REPASO ÁLG 2DOB KJOVCJXVCVF HIFDJIC IJD CUCBU

JHJHJJHHJJDHJJFY URY DKCHKC CK I

1. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
FORMA GENERAL:
Fórmula general
Ejemplos :
Nota:
•Para cualquiera de los dos métodos
la ecuación tiene que tener la
expresión de la forma general.
•La cantidad de soluciones en una
ecuación cuadrática pueden ser dos,
una ó ninguna.
�??????
�
+�??????+�=� �≠�
??????
�
+�??????=��
(??????+�)
�
−�??????=??????+�2)
1)
Métodos de resolución
Factorización1)
2)

2. Ejemplos: Resolver
1) ??????
�
− �� =� 2) ??????
�
−�?????? +��=�
??????+�=�??????−�=�
∴??????.�={−�;�}
??????−�??????−�
1. Método de factorización
− + =�??????�??????�
∨
??????=�??????=− �
??????
−�
−�
−�??????
−�??????
−�??????
?????? +
=�
??????−�=�??????−�=�
∴??????.�={�;�}
∨
??????=�??????= �

3. ➢La ecuación debe estar
igualada a cero.
??????=
−�±??????
��
2. Método por la fórmula general
(??????: discriminante)??????=�
�
−���
??????
�=
−�+??????
��
??????
�=
−�−??????
��
Donde:
Procedimiento para la resolución:
➢Reemplazar y calcular.
➢Identificar los coeficientes
(a;b;c)
�??????
�
+�??????+�=�
??????=
−�±�
�
−���
��

4. Ejemplo: Resolver
�??????
�
− �??????+� =�
�=� ; �=−� ; �=�
Resolución
??????=�
�
−���
??????=�
Fórmula general:
??????=
−�±??????
��
??????=
−−�±��
��
−−�±��
�
??????=−�
�
−���
=
�±��
�
�±�
�
�
�
??????=�− �
??????
�=
�−�
�
??????
�=
�
�
=
�
�
??????
�=
�+�
�
??????
�=�
∴??????.�=
�
�
;�

5. �??????�?????? ??????
�; ??????
� raíces o soluciones de la ecuación:
�??????
�
+�??????+�=�
1. Suma de raíces:

2. Producto de las raíces
Ejemplo:
Si ??????
�; ??????
� son raíces de la ecuación:
�??????
�
+�??????+��=0
Hallar (??????
�+??????
�)+(??????
�.??????
�)
??????????????????�????????????????????????ó�:
�=� ;
??????
�+??????
�=
??????
�.??????
�=
�????????????� .�
Propiedades de las raíces
−
�
�
??????
�+??????
�=
�
�
??????
�.??????
�=
�=� ; �=��
−

�
�
=−�
��
�
=�
+

6. 1.
??????
�
−�??????−�=�
RESOLUCIÓN
Resuelva:
??????
�
−�?????? −�=�
??????−�??????+�
??????
−�
+�
−�??????
??????
−�??????
?????? +
=�
??????+�=�??????−�=�
∴??????.�={−�;�}
∨
??????=�??????=−�

7. 2.Calcule el valor de x si
????????????−�+�??????−�+�=�
RESOLUCIÓN
????????????−�+�??????−�+�=�
??????
�
− �??????+ �??????− �+ �=�
??????
�
− �??????+ �=�
??????−�??????−�
??????
−�
−�
−�??????
− ??????
−�??????
?????? +
=�
??????−�=�??????−�=�
∴??????
�=� ∨ ??????
�=�
∨
??????=�??????=�

8. 3.Calcule el valor de x en la ecuación
�??????
�
−�??????+��=??????
�
+�??????
RESOLUCIÓN
�??????
�
−�??????+��−??????
�
−�??????=�
??????
�
− �??????+ ��=�
??????
−�
−�
−�??????
−�??????
−�??????
?????? +
??????−�??????−�=�
??????−�=�??????−�=�
∴??????
�=� ∨ ??????
�=�
∨
??????=�??????=�

9. 4.
??????
�
=�??????
RESOLUCIÓN
Resuelva:
??????
�
−�??????=�
?????? ??????− �=�
��
??????=�??????−�=�∨
??????=� ∴??????.�={�;�}

10. 5.
RESOLUCIÓN
Calcule el valor de x
??????
�
+??????−�=�
�=� ; �=� ; �=−�
??????=�
�
−���
??????=��
??????=�
�
−��−�
??????=�+ ��
??????
�
+??????−�=�
Fórmula general:
??????=
−�±??????
��
??????=
−−�±��
��
−�±��
�
=
�±��
�
−�±��
�
��
�
??????
�=
−�−��
�
??????
�=
−�+��
�

∴??????
�=
−�−��
�
⋁ ??????
�=
−�+��
�

11. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Forma General
�??????
�
+�??????+�=� ;�≠�
Llamada también ecuación cuadrática.
Donde x es la incógnita y a,b y c son coeficientes reales.
Propiedades
Suma de raíces ??????
1+??????
2=−
�
�
Producto de raíces ??????
1×??????
2=
�
�
se cumple qué:
Además ??????=�
�
−��� es llamado
discriminante de la ecuación de
segundo grado.
Esta ecuación tiene dos soluciones :
??????
1=
−�+??????
2�
??????
2=
−�−??????
2�
∧

12. 1.
(??????−�)
�
+�(??????+�)=��
RESOLUCIÓN
(??????−1)
2
+2(??????+3)=32
RECORDEMOS
Binomio al cuadrado
Resuelva e indique la menor solución
�+�
2
=�
2
+2��+�
2
??????
2
−2??????+1+ 2??????+ 6=32
??????
2
+7−32=0
??????
2
−25=0
Diferencia de cuadrados
(??????−5)(??????+5)=0
??????−5=0
??????.??????={−�; � }
−�
�
2
−�
2
=(�−�)(�+�)
??????+5=0∨

13. HELICO | PRACTICE
2.Calcule los valores de x en
(�??????+�)(�??????−�)=�??????
RESOLUCIÓN
(2??????+1)(2??????−1)=3??????
RECORDEMOS
Diferencia de cuadrados
�
2
−�
2
=�−�(�+�)
(2??????)
2
−1
2
=3??????
4??????
2
−1=3??????
4??????
2
−3??????−1=0
AspaSimple4??????
?????? −1
1→ ??????
→−4??????
− 3??????
(4??????+1)(??????−1)=0
4??????+1=0??????−1=0∨
??????
�=−
�
�
; ??????
�=�

14. 3.Determine la suma y el producto de raíces de
�??????
�
−��??????+��=�
RESOLUCIÓN
RECORDEMOS
Forma General
�??????
�
+�??????+�=� ;�≠�
Propiedades
Suma de raíces ??????
1+??????
2=−
�
�
Producto de raíces ??????
1×??????
2=
�
�
5??????
2
−10??????+15=0
���
Suma de raíces Producto de raíces
??????
1+??????
2=−
�
�
??????
1×??????
2=
�
�
??????
1+??????
2=
−(−10)
5
??????
1+??????
2=
10
5
=2
??????
1×??????
2=
15
5
??????
1×??????
2=3
Suma de raíces =�
Producto de raíces=�

15. 4.Sea ??????
�
−�??????+�=� donde ??????
1 y ??????
2 son raíces.
??????
1+??????
2+??????
1.??????
2
RESOLUCIÓN
RECORDEMOS
Forma General
�??????
�
+�??????+�=� ;�≠�
Propiedades
Suma de raíces ??????
1+??????
2=−
�
�
Producto de raíces ??????
1×??????
2=
�
�
??????
2
−5??????+3=0
���
Suma de raíces Producto de raíces
??????
1+??????
2=−
�
�
??????
1×??????
2=
�
�
??????
1+??????
2=
−(−5)
1
??????
1+??????
2=5
??????
1×??????
2=
3
1
??????
1×??????
2=3
??????
1+??????
2+??????
1.??????
2= 8
Calcule
1
5+ 3=

16. ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES ?
Es aquel conjunto de ecuaciones para dos o
más variables que se verifican para los
mismos valores de sus incógnitas.
Ejemplo:
se verifican para:

17. Resolver el sistema:
2�+�=�� (I)
��−�=� (II)
??????????????????�????????????????????????ó�
PROBLEMA 1
Sumamos para eliminar “y”:
2�+�=12
2�−�=8
(+)
4�=20
�=5
Reemplazando en “II”:
2(5)−�=8
10−�=8 �=2
CS={(5; 2)}

18. Resolver el sistema:
��+��=�� (I)
��−�=� (II)
??????????????????�????????????????????????ó�
PROBLEMA 2
5�+3�=19
12�−3�=15
(+)
17�=34
�=2
Reemplazando en “II”:
4(2)−�=5
8−�=5 �=3
CS={(2; 3)}
X 1 I::
X 3 II::

19. HELICO | PRACTICE
Halle el valor de x + y; luego de resolver el sistema:
��−��=�� (I)
��+��=−� (II)
??????????????????�????????????????????????ó�
PROBLEMA 4
9�−6�=48
10�+6�=−10
(+)
19�=38
�=2
Reemplazando en “I”:
3(2)−2�=16
6−2�=16 �=−5
X 3 I::
X 2 II::
∴�+�=�−�
RPTA: -3