Mathematical Structures of the Universe 1st Edition Michał Heller

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Mathematical Structures of the Universe 1st
Edition Michan Heller
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Mathematical Structures of the Universe 1st Edition
MichaÅ‚ Heller Digital Instant Download
Author(s): MichaÅ‚ Heller, MichaÅ‚ Eckstein, Sebastian Szybka
ISBN(s): 9788378861072, 8378861074
Edition: 1
File Details: PDF, 18.61 MB
Year: 2014
Language: english

Mathematical
Structures
of the Universe
EDITED BY
Michal Eckstein
Michael Helier
Sebastian]. Szybka
0
Copemicus
Center
PRESS

©Copyright by Copernicus Center Press, 2014
Editing:
AeddanShaw
Cover design:
Mariusz Banochowicz
BibTeX:
Dominika Hunik, Pawel Kostyra
Publication Supported by the John Templeton Foundation Grant
"The Limits of Scientific Explanation"
ISBN.978-83-7886-1 07-2
Krak6w 2014
8
Copernicus
Center
PRESS
I
Publisher: Copernicus Center Press Sp. z o.o.,
pi. Szczepanski 8, 31-011 Krak6w,
tel/fax (+48)
12
430 63 00
e-mail: [email protected]
www.ccpress.pl
Table of Contents
Michal Eckstein, Michae/ Helier, Sebastian J. Szybka
Introduction 9
Part I
General Relativity and Cosmology
Manue/ Hohmann
Observer dependent geometries 13
Krzysztof Drachal & Wieslaw Sa sin
Classification of classical singularities: a differential spaces approach 57
Jacek Gruszczak
The smooth beginning of the Universe 69
Mariusz P. Dqbrowski
Are singularities the limits of cosmology? . 101
Boudewljn F. Roukema
Simplicity in cosmology: add virialisation, remove A, keep classical GR . 119
Andrzej Woszczyna & Zdzislaw A. Gold a
Computer algebra tests physical theories:
the case of relativistic astrophysics . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Sebastian J. Szybka
On gravitational interactions between two bodies 137

6
MarekKus
Part 11
Quantum Geometries
Table of Contents
Geometry of quantum correlations . . . . . . . . . . . . . 155
Jordan Fran~ois, Serge Lazzarini & Thierry Masson
Gauge field theories: various mathematical approaches . . . . . . . . . 177
Ha raid Grosse & Raimar Wulkenhaar
Towards a construction of a quantum field theory in four dimensions . 227
Mairi Sakellariadou
Unweaving the fabric ofthe Universe:
the interplay between mathematics and physics . . . . . . . . . . . . . 259
Jerzy Lukierski
Quantum gravity models-a brief conceptual summary . . . . . . . . . 277
Andrzej Sitarz
Pointless geometry .
Nicolas Franco & Michal Eckstein
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Noncommutative geometry, Lorentzian structures and causality . . . . 315
Michael Helier & Oominique Lambert
Ontology and noncommutative geometry . . . . . . . . . . . . . . . . 341
ShahnMajid
Part Ill
Overviews
The self-representing Universe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Ma/colm A. H. MacCallum
Reflections on the geometrization of physics . . . . . . . . . . . . . . . 389
Bernard Carr
Metacosmology and the limits of science . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Table of Contents
7
Jerzy Kowalski-Giikman
The price for mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . · · · · 433
Michael Helier
The field of rationality and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . 441

It seems to be one of the fundamental features of nature that fundamen
tal physical laws arc described in terms of a mathematical theory of great
beauty and power, needing quite a high standard of mathematics for one
to understand it. You may wonder: Why is nature constructed along these
lines? One can only answer that our present knowledge seems to show that
nature is so constructed. We
simply have to accept
it. One could perhaps
describe the situation by saying that
God is a mathematician of a very high
order, and
He used very advanced mathematics in constructing the uni
verse. Our feeble auernpts at mathematics enable us to understand a hit of
the universe, and as we proceed to develop higher and higher mathematics
we can hope to understand the universe better.
Paul A.M. Dirae*
Introduction
A
s the mathematical-empirical method deeply underlies the foundations of
the modern natural sciences, we have simply grown accustomed to the idea
that mathematical structures are indeed inherent
in the Universe. This idea has
guided successive generations
of scientists, starting with some of its most famous
precursors such as Copernicus, Galileo or Newton. However, the use
of the in
trinsic interplay between mathematics and physics in scientific discourse can be
traced back even
further-to the time of Ancient Greece and the pioneering works
ofArchimedes.
One of the main goals of the natural sciences appears to be the search for
the mathematical language
of physical phenomena. This aim has to be
defined
precisely. Contemporary mathematics encompasses an abundance of different
structures which, moreover, are linked with one another
in larger structures and
meta-structures. However, only a small number
of these turn out to be suitable
for physical models.
To identify this tiny fraction, scientists have to explore vast
areas
of mathematics. Some of them cover known mathematical structures, others
explore new territories. The somewhat mythical quantum gravity
is a typical
example
of a domain for which the correct mathematical architecture still needs
to be fathomed out.
In the
first two parts of the volume, the Reader will meet various mathemat
ical structures. Some of them do indeed model certain aspects of the Universe,
*''The evolution of the physicist's picture of nature." Scientific American 208(5):45-53, 1963.

Michal Eckstein, Michael Helier & Sebastian J. Szybka
--------------------------------~---
10
as they correctly predict the outcomes of experiments and observations. Among
these, one may find differential geometry and the theory
of Hilbert spaces, which
lie at the heart
of General Relativity and Quantum Mechanics, respectively. The
second group
of mathematical structures described in the book, such as noncom
mutative geometry, are designed
to model the aspects of the Universe not covered
by known theories. These still await an experimental confirmation to merit the
name
of 'mathematical structures of the Universe'.
As one explores the mathematical structures of the Universe, one cannot
escape deeper philosophical reflection. Why
is Nature constructed along these
lines? What
is the actual relation between mathematics and the real World? Do
the structures describe the Universe, model it or perhaps they are just the outcome
of our minds whereas 'the Universe' itself remains inconceivable (if it can be said
to exist
in an absolute sense at all)? lf one accepts the idea of a mathematical
Uni
verse, then what kind of methodological assumptions does one make on the way
and what are the limits
of the method? Can the whole
Universe be encompassed
in a single, consistent mathematical structure? These are the questions addressed
in the third part of the book-a philosophically flavoured overview.
Michal Eckstein
Michael Helier
Sebastian
J. Szybka
Part
I
General Relativity and Cosmology

Manuel Hohmann
Fuusika lnstituut, Tartu
Observer dependent geometries
F
ROM general relativity we have learned the principles of general covariance
and local Lorentz invariance, which follow from the fact that we consider
observables as tensors on a spacetime manifold whose geometry
is modeled by
a Lorentzian metric. Approaches to quantum gravity, however, hint towards a
breaking
of these symmetries and the possible existence of more general, non
tensorial geometric structures. Possible implications
of these approaches are
non-tensorial transformation laws between different observers and an observer
dependent notion
of geometry. ln this work we review two different frameworks
for observer dependent geometries, which may provide hints towards a quanti
zation
of gravity and possible explanations for so far unexplained phenomena:
Finsler spacetimes and Cartan geometry on observer space.
We discuss their def
initions, properties and applications to observers, field theories and gravity.
1. Geometry for observers and
observables
In order to establish a link with experiments, every physical theory needs to de
fine the notions
of observers and observables. From an experimentalist's point
of view, an observation is the process of an observer performing an experiment
in which he measures a number
of physical quantities, called observables. Each
measured observable
is expressed by a single number or a set of numbers. In
order to understand the meaning
of these numbers from a theorist's point of view,
and thus in a mathematical language, observers and observables must be mod
elect
by mathematical objects, which can in turn be related to the outcomes of
measurements. This model determines how the result of an observation depends
on the observer who is performing it, and how the results obtained by different
observers can be related to each other.
In this work we will focus on geometric
models for these relations.
We start our discussion from the viewpoint
of general relativity. The most ba
sic notion
of general relativity is that of spacetime, which
is modeled by a smooth

14 Manuel Hohmann
manifold M equipped with a pseudo-Riemannian metric g of Lorentzian signa
ture (
-, +, +, + ), an orientation and a time orientation. Observers are modeled
by world lines, which are smooth, future directed. timelike curves
1 : JR. --+ M.
Their tangent vectors satisfy
( 1.1)
By a reparametrization we can always normalize the tangent vectors, so that
( 1.2)
In this case we call the curve parameter the proper time along the world line 1
and denote it by the letter T instead oft. The proper time along a timelike curve
with arbitrary parametrization is given by the arc length integral
( 1.3)
The clock postulate of general relativity states that any clock moving along the
world line
1 measures the proper time, independent of the construction of the
clock.
The prescription for the measurement of time is thus crucially linked to
the Lorentzian metric
of spacetimc. Similarly, the metric provides a definition of
rulers and the length of space like curves by the same expression ( 1.3) of the arc
length integral. Finally, it also defines the angle
q; between two tangent vectors
v, wE T.'"CM at the same point x E M as
(1.4)
In summary, the Lorentzian metric g defines the geometry ofspacetime.
Closely related to the geometry of spacetime is the notion of causality. It
answers the question which events on a spacetime manifold NI can have a causal
influence on which other events on iVJ. An event at x E l'vi can influence an
event
x' E M if and only if there exists a continuous, future directed, causal (i.e.,
timelike
or lightlike) curve from x to x'. All events which can be influenced by
x constitute the causal future of
:r:. Conversely, all events which can influence x'
form the causal past of :r:'. This structure, called the causal structure of :,pacetime,
is defined by the metric geometry via the definition of causal curves.
The Lorentzian spacetime metric serves several further purposes besides pro
viding a definition
of spacetime geometry and causality. We have
already seen
Observer dependent geometries
15
that it enters the definition of observer world lines as timelike curves, whose no
tion is thus also relevant when we consider the measurements
of observables by
these observers. Observables are modelcd by tensor
fields, which are smooth
sections iJ? : .M ->-TT",s Af of a tensor bundle
yr,s 1'vf = T 1\1°
7
'
0
T* NI
0
"
( 1.5)
over !VI. Their dynamics are consequently modeled by tensorial equations, which
are derived from a diffeomorphism-invariant action
of the generic form
SM = ;· d
4xFY L(g, il?, ()cl?, ... ),
.M
(1.6)
where the Lagrange function [, depends on the metric geometry, the (]elds and
their derivatives. Combining the notions
of observers and observables we may
define
an observation by an observer with world line
1 at proper time T as a
measurement
of the field
iJ?(:c) at the point :r = 1(-r ). However, this definition
yields us an element of the tensor space 1-;:·s !VI, and not a set of numbers, as we
initially presumed. We further need to choose a frame, by which we denote a
basis
.f of the tangent space
T,'"CM. This frame allows us to express the tensor
i!?(:r:) in terms of its components with respect to f. The tensor components of
iJ?(x) are finally the numeric quantities which are measured in an experiment.
The frame
f chosen by an observer to make measurements is usually not
completely arbitrary.
Since the basis vectors fi are elements of the tangent space,
they are characterized
as being timelike, lightlike or spacelike and possess units
of time or length. We can thus use the notions of time, length and angles
de(]ned
by the spacetime metric to choose an orthonormal frame satisfying the condition
9 .f
a fb -'fj· .
. ab i. j -'J
(1 .7)
with one unit timelike vector .fo and three unit spacelike vectors fee The clock
postulate, stating that proper time is measured by the arc length along the ob
server world line
1
, further implies a canonical choice of the timelike vector fo
as the tangent vector "Y( T) to the observer world line. This observer adapted or
thonormal frame is a convenient choice for most measurements.
It follows immediately from this model of observables and observations how
the measurements
of the same observable made by two coincident observers,
whose world lines
1 and 1' meet at a common spacetime point x = 1( T) =
1' ( T'), must be translated between their frames of reference. If both observer
frames
f and .f' are orthonormalized, the condition ( 1.7) implies that they are

16
Manuel Hohmann
related by a Lorentz transform A. The same Lorentz transform must then be
applied to the tensor
components measured by one observer in order to obtain the
tensor components measured
by the other observer, using the standard formula
if>'": ... a.,.l I = A"I A"'· Ad! Ads c"F-CJ ... c,.
)J •·· Js Ct . · . C-r bt · · · b
8
J! dJ ... d
8
• ( 1.8)
This dose connection between observations made using different observer frames
constitutes the principle
of local Lorentz invariance. It is a consequence of the
fact that we model the
geometry of spacetime, which in turn defines the notion of
orthonormal frames, by a Lorentzian metric.
Even deeper implications arise from the fact that
we model both observables
and geometry by tensor fields
on the spacetime manifold !VI, and observations
by measurements
of tensor components. If we introduce coordinates on M and
use their coordinate base in
order to express the components of tensor fields, it
immediately follows how these components translate under a change
of coordi
nates. Moreover, since
we model the dynamics of physical quantities by tensor
equations, they are
independent of any choice of coordinates. This coordinate
freedom constitutes the principle
of general covariance.
Besides its role in providing the background
geometry which enters the
def
inition of observers, observations and causality, the Lorentzian metric of space
time has a physical interpretation
on its own, being the field which carries the
gravitational interaction. It does not only govern the dynamics of matter fields,
but is also influenced by
their presence. This is reflected by the dynamics of
gravity, which is governed by the Einstein-Hilbert action
1
1 4
SEH = ;:;-d xFy R,
.c,K, M
(1.9)
which, together with the matter action ( 1.6), yields the Einstein equations
1
Rab -2 Rgab = K,Tab . ( l.lO)
Understanding the
geometry of spacetime as a dynamical quantity, which mu
tually interacts with matter fields, establishes a
symmetric picture between both
matter and gravity.
However, it is exactly this
symmetry between gravity and matter which may
lead us to new insights
on the nature of spacetime geometry, and even question
its description
i;J terms of a Lorentzian metric, from which we derived a number
of conclusions as stated above. This stems from the fact that all known matter
Observer dependent geometries 17
fields in the standard model are nowadays described by quantum theories. While
the process of quantization has been successfully applied to matter fields even
beyond the standard model, it is significantly
harder in the case of gravity. This
difficulty has lead to a plethora of different approaches towards quantum grav
ity, many
of which suggest modifications to the geometry of spacctime, or even
resolve the unity
of spacetime into a time evolution of spatial geometry. Main
contenders which fall into this class are given by geometrodynamic theories such
as loop quantum gravity [Ashtekar 1987,
Thiemann
20071 and sum-over-histories
formulations such as spin foam models I Rovelli & Smolin I 995, Reisenberger &
Rovelli 1997, Baez 1998, Barrett & Crane 1998 J or causal dynamical triangu
lations [Ambj0rn & Loll 1998, Ambjorn, Jurkiewicz & Loll 2001,20051. The
ories of this type introduce non-tensorial quantities, which may in turn suggest
a breaking
of general covariance at least at the quantum level. Moreover, other
approaches to gravity may induce a breaking of local Lorentz invariance, for ex
ample, by a preferred class
of observers, or test particles, described by a future
unit timelike vector field [Brown & Kuchaf 1995, Jacobson & Mattingly
200 I].
The possible observer dependence of physical quantities beyond tensorial
transformations motivates the introduction
of spacetime geometries obeying a
similar observer dependence, which generalize the well-known Lorentzian met
ric geometry. In this work
we review and discuss two different, albeit similar,
approaches to observer dependent geometries
under the aspects of observers,
causality
and gravity. In section
2 we review the concept of Finsler spacetimes
[Pfeifer & Wohlfarth 2011, 2012, Pfeifer 2013]. We show that it naturally gen
eralizes the causal structure
of Lorentzian spacetimes, provides clear definitions
of observers, observables and observations, serves as a background geometry for
field theories and constitutes a model for gravity. In section 3
we review the con
cept
of observer space in terms of Cartan geometry [Gielen & Wise
20 13]. Our
discussion is based on the preceding discussion of Finsler spacetimes, from which
we translate the notions of observers and gravity to Cartan language [Hohmann
20 13]. We finally ponder the question what implications do observer-dependent
geometries have on the nature
of spacetime.
2. Geometry of the dock postulate:
Finsler spacetimes
As we have mentioned in the introduction, the metric geometry of spacetime
serves multiple roles: it provides a causal structure, crucially enters
the defi
nition
of observers, defines measures for length, time and angles and mediates

