Problemas de Razonamiento Logico Matematico Ccesa007.pdf

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2. Título original:
1000 problemas de razonamiento lógico
matemático
Volumen 01
Ejercicios de lógica, conjuntos y aritmética para desarrollar el pensamiento matemático
Autor:
Luque Zevallos Helbert Justo
Editor independiente:
Luque Zevallos Helbert Justo
Coop. Vista Alegre E-2, Alto Selva Alegre,
Arequipa, Perú
Publicado a través de amazon.es
Disponible en https://www.amazon.es
Prohibida la reproducción total o parcial de
esta obra
DERECHOS RESERVADOS
N
°
DEP. LEGAL 2025-11476
Primera Edición
octubre 2025
Idioma : Español
Serie: Mil Ejercicios de Matemática

3. Capítulo 1Presentación
El presente libro, titulado
temático – Volumen 1, inaugura una colección concebida para fortalecer de
manera sistemática las habilidades de análisis, deducción y pensamiento críti-
co. Está dirigido a estudiantes, docentes y profesionales que deseen ejercitar
su mente a través de la práctica constante y rigurosa de problemas cuidado-
samente diseñados.
El razonamiento lógico matemático es la base sobre la cual se constru-
yen las competencias superiores en matemáticas y ciencias. Más allá de los
cálculos y fórmulas, implica la capacidad de identificar patrones, establecer
relaciones, deducir conclusiones válidas y argumentar con claridad. A través
de los, el lector encontrará no so-
lo un entrenamiento técnico, sino también un espacio para el desarrollo del
pensamiento estructurado.
Este primer volumen está organizado en dos grandes bloques temáticos:
✿, donde se trabajan proposiciones, conectivos,
tablas de verdad, inferencias, cuantificadores y operaciones con conjuntos,
con problemas que refuerzan la comprensión y aplicación de estos concep-
tos.
✿, que aborda sistemas de numeración,
problemas de edades, cronometría, divisibilidad, fracciones, razones, pro-
porciones, porcentajes, sucesiones y series, planteados en contextos prác-
ticos y desafiantes.
La estructura de cada capítulo combina
una amplia variedad de, de modo que
el lector pueda verificar su aprendizaje, consolidar conocimientos y adquirir
Razonamiento Lógico Matemático
3
Helbert Justo Luque Zevallos

4. CAPÍTULO 1. PRESENTACIÓN
seguridad en la aplicación de estrategias de razonamiento.
El proyecto completo contempla
volúmenes, con un recorrido gradual desde lo elemental hasta lo avanzado.
Cada problema constituye un peldaño en el proceso de construcción de un
pensamiento lógico más sólido, ordenado y creativo.
Con este volumen inicial, el lector se adentra en un camino de formación in-
telectual que busca demostrar que el razonamiento lógico matemático no solo
es una disciplina académica, sino también una herramienta vital para afrontar
con éxito los retos del aprendizaje, la vida profesional y la toma de decisiones
cotidianas.
Helbert Justo Luque Zevallos
4
Razonamiento Lógico Matemático

5. Índicegeneral
1 Presentación
I Lógica y Conjuntos
1 Proposición Lógica
1.1 Tipos de proposiciones
1.1.1 Proposiciones declarativas
1.1.2 Proposiciones condicionales
1.2 Conectivos lógicos
1.2.1 Operadores binarios
1.2.2 Condicionales y bicondicionales
1.3 Lógica
1.4 Leyes de De Morgan
1.4.1 Ley de De Morgan para la negación de conjunciones
1.4.2 Ley de De Morgan para la negación de disyunciones
2 Álgebra Proposicional
1.1 Tablas de verdad
1.1.1 Tablas de verdad de conectivos simples
1.1.2 Análisis de tautologías y contradicciones
1.2 Inferencia lógica
1.2.1 Aplicación del Modus Ponens en problemas lógicos
1.2.2 Aplicación del Modus Tollens en argumentos
Razonamiento Lógico Matemático
5
Helbert Justo Luque Zevallos

6. ÍNDICE GENERAL
1.3 Aplicaciones
1.3.1 Problemas con múltiples variables.
1.3.2 Análisis de secuencias lógicas en tiempo.
3 Razonamiento
1.1 Razonamiento inductivo
1.1.1 Reconocimiento de series numéricas
1.1.2 Identificación de patrones geométricos
1.2 Razonamiento deductivo
1.2.1 Deducción en argumentos matemáticos
1.2.2 Análisis de premisas en demostraciones
1.3 Aplicaciones
1.3.1 Analogías basadas en progresiones aritméticas
1.3.2 Series geométricas aplicadas a problemas visuales
4 Funciones
1.1 Predicados
1.1.1 Predicados de una variables
1.1.2 Predicados de dos variables
1.2 Cuantificadores
1.2.1 Uso de cuantificadores en proposiciones universales
1.2.2 Ejemplos de cuantificadores existenciales en proble-
mas lógicos
1.3 Transformación
1.3.1 Negación de proposiciones con cuantificadores univer-
sales
1.3.2 Negación de proposiciones con cuantificadores exis-
tenciales
5 Álgebra de Conjuntos
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6
Razonamiento Lógico Matemático

