Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas Second Edition Second Dennis S Bernstein

Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas
Second Edition Second Dennis S Bernstein
download
https://ebookbell.com/product/matrix-mathematics-theory-facts-
and-formulas-second-edition-second-dennis-s-bernstein-51952850
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas With Application To
Linear Systems Theory 1st Edition Dennis S Bernstein
https://ebookbell.com/product/matrix-mathematics-theory-facts-and-
formulas-with-application-to-linear-systems-theory-1st-edition-dennis-
s-bernstein-50142526
Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas 2ed Bernstein D
https://ebookbell.com/product/matrix-mathematics-theory-facts-and-
formulas-2ed-bernstein-d-2041046
Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas Dennis S Bernstein
https://ebookbell.com/product/matrix-mathematics-theory-facts-and-
formulas-dennis-s-bernstein-34750446
Scalar Vector And Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas Revised
And Expanded Edition Dennis S Bernstein
https://ebookbell.com/product/scalar-vector-and-matrix-mathematics-
theory-facts-and-formulas-revised-and-expanded-edition-dennis-s-
bernstein-51945418

Scalar Vector And Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas Revised
And Expanded Edition Revised Expanded Edition
https://ebookbell.com/product/scalar-vector-and-matrix-mathematics-
theory-facts-and-formulas-revised-and-expanded-edition-revised-
expanded-edition-34752074
Matrix Theory From Generalized Inverses To Jordan Form Chapman Hall
Crc Pure And Applied Mathematics 1st Edition Robert Piziak
https://ebookbell.com/product/matrix-theory-from-generalized-inverses-
to-jordan-form-chapman-hall-crc-pure-and-applied-mathematics-1st-
edition-robert-piziak-2488566
The Random Matrix Theory Of The Classical Compact Groups Cambridge
Tracts In Mathematics 1st Edition Elizabeth S Meckes
https://ebookbell.com/product/the-random-matrix-theory-of-the-
classical-compact-groups-cambridge-tracts-in-mathematics-1st-edition-
elizabeth-s-meckes-11300550
Introduction To Matrix Theory With Applications In Economics And
Engineering Ferenc Szidarovszky
https://ebookbell.com/product/introduction-to-matrix-theory-with-
applications-in-economics-and-engineering-ferenc-szidarovszky-53987470
Matrix Theory Xingzhi Zhan
https://ebookbell.com/product/matrix-theory-xingzhi-zhan-4648458

Matrix Mathematics

Range Herm
itian
Group Invertible
Normal
Hermitian
Positive Semidefinite
Skew Hermitian

Skew Reflectors
Projectors
Positive
Definite
Nilpotent
Reflectors
Unitary
O

Matrix Mathematics
Theory, Facts, and Formulas
Dennis S. Bernstein
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
PRINCETON AND OXFORD

Copyrightc2009 by Princeton University Press
Published by Princeton University Press,
41 William Street, Princeton, New Jersey 08540
In the United Kingdom: Princeton University Press,
6 Oxford Street, Woodstock, Oxfordshire, 0X20 1TW
All Rights Reserved
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Bernstein, Dennis S., 1954–
Matrix mathematics: theory, facts, and formulas / Dennis S. Bernstein. – 2nd ed.
p. cm.
Includes bibliographical references and index.
ISBN 978-0-691-13287-7 (hardcover : alk. paper)
ISBN 978-0-691-14039-1 (pbk. : alk. paper)
1. Matrices. 2. Linear systems. I. Title.
QA188.B475 2008
512.9’434—dc22
2008036257
British Library Cataloging-in-Publication Data is available
This book has been composed in Computer Modern and Helvetica.
The publisher would like to acknowledge the author of this volume for providing the
camera-ready copy from which this book was printed.
Printedonacid-freepaper.∞
press.princeton.edu
Printed in the United States of America
10987654321

Tothememoryofmyparents,
Irma Shorrie (Hirshon) Bernstein and Milton Bernstein,
whose love and guidance are everlasting

...vessels, unable to contain the great light ﬂowing into them, shatter and
break....the remains of the broken vessels fall...into the lowest world, where
they remain scattered and hidden
—D.W.MenziandZ.Padeh,
The Tree of Life, Chayyim Vital’s
Introduction to the Kabbalah of
Isaac Luria, Jason Aaronson,
Northvale, 1999
Thor...placed the horn to his lips...He drank with all his might and kept
drinking as long as ever he was able; when he paused to look, he could see that the
level had sunk a little,...for the other end lay out in the ocean itself.
— P. A. Munch,Norse Mythology,
AMS Press, New York, 1970

Contents
Preface to the Second Edition xv
Preface to the First Edition xvii
Special Symbols xxi
Conventions, Notation, and Terminology xxxiii
1. Preliminaries 1
1.1 Logic 1
1.2 Sets 2
1.3 Integers, Real Numbers, and Complex Numbers 3
1.4 Functions 4
1.5 Relations 6
1.6 Graphs 9
1.7 Facts on Logic, Sets, Functions, and Relations 11
1.8 Facts on Graphs 15
1.9 Facts on Binomial Identities and Sums 16
1.10 Facts on Convex Functions 23
1.11 Facts on Scalar Identities and Inequalities in One Variable 25
1.12 Facts on Scalar Identities and Inequalities in Two Variables33
1.13 Facts on Scalar Identities and Inequalities in Three Variables42
1.14 Facts on Scalar Identities and Inequalities in Four Variables50
1.15 Facts on Scalar Identities and Inequalities in Six Variables52
1.16 Facts on Scalar Identities and Inequalities in Eight Variables52
1.17 Facts on Scalar Identities and Inequalities innVariables 52
1.18 Facts on Scalar Identities and Inequalities in2nVariables 66
1.19 Facts on Scalar Identities and Inequalities in3nVariables 74
1.20 Facts on Scalar Identities and Inequalities in Complex Variables74
1.21 Facts on Trigonometric and Hyperbolic Identities 81
1.22 Notes 84
2. Basic Matrix Properties 85
2.1 Matrix Algebra 85
2.2 Transpose and Inner Product 92
2.3 Convex Sets, Cones, and Subspaces 97
2.4 Range and Null Space 101

x CONTENTS
2.5 Rank and Defect 104
2.6 Invertibility 106
2.7 The Determinant 111
2.8 Partitioned Matrices 115
2.9 Facts on Polars, Cones, Dual Cones, Convex Hulls, and
Subspaces 119
2.10 Facts on Range, Null Space, Rank, and Defect 124
2.11 Facts on the Range, Rank, Null Space, and Defect of
Partitioned Matrices 130
2.12 Facts on the Inner Product, Outer Product, Trace, and
Matrix Powers 136
2.13 Facts on the Determinant 139
2.14 Facts on the Determinant of Partitioned Matrices 144
2.15 Facts on Left and Right Inverses 152
2.16 Facts on the Adjugate and Inverses 153
2.17 Facts on the Inverse of Partitioned Matrices 159
2.18 Facts on Commutators 161
2.19 Facts on Complex Matrices 164
2.20 Facts on Geometry 167
2.21 Facts on Majorization 175
2.22 Notes 178
3. Matrix Classes and Transformations 179
3.1 Matrix Classes 179
3.2 Matrices Related to Graphs 184
3.3 Lie Algebras and Groups 185
3.4 Matrix Transformations 188
3.5 Projectors, Idempotent Matrices, and Subspaces 190
3.6 Facts on Group-Invertible and Range-Hermitian Matrices 191
3.7 Facts on Normal, Hermitian, and Skew-Hermitian Matrices 192
3.8 Facts on Commutators 199
3.9 Facts on Linear Interpolation 200
3.10 Facts on the Cross Product 202
3.11 Facts on Unitary and Shifted-Unitary Matrices 205
3.12 Facts on Idempotent Matrices 215
3.13 Facts on Projectors 223
3.14 Facts on Reﬂectors 229
3.15 Facts on Involutory Matrices 230
3.16 Facts on Tripotent Matrices 231
3.17 Facts on Nilpotent Matrices 232
3.18 Facts on Hankel and Toeplitz Matrices 234
3.19 Facts on Tridiagonal Matrices 237
3.20 Facts on Hamiltonian and Symplectic Matrices 238
3.21 Facts on Matrices Related to Graphs 240
3.22 Facts on Triangular, Irreducible, Cauchy, Dissipative,
Contractive, and Centrosymmetric Matrices 240
3.23 Facts on Groups 242
3.24 Facts on Quaternions 247
3.25 Notes 252

CONTENTS xi
4. Polynomial Matrices and Rational Transfer Functions 253
4.1 Polynomials 253
4.2 Polynomial Matrices 256
4.3 The Smith Decomposition and Similarity Invariants 258
4.4 Eigenvalues 261
4.5 Eigenvectors 267
4.6 The Minimal Polynomial 269
4.7 Rational Transfer Functions and the Smith-McMillan
Decomposition 271
4.8 Facts on Polynomials and Rational Functions 276
4.9 Facts on the Characteristic and Minimal Polynomials 282
4.10 Facts on the Spectrum 288
4.11 Facts on Graphs and Nonnegative Matrices 297
4.12 Notes 307
5. Matrix Decompositions 309
5.1 Smith Form 309
5.2 Multicompanion Form 309
5.3 Hypercompanion Form and Jordan Form 314
5.4 Schur Decomposition 318
5.5 Eigenstructure Properties 321
5.6 Singular Value Decomposition 328
5.7 Pencils and the Kronecker Canonical Form 330
5.8 Facts on the Inertia 334
5.9 Facts on Matrix Transformations for One Matrix 338
5.10 Facts on Matrix Transformations for Two or More Matrices 345
5.11 Facts on Eigenvalues and Singular Values for One Matrix 350
5.12 Facts on Eigenvalues and Singular Values for Two or More
Matrices 362
5.13 Facts on Matrix Pencils 369
5.14 Facts on Matrix Eigenstructure 369
5.15 Facts on Matrix Factorizations 377
5.16 Facts on Companion, Vandermonde, Circulant, and Hadamard
Matrices 385
5.17 Facts on Simultaneous Transformations 391
5.18 Facts on the Polar Decomposition 393
5.19 Facts on Additive Decompositions 394
5.20 Notes 396
6. Generalized Inverses 397
6.1 Moore-Penrose Generalized Inverse 397
6.2 Drazin Generalized Inverse 401
6.3 Facts on the Moore-Penrose Generalized Inverse for One Matrix404
6.4 Facts on the Moore-Penrose Generalized Inverse for Two or
More Matrices 411
6.5 Facts on the Moore-Penrose Generalized Inverse for
Partitioned Matrices 422
6.6 Facts on the Drazin and Group Generalized Inverses 431
6.7 Notes 438

xii CONTENTS
7. Kronecker and Schur Algebra 439
7.1 Kronecker Product 439
7.2 Kronecker Sum and Linear Matrix Equations 443
7.3 Schur Product 444
7.4 Facts on the Kronecker Product 445
7.5 Facts on the Kronecker Sum 450
7.6 Facts on the Schur Product 454
7.7 Notes 458
8. Positive-Semideﬁnite Matrices 459
8.1 Positive-Semideﬁnite and Positive-Deﬁ nite Orderings 459
8.2 Submatrices 461
8.3 Simultaneous Diagonalization 465
8.4 Eigenvalue Inequalities 467
8.5 Exponential, Square Root, and Logarithm of Hermitian Matrices473
8.6 Matrix Inequalities 474
8.7 Facts on Range and Rank 486
8.8 Facts on Structured Positive-Semideﬁ nite Matrices 488
8.9 Facts on Identities and Inequalities for One Matrix 495
8.10 Facts on Identities and Inequalities for Two or More Matrices501
8.11 Facts on Identities and Inequalities for Partitioned Matrices514
8.12 Facts on the Trace 523
8.13 Facts on the Determinant 533
8.14 Facts on Convex Sets and Convex Functions 543
8.15 Facts on Quadratic Forms 550
8.16 Facts on the Gaussian Density 556
8.17 Facts on Simultaneous Diagonalization 558
8.18 Facts on Eigenvalues and Singular Values for One Matrix 559
8.19 Facts on Eigenvalues and Singular Values for Two or More
Matrices 564
8.20 Facts on Alternative Partial Orderings 574
8.21 Facts on Generalized Inverses 577
8.22 Facts on the Kronecker and Schur Products 584
8.23 Notes 595
9. Norms 597
9.1 Vector Norms 597
9.2 Matrix Norms 601
9.3 Compatible Norms 604
9.4 Induced Norms 607
9.5 Induced Lower Bound 613
9.6 Singular Value Inequalities 615
9.7 Facts on Vector Norms 618
9.8 Facts on Matrix Norms for One Matrix 627
9.9 Facts on Matrix Norms for Two or More Matrices 636
9.10 Facts on Matrix Norms for Partitioned Matrices 649
9.11 Facts on Matrix Norms and Eigenvalues for One Matrix 653
9.12 Facts on Matrix Norms and Eigenvalues for Two or More Matrices656
9.13 Facts on Matrix Norms and Singular Values for One Matrix 659

CONTENTS xiii
9.14 Facts on Matrix Norms and Singular Values for Two or More
Matrices 665
9.15 Facts on Linear Equations and Least Squares 676
9.16 Notes 680
10. Functions of Matrices and Their Derivatives 681
10.1 Open Sets and Closed Sets 681
10.2 Limits 682
10.3 Continuity 684
10.4 Derivatives 685
10.5 Functions of a Matrix 688
10.6 Matrix Square Root and Matrix Sign Functions 690
10.7 Matrix Derivatives 690
10.8 Facts on One Set 693
10.9 Facts on Two or More Sets 695
10.10 Facts on Matrix Functions 698
10.11 Facts on Functions 699
10.12 Facts on Derivatives 701
10.13 Facts on Inﬁ nite Series 704
10.14 Notes 705
11. The Matrix Exponential and Stability Theory 707
11.1 Deﬁ nition of the Matrix Exponential 707
11.2 Structure of the Matrix Exponential 710
11.3 Explicit Expressions 715
11.4 Matrix Logarithms 718
11.5 Principal Logarithm 720
11.6 Lie Groups 722
11.7 Lyapunov Stability Theory 725
11.8 Linear Stability Theory 726
11.9 The Lyapunov Equation 730
11.10 Discrete-Time Stability Theory 734
11.11 Facts on Matrix Exponential Formulas 736
11.12 Facts on the Matrix Sine and Cosine 742
11.13 Facts on the Matrix Exponential for One Matrix 743
11.14 Facts on the Matrix Exponential for Two or More Matrices 746
11.15 Facts on the Matrix Exponential and Eigenvalues,
Singular Values, and Norms for One Matrix 756
11.16 Facts on the Matrix Exponential and Eigenvalues,
Singular Values, and Norms for Two or More Matrices 759
11.17 Facts on Stable Polynomials 763
11.18 Facts on Stable Matrices 766
11.19 Facts on Almost Nonnegative Matrices 774
11.20 Facts on Discrete-Time-Stable Polynomials 777
11.21 Facts on Discrete-Time-Stable Matrices 782
11.22 Facts on Lie Groups 786
11.23 Facts on Subspace Decomposition 786
11.24 Notes 793

xiv CONTENTS
12. Linear Systems and Control Theory 795
12.1 State Space and Transfer Function Models 795
12.2 Laplace Transform Analysis 798
12.3 The Unobservable Subspace and Observability 800
12.4 Observable Asymptotic Stability 805
12.5 Detectability 807
12.6 The Controllable Subspace and Controllability 808
12.7 Controllable Asymptotic Stability 816
12.8 Stabilizability 820
12.9 Realization Theory 822
12.10 Zeros 830
12.11 H
2
System Norm 838
12.12 Harmonic Steady-State Response 841
12.13 System Interconnections 842
12.14 Standard Control Problem 845
12.15 Linear-Quadratic Control 847
12.16 Solutions of the Riccati Equation 850
12.17 The Stabilizing Solution of the Riccati Equation 855
12.18 The Maximal Solution of the Riccati Equation 859
12.19 Positive-Semideﬁnite and Positive-Deﬁ nite Solutions of the
Riccati Equation 862
12.20 Facts on Stability, Observability, and Controllability 863
12.21 Facts on the Lyapunov Equation and Inertia 866
12.22 Facts on Realizations and the H
2
System Norm 872
12.23 Facts on the Riccati Equation 875
12.24 Notes 879
Bibliography 881
Author Index 967
Index 979

Preface to the Second Edition
This second edition ofMatrix Mathematicsrepresents a major expansion of
the original work. While the total number of pages is increased 57% from 752 to
1181, the increase is actually greater since this edition is typeset in a smaller font
to facilitate a manageable physical size.
The second edition expands on the ﬁrst edition in several ways. For example,
the new version includes material on graphs (developed within the framework of
relations and partially ordered sets), as well as alternative partial orderings of
matrices, such as rank subtractivity, star, and generalized L¨owner. This edition also
includes additional material on the Kronecker canonical form and matrix pencils;
matrix representations of ﬁnite groups; zeros of multi-input, multi-output transfer
functions; equalities and inequalities for real and complex numbers; bounds on the
roots of polynomials; convex functions; and vector and matrix norms.
The additional material as well as works published subsequent to the ﬁrst
edition increased the number of cited works from 820 to 1540, an increase of 87%.
To increase the utility of the bibliography, this edition uses the “back reference”
feature of LATEX, which indicates where each reference is cited in the text. As in
the ﬁrst edition, the second edition includes an author index. The expansion of the
ﬁrst edition resulted in an increase in the size of the index from 108 pages to 161
pages.
The ﬁrst edition included 57 problems, while the current edition has 74.
These problems represent extensions or generalizations of known results, sometimes
motivated by gaps in the literature.
In this edition, I have attempted to correct all errors that appeared in the
ﬁrst edition. As with the ﬁrst edition, readers are encouraged to contact me about
errors or omissions in the current edition, which I will periodically update on my
home page.
Acknowledgments
I am grateful to many individuals who kindly provided advice and mate-
rial for this edition. Some readers alerted me to errors, while others suggested
additional material. In other cases I sought out researchers to help me under-
stand the precise nature of interesting results. At the risk of omitting those who
were helpful, I am pleased to acknowledge the following: Mark Balas, Jason Bern-
stein, Sanjay Bhat, Gerald Bourgeois, Adam Brzezinski, Francesco Bullo, Vijay

xvi PREFACE TO THE SECOND EDITION
Chellaboina, Naveena Crasta, Anthony D’Amato, Sever Dragomir, Bojana Drincic,
Harry Dym, Matthew Fledderjohn, Haoyun Fu, Masatoshi Fujii, Takayumi Furuta,
Steven Gillijns, Rishi Graham, Wassim Haddad, Nicholas Higham, Diederich Hin-
richsen, Matthew Holzel, Qing Hui, Masatoshi Ito, Iman Izadi, Pierre Kabamba,
Marthe Kassouf, Christopher King, Siddharth Kirtikar, Michael Margliot, Roy
Mathias, Peter Mercer, Alex Olshevsky, Paul Otanez, Bela Palancz, Harish Palanth-
andalam-Madapusi, Fotios Paliogiannis, Isaiah Pantelis, Wei Ren, Ricardo Sanfe-
lice, Mario Santillo, Amit Sanyal, Christoph Schmoeger, Demetrios Serakos, Wasin
So, Robert Sullivan, DoganSumer, Yongge Tian, G¨otz Trenkler, Panagiotis Tsio-
tras, Takeaki Yamazaki, Jin Yan, Masahiro Yanagida, Vera Zeidan, Chenwei Zhang,
Fuzhen Zhang, and Qing-Chang Zhong.
As with the ﬁrst edition, I am especially indebted to my family, who endured
four more years of my consistent absence tomake this revision a reality. It is clear
that any attempt to fully embrace the enormous body of mathematics known as
matrix theory is a neverending task. After devoting more than two decades to this
project of reassembling the scattered shards, I remain, like Thor, barely able to
perceive a dent in the vast knowledge that resides in the hundreds of thousands of
pages devoted to this fascinating and incredibly useful subject. Yet, it is my hope
that this book will prove to be valuable to everyone who uses matrices, and will
inspire interest in a mathematical construction whose secrets and mysteries have
no bounds.
Dennis S. Bernstein
Ann Arbor, Michigan
[email protected]
March 2009

