ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

1. X
Y
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EN
POSICIÓN NORMAL, ESTANDAR O
REGULAR
Lado inicial
Lado final
Vértice
O
q
Es un ángulo
trigonométrico generado en un
plano cartesiano en el origen de
coordenadas y cuyo lado inicial
coincide con el eje positivo de
las abscisas. El lado final puede
ubicarse en cualquier cuadrante
o semieje del plano cartesiano.

2. CLASIFICACIÓN
Los ángulos en posición normal pueden clasificarse de
acuerdo a la posición de sus lados finales o lados terminales
de la siguiente manera:
ÁNGULOS QUE
PERTENECEN A
ALGÚN
CUADRANTE
ÁNGULOS
CUADRANTALES
Un ángulo pertenece al IC,
IIC, IIIC o IVC si solo si dichos
ángulos se encuentran en
posición normal y su lado final se
ubica en el IC, IIC, IIIC o IVC
respectivamente.
Son aquellos ángulos en
posición normal cuyo lado final
coinciden con algún eje del plano
cartesiano.

3. Pertenece al
segundo cuadrante
q Є IIC
X
Y
q
Pertenece al tercer
cuadrante
β Є IIIC
X
Y
β
Pertenece al primer
cuadrante
w Є IC
X
Y
w
Ángulo cuadrantal
Ángulo cuadrantal
β
X
Y
X
Y
q
Ángulo cuadrantal
w
X
Y

4. Pertenece al cuarto
cuadrante
a Є IVC
Es un ángulo
trigonométrico pero no
está en posición normal.
X
Y
w
Ángulo cuadrantal
Ángulo cuadrantal
θ
X
Y
X
Y
q w
X
Y
Es un ángulo
trigonométrico pero no
está en posición normal.
X
Y
β
Es un ángulo
trigonométrico pero no
está en posición normal.
X
Y
a

5. DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EN POSICIÓN
NORMAL, ESTANDAR O REGULAR
Sea P(x;y) ≠ Q(0;0) y θ es un ángulo en posición normal.
Si P es un punto perteneciente al lado final del ángulo θ,
entonces las razones trigonométricas de θ se definen de la
siguiente manera:
Senθ =
y
r
Cscθ =
r
y
Cosθ =
x
r
Secθ =
r
x
Tgθ =
y
x
Ctgθ =
x
y
Donde “r” es el radio vector de P, entonces:
r

= x
2
+ y
2

6. Ejemplo 1: En la figura calcule los valores de las razones
trigonométricas de q
X
Y
q
P( –4 ; –3 )
SOLUCIÓN:
Cálculo del radio vector de P:
r

= x
2
+ y
2
= ( –4 )
2
+ ( –3 )
2
( x ; y )
= 16+ 9
= 25
r = 5
Luego, aplicando definición tenemos:
y
r
Senθ =
x
r
Cosθ =
y
x
Tgθ =
x
y
Ctgθ =
r
x
Secθ =
r
y
Cscθ =
5
–3
Senθ =
–4
5
Cosθ =
5
Cscθ =
–3
Tgθ =
–4
–3
= –
3
5
=–
4
5
=
4
3
Ctgθ =
–4
–3
=
3
4
5
Secθ =
–4
=–
5
4
=–
5
3

7. Ejemplo 2: En la figura calcule los valores de las razones
trigonométricas de q
q
P( 5 ; –12 )
X
Y
SOLUCIÓN:
Cálculo del radio vector de P:
r

= x
2
+ y
2
= ( 5 )
2
+ ( –12 )
2
( x ; y )
= 25 + 144
= 169
r = 13
Luego, aplicando definición tenemos:
y
r
Senθ =
x
r
Cosθ =
y
x
Tgθ =
x
y
Ctgθ =
r
x
Secθ =
r
y
Cscθ =
13
–12
Senθ =
5
13
Cosθ =
=
12
13
–
5
–12
Tgθ = =
12
5
–
5
–12
Ctgθ = =
5
12
–
13
5
Secθ =
–12
13
Cscθ = =
13
12
–