A ∩ B)] = 512
Calcula: n[P(A ∪ B)].
a. 64 b. 32 c. 2 088 d. 1 024
9. Dados los conjuntos A y B no vacíos. Se cumple:
n(A ∆ B) = 400
n(A) + n(B) = 500
halla: n(A ∩ B)
a. 30 b. 20 c. 50 d. 40
Nivel destacado
10. En una reunión de 54 doctores, 35 dominan in-
glés y física, 21 inglés y química y 16 física y quí-
mica. Si todos dominan por lo menos 2 cursos,
¿cuántos dominan los 3 cursos?
a.
10 b. 12 c. 5 d. 9
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c b d b b d c d c d
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Sistemas de numeración
2. Si mn + nm + 6 = 10m .
Calcula m × n.
Descomponiendo polinómicamente obtenemos:
mn + nm + 6 = 10m
10m + n + 10n + m +6 = 100 + m
10(m + n) + n = 94
En la ecuación, m y n pueden tomar valores
como máximo hasta el 9.
10(m + n) + n = 94
5 4 4
Entonces, m = 5 ∧ n = 4
Nos piden calcular: m × n = 5 × 4 = 20
3. Si los numerales mostrados a continuación
2n5
(9)
y 576
(n)
; están correctamente escritos.
Determina n.
Observemos los numerales y recordemos que las cifras deben ser menores que la base, entonces.
En 2n5
(9)
se deduce que n es menor que 9
y en 576
(n)
se deduce que n es mayor que 7,
es decir:
7 < n < 9
Luego; n = 8
4. Si mp
(7)
es igual al triple de pm
(7)
.
Calcula p + m.
De la condición, planteamos:
mp
(7)
= 3 mp
(7)
De la ecuación planteada, obtenemos me-
diante descomposición polinómica.
7m + p = 3(7p + m)
7m + p = 21p + 3m
4m = 20p ⇒ m = 5p
Observando los numerales, obtenemos
que m y p son cifras menores que 7, en-
tonces: m = 5 y p = 1.
Nos piden: m + p = 5 + 1 = 6
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Si 23
(n)
+ 14
(n)
= 42
(n)
. Halla n.
Descomponemos la expresión
23
(n)
+ 14
(n)
= 42
(n)
2 × n + 3 + 1 × n + 4 = 4 × n + 2
3n + 7 = 4n + 2 & 7 – 2 = 4n – 3n
5 = n
Por lo tanto, n toma el valor de 5.
Recordamos lo aprendido
Cambios de base
De base n a base 10
• Multiplicamos
cada número por
la potencia de n
correspondiente a la
posición que ocupa
empezando por la
izquierda.
•
Luego, se suman
todos los resultados.
De base 10 a base n
• Se divide el número
entre n y se toma el
resto.
• Se vuelve a dividir
el cociente obte- nido en la división anterior entre n y se toma el resto.
•
Una vez que el co-
ciente resultante sea menor que n se es- cribe en este orden, el último cociente, el último resto, el penúltimo resto y así sucesivamente.
De base m a base n
(m y n ≠ 10)
El numeral de base m se convierte a base decimal.
• Seguidamente el resultado se convierte a base n.
Valor absoluto (V. A.)
5276 → 2
Valor relativo (V. R.)
5276 → 200
Representación literal
de los números
• La primera cifra de
todo numeral deber
ser diferente de cero.
abc
(n)
a ≠ 0
• Toda cifra del nume-
ral debe ser menor que la base.
abc
(n)

a < n
b < n
c < n
• Toda expresión
entre paréntesis
indicará que se trata
de una sola cifra.
Descomposición
polinómica
• Por cifras
3142
(6)
= 3 × 6
3
+ 1 ×
6
2
+ 4 × 6
1
+ 2 × 6
0
•
Por bloques
abab = ab × 10
2
+ ab
Bases sucesivas
1a
1b
1c
1z
(n)
...
= n + a + b + c + ... + z
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Unidad 1 17
Nivel intermedio
5. Si: xyxy
(5)
= (x + y)xx
(8)
; calcula: x × y.
Por descomposición polinómica,
obtenemos:
x × 5
3
+ y × 5
2
+ x × 5 + y
= (x + y) × 8
2
+ x × 8 + x
130x + 26y = 73x + 64y
57x = 38y
3x = 2y
De donde: x = 2 y y = 3
Nos piden: x × y = 2 × 3 = 6
6. Si los numerales:
33
(a)
; aa
(b)
; bb
(6)
están correctamente representa-
dos, halla b + a.
Analizando las cifras de los numerales con
respecto a la base afirmamos:
33
(a)
⇒ a > 3
aa
(b)
⇒ b > a
bb
(6)
⇒ 6 > b
Ordenando las desigualdades tenemos:
6 > b > a > 3
5 4
Entonces:
b = 5 a = 4
Nos piden: b + a = 5 + 4 = 9
7. Sabiendo que los numerales están correcta-
mente escritos:
z42
(8)
; 43
(x)
; x5
(y)
; y42
(z)
, calcula: x + y + z
Analizando los numerales, se deduce que:
I. 43
(x)
⇒ 4 < x
Entonces:
4 < x < y < z < 8
5 6 7
II. x5
(y)
⇒ x < y
III. y42
(z)
⇒ y < z
IV. z42
(8)
⇒ z < 8
Nos piden:
x + y + z = 5 + 6 + 7 = 18
8. El número 4 096, ¿cuántos sistemas de núme-
ros de base par se escribe con tres cifras?
De los datos obtenemos la siguiente
igualdad:
4 096 = abc
(2x)
Si los números deben ser de base par y de tres cifras, entonces:
100
(2x)
≤ abc
(2x)
< 1 000
(2x)
(2x)
2
≤ 4 096 < (2x)
3
⇒ (2x)
2
≤ 2
12
< (2x)
3

8 < x ≤ 32
Luego, x toma los siguientes valores:
9; 10; 11; …; 32
2x: 18; 20; …; 64 ⇒ cantidad =
64 − 18
2
+ 1 = 24
9. Calcula m, si:
= 911m
1m
1m
1m
⋱m veces
Aplicamos la propiedad de las bases sucesivas:
= 911m
1m
1m
1m
(10)
⋱
⇒ 10 + m × m = 91
m
2
= 81
m = 9
Nivel avanzado
10. Si xxy
(25)
= zwzw
(7)
y, además, x + z < y + w, ¿cuán-
tas cifras 1 se emplearán al convertir el número
xyzwxyzwxyzw…
(8)
2 003 cifras
al menor sistema de numeración?
aab
(25)
= cdcd
(7)
⇒ b = 0 ∧ 13a = 7c + d
13(1) = 7(1) + 6 ⇒ 1 + 1 < 0 + 6 (cumple)
13(2) = 7(3) + 5 ⇒ 2 + 3 < 0 + 5 (no cumple)
13(3) = 7(5) + 4 ⇒ 3 + 5 < 0 + 4 (no cumple)
abcd
(8)
= 1 016
(8)
= 1000001110
(2)
4 cifras de 1
⇒ 4 × 500 + 1 + 1 = 2 002
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11. ¿Cuántos valores puede tomar p en
p
(n)
pp
(n)
= 0,125?
Convertimos: 0,125 =
1
8
Entonces:
p
(n)
pp
(n)
=
1
8
Descomponiendo:
p
pn + p

p
pn + p
=
1
8
1
n + 1
=
1
8
n + 1 = 8
n = 7
Pero p < n = 7 ⇒ p = 1; 2; 3; 4; 5; 6
∴ p puede tomar 6 valores
12. En una ciudad hay abc seres vivientes, de los
cuales a0c son hombres, ab mujeres, a son pe-
rros y
c son gatos. Si el número de habitantes
está comprendido entre 150 y 300, ¿cuántos
gatos hay?
150 < abc
< 300
a0c + ab + a + c = abc
100a + c + 10a + b + a + c = 100a + 10b + c
11a + c = 9b
(2) (5) (3)
abc = 235
Nos piden: c = 5
13. Calcula a si se cumple que:
a
p
3
n
(9)
= (2c + 1)aa
(7)
∧ 5p7
(n)
=
c
2
4c3
(p)
5p7
(n)
=
c
2
4c3
(p)
; a
p
3
n
(9)
= (2c + 1)aa
(7)
n > 7 p > 4 n < 9 c < 3
⇒ n = 8; p = 6; c = 2
Luego: a28
(9)
= 5aa
(7)
81a + 2 × 9 + 8 = 245 + 7a + a
81a + 26 = 245 + 8a
73a = 219
a = 3
14. Si: xyz
(4)
= z40
(5)
∧ z<> yx
(4)
= (x + y)0
(6)
Halla: x + y + z
De: ayz
(4)
= z40
(5)
16a + 4y + z = 25z + 20
4a + y = 6z + 5
De: zyx
(4)
= (x + y)0
(6)
16z + 4y + x = 6x + 6y
16z = 5x + 2y
Multiplicamos por 2 la primera ecuación:
8x + 2y = 12z + 10
Luego, sumamos la segunda ecuación con
la tercera:
16z + 8x + 2y = 5x + 12z + 2y + 10
4z + 3x = 10
Deducimos que: z = 1 y x = 2
También:
x, y y z < 4, entonces y = 3
Finalmente: x + y + z = 6
15. Sabiendo que para escribir la secuencia 1; 2;
3; …abc , se utilizan 927 cifras. ¿Cuántas cifras
se utilizan al imprimir la siguiente secuencia abc
67
; abc
68
; …; abc
abc
?
Desde 1 hasta abc existen 927 cifras
3(abc + 1 ) – 111 = 927
abc = 345
Trabajamos con el exponente de la potencia
67; 68; … 99; 100; 101; …; 345
33 números,
2 × 33
66 cifras
246 números,
246 × 3
738 cifras +
+
= 804
reemplazamos en los números: 279 × 3 = 837
Total: 804 + 837 = 1 641 cifras
16. Expresa el menor numeral del sistema ternario
cuya suma de cifras es 100 en el sistema nona-
rio. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
222…222
(3)
50 cifras
(suma de cifras: 100)
Por propiedad:
222…222
(3)
50 cifras
= 3
50
– 1 = (3
2
)
25
– 1 = 9
25
– 1 =
25 cifras
888…8
(9)
Finalmente, la suma de las cifras es:
8 + 8 + 8 +… + 8 = 25 × 8 = 200
25 cifras
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Unidad 1 19
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si los números 5ab
(c)
; 2cd
(7)
y 4be
(a)
están bien
escritos, calcula (a + c).
a. 10
b. 11
c. 12
d. 13
2. ¿Cuál es el número comprendido entre 400 y
500 que leído al revés es el doble del número
que es excedido en 16 por el original?
a.
425
b. 426
c. 427
d. 428
3. ¿Cuál es el número comprendido entre 200 y
300 que leído al revés es el doble del número
que excede en 75 al original?
a.
244
b. 245
c. 246
d. 247
4. ¿Cuál es el número de dos cifras que vale 7 ve-
ces más que la suma de sus cifras?
a. 72
b. 73
c. 74
d. 75
5. Halla el valor de x
2
+ y
2
si, xyy
(9)
= yyx
(6)
.
a. 24
b. 25
c. 29
d. 27
Nivel intermedio
6.
Encuentra un número de 3 cifras que comien-
ce con 3, tal que al suprimir dicha cifra el nú-
mero resultante sea
1
11
del original.
a. 290
b. 380
c. 420
d. 330
7. En un estacionamiento hay mnp vehículos
motorizados, de los cuales mop son camione-
tas, mn son autos y p son motos. Si el núme-
ro de vehículos está comprendido entre 150 y
300, ¿cuántas camionetas hay en el lugar?
a. 205
b. 206
c. 207
d. 208
8. Expresa el valor de abc en base 7, si se cumple:
ab
c
+ cabb = 43 100
(6)
.
a. 1 161
(7)
b. 1 611
(7)
c. 6 111
(7)
d. 1 116
(7)
9. Si se sabe que
mmnn
2
=
m
2
m
2
(2m)(2m). Cal-
cula el valor de
m
n
.
a.
1
2
b.
1
4
c.
4
3
d.
5
2
Nivel avanzado
10. Calcula la suma de cifras de un numeral de
dos dígitos, sabiendo que al agregarle la suma
de sus cifras se obtiene un número con las mis-
mas cifras, pero en orden invertido.
a.
7
b. 8
c. 9
d. 10
11. Sabiendo que: 6mn = 25 × mn , halla m
3
+ n
3
a. 133
b. 144
c. 155
d. 166
12. Calcula la mínima base de numeración en la
cual existe nm números de la forma:
(a + 4)
a
2
n + 1
5
(4 – n)
(b)
, donde n ∈ ℕ.
a. 81
b. 82
c. 83
d. 84
13. Si:
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
(x + 5)
= abcd
(7)
Determina (a + b + c + d)
a. 11
b. 13
c. 14
d. 15
Nivel destacado
14. Se tienen 3 libros siendo el total de páginas 466 y el total de cifras para numerar sus páginas
1 077; además, uno de los libros tiene menos de 100 páginas y la diferencia de páginas de los más voluminosos es 144.
Halla el número de
páginas del más voluminoso.
a. 251
b. 253
c. 257
d. 258
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
b d c a c d c a b c a c a c
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Operaciones básicas en el conjunto ℤ
+
Recordamos lo aprendido
Número de términos y sumatoria de una pro-
gresión aritmética
n =
a
k
− a
1
r + 1 S =
a
k
+ a
1
2 n
Cálculo del término n-ésimo
t
n
= a
0
+ rn
Suma de los “n” primeros números enteros positivos
S =
n(n + 1)
2
Suma de los “n” primeros números pares
S = n(n + 1)
Suma de los “n” primeros números impares
S = n
2
Suma de los cuadrados de los primeros nú-
meros enteros positivos
S =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Suma de los cubos de los primeros números
enteros positivos
S =
n(n + 1)
2
2
Suma de productos consecutivos
S
1
= 1 × 2 + 2 × 3 + ⋯ + n(n + 1)
S
2
= 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 ⋯ + n(n + 1)(n + 2)
S
1
=
n(n + 1)(n + 2)
3
S
2
=
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
Propiedades de la sustracción 1.
M + S + D = 2M
2. Si: ab
(k)
− ba
(k)
= mn
(k)
; b < a ⇒ m + n = k − 1
3. Si: abc
(k)
− cba
(k)
= mnp
(k)
; c < a
⇒ n = k − 1, m + p = k − 1 ∧ a − c = m + 1
Complemento Aritmético (CA) CA(N) = 10
k
− N; k: Cantidad de cifras de N.
Complemento aritmético en otras bases CA(M
(k)
) = k
n
− M
(k)
; "n" es el número de cifras de M.
Propiedades de la división: 1.
r
d
+ r
e
= d2. r
máx
= d − 13. r
mín
= 1
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. La suma de 11 números enteros positivos y con-
secutivos es 132, determina la suma de los 5
números consecutivos siguientes.
Sean los términos:
(a – 5) + (a – 4) +…+ (a – 1) + a + (a + 1) +…+ (a + 4) + (a + 5) =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 11a = 132
⇒ 11a = 132
⇒ a = 12
⇒ a + 5 = 17
5 siguientes = 18; 19; 20; 21 y 22
t
1
= 22
t
k
= 18
S =
22 + 18
2
× 5
⇒ S = 100
2. Calcula la suma de cifras de S si se sabe que:
S = 7 + 12 + 17 + 22 + . . . + k
20 términos

r = 5
n = 20
t
0
= 7 – 5 = 2
t
20
= 2 + 20 ⋅ 5 = 102
S =
102 + 7
2
× 20
⇒ S = 1 090
Suma de cifras: 1 + 0 + 9 + 0 = 10
3. Si se sabe que: abc × 999 = ⋯237
Halla: m + n + p + q, si: mnpq
(8)
= abc.
Sabemos que: 999 = 1 000 – 1
abc(1000 – 1) = … 237
abc000 – abc = … 237
a b c 0 0 0 −
a b c
⋯5 2 3 7
10 – c = 7 ⇒ c = 3 763 8
395 8
711 8
31
9 – b = 3 ⇒ b = 6 9 – a = 2 ⇒ a = 7
mnpq
(8)
= 1373
(8)
⇒ m + n + p + q = 1 + 3 + 7 + 3 = 14
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Aritmética Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad 1 21
Nivel intermedio
4. 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + …+ 7 × 8 = abbab
(3)
Calcula: M = (233 + a)
b
(500+b)
.
⇒
7 × 8 × 9
3
= abbab
(3)

1683
056 3
218 3
06 3
02
⇒ 168 = abbab
(3)
⇒ abbab
(3)
= 20020
(3)
Por lo tanto: M = 235
0
500
= 235
0
= 1
5. Si: CA[a(b + 3)(c − 1)(3d)] =
a
8
(b – 2)c(7d)
Halla: K =
a × c × d
b

Por regla tenemos:
9 − a =
a
8
⇒ 9 =
9a
8
⇒ a = 8
9 − (b + 3) = b − 2 ⇒ 8 = 2b ⇒ b = 4
9 − (c − 1) = c ⇒ 10 = 2c ⇒ c = 5
10 − 3d = 7d ⇒ 10 = 10d ⇒ d = 1
Por lo tanto: K =
8 × 5 × 1
4
= 10
6. Calcula la suma de valores que puede tomar el
divisor en una división cuyo cociente y residuo
son 10 y 8 respectivamente, sabiendo que el di-
videndo tiene que ser menor que 300.
q = 10;
r = 8; D < 300; ¿d?
D = 10d + 8
D < 300 ⇒ 10d + 8 < 300
10d < 292 ⇒ d < 29,2
sabemos que: d
mín
= r + 1 ⇒ d
mín
= 9
d = 9; 10; 11; … ; 29
S =
29 + 9
2
× 21 = 399
7. Si: a + b + c = 14, halla: a × b × c + m × n, si
se sabe que:
ab + ca = mn6; ab = c y a > b.
a b
m n 6
c a
+
a + b = 6 ∨ 16, pero:
a + b < 14 ⇒ a + b = 6
Si: a + b = 6 ⇒ c = 8
& 6 = 5 + 1 ∨ 4 + 2,
pues a > b
ab = c ⇒ ab = 8
∴ a = 4 ∧ b = 2
Completamos:
m = 1, n = 2
Nos piden:
4 × 2 × 8 + 1 × 2
= 64 + 2
= 66
Nivel avanzado
8. La editorial Pilares tiene una cantidad de trabaja- dores en la sede de Lima comprendida entre 100 y 200 y en los otros 23 departamentos del Perú tiene la misma cantidad. Si al calcular la cantidad total de trabajadores se equivocaron y solamen- te sumaron los productos parciales dando como resultado 1 038, ¿cuántos trabajadores tiene real- mente la editorial Pilares?
Trabajadores = abc
Total = 24 × abc
Cálculo:
Solo se suman los
productos parciales
a b c
2a b c
4a b c
2 4
×
+
6abc = 1 038 ⇒ abc = 173
Total: 24 × 173 = 4 152
9. Sharon tiene abc soles en su cuenta bancaria,
pues le acaban de depositar la quincena de su
trabajo. Ella quiere comprarse ropa y gasta cba
soles, luego de esto, se da cuenta que le queda un número cuya cifra de las unidades es la mi- tad de la cifra de las centenas. Si se sabe que la diferencia entre lo que le queda a Sharon y lo que gastó es 535, ¿cuánto dinero tenía ella en
un principio?
Planteemos la
ecuación:
abc
− cba = (2m)nm
Por propiedad:
n = 9; 2m + m =9
⇒ m = 3
(2m)nm
= 693
⇒ 693 − cba = 535
⇒ 693 − 535 = cba
⇒ cba = 158
⇒ abc = 851
10. Un número está compuesto por 2 factores, uno
de ellos de 2 cifras. Si al factor de 2 cifras se le
disminuye su suma de cifras, el producto dis-
minuye en su sexta parte.
Halla la diferencia
positiva de las cifras del factor.
Por comodidad, sea 6N el número:
⇒ 6N = ab ×k
⇒ 5N = [ab − (a + b)] × k
Dividimos:
6
5
=
ab
9a
⇒ 54a = 5(10a + b)
⇒ 54a = 50a + 5b ⇒ 4a = 5b
Como a y b son cifras solo pueden tomar:
a = 5; b = 4 ⇒ a − b = 1
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8. Aníbal trabaja y su hermano Ángel recibe pro-
pinas, él se pone a pensar que cuando su her-
mano tenga 77 soles de propina, él habrá co-
brado una cantidad tal que al dividirla entre la
propina de su hermano arroje un residuo que
sea el triple del cociente.
Halla cuánto ha co-
brado Aníbal, si dicha cantidad es máxima.
a. 1 958,66
b. 2 026,67
c. 1 890,68
d. 2 401,69
Nivel avanzado
9.
Determina el menor de 2 números si se sabe
que la suma de estos es el mayor número par
de 3 cifras diferentes y la diferencia es el menor
número de 3 cifras diferentes de la base 12.
a.
420
b. 482
c. 343
d. 432
10. Se tiene que:
m74 + 6n9 + 45p = 1 659
Halla la suma de productos parciales de mnp
2
.
a. 6 846
b. 6 942
c. 6 838
d. 6 481
11. En una división inexacta con divisor 31, se sabe
que la diferencia entre el residuo por defecto y
el residuo por exceso es 3 si el dividendo es un
valor comprendido entre 400 y 500.
Calcula el
valor del cociente en el sistema binario, si se sabe que dicho dividendo es máximo.
a.
1 011
(2)
b. 1 111
(2)
c. 1 001
(2)
d. 1 101
(2)
12. Se sabe que:
CA (mnpq) = m + n + p + q
Halla q, si p es mínimo.
a. 5 b. 6 c. 7 d. 8
Nivel destacado
13. Calcula la suma de cifras del CA(N) si:
N = 2 × 10
n
+ 3 × 10
n−2
+ 5 × 10
n+1
+ 7 × 10
n−1
a.
25
b. 20
c. 18
d. 22
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
d a c d c d c b a c b d b
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
Resuelve: 65 434
(7)
+ 6 545
(7)
a. 10 459
(7)
b. 10 4561
(7)
c. 104 820
(7)
d. 104 412
(7)
2. Dado: (a + b + c)
2
= 324
Halla F si:
F = abc + bca + cab
a. 1 998 b. 1 948 c. 1 895 d. 1 945
3. Aldair estaba revisando la cantidad de hojas
que tienen sus libros de Aritmética y Literatura,
y se dio cuenta que la diferencia entre ellos es
un número de 3 cifras. Si la suma de esos tres
términos es 1 968 y la cantidad de hojas del li-
bro de Literatura es 7 veces la diferencia entre
ellos.
¿Cuántas hojas más hay en el libro de Aritmé-
tica que en el de Literatura?
a.
185 b. 147 c. 123 d. 168
4. El triple de un número excede a su comple- mento aritmético en 240.
Halla la suma de ci-
fras del número.
a. 10 b. 6 c. 7 d. 4
Nivel intermedio
5.
Ángel tiene abc canicas y observa que si multi-
plica por 10 y agrega 1 a su cantidad de canicas,
esta sería el triple de la cantidad resultante de
agregarle un 2 como cifra de orden 4 a su can-
tidad de canicas.
Calcula la cantidad de cani-
cas que tiene Ángel.
a. 785
b. 1255
c. 857
d. 765
6. Se sabe que:
abc × m = 5 886
abc × n = 2 616
abc × p = 1 962
Halla la suma de cifras de abc × mnp.
a. 17
b. 19
c. 21
d. 24
7. Bob al dividir las horas jugadas de DOTA 2
entre las 14 horas que había estudiado se dio
con la alarmante noticia de que esta división
arrojaba un cociente 15 y un residuo máximo.
¿Cuántas horas jugó Bob?
a.
241
b. 163
c. 223
d. 185
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Unidad 1 23
Teoría de la divisibilidad
Recordamos lo aprendido
A. Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, cuando su últi-
ma cifra es un número par o es el número 0.
B. Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si y solamente
si, la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
C.
Criterio de divisibilidad entre 5
Un número es divisible por 5 si su última ci-
fra es 0 o 5.
D. Criterio de divisibilidad entre 7
abcdefgh
3 31 1−2 2−3 −1
= 7˚ ⇔ ℎ(1) + g(3) + f(2)
+ e(–1) + d(–3) + c(–2)
+ b(1) + a(3) = 7 ˚
E. Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 si la diferencia
entre la suma de sus cifras de orden par y
la suma de las cifras de orden impar, es un
múltiplo de 11.
F.
Divisibilidad por 13
abcdefgh
1 14 3−3 −3−4−1
= 13˚ ⇔ ℎ(1) + g(−3) + f(−4)
+ e(−1) + d(3) + c(4)
+ b(1) + a(−3) = 13˚
Propiedades:
1. (d˚ + a)(d˚ + b) = d ˚ + ab, donde a, b ∈ ℤ
2. (d˚ + a)
n
= d˚ + a
n
3. (<> d˚ – a)
n
=
d˚ – a
n
, si n es impar
d˚ + a
n
, si n es par
donde n ∈ ℤ
+
, a ∈ ℤ
4.
d˚ + r
d
= d˚ – r
e
⟺ r
d
+ r
e
= d
5. Sea n, a, b, c números enteros tal que si:
n =
a˚ ± r
b˚ ± r
c˚ ± r
Entonces:
n = MCM(a, b, c) ± r
donde MCM es el mínimo común múltiplo.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla el valor «x», tal que:
13x94 = 13˚
3
−1
1 3 x 9 4
−4−31
⟹ 4(1) + 9(−3) + x(−4) + 3(−1) + 1(3)
⟹ –23 – 4x = 13˚
– 23 – 4x = –39
x = 4
2. ¿Cuántos números enteros hay entre 100 y 500
tal que sean múltiplos de 2; 7 y 11?
(2∙7∙11)k = 154k
100 < 154k < 500
0,64… < k < 3,24…
k = 1; 2; 3
Por tanto, hay tres números en entre 100 y
500, múltiplos de 2; 7; 11.
3. Si abca = 5˚; cabc = 9˚; bcab = 7˚
Calcula a + b + c
abca = 5˚ ⟹ a = 5
bcab = 7˚
⇒ b(–1) + c(2) + 5(3) + b(1) = 7 ˚
⇒ 2c + 15 = 21 ⇒ c = 3
cabc = 9˚; ⇒ c + a + b + c = 9 ˚
⇒ 11 + b = 18
⇒ b = 7
Por tanto a + b + c = 15.
4. Halla los posibles valores de a y b tal que:
3a29b = 55˚
Para ser múltiplo de 55 debe ser de 11 y 5
Si b = 0 ⇒ 3a290 = 11˚
⇒ 9 + a – 5 = 11˚
⇒ a = 7
Si b = 5 ⇒ 3a295 = 11˚
⇒ (9 + a) – (5 + 2 + 3) = 11˚
⇒ a – 1 = 11˚
⇒ a = 1
Por tanto, a = 7; b = 0 ⋁ a = 1; b = 5
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Nivel intermedio
5. Determina el residuo por exceso de dividir
(57 834)
19
entre 13.
Tenemos:
(57 834)
19
= (13˚ + 10)
19
= (13˚ – 3)
19
= 13˚ – 3
19
= 13˚ – (3
3
)
6
∙ 3
= 13˚ – (13˚ + 1)
6
∙ 3
= 13˚ – 3
Nos piden residuo por exceso de dividir
(57 834)
19
entre 13, entonces:
13˚ – r = 13˚ – 3
Por tanto, el residuo por exceso es 3.
6. Juan gastó $ 1 560 para comprar conejos y po-
llos, si cada conejo costo $ 48 y cada pollo $ 19. ¿Cuántos animales compro en total, si la canti-
dad de pollos es la menor posible?
Sea «s» la cantidad de conejos y «t» la can-
tidad de pollos.
19t + 48s = 1560
19t + 8˚ = 8˚ ⇒ t = 8 ˚ ⇒ t = 8k
19(8k) + 48s = 1560
19k + 6s = 195 … (1)
Además: 19 = 6 ˚ + 1 y 195 = 6 ˚ + 3
Reemplazamos lo anterior en (1)
(6˚+ 1)k + 6 ˚ = 6˚ + 3 ⇒ k = 6 ˚ + 3
Entonces k = 3; 9; … ⇒ k = 3 ya que nos piden la menor cantidad de pollos,
⇒ t = 8 × 3 = 24 y s = 23
Por lo tanto, Juan compró 47 animales.
7. Halla el residuo por exceso de dividir
(354 188
(9)
)
(26(7) + 18(9))
entre 17.
Primero llevemos los números a base 10
354 188
(9)
= 213 029; 26
(7)
= 20 y 18
(9)
= 17
Luego el número es:
(213 029)
37
(213 029)
37
= (17˚ + 2)
37
= 17˚ + 2
37
= 17˚ + (2
4
)
9
∙ 2 = 17˚ + (17˚ − 1)
9
∙ 2
= 17˚ − 2
Nos piden residuo por exceso de dividir
(213 029)
37
entre 17, entonces:
17˚ − r = 17˚ − 2
Por tanto, el residuo por exceso es 2.
Nivel avanzado
8. Calcula el menor número de 4 cifras, múltiplo
de 9, que al sumarle 2 resulta
11˚ y al agregarle
tres unidades más es
14˚.
Da como respuesta la
suma de cifras del complemento aritmético de dicho número.
N = 9˚ ⟹ N = 9 ˚ + 9
N + 2 = 11˚ ⟹ N + 2 = 11˚ + 11
N + 5 = 14˚ ⟹ N + 5 = 14˚ + 14
Entonces tenemos:
N − 9 = 9 ˚
N − 9 = 11˚
N − 9 = 14˚
Por propiedad:
N − 9 = 1 3 ˚86 , donde 1386 = MCM(9; 11; 14)
N = 1 3˚86 + 9
N
min
= 1 395
Hallando el complemento aritmético
CA(1 395) = 8 605
Por tanto, la suma de cifras es: 19
9. Si (425y)
3
= 12˚ + 21 e y > 1 determina el residuo
de dividir yyy
(9)
entre 12
(9)
.
Tenemos:
(425y)
3
= 12˚ + 21
4˚ 4˚ + 1
3˚ 3˚
Entonces: (425y
)
3
= 4˚ + 1, con lo que se obtiene y es
impar. Además:
(425y
)
3
= 3˚ ⟹ 425y = 3˚
⇒ 4 + 2 + 5 + y = 3 ˚
2 + y = 3 ˚
Los posibles valores para y serian: 1; 4; 7. Por
lo anterior y ≠ 4 ya que debe ser impar y por
dato y ≠ 1.
⟹ y = 7
Luego: yyy
(9)
= 777
(9)
, convirtiendo a base
decimal 777
(9)
= 637 y 12
(9)
= 11
637 = 11˚ + 10
Por tanto, el residuo es 10.
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Unidad 1 25
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de
las siguientes proposiciones:
I. 25 es divisor de 5 ( )
II. 26 es múltiplo de 3 ( )
III. 58 es múltiplo de 4 ( )
IV. 33 es múltiplo de 11 ( )
V. 361 811 es divisible por 11 ( )
a. FFFFF b. FFFVF c. VFVF d. FFVVF
2. ¿Cuántos valores puede tomar a tal que 782a6 = 3˚?
a. 2 b. 3 c. 4 d. 1
3. Indica si el número 510 658 589 es divisible por 13?, si no lo fuera, indica también su residuo.
a.
Sí b. No, 12 c. No, 11 d. No, 10
4. ¿Cuántos números enteros hay entre 19 y 500
tal que sean múltiplos de 2 y 7 ?
a. 32 b. 33 c. 34 d. 35
5. ¿Cuántos números son de la forma 5ab8 tal
que sean 18˚?
a. 13 b. 7 c. 11 d. 5
Nivel intermedio
6.
Calcula el residuo por defecto de dividir 3 546
entre 39.
a. 32 b. 36 c. 34 d. 41
7. Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de
los siguientes incisos.
I. 160 109 334 es divisible por 2. ( )
II. 160 109 334 es divisible por 3. ( )
III. 160 109 334 es divisible por 7. ( )
IV. 160 109 334 es divisible por 11. ( )
a. VFFF
b. VVVV
c. VFFV
d. VFVV
8. Calcula el residuo por exceso de dividir (5 188)
13

entre 39.
a. 29
b. 38
c. 37
d. 36
9. Renato compró tres clases de galletas para pe-
rros, uno de $ 3, el segundo de $ 1 y el tercero
de $ 13. Si en total compro 36 kilos de galleta y
gasto un total de $ 220. ¿Cuántos kilos de cada
tipo de galleta compró?
a.
11; 13; 12
b. 8; 17; 11
c. 8; 14; 14
d. 11; 11; 14
10. Kennet visita a su abuela y se da cuenta que
cada 7 metros ve a un perro, luego nota que
ve gatos cada 11 metros si en total ha recorrido
b(4b)(3b)
metros y b es impar y vio al menos
un perro y un gato y además tiene tantos años como animales vio ¿cuál es la edad de Kennet?
a.
11
b. 13
c. 15
d. 17
Nivel avanzado
11.
Calcula la suma de todos los posibles valores
que pueda tomar a, tal que (2a)(2b)a sea múl-
tiplo de 13 pero no de 3.
a. 27
b. 19
c. 13
d. 14
12. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir si k
es par, A = 3
(3k + 1)
+ 2
(6k + 2)
+ 5
3
entre 13?
a.
4
b. 7
c. 12
d. 13
13. Si xzzxzz
(6)
= …4
(13)
. Calcula la suma de todos
los posibles valores que pueden tomar
x y z.
a.
18
b. 17
c. 19
d. 13
14. ¿Cuántos números abc = 18˚, cumplen
a + b + c = 18, si a ≤ 5?
a. 8
b. 9
c. 10
d. 11
15. Sea abc donde a, b y c son impares. Si abc + 1 = 6˚
y abc + 2 = 7˚, calcula a ∙ b ∙ c, si abc es el mayor
posible.
a.
63
b. 69
c. 60
d. 64
Nivel destacado
16. Si ab = 13˚ y 5 ∙ 7
ab
+ 6
ab
= 30˚ + a +b.
Determina el complemento aritmético de
(a + b)
(a − b)
.
a.
87 b. 88 c. 86 d. 89
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
b b b c c b b b
9 10 11 12 13 14 15 16
c d a d a a a d
ARITMETICA 4 CT UNID 1 T1, T2, T3, T4 y T5.indd 25 28/02/2020 18:49:06

Básico Intermedio Avanzado
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Estadística
Recordamos lo aprendido
Frecuencia absoluta
acumulada (F
i
):
F
i
= f
1
+ f
2
+ f
3
+ ⋯ + f
i
Frecuencia relativa acumulada (H
i
):
H
i
= h
1
+ h
2
+ h
3
+ ⋯ + h
i
Rango (R):
R = x
max
– x
min
Número de intervalos de clase (K):
K = 1 + 3,3log(n)
Ancho de clase (W):
W =
R
K
Frecuencia absoluta(f
i
):
f
1
+ f
2
+ f
3
+ ⋯ + f
k
= n
Frecuencia relativa (h
i
):
h
i
=
f
i
n
h
1
+ h
2
+ h
3
+ ⋯ + h
k
= 1
Alcance (A):
A = [x
min
; x
max
]
Intervalo de clase (I):
I
i
= [L
i
; L
i + 1
⟩
Marca de clase (x
i
):
x
i
=
a
i + 1
+ a
i
2
2. En el siguiente cuadro, determina la frecuen-
cia simple de las familias que consumen jugo de naranja y maracuyá.
Jugos f
i
Maracuyá 23
Manzana 14
Naranja 25
Piña 15
Por dato tenemos:
f
1
+ f
3
= 23 + 25 = 48
Por lo tanto, 48 familias consumen jugos de
maracuyá y naranja.
3. En la siguiente tabla incompleta, se represen- ta las edades de 150 adultos encuestados en el distrito de la Victoria. Si el ancho de clases es constante.
Calcula cuántos adultos tienen al
menos 60 años y menos de 75 años.
Edades x
i
f
i
F
i
[45; ⟩ k
[ ; ⟩ 2k 54
[ ; ⟩ 38
[60; 65⟩ 62,5 a
[ ; ] k
Por dato del enunciado y de la tabla, nos
dice que los intervalos son constantes, en- tonces el ancho de clase es 5.
Si f
1
= F
1
= k entonces F
1
+ f
2
= F
2
Reemplazando los valores en la expresión para hallar a k, tenemos:
k + 2k = 54 ⟹ 3k = 54 ⟹ k = 18
Buscamos el valor de a, usando la frecuen- cia absoluta: f
1
+ f
2
+ f
3
+ f
4
+ f
5
= n
Reemplazando los valores:
18 + 36 + 38 + a + 18 = 150
110 + a = 150 ⟹ a = 40
Completando el cuadro:
Edades x
i
f
i
F
i
[45; 50⟩ 47,5 18 18
[50; 55⟩ 52,5 36 54
[55; 60⟩ 57,5 38 92
[60; 65⟩ 62,5 40 132
[70; 75] 67,5 18 150
Finalmente, f
4
+ f
5
= 40 + 18 = 58 son los
adultos que tiene al menos 60 años y me- nos de 75 años.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En la siguiente tabla, se representa el peso de un grupo de estudiantes del colegio Pilares en- cuestados. Si F
5
= 300. ¿Cuántos estudiantes
tienen pesos entre 21 y 29 kg?
Pesos h
i
[18; 20] 0,10
[21; 23] 0,10
[24; 26] 0,40
[27; 29] 0,25
[30; 32] 0,15
Como F
5
= 300 y son 5 intervalos, entonces:
n = 300
Del intervalo 21 al 29:
(h
2
+ h
3
+ h
4
) ∙ n = (0,10 + 0,40 + 0,25)300
(h
2
+ h
3
+ h
4
) ∙ n = (0,75)300
(h
2
+ h
3
+ h
4
) ∙ n = 225
Por lo tanto, 225 estudiantes tienen peso en-
tre 21 y 29 kg.
ARITMETICA 4 CT UNID 1 T6 ESTADISTICA.indd 26 28/02/2020 18:48:39

Aritm?tica Básico Intermedio Avanzado
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Unidad 1 27
Nivel intermedio
4. En la siguiente tabla se muestra la distribución
de notas de estadística. ¿Qué porcentaje de es-
tudiantes obtuvieron notas comprendidas en-
tre 4 y 11 puntos?
Notas h
i
H
i
[0; 4⟩ 0,650
[4; 8⟩ 0,125 0,150
[8; 12⟩
[12; 16]
Completando la tabla tenemos:
Notas h
i
H
i
h
i
%
[0; 4⟩ 0,650 0,650 65%
[4; 8⟩ 0,125 0,775 12,5%
[8; 12⟩ 0,075 0,850 7,5%
[12; 16] 0,150 1,00 15%
Luego, buscamos el porcentaje de estudian- tes que obtuvieron notas comprendidas entre 4 y 11 puntos:
h
2
% + h
3
% = 12,5% + 7,5% = 20%
5. En el siguiente cuadro estadístico, se muestra
la encuesta realizada a 40 personas sobre su
profesión.
Calcula el valor de (p ∙ r) + q.
Profesión f
i
h
i
Arquitecto p 0,1
Docente 10 r
Médico 0,3
Ingeniero q
De la tabla tenemos:
p
40
= 0,1 ⟹ p = 4
10
40
= r ⟹ r = 0,25
h
4
= 1 – 0,1 – 0,25 – 0,3 = 0,35
q
40
= 0,35 ⟹ q = 14
Nos piden: (p ∙ r) + q
Reemplazando los valores en la expresión:
(p ∙ q) + r = (4 ∙ 0,25) + 14
(p ∙ q) + r = 15
6. En la siguiente tabla incompleta de la distribu-
ción de frecuencias, se encuentra las edades
de 50 personas encuestada sobre el número
de horas que hace ejercicios en la semana, con
un ancho de clase constante a 2. ¿Cuántas per-
sonas hacen ejercicios por menos de 12 horas?
¿Qué porcentaje de personas realizo 6 horas o
más de ejercicios, pero menos de 14 horas?
Horas x
i
f
i
F
i
h
i
%
[6; ⟩ 7 9
[ ; ⟩ 20
[ ; ⟩ 24%
[ ; ⟩ 8
[ ; ⟩ 14%
[ ; 18] 50
Completamos el gráfico:
Horas x
i
f
i
F
i
h
i
%
[6; 8⟩ 7 9 9 18%
[8; 10⟩ 9 11 20 22%
[10; 12⟩ 11 12 32 24%
[12; 14⟩ 13 8 40 16%
[14; 16⟩ 15 7 47 14%
[16; 18] 17 3 50 6%
¿Cuántas personas hacen ejercicios por me- nos de 12 horas?
f
1
+ f
2
+ f
3
= 9 + 11 + 12 = 32 personas.
¿Qué porcentaje de personas realizó 6 horas
o más de ejercicios, pero menos de 14 horas?
h
1
% + h
2
% + h
3
% + h
4
% = 18% + 22% + 24%+ 16%
h
1
% + h
2
% + h
3
% + h
4
% = 80%
7. En la siguiente tabla incompleta, el ancho de la clase tiene el mismo tamaño, se muestra las edades de 88 universitarios. ¿Cuál es el porcen- taje de estudiantes que tiene menos de 38 años?
Notas x
i
f
i
F
i
h
i
h
i
%
[30; ⟩ 12,5%
[ ; ⟩ 30
[ ; ⟩
[ ; ⟩
[46; 50] 48
Notas x
i
f
i
F
i
h
i
h
i
%
[30; 34⟩ 32 11 11 0,125 12,5%
[34; 38⟩ 36 19 30 0,215 21,5%
¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que
tiene menos de 38 años?
h
1
% + h
2
% = 12,5% + 21,6% = 34,1%
ARITMETICA 4 CT UNID 1 T6 ESTADISTICA.indd 27 28/02/2020 18:48:40

Básico Intermedio Avanzado
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Nivel avanzado
8. Completa los datos en la siguiente tabla, y deter-
mina el valor de:
(f
3
∙ f
4
) +
h
3
h
4F
i
Notas f
i
F
i
h
i
[10; 25⟩ 8 0,16
[25; 40⟩ 16 0,16
[40; 55⟩ 7 0,14
[55; 70⟩ 5 28
[70; 85⟩ 38
[85; 100⟩ 7 45
[100; 115]
Completamos la tabla estadística:
Notas f
i
F
i
h
i
[10; 25⟩ 8 8 0,16
[25; 40⟩ 8 16 0,16
[40; 55⟩ 7 23 0,14
[55; 70⟩ 5 28 0,1
[70; 85⟩ 10 38 0,2
[85; 100⟩ 7 45 0,14
[100; 115] 5 50 0,1
Buscamos el valor de n:
n =
f
1
h
1
=
8
0,16
= 50
F
1
= f
1
= 8
f
2
= F
2
– F
1
= 16 – 8 = 8
F
3
= F
2
+ f
3
= 16 + 7 = 23
h
4
=
f
4
n
=
5
50
= 0,1
f
5
= F
5
– F
4
= 38 – 28
f
5
= 10
f
7
= F
7
– F
6
= 50 – 45 = 5
F
7
= 50
h
5
=
f
5
n
=
10
50
= 0,2
h
6
=
f
6
n
=
7
50
= 0,14
h
7
=
f
7
n
=
5
50
= 0,1
Nos piden:
(f
3
∙ f
4
) +
h
3
h
4
F
7
=
(7 ∙ 5) +
0,14
0,1
50
(f
3
∙ f
4
) +
h
3
h
4
F
7
=
35 + 1,4
50
= 0,728
(f
3
∙ f
4
) +
h
3
h
4
F
7
= 0,728
9. De la siguiente tabla, completa y calcula el valor
de a.
Intervalos f
i
F
i
h
i
%
[15; 25⟩ 10
[25; 35⟩
[35; 45⟩ a
[45; 55] a 80 25%
Completamos la tabla estadística:
Sabemos que:
F
4
= n = 80 ⟹ n = 80
h
4
% = h
4
∙ 100%
⟹ h
4
= 0,25
h
4
=
f
4
n
reemplazando
los valores, tenemos:
0,25 =
a
80
⟹ a = 20
f
1
= F
1
= 10
F
3
= F
4
– f
4
= 80 – 20
F
3
= F
4
– f
4
= 60
F
2
= F
3
– f
3
= 60 – 20
F
2
= F
3
– f
3
= 40
f
2
= F
2
– F
1
= 40 – 10
f
2
= F
2
– F
1
= 30
h
1
=
f
1
n =
10
80
= 0,125 ⟹ h
1
% = 12,5%
h
2
=
f
2
n
=
30
80
= 0,375 ⟹ h
2
% = 37,5%
h
3
=
f
1
n
=
20
80
= 0,25 ⟹ h
3
% = 25% = h
4
%
Completamos la gráfica:
Intervalos f
i
F
i
h
i
%
[15; 25⟩ 10 10 12,5%
[25; 35⟩ 30 40 37,5%
[35; 45⟩ 20 60 25%
[45; 55] 20 80 25%
10. En la siguiente tabla se muestra la distribución
de las edades de los hijos de 120 empleados
de una empresa. ¿Cuántos empleados tienen
hijos por lo menos de 14 años o más?
Edades f
i
F
i
h
i
[10; 12⟩
[12; 14⟩ 72 90
[14; 16⟩ 0,175
[16; 18⟩ 0,025
[18; 20]
Completamos la tabla estadística:
¿Cuántos empleados tienen hijos por lo menos de 14 años o más?
Edades f
i
F
i
h
i
[10; 12⟩ 18 18 0,15
[12; 14⟩ 72 90 0,6
[14; 16⟩ 21 111 0,175
[16; 18⟩ 3 114 0,025
[18; 20] 6 120 0,05
f
3
+ f
4
+ f
5
= 21 + 3 + 6 = 30 empleados.
ARITMETICA 4 CT UNID 1 T6 ESTADISTICA.indd 28 28/02/2020 18:48:40

Aritm?tica Básico Intermedio Avanzado
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Unidad 1 29
Refuerzo en casa
Nivel básico
Dado la siguiente tabla, se presenta los datos de
una encuesta realizada sobre el número de hijos
de los profesores del colegio Pilares:
n° de hijos f
i
F
i
1 m 10
2 2 q
3 4 r
4 n 40
5 p 50
1.
¿Cuál es el número total de datos?
a. 50 b. 40 c. 30 d. 20
2. Determina el valor de m + n + p + q + r a.
110
b. 115
c. 120
d. 72
Nivel intermedio
En la siguiente tabla, el ancho de clase es cons-
tante, completa y responde:
Edades f
i
h
i
[20; 30⟩ 0,10
[ ; ⟩ 72
[ ; ⟩ 0,34
[ ; 60] 40
3.
¿Cuál es el número total de datos?
a. 100
b. 200
c. 300
d. 400
4. Calcula el valor de f
1
+ f
2
+ f
3
a. 120
b. 160
c. 170
d. 190
5. Determina el valor de h
3
∙ h
4
a. 0,001
b. 0,002
c. 0,005
d. 0,068
6. En la tabla se muestra las notas de 80 universi-
tarios ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvie-
ron notas igual a 6 pero menos de 10?
Notas [4; 6⟩ [6; 8⟩ [8; 10⟩ [10; 12]
Estudiantes 4a 3a 5a 20
a. 50%
b. 55%
c. 60%
d. 66%
Nivel avanzado
De los siguientes datos, elabora la tabla de fre-
cuencia y responde:
36 88 98 60 76 53
28 54 70 55 50 24
44 69 88 71 72 72
45 35 89 23 66 65
9 71 56 48 68 62
7.
¿Cuántos intervalos de clase genera los datos?
a. 30 b. 20 c. 10 d. 5
8. Calcula el valor de:
f
1
∙ F
4
H
4a. 91 b. 92 c. 90 d. 94
9. En la siguiente tabla, de ancho de clase cons-
tante se representa las edades de 200 personas,
en una encuesta realizada. Determina cuántas
personas tienen entre 21 y 32 años de edad.
Edades f
i
h
i
H
i
[18; ⟩ 14
[ ; ⟩ 30
[ ; ⟩ 0,56
[ ; ⟩ 0,16
[ ; 33⟩ 0,825
[ ; 36] 0,175
a. 116 b. 180 c. 120 d. 123
Nivel destacado (UNI 2015-I)
10. Semanalmente, un trabajador ahorra cierta cantidad en soles, y durante 40 semanas aho- rra las siguientes cantidades:
21 35 29 31 23 22 28 33
18 25 31 26 24 27 27 33
37 29 19 36 23 18 46 12
26 41 30 18 39 15 24 4
25 33 10 28 20 27 17 31
Se construye una tabla de frecuencia de 7 inter- valos de igual longitud fija A. Si F
5
es la frecuen-
cia acumulada del quinto intervalo (ordenados los extremos de los mismos de forma crecien- te),
calcula el valor de (A + F
5
– 1).
a. 35 b. 39 c. 42 d. 45
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a d b b d a d c a b
ARITMETICA 4 CT UNID 1 T6 ESTADISTICA.indd 29 28/02/2020 18:48:41

Básico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
2
Educación Secundaria
ARITMÉTICA
30Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Aritmetica 4to CT... 7.-ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO-4TO.indd 30 29/02/2020 10:03:22

Aritmética
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2 UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
2
Educación Secundaria
31Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Estudio de los divisores positivos de un número
Recordamos lo aprendido
1. Clasific<> ación según la cantidad de divisores
a. Números simples
• La unidad
• Números primos
b. Números compuestos
2. Propiedades de los números primos a.
El conjunto de los números primos es
infinito.
b. El 2 es el único número par que es primo.
c. 2 y 3 son los únicos números consecutivos
y primos a la vez.
d. 3, 5 y 7 es la única terna de números im-
pares consecutivos y primos a la vez.
e. Todo número primo mayor a 2 es de la
forma:
4
c
+ 1 o 4
c
– 1
f. Todo número primo mayor a 3 es de la
forma:
6
c
+ 1 o 6
c
– 1
Teorema fundamental de la aritmética Todo número entero positivo mayor que la uni-
dad se puede expresar de la siguiente manera:
...NP PP
ka a
k
a 2
1 2
1
:: :=
Donde ,,...,PP P
k12son los divisores primos de
N y a
1,
a
2,
...
,
a
k
son exponentes enteros positivos.
3.
Estudio de los divisores de un número
a. Cantidad de divisores CD(N)
...aCDNa a 111k12+=++ __ __ ii ii
b. Suma de divisores SD(N)
...SDN
P
P
P
P
P
P
1
1
1
1
1
1
aa
k
k
a
1
1
1
2
2
1 1k
12
=
-
-
-
-
-
-
+ + +
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
K
KK
_
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
O
OO
i
c. Suma <> de las inversas de los divisores de
un número SID(N)
SIDN
N
SDN
=_
_
i
i
d. Producto de divisores PD(N)
PDNN N
CDN
CDN
2
==
_
_
_
i
i
i
También se cumple:
CDNC DC D
CD CD N
CD CD
1
1
simplesc ompuestos
propios
primos simple s= +
=-
=-
_
^
i
h
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. ¿Cuántos de los siguientes números son
primos en base 10?
13 31 61 2911 11 11 11__ __ii ii
2. ¿Cuál es la suma de las inversas de todos los
divisores de 3 600?
3. Calcula la suma de los divisores compuestos de 1 200.
Transformando los números a base 10:
• 13
(11)
= 14
• 31
(11)
= 34
• 61
(11)
= 67
• 29
(11)
= 31
∴ Existen 2 primos en base 10 dentro de ese
grupo de números.
Descomponiendo: 360023 5
42 2
::=
Sabemos que: ...SIDN
N
SDN
i=_
^
^
i
h
h
Hallaremos primero:
SD3600
21
21
31
31
51
51
31 13 31 12 493
5 3 3
::
=
-
-
-
-
-
-
==
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K_
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
Oi
Reemplazando en (i):
SID3600
3600
12 493
=_i
Tenemos: 1200235
42
::=
Ahora calculamos la suma de todos los divi-
sores de 1 200. Así:
()
()
SD
SD
1200
21
21
31
31
51
51
1200314313844
5 2 3
::
::
=
-
-
-
-
-
-
==
Observamos que los divisores simples de 1 200 son: 1; 2; 3 y 5 y juntos suman 11.
Entonces, la suma de los divisores compuestos
será:
3 844 – 11 = 3 833
Aritmetica 4to CT... 7.-ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO-4TO.indd 31 29/02/2020 10:03:23

Básico Intermedio Avanzado 32Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Si N = 15 ∙ (6∙5)
n
tiene 294 divisores. Halla n.
5. La forma canónica de un número es x
x
∙y
y
, el cual
tiene 24 divisores. Si x
(x–1)
∙ y
y
tiene 16 divisores,
halla
«x ∙ y + x».
6. ¿Cuántos divisores que no son múltiplos de 5
tiene 1 980?
Nivel avanzado
7. Sea N = 3
m
∙ 5
n
, al dividir N entre 3 se suprimen
6 divisores y al dividir N entre 5 se suprimen 4 divisores.
Halla m + n.
8. Si ppqq tiene 21 divisores, calcula p+q si se
sabe que uno de sus divisores es el número 8.
9. ¿Cuántos números de la forma pqp son primos
menores que 329?
Debemos expresar N en su descomposición
canónica:
N = (3∙5) ∙ (2∙3∙5)
n
⇒ N = 2
n
∙ 3
n+1
∙ 5
n+1
()()()()CDNn nn12 2294=++ +=
Sabemos que 294 se puede expresar de la siguiente forma: 294 = 6 ∙ 7 ∙ 7.
Entonces:
(n+1)(n+2)(n+ 2) = 294 = 6 ∙ 7 ∙ 7
⇒n + 1 = 6
⇒n = 5
Sea N= 3
m
∙ 5
n
⇒ CD(N)= (m+1)(n+1)
•

N
CD
N
mn
33
35
35
3
1
mn
mn1
&
:
:== = + -b _l i
•
N
CD
N
nm
55
35
35
5
1
mn
mn 1
&
:
:== = + -b _l i
Del dato:
• CD(N) – CD
N
3
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = 6 = n + 1 ⇒n = 5
• CD(N) – CD
N
5
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = 4 = m + 1 ⇒m = 3
∴ m + n = 8
Tenemos que ppqq tiene 21 divisores.
⇒ CD (ppqq )= 21 = 7 ∙ 3 = (6+1)(2+1)
∴ ppqq = m
6
∙ n
2
Del enunciado tenemos que: ppqq = 8
c
4
c
2
c
⇒m = 2 o n = 2
• Si m = 2 ⇒ 2
6
∙ n
2
= 64 ∙ n
2
= 8
c
• S<> i n = 2 ⇒ m
6
∙ 2
2
≠ 8
c
⇒ m = 2
Por descomposición polinómica:
()
()
ppqqpp qq
pq
pq
ppqq
ppqqm n
py q
10 10 10
110011
11 100
11
21164121
7744
74
32 1
62 62
&
&
&
:: :
:: :
= ++ +
= +
= +
=
== =
=
==
c
Por los tanto: p + q = 11.
Si Nx y
xy
:= tiene 24 divisores, entonces:
24 = (x + 1) (y + 1)
⇒x ∙ y + x + y = 23... (i)
De igual manera, si M = x
x–1
∙y
y
, y tiene 16
divisores, entonces:
16 = (x – 1 + 1)(y + 1)
⇒x ∙ y+ x = 16... (ii)
(ii) en (i) tenemos:
16+ y = 23 ⇒ y = 7
⇒ x = 2
Entonces: x ∙ y + x = 2 ∙ 7 + 2 = 16
Sea:
19802351 1
22 11
:: :=
Entonces:
CD(1 980) = (2+1)∙(2+ 1)∙(1+1)∙(1+1) = 36
Ahora, calculamos los divisores múltiplos de
5:
1 980 = 5(2
2
∙ 3
2
∙ 11
1
)
⇒ CD
5
(1 980) = (2+1)∙(2+ 1)∙(1+1) = 18
Entonces, la cantidad de divisores que no
son múltiplos de 5 es: 36 – 18 = 18.
pqp3291 es primo ⇒ ;p1 3!#-
• S<> i p = 1 ⇒ q11! ;; ;;101131 151181191#-
5 números primos
• S<> i p = 3 ⇒ q33! 313#-
1 número primo
∴ Existen 6 números primos.
Aritmetica 4to CT... 7.-ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO-4TO.indd 32 29/02/2020 10:03:25

Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2 33Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. ¿Cuántos divisores menos tiene el número 360
que el número 1 800?
a. 12 b. 24 c. 6 d. 10
2. Halla la suma de los divisores de 180. a.
46 b. 546 c. 486 d. 180
3. De los siguientes números: 180; 756 y 900, ¿cuál
es el que tiene tantos divisores como 360?
a. 900 b. 180 c. 756 d. N.A
4. Determina la suma de las inversas de todos los
divisores de 1 870.
a.
935
1944
b.
187
324
c.
189
166
d.
189
187
5. ¿Cuántos divisores del número N=174 636 000
también son divisores de 12?
a. 6 b. 12 c. 1 d. 0
6. De todos los números que dividen exactamen-
te a 56, ¿cuántos son pares?
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
Nivel intermedio
7.
Calcula n, si M = (4∙3)∙(3∙5)
n
y tiene 60 divisores.
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
8. Si 4
k+2
– 4
k
tiene 92 divisores. Halla el valor de
“k – 1”. a.
3 b. 10 c. 5 d. 6
9. Si N = 42∙3
n
tiene 3 divisores menos que 900.
Determina dicho número y considera como
respuesta la suma de sus cifras. a.
9 b. 27 c. 24 d. 21
10. Si Q = 30
n
∙15 tiene 144 divisores múltiplos de
2, halla n
3
.
a. 64 b. 4 c. 21 d. 16
11. Si M = 12∙30
n
tiene el doble de la cantidad de
divisores de N = (4∙3)
n
∙30,
calcula el valor de n.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
12. ¿Cuántos ceros debe tener el número
300...000 para que tenga 50 divisores? a.
3 b. 5 c. 4 d. 7
Nivel avanzado
13.
Sea: P = 12∙3∙36
2
∙36
3
∙…36
n

Calcula cuántos divisores tiene.
a. 2n
2
+ 2n + 1
b. n
2
+ n + 1
c. (2n
2
+ 2n + 1)
2
d. (n
2
+ n + 1)
2
14. Si P = (15∙2)
n
y la suma de sus divisores pares es
2 418. Determina la cantidad de divisores com-
puestos de P.
a. 23 b. 22 c. 21 d. 32
15. Sean p, q y r números primos, además, se cum-
ple que: p + q = r y p
2
+ q
2
+ r
2
=294.
Halla pq– r.
a. 14 b. 9 c. 22 d. 18
16. Si M = 48 ∙ 64
p
∙ 27
q
tiene 136 divisores más
que el número 51x7y , el cual es divisible por 77,
calcula p+q.
a. 1 b. 2 c. 5 d. 4
17. El producto de los divisores de un número es
pq
qp
∙ 729, en el cual qp es el menor número
que posee seis divisores. Determina la canti-
dad de divisores del número que sean múlti-
plos de 63 pero no de 49.
a. 2 b. 5 c. 9 d. 4
18. La descomposición canónica de A es p
x
∙q∙r;
además, se sabe que la suma de sus divisores es 13 veces más que la cantidad de sus diviso- res.
Halla la cantidad de divisores compuestos
de A si se sabe que pq –3=4r.
a. 6 b. 5 c. 8 d. 10
Nivel destacado
19. Si N = m
7
∙(m+1)
3
∙5
2m
∙7
b
∙11
c
(DC), además 7
b
∙11
2
∙3
4

tiene 41 divisores compuestos y mb = …c
(7)
,
calcula cuántos divisores impares y PESI con 539 tiene N(D.C: descomposición canónica).
a.
12 b. 20 c. 36 d. 24
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a b c a a d c b a a
11 12 13 14 15 16 17 18 19
c c d a b c a c b
a.
935
1944
Aritmetica 4to CT... 7.-ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO-4TO.indd 33 29/02/2020 10:03:25

Básico Intermedio Avanzado 34Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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MCD y MCM
Recordamos lo aprendido
Cálculo del MCD por descomposición
canónica
Sea: Aa bc Ba b
mn px y
:: /:==
Si: ,mx yn MCDa b
my
&:11 =
Por el Algoritmo de Euclides
Cálculo del MCD por el algoritmo de Euclides
Cocientes
Residuos
MCD(A; B)
q q
2
q
3
A B r r
2
r r
2
0
Propiedades del MCD
Sean A y B dos números enteros positivos.
I. Si ;MCDABk kA kB& /##=_i
II. Si
;
;
;
AmBm km
MCDABk
MCD
m
A
m
B
m
k
MCD
&
& :: :=
=
=^
_
b
h
i
l
III. Si ,( ;)Ak Bk MCDABBZ:6!== &
IV. Si A y B son PESI ⇒ MCD(A;B)=1
PESI (primos entre sí)
V. ;;MCDn nn n11 11
;;ab cM CDabc
-- -= -_
_
i
i
La descomposición canónica de un número N
es:
...Na aa ak12 3
k12 3
:: ::=
aa a a
Cálculo del MCM por descomposición
canónica
:
:
,( ;)Si B
SeaAab cB ab
mx yn MCMA ab c
mn px y
xn p
&
:: /:
::11
==
=
Propiedades del MCM
I. Si ;MCMABk Ak Bk& /##=_i
II. Si
;
;
;; m
AmBm km
MCMABk
MCM
m
A
m
B
m
k
MCM
0
&
& :: :
!
=
=
=
^
_
b
h
i
l
III. Si (;)Ak BM CMAB Bk&::==
IV. Si A y B son PESI
⇒ MCM(A;B) = A ∙ B
V. ∀ A ,B∈ℕ: (;)( ;)MCMABMCDAB AB:: =
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Pedro siempre que va al trabajo ve dos semá-
foros, uno se pone en verde cada 4 minutos y
otro cada 6 minutos. Si a las 10:15 a.m. se ponen
en verde al mismo tiempo, ¿a qué hora se pon-
drán en verde por 3ra vez al mismo tiempo?
2.

2. Marco emprende un negocio de conservas de durazno, si tiene cajas de 24 cm de alto, 42 cm de ancho y 60 cm de largo, ¿cuál es la mínima cantidad de cajas que usará? Si las conservas tienen 12 cm de altura.
3. El amigo Juan va al cine cada 10 días, al male- cón cada 12 y a jugar fútbol cada 15.
¿Cada cuántos días Juan hace las 3 cosas el
mismo día?
Semáforo A: cada 4 min.
Semáforo B: cada 6 min.
Al mismo tiempo: MCD (4; 6) = 12 min.
1
ra
vez = 10:15 a.m.
2
da
vez = 10:27 a.m.
3
ra
vez = 10:39 a.m.
Coincidirán por 3ra vez a las 10:39 am.
Hallamos el MCD del ancho y largo de la
caja:
MCD (42;60) = 6 cm
Largo: 42 ÷ 6 = 7 conservas
Ancho: 60 ÷ 6 = 10 conservas
Alto: 24 ÷ 12 = 2 planchas
En una caja: 7 ∙ 10 ∙ 2 = 140 conservas.
Hallamos el MCM por descomposición
canónica:
10 = 2 ∙ 5
12 = 2
2
∙ 3
15 = 3 ∙ 5
MCM (10; 12; 15) = 2
2
∙ 3 ∙ 5 = 60
Juan hace las 3 cosas juntas cada 60 días.
Aritmetica 4to CT... 8.-MCD Y MCM 4TO CT.indd 34 29/02/2020 10:03:47

Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2 35Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Brandon tiene cierto número de animales en
su granja, si los agrupa de 8 en 8 le sobran 7, si
los agrupa de 6 en 6 le sobran 5, si los agrupa
de 10 en 10 le sobran 9 y si los agrupa de 12 en
12 le falta 1. ¿Cuántos animales tiene Brandon,
si se sabe que es el mayor número de 3 cifras
que cumple estas condiciones?
5. Se tienen 2 números N y 85. Si se multiplican por 4, el MCD aumenta en 57 y el MCM en
3 420.
Calcula la suma de cifras de N.
6. Un cultivo microbiológico tiene 3 campos cul- tivados con 5
12
–1, 5
8
–1 y 5
4
–1 bacterias, si se las
quiere agrupar en cultivos donde quepa la ma- yor cantidad de bacterias. ¿Cuántas bacterias entrarían al nuevo campo?
Nivel avanzado
7. Se tienen 2 números A y B (B < A) tal que su suma es 360 y su MCM es 323 veces su MCD,
halla la cantidad de divisores de la diferencia de los cuadrados de dichos números.
8. Dos números naturales difieren en once uni- dades. Si el producto de su mínimo común múltiplo con su máximo común divisor es 102,
halla la suma de dichos números.
9. El MCM de P(m), Q(m) y R(m) es 3 780, halla su
MCD
10.
si: P(m)

= m
2
– 2m – 8
Q(m)

= m
2
– m – 12
R(m)

= m
3
– 9m
2
+20m
Brandon tiene k animales, aplicamos el cri-
terio de divisibilidad:
k
k
k
k
65 61
87 81
109101
121
=+=-
=+=-
=+=-
=-
cc cc
cc
c
k = MCM (;;;6810 12
cccc
) –1 = 120n – 1
Para que k sea máximo⇒n debe ser máximo
120n –1 < 1 000
n < 8,341…..
n
máx
= 8 ⇒ k
máx
= 959
A + B = 360
MCD (A; B) = k
MCM (A; B) = 323k
A = ak y B = bk, si a y b son PESI
MCM (A; B) = abk = 323k = 19∙17∙k
a = 19 y b = 17, pues A > B
A + B = 19k + 17k = 36k = 360 ⇒ k = 10
⇒ A = 190
⋀ B = 170
⇒ A
2
– B
2
= 360∙20 = 2
5
∙3
2
∙5
2
CD(360∙ 20 ) = (5+1)(2+1)(2+1) = 6 ∙ 3 ∙ 3 = 54
Sean A y B los números, sabemos que:
A – B = 11
MCD (A; B)∙ MCM (A; B) = A∙B = 102
B(B+ 11) = 102
(B + 17)(B – 6) = 0
⇒ B = –17 ∨ B = 6
Descartamos a – 17 por ser negativo, entonces:
B = 6, A = 17
A + B = 23
Sabemos que:
P(m) = (m – 4)(m + 2)
Q(m) = (m – 4)(m + 3)
R(m)

= m(m
2
– 9m + 20) = m(m – 4)(m – 5)
MCD (P(m) ,Q(m), R(m)) = m – 4
MCM (P(m), Q(m), R(m)) = m(m – 4)(m + 2)
(m + 3)(m – 5)
Descomponemos 3 780
3 780 = 7∙3∙9∙10∙2 = m(m – 4)(m + 2)(m + 3)(m – 5)
⇒ m = 7
MCD (P(m); Q(m); R(m)) = m – 4 = 7 – 4 = 3
Al igual que el criterio de divisibilidad:
;;51 5151
12 84
-- -
MCD (5
12
–1, 5
8
–1, 5
4
–1) = 5
MCD(12,8,4)
–1
12 = 2
2
×3 ; 8 = 2
3
; 4 = 2
2
MCD (12; 8; 4) = 2
2

MCD (5
12
–1, 5
8
–1, 5
4
–1) = 5
4
–1
5
4
–1 = 624
MCD (N; 95) = k
MCD (4N; 4 ∙ 95) = 4k
4k – k = 3k = 57 ⇒ k = 19
N = 19n
⋀ 95 = 19 ∙ 5
MCM (N; 95) = 19 ∙ 5 ∙ n = 95n
MCM (4N; 380) = 19 ∙ 5 ∙ n ∙ 4= 380n
380n – 95n = 285n
285n = 3420 ⇒ n = 12 ⇒ N = 19 ∙ 12 = 228
Suma de cifras: 2 + 2 + 8 = 12
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Básico Intermedio Avanzado 36Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla la suma de 2 números, sabiendo que la
suma de su MCD con su MCM es 880 y la dife-
rencia de estos es 800.
a.
500 b. 380 c. 620 d. 400
2. ¿Cuál es el menor número positivo, tal que al di-
vidirlo por 20; 14 y 24 nos da una división exacta?
a. 800 b. 840 c. 420 d. 464
3. En Surco un serenazgo pasa cada 10 días y un
patrullero pasa cada dos semanas. Se sabe
que 2 meses atrás ambos vehículos pasaron el
mismo día. Raúl cree que dentro de 10 días los
vehículos volverán a encontrarse y Oscar cree
esto ocurrirá dentro de dos semanas. ¿Quién
está en lo cierto? (1mes = 30 días)
a.
Raúl tiene razón.
b. Oscar tiene razón.
c. Nadie tiene razón.
d. Ya no coincidirán nunca más.
Nivel intermedio
4.
Kennet, Roberto y Ángel salen a correr los do-
mingos para distraerse, si ellos le dan la vuelta
a la manzana en 1 min, 1 min 12s y 1 min 30s
respectivamente. ¿Cuántas vueltas dan hasta
que se encuentran por segunda vez?
a.
12, 8 y 15
b. 14, 16 y 18
c. 10, 11 y 12
d. 12, 10 y 8
5. Un sitio turístico ofrece tres diferentes cruce-
ros: uno tarda 8 días en ir y regresar a su punto
de inicio, el segundo tarda 10 días y el terce-
ro tarda 12 días. Si los tres cruceros partieron
al mismo tiempo hace 73 días, ¿cuántos días
faltan para que vuelvan a partir el mismo día
todos los cruceros?
a.
43 días
b. 38 días
c. 40 días
d. 47 días
6. Se tienen ladrillos de medidas 2, 3 y 4 cm, si se
tiene un cubo que puede almacenar a todos
estos ladrillos sin que sobre espacio, ¿cuánto
mide el lado de dicho cubo, si es un número
comprendido entre 15 y 30?
a.
16 b. 22 c. 24 d. 28
7. Si: MCD (120k; 150k; 180k) = 1 800. Halla el valor
de
k
3
.
a. 60 b. 20 c. 90 d. 30
Nivel avanzado
8.
MCD (2A; 3B) = 15
MCM (8A; 12B) = 5 400
Halla (A + B)
2
.
a. 36 b. 49 c. 64 d. 100
9. Brandon tiene un terreno de camotes y quiere
dividirlo en parcelas cuadradas de modo que
sean divididas por estacas y sean las más gran-
des posibles. ¿Cuántas estacas usará si su terre-
no tiene de lados 24 km y 40 km?
a.
24 b. 36 c. 80 d. 120
10. Fernanda tiene cierta cantidad de separatas,
tal que si los ordena de 4 en 4 le sobran 3, si
los agrupa de 5 en 5 le sobran 4, si los agrupa
de 7 en 7 le sobran 6 y si lo agrupa de 8 en 8 le
sobran 7. ¿Cuántas separatas tiene Fernanda, si
es el menor número de 4 cifras que cumple las
estas condiciones?
a.
1 150 b. 1 119 c. 1 134 d. 1 205
11. Luis vende buzos por cajas que vienen con 45
unidades y Franco vende casacas por cajas don-
de vienen 24 unidades. Con esto Anibal quie-
re hacer su negocio y cree que lo mejor sería
vender conjuntos, así le compra cajas a Luis y a
Franco. ¿Cuántas cajas en total debe comprar
Aníbal para tener una casaca por cada buzo?
a.
15 b. 19 c. 23 d. 30
12. Marco tiene un terreno de 40 m de ancho por
80 m de largo y lo quiere vender en terrenos
cuadrados, de igual área y siendo esta la máxi-
ma posible. ¿Cuántos metros cuadrados medi-
rá cada terreno?
a.
1 600 m
2
b. 600 m
2
c. 500 m
2
d. 100 m
2
Nivel destacado
13. Halla
B
A
si: A = MCD (21!, 22!, 23! …, 45!)
B = MCM (3!, 5!, 7!, 9!, …, n!)
a. 380 b. 420 c. 240 d. 380
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
d b a c d c b c a b c a b
1. 9 términos
Aritmetica 4to CT... 8.-MCD Y MCM 4TO CT.indd 36 29/02/2020 10:03:48

37Aritm?tica Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 2
Razones y proporciones
Recordamos lo aprendido
Razón aritmética (R.A)
Antecedentea br"-= ← Razón aritmética
Consecuente
Razón geométrica (R.G)
Antecedente →
Consecuente →
= r ← Razón geométrica
b
a
Serie de razones geométricas equivalentes (SRGE)
...
b
a
b
a
b
a
b
a
r
k
k
1
1
2
2
3
3
=== ==
Propiedades de la SRGE
...
...
bbb
aa a
r
k
k
12
12
+
+
++
++
=
...
...
r
bb b
aa a
k
k
k
12
12
## #
## #
=
Serie de razones geométricas equivalentes
continuas
... ..
a
a
a
a
a
a
a
a
rRG
k
k
2
1
3
2
4
3 1
!=====
-
Proporción aritmética
Discreta:
a – b = c – d

Continua: a – b = b – c
Proporción geométrica
Discreta:

b
a
d
c
=
Continua:
b
a
c
b
=
Propiedades de la proporción geométrica
b
ab
d
cd+
=
+
ab
a
cd
c
+
=
+
b
ab
d
cd-
=
-
bd
ac
bd
ac
+
+
=
-
-
ab
a
cd
c
-
=
-
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Si en una proporción geométrica continua sa-
bemos que la media geométrica es igual a 24,
calcula el producto de los términos extremos.
2. En una proporción aritmética continua, la suma de los cuatro términos es 184.
Calcula la
media diferencial.
3. La razón geométrica de dos números es igual
a
2
3
y su razón aritmética es 27. Indica la suma
de los números.
Sean a y c los términos extremos de la pro-
porción, entonces tenemos:
b
a
c
b
=
Donde b = 24. Luego:
a
c
ac
24
24
24 24576&== =_i
Por lo tanto:
ac = 576
El producto es 576.
Sea la proporción aritmética continua:
a – b = b – c ⇒ a + c = 2b… (*)
Por dato:
a + b + b + c = 184
⇒ a + 2b + c = 184
⇒ (a + c) + 2b = 184
Por (*):
2b + 2b = 184 ⇒ 4b = 184
⇒b = 46
La media diferencial es 46.
Sean los números a y b, por dato:
b
a
ak bk
2
3
32& /== =
Para la razón aritmética, tenemos:
a – b = 27
⇒3k – 2k = 27⇒k = 27
Entonces:
a = 81
⋀ b = 54
Por lo tanto:
a + b = 81 + 54
⇒a + b = 135
Aritmetica 4to CT... 9.-Razones y proporciones 4°_CT.indd 37 29/02/2020 10:04:21

38 Básico Intermedio Avanzado
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Nivel intermedio
4. Calcula el menor valor de dos números si el an-
tecedente es el séxtuple del consecuente y la
razón aritmética de dichos números es 1 285.
5. Si tenemos que
b
a
d
c
f
e
h
g
2== == , determina
el valor de P
bdfh
aceg
22 22
22 22
=
++ +
++ +
.
6. Si k es la media proporcional positiva de 18 y 8, y p es la cuarta proporcional de 6; k y 11.
Halla
el valor de p – k.
7. En una serie de razones geométricas equi- valentes, los consecuentes son 18; d; f y 21. Si la suma del 3
er
y 5
to
término es igual a 14,
determina el valor de la suma de los conse-
cuentes si la razón geométrica es igual a
3
2
.
8. Calcula el área de un rectángulo si el períme-
tro de este es 30 m y sus lados están en rela-
ción de 2 a 3.
9. Halla el mayor valor de a+b si tenemos que:
b
a
yab
13
11
572==
Sean los números a, b; donde:
b = consecuente
a = antecedente
Por dato del problema: a = 6b
Por la razón aritmética:
a – b = 12 85
& 6b – b = 1 285 & 5b = 1 285
& b = 257
Entonces: a = 1 542
⋀ b =257
El menor número es 257.
Sea la serie de razones geométricas
equivalentes:
b
a
d
c
f
e
h
g
3
2
== ==
Donde c = 3
er
término y e = 5
to
término
Por dato del problema: c + e = 14 y por pro-
piedad de la SRGE:
df
ce
df
df
3
21 4
3
2
21&&
+
+
=
+
= +=
Nos piden:
18 + d + f + 21 = 18 + 21 + 21 = 60
Por dato se tiene que:
b
a
an bn
13
11
11 13& /== =
Reemplazando en el producto de ab:
ab = (11n) (13n) ⇒ n = 2
Hallando los valores de a y b:
a = 11(2) ∧ b = 13(2)
&a = 22 ∧ b = 26
Por lo tanto:
a + b = 22 + 26 = 48
Del enunciado:
b
a
d
c
f
e
h
g
b
a
d
c
f
e
h
g
24
4
2 22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
&
== == =
== ==
J
L
K
K
Kb bb
N
P
O
O
Ol ll
Por propiedad de la SRGE:
bdfh
aceg
P
bdfh
aceg
P
4
42
2
22 22
22 22
22 22
22 22
&
&
++ +
++ +
=
=
++ +
++ +
==
=
Para la media proporcional:
…()
k
k
kk I
18
8
1441 2
2
&
=
==
Como p es la cuarta proporcional de 6; k y 11;
entonces:
kp
611
=
Por (I) tenemos:
p
pp
12
611
6132 22&&== =
Nos piden:
p – k = 22 – 12 = 10
b
b
a a
b
a
ak bk
3
2
23& /
=
==
Los lados del rectángulo
son a y b, por dato:
Luego, como el perímetro es 30:
2a + 2b = 30
&2(2k) + 2(3k) = 30 & k = 3
Reemplazando para hallar a y b:
a=6 ∧ b=9
Por lo tanto, el área es:
A
rectángulo
= ab = 6(9) = 54 m
2
Aritmetica 4to CT... 9.-Razones y proporciones 4°_CT.indd 38 29/02/2020 10:04:23

39Aritm?tica Básico Intermedio Avanzado
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Unidad 2
10. Noemi es la hermana mayor de Alicia y juntas
van a actualizar sus datos a la RENIEC. Noemi
nota que la razón aritmética entre sus edades
es 8.
Determina cuántos años tuvo Alicia hace
3 años si dentro de 7 años sus edades estarán en relación de 7 a 5.
Nivel avanzado
11. Anita celebra su cumpleaños y, al momento de bailar, se da cuenta que el número de hom- bres es al número total de personas como 2 es a 5.
Calcula el total de personas en la fiesta de
Anita si hay 48 mujeres.
12. En una serie de razones geométricas equiva- lentes con 6 términos, los consecuentes son números consecutivos.
Calcula la suma de los
consecuentes si se sabe que el producto de los antecedentes es 8 232 y la razón de la serie es igual a 7.
13. En un puesto hay M frutas entre manzanas y melocotones. Si el número de manzanas es a M como 8 es a 11, la diferencia entre manzanas y melocotones es 75. ¿Cuál será la relación en- tre las manzanas y melocotones al vender 20 manzanas?
Sea la edad de Noemi N y la de Alicia A, por
dato del problema tenemos:
N – A = 8
Edad de Noemi dentro de 7 años: N+ 7
Edad de Alicia dentro de 7 años: A+ 7
A
N
Nk Ak
7
7
5
7
77 75
& /
+
+
=
+=+=
La diferencia de edades se mantiene, entonces:
kk k75 84&-= =
Tenemos que:
Ak
A
75 54 20
13&
+== =
=
_i
Actualmente, Alicia tiene 13 años, pero como nos piden la edad de hace tres años:
A3 13310-= -=
Hace tres años Alicia tenía 10 años.
Por dato del problema, la SRGE tiene 6
términos. Además, sus consecuentes son consecutivos y su razón es 7, luego:
b
a
b
c
b
e
12
7=
+
=
+
=
Por propiedad de SRGE:
bb b
ace
12
7
3
++
=
__ii
Donde a,c y e son los antecedentes. Por dato:
bb b
bb b
bb b
12
8232
7
12 24
12 234
3
&
&
++
=
++ =
++ =_
_
_
_
_
_
__
i
i
i
i
i
i
ii
El valor de b es 2. Nos piden:
bb b12 22 12 29++++ =++++ =__ __ii ii
La suma de los consecuentes es 9.
Sean:
H: Número de hombres
M: Número de mujeres
Por dato del problema:
HM
H
5
2
+
=
Por propiedad de proporción geométrica:
HM
HH M
5
25
+
-+
=
-
_i
HM
M
5
3
&
+
=
Como M = 48, tenemos:
HM
48
5
3
+
=
HM
HM
4853
80
&
&
= +
+=
_ _i i
Hay 80 personas en total.
Ma: Cantidad de manzanas
Me: Cantidad de melocotones Por dato del enunciado:
M
Ma
Ma Me
Ma
11
8
11
8
&=
+
=
Por propiedad de proporción geométrica:
Ma Ma Me
Ma
Me
Ma
Ma nyMe n
811
8
3
8
83&&
- +
=
-
== =_i
Además:
Ma – Me = 75 ⇒ n = 15
Hallamos el valor de Ma y Me:
Ma = 120 y Me = 45
Como se venden 20 manzanas, entonces
quedan 100 manzanas.
Me
Ma
45
100
9
20
& ==
Luego, la relación entre manzanas y melo- cotones es como 20 es a 9.
Aritmetica 4to CT... 9.-Razones y proporciones 4°_CT.indd 39 29/02/2020 10:04:24

40 Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el menor de dos números si el mayor
de ellos es 84 y la razón geométrica
entre los números es
7
2
.
a. 24 b. 48 c. 96 d. 12
2. La razón aritmética de dos números es 13.
Halla la nueva razón aritmética si el antece-
dente aumenta 7 unidades.
a. 10 b. 15 c. 20 d. 30
3. En una proporción continua, uno de los tér-
minos extremos es el cuadrado de su término
central.
Determina el extremo opuesto al pri-
mer elemento mencionado.
a. 3 b. 2 c. 1 d. 0
4. Determina la cuarta diferencial de una propor-
ción aritmética si la suma de los términos me-
dios es 18; y además, la primera diferencial es el
doble de la cuarta diferencial.
a.
3 b. 4 c. 5 d. 6
5. Calcula la razón geométrica de dos números,
si la suma de estos es 102 y su razón aritmética
es 30.
a.

