Mathematical Structures of the Universe 1st Edition Michał Heller

Mathematical Structures of the Universe 1st
Edition Michan Heller download
https://ebookultra.com/download/mathematical-structures-of-the-
universe-1st-edition-michal-heller/
Explore and download more ebooks or textbooks
at ebookultra.com

We have selected some products that you may be interested in
Click the link to download now or visit ebookultra.com
for more options!.
Mathematical Structures for Computer Graphics 1st Edition
Steven J. Janke
https://ebookultra.com/download/mathematical-structures-for-computer-
graphics-1st-edition-steven-j-janke/
Alone in Mexico The Astonishing Travels of Karl Heller
1845 1848 1st Edition Karl Bartolomeus Heller
https://ebookultra.com/download/alone-in-mexico-the-astonishing-
travels-of-karl-heller-1845-1848-1st-edition-karl-bartolomeus-heller/
Starting Out The c3 Sicilian 1st Edition John Emms
https://ebookultra.com/download/starting-out-the-c3-sicilian-1st-
edition-john-emms/
Mathematical Structures for Computer Science 6th Edition
Judith L. Gersting
https://ebookultra.com/download/mathematical-structures-for-computer-
science-6th-edition-judith-l-gersting/

The Education of an Art Director 1st Edition Steven Heller
https://ebookultra.com/download/the-education-of-an-art-director-1st-
edition-steven-heller/
The Anti Alapin Gambit Death to the 2 c3 Sicilian 1st
Edition Cyrus Lakdawala
https://ebookultra.com/download/the-anti-alapin-gambit-death-to-
the-2-c3-sicilian-1st-edition-cyrus-lakdawala/
A theory of feelings 2nd ed Edition Heller
https://ebookultra.com/download/a-theory-of-feelings-2nd-ed-edition-
heller/
The Origins of the Universe for Dummies 1st Edition
Stephen Pincock
https://ebookultra.com/download/the-origins-of-the-universe-for-
dummies-1st-edition-stephen-pincock/
Poetics of the Gnostic Universe Zlatko Pleše
https://ebookultra.com/download/poetics-of-the-gnostic-universe-
zlatko-plese/

Mathematical Structures of the Universe 1st Edition
MichaÅ‚ Heller Digital Instant Download
Author(s): MichaÅ‚ Heller, MichaÅ‚ Eckstein, Sebastian Szybka
ISBN(s): 9788378861072, 8378861074
Edition: 1
File Details: PDF, 18.61 MB
Year: 2014
Language: english

Mathematical
Structures
of the Universe
EDITED BY
Michal Eckstein
Michael Helier
Sebastian]. Szybka
0
Copemicus
Center
PRESS

©Copyright by Copernicus Center Press, 2014
Editing:
AeddanShaw
Cover design:
Mariusz Banochowicz
BibTeX:
Dominika Hunik, Pawel Kostyra
Publication Supported by the John Templeton Foundation Grant
"The Limits of Scientific Explanation"
ISBN.978-83-7886-1 07-2
Krak6w 2014
8
Copernicus
Center
PRESS
I
Publisher: Copernicus Center Press Sp. z o.o.,
pi. Szczepanski 8, 31-011 Krak6w,
tel/fax (+48)
12
430 63 00
e-mail: [email protected]
www.ccpress.pl
Table of Contents
Michal Eckstein, Michae/ Helier, Sebastian J. Szybka
Introduction 9
Part I
General Relativity and Cosmology
Manue/ Hohmann
Observer dependent geometries 13
Krzysztof Drachal & Wieslaw Sa sin
Classification of classical singularities: a differential spaces approach 57
Jacek Gruszczak
The smooth beginning of the Universe 69
Mariusz P. Dqbrowski
Are singularities the limits of cosmology? . 101
Boudewljn F. Roukema
Simplicity in cosmology: add virialisation, remove A, keep classical GR . 119
Andrzej Woszczyna & Zdzislaw A. Gold a
Computer algebra tests physical theories:
the case of relativistic astrophysics . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Sebastian J. Szybka
On gravitational interactions between two bodies 137

6
MarekKus
Part 11
Quantum Geometries
Table of Contents
Geometry of quantum correlations . . . . . . . . . . . . . 155
Jordan Fran~ois, Serge Lazzarini & Thierry Masson
Gauge field theories: various mathematical approaches . . . . . . . . . 177
Ha raid Grosse & Raimar Wulkenhaar
Towards a construction of a quantum field theory in four dimensions . 227
Mairi Sakellariadou
Unweaving the fabric ofthe Universe:
the interplay between mathematics and physics . . . . . . . . . . . . . 259
Jerzy Lukierski
Quantum gravity models-a brief conceptual summary . . . . . . . . . 277
Andrzej Sitarz
Pointless geometry .
Nicolas Franco & Michal Eckstein
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Noncommutative geometry, Lorentzian structures and causality . . . . 315
Michael Helier & Oominique Lambert
Ontology and noncommutative geometry . . . . . . . . . . . . . . . . 341
ShahnMajid
Part Ill
Overviews
The self-representing Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Ma/colm A. H. MacCallum
Reflections on the geometrization of physics . . . . . . . . . . . . . . . 389
Bernard Carr
Metacosmology and the limits of science . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Table of Contents
7
Jerzy Kowalski-Giikman
The price for mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . · · · · 433
Michael Helier
The field of rationality and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . 441

It seems to be one of the fundamental features of nature that fundamen
tal physical laws arc described in terms of a mathematical theory of great
beauty and power, needing quite a high standard of mathematics for one
to understand it. You may wonder: Why is nature constructed along these
lines? One can only answer that our present knowledge seems to show that
nature is so constructed. We
simply have to accept
it. One could perhaps
describe the situation by saying that
God is a mathematician of a very high
order, and
He used very advanced mathematics in constructing the uni
verse. Our feeble auernpts at mathematics enable us to understand a hit of
the universe, and as we proceed to develop higher and higher mathematics
we can hope to understand the universe better.
Paul A.M. Dirae*
Introduction
A
s the mathematical-empirical method deeply underlies the foundations of
the modern natural sciences, we have simply grown accustomed to the idea
that mathematical structures are indeed inherent
in the Universe. This idea has
guided successive generations
of scientists, starting with some of its most famous
precursors such as Copernicus, Galileo or Newton. However, the use
of the in
trinsic interplay between mathematics and physics in scientific discourse can be
traced back even
further-to the time of Ancient Greece and the pioneering works
ofArchimedes.
One of the main goals of the natural sciences appears to be the search for
the mathematical language
of physical phenomena. This aim has to be
defined
precisely. Contemporary mathematics encompasses an abundance of different
structures which, moreover, are linked with one another
in larger structures and
meta-structures. However, only a small number
of these turn out to be suitable
for physical models.
To identify this tiny fraction, scientists have to explore vast
areas
of mathematics. Some of them cover known mathematical structures, others
explore new territories. The somewhat mythical quantum gravity
is a typical
example
of a domain for which the correct mathematical architecture still needs
to be fathomed out.
In the
first two parts of the volume, the Reader will meet various mathemat
ical structures. Some of them do indeed model certain aspects of the Universe,
*''The evolution of the physicist's picture of nature." Scientific American 208(5):45-53, 1963.

Michal Eckstein, Michael Helier & Sebastian J. Szybka
--------------------------------~---
10
as they correctly predict the outcomes of experiments and observations. Among
these, one may find differential geometry and the theory
of Hilbert spaces, which
lie at the heart
of General Relativity and Quantum Mechanics, respectively. The
second group
of mathematical structures described in the book, such as noncom
mutative geometry, are designed
to model the aspects of the Universe not covered
by known theories. These still await an experimental confirmation to merit the
name
of 'mathematical structures of the Universe'.
As one explores the mathematical structures of the Universe, one cannot
escape deeper philosophical reflection. Why
is Nature constructed along these
lines? What
is the actual relation between mathematics and the real World? Do
the structures describe the Universe, model it or perhaps they are just the outcome
of our minds whereas 'the Universe' itself remains inconceivable (if it can be said
to exist
in an absolute sense at all)? lf one accepts the idea of a mathematical
Uni
verse, then what kind of methodological assumptions does one make on the way
and what are the limits
of the method? Can the whole
Universe be encompassed
in a single, consistent mathematical structure? These are the questions addressed
in the third part of the book-a philosophically flavoured overview.
Michal Eckstein
Michael Helier
Sebastian
J. Szybka
Part
I
General Relativity and Cosmology

Manuel Hohmann
Fuusika lnstituut, Tartu
Observer dependent geometries
F
ROM general relativity we have learned the principles of general covariance
and local Lorentz invariance, which follow from the fact that we consider
observables as tensors on a spacetime manifold whose geometry
is modeled by
a Lorentzian metric. Approaches to quantum gravity, however, hint towards a
breaking
of these symmetries and the possible existence of more general, non
tensorial geometric structures. Possible implications
of these approaches are
non-tensorial transformation laws between different observers and an observer
dependent notion
of geometry. ln this work we review two different frameworks
for observer dependent geometries, which may provide hints towards a quanti
zation
of gravity and possible explanations for so far unexplained phenomena:
Finsler spacetimes and Cartan geometry on observer space.
We discuss their def
initions, properties and applications to observers, field theories and gravity.
1. Geometry for observers and
observables
In order to establish a link with experiments, every physical theory needs to de
fine the notions
of observers and observables. From an experimentalist's point
of view, an observation is the process of an observer performing an experiment
in which he measures a number
of physical quantities, called observables. Each
measured observable
is expressed by a single number or a set of numbers. In
order to understand the meaning
of these numbers from a theorist's point of view,
and thus in a mathematical language, observers and observables must be mod
elect
by mathematical objects, which can in turn be related to the outcomes of
measurements. This model determines how the result of an observation depends
on the observer who is performing it, and how the results obtained by different
observers can be related to each other.
In this work we will focus on geometric
models for these relations.
We start our discussion from the viewpoint
of general relativity. The most ba
sic notion
of general relativity is that of spacetime, which
is modeled by a smooth

