Mediatriz, conceptos matemáticos, nociones generales

Mediatriz

1. Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.
Si tenemos un segmento AB, se denomina mediatriz del segmento a la recta perpendicular a él, que pasa
por su punto medio.
El dibujo siguiente muestra la mediatriz y el punto medio de un segmento.


Para su construcción, debemos seguir los pasos siguientes:
Sea AB el segmento.
Con el compás, haciendo centro en A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de
AB, en un cálculo “al ojo”, ya que precisamente estamos buscando ese punto medio exacto.
Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.
Si ambas circunferencias no se cortan significa que debemos aumentar el radio de ambas.
Cuando ambas se cortan, la recta que une a las dos intersecciones de las circunferencias es
la mediatriz del segmento AB.
La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio M.
Importante
La mediatriz es uno de los objetos geométricos más importantes en otras construcciones más complejas. Esta
importancia proviene de su propiedad principal:

2. Los puntos de la mediatriz están a igual distancia de
los extremos del segmento.
En la figura de la derecha:
d(CA) = 4,12 cm
d(CB) = 4,12 cm
Esta propiedad también se usa a veces como definición,
siendo entonces la mediatriz el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos.


El incentro es el punto de corte de las tres
bisectrices.

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que
dividen a cada ángulo, de los ángulos del triángulo,
en dos ángulos iguales .
El incentro se expresa con la letra I.
El incentro es el centro de una circunferencia
inscrita en el triángulo .
El baricentro es el punto de corte de las tres
medianas .

3. Las medianas de un triángulo son las rectas que
unen el punto medio de un lado del triángulo con
el vértice opuesto .
El baricentro se expresa con la letra G.

El baricentro divide a cada mediana en dos
segmentos , el segmento que une el baricentro con el
vértice mide el doble que el segmento que une
baricentro con el punto medio del lado opuesto.
BG = 2GA
Coordenadas del baricentro

A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
Las coordenadas del baricentro son:

4. Ejemplo
Dados los vértices de un triángulo A( -3, -2), B(7, 1)
y C(2, 7), hallar las coordenadas del baricentro .


Coordenadas del baricentro de un triángulo en
el espacio
Sean A (x 1, y1, z1), B (x2, y2, z2) y C (x3, y3, z3) los
vértices de un triángulo, las coordenadas del
baricentro son:

5. Ejemplos
Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, −2)
los vértices de un triángulo. Determinar las coordenadas
del baricentro.

Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5)
y C(5, 5, 4), hallar:
1. Las ecuaciones de las medianas del triángulo .

6. 2. Las coordenadas del baricentro del triángulo.

7. 3. Las coordenadas del baricentro del triángulo
cuyos vértices son los puntos medios de los lados del
triángulo anterior.

Los baricentros de los dos triángulos coinciden.
Ortocentro



El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde
un vérticeal lado opuesto (o su prolongación).
0El ortocentro se expresa con la letra H.

8. Triángulo Acutángulo


Un triángulo que tiene todos sus ángulos
menores a 90° (90° se llama ángulo
recto)
Triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo es, seguro que lo has adivinado, un triángulo que
tiene un ángulo recto.

El cuadradito de la esquina nos indica que el triángulo es rectángulo.
Hay dos tipos de triángulo rectángulo:
• Triángulos rectángulos isósceles
• Triángulos rectángulos escalenos

Triángulo rectángulo isósceles
Un ángulo recto
Otros dos ángulos iguales de 45°
Dos lados iguales

Triángulo rectángulo escaleno
Un ángulo recto
Otros dos ángulos distintos
No hay lados iguales

9. Triángulo Obtusángulo


Un triángulo que tiene un ángulo mayor de
90°.
Equilátero, isósceles y escaleno
Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o
ángulos) son iguales.

Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:

Triángulo equilátero
Tres lados iguales
Tres ángulos iguales, todos 60°

Triángulo isósceles
Dos lados iguales
Dos ángulos iguales

Triángulo escaleno
No hay lados iguales
No hay ángulos iguales

10. ¿Qué tipos de ángulos?
Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos

Triángulo acutángulo
Todos los ángulos miden menos de 90°

Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°)

Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo mayor que 90°

Combinar los nombres
A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:

Triángulo isósceles rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales

¿Adivinas cuánto miden?

11. Área

Área = ½bh
La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h"
la mides perpendicularmente a la "b".

Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los
lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad
un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos
triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.
El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor
número que divide a todos exactamente.

12. Cálculo del máximo común divisor
1 Se descomponen los números en factores primos.
2 Se toman los factores comunes con menor exponente.
3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.
Ejemplo de cálculo de máximo común divisor
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:
1
Solución:
72 = 2
3
· 3
2

108 = 2
2
· 3
3

60 = 2
2
· 3 · 5
2 m. c. d. (72, 108, 60) = 2
2
· 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Propiedades del máximo común divisor
1 Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del
máximo común divisor.
Ejemplo:
Calcular los divisores comunes de 54 y 90.
m.c.d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 6,
9, 18.

13. 2 Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su
m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.
Ejemplo:
m.c.d. (54, 90) = 18
Si multiplicamos los dos números por 3 queda:
54 · 3 = 162
90 · 3 = 270
m.c.d. (162, 270) = 54 = 18 · 3
3 Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se
dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sí (su m.c.d es 1).
Ejemplo:
m.c.d. (54, 90) = 18
54 : 18 = 3
90 : 18 = 5
m.c.d. (3, 5) = 1
4 Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos.
Ejemplo:
El número 12 es divisor de 36.
m.c.d. (12, 36) = 12
Mínimo común múltiplo
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el
número por 1, 2, 3, 4...
Por ejemplo: los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24,
28...
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 2 o más número es el
menor de lo múltiplos comunes a estos números:
Por ejemplo: vamos a calcular el MCM de 3 y 4:
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...

14. Vemos que 12 es un múltiplo de ambos números y es el
menor de los múltiplos comunes. Por lo tanto 12 es el Mínimo
Común Múltiplo.

2.- Máximo común divisor
Los divisores de un número son aquellos que al dividir el
número el resto es 0.
Por ejemplo: Divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y 24.
Si se divide 24 por cualquiera de ellos el resto es 0.
El Máximo Común Divisor (MCD) de 2 o más número es el
mayor de los divisores comunes a estos números:
Por ejemplo: vamos a calcular el MCD de 30 y 42:
Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 21 y 42.
Vemos que 6 es un divisor común a ambos números y es el
mayor de los divisores comunes. Por lo tanto 6 es el Máximo
Común Divisor.
La frecuencia absoluta es el número de
veces que aparece un determinado valor en un estudio
estadístico.
Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al
número total de datos, que se representa por N.

15. Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza
la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o
sumatoria.

La frecuencia relativa es el cociente entre la
frecuencia absoluta de un determinado valor y
elnúmero total de datos .
La frecuencia relativa se puede expresar en
tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual
a 1.

Probabilidad Teórica
El número de modos posibles en que puede suceder un evento comparado con
todos los resultados posibles.
Raíz Cuadrada
En matemáticas la raíz cuadrada o segunda raíz de una cifra numérica es aquella que al ser
multiplicada por el mismo valor, el resultado es la misma cifra numérica. Es decir que si se
tiene un número, y se lo descompone en su función raíz cuadrada, entonces al multiplicar
esta cifra por sí misma, el resultado debería ser el primer número. Además se distingue

16. porque la raíz cuadrada tiene un índice de numeral 2, o incluso podría representarse como
un número potencial cuyo exponente sea ½ o un medio.
Si se conoce sobre potencias o la potenciación, se puede decir que la raíz cuadrada es el
inverso de un número elevado al cuadrado. Es decir que, por ejemplo, si se tiene un número
como el 9, su raíz cuadrada es 3. Y al contrario, si elevamos 3 al cuadrado o, lo que es lo
mismo, a una potencia de número 2, entonces se obtiene 9, que es el primer número con el
que se estaba operando.

