Medidas de tendencia central

Aula de Estatística - Medidas de Tendência Central

1. ESTATÍSTICA
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
PROFESSORA ROSÂNIA

2. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL –
são utilizadas em estatística para
representar um conjunto de dados
pesquisados por valores pelos quais
eles tendem a concentrar-se.
As principais são a MÉDIA
ARITMÉTICA, A MODA E A
MEDIANA.

3. •MÉDIA ARITMÉTICA
SIMPLES E PONDERADA
•MEDIANA
•MODA

4. MEDIANA (Md)
Sua principal característica é dividir o
conjunto de dados em duas partes com
o mesmo número de elementos.
Quantidade ímpar de valores – a Md
corresponde ao termo central do rol.
Quantidade par – a Md corresponde a
média aritmética dos dois termos
centrais.

5. �+1
2

Posição da mediana
n = número de elementos do
conjunto de dados.
MEDIANA – valor que ocupa a posição
central no rol
Para dados não agrupados

6. Exemplo: Para verifica o
tamanho dos peixes de sua
criação, um piscicultor retirou
de um tanque 7 piaparas; de
outro, 10 tilápias, fazendo a
medição do comprimento de
cada um deles.
para dados não agrupados

7. Comprimento das piaparas em cm
23 27 27 28 31 32 36
7:1
2
= 4  4ª posição
Md = 28 cm
Número de observações é ímpar –
temos que a Md corresponde ao valor
central.
para dados não agrupados

8. Comprimento das tilápias em centímetros
14 14 15 17 17 20 20 21 22 23
??????�=
17+20
2
=
37
2
=18,5��
Número de observações é par –
calcular a média dos termos centrais.
Obs: Nem sempre a mediana corresponde a um valor
apresentado na pesquisa.

9. Mediana – para dados agrupados sem classes
Número de
filhos
( x
i )
Numero
de casais
( f
i )

F
i (fac)
0 6 6
1 16 22
2 9 31
3 8 39
4 3 42
5 3 45
6 3 48
7 2 50
Total () 50
Ex: Número de filhos de um grupo de 50 casais

10. 1º) Determinar a posição da mediana por:
P =
??????
2
� ??????=
??????
2
+1 , pois n é par
Mediana – para dados agrupados sem classes
??????=
50
2
+1=26ª ��??????�çã�
P =
??????
2
=
50
2
=25ª ��??????�çã�

11. 2º) Pela F
i (freq. abs. Acum. abaixo de) verifica-
se que o 31 contém o 25º e 26º elemento
Mediana – para dados agrupados sem classes
Número de
filhos
( x
i )
Numero
de casais
( f
i )

F
i (fac)
0 6 6
1 16 22
2 9 31
3 8 39
4 3 42
5 3 45
6 3 48
7 2 50
Total () 50
O nº 2 deixa 50%
dos valores, ou
seja é o elemento
central.
Se encontra na 25ª
e 26ª posição

12. Mediana – para dados agrupados com classes
Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.

Taxas (em %)

Número de
Municípios
( f
i )
F
i
6 --- 16 29 29
16 --- 26 24 53
26 --- 36 16 69
36 --- 46 13 82
46 --- 56 4 86
56 --- 66 3 89
66 --- 76 2 91
76 --- 86 2 93
86 --- 96 1 94
Total () 94

13. 1º) Calcular a posição:
P =
??????
2
=
94
2
=47ª ��??????�çã�
(não importa de n for ímpar ou par)
2º) Pela F
i (fac) identifica-se a classe
que contém a Md:
O nº 47 está dentro de 53. Portanto, A
CLASSE da Md é a 2ª: 16 --- 26.

14. 3º) Aplica-se a fórmula:

??????�=��+
?????? −????????????
��
.�
Li = limite inferior da classe da mediana
n = tamanho da amostra ou nº de elementos  94
P = n/2 = 94/2 = 47
Fa = frequência acumulada anterior à classe da Md
= 29
h = intervalo da classe da Md = 10
f
i = frequência simples da classe da Md = 24

15. ??????�=16+
47 ;29
24
. 10
??????�=16+
18
24
. 10
??????�=16+
180
24

??????�=16+ 7,5 = 23,5

16. MODA – o valor que mais aparece.
Pode ser:
amodal,

unimodal,

bimodal,

Não tem moda
Um valor aparece
mais
dois valores aparecem
mais

17. Exemplo: Calcular a moda dos
seguintes conjuntos de dados:

X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8)
Mo = 6
UNIMODAL

18. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6)
Mo = 2 e Mo = 4
BIMODAL

19. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5)
Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4
PLURIMODAL

20. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Esse conjunto é amodal
porque não apresenta
um valor predominante

21. Cálculo da moda pelo ROL
Número de filhos de um grupo de 50 casais
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 3 3 3 3 3 3 4
4 4 5 5 5 6 6 6 7 7

22. Cálculo da moda pela distribuição de frequências sem
classes
Número de filhos de um grupo de 50 casais

Número de
filhos

Numero
de casais
( f
i )
0 6
1 16
2 9
3 8
4 3
5 3
6 3
7 2
Total () 50
O valor 1
apresenta a
maior
frequência.