14 Manuel Hohmann
manifold M equipped with a pseudo-Riemannian metric g of Lorentzian signa
ture (
-, +, +, + ), an orientation and a time orientation. Observers are modeled
by world lines, which are smooth, future directed. timelike curves
1 : JR. --+ M.
Their tangent vectors satisfy
( 1.1)
By a reparametrization we can always normalize the tangent vectors, so that
( 1.2)
In this case we call the curve parameter the proper time along the world line 1
and denote it by the letter T instead oft. The proper time along a timelike curve
with arbitrary parametrization is given by the arc length integral
( 1.3)
The clock postulate of general relativity states that any clock moving along the
world line
1 measures the proper time, independent of the construction of the
clock.
The prescription for the measurement of time is thus crucially linked to
the Lorentzian metric
of spacetimc. Similarly, the metric provides a definition of
rulers and the length of space like curves by the same expression ( 1.3) of the arc
length integral. Finally, it also defines the angle
q; between two tangent vectors
v, wE T.'"CM at the same point x E M as
(1.4)
In summary, the Lorentzian metric g defines the geometry ofspacetime.
Closely related to the geometry of spacetime is the notion of causality. It
answers the question which events on a spacetime manifold NI can have a causal
influence on which other events on iVJ. An event at x E l'vi can influence an
event
x' E M if and only if there exists a continuous, future directed, causal (i.e.,
timelike
or lightlike) curve from x to x'. All events which can be influenced by
x constitute the causal future of
:r:. Conversely, all events which can influence x'
form the causal past of :r:'. This structure, called the causal structure of :,pacetime,
is defined by the metric geometry via the definition of causal curves.
The Lorentzian spacetime metric serves several further purposes besides pro
viding a definition
of spacetime geometry and causality. We have
already seen
Observer dependent geometries
15
that it enters the definition of observer world lines as timelike curves, whose no
tion is thus also relevant when we consider the measurements
of observables by
these observers. Observables are modelcd by tensor
fields, which are smooth
sections iJ? : .M ->-TT",s Af of a tensor bundle
yr,s 1'vf = T 1\1°
7
'
0
T* NI
0
"
( 1.5)
over !VI. Their dynamics are consequently modeled by tensorial equations, which
are derived from a diffeomorphism-invariant action
of the generic form
SM = ;· d
4xFY L(g, il?, ()cl?, ... ),
.M
(1.6)
where the Lagrange function [, depends on the metric geometry, the (]elds and
their derivatives. Combining the notions
of observers and observables we may
define
an observation by an observer with world line
1 at proper time T as a
measurement
of the field
iJ?(:c) at the point :r = 1(-r ). However, this definition
yields us an element of the tensor space 1-;:·s !VI, and not a set of numbers, as we
initially presumed. We further need to choose a frame, by which we denote a
basis
.f of the tangent space
T,'"CM. This frame allows us to express the tensor
i!?(:r:) in terms of its components with respect to f. The tensor components of
iJ?(x) are finally the numeric quantities which are measured in an experiment.
The frame
f chosen by an observer to make measurements is usually not
completely arbitrary.
Since the basis vectors fi are elements of the tangent space,
they are characterized
as being timelike, lightlike or spacelike and possess units
of time or length. We can thus use the notions of time, length and angles
de(]ned
by the spacetime metric to choose an orthonormal frame satisfying the condition
9 .f
a fb -'fj· .
. ab i. j -'J
(1 .7)
with one unit timelike vector .fo and three unit spacelike vectors fee The clock
postulate, stating that proper time is measured by the arc length along the ob
server world line
1
, further implies a canonical choice of the timelike vector fo
as the tangent vector "Y( T) to the observer world line. This observer adapted or
thonormal frame is a convenient choice for most measurements.
It follows immediately from this model of observables and observations how
the measurements
of the same observable made by two coincident observers,
whose world lines
1 and 1' meet at a common spacetime point x = 1( T) =
1' ( T'), must be translated between their frames of reference. If both observer
frames
f and .f' are orthonormalized, the condition ( 1.7) implies that they are

16
Manuel Hohmann
related by a Lorentz transform A. The same Lorentz transform must then be
applied to the tensor
components measured by one observer in order to obtain the
tensor components measured
by the other observer, using the standard formula
if>'": ... a.,.l I = A"I A"'· Ad! Ads c"F-CJ ... c,.
)J •·· Js Ct . · . C-r bt · · · b
8
J! dJ ... d
8
• ( 1.8)
This dose connection between observations made using different observer frames
constitutes the principle
of local Lorentz invariance. It is a consequence of the
fact that we model the
geometry of spacetime, which in turn defines the notion of
orthonormal frames, by a Lorentzian metric.
Even deeper implications arise from the fact that
we model both observables
and geometry by tensor fields
on the spacetime manifold !VI, and observations
by measurements
of tensor components. If we introduce coordinates on M and
use their coordinate base in
order to express the components of tensor fields, it
immediately follows how these components translate under a change
of coordi
nates. Moreover, since
we model the dynamics of physical quantities by tensor
equations, they are
independent of any choice of coordinates. This coordinate
freedom constitutes the principle
of general covariance.
Besides its role in providing the background
geometry which enters the
def
inition of observers, observations and causality, the Lorentzian metric of space
time has a physical interpretation
on its own, being the field which carries the
gravitational interaction. It does not only govern the dynamics of matter fields,
but is also influenced by
their presence. This is reflected by the dynamics of
gravity, which is governed by the Einstein-Hilbert action
1
1 4
SEH = ;:;-d xFy R,
.c,K, M
(1.9)
which, together with the matter action ( 1.6), yields the Einstein equations
1
Rab -2 Rgab = K,Tab . ( l.lO)
Understanding the
geometry of spacetime as a dynamical quantity, which mu
tually interacts with matter fields, establishes a
symmetric picture between both
matter and gravity.
However, it is exactly this
symmetry between gravity and matter which may
lead us to new insights
on the nature of spacetime geometry, and even question
its description
i;J terms of a Lorentzian metric, from which we derived a number
of conclusions as stated above. This stems from the fact that all known matter
Observer dependent geometries 17
fields in the standard model are nowadays described by quantum theories. While
the process of quantization has been successfully applied to matter fields even
beyond the standard model, it is significantly
harder in the case of gravity. This
difficulty has lead to a plethora of different approaches towards quantum grav
ity, many
of which suggest modifications to the geometry of spacctime, or even
resolve the unity
of spacetime into a time evolution of spatial geometry. Main
contenders which fall into this class are given by geometrodynamic theories such
as loop quantum gravity [Ashtekar 1987,
Thiemann
20071 and sum-over-histories
formulations such as spin foam models I Rovelli & Smolin I 995, Reisenberger &
Rovelli 1997, Baez 1998, Barrett & Crane 1998 J or causal dynamical triangu
lations [Ambj0rn & Loll 1998, Ambjorn, Jurkiewicz & Loll 2001,20051. The
ories of this type introduce non-tensorial quantities, which may in turn suggest
a breaking
of general covariance at least at the quantum level. Moreover, other
approaches to gravity may induce a breaking of local Lorentz invariance, for ex
ample, by a preferred class
of observers, or test particles, described by a future
unit timelike vector field [Brown & Kuchaf 1995, Jacobson & Mattingly
200 I].
The possible observer dependence of physical quantities beyond tensorial
transformations motivates the introduction
of spacetime geometries obeying a
similar observer dependence, which generalize the well-known Lorentzian met
ric geometry. In this work
we review and discuss two different, albeit similar,
approaches to observer dependent geometries
under the aspects of observers,
causality
and gravity. In section
2 we review the concept of Finsler spacetimes
[Pfeifer & Wohlfarth 2011, 2012, Pfeifer 2013]. We show that it naturally gen
eralizes the causal structure
of Lorentzian spacetimes, provides clear definitions
of observers, observables and observations, serves as a background geometry for
field theories and constitutes a model for gravity. In section 3
we review the con
cept
of observer space in terms of Cartan geometry [Gielen & Wise
20 13]. Our
discussion is based on the preceding discussion of Finsler spacetimes, from which
we translate the notions of observers and gravity to Cartan language [Hohmann
20 13]. We finally ponder the question what implications do observer-dependent
geometries have on the nature
of spacetime.
2. Geometry of the dock postulate:
Finsler spacetimes
As we have mentioned in the introduction, the metric geometry of spacetime
serves multiple roles: it provides a causal structure, crucially enters
the defi
nition
of observers, defines measures for length, time and angles and mediates

18
Manuel Hohmann
the gravitational interaction. In this section we discuss a more general -non
metric -spacetime geometry which is complete in the sense that it serves all of
these roles. This generalized geometry is based on the concept of Finsler geom
etry lBao, Chern & Shen 2000, Bucataru & Miron 2007]. Models of this type
have been introduced as extensions to Einstein and string gravity [Horvath 1950,
Vacaru 2002,2007, 2012]. In this work we employ the Finsler spacetime frame
work [Pfeifer & Wohlfarth 2011, 2012, Pfeifer 2013], which is an extension of
the well-known concept of Finsler geometry to Lorentzian signature, and review
some
of its properties and physical applications. This framework is of particular
interest since, in addition to its aforementioned completeness, it can also
be used
to model small deviations from metric geometry and provides a possible explana
tion
of the fly-by anomaly [Anderson, Campbell, Ekelund, Ellis & Jordan
2008].
2.1. Definition of Finsler spacetimes
The starting point of our discussion is the clock postulate, which states that the
time measured by an observer's clock moving along a timelike curve ry is the
proper
timeT given by the arc length integral ( 1.3). The expression
(2.1)
under the integral depends on both the position
'Y(t) along the curve and the
tangent vector 'Y( t). Hence, it can be regarded as a function F : T M ---+ lR on the
tangent bundle. The clock postulate thus states that the proper time measured
by
an observer's clock is given by the integral
1
t2
T2-Tl =
F('Y(t), "y(t))di;'
tr
(2.2)
where F is the function on the tangent bundle given by equation
(2.1 ).
For convenience we introduce a particular set
(.Ta, ya) of coordinates on T j'vf.
Let (.ra) be coordinates on lvf. For y E Ta,lvi we then use the coordinates (ya)
defined by
a
Y = Ya fJxa .
We call these coordinates induced by the coordinates (:,;
0
·). As a further shorthand
notation we use
a
Oa, = EJxa ,
for the coordinate basis of T(x,y) T M.
Observer dependent geometries 19
We now introduce a different, non-metric geometry of spacetime which still
implements the clock postulate
in the form of an arc length integral (2.2), but
with a more general function
F on the tangent bundle. Geometries of this type
are known
as Finsler geometries, and F is denoted the Finsler function. The
choice
ofF we make here is not completely arbitrary. In order for the arc length
integral
to be well-defined and to obtain a suitable notion of spacetime geometry
we need to preserve a few properties
of the metric-induced Finsler function (2.1).
In particular we will consider only Finsler functions which satisfy the following:
Fl. F
is non-negative, P(x, y) 2 0.
F2. Pis a continuous function on the tangent bundle TIVI and smooth where it
is non-vanishing, i.e., on TM {F = 0}.
F3. F is positively homogeneous of degree one in the fiber coordinates and
reversible, i.e.,
F(:,;,>.y) = j.AjF(x,;y) "f)., E lR. . (2.3)
Property Fl guarantees that the length of a curve is non-negative. We cannot
demand strict positivity here, since already
in the metric case we have the
no
tion of lightlike curves "f, for which F('Y(t)/y(t)) = 0. For the same reason of
compatibility with the special case of a Lorentzian spacetime metric we cannot
demand that
F is smooth on all ofT M, since the metric Finsler function (2.1)
does not satisfy this condition.
It does, however, satisfy the weaker condition F2,
which guarantees that the arc length integral depends smoothly on deformations
of the curve
"f, unless these pass the critical region where F = 0. Finally, we
demand that the arc length integral
is invariant under changes of the parametriza
tion and on the direction
in which the curve is traversed, which is guaranteed by
condition F3.
One may ask whether the Lorentzian metric 9ab can be recovered in case the
Finsler function
is given by (2.1 ). Indeed, the Finsler metric
F ( ) 1
.6 .6 p2 ( )
9ab X, Y = 2Ua,Ub :1:, Y ' (2.4)
which is defined everywhere on TM {F = 0}, agrees with 9ab whenever y
is spacelike and with -gab when y is timelike. However, for null vectors where
F = 0 we see that the Finsler metric g~ is not well-defined, since for a general
Finsler function P
2
will not be differentiable. As a consequence any quanti
ties derived from the metric, such as connections and curvatures, are not defined

