Principles of Filtration 1st Edition Tien

Instant Ebook Access, One Click Away – Begin at ebookgate.com
Principles of Filtration 1st Edition Tien
https://ebookgate.com/product/principles-of-filtration-1st-
edition-tien/
OR CLICK BUTTON
DOWLOAD EBOOK
Get Instant Ebook Downloads – Browse at https://ebookgate.com
Click here to visit ebookgate.com and download ebook now

Instant digital products (PDF, ePub, MOBI) available
Download now and explore formats that suit you...
Granular Filtration of Aerosols and Hydrosols 2nd Edition
Chi Tien
https://ebookgate.com/product/granular-filtration-of-aerosols-and-
hydrosols-2nd-edition-chi-tien/
ebookgate.com
Introduction to Cake Filtration Analyses Experiments and
Applications 1st Edition Chi Tien
https://ebookgate.com/product/introduction-to-cake-filtration-
analyses-experiments-and-applications-1st-edition-chi-tien/
ebookgate.com
Water Filtration Practice Including Slow Sand Filters and
Precoat Filtration 1st Edition Gary Logsdon
https://ebookgate.com/product/water-filtration-practice-including-
slow-sand-filters-and-precoat-filtration-1st-edition-gary-logsdon/
ebookgate.com
The Ophthalmology Examinations Review 1st Edition Tien Yin
Wong
https://ebookgate.com/product/the-ophthalmology-examinations-
review-1st-edition-tien-yin-wong/
ebookgate.com

Biomechanics of the Musculoskeletal System Modeling of
Data Uncertainty and Knowledge 1st Edition Tien Tua Dao
https://ebookgate.com/product/biomechanics-of-the-musculoskeletal-
system-modeling-of-data-uncertainty-and-knowledge-1st-edition-tien-
tua-dao/
ebookgate.com
Efficient algorithms for MPEG video compression 1st
Edition Dzung Tien Hoang
https://ebookgate.com/product/efficient-algorithms-for-mpeg-video-
compression-1st-edition-dzung-tien-hoang/
ebookgate.com
Themes in Chinese Psychology 1st ed. Edition Catherine
Tien-Lun Sun
https://ebookgate.com/product/themes-in-chinese-psychology-1st-ed-
edition-catherine-tien-lun-sun/
ebookgate.com
The Great Urban Transformation Politics of Land and
Property in China 1st Edition You-Tien Hsing
https://ebookgate.com/product/the-great-urban-transformation-politics-
of-land-and-property-in-china-1st-edition-you-tien-hsing/
ebookgate.com
Chinese Syntax in a Cross Linguistic Perspective 1st
Edition Wei-Tien Dylan Tsai
https://ebookgate.com/product/chinese-syntax-in-a-cross-linguistic-
perspective-1st-edition-wei-tien-dylan-tsai/
ebookgate.com

PrinciplesofFiltration
Chi Tien
Syracuse University
Syracuse, NY
AMSTERDAM BOSTONHEIDELBERGLONDONNEW YORKOXFORD
PARISSAN DIEGOSAN FRANCISCOSYDNEYTOKYO

Elsevier
The Boulevard, Langford Lane, Kidlington, Oxford OX5 1GB, UK
Radarweg 29, PO Box 211, 1000 AE Amsterdam, The Netherlands
First edition 2012
Copyright2012 Elsevier B.V. All rights reserved
No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted in any
form or by any means electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise without
the prior written permission of the publisher Permissions may be sought directly from Elsevier’s
Science & Technology Rights Department in Oxford, UK: phone (+44) (0) 1865 843830; fax (+44)
(0) 1865 853333; email:[email protected]. Alternatively you can submit your request online
by visiting the Elsevier web site athttp://elsevier.com/locate/permissions, and selecting Obtaining
permission to use Elsevier material
Notice
No responsibility is assumed by the publisher for any injury and/or damage to persons or property
as a matter of products liability, negligence or otherwise, or from any use or operation of any
methods, products, instructions or ideas contained in the material herein. Because of rapid
advances in the medical sciences, in particular, independent veriﬁcation of diagnoses and drug
dosages should be made
British Library Cataloguing in Publication Data
A catalogue record for this book is available from the British Library
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
A catalog record for this book is available from the Library of Congress
For information on allElsevierpublications
visit our web site atelsevierdirect.com
Printed and bound in Great Britain
12 13 14 15 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
ISBN: 978-0-444-56366-8

Dedication
To Julia C. Tien

Preface
Filtration as a ﬂuid–particle separation process is an engineering practice of long
standing. Separation in ﬁltration is effected by passing a ﬂuid–particle mixture through
a medium with particles retained by the medium and passage of clear ﬂuid through it. To
be more speciﬁc and descriptive of the process conducted, depending upon factors such
as the operative particle retention mechanism, the type of medium used, the ﬂow
conﬁguration and/or the system treated, different terminologies such as cake ﬁltration,
surface ﬁltration, depth ﬁltration, deep bed ﬁltration, cross-ﬂow ﬁltration, aerosol
ﬁltration, water (liquid) ﬁltration, granular ﬁltration, ﬁbrous ﬁltration, fabric ﬁltration,
cartridge ﬁltration, membrane ﬁltration, etc. have been introduced over the years. As an
unintended consequence, that these speciﬁc ﬁltration processes are not totally different
is often ignored, even among ﬁltration experts.
The compartmentalization of ﬁltration into different types of operation in terminology
is reﬂected in published texts and monographs as well. In most unit operations textbooks
for undergraduate teaching, discussion of ﬁltration is invariably restricted to cake
ﬁltration of liquid suspensions. Similarly, textbooks on air pollution control engineering
and water treatment limit their presentations mainly to ﬁbrous or fabric aerosol ﬁltration
(in air pollution control) or deep bed ﬁltration of aqueous suspensions (in water treat-
ment). By considering these speciﬁc types of ﬁltration as independent and unrelated
subjects in teaching, the students are denied the opportunity of gaining a broader horizon
and greater understanding of the subject matter and the advantage of applying results of
one type of ﬁltration to the solutions of others.
Technically speaking, one may well argue that separating and classifying ﬁltration
based on factors mentioned above is arbitrary and may not be realistic. For cake ﬁltration,
in which ﬁlter cakes formed play a major role in determining ﬁltration performance,
penetration of particles into ﬁlter medium cannot be ruled out in many cases. In fact,
better understanding of the temporal evolution of ﬁlter medium resistance is a key factor
to exact cake ﬁltration analysis and accurate predictions of ﬁltration performance,
requires the knowledge of deep bed ﬁltration (with the medium considered as a deep bed
ﬁlter). Similarly, for proper design of deep bed ﬁlters of water treatment, in order to
insure prolonged operation and to reduce the frequency of backwashing, knowledge of
the variables affecting cake formation at deep bed inlet is necessary. Equally, if not more
important, for membrane ﬁltration carried out in the cross-ﬂow mode, particle separa-
tion is often caused by a combination of particle deposition over membrane surfaces and
particle retention within membrane pores; therefore, blurring the distinctiveness of one
type of ﬁltration from another. With these considerations, teaching cake ﬁltration and
xv

deep bed ﬁltration and treating them separately and independently in engineering texts
and monographs have become an obsolete and ineffective practice.
The practice of analyzing ﬁltration according to the medium used or the type of the
system treated is equally questionable. In spite of the medium and/or system differences,
problems arising from the ﬂow of ﬂuid suspensions (liquid or gas) through porous media
(granular, ﬁbrous, fabric) and the attendant particle deposition can be analyzed using the
same set of equations and procedures. In other words, there exists a common core of
knowledge and information, which form the basis for teaching ﬁltration as a single
subject.
I have designed this volume in order to provide a uniﬁed treatment of ﬁltration
operations in different guise. Major emphasis is placed on presenting basic and well-
established principles for the description of the various types of ﬁltration operations,
some common procedures for data treatment and correlation, and a collection of
ﬁltration rate parameter correlations. A substantial number of illustrative examples are
given throughout the text in order to demonstrate the principle/procedures discussed.
The problems given at the end of each chapter provide further opportunities for readers
to better understand these principles and procedures for their applications.
This book is written as a text/reference book for both engineering students and
practitioners. Its purpose is to equip readers with certain basic knowledge and infor-
mation of ﬁltration at a level higher than those found in elementary texts and to enable
them to undertake meaningful engineering work in ﬁltration and/or begin their research
in this area. As a textbook, it may be used for either undergraduate (senior) or graduate
(ﬁrst year) teaching for chemical, environmental, and mechanical engineering students.
Different parts of the book can also be easily incorporated into courses such as ﬂuid–solid
separation, air pollution control, environmental engineering analysis, water treatment,
membrane process and technology found in many engineering curricula. The level of
presentation is consistent with what is taught at ABET accredited B.Sc. degree programs
in chemical, environmental, and mechanical engineering. In spite of a fairly large number
of mathematical equations present throughout the text, the book can be easily com-
prehended by students with elementary competence in calculus plus some knowledge of
differential equations except perhaps those with extreme number-phobia.
In preparing the text, I have beneﬁtted greatly from the discussions I have had with
a large number of colleagues especially those with Professor B.V. Ramarao (SUNY-ESF).
The preliminary draft of the work was read by a number of people. In particular, I would
like to express my gratitude to Professor George G. Chase (University of Akron), Professor
Rolf Gimbel (University of Duisburg-Essen), Professor W.P. Johnson (University of Utah),
Professor Y.-W. Jung (Inha University), Professor Wallace W. Leung (Polytechnic
University, Hong Kong), Professor Dominique Thomas (University of Nancy), Professor
K.-L. Tung (Chun Yuan Christian University), and Professor Eugene Vorobiev (Universite
de Technologie de Campiegne) for their insightful suggestions, critical comments, and
moreover careful proofreading!!! Without their help and efforts, the book would not
appear in its present form.
xvi PREFACE

Finally, I would like to express my thanks to my editors, Dr. Kostas Marinakis and
Dr. Anita Koch of Elsevier for their efforts and help which make prompt publication of
this volume possible, Kathy Datthyn-Madigan for her efforts in assembling the manu-
script, and last but not the least, my wife, Julia, for all the help and support she has given
me during the past half century.
Chi Tien
PREFACE xvii

1
Introduction
Notation
K0 coefﬁcient of Equation(1.1)
k exponent of Equation(1.1)
t time (s)
V cumulative ﬁltrate volume per unit media surface area (m
3
m
2
)
Filtration may be described as an operation in which solids (particles) present in a solid–
ﬂuid mixture are separated from the liquid by forcing the ﬂow of the mixture through
a supported mesh or cloth (Walker et al., 1937). The mixture is caused to ﬂow by various
forces: gravity, pressure, vacuum, or centrifugal force. The products of the separation
consist of a ﬂuid stream (ﬁltrate) free or nearly free of particles, a solid phase with some
entrained liquid and possibly a solid–ﬂuid mixture with enhanced solid concentration (as
in the case of crossﬂow cake ﬁltration).
Giddings (1991)advanced the premise that separation of a mixture of several
components is effected by the relative displacements of the various components present
in the mixture. Earlier,King (1980)stated that the working of a separation process is
accomplished by the application of a separating agent as shown inFig. 1.1. The agent may
be either energy or matter or both. Through the action of the agent, a feed is split into
several streams of different compositions. Using King’s description or Gidding’s premise,
ﬁltration is a process employing energy (for the ﬂow of the suspension to be treated) and
matter (ﬁlter media) as separating agent, leading to a relative solid/ﬂuid displacement
from the ﬂow of the suspension through the medium with particle retention at the surface
of the medium, or particle deposition throughout the medium.
Filtration may be applied to both gas/solid and liquid/solid suspensions. In the
following sections, a brief discussion on its use in certain industrial applications is pre-
sented as background information.
Separating agent
Feed stream
(one or more)
(matter or energy)
Separation
device
Product streams
(different in composition)
FIGURE 1.1Representation of separation process.
Principles of Filtration, DOI:10.1016/B978-0-444-56366-8.00001-3 1
Copyright2012 Elsevier B.V. All rights reserved

1.1 Filtration as a Liquid–Solid Separation Technology
Liquid–solid separation technology, as the name implies, refers to a collection of
processes for removing, separating, and recovering particles from liquid–solid mixtures.
While the processes known as liquid–solid separation are too numerous to be cited
individually, it is generally accepted that liquid–solid separation encompasses ﬁltration,
sedimentation, cycloning, thickening, ﬂocculation, and expression.Tiller (1974)
proposed a classiﬁcation scheme based on liquid–solid separation functions (seeFig. 1.2),
namely, liquid–solid separation may be viewed as a system consisting of one or more
stages: pretreatment, solid concentration, solid separation, and post-treatment.
According to this scheme, ﬁltration is used in both the separation stage and post-
treatment.
Chemical
Flocculation
Coagulation
PRETREATMENT
SOLIDS
CONCENTRATION
SOLIDS
SEPARATION
POST-TREATMENT
Physical
Crystal growth
Freezing and other physical changes
Filter aid addition
Thickening
Hydrocycloning
Clarification
Recovery of solid
particles
PRESS, VACUUM,
GRAVITY FILTERS
Batch
Continuous
CENTRIFUGES
FILTERING
Solid bowl
SEDIMENTING
Perforated bowl
CAKE FORMATION
Clarification
No cake formed
Deep granular beds
Cartridges
FiltratePolishing
Membranes
Ultrafiltration
CakeWashing
Displacement
Reslurry
Drainage
Mechanical
Hydraulic
Deliquoring
FIGURE 1.2Stages of solid/liquid separation according to Tiller.
2 PRINCIPLES OF FILTRATION

1.2 Classiﬁcation of Filtration Processes
Over the years, for the purpose of describing the operation and/or specifying the type of
medium used, a plethora of modifying terms have been added to ﬁltration such as
cartridge ﬁltration, crossﬂow ﬁltration, dead-end ﬁltration, granular ﬁltration, fabric
ﬁltration, centrifugal ﬁltration, vacuum ﬁltration, etc. While there are justiﬁcations for
coining these terms, from the point of discussing the principles and analyses of ﬁltration,
one may classify ﬁltration processes based on the mechanism of particle separation and
the manner with which particle separation takes place. Generally speaking, separation of
solids from liquid in ﬁltration is effected through either the retention of particles at the
surface of the ﬁlter medium or deposition of particles throughout the medium. Therefore,
according to the manner of particle separation, ﬁltration may be divided into two cate-
gories: cake ﬁltration (or surface ﬁltration) in which particles are retained at the media
surface to form ﬁlter cakes and deep bed ﬁltration (or depth ﬁltration) in which particle
removal is accomplished by particle deposition throughout the ﬁlter medium. With this
classiﬁcation scheme, granular ﬁltration, cartridge ﬁltration, and ﬁbrous ﬁltration are
deep bed ﬁltration, with their differences being the media used. On the other hand, dead-
end ﬁltration, crossﬂow ﬁltration, fabric ﬁltration, vacuum ﬁltration, or any ﬁltration
process in which particle separation leads to the presence of growing ﬁlter cakes at media
surface are cake (or surface) ﬁltration. It also bears noticing that microﬁltration, ultra-
ﬁltration, and nanoﬁltration are differentiated by the types of membranes used as ﬁlter
media. However, they all belong to the cake ﬁltration category.
Qualitatively speaking, occurrence of cake formation at medium surface vs. particle
deposition throughout the medium is determined by the relative particle size to medium
pore size. The empirical 1/3 law suggests cake formation if the particle size exceeds 1/3 of the
pore size. While the value of 1/3 may not be exact, there is sufﬁcient evidence indicating the
occurrence of cake formation if particle size and pore size are of the same order of magnitude.
A schematic diagram illustrating the operating difference between deep bed ﬁltration
and cake ﬁltration is shown inFig. 1.3. For deep bed ﬁltration, particle deposition takes
place over the interior surface of the medium as the suspension ﬂows through the medium.
As a result, a ﬁltrate free of particles (or with signiﬁcantly reduced particle concentration)
may be obtained. In cake ﬁltration, the suspension to be tested may either ﬂow through
a medium or ﬂow parallel to the medium with particle retention (and therefore cake
formation) occurring at the upstream side of the medium. The mode of operation of the
former may be described as “dead end” and that of the latter as “crossﬂow”.
Conventional ﬁlter press and drum ﬁlters operate in the dead end mode. The so-called
membrane ﬁltration developed in more recent years operates mainly in the crossﬂow
mode. For cake ﬁltration in the crossﬂow mode, the feed stream to be treated split into
three parts – ﬁltrate, ﬁlter cake, and retentrate – with enhanced particle concentration if
cake formation is signiﬁcant.
For applications, cake ﬁltration is used for treating suspensions with relatively high
particle concentration. Deep bed ﬁltration, on the other hand, is applied mainly for
Chapter 1• Introduction 3

clarifying suspensions of low particle concentration. For example, in water treatment
with sand ﬁlters, the allowable particle concentration of the feed stream is limited to less
than 100 parts per million (vol/vol) in order to avoid cake formation at the medium
surface (or inlet of deep bed ﬁlters). This concentration difference, however, has become
blurred with the advent of crossﬂow membrane ﬁltration in recent years. This point will
be discussed in some detail in a later section.
The difference in particle retention mechanisms between cake ﬁltration and deep bed
ﬁltration does not imply that these two processes embody totally different and exclusive
physical phenomena. Particles present in a suspension often cover a wide size range.
Therefore, during the initial stage of cake ﬁltration, ﬁner particles may penetrate into
ﬁlter medium leading to their deposition in the medium interior. At late stage, ﬁlter cake
formed may function as a deep bed ﬁlter. Similarly, for a deep bed ﬁlter after prolonged
period of operating, built-up of deposited particles at ﬁlter bed inlet may ultimately cause
the formation of particle cake at the inlet of the ﬁlter, which, in turn, requires ﬁlter bed
regeneration by backwashing. Proper and optimum design of either ﬁltration system
requires the knowledge and understanding of both cake and deep bed ﬁltration.
1.3 Laws of Filtration
Hermans and Bredee (1935)postulated the so-called laws of ﬁltration which classiﬁes
ﬁltration operations according to different particle retention mechanisms. A later version
Particle
Cake
Medium
Filtrate
(a) Particle
Medium
Filtrate(b)
FIGURE 1.3Cakeﬁltration (a) vs. deep bedﬁltration (b).
4 PRINCIPLES OF FILTRATION

