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modelo economico solow para el curso de macro

1. Modelo de Solow-Swan - copia
Teología I (Universidad de Piura)
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Modelo de Solow-Swan - copia
Teología I (Universidad de Piura)
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2. Crecimiento y Fluctuaciones
Crecimiento y Fluctuaciones
Modelo de crecimiento de Solow – Swan
Universidad de Piura – Campus Piura
2022 - II
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3. Crecimiento y Fluctuaciones
Índice
1Introducción
2El modelo de Solow–Swan: Supuestos
3Modelo de Solow–Swan: Resolución
4Análisis gráfico – Estado estacionario
5Algunas implicaciones del modelo
6La Regla de oro
7Apéndice
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4. Crecimiento y Fluctuaciones
Introducción
Índice
1Introducción
2El modelo de Solow–Swan: Supuestos
3Modelo de Solow–Swan: Resolución
4Análisis gráfico – Estado estacionario
5Algunas implicaciones del modelo
6La Regla de oro
7Apéndice
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5. Crecimiento y Fluctuaciones
Introducción
Introducción
En el tema precedente se analizó un modelo de crecimiento pre revolución industrial. ¿Qué
se concluyó? ¿Qué explicaría el crecimiento de diversas economías en el mundo, mostradas
en los dos últimos siglos?
Recordemos que el PBI en el añot,Yt, desde la perspectiva del gasto, es expresado por
Yt=Ct+It+Gt+NXt,
dondeCtes el consumo privado (compras de las familias),Ites la inversión privada (compras
de las empresas),Gtes el gasto público (compras del gobierno).NXtson las exportaciones
netas (exportaciones menos importaciones).
Modelo de Solow-Swan (1956): la inversión en capital físico es el motor fundamental del
crecimiento a largo plazo. ¿Por qué?
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6. Crecimiento y Fluctuaciones
El modelo de Solow–Swan: Supuestos
Índice
1Introducción
2El modelo de Solow–Swan: Supuestos
3Modelo de Solow–Swan: Resolución
4Análisis gráfico – Estado estacionario
5Algunas implicaciones del modelo
6La Regla de oro
7Apéndice
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7. Crecimiento y Fluctuaciones
El modelo de Solow–Swan: Supuestos
El modelo de Solow–Swan: supuestos
Suponemos una economía cerrada y sin gobierno, cuyos agregados evolucionan en el tiempo
(continuo), de modo que
Yt=Ct+It (1)
De (1), se deduce que el ahorro esSt=Yt−Ct: el ahorro de las familias es igual a la
inversión de las firmas.
Las firmas producirán usando mano de obra (trabajo), que denotamos conLt, como también
del capital,Kt. Asimismo usarán un tercer factor de producción, denominado tecnología,At.
Observación: el capital y el trabajo son bienes rivales, mas no la tecnología.
La transformación de los tres insumos de producción, capital (K), trabajo (L) y tecnología
(At) permiten la producción de bienes finales,Yt.
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8. Crecimiento y Fluctuaciones
El modelo de Solow–Swan: Supuestos
El modelo de Solow–Swan: supuestos
Tal transformación se genera mediante el uso de una función de producción (neoclásica):
Yt=F(Kt,Lt,At). (2)
Características:
Rendimientos constantes a escala en el capital y el trabajo:
Siλ >0,F(λKt, λLt,At) =λF(Kt,Lt,At)
Producto marginal positivo para los factores de producción capital y trabajo. Sin embargo este
producto marginal es decreciente (rendimientos marginales decrecientes):
Fk>0,FL>0 yFKK<0,FLL<0
Se satisfacen las condiciones de Inada:
lim
K→0
FK= +∞,lim
K→+∞
FK= 0 y lim
L→0
FL= +∞,lim
L→+∞
FL= 0
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9. Crecimiento y Fluctuaciones
El modelo de Solow–Swan: Supuestos
El modelo de Solow–Swan: supuestos
Ejemplo: función de producción neoclásica Cobb-Douglas,
Yt=AtK
α
tL
1−α
t, α∈[0,1]
(Ver aquí
Apéndiceel cumplimiento de las características descritas)
Por otra parte, se supondrá que el ahorro en esta economía es una fracción constante,s, del
producto. De este modo, tendremos
Ct= (1−s)YtySt=sYt,cons∈(0,1).