7. ÍNDICE GENERAL
1.1 Operaciones con conjuntos
1.1.1 Conjuntos finitos e infinitos
1.1.2 Diagramas de Venn para representar operaciones
1.2 Diagramas de Venn
1.2.1 Diagramas con tres conjuntos
1.2.2 Diagramas para problemas de probabilidad
1.3 Problemas de aplicación
1.3.1 Resolución de problemas con conjuntos disjuntos
1.3.2 Aplicación de conjuntos en probabilidad condicional
1.3.3 Teorema de Bayes con conjuntos
II Razonamiento Aritmético
6 Sistemas
1.1 Sistemas de numeración
1.1.1 Conversión entre sistemas numéricos
1.1.2 Aplicaciones del sistema binario en computación
1.2 Problemas de edades
1.2.1 Ecuaciones lineales aplicadas a problemas de edades
1.3 Cronometría
1.3.1 Conversión entre horas, minutos y segundos
1.3.2 Cálculo de tiempos en recorridos
7 Divisibilidad y Fracciones
1.1 MCD y MCM
1.1.1 Método de descomposición simultánea
1.1.2 Algoritmo de Euclides para el MCD
1.2 Problemas de divisibilidad
1.2.1 Problemas de divisibilidad con números primos
Razonamiento Lógico Matemático
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8. ÍNDICE GENERAL
1.2.2 Aplicación en divisibilidad de números compuestos
1.3 Operaciones con fracciones
1.3.1 Fracciones homogéneas y heterogéneas
1.3.2 Aplicación en problemas financieros
8 Razones, Proporciones y Porcentajes
1.1 Razones y proporciones
1.1.1 Proporciones directas e inversas
1.1.2 Problemas de escalas y mapas
1.2 Regla de tres
1.2.1 Aplicaciones en problemas de mezclas
1.2.2 Regla de tres compuesta
1.3 Porcentajes
1.3.1 Aplicación en problemas financieros
1.3.2 Descuentos progresivos en el comercio
9 Sucesiones y Series
1.1 Sucesiones aritméticas
1.1.1 Aplicaciones en problemas de interés simple
1.1.2 Resolución de problemas con progresiones aritméti-
cas
1.2 Sucesiones geométricas
1.2.1 Aplicaciones en problemas de crecimiento exponen-
cial
1.2.2 Resolución de series infinitas
1.3 Patrones y generalización
1.3.1 Identificación de patrones en figuras geométricas
1.3.2 Generalización de patrones numéricos
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8
Razonamiento Lógico Matemático

9. Capítulo 2Álgebra Proposicional
1.1.
1.1.1.
Problema 71
Dadas las proposiciones
para las siguientes expresiones y explica en una oración cuándo son
verdaderas:
1.
2.
3.
4.
5.
Demostración.
describe su condición de verdad.
1. Negación.
P¬
VF
FV
Es verdadera exactamente cuando
2. Conjunción.
Razonamiento Lógico Matemático
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10. 1.1. TABLAS DE VERDAD
PQP
VV V
VF F
FV F
FF F
Es verdadera solo cuando
3. Disyunción.
PQP
VV V
VF V
FV V
FF F
Es verdadera cuando al menos una de
4. Implicación.
PQP
VV V
VF F
FV V
FF V
Es verdadera salvo en el caso.
5. Bicondicional.
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Razonamiento Lógico Matemático

11. CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
PQP
VV V
VF F
FV F
FF V
Es verdadera exactamente cuando
■
Problema 72
Supón que
determina el valor de verdad de cada una de las siguientes expresiones
y justifica tu respuesta:
1.
2.
3.
4.
5.
Demostración.:
1., porque la negación invierte el valor de
2., ya que una disyunción es verdadera si alguno es
verdadero.
3., pues la conjunción exige ambos verdaderos.
4., el único caso en que la implicación es falsa.
5., porque no coinciden en valor.
Razonamiento Lógico Matemático
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12. 1.1. TABLAS DE VERDAD
Problema 73
Demuestra mediante tablas de verdad si las siguientes equivalencias son
válidas o no:
1.
2.
3.
4.
Demostración.
las expresiones a ambos lados.
1. De Morgan para conjunción.
PQP ¬ ¬
VV V F F
VF F V V
FV F V V
FF F V V
Coinciden fila a fila, por tanto la equivalencia es válida.
2. De Morgan para disyunción.
PQP ¬ ¬
VV V F F
VF V F F
FV V F F
FF F V V
Coinciden, la equivalencia es válida.
Helbert Justo Luque Zevallos
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Razonamiento Lógico Matemático

13. CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
3. Implicación material.
PQP ¬
VV V V
VF F F
FV V V
FF V V
Coinciden, la equivalencia es válida.
4. Definición de bicondicional.
PQP Q (
VV V V V
VF F V F
FV V F F
FF V V V
P
V
F
F
V
Los valores coinciden, por lo que la equivalencia es válida.
Problema 74
Usando tablas de verdad, decide si cada una de las siguientes fórmulas
es una tautología, contradicción o contingencia. Justifica tu clasificación:
1.
2.
3.
4.
Demostración.
Razonamiento Lógico Matemático
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14. 1.1. TABLAS DE VERDAD
P¬ P
VF V
FV V
Siempre verdadera: tautología.
2. Contradicción.
P¬ P
VF F
FV F
Siempre falsa: contradicción.
3. Comparabilidad por implicaciones.
PQP Q (
VV V V V
VF F V V
FV V F V
FF V V V
Siempre verdadera: tautología.
4. Proyección desde conjunción.
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Razonamiento Lógico Matemático

15. CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
PQP (
VV V V
VF F V
FV F V
FF F V
Siempre verdadera: tautología.
Problema 75
Considera las premisas
1.
lógica de las dos premisas.
2.
verdad.
Demostración.
y verificamos que, en las filas donde ambas premisas son verdaderas, también
lo es
Razonamiento Lógico Matemático
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16. 1.1. TABLAS DE VERDAD
PQRP Q P
VVV V V V
VVF V F F
VFV F V V
VFF F V F
FVV V V V
FVF V F V
FFV V V V
FFF V V V
Marcamos las filas donde: son las filas 1, 5, 7,
8. En todas ellas. Por definición,
de las premisas.
2. Evaluamos
PQRP P X
VVV V V V
VVF F V V
VFV V F F
VFF F F V
FVV V V V
FVF V V V
FFV V V V
FFF V V V
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92
Razonamiento Lógico Matemático

17. CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
La fila. Por tanto, la fórmula no es
tautología; es una contingencia (verdadera en algunas filas y falsa en otras).
Un contraejemplo explícito es, donde
(, haciendo falsa la implicación
Problema 76
Traduce las siguientes afirmaciones al lenguaje de la lógica proposicional
definiendo proposiciones simples y construye su tabla de verdad:
1.
2.
3.
Demostración.
S
L
K
1. “Si hace sol, entonces salgo a correr.” Se modela como
SCS
VV V
VF F
FV V
FF V
2. “No es cierto que esté lloviendo y que tenga paraguas.” Se modela como
¬
Razonamiento Lógico Matemático
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18. 1.1. TABLAS DE VERDAD
LUL ¬
VV V F
VF F V
FV F V
FF F V
3. “Voy al cine si y solo si termino la tarea.” Se modela como
KTK
VV V
VF F
FV F
FF V
■
Problema 77
Analiza el siguiente argumento usando tablas de verdad y decide si es
válido:
1.
2.
conclusión falsa? ¿Qué implica eso sobre la validez del argumento?
Demostración.
premisas y de
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Razonamiento Lógico Matemático

19. Capítulo 3Razonamiento
1.1.
1.1.1.
Problema 131
Determina si la serie
otro tipo. Calcula el término general
Demostración.
6
2
=
18
6
=
54
18
=
común existe y es
término
n= 1r
n
=
n
(
No es aritmética porque las diferencias
36
Problema 132
Considera la serie
si puede expresarse como una combinación de progresión aritmética y
geométrica, y encuentra una fórmula cerrada para
Demostración.
11
segundas diferencias son constantes (

2
+
Determinamos
Razonamiento Lógico Matemático
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20. 1.1. RAZONAMIENTO INDUCTIVO














4
9
⇒
Luego
n=
2
+
No es una combinación “aritmético-geométrica” en el sentido de producto
o suma de una PA y una PG simples; es una.
Alternativamente, puede verse la recurrencia
n= n+ ( 1=
suma acumulada de una progresión aritmética de razón
Problema 133
Dada la serie
la recurrencia que la define y demuestra que el cociente


tiende a
un número real específico.
Demostración.
1= 2= n= n+ n(
La ecuación característica
2
=
1
p
5
2
y
1
p
5
2
. La solución cerrada (fórmula de Binet) es
n=
φ
n
−
n
p
5
.
Entonces
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146
Razonamiento Lógico Matemático

21. CAPÍTULO 3. RAZONAMIENTO
n
n
=
φ
n
−
n
φ
n
−
n
=
φ(ψ/φ)
n
ψ
1(ψ/φ)
n
−
n
φ,
porque


=
reo).
Problema 134
Se observa la serie
una ley cuadrática y determina una expresión cerrada para el término
general
Demostración.
Segundas diferencias:
es cuadrática en
perfectos:
n=
2
(
Demostración por inducción: para
2
. Supón
k
2
; entonces
k− k= ( k=
2
+ (
2
.
Con base y paso, queda probado
2
.
Problema 135
Analiza la serie
miento es exponencial y prueba que no existe un número finito que limite
la suma infinita.
Demostración.
Razonamiento Lógico Matemático
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22. 1.1. RAZONAMIENTO INDUCTIVO
etc. Es una progresión geométrica de razón
con
n=
n
(
crecimiento exponencial.
La suma parcial
X
_
N
2
n
es la de una PG:
SN=
1(
N
−
r
=
2
N
−
2
=
N
−
Como
N
−
X
_
∞
2
n
diverge
■
Problema 136
Identifica la regla en la serie
término general
Demostración.
respecto del anterior y el signo alterna. En efecto,
n
n
=
Por tanto, la sucesión es geométrica de razón

n= (
n
= (
n
2
n
, n
Para la serie infinita
∞X
n
n, como se trata de una serie geométrica con
|
nos no tienden a cero: n|
n
→
y, equivalentemente, por la teoría de series geométricas, la serie diverge.
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Razonamiento Lógico Matemático