of Hermans–Bredee’s work was given byHermia (1982). According to Hermia, four
different particle retention mechanisms may be present in ﬁltration: complete blocking
(every retained particle acts to block a medium pore), intermediate blocking (there is
a ﬁnite probability for a retained particle to block medium pores), standard blocking
(particle retention taking place within medium resulting in a narrowing of medium
pores), and cake ﬁltration (particle retention results in cake formation and growth). It is
clear that the “standard blocking” is the retention mechanism operative in deep bed
ﬁltration as discussed in 1.2 while complete blocking and intermediate blocking are
present in the initial stage of cake ﬁltration.
Using four assumed ﬁltration rate expressions corresponding to each of the four
retention mechanisms mentioned above, the dynamic behavior of ﬁltration, according to
the laws of ﬁltration, may be expressed as
d
2
t
dV
2
¼K

dt
dV

k
(1.3.1)
1
whereVis the cumulative ﬁltrate volume per medium surface area collected m
3
m
2
at
timetunder the condition of constant pressure. Both the coefﬁcientKand exponentkare
constant. In particular, the exponentkassumes the following values corresponding to the
speciﬁc retention mechanism in operation:
According to the laws of ﬁltration as expressed through Equation(1.3.1), there is a linear
relationship between log(d
2
t/dV
2
) and log(dt/dV) with the slope of the line being the
value ofk. Therefore, based on constant pressure ﬁltration data, a line or a series of line
segments may be established by plotting the date present in the form of d
2
t/dV
2
vs. dt/dV
on the logarithmic coordinates. The slope of the line or those of the linear segments may
assume any one of thekvalues given above. Therefore, the operative retention mecha-
nism may be identiﬁed.
2
The conceptual simplicity of the laws of ﬁltration has attracted much attention from
a number of investigators in recent years. The use of the laws has been found in a large
number of recent publications for the purposes of identifying retention mechanisms and
data interpretation. What is overlooked is a rather simple fact that this identiﬁcation is not
Retention Mechanism Value ofk
Complete blocking 2
Standard blocking 3/2
Intermediate blocking 1
Cake ﬁltration 0
1
The instantaneous ﬁltration rate is given by dV/dt. Therefore, dt/dVis the reciprocal of the instantaneous
ﬁltration rate 1/(dV/dt). On the other hand, d
2
t/dV
2
can be shown to be(d
2
V/dt
2
)/(dV/dt)
3
or the negative of
the ratio of the time rate change of the ﬁltration rate to the third power of the ﬁltration rate.
2
It should be noted that the laws of ﬁltration allow the transition from one retention mechanism to another
but do not allow the simultaneous presence of more than one medium.
Chapter 1• Introduction 5

based on direct observation, but upon agreement between ﬁltration data and Equation
(1.3.1)which, in turn, rests upon ﬁltration rate expression proposed by Hermans and
Bredee. Since these assumed rate expressions, in three cases, are incorrect or fail to agree
with experimental data, the claim made regarding the value of the laws of ﬁltration,
therefore, cannot be justiﬁed. A more direct evidence of the lack of validity of the laws of
ﬁltration can also be seen from the simple fact that in many cases, the ﬁltration data
simply do not display the linearity between log(d
2
t/dV) and log(dt/dV) as required by
Equation(1.3.1).
Wakeman and Tarleton (1999)pointed out that the validity of Equation(1)is limited
only during the initial stage of ﬁltration operation. Its use in design calculation is,
therefore, limited. Based on a more general consideration, retention mechanism is largely
dependent upon the relative particle to medium pore size. Considering the fact that both
ﬁlter medium pores and suspended particles, generally speaking, are not uniform in size,
but cover a range of values, it would be difﬁcult to describe a given ﬁltration process by
a simple retention mechanism (Tien, 2006). Based on these considerations, the validity of
and application of the laws of ﬁltration are questionable if not fallacious.
Problem
1.1.Obtain expressions ofVvs.tfrom Equation(1.3.1)for the four cases of ﬁltration with
n¼0, 1, 3/2, and 2.
References
Giddings, R.W., 1991. Uniﬁed Separation Science. John Wiley & Sons, New York, pp. 11.
Hermans, P.H., Bredee, H.L., 1935. Zur Kennitnis der Filtrationgesetec. Rec. Trav. Chim. Des Pays-Bas 54,
680.
Hermia, J., 1982. Constant pressure blocking ﬁltration laws – applications to power law non-newtonian
ﬂuids. Trans. Inst. Chem. Eng. 60, 183–187.
King, C.J., 1980. Separation Processes, second ed. McGraw Hill, Inc., New York, pp. 18.
Tien, C., 2006. Introduction to Cake Filtration: Analysis, Experiments, and Applications. Elsevier.
Tiller, F.M., April 29 1974. Chem. Eng., 117.
Wakeman, R.J., Tarleton, E.S., 1999. Filtration: Equipment Selection Modeling and Process Simulation.
Elsevier Advanced Technologies.
Walker, W.H., Lewis, W.K., McAdams, W.H., Gilliland, E.R., 1937. Principles of Chemical Engineering,
third ed. McGraw-Hill, Inc., New York, pp. 323.
6 PRINCIPLES OF FILTRATION

2
Cake Formation and Growth
Notation
A deﬁned by Equation(2.5.9a)(m
2
s
1
) or a measurable quantity (see Equation(2.7.5))
a
1,a2coefﬁcients of Equation(2.2.16a)
b
1 coefﬁcient of Equation(2.2.16b)
C
1 constant deﬁned by Equation(2.6.10)(–)
D(e) ﬁltration diffusivity deﬁned by Equation (xiv), Illustrative Example 2.3 (m
2
s
1
)
d
p particle diameter (m)
e void ratio, deﬁned as (13
s)/3s(–)
F
p force acting along the tangential direction (N)
F
q force acting along the normal direction (N)
F
q
1
;Fq
2
force deﬁned by Equations(2.8.11) and (2.8.12), respectively (N)
f function deﬁned by Equation(2.7.4)(–)
f
1,f2 hydrodynamic retardation factor (see Equations(2.8.9) and (2.8.11)(–)
F
ij interaction force vector between phase j and phase I (N m
3
)
f
0
deﬁned by Equation(2.2.10)(–)
h
max maximum protrusion height (m)
k cake permeability (m
2
)
k
0
cake permeability at the zero-stress state (m
2
)
L cake thickness (m)
m
i net mass transfer rate into phase 1 (kg m
3
s
1
)
m wet to dry cake mass ratio (–)
n total volume of particles per unit volume of suspending ﬂuid (m
3
m
3
) or the exponent of
Equation (2.2.15c)
p
A parameter of the constitutive equations (Pa)
p
i isotopic pressure of phasei(Pa)
p
‘ liquid pressure (Pa)
p
0 applied pressure (Pa)
p
s compressive stress (Pa)
p
t deﬁned asp ‘þpsðPaÞ
p
‘m
p‘a cake/medium interface (Pa)
p
sm
psat cake/medium interface (Pa)
Q constant ﬁltration rate (m
3
m
2
)
q
‘ superﬁcial liquid velocity (m s
1
)
q
s superﬁcial particle velocity (m s
1
)
q
‘m
instantaneous ﬁltration velocity (m s
1
)
q
‘s
liquid/particle relative velocity (m s
1
)
R
m medium resistance (m
2
)
S
i force vector due to stress tensor acting on phasei(N m
3
)
s particle mass fraction of feed suspension (–)
T
i stress tensor acting on phasei(Pa)
t time
Principles of Filtration, DOI:10.1016/B978-0-444-56366-8.00002-5 9
Copyright2012 Elsevier B.V. All rights reserved

tc time when deposition ceases (s)
t
m quantity deﬁned by Equation(2.5.9b)(s)
U
i velocity vector of phasei(m s
1
)
V cumulative ﬁltrate volume (m
3
m
2
)
V
m equivalent ﬁltrate volume deﬁned by Equation(2.5.7)
W
i body force vector acting on phasei(N m
3
)
w cake mass per unit medium area (kg m
2
)
x distance measured away from medium (m)
Greek Letters
a speciﬁc cake resistance (m kg
1
)
a
0
speciﬁc cake resistance at the zero-stress state (m kg
1
)
b exponent of Equation(2.2.15a)(–) or fraction of particles being deposited
g adhesion probability
Dp
c pressure drop across ﬁlter cake (Pa)
Dp
m pressure drop across medium (Pa)
Dr density different,r
sr;ðkg m
3
Þ
d negative exponent of Equation(2.2.15b)(–)
d unit tensor
3 cake (or suspension) porosity (–)
3
i volume fraction of phasei(–)
3
s volume fraction of particle, or solidosity (–)
3
s0
particle volume fraction of feed suspension (–)
3
0
s
solidosity at the zero-stress state (–)
3s stress-averaged cake solidosity deﬁned by Equation(2.5.1)
3s average cake solidosity deﬁned by Equation(2.3.6)
m ﬂuid viscosity (Pa s)
r
i density of phasei(kg m
3
)
r density of particle (kg m
3
)
r
s density of particle (kg m
3
)
s
w shear stress at cake/suspension interface (N m
2
)
s
i shear stress tensor of phasei
f objective function deﬁned by Equation(2.7.5)
Asmentionedin1.2,cakeﬁltrationmaybes ubdivided into two types of operations
depending upon the ﬂow conﬁguration of the suspension to be treated. The traditional
and still the most common operation is effected by forcing the suspension to be
treated through a ﬁlter medium such that the ﬂow of the suspension and that of the
ﬁltrate are in the same direction. Alternatively, the suspension may ﬂow under pres-
sure along the medium surface such that thedirection of the suspension ﬂow and that
of the permeate (ﬁltrate) are normal to each other. We focus our presentation on the
ﬁrst type of cake ﬁltration (i.e. the dead end mode of operation) because of its long
historyofstudy,followedbyadiscussiononthesecondtypeofcakeﬁltration(i.e.the
crossﬂow mode).
10 PRINCIPLES OF FILTRATION

2.1 Filtration Cycles
Actual operation of cake ﬁltration equipment may be viewed as a sequence of processes
including ﬁltration, cake consolidation, deliquoring, cake washing, and cake discharge.
The order of the sequence may vary from case to case and the number of the individual
process involved is not ﬁxed. Some typical situations given byWakeman and Tarleton
(1999)are shown inFig. 2.1.
The physics of these difference processes is varied and complex. Filtration and
consolidation may be described on a common basis, embracing liquid ﬂow through
Suspension
Agitated trough Scraper
Discharged
cake
Filtration
Washing
Deliquoring
Cake
Wash
(a)
Filtrate
Filter medium
Filtration Washing Deliquoring
Washings
Liquid
and gas
Wash
liquor
Suspension
Compressed
gas
(b)
Cake
FIGURE 2.1Two kinds ofﬁltration cycle: (a) Rotary drumﬁlter cycle; (b) Nutscheﬁlter cycle.[Reprinted from R.J.
Wakeman and E.S. Tarleton,“Filtration: Equipment Selection, Modeling and Process Simulation” ,1
st
Ed., Elsevier
Advanced Technology, 1999, with permission of Elsevier].
Chapter 2• Cake Formation and Growth 11

saturated media under growth and compression. However, deliquoring of saturated cake
by air ﬂow is governed by laws different from that of ﬂow through saturated media. On the
other hand, cake washing involves problems of solute mass transfer and displacement.
Accordingly, these different phases of ﬁltration will be discussed separately in the
following chapter.
2.2 Analysis of Cake Filtration
Abriefoutlineofcakeﬁltrationanalysisbased on the volume-averaged continuity
equations is given below as background information for subsequent presentations. On
a fundamental level, the problem of cake ﬁltration is concerned with the motions of
a large number of particles and a ﬂuid stream. Analysis of such a problem can be made,
in principle, by satisfying the Navier–Stokes equation at each point of the ﬂuid and
equations of motion for each particle. This approach, however, is not practical because
of the very large number of particles involved, and equally important, the spatial
domain occupied by the ﬂuid (and particles)phase undergoes continuous change. As an
alternative, one may derive a set of a few equations of replacing the point variables with
their local mean variables over a region containing a large number of particles but
smaller than the macroscopic scale of the intended problem. The equations obtained in
thecasewithtwophasesmaybeviewedasthecontinuityequationsoftwointer-
penetrary continua (therefore one can talk about the average velocities of the two
phases, for example, at the same position). Their solutions give the results of the
analysis of the problem.
This continuum approach, also known as the multiphase ﬂow theory, has been
applied to a variety of problems including cake ﬁltration and has found a certain degree of
success. A general discussion on the application of the continuum approach can be found
in the work ofRietema (1982).
The volume-averaged continuity equations of ﬁltration are (Rietema, 1982 )
r
i
v3
i
vt
¼r
iV$3i
Uiþmi (2.2.1)
r
i3i
D
Dt
U
i¼S
iþW
iþF
ji (2.2.2)
whereD/D tis the substantive derivative. The subscriptistands for‘¼ﬂuid phase ands¼
particle phase.3
iis the volume fraction of phasei,
U
i
the mass-averaged velocity vector of
phasei,S
ithe force vector due to stress acting on phasei,W
ithe body force vector acting
on phasei, andF
jithe interaction force vector which phase j acts on phasei.m iis the net
mass transfer rate into phasei.
For one-dimensional cake ﬁltration considered here, letu
‘¼q‘=3andu s¼qs=3s.
3and3
sare the volume fractions of the void and particle phase, respectively (or porosity
12 PRINCIPLES OF FILTRATION

and solidosity), with3þ3 s¼1 andq ‘andq sare the superﬁcial liquid and particle
velocities. The above equation becomes
v3
vt
?Δ
vq‘
vx
(2.2.3a)
for 0<x<L(t)
v3s
vt
?Δ
vqs
vx
(2.2.3b)
whereL(t) is the cake thickness.
From Equations(2.2.3a) and (2.2.3b), one has
v
vx
ðq
‘þqsÞ¼0
or
q‘þqs¼constant¼q ‘m (2.2.4)
whereq ‘mis the instantaneous ﬁltration velocity.
A schematic diagram illustrating the physical situation is shown inFig. 2.2.
Similarly, if the inertial effect and the presence of the body force can be ignored, by
adding the equations corresponding to the two phases, namely, Equations(2.2.3a) and
(2.2.3b)and notingF
ji¼–F ij, one has
S
‘þS
s¼0 (2.2.5)
whereS iði¼‘;sÞis the force acting on phaseiresulting from the stress tensor T i
¼acting
on the same phase. T
i
¼can be written as
T
¼
i
¼f
id
¼
þs
¼
i
(2.2.6)
wherep iis the isotropic pressure of phaseianddthe unit tensor.s iis the shear stress
tensor of phasei.
p
l
= Δp
m
Cake
p
l
= p
0
Suspension
L(t)
q
lm
Filtrate
V = ∫ q
lm
dt
0
l
x
Δp
m
Δp
c
p
s
=

psm
= Δp
c
q
l
q
s
p
s
=

0
FIGURE 2.2Schematic Diagram Depicting Cake Filtration.
Chapter 2• Cake Formation and Growth 13

Different expressions relatingS iandT ihave been proposed such as
Si¼VT i;V3 iTior3 iVTii¼‘or s (2.2.7)
In addition, for the dispersed phase (i.e. particle phase), the following relationship has
also been suggested:
Ss¼3sðV$T ‘þV$T sÞor3 sV$T‘þV$T s (2.2.8)
Thus by using different relationships ofS ivs.T i, different results may be obtained from
Equation(2.2.5). For the one-dimensional cake ﬁltration case, the isotropic pressure
terms (i.e.p
‘andp s) are the dominant ones of the stress tensors. Some of the simplest
possible relationships betweenpandp
sare (Tien et al., 2001)
Typeð1Þ dp ‘þdp s¼0 (2.2.9a)
Typeð2Þð 13
sÞdp‘þdp s¼0 (2.2.9b)
Typeð3Þð 13
sÞdp‘þ3sdps¼0 (2.2.9c)
Typeð4Þ d½ð13
sÞp‘þd½3 sps¼0 (2.2.9d)
For a ﬁlter cake withp ‘¼p0atx¼L,p ‘¼Dp matx¼0, whereDp mis the pressure
drop across the medium.
1
A general representation of the results given above may be written as
vp‘
vps
¼f
0
(2.2.10)
and
Caseð1Þ f
0
¼1 (2.2.11a)
Caseð2Þ f
0
¼
1
13
s
(2.2.11b)
Caseð3Þ f
0
¼
3s
13 s
(2.2.11c)
Caseð4Þ f
0
¼
ð13
0
s
Þp0ps
ð13 sÞ
2
d3s
dps

3s
13 s
(2.2.11d)
1
p‘at the downstream side of the medium is assumed to be zero.
14 PRINCIPLES OF FILTRATION

Equations Describing Cake Growth
Equations(2.2.3a), (2.2.3b), (2.2.4), and (2.2.10)are the starting points for analyzing cake
ﬁltration. To complete the description of cake ﬁltration, two closing relationships will be
introduced: (I) expression of liquid/particle relative velocity and (II) cake constitutive
relationships.
(I)Expression of liquid/particle relative velocity. For liquid ﬂow through a medium
undergoing compression, the generalized Darcy’s law (Shirato et al., 1969) expresses
the liquid/particle relative velocity,q
‘s,as
q‘s
3
¼
q‘
3

qs
3s
?
1
3
k
m
vp‘
vx
(2.2.12)
which reduces to the classical Darcy’s law withq s¼0. From Equation(2.2.4)and with
q
s¼0atx¼0, one has
q‘þqs¼q‘m
¼

k
m
vp‘
vx

x¼0
¼
p‘m
mRm
(2.2.13a)
wherep ‘mis the ﬁltrate pressure atx¼0 andR mis the medium resistance. The
negative sign is to account for the fact that ﬁltrate ﬂows in the negativex-direction.
Equation(2.2.12)may be rewritten as
q‘
3

q‘m
q‘
3s
¼
1
3
k
m
vp‘
vx
or
q‘
33s
¼
q‘m
3s

1
3
k
m
vp‘
vx
Combining the above expression with Equation(2.2.13a)yields
q‘?3 s
k
m
vp‘
vx
þð13
sÞ

k
m
vp‘
vx

x¼0
(2.2.13b)
(II)Cake constitutive relationships. In cake ﬁltration analysis, the properties which
characterize cake structure, namely, cake solidosity,3
s, permeability,k, and speciﬁc
cake resistancea[¼(k3
sps)
1
], are assumed to be functions of the cake compressive
stress,p
s, only. Speciﬁcally, the constitutive relationships may be expressed as
3s¼3sðpsÞ (2.2.14a)
k¼kðp
sÞ (2.2.14b)
a¼aðp
sÞ (2.2.14c)
Chapter 2• Cake Formation and Growth 15