Como el ahorro es igual a la inversión, se deduce quesYt=It, de manera que la tasa de
ahorro es igual a la tasa de inversión.
El capital, a lo largo del tiempo y por el uso se deprecia. Asumiremos que la tasa de
depreciación es constante en el tiempo e igual aδ∈[0,1].
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10. Crecimiento y Fluctuaciones
El modelo de Solow–Swan: Supuestos
El modelo de Solow–Swan: supuestos
En esta economía, el tamaño de población esNt, y crece en el tiempo a una tasa constante
n. Es decir
˙
N
N
=n.
Asumiremos (supuesto simplificador) que la cantidad de trabajadores es exactamente el
tamaño de población:Nt=Lt.
Asimismo, asumiremos - en principio - que la tecnología es constante en el tiempo. Es decir,
At=A. ¿Por qué?
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11. Crecimiento y Fluctuaciones
Modelo de Solow–Swan: Resolución
Índice
1Introducción
2El modelo de Solow–Swan: Supuestos
3Modelo de Solow–Swan: Resolución
4Análisis gráfico – Estado estacionario
5Algunas implicaciones del modelo
6La Regla de oro
7Apéndice
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12. Crecimiento y Fluctuaciones
Modelo de Solow–Swan: Resolución
Resolución del modelo
Recordemos que en tiempo discreto, el capital que utiliza la firma ent+ 1 para producir, es
determinado ent, de la siguiente manera:
Kt+1=Kt+It−δKt,
dondeKtes el capital disponible al inicio dety que se determinó ent−1,Ites lainversión
bruta, mientras queδKtes la proporción del capital que se depreció ent(por el uso).
La variación del capital, ∆Kt+1, viene a ser laInversión neta:
∆Kt=Kt+1−Kt=It−δKt.
De este modos, adaptamos la variación del capital en tiempo continuo, de la siguiente manera:
˙
Kt=It−δKt (3)
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13. Crecimiento y Fluctuaciones
Modelo de Solow–Swan: Resolución
Resolución del modelo
No olvidar que bajo los supuestos establecidos, la inversiónIes igual al ahorroS. Esta
última se asumió que es una proporción constante del producto:sYt. En consecuencia, (3)
es expresado como
˙
Kt=sYt−δKt
o bien usando (2), concluimos
˙
Kt=sF(Kt,Lt,At)−δKt (4)
¿Cómo interpretaríamos (4)?
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14. Crecimiento y Fluctuaciones
Modelo de Solow–Swan: Resolución
Resolución del modelo (términos per cápita)
¿Por qué sería más relevante describir y estudiar el modelo en términos per cápita y no en
términos agregados?
Empecemos por expresar la función de producción en términos del capital per cápita. Para
ello dividimos en ambos miembros de (4) porLt:
˙Kt
Lt
=
sF(Kt,Lt,At)
Lt
−δ
Kt
Lt
PeroFpresenta rendimientos constantes a escala, de modo que (prescindamos por el momento
de los subíndices):
˙
K
L
=s
F(K,L,A)
L
−δ
K
L
=s F

K
L
,
L
L
,A

−δ
K
L
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15. Crecimiento y Fluctuaciones
Modelo de Solow–Swan: Resolución
Resolución del modelo (términos per cápita)
Convengamos en que siXes una variable agregada en el modelo, la variable per cápita
asociada,X/L, la denotaremos con letra minúscula:x.
De acuerdo con la convención indicada, tendremos
˙
K
L
=s F(k,1,A)−δk
=sf(k,A)−δk (5)
La descripción de laevolución del capital per cápitaaún es incompleta. Trabajemos el
extremo izquierdo de esta ecuación. Para ello consideremos la definición de capital per cápita,
k=K/Ly derivemos en ambos miembros con respecto al tiempo:
˙
k=
d
dt
K
L
=
˙
K L−K
˙
L
L
2
=
˙
K
L
L
L
−
K
L
˙
L
L
=
˙
K
L
−k n,
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16. Crecimiento y Fluctuaciones
Modelo de Solow–Swan: Resolución
Resolución del modelo (términos per cápita)
De esta expresión, despejamos
˙
K/Ly lo reemplazamos en (5):
˙k+kn=sf(k,A)−δk.
