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apresentação relação de ordem

1. RELAÇÕES DE ORDEM (ORDEM EM CONJUNTOS) Allysson Fernandes Vieira Disciplina: Álgebra Linear 2 Profº . Felipe

2. Objetivos da Aula Objetivos da Aula 1. Compreender o conceito de relação binária e suas propriedades fundamentais . 2. Entender o que caracteriza uma relação de ordem . 3. Distinguir ordem parcial e ordem total , com exemplos numéricos e não numéricos . 4. Identificar elementos máximos, mínimos e não comparáveis . 5. Introduzir o conceito do Princípio da Boa Ordenação .

3. Relação Binária 1. Relação Binária Uma relação binária entre elementos de um conjunto A é qualquer subconjunto de A×A (produto cartesiano ). 👉 Em outras palavras, é uma regra que associa pares de elementos de um mesmo conjunto . Exemplo: Se A={ 1,2,3}, então R={(1,2),(2,3)}⊆ A×A. Dizemos que : 1 está relacionado a 2, 2 está relacionado a 3 . 📘 Notação: Se ( a,b ) ∈ R, escrevemos aRb.

4. Relação Binária: Exemplos Exemplo 1 — Numérico: Seja A={ 1,2,3} Defina a relação R={(1,2),(2,3 )}. → 1R2 e 2R3. É uma relação binária porque está dentro de A×A 🔹 Exemplo 2 — Não numérico: Seja A={ Ana,Bruno,Carlos }. Relação “é amigo de ”: R={( Ana,Bruno ),( Bruno,Carlos )}. → Ana é amiga de Bruno, Bruno é amigo de Carlos.

5. Propriedades Fundamentais Seja R uma relação definida em um conjunto A. Para R, definimos as seguintes propriedades : Reflexiva;  Simétrica;  Anti-simétrica;  Transitiva.  Vejamos cada uma delas a seguir:

6. Propriedades Fundamentais Propriedade Reflexiva : Uma relação R em um conjunto A é chamada de reflexiva se (x, x) ∈ R para todo elemento x ∈ A.

7. Propriedades Fundamentais Propriedade Simétrica : Uma relação R em um conjunto A é chamada de simétrica se (y , x) ∈ R sempre que (x, y) ∈ R.

8. Propriedades Fundamentais Propriedade Antissimétrica : Uma relação R em um conjunto A é chamada antissimétrica se, para quaisquer x, y ∈ A, se (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R, então x = y.

9. Propriedades Fundamentais Propriedade Transitiva : Uma relação R em um conjunto A é chamada transitiva se, sempre que (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, então (x, z) ∈ R, x, y, z ∈ A.

10. Definição e propriedades Resumo das propriedades

11. Relação de Ordem Definição 1(Relação): Uma relação é um conjunto de pares ordenados. Exemplo : R = { (1,3), (2,4), (1,0) } Definição 2 (Relação entre conjuntos): Seja R uma relação e sejam A e B conjuntos. Dizemos que R é uma relação sobre A desde que e R é uma relação de A em (para) B se Exemplo : Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 3, 4, 5, 6} temos as relações: R = { (1,3), (2,3), (1,1) } é sobre A; S = { (3,3), (3,4), (4,6) } é sobre B; T = { (1,3), (1,4), (2,6) } é de A em B.

12. Relação de Ordem Uma relação de A em B é um subconjunto R de pares ordenados onde: o primeiro elemento do par vem de A; o segundo elemento do par vem de B. Usamos xRy para indicar (x, y) ∈ R. Dessa forma, temos que x está relacionado com y por R. Formalmente, OBS .: Alguns autores definem a relação aqui discutida como relação binária , porque ela relaciona elementos de dois conjuntos. Se forem mais de 2 conjuntos temos uma relação n- ária .

