Medidas de Tendência Central e Dispersão

Esta apresentação foi elaborada por egressos do Episus/MS

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Medidas de Tendência
Central e Dispersão

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• Formato de sino onde a maioria dos valores se concentram em torno
da média.
• É uma distribuição simétrica em relação a média
• Variável quantitativa
σσσσ= 1
μμμμ= 0
Distribuição normal

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Distribuição normal
Por que éimportante que as variáveis possam
ser descritas por uma distribuição normal?
Para utilizar uma gama modelos estatísticos mais ro bustos e utilização de
testes paramétricos

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Distribuição normal
População (N) | Média: μμμμ| Variância: σσσσ
2
Se a distribuição da populaçãofor normale a amostra
retirada aleatoriamente for maior que 30 casos, vale afirmar
que a distribuição da amostra também seránormal
Amostra (n) | Média: x | Variância: s
2

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Bernoulli
(1654-1705)
Moivre
(1667-1754)
Gauss
(1777-1855)
Teorema binomial (Ars conjectandi, Bernoulli 1713)
Approximatio ad summam terminorum binomii (Moivre, 1733)
0
5
10
15
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
% y
Acontecimentos
favoráveis
x
Distribuição binomial simétrica
Distribuição normal
Distribuição binomial tende para a normal quando a amostra > 30
Histograma: (p=q=0,5) n=31, ou seja, (0,5 + 0,5)
31
*Probabilidade de sucesso: p e Probabilidade de falha q=1-p
Distribuição normal

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO Representação por meio de um valor único ou
central, determinado conjunto de informações
que variam
Valor central = “abstração”
Medidas mais utilizadas em análise estatística
Média Aritmética
Mediana
Moda
Quartis
Conceitos

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soma de um conjunto de observações (∑∑∑∑x) dividida
pelo número de observações (n)
∑∑∑∑x
n
x
=
x
x
X1+X2+X3+...+Xn
=
n
Média Aritmética ou Média ( )

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Centro de gravidade –ponto de equilíbrio
Média Aritmética
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4
Média = 12

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Éo valor que divide a distribuição ordenada da amostra
em duas partes iguais
~
Mediana
50% 50%
Mediana (x)

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Centro de gravidade –ponto de equilíbrio
Mediana
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Mediana = 12

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Centro de gravidade –ponto de equilíbrio
Mediana Média = 16
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4
Média = 12
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 22

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•Não sofre influência quando temos no conjunto
valores discrepantes (tanto para mais como para
menos)
•
Para definir a mediana os dados devem estar
ordenados (crescente ou decrescente) •
A mediana éo ponto central da distribuição
•
Quando o total de observações for um número par a
mediana éa média aritmética dos valores centrais
Propriedades da mediana

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Comparação
MÉDIA X MEDIANA

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Simetria
MÉDIA<MEDIANA<MODA
MÉDIA=MEDIANA=MODA
MÉDIA>MEDIANA>MODA

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•
Valor mais freqüente em uma distribuição
•
Única medida de tendência central que pode ser utilizada
para variáveis categóricas
•
Uma distribuição pode ser modal, bimodalou polimodal
Moda
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

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Estatura em 213 estudantes universitários da UFRGS (Callegari-Jacques)
Moda
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
Mulheres (n=140 – Média 164)Homens (n=73 – Média 177)

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Quartis
1   2   3   4   5   6   7   
8
9   10   11   12   13   14  15
Q
1
Q
3
P
25
P
75
Q
2
P
50
Mediana
Valores que dividem uma série ordenada de dados em quatro
grupos, cada um reunindo 25%.
•A distância interquartílica (Q
3
– Q
1
) representa melhor uma
distribuição assimétrica, quando comparada ao desvio-padrão
ou amplitude.

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MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Amplitude de Variação
Variância
Desvio Padrão
Quartis e Percentis
Distância Interquartílica
Conceitos

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Definição:
Diferença entre o mais alto e o mais baixo
escore em uma distribuição
A = S –I
S –escore mais alto
I –escore mais baixo
Amplitude

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•Vantagens:
•
Rápido e fácil
•Desvantagens:
•
Índice aproximado da variabilidade de uma
distribuição
•
Sensível a um único valor
Amplitude

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Exemplo de Amplitude
Turma Idade Amplitude
A 1 3 4 5 6 7 8 8 – 1 = 7
B 2 4 5 6 6 7 9 9 – 2 = 7
C 1 2 3 3 4 4 4 – 1 = 3
D 1 2 3 3 4 13 13 – 1 = 12

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Centro de gravidade –ponto de equilíbrio
Média = 16
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4
Média = 12
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 22
Amplitude da variação

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Variância
Média = 16
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Desvio = X -X
Exemplo: 49 – 16 = 33

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Variância
Média = 15,857
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Total
12-15,857 12
49-15,857 49
4-15,857 4
26-15,857 25
4-15,857 4
25-15,857 26
4-15,857 4
12-15,857 12
3-15,857 3
30-15,857 30
4-15,857 4
25-15,857 25
4-15,857 4
20-15,857 20
4-15,857 4
Res
X-X
X
Res
X-X
X
Quanto > desvio >
distância da média