Preface to the First Edition
The idea for this book began with the realization that at the heart of the
solution to many problems in science, mathematics, and engineering often lies a
“matrix fact,” that is, an identity, inequality, or property of matrices that is crucial
to the solution of the problem. Although there are numerous excellent books on
linear algebra and matrix theory, no one book contains all or even most of the vast
number of matrix facts that appear throughout the scientiﬁc, mathematical, and
engineering literature. This book is an attempt to organize many of these facts into
a reference source for users of matrixtheory in diverse applications areas.
Viewed as an extension of scalar mathematics, matrix mathematics pro-
vides the means to manipulate and analyze multidimensional quantities. Matrix
mathematics thus provides powerful tools for a broad range of problems in sci-
ence and engineering. For example, the matrix-based analysis of systems of or-
dinary diﬀerential equations accounts for interaction among all of the state vari-
ables. The discretization of partial diﬀerential equations by means of ﬁnite dif-
ferences and ﬁnite elements yields linear algebraic or diﬀerential equations whose
matrix structure reﬂects the nature of physical solutions [1269]. Multivariate prob-
ability theory and statistical analysis use matrix methods to represent probabil-
ity distributions, to compute moments, and to perform linear regression for data
analysis [517, 621, 671, 720, 972, 1212]. The study of linear diﬀerential equations
[709, 710, 746] depends heavily on matrix analysis, while linear systems and control
theory are matrix-intensive areas of engineering [3, 68, 146, 150, 319, 321, 356, 379,
381, 456, 515, 631, 764, 877, 890, 960, 1121, 1174, 1182, 1228, 1232, 1243, 1368,
1402, 1490, 1535]. In addition, matrices are widely used in rigid body dynamics
[28, 745, 753, 811, 829, 874, 995, 1053, 1095, 1096, 1216, 1231, 1253, 1384], struc-
tural mechanics [888, 1015, 1127], computational ﬂuid dynamics [313, 492, 1460],
circuit theory [32], queuing and stochastic systems [659, 944, 1061], econometrics
[413, 973, 1146], geodesy [1272], game theory [229, 924, 1264], computer graph-
ics [65, 511], computer vision [966], optimization [259, 382, 978], signal processing
[720, 1193, 1395], classical and quantum information theory [361, 720, 1069, 1113],
communications systems [800, 801], statistics [594, 671, 973, 1146, 1208], statisti-
cal mechanics [18, 163, 164, 1406], demography [305, 828], combinatorics, networks,
and graph theory [132, 169, 183, 227, 239, 270, 272, 275, 310, 311, 343, 282, 371, 415,
438, 494, 514, 571, 616, 654, 720, 868, 945, 956, 1172, 1421], optics [563, 677, 820],
dimensional analysis [658, 1283], and number theory [865].

xviii PREFACE TO THE FIRST EDITION
In all applications involving matrices, computational techniques are essen-
tial for obtaining numerical solutions. The development of eﬃcient and reliable
algorithms for matrix computations is therefore an important area of research that
has been extensively developed [98, 312, 404, 583, 699, 701, 740, 774, 1255, 1256,
1258, 1260, 1347, 1403, 1461, 1465, 1467, 1513]. To facilitate the solution of matrix
problems, entire computer packages have been developed using the language of ma-
trices. However, this book is concerned with the analytical properties of matrices
rather than their computational aspects.
This book encompasses a broad range of fundamental questions in matrix
theory, which, in many cases can be viewedasextensionsofrelated questions in
scalar mathematics. A few such questions follow.
What are the basic properties of matrices? How can matrices be
characterized, classiﬁed, and quantiﬁed?
How can a matrix be decomposed into simpler matrices? A matrix
decomposition may involve addition, multiplication, and partition.
Decomposing a matrix into its fundamental components provides
insight into its algebraic and geometric properties. For example, the
polar decomposition states that every square matrix can be written
as the product of a rotation and a dilation analogous to the polar
representation of a complex number.
Given a pair of matrices havingcertain properties, what can be
inferred about the sum, product, and concatenation of these matrices?
In particular, if a matrix has a given property, to what extent does that
property change or remain unchanged if the matrix is perturbed by
another matrix of a certain type by means of addition, multiplication,
or concatenation? For example, if a matrix is nonsingular, how large
can an additive perturbation to that matrix be without the sum
becoming singular?
How can properties of a matrix be determined by means of simple
operations? For example, how can the location of the eigenvalues of a
matrix be estimated directly in terms of the entries of the matrix?
To what extent do matrices satisfy the formal properties of the real
numbers? For example, while 0≤a≤bimplies thata
r
≤b
r
for real
numbersa, band a positive integerr,whendoes0≤A≤Bimply
A
r
≤B
r
for positive-semideﬁnite matricesAandBandwiththe
positive-semideﬁnite ordering?
Questions of these types have occupiedmatrix theorists for at least a cen-
tury, with motivation from diverse applications. The existing scope and depth of
knowledge are enormous. Taken together, this body of knowledge provides a pow-
erful framework for developing and analyzing models for scientiﬁc and engineering
applications.

PREFACE TO THE FIRST EDITION xix
This book is intended to be useful to at least four groups of readers. Since
linear algebra is a standard course in the mathematical sciences and engineering,
graduate students in these ﬁelds can use this book to expand the scope of their
linear algebra text. For instructors, many of the facts can be used as exercises to
augment standard material in matrix courses. For researchers in the mathematical
sciences, including statistics, physics, and engineering, this book can be used as
a general reference on matrix theory. Finally, for users of matrices in the applied
sciences, this book will provide access to alarge body of results in matrix theory.
By collecting these results in a single source, it is my hope that this book will prove
to be convenient and useful for a broad range of applications. The material in this
book is thus intended to complement the large number of classical and modern texts
and reference works on linear algebra and matrix theory [11, 384, 516, 554, 555,
572, 600, 719, 812, 897, 964, 981, 988, 1033, 1072, 1078, 1125, 1172, 1225, 1269].
After a review of mathematical preliminaries in Chapter 1, fundamental
properties of matrices are described in Chapter 2. Chapter 3 summarizes the
major classes of matrices and various matrix transformations. In Chapter 4 we
turn to polynomial and rational matrices whose basic properties are essential for
understanding the structure of constant matrices. Chapter 5 is concerned with
various decompositions of matrices including the Jordan, Schur, and singular value
decompositions. Chapter 6 provides a brief treatment of generalized inverses, while
Chapter 7 describes the Kronecker and Schur product operations. Chapter 8 is con-
cerned with the properties of positive-semideﬁnite matrices. A detailed treatment
of vector and matrix norms is given in Chapter 9, while formulas for matrix deriva-
tives are given in Chapter 10. Next, Chapter 11 focuses on the matrix exponential
and stability theory, which are central to the study of linear diﬀerential equations.
In Chapter 12 we apply matrix theory to the analysis of linear systems, their state
space realizations, and their transfer function representation. This chapter also
includes a discussion of the matrix Riccati equation of control theory.
Each chapter provides a core of results with, in many cases, complete proofs.
Sections at the end of each chapter provide a collection of Facts organized to cor-
respond to the order of topics in the chapter. These Facts include corollaries and
special cases of results presented in the chapter, as well as related results that go
beyond the results of the chapter. In some cases the Facts include open problems,
illuminating remarks, and hints regarding proofs. The Facts are intended to provide
the reader with a useful reference collection of matrix results as well as a gateway
to the matrix theory literature.
Acknowledgments
The writing of this book spanned more than a decade and a half, during
which time numerous individuals contributed both directly and indirectly. I am
grateful for the helpful comments of many people who contributed technical mate-
rial and insightful suggestions, all of which greatly improved the presentation and
content of the book. In addition, numerous individuals generously agreed to read
sections or chapters of the book for clarity and accuracy. I wish to thank Jasim
Ahmed, Suhail Akhtar, David Bayard, Sanjay Bhat, Tony Bloch, Peter Bullen,
Steve Campbell, Agostino Capponi, Ramu Chandra, Jaganath Chandrasekhar,
Nalin Chaturvedi, Vijay Chellaboina, Jie Chen, David Clements, Dan Davison,

xx PREFACE TO THE FIRST EDITION
Dimitris Dimogianopoulos, Jiu Ding, D. Z. Djokovic, R. Scott Erwin, R. W. Fare-
brother, Danny Georgiev, Joseph Grcar, Wassim Haddad, Yoram Halevi, Jesse
Hoagg, Roger Horn, David Hyland, Iman Izadi, Pierre Kabamba, Vikram Kapila,
Fuad Kittaneh, Seth Lacy, Thomas Laﬀey, Cedric Langbort, Alan Laub, Alexan-
der Leonessa, Kai-Yew Lum, Pertti Makila, Roy Mathias, N. Harris McClamroch,
Boris Mordukhovich, Sergei Nersesov, JinHyoung Oh, Concetta Pilotto, Harish
Palanthandalum-Madapusi, Michael Piovoso, Leiba Rodman, Phil Roe, Carsten
Scherer, Wasin So, Andy Sparks, Edward Tate, Yongge Tian, Panagiotis Tsiotras,
Feng Tyan, Ravi Venugopal, Jan Willems, Hong Wong, Vera Zeidan, Xingzhi Zhan,
and Fuzhen Zhang for their assistance. Nevertheless, I take full responsibility for
any remaining errors, and I encourage readers to alert me to any mistakes, correc-
tions of which will be posted on the web. Solutions to the open problems are also
welcome.
Portions of the manuscript were typed by Jill Straehla and Linda Smith at
Harris Corporation, and by Debbie Laird, Kathy Stolaruk, and Suzanne Smith at
the University of Michigan. John Rogosich of Techsetters, Inc., provided invaluable
assistance with LATEX issues, and Jennifer Slater carefully copyedited the entire
manuscript. I also thank JinHyoung Oh and Joshua Kang for writing C code to
reﬁne the index.
I especially thank Vickie Kearn of Princeton University Press for her wise
guidance and constant encouragement. Vickie managed to address all of my con-
cerns and anxieties, and helped me improve the manuscript in many ways.
Finally, I extend my greatest appreciation for the (uncountably) inﬁnite pa-
tience of my family, who endured the days, weeks, months, and years that this
project consumed. The writing of this book began with toddlers and ended with a
teenager and a twenty-year old. We can all be thankful it is ﬁnally ﬁnished.
Dennis S. Bernstein
Ann Arbor, Michigan
[email protected]
January 2005

Special Symbols
General Notation
π 3.14159...
e 2.71828...
π
= equals by deﬁnition
lim
ε↓0 limit from the right
π
α
m
δ
α(α−1)···(α−m+1)
m!
π
n
m
δ
n!m!(n−m)!
δaα largest integer less than or equal toa
δ
ij 1ifi=j,0ifij=j(Kronecker delta)
log logarithm with base e
signα 1ifα>0,−1ifα<0, 0 ifα=0
Chapter 1
{} set (p. 2)
∈ is an element of (p. 2)
jλ is not an element of (p. 2)
∅ empty set (p. 2)
{}
ms multiset (p. 2)
card cardinality (p. 2)
∩ intersection (p. 2)
∪ union (p. 2)
Y\X complement ofXrelative toY(p. 2)
X
∼
complement ofX(p. 3)

xxii SPECIAL SYMBOLS
⊆ is a subset of (p. 3)
⊂ is a proper subset of (p. 3)
(x
1,...,xn) tuple orn-tuple (p. 3)
Z integers (p. 3)
N nonnegative integers (p. 3)
P positive integers (p. 3)
R real numbers (p. 3)
C complex numbers (p. 3)
j
√
−1(p.3)
z complex conjugate ofz∈C(p. 4)
Rez real part ofz∈C(p. 4)
Imz imaginary part ofz∈C(p. 4)
|z| absolute value ofz∈C(p. 4)
OLHP open left half plane in C(p. 4)
CLHP closed left half plane in C(p. 4)
ORHP open right half plane in C(p. 4)
CRHP closed right half plane in C(p. 4)
jR imaginary numbers (p. 4)
OUD open unit disk in C(p. 4)
CUD closed unit disk in C(p. 4)
CPP closed punctured plane in C(p. 4)
OPP open punctured plane in C(p. 4)
FR orC(p. 4)
f:X→Y fis a function with domainXand codomain
Y(p. 4)
Graph(f) {(x, f(x)):x∈X}(p. 4)
f•g composition of functionsfandg(p. 4)
f
−1
(S) inverse image ofS(p. 5)
rev(R) reversal of the relationR(p. 7)
R
∼
complement of the relationR(p. 7)
ref(R) reﬂexive hull of the relationR(p. 7)
sym(R) symmetric hull of the relationR(p. 7)
trans(R) transitive hull of the relationR(p. 7)

SPECIAL SYMBOLS xxiii
equiv(R) equivalence hull of the relationR(p. 7)
x
R
=y (x, y) is an element of the equivalence relation
R(p. 7)
glb(S) greatest lower bound ofS(p. 8, Deﬁnition
1.5.9)
lub(S) least upper bound ofS(p. 8, Deﬁnition 1.5.9)
inf(S) inﬁmum ofS(p. 9, Deﬁnition 1.5.9)
sup(S) supremum ofS(p. 9, Deﬁnition 1.5.9)
rev(G) reversal of the graphG(p. 9)
G
∼
complement of the graphG(p. 9)
ref(G) reﬂexive hull of the graph G(p. 9)
sym(G) symmetric hull of the graph G(p. 9)
trans(G ) transitive hull of the graph G(p. 9)
equiv(G) equivalence hull of the graph G(p. 9)
indeg(x) indegree of the node x(p. 10)
outdeg(x) outdegree of the node x(p. 10)
deg(x) degree of the node x(p. 10)
Chapter 2
R
n
R
n×1
(real column vectors) (p. 85)
C
n
C
n×1
(complex column vectors) (p. 85)
F
n
R
n
orC
n
(p. 85)
x
(i) ith component ofx∈F
n
(p. 85)
x≥≥yx
(i)≥y
(i)for alli(x−yis nonnegative)
(p. 86)
x>>y x
(i)>y
(i)for alli(x−yis positive) (p. 86)
R
n×m
n×mreal matrices (p. 86)
C
n×m
n×mcomplex matrices (p. 86)
F
n×m
R
n×m
orC
n×m
(p. 86)
row
i(A) ith row ofA(p. 87)
col
i(A) ith column ofA(p. 87)
A
(i,j) (i, j)entryofA(p. 87)

xxiv SPECIAL SYMBOLS
A
i
←b matrix obtained fromA∈F
n×m
by replacing
col
i(A)withb∈F
n
or rowi(A)withb∈F
1×m
(p. 87)
d
max(A)
π
=d1(A) largest diagonal entry of A∈F
n×n
having real
diagonal entries (p. 87)
d
i(A) ith largest diagonal entry ofA∈F
n×n
having
real diagonal entries (p. 87)
d
min(A)
π
=dn(A) smallest diagonal entry of A∈F
n×n
having
real diagonal entries (p. 87)
A
(S1,S2) submatrix ofAformed by retaining the rows
ofAlisted inS
1and the columns ofAlisted
inS
2(p. 88)
A
(S) A
(S,S)(p. 88)
A≥≥BA
(i,j)≥B
(i,j)for alli, j(A−Bis
nonnegative) (p. 88)
A>>B A
(i,j)>B
(i,j)for alli, j(A−Bis positive)
(p. 88)
[A, B] commutator AB−BA(p. 89)
ad
A(X) adjoint operator [ A, X] (p. 89)
x×y cross product of vectorsx, y∈R
3
(p. 89)
K(x) cross-product matrix for x∈R
3
(p. 90)
0
n×m,0 n×mzero matrix (p. 90)
I
n,I n×nidentity matrix (p. 91)
ˆ
I
n,
ˆ
In ×nreverse permutation matrix
α
01
.
.
.
10
j
(p. 91)
P
n n×ncyclic permutation matrix (p. 91)
N
n,N n×nstandard nilpotent matrix (p. 92)
e
i,n,ei coli(In) (p. 92)
E
i,j,n×m ,Ei,j ei,ne
T
j,m
(p. 92)
1
n×m n×mones matrix (p. 92)
A
T
transpose ofA(p. 94)
trA trace ofA(p. 94)
C complex conjugate ofC∈C
n×m
(p. 95)
A
∗
A
T
conjugate transpose ofA(p. 95)
ReA real part ofA∈F
n×m
(p. 95)

SPECIAL SYMBOLS xxv
ImA imaginary part ofA∈F
n×m
(p. 95)
S {Z:Z∈S}or{Z:Z∈S} ms(p. 95)
A
ˆ
T
ˆ
IATˆ
Ireverse transpose ofA(p. 96)
A
ˆ∗ ˆ
IA∗ˆ
Ireverse complex conjugate transpose ofA
(p. 96)
|x| absolute value ofx∈F
n
(p. 96)
|A| absolute value ofA∈F
n×n
(p. 96)
signx sign ofx∈R
n
(p. 97)
signA sign ofA∈R
n×n
(p. 97)
coS convex hull ofS(p. 98)
coneS conical hull ofS(p. 98)
cocoS convex conical hull ofS(p. 98)
spanS span ofS(p. 98)
aﬀS aﬃne hull ofS(p. 98)
dimS dimension ofS(p. 98)
S
⊥
orthogonal complement ofS(p. 99)
polarS polar ofS(p. 99)
dconeS dual cone ofS(p. 99)
R(A) range ofA(p. 101)
N(A) null space ofA(p. 102)
rankA rank ofA(p. 104)
defA defect ofA(p. 104)
A
L
left inverse ofA(p. 106)
A
R
right inverse ofA(p. 106)
A
−1
inverse ofA(p. 110)
A
−T
ﬀ
A
T
ﬃ
−1
(p. 111)
A
−∗
(A
∗
)
−1
(p. 111)
detA determinant ofA(p. 112)
A
[i;j] submatrixA
({i}
∼
,{j}
∼
)ofAobtained by
deleting row
i(A)andcol j(A) (p. 114)
A
A
adjugate ofA(p. 114)
A
rs
≤B rank subtractivity partial ordering (p. 129, Fact
2.10.32)

xxvi SPECIAL SYMBOLS
A
∗
≤B star partial ordering (p. 130, Fact 2.10.35)
Chapter 3
diag(a
1,...,an)
α
a1 0
.
.
.
0 a
n
j
(p. 181)
revdiag(a
1,...,an)
α
0 a 1
.
.
.
a
n 0
j
(p. 181)
diag(A
1,...,Ak) block-diagonal matrix
⎡
⎢
⎣
A1 0
.
.
.
0 A
k
⎤
⎥
⎦,where
A
i∈F
ni×mi
(p. 181)
J
2n,J

0I n
−In0

(p. 183)
gl
F
(n),pl
C
(n),sl F(n),
u(n),su(n),so(n),
symp
F(2n),osymp
F(2n),
aﬀ
F(n),se F(n),trans F(n)
Lie algebras (p. 185)
S
1≈S2 the groupsS 1andS 2are isomorphic (p. 186)
GL
F(n),PL F(n),SL F(n),
U(n),O(n),U(n, m),
O(n, m),SU(n),SO(n),
P(n),A(n),D(n),C(n),
Symp
F
(2n),OSymp
F
(2n),
Aﬀ
F(n),SE F(n),Trans F(n)
groups (p. 187)
A
⊥ complementary idempotent matrix or
projectorI−Acorresponding to the
idempotent matrix or projectorA(p. 190)
indA index ofA(p. 190)
H quaternions (p. 247, Fact 3.24.1)
Sp(n) symplectic group in H(p. 249, Fact 3.24.4)
Chapter 4
F[s] polynomials with coeﬃcients in F(p. 253)
degp degree ofp∈F[s] (p. 253)
mroots(p) multiset of roots of p∈F[s] (p. 254)

