Planificacion de Números complejos.docx

Unidad 1 Números complejos.docx

1. Colegio Dominicano
Plan Unidad I. Números complejos
6to de Secundaria
Año escolar 2024-2025
Tiempo: 26/08/2024 – 17/09/2025
Profesor:
Alexander Rodríguez Cepeda
Santiago, República Dominicana

2. Unidad de aprendizaje: Números complejos
Título Unidad
de
Aprendizaje

Números complejos
Ejes
transversales
Desarrollo Personal y Profesional
Situación de
Aprendizaje
En el Colegio Dominicano, los estudiantes de 6to de secundaria enfrentan desafíos al comprender los números complejos, lo que afecta su capacidad
para operar con ellos y aplicarlos en problemas matemáticos. Para abordar esta situación, los estudiantes, utilizando las estrategias de descubrimiento e
indagación y resolución de problemas, se dedicarán a resolver ejercicios específicos sobre números complejos. Estas actividades están diseñadas para
mejorar su entendimiento y dominio de este concepto, fomentando un aprendizaje significativo y aplicable a diversas situaciones matemáticas.
Componente curricular de la asignatura
Competencias Contenidos
Estrategias Indicadores de LogroFundamental
es
Específicas
Conceptuales ProcedimentalesActitudinales
Comunicativ
a
CE-MAT1- - Formula
definiciones y expresa
generalizaciones resultado de
la indagación y la resolución
de problemas matemáticos.
●Unidad
Imaginaria
●Potencias de i
●Números
Complejos
●Propiedades y
●Identificación
de las formas
binómicas,
polar o
trigonométric
a
●Representació
●Satisfacción
al resolver
situaciones
que
involucren
números
complejos.
Descubrimiento e
indagación.
La pregunta y el
diálogo socrático.
Recuperación de
experiencias
1. Identifica la unidad imaginaria i
y sus potencias, y representan
números complejos en sus distintas
formas (binómica, polar o
trigonométrica), demostrando
comprensión de sus propiedades
básicas.
2. Realiza operaciones algebraicas
(suma, resta, multiplicación y

Pensamiento
Lógico,
Creativo y
Crítico;
CE-MAT2- Construye
demostraciones incluyendo
aquellas indirectas y usando
el principio de inducción,
para comprobar teorías y

3. Resolución de
Problemas
proposiciones matemáticas
CE-MAT3- Analiza
procesos de formulación de
modelos matemáticos para
resolver situaciones de
problemas del mundo real.
operaciones
con números
complejos.
●Forma
binómica,
polar o
trigonométric
a.
●Conjugado de
un número
complejo
●Teorema De
Moivre.
●Operaciones
algebraicas
con números
complejos en
forma polar o
trigonométric
a.
n gráfica de
números
complejos en
forma
binómica,
polar o
trigonométric
a.
●Realización
de las
operaciones
algebráicas
con números
complejos en
forma
binómica, par
ordenado,
polar o
trigonométric
a.
●Interés al
trabajar en
equipo
proyectos
que
involucren
números
complejos
en su forma
polar o
trigonométri
ca

previas.
Expositiva del
conocimiento
elaborado.
Indagación
dialógica o
cuestionamiento.
Socializaciones
centradas en
actividades
grupales.
Lluvias de idea.
división) con números complejos
en forma binómica y
polar/trigonométrica, aplicando
correctamente las propiedades de
los números complejos.
3. Aplica el Teorema de Moivre
para resolver potencias y raíces de
números complejos, explicando y
justificando cada paso del proceso.
4. Resuelve ecuaciones cuadráticas
con soluciones complejas,
interpretando correctamente el
significado de las raíces en el
contexto de los números complejos.