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Variância
Média = 15,857
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
0 Total
-3,857
12-15,857 12
33,143
49-15,857 49 -11,857
4-15,857 4
10,143
26-15,857 25 -11,857
4-15,857 4
9,143
25-15,857 26 -11,857
4-15,857 4
-3,857
12-15,857 12 -12,857
3-15,857 3
14,143
30-15,857 30 -11,857
4-15,857 4
9,143
25-15,857 25 -11,857
4-15,857 4
4,143
20-15,857 20 -11,857
4-15,857 4
Res
X-X
X
Res
X-X
X
Soma dos desvios
acima da média é
igual a soma dos
desvios abaixo da
média

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Variância
Média = 15,857
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
2483,714 Total
14,87645
12-15,857 12
1098,458
49-15,857 49 140,5884
4-15,857 4
102,8804
26-15,857 25 140,5884
4-15,857 4
83,59445
25-15,857 26 140,5884
4-15,857 4
14,87645
12-15,857 12 165,3024
3-15,857 3
200,0244
30-15,857 30 140,5884
4-15,857 4
83,59445
25-15,857 25 140,5884
4-15,857 4
17,16445
20-15,857 20 140,5884
4-15,857 4
Res
X-X
X
Res
X-X
X
ΣΣΣΣ
(x –x)
2
Limitação:neste formato
só é possível comparar
conjuntos de dados com
tamanhos idênticos
(mesmo número de
observações)

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ΣΣΣΣ
(x –x)
2
(n-1)
n
i=l
s
2
=
Variância
2483,714 Total
14,87645
12-15,857 12
1098,458
49-15,857 49 140,5884
4-15,857 4
102,8804
26-15,857 25 140,5884
4-15,857 4
83,59445
25-15,857 26 140,5884
4-15,857 4
14,87645
12-15,857 12 165,3024
3-15,857 3
200,0244
30-15,857 30 140,5884
4-15,857 4
83,59445
25-15,857 25 140,5884
4-15,857 4
17,16445
20-15,857 20 140,5884
4-15,857 4
Res
X-X
X
Res
X-X
X
=
2.483,714
14
=
177,4082

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•Vantagens:
•
Valores absolutos
•
Dá maior ênfase aos valores extremos (>sensibilidade ao grau
de desvio na distribuição)
•Desvantagens:
•
Dificuldade na interpretação devido a alteração da medida
(elevado ao quadrado)
•
Valores elevados
•
Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da unidade de
medida dos dados originais
Ex: variável medida em metros, a variância será expressa em m
2
Variância

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Desvio Padrão
v
s
2
s =
Vantagens
•Apresenta as propriedades da variância
•Tem a mesma unidade de medida dos dados originais

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v
s
2
s =
s= 13
X=16
Desvio Padrão

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Relação entre a média e desvio padrão em uma
distribuição normal
v
s
2
s =
Desvio Padrão

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+-1s
+-1,96 s +-2,58 s
Relação entre a média e desvio padrão em uma
distribuição normal
Desvio Padrão

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Comparações

34. Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia -http://epilibertas.blogspot.com
Exercício
Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens qu e estão prestando
serviço militar no quartel Q, aqueles com uma estatu ra de no mínimo 180
cm, para formar um time de basquete. Que percentagem é esperada de
jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura t em distribuição
normal e, nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio padrão, 6 cm?

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Resultado
Para X = 175, z = (x - µ)/σ= 175 – 175) / 6 = 0
Para x = 180, z = (x - µ)/σ= 180 – 175) / 6 = 0,83
A área entre z = 0 e z = 0,83 é 0,2967 e a área alé m de 0,83 é (0,5 – 0,2967) = 0,2033
175180
Portanto, 20,33% dessa população são constituídos de indivíduos com
estatura igual ou superior a 180 cm.
0,83 0Z (variável padronizada)
(estatura)

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Exercício
Se 140 jovens estão prestando serviço militar no qu artel Q o número
esperado de rapazes que pode ser convidado para participar do time de
basquete é?

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Resultado
175180
Portanto, 20,33% de 140 = 0,2033 x 140 = 28,46, ist o é 28 jovens.
0,83 0Z (variável padronizada)
(estatura)

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Tela do Epi Info

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“Nós (epidemiologistas) usamos a
estatística da mesma maneira que um
bêbado usa um poste de luz: muito
mais para suporte do que para
iluminação”
WinifredCastle

40. Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia -http://epilibertas.blogspot.com
• www.famat.ufu.br/ednaldo/ednaldo.htm • Jekel, James F. Epidemiologia, bioestatística e me dicina preventiva — Porto
Alegre: Artes Médicas Sul, 1999
• Beiguelman, Bernardo. Curso prático de bioestatíst ica — Ribeirão Preto, SP:
Fundação de Pesquisas Científicas de Ribeirão Preto, 2002
• Métodos quantitativos em medicina / Eduardo Massad... [et al.] — Barueri, SP:
Manole, 2004
• Leão, Ennio, et al. Pediatria ambulatorial — 3ª ed. Belo Horizonte: COOPEMED,
1998
• Triola, Mario. Introdução à Estatística. LTC – Livro s Técnicos e Científicos
Editora S.A., 1999
• Epi Info 6.04d Manual
• Sidia M. Callegari-Jacques. Bioestatística – Princíp ios e Aplicações – Editora
Artmed.
Referências