PPT Analisa variabele kompleks tentang teori caucy goursat dll .pptx

ppt untuk matakuliah Analisa variabele kompleks.p

1. ANALISA VARIABEL KOMPLEKS DOSEN PENGAMPU : Ervin Oktavianingtyas, S.Pd., M.Pd. Lioni Anka Monalisa S.Pd., M.Pd. KELOMPOK K

2. NAMA KELOMPOK Wardatul Bilqis Nursyamsyiah (230210101019) Jassy Berliana Putri (230210101152) Marcellia Baiti Dwi Aqueilla (230210101159)

3. POKOK BAHASAN 01 02 03 04 Teorema Cauchy-Goursat Domain Lintasan Sederhana Domain Lintasan Kompleks Rumus Integral Cauchy

4. Teorema Cauchy- Goursat Jika fungsi adalah analitik pada semua titik interior ke dan pada kontur tertutup sederhana , maka  

5. Pembuktian dengan teorema green Karena diketahui anakitik dan mempunyai turunan kontinue fungsi integral dari  

6. Pembuktian dengan teorema green Tapi, mengingat persamaan Cauchy-Riemann , , Maka,  

7. DOMAIN LINTASAN SEDERHANA Fungsi yang dipelajari adalah fungsi yang memiliki nilai di ruang bilangan real. Misalnya , jika kita memiliki fungsi , maka domainnya adalah himpunan bilangan real, dan lintasan yang ada akan digambarkan dalam ruang dua dimensi , dengan dan keduanya real.  

8. CONTOH SOAL: Tentukan domain lintasan untuk fungsi kompleks ​, jika lintasan yang dilalui adalah garis lurus dari hingga . Jawaban : Fungsi ​ didefinisikan di semua titik kompleks kecuali . Domain lintasan adalah interval dari hingga . Karena lintasan ini tidak melewati , maka domain lintasan adalah seluruh garis lurus dari hingga . Jadi, domain lintasan dalam soal ini adalah himpunan titik kompleks yang berada di sepanjang garis lurus dari hingga , yang jelas tidak termasuk titik .  

9. DOMAIN LINTASAN KOMPLEKS Fungsi yang dipelajari pada domain lintasan kompleks adalah fungsi kompleks , yaitu fungsi yang memiliki nilai di himpunan bilangan kompleks . Sebagai contoh , jika , maka domainnya adalah himpunan bilangan kompleks , dan lintasan yang ada akan digambarkan dalam ruang dua dimensi nyata ( untuk bagian real dan imajiner ) tetapi dikaitkan dengan bilangan kompleks .  

10. CONTOH SOAL: Tentukan domain lintasan untuk fungsi kompleks , jika lintasan yang dilalui adalah lingkaran dengan pusat di dan jari-jari dalam bidang kompleks . Jawaban : Fungsi memiliki dua titik singularitas , yaitu dan , karena jika . Lintasan yang dimaksud adalah lingkaran dengan pusat dan jari-jari , sehingga lintasan ini mencakup titik-titik dalam lingkaran dengan jarak dari 2. Lingkaran dengan pusat dan jari-jari akan melewati titik dan , yaitu titik singularitas fungsi tersebut .   Jadi, domain lintasan untuk fungsi ini adalah himpunan titik dalam lingkaran yang tidak termasuk titik singularitas dan . Dengan kata lain, domain lintasan adalah :  

11. RUMUS INTEGRAL CAUCHY TEOREMA. Misalkan f analitik dimana saja di dalam dan pada kontur tertutup sederhana C , diambil dalam arti positif. Jika z0 adalah titik apapun di dalam C , maka   (1) Rumus di atas disebut rumus integral Cauchy. Rumus tersebut memberitahu kita bahwa jika suatu fungsi bersifat analitik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana , maka nilai-nilai di dalam sepenuhnya ditentukan oleh nilai-nilai pada . Jika rumus integral Cauchy ditulis sebagai     (2) maka Ini dapat digunakan untuk mengevaluasi integral tertentu sepanjang kontur tertutup sederhana.

12. CONTOH. Misalkan C adalah lingkaran yang berorientasi positif . Karena fungsinya   bersifat analitik di dalam dan pada dan karena titik berada di dalam , rumus (2) memberi tahu kita bahwa   Kita mulai pembuktian teorema tersebut dengan membiarkan menunjukkan lingkaran berorientasi positif , di mana cukup kecil sehingga berada di dalam . Karena hasil bagi bersifat analitik antara dan pada kontur dan , maka dari prinsip deformasi lintasan dapat disimpulkan bahwa        

13. Hal ini memungkinkan kita untuk menulis Lalu, Sehingga, persamaan (3) menjadi       (3) (4) Sekarang fakta bahwa f bersifat analitik, dan karenanya kontinu, pada memastikan bahwa sesuai dengan setiap bilangan positif , betapapun kecilnya, ada bilangan positif sedemikian sehingga     (5)

14. Biarkan jari-jari dari lingkaran lebih kecil dari angka pada pertidaksamaan kedua ini. Karena ketika berada pada , maka pertidaksamaan pertama (5) berlaku ketika adalah titik tersebut; dan teorema pada Bagian 43, yang memberikan batas atas untuk modulus integral kontur, memberi tahu kita bahwa   Mengingat persamaan (4), maka , Karena ruas kiri pertidaksamaan ini adalah konstanta nonnegatif yang lebih kecil dari bilangan positif yang sangat kecil, maka nilainya harus sama dengan nol. Oleh karena itu persamaan (2) valid, dan teorema tersebut terbukti.