Relación de divisibilidad (aritmética)

ARITMÉTICA
DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS
RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD

1. ARITMÉTICA
Relación de divisibilidad









1. Relación de divisibilidad.

2. Múltiplos y divisores.

3. Criterios de divisibilidad.






Hueso de Ishango
Los conceptos relacionados con la divisibilidad
se conocen desde la prehistoria con el descubrimiento
del hueso de Ishango que representa el ciclo de un
calendario lunar de seis meses. Posteriormente, tanto
en el antiguo Egipto como en Mesopotamia, se
emplearon los conceptos de divisibilidad para resolver problemas de medida “cuantos caben
en”.
La matemática griega, a través de la obra de Euclides (300 a.C.) “Elementos”, en particular,
con los volúmenes VII, VIII y IX (de los trece que elaboro), en los que por medio de
proposiciones formuladas en términos de medida establece:
 Un procedimiento llamado “antenaresis” (Algoritmo de Euclides) para calcular el
máximo común divisor de dos o más números.
 Propiedades de la divisibilidad.
 Propiedades de los números primos entre sí a partir de las proposiciones.
En el libro IX además se incluye la proposición que establece que el conjunto de los números
primos es infinito “Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números
primos”, junto con proposiciones próximas al Teorema Fundamental de la Aritmética pero sin
concebirlo como tal ya que no concebían la matemática independiente de la construcción.








ÍNDICE
ANTES DE EMPEZAR.
CURIOSIDAD HISTÓRICA

2. ARITMÉTICA
Relación de divisibilidad






1. RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD.

Dos números están emparentados por la RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD cuando uno cabe en
el otro una cantidad exacta de veces; es decir, cuando el mayor dividido entre el menor
nos da un cociente entero y resto cero (cociente exacto).

Ejemplo:

El profesor de matemáticas puede formar equipos de 5 alumnos en 1º A sin que ningún alumno
se quede sin equipo. Sin embargo, en 1º B, quedan 2 alumnos sin equipo.

La división de 20 : 5 es exacta



La división de 22 : 5 NO es exacta



Conclusión: Entre 20 y 5 existe RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD, mientras que entre 22 y 5 NO.


2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES.

Si dos números están emparentados por la RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD, podemos decir
que:
 El MAYOR es MÚLTIPLO del MENOR.
 El MENOR es DIVISOR del MAYOR.



Los MÚLTIPLOS de un número se obtienen multiplicándolo por
cualquier otro número natural. Esto nos lleva a que un número siempre
tendrá infinitos múltiplos y lo podremos expresar de las siguientes formas:


ademúltiplos
a
amul











20 se puede agrupar en 4
grupos de 5, es decir, 20
contiene 4 veces a 5.
Con 22 no podemos formar
grupos de 5 y no que sobre
nadie. 22 no contiene a 5 una
cantidad exacta de veces.
MÚLTIPLOS
de un número

3. ARITMÉTICA
Relación de divisibilidad







Ejemplos:
a) Los 5 primeros múltiplos de 22   110,88,66,44,225·22,4·22,3·22,2·22,1·2222 

b) Los múltiplos de 22 comprendidos entre 513 y 570. ?57022513¿ 


1º Dividimos 513 entre 22 para obtener el primer múltiplo de 22 anterior a 513:
513 : 22 = 23, y RESTO 7, lo cual significa que 22·23 es el múltiplo de 22 anterior a 513 (506).
2º Multiplicando 22·24 (23 + 1) obtenemos el primer múltiplo de 22 posterior a 513:
22·24 = 528
22·25 = 550
22·26 = 572, que ya no nos valdría por ser superior a 570.
Por tanto:  550,52857022513 



PROPIEDAD INTERESANTE DE LOS MÚLTIPLOS: La SUMA de dos MÚLTIPLOS de un
número a es otro múltiplo de a.
Demostración: m·a + n·a = (m + n)·a

Por el contrario, si a un MÚLTIPLO de a se le SUMA otro número que NO LO SEA, el
resultado NO ES MÚLTIPLO de a.


Los DIVISORES de un número están contenidos en él una cantidad
exacta de veces (ver RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD) y, por tanto, lo
dividen con un cociente exacto. Esto nos lleva a que la cantidad de divisores de un número
será siempre finita, siendo el divisor más pequeño el 1 y el más grande el propio número.

Lo expresaremos de la siguiente forma:  adedivisoresaDiv

Ejemplo: Obtén todos los divisores de 72:
 }72,36,24,18,12,9,8,6,4,3,2,1{72
91218243672
div



Los DIVISORES que nos faltan

Los COCIENTES de las divisiones

DIVISORES
de un número

4. ARITMÉTICA
Relación de divisibilidad




Recuerda que un número es divisor de 72 si la división de 72 entre ese número nos da exacta
(cociente entero y resto cero), en cuyo caso el cociente también es divisor (gracias a la
propiedad conmutativa). Este pequeño truco nos permite obtener los divisores de cualquier
número haciendo la mitad de trabajo, ya que los cocientes de las divisiones también son
divisores.


3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Los CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD son reglas sencillas que permiten averiguar si un
número es o no divisible por otro, sin necesidad de hacer la división:

Divisible
por…
Criterio de divisibilidad
2 Si termina en 0 o cifra par.
3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
5 Si termina en 0 o 5.
11
Si la suma de las cifras que ocupan los lugares impares menos la suma de
las cifras que ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11.
Compuestos
6
6 = 2·3  Si cumple el criterio de divisibilidad del 2 y del 3, es decir, si el
número es par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (por ejemplo: 522. Es
par y la suma de sus cifras es 9).
9 9 = 3
2
 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 Si terminan en 0.
15
15 = 3·5  Si cumple el criterio de divisibilidad del 3 y del 5, es decir, si el
número termina en 0 o 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (por
ejemplo: 225. Termina en 5 y la suma de sus cifras es 9).

Ejemplo: ¿75405 es múltiplo de 11?


La suma de las cifras en posición par:
5 + 0 = 5


ª1ª2ª3ª4ª5
50457 
16 – 5 = 11, que por supuesto es múltiplo de 11.



La suma de las cifras en posición impar:
7 + 4 + 5 = 16

Por tanto, 75405 es múltiplo de 11.

5. ARITMÉTICA
Relación de divisibilidad





Recuerda, un número es múltiplo de 11 si la suma de las cifras que ocupan los lugares impares
menos la suma de las cifras que ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11 (piensa que
esta operación puede hacerse de cabeza).
Si comprobamos dividiendo 75405 entre 11, el cociente es 6855 y el resto cero.