10
11
b.
6
11
c.
10
3
d.
9
7
Nivel intermedio
6. Halla el valor de A+B si se sabe que A es la me-
dia aritmética de 11 y 5 y B es la media geomé-
trica de 5 y 20.
a.
18 b. 21 c. 24 d. 27
7. Hace 17 años, las edades de Anita y Aníbal es-
taban en relación de 2 a 1 respectivamente. Si
la diferencia de sus edades son 3 años,
indica
la edad de Anita.
a. 12 b. 6 c. 18 d. 23
8. En la serie de razones geométricas equivalen-
tes:
,
n
m
q
p
s
r
u
t
9
1
== == calcula el valor de:
J
nq su
mp rt
3
=
++ +
++ +
J
L
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
OO
a.
18
1
b.
27
1
c.
5
3
d.
7
13
9. Si tenemos que
,
b
a
c
b
d
c
r== =
y se sabe
que
d
a
512
1
= , encuentra el valor de
c
b
2
2
.
a.
64
1
b.
36
1
c.
7
36
d.
3
64
Nivel avanzado
10. En una serie de razones geométricas equi-
valentes, los antecedentes son a, 15, 9 y g, y
si la suma del 2
do
y 8
vo
término es igual a 45.
Determina el valor de la suma de los antece-
dentes si la razón geométrica es igual a
5
3
.
a. 47 b. 49 c. 51 d. 53
11. Roberto asiste a una ceremonia de gradua-
ción y mientras cena, él observa que el total de
mujeres es al total de personas como 6 es a 13.
Halla el total de personas que hay en la cere- monia si hay 56 hombres.
a.
100 b. 104 c. 112 d. 110
12. En una serie de razones geométricas equiva-
lentes cuya razón es 2, los consecuentes son 4
números consecutivos.
Calcula la suma de los
consecuentes si el triple del producto de los antecedentes es igual a 5 760.
a.
13 b. 16 c. 15 d. 14
13. Víctor se encuentra en una confitería y se da
cuenta que hay C dulces entre caramelos y
chocolates. También nota que la relación exis-
tente entre la cantidad de caramelos y C dul-
ces es de 12 a 17, que, además, los caramelos
exceden en 49 a los chocolates. Si Víctor com-
pró 24 caramelos y 17 chocolates,
determina la
relación entre los caramelos y chocolates que quedaron.
a.

17
12
b.
3
10
c.
5
12
d.
10
17
Nivel destacado
14. Actualmente, las edades de los hermanos
Juan, Moisés y Aron son proporcionales a los
números 2; 5 y 8 respectivamente. Si Juan na-
ció cuando Aron tenía 18 años,
halla la suma de
las edades de los hermanos dentro de 8 años.
a. 69 b. 45 c. 52 d. 72
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
a c c d b a d b a c b d b a
Aritmetica 4to CT... 9.-Razones y proporciones 4°_CT.indd 40 29/02/2020 10:04:26

Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2 41Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Fracciones
Recordamos lo aprendido
Fracción
Forma general:
;;f
b
a
ab abZZ /!!!=
+ c
Clasificación de las fracciones 1.
Por comparación de su valor
Propia:
b
a
ab1+11
Impropia:
b
a
ab1+22
2. Por su denominador
• ;decimalb k
b
a
es 10 N
k
+ !=
• ;ordinariab k
b
a
es 10 N
k
+! !
3. Por la c<> antidad de divisores comunes en sus
términos •
,irreducibleMDCab
b
a
es 1+ =^h
• MCD,reducible ab
b
a
es 1+ !^h
Clasificación de los números avales
k ceros
...
,...
...
Fa bcx
abcx
0000
0
100
n
n
n== ^^
^
h
h
h
k cifras
1. Número aval inexacto:
.
,...
..x
Fa bcx
n
abc
0
1
n
n
k
==
-
^
^
h
h
>?;;;;;;
k cifras
2. Número aval inexacto periódico mixto:
,... ...Fa bchpqrx0
n=
^h
>?;;;;;;
m cifras k ceros
... ...
... ...h
F
nn n
abchpqrx abc
11 1 000 00
…
n
n
n
=
-- -
-
__ _
^
^
^
ii i
h
h
h
k cifrasm cifras
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla la fracción que tiene términos consecuti-
vos; tal que es equivalente a
720
600
Dar como respuesta el producto de sus términos.
2. ¿Cuántas fracciones impropias e irreductibles
de denominador 5 son menores que 3?
3. Si ,024
5
3
x21=+^h
!
, encuentra el valor de «x».
Sea la fracción con términos consecutivos
x
x
1+
tal que es equivalente a
720
600
6
5
=;
Comparando
x
x
16
5
+
= se tiene que:
6x = 5x + 5
⟹ x = 5
Como nos piden el producto de los términos, entonces tenemos: 5 x 6 = 30
Se tiene la fracción
a
5
, la cual es una frac-
ción impropia, entonces: a > 5
Así mismo; debe cumplir que es una fracción
irreductible y es menor que 3.
a
5
< 3 ⟹ a < 15
Además, por ser irreductible, a ≠ 5
Los valores para a son: {6; 7; 8; 9; 11; 12; 13; 14}
Por lo tanto, existen 8 fracciones impropias e
irreductibles.
Resolvemos la ecuación
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx x
xx
xx
x
21 10
24 2
5
3
221
221 42
5
3
221
44
21
22
5
3
10 10 63
67 100
65 20
2
2
2
x
xx
21
21 21
&
&
&
&
+-
-
=
+
++-
=
+
+
=
+
+
=
+
-- =
+ -=
+=
=
+
++^
^
^
^
^
^
^
^^
^
h
h
h
h
h
h
h
hh
h
Aritmetica 4to CT... 10.FRACCIONES 4 TO SECUNDARIA - CT.indd 41 29/02/2020 10:04:42

Básico Intermedio Avanzado 42Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. ¿Qué hora del día es si han transcurrido los
3
2

de lo que falta transcurrir?
5. ¿Cuántas fracciones propias existen cuyo de-
nominador sea 21?
6. ¿Cuántas fracciones impropias existen cuyo numerador sea igual a 17?
Nivel intermedio
7. Calcula (p + q + r) si:
0,pqpq… + 0,qrqr… + 0,rprp...= 1,677……7
8. Halla una fracción equivalente a
156
123
tal
que la suma de sus términos sea igual a 1 674.
9. ¿Cuántas fracciones impropias menores que
6
44
existen cuyo denominador es igual a 3?
Sea la fracción de la siguiente forma:
N
N
21
1
21&
1
1
Como NZ!
+
, se tiene:
N! {1; 2; 3; 4;… ... ...; 20}
N puede tener 20 valores y para cada valor se
forma una fracción propia.
Entonces habrán 20 fracciones propias.
Expresaremos los decimales en fracciones:
,
,
pq qr rp
pqr
pqr
pqr
99 99 99
167
99
11
90
16716
10
151
151
&
&
++ =
++ =
-
++ =
++ =
_i
!
Primero veremos si la fracción
156
123
se
puede simplificar para poder reducirla:
156
123
=
52
41
Sea la fracción f
b
a
=, que tiene que ser equi-
valente a
52
41
, entonces tenemos:
a = 41k ^ b = 52k
De dato tenemos que la suma de sus térmi-
nos es 1 674, entonces, operando tenemos:
41k + 52k = 1 674; tal que el valor de k es 18
Por lo tanto: f =
52 18
41 18
936
738
#
#
= .
Sea la fracción de la forma
N
3
Por los datos sabemos que es una fracción
impropia; es decir,
N
3
12 entonces: N> 3
Además, por el dato se tiene:
N
N
36
44
22&11
Como: 3 < N < 22; entonces:
;;;...;N45621!",
N toma 21 – 3 = 18 valores; entonces existen
18 fracciones impropias.
La fracción será de la siguiente forma:
M
17
Como es una fracción impropia, se cumple:
M
17
12; de ahí se tiene que: M171.
Se tienen los valores para M = {2; 3; 4; 5;…; 17}
Observa que M no puede ser 1, ya que no nos
daría una fracción.
Entonces, tenemos 16 valores para M y cada
valor forma una fracción impropia.
Graficamente, se tiene:
24 horas
24 – xx
Por el gráfico se tiene que han transcurrido «x» horas y falta transcurrir «24 – x» horas por
transcurrir.
Del enunciado, se tiene:
x x
3
2
24= -^h ⟹ 3x = 48 – 2x ⟹ 5x = 48
⟹ :. .xh ha m
5
48
9
5
3
936== =
Aritmetica 4to CT... 10.FRACCIONES 4 TO SECUNDARIA - CT.indd 42 29/02/2020 10:04:44

Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2 43Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
10. ¿Cuántas fracciones de la forma
N
100
se
encuentran entre y
20
6
4
3
?
11. Si a los términos de una fracción se le resta 1, el
valor de la fracción es
4
1
, y si a los dos términos
se le añade 3, el valor de la fracción es
2
1
.
Determina la fracción.
Nivel avanzado
12. :,Si
qp
qp q
119
0 2+=+ + __ii
>?;;;;;;;;;;;;;;
, halla el mayor valor
de p
q
.
13. Si ,abaab
k
185
0 += ^h
>?;;;;;;;;;
y se sabe que la fracción
es irreductible, halla la suma de las cifras del
numerador k.
14. Halla la suma de las tres últimas cifras del nú-
mero decimal que genera la fracción
25
52
96
#
.
15. Si la fracción
ab 37
1
-
genera un número
decimal periódico mixto de la forma ,ba00
$
,
halla el número de cifras decimales que gene-
ra la fracción
a
b
.
Se tiene:
k abaab aabab
185 9990 9990
=
+-
=
^h

Por lo tanto: k
abab
54
=
;ka b54 101& =
Como 54 101!
c
, entonces k = 101
Finalmente, como nos piden la suma de las
cifras tenemos lo siguiente:
1 + 0 + 1 = 2
Se tiene la fracción:
b
a
. Por el enunciado
tenemos lo siguiente:
b
a
y
b
a
1
1
4
1
3
3
2
1
-
-
=
+
+
=
De estas resultan las siguientes ecuaciones:
4 a – b = 3
⋀ 2 a – b = –3
resolviendo por sistema de ecuaciones, tenemos :
a = 3
b = 9
Entonces la fracción sería:
9
3

Como tenemos
25
52
96
#
, multiplicamos
por 5
3
al numerador y al denominador; así
tenemos:
xx
x
x25 5
525
25
6500
10
6500
96 33
99
==
^^hh
.
1000 000 000
6500
0 0000065=
Como nos piden la suma de las tres últi- mas cifras del número decimal, tenemos lo siguiente:
0 + 6 + 5 = 11
:,Setiene
ab
ba
ba
37
1
00
990
0
-
==
-$
Entonces: 990 = (ab – 37) (ba ), y como se
sabe que: 990 = 9 x 11 x 2 x 5 = 55 x 18
Además, se tiene que ab – 37 = 18 ⟹ ab = 55;
entonces a = 5 y b = 5.
Nos piden
5
5
1=; que posee 0 cifras
decimales.
Si
qp qp q
1199 9
2
+=
++__ii
, entonces :
9q + 11p = 10 (q+ 2) + p + q = 11q + p + 20
10 p – 2q = 20 ⟹ 5p = q + 10
Si p = 2, q = 0, se tiene 2
0
= 1
Si p = 3, q = 5, se tiene 3
5
= 243
Entonces, el mayor valor de p
q
es 243.
Se tiene:
N
20
6
1004
3
11 (multiplicamos por 100)
N
N
N
100
20
6
100
100
4
3
100
56 325
30 75
## #
##
11
11
11
;; ;... ...;N31 32 3374!",
N puede tomar 74 – 30 = 44 valores.
Por lo tanto, se formarán 44 fracciones.
Aritmetica 4to CT... 10.FRACCIONES 4 TO SECUNDARIA - CT.indd 43 29/02/2020 10:04:46

Básico Intermedio Avanzado 44Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. La distancia desde la casa de Juana hasta la
escuela es de 1 200 km. Si Juana recorre los
5
3

de lo que le falta recorrer, ¿cuántos km le faltan
recorrer a Juana para llegar a la escuela?
a. 710 km
b. 720 km
c. 130 km
d. 750 km
2. ¿Cuántas fracciones impropias e irreductibles
existen cuyo numerador sea igual a 24?
a. 16 b. 24 c. 25 d. 23
3. Cierto día, Pepito quiso impresionar a sus com-
pañeros del salón durante una clase de arit-
mética con el tema de fracciones. Al verlo tan
animado, la profesora le preguntó: «¿Cuántas
fracciones propias e irreductibles existen cuyo
denominador sea 13?», a lo que él respondió
correctamente.
4.
¿Cuál fue su respuesta?
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13
4. Si m representa la cantidad de fracciones pro-
pias con denominador igual a 15 y n represen-
ta la cantidad de fracciones impropias con nu-
merador igual a 17,
halla n – m.
a. 1 b. 3 c. 2 d. 4
5. Halla una fracción equivalente a
312
318
tal que la
diferencia de sus términos sea igual a 1.
a.
68
67
b.
46
45
c.
52
53
d.
57
56
Nivel intermedio
6. Los términos de una fracción propia son con-
secutivos; si se le añaden dos unidades a cada
término, esta nueva fracción excede en
12
1
a la
original. Halla la fracción original.
a.
4
3
b.
5
3
c.
2
1
d.
5
4
7. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de
denominador 250 existen, cuyos numeradores
sean de 3 cifras?
a.
40 b. 50 c. 60 d. 70
8. Calcula la cantidad de fracciones de la forma
a
15
que se encuentran en el intervalo ;
5
6
3
13
.
a. 46 b. 45 c. 44 d. 43
9. Si
m
esmayorque
42 3
2
, ¿cuántos valores toma m
si sabemos que
m
42
es una fracción propia e
irreductible?
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
10. Halla el número de fracciones propias con de-
nominador 24 que son mayores a
7
2
.
a. 15 b. 16 c. 17 d. 18
Nivel avanzado
11.
Si ,, ,ab ba00 12
66
6 1+
^^
_
hh
i
!
, indica el mayor va-
lor entero de a + b.
a. 5 b. 6 c. 10 d. 8
12. Si (),b
b
283
37
5
27
0-+=
>?;;;;;;;;;
, calcula el valor de 2b.
a. 1 b. 8 c. 4 d. 7
13. Si ,
a c
b
aa a
1
2
04 32
+
=
^
__ _
h
ii i
>?;;;;;;;;;;;;;
, determina a + b – c.
a. –2 b. –1 c. 3 d. 4
14. Halla la suma de las dos últimas cifras del nú-
mero decimal que genera la fracción
x25
43
96
.
a. 11 b. 12 c. 13 d. 14
Nivel destacado
15. Sean a, b enteros positivos que satisfacen:
,…
ab
113
096969696+= , calcula a+b.
a. 4 b. 6 c. 8 d. 10
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
d a b a c a c a
9 10 11 12 13 14 15
a c c b a b c
Aritmetica 4to CT... 10.FRACCIONES 4 TO SECUNDARIA - CT.indd 44 29/02/2020 10:04:48

45Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 2 Básico Intermedio Avanzado
Gráficos estadísticos
Recordamos lo aprendido
Tipos de gráficos estadísticos
1. Gráfico de barras
A B C
c
a
b
2. Gr<> áfico lineal
L
a
b
c
d
e
f
g
M M J V S D
3. Gr<> áfico circular
α =
f
i
n × 360°
% =
f
i
n × 100%
α
A
B
CD
E
4. Hist<> ograma y polígono de frecuencias
d
c
b
m n p q r
a
Histograma
d
c
b
a
Polígono de frecuencias
5. La ojiv<> a
snm p q r
e
a
b
c
d
%
Frecuencias absolutas acumuladas
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En el siguiente gráfico se representa la can-
tidad promedio de pacientes por día de una
clínica.
Responde las siguientes preguntas de
acuerdo al gráfico.
350
300
250
200
150
100
50
0
Lun Mar Miér Jue VieSab Dom
a. ¿Qué días la clínica recibe más de 150
pacientes?

b. ¿Cuál es la cantidad total de pacientes que
la clínica atiende el fin de semana?

c. ¿Cuáles son los días en los que la clínica re-
cibe más de 120 personas pero menos que 220?

2.
Los gastos mensuales de la familia Córdova están representados en el siguiente gráfico circular:
Alquiler
Servicios
14%
Otros
19%
Alimentación
S/ 1 512
Si se sabe que gastan la cuarta parte de sus in- gresos en alquiler,
determina el ingreso men-
sual de la familia.
Martes, jueves y sábado
250 + 100 = 350
Lunes, martes y miércoles
Sea T el dinero total mensual de la familia Córdova, entonces:
Alquiler: 25%T
⇒ Alimentación: 42%T = 1 512
⇒
T
100
42
1512=
⇒ T = S/ 3 600
11. Gráficos estadísticos_Roberto.indd 45 29/02/2020 10:04:53

46 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Básico Intermedio Avanzado
3. El siguiente gráfico de barras muestra los prome-
dios del bimestre de los alumnos del cuarto año
de secundaria.
8
5
4
2
0
8
N° estudiantes
Notas
12 16 18 20
Interpreta el gráfico y responde las siguientes
preguntas:
a. ¿Cuál es la cantidad total de estudiantes?

b. ¿Cuántos alumnos desaprobaron?

c. ¿Cuál es porcentaje de alumnos aprobados?

Nivel intermedio
4.
El siguiente histograma representa las edades
de 680 trabajadores de una empresa.
12k
10k
5k
4k
3k
20 30 40 50 60 70
Edades
N° de trabajadores
a. Determina el número de trabajadores que tienen más de 50 años y el porcentaje que representan del total de trabajadores.
b. Indica el porcentaje de trabajadores que son mayores de 29 años, pero menores de 60.
c. Elabora la tabla de frecuencias del gráfico anterior, e
indica los intervalos, marcas de
clase y la frecuencia absoluta.
d. C<> on la ayuda de la tabla del ítem c, grafica
la ojiva del histograma que representa las edades de los trabajadores de la empresa.
2 + 5 + 8 + 4 + 2 = 21
2
90,48% aproximadamente
Por dato del problema, tenemos:
3k + 4k + 5k + 10k + 12k = 680
⇒ k = 20
⇒ 4k + 12k = 16k = 20(16) = 320
⇒ ,% .aprox
680
320
1004706# =
Del gráfico, tenemos que la cantidad de tra- bajadores mayores de 29 pero menores de 60, son:
5k + 10k + 4k = 19k
Del problema anterior: k = 20
⇒ 19k = 19(20) = 380
Luego:
%, %.aprox
680
380
1005 588# =
De la tabla anterior, se deduce:
F
1
= 60; F
2
= 160; F
3
= 360; F
4
= 440; F
5
= 680
Entonces, graficando, tenemos:
680
440
360
160
60
20 30 40 50 60 70
Fi
Edades
I
i
x
i
f
i
[20 ; 30⟩ 25 3k = 60
[30 ; 40⟩ 35 5k = 100
[40 ; 50⟩ 45 10k = 200
[50 ; 60⟩ 55 4k = 80
[60 ; 70] 65 12k = 240
11. Gráficos estadísticos_Roberto.indd 46 29/02/2020 10:04:54

47Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 2 Básico Intermedio Avanzado
Nivel avanzado
5. Construye el histograma y el polígono de fre-
cuencias de la siguiente tabla.
I
i
x
i
f
i
[320; 390⟩ 8
[390; 460⟩ 14
[460; 530⟩ 16
[530; 600⟩ 13
[600; 670⟩ 9
6. Usando la tabla de frecuencias del problema 5,
representa su gráfico circular indicando el
valor de la medida de sus ángulos.
7. De la tabla de frecuencias del problema 5, cal-
cula y representa en un diagrama circular el
porcentaje de cada marca de clase.
8. Calcula el área bajo el polígono de frecuencias del siguiente histograma si se sabe que el to- tal de datos es 40 y tiene amplitud constante.
f
i
m
10
9
8
10 a b 2216 c
De la tabla, se tiene que la cantidad total de datos es:
8 + 14 + 16 + 13 + 9 = 60
Luego:
n
f
n
f
n
f
n
f
n
f
360
60
8
36048
360
60
14
36084
360
60
16
36096
360
60
13
36078
360
60
9
36054
°° °
°° °
°° °
°° °
°° °
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
: ##
: ##
: ##
: ##
: ##
a
a
a
a
a
== =
== =
== =
== =
== =
Graficando, tenemos:
96°
A
C
BD
E
84°
48°54°
78°
Del problema anterior:
%% ,%
%% ,%
%% ,%
%% ,%
%% %
x
n
f
x
n
f
x
n
f
x
n
f
x
n
f
100
60
8
1001 33
100
60
14
1002 33
100
60
16
1002 67
100
60
13
1002 17
100
60
9
1001 5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
: ##
: ##
: ##
: ##
: ##
== =
== =
== =
== =
== =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
15% 13,3%
23,3%
26,7%
21,7%
Como el total de datos es 40, entonces:
8 + 9 + 10 + m = 40 ⇒ m = 13
Luego, como la amplitud es constante, se
tiene:
xxa − 10 = b − a ⇒ b = 2a − 10…(I)
xx
ab
2
+
= 16 ⇒ a + b = 32…(II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos:
a + b = a + 2a − 10 = 32 ⇒ a = 14
Por lo tanto, la amplitud es:
14 − 10 = 4
Por propiedad, tenemos que el área bajo el
polígono de frecuencias es igual al área que
determinan los rectángulos. Entonces:
Área total = 4(8 + 9 + 10 + 13) = 160u
2
16
14
13
9
8
3200 390 460 530 600 670
355
425
495
565
635
11. Gráficos estadísticos_Roberto.indd 47 29/02/2020 10:04:54

48 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Se realizó una encuesta a un grupo 200 turis-
tas sobre los lugares del Perú que visitaron. Los
resultados se muestran en la siguiente gráfica.
60
50
40
30
20
10
0
Arequipa Lima Cusco Puno Loreto
A. ¿Qué ciudades tuvieron menos de 40 visitantes?
a.
Cusco – Lima
b. Cusco – Arequipa
c. Lima – Arequipa
d. Puno – Arequipa
B. ¿Qué porcentaje del total de turistas visita-
ron Lima y Cusco?
a. 45% b. 70% c. 25% d. 30%
C. ¿Qué porcentaje del total representa la ciu-
dad que tuvo menos visitantes?
a. 15% b. 20% c. 10% d. 25%
D. ¿Qué ciudades tuvieron más del 23% de vi-
sitantes del total de turistas encuestados? a.
Lima y Puno
b. Loreto – Cusco
c. Cusco – Puno
d. Lima – Cusco
Nivel intermedio
2.
El siguiente histograma representa los pesos de
120 estudiantes del cuarto año de secundaria.
18k
10k
7k
5k
40 50 60 70 80
Pesos
N° de estudiantes
A. ¿Cuál es la cantidad de alumnos que pesan más que 59 kilos?
a.
95 b. 51 c. 36 d. 54
B. ¿Qué porcentaje del total representan los
alumnos que pesan menos que 70 kilos?
a. 45% b. 30% c. 50% d. 75%
Nivel avanzado
3.
Dada la siguiente tabla de frecuencias:
I
i
f
i
[60; 120⟩ 60
[120; 180⟩ 30
[180; 240⟩ 40
[240; 300⟩ 50
[300; 360⟩ 20
Indica cuál es su diagrama circular
a. b.
c. d.
E
A
B
C
D
10%
30%
15%
20%
25%
E
A
B
C
D
10%
35%
20%
20%
15%
E
A
B
C
D
10%
30%
20%
25%
15%
E
A
BC
D
10%
35%
20%15%
20%
4. Calcula el área bajo el siguiente polígono de
frecuencias, si se sabe que el total de datos es
50 y tienen amplitud constante.
d
c
b
a
20 29
fi
a. 250u
2
b. 320u
2
c. 420u
2
d. 300u
2
Nivel destacado
5. Del ejercicio anterior, indica el intervalo al que pertenecen los datos que tienen de frecuen- cia absoluta a.
a.
[38 ; 44⟩
b. [32 ; 38⟩
c. [38 ; 44]
d. [26 ; 32⟩
Respuestas
1A 1B 1C 1D 2A 2B 3 4 5
d a c b b d a d c
11. Gráficos estadísticos_Roberto.indd 48 29/02/2020 10:04:55

Aritmética Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3 UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
3
Educación Secundaria
ARITMÉTICAProhibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
49
magnitudes y proporciones T12 U3.indd 49 28/02/2020 18:50:45

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 50
Magnitudes proporcionales
Recordamos lo aprendido
Magnitud directamente proporcional (DP.)
A DP. B ⇔
valordeA
valordeB
= k
Función de proporcionalidad directa
f(x) = xk
Magnitud inversamente proporcional (IP)
A IP. B ⇔ (valor de A)(valor de B) = k
Función de proporcionalidad directa
f(x) =
k
x

Donde: k es constante.
Propiedades:
Sean las magnitudes A y B, se cumple que:
•
Si A DP. B → A
n
DP B
n

Si A IP. B → A
n
IP B
n

• Si A DP. B → A IP
1
B
• S<> i A IP. B y A DP C →
AB
C
= k; k = cte.
2. Si sabemos que A
2
es directamente proporcio-
nal a B, si A = 3, cuando B = 16, calcula el valor
de A cuando B = 12.
3. Si A está variando inversamente proporcio-
nal a B y directamente proporcional a C, y
si A =
2
5
cuando B =
7
2
y C =
7
10
, halla el valor
de C, cuando A = 12 y B = 75.
4. Se tiene la siguiente tabla de valores para las magnitudes A y B.
A 7
x
2
2
B
x+36
2
196 y
Sabiendo que A
2
es inversamente proporcional a B,
determina el valor de M =
y
x7:
.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Se tiene la siguiente tabla de valores para las magnitudes A y B.
A 576 a 144 256
B 2 18 b c
Sabiendo que A es inversamente proporcional
a B
2
,
determina el valor de a + b + c.
Sabemos que A IP. B
2

⇒ (Valor de A)(Valor de B)
2
= k
576 × 2
2
= a ×
18
2
⇒ a=128
576 × 2
2
= 144 × b
2
⇒ b = 4
576 × 2
2
=256 × c
2
⇒ c = 3
Reemplazando, se tiene:
a + b + c = 128 + 4 + 3 = 135
Sabemos que: A
2
DP. B ⇔
valordeA
valordeB
k
2
=
Entonces, tenemos lo siguiente:
3
16 12
3
2
3
22
≤≥ ≤
a
a
Recordemos: Si A IP. B y A DP. C ⇒
AB
C
= k
Entonces:
2
5
7
2
7
10
1275
≤
≥
≤
C
⇒ 2C = 1275× ⇒ C = 15
Como
xx
x
xx xx
2
7
36
22
196
36
2
36
.
2 36
Hallamos y: 3
2
∙ 196 = 2
2
∙ y ⇒ y = 441
Hallamos
M≤
≥
≤
≥
≤
736
441
76
441
2
21
Por lo tanto: M =
2
21
magnitudes y proporciones T12 U3.indd 50 28/02/2020 18:50:46

Aritm?tica Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 51
5. El precio del pasaje para ir de paseo a Chosica va-
ría inversamente proporcional a la cantidad del
número de pasajeros. Si para 10 pasajeros el pre-
cio del pasaje es S/ 9 c/u, ¿cuántos pasajeros serán
si el precio por persona es de S/ 3
1
3
?
Nivel intermedio
6. En una tienda, el valor de un mantel es inversa-
mente proporcional al área y directamente pro-
porcional al peso. Si un mantel de 3 m
2
de área
con 40 g de peso cuesta S/ 30. ¿Cuánto costará un
mantel de 9 m
2
de área y de peso igual a 80 g?
7. En el siguiente gráfico de magnitudes, deter-
mina el valor de E = nm.
12
78
36
39
A
B
m – n
m + n
8. En el siguiente gráfico de magnitudes:
Calcula el valor de:
x
y
3 6 y
12
A
B
x + 1
3x – 7
9. Sea f(x) una función de proporcionalidad inver- sa con k < 0, sabiendo que se cumple que:
ff
30
7
42
5
1
≤
≥

≤
≥

,
halla G = f(12)
2
– f
4
3
.
Sabemos que:
A IP.B ⇔ (valor de A)(valor de B) = k
1093
1
3
27≤≥ ≥aa
Primero analizamos en la parte de la DP.:
xx
xx x
≤
≥

1
3
37
6
22 37 9
Luego, analizamos la parte de la IP.
Tenemos:
(3(9) – 7)6 = 12y ⇒ 20 × 6 = 12y ⇒ y = 10
Nos piden hallar: 9
10
3
10
310
10
= =
Como es una gráfica DP. entonces:
•
mn
mn
mn I
12
78
36
78
3
26
26...()
•
39 78
36
39 36
78
18
18
mn
mn
mn II
≤
≤≥

≥
≥...()
Hallamos los valores de m y n.
Sumamos (I) + (II):
⇒ 2m = 44 ⇒ m = 22 y en (II), hallamos n = 4
Nos piden hallar E = 4 × 22 = 88
Llamemos: valor de mantel = A, área del
mantel = B y peso del mantel = C.
Recordemos: Si A IP. B y A DP. C ⇒
AB
C
= k
Así tenemos que,
303
40
9
80
≤
≥
≤A
⇒ A = 90 ×
2
9
= 20
Por lo tanto el costo es S/ 20.
Como f(x) es una función IP. ⇒ fx
k
x
()=
⇒ por dato: ff
30
7
42
5
1
≤
≥

≤
≥

≤≥ ≥≥

kk
k
kc omok k
30
7
42
51
6
16 06
2
2
,
Tenemos que:
f(12) =
≤≥≤
6
12
1
2
y f
4
3
6
4
3
9
2
≤
≥

Reemplazando en G, tenemos:
G≤≥

≥≥

≤
1
2
9
2
19
4
2
magnitudes y proporciones T12 U3.indd 51 28/02/2020 18:50:47

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 52
Nivel avanzado
10. Se tiene que A es directamente proporcional a
B cuando B ≤ 18, y A es inversamente propor-
cional a B
2
cuando B ≥ 18. Sabiendo que cuan-
do A toma el valor 5, B toma el 6. Halla el valor
de A cuando B vale 30.
11. Sea f(x) una función de proporcionalidad di- recta y g(x) una función de proporcionali- dad inversa; sabiendo que f(x) = x
3
, con x > 0,
f(1) = 16, g(3) + g(2) = 20 donde, k es cons-
tante de f y k’ de g, determina el valor de
M
fx
x
f
gf
k
k
≤
≥

()
()
() ()
3
5
82 12
'
.
12. El valor de una joya depende de determinadas
condiciones de proporcionalidad. Si para un
peso de 13 g su valor es de S/ 2 535, si el peso
fuera de 17 g su valor sería de S/ 4 335, ¿cuál es
el valor de la joya si su peso es de 25 g?
13. El volumen de un cono varia proporcional- mente al cuadrado del radio de su base cuan- do la altura es constante, y proporcionalmen- te a la altura cuando el radio de la base es constante. Si el radio de la base es 8 m y su altura es 15 m, su volumen es 880 m
3
. Halla la
altura de un cono cuyo volumen es 132 m
3
y
cuya base tiene un radio de 3 m.
Como f(x) es una función DP. ⇒
fx
x
k
()
=
Del dato, tenemos:
fx
x
x
x
x;
f
kx
() ()
33
22 1
1
16 16
comoxx;04
como x > 0; x = 4, es decir,
fx
x
()
3
4=
Como g(x) es una función IP. ⇒ g(x) =
k
x
'
Del dato, tenemos:
gg
kk k
k() ()32
32
5
6
20 24≤≥ ≤≥ ≥
' ' '
'
Hallamos lo que nos piden:
M
fx
x
f
gf
k
k
M
M
≤
≥

≤
≥≥
≥

≤

()
()
() ()
3
5
82 12
4165
24
8
21216
16
24
320
33384
2
3
320
381
2
3
574
381
≤

'
Tenemos que A DP. B, si B ≤ 18:
Del dato:
5
618
15≤≥ ≤
A
A
Además, sabemos que A IP. B
2
, si B ≥ 18
cuando B = 18, A = 15
15 × 18
2
= A × 30
2
⇒
A≤
≥
≤
15 18
30
27
5
2
2
≤≥A
27
5
De los datos tenemos que:
Volumen el cono = V
c
, radio del cono = r y
altura del cono = h
De acuerdo al problema, nos dicen que
V
c
DP. r
2
cuando h es constante,
V
c
DP. h, cuando r es constante
≤
≥

V
rh
k
c
2
, donde k es constante.
Usando los datos del problema, tenemos:
880
715
132
3
715132
3880
22
2
2
h
h
1225h,
Primero debemos saber de qué tipo de
proporcionalidad se trata. Es fácil notar
que a mayor peso mayor precio; es decir:
precio
peso
k=.
Aunque no necesariamente así, analizaremos:
2535
13
4335
17
16915
13
28915
17
≤≥

≤

Deben ser iguales, por lo tanto, la proporcionalidad debe darse de la siguiente manera:
≤
≥

≥

16915
13
28915
17
15
22
≤≥
precio
peso
2
15, nos piden el precio de 25 g.
≤≥
precio
25
15
2 ⇒ precio=9 375
magnitudes y proporciones T12 U3.indd 52 28/02/2020 18:50:49

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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Se tiene la siguiente tabla de valores para las
magnitudes A y B.
A a 38 152 5472
B 18 b c 1
Sabiendo que A es inversamente proporcional
a B
2
,
determina a – (b
2
+ c
2
).
a. 130 b. 186 c. 280 d. 124
2. Si sabemos que A
2
es directamente proporcio-
nal a B, si A = 3, cuando B = 16, calcula el valor
de A cuando B = 4.
a. 1/4 b. 2/4 c. 3/2 d. 4/4
3. Si A está variando inversamente proporcio-
nal a B, directamente proporcional a C, si
A =
10
21
cuando B =
9
4
y C =
9
42
, halla C, cuando
A = 150 y B = 24.
a. 60 b. 49 c. 12 d. 69
Nivel intermedio
4.
Se tiene la siguiente tabla de valores para las magnitudes A y B.
A 2 a 9
B b 1476 164
Sabiendo que A
2
es inversamente proporcional a B,
determina el valor de M
aa
b
1
2
a. 13/41
b. 4/1107
c. 41/240
d. 82/299
5. El precio del pasaje para ir de paseo varía inver- samente proporcional a la cantidad del núme- ro de pasajeros, si para 23 pasajeros el precio del pasaje les cuesta S/ 18 por persona. ¿Cuán- tos pasajeros serán si, el precio por persona es
de S/ 3
2
7
?
a. 130 b. 129 c. 240 d. 126
6. En una tienda, el valor de una alfombra es
directamente proporcional al área e inversa-
mente proporcional al peso. Si una alfombra
de 5 m
2
de área con 120 g de peso cuesta S/ 40,
¿cuánto costará un mantel de 25 m
2
de área y
de peso igual a 80 g?
a. 305 b. 300 c. 240 d. 299
Nivel avanzado
7.
Sea f(x) una función de proporcionalidad inver-
sa con k > 0 y sabiendo que se cumple que:
ff
35
6
42
5
1
≤
≥

≤
≥

, halla G = ff88
2
≤≥≤≥.
a. 9
b. 7
c. 4
d. 11
8. Sea f(x) una función de proporcionalidad di- recta y g(x) una función de proporcionali-
dad inversa, sabiendo que
fx x()
,
=
25
, con
x > 0, f(3) = 12, g(7) + g(3) = 20. Donde k es
constante de f y k’, de g.
Determina el valor de: M
f
k
g
xk
fx
≤
≥

215
8
4
()
()
()
.
'
a. 13 b. 41 c. 24 d. 29
9. En el siguiente gráfico:
Calcula el valor de M
y
x≤≥
2
3
2
.
18 24 72
9
A
B
y – 2
3x – 6
a. 13
b. 69
c. 40
d. 29
Nivel destacado
10. El costo de una memoria RAM es DP. a su efi- ciencia y a su capacidad de memoria e IP. al cuadrado del tiempo que demora en procesar un trabajo. Si para una eficiencia de 120, con capacidad de memoria de 128 MB una memo- ria RAM cuesta S/ 800 que demora en procesar un trabajo en 10 s,
determina cuánto costará
una memoria RAM que tiene una eficiencia de 90; una capacidad de memoria de 256 MB y que demora un tiempo 5 s.
a.
5 130 b. 4 169 c. 4 800 d. 1 299
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d c c b d b b b c c
magnitudes y proporciones T12 U3.indd 53 28/02/2020 18:50:50

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Regla de tres
Recordamos lo aprendido
Regla de Tres Simple
Regla de tres
simple directa
Regla de tres
simple inversa
1. Si A DP B, entonces:
Magnitud "A"
a
1
a
2
b
1
x
Magnitud "B"
2. Si <> A IP B, entonces:
Magnitud "A"
a
1
a
2
b
1
x
Magnitud "B"
⇒ a
1
⋅ x = a
2
⋅ b
1
∨ x
ab
a
∙
∙
21
1
⇒ a
1
⋅ b
1
= a
2
⋅ x
∨ x
ab
a
∙
∙
11
2
Regla de Tres compuesta
Método de
los signos
Esquema:
Parte superior
Parte inferior
Directa
Magnitud
Inversa
+
–+
−
−∙
=

x
producto
producto
()
()
Método de
las rayas
Esquema:
causa
A
1
E
1
B
1
F
1
C
1
D
1
A
2
E
2
B
2
F
2
C
2
D
2
efectocircunstancia
⇒ A
1
⋅ B
1
⋅ C
1
⋅ D
1
⋅ E
2
⋅ F
2
= A
2
⋅ B
2
⋅ C
2
⋅ D
2
⋅ E
1
⋅ F
1
Trabajamos
con
magnitudes
Dadas las magnitudes A, B, C, D y E.
Si:
A DP. B
A IP. C
A IP. D
A DP. E
∙
∙∙
∙
ACD
BE
= constante
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. José Luis es un alumno muy aplicado y trabaja-
dor. Él está juntando dinero para matricularse
en un instituto de Inglés, para eso ha ahorrado
S/. 200 en 8 semanas. Si continúa ahorrando
a esa razón, ¿cuánto ahorrará en 25 semanas?
2. Si tres grifos llenan un tanque en 20 min, ¿cuánto se demorará en llenar el mismo tan- que, si se abren 5 grifos más?
3. Javier y John tienen una banda de rock, y com- ponen 8 canciones en 20 días. Si llaman a su amiga Pamela para que les ayude durante 10 días, ¿cuántas canciones compondrán juntos?
Monto N° semanas
200
x
8
25
DP.
⇒ 200 ∙ 25=(8)(x) ⇒ 5 000 = 8x ⇒ x = 625
Ahorrará S/.625
N° grifos N° minutos
3
3 + 5
20
x
IP.
⇒ 3 ∙ 20 = (3 + 5)(x) ⇒ 60 = 8x ⇒ x = 7,5
Por lo tanto, demorará 7,5 minutos en llenar.
N° personasN° cancionesN° días
2 8
3 x
20(–)(–)
(+)(+) 10
DP. DP.
x =
3 ∙ 8 ∙ 10
2 ∙ 20
=
240
40
= 6
Por lo tanto, entre los tres compondrán 6 canciones.
Regla de tres T13 U3.indd 54 28/02/2020 18:51:51

Aritm?tica Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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4. Para realizar una obra en Chosica, la empresa
“Los Titanes S.A.C.” ofrece sus servicios comu-
nicando que 18 de sus obreros pueden realizar
dicha obra en 21 días trabajando 8 horas diarias.
¿Qué parte de la obra avanzarán en 12 días?
Nivel intermedio
5. Veintiún obreros se comprometen en hacer una obra en 16 días, pero por una emergencia les comunican antes de empezar, que la obra debe estar terminada 2 días antes. ¿Cuántos obreros extras deben contratarse?
6. Se realizó un estudio en la editorial Pilares, del cual se obtuvo que la eficiencia de las damas era a la de los varones que trabajan en la em- presa como 9 es a 5. Si las damas demoran 20 días en editar 720 páginas. ¿Cuántos días de- morarán en editar 560 páginas la misma canti- dad de varones?
7. Para pintar un cubo de 15 m de arista, se gastó S/ 72 000. ¿Cuánto se gastará para pintar un cubo de 20 m de arista?
8. Para realizar una obra en La Molina, una em- presa ofrece sus servicios comunicando que 12 de sus obreros pueden realizar dicha obra en 21 días trabajando 8 horas diarias. Al cabo de dos semanas se percatan que solo han avanza- do la mitad de la obra. ¿Cuántos obreros deben contratarse para culminar la obra a tiempo?
9. Quince obreros pueden culminar una obra en 18 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días de- morarán en terminar la misma obra 10 obreros con el triple de eficiencia, trabajando 6 horas diarias?
Al pintar un cubo, se pintan todas sus caras, por lo tanto, el costo es proporcional al área total.
Área costo(en miles)
6(15
2
)
6(20
2
)
72
x
DP.
⇒ 6(20
2
) ∙ 72 = (6(15
2
))(x) ⇒ 20
2
∙ 72 = 15
2
x
⇒ x = 128
Por lo tanto, se gastará S/.128 000.
N° obreros obra(m
2
)
N° horas
diarias
N° días
18 218 1
18 128 x
⇒ (18) ∙ 8 ∙ 21 ∙ x = 18 ∙ 8 ∙ 12 ∙ 1
x =
18 ∙ 8 ∙ 12
18 ∙ 8 ∙ 21
=
12 21
=
4
7

Por lo tanto, en 12 días avanzarán 4/7 de la obra.
Como ya se realizó la mitad de la obra, faltaría
realizar la otra mitad.
N° obreros obra(m
2
)
N° horas
diarias
N° días
12 218 1
12 + x 78 0,5
⇒ 12 × 8 × 21 × 0,5 = (12 + x) ∙ 8 ∙ 7 ∙ 1
⇒ 12 + x =
12 ∙ 8 ∙ 21 ∙ 0,5
8 ∙ 7
= 18
⇒ x = 6
Por lo tanto, deben contratarse 6 obreros.
N° editores N° paginasEficienciaN° días
m 209 720
560m x5
m ∙ 9 ∙ 20 ∙ 560 = m ∙ 5 ∙ x ∙ 720
x =
9 ∙ 20 ∙ 560
5 ∙ 720
= 28
Por lo tanto, se demorarán 28 días.
N° obreros ObraEficiencia N° díasH/D
15 181 8 1 110 x3 6
⇒ 15 ∙ 1 ∙ 8 ∙ 18 ∙ 1 = 10 ∙ 3 ∙ 6 ∙ x ∙ 1
⇒ x =
15 ∙ 8 ∙ 18
10 ∙ 3 ∙ 6
= 12
Por lo tanto, terminarán la obra en 12 días.
N° obreros N° días
21 16
21 + x 16 – 2
IP.
21 ∙ 16 = (21 + x)(14)
48 = 42 + 2x ⇒ x = 3
Por lo tanto, deberán contratar 3 obreros extras.
Regla de tres T13 U3.indd 55 28/02/2020 18:51:51

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10. Mirtha normalmente vende 20 pantalones y 30 blu-
sas en un día, trabajando 10 horas. Si en épocas festi-
vas, como navidad o año nuevo, la productividad de
las ventas aumenta en un 60%. ¿Cuántas prendas
venderá un día festivo, si se trabaja 14 horas?
Nivel avanzado
11. Para realizar una obra en Tumbes, una empre- sa ofrece sus servicios comunicando que 18 de sus obreros la pueden realizar en 20 días trabajando 8 horas diarias. Al cabo de dos se- manas un “huayco” dificulta la obra en un 25% más, motivo por el cual la empresa contrata más obreros y aumenta el jornal en una hora. ¿Cuántos obreros deben contratarse para cul- minar la obra a tiempo?
12. En el club campestre “Los hijos del Sol” se utilizan 5 mangueras para llenar 2 piscinas de 450 m
3

cada una en 25 horas. ¿Cuánto tiempo demora- rán 10 mangueras en llenar 3 piscinas de 552 m
3
?
13. Una empresa extranjera se ha instalado en Perú, y ha prometido lanzar una nueva línea de ropa en 24 días, para realizar tal proyecto se contratan varias costureras peruanas para que trabajen 12 horas diarias, si luego de 18 días de trabajo, 8 cos- tureras renuncian por sobreexplotación. ¿Cuán- tas costureras con el doble de rendimiento se contrató para culminar con el proyecto, si este se entregó con una demora de 3 días, y además el jornal diario se disminuyó en 4 horas?
N° prendas ProductividadH/D
20 + 30 10
x 14
100%(–)(–)
(+)(+) 160%
DP.
DP.
⇒ x =
50 ∙ 14 ∙ 160%
10 ∙ 100%
= 112
Por lo tanto, venderá 112 prendas.
N°
mangueras
Volumen
(m
3
)
N° piscinaN° horas
5 225 450
55210 3x
⇒ 5 ∙ 25 ∙ 3 ∙ 552 = 10 ∙ x ∙ 2 ∙ 450
⇒ x =
5 ∙ 25 ∙ 3 ∙ 552
10 ∙ 2 ∙ 450
= 23
Por lo tanto, se demorarán 23 horas.
Primero veamos que parte de la obra se
avanzó antes de que renuncien las costureras
N° costureras ObraH/D N° días
m 2412 1
xm 1812
⇒ m ∙ 12 ∙ 24 ∙ x = m ∙ 12 ∙ 18 ∙ 1
⇒ x =
12 ∙ 18
12 ∙ 24
=
18
24
=
3
4

Primero veamos que parte de la obra se avanzó antes del huayco:
N° obreros ObraH/D N° días
18 208 1
x18 148
⇒ 18 ∙ 8 ∙ 20 ∙ x = 18 ∙ 8 ∙ 14 ∙ 1
⇒ x =
18 ∙ 8 ∙ 14
18 ∙ 8 ∙ 20
=
14
20
=
7
10

Como avanzó 7/10 de la obra, faltarían 3/10 de la obra, además ya pasaron 14 días, así que faltan 6:
N° obreros ObraDificultadH/DN° días
18 208 1 100%
x100% + 25%18 148
⇒ 18 ⋅ 8 ⋅ 20 ⋅
3
10
⋅ 125%
= (18 + x) ∙ 9 ∙ 6 ∙ 1 ∙ 100%
⇒ 18 + x =
18 ∙ 8 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 125
9 ∙ 6 ∙ 100
⇒ x = 2
Por lo tanto, deberá contratar 2 obreros.
Como avanzó 3/4 de la obra, faltarían 1/4 de la obra, además ya pasaron 18 días, así que faltan 6:
N° obreros ObraH/D N° días
m 2412 1
1/4m – 8 + 2x 6 + 312 – 4
⇒ m ∙ 12 ∙ 24 ∙
1
4
= (m – 8 + 2x) 8 ∙ 9 ∙ 1
⇒ m – 8 + 2x =
m ∙ 12 ∙ 6
8 ∙ 9
= m
⇒ x = 4
Por lo tanto, se contrató 4 costureras.
Regla de tres T13 U3.indd 56 28/02/2020 18:51:52

Aritm?tica Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si Anibal resuelve 10 problemas de Regla de
tres simple en 7 min, ¿cuánto tiempo demora-
rá en resolver 45 problemas?
a.
63 min
b. 31,5 min
c. 42 min
d. 35 min
2. Un trabajador promedio del área de “Edición y co-
rrección” trabaja 9 horas diarias para realizar un
tema en 4 días, si Melissa solo trabaja 2 horas diarias,
¿cuántos días demorará en realizar el mismo tema?
a.
18 b. 4,5 c. 9 d. 13,5
3. Durante sus vacaciones Denys entrena 3 horas
diarias durante 15 días, y de esa manera logra
recorrer 270 km. ¿Qué distancia recorrerá en 8
días si ahora solo entrena 1,5 horas?
a.
789 km
b. 72 km
c. 1 012,5 km
d. 288 km
4. En el metro de Lima “Línea uno”, 3 trenes trans-
portan 14 400 personas en 4 viajes. ¿Cuántos
viajes son necesarios para transportar 36 000
personas en 6 trenes?
a.
2 b. 8 c. 5 d. 12
5. Ocho tigres comen ocho trozos de carne en 8
minutos. ¿En cuánto tiempo 64 tigres comeran
64 trozos de carne?
a.
64 b. 8 c. 16 d. 32
Nivel intermedio
6.
La rapidez para digitar textos de Kassandra e
Isabel están en relación de 2 a 5 respectivamen-
te. Cuando Isabel haya digitado 140 páginas,
¿cuántas páginas habrá digitado Kassandra?
a.
350 b. 56 c. 112 d. 175
7. Si t obreros realizan m% de una obra en 15 días
a razón de 8 horas diarias. ¿En cuántos días ter-
minarán la obra, si su eficiencia se duplica?
a.

5100()−m
m
b.
5
100
m
m−
c.
100
5
−m
m
d.
m
m5100()−
8. Un parque triangular es cercado durante tres ho-
ras por 4 trabajadores, si se desea cercar un par-
que cuadrangular, con el mismo perímetro que
el anterior. ¿Cuántos trabajadores más deberán
contratarse para culminar la obra en 2 horas?
a.
2 b. 3 c. 4 d. 5
9. Si por pintar un cubo me cobran 10 soles.
¿Cuánto me cobraran por pintar otro cuyo vo-
lumen es 8 veces el anterior?
a.
S/ 80 b. S/ 20 c. S/ 40 d. S/ 100
10. Para construir una piscina, se contrata 10 alba-
ñiles para que trabajen a razón de 8 horas dia-
rias durante 64 días. Si las medidas se reducen
en 25% cada lado, ¿en cuántos días se termi-
nará la obra?
a.
16 b. 48 c. 32 d. 27
Nivel avanzado
11.
A una zapatería llegaron 3 socios para solicitar
una orden de zapatos. Al firmar el contrato se
quedó en entregar el pedido luego de 45 días,
para eso los zapateros trabajarían 10 horas dia-
rias. Luego de 10 días de trabajo, uno de los so-
cios le comunica a la zapatería que necesitan el
pedido dentro de 2 semanas, así que se ven en
la obligación de contratar más zapateros. Si con-
trató a la misma cantidad de obreros que tenía
al inicio ¿Cuál es la relación de sus rendimientos?
a.
1/3 b. 3 c. 3/2 d. 1/2
12. Dieciocho obreros pueden terminar una obra tra-
bajando 8 horas diarias durante 30 días. Al cabo de
12 días se despiden a 2 obreros, luego de 9 días se
contratan nuevos obreros para poder terminar la
obra a tiempo. ¿Cuántos obreros se contrataron?
a.
6 b. 9 c. 4 d. 8
13. Doce obreros pueden hacer una obra en 25 días.
Inician el trabajo, al final del décimo cuarto día
se retiran 2 obreros. Luego de m días se retira 3
obrero más.
Halla el valor de m, si se sabe que
entregaron la obra con un atraso de 6 días.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
Nivel destacado (UNAC 2010-I)
14. Un jardinero pensó sembrar «x» semillas en x/5
días, pero tardó 5 días más por trabajar 2 horas
y 30 minutos menos cada día. ¿Cuántas horas
al día trabajó?
a.
0.5 x b. 10 x c. 0,9 x d. 0,1 x
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
b a b c b b a a
9 10 11 12 13 14
c d c c d d
Regla de tres T13 U3.indd 57 28/02/2020 18:51:52

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Porcentajes
Recordamos lo aprendido
1. V<> ariaciones porcentuales:
VP
VV
V
fi
i
.. %

100
Donde:
V
i
: valor inicial
V
f
: valor final (luego de ocurrir la variación)
2. Aumentos y descuentos sucesivos:
a. Aumentos sucesivos (A
u
):
A
AA A
u
n
n

() () ()
%
1001 00 10 0
100
100
12
1

b. Descuentos sucesivos (D
u
):
D
DD D
u
n
n

100
1001 00 10 0
100
12
1
() () ()
%

3. Fórmulas para aplicaciones comerciales:
P
v
= P
c
+ G P
v
= P
f
– D
P
v
= P
c
– P
Donde:
P
v
: Precio de venta. P
c
: Precio de costo.
G: Ganancia D: Descuento P: Pérdida
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Efraín dice: Si tuviera el 16% más de la edad
que tengo ahora, tendría 58 años, ¿cuántos
años tuve hace 7 años?
2. Lee el texto y luego indica los enunciados que
son correctos. Justifica tu respuesta.
En una reunión a la que asistieron Camila y
Francisco había 300 invitados de los cuales 180 eran mujeres. En cierto momento, Camila le dice lo siguiente a Francisco: “la cantidad de varones que asistieron es aproximadamente un poco más del 35%”; a lo que él le responde: “Creo que sí, pero si hubiera 60 invitados varones más, la cantidad de mujeres sería el 50% del total de invitados”.
I.
Lo que dijo Camila es correcto.
II. Lo que dijo Francisco fue correcto.
III. Lo que dijo, tanto Camila como Francisco es
incorrecto.
3. Se vende un televisor a S/ 6 900 con una ganan- cia del 15% sobre el precio de costo, Si se sabe que se ganó tanto como se descontó, ¿a cuánto debe fijarse el precio de venta al público?
Sea N la edad de Efraín.
Por dato:
N + 16%N = 58
116%N = 58 ⇒ N = 50
Efraín tiene actualmente 50 años.
Por lo tanto, hace 7 años tuvo 43 años.
Utilizamos la fórmula del precio de venta (P
v
)
Por dato:
P
v
= P
c
+ 15% P
c
⇒ 6 900 = 115% P
c
P
c
= S/ 6 000; G = 15%(6 000) = 900
Nos dicen que ganó tanto como descontó,
entonces se cumple que G = D (descuento)
Luego, utilizamos la fórmula del precio fijado (P
f
)
P
v
= P
f
– D ⇒ 6 900 = P
f
– 900 ⇒ P
f
= 7 800
Por lo tanto, se debe fijar el precio en
S/ 7 800.
1° Caso: el total de invitados es de 300.
Mujeres: 180 Varones: 120
Porcentaje de varones (V%), respecto al total
de invitados:
VV%% %%
120
300
1004 0
2° Caso: el total de invitados aumenta en 60 varones, es decir 360.
Porcentaje de mujeres (M%), respecto al
total de invitados:
MM%% %%
180
360
1005 0
Por lo tanto, los enunciados I y II son correctos.
porcentajes T14 U3.indd 58 28/02/2020 18:52:38

Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Nivel intermedio
4. Si (M + N) es el 140% de N, ¿Qué tanto por cien-
to es (4M – N) de 6M?
5. Percy obtuvo tres descuentos sucesivos del 5%,
10% y 20% respectivamente sobre un artefac-
to, ¿es correcto decir que recibió un descuento
único del 35%?
Justifica tu respuesta.
6. Si la base de un triángulo aumenta en un 20% y su altura en un 50%, ¿en qué porcentaje au- menta su área?
Nivel avanzado
7. Andrés tiene un cupón del 20% de descuen- to sobre el precio a pagar por cada artículo de una tienda. Al llegar a la tienda se da con la grata sorpresa de que el producto que desea llevar ya viene con un descuento del 30%.
¿Cuál es el descuento total que obtendrá Andrés si usa su cupón de descuento?
8. Un sastre vende dos camisas a S/ 60 cada una. En una camisa gana 25% de su costo, mientras que en la otra pierde el 25%. Luego de la venta de ambas camisas, ¿él sastre habrá obtenido una ganancia o alguna una pérdida?
Resuelve
la interrogante y explica tu procedimiento.
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
Analizamos cada una de las ventas:
• 1° venta (gana el 25% del precio de costo):
P
v
= P
c
+ 25%P
c
60 = 125%P
c
⇒ P
c
= S/ 48
•
2° venta (pierde el 25% del precio de costo):
P
v
= P
c
– 25%P
c
60 = 75%P
c
⇒ P
c
= S/ 80
El costo en ambas camisas sería de S/ 128, y
él recibió por ambas camisas S/ 120.
Por lo tanto, el sastre sufrió una pérdida de S/ 8.
Por dato: M + N = 140% N ⇒ M = 40% N
Nos piden:
x
MN
M
x
NN
N
x
N
N

()
%
%
(% )
%
%
%
%%
4
6
100
160
640
100
60
240
1002 5
Por lo tanto, (4M – N) es el 25% de 6M.
Sea b y h la base, altura de un triángulo
respectivamente.
El área del triángulo (S) es:
S
bh

2
....(*)
Luego, tanto la base como la altura varía de
la siguiente manera:
b' = 120%b ∧ h' = 150%h
El valor de la nueva área (S') es:
S
bh
S= =
(% )(%)
%
1201 50
2
180'
Por lo tanto, el área aumentó en un 80%.
Utilizamos la fórmula de descuentos sucesivos:
Por dato, ocurren los siguientes descuentos:
D
1
= 5%; D
2
= 10% y D
3
= 20%
Luego:
D
D
u
u

100
10051001010020
100
100
95 90
31
() ()
()
%
()()(()
%
(, )% ,%
80
100
100684 316
2

D
u
Por lo tanto, los tres descuentos sucesivos
equivalen a 31,6%, por lo cual, podemos
concluir que no equivale a 35%.
De los datos del problema, podemos deducir
que, si Andrés utiliza su cupón de descuento,
entonces se aplicará dos descuentos
sucesivos del 20% y 30% sobre el producto.
Entonces:
D
D
u
u

100
10020100 30
100
100
8070
100
21
()
()
%
()()

%
() %%D
u
100564 4
Por lo tanto, Andrés obtendrá un descuento
del 44% sobre el producto.
porcentajes T14 U3.indd 59 28/02/2020 18:52:39

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 60
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
• El 40% de 2 200 es 880. ( )
• 10%A + A = 11%A. ( )
• El 23% del 16% de 7 000 es 257,6 ( )
a. VFV b. VFF c. FFF d. VVV
2. Si tuviera el 10% menos de la edad que tengo, tendría 36 años, ¿cuántos años tendré dentro de 5 años?
a.
40 b. 45 c. 50 d. 55
3. En un baile, el total de asistente es de 360 per-
sonas, de los cuales el 20% son adolescentes,
el 5% son personas mayores de 60 años y el
resto tienen entre 40 y 60 años.
Determina la
cantidad de personas entre 40 y 60 años.
a. 260 b. 270 c. 280 d. 290
4. Germán vende un artefacto a S/ 2 320 con una
ganancia del 16% sobre el precio de costo, Si se
sabe que se ganó tanto como se descontó, ¿a
cuánto debe fijarse el precio de venta al público?
a.
S/ 2500b. S/ 2505c. S/ 2640d. S/ 2530
5. A una reunión asistieron 360 personas entre varones y mujeres, de las cuales el 70% de las mujeres y el 30% de los varones están senta- dos. Si 196 personas están de pie, ¿cuántos va- rones asistieron a dicha reunión?
a.
200 b. 210 c. 220 d. 230
Nivel intermedio
6.
El 20% del 0,2% de 800, ¿qué porcentaje es
del 0,5% de 20?
a. 260% b. 280% c. 300% d. 320%
7. Sobre un determinando producto, se aplica
tres aumentos sucesivos del 10%, 15% y 20%.
Determina el porcentaje del aumento único
a. 45,8% b. 45,2% c. 50,8% d. 51,8%
8. Al precio de un artículo se le realiza dos des-
cuentos sucesivos del 10% y el 40%. Calcula el
descuento único.
a. 36% b. 44% c. 48% d. 52%
9. Si el área de un triángulo equilátero aumenta
en 44%, ¿en qué tanto por ciento aumenta la
longitud de sus lados?
a.
20% b. 30% c. 40% d. 50%
10. En una granja hay pollos y patos, en donde, el
número de pollos representa el 60% del total
de animales, ¿Qué tanto por ciento de pollo
deberán de retirarse de la granja para que el
número de pollos restantes represente el 30%
del número de patos?
a.
80% b. 70% c. 60% d. 50%
Nivel avanzado
11.
Juan compra un artículo en S/ 160, ¿a qué pre-
cio debe fijarse para su venta al público para
que haciendo un descuento del 20% todavía
se esté ganando del 25% del precio de costo?
a.
S/ 300
b. S/ 250
c. S/ 200
d. S/ 150
12. Si gastara el 20% del dinero que tengo y lue-
go ganara el 10% de lo que me queda: tendría
S/ 36 menos. ¿Cuántos soles tengo?
a. S/ 200
b. S/ 300
c. S/ 400
d. S/ 500
13. Al precio fijado de un artículo se le hace un
descuento del 10% y al momento de venderlo
se gana el 30% del precio de costo, el cual fue
S/ 180.
Calcula el valor del precio fijado.
a. S/ 220
b. S/ 240
c. S/ 260
d. S/ 280
14. Se ha vendido x artículos a y soles cada uno, obteniendo una ganancia de z soles, ¿cuál es el precio de costo de cada artículo?
a.

yx
x
−
b.
y
xz+
c.
xyz
x
−
d.
yx
y
+
Nivel destacado (UNMSM 2 017 - I)
15. Se fija el precio de venta de un artículo aumen-
tando el precio de costo en un 25% del mismo.
Luego, por razones comerciales, se debe vol-
ver al valor original. ¿Qué tanto por ciento del
precio fijado se debe disminuir para obtener el
precio de costo inicial?
a.
25% b. 20% c. 18% d. 30%
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
a b b c c d d b
9 10 11 12 13 14 15
a a b b c c b
porcentajes T14 U3.indd 60 28/02/2020 18:52:39

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Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 61
Promedios
Recordamos lo aprendido
1. Promedio Aritmético o media aritmética
MA =
suma de datos
cantidad de datos
2. Promedio Geométrico o media geométrica
MG productodedatos
cantdadd edatos
=()
()
3. Promedio Armónico o media armónica
MH
cantidaddedatos
sumadelasversasdelosdatos
=
in
Propiedad:
MH ≤ MG ≤ MA
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla el promedio geométrico de: 3; 45 y 25.
2. Si una persona en su viaje realiza un recorrido
tal como indica la tabla, entonces ¿cuál es la
distancia promedio que recorrió el señor?
Recorrido Distancia
Lima – Huancayo 88 km
Huancayo – Huancavelica 120 km
Huancavelica – Ayacucho 90 km
Ayacucho – Cuzco 112 km
3. Si las edades de Juan, José y Javier son 6; 2 y 3 respectivamente.
Determina la media armóni-
ca de las edades.
4. El promedio de las edades de tres herma- nos es 8, si estos tienen edades consecutivas,
calcula la edad del menor hermano.
5. Dos niños tienen caramelos de tal manera que uno tiene cuatro veces lo que tiene el otro. Si la media geométrica de la cantidad de carame- los es 14. ¿Cuántos caramelos tiene el niño que tiene la menor cantidad?
Tenemos:
MG= =()()()3452515
3
Por lo tanto, MG = 15.
• 1
er
niño: x
• 2
do
niño: 4x
Entonces la MG de la cantidad de caramelos es:
MG xx
x
x
= =
=
=
()()414
214
7
Nos piden la cantidad de caramelos que tiene el primer niño.
Por lo tanto, el primer niño tiene 7 caramelos.
Las edades de los tres hermanos de menor a
mayor son:
x, x + 1, x + 2
Entonces el promedio es:
MA
xx x
x
x
x
≤
��
≤

�
≤
≤

() ()12
3
8
33
3
8
18
7
Por lo tanto, el menor de los hermanos tiene 7 años.
Tenemos, que el promedio es:
8812090112
4
410
4
1025
≤≤ ≤
�� ,
Por lo tanto, la distancia promedio que recorrió el señor es 102,5 km.
Usamos la fórmula de la media armónica
Entonces tenemos:
MH≤
��
≤
��
≤
3
1
6
1
2
1
3
3
1
6
3
6
2
6
3
Por lo tanto,
MH = 3
Promedio T15 U3.indd 61 28/02/2020 18:54:19

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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado 62
9. En un aula se sabe que el promedio de eda-
des de 10 alumnos es 15 años y el promedio de
edades de otros 20 alumnos es 18 años.
Halla
la edad promedio de los 30 estudiantes.
10. La media armónica de dos números es igual a la mitad del mayor número y la media aritmé- tica excede a la media armónica en 24 unida- des.
Calcula la diferencia de ambos números.
Nivel intermedio
6. En un paseo asisten 5 niñas y 6 niños. Si cada uno de ellos lleva cierta cantidad de dinero,
halla el promedio del promedio de la cantidad de dinero que llevaron las niñas y niños. Si se sabe que cada uno llevó la siguiente cantidad:
Niñas: S/ 11; S/ 14; S/ 17; S/ 20; S/ 23
Niños: S/ 8; S/ 14; S/ 20; S/ 26; S/ 32; S/ 38
7. Carlos tiene las siguientes notas: 14; 08; 12 y 13 con poderaciones son 2; 3; 4 y x respectivamen- te. ¿Cuál debe ser el valor de x para que Carlos tenga un promedio ponderado de 12?
8. El promedio geométrico de dos números posi- tivos es 4, además se sabe que la diferencia de ambos números es 6.
Indica el valor del mayor
número.
Usando la fórmula, tenemos:
PP
x
x
xx x
2143084121 3
23 4
12
10013129 108
() () () ()
() 10
x = 8
Sean los números A y B Entonces tenemos:
A – B = 6 ⇒ A = B + 6
Luego:
MG AB BB
BB
BB
≤≤ �≤
�≤
≤
() ()()
()
64
616
6160
2
⇒ (B + 8)(B – 2) = 0
⇒ B = –8 o B = 2
Ya que A y B son números positivos
⇒ B = 2, reemplazando tenemos A = 8
Finalmente, el mayor valor de A es 8.
Sea A el menor número y B el mayor número
Nos piden la diferencia de A y B: B – A
De los datos tenemos que:
MH
AB
AB
B
≤
�
≤
2
2
MA – MH = 24
Entonces:
AB B
A
≤

22
24
48
Reemplazando el valor de A se tiene:

MH
AB
AB
B
≤
�
≤
2
2
248
48 2
4484 8
192481 44
()
() ()
B
B
B
BB B
BB
≤
�≤
�
Por lo tanto,
B – A = 144 – 48 = 96
Tenemos de dato que:
aa a
aa a
12 10
12 10
10
15
10 15
≤≤ ≤
�
≤≤ ≤�
...
... ()
También tenemos de dato que:
aa a
aa a
11 12 30
11 12 30
20
18
2018
≤≤ ≤
�
≤≤ ≤�
...
... ()
Entonces el promedio de los 30 estudiantes
es:
aa a
aa a
12 30
12 30
30
10 152018
3030
17
≤≤ ≤
�
≤

≤≤ ≤
�
... () ()
...
Usaremos el promedio aritmético a la cantidad de dinero de cada grupo:
MA
MA
ni�as
ni�os
≤
��
≤≤
≤
��
≤
11 14 1720 23
5
85
5
17
81420263238
6
1388
6
23≤
Ahora el promedio de MA
niñas
y MA
niños
es: MA
MA MA
ambos
nias nios
≤
�
≤
�
≤
2
1723
2
20
Por lo tanto, MA
ambos
es S/ 20.
niñas
niños
niñosniñas
Promedio T15 U3.indd 62 28/02/2020 18:54:21

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Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 63
Nivel avanzado
11. De un grupo de personas, se sabe que la media
armónica de la cantidad de personas menos la
quinta parte de la media geométrica es 2 y el
triple de la media aritmética menos la media
geométrica es 21. ¿Cuál es el mayor y menor va-
lor entero que puede tomar la media geomé-
trica?
12. Dados dos números A y B se cumple que el producto de su media aritmética con su me- dia armónica es 100, además, el producto de su media aritmética por su media geométrica es 125.
Calcula la suma de dichos números.
13. En un aula de 60 estudiantes; hay 40 estudian- tes hombres, se sabe que si a la edad de cada uno de ellos se le aumenta 3 años y a cada una de las edades de las mujeres se les aumenta m años, el promedio total de edades aumentaría en 3 años del promedio inicial; pero si cada es- tudiante hombre y mujer tuviera dos años me- nos, su promedio total disminuiría en n años del promedio inicial. ¿En cuánto varía el pro- medio total del promedio inicial si cada hom- bre tuviera 2m años más y cada mujer 3n años menos?
De los datos tenemos:
MH
MG
MA MG
≤�
≤�
5
2
32 1
Sabemos que se cumple: MH ≤ MG ≤ MA
Entonces reemplazamos y tenemos:
MG
MG
MG
5
2
21
3
≤� �
≤
2,5 ≤ MG ≤ 10,5
Entonces lo que nos piden es el máximo y el
mínimo valor entero de la media geométrica
MG
min
= 3 y MG
max
= 10
De los datos se tiene:
MA × MH = 100
≤
�

�

AB AB
AB
AB
2
2
Reemplazando se tiene:
MA × MH= AB = 100
≤� �
≤� �
AB AB
MG AB
2
100
10

Luego, por dato tambíen tenemos:
MA × MG = 125
Reemplazando el valor de MG, se tiene:
MA × MG = MA × 10 = 125
⇒ MA = 12,5
≤
�

AB
AB
2
1252 5,
El promedio inicial sería
De los estudiantes hombres
40
40
edades
x
≤
�
De las estudiantes mujeres
20
20
edades
y
≤
�
Del promedio total inicial es:
40 20
60
4020
60
edades edades xy≤≤ �

�
Del primer dato tendremos que:
40 40 3
40
3
20 20
40
edades
x
edades m
ym
≤≤ �

�

()
,
()
Su promedio es:
40 40 32 02 0
60
40 320
60
4020
edades edades m xy m
x
≤≤ ��

��

�
() () () ()
yym
m
mm
60
12020
60
12020
60
3201201803
�
�

�

Del segundo dato tendremos que:
40 40 2
40
2
20 20 2
20
2
edades
x
edades
y
≤≤ �

�

()
,
()
Su promedio es:
40 40 22 02 02
60
40 2202
60
4020
edades edades xy
x
≤≤ �

�

() () () ()
yy
n
60
22
Lo que nos piden:
40 40 6
40
6
02 06
20
6
40 40 2
edades
x
edades
y
edades
≤≤
≤ �

��
()
,
()
() 220 20 2
60
40 6206
60
4020120
60
4020
edades xy
xy xy

��

�
�≤ () () ()
660
2
Su promedio es:
40 40 6
40
6
02 06
20
6
40 40 2
edades
x
edades
y
edades
≤≤
≤ �

��
()
,
()
() 220 20 2
60
40 6206
60
4020120
60
4020
edades xy
xy xy

��

�
�
≤ () () ()
660
2
Por lo tanto, varia 2 años.
Promedio T15 U3.indd 63 28/02/2020 18:54:22

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B?sico Intermedio Avanzado 64
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula la diferencia del promedio aritmético con
el promedio armónico de los siguientes números.
3 ; 6 ; 8 ; 7
a. 34/43 b. 35/43 c. 38/43 d. 40/33
2. Indica el promedio geométrico de los siguien- tes números.
18 ; 4 ; 3 ; 6
a.
6 b. 5 c. 8 d. 7
3. Determina «x», si se sabe que el promedio ar- mónico de x y 2 es 3.
a.
3 b. 6 c. 8 d. 5
4. Dos hermanos Arturo y Juan tienen cierta can-
tidad de canicas, si se sabe que Arturo tiene la
cuarta parte de Juan y el promedio geométrico
de la cantidad de sus canicas es 6. ¿Cuántas ca-
nicas tiene Juan más que Arturo?
a.
10
b. 12
c. 9
d. 6
5. ¿En qué relación está el promedio aritmético y
el promedio geométrico de los números 2 y 18?
a. 5/3
b. 4
c. 10/3
d. 8/5
Nivel intermedio
6.
Si la edad de cada uno de cinco hermanos se
duplica, entonces el nuevo promedio geomé-
trico de sus edades se:
a.
cuatripica
b. triplica
c. sigue igual
d. duplica
7. Halla el promedio aritmético de los números
a, b y c, si •
a = m – n + 4
• b = m + n + 2
• c = 6 – 2m
a. n
b. 4
c. m
d. 8
8. El promedio aritmético de dos números es 2.
Si se duplica el segundo número entonces el
nuevo promedio aritmético es 3, entonces los
números son:
a.
2 y 6
b. 3 y 3
c. 6 y 1
d. 2 y 2
9. Si tenemos que el promedio geométrico de las
edades de dos personas es 6, y a estas edades
le agregamos la edad de una tercera persona
entonces el promedio geométrico de las tres
edades permanece igual. ¿Cuál es la edad de
la última persona?
a.
6
b. 0
c. 1
d. 5
Nivel avanzado
10.
El promedio aritmético de un conjunto de diez
números es 14, si añadimos los números 12 y 16,
al conjunto anterior de números,
determina el
nuevo valor del promedio aritmético de todo estos números es:
a.
10
b. 14
c. 17
d. 12
11. En una reunión de 6 hombres y 4 mujeres, el
promedio de las edades de los hombres es 15
y de las mujeres es 20. ¿Cuál es el promedio de
edades de todo el grupo?
a.
18
b. 20
c. 15
d. 17
12. Sean A y B dos números cuyo promedio arit-
mético es 3, si se duplica el valor de A y se quin-
tuplica el valor de B, entonces el nuevo prome-
dio aritmético de A y B es 9. ¿Cuál es el valor
del mayor de estos números?
a.
3
b. 7
c. 5
d. 4
Nivel destacado (UNMSM 2019-II)
13. En una empresa trabajan 10 mujeres con un
sueldo promedio de S/ 1 800 y 40 hombres con
un sueldo de S/ 1 850. Si la empresa aumenta
el sueldo de cada uno de los 50 trabajadores
en S/ 200, ¿cuál es el nuevo sueldo promedio
de todos los trabajadores?
a.
2 050
b. 2 040
c. 2 025
d. 2 030
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7
a a b c a d b
8 9 10 11 12 13
d a b d b b
Promedio T15 U3.indd 64 28/02/2020 18:54:22

Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 65
Regla de interés
Recordamos lo aprendido
Interés
Es la ganancia, beneficio o utilidad que pro-
duce el capital durante cierto tiempo y bajo
ciertas condiciones.
Elementos de la regla de interés
1.
Capital (C): Es el dinero que se presta o in-
vierte para que luego de un periodo de
tiempo produzca alguna ganancia.
2. Tiempo (t): Es el periodo en el cual se presta
el capital.
3. Tasa (r%): También es conocido como ré-
dito, es la ganancia que se obtiene en un cierto tiempo con respecto al capital inicial.
4.
Monto (M): Viene dado por la suma del capi-
tal (C) y del interés (I).
M = C + I
Tasas equivalentes
5% mensual <>
10% bimestral
15% trimestral
20% cuatrimestral
30% semestral
60% anual
Interés simple
I = C ⋅ t ⋅ r%
Interés compuesto
M = C(1 + r%)
t
2. Halla el interés producido por un capital de
S/ 5 200 prestado al 21% anual en 7 años y 5
meses.
3. ¿Cuál es el capital que prestado al 1,5% men- sual durante 1 año 3 meses y 10 días ha produ- cido S/ 920 de interés?
4. Se ha solicitado un préstamo a devolver duran- te 6 años a una tasa de interés compuesto del 12% y la cantidad que se ha pagado al final de los 6 años ha sido de S/ 13 500. ¿De cuánto se ha pedido el préstamo?
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Determina el interés que produce 2000 soles
al 9% de interés anual en 8 meses.
Sabemos: 21% anual <>
21
12
% mensual
Identificamos los datos y reemplazamos en
la fórmula:
I
I
∙
∙
5200
21
1200
89
8099
Reemplazamos en la fórmula:
135001
12
100
13500
112
100
683952
6
6
C
C
Reemplazando los valores en la expresión:
I =
2000 ∙ 9 ∙ 8
1200
I = 120 soles
Nos piden hallar Capital = C
Tenemos:
r = 1,5% mensual <>
1%
20
diario
t = 1 año 3 meses y 10 días <> 460 días
I = S/ 920
Reemplazamos en la fórmula:
IC
C
CS
∙

1
20
460
920
1
2000
460
4000
%
/
interes T16 U3.indd 65 28/02/2020 18:54:59

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 66
Nivel intermedio
5. ¿En cuánto tiempo un capital de S/ 600 gene-
rará un monto de S/ 900 a una tasa anual del
10% capitalizable trimestralmente?
6. Rosmery tiene S/ 400 que presta al 10% men- sual, Fiorella tiene S/ 600 que presta al 10% bi- mensual. ¿Dentro de cuántos meses los mon- tos serán iguales?
7. Se tienen dos capitales que están en la rela- ción de 4 a 9 que se colocan al 48% y r% res- pectivamente.
Calcula el valor de r, sabiendo
que después de un tiempo el interés del se- gundo es el triple del primero.