18
Manuel Hohmann
the gravitational interaction. In this section we discuss a more general -non
metric -spacetime geometry which is complete in the sense that it serves all of
these roles. This generalized geometry is based on the concept of Finsler geom
etry lBao, Chern & Shen 2000, Bucataru & Miron 2007]. Models of this type
have been introduced as extensions to Einstein and string gravity [Horvath 1950,
Vacaru 2002,2007, 2012]. In this work we employ the Finsler spacetime frame
work [Pfeifer & Wohlfarth 2011, 2012, Pfeifer 2013], which is an extension of
the well-known concept of Finsler geometry to Lorentzian signature, and review
some
of its properties and physical applications. This framework is of particular
interest since, in addition to its aforementioned completeness, it can also
be used
to model small deviations from metric geometry and provides a possible explana
tion
of the fly-by anomaly [Anderson, Campbell, Ekelund, Ellis & Jordan
2008].
2.1. Definition of Finsler spacetimes
The starting point of our discussion is the clock postulate, which states that the
time measured by an observer's clock moving along a timelike curve ry is the
proper
timeT given by the arc length integral ( 1.3). The expression
(2.1)
under the integral depends on both the position
'Y(t) along the curve and the
tangent vector 'Y( t). Hence, it can be regarded as a function F : T M ---+ lR on the
tangent bundle. The clock postulate thus states that the proper time measured
by
an observer's clock is given by the integral
1
t2
T2-Tl =
F('Y(t), "y(t))di;'
tr
(2.2)
where F is the function on the tangent bundle given by equation
(2.1 ).
For convenience we introduce a particular set
(.Ta, ya) of coordinates on T j'vf.
Let (.ra) be coordinates on lvf. For y E Ta,lvi we then use the coordinates (ya)
defined by
a
Y = Ya fJxa .
We call these coordinates induced by the coordinates (:,;
0
·). As a further shorthand
notation we use
a
Oa, = EJxa ,
for the coordinate basis of T(x,y) T M.
Observer dependent geometries 19
We now introduce a different, non-metric geometry of spacetime which still
implements the clock postulate
in the form of an arc length integral (2.2), but
with a more general function
F on the tangent bundle. Geometries of this type
are known
as Finsler geometries, and F is denoted the Finsler function. The
choice
ofF we make here is not completely arbitrary. In order for the arc length
integral
to be well-defined and to obtain a suitable notion of spacetime geometry
we need to preserve a few properties
of the metric-induced Finsler function (2.1).
In particular we will consider only Finsler functions which satisfy the following:
Fl. F
is non-negative, P(x, y) 2 0.
F2. Pis a continuous function on the tangent bundle TIVI and smooth where it
is non-vanishing, i.e., on TM {F = 0}.
F3. F is positively homogeneous of degree one in the fiber coordinates and
reversible, i.e.,
F(:,;,>.y) = j.AjF(x,;y) "f)., E lR. . (2.3)
Property Fl guarantees that the length of a curve is non-negative. We cannot
demand strict positivity here, since already
in the metric case we have the
no
tion of lightlike curves "f, for which F('Y(t)/y(t)) = 0. For the same reason of
compatibility with the special case of a Lorentzian spacetime metric we cannot
demand that
F is smooth on all ofT M, since the metric Finsler function (2.1)
does not satisfy this condition.
It does, however, satisfy the weaker condition F2,
which guarantees that the arc length integral depends smoothly on deformations
of the curve
"f, unless these pass the critical region where F = 0. Finally, we
demand that the arc length integral
is invariant under changes of the parametriza
tion and on the direction
in which the curve is traversed, which is guaranteed by
condition F3.
One may ask whether the Lorentzian metric 9ab can be recovered in case the
Finsler function
is given by (2.1 ). Indeed, the Finsler metric
F ( ) 1
.6 .6 p2 ( )
9ab X, Y = 2Ua,Ub :1:, Y ' (2.4)
which is defined everywhere on TM {F = 0}, agrees with 9ab whenever y
is spacelike and with -gab when y is timelike. However, for null vectors where
F = 0 we see that the Finsler metric g~ is not well-defined, since for a general
Finsler function P
2
will not be differentiable. As a consequence any quanti
ties derived from the metric, such as connections and curvatures, are not defined

20
Manue/ Hohmann
along the null structure, which renders this type of geometry useless for the de
scription
of lightlike geodesics. In the following we will therefore adopt the fol
lowing definition
of Finsler spacetimes which remedies this shortcoming [Pfeifer
& Wohlfarth
2011 ]:
Definition 2.1 (Finsler spacetime). A Finsler spacetime (M, L, F) is a four
dimensional, connected, Hausdorff, paracompact, smooth manifold 111 equipped
with continuous real functions
L, F on the tangent bundle T
lvi which has the
following properties:
L
I. L is smooth on the tangent bundle without the zero section T M {
0}.
L2. L is positively homogeneous of real degree n 2: 2 with respect to the
fiber coordinates
ofT lvf,
L(x,>..y) = >..nL(x,y) Y>.. > 0,
and defines the Finsler function F via F(x, y) = JL(x, y)J~.
L3. Lisreversible: JL(.T,-y)J = JL(x,y)J.
L4. The Hessian
L 1--
Yab(x,y) =
20aObL(x,y)
of L with respect to the fiber coordinates is non-degenerate on TM \X,
where X C T 111 has measure zero and does not contain the null set
{(.1:,y) E TMJL(x,y) = 0}.
L5. The unit timelike condition holds, i.e., for all x E M the set
Dx = { y E TxiVI /JL(.T, y)J = 1, g{;:b(x, y) has signature (E, -E, -E, -E)}
with E = L(x,y)/JL(x,y)J contains a non-empty closed connected com
ponent Sx <:;; Dx C T."A1.
One can show that the Finsler function F induced from the fundamental ge
ometry function
L defined above indeed satisfies the conditions Fl to F3 we
required. Further, the Finsler metric (2.4)
is defined on T M { L =
0} and is
non-degenerate on T M (X U { L = 0} ), where X is the degeneracy set of the
Hessian g~b defined in condition L4 above. This definition in terms of the smooth
fundamental geometry function
L will be the basis of our discussion of Finsler
spacetimes in the following sections, where we will see that it also extends the
Observer dependent
9eometries 21
sign [, = 1 sign /, = 1
sign/,= -1
Figure 1: Light cone and future unit timelike vectors Sa: in the tangent space of a
metric spacetime [Pfeifer & Wohlfarth 2011].
definitions of other geometrical structures such as connections and curvatures to
the null structure.
2.2.
Causal structure and observers
The first aspect we discuss is the causal structure of Finsler spacetimes and the
definition
of observer trajectories. For this purpose we first examine the causal
structure
of metric spacetimes from the viewpoint of Finsler geometry, before
we come to the general case.
We have already mentioned in the introduction
that the definition
of causal curves is given by the split of the tangent spaces
into timelike, spacelike and lightlike vectors. Figure 1 shows this split induced
by the Lorentzian metric on the tangent space
T",lvf. Solid lines mark the light
cone which
is constituted by null vectors. In terms of the fundamental geometry
function
L(x, y) =
Yab(:r;);~/yb
these are given by the condition L(x, y) = 0. Outside the light cone we have
spacelike vectors with L(:r.:, y) > 0, while inside the light cone we have timelike
vectors with
L(x, y) <
0. The Hessian g{;:b = Yab therefore has the signature
indicated
in condition L5 inside the light cone. In both the future and the past
light cones we find a closed subset with
JL(x, y) J = 1. Using the time orientation
we pick one
of these subsets and denote it the shell
Sx of future unit timelike
vectors.

22 Manuel Hohmann
The shell Sx has the important property that rescaling yields a convex cone
Cx = U >.Sa: C Txlvf.
.\>0
(2.5)
The convexity
of this cone is crucial for the interpretation of the elements of
Sx
as tangent vectors to observer world lines, as it is closely linked to the hyperbol
icity
of the dispersion relations of massive particles and the positivity of particle
energies measured by an observer [Ratzel, Rivcra
&
Schuller :iOlll We require
this property also for the future light cone
of a Finsler spacetime. In order to
find this structure in terms
of the fundamental geometry function L consider the
simple bimetric example
with two Lorentzian metrics
hab and
kah where we assume that the light cone of
kab lies in the interior of the light cone of hab· The sign of L and the signature
of g{;b on the tangent space Txlvf are shown in figure 2. Solid lines mark the
null structure L
=
0, while the dashed-dotted lines marks the degeneracy set
X n T.TM of L as defined in condition L4. The remaining dashed and dotted
lines mark the unit timelike vectors nx as defined in condition L5; for these only
the future directed tangent vectors are shown. The connected component marked
by the dashed line is closed, while the one marked with the dotted line is not.
Hence, the former marks the set
Sx. As the figure indicates, the set (2.5) indeed
forms a convex cone for this simple bimetric example.
It can be shown that
condition L5 always implies the existence
of a convex cone of observers
[Pfeifer
& Wohlfarth 2011 J, in consistency with the requirement stated above.
It is now straightforward to define:
Definition 2.2 (Observer world line). A physical observer world line on a Finsler
spacetime
is a curve
1 : lR --+ Jvf such that at all times t the tangent vector "y(t)
lies inside the forward light cone cy(t)• or in the unit timelike shell s,(r) if the
curve parameter is given by the proper timeT.
In the following section we will discuss which
of these observers are further
singled out by the Finsler spacetime geometry as being inertial observers.
2.3. Dynamics for point masses
In the preceding section we have seen which trajectories are allowed for physical
observers. We now turn our focus to a particular class
of observers who follow
Observer dependent geometries
L = -1
S:r:
' ', L ~ 1
·· ...
... ··
'
'
(+,-·,-,-)
L>O
/
/
/
/
/
/
/
/ .. · ..... ······
(-,+, 1,+)
L>O
··.,
·· ...
23
/'
Figure 2: Null structure and future unit timelike vectors Sx in the tangent space
of a bimetric Finsler spacetime [Pfeifer & Wohlfarth 2011 ].
the trajectories of freely falling test masses. These are denoted inertial observers,
since in their local frame
of reference gravitational effects can be neglected.
On
a metric spacetime they are given by those trajectories which extremizc the arc
Jenth integral (1.3). In Finsler geometry we can analogously obtain them from
extremizing the proper time integral (2.2). Variation with respect
to the curve
yields the equation
of motion
-·a Na ( ·) · b 0
I + b 1,11 = ,
(2.6)
where the coefficients Nab are given by the following definition:
Definition 2.3 (Cartan non-linear connection). The coefficients Nab of the Car
tan non-linear connection are given
by
(2.7)
and define a connection in the sense that they induce a split of the tangent bundle
over
Tlvf,
TTM = HTM EB VTM, (2.8)
where HT M is spanned by Oa = Oa -Nb aBb and VT J"'vf is spanned by Ba.

24
Manuel Hohmann
In the case of a metric-induced Fins! er function (2.1) the coefficients Nab are
given by
(2.9)
where f"bc denotes the Christoffel symbols. The split (2.8) of TT M into hori
zontal and vertical subbundles plays
an important role
in Finsler geometry, as we
will see in the following sections. For convenience we use the following adapted
basisofTTM:
Definition 2.4 (Berwald basis). The Berwald basis is the basis
(2.10)
of TT l'vf which respects the split induced by the Cartan non-linear connection.
For the dual basis we use the notation
(2.11)
It induces a similar split of the cotangent bundle T*T M into the subbundles
T*TM = H*TM
EB V*TM. (2.12)
We can now reformulate the geodesic equation (2.6) by making use of the geom
etry on
TT
NI. For this purpose we canonically lift the curve 1 to a curve
(2.13)
in TT l'vf. The condition that 1 is a Finsler geodesic then translates into the con
dition
r.
·a,;o, + .. a;:; ·a,;o, ·bNa ;:> ·a>
= I Ua I Ua = I ua -I bUa = I "a
Since "fa is simply the tangent bundle coordinate ya, it thus follows that the
canonical lift
r of a Finsler geodesic must be an integral curve of the vector
field which is defined
as follows:
Definition 2.5 (Geodesic spray). The geodesic
~prayS is the vector field on T A1
which is defined by
(2.14)
We now generalize this statement to null geodesics. Here we encounter two
problems. First, we see that the coefficients (2.7)
of the non-linear connection
are not well-defined for null vectors where
F =
0, since F is not differentiable
Observer dependent geometries 25
----------------
on the null structure. We therefore need to rewrite their definition in terms of the
fundamental geometry function
L. It turns out that it takes the same form
N" = ~D [nLac('{lrlEJ [) L-D.L)]
b 4 b " ,} d c (. )
(2.15)
where .r/'' has been replaced by gL and F
2
by L. We can see that this is well
defined whenever gL is non-degenerate, and thus in particular on the null struc
ture. The second problem we encounter
is that we derived the geodesic equation
from extremizing the action
(2.2), which vanishes identically in the case of null
curves.
We therefore need to
use the constrained action
S[r, >-] = .{" (L( 1(t), "y(t)) + >-(t) [L('y(t), '\'( t)) -h;]) dt. (2.16)
with a Lagrange multiplier A. and a constant "'· A thorough analysis shows that
the equations
of motion derived from this action are equivalent to the geodesic
equation (2.6) also for null curves
[Pfeifer & Wohlfarth 20 11].
The definitions of this and the preceding section provide us with the notions
of general and inertial observers. In the following section we will discuss how
these observers measure physical quantities and how the observations by different
observers can be related.
2.4. Observers and observations
As we have mentioned in the introduction, the notion of geometry in physics de
fines not only causality and the allowed trajectories
of observers, but also their
possible observations and the relation between observations made by different
observers.
In the case of metric spacetime geometry we have argued that obser
vations are constituted by measurements
of the components of tensor fields at a
spacetime point
x E
l'vf with respect to a local frame f at :r. A particular class
of frames singled out by the geometry and most convenient for measurements is
given by the orthonormal frames. Different observations at the same spacetime
point, but made with different local orthonormal frames, are related by Lorentz
transforms. In this section
we discuss a similar definition of observations on
Finsler spacetimes and relate the observations made by different observers.
As a first step we need to generalize the notion of observables from metric
spacetimes to Finsler spacetimes. In their definition in section
2.1 we have al
ready seen that the geometry
of Finsler spacetimes is defined by a homogeneous
function
L : T M
---7 ~ on the tangent bundle, which in turn induces a Finsler

