Propiedades de los círculos

Unidad 9.3: Los círculos

1. Propiedades de los círculos

2. Partes del círculo

3. Partes del círculo
•Nombre del círculo –se utiliza su centro, es decir, se llama
círculo A (⊙A)
•Línea tangente –recta que pasa por un punto del círculo.
•Línea secante –recta que pasa por dos puntos del círculo.
•Radio–segmento cuyos extremos son el centro del círculo y
un punto sobre el círculo.
•Diámetro–segmento cuyos extremos son dos puntos del
círculo pasando por el centro.
•Cuerda-segmento cuyos extremos son dos puntos del
círculo sin pasar por el centro.

4. Ejemplo
•Identifica las partes del círculo

5. Líneas tangentes compartidas entre dos
círculos
•Esto ocurre si los círculos son semejantes.

6. Ángulos en un círculo

7. Ángulo central
•Ángulo cuyo vértice es el centro del círculo.
•La medida del ángulo es igual a la medida del arco formado.

8. Ángulos interiores
•Son aquellos ángulos que tienen su vértice en el interior de la
circunferencia sin que coincida con el centro.
•Pueden estar formados por cuerdas, por una cuerda y una
secante o por dos secantes.
•La medida del ángulo
corresponde al promedio
entre las medidas de los
arcos formados.

9. Ángulo inscrito
•Ángulo cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia del
círculo.
•La medida del ángulo corresponde a la mitad de la medida
del arco formado.

10. Ángulo circunscrito
•Ángulo cuyo vértice se encuentra afuera de la circunferencia
del círculo.

11. Ángulo formado por una cuerda y una
recta tangente al círculo
•La medida del ángulo corresponde a la mitad de la medida
del arco formado por la cuerda.

12. Ángulos exteriores

13. Ángulos circunscritos
•Su vértice está fuera del círculo.
•Pueden estar formados por dos rectas
secantes, por dos tangentes o por una
secante y una tangente.
•El ángulo exterior delimita dos arcos,
uno grande y uno pequeño.
•La medida del ángulo corresponde a
la mitad de la diferencia entre la
medida de los arcos formados.

14. Líneas tangentes

15. Recta tangente
•Una recta tangente es una línea en el plano que intercepta
en círculo en exactamente un solo punto.
•Ese punto donde la tangente “toca” el círculo se le llama
punto de tangencia.

16. Ejemplo
•Los segmentos LM y MN son
tangentes Halla el valor de x.
90˚+117˚+90˚+??????˚=360˚
297˚+??????˚=360˚
??????=360°−297°
??????=63°

17. Ejemplo
•��es tangente al círculo O. Halla el valor de x.
38°+90°+??????°=180°
128°+??????°=180°
??????=180°−128°
??????=52°

18. Practica lo aprendido
•Asume que los segmentos mostrados que aparentan ser
tangentes a los círculos, lo son. O corresponde al centro de
cada círculo. Halla el valor de xpara cada caso.
1. 2. 3.

19. Conexión al mundo real
•La cadena de una motora encaja apretadamente entre dos
engranajes (estrellas). La cadena y engranaje forma una
figura como la ilustrada.
•Halla la distancia entre los dos centros de engranaje.

20. Conexión al mundo real
•Dibujamos una recta desde el centro del círculo pequeño
hasta el radio del círculo grande

21. Conexión al mundo real
•Calculamos la medida del segmento DE.
•Una vez conocida esta medida,
utilizamos el teorema de Pitágoras
para hallar la medida del segmento
AD que corresponde a la distancia
entre los dos centros.
��=9.3−2.4=6.9in
��
2
=702.25+47.61
��
2
=(26.5)²+(6.9)²
��
2
=��²+��²��
2
=749.86 ��≈27.38in
La distancia entre los dos centros de los engranajes
es de aproximadamente 27.38 pulgadas.

22. Práctica
•Halla la distancia entre los centros de los engranajes de la
siguiente polea.
A
C
B
D
E

23. Teorema
•Si una línea es tangente a un
circulo, entonces la línea es
perpendicular al radio que pasa
por el punto de tangencia.
��⊥��

24. Ejemplo
•Determina si ��es tangente al círculo N en el punto L.
Explica tu respuesta.
��
2
=��
2
+��²
25²=7
2
+24²
625=49+576
625=625
Como se cumpleel teoremade Pitágoras, el ánguloNLM
esun ángulorecto, porlo tanto��es tangente al círculo N.

25. Practica...
•Determina si el segmento AB es tangente al círculo.
1. 2. 3. 4.

26. Practica...
•Asume que las líneas que aparentan ser tangentes lo son.
Halla la medida del lado faltante.
1. 2. 3. 4.

27. Polígonos y el círculo

28. Polígonos inscritos
•Un polígono inscrito es aquel que tiene todos sus vértices
sobre la circunferencia del círculo
•Cuando esto ocurre el círculo se llama círculo circunscrito.

29. Polígonos de 5 lados

30. Polígonos de 8 lados

31. Para pensar...
•Observa la figura. Utiliza la
misma para responder y justificar
las respuestas de las siguientes
preguntas.
•¿Es el círculo inscrito o circunscrito?
•¿Cuáles son las medidas de los
ángulos del triángulo?
•¿El centro del círculo es el centro del
triángulo?

32. Polígonos circunscritos
•Un polígono circunscrito es aquel que tiene un círculo dentro
del polígono.

33. Polígonos circunscritos
•Los segmentos tangentes desde el punto exterior siempre son
congruentes.

34. Polígonos circunscritos
•Recuerda que desde el centro del círculo a un punto en la
circunferencia siempre se forma un ángulo recto.

36. Teorema
•Los dos segmentos tangentes a un círculo desde un punto
fuera del círculo son congruentes.
��≅��

37. Ejemplo
•El diagrama mostrado representa el sistema de la cadena de
una bicicleta. Brinde un argumento convincente de que
BC = GF

38. Ejemplo: Círculos inscritos en polígonos
•Halla el perímetro de la figura.
��=��=10????????????
��=��=15????????????
��=��=8????????????
�=��+��+��
�=��+��+��+��+��+��
�=10+15+15+8+8+10
�=66
Elperímetrodelafiguraes66cm.

39. Práctica: Cada polígono circunscribe un
círculo. Halla el perímetro de cada figura.
1. 2.

40. Práctica: Cada polígono circunscribe un
círculo. Halla el perímetro de cada figura.
3. 4.

41. Práctica: Cada polígono circunscribe un
círculo. Halla el perímetro de cada figura.
5. 6.

42. Práctica
•Halla el perímetro de cada figura.
1. 2. 3. 4.

43. Integración del álgebra
•Asume que las líneas que parecen tangente lo son. O es el
centro de cada círculo. Halla el valor de xpara cada caso.
1. 2. 3.