In particular, the following power-law expressions may be used to represent the
constitutive relationships of3
svs.p s;kvs.p s; andavs.p sas
3s¼3
0
s

1þ
ps
pA

b
(2.2.15a)
k¼k
0

1þ
ps
pA

d
(2.2.15b)
a¼
1
3
sr
sk
¼
1
3
0
s
k
0
r
s

1þ
ps
pA

db
¼a
0

1þ
ps
pA

n
(2.2.15c)
For the above three equations, two are independent. Among the parameters,3
0
s
;
k
0
anda
0
denote respectively the values of3 s,k, andaat the zero-stress state (i.e.p s¼0).
p
Ais the normalizing parameter ofp sand the exponentsb,d,n(¼db) signify the
compression effect due top
s. Generally speaking, these parameters which can be
obtained by ﬁtting experimental data to the relevant equations are ﬁtting parameters.
Therefore, unless the data used for ﬁtting cover appropriate ranges ofp
s, the parameters
3
0
s
;k
0
anda
0
may not have the physical signiﬁcance as mentioned above.
In addition to the power-law expressions given above, other expressions may also be
used to represent the constitutive relationships. In particular, soil scientists have
proposed the use of the void ratio,e, deﬁned ase¼3=ð13Þ¼ð13
sÞ=3sinstead of3 s,
for characterizing cake structure. The cake compression behavior betweeneand the
compressive stress,p
s, may be expressed as (Smiles, 1970)
e¼a 1logðp sÞþa 2 (2.2.16a)
As an estimate, the compression effect on cake permeability can be obtained from the
Kozeny–Carman equation
2
which predicts the cake permeability being proportional to
ð13
sÞ
3
=3
2
s
¼e
3
=ð1þeÞor
k¼b 1
e
3
1þe
(2.2.16b)
3
Equation(2.2.16b)can be used to estimate the compression effect on ﬁltrate ﬂow
without the need of conducting direct experimental measurement. On the other hand,
the accuracy of Equation(2.2.16b)depends upon the accuracy of Equation(2.2.16a)in
relatingewithp
sas well as the accuracy of the Kozeny–Carman equation in relating
kwithe. Whether or not the advantage gained from not carrying out permeability
measurements in establishing the relationship betweenkvs.p
sis counterbalanced by the
2
See 5.5 for more information of the Kozeny–Carman equation and the general ﬂow rate-pressure drop
relationships for ﬂow through porous media.
3
There is apparently a typographical error in the relationship betweenkandegiven bySmiles (1970).
16 PRINCIPLES OF FILTRATION

compromised accuracy, of course, depends upon the particular system being considered.
However, if data ofkvs.p
sare available, the data certainly should be used in establishing
constitutive relationships ofkvs.p
s. In such cases, the use of Equation(2.2.15b)perhaps
gives a more simpliﬁed form of data representation.
Considering the case of using the power-law expression for the constitutive relation-
ships, by combining Equations(2.2.3a), (2.2.10), (2.2.13), (2.2.15a), and (2.2.15b),onehas
v3s
vt
¼
v
vx

f
0
Þ
k
0
m
3
s

3s
3
o
s

d=bvps
vx

q
‘m
v3s
vx
(2.2.17a)
whereq ‘m
is liquid velocity at the cake/medium interface or the instantaneous ﬁltration
velocity. By deﬁnition [from Equation(2.2.12)atx¼0 and withq
s¼0)],q ‘m
is
q‘m
?
k
m
vp‘
vx

x¼0
¼

p‘

x¼0
m$Rm
¼
p‘m
mRm
(2.2.17b)
Equation(2.2.17a)is the basic equation of cake ﬁltration. Its derivation is shown in
Illustrative Example 2.1. The solution of Equations(2.2.17a) and (2.2.17b), corresponding
to appropriate moving boundary conditions, initial and boundary conditions, give
a complete description of cake ﬁltration. These conditions are given below.
(I)Moving Boundary Condition
The moving boundary conditions describe cake growth and give cake thickness as
a function of time. This condition may be obtained by mass balance considerations at
cake surface (i.e. cake/suspension interface). Referring toFig. 2.2,x¼Lis the location
of the cake/suspension interface (orL, the cakeq
‘j
L
thickness) such thatx<L

is in
the cake phase andx>L
þ
in the suspension phase. Ifq ‘j
L
þandqj
L
denote the ﬂuid
velocities atx¼L
þ
andx¼L

, respectively, and3 sj
L
þand3 sj
L
the corresponding
solidosities, over a period ofdt, the cake thickness increases bydL. Based on mass
balance of ﬂuid, one has
dL
dt
¼
q‘j
L
þ

q ‘j
L

3
sj
L
þ?3sj
L
Þ
(2.2.18)
where3 sj
L
is the cake solidosity at the cake surface where the compressive stress
is zero.3
sj
L
therefore can be taken to be3
0
s
, the solidosity at the zero-stress state.3 sj
L
þ
is equal to the particle volume fraction of the suspension,3 s0
. Equation(2.2.18)
therefore becomes
dL
dt
¼
q‘j
L
þ

q ‘j
L

3
s0
3
0
s
(2.2.19)
From Equation(2.2.4), one has
q‘j
L
þþqsj
L
þ¼q‘j
L
þqsj
L
¼q‘m¼

k
m
vp‘
vx

x¼0
(2.2.20)
Atx¼L

, by Darcy’s law [Equation(2.2.12)]
Chapter 2• Cake Formation and Growth 17

q‘

L

13
0
s
3
0
s
qs

L
¼

k
m
vp‘
vx

x¼L

(2.2.21a)
Also from Equation(2.2.20)
q‘

L
?q s

L

k
m
vp‘
vx

0
(2.2.21b)
Solving forq ‘j
L
from the above two equations, one has
q‘

L
?3
0
s

k
m
vp‘
vx

L

13
0
s

k
m
vp‘
vx

x¼0
(2.2.21c)
Atx¼L
þ
, the suspended particles move at the same velocity as the suspending
liquid, or
qs

L
þ
3s0
¼
q‘

L
þ
13 s0
or
qs

L
þ¼
3s0
13 s0
q‘

L
þ
Substituting the above expression into Equation(2.2.20),q ‘j
L
þis found to be
q‘

L
þ¼ð13 s0
Þ

k
m
vp‘
vx

x¼0
(2.2.22)
Substituting Equations (2.1.21c) and (2.1.22) into (2.1.18), the moving boundary
condition of the cake/suspension interface is found to be
dL
dt
¼
3
0
s
3
0
s
3s0

k
m
vp‘
vx

x¼L
þq‘m
(2.2.23)
with the initial condition
L¼0;t¼0 (2.2.24)
(II)Boundary Conditions
The boundary conditions vary with the mode of operation. Consider the following
three speciﬁc cases.
a.Constant Pressure Filtration. The boundary conditions are
p‘¼po;p s¼0;3 s¼3
0
s
atx¼L (2.2.25a)

k
m
vp‘
vx
¼
p‘
Rmm
atx¼0 (2.2.25b)
b.Constant Rate Filtration
ps¼0; 3 s¼3
0
s
; atx¼L (2.2.26a)
18 PRINCIPLES OF FILTRATION

k
m
vp‘
vx
?
p‘
Rmm
¼constant;atx¼0 (2.2.26b)
c.Variable Pressure Filtration
p‘¼p0ðtÞp s¼0;3 s¼3
0
s
atx¼L (2.2.27a)

k
m
vp‘
vx
?
p‘
Rmm
atx¼0 (2.2.27b)
For both cases (a) and (c),p 0is speciﬁed. One is interested in obtaining
q
‘m

¼
"

k
m
vp‘
vx
#
0
!
as a function of time. The reverse is true for case (b). The
condition imposed onx¼0 (namely, Equation(2.2.27b)represented the continuity of
ﬁltrate permeation, namely, the rate of permeation on the upstream side and that on
the downstream side of the medium are the same. As deﬁned before,R
mis the medium
resistance.
nnn
Illustrative Example 2.1
Show the derivation of Equation(2.2.17a).
Solution
From Equations(2.2.3a), (2.2.10), and (2.2.13b), one has
v3
vt
?
vq‘
vx
(i)
vp‘
vps
¼f
0
(ii)
q
‘?3 s
k
m
vp‘
vx
þð13
sÞ
"
k
m
vp‘
vx
#
x¼0
(iii)
From Equation(2.2.12),atx¼0,q
s¼0,q ‘¼q‘m
whereq ‘m
is the instantaneous ﬁltration
velocity, one has
q
‘m
¼

k
m
vp‘
vx

x¼0
(iv)
Combining Equations(i), (iii), and (iv)yields
v3 vt
¼
v
vt
ð13
sÞ¼
v
vx

3
s
k
m
vp‘
vx
þð13
sÞq‘m

or
v3s
vt
¼
v
vx

3
s
k
m
vp‘
vx

q
‘m
v3s
vx
(v)
Chapter 2• Cake Formation and Growth 19

vp‘
vx
may be written as
vp‘
vx
¼
dp‘
dps
vps
vx
¼f
0
vps
vx
(vi)
From Equations(2.2.15a) and (2.2.15b), the constitutive relationships of3
svs.psandkvs.p sare
3
s¼3
0
s

1þ
ps
pA

b
k¼k
0

1þ
ps
pA

d
which may be rewritten as

3s
3s0

¼

1þ
ps
pA

b
and
k
k
0
¼

1þ
ps
pA

d
¼

1þ
ps
pA

b

d=b
¼

3s
3
0
s

d=b
(vii)
Substituting Equations(vi) and (vii)into(v), one has
v3s
vt
¼
v
vx

ðf
0
Þ3s
k0
m

3s
3
0
s

d=bvps
vx

q
‘m
v3s
vt
(viii)
which is Equation(2.2.16b). Since p
scan be related directly to3 s,3snow is the only dependent
variable of Equation(2.2.16).
nnn
nnn
Illustrative Example 2.2
Calculatep sas a function ofp ‘, based on Equations(2.2.10), (2.2.11a)–(2.2.11d), of CaCO 3ﬁlter
cakes corresponding to the following conditions:
Pressure Drop across the cake 710
5
Pa
The constitutive relationship of3
svs.p sis given as
3
s¼3
0
s

1þ
ps
pa

b
b¼0:13
3
0 s
¼0:20
p
A
¼4:410
4
Pa
20 PRINCIPLES OF FILTRATION

Solution
From Equations(2.2.10), (2.2.11a)–(2.2.11d), with the given conditions, the following expres-
sions are obtained:
From Equationð2:2:11aÞp
‘þps¼710
5
(i)
From Equationð2:2:11bÞp
‘þ
Z
ps
0
dps
ð13 sÞ
¼710
5
(ii)
From Equationð2:2:11cÞ p
‘þ
Z
ps
0
3s
ð13 sÞ
dp
s¼710
5
(iii)
From Equationð2:2:11dÞp
‘þ
3s
13 s
ps¼
13
0
s
13 s
ð710
5
Þ (iv)
For Equations(i)–(iv), it is more convenient to calculatep
‘for speciﬁed value ofp s. The
results are tabulated as follows:
Values ofp
l
vs.p s
ps(Pa) p
‘
(Pa)
Equation (i) Equation (ii) Equation (iii) Equation (iv)
07 10
5
710
5
710
5
710
5
510
4
6.510
5
6.64010
5
6.86610
5
7.0710
5
110
5
610
5
5.71810
5
6.71810
5
6.99610
5
210
5
510 4.399 10
5
6.39910
5
6.80310
5
310
5
410
5
3.04910
5
6.05610
5
6.55210
3
410
5
310
5
1.68410
5
5.69410
5
6.19210
5
510
5
210
5
0.30910
5
5.31710
5
–
5.21910
5
–0 *
610
5
110
5
– 4.92810
5
5.44210
5
710
5
0 – 4.52710
5
–
810
5
– – 4.11810
5
4.61410
5
910
5
– – 3.69910
5
–
110
6
– – 3.27210
5
3.71110
5
1.210
6
– – 2.39610
5
2.74210
5
1.410
6
– – 1.49410
5
1.73610
5
1.610
6
– – – 0.69610
5
1.71610
6
–– 0 * –
1.73110
6
–– – 0 *
*
Obtained by interpolation.
Chapter 2• Cake Formation and Growth 21

To show the determination ofp scorresponding top ‘¼0 from Equations(ii)–(iv),asan
example, consider the case with thep
‘psrelationship given by Equation(ii); forp s¼510
5
Pa,
the corresponding value ofp
‘is
p
‘¼710
5

Z
510
5
0
dps
13 s
¼0:30710
5
ForP s¼610
5
Pa,p ‘is found to be
p
‘¼710
5

Z
610
5
0
dps
13 s
?1:08510
5
By linear interpolation, the value ofp swhich givesp ‘¼0;orp sm
,is
p
sm
¼510
5
þ

0:307
0:307þ1:085

10
5
¼5:21910
5
The corresponding solidosity value,3 sm
,is
3
sm
¼ð0:2Þ

1þ
52:19
4:4

0:13
¼0:279
The tabulated results are also shown in Fig. i.
8
6
4
Ps x 10
-5
PL x 10
-5
2
0
0 52 010
Equation (i)
Equation (ii)
Equation (iii)
Equation (iv)
15
FIGURE IRelation betweenp sandp ‘.
The results obtained show that for CaCO3cakes, withp ‘psrelationship given by Equation (i),
p
sranges from 0 to 710
5
Pa, the same asp ‘. For cases with the relationship given by Equations
(ii) and (iii),p
sranges from 0 to 5.21910
5
and 0 to 1.71610
6
, respectively. For the last case,
22 PRINCIPLES OF FILTRATION

[Equation (iv)], thep srange is somewhat similar to that of Equation (iii) i.e. from 0 to 1.73110
6
.
However, the behavior of thep
sp‘relationship is unusual. This can be seen more clearly by
examining thep
‘psrelationship nearp ‘y710
5
. From Equation (iv), we have
p
s(Pa) p ‘(Pa)
410
4
7.04910
5
610
4
7.10110
5
810
4
7.03610
5
110
5
6.99710
5
These calculated results show that nearp ‘¼710
5
, the behavior of thep ‘psrelationship is
not monotonic and is physically unrealistic. Therefore, the relationship of Equation (iv) is not
valid and should not be used.
nnn
nnn
Illustrative Example 2.3
As shown in2.2, cake ﬁltration is described by Equations(2.2.3a),(2.2.3b), and(2.2.12). Show
that from these equations and using the void ratio,e, deﬁned as (13
s)/3sas the dependent
variable andm, the so-called material coordinate and
tas the independent variables deﬁned
below,
dm¼3
s$dxq s$dt
d
t¼dt
cake ﬁltration can be shown to be a diffusive process.
Solution
Equations(2.2.3a), (2.2.3b), and (2.2.12)are the volume-averaged continuity equations (mass
balance) and the generalized Darcy’s law given as v3
vt
?
vq‘
vx
(i)
v3s
vt
?
vqs
vx
(ii)
q‘s
3
¼
q‘
3

qs
3s
?
1
3
k
m

vps
vx

(iii)
The void ratio,e, is deﬁned as
e¼ð13
sÞ=3s (iv)
Chapter 2• Cake Formation and Growth 23

From Equation(iv), one has
3
s¼1=ð1þeÞ 3¼e=ð1þeÞ (v)
From Equations(iii) and (v), one may write
q
‘¼q‘sþeq s (vi)
q
‘s?
k
m

vp‘
vx

(vii)
and
q
‘¼eq s
k
m

vp‘
vx

(viii)
Substituting Equations(vi)into(i), one has
v3
vt
?
v
vt
½q
‘sþeqs?
vq‘s
vx
e
vqs
vx
q
sve
vx
or
v3 vt
þe

v3s
vt

?
vq‘s
vx
q
sve
vx
(ix)
The left-hand side of the above expression is
v3 vt
þe
v3 vt
¼ð1þeÞ
v3 vt
¼

1
1þe

ve
vt
Equation(ix)now becomes
de
dt
þð1þeÞ
vq‘s
vx
þð1þeÞq
sve
vx
¼0 (x)
In terms of mt, the above equation becomes
ve
vt
q
sve
vm
þð1þeÞ3
s
vq‘s
vm
þð1þeÞq
s3sve
vm
¼0
Since3
s¼1=ð1þeÞ, one now has
ve
vt
þ
vq‘s
vm
¼0 (xi)
From Equation(iii), one may write
q
‘s?
k
m
vp‘
vx
?
k mdp‘
dps
dps
de
ve
vx
?
k
m
f
0
ðde=dp sÞð1þeÞ
ve
vm
(xii)
wheref
0
¼dp ‘=dps.
24 PRINCIPLES OF FILTRATION

Equation(xi)can now be written as
ve
vt
¼
v
vm

DðeÞ
ve
vm

(xiii)
with
DðeÞ¼
kðf
0
Þ
ð1þeÞðde=dp
sÞm
(xiv)
Equation(xiii)is the same as the one-dimensional diffusion equation. The quantityD(e)is
known as the ﬁltration diffusivity. A more detailed discussion of treating cake ﬁltration as
a diffusion problem can be found in the monograph byTien (2006).
nnn
nnn
Illustrative Example 2.4
The ﬁltration diffusivity,D(e), is deﬁned as [see Equation(xiv)of Illustrative Example 2.3]:
DðeÞ¼
kf
0
ð1þeÞðde=dp sÞm
ande, the void ratio, is given as
e¼
13 s
3s
Obtain values ofD(e)vs.eandevs.p sfor CaCO3cakes for 0<p s<110
6
Pa withf
0
¼–1.
The constitutive relationship of3
svs.p sis given in Illustrative Example 2.2. The relationship of
kvs.p
sis
k¼k
0