Explicado de otra manera, la raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3 por 3 es 9.
Todo número positivo, tiene dos raíces cuadradas, por ejemplo, si tomamos
cualquier número, este tendrá una raíz cuadrada positiva (raíz cuadrada
aritmética) x√x, y una negativa −x√−x. Juntas, estas raíces se indican
como ±x√±x.
Símbolo De Raíz Cuadrada
Aunque la necesidad de obtener la raíz cuadrada de algunos números surgiera en
el año 1650 a. C., el signo raíz cuadrada se representa como √y su historia se
remonta al año 1525, cuando Christoph Rudolff utilizó una variante caligráfica de
la letra r minúscula, dándole un toque distintivo con la línea horizontal alargada
que se encuentra en su parte superior. Esto se debe a que ya se conocía a esta
operación como la radicación, así que usó la letra inicial para representarla de
forma gráfica en las operaciones matemáticas.
Si tomamos el mismo ejemplo de la sección anterior, para ejemplificar el uso del
símbolo de raíz cuadrada, tendríamos que: 9√=39=3
Partes De La Raíz Cuadrada
Las partes de la raíz cuadrada o los elementos de la misma son 3, el primero es el
radical que viene a ser el símbolo que indica que se trata de una raíz cuadrada
cuando no tiene un índice, pero cuando tiene índice se trata de otro tipo de raíz,
por ejemplo si tiene un índice 3, se trata de una raíz cúbica; el segundo elemento

17. es el radicando, que es la cifra de la cual se obtiene la raíz cuadrada; y finalmente,
la raíz, que es el número que se obtiene como raíz cuadrada propiamente.

Cómo Sacar La Raíz Cuadrada
Descubre cómo sacar la raíz cuadrada de un número con 2, 3 o 4 dígitos con este
pequeño tutorial. Puedes probarlo con varios números, incluso se puede hacer con
números más grandes. Tan grandes como quieras.
Parte el número en partes de dos cifras comenzando por la derecha y si el número
tiene cifras impares, entonces el número de la izquierda deberá quedar solo, por
ejemplo el número 42350975, debería quedar como 42, 35, 09, 75. Pero en este
ejercicio se utilizará un número más pequeño, se trata del 238. La ecuación
termina así: 238−−−√238
A continuación, se empieza por la cifra de la derecha y se escribe a la derecha, el
número más cercano que, multiplicado por sí mismo, resulte en lo más cercano
por debajo de aquella cifra. En este caso, el 1. 238−−−−√12381
Debajo de la cifra se escribe el número que está a la derecha, pero elevado al
cuadrado. Que en este caso sigue siendo 1. Luego se realiza una operación de
resta, donde debajo se debe escribir el resultado, que para este caso, también es
1. Y la ecuación queda de la siguiente manera:

18. Se duplica el número de la derecha y se escribe abajo. A continuación, se debe
escribir el siguiente par de cifras del radicando al lado del resto que nos quedaba.
Lo cual queda de la siguiente manera:

Se separa la cifra de la derecha y nos quedamos con las dos cifras de la izquierda
del nuevo número obtenido. En este caso el 13, y se busca una cifra que
multiplicada por la cifra inferior de la derecha nos dé como resultado el número
más cercano al inferior de la izquierda que tiene dos cifras, en este caso es 6

Se multiplica la cifra de la raíz cuadrada de la derecha por las dos cifras inferiores
de la derecha, es decir, 6 por 6 y 6 por 2. Los resultados se escriben debajo de la
última cifra de la izquierda. Como si se tratase de una suma. En este caso sería 36
y 12, pero se los coloca como de forma que el último digito de la primera cifra
quede igual, es decir se coloca el 6 y se lleva 3, luego se coloca el 12 y se suma el
resto que es 3, es decir que se debe colocar 15 antes que el 6, lo que nos da
como resultado 156.