20
Manue/ Hohmann
along the null structure, which renders this type of geometry useless for the de
scription
of lightlike geodesics. In the following we will therefore adopt the fol
lowing definition
of Finsler spacetimes which remedies this shortcoming [Pfeifer
& Wohlfarth
2011 ]:
Definition 2.1 (Finsler spacetime). A Finsler spacetime (M, L, F) is a four
dimensional, connected, Hausdorff, paracompact, smooth manifold 111 equipped
with continuous real functions
L, F on the tangent bundle T
lvi which has the
following properties:
L
I. L is smooth on the tangent bundle without the zero section T M {
0}.
L2. L is positively homogeneous of real degree n 2: 2 with respect to the
fiber coordinates
ofT lvf,
L(x,>..y) = >..nL(x,y) Y>.. > 0,
and defines the Finsler function F via F(x, y) = JL(x, y)J~.
L3. Lisreversible: JL(.T,-y)J = JL(x,y)J.
L4. The Hessian
L 1--
Yab(x,y) =
20aObL(x,y)
of L with respect to the fiber coordinates is non-degenerate on TM \X,
where X C T 111 has measure zero and does not contain the null set
{(.1:,y) E TMJL(x,y) = 0}.
L5. The unit timelike condition holds, i.e., for all x E M the set
Dx = { y E TxiVI /JL(.T, y)J = 1, g{;:b(x, y) has signature (E, -E, -E, -E)}
with E = L(x,y)/JL(x,y)J contains a non-empty closed connected com
ponent Sx <:;; Dx C T."A1.
One can show that the Finsler function F induced from the fundamental ge
ometry function
L defined above indeed satisfies the conditions Fl to F3 we
required. Further, the Finsler metric (2.4)
is defined on T M { L =
0} and is
non-degenerate on T M (X U { L = 0} ), where X is the degeneracy set of the
Hessian g~b defined in condition L4 above. This definition in terms of the smooth
fundamental geometry function
L will be the basis of our discussion of Finsler
spacetimes in the following sections, where we will see that it also extends the
Observer dependent
9eometries 21
sign [, = 1 sign /, = 1
sign/,= -1
Figure 1: Light cone and future unit timelike vectors Sa: in the tangent space of a
metric spacetime [Pfeifer & Wohlfarth 2011].
definitions of other geometrical structures such as connections and curvatures to
the null structure.
2.2.
Causal structure and observers
The first aspect we discuss is the causal structure of Finsler spacetimes and the
definition
of observer trajectories. For this purpose we first examine the causal
structure
of metric spacetimes from the viewpoint of Finsler geometry, before
we come to the general case.
We have already mentioned in the introduction
that the definition
of causal curves is given by the split of the tangent spaces
into timelike, spacelike and lightlike vectors. Figure 1 shows this split induced
by the Lorentzian metric on the tangent space
T",lvf. Solid lines mark the light
cone which
is constituted by null vectors. In terms of the fundamental geometry
function
L(x, y) =
Yab(:r;);~/yb
these are given by the condition L(x, y) = 0. Outside the light cone we have
spacelike vectors with L(:r.:, y) > 0, while inside the light cone we have timelike
vectors with
L(x, y) <
0. The Hessian g{;:b = Yab therefore has the signature
indicated
in condition L5 inside the light cone. In both the future and the past
light cones we find a closed subset with
JL(x, y) J = 1. Using the time orientation
we pick one
of these subsets and denote it the shell
Sx of future unit timelike
vectors.

22 Manuel Hohmann
The shell Sx has the important property that rescaling yields a convex cone
Cx = U >.Sa: C Txlvf.
.\>0
(2.5)
The convexity
of this cone is crucial for the interpretation of the elements of
Sx
as tangent vectors to observer world lines, as it is closely linked to the hyperbol
icity
of the dispersion relations of massive particles and the positivity of particle
energies measured by an observer [Ratzel, Rivcra
&
Schuller :iOlll We require
this property also for the future light cone
of a Finsler spacetime. In order to
find this structure in terms
of the fundamental geometry function L consider the
simple bimetric example
with two Lorentzian metrics
hab and
kah where we assume that the light cone of
kab lies in the interior of the light cone of hab· The sign of L and the signature
of g{;b on the tangent space Txlvf are shown in figure 2. Solid lines mark the
null structure L
=
0, while the dashed-dotted lines marks the degeneracy set
X n T.TM of L as defined in condition L4. The remaining dashed and dotted
lines mark the unit timelike vectors nx as defined in condition L5; for these only
the future directed tangent vectors are shown. The connected component marked
by the dashed line is closed, while the one marked with the dotted line is not.
Hence, the former marks the set
Sx. As the figure indicates, the set (2.5) indeed
forms a convex cone for this simple bimetric example.
It can be shown that
condition L5 always implies the existence
of a convex cone of observers
[Pfeifer
& Wohlfarth 2011 J, in consistency with the requirement stated above.
It is now straightforward to define:
Definition 2.2 (Observer world line). A physical observer world line on a Finsler
spacetime
is a curve
1 : lR --+ Jvf such that at all times t the tangent vector "y(t)
lies inside the forward light cone cy(t)• or in the unit timelike shell s,(r) if the
curve parameter is given by the proper timeT.
In the following section we will discuss which
of these observers are further
singled out by the Finsler spacetime geometry as being inertial observers.
2.3. Dynamics for point masses
In the preceding section we have seen which trajectories are allowed for physical
observers. We now turn our focus to a particular class
of observers who follow
Observer dependent geometries
L = -1
S:r:
' ', L ~ 1
·· ...
... ··
'
'
(+,-·,-,-)
L>O
/
/
/
/
/
/
/
/ .. · ..... ······
(-,+, 1,+)
L>O
··.,
·· ...
23
/'
Figure 2: Null structure and future unit timelike vectors Sx in the tangent space
of a bimetric Finsler spacetime [Pfeifer & Wohlfarth 2011 ].
the trajectories of freely falling test masses. These are denoted inertial observers,
since in their local frame
of reference gravitational effects can be neglected.
On
a metric spacetime they are given by those trajectories which extremizc the arc
Jenth integral (1.3). In Finsler geometry we can analogously obtain them from
extremizing the proper time integral (2.2). Variation with respect
to the curve
yields the equation
of motion
-·a Na ( ·) · b 0
I + b 1,11 = ,
(2.6)
where the coefficients Nab are given by the following definition:
Definition 2.3 (Cartan non-linear connection). The coefficients Nab of the Car
tan non-linear connection are given
by
(2.7)
and define a connection in the sense that they induce a split of the tangent bundle
over
Tlvf,
TTM = HTM EB VTM, (2.8)
where HT M is spanned by Oa = Oa -Nb aBb and VT J"'vf is spanned by Ba.

24
Manuel Hohmann
In the case of a metric-induced Fins! er function (2.1) the coefficients Nab are
given by
(2.9)
where f"bc denotes the Christoffel symbols. The split (2.8) of TT M into hori
zontal and vertical subbundles plays
an important role
in Finsler geometry, as we
will see in the following sections. For convenience we use the following adapted
basisofTTM:
Definition 2.4 (Berwald basis). The Berwald basis is the basis
(2.10)
of TT l'vf which respects the split induced by the Cartan non-linear connection.
For the dual basis we use the notation
(2.11)
It induces a similar split of the cotangent bundle T*T M into the subbundles
T*TM = H*TM
EB V*TM. (2.12)
We can now reformulate the geodesic equation (2.6) by making use of the geom
etry on
TT
NI. For this purpose we canonically lift the curve 1 to a curve
(2.13)
in TT l'vf. The condition that 1 is a Finsler geodesic then translates into the con
dition
r.
·a,;o, + .. a;:; ·a,;o, ·bNa ;:> ·a>
= I Ua I Ua = I ua -I bUa = I "a
Since "fa is simply the tangent bundle coordinate ya, it thus follows that the
canonical lift
r of a Finsler geodesic must be an integral curve of the vector
field which is defined
as follows:
Definition 2.5 (Geodesic spray). The geodesic
~prayS is the vector field on T A1
which is defined by
(2.14)
We now generalize this statement to null geodesics. Here we encounter two
problems. First, we see that the coefficients (2.7)
of the non-linear connection
are not well-defined for null vectors where
F =
0, since F is not differentiable
Observer dependent geometries 25
----------------
on the null structure. We therefore need to rewrite their definition in terms of the
fundamental geometry function
L. It turns out that it takes the same form
N" = ~D [nLac('{lrlEJ [) L-D.L)]
b 4 b " ,} d c (. )
(2.15)
where .r/'' has been replaced by gL and F
2
by L. We can see that this is well
defined whenever gL is non-degenerate, and thus in particular on the null struc
ture. The second problem we encounter
is that we derived the geodesic equation
from extremizing the action
(2.2), which vanishes identically in the case of null
curves.
We therefore need to
use the constrained action
S[r, >-] = .{" (L( 1(t), "y(t)) + >-(t) [L('y(t), '\'( t)) -h;]) dt. (2.16)
with a Lagrange multiplier A. and a constant "'· A thorough analysis shows that
the equations
of motion derived from this action are equivalent to the geodesic
equation (2.6) also for null curves
[Pfeifer & Wohlfarth 20 11].
The definitions of this and the preceding section provide us with the notions
of general and inertial observers. In the following section we will discuss how
these observers measure physical quantities and how the observations by different
observers can be related.
2.4. Observers and observations
As we have mentioned in the introduction, the notion of geometry in physics de
fines not only causality and the allowed trajectories
of observers, but also their
possible observations and the relation between observations made by different
observers.
In the case of metric spacetime geometry we have argued that obser
vations are constituted by measurements
of the components of tensor fields at a
spacetime point
x E
l'vf with respect to a local frame f at :r. A particular class
of frames singled out by the geometry and most convenient for measurements is
given by the orthonormal frames. Different observations at the same spacetime
point, but made with different local orthonormal frames, are related by Lorentz
transforms. In this section
we discuss a similar definition of observations on
Finsler spacetimes and relate the observations made by different observers.
As a first step we need to generalize the notion of observables from metric
spacetimes to Finsler spacetimes. In their definition in section
2.1 we have al
ready seen that the geometry
of Finsler spacetimes is defined by a homogeneous
function
L : T M
---7 ~ on the tangent bundle, which in turn induces a Finsler

26 Manuel Hohmann
function F and a Finsler metric g~. These geometric objects explicitly depend
not only on the manifold coordinates
:ra, but also on the coordinates ya along
the fibers
of the tangent bundle T M. It therefore appears natural that also ob
servables should not be functions on the spacetime manifold, but homogeneous
functions
Oll its tangent bundle. A straightforward idea might thus be to model
observables as homogeneous tensor fields overT M, i.e., as sections of a tensor
bundle
However, since T lvf is an eight-dimensional manifold, each tensor index would
then take eight values, so that the number
of components of a tensor of rank
(r, s)
would increase by a factor of 2r+s. Since we do not observe these additional
tensor components
in nature, we will not follow this idea. Instead we define
observables as tensor fields with respect
to a different vector bundle over T
lvf,
whose fibers are four-dimensional vector spaces generalizing the tangent spaces
of M.
In the preceding section we have seen that the Cartan non-linear connec
tion
(2.7) of a Finsler spacetime equips the tangent bundle
TTlvf of TM with
a split
(2.8) into a horizontal subbundle
HT M and a vertical subbundle VT M.
The fibers of both subbundles are four-dimensional vector spaces. A particular
section
of HT M, which we have already encountered and which is closely con
nected to Finsler geodesics,
is the geodesic spray (2.14). We therefore choose
HT M as the bundle from which we define observables as follows:
Definition 2.6 (Observable). The
observables on a Finsler spacetime are mode led
by homogeneous horizontal tensor fields, i.e., sections
<P of the tensor bundle
(2.17)
over the tangent bundle T M of AI.
Consequently we define observations in full analogy to the case of metric
spacetime geometry:
Definition 2.7 (Observation). An
observation of an observable
<I> by an observer
with world line "( at proper time T is a measurement of the components of the
horizontal tensor <P(x, y) with respect to a basis f of the horizontal tangent space
H(x,y)TM at :r = "f(T), y = 1(T).
As we have argued in the introduction, the most natural frame f an observer
on a metric spacetime can choose
is an orthonormal frame whose temporal com
ponent
fo agrees with his four-velocity
1( T ). If we wish to generalize this concept
Observer dependent geometries
27
to Finsler spacetimes, we first need to map the basis vectors .fi, which are now
elements of HT lvf, to T M. For this purpose we use the differential 7f * of the
tangent bundle map r. : T lvf -t M,
which isomorphically maps every horizontal tangent space H(x,y)TNI to TxA1.
We can then orthonormalize the frame using the Finsler metric g~·;,, which now
explicitly depends on the observer's four-velocity y = 1f*fo. Taking into account
the signature (
+, -,
-·,-) of the Finsler metric on timelike vectors inside the
forward light cone we arrive at the following definition:
Definition 2.8 (Orthonormal observer frame).
An orthonormal observer .frame
on an observer world line
'Y at proper timeT is a basis f of the horizontal tangent
space
H(x,y)TM at x =
"f(T), y = 1(T) which has y = 1r*.fo and is orthonormal
with respect to the Finsler metric,
F ( )
fa.fb _ ..
Yab X, Y . i j --ThJ ·
(2.18)
An important property of metric spacetimes is the fact that any two orthonor
mal observer frames
f, .f' at the same spacetime point
:x; E M are related by a
unique Lorentz transform. Together with the dellnition that observations yield
tensor components this property implies local Lorentz invariance, which means
that the outcomes
of measurements are related by the standard formula ( 1.8). We
now generalize this concept to Finsler spacetimes. For this purpose we consider
two coincident observers whose world lines
'Y, "(
1
meet at x = "!( T) = "!
1
( T')
together with orthonormal frames j, .f' at x. One immediately encounters the
difficulty that
f and .f' are now bases of different vector spaces
H(xJo) T l'vf and
H(xJh)TM. We therefore need to tlnd a map between these vector spaces which
in particular preserves the notion
of orthonormality. The canonical map given
by the isomorphisms
7f* : H(x,Jo)TM -t TxM and 7f* : H(xJh)TM -t T.'~)\1,
however, does not have this property. ln the following we will therefore discuss a
different map which will yield the desired generalization of Lorentz transforma
tions.
In order to construct a map between the horizontal tangent spaces
H(x,Jo)
Tlvf
and H(x,Jh) T iW we employ the concept of parallel transport. We thus need a con
nection on the horizontal tangent bundle
HT M with respect to which the Fins
!er
metric is covariantly constant, so that the notion of orthonormality is preserved.
In Finsler geometry an appropriate choice which satisfies these conditions is the