SPECIAL SYMBOLS xxvii
roots(p) set of roots of p∈F[s] (p. 254)
mult
p(λ) multiplicity of λas a root ofp∈F[s] (p. 254)
F
n×m
[s] n×mmatrices with entries inF[s](n×m
polynomial matrices with coeﬃcients inF)
(p. 256)
rankP rank ofP∈F
n×m
[s] (p. 257)
Szeros(P) set of Smith zeros of P∈F
n×m
[s] (p. 259)
mSzeros(P) multiset of Smith zeros of P∈F
n×m
[s]
(p. 259)
χ
A characteristic polynomial ofA(p. 262)
λ
max(A)
ﬀ
=λ1(A) largest eigenvalue of A∈F
n×n
having real
eigenvalues (p. 262)
λ
i(A) ith largest eigenvalue ofA∈F
n×n
having real
eigenvalues (p. 262)
λ
min(A)
ﬀ
=λn(A) smallest eigenvalue of A∈F
n×n
having real
eigenvalues (p. 262)
amult
A(λ) algebraic multiplicity of λ∈spec(A) (p. 262)
spec(A) spectrum of A(p. 262)
mspec(A) multispectrum of A(p. 262)
gmult
A
(λ) geometric multiplicity of λ∈spec(A) (p. 267)
spabs(A) spectral abscissa of A(p. 267)
sprad(A) spectral radius of A(p. 267)
ν
−(A),ν 0(A),ν +(A) number of eigenvalues of Acounting algebraic
multiplicity having negative, zero, and
positive real part, respectively (p. 267)
InA inertia ofA,thatis,[ν
−(A)ν 0(A)ν +(A)]
T
(p. 267)
sigA signature ofA,thatis,ν
+(A)−ν −(A) (p. 267)
μ
A minimal polynomial ofA(p. 269)
F(s) rational functions with coeﬃcients in F(SISO
rational transfer functions) (p. 271)
F
prop(s) proper rational functions with coeﬃcients in F
(SISO proper rational transfer functions)
(p. 271)
reldegg relative degree ofg∈F
prop(s) (p. 271)
F
n×m
(s) n×mmatrices with entries inF(s) (MIMO
rational transfer functions) (p. 271)

xxviii SPECIAL SYMBOLS
F
n×m
prop
(s) n×mmatrices with entries inF prop(s) (MIMO
proper rational transfer functions) (p. 271)
reldegG relative degree ofG∈F
n×m
prop
(s) (p. 271)
rankG rank ofG∈F
n×m
(s) (p. 271)
poles(G)setofpolesof G∈F
n×m
(s) (p. 271)
bzeros(G) set of blocking zeros of G∈F
n×m
(s) (p. 271)
McdegG McMillan degree ofG∈F
n×m
(s) (p. 273)
tzeros(G) set of transmission zeros of G∈F
n×m
(s)
(p. 273)
mpoles(G) multiset of poles of G∈F
n×m
(s) (p. 273)
mtzeros(G) multiset of transmission zeros of G∈F
n×m
(s)
(p. 273)
mbzeros(G) multiset of blocking zeros of G∈F
n×m
(s)
(p. 273)
B(p, q) Bezout matrix of p, q∈F[s] (p. 277, Fact 4.8.6)
H(g) Hankel matrix of g∈F(s) (p. 279, Fact 4.8.8)
Chapter 5
C(p) companion matrix for monic polynomial p
(p. 309)
H
l(q) l×lor 2l×2lhypercompanion matrix (p. 314)
J
l(q) l×lor 2l×2lreal Jordan matrix (p. 315)
ind
A(λ) index of λwith respect toA(p. 321)
σ
i(A) ith largest singular value ofA∈F
n×m
(p. 328)
σ
max(A)
∅
=σ1(A) largest singular value of A∈F
n×m
(p. 328)
σ
min(A)
∅
=σn(A) minimum singular value of a square matrix
A∈F
n×n
(p. 328)
P
A,B pencil of (A, B), whereA, B∈F
n×n
(p. 330)
spec(A, B) generalized spectrum of ( A, B), where
A, B∈F
n×n
(p. 330)
mspec(A, B) generalized multispectrum of ( A, B), where
A, B∈F
n×n
(p. 330)
χ
A,B characteristic polynomial of (A, B), where
A, B∈F
n×n
(p. 332)
V(λ
1,...,λn) Vandermonde matrix (p. 387, Fact 5.16.1)

SPECIAL SYMBOLS xxix
circ(a
0,...,an−1) circulant matrix ofa 0,...,an−1∈F(p. 388,
Fact 5.16.7)
Chapter 6
A
+
(Moore-Penrose) generalized inverse ofA
(p. 397)
D|A Schur complement ofDwith respect toA
(p. 401)
A
D
Drazin generalized inverse ofA(p. 401)
A
#
group generalized inverse ofA(p. 403)
Chapter 7
vecA vector formed by stacking columns ofA
(p. 439)
⊗ Kronecker product (p. 440)
P
n,m Kronecker permutation matrix (p. 442)
⊕ Kronecker sum (p. 443)
A◦B Schur product ofAandB(p. 444)
A
◦α
Schur power ofA,(A
◦α
)
(i,j)
=
ﬀ
A
(i,j)
ﬃ
α
(p. 444)
Chapter 8
H
n
n×nHermitian matrices (p. 459)
N
n
n×npositive-semideﬁnite matrices (p. 459)
P
n
n×npositive-deﬁnite matrices (p. 459)
A≥BA −B∈N
n
(p. 459)
A>B A −B∈P
n
(p. 459)
ηAτ (A
∗
A)
1/2
(p. 474)
A#B geometric mean ofAandB(p. 508,
Fact 8.10.43)
A#
αB generalized geometric mean ofAandB
(p. 510, Fact 8.10.45)
A:B parallel sum ofAandB(p. 581, Fact 8.21.18)
sh(A, B) shorted operator (p. 582, Fact 8.21.19)

xxx SPECIAL SYMBOLS
Chapter 9
ΓxΓ
p H¨older norm
≥
n←
i=1
|x
(i)|
p
≈
1/p
(p. 598)
ΓAΓ
p H¨older norm
α
n,m
←
i,j=1
|A
(i,j)|
p
j
1/p
(p. 601)
ΓAΓ
F Frobenius norm
√
trA
∗
A(p. 601)
ΓAΓ
σp Schatten norm
≥
rankA←
i=1
σ
p
i
(A)
≈
1/p
(p. 602)
ΓAΓ
q,p H¨older-induced norm (p. 608)
ΓAΓ
col column norm
ΓAΓ
1,1=max
i∈{1,...,m} Γcoli(A)Γ 1(p. 611)
ΓAΓ
row row normΓAΓ ∞,∞=max
i∈{1,...,n} Γrowi(A)Γ 1
(p. 611)
(A) induced lower bound of A(p. 613)

q,p(A)H¨ older-induced lower bound ofA(p. 614)
Γ?Γ
D dual norm (p. 625, Fact 9.7.22)
Chapter 10
B
ε(x) open ball of radius εcentered atx(p. 681)
S
ε(x) sphere of radius εcentered atx(p. 681)
intS interior ofS(p. 681)
int
S
δS interior ofSrelative toS

(p. 681)
clS closure ofS(p. 681)
cl
S
δS closure ofSrelative toS

(p. 682)
bdS boundary ofS(p. 682)
bd
S
δS boundary ofSrelative toS

(p. 682)
(x
i)
∞
i=1
sequence (x 1,x2,...) (p. 682)
vconeD variational cone ofD(p. 685)
D
+f(x0;ξ) one-sided directional derivative of fatx 0in
the directionξ(p. 685)
∂f(x 0)
∂x
(i)
partial derivative offwith respect tox
(i)at
x
0(p. 686)

SPECIAL SYMBOLS xxxi
f

(x) derivative of fatx(p. 686)
df(x 0)
dx
(i)
f

(x0) (p. 686)
f
(k)
(x) kth derivative offatx(p. 688)
d
+
f(x0)
dx
(i)
right one-sided derivative (p. 688)
d
−
f(x0)
dx
(i)
left one-sided derivative (p. 688)
Sign(A)matrixsignof A∈C
n×n
(p. 690)
Chapter 11
e
A
or exp(A) matrix exponential (p. 707)
L Laplace transform (p. 710)
S
s(A) asymptotically stable subspace of A(p. 729)
S
u(A) unstable subspace of A(p. 729)
Chapter 12
U(A, C) unobservable subspace of ( A, C) (p. 800)
O(A, C)
⎡
⎣
C
CA
CA
2
.
.
.
CA
n−1
⎤
⎦(p. 801)
C(A, B) controllable subspace of ( A, B) (p. 809)
K(A, B)
φ
BABA
2
B···A
n−1
B
θ
(p. 809)
G∼
γ
A
B
CD
∂
state space realization ofG∈F
l×m
prop
[s] (p. 822)
H
i,j,k(G) Markov block-Hankel matrix
O
i(A, C)K j(A, B) (p. 826)
H(G) Markov block-Hankel matrix O(A, C)K(A, B)
(p. 827)
G
min
∼
γ
A
B
CD
∂
state space realization ofG∈F
l×m
prop
[s] (p. 828)
H Hamiltonian
φ
AΣ
R
1−A
T
θ
(p. 853)

Conventions, Notation, and Terminology
The reader is encouraged to review this section in order to ensure correct interpre-
tation of the statements in this book.
When a word is deﬁned, it is italicized.
The deﬁnition of a word, phrase, or symbol should always be understood as an “if
and only if” statement, although for brevity “only if” is omitted. The symbol
ﬃ
=
means equal by deﬁnition, whereA
ﬃ
=Bmeans that the left-hand expressionAis
deﬁned to be the right-hand expressionB.
A mathematical object deﬁned by a constructive procedure iswell deﬁnedif the
constructive procedure produces a uniquely deﬁned object.
Analogous statements are written in parallel using the following style: Ifnis (even,
odd), thenn+ 1 is (odd, even).
The variablesi, j, k, l, m, nalways denote integers. Hence,k≥0 denotes a nonneg-
ative integer,k≥1 denotes a positive integer, and the limit lim
k→∞A
k
is taken
over positive integers.
The imaginary unit
√
−1 is always denoted by dotlessj.
The lettersalways represents a complex scalar. The letterzmay or may not
represent a complex scalar. The inequalitiesc≤a≤dandc≤b≤dare written simultaneously as
c≤
ω
a
b
η
≤d.
The preﬁx “non” means “not” in the words nonconstant, nonempty, nonintegral,
nonnegative, nonreal, nonsingular, nonsquare, nonunique, and nonzero. In some
traditional usage, “non” may mean “not necessarily.”
“Unique” means “exactly one.”

xxxiv CONVENTIONS, NOTATION, AND TERMINOLOGY
“Increasing” and “decreasing” indicate strict change for a change in the argument.
The word “strict” is superﬂuous, and thus is omitted. Nonincreasing means nowhere
increasing, while nondecreasing means nowhere decreasing.
A set can have a ﬁnite or inﬁnite number of elements. A ﬁnite set has a ﬁnite
number of elements.
Multisets can have repeated elements. Hence,{x}
msand{x, x} msare diﬀerent.
The listed elementsα, β, γof the conventional set{α, β, γ}need not be distinct.
For example,{α, β, α}={α, β}.
In statements of the form “Let spec(A)={λ
1,...,λr},” the listed elementsλ 1,...,
λ
rare assumed to be distinct.
Square brackets are used alternately with parentheses. For example,f[g(x)] denotes
f(g(x)).
The order in which the elements of the set{x
1,...,xn}and the elements of the
multiset{x
1,...,xn}msare listed has no signiﬁcance. The components of then-
tuple (x
1,...,xn) are ordered.
The notation (x
i)
∞
i=1
denotes the sequence (x 1,x2,...).A sequence can be viewed
as a tuple with a countably inﬁnite number of components, where the order of the
components is relevant and the components need not be distinct.
The composition of functionsfandgis denoted byf•g.The traditional notation
f◦gis reserved for the Schur product.
S
1⊂S2means thatS 1isapropersubsetofS 2,whereasS 1⊆S2means thatS 1
is either a proper subset ofS 2or is equal toS 2. Hence,S 1⊂S2is equivalent to
S
1⊆S2andS 1Ω=S2, whileS 1⊆S2is equivalent to eitherS 1⊂S2orS1=S2.
The terminology “graph” corresponds to what is commonly called a “simple di-
rected graph,” while the terminology “symmetric graph” corresponds to a “simple
undirected graph.”
The range of cos
−1
is [0,π],the range of sin
−1
is [−π/2,π/2],the range of tan
−1
is
(−π/2,π/2),and the range of cot
−1
is (0,π).
Theangle between two vectorsis an element of [0,π].Therefore, by using cos
−1
,the
inner product of two vectors can be used tocompute the angle between two vectors.
0!
ﬀ
=1,0/0=(sin0)/0=(1−cos 0)/0=(sinh0)/0
ﬀ
=1,and 1/∞
ﬀ
=0.
For allα∈C,
τ
α
0
Γ
ﬀ
=1.For allk∈N,
τ
0
k
Γ
ﬀ
=1.

CONVENTIONS, NOTATION, AND TERMINOLOGY xxxv
For all square matricesA, A
0ﬀ
=I.Inparticular,0
0
n×n ﬀ
=In. With this convention,
it is possible to write
∞
Σ
i=0
α
i
=
1
1−α
for all−1<α<1.Of course, lim
x↓00
x
= 0, limx↓0x
0
= 1, and limx↓0x
x
=1.
Neither∞nor−∞is a real number. However, some operations are deﬁned for
these objects as extended real numbers, such as∞+∞=∞,∞∞=∞,and, for
all nonzero real numbersα, α∞=sign(α)∞.0∞and∞−∞ are not deﬁned. See
[71, pp. 14, 15].
Letaandbbe real numbers such thata<b.Aﬁnite intervalis of the form (a, b),
[a, b),(a, b],or [a, b],whereas aninﬁnite intervalis of the form (−∞,a),(−∞,a],
(a,∞),[a,∞),or (−∞,∞).Anintervalis either a ﬁnite interval or an inﬁnite inter-
val. Anextended inﬁnite intervalincludes either∞or−∞.For example, [−∞,a)
and [−∞,a] include−∞,(a,∞]an
d[a,∞] include∞,and [−∞,∞] includes−∞
and∞.
The symbolFdenotes eitherRorCconsistently in each result. For example, in
Theorem 5.6.3, the three appearances of “F” can be read as either all “C ”orall
“R.”
The imaginary numbers are denoted byjR. Hence, 0 is both a real number and an
imaginary number.
The notation ReAand ImArepresents the real and imaginary parts ofA, respec-
tively. Some books use ReAand ImAto denote the Hermitian and skew-Hermitian
matrices
1
2
(A+A
∗
)and
1
2
(A−A
∗
).
For the scalar ordering “≤ ,” ifx≤y,thenx<yif and only ifxΩ=y.For the
entrywise vector and matrix orderings,x≤yandxΩ=ydo not imply thatx<y.
Operations denoted by superscripts are applied before operations represented by
preceding operators. For example, tr (A+B)
2
means tr

(A+B)
2

and clS
∼
means
cl(S
∼
).This convention simpliﬁes many formulas.
A vector inF
n
is a column vector, which is also a matrix with one column. In
mathematics, “vector” generally refers to an abstract vector not resolved in coor-
dinates.
Sets have elements, vectors and sequences have components, and matrices have
entries. This terminology has no mathematical consequence.
The notationx
(i)represents theith component of the vectorx.

xxxvi CONVENTIONS, NOTATION, AND TERMINOLOGY
The notationA
(i,j)represents the scalar (i, j )entryofA.A i,jorA ijdenotes a
block or submatrix ofA.
All matrices have nonnegative integral dimensions. If a matrix has either zero rows
or zero columns, then the matrix is empty.
The entries of a submatrix
ˆ
Aof a matrixAare the entries ofAlocated in speciﬁed
rows and columns.
ˆ
Ais a block ofAif
ˆ
Ais a submatrix ofAwhose entries are
entries of adjacent rows and columns ofA. Every matrix is both a submatrix and
block of itself.
The determinant of a submatrix is a subdeterminant. Some books use “minor.”
The determinant of a matrix is also a subdeterminant of the matrix.
The dimension of the null space of a matrix is its defect. Some books use “nullity.”
A block of a square matrix is diagonally located if the block is square and the
diagonal entries of the block are also diagonal entries of the matrix; otherwise, the
block is oﬀ-diagonally located. This terminology avoids confusion with a “diagonal
block,” which is a block that is also a square, diagonal submatrix.
For the partitioned matrix [
AB
CD
]∈F
(n+m )×(k+l)
,it can be inferred thatA∈F
n×k
and similarly forB, C,andD.
The Schur product of matricesAandBis denoted byA◦B.Matrix multiplication
is given priority over Schur multiplication, that is,A◦BCmeansA◦(BC).
TheadjugateofA∈F
n×n
is denoted byA
A
.The traditional notation is adjA,
while the notationA
A
is used in [1259]. IfA∈Fis a scalar thenA
A
=1.In
particular, 0
A
1×1
=1.However, for alln≥2,0
A
n×n
=0n×n.
IfF=R,then
AbecomesA,A
∗
becomesA
T
,“Hermitian” becomes “symmetric,”
“unitary” becomes “orthogonal,” “unitarily” becomes “orthogonally,” and “con-
gruence” becomes “T-congruence.” A square complex matrixAis symmetric if
A
T
=Aand orthogonal ifA
T
A=I.
The diagonal entries of a matrixA∈F
n×n
all of whose diagonal entries are real
are ordered as d
max(A)=d 1(A)≥d 2(A)≥···≥d n(A)=d min(A).
Everyn×nmatrix hasneigenvalues. Hence, eigenvalues are counted in accordance
with their algebraic multiplicity. The phrase “distinct eigenvalues” ignores algebraic
multiplicity.
The eigenvalues of a matrixA∈F
n×n
all of whose eigenvalues are real are ordered
asλ
max(A)=λ 1(A)≥λ 2(A)≥···≥λ n(A)=λ min(A).

CONVENTIONS, NOTATION, AND TERMINOLOGY xxxvii
The inertia of a matrix is written as
InA
ﬀ
=
⎡
⎣
ν
−(A)
ν
0(A)
ν
+(A)
⎤
⎦.
Some books use the notation (ν(A),δ(A),π(A)).
ForA∈F
n×n
,amultA(λ) is the number of copies ofλin the multispectrum ofA,
gmult
A(λ) is the number of Jordan blocks ofAassociated withλ,andind A(λ)isthe
order of the largest Jordan block ofAassociated withλ. The index ofA, denoted
by indA=ind
A(0),is the order of the largest Jordan block ofAassociated with
the eigenvalue 0.
The matrixA∈F
n×n
is semisimple if the order of every Jordan block ofAis 1,
and cyclic ifAhas exactly one Jordan block associated with each of its eigenvalues.
Defective means not semisimple, while derogatory means not cyclic.
Ann×mmatrix has exactly min{n, m}singular values, exactly rankAof which
are positive.
The min{ n, m}singular values of a matrixA∈F
n×m
are ordered asσ max(A)
ﬀ
=
σ
1(A)≥σ 2(A)≥ ··· ≥σ
min{n,m} (A).Ifn=m,thenσ min(A)
ﬀ
=σn(A). The
notationσ
min(A) is deﬁned only for square matrices.
Positive-semideﬁnite and positive-deﬁnite matricesare Hermitian.
A square matrix with entries inFis diagonalizable overFif and only if it can be
transformed into a diagonal matrix whose entries are inFby means of a similarity
transformation whose entries are inF.Therefore, a complex matrix is diagonalizable
overCif and only if all of its eigenvalues are semisimple, whereas a real matrix is
diagonalizable overRif and only if all of its eigenvalues are semisimple and real.
The real matrix

01
−10

is diagonalizable overC, although it is not diagonalizable
overR.The Hermitian matrix

1j
−j2

is diagonalizable overC, and also has real
eigenvalues.
An idempotent matrixA∈F
n×n
satisﬁesA
2
=A, while a projector is a Hermitian,
idempotent matrix. Some books use “projector” for idempotent and “orthogonal
projector” for projector. A reﬂector is a Hermitian, involutory matrix. A projector
is a normal matrix each of whose eigenvalues is 1 or 0, while a reﬂector is a normal
matrix each of whose eigenvalues is 1 or−1.
An elementary matrix is a nonsingular matrix formed by adding an outer-product
matrix to the identity matrix. An elementary reﬂector is a reﬂector exactly one
of whose eigenvalues is−1. An elementary projector is a projector exactly one of
whose eigenvalues is 0. Elementary reﬂectors are elementary matrices. However,
elementary projectors are not elementary matrices since elementary projectors are
singular.

xxxviii CONVENTIONS, NOTATION, AND TERMINOLOGY
A range-Hermitian matrix is a square matrix whose range is equal to the range of
its complex conjugate transpose. Thesematrices are also called “EP” matrices.
The polynomials 1 ands
3
+5s
2
−4 are monic. The zero polynomial is not monic.
The rank of a polynomial matrixPis the maximum rank ofP(s)overC.This
quantity is also called the normal rank. We denote this quantity by rankPas
distinct from rankP(s), which denotes the rank of the matrixP(s).
The rank of a rational transfer functionGis the maximum rank ofG(s)overC
excluding poles of the entries ofG.This quantity is also called the normal rank.
We denote this quantity by rankGas distinct from rankG(s), which denotes the
rank of the matrixG(s).
The symbol⊕denotes the Kronecker sum. Some books use⊕to denote the direct
sum of matrices or subspaces.
The notation|A|represents the matrix obtained by replacing every entry ofAby
its absolute value.
The notationηAτrepresents the matrix (A
∗
A)
1/2
.Some books use|A|to denote this
matrix.
The H¨older norms for vectors and matrices are denoted by?
p. The matrix norm
induced by?
qon the domain and? pon the codomain is denoted by? p,q.
The Schatten norms for matrices are denoted by?
σp, and the Frobenius norm
is denoted by?
F. Hence,? σ∞=? 2,2=σmax(·),? σ2=? F,and
?
σ1=tr?.