Nivel avanzado
8. Julia tiene un capital que impuesto durante un año al 3% produce S/ 21 más que otro im- puesto 9 meses al 4%. ¿Cuál es la diferencia de dichos capitales?
9. Del ejercicio anterior, si el primer capital es impuesto al 5% semestral durante un año y medio, este nos genera un interés de S/ 360.
Calcula el valor del capital y determina cuánto
es el interés que genera el otro capital en el mismo tiempo.
Capital = C
1
t = 3 semestres
r = 5%
Interes = S/ 360
360 = C
1
∙ 3 ∙ 5%
C
1
= S/ 2 400
Luego, del ejercicio anterior:
I =
2400415
100
××,
= S/ 142
Se sabe: 10% trimestral <> 40% anual
Reemplazamos en la fórmula:
MC r
In In
t
tt
tt
∙ ∙

(% )( ,)
(, )( ,)
19 006001 04
104
3
2
104
3
2
∙∙12050,
Se tienen los capitales C
1
y C
2
tales que:
C
C
k
k
Ck Ck
1
2
12
4
9
49∙ ∙
Para:
C
1
= 4k:
r% = 48%
Interés = I
1
C
2
= 9k:
r% = r%
Interés = I
2
= 3I
1
Entonces:
I
2
= 3I
1
9k.r%.t = 3(4k.48% ⋅ t)
∴ r% = 64%
Rosmery
C = S/ 400
r% = 10% mensual
M = C + I
M
1
= 400 + 400 • 10%t
Fiorella
C = S/ 600
r% = 10% bimensual
<>
5% mensual
M
2
= 600 + 600 • 5%t
Del dato tenemos que:
M
1
= M
2
400 + 400 • 10%t = 600 + 600 • 5%t
⇒ 400 + 40t = 600 + 30t
⇒ t = 20 meses
Capital = C
1
t = 1año
r = 3%
Interes = I
Capital = C
2
t = 9 meses =
9
12
años
r = 4%
Interes = I – 21
Para el primer capital, reemplazamos los datos:
I =CI
C
1
1
1
3
100
3
100
∙∙ ....()
Para el segundo capital, reemplazamos los
datos:
CI
2
9
12
4
100
21∙∙ ...()
(α) en (β):
C
C
CC
CC
2
1
21
12
9
12
4
100
3
100
21
3
100
3
100
21
21
3
100
3
100
21
3
100
21100
3
700
12
12
12
()CC
CC
CC
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Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Determina el monto generado por S/ 6 000
impuestos a una tasa de interés compuesto
del 0,5% mensual durante 2 años, 8 meses y
6 días.
a.
7042,325
b. 7042,325
c. 7047,0894
d. 7048,0153
2. Calcula el capital depositado en el régimen de
interés simple a una tasa del 8% bimestral, si
se sabe que después de 6 trimestres el monto
generado fue S/ 9 288.
a.
3 600
b. 5 400
c. 6 200
d. 7 986
3. ¿Durante cuánto tiempo se debe colocar un
capital al 60% semestral para que el monto
sea el 180% del capital?
a.
8 meses
b. 10 meses
c. 3 años
d. 7 años
4. Un capital colocado durante cierto tiempo al
4% produce un monto de S/ 14 400. Colocando
el mismo capital al 5% durante un año menos
daría un interés de S/ 2 400.
Calcula el capital.
a. 6 895
b. 10 549
c. 12 000
d. 16 845
Nivel intermedio
5.
Un capital impuesto al 15% trimestral de inte- rés compuesto produce anualmente S/ 3 000 más de monto total que si se impusiese al 55% anual, ¿cuál es dicho capital?
a.
30 000
b. 40 000
c. 50 000
d. 60 000
6. Halla el capital de una persona sabiendo que
los
2
5
impuestos al 4% y a los
3
7
al 5% dan una
renta anual de S/ 5 240.
a. 112 000
b. 140 000
c. 280 000
d. 315 000
7. Dos capitales cuya diferencia es de S/ 15 000
producen un interés de S/ 3 900 anualmente
y están colocados al 5% y al 4%. ¿Cuáles son
dichos capitales?
a.
60 000 y 45 000
b. 85 000 y 100 000
c. 50 000 y 35 000
d. 35 000 y 51 000
8. Una persona coloca
3
7
de su capital al 30%
mensual y el resto al 20% mensual, luego de 3
meses obtiene un monto de S/ 121 000. ¿Cuál
era el capital inicial?
a.
45 000
b. 55 000
c. 60 000
d. 70 000
Nivel avanzado
9.
Un capital produce un interés al cabo de cier-
to tiempo, donde, la diferencia entre el capital
y el interés equivale al 32% de dicho capital.
Calcula que interés produce un capital de
S/ 480 en la cuarta parte del tiempo anterior con una tasa del 25% menor que el anterior.
a.
61,20
b. 68,20
c. 75,20
d. 97,20
10. Dos capitales M y N están en relación de 21 a 10
se han colocado al 6% y 8%. Si los capitales e
intereses suman S/ 105 260 al cabo de 10 años
y 6 meses,
determina la diferencia de las los
capitales M y N.
a. 20 000
b. 22 000
c. 32 000
d. 40 000
11. Un capital de S/ 55 900 se divide en 3 partes,
las cuales son impuestas al 30%, 45% y 25%
respectivamente, y resulta que producen un
mismo interés anual.
Halla la parte impuesta
al 25%.
a. 23 400
b. 24 400
c. 23 600
d. 24 600
Nivel destacado (UNI 2014-I)
12. Una persona dispone de cierto capital, el cual
es dividido en dos partes. La mayor parte la im-
pone al 14% anual y la otra parte al 8% semes-
tral. Si al cabo de un año los montos obtenidos
son iguales,
determina el capital inicial, sabien-
do que las partes se diferencian en 1 200. To- das las cantidades están en nuevos soles.
a.
128 000
b. 132 000
c. 2025
d. 138 000
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
d b a c d b c d a b a d
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68Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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B?sico Intermedio Avanzado
Medidas de tendencia central
Recordamos lo aprendido
Medidas de tendencia central
1. Medidas de tendencia central para datos no
agrupados a.
Media aritmética (MA o x):
x =
a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n
n
b. Mediana (Me): Es el valor que ocupa el
lugar central de un conjunto de datos
cuando estos están ordenados de menor
a mayor. Si la cantidad de datos es impar,
la mediana es el dato central, si la canti-
dad de datos es par, entonces la mediana
es la semisuma de los dos datos centrales.
c.
Moda (Mo): Es el valor de la variable que
se repite con mayor número de veces en una distribución de datos.
2.
Medidas de tendencia central para datos
agrupados
a. Media aritmética (MA o x):
x
n
xf
xx h
ii
11
n
ii
i1
n
==
=
=
/
/
x
n
xf
xx h
ii
11
n
ii
i1
n
==
=
=
/
/x
i
f
i
n
x = ;
b. Mediana (Me):
MeLw
f
n
F
2
inf
me
me1
#
= +
- -
J
L
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
OO
MeLw
f
n
F
2
inf
me
me1
#= +
- -
J
L
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
OO
Donde:
• L
inf
: Límite inferior de la clase mediana.
• w: Ancho de la clase.
• F
me – 1
: Frecuencia absoluta acumulada
de la clase anterior a la clase mediana.
• f
me
: Frecuencia absoluta simple de la
clase mediana.
c. Moda (Mo):
MoLwinf
12
1
#
TT
T
= +
+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
MoLw inf
12
1
#
TT
T
= +
+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Donde:
• L
inf
: Límite inferior de la clase modal.
• w: Ancho de la clase.
• ∆
1
: f
mo
– f
mo – 1.

• ∆
2
: f
mo
– f
mo+ 1.

• f
mo
: Frecuencia absoluta simple de la
clase modal.
• f
mo+1
: Frecuencia absoluta simple de la
clase posterior a la clase modal.
• f
mo – 1
: Frecuencia absoluta simple de la
clase anterior a la clase modal.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En un centro de trabajo, se realizó una encues-
ta a los trabajadores de las áreas A, B y C acerca
de su edad y se obtuvieron los siguientes datos.
Área A Área B Área C
40 32 32
32 40 34
34 32 33
Calcula el promedio de edades de todos los trabajadores, la moda y en que área se
encuentra el trabajador que representa la mediana.
2. Completa la tabla y halla la media aritmética
y la mediana.
x
i
f
i
F
i
[50; 54〉 52 10
[54; 58〉 56 5
[58; 62〉 60 20
[62; 66] 64 15
50
Hallamos el promedio:
x =
40 + 32 + 34 + ⋯ + 32 + 34 + 33
9
=34,3
La moda de los datos es 32.
Ordenando los datos de menor a mayor
tenemos: 32; 32; 32; 32; 33; 34; 34; 40; 40
Entonces la mediana es 33, luego el trabaja-
dor se encuentra en el área C.
Calculando la media aritmética, tenemos:
x =
520+280+1200+960
50
=
2960
50
= 59,2
Para calcular la mediana:
n
2
=
50
2
= 25
La clase mediana está en el intervalo [58; 62〉. Luego:
L
inf
= 58 ; f
me
= 20; F
me−1
= 15 y W = 4
Reemplazando: Me = 58 + 4
(
25−15
20
) = 60
10
15
35
50
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69Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3
Nivel intermedio
3. Dada la lista de números:
24 30 26 28 32
30 31 34 40 38
28 30 34 28 34
32 34 b 40 42
Si se cumple que:
24 30 26 28 40 38 34 32 42 31
f
ic−a 3 1 4 a 1 4 2 1 1
Halla el valor de a + b + c y el promedio arit-
mético de la lista de números.
4. Completa la siguiente tabla y halla la moda.
I
i
x
i
f
i
F
i
x
i
∙

f
i
[4; 6〉 2
[6; 8〉 14
[8; 10〉 9
[10; 12〉 66
[12; 14〉 2
[14; 16] 20
Nivel avanzado
5. En la Cooperativa Universal del distrito de San- ta Anita, se hizo una encuesta a las 50 señoras del vaso de leche que tienen más de 50 años. Con los siguientes datos de la tabla ayuda a completar los datos para poder saber la edad promedio de las señoras, la edad más común entre las señoras del vaso de leche, y la edad que divide en partes iguales a la edad de todas las señoras del vaso de leche.
Intervalosx
i
f
i
F
i
x
i
∙f
i
[50; 54〉 10
[54; 58〉 30
[58; 62〉 120
[62; 66〉 38
[66; 70〉 5
[70; 74] 7
De la tabla, observamos que a = 2; necesa-
riamente b = 28 y c − a = 1, con lo que c = 3,
por lo tanto, a + b + c = 33
Ahora hallamos el promedio:
x =
1(24) + 3(30) + 1(26) + ⋯ + 2(32) + 1(42)
20
⇒ x =
643
20
= 32,15
Ahora hallamos la moda
De la tabla vemos que el intervalo de la cla-
se modal es: [10; 12〉
Entonces:
L
inf
= 10 , w = 2 ; ∆
1
= 6 − 5 = 1 y
∆
2
= 6 − 2 = 4
Reemplazando los datos, tenemos:
Mo = 10 + 2
(
1
1 + 4
) = 10,4
Primero hallamos la media aritmética:
x =
=1
x
i
f
i
n
=
520 + 1120 + ⋯ + 504
50

⇒ x =
2988
50
= 59,76
Ahora, hallamos la mediana.
Entonces haciendo:
n
2
=
50
2
= 25, luego
la clase media es el intervalo [54; 58〉.
Por lo tanto, tenemos:
L
inf
= 54 ; f
me
= 20; F
me−1
= 10 y W = 4
Me = 54 + 4
(
25 − 10
20
) =57
Finalmente, que la clase modal está en el
intervalo [54; 58〉:
L
inf
= 54 , w = 4 ; ∆
1
= 20 − 10 = 10 y
∆
2
= 20 − 2 = 18
Mo = 54 + 4
(
10
10 + 18
) ≈ 55,43
52 10 520
56 20 1120
60 2 32
64 6 384
68 43 340
72 50 504
5 2 10
7 2 4
9 5 45
11 6 15
13 17 26
15 3 45
17.-CT-Medidas de tendencia central 4to.indd 69 28/02/2020 18:56:09

70Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
• La mediana es el valor que más se repite en
una distribución de un conjunto de datos. ( )
• La moda es el valor que divide al conjunto
de datos ordenados en forma creciente o decreciente en dos partes iguales. ( )
•
La media aritmética de un conjunto de datos
no agrupados se obtiene de sumar todos los valores y luego dividirlo entre el número total de datos. ( )
a.
VFV b. FFV c. FVF d. FVV
2. Completa la tabla de distribucion de frecuencias y
halla la media aritmetica
Intervalo f
i
x
i
f
i
[10; 20〉 90
[20; 30〉 150
[30; 40〉 210
[40; 50〉 270
[50; 60] 330
a. 20 b. 25 c. 30 d. 35
3. Calcula la moda en la siguiente distribución de datos.
Pesos f
i
[50; 60〉 4
[60; 70〉 5
[70; 80〉 2
[80; 90〉 7
[90; 100〉 5
[100; 110] 3
.
a. 86.142 b. 87,01 c. 87,142d. 80,142
Nivel intermedio
4.
Dada la siguiente lista de datos:
54 60 76 58 62
60 61 64 60 68
58 60 54 68 54
62 54 60 60 64
Halla la mediana más la moda más la media aritmética.
a.
180 b. 170,85 c. 180,85 d. 164,8
5. En una competencia de automovilismo donde participaron 25 corredores, se obtuvo una lista de las velocidades máximas que se alcanzaron durante la carrera.
Velocidades máximas f
i
[100; 105〉 5
[105; 110〉 8
[110; 115〉 2
[115; 120〉 a
[120; 125〉 3
[125; 130] 2
Halla el promedio de velocidades máximas que hubo en la competencia y la velocidad máxima
que más se repitió durante la competencia.
a.
100,3 y 105,6
b. 112,3 y 105,6
c. 112,3 y 106,6
d. 110 y 102
Nivel avanzado
6.
Completa la siguiente tabla y halla el prome-
dio entre la moda y la mediana de la distribu- ción de datos.
Intervalo x
i
f
i
F
i
x
i
∙

f
i
[8; 12〉 30
[12; 16〉 5
[16; 20〉 10
[20; 24〉 88
[24; 28] 2
a. 16,2 b. 12,3 c. 14,8 d. 14
Nivel destacado
7. De la siguiente ojiva de los sueldos de los em- pleados de una empresa,
halla en qué propor-
ción se encuentra la media y la mediana.
F
i
x
i
100
90
60
35
15
200 400 600 800 1000 1200
a.
32
35
b.
37
34
c.
38
32
d.
36
35
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7
b d c c c c d
17.-CT-Medidas de tendencia central 4to.indd 70 28/02/2020 18:56:10

Aritmética
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4 UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
4
Educación Secundaria
ARITMÉTICA
71Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
18 MEZCLA Y ALEACIÓN.indd 71 29/02/2020 10:07:09

72Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Regla de mezcla
Recordamos lo aprendido
Cálculo del precio medio
P
m
=
C
1
∙ P
1
+ C
2
∙ P
2
+ ⋯ + C
n – 1
∙ P
n – 1
+ C
n
∙ P
n
C
1
+ C
2
+ ⋯ + C
n – 1
+ C
n
P
m
=
C ∙ P
1
+ C ∙ P
2
+ ⋯ + C ∙ P
n – 1
+ C ∙ P
n
C + C + ⋯ + C + C
P
m
=
C ∙ (P
1
+ P
2
+ ⋯ + P
n – 1
+ P
n
)
n ∙ C
P
m
=
P
1
+ P
2
+ ⋯ + P
n – 1
+ P
n
n
Grado de alcohol (°)
Grado
de
alcohol
=
Volumen de alcohol puro
Volumen total de la mezcla
∙ 100%
Cálculo del grado de alcohol medio
G
m
=
V
1
∙

G
1
+V
2
∙

G
2
+...+V
n–1
∙

G
n–1
+V
n
∙

G
n
V
1
+V
2
+...+V
n–1
+V
n
G
m
=
G
1
+G
2
+...+G
n–1
+G
n
n
Ley de la aleación
Ley =
peso del metal fino
peso total del metal
0 ≤ ley ≤ 1
Liga de la aleación
Liga =
peso del metal ordinario
peso total del metal
0 ≤ liga ≤ 1
ley + liga = 1
Aleación media
L
m
=
L
1
∙

P
1
+L
2
∙

P
2
+...+L
n–1
∙

P
n–1
+L
n
∙

P
n
P
1
+P
2
+...+P
n–1
+P
n
Kilates
ley =
K
24
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. David es un chico que estudia farmacia. En
sus prácticas le pidieron que haga H
2
O
2
(agua
oxigenada) con un depósito que contenía
60 litros de alcohol de 28° de pureza, él sabe
que esta concentración es muy baja para el
H
2
O
2
así que agregó cierta cantidad de alco-
hol puro para obtener H
2
O
2
de 40° de pureza
¿Cuántos litros de alcohol agregó David?
2. Franco para su aniversario de 5 años compró una pulsera de oro de 12 gramos y 18 kilates a su enamorada ¿Cuánto gastó Franco en dicha pulsera? si él pagó 72 soles por cada gramo de oro y 3 por cada gramo de metal ordinario.
3. Una aleación de 750 gr se mezcla con 50 gr de oro puro haciendo que la ley primitiva aumen- te en 0,05 ¿Cuál era el valor de esta ley?
28° ⇒ 60 litros
100° ⇒ x litros
40° ⇒ (60 + x) litros
28 × 60 + 100x
60 + x
= 40°
1 680 + 100x = 2 400 + 40x
x = 12
Se sabe que:
Ley =
peso del metal fino
peso total del metal
=
n° de kilates
24
peso de oro = K
peso del metal ordinario = m
K
12
=
18
24

K = 9
⇒ m = 12 – K = 3
Gasto total:
Gasto = 72 × 9 + 3 × 3 = 648 + 9
Gasto = 657
Gramos ley
750 g k
50 g oro PURO 1
ley=
750k + 50
800
ley = 0,05 + k
750k + 50 = 800k + 40
10 = 50k
k = 0,5
18 MEZCLA Y ALEACIÓN.indd 72 29/02/2020 10:07:09

Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 73Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Alex es un vendedor ambulante inescrupulo-
so, porque un día mezcló cierta cantidad de
vino de 10 soles el litro con cierta cantidad de
vino de 8 soles el litro y con agua vendiéndolo a
9, 40 soles.
Determina la relación de volúmenes
de vino si la cantidad de agua que usó Alex es el 25% de la cantidad de vino de 8 soles.
5. Se tienen 30 kg de cobre y una cierta cantidad de plata de 0,850 de ley, con la que se forma oro nórdico de 0,750 de ley. ¿Cuántas monedas de 51 gr con 0,750 de ley se pueden fabricar con esta cantidad de oro nórdico?

6. Cada vez que hay una fiesta en un centro de reu- niones José aprovecha para vender bebidas alco- hólicas, así que mezcló una misma cantidad de alcoholes de 62°, 53° y 35° para luego combinarlos con 87 litros de agua y así obtener un alcohol li- gero de 21° de pureza ¿Cuánto ganó José por su venta? Si cada botella costaba 16 soles, no gastó en ningún insumo y vendió el 95% de sus botellas.
7. Se mezcla oro de 18; 20 y 22 kilates para obtener una aleación de oro de 19 kilates, si el oro de
18 kilates representa el 60% del peso total,
halla
la relación entre el oro de 22 y el de 20 kilates.
Ordenamos los datos
a litros de 10 soles
Por comodidad pondremos «4n»
4n litros de 8 soles
El agua no cuesta
n litros
P
m
=
10a + 8 ⋅ 4n + 0 ⋅ n
a + 4n + n
⇒ 9,4 =
10a + 32n
a + 5n
⇒ 9,4a + 47n = 10a + 32n
⇒
6
10
a = 15n
∴ a = 25n
Relación entre vinos:
25n
4n
=
25
4
Tenemos en primer lugar:
a litros de 62°
a litros de 53°
a litros de 35°
Grado medio:
G
m
=
62a + 53a + 35a
3a
=
150a
3a
= 50°
Ahora tenemos: 3a litros de 50°
87 litros de 0°
Nos da: 3a + 87 de 21°
Luego:
50 ⋅ 3a
3a + 87
= 21
150a = 63a + 21 ⋅ 87
a = 21
Litros en total:
3a + 87 = 150
Venta:
Venta: 95% 150 ∙ 16
Venta: 2 280
Cantidad ley 1 ley 2
30 kg 0 0,750
n kg 0,850
30 × 0 + n × 0,85
30 + n
= 0,75
0,85 × n
30 + n
= 0,75
multiplicamos a todo por 10
85n = 75(30+n)
10n = 75 × 30
n = 225
Así el peso total será:
225 + 30 = 255 kg
255 kg = 255 000 gr
Nos pide:
255 000
51
= 5 000
Se pueden fabricar 5 000 monedas con
51 kg de oro nórdico de 0,750 de ley
Sea la cantidad total = 10k Peso
Kilates
6k 18
a 20
b 22
10k 19
6k ⋅ 18 + 20a + 22b
10k
= 19k
108k + 20(a+b) + 2b = 190k
20(4k) + 2b = 82k
80k + 2b = 82k
2b = 2k
b = k ∧ a = 3k
Nos piden la relación entre el oro de 22 y el
de 20:
b
a
=
1
3
4k
18 MEZCLA Y ALEACIÓN.indd 73 29/02/2020 10:07:09

74Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
8. Pedro trabaja en la hacienda «Don Juanchito»,
él se encarga de maximizar las ganancias, así
que mezcló 2 clases de café puro en una pro-
porción de 1 a 2 con el 10% de beneficio sobre
el precio de costo y se dio cuenta que el precio
de venta sería el mismo que si mezclara estos
mismos tipos de azúcar, pero esta vez con una
relación de 2 a 1 con el 20% de beneficio sobre
el precio de costo. ¿Cuánto cuesta el primer
tipo de café? Si se sabe que el precio del se-
gundo está comprendido entre 40 y 60.
9. Se tienen 2 lingotes de plata, una de 600 gr y
0,920 de ley y otra de 400 gr y 0,880 de ley. Si
luego de fundirlos se le extrae k gramos de esta
aleación y se reemplaza por k gramos de otra
aleación de 0,829 de ley obteniendo una alea-
ción de 0,889 de ley.
Halla el valor de k.
10. Se tiene 1 litro de alcohol de 8°, 2 litros de 12°,
3 de 16° y así sucesivamente hasta el grado
de pureza máxima.
Determina la suma de la
parte entera y la parte periódica del grado medio.
11. Se funden 2 metales en una relación de 2 a 3, se sabe que gracias a que se funde su precio aumenta un 10% pero su peso disminuye en un 5% además antes de ser fundidos costaban 10 y 12 soles respectivamente.
Calcula el precio de
19 kg de dicha aleación.
P
1
= Precio del primer tipo de café
P
2

= Precio del segundo tipo de café
Pv = G + Pc
Pv
1
= 10% Pc
1
+ Pc
1
⇒ Pv
1
= 110% Pc
1
Pv
2
= 20% Pc
2
+ Pc
2
⇒ Pv
2
= 120% Pc
2
Pv
1
= Pv
2
1ra mezcla:
P
1
P
2
=
1
2

Pm
1
=
kP
1
+ 2kP
2
3k
=
P
1
+ 2P
2
3
2da mezcla:
P
1
P
2
=
2
1
Pm
2
=
2kP
1
+ kP
2
3k
=
2P
1
+ P
2
3
PP PP
100
110
3
2
100
120
3
2
12 12
+
=
+
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
P
1
P
2
=
10
13

40 < 13n < 60
⇒ n = 4
[ P
1
= 10n = 40
Hallamos la ley de la primera aleación:
L
1
=
600(0,92) + 400(0,88)
1000
= 0,904
Si se extrae k y se agrega k con otra ley:
0,889 =
0,904(1000 – k) + 0,829k
1000
889 = 904 – 0,904k + 0,829k
0,075k = 15
k = 200
Antes de ser fundidos:

a
b
=
2
3

peso total = 5k
Después de ser fundidas, pierde el 5% del
peso total
95
100
∙ 5k = 19
5k
20
= 1
k = 4
Se tenían metales de:
a = 8 kg
b = 12 kg
Precio antes de ser fundidos:
a = 8 ∙ 10 = 80
b = 12 ∙ 12 = 144
precio total = 224 Precio luego de ser fundido, aumenta en un 10%
110
100
∙ 224 = 246,4
Nos damos cuenta que:
8°; 12°; 16°; …; 100° es una sucesión
Hallamos el número de términos:
n =
100 – 8
4
+ 1 = 24
Cálculo del grado medio:
G
m
=
1 ∙ 8 + 2 ∙ 12 + 3 ∙ 16+ ⋯ + 24 ∙ 100
1 + 2 + 3 + ⋯ + 24
Factorizando: G
m
=
4(1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + 24 ∙ 25)
1 + 2 + 3 + ⋯ + 24
G
m
=
4
2
24 25
3
24 25 26
:
::
J
L
K
K
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
O
O
OO
G
m
= ,693
!
Nos pide:
69 + 3 = 72
18 MEZCLA Y ALEACIÓN.indd 74 29/02/2020 10:07:10

Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 75Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Se tiene un tipo de cereal que se vende a
12 soles el kilo y otro tipo que se vende a S/ 20 el
kilo. Si se usan 9 kilos del primero y cierta canti-
dad del segundo para que resulte cereal que se
venda a S/ 14 el kilo ¿Cuántos kilos del segundo
cereal se usaron?
a.
9 b. 8 c. 7 d. 3
2. Para estar en una fiesta, Alfredo combina 30 li-
tros de vino de la más alta pureza con 50 litros
de agua.
Determina el grado de pureza de la
mezcla que hizo Alfredo.
a. 37,5° b. 60° c. 55° d. 40,5°
3. Se tienen 220 kg de caramelos que se venden
a S/ 0,40 cada uno y se combinan con otro
10 kg de un grupo que se venden a S/ 2,70 la
unidad. ¿A cuánto los debería vender cada
uno? Si se gana el 20% del precio medio.
a.
S/ 1,00b. S/ 0,90 c. S/ 0,60 d. S/ 1,20
4. Se combinan 3 tipos de vino 18 litros de 70°,
15 litros de 80° y 17 de 90° para poder generar
vino de 75° ¿Cuántos litros de agua se le debe
agregar? (considere que el agua tiene 0°)
a.
3,2 L b. 4 L c. 5 L d. 6 L
Nivel intermedio
5.
Fernando trabaja en su bodega cuya particu-
laridad es que vende arroz a un precio úni-
co, pues es la mezcla de 20 kilos de arroz a
S/ 2,50; 30 kilos a S/ 3,00 y 50 kilos a S/ 3,40
¿Cuánto gana Fernando luego de vender los
100 kilos? Si vende a S/ 3,50 el kilo de arroz.
a.
S/ 40 b. S/ 45 c. S/ 50 d. S/ 55
6. Estrella tiene una tienda donde vende aceite,
ella combinó cierta cantidad de un aceite que
vende a S/ 40 el galón y otra cantidad de aceite
que vende a S/ 24 el galón, resultando 128 galo-
nes que venderá a S/ 29.
Halla la diferencia de
positivas dichas cantidades.
a. 55 b. 75 c. 36 d. 48
7. Pepe «el joyero» tiene un lingote de oro de
0,900 de ley y que pesa 1 500 gramos. Calcula
la cantidad de oro puro que se le debe agregar para que la nueva liga sea 0,075.
a.
400 b. 200 c. 300 d. 500
8. Se sabe que un kilo de azúcar blanca importa-
da más un kilo de azúcar rubia cuesta S/ 25, si
se mezclan 10 kg de azúcar blanca con 20 de
azúcar rubia arroja un precio menor en S/ 5 que
si mezclara 20 kg de blanca con 10 de rubia.
Halla el precio del más barato.
a. S/ 8 b. S/ 15 c. S/ 20 d. S/ 5
Nivel avanzado
9.
Se supone que tenemos que vender cierto tipo
de arroz a un solo precio, pero tenemos 3 tipos,
el primero que se vende a S/ 2,40, el segundo
a S/ 3,00 y el tercero a S/ 3,60, si mezclamos
los tres tipos para obtener 240 kg que se ven-
den a S/ 4,03 ganando el 30%, se sabe también
que la relación de los 2 primeros tipos de arroz
es como 3 a 4.
Calcula cuántos kilos del tercer
tipo se usó.
a. 100 kgb. 150 kg c. 180 kg d. 120 kg
10. Aníbal compró un automóvil en un país de Eu-
ropa, que se llena con gasolina de 91 octanos,
pero al llegar a Perú se dio cuenta que solo
venden gasolina de 96 y de 84 octanos a S/ 17
y S/ 12 soles el galón respectivamente ¿Cuánto
gastará Aníbal en llenar el tanque de su auto-
móvil si se llena con 12 galones?
a.
S/ 184 b. S/ 169 c. S/ 146 d. S/ 185
11. Alessandra tiene una cadena de oro de 15 kila-
tes, pero quiere hacerla aún más pura, así que
le encarga a un joyero que la funda y le haga
una cadena de 3 kilates más, para lograr esto,
el joyero tuvo que usar 16 gr más de oro puro.
Dado estos datos,
indica el nuevo peso de la
cadena.
a. 27 gr b. 36 gr c. 60 gr d. 56 gr
Nivel destacado (UNI 2017 - II)
12. Si una cadena de 16 kilates cuyo peso de metal
ordinario es 32 gramos se funde con un lingote
de oro de 104 gramos con ley 0,65. ¿De cuántos
kilates es la aleación obtenido?
a.
14,645b. 12,158c. 17,568d. 15,792
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
d a c a a d d d a b d d
a. 100 kg
18 MEZCLA Y ALEACIÓN.indd 75 29/02/2020 10:07:10

76Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Regla de descuento
Recordamos lo aprendido
Regla de Descuentos
Otras propiedades
D
c
> D
r
V
ac
< V
ar
D
c
– D
r
= V
ar
– V
ac
D
c
– D
r
= D
r
. t . r%
V
n
=
D
c
D
r
D
c
– D
r
D
r
=
V
n
. t . r%
1 + t . r%
Descuento (D)
D = V
n
– V
a
Descuento
comercial (D
c
)
D
c
= V
n
. t . r%
Descuento
racional (D
r
)
D
r
= V
a
. t . r%
Cambio de Letras
t
v
=
Vt Vt Vt
VV V
nn nn
nn n
n
n
12
12
12
.. .++ +
++ +


2.
Determina el tiempo de vencimiento de un
pagaré de $ 30 000 y que nos ha proporcio-
nado un efectivo de $ 29 500 sabiendo que la
tasa aplicada es del 5% anual.
3. Un banco nos ofrece descontar racionalmente un efectivo cuyo valor nominal es de $ 42 070 a una tasa de descuento del 5% y que vence dentro de 30 días.
Calcula la cantidad que nos
descuentan.
4. Si el efectivo que nos proporciona una cuenta es de 3 005 euros,
halla el nominal si el des-
cuento racional es de 120 euros.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el descuento comercial que se le ha realizado a un nominal de $74 230, al que se aplica una tasa del 4% anual y que vence den- tro de 180 días.
Identificando los datos:
V
n

= 74 230 t = 180 días
r = 4% anual D
c
= ?
Entonces tenemos: D
c
= V
n
∙ t ∙ r%
D
c
=
74 230 ∙ 180 ∙ 4
36 000
= 1 484,60
Identificando los datos:
V
n
= 30 000 V
a
= 29 500
r = 5% anual t = ?
D
c
= V
n
– Va = 30 000 – 29 500 = 500
D
c
= V
n
∙ t ∙ r%
500 = 30 000 ∙
t
360
∙
5
100

⇒ t = 120 días
Identificando los datos:
V
nr
= 42 070 r = 5% anual
t = 30 días < >
30
360
años
Tenemos:
D
r
= V
ar
• t • r% = V
ar
•
30
360
• 5% =
V
ar
240
Además:
V
ar
= V
nr
– D
r
= 42 070 –
V
ar
240
⇒ V
ar
= 41 895,43568
Identificando los datos:
V
ar

= 3 005 D
r
= 120
V
nr

= ?
Sabemos:
D
r
= V
nr
– V
ar
⇒ 120 = V
nr
– 3 005
⇒ V
nr
= 3 125
19 DESCUENTOS-4TO.indd 76 29/02/2020 10:06:31

77Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Faltan 2 meses para el vencimiento de una letra
cuyo valor actual es de S/ 31 500 y dentro de
15 días el descuento sería S/ 720. ¿Cuál es el va-
lor nominal de dicha letra?

6. El valor actual de un pagaré es 10 veces más que su descuento comercial. Si faltan 8 meses para su vencimiento. ¿A qué tasa de descuento trimestral fue impuesto dicho pagaré?
7. Juan firma una letra de $ 3 000 por la compra de un televisor, con una tasa de descuento del 15% bimestral, cuyo vencimiento es dentro de
4 meses. Si se cancela dicha letra 20 días antes de su vencimiento. ¿Cuántos soles pagó por di- cha letra?
Nivel avanzado
8. El valor nominal y actual de una letra de cam- bio están en la relación de 17 a 15 respectiva- mente. Si el descuento asciende a $ 260.
Halla
el valor actual de la venta.
9. Si se hubiera hecho efectiva una letra hace
11 meses, cuando faltaban 3 años para su venci-
miento, se hubiera recibido el 82% de su valor.
Si se hace efectiva hoy se recibirá $ 10 500. ¿Cuál
es su valor nominal?
Identificando los datos:
V
a
= 31 500 D = 720
t = 60 – 15 = 45 días
V
n
= ?
Tenemos:
D
c
= V
n
• t • r% = 720 =
V
n
• 45 • r%
360
⇒ V
n
• r% = 5 760
Por propiedad: V
a
= V
n
– D
c
⇒ 31 500 = V
n
–
V
n
∙ r% ∙ 60
360
= V
n
– 960
⇒ V
n
= 32 460
Identificando los datos: D
c
= x V
a
= 10x + x = 11x
t = 8 meses r% = ?
D
c
= V
n
• t • r% =
V
n
• 8 • r%
12
⋯ (α)
Además: D
c
= V
n
– Va ⇒ x = V
n
– 11x
⇒ V
n
= 12x ⋯ (β)
Reemplazando β en α :
x =
12x • 8 • r%
12

⇒ r = 12,5 anual ⇒ r = 6,25 semestral
Por dato tenemos:
V
n
V
a
=
17
15
⋯ (α)
D = 260
Por hallar: V
a
Despejando tenemos:
V
n
=
17
15
V
a
Sabemos que: D = V
n
– V
a
Entonces:
260 = V
n
– V
a
=
17
15
V
a
– V
a
=
2
15
V
a
⇒ V
a
= 1 950
Nos piden: V
n
= x
• CASO I: Supuesto
Datos: V
a1
= 82% V
n
= 82% x
t = 3 años
Sabemos: V
a1
= V
n
– D
c1
⇒ D
c1
= V
n
– V
a1
= x – 82%x = 18%x
⇒ D
c1
= V
n
• t • r%
⇒ 18%x =
x • 3 • r
100
⇒ r = 6
• CASO II: Real
Faltan: 36 – 11 = 25 meses
Tenemos:
D
c2
= V
n
• t • r% =
x • 25 • 6
1 200
=
x
8
⋯ (α)
Como: V
n
= V
a2
+ D
c2
Reemplazamos α:
x = 10 500 +
x
8
∴ x = 12 000
Se sabe:
D
c
= V
n
• t • r% = 3 000 •
20
30
•
5
100
= 100
Además: V
a
= V
n
– D
c
= 3 000 – 100
∴ V
a
= 2 900
19 DESCUENTOS-4TO.indd 77 29/02/2020 10:06:31

78Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Cierto banco compra una letra de cambio cuyo
valor nominal es S/ 8 000 cuando faltaban solo
2 meses para su vencimiento. Si el descuento
comercial que experimenta es de S/ 200. ¿Cuál
es la tasa de descuento anual?
a.
22% b. 12% c. 15% d. 18%
2. Se canceló un pagaré 60 días antes de su ven-
cimiento a una tasa del 15% anual. Si el des-
cuento racional obtenido fue S/ 160. ¿Cuál es el
valor actual del pagaré?
a.
6 000 b. 6 400 c. 7 200 d. 7 500
3. Una letra que vencía en dos meses fue descon-
tada racionalmente recibiéndose S/ 320 a una
tasa del 4% bimestral. ¿Cuál era el valor nomi-
nal de la letra?
a.
3 412 b. 3 368 c. 3 420 d. 3 3280
4. Halla el descuento comercial de una letra de
$ 1 200, si se cancela 8 meses antes de su ven-
cimiento y es descontada al 9% trimestral.
a. 288 b. 776 c. 912 d. 963
Nivel intermedio
5.
Calcula el valor nominal de una letra que ne-
gociada cuatro meses antes de su vencimiento
al 5% da una diferencia de $ 2 entre el des-
cuento comercial y el descuento racional.
a.
7 220 b. 7 320 c. 7 420 d. 7 740
6. Al comprar una refrigeradora se firmó una letra
por $ 720 cuyo vencimiento era en 6 meses a
una tasa de interés del 25% anual. Si se can-
celó 4 meses luego de firmarse. ¿Cuánto pago
por la letra?
a.
630 b. 670 c. 690 d. 700
7. Los valores nominal y actual de una letra de
cambio suman $ 6 020 y su diferencia es $ 420.
El descuento ¿Qué tanto por ciento del valor
actual es?
a.
15% b. 18% c. 20% d. 25%
8. El valor actual de una letra es $ 6 480. Si se can-
celara dicha letra luego de transcurrir los 5/9
del tiempo acordado para el vencimiento, se
obtendría un descuento de $ 320. ¿Cuál es el
valor nominal de dicha letra?
a.
$ 6 800
b. $ 7 000
c. $ 7 200
d. $ 6 750
Nivel avanzado
9.
Si Maricrys compra al contado un televisor en
la tienda M le hacen un descuento del 20%. Si
comprará el mismo televisor en la tienda N el
descuento sería del 25% y así se ahorraría 350
soles. Si Brenda compró el televisor a crédito fir-
mando una letra de S/ 1 000 más que el precio
fijado, con una tasa de descuento del 9% anual
a pagar en 10 meses. ¿Cuánto pagó si canceló su
deuda a los 6 meses de firmar la letra?
a.
7 600 b. 7 760 c. 7 200 d. 7 640
10. Adrián firma dos letras a una tasa del 2% tri-
mestral que vencen dentro de 60 y 90 días
respectivamente y cuya suma de sus valores
nominales es de S/ 6 000. Además, si ambas
letras las cancelara el día en que las firma tan
solo pagaría un total de S/ 5 900. ¿Cuál es la
diferencia de sus valores nominales en soles?
a.
0 b. 500 c. 1 200 d. 1 500
11. Diego compra un televisor, el precio de con-
tado es S/ 520. Él da S/ 150 de inicial, y firma 2
letras de igual valor nominal que vencen men-
sualmente.
Calcula el valor nominal admitien-
do una tasa de descuento del 60% anual.
a. 90 b. 196 c. 200 d. 350
12. Karla firmó un pagaré de $ 4 800 el cual ven-
ce en 8 meses. Ella se libera de dicho pagaré
entregando $ 1 921 al contado y firmando otros
dos pagarés, el primero por $ 840 a cancelar en
6 meses y el segundo en un año respectivamen-
te. Si la tasa de descuento es del 5% anual para
ambas. ¿Cuál es el valor nominal del segundo
pagaré?
a.
2 000 b. 2 400 c. 1 900 d. 1 950
Nivel destacado
13. Un deudor tiene que pagar al banco tres letras.
La primera de S/ 80 000 dentro de 30 días; la
segunda de S/ 200 000 en 60 días y la tercera
de S/ 400 000 con un plazo de 90 días. ¿Den-
tro de qué tiempo (en días) debe ser pagada
una letra única cuyo valor nominal sea la suma
de los valores nominales de las tres letras? Su-
ponga que la tasa de interés es constante.
a.
70 b. 71 c. 72 d. 74
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
c b d a b c a d c a c a d
19 DESCUENTOS-4TO.indd 78 29/02/2020 10:06:31

79Aritm?tica
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Análisis combinatorio
Recordamos lo aprendido
Análisis Combinatorio
1. Principios Fundamentales de conteo
a. Principio de adición
b. Principio de multiplicación
2. Variación (o arreglo) simple
a. No participan todos los elementos (n ≥ k)
b. Sí importa el orden
c. No se repiten los elementos
V
n
nk
k
n
∙
n
!
()!
3. Permutación Simple
a. Sí participan todos los elementos
b. Sí importa el orden
c. No se repiten los elementos
P
n
= n!
4. Permutaciones circulares
Pn 1!c
n
=-_i
5. Permutaciones con repetición
P
r
n = n
r
!
!
Observación: Se puede extender cuando en
un total de n elementos, de los cuales a
1
son
iguales entre sí, a
2
son iguales entre sí, …, a
k

son iguales entre sí.
P
n
aa a
aa a
n
k
k12
12


=
!
!! !
6.
C<> ombinaciones
a. Combinaciones sin repetición
()!!
!
;rnC
nr r
n
r
n
:
#=
-
b. C<> ombinaciones con repetición
()!!
() !
CR C
rn
rn
1
1
n
r
n
rn1
:
==
-
+-
+-
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Ángel tiene una colección de monedas de un
sol obsequiadas en el intercambio de regalo
que tuvo por navidad (todas de diferentes di-
seños) en total 10. Si las lanza todas a la vez,
¿de cuántas formas diferentes puede obtener
6 caras y 4 sellos?
2. En la maratón de los juegos panamericanos participaron 16 corredores. ¿De cuántas mane- ras diferentes se puede premiar a los 3 prime- ros lugares?
3. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 5 per- sonas alrededor de una mesa redonda?
Nos piden permutar de todas las formas posibles 6 caras y 4 sellos, entonces aplicaremos permutación con repetición
Nº de maneras totales =
P;64
10
=
10!
6! 4!
= 210
Al premiar a los tres primeros puestos, se
hace una distinción, es decir, existe un orden
ya que no es lo mismo llegar primero que
segundo o tercero, por lo que al seleccionar
de un total, a un grupo donde además exis-
te un orden; este arreglo es una variación
N° de maneras totales =
v3
16
=
16!
(16 – 3)!
N° de maneras totales = 16 ∙ 15 ∙ 14 = 3 360
El total de integrantes es 5 personas
Como en la mesa redonda tiene un orden,
pero no se sabe quien es primero y quien
es último, entonces estamos en un caso de
permutación circular
N° de maneras totales =
PC
5
= (5 – 1)! = 4!
N° de maneras totales = 24
20 Análisis Combinatorio ct 4 año.indd 79 29/02/2020 10:06:20

80Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Una convocatoria para elegir jugadores titula-
res de un equipo de fútbol donde participan 8
futbolistas de 12 convocados, ¿de cuántas ma-
neras se puede formar el equipo titular?
5. El asta de la bandera del barco Titanic tiene 4 posiciones en las que puede colocarse una bandera. Suponiendo que el barco Titanic lle- va 12 colores (de colores diferentes) para hacer señales de auxilio, ¿cuántas señales diferentes podrá hacer como máximo?
6. En la figura cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras se podrá ir de A hacia B y volver por un camino diferente?
A B
7. Estela por el cumpleaños de su hermano An- gel quiere comprarle 5 camisas de 3 diseños diferentes, ¿de cuántas maneras puede com- prar las 5 camisas?
8.
9. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hasta B y de C hasta D, sin retroceder ni pasar dos veces por un mismo punto?
Da como res-
puesta la diferencias de sus recorridos
C
D
A
B
Para elegir a 8 futbolistas de los 12
convocados se tiene el número de maneras:
() !!
!
!!
!
!!
!
C
C
C
1288
12
48
12
48
12 11 1098
24
11880
495
8
12
8
12
8
12
: :
:
:: ::
=
-
=
= ==
Si se tiene 9 diseños diferentes, pero se
deben comprar 16 camisas.
!
!
!
!
CR CC
CR
34
7
64
7654
35
3
5
3
351
3
7
3
5
::
:::
== =
==
+-
Por lo tanto, Estela tiene 35 maneras de
comprar el regalo.
De las doce banderas, solo se colocarán
cuatro de ellas.
Existe un orden ya que al realizar señales
importa la posición de la bandera a usar.
Todas las banderas son diferentes
N° de maneras totales =
V4
12
=
12!
(12 – 4)!
=
12!
8!
N° de maneras totales = 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9
N° de maneras totales = 11 880
Como el regreso debe ser por un camino
diferente, hay un opción menos que en la
ida, entonces:
N° de caminos en IDA = 7
N° de caminos en VUELTA = 6
N° de maneras totales = 7 ∙ 6=42
•
Notemos que cada línea que sale es la
suma de las líneas que llegan.
A
B
1 1 1 1
1 2
1 1 1
1 2 3
1 3 6
3 4

N° de maneras totales = 6 + 4 = 10
• Notemos que cada línea que sale es la
suma de las líneas que llegan.
C
D
1 1 1 1
2
1 1 1
1 2 3
2 5
3 4
N° de maneras totales = 5 + 4 = 9
Nos piden:
La diferencia de recorridos:
D = 10 – 9 = 1
20 Análisis Combinatorio ct 4 año.indd 80 29/02/2020 10:06:22

81Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
10. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer
la palabra «PILARES» en el siguiente gráfico?
P
I I
L L L
A A A A
R R R R R
E E E E E E
S S S S S S S
11. Con las cifras {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}. ¿Cuántos nú- meros pares de cinco cifras se podrán formar?
12. Un ladrón entro a robar a una casa una caja fuerte, pero se percata que la clave de la caja fuerte consta de cuatro dígitos impares ¿Cuán- tos intentos como mínimo tiene el ladrón para abrir dicha caja fuerte?
13. En una reunión realizada en Centro Cívico se encuentran 15 varones y 7 mujeres. Si se quiere formar una pareja, ¿cuántas maneras diferen- tes se podrá formar?
14. La señorita Janet tiene 3 anillos diferentes, los cuales quiere colocar en los dedos de su mano derecha, excepto en el meñique. ¿De cuántas maneras distintas puede colocar un anillo en cada dedo?
Como el número abcde debe ser par, la
última cifra debe ser par: {2; 4; 6}, tiene 3 opciones, las demás tienen 8 opciones, por que no dice que las cifras deben ser diferentes
8
a
8
b
8
c
8
d
3
e
∙ ∙ ∙ ∙
N° de maneras totales = 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 3
N° de maneras totales = 12 288
Posibles dígitos: {1; 3; 5; 7; 9}
Luego las claves son:
5
a
5
b
5
c
5
d
∙ ∙ ∙
Es necesario probar todos los intentos para
abrir la caja fuerte
N° de maneras totales = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625
Como son 3 anillos para 4 dedos.
El primer anillo puede ir en cualquiera de
los 4 dedos
El segundo anillo en cualquiera de los 3
dedos que quedan.
El tercer anillo en cualquiera de los dos
dedos que quedan.
1°
anillo
2°
anillo
3°
anillo
4 3 2
N° de maneras totales = 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24
Una pareja:
Varón Mujer
15 ∙ 7
N° de maneras totales = 15 ∙ 7 = 105
Combinando cada letra por un punto y
uniendo los puntos, para aplicar el método de Pascal
1 6 115 20 15 6
10
6
2
1
3
1
10
4
1
3
1
5
1
1
5
4
1
1
1
1
1
1
10
4
1
3
1
5
4
1
1 110
6
2
1
3
1
5
4
1
1
N° de maneras totales = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64
20 Análisis Combinatorio ct 4 año.indd 81 29/02/2020 10:06:22

82Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Sebastián tiene 5 camisas y 8 pantalones, to-
das las prendas de diferente color. ¿De cuán-
tas maneras diferentes se podrá vestir, sabien-
do que la camisa blanca y el pantalón negro,
siempre los usa juntos?
a.
29 b. 28 c. 30 d. 31
2. En la figura cada línea representa un camino.
¿De cuántas formas distintas se podrá ir de A
hacia D, sabiendo que el recorrido sea sin re-
troceder, ni pasar dos veces por una misma
ciudad?
A D
B
C
a. 501 b. 104 c. 142 d. 144
3. En el gráfico, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir de A hasta B, siempre avanzando?
A B
a. 5 b. 10 c. 15 d. 20
4. Con las cifras del 2 al 8. ¿Cuántos números
pares de tres cifras se podrán formar?
a. 100 b. 200 c. 196 d. 150
Nivel intermedio
5.
¿De cuántas maneras distintas se pueden or-
denar las letras de la palabra «razones», de tal
manera que no haya 2 consonantes juntas?
a.
144 b. 256 c. 400 d. 336
6. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubi-
car 8 personas en una banca de 3 asientos, una
en cada asiento?
a.
144 b. 256 c. 400 d. 336
7. Un ladrón intenta robar la caja fuerte de la em-
presa Pilares y el único dato que tiene es que la
clave consta de tres dígitos impares y diferen-
tes. ¿Cuántos intentos como mínimo se debe-
rán realizar para estar seguro de saber cuál es
la clave correcta?
a.
50 b. 60 c. 70 d. 80
Nivel avanzado
8.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden co-
locar 8 mujeres en una fila para entrar al tren
eléctrico, sabiendo que Pamela y Gloria siem-
pre tienen que estar juntas?
a.
10 080
b. 12 020
c. 80 640
d. 20 160
9. Angela, Beti, Carlos, Daniela, Edgar y Fernando
van al cine y encuentran una banca vacía de 10
asientos. ¿De cuántas maneras se podrán sen-
tar, si las mujeres deben ocupar los lugares im-
pares y los hombres los lugares pares, además
Beti y Fernando deben estar juntos?
a.
144 b. 256 c. 288 d. 360
10. De 8 hombres y 5 mujeres, ¿de cuántas formas
distintas se pueden seleccionar un grupo mix-
to de 7 personas integrado con por lo menos 3
hombres?
a.
78 b. 94 c. 1 680 d. 169
Nivel destacado
11. ¿Cuántos números de 5 cifras múltiplo de 5, co-
mienzan con la cifra 3 pero no llevan la cifra 7?
a. 2 234 b. 2 160 c. 1 458 d. 1 240
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a c d c a d b a c c c
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
20 Análisis Combinatorio ct 4 año.indd 82 29/02/2020 10:06:23

83Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Probabilidad
Recordamos lo aprendido
Objetivo
Construir un modelo matemático capaz de
explicar una clase especial de fenómenos em-
píricos llamados fenómenos aleatorios.
Experimento Aleatorio
Es aquel experimento o fenómeno en el cual,
por más veces que lo realicemos, dicha acción
siempre dará un margen de duda con respec-
to al resultado.
E = Lanzar una moneda
Espacio muestral
El espacio muestral (Ω) es el conjunto forma-
do por todos los posibles resultados de un ex-
perimento aleatorio.
E = Lanzar un dado.
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Probabilidad
La probabilidad (P) de un suceso (S) se define
como la relación entre el número de elemen-
tos del evento (casos favorables) y el número
de elementos del espacio muestral (total de
casos).
P(S) =
(n° de casos a favor)
(n° de casos totales)
La probabilidad de un evento siempre está en
el intervalo 0 ≤ P(S) ≤ 1
Propiedades
Si A y B son mutuamente excluyentes
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Si A y B son no excluyentes
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Si A y B son independientes
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Si A y B son complementarios.
P(A) + P(B) = 1
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Se lanzan dos dados simultáneamente. Calcula
la probabilidad de obtener en la suma por lo
menos 8.
2. En una urna hay 50 fichas enumeradas del 1 al 50, todos al mismo tamaño y forma. Si se ex- trae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea múltiplo de 3 o 5?
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Total de casos: 6 × 6 = 36
Casos a favor (suma ≥ 8)
(3; 5); (3; 6); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 3); (5; 4); (5; 5);
(5; 6); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6).
Casos a favor es 14
Luego la probabilidad es:
14
36
=
7
18
Observamos que el total de casos es 50.
Luego calculamos los casos a favor:
A
= { múltiplos de 3 o 5 del 1 a 50 }
A = { 3; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 21; 24; 25; 27;
30; 33; 35; 39; 40; 42; 45; 48; 50 }
Casos a favor: n(A) = 24
Entonces la probabilidad es:
P(A) =
24
50

P(A) =
12
25
21 Probabilidad 4 año ct.indd 83 29/02/2020 10:05:55

84Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
3. En una urna se tienen 40 fichas numerados del
1 al 40. Se extrae una ficha y se sabe que su nú-
mero es par. ¿Cuál es la probabilidad de que el
número extraído sea divisible por 5?
4. Se ubican 5 personas (Ángel; Bertha; Carmen; Daniel y Ernesto) en una mesa circular. ¿Qué probabilidad hay de que Ángel y Carmen se sientan juntos?
5. Aníbal, Roberto, Kassandro compiten en una carrera de caballos.
Calcula la probabilidad de
que Roberto llegue antes que Aníbal.
6. Sebastián debe pintar un cuadrado en la si- guiente figura:
¿Cuál es la probabilidad de que pinte un cua- drado congruente con el sombreado?
7. La probabilidad de que Melany compre una casaca es 0,5 y de que compre un abrigo es 0,7 y la probabilidad de que no compre nada es 0,1.
Calcula la probabilidad de que compre
solo una de dichas prendas?
Total de casos:
A = {número par de 1 al 40} = {2; 4; … ; 40}
n (A) = 20
B = {número divisible por 5 en A}
B = {10; 20; 30; 40}
n(B) = 4
Luego la probabilidad es:
P(A ∩ B) =
4
20
=
1
5
Total de casos
Ω = {5 personas ubicadas en la mesa
circular}
n(Ω) = P
7
c
= (5 – 1)! = 4! = 24
Casos a favor: Como Ángel y Carmen están
juntos se le consideran como si fuera una
sola persona
B = {4 personas ubicadas en la mesa circular}
n(B) = P
4
c
= (4 – 1)! = 3! = 6
La probabilidad pedida es:
P(B) =
6
24
=
1
4
Sea Aníbal (A), Roberto (B) y kassandro (C) Total de casos: Por permutación: P
3
= 3! = 6
Número de posibilidades a favor: D = {Roberto llega antes que Aníbal} D = {BCA; BAC; CBA} ⟹ n(D) = 3 Luego la probabilidad pedida es:
P(D) =
3
6
=
1
2
Calculamos primero el total de casos, es
decir, el total de cuadrados.
Por conteo de figura Ω={Total de cuadrados}
n(Ω) = 3 × 3 + 2 × 2 + 1 × 1 + 4 = 18
Luego los casos a favor B = {cuadrado congruente con el sombreado}
n(B) = 13
Luego la probabilidad pedida
P(B) =
13
18
1
P(C) = 0,5
0,5 – x x 0,7 – x
0,1
P(A) = 0,7
P(A): Probabilidad de comprar abrigo P(C): Probabilidad de comprar casaca Por propiedad de probabilidad:
(0,5 – x) + x + (0,7 – x) + 0,1 = 1
1,2 – x + 0,1 = 1
x = 0,3
Piden P(A ∪ C) = (0,5 – x) + (0,7 – x)
P(A ∪ C) = 0,2 + 0,4 = 0,6
21 Probabilidad 4 año ct.indd 84 29/02/2020 10:05:56

85Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
8. En una caja contiene 15 bolas blancas y 8 mo-
radas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 bolas
moradas reintegrando la bola extraída?.
9. Halla la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados..
10. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda
a.
La probabilidad del vacío es 0 ( )
b. Si la probabilidad de ganar es
1
2
la
probabilidad de perder es igual ( )
c. Un evento simple es un evento
elemental ( )
d. Son eventos dependientes lanzar 3
veces una moneda ( )
11. Se escribe las 5 primeras letras del abeceda-
rio al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la
e
esté primera y la última sea
c?
12. Se lanza un dado n veces. ¿Cuál es la proba- bilidad de sacar al menos un 6 en los n lanza- mientos?
13. Jhon tiene para comprar una caja de choco- late solamente de dos marcas CrispyCrunch y WunderBar. ¿Cuál es la probabilidad de que Jhon compre chocolate Vicio?
Sean los eventos
A={ser morada la primera bola}
B={ser morada la segunda bola}
Los eventos A y B son independientes pues
el hecho de que la primera bola sea morada
no afecta al hecho de que lo sea la segunda
(ya que la primera se devuelve a la caja de
nuevo), se tiene entonces:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) =
8
23
×
8
23
=
64
529
El espacio muestral es:
1; 11; 21; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
3; 1 3; 2 3; 3 3; 43; 5 3; 6
4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6
5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Donde las casillas sombreadas son los
casos favorables.
A = {(6; 2), (5; 3), (4; 4), (3; 5), (2; 6)}
n(A) = 5 y n(
Ω) = 36
La probabilidad pedida será:
P(A) =
5
36
Al escribir al azar las 5 primeras letras
abecedarios tenemos P
5
= 5! = 120 casos
posibles.
De entre ellos, si la
e ha de estar primera y
la
c última, tenemos las otras 3 letras que
han de permutar entre los tres lugares
centrales, es decir, los casos favorables
son:
P
3
= 3! = 6
La probabilidad pedida es
P =
6
120
=
1
20

Sea el evento
A = {Sacar al menos un 6 en los n lanzamientos}
A
i
= {Sacar un seis en el i – ésimo lanzamientos}
Donde 1 ≤ i ≤ n
Se tiene que:
,PA in PA
6
1
1
6
5
i
c&6##
==^ `h j
AA AA
c c c
n
c
1 2
++ +f=
Siendo estos n eventos independientes, se
tiene:
PA PA PA PA
6
5
c c c
n
c
n
1 2## #f==
J
L
K
K
K
_ ` ` _
N
P
O
O
O
i j j i
PA PA11
6
5
c
n
=- =-
J
L
K
K
K
^ _
N
P
O
O
O
h i
Como Jhon solo puede comprar entre dos
marcas de chocolate es imposible que
compre otra marca diferente, entonces la
probabilidad es:
P( ∅ ) = 0
V
V
V
F
21 Probabilidad 4 año ct.indd 85 29/02/2020 10:05:58

86Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. En una caja hay 12 fichas verdes, 6 fichas azules
y 5 fichas negras. Si sacamos una ficha al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que la ficha que
hemos elegido no sea negra?
a.

18
25
b.
1
20
c.
18
23
d.
1
10
2.
La probabilidad de encestar un balón de ba-
loncesto es
3
5
. Si lanzamos dos tiros seguidos,
¿cuál es la probabilidad de acertar ambos tiros?
a.
11
15
b.
11
16
c.
5
23
d.
9
25
3.
Una clase está formada por 12 varones y 20 da-
mas; la mitad de los varones y la quinta parte
de las damas han elegido Francés como asig-
natura de verano. Si de las 32 personas se esco-
ge una persona al azar y resulta que no eligió
Francés como asignatura de verano, ¿cuál es la
probabilidad de que no sea una dama?
a.

10
11
b.
1
2
c.
3
11
d.
3
5
4.
Una caja contiene 2 tarjetas negras, 3 tarjetas
blancas, 4 tarjetas rojas y 5 tarjetas verdes. Si se
extrae al azar una tarjeta de la caja,
determina
la probabilidad de que la tarjeta extraída sea de color negro.
a.

1
7
b.
1
6
c.
3
8
d.
2
7
Nivel intermedio
5.
En una caja hay 18 gomitas verdes, 4 gomitas
azules y 15 gomitas negras. Si sacamos tres go-
mitas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabili-
dad de que las dos primeras gomitas extraídas
sean azules y la tercera verde?
a.

6
1295
b.
11
1625
c.
8
2223
d.
11
302
6.
Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras.
Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cuál es la proba-
bilidad de que sean del mismo color?
a.

33
95
b.
21
95
c.
47
95
d.
3
95
7.
Halla la probabilidad de sacar por suma o bien
4 o bien 11, al lanzar dos dados.
a.
1
36
b.
7
36
c.
5
18
d.
5
36
8.
En un hotel de 150 habitaciones, las llaves es-
tán numeradas del 1 al 150. Si todas las habita-
ciones están disponibles,
determina la proba-
bilidad de que al primer cliente se le asigne al azar una habitación, cuya llave tenga un nú- mero divisible por 3 o 7.
a.

26
75
b.
29
75
c.
7
150
d.
32
75
Nivel avanzado
9.
La probabilidad de que Gustavo gane el juego
A es 0,8; la probabilidad de que gane el juego
B es 0,6 y la probabilidad de que no gane nin-
guno de los juegos es 0,1.
Calcula la probabili-
dad de que gane ambos juegos.
a. 0,5 b. 0,3 c. 0,32 d. 0,4
10. Se tiene 24 monedas de 20; 10; 50 céntimos
en una urna; la probabilidad de extraer una
moneda de 10 céntimos es 0,375, la probabili-
dad de extraer una moneda de 50 céntimos es
0,125. ¿Cuántas monedas de 20 céntimos hay?
a.
10 b. 12 c. 15 d. 16
11. Luis, Lourdes, Marjorie, Patricia y Pedro van al
cine. Si ellos se ubican en una fila de 5 asientos,
¿cuál es la probabilidad de que las mujeres se
sienten juntas?
a.

1
60
b.
1
20
c.
3
10
d.
1
10
12.
De un mazo de cartas se extraen tres cartas al
azar una tras otra y con reposición. Calcula la
probabilidad de que las dos primeras sean ro- jas y la tercera sea un trébol.
a.

