ORIGENES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA ESTUDIANTES.pptx

Breve recorrido de la historia dela Geometría Analítica

1. ORÍGENES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA Mg. Cesar H. AGUILAR RAMOS René Descartes (1596-1650)

2. Cogito ergo sum La  locución latina   cogito ergo sum  es un planteamiento  filosófico  de  René Descartes , el cual se convirtió en el elemento fundamental del  racionalismo  occidental. En castellano se traduce frecuentemente como « pienso, por lo tanto existo », siendo más precisa la traducción literal del latín « pienso, por consiguiente soy » 1 ​ o « porque pienso, soy » o « soy porque pienso » , ya que normalmente la traducción «pienso, luego existo» se malentiende como «pienso, después existo», siendo que Descartes llega a la conclusión de que pensar es una prueba de la preexistencia del ser (no se puede pensar sin antes existir) y no que la existencia es una consecuencia del pensamiento. Cogito ergo sum  es una traducción del planteamiento original de Descartes en  francés :  Je pense , donc je suis  (yo pienso, entonces soy), encontrado en su famoso  Discurso del método  (1637). La frase completa en su contexto es: Mais, aussitôt après, je pris garde que, pendant que je voulais ainsi penser que tout était faux, il fallait nécessairement que moi qui le pensais fusse quelque chose. Et remarquant que cette vérité:  je pense, donc je suis , était si ferme et si assurée, que toutes les plus extravagantes suppositions des sceptiques n'étaient pas capables de l'ébranler, je jugeai que je pouvais la recevoir sans scrupule pour le premier principe de la philosophie que je cherchais. Pero enseguida advertí que mientras de este modo quería pensar que todo era falso, era necesario que yo, quien lo pensaba, fuese algo. Y notando que esta verdad:  yo pienso, por lo tanto soy , era tan firme y cierta, que no podían quebrantarla ni las más extravagantes suposiciones de los escépticos, juzgué que podía admitirla, sin escrúpulo, como el primer principio de la filosofía que estaba buscando.

3. GEOMETRÍA CLÁSICA O EUCLIDEANA (GRECIA) Thales de Mileto (624 a.c - 546 a.c ) El Teorema de Thales . Pitágoras de Samos (564 a.c - 475 a.c ) El Teorema de Pitágoras. Hipócrates de Quío (350 a.c - 275 a.c ) es conocido por su cuadratura de la lúnula. Euclides de Alejandría (470 a.c - 410 a.c ) Su Libro “Elementos” Arquímedes de Siracusa (287 a.c - 212 a.c ) Valor de π , el área de la elipse, el volumen del cono y de la esfera. Apolonio de Pérgamo (262 a.c - 190 a.c ) famoso por su obra sobre las “Secciones Cónicas” . El fue quien dio el nombre de elipse, parábola e hipébola a las figuras que conocemos.

4. Mapa de Grecia antigua

5. Geometría Plana y del Espacio

6. Álgebra ( Arabe ) Al- Khwarizmi (latinizado a Algoritmi ) - Mejor conocido por sus contribuciones a las matemáticas después de estudiar en la India y asimilar la ciencia Hindú escribió más de media docena de libros. Abu Abdallah Muhammad Ibn Musa comunmente llamado Al- Khwarizmi (c. 780 - c. 850) fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa, erudito en la Casa de la Sabiduría en Bagdad. Su Kitab Al- Jabr wa -al- Muqabala que quiere decir “transposición y reducción de términos semejantes” , presentó la primera solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Se le considera el fundador del álgebra, crédito que comparte con Diofanto . En el siglo XII, las traducciones latinas de su trabajo sobre los números indios introdujeron el sistema numérico posicional decimal en el mundo occidental. Revisó la Geografía de Ptolomeo y escribió sobre astronomía y astrología. Sus aportes tuvieron un gran impacto en el lenguaje. De la transliteración latina de “al- jabr ” originó el nombre de “algebra” para esta rama de la matemática que pasó al castellano con álgebra. Algorismo y algoritmo derivan de Algoritmi , la forma latina de su nombre. Su nombre es el origen de guarismo (español) y de algarismo (portugués), ambos significan dígito.

