Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

Cortesia da Ed. Ática. Auxílio a professores no planejamento de aulas para o ensino básico

1. Elementos de um triângulo retângulo O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A . ( é reto) O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados catetos. Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h , m e n . h : medida da altura relativa à hipotenusa; m : medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa; n : medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa. a A B C b c cateto cateto hipotenusa C B A b c a h m n H

2. Teorema ou relação de Pitágoras 25 = 16 + 9 A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa ( a ) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos ( b e c ). a 2 = b 2 + c 2 5 a c b C B A 4 3 = + a = 5 b = 4 c = 3 a 2 b 2 c 2 Vamos exemplificar a relação de Pitágoras vista no ano anterior para um caso particular:

3. C B A b c a h m n H Demonstração do teorema de Pitágoras Vejamos uma demonstração, baseada na semelhança de triângulos. Considere um triângulo ABC , retângulo em A , com altura relativa à hipotenusa. Temos que: a = m + n 1 1 2 3

4. Colocando-os na mesma posição, podemos perceber os ângulos e os lados correspondentes. Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC . Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo em comum. O que eles têm em comum? Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA. c 2 = am 2 ah = bc 3 ch = bm 4 = = c h m c b a m h c c b a 1 3 1 3

5. Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC . Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo em comum; portanto, são semelhantes. Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum. b 2 = an bc = ah bh = nc 5 3 6 c 2 = am 2 b 2 + c 2 = an + am b 2 + c 2 = a ( n + m ) 1 a = m + n Como: Então: b 2 + c 2 = a 2 c b a A C B A C H n b h 3 2

6. Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo 1ª relação Assim como fizemos anteriormente, ao observar os dois triângulos podemos verificar que eles são semelhantes. Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. A H B c h m C H h b n = = De , obtemos que . = Logo: h 2 = mn A 1 2

7. 2ª relação c 2 = am b 2 = an Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. Da demonstração do teorema de Pitágoras, podemos notar que foram estabelecidas outras relações: 3ª relação Também da demonstração, temos outra relação: Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa. c b a A C B A C H n b h c b a A C B A C H n b h bc = ah 3 2 3 2

8. c 2 = am bc = ah a = m + n Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são: a 2 = b 2 + c 2 h 2 = mn b 2 = an c b a m n h

9. Aplicações importantes do teorema de Pitágoras Diagonal de um quadrado O triângulo ADC é retângulo em D . Aplicamos então o teorema de Pitágoras: Portanto, a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto da medida de um lado por . Dado um quadrado ABCD qualquer, cujo lado mede ℓ, como encontrar a medida ( d ) da diagonal desse quadrado em função de ? ℓ A B C D d ℓ ℓ ℓ ℓ d 2 = 2 + 2 ℓ ℓ d 2 = 2 ℓ 2 d = ℓ d = ℓ 2

10. Altura de um triângulo equilátero O triângulo ABH é retângulo em H . Vamos aplicar o teorema de Pitágoras: Dado um triângulo equilátero ABC qualquer, cujo lado mede ℓ, como podemos encontrar a medida ( h ) da altura desse triângulo em função de ℓ? Portanto, a medida da altura é igual ao produto da metade da medida de um lado por . h 2 + = ℓ 2 ℓ h = ou 2 ℓ h 2 = 2 _ 2 ℓ ℓ h 2 = 2 ℓ h = ou ℓ h = . ℓ A B C h H ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ

11. Diagonal de um bloco retangular Caso particular: diagonal do cubo Consideremos um bloco retangular cujas arestas medem a , b e c , e cuja diagonal de uma face mede d e a diagonal do bloco retangular mede D . O triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D . Mas, para calcular o valor de D , precisamos encontrar o valor de d . Aplicando o teorema de Pitágoras: d 2 = a 2 + b 2 D 2 = a 2 + b 2 + c 2 O cubo é um caso particular do bloco retangular em que a = b = c = ℓ. Assim : A B C I E F H H D d a b c D = A B C D I F H G E d ℓ ℓ ℓ = = D = ℓ 2 + 2 + 2 ℓ ℓ ℓ ℓ 2 D 2 = d 2 + c 2

12. Triângulo inscrito em uma semicircunferência Quando um vértice de um triângulo pertence à semicircunferência e os outros dois vértices são extremidades de um diâmetro, dizemos que o triângulo está inscrito em uma semicircunferência . Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é triângulo retângulo. A B O C A B O C

13. Outras situações que envolvem as relações métricas no triângulo retângulo Os ternos pitagóricos Ternos de números inteiros positivos a , b e c que obedecem à relação a 2 = b 2 + c 2 são chamados ternos pitagóricos. Tente pensar em um terno pitagórico! O mais conhecido é: 3, 4 e 5. 3 , 4, 5 5 4 3

14. Classificação dos triângulos quanto aos ângulos conhecendo-se as medidas de seus três lados Considere a , b e c as medidas dos três lados de um triângulo, na mesma unidade de medida, com a sendo a medida do lado maior. Podemos classificar o triângulo com relação a seus ângulos internos: Já sabemos que, se a 2 = b 2 + c 2 , temos um triângulo retângulo. Se a 2 > b 2 + c 2 , temos um triângulo obtusângulo. Se a 2 < b 2 + c 2 , temos um triângulo acutângulo .

15. Relações métricas na circunferência Relação entre duas cordas concorrentes em uma circunferência Considerando os triângulos APC e DPB , temos: ângulos inscritos de mesmo arco ângulos opostos pelo vértice Podemos concluir, então, que os triângulos são semelhantes. Logo: Assim, demonstramos que: Em toda circunferência, quando duas cordas se cruzam, o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes de outra. C D B A P Na circunferência ao lado, e são duas cordas que se cruzam no ponto P . AP . BP = CP . DP = =

16. Relação entre dois segmentos de reta secantes a uma circunferência Em toda circunferência, se traçamos dois segmentos de reta secantes a partir de um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte externa. PA . PB = PC . PD A B D C P

17. Relação entre um segmento de reta secante e um segmento de reta tangente a uma circunferência Observando os triângulos PAC e PBA , temos: ângulo comum ângulo de segmento e ângulo inscrito de mesmo arco A B C P Na circunferência abaixo, a partir do ponto P , temos um segmento de reta tangente e um segmento de reta secante .

18. Pelo caso AA, os triângulos PAC e PBA são semelhantes. Portanto, os lados homólogos têm medidas proporcionais: Em toda circunferência, se traçamos, a partir de um mesmo ponto, um segmento de reta tangente e um segmento de reta secante , o quadrado da medida do segmento de reta tangente é igual ao produto da medida do segmento de reta secante pela medida da sua parte externa. ( PA ) 2 = PB . PC = =