Ética y
Ciudadana;
Desarrollo
Personal y
Espiritual
CE-MAT4- Trabaja en
equipo, aceptando los
argumentos ajenos, en la
búsqueda de soluciones a
problemas desde la
matemática.
CE-MAT7- Muestra
autonomía a partir del
empleo de estrategias
diversas de cálculos
matemáticos para dar
solución a situaciones que se
presentan en la comunidad,
respetando el punto de vista
de las demás personas.
Científica y
Tecnológica;
Ambiental y
de la Salud
CE-MAT5- Evalúa
herramientas tecnológicas
para la resolución de
problemas diversos desde los
conocimientos matemáticos,
a fin de tomar decisiones en

4. situaciones del contexto.
CE-MAT6- Aplica la
modelación matemática para
la toma de decisiones
sobre situaciones que afectan
la salud y el medioambiente.
●Ecuaciones
cuadráticas
con
soluciones
complejas

5. Fecha:
26 de agosto hasta
17 de septiembre
Contenido Exploración Conceptualización Aplicación Recursos
Semana 1 (Lunes
26 – Viernes 30)
●Números
Complejos
●Potencias de i
●Conjugado de
un número
complejo
●
●Propiedades y
operaciones
con números
complejos.
Comienza la clase con
preguntas como:
¿Existe una solución
en los naturales de la
ecuación 3+x=2?
¿Existe una solución
en los enteros de la
ecuación 2x=1?
¿Existe una solución
en los racionales de la
ecuación x
2
=2?
¿Existe una solución
en los reales de la
ecuación x
2
=−1?
Comienza la clase con
preguntas como:
A partir de las preguntas de exploración se
definen los números complejos como un par
ordenado z=(a,b) de números reales, donde la
suma y el producto se define como:
z
1
+z
2
=(a
1
,b
1)+(a
2
,b
2)=(a
1
+a
1
,b
1
+b
2)
z
1
z
2
=(a
1
,b
1)(a
2
,b
2)=(a
1
a
2
−b
1
b
2
,a
1
b
2
+b
1
a
2
)
De allí se define a como la parte real y b como la
parte imaginaria del número complejo. Se
muestra la representación geométrica en el plano
de Argand o plano complejo. Finalmente se
deduce la forma binómica (a+bi), definiendo a
i=(0,1) y todo número real como a=(a,0).
Luego de mostrar las potencias de i, bajo su
definición de par ordenado, se establecen algunas
propiedades básicas que cumplen los números
complejos, y que se aceptarán sin demostración.
Se define el módulo de un números complejos, y
se presentan algunas propiedades que cumple.
Tarea 1 ( puntos):
Resolver ejercicios
donde aplique las
propiedades de los
números
complejos.
Libros de texto
Materiales
impresos
Reglas,
compas,
transportador
Calculadora

6. ¿En los complejos
tenemos las mismas
propiedades que en los
complejos?
¿Podemos decir que
hay un número
complejo mayor que
otro?
Luego de varios ejemplos, se asignan ejercicios de
tarea a los estudiantes.
Semana 2 (Lunes 2
– Viernes 6)
●Forma polar o
trigonométrica.
●Operaciones
algebraicas con
números
complejos en
forma polar o
trigonométrica.
Se comienza la clase
por preguntas como:
¿Cómo podríamos
encontrar el ángulo
que determina un
número complejo?
¿Con cuántos ángulos
se puede representar
un número complejo?
Por medio de la representación geométrica de un
número complejo se introduce la forma polar o
trigonométrica. Inmediatamente se da un repaso
de cómo determinar el argumento de un complejo,
haciendo hincapié en que no se puede confiar
totalmente en la calculadora. Se muestran
variados ejemplos donde se determina el
argumento de un número complejo.
Se muestran las operaciones básicas mediante
números complejos en su forma polar o
trigonométrica. Se enseña a pasar de forma
triangular a forma trigonométrica y viceversa.
Finalmente se asignan ejercicios de aplicación.
Tarea 2 (5
puntos):
Resolver ejercicios
donde debe
encontrar el
argumento de un
número complejo, y
convertir números
de la forma
estándar a la polar.
Quiz 1 (5 puntos):
Prueba de una o
dos preguntas para
evaluar indicador 1
y 2.