28
Manue/ Hohmann
Cartan linear connection on the tangent bundle TT li!J, which is defined as fol
lows:
Definition 2.9 (Cartan linear connection). The Cartan linear connection
\7 is the
connection on
TT
!vi defined by the covariant derivatives
\7 <>a Ob = F"a"Oc , \7 ",}J,, = F",,,J),, , '1'7 c; 'b -C" b :;: '1'7 fSb -C'c 1 (;;;
u ,. u, •U • v,,au - a Uc, VOa'J - aJJc,
(2.19)
where the coefficients are given by
(2.20a)
(2.20b)
The Cartan linear connection is adapted to the Cartan non-linear connec
tion (2.7)
in the sense that it respects the split (2.8) into horizontal and verti
cal components.
By restriction, it thus provides a connection on the horizon
tal tangent bundle. Given a curve
v :
[0, 1] -+ TM with v(O) = (:r, fo)
and v(l) = (:r, !6) we can then define a bijective map Pu from T(x,fo)'TM to
T(xJ£)T M by parallel transport: it maps the vector w to Pvw = w', which is
uniquely determined by the existence
of a curve
·w : [0, 1] -+ TT M satisfying
{iJ(s)ETv(s)TM, <v(O)=w, u)(1)=v/, \7-uw=O.
However, this map Pv in general depends on the choice of the curve ·v. We
therefore restrict ourselves
to a particular class of curves. Note that (x, Jo) and
(x, !6) have the same base point in M, and are thus elements of the same fiber
of the tangent bundle T
!vi. Hence it suffices to consider only curves which are
entirely contained in the
same fiber. Curves of this type are vertical, i.e., their
tangent vectors lie in the vertical tangent bundle
VT
lvi. We further impose the
condition that
v is an autoparallel of the Cartan linear connection. This uniquely
fixes the curve
v, provided that
f~ is in a sufficiently small neighborhood of f
0
.
Using
the unique vertical autoparallel v defined above we can now generalize
the notion
of Lorentz transformations to coincident observers on a Finsler space
time. Consider two observers meeting at
:1: E Jvi and using frames f and f', i.e.,
orthonormal bases
of H(x,Jo) T
Jvi and H(x,JfJ) T M. The map Pv maps the hori
zontal basis vectors j; to horizontal vectors Pvfi, which constitute a basis Pvf
of H(xJ6)TlVI. Since f is orthonormal with respect to gf:t,(x, fo) and the Cartan
linear connection preserves the Finsler metric, it follows that Pvf is orthonormal
with respect to gf:t,(x, !0). Since also f' is orthonormal with respect to the same
Observer dependent geometries 29
metric, there exists a unique ordinary Lorentz transform mapping Pvf to .f'. The
combination
of the parallel transport along
v and this unique Lorentz transform
finally defines the desired generalized Lorentz transform.
The procedure to map bases of the horizontal tangent space between coin
cident observers further
allows us to compare horizontal tensor components be
tween these observers, so that they can communicate and compare their mea
surements
of horizontal tensors. This corresponds to the transformation ( 1.8) of
tensor components of observables between different observer frames in metric
geometry. Since observables
in metric geometry are modeled by spacetime ten
sor fields, their observation
in one frame determines the measured tensor compo
nents in any other frame. This is not true on Finsler spacetimes, since we defined
observables as fields on the tangent bundle
T1'd. They may therefore also pos
sess a non-tensorial, explicit dependence on the four-velocity
of the observer who
measures them.
As in metric geometry, also in Finsler geometry the dynamics
of tensor fields
should be determined
by a set of field equations which are derived from an action
principle. This will be discussed
in the next section.
2
.. 5. Field theory
In the preceding section we have argued that observables on a Finsler spacetime
are modeled by homogeneous horizontal tensor fields, which are homogeneous
sections
of the horizontal tensor bundle (2.17). We will now discuss the dynamics
of these observable fields. For this purpose we will use a suitable generalization
of the action (1.6) to horizontal tensor fields on a Finsler spacetime. This will be
done in two steps. First we will lift the volume form from the spacetime manifold
Jvi to its tangent bundle T M, then we generalize the Lagrange function L to fields
on a Finsler spacetime.
In order to define a volume form on
T
Jvi we proceed in analogy to the volume
form
of metric geometry, which means that we choose the volume form
Vole of
a suitable metric G on TM. We have already partly obtained this metric in the
previous section when we discussed orthonormal observer frames.
The definition
of orthonormality we introduced corresponds to lifting the Finsler metric
gf:t, to
a horizontal metric on
T M, which measures the length of horizontal vectors in
HT M. This metric needs to be complemented by a vertical metric, which anal
ogously measures the length
of vertical vectors in VT
Jvf. Both metrics together
constitute the desired metric
on the tangent bundle. The canonical choice for this
metric is given by the Sasaki metric defined as follows:

30 Manuel Hohmann
Definition 2.10 (Sasaki metric). The Sasaki metric G is the metric on the tangent
bundle T M which
is defined by
F'
G = -g"' dx" 0 d:r
0
-!l_au oya 00 rl1,1'
ab p2 -.1·
(2.21)
The factor p-z introduced here compensates for the intrinsic homogeneity of
degree 1 of the one-forms oy", so that the Sasaki metric is homogeneous of degree
0. This intrinsic homogeneity becomes clear from the definition (2.11) of the dual
Berwald basis, taking into account that the coefficients N'"z, are homogeneous of
degree I, as can be seen from their definition (2.7). Using the volume form Vola
of the Sasaki metric one can now integrate functions .f on the tangent bundle,
{ Vola f(:r, y).
lrM
(2.22)
If one chooses the function .f to be a suitable Lagrange function L for a physical
field <P on a Finsler spacetime, one encounters another difficulty. Since all geo
metric structures and matter fields <P are homogeneous, it is natural to demand
the same from the Lagrangc function. However, for a homogeneous function
.f
the integral over the tangent bundle generically diverges, unless the function van
ishes identically. This follows from the fact that along any ray (
:r, Ay) with ).. > 0
in TM the value off is given by An f(x, y), where n is the degree of homogene
ity. This difficulty can be overcome by integrating the function not over TM, but
over a smaller subset
ofT M which intersects each ray only once, and which is
defined as follows:
Definition 2.11
(Unit tangent bundle). The unit tangent bundle of a Finsler space
time is the set I; C T NI on which the Finsler function takes the value F = 1.
Note that I; intersects each ray, which is not part of the null structure, exactly
once. This suffices since the null structure
is of measure
0 and therefore does not
contribute to the integral (2.22)
overT M. The canonical metric on
I: is given by
the restriction
(2.23)
ofthe.Sasaki metric, which finally determines the volume form Vole;. This is the
volume form we will use in the generalized action integral.
In the second part
of our discussion we generalize the Lagrange function
L in
the metric matter action (1.6). For simplicity we restrict ourselves here top-form
fields <P whose Lagrange function depends only on the field itself and its first
derivatives d<D. These are of particular interest since, e.g., the Klein-Gordon and
Observer dependent geometries
31
Maxwell fields fall into this category. The most natural procedure to generalize
the dynamics
of a given field theory from metric to Finsler geometry is then to
simply keep the formal structure of its Lagrange function
£, but to replace the
Lorentzian metric
g by the Sasaki metric G and to promote the p-form field
<P to
a horizontal p-form field on T M. The generalized Lagrange function we obtain
from this procedure
is now a function on
TNI, which we can integrate over the
subset I; to form an action integral.
Using this procedure we encounter the problem that even though we have
chosen <P to be horizontal, d<l> will in general not be horizontal. In order to obtain
consistent field equations
we therefore need to modify our procedure. Instead of
initially restricting ourselves to horizontal
p-forms on the tangent bundle T lvf, we
let <P be an arbitrary p-form with both horizontal and vertical components. The
purely horizontal components can then be obtained by applying the horizontal
projector
(2.24)
In order to reduce the number
of physical degrees of freedom to only these hor
izontal components we dynamically impose that the non-horizontal components
vanish
by introducing a suitable set of Lagrange multipliers /\, so that the total
action reads
(2.25)
Variation with respect to the Lagrangc multipliers then yields the constraint that
the vertical components
of
<P vanish. Variation with respect to these vertical
components fixes the Lagrange multipliers. Finally, variation with respect lo the
horizontal components
of
<P yields the desired field equations. It can be shown
that in the metric limit they reduce to the usual tleld equations derived from the
action (1.6) for matter fields on a metric spacetime [Pfeifer & Wohlfarth 2012].
2.6. Gravity
In the previous sections we have considered the geometry of Finsler spacetimes
solely as a background geometry for observers, point masses and matter fields.
We now turn our focus to the dynamics of Finsler geometry itself. As it is also
the case for Lorentzian geometry, we will identify these dynamics with the dy
namics
of gravity. For this purpose we need to generalize the Einstein-Hilbcrt
action, from which the gravitational field equations are derived, and the energy
momentum tensor, which acts as the source
of gravity.