1þ
ps
pA

d
pA¼4:410
4
Pa
d¼0:57ðÞ
k
0
¼4:8710
14
m
2
The ﬁltrate viscositymmay be taken as 10
3
Pa s andf
0
¼–1.
Solution
By deﬁnition,eis deﬁned as
e¼
13 s
3s
¼

1
3
s

1¼
1
3
0
s

1þ
ps
pA

b
1 (i)
Chapter 2• Cake Formation and Growth 25

Differentiatingewith respect top s, one has
de
dp
s
¼
1
3
2
s
d3s
dps
?
1
3
2 s
3
0
s
b

1þ
ps
pA

b1
ð1=p AÞ (ii)
Substituting Equations (i) and (ii) into the expression deﬁningD(e),D(e) is now given as
DðeÞ¼
kðf
0
Þ
m
1
ð1þeÞðde=dp
sÞ
¼
ðf
0
Þk
0

1þ
ps
pA

d
m
ð3
sÞ3
2
s
3
0
s
ðb=p AÞ

1þ
ps
pA

b1
¼
ðf
0
Þðk
0
Þ

1þ
ps
pA

1db
3
3
s
m3
0
s
ðb=p AÞ
¼

f
0
m

k
0
pA
b

3
0
s
2

1þ
ps
pA

1þ2bd
(iii)
orD(e) is a function ofp
s. The results ofevs.p sandD(e) vs.p sare shown below.
Values ofevs.p
sandD(e) vs.p scan be readily found from Equations(i) and (iii)as shown
below.
p
s(Pa) eD
0 4 6.502 10
7
110
3
3.988 6.682 10
7
210
3
3.975 6.783 10
7
110
4
3.878 7.082 10
7
210
4
3.714 8.626 10
7
110
5
3.292 1.488 10
6
210
5
3.000 2.152 10
6
510
5
2.610 3.724 10
6
110
6
2.333 5.755 10
6
The results ofDvs.p sandDvs.eare also shown in the following ﬁgures.
-4
-4.5
-5
-5.5
-6
-6.5
-7
25 3 3.5 4
log Ps (Ps in Pa)
log D (D in m
2
/s)
4.5 5 5.5 6 6.5
FIGURE IFiltration diffusivity vs. compressive stress.
26 PRINCIPLES OF FILTRATION

nnn
2.3 The Conventional Cake Filtration Theory
As discussed in the preceding section, rigorous analyses of cake ﬁltration can be made
from the solution of Equation (2.2.17a) with appropriate initial, boundary, and moving
boundary conditions. However, the effort required for such an analysis is not trivial.
Equally important, such an approach is not compatible, in many cases, with simple
design and scale-up calculations and is also not easily adaptable in evaluating experi-
mental data. In contrast, the conventional cake ﬁltration ﬁrst proposed byRuth (1935a,b)
and further developed by a number of investigators including Grace, Tiller, and Shirato
provide results which can be used easily in practical applications (seeShirato et al.
(1987)). A discussion of the conventional theory including its applications and limitations
is given below.
The conventional theory of cake ﬁltration can be considered as a simpliﬁcation of the
more exact analysis discussed in2.2. Beginning with Equations(2.2.3a) and (2.2.12), for
the pseudo-steady-state case and with negligible particle velocity, one has
q‘?
k
m
vp‘
vx
¼constant 0<x<LðtÞ (2.3.1)
across the entire cake thickness at any instant.
If the relationship betweenp
‘andp sis given by Equation(2.2.10), Equation(2.3.1)
may be written as
mq‘dx?f
0
kdps (2.3.2a)
or
mq‘ð3sr
sÞdx?f
0
k3sr
sdps??f
0
=aÞ$dp s (2.3.2b)
andais the speciﬁc cake resistance deﬁned by Equation(2.2.15c).
-5
-5.2
-5.4
-5.6
-5.8
-6
-6.2
-6.4
2 2.5 3
e
log D (D in m
2
/s)
3.5 4 4.5
FIGURE IIFiltration diffusivity vs. void ratio.
Chapter 2• Cake Formation and Growth 27

Integrating the above expression forx¼0(orp s¼psm
, the value ofp sat the cake/
medium interface) tox¼L(orp
s¼0 at the cake/suspension interface), one has
Z
L
0
mq‘ð3sr
sÞdx?
Z
0
p
sm
ðf
0
=aÞdp s¼
Z
psm
0
ðf
0
=aÞdp s (2.3.3)
The condition at the cake/suspension interface; namely, atx¼L,p s¼0 is made on the
following premise: Both suspension and cake are solid–liquid mixtures. The difference
between a suspension and a cake arises from the fact that particles present in a cake form
a network capable of sustaining cake phase compressive stress while particles of
a suspension do not. Therefore, compressive stress vanishes at the cake/suspension
interface.
For the integral at the left-hand side of Equation(2.3.3),mandr
sare constant
(assuming that the system is at constant temperature),q
‘is constant across the entire
cake thickness as stated before and is, by deﬁnition, negative (since ﬁltrate moves along
the negative direction ofx(seeFig. 2.1). Therefore, one may write
dV
dt
?q
‘ (2.3.4)
whereVis the cumulative ﬁltrate volume per unit medium surface (m
3
m
2
).
The left-hand side integral of Equation(2.3.3)may therefore be written as
mr
sðdV=dtÞ
Z
L
0
3s$dx?mðdV=dtÞðr
s$
3s$LÞ (2.3.5)
and3sis the average cake solidosity, deﬁned as
3s¼
1
L
Z
L
0
3s$dx (2.3.6)
The right-hand side integral of Equation(2.3.3)may be written as
Z
psm
0
ðf
0
=aÞdp s¼
Z
p0Dp c
p0
ð1=aÞ$dp ‘¼
Dp c
ðaavÞ
psm
(2.3.7)
whereDp cis the pressure drop across the cake and the average speciﬁc cake resistance,
½a
av
psm
is deﬁned as
4
½aav
psm
¼
Dpc
R
psm
0

1
a

ðf
0
Þdps
¼
Dpc=psm
R
psm
0

1
a

ðf
0
Þdps

=psm
(2.3.8)
4
The subscript,p sm
, refers to the fact that the cake is subject to a compressive stress ranging from zero
(at cake surface) top
sm
(at cake base).
28 PRINCIPLES OF FILTRATION

Substituting Equations(2.3.5) and (2.3.8)into(2.3.3),jq ‘jis found to be
dV=dt¼

q ‘

¼
1
m
Dpc
ðr
s3
s
LÞ½aav
psm
¼
1
m
Dpc
w½aav
psm
(2.3.9)
withwbeing the cake areal mass (kg m
2
).
For ﬁltrate permeating across the medium, one may write
jq‘j¼
Dpm
mRm
(2.3.10)
whereDp mis the pressure drop across the medium.
Combining Equations(2.3.9) and (2.3.10), one has
dV=dt¼

q ‘

¼
DpcþDp m
m
h
wða avÞ
psm
þRm
i¼
p0
m
h
wða avÞ
psm
þRm
i (2.3.11)
Equation(2.3.11)is the basic equation of the conventional cake ﬁltration theory and is
used widely in estimating cake ﬁltration performance and interpreting and correlating
cake ﬁltration results. What is often overlooked is: for a compressible cake, the cake
solidosity, permeability, and speciﬁc cake resistance vary along the cake thickness. The
ða
avÞ
psm
present in the above expression (deﬁned by Equation(2.3.8)) is a stress-averaged
speciﬁc cake resistance withp
sranging from zero top sm
.
A comparison between what is given above and the procedure commonly used in
deriving cake ﬁltration equation may be useful as a further examination of the conven-
tional theory. In most liquid–solid separation monographs (including some of the widely
used unit operations texts for undergraduate teaching), Equation(2.3.1)is often the
starting point in discussing cake ﬁltration. Rewriting Equation(2.3.1)as
mr
s3sq‘dx¼kr
s3sdp‘¼ð1=aÞdp ‘ (2.3.12)
and integrating the above expression forx¼0 andx¼L, with the boundary conditions
given as
x¼0;p ‘¼0 (2.3.13)
x¼L;p
‘¼po
one has
dV
dt
?q
‘¼
R
p0
p0Dp c

1
a

$dp
‘
m
R
L
0
r
s3s$dx
¼
Dpcð1=aÞ
mw
(2.3.14)
with

1
a

¼
R
p0
p0Dp c

1
a

$dp
‘
Dpc
(2.3.15a)
and
w¼
Z
L
0
r
s3sdx (2.3.15b)
Chapter 2• Cake Formation and Growth 29

andð1=aÞmay be considered as the average value of (1/a ) overp ‘ranging fromp ‘¼p0
Dp
ctop‘¼p0.
At a ﬁrst glance, the deﬁnition given by Equation(2.3.8)and that of Equation(2.3.15a)
may appear to be very similar. In fact, forf
0
¼–1 (which is commonly assumed), they
become identical. However, Equation(2.3.8)gives a physical signiﬁcance ofa
avwhich
cannot be seen from Equation(2.3.15a). The structure of a cake, which depends upon the
degree of its compactness, is determined by the cake compressive stress. One may expect
ato be a function ofp
sand this information can be obtained, at least in principle, by
forming cakes under different degrees of compression and then determining their
porosities and permeabilities. With the knowledge ofavs.p
sand the relationship
betweenp
‘andp s[i.e. Equation(2.2.11)],½a avcan be determined readily from Equation
(2.3.8). In other words,½a
avcan be estimated based on independent measurements and
not only from curve-ﬁtting ﬁltration data. This rather fundamental difference, unfortu-
nately, is often overlooked by workers of cake ﬁltration.
nnn
Illustrative Example 2.5
Outline a procedure of establishing the constitutive relationship ofavs.p sfrom results
ofa
avvs.p s.
Solution
For a cake subject to compression fromp s¼0 (at cake surface) top s¼psm
(at cake base), the
average speciﬁc cake resistancea
avis deﬁned by Equation(2.3.8),or
½a
av
psm
¼
Dpc
R
psm
0

1
a

ðf
0
Þdps
(i)
The pressure drop across the cake,Dp
c, according to Equation(2.3.10)is
Dp
c¼
Z
psm
0
ðf
0
Þdps (ii)
From Equations(i) and (ii), one has
½a
av?
R
ps
0
ðf
0
Þdps
R
ps
0

1
a

ðf
0
Þdps
(iii)
The subscript, “p
sm
” is dropped for simpliﬁcation. Equation(iii)may be rewritten as
Z
ps
0

1
a

ðf
0
Þ$dp s¼
1
a
av

2
4
Z
ps
0
ðf
0
Þdps
3
5
Differentiating the above expression yields
f
0
a
¼

1
a
av

?f
0
?
2 4
Z
ps
0
ðfÞ$dp s
3 5
d
dp
s

1
a
av

30 PRINCIPLES OF FILTRATION

or
a¼

1
a
av
þðDp cÞð1=f
0
Þ
d
dp
s

1
a
av

1
(iv)
In other words, from the results ofa
avvs.p s,thevaluesof
d
dp
s

1
a
av

at various values
ofp
scan be estimated. The value ofDp ccan be calculated from Equation(ii).This
information together with the knowledge off
0
can be used to estimateavs.p saccording
to Equation(iv).
For the special casef
0
¼–1, Equation(iv)may be simpliﬁed to give
a¼

1
a
av
þps
d
dp
s

1
a
av

1
(v)
nnn
2.4 Expressions of Cake Filtration Performance
The performance of cake ﬁltration may be expressed by the cumulative ﬁltrate volume,V,
and/or the solid particles retained as ﬁlter cake,w, as functions of time. The relationship
betweenVandwmay be obtained from mass conservation considerations as follows. Letmbe the wet to dry cake mass ratio; for a cake of thicknessL,mis given as
m¼1þ
R
L
0
rð13 sÞdx
R
L
0
r
s3sdx
¼1þ
rð13
s
Þ
r
s
3
s
(2.4.1)
and3sis the average cake solidosity deﬁned by Equation(2.3.6).
If s is the particle mass fraction of the feed suspension, by deﬁnition, s is given as
s¼
w
Vrþmw
(2.4.2a)
and
w¼Vrs
1ms
(2.4.2b)
Equation(2.3.11)may be rewritten as
dV
dt
¼
p0
m

ða avÞ
psm
Vsr
ð1msÞ
þR
m
(2.4.3)
Equation(2.4.3)is equivalent to(2.3.11), with
mreplacingwas one of the dependent
variables. The advantage of Equation(2.4.3)over Equation(2.3.11)is thatm, except for
the initial period of ﬁltration, is largely constant. Consequently, under most conditions,
integration of Equation(2.4.3)can be easily made as shown below.
The primary operating variable of ﬁltration is the pressure applied. The operating
pressure may be kept at constant (constant pressure ﬁltration); kept according to
Chapter 2• Cake Formation and Growth 31

a particular manner, i.e.p 0is a speciﬁed function of time (variable pressure ﬁltration) or
so kept that the rate of ﬁltration is constant (constant rate ﬁltration). For the ﬁrst two
cases, ﬁltration performance can be expressed in terms of the cumulative ﬁltrate volume
as a function of time. For the last case, one is interested in the operating pressure required
to sustain the speciﬁed rate of ﬁltration. Both the performance result and the required
operating pressure may be obtained from the integration of Equation(2.4.3)as follows:
a.Constant pressure ﬁltration. Equation(2.4.3)may be rewritten as
msrð1
msÞ
1
½aav
psm
V
dV
dt
þmR
m
dV
dt
¼p
0 (2.4.4)
Integrating the above expression with the initial condition,V¼0, att¼0 and the
assumption thatR
mremains constant, one has
msr
ð1msÞ
1
½aav
psm
V
2
2
þmR
mV¼p 0t (2.4.5)
where
ð1msÞ
1
½aav
psm
¼
2
V
2
Z
V
0
ð1
msÞ
1
½aav
psm
VdV (2.4.6)
b.Variable pressure ﬁltration. Ifp 0is a function of time, the relationship betweenVand
tobtained from the integration of Equation(2.4.3)becomes
msr
ð1msÞ
1
½aav
psm
V
2
2
þmR
mV¼
Z
t
0
p0ðtÞdt (2.4.7)
c.Constant rate ﬁltration. If the ﬁltration rate is kept constant, orq ‘¼Q¼constant,
one has
V¼Qt (2.4.8)
and the required operating pressure,p 0,is
p0¼mQ
n
srð1msÞ
1
½aav
psm
QtþR m
o
(2.4.9)
The ﬁlter cake formed in terms of dry cake mass,w, can be found directly from
Equation(2.4.2b)withVknown. The ﬁlter cake thickness,L, as a function of time can
be determined as
L¼
w
r
s$
3
s
(2.4.10)
wherer sis the cake particle density and3sthe average cake solidosity deﬁned by
Equation(2.3.6). From Equation(2.4.1),3scan be related tomas
3s¼

1þ
r
s
r
ðm1Þ

1
(2.4.11)
32 PRINCIPLES OF FILTRATION

2.5 Parabolic Law of Constant Pressure Filtration
Equations(2.4.5), (2.4.7), and (2.4.9)are the main results of the conventional cake
ﬁltration theory. As constant pressure is often the mode of operation, Equation(2.4.5),in
particular, is widely used in design calculations and data interpretations and is known as
the parabolic law of constant pressure ﬁltration if the quantityð1msÞ
1
½aav
psm
can be
treated as a constant. The assumptions leading to this conclusion are as follows:
(i)During the course of ﬁltration, both the cake solidosity proﬁle and the pressure drop
across the cake and, therefore, the cake compressive stress at the cake/medium
interface,p
sm
, undergo continuous changes. The wet to dry cake mass ratio,
m,as
deﬁned by Equation(2.4.1)is a function of the solidosity proﬁle [see Equation
(2.4.11)]. As the conventional theory does not give a simple expression of the cake
solidosity proﬁle,3sis often assumed to be the same as the stress-averaged solidosity,
3s, deﬁned as
3s¼
1
p
sm
Z
psm
0
3s$dps (2.5.1)
(ii)Evaluating
ð1msÞ
1
½aavpsm
requires the information of the variations ofmand
½a
av
psm
withV(or time) [see Equation(2.4.6)].½a av
psm
is a function ofDp cor
p
sm
according to Equation(2.3.8).If
3smay be used as an approximation of3s,mcan
also be considered as a function ofp
sm
. Furthermore, with modest medium resis-
tance,R
m, one may assume that both
mand½a av
psm
approach to their respective
ultimate values (corresponding to the condition,Dp
cxP0) rapidly. For the most part
of a ﬁltration run, one has
ð1msÞ
1
½aav
psm
¼ð1msÞ
1
aav (2.5.2)
anda avis given as
aav¼
p0
R
psmðp0Þ
0

1
a

ðf
0
Þdps
(2.5.3)
wherep sm
ðp0Þis so written to underscore the fact thatp sm
is now a function ofp 0. With
botha
avand
mbeing evaluated atDp cxP0, Equation(2.4.5)now becomes
msr
h
ð1msÞ
1
Dp
c¼p0
i
½a
av
Dpc¼p0
V
2
2
þmR
mV¼p 0t (2.5.4a)
or
t=V¼

1
2p
0

msr
h
ð1
msÞ
1
Dp
c¼p0
ih
a
av
i
PsmðP0Þ
VþmR m=p0 (2.5.4b)
Chapter 2• Cake Formation and Growth 33