7. LAS MATEMÁTICAS Y LA INGENIERIA EL NACIMIENTO DE LA CIENCIA MODERNA La edad moderna vio un vigoroso desarrollo científico que dejó atrás las tradiciones medievales. Los cimientos de esta nueva ciencia fueron la experimentación y la observación , básicamente, de los fenómenos humanos y de la naturaleza. A fines de la Edad media comenzó una renovación científica que cobró un impulso mayor en el Renacimiento , a causa de la importancia que adquirió la experiencia como forma de conocimiento . El interés humanista por conocer y comprender mejor la naturaleza y al hombre, así como la aplicación de la razón rompieron con las limitaciones impuestas por la tradición medieval, que señalaba que la verdad se encontraba en las palabras de los clásicos. La introducción de la experimentación, el cálculo y la observación en los estudios científicos determinó un desarrollo sobresaliente en el siglo XV. La ciencia se independizó de la religión. Los cambios económicos, el espíritu creativo renacentista, las inéditas necesidades materiales de la sociedad y la revaloración de la labor de los artesanos permitieron la aparición de los grandes inventores. Estos hicieron una profunda revisión de los conocimientos de la Antigüedad , a los cuales añadieron su experiencia individual y el empleo de la razón. Ello dio origen a la ciencia moderna .

8. LA SOCIEDAD Y LA TÉCNICA Las guerras frecuentes llevaron a aplicar los avances en el manejo de los metales en la mejora del armamento . La aplicación de nuevas técnicas de guerra y el uso de la artillería obligaron a la construcción de nuevas fortificaciones para aumentar las posibilidades de defensa. En la navegación, uno de los logros más importantes fue el empleo de la brújula, que facilitó la orientación en la tierra y en el mar. Los estudios matemáticos, astronómicos y de ciencias naturales marcaron la pauta en los avances científicos. Las matemáticas se proyectaron a diferentes ámbitos buscando controlar los elementos de la naturaleza y las relaciones que ejercen entre sí. Los conocimientos de mecánica, hidráulica, óptica, entre otras disciplinas, no sólo lograron ser teorizados, sino también fueron aplicados en la práctica.

9. LOS NOTABLES Fueron matemáticos e ingenieros notables: Niccolo de Fontana ( Tartaglia ) (1499-1557). Su obra fue vasta y polémica, según los entendidos. Entre sus obras se encuentan Quesiti e Inventioni Diverse de 1546 y Tratado di numeri et misure , publicada entre 1556 y 1560. Sin embargo, fue su Nova scientia , de 1537 , su trabajo mas recordado, pues se trató de una obra pionera en lo que se refiere a la balística de artillería. Realizó, asimismo, traducciones y ediciones comentadas de Euclides y Arquímedes. Projectile motion depicted in Nova Scientia (1537), by Niccolò Tartaglia (c.1500-1557)

10. La carátula del libro “La Nova scientia ” , de 1537 , de Niccolo Tartaglia . El grabado muestra dos santuarios: uno, el más alto, presidido por la filosofía, quien a su vez era flanqueado por Platón y Aristóteles. El espacio inferior corresponde al otro santuario donde se encuentra una selecta corte: música, aritmética, geometría y astronomía. Y junto a ellos aparece Tartaglia , como maestro de ceremonias, en un escenario donde se presentan los principios de la ciencia balística. En la puerta encontramos a Euclides.

11. Gerolamo Cardano (Italia 1501-1576) Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su Ars magna en 1545 . La solución a un caso particular de ecuación cúbica (en notación moderna), le fue comunicada a través de Niccolò Fontana (más conocido como Tartaglia ) a quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la resolución; no obstante, Cardano consideró que el juramento había expirado tras obtener información de otras fuentes, por lo que polemizó con Tartaglia , a quien además cita. En realidad, el hallazgo de la solución de las ecuaciones cúbicas no se debe ni a Cardano ni a Tartaglia (había hallado una primera fórmula Scipione dal Ferro hacia 1515 ) y hoy está acreditada la honradez de Cardano que lo reconocía así en su libro.​ Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano llamado Lodovico Ferrari .