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

siunaavan minua. Tunsin aamutuulen henkäyksen ohimoillani ja
jotain vilvoittavaa kuin kaste lankeavan taivaasta sieluuni. Samassa
aukaisin silmäni ja näin lampun valossa todellisuuden edessäni.
"Et siis pidä itseäsi syyllisenä?" kysyin kauhulla itseltäni. "Sinä joka
vielä eilen olit synnin oppilas, pidätkö itseäsi viattomana sentähden,
että voit itkeä? Se mitä pidät omantuntosi todistuksena onkin ehkä
vain katumusta ja kuka murhamies ei sitä tuntisi? Jos hyveesi
valittaa kärsivänsä, kuka sanoo sinulle, ettei se tapahdu siksi että se
tuntee kuolevansa? Onneton, niitä etäisiä ääniä, joita kuulet
sydämessäsi, pidät nyyhkytyksinä, mutta ne ovatkin ehkä vain lokin,
tuhoa ennustavan myrskylinnun ääniä, joita haaksirikko houkuttelee
luokseen. Kuka on kertonut sinulle, millainen lapsuus niillä on ollut,
jotka ovat kuolleet verisin käsin? He ovat myöskin olleet hyviä
lapsuudessaan ja kätkeneet joskus kasvonsa käsiinsä muistellakseen
sitä aikaa. Sinä teet pahaa ja kadut sitä? Sitä teki myöskin Nero, kun
hän oli tappanut äitinsä. Kuka on sanonut sinulle, että kyyneleet
pesevät meidät puhtaiksi?
"Ja vaikkapa niin olisikin, vaikkapa olisi totta, että osa sielustasi
pysyisi vieraana synnille, mitä teet toiselle puolelle itsestäsi? Sinä
olet vasemmalla kädelläsi koitteleva niitä haavoja, joita oikea kätesi
on iskenyt; sinä olet tekevä hyveestäsi kääriliinan kätkeäksesi siihen
rikoksesi ja miekkaan, jolla lyöt, olet kuin Brutus kaivertava Platon
kaunopuheisia sanoja. Ja tämän aseesi olet sinä työntävä sen
olennon poveen, joka avaa sinulle sylinsä, sinä olet saattava
hautuumaahan intohimojesi jäännökset, ja sirottava niiden haudalle
säälin kylmiä kukkia. Sinä sanot niille, jotka näkevät sinut: 'Entäs
sitten? Minut on opetettu tappamaan; huomaa, että itken vielä ja
että Jumala on tehnyt minut paremmaksi!' Sinä olet puhuva
nuoruudestasi, sinä olet vakuuttava itsellesi, että taivas on antava

sinulle anteeksi, että onnettomuutesi ei ole sinun tahdostasi
tapahtunut ja sinä olet pitävä kauniita puheita unettomille öillesi,
jotta ne antaisivat sinulle hetkenkin levon.
"Mutta ken tietää? Sinä olet vielä nuori. Kuta lujemmin luotat
sydämeesi, sitä pahemmin on ylpeytesi sinut eksyttävä. Tässä seisot
ensimäisillä raunioilla, jotka olet jättävä jälkeesi. Jos Brigitte kuolee
huomenna, olet itkevä hänen haudallaan; mutta minne menet hänet
jätettyäsi? Lähdet ehkä kolmeksi kuukaudeksi Italiaan, verhoudut
viittaasi kuin ikävystynyt englantilainen ja eräänä kauniina aamuna
jossakin majatalossa juotuasi tarpeeksi, päättelet, että olit jo väsynyt
omantunnonvaivoihin ja että täytyy unohtaa voidakseen taas alkaa
elämän uudelleen. Sinä joka olet liian myöhään alkanut itkeä, varo,
ettet jonakin päivänä huomaa, ettet enää voikaan saada kyyneliä
silmiisi. Ken tietää kuinka on käyvä, jos joku alkaisi tehdä ivaa
tuskistasi, joita nyt pidät niin syvällisinä? Jos jonakin päivänä joku
kaunis nainen tanssiaisissa säälivästi hymyilee sinulle, kuullessaan
että vielä suret kuollutta rakastajatarta, ken tietää, etkö silloin ehkä
ole ylpeilevä siitä, mikä tänään sinua niin surettaa? Kun nykyhetki,
joka saa sinut värisemään ja jota et uskalla katsoa silmästä silmään,
on muuttunut menneisyydeksi, vanhaksi tarinaksi, hämäräksi
muistoksi, eikö ehkä voi sattua että jonakin iltana maailmanmiesten
seurassa heittäydyt selkäkenoon nojatuolissa ja kerrot hymy huulilla
siitä, mitä nyt näet kyyneleet silmissä? Niin niellään häpeä, se on
maailman tapa. Olet alkuaan hyvä, olet tullut heikoksi, olet muuttuva
pahaksi.
"Ystävä poloiseni", sanoin sydämeni pohjasta itselleni, "minulla on
annettavana sinulle neuvo: luulen että sinun täytyy kuolla. Käytä tätä
hetkeä, jolloin vielä olet hyvä, päästäksesi tulemasta pahaksi. Kun
nainen, jota rakastat, makaa kuolevana edessäsi, ja kun tunnet

kammoa itseäsi kohtaan, ojenna kätesi ja koeta hänen rintaansa;
hän elää vielä, se on kyllin. Sulje silmäsi äläkä avaa niitä enää. Älä
odota hänen hautajaisiaan, ehkä jo huomenna löydät lohdun.
Työnnä tikari rintaasi, niin kauan kuin sydämesi vielä rakastaa
Jumalaa, joka on sen luonut. Nuoruutesiko sinua pidättää? Säälitkö
hiustesi väriä? Älä milloinkaan salli niiden vaaleta, jolleivät ne
valkene tänä yönä.
"Ja mitä tahdot muutoin vielä tehdä tässä maailmassa? Jos lähdet
matkaan, minne suuntaat kulkusi; jos jäät, mitä vielä toivot? Ah, eikö
totta, että katsellessasi tuota naista, sinusta tuntuu kuin sinulla vielä
olisi kokonainen aarre sydämessäsi? Eikö ole totta, että se mitä
kadotat, ei ole sitä, mikä on ollut, vaan pikemminkin sitä, mikä olisi
voinut olla, ja että raskain jäähyväishetki on se, jolloin tuntee, ettei
ole kaikkea sanottu? Miksi et puhunut tunti sitten? Kun viisari osotti
sitä hetkeä, voit vielä olla onnellinen. Jos kärsit, miksi et avannut
sydäntäsi? Jos rakastit, miksi et sanonut sitä? Sinä olet kuin saituri,
joka kuolee nälkään, istuen maahankaivetun aarteensa yllä. Sinä olet
sulkenut ovesi, sinä koetat turhaan päästä ulos lukkojesi takaa. Ei
auta, että puistelet saranoita, ne ovat lujat, sinä olet ne itse takonut.
Onneton, sinä olet toivonut ja toiveesi on täytetty, mutta et ole
muistanut Jumalaa! Sinä leikit onnellasi kuin lapsi leikkikalulla, et
ajatellut, kuinka särkyvää ja murenevaa se oli, jota pidit käsissäsi.
Sinä halveksit sitä, sinä hymyilit sille, sinä et tahtonut siitä kohta
nauttia etkä kuullut hyvän enkelisi rukouksia, jotka tahtoivat säästää
sinulta tämän surun. Ah, jos taivaassa on ollut enkeli, joka on sinua
vaalinut, missä onkaan hän tällä hetkellä? Hän istuu urkujen ääressä,
hänen siipensä ovat puoleksi avoinna, hänen kätensä lepäävät
norsunluisilla koskettimilla, hän alottaa ikuisen ylistyslaulun,
rakkauden ja ikuisen unohduksen hymnin. Mutta hänen polvensa
taipuvat, hänen siipensä sulkeutuvat, hänen päänsä vaipuu alas kuin

taittunut ruoko: kuoleman enkeli on koskettanut häntä olkapäähän,
hän katoaa ikuisuuteen!
"Ja sinä olet nyt kahdenkymmenen kahden vuotiaana yksin
maailmassa, juuri kun jalo ja puhdas rakkaus, juuri kun nuoruuden
voima olisi ehkä voinut tehdä jotain sinusta. Juuri nyt kun niin
surullisten vastoinkäymisten ja kurjain nuoruusvuosien jälkeen näet
tyynen ja puhtaan ajan koittavan, juuri nyt, kun koko elämäsi, joka
on pyhitetty rakastetulle olennolle, olisi saanut uutta voimaa, juuri
nyt syöksyy kaikki raunioiksi ympärilläsi! Nyt olet tässä, et enää
epämääräisine kaihoinesi vaan todellisine suruinesi, et enää tyhjin
vaan autioitetuin sydämin. Ja sinä epäröit? Mitä odotat? Kun hän ei
enää tahdo sinusta mitään tietää, ei elämäsi ole minkään arvoinen.
Koska hän jättää sinut, tee sinäkin samoin. Surkoon ne sinua, jotka
ovat rakastaneet nuoruuttasi, heitä ei ole monta. Se joka on ollut
ääneti Brigitten edessä, vaietkoon iäksi! Se joka on levännyt hänen
rintaansa vasten, säilyttäköön ainakin muiston siitä
koskemattomana, ja, Jumalani, eikö sinun täytyisi kadottaa sitä, jos
tahtoisit elää? Mitä muuta osaa sinulle jäisikään kuin turmeltua
kokonaan? Niin, tällä hetkellä voit vain siitä hinnasta säilyttää
elämäsi! Voidaksesi elää, täytyisi sinun unohtaa rakkaus niinkuin sitä
ei lainkaan olisi olemassa, sinun täytyisi ei ainoastaan kieltää mitä
sinussa on ollut hyvää vaan vieläpä hävittää se mitä sinussa vielä
sitä on — sillä kuinka kävisi sinun, jos muistaisit edelleen? Et voisi
astua askeltakaan, et voisi nauraa etkä itkeä, et voisi antaa almua
köyhälle, et voisi olla hyvä neljännestunnin aikaa, ilman että veresi
syöksyisi sydämeesi ja huutaisi, että Jumala on luonut sinut hyväksi
voidaksesi tehdä Brigitten onnelliseksi. Pienimmätkin tekosi
herättäisivät sinussa onnettomuuksiesi kaiun; kaikki mikä liikkuisi
sielussasi, herättäisi kaipuun ja katumuksen, ja itse toivo, taivaan
sanansaattaja, ystävä, joka kehottaa meitä elämään, muuttuisi

silmissäsi kummittelijaksi, menneisyytesi kaksoisveljeksi. Kaikki
tunteesi muuttuisivat ikuiseksi katumukseksi. Kun murhamies kulkee
pimeässä, pitää hän käsiään painettuina rintaansa vasten, varoen
koskettamasta mitään ja peljäten, että seinät häntä syyttäisivät. Niin
pitäisi sinunkin tehdä. Valitse sielusi ja ruumiisi välillä: sinun on
surmaaminen toinen tai toinen niistä. Hyvän muisto viettelee sinua
pahaan. Tapa itsesi, jollet tahdo elää oman itsesi varjona. Lapsi,
lapsi, kuole kunnialla, niin että vielä joku voi itkeä haudallasi!"
Heittäysin vuoteen eteen niin hirvittävän epätoivon vallassa, että
olin kuin mielipuoli enkä enää tiennyt, missä olin tai mitä tein.
Brigitte huokasi ja työnsi syrjään peitteen, ikäänkuin ylenmääräisen
painon rasittamana, ja paljasti siten valkean povensa.
Tämän näyn edessä joutuivat kaikki aistini kapinaan. Oliko se
tuskaa vai kaipuuta? En tiedä mitään. Hirvittävä ajatus sai minut
vavahtamaan. "Mitä!" huudahdin. "Jättää tuo toiselle! Kuolla, astua
hautaan ja antaa tuon valkean rinnan hengittää taivaan ilmaa! Hyvä
Jumala! Toinen käsi kuin minun saisi koskettaa tuota hienoa,
läpinäkyvää ihoa, toinen suu kuin minun noilla huulilla, toinen
rakkaus tuossa sydämessä, toinen mies tämän vuoteen ääressä!
Brigitte eläisi onnellisena, rakastettuna, sillä aikaa kuin minä
muuttuisin tomuksi hautuumaan mullassa? Kuinka kauan aikaa
kuluisi, ennenkuin hän unhottaisi minut — jos minua ei huomenna
enää olisi olemassa? Kuinka monta kyyneltä se hänelle maksaisi.
Ehkä ei yhtään ainoaa! Jokainen hänen ystävänsä sanoo hänelle,
että kuolemani oli hyvä työ, jokainen on kiiruhtava lohduttamaan
häntä ja vakuuttamaan, ettei hänen pidä minua ajatella! Jos hän
itkee, koettavat ihmiset häntä huvittaa, jos joku muisto häntä
häiritsee, karkotetaan se hänen luotaan, jos rakkauteni eläisi
hänessä, parannetaan hänet siitä kuin myrkytyksestä. Ja vaikka hän