The above two equations are known as the parabolic law of constant pressure
cake ﬁltration. It should be emphasized that these expressions are obtained
by simplifying the result of the conventional theory of Equation(2.4.5). The simpli-
ﬁcations are made by assuming that the wet to dry cake mass ratio,m, and the
average speciﬁc cake resistance are constant and they are evaluated under the
condition that the pressure drop across the cake is the same as the operating pressure.
The relationship betweenDp
candp 0can be found simply from Equations(2.3.9)
and (2.3.10),or
Dpc
p0
¼
msrð1msÞ
1
½aav
psm
V
msrð1msÞ
1
½aav
psm
VþmR m
(2.5.5)
It is clear that one may replaceðDp cÞwithp 0if the ﬁrst quantity of the
denominator outweighs the second quantity. However, sinceVis zero initially, this
means that regardless of the magnitude of the average cake resistance,½a
av
p
sm
, there
inevitably exists an initial period during whichDp
cis signiﬁcantly different fromp 0.
Therefore, Equations(2.5.4a)[or(2.5.4b)] are not valid during the initial period.
An alternate expression of the parabolic law of constant pressure cake ﬁltration
can be obtained by considering the medium resistance, R
m, being equivalent to that
of a ﬁctitious cake layer corresponding to a cumulative ﬁltrate volume V
m. Equation
(2.4.3)may now be written as
q
l
¼
dV
dX
¼
f
0
m½aav
p
sm
rs
1m
ðVþV
mÞ
(2.5.6)
and
Vm¼
1ms
rsða
avÞ
p
sm
Rm (2.5.7)
Integrating Equation(2.5.6)subject to the same assumptions used in obtaining
Equation(2.5.4a)or(2.5.4b), one has
ðVþV mÞ
2
¼Aðtþt mÞ (2.5.8)
and
A¼
2p0ð1msÞ
m½a
av
Dpc¼p0
rs
(2.5.9a)
t
m¼
V
2
m
A
¼
m½aav
Dpc¼p0
rs
2p
0ð1
msÞ
V
2
m
(2.5.9b)
One may rewrite Equation(2.5.8)as
t
V
¼
V
A
þ
2Vm
A
(2.5.10)
34 PRINCIPLES OF FILTRATION

nnn
Illustrative Example 2.6
Following the procedure described inSection 2.5, obtain the expression ofVvs. time of cake
ﬁltration if the operating pressure increases incrementally.
Solution
With operating pressure increasing incrementally, orp 0¼p1,0<t<t 1;p0¼p2,t1<t<
t
2;...orp 0¼pi,ti1<t<t i, for the ﬁrst period, 0<t<t 1, Equation(2.4.5)is readily
applicable or
msp½ð1
msÞ
1
aav
p1
V
2
2
þmR
mV¼p 1t (i)
andV
1, the cumulative ﬁltrate volume att¼t 1,is
msp½ð1
msÞ
1
aav
p1
V
2
1
2
þmR
mV1¼p1t1 (ii)
For the second time period,t
1<t<t 2, withp 0¼p2, the cumulative ﬁltration volume can be
found by integrating Equation(2.4.3)with the initial conditiont¼t
1,V¼V 1,or
msr½ð1
msÞ
1
aav
p2
ðVV 1Þ
2
2
þmR
mðVV 1Þ¼p 2ðtt 1Þ (iii)
and the cumulative ﬁltrate volumeV
2att¼t 2is
msr
h
ð1
msÞ
1
aav
i
p2
ðV2V1Þ
2
2
þmR
mðV2V1Þ¼p 2ðt2t1Þ (iv)
and for thei-th period,t
i-1<t<t i, theV–trelationship is
msr
h
ð1
msÞ
1
aav
i
pi
ðVV i1Þ
2
2
þmR
mðVV i1Þ¼p iðtt i1Þ (v)
and the corresponding cumulative ﬁltrate volume att¼t
i,Vi,is
msr
h
ð1
msÞ
1
aav
i
pi
ðViVi1Þ
2
2
þmR
mðV
iV
ijÞ¼p
iðt
it
i1Þ (vi)
From the results obtained above, it is clear that there exists a linear relationship between
(tt
i1)/(VV i1) and (V V i1) fort i1<t<t i. Therefore, the results obtained from
measurements conducted with incrementally increasing operating pressure, when plotted in
the form of (t t
i1)/(VV i1) vs. (V V i1), yields a number of linear segments, the slope
of which can be used to calculate the average speciﬁc cake resistance corresponding to
Chapter 2• Cake Formation and Growth 35

different values ofp s.Murase et al. (1989)ﬁrst applied this procedure for determining cake
properties. A typical set of results obtained by Murase et al. is shown in Fig. i.
nnn
2.6 Approximate Expressions of Cake Solidosity,
Compressive Stress, and Pore Liquid Pressure
Proﬁles
Applying the same assumptions used in developing the conventional cake ﬁltration
theory, approximate expressions of cake structure, namely, the cake solidosity,
compressive stress, and liquid pressure proﬁles can be obtained. First, integrating
Equation(2.3.2a), one has
Z
x
0
mq‘dx?Δ
Z
ps
psm
ðkÞðf
0
Þdps (2.6.1)
and
Z
L
0
mq‘dx?Δ
Z
0
p
sm
ðkÞðf
0
Þdps (2.6.2)
5
×10
3
Korean Kaolin
s= 0.390
Step-up pressure
filtration
p=98 kPa
p=98kPa
p=196
p= 196
p=294
p= 294
p=392
p= 3924
3
2
1
0
01
V (cm
3
/cm
2
)
dt/dV (s/cm)
23
FIGURE Idt/dV vs. V data obtained byMurase et al. (1989).[Reprinted from T. Murase, E. Iritani, J.H. Cho ad M.
Shirato,“Determination of Filtration Characteristics based upon Filtration Tests under Stepped-Up Pressure
Conditions”, J. Chem. Eng. Japan, 22, 373–377, 1989, with permission of J. of Chem. Eng. Japan].
36 PRINCIPLES OF FILTRATION

Dividing Equations(2.6.1)by(2.6.2), one has
R
x
0
mq‘dx
R
L
0
mq‘dx
¼
R
psm
ps
ðkÞðf
0
Þdps
R
psm
0
ðkÞðf
0
Þdps
(2.6.3)
The left-hand side quantity of Equation(2.6.3)can be approximated asx/Lbased on
the assumption thatq
sx0 andq ‘being independent ofx. For the right-hand quantity,
the permeability,k, is a function of the compressive stress.f
0
is also a function of the
compressive stress (sincef
0
is a function of3 s), the quantity,ð
R
psm
ps
kf
0
dpsÞ=ð
R
psm
0
kf
0
dpsÞ;is
a function ofp
sor3s. In other words, Equation(2.6.3)gives an implicit expression of the
solidosity proﬁle. This expression can be greatly simpliﬁed if the relationship between
the cake permeability,k, and the compressive stressp
sis given by Equation(2.2.15b)and
f
0
?1. The result is
x
L
¼

1þ
Dpc
pA

1d

1þ
ps
pA

1d

1þ
Dpc
pA

1d
1
¼1

1þ
ps
pA

1d
1

1þ
Dpc
pA

1d
1
which, upon rearrangement, gives the expressions of the compressive stress proﬁle
ps
pA
¼

1þ

1
x
L

1þ
Dpc
pA

1d
1
1
1d
1 (2.6.4)
If the solidosity–compressive stress relationship follows the power-law expression and
is given by Equation(2.2.15a), combining Equation(2.6.4)with(2.2.15a), one has
3s
3
0
s
¼

1þ
Dpc
pA

1d
1

1
x
L

þ1
b
1d
(2.6.5)
which is the same expression given byTiller et al. (1999).
5
Withf
0
ð3Þ¼1;p ‘þps¼Dp c,
6
the liquid pore pressure proﬁle can be readily
obtained from Equation(2.6.4)to be
p‘
pA
¼
Dpc
pA

1þ

1þ
Dpc
pA

1d
1

1
x
L

1
1d
þ1 (2.6.6)
Oncep ‘vs:xis known, an estimate of the liquid velocity across the cake,q ‘vs:x,
can be made as follows: from Equations(2.2.3a) and (2.2.3b)and notingq
s¼0at
x¼0 (namely, particles do not penetrate into the medium), one has
q‘þqs¼q‘j
m
(2.6.7)
where the subscript m denotes the cake/medium interface orx¼0.
5
Equation(21)ofTiller et al. (1999)after correcting its typographical error is the same as Equation(2.5.5).
6
If medium resistance is negligible,Dp c¼p0.
Chapter 2• Cake Formation and Growth 37

The generalized Darcy’s law [i.e. Equation(2.2.12)] gives
q‘
13 s

qs
3s
¼
k
mð13
sÞ

vp‘
vx

(2.6.8)
The pore liquid pressure gradient can be obtained for Equation(2.6.6),or
vp‘
vx
¼
pA
1d
C1
L
h
1þC
1

1x
L
id
1d
(2.6.9)
and
C1¼

1þ
Dpc
pA

1d
1 (2.6.10)
Substituting Equation(2.6.9)into Equations(2.6.7) and (2.6.8), one has
q‘þqs¼
k
0

1þ
Dpc
pA

d
m
pA
1d
C1
L
ð1þC
1Þd
1d
(2.6.11)
q
‘qs¼
k
0

1þ
Dpc
pA

d
m
pA
1d
C1
L
h
1þC
1

1x
L
id
1d
(2.6.12)
The above two equations can be solved simultaneously to give the results ofq ‘vs.x
andq
svs.x. Alternative procedures for estimating internal velocity proﬁles have also
been developed by a number of investigators (Shirato et al., 1969; Tiller et al., 1999; Lee
et al., 2000).
nnn
Illustrative Example 2.7
For CaCO3cake with the constitutive relationships of3 svs.p sandkvs.p sgiven in Illustrative
Examples 2.1 and 2.3 and the pressure drop across the cake being 710
5
Pa, estimate the
solidosity, compressive stress, and ﬁltrate pressure proﬁles, assuming dp
‘þdp s¼0.
The constitutive relationships are
3
s¼3
0
s

1þ
ps
pA

b
k¼k
0

1þ
ps
pA

d
3
0
s
¼0:2k
0
¼4:8710
14
m
2
pA¼4:410
4
Pa
b¼0:13d¼0:57
38 PRINCIPLES OF FILTRATION

Solution
The porosity proﬁle is given by Equation(2.6.5)or
3s
3
0
s
¼

1þ
Dpc
pA

1d
1

1
x
L

þ1
b
1d
(i)
The compressive stress proﬁle is given by Equation(2.6.4)or
ps
pA
¼

1þ

1
x
L

1þ
Dpc
pA

1d
1
1
1d
1 (ii)
The ﬁltrate pressure proﬁle can be found from the given relationship,
dp
‘þdp s¼0orp ‘þps¼Dp c
with
b¼0:13d¼0:57
1d¼0:43 1= ð1dÞ¼2: 3256
b=ð1dÞ¼0: 3023
Dp
c=pA¼700;000=44; 000¼15:9093
The porosity proﬁle may be expressed as3
s=3
0
s
vs:x=L[i.e. Equation(i)]. The compressive
stress can be more conveniently expressed asp
s/Dpcvs.x/L. From Equation(ii),onemay
write
ps
Dpc
¼

ps
pA

pA
Dpc

¼ðp
A=DpcÞ

1þ

1
x
L

1þ
Dpc
pA

1d
1
1
1d
(iii)
The ﬁltrate pressure proﬁle may be expressed asp
‘=Dpc¼1
ps
Dpc
or
p‘
Dpc
¼1
ps
Dpc
¼1?p A=DpcÞ

1þ

1
x
L

1þ
Dpc
pA

1d
1
1
1d
(iv)
Chapter 2• Cake Formation and Growth 39

The results from Equations(i), (iii), and (iv)are:
The results are also shown in Figs. i and ii.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.21
X/L
Ps/ΔPc
PI/ΔPc
Ps/ΔPc, P /ΔPc
FIGURE IICompression stress and pressure proﬁle.
1.5
1.3
1.1
0.9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
εs/ε°s
Porosity Ratio
ε
s
/
ε
°
s
X/L
FIGURE ISolidosity proﬁ le.
nnn
(x/L) ð3 s=3
0
s
Þ (p s/Dpc)p ‘=Dp
c
0 1.4443 1.0000 0
0.1 1.4127 0.8341 0.1659
0.2 1.3745 0.7470 0.2530
0.3 1.3444 0.5495 0.4505
0.4 1.3311 0.4300 0.5700
0.5 1.6668 0.3249 0.6751
0.6 1.2236 0.2340 0.7660
0.7 1.1615 0.1566 0.8434
0.8 1.1246 0.0947 0.9053
0.9 1.0665 0.0403 0.9597
1.0 1.0000 0.0000 1.0000
40 PRINCIPLES OF FILTRATION

2.7 Applications of the Conventional Cake
Filtration Theory
For the convenience of subsequent discussions, the various relevant expressions given in
the previous sections are tabulated in Table 2.1. These expressions are based on the
assumption of dp
‘þdp s¼0.
The two major and most common applications of the conventional cake ﬁltration
theory are its use in predicting ﬁltration performance and in determining cake properties
from cake ﬁltration data. These two applications will be discussed separately as below.
2.7.1 Prediction of Cake Filtration Performance
For the case of constant pressure ﬁltration, ﬁltration performance is described by the
ﬁltrate volume collected vs. time for a given operating pressure. Similarly, for constant
rate ﬁltration, performance is described by the required operating pressure,p
o, vs. time
for a given ﬁltration rate. To a lesser extent, information of the cake thickness vs. time and
the evolution of cake quality (
mand the solidosity proﬁle) may also be of interest. For
predicting ﬁltration performance, different procedures may be used depending upon the degree of simpliﬁcations introduced:
a.The simplest (and therefore the least accurate) way of obtainingVvs.t(orp
ovs.t)isto
apply Equation(2.5.4a). The wet to dry cake mass ratio is calculated according to
Equation(2.4.1)with
3sapproximated as the stress average value3sgiven as
3sy3s¼
1
p
0
Z
p0
0
3s$dps (2.7.1)
The medium resistance may be taken as its intrinsic values (namely, the value
determined using clean ﬁltrate as the test ﬂuid). With the knowledge ofVvs.t, the
cake thicknessL, as a function of time, can be determined from the overall mass
balance or
3s0
ðLþVÞ¼
3s$L (2.7.2)
where3 s0
is the particle volume fraction of the feed.3 s0
can be expressed in terms of s or
3s0
¼
s=r
s
ðs=r
sÞþ½ð1sÞ=r
(2.7.3)
and the solidosity proﬁle is given by Equation(2.6.5).
b.Same as (a) except
3sis estimated according to Equation(2.3.6)with the solidosity
proﬁle given by Equation(2.6.5).
c.Same as (b) except the change (increase) ofR
mwith time is accounted for. As shown by
the work ofMeeten (2000)andTeoh et al. (2006), the presence of a ﬁlter cake over
a medium inevitable increases the medium resistance even if there is no particle
penetration into and deposition within the medium. Based on the results ofTeoh
Chapter 2• Cake Formation and Growth 41

Discovering Diverse Content Through
Random Scribd Documents

legkelendőbb czikkeket vég és hordó számra, s a feleségének a
dolga azokat kimérni rőf és itcze szerint.
Ulászló rosszabb volt mind férjnek, mind királynak azoknál a
gyámtalanoknál, kiket a véletlen mindakettőhöz való tehetség nélkül
e czímek alatt koronaviselésre itélt; mert ő egy kifáradt tehetség
volt: öntudatosan hasznavehetetlen. – Mint hős, mint hazafi, mint
országjavító kezdte, aztán belezsibbadt az eredménytelen munkába.
Meghódította a kozákokat, azoknak a fejedelme hűbéri
kötelezettséget vállalt. A lengyel és a kozák egyesülten megvédhette
volna Lengyelországot a töröktől, az orosztól, a némettől; a helyett
összevesztek a diætán a fölött, hogy milyen sorban üljenek
egymásután! s azután olyan verekedést támasztottak, hogy az alatt
minden szomszéd annyit vehetett el az országból, a mennyit akart.
A király behozta a jezsuitákat, hogy alapítsanak iskolákat, s azok
a helyett azt tették, hogy kipusztították tűzzel vassal a
protestánsokat és socinianusokat az országból. Rendezni akarta a
hadsereget európai módra, s az ország rendei leszállíták a rendes
hadai létszámát ezerkétszáz főre. Parancsolni akart és senki se
fogadott neki szót. Rendezni akart és ellene szegültek.
Takarékoskodni akart és meglopták. Nem király volt, csak arany-
töviskoronás martyr.
Egy ilyen zsibbadt szívhez lánczolta Luiza Mária a magáét.
XII.
Ez időtől kezdve Ulászló nem sok emlékezetre méltó eseményt
jegyzett fel a világtörténet krónikájába; de még a felesége naplójába
sem. A kozákokat engedte lázongani, a tatárokat pusztítani, a
jezsuitákat hatalmaskodni s a feleségét unatkozni.
A nyakán golyvája támadt, a mi még jobban ékteleníté, s elébb-
utóbb megfojtással fenyegette.

Még az is a sors satyrája, hogy a lengyel királyok (valamint a
franczia királyok) kiváltságai közé tartozott az, hogy ujjaik hegyének
érintésével golyvásokat gyógyíthattak meg, s most ime maga a
csodatevő kapta meg azt a bajt, a miből azért nem lehetett
meggyógyulnia, mert ő maga volt a király.
Utoljára a király belefáradt a sok opoponaxba és sparadraxba. Az
orvosát, a tudós Quartesiust kinevezte a fratres piarum scholarum
egyetemébe medecinæ professornak, maga pedig megszökött tőle,
kivitette magát a radzimini vadászkastélyába, egész udvari
kiséretéből nem vive mást magával, mint a feleségét, meg a
bolondját. Ott egy czigány asszonynak a tanácsára azt cselekedte,
hogy félretett minden orvosságot, s nem használt egyebet, mint a
vadas kertje közepén a sziklából kiömlő forrás tiszta vizét, a minek
csodatevő hatásának kellett lenni.
S az ostoba együgyű czigány asszony még megtette volna azt az
ügyetlenséget, hogy csupa tiszta forrásvíz itatással kigyógyítsa a
királyt, ha történetesen ugyanaz a forrásvíz a királynét még
hamarább meg nem gyógyította volna.
Ulászló mindennap négy vederrel megivott abból az áldott
forrásból, a királyné pedig mindennap kétszer megfürdött benne.
Gyönyörű, csendes olympi hely volt az a forrás, hová csak az
istenek leskelődhettek le biboros felhők közül. A vadaskert különben
is magas palánkkal volt körülkerítve, azonkívül minden úton, mely a
forrás tájékához vezetett, fegyveres őrök voltak felállítva, hogy
emberi lénynek még véletlenül sem lehetett odatévedni.
Luiza Mária sokszor elnézegette magát abban a sötét tükörben, a
mit a fenyvesektől beárnyékolt vízmedencze tartott eléje s míg
tündöklő bájait a csendes víztükör eléje tárta, gondolkodott rajta
magában, hogy lehet-e szomorúbb alak a világon, mint egy öreg
lengyel királynak a felesége? Egy kis falevél, mely a víztükörre
hullott, s a tündér alakot szétzilálta, azt mondá neki, hogy annál még
szomorúbb alak egy lengyel királynak az özvegye.