23. CAPÍTULO 3. RAZONAMIENTO
Problema 137
Examina la serie
el término general
Demostración.
hasta su índice:
1
Esto sugiere la definición factorial. El término general es, por tanto,
n=
y satisface la recurrencia n= ( ncon 1=
Crecimiento. Por un lado,
n
(pues cada factor
es a lo sumo del orden
n
. Por otro lado, para
n
?
n
2
?
·
?
n
2
+
?
· · ·
?
n
2
?
·
?
n
2
?
| {z }
n/
=
?
n
2
?
n/
,
lo que muestra que crece más rápido que cualquier exponencial de base
fija
n
en el sentido de que, para todo
n
c
n
=
nY
k
k
c
−
n
∞
pues a partir de
k
c
>
por la fórmula de Stirling
p
2
n
, de donde se concluye que
crece superexponencialmente (más rápido que
n
para todo
lento que
n
.
Razonamiento Lógico Matemático
149
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24. Capítulo 4Funciones
1.1.
1.1.1.
Problema 191
Sea
mine la verdad de la proposición
usando cuantificadores.
Demostración.
50
no es divisible por
La negación formal es
¬
−
∀
·
≡
esto es, “existe un
es
Problema 192
Defina
2
es par, con dominio. Demuestre que
D, P
Demostración.

2
es impar”. Sea. Entonces

2
= (
2
=
−
2
·
+
que es impar. Por contraposición, si
2
es par, entonces
∀
−

2
par
·
⇒
−

·
.
Razonamiento Lógico Matemático
191
Helbert Justo Luque Zevallos

25. 1.1. PREDICADOS
■
Problema 193
Sea.
Analice la validez de
P
Demostración.

∀
Para la inversa, si
tiplo de
∀
Conclusión:
■
Problema 194
Sea
10
o falso. Justifique identificando un contraejemplo.
Demostración.
plo:
son primos. Luego no todos los elementos del dominio son primos.
Problema 195
Formule la negación de la proposición
2
> 
negación es verdadera o falsa.
Demostración.
Helbert Justo Luque Zevallos
192
Razonamiento Lógico Matemático

26. CAPÍTULO 4. FUNCIONES
¬
−
∀
2
> 
·
≡
2
≤
Esta negación es verdadera. En efecto, tomando
2
≤
Si se adopta la convención
2
≤
Obsérvese que para
2
> 
original falla precisamente en
Problema 196
Sea
2
valores de
Demostración.
res son
se cumple
Problema 197
Sea. Analice la veracidad de la
proposición
Demostración.
|. Luego
Z
Problema 198
Sea
valencia:
¬
Demostración.
ción de un universal es un existencial de la negación. Formalmente,
Razonamiento Lógico Matemático
193
Helbert Justo Luque Zevallos

27. 1.1. PREDICADOS
¬
−
∀
·
≡
Semánticamente,
cual es falso; su negación dice que existe un entero que no es mayor que
i.e.,
lógica e independiente del predicado concreto.
Problema 199
Defina. Demuestre que
∀
Demostración., exactamente uno de
pues son consecutivos. Si uno de los factores es par, el producto
par. Alternativamente, en aritmética modular

2
+ ´od 2
ya que
Z
Problema 200
Sean
1,2,. . . ,20. Analice la veracidad de:
∃
Demostración.
múltiplo de
satisfacen la condición. Por tanto,
Segunda proposición.
de
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194
Razonamiento Lógico Matemático

28. CAPÍTULO 4. FUNCIONES
consiguiente,
1.1.2.
Problema 201
Sea
D
∀ , y, P y, , P
Determine cuáles son verdaderas y justifique.
Demostración.
2
Así,
Además,
∃
5
Problema 202
Sea
2
> y
Determine si:
∀ y, , P
es verdadero o falso. Interprete el resultado.
Demostración.
2
=
2
=
2
=
cualquier
Razonamiento Lógico Matemático
195
Helbert Justo Luque Zevallos

29. 1.1. PREDICADOS






2
3
garantiza
2
> y
2
=
ción es verdadera.
Interpretación: el mayor cuadrado disponible en
todo

2
> y
Problema 203
Sea. Compare la
validez de:
∀ , y, P y, , P
Demostración.
∀
Segunda: si existiera
tendríamos
Contradicción. Por tanto,
Conclusión: el orden de cuantificadores cambia la verdad de la proposición.
■
Problema 204
Defina
1
es verdadera o falsa.
Demostración.

y
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196
Razonamiento Lógico Matemático

30. CAPÍTULO 4. FUNCIONES
algún
∃
■
Problema 205
Sea
∀
¿Es verdadera? ¿Implica reflexividad de la relación?
Demostración.
Luego la proposición es verdadera.
Dado que aquí
que es exactamente la reflexividad. En general, para una relación arbitraria
R
(
Problema 206
Sea
∀
Demostración.
para
y
∀
Segunda proposición. Exigir
un elemento estrictamente mayor que todos en
Razonamiento Lógico Matemático
197
Helbert Justo Luque Zevallos

31. 1.1. PREDICADOS
existe: el máximo de
∃
■
Problema 207
Sea
2
∃ y, , P
Demostración.
esto es, un divisor común. El máximo común divisor es
y sus divisores que están en
P
verdadera.
Problema 208
Defina
que la amistad es reflexiva y simétrica, pero no necesariamente transiti-
va. Analice si de
Demostración.
R
que es reflexiva y simétrica. En
P
en general.
Helbert Justo Luque Zevallos
198
Razonamiento Lógico Matemático