7. Semana 3 (Lunes 9
– Viernes 13)
●Teorema De
Moivre
●Raíces de
números
complejos
●Ecuaciones
cuadráticas con
soluciones
complejas
Se empieza la clase
con preguntas como:
¿A qué es igual
4
1
2?
¿Cuántos valores tiene
z
1
n, con z un número
complejo?
Por medio de las operaciones básicas mediante
números complejos en forma trigonométrica, se
deduce el teorema de Moivre. Se muestran varios
ejemplos y se asignan ejercicios de aplicación.
Por medio de las preguntas de exploración, se
introduce el tema de raíces de números complejos.
Se muestran variados ejemplos, y finalmente se
calcula
(−1)
1
2, tomando a −1 como número
complejo. Se define i=√−1 tomando el
argumento principal en cada ocasión, es decir, que
se encuentre en el intervalo ¿.
Se muestra la existencia de ecuaciones cuadráticas
que no tienen soluciones reales, y se explica cómo
solucionarlas con números complejos.
Práctica (10
puntos): Resolver
el conjunto de
ejercicios y
entregar antes del
examen.
Quiz 2 (5 puntos):
prueba corta para
evaluar indicador 3
y 4.

Semana 4 (Lunes
16 – Martes 17)
Evaluación de los
aprendizajes e
introducción de
nueva unidad
Examen (30
puntos): prueba
escrita para evaluar
indicadores 1, 2, 3
y 4.

8. Anexos
Tarea 1.
Resolver en tu cuaderno los siguientes ejercicios
Punto 1. En los problemas del 1 al 10, encontrar la potencia indicada de i. (IN 2)
1)i
4
2)i
5
3)i
6
4)i
−2
5)i
−3
Punto 2. Simplifica la expresión hasta obtener la forma a+bi. (IN 3)
1)(3+i)−(4−3i)
2)i(−10+9i)−5i
3)(7+14i)(2+i)
4)(2+i)(2−i)(4−2i)
5)(3−5i)
2
6)(1−i)
2
(1+i)
2
7)
1
4−3i
8)
i
4−i
9)
3−5i
i
10)
1+i
1−i
Punto 3. Verifique la igualdad. Recuerde la definición de multiplicación en los números
complejos. (IN 3)
1)(2,−3)(−2,1)=(−1,8)
2)(3,1)(3,−1)(
1
5
,
1
10)
=(2,1)
3)(√2−i)−i(1−i√2)=2i
4)ℜ(iz)=−ℑ(z)
5)z
1−z
2=z
1−z
2

9. Indicadores para evaluar
Indicador Puntos
IN 1: Entrega a tiempo, la
respuesta está escrita en el
cuaderno y sin faltas
ortográficas.
1 punto
IN 2: Identifica la unidad
imaginaria i y sus potencias,
y representan números
complejos en sus distintas
formas (binómica),
demostrando comprensión
de sus propiedades básicas.
2 puntos
IN 3: Realiza operaciones
algebraicas (suma, resta,
multiplicación y división)
con números complejos en
forma binómica, aplicando
correctamente las
propiedades de los números
complejos.
2 puntos
Total 5 puntos

10. Tarea 2.
Punto 1. Encuentre el módulo del complejo
a)z=3−4i
b)z=−6−7i
c)z=5+8i
d)z=−8i
e)1−i
Punto 2. Represente el número complejo como vector, y exprese en su forma
trigonométrica
a)1−i
b)−2−2i
c)−4√3+4i
d)−20i
e)i
f)10
g)−5
h)1+i
i)−√3−i
j)−√3+i
Punto 3. Exprese en la forma a+bi con a y b números reales.
a)4(cos
π
4
+isen
π
4
)
b)6(cos
2π
3
+isen
2π
3
)
c)8(cos
7π
4
+isen
7π
4
)
d)5(cos⁡(π)+isen(π))
e)3(cos
3π
2
+isen
3π
4
)