26 Manuel Hohmann
function F and a Finsler metric g~. These geometric objects explicitly depend
not only on the manifold coordinates
:ra, but also on the coordinates ya along
the fibers
of the tangent bundle T M. It therefore appears natural that also ob
servables should not be functions on the spacetime manifold, but homogeneous
functions
Oll its tangent bundle. A straightforward idea might thus be to model
observables as homogeneous tensor fields overT M, i.e., as sections of a tensor
bundle
However, since T lvf is an eight-dimensional manifold, each tensor index would
then take eight values, so that the number
of components of a tensor of rank
(r, s)
would increase by a factor of 2r+s. Since we do not observe these additional
tensor components
in nature, we will not follow this idea. Instead we define
observables as tensor fields with respect
to a different vector bundle over T
lvf,
whose fibers are four-dimensional vector spaces generalizing the tangent spaces
of M.
In the preceding section we have seen that the Cartan non-linear connec
tion
(2.7) of a Finsler spacetime equips the tangent bundle
TTlvf of TM with
a split
(2.8) into a horizontal subbundle
HT M and a vertical subbundle VT M.
The fibers of both subbundles are four-dimensional vector spaces. A particular
section
of HT M, which we have already encountered and which is closely con
nected to Finsler geodesics,
is the geodesic spray (2.14). We therefore choose
HT M as the bundle from which we define observables as follows:
Definition 2.6 (Observable). The
observables on a Finsler spacetime are mode led
by homogeneous horizontal tensor fields, i.e., sections
<P of the tensor bundle
(2.17)
over the tangent bundle T M of AI.
Consequently we define observations in full analogy to the case of metric
spacetime geometry:
Definition 2.7 (Observation). An
observation of an observable
<I> by an observer
with world line "( at proper time T is a measurement of the components of the
horizontal tensor <P(x, y) with respect to a basis f of the horizontal tangent space
H(x,y)TM at :r = "f(T), y = 1(T).
As we have argued in the introduction, the most natural frame f an observer
on a metric spacetime can choose
is an orthonormal frame whose temporal com
ponent
fo agrees with his four-velocity
1( T ). If we wish to generalize this concept
Observer dependent geometries
27
to Finsler spacetimes, we first need to map the basis vectors .fi, which are now
elements of HT lvf, to T M. For this purpose we use the differential 7f * of the
tangent bundle map r. : T lvf -t M,
which isomorphically maps every horizontal tangent space H(x,y)TNI to TxA1.
We can then orthonormalize the frame using the Finsler metric g~·;,, which now
explicitly depends on the observer's four-velocity y = 1f*fo. Taking into account
the signature (
+, -,
-·,-) of the Finsler metric on timelike vectors inside the
forward light cone we arrive at the following definition:
Definition 2.8 (Orthonormal observer frame).
An orthonormal observer .frame
on an observer world line
'Y at proper timeT is a basis f of the horizontal tangent
space
H(x,y)TM at x =
"f(T), y = 1(T) which has y = 1r*.fo and is orthonormal
with respect to the Finsler metric,
F ( )
fa.fb _ ..
Yab X, Y . i j --ThJ ·
(2.18)
An important property of metric spacetimes is the fact that any two orthonor
mal observer frames
f, .f' at the same spacetime point
:x; E M are related by a
unique Lorentz transform. Together with the dellnition that observations yield
tensor components this property implies local Lorentz invariance, which means
that the outcomes
of measurements are related by the standard formula ( 1.8). We
now generalize this concept to Finsler spacetimes. For this purpose we consider
two coincident observers whose world lines
'Y, "(
1
meet at x = "!( T) = "!
1
( T')
together with orthonormal frames j, .f' at x. One immediately encounters the
difficulty that
f and .f' are now bases of different vector spaces
H(xJo) T l'vf and
H(xJh)TM. We therefore need to tlnd a map between these vector spaces which
in particular preserves the notion
of orthonormality. The canonical map given
by the isomorphisms
7f* : H(x,Jo)TM -t TxM and 7f* : H(xJh)TM -t T.'~)\1,
however, does not have this property. ln the following we will therefore discuss a
different map which will yield the desired generalization of Lorentz transforma
tions.
In order to construct a map between the horizontal tangent spaces
H(x,Jo)
Tlvf
and H(x,Jh) T iW we employ the concept of parallel transport. We thus need a con
nection on the horizontal tangent bundle
HT M with respect to which the Fins
!er
metric is covariantly constant, so that the notion of orthonormality is preserved.
In Finsler geometry an appropriate choice which satisfies these conditions is the

28
Manue/ Hohmann
Cartan linear connection on the tangent bundle TT li!J, which is defined as fol
lows:
Definition 2.9 (Cartan linear connection). The Cartan linear connection
\7 is the
connection on
TT
!vi defined by the covariant derivatives
\7 <>a Ob = F"a"Oc , \7 ",}J,, = F",,,J),, , '1'7 c; 'b -C" b :;: '1'7 fSb -C'c 1 (;;;
u ,. u, •U • v,,au - a Uc, VOa'J - aJJc,
(2.19)
where the coefficients are given by
(2.20a)
(2.20b)
The Cartan linear connection is adapted to the Cartan non-linear connec
tion (2.7)
in the sense that it respects the split (2.8) into horizontal and verti
cal components.
By restriction, it thus provides a connection on the horizon
tal tangent bundle. Given a curve
v :
[0, 1] -+ TM with v(O) = (:r, fo)
and v(l) = (:r, !6) we can then define a bijective map Pu from T(x,fo)'TM to
T(xJ£)T M by parallel transport: it maps the vector w to Pvw = w', which is
uniquely determined by the existence
of a curve
·w : [0, 1] -+ TT M satisfying
{iJ(s)ETv(s)TM, <v(O)=w, u)(1)=v/, \7-uw=O.
However, this map Pv in general depends on the choice of the curve ·v. We
therefore restrict ourselves
to a particular class of curves. Note that (x, Jo) and
(x, !6) have the same base point in M, and are thus elements of the same fiber
of the tangent bundle T
!vi. Hence it suffices to consider only curves which are
entirely contained in the
same fiber. Curves of this type are vertical, i.e., their
tangent vectors lie in the vertical tangent bundle
VT
lvi. We further impose the
condition that
v is an autoparallel of the Cartan linear connection. This uniquely
fixes the curve
v, provided that
f~ is in a sufficiently small neighborhood of f
0
.
Using
the unique vertical autoparallel v defined above we can now generalize
the notion
of Lorentz transformations to coincident observers on a Finsler space
time. Consider two observers meeting at
:1: E Jvi and using frames f and f', i.e.,
orthonormal bases
of H(x,Jo) T
Jvi and H(x,JfJ) T M. The map Pv maps the hori
zontal basis vectors j; to horizontal vectors Pvfi, which constitute a basis Pvf
of H(xJ6)TlVI. Since f is orthonormal with respect to gf:t,(x, fo) and the Cartan
linear connection preserves the Finsler metric, it follows that Pvf is orthonormal
with respect to gf:t,(x, !0). Since also f' is orthonormal with respect to the same
Observer dependent geometries 29
metric, there exists a unique ordinary Lorentz transform mapping Pvf to .f'. The
combination
of the parallel transport along
v and this unique Lorentz transform
finally defines the desired generalized Lorentz transform.
The procedure to map bases of the horizontal tangent space between coin
cident observers further
allows us to compare horizontal tensor components be
tween these observers, so that they can communicate and compare their mea
surements
of horizontal tensors. This corresponds to the transformation ( 1.8) of
tensor components of observables between different observer frames in metric
geometry. Since observables
in metric geometry are modeled by spacetime ten
sor fields, their observation
in one frame determines the measured tensor compo
nents in any other frame. This is not true on Finsler spacetimes, since we defined
observables as fields on the tangent bundle
T1'd. They may therefore also pos
sess a non-tensorial, explicit dependence on the four-velocity
of the observer who
measures them.
As in metric geometry, also in Finsler geometry the dynamics
of tensor fields
should be determined
by a set of field equations which are derived from an action
principle. This will be discussed
in the next section.
2
.. 5. Field theory
In the preceding section we have argued that observables on a Finsler spacetime
are modeled by homogeneous horizontal tensor fields, which are homogeneous
sections
of the horizontal tensor bundle (2.17). We will now discuss the dynamics
of these observable fields. For this purpose we will use a suitable generalization
of the action (1.6) to horizontal tensor fields on a Finsler spacetime. This will be
done in two steps. First we will lift the volume form from the spacetime manifold
Jvi to its tangent bundle T M, then we generalize the Lagrange function L to fields
on a Finsler spacetime.
In order to define a volume form on
T
Jvi we proceed in analogy to the volume
form
of metric geometry, which means that we choose the volume form
Vole of
a suitable metric G on TM. We have already partly obtained this metric in the
previous section when we discussed orthonormal observer frames.
The definition
of orthonormality we introduced corresponds to lifting the Finsler metric
gf:t, to
a horizontal metric on
T M, which measures the length of horizontal vectors in
HT M. This metric needs to be complemented by a vertical metric, which anal
ogously measures the length
of vertical vectors in VT
Jvf. Both metrics together
constitute the desired metric
on the tangent bundle. The canonical choice for this
metric is given by the Sasaki metric defined as follows:

30 Manuel Hohmann
Definition 2.10 (Sasaki metric). The Sasaki metric G is the metric on the tangent
bundle T M which
is defined by
F'
G = -g"' dx" 0 d:r
0
-!l_au oya 00 rl1,1'
ab p2 -.1·
(2.21)
The factor p-z introduced here compensates for the intrinsic homogeneity of
degree 1 of the one-forms oy", so that the Sasaki metric is homogeneous of degree
0. This intrinsic homogeneity becomes clear from the definition (2.11) of the dual
Berwald basis, taking into account that the coefficients N'"z, are homogeneous of
degree I, as can be seen from their definition (2.7). Using the volume form Vola
of the Sasaki metric one can now integrate functions .f on the tangent bundle,
{ Vola f(:r, y).
lrM
(2.22)
If one chooses the function .f to be a suitable Lagrange function L for a physical
field <P on a Finsler spacetime, one encounters another difficulty. Since all geo
metric structures and matter fields <P are homogeneous, it is natural to demand
the same from the Lagrangc function. However, for a homogeneous function
.f
the integral over the tangent bundle generically diverges, unless the function van
ishes identically. This follows from the fact that along any ray (
:r, Ay) with ).. > 0
in TM the value off is given by An f(x, y), where n is the degree of homogene
ity. This difficulty can be overcome by integrating the function not over TM, but
over a smaller subset
ofT M which intersects each ray only once, and which is
defined as follows:
Definition 2.11
(Unit tangent bundle). The unit tangent bundle of a Finsler space
time is the set I; C T NI on which the Finsler function takes the value F = 1.
Note that I; intersects each ray, which is not part of the null structure, exactly
once. This suffices since the null structure
is of measure
0 and therefore does not
contribute to the integral (2.22)
overT M. The canonical metric on
I: is given by
the restriction
(2.23)
ofthe.Sasaki metric, which finally determines the volume form Vole;. This is the
volume form we will use in the generalized action integral.
In the second part
of our discussion we generalize the Lagrange function
L in
the metric matter action (1.6). For simplicity we restrict ourselves here top-form
fields <P whose Lagrange function depends only on the field itself and its first
derivatives d<D. These are of particular interest since, e.g., the Klein-Gordon and
Observer dependent geometries
31
Maxwell fields fall into this category. The most natural procedure to generalize
the dynamics
of a given field theory from metric to Finsler geometry is then to
simply keep the formal structure of its Lagrange function
£, but to replace the
Lorentzian metric
g by the Sasaki metric G and to promote the p-form field
<P to
a horizontal p-form field on T M. The generalized Lagrange function we obtain
from this procedure
is now a function on
TNI, which we can integrate over the
subset I; to form an action integral.
Using this procedure we encounter the problem that even though we have
chosen <P to be horizontal, d<l> will in general not be horizontal. In order to obtain
consistent field equations
we therefore need to modify our procedure. Instead of
initially restricting ourselves to horizontal
p-forms on the tangent bundle T lvf, we
let <P be an arbitrary p-form with both horizontal and vertical components. The
purely horizontal components can then be obtained by applying the horizontal
projector
(2.24)
In order to reduce the number
of physical degrees of freedom to only these hor
izontal components we dynamically impose that the non-horizontal components
vanish
by introducing a suitable set of Lagrange multipliers /\, so that the total
action reads
(2.25)
Variation with respect to the Lagrangc multipliers then yields the constraint that
the vertical components
of
<P vanish. Variation with respect to these vertical
components fixes the Lagrange multipliers. Finally, variation with respect lo the
horizontal components
of
<P yields the desired field equations. It can be shown
that in the metric limit they reduce to the usual tleld equations derived from the
action (1.6) for matter fields on a metric spacetime [Pfeifer & Wohlfarth 2012].
2.6. Gravity
In the previous sections we have considered the geometry of Finsler spacetimes
solely as a background geometry for observers, point masses and matter fields.
We now turn our focus to the dynamics of Finsler geometry itself. As it is also
the case for Lorentzian geometry, we will identify these dynamics with the dy
namics
of gravity. For this purpose we need to generalize the Einstein-Hilbcrt
action, from which the gravitational field equations are derived, and the energy
momentum tensor, which acts as the source
of gravity.

32 Manue/ Hohmann
We start with a generalization of the Einstein-Hilbert action ( 1.9) to Finsler
spacetimes. As in the case
of matter field theories detailed in the preceding sec
tion
this generalized action will be an integral not over spacetime !vi, but over the
unit tangent bundle .BC TM, since the geometry is defined in terms of the ho
mogeneous fundamental geometry function
L on TM. We have already seen that
a suitable volume form on
.B is given by the volume form Vol
0
of the restricted
Sasaki metric (2.23). This leaves us with the task of generalizing the Ricci scalar
R in terms on Finsler geometry.
The most natural and fundamental notion
of curvature is defined by the Car
tan non-linear connection
(2.7), which we already encountered in the definition
ofFinsler geodesics in section 2.3 and which corresponds to the unique split (2.8)
of the tangent bundle TT lvf into horizontal and vertical components. This split
is also the basic ingredient for the following construction. The curvature of the
Cartan non-linear connection measures the non-integrability
of the horizontal
dis
tribution HT lvf, i.e., the failure of the horizontal vector fields ba to be horizontal.
In fact, their Lie brackets are vertical vector fields, which are used in the follow
ing definition:
Definition 2.12 (Non-linear curvature). The curvature of the non-linear connec
tion
is the quantity
ne ab which measures the non-integrability of the horizontal
distribution induced by the Cartan non-linear connection,
(2.26)
The simplest scalar one can construct from the curvature coefficients defined
by (2.26) is the contraction RaabYb, so that the action for Finsler gravity takes the
form
11 a b Sr = - Vol
0
-R abY .
~;, B '
(2.27)
In the case
of a metric-induced Finsler function, in which the non-linear connec
tion coefficients
Nab are given by (2.9), the expression under the integral indeed
reduces to the Ricci scalar, so that
SF is a direct generalization ofthe Einstein
Hilbert action (1.9). In order to obtain a full gravitational theory this action needs
to be complemented
by a matter action, such as the field theory action (2.25) we
encountered in the previous section. This total action then needs to be varied
with respect to the mathematical object which fundamentally defines the space
time geometry.
On a Finsler spacetime this is the fundamental geometry function
L. Consequently, the gravitational field &lquations are not two-tensor equations as
Observer dependent geometries
in general relativity, but instead the scalar equation
[
F ab;-- r-. d . Ra abYb
.1 !Jaih(R cdil ) -6 p2-
33
-1-2/"nb (vaSh -1-SaSb -1-8a(y"l5cSb-Nc,s,J)] ~)~ = K:Til~ (2.28)
on the unit tangent bundle .B. Here T denotes the energy-momentum scalar ob
tained by variation
of the matter action
SM with respect to the fundamental ge
ometry function
L. For the field theory action (2.25) it is given by
{
nL 15 [ /-:: ( (. _pH)">)]}
Tl2;= gnL v-c .c(c,iJ>,diJ>)+>. 1 'J. E
(2.29)
It can be shown that in the metric limit the resulting gravitational field equa
tion (2.28) is equivalent to the Einstein equations
(I. I
0), whose free indices are
to be contracted with y
0
fPfeifer & Wohlfarth 20121.
We finally remark that also the Cartan linear connection we used to define
generalized Lorentz transformations in section
2.4 defines a notion of curvature,
which may in principle be used to generalize the Einstein-Hilbert action. This
curvature is defined as follows:
Definition 2.13 (Linear curvature). The curvature of the
Cartan linear connec
tion
is given by
(2.30)
for vector fields X, Y, Z on T M.
Using the action (2.19) of the Cartan linear connection on the vector fields
constituting the Berwald basis and the coefficients (2.20) one finds that its curva
ture can be written in the form