Reordenando, tenemos la denominada Ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan:
˙kt=s f(kt,A)−(n+δ)kt (6)
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17. Crecimiento y Fluctuaciones
Análisis gráfico – Estado estacionario
Índice
1Introducción
2El modelo de Solow–Swan: Supuestos
3Modelo de Solow–Swan: Resolución
4Análisis gráfico – Estado estacionario
5Algunas implicaciones del modelo
6La Regla de oro
7Apéndice
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18. Crecimiento y Fluctuaciones
Análisis gráfico – Estado estacionario
Análisis gráfico: términos per cápita
sf(k,A) es la inversión. En el modelo, esta
coincide con el ahorro, por lo que la tasa de
inversión es igual a la del del ahorro.
(n+δ)kes la inversión de reposición: una
parte debida a la depreciación del capital
(δk), y otra por razones de crecimiento
poblacional (nk).
Para un nivel de capital dado,k, se determina
el productoy=f(k,A). Este, a su vez, se
descompone en consumo (c) y capital (k):
f(k,A) =c+i.
k
∗
es un nivel particular de capital,
denominadocapital de estado estacionario.
¿Qué significa?
Funciones dependientes dek
Capital (k)
[n+δ]k
sf(k,A)
Inv. de reposición
f(k,A)
Producción
Inv. total
k
∗
c
k
i
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19. Crecimiento y Fluctuaciones
Análisis gráfico – Estado estacionario
Análisis gráfico: Estado estacionario
De (6), se observa que la variación del stock de capital per cápita depende de la diferencia
entre dos funciones: la inversión total,sf(k,A), y la inversión de reposición (n+δ)k. ¿Qué
sucede cuando estas dos funciones coinciden?
La coincidencia se presentará para dos únicos valores dek: un valor nulo y otro positivo. Nos
interesa el único valor positivo dek(¿por qué?), el cual denotamos conk
∗
. En tal caso
sf(k
∗
,A) = (n+δ)k
∗
,
lo cual implica que
˙
k= 0. Es decir, no hay acumulación ni desacumulación de capital: solo
se repone el capital depreciado por el uso y por los efectos del crecimiento poblacional.
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20. Crecimiento y Fluctuaciones
Análisis gráfico – Estado estacionario
Estabilidad del estado estacionario
Según (6),
˙
kt=sf(k,A)−(n+δ)k. En tal
caso, el nivel de capital que satisface˙kt= 0,
es el capital de estado estacionario,k
∗
.
Para niveles de capital mayores ak
∗
,˙kt<0 y
se desacumula capital: la inversión total está
por debajo de la inversión de reposición.
Finalmente, si los niveles de capital son
inferiores al de estado estacionario, la
inversión total supera a la inversión de
reposición:
˙
kt<0. Es decir, se acumula
capital.
˙
k
k
˙k(t)
k
∗
˙kt>0
˙kt<0
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21. Crecimiento y Fluctuaciones
Análisis gráfico – Estado estacionario
Ejemplo: Estado estacionario (Función Cobb-Douglas)
Consideramos la función de producción del tipo Cobb- Douglas,Y=F(Kt,Lt,At) =AK
α
tL
1−α
t.
Dividimos porLten ambos términos
Yt
Lt
=AK
α
t
L
1−α
t
Lt
=A
h
Kt
Lt
iα
,
para obtener tal función en términos per cápita
yt=Ak
α
t (7)
¿Para qué valor dek
∗
>0,sf(k
∗
) = (n+δ)k
∗
? Veamos
sAk
α
t= (n+δ)k
∗
k
α−1
t=
n+δ
sA
k
∗
=
h
sA
n+δ
i
1
1−α
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22. Crecimiento y Fluctuaciones
Análisis gráfico – Estado estacionario
Análisis de estado estacionario: tasas de crecimiento
La variación deken el tiempo depende de la diferencia entre dos funciones:
˙kt=sf(kt,A)−(n+δ)kt.
Denominamos a la primera,sf(kt,A),curva de ahorroy a la segunda, (n+δ)k,curva de
depreciación
1
.
En estado estacionario (EE), la variación del capital per cápita es nula, de modo que su
tasa de crecimiento,γ
∗
kes cero. Asimismo, el producto per cápita y el consumo per cápita
presentan una tasa de crecimiento nula:γ
∗
y=γ
∗
c= 0 (¿Por qué?).