Mo = 1

23. Cálculo da moda pela distribuição de frequências com classes
Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.

Taxas (em %)

Número de
Municípios
( f
i )
F
i
6 --- 16 29 29
16 --- 26 24 53
26 --- 36 16 69
36 --- 46 13 82
46 --- 56 4 86
56 --- 66 3 89
66 --- 76 2 91
76 --- 86 2 93
86 --- 96 1 94
Total () 94

24. Cálculo da moda pela distribuição de
frequências com classes
CLASSE MODAL  É A QUE POSSUI MAIOR FREQ.(fi)
Li = limite inferior da classe modal
∆1 = Maior frequência menos frequência anterior
∆2 = maior frequência menos frequência posterior.
h = intervalo da classe modal
Mo = li +
∆1
∆1:∆2
.�

25. Mo = li +
∆1
∆1:∆2
.�
Mo = 6 +
29
29:5
. 10
∆1=29 −0=29
∆2=29 −24=5
Mo = 6 +
29
34
. 10
Mo = 6 +
290
34
Mo = 6 + 8,52 = 14,5

26. ENCONTRE A NOTA MEDIANA E A NOTA
MODAL DA TABELA A SEGUIR
Nº DE
ALUNOS
NOTAS
4 7,0
2 5,0
2 6,0
1 9,5

27. ROL: 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 9,5
9:1
2
=
10
2
= 5 POSIÇÃO
MEDIANA
�+1
2

OBS: SE OUVER 2 ELEMENTOS QUE FICAM NO MEIO
DEVE-SE TIRAR A MÉDIA ARITMÉTICA DELES.

28. ROL: 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 9,5
MODA = 7  UNIMODAL
VALOR QUE MAIS APARECE

29. EXEMPLO: Calcular as MEDIDAS DE TENDÊNCIA
CENTRAL para a variável “massa dos alunos”
Massa (kg) (fi)
40 Ⱶ 50 4
50 Ⱶ 60 10
60 Ⱶ 70 9
70 Ⱶ 80 5
80 Ⱶ 90 2
Total 30

30. Massa (kg) (fi) Fi(fac) Xi Xifi
40 Ⱶ 50 4 4 45 180
50 Ⱶ 60 10 14 55 550
60 Ⱶ 70 9 23 65 585
70 Ⱶ 80 5 28 75 375
80 Ⱶ 90 2 30 85 170
Total 30 --- 1860

31. Cálculo da Média Aritmética (?????? )
?????? =
4 .45+10.55+9.65+5.75+2.85
30


?????? =
1860
30
=62 ��

??????���
�
=
1860
30
=62 ��

32. Calculo da Moda (MO)
50 Ⱶ 60 10 14
Mo = li +
∆1
∆1:∆2
.�
Classe Modal > fi
Mo = 50 +
6
6:5
. 10
∆1=10 −4= 6
∆2=10 −9=5
Mo = 50 +
6
11
. 10
Mo = 50 +
60
11

Mo = 50 + 5,45 = 55,45

33. Cálculo da Mediana (Md)
1º) Calcular a posição:
P =
??????
2
=
30
2
=15ª ��??????�çã� (??????� �?????? ????????????�)
60 Ⱶ 70 9 23 2º) classe da mediana
3º) ??????�=��+
?????? −????????????
��
.�

34. 3º) ??????�=��+
?????? −????????????
��
.�
??????�=60+
15 ;14
9
. 10
Massa
(kg)
(fi) Fi(fac)
40 Ⱶ 50 4 4
50 Ⱶ 60 10 14
60 Ⱶ 70 9 23
70 Ⱶ 80 5 28
80 Ⱶ 90 2 30
Total 30 ---
Cálculo da Mediana (Md)
1º) Calcular a posição:
P =
??????
2
=
30
2
=15ª ��??????�çã�
2º) classe da mediana
??????�=60+
10
9
= 60 + 1,11 = 61,11

35. Exercícios
1. (Fuvest-SP 2014) Cada uma das cinco
listas dadas é a relação de notas obtidas
por seis alunos de uma turma em uma certa
prova. Assinale a única lista na qual a média
das notas é maior do que a mediana.

36. Média maior que a mediana
Calcular todos!
a)5, 5, 7, 8, 9, 10

Md =
7:8
2
=
15
2
=7,5

?????? = 5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10 / 6 = 44/6 = 7,33

37. 2. Calcular a Mediana, a Moda e a Média
Aritmética da distribuição abaixo:
Classes fi Fr Fac
17 Ⱶ 30 11 36,7% 11
30 Ⱶ 43 12 40% 23
43 Ⱶ 56 4 13,3% 27
56 Ⱶ 69 2 6,7% 29
69 Ⱶ 82 1 3,3% 30
Totais 30 100%

38. MEDIANA
CLASSE MEDIANA  posição P
P =
??????
2
=
30
2
=15ª ��??????�çã� na Fac
Classes fi Fr Fac
17 Ⱶ 30 11 36,7% 11
30 Ⱶ 43 12 40% 23
43 Ⱶ 56 4 13,3% 27
56 Ⱶ 69 2 6,7% 29
69 Ⱶ 82 1 3,3% 30
Totais 30 100%
??????�=��+
?????? −????????????
��
.�
??????�=30+
15 ;11
12
. 13
??????�=30+
4
12
. 13
??????�=30+
52
12
= 30 + 4,33 = 34,33

39. Mo = li +
∆1
∆1:∆2
.�
30 Ⱶ 43 12 40% 23
Classe modal
Mo = li +
∆1
∆1:∆2
.�
∆1=12 −11= 1
∆2=12 −4=8
Mo = 30 +
1
1:8
. 13
�=43 −30=13
Mo = 30 +
1
9
. 13 = 30 + 13/9 = 30 + 1,4 = 31,4
MODA

40. MEDIA ARITMÉTICA
Classes fi Fr Fac Xi XiFi
17 Ⱶ 30 11 36,7% 11 23,5 258,5
30 Ⱶ 43 12 40% 23 36,5 438
43 Ⱶ 56 4 13,3% 27 49,5 198
56 Ⱶ 69 2 6,7% 29 62,5 125
69 Ⱶ 82 1 3,3% 30 75,5 75,5
Totais 30 100% 1095

??????�??????�
�
=
1095
30
=36,5