Operaciones con funciones , ejemplos, ejercicios resueltos

Material de estudio para la cátedra de matemática I

1. Operaciones con funciones

2. Si 𝑓 𝑥 y 𝑔(𝑥) son funciones, se define: Suma de funciones: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) Multiplicación de funciones: 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) Resta de funciones: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 Cociente de funciones: 𝑓 𝑔 ( ) 𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑔(𝑥) ≠ Composición de funciones: 𝑓(𝑔 ) 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥)

3. Su m a d e f unc io n e s 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 La suma es: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 + 2𝑥 + 3 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹

4. R e s t a d e f unc io n e s 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 La resta es: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 − 2𝑥 + 3 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 5 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹

5. Multiplicación de funciones 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 ( 𝑥 ) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 La multiplicación es: 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 ∙ 2𝑥 + 3 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 6𝑥 3 + 9𝑥 2 − 4𝑥 − 6 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹

6. División de funciones 𝑓 / 𝑔 𝑥 = 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑔 ( 𝑥 ) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 L a divi s ión e s : 𝑓 / 𝑔 𝑥 = 3𝑥 2 −2 2 𝑥 + 3 𝑓 / 𝑔 𝑥 2 = 3𝑥 −2 2 𝑥 + 3 𝟑 𝟐 𝐷𝑜 𝑚 = 𝑹 − { − } 𝐼𝑚 = 𝑹

7. C o m p o s i c ió n d e f unc io n e s 𝑓𝑜 𝑔 𝑥 = 𝑓 ( 𝑔 𝑥 ) Ejemplo: Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3 L a di v isi ó n es: 𝑓 𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 2𝑥 + 3 = 3(2𝑥 + 3) 2 −2 = 3 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 − 2 = (12𝑥 2 + 36𝑥 + 27) − 2 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 12𝑥 2 + 36𝑥 + 25 𝐷𝑜𝑚 = 𝑹 𝐼𝑚 = 𝑹

8. Ejercicios: Realiza las operaciones: 𝑓 𝑔 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) , (𝑓 − 𝑔)(𝑥) , (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) , 𝑥 , 𝑓𝑜𝑔 𝑥 y (𝑔𝑜𝑓)(x) Considera las funciones: 1 𝑥 − 1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 1 . 𝑓 𝑥 = 2. 𝑓 𝑥 3. 𝑓 𝑥 2 = 3𝑥 ; 𝑔 𝑥 = = 3𝑥 − 1 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥+3 𝑥−3 𝑥 3 𝑥 2 +4 4. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥

9. E j e r c i c i o 1 : 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 Suma : 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 − 1 + (2𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 2 = 1+(𝑥−1)(2𝑥 −3𝑥+2) 𝑥−1 1+(2𝑥 3 −3𝑥 2 +2𝑥−2𝑥 2 +3𝑥−2) = 𝑥 − 1 𝑓 + 𝑔 𝑥 3 2 = 2𝑥 −5𝑥 +5𝑥−1 𝑥 − 1

10. E j e r c i c i o 1 : 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 Resta : 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 − 1 − (2𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 2 = 1−(𝑥−1)(2𝑥 −3𝑥+2) 𝑥−1 1−(2𝑥 3 −3𝑥 2 +2𝑥−2𝑥 2 +3𝑥−2) = 𝑥 − 1 𝑓 − 𝑔 𝑥 3 2 = −2𝑥 +5𝑥 −5𝑥+3 𝑥 − 1

11. E j e r c i c i o 1 : 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 Multiplicación : 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 − 1 (2𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 2 = 2𝑥 −3𝑥+2 𝑥−1 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 2 = 2𝑥 −3𝑥+2 𝑥 − 1

12. E j e r c i c i o 1 : 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 División : 𝑓 /𝑔 𝑥 1 = 𝑥−1 2𝑥 2 −3𝑥+2 = 1 (𝑥−1)(2𝑥 2 −3𝑥+2) 𝑓 /𝑔 𝑥 = 1 2𝑥 2 −5𝑥 2 +5𝑥−2

13. E j e r c i c i o 1 : 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 Composición: 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓( 𝑔 𝑥 ) = 𝑓(2 𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 𝑓(2 𝑥 2 − 3𝑥 + 2) = 1 2𝑥 2 −3𝑥+2 −1 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 = 1 2𝑥 2 −3𝑥+2 −1 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 1 2𝑥 2 −3𝑥+1 Composición : 𝑔 𝑜 𝑓 𝑥 𝑥 − 1 1 = 𝑔 ( 𝑓 𝑥 ) = 𝑔 ( ) 𝑔 1 𝑥 − 1 = 2 1 𝑥 − 1 2 − 3 1 𝑥 − 1 + 2 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 2 𝑥 − 1 2 − 3 𝑥 − 1 + 2 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 2 = 2𝑥 −7𝑥+7 𝑥−1 2

14. E j e r c i c i o 2 : 3𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥 + 3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +4 Sum a : 𝑓 + 𝑔 𝑥 2 = 3𝑥 + 𝑥+3 𝑥 − 3 = 𝑥 2 +4 𝑥 2 +4 3𝑥 2 +( 𝑥−3)(𝑥+3) (𝑥−3)(𝑥 2 +4) 3 2 2 = (3𝑥 +12𝑥 )+(𝑥 −9) (𝑥−3)(𝑥 2 +4) = 3𝑥 3 +12𝑥 2 +𝑥 2 −9 (𝑥−3)(𝑥 2 +4) 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥 3 +13𝑥 2 −9 𝑥 3 −3𝑥 2 +4𝑥−12

15. E j e r c i c i o 2 : 3𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥 + 3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +4 Resta : 𝑓 − 𝑔 𝑥 2 = 3𝑥 − 𝑥+3 𝑥 − 3 = 𝑥 2 +4 𝑥 2 +4 3𝑥 2 −( 𝑥−3)(𝑥+3) (𝑥−3)(𝑥 2 +4) = 3𝑥 3 +12𝑥 2 −(𝑥 2 −9) (𝑥−3)(𝑥 2 +4) = 3𝑥 3 +12𝑥 2 −𝑥 2 +9 (𝑥−3)(𝑥 2 +4) 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 3𝑥 3 +11𝑥 2 +9 𝑥 3 −3𝑥 2 +4𝑥−12

16. E j e r c i c i o 2 : 3𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥 + 3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +4 Multiplicación : 𝑓 ∙ 𝑔 3𝑥 2 𝑥+3 𝑥 = ( ) ∙ ( ) 𝑥−3 𝑥 2 +4 3𝑥 2 (𝑥+3) = (𝑥−3)(𝑥 2 +4) 3𝑥 3 +9𝑥 2 = (𝑥−3)(𝑥 2 +4) 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 3𝑥 3 +9𝑥 2 𝑥 3 −3𝑥 2 +4𝑥−12

17. E j e r c i c i o 2 : 3𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥 + 3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +4 División : 𝑓 / 𝑔 𝑥 3𝑥 2 = 𝑥−3 𝑥+3 𝑥 2 +4 = 3𝑥 2 (𝑥 2 +4) (𝑥−3)(𝑥+3) = 3𝑥 4 +12𝑥 2 (𝑥 2 −9) 𝑓 /𝑔 𝑥 4 = 3𝑥 +9𝑥 2 𝑥 2 −9

18. E j e r c i c i o 2 : 3𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥 + 3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +4 Composición: 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 3 𝑥 2 +4 = 3 𝑥 + 3 𝑥 2 +4 2 𝑥+3 𝑥 2 +4 − 3 = 3(𝑥+3) 2 (𝑥 2 +4) 2 (𝑥+3)−3(𝑥 2 +4) 𝑥 2 +4 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = (𝑥 2 +4)( 3)(𝑥 + 3) 2 (𝑥 2 + 4) 3 (3𝑥 4 +18𝑥 3 +39𝑥 2 +72𝑥+108 = (𝑥 2 +4) 3 Composición : 3𝑥 2 𝑥 − 3 𝑔 𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑔 ( 𝑓 𝑥 ) = 𝑔 ( ) 𝑔 3𝑥 2 𝑥 − 3 = 3𝑥 2 𝑥−3 +3 3𝑥 2 𝑥 − 3 2 +4 = 3𝑥 2 +3 𝑥−3 𝑥−3 9𝑥 4 +4(𝑥−3) 2 ( 𝑥 − 3 ) 2 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 = − 2 3 𝑥−1 2 𝑥−1 + 2

19. Realiza las operaciones con las siguientes funciones : 1 . Sum a y R e st a: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 𝑥 + 3 2 . Composició n d e g o f : 𝑓 𝑥 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 = 3𝑥 − 1 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 . Multipli c aci ón : 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 1 ; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 4. Division 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 9 y 𝑥 2 − 7𝑥 + 12