CONVENTIONS, NOTATION, AND TERMINOLOGY xxxix
Terminology Relating to Inequalities
Let “≤” be a partial ordering, letXbe a set, and consider the inequality
f(x)≤g(x) for allx∈X. (1)
Inequality (1) issharpif there existsx
0∈Xsuch thatf(x 0)=g(x 0).
The inequality
f(x)≤f(y) for allx≤y (2)
is a monotonicity result.
The inequality
f(x)≤p(x)≤g(x) for allx∈X, (3)
wherepis not identically equal to eitherforgonX,is aninterpolationorreﬁne-
mentof (1). The inequality
g(x)≤αf(x) for allx∈X, (4)
whereα>1,is areversalof (1).
Deﬁningh(x)
ﬃ
=g(x)−f(x),it follows that (1) is equivalent to
h(x)≥0 for allx∈X. (5)
Now, suppose thathhas a global minimizerx
0∈X.Then, (5) implies that
0≤h(x
0)=min
x∈X
h(x)≤h(y) for ally∈X. (6)
Consequently, inequalities are often expressed equivalently in terms of optimization
problems, and vice versa.
Many inequalities are based on a single function that is either monotonic or convex.

Matrix Mathematics

Chapter One
Preliminaries
In this chapter we review some basic terminology and results concerning logic,
sets, functions, and related concepts. This material is used throughout the book.
1.1 Logic
Everystatementis either true or false, but not both. LetAandBbe state-
ments. ThenegationofAis the statement (notA),thebothofAandBis the
statement (AandB),and theeitherofAandBis the statement (A orB).The
statement (AorB) does not contradict (AandB),that is, the word “or” is inclu-
sive. Exclusive “or” is indicated by the phrase “but not both.”
The statements “AandBorC”and“AorBandC” are ambiguous. We
therefore write “Aand eitherBorC” and “eitherAor bothBandC.”
LetAandBbe statements. Theimplicationstatement “ifAis satisﬁed, then
Bis satisﬁed” or, equivalently, “AimpliesB” is written asA=⇒B,whileA⇐⇒B
isequiv
alent to [(A=⇒B)and(A⇐=B)].Of course,A⇐=BmeansB=⇒A.A
tautologyis a statement that is true regardless of whether the component statements
are true or false. For example, the statement “(AandB) impliesA” is a tautology.
Acontradictionis a statement that is false regardless of whether the component
statements are true or false. For example, the statement “Aimplies (not )A”isa
contradiction.
Suppose thatA⇐⇒B.Then,Ais satisﬁedif and only ifBis satisﬁed. The
implicationA=⇒B(the “only if” part) isnecessity, whileB=⇒A(the “if” part)
issuﬃciency.Theconversestatement ofA=⇒BisB=⇒A. The statement
A=⇒Bis equivalent to itscontrapositivestatement (notB)=⇒(notA).
Atheoremis a signiﬁcant statement, while apropositionis a theorem of less
signiﬁcance. The primary role of alemmais to support the proof of a theorem or
proposition. Furthermore, acoro
llaryis a consequence of a theorem or proposition.
Finally, afactis either a theorem, proposition, lemma, or corollary. Theorems,
propositions, lemmas, corollaries, andfacts are provably true statements.
Suppose thatA

=⇒A=⇒B=⇒B

.Then,A

=⇒B

is a corollary of
A=⇒B.

2 CHAPTER 1
LetA,B,andCbe statements, and assume thatA=⇒B.Then,A=⇒Bis
astrengtheningof the statement (AandC)=⇒B.If, in addition,A=⇒C,then
the statement (AandC)=⇒Bhas aredundant assumption.
1.2 Sets
Aset{x,y,...}is a collection of elements. A set may have a ﬁnite or inﬁnite
number of elements. Aﬁnite sethas a ﬁnite number of elements.
LetXbe a set. Then,
x∈X (1.2.1)
means thatxis anelementofX.Ifwis not an element ofX,thenwewrite
wΩΨX. (1.2.2)
The statement “x∈X” is either true or false, but not both. The statement “X/∈X”
is true by convention, and thus no set can bean element of itself. Therefore, there
does not exist a set that contains every set. The set with no elements, denoted by
∅,is theempty set.IfXΩ=∅,thenXisnonempty.
A set cannot have repeated elements. For example,{x, x}={x}.However, a
multisetis a collection of elements that allows for repetition. The multiset consisting
of two copies ofxis written as{x, x}
ms
. However, we do not assume that the listed
elementsx, yof the conventional set{x, y}are distinct. The number of distinct
elements of the setSor not-necessarily-distinct elements of the multisetSis the
cardinalityofS,which is denoted by card(S).
There are two basic types of mathematical statements for quantiﬁers. An
existential statementis of the form
there existsx∈Xsuch that statementZis satisﬁed, (1.2.3)
while auniversal statementhas the structure
for allx∈X,it follows that statementZis satisﬁed, (1.2.4)
or, equivalently,
statementZis satisﬁed for allx∈X. (1.2.5)
LetXandYbe sets. TheintersectionofXandYis the set of common
elements ofXandYgiven by
X∩Y
ﬀ
={x:x∈Xandx∈Y}={x∈X:x∈Y} (1.2.6)
={x∈Y:x∈X}=Y∩X, (1.2.7)
while the set of elements in eitherXorY(theunionofXandY)is
X∪Y
ﬀ
={x:x∈Xorx∈Y}=Y∪X. (1.2.8)
ThecomplementofXrelativetoYis
Y\X
ﬀ
={x∈Y:xΩΨX}. (1.2.9)

PRELIMINARIES 3
IfYis speciﬁed, then thecomplementofXis
X
∼ﬀ
=Y\X. (1.2.10)
Ifx∈Ximplies thatx∈Y,thenXiscontainedinY(Xis asubsetofY), which is
written as
X⊆Y. (1.2.11)
The statementX=Yis equivalent to the validity of bothX⊆YandY⊆X.If
X⊆YandXΩ=Y,thenXis aproper subsetofYand we writeX⊂Y.ThesetsX
andYaredisjointifX∩Y=∅.ApartitionofXis a set of pairwise-disjoint and
nonempty subsets ofXwhose union is equal toX.
The operations “∩,”“∪,”and“\” and the relations “⊂”and“⊆”extend
directly to multisets. For example,
{x,x}
ms∪{x} ms={x, x, x} ms. (1.2.12)
By ignoring repetitions, a multiset canbe converted to a set, while a set can be
viewed as a multiset with distinct elements.
TheCartesian productX
1×···×X nof setsX 1,...,X nis the set consisting
oftuplesof the form (x
1,...,xn), wherex i∈Xifor alli∈{1,...,n}.A tuple with
ncomponents is ann-tuple. Note that the components of ann-tuple are ordered
but need not be distinct.
By replacing the logical operations “=⇒,” “and,” “or,” and “not” by “⊆,”
“∪,” “∩,” and “
∼
,” respectively, statements about statementsAandBcan be
transformed into statements about setsAandB,and vice versa. For example, the
tautology
Aand (BorC)⇐⇒(AandB)or(AandC)
is equivalent to
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
1.3 Integers, Real Numbers, and Complex Numbers
The symbolsZ,N,andPdenote the sets of integers,nonnegative integers, and
positive integers, respectively. The symbolsRandCdenote the real and complex
number ﬁelds, respectively, whose elements arescalars. Deﬁne
j
ﬀ
=
√
−1.
Letx∈C. Then,x=y+jz,wherey, z∈R. Deﬁne thecomplex conjugatex
ofxby
x
ﬀ
=y−jz (1.3.1)
and the real part Rexofxand the imaginary part Imxofxby
Rex
ﬀ
=
1
2
(x+x)=y (1.3.2)
and
Imx
ﬀ
=
1
j2
(x−x)=z. (1.3.3)

4 CHAPTER 1
Furthermore, theabsolute value|x|ofxis deﬁned by
|x|
ﬀ
=
∞
y
2
+z
2
. (1.3.4)
Theclosed left half plane(CLHP),open left half plane(OLHP),closed right
half plane(CRHP), andopen right half plane(ORHP) are the subsets ofCdeﬁned
by
OLHP
ﬀ
={x∈C:Rex<0}, (1.3.5)
CLHP
ﬀ
={x∈C:Rex≤0}, (1.3.6)
ORHP
ﬀ
={x∈C:Rex>0}, (1.3.7)
CRHP
ﬀ
={x∈C:Rex≥0}. (1.3.8)
The imaginary numbers are represented byjR.Note that 0 is both a real number
and an imaginary number.
Next, we deﬁne theopen unit disk(OUD) and theclosed unit disk(CUD) by
OUD
ﬀ
={x∈C:|x|<1} (1.3.9)
and
CUD
ﬀ
={x∈C:|x|≤1}. (1.3.10)
The complements of the open unit disk and the closed unit disk are given, respec-
tively, by theclosed punctured plane(CPP) and theopen punctured plane,which
are deﬁned by
CPP
ﬀ
={x∈C:|x|≥1} (1.3.11)
and
OPP
ﬀ
={x∈C:|x|>1}. (1.3.12)
SinceRis a proper subset ofC,we state many results forC. In other cases, we
treatRandCseparately. To do this eﬃciently, we use the symbolFto consistently
denote eitherRorC.
1.4 Functions
LetXandYbe sets. Then, afunctionfthat mapsXintoYis a rulef:X→Y
that assigns a unique elementf(x) (theimageofx)ofYto each elementxofX.
Equivalently, a functionf:X→YcanbeviewedasasubsetFofX×Ysuch that,
for allx∈X, it follows that there existsy∈Ysuch that (x, y)∈Fand such that, if
(x, y
1),(x, y2)∈F,theny 1=y2.Inthiscase,F=Graph(f)
ﬀ
={(x, f(x)):x∈X}.
The setXis thedomainoff,while the setYis thecodomainoff.Iff:X→X,then
fis a function onX.ForX
1⊆X, it is convenient to deﬁnef(X 1)
ﬀ
={f(x):x∈X 1}.
The setf(X), which is denoted byR(f), is therangeoff.If, in addition,Zis a set
andg:f(X)→Z,theng•f:X→Z(thecompositionofgandf) is the function
(g•f)(x)
ﬀ
=g[f(x)].Ifx 1,x2∈Xandf(x 1)=f(x 2) implies thatx 1=x2,thenf

PRELIMINARIES 5
isone-to-one;ifR(f)=Y,thenfisonto. The functionI
X:X→Xdeﬁned by
I
X(x)
ﬀ
=xfor allx∈Xis theidentityonX. Finally,x∈Xis aﬁxed pointof the
functionf:X→Xiff(x)=x.
The following result shows that function composition is associative.
Proposition 1.4.1.LetX,Y,Z,andWbe sets, and letf:X→Y,g:Y→Z,
h:Z→W.Then,
h•(g•f)=(h•g)•f. (1.4.1)
Hence, we writeh•g•fforh•(g•f)and(h•g)•f.
LetXbe a set, and let
ˆ
Xbe a partition ofX.Furthermore, letf:
ˆ
X→X,
where,f
or allS∈
ˆ
X,it follows thatf(S)∈S.Then,fis acanonical mapping,and
f(S)isacanonical form. That is, for all componentsSof the partition
ˆ
XofX,it
follows that the functionfassigns an element ofSto the setS.
Letf:X→Y.Then,fisleft invertibleif there exists a functiong:Y→X
(aleft inverseoff) such thatg•f=I
X,whereasfisright invertibleif there exists
a functionh:Y→X(aright inverseoff) such thatf•h=I
Y.In addition, the
functionf:X→Yisinvertibleif there exists a functionf
−1
:Y→X(theinverse
off) such thatf
−1
•f=I Xandf•f
−1
=IY.Theinverse imagef
−1
(S)ofS⊆Y
is deﬁned by
f
−1
(S)
ﬀ
={x∈X:f(x)∈S}. (1.4.2)
Note that the setf
−1
(S) can be deﬁned whether or notfis invertible. In fact,
f
−1
[f(X)] =X.
Theorem 1.4.2.LetXandYbe sets, and letf:X→Y.Then, the following
statements hold:
i)fis left invertible if and only iffis one-to-one.
ii)fis right invertible if and only iffis onto.
Furthermore, the following statements are equivalent:
iii)fis invertible.
iv)fhas a unique inverse.
v)fis one-to-one and onto.
vi)fis left invertible and right invertible.
vii)fhas a unique left inverse.
viii)fhas a unique right inverse.
Proof.To provei), suppose thatfis left invertible with left inverseg:Y→X.
Furthermore, suppose thatx
1,x2∈Xsatisfyf(x 1)=f(x 2). Then,x 1=g[f(x 1)] =
g[f(x
2)] =x 2, which shows thatfis one-to-one. Conversely, suppose thatfis
one-to-one so that, for ally∈R(f), there exists a uniquex∈Xsuch thatf(x)=y.

6 CHAPTER 1
Hence, deﬁne the functiong:Y→Xbyg(y)
ﬀ
=xfor ally=f(x)∈R(f)andby
g(y) arbitrary for ally∈Y\R(f). Consequently,g[f(x)] =xfor allx∈X,which
shows thatgis a left inverse off.
To proveii), suppose thatfis right invertible with right inverseg:Y→
X. Then, for ally∈Y,it follows thatf[g(y)] =y,which shows thatfis onto.
Conversely, suppose thatfis onto so that, for ally∈Y,there exists at least one
x∈Xsuch thatf(x)=y.Selecting one suchxarbitrarily, deﬁneg:Y→Xby
g(y)
ﬀ
=x.Consequently,f[g(y)] =yfor ally∈Y,which shows thatgis a right
inverse off.
Deﬁnition 1.4.3.LetI⊂Rbe a ﬁnite or inﬁnite interval, and letf:I→R.
Then,fisconvexif, for allα∈[0,1] and for allx, y∈I,it follows that
f[αx+(1− α)y]≤αf(x)+(1−α)f(y). (1.4.3)
Furthermore,fisstrictly convexif, for allα∈(0,1) and for all distinctx, y∈I,it
follows that
f[αx+(1− α)y]<αf(x)+(1−α)f(y).
A more general deﬁnition of convexity is given by Deﬁnition 8.6.14.
1.5 Relations
LetX,X 1,andX 2be sets. ArelationRonX 1×X2is a subset ofX 1×X2.A
relationRonXis a relation onX×X.Likewise, amultirelationRonX
1×X2is a
multisubset ofX
1×X2,while amultirelationRonXis a multirelation onX×X.
LetXbe a set, and letR
1andR 2be relations onX.Then,R 1∩R2,R1\R2,
andR
1∪R2are relations onX.Furthermore, ifRis a relation onXandX 0⊆X,
then we deﬁneR|
X0
ﬀ
=R∩(X 0×X0),which is a relation onX 0.
The following result shows that relations can be viewed as generalizations of
functions.
Proposition 1.5.1.LetX
1andX 2be sets, and letRbe a relation onX 1×X2.
Then, there exists a functionf:X
1→X 2such thatR=Graph(f)ifandonly
if, for allx∈X
1,there exists a uniquey∈X 2such that (x, y)∈R.In this case,
f(x)=y.
Deﬁnition 1.5.2.LetRbe a relation on the setX. Then, the following
terminology is deﬁned:
i)Risreﬂexiveif, for allx∈X,it follows that (x, x)∈R.
ii)Rissymmetricif, for all (x
1,x2)∈R,it follows that (x 2,x1)∈R.
iii)Ristransitiveif, for all (x
1,x2)∈Rand (x 2,x3)∈R,it follows that
(x
1,x3)∈R.
iv)Ris anequivalence relationifRis reﬂexive, symmetric, and transitive.

PRELIMINARIES 7
Proposition 1.5.3.LetR
1andR 2be relations on the setX.IfR 1andR 2
are (reﬂexive, symmetric) relations, then so areR 1∩R2andR 1∪R2.IfR 1andR 2
are (transitive, equivalence) relations, then so isR 1∩R2.
Deﬁnition 1.5.4.LetRbe a relation on the setX. Then, the following
terminology is deﬁned:
i)ThecomplementR
∼
ofRis the relationR
∼ﬀ
=(X×X)\R.
ii)Thesupportsupp(R)ofRis the smallest subsetX
0ofXsuch thatRis a
relation onX
0.
iii)Thereversalrev(R)ofRis the relation rev(R)
ﬀ
={(y, x): (x, y)∈R}.
iv)Theshortcutshortcut(R)ofRis the relation shortcut(R)
ﬀ
={(x, y)∈X×
X:xandyare distinct and there existk≥1andx
1,...,xk∈Xsuch that
(x, x
1),(x1,x2),...,(x k,y)∈R}.
v)Thereﬂexive hullref(R)ofRis the smallest reﬂexive relation onXthat
containsR.
vi)Thesymmetric hullsym(R)ofRis the smallest symmetric relation onX
that containsR.
vii)Thetransitive hulltrans(R)of Ris the smallest transitive relation onX
that containsR.
viii)Theequivalence hullequiv(R)ofRis the smallest equivalence relation on
Xthat containsR.
Proposition 1.5.5.LetRbe a relation on the setX. Then, the following
statements hold:
i)ref(R)=R∪{(x, x):x∈X}.
ii)sym(R)=R∪rev(R).
iii)trans(R)=R∪shortcut(R).
iv)equiv(R)=R∪ref(R
)∪sym(R)∪trans(R) .
v)equiv(R)=R∪ref(R)∪rev(R)∪shortcut(R).
Furthermore, the following statements hold:
vi)Ris reﬂexive if and only ifR=ref(R).
vii)Ris symmetric if and only ifR=rev(R).
viii)Ris transitive if and only ifR=trans(R).
ix)Ris an equivalence relation if and only ifR=equiv(R).
For an equivalence relationRon the setX,(x
1,x2)∈Ris denoted byx 1
R
=x2.
IfRis an equivalence relation andx∈X, then the subsetE
x
ﬀ
={y∈X:y
R
=x}of
Xis theequivalence class ofxinduced byR.