1
25
b.
1
16
c.
8
23
d.
1
32
Nivel destacado
13. En cierta comunidad, el 30% de electores re-
gistrados son miembros del partido político A,
el 45% pertenecen al partido político B y el res-
to son independientes. En reciente elección,
votaron el 20% de los partidarios de A, el 25%
de los de B y el 10% de los independientes. Si
un elector es seleccionado al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que haya votado?
a.
0,2870b. 0,1780c. 0,2690d. 0,1975
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
c d c a a c d d a b c b d
21 Probabilidad 4 año ct.indd 86 29/02/2020 10:05:58

87Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4
Medidas de tendencia no central
Recordamos lo aprendido
Para calcular la posición aproximada de Q
i
, D
i
,
P
i
, de datos no agrupados se usará lo que se
muestra a continuación.
1.
Cuartiles (Q
i
):
Para datos no agrupados:
i∙n
4
Donde:
n es el número total de datos.
i = 1; 2; 3
Para datos agrupados:
QL
f
i
n
F
c
4
ii i
i1
:=+
-
-J
L
K
K
K
N
P
O
O O

i=1; 2; 3.
Donde:
L
i
= Límit<> e real inferior de la clase de cuartil i.
n = Número total de datos.
F
i–1
=
Frecuencia absoluta acumulada de la
clase que antecede a la clase del cuartil
i.
f
i
= Frecuencia absoluta de la clase del cuartil i.
c = Longitud del intervalo de la clase del
cuartil
i.
2.
Deciles (D
i
):
Para datos no agrupados:
Si n es par se debe emplear:
i∙n
10
Si n es impar se debe emplear:
i∙(n+1)
10
Par<> a datos agrupados:

DL
f
i
n
F
c
10
ii i
i1
:=+
-
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O

i = 1; 2; 3; ⋯ ; 9
3. Percentiles (P
i
):
Para datos no agrupados:
Si n es par se debe emplear:
i∙n
100
Si n es impar se debe emplear:
i∙(n+1)
100
Par<> a datos agrupados:

PL
f
i
n
F
c
100
ii i
i1
:=+
-
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O

i = 1; 2; 3; ⋯ ; 99
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Tenemos una muestra del número de hijos de
20 familias. Halla los cuartiles de la siguiente
tabla:
N° de hijos F
i
1 6
2 13
3 17
4 19
5 20
2. Un grupo de personas asisten a una reunión. Si tiene la siguiente distribución de frecuencia:
Edades F
i
18 11
19 26
20 38
21 48
22 54
Halla el percentil 20 y el decil 22 de ambos re- sultados resta el mayor con el menor valor.
Usaremos lo siguiente:
i∙n
4
Donde: n = 20.
Entonces:
1∙20
4
= 5 ⇒ Q
1
= 1
2∙20
4
= 10 ⇒ Q
2
= 2
3∙20
4
= 15 ⇒ Q
3
= 3
Por lo tanto: Q
1
= 1 ; Q
2
= 2 ; Q
3
= 3.
Como n = 54
El percentil 20:
i∙n
100
=
20∙54
100
= 10,8
El decil 22:
i∙n
10
=
22∙54
10
=118,8
Nos piden:
118,8 – 10,8
Por lo tanto, el resultado de restar los dos
valores es 108.
22 Medidas de tendencia no central.indd 87 29/02/2020 10:05:42

88 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Básico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
3. Tenemos las edades de los estudiantes en la
siguiente tabla:
Edades f
i
[4 – 6] 15
[7 – 9] 27
[10 – 12] 34
[13 – 15] 49
[16 – 18] 17
[19 – 21] 8
a. Halla el percentil de 75 de la tabla.
b. Halla el decil 7 de la tabla.
Nivel avanzado
4. Si la distribución de coeficientes de inteligencia de 120 personas se tiene en la siguiente tabla.
Coeficiente f
i
[70 – 79] 25
[80 – 89] 27
[90 – 99] 36
[100 – 109] 15
[110 – 119] 13
[120 – 129] 4
Calcula el percentil de 98; 35 y suma ambos resultados.
Primero hallamos la frecuencia acumulada
para encontrar el n:
Edades f
i
F
i
[4 – 6] 15 15
[7 – 9] 27 42
[10 – 12] 34 76
[13 – 15] 49 125
[16 – 18] 17 142
[19 – 21] 8 150
⇒ n = 150
Para 75:
i∙(n+1)
100
=
75∙(150+1)
100
= 113,25
Si esta entre las edades de 13 – 15:
L
i
= 13, F
i–1
= 76, f
i
= 49 y c = 2
⇒ P
75
= L
75
+
f
i
n
F
100
75
74
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
∙ c
= 13 +
113,25 – 76
49
∙ 2
Por lo tanto: P
75
=
1 423
98
.
Primero hallamos la frecuencia acumulada
para encontrar el n:
Coeficiente f
i
F
i
[70 – 79] 25 25
[80 – 89] 27 52
[90 – 99] 36 88
[100 – 109] 15 103
[110 – 119] 13 116
[120 – 129] 4 120
⇒ n = 120
Buscamos el intervalo donde se encuentra
el percentil:
Para 98: ,i
n
100
98
100
120
1176==
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Para 35: ,i
n
100
1
35
100
1201
42 35
+
=
+
=
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Usaremos la siguiente formula:
PL
f
i
n
F
100
ii i
i1
=+
-
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Entonces el límite inferior de 98 es: L
i
= 120
Además: F
i–1
= 116 , f
i
= 4 y c = 9
El límite inferior de 35 es: L
i
= 80
Además: F
i–1
= 25 , f
i
= 27 y c = 9
Reemplazamos en la fórmula y tenemos:
Para 98: P
i
= 120 +
117,6 – 116
98
∙ 9 = 123,6
Para 35: P
i
= 80 +
42,35 – 25
98
∙ 9 = 85,7833
Nos piden la suma de ambos resultados.
Por lo tanto: 123,6 + 85,7833 = 209,3833.
Para 7:
i∙(n+1)
10
=
7∙(150+1)
10
=105,7
Si esta entre las edades de 13 – 15:
L
i
= 13, F
i–1
= 76, f
i
= 49 y c = 2
Reemplazamos y tenemos:
,
DL
f
i
n
F
c
10
13
49
105776
2
77
7
6
::=+
-
=+
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Por lo tanto: D
7
=
245
3482
22 Medidas de tendencia no central.indd 88 29/02/2020 10:05:46

89Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Aritm?tica
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. La siguiente tabla muestra la distribución de
frecuencias de las edades de los alumnos de
PILARES.
Edades 22 24 26 28 30
f
i 5 4 6 3 2
Halla la edad del alumno de la posición del Q
2
.
a. 25 b. 26 c. 15 d. 20
2. Completa la siguiente tabla:
I x
i
f
i
[2 – 4 ⟩ 2
[4 – 6 ⟩ 8
[6 – 8 ⟩ 3
[8 – 10 ⟩ 7
[10 – 12 ⟩ 1
[12 – 14 ] 3
Calcula P
76
.
a. 9,4971
b. 8,5431
c. 7,6458
d. 10,4656
Nivel intermedio
3.
En un concierto asisten 120 personas con eda- des de 60 hasta los 81 años.
Halla en que inter-
valo está el percentil 63.
Edades f
i
[60; 63 ⟩ 5
[63; 66 ⟩ 18
[66; 69 ⟩ 42
[69; 72 ⟩ 27
[72; 75 ⟩ 8
[75 ; 78 ⟩ 12
[78 ; 81 ] 8
Total
a. [66 ; 69 ⟩
b. [69 ; 72 ⟩
c. [75 ; 78 ⟩
d. [72 ; 75 ⟩
4. Niños y adolescentes asisten a una feria para disfrutar las vacaciones.
Calcula la resta de las
posiciones de P
76
y P
19
.
Años 10 11 12 13 14 15
f
i 12 18 35 45 25 15
a. 10 b. 0 c. 3 d. 5
Nivel avanzado
5.
La tabla muestra la distribución del ingreso fa- miliar correspondiente a 80 familias.
Completa
y halla el P
23
.
Intervalo
Ingreso S/
f
i
F
i
h
i
[160 – 170 ⟩
[170 – 180 ⟩ 48 60
[180 – 190 ⟩ 0,125
[190 – 200 ⟩ 0,075
[200 – 210 ]
a.
77 532
10
b.
33 333
11
c.
2 566
15
d.
2 7421
60
6. Los sueldos semanales de un grupo de obreros están distribuidos en la siguiente distribución de frecuencias:
Suelo f
i
F
i
[250 ; 400 ⟩ 6
[400 ; 550 ⟩ 12
[550 ; 700 ⟩
[700 ; 850 ⟩ 18
[850 ; 1 000 ⟩ 6
[1 000 ; 1 050 ] 3
Halla la suma del percentil 50 y el tercer cuartil.
a.
6
8675
b.
10
3695
c.
6
4538
d.
10
4375
Nivel destacado
7. Completa el siguiente cuadro y halla la suma
del P
76
+ D
6
.
Suelo x
i
f
i
F
i
h
i
H
i
[0 ; 400 ⟩ 200 25
[400 ; 800 ⟩ 600 40 0,40
[800 ; 1 200 ⟩ 1 000 12
[1 200 ; 1 600 ⟩ 1 400 80 0,80
[1 600 ; 2 000 ]1 800 20
Total
a.
4 300
11
b.
3 760
3
c.
25 000
11
d.
20 000
7
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7
b a b c c a d
22 Medidas de tendencia no central.indd 89 29/02/2020 10:05:48

¡Qué importante es
trabajar en equipo!
Unidad I
• Aplica las distintas propiedades de
potenciación de números reales para la
solución de problemas.
• Reconoce los elementos de un polinomio:
grado, coeficiente principal, termino independiente.
•
Utiliza los productos notables más
conocidos para la resolución de problemas.
• Efectúa la división de los polinomios
utilizando el método clásico, de Ruffini y de Horner.
•
Clasifica los tipos de cocientes notables para
la resolución de problemas algebraicos.
• Emplea los principales métodos de
factorización de polinomios.
Unidad II
• Utiliza los métodos para cambiar diferentes
radicales en radicales simples.
• Conoce la definición y las propiedades del
factorial de un número.
• Desarrolla potencias de grado superior de
binomios usando el método de N ewton.
• Conoce la noción de un número complejo, así
como el álgebra entre ellos.
• Representa los números complejos en el
plano cartesiano con su argumento y su módulo.
•
Resuelve ecuaciones primer y segundo grado
usando la fórmula general y los métodos de factorización.
Al vivir en sociedad debemos de tener en cuenta que para lograr metas tenemos que aprender a trabajar en grupo y a dividirnos distintas responsabilidades. Lo ideal es siempre dividirse tareas que ayuden a un bien común para que así el objetivo que tenemos como grupo se realice de manera más rápida y eficaz, y gracias a ello, beneficiarnos todos de manera equitativa.
Como miembros de una sociedad, ya sea, en el colegio, nuestra casa o centro de trabajo; debemos de
comprometernos en cumplir con las responsabilidades para el bien colectivo.
Orientación al bien
común
Enfoque transversal
Empatía
Generosidad
Valores
DesempeñosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad III
• Transforma ecuaciones de grado par en
ecuaciones de grado dos para su resolución.
• Reconoce lo que es una matriz y sus
distintas clasificaciones.
• Calcula la determinante de matrices de
orden dos y tres.
• Resuelve sistemas de ecuaciones lineales
usando distintos métodos.
• Conoce la definición y las propiedades de los
logaritmos para la resolución de problemas.
• Aplica las propiedades de los logaritmos
para la solución de ecuaciones logarítmicas.
Unidad IV
• Emplea la propiedad de los números reales
para la solución de inecuaciones lineales y
cuadráticas.
• Utiliza las propiedades de los radicales y del
valor absoluto para resolver inecuaciones racionales y de valor absoluto.
•
Calcula la determinante de matrices de
orden dos y tres.
• Identifica el dominio y rango de una función.
• Dibuja el gráfico de una función en el plano
cartesiano.
• Analiza el comportamiento de las funciones
según su monotonía.
• Conoce la noción de limite.
• ¿<> Crees que sea importante el trabajo en equipo?
• ¿Qué beneficios y desventajas crees que trae trabajar en equipo?
• En tú día a día ¿Observas situaciones en donde se trabaje en equipo? ¿Cuales?
Observamos y respondemos
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B?sico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
1
Educación Secundaria
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B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Álgebra UNIDAD
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Teoría de exponentes
Recordamos lo aprendido
1. Propiedades de las potencias
aa a
mn mn

a
m
a
n
= a
m – n
(a
m
)
n
= a
m ∙ n
(a ⋅ b)
n
= a
n
⋅ b
n
a
b
a
b
n
n
n
∙

1
a
n
= a
– n
a
0
= 1, a ≠ 0 Si a
m
= a
n
⇒ m = n
2. Propiedades de los radicales
ab ab
nn n
∙
a
b
a
b
n
n
n=
aa
pnm mnp
∙

aa
m
n mn
=
xx xx
ab cpnm anbpcmnp
∙
()
xxx x
nnn n
∙
1
xxx x
nnn n
∙∙∙


1
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Reduce la siguiente expresión:
E
x
x
x
x
∙

55
4
8
2
2
1
2132
2. Determina el resultado de la siguiente operación:
25 25
25 5
12
12
3
1
mm mm
mm
m
∙∙

∙

3. Simplifica la expresión:
F
xx
x
∙

24 4
2
1
2
()
4. Reduce la expresión:
H
ab
ab
nn
n
nnn
∙

E
x
x
x
x
x
x
x
x
∙

∙

55
55
4
8
2
2
2
2
2
2
1
21
32
2
3
1
21
322
2
31
21
32
23 32 13 2
2
55
55
5
2
2
2
2
22 22
2
∙

∙

x
x
x
x
xx xx
()
xxx xx
xx
x
x
x
x
E

33 2132
53 53
1
21
3
5
55
55
2
22
4
8
2
2
22
0∙
∙

∙

25
5
251
21
25 5
1
2
3
1
2
mm
m
m
mm m
()()
()()()
001
81
25
9
9
25
1
2
1
1

∙

∙∙

m
mm m
m
mm m
()
() (
(() )25 10
1

mm
• 24 42 44 4
24 44 241
24 42
11
1
12
() ()
() ()
()
xx xx
xx x
xx x
∙
∙
∙
∙
∙
992 3
24 42 33 2
24 4
2
32
2
22
12
1
22

∙

∙
∙
x
xx xx
xx
x
x
x
() () ()
() ()
332()
x
24 42 44 4
24 44 241
24 42
11
1
12
() ()
() ()
()
xx xx
xx x
xx x
∙
∙
∙
∙
∙
992 3
24 42 33 2
24 4
2
32
2
22
12
1
22

∙

∙
∙
x
xx xx
xx
x
x
x
() () ()
() ()
332()
x
Por lo tanto:
24 42 44 4
24 44 241
24 42
11
1
12
() ()
() ()
()
xx xx
xx x
xx x
∙
∙
∙
∙
∙

992 3
24 42 33 2
24 4
2
32
2
22
12
1
22

∙

∙
∙
x
xx xx
xx
x
x
x
() () ()
() ()
332()
x 3(2
–x
)
H
ab
ab
ab
ab
ab
H
ab ab
ab
a
nn
nn
n
nn
nn
nn
n
nn nn
nn
n
n
∙

∙

∙
11
() ()

b
Ha b
nn
T1 Teoria de exponentes.indd 93 28/02/2020 18:21:43

Básico Intermedio Avanzado 94Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Efectúa la operación y responde a la pregunta.
23 25 2
23 24 2
31 2
12 3
mm m
mm m
∙∙ ∙

¿El resultado de la operación es un número
natural?
6. Resuelve la siguiente operación:
S
xx xx x
xx xx x
∙

77 77 7
77 77 7
43
21
43 21
7. Si 2
a
= 3
b
, determina el valor de la siguiente ex-
presión:
P
ab
ab
∙

23
23
8
32
21
Nivel avanzado
8. El resultado de la operación:
Q
xxx x
xxx x
factores
factores
∙

333 3
45
555 5
120
…

…

x
x
8
2
Es de la forma (a – 3b)x
2a+b
. Calcula a y b.
9. Si: A∙ 56 56 56 
Halla el valor de la expresión B
6
BA AA ()() ()77 7
555

S
xx xx x
xx xx x
x
x
∙

∙

77 77 77 77 7
77 77 77 77 7
7
7
43 21
43
21

77 77 1
1
7
1
7
1
7
1
7
1
43 21
43
21

∙

∙

2401 343497 1
1
2401
1
343
1
49
1
7
1
2801
17

∙

493432401
2401
2801
1
2801
2401
2401S
Se cumple que:
AA AA
AA AA

56 56
5607 8
2
2
Como A > 0 ⇒ A=8
Ahora, analizamos B de forma similar:
BA BB
A
B
BA
B
∙

()7
7
78 715
15
5 5
6
6
Factorizamos de forma conveniente:
∙

()() ()()()
()
()() ()() ()(
22 322522
22 3224 22
31 2
12
mm m
mm m33
32
12 3
2
2
23 252
23 24 2
86
)
() ()()
() () ()
∙

∙

m
m

∙

∙

20
1
2
3
4
4
8
6
46 4
8
68
6
26 10
26 8
31 2
12 3
()
mm m
mm m
∙8
Por lo tanto, el resultado no es un número
natural.
Por propiedad de los exponentes:
Q
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx xQ x
∙

∙

3
45
5
120
6
15
24
6
15
12
6
36 99
Por dato, el resultado es de la forma:
(a – 3b)x
2a+b
Entonces: a – 3b = 1 ∧ 2a + b = 9
Resolviendo, tenemos: a = 4; b = 1
PP
P
ab
ab
aa
aa
∙

∙

22 33
22 33
8
22 23
22 23
8
2
32
21
32
21
3

3
23
8
17
1
82 55
2
21
P
T1 Teoria de exponentes.indd 94 28/02/2020 18:21:45

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra 95Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Efectúa la siguiente operación:
A 64 2436 25 49
03 02 02 50 5,, ,,

a. 19 b. 18 c. 17 d. 16
2. Calcula el resultado de la operación:
B∙

1
3
1
64
1
4
1
3
3
1
4
1
1
1
2

1
2
a.
5 b. 6 c. 7 d. 8
3. Reduce la expresión: C∙

213580
15 14 30
63 3
49 2
a.
5 b. 4 c. 3 d. 2
4. Si x > 1, determina el exponente luego de sim-
plificar la siguiente expresión:
Dx xx x
23 155

a. 22 b. 24 c. 26 d. 28
5. Efectúa la operación: E
x
x
x
x
x
x
∙

71
71
21
21
a.
15
2
b.
13
2
c.
11
2
d.
9
2
Nivel intermedio
6. Efectúa la operación y luego indica cuáles de
los enunciados son correctos.
F
x
x
x
∙

1
2
3
3
4
I.
El e<> xponente final de x es un número ente-
ro positivo.
II. El exponente final de x es un número real.
III. El exponente final de x no es un número
racional.
IV. Si el exponente final de x es t, entonces:
t
11
24
1
a. Sólo II
b. II y III
c. II y IV
d. Sólo III
7. Simplifica la expresión:
G
aaa a
aaa a
factores
factores
∙

333 3
90
444 4
160
…

…

a. a
10
b. a
5
c. a
–10
d. a
–5
8. Reduce la expresión:
H
xyxzyz
xy z
nn nn
nn
nn n
n
∙

a.
1 b. xy c. xyz d. 1
xyz
9. Efectúa:
J∙

3
2
3
2
66
23
13
2
3
a.

36
25
b.
25
36
a.
5
6
a.
6
5
Nivel avanzado
10. S: N∙ 30 30 30 ,
halla el valor de la expresión M
4
.
M NNN∙ ()() ()888
555

a. 11 b. 12 c. 13 d. 14
11. Determina el exponente de x
x
en: x
x
x
a.
x
x + 1
b. x c. x
x – 1
d. x
x – 2
Nivel destacado
12. Reduce:
aaa a
aaa a


3333
3333
111 1
Si se sabe que en el numer ador y en el
denominador existen n radicales (n > 0)
a. 2a b. c. a d. 2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a a d b a c c c a d c c
a
3
a
3
T1 Teoria de exponentes.indd 95 28/02/2020 18:21:46

Básico Intermedio Avanzado 96Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Polinomios
Recordamos lo aprendido
Forma general
P(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n – 1
+ ... + a
n – 1
x + a
n
; a
0
≠ 0
Propiedades:
1. coeficientedePxp()()− 1
2.
Término Independiente en P(x) = P(0)
Grado de un polinomio:
a. Grado Relativo (GR.) :
• En el monomio, es el exponente de la
variable en referencia.
• En el polinomio, con respecto de una variable
es el mayor exponente que representa la
variable en referencia.
b. Grado Absoluto (GA.):
• En el monomio, es la suma de todos los
exponentes que presentan las variables.
• En el polinomio, es el mayor grado absoluto
de los monomios que lo conforman.
Polinomio Mónico
Si a
n
= 1 ⇒ P(x) se llama mónico
Polinomio Constante:
P(x) = c
Si c ≠ 0 ⇒ El polinomio es de grado cero.
Si c = 0 ⇒ El grado del polinomio no está definido.
Polinomio Especiales:
Polinomio Ordenado: Los exponentes de sus
variables aumentan o disminuyen.
Polinomio Completo: Posee todos sus expo-
nentes desde cero, hasta el grado del exponente.
Polinomio Homogéneo: Todos sus términos
son de igual grado absoluto.
Polinomio Idénticos: Los coeficientes de sus
términos semejantes son iguales.
Polinomio Opuesto: Sus coeficientes de igual
grado son opuestos.
Polinomio Idénticamente Nulo: Es aquel que
se anula para cualquier valor de sus variables.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla P(16) – P(9), si:
P(x) = –3x
2
– 15x + 6
2. Determina: b – a
Si Ex
a
x()−

5
2
3;
Mx x
b
()

7
1
2
son
polinomios idénticos.
3. Calcula el coeficiente del resultado al reducir el
polinomio:
P(x; y) = (b
0
)x
n + 2
⋅ y
4
+ (a
3
– 1)x
n – b
⋅ y
a – b
a un
monomio.
Se reemplaza:
x = 16 ⇒ P(16) = –3(16)
2
– 15(16) + 6 = –1 002
x = 9 ⇒ P(9) = –3(9)
2
– 15(9) + 6 = –372
Entonces calculemos lo que nos piden:
P(16) – P(9) = –1 002 – (–372) = –630
Por lo tanto, P(16) – P(9) = –630
Como son polinomios idénticos, entonces:
ab−

−

5
2
7
1
2
3
a – 5 = 14 ∧ b – 1 = 6
a = 19 ∧ b = 7
Por lo tanto, b – a = 7 – 19 = –12
Como se reduce a un monomio, entonces
los grados de las bases
x y y son iguales:
x
n + 2
⋅ y
4
= x
n – b
⋅ y
a – b
•
n + 2 = n – b ⇒ b = –2
• a – b = 4 ⇒ a – ( –2) = 4 ⇒ a = 2
Hallamos los coeficientes:
b
0
= 1
(a
3
– 1) = (2)
3
– 1 = 7
Por lo tanto, lo que nos piden es el coefi- ciente del monomio: 1 + 7 = 8
T2 Polinomios.indd 96 2/03/2020 16:31:33

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra 97Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. Si el polinomio
Px
x
x
()−

2
9
Calcula
P(0)
P(16)
Nivel intermedio
5. Si:
A(x) = x – 2
M(x) = x + 3
Halla E = M[M[A(–1)]] + A[A[M(2)]]
6. Sea el polinomio:
I(x) = (ax – b)(x – 4) – 5(x
2
– c)
Si I(x) = 0, encuentra a × b × c
7. Sea el polinomio: Px xy
mnnm
()−

1595
22
Si se sabe que: GR.(x) = 52 y GR.(y) = 47
Halla: m+n
8. Calcula: P(10) si se rige bajo la siguiente ley
Px
xx xx xx
()−

11
32
1
56
22 2
9. Halla: a – b + c; si se sabe que el polinomio:
Q(x) = x
(a – 10)
+ x
(a – b+5)
+ x
(c – b + 6)
Es c<> ompleto y ordenado en forma decreciente.
Reemplazamos los valores de x de la si-
guiente manera:
xP
xP
−

−
−

−
00
20
09
0
16 0
216
169
32
5
()
()
()
()
()
()
Entonces tenemos:
P
P
()
()
0
16
0
32
5
=
Por lo tanto,
P(0)
P(16)
= 0
Resolvemos paso por paso:
A(–1) = –1 – 2 = –3 ⇒ M(–3) = –3 + 3 = 0
⇒ M(0) = 3 ⇒ M [M [A(–1)]] = 3
M(2) = 2 + 3 = 5 ⇒ A(5) = 5 – 2 = 3
⇒ A(3) = 3 – 2 = 1 ⇒ A[A[M(2)]] = 1
Por lo tanto, E = 3 + 1 = 4
Si: I(x) = ax
2
– bx – 4ax + 4b – 5x
2
+ 5c
I(x) = (a – 5)x
2
– (b + 4a)x + (4b + 5c)
Y por dato: I(x)=0
⇒(a – 5)x
2
– (b + 4a)x + (4b + 5c) = 0
Entonces:
a – 5 = 0 ∧ b + 4a = 0 ∧ 4b + 5c = 0
a = 5 ∧ b + 4(5) = 0 ∧ 4b + 5c = 0
a = 5 ∧ b = –20 ∧ 4(–20) + 5c = 0
a = 5 ∧ b = –20 ∧ 5c = 80
a = 5 ∧ b = –20 ∧ c = 16
Por lo tanto, a × b × c = (5)(–20)(16) = –1600
Como:
GR.(x) = 52 entonces 2m + n = 52
GR.(y) = 47 entonces m + 2n = 47
Sumamos ambos resultados:
2m + n + m + 2n = 52 + 47
⇒ 3m + 3n = 99
Por lo tanto, m + n = 33
Como es completo sabemos que tiene que
tener todos sus exponentes.
Y como es ordenado de forma decreciente
tenemos que:
a – 10 = 2
a – b + 5 = 1
c – b + 6 = 0
Los exponen-
tes de forma
decreciente.
De la primera ecuación tenemos: ⇒ a = 12
Reemplazamos “a”: 12 − b + 5 = 1 ⇒ b = 16
Reemplazamos “b”: c − 16 + 6 = 0 ⇒ c=10
De lo que nos piden tenemos:
a − b + c = 12 − 16 + 10
Por lo tanto, a − b + c = 6
Reemplazamos el valor de x de la
siguiente manera: x = 10

x
P
P
−

10
10
1
10 10
1
103102
1
105106
22 2
()
() () () () ()
(110
1
110
1
132
1
156
)

x
P
P
−

10
10
1
10 10
1
103102
1
105106
22 2
()
() () () () ()
(110
1
110
1
132
1
156
)
x
P
P
−

10
10
1
10 10
1
103102
1
105106
22 2
()
() () () () ()
(110
1
110
1
132
1
156
)
Por lo tanto, P(10) =
3
130
T2 Polinomios.indd 97 2/03/2020 16:31:34

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Nivel avanzado
10. Calcula el valor de [(m + n)
m + n
(2)
–(n + m)
] del
polinomio homogéneo.
Pxy
xy
xy
xy
mn
nm
(;)-=
2
11. Sea el polinomio:
P(x; y) = px
p
+
q
y – x
r – 1
y + qy
q
+
5
x
3
Es homogéneo y con grado relativo a “y” igual a 6.
Determina el grado relativo de “x”.
12. Encuentra: (m
n
0
)n
GRy.()
−
=
+

si el polinomio es
homogéneo.
P(x; y) = x
n – 3
y
7
+ (x
2
y
2
)
4
+ x
m
y
4
13. Encuentra el exponente de «x» al reducir:

x
x
x
−
−
−
10
7
5
Reducimos la expresión:
Pxyx yx y
mn
nm
(;)-=
++21 22
Como es un polinomio homogéneo los
grados absolutos de cada uno de los
términos son iguales:
Es decir,
mn
nm
-= -+ =21
22
-= +- =+
nm
mn
22
36
De lo que nos piden, reemplazamos:
[(m + n)
m + n
(2)
–(n + m)
] = [(6)
6
(2)
–6
]
Por lo tanto,
El valor de: [(m+n)
m + n
(2)
–(n + m)
] = 729
El G.R.(y) = 6 ⇒ q + 5 = 6 ⇒ q = 1
Ahora como es homogéneo sus grados
absolutos son iguales, entonces:
p + q + 1 = r – 1 + 1 = q + 5 + 3
Reemplazando “q”:
⇒ p + 1 + 1 = r – 1 + 1 = 1 + 5 + 3
⇒ p + 2 = 9 ⇒ p = 7
Nos piden el G.A.(x): p + q = 7 + 1
Por lo tanto, el G.R.(x) = 8
Como es homogénea, tenemos:
n – 3 + 7 = 8 + 8 = m + 4
⇒ n + 4 = 16 ⇒ n = 12
⇒ m + 4 = 16 ⇒ m = 12
Y el GR.(y) = 8
De lo que nos piden tenemos:
m
n
GRy
n
0
12
12
8
1-=
+

+

.()
()
Por lo tanto,
m
n
GRy
n
0
18-=
+

.()
Damos una mejor forma para así poder
tener un mejor entendimiento:
Ax xx xx xx
Ax
−− =+=+=+=+

57 10
5
2
7
2
10
2
14
2
5
2
7
2
10
2
14
2
23 4
23 4

..
Al exponente de «x» lo llamaremos E entonces tenemos:
E-= == =
5
2
7
2
10
2
14
2
23 4

Multiplicamos (×2) a E y tenemos:
25
7
2
10
2
14
2
23
E-= == =
Restamos las dos operaciones:
EE25
2
2
2
5
2
4
2 3
-= ++ +
25
7
2
10
2
14
2
41
2
2
3
2
4
2
23
23
EE
E
-=+ ++ +
=+++ +


Llamemos a E – 4 = M:
-= ++ ++M1
2
2
3
2
4
2
23

Dividimos (÷2) a M y tenemos:
M
2
1
2
2
2
3
2
4
2
23 4
-= == =
Restamos las dos operaciones M y M÷2:
M
M
M
-= ++ ++
++ ++
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
23
23


Por la serie infinita tenemos:
-=
+
=
M
2
1
1
1
2
2
Reemplazamos M:
E
EE
−
=+ -= +=
4
2
24 48
Entonces x
E
= x
8
Por lo tanto, el exponente final de x es 8.
T2 Polinomios.indd 98 2/03/2020 16:31:35

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla el grado absoluto de «x» del siguiente po-
linomio:
Pxyx yx x
pqpq
(;)

6
1
2
35
2
Si <> se sabe que: p > q > 0 y p; q son valores
enteros.
a. p – q b. p + q c. 1 d. 2p
2. Sea el polinomio:
P(x) = 5x
2
y
3
– 7xy
4
+ 6x
3
y
2 Entonces, halla su grado absoluto es:
a. 5 b. 2 c. 3 d. 4
3. Encuentra la suma del G.R.(x) + G.R.(y) del po-
linomio:
Pxyxyy x
y
x
(;)
21 33
7
5
a.
6 b. 7 c. 5 d. 10
4. Dado el polinomio:
Px ax
a
()()
36 123
2 de grado 15. Encuentra su
coeficiente.
a. 2195 b. 2120 c. 2300 d. 2150
Nivel intermedio
5.
P(x; y) = ab x
a + b
y
a
; Q(x; y) = (a + b)x
6
y
a + 3b
Son t<> érminos semejantes. Indica el coeficiente
de
P(x; y) + Q(x; y)
a. 12
b. 66
c. 6
d. 0
6. Sea f(x) = x
2
+ 2x + 5
Halla: ff() ()21 51
2
−− −
a.
–1
2
b.
1
2
c.
–3
2
d.
5
2
7. Calcula la suma de coeficientes de «x» del si-
guiente polinomio:
P(x) = 2mx
m – n
– n
3
x
n
y
m + 2n
– nx
3m – n
y
8
Es c<> ompleto y ordenado de forma creciente.
a. 3
b. 2
c. 0
d. 5
8. Calcula: p + 2q, si el polinomio
Pxyx yp qxyx y
aabp q
(;)
38 3524
Es homogéneo y a + b = 2.
a. 10 b. 16 c. 15 d. 12
Nivel avanzado
9.
Determina m ⋅ n. Si el polinomio
P(x; y) = 4x
m + 1
y
n – 2
+ 6x
m + 2
y
n – 1
+ 6x
m + 3
y
n – 2
Es de grado absoluto 20; GR.(x) = 8
a. 24 b. 36 c. 35 d. 70
10. Si la expresión: A(x; y; z) = x
m + n
y
n + p
z
p + m
Es <> de grado 18, y los grados relativos a x, y e
z son 3 números consecutivos (en ese orden).
Calcula m ⋅ n ⋅ p
a. 24 b. 25 c. 54 d. 6
11. Dado el polinomio homogéneo de grado igual
a uno:
P(x; y) = x
a
a'
y
b
b'
+ y
b
b'
z
c
c'
– z
c
c'
x
d
d'
Halla el grado de: ()xyz
adabda 23 5 +' '
a. 2 b. 5 c. 10 d. 3
12. Si el polinomio:
P(x) = (x
2
– x + 3)(a – b) + (x
2
– x + 4)(b – c)
+ (x
2
+ x + 5)(c – a)
Es idénticamente nulo, encuentra: R
bc
a
−

a. 0 b. 1 c. d. 2
Nivel destacado (UNAC 2018-II)
13. La edad del nieto del profesor Gonzales actual-
mente, en años, es (4a + n); donde a y n se ob-
tienen del polinomio mónico
Px xx mx xa x
nn n
n
() ,

27
92
22 7 5 4
c<> on a ≠ 0. ¿Cuál será la edad del nieto dentro
de 5 años?
a. 12 años
b. 5 años
c. 7 años
d. 10 años
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b a d a b c a b d a c d a
3
2
T2 Polinomios.indd 99 2/03/2020 16:31:36

100Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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B?sico Intermedio Avanzado
Productos notables
Recordamos lo aprendido
1. Trinomio cuadrado perfecto (tcp)
(x ± y)
2
= x
2
± 2xy + y
2
2. Identidades de Legendre
(x + y)
2
+ (x – y)
2
= 2(x
2
+ y
2
)
(x + y)
2
– (x – y)
2
= 4xy
3.
Diferencia de cuadrados
(x + y)(x – y) = x
2
– y
2
4. T<> rinomio al cuadrado
(x + y + z)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + xz + yz)
5. Identidad de Steven (binomios con un ele-
mento en común multiplicados)
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
6. Binomio al cubo
(x ± y)
3
= x
3
± 3x
2
y + 3xy
2
± y
3
7. Identidad de Cauchy
(x ± y)
3
= x
3
± y
3
± 3xy(x ± y)
8. Identidades de Argand
(x
2
+ xy + y
2
)(x
2
– xy + y
2
) = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
9. Identidad de Lagrange
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
+ (ay – bx)
2
10. Suma y diferencia de cubos
x
3
± y
3
= (x ± y)(x
2
∓ xy + y
2
)
11. Producto de binomios con un elemento en
común
(x + a)(x + b)(x + c) =
x
3
+ (a + b + c)x
2
+(ab + bc + ca)x + abc
12.
Trinomio al cubo
(a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)(b + c)(c + a)
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Reduce: E = (m + 6n)
2
– (m – 6n)
2
– 12mn
2. Halla:
M = (x + y)
2
– (y – x)
2
+ (x – 2y)
2
– x
2
– 4y
3. Calcula P – Q, si:
P = (x + 3)(x
2
– 3x + 9) + (x
2
+ 3x + 9)(x – 3)
Qx x 22 2
3
2
3
2
()
()
Utilizando la identidad de Legendre, tene-
mos que:
(m + 6n)
2
– (m – 6n)
2
= 4m(6n) = 24mn
Hallamos lo que nos piden:
E = (m + 6n)
2
– (n – 6n)
2
– 12mn
E = 24mn – 12mn
∴ E = 12mn
Hallamos los productos notables:
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
(y – x)
2
= y
2
– 2yx + x
2
(x – 2y)
2
= x
2
– 4xy + 4y
2
Reemplazamos en M:
M = x
2
+ 2xy + y
2
– (y
2
– 2yx + x
2
) + x
2
– 4xy
+ 4y
2
– x
2
– 4y
M = x
2
+ 2xy + y
2
– y
2
+ 2yx – x
2
+ x
2
– 4xy
+ 4y
2
– x
2
– 4y
∴ M = 4y
2
– 4y
Multiplicamos término a término:
•
(x + 3)(x
2
– 3x + 9) = x
3
– 3x
2
+ 9x + 3x
2
– 9x
+ 27
• (x
2
+ 3x + 9)(x – 3) = x
3
+ 3x
2
+ 9x – 3x
2

– 9x – 27
Reemplazamos en P: P = x
3
– 3x
2
+ 9x + 3x
2
– 9x + 27 + x
3
+ 3x
2

+ 9x – 3x
2
– 9x – 27
P = 2x
3
Qx x 22 2
3
2
3
2
()
() = 2(x
3
– 4) = 2x
3
– 8
Por lo tanto, P – Q = 2x
3
– (2x
3
– 8) = 8
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101Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra
Nivel intermedio
4. Si x + y = 7 ; xy = 2. Calcula:
B
xy

22
3
5. Si x + y + z = 0. Simplifica:
K
xy z
xyz

33 3
18

6. Reduce:
R = (x + y)(x – y)(x
2
– xy + y
2
)(x
2
+ xy + y
2
)
7. Nivel avanzado
8. Si: x
x

1
9 . Halla: Kx
x

3
31
9. Simplifica:
Px yx yx yy
2
10. Si: a
b
=
1
, calcula el valor de:
Pa
b
ba
b
a
ab

…

…

4
3
4
3
11
Si: x + y = 7 ⇒ (x + y)
2
= 7
⇒ x
2
+ y
2
+ 2xy = 7
⇒ x
2
+ y
2
+ 2(2) = 7
⇒ x
2
+ y
2
= 3
Por lo tanto,
B
xy

22
3
3
3
1
Si x + y + z = 0 ⇒ Si x + y = –z
⇒ (x + y)
3
= (–z)
3
⇒ x
3
+ y
3
+ 3xy(x + y) = –z
3
⇒ x
3
+ y
3
= –z
3
– 3xy(–z)
⇒ x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz
Reemplazamos en K:
K
xy z
xyz
xyz
xyz

33 3
18
3
18
⇒ K = 3 + 18 = 21
Agrupamos convenientemente los términos:
()() ()
()(
xyxxyy
xyxxyy
Sumadecubos

…

22
2

…
22
)()
Diferenciadecubos

…

…

De (α) tenemos:
()()xyxxyy xy
Sumadecubos

…

22 33

De (β) tenemos:
()()xyxxyy xy
Diferenciadecubos

…

22 33

⇒ R = (x
3
+ y
3
)(x
3
– y
3
) = x
6
– y
6
Six
x
x
x
x
x
x
x
:

…

1
9
11
29
1
29
2
2
2
2
2
2
2
Multiplicamosx
x
x
x
x
x
x
x
xx
:

…

…

11
979
1
71
2
2
3
2
2
3
11
11
711
1
9711
1
702
3
3
3
3
3
3

x
x
x
x
x
x
Kx
x
Colocamos todos los términos en un solo
radical:
Px yx yx yy
Px yx yx yy

2
2
() () ()
Aplicamos diferencia de cuadrados:
Px yx yy
Px yx yy xy y
Px yy Px

() ()
()() ()
2
2
2
22 22
22
Reemplazamos el valor de a en P:
P
b
b
b
b
b
b
b
b
P
b
bb
b

…
…

…
…
…
…

11
1
1
1
1
11
4
3
4
3
4
4
()

…

…
…
…
…

1
1
1
112
4
4
4
3
b
b
b
b
b
P
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102Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Simplifica:
K = (3x
2
– 2y
3
)
2
+ (3y
3
+ 2x
2
)
2
– 13(x
4
– y
6
)
a.
0
b. –13x
4
y
6
c. 13x
2
y
6
d. –1
2. Halla:
()()() ()xx xx 88 77
a. 6 b. 3 c. 15 d. 5
3. Efectúa:
K

() () () ()
() ()
31 31 71 71
21 21
a. 28 b. 3 c. 7 d. 8
4. Simplifica la siguiente expresión:
(x + 2)(x + 5) + (x – 8)(x + 9) – 3x(x + 7)
a. x
2
+ 13x + 62
b. –x
2
– 13x – 62
c. –x
2
+ 13x – 62
d. –x
2
+ 13x – 62
5. Resuelve:
(x + y)
2
– (y – x)
2
+ (x – 2y)
2
– x
2
– 4y
2
a.
0 b. 12 c. 16 d. 22
6. Halla:
(x
2
+ x + 4)(x
2
+ x + 5) – (x
2
+ x + 3) (x
2
+ x + 6)
a.
–2 b. 0 c. 2 d. 4
Nivel intermedio
7.
Calcula:
9179 17
2

a. 34 b. 17 c. 9 d. 28
8. Indica el valor de:
(x + y)(x – y)(x
2
+ y
2
)(x
4
+ y
4
)(x
8
+ y
8
) + y
16
a.
y
16
b. x c. y d. x
16
9. Si x + y = 34; xy = 14. Calcula:
B
xy

22
4
a. 205 b. 262 c. 239 d. 287
10. Efectúa:
() () ()
()
23 32 24 2
24 224
53 23 5233 2
33 25 3
mn nm
mn

a.
2 b. c. n
3
d. 16
11. Si x
x
2
21
11
. Calcula: Ax
x

1
a. 3 b. 4 c. 8 d. 9
Nivel avanzado
12.
Si: x
3
+ y
3
+ z
3
= 0 .Determina:
M
xy z

3
3
a.
(3x<> yz)
2
b. (x<> yz)
3
c.
d. xyz
13. Si: m = 2x + 2y + 2z, calcula:
K
mm xm ym z
mx yz

22
22
22 22
() ()()
a. –4 b. –3 c. –1 d. 3
14. Si: m + n = 2 ∧ m
2
+ n
2
= 3; m > n
Halla: M = m – n + m
4
+ n
4
– 8
a. 2
b. 22+ 1
2
c.
2
2
d. 2
15. Si x
2
+ y
2
+ z
2
= 2; (x + y + z)(1 + xy + xz + yz) = 32
Encuentra el valor de: A = x + y + z
a. –4 b. 0 c. 4 d. 16
Nivel destacado (UNI 2016-II)
16. Si a + b + c = 1 y a
3
+ b
3
+ c
3
= 4,
entonces el valor de:
M
abcb accab

11 1
es:
a. –2 b. –1 c. 0 d. 1
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
a c d b a c a d
9 10 11 12 13 14 15 16
b d a d c b c a
2
3
xyz
3
T3 Productos notables.indd 102 28/02/2020 18:22:11

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra 103Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
División algebraica
Recordamos lo aprendido
División algebraica
Dados dos polinomios D(x) y d(x) ≠ 0 , existen
otros dos polinomios q(x) y r(x) tal que:
D(x) = d(x) ⋅ q(x) + r(x)
1. División entre polinomios
Tenemos los siguientes métodos:
a. Método clásico
b. Método de Horner
c. Método de Ruffini
Además para poder hallar el resto de una
división de polinomios, podemos hacer uso del teorema del resto.
Teorema del resto: Se utiliza para calcular el resto de una división.
2.
Cocientes notables
Son divisiones exactas (r(x) = 0) entre
binomios de la forma:
xa
xa
nn
±
±
; n ∈ Z
+
Donde, n = cantidad de elementos del
cociente notable.
• 1
er
caso: Para todo n ∈ Z
+
, se cumple:
xa
xa
xx ax ax aa
nn
nn nn n≠
≠

≠≠ ≠≠ ≠12 32 21
...
• 2
do
caso: Para n impar, se cumple:
xa
xa
xx ax ax aa
nn
nn nn n≠
≠

12 32 21
...
• 3
er
caso: Para n par, se cumple:
xa
xa
xx ax ax aa
nn
nn nn n≠

≠≠ ≠≠ ≠12 32 21
...
Dado el cociente notable y su término:
nn
xa
xa
−
−
t
k
= x
n – k
⋅ a
k – 1
nn
xa
xa
±
+
t
k
= (–1)
k – 1
x
n – k
⋅ a
k – 1
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Efectúa la siguiente división mediante el méto-
do clásico y da como respuesta la suma de coe-
ficientes del cociente.
2. Si q(x) representa el cociente de la siguiente
división:
15 3101 2
3
35 2

≠
xx xx
x
Calcula el valor de q(1) – q(0).
4x
4
+ 2x
3
– 6x
2
– 10x – 15
2x
3
– 2x
2
– 54x
4
+ 6x
3
– 4x
3
– 6x
2
– 4x
3
– 6x
2
– 10x
– 10x
0
2x + 3
Luego q(x) = 2x
3
– 2x
2
– 5,
Por lo tanto:
coeficientes 22 55
Ordenando y completando el numerador y
resolviendo por Ruffini, tenemos:
x = 3 27 78 204 648
26 68 216 663
3
3
0–1–1012 15
9
9
Luego q(x) = 3x
4
+ 9x
3
+ 26x
2
+ 68x + 216
⇒ q(1) – q(0) = (3 + 9 + 26 + 68 + 216) – 216
⇒ q(1) – q(0) = 106
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Básico Intermedio Avanzado 104Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3. Si el residuo que resulta al dividir:
51 6
32
34
2
xx
xx

es de la forma r(x) = ax + b – 8, determina el
valor de b
a
+ a
b
.
Nivel intermedio
4. Calcula el resto de la siguiente división:
() ()xx x
x
72 0207 1997 2100
7
211
≠≠
≠
5. Halla el valor de a, e indica la cantidad de tér-
minos del siguiente cociente notable:
xy
xy
a
1249 3
4
+
+

6. Calcula el grado absoluto del cuarto término
del siguiente cociente notable:
xy
xy
a
42 108
7
+
+
7. Nivel avanzado
7. Determina el valor de ab1 , si la siguiente
división es exacta:
xx xx axb
xx
54 32
2
5
37
≠≠ ≠
≠≠
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
Ordenando y completando los polinomios y
usando el método de Horner, tenemos:
–1 4
–1
–1
22
2
6
2
3 5
1
0
1
0
1
–1
1
–2
Luego, el residuo de la ecuación es r(x)=x+1
⇒ a = 1 ∧ b – 8 = 1 ⇒ a = 1 ∧ b = 9
⇒ b
a
+ a
b
= 9
1
+ 1
9
= 9 + 1 = 10
Por el método de Horner:
– 3
– 7
–7
14
–12
6
–28
–3 –7
41 0 0
11
1
1 5 –1 a b
–2
–3
Como la división es exacta, entonces el resi-
duo será r(x)=0.
Luego:
a – 28 – 3=0 ∧ b – 7=0
⇒ a = 31 ∧ b = 7
Nos piden:
3171 5
Por el teorema del resto:
x
7
+ 1 = 0 ⇒ x
7
= –1
Reemplazando en el dividendo: r(x) = (–1 + 2)
2 020
+ (–1 + 1)
1 997
– (–1)
300
r(x) = 1 + 0 – 1 r(x) = 0 Por lo tanto, el resto es r(x) = 0.
Por ser cociente notable:
124
4
93
3193 3 ≠
a
aa
Luego, la cantidad de términos es:
124
4
31=
Hallamos el valor de a y la cantidad de
términos:
42
7
108
18
42
7
6 ≠≠
a
an
Reemplazamos en la fórmula, para k = 4 y n = 6:
t
4
= (–1)
4 – 1
(x
7
)
6 – 4
(y
18
)
4 – 1
⇒ t
4
= –x
14
y
54
∴ GA.(t
4
) = 14 + 54 = 68
T4 Division algebraica.indd 104 2/03/2020 16:33:51

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra 105Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula la suma de coeficientes del cociente y
del residuo de la siguiente división:
xx
xx
32
2
21
1
++
++
a. –1
b. 0
c. 1
d. 2
2. Si q(x) es el cociente de la división mostrada,
67 1322 123452
24 3
xxxx
x

Indica el valor de q(–1).
a. –92 b. –37 c. 4 d. –84
3. Determina el resto en:
() ()xx xx
xx
≠≠ ≠≠
≠≠
1643 31 5
21
15 32
2
a.
1 b. 2 c. 4 d. 5
4. Marca la alternativa correcta luego de efectuar
la división indicada:
8109 6
43 5
54 3
32
xx
xx
xx x

≠
a. el resto es 14x + 5
b. La suma de coeficiente del resto es 19
c. El cociente es 2x
2
+ x – 1
d. a y b son correc tas
Nivel intermedio
5.
Halla: a – b, si la división:
62 93 1
25 31
54 32
32
xx axbx x
xx x
≠
≠
es exacta.
a. 75 b. 80 c. 47 d. 90
6. Sea r(x) es resto de la siguiente división:
xx x
xx
5422
33 1
11
≠
()()
Determina el valor de r(2).
a. 4
b. 5
c. 2
d. 6
7. Calcula el resto de la siguiente división:
() ()xx x
x
31 63 62 15 9
3
13
2

≠
a. –8 b. –12 c. –10 d. –9
8. Determina el resto de la división:
xm xmxx mm
xm
43 22
2
1

≠≠
()
a. –4 b. –1 c. 0 d. 1
9. Si la siguiente división:
27 16
23 4
43 2
2
xx xA
xB
xx
++ ++
++
deja c<> omo resto 13x + 3. Calcula el valor de
A
B
.
a. 1 b. 2 c. 3 d. 0,5
Nivel avanzado
10.
Halla a + b + c si al dividir:
63 4
32 2
54
32
32
xx ax x
xx x
≠≠
≠
Se obtiene por resto bx+c
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
11. Si: m = 2x + 2y + 2z, calcula:

x
x
m
8
1
1
−
−
Es <> notable y de cuatro términos. Halla
P = m
5
+ m
4
+ m
3
+ m
2
+ m + 1
a.
63 b. 24 c. 31 d. 15
Nivel destacado (UNI 2016-II)
12. Sea q(x) el cociente de efectuar la división:
xnxn
x
nn

1
1
1
Calcula q(1)
a. 0
b. n
2
– 1
c. n
2
d. n(n + 1)
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b d d b c c b c b d a c
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Básico Intermedio Avanzado 106Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Factorización
Recordamos lo aprendido
Factor primo: es aquel polinomio que ya no
puede descomponerse en otros factores.
Factor algebraico: dados los polinomios P(x), Q(x) no
constantes, se dice que P(x) es un factor algebraico
de Q(x) si el cociente entre Q(x) y P(x) es exacto.
Criterios de factorización
a. Por agrupación de términos: consiste en agru-
par los términos del polinomio, de tal manera
que podamos encontrar factores comunes.
b. Por el método de identidades: en este caso
se emplean los productos notables para en- contrar factores comunes.
c.
Aspa simple: este método se utiliza para
factorizar polinomios de la forma:
P(x; y) = ax
2n
+ bx
n
y
m
+ cy
2m
ax
2n
+ bx
n
y
m
+ cy
2m
a = a
1
⋅ a
2
c = c
1
⋅ c
2
b = a
1
⋅ c
2
+ a
2
⋅ c
1
a
1
x
n
c
1
y
m
a
2
x
n
c
2
y
m
d. Aspa doble: se utiliza para factorizar polino-
mios de la forma:
P(x; y) = ax
2n
+ bx
n
y
m
+ cy
2m
+ dx
n
+ ey
m
+ f
ax
2n
+ bx
n
y
m
+ cy
2m
+ dx
n
+ ey
m
+ f
= (a
1
x
n
+ c
1
y
m
+ f
1
)(a
2
x
n
+ c
2
y
m
+ f
2
)
a
1
x
n
c
1
y
m
f
1
a
2
x
n
c
2
y
m
f
2
e. Aspa doble especial: se utiliza para factori-
zar polinomios de la forma:
P(x; y) = ax
4n
+ bx
3n
+ cx
2n
+ dx
n
+ e
ax
4n
+ bx
3n
+ cx
2n
+ dx
n
+ e
a
1
x
2n
k
1
x
n
e
1
a
2
x
2n
k
2
x
n
e
2
Se debe tener: cx
2n
Se tiene: (a
1
e
2
+ a
2
e
1
)x
2n
Falta: (c – a
1
e
2
– a
2
e
1
)x
2n
= k
1
k
2
x
2n
⇒ P(x) = (a
1
x
2n
+ k
1
x
n
+ e
1
)(a
2
x
2n
+ k
2
x
n
+ e
2
)
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Factorizar:
P(a; b) = 6a
2
bc + 3ab
2
c + 10ad + 5bd
Halla la suma de los términos independientes.
2. Indica la cantidad de factores primos al facto-
rizar.
P(a; b) = a
5
b – b
3
a
3
3. ¿Cuántos factores lineales tiene el siguiente po-
linomio P(x)?
P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
P(a; b) = 6a
2
bc + 3ab
2
c + 10ad + 5bd
Sacando el factor común: 3abc y 5d
⇒ P(a; b) = 3abc(2a + b) + 5d(2a + b)
Luego, extrayendo el factor común: 2a+b
⇒ P(a; b) = (2a + b)(3abc + 5d)
Término independiente de 2a + b es 0
Término independiente de 3abc + 5d es 5d
La suma sería: 0 + 5d = 5d
P(a; b) = a
5
b – b
3
a
3
Sacando factor común: a
3
b
⇒ P(a; b) = a
3
b(a
2
– b
2
)
Por diferencia de cuadrados
P(a; b) = a
3
b(a + b)(a – b)
Nos piden la cantidad de factores primos
⇒ P(a; b) tiene 4 factores primos.
P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
Factorizando x
2
:
P(x) = 1 + x + x
2
(1 + x)
P(x) = 1(1 + x) + x
2
(1 + x)
Extrayendo el factor común:
P(x) = (1 + x)(1 + x
2
)
Por lo tanto, P(x) tiene solo un factor lineal
que es x + 1.
T5 Factorizacion.indd 106 28/02/2020 18:22:28

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra 107Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Factoriza:
I. P(x) = 3x
2
+ 10x + 3
II. Q(x) = 21x
2
+ 13x + 2
E indica un factor común.
5. Del siguiente polinomio:
P(x) = 4x
3
– 144x – 160 + x
4
– 20x
2
Indica un factor primo.

6. Nivel avanzado
6. Factoriza:
F(x) = x
5
+ x – 1
7. Halla los factores algebraicos de:
x
4
+ 8x
3
+ 19x
2
+ 14x + 3
8. Indica un factor primo de:
P(a; b) = a
3
b
2
+ ca + a
2
b
3
+ cb
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
I. Usaremos el aspa simple en P(x):
P(x) = 3x
2
+ 10x + 3
3x +1
x +3
Pues: 3x(3) + 1(x) = 9x + x = +10x
Luego:
P(x)=(3x+1)(x+3)
II. Usaremos el aspa simple en Q(x)
Q(x) = 21x
2
+ 13x + 2
7x +2
3x +1
Pues: 7x(1) + 2(3x) = 13x Luego:
Q(x) = (7x + 2)(3x + 1)
Por lo tanto, el factor común es 3x + 1.
Ordenando el polinomio:
P(x) = x
4
+ 4x
3
– 20x
2
– 144x – 160
Usaremos el aspa doble:
P(x) = x
4
+ 4x
3
– 20x
2
– 144x – 160
–20x
2
– (–8x
2
+ 20x
2
) = –32x
2
x
2
x
2
+20+8x
–32x
2
-8–4x
Luego: P(x)=(x
2
+ 8x + 20)(x
2
– 4x – 8)
Px xx xx()() () ()
2
8202 23 223
Usaremos el aspa doble
x
4
+ 8x
3
+ 19x
2
+ 14x + 3
19x
2
– (3x
2
+ x
2
) = 15x
2
x
2
x
2
13x
15x
2
35x
Por tanto,
P(x) = (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 5x + 3)
Usaremos un artificio para factorizar:
F(x) = x
5
+ x
2
– x
2
+ x – 1
F(x) = x
2
(x
3
+ 1) – (x
2
– x + 1)
F(x) = x
2
(x + 1)(x
2
– x + 1) – (x
2
– x + 1)
F(x) = (x
2
(x – 1) – 1)(x
2
– x + 1)
F(x) = (x
3
– x
2
– 1)(x
2
– x + 1)
P(a; b) = a
3
b
2
+ ca + a
2
b
3
+ cb
Ordenamos convenientemente:
P(a; b)=a
3
b
2
+ a
2
b
3
+ ca + cb
Extraemos el factor común: a
2
b
2
y c
P(a; b)=a
2
b
2
(a + b) + c(a + b)
Extraemos el factor común: a + b
P(a; b) = (a
2
b
2
+ c)(a + b)
Por lo tanto:
P(a; b) tiene dos factores algebraicos.
T5 Factorizacion.indd 107 28/02/2020 18:22:29

Básico Intermedio Avanzado 108Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Indica la cantidad de factores primos que tiene
la siguiente expresión:
P(x) = x
4
– x
3
– 2x
2
a.
4
b. 3
c. 2
d. 5
2. Calcula la suma de los factores primos lineales
de la siguiente expresión:
Q(x) = x
5
+ 2x
4
– x – 2
a.
3x + 4
b. 3x
c. 2x
d. 3x + 2
3. Determina la suma de los factores algebraicos
de la siguiente expresión:
R(x) = 2x
5
+ 4x
4
+ 3x
3
+ 6x
2
+ x + 2
a.
3x
2
+ x + 4
b. 3x
2
– x – 4
c. 2x
2
+ 2x + 3
d. 4x
2
+ 3x + 1
Nivel intermedio
4.
Calcula la cantidad de factores primos de la si-
guiente expresión:
P(x; y) = x
2
– 4y
2
+ 7x – 2y + 12
a.
1
b. 2
c. 3
d. 4
5. Determina la suma de los factores primos del
siguiente polinomio:
P(x; y) = x
3
+ xy + y
3
+ x
2
y
2
a.
x
2
+ x + y
b. x
2
+ y
2
+ x + y
c. x – y
d. x
2
– y
2
6. Sea el polinomio
H(x; y) = x
4
– 3x
2
y
2
– 4y
4 Halla la secuencia de verdad (V) o falsedad (F)
I. g(x; y) = x + 2y es un factor primo.
II. g(x; y) = x – 2y es un factor primo
III. g(x; y) = x
2
+ y
2
es un factor primo
a. VVV
b. VVF
c. VFV
d. FVV
7. Se desea fabricar una placa metálica que pre-
sente la fórmula de un triángulo rectángulo de
altura A y base L.
Según las especificaciones técnicas, el metal
debe ser acero quirúrgico con un área de:
xxyx y
uy
42 22 2
2
22
2
2

;
Determina A + L.
a. 2x
2
+ y
2
+ 2
b. x – y + 2
c. x
2
+ y
2
+ 2
d. x
2
+ y
2
8. Factoriza: H(x; y) = 4x
4
+ 4xy
2
– y
4
+ 1
e indica el número de factores algebraicos.
a. 4 b. 6 c. 2 d. 1
Nivel avanzado
9.
Factoriza: F(x; y) = 144(x + y)
2
(x – y)
2
– 100x
2
y
2
Calcula el número de factores primos.
a. 3 b. 5 c. 2 d. 4
10. Factoriza y determina el producto de los térmi-
nos independientes de los factores primos:
(x
2
+ x + 1)
2
+ 3x
2
+ 3x – 15
a.
14 b. –14 c. –12 d. 15
Nivel destacado
11. Una ficha técnica necesita las dimensiones de
un monitor para calcular la cantidad de pixeles
de la pantalla.
L
A
En la ficha técnica se menciona el área de la
pantalla: P(x; y) = (x + y)
2
+ (3x + 1) + (3y + 1). Determina las dimensiones de la pantalla si x > y.
a. L = x + y + 2; A = x + y + 1
b. L = x – y + 2; A = x + y + 1
c. L = x
2
- 2 ; A = y
2
+ 1
d. L = x + y + 2; A = x – y + 1
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b d a b b a a c d b a
T5 Factorizacion.indd 108 28/02/2020 18:22:29

B?sico Intermedio Avanzado
Álgebra
Unidad 2 UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
Educación Secundaria
2
109Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Algebra 4to CT Unid2.... 6.-Radicación y racionalización.indd 109 28/02/2020 18:23:04

Básico Intermedio Avanzado 110Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Radicación y racionalización
Recordamos lo aprendido
Radicación
ab ba
n n
,==
Donde: a: radicando; n: índice; b: raíz
Homogenización de radicales
;aa p0
mn mpnp
!=
Transformación de radicales dobles a simples
Propiedad
±±AB
AC AC
22
=
+ -
Donde: CA B
2
=-
Regla practica
±AB xy2 !=
Donde: ;xy AxyB+== , además x > y > 0
Factor racionalizante (FR)
Denominador
irracional
Factor
racionalizante
Denominador
racionalizado
a
nm
a
nnm-
a
ab+ ab- a – b
ab- ab+ a – b
ab
33
+ aa bb
3
2
33
2
- +a + b
ab
33
- aa bb
3
2
33
2
++a – b
2. Racionaliza y reduce la siguiente expresión:
3. P
5
20
125
18
= +
3. Transforma a radicales simples:
942+

4. Calcula el valor de M, en la siguiente expresión:
M1 2227 23=- +

Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Simplifica la siguiente expresión:
Ma b
343
124723
=-

Tenemos:
•
5
20
5
20
5
5
5
20 5
5
20 5
45
2
:== ==
`j
•
125
18
55
18
5
5
55
185
25
185
:
:
== =
Reemplazando:
P
5
20
125
18
45
25
185
25
1005 185
25
1185
= + = +
=
+
=
Tenemos:
9429 2229 28
2
:+ =+ =+
Como:
A = 9 = 1 + 8
B = 8 = 1 × 8
Entonces:
9428 12 21+ =+= +
Ma ba b
Ma b
343
1
343
1
7
1
247233 243 723
82 4
::
::
=- =-
=-
Tenemos:
M1 2227 23=- +
Como:
A = 12 = 9 + 3
B = 27 = 9 × 3
Entonces:
M
M
122273 93 3
9
=- +=- +
=
Algebra 4to CT Unid2.... 6.-Radicación y racionalización.indd 110 28/02/2020 18:23:06

Básico Intermedio Avanzado
?lgebra
Unidad 2 111Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Determina el valor de:
M9 56 12 1402 5=- - ++ +

6. Halla el valor de mn
22
+_i , si:
mn412+ = +
7. Calcula el valor de M, en la siguiente expresión:
M3 34 23=++ +
Nivel avanzado
8. Indica el valor de SS5
24
- , en la expresión:
S13
125
7
13 12
1
+=
-
+
+
9. Racionaliza el denominador de la fracción:
P
mm
m
11
=
+--
Resolvemos por separado:
M9 56 9227 92 14:=- =- =-
Como:
A = 9 = 7 + 2
B = 14 = 7 × 2
9567 2& -= -
De manera análoga:
12 1401 2257 12235:+ = + = +
Como: A = 12 = 7 + 5 B = 35 = 7 × 5
12 1407 5& + =+
Reemplazando los valores en la expresión:
M
M
M
95612140 25
72 75 25
0`
=- - ++ +
= - - + ++
=
`` jj
Transformamos los radicales:
M
M
M
33 4233 33 1
4233 1
31
&
`
=++ + =+++
=+ =+
=+
Racionalizamos por separado:

125
7
12 5
7125
125
7125
7
7125
125
13 12
1
13 12
113 12
13 12
113 12
1
113 12
13 12
22
2 2
&
-
=
-
+
=
-
+
=
+
= +
+
=
-
-
=
-
-
=
-
=-
`
`
`
`
`
`
`
`
`
`
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Reemplazamos los valores en la expresión:
S
S
13 12 51312
1251312135&
+= ++ -
= ++ -- =
Nos piden:
SS
SS
55 55
52 5250
24
24
24
-= -
-= -=
``jj
Racionalizamos:

P
mm mm
mmm
P
m m
mmm
P
mm
mmm
P
mmm
11 11
11
1 1
11
11
11
2
11
2 2
&
&
&
=
+-- ++ -
++ -
=
+--
++ -
=
+-+
++ -
=
++ -
`
`
`
`
`
`
`
`
j
j
j j
j
j
j
j
Por lo tanto:
P
mm
m
mmm
11
2
11
=
+--
=
++ -`j
Transformamos los radicales:
4124 23 31+ =+ =+
Se tiene:
mn
mn
4123 1
31&
+ = +=+
+=+
Nos piden:
mn 31 91 10
22 22
+=+=+=
Algebra 4to CT Unid2.... 6.-Radicación y racionalización.indd 111 28/02/2020 18:23:09

Básico Intermedio Avanzado 112Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Transforma a radicales simples 625+
a. 51+
b. 32+
c. 21+
d. 52+
2. Simplifica la siguiente expresión: 945-
a. 51-
b. 52-
c. 32+
d. 25-
3. Racionaliza la siguiente expresión:
1465
4
+
a. 22-
b. 55+
c. 33+
d. 35-
4. Si x > 1; reduce:
M
xx xx
2
1
2
1
22
=
+ -
+
--
a.
x
2
1+
b. x1
2
-
c. x
d. x1
2
+
5. Determina el valor de:
K
128
8
=
-
a. 12
b. 28 6+
c. 432+`j
d. 2262-`j
Nivel intermedio
6. Determina el denominador después de racio-
nalizar:
7.

53 2
6
+-
8.
a. 2 b. 4 c. 6 d. 8
7. Transforma a radicales simples:
24 322++
8.
a. 22+
b. 13+
c. 32+
d. 33+
8. Si mn1162+ =+, halla el valor de m+ n
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
9. Simplifica la siguiente expresión:
10. M
526
23
=
+
+

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
Nivel avanzado
10.
Transforma a radicales simples: 38743++
a. 42-
b. 43+
c. 23-
d. 35+
11. Simplifica la expresión y halla el valor de A:
A
23
7487 43
=
- ++
a.
3
3
b.
2
23
c.
3
23
d.
3
53
12. Determina el valor de:
M
740
3
13410
3
=
-
+
+
a. 42
b. 32
c. 53
d. 23
13. Calcula el valor de:
S
32
3
52 3
47
16
96
8
=
+
+
-
-
a. 22
b. 32
c. 42
d. 52
Nivel destacado
14. Si:
;mn
2
1
2
1
2
1
2
1
=+ =-
Calcula el valor de Pm
m
n
n
11
=++ +
a. –2 b. –3 c. –4 d. –5
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
a b d a c a a c
9 10 11 12 13 14
b b c b a b
Algebra 4to CT Unid2.... 6.-Radicación y racionalización.indd 112 28/02/2020 18:23:13

?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado Unidad 2 113Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Factorial de un número
Recordamos lo aprendido
Factorial de un número
El factorial de nN! se define como:
n! = 1∙2∙3∙...... (n – 1)∙n
Factorial del cero
0! = 1
Forma de productoria:
!ni
i
n
1
=
=
%
Forma recurrente:
!
!,
,
n
nn n
n
1
1
0
0
2
=
-
=
^h
Z
[
\
]
]]
]
]]
Propiedades del factorial:
a. Si nm022 , entonces n! > m!
b. (n + 1)! + n! = (n+2)∙n!
c. (n + 1)! – n! = n ∙ n!
d. (n + 2)! + (n+1)!+n! = (n+2)
2
∙ n!
e. Para todo n > 1 ; !n
n
2
1
n
1
+
bl
Observación: Se debe tener en cuenta que:
(n!)! ≠ n!!
Para todo n > 2 , con
nN!.
2. Halla el valor de:
!! !
!
A
343
10
##
=
3. Encuentra la suma de M + N
Si:
!!
!! !!
yNM
116
88 910
==
++
Nivel intermedio
4. Calcula:
!
!!
!
!!
!
!!
...
!
!!
M
9
11 10
8
109
7
98
0
21
=
-
+
-
+
-
++
-
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el valor de:
!! !
!!
M
348
105
##
=
+
!! !
!( )
!! (! )
!( )
M
M
348
51098761
34 5678
51098761
##
## ##
## ## #
## ##
=
+
=
+
Simplificamos:
!! ()
M
M
34 678
109876 1
48 384
30241
&
## ##
## ##
=
+
=
Por lo tanto: M ≈ 0,625
Degradamos:
!! !
!( )
A
343
456789 10
##
## ## #
=
Simplificamos:
!!
A
33
567891 0
#
## ## #
=
Como: 3! = 6, 2 × 5 = 10 y 3 × 3 = 9
Entonces:
()()
() ()
A
62 3
5678 33 25
##
## ## ## #
=
Simplificamos y tenemos:
A = 5 × 7 × 8 × (3) × (5)
Por lo tanto: A = 4 200
Entonces calculamos por partes:
!
!
!
!
!
!! !
!
!( )
M
N
N
6
8
6
67 8
78 56
11
8910
11
819109
91011
19 109
91011
100
99
10
##
#
#
##
#
##
== ==
=
++
=
++
=
++
=
=
Por lo tanto: MN 56
99
10
99
5554
+=+ =
Sea la fracción de la forma:
!
!!
!
!
n
nn
n
n n
n
21 1 21
1
2
+-+
=
+ +-
=+
__ _ ^
_
ii i
h
i
Entonces tenemos en M:
...M109 1
6
10 112122 2 ##
= ++ +=
Por lo tanto: M = 385
Algebra 4to CT Unid2.... 7.-CT-Factorial de un número.indd 113 28/02/2020 18:23:15

Básico Intermedio Avanzado 114Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. Halla el valor de n de la siguiente ecuación:
!!
!
() !!
!
n
n
11
2
22
12
# #
+
-
=

6. Encuentra el valor de n que satisfaga la siguiente
ecuación:
()!!
(!)!!
n
n
12 2
44
7800
#
#+
=
Nivel avanzado
7. Calcula el valor de x en:
(! )! !7207 196
!! !!xx1195
:=
8. Calcula el mayor valor de x, en la siguiente ecuación:
!!
!!
!
!
xx
xx
91 1
10 12
14
12
1
++
++
=
-J
L
K
K
K
_
__
_ N
P
O
O
O
i
i
i
i
9. Calcula n en:
()!( )( )!
() () !
() ()!
nn nn n
nn n
n
nn
12 31 2
32 3
1
3511
22
2
##
#
#
-+ -+ -
+-+ -
=
+
+ -
Degradamos la expresión:
() !
()() !
n
nn n
2
22
12
12
#
+
-
--
=
Simplificamos y tenemos:
nn
nn
n
nn
nn
n
2
2
1
12
2
1
10 20 0
54 0
54
2
&&
&
& 0
+
-
=
-
=- -=
- +=
== -
_
_
_
_
i
i
i
i
Por lo tanto:
n = 5
Degradamos la expresión:
()!()!
[( )( )!][() () !]
xx
xx xx
91 1
10 91 21 1
14 13
1
1
#++
++ ++
=
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Simplificamos y tenemos:
() ()
() ()()
xx
xx
xx
x
xx
10 12
14 13
1
182
22120182
22620
2
22 22 4162
2
222183
2
222183
±
1
2
2
2
12
&
&
&
&
#
0
++ ==
++ =
+ -=
=
-- -
=
-+
=
--
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Por lo tanto, el mayor valor de x es:
x
2
222183
=
-+
Primero factorizamos:
nn nn
nn nn
23 12 11
32 12
2
2
-+=- -
-+=- -_
_
_
_
i
i
i
i
Reemplazamos:
()!(() ())( )!
(()( ))() !
() ()!
()!( )( )!()!
() ()!
nn nn n
nn n
n
nn
nn nn nn
n
nn
12 11 2
12 3
1
3511
12 11 1
1
3511
2
&
##
#
#
## #
#
-+ -- -
+-- -
=
+
+ -
-+ -- +-
=
+
+ -
Simplificamos:
()
()
() ()
()
()
nn n
n
n
nn nn
nn nn
nn nn
nn nn nn
21 1
1
351
21 351
3235 1
32 351
35 13 13 17
2
32
32 2
&
&
&
&
&&#
#
+ -+=
+
+
++ =+
++ =+
++ =+
+ -= +-=
Por lo tanto: n = 3
Como: 5! = 120 y 6! = 720
Reemplazando y efectuando:
! !( )720 719720
!!!xx119
120
:=_i
Asociamos:
(! )( !)7207 19720
!! x119 120
& :=
Sabemos que: 719! ∙ 720 = 720!
!( !)
!( !)
!!
7207 20
7207 20
120
!!
!!
x
x
119 120
120
&
&
& #
=
=
=
:
Por lo tanto: x = 120
()!
() !
!
() !
!
!
() !( )!
n
n
n
n
n
n
nn
12 2
24 24
7800
12
2412
7800
12
24
12
7800
650
24 12 25 26
&
&
&
&
#
#
#
##
+
=
+
=
+
==
+ =
^
_
_
i
h
i
Por lo tanto:
el valor de n = 2.
Algebra 4to CT Unid2.... 7.-CT-Factorial de un número.indd 114 28/02/2020 18:23:17

?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado Unidad 2 115Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el valor de n + m.
Si: (n – m)! = (0!)! ; (2m – n)! = 2!
a. 5 b. 7 c. 3 d. 9
2. Halla el valor de «x»:
Si:
!
x
x21
1680
+
=
_i
a. 3 b. 5 c. 7 d. 1
3. Simplifica:
!! !
!! !
A
nn nn
nn nn
12
14 2
:
:
=
++ --
++ +-+_
_
_i
i
i
a. 8 b. 4 c. 8 d. 2
4. Halla el valor de B en la siguiente ecuación:
!! !!nn nn n21 21 16
B
2
:++ ++ -++ =__ _ii i
a. 1 b. 4 c. 0 d. 2
5. Simplifica:
!
!!! !
E
n nn
nnnn
133 3
112
2
##
=
+ ++
++++^
^
_
^^h
h
h
i
h
a. !n2-_i b. !n1-_i c. !n1+_i d. !n
Nivel intermedio
6. Reduce:
!
!
5
120
15
!0
+b _l i
a. 10 b. 16 c. 5 d. 20
7. Simplifica:
!!
!! !
M
mm
mm m
1
21
=
-+
-+-+_
_
_i
i
i
a. m
2
b.
m
m1
2 2
-
c.
m
m
1
2
2
-
d. mm2
2
+
8. Calcula el valor de: A
B
.
Si:
!!
A
60
3
11=-
_i
y B=1225! – 325!
a. 1 b. 5 c. 25 d. 15
9. Encuentra el valor del denominador después
de reducir la siguiente ecuación:
!!
!!
I
54301
75
#
=
+
+
^h
a. 15 b. 12 c. 18 d. 16
Nivel avanzado
10.
Reduce la siguiente expresión:
(!)
(!)
!!
(( !)!)!( )!)
!
m
m
m
6
3
13 5
16
4
×
!
2
1 0
2
#
#
- + -
-
-
a. 1 b. 4 c. 0 d. 9
11. Simplifica:
!! !! !
!! !!
mm m
mm m
31
21
+ -
+ -
_
_
_
_
i
i
i
i
a.
7
5
b.
3
7
c.
3
1
d.
4
3
12. Halla la resta del numerador y el denominador del resultado de simplificar la siguiente expre- sión:
!
!()
!!
!!
!
!! !
5
120
15
54301
75
11
8910
!0
#
+
++
-
++
J
L
K
K
K
^
N
P
O
O
O
h
a. –130 b. –145 c. –139 d. –140
13. Determina el valor de R. Si:
!
!!
!
!!
!
!!
...
!
!!
(! !! !) (!)
R
9
11 10
8
109
7
98
0
21
11 22 33 66 0
12
!1
## ## #g
=
-
+
-
+
-
++
-
++ ++
-
a.
385
419
b.
356
127
c. 71
433
d.
313
573
14. Halla el valor de n en la siguiente ecuación:
!!
!
()!!
! () !
n
n
43
6
12 3
23 1
1681
# #
#
-
-
+
+
=
a. 0 b. 4 c. 1 d. 8
Nivel destacado (UNFV 2017)
15. Si
!!
!
(!!!)
!! !
AB
78
9
23 4
45 6
/
##
=
+
=
++
Calcula: A
B

a. 2 b. 3 c. 1 d. 0
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
b a d c d b c a
9 10 11 12 13 14 15
b c d c a d a
Algebra 4to CT Unid2.... 7.-CT-Factorial de un número.indd 115 28/02/2020 18:23:20

Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Binomio de Newton
Recordamos lo aprendido
Binomio de Newton
Tenemos que para un n entero positivo:
...xy Cx Cx yCxy Cy
n nn nn nn
n
nn
01
1
2
22
++= ++ +
--
_i
Donde se puede expresar de la forma
xy Cx y
xy Cx y1
n
k
n
k
n
nk k
nk
k
n
k
nnk k
0
0
+=
-= -
=
-
=
-
_
__
i
ii
/
/
Propiedades
Número de términos
El número de términos de un binomio de
Newton con exponente entero positivo n es n + 1
Suma de coeficientes
...CC CCcoeficientes
nn n
n
n
01 2 +=+++/
Término general
Si el binomio es de la forma:
xy
tC xy
n
k k
nnk k
1 ::
+
=
+
-
_i
Donde k = 0; 1; 2;…; n
Si el binomio es de la forma:
xy
tC xy1
n
k
k
k
nnk k
1 ::
-
=-
+
-
_
_
i
i
Donde k = 0; 1; 2;…; n
Término central
Cuando el exponente es un número par:
•
Para el binomio de la forma
xy
n
+_i
El término central es
tC xyc
n
n
n
2
2:=_i
• P<> ara el binomio de la forma
xy
n
-_i
El término central es
tC xyc
n
n
n
2
2:=- _i
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Determina el desarrollo del siguiente binomio
xy34
2
5
+_i
2. El grado absoluto del séptimo término en la ex-
presión:
xy
n
3
-_i
es 30. Halla el grado de su término central.
3. ¿Cuál es el término central del siguiente binomio?,
nx y
n
n
2
2
-_i
si la suma de los coeficientes del desarrollo es 6 561.
Tenemos que el desarrollo es de la forma:
xy Cx Cx y
Cx y
Cx y
Cx yC y
xy xx yx y
xy xy
y
34 33 4
34
34
34 4
34 2431 620 4320
5760 3840
1024
2
5
0
5 2
5
1
5 2
51
2
5 2
52 2
3
5 2
53 3
4
5 2
54 4
5
5 5
2
5
10 86 2
43 24
5
&
+ = +
+
+
++
+ = ++
++
+
-
-
-
-
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_i
i
i
i
i
i
i
i i
i
i
i
Calculamos el séptimo término:
tC xy1
n
n
7
6
6
3
6
6
::=-
-
_ _i i
Dado que el grado de dicho término es
igual a 30, tenemos que:
n
n
36 630
14&
-+=
=
_i
Tenemos que el término central será:
tC xyc 7
143
7
:=- _i
Donde el grado absoluto del término cen- tral es 28.
Para poder hallar la suma de los coeficien-
tes tenemos que asignar valores a
x y y
igual a 1,
nn11 3
n
n n2
2 2 8
-= -=_ _i i
Entonces tenemos que n = 4, el término central será:
tC xy tx y41 7920
cc 4
88
4
432
&:=- =-_i
Algebra 4to CT Unid2.... 8.-C.T Binomio de newton.indd 116 28/02/2020 18:23:27

?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 117
Nivel intermedio
4. Calcula el valor de
…( )CC CC 1
nn n n
n
n
01 2-+-+-
5. En el desarrollo del binomio
x3
n
2
-_i
el tercer término es 405x
k
, halla n + k.
6. Indica el término independiente del desarrollo
del binomio
x
x
1
n
3
4
+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Nivel avanzado
7. Determina si existe término central en el desa-
rrollo del siguiente binomio:
a
a
1
n
3
2
+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Si el término de lugar 10 es ma
6
.
8. Sea el binomio
x
x
1
m
2
+bl
Calcula el lugar del término independiente.
9. Halla el equivalente de:
...EC CC nC23 1
nn n
n
n
01 2 +=++++_i
Para el binomio de Newton de la forma
(x – y)
n
; reemplazamos x = 1 e y = 1, con esto
tenemos que:
() …( )CC CC11 1
n nn n n
n
n
01 2-= -+-+-
Luego, se obtiene lo que se quería calcular
…( )CC CC 10
nn n n
n
n
01 2
-+-+-=
Tenemos que el término de lugar 10 es:
tC a
a
ma Ca
a
1
1n
n
n n
91 9
3
9
2
9
6
9
327
18
::
::
=
=+
-
-
J
L
K
K
K
_
N
P
O
O
O
i
De esto tenemos que:
aa
n63 2718
=
--
Entonces: nn327186 17&-- ==
Como n es impar, no posee término central.
Sea el término general del binomio:
tC x
x
tC x
1
k k
m
mk
k
k k
m mk k
1
2
1
22
&
::
:
=
=
+
-
+
--
_ bi l
Para que el término sea el independiente
tenemos que el grado absoluto debe ser
igual a 0, entonces:
mk k
k
m
22 0
3
2
&
-- =
=
Entonces el término independiente se en-
cuentra en el lugar
m
3
2
1+
Reemplazamos a cada combinatoria por
su complemento
...EC CC nC23 1n
n
n
n
n
nn
12 0=++ ++ + --_i
Además, del enunciado tenemos que:
...EC CC nC23 1
nn n
n
n
01 2=++ ++ +_i
Sumando las dos expresiones tenemos que:
...En Cn Cn C
En
En
22 22
22 11
22
nn
n
n
n
n
01
1
&
&
=+ ++ ++ +
=+ +
=+
-
_
_
__
__i
i
ii
ii
Calculamos el tercer término del binomio
tC x
xC x
13
4059
n
n
k n n
21
2
2
2
2
2
2
24
::
:
=-
=+
-
-
_ _i i
Comparando tenemos que:
Cx x4059
n kn
2
24
/==
-
Resolviendo las ecuaciones:
Cn
xx k
45 10
16
nkn
2
24
&
&
==
==
-
Por último, calculamos n+k:
n + k = 10 + 16
Por lo tanto, n + k = 26
Calculamos el término general, el cual es
de la siguiente forma:
tC x
x
tC x
1
k k
n nk
k
kn
nn k
1
4 4
3
1
44 4
:
=
=
+
-
+
-
J
L
K
K
K
_
N
P
O
O
O
i
Sea tk1+ el término independiente del bi-
nomio de Newton, entonces:
4n – 4k = 0 ⟹ n = k
Luego tenemos que el término indepen-
diente es el término n+1, entonces:
tCnn
n
1
4
=+
Algebra 4to CT Unid2.... 8.-C.T Binomio de newton.indd 117 28/02/2020 18:23:29

Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 118
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el término en la posición 21 de la si-
guiente expresión:
x1
3
24
-_i
a. x2015
40
b. x2015
40
c. x2024
60
d. x2012
30
2. Halla el término central cuando x = –1 e y = 1 del
desarrollo de:
xy
2
22
-_i
a. C2
22
b. C10
22
c. C22
22
d. C11
22
3. Calcula la expresión equivalente a
!! !,,,EC CC mnkNn
n
m
m
k
k
1 11
2
2
2
2
!= ++- --
_ aai kk
a. !! !nm k
22
++
b. !! !nm k
22
++
c. !! !nmk
22 2
++
d. !! !nmk++
4. Determina el lugar que ocupa el término inde-
pendiente al desarrollar la expresión
x
x
1
23
4
154
+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
a. 115 b. 110 c. 113 d. 111
Nivel intermedio
5.
Halla el término independiente al desarrollar la
siguiente expresión:
xx
x
1
4
44
+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
a. C10
44
b. C11
44
c. C12
44
d. C13
44
6. Si el término central del desarrollo del siguiente
binomio es de grado 6
x
x
y
3
2
n
2
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
¿Cuál es el exponente de «y» en el término
central?
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
7. Calcula la posición del término independiente al desarrollar la siguiente expresión
;x
x
n
n20
3
2
30
2-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
a. 45 b. 19 c. 24 d. 36
8. Determina el valor de
CC CC24 20
6
1
6
2
6 6
6
6
g++ -+
a. 743 b. 729 c. 343 d. 750
Nivel avanzado
9.
Al expandir el binomio
y
x
x
y
3
3
21
+
J
L
K
K
K
K
K N
P
O
O
O
O
O
se genera el término m(xy)
n
, calcula el lugar
del término.
a. 9 b. 10 c. 11 d. 12
10. Halla t
4
+ t
3
– t
2
del siguiente binomio:
x1
20
+_i
a. xx1801 503
2
- +
b. xx40 2015
2
- +
c. xx1150 160 200
2
- +
d. xx1140 19020
2
+ -
11. Calcula la suma del término independiente con
el término central de la siguiente expresión:
xx
x
14
22
-bl
a. Cx315 14
222
37
-
b. Cx7315
11
22
2
77
-
c. Cx6585
10
22
2
47
-
d. Cx7 005
19
22
2
75
-
12. El siguiente binomio
x
x
3
4
m
+bl
tiene como término central a 864, determina
el lugar de tal término.
a. 2 b. 3 c. 1 d. 0
Nivel destacado
13. Si los coeficientes del primer y último término
del desarrollo del binomio ax ay3
23 4
20
+_i son
iguales (a > 0), calcula el coeficiente del déci-
mo octavo término.
a. 3803
19
:
-
b. 2802
19
:
-
c. 1612
19
:
-
d. 1512
19
:
-
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
c d a c c c b b b d b a a
Algebra 4to CT Unid2.... 8.-C.T Binomio de newton.indd 118 28/02/2020 18:23:33

119?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Números complejos
Recordamos lo aprendido
Potencias de la unidad imaginaria
El resultado de las potencias de la forma i
n
,
con nZ!
+
se reducen a la forma:
i1
4
=
c
i1
42
=-
+
c
ii
41
=
+
c
ii
43
=-
+
c
Álgebra de números complejos Dados los números complejos
za bi
1
=+;
zc di
2
=+ se cumple que
zz ac bdi
12
+=++ +__ii
zz acbd adbci
12
:=- ++_ _i i
z
z
cd
acbd
cd
bcad
i
2
1
22
22
=
+
+
+
+
-
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
zz ac bdi
12
-= -+-__ii
Conjugado de un número complejo
Dado z = a + bi definimos el conjugado de z
como z = a – bi
Propiedades
a. zz zz
12 12
!!=
b. zz zz
12 12
::=
c. ;
z
z
z
z
z0
2
1
2
1
2
!=
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
d. Rezz z2+= _i
e. Imzz iz2-= _i
f. zz=_i
Elementos geométricos de un número
complejo
Sea z = a + bi un número complejo, definimos:
1. Módulo de un número complejo
za b
22
= + zz z
2
:=
2. Argumento de un número complejo
argz tg
a
b
&ii==_i
3. Forma exponencial de un número complejo
coszzez isen
i
ii== +
i
_i
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el valor de la siguiente expresión
...Hi ii ii i
01 23 59 60
+=++ ++ +
2. Determina la forma exponencial de w1 3=+i,
luego representa w en el plano complejo.
3. Reduce la siguiente expresión
E
i
i
1
1
3
3
=
-
-_i
Dado que
ii ii ii11 0
441424 3
++ + =+--=
++ +
cc cc
Entonces tenemos que
ii ii
iiii
ii ii
0
0
0
01 23
45 67
56 57 58 59
h
++ +=
++ +=++ +=
Por último: Hi H00 11
60
&=+=+ =
Primero calculamos el argumento (θ) de w:
°tg
1
3
36 0&ii== =
Ahora, hallamos el valor del módulo:
2== =i13 1 3 13
2
2
++ +`j
Luego, la forma exponencial de w es:
|| ()cosww ei sen26 06 0°°
i60°
== +
^h
Representación gráfica de w

60°
Re1
Im
1+
i3
3
Para reducir la expresión E utilizamos pro-
ductos notables
E
i ii
ii
E
ii
i
E
ii
ii
E
i
i
E
i
i
E
1 1
11
1
1
1
12
11
12 1
2
2
2
2
2
2
2
2
&
&
&
=
- ++
--
=
++
-
=
++
-+
=
+-
--
=
-
=-
^
_
_
__
h
ii
i
i
Algebra 4to CT Unid2.... 9.-C.T numeros complejos.indd 119 28/02/2020 18:23:39

120Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Sean los números complejos
;zi Wi12 2=+ =+
Determina el valor de Mz wz w:= ++
5. Si se cumple que Argz
3
r
=_i , indica el valor de
Argz_i.
6. Dado un número complejo z , si se cumple que:
;Rezz54== ^h
Calcula Arg(z) si este es un ángulo agudo.
Nivel avanzado
7. Calcula el valor de:
Hi
22
13
30
=+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
8. Si za bi
1
=+ y zc di
2
=+, determina el valor de
abcd ad2++ -__ii , si se cumple:
,z
z
z
i25 32
2
1
== +
9. Calcula el valor de |w| , si se cumple que:
w
z
1
= ; z0C!-#-
Calculamos los valores de zyw
zi wi12 2/=- =-
Luego realizando la multiplicación, tene-
mos que
zw ii
i
zw i
12 2
1221 1122
43&
:
:
=+ -
=- -+-+
=+
_
_
^
_
^ _^ ^h
i
h
i
i h hi
Reemplazando en M tenemos que
M = 4 + 3i + 1 – 2i + 2 + i = 7 + 2i
Tenemos que
°°cosii sene
2
1
2
3
60 60
i
3
+ = + =
r
Reemplazando en H:
cos
He e
Hi senH10 10 1
ii
3
30
10
&rr
==
= + =
r
r`j
Del problema tenemos de dato que
zc dc d22 42
22 22
&&= += +=
Además
i
z
z acbd bc ad
i53
442
1
+==
+
+
-
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Por igualdad de números complejos:
acbd bc ad
acbd bc ad
4
5
4
3
20 12
/
/
+
=
-
=
+ =- =
Sumando ambas expresiones, se tiene:
acbd bc ad
abcd ad
32
23 2
++ -=
++ -=__ii
Notemos que:
zz
z
z
z
z11
2
:==
Si definimos z = a + bi , tenemos que
w
z
z
z
a
z
b
i
22 2
== +
Aplicando modulo a w:
w
z
z
z
ab
z
z
z z
11
2 4
22
4
2
2
==
+
== =
Sea z = a + bi, entonces por el dato:
tg
a
b
a
b
3
3&
r
==
za bi&=-
DefinimosArgz i=_i , entonces
tg
a
b
tg 3&ii=
-
=-
De esto se tiene que
3
2
3
5
0i
rr
=
Como z se encuentra en el primer cua-
drante, por lo tanto, Argz
3
5r
=_i
Sea: z = a + bi.
Luego, del dato tenemos que
Reza44&==_i
Además
za b
bb
bb b
55
45 16 25
93 3
22
22 2
2
&
&
& 0
= +=
+= +=
== =-
Entonces z = 4 + 3i
Si Argzi= _i y por dato del problema
°90<i, entonces si
°tg
4
3
37&ii==
Algebra 4to CT Unid2.... 9.-C.T numeros complejos.indd 120 28/02/2020 18:23:43

121?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dados dos números complejos de la forma
.yza bizc di
12
=+ =+ Determina el valor de
verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
I. Para z
1
se cumple que tg
b
a
i= , donde θ es
el argumento de z
1
II.
Re Imzz z
11 1
=-__ii
III. Si z1
2
=, entonces
z
z
acbd bc adi
2
1
= ++ -_ _i i
IV. zz22=
a. FFVV b. FVFV c. FFFF d. FVVV
2. Calcula el valor de la siguiente expresión
Hi ii ii i
01 23 59 60
g=- +-+-+
a. 1 b. i c. –1 d. 0
3. Determina la forma exponencial de z = 1 – i.
a. cosi sen2
4
7
4
7rr
+bl
b. cosi sen2
4
5
4
5rr
+bl
c. cosi sen2
4
7
4
7rr
+bl
d. cos isen2
4
5
4
5rr
+bl
4. Calcula el valor de 2E
E
i
i
1
1
1
1
=+
+
a. 3 – i a. 2 – i a. 1 – i a. i
Nivel intermedio
5.
Calcula el valor de:
Hi
5
3
5
4
60
=+bl
a. i
2
1
2
3
+
b. i
2
1
2
3
-
c. i
2
1
2
3
--
d. i
2
1
2
3
-+
6. Si se cumple que Argz
5
r
=_i , determina el
valor de Argz-_i
a.
5
6r
b.
5
4r
c.
10
13r
d.
10
17r
7. Dados x ; y R! de modo que
xi iy i23 3
2
++ =-
-
_i
Determina el valor de x – y
a. 4 b. 8 c. 9 d. 3
8. Determina la forma exponencial de z, si se cum-
ple lo siguiente
;ReI mzz zz50 10:/ 2== __ii
a. (° °)cosi sen50 74 74+
b. (° °)cosi sen50 75 75+
c. (° °)cosi sen50 15 15+
d. (° °)cosi sen50 16 16+
Nivel avanzado
9. Si el área de la región sombreada es igual a 10 y
además Im Imzw 8+ =__ii , calcula el valor de
wz
22
-
Im
Re
5
z
w
a. 32 b. 6 + 3i c. 3 – 6i d. 3 + 6i
10. Si

z
i
1
2=-
Calcula el valor de z, si z3=
a. 6 – 3i b. 6 + 3i c. 3 – 6i d. 3 + 6i
11. Si se cumple que
Argz i1
3
r
+=_i8B
Determina el valor de
Im
Re
z
z
_
^h
i

a. 33+ b. 32- c. 33- d. 32+
Nivel destacado
12. Sean ,zz C
12
! si se cumple quez1
2
=, calcula
el valor de
Re
M
zz
zz
2
1
22
12
2
=
+`
_
j
i
a. z2 b. z1 c. z1 d. z2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a d a a b a b a a b d b
Algebra 4to CT Unid2.... 9.-C.T numeros complejos.indd 121 28/02/2020 18:23:48

Básico Intermedio Avanzado 122Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Recordamos lo aprendido
Ecuación lineal
Forma general:
P(x) = ax + b = 0, a ≠ 0
Su conjunto solución está dado por:
=.CS
a
b
-'1
Ecuación cuadrática Forma general:
ax
2
+ bx + c = 0, a ≠ 0
Una ecuación cuadrática se puede resolver
mediante:
1. Factorización
ax
2
+ bx + c = (x – x
1
)(x – x
2
)
2. Fórmula general
x
bb ac
a
12
2
4
2
;
=
−± −
En ambos casos, su conjunto solución está
dado por:

C.S = {x
1
, x
2
}
Estudio de las raíces
Sea ∆ = b
2
– 4ac el discriminante de la
ecuación:
•
Si ∆ > 0; las raíces son reales y diferentes.
• Si ∆ = 0; las raíces son reales e iguales.
• Si ∆ < 0; las raíces son complejas conjugadas.
Teorema de Cardano–Viete
En la ecuación ax
2
+ bx + c = 0 , a ≠ 0 de raí-
ces x
1
y x
2
, se cumple:
•
Suma de raíces: x
1
+ x
2
= -
b
a
• Producto de raíces: x
1
∙ x
2
=
c
a
• (x
1
+ x
2
)
2
– (x
1
– x
2
)
2
= 4x
1
x
2
Recuerda:
• x
1
y x
2
son simétricas ⇔ x
1
+ x
2
= 0
• x
1
y x
2
son recíprocas ⇔ x
1
x
2
= 1
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Resuelve:
+
−=
−
+
1
x1
4
x3
x1
Homogenizamos las fracciones:
()
+
−
+
+
=
−
+
1
x1
4x1
x1
x3
x1
Sea x ≠ – 1, entonces:
1 – 4x – 4 = x – 3
∴ 0 = 5x
∴ x = 0
2. Determina el conjunto solución de
x
2
+ 18x + 32 = 0
usando la fórmula general.
Tomamos a = 1, b = 18, c = 32 Luego:
x
12
2
18 18 4132
21
;
=
−± −
()
()
()
⇒ x
1
= –16, x
2
= –2
∴ C.S = {–16; –2}
3. Si las ecuaciones
• 2x
2
+ bx + 9 = 0
• 3x
2
+ 5x + p = 0
son equivalentes, calcula el valor de bp.
Por propiedad:
2
35
9
==
b
p
•

2
35
10
3
∆∙ ∆
b
b
•

2
3
92 7
2
∆∙ ∆
p
p
Por lo tanto:
bp
3
10
2
27
45#==
10 ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 122 28/02/2020 18:23:50

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
?lgebra 123Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Si x
1
y x
2
son raíces de la ecuación 3x
2
+ 2x – 5 = 0,
halla el valor de (x
1
+ 1) (x
2
+ 1).

Como x
1
y x
2
son raíces de la ecuación,
entonces:
xx
xx
12
12
2
3
5
3
+= −
=
−













Luego:
(x
1
– 1) (x
2
– 1) = x
1
x
2
– x
1
– x
2
+ 1
Reemplazando:
xx11
3
5
3
2
1012-- =
-
-- +=^^ ahh k
5. Al resolver las ecuaciones
x
a
x
xa x
+=
−=






  
2
3
14
536
donde a ∈ Z
+
– {5}, se observa que tienen el
mismo conjunto solución. Calcula el valor de 5
a
.

En la primera ecuación:
a
xx
a
xax
3
2
14
3
32
14&+=
+
=
⇒+ =⇒ =
+
32 42
42
32
xaxa x
a
a
En la segunda ecuación:
5x – 36 = ax ⇒ x (5–a) = 36
x
a5
36
&=
-
Igualando las soluciones:
36
5
42
32
2
9
7−
=
+
⇒= ∨=
a
a
a
aa
∴5
2
= 25
6. Si la ecuación 2x
2
+ 5x – 7=0 tiene como raíces
x
1
y x
2
.
Halla el valor de +
1
x
1
x
12
.

Como x
1
y x
2
son raíces de la ecuación,
entonces:
xx xx
12 12
5
2
7
2
+= −∧ =
−
Luego:
+=
+
=
−
−
=
1
x
1
x
xx
xx
5
2
7
2
5
7
12
12
12
Nivel avanzado
7. Halla el valor de +b19
a
si la ecuación cuadrá-
tica 243x
2
– (a
b
– 64) x + b
5
= 0; a, b ∈ R
+
tiene
raíces simétricas y recíprocas.

Sean x
1
y x
2
las raíces de la ecuación,
entonces:
xx
a
xx
b
b
12 12
5
64
2432 43
+= −
−−()
∧=
Luego, por ser simétricas y recíprocas:
()
−
−−
=∧ =
a64
243
0
b
243
1
b
5
⇒
a
b
=64 ∧ b
5
= 243
⇒ a=4 ∧ b = 3
Por lo tanto:
+= += =b193 19 10010
a4
8. En la ecuación cuadrática mx
2
+ nx + p = 0 de
raíces a y b, se cumple:
b
a
a
b
2
1
1
+=
-
ak
Indica la relación que existe entre m, n y p para
que se cumpla dicha condición.

Tomemos a, b ≠ 0
De la condición:
+
=
ab
ab
2
22
⇒ a
2
+ b
2
= 2ab
⇒ a
2
+ b
2
– 2ab = 0
⇒ (a – b)
2
= 0
⇒ a = b
Tenemos dos raíces iguales. Luego, por el estudio de las raíces, ∆ = 0:
⇒
n
2
– 4mp = 0
⇒ n
2
= 4mp
Por lo tanto, para que se cumpla dicha condición:
n
2
= 4mp.
10 ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 123 28/02/2020 18:23:52

Básico Intermedio Avanzado 124Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Resuelve y halla el valor de «x»:
1
1
5
1
1
21xx x+
+
−
=
−()
a. –1 c.
8
7
b.
7
11
d. -
7
11
2. Calcula la suma de las raíces de la siguiente
ecuación:
x
2
+ 5x + (5n
3
– 7p
5
)
12
= 0
a.
p + n
b. 5n
3
– 7p
5
c. 5
d. –5
3. Dada las ecuaciones equivalentes:
mx
2
+ 9x + 10 = 0
4x
2
+ mx + n = 0
Calcula el valor de mn.
a. –6
b. 40
c. 36
d. 49
Nivel intermedio
4.
Indica un valor de x:
xx x
xx
1
40
37 9
84
2f++++++
=- +
^^ ^hh h
a. –12
b. 12
c. 3
d. 9
5. Desarrolla la ecuación:
35
23 8
5
41
2
x
xx x
+
++
=
+
Luego, indica la suma de sus raíces.
a.
--4286
c. –4
b.
−+4286
d. 4
6. Determina la ecuación cuadrática de raíces:
=+ =−x5 32,x 532
12
a. x
2
– 10x + 7 c. xx
2
62 10∆∙
b. xx
2
1062∆∙ d. x
2
+ 10x + 7
Nivel avanzado
7.
Dada la ecuación:
x
2
+ 12x – m
3
+ 11, m ∈ R
Indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Si m = 0, entonces existe una única solu-
ción para dicha ecuación.
II. Si m > 0, tiene raíces reales distintas.
III. Si m < –10, tiene raíces no reales.
IV. La suma de las raíces de la ecuación es –11.
a. VVVF
b. VFVV
c. FVFV
d. FVVF
8. Teresa le dice a Manuel: «Dentro de m años, tú edad será igual a mi edad actual». A lo que Ma- nuel le responde: «Claro, siempre y cuando m sea la diferencia entre la mayor y menor raíz de la ecuación (2x – 45)
2
= (x – 21)
2
». ¿Cuántos años
se llevan Teresa y Manuel?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
9. Indica cuál de las ecuaciones cuadráticas mos-
tradas tienen como raíces a la suma y al produc-
to de las raíces de la ecuación x
2
+ 7x – 9 = 0.
a. x
2
+ 16x + 63 = 0
b. 2x
2
+ 32x + 126 = 2
c. x
2
– 63x + 16 = 0
d. x
2
+ 16x + 36 = 0
10. Si la ecuación 27 0
22
xp px−+ += tiene solu-
ción única, indica un valor de:
−
+
pp
p17
2
a.
7
8
b. 8 c. 7 d.
8
7
Nivel destacado
11. Determina el conjunto solución de la ecuación lineal P(a) = 3 si:
P(a) =

−
+
+
−
+
+
−
+
ax
yz
ay
xz
az
xy
12. Considera {x; y; z} ⊂ ℝ
+
.
a. c. xy + yz + xz
b. 1 d. x + y + z
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d d b b c a d c a b d
++
1
xy z
10 ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.indd 124 28/02/2020 18:23:54

B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3
Álgebra UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
3
Educación Secundaria
125Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
11.-CT-Ecuación Bicuadrada.indd 125 28/02/2020 18:24:33

126Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ecuación bicuadrada
Recordamos lo aprendido
La ecuación bicuadrada de la forma:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0
Las raíces son:
;
;
x
a
bb ac
x
a
bb ac
x
a
bb ac
x
a
bb ac
2
4
2
4
2
4
2
4
1
2
2
2
3
2
4
2=
-+ -
=-
-+ -
=
-- -
=-
-- -
Propiedades de las raíces de una ecuación
bicuadrada:
a. Suma de raíces: xx xx 012 34++ +=
b. P<> roducto: xx xx
a
c
12 34:: :=
c. P<> roducto binario: xx xx
a
b
12 34::+ =
d. P<> roducto ternario:
xx xx xx xx xx xx 012 31 24 13 42 34:: :: :: ::++ + =
e. L<> a suma de las inversas:
xx xx
11 11
0
12 34
++ +=
Raíces simétricas Dos raíces de una ecuación polinomial se lla-
man simétricas si son: α; –α .
Forma de la ecuación bicuadrada, respecto a
sus raíces.
Sean α ; β raíces no simétricas de una ecuación bi-
cuadrada, la forma de la ecuación bicuadrada es
xx 0
42 22 22
:αβ αβ-++ =`j
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Si x
1
= 2 y x
2
= –1 son raíces de
x
4
– mx
2
+ n = 0
Halla: m – n (UNI 2012 - I)
Tenemos la ecuación de la forma
x
4
– (α
2
+ β
2
) x
2
+ α
2
∙ β
2
= 0
Donde α y β son raices con α ≠ ± β Sea α = 2, β = –1 tenemos que la ecuación
bicuadrada es:
x
4
– (2
2
+ (–1)
2
)x
2
+ 2
2
∙ (–1)
2
= 0
& x
4
– 5x
2
+ 4 = 0
Entonces m = 5 y n = 4 , por lo tanto: m – n = 1
2. Calcula las soluciones de la siguiente ecuación
bicuadrada
x
4
– 7x
2
+ 12 = 0
Resolviendo por el método de aspa simple
tenemos que:
x
4
–7x
2
+12=0
x
2
–3
x
2
–4
Entonces tenemos que:
(x
2
– 3)(x
2
– 4) = 0
x
2
– 3 = 0 ∨ x
2
– 4 = 0
x
2
= 3 ∨ x
2
= 4
(x=
3 ∨ x = – 3) ∨ (x = 2 ∨ x = –2)
De esto tenemos que las soluciones son:
–2; – 3; 2; 3
3. Formula la ecuación bicuadrada si se tiene que θ, β son raices de la ecuación tal que β
+ θ = 8 y βθ = –4.
Elevando al cuadrado la suma de raíces
tenemos que:
(β + θ)
2
= 8
2
& β
2
+ 2βθ + θ
2
= 64
& β
2
+ θ
2
= 72
Además, tenemos que:
βθ=–4
& β
2
θ
2
= 16
Entonces la ecuación bicuadrada es de la forma:
x
4
– 72x
2
+ 16 = 0
4. Forma la ecuación bicuadrada si dos de sus raíces son 5; –2.
Tenemos la ecuación de la forma:
x
4
– (α
2
+ β
2
) x
2
+α
2
β
2
= 0
Donde α y β son raices con α ≠ ± β
Sea α = 5, β = –2 tenemos que la ecuación
bicuadrada es:
x
4
– (5
2
+ (–2)
2
)x
2
+ 5
2
(–2)
2
= 0
& x
4
– (25 + 4)x
2
+ (25)(4) = 0
Por lo tanto:
x
4
– 29x
2
+ 100 = 0
11.-CT-Ecuación Bicuadrada.indd 126 28/02/2020 18:24:34

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra 127Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Determina el valor de α de manera que:
x
4
– 2(α – 1) x
2
+ α
2
+ 5α – 6 = 0
Admita solo dos raíces reales.
Si solo admite dos raíces reales entonces
la ecuación bicuadrada es de la forma:
(x
2
– b)
2
= 0
Donde b y – b son las raíces.
Entonces tenemos que:
–2b = –2(α – 1) y b
2
= α
2
+ 5α – 6
De esto tenemos que:
(α – 1)
2
= α
2
+ 5α – 6
& α
2
–2α+1 = α
2
+ 5α – 6
Por lo tanto: α = 1
6. El cociente de dos raíces de una ecuación bi-
cuadrada es 5, si una de las raíces es k, formula
las posibles ecuaciones bicuadradas.

1° caso: si las raíces son k; 5k
& x
4
– (k
2
+ (5k)
2
)x
2
+ k
2
(5k)
2
= 0
& x
4
– 26k
2
x
2
+ 25k
4
= 0
2° caso: si las raíces son k;
k
5

& x
4
–
k
k
2
2
5
∙
β
≠
θ

β
≠
θ
θ

x
2
+ k
2
∙
k
5
2
∙
β
≠
θ

= 0
& x
4
–
26
25
k
2
x
2
+
1
25
k
4
= 0
& 25x
4
– 26k
2
x
2
+ k
4
= 07. Una raíz de la ecuación x
4
+ mx
2
– 2(m + 2) es
el triple de la otra raíz, encuentra los posibles
valores de m. (UNI 2015 – II)
Sean las raíces α; β , tales que α ≠ ± β , del
problema tenemos que si α = k, entonces
β = 3k, con esto tenemos que:
k
2
+ (3k)
2
= –m ∧ k
2
(3k)
2
= –2(m + 2)
De la primera ecuación tenemos que:
k
2
=
−
m
10
Reemplazando en la segunda ecuación se
tiene que:
9∙
β
≠
θ

m
10
2
= –2(m + 2) & 9m
2
+ 200m + 400 = 0
&(9m + 20)(m + 20) = 0
Los posibles valores de m son:
−
20
9
y –20
8. Sea α; β dos raíces de la ecuación bicuadrada:
5x
4
+ 3x
2
+ 5 = 0
Donde α ≠ ±β ,
calcula el valor de α
6
+ β
6
Tenemos la ecuación equivalente:
x
4
+
3
5
x
2
+ 1 = 0
De la ecuación bicuadrada tenemos que:
α
2
+ β
2
= –
3
5
∧ α
2
β
2
= 1
Tenemos que:
(α
2
+β
2
)
3
=
∙
β
≠
θ

3
5
3
& α
6
+ 3α
2
β
2
(α
2
+ β
2
) + β
6
= –
27
125
Por lo tanto:
α
6
+ β
6
=
198
125
9. Encuentra el conjunto solución de la ecuación:
x
8
– 257x
4
+ 256 = 0 (UNI 2013–II)
Factorizando la ecuación tenemos que:
(x
4
– 256)(x
4
– 1) = 0
x
4
– 256 = 0 ∨ x
4
– 1 = 0
De la primera ecuación tenemos que:
(x
2
– 16)(x
2
+ 16) = 0
De esto tenemos que las raíces son: – 4; 4; 4i; – 4i
De la segunda ecuación tenemos que:
(x
2
– 1)(x
2
+ 1) = 0
De esto tenemos que las raíces son: –1; 1; –i; i
Por lo tanto, el conjunto solución será:
C.S = {–4; 4; 4i; –4i; –1; 1; –i; i}
10. Halla el valor de k. Si la ecuación:
x
4
– (3k – 2)x
2
+ (k – 2)
2
= 0
Hay dos raíces negativas distintas que suman – 6.
Sean α; β raices de la ecuación, entonces:
α
2
+ β
2
= 3k – 2 ∧ α
2
β
2
=(k – 2)
2
∧ α + β = –6
Tenemos que:
(α + β)
2
= (–6)
2
& α
2
+ β
2
+ 2αβ = 36
Reemplazamos y tenemos que:
3k – 2 + k – 2 = 36
Por lo tanto:
k = 10
11.-CT-Ecuación Bicuadrada.indd 127 28/02/2020 18:24:36

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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
11. Encuentra la suma de los valores de m si la
ecuación:
x
4
– (m – 2)x
2
+ (m – 1) = 0
Tiene dos raíces distintas y suman 4.
Sean α; β raices de la ecuación, entonces:
α
2
+ β
2
= m – 2 ∧ α
2
β
2
= m – 1 ∧ α + β = 4
Tenemos que:
(α+β)
2
= (4)
2
& α
2
+ β
2
+ 2αβ = 16
Reemplazamos y tenemos que:
m – 2 + 2
m−1 = 16 & 21
2
m∙β≠ = (18 – m)
2
& 3m
2
+ 28m – 320 = 0
Entonces la suma de los valores de m es −
28
3
.
12. Determina una ecuación bicuadrada en «x»
sabiendo que sus raíces son las raíces de la
ecuación:
z
2
– 3z – 5 = 0
Sean α; β raíces de la ecuación z
2
– 3z – 5 = 0,
entonces:
α + β = 3 ; αβ = –5
De esto tenemos que:
(α + β)
2
= 3
2
& α
2
+ 2αβ + β
2
= 9
& α
2
– 10 + β
2
=9 & α
2
+ β
2
= 19
Además: (αβ)
2
= (–5)
2
= 25
Tenemos la ecuación de la forma:
x
4
– (α
2
+ β
2
) x
2
+ α
2
β
2
= 0
Entonces la ecuación con las raíces α, β será:
x
4
– 19x
2
+ 25 = 0
13. Encuentra una ecuación bicuadrada en «x» sa- biendo que sus raíces son las raíces de la ecuación:
3z
2
– 3z – 3 = 0
Sean α, β raíces de la ecuación 3z
2
– 3z – 3 = 0,
entonces:
α + β = 1 ; αβ= –1
De esto tenemos que:
(α + β)
2
= 1
2
& α
2
+ 2αβ + β
2
= 1
&α
2
– 2+ β
2
= 1 & α
2
+ β
2
= 3
Además: (αβ)
2
= (–1)
2
= 1
Entonces la ecuación con las raíces α , β será:
x
4
– 3x
2
+ 1 = 0
14. Sea la ecuación bicuadrada:
23x
4
– 52x
2
+ 1 = 0Halla el valor de:
11 11
1
2
2
2
3
2
4
2
x
xxx
+++
Donde x
1
; x
2
; x
3
; x
4
son las raíces.
Elevamos al cuadrado las inversas de las
raices, entonces:
()0
11 11
2
1
2
2
2
3
2
4
2
αβ ββ
xx
xx
∙
∙∙ ∙∙ ∙β
≠
θ

2
12 13 14 23 24 34
12 34
xx xx xx xx xx xx
xxxx
αβ ≠≠≠ ≠
θ

0
11 11
2
52
23
1
23
1
2
2
2
3
2
4
2
xxxx
&
11 11
104
1
2
2
2
3
2
4
2
xxxx
∙∙αβ
15. Si la suma de las dos raíces positivas de la ecua-
ción: 4x
4
– (4m + 1) x
2
+m = 0 es 1 +
1
p
y
(2p – 3) x
2
– (4p + 1)x + 5p + 8 = 0 tiene como
producto de sus raices igual al doble de su
suma.
Halla p + m.
En la ecuación cuadrática:
(2p – 3) x
2
– (4p + 1)x + 5p + 8 = 0
cuyas raíces son a; b, tenemos que:
a + b =
41
23
p
p
∙
β
& a∙b =
58
23
p
p
∙
β
Del enunciado tenemos:
2
41
23
p
p
∙
β
≠
θ

=
58
23
p
p
∙
β
& 8p + 2 = 5p + 8
&p = 2
Sean las raíces α ; β de la ecuación bicuadrada:
x
m
x
m
4241
44
0∙
β
β≠
()
tenemos que:
(α+β)
2
= α
2
+ 2αβ + β
2
& (1,5)
2
= m + 0,25 + 2
025,m
& 2 = m + 2025,m & m = 1
Por lo tanto:
p + m = 3
11.-CT-Ecuación Bicuadrada.indd 128 28/02/2020 18:24:37

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra 129Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Determina la ecuación bicuadrada cuyas raí-
ces son: 3; –5.
a. x
4
– 15x
2
– 2 = 0
b. x
4
– 35x
2
+ 15 = 0
c. x
4
– 2x
2
– 15 = 0
d. x
4
– 34x
2
+ 225 = 0
2. Si x
1
= 3 y x
2
= 9 son raíces de:
x
4
– ax
2
+ b = 0. Halla
a
b
.
a.
10
81
b.
1
9
c.
10
49
d.
9
121
3. Determina las raíces de la siguiente ecuación
bicuadrada:
x
4
– 13x
2
+ 36 = 0
a.
±12; ±3
b. ±4; ±9
c. ±2; ±3
d. ±1; ±6
4. Formula la ecuación bicuadrada cuyas raíces
son: 6y – 2.
a. x
4
– 12x
2
+ 4 = 0
b. x
4
– 40x
2
+ 144 = 0
c. x
4
+ 4x
2
– 12 = 0
d. x
4
– 10x
2
+ 121 = 0
5. El producto de dos raíces de la ecuación:
x
4
– (k
2
+ 1) x
2
+ (k + 3) es 7,
calcula el valor de k.
a. 41 b. 36 c. 42 d. 46
Nivel intermedio
6.
El cociente de dos raíces de una ecuación
bicuadrada es 6, si una de las raíces es 4. En-
cuentra una de las posibles ecuaciones bicua- dradas
a.
x
4
– 592x
4
+ 36
b. x
4
– 592x
2
+ 1 536 = 0
c. x
4
– 592x
4
+ 64
d. x
4
– 592x
2
+ 256 = 0
7. Halla el valor de k para que la ecuación bicua-
drada:
4x
4
– (3k – 2) x
2
+ 9 = 0
Tenga 2 soluciones.
a.
−
1
2
b.
1
3
c. −
1
3
d.
1
2
8. Sea α; β dos raíces de la ecuación bicuadrada
x
4
+ 23x
2
– 15 = 0
Donde α ≠ ± β ,
calcula el valor de α
4
+ β
4
a. 559 b. 256 c. 560 d. 651
9. Sea α ; β dos raíces de la ecuación bicuadrada:
5x
4
+ 3x
2
– 15 = 0
Donde α ≠ ± β ,
calcula el valor de α
8
+ β
8
.
a.
14026
625
b.
14031
625
c.
4536
25
d.
625
753
Nivel avanzado
10. Formula la ecuación bicuadrada si se tiene
que α; β son raices de la ecuación tal que
α
3
+ β
3
= 15 y α + β = 3.
a.
9x
4
– 57x
2
+ 16 = 0
b. 3x
4
– 57x
2
+ 19 = 0
c. x
4
– 57x
2
+ 10 = 0
d. 7x
4
– 5x
2
+ 12 = 0
11. Calcula la ecuación bicuadrada en «x» sabien- do que sus raíces son las raíces de la ecuación
13z
2
– z – 7 = 0
a.
16x
4
– 18x
2
+ 9 = 0
b. 69x
4
– 180x
2
+ 49 = 0
c. 9x
4
– 13x
2
+ 49 = 0
d. 169x
4
– 183x
2
+ 49 = 0
12. La suma de dos raíces de la ecuación:
x
4
–
k
2
1∙β≠ x
2
+ (k
2
+ 1) = 0
es 6, calcula la suma de los valores de k.
a. 1 b. 0 c. 143 d. 143
Nivel destacado
13. Encuentra a
b()
−
−
−
1
1
2
5
de una ecuación bicuadrada
de la forma:
x
4
+ ax
2
+ b = 0
Si se sabe que sus raíces son las raíces de la ecuación:
w
2
–
7
6
w +
1
3
= 0
a.
5
6
b.
3
2
c.
7
5
d.
5
3
Respuesta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
d a c b d b c a b a d b a
11.-CT-Ecuación Bicuadrada.indd 129 28/02/2020 18:24:39

130Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Matrices y determinante
Recordamos lo aprendido
Matriz:
Una matriz A de m filas y n columnas es de la
forma:
...
...
...
A
aa a
aa a
aa a n
n
mm mn
11 12 1
21 22 2
12
h
hhh
=
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
V
X
W
W W W W W W W W W W W
W
Cuya forma abreviada es: Aa ij
mn
=
#
7A
Orden de una matriz
Es aquel valor que se obtiene del producto del
número de filas y columnas de una matriz.
Igualdad de matrices
Dadas las matrices Aa Bbij
mn
ij
mn
/==
##
77AA
se cumple:
;,AB ab ijij ij, 6==
Operaciones con matrices
Dadas las matrices Aa Bb ij
mn
ij
mn
/==
##
77AA
se pueden efectuar las siguientes operaciones:
Suma de matrices:
;AB CdondeCc ij
mn
-= =
#
7A
Donde se cumple que:
ca b
ij ij ij
=-
Diferencia de matrices:
;AB CdondeCc ij
mn
-= =
#
7A
Donde se cumple que:
ca b
ij ij ij
=-
Determinante de una matriz
Es una operación que se aplica a las matrices
cuadradas. Para una matriz A, su determinante
se denota como |A| o det (A).
Determinante de una matriz de orden 1 × 1
SiAa Aa
11 11(==7A
Determinante de una matriz de orden 2 × 2
SiA
a
a
a
a
Aa aa a
11
22
11 22 21( ::== -
12
21
12
R
T
S
S
S
S
S
V
X
W
W W W
W
Determinante de una matriz de orden 3 × 3
Se emplea la regla de Sarrus.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Dadas las matrices:
ABn
m
m
S
V
X
W

n
mS
V
X
W

34 0
12 11
10 5
39 7
;
Calcula el valor de A + B y A – B.
• ABnm
S
S
V
X
W

n
SV
X
W

34 0
12 11
10 5
39 7
ABnm
SS nn
nn SR
V
X
W

31 40
05
13 29 117
& A + B =
24 5
4114
n
n
m
S
V
X
W

•
ABnm
n
n
S V
X
W

n
nS V
X
W

34 0
12 11
10 5
39 7
ABnm
nn nn n
nn nn
S V
X
W

31 40
05
13 29 117
()
& ABnm
nn
nn n
S
V
X
W

445
27 18
2. Si tenemos las siguientes matrices:
MNn
m
m
S
V
X
X
W

n
m
S
V
X
W

01
35
43
27
11
;
Determina el valor de MN.
MNn
m
m
S
V
X
X
W

m
S
V
X
W

01
35
43
27
11
MNn
TSST S
ST SS m
m
02 11 07 11
3251 3751
423
()()() ()()()
()()() ()()
()(SST
V
X
W
W
W

14 731)(
)()
MNn
m
mm
S
V
X
X
W

11
11 16
53 1
12.-Matrices y determinantes_CT_4°SEC.indd 130 28/02/2020 18:26:24

131Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
3. Considerando las siguientes matrices:
A
ab d
ca b
B&

&

2
34
11 18
2835
;
Si A = B.
Calcula el valor de a + b + c + d.
Por dato:
ab d
ca b
&

2
34
11 18
2835
Entonces:
a – b = 11; 2d = 18; 3c + 4 = 28; a + b = 35
& d = 9; c = 8
Además, tenemos que: a = 11 +b
Como a +b = 35 & 11 + b + b = 35
& b = 12
Luego a = 11 + 12 & a = 23
Finalmente
a + b + c + d = 23 + 12 + 8 + 9 = 52
4. Dadas las matrices:
AB CI&

&

&

74
31 1
08
52
22
;;
Halla el resultado de 2A – 5B + 3C
• 2A = 2
74
311
148
622
&

&

•
5B = 5
08
52
04 0
25 10&

&

•
3C = 3I
2×2
= 3
10
01
30
03
&

&

Luego :
2A – 5B + 3C =
&

&
&

148
622
04 0
2510
30
03
2A – 5B + 3C =
& &
& &&

1403 8400
6250 22103()
2A – 5B + 3C =
&&
&

11 32
19 35
Nivel avanzado
5. Dada la matriz A =
x x
2
2
1
&

, donde |A| = 48
Halla la suma de valores que puede tomar «x».
A
x
x
xx&

2
2
2
1
2
Por dato |A| = 48
& x
2
– 2x = 48
x
2
– 2x – 48 = 0
Aplicando aspa simple, se tiene que:
(x – 8)(x + 6) = 0
Entonces:
x = 8 ∨ x = –6
Nos piden:
8 + (–6) = 2
6. Sea P una matriz nula, donde,
P
xa b
cy d
ek z
&

52
96
1
2
6
log
Calcula (x + y)
z

Como la matriz P es nula, entonces todos
los elementos de la matriz son ceros.
Entonces:
x – 5 = 0; y + 9 = 0; z – 1 = 0
& x = 5; y = –9; z = 1
Nos piden
(x + y)
z
= (5 – 9)
1
(x + y)
z
=(–4)
1
= –4
7. Dada la matriz
A&

9108 42
27 12 5
2507 40
Determina el valor de:
M =
a
a
3123
– a
33
+ a
12
+ a
32
2
&
Por dato:
a
31
= 250; a
23
= –5; a
33
= 40;
a
12
= 108; a
32
= 7
Luego:
M=
250
5−
– 40 + 108 + 7
2
M = –50 – 40 + 108 + 49 = –90 + 157
& M = 67
12.-Matrices y determinantes_CT_4°SEC.indd 131 28/02/2020 18:26:41

132Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dada las matrices:
AB

80
11
79
21
30
45
;
Calcula la suma de todos los elementos de la
matriz A + B.
a. 11 b. 12 c. 13 d. 14
2. Considerando las siguientes matrices:
MN

10 4
96 1
22
11
10
;
Determina la suma de todos los elementos de
la matriz MN.
a. 31 b. 5 c. –31 d. –37
3. Si las siguientes matrices:
P
xy
xy
Q
a
b

5
10
2
10
;
son iguales.
Halla el valor de x + y + a + b
a. 15 b. 25 c. 35 d. 45
4. Considerando las siguientes matrices:
AB IC

02
52
17
94
22
;;
Calcula A – B + C.
a.
09
41

b.

09
41

c.

09
41

d.

09
41

Nivel intermedio
5. Halla 5M – 2N, si:
MN

14 5
11 4
07 1
01 1
12 0
85 3
;
a.

52
25
71 20
16251
b.

52
223
71 20
1625 1
c.

52223
71 20
1625 1
d.

52223
71 20
16251

6. Halla el determinante de la matriz R, donde,
R

10 1
11 2
12 1
a.
2 b. –1 c. –8 d. 1
7. Dada la matriz P =
x

21
25
, se cumple que
|P| = 62. Calcula el valor de «x».
a. 10 b. 12 c. 14 d. 16
Nivel avanzado
8.
Si tenemos las siguientes matrices:
RS

01 2
20 1
32 1
11 1
35 0
41 6
;
Determina el valor de |R + S|.
a. –24 b. 46 c. 24 d. –8
9. Sea B la matriz nula, donde
B
nc k
ym d
ef

22 4
16
72 3
5
2
log
Calcula el valor de c + d + e + f
a. 14 b. 16 c. 18 d. 20
10. Dada la matriz
A
ab
ba

213
51 8
82
Determina el valor de:
M = a
11
+
a
23
2
– a
33
+ a
13
+ ba
22
a. 2b b. 64 c. b+64 d. 24
Nivel destacado
11. Considere la ecuación matricial:
x
13
27
40
12

; donde x es una matriz
Calcula det(x).(admisión UNI 2010–I)
a. 6 b. 7 c. 8 d. 11
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a d b a c c c d a b c
12.-Matrices y determinantes_CT_4°SEC.indd 132 28/02/2020 18:26:59

133Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Sistema de ecuaciones lineales
Recordamos lo aprendido
Sistema de ecuaciones lineales
Conjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas
Los sistemas lineales de dos incógnitas:
axbyc
axbyc
11 1
22 2
+ =
+ =
1. Sist<> ema compatible determinado
Es aquel sistema que tiene una cantidad fini-
ta de soluciones. Se cumple que:
a
a
b
b
2
1
2
1
!
2. Sist<> ema compatible indeterminado
Es aquel sistema que tiene infinitas solucio- nes. Si c
1
y c
2
son distintos de cero entonces,
se cumple que:
a
b
bc
2
1
2
1
2
1
==
ac
3. Sist<> ema incompatible
Es aquel sistema que no posee solución. Se cumple que:
a
b
b
c
c
2
1
2
1
!=
1
2a
Métodos de resolución de los sistemas lineales
1. Método de sustitución
Se despeja en una ecuación una de las in-
cógnitas en función de las otras y luego se
reemplaza en las siguientes ecuaciones.
2.
Método de Cramer
La solución de las x
i
variables, será:
x
A
A
i
i
=
Donde A matriz del sistema
A
i
matriz que se obtiene de la matriz A.
3.
Método de Gauss por matriz aumentada
Dado un sistema de n ecuaciones con n incóg-
nitas, se forma la matriz aumentada del sistema:
b
b
b
a
a
a
a
n
n
nn
1
2
3
11
1
1
h
g
j
g
h
J
L
K
K
K
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
O
O
O
OO
Operando las filas de la matriz aumentada,
la solución del sistema será equivalente a la
matriz escalonada.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Resuelve el siguiente sistema:
21 3
34 27
xy
xy
+=
+=
j
N
P
Por el método de sustitución tenemos
que de la primera ecuación:
y = 13 – 2x
Entonces:
3x + 4(13 – 2x) = 27
& x = 5
Reemplazando en la primera ecuación
tenemos:
y = 3
Entonces el conjunto solución es:
C.S = {(5; 3)}
2. Determina el valor de a, si el sistema
axy
xay
+=
+=
j
N
P 20
20
Tiene infinitas soluciones.
Si el sistema tiene infinitas soluciones
entonces
a
a2
2
=
& a
2
– 4 = 0
Luego: a = 2 ∧ a = –2
3. Calcula los valores de k para que el sistema.

()kx y
xy
+=+
=
j N P
1
2
Tenga solución única.
Se sabe que para que tenga infinitas
soluciones se tiene que:
k
k
+
=
+
jg
1
1
1
2
1
2
Además, para k = 1 la expresión no es un
sistema entonces, para que el sistema tenga
solución única tenemos que k ∈ ℝ +
=
j
N
P
O

1
2
1;
13.-CT-Sistema de ecuaciones lineales.indd 133 28/02/2020 18:26:36

134Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Sea el sistema:
uv uw vw
uv uw vw
uv uw vw
∈∈ α
ββ αβ
∈β α
≠

1
2
0
Halla: u
2
+ v
2
+ w
2
Sumando la primera con la segunda
ecuación tenemos:
2uv = –1 & uv = −
1
2
...(α)
Sumando la segunda con la tercera
ecuación tenemos:
2uv – 2v w = –2
Reemplazamos por (α):
& v w =
1
2
Reemplazando en la primera ecuación tenemos:
uw=1
Entonces: u
2
v
2
w
2
=
−
1
4
Tenemos:
u
2
= –1 ; v
2
=
−
1
4
; w
2
= –1
Entonces: u
2
+ v
2
+ w
2
=
−
9
4
5. Resuelve el sistema con el método de Cramer:
xy z
xy
yz
∈∈ α
βα
βα
≠

23 10
24
23

Hallamos los siguientes determinantes:
A∈α
α
∈
12 3
21 0
02 1
17
;
A
x
∈α
α
∈
1023
41 0
32 1
51
A
y
∈
α
∈
1103
24 0
03 1
34
;
A
z
∈α ∈
12 10
21 4
02 3
17
Luego tenemos:
x
A
A
y
A
A
z
A
A
x y
z
= = = = = =
= = =
51
17
3
34
17
2
17
17
1
;
Por lo tanto, el conjunto solución es:
C.S={(3; 2; 1)}
Nivel avanzado
6. Halla los valores de «x» e «y» en el siguiente sis-
tema:
αx + βy = –1
(β – 1)x+(α + 1)y = 3
Si se cumple que:
α + 3β + 1 = 3α + β + x = α
2
+α – β
2
+ β ≠ 0
Dado que
∈α
α∈β≠11
= α
2
+ α – β
2
+β ≠ 0,
entonces el sistema tiene solución única.
Luego,usando el método de Cramer
tenemos
• x∈
α
β
αβ
∈
ααα
βα β
∈α
1
31
11
13
1
22
≠

≠≠
• y
x
∈
α
α
αβ
∈
βα
βα β
∈
ββ
βα β
∈
≠

≠≠

≠≠
1
13
11
31
3
1
22
22
Por lo tanto: x = –1 ∧ y = 1
7. Resuelve el sistema:
25 44
11210
() ()
()
xy x
yx yx
∈α β
βα β
≠

De la primera ecuación despejamos la
variable «x»:
& x =
410
18
y−
De la segunda ecuación despejamos la
variable «x»:
& x = −
y
8
Igualando las dos últimas ecuaciones, tenemos:
x
yy
∈
α
∈
α410
18 8
& y =
8
5
Reemplazamos el valor de y en la segunda ecuación.
& x =
−
1
5
13.-CT-Sistema de ecuaciones lineales.indd 134 28/02/2020 18:26:55

135Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dado el siguiente sistema lineal:
21 00
32 48
xy
yx
∈α
βα
≠

Halla el valor de x + y.
a. 68,5 b. 65 c. 67 d. 66
2. Un grupo de estudiantes desean hacer un via-
je de excursión. Si cada uno de ellos aporta
750 soles, hay un déficit de 4 400 soles; pero
si cada uno paga 800 soles, abra un exceso de
4 400 soles.
Indica la cantidad total de estu-
diantes.
a. 120 b. 176 c. 150 d. 145
3. Calcula el valor de k de modo que el sistema
()kx y
xy
∈α ∈
α∈β
≠

33
39
Tenga infinitas soluciones.
a.
1
2
b.
3
9
c. −
1
3
d.
8
3
4. Si el sistema:
() ()mx my
xmy
∈∈ ∈α
∈α
β
≠
18 7
33
es indeterminado. Determina el valor de m.
a. –4 b. 3 c. 5 d. 1
5. Calcula el valor que no debe tomar k de modo
que el sistema lineal.
kxy
kx y
∈α
β∈ α
≠

48
32 54()
Tenga solución única.
a.
5
4
b.
8
7
c.
4
5
d.
1
2
Nivel intermedio
6. Determina el conjunto solución del siguiente
sistema:
∈α αβ∈
α∈ β
∈∈ β
≠

44 31 5
23 51
32 29
xy z
xy z
xy z
a. {1; –2; –1}
b. {1; 9; 1}
c. {0; 1; 12}
d. {1; 9; –15}
7. Halla el valor de y en el siguiente sistema lineal:
xy z
xy z
xy z
∈∈ αβ
β∈ αβ
∈∈ αβ
≠

21
22 4
34 2
a. 2 b. 7 c. 1 d. 3
8. La suma de dos números A y B es 18, si al su-
mar el doble de A, con el triple de B el result-
do es 44;
calcula el valor de B – A.
a. 1 b. –2 c. 18 d. 2
9. Dado el sistema de ecuaciones:
3
29 3
xkyk
xy
∈αβ
∈αβ
≠

Determina el valor de k para que el sistema
sea compatible.
a.
5
7
b.
1
2
c.
9
2
d. 1
Nivel avanzado
10.
Halla la suma de los valores del conjunto solu-
ción del siguiente sistema:
31
23 1
62 14
xy z
xy z
xy z
∈α β
∈∈ β
αα βα
≠

a. 6 b. –12 c. –3 d. 2
11. Resuelve el siguiente sistema:
32 8
43 2
12
xy z
xy z
xy z
∈∈ α
ββ α
∈β α
≠

Luego calcula el valor de: 2x – y –
z
6
a. 5 b. 3 c. 1 d. 0
Nivel destacado
12. Determina el valor de M para que el sistema
()Mx y
MM xM y
∈∈ α
∈∈
β≠ ∈∈β≠ α

22 9
35
16
2
Sea incompatible.
a. 12
b.
17
6
c. 3
d. No existe
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a b d a b a d b c c c d
13.-CT-Sistema de ecuaciones lineales.indd 135 28/02/2020 18:27:07

136Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Logaritmos
Recordamos lo aprendido
El logaritmo es de la forma:
log
a
x = y ⟺ a
y
= x; x > 0; a > 0; a ≠ 1
Identidad fundamental del logritmo:
a
a
xlog
= x.
Donde se cumple ∀ x > 0 y además a ∈ ℝ
+
– {1}Propiedad de los logaritmos:
1. Si x > 0; y > 0 y a ∈ ℝ
+
– {1}
log
a
xy = log
a
x + log
a
y
2.
Si x > 0 , a ∈ ℝ
+
– {1} y m,n ∈ ℝ
logl og
a
n
a
mx
n
m
x=
3. Si a ∈ ℝ
+
– {1} y x, y ∈ ℝ
+
logl og log
aa a
x
y
xy
∙
∈
≥

4. Si a, y ∈ ℝ
+
– {1} y x ∈ ℝ
+
log
y
x =
log
log
aa
x
y
Consecuencias:
a. log
y
x =
log
log
zz
x
y
b.
log
a
y ∙ log
y
x = log
a
x
c. xy
aa
yxlogl og
=
Conversión de logaritmo decimal a natural:
lna = 2,3026 ∙ loga
Cologaritmos
co x
x
x
bb b
logl og log== −
1
Antilogaritmo
antilog
b
x = b
x

Con b > 0; b ≠ 1; x ∈ ℝPropiedades:
1. log
b
(antilog
b
x) = x
2. antilog
b
(log
b
x) = x
Propiedades, respecto a la relación de orden:
1. Si a > 1 ∧ m > n & a
m
> a
n
2. Si 0 < a < 1 ∧ m > n & a
m
< a
n
3. Si a > b > 1 & a
a
xlog
> b
a
xlog

4. Si 0 < a < b < 1 & a
a
xlog
< b
a
xlog

Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Si log
a
b = 3 y log
b
c = 5, calcula log
a
2(bc
5
)
Primero hallamos log
a
c y tenemos que:
log
a
c = log
a
b∙log
b
c
& log
a
c = 3∙5 = 15
Se tiene que:
log
a
2(bc
5
) = log
a
2b + log
a
2c
5
=
1
2
log
a
b +
5
2
log
a
c
& log
a
2(bc
5
) =
1
2
∙3 +
5
2
∙15 = 39
2. Calcula: log
2
x, si:
log
a
64∙log
x
a = log
b
c∙log
x
b∙log
c
x
Damos la forma y tenemos:
log
b
c∙log
x
b∙log
c
x = log
b
c∙log
c
x∙log
x
b
Usamos una de las consecuencias y
tenemos:
log
a
64∙log
x
a = log
b
b
& log
a
64 =
1
log
x
a
& log
a
64 = log
a
x & x = 64
Calculando log
2
x:
log
2
x = log
2
64 = 6
3. Calcula el valor de:
log1 + loge + loge
2
+....+ loge
10

Tenemos que:
log1 + loge + loge
2
+....+loge
10

Usamos la primera propiedad y tenemos:
log(1∙e∙e
2
∙…∙e
10
) = loge
55
& 55∙loge = 55∙0,4343∙lne = 23,886514.-CT-Logaritmo.indd 136 28/02/2020 18:26:01

137Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Sea log 2 = 0,301, calcula:
M = log25 + ln5e
Tenemos que:
log25 = log5
2
= 2log5 = 2(1 – log2) = 1,398
Además:
ln5e = ln5 + lne = 2,3026∙log5 + 1
ln5e = 2,3026(1 – log2) + 1
ln5e = 2,609
Entonces, reemplazamos en M:
M = log25 + ln5e = 1,398 + 2,609
Por lo tanto: M = 4,007
5. Halla:
L∙
∈
log
log
(log)
8
5
16
4
4
5
1
Si tenemos que: (log
4
5)
–1
= log
5
4
Reemplazamos: L=
log
log
log
8
5
16
4
5
4
Además:
5
5
4log
= 4
Reemplazamos y tenemos: L = log
log
8
4
16
4
& L = log
8
16
1
& L = log
8
16
Por lo tanto, L =
4
3
6. Si log
16
12 =
1
4a
Determina log
12
96
Tenemos que: 4a =
1
12
16
log
& log
12
16 = 4a
& log
12
2
4
= 4a
& log
12
2 = a
Nos piden:
log
12
96 = log
12
(12∙8) = 1 + 3a
Por lo tanto, log
12
96 = 1 + 3a
Nivel avanzado
7. Encuentra el mayor valor de M si:
log
a
b + log
b
c + log
c
d + log
d
a ≥ M
Además a, b, c, d ∈ ℝ
+
– {1}
Sugerencia: (MA ≥ MG)
MA =
logl og logl og
abcd
bc da++ +
4
MG = loglog loglog
abcd
bc da×× ×
4

Si: log
a
b×log
b
c×log
c
d×log
d
a = log
a
a
log
a
b + log
b
c + log
c
d + log
d
a ≥ 4
log
a
a
4
log
a
b + log
b
c + log
c
d + log
d
a ≥ 4
Por lo tanto, el mayor valor de M es 4
8. Calcula:
E
yz xz xy
xy z
∙
∈
∈
∈
∈
∈
1
1
1
1
1
1logl og log
Tenemos que:
1
1
11
1
1
1
∙
∈
∙
∈∈
∙
∈
∙
logl og logl og
log
logl og l
xxxx
xyz
yy
yz xy zx yz
x
xz y
oog log
log
logl og logl og
lo
yy
xyz
zzzz
xz xy z
y
xy zx yx yz
∈∈
∙
∈
∙
∈∈
1
1
1
11
gg
xyz
z
E = log
xyz
x + log
xyz
y + log
xyz
z
E = log
xyz
xyz = 1
9. Si x, y ∈ ℝ
+
tal que:
log
y
x + log
x
y =
5
2
xy = 8
Halla: x + y
Llamemos m = log
y
x &
1
m
= log
x
y
m +
15
2m
= & 2m
2
– 5m + 2 = 0
& (2m – 1)(m – 2) = 0
Entonces, m =
1
2
∨ m = 2, tenemos:
2 = log
y
x & y
2
= x
Reemplazando tenemos que:
xy = y
3
= 8 & y = 2 ∧ x = 4
Por lo tanto: x + y = 6
14.-CT-Logaritmo.indd 137 28/02/2020 18:26:12

138Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Determina el valor de log
5
6!. Si se sabe que:
log
5
2 = a y log
5
3 = b
a.
a – b
b. 4a + 2b +1
c. 3a + 2b
d. a + b
2. Si:
logx – logy = 2; además: 2
x+y
= 4.
Halla: x – y
a.
198
101
b.
101
200
c.
200
101
d.
2
101
3. Si:
log
a
b = 5 y log
b
3a = 1.
Indica el valor de b
a. 5
4
b. 3 c. 5 d. 33
4
4. Calcula el valor de «x». Si:
25
5
logx
= x
2
– 2x + 6
a. 3 b. 1 c. 4 d. 5
5. Determina el valor de la siguiente suma:
ln10e + ln5 + ln20 + loge
a. 5,956
b. 9,012
c. 7,3320
d. 8,3420
Nivel intermedio
6.
Calcula el valor de:
colog
3
9 + antilog
3
9 + log
3
5∙log
5
9
a.
3 645
b. 18 225
c. 19 683
d. 2 136
7. Si log
3
5 = n, halla log
125
729 + log e en función
de n.
a.
5
2n
+ 0,4343
b.
2
n
+ 0,4343
c.
1
n
+ 0,4343
d.
3
n
+ 1
8. Determina: a
–1
+ b
–1
. Si:
log
5
b = log
3
a = log
15
(a+b)
a.
1
b.
1
2
c.
3
5
d. 2
9. Halla el valor de «x» en la siguiente ecuación:
logx + log(x – 3) = 1
a. 2 b. 5 c. 1 d. 6
10. Si log
a
b = 10 y log
b
c = 6 , calcula:
log
a
7(a
3
b
6
c
5
)
a.
363
7
b.
131
11
c.
354
7
d.
295
11
Nivel avanzado
11. Determina el valor de:
log
2
10 + log
3
100
Si : log
3
5 = a y log
3
4 = b
a.
2a + b + 1
b. 1 + a + b +
a
b
c.
b
a
+ b – a
d. 1 + b + 2a +
2a
b
12. Indica:
L∙
∈
log
log(log)
27
16 16
81
99
1
a.
3
4
b.
4
3
c.
5
7
d.
3
5
13. Calcula:
E∙
∈
∈
∈
∈
∈
1
12 0
1
11 5
1
11 2
34 5
logl og log
a. 1 b. 2
c.
1
2
d.
2
3
14. Si x, y ∈ ℝ
+
tal que
log
y
x – log
x
y =
8
3
xy = 16
Halla uno de los valores de x + y.
a. 8 b. 64 c. 10 d. 2
Nivel destacado (UNMSM 2012 – I)
15. Si x = log
1
3
3
381. Determina «x»
a.
−7
3
b.
7
3
c.
4
3
d.
−4
3
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
b a d a d c b a b a d b a c a
14.-CT-Logaritmo.indd 138 28/02/2020 18:26:47

139Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra
Ecuaciones logarítmicas
Recordamos lo aprendido
Ecuaciones logarítmicas
a. log
a
(P(x)) = b donde a > 0; a ≠ 1; b ∈ ℝ
Solución
I. Existencia del logaritmo
P(x) > 0
II. Como a,b ∈ ℝ , entonces
P(x) = a
b
III.
Finalmente encontrarás las soluciones de
la ecuación interceptando los valores ob-
tenidos en los pasos I y II.
b. log
Q(x)
(P(x)) = b; donde b ∈ ℝ
Solución
I. Existencia del logaritmo
Q(x) > 0 ∧ Q(x) ≠ 1 ∧ P(x) > 0
II. Resolvemos
(Q(x))
b
= P(x)
III.
Finalmente encontrarás las soluciones de
la ecuación interceptando los valores ob-
tenidos en los pasos I y II.
c. log
R(x)
(P(x)) = log
R(x)
(Q
(x)
)
Solución
I. Existencia del logaritmo
P(x) > 0 ∧ Q(x) > 0 ∧
R(x) ≠ 1 ∧ R(x) > 0
II. Resolvemos
P(x) = Q(x)
III. Finalmente encontrarás las soluciones de
la ecuación interceptando los valores ob-
tenidos en los pasos I y II.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Sea la ecuación log
R(x)
(P(x)) = 0, escriba verda-
dero (V) o falso (F) según corresponda.
I. La base de logaritmo puede ser un polinomio nulo
(F)
II.
Si R(x) = 10 & P(x) puede ser un po-
linomio nulo
(F)
2.
Resuelve
2 log
2
x – log
2
(x + 1) = 0; x > – 1
Verificando la existencia de los logaritmos
x > 0 ∧ x > –1
Resolviendo el logaritmo
log
2
2x
2
= log
2
(x + 1)
2x
2
= x + 1 & (2x + 1)(x – 1) = 0
Entonces x =
−
1
2
∨ x = 1
Como −
1
2
< 0, entonces x = 1
3. Halla la suma de las soluciones de la ecuacion
1+log x + log(x – 1) = log 60
Verificando la existencia de los logaritmos
x > 0 ∧ x > 1
Resolviendo el logaritmo
log[10x(x – 1)] = log 60
10(x
2
– x) = 60
(x – 3)(x + 2) = 0
Tenemos: x = –2 ∨ x = 3
Donde x = 3 , cumple , entonces la suma
de soluciones será 3.
4. Resuelve:
log
3
(x – 2) + log
3
(x – 3) = 2 log
3
2
Tenemos que:
log
3
(x – 2) + log
3
(x – 3) = 2log
3
2
log
3
[(x – 2)(x – 3)] = log
3
2
2
(x – 2)(x – 3) = 2
x
2
– 5x + 4 = 0
(x – 4)(x – 1) = 0
Entonces x = 1 ∨ x = 4
Nos piden 1 + 4 = 5
15.-CT-Ecuaciones Logaritmicas.indd 139 28/02/2020 18:27:12

140 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
5. Resuelve:
log(x – 1) –1 = 1 – log(4x + 5)
Debemos verificar que:
x – 1 > 0 ∧ 4x + 5 > 0
Reordenando la ecuación tenemos que:
log(x – 1) + log(4x + 5) = 2
log(x – 1)(4x + 5) = 2
4x
2
+ x – 5 = 100 & (4x + 21)(x – 5) = 0
Entonces x =
−
21
4
∧ x = 5 , donde x = 5
cumple con las condiciones.
6. Halla la suma de los cuadrados de las solucio-
nes de la ecuación
log
2
(x
2
– 4x + 7) = log
2
(x – 2) +2; x > 2
log
2
(x
2
– 4x + 7) – log
2
(x – 2) = 2
log
2

xx
x
2
47
2
≠∈
∞
∪
∉
∅
∅

= 2
xx
x
2
47
2
≠∈
∞
= 4
x
2
– 4x + 7 = 4x – 8
x
2
– 8x + 15 = 0
(x – 5)(x – 3) = 0 & x = 3 ∨ x = 5
Nos piden 5
2
+ 3
2
= 25 + 9 = 34
7. Calcula el conjunto solución de la ecuación
4 logx
3
+ (2 logx
2
)
2
+ log10000 = 8
Si 4logx
3
+ (2 logx
2
)
2
+ log10000 = 8
12 log x + (4 log x)
2
+log 10
4
= 8
Sea a = log x , entonces
16a
2
+ 12a – 4 = 0
4a
2
+ 3a – 1 = 0
(4a – 1)(a + 1) = 0
a =
1
4
∧ a = –1
Tenemos que:
log x =
1
4
& x = 10
4
log x = –1 & x = 0,1
Con esto tenemos que el conjunto solución es
C.S={ 0,1 ; 10
4
}
Nivel avanzado
8. Determina el número de soluciones de la si-
guiente ecuación logarítmica
log
(x–2)
(3x
2
+ 8x + 4) = 2
Verificando la existencia
x – 2 > 0; 3x
2
+ 8x + 4 > 0
x – 2 > 0; (3x + 2)(x + 2) > 0
x ∈ < –∞; –2 > ∪ <
−2
3
; ∞ >
Resolviendo tenemos que
3x
2
+ 8x + 4 = (x – 2)
2
= x
2
– 4x + 4
2x
2
+ 12x =0 & x(x + 12) = 0
Notemos que – 12 y 0 ∈ < –∞; –2 > ∪ <
−2
3
; ∞ >
Entonces C.S ={–12; 0}.
Se tiene 2 soluciones y ambos cumplen
con la condición
9. Resuelve y de como respuesta la suma de raíces
3
x
+
6
3
x
= 5
Sea y = 3
x
, entonces
y
2
– 5y + 6 = 0
(y – 3)(y – 2) = 0
Tenemos que y = 3; y = 2; y ≠ 0 , entonces
3
x
= 3 & x = 1
3
x
= 2 & x = log
3
2
La suma de soluciones será 1 + log
3
2 = log
3
6
10. Dada la siguiente ecuación logarítmica
log
(2–x)
(5x – 3) = log
(2–x)
(4x + 8)Determina el conjunto solución
Verificando la existencia
2 – x > 0; 5x – 3 > 0; 4x + 8 > 0
x ∈ <
3
5
; 2 >
Resolviendo tenemos que
5x – 3 = 4x + 8
x = 11
Como 11 ∉ <
3
5
; 2 >, el conjunto solución
es el vacío y por lo tanto tiene 0 soluciones
15.-CT-Ecuaciones Logaritmicas.indd 140 28/02/2020 18:27:15

141Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Resuelve
log
2
(x
2
– 3x + 4) = 3
Y
determina la suma de sus soluciones
a. 3 b. 5 c. 2 d. –1
2. Efectúa la siguiente ecuación
log
4
(x – 5) – log
2
(x – 1) + 1 = 0Halla el conjunto solución.
a. {∅}
b. {–1; 2}
c. {5; 7}
d. {0, 333}
3. Determina el conjunto solución
log
2
(x
2
– 2x) = 3
a.
{11; 12}
b. {–2; 14}
c. {–2; 4}
d. {0, 10}
4. Halla el valor de «x» en la siguiente ecuacion:
logx
logx
– 6log x + 8 = 0
Da como respuesta la suma de las soluciones a.
10 000
b. 10 100
c. 10 010
d. 11 000
5. Resuelve
log
9
(4 – 2x) = log
3
31x∞∈∪
Halla el conjunto solución a.
{1} b. {3} c. {2} d. {4}
Nivel intermedio
6.
Resuelve la ecuación
log
2
(x
4
– 2x
2
) = 3Determina el conjunto solución a.
{–2; 2}
b. ℝ – {–2; 2}
c. {–2; 0}
d. {0}
7. Resuelve
log
9
(3
x
+ 18) = x –
1
2
Calcula el conjunto solución
a. {0} b. {2} c. {3} d. {1}
8. Resuelve la ecuación
log
23
2
24 2
x
xx
∞
≠∈
Determina el número de soluciones
a. {1,5; 4}
b. {1,5; 3}
c. {0; 1,5}
d. {3}
9. Calcula el conjunto solución de
10 01
32
≠∈ ∪≠∈
logl og
,
xx
a. {0,0001; 2}
b. {0; 1}
c. {1; 0,001}
d. {0,02; 0,001}
Nivel avanzado
10.
Resuelve
log
(x+1)
(x
2
+ 2x) = log
(x+1)
(– 3x – 4)Determina el número de soluciones
a. 2 b. 1 c. 3 d. 5
11. Efectúa
log
(3x–2)
(3x
2
+ x) = log
(3x–2)
(4x – 1)
Calcula el producto de las soluciones. a.
2 b. 24 c. 0 d. 36
12. Efectúa la ecuación.
log
x
xx
∞
≠∈
5
2
22
Determina el número de soluciones a.
1 b. 2 c. 0 d. 4
13. Dada la ecuación
(log
2
2x)
2
+ (log
2
0,5x)
2
+ (log
2
0,25x)
2
= 5Calcula la menor raíz.
a. 3
3
b. 2
3
c. 3
4
d. 2
4
Nivel destacado
14. Halla el valor de x si
loglog loglogxy
xy
≠∈ ∈
∞
∪
∉
∅
∅
∈
102432
22 56
a.
16 b. 32 c. 54 d. 36
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
a a c b a a b d c a c c b a
15.-CT-Ecuaciones Logaritmicas.indd 141 28/02/2020 18:27:19

B?sico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
4
Educación Secundaria
142Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
16 INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS_4TO_U4 CT.indd 142 28/02/2020 18:27:47

B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra UNIDAD
143Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Inecuaciones lineales y cuadráticas
Recordamos lo aprendido
Solución de una inecuación de 1° grado
Sea la inecuación de 1° grado: ax + b < 0
Si a > 0, tenemos que:
x < –
b
a
⇒ C.S = ∆∞∆;
b
a
Si a < 0, tenemos que:
x > –
b
a
⇒ C.S = ∆∞∙
b
a
;
Solución de una inecuación de 2° grado
Según su discriminante
1° caso: ∆ = 0; a > 0
Los casos respecto al sentido de la desigualdad son:
ax
2
+ bx + c > 0 ⇒ C.S = ℝ – {r}; r: PC
ax
2
+ bx + c ≥ 0 ⇒ C.S = ℝ
ax
2
+ bx + c < 0 ⇒ C.S = ∅
ax
2
+ bx + c ≤ 0 ⇒ C.S = {r}; r: PC
2° caso: ∆ < 0 Los casos respecto al sentido de la desigualdad son:
(mx + n)
2
+ k > 0; k > 0 ⇒ C.S = ℝ
(mx + n)
2
+ k ≥ 0; k > 0 ⇒ C.S = ℝ
(mx + n)
2
+ k < 0; k > 0 ⇒ C.S = ∅
(mx + n)
2
+ k ≤ 0; k > 0 ⇒ C.S = ∅
3° caso: ∆ > 0
I.
Se factoriza el polinomio dado.
II. Se igualan los factores a cero y se hallan los
puntos críticos.
III. Se ubican los puntos críticos en la recta, colocan-
do los signos (+ ) y (–) de derecha a izquierda, si
a < 0, se colocan los signos en orden inverso.
IV. El conjunto solución es la unión de todas las
regiones que se tomaron.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda, justifica tu respuesta.
1. Dada la inecuación x + b > 0, si b = 0
entonces cero pertenece al conjunto solución.
2.
Dada la inecuación ax + 1 > 0, si a = 1
entonces uno pertenece al conjunto solución.
3.
Si
xx
x
2
32
2
∆∞
∆
> 0 entonces C.S = 〈1; +∞〉

( )

( )
( )
2. Resuelve la siguiente inecuación:
x
x
∆
∆
∞
1
5
8
3. Efectúa
810
4
39
3
102
8
xx x∆
∞
∙
∈
∆
Simplificando tenemos que:
45
2
3
51
4
x
x
x∆
∞∙ ∈
∆
Multiplicando por 4 tenemos:
8104 1251
8104 124125 1
42 21 3
11
2
xx x
xx xx
xx
x
∆∞ 〉∈ ∆
∆∞ 〉∀ 〉∈ ∆
∞∙ ∀〉 ∈
∞
∙
∀〉113∈x
Entonces el conjunto solución es:
CS.;∆∞
∞∙
∈
∀
13
11
2
Tenemos que
x
x
xx
x
x
∆
∆
∞
∆∆ ∞
∞
∞
1
5
8
51 40
439
39
4
()
Entonces el conjunto solución será:
CS.;∆∞∙
∈
∀
β
39
4
I. Si x + b > 0 ∧ b = 0 ⇒ x > 0, es decir
x ∈ < 0; +∞> ⇒ x ≠ 0
II. Si ax + 1 > 0 ∧ a = 1 ⇒ x + 1 > 0 luego,
C.S = < –1; +∞> ⇒ 1 ∈ < –1; +∞>
III. Si
0
32
2
21
2
11
2
∆
∞∙
∞
∈
∞∞
∞
∈〈∀β
xx
x
xx
x
xx
()()
Notemos que x ≠ 2 ⇒ C.S = <1; +∞> – {2}
F
V
F
16 INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS_4TO_U4 CT.indd 143 28/02/2020 18:27:48

Básico Intermedio Avanzado 144Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Determina los valores de b para que el C.S de
la inecuación sea todos los reales.
x
2
– 2bx ≥ 9 – 10b
5. Resuelve la siguiente inecuación:
a(x + 1) ≤ b(x + 1); si a < b
6. Halla el valor de a ∈ ℝ, para que la inecuación
(a
2
– 14)x
2
– 4x + 4a ≤ 0
Tenga como conjunto solución el conjunto [– 2; 4]

7. Determina el valor de k en la siguiente inecua- ción:
x
2
– kx + 15 ≤ 0
Tiene como conjunto solución a [3; 5].

Nivel avanzado
8. Resuelve
() ()21 3
1
2
23
2
2
2
xx x∆∆ ∆
∞
∙
∈
∀
β

9. Halla el menor valor de M que haga cumplir la
siguiente condición:
∀ x ∈ ℝ; 8x – x
2
– 15 ≤ M
10. Calcula la suma de valores de a ∈ ℝ, para que
el conjunto solución de la inecuación:
3x
2
– (a + 2)x + (a
2
– 3) ≥ 0
sea un conjunto unitario.
Tenemos que:
0 ≤ (b – a)(x + 1)
0 ≤ x + 1
–1 ≤ x
Entonces el conjunto solución será:
x ∈ [–1; +∞⟩
Dado que [–2; 4] es el conjunto solución de
(a
2
– 14)x
2
– 4x + 4a ≤ 0
Entonces:
β(x – 4)(x + 2) = (a
2
– 14)x
2
– 4x + 4a
β(x
2
– 2x – 8) = (a
2
– 14)x
2
– 4x + 4a
De esto tenemos que:
–2β = –4 ⇒ β = 2
–8β = 4a ⇒ a= –4
Dado que el conjunto solucion es [3; 5], entonces tenemos que:
x
2
– kx + 15 = (x – 3)(x – 5)
x
2
– kx + 15 = x
2
– 8x + 15
⇒ k = 8
Tenemos que:
x
2
– 2bx + 10b – 9 ≥ 0
(x – b)
2
– (b
2
– 10b + 9) ≥ 0
Entonces, tenemos que:
b
2
– 10b + 9 ≤ 0
(b – 9)(b – 1) ≤ 0
Entonces:
b ∈ [1; 9]
Tenemos que
() ()
() ()
21 3
1
2
23
7
4
21 23
28 28 78
2
2
222
2
xx x
xx
xx x
∆∆ ∆
∞
∙
∈
∀
β

∆
∆∆
22
2
2
2
4872
20 20 650
44 130
21 140
142121
∆∆

x
xx
xx
x
xx
()

∆

14
141
2
114
2
xx
Entonces el conjunto solución es
CS.; ;∆∞∙
∞ ∈
∀
β

114
2
114
2
Multiplicando por –4 tenemos que:
4x
2
– 32x + 60 ≥ –4M
⇒ (2x – 8)
2
– (4 – 4M) ≥ 0
De esto tenemos que:
4 – 4M ≤ 0
1 ≤ M
Por lo tanto, el menor valor es 1.
Para que el conjunto solución sea unitario,
entonces debe de cumplirse que ∆ = 0,
luego:
(–a – 2)
2
– 4 ∙ 3(a
2
– 3) = 0
a
2
+ 4a + 4 – 12a
2
+ 36 = 0
11a
2
– 4a – 40 = 0
La suma de los valores de a es
4
11
16 INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS_4TO_U4 CT.indd 144 28/02/2020 18:27:49

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra 145Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el conjunto solución del siguiente sis-
tema de inecuaciones:
35
47
4
52
3
x
xx
∆∞
∙
∞
∆
a. ∅ b. c. {2} d. ℝ
2. Determina el conjunto solución de la siguien-
te inecuación cuadrática:
2x
2
+ 5x – 8 < 5x
2
– 4x + 13
a.
〈0; 1〉 b. ℝ c. 〈–1; 0〉 d. ∅
3. Resuelve la siguiente inecuación:
31
48
5
8x
x
∆∆
∆
∞
a. ∆∞;
5
7
b. ∆∞;
5
11
c. ∆∞;
11
5
d. ∆∞;
7
9
4.
Determina el conjunto solución de la siguien- te inecuación:
4122 15
3
xx
x
∆∞ 〉∈
a. [6; 9⟩ b. [7; 10⟩ c. [7; 11⟩ d. ⟨6; 9]
Nivel intermedio
5.
Calcula el C.S de la siguiente inecuación:
x
x
x
∆
∆
∞
∙∆
1
2
4
21
2
51
a.
1
2
;∆∞
∙
∈
∀
b.
3
46
2;
∆
∞
∙
c.
1
2
5;
∆
∞
∙
∈
∀
β
d.