34 Manuel Hohmann
where the coefficients are given by
Rd cab = 8,,1"d ea -8aFd cb + pe ca.Fd eb -pc cbpd ea + Cd ce ( obNe a -8aNe b) ,
(2.32a)
prl cab= [),prl ea-8a.Crl cb + pe ca.Cricb-C"cbprl m+ Cd ceDbNe a, (2.32b)
c..,'fi -i) cd f)-:-cd ce cd ce cd
c ca.b -Ub ea -a cb + > ea cb - cb -' en · (2.32c)
ln the metric limit the coetlicient Rrl ca.b reduces to the Riemann tensor, while
the remaining coefficients P'
1
cab and 8d cab vanish. One may therefore consider
the term gF ab Re acb as another generalization of the Ricci scalar to generate the
gravitational dynamics on Finsler spacetimes.
We do not pursue this idea further
here and only remark that also other choices are possible.
3. The
local perspective:
Cartan
geometry of observer space
In the previous section we have seen that on Finsler spacetimes the definitions
of observers and observables are promoted from geometrical structures on the
spacetime manifold
lvf to homogeneous geometrical structures on its tangent
bundle
T Jvf, and that this homogeneity fixes quantities on T M when they are
given on the unit tangent bundle
~-We have also seen that measurements by
an observer probe these structures along a lifted world liner = (r, "f) in T M.
However, it follows from the definition of physical observer trajectories that ev
ery curve
r is entirely confined to future unit timelike vectors, so that obser
vations can be performed only on a smaller subset
0 c ~. which we denote
observer space. In this section we will therefore restrict our discussion
to ob
server space and equip it with a suitable geometrical structure in terms
of Cartan
geometry [Cartan 1935, Sharpe 1997], which
we derive from the previously de
fined Finsler geometry [Hohmann 2013]. While
Cmtan geometry turns out to be
useful already
as a geometry for spacetime in the context of gravity
[Wise 20 I 0],
it becomes even more interesting as a geometry for observer space [Gielen &
Wise 2013] and provides a better insight into the role of Lorentz symmetry in
canonical quantum gravity [Gielen
& Wise
2012a, 2012b].
3.1. Definition of observer space
We start our discussion with the definition of observer space as the space of
all tangent vectors to a Finsler spacetime which are allowed
as tangent vectors
Observer dependent geometries
35
of normalized observer trajectories, i.e., observer trajectories which are para
metrized by their proper time. This leads
us to the definition:
Definition 3.1 (Observer space). The observer space
0 of a Finsler spacctime
(M, L, F) is the set of all future unit timelike vectors, i.e., the union
O=US:r
(3.1)
xEI\I
of all unit shells inside the forward light cones.
Note that 0 is a seven-dimensional submanifold of TM and that its tangent
spaces T(x,y)O are spanned by the vectors v E T(x,y)T !vi which satisfy vF =: 0.
Further, there exists a canonical projection 1r
1
: 0 -+ NI onto the underlymg
spacetime manifold. The natural question arises which geometrical structure the
Finsler geometry on the spacetime manifold M induces on its observer space 0.
The structure which is most obvious already from our fmdings in the previous
section is the restricted Sasaki metric G, which we defined in (2.23) as the re
striction
of the full Sasaki metric G to
~ and which we now view as a metric on
the smaller set 0 c ~-It follows from the signature of G that G has Lorentzian
signature(-,+,+,+,+,+,+).
Another structure which we already encountered in the previous section is
the geodesic spray (2.14). Since it preserves the Finsler function, SF = 0, it is
tangent to the level sets ofF, and thus in particular tangent to observer space 0.
It therefore restricts to a vector field on 0, which we denote the Reeb vector field:
Definition 3.2 (Reeb vector field). The Reeb vectorfield r is the restriction of the
geodesic
sprayS to
0,
(3.2)
We now have a metric and a vector field on 0. Combining these two struc
tures we can form the dual one-form a of the Reeb vector field with respect to
the restricted Sasaki metric G, which we denote the contact form:
Definition 3.3 (Contact form). The contactfonn is the dual one-form of the Reeb
vector field r with respect to the restricted Sasaki metric G,
- F a b I 1 [)7 p2 d a I
a= -G(r, .) = gabY d;-r; 0 = 2 a ,:r; 0 .
(3.3)
Conversely, the Reeb vector field is the unique vector field on 0 which is
normalized by a and whose flow preserves a, i.e., which satisfies
Lra=O and a(r)=l.
(3.4)

36
Manue/ Hohmann
The naming of a and r originates from the notion of contact geometry. In this
context a contact form on a
(2n +I)-dimensional manifold is defined as a one
form
a, which is maximally non-integrable in the sense that the (2n + 1)-fonn
u A du A ... A dais nowhere vanishing, hence defines a volume form, and the
Reeb vector field is the unique vector tield
r satisfying (3.4). Indeed, it turns out
that the volume form defined by
o: is simply the volume form of the Sasaki metric
GonO.
As we have seen in section 2.3the Finsler geometry induces a split (2.8) of the
eight-dimensional tangent bundle
TT Jv! into two four-dimensional subbundles
VT M and HT M, denoted the vertical and horizontal subbundles, respectively.
A similar split also applies to the tangent bundle
TO of observer space. It splits
into the three subbundles
TO= VO EG HO= VO El) JJO CD H
0
0, (3.5)
which we denote the vertical, spatial and temporal subbundles, respectively. The
vertical bundle VO is defined in analogy to the vertical tangent bundle VTM
as the kernel of the differential 1r~ of the canonical projection 1r
1
: () -r lvf. It
is constituted by the tangent spaces to the shells Sx of unit timelike vectors at
:1: E Jv! and hence three-dimensional. Its orthogonal complement with respect
to the Sasaki metric G is the four-dimensional horizontal bundle HO. One can
easily see that the contact form a vanishes on VO. Its kernel on HO defines
the three-dimensional spatial bundle HO. Finally, the orthogonal complement of
HO in HO is the one-dimensional temporal bundle H
0
0, which is spanned by
the Reeb vector field
r.
The split of the tangent bundle
TO has a clear physical interpretation. Verti
cal vectors in VO correspond to infinitesimal generalized Lorentz boosts, which
change the velocity
of an observer, but not his position. They are complemented
by horizontal vectors in
HO, which change the observer's position, but not his
direction
of motion. These further split into spatial translations in
HO and tem
poral translations in H
0
0 with respect to the observer's local frame. This inter
pretation will become clear when we discuss the split
of the tangent bundle from
a deeper geometric perspective using the language
of Cartan geometry. We will
give a brief introduction to Cartan geometry in the following section.
3.2. Introduction to Cartan geometry
In order to describe the geometry of observer space, we make use of a frame
work originally developed by Cartan under the name 'method
of moving frames'
Observer dependent geometries 37
[Cartan 1935]. His description of the geometry of a manifold M is based on
a comparison to the geometry
of a suitable model space. The latter is taken
to be a homogeneous space, i.e., the coset space
G
I H of a Lie group G and
a closed subgroup
H c G. Homogeneous spaces were extensively studied in
Klein's Erlangen program and are hence also known as Klein geometries. Car
tan's construction makes use
of the fact that they carry the structure of a principal
If -bundle 1r : G -> G I If and a connection given by the Maurer-Cartan one-f01m
A E D
1
(G,g) on G taking values in the Lie algebra g of C. Using these struc
tures in order to describe the local geometry
of Jv!, a Cartan geometry is
defined
as follows:
Definition 3.4 (Cartan geometry). Let G be a Lie group and H c G a closed
subgroup
of G. A Cartan geometry mode led on the homogeneous space G
I H
is a principal H-bundle 1r : P -r Jv! together with a g-valued one-form A E
D
1
(P, g), called the Carum connection on P, such that
C
I. For each p E
P, A
11
: T
11
P -r g is a linear isomorphism.
C2.
A is H-equivariant: (Rh)* A= Ad(h-
1
)
o A
\:lh EH.
C3. A restricts to the Maurer-Cartan form on vertical vectors v E ker 1r*.
Instead of describing the Cartan geometry in terms of the Cartan connection
A, which is equivalent to specifying a linear isomorphism Ap : T
11
P -r g for all
p E P due to condition C I, we can use the inverse maps A
11
= A;;-
1
: g -r T
11
P.
For each a E g they define a section A( a) of the tangent bundle, which we denote
a fundamental vector field:
Definition 3.5 (Fundamental vector fields). Let
(1r : P -r M, A) be a Cartan
geometry mode led on
G
I H. For each a E g the fundamental vector field A( a) is
the unique vector field such that A(A(a)) =a.
We can therefore equivalently define a Cartan geometry in terms of its funda
mental vector fields, due to the following proposition:
Proposition 3.1. Let (
1r : P -r M, A) be a Cartan geometry mode led on G I fl
and A : g -r Vect Pits fundamental vector fields. Then the properties Cl to C3
of A are respectively equivalent to the following properties of A:
Cl'. For each p E P, Ap : g --7 T
11
P is a linear isomorphism.
C2'. A is H-equivariant: Rh* o A= A o Ad(h-
1
) \:lh EH.
C3'. A restricts to the canonical vector.fzelds on [J.

38 Manuel Hohmann
We illustrate these definitions using a physically motivated example. Let
7r : P -t lvf be the oriented, time-oriented, orthonormal frame bundle of a
Lorentzian manifold
(M, g). It carries the structure of a principal H -bundle,
where
H =
SOo(3, 1) is the proper orthochronous Lorentz group. The homoge
neous space
G I H can be any of the maxim ally symmetric de Sitter, Minkowski
or anti-de Sitter spacetimes, which is achieved by choosing the group G to be
{
SOo( 4, 1) for A> 0 9 de Sitter spacetime,
G = ISOo(:l, 1) for A= 0 9 Minkowski spacetime,
SOo(3, 2) for A < 0 9 anti-de Sitter spacetime,
(3.6)
where ISOo(3, 1) = SOo(:~, 1) 1>< JR
3
•
1
is the proper orthochronous Poincare
group and the subscript 0 indicates the connected component of the correspond
ing group. Here A denotes the cosmological constant on the respective maximally
symmetric spacetime and does not necessarily agree with the physical cosmolog
ical constant.
We further need to equip the frame bundle 7r : P -t lvf with a Cartan connec
tion. For this purpose
we introduce a component notation for elements of the Lie
algebra
g = Lie G and its subalgebras. First observe that g splits into irreducible
subrepresentations
of the ad joint representation of H c G,
(3.7)
These subs paces correspond to infinitesimal Lorentz transforms
b = Lie H and
infinitesimal translations 3 ~ fllfl of the homogeneous space times G I H. We can
use this split to uniquely decompose any algebra element
a E
g in the form
1 . . .
a= h + z = '2h'/H/ + z''Zi, (3.8)
where 1-l;J are the generators of b = .so(3, 1) and Z; are the generators of trans
lations on
G I H. They satisfy the algebra relations
(3.9)
The last expression explicitly depends on the choice
of the group G, which can
conveniently be expressed using the sign
of the cosmological constant A.
Observer dependent geometries
39
We can now apply this component notation to the Cartan connection A. We
first split A = w + c into a
[J-valued part w and a 3-valued part c. The latter we
set equal to the solder form, which in component notation can be written as
(3.1 0)
where the coordinates (.fj") on the fibers of P are defined as the components of
the frames .f; in the coordinate basis of the manifold coordinates (:r;a), and f-
1
;,
denote the corresponding inverse frame components. For the [J-valued part w
we choose the Levi-Civita connection. Given a curve T H ( x( T), f ( T)) on P
it measures the covariant derivative of the frame vectors fi along the projected
curve T H :r( T) on M. For a tangent vector v E T P this yields
(3.11)
Using the
same component notation as above it reads
.i. = f-l.id'fa + f-l.i
{ITa dxc
W ,_ a 1. . a. 1 be '
(3.12)
where
rabc denotes the Christoffel symbols. It is not difficult to check that the g
valued one-form
.4 defined above indeed satisfies conditions C I to C3 of a Cartan
connection, and thus defines a Cartan geometry mode led on
G I H. Equivalently,
we can describe the Cartan geometry in terms
of the fundamental vector fields.
Using the notation (3.8) they take the form
A( ) 1
i
faiSj i fa("' fbrc iSj)
_ a = ! j i Ua + Z . i ua -j abUc ,
where we have introduced the notation
for tangent vectors to the frame bundle P. A well-known result of Cartan geom
etry states that the metric
g can be reconstructed from the Cartan connection, up
to a global scale factor.
We finally remark that the Cartan geometry provides a split
of the tangent
bundle
T
P which has a similar physical interpretation as the split (3.5) of TO.
This split is induced by the decomposition (3.7) of the Lie algebra g, which is
carried over to the tangent spaces TpP by the isomorphic mappings Ap as shown

40
fv!anuel Hohmann
in the following diagram:
vpP (f} HpP TpP
wr +
ef Ar
b m
3 jJ
(3.13)
The vertical subbundle
V
P is constituted by the tangent spaces to the fibers of
the bundle if : P ---+ A1, which are given by the kernel of the differential if* of
the canonical projection. This is a direct consequence of condition C3 on the
Cartan connection. The elements
of V
P can be viewed as infinitesimal local
Lorentz transformations, which change only the local frame
f and leave the base
point
x unchanged. Conversely, the elements of the horizontal subbundle Hp
correspond to infinitesimal translations, which change the base point x without
changing the orientation
of the local frame f. This follows from the fact that we
constructed the
f)-valued part w of the Cartan connection from the Levi-Civita
connection.
3.3. Cartan geometry of observer space
We will now employ Cartan geometry in order to describe the geometry of ob
server space. Hereby we will proceed
in analogy to the metric spacetime example
discussed
in the previous section, where we constructed a Cartan connection on
the orthonormal frame bundle. For this purpose we refer to the definition
of or
thonormal observer frames
in section 2.4. If we translate this definition to the
context
of observer space geometry, we find that an observer frame at ( x, y) E
0
is a basis of the horizontal tangent space H(x,y)O such that w~fo = y and the
normalization (2.18) holds. Equivalently, we can make use
of the
differentialw~
of the canonical projection w' : 0 ---+ M, which isomorphically maps H(x,y)O
to Tx!VI, and regard frames as bases of Txllif, in analogy to the case of metric
geometry. Here we choose the latter and define:
Definition
3.6 (Observer frames). The space
P of observer frames of a Finsler
spacetime (A1, L, F) with observer space 0 is the space of all oriented, time
oriented tangent space bases
f of
llif, such that the basis vector fo lies in 0 and
the frame
is orthonormal with respect to the Finsler metric,
One can now easily see that although there exists a canonical projection
if : P---+ NI, which assigns to an observer frame its base point on M, it does not
Observer dependent geometries 41
in general define a principal 1I -bundle, where H is the Lorentz group as in the
preceding section. This follows from the fact that the generalized Lorentz trans
forms discussed
in section 2.4 do not form a group, but only a grupoid. However,
this
is not an obstruction, as it is our aim to construct a Cartan geometry on
0
and not on M. Indeed, the projection 1r : P ---+ 0, which simply discards the
spatial frame components, carries the structure
of a principal J( -bundle, where
by
J( we denote the rotation group
S0(:3). It acts on P by rotating the spatial
frame components. The Cartan geometry on observer space will thus be modeled
on the homogeneous space
G
If( instead of G I H.
We further need to equip 1r : P ---+ 0 with a Cartan connection which gener
alizes the Cartan connection on the metric frame bundle displayed
in the previous
section. Here we can proceed
in full analogy and choose as the 3-valued
parte of
the connection the solder form. The expression in component notation,
(3.14)
agrees with the analogous expression
(3.1
0) in metric geometry. For the f)-valued
part
w we generalize the Levi-Civita connection (3.12). Recall from section 2.4
that the tangent space
T
NI of a Finsler spacetime, and hence also its observer
space 0 c T M, is equipped with the Cartan linear connection (2.19). We can
therefore replace the projection if to !VI in (3.11) with the projection 1r to 0 and
define
(3.15)
where \l now denotes the Cartan linear connection. In component notation this
yields the expression
i
f-ljdr+"a f·-lj fb [Fa d c ea (Ne l .d + J'l'c.)]
w· 'i = a J i + . a. i be X + be d(,~L
1
J 0
1 (>kd jk ) j·-ll df" 1 jkj·bfc(s: F s: F)d a
= 2 o; uz -7) TJil , a . k + 27) i . k Ub.flac -Oc9ab ;r; ' (3.16)
where the coefficients
cabc and Fabc are the coefficients for the Cartan linear
connection
(2.20). From the Cartan connection (3.14) and (3.16) we then find the
fundamental vector fields
A(h) = (h;Jff-hi off fjCabc) &z,
A(z) = ziff (oa-f]Fc"J)1)
(3.17a)
(3.17b)

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major Hampfel guardasse lui. Se invece l'ufficiale austriaco avesse,
pronunziandola, guardato la signora Eva o la propria forchetta,
Pierino l'avrebbe lasciata passare. Ma quello sguardo gli fece
credere, a torto o a ragione, che la frase gli fosse più
particolarmente diretta. Così credette necessario di raccoglierla e di
domandare al major Hampfel con un cipiglio serio e una voce un po'
rauca:
— Buone per voi o per noi?
Stabilire che attorno a quella tavola neutrale d'un albergo neutrale
nella Svizzera neutrale ci fossero dei voi e dei noi era già segnare
apertamente un inizio di ostilità. Se non proprio a un primo colpo di
cannone quel punto interrogativo equivaleva almeno a uno
sconfinamento premeditato oltre i limiti segnati da una cordiale
urbanità e da una tacita intesa alle conversazioni tollerabili da
qualunque orecchio. Erano alla fine del pranzo, trascorso tutto nel
racconto delle varie impressioni raccolte durante la bella gita
automobilistica di quel pomeriggio. Da quando la grande estate era
venuta, da quando cioè le sere si erano fatte deliziosamente tiepide,
il ménage Balla-Kramer e i due ufficiali austriaci solevano uscire a
prendere il caffè allo scoperto su la grande terrazza aperta sul
giardino dell'albergo. La domanda di Pierino era stata formulata
proprio nel punto in cui i quattro si levavano da tavola. Il major
Hampfel aveva guardato, udendola, Pierino, come per leggergli sul
volto le intenzioni che si nascondevano nel piccolo geroglifico di quel
punto interrogativo. Ma, invece d'incontrare il sorriso un po' ebete
che aveva eletto fissa dimora sul volto di Pierino, il major Hampfel si
era trovato dinanzi un viso serio serio e due occhi che lo fissavano in
attesa d'una risposta altrettanto pronta quanto precisa.
Così, appena fuori, appena seduti attorno al tavolino di vimini sul
quale fra poco avrebbero portato il caffè, il major Hampfel, acceso il
sigaro per dare una certa leggerezza indifferente alla sua risposta,
fissò Pierino negli occhi e affermò categoricamente:
— Buone per noi, diamine! Dal principio della campagna le notizie
della guerra sono sempre state e non potevano essere sempre

buone che per noi...
Poichè non si diventa leoni in un giorno, Pierino, anche dinanzi ad
un'aperta provocazione, aveva ancora nei suoi nervi quieti, nel suo
cervello placido, nel suo carattere bonario e nel suo cuore senza
fiamma le mansuetudini di un agnellino pasquale. Così, invece di
raccogliere sùbito il guanto che il major Hampfel con aria arrogante
e sprezzante gli lanciava, Pierino cominciò a ragionare. Cominciò a
citar dati, fatti, posizioni, comunicati. Continuò con l'osservare che gli
Italiani erano entrati in Austria e che nessun austriaco, se non
prigioniero, era, grazie a Dio, entrato in Italia. E tutto questo
bonariamente, pacificamente, con l'aria di un buon figliuolo che non
vuol dar noia a nessuno, ma che solamente, per spirito d'ordine, per
senso di equità, vuole stabilire le cose nei loro veri termini e non
accettarle così come fa comodo a Tizio o a Sempronio di
prospettarle. Ma il major Hampfel era austriaco e la boria austriaca
non lega — trent'anni d'esperimento l'hanno provato — col semplice
e onesto buon senso italiano. Alle osservazioni meticolosamente
precise di Pierino il major Hampfel rispose con qualche cosa di
estremamente vago, di comodamente indeterminato:
— Siete per ora in casa nostra, è vero, ma sapremo non farvici
rimanere.
Il buon senso italiano — e Pierino, da quella sera specialmente e in
quel momento specialissimamente, era italiano — il buon senso
italiano è avvezzo a non preoccuparsi che delle minacce racchiuse
nei fatti e a lasciar correre con un sorriso quelle che vorrebbero uscir
fuori dalle parole. Si limitò a rispondere con un sorriso sereno
all'oscura tempesta che il major Hampfel minacciava. Senonchè il
sorriso è la più insopportabile provocazione per la gente che vuole
ad ogni costo essere presa sul serio e però la conversazione che il
sorriso di Pierino avrebbe con urbana opportunità garbatamente
chiusa a quel punto ripartì per una seconda tappa con una brusca
alzata di spalle, una torva occhiataccia e un impeto convulso di
parole del major Hampfel:

— Sorridete voi, signor mio? Sorridete? Ricordatevi che ride bene chi
ride per ultimo. E ricordatevi sopratutto che gli austriaci non hanno
mai perso e che gli italiani non hanno mai vinto.
A questa uscita Pierino, meticoloso e dialettico, rispose:
— Non è accertato dalla storia, così almeno come si insegna in Italia
(e quella che si insegna in Austria io la ignoro) non è accertato che
gli austriaci non abbiano mai perduto e che gli italiani non abbiano
mai vinto. Comunque è forse questo il momento di invertire
finalmente le parti e voi che in vincere siete, voglio ammetterlo,
espertissimi, cominciate per completare gli studii a far pratica, in un
corso accelerato, di come si perde.
— Non verremo neppure per questo, signore, a scuola da voi! gridò
Hampfel. C'è anche modo e modo di perdere. E noi non invidiamo
certamente il disonore di Novara e di Custoza.
Tanto può la prudenza su un carattere di clima oltremodo temperato
che anche su quell'uscita del major Hampfel Pierino tentò, povero
figliuolo, di troncare la conversazione. Ma la prudenza d'un
interlocutore chiama sempre, irresistibilmente, l'imprudenza dell'altro
interlocutore. Aveva Pierino un bel rimanere indietro affinchè il major
Hampfel non andasse troppo avanti. Questi aveva oramai preso
l'abbrivo e la storia insegna che, preso l'abbrivo, la millanteria e la
burbanza di un ufficiale o d'un giornalista austriaco non sanno mai
dove andranno a finire. Chi avrebbe mai detto, infatti, che le sue
ironie e le sue vanterie, il suo tono di scherno e di superiorità
avrebbero portato quella sera il major Hampfel, di botta in botta, di
risatina in risatina, di beffa in beffa, a trovarsi d'un tratto davanti un
Pierino Balla uscito definitivamente dai gangheri e che, in piedi,
rosso in volto, con le labbra convulse, con le mani che saltavano su e
giù senza decidersi a tornare definitivamente in giù lungo le cuciture
dei pantaloni o a levarsi definitivamente in su su le guancie
dell'ufficiale austriaco, gridava ad un tratto, con una potenza di voce
che Eva non avrebbe mai sospettata in quel maritino docile e
remissivo che parlava sempre come bela un agnellino, in tono
sommesso e con quel ritmo timido e affannoso che in musica si

chiama «sincopato», gridava ad un tratto in modo che l'udissero
anche i cuochi giù nel sotteraneo dell'hôtel:
— Caro signore, io non vi permetto di parlare più oltre così dell'Italia
ad un italiano. Non siamo più ai tempi del maresciallo Radetzky. Non
siete più a Milano, signor Hampfel e, in nome di Dio, per grazia di
Dio, per volontà e per valore di tutta una nazione di trentacinque
milioni di uomini, siamo forse noi questa volta su la via di Vienna!
Ma come i novellini del coraggio militare non resistono bene che alle
primissime fucilate, i novellini del coraggio civile non reggono a
lungo il fuoco di una prima escandescenza. Così Pierino ad un tratto
si sentì mancare il fiato in gola e le parole nel cervello. E, poichè
aveva le mani in aria che chiedevano convulsamente di fare anche
loro qualche cosa, picchiò due grandi pugni sul tavolino, mandò per
aria chicchere e caffettiera, gridò tre volte: — «Ah, perdio, basta,
basta, basta!» e, voltatosi bruscamente sui tacchi prima ancora che
il major Hampfel avesse avuto il tempo di rispondere, si avviò verso
il fondo della terrazza donde una grande scalea permetteva di
scendere in giardino. Ma non s'allontanò così rapidamente da non
avere il tempo di vedere fissi su la sua persona gli occhi di Eva,
esterrefatti come gli occhi di un uomo che durante un terremoto si
veda cader giù nel vuoto, una dopo l'altra, le quattro pareti che lo
circondano. Il tiranno cui il vassallo manca improvvisamente di
rispetto non ha, in primo tempo, che un moto di sbalordimento. La
forca che punirà il ribelle non verrà che più tardi, dopo ricuperati gli
spiriti sbigottiti. Ma quella forca Pierino l'intravvide prima ancora
ch'essa fosse eretta e, pensando anche a questa espiazione, e a
tutta la sua viltà, e a tutta la sua schiavitù, gridò un'ultima volta
verso sua moglie, contro sua moglie, proprio per sua moglie:
«Basta!»
Così nella commedia come nel dramma di Pierino Balla melomane
c'era sempre un po' di musica. Appena che fu disceso in giardino,
infatti, per sbollire con l'aria aperta un po' di sangue caldo,

l'orchestrina, lassù, nella veranda riattaccò un valzer, un valzer
viennese, sospirato dai violini già oramai per la quarta o quinta volta
nella serata:
Laggiù nel silente giardino
trattenni d'un tratto il respir...
A udir quel valzer, a ripensare a ciò che aveva fatto e a ciò che aveva
detto, Pierino si sentiva tremar le gambe. Le grandi tensioni nervose
hanno sempre, passato l'impeto o superato il pericolo, di questi
subitanei abbandoni per cui il temerario ha la misura esatta della sua
imprudenza, l'eroe la giusta nozione del suo rischio, l'impulsivo il
senso della sua collera e il leone provvisorio il tempo di ridiventar
coniglio definitivo. Passò così una mezz'ora durante la quale Pierino
se pensava all'Italia si sarebbe stretta la mano da sè solo, ma se
pensava a sua moglie recitava il più desolato atto di contrizione che
mai ribelle abbia potuto mettere ai piedi della giustizia punitiva d'una
moglie dispotica e doppiamente offesa. Continuava intanto
l'orchestrina a versar su le piaghe di quel pentimento il balsamo
refrigerante dei valzer più cari al cuore di Pierino. Si dice — e gli
impresarii di stagioni musicali si affannano ad accreditare quanto più
possono queste voci — si dice che la musica ingentilisca i costumi.
Ma è evidente che non tutte le musiche operano questa azione nello
stesso modo e all'istesso grado e se la musica selvaggia irta di
dissonanze straussiane al cui ritmo danzano il tango i negri
antropofagi della Papuasia ingentilisce di poco i costumi, del resto
assai sommarii, di quelli abitanti del globo, la musica sentimentale di
un'operetta viennese opera ben diversamente su l'anima quanto mai
di già gentile di un giovane gentiluomo attillato nel suo abito da sera
e col fine fazzolettino di battista tutto odoroso di chevalier d'Orsay.
In questo caso ingentilire è sinonimo di intenerire; molto più quando,
come nel caso di Pierino Balla, il soggetto è per sua natura già
tenero ed incline per temperamento a sentire tutte le suggestioni
che le sette note musicali diversamente combinate insieme possono
determinare. Pierino, infatti, all'eco insistente di quella musica sentì
venir meno tutte le sue brevi energie, capì — poichè se ingentilire è

sinonimo di intenerire, intenerito è sinonimo di intimidito — capì che
era il caso di farsi coraggio, di risalire su la terrazza, di andare a
cercare sua moglie per fare ammenda onorevole di uno scatto che
non poteva certamente non apparirle deplorevolissimo. Quando,
come Dio volle, le gambe, riluttanti per troppa tensione nervosa, lo
ebbero riportato su la terrazza, Pierino vide sùbito che sua moglie e
il major Hampfel se ne erano allontanati. Al tavolinetto ancora
ingombro di tazze di caffè e di bottiglie di liquori era rimasto solo il
luogotenente Federico. A questo Pierino si avvicinò titubante e,
quando vide che il luogotenente levava su lui un lungo sguardo
stupito credette necessario di mormorare una parola di scusa: poichè
se egli aveva mancato di rispetto solamente a sua moglie e al major
Hampfel, sua moglie era la sorella del luogotenente Federico e del
luogotenente Federico il major Hampfel era connazionale. Ma mentre
si aspettava dal doppio sentimento offeso del luogotenente Federico
(sentimento di fratello e sentimento di austriaco) la prima delle tre
ramanzine cui si sapeva inesorabilmente condannato dal suo scatto,
Pierino sentì con somma meraviglia che il luogotenente Federico gli
rispondeva con deferenza e quasi con dolcezza, con una dolcezza
che rasentava la simpatia:
— Voi non mi dovete, mio caro Pierino, nessuna scusa. Il major
Hampfel è stato oltremodo imprudente non solo, ma anche
incontestabilmente ingiusto. Io, che mi son battuto con gli Italiani e
che di questo combattimento serberò per tutta la vita il ricordo in
questo moncherino, so di essermi battuto con avversarii valorosi. E
poichè voi siete Italiano, voi avete fatto benissimo a imporre che il
vostro sentimento nazionale fosse rispettato. Anche se avete sposato
una donna d'altra nazionalità non si deve dimenticare che voi non
avete rinunziato alla vostra patria per prendere quella di vostra
moglie. E se alcuno questo dimentica, voi avete non solo il diritto ma
il dovere di ricordarglielo. Non dico questo solamente a voi. Ma l'ho
già detto al major Hampfel e ad Eva non appena voi, per non
accendere più violentemente il dibattito, vi siete con lodevole
prudenza allontanato.
— E il major Hampfel? interrogò Pierino ancora titubante.

— Il major Hampfel, rispose il luogotenente Federico, non ha potuto
che convenire nella mia tesi. Hampfel è fatto così: s'accende presto e
fuori di luogo, ma è, dopo tutto, un uomo eccellente.
— Ed Eva?
— Anche Eva ha dovuto essere ragionevole e capire ch'ella stessa
avrebbe dovuto stimarvi di meno se vi foste comportato altrimenti.
Eva è fatta così: vuol dominarvi e dirigervi, ma dopo tutto vi vuol
bene.
Pierino non aveva che una sola preoccupazione:
— Eva dunque mi perdonerà il mio contegno?
— Ma sì, rispose il luogotenente Federico sorridendo di quella
timidezza di marito che scambiò per una trepida tenerezza di sposo,
ma sì, ve lo perdonerà. E, anche se non dovesse perdonarvelo, voi
non dovreste pentirvi di averlo avuto. Più della nostra compagna, più
dei nostri figliuoli, anche più di noi stessi, noi amiamo e dobbiamo
amare la nostra patria. Ne abbiamo una diversa voi ed io che
parliamo. Ma dobbiamo l'uno e l'altro obbedire ad un sentimento che
non è diverso, che è uguale così per voi come per me. Italia od
Austria, la patria è la patria, e, quando si combatte, la patria è
onorata così da una parte come dall'altra di una frontiera. Io ho dato
per la patria mia il mio sangue, con gioia. Voi, domani, darete il
vostro per la vostra.
Poichè anche nelle coscienze in evoluzione le vecchie abitudini non si
sradicano d'un tratto, a quelle parole Pierino guardò il moncherino
del luogotenente Federico e la sua gamba paralizzata. E si vide a sua
volta conciato in quel modo. Vi sono evidentemente spettacoli di sè
stessi più incoraggianti di quello e però non v'è da meravigliarsi se, a
quella visione prospettata dalle parole del luogotenente Federico,
Pierino si sentì correre un brivido giù pel filo della schiena.
— Vedete, riprendeva il luogotenente Federico, vedete, l'amore della
patria è così grande che nulla può diminuirlo. Io sono un invalido, ho
un braccio di meno e una gamba perduta. A meno di trentacinque
anni io sono un uomo inutile. Ma che m'importa? Quello che io ho

fatto era per il mio paese più necessario di quanto non fossero
necessarii a me questa gamba e questo braccio che non ho più, di
quanto non fosse necessaria a me la mia stessa vita se questa avessi
dovuto perdere.
Col braccio ancora valido, con la mano ancora viva, il luogotenente
batteva sopra un ginocchio di Pierino.
— Ho sempre avuto per voi, riprendeva, l'affetto più sincero. Ma
avervi in questi ultimi tempi veduto troppo docile ai capricci e alle
imposizioni dell'ingenuo nazionalismo di mia sorella, avervi veduto in
un'ora in cui per così ardenti e nobili passioni uomini d'ogni paese e
d'ogni età dànno la vita, avervi veduto insomma così assente, così
lontano da ogni passione, così immemore del vostro dovere,
m'aveva, ve lo confesso, armato di diffidenza contro di voi. Stasera
voi m'avete fatto ricredere. Siete un buon marito, e questo mi fa
piacere per mia sorella. Ma siete anche, finalmente lo vedo, un buon
italiano e questo mi fa anche molto piacere per voi.
Su l'anima di Pierino avevano effetto irresistibile non solo i bei valzer
ma anche le buone e le belle parole. Chè era, insomma, un buon
ragazzo e i buoni ragazzi si commuovono facilmente. Ascoltava il
luogotenente Federico con una commozione profonda, la quale gli
velava gli occhi di una leggera nebbiolina di pianto. Guardava
attraverso quel velo l'ufficiale mutilato e il quadro che gli era
d'intorno. Andavano e venivano per la terrazza donne belle ed
eleganti ch'eran tutto l'amore, uomini ch'eran tutta la giovinezza,
tutta l'azione, tutta la ricchezza, tutta la potenza, tutta la vita.
Illuminazioni e musiche mettevano attorno a quella gente che viveva
la vibrazione e il colore della vita in movimento. Giù, oltre il giardino,
la montagna tutta crivellata di luci d'oro, su, oltre il giardino, il cielo
tutto tempestato di luci d'argento, mettevano intorno alla limitata
vita degli uomini la illimitata vita della natura. Fra quelle vite il
giovane ufficiale era lì, superstite, monco, invalido, impossibilitato
ormai a muoversi da solo, scemato in tutte le sue forze, annullato in
tutte le sue speranze, in tutte le sue ambizioni, in tutte le illusioni.
Tuttavia così il superstite parlava. E non vi era nelle sue parole

un'ombra di rimpianto o di rammarico. Il sacrificio fatto gli era lieve,
gli era lieto. Di che qualità superiore eran dunque quegli uomini che
italiani o austriaci avevano fatto o facevano il loro dovere? Di che
qualità inferiore era dunque lui, Pierino, chè, nè italiano nè austriaco,
non aveva compiuto nessun dovere, che al suo dovere, anzi, s'era
sottratto? Tutto questo era nell'animo di Pierino, vago, confuso,
indeciso, in uno stato di nebulosa nella quale sia finalmente
riconoscibile un pensiero in formazione. Non era, Pierino, uomo di
profonda e tormentata psicologia e chi gli avesse parlato, con lo stile
letterario in uso qualche anno addietro, d'introspezioni gli avrebbe
fatto credere che parlava d'affari concernenti la pubblica sicurezza.
Ma se non passava la sua giornata a spiegare o a definire quello che
non sentiva, nella sua giornata, specialmente da qualche tempo, gli
accadeva di sentire in modo che, anche se avesse voluto, non
sarebbe riuscito nè a spiegare nè a definire. In altri termini, mentre
parlava, il luogotenente Federico teneva bene aperti e ben fissi su di
lui i suoi grandi occhi azzurri di fanciullo e di soldato. Ma, per quanti
sforzi facesse, Pierino non riusciva a sollevare i suoi fino ad
incontrare quelli del mutilato e, curvo su la persona, i gomiti su le
ginocchia, le braccia penzoloni giù fra le gambe, non sapeva
decidersi ad avere orizzonte più ampio e più alto di quello segnatogli
dai due specchietti lucidi delle punte dei suoi scarpini.
Finalmente si levò. Era tardi e intorno a loro la terrazza s'era sfollata
poco dopo che l'orchestrina aveva sviolinato l'ultimo valzer. Offrì
all'invalido di riaccompagnarlo fino alla sua stanza.
— Vi ringrazio, rispose il luogotenente Federico, ma io rimango
ancora qui. La guerra mi ha lasciato un'insonnia invincibile. Verrà più
tardi a prendermi il mio domestico. Son come un bimbo oramai che
bisogna vestire e svestire...
Sorrideva con un po' di malinconia, ma senza amarezza. Poi sùbito il
sorriso si fece più chiaro e più lieto:
— Andate voi a riposare, mio caro Pierino. E non vi date pensiero di
quanto è accaduto. Avete fatto quello che dovevate fare e domani
Eva sarà la prima a riconoscerlo...

Domani... Pierino salì nella sua camera pensando a quel domani che
a lui non sembrava così libero di minacce come al luogotenente
Federico. Poichè il saper attendere con fermo cuore il risolversi delle
situazioni difficili è prerogativa dei forti, Pierino non poteva
naturalmente adattarsi a passar tutta una notte senza sapere che
cosa Eva pensava di lui. Così, dopo essere rimasto appena dieci
minuti nella sua stanza, uscì per salire al piano superiore,
prendendo, come suol dirsi, il suo coraggio a due mani. E, poichè gli
accadeva di fermarsi talvolta a meditare su le frasi fatte come se gli
avvenisse d'incontrarle per la prima volta, osservò sorridendo che
veramente due mani dovevano bastare a prendere il suo coraggio,
che, a giudicare dal tremito che gli infiacchiva le gambe su per le
scale dell'albergo, non era certamente gran che. Ma i timidi,
incominciata un'azione, sono in questa più ostinati che gli audaci
poichè sanno che se non avranno il coraggio di andare fino in fondo
non avranno neppure mai quello di ricominciarla. Così giunse Pierino
al corridoio del piano superiore dove era la stanza di sua moglie. Era
certo di trovarla ancora desta poichè Eva era solita, prima di
addormentarsi, di concedere le prime ore della notte alle sue
interminabili letture. Quel passo remissivo e deferente ch'egli doveva
fare verso di lei per ottenere un'indulgenza plenaria o parziale agli
effetti della sua scandalosa ribellione di un'ora prima gli sembrava
tuttavia sempre più doloroso per il suo amor proprio e sempre più
tormentoso per la sua timidezza. In fondo non andava egli da sua
moglie per chiederle di perdonargli di essere stato italiano? Non
andava, con quella ritrattazione, a distruggere la nobiltà di un impeto
per il quale il luogotenente Federico lo aveva felicitato? Non andava
ad offrire al major Hampfel, attraverso sua moglie, delle scuse che al
posto suo il major Hampfel non avrebbe certamente mai fatte? Non
si ridava, con quell'atto, mani e piedi legati alla tirannia morale e
materiale di sua moglie? Non avrebbe fatto meglio ad ostinarsi nel
suo atteggiamento e, a costo di qualsiasi rancore di sua moglie, ad
aspettare che sua moglie fosse persuasa ch'egli era oramai
trasformato affinchè in questa trasformazione ella trovasse le ragioni
di stimarlo di più e di amarlo diversamente? Saggi punti interrogativi
tutti questi... Ma Pierino amava sua moglie con cieca devozione e

l'amore bendato, anche se è mal dato, rifugge istintivamente dalla
saggezza. Sapeva solamente, Pierino, che rimanere in collera con
Eva gli sarebbe stato insopportabile, che mai come quella notte
desiderava di stringersela, a pace fatta, tra le braccia, di trovarsela
accanto appassionata e tenera come soleva essere quando, nelle
effusioni dell'amore senza nazionalità precisa, il suo orgoglio
austriaco di fronte a un marito italiano finalmente disarmava.
In queste indecisioni Pierino temporeggiava. Ma, se Fabio il
Temporeggiatore temporeggiava all'ombra di un faggio discorrendo
di guerra coi suoi legionarii, Pierino temporeggiava lì, in fondo a un
corridoio d'hôtel illuminato solamente laggiù da una lampadina che
indicava alle camere di ognuno dei clienti un camerino in comune
per tutti i clienti. Dall'ombra dove era rimasto in attesa di decidersi
Pierino aveva veduto una striscia di luce sotto la porta della sua
antica stanza, ora occupata dal major Hampfel. Anche questo
particolare lo aveva arrestato, per paura che il major Hampfel
sentendo camminare nel corridoio avesse potuto aprire la porta e
incontrarsi così con lui faccia a faccia. Non tardò, Pierino, ad
accorgersi che la sua preoccupazione era giusta poichè ad un tratto
la porta del major Hampfel s'aperse ed il maggiore mettendo fuori la
testa guardò a destra e a sinistra nel lungo corridoio semioscuro. Poi
chiuse. Ma, dopo altri pochi secondi, riaprì e guardò ancora. Ancora
richiuse e poi ancora riaprì. Comprese, Pierino, che il major Hampfel
doveva attraversare il corridoio e che non gli piaceva, in quella
traversata notturna di necessità troppo evidente, di incontrare
qualcuno, poichè un eroe non consente a perdere il suo prestigio
nella schiavitù alle più umili necessità. Difatti la porta del major
Hampfel si aprì una quarta volta e questa volta il maggiore uscì dalla
sua stanza, tutto attillato nel suo pigiama rosa e con un paio di
pantofoline crema che calzavano un piedino assolutamente
inverosimile per un così terribile uomo d'armi. Mentre Pierino si
felicitava di avere così esattamente compreso tanto la veglia
prolungata quanto le ripetute esplorazioni del major Hampfel, questi
si avviava rapidamente verso la lampadina accesa nell'angolo di
corridoio opposto a quello dove Pierino, sempre nell'ombra,

aspettava che l'inaspettato incidente si fosse interamente svolto. Ma
ad un tratto vide il major Hampfel sostare. E dove? Dinanzi alla porta
della stanza occupata dalla signora Kramer-Balla. Lo vide con due
dita picchiare leggermente alla porta. Cercò ancora di spiegare
l'inesplicabile.... Forse aveva dimenticato qualche cosa, forse si
sentiva male e chiedeva l'aiuto di Eva... Ma la porta di Eva, intanto,
s'era pianamente aperta. Il major Hampfel era entrato nella stanza.
Poi, dalla porta socchiusa, aveva nuovamente sporto la testa ad
osservare il corridoio in su e in giù. E, dall'ombra, Pierino sentì un
giro di chiave, un giro di chiave che non lasciava più dubbii. Ma,
come se questo non gli fosse ancora bastato, Pierino percorse di
volo, in punta di piedi, il corridoio, raggiunse la porta di sua moglie,
incollò l'orecchio all'esile legno ed ascoltò la voce di Eva, — la voce
di Eva dire come non l'aveva detto mai a lui, povero Pierino:
— Ich liebe! Ich liebe! Io ti amo, ti amo!

X.
ULTIMI ECHI DI VECCHI VALZER
Come in molte altre faccende anche nella carriera di marito tradito il
primo passo è quello che conta. Tra la rispettabilità coniugale
d'Otello e la pessima riputazione di Menelao non c'è che un passo,
un passo mancato. Se al primo momento in cui avviene la rivelazione
dell'infortunio coniugale cade su gli occhi quella benda dell'impulso
irresistibile su la quale i giurati di tutti i processi passionali sono
oramai invitati a meditare, il marito uccide. Se la benda non cade, il
marito invece riflette. E tutti sanno che la riflessione è stato d'animo
essenzialmente inattivo, poichè è provato e riprovato che più
agiscono quelli che meno riflettono. Così Pierino, non appena gli
«Ich liebe» pronunciati teneramente da sua moglie non gli ebbero
lasciato nessun dubbio su la natura del colloquio che si svolgeva
dietro quella porta fra Eva e il major Hampfel, sentì che il suo decoro
di marito, che il suo onore di uomo, che il suo risentimento di
innamorato offeso gli imponevano di levar la mano vendicatrice su la
maniglia di quella porta, di farsi aprire quella stanza per amore o per
forza e di giungere, terzo incomodo in quell'idillio, con fieri accenti e
cipiglio di circostanza. Ma esiste, anche nell'infortunio coniugale, uno
stato d'animo intermedio che non e nè l'ira d'Otello nè la
rassegnazione di Menelao. Questo stato d'animo è lo sbalordimento.
Giova anche osservare che Pierino era salito alla camera di sua
moglie come un colpevole umiliato e pentito che aveva molto da
farsi perdonare. Ora non è facile cambiare d'improvviso il tono della
nostra coscienza trasformandosi inopinatamente ed istantaneamente
da giudicabile in giudice, da giustiziabile in carnefice. Trascorsero
così, in quello stato di stupimento, i primi cinque minuti durante i

quali Eva e il major Hampfel continuarono a parlare, ma con parole
tedesche il cui significato era meno esplicito di quello delle
precedenti per il limitato vocabolario di Pierino. Dopo cinque minuti
Pierino si trovò di nuovo di fronte al caso di coscienza e tornò a
domandarsi se doveva o no farsi aprire e se doveva o non far valere i
proprii diritti di marito oltraggiato. Ma vi sono, nelle situazioni,
particolari che le mutano radicalmente. Pierino ebbe la lucidità di
vedere nei suoi particolari la situazione nella quale si sarebbe
trovato, agendo, impegnato. La stanza di sua moglie aveva ai lati
altre due stanze ch'erano occupate da due ménages coi quali,
durante l'oramai lungo soggiorno in quell'hôtel, s'erano stabilite
cordiali relazioni. S'egli fosse entrato nella camera di Eva, se, di
fronte agli amanti, egli avesse tirato due colpi di revolver o avesse
almeno tirato fuori dal suo animo esacerbato i giusti argomenti della
sua collera coniugale, i ménages contigui si sarebbero certamente
destati e sarebbero molto probabilmente accorsi. La colpa di Eva
passava e avrebbe continuato a passare inosservata: un lieve ricamo
di baci, di sospiri e di tenere parole sussurrate a fior di labbra non
strappava i vicini dalla quiete del sonno notturno. Ma l'intervento di
Pierino avrebbe immediatamente trasformato quel duettino idilliaco
in minore in un terzetto drammatico a piena orchestra. L'albergo
intero si sarebbe destato all'eco delle voci irose, del probabile pianto
disperato di Eva e delle prevedibili vie di fatto tra Pierino e il major
Hampfel. Tanto più che dopo la guerra il major Hampfel era oramai
mezzo sordo e non sarebbe stato possibile fargli capire che era un
porco se non facendolo sentire in pari tempo all'albergo intero. La
maggior coscienza che da qualche tempo egli aveva preso di sè
aveva destato inoltre in Pierino il senso del ridicolo. Gli parve, così,
intollerabile l'idea di dover passare sotto gli occhi di un albergo
intero, ufficialmente segnato e bollato come marito sfortunato. Ma
intanto altri cinque minuti erano trascorsi. Nella stanza di Eva non si
udivano più parole: s'udiva solo, adesso, un complicato giuoco di
baci e di sospiri sopratutto che mano mano diventavano sempre più
sospirosi e quindi più eloquenti per Pierino che li riconosceva. Pensò
ancora, Pierino, che dalla stanza vicina anche quei baci e quei sospiri
potevano essere uditi. Fortunatamente i baci e i sospiri non sono

facilmente riconoscibili ed i vicini, posto che Eva aveva un marito
nello stesso albergo, potevano credere che quelle effusioni della
giovane signora austriaca fossero, nel cuor della notte, riservate al
legittimo titolare delle sue tenere grazie.
Ma, poichè il faut qu'une porte soit ouverte ou fermée, è sempre
probabile che debba da un momento all'altro aprirsi una porta che
per il momento è ancora chiusa. Pierino si vide quindi nella difficile
situazione che si sarebbe prodotta se d'improvviso, per una di quelle
improvvise necessità che nel cuor della notte interrompono il placido
riposo degli uomini, una delle porte delle stanze attigue a quella di
Eva si fosse aperta. Se l'avessero trovato lì sarebbe stato evidente
che il duettino di sospiri e di baci intessuto nella camera di Eva non
apparteneva, almeno per metà, a lui marito. L'intervento di un
tenore di grazia sarebbe così stato più che evidente ed egli, lì, dietro
quella porta, sarebbe apparso grottesco come un tenore fischiato
che da dietro una quinta sente il rivale ricamare con successo la
cabaletta che la prima donna non vuol più cantare con lui.
Ma i nostri pensieri saggi non basterebbero sempre a governare le
nostre azioni se, ad un dato punto, non intervenissero a determinarci
gli atti degli altri. Così Pierino sarebbe stato tutta la notte dietro
quella porta a pensare che era il caso di andarsene senza per altro
andarsene niente affatto se, ad un dato punto, nella camera a
sinistra di quella di Eva, non avesse udito lo scatto secco di un
commutatore di luce elettrica immediatamente seguito da un leggero
scricchiolìo di letto e dal piccolo tonfo sordo di due piedi nudi che
s'appoggiavano sul parquet di legno. L'evidenza che qualcuno si
alzava, e che si alzava molto probabilmente per aprire la porta e per
uscire nel corridoio, volse finalmente in fuga Pierino, il quale in punta
di piedi rivolò via pel corridoio, scese a precipizio le scale con un
gran batticuore e non ebbe pace finchè non si ritrovò in camera sua,
seduto sul letto, con le braccia penzoloni e l'anima ancor più
penzoloni che le braccia. Quando fu solo, restituito a una situazione
almeno decente, Pierino cominciò finalmente a pesare sul serio a
quanto gli era accaduto. Guardava fisso davanti a sè la sua valigia
sopra un portabagagli e non gli batteva palpebra. Rimaneva così a

guardare, a guardare con gli occhi dilatati, coi suoi buoni occhi di
fanciullo meravigliato che gli si riempivano di lacrime. Rivedeva, con
quelli occhi, nel suo cuore, tutto il suo passato. Gli tornavano in
mente, con un aspetto nuovo, tutti gli avvenimenti grandi e piccini
della sua vita coniugale e specialmente i primi: l'incontro di Eva al
teatro, la visita nel palco, i saluti scambiati col major Hampfel nella
barcaccia dirimpetto, i commenti in tedesco fra Eva e la sua giovane
amica polacca, la passeggiata al Prater, la cena, gli sguardi di
complicità scambiati fra Eva e l'amica, gli abbondanti sorrisi con cui a
Vienna la notizia del suo fidanzamento era stata accolta, gli
affettuosi saluti di Eva e del major Hampfel allo sportello del treno in
partenza per l'Italia dalla Sudbanhoff, la destinazione del major
Hampfel all'Ambasciata di Roma pochi mesi dopo il loro matrimonio e
pochi giorni prima della guerra. Era evidente oramai per lui che
l'amore tra Eva e il major Hampfel non era nato negli ardori della
guerra ma molto più probabilmente nei dolci languori della pace.
Avrebbe amato di poter credere che quell'amore non fosse
cominciato prima di quella notte e che le sue intemperanze di
italiano avessero gettato uno nelle braccia dell'altra i due austriaci,
più che per un sentimento d'amore, per un senso di solidarietà
nazionale offeso dalle parole di Pierino. Ma creder questo non gli era
possibile ora che aveva aperto gli occhi. Chi ha tenuto gli occhi
lungamente chiusi, quando li riapre vede con straordinaria intensità:
nel riposo prolungato la vista sembra felicemente acuirsi. Quello che
a Pierino era sempre sembrato un po' inesplicabile, la facilità cioè
con la quale un povero italianino senz'arte nè parte aveva potuto al
primo sospiro ottenere il cuore, la mano e la dote della figlia
dell'illustre maestro Kramer, ora appariva a Pierino spiegabilissimo.
Aveva sempre spiegato l'eccezionalità dell'evento con un fascino
eccezionale che i suoi giovani anni avevano esercitato su l'animo di
Eva e con le simpatie eccezionali che la sua perfetta conoscenza di
tutto il repertorio operettistico viennese gli aveva assicurate presso il
famoso compositore d'operette. Ora vedeva, invece, che la buona
stella della signorina Kramer aveva condotto lui a Vienna proprio nel
momento opportuno, quando cioè si trattava di riparare a Roma con
un matrimonio purchessia quello che a Vienna s'era guastato. Certi

particolari di singolare importanza gli ritornavano in mente. E
ricordava d'avere interrogato alcuni medici i quali gli avevano
assicurato, rassicurandolo, che, per quanto eccezionale, il caso può
darsi che un nuovo stato di cose si produca senza che per nessun
segno si mostri mutato lo stato di cose precedente.
L'incompetenza di coloro che non sono mai morti assicura che, prima
di morire, il morente rivede in un attimo tutta la sua vita. La
competenza dei mariti e degli amanti ingannati afferma che la crisi
della rivelazione permette di vedere in pochi secondi tutto ciò che
per mesi e per anni non era stato veduto mai. Tutto quello che era la
fodera della sua vita di marito apparentemente amato e felice si
scopriva adesso a Pierino. Gli si rivelava adesso anche tutto ciò che
d'un po' ostile e d'un po' sprezzante aveva sempre confusamente
sentito nei rapporti dei vecchi amici con lui, dal tempo del suo
matrimonio in poi. Poichè difficilmente troviamo in noi stessi, ma più
spontaneamente cerchiamo sùbito negli altri, la causa dei mutamenti
di questi altri verso di noi, Pierino aveva imputato il mutamento di
tono dei suoi amici all'invidia — leggera e benevola invidia, ma
invidia — che la sua nuova posizione doveva destare in tutti loro
rimasti mediocri nel loro mediocre destino. Capiva che, quando era
in un negozio con loro e ordinava di mandargli i pacchi dei suoi
acquisti al Grand Hôtel; o quando usciva con loro dal caffè, dagli
antichi caffè dai quali erano usciti tante sere insieme stretti, a
braccetto, per ripararsi in due sotto un solo ombrello, e li salutava
adesso per salire in una limousine da venticinquemila lire; o quando
passeggiava con loro e metteva ogni giorno la fresca eleganza di un
vestito nuovo accanto alla mediocre decenza del loro vestito di tutt'i
giorni, capiva di far cose che non potevano conciliargli molte
simpatie. Sentiva una sorda ostilità — e ne soffriva. Si sentiva
attorno un'irragionevole diffidenza — e ne soffriva. Sentiva che,
sebbene a malincuore, i suoi amici lo mettevano al disopra di loro —
e ne soffriva, perchè, bravo figliuolo com'era, voleva esser
considerato sempre lo stesso ed era, infatti, per loro, sempre lo
stesso. Ora capiva invece che gli amici, col loro riserbo, con la loro
freddezza, con quelle strette di mano impacciate e frettolose, con

quella amicizia cauta che non cerca ma solo si limita a non evitare,
non lo mettevano più su di loro, ma più giù, molto più giù di loro, in
una zona intermedia tra lo sporcaccione e l'imbecille e che, come
tutte le zone di frontiera, aveva in sè un po' dell'uno e un po'
dell'altro. Evidentemente i suoi amici sapevano quello che lui non
sapeva. Ed evidentemente essi non ammettevano che lui potesse
non sapere quello che sapevano loro: il suo bel destino di marito
comodo, di marito salvapparenze, di marito ad usum dell'herr major
Hampfel. Di lui, di sua moglie e del bel maggiore, ora lo sentiva, si
doveva esser parlato dappertutto durante un intero inverno, nei
teatri, nei salotti, negli alberghi eleganti, nei tea-rooms delle cinque.
Rammentava che, dovunque entravano, li seguiva sempre un fruscìo
leggero di conversazioni sommesse. Aveva sempre pensato che
quelle conversazioni fossero oltremodo benevole per loro, che
avessero per oggetto l'avvenenza valchiriana di Eva e la sua
eleganza secessionista. Ora quelle conversazioni gli erano chiare,
senza averle mai sentite, come se le sentisse ancora: «Chi sono? —
Sono i Kramer-Balla.... — Graziosa lei... Fiera e forte come
Brunilde... — E quel marito? Un povero diavolo che rattoppa le
reputazioni in pericolo... — Ménage à trois? — Ma sì, fin da prima del
matrimonio... Tra Eva con tanto di peccato su la coscienza e il major
Hampfel con tanto di moglie su le spalle, ci voleva il signor Pierino
con tanto di faccia da imbecille... Tutti d'accordo e tutti felici... — È
la Triplice Alleanza coniugale: due che fanno i loro affari e un terzo,
l'italiano, che fa da scemo....»
La Triplice Alleanza! Sì, questo lo ricordava, Pierino: una sera,
all'albergo, si erano fatti dei giuochi e dopo si facevano le penitenze.
Era in berlina lui. E gli riferivano, due amici di buona memoria, le
impertinenze dette loro da amiche e da amici... Ricordava... Uno gli
disse: «Sei in berlina perchè sei la Triplice Alleanza!» Non ci aveva
badato: credeva si trattasse d'uno scherzo politico. Ora si ricordava.
E un altro ancora gli aveva detto: «Sei in berlina perchè l'aquila
bicipite ha due teste e tu invece ne hai tre!» Non aveva capito
neppure questa. Aveva veduto gli altri ridere e aveva sorriso anche
lui, per aver l'aria intelligente. Ricordava, ricordava ancora... Un

terzo aveva detto: «Sei in berlina perchè ti piace troppo il Conte di
Lussemburgo.» In fatto d'opinioni musicali ognuno la pensa a modo
suo. Ma ora capiva: il conte di Lussemburgo è un signore che sposa
per conto di un altro. E ricordava, ricordava ancora... Molte sere, al
bar, gli amici della nuova società lo accoglievano motteggiando e
cantando un valzerino famoso:
Maritin,
tesorin....
Non se ne adontava. Burlavano le sue manie: scherzo innocente fra
amici e che gli faceva piacere. E ancora, ancora ricordava, ricordava
che tutti domandavano a lui quando il major Hampfel avrebbe
raggiunto la sua destinazione di Roma. E smaniavano, e
aspettavano, e chiedevano, come se dall'arrivo del major Hampfel a
palazzo Chigi dovesse cominciare per Roma l'èra felice.
Passato e avvenire sono così strettamente saldati dal breve anello
dell'attimo presente che quando si comincia a riandare il passato si
va avanti sempre a guardare un po' nell'avvenire. Così da ieri Pierino
era inavvertitamente passato a domani e ora prevedeva la fine della
notte, il sorgere del nuovo mattino, la necessità d'incontrare, all'ora
solita, attorno alla tavola della solita colazione, sua moglie e il major
Hampfel. Senza che nessun pensiero preciso si formasse nel suo
cervello, Pierino s'era levato, aveva preso sul portabagagli la sua
valigia di cuoio, l'aveva aperta su un tavolino e ora incominciava a
metterci dentro un po' di roba. Eran vestiti eleganti dal taglio dei
grandi sarti, biancheria dei grandi camiciai, cravatte di Charvet,
oggetti da toilette in argento o in oro, scarpe da cento lire al paio,
profumi da quaranta lire la bottiglia. Eva lo aveva voluto così,
raffinatamente, irreprensibilmente elegante. E per l'eleganza di suo
marito, infatti, non aveva mai badato a spese. Ricordava. Andava,
Pierino, nei magazzini, sceglieva, comprava, faceva mandare all'hôtel
al nome del signor Balla e all'hôtel la signora Kramer-Balla,
puntualmente, pagava. Povero Pierino! Era tutto mortificato adesso
nell'osservare, come non gli era prima mai capitato, che tutta quella

roba, tutta quella bella roba del suo equipaggiamento d'uomo
elegante, era tutta roba di sua moglie, pagata da sua moglie... E,
con la mano leggermente tremante, cominciava a ritogliere dalla
valigia quello che ci aveva già messo.
Quando fu vuota cercò intorno qualche cosa da portar via, qualche
cosa che fosse veramente sua. E, per quanto cercasse, non trovò
che due vecchie camicie delle sue antiche eleganze di scapolo e il
ritratto della sua mamma che laggiù, a Sorrento, s'era accomodata
ben bene coi denari che il suo figliuolo le mandava di tanto in tanto,
con quei denari ch'erano ancora, e sempre, uno chèque di Eva,
niente altro mai che uno chèque di Eva. Lasciò da parte la valigia,
acquistata anche quella da Eva, a Vienna, pochi giorni prima della
partenza per il viaggio di nozze. Per impacchettare quelle due
vecchie camicie e il ritratto della mamma bastava solo un giornale,
un giornale italiano. Poi, quando il minuscolo bagaglio fu pronto,
Pierino si guardò addosso: era ancora in smoking, la caramella
pendente giù su lo sparato immacolato, il fiore all'occhiello. Doveva
aver però un vecchio abito suo, che teneva, così, per capriccio
sentimentale, senza indossarlo tanto era oramai fuori di moda; ma lo
teneva perchè con quel vestito aveva viaggiato verso Vienna, verso
Eva e verso la felicità. Era suo, proprio suo, quel vestito. Aveva
ancora, dietro il collo, il nome del piccolo sarto modesto che allora
perdeva ore ed ore per accontentarlo e che poi Pierino aveva
abbandonato pei Prandoni e pei Morziello. Sentì, a indossare di
nuovo quel vestito, una gioia curiosa, quasi paragonabile a quella
che deve provare un galeotto il quale svesta finalmente il suo camice
per indossare di nuovo un vestito d'uomo libero. Poi, quando fu
pronto, pensò al portafogli. Non poteva portare via il denaro di Eva
che aveva con sè. Contò: erano circa duemila lire... Contò e ricontò il
denaro. Fece un breve riassunto delle ultime spese, mise denaro e
riassunto in una busta, vi scrisse sopra con mano tremante il nome,
e, fra parentesi: «da parte del signor Balla.» Poi mise bene in vista la
lettera sul suo tavolinetto da notte. Nel portafogli cercò di nuovo.
Aveva, in un cantuccio, in una vecchia busta, un biglietto da cento,
suo, tutto suo, l'ultimo biglietto suo, ch'egli aveva gelosamente

conservato, così, per trovare, rovesciando ciò che dice il poeta, il
maggior piacere nel ricordarsi della miseria nel tempo felice. Quando
fu su la porta, striminzito nel suo vestitino troppo attillato, con sott'il
braccio l'involtino delle due camicie da notte e del ritratto della
mamma, si volse indietro a guardare la camera che lasciava, la vita
da cui fuggiva... E c'era lì, sul tavolino, in una piccola cornice ovale,
un ritrattino di Eva.
Un disgusto profondo di sè, di Eva, di Hampfel prese Pierino nel
vederlo. Corse infatti al tavolino, prese il ritrattino e sputò sul vetro
con un impeto cieco d'ira e di vergogna. Ebbe la tentazione di
gettarlo a terra, di schiacciarlo sott'i suoi piedi, ma non lo fece. Anzi,
cercò un asciugamani, rasciugò il vetro con cura, poi depose di
nuovo il medaglioncino su la tavola e si avviò di nuovo alla porta.
Ancora si volse a guardare. È vero: era la vergogna, l'inganno, la
frode, era l'orrore d'un tacito e osceno mercato. Ma era stata anche,
per un anno, per lui, la vita, il sogno... Sospirò, si passò le mani su
gli occhi lustri di lacrime. Poi fece per uscire. Ma una forza, il ricordo,
l'indomabile ricordo di Eva, lo ritrasse ancora indietro. Corse al
tavolino, prese il ritratto, lo mise nella tasca della sua vecchia
giacchetta, e, col fagottino sott'il braccio, col cuore fiero, con l'anima
umile e umiliata, col pianto che gli stringeva la gola sino a soffocarlo,
fuggì via verso le scale, scappò via come un ladro....
Come sono i timidi quelli che, una volta lanciati, si rivelano sovente i
più audaci, così sono i caratteri deboli quelli che, messi una volta alla
prova, si dimostrano i più forti. L'energia improvvisa è, come
l'ingegno improvvisatore, inconsapevole. L'uomo si trova ad essere
trasformato senza saperlo e, poichè non ha un'esatta visione della
trasformazione avvenuta, gli sembra, se gli avvenga di ricordare il
passato, assolutamente inconcepibile che gli sia stato un giorno
possibile di compiere azioni diverse da quelle che presentemente egli
compie. Così Pierino, rivalicata la frontiera e tornato in patria, vedeva
come un sogno, come un incubo, il ricordo di quel penultimo viaggio