32. CAPÍTULO 4. FUNCIONES
Problema 209
Sea ´od 3
∀
es verdadera, e interprete la propiedad en términos de clases de equiva-
lencia módulo 3.
Demostración.
(´od 3
Interpretación:
[
La afirmación dice que cada elemento de
tante en su misma clase dentro de
to).
Problema 210
Sea
biendo que la relación es transitiva, analice la validez de la proposición:
∀
Demostración.
es ancestro de
que la relación “ser ancestro de” es transitiva por definición (composición de
generaciones), la proposición es verdadera para todos
Razonamiento Lógico Matemático
199
Helbert Justo Luque Zevallos

33. 1.2. CUANTIFICADORES
1.2.
1.2.1.
Problema 211
Demuestre que la proposición
2
≥
do un contraejemplo, y determine el conjunto de todos los
que la proposición es verdadera.
Demostración.
sal. Tome
1
2
. Entonces

2
=
?
1
2
?
2
=
1
4
<
1
2
=
luego
2
≥
1
2
y, por tanto, la proposición universal es
falsa.
Para describir todos los
2
≥

2
−
El producto de dos reales es no negativo si y solo si ambos son no nega-
tivos o ambos son no positivos. Los puntos críticos son
signos (o el teorema del valor intermedio aplicado a polinomios) da

En consecuencia,
2
≥
y falso para
Problema 212Analice la validez de la equivalencia:
Helbert Justo Luque Zevallos
200
Razonamiento Lógico Matemático

34. CAPÍTULO 4. FUNCIONES
∀
Proporcione un contraejemplo con predicados concretos
Demostración.
ejemplo en
P
Entonces, para todo, se cumple
real es no negativo o no positivo. Por tanto,
∀
Sin embargo,
∀
y
∀
De aquí que
[
Concluimos que la bicondicional no es válida en general. Sí es válida, no
obstante, la implicación
−
∀
·
∨
−
∀
·
=
Razonamiento Lógico Matemático
201
Helbert Justo Luque Zevallos

35. 1.2. CUANTIFICADORES
pero no su recíproca, como muestra el contraejemplo.
Problema 213
Determine si la proposición
2
≡ ´od 4
Justifique su respuesta utilizando propiedades de la aritmética modular.
Demostración.
la paridad de
Caso 1:
2
= (
2
=
2
≡ ´od 4
Caso 2:
2
= (
2
=
2
+
1 ´od 4
Como todo entero es par o impar, se deduce que para todo
cumple
2
≡ ´od 4
2
≡ ´od 4
do los residuos
2
≡
2
≡
2
2
≡
2
≡
Problema 214
Formule la negación de la proposición:
∀
2
≥
Analice si la proposición original es verdadera o falsa.
Demostración.
de una implicación
∃
−

2
≥
·
∧
−
 <
·
.
Como
2
≥
∃
la cual es verdadera (por ejemplo,
Helbert Justo Luque Zevallos
202
Razonamiento Lógico Matemático

36. CAPÍTULO 4. FUNCIONES
Respecto de la proposición original, para cualquier

2
≥
falsa en esos
ejemplo (cualquier
∀
−

2
≥
·
es falsa.
Problema 215
Examine si la siguiente equivalencia es válida:
∀
2
≥
2
≥
Justifique rigurosamente la respuesta.
Demostración.
conmutan: para cualquier predicado
tiene
∀
Demostración directa: suponga
tonces
donde
Aplicado a
2
≥
de la equivalencia solicitada. Además, independientemente del orden de cuan-
tificación, la fórmula interna es verdadera para todo par
2
porque el
cuadrado de un real es siempre no negativo. Por tanto, ambas proposiciones
cuantificadas son verdaderas y, en efecto, equivalentes.
Razonamiento Lógico Matemático
203
Helbert Justo Luque Zevallos

37. 1.2. CUANTIFICADORES
Problema 216
Sea
3
−
proposición:
∀
En caso negativo, halle la forma correcta de la proposición universal ver-
dadera relacionada con
Demostración.
1
2
,
pues
ƒ
?
1
2
?
=
?
1
2
?
3
−
1
2
=
1
8
−
1
2
=
3
8
<
Factorizando,
ƒ
2
−
El análisis de signos en los intervalos determinados por las raíces
da:
(
ƒ <
En consecuencia, el conjunto de verdad de
{
Una forma correcta (y óptima) de proposición universal verdadera asociada
a
∀
−
[
·
, ƒ
Helbert Justo Luque Zevallos
204
Razonamiento Lógico Matemático

38. CAPÍTULO 4. FUNCIONES
■
Problema 217
Demuestre o refute la proposición:
∀
Analice si el dominio
sea verdadera sin excepciones.
Demostración.
impar. Es decir, el antecedente es verdadero y el consecuente falso en
con lo que la implicación falla.
Para obtener una proposición universal verdadera sin excepciones, basta
restringir el dominio excluyendo el único primo par. Dos opciones naturales
son:
∀ ≥,
o bien
∀
En cualquiera de estos dominios, todo primo es necesariamente impar,
pues el único primo par (2) ya no pertenece al dominio.
Problema 218
Sea
2
es continuo en”. Demuestre que la proposición
R
la continuidad de funciones polinómicas.
Demostración.
2
es continua
en el punto”. Sea
Razonamiento Lógico Matemático
205
Helbert Justo Luque Zevallos