3
46
;∆∞
∙
∈
∀
6.
El conjunto solución de:
x
2
+ 5x + 1 < 2x
2
+ 6x – 1 < 4x
2
+ 11x – 4
Es 〈–∞; a〉 ∪ 〈 b; +∞〉.
Halla a + b.
a. 2 b. -2 c. 1 d. 4
7. Determina cuantos valores enteros de k satis-
facen la siguiente inecuación para que se veri-
fique para todo x real:
xk x
2
35 0∆∆ ∞∙
a. 10 b. 16 c. 20 d. 18
27
8
29
8
;
8.
Calcula el conjunto solución, de la siguiente inecuación:
(x – 2)
2
+ (x – 1)
2
≥ 2(7x – 11x
2
) + 29
a.
∆∞∆
∙
∈
∀

∞;;
2
3
3
2
b.
ℝ
c. ∆∞
∙
∈
∀

∞;;
1
3
2
3
d. φ
Nivel avanzado
9.
Halla el menor número m con la propiedad:
7 + 12x – 2x
2
≤ m ∀ x ∈ ℝ
a.
20 b. 25 c. 22 d. 23
10. Calcula los valores de a,b ∈ ℝ, para que la
inecuación:
ax
2
– bx + 6 < 0
Tenga como conjunto solución al intervalo
1
3
1
2
;
.
a.
31 y 32
b. 25 y 36
c. 36 y 30
d. 49 y 64
11. Halla el número de valores enteros que satisfa-
cen la siguiente inecuación de segundo orden:
x
2
– x – 1 < 0
a.
1 b. 2 c. 3 d. 4
12. Determina los valores de c para que el C.S de
la inecuación sea todos los reales:
cx
2
– 3cx ≥ c
2
– 3c
a.

3
4
;∆∞
∙
∈
∀
b. φ
c. ∆∞
∙
∈
∀
;
3
4
d.
ℝ
Nivel destacado (admision UNI 2011-I)
13. Dados los conjuntos:
A = {(x + 1) ∈ ℝ/ x
2
– 2x + 1 > 0}
B = {(x – 2) ∈ ℝ/ x
2
+ 6x + 9 ≥ 0}
C
x
xx∆∞ 〉∈ ∀
β

1
44
10
2
/
D = {(x + 1) ∈ ℝ/ 25x
2
+ 10x + 1 < 0}
Calcula: [(A ∩ B)\D] ∪ C
a. ℝ
b. φ
c. {2}
d. ℝ – {2}
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b d b a d b c a b c b c a
16 INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS_4TO_U4 CT.indd 145 28/02/2020 18:27:51

Básico Intermedio Avanzado 146Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Inecuaciones irracionales y valor absoluto
Recordamos lo aprendido
1. Inecuaciones irracionales
Son aquellas inecuaciones donde se encuen-
tran expresiones algebraicas irracionales.
Propiedades
a.
∀ y ≥ 0; x > y ⇔ x ≥ 0 ∧ x > y
2
b. ∀ x; y ∈ ℝ; n ∈ ℕ;
x
2n
+ y
2n
≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
c. ∀ x; y ∈ ℝ;
x < y ⇔ x ≥ 0 ∧ y > 0 ∧ x ≤ y
2
d. ∀ x; y ∈ ℝ; n ∈ ℕ;
x
2n
⋅ y ≥ 0 ⇔ (x = 0) ∨ (x > 0 ∧ y ≥ 0)
e. ∀ x; y ∈ ℝ; n ∈ ℕ;
x
2n
⋅ y < 0 ⇔ x > 0 ∧ y < 0
f. ∀ x; y ∈ ℝ; n ∈ ℕ;
x
2n + 1
⋅ y ≥ 0 ⇔ x ⋅ y ≥ 0
g. ∀ x; y ∈ ℝ; n ∈ ℕ;
x
2n + 1
⋅ y < 0 ⇔ x ⋅ y < 0
2. Valor absoluto
Dado un número xR!, denotamos el valor
absoluto de «x» como |x|, y lo definimos como:
||
;
;
x
xSix
xSix
≥
∞
,d
+
1
^
0
0
Propiedades
a.
,xx0 R6!$ ∧ xx00+==
b. xx-=
c. ;, ;xyxy xyR6!= ; ;, ;xyxy xyR6!=
d. xx
22
=
e. xa xa xa+ 0== =-_i
f. xy xy#++
g. xy xy
22
+$$
h. xy xy
22
+##
3. Ecuaciones e inecuaciones c on valor
absoluto Propiedades
a.
xb xb xb b0+ 0/ $== =-_i
b. xb xb xb +0== =-
c. xb bb xb0 +/#$ ##-
d. |x| ≥ b ⇔ b ≥ 0 ∧ x < –b ∧ x > b
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Resuelve:
x321-
2. Halla el conjunto solución de:
xx x12 30
nn n22 22 4
$-+ -++
++
3. Calcula el conjunto solución de:
xx53 40
8
$+ -_i
4. Calcula la solución de la siguiente inecuación:
5. |x – 4| ≥ |2x + 3|
6.
Verificando la existencia de la expresión:
x30$- ⇒ x ≤ 3 ⇒ 〈–∞; 3]
Elevando al cuadrado:
;
xx
34
1
& 3
1!
-
-+
7A–1 < x
El conjunto solución será:
C.S = 〈–∞; 3] ∩ 〈–1; +∞〉 = 〈–1; 3]
De la forma de la inecuación tenemos que:
xx x
xx x
10 20 30
12 3
//
//
$$ $
$# $
-- +
-
Entonces el conjunto solución es: C.S = [1 ;2]
Dada la forma de la inecuación tenemos
que:
xx x
xx x
53 05 30 40
5
3
5
3
4
0/
0/
2
2
$
$
+= + -
=- -
_
b
_
b
i
ll
i
De esto se tienen que el conjunto solución es
.[;CS 4
5
3
,3=+ -'1
Por propiedad tenemos que:
xy xy
22
+$$
xx xx42 34 23
22
&+ $$-+ -+ ^^hh
x
2
– 8x + 16 ≥ 4x
2
+ 12x + 9
3x
2
+ 20x – 7 ≤ 0 ⇒ (3x – 1)(x + 7) ≤ 0
.. ;CS 7
3
1
=-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
17.-CT-Inecuaciones irracionales y valor absoluto.indd 146 28/02/2020 18:31:41

?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado Unidad 4 147Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
7. Resuelve la siguiente inecuación:
xx43 67 01+--
8. Calcula el conjunto solución de:
xx46 45 0$--_i
9. Determina el conjunto solución de la siguiente
inecuación
| –x|
2
+ |4x| + 3 < 2

|x
2
| –3|x| + 13

Nivel avanzado
10. Calcula:
x8 2x35 x0
28 64
−+ −+ −≥
Tenemos que verificar que la expresión este bien definida:
x
2
– 8 ≥ 0
, 2x – 3 ≥ 0 , 5 – x ≥ 0
De la primera inecuación tenemos que:
xx22 22 0$+-^^hh
x; ;22 22d,33-- +6@
De la segunda inecuación tenemos que:
x;
2
3
d 3+9
De la tercera inecuación tenemos que:
x; 53!-@
El conjunto solución será:
.; ; ;CS 2222
2
3
,+ +3 3 3=- - + +bl
R
T
S
S
S
S
8B
;;52 253-= 6@ @
11. Halla el conjunto solución:
xx x2151
2
2-- +
Verificando la existencia de la expresión:
xx x; ;2150 35
2
&d,33$-- -- +6@

1° caso: si x + 1 > 0 & x > –1, elevando al
cuadrado, tenemos:
x
2
– 2x – 15 > x
2
+ 2x + 1
–4 > x
Entonces:
;; ;35 1,+33 3-- +- +^^ hh 6@
∩ 〈(–∞+; –4)〉 = φ
2° caso: si x + 1 < 0 & x < –1, además
tenemos que
xx x; ;2150 35
2
" ,33$!-- -- + 6@
Entonces, el conjunto solución será
C.S; ;;13 5+,,33 34=- -- -+^h66 @@ @
C.S; 33=- - @
Dando la forma a la ecuación:
xx43 671+ -
Verificando la existencia de la expresión:
;
xx
xx
x
34 06 70
3
4
6
7
6
7
/
/
3
$$
$$
!
+ -
-
+
R
T
S
S
S
S
;x
6
7
3!+
R
T
S
S
S
S
Elevando al cuadrado tenemos que
3x + 4 < 6x – 7 x
3
11
&2
Entonces el conjunto solución es:
C.S =
11
3
≥
∞
+
l';
Dada la forma de la ecuación tenemos que:
(4x – 6 = 0) ∨ (4x – 6 > 0 ∧ 4 – 5x ≥ 0)
xx x
2
3
2
3
5
4
0/2 #=aa kk
x
2
3
,4!%/
Entonces el conjunto solución es:
C.S
2
3
=%/
Por la equivalencia de valor absoluto
tenemos:
|x|
2
+ 4|x| + 3 < 2

|x|
2
– 3|x| + 13
0 < |x|
2
– 7|x| + 10
|x|
–5
|x| –2
(|x| – 5) (|x| – 2) > 0
Puntos críticos:
|x| = 5 ∧ |x| = 2
⇒ x
1
= –5
∧ x
2
= 5 ∧ x
3
= –2 ∧ x
4
= 2
C.S = 〈–∞; –5〉 ∪ 〈–2; 2〉 ∪ 〈 5; ∞〉
17.-CT-Inecuaciones irracionales y valor absoluto.indd 147 28/02/2020 18:31:52

148Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Resuelve y encuentra el intervalo donde perte-
nece x.
xx10 30 5
2
2-+ -
a. ℝ – {6; 5}
b. ℝ
c. ℝ – {6}
d. ℝ – {3; 2; 5}
2. Halla la suma de los cuadrados de los valores de
x que satisfacen a la ecuación:
xx2
2
3
2
3
3
4
28-+ -=
a. 12,5
b. 11,5
c. 9
d. 25
3. Resuelve y halla el conjunto solución de:
(6 – x)31
5
x− ≥ 0
a. 6
b. 7
c. 5
d.
;
3
1
69C
4. Si A = {x ∈ ℝ / |5 – x| = x + 3} ∧
B = {x ∈ ℝ / |x – x
2
| = 0}
Halla A ∩ B
a. {0; 2}
b. {1; 4}
c. {1; 4}
d. {1}
Nivel intermedio
5.
Si: A = {x ∈ ℝ / |x + 2| – |x – 3| = 4}
B = {x ∈ ℝ / |x – 2| – |x – 3| = 4}
Indica la suma de los elementos de A ∪ B.
a. –1
b. –6
c. 2,5
d. 2
6. Resuelve y calcula el conjunto solución de:
xx x3 25
2
1--
a. ;03-@
b. ;;13,33-
c. ;;03,33-+ 6@
d. ;33+6
7. Si:
A = x/ xx x x42115R /21! +- -+" ,
B = x/ xx xx43 2134 2R 012! -- --" ,
Indica A ∩ B
a. 〈0,5; 1〉
b. ℝ
c. ∅
d. 〈–1; 1〉
Nivel avanzado
8.
Resuelve y halla el conjunto solución de:
xx43
2
1+-
a.
;
6
5
19C
b. ;13+
c. ;13-
d. ;
6
5
3- C
9. Resuelve y encuentra el conjunto solución de:
xx6101$-- -
a.
7
2
810≥
∞
=
@
9
8
B; c.

7
2
810≥
∞
=
@ ;
b.
7
2
85≥
∞
=
@ ; d.
7
2
8;
≥
∞
=
10.
Halla el conjunto solución de:
xx23 5
2
2+- -
a. ;
2
3
1R-
b. ;
2
3
1R-;A
c. ;
2
3
1R-;E
d. ∅
11. Calcula el conjunto solución de:
xx
2
1362≥≥ ∞
a. ; ;45,3 3-- +7A
b. ;456@
c. ;53-A
d. ∅
12. Resuelve y halla el conjunto solución de:
41 20≥≥ ≥≥ ∞xx
a. ;
2
53
2
--
-; c.
135
2
1
≥∞
=
@
9
8
B;
b.
;
2
513
2-
-+
E d.
≥≥∞
=
@
9
8
B
135
2
1;
Nivel destacado
13. Resuelve la siguiente inecuación:
xx
x
x48
1
1
1
2
#
-+
-
-
a. ≥∞
=
@
9
≥;{ }
7
2
1 c.
;
2
3
3-
b. ≥∞;
3
2
d. ℝ
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b a d d c d a d a a a c a
17.-CT-Inecuaciones irracionales y valor absoluto.indd 148 28/02/2020 18:32:16

149Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Funciones I
Recordamos lo aprendido
Par ordenado
(a; b)
Propiedades
1. "a, b ∈ ℝ, si a ≠ b & (a; b) ≠ (b; a)
2. Si (a; b) = (c; d) & a = c ∧ b = d
Sean A, B dos conjuntos no vacíos.
Producto cartesiano
A × B = {(a; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
Propiedades
" A, B ⊂ ℝ, A ≠ B; A × B ≠ B × A
Relación binaria
R = {(a; b) ∈ A × B / p(a; b)}
Donde: R ⊂ A × B
Función real de variable real
Sean A, B ⊂ ℝ, tal que A × B ⊂ ℝ × ℝ. Se dice
que f: A → B es una función si para a ∈ A existe
un único b ∈ B tal que:
f(a) = b
Dominio y Rango de una función
Sea la función f: A → B entonces:
Domf ⊂ A ∧ Ranf ⊂ B
Si Domf = A, se dice que f es una aplicación.
Tipos de funciones
1. Función lineal
f(x) = ax + b, a ≠ 0
2. Función valor absoluto
f(x) = |x| =
xx
x
xx
;
;
;
∈
≠
⊂〚
〛
〈
〉
∪
〉
0
00
0

3. Función cuadrática
f(x) = ax
2
+ bx + c,
a ≠ 0
4. Raíz cuadrada
f(x) = x, x ≥ 0
5. Máximo entero
f(x) = 〚x〛 =
xx
nn xn n
∈≠
∈⊂ 〚〛 ≠
〈
〉
∪

1;

Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Dada las siguientes relaciones, indica cuales
son funciones
• R
1
= {(3; 5), (5; 6), (4; 3)}
• R
2
= {(4; 6), (5; 4), (5; 7)}
• R
3
= {(7; 5), (4; 7), (5; 5)}
Analizamos como son los pares ordenados
de cada conjunto.
• R
1
: Sí es función, pues para cada pre-ima-
gen le corresponde solo una imagen.
• R
2
: No es función, pues notamos que
para las imágenes 4 y 7 le corresponde
la misma pre-imagen 5.
• R
3
: Sí es función, pues no hay pre-ima-
gen con mas de una imagen.
2. Calcula el valor de x + y, si se sabe que el con- junto:
G = {(3; x – y), (5; xy), (a;
y
2
), (3; 5), (5; 24)}
es una función.
Analizamos los pares ordenados:
x – y = 5 ∧ xy = 24
Elevamos al cuadrado, la primera ecuación:
& (x – y)
2
= x
2
– 2xy + y
2
= 25
& x
2
– 48 + y
2
= 25 & x
2
+ y
2
= 73
& x
2
+ 2xy + y
2
= 121
& (x + y)
2
= 11
2

& x + y = 11
3. Determina el dominio de: h(x) =
3
4
2
2
yz
x
∈
≠
Notamos que la variable independiente es x, por lo que
y y z son variables constantes.
Entonces, solo analizamos la parte del denominador, es decir:
4
2
−x > 0 & 4 – x
2
> 0
& 4 > x
2
& x
2
< 4
& –2 < x < 2
Así: Dom(h) = 〈–2; 2〉
18. CT._FUNCIONES I_U4_algebra.indd 149 28/02/2020 18:32:05

150Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. Halla el dominio de f: ℝ → ℝ / f(x) = x
2
3−
Sabemos que x
2
3− ≥ 0, hallemos sus
puntos críticos & x
2
– 3 = 0
Es decir: + – +
3−3
De la gráfica se observa que:
x ∈ 〈–∞; – 3] ∪ [3; +∞〉
Por lo tanto, Dom(f) = ℝ – 〈– 3; 3〉
Nivel intermedio
5. Calcula el dominio de la función h donde:
f: ℝ → ℝ / h(x) = 1 +
1
6
2
xx
∈≠

Se sabe que el denominador es diferente
de cero
& xx∈≠
2
6 > 0
Ordenando: –x
2
+ x + 6 > 0
& x
2
– x – 6 < 0 & (x – 3)(x + 2) < 0
+ – +
–2 3
Por lo tanto, tenemos:
Dom(h) = 〈–2; 3〉
6. Indica los valores que puede tomar n de modo que la función de A en B sea una aplicación.
6 3
2
7
A B
f
4
+ 3
n
2

f es una aplicación si y solo si Dom(f) = A, por este motivo, planteamos lo siguiente:
{6; 4} = {6; 4;
n
2
+ 3}
Entonces, se debe cumplir:
n
2
+ 3 = 6 ∨
n
2
+ 3 = 4
& n = 6 ∨ n = 2
Por lo tanto, los valores que toma n son:
{2, 6}
Nivel avanzado
7. Determina el valor del segmento de recta for- mado con los puntos de intersección de las siguientes funciones:
•
f: ℝ → ℝ / f(x) = 2x – 1
• g: ℝ → ℝ / g(x) = x
2
Gráficamente se tiene:
g
f
Hallamos el valor de la abscisa, igualando
las funciones: 2x – 1 = x
2
& x
2
– 2x + 1 = 0
& (x – 1)
2
= 0 & x = 1
Luego f(1) = 2(1) – 1 = 1
& AB
= 11
22
+ = 2
8. Calcula el rango de la siguiente función:
h(x) =
93
1
2
3
2∈≠
∈⊂
〚
〛
〈
〉
∪
〉
xx
x
x
;||
||
;||

Otra forma de representar la función es:
h(x) =
93 3
1
2
3
2
1
2
∈∈ ≠≠
∈
⊂
〚
〛
〈
〉
〈
xx h
x
xh
;
||
;||


Recordemos que:
Ran(h) = Ran(h
1
) ∪ Ran(h
2
)
Hallamos Ran(h
1
):
–3 ≤ x ≤ 3 & 0 ≤ x
2
≤ 9
& –9 ≤ –x
2
≤ 0
& 0 ≤ 9 – x
2
≤ 9
& 0 ≤
9
2
−x ≤ 3
& 0 ≤ h(x) ≤ 3
Por lo tanto Ran(h
1
): [0, 3]
Hallamos Ran(h
2
):
|x| > 3 & –|x| < –3 & 1 – |x| < –2
&
1
2
−||x
< –1 & h
2
< –1
Por lo tanto Ran(h
2
): 〈–∞; –1〉
Así Ran(h): 〈–∞; –1〉 ∪ [0, 3] 9.
18. CT._FUNCIONES I_U4_algebra.indd 150 28/02/2020 18:32:15

151Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dadas las siguientes gráficas, indica cuales son
funciones:
I) II)
III) IV)
a. Solo I
b. Solo II y III
c. Solo III
d. Solo I y IV
2. Dada la siguiente función:
g = {(3; n + m), (n; n
3
– 1), (3; 10), (n; 7)}Determina el valor de m
n
.
a. 36 b. 49 c. 64 d. 16
3. Indica la cantidad de valores enteros del do-
minio de:
f(x) = 11−x + x−8
a. 10 b. 4 c. 6 d. 36
4. Halla el dominio de la función si:
f: ℝ → ℝ / f(x) = 34
2
xx∈≠
a. ℝ {–4, 1}
b. [–4, 1]
c. ℝ [–4, 1]
d. ℝ 〈–4, 1〉
Nivel intermedio
5.
Si g es una función de modo que:
g(x + 3) = g(x) + g(3), " x ∈ ℝ
Indica la veracidad o falsedad de los siguien- tes enunciados:
I.
g(0) = 0
II. ig(–3) = –g(3)
III. g(12) = 4g(3)
a. VVV b. VFF c. VFV d. VVF
6. Sea la siguiente gráfica. Halla la función f.
g
f
(–1; 2)
3
2
9
2
a. 2x + 6
b. 3x – 6
c. x + 3
d. 2x + 4
Nivel avanzado
La empresa discográfica «Pilares» realiza una in-
versión de S/ 12 000 para lanzar un álbum musical
del artista del momento. El costo de fabricación
y la grabación de cada disco es de S/ 6. También
se le debe pagar al cantante S/ 2 por disco por
derecho de autoría. La discografía decide que el
precio de venta del disco sea S/ 20.
Determina:
7. La función de beneficios (Ganancia menos perdida) de la discografía en función de la cantidad de discos vendidos.
a.
f(x) = x – 12 000
b. f(x) = 12x – 1 000
c. f(x) = 6(x – 10
2
)
d. f(x) = 12(x – 10
3
)
8. La cantidad mínima de discos que deben ven-
derse para que la discográfica «Pilares» tenga
una ganancia mayor a S/ 60 000.
a.
5 001
b. 6 001
c. 6 000
d. 5 000
9. Los beneficios que se generan al vender solo
500 discos.
a. Pierde S/ 6 000
b. Gana S/ 5 000
c. Gana S/ 6 000
d. Pierde S/ 5 000
Nivel destacado (UNI 2017 – II)
10. Sea la función f: [1, 3〉 → ℝ definida por:
f(x) =
31 2
23
∈≠ ⊂
≠⊂
〚
〛
〈xx
xx
;
;

11.
Entonces f(x) también se puede expresar
como:
a. 〚|x – 2|〛
b. |x – 2| + x
c. |x – 2| – |x|
d. |x – 2| + 〚x〛
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b c b d a c d b a d
18. CT._FUNCIONES I_U4_algebra.indd 151 28/02/2020 18:32:18

152Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Funciones II
Recordamos lo aprendido
Clases de funciones
Sea f: A → B una función real de variable real.
Función par
Se dice que la función f es par si para cualquier
a ∈ Domf se cumple que –a ∈ Domf, además:
f(a) = f(–a)
Función impar
Se dice que la función f es impar si para cual-
quier a ∈ Domf se cumple que –a ∈ Domf,
además:
–f(a) = f(–a)
Función periódica
Se dice que la función f es periódica si para
cualquier a ∈ Domf, existe un numero T ≠ 0
denominado periodo de modo que se verifica
que a + T ∈ Domf, además:
f(a) = f(a + T)
Tipos de funciones
Sea f: A → B una función real de variable real
Función inyectiva
Se dice que la función f es inyectiva, si y solo si
para cualquier a, b ∈ A se cumple que:
Si f(a) = f(b) & a = b
Función sobreyectiva
Se dice que la función f es sobreyectiva si y solo
si:
" b ∈ B, $ a ∈ A: f(a) = b
Es equivalente a decir que el conjunto de llega-
da, es igual al rango: Ranf = B
Función biyectiva
Se dice que la función f es biyectiva, si y solo si
la función es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Algebra de funciones
Igualdad de funciones
Se dicen que f y g son iguales si poseen el mis-
mo dominio y regla de correspondencia, es
decir:
f = g ⇔
DomfDomg
fxgxxDomf
∈
∈∘ 〈
〉
∩
∪() (),

Composición de funciones
Dom(f∘g) = {x ∈ Dom g / g(x) ∈ Dom f}
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Indica si la siguiente función es par o impar:
f(x) = x
2
– |x|
La función f(x) = x
2
– |x| es una función par
porque: f(x) = x
2
– |x| y
f(–x) = (–x)
2
– |–x| = x
2
– |x| & f(x) = f(–x)
2. Determina si la siguiente función es par o im- par:
g(x) =
3
1
2
x
x+

La función g(x) =
3
1
2
x
x+
es una función
impar porque
g(–x) =
3
1
2
()
()
∈
∈∘
x
x
=
∈
∘
3
1
2
()
()
x
x
= ∈
∘
3
1
2
x
x
–g(x) =
∈
∘
3
1
2
x
x
& g(–x) = –g(x)
3. Sean: f(x) = 5−x ∧ g(x) = x
2
– 1. Encuentra:
(f + g)(x)
Primero se debe encontrar el dominio de
cada función.
El dominio de f es: Domf = 〈–∞, 5] y el de g
es: Domg = 〈–∞, ∞〉.
Después, calculamos la intersección de es-
tos dos intervalos: 〈–∞, 5] ∩ 〈–∞, ∞〉 = 〈–∞, 5].
(f + g)(x) = f(x) + g(x) =
5−x + x
2
– 1, y su
dominio es 〈–∞, 5].
4. Sean: g(x) = 16
2
−x ∧ h(x) = x+1
Encontrar (g • h)(x)
Primero debemos encontrar los domi- nios de las funciones g y h. Para hacer- lo debemos resolver las desigualdades:
16 – x
2
≥ 0
y x + 1 ≥ 0. Así el dominio de g
es Domg = [–4, 4] y de h es Domh = [–1, +∞〉.
Ahora la intersección de estos dos intervalos es el intervalo [– 1, 4].
(g • h)(x) =
16 1∈∘xx = () ()16 1∈∘xx ,
y su dominio es el intervalo [–1, 4]
19. CT._FUNCIONES II_U4_algebra.indd 152 28/02/2020 18:32:26

153Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. Si f(x) = 4
2
xx− y g(x) = x – 2, calcula (f∘g) y su
dominio.
(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x – 2)
= 42 2
2
()()xx−− − = ∈∘ ∈xx
2
812
Calculando los dominios de cada función
4x – x
2
≥ 0 & x
2
– 4x ≤ 0 & x(x – 4) ≤ 0
& x ∈ [0; 4]
Domf = [0; 4]
Domg = ℝ
Dom (f∘g) = {x ∈ Domg / g(x) ∈ Dom f} (x – 2) ∈ [0; 4] & 0 ≤ x – 2 ≤ 4 & 2 ≤ x ≤ 6 & x ∈ [2; 6] & Dom (f∘g) = [2; 6]
Nivel intermedio
6. Sean las funciones: G = {(3; 9), (4; 16), (5; 25), (6; 36)} G∘F = {(1; 9), (2; 16), (3; 25), (4; 36)}
Halla F.
Si G = {(3; 9), (4; 16), (5; 25), (6; 36)}
& G(x)=x
2
G∘F = {(1; 9), (2; 16), (3; 25), (4; 36)} G∘F = G[F(x)] = (x + 2)
2
& F(x) = x + 2
F = {(1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 6)}
7. Identifica si la función f(x) = x−4
3
es inyectiva.
Primero comprobamos que la función es
inyectiva:
f(x
1
) = f(x
2
) &
x
1
3
4− =
x
2
3
4− & x
1
= x
2
Por lo tanto, la función f es inyectiva.
8. Halla la inversa de f(x) =
23
1
x
x
∈
∘
Comprobamos que la función es inyectiva:
f(x
1
) = f(x
2
) &
23
1
1
1
x
x
∈
∘
=
23
1
2
2
x
x
∈
∘
& x
1
= x
2

Entonces f es inyectiva, por lo tanto, f tie-
ne inversa. Escribimos la función como:
y =
23
1
x
x
∈
∘
y cambiamos x por y & x =
23
1
y
y
∈
∘

despejando y tenemos y =
x
x
∈
∘
3
2

& y = f
–1
(x); & f
–1
(x) =
x
x
∈
∘
3
2

Nivel avanzado
9. Los defensores del medio ambiente han esti- mado que el nivel promedio de monóxido de carbono en el aire es: M(m) = (1 + 0.6m) partes por millón cuando el número de personas es m-miles. Si la población en miles en el tiempo t es: P(t) = 400 + 30t + 0.5t
2
.
a. Expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo.
b.
Calcula el nivel de monóxido de carbono en t = 5.
(a)
Para expresar el monóxido de carbono
en función del tiempo se requiere esta- blecer la función compuesta:
(M∘P)(t) = M[P(t)].
Sustituyendo P(t) en M(m), tenemos:
M[P(t)] = M[400 + 30t + 0.5t
2
]
= 1 + 0.6(400 + 30t + 0.5t
2
)
= 241 + 18t + 0.3t
2
(b) Se nos pide evaluar la función com-
puesta en t = 5:
M[P(5)] = 241 + 18(5) + 0.3(5)
2
= 338,5.
10. Se conoce que la población de ranas R cal- culada en miles en una determinada región, depende de la población de insectos m en millones. La población de insectos I a su vez varía con la cantidad de lluvia c dada en cen- tímetros cúbicos. Si la población de ranas es:
11. R(m) = 65 +
m
8
y la población de insectos es:
I(c) = 43c + 7,5.
a. Expresa la población de ranas en función
de la cantidad de lluvia.
b. Estima la población de ranas cuando la llu- via es de 1,5 cúbicos.
(a)
Para expresar la población de ranas en
función de la lluvia se requiere estable- cer la siguiente función compuesta:
(R∘I)(c) = R[I(c)].
Sustituyendo I(c):
(R∘I)(c) = R[I(c)] = R[43c + 7,5]
(R∘I)(c) = 65 +
4375
8
c+,

(b) (R∘I)(1,5) = R[I(1,5)] = 65 +
431575
8
(,),+

(R∘I)(1,5)= R[I(1,5)] = 65 + 3 =68
19. CT._FUNCIONES II_U4_algebra.indd 153 28/02/2020 18:32:33

154Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dadas las funciones f(x) = 2x
2
y g(x) = x.
Calcula (f∘g)(x).
a. 2x b. 3x – 1 c. 2x – 2 d. 3x – 2
2. Dadas las funciones f(x) =
x+1
3
y g(x) = x
2
– 1.
Calcula (g∘f)(x).
a.
xx
2
8
9
∈∘
b.
xx
2
39
9
∈∘
c.
xx
2
29
9
∈∘
d.
xx
2
28
9
∈∘
3. Indicar cual es la función inyectiva. f
1
= {(1; 2), (3; 5), (7; –1), (5; 2)}
f
2
= {(2; 2), (4; 5), (7; 4), (5; 5)}
f
3
= {(1; 5), (3; 8), (7; –1), (5; 2)}
f
4
= {(1; 1), (3; 5), (9; 1), (5; 6)}
a.
f
1
b. f
2
c. f
3
d. f
4
Nivel intermedio
4. Si f: [0; 1〉 → B tal que f(x) =
x
x
∈
∘
1
1
es una función
suryectiva, entonces el conjunto B es:
a. 〈0; 1〉
b. 〈–∞; –1]
c. 〈–∞; 1〉
d. 〈–∞; –1〉
5. Si la función f: A → 〈1; 10] es suryectiva tal que
f(x) =
411
42
−
−
x
x
, entonces el conjunto A es:
a. 〈–∞; 0〉 ∪ [4; +∞〉
b. 〈–∞; 1〉 ∪ 〈5; +∞〉
c. 〈–∞; 2] ∪ 〈5; +∞〉
d. 〈–∞; 3〉 ∪ {5}
6. Sea: f: [2; 4] → A, f(x) = 1 – 2x biyectiva y g: A → B ,
g(x) =
7
1x+
igualmente biyectiva. Calcula B.
a.
1
2
3
4
;
b.
3
7
4
6
∈
∘
〈
;
c.
7
7
7
6
;
∈
∘
〈
d.
∈∈∘
〈
〉
∩
∪

7
2
7
6
;
7.
Cual de las siguientes funciones tiene inversa
f
1
= {(1; 2), (3; 4), (7; 8), (9; 2)}
f
2
= {(2; 3), (4; 5), (6; 7), (8; 5)}
f
3
= {(1; 5), (3; 9), (7; 4), (5; 2)}
f
4
= {(1; 10), (3; 6), (9; 4), (6; 6)}
a.
f
1
b. f
2
c. f
3
d. f
4
Nivel avanzado
8. Dada la funcion f(x) = 2x – 1; x ∈ 〈–1; 5]. Halla el
intervalo al que pertenece su inversa.
a. 〈1; 5〉
b. 〈3; 9]
c. 〈–3; 9]
d. [4; 8]
9. Si f es una función lineal tal que:
(f∘f)
1
x
∈
∘
〈
〉
∩
∪ =
94−x
x
; "x ≠ 0
Da como respuesta el coeficiente principal
positivo de f.
a. 0 b. –3 c. –2 d. 3
10. La inversa de la siguiente función:
f(x) = 5−x(|x – 5| + 1 + x)
es dada por:
a.
20
36
2
−x
; x ∈ [0; ∞〉
b.
180
36
2
−x
; x ∈ [0; ∞〉
c.
x
2
20
36
−
; x ∈ [0; ∞〉
d.
x
2
180
36
−
; x ∈ [0; ∞〉
Nivel destacado
11. Si f es una función definida por
f(x) = x + x; x > 1, entonces f
–1
es:
a. f
–1
(x) =
41 41
2
xx∈∘ ∈

b. f
–1
(x) =
31 31
2
xx∈∘ ∘
c. f
–1
(x) =
31 41
2
xx∈∘ ∈
d. f
–1
(x) =
21 41
2
xx∈∘ ∈
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a d c b a d c c d b d
19. CT._FUNCIONES II_U4_algebra.indd 154 28/02/2020 18:32:43

155Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Límites
Recordamos lo aprendido
Propiedades de los límites:
1. Si f es una función real, tal que a ∈ ℝ, se
cumple (Unicidad del límite):
Si lim
xa→
f(x) = L y lim
xa→
f(x) = M & L = M
2. Si f y g son funciones reales de variable real,
tales que lim
xa→
f(x) = L y lim
xa→
g(x) = M, además:
a ∈ Domf ∩ Domg, y c ∈ ℝ, se cumple:
a. lim
xa→
[f(x) + g(x)] = L + M
b. lim
xa→
[f(x) – g(x)] = L – M
c. lim
xa→
fx
gx
()
()
∞
∩
∴

=
L
M
, si M ≠ 0
d. lim
xa→
[f(x) • g(x)] = L • M
e. lim
xa→
c • f(x) = c • lim
xa→
f(x) = c • L
Límites indeterminados de la forma
0
0

Para poder resolver este tipo de límites,
factorizamos y simplificamos los polinomios
de la fracción.
Límites indeterminados de la forma
∞
∞

En este tipo de problemas, la variable se acerca al infinito. Para poder resolverlos se debe tener en cuenta el siguiente teorema:
Teorema
Si se tiene:
lim
...
...
x
nn n
n
mm m
m
ax ax ax a
bx bx bx b
∈∩∴

∩∩ ∩∩
∩∩ ∩∩

01
1
2
2
01
1
2
2
LL
Entonces, se cumple:
1.
Si n < m: L = 0.
2. Si n = m: L =
a
b
0
0
.
3.
Si m < n ∧
a
b
0
0
> 0: L = +∞.
4. Si m < n ∧
a
b
0
0
> 0: L = –∞.
Si x → –∞, en la propiedad 3 y 4, L cambia de
signo.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Indica el valor del siguiente límite:
lim
x∈∩4
x(x
2
– 5)
lim
x∈∩4
x(x
2
– 5) = liml im
xx
xx
∈∩ ∈∩
∴

∩∴

44
2
5
= (–4)((–4)
2
– 5) = (–4)(9)
∴
lim
x∈∩4
x(x
2
– 5) = –36
2. Calcula el valor de:
lim
x
xx
x
∈∩
∴
∩
2
32
3
6
lim
x
xx
x
∈∩
∴
∩
2
32
3
6
=
lim
lim
x
x
xx
x
∈∩
∈∩
∴
∩
2
32
2
3
6
=
() ()
()
∈∩ ∞
∞∞
22
26
323

& lim
x
xx
x
∈∩
∴
∩
2
32
3
6
=
∈∩
∞
84
8
3
=
−
−
4
2
= 2
∴ lim
x
xx
x
∈∩
∴
∩
2
32
3
6
= 2
3. Calcula el valor de L + M, si:
L = lim
x
x
x
∞
∩∴
∩1
2
22 7
2
, y M =
lim
x
xx
xx
∈∩
∩∴
∴
1
2
2020 1050
69
L = lim
x
x
x
∞
∩∴
∩

∩∴
∩

∩
∩
1
2
22 7
2
22 7
12
23
1
= 1
M = lim
x
xx
xx
∞
∩∴
∴
3
2
2020 1050
69
199

M =
() ()
() ()
∞∞ ∈∩
∈∩ ∞
16 19
11
2
2020 1050
& M =
16
2
= 8
∴ L + M = 1 + 8 = 9
20. CT._LÍMITES_U4_algebra.indd 155 28/02/2020 18:32:53

156Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Indica el valor de:
lim
x
x
x
∞
∩
∩
4
4
2
lim
x
x
x
∞
∩
∩
∴
∩
∩
∴
4
4
2
44
22
0
0
(indeterminado)
liml im
xx
x
x
x
x
x
x
∞∞
∩
∩
∴
∩
∩
f
3
–
1

f
3
–
1

44
4
2
4
2
2
2
liml im
()()
xx
x
x
xx
x
∞∞
∩
∩
∴
xf
∩
gf
44
4
2
42
4
42
∴ lim
x
x
x
∞
∩
∩
4
4
2
= 4
5. Calcula el valor de m, si:
lim
x
mxxx
x
∈∩
∴∴ ∩
∴
2
32
1
1
= 7
lim
x
mxxx
x
∈∩
∴∴ ∩
∴
2
32
1
1
=
m()()( )∈∩∈∩ ∞∞
∈∩
22 21
21
32
lim
x
mxxx
x
m
∈∩
∴∴ ∩
∴
f
∩∴
∩2
32
1
1
81
1
Entonces:
∈∩
∞
81
1
m
= 7
∴ m = 1
6. Determina el valor de:
lim
x
xx x
xx
∞
∩∩ ∩
∩∩
3
32
2
26
6
lim
x
xx x
xx
∞
∩∩ ∩
∩∩
3
32
2
26
6
=
3233 6
33 6
32
2
−− −−−
()
& lim
x
xx x
xx
∞
∩∩ ∩
∩∩
3
32
2
26
6
=
0
0
(indeterminado)
lim
x
xx x
xx
∞
∩∩ ∩
∩∩
3
32
2
26
6
= lim
()()
()()x
xx x
xx
∞
∩∴ ∴
∩∴
3
2
32
32

& lim
x
xx
x
∞
∩∩
∩
3
2
2
2
=
33 2
32
2
++
+
=
14
5

∴ lim
x
xx x
xx
∞
∩∩ ∩
∩∩
∴
3
32
2
26
6
14
5
Nivel avanzado
7. Calcula el valor de p
2
– 5, si:
lim
x
px xx
xx x
∈∩∴
f
33 ∩
x3
–
53
5
42 88
3
Datos del problema:
n = G. A. (px
5
+ 4x
3
+ 2x – 8) = 5,
m = G. A. (x
3
– 8x + x
5
) = 5,
además:
a
b
0
0 =
p
1
= p.
Luego, aplicando el teorema:
lim
x
pxxx
xx x
∈∩∴
ff ∩
xf
53
35
42 8
8
= p
Por la unicidad del límite: p = 3.
Luego:
p
2
– 5 = 3
2
– 5 = 9 – 5 = 4
8. Dado el siguiente gráfico:
y
x
g
f
3–1
Indica el valor de:
a. lim
x→3
f(x)
b. lim
x∈∩1
(f + g)(x)
Del gráfico:
a.
lim
x→3
f(x) = 1
b.
lim
x∈∩1
(f + g)(x) = lim
x∈∩1
f(x) + lim
x∈∩1
g(x)
= 0 + 1 = 1
20. CT._LÍMITES_U4_algebra.indd 156 28/02/2020 18:33:06

157Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla el valor del siguiente límite:
lim
x
x
x
∈∩
∴
∴
2
3
1
1
a.
7 b. –7 c. 3 d. –3
2. Calcula:
F = lim
x→3
(x+1 + 2x) – lim
y→0
(2 020
y
+ 5y + 3)
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
3. Determina el valor de:
lim
n
nn n
nn
∞
∩∴
∩
3
32
2
81 5
3
a. 0 b. 3 c. –2 d. –1
4. Calcula el valor del siguiente límite:
lim
x
xx
x∞
∩∴
∴2
2
51
3
a. 0 b. 3 c. –2 d. –1
5. Determina el valor de:
lim
x
xx
x
∈∩∴

∩
2
3
51
3
a. –1 b. 1 c. –∞ d. 0
Nivel intermedio
6.
Halla el valor de:
lim
x
x
x
∞
∩
∩
∩
∴

3
3
27
3
10
a.
9 b. 10 c. 13 d. 17
7. Calcula el valor del siguiente límite:
lim
x
x
x
∞
∩
∩
1
1
1
a. 0 b. 1 c. 2 d. –1
8. Determina el valor de:
lim
x
x
xx x
∈∩∴

2
2020 1997
a. –1 b. 0 c. 1 d. –∞
9. Determina el valor de:
lim
xa
xa
xa
∞
∩
∩
33
22
a.
3
2
a b.
a
2
c.
a
3
d.
2
a
Nivel avanzado
10. Calcula:
lim
x
xx
x
x
x
x
∞
∩
∩
∩
∴
∩∴

0
2
2
56
3
5
a.
–5 b. –2 c. 0 d. 3
11. Indica el valor de
L∞∩
∴

4
2
2
, si:
L =
lim
x
x
x
∞
∩∴∩
2
2
22

a. 4 b. 9 c. 16 d. 25
12. Halla el valor de:
lim
a
aa
a
∞
∩∩
∩2
2
68
2
a. 4 b. –4 c. 2 d. –2
13. Dado el siguiente gráfico:
0
y
1
1
f(x) = x
3
g(x) = x
Determina el valor de L + N, si:
L = lim
()
()
() ()
x
fx
gx
fx gx
∞
∩∴

1
5
∧ N = lim
xx
∈∩∴
1
1992
a. –3 b. –1 c. +∞ d. – ∞
Nivel destacado
14. Calcula el valor de:
lim
h
h
h
∞
∩
∩
1
3
1
1
a. −
2
3
b.
2
3
c. −
3
2
d.
3
2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
a b c d d d c b a b c d a b
20. CT._LÍMITES_U4_algebra.indd 157 28/02/2020 18:33:17

Practicamos la democracia
para convivir en armonía
Los alumnos del cuarto de secundaria, al saber que las olimpiadas de su colegio se acercan, tienen que mandar
a hacer una camiseta que los represente. Algunos alumnos quieren que la camiseta sea de color negro, otros
quieren que sea de color blanco y el resto de alumnos desean que la camiseta sea de color azul. Ante tal situa-
ción el tutor del salón propone hacer una votación. Al finalizar, la mayoría eligió el color azul, por lo que ese fue
el color que se decidió, los alumnos que no querían ese color aceptaron la decisión pues era lo que quería la
mayoría y la votación fue justa.
de derechos
Enfoque tranversal
Responsabilidad
Autonomía
Valores
Desempeños
Unidad I
• Clasifica los ángulos de acuerdo a sus
medidas.
• Identifica la posición de dos rectas de
acuerdo al ángulo que forman.
• Reconoce las propiedades y las líneas
notables de los triángulos.
• Asocia las relaciones de los ángulos con los
lados de los triángulos notables.
• Aplica los tres criterios de congruencia para
la solución de problemas.
• Diferencia los puntos notables de los
triángulos con sus respectivas propiedades.
• Reconoce las diversas propiedades de los
cuadriláteros.
Unidad II
• Reconoce los elementos y las propiedades
de un polígono de acuerdo al número de lados del mismo.
•
Aplica las propiedades de la circunferencia
para la solución de problemas.
• Utiliza el teorema de Thales junto con
sus corolarios para resolver problemas de triángulos.
•
Identifica cuando dos o más triángulos son
semejantes para aplicar las propiedades adecuadas.
•
Maneja de manera adecuada las distintas relaciones métricas en los triángulos rectángulos.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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158
1. ANGULOS.indd 158 2/03/2020 16:34:46

• ¿<> Crees que la mejor opción para llegar a un acuerdo fue dejarlo a votación?
• ¿Por qué los alumnos que no estaban de acuerdo aceptaron la decisión final?
• ¿Crees que es importante la democracia? ¿Por qué?
Observamos y respondemos
Geometría
Unidad III
• Utiliza las relaciones métricas asociadas a
triángulos oblicuángulos para la resolución de
problemas.
• Conoce las relaciones métricas de la
circunferencia. Identifica los puntos notables de un triángulo, así como las propiedades asociadas a ellos.
•
Emplea distintos métodos para hallar el área
de figuras geométricas planas.
• Reconoce las posiciones entre dos planos, así
como de rectas y planos en el espacio.
• Calcula la distancia entre dos rectas o planos en el espacio.
Unidad IV
• Clasifica los ángulos que forman los planos
de acuerdo al número de estos. Diedros, triedros y poliedros.
•
Reconoce los poliedros regulares más
comunes, así como las propiedades de cada uno de ellos.
•
Calcula las medidas del perímetro y
volumen de prismas, pirámides, cilindros y conos.
•
Emplea las fórmulas adecuadas para
hallar el volumen de solidos de revolución, teorema de Pappus – Guildin.
•
Halla la distancia entre dos puntos y áreas de
polígonos situadas en el plano cartesiano.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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159
1. ANGULOS.indd 159 2/03/2020 16:34:48

B?sico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
160Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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1. ANGULOS.indd 160 2/03/2020 16:34:49

B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Geometría UNIDAD
161Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ángulos
Recordamos lo aprendido
1. Ángulo
O
A
B
α
Elementos:
Lados: OA y OB
Vértice: O
Notación: ∡AOB; m∠AOB
2. Bisectriz de un ángulo
m∠AOM = m∠MOB
B
O
M
A
α
α
3. Postulado de adición de las medidas de los
ángulos
m∠AOB = m∠AOP + m∠POB
α = β + θ
β
αθ
A
P
B
O
4. Ángulos complementarios
Son los ángulos que suman 90°.
El complemento de un ángulo α es:
C
α
= 90° – α
5. Ángulos suplementarios
Son los ángulos que suman 180°.
El suplemento de un ángulo α es:
C
α
= 180° – α
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla la suma del complemento de un ángulo
de 82° y el suplemento del angulo de 171°.
C
82
+ S
171
= (90° – 82°) + (180° – 171°)
C
82
+ S
171
= 8° + 9°
C
82
+ S
171
= 17°
2. Calcula el complemento del suplemento de 150° y, luego, adiciona el suplemento del com- plemento de 60°.
Por dato del enunciado:
S
150
= 180° – 150° = 30°
CS
150
= C
30
= 90° – 30° = 60°
Luego:
C
60
=90° – 60° = 30°
SC
60
= S
30
= 180° – 30° = 150°
Nos piden:
CS
150
+ SC
60
= 60° + 150° = 210°
3. Si L
1
// L
2
, determina el valor de «x».
3x - 51º
84º - 2x
L
2
L
1
Por ángulos alternos internos:
3x – 51° = 84° – 2x
3x + 2x = 84° + 51°
5x = 135°
x = 27°
4. Si L
1
// L
2
// L
3
, halla el valor de «x».
3α + 10º
2α + 25º
x
L
1
L
2
L
3
Por ángulos conjugados internos tenemos:
2α + 25° + 3α + 10° = 180°
5α + 35° = 180°
5α = 145°
α = 29°
Por ángulos correspondientes tenemos:
x = 2α + 25°
x = 2(29°) + 25°
x = 58° + 25°
x = 83°
1. ANGULOS.indd 161 2/03/2020 16:34:53

Básico Intermedio Avanzado 162Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Si L
1
// L
2
, calcula el valor de «x».
5x
6x
7x
L
1
L
2
Por propiedad complementaria de los
ángulos tenemos:
5x+180°-7x = 6x
180° = 12x-5x
180° = 7x
x =
7
180°
x = 25,71°
6. Indica el mayor de dos ángulos si la suma de estos es 52° y la diferencia de sus respectivos complementos es igual a 12°.
Por dato del enunciado tenemos:
α + θ = 52°…(I)
Además:
(90° – α) – (90° – θ) = 12°
90°– α – 90° + θ = 12°
-α + θ = 12°…(II)
Operando (I) y (II), tenemos:
α + θ = 52°…(I)
–α + θ = 12°…(II)
⇒ 2θ = 64° ⇒ θ = 32°
Luego:
α + θ = 52°
α + 32° = 52°
α = 20°
Por lo tanto, el mayor ángulo es θ = 32°.
Nivel avanzado
7. Si L
1
// L
2
, determina el valor de «x».
3x
43º
93º
32º
50º + x
L
1
L
2
Trazamos L3 ⊥ L
1
y L
4
//L3
3x
43º
47º
50º + x
93º
58º
32º
L
1
L
3
L
2
L
4

Por propiedad de ángulos tenemos:
3x + (50° + x) = 47° + 93° + 58°
4x + 50° = 198°
4x = 148° ⇒ x = 37°
8. Si L
1
// L
2
y L
3
// L
4
, calcula el valor de «x».
52º
x
73º
L
1
L
2
L
3
L
4
52ºx
d
c
73º
L
1
L
2
L
3
L
4
ba
L1//L2 ⇒ a = b
Por ángulos opuestos por el vértice:
b = c = 73°
Por la suma de ángulos interiores de un triángulo:
c + d + 52° = 180°
73° + d + 52° = 180° ⇒ d = 55°
Por ángulos opuestos por el vértice:
x = d = 55° ⇒ x = 55°
1. ANGULOS.indd 162 2/03/2020 16:35:01

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Geometr?a 163Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Determina un ángulo que verifique que el
complemento de la mitad del suplemento
del doble del complemento de dicho ángulo
es 75°.
a.
25° b. 20° c. 15° d. 10°
2. ¿En cuánto excede el doble del suplemento
de 120° al triple del suplemento de 170°?
a. 90° b. 95° c. 105° d. 110°
3. En la siguiente figura, si L
1
// L
2
, calcula el
valor de «x».
100º x
140º
L
1
L
2
a. 40° b. 60° c. 80° d. 100°
4. Si L
1
// L
2
// L
3
, halla el valor de α.
82º
40ºα
L
1
L
2
L
3
a. 138° b. 122° c. 110° d. 100°
Nivel intermedio
5.
En la siguiente figura, si L
1
// L
2
, determina
el valor de θ.
80°
20°
15°
θ
L
1
L
2
a. 60° b. 55° c. 50° d. 45°
6. En la siguiente figura, si L
1
// L
2
, y α + β = 160°,
calcula el valor de α .
α
β
L
1
L
2
a. 110° b. 120° c. 125° d. 130°
7. Determina el valor de E.
E = C C C C ... C S S S S ... S
43
2001 veces 1000 veces
a. 43 b. 47 c. 86 d. 137
Nivel avanzado
8.
OM es bisectriz del ángulo AOC. Halla el valor
de CS
7a
O
A
B
M
C
a°
a°
4
3a°
2
a. 40
b. 20
c. 70
d. 50
9. En la siguiente figura, si L
1
// L
2
, halla el valor
de θ.
3α
132°
3β
β
αL
1
L
2
θ
a. 149° b. 147° c. 132° d. 130°
10. En la siguiente figura, si L
1
// L
2
, L
3
// L
4
,
determina el valor de (x + y + z).
L
1
L
2
L
3
L
4
60°
30°
y
x
z
a. 300° b. 320° c. 400° d. 390°
Nivel destacado
11.
En la siguiente figura, si L
1
// L
2
, calcula el
valor de «x».
3y
3x
2y
45º
93°
75º
L
1
L
2
2x
a. 10° b. 12° c. 14° d. 16°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
c a b a d c b d b d c
1. ANGULOS.indd 163 2/03/2020 16:35:10

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 164
Triángulos
Recordamos lo aprendido
Triángulos
Elementos:
• Vértices: A, B, C
• Lados: AB , BC, AC
Perímetro: 2p = AB + BC + AC.
α
β
θA
B
y
x
z
C
Clasificación según sus lados
a
c
Escaleno
b a
b
Isósceles
a
a
a
Equilátero
a
Clasificación según sus ángulos
α
β
θ
a
c
b
A
B
C
θa
c
b
A
B
C
α
θ
β
a
c
b
A
B
C
0< a, b, q< 90°
T. acutángulo
90°< a < 180°
T. obtusánguloq = 90°
T. rectángulo
Líneas notables
Ceviana
B
Q CAP
BP y BQ cevianas del
triángulo ABC.
Mediana
B
A CM
− −
BM es la mediana
relativa al lado AC .
Mediatriz
L
M CA
B
a a
LM es la mediatriz
relativa al lado AC .
Bisectriz
A D C
B
αα
B
A C E
θ
θ
BD y BE son bisectri-
ces interior y exterior
respectivamente al
lado AC .
Propiedades
x =
2
ω
B
A
C
P
x
α
α
θ
θ
ω
x = 90° −
2
ω
x =
a − b
2
α
αω
θ
θ
A
E
x
C
x =
a + b
2
α α
θ
θb
x
a
φ
φ
x
a b
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Coloca (V) si es verdadero o (F) si es falso en las
siguientes proposiciones.
•
L<> a suma de los ángulos internos de un
triángulo obtusángulo siempre suman 180°.

•
Si en un triángulo dos de sus ángulos
son iguales, entonces es un triángulo equilátero.
•
Un<> triángulo equilátero es necesariamente
un triángulo isósceles.
•
E<> l triángulo con lados 3; 5 y 10 existe.
2. Halla el o los valores enteros de x para que el triángulo exista. Luego menciona que triangu- lo es, según sus lados.
x–2
10
2x+4
Por el teorema de existencia de un trián- gulo tenemos:
2x + 4 − (x − 2) < 10 y 10 < 2x + 4 + (x − 2)
x < 4 y 2,6.. =
8
3
< x
entonces concluimos que x=3
Reemplazando, en el triángulo tenemos
que el triángulo tiene lados 1; 10 y 10, por
lo tanto, el triángulo es isósceles.
3. Halla el valor de «x» en la siguiente figura.
α
α
θ
θ2
x
2x-60°
x
Por la formula tenemos que:
x =
x
2
+ 2x − 60°
2
2x =
5x
2
− 60° ⇒
x
2
= 60°
∴ x = 120°
( )
( )
( )
( )V
F
V
F
2. TRIANGULOS - 4TO GEOMETRIA UNID 1 CT.indd 164 28/02/2020 16:42:19

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 165
Nivel intermedio
4. Halla el valor de
y + z + x
360°
y
xz w
2w
w
2α
2θ
θθ
α
α
Del triángulo sabemos: 4w + 4α + 4θ = 180°.
⇒ w + α + θ = 45°
Por propiedad tenemos que:
• θ + 4w + α = z
• α + 4θ + w = y
• w + 4α + θ = x
Sumando tenemos
6w + 6α + 6θ = x + y + z
Por lo tanto,
y + z + x
360°
=
270°
360°
=
3
4
5. Halla el valor de «x».
3x
80°
x
3x
80°
x
4x
Por la propiedad del incentro tenemos que:
180° − 4x = 90° +
80°
2
⇒ 180° − 130° = 4x
⇒ x =
50°
4
= 12,5°
6. En un triángulo ABC, AC = 14 cm, m∠ A = 2m∠B
y la longitud desde el pie de la altura trazada
del vértice C hasta el punto B mide 21 cm, halle
el ángulo m∠ C.
Completando en el triángulo de forma:

14
C
A7 H L
21
14
B
7
14
2α 2α α
α
Entonces el triángulo ACL es equilátero, luego la medida del ángulo C es 90°
Nivel avanzado
7. Si O es el ortocentro del triángulo ABC e I es el incentro del triángulo AOC.
Halle el valor de «x».
A C
B
O
x+30°
150°
I
A C
B
O
x+30°
150°
I
θ
θ
β
β
Por propiedad tenemos que:
m∠AOC = 180° − (x + 30°)
Y por propiedad del incentro tenemos que:
150° = 90° +
180° − (x + 30°)
2
⇒ 120° = 150° − x
∴ x=30°
8. Demuestre la siguiente formula.
α β
φ
φ
x
x =
2
α β–
Del grafico tenemos que:
α + (φ − x) = 90° y β + (x + φ) = 90°
Restando ambas igualdades tenemos:
α + (φ − x) − (β + (x + φ)) = 0
⇒ α − β − 2x = 0
∴ x =
a − b
2
9. Demuestre la siguiente propiedad.
α α
β
β
a
x
b
x=
a+b
2
Por propiedad de ángulo exterior tene-
mos que:
α + β + x = 2α + a = 2β + b
⇒ x = α − β + a y x = β − α + b
Sumando:
⇒ 2x = a + b
∴ x =
a + b
2
2. TRIANGULOS - 4TO GEOMETRIA UNID 1 CT.indd 165 28/02/2020 16:42:20

Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 166
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
En las siguientes proposiciones, determine el
valor de verdad.
• Dado un triángulo con dos de sus ángulos
iguales a 60°, entonces dicho triángulo es equilátero.
( )
• Un triángulo rectángulo puede ser también
obtusángulo. ( )
• Un triángulo escaleno puede ser también
un triángulo equilátero. ( )
a. VVV b. FVF c. VFV d. VFF
2. El triángulo ABC es
A
B C
10
6
8
a. esc<> aleno
b. rectángulo
c. equilátero
d. obtusángulo
3. Halla el valor de «x», si DB es bisectriz exterior
del triángulo ADC.
2x
A
x
x
C D
B
a. 50° b. 60° c. 30° d. 45°
4. Determina el valor de «x» en la figura.
70° 20°
φ
φ
x
a. 75° b. 45° c. 44° d. 65°
Nivel intermedio
5.
Halla el valor de «x».
40°
x
2α
2β
ββ
α
α
a. 110° b. 125° c. 130° d. 140°
6. Del gráfico, calcula el valor de «x».
120°x
y
x
θ
θ
θ
φφφ
a. 60° b. 75° c. 65° d. 90°
7. Determina el valor de β, si H es el ortocentro
del triángulo ABC.
β
3β
2β
H
A
B
C
a. 60° b. 45° c. 30° d. 15°
Nivel avanzado
8.
Halla el valor de 5α.
β
β
2α
4α 4α
ωω
a. 149° b. 147° c. 132° d. 100°
9. En un triángulo MNP, recto en N, se traza la bi- sectriz interior MR
y la altura NS , que se interse-
can en L, tal que NL = LR. Calcula la m∠MPN.
a. 60° b. 25° c. 30° d. 50°
10. Halla el valor de x − y, si m − n = 20°
ββ
θ
θ
α
α
α
m
n
y
x
a. 30° b. 10° c. 20° d. 15°
Nivel destacado
11. Halla el valor de α + β + γ + θ
β
α θ
γ
108°
a. 108° b. 310° c. 248° d. 288°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d c c d b b d d c b d
2. TRIANGULOS - 4TO GEOMETRIA UNID 1 CT.indd 166 28/02/2020 16:42:20

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 167
Triángulos notables
Recordamos lo aprendido
Teorema de Pitágoras:
a
2
+ b
2
= c
2
A B
C
c
b a
Triángulos notables
2k
B
CA
k
k 3
30°
60°
5k
B
CA 3k
4k
37°
53°
k
B
CA
k
k 2
45°
45°
25k
B
CA
24k
7k
74°
16°
B
CA
2k
k
53°/2
B
CA
3k
k
37°/2
B
CA
( 6+ 2)k
( 6- 2)k
4k
75°
15°
B
CA
7k
5 2k
k
82°
8°
Propiedades adicionales
a
A
B
C
3aH
60° 30°
B
A C
120°m m
30° 30°
m 3
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. De acuerdo al siguiente gráfico, indica:
n ∙ p
m

A
C
B
8°
56
m
n p
Por triángulo notable:
56 = 7m ⇒ m = 8
np = m52
np = 52 ∙ 8
np = 402
m = 8, n = 40, p = 2
Nos piden:
40 ∙ 2
8
=
80
8
=10
2. Calcula el valor de la longitud AB .
A
B
D
30°
127°
C
20
m∠BCD = 180° – 127° ⇒ m∠BCD = 53°
Por triángulo notable de 37° y 53°
BC = 5k BD = 4k CD = 3k
5k = 20 ⇒ k = 4
BD = 4 ∙ 4 = 16
en el △ ABD es notable de 30° y 60° Como: BD
= 16
⇒ AB = 32
3. Halla m + n del siguiente gráfico:
30°
C
B
A
nm
7 3
El ángulo B mide 60° de acuerdo al triángulo notable
n=k, m=2k ∧
k3 = 73
⇒ n = k = 7 ∧ m=14
⇒ m+n = 21
3-5 4TOGeometría U1.indd 167 28/02/2020 16:51:45

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Nivel intermedio
4. El triángulo ABC es un triángulo equilátero de
24 cm de lado, determina
b
a
, si E es punto
medio.
B
F
E
A D C
a
b

ABC es equilátero ⇒ ∠A=∠B=∠C=60°, así
24
CA
B
b
D
a
F
12
E
12
60°
60°
30°
b = 63, a = 6
⇒
a
b
6
63
3==
5. En el siguiente gráfico, halla AD si DC = 35.
37°
37°
A
D
C
B
Trazamos la altura DH , así:
74°
53°
16°
37°
37°
35
D
A
B
C
H
HDC es 37° y 53°
DC = 35 = 5k ⇒ k = 7
HC = 4k = 28
HD = 3k = 21
BHD es notable de 16° y 74° HD
= 21 = 7n ⇒ n = 3
BH = 24n = 72
Hallamos BC
BH + HC = BC
28 + 72 = 100
ABC es notable de 37° y 53° 100 = 5m ⇒ m = 20
AC
= 4m = 80
Sabemos que AC = AD + DC
80 = AD + 35 ⇒ AD = 45
6. En el triángulo ABC, AD es bisectriz si BD = 4,
calcula el valor de DC + AC.
30°
A
B
D
C
∠A=60°
A
B
D
4
C
30°
30°
60°
30°
△ABD notable de 30° y 60°
AB = 43 AD =8
Triángulo ADC es isósceles
AD = DC =8
Usando la propiedad adicional
AC = DC 3 = 83
⇒ DC + AC = 8 + 8 3 = 8(3 + 1)
7. Según el gráfico, halla BH
2
si: AC = 16.
45°
H
C
B
N
A
30°
Si BH = a
45°
45°
H
C
B
N
A
30°
45°
△AHB notable de 45° y 45°
⇒ AB = a2
△ABC notable de 30° y 60° ⇒ BC
= a2 ∙ 3 = a 6
y AC = 22a = 16
Por lo tanto:
a = 4 2
nos piden:
a
2
= (4
2)
2
= 32
3-5 4TOGeometría U1.indd 168 28/02/2020 16:51:49

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 169
Nivel avanzado
8. Si el radio de cada circunferencia inscrita den-
tro del triángulo es igual a R, determina la al-
tura del triángulo equilátero.
B
A C
Trazamos la altura BH y la bisectriz AO
1
.
B
H
A C
O∙
O−R
R
R
R
O∆
30°
30°
30°
Luego, △AMR es notable de 30° y 60°
AM = R3
⇒ AH = R3 + R = R( 3 + 1)
△ABH es notable de 30° y 60° BH
= AH 3
BH = R(3+1)(3)
BH = R(3+ 3)
9. De acuerdo al siguiente gráfico, calcula
AC + BC.
B
A C
8° 37°
6√2
Prolongamos el lado BC para formar un
triángulo rectángulo.
B
A C
8°
37°
6√2
6
M
6
45°
45°
se forma △AMB notable de 45° y 45°
AM = MB = 6
se forma △AMC notable de 37° y 53°
Entonces:
AM = 6 = 3k ⇒ k = 2
AC = 5k ⇒ AC = 10
MC = 4k ⇒ MC = 8
BC = MC – MB = 2
Por lo tanto:
AC + BC = 10 + 2 = 12
10. De acuerdo al siguiente gráfico, determina el va-
lor de la proyección de BP sobre BC si AD = 10.
30°
30°
P
D
A
C
B
Trazamos la ⊥PP' para determinar la
proyección.
30°
30°
30°
P'
D
A
C
B
60°
60°
10
10
10
20
35 3
x
P
△ABD notable de 30° y 60°
BD = 2AD = 2(10) = 20
△BPD notable de 30° y 60°
BD = 2PD = 20 ∧ BP = PD3 ⇒ BP = 103
△BPP' notable de 30° y 60°
BP = 2PP' = 103 ∧ BP' = PP'3
⇒ PP' = 53
BP' = 53 ∙ 3 = 15
11. Dado el siguiente gráfico, halla el valor de «x».
A
5
B
4
1
D
C
4
Ex
Simplemente prolongamos los lados AB y
ED, hasta el punto M.
A
5
B
M
4
1
D
C
4
E
x
6 8
BM // CD
BC // MD
Se nota que:
AM
ME
6
8
3
4
==
⇒ AME es un triángulo notable de 37° y 53°
Por lo tanto:
x = 37°
3-5 4TOGeometría U1.indd 169 28/02/2020 16:51:51

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. La suma de los catetos de un triángulo rectán-
gulo de 37° y 53° es 49, halla la suma de cifras
de la hipotenusa de dicho triángulo.
a. 5 b. 7 c. 8 d. 10
2. Según el gráfico, calcula:
b
a
B
10
A C
β
α
√310
a. 2 b. 3
c.
2
1 d. 1
3. De acuerdo al siguiente triángulo notable, de-
termina el valor de «x»
16°
100
x
C
B
A
a. 45 b. 20 c. 28 d. 50
Nivel intermedio
4.
Según el gráfico, se sabe que: m + n = 5 (3 +
1), halla m
2
– n
2
.
30°
60°
n
m
a. −100 b. −50 c. 120 d. −80
5. Determina AC , si AB
2
+ BC
2
= 150
30° 45°
B
CA
a. 731+`j
b. 431-`j
c. 631-`j
d. 531+`j
6. Halla «x» en el siguiente gráfico.
30°
x
45
a. 25 3 b. 753 c. 1003 d. 603
Nivel avanzado
7. Se presenta el siguiente esquema de un terre-
no, calcula la longitud del lado AB .
A D
C
B
x
√3
60°
5
√3
a. 10 b. 7 c. 12 d. 8
8. Se sabe que QR = 2PQ y el lado del triángulo
equilátero mide 8 cm, determina PQ .
B
Q R
A
P S
C
a. 62 3-
b. 833+
c. 63
d. 1023-
Nivel destacado
9. Si la altura trazada desde A hacia BC mide
12 cm. Halla la longitud proyección del seg-
mento AB sobre la recta que contiene a BC .
B
A C
15° 22°
a. 18 b. 20 c. 24 d. 16
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c a c b d d b a d
3-5 4TOGeometría U1.indd 170 28/02/2020 16:51:57

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Congruencia de triángulos
Recordamos lo aprendido
Congruencia de triángulos
Criterios de congruencia
1. Criterio Lado-Ángulo-Lado (L-A-L)
αA
C
B
b
c
M
P
N
c
b
α
BA = MN ; ∡A = ∡N y AC = NP
⇒ ∆BAC ≅ ∆MNP
2. Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (A-L-A)
A
C
B
a
δ
β
M
NP
a
δ
β
∡C = ∡P; CB = PM y ∡B = ∡M
⇒ ∆BCA ≅ ∆MPN
3. Criterio Lado -Lado- Lado (L-L-L)
A
C
B
ab
c
M
NP
a
b
c
AC = NP ; CB = PM y BA = MN
⇒ ∆BAC ≅ ∆MNP
2. Calcula el valor de α sabiendo que AB = EC = m,
HC = m + n y AE = 2AH .
α
A
EH
B
C
36°
A EHnn m
B
C
36°
m
54°
α
2α α
m
Trazamos el segmento BE.
Se observa que: ∆AHB ≅ ∆EHB (L-A-L):
⇒ AB = BE = EC = m
⇒ ∡BCE = ∡EBC
⇒ ∡BEA = 2∡BCE
Luego, en ∆ABE: 2α=54° ⇒ α=27°
3. Dada la siguiente gráfica, se tiene que:
AB = 6, MN = 4, AD = 10, CD = 2CN y MN // BD.
Calcula m∠BAD.
A
B
M
N
C
D
A
B
a
b
d
6
E
x
M
N
C
D
d
d
b
a
Trazamos ME // ND.
Se observa que ∆BME ≅ ∆MCN (A-L-A). Luego, BD
= 2MN
⇒ BD = 8 u
Así podemos decir que ∆ABD es recto en B. Vemos que es un triángulo notable, por lo
tanto:
x = 53°
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Determina el valor de «x».
B
A
2x
25°
E
C D
α
75°+α
α
Notamos que los triángulos ∆ACB y ∆CDE son congruentes; es decir:
∆ACB ≅ ∆CDE (L-A-L)
⇒ ∡BAC = ∡ECD
⇒ 2x = 75°+ α … (I)
Por otro lado, en ∆CDE:
25° + (75°+ α) + α = 180° ⇒ α = 40°
Remplazando en (I): 2x = 75° + 40°
⇒ x = 57,5°
3-5 4TOGeometría U1.indd 171 28/02/2020 16:51:58

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Nivel intermedio
4. En el siguiente gráfico se sabe que
AB = BC y BH =15. Halla AD .
A
C
45°
B
H
D
A
C
45°
45°
90° - α
90° - α
α
B
Hb a + b
a + b
a
b
α
M
N
aD
ι
ι
Trazamos CN y CM perpendiculares a BH
y AD respectivamente.
Como AB = BC, notamos que
∆ABH ≅ ∆BCN (A-L-A).
En ∆MCD se observa que:
MD = CM = a ⇒ NH = a
Además, llamamos a AH = b
⇒ BN = b y NC = a + b por la congruencia.
⇒ AD = 2(a + b)
Por dato, sabemos que BH = a + b = 15,
por lo tanto, AD = 30 u.
5. Dada la siguiente gráfica, calcula MN sabien-
do que AC = 30 cm.
B
A C
N
M
90° − α
α
∫ ∫
B
A CN
MP
90° − α
90° − α
α
α
α
2α
∫ ∫
O
a
a a
trazamos MO // BA y MP // AC.
Luego, el ∆BMP ≅ ∆MCO (A-L-A).
⇒ PM = OC = 2a
Finalmente:
AC = 4a = 30 cm ⇒ MN = 7,5 cm
Nivel avanzado
6. En el interior de un triángulo ABC, se ubica el
punto P, tal que 5∡ BAP = 4∡ ABP, ∡ACP = ∡ BAP
y ∡APC = ∡ BAP + 2∡ABP. Además, se cumple
que AB = PC y AP = 9. Calcula AC.
Tenemos que 5∡BAP=4∡ABP
ABP
BAP
BAPx ABPx
5
4
45&& /
\
\
\\== =
Luego, prolongamos BP hasta AC en el
punto M.
A M
B
9
99x
9x
4x
4x
5x
9
C
a
a
5x
P
Así ∡APM = 9x ⇒ ∡MPC = 5x
Se observa que ∆ABP ≅ ∆CPM (A-L-A).
Por dato AP
= 9u, luego MC = 9 u.
Además, ∡AMP = 9x ⇒ ∆PAM es isósceles;
es decir, AP = AM = 9 u.
Hallamos AC :
AC = AM + MC = 9 u + 9 u
⇒ AC = 18 u
7. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la me-
diatriz de BC corta a AB en el punto P, tal que
BP = AC. Calcula ∡CAB.
x
2x
4x
a
a
a + baC A
B
a
M
P
x
a + b
De los datos decimos que: BP = AC = 2a
y PA = 2b
Y como ∆ABC es isósceles:
⇒ ∡BCA = ∡BAC = α y BC = 2(a + b).
Por la mediatriz: BM = MC = a + b.
Trazamos CP y, por ser PM mediatriz,
⇒ CP = 2a
⇒ ∆PCA es isósceles.
Así 4x=α
⇒ en ∆ABC, 10x = 180° ⇒ x = 18°
Piden la medida del ángulo A:
4x = 4(18°) = 72°
3-5 4TOGeometría U1.indd 172 28/02/2020 16:51:59