11. Colegio Dominicano
Quiz de matemáticas
6to de secundaria
Prof. Alexander Rodríguez Cepeda
Nombre y apellido: ______________________________________________________
Sección:_________ Fecha:_______________
Punto 1. Simplifica la expresión hasta obtener la forma a+bi.
1)
1
4−3i
Punto 2. Represente el número complejo como vector, y exprese en su forma
trigonométrica
a)1−i
b)−2−2i

12. Colegio Dominicano
Quiz de matemáticas
6to de secundaria
Prof. Alexander Rodríguez Cepeda
Nombre y apellido: ______________________________________________________
Sección:_________ Fecha:_______________
Punto 1. Represente el número complejo como vector, y exprese en su forma
trigonométrica
a)−2−i
Punto 2. Use el teorema De Moivre para cambiar el número complejo dado a la forma
a+bi, donde a y b sean números reales.
a)(1+i)
10

13. Colegio Dominicano
Práctica de matemáticas
6to de secundaria
Prof. Alexander Rodríguez Cepeda
Nombre y apellido: ______________________________________________________
Sección:_________ Fecha de entrega:_______________
Punto 2. Represente el número complejo como vector, y exprese en su forma
trigonométrica
a)4i
b)3+2i
c)−4+2i
d)−2
Punto 3. Exprese en la forma a+bi con a y b números reales.
a)2(cos
π
4
+isen
π
4
)
b)3(cos
π
2
+isen
π
2
)
c)√−25
d)(3−√−5)(1+√−1)
e)(√3−√−4)(√6−√−8)
Punto 4. Use el teorema De Moivre para cambiar el número complejo dado a la forma
a+bi, donde a y b sean números reales.
a)(3+3i)
5
b)(1−i)
10
c)(−1+i)
8
Punto 5. Encuentre las raíces indicadas de los números complejos
a)
(1+i√3)
1
2
b)
(64)
1
3
Punto 6. Encuentre las soluciones de la ecuación
a)x
2
−6x+13=0
b)4x
2
+x+3=0
c)x
2
−2x+26=0
d)−3x
2
+x−5=0

14. Colegio Dominicano
Examen de matemáticas
6to de secundaria
Prof. Alexander Rodríguez Cepeda
Nombre y apellido: ______________________________________________________
Sección:_________ Fecha:_______________
Punto 1. Responder (V) si el enunciado es cierto, y (F) de ser falso.
a)√−1∙√−1=√(−1)(−1)=√1=1. _________
b)La cuarta potencia de i es igual a −1 _________
c)Un número complejo está compuesto por una parte real y una parte
imaginaria_________
d)La multiplicación de dos números complejos siempre es un número real. __________
e)El conjugado de un número complejo a+bi es −a+bi. _________
Punto 2. Completa el espacio en blanco
a)El módulo de 2+i√3 es ___________
b)La forma trigonométrica de un número complejo se expresa como
____________________________, donde r es el módulo y θ es el argumento.
f)Si z=4(cos
π
2
+isen
π
2
), entonces el módulo de z es ________________, y el
argumento es ____________
c)Un número complejo se define como un _____________________ de números reales.
d)Para multiplicar dos números complejos en forma polar, se multiplican sus
________________ y se suman sus ________________.
Punto 3. Realice la operación indicada y escriba el resultado en la forma a+bi

16. Punto 4. Sea z=1+i√3
a)Grafique z en el plano complejo
b)Escriba z en forma polar
c)Encuentre el número complejo z
9
Punto 5. Use el teorema De Moivre para cambiar el número complejo dado a la forma a+bi,
donde a y b sean números reales.
a)(3+3i)
5
Punto 6. Encuentre las soluciones de la ecuación
a)x
2
−6x+13=0

17. Bono. Encuentre las raíces indicadas del número complejo
a)
(1+i)
1
3