sai lam khi giai toan To hop ở THPT VN nagyf nay

Khá dễ hiểu thú vị

1. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Đề tài
Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn
veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh hôïp,
toå hôïp
I. Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài:
Học toán luôn phải gắn liền với thực tế, nhờ vào tính thực tế mà toán học đã
mang lại cho moi người yêu thích Toán nói chung và học sinh nói riêng nhiều niềm say
mê, hứng thú và có tác động tích cực đến việc học và giải toán. Một trong những phần
mà học sinh thích thú và ấn tượng nhất trong toán học THPT là Đại số tổ hợp. Thích thú
ở đây không những có tính thực tế mà còn có nhiều cách giải khác nhau, ấn tượng ở đây
là giải toán rất dễ mang lại sai lầm.
Công thức về Đại số tổ hợp chưa đủ để giải quyết vấn đề. Vấn đề ở đây là lý
thuyết. Học sinh chưa hiểu sâu các qui tắc đếm, về khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
đồng thời chưa nắm được sự giống và khác nhau giữa khái niệm đó để áp dụng vào bài
tập.
Về bài tập thì việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào thì nhiều học sinh
còn mơ hồ và kĩ năng trình bày thì khó diễn đạt theo ý mà mình muốn nói.
Về thực tế thì việc áp dụng toán Tổ hợp trong thực tế rất nhiều: thiết kế số hiệu
của bảng số xe, mã khoá ổ khoá, mật khẩu, sêri sản phẩm, mã vạch, tính nhanh về các
kết quả số vectơ được thành lập từ các điểm, hay số hình đa giác được tạo bởi các
đường thẳng,…Áp dụng vào toán xác suất để thiết kế trò chơi, máy đánh bạc, tỉ số,
trong thống kê,…Ngoài ra còn vận dụng kiến thức tổ hợp, xác suất để hướng dẫn học
sinh giải nhanh bài tập trắc nghiệm khi giảng dạy phần di truyền phân li độc lập.
Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần đại số tổ hợp, tôi đã phát hiện ra có
nhiều học sinh rất lúng túng trong việc chọn cách giải sao cho đúng. Một trong những
bài toán có dạng sau:
Bài 1: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ
số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3.
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 1

2. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Bài 2: Cho tập , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ
số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3.
Bài 3: Cho tập ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
…
Hiển nhiên để giải quyết một bài toán thì có nhiều cách giải nhưng khi mang cách
giải của bài toán này áp dụng cho bài toán khác có cùng dạng thì đôi khi không còn áp
dụng được nữa. Và ba bài toán trên là một ví dụ minh chứng cho vấn đề tôi đã đặt ra.
Và câu hỏi được đặt ra ở đây là tại sao hai bài toán có cùng dạng mà áp dụng một cách
giải cho hai bài toán thì không giải quyết được cả hai bài toán đó. Vậy sai lầm trong quá
trình giải toán đại số tổ hợp này là nằm ở đâu? Đó cũng chính là lý do để tôi chọn đề tài
này để viết sáng kiến kinh nghiệm.
Thực ra khi còn đang học lớp 12 tôi đã nhận ra điều kỳ diệu trong toán đại số tổ
hợp, nó là một dạng toán thực sự khó và dễ mắc nhiều sai lầm trong cách giải. Nó khiến
cho người đọc, người nghiên cứu cần phải suy nghĩ và đầu tư nhiều. Kể từ thời gian đó
cho đến nay tôi luôn tìm mọi cách để khắc phục những sai lầm đó. Cho đến hôm nay là
một giáo viên trực tiếp giảng dạy thì tôi mới có điều kiện để chia sẻ với quý đồng
nghiệp một vài kinh nghiệm trong dạy toán đại số tổ hợp, thông qua sáng kiến kinh
nghiệm này.
2. Mục đích và phạm vi nghiên cứu:
Đại số tổ hợp là toán học không thể thiếu trong chương trình phổ thông và đã
được đưa vào trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Đại số tổ hợp không những
trang bị cho học sinh khả năng suy luận cao, tính logic, chặt chẽ và chính xác mà còn là
một trong những kiến thức được đưa vào thi đại học và các kì thi Olympic.
Nghiên cứu Đại số Tổ hợp, ngoài việc kiến thức và phương pháp giải ra học sinh
còn phải tìm tòi nhiều cách giải khác nhau, tìm ra những sai lầm trong giải toán, mở
rộng bài toán mới để giúp học sinh phát triển kĩ năng, tư duy, sáng tạo và vận dụng một
cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc
sống
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 2

3. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Hơn nữa đối với giáo dục và đào tạo hiện nay thì cần phải đổi mới phương pháp
dạy học. Thầy đóng vai trò là người hướng dẫn để học sinh tự tìm tòi phát hiện ra kết
quả, phát hiện ra mâu thuẫn và sự sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán để
tránh. Giáo viên có vai trò hỗ trợ, hướng dẫn và chỉnh sửa sai sót của học sinh. Và đó
cũng chính là mục đích để tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này rất mong được sự ủng hộ và góp ý nhiệt thành
của quý đồng nghiệp, nhằm biến nó thành một công cụ đích thực cho việc dạy và học
toán đại số tổ hợp.
Đối tượng nghiên cứu ở đây là Học Sinh Trung bình Khá. Phạm vi áp dụng đề tài
này là trong và sau bài Hoán Vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp trong chương trình Đại số và giải
tích 11 Chương II. Ngoài ra kiến thức này còn làm nền tảng cho ôn luyện thi đại học.
II. Nội dung:
1. Cơ sở lí luận:
Khi giải quyết một bài toán về tổ hợp (về cách thành lập số tự nhiên hay chọn
người, vật, … sao cho thoả điều kiện đã cho) thường là đề tài mà học sinh yêu thich
nhất. Vi đây là những bài toán có tính thực tế, thấy được và biễu diễn được bằng được
sơ đồ hay hình ảnh minh hoạ rõ ràng nhất. Thế nên, học sinh lại dễ mắc sai lầm trong
cách biện luận và sử dụng công thức hay cách giải nào là phù hợp nhất. Điều quan trọng
nhất trong giải toán tổ hợp là học sinh phải đọc thật kĩ đề, phân tích giả thuyết bài toán,
chọn phương án (tổ hợp hay chinh hợp) cho đúng mà còn chú ý đến các yếu tố khác
trước và sau khi giải, tức là: Để giải quyết bài toán bắt đầu từ đâu? Trình bày như thế
nào cho chính xác và logic? Có còn khả năng nào xảy ra của yêu cầu bài toán nữa
không? Có thiếu trường hợp nào nữa không? Có dư trường hợp nào nữa không?... Có
như thế thì ta mới giải quyết bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài ra học sinh
còn phải nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp giải cho từng dạng bài.
Khi Giáo viên được nghiên cứu sâu về các dạng toán Tổ hợp, cụ thể là bài toán
dùng Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thì khả năng suy luận, phân tích, tư duy được nâng lên
đáng kể theo từng năm. Qua đó cũng truyền thụ cho các em những kiến thức về bài toán
này thật hay, sáng tạo và năng động.
2. Thực trạng vấn đề:
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 3

4. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Khi gặp các bài toán về thành lập số có số 0 thì đa phần học sinh rất lúng túng vì
vị trí nó không thể nằm ở số hạng đầu nên việc chọn cách giải sẽ rất khó khăn. Trong
khi đó, việc sử dụng qui tắc đếm sẽ dài và mất nhiều thời gian trình bày nên việc chọn
chỉnh hợp để giải cũng là sự lựa chọn hợp lý tuy nhiên cũng cần phải nắm vững lý
thuyết. Mặt khác một số bài toán tương tự nhau về mặt hình thức nhưng chỉ thay đổi về
bố cục lại không thể áp dụng cho bài toán trước được nên vấn đề nắm vững phương
pháp giải từng dạng bài toán là vấn đề nan giải.
Một số bài toán có sự lựa chọn một số ít trong nhiều thì học sinh lại lúng túng
trong việc chọn chỉnh hợp hay tổ hợp, mà đã có sự lựa chọn công thức thì phải biết đối
với bài toán nào sử dụng cách nào, bài toán nào sử dụng cách kia.
Thời gian giảng dạy chính thức trong chương trình phổ thông chỉ có 6 tiết cho cả
2 bài Qui tắc đếm và Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp, trong đó bài tập chỉ có 3 tiết cho tất
cả. Thời lượng này rất ít cho Giáo viên truyền tải hết các dạng bài toán huống chi đưa
vào bài toán hay đến với học sinh.
3. Giải quyết vấn đề:
a/Các bước tiến hành:
- Bước 1: Đưa bài toán và cho học sinh tìm tòi cách giải.
- Bước 2: GV sửa bài của học sinh giải và trình bày mỗi bài toán tối thiểu theo hai
hướng nhất định bằng phiếu học tập (2 học sinh 1 phiếu)
- Bước 3: Cho học sinh cả lớp nhận xét kết quả của hai hướng giải, từ đó phát
hiện ra hướng giải nào không phù hợp và mắc phải sự sai lầm ở đâu?
- Bước 4: Giáo viên chỉ ra những sai lầm bằng sơ đồ minh họa, từ đó giúp học
sinh đúc rút được kinh nghiệm cũng như phương pháp trong quá trình giải toán.
b/Phương pháp :
- Giải quyết vấn đề thông qua vấn đáp gợi mở.
- Thông qua các hoạt động điều khiển tư duy.
c/ Biện pháp thực hiện :
- Ở đây tôi chỉ nêu ra 4 sai lầm thường mắc phải của học sinh, mỗi sai lầm là 1
dạng bài toán được minh hoạ theo hình thức: Cho 2 ví dụ, chọn ví dụ 1 sao cho hai
hướng giải đều thực hiện đúng. Ví dụ 2 với hướng giải 1 là sai, hướng giải 2 đúng
(hoặc có thể là hướng giải cuối đúng với bài toán có nhiều lời giải mà học sinh có thể đi
đến). Ngoài ra có thể chọn thêm ví dụ 3 bổ sung mà sai lầm có thể đưa đến một cách
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 4

5. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
ngẫu nhiên. Ví dụ 3 là hướng giải 1 đúng, hướng giải 2 sai để thể hiện việc áp dụng
cách giải đúng trên và thêm cách giải sáng tạo mà học sinh có thể mắc sai lầm. Từ đó
mới kích thích được tính tò mò, ham học hỏi của học sinh và từ đó tạo điều kiện cho
việc phát hiện ra sai lầm và giải quyết sai lầm một cách thuận lợi.
4. Một số sai lầm thường gặp
Sai lầm 1: nhầm lẫn cách giải dạng bài tập này mang qua cách giải bài tập khác có
nội dung tương tự
Ví dụ 1: Cho tập hợp ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
5 chữ số khác nhau , trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3.
Giải
Cách 1: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là: ,
Số cách chọn a1 có 5 cách
Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 4 của 5: có (cách)
Suy ra : có 5. = 600 (số)
Trong 600 số trên thì:
Số không có chữ số 0 được lập từ tập là số hoán vị của 5 :
có= 120 (số)
Số không có chữ số 3 được lập từ tập
Số cách chọn có 4 cách
Số cách chọn là số hoán vị của 4 có(cách)
Suy ra : có 4. = 96 (số)
Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :600 – (120 + 96) = 384 (số)
Cách 2: chọn 5 ô
Số cách chọn số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ
số 0 và 3, chính là số cách xếp 5 chữ số từ tập A vào 5 ô liên tiếp nhau:
Vì nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3 nên ta chọn số 0 và 3 xếp trước
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 5
12345

6. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên có 4 cách xếp.
Số 3 có 4 cách xếp vào 4 vị trí còn lại.
Số cách xếp 3 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 3 của 4 :
Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :4.4. = 384 (số)
Nhận xét : Hai cách giải đều đúng và cách 2 là cách có tính khả thi nhất, áp dụng được
cho nhiều bài.
Giải thích:
Cách 2: ngắn gọn, dễ hiểu và cô đọng hơn, học sinh dễ áp dụng và dễ trình bày hơn.
Cách 1: áp dụng được vì trong 600 số đó chỉ có 3 loại số trong cách thành lập số tự
nhiên có 5 chữ số khác nhau
Loại 1:Số không có chữ số 0.
Loại 2:Số không có chữ số 3.
Loại 3:Số có cả chữ số 0 và 3.
Nên lấy 600 số gồm 3 loại trừ cho loại 1 và loại 2 thì còn lại loại 3.
Ví dụ 2: Cho tập hợp ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
3 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3.
Giải
Cách 1: Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập A là: ,
Số cách chọn a1 có 4 cách
Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 4: có (cách)
Suy ra : có 4. = 48 (số)
Trong 48 số trên thì:
Số không có chữ số 0 được lập từ tập là số chỉnh hợp chập 3
của 4 : = 24 (số)
Số không có chữ số 3 được lập từ tập
Số cách chọn có 3 cách
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 6

7. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 3 : có(cách)
Suy ra : có 3. = 18 (số)
Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :48 - (24 + 18) = 6 (số)
Cách 2:
Số cách chọn số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ
số 0 và 3,chính là số cách xếp 3 chữ số từ tập A vào 3 ô liên tiếp nhau:
Vì nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3 nên ta chọn số 0 và 3 xếp trước
Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên có 2 cách xếp.
Số 3 có 2 cách xếp vào 2 vị trí còn lại.
Số cách xếp 1 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 1 của 3 : có(cách)
Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :2.2. = 12 (số)
Nhận xét : Kết quả hai cách giải khác nhau. Tại sao cũng là bài toán tượng tự mà cách
giải trên áp dụng đúng nhưng bài toán sau áp dụng lại không giống với cách giải kia.
Vậy cách nào đúng, cách nào sai và sai lầm ở đâu?
Giải thích: Cách 2 đúng, cách 1 sai vì trong 48 số đó có hơn 3 loại số nên cách giải này
vẫn áp dụng được nhưng không nên chọn vì dễ mắc sai lầm.
Sơ đồ minh họa:
48 số gồm có:
Trong bài 2 này nếu bỏ ra chữ số 0 và 3 thì còn lại 3 số 1; 2; 4 nên lập được số có
3 chữ số khác nhau không có số 0 và 3. Chính vì thế mà trong 48 số đó có tới 4 loại số.
Khi trừ đi số không có chữ số 0 thì:
Trong 48 số chỉ còn : (phần gạch chéo là phần loại trừ)
Khi trừ đi tiếp số không có chữ số 3 thì:
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 7
123

8. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Trong 48 số chỉ còn : (phần 2 gạch chéo là phần loại trừ 2 lần)
Trên sơ đồ ta nhìn thấy số không có chữ số 0 và 3 bị trừ đi hai lần nên dẫn đến
trường hợp mất số. Số không có chữ số 0 và 3 có tất cả 6 số và bị trừ đi hai lần nên kết
quả của cách 1 bị mất đi 6 số so với kết quả của cách 2 là 12 số.
Còn trong bài 1 nếu bỏ ra chữ số 0 và 3 thì còn lại 4 số 1 ; 2 ; 4 ; 5 nên không thể
lập được số có 5 chữ số khác nhau. Chính vì thế mà trong bài 1 chỉ có 3 loại số nên cách
giải 1 áp dụng cho bài 1 hoàn toàn đúng.
Ví dụ 3: Cho tập hợp ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Giải
Cách 1:
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là: ,
Số cách chọn a1 có 6 cách.
Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 4 của 6: có(cách)
Suy ra : có 6. = 2160 (số)
Trong 2160 số trên thì số không có chữ số 5 được lập từ tập
Số cách chọn có 5 cách.
Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 4 của 5 : có(cách)
Suy ra : có 5.= 600 (số)
Vậy theo yêu cầu bài toán ta có :2160 - 600 = 1560 (số)
Cách 2:
Số cách chọn số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ
số 5, chính là số cách xếp 5 chữ số từ tập A vào 5 ô liên tiếp nhau
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 8
12345

9. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Vì muốn có mặt chữ số 5 thì số 5 có 5 vị trí xếp.
4 chữ số còn lại là số chỉnh hợp chập 4 của 6: có(cách)
Vậy theo yêu cầu bài toán ta có : 5.= 1800 (số)
Nhận xét : Kết quả hai cách giải khác nhau.
Vậy cách nào đúng, cách nào sai và sai lầm ở đâu?
Giải thích: Cách giải 1 đúng cách giải 2 sai.
Đến đây chúng ta đã thấy xuất hiện sự mâu thuẫn là tại sao bài 2 và bài 3 có cùng
dạng nhưng tại sao đối với bài 2 thì cách 1 sai, cách 2 đúng. Còn bài 3 thì cách 1 đúng,
cách 2 sai. Sai lầm do số 5 đặt ở vị trí ô số 1 thì khác, ô số 2,3,4,5 thì khác. Số 0 đã làm
bài toán phức tạp thêm. Vậy vấn đề được đặt ra ở đây là khi nào chọn cách giải nào cho
đúng với bài toán đặt ra.
Thực ra cách giải 2 ở đây bị thiếu chứ không phải là không áp dụng được.
Tôi xin bổ sung cho cách giải 2 để cách giải 2 trở thành cách giải đúng, mang tính
khả thi hơn và được áp dụng rộng hơn so với cách 1.
Phần bổ sung cho cách giải 2: Ta xem phần bài giải trên là trường hợp cho tất
cả: số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 nhưng
số đầu tiên có thể là số 0 hoặc không phải là số 0.
Số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 và
chữ số 0 xếp đầu tiên.
a1 = 0 nên 4 vị trí còn lại có 4 cách xếp số 5.
Số cách xếp 3 số còn lại từ 5 số chính là số chỉnh hợp chập 3 của 5: có(cách)
Suy ra có : 4.= 240 (số)
Vậy theo yêu cầu bài toán ta có : 1800 – 240 = 1560 (số)
(Cùng kết quả với cách 1)
Bài tập tương tự:
1. Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho
trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.ĐS: 42000 (số)
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999)
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 9

10. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
2. Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau
trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.ĐS: 13320 (số)