itse ehkä ensi päivänä sanoo tahtovansa seurata minua, on hän
kuukauden kuluttua kääntyvä pois, jottei hän edes kaukaa näkisi
itkuraitaa, joka on istutettu haudalleni. Kuinka voisikaan käydä
toisin? Kuinka voi se kaivata ketään, joka on niin kaunis? Jos hän
tahtoisikin kuolla surusta, on hänen peilinsä vakuuttava hänelle, että
hänen tulee elää, ja ensi päivänä, kun ehtyvät kyyneleet väistyisivät
hymyn tieltä, onnittelisivat kaikki häntä hänen parantumisestaan.
Kun hän viikon vaitiolon jälkeen taas voi kuulla, että nimeäni
mainitaan hänen läsnäollessaan ja itse lausuu sen kaihoten,
ikäänkuin sanoakseen: 'Lohduttakaa minua!' kun hän on tullut sille
asteelle, ettei hän enää tahdo välttää muistoani ja avaa kauniina
kevätaamuna ikkunansa ja kuulee lintujen laulavan kasteisissa
pensaikoissa ja uneksien huudahtaa: 'Olen rakastanut!' — kuka on
silloin oleva hänen rinnallaan? Kuka on silloin se julkea, joka sanoo
hänelle, että hänen täytyy vielä rakastaa. Ah, en enää minä! Sinä
olet kuuleva häntä, sinä petollinen olento, sinä luot silmäsi alas ja
punastut kuin ruusu, ja sinun kauneutesi ja nuoruutesi saavat
ylivallan. Samalla kertaa kun sanot, että sydämesi on suljettu, annat
siitä sädehtiä näkyviin tuon valon, jonka jokainen säde viettelee
suutelemaan. Kuinka mielellään he tahtovatkin tulla rakastetuiksi
kaikki nuo naiset, jotka sanovat, etteivät he enää rakasta! Ja mitä
ihmeellistä siinä onkaan? Sinä olet nainen, sinä tiedät minkä
arvoinen on ruumiisi, valkea rintasi, sinulle on se sanottu; kun kätket
kaiken kauneutesi pukusi alle, et usko kuin kokematon tyttö, että silti
kaikki olisivat sinun näköisiäsi. Kuinka voisi nainen, jota on ylistetty
ja imarreltu, päättää, ettei hän enää tahdo tulla ihailluksi? Voisiko
hän uskoa enää elävänsä, jos hän jäisi varjoon ja jos hänen
kauneutensa ympärillä kävisi hiljaiseksi? Hänen kauneutensa on
olemassa rakastajan katseita ja ylistyslauluja varten. Ei, ei, on
varmaa, että se joka kerran on rakastanut, ei voi enää elää ilman

rakkautta. Sekin, joka lähestyy kuolemaa, tarttuu vielä kiinni
elämään. Brigitte rakastaa minua ja hän kuolisi ehkä siitä; mutta jos
tapan itseni, vie joku toinen hänet.
"Toinen, toinen!" toistin, kumartuen vuoteen yli ja koskettaen
otsallani hänen olkaansa. "Hänhän on leski!" ajattelin. "Hän on jo
kerran ennen nähnyt kuoleman, hänen pienet suloiset kätensä ovat
jo kerran vaalineet kuolevaa. Hänen kyyneleensä tietävät, kuinka
kauan surua kestää — toisella kertaa on suru ehkä lievempi. Jumala
minua varjelkoon, etten surmaa häntä hänen nukkuessaan! Jos nyt
herättäisin hänet ja sanoisin, että hänen hetkensä on tullut, että
meidän on kuoleminen yhteiseen suudelmaan, niin suostuisi hän
siihen mielellään. Miksi en sitä tee? Onko varma, että kaikki loppuu
kuolemassa?"
Löysin pöydältä veitsen ja pitelin sitä kädessäni.
"Pelkoa, raukkamaisuutta, taikauskoa! Mitä tietävät tulevasta
elämästä ne, jotka siihen uskovat? Vain kansalle ja tietämättömälle
joukolle puhutaan siitä, mutta kuka uskoo siihen sisimmässään?
Kuka kirkkomaan vartija on milloinkaan nähnyt kuolleen nousevan
haudasta ja menevän kolkuttamaan kirkkoherran ovelle? Entisaikaan
nähtiin haamuja; nyt on poliisi niitä kieltänyt esiintymästä
sivistyneessä yhteiskunnassa. Vain valekuolleet huutavat enää
haudoista. Kuka olisi mykistänyt kuoleman, jos se koskaan olisi
voinut puhua? Vai eikö Jumalan henki vain siksi tahdo näyttäytyä,
että kirkollisten kulkueiden ei enää sallita tungeksia kaduillamme?
Kuolema, se on päämäärä, kaiken loppu. Jumala on sen asettanut,
ihmiset väittelevät siitä, mutta jokainen kantaa otsallaan kirjoitusta:
'Tee mitä tahdot, kuolla täytyy sinun kuitenkin.' Mitä sanottaisiin, jos
surmaisin Brigitten. Ei hän enkä minä tietäisi siitä mitään. Jossakin

lehdessä mainittaisiin huomenna, että Octave de T. on tappanut
rakastajattarensa eikä siitä ylihuomenna enää puhuttaisi. Kuka
saattaisi meitä viimeisellä matkallamme? Ei kukaan, joka ei kotia
tultuaan söisi rauhallisesti aamiaistaan. Ja me lepäisimme vierekkäin
maan povessa, ja koko maailma voisi astua ylitsemme, ilman että
askelten kaiku meidät herättäisi. Eikö totta, rakkaani, siellä olisi
meidän hyvä? Maanpovi on pehmoinen vuode; mitkään kärsimykset
eivät meitä saavuttaisi; naapuri-haudassa ei puhuttaisi pahaa meidän
liitostamme Jumalan kasvojen edessä. Meidän luumme makaisivat
rauhassa. Kuolema sovittaa, ja mitä se kerran yhdistää, sitä ei enää
eroteta. Miksi pelottaisi sinua tyhjyys, ruumis parka? Joka tunti vie
sinut lähemmäs sitä, jokainen askeleesi taittaa poikkipuun tikapuilla,
joilla juuri seisot; sinä elät kuolleista, taivaan ilma painaa ja
musertaa, maa, jota astut, vetää sinua jalkapohjiesi kautta
puoleensa. Astu alas maan poveen! Miksi pelkäät? Pelottaako sinua
sana? Sano vain: 'Emme elä enää.' Etkö tunne suurta väsymystä,
jonka jälkeen on suloista saada levätä? Minkätähden epäilemme, kun
kysymys ei ole kuin siitä, tapahtuuko se hiukan ennemmin tai hiukan
myöhemmin? Aine on katoamaton ja sanotaan, että fyysikko voi
äärettömiin asti paloittaa pienintäkin ainehiukkasta voimatta sitä
kuitenkaan hävittää. Jos aine on sattuman varassa, niin mikä on sen
rikos, jos se vaihtaa kidutusta, kun se ei voi vaihtaa herraa? Onhan
yhdentekevää Jumalalle, minkä muodon olen saanut ja mihin
pukuun tuskani pukeutuu. Tuska elää pääkallossani, se on minun ja
minä voin surmata sen, mutta luut eivät kuulu minulle, annan ne
takaisin hänelle, joka on ne minulle lainannut. Tehköön joku runoilija
pääkopastani maljan ja täyttäköön sen uudella viinillään! Mitä
moitteita voisin saada tuosta teostani ja kuka minua moittisi? Kuka
julma tuomari voisi sanoa, että olen käyttänyt väärin itseäni? Jos
jokaisella olennolla on tehtävänsä ja jos on väärin väistyä sen

edestä, niin mitä suuria pahantekijöitä ovatkaan lapset, jotka
kuolevat imettäjänsä rinnoilla? Miksi heidät säästetään? Kenelle voisi
olla hyödyksi ja varoitukseksi rangaistukset, jotka toimeenpannaan
kuoleman jälkeen? Taivaan täytyisi todella olla tyhjän, jos ihmistä
rangaistaisiin siitä, että hän on elänyt, sillä on kyllin siinä, että hänen
on täytynyt elää; enkä tiedä ketään, joka olisi sitä vaatinut paitsi
Voltaire kuolinvuoteellaan: vanhan jumalankieltäjän viimeinen
epätoivon huuto! Mitä kaikki tämä hyödyttää, miksi kaikki tämä
taistelu? Kuka katselee tuolta ylhäältä tätä kaikkea ja kuka iloitsee
niin paljosta kärsimyksestä? Kuka on huvitettu seuraamaan tätä alati
syntyvää ja alati kuolevaa luomakuntaa, näkemään miten
rakennukset nousevat ja suistuvat, miten kylvö kasvaa ja miten
rajuilma sen hävittää, kuinka ihmiset kulkevat tietään ja kuinka
kuolema heidät äkkiä pidättää, kuinka kyyneleet vuotavat ja
kuivuvat, kuinka ihmiset rakastavat, kuinka kasvot käyvät ryppyisiksi,
kuinka kansa lankeaa polvilleen ja ojentaa kätensä eikä maa
kuitenkaan anna yhtä jyvää enempää! Kuka on se, joka näkee tämän
vaivan, vain yksin tietääkseen, että kaikki mitä hän on tehnyt ei ole
mitään? Herschell väittää, että maapallo kuolee kylmyyteen. Kuka on
siis se joka pitää tätä tiivistynyttä höyrypisaraa kädessään ja katselee
sen kuivumista niinkuin kalastaja tekee merivedelle saadakseen
jyväsen suolaa? Vetovoima, joka pitää koossa maailmankaikkeutta,
täyttää sen samalla kertaa, loputtomalla hyödyttömällä kaipuulla:
jokainen planeetta laahaa mukanaan kurjuutensa, pyöriessään
kitisten akselinsa ympäri, ne huutavat toisilleen kukin omalta
ääreltään, ja odottavat, lepoa ikävöiden, mikä niistä saa ensimäisenä
pysähtyä. Jumala pitää niitä kädessään ja ne täyttävät ikuisuuksiin
saakka tyhjää hyödytöntä tehtäväänsä. Ne kiertävät, ne kärsivät, ne
palavat, ne sammuvat ja syttyvät, ne vajoavat ja nousevat, ne
lähestyvät ja pakenevat toisiaan, ne kietoutuvat kuin renkaat

toisiinsa. Ne kantavat pinnallaan tuhansia iäti vaihtuvia olentoja;
nämä olennot ovat myöskin liikkeessä, ne ristivät toistensa teitä, ne
painautuvat hetkeksi toinen toistaan vasten, ne vajoavat maahan ja
toisia nousee niiden sijaan. Missä ei elämää ole, sinne sitä
tunkeutuu, missä ilmaa puuttuu, sinne sitä virtaa; kaikki on
järjestettyä, lainmukaista, kultaisin kirjaimin ja tulisin vertauskuvin
määrättyä, kaikki kulkee taivaisen soiton mukaan tuntemattomia
teitään ikuisuuteen. Ja kaikki tämä ei ole mitään! Ja me nimettömät
uneksijat, kalpeat ja kärsivät hahmot, me silmänräpäyksen lapset,
jotka hengitämme hetken, jotta kuolema voisi olla olemassa, me
ponnistamme kaikki voimamme vakuuttaaksemme itsellemme, että
meillä on tehtävä, ja että on joku joka meistä pitää huolen. Me
epäröimme painaa pientä teräasetta rintaamme vastaan ja kohottaa
kättämme ampuaksemme kuulan päähämme. Meistä tuntuu kuin
kaaos palaisi, jos me surmaisimme itsemme. Me olemme
kirjoittaneet ja laatineet jumalalliset ja inhimilliset lait ja pelkäämme
omia katkismuksiamme; me kärsimme kolmekymmentä vuotta ja
luulemme pääsevämme voitolle, mutta tuska käy lopulta
voimakkaammaksi meitä, me lähetämme hiukkasen ruutia älymme
asuntoon — ja haudallemme nousee kukkanen."
Kun olin lausunut nämä sanat, vein veitsen, jota pidin kädessäni,
Brigitten rintaa vasten. En ollut enää oman itseni herra enkä tiedä,
mitä houreessani olisin voinut tehdä. Vedin syrjään peitteen
paljastaakseni sydämen ja näin silloin valkealla rinnalla pieni
ebenholtsi-krusifiksin.
Kauhistuneena peräydyin, käteni aukeni ja ase putosi lattiaan.
Brigitten täti oli kuolinvuoteellaan antanut hänelle tuon pienen
ristiinnaulitun-kuvan. En muistanut kuitenkaan ennen nähneeni
hänen sitä kantavan. Hän oli epäilemättä matkalle lähtiessään