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. En la siguiente gráfica se sabe que AD = DC = CF
y BA = EF, además, DM = 9. Halla MC.
65° 65°
DA C F
E
M
B
a. 18 u b. 9 u c. 4,5 u d. 27 u
2. Dada la siguiente gráfica, donde el ∆ABC y el
∆BDE son equiláteros y AE = 7. Calcula CD .
A
B
E
D
C
a. 21 u
b. 14 u
c. 7 u
d. 3,5 u
3. Si en la figura: AB = BE, AD = EC, indica el valor
de α.
A
110°
56°
110°
E
2α
38°
D
B C
a. 18° b. 14° c. 17° d. 12°
Nivel intermedio
4.
En la siguiente figura se tiene que AB = BC y
AO = OC. Determina m∠ACO.
C
O
A
35°
15°
B
a. 60°
b. 40°
c. 70°
d. 35°
5. En la siguiente gráfica se cumple que:
DB = AB y BC = BE. Halla el valor de «x».
10x 8x
A
C
D
E
B
a. 5°
b. 10°
c. 20°
d. 18°
6. Sea el triángulo ABC. Además
AC
AMNCMN
3
== = , donde ∡BAM = ∡NBC
y ∡NCB=∡ABM. Calcula «x».
2x
M NA C
B
a. 30° b. 10° c. 20° d. 18°
Nivel avanzado
7.
Dado el siguiente triángulo, determina el valor
de «x», sabiendo que AO = BC.
A
B
D
C
O
x
x
2x
2x
a. 30°
b. 60°
c. 20°
d. 18°
8. En el siguiente gráfico, halla el valor de
AB
2

sabiendo que BN = NC; AC = 46, MN = 10 y
MN // AC.
α
α
A
B
N
C
M
a. 24 u
b. 13 u
c. 26 u
d. 15 u
9. Dado el siguiente gráfico, determina el valor
de «x» si AC = AB.
72°
36°
x
48°
A
B
D
C
a. 22°
b. 16°
c. 20°
d. 18°
Nivel destacado
10. En la figura MN = PS , calcula m∠MNS, si
m∠NMS = m∠NST = 40°.
M S
N
P
T
70°
a. 30°
b. 29°
c. 27°
d. 32°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b c d b a a c b d a
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 174
Cuadrilateros
Recordamos lo aprendido
Suma de los ángulos interiores de un
cuadrilátero:
βα
θ
γ
β
α
θ
γ
A
A
B
B
C
CD
D

α + β + γ + θ = 360°
Trapecio
MN =
a + b
2
m
b
aC
DA
B
M N
a
b
M N
B C
A D
MN =
b – a
2
Paralelogramo
x = 90° ; b = 2a
a
b
β
β
α
α
D
A B
C
x
b
aP
D
A B
M
C
a = 2b
D
A
Q
B
C
c
d
b xa
x =
a + b + c + d
4
P
Q
D
A B
C
AQ = QP = PC
Cuadrado y Rectángulo
x = 2a
D
A
C
B
x
a
α
β
D
A B
C
α = β
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla el valor de «x»
4x
2x
5x
3x
A
C
D
B
Como es un cuadrilátero la suma de los
ángulos internos es igual a 360°
Entonces:
4x + 5x + 3x + 2x = 360°
14x = 360°
Por lo tanto,
x =
360°
14
⇒ x≈ 25,71°
2. Del gráfico, calcula su mediana. Si: AD = 20
A
α
B C
D
α
La m∡BCA = α = m∡CAD Entonces tendremos lo siguiente
α
α α
A
B C
D1010
Como BC = Base Menor = 10 y AD = Base
Mayor = 20 Usamos la propiedad de la mediana y
reemplazamos:
m =
a + b
2
=
10 + 20
2

Por lo tanto,
m = 15
3-5 4TOGeometría U1.indd 174 28/02/2020 16:52:01

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 175
3. Sea BC = CD y BC // AD
Halla: M =
AD – CD
BC
A
B C
D
A a a
a
a
a
B C
D
M =
AD – CD
BC
=
2CD – CD
CD
= 1
Por lo tanto,
M = 1
4. Determina el valor de «x» en el trapecio.
Siendo BC // AD
A
B C
D
7
20
α
α
x
β
β
Como BC y AD son paralelos pasaremos
los ángulos para que nos formen dos
triángulos isósceles como se observa en
el siguiente gráfico:
A
B C
D
7
7 20
20
α
α
α
x
β
β
β

Por lo tanto,
x=20+7=27
Nivel intermedio
5. Tres soldados están en una formación y están distanciados en 60 cm uno del otro. Si el más pequeño mide 1,65 cm y el que le sigue es más alto por 10 cm. ¿Cuánto mide el último soldado?
Según los datos haremos un gráfico para una mejor interpretación:
1,65 cm 1,75 cm
60 cm 60 cm
Usamos la propiedad de la mediana:
1,75 =
1,65 + x
2

⇒ x = 1,85
6. Calcula el valor de «x»
37º
10x
24
4x
Se traza una perpendicular para formar el triángulo rectángulo notable de 37°
8x
6x
37º
10x
24
4x
Entonces del cuadrilátero que se formó usamos la fórmula para hallar la mediana:
24 =
6x+4x
2

Por lo tanto,
x = 4,8
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Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 176
7. Dado el rectangulo ABCD tal que
BC
AB
=
4
7
. Ha-
lla
DE
AE
D
E
A B
C
Llamemos m∡CAB = α.
Entonces tendremos el siguiente gráfico:

m
n
b
b
α
α
α
a a
D
E
A B
C
Del triángulo ADE y CDE:
senα =
n
a
=
m
b
⇒
a
b
=
n
m

Como
AB
BC
=
b
a
=
7
4
⇒
a
b
=
4
7
Entonces me piden:
m
n
b
a
7
4
==
Nivel avanzado
8. En un cuadrilátero ABCD, AB = BC y
m∡ADB = m∡BDC. Si AD = AB + CD, calcula
la m∡BAD
De los datos, realizamos el gráfico:
B
C
D
A
a
x
b
a + b
α
α
Por lo tanto:
B
C
D
A
a
a
a
x
b
a + b
α
α
Entonces de lo que nos piden:
x = 60°
9. Sea el trapezoide ABCD. Si AB = BC y DH = 2(HA ),
calcula la m∡ ABH
CC
B
A
H
D
Usemos los datos, tendremos lo siguiente:
x
x
a
2a
C
B
A
H D
Observamos que la tgx =
a
2a
=
1
2
Por lo tanto, x =
53°
2
10. La suma de las distancias de los vértices de un
romboide ABCD hacia una recta exterior es
40 u. Calcula la distancia del punto de inter-
sección de las diagonales del romboide a la misma recta exterior al romboide.
Hacemos el gráfico respectivo de los datos:
D
A
E
F
G
H
L
a
b
x
d
c
M
B C
Del dato tenemos: a+b+c+d= 40 u
Utilizando la formula de las distancias del
paralelogramo sobre una recta, tenemos
que:
x =
a+b+c+d
4
=
40
4
= 10
x = 10 u
3-5 4TOGeometría U1.indd 176 28/02/2020 16:52:04

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 177
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Determina la mediana del siguiente trapecio
ABCD: Si AD = 2(BC ).
B
A D
C
a
a. 3a
2
b. 3a
4
c. a
2
d. a
2. Del romboide, halla el valor de a.
135° 2a + 10°
a. 17,25 b. 17,5 c. 17,15 d. 17
3. Sea el romboide ABCD, halla el valor «x»:
6x 3x
B
A D
C
a. 30° b. 35° c. 50° d. 20°
4. En el trapecio ABCD, calcula el valor de α.
2m
3m
mB
A
C
D
α
2m
a. 60° b. 45° c. 30° d. 37°
Nivel intermedio
5.
En el gráfico, calcula el valor de «x»
B
A
C
D
x
a
a
15
6
45º 37º
a.
4
29+
b.
2
32 9
3
+
c.
2
329+
d.
4
32
6. Si ABCD es un cuadrado, cuyo lado mide 18 m, si DN
= 12 m, determina el valor de BM .
C B
D A
M
N
a. 6 b. 8 c. 10 d. 12
7. Sea el trapecio ABCD. Si la diferencia de las bases es 36.
Halla CD .
62°
124°
B
A D
C a. 20
b. 32
c. 36
d. 18
Nivel avanzado
8. Sea ABCD un trapecio isósceles y CDE un
triángulo isósceles. Halla el valor de «x»
35º
105º
A B
C
x
D
E
a. 35°
b. 15°
c. 30°
d. 20°
9. En un paralelogramo ABCD, se traza BM la bi-
sectriz del ángulo ABC (M en AD )
Si AM = MD, BC = 20 u y BM = 10 u.
Calcula CD.
a. 8 b. 20 c. 15 d. 10
Nivel destacado (UNMSM 2017 - II)
10. En la figura, ABCD es un paralelogramo cuyo
lado menor mide 16 m y DE es bisectriz del
ángulo ADC. Halla la medida del segmen-
to que une los puntos medios de AE y BD.
B
A D
CE
a. 1
b. 8
c. 4
d. 16
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a b d a c a c a d b
3-5 4TOGeometría U1.indd 177 28/02/2020 16:52:06

B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
2Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
178
6.-POLIGONOS CT - 4to de secundaria.indd 178 28/02/2020 16:55:29

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDADProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
179
Polígonos
Recordamos lo aprendido
Propiedades de los polígonos convexos
1. En todo polígono de n lados se cumple:
N° vértices =
N° ángulos
internos
= N° lados = n
a. Suma de las medidas de los ángulos internos
(S
i
)
S
i
= 180°(n − 2)
b. Suma de las medidas de los ángulos externos
(S
e
)
S
e
= 360°
c. N° de diagonales trazadas desde k vérti-
ces consecutivos (ND
kv
)
ND
kv
= nk −
(k+1)(k+2)
2
; k < n
d. N° de diagonales trazados desde un vértice (N
v
)
N
v
= n − 3
e. N° total de diagonales (N
D
)
N
D
=
n (n − 3)
2
2. Par<> a polígonos equiángulos de n lados
a. Medida del ángulo interno (m∠
i
)
m∠
i
=
180° (n − 2)
n
b. Medida del ángulo externo (m∠
e
)
m∠
e
=
360°
n
3. Par<> a polígonos regulares de n lados:
a. Medida del ángulo central (m∠
c
)
m∠
c
=
360°
n
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. ¿Cuánto mide un ángulo interno de un polígono
regular de 18 lados?
Sea n: número de lados ⟶ n = 18
⇒ m∠
i
=
1802°−()n
n
=
180182
18
°−()
= 160°
∴ El ángulo interno mide 160°
2. Si la figura es un polígono regular, halla el valor del
ángulo «x».
x
Por dato:
La figura es un octógono ⟶ n = 8
Como x es un ángulo interior, entonces la
m∠
i
= x
Luego
m∠
i
=
1802°−()n
n
x =
18082
8
°−()
= 135°
∴ El valor de x es 135°.
3. ¿Cuánto suman los ángulos externos e internos de un icoságono?.
Suma de ángulos externos de un polígono
S
e
= 360°
Suma de ángulos internos de un polígono
S
i
= 180° (n – 2)
S
i
= 180° (20 – 2)
S
i
= 3240°
Nos piden:
S
e
+ S
i
= 360° + 3240° = 3600°
∴ Suman 3600°.
4. ¿Cuánto mide el ángulo externo de un nonágono regular?
Ángulo externo de un polígono regular
m∠
e
=
360°
n
Como un nonágono tiene 9 lados (n = 9)
⇒ m∠
e
=
360
9
°
= 40°
∴ El ángulo externo mide 40°.
6.-POLIGONOS CT - 4to de secundaria.indd 179 28/02/2020 16:55:31

Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 180
8. En un polígono regular, el doble de número de
diagonales es 5 veces el número de lados. Deter-
mina la medida de su ángulo interior.
Sea n el número de lados del polígono
Por dato: 2N
D
= 5n
& 2
nn()−





 
3
2
= 5n
n
2
– 3n = 5n
n – 3 = 5 & n = 8
Nos piden
m∠
i
=
18082
8
°−()
& m∠
i
= 135°
∴ La medida de su ángulo interior es 135°.
9. En un polígono regular de n lados, si el ángulo
interno disminuye en 20° se obtiene el ángulo
interno de otro polígono regular cuyo número
de lados es
2
3
n, ¿cuál es el polígono regular?
Sea n el número de lados
Por datos tenemos
1802°−()n
n
– 20 =
180
2
3
2
2
3
°−










n
n
180°(n – 2) – 20n = 270° 2
3
2
n
−










& n = 9
∴ El polígono regular en un nonágono.
10. Se tienen dos polígonos regulares de n y n + 1
lados. Si la diferencia de las medidas de dos án-
gulos interiores (uno de cada polígono) es de 12°.
¿Cuál es el nombre del polígono mayor?.
Por dato tenemos
m∠
i(n+1)
– m∠
i(n)
= 12°
Luego:
1801 2
1
1802
12
°+−
+
−
°−
=°
() ()n
n
n
n
n
2
+ n – 30 = 0
(n + 6)(n – 5) = 0
n = 5
Nos piden el polígono mayor: 5 + 1 = 6
∴ Es un hexágono.
5. ¿Qué polígono tiene 44 diagonales?
Sea n el número de lados del polígono
que posee 44 diagonales. Se cumple que:
N
D
=
nn()-3
2
⇒ 44 =
nn()-3
2
0 = n
2
– 3n – 88
n –11
&
n = 11
n 8 n = –8
Tomamos el valor de n positivo.
∴ El polígono es un endecágono.
Nivel intermedio
6. Se tienen dos polígonos regulares. Si la dife-
rencia de las sumas de los ángulos interiores
es 540° y la diferencia de los ángulos exterio-
res es 10°.
Calcula el número de lados de los
polígonos.
Sean m y n el número de lados de los polí-
gonos donde m > n.
Tenemos por dato
180°(m – 2) – 180°(n – 2) = 540°
m – n = 3… (1)
Por otro lado:
360°
n
–
360°
m
= 10° ...(2)
Con (1) y (2) obtenemos
m = 12 ∧ n = 9
7. Si un polígono regular tuviera 6 lados menos,
la medida de su ángulo externo aumentaría
en 80°.
Halla el número de lados de dicho po-
lígono.
Sea n el número de lados y el ángulo exterior
m∠
e
=
360°
n
Si es el número de lados es (n – 6), entonces
m∠
e
=
360
6
°
−n
Por dato:
°
n n
360
80
6
360°°
+=
-
& n
2
– 6n – 27 = 0
(n – 9)(n + 3) = 0 & n = 9
6.-POLIGONOS CT - 4to de secundaria.indd 180 28/02/2020 16:55:36

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 181
Nivel avanzado
11. El número de diagonales de un polígono regular
equivale a la suma del número de vértices, núme-
ro de lados y número de ángulos centrales. ¿Cuán-
to mide el ángulo interno de dicho polígono?
En un polígono de n lados hay n vértices y
n ángulos centrales.
Por dato
N
D
= n + n + n
nn()-3
2
= n + n + n
n
2
– 3n = 6n
n(n – 9) = 0
n = 0 ∨ n = 9 & tomamos el valor 9 para n. Nos piden:
m∠
i
=
18092
9
°−()
= 140°
∴ El ángulo interno del polígono mide 140 °
12. La diferencia de los números de lados de dos po-
lígonos regulares es 5. Si la diferencia de las medi-
das de los ángulos externos de los dos polígonos
es
150
7
°
, halla la suma de los números de lados
de dichos polígonos.
e1
“n” lados
e2
“m” lados
Por dato
n – m = 5… (1)
e
1
– e
2
=
150
7
°
360360 150
7
°
−
°
=
°
mn
& m ∙ n = 84… (2)
De (1) y (2)
n = 12
m = 7
∴ m + n = 19
13. Si ABCDEF y APQF son polígonos regulares. Deter-
mina el valor de «x».
x
B
P
A F
Q
E
DC
En el cuadrado APQF: AP = AF y
m ∠PAF = 90°.
Luego, en el hexágono regular ABCDEF,
AB
= AF y m ∠BAF = 120°.
El ∆ ABP, es isósceles, ya que: AB = AP = AF.
Luego:
m ∠ABP = m ∠APB = x
m ∠ABP + m ∠APB + m ∠BAP = 180 °
& x + x + (120° – 90°) = 180°
& 2x = 150° & x = 75°
14. En un pentágono regular ABCDE, se construye en
el interior un triángulo equilátero APB. Calcula la
m∠APC.
α
α
B
C
D
EA
a a
a
a
a
a
a
P60°
60°
60°
48°
48°
En pentágono regular
m∠
i
=
18052
5
108
°−
=°
()
En ∆ ABP equilátero se tiene: m∠
i
= 60°
⇒ m∠ CBA − m∠ PBA = 108° − 60° = 48°
Como ∆ CBP es isósceles se tiene:
48° + α + α = 180° ⇒ α = 66°
Por lo tanto, m∠ APC = 60° + 66° = 126°
6.-POLIGONOS CT - 4to de secundaria.indd 181 28/02/2020 16:55:38

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 182
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Desde uno de los vértices de un polígono se
trazan 64 diagonales, indica el número de la-
dos de dicho polígono.
a. 64 b. 65 c. 66 d. 67
2. El ángulo central de un polígono regular mide
72°, calcula su número de diagonales.
a. 5 b. 6 c. 8 d. 10
3. Encuentra el número de lados de un polígo- no, si su número de diagonales es igual a 7 ve- ces su número de lados.
a.
15 b. 16 c. 17 d. 18
4. Determina el valor de «x» en.
x+10°
x+20°
x+30° x+40°
x
a. 85° b. 86° c. 87° d. 88°
Nivel intermedio
5.
Tres ángulos interiores de un heptágono con-
vexo miden 110°, 130° y 100°, y los cuatro ángu-
los interiores son congruentes.
Halla la medi-
da de uno de estos cuatro ángulos interiores.
a. 120° b. 140° c. 160° d. 180°
6. La suma de las medidas de los ángulos in-
teriores, más la suma de las medidas de los
ángulos exteriores de un polígono es igual a
720°.
Calcula el número de lados.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
7. El número de diagonales de un polígono es igual al número de ángulos llanos que con- tiene la suma de las medidas de los ángulos interiores.
Halla el número de lados.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
8. En un polígono de n lados, desde cuatro vér- tices consecutivos se trazan 3n diagonales.
Calcula n.
a. 13 b. 14 c. 12 d. 16
Nivel avanzado
9.
En un polígono regular la suma de las medi-
das de los ángulos interiores excede en 360° a
la suma de las medidas de los ángulos exterio-
res, además el número de lados de un segun-
do polígono excede en 2 al número de lados
del primer polígono. Encontrar la suma de los
números de diagonales de los dos polígonos.
a.
28 b. 29 c. 30 d. 31
10. Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 82. Si
a partir de cada vértice se disminuye una cier-
ta longitud «x», se formarán en cada esquina
triángulos rectángulos isósceles; eliminándo-
los quedará un octógono regular.
Calcula «x».
x
x x
x
x
xx
x
82
82
a. 8(2+ 1)
b. 8(2 – 1)
c. 8(2+ 2)
d. 8(2 – 2)
11. El polígono equiángulo ABCDE… es de (n+2)
lados y el polígono equiángulo MNCDP… es de
«n» lados.
Halla «n».
C D
B
N
M
A
P
E
6°
a. 8 b. 10 c. 12 d. 14
Nivel destacado
12. Encontrar el número de polígonos regulares que existen, en los cuales la medida de su án- gulo exterior es un valor entero mayor que 24° y cuyo número de diagonales es mayor que 20.
φ
φ
φ
φ
Polígono regular
a. 6 b. 4 c. 5 d. 13
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
d a c d b b b c b b b a
6.-POLIGONOS CT - 4to de secundaria.indd 182 28/02/2020 16:55:39

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 183
Circunferencia
Recordamos lo aprendido
Teorema de Poncelet:
ra
A
O
B C
c
b
a + b = c + 2r
r: Inradio
Teorema de Pitot:
B
A D
C
AB + CD = BC + AD
Teorema de Steiner:
A
B
O
a
d
c
b D
C
G
Q
P
H
E
F
a − c = b − d
Ángulo central
r
α β
Ángulo inscrito
α β
a = b a =
b
2

Ángulo seminscrito
α
β
Ángulo exinscrito
A
C
2x
x
B
a =
b
2
a =
mABC

2

Ángulo interior
B M
NA
P
xθ β
Ángulo exterior
α
β
P
x
O
T
x =
−▱∈
2
x =
−▱∈
2
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En la siguiente figura, calcula el valor de m.
A D
C
6
8
5m + 2n4m + 2n
B
2. Se tiene un trapecio isósceles circunscrito a
una circunferencia cuya suma de las longitu-
des de sus bases es 96.
Halla la longitud de
uno de los lados laterales.
3. En la siguiente figura O es centro y T es punto de tangencia.
Determina m∠ATP.
T P
O
A
32°
Aplicamos teorema de Steiner:
5m + 2n − 8 = 4m + 2n − 6
& m − 8 = − 6
& m = 2
Graficamos el enunciado:
x
a
b
x
Por dato tenemos:
a + b = 96 … (I)
Aplicamos teorema de Pithot:
x + x = a + b … (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos:
2x = 96
& x = 48
T P
O
A
x
32°
32°
Por propiedad:
m∠OAT = m∠OTA
Por dato del gráfico,
tenemos:
x + 32° = 90°
& x = 58°
Completando el
gráfico:
7.-CT-Circunferencia.indd 183 28/02/2020 16:56:35

Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 184
Nivel intermedio
4. Calcula el valor de la m EF si en el gráfico
mAB + mDE = 25° y mBC = 18°.
C
B
A
F
E
D
θ
θ
5. Halla el valor de «x», en el siguiente gráfico:
62°
x
A
B F
E
C
D
6. Determina la longitud del inradio de un trián-
gulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 32.
Nivel avanzado
7. Calcula la longitud de los radios de cada una
de las circunferencias, si se sabe que cada una
de ellas es tangente exterior a las otras, ade-
más, se cumple que AB
= 13; BC = 18; AC = 15
A, B y C son centro de las circunferencias.
A
B
C
8. En la siguiente figura, calcula el valor de CD , si
O es centro de la semicircunferencia y CAO es un sector circular.
θ
A
C
O B
D
10
Aplicando teorema de Pitágoras tenemos:
H = 3
2
+ (3
2)
2
= 9 + 18 = 27 = 33
Dibujamos el gráfico:
Completamos el gráfico:
Por definición de án-
gulo exterior:
θ =
18° − m
2
… (I)
θ =
(25° − m) − n
2
… (II)
Igualando (I) y (II), tenemos:
(18° − m)
2
=
(25° − m) − n
2
& 36° − 2m = 50° − 2m − 2n
2n = 14° ⇒ n = 7°
Como CAO es sector circular ⇒ OA = CA = 10
Además OB = 10 y del tCAB se tiene que:
tan θ =
1
2
A
C
O B
D
x
2x
4x
10
θ
θ
10 10
En el tADC, se tiene:
x5 = 10 & x = 2 5
C
B
A
F
E
m18°
25° - m
n
D
θ
θ
Completamos el gráfico con los datos:
Por datos del
enunciado:
a + b = 13 … (I)
b + c = 18 … (II)
a + c = 15 … (III)
2(a + b + c) = 46
& a + b + c = 23
& 13 + c = 23 ⇒ c = 10
Reemplazando en (II), tenemos: b = 8
Reemplazando c en (III), tenemos: a = 5
A
a
ab
cc
c
b
b
B
C
a
Aplicamos teorema de Poncelet:
3 + 3
2 = 33 + 2r
& r =
3 + 32 − 33
2
& r =
3
2
(1 + 2 − 3)
62°
A
B
F
E
C
D
62°
118°
x
▱ABFE es inscriptible
entonces:
m∠EFD = m∠BAE = 62°
▱FECG es inscriptible
entonces:
& 62° + x = 180°
& x = 118°
Graficamos:
A C
3
B
r
H = 3 3
3 2
7.-CT-Circunferencia.indd 184 28/02/2020 16:56:36

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. En el gráfico, determina el perímetro del trián-
gulo ABC, si AP = 9 u, BC = 15 u y NC = 8 u.
A
N
C
O
MP
B
a. 50 u b. 49 u c. 48 u d. 47 u
2. En una circunferencia C°, se traza el diáme-
tro AB, desde cada uno de los extremos del
diámetro se trazan dos cuerdas, las cuales se unen en el punto P (P ∈ C°).
Halla la medida
del ángulo determinado por dichas cuerdas.
a. 90° b. 60° c. 45° d. 30°
3. En el gráfico, m AB = 130°, Calcula el valor de
«x».
xA
C
B
a. 57° b. 57,5° c. 65° d. 65,5°
4. En el gráfico, halla el valor del ángulo α.
30°
α
a. 30° b. 60° c. 45° d. 75°
Nivel intermedio
5.
En el gráfico, determina el valor de la longitud
BD. Si el perímetro de ABCD es 60.
A
B
C
D
7
6
O
1
O
2
a. 15 b. 16 c. 17 d. 18
6. Rodolfo tiene un campo de cultivo de forma
triangular rectangular cuyos catetos miden
60 m y 80 m respectivamente. Si desea dejar
su burro de carga atado a un árbol, ¿cuánto
debe medir la soga para que el burro se man-
tenga dentro del campo?
(Considerar que el árbol se encuentra ubicado
en el centro de la circunferencia inscrita)
a.
50 m b. 40 m c. 30 m d. 20 m
7. En el gráfico, O es el centro de la semicircunfe-
rencia, además, CP = PD y 2PB = AB. Calcula
el valor del ángulo θ.
C
A
P
D
BO
40°
θ
a. 50° b. 40° c. 30° d. 20°
Nivel avanzado
8.
En el gráfico se tiene que AB = BC, además,
m∠BSR = 55°; m∠ BAR = 25°. Halla el valor de «x»
A
B
R
S
C
O
x
a. 80° b. 90° c. 100° d. 110°
9. La longitud del radio de la circunferencia ex
inscrita relativa a un cateto de un triángulo
rectángulo isósceles es 6.
Calcula la longitud
de la hipotenusa de dicho triángulo.
a. 4 b. 42 c. 6 d. 12
Nivel destacado
10. En el gráfico, AD es diámetro de la circunfe-
rencia, además, se cumple que NC = 4 cm.
Determina la medida de BF .
B
A
F
N
C
D
a. 2 cm b. 3 cm c. 4 cm d. 5 cm
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c a b b c d d c d c
7.-CT-Circunferencia.indd 185 28/02/2020 16:56:36

Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 186
Proporcionalidad geometrica
Recordamos lo aprendido
Teorema de Thales
A D
E
F
B
C
32
3y
3a

Si L
1
∆∙E
//L
2
∆∙E
//L
3
∆∙E
entonces:
AB
BC
=
DE
EF
Teorema de la bisectriz interior
B
αα
A D C
yx
m n

BD: bisectriz inte-
rior del ∆ABC.
Se cumple:
x
m
y
n
=
Teorema de la bisectriz exterior
A
B
a
b
α
α
n
m
C D

BD: bisectriz exte-
rior del ∆ABC.
Se cumple:
a
b
=
m
n
Teorema
A D EC
B
αα
β
β

DC
AD
CE
AE
=
Teorema de Menelao
B
P
C Dz
p
A
Q
x
m
L
y
n

L
∆∙E
: sec<> ante del ∆ABC
y divide interna-
mente a AB , BC,
Se cumple:
x ∙ y ∙ z = m ∙ n ∙ p
Teorema de Ceva
A p P C
B
z
n
y
m
x
M
N

AN, BP, CM: cevianas
del ∆ABC.
Se cumple:
x ∙ y ∙ z = m ∙ n ∙ p
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Indica el valor de «x», si L
1
∆∙
// L
2
∆∙
// L
3
∆∙
.
b
a
x
9 3a
CL
L2
Dy
b
Usando Thales
3a
b
b
a
= & 3a
2
= b
2

b = 3a
Nuevamente Thales en:
3a9
x a3
3
3
9
33
a
ax
x∆∙ ∆
2. Determina
AB
BC
, si AF = 6EF
C
B
F
E
A
D
3α
α
θ
θ
C
B
F
E
A
D
3αα
θ
θ
2αα
y
ak ak4ak
x
5a
a
AF
6
= EF
Usando teorema de la bisectriz
AB
BC
x
y
ak
ak
4
2
2
1
== =
8.-CT ProporGeometrica4to.indd 186 28/02/2020 16:59:30

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 187
3. En un triángulo ABC con AB = 4, BC = 7, AC =
2
11

se traza la bisectriz interior BD . Calcula DC – AD.
B
A D C
4
7
11
αα
Por el teorema de la bisectriz interior
AD = 4k y DC = 7k
AD + DC = AC = 11k =
2
11
& k =
2
1
Por tanto: DC – AD = 3k =
2
3
Nivel intermedio
4. En la figura AB es diámetro, F, D son puntos de
tangencia, EF // PQ, 4FQ = 3QC, EP = 4 y CD = 6.
Halla EF
E
F
A
DP
Q
B
C
E
F
x
A
D
P
Q
B
C
6
3k
m
R
m
16/3
4
4kTenemos:
4FQ = 3QC & FQ = 3k ,QC = 4k
Por teorema de Thales
k
kPC
PC
3
4
4
3
16
=
=
Aplicamos Teorema de Menelao en el
triangulo RCE
x ∙ m ∙
16
3
= 6 ∙ 4 ∙ m
& x=
9
2
5. Determina el valor de «x», si CE = 5AE = 5DE
D
B
C
E
x
A
θ
θ
Trazamos EO en el triángulo isósceles y
por propiedad la bisectriz, corta a la base en su punto medio, siendo EO
la altura.
D
B
C
E
A
θ
θ
θ
α
α
O
a
a
5a
3a/5
3a/5
Usando el teorema de la bisectriz exterior en ∆ AED:
AD
a
a
a
=
6
5
& AD =
6
5
a
Tenemos:
2AO
=
6
5
a & AO =
3
5
a
Como senα =
3
5
3
5
a
a
=, entonces α = 37°
& x = 2α = 74
6. Se tiene un triangulo ABC; tal que m∠ A = 37°,
además en AC y BC se ubican los puntos D
y Q respectivamente tal que m∠ ABD = 90°,
m∠QDC = 90° y BQ = 3QC. Halla m ∠C.
Graficamos y colocamos todos los datos:
3k
k
nD
Q
3n
A
H
B
C
x
4n
53°37°
Trazamos la altura BH en ∆ ABD
Como el ∆ BHD es notable de 53°
⇒ BH = 4n
Luego en el ∆ BCH se tiene:
tan C =
4n
4n
= 1
⇒ C = 45°
8.-CT ProporGeometrica4to.indd 187 28/02/2020 16:59:35

Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 188
Nivel avanzado
7. En un triángulo ABC se ubican los puntos M y N
en AC y BC respectivamente, tal que una circunfe-
rencia contiene a los puntos A, B, M y N. Si AB = BM
y 3MC = 5AM = 5NM, Determina m �ABN.
α
α
α
α
F
15k
12k
12k
25k
15k
A
B
x
M
2α
N
53°
53°
c
Hacemos: 3MC = 5AM = 5NM = 75k
Como AB = BM ⇒ AB = BM = 2α
⇒ ∡BAM = ∡ ANB = α , por cuadrilatero ins-
criptible ∡MNC = α
Por Teorema de la bisectriz exterior en el ∆ ANM se tiene:

AN
15k
=
40k
25k
⇒ AN = 24k ⇒ AF = 12k
⇒ se tiene que 106° + x = 180°
⇒ x = 74°
8. En un triángulo ABC se traza la ceviana in- terior AD
, en cuya prolongación se ubica el
punto M, tal que m� BMA = 90°. Si BD = m,
DC = n, AD = AC y m� ABC = m∡DAC. Deter-
mina
2DM
AD
.
m+n
A
B
Cx
n
M
N
x
yy
2α
α
α
m
m
D
2α
θ
θ
θ
Por dato, DC = n, BD = m, AD = AC = x
Sea m∡ DAC = 2α y m∠ C = m∠D = θ
⇒ α+θ = 90°
Prolongamos AM hasta N tal que BN =BD=m
Así el ΔDBN es isósceles, ⇒ DM = MN = y
Por teorema de la bisectriz interior en ΔABN:

mn
x
m
y
∆
∙
2
&
2y
x
m
mn
∆
∙
9. En la siguiente figura se tiene que BI es a IM como
15 es a 13, además, AB = 7, BC = 8, AC = 13 y
CM = CD. Halla BJ .
A M C
D
J
I
B
A M C D
J
I
B
7
x
8
aa
13k
15k
8-x
13
Por el teorema de Menelao en el triángulo MBC:
13k ∙ x ∙ a = 15k ∙(8 – x) ∙ 2a
13x = 30(8 – x) & x =
240
43
10. En la siguiente gráfica, halla el valor de
MC
CD
,
si O es centro.
OA
B
M
C
D
E
OA H
B
M
nm
x
y
n
C
D
E
m2
Trazamos la altura DH del ΔODE
&
OH
= HE = n
Sea AO = m
Luego aplicamos teorema de thales en el cuadrilatero AMDH:
x
y
=
m
n
Ademas: 2n = m 2 ⇒ 2 =
m
n
=
x
y
8.-CT ProporGeometrica4to.indd 188 28/02/2020 16:59:37

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Encuentra el valor de BC , si AF = 12, FE = 5 y
AB = 17.
B
E
C
A
D
F
a. 40 b. 85
7
c. 75 d. 18
2. Calcula el valor de x, si 3CE = 4AE y BD = 8.
A
E
C
B
D
x
w
w
θ
θ
a. 17 b. 14 c. 25 d. 9
3. Si BC = 4, determina el valor de AB .
α
α
A
D
C
B
53°
2
a. 4 b. 3 c. 5 d. 8
Nivel intermedio
4.
En un triángulo ABC se ubican los puntos M
y N sobre los lados AC y BC respectivamente,
tal que MN // AB. Si se traza NP // BM, donde
P ∈ AC además AM =2a y MC =3b. Halla MP.
a.
6
32
ab
ba+
b.
3ab
c.
6ab
a
d.
ab
22
2
2
+
5. En la figura, B, G, T son puntos colineales tales que BG
= 2GT y 6AM = 4AC . Calcula x.
M
A
C
B
N
x
G
T
45°
a. 127
2
°
b.
53
2
° c. 37
2
° d. 76°
6. Los cables que soportan un puente ideal, tie- nen la forma de la figura mostrada. Si MI
// AC
y además BI = 2IN, AN = 4, BC = 10 y AC = 9.
Halla MB .
A
M
B
C
N
I
a. 6 b. 16
3
c. 5 d. 4
Nivel avanzado
7.
En un cuadrado ABCD, se traza el cuadrante ADC, la prolongación del radio DM
interse-
ca a BC en N, P es un punto de AB tal que
m�MPB = 90° y AN ∩MP={G}. Si MG = 12 y AP
= 5PB . Determina NM .
a.
12
18
b.
13
5
c.
56
5
d.
72
5
Nivel destacado
8. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas in-
teriores AP, AQ, las cuales intersecan a la me-
diana CE en M y N respectivamente.
Si BP = PQ = QC; la prolongación de PN in-
terseca a AC en D; MD ∩ AQ={T}; la recta PT
interseca a AC en R y RD = 1. Calcula AR .
a.
7
4
b.
5
2
c. 5
d. 9
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
b b d a c b d b
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
8.-CT ProporGeometrica4to.indd 189 28/02/2020 16:59:43

Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 190
Semejanza de triángulos
Recordamos lo aprendido
Triángulos semejantes
B
A C
a c
∼
b
α θ
β
α θ
β
M
n
m
p
NP

∆ABC ∼ ∆PNM
a
n
=
b
m
=
c
p
= k
Criterios de semejanza
Para que dos triángulos sean semejantes, de-
ben cumplir una de las siguientes condiciones:
a. Que los triángulos tengan dos pares de án-
gulos iguales.
b. Que los triángulos tengan sus tres lados pro-
porcionales.
c. Que dos de sus lados sean proporcionales
a dos lados del otro y los ángulos que es-
tos dos lados determinan respectivamente,
sean iguales.
Propiedades
B
A C
M N
Si MN // AC,
entonces:
∆MBN ∼ ∆ABC
B
E
A
y b
xa
C
F
Si EF // AC,
entonces
∆ABC ∼ ∆EBF
a
b
=
x
y

E
A
B
C
D
a
b
x
F
Si AB // FE // CD
Se cumple:
x =
ab
ab+

B
P TE
x y
a b
θ
θ
A N C
Si PT // AC. Se cumple:
x
y
=
a
b
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En el siguiente gráfico, halla el valor de «x».
B
A C
10
M
30
x
α
α
Aplicando semejanza en los triangulos
ABC y ABM tenemos que:
x
10
10
30
=
entonces:
x =
3
10
2. En el siguiente gráfico, si //LL
12
, determina el
valor de «x».
M N
CA
B
2x + 8
2
5
2 + x
L1
L2
Por dato, tenemos: L
1
// L
2
Por propiedad tenemos:
2
28
2
5
∆
∆
-
x
x
10 + 5x = 4x + 16
x = 6
3. Calcula el valor de «x», en la siguiente figura:
x+1
4+x
x
Por teorema:
x =
()()xx
xx
++
+++
14
14
x=
44
25
2
xx x
x
++ +
+
2x
2
+ 5x = x
2
+ 5x + 4
x
2
= 4 & x = 2, pues x > 0
9.-CTS4-Triángulos semejantes.indd 190 28/02/2020 17:02:21

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
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Nivel intermedio
4. Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC
se ubican los puntos P y Q, respectivamente,
tal que m∠ A = m∠PQB, PB = 10 u; BC = 20 u
y AC = 24 u. Determina PQ.
B
C
Q
10
P
A
24
20
x
β
α
α
Del gráfico:
∆ABC ~ ∆QBP
x
24
10
20
=
& 20x = 240
& x = 12
5. En el siguiente gráfico, si FG // BC, calcula el valor
de «x».
B
6
F
12
A
G
C
x-12
x-21
Por dato, tenemos: FG // BC
Por propiedad, se tiene:
x
x
∆
∆
-
12
21
12
6
& x – 12 = 2x – 42
& 42 – 12 = 2x – x
& x = 30
6. En la siguiente figura, halla el valor del radio r.
18
r
9
3
Por semejanza de triangulos tenemos que:
r
9
18
18
2
=
& r=18
Nivel avanzado
7. Calcula el valor de AN−8 . Si PT // AC y
PE = 2ET.
B
P TE
x y
a 12u
θ
θ
A N C
PE
ET
AN
NC
=
2
12
ET
ET
a
=
a = 24
u2484& -=
8. En un trapecio, las longitudes de sus bases
son 12 u y 18 u, además la distancia desde la
intersección de las diagonales a la base menor
es de 8 u.
Determina la longitud de la altura
del trapecio.
Graficamos el enunciado
h
B
A D
C
12
18
P
8
h-8
α
α
β
β
Luego:
∆APD ~ ∆CPB
h∆
-
8
8
18
12
12h – 96 = 144
12h = 240
h = 20 u
9. En un triángulo ABC se inscribe un cuadrado
PMNQ, tal que PQ se encuentra contenido en
AC, PQ = 4; AC = 12. Calcula la longitud de la
altura BH .
Graficamos el enunciado:
h
M
B
N
A P QC4
12
∆MBN ~ ∆ABC
h
h
∆
-
44
12
12h – 48 = 4h
8h = 48
h = 6
9.-CTS4-Triángulos semejantes.indd 191 28/02/2020 17:02:25

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 192
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. Dos triángulos son semejantes si
tienen la misma altura, pero dife-
rente base.
II. Para que dos triángulos sean seme-
jantes deben tener los tres lados y los tres ángulos iguales.
III.
Si dos triángulos tienen un ángu-
lo congruente y los lados que lo forman, respectivamente propor- cionales, entonces son triángulos semejantes.
IV.
Si un triángulo es intersectado por
una recta paralela a uno de sus lados, el triángulo menor que se determina es semejante al triángu- lo inicial.
a.
FFFV b. FFFF c. FFVV d. FFVF
2. En la siguiente figura, halla el valor de «r».
r
4
5
a. 25
6
b. 21
6
c. 23
5
d. 9
Nivel intermedio
3.
Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC se
ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que m ∠ A = m ∠PQB; PB
= 3, BC = 4; y AC = 8.
Determina el valor de PQ .
a. 12 b. 6 c. 18 d. 4
4. En la siguiente figura, calcula el valor de «x».
B
A C
M N
6
10
x − 9
x − 12
a.
27
5
b.
29
3
c.
33
2
d.
41
3
5. Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 12. Si el perímetro de un triángulo semejante es 243,
determina la longitud de su lado mayor.
a. 108 b. 112 c. 115 d. 127
6. Si AC = 24 u; AB = 12 u, halla la longitud de
lado del cuadrado ADEF, de la siguiente figura:
B
D
A
F
E
C
a. 2 b. 4 c. 6 d. 8
7. En el siguiente gráfico, calcula el valor de CD.
D
F
12
ECA
B
8
a.
14
5
b.
17
3
c.
22
3
d.
24
5
Nivel avanzado
8. Si //LL
12
, determina el valor de «x» en el siguien-
te gráfico:
E F
A C
B
16
129 + x
2(x + 4)
L2
L1
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9
9. Indica el valor de la longitud de la altura de
un trapecio si las longitudes de las bases son
6 y 9 y la distancia desde la intersección de las
diagonales a la base menor mide 4.
a.
5 b. 10 c. 15 d. 20
Nivel destacado
10. Las longitudes de las bases de un trapecio
rectangular son 12 y 18. Por el punto de inter-
sección de las diagonales se traza una recta
paralela a las bases, que intercepta en P y Q a
los lados laterales.
Halla el valor de PQ .
a. 12,8 b. 14,4 c. 13,6 d. 15,7
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c a b c a d d a b b
1.
( )
1. ( )
1. ( )
1. ( )
9.-CTS4-Triángulos semejantes.indd 192 28/02/2020 17:02:29

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 193
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Recordamos lo aprendido
1. Pro<> yección ortogonal de un segmento
A
B
Q
A' B' Q'P
En el grafico:
A'B' = Proyección ortogonal de AB
PQ' = Proyección ortogonal de PQ
A H
h
n C
ac
B
m
b
2. Propiedades
A H
h
n C
ac
B
m
b
b
2
= a
2
+ c
2
c
2
= m ∙ b
a
2
= n ∙ b
h
2
= m ∙ n
a ∙ c

= h ∙ b
1
h
2
=
1
a
2
+
1
b
2
3. T<> eoremas adicionales
h
m n
h
2
= m ∙ n
a
m
c
a
2
= c ∙ m
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el valor de «a» en el triángulo ABC.
A
B
C
M7
16
a
Como AC = AM + MC
Se tiene: 16 = 7 + MC ⟶ MC = 9
Usando las propiedades tenemos:
a
2
= 9 ∙ 16
a = 12
2. Halla el valor de «h».
A
B
C
2712
h
Usando relaciones métricas en el triángulo
rectángulo tenemos:
h
2
= 12 ∙ 27 = 324
h = 18
3. Determina el valor de la hipotenusa en el triángu-
lo ABC.
x
x-1
B
CA
x-8
Por el Teorema de Pitágoras tenemos:
x
2
= (x – 8)
2
+ (x – 1)
2
x
2
= x
2
+ 64 – 16x + x
2
+ 1 – 2x
x
2
– 18x + 65 = 0
(x – 13)(x – 5) = 0 & x = 13 v x = 5
Para x = 5 (AB
no tiene sentido).
Entonces:
x = 13
m: proyección de
AB sobre AC
n: pro<> yección de
BC sobre AC
∆AHB ~ ∆BHC ~ ∆ABC
10.-RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO 4 SEC - CT.indd 193 28/02/2020 17:05:06

Básico Intermedio Avanzado
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4. Halla el valor de «x».
x
A B
4 9
Usando el teorema se tiene lo siguiente:
x
2
= 4 ∙ 9
⇒ x
2
= 36
⇒ x = 6
Nivel intermedio
5. Calcula el valor de «h».
B
A C
24
25
h
Usando el teorema de Pitágoras se tiene:
AB
2
+ BC
2
=AC
2
AB
2
+ 24
2
= 25
2
Resolviendo se tiene: AB = 7
Luego, tenemos:
AB ∙ 24 = h ∙ 25
⇒ 7 ∙ 24 = h ∙ 25 ⇒ h = 6,72
6. La suma de los cuadrados de los lados de un
triángulo rectángulo es 200 m
2
.
Calcula la hi-
potenusa.
Se sabe que en un triángulo rectángulo se cumple:
a c
b
c
2
= a
2
+ b
2

Por el dato, tenemos:
a
2
+ b
2
+ c
2
= 200
⇒ 2c
2
= 200 ⇒ c = 10 (Hipotenusa)
7. Halla la proyección de AB sobre la recta L.
17
B
18
L
A
10
Se traza AN paralela a la recta L
17
B
10
L
A
N
10
8
x
Usando el teorema de Pitágoras se tiene lo siguiente:
x
2
+ 8
2
= 17
2
⇒ x
2
= 289 – 64 = 225
⇒ x = 15
8. Determina el valor de «x».
B
A
D
C
20
24
15
x
Se traza la recta AC
B
A
D
C
20
24
15
x
Se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC:
AC
2
= 15
2
+ 20
2
= 225 + 400 = 625
⇒ AC = 25
Se vuelve a usar el teorema de Pitágoras en el triángulo ADC
AC
2
= 24
2
+ x
2
25
2
= 24
2
+ x
2

49 = x
2
7 = x
10.-RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO 4 SEC - CT.indd 194 28/02/2020 17:05:07

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
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Nivel avanzado
9. Indica el valor de AB .
A
B
5
2
3
4
A
B
N
M
P
5
2
3
4
a
b
x
Por el teorema de Pitágoras en ∆AMN:
a
2
= 5
2
+ 4
2
= 41
Por el teorema de Pitágoras en ∆ANP:
b
2
= 3
2
+ a
2
= 9 + 41 = 50
Por el teorema de Pitágoras en ∆APB:
x
2
= 2
2
+ b
2
= 4 + 50 = 54
x = 3
6
Por lo tanto, AB = 36
10. Si ABCD es un cuadrado y se sabe que FA = 2
y BP = 4. Calcula el perímetro de ABCD.
B
A
C
D
F
P
B
A
C
DF
P
2 x
x
4
x-4
En el triángulo FPD obtenemos:
(x – 4)
2
= 2 ∙ x
x
2
– 8x + 16 = 2x
Se tiene x = 2 v x = 8;
para x = 2, PA
no tiene sentido
Entonces se tiene que x = 8; Perímetro: 4 ∙ 8 = 32
11. En el gráfico mostrado MNQP es un rectángulo;
calcula el valor de MN , si MP = 2, PT = 11, r = 10
(T es punto de tangencia).
O
QP
M
T
N
r
Se completa el gráfico con los datos del
problema y se tiene lo siguiente:
O
10
2
H
8
Q T11-x
11-x
xP
2
M x
N
Del triángulo NOH obtenemos:
10
2
= (11 – x)
2
+ 8
2
(x – 17) (x – 5) = 0; se tiene x = 17 v x = 5
Para x = 17 (no cumple); entonces se tiene
que el valor de x = 5
12. En el siguiente gráfico el valor de PQ = 12 m,
SB = 8 m, se sabe que “O” es el centro de la
semicircunferencia. Halla el valor de OS .
R
P
r
A
O
Q
B
S
R
P
A O
Q
B
S
8
8
6 6M
r
r
Se traza OM perpendicular a PQ y se tiene un
triángulo rectángulo OMQ; tal que OQ = r.
Por el teorema de Pitágoras
r
2
= 8
2
+ 6
2
⇒ r = 10
Nuevamente por el teorema de Pitágoras:
(OS
)
2
=

10
2
+ 8
2
OS

=

2 41
10.-RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO 4 SEC - CT.indd 195 28/02/2020 17:05:07

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 196
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla el valor de «h» en el siguiente gráfico.
A
B C
8
18
h
a. 11 b. 12 c. 13 d. 14
2. En el triángulo ABC, determina el valor de y.
A
y
C
y-2
B
y-9
a. 17 b. 18 c. 19 d. 20
3. En el triángulo ABC, indica el valor de x.
A
B
C
10
5
x
a. 3,5 b. 3,7 c. 3,9 d. 2,5
Nivel intermedio
4.
Indica el valor de «m
2
» a partir del siguiente
gráfico:
A
B
C
3 m
182
a. 289 b. 324 c. 400 d. 576
5. Halla el valor de x.
2
5
B 6 C
DxA
5
a. 8 b. 9 c. 10 d. 11
6. Indica el valor de x en el triángulo OPQ; sabiendo
que m ∙ n = 108.
x
0
3x
Q
n
R
m
P
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
Nivel avanzado
7.
Halla el valor de x en el siguiente grafico:
2
x
3
23
a. 1 b. 6 c. 3 d. 2
8. Halla el valor de AB . Si AM = 22; AD = DC.
B
H
A
45°
M D
C
a. 3 3 b. 4 2 c. 5 2 d. 6
9. Halla la mayor altura de un triángulo isósceles de lados 4, 6 y 6.
a.
42 b. 52
c. 2
d. 2
Nivel destacado
10. Sea ABCD un rectángulo que interiormente tie-
ne una semicircunferencia de diámetro AD(con
raya de segmento) como muestra la figura. Si
BQ
= 3 cm, QC = 27 cm y AB = 17 cm. Halla QP.
B
A
O
D
C
Q
P
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b a d d b c a b a c
10.-RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO 4 SEC - CT.indd 196 28/02/2020 17:05:08

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3 UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
3Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
197
11_relaciones métricas en triángulos oblicuángulos_GM_U3.indd 197 28/02/2020 17:39:24

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 198
Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos
Recordamos lo aprendido
Definición
Se llama triángulo oblicuángulo al triángulo
que no tiene ningún ángulo recto.
1. Primer Teorema de Euclides
Si a < 90° entonces:
c
m
a
α°
b
a
2
= b
2
+ c
2
– 2cm

2. Segundo Teorema de Euclides Si a > 90° entonces:
b
a
cm
α°
a
2
= b
2
+ c
2
+ 2cm
3. Teorema de la Mediana
A
B
CM
x
b
2
b
2
c a
a
2
+ c
2
= 2x
2
+
b
2
2

4. Teorema de Herón
b
c
h
a

h

=
2
c
ppapbpc()()()−− −
Donde: p =
ab c++
2
5. Teorema de Stewart

d
2
a = c
2
n + b
2
m – amn
a
n m
b
d
c
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Dado un triángulo ABC cuyos lados son AB = 6;
AC = 8; y CB = x. Además, la proyección del lado
AB sobre el lado AC es 3, halla el valor de «x».
Utilizando el primer teorema de Euclides:
x
AC
B
6
3
8
Obtenemos:
x
2
= 6
2
+ 8
2
– (8)(3)
& x
2
= 76

& x = 2 19
2. Jorge y Juan están ubicados a 30 m y 90 m
respectivamente de una torre y se dan cuenta
que el ángulo de elevación de uno es el doble
del otro.
Halla la distancia entre Juan y la pun-
ta de la torre.
2θ θ
Jorge Juan
Por el segundo teorema de Euclides tenemos:
x
2
= 60
2
+ 60
2
+ 2(60)(30) = 3(60
2
)
& x = 60
3
3. Sea ABCD un romboide, si AB =
BD
2
=
AC
2
=
b
2
.
Determina el valor de BC en función de b.
B
A
D
C
Por el teorema de la mediana, obtenemos:
b
2
b
2
b 2
b 2
x
x
2
+
b
2
2
&

= 2
b
2
2
&

+
b
2
2
& x
2
=
b
2
2
&

+
b
2
2
=
3
4
2
b
Entonces x =
b2
2
11_relaciones métricas en triángulos oblicuángulos_GM_U3.indd 198 28/02/2020 17:39:26

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 199
4. Dado un triángulo ABC acutángulo de lados
AB = 5, BC = 6 y CA = 7. Halla la altura relativa
al lado AC .
Tenemos: p =
56 7
2
++
= 9
Por la fórmula de Herón tenemos:
h =
2
7
9959697()()()−− − =
2
7
9432()()()
& h =
126
7
Nivel intermedio
5. En un triángulo ABC, se tiene que AB = 80;
BC = 100 y AC = 120, se traza la ceviana AR tal
que RC = 30. Calcula la longitud AR .
A
R
B
C
80
120
70
30x

Por el teorema de Stewart. Tenemos que:
x
2
(100) = 120
2
(70) + 80
2
(30) – (100)(30)(70)
& 100x
2
= 1008000 + 192000 – 210000
& x
2
= 990 000 = (3
2
)(100
2
)(11)
Entonces AR
= x = 30 11
6. Halla el valor de «x» en el siguiente gráfico.
5
x
9
1
2
Por el segundo teorema de Euclides:
9
2
= 5
2
+ x
2
+ 2
1
2
&

x
Entonces: x
2
+ x – 56 = 0
& x = 7
∨ x = –8
& x = 7
7. Un terreno tiene las siguientes dimensiones.
Halla el área del terreno.
29m
36m
B
A
C
D
25m 29m
42m
• E<> n ABC:
p
1
=
29 2942
2
++
= 50
&A
1
=
50 504250 29 50 29() () ()−− − = 420
• En ACD:
p
2
=
253629
2
++
= 45
& A
2
=
45 452545294536() () ()−− − = 360
A
total
= A
1
+ A
2
= 420 + 360 = 780 m
2
8. ¿Cuál es la distancia que le falta nadar a Tania
para llegar al bote? Si se sabe que la distancia
entre ella y la punta de la torre es el triple de
la distancia entre ella y el bote, además la dis-
tancia entre el bote y la punta es el doble de
la distancia entre él y el bote, por último sabe
que la distancia entre el bote y la torre es de
12 m.
2x
x
3x
12 m
Por el segundo teorema de Euclides tenemos:
(3x)
2
= (2x)
2
+ x
2
+ 2(12)(x)
& 4x
2
= 24x & x = 6
Por lo tanto, le falta 6 m para llegar al bote.
11_relaciones métricas en triángulos oblicuángulos_GM_U3.indd 199 28/02/2020 17:39:27

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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 200
Nivel avanzado
9. Calcula el valor de «x» en la siguiente figura.
5
11
x 56
56
5
11
x
m
Por el segundo teorema de Euclides
11
2
= 5
2
+
56
2
+ 2m(5)
&10m = 121 – (25 + 56) = 40
& m = 4
Luego utilizando el teorema de Pitagoras:
4
2
+ x
2
=
56
2
& x = 2 10
10. En la figura, halla la longitud BD .
A
B
D C
4
17
A
B
D
x
C
4
17
Llamamos BD = x, entonces por el teore-
ma de Pitágoras tenemos que:
AD = DC = x
22
4+
Luego, por el teorema de la mediana:
4
2
+
17
2
= 2x
2
+
x
2
2
16
2
&
& 5x
2
= 50 & x = 10
11. Determina el perímetro del triángulo ABC si
AB = AM = MC , además BM = 7, BC = 4.
A
B
M C
A
x
x x
4
B
M
C
7
Aplicando el teorema de Stewart:
7
2
(2x) = 4
2
(x) + x
2
(x) – (2x)(x)(x)
14x = 16x – x
3
x
3
= 2x
Entonces: AM
= x = 2
Por lo tanto, el perímetro es: 4 + 3 2
12. Se desea cercar y dividir un lote en forma de
romboide tal como se muestra en la figura,
¿cuantos metros de alambre se necesitara?
6m
A
B C
D5m
3m
Sea d la diagonal menor. Luego el semi-pe-
rímetro del triángulo ACD es:
63 5
2
++
= 7
entonces por la fórmula de Herón, tenemos:
d
2
=
2
6
7767375()()()−− − =
2
3
14
Por lo tanto se necesita:
10 + 6 + 6 + d = 22 +
414
3
m
11_relaciones métricas en triángulos oblicuángulos_GM_U3.indd 200 28/02/2020 17:39:28

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 201
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Sea un triángulo ABC, tal que AB = 23, BC = 27
y AC = 24. Halla la longitud de la proyección
de AB sobre BC .
a.
343
5
b.
345
7
c.
341
27
d.
347
6
2. Determina la altura del techo de la casa. Si se
tienen las siguientes dimensiones.
50m
60m
40m
a.
257
2
m
b. 3 m
c.
803
3
m
d. 202 m
3. Halla la longitud de la diagonal del barranco si se sabe que la longitud de la sombra que proyecta el barranco hacia el mar es 9 m.
7m
5m
a. 104
b. 3
c. 83
d. 114
Nivel intermedio
4.
Calcula el lado de un rombo, sabiendo que el
punto medio de uno de sus lados dista de los extremos del lado opuesto en 90 cm y 130 cm.
a.
80 cm
b. 100 cm
c. 95 cm
d. 110 cm
5. Los lados de un triángulo son AB = 11; AC = 9 y
BC = 18. Si los puntos M y N dividen al lado BC
en tres longitudes iguales, determina AM
2
– AN
2
.
a.
30
7
b.
40
3
c.
35
3
d.
12
3
6. En una piscina en forma de romboide, tene-
mos que los lados miden 60 y 100 m. Determi-
na el ángulo interno que se opone a la diago-
nal mayor que mide 140 m. (Utilice el teorema de Euclides).
xº
a. 127° b. 150° c. 135° d. 120°
Nivel avanzado
7.
Halla el valor de x, en la siguiente figura.
x
x
4 16
a. 37
b. 215
c. 202
d. 415
8. Halla el perímetro del triángulo ABC, donde h es su altura relativa al lado AB
y se cumplen
las siguientes condiciones AB = 5h
2
; BC = 3h
2

y AC = 4h
2
.
a.
17
13
b.
25
12
c.
23
13
d.
27
13
Nivel destacado (UNI 2015-II)
9. Se tienen tres circunferencias tangentes exte- riores dos a dos, con centros A, B y C respec- tivamente, donde AB
= 5 cm, AC = 7 cm y
BC = 8 cm, M está en la recta BC y es un punto
común entre dos circunferencias, determina
AM en cm.
a. 16
b. 17
c. 20
d. 19
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c a d b b d d b d
11_relaciones métricas en triángulos oblicuángulos_GM_U3.indd 201 28/02/2020 17:39:30

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 202
Relaciones métricas en la circunferencia
Recordamos lo aprendido
Teorema de las
cuerdas
Teorema de las
secantes
x
a y
b n
B
D
C
A
M
m
y
x
ab = xy mn = xy
Teorema de la tangente
A
x
m n
D
B
C
x
2
= mn
Teorema de Ptolomeo
A
B
D
C
b
y
a
d
x
c
xy = ac + bd
Teorema de Viette
b
a
A
B
C
D
c
y
d
x
x
y
=
adbc
abcd
+
+
Teorema de Arquímedes-Fauré
b c
y
zx
w d
R
a
x
2
+ y
2
+ z
2
+ w
2
= 4R
2
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
= 8R
2
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En el siguiente gráfico, calcula el producto de las
diagonales del cuadrilátero inscrito en la circun-
ferencia.
C
DA
B
2 8
5
4
Aplicando el teorema de Ptolomeo:
(AD)(BC) = (AB )(CD) + (AC )(BD)
(AD)(BC) = 2 • 5 + 4 • 8
(AD)(BC) = 10 + 32
∴ (AD)(BC) = 42
2. Desde un punto exterior M a una circunferen-
cia se trazan dos rectas que cortan a la circun-
ferencia, la primera en C y D, y la segunda en
B y A. Si AB
= BM = 12 y CM = 10, halla el valor
de CD .
M
12
12
10
B
C
A
D
x

Por el teorema de las secantes:
10(10 + x) = 12 • 24
100 + 10x = 288
x =
188
10

∴ x = 18,8 u
3. Determina el valor de AD en la siguiente figu-
ra, si el triángulo ABC es equilátero.
C
AD
6
B
y
10
x
Por el teorema de Ptolomeo:
xy = 10y + 6y
xy = 16y
∴ x = 16 u
12_relaciones métricas en la circunferencia_GM_U3.indd 202 28/02/2020 17:22:14

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 203
Nivel intermedio
4. En el siguiente gráfico, calcula el valor de «x».
D
C
x
B
A
M
2
4
Del gráfico tenemos:
DM = BM = x + 2
Por el teorema de la tangente:
(x + 2)
2
= (2)(6 + x)
x
2
+ 4x + 4 = 12 + 2x
x
2
+ 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 0
& x = 2 u
5. En la siguiente figura, halla la longitud aproxi-
mada del radio de la circunferencia. (O deter-
mina el centro de la circunferencia).
B
R
O
x
5
C
3
A
9
D
Por el teorema de las cuerdas:
3x = 5 • 9
x =
45
3

x = 15 u
Por el teorema de Arquímedes:
5
2
+ 9
2
+ 3
2
+ 15
2
= 4R
2
25 + 81 + 9 + 225 =4R
2
R
2
=
340
4
R = 85 u
∴ R = 9,22 u
Nivel avanzado
6. Determina la medida de a en el siguiente gráfico.
M
C
E
D
n
3
9
A
3
B
9
m
α
Por el teorema de las secantes:
(m)(m + n) = (9)(9 + 3) +
(n)(n + m) = (3)(3 + 9)

& (m + n)
2
= 144
& CE
= 12 u
Luego, el triángulo CEM es equilátero, por
lo tanto a = 60°.
7. En la siguiente figura, calcula el valor de x + y.
12
B
A
8
D
F
E
C
6 x
y
Por el teorema de la tangente:
12
2
= 6(6 + x)
& 144 = 36 + 6x
& x =
108
6
& x = 18 u
Por el teorema de las secantes:
8(8 + y) = 6(6 + 18)
& 64 + 8y = 24 ∙ 6
& 8y = 80
& y = 10 u
Nos piden:
x + y = 18 + 10 = 28 u
12_relaciones métricas en la circunferencia_GM_U3.indd 203 28/02/2020 17:22:16

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 204
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
En el siguiente gráfico, determina el valor de
«x».
36
4
x
a. 10 u b. 12 u c. 6 u d. 8 u
2. En la siguiente figura, calcula el valor de BC :
A
9
D
C
B
27
a. 27 u b. 26 u c. 24 u d. 22 u
3. En la siguiente figura, halla el valor del radio (R).
A
3
5
B
R
O
C
2
a. 10 b. 12 c. 15 d. 20
Nivel intermedio
4.
En una circunferencia de centro O se traza la
cuerda AB y se une un punto M de la cuerda
con el centro de la circunferencia. Si AM = 3.
MB = 5 y OM = 4. Determina la longitud del
radio.
a. 31 u
b. 30 u
c. 26 u
d. 21 u
5. En el siguiente cuadrilátero inscrito en una
circunferencia, calcula el producto de sus dia-
gonales.
9 12
C
AD
63
B

a. 100
b. 90
c. 80
d. 70
6. En la siguiente figura, halla el valor de m.
A
6
B
2
C
D
m
E
F
G
a. 8 u b. 6 u c. 4 u d. 2 u
7. En un cuadrilátero inscrito en una circunfe-
rencia, una diagonal es el doble de la otra y la
suma del producto de sus lados opuestos es
50.
Calcula la longitud de la diagonal mayor.
a. 5 u b. 10 u c. 15 u d. 20 u
Nivel avanzado
8.
En el siguiente gráfico, (AB )(BC) = 45, determi-
na el valor de «x».
x
2
A
C
B
O
a. 4 u b. 5 u c. 6 u d. 7 u
9. Las bases de un trapecio isósceles inscrito en una circunferencia miden 4 m y 17 m, y una de sus diagonales mide 18 m.
Halla el perímetro
de la región de dicho trapecio.
a. 58 m b. 55 m c. 53 m d. 52 m
Nivel destacado (UNI 2011-II)
10. En una circunferencia de 10 cm de radio, dos
cuerdas se cortan de manera que el produc-
to de los segmentos que cada una determina
sobre si es 1 296 cm
4
.
Calcula a que distancia
(en cm) del centro se halla el punto de inter- sección.
a.
8 b. 10 c. 12 d. 14
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d c a a b c b d c a
12_relaciones métricas en la circunferencia_GM_U3.indd 204 28/02/2020 17:22:19

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 205
Puntos notables en el triángulo
Recordamos lo aprendido
Puntos notables en el triángulo
a. Baricentro
G
N
B
M
A CP

G: baricentro
Se cumple: 2PG
= GB; 2MG = GC; 2NG = GA
b. Inc<> entro
B
A C
I
αα
β
β
θ
θ
r

I: incentro
c. Excentro

β
β
θ
θ
α
α
A C
E
B

E: excentro
d. Ortocentro

A
P Q
B R C
H

H: ortocentro
e. Circuncentro

B
A
C
O

O: circuncentro
OA = OB = OC
Propiedades
B
A C
β
β
θ
α
α
x
I
B
A C
H
x
θ
x = 90° +
θ
2
x = 180° − θ
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el valor de «x» si O es circuncentro del
triángulo ABC.
A
B
O
C
20º
50º
x
Por propiedad se forman triángulos isósceles.
A
B
O
C
20º
20º
50º
50º
xx
Tenemos
2x + 2(20°) + 2(50°) = 180°
& 2x = 180° – 140°
& x=20°
2. Calcula «x» si I es incentro del triángulo ABC.
B
A C
76º
I x
Como I es incentro, tenemos que:
m∠AIC = 90° +
76
2
°
& m∠AIC = 128°
Sabemos que:
128° + x = 180°
& x = 52°
13_Puntos notables_GM_U3.indd 205 28/02/2020 17:23:26

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 206
3. Si E es el excentro relativo al lado AC del
triángulo ABC. Calcula el valor de m∠AEC +
m∠EAC – m∠ACE. Si 5m∠EAC = 6m∠ACE.
40°
B
A C
E
40°
αβ
α
β
x
B
A C
E
Por propiedad del excentro:
x = 90 –
40
2
°
& x = 70°
& a + b = 110°
5b = 6a & b =
6
5
a

&
11
5
a
= 110° & a = 50° ∧ b = 60°
Nos piden: x + b – a = 70° + 60° – 50° = 80°
4. En la figura G es baricentro del triángulo ABC
y FG // AC. Determina BF si AF = 6 cm.
A M C
B
G
F
6 cm
x
Por propiedad del baricentro divide a la mediana en dos segmentos de razón 2 a 1.
A M C
B
G
2a
a
F
6
x
Por Thales:
x
6
=
2a
a
& x = 12
Nivel intermedio
5. En la figura I es incentro del triángulo ABC. Si BQ
= QI, halla el valor de «x».
B
CA
I
2x
x
Q
Trazamos BI , entonces tendremos por
propiedad:
90° + ∠BIQ = 90° +
2
2
x
& ∠BIQ = x
B
C
A
I
2x
x
x
Q
Obteniéndose un triángulo equilátero
& x = 60°
6. En la figura I y H son el incentro y el ortocentro respectivamente del triángulo ABC.
Halla q.
A
B
C
H
I
θ
θ
Prolongando AH hasta N, tendremos dos
triángulos semejantes, siendo:
2θ
90 – θ
A
B
C
H
I
θ
θ
θθ
N
M

∠NAC = ∠MBC = q, además BI es bisectriz
& ∠CBI = ∠ABI = q
& 5q = 90° & q = 18°
13_Puntos notables_GM_U3.indd 206 28/02/2020 17:23:29

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 207
Nivel avanzado
7. En la figura I, es el incentro del triángulo ABC.
Si AB = BC, halla a.
α
2α
β3β
R
I
CA
B
α
α
2α
4α
4α
2α
2α
ββ
2β
R
I
CA
B
Por teorema de la mediatriz:
AI = IC & m∠IAH = m∠ICH
Por ángulo externo en ∆AIC:
& m∠AIR = 4a
Dado que AR y BR son bisectrices:
& R es incentro del ∆ABI
& m∠AIR = m∠BIR
Luego: m∠HIC = m∠BIR
En ∆HIC: 4a + 2a = 90° & a = 15°
8. En la figura, H es ortocentro del triángulo ABC,
si BH = HQ. Halla el valor de «x».
H
80º
A C
x
B
Q
α
α
H
80º
80º
10º
A C
x
B
Q
α
α
Del gráfico tenemos: 2a = 100° & a = 50° Además, ∆BHQ es isósceles
& m∠HBQ = m∠HQB = 65°
Por lo tanto:
x + 65° = 80° & x = 15°
9. La suma de las distancias desde el ortocentro de un triángulo equilátero a sus lados es 9.
Ha-
lla la longitud del lado del triángulo.
Sabemos que en un triángulo equilátero el ortocentro es igual a su baricentro
m
m
G
h
h = 9 cm
h
2
3
1
3
m
2
m
2

3
1
3
h
−
8
0
º
A
C = 9 & h = 9.
Dado que el triángulo es equilátero cuyo
lado mide a, entonces la altura sera igual a
m
2
3. Luego reemplazando
m
2
3 en h, te-
nemos que:
9 =
m
2
3 & m = 183
Por lo tanto, el lado del triángulo mide
183.
10. En la figura, H es ortocentro del ∆ABC. Se sabe que: HD
= 8 cm. Calcula CD .
H
A
B
C
D
θ
2θ
H
A
B
C
D
θ θ
2θ
β
α
α
Tenemos 2q + b = 90° ∧ a + q = 90°
igualando & 2q + b = a + q & q + b = a
Por lo tanto ∆HDC es isósceles
& HD = CD = 8 cm
13_Puntos notables_GM_U3.indd 207 28/02/2020 17:23:31

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 208
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
En la figura, calcula «x».
x
α
α
150º
θ
θ
a. 34°
b. 90°
c. 148°
d. 60°
2. En la figura E es el excentro relativo al lado AB ,
del triángulo ABC, halla el valor de «x».
A
E
B
C
xº
60º
a. 40°
b. 60°
c. 65°
d. 70°
3. ¿Cuánto mide un ángulo formado por una bi-
sectriz exterior y la prolongación de una bisec-
triz interior, en un triángulo equilátero?
a.
30°
b. 15°
c. 35°
d. 45°
4. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las bi-
sectrices interiores de dos ángulos de un trián-
gulo equilátero?
a.
70°
b. 80°
c. 100°
d. 120°
Nivel intermedio
5. En un triángulo ABC de baricentro G. Si
AG = 3, BG = 4 y GC = 5. Calcula m∠BGC.
G
A
C B
x
a. 84°
b. 100°
c. 143°
d. 60°
Nivel avanzado
6.
En la figura, O es circuncentro del triángulo
ABC, AB = BC, ME // BC y m∠EPO = 60°. Si
AP = 43 m. Halla ME .
A
M
B
E
P
O
C

a. 4 m
b. 6 m
c. 5 m
d. 7 m
7. En la figura ABCD es un paralelogramo y G es
baricentro del triángulo ABD. Si:
8.
m∠BCD = 2m∠COD y CD = 12. Halla GM .
O
G
B
A M D
C
a. 5 m
b. 6 m
c. 7 m
d. 8 m
Nivel destacado
8. En el grafico mostrado, I es incentro del trián-
gulo ABC, AM = AN y AI = 3 cm. Calcula PQ .
M
I
A
N
P
B
C
Q
θ
4θ
a. 6 cm
b. 8 cm
c. 12 cm
d. 15 cm
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
d b a d c b b a
13_Puntos notables_GM_U3.indd 208 28/02/2020 17:23:31

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 209
Área de figuras geométricas
Recordamos lo aprendido
Área de figuras geométricas
Área de regiones triangulares
Fórmula
trigonométrica
Teorema
de Herón
a
A
B
C
θ
b
B
A C
c
b
a
A =
absen12
2
A = ppapbpc()()()−− −
p: semiperímetro
Área de regiones cuadrangulares
Fórmula
trigonométrica
Cuadrilátero
circunscrito
d∠
d2
θ
B
A D
C
a
r
B
Cb
c
d DA
A =
ddsen
12
2
12

A = p • r
p: semiperímetro
Área de regiones circulares
Segmento circular Trapecio circular
A
B
O
r
θ R
D
O
C
A
r
θ
B
A =
12r
2
3600
–
rsen
2
2
q
A =
Rr
22
360
∠20
º
6A

Relación de áreas
m n
A1 A2
B
C
DA
A∠
A2
A0
Aº
A
A
1
2
=
m
n
A
1
• A
3
= A
2
• A
4

Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla el área del triángulo cuya medida de sus
lados son números consecutivos y su períme-
tro es 30 m.
Sean a, a + 1, a + 2 los lados del triángulo.
Por dato tenemos:
a + (a + 1) + (a + 2) = 30 & a = 9
Entonces, los lados son: 9, 10 y 11.
Por el teorema de Herón, el área del trián-
gulo es:
A =
15 15915101511() () ()−− − = 302 m
2
2. Determina el área de un trapezoide, si sus dia- gonales miden 16 y 48 metros, además uno de los ángulos que forman es 120°.
Gráficamente:
Aplicando la fórmula trigonométrica para re- giones cuadrangulares:
A =
ddsen
12
2
12
...(*)
120º
60º
A
48
16
Donde: d
1
= 48, d
2
= 16 y q = 60°
Reemplazando en (*):
A =
4816 60
2
() ()sen°
= 384
3
2
& A = 1923 m
2
3. Según el gráfico, calcula el área sombreada en el
sector circular, si tenemos que el arco AB

es 30°.
O
6
A
B
Como O es centro y por dato:
mAB

= m∠AOB = 30°
& El área sombreada es un segmento
circular, aplicamos la fórmula:
A =
12r
2
3600
–
rsen
2
2
q
, donde q = 30° y r = 6
A =
∠()()630
360
2
2
2
–
()63 0
2
2
sen°
= 3p – 9 = 3(p – 3) u
2
14_Área de figuras geométricas_GM_U3.indd 209 28/02/2020 17:25:04

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 210
4. Si G es baricentro, indica el área de la región
sombreada.
G
B
A C
22 m²
Trazamos el segmento GC :
A
3
= 22.
A
1
A
2
A
3
G
B
A C
22 m²
Como G es baricentro se cumple:
A
1
= A
2
= A
3
Sea A
s
el área sombreada, del gráfico:
A
s
= A
1
+ A
2
& A
s
= 22 + 22 = 44 & A
s
= 44 m
2Nivel intermedio
5. Se tiene que PQ = 12 m, halla el área de la co-
rona circular en el gráfico.
P
Q
O
P
Q
O
R
R
T
R
r
r
Realizamos los trazos: OP , OQ y OT, donde
T es punto de tangencia, OP = OQ = R y
OT = r.
Como PQ = 12 & PT = TQ = 6
Aplicamos el teorema de Pitágoras en el
OTQ: (OT)
2
+ (TQ )
2
= (OQ)
2
& r
2
+ 6
2
= R
2
& R
2
– r
2
= 36
Sea A el área de la corona circular, por
fórmula:
A = p(R
2
– r
2
) & A = 36p m
2
6. Si G es baricentro, indica el área del paralelo-
gramo en el gráfico.
A
B
F
E D
C
G
8m∠
Sea A el área del paralelogramo ABCD.
A
B
H F
E D
C
G
4m∠
4m∠
Trazamos la mediana DH , por propiedad:
A
∆GFD
= A
∆GED
= 4 m
2

A
∆ABD
= 6A
∆GED
A
∆ABD
= 6(4) = 24 m
2
Por propiedad de relación de áreas:
A
∆ABD
= A
∆BCD
= 24 m
2
& A = A
∆ABD
+ A
∆BCD
= 48 m
2
7. Se tiene un rombo ABCD, luego se traza el
segmento BM, donde M se ubica en la diago-
nal AC. Si m∠AMB = 106°, además AM = MB,
calcula el área del rombo si CD = 10 cm.
Graficamos y trazamos la diagonal BD :
A
B
C
D
M
106˚
10
10
10
10
E
α
α
Como AM = MB & El ∆AMB es isósceles:
m∠MAB = m∠MBA = a
Por ángulos internos en ∆AMB:
a + a + 106° = 180° & a = 37°
Luego, el ∆AEB es notable de 37° y 53°.
Como AB = 10 & AE = 8 y BE = 6.
Sean D y d las diagonales del rombo,
& D = AC = 16 y d = BD = 12
Sea A el área del rombo, por fórmula:
A =
Dd⋅
2
& A =
16 12
2
()
= 96 cm
2
El área del rombo es 96 cm
2
.
14_Área de figuras geométricas_GM_U3.indd 210 28/02/2020 17:25:05

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 211
8. Determina la relación entre las áreas de un
cuadrado y un rombo cuyo lado es igual a la
diagonal del cuadrado.
Sea a el lado del cuadrado.
B
D45˚
C
a
a
E
F
A
a
a a
a
a2
Por fórmula:
A
A
cuadrado
rombo
=
a
aa
2
22
2
()
A
A
cuadrado
rombo
=
2
4
2
2
aa
=
1
2
Nivel avanzado
9. Halla el área del cuadrilátero BCED, sí se sabe que 2EC
= 3EA , AD = DB y el área del triángu-
lo ADE es igual a 16 cm
2
.
D
A
B
E C
En la gráfica realizamos el trazo auxiliar BE
. Luego, dado que:
D
A
B
E C
A
1
16 cmB
2x 3x
A
2
AD = DB, por propiedad de relación de
áreas:
A
A
ADE∆
1
=
AD
DB
&
16
1
A
= 1 & A
1
= 16
& A
∆ABE
= 32, de dato se tiene:
2EC
= 3EA &
EC
EA
=
3
2
De igual manera:
A
A
ABE
2
∆
=
EC
EA
&
A
2
32
=
3
2

& A
2
= 48 cm
2

∴ A
BCED
= A
1
+ A
2
= 16 + 48
& A
BCED
= 64 cm
2
10. Sea el cuadrado ABCO, halla el área de la re-
gión sombreada S, si S
1
+ S
2
+ S
3
= 150.
S
1
S
2S
3
S
A B
C O
O'
S
1
S
2S
3
S
A B
C
R
R
O
A
1O'
R
2
Del gráfico tenemos:
A
1
= A
AOC
– (S
1
+ S
2
+ S
3
) =
pR
2
4
– 150
S = A
O
– A
1
=
B
BRR
24
150
2 2
D
4
5
˚
C
a
EE
D
4
5
˚
C
a = 150 u
2
11. En el siguiente gráfico, calcula el área de la re-
gión sombreada, si AOB es un sector circular
cuyo ángulo central es 60° y su radio es igual a
9. T y Q son puntos de tangencia.
A
B
Q
O
T
O’
A
B
Q
O
T
O'
P
30˚
30˚
2rr
r
r
9
Se traza la bisectriz OP que pasa por el centro
O', por dato: m∠ TOQ = 60° & m∠TOO' = 30°.
Así: PO' = r y O'O = 2r & PO = 9.
& 3r = 9 & r = 3
A
S
= A
Sector circular
– A
Círculo
A
S
=
B()()960
360
2
D
– p(3)
2
=
27
2
p – 9p =
9
2
p u
2
14_Área de figuras geométricas_GM_U3.indd 211 28/02/2020 17:25:13

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 212
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el área de un cuadrilátero convexo, si
sus diagonales miden 8 y 24 metros, además
uno de los ángulos que forman es 135°.
a.
482 m
2
b. 962 m
2
c. 363 m
2
d. 163 m
2
2. Halla el área de la región sombreada si AOB
es un sector circular con ángulo central igual a
30°, además R = 3r = 6 m.
R
D0
C
A
r
θ
B
a.
3
2
p m
2
b.
8
3
p m
2
c.
5
4
p m
2
d.
2
7
p m
2
3. Indica el área de la región sombreada en el si- guiente gráfico, si M, N y P son puntos medios.
B
M
A P
N
C
4
10
a. 10 u
2
b. 20 u
2
c. 30 u
2
d. 40 u
2
4. Los lados de un triángulo están en progre- sión aritmética con razón igual a 2,
determina
el área de dicho triángulo si su perímetro es igual a 36 m.
a.
282 m
2
b. 246 m
2
c. 243 m
2
d. 166 m
2
Nivel intermedio
5. En el siguiente gráfico, halla el área de la re-
gión sombreada, si el radio es igual a 43 cm.
R
R
a. 12p cm
2
b. 20p cm
2
c. 22p cm
2
d. 16p cm
2
6. Grafica un cuadrado ABCD en el cual se traza
el segmento CM = 210, talque M está ubica-
do en AD y m∠CMD =
143
2
°
. Calcula el área de
ABCM.
a. 50 u
2
b. 40 u
2
c. 30 u
2
d. 20 u
2
7. Calcula el área de la región sombreada, si:
OABC es un cuadrado.
AB
C O
8
a. 16(p – 2) u
2
b. 32(p – 2) u
2
c. 16(p – 3) u
2
d. 48(p – 3) u
2
Nivel avanzado
8. En el paralelogramo ABCD, A
1
es a A
2
como 3
es a 5, si el área de la región no sombreada es 88 m
2
, además AB
// CD y BC // AD determina
la diferencia entre A
2
y A
1
.
A
B
C
D
A1 A2
a. 22 m
2
b. 11 m
2
c. 55 m
2
d. 44 m
2
9. El área del triángulo AED es igual a 12 m
2
.
Indica el área de la región no sombreada si 2AE
= 3EB , AD = DC y BF = 3FC .
B
E
A D
F
C
a. 22 m
2
b. 30 m
2
c. 23 m
2
d. 60 m
2
Nivel destacado
10. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio igual a 6.
Calcula el
área del círculo que se inscribe en el triángulo, si este es concéntrico con la circunferencia.
a.
9p u
2
b. 6p u
2
c. 3p u
2
d. 12p u
2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a b c b d c a a c a
14_Área de figuras geométricas_GM_U3.indd 212 28/02/2020 17:25:17

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 213
Geometría del espacio I
Recordamos lo aprendido
Planos y rectas
Propiedades
1. El número máximo de planos que se puede
determinar con n puntos es C
n
3, donde n ≥ 3.
2. El número máximo de planos que se puede
determinar con m rectas es C
m
2, donde m ≥ 2.
3. El número máximo de planos que se puede determinar con n puntos y m rectas es
CC nm
nm
32++ .
Teorema de Thales
Q
B E
P
A D
R
C F
Si 6P // 6Q // 6R,
se cumple:
BC
AB
EF
DE
=
Ángulo entre dos rectas alabeadas (α)
Si // //OBLOAL
12
/ , entonces α será la medi-
da del ángulo entre las rectas L
1
y L
2
.
P
L
1
L
2
A
0
B
α
Recta perpendicular a un plano
P
L
1
L
L
2
Sean ,PLL
12
61
rectas secantes.
,Si
P
LL LL
L
12
&
==
=f
Teorema de las tres perpendiculares
()
()
()
Pra
Py
da
x
ra
L
L
LL
BC L
1
2
90
3
°
1
2
&
`
==
==
==
f
f1
=
P
A
B
L
L
2
L
1
C
x
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones.
a. La intersección de 5 planos no parale-
los entre sí, siempre nos da un punto.
b. Dos rectas perpendiculares a una terce-
ra recta necesariamente son paralelas.
c. La intersección de tres planos necesa-
riamente es una recta.
d. Una recta y un punto generan un plano.