Az jobban el van temetve, mint a holt férj.
Egy meleg nyári délután, mikor tündér grottájában saját
képmásával ott a víztükörben ismét tanácsot tartott, egy nézője is
akadt dianai élvezetének. – Actæon: csakhogy már a metamorphosis
után: egy gyönyörű tizenhatágas gím. – Nem a hódolat hozta ide:
szomjas volt. Bizony olyan nyugodt tekintettel nézte az istennői
alakot ott a vízmedencze közepén, a míg a vizet szürcsölé, mint –
akár maga a férj. A mint elverte a szomját, megint odább ment. Az ő
eszményképe a vad szarvas ünő, nem a tündérkirálynő.
Azonban nehány percz mulva ijedelmes csörtetéssel tör vissza a
nemes vad, s keresztül szökellve a patak medrén, a sűrű pagonyba
menekül. Nyomban utána pedig egy lovag vágtat, épen a királyné
tündéri rejteke mellett.
Az egész megjelenés egyszerre meglepő és felháborító volt a
királynéra nézve. Hallatlan vakmerőség volt az, hogy a király
parkjában valaki szarvasra vadászni merjen, s azt a tilalommal
körülvett forrásig üldözze; de maga a tilalomtörő alak külseje is
egészen szokatlan. Viselete nem lengyel nemzeti öltöny, hanem
inkább olasz, vagy spanyol; fején piros barét, lengő tollal; nyakán,
kézcsuklóin csipkefodrok: öltözete fekete bársony, arany övvel
derekán átszorítva. És arczán is hiányzik az itteni férfiarczok minden
kiegészítő része; nincs se szakálla, se bajusza, haja nincs csimbókba
kötve; hanem szabadon leng a szélben. És azért mégis rajta a
lengyel vonások, az erős arczcsontok, a szögletes áll, a villogó sötét
szemek; – délczeg, daliás alak.
S hogy vakmerőségét még megtetézze: midőn a patakhoz ér, a
szarvast üldözve s ott megpillantja a királynét, hirtelen visszarántja a
lovát s míg a meglepett hölgy leplét sietve burkolja maga körül,
gyönyörteljes ámulattal mereng el alakján.
A királyné lángban égő arczczal siet lebomlott haját fejére
feltűzni. Azt hiszi tán, hogy az a koronáját fogja jelvényezni?
A bámuló lovag megszólal, az elragadtatás forró hangján:

– Gyönyörű asszony!
Ez fölségsértés! Ily szót kiejteni a meglepett királyné előtt.
– Távozzál innen! kiálta a hölgy, én vagyok a királyné!
A lovag elmosolyodott: nem rémült meg. Azt válaszolta:
– Sajnálom, hogy nem én vagyok a király!
Azzal visszafordítá a paripáját, sarkantyúit oldalába vágta, s a
merről jött, arra ismét elvágtatott.
A királyné fel volt háborodva. Nevet sem tudott még adni
felindulásának. Harag-e az, a királynői büszkeség s a női szemérem
megsértése miatt? vagy bámulat és megdöbbenés? – Ilyen alak nem
jött még az ő közelébe soha. Hogy neki, a nőnek hódoljon, nem a
királynénak. A ki nem azért közeledik, hogy egy darab kenyeret
kérjen, hanem hogy szemébe merje mondani, hogy «szép asszony».
A ki nem azért jön, hogy a királynénak valamiféle szolgája legyen:
«ura» akar lenni!
De hát ki ez? Honnan jött? Hova tűnt el?
Luiza Mária föltette magában, hogy a mint az első kertőrt találni
fogja, zajt üt és üldöztetni fogja a vakmerő betörőt, s a hanyag
őröket, kik őt idáig eresztették, szigorúan megbüntetteti. De mire az
első őrhöz ért, már elfelejtette a haragját, s mire a várkastélyba
jutott, már el volt határozva, hogy senkinek sem fog szólani az egész
kalandról.
A bohóczczal találkozva, a király felől tudakozódott.
– Hogy van ő felsége?
– Sajnálom, hogy jobb hirt nem mondhatok; ma megint jobban
érzi magát, mint tegnap, felelte a bohócz.
– Mit csinál a király?

– Mikor alszik, akkor álmodik, s mikor ébren van, akkor velem
magyaráztatja az álmait.
– Bolondok foglalkozása.
– Nem az, királyné asszonyom. Az álmok beteljesülnek. Lásd, a
mit te első éjszaka álmodtál, menyasszony fővel, a varsói
királylakban, már közeledik teljesültéhez. Azt álmodtad, hogy egy
királynak és egy papnak a felesége lettél. No, király felesége már
nem soká fogsz lenni. Aztán jön a pap. Tudod, hogy az a lovag, a ki
téged ma a forrásnál meglátott, az egy pap volt.
A királynét a bámulat, a rémség és meglepetés némává tette. A
bohócz játszhatott vele.
– Pap volt biz az, még pedig bibornok. Olyan nagy úr, a kinek
minden szabad, még a királyi vadaskerten keresztül vadászni, még a
királynét a forrásnál meglesni is szabad. Ez a nagy úr János Kázmér,
a király testvére.
– A király testvére?
– Az bizony, s ha te akarod, utódja.
– Eszed vesztéd-e?
– Soha sem volt. Bolondokat beszélek. Az a hivatalom.
– Honnan tudod e találkozást?
– Madár nem vagyok, hogy a levegőből láttam volna meg;
vakand nem vagyok, hogy a föld alatt hallgattam volna ki. Találd ki,
honnan tudom azt, hogy ő azt mondta neked: «gyönyörű asszony!»
te erre azt: «távozzál, királyné vagyok!» s ő vissza ezt: «kár, hogy
nem vagyok király!»
– Ő maga mondta neked.
– Ő mondta nekem, hogy téged szeret.

– Hát tartsd meg magadnak, a mit most mondok, bohócz. Nekem
van uram: a király, a papnak van ura: az oltár. Ha nekem még erről,
a mit most mondtál, beszélni mersz valaha: hát a milyen tarka most
az öltönyöd, olyan tarka lesz a bőröd a korbácsütéstől.
– Előre is köszönöm. Hanem én már láttam olyan királyt, a ki az
országát felcserélte a mennyországgal, és olyan papot, a ki a
mennyországát fölcserélte a földi országgal. Nem szólok. Te nagyon
szereted a királyt. Félsz özvegygyé lenni. Hogy engedheted meg,
hogy elhagyja magától orvosát, gyógyerejű egész patikájával, s
idejőjjön, egy czigánynővel kuruzsoltatni magát? Nem vádol érte a
lelked?
A királyné arcza égett attól a gondolattól, hogy lelkében a hohócz
a legrejtettebb gondolatokat is úgy olvassa, mintha az nyitott könyv
volna.
– Én, ha megengednéd, szólt alázatos bókkal Wawra, elhozatnám
a tudós Quartesiust, hogy vezesse tovább a király gyógyrendszerét,
a mit eddig oly bölcsen intézett.
– Tedd hát! rebegé a királyné, izgatottan futva el a bohócz
gúnyosan alázatos tekintete elől.
Tudós doktor Quartesius tehát ismét megérkezett a királyi
beteghez, elhozta magával csodatevő theriákjait, tapaszait, érvágóit
és köppölyeit, s folytatva megkezdett munkáját, olyan szépen
visszavezette a már-már gyógyulási útra tévedett fejedelmet a maga
régi rendeltetéséhez, hogy mire az ősz elhozta a sárga faleveleket, ő
felsége IV. Ulászló is fölcserélte földi országát a mennyországgal, a
hol nincsenek kozákok, vagy ha vannak, hát nem lehet rájuk ismerni,
úgy átváltoztak.
XIII.

Fényesebb temetkezési pompa még aligha kísért fejedelmi
halottat sírboltjába, mint IV. Ulászlót. Először is a szandeczi palatinus
banderiuma összeverekedett a lyubomiri palatinuséval a fölött, hogy
melyiké legyen az elsőbbség a koporsó kíséretében, kicsinyben mult,
hogy a fáklyákkal fel nem gyujtották a királyi várlakot. Azután a
Krakkó elővárosban a köznép megrohanta a zsidókat, a kik a
meghalt király kegyenczei voltak, s azoknak az összetörött butoraiból
máglyát rakott a piaczon, s azt meggyujtotta, a félmeztelen
asszonyok, gyermekek, vének, jajgatva menekültek végig a Dluga és
Viedova utczákon, a királyi gyászpompa processiójával szemközt; a
Prága külváros felől pedig egyre terjedő füstfelleg hirdette a nagy
vésztüzet, a mit a felzendült kozákok támasztottak, kik tatár
csapatokkal egyesülten, most találták eljöttnek az időt, hogy
hangosan követeljék a magok számára az egyenjoguságot az
országgyülésen, s érsekük számára az ülőhelyet az országtanácsban.
Most ők voltak előnyben a lengyelek fölött, mert az ő fejedelmük
lovon ült, ezeké pedig a ravatalon feküdt. Minden utczán másnemű
tumultus, zendülés, lázadás pusztított, gyujtogatott, s a gyászpompa
harangjai közé a külvárosok félrevert harangjai, s a lázadók ágyú- és
puskaropogása vegyíték ijesztő zajukat.
S e zürzavar közepett a Szent-János székesegyházban az elhunyt
király requiemén énekelték a karok a szent zsolozsmát: «lux
perpetua luceat ei». A pontifikáló bibornok maga a király öcscse volt:
János Kázmér.
Ha Luiza Máriát megdöbbenté a vadászköntösben vágtató lovag
alakja, ki őt magányában meglepve, vakmerő, luxuriosus tekintetével
megalázta és felmagasztalta: mint királynőt megsérté, mint nőt,
meghódítá: úgy most ugyanazon alak, az oltár előtt állva, az
egyházfejedelmi biborpalástban, arczán a világ fölött álló lelki
nyugalom kifejezésével: az egekig emelte. Ebben a nehéz órájában a
világbomlásnak, úgy állt ott a főpap, mint az őskeresztény patriarkák
mintaképe, rendületlenül, félelem nélkül, kezében a görbe
pásztorbot, a mi minden fegyvernél, minden jogoknál hatalmasabb.

A nyugodt mosolygás arczán a vész közepette olyan volt, mintha
dicsfény venné azt körül.
A mint a gyászszertartás véget ért, még a ravatalt szét sem
bontották, melyről a király koporsóját az imént beszentelve,
leszállíták a sírboltba, midőn egy hang felkiáltott a gyülekezetből:
«Tartsunk országgyülést!»
Ez nem volt szokatlan. A lengyel országgyülésnek lehetett
helyiséget változtatni. Ha sürgős volt a dolog, hirtelen összeütöttek
bármely szabad téren deszkából egy tágas köröndöt, s meg volt az
országház; ha nem lehetett ott tanácskozni a rakonczátlankodók
miatt, összebeszélt az egyetértő többség, összegyűltek egy
templomba, vagy egy palotába, kikiáltották, hogy «itt az
országgyülés» s mire a dissidensek neszét vették a helyváltozásnak,
meghozták a határozatot. Mert a határozathozatalhoz egyértelműség
kellett: egyetlenegy «nem akarom!» szó szétrobbantotta az
országgyülést.
Ezúttal jól volt szervezve a cselszövény. A választott elnök,
Lubomirszky György, elfoglalta az elnöki széket a ravatalon. Egyúttal
az elnök maga volt az indítványozó.
Előadá a nemes követ azoknak, kik mind az özvegy királyné hívei
voltak, hogy az ország mily végveszély válságát éli; fejetlenség a
hívek között, és sárkányfejűség a lázadóknál. A zendülés magában a
fővárosban is szerteszét dúl. Szövetséges kozákok és tatárok
egyszerre ellenségekké váltak. Chmielniczky Bogdán attamán és
Murai khán tűzzel-vassal pusztítják a vidéket, s nincs ember, a ki az
ellenállást vezesse. Az országnak király kell, azonnal és rögtön.
Király, a kinek helyén van a szive, a ki a legnagyobb vész óráiban
hivei között jelen van és őket vezetni kész, ki az ég áldását s a pápa
beleegyezését előre is biztosítja: csakhogy rá nem mutatott János
Kazimir herczegre.
A nemesség nem várta végét a beszédjének, hanem közberivalt,
kiáltva «János Kazimir király» nevét. Ulászló még hallhatott belőle

valamit, csak akkor csapódott be utána a kriptaajtó.
Egy hang sem kiáltotta, hogy «nem akarom!»
Ez rendbe hozatván, előállt Bonzi bibornok, a pápa nuntiusa, s
felolvasá az egyházfejedelem brevejét, mely által János Kazimir
bibornokot papi esküje alól feloldja.
A volt bibornokot levetkőztették egyházi köntöséből, ledörzsölték
tonzurájáról a szentelt chrysma nyomait, s ezután ugyanazon érseki
kezek felkenték a homlokát, hogy képes legyen királyi korona
viselésére, s ráadták a fejedelmi mezt, fejére tették a koronát. Mint
bibornok ment be a templomba, mint király jött ki belőle.
De nagyon szorult király volt ebben az órában. Elmondhatta
magáról, hogy egész országa abból a térből áll, a mit a kardja
hegyével körül keríthet.
Országa fővárosának minden hostádjában ellenség tábortüzei
égnek.
Azok között legnehezebb ellenfél a két idegen (bár nem a
legelkeseredettebb). Legelőször is ezektől kell megszabadulni. A
honfitárs ellenségekre majd azután kerülhet a sor.
Mindössze ezerkétszáz testőrből állt az új király egész hadserege.
Tegnap még pap volt, ma már hadvezérnek kellett lennie. Az is a
kor szokásaihoz tartozott. Sok püspök, a ki írni nem tudott, a kard
markolata végén hordta a bevésett névbetűit, s úgy ütötte azt rá a
pergamenre aláirás helyett.
Az özvegy királyné így szólt az új királyhoz:
– Te menj a magad hadseregével Bogdán ellen, én megyek az én
haderőmmel Izla khán ellen, s majd a hol ismét egymásnak nyujtjuk
a kezeinket, az lesz igazán a «kézfogó».
János Kazimir meg volt felőle győződve, hogy a királynénak is
van hadserege, s a lengyeleknél nem szokatlan az, hogy a nők

vezessék harczba fegyveres hadaikat.
A király tehát úgy tett. A maga hű csapatjával kivonult a kozákok
ellen, hanem aztán, mikor meglátta azoknak sokaságát, mást
gondolt.
Elküldé a követét Bogdánhoz. A követ elvitte magával a fejedelmi
pálczát és a lófarkat, az uralkodás és fővezérség jelvényeit az
attamánnak a király nevében, felajánlva neki a békés szövetséget
azon esetre, ha az attamán segít a királynak a dúló pogány tatárokat
elverni a nyakáról.
A kevély, elbizakodott kozák vezér visszautasítá a fejedelmi
jelvényeket.
– Nem vagyok én gyermek, hogy nekem fakardot, meg
csörgetyűt küldjetek játszani. A tatár nekem szövetségesem, s a
pogány nem roszabb nekem, mint a jezsuita. Nem én kérdezem a ti
ma csinált királyotoktól, hogy megengedi-e nekem, hogy attamán
legyek? hanem ő tudja meg én tőlem, hogy mi áron engedem meg
neki, hogy király legyen.
Azzal előhozatott egy ökörbőrt, egy egész kicserzett ökörbőrt, a
minőből a bocskor-talpakat szokták szabni; neki hasaltatott egy
pópát, a ki tudott a betűvetés mesterségéhez s teleiratta azt
követeléseivel, a mik között a legutolsó volt az, hogy a többiek
pontos megtartása végett a kozákok követei ott üljenek a lengyel
országgyülésen s a metropolitájuk karszékkel és szavazattal bírjon az
országtanácsban.
Bogdán vezér azt hitte, hogy ha mindez ökörbőrre van írva, akkor
jobban megmarad. Ezt azután összegöngyölítve az ajándékpálczával
és lófarkkal együtt a követ hátára rakta, az úgy tért vissza, mint egy
csizmadia a vásárból.
János Kazimir és országnagyjai elszörnyedve olvasták a hallatlan
nehéz föltételeket, a mik között voltak egészen teljesíthetlenek is;
például, hogy a jezsuiták hatalmaskodása megszüntettessék, hogy a
Á

zsidóktól az adóbérlet elvétessék. Ámde János Kazimir nagyon jól
ismerte azt a jezsuita szabályt, hogy «mikor nagyon meg vagy
szorulva, igérj meg mindent, messze van Rómától Jeruzsálem, még
messzebb van a földtől az ég, de legmesszebb van az igérettől a
megadás».
A király tehát aláírta az ökörbőrt, rá is akasztotta a függő
pecsétet, s úgy küldte vissza azt megerősítve Chmielniczky Bogdán
fejedelemhez, kérve őt szépen, hogy már most hát menjen haza
békével a maga országába.
Bogdán vezér azonban ekkor azt mondta, hogy meg kell várnia,
mit szól a szövetségese, Izla khán, ehhez a kiegyezéshez? s az alatt
gondolkozott rajta, hogy mit lehetne még követelni a királytól?
Izla khánnal, a másik ellenséggel, azonban sokkal jobban tudott
elbánni a másik hadvezér, a királyné. Nem vitt ellene se hadsereget,
se követet nem küldött hozzá: maga kereste őt fel tábora közepén, s
csak kincseit vitte magával, és talán még egyebet is. Az asszony-
hadvezér nem nyerte meg, nem verte meg az ellenséget, hanem
megvette azt, s a tatár vezér eladó volt. A míg Chmielniczky Bogdán
azon törte a fejét, hogy mi jogokat követeljen újból a szövetséges
tatárok számára, azok egyszerre csak rajt ütöttek, s buzogánynyal
verték a fejébe azt a tudományt, hogy a pogány is rosz, a jezsuita
még roszabb, de legroszabb a kettő együtt. Luiza Mária diadalmasan
érkezett a királyhoz, egyik ellenséggel elkergetve a másikat s a futók
táborhelyén keresztül nyujtá kezét a megszabadítottnak, s az igazán
örvendetes kézfogó volt.
Chmielniczky Bogdán ugyan már magával vitte az aláirt ökörbőrt,
de biz azt a szép darab bőrt kár volt elrontani azzal a sok ráfirkált
betűvel, mert nem elég ahhoz a király aláirása, abba még a rendek is
beleszólanak. Mikor a convocatios országgyülésre feljöttek a kozákok
követei, azokat a nemesi rendek az ablakon dobálták ki; a
metropolitájuk jobban járt, mert azt be sem eresztették.
Mire azután újból elkezdődött a kozák lázadás, tatár pusztítás.