13. Exemplos: Ex.1 : Ex.2 : Seja A = {1, 2, 3, 4} Construa esta relação sobre A.

14. Exemplos de Relações de Ordem Exemplos de Relações de Ordem Exemplo numérico No conjunto dos números reais R: A relação “≤” é uma ordem total . Qualquer dois números reais são comparáveis : para todo a,b ∈ R, ou a ≤ b ou b ≤ a. Exemplo em divisibilidade (ℕ): “a divide b” (denotado a ∣ b ) é uma ordem parcial em N. Exemplo: 2 | 4 e 2 | 6, mas 4 e 6 não se comparam, pois nenhum divide o outro . Exemplo não numérico Em P(A) ( o conjunto das partes de A), a relação “⊆” é uma ordem parcial : { 1} ⊆ {1,2}, mas {1,2} ⊄ {3}.

15. Ordem Parcial × Ordem Total Tipo de Ordem Comparabilidade Exemplo Ordem Parcial Nem todos os elementos podem ser comparados “⊆” em conjuntos, “ Ordem Total Todos os elementos podem ser comparados “≤” nos números reais 💬 Exemplo de análise: (ℝ, ≤) → Total (ℕ, |) → Parcial (P(A), ⊆) → Parcial

16. Máximos, Mínimos e Elementos Incomparáveis Máximos, Mínimos e Elementos Incomparáveis Elemento máximo: nenhum elemento é maior que ele . Elemento mínimo: nenhum elemento é menor que ele . Máximo absoluto: é o maior de todos (único em ordens totais ). Elementos incomparáveis: não existe relação de ordem entre eles .

17. Máximos, Mínimos e Elementos Incomparáveis 1. Máximo e Mínimo (do conjunto todo) 👉 O máximo de um conjunto é o maior elemento de todos (nenhum outro é maior que ele). 👉 O mínimo é o menor de todos (nenhum outro é menor que ele ). Exemplo: Considere o conjunto A={1,2,3,4,5 } com a relação “≤”. Máximo: 5 , pois 5 ≥ todos os outros. Mínimo: 1 , pois 1 ≤ todos os outros. 2. Elemento máximo e elemento mínimo (em relações parciais) Quando a relação não compara todos os elementos (como “divide” ou “está contido em”), o máximo e o mínimo podem não existir , mas podem haver elementos máximos ou mínimos . Elemento máximo: não existe outro elemento que seja maior que ele . Elemento mínimo: não existe outro elemento que seja menor que ele . Exemplo: Seja A ={2,3,6}, com a relação “divide” (|). Ou seja: a ≤ b a divide b. As divisões possíveis: 2 divide 6 3 divide 6 2 não divide 3 e 3 não divide 2

18. Máximos, Mínimos e Elementos Incomparáveis ➡ Mínimo : 2 e 3 (cada um é mínimo, pois nenhum outro é menor que eles). ➡ Máximo : 6 (é divisível por todos ). 3. Elementos incompatíveis (ou incomparáveis) Dois elementos são incompatíveis (ou incomparáveis ) se nenhum é relacionado ao outro pela relação de ordem . 🔹 Exemplo: Usando o mesmo conjunto A={ 2,3,6} e a relação “divide”: 2 divide 6 → são comparáveis. 3 divide 6 → são comparáveis . ⚠ 2 não divide 3 e 3 não divide 2 → 2 e 3 são incompatíveis .

19. Máximos, Mínimos e Elementos Incomparáveis Princípio da Boa Ordenação Em ℕ , qualquer subconjunto não vazio possui um elemento mínimo . ➡ Isso é consequência de uma ordem total bem definida . Esse princípio é a base para demonstrações por indução e definições recursivas . Em relações totalmente ordenadas , sempre conseguimos determinar máximos e mínimos. Mas… 🔹 e quando não conseguimos comparar certos elementos ? 🔹 como identificar elementos que não são maiores nem menores que os outros? 👉 Essas perguntas introduzem o próximo seminário , sobre elementos não comparáveis e estruturas parcialmente ordenadas .

20. FIM