( )

( )

( )
( )
2. Con 10 puntos y 7 rectas, ¿cuántos planos,
como máximo, se pueden trazar?
CC 107120 21702113
10
2
7 #
++ = ++ =
Se pueden formar 211 planos como máximo.
3. Se tiene 5 puntos y 8 rectas, ¿cuántos planos, como máximo, se pueden trazar?
CC 58 102840783
5
2
8
#++ =++ =
Se pueden formar 78 planos como máximo.
4. Si // //PQ Rff f, calcula el valor de
AB
AC
3
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
.
Q
B E
P
A D
R
C F
3u3u
5u5u
Por el teorema de Thales:
BC
AB
EF
DE
BC
AB
5
3
&==
⇒ AB = 3k, BC = 5k
Luego:
AB
AC
k
kk
k
k
33
3
35
3
3
8
8=
+
==
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
F
F
F
F
15 GEOMETRÍA DEL ESPACIO I geometría U3 CT.indd 213 28/02/2020 17:41:53

Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 214
Nivel intermedio
5. Se tiene una circunferencia de centro O, cuyo
radio mide 5 cm. Por el centro de la circunfe-
rencia, se traza AO
perpendicular al plano que
contiene a la circunferencia, de tal manera que OA
= 12 cm. Calcula la distancia de A a cual-
quier recta tangente a dicha circunferencia.
Se tiene AO ⊥OT (1ra ⊥ )
Sea L
T
una recta
tangente a la circunfe- rencia, y T su punto de tangencia, entonces:
OT
⊥ L
T
(2da ⊥)
Aplicando Pitágoras
en el VAOT: AT=13 cm.
Además, por el teorema de las 3 ⊥s:
AT ⊥ L
T
(3ra ⊥)
Así, la distancia pedida será de 13 cm.
6. Por el vértice P, de un triángulo rectángulo NPQ
recto en P, se traza OP perpendicular al plano
que contiene al triángulo, tal que OP = 8 cm y
NQ = 32 cm. Determina la medida del segmen-
to OA, si A es punto medio de NQ .
En el VQPN, PA es
mediana relativa, así:
PA = NA = AQ = 16 cm
Aplicando Pitágoras
en el VOPA:
OA =8 5 cm.
7. Determina la relación entre AB y su proyec-
ción sobre el plano Q, respectivamente, si cosθ=0,72.
θ
Q
A
B
Sea AB' la proyección de AB sobre el plano Q.
Por dato:
'
,
'
cos
AB
AB
AB
AB
072
25
18
`
i==
=
Nivel avanzado
8. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza PA
perpendicular al plano que con-
tiene al triángulo. Si AC = 8 cm, sen A =
8
39

y tan α =
4
5
, donde α = m∠PMA y M es punto
medio de AC, calcula m ∠PBA.
θ
C
√39
B
P
5
5
4
4
a
M
A
8
Aplicamos Pitágoras en ABC:
AB
2
+39=64
⇒ AB
2
=25
⇒ AB=5 cm
Como M es punto medio:
AM=MC=4 cm
Del dato:
tan α =
PA
AM
=
5
4
⇒ PA=5 cm
Luego, el VPAB es isósceles.
∴ θ=45°
9. Sea el cuadrado ABCD de lado 3 cm, perpendi- cular al plano que contiene al rectángulo ABNM,
de lados 3 y 3
3 cm. Se traza la recta AH , de
modo que esta resulta ser la proyección ortogo-
nal de la recta AN sobre la diagonal AC . Calcula
el valor de cosα, si m∠HAN = α y AH = 3 cm.
a
M
N
C
DA
H
3
B
3
6
3
3 3
En el VNBA aplicamos Pitágoras:
AN = 6 cm
El VNHA es recto en H por ser proyección.
Luego:
cosα=
6
3
=0,5
N
P
8
O
Q
A
16
16
16
O
5cm
13 cm12 cm
A
T
θ
Q
A
B
B’
15 GEOMETRÍA DEL ESPACIO I geometría U3 CT.indd 214 28/02/2020 17:41:54

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
Halla la cantidad máxima de planos que se
pueden formar con 5 rectas.
a. 5 b. 8 c. 10 d. 15
2. Calcula la cantidad máxima de planos que
pueden formarse con 9 puntos y 7 rectas.
a. 105 b. 145 c. 168 d. 185
3. Indica la secuencia correcta luego de deter-
minar el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
I.
Toda recta es perpendicular a un plano, si
es ortogonal a dos rectas diferentes no pa-
ralelas contenidas en dicho plano.
II. Si dos rectas son paralelas a un plano, en-
tonces el plano determinado por dichas rectas es paralelo a dicho plano.
III.
Una recta está contenida en un plano
cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano.
IV.
Dos planos son paralelos entre si no tienen
punto en común.
a. VFVV b. VFFV c. FFVF d. VFVF
Nivel intermedio
4.
Si A’B’ = 24u, y la diferencia de distancias de las
líneas proyectantes es de 7u. Calcula la medi-
da del segmento AB .
A
Q
A'
B'
B
a. 17u b. 21u c. 25u d. 31u
5. En el triángulo ABC, recto en B, se traza el seg- mento EA
perpendicular al plano que contie-
ne al triángulo. Si AE = 14u, AB = 7u y BC = 14u.
Determina la longitud del segmento EC .
a. u75 b. 21u c. 28u d. u73
6. Se tiene un cuadrado MNPQ y se traza TM per-
pendicular al plano que contiene al cuadrado. Si TM
= MQ = 3u. Calcula la distancia de M ha-
cia TP.
a. u3 b. 2u c. u5 d. u6
Nivel avanzado
7.
Por el extremo C del diámetro CD de un semi-
círculo, se traza la perpendicular PC al plano
que lo contiene. Luego, se ubica M en el CD
&
,
de tal manera que PM = CD. Calcula m MD
&
, si
m∠CPM = α.
a. 180°−2α
b. 180°−α
c. 90°+2α
d. 90°−α
8. Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Sean L y L
1
dos rectas alabeadas, y un
punto P que no pertenece a ninguna de
estas rectas, siempre es posible trazar por
el punto P una recta que intersecte a am-
bas rectas.
II.
Sean L y L
1
dos rectas alabeadas, y un
punto P que no pertenece a ninguna de estas rectas, siempre es posible trazar un plano que contenga al punto P y que sea paralelo a ambas rectas.
III.
Sean P y Q dos planos tal que 6P∩6Q={A},
L
1
y L
2
dos rectas. Si L
1
//6P, L
2
⊥A y
L
2
⊥L
1
, entonces L
2
⊥6P.
a. FFF b. FFV c. VVF d. VFV
9. El faro PO tiene una altura de 6 m, y además
es perpendicular al plano que contiene al cua-
drante BOC. Si mAC
%
=30°, AB = 4 m. Calcula el
valor del área sombreada.
C
A
B
O
P
a. 8 u
2
b. 82 u
2
c. 4 u
2

d. 83 u
2
Nivel destacado (UNI 2012-1)
10. Sean P
1
, P
2
, P
3
planos paralelos. La recta L
1

corta al plano P
1
en A, al plano P
2
en B y al
plano P
3
en C; de tal manera que AB
=
1
3
BC+1.
Otra recta L
2
corta al plano P
1
en F, al plano
P
2
en E y al plano P
3
en D. Si FE
=
1
2
ED, calcula
la medida de BC .
a. 2u b. 4u c. 6u d. 8u
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c c a c b d a a d c
15 GEOMETRÍA DEL ESPACIO I geometría U3 CT.indd 215 28/02/2020 17:41:56

B?sico Intermedio Avanzado UNIDAD
4
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativoProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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216
4TO Geometría U4 CT.indd 216 28/02/2020 17:35:24

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4 UNIDADProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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217
Geometría del espacio II
Recordamos lo aprendido
Ángulo diedro
A
P
Q
B
M
N
L
α
Plano bisector de un ángulo diedro:
Es aquel plano que divide en partes iguales a
un ángulo diedro.
Teorema
α
P
Q
S
S
p
S
p
= Scosα
Ángulo triedro: Es aquel ángulo formado por tres caras.
Teoremas del triedro
• La suma de las caras está comprendida entre
0° y 360°.
• La medida de una cara es mayor a la diferen-
cia y menor a la suma de las otras 2 caras.
• La suma de los diedros está comprendida
entre 0° y 540°.
• A mayor cara se le opone mayor diedro.
• A caras de igual medida, se le oponen diedros
de igual medida.
Teorema de Euler
C + V = A + 2
Teoremas de los poliedros •
La suma de los ángulos de las caras de un
poliedro convexo.
S = 360°(A − C) = 360°(V − 2)
• Las diagonales del poliedro (ND)
ND = C
V
2
− A − N°(diagonales de las caras)
• Número de aristas de un poliedro formado
por caras con el mismo número de lados:
A
nC
2
:
=
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Determina la suma del máximo y mínimo va-
lor de la tercera cara de un triedro, en el cual 2
de sus caras miden 100° y 60°.
2. El triedro O – ABC es isósceles, m∠ BOC = m∠AOB,
determina el máximo valor entero de β .
B
A
O
C
β
2
(2α
2
– 9)°
(7α

+ 6)°
3. En un triedro trirrectángulo O – ABC, se sabe
que BC = 12 y OA = 6. Halla tan a, si α es la
m∠OMA y M es punto medio de BC .
Por teorema:
100° – 60° < α < 100° + 60°
40° < α < 160°
α
mín
= 41° ∧ α
máx
= 159°
α
máx
+ α
mín
= 200°
2α
2
– 9 = 7α + 6
⇒ 2α
2
= 7α + 15
⇒ α = 5
Además, se cumple que:
0 < 41° + 41° + β
2
< 360°
β
2
< 278°
β < 16,67…
⇒ β = 16°
O
C
B
M
6
6
6
6
A
α
Ya que M es punto medio, entonces por mediana relativa a la hipotenusa:
OM
= CM = MB
Si : OA ⊥ OC ∧ OA ⊥ OB
⇒ OA ⊥ OM
⇒ tanα =
6
6
= 1
4TO Geometría U4 CT.indd 217 28/02/2020 17:35:25

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Nivel intermedio
4. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide
12 cm y una semicircunferencia ubicada en un
plano perpendicular al que contiene al cuadra-
do, si AP
= 3PB, NC = 2DN.
Determina el valor de MN.
M
P
B
N
DA
C
N
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se traza la bisectriz interior BS
y también HB que
mide 45 cm y es perpendicular al plano que
contiene al triángulo, si AB = 6 cm, BC = 10 cm
y AC = 8 cm. Calcula la m∠ BSH.
Nivel avanzado
6. Según el gráfico, el plano ABCD es un cuadra- do de lado 10 cm y ABP es un triángulo equi-
látero, si AH
= 213. Determina la medida del
ángulo diedro que forman el triángulo ABP y
el cuadrado ABCD.
P
H
A
B C
D

7. Los siguientes rectangulos son congruentes y for- man un diedro que mide 120°, de manera que AB
= 2AD; si M y N son puntos medios. Calcula el
valor de
ND
MN
2J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
.
A N
F
D
C
B
E
M
A 12
9
D
C
B
M
N
4
5
P'P
3
312 171
33
Del gráfico, vemos que:
AP = 9; PB = 3 ∧ NC = 2DN = 8
Por relaciones métricas se cumple:
PM
2
= 9 • 3 ⇒ PM = 33
Trazamos PP' // AD y aplicamos Pitágoras
al ⊿MPP', entonces MP' = 171
Luego, aplicamos Pitágoras en ⊿NMP':
MN
2
= 25 + 171 = 196
⇒ MN = 14 cm
Por teorema de
la bisectriz:
SC
AS
ASSC
AS SC
10
6
8
35& /
=
+ =
==
Pero el triángulo ABC es recto en A.
⇒ BS
= 35
tan β =
35
45
3
4
=
⇒ β = 53°
α
β
α
10
3
8
6
H
S
B
A
C
5
45
35
Aplicando Pitágoras
en el triángulo APH:
⇒ PH = 43
Se traza la altura HM
y por teorema T.3.P.
PM también es
altura. Aplicando Pitágoras al triángulo ⊿AMH:
⇒ MH
= 33
En el ⊿PMH:
tan α =
33
43
3
4
=
⇒ α = 53°
P
H
A
B
5
10
C
D
5
M
10
10
α
4√3
2√13
3√3
Por T.3.P:
⇒ NA ⊥ AF
⇒ AF ⊥ FE
⇒ NF ⊥ FE
Por ley de
cosenos:
FN
2
= 4a
2
+ a
2
– 2(a ∙ 2a)cos 120°
FN
2
= 7a
2
⇒ Por Pitágoras tenemos: MN
2
= 11a
2
ND
MN
a
a11
11
2
2
2
==
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Aa
B
a
4a
2a
2a
2a
N
F
D
C
E
M
120°
4TO Geometría U4 CT.indd 218 28/02/2020 17:35:29

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 219
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. El máximo valor que pueden tomar las ca-
ras un triedro isósceles es 120°.
II. Existe un diedro cuyas caras midan 20°, 80°
y 100°.
III. En un triedro trirectángulo la suma de las
caras y los ángulos diedros que estas for-
man es 540°.
a. VVV b. VFV c. FFV d. FFF
2. La razón entre las caras y los vértices de un poliedro es 4, si dicho poliedro tiene 18 aristas ¿Cuántas caras más que vértices tiene dicho poliedro?
a.
14 b. 11 c. 15 d. 12
3. Dado el siguiente gráfico, calcula la suma de
los ángulos de las caras del siguiente poliedro
convexo.
a. 2 200°
b. 2 160°
c. 2 400°
d. 2 150°
Nivel intermedio
4.
En la siguiente figura H es el ortocentro del triángulo ABC, si O – ABC es un triedro trirec- tángulo y el área del triángulo OBC es 16 u
2
.
Determina el área del triángulo ABC.
A
O
B
C
37°
a. 18 u
2
b. 12,8 u
2
c. 20 u
2
d. 18,8 u
2
5. Desde el centro (O) del cuadrado ABCD se ele- va OH
perpendicular al plano del cuadrado, si
se cumple que:
A
AHB
+ A
BHC
+ A
CHD
+ A
DHA
= 2A
ABCD
Halla el valor del ángulo diedro que determi- nan el triángulo BHD y el cuadrado ABCD.
a.
45° b. 60° c. 30° d. 53°
6. En un triángulo equilátero ABC de lado 63
se traza HQ (H: ortocentro) perpendicular al
plano que lo contiene, si el área del triángulo
AQC es 153u, determina el diedro que for-
man los triángulos CQA y ABC.
a. 53° b. 45° c. 37° d. 60°
Nivel avanzado
7.
La siguiente figura muestra una circunferencia
y una semicircunferencia cuyo diámetro es el
mismo, además pertenecen a planos ortogo-
nales; la proyección ortogonal de P sobre el
diámetro AB
es H y la de M es N, si 3AH = HB
y AN = 2BN. Halla el valor de PM.
P
M
B
O
A
6 cm
a. 213 b. 219 c. 221 d. 223
8. Un rectángulo ABCD y el triángulo ABP for- man un ángulo diedro cuya tangente mide
6. Si la proyección ortogonal de P sobre el
cuadrado es H, AB = 12, BP = 8 y AP = 10. De-
termina el área del triángulo CHG.
A
B
P
C
G
D
4
H
a.
3
20
b.
2
17
c.
3
28
d.
2
19
Nivel destacado
9. Se tiene un triedro trirrectángulo O – ABC de manera que OA
= 2, OB = 3, OC = 6 y se traza
OH perpendicular al ortocentro del triángulo
ABC. Calcula el valor OH.
a.
7
314
b.
11
613
c.
15
414
d.
17
813
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c d b c b a c a a
4TO Geometría U4 CT.indd 219 28/02/2020 17:35:34

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Poliedros regulares
Recordamos lo aprendido
Poliedro convexo:
Si al prolongar cualquiera de sus caras, estas no
cortan al poliedro.
Poliedro cóncavo:
Existe alguna cara que, al prolongarla, corta al
poliedro.
Poliedro Regular:
Es un poliedro convexo cuyas caras son polígo-
nos regulares y cada vértice concurren el mis-
mo número de lados.
Teorema de Euler
C + V = A + 2
Donde:
C = N° de caras
V = N° vértices
A = N° aristas
a.
Tetraedro regular
A
B
C
D
h
G
h =
a
3
6
A
T
= a
2
3
V =
a
12
2
3
b. He<> xaedro regular o cubo
a
d
d = a 3
A
T
= 6a
2
V = a
3
c. Octaedro regular
a
d
d = a 2
A
T
= 2a
2
3
V =
a
3
2
3
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Dadas las siguientes figuras. Determina si son
poliedros cóncavos o convexos.
1. 2.
3. 4.
2. Coloca (V) si es verdadero o (F) si es falso en
las siguientes proposiciones y justifica tu res-
puesta.
a. Todo poliedro de 4 caras es un poliedro
regular.
b. Si de un poliedro todas sus caras son polígo-
nos regulares, entonces podemos decir que
es un poliedro regular.
c. Si un poliedro es convexo entonces un pla-
no que prolonga a alguna de sus caras lo corta.
d.
Al unir dos poliedros convexos siempre re-
sulta un poliedro cóncavo.
e. Un poliedro cóncavo es un poliedro que tie-
ne por lo menos una cara que al ser prolon- gada corta al poliedro.
La figura
1. Poliedro convexo,
2. Poliedro cóncavo
3. Poliedro convexo
4. Poliedro cóncavo.
Las respuestas son: a.
(F) basta dar como ejemplo una pirámide
cuya base sea un triángulo escaleno,
b. (F) el ejemplo de una pirámide cuya
base sea un cuadrado,
c. (F) Si es convexo ninguna prolongación
de planos corta al poliedro
d. (F) basta unir dos tetraedros cuya base
sea la misma.
e. (V) por definición.
4TO Geometría U4 CT.indd 220 28/02/2020 17:35:37

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 221
Nivel intermedio
3. Dado un tetraedro regular cuya altura es de 2 cm.
Calcula el área total del tetraedro.
4. Si numéricamente el área total de un cubo es
igual a la cuarta parte del volumen total del
mismo cubo.
Halla la diagonal de dicho cubo.
5. Determina la altura de un tetraedro regular, si se sabe que la suma de sus aristas es 30 cm.
6. Si la diagonal de una de las caras de un cubo
mide 15 12 u, entonces ¿cuánto mide la dia-
gonal del cubo?
k
d
7. Dado un octaedro. Formado por la unión de
dos tetraedros regulares. Se sabe que este tie-
ne un área total igual a 83 u, entonces halla
el volumen total del octaedro.
h
L
Por la fórmula de la altura tenemos
h
L
3
6
2== cm
⇒ L
6
6
6== cm
Entonces el área total es
A 26 3243
T
2
==`j cm
2
Suponiendo que el lado del cubo mide a.
Entonces por la fórmula del volumen y del
área total tenemos
AV aa
a
4
1
6
4
1
24
T
23
&
&
==
=
La fórmula de la diagonal:
d = a 3 = 243u
Sea el tetraedro:
k
⇒ 6k = 30
⇒ k = 5 cm
Entonces la altura del tetraedro regular es
⇒ h
3
56
= cm
Llamamos al lado del cuadrado a, enton- ces por el teorema de Pitágoras tenemos que
k = a
2 = 15 12
⇒ a = 15 6
Luego por la fórmula de la diagonal del cubo tenemos
d
d
d
du
1563
15 18
1532
452
&
&
&
#
#
=
=
=
=
Sea a el lado del octaedro, entonces el área total del hexaedro es igual a
A
a
8
4
3
83
T
2
==
Entonces a = 2, luego el volumen total del octaedro es dos veces el volumen del te- traedro, entonces el volumen del octaedro
VV
V
Vu
2
2
12
22
3
4
2
octaedro tetraedr o
octaedro
octaedro
3
3
&
&
=
=
=
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
4TO Geometría U4 CT.indd 221 28/02/2020 17:35:43

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Nivel avanzado
8. Determina el valor del área sombreada si la dia-
gonal del cubo mide 73 cm.
k
a
A D
M
N
B C
P
Q
d
9. En un poliedro se cumple que el número de
caras es el doble del número de vértices, y la
razón entre el número de aristas y el número
de vértices es
2
5
. Halla el resultado de sumar
el número de caras y de aristas para luego res-
tar el número de vertices.
10. Calcula el área y el perímetro de la figura som-
breada si la diagonal del cubo mide 20 3 cm
y M y N son puntos medios.
M
NS
203
11. Dado un octaedro regular inscrito en una es-
fera de centro O. Si se sabe que el radio de la
esfera es 10 cm,
halla área total del octaedro y
su volumen.
A
B
S
D
O
P
Q
C
r
Si la diagonal mide 73, entonces por la
fórmula de la diagonal tenemos
d = a 3 = 73cm
⇒ a = 7
Luego por el teorema de Pitágoras tene- mos que
k =
77 72
22
+=
Sabemos que NB ⊥ BD por ser un cubo.
& A =
727
2
∙−∙−
& A =
492
2
cm
2
Sea a el lado del cubo. Entonces por la fór- mula de la diagonal del cubo tenemos
D = a
3 = 203
⇒ a = 20 cm
Luego:
S = 20
2
20
1052
2
+=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O cm
Luego como la figura sombreada es un
romboide, entonces el perímetro es
2p = 4105405=`j cm
Y el área es A =
105203
2
×
= 10015 cm
2
Sea a el lado del octaedro. Sabemos que
PQ es la diagonal máxima del tetraedro
y también diámetro de la circunferencia máxima.
& 2 × 10 = a
2
& a = 10 2 cm
& A
T
= 2(10
2)
2
3 = 400 3 cm
2

& V =
1022
3
3
∙−
=
4000
3
cm
3

Por dato tenemos que C = 2V y también
V
A
=
2
5
& A = 5k ∧ V = 2k
& C = 4k.
Por la fórmula de Euler tenemos que:
4k + 2k = 5k + 2
⇒ k = 2
Por lo tanto:
A = 5 × 2 = 10
V = 2 × 2 = 4
C = 4 × 2 = 8
& A + C – V = 14
4TO Geometría U4 CT.indd 222 28/02/2020 17:35:50

Geometr?a
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. En un poliedro se tiene que el número de aris-
tas menos el número de vértices es 32, halla el
número de caras del poliedro.
a. 40 b. 34 c. 33 d. 35
2. Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones I.
Un tetraedro siempre tiene 6 aristas.
II. La figura que tiene 12 vértices y 30 aristas se
le llama icosaedro.
III. Existen poliedros formados por 2 caras.
a. FFF b. VFV c. VVF d. FVF
3. Determina el lado de un tetraedro regular, si
su volumen es cm22
3
a. cm23
3
b. cm32
3
c. cm83
d. cm33
4. Calcula el volumen de un hexaedro regular si
el área de una de sus caras es igual a 49 cm
2
.
a.
323 cm
3
b. 343 cm
3
c. 351 cm
3
d. 2311 cm
3
Nivel intermedio
5. Halla el área total de un octaedro regular si su
diagonal mide cm32 .
a. 182 cm
2
b. 153 cm
2
c. 183 cm
2
d. 23 cm
2
6. Se tiene una esfera inscrita en un cubo. Calcu-
la el área total del cubo si el radio de la esfera
es 6 cm.
6
O
a. 808 cm
2
b. 864 cm
2
c. 895 cm
2
d. 810 cm
2
7. El área total de un paralelepípedo es igual a la suma de áreas de todas sus caras.
Calcula
la medida de la altura de un paralelepípedo si los lados de su base son 2 y 3 cm y su área total es 72 cm
2
.
a.
4 cm b. 7 cm c. 6 cm d. 8 cm
Nivel avanzado
8.
Halla el área del triángulo ABC, si se tiene que el volumen del cubo es 64 cm
3
.
A
B
C
a. 63 cm
2
b. 82 cm
2
c. 62 cm
2
d. 83 cm
2
9. La altura de una de las caras de un octaedro regu-
lar mide cm33 . Halla el volumen del octaedro.
a. 323 cm
3
b. 722 cm
3
c. 502 cm
3
d. 723 cm
3
10. Si tenemos un octaedro regular con una cir-
cunferencia inscrita en una de sus caras. Calcu-
la el área total de la figura. Si el radio del círculo es 10 cm.
10
a. 10p cm
2
b. 100(243 – p) cm
2
c. 12(32 – p) cm
2
d. 263,35 cm
2
Nivel destacado (UNMSM 2017-II)
11. La figura representa un cubo, donde A, B y C son puntos medios de las aristas.
Clasifica el triángulo
ABC.
A
B
C
a. Esc<> aleno
b. Rectángulo
c. Equilatero
d. Isosceles
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b d a b c b c d b b d
4TO Geometría U4 CT.indd 223 28/02/2020 17:35:57

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Prisma y pirámide
Recordamos lo aprendido
Prisma Recto:
a h
x y
z
Donde:
ha
AASR B
=
=
Z
[
\
]
]]
]
]]
A
L
= (x + y + z) ∙ a
A
T
= A
L
+ 2A
B
V = A
B
× h
Prisma Oblicuo:
a
h
z
y
x
SR
P
Donde:
ha
AASR B
1
1
Z
[
\
]
]]
]
]]
A
L
= (x + y + z) ∙ a
A
T
= A
L
+ 2A
B
V = A
SR
× a
V = A
B
× h
Paralelepípedo:
a
b
c
d
A
T
= 2(ab + ac + bc)
V = a ∙ b ∙ c
d
2
= a
2
+ b
2
+ c
2Pirámide:
B
h
O
D
C
A
E
V
Apotema(ap)
A
SL
= p
B
•

a
p
A
ST
= A
SL
+ A
B
V =
Ah
3
B#
Propiedad
B∙ B−
V−
V∙
h

V
V
B
B
1
2
1
2
=
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Halla el volumen del siguiente paralelepípe-
do. Si AB = 5 cm, BC = 6 cm y la diagonal del
paralelepípedo es 13 cm
A
B
C
D
F
E
H
G
2. Calcula el volumen de la pirámide regular- mostrada.
6
10
Primero ponemos los datos:
Del △ADE tenemos los catetos que son 6 y
63entonces la hipotenusa es 12.
Del △CDE de catetos 12 y 5 tiene como hi-
potenusa 13
A
B
C
D6
F
E
12
13
H
G
6
5
5 5
63
Entonces ya tenemos todos los lados del
paralelepípedo:
Y reemplazamos para hallar el volumen
V = a × b × c
V = 5 × 6 × 63
Por lo tanto, V = 1803 cm
3
6
a
10
8
8
De la base tene-
mos: a8 2= u
Por lo tanto,
V
Vu
3
82 6
256
2
3
#
=
=
`j
4TO Geometría U4 CT.indd 224 28/02/2020 17:36:00

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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3. La figura muestra una cajita de fósforos, calcula
su diagonal si su volumen es 48 cm
3
.
A
B
C
3k
2k
k
D
E
F
H
G
4. Si el volumen del paralelepípedo mostrado es
40 u
3
.
Calcula el valor de «x».
2x
5x
x
Nivel intermedio
5. Se tiene un prisma cuadrangular regular de
altura cm27 y arista básica cm32 . Si N es
punto medio de BF , calcula m ∠ANG
D
A B
N
F
GH
E
C
En la siguiente página web, puedes am-
pliar tus conocimientos:
https://www.youtube.com/watch?-
v=53AcEvz6rG8
El volumen del paralelepípedo se pone los
siguientes datos:
(5x)(2x)(x) = 40
10x
3
= 80
x
3
= 8
Por lo tanto
x = 2
Colocando los datos dados:
D
A B
N
F
GH
E
C
O
p
p
m n
n
32
32
32
27
7
7
Del triángulo DHG:
(27)
2
+ (32)
2
= m
2
& m = 46
Del triángulo ABN y AFB:
nn32 7 5
22
2
&+= =``jj
Del triángulo ADG:
m pp32 2 32 46 2
2
2
2 22 2
&+= +=` _ `` _j i jj i
⇒ p = 4
Nos piden la medida del ángulo m∠ANG
Observamos que ∆ AON y ∆ NOG son iguales
y que son triangulo notables de 37° y 53°
Por lo tanto,
la m∠ANG = 53° + 53°
⇒ m∠ANG = 106°
A
B
C
D
E
F
H
G
3k
2k
k
V = 48 cm
3
(k)(2k)(3k) = 48
6k
3
= 48
k
3
= 8
k = 2
Luego:
d kk k
dK kk
dk
dk
d
23
49
14
14
214
22 2
22 2
2
= ++
= ++
= = =
^^ ^hh h
4TO Geometría U4 CT.indd 225 28/02/2020 17:36:03

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Nivel avanzado
6. En la figura el volumen de la pirámide más
grande es de 216 u
3
.Las áreas de las bases de
las pirámides son paralelas.
Calcula el volu-
men del tronco piramidal.
h
5h
7. Calcula el área de la superficie lateral de un prisma recto, si su base es un triángulo equilá- tero cuyo lado mide 4 y EO
mide 12.
E
4
4O
12
4
8. Sea un prisma recto ABC – DFE, en la cara la- teral AFC está inscrita una circunferencia. Si se
sabe que OB
= 411 (O: Centro de la circun-
ferencia) y AC = BC = 12 u. Calcula el volumen
del prisma recto.
Primero tendremos que graficar el prisma
recto y agregar los datos que nos dan:
r
r
A
C
M
12 – r 12
B
F
D
E
O
411
Del △MCB hallamos la hipotenusa y a la
vez en el △OMB usamos el teorema de Pitágoras:
MB rr MB12411
2 22
2
2 2
/=+ =+^ ` ^hj h
Reemplazamos y tenemos que:
(411)
2
= r
2
+ r
2
+ 12
2
⇒ 176 = 2r
2
+ 144
⇒ 2r
2
= 32
⇒ r
2
= 16
⇒ r = 4
luego, analizamos el triangulo AFC:
O 4
4
a
F
a
8
8A M C
(8 + a)
2
= (a + 4)
2
+ (12)
2
⇒ (8 + a)
2
– (a + 4)
2
= 144
⇒ 4(12 + 2a) = 144
⇒ 12 + 2a = 36
⇒ a = 12 u
Por lo tanto:
V = A
B
×
ℎ =
2
12 12#
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
× 12 = 864 u
3
Llamaremos al menor volumen V
1
y al ma-
yor V
2
V
V
h
h
6
2
1
3
3
=
^h
Reemplazamos:
V
h
h
V
h
h
216
6
216
216
1
3
3
1
3
3
&
#
=
=
^
^
h
h
⇒ V
1
= 1 u
3
V
tronco
= V
2
– V
1
⇒ V
tronco
= 216 – 1 = 215 u
3
Primero hallamos la hi-
potenusa del △ AOE:
2
2
+ 12
2
= (AE
)
2
⇒ AE = 237
Luego hallamos un cate-
to del △ AEF:
(237)
2
= 4
2
+ (EF)
2
⇒ EF = 233
Por lo tanto:
A
SL
= (4 + 4 + 4) × 2
33
A
SL
= 2433u
2
233
12
E
4
4
4O
F
A
237
4TO Geometría U4 CT.indd 226 28/02/2020 17:36:07

Geometr?a
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. El volumen de un paralelepípedo es 210 cm
3
.
Si sus lados son consecutivos, determina la
menor de sus aristas.
a. 4 cm b. 2 cm c. 3 cm d. 5 cm
2. Halla la altura de una pirámide regular. Sabien-
do que tiene por base un triangulo equilátero de
lado 12 y la apotema de la pirámide es 63.
a. 42 u
b. 46 u
c. 23 u
d. 6 u
3. Del gráfico, se muestra un tronco regular. Si
el área del cuadrilátero superior es 9 u
2
y del
cuadrilátero inferior es 25 u
2
.
Calcula el área
de la base que se encuentra en la intersección de los dos troncos.
4 u
7 u
a. 11,59 u
2
b. 13,89 u
2
c. 14,59 u
2
d. 13,25 u
2
Nivel intermedio
4. Se tiene una pirámide regular de base cua- drangular cuya altura mide 8 cm ¿A qué dis- tancia del vértice se tiene que trazar un plano paralelo a la base tal que determine dos soli- dos que poseen el mismo volumen?
a.

2
4
3
cm
b. 4
3
cm
c. 44
3
cm
d. 24
3
cm
5. Si una hormiga va del punto A al punto B.
Como se muestra en la figura. Determina la
distancia, sabiendo que es un prisma regular.
A
6
16
B
a. 32 cm
b. 30 cm
c. 25 cm
d. 28 cm
6. Sea un prisma recto ABC – DEF. Si AB = 12 cm
y AC = 20 cm. Calcula el volumen del prisma
recto ABC – DEF, si E es punto de tangencia y
m∠B = 90°
α
α
A
D
B
E
P C
F
a. 1 022 cm
3
b. 1 024 cm
3
c. 1 023 cm
3
d. 2 020 cm
3
Nivel avanzado
7. Sea el prisma oblicuo ABC – DEF y la pirámi-
de M – DGH. Si el triángulo MNP es la sec-
ción recta y tiene un área de 24 cm
2
, además,
MD
= 8 cm, NE = 6 cm, PF = 3 cm. Halla el vo-
lumen del tronco de prisma MNP – DEF.
A
B
C
P
F
N
M
D
E
G
H
a. 120 cm
3
b. 125 cm
3
c. 136 cm
3
d. 110 cm
3
8. Calcula el volumen de un prisma regular tal que su base es un pentágono cuyo apotema mide 8 u además se sabe que el área de una cara lateral es 32 u
2
.
a. 150u
3
b. 200u
3
c. 230u
3
d. 640u
3
Nivel destacado (UNMSM − 2017 II)
9. Se tiene una pirámide cuadrangular O − ABCD donde ABCD es un cuadrado y OA
es la altura
de la pirámide. Si M es punto medio de OC ,
el volumen de la pirámide es de 32 cm
3
y el
ángulo que forma BM
y el plano de la base es
30°, halla el área de la cara lateral OCD.
a. 415 cm
2
b. 215 cm
2
c. 315 cm
2
d. 815 cm
2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
d b b c a b c d a
4TO Geometría U4 CT.indd 227 28/02/2020 17:36:11

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 228
Cilindro y cono
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Dado un cilindro de revolución, halla su volu-
men si el radio de su base mide 4 cm y la dis-
tancia entre el centro de la base inferior y el
borde de la base superior es igual a 6 cm.
2. Dado un cilindro oblicuo cuya altura y radio mi- den 6 cm y 2 cm respectivamente,
calcula el
área total, si el cilindro tiene una inclinación de 37° sobre el piso y la distancia de los extremos
de los semiejes mide 2
5 cm, además el se-
mieje mayor mide el doble del semieje menor.
a
h = 6 cm
2
37º
2a 5
Recordamos lo aprendido
Cilindro recto
rO
1
g
r O
2
A
L
= 2πrg
A
T
= 2πr(g + r)
V = πr
2
g
Cilindro Oblicuo
a a
b
b
r
Base (elipse)
g h
P
A
SL
= 2πrg
A
ST
= A
SL
+ 2(A
B
)
V = (A
B
)h
V = πr
2
g
Donde
O
2b
2a
Área de la región elíptica
A
B
= πab
Donde a y b son los semi ejes de la base (elipse).
Tronco de cilindro
gM
O
O
1
gm
elipse
r
A
L
= (2πr) ∙ eje
A
T
= A
L
+ A
Bases
V = πr
2
∙ eje
Donde:
eje

=
g
M
+ g
m
2
Cono
r
h
g
A
L
= πrg
A
T
= πr (g+ r)
V =
rh
3
2
r
Tronco de Cono
g
r
R
A
L
= πg(r + R)
A
T
= A
L
+ π(r
2
+ R
2
)
V =
h
3
r
(R
2
+ Rr + r
2
)
6 cm
4 cm
g
Utilizando el teorema de Pitágoras tenemos:
g = 64
22
- = 25
Luego, utilizando la fórmula del volumen,
tenemos:
V = p(4
2
)(2
5) = 325p cm
2
En la elipse tenemos por el teorema de Pitágoras:
(2a)
2
+ a
2
= (2
5)
2
& a = 2
Por propiedad de triángulos notables tene- mos que la generatriz: g = 5k = 5(2) = 10 cm
Por ultimo utilizando la propiedad de área
total:
A
T
= 2p(2)(10) + p(2)(4)
⇒ A
T
= 40
π + 8π
⇒ A
T
= 48π u
2
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 229
Nivel intermedio
3. En la siguiente figura se cumple que el área
lateral y el volumen son numéricamente igua-
les.
Calcula el área de la superficie total si el
semieje menor de la elipse mide 3 cm.
8 cm
5 cm
R
4. El ángulo del desarrollo de un cono circular es 2p/3 y la generatriz es 4 veces el radio.
Halla
el área de la base de dicho cono, si el área del desarrollo del cono es igual a 12p cm
2
.
r
4r

4r
2π
3
5. Halla la relación entre el volumen del cilindro y el volumen del cono de la siguiente figura.
a
a
6. Un cono cuya altura mide 30 cm tiene por base un circulo cuyo radio mide 20 cm. Se traza una circunferencia paralela a la base de manera que se genera un tronco de cono cuyo volumen es
7 000p cm
3
.
Halla el área lateral del tronco de
cono generado.
r
20
30 cm
Por dato del problema tenemos:
V = pR
2
(eje);
A
L
= 2pR(eje)
simplificando: R = 2
Utilizando el teorema de Pitágoras obtene-
mos que el eje mayor de la elipse es:
2b = R23
2 2
+^h = 5
Por lo tanto, el área total es:
A
T
= A
L
+ A
b
+ A
elipse
⇒ A
T
= 2p(2)
2
85+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
+ p(2
2
) + p(3)
2
5
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
⇒ A
T
= 26p + 4p +
2
15
p
Por lo tanto, A
T
=
2
75
p u
2
Recordando el área del sector circular
A
L
=
rr
2
1
3
244r
J
L
K
K
KK^^
N
P
O
O
OOhh
= 12p
⇒ r =
2
3
cm
Por lo tanto, el área de la base del cono es:
A
B
= p
2
3
2J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
=
4
9
p cm
2
V =
π(30)
3
(20
2
+ 20r + r
2
) = 7 000p
Simplificando tenemos
r
2
+ 20r – 300 = 0 ⇒ r = 10
∨ r = –30,
⇒ r = 10 cm
Y por el teorema de pitagoras tenemos que
la generatriz:
g = 2010
22
+ = 105 cm
Luego el área lateral es:
A
L
= p(15
5)(20 + 10) = 450 5p cm
2
Sea R y r los radios del cono y del ci- lindro respectiva- mente. Por la pro- piedad de Thales tenemos que:
R = 2r, por lo tan-
to, la relación entre
sus volúmenes es:
V
cilindro
V
cono
=
rh
rh
3
2
2
2
r
r^h
=
3
4
a
a
R
r
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Nivel avanzado
7. Un cilindro de 12 cm de altura, es dividido en tres,
formando elipses iguales tal como se muestra
en la figura, donde el semieje mayor mide 4cm
y forma un angulo de 60° con la base.
Halla el
volumen del cilindro formado por ambos cortes.
4
4
4
8. Se tiene un cubo inscrito en la mitad de un
cilindro. Calcula el volumen de la mitad del
cilindro en función del lado del cuadrado ins- crito en él.
9. Un octaedro regular está inscrito en un cilin- dro de revolución de modo que dos vértices opuestos se encuentra en los centros de las bases.
Halla la relación entre el volumen del
octaedro regular y el cilindro de revolución.
10. Calcula el volumen del tronco de cono, si el volumen total del cono es igual a 64p m
3
ade-
más tenemos que las bases son paralelas.
k
3k
Si suponemos que el ra-
dio del cilindro es R, en-
tonces y por hipótesis
tenemos que el semieje
es 8, luego por triángu-
los notables sabemos
que el radio vale R = 2.
Luego por la fórmula
del volumen tenemos:
V = A
SR
• g = p(2
2
)4 = 16p cm
3
Por la propiedad de
relaciones métricas
en una circunferen-
cia tenemos:
a
2
=
r
a
r
a
22
+ -
J
L
K
K
K
J
L
K
K K
N
P
O
O O
N
P
O
O O
Entonces: r =
a
2
5
, luego el volumen de la
mitad del cilindro es:
V
semicilindro
=
1
2

a
2
5
2
r
J
L
K
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
O a
V
semicilindro
=
5a
3
8
p u
3
r
r
r
r
2rr
Por la fórmula del volumen del octaedro
tenemos: V
octaedro
=
4r
3
3

Y por la fórmula del volumen del cilindro
tenemos: V
cilindro
= pr
2
(2r) = pr
3
Por lo tanto:
V
octaedro
V
cilindro
=
r
r
3
4
3
3
r
=
4
3p
Sea r el radio del cono parcial, entonces por
la propiedad de Thales tenemos que el ra-
dio del cono mayor es 4r, luego por la fór-
mula del volumen del cono tenemos que:
V =
1
3
(p(4r)
2
(4k)) = 64p
Entonces: r
2
k = 3
Luego, por la fórmula del volumen del tron- co de cono tenemos:
V
tronco
=
p(3k)
3
((4r)
2
+ r(4r) + r
2
)
= pk(21r
2
) = 21p(3) = 63p u
3
60º
8
4
2
4
4
4
a
r r
a
2
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Coloca verdadero o falso según corresponda:
• El desarrollo de un cono siempre nos da un
sector circular.
• Es posible inscribir un cono en un cilindro
recto de tal forma que ambos tenga el
mismo volumen.
• El desarrollo de un cilindro oblicuo nos da
un romboide o paralelogramo.
a. VFV b. VVF c. VFF d. FVV
2. Halla el área del cono en función del radio r, si el ángulo que forma la generatriz y la base es 60°.
r
60º
a. pr
3
5
3

b. pr
3
3
2

c. pr
3
3
3
d. r3
3
r
3. Se tiene un cilindro truncado como muestra la figura,
halla el volumen del cilindro truncado,
si la longitud de la circunferencia de la base es 14p cm.
17 cm
13 cm
R
a. 725p cm
3
b. 535p cm
3
c. 625p cm
3
d. 735p cm
3
Nivel intermedio
4. En la figura se muestra un solido inscrito en un cubo.
Determina el volumen del solido som-
breado si el lado del cuadrado mide a.
a.
3
26
pa
3
b.
3
16
pa
3
c.
3
8
pa
3
d.
3
16
pa
2
5. Dado un trapecio rectángulo con bases 8 y 4 cm y altura 6 cm.
Calcula el volumen que
genera el trapecio al girar por la base mayor.
a. 145p cm
3
b. 192p cm
3
c. 182p cm
3
d. 129p cm
3
6. En el gráfico, el volumen del cilindro de
revolución es 24 cm
3
. Si se cumple que:
4PO
= 5QO. Calcula el volumen del cono recto.
O
P
Q
a. 21 cm
3
b. 18 cm
3
c. 12 cm
3
d. 40 cm
3
Nivel avanzado
7. En la base de un cilindro está inscrito una
hexágono de área
2
75
3 cm
2
. Si la altura del
cilindro mide 16 cm, ¿Cuánto mide el área la-
teral?
a. 160p cm
2
b. 160p cm
2
c. 160p cm
2
d. 160p cm
2
8. Dado un triángulo equilátero ABC se le hace
girar una vuelta alrededor de su altura, gene-
rándose un sólido de volumen V
1
pero si se
le hace girar una vuelta alrededor de uno de
sus lados se genera un sólido de volumen V
2
.
Calcula la relación
V
V12
.
a. 32 b. 43 c. 23 d. 52
9. En la panamericana cerca de Casma se ha for- mado una duna en forma de tronco de cono de revolución. Las longitudes de las circunfe- rencias son 4p cm y 2p cm. Ver figura.
Calcula
el volumen de la duna.
cm10
a. 5p cm
3
b. 3p cm
3
c. 6p cm
3
d. 7p cm
3
Nivel destacado
10. Halla la relación
V
Vcubocono
en la siguiente figura.
C
D
B
A
E
F
H
L
G
r
a.
p(4 – 2 2)
6
b.
p(3 – 2 2)
6
c.
p(3 – 2)
6
d.
p(3 – 2 3)
6
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a c d b b d d c d b
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Esfera y sólidos de revolución
Recordamos lo aprendido
Área y volumen de la esfera
r
Área:
A = 4πr
2
Volumen
V =
3
4
πr
3
Secciones de la superficie esférica
1. Zona esferica:
R
r
h
Área:
A = 2πRh
Volumen
V =
6
1
πh (h
2
+ 3R
2
+ 3r
2
)
2. Casquete esférico:
R
r
h
Área:
A = 2πRh
Volumen
V =
2
1
πh
h
r
3
2
2
+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Primer teorema de Pappus – Guldin
x
A
C
B
x
Eje de giro
Área de la
superficie
generada (A
SG
)
A
SG
= L∙2π∙x
Segundo teorema de Pappus – Guldin
Cx x
Eje de giro
Volumen del solido generado (V
SG
)
V
SG
= A∙2π∙x
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. El volumen de un cubo es 216 m
3
. Halla el vo-
lumen de la esfera que está inscrita en el cubo.
2. Determina la relación de H y h de la siguiente figura esférica de radio R. Si 3R = 4r y la rela-
ción de
A
Zona esferica
A
Casquete esferico
=
5
3

H
h
R
r
Grafiquemos el cubo y la esfera inscrita:
V
Cubo
= a
3
; donde a = arista del cubo
⇒ 216 = a
3
⇒ a = 6 m
Observamos que la arista es igual a dos ve-
ces el radio:
a = 2r ⇒ 2r = 6 ⇒ r = 3 m
Luego calculamos el volumen de la esfera:
V
Esfera
=
4
3
× p × r
3
=
4
3
× p × (3)
3
V
Esfera
= 36p m
3
Usaremos el área de la zona esférica y cas- quete esférico:
A
Zona esférica
= 2 × p × R × H
A
Casquete esférico
= 2 × p × r × h
Entonces:
A
A
rh
RH
2
2
3
5
Casqueteesfrico
Zona esfrica
é
é ## ### #
r
r
==
Por lo tanto:
4
3
×
H
h
=
5
3
⇒
H
h
=
5
4
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
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3. Halla la relación del volumen de la semi esfera
con el volumen del cono.
R
2R
Nivel intermedio
4. Encuentra la relación de los volúmenes de la
esfera y el cono en la siguiente figura.
80 u
60 u
5. Dado el siguiente paralelepípedo cuyo volu-
men es (2 592 + 1 2963) m
3
. Se inscriben dos
esferas tangentes cuyo radio es el mismo. Cal-
cula el volumen de una de las esferas.
6. Halla el volumen de una esfera donde se cum-
ple que su área es numéricamente igual que
su volumen.
R
La base del cono tiene como radio R y al- tura 2R
Entonces el volumen del cono es:
V
Cono
=
p × R
2
× (2R)
3
Y el volumen de la semiesfera es:
V
semiesfera
=
2p × R
3
3
Por lo tanto,
V
semiesfera
V
Cono =
2
3
2
3
3
3
p
p
R
R
= 1
⇒ V
semiesfera
= V
Cono
r
60 u
100 u
80 u80 u
Entonces:
V
esfera
=
4
3
× p × (20)
3
V
cono
=
1
3
× p × (30)
2
× 80
Por lo tanto,
V
esfera
V
Cono
=
4
9
Lo llevamos a un plano
y podremos usar el teo-
rema de Poncelet:
⇒ 80 + 60 = 100 + 2r
⇒ r = 20
Veamos la figura des- de arriba:
Entonces el rectángu-
lo tendrá las siguien-
tes dimensiones 3r;
2r + r
3 y 2r.
Entonces del volumen del paralelepípedo sera:
V
Paralelepipedo
= (3r)(2r)(2r+r 3)
⇒ r
3
(12 + 6
3) = 2 592 + 1 296 3
⇒ r = 6 m
Entonces para el volumen de la esfera tenemos:
V
Esfera
=
4p × r
3
3
=
4p × 6
3
3
& V
Esfera
= 288p m
3
Si: El volumen de la esfera es:
V

=
4
3
× p × R
3
A

= 4 × p × R
2
Entonces:
V

= A
⇒
4
3
pR
3
= 4pR
2
⇒ R = 3
Por lo tanto,
V =
4
3
× p × (3)
3
= 36p u
3
r
r
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Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Nivel avanzado
7. Calcula el área de la superficie generada por
un circulo al girar alrededor de una recta ex-
terior y coplanar, cuyo radio mide 4 unidades
y la distancia de su centro a dicha recta mide
16 unidades.
8. Se tiene una esfera inscrita en un tronco de cilindro circular recto. Si las generatrices míni- ma y máxima miden 30 cm y 40 cm respecti- vamente,
halla el volumen de la esfera.
9. Calcula el volumen del solido generado por la co-
rona al girar alrededor de la recta L, si AB = 5,
BC = 16 y T es punto de tangencia.
O
Rr
C
T
B
A
L
10. Sea un sector circular AOB. Si α =
p
4
y x = 5.
Calcula el volumen del sólido generado por el
área sombreada, si C es el centroide.
A
B
C α
O
x
L
24
Hallemos el área sombreada:
A
Sombreada

= A
Sector AOB
– A
∆AOB
A
Sombreada
=
p
2
×
(42)
2
2
–
8 × 4
2
= (8p – 16) u
2

Encontremos el volumen:
V = A
Sombreada
• 2p

• x
V = (8p – 16)(2p)(5)
∴ V = 80p(p – 2) u
3
Hallemos la longitud de la circunferencia: L
Circunferencia
= 2p(R) = 2p(4) = 8p
x
= 16
Por teorema de Pappus−Guldin: Tenemos que: A
SG
= L
circunferencia
∙2p∙xA
SG
= (8p)∙2p∙(16)
Por lo tanto, El área de la superficie generada es
256p
2
u
2
Graficando tenemos:
30 – r
A
40 – r
C
30 – r
B40 – r
r
rr
r
30
40
NM
O
rr
D
Observamos que M, D, N y C son puntos de
tangencia de la esfera.
Del triángulo AOC tenemos:
Por teorema: r
2
= (30 – r)(40 – r)
⇒ r =
120
7Ahora hallemos el volumen de la esfera:
V
esfera
=
4
3
× p ×
7
120
3J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Por lo tanto,
V
esfera
=
2 304 000
343
cm
3
Primero hallemos el área de la corona
circular:
Pero del triángulo BOT usamos el teorema
de Pitágoras: ⇒ (OB )
2
= (OT)
2
+ (TB)
2
⋯ (α)
Como T es punto de tangencia entonces
parte en dos a la cuerda BC: ⇒ TB = 8
Reemplazamos en (α): (OB)
2
= (OT)
2
+ (8)
2
⇒ (OB)
2
– (OT)
2
= 64
Además, x = 13
De lo que nos piden: V = A
Sombreada
× 2p × xPor lo tanto, V = p((OB )
2
– (OT)
2
) × 2p × 13
V = 64p × 2p × 13
V = 1 664p
2
u
2
4
16
L
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si el volumen de un cilindro es 54p u
3
, halla el
volumen de la esfera.
a. 15p u
3
b. 18p u
3
c. 27p u
3
d. 36p u
3
2. Dos esferas, cuyas áreas son 360p y 160p. Son
tangentes entre ellas y se apoyan en un plano.
Calcula la distancia entre los puntos tangen- tes al plano.
a.
10 u
b. 210 u
c. 415 u
d. 125 u
3. De la siguiente figura; el radio de la esfera es R.
Si la diagonal del cubo es 123. Determina el
valor de R.
R
a. 8 u b. 3 u c. 5 u d. 6 u
Nivel intermedio
4.
En una esfera de radio R se inscribe un cono,
siendo su altura H y el radio de la base r, halla
la relación entre R, H y r.
a. r
2
+ H
2
= 2RH
b. H + r = 2R
c. H = R + r
d. R
2
+ r
2
= H
2
5. Se traza un plano secante a una esfera de radio 6.
Si la distancia del plano al centro de la esfera es
4. Halla el volumen del casquete esférico.
a.
64p
3
u
3
b.
16p
3
u
3
c.
4p
3
u
3
d.
4p
5
u
3
6. Determina el valor de la medida del ángulo que forman la generatriz de un cono de revolución con su base. Si el área de la esfera inscrita en dicho cono es igual al área de la base del cono.
a.
53° b. 37° c. 45° d. 74°
7. Halla el volumen generado, al rotar dos semi-
circunferencias continuas de radio R alrede-
dor del eje L si la recta pasa por los diáme-
tros de las semicircunferencias.
a.
1
3
pR
3
u
3
b.
4
3
pR
3
u
3
c.
8
3
pR
3
u
3
d.
3
5
pR
3
u
3
Nivel avanzado
8. En una esfera de radio
R
2
se halla inscrito un
cono circular recto de altura 2h, encuentra
la superficie lateral del cono.
a. hR h22
2
r- u
2
b. hR Rh2
2
r- u
2
c. hRRh2 2r -^h u
2
d. hR Rh22
2
r- u
2
9. Se tienen dos esferas concéntricas, se traza un
plano secante a la esfera mayor y tangente a
la esfera menor, determinando un círculo de
área 25p m
2
.
Halla el área, del casquete menor
formado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 2 m.
a.
2(29 – 2)p m
2
b. m229292
2
r-``jj
c. 229p m
2
d. 29p m
2
10. Se traza un plano secante a una esfera, de
modo que el área del circulo determinado es
igual a la diferencia de las áreas de los casque-
tes esféricos formados y la distancia del plano
al centro de la esfera es 3(
5 – 2). Calcula el
área de la superficie de dicha esfera.
a. 36p u
2
b. 30p u
2
c. 18p u
2
d. 15p u
2
Nivel destacado (UNI-2019-2)
11. Determina a que altura de la tierra debe
ubicarse un satélite para que la región visible
sea
1
3
de la superficie terrestre. Considere que
el radio de la tierra es R.
a. R
2
b. 2R c. R d. R
4
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d c a a d a c c b a b
4TO Geometría U4 CT.indd 235 28/02/2020 17:36:34

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 236
Geometría analítica
Recordamos lo aprendido
Geometría analítica
1. Sistema Cartesiano
X
∙−
: Eje de abscisas
Y
∙−
: Eje de ordenadas
Y
II I
X
III IV
2. Distancia entre dos puntos
d(P
1
; P
2
) = xx yy
21
2
21
2
- +-__ ii
3. Punt<> o medio de un segmento
M(x; y) = ;
xx yy
22
12 12
++
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
4. División de un segmento en una razón dada
x =
mn
xn xm
12
::
+
+

y =
mn
yn ym
12
::
+
+
5. Distancia de un punto al origen
d = xy
1
2
1
2
+
6. C<> oordenadas del baricentro de una región
triangular
G = ;
xx xy yy
33
12 31 23
++ ++
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
7. Área de una región triangular
S
△
=
1
2
|B – A|
Donde:
x
1
y;
1
x
1
y;
1
x
2
y;
2
x
3
y;
3
A B
(+) (-)
y
1
. x
2
y
2
. x
3
y
3
. x
1
x
1
. y
2
x
2
. y
3
x
3
. y
1
8. Área de una región poligonal
A
A
1
A
2
A
3
...A
n
=
1
2

x
1
x
2
.
.
.
x
n
x
1
y
1
y
2
.
.
.
y
n
y
1
1. Propiedad del paralelogramo
En un plano cartesiano, sean los puntos A(x
1
;
y
1
), B(x
2
; y
2
), C(x
3
; y
3
), D(x
4
; y
4
) vértices de un pa-
ralelogramo ABCD. Entonces:
A + C = B + D
x
1
+ x
3
= x
2
+ x
4

y
1
+ y
3
= y
2
+ y
4
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el punto medio M(x; y) y la distancia
del segmento AB
M
Y
X
B(–2; 1)
A(7; 18)
2. En el gráfico, calcula la distancia de M a N.
M(x; y)
A(3; 2)
N(2; 7) B(–1; 6)
Hallando el punto medio:
M(x; y) = ;
2
27
2
118-+ +
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
M(x; y) = ;
2
5
2
19
J
L
K
K
K
N
P
O
O O
Hallando la distancia:
du 27 11 8 812893 70
2 2
=-- +- =+ =^ ^h h
Ya que M(x; y) es punto medio de AB, en-
tonces hallaremos las coordenadas de M:
x =
2
31
1
-
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
y =
2
26
4
+
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Entonces M(x; y) = (1; 4)
Luego:
d(M; N) = 21 74 10
22
-+-=^^hh u
4TO Geometría U4 CT.indd 236 28/02/2020 17:36:41

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 237
3. Sea M(x; y) el punto medio del segmento PQ .
Del gráfico determina las coordenadas del
punto M(x; y).
(0; 0) Q
X
Y
P
6
M
8
4. Calcula el punto medio del segmento de ex-
tremos D(–17; 8) y E(25; –94), y la distancia en-
tre estos.
Nivel intermedio
5. Si M(5; 6) es el punto medio del segmento PQ .
Halla las coordenadas del punto P(x; y)
Y
X
Q(2; 4)
M(5; 6)
P(x; y)
6. Calcula la distancia que une los puntos medios de MN
y CD
X
C(2; 3)
Y
N(3; 9)
D(6; 1)
M(1; 3)
7. Calcula el área de la región ABC
C(2; –5)
X
Y
A(–6; 8)
B(3; 2)
(0; 0)
Nos piden hallar el segmento PQ
Y
X
C(2; 3)d
P(x; y)
N(3; 9)
M(1; 3)
D(6; 1)
Q(m; n)
Como P es punto medio, entonces utili- zando la fórmula del punto medio:
P(x; y) =
13
2
39
2
∙∙−
;

)
Q
X; = (2; 6)
Análogo obtenemos Q =(4; 2)
Ahora hallaremos d = d(P; Q)
d =
42 26
2 2
-+-^ ^h h
∴ d = u25
Del gráfico observamos que: P(0; 6) y Q (8; 0)
Hallamos el punto medio:
M = ; ;
2
08
2
60
43
++
=
J
L
K
K
K
^
N
P
O
O O h
Aplicando la fórmula del punto medio:
; ;
x y
56
2
2
2
4
=
+ +
J
L
K
K
KK
^
N
P
O
O
OO
h
• 5 =
x
2
2+
⇒ x = 8
• 6 =
y
2
4+
⇒ y = 8
∴ P(x; y) = P(8; 8)
Aplicando la propiedad del punto medio:
;;M
2
1725
2
894
443=
-+-
=-
J
L
K
K
KK
_
N
P
O
O
OO
i
Hallando la distancia:
,
d
d
d
1725 894
42 102
110 31
2 2
2 2
&
&
=-- ++
=- +
=
^
^
^
^
h
h h
h
Primero hallaremos:
3 2
2
8
3
2
–6
–5
A B
Hallando A = –12 + 16 – 15 = –11
Hallando B = 24 + 30 + 4 = 58
Reemplazando en la fórmula del área:
,S BA
2
1
2
1
69
2
69
345= -== =^h u
4TO Geometría U4 CT.indd 237 28/02/2020 17:36:45

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 238
8. Calcula el área de la región poligonal PQRS
Y
X
P(2; 3)
Q(6; 12)
R(12; 12)
S(12; 1)
Nivel avanzado
9. Encuentra el punto sobre el eje X que equidis-
ta de los puntos A(3; 1) y B(6; 4).
10. Los vértices de un triángulo ABC son A(–1; 3), B(3; 5) y C(7; –1). Si D es el punto medio del lado AB
y E es el punto medio del lado BC ,
demuestra que la longitud del segmento DE
es la mitad de la longitud del segmento del lado AC
.
11. Los vértices de un triángulo ABC son A(2; 7), B(5; 1) y C(x; 3); si su área es 18
determina el
valor de la abscisa de C.
Primero hallaremos:
12
12
12
6
2
12
12
12
1
3
A B
Hallando A = 72 + 24 + 36 + 12 = 144
Hallando B = 144 + 18 + 2 + 144 = 308
Aplicando en la fórmula tenemos:
S BA
S
Su
2
1
2
1
164
82
= -
=
=
^h
Sea P(x; 0) el punto que equidista de los
puntos A(3; 1) y B(6; 4). Entonces se debe
verificar que:
d(A; P) = d(B; P)
⇒
xx30 16 04
2 2 2 2
-+-= -+-^ ^ ^ ^h h h h
⇒ (x – 3)
2
+ (–1)
2
= (x – 6)
2
+ (–4)
2
⇒ x
2
– 6x + 9 + 1 = x
2
– 12x + 36 + 16
⇒ –6x + 10 = –12x + 52
⇒ 6x = 42
⇒ x = 7
∴ El punto será P(x; 0) = (7; 0)
Hallaremos:
2
x
5
2
A B
7
7
1
3
Hallando A = 7x + 15 + 2 = 7x + 17
Hallando B = 6 + x + 35 = 41 + x
Reemplazando en la fórmula del área:
S =
BA
2
1
-
⇒ 18 = xx
2
1
41 717+- +^h
⇒ 18 = xx
2
1
41 717+- -
⇒ 18 = x
2
1
24 6-^h
⇒ 36 = 24 – 6x
⇒ –12 = 6x
⇒ x = –2
Veamos el gráfico:
5
D
E
B(3; 5)
A(–1; 3)
C(7; –1)
73
–1
–1
3
Del dato hallaremos las coordenadas de D:
D(x; y) = ;
2
13
2
35-+ +
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
= (1; 4)
De manera análoga para hallar D:
E(x; y) = ;
2
73
2
15+-+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
= (5; 2)
Ahora hallaremos:
DE = 25 ∧ AC = 45
Podemos ver que AC = 2DE ⇒
2
1
AC = DE
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 239
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el punto medio del segmento de ex-
tremos A(–2; 6) y B(8; 4)
a. (3; –4) b. (3; 5) c. (8; 6) d. (3; 4)
2. Halla el punto medio M(x; y). Da como respues-
ta: x
2
+ y
2
Y
M
(9; 5)
(–1; 1)
X
a. 16 b. 9 c. 25 d. 16
3. Halla la distancia que hay entre los puntos
M(–18; 5 – 3b) y N(6; –3b + 15)
a. 16 b. 26 c. 36 d. 46
4. Sean A(–2; 5); B(3; –2) y C(10; b) puntos de un
plano. Si d(A; B) = d(B; C), determina el valor
de b, si este es negativo.
a. –3 b. –5 c. –7 d. –8
Nivel intermedio
5.
Calcula el punto medio de AB
Y
B
A(4; 8)
(0; 0)
45°
X
a. (8; 4)
b. (4; 8)
c. (12; 8)
d. (4; 4)
6. Si la distancia del segmento AB es 17. Halla el
valor de «x».
Y
(0,0)
B(–8; –3)
A(x; 5)
d(AB) = 17
a. 8
b. 4
c. 12
d. 7
7. Calcula la distancia que une los puntos medios
de los segmentos AB y CD
C(6; 11)
B(13; 5)
D(4; 1)
A(1; 7)
X
Y
a. 1
b. 29
c. 2
d. 2
8. Calcula el área de la siguiente figura:
S
(3; 4)
(5; 2)
(1; 0)
X
Y
(0; 0)
a. 12
b. 4
c. 24
d. 6
Nivel avanzado
9.
Encuentra el punto que equidista de los pun- tos A(4; 3), B(2; 7) y C(–3; –8)
a.
(–1; 5)
b. (3; 5)
c. (5; –1)
d. (3; 4)
10. El punto A se encuentra en el eje X y el punto
B en el eje Y; si el punto P (3; 5) biseca al seg-
mento de recta AB
. Determina la suma coor-
denadas de dichos puntos
a. 4 b. 6 c. 8 d. 10
11. Halla las coordenadas del centro de grave-
dad de un triángulo de vértices es P
1
(x
1
; y
1
),
P
2
(x
2
; y
2
) y P
3
(x
3
; y
3
).
(0; 0)
P2
P1
P3
G
Y
X
a. ;
xx yy
22
12 12
++
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
b. ;
xx xy yy
33
12 31 23
++ ++
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
c. ;
xx yy
22
12 12
--
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
d. ;
xx yy
22
12 12
--
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
Nivel destacado
12. Se tiene un triángulo escaleno de vértices A(2; 3);
B(4; 5) y C(– 2; –2). Halla el radio de la circunferen-
cia circunscrita al triángulo.
a.
43
8250
b.
43
42 15
c.
43
115
d.
43
127
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b c b c a d d d c a b a
4TO Geometría U4 CT.indd 239 28/02/2020 17:36:54

Aritmética
Referencias bibliográficas
• Dr A<> urelio Baldor (1985). Aritmética Teórico Practica. Madrid España
• Peterson, J. (2001). Matemáticas básicas. México D.F
• Gentile, Enzo. Aritmética Elemental. OEA. Washington
• Océano (2013). El Mentor de matemáticas. Barcelona España
Enlaces bibliográficos
• https://carc1975.files.wordpress.com/2018/07/aritmetica-de-baldor.pdf
• http://www.estalmat.org/archivos/TEORIA_de_conjuntos.pdf
• http://inst-mat.utalca.cl/tem/sitiolmde/temas/numeros/RazonesProporciones-res.pdf
Álgebra
Referencias bibliográficas
• G.M. Bruño. Algebra Curso Superior Ediciones Bruño Madrid.
• Dr. Aurelio Baldor (1992). Álgebra Publicaciones Cultural Madrid España.
• Rondon, Jorge Eliécer. Algebra, Trigonometria Y Geometria Analitica. Unad. Bogota 2010
• STANLEY, A Smith, Y Otros. Álgebra y Trigonometría. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana Colombia. 1997
Enlaces bibliográficos
• http://materosnelda.blogspot.com/2016/12/pagina-de-inicio.html
• https://www.academia.edu/8308121/Problemas_de_Matem%C3%A1tica_Elementar_-_V._B._Lidski_1
• http://www.educando.edu.do/Userfiles/P0001/File/algebrabaldor.pdf
• http://www.fi.unsj.edu.ar/descargas/ingreso/Unidad5.pdf
Geometría
Referencias bibliográficas
• Dr A<> urelio Baldor (1985). Álgebra. Madrid España
• Leithol, L. (2007). Álgebra, Trigonometría y Geometría analítica. Oxford. México.
• Ballester Sampedro, F., Ballester Sampedro, J. y Ballester Sampedro. S. Ejercicios Con Sucesiones,
Progresiones aritmeticas y geométricas en secundaria. Madrid. Editorial Liber Factory, 88 P.
• BARNETT, Raymond A. Uribe Calad Julio A. Álgebra Y Geometría, Mc. Graw Hill, Bogotá, 1989.
Enlaces bibliográficos
• http://www.educando.edu.do/Userfiles/P0001/File/algebrabaldor.pdf
• http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/pdf/Global.pdf
• http://www.acm.ciens.ucv.ve/main/GEOMETRIA-DarioDuran.pdf
• http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/pdf/Global.pdf
Bibliografía y páginas web
INICIALES MATS4 CT.indd 6 27/02/2020 18:58:21

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