8 CHAPTER 1
Theorem 1.5.6.LetRbe an equivalence relation on a setX.Then, the set
{E
x:x∈X}of equivalence classes induced byRis a partition ofX.
Proof.SinceX=
ρ
x∈X
Ex,it suﬃces to show that ifx, y∈X, then either
E
x=EyorEx∩Ey=∅.Hence, letx, y∈X, and suppose thatE xandE yare not
disjoint so that there existsz∈E
x∩Ey.Thus,(x, z)∈Rand (z, y)∈R.Now,
letw∈E
x. Then, (w, x)∈R,(x, z)∈R,and(z, y)∈Rimply that (w, y)∈R.
Hence,w∈E
y, which implies thatE x⊆Ey. By a similar argument,E y⊆Ex.
Consequently,E
x=Ey.
The following result, which is the converse of Theorem 1.5.6, shows that a
partition of a setXdeﬁnes an equivalence relation onX.
Theorem 1.5.7.LetXbe a set, consider a partition ofX, and deﬁne the
relationRonXby (x, y)∈Rif and only ifxandybelong to the same partition
subset ofX. Then,Ris an equivalence relation onX.
Deﬁnition 1.5.8.LetRbe a relation on the setX. Then, the following
terminology is deﬁned:
i)Risantisymmetricif (x
1,x2)∈Rand (x 2,x1)∈Rimply thatx 1=x2.
ii)Ris apartial orderingonXifRis reﬂexive, antisymmetric, and transitive.
LetRbe a partial ordering onX.Then, (x
1,x2)∈Ris denoted byx 1
R
≤x2.
Ifx
1
R
≤x2andx 2
R
≤x1,then, sinceRis antisymmetric, it follows thatx 1=x2.
Furthermore, ifx
1
R
≤x2andx 2
R
≤x3,then, sinceRis transitive, it follows that
x
1
R
≤x3.
Deﬁnition 1.5.9.Let “
R
≤” be a partial ordering onX. Then, the following
terminology is deﬁned:
i)LetS⊆X.Then,y∈Xis alower boundforSif, for allx∈S,it follows
thaty
R
≤x.
ii)LetS⊆X.Then,y∈Xis anupper boundforSif, for allx∈S,it follows
thatx
R
≤y.
iii)LetS⊆X.Then,y∈Xis theleast upper boundlub(S)forSifyis an
upper bound forSand, for all upper boundsx∈XforS,it follows that
y
R
≤x.In this case, we writey=lub(S).
iv)LetS⊆X.Then,y∈Xis thegreatest lower boundforSifyis a lower
bound forSand, for all lower boundsx∈XforS,it follows thatx
R
≤y.In
this case, we writey=glb(S).
v)
R
≤is alatticeonXif, for all distinctx, y∈X,the set{x, y}has a least
upper bound and a greatest lower bound.
vi)Ris atotal orderingonXif, for allx, y∈X,it follows that either (x, y)∈R
or (y, x)∈R.

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

వప్పగింతాల మాదిరిగా వినిపిస్తున్న ఆ మాటలు విని లక్షిందేవమ్మ
బావురుమంది . వీధిలో ఇంకా తలుపు కొడుతూనే వున్నారు.
సుందరరావుకి చిరాకు పుట్టింది.
“తరవాత ఏడవడానికి బోలెడంత వ్యవధి వుంటుంది . లే. విను,
చెప్పేది.”
“సుందరావు బాబూ”
ఆ కంఠస్వరం జోగన్నది. సుందరరావు గుర్తుపట్టేడు.
“జోగడు కాదూ తలుపుకోట్టేది?”
లక్షిందేవమ్మ ఎడుపుమాని ఆలకించింది . సుందరరావు ఆ స్వరం
జోగన్నదని స్థిరపరుచుకొన్నాడు. అయినా ఆలోచనలు పోలీసుల్నీ ,
అరెస్టుల్నీ వదిలిరా వడంలేదు. కనక జోగయ్య మరో పనిమీద వచ్చి
ఉంటాడనే ఆలోచనే పోలేదు .
“ఈ గాడిద కొడుకు తీసుకొచ్చినట్లుంది”-అంటూ చాల దిగాలు
పడ్డాడు.
“తలుపు తీయండి . పగలకొట్టి పోగలరు .
పారిపోతున్నామంటూ ,ఇక్కడే….”
పన్నెండో ప్రకరణం
తనదంతా వట్టి కంగారేనని తెలిసేక సుందరరావు మనస్సు
కుదుటపడడానికి బదులు కోపోద్రిక్తం అయింది .

“ఏమిటింత రాత్రివేళ వచ్చేవు? వో రాత్రివేళ తలుపులు దబదబ
లాడించి, ఊరందరినీ ఆదరకొట్టే బదులు , తెల్లవారేక రాకూడదూ?
ఏమంత రాచకార్యం మునిగిపోయింది ?”
ఆ విసురుచూసి జోగయ్య నవ్వేడు.
“ఏం పోలీసులనుకొన్నారా? బందిపోటు లొచ్చేరనుకొన్నారా?”
ఏమనుకున్నాడో సుందరరావు చెప్పలేదు. చుట్టుప్రక్కల
ఇళ్ళవాళ్ళకి కూడా తమకు కలిగిన అనుమానాలే వచ్చేయి. కిటికీల్లోంచి
తొంగి చూస్తున్నారు. పోలీసులెవరూ కనబడ్డంలేదు. ఉన్నదల్లా
జోగన్న. వాళ్ళు మళ్ళీ కిటికీలు మూసేసుకున్నారు. ఒకరిద్దరుమాత్రం
తలుపు తెరుచుకు వీధిలోకి వచ్చి వాకబు ప్రారంభించేరు.
“ఏమిటయ్యా హడావిడి!”
సుందరరావు మనస్సు మండిపోతూంది . ఆ కోపాన్ని హాస్యం మాటున
దాచిపుచ్చుతూ అలవోకగా తేల్చివేసేడు ;
“మనవాడు బుద్ధికి బృహస్పతే. కాని, బుద్ధి నిలకడకి మర్కట కిశోరం
నయం . ఏదో గొప్ప ఆలోచన తోచివుంటుంది . దాన్ని తెల్లవారే వరకూ
మగ్గేస్తే పులిసిపోదా? ఏమోయ్ ! అంతేనా ? చూడు. ఎంతమందికి నిద్ర
పాడుచేసేవో ….”
జోగయ్య నవ్వుతూనే వున్నాడు. సుందరరావుకి చిరాకు కలిగినా పైకి
తానూ నవ్వేడు.
“ఇరవై, పాతికేళ్ళనుంచి చూస్తున్నా, ఒక్కలాగే వున్నావోయ్.”
“బాగా చెప్పేవు” అని శ్రోతలు కూడా అంగీకరించి , నిద్ర తరవాయి
అందుకో వడానికి వెళ్ళిపోయేరు .

నలుగురూ వెళ్ళిపోయేక సుందరరావు జోగాన్నను సావట్లోకి
తీసుకువచ్చి కూర్చోబెట్టేడు. తానూ కూర్చున్నాడు.
“చెప్పు”
“ఊళ్ళో తాము పెడుతున్న సభలలో మనం కలిసిరానందుకు
రివిజనిస్టులు మనమీద ప్రతీకారచర్యలు ప్రారంభించారు . మిమ్మల్ని
ఏం చెయ్యలేరు. ‘ఊరందరికీ నేను లోకువ. నాకు నంబికొండయ్య
లోకువ’ అన్నట్లు నేను దొరికాను. నామీద పడ్డారు.”
సభలు పెట్టడంలో తాము కలియకపో వడం, రివిజనిస్టులు
కసితీర్చుకోడం మాట వచ్చేసరికి సుందరరావు సావధానంగా సర్దుకు
కూర్చున్నాడు. ఒక్కక్షణం క్రితం జోగయ్య కలిగించిన ఆందోళన, కోపం
మరిచిపోయేడు .
“అసలేం జరిగిందో చెప్పు.”
“కుమారస్వామిగారి పొలం నేను చేస్తున్నాను కదా. ఇస్తున్నానో,
మానుతున్నానో ఆ పెద్ద బ్రాహ్మడు ఎప్పుడూ కూడ, ఏమిటింతే
ఇచ్చేవేం అని అడగలేదు . ఆయనకి మన పార్టీ మీద అభిమా నమే
కాదు. సాటి బ్రాహ్మణాడిననీ, పిల్లలవాడిననీ నామీద ప్రత్యేకించి
అభిమానం….”
“వట్టి భ్రమలకేం గాని, అసలు ఏం జరిగింది ?”-అని సుందరరావు
అతని వాక్ప్రవాహాన్ని అడ్డగించేడు.
“భ్రమ కాదండి. నిజం. ఆయన అన్న మాటలివి . వెనకోమాటు మీకు
చెప్పేనుకూడా . ఆ రోజున నాకోసం స్వయంగా కబురు పంపి చెప్పిన
మాటలే . ‘ఏమోయ్! జోగన్నా. నేనూ పెద్దవాడినైపోయేను . అదీగాక,
అందరూ అన్ని పనులకీ తగరు. నీలాగ నేను దేశం కోసం
పాటుపడాలంటే సాధ్యం కాదు. నాకు చేతా కాదు. నువ్వు ఆ భూమి

చేసుకో. బ్రతుకు . పిల్లలవాడివి. సాటి కులంవాడివి. నేనే దేశానికి సేవ
చేస్తున్నట్లు సంతోషిస్తాను”-అని పదిమాట్లు వప్పచెప్పేడు.
“అసలు విషయం చెప్పవోయ్ బాబూ!” సుందరరావుకు అర్థరాత్రి
వేళ హడావిడి చేసి తన కులం, దేశసేవ గురించి జోగన్న చెప్పుకోడం
చిరాకుగా వుంది. పైగా ఆ భూమిని జోగన్న చేయడాన్ని తామంతా
బలపరిచారు . కులం చూసీ, అతని దేశసేవ చూసీ కాదు. అతని
రౌడీతనానికి తమ పార్టీ మద్దతునిచ్చి, అది కాస్తా రివిజనిస్టుల
పాలబడకుండా నిలిపేరు . ఇప్పుడదంతా తన ప్రజ్ఞే అంటే?
“ఆ భూమి నాకు లేకుండా చేస్తే తప్ప పార్టీని
దెబ్బతియ్యలేమనుకొన్నారు కాబోలు. అది కాస్తా వ్రాయించుకొన్నారట.”
“ఎవరు, ఆ వ్రాయించుకొన్నది?”
“జానకి కొడుకు పేర వ్రాయించే రట.”
“అదేమిటి?”
“ఏమిటేమిటి ? కోడలేగా జానకి. ఆ కుర్రాడు మనుమడే కాదండి?”
“ఔను సుమీ ఆ బంధుత్వం ఒకటి వుంది కాదూ. ఔను. అతనికి వ్రాసి
ఇచ్చేడన్నమాట, ముసిలాయన .”
సుందరరావు ఆ సమాచారాన్ని మనస్సుకు పట్టించుకొనే సరికి ఒక్క
క్షణం ఆలస్యం అయింది . ఈలోపున జోగన్న తన కధ సాగించేడు.
“వారం పదిరోజుల క్రితం సరిగ్గా తుపానుకి ముందు సత్యానందం
స్వయంగా పెళ్లాన్ని తోడిచ్చి పంపించి చేయించిన పని ఇది….”
సత్యానందం ఈ పని చెయించేడంటే విప్లవానికి అది ద్రోహచర్యగానే
భావించడం సుందరరావు స్వభావం. జోగయ్య తమ పార్టీవాడు.
అందుచే త మరీ ముఖ్యం. అతనికి వత్తాసునివ్వక తప్పదు.

“ఏం ఫర్వాలేదు. నీమీద కసి తీర్చుకోడం అంటే పార్టీమీద కసి
తీర్చుకోడం అన్నమాట. అది అంత సులభం కాదు. పార్టీ అంతా నీ
వెనకనుంటుంది . ఫర్వాలేదు. కాని, అసలు ఏమయిందో చెప్పు….”
అన్నాడు సుందరరావు.
ఆమాత్రం దిలాసా ఇస్తే జోగన్నకు సంతృప్తి కలగలేదు . తానా మాట
చెప్పగానే ఇంత ఎత్తు ఎగిరిపడి, తారాజువ్వలా లేస్తాడని అతని
వుద్దేశం. అది జరగలేదు . కనక జరగవలసిందేమిటో తానే చెప్పేడు.
“ఇదేం లాభంలేదు. మనం కూడా చప్పబడిపోతున్నాం. పిల్లి
గుడ్డిదైతే ఎలక ‘ఏదో’ చూపింది ట. వీళ్ళని కాలరాసెయ్య క పోతే లాభం
లేదు. కన్నుకు కన్ను, పన్నుకు పన్ను అని మాటల్లో చెప్తే చాలదు .
చేతలు. చేతల్లో చూపాలి. మనలో ఆ జివ తగ్గిపోతూందనే నక్సలైట్లు
విడిపోయేరు . ఇంకేనా మనకి తెలివి కలగకపోతే ….”
తన పార్టీ స్తంభాలు కదిలిపోతున్నట్లే సుందరరావు వులికిపడ్డాడు.
“భూమి పట్టా ఆయనపేర వుంది. కాని, అందులో నువ్వు ఆరేడేళ్ళ
నుంచి….”
“పదేళ్ళయింది దానిలో చేరి….”
“ఔనా మరి. ఒక్క కాగితమన్నా వుందా, కౌలు పేరునో , అద్దె
పేరునో ….ఏదో మాటగా నన్నా….”-అని సుందరరావు ఆ భూమిని
స్వాధీనంలో అట్టే వుంచుకోడానికి చట్టసంబంధమైన
అవకాశాలేమున్నాయో తెలుసుకొ నడానికి ప్రయత్నించేడు.
“ఆ ముసలాడు దివాన్గిరీ వూరికే వెలిగించేడా ? ఒక్క కాగితం ముక్క
పుట్టనివ్వలేదు. ఎప్పుడెళ్ళినా కబుర్లతోనే కడుపునింపి పంపేస్తూ
వచ్చేడు.”
అంతేకాదు. ఆ పొలం చుట్టూ ముళ్ళతీగ వేయించి , మకాంపాక,
నూయి, ఇతర మెరుగులు చేయించినది కుమారస్వామే. అందులో

వేసిన మొక్కామొటికా చూడడానికి పాలేరుని పెట్టింది ఆయనే.
మకాంపా కలో కాపురం వుంటూ , ఆ భూమి అంతా తనదిలాగ తిరగడం
తప్ప జోగన్నకి బాధ్యత లేదు. ఆ పనికని నెలకేదో ఇంత అని
కుమారస్వామి మనియార్డరు చేస్తున్నాడు. ఈ వివరాలేవీ సుందరరావు
ఎరగడు . ఇప్పుడవన్నీ విని విసుక్కున్నాడు.
“మరి ఏం చేస్తావు?”
“మీరే చెప్పండి. మన పార్టీ పేరు ఇంతవరకూ వుపయోగించుకొని,
ఇప్పుడు రివిజనిస్టుల చేతికి ఆ భూమి వప్పచెప్తూంటే మనం ఏమాత్రం
ఒప్పుకోకూడదు”-అని జోగన్న నిర్దేశించేడు.
కాని, దానిని జోగన్న చేతిలో నిలవబెట్టడం ఎల్లాగో సుందరరావుకి
అర్థం కాలేదు . ఆలోచించేడు. ఆయన ఆలోచనలను త్వరితపరుస్తూ
జోగన్న చెప్పుకుపోతున్నాడు.
“నేను మార్క్సిస్టును. పార్టీ కార్యకర్తను. అందుచే తనే నాకు
నిలవనీడలేకుండా చేస్తున్నారు. అల్లాచేస్తే లొంగిపోయి వాళ్ళ పార్టీలో
చేరతానని వాళ్ళ వూహ. ఈ వార్త నాకు చెప్పిన కరణంగారు వెళ్ళి
సత్యానందాన్ని కలుసుకు మాట్లాడమని అప్పుడే ఉచితసలహా
ఇచ్చేరు కూడా….”
“అలాంటి పని చేసేవు గనక. కొంప తవ్వుకుపోతుంది”-అన్నాడు
సుందరరావు.
“అందుకేగా ముందు మీవద్దకు వచ్చింది.”
“చట్టరీత్యా ఆ భూమిని నిలుపుకొనేందుకు నీవద్ద ఆధారాలేవీ లేవు.”
“నేను మార్క్సిస్టు పార్టీ వాడిని. మంచికీ చెడ్డకీ పార్టీని అంటిపెట్టుకొని
వున్నాను. ఈ స్థితిలో నన్ను ఆదుకోవలసిన బాధ్యత పార్టీ మీద వుంది.”
అతని డిమాండు చూసి సుందరరావు చిరచిరలాడేడు.

“పార్టీ మన లాభాలకు కాదయ్యా. మనం పార్టీకోసం గాని….” అన్నాడు.
ఆ మాటకు జోగయ్య ఛర్రుమన్నాడు.
“అన్నింటికీ నన్ను వాడుకున్నారు, తిడితే భేష్ అన్నారు. రాయి
విసురుతే భళా అన్నారు. తీరా మీ అవసరం వచ్చేసరికి నాలిక మడత
వేస్తున్నారు.”
“తొందరపడకు .” అని సుందరరావు అతనిని శాంతపరచడానికి
పూనుకొన్నాడు.
“ఇప్పుడున్న మార్గం ఒక్కటే.”
జోగన్న రుసరుసలాడుతూ ‘ఏమిటది ’-అన్నాడు.
“జాగ్రత్తగా విను. ఆలోచించు….ప్రస్తుతం వున్న స్థితిలో నిన్ను
అక్కడినుంచి పొమ్మంటే నువ్వు చెయ్యగలది లేదు.”
“ఏం లేదూ? నన్ను పొమ్మనడానికి ఎన్ని గుండెలుండాలి ?
ఎవరంటారో అనమనండి చూస్తా.”
“ఏం చేస్తావోయ్!”
“ఏం చేస్తానా? కత్తెడైతే పొడిచిపారేస్తా.”
“అలాంటి తెలివి తక్కువ మాటలు చెప్పకు. చేయకు. ఉరి తీసి
పారేస్తారు. పిల్లలవాడివి.”
“ఇంత పిరికితనం ! మాటలు చూస్తే మాత్రం కోటలు దాటిస్తారు. పెద్ద
మార్క్సిస్టులమని కబుర్లు మాత్రం….”
“ఈపాటికి కట్టిపెట్టు. చావదలుచుకుంటే వెళ్లు. కాదు పార్టీ సాయం
కావాలంటే చెప్పినట్లు విను….”

జోగన్న తగ్గేడు.
“ఏం చెయ్యమంటారు ?”
“ఇది నువ్వొక్కడివీ తట్టుకోలేవు.”
“అందుకేగా వచ్చింది.”
సుందరరావు ఒక్క నిముషం ఆగేడు.
“మన పార్టీకి చెందిన ఇళ్లు లేనివాళ్లందర్నీ ఆ పొలంలోకి వెళ్ళి
పాకలు వేసుకోమందాం .”
“మరి నాకు లాభం ఏమిటి?”
“నువ్వు ఆ యిల్లు వదలనక్కర్లేదు. లేపితే అందర్నీ లేపాలి . లేపేరా
పార్టీ అంతా ఒక్కటిగా నిలబడుతుంది . మీ నివాసస్థలాల నుంచి
మిమ్మల్ని లేపాలంటే….”
“కాని, హరిజనుల మధ్యన బ్రాహ్మణాణ్ణి….”
సుందరరావు అసహ్యం కనబరిచేడు.
“కమ్యూనిస్టు పార్టీలో కులభేదాలు చెల్లవు. నీకిష్టం లేకపోతే , అక్కడి
నుంచి ఇవతలికి వచ్చెయ్యి. మరో దారి లేదు. ఆ భూమిని పార్టీ
వదలదు .”
“నేనక్కణ్నుంచి కదలను .”
“కదలకు . నేను కదలమనడం లేదు. నిన్ను కదపకుండా తోడు
నిలబడాలనే నా వూహ. వెళ్లు. పైకి పోనివ్వకు.
ఎల్లుండి….ఎల్లుండేమిటి….రేపే….తెల్లవారేసరికి పేటలవాళ్ళచేత….”