12. Cardano hizo contribuciones a la hidrodinámica, apoyándose en esquemas del siglo xv d. C., y mantuvo que el movimiento perpetuo es imposible excepto en los cuerpos celestes. Así mismo, desarrolló un dispositivo que permite conservar la horizontalidad mediante dos ejes que giran en ángulo, utilizado para estabilizar las brújulas en las naves, denominado suspensión cardán.​ Gerolamo inventó el sistema de transmisión entre dos ejes que lleva su nombre, el cardán o junta universal . Diseño clásico de una junta universal o  cardán .

13. Modelo esquemático de una junta de cardan Junta cardán en movimiento

14. LA REVOLUCIÓN COPERNICANA A lo largo de la Edad Media y hasta principios de la Edad Moderna había estado vigente en el pensamiento de Europa occidental el modelo Ptolemaico acerca de la estructura del Universo. Según dicho modelo, elaborado por el astrónomo greco egipcio Claudio Ptolomeo en el siglo II, en su libro Almagesto, muy difundido desde el siglo XII, la tierra era el centro del diverso. Esto era lo que se llamaba “Sistema geocéntrico”. Sus propuestas habían tenido especial vigencia durante la Edad media, pues coincidían con la idea cristiana de que Dios había creado al ser humano. Así, la pregunta que las respaldaba era la siguiente: ¿Qué lugar sino el centro habría dado Dios a su mayor creación?

15. Ya en la antigüedad, Aristarco de Samos y Arquímedes de Siracusa, ambos griegos, habían sospechado que, más bien, el Sol era el cuerpo celeste que se ubicaba en el centro del Universo. Con más claridad, en 1543, salieron a la luz los estudios del astrónomo polaco Nicolás Copérnico publicando De Revolutionibus Orbium Caelestium (sobre la revolución de las esferas celestes) donde establecía la veracidad del llamado “Sistema Heliocéntrico” ¿Qué implicancia tenía esta propuesta en relación con la religión? Copérnico era muy religioso y como tal, sabía que sus planteamientos podían causar la ira de la iglesia y por supuesto, de los inquisidores. Por ello, además de dedicar su libro al Papa Paulo III, sostuvo en el prólogo que lo que exponía era tan sólo una hipótesis matemática. De inmediato se desató la controversia, pero Copérnico murió ese mismo año.  En 1646, la iglesia consideró que sus libros eran peligrosos para la doctrina y decidió que ingresara en el índice de libros prohibidos.

16. NICOLAS COPERNICO Y LA REVOLUCIÓN DEL COSMOS Durante años, el clérigo polaco desarrolló una teoría que cambiaría de manera radical nuestra visión del mundo: desplazó a la Tierra del centro del universo y la puso a dar vueltas alrededor del sol. Y la ciencia venció a la teología.

17. Nicolas Copérnico POLONIA (1473-1543) 1473 Nació en  Thorn ,  Prusia Real . Sus padres fueron Niklas Koppernigk y Barbara Koppernigk (nacida como Barbara Watzenrode ). Estudió en la  Universidad de Cracovia  (1491-1494) probablemente bajo las directrices del  matemático   Wojciech Brudzewski . 8 ​ Viajó por  Italia  y se inscribió en la  Universidad de Bolonia  (1496-1499), donde estudió  Derecho ,  Medicina ,  Griego ,  Filosofía , y trabajó como asistente del  astrónomo   Domenico da Novara . El heliocentrismo de Copérnico, de Jean- Leon Huens .

18. 1543 Publicó DE REVOLUTIONIBUS ORBIUM COELESTIUM (Sobre las revoluciones de las esferas celestes) . El cual dedicó al Papa Paulo III y sostuvo en su prólogo que lo que exponía era tan solo una hipótesis matemática.