ripustanut sen kaulaansa taikakaluksi matkan vaaroja vastaan. Panin
käteni ristiin ja tunsin vajoavani maahan: "Jumalani", kuiskasin
vavisten, "sinä olit läsnä!"
Lukekoon ne, jotka eivät usko Kristukseen, näitä rivejä; minä en
myöskään häneen uskonut. Ei ollut tapanani enemmän koulupoikana
kuin täysi-ikäisenäkään käydä kirkossa; minun uskonnollani, jos
minulla oli mitään uskontoa, ei ollut kirkonmenoja eikä symbooleja,
uskoin Jumalaan ilman ulkonaisia muotoja ja ilman ilmestystä.
Edellisen vuosisadan kirjat olivat nuoruudestani saakka minut
myrkyttäneet, olin jo varhain imenyt uskottomuuden hedelmätöntä
maitoa. Ihmisylpeys, itsekkäiden jumala, sulki suuni rukoukselta, sillä
aikaa kun pelästynyt sydämeni rakensi toivonsa tyhjyyteen
raukeamiseen. Olin kuin juopunut ja mieletön, kun näin Kristuksen
kuvan Brigitten rinnalla. Vaikka en uskonut, peräydyin, sillä tiesin
hänen uskovan. Se ei ollut tyhjä pelko, joka tuona hetkenä pidätti
käteni. Kuka saattoi minut nähdä? Olin yksin ja oli yö. Jos kysymys
olisi ollut vain ihmisten ennakkoluuloista, niin mikä olisi estänyt
minua työntämästä syrjään tuon pienen mustan puukappaleen.
Olisin voinut heittää sen tuhkaan, mutta sensijaan heitin sinne
aseeni. Ah, kuinka syvään tunsin, kuinka syvään tunnen vielä, miten
surkuteltavia ovatkaan ne ihmiset, jotka ovat voineet pilkata sitä,
mikä voi pelastaa ihmisen hengen! Mitä merkitsee, nimi, muoto,
uskontunnustus? Eikö kaikki mikä on hyvää ole myöskin pyhää?
Kuinka uskaltaa kajota Jumalaan?
Niinkuin lumi auringon katseesta lähtee liikkeelle vuorilta ja
jääröykkiöt, jotka uhmasivat taivasta, muodostavat puron laaksoon,
niin pulppusi lähde esiin sydämessäni. Katumuksen puhdas lähde
puhkesi esiin kärsimyksestäni. Vaikka olin ollut tekemäisilläni
murhatyön, tunsin kohta, kun olin heittänyt aseen kädestäni, että

sydämeni oli viaton. Hetkessä sain takaisin tyyneyteni, voimani ja
järkeni; taivuin rakastettuni yli ja suutelin hänen krusifiksiaan.
"Nuku rauhassa", sanoin hänelle, "Jumala sinua suojelkoon! Sillä
aikaa kun hymyilit unissasi, vältit suurimman vaaran, mikä sinua on
väijynyt. Mutta käsi, joka on sinua uhannut, ei ole tekevä
kenellekään pahaa. Minä vannon sinun krusifiksisi kautta, etten ole
surmaava sinua enkä itseäni. Olen mieletön, olen hullu, olen lapsi,
joka on luullut olevansa mies. Jumala olkoon kiitetty! Sinä olet nuori
ja elät vielä ja olet unohtava minut. Sinä parannut siitä pahasta,
jonka olen sinulle tehnyt, ja sinä olet antava minulle anteeksi. Nuku
rauhassa, Brigitte, aamuun asti ja ratkaise silloin kohtalomme. Minkä
tuomion sinä lausunetkin, olen siihen valittamatta alistuva. Ja sinä,
Jesus, joka olet hänet pelastanut, anna minulle anteeksi äläkä puhu
hänelle tästä. Olen syntynyt jumalattomana aikana ja minulla on
paljon sovittamista. Jumalan poika, sinut on unohdettu, minua ei ole
opetettu sinua rakastamaan. En ole koskaan etsinyt sinua
temppeleistä, mutta en ole menettänyt kykyäni vavista, kun sinut
tapaan. Olen siis ainakin kerran ennen kuolemaani suudellut sinua
huulillani, naisen sydämellä, joka on täynnä sinua. Suojele sitä
sydäntä niin kauan kuin se lyö, pysy sen pyhänä turvana ja muista
onnetonta, joka ei ole uskaltanut kuolla surussaan nähdessään sinut
ristilläsi. Olet pelastanut uskottoman pahasta; jos hän olisi uskonut,
olisit häntä myöskin lohduttanut. Anna anteeksi heille, jotka ovat
tehneet hänet uskottomaksi, koska sinä olet tehnyt hänet katuvaksi.
Anna anteeksi kaikille, jotka kiroovat. He eivät ole epätoivossaan
koskaan sinua nähneet. Inhimilliset ilot ovat ylimieliset, ne ivaavat
ilman armoa. Tämän maailman onnelliset uskovat, etteivät he
koskaan sinua tarvitse, suo heille anteeksi; heidän ylpeytensä herjaa
sinua, mutta ennemmin tai myöhemmin kastavat heidän kyyneleensä
heidät uskoon. Sääli heitä sentähden, että he luulevat olevansa

suojassa myrskyiltä ja että he tarvitsevat onnettomuuden ankaran
läksyn tullakseen luoksesi. Viisautemme ja epäilyksemme ovat lasten
leikkikaluja; suo meille anteeksi, että me pidämme itseämme
pakanoina, sinä joka hymyilit Golgathalla. Kaikista ajallisista
onnettomuuksistamme on pahin se, että turhamaisuutemme koettaa
sinut unohtaa. Mutta sinä näet, ne ovat tyhjiä varjoja, jotka yksi
sinun katseistasi voi hajoittaa. Sinähän olet itsekin ollut ihminen?
Tuska on tehnyt sinusta Jumalan, ristin kidutus on kantanut sinut
taivaaseen kaikkivaltiaan isäsi syliin; tuska vie myöskin meidät sinun
tykösi. Vasta orjantappurakruunu päässämme polvistumme sinun
kuvasi eteen, vasta verisin käsin kosketamme sinun jalkojesi
haavoja, sinä, joka kärsit marttyrikuoleman voittaaksesi onnettomien
rakkauden."
Aamun ensi säteet tunkivat sisään, kaikki valveutui vähitellen ja
kaukaiset sekavat äänet täyttivät ilman. Heikkona ja voimattomana
lähdin Brigitten luota saadakseni hiukan levätä. Lähtiessäni liukui
tuolille heitetty hame lattiaan ja siitä putosi kokoontaitettu paperi.
Otin sen käsiini: se oli kirje, ja minä tunsin siinä Brigitten käsialan.
Se ei ollut suljettu, avasin sen ja luin:
25 joulukuuta 18..
Kun saatte tämän kirjeen, olen kaukana täältä — ehk'ette
koskaan sitä saa. Kohtaloni on sidottu mieheen, jolle olen
kaikkeni uhrannut; hän ei voi elää ilman minua, koetan kuolla
hänen tähtensä. Rakastan teitä. Hyvästi. Säälikää meitä.
Käänsin paperin ja näin osotteen: Herra Henri Smith. N:ssa, poste
restante.

VII
Seuraavana päivänä, aurinkoisena joulukuun aamuna kulki nuori
mies ja nuori nainen käsikkäin Palais-Royalin puiston halki. He
menivät jalokivikauppaan, missä he valitsivat kaksi samanlaista
sormusta, jotka he hymyillen vaihtoivat ja pistivät kumpikin
sormeensa. Pienen kävelyn jälkeen menivät he syömään aamiaista
Frères-Provençaux'n ravintolaan, minkä pienistä huoneista on
kauneimpia näköaloja maailmassa. Sinne tultuaan asettuivat he,
tarjoilijan poistuttua, ikkunan ääreen ja puristivat hellästi toistensa
käsiä. Nuori mies oli matkapuvussa ja päättäen ilosta, joka loisti
hänen kasvoistaan, olisi häntä saattanut luulla nuoreksi
aviomieheksi, joka ensi kertaa opastaa nuorta vaimoaan Parisin
elämään ja huvituksiin. Hänen iloisuutensa oli lempeä ja tyyni, kuten
onni aina on. Ihmistuntija olisi nähnyt hänessä lapsen, joka juuri on
tulemassa mieheksi ja jonka katse on muuttumassa luottavammaksi
ja varmemmaksi. Silloin tällöin loi hän silmänsä taivasta kohti,
senjälkeen katsoi hän taas ystävätärtään ja hänen silmissään kiilsi
kyyneliä; mutta hän antoi niiden virrata pitkin poskiaan ja hän
hymyili niiden välitse. Nainen oli kalpea ja miettiväinen ja katsoi koko
ajan ystäväänsä. Hänen piirteensä puhuivat syvästä kärsimyksestä,
joka ei koettanut kätkeytyä, mutta joka ei voinut vastustaa sitä
iloisuutta, jonka se näki edessään. Kun hänen seuralaisensa hymyili,

hymyili hänkin, mutta ei yksin; kun mies puhui, vastasi hän ja hän
söi mitä toinen hänelle tarjosi. Mutta muutoin vallitsi hänessä
hiljaisuus, joka vain silloin tällöin väistyi. Hänen väsymyksensä ja
alakuloisuutensa kertoi, että hän oli heikompi kahdesta olennosta,
jotka rakastavat toisiaan ja joista toinen elää kokonaan toisessa ja
vastaa hänen ajatuksiinsa kuin kaiku. Nuori mies näytti olevan siitä
tietoinen, ylpeä ja kiitollinen, mutta hänen ylpeytensäkin osotti, että
onni oli hänelle outo. Kun nainen äkkiä kävi surulliseksi ja loi alas
silmänsä, koetti mies näyttää päättävältä ja huolettomalta
rauhoittaakseen häntä, mutta se ei onnistunut hänelle aina, ja joskus
kävi hänkin surulliseksi. Syrjäisen olisi ollut mahdotonta ymmärtää
tuota voiman ja heikkouden, ilon ja surun, mielenliikutuksen ja
rauhallisuuden sekoitusta. Heitä olisi saattanut luulla vuoroin
maailman onnellisimmiksi, vuoroin onnettomimmiksi ihmisiksi; mutta
vaikka ei tuntenut heidän salaisuuttaan, näki, että he kärsivät
yhdessä, että he olivat painaneet surujensa yli sinetin, lujemman
kuin itse rakkaus, ystävyyden sinetin. Kun he puristivat toistensa
käsiä, olivat heidän katseensa puhtaat. He puhuivat matalalla
äänellä, vaikka he olivat kahden. Ikäänkuin ajatusten painosta
taipuivat heidän otsansa toisiaan vasten, mutta heidän huulensa
eivät koskettaneet toisiaan. He katsoivat toisiaan hellän ja juhlallisen
näköisinä niinkuin heikot ihmiset tekevät, kun he tahtovat olla hyviä
toisilleen. Kun kello löi yksi, huokasi nainen syvään ja sanoi,
kääntyen puoleksi poispäin:
"Octave, jospa erehtyisitte!"
"En, ystäväni, olkaa varma siitä, että minä en erehdy. Te tulette
kärsimään paljon, ehkä kauankin, minä aina, mutta me paranemme
molemmat, te ajan ja minä Jumalan avulla."