“అదేం కుదరదు . అది నా భూమి. ఎవడన్నా పాక, గీక వేశాడంటే
అగ్గిపుల్ల గీసేస్తా. జాగ్రత్త.”
సుందరరావు నవ్వేడు.
“అట్టే, గప్పాలు చెప్పకు. కాళ్లు, చేతులు కట్టి ఆ మంటల్లో
పారెయ్య గలరు.”
“ఏ లం….జ….కొడుకు వస్తాడో, చూస్తా. అల్లాంటిపని చేసేవంటే
ముందు నీ కొంపకి చిచ్చెట్టేస్తా” అని జోగన్న లేచేడు.
“ఏడిశావులే. నిష్కారణంగా ప్రాణం మీదికి తెచ్చుకోకు” మన్న
మాటలు సుందరరావు నోట్లో వుండగానే జోగన్న వీధిలోకి జువ్వలా
దూసుకుపోయేడు .
పదమూడో ప్రకరణం
సత్యానందం నూతి పెరట్లో ముఖం కడుక్కుంటూంటే సరస్వతి
వచ్చి కబురందించింది .
“మీకోసం ఎవరో వచ్చేరు, మామయ్యగారూ!”
“కూర్చోమను అమ్మా! వస్తున్నా.”
“సావిట్లో కూర్చోబెట్టేను.”
అతడు వేవేగ ముఖం కడుక్కుని అంత ప్రొద్దుటే వచ్చిందెవరా
అనుకొంటూ హాలులో అడుగుపెట్టేసరికి జోగన్న బల్లమీద కూర్చుని
వున్నాడు. సత్యానందాన్ని చూడగానే వులికిపడ్డట్లు లేచి, చేతులు
జోడించి దండం పెడుతూ జోగన్న ఎదురువచ్చేడు.

“బుద్ధి గడ్డితింది. క్షమించండి -అని అడగడానిక్కూడా మొహం
చెల్లడం లేదు. క్షమించేనంటే తప్ప, పిల్లలవాణ్ణి బతకలేను ….”
గడగడలాడుతూ పశ్చాత్తాప ఖిన్నమూర్తిలా జోగయ్య వచ్చి తన
కాళ్ళమీద పడిపోతూంటే, సత్యానందం చట్టున వెనక్కితగ్గి, అతని
భుజాలు పట్టుకొని నిలబెట్టేడు.
“ఏమిటీ అన్యాయం? నాకేం అన్యాయం చేశావని నిన్ను
క్షమించడం ? బాగుంది. ఇది మరీ బాగుంది . మీ పిల్లలకేం వచ్చింది?
అంతా బాగున్నారా?….”
తన పిల్లలకేం కాలేదని జోగన్న చెప్పేడు. తుఫాను బాధితులు
ఇళ్ళు వేసుకొనేందుకు ప్రభుత్వం యిస్తానన్న డబ్బుకోసం దరఖాస్తు
పెట్టేడు. తాశిల్దారు వచ్చి సాయం కావలసిన వాళ్ళ పేర్లలో తనదీ
చేర్చేడు.
“మరింకనేం , ఫర్వాలేదు. ఈలోపున కావలసిన సాయం ….”
మళ్ళీ జోగన్న దండాలు మొదలుపెట్టేడు.
“మీ మనస్సు అంత గొప్పది. తెలుసుకోలేకపోయేను . వెధవని .
సుందరరావు ఇశారా యిస్తే, ఏదో గొప్పపని చేస్తున్నాననుకొని, రాయి
విసిరి, మీ వీధిలైటు బద్దలు కొట్టేసేను. ఆయన చెప్పేడు. నేను విన్నా.
వెధవని , కుంకని ….”
జోగయ్య ఛటఫటా చెంపలు వాయించుకుంటూంటే, సత్యానందం
చటుక్కున అతని చేయి పట్టుకొన్నాడు.
“వోస్. అదా! దానికింత బాధ పడాలా ? ఏమీ లేదు. అప్పుడే
మరిచిపోయా . పైగా నువ్వు విసిరినట్లు మేము చూడలేదు.
అనుకోలేదు ….”
“మీ మనస్సు గొప్పతనం అది. చవటపీనుగుని కానలేకపోయేను .”

“ఇంక మళ్ళీ అవేం చెప్పకు. అల్లా చెయ్యడం తప్పని తోచింది.
చాలు. మళ్ళీ అల్లాంటివి చెయ్యకపోవడమే….”
మాట మధ్యలోనే జోగన్న అందుకొన్నాడు. “ఇంకానా?….ఇంక
అల్లాంటి వెధవపని చేస్తానా? ఇంక ఆ అనుమానం తగిలితే
చెప్పుచ్చుకు కొట్టండి ఇంక అల్లాంటి పనులు చెయ్యమనే వాళ్లతో ఏమీ
సంబంధం పెట్టుకోను. మీకు వ్రాసి ఇస్తున్నా….”
జోగయ్య జేబులోంచి ఒక కాగితం మడతతీసి , విప్పి సత్యానందం
చేతికిచ్చేడు.
“చిత్తగించండి . దీని నకలు సుందరరావు ముఖాన కొట్టివచ్చేను.
నేను మీ పార్టీలో చేరిపోడానికి వచ్చేను….”
సత్యానందం ఉలికిపడ్డాడు.
“ఇప్పుడు ఆ ప్రసక్తి ఏం వచ్చింది? సావకాశంగా ఆలోచించుకో .
తొందరవద్దు.”
గ్రామంలో రౌడీగా, చంపడానిక్కూడా వెనుతియ్యనివాడుగా ప్రసిద్ధీ,
స్వానుభవమూ వున్నా, 52 ఎన్నికలలో తమతో పనిచేసినా క
జోగయ్యను పార్టీలో చేర్చుకొన్నారు. కూడదన్నవాళ్లు, ఎప్పుడో తప్పు
చేసినందుకుగాను మరి బాగుపడే అవకాశం లేకుండా చెయ్యరాదన్న
సమాధానంతో గమ్మునైపోయారు . అతనిని పార్టీలో చేర్చుకోరాదన్న
వారిలో సత్యానందం ఒకడు. పార్టీ విడిపోయినప్పుడు అతను
మార్క్సిస్టుల వెంటబో వడం కమ్యూనిస్టు పార్టీ అదృష్టంగా
భావించినవారిలో అతడొకడు. ఇప్పుడు తిరిగివస్తానంటూవుంటే
భయమే అనిపించింది .
“మనవి రెండూ ఏకలక్ష్యం గల పార్టీలు. ఇప్పుడు యేవో
విభేదాలు ….”

“చెప్పేకాదా! బుద్ధి గడ్డి తిని మార్క్సిస్టులతో చేరేనని ….వాళ్లవలన
దేశం ఉద్ధరించబడుతుందని భ్రమపడ్డా. వాళ్ళ విప్లవపదజాలం చూసి
మోసపోయా .”
జోగయ్యను బాగా ఎరిగిన సత్యానందం ఆ ఆత్మ విమర్శనకు
ఉబ్బితబ్బిబ్బు కాలేదు . పైగా కొత్త చిక్కులు ఎదురు కాగలవని
భయపడ్డాడు. ఇలాంటి ఫిరాయింపులకు బ్రహ్మానంద పడేవాళ్ళ చేతిలో
కాగితం పడితే, కళ్ళకద్దుకొని విశాలాంధ్రకు పంపేస్తారు. వాళ్లు గుడ్డిగా
వేసేస్తారు. ఇంక ఇక్కడుంటాయి తమ పాట్లు. వూళ్లోవాళ్ళే కాదు.
జోగయ్యే తమ మొహాన ఉమ్మేసినా వేస్తాడు.
జోగయ్యకు తన స్థానం, దానికి గల బలం బాగా తెలుసు . తన చేతిలో
కాగితం చదివి వినిపించసాగేడు.
“కమ్యూనిస్టు పార్టీ ఉమ్మడి పార్టీగా కలిసి వున్నప్పుడే-ఇప్పటికి
దరిదాపుగా పదిహేనేళ్ళనుంచి నేను పార్టీ సానుభూతిపరుడుగా , పార్టీ
సభ్యుడుగా వుంటున్నా. అంతకు పూర్వం కూడ ప్రజాజీవన
సాధనాలన్నింటినీ బూర్జువా, భూస్వామి వర్గాలూ, వారి పడితొత్తులుగా
బ్రతుకుతున్న కాంగ్రెసు ప్రభుత్వమూ తమచే త బట్టుకొని, దేశంలో
అనేక కొట్లమందిని బహిరంగంగా తమ ఇనప పిడికిలితో పట్టివుంచినట్లే
నన్నూ నొక్కి వుంచినా , నా మనస్సు, నా ఆత్మ విప్లవపార్టీ అయిన
కమ్యూనిస్టుపార్టీతోనే వుంది. 1952 ఎన్నికల నుంచి నా వోటు కంకి,
కొడవలికే పడింది ….”
సత్యానందం ఏదో అనాలి గనక, “ఔనౌను. నాకూ గుర్తుంది”
అన్నాడు. ఆ ఎన్నికలలో జోగన్న ఎన్నికల క్యాంపులో వలంటీరుగా
వున్నాడు. ఆ మాట అన్నాక తన పొరపాటు గుర్తు వచ్చింది. ఎలా
సర్దుకోవాలో తోచక కంగారు పడ్డాడు. కంగారు కప్పిపుచ్చుకొనేందుకు
పొడిదగ్గు నటించేడు.
జోగయ్య తన పత్రంలో మాటలకి ముఖతః వివరణనిచ్చేడు.

“నాబోటి సందిగ్ధాత్మకులకి మీరే దారి చూపేరు . ఆ గడ్డు నిర్బంధపు
రోజుల్లో కమ్యూనిస్టు పేరుచెప్తే పట్టుకుపోయి కాల్చివేస్తున్న రోజుల్లో
మీరు బాహాటంగా ప్రకటన చేసి “కమ్యూనిస్టు పార్టీతో చేరుతున్నాను.
ఏం చేస్తారో చెయ్యండి” అన్నారు. ఆనాటికి మీకు కమ్యూనిస్టులయెడ
విశ్వాసం లేదు. విశ్వంగారిని అన్యాయంగా కాల్చివేసినందుకు
అసమ్మతిగా మీరు ఆ ప్రకటన చేశారు . చేరేరు….”
తనకు 1950 నాటికి కమ్యూనిజం మీద విశ్వాసం ఏర్పడిందనీ వారి
పంధా మాత్రమే నచ్చలేదనీ చెప్పాలని వున్నా జోగయ్య మాటలకి
తాను సమాధానం చెప్పుకోడం ఇష్టంలేక సత్యానందం తెరిచిన నోరు
మూసేసుకొన్నాడు.
జోగయ్య తన ధోరణి సాగించేడు.
“దేశ భవిష్యత్తు కమ్యూనిస్టు పార్టీతోనే వుందని నమ్ముతున్నా,
భయంతో మూల ఒదిగి కూర్చున్న మాబోటిగాళ్ళకు, మిమ్మల్నీ, మీ
సాహసాన్నీ చూసేసరికి , కనువిప్పే కలిగింది . మీరు మాకు ‘మార్గదర్శీ
మహర్షి….”
తన మాటల ప్రభావం సత్యానందం మీద ఏ విధంగా వుంటూందో
గమనించడానికి, ఒక్క నిముషం ఆగి, అతని ముఖంలోకి చూసేడు .
జోగయ్యకు తాను మార్గదర్శినయ్యాననడం గర్వం కలిగించడానికి
బదులు సత్యానందానికి అసహ్యమే కలిగించింది . కాని ఏమీ
అనలేకపోయేడు .
“మీబోటి అసలు , సిసలు అభిమానులంతా పార్టీలోకి వచ్చాక కూడా,
అందులో వుండడానికి ఏ మాత్రం అర్హతా లేని మాబోటిగాళ్ళు దానిని
వదలలేదు . దానికి గబ్బు పట్టించాం. మీబోటివాళ్ళందర్నీ బయటికి
పోయేలా చేశాం. ఇంత చేసిన నన్ను “మార్గదర్శీ మహర్షిః”
అంటున్నావంటే….”

దానిని అవహే ళనగా భావించే అవకాశం , అవసరం జోగన్నకు
కనబడలేదు.
“మీరింకేమంటారు ? మాకు ఎంత భక్తి విశ్వాసాలు పార్టీ మీదున్నా
మంగలి మంత్రిత్వం దొరికింది. గాడిదలకి నాయకత్వం ఇచ్చి
గంగిరెద్దులా తలలు వూపేం.”
ఆ సంభాషణ వెక్కసమనిపించి , సత్యానందం జోగన్న చేతిలోని
కాగితం తీసుకుని చదవడంలో మునిగిపోయేడు . ఆఖరున మడిచి
జేబులో పెడుతూ -“పార్టీశాఖ ముందుంచుతాను. నేనిది
వుంచుకో వచ్చా?” అన్నాడు.
“మీకివ్వడానికే తెచ్చేను. దయవుంచండి . నన్ను పరాయివాడుగా
చూడవద్దు. మీతో కలుపుకోండి. అదీ నా ప్రార్థన.”
సత్యానందం ఒక్క క్షణం ఆలోచించేడు. అసలు విషయం
చెప్పకుండా అతనిని ఆహ్వానించేడు.
“రాత్రి ఒక ముఖ్యమైన విషయం గురించి సమావేశం
జరుపుతున్నాం . దానికి నువ్వూ….”
“రావచ్చునా?”
“సానుభూతిపరుల్నే కాదు. కాంగ్రెసువారిని సహా పిలుస్తున్నాం.
మార్క్సిస్టుపార్టీ ముఖ్యుడివి, నీకు….”
జోగన్న మొగం యింత పొడుగుచేసి బుస్సుమన్నాడు.
“ఆ పార్టీవాడినని మీరనడం అవమానంగా భావిస్తా!”
సత్యానందం అది సరికాదన్నాడు.
“మీకు కనువిప్పు కలిగించిన అంశం ఏమిటో నాకు తెలియదు .
అయినా పార్టీలతో మనకున్న అనుబంధాలు అంత సులభంగా

తెంచుకో గలమా ?”
తెంచుకో గలమనడం అనిశ్చిత బుద్ధికి వుదాహరణ
అవుతుందేమోననే భయంతో జోగన్న దిగులు మొహం పెట్టేడు.
“అదీ నిజమే అనుకోండి. ఇదివరకు ఇల్లా ఎన్నిమార్లు అనుకోలేదు .
కాని చెయ్యగలిగేనా? అయితే ఈమారు పరిస్థితి వేరు. నేను నిశ్చయం
చేసేసుకున్నా ….”
“సరి, సరి. కాగితం చదివేను కాదూ. చూద్దాం. రాత్రి….”
“తప్పకుండా వస్తా.”
జోగన్న సెలవుదీసుకొని గుమ్మం దాకా వెళ్ళేడు. పొలం విషయం
సత్యానందం తనకు తానై ఎత్తుతాడని తలుస్తే, అతడు
మాట్లాడనేలేదు . ఇంక తానే ఎత్తాలి. చటుక్కున ఏదో జ్ఞాపకం
వచ్చినట్టు అడిగేడు.
“ఒక సంగతి తెలిసింది .”
“ఏమిటది ?”
“నేను కాపురం వుండి చేసుకుంటున్న బాడవ పొలం….”
“ఔను. కుమారస్వామిగారా పొలం మనమడికి వ్రాశారు . నిన్ననే
సాయంకాలం టపాలో దస్తావేజు అందింది .”
“ఆయన నాకిచ్చేసిన పొలం అది….”
“నేనెప్పుడూ వినలేదే….”
“పెద్దవాళ్ళు ఏం చేసినా చెల్లుతుంది”-అని జోగన్న తన వ్యథ
వెలిబుచ్చేడు.

“ఈవేళ సభ దానిని గురించే . ఆ కుర్రవాడు తనకా భూమి
అక్కర్లేదంటున్నాడు. పల్లెలవాళ్లు ఇళ్ళ స్థలాలకి కోరడం, తాశీల్దారు
శాంక్షన్ చేయడం ….”
“ఎప్పటి మాట అది. పదిహేనేళ్ళనాటి మాట….”
“ఔను, నువ్వూ ఎరుగుదువు . పల్లెలవాళ్ల ఇళ్ళ స్థలాలకి
ఇచ్చేస్తానంటున్నాడు ఆ కుర్రవాడు….”
“ఆ,” అన్నాడు జోగన్న.
“ఔను. ఒక పార్టీ అనకుండా పల్లెల్లో ఇళ్ళు లేని కుటుంబా లవారికి
ఇచ్చెయ్యాలని అనిపించింది అతనికి . ఒక పద్ధతి ప్రకారం స్థలాలు
కేటాయించడం , ఎందరికి కావలసి వుంటుందో ….”
“అది నాకిచ్చిన భూమి….” అన్నాడు జోగన్న నీరసంగా .
“ఆ విధంగా కాగితం వుంటే తీసుకురాండి . పేచీ పూచీ లేకుండా
ముందే సర్దేసేద్దాం….”
జోగన్నకు ఏం తోచలేదు .
“మీటింగెక్కడ? ఎప్పుడు?”
“రాత్రి తొమ్మిదింటికి స్కూలు దగ్గరే. పల్లెలవాళ్లు ఇంకా అక్కడే
వున్నారు కదా. వాళ్ళందర్నీ మరో చోటికి రమ్మని శ్రమ పెట్టటం
ఎందుకని ….”
జోగన్న ఈమారు సెలవు తీసుకోడం మరిచిపోయేడు .
పద్నాలుగో ప్రకరణం

“ఇంత పొద్దుపోయి వస్తున్నారు, ఎక్కడనుంచీ ….”
“ఇసుక పూడిలో న్యూమోనియా కేసుంది కదూ, వెళ్ళేసరికి కలరా
కేసొకటి తెచ్చేరు.”….అంటూ నడుస్తూనే రంగనాయకులు పరధ్యానంగా
సమాధానం చెప్పేడు. అంతలో అడిగినదొ క ఆడమనిషనీ, స్వరం
ఎరిగినదేననీ అంతరాంతరాలలో అనిపించి చటుక్కున ఆగి
వెనుతిరిగి చూసేడు. సుశీల. తనను ఇంత పొద్దుపోయి
వస్తున్నానందేగాని, ఆమె కూడా అంతే కాదూ.
“నువ్వు, ఇంతదాకా హాస్పిటలులోనే వున్నావా? ఏం కొత్తరోగులు
వచ్చేరా?”
తుపాను బాధితుల సహాయార్థం అన్ని పార్టీలవారూ కలిసి గ్రామంలో
ఏర్పరచిన వైద్యశాలలో సుశీల రామకృష్ణ సహాయంతో పని చేస్తూంది,
ఈ నాలుగు రోజులుగా . అది తన ప్రోత్సాహంతోనే ఏర్పడిందని
తెలిసినా , కేవలం తమ పార్టీ పెత్తనం కింద లేదు. అధికార
కమ్యూనిస్టుల స్థానిక నాయకుడు దాని ఏర్పాట్లు చూస్తున్నాడు. కనక
తన తండ్రి అభ్యంతరం వుంది. ఇంకా తను ఆయనని తోసేసి
బయటపడే మనస్థితిలో లేడు, తప్పదనిపిస్తున్నా. ఆయన బ్లడ్‌ప్రెషర్
ఆరోగ్యం దృష్ట్యా ఇంకా తొందరపడలేననుకొంటున్నాడు. కాని, రోజూ
ఏదో వేళప్పుడు వెడుతున్నాడు. సాయం చేస్తున్నాడు.
సలహాలిస్తున్నాడు. ఈ రాకపోకలలో సుశీలతో సాన్నిహిత్యం
పెంచుకుంటున్నాడు. ఇద్దరిమధ్యా వారంక్రితం వున్న దూరం
తగ్గుతూంది . అదే అతని గొంతులో ప్రతిధ్వనించింది .
అతని కంఠంలోని ఆదుర్దా తనను గురించా , తుపాను తర్వాత
గ్రామాలలో వ్యాపించగలవనుకొంటున్న అంటురోగాల్ని గురించా
అనుకొంది సుశీల.
“స్కూలులో పేటలవాళ్ళకి ఇళ్ళస్థలాల కేటాయింపు గురించి
నిశ్చయించడానికి నలుగురూ చేరేరు. మీరు వస్తారని చాలసేపు
చూసేరు . రాలేదు . మీ పార్టీ వాళ్ళెవ్వరూ రాలేదు .”