19. Sin embargo, esta cifra es mayor que 138 y se debe retroceder para utilizar el 5
(pero si la cifra obtenida es menor que la anterior, entonces se puede saltar este
paso). Nos queda que 5 por 5 es 25 y que 5 por 2 es 10. Se escribe primero el 5 y
luego el 10 más el resto que es 2. La cifra nos queda en 125. De esta manera:

La respuesta de 138 menos 125 es 13. Esta se escribe debajo de la resta. Ahora
hay que tomar los dígitos que se encuentran a la derecha y esa es la raíz
obtenida. La última cifra de la izquierda es el resto.

Por lo tanto, la raíz de 238 es 15 con un resto de 13. Se puede comprobar
elevando 15 al cuadrado, o lo que es lo mismo, multiplicando 15 por 15. La
respuesta es 225 y a esta cifra se le suma el resto que es 13. Obteniendo la cifra
inicial que es 238.
Propiedades de la Raíz Cuadrada
Con a,bεR+a,bεR+y k,mεNk,mεN, las propiedades de las raíces cuadradas son
los siguientes:
• a2−−√=|a|a2=|a|= -a if a < 0 and a if ≥ 0
• ab−−√=a√b√ab=ab
• am−−−√=am2⇒a√=a12am=am2⇒a=a12
• a/b−−−√=a√b√a/b=ab
• a√2=a√a2=a
• 0√=00=0
• a−m−−−−√=1am√a−m=1am
• am−−−√=akm−−−√kam=akmk
• a√m−−−√=a√2m=a√−−−√mam=a2m=am

20. La propiedad más importante es la primera porque el número negativo a menudo
se olvida. Sigue leyendo para ver las propiedades en uso:
Ejemplos de la la Raíz Cuadrada
Usamos la lista de propiedades anteriores para mostrar algunos ejemplos de
raíces cuadradas en el orden de aparición:
• 9√=±39=±3
• 400−−−√=16−−√25−−√=4x5=20400=1625=4x5=20
• 44−−√=242=22=444=242=22=4
• 9/4−−−√=9√4√=3/29/4=94=3/2
• 3−2−−−√=132√=19√=1/33−2=132=19=1/3
• 6k4−−−√k=64−−√=1296−−−−√=366k4k=64=1296=36
• 125−−−√3−−−−−√=125−−−√2x3=125−−−√−−−−−√3=2.23607...1253=1252x3
=1253=2.23607...
Raíz Cuadrada De Un Número
Negativo
Los números negativos no tienen raíces cuadradas en el plano real de los
números decimales. Ya que cualquier número negativo multiplicado por sí mismo,
genera un número positivo. Por ejemplo la raíz cuadrada de 16 es 4. Pero la raíz
cuadrada de -16 no se puede obtener porque -4 por -4 es igual a 16. Se debe a
que menos por menos es más y por lo tanto, la raíz cuadrada de un número
negativo no existe en el plano real, pero si en el plano imaginario. Y si se opera en
este plano, la raíz cuadrada de menos 16 es un 4 imaginario. Representado en
símbolos obtenemos. −16−−−−√=4i−16=4i
La raíz cuadrada de un número negativo es: −x−−−√=±ix√−x=±ixx < 0, x ϵϵRR
La raíz cuadrada principal es ix√ix, pero −ix√−ixes también una raíz cuadrada,
porque
−ix√×−ix√=ix√×ix√=(ix√)2=i2(x√)2=(−1)x=−x−ix×−ix=ix×ix=(ix)2=i2(x)2=(−1)
x=−x.

21. La más famosa de las raíces cuadradas negativas es la raíz cuadrada de -1, la cual
puedes encontrar aquí.
Función Raíz Cuadrada
Y por fin, aquí está la función raíz cuadrada, xεRxεR, x ≥ 0
Imagen: Semiparábola de la función raíz
cuadrada, f(x) = x√2x2
La representación gráfica de la función y = x√2x2pone fin a la nuestra discusión de
la raiz 2
a
de un número real.