Por otra parte, las tasas de crecimiento de los agregadosY,K,C, coinciden y son iguales a
n. ¿Por qué?
Si no nos encontráramos en el EE, ¿cuáles serían las tasas de crecimiento para las variables
per cápita y las variables agregadas?
1
Seguimos la denominación dada por Sala-i-Martin .
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23. Crecimiento y Fluctuaciones
Algunas implicaciones del modelo
Índice
1Introducción
2El modelo de Solow–Swan: Supuestos
3Modelo de Solow–Swan: Resolución
4Análisis gráfico – Estado estacionario
5Algunas implicaciones del modelo
6La Regla de oro
7Apéndice
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24. Crecimiento y Fluctuaciones
Algunas implicaciones del modelo
Algunas implicaciones del modelo: incremento en la tasa de ahorro
Supongamos que la tasa de ahorro se
incrementa desde un nivels0a un nivels1.
La curva de ahorro se desplazaría, de forma
proporcional, hacia la parte superior.
La curva de depreciación, (n+δ)k, y la
función de producción,f(k,A), permanecen
sin cambios.
Del gráfico, observamos que, para la tasa de
ahorros0, tenemos un nivel de capital de EE,
k
∗
0
. Al incrementarse la tasa de ahorro hasta
el nivels0, el nivel de capital de EE esk
∗
1
, un
nivel superior al inicial:k
∗
0
<k
∗
1
.
¿Qué sucede cuando se incrementanoδ?
Funciones dependientes dek
Capital (k)
[n+δ]k
s0f(k,A)
s1f(k,A)
f(k,A)
k
∗
0k
∗
1
Aumento de la tasa de ahorro
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25. Crecimiento y Fluctuaciones
La Regla de oro
Índice
1Introducción
2El modelo de Solow–Swan: Supuestos
3Modelo de Solow–Swan: Resolución
4Análisis gráfico – Estado estacionario
5Algunas implicaciones del modelo
6La Regla de oro
7Apéndice
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26. Crecimiento y Fluctuaciones
La Regla de oro
La Regla de oro de acumulación del capital
Del tratamiento precedente, podemos observar que, para cada nivel de tasa de ahorros∈
(0,1), se determina un único nivel de capital de estado estacionario,k
∗
.
¿Qué tasa de ahorrodeberíaelegir la sociedad con el propósito de no mermar subienestar?
Tomar en cuenta que la inversión (igual al ahorro) es aquella parte del producto que no se
consume:sy=i=y−c. En tal caso, la evolución del capital en el tiempo será
˙kt=syt−(n+δ)kt
= (yt−ct)−(n+δ)kt
=f(kt)−ct−(n+δ)kt,
donde en la última línea hemos denotado el productoyt=f(kt,A) conf(kt), pues la
tecnologíaAse ha supuesto constante.
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27. Crecimiento y Fluctuaciones
La Regla de oro
Regla de oro de acumulación del capital (continuación)
Se sabe que para el nivel de capital de estado estacionario,k
∗
, la variación del capital es nula,
˙
kt= 0. En tal caso, el nivel de consumo de EE lo denotamos conc
∗
y satisface
c
∗
=f(k
∗
)−(n+δ)k
∗
.
El nivel de capital de Regla de oro, que denotamos conkoro, es aquel que maximiza el
consumo en estado estacionario
max
k
∗
[f(k
∗
)−(n+δ)k
∗
],
es decir, por condición de primer orden
f
′
(koro) =n+δ (8)
¿Cuál es la interpretación que daríamos al resultado obtenido en (8)?
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28. Crecimiento y Fluctuaciones
La Regla de oro
Regla de oro de acumulación del capital: interpretación
Funciones dependientes dek
k
[n+δ]k
coro
f(k)
sorof(k)
koro
Regla de oro: capital y consumo.
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29. Crecimiento y Fluctuaciones
La Regla de oro
Regla de oro del capital: comentarios
Las hipótesis del modelo no garantizan que la economía alcance el estado estacionariokoro.
Sin embargo, para dicho EE, hay un nivel de tasa de ahorrosoroasociado.
En este punto retomamos la pregunta que habíamos planteado sobre la tasa de ahorro que
deberíaelegirse.
