Newton Raphson-ejercicios resueltos.

Aplicación de la derivada-Ejercicios resueltos(Newton Raphson)

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II

pág. 1
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EJERCICIOS RESUELTOS – NEWTON RAPHSON
Búsqueda de raíces:
1. Usa el método de Newton para estimar las soluciones de la ecuación
??????
2
+??????−1=0. Empieza con ??????0 = -1 para la solución de la izquierda,
con ??????0 = 1 para la solución de la derecha. Después halla ??????2 para cada
caso.

SOLUCIÓN:
??????
??????+1=??????
??????−
??????(??????
??????
)
??????
′(??????
??????
)

??????
1=??????
0−
??????
0
2
+??????
0−1
2??????
0+1

??????
1=
??????
0
2
+1
2??????
0+1



POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA

 ??????
1=
(−1)
2
+1
2(−1)+1
=−2

→??????
2=
(−2)
2
+1
2(−2)+1
=−1,67

 ??????
3=−1,62


 ??????
1=
(1)
2
+1
2(1)+1
=0,67

→??????
2=
(0.67)
2
+1
2(0.67)+1
=0,619

 ??????
3=0,618





-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -2 0 2 4
Y
Y

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2. Use el método de newton para estimar una solución real de la ecuación
x
3
+3x+1 empieza x0 = 0 y después hallar x2.

SOLUCIÓN:
??????
??????+1=??????
??????−
??????(??????
??????
)
??????
′(??????
??????
)

??????
1=??????
0−
??????
0
3
+3??????
0+1
3??????
0
2
+3

??????
1=
2??????
0
3
−1
3??????
0
2
+3

??????
1=
2(0)
3
−1
3(0)
2
+3
=−0.33
??????
2=
2(−0,33)
3
−1
3(−0,33)
2
+3
=−0.32

3. Emplee el método de Newton para estimar los dos ceros de la función
??????(??????)= ??????
4
+??????−3. Empiece con x0 = -1 para la solución de la
izquierda, y con x0 = 1 para la solución de la derecha. Después, halle x2
para cada caso.

SOLUCION:
??????
??????+1=??????
??????−
??????(??????
??????
)
??????
′(????????????
)

??????
1=??????
0−
??????
0
4
+??????
0−3
4??????
0
3
+1

??????
1=
3??????
0
4
+3
4??????
0
3
+1



-10
-5
0
5
10
15
20
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
y
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-4 -2 0 2 4
Y
Y

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POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA
 ??????
1=
3(−1)
4
+3
4(−1)
3
+1
=−2

→??????
2=
3(−2)
4
+3
4(−2)
3
+1


 ??????
2=−1,645
 ??????
3=−1,485
 ??????
1=
3(1)
4
+3
4(1)
3
+1
=1,2

→??????
2=
3(1,2)
4
+3
4(1,2)
3
+1


 ??????
2=1,165
 ??????
3=1,164


4. Usa el método de newton para estimar los dos ceros de la función
??????(??????)=−??????
2
+2??????+1. Empieza con ??????
0=0 para la solución de la
izquierda, y con ??????
0=2 para la solución de la derecha. Después halla
??????
2 para cada caso.

SOLUCION:
??????
??????+1=??????
??????−
??????(????????????
)
??????
′(??????
??????
)

??????
1=??????
0−
−??????
0
2
+2??????0+1
−2??????
0+2

??????
1=
??????
0
2
+1
2??????
0−2


POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA

??????
1=
(0)
2
+1
2(0)−2
=−0,5

??????
2=
(−0,5)
2
+1
2(−0,5)−2


??????
2=−0416


??????
1=
(2)
2
+1
2(2)−2
=2,5

??????
2=
(2,5)
2
+1
2(2,5)−2


??????
2=2,416
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
Y
Y

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5. Use el método de Newton para encontrar las cuatro raíces positivas de
2 resolviendo la ecuación ??????
4
−2=0
Empiece con ??????
0=1 y encuentre ??????
2.

SOLUCIÓN:
??????
??????+1=??????
??????−
??????(??????
??????
)
??????
′(??????
??????
)

??????
1=??????
0−
??????
0
4
−2
4??????
0
3

??????
1=
3??????
0
4
−2
4??????
0
3


 ??????
??????+1=
3(−1)
4
+2
4(−1)
3
→??????
1=
5
−4
=−1,25

 ??????
2=−1,19

6. Emplee el método de Newton para encontrar la raíz negativa de 2
resolviendo la ecuación ??????
4
−2=0. Empiece con ??????
0=−1 y después
halla ??????
2.
SOLUCION:
??????
??????+1=??????
??????−
??????(????????????
)
??????
′(??????
??????
)

??????
1=??????
0−
??????
0
4
−2
4??????
0
3

??????
1=
3??????
0
4
+2
4??????
0
3


-5
0
5
10
15
-3 -2 -1 0 1 2 3
Y
Y
-5
0
5
10
15
-3 -2 -1 0 1 2 3
Y
Y

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 ??????
??????+1=
3(−1)
4
+2
4(−1)
3
→??????
1=
5
−4
=−1,25

 ??????
2=−1,19

13. Oscilación. Muestre que si ℎ>0 al aplicar el método de Newton a
lleva a ??????
1=−ℎ, si ??????
0=ℎ y a ??????
1=ℎ si ??????
0=
−ℎ. Dibuja lo que ocurre.

SOLUCION:
??????
??????+1=??????
??????−
??????(??????
??????
)
??????
′(??????
??????
)

??????
1=??????
0−
??????(??????
0
)
??????
′
(??????
0
)



??????
0=ℎ>0 ??????
0=−ℎ<0
 ??????
1=ℎ−
??????(ℎ)
??????
′(ℎ)


 ??????
1=ℎ−
√ℎ
(
1
2√ℎ
)


 ??????
1=ℎ−(2√ℎ)(√ℎ)

→??????
1=−ℎ

 ??????
1=−ℎ−
??????(−ℎ)
??????
′(−ℎ)


 ??????
1=−ℎ−
√ℎ
(
−1
2√ℎ
)


 ??????
1=−ℎ+(2√ℎ)(√ℎ)

→??????
1=ℎ




-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10

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16. Localización de un planeta. Para calcular las coordenadas de un
planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones como f (x) = x - 1 -
0.5senx se sugiere que la función tiene una raíz cerca de ??????=1,5 Use una
aplicación del método de Newton para mejorar esta estimación. Esto es,
empiece con ??????
0=1,5 y ??????
1. halla (El valor de la raíz con cinco decimales es
1.49870.) Recuerde utilizar radianes.

SOLUCION:
??????
??????+1=??????
??????−
??????(??????
??????
)
??????
′(????????????
)


??????
1=??????
0−
??????(??????
0
)
??????
′(??????
0
)


??????
1=??????−
?????? − 1 − 0.5senx
1 − 0.5cosx


??????
1=1,5−
1,5 − 1 − 0.5sen(1.5)
1 − 0.5cos(1,5)
→ ??????
1=1,49870


BIBLIOGRAFIA:
THOMAS, CALCULO, UNA VARIABLE
 Ejercicios 3,8(Novena edicion)
 Ejercicios 4,7(Undecima edicion)



-6
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4
y
y