19. Modelos del sistema solar: Modelo geocéntrico (izquierda) debido a Ptolomeo, y basado en las ideas de Aristóteles, y Modelo heliocéntrico (derecha) debido a Copérnico.  

20. Galileo Galilei ITALIA (1564-1642) 1564 Nació en Pisa 1609 Construyó un telescopio propio copiando y mejorando unos lentes de los países bajos del holandés Hans Lippershey . Enfocó su telescopio al cielo: - 4 lunas que giraban alrededor de Júpiter. - La luna tenía cráteres y montañas. - Observó las fases del planeta Venus. - Observo las manchas solares.

21. 1610 Publicó su libro SIDEREUS NUNCIUS (El mensajero celestial) Se dedico a enseñar su telescopio a los miembros de la corte para ganar dinero.

22. 1630 Peste Bubónica 1632 Publicó DIALOGOS SOBRE LOS DOS PRINICIPALES SISTEMAS DEL MUNDO. 1633 Fue enjuiciado como hereje por la inquisición, que le obligo a retractarse de sus ideas. Eppur si muove ! Y aún así se mueve! Robert- Fleury Joseph Nicolas - Galileo antes del santo oficio en el Vaticano del siglo XIX

23. La creación de la Geometría Analítica

24. Renato Descartes FRANCIA (1596-1650) Descartes  contribuyó al desarrollo  de  la ley que permite desvelar las raíces positivas y negativas en las ecuaciones algebraicas, o “ley cartesiana de los signos”. También se le menciona como el padre de la geometría analítica, la disciplina que proyectó un punto  de  encuentro definitivo entre el álgebra y la geometría. Descartes  incursionó en prácticamente todos los campos del saber de su tiempo. Creó la geometría analítica, hizo aportaciones fundamentales en la mecánica, la óptica, la geología y además de  sus  contribuciones a la antropología y a la medicina, es considerado el fundador de la psicología.

25. Escuela Norteamericana

26. Escuela Rusa

27. Johanes Kepler ALEMANIA (1571-1630) Es famoso por haber descubierto y formulado las tres leyes del movimiento planetario. Presentadas entre 1609 y 1619, y que permiten la exacta especificación matemática de las trayectorias descritas por los planetas que giran alrededor del sol. Nacido en una época en que había una fuerte división entre la astronomía y la física,  Kepler  quería unificar ambas disciplinas.

28. Isacc Newton Inglaterra (1642-1727) Fue  físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático. Retirado con su familia durante los años 1665-1666, conoce un período muy intenso de  descubrimientos : descubre la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación, desarrolla su cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores. Es autor de los “ Philosophiæ naturalis principia mathematica ” , (Latín 5 de julio de 1687)más conocidos como los Principia, donde describe la ley de la gravitación universal y establece las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Este descubrimiento le permitió encontrar una descripción matemática de la fuerza de gravedad y establecer las tres Leyes de  Newton , donde explica la relación que existe entre las fuerzas que actúan en un cuerpo y el movimiento de este cuerpo como consecuencia de la fuerza.

29. Gottfried Leibniz Alemania (1646-1716) Fueron varios los aportes de Leibniz en matemáticas; el más conocido y polémico es el cálculo infinitesimal. El cálculo infinitesimal, o simplemente cálculo, es una parte de la matemática moderna que estudia los límites, derivadas, integrales y series infinitas. Tanto Newton como Leibniz presentaron sus respectivas teorías del cálculo en un lapso de tiempo tan corto, que llegó inclusive a hablarse de plagio. Hoy en día ambos se consideran coautores del cálculo, sin embargo, terminó por utilizarse la notación de Leibniz por su versatilidad. Fue Leibniz, además, quien le dio el nombre a este estudio y quien le aportó la simbología utilizada hoy en día: ∫ y dy = y²/2. Además descubrio la dinámica, el lenguaje binario, el Ars Inveniendi y la máquina de calcular. Muchas de sus ideas y aportaciones tuvieron gran desarrollo en el siglo XX, conforme fueron siendo conocidas.