che, la sera stessa della dichiarazione di guerra, l'aveva portato a
cercare quiete e scampo, in compagnia di sua moglie, in terra
elvetica libera e neutrale. Aveva passato le prime ore del viaggio di
ritorno in patria in quello stato d'abbattimento che segue lo sforzo
nervoso delle grandi crisi risolutive. Ma si compiaceva nel pensare
che l'improvvisa partenza e la mancanza di qualsiasi spiegazione tra
lui e sua moglie lo mettevano in una situazione singolarmente felice.
Infatti, poichè tutti ignoravano ch'egli avesse quella notte scoperto il
segreto del suo benessere coniugale e l'infortunio subito dal suo
amor proprio di marito, questo segreto poteva ancora esser creduto
tale per lui e quell'infortunio non lo esponeva, svelato, a quel ridicolo
che, per iniqua contraddizione tra cause ed effetti, accompagna
sempre, nelle crisi delle felicità domestiche e nelle contravvenzioni al
patto matrimoniale, non il coniuge colpevole ma il coniuge
innocente. Due o tre ore dopo la sua fuga, la notizia della sua
scomparsa doveva essere giunta ad Eva, a suo fratello e al major
Hampfel. Questa scomparsa non era stata evidentemente spiegata
se non ricollegandola al violento incidente prodottosi la sera prima
su la terrazza. Nessuno poteva dunque ricercare nella sua
mortificazione di marito ingannato le ragioni d'una fuga in cui non si
poteva discernere altra determinante se non l'improvviso ricupero
d'una sua coscienza d'italiano perduta sino allora nell'egemonia
austriaca che sua moglie esercitava.
Stabilito così che sua moglie non avrebbe potuto dare nell'albergo
intero altra spiegazione alla partenza di suo marito che quella d'un
improvviso ritorno in patria per compiere il suo dovere di soldato,
Pierino si rallegrò. Usciva da una vita indegna, è vero, ma con
un'uscita decorosa. E, se è esatto che un bel morir tutt'una vita
onora, anche una dimissione dalle funzioni di marito data a tempo e
data bene può riscattar la vergogna d'un lungo servizio troppo
docilmente prestato. In fondo, la sorte gli era benigna se salvava,
sott'il prestigio dell'amore patriottico, la vergogna del suo povero
amore coniugale così miseramente finito. Meno male! Ci sorrideva, ci
scherzava sopra, Pierino. Ma si sentiva però il cuore piccolo piccolo,
stretto stretto in un pugno, un pugno piccino, d'una mano che

stringeva, stringeva e aveva le dita lunghe, affusolate, così sottili che
sembravano artigli: la mano di Eva. E se l'ora terribile gli ritornava in
mente, se riviveva il momento in cui aveva veduto entrare il bel
maggiore in pigiama nella stanza di sua moglie, si sentiva salire il
rossore al volto e gli sembrava che tutti i suoi compagni di vagone
dovessero leggere in quel rossore la sua vergogna passata e la sua
vergogna presente.
Li guardò, questi compagni di vagone. Eran saliti in quel carrozzone
di terza classe dopo Genova e discendevano verso Roma come lui,
Pierino, discendeva verso Napoli per andare ad abbracciare a
Sorrento la sua povera mamma che lo credeva felice. Li ascoltò
parlare. Erano sbarcati a Genova quella mattina. Parlavano della città
con quell'ammirazione indeterminata che è propria dei viaggiatori
che non hanno avuto il tempo di vedere nulla. Ora, tra tunnel e
tunnel, guardavano i meravigliosi cantucci tra monte e mare della
Riviera di Levante. Guardavano il mare azzurrissimo, il cielo
splendidissimo della mattina d'estate. Guardavano il colore italiano,
con occhi meravigliati, come cosa nuova. E dicevano fra loro, con
grandi scoppii di voce, la loro meraviglia. La dicevano male, con un
italiano impacciato e duro, screziato ogni tanto di parole spagnuole.
Ora parlavano dell'Italia, della guerra necessaria, della vittoria certa,
della gioia e dell'onore di cooperare a conseguirla. D'un tratto uno di
loro si volse a Pierino:
— E' richiamato anche lei? domandò.
— No, rispose Pierino arrossendo, la mia classe non è ancora sotto le
armi ed io sono riformato. Ma vado a iscrivermi volontario anch'io,
nella mia città natale, a Napoli.
Tutti si volsero a guardarlo e Pierino vide in quegli sguardi qualche
cosa che somigliava a un sentimento di deferenza e d'ammirazione.
Arrossì, Pierino, anche di questo, che gli parve di aver rubato. Gli
altri intanto continuavano a parlare con lui, e, dopo avere
interrogato, adesso spiegavano.

— Veniamo tutti dalla Repubblica Argentina. Siamo figli d'italiani, ma
siamo tutti nati laggiù. Lo sente? Parliamo italiano con qualche
impaccio. Ma il cuore è tutto italiano. E appena l'Italia ha avuto
bisogno anche di noi, eccoci, siamo venuti.
Un altro disse:
— L'amavamo l'Italia, da lontano, quando la sentivamo prospera e
tranquilla. Più l'amiamo adesso, da vicino, che la sentiamo
impegnata, dinanzi al mondo, con tutt'il suo onore e tutta la sua
gloria. I nostri padri, laggiù, in Argentina, non la avevano mai
dimenticata e non vollero che noi l'ignorassimo. Ce la fecero
conoscere, ce la fecero amare, coi loro ricordi, nel loro rimpianto. E
ora siamo felici di servirla, pronti, se il nostro sacrificio occorre, a
morire per lei.
Tutti abbassarono gli occhi come raccogliendosi in quel pensiero. Poi
un altro esclamò:
— Ma per quanto ci avessero detto che era bella non potevamo certo
imaginarla così. E' più bella, più bella del nostro sogno. E' bella tanto
che non mi so spiegare.
Allora Pierino domandò:
— Ma non l'avevano mai veduta? Nessuno di loro? Non erano mai
stati, prima di oggi, in Italia?
— Mai, fu la risposta di tutti.
Il silenzio si chiuse su quella risposta. Poichè il treno correva adesso
lungo il litorale tutti fissarono gli sguardi, estatici, fuori degli sportelli.
E Pierino pensava a quei suoi compagni di viaggio, nati laggiù,
oltremare, fra altre genti, con altri costumi, in terre dove avevano i
loro affetti, i loro interessi, le loro abitudini, il passato, il loro
avvenire, la culla ov'erano nati, il po' di terra che doveva coprire il
loro ultimo sonno. Ed erano venuti, al primo invito, in Italia, a
servire, a morire se occorreva per questo paese che non
conoscevano, dove non avevano un affetto, un ricordo, un desiderio,
una speranza sola. Che cosa dunque li trascinava, così, da un

continente all'altro, attraverso l'Oceano insidiato, verso la morte
probabile, con l'occhio sfavillante di vita felice, se non un ideale, se
non una forza segreta che lega i figli ai padri, i padri agli avi, i vivi
alla terra ove giacciono i loro morti? E come aveva potuto lui, per
tanti mesi, essere sordo alla voce di quell'ideale che chiamava a
battersi e a morire tutta la gioventù d'un paese cui egli pure
apparteneva, cui egli pure era adesso felice, orgoglioso di
appartenere? In quale oblio di sè stesso la volontà dispotica d'una
donna straniera, d'una donna nemica, aveva potuto ridurlo? E come
cancellare adesso dal pensiero di lei l'idea che un marito italiano può
servire, abilmente sfruttato nel suo amore pei valzer viennesi, a
coprire la merce avariata della galanteria austriaca, se non facendole
vedere che, giunta l'ora, anche questo marito d'austriaca ricorda
d'essere italiano, corre là dove tutti gli altri combattono, pronto a
morire, se occorre, come tutti gli altri italiani, come anche questi
nuovi italiani d'oltre Oceano sanno eroicamente morire?
L'aveva consegnata al postino della sua compagnia, mezz'ora dopo
arrivato in trincea, la sua cartolina per il luogotenente Federico
Kramer, in Svizzera. Ci aveva scritto sopra, a grossi caratteri, Viva
l'Italia! e aveva riempito il colonnino delle indicazioni di recapito:
«Soldato Pierino Balla, reggimento fanteria... compagnia...
divisione... Zona di Guerra». Poi aveva preso dal suo portafogli un
ritrattino, il ritrattino di Eva. Ci aveva scritto dietro così: «Più adatto
per stare sul cuore d'un soldato austriaco, del «major» Hampfel, per
esempio». E aveva firmato: «Pierino Balla, soldato italiano». Poi,
chiusa la fotografia in una busta, consegnata anche questa al
postino, s'era sentito più leggero, più lieto, più pulito e, liquidato così
il suo passato, pronto a volgersi verso il suo avvenire, di là dalla
trincea.
Era in trincea, oramai, da due o tre ore. Mentre era in corso la sua
domanda d'ufficiale aveva voluto intanto servire come soldato e,
brigando assai più di quanto sua moglie aveva brigato per farlo

diventare concittadino di Guglielmo Tell, aveva chiesto e ottenuto di
essere mandato in prima linea, sùbito al fuoco, lassù, fra le nevi, in
quelle trincee ch'erano chiamate del Lenzuolo Bianco. Era giunto
lassù, poco dopo mezzogiorno, dopo una lunga marcia a piedi che
durava dall'alba. Aveva trovato, fra quei soldati, due amici: uno
ufficiale, l'altro soldato. E l'uno e l'altro, lassù, gli avevano stretto la
mano, forte, apertamente, cordialmente, come da quando era
ammogliato non gliel'avevano mai stretta a Roma, da Latour o da
Faraglia. E s'era sentito da quelle strette di mano rinnovare,
riconsacrare, rifare quasi da cima a fondo.
I soldati gli avevano detto:
— Sei arrivato per goderti le ore tranquille. Di giorno quelli là non
fiatano. Poi, quando è il tramonto, cominciano a sparare. Ci danno la
buona notte così. E' stato così ieri sera, l'altra sera, prima ancora...
— E sarà così anche stasera? aveva domandato Pierino senza
preoccupazione e senza spavalderia.
— E sarà così anche stasera, gli avevano risposto i compagni.
Poco dopo l'altro amico, l'ufficiale, l'aveva chiamato in disparte:
— Sei stato costretto a tornare in Italia?
— No, ero riformato e la mia classe non l'hanno riveduta.
— E allora?
— Sono volontario.
— Volontario? Bravo!...
E, dopo una pausa, con un lieve imbarazzo:
— E tua moglie?
— Mia moglie non poteva farmi dimenticare più a lungo il mio
dovere.
— Ed ha consentito a lasciarti partire?
— Sono fuggito.

L'ufficiale lo guardò in viso, lo vide fiero e commosso.
— Sei un bravo figliuolo, disse. Gli altri non lo credevano. Io l'ho
sempre pensato.
— Ero cieco: ora ci vedo, disse Pierino, semplicemente.
L'ufficiale gli strinse la mano. Poi s'accovacciò per terra e invitò
anche lui ad accovacciarsi:
— Bada. Ci vuol prudenza. Anche quando non ci si batte corron
nell'aria pallottole perdute che non si sa donde vengano, non si sa
dove vadano e ti còlgono inutilmente. Coraggio, ricòrdatelo, non vuol
dire imprudenza. Sacrificarsi, sì, ma quando sacrificarsi è necessario.
Sono qui dal principio della guerra. Quanti ne ho visti morire! Ma
quelli che veramente ho pianti sono quelli che il caso, assurdamente,
ha uccisi, quelli che sono morti senza fare un passo, senza saperlo,
senza aspettarselo, quelli che un po' di prudenza avrebbe
risparmiati. Darla la vita, sì, ma a caro prezzo. Se no, i conti non
tornano. E i conti devono tornare.
Ancora gli prese la mano e gliela strinse più forte dell'altra volta:
— Oggi ci sono. Stasera forse non ci sarò più. Sono mesi, oramai,
che viviamo ora per ora, minuto per minuto. Ma mi ha fatto piacere
di rivederti, di avere il tempo di rivederti qui, con noi. Era impossibile
che tu non fossi venuto. Il sonno della coscienza non è morte, è
sonno da cui si ritorna. E ci si sveglia con un'anima nuova.
Imboscato, marito di un'austriaca, ti credo adesso capace di fare
prodigi.
— Sono un soldato come tutti gli altri, mormorò umilmente Pierino.
L'ufficiale aggiunse:
— La lotta, è dura, lenta, terribile. Ma vinceremo. Ne sono sicuro. Ne
siamo tutti sicuri. Tanto sangue non può essere versato invano.
Tanto dolore non può essere inutile.
La voce del comandante della compagnia chiamò l'ufficiale
dall'angolo opposto della trincea. Questi si levò e si levò Pierino.

— Arrivederci, Pierino, disse l'ufficiale allontanandosi e salutandolo
con la mano.
E sorrise vedendo Pierino su l'attenti, immobile, impassibile, con la
mano alla visiera del berretto e gli occhi buoni che lo fissavano
riconoscenti per averlo accolto così, come un buon figliuolo, come un
bravo soldato.
Chiamarono, i compagni, Pierino. Erano distesi per terra in gruppo,
con le teste appoggiate su le gambe d'un compagno, su la terra
della trincea, su lo zaino o su la coperta da campo. C'era fra loro
l'altro amico di Pierino.
— Vieni qui, gli dissero. S'aspetta in pace l'ora del tè.
— E dei biscotti, aggiunse un altro, mostrando il fucile.
— Tè austriaco, strillò un terzo, e biscottini italiani!
E, sollevandosi sul braccio, guardando fuori dal muretto che li
riparava, mettendo la mano alla bocca come per aiutare la voce a
giungere sino all'opposta trincea, gridò con quanto fiato aveva in
gola:
— Attenti alle indigestioni, Kamarades!
Risero, cantarono. Uno attaccò il valzer della Vedova Allegra. Gli altri
fecero coro. Poi fu la volta del Conte di Lussemburgo. Poi quella del
Sogno d'un Valzer, il valzer di Franzi:
Laggiù nel silente giardino...
Tutto ritornò, a quel richiamo, nell'animo di Pierino, tutta l'ultima
sera, tutta l'ultima notte della sua vita passata, abolita, della sua vita
da dimenticare e da riscattare.
Canta e poi trilla,
valzer d'amor...
Il tenorino grigio-verde stonò. Lo coprì un coro d'invettive, una salva
di fischi. Rispondeva ridendo:

— Fischiate pure. Fischi che non fan male. Non sono mica pallottole.
— Verranno anche quelle, tra poco, disse un altro ridendo e intonò il
valzer di Lehar:
Sei tu, felicità...
Uno interruppe:
— Bella musica, però... Se non avessero che i valzer si potrebbe
anche voler bene a quella gente...
Il vento portò dalla opposta trincea un canto: era musica italiana con
parole tedesche. Un tenorino austriaco cantava Cavalleria.
— Cortesia con cortesia, disse l'amico di Pierino. Rispondiamo col
valzer del Conte, ma cantato a dovere. Tu, Pierino, che hai una bella
voce...
— Non so. Non ricordo..., mormorò Pierino assorto.
— Non sai? Non ricordi? Erano i tuoi cavalli di battaglia... Non
cantavi che quelli...
— Ma ora non li canto più...
— Non ami più la musica?...
— Sì, ma un'altra...
— Quale?
— Una bella canzone, una bella canzone italiana...
— E faccela allora sentire...
— Fuori il fiato, recluta!
— Ordine degli anziani: sgòlati!
Pierino rispose pianamente, assorto, scansando le insistenze con un
gesto della mano:
— Più tardi.
Gli altri insistettero:

— Quando?
E ancora Pierino, a bassa voce, gli occhi intenti, il cuore lontano:
— Più tardi.
Ma tutti eran tenori lassù e tre o quattro voci insieme ripresero il Sei
tu, felicità... Pierino ascoltava, sempre immobile, disteso, poggiato il
gomito a terra, la testa appoggiata su la palma. Rivedeva Vienna, il
Prater, la passeggiata notturna con Eva, risentiva nella voce di lei,
sospirato, carezzato, il dolce valzer sentimentale.
D'un tratto, il valzer si spezzò. Gli ufficiali accorsero, diedero ordini
nervosi, secchi, precisi. Dall'altra parte non si cantava più. Il cielo, il
grande cielo alpino, si era tutto coperto di veli rosei. Il sole era
scomparso laggiù, dietro la montagna bianca di neve. E una voce
beffarda, accanto a Pierino, mentre i soldati si levavano, mentre
occupavano il loro posto in trincea, commentò:
— L'ora del tè!
Un ufficiale parlò:
— Ragazzi, oggi si comincia noi. Vivi o morti bisogna uscire da qui,
snidarli dalla loro tana...
La voce beffarda commentò ancora:
— Oggi prima i biscotti e dopo il tè....
Ordini, voci, movimenti, corsero, nervosi, sommessi, per la trincea. A
un ordine le baionette furono su le canne dei fucili. Poi un ufficiale,
l'amico di Pierino, gridò:
— Avanti, figliuoli. Savoia!
E, la rivoltella in pugno, fu primo su l'orlo della trincea, primo in
campo aperto. Gli altri, come un sol uomo, seguirono, si lanciarono
come un sol uomo contro la trincea nemica, sotto una grandine di
pallottole, mentre le mitragliatrici nemiche cominciavano a crepitare.
Mentre correva con gli altri, Pierino si volse ai compagni:
— Adesso canto, amici!

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