తన ప్రశ్నకది సమాధానం కాదు! పైగా మరో ఆరోపణ.
“మా నాన్నగారు….”
“లేదు.”
“జాన్!”
“వచ్చేడేమిటి? అక్కడే వున్నాడు. కాని, అంతవరకూ అక్కడున్న మీ
పార్టీవాళ్లు సమయానికి వెళ్ళిపోయేరు .”
రంగనాయకులు ఏదో చెప్పబోయి వూరుకున్నాడు.
“అక్కడినుంచే వచ్చేవు కాబోలు, ఏం నిర్ణయించేరు?”
“నువ్వే అక్కడికి వచ్చి వుంటే మా నిర్ణయాలు ఇంకా సమగ్రంగా
వుండి వుండేవి. ఇప్పుడు అరకొరగా వదలవలసి వచ్చింది” అన్న
మాటలు వినబడేవరకూ అతడు సుశీల వెనక మరికొందరున్న
విషయమే గమనించలేదు .
“మీరూ వున్నారా? ఇంక మనకి రాజకీయాలలో వేలు పెట్టాలనే ఆసక్తి
లేదు. డాక్టరు వృత్తిలోనే మనం చెయ్యగలదేదో చెయ్యడం….”
“అలాగని వూరుకో గలిగేవా ? పేటలవాళ్ళని హైస్కూలులోకి
తీసుకురా వడం నీ ధర్మమే అని ఎందుకనుకొన్నావు?” అంది జానకి.
రంగనాయకులు నిరుత్సాహంగా నిట్టూర్పు విడిచేడు.
“మనుష్యుడు అలవాట్లకి దాసుడు. అదే అతని బలహీనత….”
అన్నాడు రంగనాయకులు .
“కాని, నీ విషయంలో ఆ బలహానత జనానికి ప్రయోజనకరం .
లేకపోతే ఏమవుతుందో ఆలోచించు. నీ వృత్తిధర్మం తప్పకుండా
నువ్వు చేస్తావు. కాని ఈవేళ మన రోగాలలో మూడు వంతులు దారిద్ర్య

మూలకాలు . మన దేశ రాజకీయాలకీ , దేశ దారిద్ర్యానికీ వున్న
సంబంధం ఎరిగిన వాడివి.”
రంగనాయకులు చేయి విదిలించేడు.
“ఎరుగుదును . ఎరుగుదును . కాని….వద్దులేండి. వదిలెయ్యండి.
మనకవి జీర్ణం కాలేదు .”
నాలుగైదు రోజులుగా అతని కుటుంబ వ్యవహారాలు పలు ముఖాల
వింటూ వస్తున్న జానకి అతని నిస్పృహకి కారణం గ్రహించడం కష్టం
కాలేదు . అతడి మార్క్సిస్టు పార్టీ పంధా తనకి తాను దిగ్బంధం
చేసేసుకొంటూంది . ఆ దిగ్బంధంలో కాస్త ఆలోచించగల వాళ్ళకి ఊపిరి
సలపడం లేదు. ఇదోరకమైన ఆత్మహత్య.
“ఏమోనయ్యా! మీరంతా ఇలా అవుతున్నారు. దానితో గోరంత
పనులు కొండంతయి కూర్చుంటాయి . సరే ఇప్పుడీ వీథిలో
చర్చలేమిటి గాని, భోజనం చేసేవా ?” అంటూ ఆమె సుశీల భుజం
తట్టింది.
“భోజనమా ?” అని రంగనాయకులు జ్ఞాపకం చేసుకొనేందుకు
ప్రయత్నించేడు.
“లేదనుకుంటా . లేదు. కాఫీ పదిమాట్లు పడింది . ఇంక భోజనం
ఏమిటి?” అన్నాడు.
జానకి నవ్వింది. “గట్టివాడివే. భోజనం కూడా మరచిపోయే స్థితికి
వచ్చేవన్న మాట. వ్యవహారం చాలా బాగుంది ….సుశీలా! ముందు
ఇంటికి తీసుకెళ్ళు. ఆఖరుకి ఇన్ని అటుకులేనా మజ్జిగలో వేసి
ఇయ్యి….” అని ఏకటాకీన బండి తోలింది.
సుశీల సంకోచిస్తూనే ఆహ్వానించింది . వారంనాడు తాను విడాకులు
తీసుకోమని అతనిని ప్రోత్సహించిన విషయాన్నీ, దానికి వెనకనున్న
వైమనస్యాన్నీ ఆమె మరిచిపోలేకుండా వుంది. ఈ రెండు మూడు
రోజు
ల్లో
జాకివిడాకులోయెంపొపాటోచెప్పి

రోజుల్లో జానకి ఆ విడాకుల ఆలోచన యెంత పొరపాటో చెప్పి
వొప్పించినా, ఆ వొప్పుదలను కార్యరూపంలో పెట్టడం సాధ్యంకాలేదు .
కాని, ఇప్పుడు జానకే చొరవ తీసుకోడంతో తప్పుకోలేక పోయింది .
“రాండి, ఫలహారమన్నా చేద్దురుగాని. తరవాత మాట్లాడుకోవచ్చు.
మీరు కూడా రాండి” అని పనిలో పనిగా జానకిని కూడా ఆహ్వానించింది .
పదేళ్ళ వైమనస్యాలూ, మూడు నాలుగేళ్ళ ఎడబాటూ , ఘర్షణలతో
నిండిపోయిన మనస్సులో ఆప్యాయత, చనువు , అధికారం చోటు
చేసుకోలేకుండా వున్నాయి.
వారి మనస్థితిని అర్థం చేసుకొంది జానకి.
“నడవండి . నడివీధిలో ఈ కబుర్లు బాగులేదు .”
రంగనాయకులు వారం క్రితపు అనుభవంతో జానకి ప్రోత్సాహాన్ని
వుపయోగించుకోలేకపోయేడు . తుఫాను బాధితుల సాయం కోసం
సుశీలను వచ్చి తన క్లినిక్‌లో పనిచెయ్యమన్నాడు గాని, ఆమె
నిరాకరణను మరిచిపోలేదు . దేశం కోసం వస్తానంది. వచ్చింది. ఆమె
తనతో కలిసి పనిచేయడానికి ఒప్పుకుంటుందనుకోలేదు . కాని
ఒప్పుకొంది. వచ్చింది. ఆ రాక తన కోసం కాదని మొదటనే అర్థం
చేసుకొన్నాక, అత్యవసరమైనంత వరకే ఆమెతో ప్రసక్తి
పెట్టుకుంటున్నాడు. ఇవన్నీ జానకికి తెలియకపో వచ్చు. ఆమె యెదట
ఏమీ అనలేక సుశీల పిలిచింది . ఆ స్థితిలో తాను ఆమెను చిక్కుల్లో
పెట్టకూడదనుకున్నాడు.
“ఇంకా పోయి స్నానం చెయ్యాలి. బట్టలు మార్చుకోవాలి. ఇంటికి
పోయి రేపు కనిపిస్తా. సెలవు.”
సుశీల ఈమారు ధైర్యం చేసింది .
“మీ బట్టలు కొన్ని ఇక్కడే వున్నాయి; హీటర్‌లో నీళ్లు కాగుతున్నాయి.
ఇప్పుడెళ్ళి చన్నీళ్ళు స్నానం చేస్తారా? మంచి మాటే.”

రంగనాయకులు కింకా ధైర్యం చిక్కలేదు. సందేహించేడు.
“ఇంత రాత్రివేళ అందరికీ అనవసర శ్రమ కదూ.”
సుశీల అతని మనసు గ్రహించింది !
“శ్రమాలేదు . ఏమీలేదు . నడవండి .”
ఆ కంఠంలో అధికారదర్పానికి రంగనాయకులు తృప్తిపడ్డాడు.
“థేంక్స్….” అని ఆమె ప్రక్కన అడుగు వేసేడు .
“ఎందుకేమిటి?”
“ఇంత రాత్రివేళ వెళ్ళి ఇంటిల్లిపాదికీ నిద్రాభంగం చెయ్యాలి.”
అతని నిస్సహాయతను అర్థం చేసుకొన్న సుశీలకు కంఠం నిండి
వచ్చింది.
“నేనిక్కడున్నానుగా” అంటూ సుశీల తండ్రి ఇంటి గుమ్మం ఎక్కింది.
గుమ్మం క్రీనీడలో రంగనాయకులు ఆమెను కౌగిలించుకొన్నాడు. సుశీల
ప్రతిస్పందన అతనిని ప్రోత్సహించింది . ముఖాన్ని ముద్దులతో
నింపుతూ ఆ ఉద్వేగంతో కళ్ళనీళ్ళు పెట్టుకొన్నాడు.
పదిహేనో ప్రకరణం
మీటింగులో జరిగిన విషయాలు వివరిచడానికి సుశీల నాలుగైదు
మార్లు ప్రయత్నించింది . కాని రంగనాయకులు వినిపించుకోలేదు .
“వదిలెయ్యి. ఈ గొడవలే మన జీవితాన్ని పాడుచేశాయి . మరి బుద్ధి
వచ్చింది. ఎవరి కష్టసుఖాలు వారు చూసుకోగలరు.”

“చూసుకోలేకపోతున్నారని అర్థం అయింది కదా! ఇన్నేళ్ళు ఎంత
బాధపడ్డా ఇళ్ళస్థలాలు చూపు మేరకి కూడా రాలేదు . ఊరి పెత్తందార్లు
అడ్డం వారి దయాధర్మాలతో నడిచే మంత్రులూ , ఆఫీసర్లూ అడ్డం.
అసలీనాడున్న వ్యవస్థలో బీదవాడి ఉనికే అసంభవం అయింది .”
“ఇప్పుడేమన్నా మారిపోయిందా ?” అన్నాడు రంగనాయకులు .
అతని ప్రశ్న అర్థం అయింది .
“వ్యవస్థ మూలమట్టుగా మారి, ప్రపంచమంతా చక్కబడేవరకూ ఏదో
ఒక చోటనో, ఏ కొంచెమో సమకూడిన లాభాన్ని
వుపయోగించుకోకూడదంటారా ?”
“నేనేమీ అనలేదు. ఇళ్ళస్థలాలు పుచ్చుకోడం నిర్బంధం కాదు.
తమకు అనవసరం అనుకుని కొంతమంది పుచ్చుకోలేదు . దానికి
కష్టపెట్టుకోనక్కరలేదు.”
సుశీల కష్టపెట్టుకోలేదు . కాని, స్థలం అనవసరమయి పల్లెలలో ఒక
రాజకీయ పార్టీకి అనుచరులైనవారు దూరంగా వున్నారని ఆమె
అనుకోలేదు .
తెల్లవారేసరికి వారు ఎందుకు సభలో లేరో ఊరంతా గుప్పుమంది.
మిగిలిన పార్టీలవారంతా ఆ అయిదెకరాల ప్రదేశంలో వెలిసే పేటలో
వీధులు ఎంత వెడల్పుండాలి! పాఠశాలకి ఎంత స్థలం ఎక్కడ
వదలాలి ? కుటుంబానికి ఎంత భూమి కేటాయించాలి ? అనే విషయాల
మీద తర్జన భర్జనలు సాగిస్తూంటే మార్క్సిస్టు పార్టీ అనుయాయులు ఆ
వూరి పల్లెలోనివారేగా క, చుట్టుప్రక్కల గ్రామాల పల్లెలవాళ్ళు కూడా
వచ్చేసి ఆ భూమిలో తెల్లవారేసరికి హద్దులు పెట్టేసుకొన్నారు. కొన్ని
గుడిసెలు రాత్రికి రాత్రే తయారయాయి . మిగతావాళ్లు చీమల్లాగా
అవిశ్రాంతంగా పని సాగించేస్తున్నారు. సర్వసేనాధిపతిలాగ
సుందరరావు ఆ కార్యక్రమాన్నంతనూ దగ్గరుండి నడిపిస్తున్నాడు.

పదహారో ప్రకరణం
ఊరంతా తీర్థప్రజలా బాడవపొలంకేసి వెళ్ళి చూసి వస్తున్నారు.
“జనం ఇంతకాలం వోర్మి పట్టింది. ఇంకెంతకాలం ? ప్రజలదీ భూమి.
దానిని కుమారస్వామి హరిస్తూంటే చూస్తూ వూరుకొన్న ప్రభుత్వానికి,
తమ ఆస్తిని స్వాధీనం చేసుకొన్న ప్రజల్న ఏమనడానికీ నైతిక
అధికారం లేదు.” అన్నాడు సుందరరావు.
“తమ హక్కును ధృవపరుచుకొంటున్న ప్రజలు అవరోధాల్ని
సహించరు . దెబ్బకి దెబ్బ తీస్తారు. దౌర్జన్యాన్ని దౌర్జన్యంతో
ప్రతిఘటిస్తారు”-అని హెచ్చరించేడు.
“ఇంతకాలం ఆర్జీలు, దరఖాస్తులూ అంటూ రివిజనిస్టులు బూర్జువా,
భూస్వామివర్గ కాంగ్రెసు ప్రభుత్వ రధానికి ప్రజల్ని లాగుడు పశువులుగా
చేసిపెట్టేరు.
బలవంతుల దౌర్జన్యాలూ ధనవంతుల పన్నాగాలూ
ఇంకానా? ఇకపై చెల్లవు!”-అని ఎలుగెత్తి నినదించేడు.
ఒకదాని వెనుక నొకటిగా ఈ వార్తలు వస్తూంటే రంగనాయకులు తన
తండ్రి మొండితనానికి విస్తుపోయేడు .
“ఇంతకాలం పట్టిన ఓర్పు ఈవేళ హఠాత్తుగా పోయిందే మీ నాన్నకి?”
అంటూ మామగారు , విశ్వనాధం ఎగతాళిగా పకపక నవ్వేడు.
“ఏమయినా యుగంధరుణ్ణి చంపి పుట్టేడయ్యా! ఆ భూమినుంచి
“స్క్వేటర్సు” ను తొలగించడానికి పోలీసు సాయం కోరితే ప్రభుత్వం -
రివిజనిస్టులూ షరీకయ్యా రని యాగీచే యవచ్చు . ఊరుకొని భూమి
ఎల్లాగూ వదిలెయ్యదలుచుకొన్నాం గదా-యాగీ ఎందుకు ? ఏ మాలపల్లె
వాళ్ళు అనుభవిస్తేనేం, వూరుకుందాం -అనుకొంటే సత్యానందం

వాళ్ళూ నవ్వులపాలవుతారు . మరి పలకరించే వాళ్ళుండరు. కర్ర
తీస్తే….”
“మధ్యన పల్లెల వాళ్లు కొట్టుకు చావడమేగా. ఈ యౌగంధర్యం
పర్యవసానం?”-అని సుశీల ఈసడించింది . ఆమె వరస చూస్తే రాత్రి
తన్ను ఇంటికి తీసుకొచ్చినందుకే పశ్చాత్తాపపడుతున్నట్లనిపించింది .
రంగనాయకులు లేచేడు.
ఆ వ్యాఖ్యాలలో నిజం వుంది. తనకు తెలుసు . తన తండ్రి
ఆలోచనలన్నీ ఒకేదారిన పోతున్నాయి. ముందు తమ పార్టీని
బలపరుచుకోవాలి . దానికై ఇతరులికి ముఖ్యంగా కమ్యూనిస్టు పార్టీలోని
రెండో జట్టుకి నామరూపాలు లేకుండా చెయ్యాలి. ఆయన దృష్టిలో
తక్షణ కర్తవ్యం అది. తన మామగారి వూహ నిజమే అయివుంటుంది .
కాని దానిని తాము ఆపలేరు . మరేమిటి చెయ్యడం?
“క్లినిక్‌కు వస్తున్నావా?”
“మీరు వెళ్ళండి.”
రంగనాయకులు ఒక్క క్షణం ఆగేడు.
“నా మీద కోపం పెట్టు….”
సుశీల అర్థోక్తిలోనే కట్టె విరిచినట్టు సమాధానం చెప్పింది.
“మీ పార్టీ కోసం కాదు నే వచ్చేది. జనం కోసం. ఆ కుర్రాళ్ళూ, నేనూ
సహాయ కార్యక్రమాలలోకి రావడం మీ కోసం కాదు. అందుచే త మేము
ఈ పూటనుంచి వెళ్ళమేమో అనుకోకండి. మీరు చూపినట్టు
ఒంటెత్తు….”
రంగనాయకులు బాధపడ్డాడు.

“ఈ కుట్ర పనిలో నాకు వాటా లేదనీ, ఇందుకో సమే రాత్రి మీటింగుకు
దూరంగా వుండలేదనీ నమ్మలేవూ?”
“మీ గత చరిత్ర ఆ విశ్వాసం కలగనీయడం లేదంది ” బండగా
సుశీల.
“మీ వైరాగ్యం, రాజకీయాలకు దూరంగా వుంటాననడం ఆ
వొంటెత్తుతనానికి మారురూపాలేననే జ్ఞానం లేకపోయింది .”-అనేసింది
కూడా.
రంగనాయకులికి అభిమానం అనిపించింది . సుశీల మొహం
ముడుచుకొనే వీడ్కోలు యిచ్చింది.
ఆమె మరల రమ్మనలేదని గమనించేడు. కుదుటబడిందనుకున్న
తన జీవితం మళ్ళీ మొదటికొచ్చింది. దేశంలో ప్రజల జీవితం
అల్లకల్లోలంగా వుండగా ఒక వ్యక్తికి సుఖజీవితం వుండదన్న మాట గుర్తు
వచ్చింది. “ఎవరన్నదీ మాట”-అనుకుంటూ గుమ్మం దిగేడు,
రంగనాయకులు .
పదిహేడో ప్రకరణం
వీధిలోకి వచ్చేక మాములుగా ఇంటివేపు అడుగుపెట్టేడు. కాని,
మనస్సు ఎదురు తిరిగింది . అది తన తండ్రి యిల్లు. రక్త బంధుత్వమే
కాదు. రాజకీయ సమభావం కూడా ఆ యింటిని ఆత్మీయం చేసింది .
ఇటీవల రాజకీయ భావాలు సందేహాస్పదం అవుతున్నకొద్దీ ఆ యింటికి
రావడం, అక్కడ వుండడం కష్టంగానే వుంది.
ఈవేళటి ఘటన రాజకీయ సమభావాన్ని పూర్తిగా చంపేసింది. తండ్రి
అనుసరిస్తున్న ఈ మార్గం ఎక్కడికి తీసుకెడుతుంది ?

రంగనాయకులు నిలబడిపోయేడు . ఇంటికి వెళ్లాలనిపించలేదు .
తిన్నగా క్లినిక్‌కు వెళ్ళేడు. అది తాళం వేసివుంది ! తాళం చెవికోసం
ఇంటికెళ్లాలి. లేకపోతే కంపౌండరు తెచ్చి తలుపు తెరిచేవరకూ
కూర్చోవాలి.
వరండాలో రోగుల కోసం వేసిన బల్లమీద కూర్చున్నాడు. రోడ్డున
పోతున్నవారు ఆశ్చర్యంగా చూసేరు . ఒకరు అడిగేసేరు కూడా.
“ఏమిటి డాక్టరుగారూ . అల్లా వున్నారేమిటి? అక్కడ కూర్చున్నారు,
తాళంచెవి లేదా?”
“కంపౌండరు వస్తున్నాడు”-అని అబద్ధమాడేడు. అప్పటికింకా ఏడు
కూడా కాలేదు . కంపౌండరు ఎనిమిది దాటితేగాని రాడు.
ఎదుటింటి వెంకట్రామయ్య లోపలినుంచే ఆ సమాధానం విని కుర్చీ
తెచ్చి అరుగుమీద వేశాడు. ఆహ్వానించేడు.
“రాండి. ఇల్లా కూర్చోండి డాక్టరుగారు . అక్కడ ఒక్కరూ
కూర్చున్నారేమిటి?”
ఇంక అక్కడ కూర్చోడం సాధ్యమనిపించ లేదు. నోటికి వచ్చిన
అబద్ధం ఆడేడు.
“ఏం లేదు. హైస్కూలుకెళ్ళి నలుగుర్నీ వోమారు చూసిరావాలి .
కంపౌండరుకి కబురు పంపేను. వస్తూంటాడు. రాగానే అల్లా
పంపించండి .”-అంటూ రోడ్డుమీదికి వచ్చేడు.
“వెడుదురుగాని. కాస్త కాఫీ తీసుకు వెళ్ళండి….” అంటూ
వెంకట్రామయ్య మెట్లు దిగి వచ్చేడు. వస్తూనే తన గోడు
ప్రారంభించేడు.
“మీరు మొన్న ఇచ్చిన మందు పనిచేసినట్లే కనిపిస్తూంది. కడుపు
వుబ్బరం….”