30. Sistema binario En 1679, Leibniz ideó el sistema binario moderno y lo presentó en su trabajo  Explication de l’Arithmétique Binaire  en 1703. El sistema de Leibniz usa los números 1 y 0 para representar todas las combinaciones numéricas, a diferencia del sistema decimal. Aunque a menudo se le atribuye su creación, el mismo Leibniz admite que este descubrimiento se debe al estudio profundo y a la reinterpretación de una idea ya conocida en otras culturas, especialmente  la china . El sistema binario de Leibniz se convertiría más adelante en la base de la computación, ya que es el que rige casi todas las computadoras modernas.

31. ¿Otras geometrías? El postulado que revolucionó toda la geometría ¿Sabías que un simple postulado revolucionó toda la geometría tal como la conocemos?

32. El polémico quinto postulado Y aun hoy el mundo seguiría siendo euclidiano si no es por el quinto postulado de Euclides, también conocido como el postulado de las paralelas, que en su versión moderna dada por el matemático John Playfair en 1795, dice: Dada una recta y un punto que no pertenece a la recta, sólo se puede trazar una línea paralela a la primera que pase por ese punto . Este quinto postulado no era del gusto de Euclides, que en su libro intentó utilizarlo lo menos posible. Durante mucho tiempo los matemáticos buscaron afanosamente la forma de demostrar que ese quinto postulado podía deducirse de los otros cuatro, pero buscaron en vano a pesar de que en diferentes ocasiones se creyó haber encontrado la prueba. Tuvimos que esperar al tardío año de 1817 para que uno de los matemáticos más brillantes de la historia,  Karl Friedrich Gauss , se convenciera de que este postulado era independiente de los otros cuatro. De hecho, descubrió que si lo negaba, si permitía trazar más de una paralela a una recta por un punto dado,  obtenía una geometría totalmente consistente . Pero el brillante y nada polemista Gauss no se atrevió a publicar sus resultados. Las ideas del filósofo  Inmanuel Kant  dominaban el pensamiento de la época: «la geometría euclidiana es la necesidad inevitable del pensamiento» había dicho. Y, al igual que había sucedido en la Edad Media con Aristóteles, no se podía contradecir al filósofo.

33. Una revolución en ciernes Lo que sí hizo fue comentárselo a su amigo matemático  Farkas Bolyai , que a su vez instruyó a su hijo János en el arte de las matemáticas pero advirtiéndole: «No pierdas ni una hora de tu tiempo en el problema del quinto postulado». Como buen hijo no hizo caso a su padre. El trabajo de János sobre geometría creó un nuevo mundo y Gauss lo calificó como al joven geómetra como «un genio de primer orden». Seis años más tarde, en 1829, un ruso llamado  Nicolai Ivanovich Lobachevsky   publicaba un trabajo sobre esta nueva geometría en una oscura revista de la universidad local. Pero su intento de hacerlo llegar a un público más amplio fue ahogado por uno de los popes de las matemáticas rusas, Ostrogradski . Este mismo fantasma persiguió a una de las mentes más originales de las matemáticas:  Georg F. B. Riemann . Discípulo de Gauss, su conferencia impartida el 10 de junio de 1854 para obtener su Habilitación, el grado que le permitía ser profesor en una universidad alemana, es recordada como un clásico de las matemáticas. Su título:  Sobre las hipótesis que fundamentan la geometría . Un trabajo que no será comprendido hasta 60 años después. Porque, ¿quién podía imaginar que  oculto tras el quinto postulado de Euclides se encontrase el mismo universo ?