XIV.
Hanem ez mind nem akadályozta azt meg, hogy a zűrzavar
közepett is meg ne tétessenek az előkészületek a királyi
menyegzőhöz, Luiza Mária és János Kazimir között.
Az új király talán szerelmével is adós volt az özvegy királynénak,
de hálájával mindenesetre tartozott neki. Az tette őt meg királynak.
Bethune marquis, a kincstárnok, mondhatná meg, hogy hány kiürült
pénzes láda siratja azt az általános lelkesedést, a mely János Kazimir
számára Ulászló ravatalából trónlépcsőt csinált? Ezt vissza kell fizetni.
Luiza Mária azt hitte, hogy végre feltalált János Kazimirban egy
«csillagot», mely azt a végtelen sötétséget, a mi egy napjától
megfosztott női szív, át fogja derengeni. Nem a bálványozott hős
ugyan ez, de mégis dalia és nemes ember.
Azonban még a menyegző előtt történt valami baleset, a mi még
ezt a halvány csillagsugárt is kioltotta.
Mikor a király menyasszonyát kézen vezetve, a székesegyház
lépcsőin fölfelé haladt, egyszer csak útját állta egy férfi a
templomajtó előtt. A templom-bejárat előtti csarnokot, mint
rendesen koldusnép ülte tele, azok között senkinek se tünt fel egy
marczona férfi-alak, kopott gúnyában, meg egy fiatal sápadt nő, egy
ingben, mezítláb, ki hosszú leomló hajával takargatja ölébe buvó
félmeztelen porontyát.
Mikor a királyi jegyespár a templom küszöbére lépett, eléjök
toppant a koldustömeg közül ez a férfi, felrántva karjánál fogva a
reszkető asszonyt térdepeltéből.
– Ismersz-e engem? János Kazimir! kiálta a vakmerő a királyra.
Hát ezt az asszonyt ismered-e, kis porontyával? Én vagyok
Radziejowszky Jaromir, s ez itt a feleségem, a te szeretőd, a kit te
elcsábítál; ez a te gyermeked, a kinek atyja lettél. Nem ismered-e
őket?
Ő

– Őrült vagy, mondá a király, s félre akarta tolni maga elől a
dühöngőt.
De a sértett férj megragadta vállán a királyi palástot, s
fékezhetlen dühvel kiáltá:
– Nem mégy be a templomba, míg szónak nem állsz! A míg
bibornok voltál, nem támadhattam fel ellened, nagyon magasan
voltál hozzám; de most már csak király vagy, most elérhetlek. Én ezt
a nőt és gyermekét kitaszítom házamból, egy ingben mezítláb: a
tieid. Vedd fel, vagy taposd el: a tieid. Ezt tedd királynéddá, azt tedd
trónörökösöddé: mert a tieid. Esküszöm az élő Istenre!
S azzal a reszkető asszonyt gyermekével együtt odaveté a királyi
pár lábai elé.
Luiza Mária bámulva látta biboros vőlegénye arczán a férfi-
gyalázó sápadtságot, az ijedséget, s a mi ezt felváltá, az nem a
nemes harag pírja volt, hanem a gyáva szégyené, a kelepczébe
jutott hazugságé. Szemei zavarodottan kapkodnak segély után,
fagyos keze reszket menyasszonya kezében, nincs egy szava sem
ahhoz a nőhöz, ki zokogva borul lábaihoz, s hosszú selyem hajával
söpri a hideg márványt; sem ahhoz a gyermekhez, ki kérő kis kezeit
összekulcsolva emeli fel hozzá, sem ahhoz a koldushoz, ki úgy tart
leczkét a királynak, mintha ő volna annak a bírája.
– A mit vétettél mint pap, tedd jóvá, mint király! Mert ha te
becsuktad előttem, mint pap, az üdvösség ajtaját, én becsukom
előtted a templom ajtaját!
S az őrjöngő még megtette volna, a mivel fenyegetőzött, ha
Lubomirszky és Bethune meg nem ragadják s a testőrök segélyével
félre nem hurczolják az útból a férfit, nőt és gyermeket, a kiknek
sírásuk, átkozódásuk még a templomba is utánuk hangzott, s
belekiáltott a «Domine Salvum fac regem et reginam» khorusába.
És ezzel az indulattal járulhatott az eljegyzett fejedelmi pár az
oltár elé, tanunak hívni a szerelem esküjéhez «azt», a ki a szivekben

olvas.
János Kazimir ajkain reszketett az eskümondás, a boldogságról, a
szerelemről, az örök hűségről beszélő szózat, míg lelkében a
szégyen, a harag s az önvád dæmonai lázongtak; de a menyasszony
szívvilágának ez volt az utolsó napelsötétedés: az a félretaszított
asszony, síró, imádkozó kis gyermekével úgy állt a férj és feleség
szíve közé, mintha a hold sötét tekéjét örökre ott felejtené egyszer a
boszúálló világ-úr a nap és a föld között. A férj arczának minden
glóriája eltünt örökre. Csak kezeik lettek összekötve, sziveik soha.
XV.
A tatár fejedelem behívta a törököket, a kozák attamán pedig az
oroszokat Lengyelországba, az egyik dél felől, a másik kelet felől
pusztította az országot. János Kazimir királynak bő alkalma nyilt
királyi hatalmát érvényesíteni a haza külellenségei rovására, hanem
hát arról ő nem tehet, hogy a jezsuita köntös hosszabb a királyi
palástnál. Neki elébbvaló dolog volt az, hogy az országából kitisztítsa
a lutheranusokat, anabaptistákat és sociniánusokat s elkérje kölcsön
Spanyolországtól a szent inquisitiót. Divatba jött a máglya és a
keresztre feszítés. Mindenekfelett pedig arra fordítá figyelmét, hogy
az őt nyilvánosan meggyalázó Radziejowszky Jaromiron fejedelmileg
boszút álljon. A felségsértő férj a senatus elé idéztetett, s ott egy
szavazattöbbséggel elitélték halálra és egész nemzetségét örök
becstelenségre, czímerét összetöretésre; még a lovát is elitélték
megnyúzatásra, a házát is elitélték földig lebontatásra, még a földeit
is elitélték – sóval bevettetésre.
(Az egy többséget tevő szavazat annyi pénzébe került a
királynak, hogy abból egy ezredet ültethetett volna lóra a kozák
ellen.)
Az itélet mind rendén végre is hajtatott, egész Radziejowszkyig, a
ki nem engedte magát nyugodtan lenyakaztatni, a hogy czivilizált

népeknél van már begyakorolva a nemesi rend, hanem birokra kelt a
fogdmegekkel, s barbár módon keresztül vágta magát rajtuk és
elmenekült.
János Kazimir rövid időn megtudta, hogy hová szökött
Radziejowszky?
A lengyel két dolgot tud mesés módon. Szeretni és gyűlölni.
Hazáját szeretni, s az idegent gyűlölni. Hanem a mit még jobban
tud, ez: «gyűlölni a maga fajtáját».
Ha a lengyel megharagszik a saját nemzetére, az
kiengesztelhetlen. Annak a haragja nem olvad fel az anyja
könyjeiben, mint Corioláné.
Radziejowszky Jaromir Károly Gusztáv svéd királyhoz menekült.
Magával vitte az itéletet, melyet János Kazimir ellene kiadott, s nem
kért kevesebbet a svéd királytól, mint hogy indítson háborút a
lengyel király ellen.
A svéd király elolvasá az itéletet s biz azt elég sulyosnak találta,
de az, hogy egy király «egy» jobbágyát igazságtalanul elitélteti, még
nem ok arra, hogy őt a szomszéd király haddal megtámadja.
– Csak olvasd végig! mondá a lengyel nemes. Egész a
névaláirásig.
János Kazimir neve után következtek a szokásos czímek, a mik
közé ő ezt is felvette: «Svédország királya».
De ez már elég ok volt arra, hogy Károly Gusztáv rögtön háborút
indítson János Kazimir ellen. A svéd hadak még arra sem vártak,
hogy az új házasok a mézes heteiket eltöltsék; jöttek pihent erővel
nagy Lengyelország ellen Pomeránia felől. Ez már a harmadik
ellenség volt: és a legfélelmesebb.
És a lengyel királynak még mindig nem volt több hadserege annál
az ezerkétszáz főnyi testőrcsapatnál, a mire a rendes hadsereget az
országgyülés leszállítá.

E végveszedelemben újra lángra lobbant a lengyel szívekben a
honszeretet, az összehivott országgyülés csodáit idézte elő az igaz,
nemesi áldozatkészségnek. A főurak felajánlották banderiumaikat, az
egyháznagyok kincstáraikat nyiták meg, elhatározták, hogy minden
nemes, a húsz évestől az ötven évesig, lóra üljön, a városok
lövészcsapatokat állítsanak ki, a tüzérség lovakat kapjon, a
vezéreknek a zsold utalványoztassék, a paraszt élelmiszereket
szolgáltasson az egybegyűlendő hadseregnek, s annak fővezére
legyen maga a király. Ha akarta, oly haderőt állított ki Lengyelország,
hogy muszka, kozák, svéd és török imitt-amott szedi össze magát,
úgy elpaskolják egyszerre mind a négyet!
Ha akarta!
XVI.
Mikor Radziejowszkyt a templomajtóban elfogták, a szegény,
félrerugott asszonynyal és porontyával senki sem törődött. Azok
mehettek, vagy fekve maradhattak, ha felkelni nem bírtak.
Mégis akadt egy ember, ki beléjök botlott. Sziczinszky
Bogiszlávnak hítták.
Regényesebb volna, ha úgy adnók elő, hogy ez valaha imádója
volt az elvetett asszonynak, s most kétségbeesésében ő jött oda,
kezet nyújtani neki, hogy bukásából felemelje; de vázlatunk ily
symmetrikus vonásokat nem tűr. Ennek minden része sajátságos,
idegenszerű, a népfajt erős kifejezésekben jellemző ötletekből áll.
Sziczinszkynak nem volt semmi köze ehhez az asszonyhoz: csak azt
látta, hogy sír, s két férfi által ide-oda rugdostatik, az egyik a férje, a
másik a szeretője: a király, a ki most épen esküvőjére megy, s hogy
van egy kis gyermeke, a ki görcsösen kapaszkodik a nyakába s mind
a ketten félmeztelenek, majd megfagynak. Ez elég ok volt
Sziczinszkynak, hogy felszedje őket a földről, felültesse a szekerére,
bele takargassa saját bundájába s elvigye őket magával haza

Bielogrodnoba, ahol jószága volt, rajta szép háza, udvartelke: ott
elfér asszony és gyermek. Az asztalnál is lesz majd számukra hely.
A hazavitt asszony aztán elbeszélte gazdájának, a mik vele
történtek. Nagyon szomorú mese volt az. Senki sem volt olyan hibás,
mint a király.
Sziczinszky igazi lengyel volt, a kit az idegen szenvedés boszura
ingerel. A maga baját nem bánja a lengyel; de a másé miatt képes
megváltoztatni az egész életét. Az, hogy az ő majorsága épen útjába
esik a dúló tatár-hadnak, nem aggasztotta; csak azon dúlt-fúlt egész
nap, hogy ezért a szegény asszonyért hogy álljon boszút? Nem szólt
neki semmit, nem biztatta, nem fenyegetőzött: a lengyel nem
szokott kérkedni a tett előtt; tett után inkább.
A világtörténetnek még egyszer föl kellett jegyezni azt a mesébe
illő harczot, mely Menelaus elcsábított felesége miatt támadt. A
Radziejowszky felesége miatt támasztott hadjárat még a trójai
hadjáratnál is siralmasabb volt: csakhogy az Iliász dicső
hérószharczai nélkül.
Valami nagyra kellett magát elhatározni a lengyel nemzetnek,
hogy a végveszélyből kimeneküljön. S az elhatározás nehéz volt,
mikor mindenki tudta, hogy a legnagyobb bajnak a király az oka, a ki
háromszoros esküt tört meg, a mikor mint bibornok, trónörökös és
vőlegény egy férjes nő hűségét kisértetbe vitte. Haragudtak is rá
sokan s a felkelés és a subsidiumok megszavazása kétséges volt az
országgyülésen. Mikor egyetlenegy szó elég a határozatot
meghiusítani.
Azonban hat hét nagy idő, a mi az országgyülési idény tartama.
Ez alatt az ellenkezőket minden oldalról körülvették, puhították. A
szájasabb követeket kiszemelték, kapaczitálták, lekenyerezték,
lehizelegték. A jezsuiták ékesenszólása hatalmas; még hatalmasabb
ékesenszólása van az asszonyi szép szemeknek; de leghatalmasabb
ékesenszólás adatott annak, a kinek a hangja rekedt: az aranynak. A
kit a papok meg nem tudnak puhítani a pokol félelmeivel, a kiket

Luiza Mária és Leonora igéző szemei meg nem babonáztak, azt
megtéríték Bethune marquis szent-György lovagjai, a minők a
tallérokra és arany pénzekre verve vannak. A hatodik héten már nem
lármázott senki.
A lármázó követeknél azonban sokkal veszedelmesebb kategoria
a hallgatóké. A kik sunynyognak, hátukat oda támasztják a falhoz, a
szájukat a markukba fogják s mikor megszólítja őket valaki, nem
engednek a szemükbe nézni s ha feleletre kényszeríttetnek, azt
mondják: «Isten tudja, hogy lesz, mint lesz?» vagy a fejöket
bólintgatják, s azt mondják mindenre: «jól van, jól!»
Ezekkel is el tudtak bánni. A mely nap a nagy szavazásra került a
sor, reggel minden követnek meg kellett előbb gyónni és áldozni. A
gyónó czédula nélkül senkit a gyülésbe nem eresztettek. Ez nemcsak
az ünnepélyesség végett történt, hanem azért is, nehogy valami
alattomos socinianus, vagy egyéb schisma-követő lopózhassék a
gyülekezetbe. A gyóntató jezsuiták aztán, a kinek a fülbesugásából
azt tudták ki, hogy a szíve ránczai között az ellenmondás szándékát
rejtegeti, annak az áldozat-ostyában egy kis gyönge, ártatlan altatót
adtak be, a mitől a dissidens majd szépen aludni fog a maga helyén,
mindaddig, a míg a «Te Deum laudamus» éneklésre fel nem
rángatják. Hiszen aludni az országgyülésen másutt is divat, s nagy
csoda, hogy egyéb európai parlamentekben még eddig be nem
hozták ezt a módját az ellenzéki siró gyermekek elcsendesítésének.
Így el volt készítve minden a legszebben. Az országgyülés bezáró
ülését maga a király nyitá meg, a koronás királynéval az oldalán;
együtt voltak az érsekek, a püspökök, a harmincz palatinus s a
nyolczvan castellán, a százhatvan sztaroszt, és a szejmikik követei, a
«drobna schlachta» szóvivői, és azután a városok képviselői is, de a
kiknek együttvéve volt csak egyetlenegy szavazatuk. (Ne titkoljuk,
hogy ez 48 előtt Magyarországon is így volt.) A «veni sancte
spiritus!» eléneklése után, az ország marschallja Lubomirszky
felolvasá azt a hosszú jelentést, melyben előadatott, az országnak
jelen szorongatott helyzete s mindazok a módszerek, a mikkel ennek
elfordítására a siker reményével működni lehet.

A ki magától a hosszú szónoklattól el nem aludt, azon segített a
jezsuiták laudanuma; a dissidensek horkoltak; a hű karok és rendek
alig várhatták, hogy a marschall összecsapja a testes iratot, s ők
felállván helyeikről unisono felkiálthassanak: «helyeseljük!»
Hanem a mint a choralis lelkesedés hangja elcsendesült, mielőtt a
marschall ráüthette volna a pecsétet a megszavazott törvényre, egy
mély dörgő hang felkiáltott valamelyik ablakfülkéből:
– Nye poz wolim!
Az ellenmondó Sziczinszky volt.
E fatalis kiáltás után hirtelen felszakítá az ablakot és kiugrott azon
át az utczára.
Ha benn marad a teremben, bizony darabokra aprítják! Hanem
künn az utczán nem bántja senki. A követ teste sérthetetlen az
országgyülés előtt és azután tizennégy napig; csak benn a teremben
forog abban a veszélyben, hogy a szomszédjai levágják a nyakát, ha
kimondja a veszedelmes szót, vagy a torkába fojtják azt, ha
észreveszik, hogy ki akarja mondani.
XVII.
Mert az rettenetes egy szó: «nye poz wolim!»
Az egy maga több, mint a király és a nemzet. Az lefújja a papirról
a porzóval együtt a ráirt betüket; egy embernek a szava
megsemmisíti az egész nemzetnek az akaratát. Ez az absolutizmus, a
mit az egyes polgár gyakorol az egész ország fölött. Az orosznál
«czar kazál», a lengyelnél «nye poz wolim». Ott: «én»: «egy úr»:
«parancsolom». Itt: «én»: «egy jobbágy»: «nem engedem».
Dæmoni jelszó mind a kettő.
A ki a «nye poz wolim»-ot kimondta, az teljes életére el volt
veszve, mint ember. A háza táját elkerülte rokon, jóbarát, ismerős.