రోగాల గురించి ఆలోచించే స్థితిలో లేదు మనస్సు. కాని, ఆ మాట
చెప్పలేకపోయేడు .
“తగ్గుతుంది. నాలుగురోజులు మానకుండా తీసుకోండి. పథ్యం
జాగ్రత్త-“
అంటూ ముందుకు నడిచేడు, రంగనాయకులు . ‘వస్తా,’
వెంకట్రామయ్యని వదుల్చుకొన్నాక మరి అక్కడ
నిలవబుద్ధిపుట్టలేదు. హైస్కూలు మాట తోచాక వెళ్ళి జాన్‌తో
మాట్లాడాలనిపించింది -‘అతడికి ఈ కుట్ర తెలిసివుంటుంది ? తెలిసి
కూడా రాత్రి సభలో పాల్గొని వుంటాడా ?”
కాని, జాన్ ఎరగడని తేలింది .
“మీరు రాలేదు , నిన్నటి సభకి. అప్పటికేమీ అనిపించలేదు . కాని,
పొద్దున్న ఈ వార్త వినగానే అపనమ్మకం అనిపించింది , చెప్పొద్దూ.”
అన్నాడు జాన్.
జాన్ ఎరగడు . అతనికి సన్నిహితంగా వుండే నలుగురు ,
అయిదుగురు హరిజన పల్లెవాళ్లూ ఎరగరు , సుందరరావు పధకాన్ని.
వాళ్ళంతా ఇప్పుడు చిరచిర లాడుతున్నారు. జాన్‌లో విప్లవజ్వాల
చల్లారిపోయిందన్నారు. అతనితో వుండడం అతనిని గౌరవించడం
వలననే తమకు ఇళ్ళ స్థలాలు లేకుండాపోయాయి -అని వారి విచారం .
ఆమాట వినగానే జాన్‌కు చిర్రుపుట్టింది.
“ఇప్పుడేమయింది ? వెళ్ళండి. మీరూ వో పాక వెయ్యండి.
సాయంకాలం లోపున వీపులకి మందెయ్యమని మళ్ళీ వద్దురుగాని.”
“మేమే అంత గాజులు తొడిగించుకున్నాం . మామీద చెయ్యెవడు
వేస్తాడో రమ్మను. ఖైమా వండేస్తాం.” అన్నాడు, శేషప్ప కస్సుమంటూ .

“ఆ వచ్చేవాళ్ళు నీచేత దెబ్బలు తినడానికి రారు. పోలీసులూ,
తుపాకులూ బందోబస్తుతో వస్తారు. దెబ్బలు తిని బయటికి
గెంటించుకోవాలంటే వెళ్ళండి”-అన్నాడు జాన్ పిరికిమందు పోస్తూ.
“పోలీసుల్ని తెప్పిస్తారంటావా ?”-అన్నాడు కాశయ్య అక్కడి నుంచి
జారుకుంటూ .
“కూర్చో వెళ్ళకు” అని జాన్ గదిమేడు. కాశయ్య నిలబడ్డాడు.
“ఆ అయిదెకరాలూ ఇళ్ళకోసం మనకి వదిలేస్తామన్నారు. ఇంటికి
అయిదు సెంట్లు వుండాలనుకున్నాం . పేర్లు తీసుకొంటే అందరికీ
వచ్చేలా లేదు. నాలుగే అనుకొన్నాం. అందులో నీ పేరూ వుందా?”-
అని జాన్ అడిగేడు.
“మా అన్నయ్య పేరు లేదు” అన్నాడు కాశయ్య.
“అతడికి పుంతలో వుందిగా .”
“ఆడూ, నేనూ ఒకేచోట వుండాలి ” అన్నాడు మొండిగా కాశయ్య.
“మరి నిన్నొదిలి ఆడెల్లి అక్కడ హద్దులు పెట్టుకొన్నాడేం?”
కాశయ్య మాటాడలేదు.
“ఇల్లా జరుగుతుందని నీకు తెలుసునన్నమాట” అన్నాడు జాన్,
అనుమానంతో, ఉక్రోషంగా.
“నాకేం తెలియదు ”-అని కాశయ్య నిర్లక్ష్యంగా విసురుకుపోయేడు .
అతడు వెళ్ళినవేపే చూస్తూ జాన్-‘ఈడికి తెలుసును ’ అన్నాడు.
మిగిలినవాళ్ళు అంగీకరించేరు.

“ఈపని చెయ్యవలసినప్పుడు చెయ్యలేదు. అవసరం లేని ఈ
క్షణంలో చేశాం. పల్లెవాళ్ళమీది అభిమా నమా, మనకి పేరు రావాలనే
దురహంకారమా ? గొప్ప తప్పు చేశాం. అన్యాయం….”అని
రంగనాయకులు బాధ.
జాన్ తన మనస్సులో అనుమానం బయటపెడుతూ రంగనాయకులు
మాటకు అడ్డంవచ్చేడు.
“వీళ్ళని ఖాళీ చేయించడానికి సత్యానందంగారు పోలీసుల్ని
తెస్తారేమో….”
“ఆశ్చర్యం ఏముంది ? వాళ్ళకి మాత్రం ప్రతిష్ఠ అక్కర్లేదూ, ఈపాటికే
ఆ పని చేసి వుండకపోతే ….”
తామే ఇవ్వడానికి సిద్ధమైన వస్తువును, చేతిలోంచి వొడేసి లాక్కుంటే
ఎవరికైనా కోపం వస్తుంది. కోపం వచ్చేక ఔచిత్యానౌచిత్యాలు చూడడు.
తనకు శక్తి వుంటే అదేదో తానే చూస్తాడు. లేకపోతే తోడు
తెచ్చుకొంటాడు. ఆ ఆలోచనతోనే రంగనాయకులు తక్షణం తాము
ఏదో ఒకటి చెయ్యాలన్నాడు.
“మన పార్టీల మధ్య వున్న కక్షతో నాన్నగారు ఈ పని చేసేరు .
ఇప్పుడు సత్యానందంగారు పోలీసు సహాయం కోరితే మనం
ఆశ్చర్యపడనక్కర్లేదు. జరిగేదదే. ఇది ఒకప్పుడు గవర్నమెంటు
బంజరు అయినా ఒకరికి పట్టా అయిన భూమి అది. దానిని వారు
పంచిపెడతా మనుకొన్నారు. గనుక మనం చేసిన పని తప్పే. మనం
చేసిన ఈ పనితో వొళ్ళు మండి నిన్నటి రాత్రి వుద్దేశం మార్చుకొని, అది
తమవాళ్ళకే ఇవ్వాలనే పునర్నిర్ణయానికి వచ్చినా రావచ్చు” అన్నాడు.
“తమవాళ్ళకే అంటే” అన్నాడు శేషప్ప.
“మీ నాన్నగారు మిమ్మల్ని లెక్కేసుకోలేదు . ఇప్పుడు ఆరూ
మమ్మల్ని వొదిలేస్తారంటారా ?” అని అతని మనస్తాపం.

అతని విచారం చూసి జాన్ వెక్కిరించేడు.
“ఈడూ మీవాడే బాబూ! ఈడికీ వో నాలుగు సెంట్లు ఇమ్మని ఆరితో
సెప్తాలే.”
“నువ్వే సెప్పాలి. ఆరు నీ మాట విన్నారు. నడం డెస్సే. మనమే
అడుక్కుందాం.”
వాళ్ళిద్దరు ముగ్గురూ వెళ్ళిపోతూంటే, చూస్తూ రంగనాయకులు
మందహాసం చేసేడు .
“మనకంటే రివిజనిస్టాళ్ల మనసులూ , ఆలోచనలే ఆరోగ్యవంతంగా
వున్నాయి డాక్టరుగారూ !” అన్నాడు జాన్. “ఇప్పుడేం చేద్దాం?”
“అదే తోచడం లేదు….ఈ పార్టీతోనూ, పార్టీ కార్యక్రమంతోనూ
సంబంధం లేదని ఖచ్చితంగా చెప్పి, బాడవ పొలం ఆక్రమ ణ తప్పు
అని బాహాటంగా రంగంలోకి దిగకపోతే మా నాన్నగారి విసురు తగ్గదు.
వీళ్లందర్నీ పోలీసు లాకప్పులకీ, పల్లెల్లో కొట్లాటలకీ బలి కాకుండా
కాపాడడానికి అదొక్కటే మార్గం. మనం ఈ పద్ధతిని వ్యతిరేకించాలి .
తప్పదు. నువ్వు రాకపోతే నేనొక్కణ్ణేనా దిగి తీరుతా . వీళ్లు మనని
అగాధం, సుడిగుండంలోకి దింపేరు. చాలు!” అన్నాడు
రంగనాయకులు .
పద్ధెనిమిదో ప్రకరణం
నిముషాలమీద బాడవ పొలంలోంచి మార్క్సిస్టు బైఠాయింపుదార్లని
వెళ్లగొట్టేందుకు ఏం చేద్దామంటూ కామేశ్వరరావు సైకిలుమీద
హడావిడిగా వచ్చేడు.

బైఠాయింపుదార్లు వట్టినే భూమి ఆక్రమించుకొని ఇళ్లు
వేస్తున్నారనేకన్న నక్సలైట్ల దాడిగా రిపోర్టునిస్తే త్వరగా పని
జరుగుతుందేమో ఆలోచించమని సలహా పట్టుకు వచ్చేడు.
అప్పుడే సుందరరావును కలుసుకొని వచ్చిన సత్యానందం
మనస్సులో ఎంత మంట మండుతున్నా ఆ సలహాలకు కటకట
పడ్డాడు.
“నువ్వు కమ్యూనిస్టువి కూడా. నువ్వు అంటున్నదేమిటో తెలుసా ?”
“ఇంకా మెత్తమెత్తగా మాట్లాడతారేమిటండీ . మీరిల్లా నీళ్లు నమిలే
మన పార్టీనీ దశకు తెచ్చారు”-అని కామేశ్వరరావు చుర్రుమన్నాడు.
సత్యానందానికి నవ్వొచ్చింది.
“ఏం చేద్దామంటావు? స్పష్టంగా చెప్పు.”
“మీ గాంధేయ కమ్యూనిజం మనల్ని గంగలో దింపుతుంది . లేకపోతే
మన పార్టీని బలపరచే టట్లుగా ఆ ఇళ్ల స్థలాలను కేటాయించడానికి
బదులు పార్టీ భేదాలతో నిమిత్తం లేకుండా ఇళ్ళులేని
హరిజనులందరికీ అని అడ్డం పెట్టేరు….”
“ఇది నా మొదటి తప్పు. జానకీ విన్నావా?”-అన్నాడు సత్యానందం .
తన వాదాన్ని యింత తేలిగ్గా తీసుకొంటూంటే కామేశ్వరరావుకు కోపం
మిక్కుటమయింది .
“దేశంలో పోలరైజేషన్ వచ్చేసింది. మీరిది గమనించకపో వడం ఆత్మ
వినాశకరంగా పరిణమిస్తూంది….”
“బాగుందయ్యా , బాబూ! పోలరైజేషన్ వచ్చింది. సరే. ఎవరి మధ్య?
నాకూ సుందరరావుకూ మధ్యనా? మార్క్సిస్టు-లేక కమ్యూనిస్టు పార్టీల
మధ్యనా? లేక ఈ రెండు పార్టీల వెనకా వున్న వాళ్ళ మధ్యనా? ఈ

పోలరైజేషన్‌లో మన ఆత్మనాశనం గాకుండా నేనేం
చెయ్యాలిసుంటుంది ? వాళ్ళని నక్సలైట్‌లని పోలీసు రిపోర్టు ఇవ్వాలి.
వాళ్ళొచ్చి ఆ పోలరైజేషన్‌లో నష్టకరంగా వున్న అంశాన్ని కోసి
పారేస్తారు, కాదూ? ఇప్పుడు పోలీసులూ , మనమూ కాంగ్రెసు
ప్రభుత్వము దానిని బలపరుస్తున్న బూర్జువా-భూస్వామి వర్గాలు ఈ
పోలరైజేషన్‌లో ఒక అంశం అన్నమాట. చాల బాగుంది . అద్భుతంగా
వుంది….”
సత్యానందం స్వరంలో గడిచినకొద్దీ హేళన బలపడుతూ అవహే ళన
విస్పష్టమయింది . చిట్టచివరకు విసవు, తేలికతనం విస్పష్టమయ్యాయి.
తన పోలరైజేషనూ , పోలీసు సహాయం కోరాలనడమూ మీద చేసిన
వ్యాఖ్య విని కామేశ్వరరావు నిర్విణ్ణుడయ్యేడు.
“కామేశ్వరరావు, క్షమించు . తుఫాను ముందు మనం జరిపిన
మీటింగులకి నువ్వు రాలేదు . నక్సలైట్లను గురించి మన
అభిప్రాయమేమిటో నీవు తెలుసుకున్నట్లు లేదు. పార్టీ వారిని
తప్పుదారి తొక్కిన దేశభక్తుల్నిగా, ప్రజాహితం కోరిన త్యాగమూర్తుల్నిగా
భావిస్తూంది. ప్రభుత్వం ప్రజాక్షేమం కొంచెం కూడా కూర్చలేక పోవడం,
తత్ఫలితంగా యువతలో వచ్చిన నిస్పృహా, తెగింపూ వారిని
సృష్టించాయి . పోలీసులూ , నిర్బంధాలూ వారిని అణచలేవు -అని మన
వాదం. యువకులలో విధ్వంస దృష్టిగాక, విప్లవదృష్టి కలిగించడానికి
మనకో కార్యక్రమం వుంది. పోలీసు సాయం కోరడం మాత్రం దానిలో
భాగం కాదు….”
“ఇప్పుడేం చేస్తారు మరి?” అన్నాడు కామేశ్వరరావు, తడిసిన పిల్లిలా
ముడుచుకుపోతూ.
“అదే ఆలోచిద్దాం. కూర్చోండి” అంది జానకి.
సుందరరావుతో జరిగిన సంభాషణను సత్యానందం సూక్ష్మంగా
చెప్పాక కామేశ్వరరావు మళ్ళీ అడిగిన ప్రశ్న “ఏం చేద్దామంటారు ?”

అనే.
“నువ్వు మళ్ళీ అదే ప్రశ్న అడుగుతా వనుకోలేదు ” అన్నాడు
సత్యానందం .
ఏమడగాలనుకొన్నాడో కామేశ్వరరావుకి అర్థం కాలేదు . తెల్లబోయేడు .
“పాకలు వేసినవాళ్లు ఎందరు ? ఎవరెవరు ?-అనే ప్రశ్న
వేస్తావనుకొన్నా….”
గత రాత్రి నూరుమందికి స్థలాలు చూపగలమనుకొన్నారు.
సుందరరావు పిలుపుకు వచ్చినవారు ముప్ఫయిమంది . వాళ్ళలో ఒక
పాతికమంది తామూ స్థలం కేటాయించినవారే . అయిదుగురు పై వూళ్ళ
వాళ్లు….ఇద్దరికి పుంతలో స్థలాలున్నాయి.
“పొలం అంతా జనమే కనిపిస్తున్నారు. ముప్ఫయిమంది పై
చిల్లరేనా?” అన్నాడు ఆశ్చర్యంగా, కామేశ్వరరావు.
“భూమిలో బైఠాయించారని పోలీసు రిపోర్టు ఇద్దామన్నావే. ఆ
బైఠాయింపుదారులలో ఏ నలుగురైదుగురో తప్ప మిగతా అంతా. మనం
బైఠాయించమందా మనుకొన్నవాళ్ళే.”
“మిగతా భూమి అల్లాగే వుందన్నమాట.”
“లేదు. జోగన్నకి పాకా, పాకచుట్టూ వున్న రెండేకరాలు పైగా చెలగా
అట్టే వుంచారు . అది అతడిదీ -అదే అనుకొన్నా.”
“అయివుంటుంది . అబ్బాయితో నిన్న జోగన్న అల్లాంటిదే ఏదో
చెప్పేడట. మీ తాతగారు, ఆ పొలం చూసినందుకు సగం
నాకిస్తానన్నారు-అన్నాడుట.”
“నాతో మాట్లాడినప్పుడు అంతా తనకే ఇస్తానన్నారన్నాడులే”
అన్నాడు సత్యానందం .

“ఇప్పుడేం చేస్తారు?”
కామేశ్వరరావుది మళ్ళీ అదే ప్రశ్న.
“ఏం చేస్తా”రనిగాక “ఏం చేద్దా”మనుకుంటే మంచిది కాదూ?” అని
సత్యానందం మరో చురక తగిలించేడు.
కామేశ్వరరావు నిరుత్తరుడయ్యేడు.
“పోనీ ఏం చేశావని అడుగు . నేను రవీంద్రను వెంటబెట్టుకొని
బాడవపొలం వెళ్ళేను. మన లిస్టులో వున్న వాళ్లందరికీ పాకలు
వేసుకోమని చెప్పివచ్చాం.”
“మీరు చెప్పేదేమిటి. వాళ్ళే వేసేసుకొంటున్నారుగా….” అన్నాడు
కామేశ్వరరావు.
“అంతే కాదుగా! వాళ్లు వేసుకొన్నట్లు మనకు దాఖలా కావాలి. కనక
మధ్యాహ్నం 3 గంటలకు హైస్కూలుకి వచ్చి, జాన్‌కు చెప్పాలి. అతడు
రశీదు ఇస్తాడు. అలా పుచ్చుకోకపోతే, అతడు స్థలం ఆక్రమణ
చేసినట్లు లెక్కగట్టి తీసుకోవలసిన చర్యలు తీసుకొంటాం….”
“అంటే?….”
“అవసరమైన వన్నీను….!
“పోలీసును ….”
“నీకు పోలీసు రంధి పట్టుకొందే”
“మరి….”
“స్థలాలు ఇవ్వాలనుకున్న వాళ్లు ఇంకా డెబ్బయిమందివరకూ
వున్నారు. మనకి తన రాక గురించి చెప్పి, చీటి తీసుకోని వాళ్ళకి స్థలం
వుండదు . అది మరొకరికిచ్చేస్తాం.”
వాళ్ళ
ల్లో
వాళ్లుకొట్టుకొంటారేమోన్నాడుకామేశ్వరావు

“వాళ్ళల్లో వాళ్లు కొట్టుకొంటారేమో”-అన్నాడు కామేశ్వరరావు.
“పోలీసు వాళ్ళేగాని మనవాళ్లకి కొట్టే అధికారం , దెబ్బలుతినే
అధికారం లేదా?”
“పాకవేసినవాడు కదలకపోతే ….”
“చూద్దాం. వానికి ఇతరత్రా స్థలం లేకపోతే ఇద్దాం. తప్పేముంది ?
సుందరరావుగారు ఏదో చిక్కులు తెచ్చేరు. దానికి మనం రెచ్చిపోవడం
అర్థం లేదు. కొంచెం వోర్పూ, ఆలోచనా చూపుతే….”
“మంచిపని చేసేవు ”-అంటూ జానకి లేచింది .
పంధొమ్మిదో ప్రకరణం
సాయంకాలం అయ్యేసరికి సుందరరావు వోడిపోయా ననుకొన్నాడు.
కొడుకు-తన మీద అంత భక్తి విశ్వాసాలుగల కొడుకు-ఈ
ఇరవయ్యేళ్లూ తననే అంటిపెట్టుకొనివున్న జాన్-
-ఇద్దరూ బహిరంగంగా తన చర్యను దుయ్యబట్టినా సుందరరావు
జంకలేదు .
పెద్ద రాజకీయపుటెత్తులో తమ పరమ శత్రువైన ‘రివిజనిస్టు’ పార్టీని
నేల కరిపించేశా ననుకొన్నాడు.
“పోలీసుల్ని తెచ్చేరా వీళ్ల పార్టీకి జనంలో
పుట్టగతులుండకుండాపోతాయి . వూరుకున్నారా హరిజనపల్లెల్ని
వదులుకో వలసిందే….అషయుతే భూదానం-ఇషయితే
గోదానం….భేషుగ్గా కుదిరింది . తన్నుకు చావనీ” అనుకున్నాడు.

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas Second Edition Second Dennis S Bernstein

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Matrix Mathematics Theory Facts And Formulas Second Edition Second Dennis S Bernstein

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 11

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 45

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80

Slide 81

Slide 82

Slide 83