"Octave, Octave, oletteko varma, ett'ette pety?"
"En usko, rakas Brigitte, että koskaan voimme toisiamme unohtaa;
mutta minä luulen, että me tällä hetkellä emme vielä voi antaa
toisillemme anteeksi ja sitä täytyy meidän tehdä, vaikk'emme
koskaan enää näkisi toisiamme."
"Miksi emme enää näkisi toisiamme? Miksi emme jonakin
päivänä… Te olette vielä niin nuori!"
Nainen lisäsi hymyillen:
"Kun te ensi kerran rakastutte, voimme tavata toisemme ilman
vaaraa."
"Ei, ystäväni; en voi koskaan nähdä teitä rakastamatta teitä. Jospa
hän, jonka haltuun teidät jätän, olisi teidän arvoisenne! Smith on
hyvä, kunnollinen ja kelpo mies, mutta kuinka paljon hänestä
pidättekin, niin näettehän kuitenkin, että vielä rakastatte minua, sillä,
jos tahtoisin jäädä tai ottaa teidät mukaani, niin suostuisitte siihen."
"Se on totta", vastasi nainen.
"Onko se totta, totta?" huudahti nuori mies katsoen toista syvään
silmiin. "Onko se totta? Jos tahtoisin, tulisitte minun kanssani?"
Senjälkeen jatkoi hän lempeällä äänellä:
"Siksi emme koskaan enää saa toisiamme tavata. On olemassa
rakkautta, joka sekoittaa pään, aistit, sielun ja sydämen, mutta on
myöskin olemassa rakkautta, joka tunkee juurensa syvemmälle ja
kuolee vasta sen sydämen kanssa, johon se on juurtunut."

"Mutta te kirjoitatte kuitenkin minulle?"
"Niin, aluksi, hetkeksi, sillä se mitä minulla on kärsittävänä on niin
kovaa, että kaikesta luopuminen, joka on minulle ollut rakasta, minut
varmaan tappaisi. Ennenkuin vielä tunsin teidät, lähestyin teitä
vähitellen, peljäten, että olisin liian tuttavallinen, kunnes… Mutta
älkäämme puhuko siitä, mikä on ollut. Samalla tavoin ovat kirjeeni
käyvä yhä harvemmiksi, kunnes ne kokonaan lakkaavat. Niin astun
alas siltä kukkulalta, jolle olen kavunnut vuoden aikana. Se on oleva
hyvin surullista, mutta ei ehkä kokonaan vailla lohdutusta. Kun
kirkkomaalla pysähtyy tuoreen ja vihertävän haudan eteen, jonka
kiveen on piirretty kaksi rakasta nimeä, tuntee omituista surua, joka
saa kyyneleet vuotamaan ilman katkeruutta. Niin aion minäkin
joskus muistella, että olen elänyt."
Viime sanoja kuullessaan heittäytyi nainen nojatuoliin ja alkoi
nyyhkyttää. Nuori mies itki hänkin, mutta hän seisoi paikallaan
ikäänkuin hän ei olisi halunnut itselleen tunnustaa suruaan. Kun
kyyneleet olivat lakanneet vuotamasta, meni hän ystävättärensä luo,
tarttui hänen käteensä ja suuteli sitä.
"Uskokaa minua", sanoi hän, "tieto että on teidän rakastamanne
— millä nimellä sitten tahtookin nimittää sitä sijaa, jonka on saanut
teidän sydämessänne — antaa voimaa ja rohkeutta. Uskokaa minua,
Brigitte, kukaan ei ole ymmärtävä teitä paremmin kuin minä; joku
toinen voi rakastaa teitä arvokkaammalla tavalla, kukaan ei rakasta
teitä syvemmin kuin minä. Toinen on kunnioittava teissä niitä
ominaisuuksia, joita minä olen loukannut, ympäröivä teidät
kokonaan rakkaudellaan. Sinä voit saada paremman rakastajan, et
koskaan parempaa veljeä. Ojentakaa minulle kätenne ja lausukaa
nuo sanat, joille maailma nauraa sentähden, ettei se niitä ymmärrä:

'Pysykäämme ystävinä, ja hyvästi iäksi.' Kun ensi kerran lankesimme
toistemme syliin tiesi jokin osa meissä jo aikoja sitten, että tulisimme
löytämään toisemme. Älköön tämä osa meissä, joka on tavannut
toisensa Jumalan edessä, tietäkö, että eroamme täällä maan päällä,
älköön silmänräpäyksen ero turmelko ikuista onneamme!"
Mies piti naisen kättä kädessään. Nainen nousi, vielä kyynelten
vallassa. Omituisesti hymyillen astui hän peilin eteen, otti esiin
saksensa ja leikkasi niillä pitkän suortuvan hiuksistaan. Hän tarkasteli
hetken peilissä kasvojaan, joita oli rumentanut riistämällä osan
niiden kauneimmasta aarteesta, ja ojensi senjälkeen hiussuortuvan
rakastajalleen.
Kello löi uudelleen; oli aika lähteä. Kun he taas kulkivat puutarhan
pylväskäytävää, näyttivät he yhtä iloisilta kuin tullessaan.
"Mikä kaunis päiväpaiste!" sanoi nuori mies.
"Ja kaunis päivä", sanoi Brigitte, "jonka muisto ei koskaan
hälvene!"
Nainen painoi lujaan kätensä sydäntään vasten. He kiiruhtivat
askeleitaan ja katosivat väentungokseen.
Tunti sen jälkeen vierivät matkavaunut jo pienellä mäellä
Fontainebleau-portin takana. Niissä istui nuori mies yksin. Hän katsoi
viimeistä kertaa synnyinkaupunkiaan kaukaisuudessa ja kiitti
Jumalaa siitä, että kolmesta olennosta, jotka olivat kärsineet hänen
tähtensä, oli enää vain yksi onneton.

End of Project Gutenberg's Vuosisadan lapsen tunnustus, by Alfred
de Musset

*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK VUOSISADAN
LAPSEN TUNNUSTUS ***
Updated editions will replace the previous one—the old editions will
be renamed.
Creating the works from print editions not protected by U.S.
copyright law means that no one owns a United States copyright in
these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it
in the United States without permission and without paying
copyright royalties. Special rules, set forth in the General Terms of
Use part of this license, apply to copying and distributing Project
Gutenberg™ electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG™
concept and trademark. Project Gutenberg is a registered trademark,
and may not be used if you charge for an eBook, except by following
the terms of the trademark license, including paying royalties for use
of the Project Gutenberg trademark. If you do not charge anything
for copies of this eBook, complying with the trademark license is
very easy. You may use this eBook for nearly any purpose such as
creation of derivative works, reports, performances and research.
Project Gutenberg eBooks may be modified and printed and given
away—you may do practically ANYTHING in the United States with
eBooks not protected by U.S. copyright law. Redistribution is subject
to the trademark license, especially commercial redistribution.
START: FULL LICENSE

THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE

PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK
To protect the Project Gutenberg™ mission of promoting the free
distribution of electronic works, by using or distributing this work (or
any other work associated in any way with the phrase “Project
Gutenberg”), you agree to comply with all the terms of the Full
Project Gutenberg™ License available with this file or online at
www.gutenberg.org/license.
Section 1. General Terms of Use and
Redistributing Project Gutenberg™
electronic works
1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg™
electronic work, you indicate that you have read, understand, agree
to and accept all the terms of this license and intellectual property
(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all
the terms of this agreement, you must cease using and return or
destroy all copies of Project Gutenberg™ electronic works in your
possession. If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a
Project Gutenberg™ electronic work and you do not agree to be
bound by the terms of this agreement, you may obtain a refund
from the person or entity to whom you paid the fee as set forth in
paragraph 1.E.8.
1.B. “Project Gutenberg” is a registered trademark. It may only be
used on or associated in any way with an electronic work by people
who agree to be bound by the terms of this agreement. There are a
few things that you can do with most Project Gutenberg™ electronic
works even without complying with the full terms of this agreement.
See paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with
Project Gutenberg™ electronic works if you follow the terms of this
agreement and help preserve free future access to Project
Gutenberg™ electronic works. See paragraph 1.E below.

1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (“the
Foundation” or PGLAF), owns a compilation copyright in the
collection of Project Gutenberg™ electronic works. Nearly all the
individual works in the collection are in the public domain in the
United States. If an individual work is unprotected by copyright law
in the United States and you are located in the United States, we do
not claim a right to prevent you from copying, distributing,
performing, displaying or creating derivative works based on the
work as long as all references to Project Gutenberg are removed. Of
course, we hope that you will support the Project Gutenberg™
mission of promoting free access to electronic works by freely
sharing Project Gutenberg™ works in compliance with the terms of
this agreement for keeping the Project Gutenberg™ name associated
with the work. You can easily comply with the terms of this
agreement by keeping this work in the same format with its attached
full Project Gutenberg™ License when you share it without charge
with others.
1.D. The copyright laws of the place where you are located also
govern what you can do with this work. Copyright laws in most
countries are in a constant state of change. If you are outside the
United States, check the laws of your country in addition to the
terms of this agreement before downloading, copying, displaying,
performing, distributing or creating derivative works based on this
work or any other Project Gutenberg™ work. The Foundation makes
no representations concerning the copyright status of any work in
any country other than the United States.
1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg:
1.E.1. The following sentence, with active links to, or other
immediate access to, the full Project Gutenberg™ License must
appear prominently whenever any copy of a Project Gutenberg™
work (any work on which the phrase “Project Gutenberg” appears,
or with which the phrase “Project Gutenberg” is associated) is
accessed, displayed, performed, viewed, copied or distributed:

This eBook is for the use of anyone anywhere in the United
States and most other parts of the world at no cost and with
almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away
or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License
included with this eBook or online at www.gutenberg.org. If you
are not located in the United States, you will have to check the
laws of the country where you are located before using this
eBook.
1.E.2. If an individual Project Gutenberg™ electronic work is derived
from texts not protected by U.S. copyright law (does not contain a
notice indicating that it is posted with permission of the copyright
holder), the work can be copied and distributed to anyone in the
United States without paying any fees or charges. If you are
redistributing or providing access to a work with the phrase “Project
Gutenberg” associated with or appearing on the work, you must
comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through
1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the Project
Gutenberg™ trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9.
1.E.3. If an individual Project Gutenberg™ electronic work is posted
with the permission of the copyright holder, your use and distribution
must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any
additional terms imposed by the copyright holder. Additional terms
will be linked to the Project Gutenberg™ License for all works posted
with the permission of the copyright holder found at the beginning
of this work.
1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project
Gutenberg™ License terms from this work, or any files containing a
part of this work or any other work associated with Project
Gutenberg™.
1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this
electronic work, or any part of this electronic work, without
prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1

Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookultra.com

Mathematical Structures of the Universe 1st Edition Michał Heller

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Mathematical Structures of the Universe 1st Edition Michał Heller

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

TLE-9-Prepare-Salad-and-Dressing.pptxkkk

LESSON 1 ABOUT MEDIA AND INFORMATION.pptx

GRADE-8-AQUACULTURE-WEEKQ1.pdfdfawgwyrsewru

Feelings PP Game FOR CHILDREN IN ELEMENTARY SCHOOL.pptx

Jeopardy_Figures_of_Speech_Template.pptx [Autosaved].pptx

Jeopardy_Figures_of_Speech.pptxvdsvdsvsdvsd