Cselédjei megszöktek az udvarából, jobbágyai kiköltöztek falujából,
mert annak a bérese és parasztja is ki volt péczézve s botba futott,
ha más határba ment. A házához vezető utakat elárkolták, a hidakat
letörték, marháit bitangba hajtották s ő maga szabadnak lett
kikiáltva, mint a madár. A tizennégy nap leteltével úton, útfélen
lelőhette, agyoncsaphatta akárki. Szántóföldei ugaron maradtak,
mert a jobbágy nem szántott többé robotban; a cselédek a
kapufélfától vettek búcsút, s a nemes ember tenyere nem arra való,
hogy azt az eke szarva feltörje. Ezentúl már csak úgy fog éldegélni,
mint nomád őseink: maga eljár az erdőre, nyulat, őzet lőni, s az
egyetlen asszony, a ki híve maradt, a király elvetett szeretője, az
alatt a kertben kapálgat, borsót fejt, káposztát öntöz: abból élnek.
Őszszel gomba is terem az erdőn, azt összegyűjtik, s a somból lehet
pálinkát főzni. Ha a tenger közepén egy korál-zátonyon laknék, nem
volna jobban száműzve.
De azért meg van az az öröme, hogy egy egész országot
halomba dönthetett! Egy szava elég volt, hogy a nagy alvó óriás
fülébe kiáltva, mikor az legjobban álmodik hatalmas hadseregről,
dicső csatákról, fényes diadalokról, fölébressze azt, s aztán ne lásson
mást, mint lánczokat, rongyokat és férgeket a testén.
S erre elég volt az ő egyetlenegy szava.
Hogy mi lett annak a következése, azt csak képzelete mesélte el
neki, mert hisz hírmondó nem taposta le a füvet az ő házának
udvarán, hogy elmondja neki, hányféle ellenség dúlja azóta az
országot? hogy a muszkák már elfoglalták Lithvániát s Lembergig
száguldoznak portyázó hadaik, hogy a svédek már Varsó alatt
harczolnak; hanem beszélt neki éjszakánként a tűzfénytől vereslő ég
alja; köröskörül a láthatáron felgyújtott falvak, városok lángja pirítja
meg az eget: ott mindenütt ellenség jár. Az ő vidékét kikerüli az.
Mikor az elvadult, bozóttá vált földek határához ér, a hol az utat
benőtte a tövis, ott megfordítja a lovát, s igyekszik az átkozott földről
elmenekülni, a hol a gazda maga sem eszik kenyeret.

S az ellenmondás dæmonának öröme telt ebben. Hozzá csak a
csatatéren jóllakott hollók látogattak el, azokkal beszélgetett.
A király fut. Nincs hová fejét lehajtania. Mint a szarvast a
kopófalka, úgy üldözi az ellenség. Ég a lába alatt a föld. És mindez
egy embernek egy szavába került; egy kicsiny kis embernek, a kit
nem vesz észre senki, csak a mikor felgyújtja az országot, akkor
jegyzik fel a nevét. S ebben a lángban van boszú és dicsőség. A ki
szeret ezeknél melegedni, miért ne gyújtaná fel a hazáját, ha
megharagudott a királyára?
Az elátkozottaknak voltak ünnepnapjaik is. Mikor a megbélyegzett
ember éjjel valami nagy égés verőfényét látta az égen, akkor
hajnalban elindult azon táj felé. Nem kellett félnie, hogy
honfitársaival találkozik össze. Ott az ellenség jár: – jó czimbora!
Attól már nem kell neki félni. Azok is tisztelték az ő átkozott hírnevét.
Olyankor aztán örömhírekkel megrakodottan tért haza a puszta
lakba, s friss vad helyett friss rémtetteket rakott fel az inséges
asztalra. De hát nem többet ért-e az az úri asztalok minden
csemegéinél, hogy gróf Konyeczpolszky elfogta a lázadó kozák vezér,
Bogdán feleségét és fiát, s megölette mind a kettőt. A kozák vezér
aztán visszafordult, ő meg Konyeczpolszky várát foglalta el, annak is
volt felesége és két fia: azokat a kozák a lengyel tábor szemeláttára
keresztre feszítteté, «mint Krisztust és a két latort a Golgotán!» –
Hogy a kiüldözött socianusok, a kozákokkal együtt visszatérve,
összefogdosták a kolostorból a szerzeteseket és az apáczákat, s
kényszerítek őket egymással házasságra kelni, s úgy vitték el
rabságra; hogy Csapliczky lengyel vezér az elfogott kozák hetmánt,
ki városostól együtt feladta magát, kivégezteté: de nem hóhér keze
által, hanem szakácsával ölette le, ezt a csúfságot egy egész ország
vére sem lesz elég lemosni. Ha agyonkínoztatta volna, azt még
megbocsátaná a kozák, de hogy a szakácsával ölette le, mint egy
ludat: azt nem.
S az elátkozottnak ezt jólesett tudni.

Fut már a király és a királyné; pusztáról pusztára! A mely házban
este lefekszik aludni, abban nem talál nyugtot reggelig! A svéd had
elfoglalta nagy Lengyelországot. A főrendek csapatostól sietnek
eléje; nem harczolni: meghódolni. Csak Krakkó áll még, az őrzi a
koronát, a kincstárt, a templomok ékszereit és a pactum
conventumokat.
XVIII.
A király és a királyné futottak pusztáról pusztára.
Hasztalan fordultak a föld minden potentátjaihoz, Lipót
császárhoz, XIV. Lajos királyhoz, azoknak maguknak is mind nagy
bajuk volt akkor.
Különös idők jártak. Az égen üstökös csillag rémképe kisértett
éjszaka s nappal álnapok rajzoltak kettős keresztet a
firmamentumra: a csillagászok világromlást jósoltak a Mars és
Saturnus közelgő conjunctiójából, s Varsó alatt olyan nagy
földrengés volt, hogy a házak ledőltek. S a mi az égben és a föld
alatt végbement, az történt a föld felett is.
Nemcsak Lengyelországban pusztítottak a lánczaikat széttört
rabszolgák, az egész világ tele volt futó királyokkal. Nápolyban
Masaniello halász fordította fel a trónt; Moszkvában a lázadó nép
előtt kellett fedetlen fővel meghajolni Alexis czárnak; Sztambulban
Ibrahim szultán számára fonták a selyem zsinórt az elégületlen
janicsárok; Lipót császárt saját országában keresték fel a magyar
kurucz hadak, s Anglia királya I. Károly szobája ablakából nézte,
hogy tákolnak össze egy alkotványt lába előtt, a mi aligha vérpad
nem lesz, s maga XIV. Lajos is futott Párisból saját népe elől.
Egyik földi király nem segíthetett a másikon.
– Forduljunk az égi királyhoz! Szólt ekkor az özvegy Radziwill
herczegné Luiza Mária királynénak.

Az özvegy (csak özvegy menyasszony!) akkor volt legvirulóbb
hajadon korában. Férjhez menetelekor neki is új nevet adtak: «Mária
Kazimirá»-t. A kik szerették, azután «Mariettá»-nak hívták, s a kik
rettegték később «Kazimirá»-nak jegyezték föl.
– Forduljunk segélyért az égi királyhoz! S ha már nincs más hely,
mint Krakkó: vándoroljunk mi asszonyok szent Szaniszló vértanú
sírkápolnájához, gyalog és mezítláb.
Szaniszló vértanú, Lengyelország védszentje, megérdemelte
nagyon, hogy nemzete tiszteletben tartsa; ő nemcsak az égi világban
volt szószólója hazafiainak, hanem ezen a földön is sokszor
kisegítette őket. Mikor már minden segélyforrás kiapadt, a
végveszedelem idején, megnyitotta szent Szaniszló a kincstárát, s a
mi kegyes adományképen abban összegyűlt évek alatt, oda adta a
királynak hadviselésre. Mindig hozzá fordultak a végszükségletben és
soha sem tagadta meg busás segélyét. Az ilyen aztán az igazi szent!
A ki megérdemli, hogy a királyné és udvarhölgyei kiszálljanak czifra
hintóikból s lehuzva piros sarkú czipőiket, selyem harisnyáikat,
napokon át, kavicsos, göröngyös utakon keresztül, porban és sárban,
hosszú, mértföldekre nyuló búcsújárásban, alázatosan közelítsenek
felé.
Kitartottak. A nők erősek, ha valamit fölfogadtak, s az égiekben
legalább hűségesebbek az erős nemnél.
Mikor már csak egy napi búcsújáróra voltak Krakkótól, szemközt
rohan rájuk egy felriadt raj, a Krakkóból menekülő nép e rémhírrel:
«Krakkó alatt az ellenség!»
Asszonyok, leányok, férfiak, koldusok, nagy urak, hintók, talyigák,
lovasok, gyalogok, összekeveredve, egymást rémítve, kergetve.
A hol a két futó had összetalálkozott, ott azután meg kellett állni.
Egyik a másikat tartóztatta fel. Ez is ütközethez hasonlított: csakhogy
az volt benne az eldöntő kérdés, hogy melyiknek a rémülete
nagyobb? Az viszi el a másikat magával. A keletről jövő búcsújárók a
kozákok dúló hadáról beszéltek, mely hátuk mögött jö hömpölyögve,

mint az áradat; a nyugatról jövők pedig a nagy futásról, melylyel a
pilaviczi ütközetből a svéd sereg elől felbomolva porlott szét a
lengyel nemesi felkelő had, s védtelenül hagyta Krakkót. A
várparancsnok ott közelít nehéz társzekereivel, a mikre az ország
kincsei, a korona, a királyi jogar, a szent Szaniszló ezüst koporsója
vannak sietve felhányva. Merre futni velök?
A királynak csak egy okos embere volt: a bolondja.
– Meneküljünk a koronával együtt Ausztriába! kiálta Wawra, s
általános volt a helyeslés.
– Fussunk át a határon!
A király és a királyné is ezt találták legokosabb tanácsnak.
Hanem ekkor egy minden zsivajon túldörgő mély férfihang
kezdett úrrá lenni a zűrzavar fölött.
– Hallgassuk Zamojszkyt! zsivajgja a nép, s utat nyitott egy
porlepett lovag előtt, kinek két ágra nyúló fekete szakálla hosszan
terült le bivalybőr pánczélos mellén.
Zamojszky János mintaképe volt az igazi lengyel nemesnek.
Vagyonban gazdagabb mint a király; czímeiben «a római szent
birodalom herczege», Sandomir nádora, Zamojszcze várának örökös
ura. S a hogy termetével betölté azt az óriásra szabott pánczélt, úgy
betölté tetterővel a magán viselt czímeket.
Fia volt annak a Zamojszky Jánosnak, a ki Báthory Istvánt
megválasztatta lengyel királynak s az ellen trónkövetelőt, ausztriai
Miksa főherczeget, hadseregestől együtt foglyul ejtette, ki az orosz
czárt a lengyel trón zsámolya elé térdelni kényszeríté, ki Zamojszcze
városában épített egy várat és egy tudományos akadémiát – a saját
költségén.
A fiára maradt örökségül megmutatni, hogy mire való a mesés
kincs, az erős vár, és a tudományok háza.

Akadémiájában neveltetett Lengyelország számára tudósokat, jó
hazafiakat és becsületes embereket: a várában pedig tartott jó
katonákat és hatalmas tüzérséget. Palotája tárháza volt a művészet
és díszmű-ipar remekeinek, miknek beszerzéséhez a jó izlést franczia
és olaszországi utazásában szerezte meg. Háza mindig otthona volt
minden hazai és külföldi tudósnak.
– A király futhat az országból, ha úgy akarja; de a korona nem
fut el a lengyel földről.
Ezt akarta az a dörgő hang tudtúl adni.
– Még áll Zamojszcze vára! s ha kell, daczolni fog a kerek
világgal. A kinek még van szíve, jőjjön velem. Nyitva a kapum jó
barátaimnak, s nem nyilik meg ellenségnek soha!
A király nem vette magára a kérdést, hogy van-e szíve? Ő a
bolondja tanácsát kivánta követni.
Luiza Mária mit tehetett volna egyebet, mint hogy férjét kövesse?
S ha a királyné azt határozta, hogy a határon túl fusson: nagyon
természetes, hogy udvarhölgyei is vele menjenek.
Hanem egy alak kivált a sok közül. Mária Kazimira, a két iker-
leány egyike.
– Én nem hagyom el ezt az országot, mely engem leányának
fogadott; ezt a földet, melyben férjem hamvai nyugosznak. Én
megyek Zamojszcze várába!
S ez a mondás oly szikra volt, mely lángot gyújtott egyszerre
ezernyi ezer elbusult szívben. A gyávából hős lett, mikor azt látta,
hogy a gyengék leggyengébbike, egy özvegy, a ki még gyermek, lép
előre, szemközt az ellenséggel, s azt mondta: én jobban szeretem a
hazámat, mint az életemet!
A királyi pár azon vette észre, hogy udvaronczaival együtt magára
marad.

Luiza Mária szíve megdobbant Mária Kazimirának e nagy
elhatározásától. Keblére vonta az ifjú nőt: legkedvesebb kegyenczét
s marasztalni kezdé.
– Hogy mennél te Zamojszcze várába, hogy élnél ottan –
egyedül?
Zamojszky János pedig már akkor abból az egy szózatból
megtudta, hogy ez a nő az, a ki az ő szívére legméltóbb ebben az
országban.
– Nem fog egyedül élni Zamojszczéban e hölgy, nemes
királyném: hanem élni fog, mint az én párom, az én feleségem,
Zamojszk úrnője.
S minthogy Mária Kazimira gyalog volt és mezitláb, félkezével
fölemelé őt magához, s odaülteté maga elé a nyeregbe s azzal a
bámulat zaját túldörgő hangon kiáltá hadnagyának:
– Vágtass előre Zamojszczéba! Lakodalomra készüljenek!
Nászmenet jön a házhoz! Ezt az egész vidám társaságot itten
meghivom magamhoz násznépnek! A ki vigadni akar, jőjjön az én
házamhoz! Szívesen látott vendég lesz mindenki!
S azzal szerelmes jegyesét egy előjáratott hintóba ültetve, a kocsi
mellett lovagolva kisérte Zamojszczéig; az egész menekülő tömeg:
asszony, gyermek, férfi, úr, koldus, gyalog, lóháton, szekéren tódult
a nyomába, s mindnyáját befogadta Zamojszcze vára.
És hét napig nem volt vége-hossza a lakodalomnak, a hol a
násznép egy egész vidék menekülő népsége volt. Ide futottak a
Wisznovieczky herczegek, az ifjú Koributh, s a Szobieszkyek anyja
Theophila, két leányával; a környék nemessége kincseivel és
gyermekeivel. Mindannyinak volt helye a vőlegény lakában.
Zamojszkynak telt az ilyen vendégségre. Tárházai tele
felhalmozott eleséggel; pinczéi borokkal. Az úri lakomáknál ezüst
tányérról evett minden vendég. Csak a kést, villát kellett magával
hoznia hazulról, s a vendégszerető házi gazda tréfái közé tartozott

az, hogy mikor a vendégei egy narancsot felszelnek, vagy egy diót
feltörnek, abból mag helyett fényes aranyak hulljanak a tányérára.
Ezzel a lakomával felelt Zamojszky a svéd királynak a pilaviczi
győzelemre.
S a tréfa annyira meglepte a győztest, hogy elkerűlte Zamojszcze
várát.
János Kazimir király és a királyné pedig futottak a határon túl.
XIX.
A pilaviczi ütközetből megfutott lengyel főurak nem tartották elég
nagy sárnak azt, a miben megúsztak, még benne is akartak maradni.
Mind oda sereglettek a győztes svéd királyhoz, átadni hódolatukat.
Egész «Nagy-Lengyelország» meghódolt az idegennek, s a
nemes urak jártak karöltve Varsó utczáin a svéd lovagokkal s
hagyták écossaiset tánczolni az asszonyaikat a Wasa fejedelmek
veres dragonyosaival.
Csak egy hiányzott közülök, a kinek a távolléte nagyon feltünt:
Zamojszky János herczeg.
A svéd király nagy elfogadási ünnepélyt rendezett, a minek diæta
nevet adott, s arra meghivó leveleivel felszólítá a megjelenésre a
meghódított Nagy-Lengyelország főnemeseit. Zamojszky is közöttük
volt.
Mind siettek megjelenni; csak Zamojszky küldött kimentő levelet
a svéd királynak.
Válogatott derék mentsége volt: jobbat nem is kereshetett volna.
– Nem mehetek; mert azon a napon a király inasának a
lakodalma van, s azon nekem ott kell lennem!

A királynak az inasa ő maga volt.
– No megállj! Majd viszek én hát neked násznépet is, meg
muzsikát is lakodalmadhoz.
Károly Gusztávnak igen jó czíme volt háborút indítani
Lengyelország ellen. – A lengyel király egy levelet írt hozzá, melynek
a boritékán a svéd király nevét követő czímek elszámlálása után csak
kétszer volt odatéve etcætera. Háromszor kellett volna odatenni.
Ennek a harmadik «etc.»-nak az elmaradása elég ok elpusztítani
egy egész nemzetet.
Ekkor született meg először Lengyelország felosztásának a terve.
A svéd király felhívta Alexist, az oroszok czárját, Bogdánt, a
kozákok fejedelmét, a brandenburgi herczeget és II. Rákóczy
Györgyöt, Erdély nagy fejedelmét, hogy oszszák fel magok között
Lengyelországot. A négy utóbbi fejedelem ráállt: csak az orosz
habozott még.
A lengyel nemesség négy oldalról megtámadva, saját
országgyülése által az önvédelem eszközeitől megfosztva, királyától
elhagyva, az ellenfelek között leghatalmasabbik karjai közé veté
magát: meghódolt a svéd királynak, s azt hívta meg Varsó
fővárosába.
Úgy hullott a svéd király kezébe Lengyelország, mint egy érett
alma.
Aki pedig az alatt Krakkót elfoglalta, az Rákóczy György volt.
A svéd király aztán megtanította a lengyel nemes urakat szelíd
erkölcsökre. Az nem azért hívta össze az országgyülést, hogy egy
ember kiáltó szava azt mondhassa: «nem akarom», hanem azért,
hogy egy ember megmondja a többinek: «én így akarom!» s a többi
hallgasson. Úgy hívták azt csúfságból, hogy «néma országgyülés».
É

Welcome to Our Bookstore - The Ultimate Destination for Book Lovers
Are you passionate about books and eager to explore new worlds of
knowledge? At our website, we offer a vast collection of books that
cater to every interest and age group. From classic literature to
specialized publications, self-help books, and children’s stories, we
have it all! Each book is a gateway to new adventures, helping you
expand your knowledge and nourish your soul
Experience Convenient and Enjoyable Book Shopping Our website is more
than just an online bookstore—it’s a bridge connecting readers to the
timeless values of culture and wisdom. With a sleek and user-friendly
interface and a smart search system, you can find your favorite books
quickly and easily. Enjoy special promotions, fast home delivery, and
a seamless shopping experience that saves you time and enhances your
love for reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookgate.com

Principles of Filtration 1st Edition Tien

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Principles of Filtration 1st Edition Tien

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78