Regola di ruffini

1. REGOLA DI RUFFINIREGOLA DI RUFFINI
La regola generale per determinare il quoziente ed il
resto della divisione tra due polinomi,A(x) e
D(x),può essere semplificata quando il divisore e del
tipo D(x)=x-c, cioè nel caso in cui il divisore è un
binomio di primo grado con coefficiente della
variabile uguale ad 1.Tale procedura semplificata
della regola generale prende il nome di REGOLA DI
RUFFINI.Vi è la distinzione in due casi,che
analizzeremo in seguito

2. RUFFINIRUFFINI
Questo procedimento prende il nome dal suo
inventore, Paolo Ruffini, che nacque a Valentano nel
1765, e che quindi dimostrò la parziale irresolubilità
algebrica delle equazioni di grado superiore al quarto
tramite la teoria dei gruppi e la regola di
scomposizione dei polinomi.

3. ESEMPIESEMPI
I caso: il coefficiente della x nel binomio D(x)=1.
Esempio: Calcolare il quoziente e il resto della
seguente divisione (2x4-18x2-x+3):(x-3). Si
effettuano le seguenti operazioni:sopra una stessa
riga si scrivono tutti i coefficienti del polinomio
P(x), avendo cura di indicare con uno zero il
coefficiente degli eventuali termini mancanti,
disponendoli in una tabella. Nell'angolo a sinistra
si riporta l'opposto del termine noto del
polinomio divisore D(x)

4. Si abbassa al di sotto del segno orizzontale il
primo coefficiente del polinomi P(x) in questo
caso 2.

5. si moltiplica questo coefficiente, 2, per il numero
scritto in basso a sinistra, 3. Si dispone il risultato
sotto il secondo coefficiente e si esegue la somma
algebra.

6. il risultato ottenuto, 6, si moltiplica per l solito
numero in basso a sinistra, 3, e si ottiene 18,
quindi si esegue la somma algebrica tra i due
numeri in colonna -18 e 18

7. CONTINUA ESEMPIOCONTINUA ESEMPIO
e così via fino all'ultimo coefficiente.L'ultimo
numero trovato, 0, è il resto della divisione,
mentre i numeri in basso, 2, 6, 0, -1 sono i
coefficienti del polinomio quoziente. Quindi
R(x)=0, Q(x) = 2x3+6x2-1

8. II caso. Il coefficiente della x del binomio D(x) NON è 1.
Esempio: Calcolare il
quoziente e il resto della seguente divisione
(6x5+9x4-10x3+x+1):(2x-3)
In questo caso, si dividono polinomio dividendo, P(x), e
polinomio divisore, D(x) per il coefficiente della x del
divisore, 2. La divisione precedente diventa:
(3x5+9/2x4-5x3+1/2x+1/2):(x-3/2).
Sviluppando i calcoli si ha R(x)=4, Q(x)= 3x4-5x2+x-1.

9. Scomposizione di polinomi Scomposizione di polinomi
mediante il teorema e la regola di mediante il teorema e la regola di
RuffiniRuffini
 Gli eventuali zeri di un polinomio P(x), nel quale il coefficiente
di grado massimo è 1, sono divisori interi del termine noto del
divisore.
Esempio. Scomporre in fattori il polinomio
P(x)=x4+3x3-11x2-3x+10.
I divisori del termine noto sono +1,-1,+2,-2,+5,-5,+10,-10.
Con un po' di calcoli si vede che P(1)=0; P(-1)=0, P(2)=0,
P(-5)=0.
Il polinomio P(x) risulta divisibile per (x-1), (x+1), (x-2), (x+5).
Quindi x4+3x3-11x2-3x+10 = (x-1)(x+1)(x-2)(x+5).