39. ParteII
RazonamientoAritmético
Razonamiento Lógico Matemático
337
Helbert Justo Luque Zevallos

40. Capítulo 6Sistemas
1.1.
1.1.1.
Problema 321
Convierta el número hexadecimal
10
Demostración.
rresponde a 4 bits:
3
Por tanto,
( 16= ( 2= ( 2.
Segundo, a base
( 16=
3
+
2
+
1
+
=
Así,
Finalmente, de base
Razonamiento Lógico Matemático
339
Helbert Justo Luque Zevallos

41. 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
16250
2321
331
47
6
Leyendo los restos de abajo hacia arriba:
Conclusión:
( 16= ( 2= ( 10= ( 7.
■
Problema 322
Exprese el número decimal
tiplicaciones sucesivas. Determine si la expansión es finita o periódica.
Demostración.
3
10
. Aplicamos el algoritmo de multiplicación
por
3
10
·
3
5
⇒
3
5
3
5
·
6
5
=
1
5
⇒
1
5
1
5
·
2
5
⇒
2
5
2
5
·
4
5
⇒
4
5
4
5
·
8
5
=
3
5
⇒
3
5
.
A partir de aquí se repite el estado
3
5
, por lo que los bits se repiten con
Helbert Justo Luque Zevallos
340
Razonamiento Lógico Matemático

42. CAPÍTULO 6. SISTEMAS
período
0 10= 10012= 2.
Criterio de finitud: una fracción
sólo si, en forma irreducible,
3
10
tiene denominador
10
k
, de donde la
expansión no es finita. El período se relaciona con el orden multiplicativo de
2
4
≡ ´od 5
es
denominador).
Problema 323
Demuestre que el número fraccionario
1
7
tiene expansión periódica en
base
Demostración.
1
7
tiene ex-
pansión puramente periódica en base
den multiplicativo de
t
≡
(´od 7
En base
10 ´od 7
1
≡
2
≡
3
≡
4
≡
5
≡
6
≡ ´od 7
luego el orden es
1
7
= 14285710.
En base
Razonamiento Lógico Matemático
341
Helbert Justo Luque Zevallos

43. Capítulo 7Divisibilidad y Fracciones
1.1.
1.1.1.
Problema 371
Calcule
6
·
4
·
2
,
4
·
5
·
3
)
6
·
4
·
2
,
4
·
5
·
3
)
utilizando el método de descomposición simultánea.
Demostración.
el MCM el máximo, primo a primo. Así,
gcd
m´ın
·
m´ın
·
m´ın
·
m´ın
=
4
·
4
.
lcm
m´x
·
m´x
·
m´x
·
m´x
=
6
·
5
·
2
·
3
.
■
Problema 372
Demuestre que para los números

Demostración.
840
3
·
2
·
Entonces
gcd
1
·
1
·
1
·
1
=
3
·
2
·
Razonamiento Lógico Matemático
381
Helbert Justo Luque Zevallos

44. 1.1. MCD Y MCM
Se verifica
, b
■
Problema 373
Determine
descomposición simultánea.
Demostración.
180
2
·
2
·
2
·
2
·
2
·
MCD (mínimos exponentes):
gcd
0
·
2
·
0
·
0
=
MCM (máximos exponentes):
lcm
2
·
2
·
1
·
1
=
■
Problema 374
Simplifique la fracción
210
462
utilizando el cálculo del MCD mediante descomposición simultánea.
Demostración.
210
Helbert Justo Luque Zevallos
382
Razonamiento Lógico Matemático

45. CAPÍTULO 7. DIVISIBILIDAD Y FRACCIONES
gcd
Dividiendo numerador y denominador por (42):
210
462
=
210
462
=
5
11
.
■
Problema 375
Tres luces parpadean con periodos de
vamente. Utilice el método de descomposición simultánea para calcular
el tiempo mínimo después del cual todas parpadean simultáneamente.
Demostración.
12
2
·
2
,
2
·
lcm
m´x
·
m´x
·
m´x
=
2
·
2
·
Tras (180) s (3 minutos) parpadean a la vez.
Problema 376
Calcule
de números consecutivos mediante descomposición simultánea.
Demostración.
(
2
lcm
■
Razonamiento Lógico Matemático
383
Helbert Justo Luque Zevallos

46. 1.1. MCD Y MCM
Problema 377
Un fabricante produce cajas de
ño máximo de paquete uniforme (MCD) y el número mínimo de productos
que puede reunir en un lote múltiplo de ambas cantidades (MCM).
Demostración.
84
2
·
2
·
gcd
1
·
1
·
lcm
2
·
2
·
Interpretación: paquetes uniformes de 42; un lote múltiplo mínimo tiene 252
unidades, equivalente a (252/84=3) cajas de 84 o (252/126=2) cajas de 126.
■
Problema 378
Dados
12
y
8
, calcule
el método de descomposición simultánea y explique la ventaja en este
caso.
Demostración.
gcd
m´ın
=
8
,
m´x
=
12
.
Ventaja: no se requiere factorizar números grandes; basta comparar exponen-
tes del único primo involucrado.
Problema 379
Tres relojes suenan cada
to tiempo pasará hasta que vuelvan a sonar al mismo tiempo? Resuélvalo
usando descomposición simultánea.
Helbert Justo Luque Zevallos
384
Razonamiento Lógico Matemático

47. CAPÍTULO 7. DIVISIBILIDAD Y FRACCIONES
Demostración.
15
lcm
■
Problema 380
Sea
α1
1
p
α2
2
y
β1
1
p
β2
2
, con 1y2primos distintos. Exprese
de manera general

Demostración.
gcd
m´ın 1,β1)
1
, p
m´ın 2,β2)
2
,
m´x 1,β1)
1
, p
m´x 2,β2)
2
.
Entonces
gcd
m´ın 1,β1)+ ´x 1,β1)
1
,
p
m´ın 2,β2)+ ´x 2,β2)
2
=
α1+1
1
, p
α2+2
2
.
Como (a,b=p
α1+1
1
, p
α2+2
2
)
1.1.2.
Problema 381 MCD de dos enteros grandes
prob1 Calcule
clides paso a paso y exprese el resultado como una combinación lineal
de los dos números.
Razonamiento Lógico Matemático
385
Helbert Justo Luque Zevallos

48. Capítulo 8Razones, Proporciones y Porcentajes
1.1.
1.1.1.
Problema 431
El salario de un trabajador es directamente proporcional a las horas tra-
bajadas. Si trabajando 36 horas gana
do 50 horas bajo la misma proporción?
Demostración.
para alguna constante
1080
36
=
30
S
El salario será
Problema 432
Un automóvil recorre una distancia fija. Si a una velocidad de 60 km/h
tarda 4 horas, ¿cuánto tardará en recorrer la misma distancia a una ve-
locidad de 80 km/h?
Demostración.
1

.
Entonces
t2=1
1
2
=
60
80
=
Tardará 3 horas.
Problema 433
El costo de producción de un artículo es directamente proporcional al
número de unidades producidas e inversamente proporcional al número
Razonamiento Lógico Matemático
413
Helbert Justo Luque Zevallos

49. 1.1. RAZONES Y PROPORCIONESCAPÍTULO 8. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES
de trabajadores. Si 8 trabajadores producen 200 unidades con un costo
de
trabajadores?
Demostración.
delo es


. Con
k


=
8
200
=
Para
C
300
12
=
El costo será
Problema 434
En una receta, la cantidad de harina es directamente proporcional al nú-
mero de porciones. Si para 8 porciones se necesitan 600 g de harina,
¿cuántos gramos se necesitarán para 20 porciones?
Demostración.
y
H
Se requieren
Problema 435
Dos grifos llenan un tanque de agua. Si un solo grifo lo llena en 6 horas,
y ambos juntos lo llenan en 2 horas y 24 minutos, ¿en cuánto tiempo
llenará el tanque el otro grifo por sí solo?
Helbert Justo Luque Zevallos
414
Razonamiento Lógico Matemático

50. CAPÍTULO 8. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES1.1. RAZONES Y PROPORCIONES
Demostración. 1el caudal del primer grifo y 2el del segundo (tan-
ques/hora). Entonces 1=
1
6
. El tiempo conjunto es
modo que
r1+2=
1
2
=
5
12
.
Así, 2=
5
12
−
1
6
=
5
12
−
2
12
=
1
4
tanques/hora. Por lo tanto, el segundo
grifo llena solo en
Problema 436
Un trabajo puede ser realizado por 15 obreros en 12 días. ¿Cuántos días
necesitarán 25 obreros para completar el mismo trabajo, suponiendo que
trabajan con la misma eficiencia?
Demostración.
n d. Entonces
d2= 1
n1
n2
=
15
25
=
3
5
=
Equivale a
Problema 437
El consumo de energía eléctrica es directamente proporcional al tiempo
de funcionamiento de una máquina. Si en 15 horas consume 48 kWh,
¿cuánto consumirá en 40 horas?
Demostración.
E2= 1
t2
t1
=
40
15
=
8
3
=
■
Razonamiento Lógico Matemático
415
Helbert Justo Luque Zevallos

51. 1.1. RAZONES Y PROPORCIONESCAPÍTULO 8. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES
Problema 438
Según la ley de gravitación universal, la fuerza entre dos masas es in-
versamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Si
al separarlas 3 m la fuerza es de 40 N, ¿qué fuerza se ejercerá si la
distancia aumenta a 6 m?
Demostración.
1
d
2
. Al duplicar la distancia de
escala por
⊆
3
6
⊇
2
=
⊆
1
2
⊇
2
=
1
4
. Luego
F2=
1
4
=
■
Problema 439
La demanda de un producto es inversamente proporcional a su precio.
Si con un precio de
si el precio baja a
Demostración.
1
P
, por lo que
k
P
. Con
400
D
20
40
=
■
Problema 440
En un mapa, la escala es de 1:50,000. Si la distancia real entre dos
ciudades es de 75 km, ¿qué longitud en cm representará esa distancia
en el mapa?
Demostración.
Helbert Justo Luque Zevallos
416
Razonamiento Lógico Matemático

52. CAPÍTULO 8. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES1.1. RAZONES Y PROPORCIONES
senta
75
Longitud en el mapa:
L
7
50
=
■
1.1.2.
Problema 441
Un mapa topográfico tiene escala
separados por
lómetros. Además, exprese el resultado en millas sabiendo que
≈
Demostración.
cm reales. Entonces la distancia real es
dreal=
En millas:
dmi=
9
1
mi
■
Problema 442
Un plano de edificio se realizó inicialmente a escala
mente, el arquitecto necesita rehacer el plano a escala
altura de una pared es de
el nuevo plano?
Razonamiento Lógico Matemático
417
Helbert Justo Luque Zevallos

53. Capítulo 9Sucesiones y Series
1.1.
1.1.1.
Problema 491
Un capital de $25,000 se invierte a una tasa de interés simple anual
del 7
acumulado al final del período.
Demostración.
P

M
Por tanto, el interés generado es y el monto acumulado es .
■
Problema 492
Un capital de $15,000 se convierte en $20,400 al cabo de 4 años bajo
interés simple. Calcule la tasa de interés anual aplicada.
Demostración.