Sai lầm 2: Nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp
Dạng này đặc biệt có 1 loại nên tôi xin đưa ra một bài toán đơn giản nhưng học sinh lại
có các cách làm như sau:
Ví dụ: Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ)
để ghép thành 3 đôi để biểu diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép.
Giải:
Lời giải 1: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là (cách)
Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là (cách)
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là: . (cách)
Lời giải 2: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là (cách)
Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là (cách)
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là: . (cách)
Lời giải 3: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là (cách)
Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là (cách)
Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ là: . (cách)
Trong 6 học sinh chọn ra thì có có 3 nam và 3 nữ, sau đó ta hoán đổi vị trí
cho 3 nam và 3 nữ
Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3!.3!. . (cách)
Lời giải 4: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là (cách)
Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là (cách)
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 10

11. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ là: . (cách)
Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! (cách) ghép giữa các đôi nhảy với nhau
(là hoán vị của 3 học sinh nam hoặc 3 học sinh nữ)
Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3!.. (cách)
Nhận xét: Nếu như không giải theo nhiều cách thì nhìn vào cách nào cũng nghe có vẽ
hợp lý. Nhưng khi trình bày 4 lời giải thì HS sẽ đoán được cách nào đúng. Nhưng đó chỉ
là dự đoán, thật ra đâu là lời giải đúng?
Phân tích:
Lời giải 1: Rõ ràng là sai vì bài toán không yêu cầu thứ tự.
Lới giải 2: Thiếu số cách chọn để ghép thành đôi.
Lời giải 3: Có vẽ như đúng, tuy nhiên học sinh đã nhầm lẫn trong việc hoán đổi cả 3
nam và 3 nữ nên sẽ xảy ra trùng lặp lại các cặp nhảy. Ví dụ: có 3 bạn Nam: A; B; C và 3
bạn nữ: (a; b; c) thì khi hoán vị cả 3 nam (C; A; B) và 3 nữ (c; a; b) thì ắt hẳn sẽ trùng
với cách ban đầu (Aa; Bb; Cc)
Lời giải 4: đúng vì nếu hoán đổi thì chỉ đổi cho nam hoặc nữ.
Bài tâp tương tự:
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem
thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi
có bao nhiêu cách làm như vậy?ĐS: 1200.
Sai lầm 3: Chọn k phần tử tuỳ ý từ tập hợp gồm n phần tử (0kn) hay các phần
tử tuỳ ý còn lại trong tập còn lại.
Xin đưa ra 2 bài toán đơn giản nhưng lại có các cách làm như sau:
Ví dụ 1: Một nhóm học sinh có 5 bạn A, B, C, D, E. Giáo Viên cần chọn ra 3 học sinh
thì có bao nhiêu cách chọn.
Lời giải 1: Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 5 bạn là số tổ hợp chập 3 của 5.
Số cách chọn là = 10 (cách)
Lời giải 2: đầu tiên chỉ chọn 1 bạn thì có (cách)
Tiếp theo chọn 1 bạn trong 4 bạn còn lại có: (cách)
Cuối cùng thì chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có: (cách)
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 11

12. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Vậy có: .. = 5.4.3 = 60(cách)
Lời giải 3: đầu tiên chỉ chọn 1 bạn thì có (cách)
Tiếp theo chọn 2 bạn còn lại trong 4 bạn thì có: (cách)
Vậy có: . = 5.6 = 30 (cách)
Lời giải 4: đầu tiên chỉ chọn 2 bạn thì có (cách)
Tiếp theo chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có: (cách)
Vậy có: . = 10.3 = 30 (cách)
Nhận xét: Thoạt nhiên thấy các lời giải tương đối hợp lý nhưng các kết quả lại khác
nhau. Vậy đâu là lời giải đúng?
Phân tích:
Lời giải 1: Tất nhiên là lời giải đúng.
Vậy sai lầm là gi khiến cho các lời giải còn lại đều sai?
Lời giải 2: Sai lầm là học sinh đã phân biệt thứ tự, trong khi đề bài không yêu cầu tính
thứ tự.
Đầu tiên chọn 1 bạn trong 5 bạn, dĩ nhiên là có 5 cách.
Nếu lần đầu chọn A (thì còn lại B, C, D, E), lần 2 chọn B (còn lại C, D, E), lần 3 chọn C
thì ta có 3 bạn là A, B, C.
Nếu lần đầu chọn B (thì còn lại A, C, D, E), lần 2 chọn C (còn lại A, D, E), lần 3 chọn
A thì ta có 3 bạn là A, B, C.
……….
Như vậy số cách chọn ra 3 bạn A, B, C đã bị lặp.
Các lời giải còn lại cũng giải thích tương tự.
Vậy các lời giải 2,3,4 đã đưa yêu cầu thứ tự vào nên dẫn đến sai.
Ví dụ 2: Một tổ có 8 học sinh nam, 7 học sinh nữ. Chọn ra 1 nhóm gồm 6 HS sao cho
có ít nhất 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải 1: ( có vẻ “hay” vì rất ngắn gọn và … “độc đáo”)
Bước 1: chọn ra 2 nữ (vì có ít nhất 2 nữ) có: (cách)
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 12

13. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Bước 2: Chọn 4 bạn còn lại trong 13 bạn có: (cách)
(khi đó 6 bạn còn lại trong 13 bạn được chọn luôn thoả mãn có ít nhất 2 nữ).
Vậy có . = 15015 (cách)
Lời giải 2: (trực tiếp): chia cụ thể các trường hợp:
TH1: 2 nữ, 4 nam: (cách)
TH2: 3 nữ, 3 nam: (cách)
TH3: 4 nữ, 2 nam: (cách)
TH4: 5 nữ, 1 nam: (cách)
TH5: 6 nữ: (cách)
Vậy có tất cả: + + + + = 4585 (cách)
Lời giải 3: (gián tiếp)
Bước 1: chọn 6 HS bát kì: (cách)
Bước 2: chọn 5 HS nam, 1 HS nữ: (cách)
Bước 3: chọn 6 HS nam: (cách)
Vậy số cách chọn thoã mãn là: – ( + ) = 4585 (cách)
Nhận xét: Hai lời giải 2 và 3 chắc chắn đúng vì đáp án giống nhau và phân tích khá rõ
ràng. Lời giải 1 xem có vẻ hợp lý, ngắn gọn, … nhưng tại sao đáp án không như cách
giải 2 và 3? Vậy sai lầm ở đâu?
Phân tích: Sai lầm là học sinh đã phân biệt thứ tự vì chọn liên tiếp
Tôi đưa ra sơ đồ minh hoạ cho lời giải 1:
Nếu: 8 nam có tên lần lượt: A, B, C, D, E, F, G, H
7 nữ có tên lần lượt: K, L, M, N, O, P, Q
+ Giả sử nếu chọn ra 2 nữ: K, L
và chọn 4 người còn lại bất kì trong 13 người còn lại là: A, B, M, N.
+ Lần sau chọn 2 nữ M, N
thì chọn 4 người còn lại bất kì trong 13 người còn lại là: A, B, K, L
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 13

14. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Dấu hiệu HS sai lầm là: có 1 lần chọn sau sẽ trùng với lần chọn trước với 6 người:
K,L,A,B,M,N.
Kết luận: Cách này không sử dụng được vì bị trùng lặp. Vậy Tổ hợp và chỉnh hợp rất
dễ phân biệt, nếu bài toán yêu cầu tính thứ tự thì ta dùng chỉnh hợp, còn không yêu cầu
thứ tự (tuý ý) thì ta dùng tổ hợp.
Bài tập tương tự:
Cho 10 quả cầu màu trắng có bán kính khác nhau và 15 quả cầu màu xanh có bán kính
khác nhau. Người ta muốn chọn 5 quả cầu sao cho có ít nhất 2 quả cầu trắng. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn 5 quả cầu trên. ĐS: 36477 cách

Sai lầm 4: Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp.
Ví dụ 1: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó. Người
ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?
Giải
Lời giải 1:
Bước 1: chọn 10 câu tuỳ ý trong 20 câu có (cách)
Bước 2: chọn 10 câu không thoả mãn đầu bài ( có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung
bình và khó).
TH1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có (cách)
TH2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có (cách)
TH3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có (cách)
Vậy có: – ( ++) = 176451 đề kiểm tra
Lời giải 2:
Chia từng trường hợp cụ thể:
TH1: 1 khó, 1 TB và 8 dễ:
TH2: 1 khó, 2 TB và 7 dễ:
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 14

15. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
TH3: 1 khó, 3 TB và 6 dễ:
……
Nhận xét: Tất nhiên 2 lời giải trên là 2 lời giải đúng nhưng lời giải 2 thì mang cách giải
thủ công nên làm dài và mất thời gian. Tuy nhiên tôi muốn chúng ta bàn luận về các sai
lầm trong các bài giải dưới đây.
Ví dụ 2: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó. Người
ta chọn ra 7 câu dễ làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?
Chú ý rằng so với ví dụ 1 thì ví dụ 2 chỉ thay đổi 1 chút là thay vì chọn ra 10 câu
thì chọn ra 7 câu. Nghe qua thì có vẻ cách làm chẳng có gì khác, tuy nhiên sự thay đổi
đó có thể gây sai lầm. Vậy hãy xem các lời giải sau:
Lời giải 1:
Bước 1: chọn 7 câu tuỳ ý trong 20 câu có (cách)
Bước 2: chọn 7 câu không thoả mãn đầu bài
TH1: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có (cách)
TH2: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có (cách)
TH3: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có (cách)
Vậy có: – ( ++) = 64034 đề kiểm tra
Lời giải 2:
Bước 1: chọn 7 câu tuỳ ý trong 20 câu có (cách)
Bước 2: chọn 7 câu không thoả mãn đầu bài (có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình
và khó).
TH1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu dễ có (cách)
TH2: chọn 7 câu trung bình trong 7 câu trung bình có 1 (cách)
TH3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có (cách)
TH4: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có (cách)
TH5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có (cách)
Vậy có: – ( 1+ + ++) = 63997 đề kiểm tra
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 15

16. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Nhận xét: Cũng là bài toán tương tự bài toán trên, lời giải 1 rất giống lời giải đúng của
bài toán trên nhưng 2 lời giải lại cho 2 đáp án khác nhau. Vậy đâu là lời giải đúng?
Phân tích:
* Lời giải 2 là đúng vì đã loại trừ tất cả các khả năng không cần thiết yêu cầu của bài toán
* Lời giải 1: HS sai lầm ở chỗ là loại trừ không hết các điều kiện không thoả mãn bài toán.
Ở ví dụ 1 thì số câu được chọn nhiều hơn số câu của 1 loại dễ hoặc TB hoặc khó (tức là
chọn 10 câu, trong đó có 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó). Trong khi ví dụ 2 thì
số câu được chọn có ít hơn 1 trong số câu của 1 loại dễ hoặc TB hoặc khó (tức là chọn 7
câu, trong đó có 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó). Cho nên trong 7 câu được
chọn HS sót ở chỗ 7 câu đó có thể toàn là câu dễ hoặc toàn là câu khó.
Do đó kết quả sẽ nhiều hơn đáp án đúng.
Bài tập tương tự:
1. Từ một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng (các viên bi kích thước
đôi một khác nhau). Người ta chọn ra 10 viên bi sao cho phải có đủ cả 3 màu. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?
2. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 12 em khá và 10 em trung bình. Giáo
viên chọn ra 1 nhóm có 9 học sinh để tham gia ngoại khoá sao cho phải có đủ 3 đối
tượng: giỏi, khá và trung bình. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 nhóm học sinh trên để
tham gia buổi ngoại khoá.
5. Cách lựa chọn hướng giải phù hợp với yêu cầu của bài toán:
Đối với mỗi bài toán, ta nên chọn cách giải tổng quát mà có thể sự dụng cho
nhiều bài. Hạn chế cách giải vắn tắt mà bài toán này áp dụng, bài toán kia cũng áp dụng
trong khi nội dung bài toán có thay đổi mà học sinh không chú ý.
Trong quá trình giải toán Tổ hợp, ngoài việc đọc đề kĩ ra, giải xong thì học sinh
nên nghiệm lại bài, xem xem còn những khả năng nào xảy ra nữa mà có thể mình chưa
nói đến hoặc có thừa dữ kiện gì của bài toán không.
6. Biện pháp xử lý:
Khi thực hiện các tiết dạy này giáo viên sẽ gặp khó khăn ở chỗ lựa chọn ví dụ không
phù hợp dễ dẫn đến việc không làm rõ được mục đích của tiết dạy. Chính vì lí do đó cần phải
thực hiện các bước như sau:
- Lựa chọn ví dụ cho phù hợp như những dạng bài tập mà tôi đưa ra với nội dung tương
đồng.
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 16

17. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
- Thực hiện giải mỗi bài ít nhất hai cách như tôi đã đưa ra, để làm rõ được nội dung
chúng ta cần truyền đạt cho học sinh.
- Cần lựa chọn ví dụ 1 sao cho hai cách giải đều thực hiện đúng. Ví dụ 2 là cách giải 1
sai, cách giải 2 đúng. Ví dụ 3 là cách giải 1 đúng, cách giải 2 sai như 3 bài đầu tiên tôi đưa. Từ
đó mới kích thích được tính tò mò, ham học hỏi của học sinh và từ đó tạo điều kiện cho việc
phát hiện ra sai lầm và giải quyết sai lầm một cách thuận lợi.
7. Đánh giá hiệu quả:
Sáng kiến này tôi đã áp dụng được hơn 2 năm dành cho học sinh khối 11. Đối tượng là
học sinh trung bình khá của khối 11 và học sinh đang theo học lớp luyện thi đại học. Kết quả
thật đáng khích lệ: 100% học sinh đều yêu thích dạng toán này, rất tích cực trong tìm tòi lời
giải và giải toán. Hiệu quả trên 95% học sinh đạt điểm trên trung bình về phần dạng toán này.
Khi tôi thực hiện tiết dạy này đa số học sinh rất hiểu bài và không còn sự lúng túng
trong việc chọn cách giải cho một bài toán, qua đó kích thích được tính tò mò ham học hỏi của
học sinh, phát hiện ra điều kỳ diệu của Đại số tổ hợp và tạo được sự thân thiện của học sinh đối
với đề tài này.
Đặc biệt là nội dung phần nhận xét sau một vài bài tập ví dụ sẽ giúp các em học sinh
củng cố những hiểu biết chưa thật thấu đáo, cùng với cách nhìn nhận vấn đề đặt ra cho các em
học sinh, để trả lời một cách thỏa đáng câu hỏi “ Tại sao giải cách này mà không giống kết quả
cách giải kia? Tại sao cách giải trước áp dụng đúng nhưng qua bài khác tương tự thì không?
Cách nào đúng, cách nào sai? Sai lầm ở đâu?”
Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí
thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và thông qua việc thảo
luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả năng nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán.
Ngoài ra có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khác nhau sẽ giúp các em học sinh trở nên
linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải.
III. KẾT LUẬN:
Đại số tổ hợp là một dạng toán thực sự khó, chính vì lý do đó mà học sinh dể buông
xuôi, không chịu đầu tư và học hỏi. Đó là một thiệt thòi rất lớn trong kỳ thi đại học và cao
đẳng.
Trên đây là giải pháp của tôi nhằm kích thích được tính tò mò, ham học hỏi và tạo được
sự thân thiện của học sinh đối với môn học này.
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 17

18. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
Qua đề tài này tôi rất mong được ủng hộ và góp ý nhiệt thành của quý đồng nghiệp để
đề tài này trở thành một công cụ thiết thực cho việc dạy và học. Nhằm đẩy mạnh việc đổi mới
nâng cao chất lượng dạy học theo xu thế hiện đại. Cho dù có cố gắng như thế nào cũng không
thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được những đóng góp quý báu của quý thầy giáo, cô giáo
và các bạn đồng nghiệp.
Người viết
Hồ Hoàng Hải
Một số tài liệu để tôi tham khảo:
1/ SGK và Sách bài tập Nâng cao và chuẩn cải cách 2006 – Nhà xuất bản giáo dục.
2/ Giải Toán Tổ hợp và xác suất ở trường THPT (Trần Đức Huyên – Đặng Phương
Thảo) - Nhà xuất bản giáo dục-2007.
3/ Sai lầm phổ biến khi giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống nhất – Phan Thành
Quang). Nhà xuất bản giáo dục-2002.
4/ Bài tập toán đại số tổ hợp (TS Nguyễn Văn Nhân – ThS Phạm Hồng Danh – Trần
Minh Quang)- NXB Đại học QG Hà Nội 2005.
5/ Các phương pháp đặc sắc giải toán đại số tổ hợp. Nhà xuất bản giáo dục 2007.
IV. NHẬN XÉT- ĐÁNH GIÁ
Nhận xét- đánh giá của Tổ Chuyên Môn
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.....................................
Nhận xét- đánh giá của Hội Đồng Khoa Học nhà trường
............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
....................... .....................................................................................................................
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 18

19. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
......................................................................................................
Nhận xét- đánh giá của Hội Đồng Khoa Học sở GDĐT
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Mục lục
I. Đặt vấn đề: ......................................................................................................................trang 1
1. Lí do chọn đề tài: ...............................................................................................trang 1
2. Mục đích và phạm vi nghiên cứu: .......................................................................trang 2
II. Nội dung: .......................................................................................................................trang 3
1. Cơ sở lí luận: .......................................................................................................trang 3
2. Thực trạng vấn đề: ...............................................................................................trang3
3. Giải quyết vấn đề: ...............................................................................................trang 4
4. Một số sai lầm thường gặp: .................................................................................trang 5
Sai lầm 1: .....................................................................................................trang 5
Sai lầm 2: ...................................................................................................trang 10
Sai lầm 3: ...................................................................................................trang 11
Sai lầm 4: ..................................................................................................trang 13
5. Cách lựa chọn hướng giải phù hợp với yêu cầu của bài toán ...........................trang 16
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 19

20. Sáng kiến kinh nghiệm: Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn veà qui taéc ñeám, hoaùn vò, chænh
hôïp, toå hôïp
6. Biện pháp sử lý: ...............................................................................................trang 16
7. Đánh giá hiệu quả: ............................................................................................trang 16
III. Kết luận: .....................................................................................................................trang 17
Gv thực hiện: Hồ Hoàng Hải Trang 20