Analicemos los resultados que se obtendrían en los siguientes casos:
Si la tasa de ahorro elegida,sA, es superior a la tasa de ahorro de Regla de oro,soro.
Si la tasa de ahorro elegida,sB, es inferior a la tasa de ahorro de Regla de oro,soro.
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30. Crecimiento y Fluctuaciones
La Regla de oro
Representación gráfica: tasas de ahorro diferentes asoro
Si se determinara una tasa de ahorro baja,
sB, el nivel de capital de estado estacionario,
kBsería inferior al de regla de oro:kB<koro.
El consumo, en este nivel de ahorro, si bien
no es bajo, podría seguir incrementándose.
¿Cómo?
Si se determinara una tasa de ahorro alta,sA,
el nivel de capital de estado estacionario,kA
sería superior al de regla de oro:kA>koro.
El consumo, en este nivel de ahorro, si bien
no es alto, podría seguir incrementándose.
¿Cómo?
¿Qué concluiríamos?
Funciones dependientes dek
k
[n+δ]k
f(k)
sBf(k)
sorof(k)
sAf(k)
kBkoro
kA
Regla de oro: capital y consumo.
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31. Crecimiento y Fluctuaciones
La Regla de oro
Regla de oro: Ineficiencia dinámica
Si la economía se encuentra a la derecha delkoro, entonces se afirma que la economía es
dinámicamente ineficiente. ¿Por qué?
Funciones dependientes dek
k
[n+δ]k
f(k)
sorof(k)
s0f(k)
koro
k0
(a)Ineficiencia dinámica
c(t)
t
c0
coro
t0
(b)Evolución del consumo
Ineficiencia dinámica: inicialmente, la tasa de ahorros0es superior asoro. Las reducciones desdes0hasta
soropermiten incrementar el consumo hasta el nivel de regla de oro.
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32. Crecimiento y Fluctuaciones
La Regla de oro
Regla de oro: ejemplo
Consideremos la función de producción Cobb-Douglas, dada en (7):yt=Ak
α
t.
Aplicamos (8) para obtener el capital de regla de oro:koro=
h
Aα
n+δ
i
1
1−α
.
En el caso de la tasa de ahorro de regla de oro,soro, es suficiente observar que
sorof(koro) = (n+δ)koro,
de donde obtenemossoro=α.
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33. Crecimiento y Fluctuaciones
Apéndice
Índice
1Introducción
2El modelo de Solow–Swan: Supuestos
3Modelo de Solow–Swan: Resolución
4Análisis gráfico – Estado estacionario
5Algunas implicaciones del modelo
6La Regla de oro
7Apéndice
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34. Crecimiento y Fluctuaciones
Apéndice
Apéndice
La función de producción Cobb-Douglas,F(Kt,Lt,At) =AtK
α
tL
1−α
tconα∈[0,1],satisface las
siguientes condiciones:
Retornos constantes a escala:
F(λKt, λLt,At) =At(λKt)
α
(λLt)
1−α
=Atλ
α
K
α
tλ
1−α
L
1−α
t
=λAtK
α
tL
1−α
t
=λF(Kt,Lt,At)
Producto marginal positivo enKyL:
FK=AtαK
α−1
tL
1−α
t=αAtK
α−1
tL
1−α
t
Kt
Kt
=α
Yt
Kt
>0.
FL=AtK
α
t(1−α)L
−α
t= (1−α)AtK
α
tL
−α
t
Lt
Lt
= (1−α)
Yt
Lt
>0.
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35. Crecimiento y Fluctuaciones
Apéndice
Apéndice (continuación)
Rendimientos marginales decrecientes enKyL:
FKK=−(1−α)αAtK
α−2
tL
1−α
t<0.
FLL=−α(1−α)AtK
α
tL
−α−1
t <0.
Condiciones de Inada
lim
K→0
FK= lim
K→0
AtαK
α−1
tL
1−α
t= lim
K→0
αAt
h
Lt
Kt
i1−α
= +∞
lim
K→+∞
FK= lim
K→0
AtαK
α−1
tL
1−α
t= lim
K→0
αAt
h
Lt
Kt
i1−α
= 0.
Ejercicio: Verifique las condiciones de Inada para L.
(Retornar)
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