34. La geometría del universo Noviembre de 1915 .  Albert Einstein   lanza al mundo su obra maestra, producto exclusivo de una mente prodigiosa: la teoría general de la relatividad . Con ella pudimos comprender no sólo cómo actuaba la gravedad, sino qué era. La presentó en la Academia de Ciencias Prusiana, hecho que en adelante recordaría como el momento más dichoso de su vida. Hasta entonces, la gravedad era entendida como el genial  Isaac Newton  la había formulado en su celebérrimo  Principios Matemáticos de la Filosofía Natural : una fuerza de acción a distancia e instantánea. De hecho, Newton nunca trató de explicar lo que era la gravedad, sino de dar una descripción matemática de cómo actuaba. Fue en el curso de las tres famosas lecciones dictadas por Einstein cuando se hizo la luz. En ellas, dio a conocer una teoría que conectaba la geometría del espacio con la materia presente en él. Quizá la frase que resuma mejor la teoría einsteniana es la que aparece en el clásico libro  Gravitation  de los físicos Wheeler, Thorne y Misner : « El espacio dice a la materia cómo debe moverse; la materia dice al espacio cómo debe curvarse » . Ésta es la idea básica de la relatividad general: el valor de la curvatura en un punto del espacio es una medida de la gravedad existente en dicho punto. Y a mayor densidad del objeto, mayor curvatura y, por tanto, mayor gravedad. Y no sólo eso. La misma estructura del universo, su forma, depende de la materia que contiene.

35. NIKOLAI LOBACHEVSKY ( Rusia 1792- 1856) Presenta una visión global de su trabajo geométrico, que culminó con el descubrimiento de la geometría   hiperbólica . Se analiza el rol del V Postulado en la geometría Euclidea y los primeros intentos por demostrarlo, realizados hasta el siglo XIX.

36. Janos Bolyai Hungría (1802-1860) Afirmó que el postulado de  Euclides  relativo a las  líneas paralelas  no podría confirmarse ni refutarse y le llevó a añadir un apéndice a un trabajo publicado por su padre (1832), donde sostenía los principios de lo que posteriormente se conoció como la  geometría no euclídea . Su padre le había enviado una carta a  Gauss  con el trabajo de János , y el matemático alemán le contestó que no podía elogiar este trabajo sin elogiarse a sí mismo, porque había mantenido puntos de vista similares desde hacía muchos años, aunque no los había publicado. Si bien en cartas a otros matemáticos Gauss reconoció el prominente genio de Boylai (al leer el apéndice escribió a un amigo diciéndole: "Considero a este joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden"), la persistente falta de reconocimiento público desanimó irremediablemente al temperamental János Bolyai , que ya nunca continuó su carrera como matemático.

37. Bernhard Riemann Alemania (1826-1866) Pese a la importancia de todas estas contribuciones, la más conocida aportación de Bernhard Riemann fue su geometría no euclidiana, basada en una axiomática distinta de la propuesta por  Euclides , y expuesta detalladamente en su célebre memoria  Sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría  (1867). Esta geometría se sigue si se considera la superficie de una esfera y se restringen las figuras a esa superficie. Medio siglo más tarde,  Albert Einstein  demostró, en virtud de su modelo de espacio-tiempo relativista, que la geometría de Riemann ofrece una representación más exacta del universo que la de Euclides.

38. Tres geometrías Los cinco postulados de Euclides  definen la  Geometría Euclídea … la clásica… la que conocemos todos… llamada, en dos dimensiones,  Geometría Plana . El cuestionamiento del  quinto postulado de Euclídes  ( «el de las paralelas» ) dio lugar a otras  geometrías no euclídeas , como la  Geometría Esférica , la  Geometría Hiperbólica … en donde no se cumplen las mismas reglas que en la Euclídea.

39. IMPORTANCIA El descubrimiento que hizo de una geometría alternativa contribuyó unas décadas después al establecimiento de la estructura relativista del universo, y ayudó a los matemáticos a estudiar conceptos abstractos independientemente de cualquier posible relación con el mundo de la física. La nueva geometría descubierta por Bolyai y Lobachevski - constituye un viraje aún mayor que la de Copérnico, es una revolución realmente extraordinaria del pensamiento" - dijo  E. T. Bell  en su gran obra de historia de las matemáticas; "debemos remontarnos hasta el mismo  Copérnico  para poder encontrar algo de trascendencia semejante, es más, ni siquiera eso es suficiente".

40. ¡GRACIAS POR LA ATENCIÓN! Menos, a los que esta hueveando