M
P t
.
Con

20
15
=
5
60
= .
Razonamiento Lógico Matemático
445
Helbert Justo Luque Zevallos

54. 1.1. SUCESIONES ARITMÉTICAS
■
Problema 493
Se desea que una inversión de $10,000 crezca hasta $14,500 bajo una
tasa de interés simple del 9
dicho monto?
Demostración.
t
M/P

=
M
P 
.
Con
t
14
10
=
4
900
= .
■
Problema 494
¿Cuál de las siguientes inversiones es más rentable: invertir $30,000 al
8
anual durante 6 años?
Demostración.
Opción A:
A= A= A=
A
P
=
Opción B
B= B= B=
B
P
=
Helbert Justo Luque Zevallos
446
Razonamiento Lógico Matemático

55. CAPÍTULO 9. SUCESIONES Y SERIES
Conclusión:
Si se prioriza mayor monto final: A( B( ⇒
Si se prioriza rentabilidad porcentual (ROI): ⇒
■
Problema 495
Un pagaré con valor nominal de $50,000 vence en 18 meses. Se des-
cuenta hoy al 6
do y el valor actual recibido.
Demostración.
es
D
donde
años. Con
D
El valor actual recibido es
VA , D .
■
Problema 496
Un documento de valor nominal $12,000 vence en 2 años y se descuen-
ta al 5
de descuento comercial y compárelo con el valor obtenido mediante el
descuento racional.
Razonamiento Lógico Matemático
447
Helbert Justo Luque Zevallos

56. 1.1. SUCESIONES ARITMÉTICAS
Demostración.
(a) Descuento comercial simple
D com= .
(b) Descuento racional (equivalente a capitalización simple)
VArc=
N
1
, 
VArc=
12
1
=
12
1
=
Comparación: rc> VAcom; el descuento racional otorga mayor valor ac-
tual que el comercial para la misma tasa y plazo.
Problema 497
Un banco presta $80,000 al 12
mo se cancela en 15 meses, ¿cuál es el monto total a pagar y cuánto
corresponde a intereses?
Demostración.

M ,  .
■
Problema 498
Un inversionista desea recibir $60,000 dentro de 5 años. Si la tasa de
interés simple es del 7
canzar su objetivo?
Helbert Justo Luque Zevallos
448
Razonamiento Lógico Matemático

57. CAPÍTULO 9. SUCESIONES Y SERIES
Demostración.
P
M
1
=
60
1
=
60
1
=
(Exactamente
20
27
=
1
27
.)
Problema 499
Un documento descontado bajo interés simple al 8
miento en 10 meses, produce un valor actual de $18,400. Determine el
valor nominal del documento.
Demostración.
VA
d t
5
6
=
1
15
,
14
15
.
Luego
N
VA
1
=
15
14
=
(Exactamente
276
14
.)
Problema 500
Una empresa requiere $100,000 dentro de 3 años para ampliar sus ope-
raciones. Si puede invertir hoy al 9
capital debe destinar actualmente?
Demostración.
necesario es
P
M
1
=
100
1
=
100
1
=
(Exactamente
10
127
.)
Razonamiento Lógico Matemático
449
Helbert Justo Luque Zevallos

58. 1000 Ejercicios de Razonamiento L´ogico-Matem´atico
Helbert Justo Luque Zevallos
2025
Primera Edici´on
1 Serie: Mil Ejercicios de Matem´atica
•
Matem´aticas B´asicas
•
Razonamiento L´ogico-Matem´atico
•
An´alisis Matem´atico I
•
´
Algebra
•
Estad´ıstica y Teor´ıa de Probabilidades
•
An´alisis II
•
´
Algebra Lineal I
•
Inferencia Estad´ıstica
•
An´alisis Real I
•
An´alisis Num´erico
•
´
Algebra Lineal II
•
Estructuras Algebraicas
•
Topolog´ıa
•
An´alisis Real II
•
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
•
Optimizaci´on Lineal
•
Ecuaciones Diferenciales Parciales
•
Introducci´on a la Geometr´ıa Hiperb´olica
•
Teor´ıa de Galois
•
M´etodos Num´ericos para Ecuaciones Diferen-
ciales
•
Medida e Integraci´on
•
Optimizaci´on No Lineal
•
Teor´ıa Cualitativa
•
An´alisis Funcional
•
Geometr´ıa Diferencial I
•
Introducci´on a la Topolog´ıa Algebraica
•
Variedades Diferenciables
•
Introducci´on a M´etodos Variacionales para
Ecuaciones Diferenciales
•
Introducci´on a la Topolog´ıa Diferencial
•
Superficies M´ınimas I
•
Geometr´ıa Diferencial II
•
Introducci´on al M´etodo de Elementos Finitos
•
Introducci´on a la Geometr´ıa de Formas Difer-
enciales