áRea de superfícies planas

área de figuras planas

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Área de superfícies planas

Define-se como área de superfícies planas a um número racional absoluto
de tal forma que:
1 - Há superfícies equivalentes está
associado a áreas iguais;
2 - A soma de superfícies está associada a uma
área que é igual à soma das áreas das
superfícies parcela;


3 – Uma superfície está contida ou é igual à
outra se, e somente se a área desta superfície
for menor ou igual a da superfície dada;

Em todo meu trajeto como estudante do ensino fundamental e médio me
fiz esta pergunta: “Por que a área de um retângulo é igual ao produto da
base pela altura?”
Pois, meus professores somente apresentado a formula e não explicaram
como ela foi obtida. A fórmula da área de um retângulo é consequência
direta dos teoremas que apresentaremos abaixo:



TEOREMA I:

A razão entre duas superfícies retangulares
cujas bases (ou alturas) são congruentes é
igual à razão entre as alturas (ou bases).




Demonstração:

Sejam R1 e R2 duas superfícies retangulares
de tal forma que:



Sobrepondo R1 e R2 pelo transporte de
segmento e pelo transporte de ângulos que:

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TEOREMA II:

A razão entre duas superfícies retangulares
quaisquer é igual ao produto da razão entre as
alturas pela razão entre as bases.





Demonstração:

Sejam R1, R2 e R superfícies retangulares de tal
forma que R é uma superfície auxiliar. Além
disso, temos:



Do teorema anterior temos:







Exemplos:

Everton é um entregador e está com um pequeno problema. O fundo do
furgão de seu caminhão têm a forma de um retângulo cuja altura mede 3
m e a largura 2 m perfazendo uma área de 6 m². Sabendo que Everton
deve colocar no interior do caminhão uma caixa cuja área (que ficará
encostada no fundo do furgão) é de 3 m² e que a altura desta caixa é de
1,5 m, então qual deve ser o tamanho da base desta caixa?

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Discutindo a solução:
Para obtermos a solução do problema deveremos averiguar inicialmente:

o Quais são as informações que o problema nos fornece?

 Everton está com problemas;
 O fundo do furgão de seu caminhão têm a forma de um
retângulo cuja altura mede 3 m e a largura 2 m perfazendo
uma área de 6 m²;
 A caixa que Everton colocar no interior do caminhão uma
caixa cuja área (que ficará encostada no fundo do furgão) é
de 3 m² ;
 A altura desta caixa é de 1,5 m;

o O que o problema nos pergunta?

 Qual deve ser o tamanho da base desta caixa

Solução:

Vamos chamar de R1 a área do retângulo formado no fundo do furgão e
vamos chamar de R2 a área do retângulo da caixa que ficará sobreposta
ao retângulo do furgão.
Além disso, vamos chamar de h1 e b1 a altura e a base do retângulo do
furgão e de h2 e b2 da caixa da caixa que ficará sobreposta ao retângulo
do furgão.
Donde temos:


Do teorema II temos:



Logo, a base da caixa deverá ser de 2 m.

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área de um retângulo

Seja um retângulo a superfície em estudo, então
a área será igual ao produto dos lados não
congruente.


A B



Q

C D















Obs.: A é um número
racional absoluto associado
à superfície retangular, cuja
unidade de medida de área
é o quadrado unitário.

Demonstração:

Seja ABCD um retângulo ( ) de tal forma
que:



Suponhamos que existe uma superfície
retangular de tal forma que suas medidas sejam
unitárias, ou seja, suponhamos que exista um
quadrado ( ) cuja medida dos lados é igual
a uma unidade de medida de tal forma que esta
superfície esteja contida um número A de vezes
na região retangular, donde temos:



Pelo teorema anterior temos:


De (1) e (2) temos:








área de um triângulo

Uma superfície plana triangular é equivalente a
uma superfície retangular cuja altura deste
retângulo é a metade da altura da superfície
triangular.

C


P N M Q
A D B





Demonstração:

Seja ABC um triângulo qualquer. Seja a altura
referente ao vértice C do .
Além disso, seja a base média do triângulo,
donde temos:

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Os ângulos são opostos pelo
vértice. Como M é ponto médio de , então
(3).
De (1), (2) e (3), pelo caso ALA, temos que
(4).



Os ângulos são opostos pelo
vértice. Como N é ponto médio de , então
(7).
De (5), (6) e (7), pelo caso ALA, temos que
(8).

Donde temos que o quadrilátero APQB é
retângulo, pois e (de (8) e
(4)). Logo:



Além disso, temos que (11) e
(12), ou seja, temos que:



De (11) e (12) em (13) temos:



De (14) em (9) temos:






área de um losango

Seja um losango a superfície em estudo, então a
área será igual à metade do produto das
diagonais.







Demonstração:

Seja ABCD um losango de tal forma que pelas
propriedades do losango temos:

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A




B O C



D

.



Além disso, temos:









área de um trapézio

Seja um trapézio a superfície em estudo, então a
área será igual à metade do produto da altura pela
soma das bases.





A B C




D F E

Demonstração:

Seja ABDE um trapézio de tal forma que:


E, temos:



Além disso, temos: