SANTILLANA HIPERTEXTO 11 MATEMATICAS.pdf

Matemáticas de Santillana para 11

2. HIPER
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3. HIPERTEXTO
MATEMÁTICAS 11
Directora de Educativas
Directora Editorial
Equipo editorial
Autores
Equipo técnico
Para educaclón rned¡a, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada por el Departamento
Editorial de Santillana S.A.
Ana Julia Mora Torres
Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento
lsabel Hernández Ayala. Coordinadora de contentdos
Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora Ejecutiva del área de matemóticas
Carlos David Sánchez Editor júnior del area de matemóticas
Edgar Alexander Olarte Chaparro Editor júnior del órea de matemáttcas
Óscar Andrés Espinel Montañ a. Editor externo
Juan Gabriel Aldana Álvarez. As¡stente ed¡torial del órea de matemóticas
Miriam del Carmen Morales Piñeros
Licenciada en Matemóttcas. Universidad Pedagógica Nacional.
Víctor Helman Rodríguez Cardenas
Licenciado en Matemóticas. Universidad Pedagógica Nacional. Estudios de maestría en matemóticas.
Universidad Nacional de Colombia lngeniero Civil. Universidad Nacional de Colombta.
Wilson Gómez Bello
Licenciado en I'latemáticas Universidad Dtstrital Francisco José de Caldas. Magister en educactón.
L)niversidadExternadodeColombia Estudiosdemaestriaenenseñanzadelascienciasexactasynaturales.
Universidad Nacional de Colombia.
Anneris del Rocío Joya Vega
Licenciada en matemáticas. Universidad Disrrital Francisco José de Caldas Espectaltsta en matemática
aplicada t)niversidad Sergio Arboleda Magírter en docencia de la matematica Universidad Pedagógica
Nacional.
Mercedes Gómez Bello
Licenciada en matemóticas. lJniversidad Pedagógica Nacional. Especialista en estadística Universidad
Nactonal deColombia.
La especialista encargada de avalar este texto desde el punto de vista de la disciplina especÍfica y desde
su pedagogía fue Nelly Rincón Rozo Licenciada con estudios principales en Matemáticas Universidad
Pedagógica N¿cional Estudios de maestria en docencia de las matemáticas
Elespecialistaencargadodeavalarestetextodesde aequidaddegéneroydesuadecuaciónaladiversidad
culturalfueAurl Waldron Bulla Psicólogo Pontificia Universidad Javeriana Especialista en psicologÍa médica
y de la salud Universidad del Bosque
Las pruebas de campo del texto fueron realizadas por e Departamento de Investigación de Editoria
Santillana bajo la dirección de Ximena Galvis Ortiz
5e han hecho todos los esfuerzos para ubicar a los prop¡etarios de los derechos de autor. Sin embargo, si es
necesarto hacer alguna rectiñcación, la editorial estó dispuesta a hacer los arreglos necesarias
lván Merchán Rodríguez. Coordinador creativo / Diseñador del modelo grófico y carótulas
Carlos Ernesto Tamayo 5ánchez. Coordinador de Arte Educativas
Martha .Jeanet Pulido De gado, Orlando Bermúdez Rodríguez. Correctores de estilo
Alveiro Javier Bueno Aguirre Coordinador de soporte técn¡co
Luis Nelson Colmenares Barragán. Documental¡sta gráficoy de escáner
Sandra Patricia AcostaTovar, Edward Guerrero Chinome Diagramadores
Claudia JaimeTapia, Anacelia B anco Suárez. Documentalistas
Diomedes Guilombo Ramírez, Edwin Hernando Cruz Delgado, Miguel Darío Martínez, Yeln Barreto,
Danilo Ramirez Parra, Óscar Fernando Guerrero Cañizares llustradores
Ana María Restrepo, Gustavo RodrÍguez, Agencia García Pelayo Fotógrafos
Dennise Rodríguez Ríos, Juan Gabriel Aldana. Digitadores
Getty images, Repositorio Santillana (archivo de imágenes). Corel professional Photos, lmages
provided by Photodisc, lnc,, Corbis lmages, Archivo Santillana. Fotografía
Francisco Rey González. Dtrector de producción
O 201O EDITORIAL SANTILLANA S.A.
CALLE 80 No 9-69
Bogotá, Colombia
5 B N 978-958 24-1365 l Obra completa
S B N 978 958-)4-147 1-9 Edición para el estudiante
Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC NfC-4724
y NIC-4725 para textos escolares
Depósito egal en trámite
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Prohibida areproduccióntotal oparcial,e registrooJatransmisiónporcualquiermedio
de recuperación de información, sin permiso previo porescrito de la edltorlal
I
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mreÉÉ[lm ffi

4. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 1 1
De la serie HIFERTEXTOS 5Al'tTlLLAl'1,A, es r-rna nueva pi'cpLiesta pedagógica que responde a
lcs iinearnientos rurricuiares y a los estáneiares básicos err compet€ncie s exigidos por ei fu'lEN
Tu hipertexto te permitirá pctenciar tus capae idacies de rnanera que puedas aplicar ios cono-
cin.tientos y habilidades aoquiridas, anaiiza¡', razonar, intsrllret;r y resolver proi:lenras en dis-
tintas situaciones.
¡Tu Hipertexto Matemáticas t t haee tu aprendizaje más dinánT ico!
:
¿Qué hay en tu hipertexto?
H fstos hipervínculos.
, Cu¿nr:lo los veas del¡es saber que eada uno de elios te incica que, aCenrás de lo que hay en
ia página, i,as a encóntrar:
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nótica
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ditorial
p, 5l es
It4ayor informarion para anrpliar tirs conccimientcs
sobre ten¡a: especifrcos. Además, en alguiros casos,
te siiqiere re¿!izar más ¿etivid¿des para reforzar los
ronceptos trabajados.
I ea*-.
--
i Para acceder a esta información debes consultar Ia página www.santillana.com.co/h!pertextos.
H Un método para que desarrolles destrezas en la comprensión de fos contenidos propios de
j
Matemáticas.
, Comprender para aprender
Recupero informoción Reflexiono y voloro
3{ Actividades para desarrollar las habilidades matemáticas.
Una presentación o un rrideo que
te ayudará a romprender mejor
los te¡nas trabajados,
Ur¿ dirección Ce lnternet para
profunciizar en ufl tema.
Soluciono problemos
o5antillana i 3
I
re nto
reto,
Plonteo y octúo

5. ,
¿Cómo está organizado tu hipertexto?
, Tu hipei'texto consta de ocho unidades y los conteniios están organizados de acuerdo con
i los cinco pensamientos matemáticos: pen:amiento numéricc, pensamiento vai'iacionei,
pensamiento espacial, pensamiento métrico y pensam!ento aleatorio.
Ahora prepárate para conocer la estructura de cada unidad.
H
Página inicial
, Al comienzo de cada unidad encontrarás una doble páqina de apertura con los temas que
: vas a trabajar, una narración sobre historia de las matemáticas y algunas preguntas sobre ella.
:
H Desarrollo de ternáticas
, Encontrarás el desarrollo de eontenidos con ejemplos resueltos que explican el procedimiento
I que se debe realizar paso a paso.
0bservarás algunos datos de m¿temáticos que hicieron
aportes impoílantes en el des¿rrollo de l¿s m¿temáticas
0bservarás recuadros que se llanan Recuerda que
te ayudarán a comprender mejor los contenidos
Taller
Es una se ección de
elercicios de toda
Ja unidad que te
servirán para reforzar
(ono( mientos
y prep¿r¿[ tus
ev¿ I u¿ciones
Prepárate para. . .
Propone actividades de motiv¿ción
que te prep¿r¿n para trabalar
r0n a terfrática de la unid¿d
Un¿ narración que relaciona la
historid de las m¿temátlc¿s con
los tem¿s de ¿ unidad.
Para responder...
Las preguntas de efa sección te perflritrrán
fort¿lecer tu capacidad de interpret¿r textos
relacionados con las matemátic¿s
It Además tu hipertexto contiene:
Actividades con
ejercicios enfocados
¿l desarrol o de
p[o(esos m¿temátiros
y habilidades de la
rompetenri¿ le(tor¿
l_____
trabajadas que te
servirá para recordar
os conceptos más
mporta ntes
Presenta los tem¿s
que vas a trabajar
en a unidad
Te indic¿ el tipo de estándar o
estándares que vas a trabajar
en la unidad.
4 |
o Santillana

6. H Secciones especiales
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
L¿ encuentras a fna de a unidad En e la podrás
leer situ¿ciones que se relac onan con ¿s temátic¿s
estudiadas y qlle t enen ap icacrones fuera
de ¿s matemáticas [on efa sección meiorarás
tu tompetenri¿ ertor.¿,
i
L------l
(ompetencias laborales
Te l¡form¿ sobre ¿s c¿rrer¿s unlve¡ t¿ri¿s en ¿s que se
requ ere de as m¿temátic¿s, y ¿ maner¿ como nfluyen en
la socledad Tiene como ol-rjetivo permit r que des¿rro es as
competencias iabora es
i
j coNcrrerucras
1 LAAORALES
I
,.1
¿Ouá compelencios debe iener
un osgtonle o lo corero?
I
Laboratorio (on Cabri I I
I
e uso de program¿ [abri Ef¿ sección tiene como
ll¡¿ idad la uti ización de a tecnoloqia como
herr¿mienta para mejorar tu aná i5is rn¿ternátir0
l
Bicentenario en datos
i¿ encue¡tr¿s en a unid¿d de i¡ensamiertc ¿te¿tor 0,
pre5ert¿ ul¿ ertr[¿ rcr d¿tos verid ros ile a
época de a indepe rdenc ¿ de [o oml¡i¿ y pr.opore
o .;],]''-c ctc. l t ol .l
I
o Santillana
|
5

7. Funciones pares y funciones impares
Funciones crecientes y decrecientes
tqo
i41
a guna restricción
¡49
la+
ltzo
Ir¡g
i:= Números reales
Desigualdades en R
I necuaciones
Va or absoluto
Taller 1
En sÍntesis
,EEY esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
Las inecuaciones en las lineas telefónicas
=
Clasificación de las funciones
Funciones polinómicas
Funciones raciona es
Funciones radicales
Funclones trascendentes
Funciones especia es
Operaciones entre funciones
.: Composición de funciones
=
Funciones inversas
*Taller 2
a=: En síntesis
=
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
Las funclones en los residuos radiactlvos
i='Continuidad
Funciones continuas
Continuidad de una función en un punto
Continuidad de una función en un intervalo
Discontln u idades
Discontinuidades no evitables
Taller 3
En síntesis
Y esto que aprendí, ¿para
qué me sirve?
Continuidad en la función que determina un año
Competencias laborales
Ingeniería eléctrica una carrera para la energía
del país
iii Laboratorlo con Cabri
=
Derivabilidad y continuidad
Derivariabilidad implica contlnuidad
Contlnuidad no implica variabilidad
Funciones no continuas y no derivables
i:l Taller 4
3-=: En síntesis
=
Y esto que aprendí, ¿para
qué me sirve?
Las derivadas en economía
34
36
37
38
56
82
111
71
72
75
84
80
81
118
120
121
122
154
156
157
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CONTEN!DO
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¡ 280
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4
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t8
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t7
178Derivada de fu nciones trascendentes
Derlvacia de la funció¡ ogarÍtmica
Derlvada de a función exponenc al
Derivadas de funciones trigonométricas
Derivadas de funciones triqo¡ométr cas inversas
Derivación irnplícita
. Derivadas de orden supenor
Taller 5
En síntesis
Y esto que aprendÍ,
¿para
qué me sirve?
[as deriv¿das en la montaña rusa
Relación entre integración y derivación
Pnmer teorema fundanrenta de cálculo
Segundo tecrema fundamenta de cálcu o
Cálculo de áreas
Área entre dos curvas
ntegrac ón ¡umérica
, Taller 7
En síntesis
Y esto que aprendí,
¿para
qué me sirve?
Las inteqra es en e trabajo rea izado
pcr una fuerza
189
192
194
196
197
226
1ao
232
233
236
238
240
241
242
¡274
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izt+
!¡ro
i 317
l¡ra
l32O
o 5ant;llana
I I
r
2
1

9. iuntos
recxles
Lógico, con
-
y numeros

10. b. Determina los tres números que continúan en
la lista.
)§
Mi omigo desconocido
La misiva parecia urgente y el general Pernety, al que le
unia una profunda amistad con Sophle Germain, deló
a un lado sus despachos y ordenó a su ayudante que
hiciera pasar a su amiga. Tras tomar ambos aslento, el
general comenzó a hablar:
-Ahora,
Sophie, cuéntame qué es eso tan importante.
La agitación volvió a la mujer que, con voz nerviosa,
comenzó a hablar de manera atropellada.
-¡No
permitas que le pase lo mismo que a Arquímedesl
La guerra no respeta a nadie y él no ha hecho nlngún
mal;su pérdida sería irreparable.
-¿De
qué hablas?
-la
interrumpió el general-. No
entiendo nada.
-¡La
guerra con Prusia! El ejército imperia invadirá
la ciudad de Brunswick y allí vive un sabio que nada
sabe de guerras, se llama Gauss.
¡Protégelo cuando tus
tropas entren en la ciudadl
ranqurla, me encargaré de que ningún mal le su-
ceda a tu amigo.
Tiempo después, tras la campaña, de vuelta en Paris el
general Pernety volvió a reunirse con Sophie:
-Estarás
contenta, cumplí tu encargo; sin embargo,
hubo algo muy extraño, pues cuando le dije quién era
su benefactora, él aseguró no conocerte.
¡Los matemá-
ticos son muy raros!
Sophie sonrió, le dio las gracias y le explicó que solo co-
nocía a Gauss por correspondencia y que ella firmaba
sus cartas con otro nombre: Le Blanc
Tomado de l,,4atemóticas 4 Eso,España, Edltorial Santlllana, 2O0B
{
.
En la conespondencia que mantenía SophieGermain yGaussaparecen
los números primos de Germain, son los números primos tales que su
doble más la unidad también es un número primo
¿[uáles
son los
primeros cuatro números primos de Germain?
.
Consulta sobre la vida y obra de Sophie Germain.
)S
J
1

11. Proposiciones
Una proposición es un enunciado del que se puede afirmar si es verdadero o es falso.
Existen dos clases de proposiciones: Ias proposiciones simples y las proposiciones
compuestas.
Una proposición simple es aquella que se forma sin utilizar términos de enlace. Por
ejemplo, "Madrid es Ia capital de España" es una proposición simple, mientras que la
proposición "Colombia está bañada por dos océanos: el Atlántico y el Pacífrco" no es
una proposición simple.
Toda proposición tiene un valor de verdad puesto que puede ser verdadera (V) o
puede ser falsa (F).
Para representar las proposiciones se utilizan letras minúsculas tales como p, q, r, s y t.
It/atemátrco y filósofo británico.
Desarrolló un sistem¿ de reglas
y simbolos par¿ representar pro-
posiciones lógicas mediante el
empleo de técnicas algebraicas.
Actualmente, el álgebra de Boole
es util¡zada en la computación y en
la confrucción de circuitos elec-
trónrcos.
l)
aI
ci
ci
I
(
I,
le Ejemptos
Determinar si las expresiones dadas son proposiciones. En caso afirmativo
representarla simbólicamente y hallar su valor de verdad.
a. 5 es divisor de 60.
Esta es una expresión a la que se le puede asignar un valor de verdad, por tanto,
es una proposición. Para representarla simbólicamente se utiliza una letra mi-
núscula así:
p: 5 es divisor de 60
Como 60 + 5 :
12, se tiene que la proposiciónp es verdadera (V).
b.
¿Qué hora es?
Esta expresión no es una proposición, ya que es una pregunta y no se puede esta-
blecer si es verdadera o falsa, es decir, no se puede determinar su valor de verdad.
c. Ordene de mayor a menor los números.
Esta expresión no es una proposición, puesto que es una orden y por tanto no se
puede determinar su valor de verdad.
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones simples.
a. 15 es un número primo.
La proposición es falsa ya que un número es primo si tiene como divisores
únicamente a I y al mismo número, pero 15 además de 15 y de I tiene como A
divisores a3ya5.
b. El máximo común divisor de22y 5 es l.
La proposición es verdadera. Los divisores de 22 son 1, 2, LL,22 y los divisores
de 5 son 1 y 5. Por tanto, el máximo común divisor de los dos números es 1.
c. 120 es divisible entre 4.
La proposición es verdadera. El número 120 es divisible entre 4 ya que termina
en20y 20 es múltipio de 4. Por tanto, 120 cumple con el criterio de divisibilidad
entre 4.
I0losantittana
George Boole
1815-1864

12. )
)or
:1a
)es
yt.
)o
lvo
rto,
m1-
sta-
1ad.
ores
)ITIO
ores
nina
idad
Están dar : oe n sa rri e nto n u m éri co
Proposiciones com puestos
Una proposición compuesta es una expresiÓn conformada por
dos o más proposiciones simp es, unioas por conectivos ógicos
Por ejemplo, la expresión "Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos
ángulos agudos" es una proposición compuesta, pues se puede descomponer en las
proposiciones simples "Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto" y "lJn trián-
gulo rectángulo tiene dos ángulos agudos". En este caso el conectivo lógico que une
las dos proposiciones simples es "y".
Los conectivos lógicos son:
v
o
si entonces --)
. siysóosi e
La negación de una proposición es otra proposición con valor de verdad contrario
al de la proposición inicial. Para negar una proposición se le antepone la frase "no es
cierto' o se coloca la palabra "no" en el lugar adecuado. La negación de una propor-
ción q se simboliza -4.
ffi jem *ms
Simbolizar la siguiente proposición compuesta.
"Si la expresión x2 * 5x -f 6 es un trinomio, entonces, es igual al producto de
(x+2)y(x+3)'i
Primero, se simbolizan las proposiciones simples utilizando letras minúsculas
así:
p: La expresión x2 f 5x -f 6 es un trinomro.
4:
La expresión x2 +
-5x f 6 es igual al producto de (x -| 2) y (x + 3).
Por tanto, la proposición compuesta se simboliza utilizando e1 conectivo Iógico
"si... entonces" así:
P ) q.
Negar cada una de las proposiciones dadas y determinar su valor de verdad.
a. p: Bogotá está a 2.600 metros sobre el nivel del mar.
El valor de verdad de p es verdadero (V), la negación dep se simboliza -p,
así
-p:
Bogotá no está a2.600 metros sobre el nivei del mar, y sr-r valor de verdad
es falso (F).
b. q: lJn ejemplo de una ecuación cuadrática es y : x t 1.
El valor de verdad de 4
es falso (F), la negación de q se simboliza -q,
así
-q:
No es cierto que /
: x * 1 es un ejemplo de una ecuación cuadrática, v sl-r
valor de verdad es yerdadero (V).
o Sant¡llana I iJ
I
ose

13. Coniunción {A)
La conjunción es una proposición compuesta en la que se relaclonan
dos o más proposiciones simples mediante el conectivo lógico"y".
S
For-u. una conjunción con las proposiciones dadas y determinar su valor de
verdad.
a. F
5 es divisor de 15 y
4:
5 es divisor de 18.
La conjunción esp A q: 5 es divisor de 15 y 18. Su valor de verdad es falso ya que
p es verdadero pero
4
es falso.
b. r: Mónera es un reino de la naturaleza y s: Protista es un reino de la natu-
raleza.
La conjunción es s A r: Mónera y protista son reinos de la naturaleza. Como s
es verdadero y r es verdadero, el valor de verdad de s A r resulta ser verdadero.
il
ErauUt"cer una disyunción con las proposiciones dadas y determinar su valor
de verdad.
a. p:2 es irracionaly q:2 es par.
La disyunción p V q:2 es irracional o es par. Su valor de verdad es verdadero ya
quep es falso, pero q es verdadero.
b. r: El producto de dos números negativos es negativo y s: 18 es un número
negativo.
La disyunción es r !
s: El producto de dos números negativos es negativo o 18
es un número negativo, y su valor de verdad es falso.
Por ejemplo, "El carro prende si tiene gasolina y electri-
cidad" es una conjunción. Una conjunción es verdadera,
siempre y cuando las dos proposiciones simples que Ia
conforman sean verdaderas. Por tanto, la proposición
p A q es verdadera, solamente cuando p y q son verdade-
ras. En la tabla de verdad se muestran los posibles valores
de verdad de la conjunción con dos proposiciones.
Por ejemplo, "La actividad de clase es resolver ejercicios
o reahzar Ia previa" es una dislunción. Esta proposición
resulta ser falsa, solo si ambas proposiciones simples que
la conforman son falsas. Por tanto, p Y q es falsa, sólo
si, tanto p como q son falsas. La tabla de verdad de la
disyunción muestra todos sus posibles valores de verdad
con dos proposiciones.
lc EjernpLos
I
s
I
S.
n
q
e
A
b
P
Si
n(
fa
F F
F F
F F F
Disyunc¡ón {V)
La disyunción es una proposición compuesta en a que se relacionan
dos o más proposiciones simples mediante ei conectivo lógico "o'l
F
F
F F F
lZ
I
osantltlana

14. Estdnda r: pen sa m i e nto n u rn ér i co
lr de
r que
ratu-
mos
lero.
¡alor
Condicionol (+)
La condicional es una proposición compuesta formada por la relación de
dos proposiciones simples.mediante e conectivo lógico "si... entonces...'1
Por ejemplo,la proposición "Si un triángulo es equilátero,
entonces, es rectángulo" es una condicional. En esta con-
dicional, la proposición p: Un triángulo es equilátero, se
denomina antecedente o hipótesis y la proposicrón q:El
triángulo es rectángulo, se denomina consecuente o tesis.
La condicional se simboliza p --> q y su valor de verdad
es falso solo cuando el antecedente es verdadero y el con-
secuente es falso. Cuando Ia condicional es verdadera se
denomina implicación y se simboliza p ) q.
Bicondicionol (ei
La bicondicional es una proposición compuesta formada por la relación
de dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico "si y sólo si'l
Por ejemplo, Ia proposición "Un número es par si y sólo
si es divisible entre 5", es una bicondicional.
La bicondicional se simboliza p é q y es verdadera solo
si las proposiciones simples que la conforman tienen el
mismo valor de verdad. Cuando en la biconciicional p y
q son ambas verdaderas o son ambas falsas se denomina
equivalencia y se simboliza p <+ q.
A partir de los valores de verdad de la conjunción, la disyunción, la condicional y la
bicondicional, se puede determinar el valor de verdad de otras proposiciones com-
puestas utilizando las tablas de verdad.
Hallar el valor de verdad de la proposición p V
--
t(p + q) A (p <-> dl.
Se construye una tabla de verdad de tal forma que en las primeras columnas se in-
diquen todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones
simples. En las columnas posteriores se realiza la valoración de cada proposición
compuesta teniendo en cuenta los signos de agrupación.
F F
F
F F
F F
F F
F F
F
F F F F
F F F
F F F F
ro ya
nero
o18
Si todos los valores de la columna final son verdaderos, la proposición recibe el
nombre de tautología. Pero si todos resultan falsos se dice que Ia proposición es una
falacia.
o santillana
I
l3

15. Proposiciones con cuo ntificodores
Un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de elementos que cumplen
una proposición. Por ejemplo, en la proposición "Todos los números pares son di-
visibles entre dos", la expresión "todos" es el cuantificador e indica que no existe un
número par que no sea divisible entre dos.
Expresiones como: todos, algunos, ninguno, solo uno, se emplean como cuantificado-
res; sin embargo, en matemáticas las expresiones "para todo" y "existe algún' son los
cuantificadores más utilizados.
La expresión "para todo'i es llamado cuantificador universal y se simboliza con V .
La expresión"existe algún'; es llamada cuantificadorexistencial y se simboliza con !.
Negoción de propos¡ciones con cuontificodores
Para negar una proposición con cuantificador universal se usa el cuantificador exis-
tencial y posteriormente se niega la proposición. Del mismo modo, para negar una
proposición con cuantificador existencial se escribe el cuantificador universal y la
negación de la proposición.
En símbolos se puede representar así: -(Vp)
:1(-p) y -(=p)
: V(-p).
x Ejempl,os
O
tdentificar el cuantificador de cada proposición.
a. Ningún mes tiene menos de 28 días.
"Ningún'es el cuantifi.cador universal e indica que todos los meses tienen 28 o
más días.
b. Algunos perros son grandes.
'Algunos" es el cuantificador existencial e indica que existe por Io menos un
perro que es grande.
c. No todas las casas son de dos plantas.
"No todas" es el cuantificador y es equivalente al cuantificador existencial, ya que
significa que existen algunas casas de dos plantas.
LrrLror'
/o Yue
(
fu
N"gu.las siguientes proposiciones. Luego, determinar su valor de verdad.
a. p: Todos los cuadriláteros tienen los lados congruentes.
-p:
Existe un cuadrilátero que no tiene los lados congruentes. (Verdadero)
b.
4:
Existe un número que no es racional.
-q:
Todos los números son racionales. (Falso)
c. r: Ningún número entero es negativo.
-r:
Existe un número entero que es negativo. (Verdadero)
$
Si-t"tizarlaproposición r: Todos los números enteros son negativos y de-
terminar su valor de verdad. Luego, simbolizar la negación y determinar su
valor de verdad.
Proposición : Y x e Z, x es negativo. Valor de verdad: falso.
Negación: 1x e Z, r no es negativo. Valor de verdad: yerdadero. 1a
l4
|
osantillana

16. )n
t.
tl-
Il1
o-
OS
is-
na
1a
ciones compLrestas. Luego, simbolízalas.
a. Brasil es una potencia futbolística y Colombia
es potencia cafetera.
b. 15 es múltiplo de 30 o 20 es múltiplo de 7.
c. \¡enezuela es un país bolivariano o Coiombia
está en Suramérica.
d.7+2:31,3,5X2:7.
e. Quito es la capital de Argentina y Montevideo
es la capital de Chile.
f. Colombia exporta carbón o Bolivia exporta
hierro.
g. 6 + 7: I3y6x7:42.
h. El Cerrejón produce carbón y se ubica en La
Guajira.
i. Un plato típico de Bogotá es el ajíaco y de
Cartagena los espaguetis.
j. Si 3 es un número par, entonces, 3 se puede
escribir de la forma 2n -l l.
k. Si un triángulo es rectángulo, entonces, todos
sus ángulos interiores son rectos.
l. Si 6x 1 4 :
8, el valor de x es un número irra-
cional.
m. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si se
intersecan formando ángulos rectos.
n. Un número es compuesto si y sólo si tiene más
de dos divisores.
o. Logr8:3o23:8.
p. Los números racionales se representan como
fracciones o como decimales periódicos.
a.peq
b. p-+r
PVs
(pAr)-+s
8o
lue
de-
rsu
Completa las siguientes tablas.
a.
Determina el valor de verdad de las siguientes Asigna el valor de verdad a las siguientes proposi-
proposrclones.
a. Bogotá es la capital de Colombia.
b. El aire es un sólido.
c. 250 + 0,5 :
500.
d. Todas las personas del mundo lloraron por la
muerte de Michael fackson.
e. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son
iguales.
f. Dos rectas son perpehdiculares si el producto
de sus pendientes es -
1.
g. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son
iguales a 1.
h. Dos rectas son perpendiculares si el producto
de sus pendientes es 1.
i. La hipotenusa es el lado más corto de un trián-
gulo rectángulo.
j. Todo triángulo equilátero tiene tres ángulos de
igual medida.
k. Un triángulo obtusángulo tiene tres ángulos
agudos.
l. Un año bisiesto tiene un mes de 29 dias.
m. Colombia siempre pafiicipa en las eliminato-
rias a los mundiales de futbol.
n. Cartagena es distrito turístico y es una ciudad
costera.
o. luan Pablo Montoya fue corredor de la Fórmula
uno.
p. Medellín es la ciudad de la eterna primavera.
i P q PAc -(pAq)',.--:
Dadas las proposiciones simples, escribe las pro-
posiciones compuestas pedidas.
p: Las reclas m v I son paralelas.
ql
r:
Las rectas tienen la misma pendiente.
Las rectas se interceptan formando un ángulo
recto.
Las rectas my I son perpendiculares.
c. tAq
d. r-+s
e
f.
Elabora Ia tabla de verdad para cada caso.
d. (qY -d A(-pv p)
e. (-qAq)V@A-p)
jg"d*_::a
úsantillana I l5
I
un
F
F F
F
F
F F

17. Proposiciones con euantifi eadores
Dadas la hipótesis y la tesis, escribe en cada caso Determina el valor de verdad de las siguientes afir-
la proposición de la formap -s q. maciones. Identifica el cr¡antificador que caracte-
C
e.
a. Hipótesis (p): Alejandra vive en Colombia.
Tesis (q): Vive en Suramérica.
b. Hipótesis (p):EI LABC es equilátero.
Tesis (4): El triángulo es equiángulo
Hipótesis (p): Un nÍrmero termina en dos.
Tesis (4): El número es par.
Hipótesis (P): Dos ángulos son congruentes.
Tesis (q): Sus suplementarios son congruentes.
Hipótesis (p):
-2x
-t 3 :
-7
Tesis (q): x: 5
Hipótesis (p): Tres puntos son colineales.
Tesis (4): Los tres puntos pertenecen a Ia misma
recta.
Hipótesis (p): ABCO es un cuadrado.
Tesis (4): ABCD es un rectángulo.
Hipótesis (p): C es una circunferencia.
Tesis (4): C tiene diámetro igral a2r.
rizala proposición. Luego, encuentra la negación
de cada una de las proposiciones.
a. Todo número irracional es racional.
b. Algunos números reales son irracionales.
Todo número entero es real.
Todo número natural es irracional.
Los números racionales son reales.
Existen números reales que son naturales.
Todos los deportistas son millonarios.
Algunos profesores trabajan con la Secretaría
de Educación.
Existen políticos que ayudan a sus comunidades.
Escribe en forma simbólica las siguientes proposi-
CIONCS.
Existe un número real x ta1 que (xz + l) :
2.
Para todo número entero n, n2 : ).
Todos los números reales son mayores a 3.
Existe un número real x, cuyo cuadrado es
mayor que 12.
Soluciono problemos
c.
d.
e.
f.
o
b'
h.
o
t)
h.
a.
b.
c.
d.
Identifica y escribe el antecedente y el consecuente
I
de cada proposición. Luego, determina el valor de
verdad.
a. Si Mariana está de paseo, entonces, Mariana no
va a estudiar.
h.
Si dos rectas se intersecan, entonces, las dos
rectas son perpendiculares.
Si dos rectas son paralelas, entonces, estas dos
rectas no se intersecan.
Si el AABC es equilátero, entonces, el AABC es
rectángulo.
Si en un cuadrado se duplican sus lados, enton-
ces, el área del cuadrado también se duplica.
Si en un cubo se duplican sus aristas, el volu-
men del cubo también se duplica.
Si ABC es un triángulo, entonces, la suma de
sus ángulos interiores es 180'.
Si ABCD es un cuadrado, entonces, es un rec-
tángulo.
,.-T--.,
Si Lf
representa I a" t, unidad, entonces
\1/ 2
b I
, Dados los conjuntos numéricos: N: natrrales; Z:
enteros; Q: racionales; [: irracionales y R: reales.
a. Escribe dos proposiciones donde se utilice el
cuaritificador V.
b. Escribe dos proposiciones donde se utilice el
cuantificador f.
Considera las siguientes proposiciones en el con-
junto de los números enteros.
p(x): x > 0
q(x): x es impar
r(x):x2-8x*15:o
a. Escribe cada proposición en el lenguaje usual.
Yx fp(x) -+ q(x))
1x lq(x)
-+ p(x))
lxÍ-r(x) Ap(")l
b. Determina el valor de verdad de las proposicio-
nes del literal a.
o
b
A
representa r d" l" unidad.
'16
|
o srntitt.n.
:
(
(

18. Está ndar: p en sa m i e nto n u mé r t co
Coniuntos
=taría
hdes.
rPoSl-
_,,
3.
do es
esl' z:
'ales.
lice el
lice el
I con-
rsual.
)s1clo-
Un conjunto es una colección de ob;etos bien determinados. Es decir, dado un objeto y
un conjunto, se puede estab ecersi el objeto pertenece o no pertenece a1 conjunto Cada
objeto del conjunto se llama elemento.
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas como A, B, C,... Para nombrar los
eiementos se usan letras minúsculas como a, b, c,...
Un conjunto se puede representar por medio de diagramas o escribiendo sus elemen-
tos entre llaves.
. Diagrama lineal. Diagrama de Venn
x Ejemptos
01234567
Entre llaves
A: {0,1,2,3,4,5,6,71
Matemático alemán. Fue uno de los
creadores de I¿ teorÍa de conjun-
tos. Formalizó la noción deinfinito,
definió los números transfinitos, a
partlr de sus trabalos sobre con-
juntos.
Un número perfecto es
aquel número natural que es
igual a la suma de sus diviso
res propios posrtirlos diferentes
de él mlsmo. 6 es un número
perfe«o
fl)
n"pr"r"ntar en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos.
a. El conjunto de números enteros mayores que I y menores que 3.
La representación gráfica de A es:
b. El conjunto de los tres primeros números perfectos.
La representación de B es:
#
Escribir entre llaves cada uno de los siguientes conjuntos.
a. C es el conjunto de números naturales mayores que 3.
La representación es: C: 14,5,6,7,...].
Los puntos suspensivos indican que es
un conjunto infinito.
b. D es el conjunto formado por los números naturales que satisfacen la ecua-
ciónx I 3:2.
La representación es: D :
A, pues no existen números naturales que satisfagan
la ecuación, este conjunto recibe el nombre de conjunto vacío.
c. M es el conjunto formado por los números primos menores que 10.
La representación es: M - \2,3, 5,7|, este es un conjunto finito.
/o
496
,¿
osantillana
ll7
-
A
-

19. Deternninoción de un coniunto
Los conjuntos se pueden determinar de dos formas: por extensión y por comprensión.
Para determinar un conjunto por extensión se nombra cada
uno de los elementos del conjunto.
Para determinar un conjunto por comprensión se determina
una caracteristica común de todos los e ementos.
Por ejemplo, el conjunto de los números impares se determina por extensión así:
A: {1,3,5,7,...},ypo.comprensión así:A :
lxlx:2n * 1A n e N}.
lr Ejemptos
{np
Determinar por extensión los siguientes conjuntos.
a. R:{¡€N l3<x<4}
Como no existe un número natural mayor que tres y menor que cuatro, se tiene
queR: A.
b. S:{x€N l2x-l5=9}
Al resolver Ia desigualdad2x -l 5 < 9, resulta que x < 2. Como r es un número
natural se tiene que S :
{0, 1,2}.
c. T :
{x € N /¡es un múltiplo de 3}
Como r es un múltiplo de 3, se tiene que T :
{0, 3, 6,9, 12, .. .}.
fl
O"t"r-inar por comprensión los siguientes conjuntos.
a. p:
{3}
Existen muchas posibilidades de solución para este ejercicio. Una de ellas es:
P:fx€N/x+2:5|
b. W: {martes, miércoles}
Se tiene que I4l :
{xlx es un día de la semana que empieza por m}.
c. Z: {2,3,5,71
Se tiene qtte Z :
{r € N / x es primo A x <
10}
Determinar por extensión y por comprensión el conjunto representado en el
diagrama de Venn.
1
14t
28
l1
l6
El conjunto corresponde a algunos números racionales cuyo denominador es
una potencia de2. Por tanto, se tiene que:
t 2 4'8'16)' I Z' )
l8
losantittana

20. S1
Reloción de pertenencio
Por ejemplo, si A es el conjunto formado por las vocales de la palabra miel, se tiene
que a é. A pues a no hace parte de las vocales de la palabra miel, mientras que i € A
y e e A ya que son las dos vocales que conformanlapalabra miel.
m ffijem [os
Determinar si el número pertenece o no pertenece al conjunto:
P :
{xlx: 2! - t z\p es primo}.
a.7
Setiene que 7 e Fporque se cumple que 7 :
23 - lyademás, 3 es un nÍtmero
pr1mo.
b.s
Se tiene que 5 fi F, pues no existe un número primo p tal que 2p -
7 :
5.
c. 127
Se Lieneque 127 e F. pues 127 :2-
- l1'además,7es un númeroprinro.
Escribir cada enunciado en notación de conjuntos teniendo en cuenta la re-
lación de pertenencia.
a. D es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A,
pero que no pertenecen al conjunto B.
En notación de conjuntos se tiene que D :
{x eA A x é Bl.
b. E es el conjunto formado por todos los números primos que son pares.
Como el único número primo par es 2. En notación de conjuntos se escribe
tr:11\
t-t.
Escribir por comprensión el conjunto formado por los elementos de la región
sombreada.
En la región sombreada están todos los elementos que pertenecen a C v que no
pertenecen a A ni a B. Por tanto, se tiene que:
D:{xeClxét¡xéBl.
En este caso se utiliza el conectivo lógico "A" que indica la conjunción de las
proposiciones r no pertenece a Ay x no pertenece a B.
nel
[4atemático y ógLco brrtánico Fue
el creador de la representación grá
lrca que permite comprobar e va or
de verdad de Lin siloqismo y las
operaciones ent[e rclnjuntrls
o Sant¡llana I ]9
I
ne
tro

21. It Ejemptos
Reloción de inclusión
Un conjunto,4 está contenido en otro conjunto B, si todos los elementos del conjunto
A pertenecen al conjunto 8. Se escribe A C B.Ee sÍmbolos, A C B e (Vx € A
=
r e B).
Si existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B, se dice que A no está
contenido enB oA no es subconjunto deByse simboliza Aq B.
Además, se cumple que vacío Z es subconjunto de todo conjunto.
Reloción de iguoldod
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos, es decir,
A:BaACBABCA,
A: Ba V(x € A)= (x € B)A V(x c B)= (x e A)
Es importante tener en cuenta que cuando se determina un conjunto por exten-
sión no deben repetirse los elementos del conjunto. Así,los conjuntos P :
{I, 2} y
R :
Í2, 1,2, l| son iguales porque el conjunto R tiene los mismos elementos que el
conjunto P, sin importar que se repitan.
siguientes conjuntos.
P: {xlx es múltiplo de 3}
N:{xeR+/x2-9>-Ol
Como la solución de Ia inecuacíón x2 - 9 > 0,
para R+ es r 2 3, se tiene que el conjunto N
contiene todos los números mayores que 3, inclu-
yendo sus múltiplos.
Portanto,RCN.
Establecer si los conjuntos son o no son iguales.
Dados los conjuntos A, B y C, representar gráfi- Determinar la relación de inclusión entre los
camente la situación dada.
a. ACByBCC
La representación gráfi.ca es:
DedondeseconcluyequesiA C B AB C C+ A C C,
es decir, la relación de inclusión es transitiva.
b. ACByBCA
La representación gráfi.ca es:
Portanto, secumplequeA e B,yBe Ae A: B.
De acuerdo con esto, se puede afirmar que A C A,
es decir, todo conjunto es subconjunto de sí
mismo.
301,.S¡ntill¿r¿
a. M:lxlxz- 5x+6:0)
S :
{1,2,3}
Seresuelvelaecuación x2 -
5x * 6:0. Paraesto,
se factoriza x2 - 5x * 6, de donde se obtiene que
(x -
2)(x -
3) :0yenconsecuencia,x:2yx:3.
a
Luego, se tiene qre M :
{2, 3I y por tanto, los I
conjuntos My S no son iguales.
b. P :
{xlx esmúltiplode 3 A0 < r < l0}
Q: {0,3,6,9}
Los múltiplos de 3 entre 0 y 10 son 0,3, 6 y 9,
por lo tanto, P E Qy Q C Pasí los conjuntos son
iguales.

22. n-
ry
el
los
les.
0,
N
1u-
sto,
que
-J.
los
\' 9,
son
Está ndar: pe n sa m ¡ e nto n u m é ri co
Escribe por comprensión y por extensión cada
uno de los siguientes conjuntos.
a. El conjunto A formado por los números natu-
rales pares menores de 20.
b. El conjunto B formado por los números natu-
rales primos menores de 20.
c. El conjunto C formado por los números natu-
rales que son primos y pares alavez, menores
de 20.
d. El conjunto D formado por los números ente-
ros que son raíces cuadradas de: 0, 1, 4,9,16.
Escribe por extensión los siguientes conjuntos.
a. M:lxlxeN,x-7:-9]t
b. N: lxlx€2,x2:9\
c. Z: {xlxe R,x2: -1}
d. P:{xlxeR,r:J9}
e.Q:lxlxeN,x<12)
f. R: {xlxe Z+,x * I :8}
g. S: {xlxe Z-,x13}
Si D es el conjunto formado por todos los dígitos
que son primos, escríbelo por extensión y escribe
e o É en cada espacio según corresponda.
g.6-D
h.7_D
i. 8_D
j. e_D
k. 10_D
l. 1r_D
Con el conjunto A :
|a, m, e, r, i, c, a) forma todos
los subconjuntos posibles de:
Una letra. d.Dos letras.
Cuatro letras.
Dos vocales.
Tres letras. e.
Cinco letras. f .
a.
b.
c.
Dado el conjunto A, formado por las letras de la pa-
labra "esternocleidomastoideo
] escribe falso o ver-
dadero según el valor de verdad de cada expresión.
e. ue A. i. pe A.
f. ee A. j. he A.
g. ieA. k. aeA.
h.reA. l. feA.
a. oGA.
b. heA.
c. a€.A.
d. péA.
Rozono:2-4-5
Tomando como referencia los conjuntos A, B, C, D
del ejercicio del numeral 1, establece en cada caso
la contenencia o no contenencia (C o É).
a. {2,4,6, 8}
-
A
b. i2) _c
c. {0, 1,3, 5,7,9}
-A
d. {2,4,6,9, 10} _c
e. {2,3, 5,7,91
-
B
f. {0, - l, -2, -3, -4 _ D
g. {23,29,31,37}
-B
h. {0, 1, 2,3,4}
-D
Dados los conjuntos:
g :
{xlx es una letra del abecedarioi
B:{e,s,t,a,d,i,o}
¡ :
{xlx es una vocal}
t)
L-tl
p :
{xlx es una vocal de la palabra mar}
E :
i-, u, r, c, i, e,1, a, g, o)
a. Indica cuáles de los conjuntos están determina-
dos por extensión.
b. Indica cuáles de los conjuntos están determina-
dos por comprensión.
c. Determina por extensión el conjunto [.i.
d. Determina por comprensión el conjunto E.
e.
¿Cuáles
de los conjuntos son unitarios?
f.
¿Qué conjunto es vacío?
g.
¿Cuál
es el conjunto universal?
Lee la siguiente información.
El cardinal de un conjunto es el número de ele-
mentos que posee. El cardinal de un conjunto A se
simboliza n(A) y se lee "número de elementos de A'1
Determina el cardinal de cada conjunto.
a. P:{xlxeN,x<10}
b. Q: {xlxe Z,-8<x<21
c. R: {xlxe Z-,x12}
d. S:{xlxeN,x<13}
e. M:lxlxeZ-,x>-41
f. N: lxlxe N,x:1]
g.O:{xlxeZ+,x<l0l
oSantirrana
l?l
/-

23. Operociones entre coniuntos
lnlersección
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a.4 y a B simultáneamente. Se representa,4 l^t 8. En simbolos,
AOB:fx/xeAAxeB]
Cuando la intersección entre dos conjuntos es vacía se dice que los conjuntos son
disyuntos.
La intersección entre conjuntos cumple las siguientes propiedades:
. Idempotencia: A ) A: A
. Conmutativa:A nB: BaA
. Asociativa:A f^l (B n C) : (A n B) n C
. Anulativa:A)A:O
It Ejemptos
{!J
Realizar la representación gráfica deA ll B en el
caso en que A y B son intersecantes.
La representación en este caso es la parte som-
breada.
Determinar las intersecciones indicadas dados
A: {1,3,7},8: {re N/resprimoyx
=
l0}
yc: {3}.
a. AaB
A a B: {t,3,7}
b. B.A
B a A: {1,3,7}
c. An(BnC)
A.(BnC):An{3} :{3}
d. (A.B)nc
(A n B) O C: {1,3,7} n C: {3}
e. AaA
Aa A: {1,3,7}: A
€)
n"p""..ntar gráficamente las operaciones indi-
cadas.
a. A)B:B
Existen dos posibles gráficas. La primera corres-
ponde aA C B.
La segunda aA: B.
AB
Por tanto,
AaB-B<+BCAoB:A
b. AnB:A
La representación en el diagrama de Venn es:
De donde A a B : A e A :
O, B :
O o Ay B
son disyuntos.
I
I
I
I
!
Pe
I
osantillana

24. Estándar: pe nsa m i e nto n u méi co
Unión
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los
elementosque pertenecen aA oa B Se representaA U B, En sÍmbo os:
AU B: {x/x e,q'ur x e B}
La unión entre conjuntos cumple con las siguientes propiedades:
.
Idempotencia: A U A: A
. Conmutativa:AUB:BUA
. Asociativa:AU (B U C): (A U B) U C
. Modulativa:AUZ:A
. Distributiva:A U (B n C): (A UB) n (A U C)
. Distributiva:AO (BU C): (AnB) U (A n C)
La representación gráfica de las propiedades de la intersección y de la unión se resume
en la siguiente tabla:
AU(BUO:(AUB)UC AU(BI\A):A
A'(BNC):(ANB) NC Bn(Au8) :B
rdi-
AUB:BUA Au(Bno:6uB)n(AUO
ACtB:Bf\A A.(B uO: @.8) U(AnO
x Ejempto
DeterminarB U C,dadoslosconjuntosB: {xe Zl-2 s r{ 3}yC: {0,3}.
Luego, representar en forma gráfica la unión.
Se tiene que B :
{-2, -
1, 0, 1, 2} y C: {0, 3}, de donde se obtiene que:
BUC:l_2,_1,0,1,2,3\.
La representación gráfica se puede observar en la parte rayada de la figura 1. Figura 1
o Santillana
I
{yB
e3
ion
'res-

25. Diferene io
La diferencia entre dos conjuntos A y B es e conjunto formado por los elementos
que pertenecen a A y no pertenecen a B Se representa A- B En símbolos,
A-B:{x/xeAAx4.B}
En la diferencia entre conjuntos no se cumple la propiedad conmutativa, es decir,
A -
B + B -4,
puesto queB - ¡ :
{xlx€ B A x é A}.
Complemenfo
El complemento de un conjunto A es el coniunto formado por los eLementos
que pertenecen al conjunto universal U, que no pertenecen a A. Se representa
Ac o A' y se lee A complemento. En símbolos,
Ac:{x/xe UAxqA}:U-A
El conjunto referencial o universal es aquel que contiene todos los elementos de los
conjuntos a los que se hace referencia. Por ejemplo, si A es el conjunto de los números
pares y B es el conjunto de los números impares, un conjunto universal para A y para
B, es el conjunto de los números naturales, es decir, U :
N.
t
I
C
1l Ejemptos
¿
Dados dos conjuntos A y B que están contenidos
en el conjunto universal. Realizar la representa-
ción gráfica de cada operación.
a. A- B
U
U
b. B-A
c. Ac
O
Ooaor los siguientes conjuntos:
g :
{x/x es un dígito}
A: {x e U/x es un número par}
a. Hallar Ac.
U :
{0, r,2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9} y A :
10, 2, 4, 6, 8}.
Por tanto, Ac :
{1,3,5,7,9}.
b. Hallar (lc¡c.
En este caso, el complemento de Ac es A, es decir,
(Ac)c: {0,2,4,6,8i
: A.
ffi
O.t"r-inar por extensión X - W'si:
X :
{a, b, c, d} y W :
{a, c, m, n}
Para determinar X -
I4l se escriben los elementos
de X que no pertenecen a W.
Por tanto: X - W: ib, d]
S
E.tuUt"cer un conjunto universal para los dos
conjuntos:
¡ :
lx/x es un número par AZ < x <
17]¡
3 :
{x/x es divisible entre 3 A x'< 201.
Existen muchas posibilidades para el conjunto
universal, entre ellos se encuentran: @, Z y parti-
cularmenteunconjunto ¿: {x/x C NA x<201.
Za
I
o santillana

26. Está ndor: pensa mie nto n u m éri co
Diferencia simétrica
La diferencia simétrica entre dos conjuntos,4 y B es el conju nto formado por los elementos
que pertenecen a A U B y no pertenecen a A et B. Se representa A A B. En simbolos,
A L,B: {x/x e A U BAx éAñ B}
:s decir,
os de los
aúmeros
J v para
ü
lementos
r los dos
17l
conjunto
L-y part\-
\-r < 20).
t, 4, 6, 81.
l. es decir,
@
Verificar en forma gráfica que:
AIB:(AUB)-A^l8.
Se ubican los conjuntos A
y B, se sombrea la unión y
se raya todo sin Ia inter-
sección.
rt Ejem tos
Representar, mediante un diagrama de Venn, el
conjunto A L B.
Para representar A A B, se sombrea la región
donde están los elementos que pertenecen a la
unión de los conjuntos y que no pertenecen a su
intersección, así:
@
HaUartos conjuntos indicados teniendo en cuenta
que U :
{rn, fl, o, p, q}, A :
{m, n} yB :
{m, o}.
a. AL,B
Se escriben los elementos que pertenecen a la
unión y que no pertenecen a la intersección. Por
tanto,AAB:i.r,o).
b.(A-B)u(B-A)
Primero, se halla A -
B.
A-B:{n}
Luego, se halla B -
A.
B_A:{oi
Finalmente, se determina Ia unión.
(A-B)u(B-A):{n,o}
Del literal a y del literal b se concluye que:
ALB:(A_B)U(B_A)
Luego,AAB:AUB-AaB
osantillana
I
Z5
Encontrar la operación que se representa a con-
tinuación:
El conjunto representa el complemento de la dife-
rencia entre A y B, es decir, (A -
B)c.
El dueño de una heladería revisa el inventario y
encuentra que vendieron lo siguiente:
Conos sencillos: 15 de fresa, l0 de frutos rojos y
2 de chocolate.
Conos dobles: 5 de fresa y frutos rojos, 8 de fru-
tos rojos y chocolate y 7 de chocolate y fresa.
Conos triples: 3 con los tres sabores.
a. Representar en un diagrama de Venn la infor-
mación anterior.
El gráfico es:
b. ¿Cuántas
porciones de helado de sabor a fresa
fueron vendidas en total?
Se puede observar en el diagrama que el conjunto
F, indica que vendieron 15 t 5 + 7 f 3 :
30
helados de fresa.
AAB

27. Dados los conjuntos U, A, B y C, determina el
conjunto indicado en cada caso.
U :
{1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9,
A: {2,4, 6,8, 10}
B: {1,2,3,4,51
C: {1,3,5,7,9¡
d.
e.
f.
a.
b.
c.
AU B
B'A
AAB
B-U
U-B
CC
BU A
A'B
(A u B)c
El siguiente diagrama representa las edades de los
miembros de un grupo de danzas y un grupo de
coro. Halla el conjunto indicado en cada caso.
9
t6
17
8
10
ll
13
a.
b.
c.
d.
(D.C)uC
DAC
cu(D-c)
DUC
e. CaD
f. D-C
s.C-(DUC)
h.(DUC) nD
a.
b.
c.
d.
(Bnc)'uA
Ba(AUC',)
$
Escribe la operación que corresponde a la parte
rayada en cada caso.
a.u
Utiliza el diagrama de Venn para sombrear la ope-
ración que se indica en cada caso.
(AUB)-C
(Anc) -B
U
Z6
losantillana
Operaciones entre conjuntos
Determina el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones.
a. Si b c Mentonces b € M n N.
b. Si b C Mentonces b e M U N.
c. Si & € Mentonces b € M -
N.
d. Si b € Mentonces b € MA N.
e. Sia e Mentoncesa € MU NU Z.
f. Sia € Mentoncesa € M a N a Z.
Soluciono problemos
@
Co" base en la siguiente información, realiza un
diagrama de Venn.
En un colegio practican
voleibol, porras y teatro.
de voleibol y de porras,
Alejandra únicamente
pertenece al grupo de vo-
ii
I -:L -l - -,--
:1 - --
^1
- -- -7: ^ ll
leibol, Camila y Claudia
ll
pertenecen al grupo de teatr
il
Susana y Ana están en los tres grupos, pero Natalia,
Daniela y Lorena solo están en teatro. Mientras
que Michelle, Lía y Adelaida pertenecen a porras y
voleibol, María y Iuana están solo en porras.
a.
¿Cuántas
niñas practican al menos una de las
tres actividades?
b.
¿Cuáles
niñas practican las tres actividades?
c.
¿Cuáles
niñas practican teatro y porras?
d.
¿Cuáles
niñas practican solamente voleibol?
e.
¿Cuántas niñas están en voleibol, cuántas en
porras y cuántas en teatro?
f.
¿Cuántas niñas practican dos de las tres activi-
dades en el colegio?
En una encuesta realizada en una sala de cine se
encontró que al 4o/o de los asistentes no les gustan
las películas, aI So/o solo les gustan las películas de
dibujos animados, al l2o/o solo Ies gustan las pe-
lículas de terror, al 5% solo les gustan las películas
de acción, al 40o/o solo les gustan las películas de
dibujos animados y las de terror, al l5o/o solo les
gustan las películas de acción y de terror, al 10%
solo les gustan las películas de acción y de dibujos
,
animados.
¿A
qué porcentaje de las personas que están en la
sala de cine le gustan las tres clases de películas?
o
b'
h.
i.

28. Núrneros reoles
Los conjuntos numéricos fueron construidos debido a diferentes necesidades hu-
:lanas y matemáticas.
El primer conjunto conocido es el de los naturales (N!) el cual surgió principalmente
Je Ia necesidad de contar objetos.
Luego, surgió el conjunto de los números en[eros (Z) como so]ución de ecuaciones
Je la forma x I n: m donde n, m e N. Posteriormente aparecieron los números
:acionales (Q)como solución de ecuaciones delaformapx :
qco:np, qe Zy qi 0.
-na
característica común a los elementos de [!, Z y Q es qlre para cada uno de ellos
:riste una expresión decimal finita o infinita periódica. Sin embargo, al tratar de re-
.olver ecuaciones de la forma x2 :
P,
donde p es primo, por ejemplo x2 : 2, surgen
:rpresiones decimales infinitas no periódicas.
:l conjunto formado por los números con expresiones decimales infinitas no perió-
:icas recibe el nombre de conjunto de los irracionales y se simboliza con Ia letra !.
\lgunos ejemplos de números irracionales ,or, .uD, nli, n, ,...
- inalmente, el conjunto de los números reales R se forma a partir de la unión de los
:.rcionales y los irracionales.
losita,
iatalia,
entras
)rras y
de las
des?
bol?
Itas en
clne se
gustan
ulas de
Ias pe-
:1ículas
ulas de
,olo les
al 10%
ciibujos
i:n en la
culas?
La unión entre e conjunto de os raciona es ¡,,e conjunto de los irraciona es es
el conjunto de los números reales, que se s mboliza R Es decir, Q U [ - R
i1 siguiente diagrama muestra la relación entre los conjuntos numéricos.
-\lgunas características del conjunto de los números reales son:
. Al representar el conjunto de los números reales en una recta se tiene que a cada
punto de la recta le corresponde un único número real, yvice'u,ersa, a cada número
real Ie corresponde un único punto de la recta.
. El conjunto de los números reales iR es ordenado. Entre dos números reales a y b
se cumple solo una de las siguientes relaciones:
alb
a-b
a)0
. Entre dos números reales siempre es posible encontrar otro número real.
Por ejemplo, entre 1y2 está 1,5; entre I y 1,5 está 1,12; entre 1y 1,12 está 1,001;entre
1i,1,001 está 1,0001.
Periódicos No periódicos
Los conjuntos numériccs son:
ñ
-
tn I r l I
\-IU,,1,J, I
V-l
-t-rArt
i
L-1, Lt tV) tLt t
r--
lh.._J
-
// h- //
w-1
nl
"l
osanti{lana f É7
I
d

29. Una desigualdad entre dos números reales a y b es
una expresión de la forma a < b, a > b, a
=
b, a= b
En las desigualdades se cumplen las siguientes propiedades:
. Sia <byb ( centoncesa{c.
. Si se suma o resta un mismo número en los dos miembros de la desigualdad el
sentido deladesigualdadse conserva. Es decir, sta<b+ a
-r
c {b +
c.
. Si se multiplican o dividen los dos miembros de la desigualdad por un número
positivo el sentido de la desigualdad se conserva. Si a < b y , > 0
=
ac 1 bc.
. Si se multiplican o dividen los dos miembros de la desigualdad por un número
negativo el sentido de la desigualdad se invierte. Si a < b y t < 0 + ac ) bc.
Una desigualdad entre números reales se puede representar con un intervalo.
Un intervalo es un subconjunto (no vacío) de números reales. Las clases de intervalos
se muestran a continuación:
Desiguoldodes en R
(a,b):{x€R/a<x<b}
b
R
a
la,b):ixeR/a-x<bj
a-b
(a,b):{xCR/a<x-b}
R
la,bl:{xCR/a-x<b}
b
R
a
-f
:
l
(a,e1 :
{x e R/x> a}
,*
[a,*):{xCR/x>a}
a
(-n, a): {x e R/x < a}
a
(-n a): ix e R/x
=
a]
a
El intervalo (--, -) representa el con-
junto de los números reales R y corres-
ponde a toda la recta real.
R
t
(
Una desigualdad en la que hay una o más incógnitas se denomina inecuación.
Resolver una inecuación consiste en hallar los valores de la incógnita que hacen ver-
dadera Ia desigualdad. Al conjunto de dichos valores se le llama conjunto solución.
Normalmente, el conjunto solución de una inecuación es un intervalo o unión de in-
tervalos. Así por ejemplo, x -
5 ) -7
es una inecuación y su solución es el intervalo
(-2, *), pues si se remplaza x por cualquier valor mayor que -2,Ia
desigualdad es
verdadera.
ZB
I
osantitlana
r

30. rd el
nero
nero
-alos
ción.
I YCT-
ción.
le in-
rr.alo
ad es
Eneruce imc':es
Una desiqualdad en la que intervienen una o más variab es se denomina inecuación
Resolver una inecuación consiste en haliar los valores que hacen verdadera Ia desi-
gualdad. Al conjunto de valores se le llama conjunto solución.
Por ejemplo, la desigualdad x f 5 ( 2 es una inecuación, al realizar operacioles 1-
resolyer se obtiene que r < -3, esto se puede expresar en forma de conjunto como
S: {x e R/x <
-3},
enformadeintervalo seescribe (--,
-3)yenformagráficaes:
I nee¡-¡eeiones cucd rcfiecs
Una inecuación de laforma ai + bx* c> 0, ar' + bx* c< 0, al + bx+.= Co
oi + bx * c <
0, con
=
O, recibe el nombre de inecuación cuadrática
Por ejemplo, la inecuación x2 + 6x t 8 ) 0 es cuadrática porque el ma,vor exponente
Je .r es 2.
Para resolver una inecuación cuadrática se aplican las propiedades de las desigual-
dades hasta obtener una expresión algebraica en un miembro de la inecuación y
.ero en el otro miembro. Luego, se factoriza la expresión si es posible
),
se aplican las
:ropiedades de las desigualdades para hallar el conjunto solución.
t-uando la expresión algebraica no se puede factorizar se realizan los siguientes pasos:
. Primero, se expresa Ia inecuación obtenida como una ecuación.
. Segundo, se halla la solución de la ecuación utilizando la fórmula cuadrática.
. Tercero, se ubican las soluciones en una recta y se toman yalores en cada inten alo
para comprobar si son solución de la inecuación. Si un valor es solución, el inter-
valo al que pertenece es solución de la ir-recuación.
f
5e aplican propredades
de las desiqualdades.
5e foctoriza
Las propiedades de las desi-
gualdades son:
. 5ia< b,blc,entonres,
a1t
.
Si a < b, entonces,
a-lc1b-fc
a-c1b-c
. 5ia<áyr)0,entonces,
. 5ia<byr(0,entonces,
rltlbcy
t, I
. 1 ] Resolver la inecuación x2 8 < 2x.
x2-8<2x
x2 2x-B(o
(x-a)(x+2)<o
Luego, se determinan dos casos:
. x-4<0yx-12)0
(.o,4)n (-2,n):(-2,4)
. x - 4>0yx+ 2<0
Se aplica la propiedad
(4, oo) ñ (o, -2): A a,b<Asia<0Ab>0.
(-2,4)Ua:eL4)
Luego, la solución de la inecuación x2 -
8 ( 2x es
el intervalo (-2,4).
Hallar el conjunto solución de la inecuación
x2-x-3>0.
Primero, se conl'ierte 1a inecuación en ecuación de
modo quex2 x - 3:0vseresuelveasí:
x:
_),,3yx:2,3
Segundo, las soluciones encontradas dividen la
recta en tres interr,-alos, entonces, se toma un valor
en cada intervalo y se determina qué intervalos
cumplen la desigualdad. Así, se tiene por ejemplo,
que para r: 2yparax:3 la inecuación se
cumple. En cambio, para r :
0 Ia inecuación no se
cumple. Por tanto, el conjunto solución es:
[,.r-',fi¡luIr+,[:,)
t' 2lt 2 )
osantillana
iZ9
Est# nd a r: pe n s a m i enio n u m éri co

31. lnecuaciones cuadráticas
n".olr"r la inecuac ión * -
8 < 2x en iormtgráfica.
Primero, se resta 2x a ambos lados y se factoriza así:
(x-a)(x+2)<0
Luego, se hallan las raíces de la expresiónfactorizada y se ubican en la recta real
así:
x Ejemptos
x-4
x*2
@-4@+2)
-2-r0 | 2 3 4
Como la desigualdad indaga por los menores que 0, Ia solución de la desigualdad
es el intervalo cuyo producto es negativo, es decir, (-2,4).
-2-10 t 2 3 4
Antes de cada raíz la expresión
cor respond ien t e e s negativa.
Se multiplican los signos
correspondientes a cada factor
teniendo en cuenta las raices,
.J
l.-
2
j. 0,375
e.-12
_2
J
-0,625
TI
inecuaciones.
a. xi20<I0 i. x- 8>-3 :
b. 4x< 3 j. -2x> -l
i
i
c. ll+t<o k.
r
-5>-7
:
3-2i
d..4x'l 3=7 l. -3x-1>-5
?.
".
*
+t<4 rn. ll=t
f
32t
f.
x
=-5 n.
*
-5<-lo
-3-2i
))
s. 1x)5 o. -'x+l<4
, 4x-ll x , x
- -
h.
-(r
p.
-
T--))
3'23)zJ
Determina el conjunto solución de las siguientes
inecuaciones cuadráticas.
R
p
¿.
b.
L¿
lL
c.
f.
o
b'
h.
i.
).
@
f,scribe en forma d,e intervalos cada uno de los
a. x(3x+5)>0
b. 4x(x -
3) < -9
c. x2 + 8x> -7
d. x2<l
e. l2l-22x*x2)0
f. x2-7x-f12<o
g.4x2 -lox+6>o
h.9x2-4<o
E1
O
R"pr"r"nta cada número en la recta numérica:
I
2
0,125
5
2
-0,25
siguientes conjuntos.
a. G:lxlxeR,x)-3)
b. H:{xlxeR,-4<x=3\
c. I:lxlxeR,x<-5)
d. I:lxlxe R,x< -3r/x>3\
e. K: lxlxeR,x) -2Ax<0\
f. M:{xlxe.R,x>8}
g. N: {xlxeR,0<x<5}
h. O: {xlxe R,x>0}
k. ..6
l. -¡"'
-2-10 I 2 3 4
{l
UUi." los siguientes intervalos en la recta real.
o
b'
h.
c.
a.
b.
c.
d.
e.
:i
:i
E:
t;
iJ
Eo
'*
(1, 8)
(-7, -
r)
[-8,8)
(-e,01
[-6, -
1]
30
|
osantillana
G
pgls¡rnina
el conjunto solución de las siguientes

32. Volor obsoluto
El valor absoluto de un número real c, es la distancia que existe entre úr y cero
en la recta numérica Se simboliza d, es un número no negativo y curnp e que:
|
"
sc>o
o s o<O
La expresión
lx
+ + :7
es una ecuación con valor absoluto y para resolverla se deben
:ener en cuenta las siguientes propiedades:
l, x:aea>0,4,x:aYx:-a
l. x: aQy:a,\,x:-a
Otras propiedades del valor absoluto son:
t-
r. ab :
lal
Ul
ll lol
r. lLl: )-lt + o
lbl
l¿,1
a. atb-:ol+U
_ rt T,
lal: ! a'
x tr§mrr:p!,üs
d. lx+zl:zx+e
Como el valor absoluto siempre es un valor positivo, o
cero, entonces 2x I 6 > 0,la inecuación se cumple si
se presentan dos condiciones.
. 2xl6>0yx-17:2x-l 6o
. jr+7:_(2x+6)
Entonces, se resuelven las ecuaciones y la inecuación
así:
2x+6>0 y
2x> -6
x> -3
x-17:-2x-6
x-l 2x: -6-7
3¡: -13
13
3
Luego, el conjunto soh"rción resulta de operar:
{x €.{/,r > ¡t ¡ {r -!} :
-)
l'3l
Entonces, la solución a 1a ecuación es {1}.
l real
tc.
ictar
,e5.
aldad
Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las
propiedades del valor absoluto.
a. lzx+31
:8
l.v + 3l : 8
Ecuactóndada
_
11
2
5
2
Luego, el conjunto solución.r {-+, +}
I 2 2)
b. l, - 7l: -s
La ecuación dada no tiene solución pues -5
(
0, lo
.1ue contradice la definición de a.
c. lx - sl: lzx -
zl
r'- 9 : )v
-
7- Ecuación dada.
r_9:2x_3fx 9:_(2x_3)
x : _
6,,/ x : 4
S'aPltca la
ProPterlacl
2
x-17:2x-l 6
x-2x:6-7
--t - -
I
-- _ 1
-t- r
Estándar : p e ns a n i e nto n u rn é ri co
uientes
EI conjunto solución de la ecuación es {-6,4i.
o santillana
i
31

33. lnecuaciones con volor obsoluto
Una inecuación de la forma 2x + Il < 8 recibe el nombre de inecuación con valor
absoluto. Para solucionar estas inecuaciones se deben tener en cuenta las siguientes
propiedades:
1. l,
> aex>a\'Jx1-a
z. l*)aaé-a1x1acona20
x Ejemptos
Hallar los valores de r que satisfacen las siguientes inecuaciones.
a. lzx - 6l'tz
2x-6<12
Como 12
>-
0, -12'.
2x -
6
=
12
2x-6>--l2y2x-6<12
x> -3yx=9
Luego,
[ -
3, 9] es la respuesta que se encuentra al interceptar los conjuntos anteriores.
b. lzx+71
>11
lzr+2,-tt
2x -17 > 11o 2x -17 <
-11
2x>-4o2x>- -18
x>2ox<-9
Luego, la respuesta de Ia inecuación dada es [2, +:o¡ U (--,9] .
c. llx+ll <2x-t3
Primero, se aplica la propiedad 2, así:
-(zx+3)'3x+1<2x-f 3 con 2x+3>o
-2x-3<3x+1<2x-l
3
3
X:>
--
2
Luego, se analiza la expresión -2x -
3 < 3x + I < 2x -l
3.
-2x- 3<3x | 3x + 1< 2x* 3
seseparalainecuaciónendos
u=_4 y11 tnecuactonesyseresuelven
5
Entonces, se toma la intersección de las soluciones *
= -!, x < 2y ¡ = -1,
así:
I r ta I r I
5 2
I i,,.)n,-',, "[-;
,"):[-;,,]
Se puede hacer la gráfica así:
-234
25
3e
losantillana
lnecuación dada.
Se aplica la propiedad 2.
Se separa la anterior desigualdad
en dos desigualdades.
Se soluciona cada igualdad.
lnecuación dada.
Se hace transposición de términos
5e despeja la incógnita en cada desigualdad.
I

34. 1. -8
s
1.000i
h. ',-9 + 2
i. -9-g
j. -8x2
e. -15 ,t, -7
1
I.
-/
\',2
-23u-17,2
-6
y 100
Determina el valor de x que satisface cada ecua-
ció
a.f.3
b. g' o
I
c. h.l 11
I
d.40i.7
I
e. :23
).
Determina si el conjunto solución es el correcto.
En caso contrario, escríbelo correctamente.
a. 2x-l 3:x-ll {1,0}
b. -x*1:5-2x {6}
Calcula.
a. -eei
u.
lo
c. 37',
d. -le + sei
".
ls-s
Lee la siguiente información.
a. -23y0
b. -33y8
c. -
5
), 0,75 g.
d. 0,3 y 10,5 h.
La distancia entre dos números reales está dada
pord: a-b.
Halla la distancia entre cada par de puntos.
Determina el r.alor de verdad de cada expresión.
u. ]-+s
:
+sj
1
--
D. -5/
:
-5/
c. -7x 8:-7x-8
d. -7x- 6 - -7.r-
8
e.
f.
§7
:
-87
-7el
:
7e
| -: 1-¡
l=-lil
-el -s
t_t
t5t 5
Es{ándar: pensamiento numérrco j
Rozono:3-4-5-6
e.
j. *>2
k. x <6
l. -3x > 12
nl.5f-l=J
l^rl
n. 2x-_<_\
3
l, )
o.
l) ll
-.-l
p. l4r + 6l> 12
l, tl
o.
' ) rl
r. -4¡
< 16
. 2 1 _17
1-r
322
La temperatura en grados centígrados ("C) ne-
cesaria para mantener un medicatlento en buen
estado estádadapor:
oC
- t5 <
10.
a.
¿Cuál
es el inten.alo de temperatura necesario
para mantener el medicamento en buen estado?
b.
¿Cuál
es la temperatura mínima para mantener
el medicamento?
c.
¿A partir de los cuántos 'C se daña el medica-
mento?
d. Si una nlreva versión del medicamento ne-
cesita una temperatura que está dada por
oC
15 > 10,
¿cuál
es el intervalo de tem-
peratura necesario para mantener el nuevo
medicamento?
Lee la siguiente información.
La distancia entre un punto (xo, y) y una recta
cuya ecuación general es ax * by -l c: 0 se puede
lrallar mediante la expresion d :
lax
+ by' -
c1
.--"--'--' |
,t", , b,
I
Determina el valor de r para que la distancia del
punto (x, 2) alarecta 6x f 8y- 1 : 0seaiguala2.
Determina el conjunto solución de las siguientes
desigualdades. Expresa tu respuesta como un in-
tervalo t'represéntalo en la recta numérica.
a. x{5
b. x>4
c. x-7(18
d l-l
=,
l-2 I
h.
7x-l 3>2
lt
t.
--r-1x
<o
2
)z rl -ü
ll )l )
l),-rJ >)
i! Soluciono problemos
G.§antillana i f3
| -*
valor
Lientes
erlores.
3
--
, asl:
2
Il,2|

35. {P
Escribe el valor de verdad de las proposiciones del
punto 2.
O
Utiliza tablas de verdad para determinar si las
proposiciones dadas son o no son tautologías.
a. pv
-P
b. -(p n -r)
c. -(-p)
<-> p
d.P-+qvP
e. qé -q
{}
S,rbruyu la proposición que niega la proposición
dada.
a. p: Todos los gatos son grises.
Todos los gatos son negros.
Existen gatos que no son grises.
b. p: Si dos rectas son secantes se cortan en un
solo punto.
Dos rectas secantes no se cortan en un punto.
Dos rectas secantes se cortan en todos los pun-
tos.
c.p: Los números pares terminan en cero.
Los números impares terminan en cero.
Hay números pares que terminan en números
diferentes de cero.
p: Los números enteros son irracionales.
Existen números enteros que no son irracio-
nales.
Todos los números enteros son racionales.
Coniuntos
ñ oudo, los conjuntos M, M I, ,B escríbelos por
comprensión y extensión. Halla el conjunto que
corresponde a cada operación.
M: números dígitos.
N: números dígitos impares.
I; números dígitos pares.
P: números dígitos primos.
¿UNUP
¿NNNP
(¿uN)-P
LAP
MAN
Establece los conjuntos A, B, C, para los cuales se
cumple: A) B: {2,3,7,51,A l) C: 10,2,4,6,8},
Aa B O C: {2}y A - B: {0, 1,4,6,8,9}.
a. Determina por extensión los conjuntos.
b. Determina por comprensión los conjuntos.
c. HallaALB.
d. Halla (A n C) A (A U B).
Proposiciones
C.
d.
e.
fl
O.t"r-ina si la expresión dada es una proposi-
ción. En caso de serla, clasifícala como simple o
compuesta.
a. Leo un libro.
b. Javier puede tomar jugo y gaseosa.
c. La ecuación x2 -f 8 :
0 es cuadrática.
d. Resuelve la ecuación.
fl
Si-Uoti za cadaproposición simple, luego, simbo-
liza la proposición compuesta.
a. Si un ángulo mide 90", entonces, su suplemen-
to es un ángulo recto.
Si dos rectas se intersecan, entonces, los ángu-
los opuestos por el vértice son congruentes.
Si un triángulo es rectángulo, entonces, no
puede ser acutángulo.
Si 4x * 16: 12, entonces, x: -1.
Si x2 :
0, entonces, x:
+L.
f.
o
b'
h.
i.
j
a.
b.
c.
d.
e.
M'N
¿UN
M-N
NAP
(¿nADuP
f.
o
b'
h.
i.
j.
((p -+ q) Ail --> q
(pAq)+@V-r)
(p --> q) e -pV
q
Pvqe-PA-q
Pv -q) qv -P
(AaB)nc
(AUBUC)C
A'BC'C
(AaBnc)c
(AUBgncc (
ua.
b.
c.
d.
e.
La administradora de un restaurante de comidas
rápidas observó el pedido de 50 clientes que en-
traron a comprar perro caliente. Ella observó que
agregaban salsa (s), cebolla (c) o queso (4) al perro.
Los resultados se observan en el diagrama.
¿Cuál
es la operación entre los tres conjuntos
que indica lazona que tiene el número 18?
¿Cuántos
clientes no adicionan ningún aderezo
al perro caliente?
¿Cuántos
clientes adicionan dos ingredientes?
a
d. b.
Representa en el siguiente diagrama de Venn cada
operaclon.
3a
I
o santillana
c.
b

36. por
lue
)S SE
,,8),
cada
lidas
e en-
5 que
)erro.
:ntes?
untos
8?
lerezo
Intervolos
Ubica los siguientes intervalos en una recta real.
h. (-1,61
e. l-4,7) - (1,3) j.
p :
l-7,2)
F: [-5,
cc)
i. A-C
j. A.D
K. AUE
I, A-E
lnecuociones
Determina el conjunto solución de cada inecua-
ción
1,
rea\íza la respectiva prueba.
a. -7<2x+4<8 f. 3.i-x +1<10
4
Números reoles
Completa la siguiente tabla utilizando los sírnbo-
loseyÉ.
-5
3
4
E
'l
)
0,333
b. -7 12x+1<10
c.0(x-4<7
d. +x+l<2x-3
e. -2x-3<5x-3
s. -5 <L-2-4
0a
J
h. -3(xt5<10
i.5x-1)3xtl
j. 4-2x>3x-tl
f.a.
d.
)
l+,-)n (--,+l
l-+ f]
u
r:,
s)
1. (--,
-61 U [6,:c)
) (-) 5.7 5)
r.
\
3. (-,.
- I8) U (0, z)
4. l-3,3)
Dados los siguientes intervalos, represéntalos en
la recta. Halla el intervalo que corresponde a cada
operación.
A: (-n,
-7)
C :
[-8, -5]
a. AUB
b. A-B
c. AOC
d. AUD
En cada una de las siguientes rectas se encuentran
representados dos intervalos. Halla: unión "U'l
intersección' n'i I
diferencia "- ".
a.
-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 I
b.
-7-6-5-4-3 2 1 0 1 2 3 4 5
B :
[-10, -9)
E: (-7, -4)
e. AaE
f. AO F
o A-tr
b'
h. A'B
(0,''*)
(-7,5;
-0,5)
Halla el conjunto solución y realiza la respectiva
prueba para cada inecuación cuadrática.
a.3x2 fl1x+6>0 f. x2+7x+10<o
b. x2- too>o g.y2-r2y+35<o
c. P-zt-48>o h. y2-2/+1<o
d.P-t-42>o i. x2+ 1lx*18<o
e. z2+222-1 t20>0 i. x2-22x-lt2t<0
Observa las inecuaciones y los intervalos y asocia
cada inecuación con su respectivo intervalo solu-
ción.
a. x
=3
b. 2x <5
c l-l
=,l2l
d. x-t6>12
La distancia recorrida por un móvil a través del
tiempo está dada por "T¿
-
1 > 0'i donde I re-
presenta el tiempo en segundos.
a.
¿Cuál
es el interr.alo de tiempo en que es posible
determinar la distancia recorrida por el móvil?
b.
¿Cuál
es el intervalo en que no se puede calcu-
lar la distancia en esta situación?
Una fábrica tiene establecido que sus ganancias
están dadas por: 3x + 5.000.000 > 14.000.000,
donde x representa las ventas.
a.
¿Cuál
es ei intervalo
de ventas para que
la fábrica obtenga
ganancias?
b. ¿A partir de qué
valor en las ventas
se comienza a obte-
ner ganancias?-4-3-2-t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
osantillana
i35
I
Ti

37. Una proposición simple es aquella que se
forma sin el empleo de conectivos lógicos.
Una proposición compuesta es aquella que
está formada por dos proposiciones simples,
unidas con conectivos lógrcos.
Conjunción: unión de dos proposicrones me-
diante el conectivo lógico"y".
Disyunción: unión de dos proposiciones sim-
ples mediante el óonectivo lógico "o'l
Condicional: unión de proposiciones simples
mediante el conectivo lógico "s¡ . . . enton-
ces...". La primera proposrción recibe el nom-
bre de antecedente y la segunda cansecuente.
Bicondicional: unión de dos proposlciones
simples mediante el conectivo lógico "si y
sólo si".
lntersección: conjunto formado por los ele-
mentos que pertenecen simultáneamente
a dos o más conjuntos. Se simboliza A ) B.
Unión: conjunto formado por los elementos
que pertenecen aA o a B 5e simboliza A U B.
Diferencia:conjunto formado por los elemen-
tos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
SesimbolizaA-8.
Complemento:conjunto formado por los ele-
mentos que pertenecen a U y no pertenecen
a A. Se simboliza Ac o A' .
Diferencia simétrica: conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A U B y no
pertenecen a A ?t B. Se simboliza A A B.
El cuantificador universal que es "para todo'i
se representa con el simbolo V, y el cuantifica-
dor existencial que es "existe" se representa con
el símbolo l. Para negar una proposición con
cuantificador universal se usa el cuantifrcador
existencial y se niega la proposición. Del mismo
modo, si la proposición contiene el cuantificador
existencial, entonces, su negación tendrá el cuan-
tifrcador universaly la negación de la proposición.
Un conjunto es una colección de
objetos los cuales son llamados ele-
mentos del conjunto.
Determinar un conjunto por com-
prensión significa nombrar una
caracteristica común a todos los
elementos.
Determinar un conjunto por exten-
sión significa nombrar cada uno de
los elementos del con;unto.
Es el conjunto formado
por la unión del conjunto
de los números racionales
y el conjunto de los núme-
ros irracionales, se simbo-
lizaR.Esdecir,QU[:R.
Son desigualdades
en las que hay uno
o varios valores des-
conocidos liamados
incógnitas.
El valor absoluto de un número real a, es
la distancia que existe entre d y cero en
la recta numérica. Se denota al.
,^_ I
a sio>O
l"-
l-a
sialO
I
(
e
€
-
36
losantillana

38. des
uno
-lac-
dos
t.
LCS INECUOCIONES
en los líneas telefónicas
-¿
iínea telefónica es considerada como el principal
:redio de comunicación, ya que permite realizar llama-
:as a cualquier ciudad del país y del mundo, además
.. el soporte de otros productos de última tecnología
:omo Internet banda ancha y de servicios adicionales
:urmo llamada en espera, transferencia de llamadas,
:espertador automático, contestador virtual, entre
_ Iros.
lurante el año 2009, la Empresa de Teléfonos de
-.ogotá
(ETB), ofreció los siguientes planes pafa per-
:.rnas u hogares que consumen prácticamente los mis-
::os minutos todos los meses. Estos planes tienen una
::rifa básica mensual, y en caso de pasarse del cupo que
.= adquiere, la empresa cobra los minutos adicionales a
-r
valor determinado, de acuerdo con el plan y con el
@
Cons.rtta cuáles empresas de telefonía prestan
servicio en tu ciudad.
iñCrpretol
@
Explica qué representa M en Ia inecuación del
ejemplo.
@
nlantea una expresión para calcular el valor que
',
se debe pagar en el plan 220 para estrato 2 con
l
minutos adicionales.
estrato donde se encuentra la línea telefónica. El cliente
puede consultar los minutos locales consumidos lla-
mando a la empresa gratuitamente.
Por ejemplo, para calcular cuántos minutos adicionales
como máximo, pueden consumir al mes en un hogar
de estrato I con plan 220, si solo cuentan con $12.000
para pagar el servicio de telefonía, se puede plantear la
inecuación:
10.900 + 88,68 M< t2.000
donde M es la cantidad de minutos adicionales.
88,68M< 12.000 -
10.900
M
=
I2,4
Por lo que se deduce que en este hogar deben consumir
como máximo 12 minutos adicionales.
Calcula cuántos minutos adicionales como má-
ximo, pueden consumir en un hogar de estrato 4
con plan 370, si quieren pagar a lo más $44.000
por el servicio de telefonía.
@
Cdcula cuántos minutos adicionales como mí-
nimo y cuántos como máximo, consumen en un
hogar de estrato 5 con plan 370, que suelen pagar
entre $50.000 y $ 60.000 mensuales.
Responde:
¿cuánto
deben pagar en el estrato 3 en
este caso?
1 220 51o.9oo 220 S 88,68
2 220 512.700 220 s88,68
3y4 220 521.634 220 s r 09,63
3v4 370 532.422 370 s98,09
5v6 220 52s364 220 51 28,s3
5y6 374 538 0',r2 370 s 1 1s,0r
o Sant¡llana | 37
¡
¿PARA QUE ME SIRV
Paro entender las co§tos del servici.o
detelefonío.
Plan

39. Funciones
P Temos de lo unidod
Relaciones
§ Funciones
M Propiedades de las funciones
E Clasificación de funciones
Operaciones con funciones
E Composición de funciones
I
i
I
EI

40. El órbol de lo ciencio
lecir Andrés (estudiante de medicina) que la vida
,-:ún su profesor Letamendi, es una función inde
.'.ninada entre a energia individual y e cosmos, y
- e esta función no puede ser rnás que suma, resta,
r tiplicación y división, y que no pudiendo ser suma,
-
'esta, ni division, tiene que ser mult plcación, uno
=
os amigos de Sañudo (estudiante de ingenieria) se
- -ló a reir,
-;Por
qué se rie usted?
-le
preguntó Andrés sor
- :ndido.
-)orque
en todo eso que dice usted hay una porción
: sofrsmas y de falsedades Primeramente hay muchas
-ás
funciones matemáticas que surnar, restar, multrpli-
-,'y dividir
-¿Cuáles?
-¡levar
a potencia, extraer raíces... Después, aunque
:, hubiera más que cuatro funciones matemáticas
,'imitivas, es absurdo pensar que en el confl cto de
-..os dos elementos, la energia de la vida y el cosmos,
,
-o
de elios, por lo menos, heterogéneo y comp icado,
,lrque no haya suma, ni resta nidivisión, ha de haber
-
rltiplicación Además, seria necesario demostrar por
';ré no puede haber suma, por qué no puede haber
:jta y por qué no puede haber división. Después ha
:'ia que demostrar por qué no puede haber dos o tres
'-nciones srmultáneas. No basta decirlo.
-Pero
eso lo da e razonamiento
-No,
no; perdone usted
-replicó
el estudlante
Por ejemp o, entre esa mujer y yo puede haber varias
funciones matemáticas: suma, si hacemos los dos una
misma cosa ayudándo¡os;resta, siella quiere una cosa
y yo la contraria y vence uno de los dos contra e ctro;
muitiplicación, sl tenemos un hilo, y división si yo a
corto en pedazos a e ia o ella a mi.
-Eso
es una broma dilo Andrés.
C aro que es una broma
-replicó
el estudiante-,
una broma por ei estilo de las de su profesor; pero que
tiende a una verdad, y es que entre Ja fuerza de la vida y
el cosmos hay un infrnito de funciones distintas: sumas,
restas, multiplicaciones, de todo, y que además es muy
posible que existan otras funciones que no tengan
expresión matemática.
Pio Boroja
Tomado de i''latem¡jticos I I bochtllerato España,
Editorial 5anti an¿, 2008
--l
[onsu ta el concepto defunclón natematiu y compáralo c0rl e que
se plantea en a edur¿
.
Existen a gunas proteinas de qran tamaño a las que se les pueden unir
*, santi[¡na
|
39

41. Relociones
Dados dos conjuntos A y B no vacÍos, se define el producto cartesiano A X B como el
conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) donde a e Ay b e B.
EnsímbolosAxB
Por ejemplo, si A :
A
:
1@, b)la e A, A, b e B\.
{1, 2, 3} y B :
.3,5}, entonces,
x B :
{(1,3),
(1,5), (2, 3),(2,5), (3,3), (3,5)}.
Si Ay B son conjuntos no vacíos, entonces, cualquier subconjunto no vacio R de A x B se
denomina una relación entreA y 8. Al conjunto A se le denomina conjunto de partida
y al conjunto B se le denomina conjunto de llegada.
Para nombrar las relaciones se utilizan letras mayúsculas como R, F, H,...
Elementos de uno reloción
EI dominio de una relación R, es el conjunto formado por las primeras componentes
de las parejas de la relación. Se simboliza Dom R.
EI rango de una relación R, es el conjunto formado por las segundas componentes de
las parejas de la relación. Se simboliza Ran R.
El codominio de R, es el conjunto que contiene al rango. Se simboliza Cod R.
Toda relación tiene dos representaciones gráficas, la representación cartesiana y el
diagrama de flechas:
Representación cartesiana: en el eje horizontal se ubican los elementos del conjunto
de partida y en el eje vertical los elementos del conjunto de llegada. En el plano se
representan los puntos correspondientes a las parejas de la relación.
Diagrama de flechas: se emplean diagramas de Venn, tanto para el dominio, como
para el codominio, posteriormente se emplean flechas para indicar los elementos
de Ia relación.
xEjempto
Dados los conjunto s A :
{2, 4, 6} y B :
{ l, 3}, representar gráficamente la relación
R:{(a,b)eAxBla+b>5}.
Se halla R por extensión y se representan las parejas ordenadas en el plano cartesiano
y en el diagrama de Venn.
Como R :
{(2, 3), (4, 1), (4,3), (6,1), (6, 3)}, se tiene que:
R
A /------.1 B
40
los.ntittrnu

42. Funciones
iera que una relación sea una función debe cr-rmplir las siguientes concliciones:
Cada elemento del conjunto A debe estal relacionado con un elemento dei con-
junto B.
- Un elemento de A no puede reLacionarse con dos o más elernentos dif'erentes de B.
:e puede identifrcar en forma gráfrca si una relación es función, cnanclo toda recta
.'er alela al eje y que corta la gráfrca lo hace en un solo punto.
ryel
iunto
no se
:omo
entos
¡clon
siano
-lna función fdeA e¡ I es una relación en a que a cada e erne.to a e I e corresponde
- ¡ unico elemento b e E [as funciones se nombra¡ con etras
-¡rnúscu
as como i q, h,
I ,-Observar el diagrama de Venn. Luego, deter-
minar si la relación que se representa es una
función.
La relación es una función porque no existe ele-
mento de M que no se relacione con los elen-rentos
de ll. Además cada elemento de M se rel¿rciona
con solo un elemento de }y'.
@
E.auUt"cer si la siguiente representación gráfica
corresponde a una función.
La gráfrca no corresponde a una función pues al
trazar una recta paralela al eje y esta interseca a la
gráfi,ca en dos puntos distintos.
Determinar si la relación y : x * 2 es función.
Se realiza lir representación gráfica de y - x'l 2
como se muestra a continr-tación:
Luego, se trazan rectas paralelas al eje 1.
Como
todas ellas intersecan la gráfica en un solo punto,
la relación
7
: xl 2 es función.
SiA :
{1, 4}, B - {2,5, 6} yR es una relación
de A en B con R :
{(t, 2), (1,5)}. Encontrar el
dominio, el codominio y el rango de R. Luego,
determinar si I relación es función.
Se tiene que:
DomR: i1)
CodR: {2,5,6}
Ran R :
{2,5}
Como las parejas ordenadas (L,2) y (1, 5), tienen
la misma primera componente la relación no es
función.
il
-r
osantillana
l4i
Estándar: pensamiento vartacional i
gntes
es de
v
I
2

43. Notociones de uno función
Para expresar que/es una función de A en B se usan las siguientes notaciones:
fA-+so,qLn
La expresión f(o)
:
b indica que el elemento a € A está relacionado con el elemento
b € B, a través de la función/y se lee '/de a es igual a b". El elemento b recibe el
nombre de imagen de a.
Por ejemplo, en la funciónflx) : 4x,f toma un elemento x del dominio y lo envía
en uno de la forma 4x en el codominio, es decir, cada pareja ordenada es de la forma
(x,4x). Así, el valor de/(x) cuando x :
2, es decir,f2) equivale a 4(2) :
8. Entonces
la pareja ordenada (2, 8) pertenece a la función.
Dado que b depende de los valores que tome a, se dice que b es la variable depen-
diente y a es lavariable independiente.
Una función se puede representar de las siguientes formas:
. Expresión algebraica.
. Tabla devalores.
.
Gráfica.
x Ejemptos
@
»"t"r-inar/(r),fl- z)yflh* 5) paralafunción Dada f
(x) :
+,.
Completar la tabla de va-
lores dada y trazar su gráfica.
I
/
€
e
f(x)
:2x f- t.
Paraf 1):
f(t)
:2(1) + I
f(t)
:
z
Parafl-2):
f(-2)
:2(-2) + |
f(-z) :
-z
Paraf(h + 5):
Se remplaza x por 1
en la ecuación dada
5e resuelven las
operaciones indicadas
Se remplaza x por -
2
en la ecuación dada
Se resuelven ias operactones.
ix
lv
"-
t
-) -)--/
La tabla se completa remplazando los valores de x
dados en la función y realizando las operaciones
indicadas.
Primero, se remplaza para x - -7,
es decir:
Í(-.7\: -7 + I
- -6 :
-)
,t tt--r
3 3
Entonces,
T
:
-2
es el primer valor en la tabla de
valores. Así, se obtiene que:
-7-1
2 5
-2
0 l 2
Luego, se ubican las parejas ordenadas en el plano
cartesiano y como el dominio de la función son
todos los números reales, se unen todos los pun-
tos con una recta, con lo cual la representación
gráfica es:
f(h+s):2(h+s)+1
f(h+s):2h*10+1
fh+s):2h+rt
Se remplazo x
porh+5
Se aplica la propiedad
distributiva
Se suma.
Ouao. A :
{1, 2,3, 4,s} y B :
{0, 3, 8,15,24}
determinar una expresión algebraica para
f:A-+8.
En A se tienen los cinco primeros números natura-
les diferentes de 0 y cada elemento de B es el cua-
drado de un elemento de A menos 1. Por tanto, la
expresión algebraica que representa la función es:
f(n)
:
n2 - l,donde,l c M n < 5y n * 0.
ae
lo
santillana
-7-l
2 5
o
o

44. Está ndar: pe n sa m i e nto va r t a c t o n a I
nento
:ibe el
envía
forma
:onces
epen-
de va-
abla de
Consulta cuál o cuáles fueron los primeros mate-
máticos en usar la notación usual de función y en
qué trabajo lo hicieron.
Determina si el enunciado es falso o verdadero.
Justifica tu respuesta.
a. La relación R :
1@, b), (b, c), (c, d), (d, a)| es
una función.
b. Una función J
es una regla que asigna a cada
elemento de ¡ de un conjunto A exactamente
un elemento f(x)
de un conjunto,B.
Toda relación es una función.
Toda función es una relación.
Algunas relaciones son funciones.
La relación R :
{(o, a),
(.b, b), (c, c)} no es fun-
ción.
g. Algunas funciones son relaciones.
c.
d.
e.
f.
Expresa la regla dada en forma de función. Por
ejemplo, la regla "multiplicar un número x por 5 y
luego restarle 7" se expresa comoflx) : 5x -
7.
a. Elevar x al cuadrado
1,
luego sumar 1.
b. La raíz cuadrada de la surna de ¡ y 3 dismi-
nuida en 3.
El cubo del producto entre x y -2.
El cuadrado de la dif'erencia entre 9 y - r.
La diferencia de cuadrados entre I y -x,
El cociente entre 5 y x.
El producto entre -2
y el opuesto de x.
c.
d.
e.
f.
o
b'
I
Expresa con palabras cada una de las siguientes
funciones. Luego, grafica cada función.
a. f(x) - x
b.g("):xt1
c. h(x): (r + 1)2
d. l(x) :x2+l
e. j(x): sx 3
f. ktxl: ax
r
J
g. l(x) :2 r
1
h. m(x) : v-z
i. n(x) - 3
).
o(x) : *t
k.p(r):1-x3
l. q(*): (1 - r)r
m. r(x) :2x I I
p.
Recupero informcciónr 1
Identifica cuál de las gráficas representa una fun-
Soluciono
ecuación o(x) :
Ex, donde E es una constante de
proporcionalidad llamada módulo de elasticidad,
dado en pascales, o es el esfuerzo en pascales y x
es la deformación.
a. Si se tiene una barra de aluminio tal que
(E : 7 X 10e Pa) sometida a un esfuerzo de
120 X 106 Pa,
¿cuál
es su deformación?
b. Si la deformación es r : 0,00252,
¿a
qué es-
fuerzo se sometió?
c. Si se cambia el material pero se sabe que
o : 130 X 106 Pa yx :
0,00098, ¿cuál
es el
r.alor de E?
Un tanque cilíndrico con un orificio en el fondo
inicialmente con 200 litros de agua se desocupa de
acuerdo con la ecuación V(f) :
200 -
kt, donde V
i
es el volumen en litros y f es el tiempo en minutos.
Si después de 10 minutos en el tanque quedan 150
litros,
¿cuál
es el valor de k?
El área de un cuadrado de lado I está dado por
A(L) - L2.
a.
¿Cuál es el valor del área para cuadrados de
ladol:1m,L:3m?.
b. Si el área del cuadrado es 37 m2,
¿cuál
es el lado
de dicho cuadrado?
La diagonal D de un cuadrado inscrito en una cir-
cunferencia de radio r rs D(r) : 2nlir. Si el radio
de la circunferencia es 20 cm.
oSantillana
143
La relación lineal entre el esfuerzo y la deforma-
a.
¿Cuál
es el valor del lado del cuadrado?
b.
¿Cuái
es su área?

45. Dominio y rongo de uno función
El dominio de una función f es el conjunto formado por las primeras componentes de
las parejas de la función. Se simboliza Dom f
EI rango de una función f es el conjunto formado por las segundas componentes de las
parejas de la función f Se simboliza Ron f
EI dominio y el rango determinan el subconjunto del plano cartesiano que está ocu-
pado por la gráfrca de la función.
Para encontrar el dominio de una función se despeja la variable
7
y se buscan las res-
tricciones que tiene x. Del mismo modo para encontrar el rango se despeja la variable
x y se buscan las restricciones de
7.
It Ejemptos
Analizar las funciones representadas en las siguientes gráficas. Luego, determinar
su dominio y rango.
La gráfica de la función y :
x2 -
5 está definida para
todos los valores de x, por tanto, Domrf: R. En el eje
y la gráfrca solo toma valores desde -
5 hasta + oo, por
tanto, Ran/: [-S, +..¡.
Lagráfrcade la función I
:
x3, está definida para todos
los valores de x y de
7,
por tanto:
Domg: RyRang: R
La gráfica de la funció n y - 1 -
no está definida
' x*-l
para x - -1,
puesto que el denominador x -l 1 debe
ser diferente de cero, por tanto, Dom h : R - {- 1}.
Ran h : R - {0} puesto que 0 no es imagen de ningún
elemento del dominio.
aa
losantillana
t¡

46. a para
r el eje
1:, por
r todos
lefinida
1 debe
{-1}
ningún
laminia y rGngü de funeianes poÉinómiees
- :¿ funciónl'R --> R, de la forma/(x) :
a,,x" I a,, )x"
r + ... I arx l ar,, de
nde a* e R, a,, * 0 y n e N, recibe el nombre de función polinómica.
'-':¿
función polinómica está defrnida para todo número real, por tanto, su dominio
., -,. Su rango es un subconjunto de [t, que normalmente corresponde a un interr.a]o.
Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones polinómicas:
t f(x):
3x I2
..a función polinómica es.de grado uno. En particular es una función afín. Por
..-ito, Dom/: R.
--. despejar x, se obtiene,
,,
_ ,
3
- ,-e corresponde a un polinomio de grado uno en la variable ¡,
así: Ran/: LR.
¡ g(¡) :
x3 + 2x2
-
¡,a es una función cúbica o polinomio cie grado tres,
1.
a1 no poseer restricciones en
, r'¿rriable x, se tiene que:
Domg: R
-
l este caso, despejar explicitamente r, en términos de ¡
no es posible, así que resulta
, i-rr-eniente trazar la gráfica de la función para determinar su rango (figr-rra 1 ).
--- ¿rnalizar la gráfica de la función y :
x3 -f
2x2 se concluye que Ran g :
R.
:, Hallar el dominio y el rango de la función cuadrática h(x) :
x2 + 5x * 6. Luego,
trazar la gráfica.
-
.,mo
/r(¡) es una función cuadrática, su representación en el plano es Lrna parábola.
-.ego, Dom h : R,ya que x puede tomar cualquier valor de R.
-
rango de la función se puede hallar en forma algebraica así:
h(x):*+sx+6
l:x2-f 5x-l 6
'/o que h(x) - Y
: x2 t t" * (+)' * u -(+)' secomptetaetcuadrado
t 1,,
146
):|,"-i,)
2s
. 2\'-.. 116
5) ', 25
Se foctoriza
-- 2
--
5
2*
5
146 >,6 ,i
25
..
-
146
'25
5e despeja x
5e analtza
t46
25
t16
25
Como
7 -
oSantiiiana
145
Está n dar: pe n s a m t e ntc
t ¡a ri a ci o n a I
i ocu-
1S res-
riable
mlnar
Figura 1

47. Dominio y rongo de funciones
con olguno restricción
Existen ciertas restricciones que se deben hacer tanto en el dominio como en el rango
de una función, para que ella quede bien definida. Estas restricciones dependen del
lugar que ocupe Ia variable dentro de la ecuación dada. Las siguientes son algunas
consideraciones que se deben tener presentes en el momento de restringir el dominio
de una función.
.
El denominador de las expresiones racionales no puede ser igual a cero.
.
Las expresiones con radicales cuyo índice es par no pueden contener cantidades
subradicales negativas.
.
Los logaritmos solo están definidos para cantidades positivas.
v2+l
2
ll Ejemptos
Dom /
:
[+,*"")
Ran-f : P+
b. h(x) -
2
x-3
Como el denominador de la expresión racional debe ser diferente de cero se
tiene que:
x-3:0
x:3
Domft:R-1
_2
x---1-)
/
Ranh:R-i0)
c. i(x): Log k -
a)
Como los logaritmos están definidos para valores positivos, se realiza:
x-4>0
x)r 4
Doml: (4, +*;
x: ljY * 4
Rani: P
@
U"m, el dominio y el rango de las siguientes funciones.
a. f (x):
'lr. - |
Como las cantidades subradicales de raíces con índice par deben ser positivas o
cero se tiene que:
2x-l>-0
x=L
2
I
a6
|
o santillana
Se plantea la ecuación.
Se resuelve la ecuación Por tanto x no puede tomar el valor 3.
Se despeja x para determinar el rango. Así, y * 0.
Se plantea y despeja la inecuación.
5e determinan los valores en los que x no estó restringida
5e despeja x para deterninar las restricciones de y.
Se determinan los valores en los que y está definida

48. go
lel
ias
rio
@
O"t.r-inar el dominio y el rango de cada función. Luego, trazarla gráfica.
a. f(x):;)
Como x2 - 9: 0 cuando x: 3 o x: -3,
entonces, la funciónfx) no está de-
finida en estos valores, por lo tanto, Domrf: R - {3, -3}.
La función tiene una asíntota vertical ert x: 3 y otra en r :
-3.
Para hallar el
rango se despeja xen /: t'8 ^
.
' xt -9'
Entonces x : t^E;, se resuelve
18 + 9y
> 0 utilizando la forma gráfica
!r v
para solucionar desigualdades.
t8-t9y:s yy:g
-18 1
L,g
18+9y
v
(rs + s7)
v
Domg: (0, +cc¡,
Rang: R
-L
_ 18*9v
Como
'- - /
z 0 entonces, la solución de la desigualdad es (-* , -2)
O (0, cc;.
v
Por Io tanto, Ran/: F{ -
(-2,0)
La gráfi,ca deflx) es:
b. g(r) :Logrx
La función g(x) :
Log., x está definida para los valores de x tales que x ) 0 por
tanto Domg: (0, -).
Como y :
LoEz x, para despejar x se utiliza Ia función exponencial , asi x :
?) ,
entonces, y puede tomar cualquier valor, así, Ran g : R.
La gráfi,ca de g(r) es:
#-4++
-\
osantillana
|
47
les
ose
3.
ISO

49. -'ér'
á'
Q
O","r-ina el dominio y el rango de cada una de
las siguientes funciones.
a. f(x)
:3
h.f (x): -l
(x-1)
f Q): Jib. f(x)
: x
c. f(x):x
t
d. f(x)
:
Yz
e. f(x)- .l'
x-11
f f(r):x+r
g. f(*):
r
x
1.
1. m(x): J x') + 4
n. g(x) :
1T -
x')
j. sQ):
k. h(x):
m. /(x)
:
o
b'
h.
i.
q(x): (r -
x)2
f(*): JL - .
8(x):
xz
I
l\x): _
^
I
ol v I :
ó\/,/
(x _
1),
' @
Realiz a la gráfica de las siguientes funciones.
I Luego, determina el rango.
b. m(x) :3
c' sQ): J;
d. h(x¡ :
*z
e. t(x):1-*
;:
(B observa la siguiente gráfica.
Verifica que Ia función que la define es
h(*):;+,
Determina el dominio y el rango de la función.
aB
losantillana
DonTinio y rango de funciones
Soluciono problemos
i:
Lafiterza eléctrica entre dos cargas
%y ezsepara-
ii
klo.o.l
das unadistancia res Ftr¡ :
;.
Teniendo en
cuenta que k es una constante positiva, determina
el dominio y el rango de F.
la entrada es $12.000; la asistencia promedio en
juegos recientes es de 11.000 personas. Una enti- '
dad realizó una investigación la cual concluyó que
si se reduce en $1.000 pesos el valor de la entrada,
Ia asistencia promedio aumentará en 500 personas. ,
a. Determina una expresión para el precio de la
entrada en función del número de asistentes al
coliseo.
b. Indica el dominio y el rango de dicha función.
;i
En un parqueadero del norte de Bogotá aparece el il
siguiente anuncio.
::
Hora: $2.000
Cuarto cle hora o fracción arlicional: S55O
Más cle 7 horas y menos de 24 horas: $74.000
a. Determina la función del costo de parqueo en
términos del tiempo.LgrrrrrlIU¡ usr Lrglrryu.
b. Halla es el dominio y el rango de dicha función.
La capacidad aproximada de un coliseo es 15.000
personas. Actualmente se está realizando allí el
campeonato de clubes de baloncesto y el valor de
Ir
i
;,
En Puerto López (Meta), un agricultor desea divi-
,
dir un terreno rectangular como se muestra en la
figura, para la siembra de dos tipos de cultivo.
v
a. Si el agricultor cuenta con 3.000 m de cerca,
determina una expresión para el área cercada
como función de x.
b. Determina el dominio de la función.b.

50. Están d*r: pe n sa m i e ntc vc r i a c i o n a I
ai
'11
it
=r
i ij
-:i
:l
i!
:É
i:
1i
;é
l:
1E
ece el ii
;:
:!
reo en !:
li
rción. li
rs.000 li
lt
allí el i,
tor de i!
lio en !i
.
"rti-
il
::
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ntes al
i1
:l
E:
nción. li
:1
,!
:a clrvr- ::
:!
aenlai!
vo.
i¡
ii
) cerca, ;i
r"..udu ii
11
l:
...ii
Propiedodes
de los funciones
Eunción
inyecfiva
^a
funclón f. A -+ B se dice que es inyectiva o uno a uno, sl no existen dos e ementos
..lntos de A con una misma irragen Es decir, si x-, x. e A son tales que x * x., entonces,
+ fg.r)
r .ontinuación, se representan una función inyect-iva y una no inyectiva con diagra-
:--as de flechas.
-n Ise observ¿ que e ementos diferentes de
lominio poseen máqenes dlferentes en e co
lominlo
L¿ función q no es inyectiva y¿ que posee e e
me¡tos diferentes del dominio; en este t¿s0 . y
d, poseen l¿ misma imagen,3
?.rra comprobar si una función/es inyectiva cuando está representada en el plano
,lrtesiano, se trazan rectas paralelas al eje x y estas deben cortar la gráfica de/en un
-nico punto.
1{ §e &*s
Indicar cuáles de las siguientes gráficas representan
lunciones inyectivas.
:1.
La función y : t[-+ Z corresponde a una función
-nvectiva puesto que cacla recta paralela al eje .r que
¡orta la gráfica lo hace en un único punto.
La función1 : x) -
3 no es una función invecti'u,a, pr-res
el elenrento 1 del rango es imagen de -2y2.
f función inyectiva q: función no nyect va
oSantiilana
I
l*3
v
J
r) x 3
b
a
x
v
g()=x'

51. f
A /----=r
B
fes un¿ función sobreyectiva, dado que cada
elemento del codomrnio de fes imagen de algún
elemento del dominio de I
o
ó
A /--=---
B
: 4 n, es un¿ función sobreyectiva, dado que
:
2 e Cod q, pero n0 es rm¿gen de ningún ele-
: mento de,4
h(x) : 2'
x: Logry
y>0
Ranh: (0, +*¡
Función dada.
Se despeja x para
encontrar el rango
Se determinan los valores
que puede tamar y.
5e determina el rango
de la función
Luego, la función h(x) : 2'no es sobreyectiva
puesCodh*Ranh.
x Ejempl,os
Encontrar eI rango de cada una de las siguientes
funciones y determinar si son funciones sobre-
yectivas o no.
a. f R -+ Rtalque/(r) : x * 2.
f(x):x+2
Funcióndada.
x:/-2
Se despeja x para
determinar el rango
Ran/: P
Así, la funciónfx) : x I 2 es sobreyectiva ya que
Cod/: Purr¡
b. ft: R -+ R tal que h(x) :
2*.
Función sobreyect¡vo
Una función f: A--> B se dice que es sobreyectiva, si cada elemento del rango es imagen
de algún elemento del dominio. Es decir, fes sobreyectiva si Cod f :
Ran f
Los siguientes diagramas de flechas muestran claramente una función sobreyectiva
y una que no Io es.
^
Qi
Graficar la función
lR-+[0,r)
x-+x2
Luego, determinar si es o no una función sobre-
yectiva.
La gráfrca de la función es:
v
\ t,
)
x
La función/es sobreyectiva si el rango de la fun-
ción es igual al codominio, entonces, si se despeja
x en Ia expresión y: xz se tiene que r:4y .
Luego, y > 0, entonces, Ran/: [0, -), por tanto,
f(x)
es sobreyectiva porque el rango es igual al
codominio.
50losantillana

52. Función biyectivo
Unafunción f.A-+B sedicequeesbiyectiva,si ysóosi fesinyectivaysobreyectiva,
Las funciones biyectivas también se conocen con el nombre de correspondencias
uno a uno, pues cada elemento del rango debe ser imagen de un único elemento del
dominio. Para que esto sea posible, la cantidad de elementos del dominio y el codo-
minio deben ser iguales.
Los siguientes diagramas de flechas muestran una función biyectiva y una que no lo
P(
fes inyectrva y sobreyectiva, por tanto, fes bi-
yecti\/a.
o
5
A/-=-> B
Dado que q no es sobreyectiv¿, entonces, q n0 es
una función biyeoiva.
@r"
siguiente gráfica describe la producción de
papa en dos fincas distintas de una región.
Determinar cuál de las dos gráficas describe una
función sobreyectiva y cuál no en el intervalo
ll, 12). fustifica la respuesta.
Lagráfica de producción de la fincaA describe una
función sobreyectiva, ya que cumple la prueba de
la recta horizontal en el intervalo [1, 12] además,
el rango es igual al codominio [30,60].
La gráfr,ca de producción de la finca B no describe
una función sobreyectiva, ya que no cumple la
prueba de la recta horizontal, por tanto, no es
inyectiva.
:t Ejemp[o
@
Trurur la gráfica de la funciónl R + R tal que
f(*):
x3 + | ydeterminarsicorrespondeauna
función biyectiva.
La gráfr,ca correspondiente a la función
fl*):
x3 + 1es:
Dado que cada recta paralela al eje x corta la
gráfica de/en un único punto, entonces/resulta
inyectiva.
Además, Ran / - R, y Cod /
:
Ran f,
es decir, /
sobreyectiva.
Como /
es inyectiva y sobreyectiva, se concluye
que/es biyectiva.
Finca B
Finca A60
50
40
30
20
10
t23456789101112
Meses
z
I
-1-
I
r fun-
3speJa
ro.
tanto,
;ual
al
o santillana
|
5l
)
iva
a'
b-
c
'----t
---+2
,+3
rbre-

53. Propiedades de Éas funciones
Determina si las gráficas representan funciones
inyectivas, biyectivas o sobreyectivas. ]ustifica tu
respuesta.
a.
i-
f-+- -l
t-H
it
rl
-+--#H
Verifica que las siguientes funciones no son inyec-
tivas. Justifica tu respuesta.
a. f(x)
:2
d.
b. g(x): $ - x4 e.
il @
Determina los valores de las constantes a, b, c y d
para que la función/resulte inyectiva.
a. f (x): ' I
b:
d. f(*)
: af + bx-r c
c+dx
b. f(x): oJi + b* e. flx):
ax
c. f(x)
: 9x-t b
c q(x):(+)' r
r. f(*) -
2
ax
i;
@
Realiza la gráficade una función que satisfaga las i!
siguientes condiciones.
a. Inyectiva y sobreyectiva.
b. Inyectiva pero no sobreyectiva.
Define una función que satisfag a cada una de lus ;i
condiciones.
a. Inyectiva y sobreyectiva.
b. Inyectiva pero no sobreyectiva.
c. Sobreyectiva pero no inyectiva.
d. Ni sobreyectiva ni inyectiva.
Soluciono problemos
El cargo fijo del recibo del acueducto para una
vivienda estrato 3 en la ciudad de Medellín es
$19.000, aproximadamente y el valor de un metro
cúbico de agua es $2.211. Determina la función de
costo en términos de la cantidad x, de metros cú-
bicos de agua consumidos. Demuestra que dicha
función es uno a uno pero no sobreyectiva.
La función para el momento flexionante para una
viga simple AB que soporta una carga uniforme "
' rl
con intensidad
4,
como se muestra en la figura,
está dado por M(x):
+
- +,
dond. ¿.ri]
Yvtttt\L)22,uvrru
Ia longitud de Ia viga. Si se considera el origen de
coordenadas al punto A. Demuestra que Ia fun-
ción M no es sobreyectiva, ni inyectiva.
L
5Z
I
oSantillana
no sobreyectiva.
b. Grafica la función.
El área aproximada de la superficie de un tumor
canceroso de radio r está dado por: A(r) : 4rr2.
i
a. Demuestra que Ia función A es inyectiu, p"ro ,l
La intensidad de corriente 1a través de una diferen-
cia de potencial constante y entre dos puntos a y b
está dada por I(R) :
d
donde R es una resistencia.
Demuestra que f es inyectiva.
Responde,
¿qué significado físico tiene el que
a.
b.

54. Funciones pores e impores
. Unafunciónf A-+B sedicequeespar,siV (x,y) €/setieneque(-x, y)=f
Es decir,fr) :
f(-x).
Si una función es par su gráfrca es simétrica con respecto al eje y.
.
Una funciónf A -+ B se dice que es impar, si V (x, y) e f
se tiene que (-x, -y)
€l Es decir,f(-x) :
f(-*).
Si una función es impar su gráfica es simétrica con respecto al origen del plano
cartesiano. Este hecho se verifi.ca fácilmente reflejando/(x) con respecto al eje y y
posteriormente, con respecto aI eje x.
?or ejemplo, la función coseno es una función par, pues es simétrica con respecto al
-je y y Ia función seno es impar pues es simétrica con respecto al origen.
)
il
l¡
Función par
i una
ín es
netro
ón de
rs cú-
dicha
'a una
lorme
igura,
eles
len
de
r fun-
tumor
4tr2.
a pero
iferen-
>sayb
itencla.
Funciones crec¡entes y decrecientes
{t
Función decreciente
Función per¡ódico
. Una función f
A -+ B es periódica, si /(x)
:
flx
-l P), es decir, si las imágenes
se repiten después de que Ia variable independiente recorre un cierto intervalo
regular. La longitud del intervalo P recibe el nombre de período.
La función tangente es periódica y su período es rr ya que tan x :
Ían (x + kn).
Una función f
A -+ B se dice que es creciente en un intervalo I, si Y x' x, e l con
xr 1 xrimplica que/(x,) <
f(*r).
La gráfica muestra una función creciente en el intervalo 1.
Una función
f,
A -+ B se dice que es clecreciente en un intervalo 1, si V x, x, € I con
xr 1 x, se tiene queflx1) >
f(*r).
La gráfrca rnuestra una función creciente en el intervalo 1.
Una función que es creciente en todo su rango se denomina creciente. Si es de-
creciente en todo su rango, simplemente se denomina decreciente.
7.fl:/l
,AI
,t
I
Función creciente
Fiqura 2. Función periódica
osantillana
153
e las
Función impar

55. Propiedades de las funciones
$
Co-pteta cada enunciado.
@
Obr"ru alagráficade Ia función cotangente. Luego,
a.La gráfr,ca de una función par es simétrica con
respecto al
-.
La gráfrca de una función impar es simétrica
con respecto al
Una función inyectiva es estrictamente
-
o
Una función par no puede ser o es-
trictamente
La función f(*)
: x', n e Z+ es par si n es
e impar si n es
La función constante es
-.
La función f(x)
:
es creciente en
(0, *).
La función f(x)
:
es decreciente e
lmPar.
determina su período e indica los intervalos de
crecimiento y decrecimiento.
c.
d.
e.
f.
ú
b'
@
O.,".-ina si las siguientes funciones son pares o
h.
rmPares.
a' flx):3
b. flx):x
c. f(x):
x2 + I
@
O.t"r-ina si el enunciado es falso o verdadero.
a
ó'
h.
1.
i.
k.
l.
f(x):xz
f(x)
:
cos x
f (x):
-t-
x'- x
f(x):J--2
f(x):
(x + 1)
" (x-1)
f(*)
:
sen x -f cos x
Justifica tu respuesta.
a.
b.
c.
d.
e.
Toda función impar es creciente.
Algunas funciones pares son inyectivas.
La función/( x) :
mx * b es decreciente si la (
0.
Si/es creciente entonces es inyectiva.
f(*)
: (t -
¡¡z es par.
d.f G): l-
x
f(x):
x4 - x
f(x):
senx
x Ejemptos
S
Irrdi.", cuáles de las siguientes funciones son
pares o rmpares.
a. f(x):
x2 -
3
f(-*):(-x)2-3
-
--) a
- "(- -
J
Dado queflx) :
f(-x),
entonces,/es par.
b.f(*):x3+x
f(- x) : ( -r)3 + ( -x) Se calcula
:-x3-x
Sesimplifica.
:
-(y3
-l x) :
f(-x)
Dado quefl - x) :
-f(*),
entonces,/es impar.
@
Irrdi."" el intervalo donde la gráfica es creciente
y donde es decreciente.
Creciente en (-m,91.
Decreciente en [0, +m).
Se calcula f(-x).
5e simplifica
5a
I
o santillana

56. Soluciono problemos
@
Obr"rrra la siguient e gráfrcaque muestra la tem-
peratura en una ciudad. Luego, determina si la
afirmación es verdadera o falsa.
a. La temperatura de la ciudad aumentó entre Ias
8 a.m. y las 12 m.
b. La temperatura de la ciudad disminuyó entre
las 5 a.m. ylas 7 a.m.
c. La temperatura de la ciudad ni subió ni bajó
entre las 3 a.m. y las 4 a.m.
@
Ur" de las ecuaciones que permite describir el
movimiento con aceleración constante a lo largo
de una recta está dada por: x(t) :
vot i !at2;
2
donde x(f) representa Ia distancia recorrida por
una partícula en un tiempo f, /o es la velocidad
inicial de la partículay a es la aceleración.
a. Verifica que si a ) 0, entonces, la función x(f)
es decreciente en (-co,
-vol
a) y creciente en
(-vola, +a).
b. Determina que si v, : 0, entonces, Ia función
x(r) es par.
c. Verifica que si a (
0, x crece en (-*,
-
vol a) y
decrece en (- v
rl
a, -f a).
O
t, arco de un sector circular está dado por
A(r):
ir'r,
donde r es el radio y 0 el ángulo
comprendido entre los dos rayos.
Verifica que la función A
ciente en (0, +-¡.
OC
20
16
t2
8
4
osantillana
|
55
es par, y también cre-
GÉ
rq de Poiseuille. El médico de Poiseuille descu-
brió que la velocidad de Ia sangre en (cm/s) a r
centímetros del eje central de una arteria está dada
por:
v(r):k(R2-P)
rl v
donde k es una constante v R es el radio de Ia arte-
rra.
a. Verifica que v(r) es una función par decreciente
en (0, +:c¡.
b. Determina a qué distancia del eje de la arteria
la velocidad de la sangre es máxima.
En el año 2006 un automóvil de gama media tenía
un valor de $44.000.000. Actualmente este auto-
móvil tiene un valor en el mercado de $30.000.000.
Suponiendo que el automóvil se deprecia en forma
lineal, es decir,
P(t):kr+44.ooo.ooo
donde f es el tiempo en años y P el valor en el
tiempo /.
2006 2007 2008 ...
a. Determina el valor de la constante k.
b. Verifica que la función de proporcionalidad P
es decreciente.
c. Responde,
¿cuál fue el valor del automóvil en el
año 2008?
d. Determina en qué año el automóvil tendrá un
valor de $22.000.000.
e.
¿Qué
valor tendrá el automóvil en el20L2?
Están dor: pe n sam i e nto vari aci o n al
€go'
sde
ares o
44.000.000

57. Closificoción
de los funciones
Las funciones reales se clasifican en: funciones polinómicas, funciones racionales,
funciones radicales, funciones trascendentes y funciones especiales.
Funciones polinómicos
Una función polinómica es aquella que tiene la forma
f(x)
: anx' * ar-
rxn-
1 + ... * arx I ao
con an* 0, n e Z* ya € R V
¡
: 0, 1,2,3, ... n.
El dominio de una función polinómica es el conjunto R y el rango es R o un intervalo
de R.
Algunas funciones polinómicas son la función constante, la función afinylafunción
cuadrática.
Función constonte
Toda función de la forma f(x) :
k, donde k € R, reclbe el nombre de función constante
La gráfr,ca de una función constante es una recta paralela al eje x (figura 3).
Si/es una función constante, se tiene que: Dom/: R y Ran/: {k}.
Por ejemplo,la función/( *¡ :
i
es una función constante, además, Dom/: R y
Ran r : {l}.
' lql
Función ofín
Toda función de la forma f(x) : .r + b, donde m, b e R y m * 0, recibe el nombre de
función afín.
La gráfrca de una función afín corresponde a una línea recta.
El valor m eslapendiente de Ia recta (si m > 0 la función es creciente y si m < 0 Ia
función es decreciente). El valor b es el punto de intersección de la recta con el eje
7.
Si/es una función afín, entonces, Dom/: R y Ran/: R (figura 4).
Cuando en la función anterior b :
O,la función recibe el nombre de función lineal.
Su gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano. En símbolos una
función lineal es una función de la forma/( x) : mx con m * 0.
Por ejemplo, la funciónflx) : 2x t I es una función afín, su dominio Dom/: R y
Ran/: R, por otro lado, g(x) :
-8x
es una función lineal con Dom g :
R y Ran
g: R.
55
Figura 4
@ Santiliana
/
frak
K
Figura 3

58. rvalo
nc10n
m 1lla
rn el eje 7'
ión lineal.
üolos una
rm/: RY
= fryRan
.
Si a ) 0, Ran/:
Función cuodrótico
Jnafunción de la forma f(x): or' * bx * c, donde a,b,ce Ryc 10, recibe e nombre
Je función cuadrática.
, na función cuadrática se puede escribir en la forma/(x) :
a(x -
h)2 + k, donde (h, k)
-orresponden a las coordenadas del vértice y a * 0.
-a
gráfica de una función cuadrática recibe el nombre de
parábola.
:i r'értice de la parábola cuya ecuación es y : aP -l bx -l
c
.e encuentra ubicado en el punro, :
(-
+,
t(-+))
'-
el sentido hacia donde abre la parábola está determinado
:or el signo de a, esto es: si a > 0 la parábola abre hacia
.:riba y si a (
0 la parábola abre hacia abajo.
:-_f es una función cuadrática, Dom/: R y su rango está
-:terminado
así:
. Sia<0Ran/:
ItEjempto
Fncontrar el vértice, el dominio y el rango de la
frnciónflr) : 3x2 'f 6x - l.Trtzat su gráfica co-
rrespondiente.
Primero, se remplazan a :
3 y b : 6, para hallar la
coordenada en x del vértice.
_b __ 6 :_i
2q 2(3)
Segundo, se halla la imagen de -
1.
f(-tl:3(-1)2+6(-1)-1
:3(1)-6-r
:-4
Irrego, el vértice queda ubicado enV : (- 1, -4).
Puesto que 3 ) 0 la parábola abre hacia arriba.
Hnalmente, se hallan las raíces def(x) :
3xz I 6x - l,
hs cuales se determinan resolviendo la ecuación cua-
drática 3x2 + 6x -
1 - 0, utilizando la fórmula cua-
drática.
Como a:3,b - 6y c: -
1, entonces,
_o _r
r@r 413¡11
La gráfica de la fi,rnción es:
-b t J5'- 4o,
¿'J
-6
+
^l4B -3
-r 2J,
'"63
En la función
fA):oxt'fbx*c
.5ió:0,r:0,
lapa
rábola tiene vértice en el
0 ngen.
.
5i b :
0y c * 0, el vértice
de la parábola es (0, c).
. Sib+0yc*0lapará
bol¿ tiene vértice (h, c) ya
que se tiene
f(x): o(x -
h)2 + k.
g
f : RY
x:
2a
osantillana
157
Estú nda r: pe n sam i e nto va ri aci o n a I
rles,
\
RECUERDA OUE...

59. Funciones rocionoles
Una función f es función racional si
Q(x) + 0
f (x)
=
a/)'
donde P(x) y Q(x) son polinomios y
Q(x)
El dominio de/está dado por todos los números reales excepto los ceros del polino-
mio que está en el denominador.
Por ejemplo,las funciones /(x) = --l ^
y h(x) : *',*
?
son funciones raciona-
' x-2 x'-8
les y sus dominios son Domrf: R - {2} y Dom h: R respectivamente. El rango de
una función racional se puede determinar al lrazar su gráfica.
Gréfico de uno función rocionol
Para trazar la gráfica de una función racional se deberi seguir los siguientes pasos.
. Primero, se determinan las raíces o ceros del numerador y del denominador, es
decir, los valores de x para los cuales la función/(x) :
0 y
flx)
no está definida.
.
Segundo, se hallan las asíntotas verticales si existen. Teniendo en cuenta que: si
, es un cero del denominador, entonces la gráfi,ca de la función tiene una asíntota
vertical en rú :
a, siempre y cuando el numerador y el denominador de la función
racional no tengan un factor común.
La recta x: a es una asíntota vertical de la gráfica de una función racionalf si
f(x)
crece o decrece indefinidamente cuando los valores de x se acercan a a porla
izquierda o por la derecha.
. Tercero, se halla el intercepto con el eje y, es decir se hallafl0).
.
Cuarto, se halla la asíntota horizontal si existe.
En una función racional/definida por:
a,xn I an
- rxn
- 1
+.., I arx * ao
:
P(*)
Q(¡)
f(*) :
b,,,x' I bn,
- tx''.
t
+ ... -l brx I bo
Se puede afirmar que:
Si n (
14, entonces, la función/tiene una asíntota horizontal en la recta y: 0
(eje x).
Si n : rz, entonces, la función /
tiene una asíntota horizontal en la recta
a_.
v
-
-.
,
b,,
Si n > D, entonces, la función/no tiene asíntota horizontal.
La recta y :
c es una asíntota horizontal de la gráfica de la función racionalf si
íx)
se acerca a c cuando los valores de x crecen o decrecen.
Quinto, se hace una tabla de valores para obtener los puntos suficientes y garan-
tizar un buJn bosquejo de la gráfica.
Sexto, se dibujan las asíntotas, se ubican los puntos de la tabla de valores y final-
mente se unen utilizando líneas curvas.
58
losantiitana

60. +e :*- :*=."
á5E ¡ti if-;*
Trazar la gráfica de cada función.
2
x
a. h(x): .
.
x''-4
Primero, se busca donde h(.x) :
0 y h(x) no está defi-
rida.
h(x): ,luego,h(x):0enx:0
(x-2)(x+2)
h(x) no está definida en r :
-2
y x :
2.
>egundo, se determinan las asíntotas, así, las asíntotas
,'erticales son las rectas x :
?y
* :
-2.
Iercero, se calculaflO) para hallar el intercepto con e1
.)e y.
h(o;-,!-:o'ft(o) -o
0- -4
,luarto, ya que el grado del polinomio del numerador
.. 2 y del denominador es 2, entonces, la función tiene
rna asíntota horizontal en la división de los coeficien-
:es de los términos que tienen el exponente 2.
Y-1'-:I'v:l
),'
]uinto, se realiza una tabla de valores con números a
:do y lado de las asíntotas verticales.
-3
1r
- z,)
1a
-
t,)-l
I 1,525 3
r8
1f o
L,/ a
_ 1 f a
-
0,33-
0,33-128
2,78r8
,uego, la gráfica de la función se puede obseryar a
---¡ntinuación.
2
x
Iri
or la
r recta
rnalf, si
Y
garafr-
s y final-
v
I
I
L
I
I
-2 'i x=
osantillana
159
b. f(xt:
31' - 3
.
x) l4
Primero, se determina.f(x) :
0
1, dondeflx) no está
defrnida.
-l
JX
--1
----.- : 0 cuando. : I
) r :
-l
x'll
La gráfica está definida para todo R.
Segundo, se determinan las asíntotas, entonces, no
tiene a¡¡[¡{otas verticales ya que en x2 + 4 :
0 se tiene
x - J=. Este es un valor imaginario.
Tercero, se calcula/(0) ásí:
/(o)
:3(q)'-3:-3
02+4 4
Entonces,
--3
es el y intercepto.
1
Cuarto, se halla la asíntota horizontal.
,y:+:3
1
Luego,
T
:
3 es Ia asíntota horizontal.
Quinto, para dar más precisión a la gráfica se elabora
la tabla de valores.
Luego, se observa que al ser/una función par su gráfica
es simétrica respecto al eje;t.
-4-3-2
2 3 1
9
4
)4
13
o
;
()
o
T
24
t3
C]
4
f(
)x )
\ x
L4)
t-
le
,CS
1.
:: si
iota
:ión
I
/

61. Funciones rodicoles
f(*):
Sexto, se muestra la gráfica de la
El Domg: [3,r) y Rang: [0,
Una función radical es una función que contiene raíces de variables.
Las funciones, /(x)
: lG- , hG):4 + vF + 5 , k(x): -+
y
xlx-2
son funciones radicales, Ia funciónfl n :
+x
no es radical.
z
Para hallar el dominio de una función radical se debe observar el índice dela raiz.
.
Si el índice de la raíz es par se deben eliminar del dominio todos los valores de
x que hacen que el radicando sea negativo, o los que generen restricciones en el
mismo.
.
Si elíndice es impar, Ia función está definidapara todos los reales, excepto los
valores de x que generen restricciones en el radicando.
Gráfico de uno funcién rodEcol
Pararealizar el bosquejo de la gráfica de una función radical se realizan los pasos para
grafrcar las funciones radicales, así:
. Primero, se busca dondeflx) :
0 o donde
f(x)
no está definida.
.
Segundo, se determina si tiene asíntotas verticales, en el caso que también sea
racional.
.
Tercero, se averigua el intercepto con el eje7.
.
Cuarto, se hallan las asíntotas horizontales, en caso de que también sea racional.
.
Quinto, se realiza una tabla de valores para dar más posición a la gráfica.
.
Sexto, se traza la gráfica.
x Ejemptos
Trazar la gráfica de las siguientes funciones. Determinar su dominio y rango.
a. g(x):Jx-3
Primero, se verifica donde g(x) no está definida o g(x) :
0.
En este caso, se necesita que r -
3 > 0, es decir x > 3, luego la función no está de-
finida para x 13.
Para g(x): 0, se tiene J7 - 3 : 0, así el punto (3, 0) pertenece a la función.
Segundo, se determina que la función no tiene asíntotas puesto que es radical.
Tercero, se determina que la función no tiene intercepto con el eje
7,
pues g(0) no
existe.
Cuarto, se determina que la función no tiene asíntotas horizontales porque es radical.
Quinto, dado qu-e/es una función creciente,/toma su valor menor en x:3 y sus
imágenes aumentan en valor al aumentar el valor de la variable independiente x como
se observa en la tabla.
función en la figura 5.
r\
Figura 5
60losantillana
x1-2
x-3
En la radicación se tienen los
siguientes elementos:
in dice
\_
nl-
-
L
\lu
-
u
/\
Radicando Raiz n-ésima
3 4 5 6 7 B
0 I 141173 2 2,23

62. al.
'aí2.
res de
;enel
rto los
os para
rién sea
ango.
o está de-
ón.
ical.
es g(0) no
es radical'
':3ysus
ote 'f como
b. f (i: ili
Primero, dado que el índice de la raíz es impar y el radicando no posee restric-
;iones adicionales, entonces, la función no tiene restricciones. Además VI :
O
cuando x:0.
Segundo, se encuentra que la función no tiene asíntotas verticales.
Tercero, puesto quefl0) :
0 se observa que la función corta al eje y en el punto (0, 0).
Cuarto, se encuentra que la función no tiene asíntotas horizontales.
Quinto, la tabla de valores correspondientes es:
-2-1
0 1 2
-2,25-l
0 1
1 ttr
I
tL),
Sexto, la gráfica de la
)om/: R y al despejar x se obtiene Ia expresión x :
/3,
correspondiente a un poli-
romio de grado tres en la variable
7,
por tanto, Ran/:
p.
c' g(x):
:l índice es par, por tanto, la cantidad subradical debe ser positiva, y además el ra-
:icando corresponde a una función racional, por lo que el denominador debe ser
:iierentedecero, esdeci¡ x * ly
2x i 4
=
o.
' x-l
.\l resolver la desigualdad se obtiene que r > -2
y x * l, pero como x debe ser di-
=rente
de 1 puesto que anula el denorninado¡ entonces,
Domg : (-n,
-2) U (1, +'o¡.
-a
tabla de valores muestra lo que ocurre con las imágenes de la función.
-a
gráfi,ca de la función es:
-\l observar la gráfr,ca se concluye que:
Ran g :10,
J2) u (J1, +rc¡.
-5-3-/
10512 15 2 4 5
1 07 0 11,045,653,742,82 2 187
5-4-3 1 x
o santillana
|
6l
Estándar: pe n s a m i e nto va r i aci o n a I

63. Clasificación de las funciones
/:4x2*8x-16
3y: 5x' - lox
/:l-6x2
a.
3x-4
(x'1 'f 5x * 6)
(2-x)
2x2+5x-3
f @): Ji
g(x): Jt - .
-L
Jlx): x^
d.
e
f. m(x): J(x - 2)(t -
x)
S
Realiza la gráfrca de las siguientes funciones.
Luego, determina su dominio y rango.
a. f(x): 4 c. f(x):
4x -
8
b. f Q): Ji d. g(¡) : l-x
-
L
@
O.t.r-ina el vértice, las raíces, el dominio, el
rango y Ia gráfica de cada una de las siguientes
funciones cuadráticas.
a. y-l:É-l 3x'
b.2y-4x2 l3x:2
c.y+L:(x-J)z
d.
e.
f.
@
t uru l" gráficade las siguientes funciones. Luego,
determina su dominio y rango.
Halla el dominio y trazala gráfica de las siguien-
tes funciones radicales.
b.
§)
O","r-ina si el enunciado es falso o verdadero.
|ustifica tu respuesta.
a. La gráfrca de una función cuadrática siempre
corta al eje x.
b. Toda función racional posee asíntotas vertica-
Ies.
c.
d.
Toda función racional es creciente.
Algunas funciones radicales tienen como do-
minio al conjunto de los números reales.
La función atadrática f(x)
:
ax2 * bx -l
c
tiene raíces reales si y sólo si bz - 4ac: 0.
El vértice de la parábola f(x)
: ax2 -t bx t c
- (
b .( b)
está dado por: v
l-;,
fl-;
))
Toda función radical es creciente.
La función/( x) :
x2 * 4 no tiene ceros racio-
nales.
f.
o
b'
h.
Relaciona cada función con su respectiva gráfi.ca.
h(x): -f'
(x-1)
f(x):r-x2
m(x) : *t
e.
f.
^._1LL
q\x): *
x'-l
p(x):x(x2-+)
S@)--x2+r
d.
b.
c.
Escribe una función que cumpla cada condición.
a. Que su dominio sea [0,
oc).
b. Quetengaasíntotasverticalesr
:
3 y x :
-3.
c. Que tenga asíntota horizontal en y :
4.
d. Que su rango sea (-oo,91.
@
si¡"¡ :
ax2 + bx * c,hallala función/que cum-
pla las siguientes condiciones:
.
El vértice de la gráfica deles (1, t).
. La intersección de la gráfica delcon el ejey es
(0, s).
I
o Santillana6¿
1.
x: -|

64. Ejercito: 1 -2-3-4 KOZOnO:5-O-l"4
4)
x
rfica.
ondición.
y x: -3'
_^
/que
cum-
Soluciono problemos
Un complejo habitacional en una ciudad costera
de Colombia tiene 10 apartamentos de dos habita-
ciones. La ganancia mensual obtenida por la renta
de x apartamentos está dada por la expresión:
p@) :
-20.000* + 3.520.000x +100.000.000
millones de pesos. Responde,
¿cuál
es la miixima
ganancia mensual que se puede obtener?
@
Urru función de utilidad puede modelarse em-
pleando unafunción cuadráficaf(x) :
ax2 + bx -f
c,
donde x es el número de unidades producidas
y vendidas. Si para un articuio determinado
I0,b:1.760y c:
-5.000.
¿Cuál
es la utilidad miíxima?
¿Cuiíntos artículos deben producir y vender
para alcanzar esta utilidad?
¿En
qué intervalos se presentan pérdidas?
La posición de un objeto que se lanza hacia arriba
o hacia abajo con una velocidad inicial u, puede
determinarse a partir de y :
uor - ]gr', donde
2"
ges la aceleración de la gravedad y f es el tiempo. Si
se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con
una velocidad inicial de 7,25 cmls.
c.
Determina la altura máxima alcanzada por el
objeto
Indica el tiempo que tarda en alcanzar dicha
altura.
Realiza Ia gráfica del desplazamiento en fun-
ción del tiempo.
Un tanque cilíndrico con una altura de 20 pies
se liena hasta el tope con agua. Si se hace un
agujero en la parte lateral del tanque, el flujo de
agua que sale del tanque llegará al suelo a una
distancia de x pies de la base del tanque donde
x(d) : 2.1¡@ -4. Realiza una gráfica que
relacione la distancia del agujero del tanque con
la distancia a la base del tanque.
d.
b.
@
elg.rrru, especies de animales se multiplican si-
guiendo ecuaciones de la forma: P(t) :
-g ^
,
/+B
donde cr y p son constantes y P es la población en
el tiempo t.Trazala gráfica de la función P, supón
cr:2.000yp:1.
@
au función para la curva de deflexión de una viga
simple AB de longitud t que soporta una carga uni-
forme de intensidad q, como se muestra en la figura
estádadapor v(x):
ffirt
-
2Lx2 -l x'),don-
de E e l son constantes que dependen del material
v la geometría de Ia viga.
a. Evalúa la deflexión cuando x :
yx: L.
a. Determina el dominio y el rango de cada fun-
ción.
b. Escribe las diferencias entre las gráficas de las
tres funciones.
Realiza una gráfica para resolver la siguiente situa-
ción.
Una fábrica de zapatos pronostica que la venta de
su último modelo de zapatos será
v(x):-2'000r+150'000
donde v(x) es la cantidad de zapatos que puede
vender en un año a un precio x en miles de pesos.
¿Cuánto
debe cobrar la fábrica de zapatos para
obtener los máximos ingresos?
it
it
L3L
44
b. Si x : lverifica
que la deflexión queda de-
2
terminada por yl¿) :
tqt).
.
' '\z)
364E1
o santillana
I
E3
Está nd a r: p e n sa m ¡e nto v a r t aci o n a I
Vmáx
b
)q
,*
)'

65. l\4¿temático y teó1090 escocés Desa
rrolló Ios logaritmos como un método
para simplif,car cálculos numéricos
A«u¿lmerrLe a firc'ór ogarÍtnira
tiene diversas aplicaciones
las leyes de los exponentes
50 n:
An.An:An+n
u-^nl
at
l-n
-
An.r'
\U )
_U
_t
0 :-
a'
Fu nciones traseendentes
Las funciones trascendentes se clasifican en: función exponencial, función logarít-
mica y funciones trigonométricas.
Función exponencisl
Una función de la forma f(x) - o',con d > a y a * l, recibe el nombre de función
exponencial
Las funcion es y : 2' y g(x) : 4 ' 2'son funciones exponenciales'
La función exponencial tiene las siguientes características:
EI dominio es el conjunto de los núme-
ros reales, es decir,
Dom/: R.
EI rango es el conjunto de los números
reales positivos, es decir,
Ran/: ffi+ : (0, tcc).
Si 0 < a I l,;[ es una función decre-
ciente.
Si a > 1,/es una funqión creciente.
El punto de corte con el eje y es el punto
(0, 1), puesfl0) :
ao :
1.
La función pasa por el punto (1, a), dado
qtuear: a.
Función logoritmico
Una función de la forma f(x) :
Logox, cor a > 0y a * l, recibe el nombre de función
logarítmica
Las funciones y : Logrxy y : Log4x son funciones logarítmicas.
La función logarítmica tiene Ias siguientes características:
EI dominio es el conjunto de los números
reales positivos, es decir,
Dom/: Rt : (0, +'"¡.
El rango es el conjunto de los números
reales, es decir, Ran/: R.
Si 0 < a ( 1,/es una función decreciente.
Si a ) l,/es una función creciente.
El punto de corte con el eje x es el punto
(1,0), ya que Log, 1 :
0.
La función pasa por el punto (a, l) por-
que Logo a: l.
L
I
F
L
I
r
ii
Il
I
\ LIiti
0<a<1\
'1.-
]
T
li
t--T-
I
+
6a
I
osantillana

66. Fu nciones friganon:eirieas
:1 siguiente cuadro resume las principales caracteristicas de las funciones trigono-
métricas.
f(x) :
sen x R tl,tl/| mpar
f(x) :
cos x R t-1,11 1| Par
f(x) - tan x*-{Í,r- ).-.0} R 'ti Creciente impar
f(x) : ,t,
^
R {k¡t keZ} R-(-r r) 2n mpar
f(x) :
sec x*-{i, -)L).-.r}R -
(-1, r) 2n Par
f(x) :
cot x R {kn ke Z'¡ R Decreciente mpar
-
-.-s gráficas de las funciones trigonométricas se muestran a continuación.
v
I
tr.tr
)
I
\V
/
/:
sen,ú
,Y:COS,Ú
v: tanJÚ
v
T x
i i
oSant¡llana i65
I
v
Íx
\
,': secr

67. @
O.r..-ina la veracidad de cada una de las siguien-
tes proposiciones. fustifica tu respuesta.
a. La gráfica de la función g@) :
Log x no tiene
cortes con el eje r.
b. La funciórf(x) : e-'es decreciente.
c. EI período de la función q(x) : cos 2x es
T_ _
I
-',¡¡.
d. El rango de la función f(x)
:
2x + | es el inter-
valo (1, +m;.
e. La funcióng(x) :
sen2x es impar.
f. La funciónf(x) :
-ln
x es creciente.
g. f(x):
sen r * cos x es par.
Soluciono problemos
Q}
r" pastel que se encontraba en un horno a una
temperatura de 300
oF
se va enfriando a medida
que transcurre el tiempo. Su temperatura en el
instante f está dada por 7(f) : 70 I cekt donde c
y k son constantes por determinar. Si después de 3
minutos la temperatura del pastel es 200 'F.
a.
¿Cuál
es el valor de cy k?.
b.
¿Cuánto tiempo transcurre hasta que Ia tempe-
ratura del pastel es de 150'F?
c.
¿Cuál
es la gráfica de la función T?
El modelo que describe la propagación de un virus
f días después de que la primera persona fue in-
fectada, está dado por Q(r)
:
;-j -
, donde
I -f
]3,¿-*'
o, B y k son constantes positiyas que se van a
determinar, I Q es el número de individuos con-
tagiados después de f días. Determinar el número
de individuos contagiados después del décimo
día, si se sabe que en el sexto día había 30 indivi-
duos contagiados y suponiendo que ct :
4.000 y
B :
1.ooo.
€l
tu ecuación del nivel de intensidad del sonido re-
lativo, oniveldecibel (9) es: B(1)
:
10 Log (+)
en donde 1o : 10-tz W/m2, I es la intensidad de
sonido dada en Wlm2.
Determina los niveles de intensidad de sonido
B,
cuando I : l0-t2Wlm2,1 : 5 X 10-6W/m2.
@
O.t.r-ina los intervalos de crecimiento y de
siguientes funciones trigo-
c. y:secx
d. y: cotx
@
Realiza lo que se indica para Ia fun cíónf(x) : 2x-
|
a. Completa la siguiente tabla de valores.
b. Realiza la gráfrca de la función.
c. Escribe el dominio y el rango de la función.
@
Realiza lo que se indica para la fun cióny : 4 sen2x.
a. Completa la tabla de valores.
@
Obr".rra las gráficas de las funciones trigonomé-
tricas de la página 65. Luego, indica cuáles son las
asíntotas de las siguientes gráficas.
c. y: secx
d. y:cscx
a. y: tanx
b. y: cotx
decrecimiento de las
nométricas.
: senf
:
cos,Ú
b.
c.
a,y
b.y
i;l
,-r-l
@
O.r.r-ina el dominio y el rango de cad.a una de
las siguientes funciones. Traza su gráfica.
a. f(x): lnx f. h(x): Lorr(+#)
b. g(r) : ln (1 - x)
E. t(x): 2 sen (2x - r)
c. s(x) : (r)z- x
h. r(x): -r(f - ,)
d. q(x) :3d i. q(x): (+)'
e. m(x): -(+)'-' ,. f ,*r: (+)'-' * ,
-2-1
0 I 2 3
_TT_ft
2
_Tt
J
0
ft
4
Ti
3
'¡¡
,
66losantillana
Actividodes

68. Funciones especioles
-as
principales funciones especiales son:
función
a trozos,
función
valor absoluto y
-:tnción pqrte entera.
Función o lrozos
-.lna función formada por a unión de dos o más funciones, cada una de e as definida
:n interva os disyuntos, recil¡e e nombre de función segmentada o función a trozos
-
a gráfi,ca de estas funciones está compuesta por los trozos de gráfica de cada una de
:s funciones componentes. El dominio de la función es Ia unión de los dominios de
--¿da una de las funciones c.omponentes.
tn
general, una función a trozos se define como:
f(*) :
fr(x) six€1,
t^,., sir€1,
f r@)
si x c 1r,.
-onde
1, n 12 n ... O 1* :
A, es decir, Ios intervalos no poseen elementos comunes.
a una
nedida
lenel
[onde c
rés de 3
l.
.temPe-
un vlrus
a fue in-
-, donde
se van a
luos con-
,l número
,l décimo
30 indivi-
: 4.000 y
e sonido B,
s
W/mz.
r-;l
'rJ= -)
r;l
t-y
f
dominio y el rango.
La gráfica de la función/está compuesta por los
trozos de gráfica de cada una de las funciones que
la componen. Es importante tener en cuenta los
extremos de los intervalos a los que está, restrin-
gida, cada una de las funciones componentes.
Para el intervalo l-4, -2)
se realiza la tabla de
valores con la funciónfr) : 4x I 11, así:
Luego, se dibuja el plano cartesiano y se grafica
la función de acuerdo con las funciones que la
comPonen.
La gráfica es:
Luego, Dom/: l-4, -2) U l-2,21 U (2, 5l :
[-4, 5] y Ran/: [- 5, 4].
@
O"t"r-inar los valores indicados, teniendo en
cuenta la función anterior.
a.f0)
Dado que x :
0 pertenece al intervalo en el que
está restringida la segunda función componente,
l0)
se determinapor:/(0) :
02 :
0.
b. fl+)
Ya que 4 e (2,5], es deci¡ 4 está en el dominio de
la tercera función componente, entonces,fl4) :
3.
-4-3-2
-(
3
Para el intervalo l-2,2) se realiza la tabla de valo-
res con la funciónfl x) : *, así:
Para el intervalo (2, 5) se realizala tabla de valores
conf(x): 3, así:
2 3 4 5
3 3
)
J
)
)
3€
§emp{os
@
Trur", la gráfica de la función. Determinar el
-2
I 0 l 2
4 I 0 I 2
. '-a
5¡.r:¡il¡nd
i
O /

69. Función volor obsoluto
La funclón valor absoluto es un caso particular de las funciones a trozos Esta funclón
asigna a cada elemento del domlnio su valor absoluto, y está definida por:
r
f(xt:lx.:1
sii>o
L x sx(0
r(*)
:1, _
rl * 3 :
{t,r],,ii,
El dominio de la función valor absoluto es el conjunto de los números reales, es decir,
Dom/: R; y el rango es el conjunto de los números reales no negativos, es decir, Ran
f
:
Í0, ar). La gráfica de la función valor absoluto es:
\
t\
i,/
\
5r
x Ejemptos
Representar gráficamente cada función. Luego, determinar su dominio y su
rango.
".
f(x)
:
lzx + rl.
.
Primero, se escribe Ia función según Ia definición de valor absoluto.
lz*'t si2x I>o
J\x)
:
l -,rr * r) si 2x r . o'tt
o"
Luego, se grafica cada parte de acuerdo con la definición.
La gráfica de la función es:
Dom/: Ry
Ran/: [0, +oc;
b.f(x):lx-rl +:.
Primero, se define la función
six-l>0
six - 1( 0
six> I
six14
l*+z
:l
[-x++
Dom;t: P
Ran/: [:, +*;
v7t"xI
)-
68losantitlana
Luego, se grafica así:

70. Funeién porte enferc
-afunciónqueasignaacadaeementode dominioel enteromenoro gualqueé,recibe
: nombre de función parte entera En simbo os,
f(x) :[xn:nsir¡ eZ',r ¡1 <x{n*l
-L
dominio de la función parte entera es e1 conjunto de los nírmeros reales, es decir,
l¿ra hallar las imágenes de la función se analiza lo siguiente:
?ara cualquier valor x en [-4, -3)
el
.:renor entero es -4.
--'ara cualquier valor x en [.-3, -2)
el
renor entero es 3.
iara cualquier valor x en [-2, 1) el
-renor
entero es -2.
i:ra cualquier yalor x en [-1, 0) el
renor entero es -
1.
i:ra cualquier valor x en [0, 1) el
renor entero es 0.
i:.ra cualquier valor x en [1, 2) el
renor entero es 1.
:, análisis se realiza para los demás in-
.¡r'alos. Luego, la gráfica de la función
i) :
flrn se muestra al lado.
¡r €r#ffip §
S.epresentar gráficamente cada función. Determinar
.u dominio y su rango.
. f(*): [r -
3n
. .ra trazar la gráfica lo más conveniente es elaborar
-:¿r tabla de valores y analizar su comportamiento.
-
iego, la gráfica de la función es:
Dom/: P
yRanf : Z
b. h(x) :
[r + al
Se puede hacer la gráfrca y : x I 4 en forma punteada,
de esta manera se puede determinar más fácilmente el
trazo de la función.
-2-1,7-t-0,2
003 114
2 2 3 3 4 4 5
a
)
Luego, la gráfrca de la función es:
Domft:R
Ranh: Z
v
/k
-2-1,7-1-42
003 114
-5
a
-)-4
/
1-3-3-2-2
v
nI+I
f
rj Sanri{lana [ 69
I
ysu
r
i

71. @
Realiza la gráficade cada función definida a tro-
zos. Determina su dominio y rango.
(
a. f(x):l*.
six<o
Ir'
six]0
b. l(x):{*"-
I six>l
l*'
six( -l
(o six<-t
I
c. f(x):lx si-1<x<2
It
sir]2
lx+2 six)0
d.(x) :{x six:o
'l
|.r-
I six(0
@
uuU" el dominio y el rango de cada una de las
siguientes funciones. Traza su respectiva gráfi.ca.
a. n(fl :
ltl
b. h(x): lt - rl
c. f(x): l:, -
r]
d. q(*) : zlxl -
r
e. g(x) :
lt -
xzl
f. g(x):[x - 2\
s. m(x):
l¡x¡l + z
h. q(*): [-1,2n
l
Relaciona cada función con su respectiva gráñca.
a. f(*)
:
[r + 11 c. h(x) :
[r -
tn
: b.
S@)
:
[t - ,n d. tlk): flrl * 1
i.
-v
70
|
o santillana
2
v
I x
v
1 x
@
O","r-ina si los siguientes enunciados son falsos
o verdaderos. fustifica tu respuesta.
a. Los ceros de la función q(x) :
[t - ,n están en
el interyalo ( -
1, 0l .
b. La funció nf(x) :
lxl
"s
par.
c. La función g(x) :
[xl es creciente.
d. El rango de la funciónf(x) :
lrl - r es el con-
junto [-1, +m).
e. Elrangodelafunción f(x)
:ltrrl eselcon-
J
2"
"
junto de los enteros.
f. La función q(x) - 1 - ]xl
es inyectiva.
g. El punto y :
-2
no pertenece al rango de la
funciónfx) :2lx + 2).
h. La funció nf(x) :{z
til-l> -2
no posee
[xsi -1
(x( I
-
ceros.
Soluciono Droblemos
Con base en Ia gráfica responde falso o verdadero
según corresponda.
a. El consumo de energía fue constante durante
los cinco primeros días.
b. Entre el quinto y séptimo día el consumo de
energía disminuyó.
Energía
julios
20
10
En Bogotá la tarifa del servicio de taxi está deter-
minada por el número de unidades indicadas por
el taxímetro y su cobro se hace así: $3.100, si son
52 unidades o menos, más $63 por cada unidad
adicional.
a. Determina Ia función de costo en términos de
las unidades consumidas.
b. Responde:
¿Cuál
es ei costo por un consumo de
50 unidades?
c. Trazala gráflca de Ia función.
)
-2 -"1
4.
)
Actividodes

72. Operociones con funciones
A partir de operaciones aritméticas como la adición, la sustracción, la multiplicación
o la diüsión de funciones, se pueden obtener nuevas funciones.
Dadas dos funciones f
y g cuyos dominios son Dom/y Dom g, respectivamente, se
tienen las siguientes operaciones.
Adición de funciones, es otra función,/* gtal que para cualquier valor, r, que per-
tenece a los dominios de las dos funciones se cumple que:
(f +
d@)
:
f(x)
+
S@).
Además, Dom f * g) : Dom/o Domg.
Sustracción de funciones: es otra función/- g tal que para cualquier valor, r, que
pertenece a los dominios de las dos funciones se cumple que:
(f - d@)
:
f(*) - S@).
Además, Dom ff-
g) : Dom/ll Domg.
Producto de funciones: es.otra función/'g tal que para cualquier valor, r, que per-
tenece a los dominios de ambas funciones se cumple que: (/' g)(x) :
f(*)
'
S@).
Además, Dom (f 'g) : Dom/O Domg.
Cociente de funciones: es otra función Í,
td,que para cualquier valor, x, que per-
f (x)
-
con
g(r)
El dominio de todas estas funciones es el conjunto que resulta de realizar la inter-
sección entre los dominios de cada una de las funciorles que intervienen. En el caso
del cociente se deben eliminar los elementos del dominio que hacen que la función
divisor sea cero.
t
,.,
tenece a los dominios de las dos funciones se cumple que ll fx¡:
/ -
\8/
sk) + o. Además, oo-l /
l: ooln¡ rl Domg.
('s.l
J
@
uoau, f
(x) : Ji y s@):1,
h"¡¡ut la adición,
sustracción y el producto defy g. Luego, escribir
el dominio de la función.
Primero, se halla el dominio de cada función.
Dom/: [0,
*) yDomg: R - {0}
Segundo, se hallan las operaciones y sus respecti-
vos dominios.
deter-
as Por
ST SON
rnidad
nos de
rmo de
['g.l g0) 1
1{ 3e &*s
ooau.las siguientes funcionesfr) : 2* -l 3xy
g(x) :
-3x2 14. Calcular.
a. f
+ g)(t)
Comofll) - 2(t)2 + 3(1) : sy
g(1) :
-3(t¡z
-f 4: 1, entonces, se tiene:
(/+g)(t) :
f(t)
+s(1) :
5 * 1 :
6.
b. ff- g)(t)
Comolt) :
5 yg(1) :
1, entonces, se tiene:
(/-g)(t) :
f(r) -s(1)
:
5 - t :
4.
c. (f ' do)
Se utiliza la definición de producto, así:
(f'gXt) :
f(I)'s(1)
: 5' 1 :
5.
¿ ll lnr
lg./'
'
Se utiliza Ia definición de cociente de funciones
(f + il(i: J;
Dom (f * g)(x) :
(f - ilQ): J;
Dom (f s)
: (0,
E s t á n d a r : ¡ ¡, ;,< ¡.' r- ;, ¡ ¡r i9',' J r I c c ¡ o r, r,l i
Dom/ll Dom g -
(0, -)
t xJi -r
xx
:a, )
Dom (f 's) : (0, -)
o santillana
|
/l
Inte
rde

73. Composición
de funciones
Hay otra forma para combinar funciones y obtener una nueva función:
Si x, y y z son conjuntos de números reales, g es una función de x en y y g olrafunción
de y en z, de tal forma que g envía
7
a z, se puede definir una función qtte envía x a z.
Esta función se llama función compuesta.
Dadas dos funciones f y g se defr ne Ia función compuesta f
"
g que se lee f compuesto g
(o composiclón f y g) como
f. g: f(g(x))
Donde el dominio de f
"
g es el conjunto de todos los números x del dominio de g tales
que g(x) está en el dominio de f
Esta definición se representa mediante diagramas de Venn, así:
to o
DqTg '_?_ nlt/
Dom/
r
i I (g(¡))
l
ic(,), I
(f(st,)r)
:::/
En general, dadas dos funciones arbitrarias gy f,
si se toma un número x en el domi-
nio de g, se obtiene su imagen g(x). Si este número g(x) pertenece al dominio de/,
entonces, se puede calcular/(g(x)).
ru Ejemptos
Pora sober cómo funcionan
los prismos
Las funciones se utiliz¿n en la
óptic¿ para estudiar las dis-
persrones en un pnsm¿ y p¿ra
determinar qué le sucede a la
luz cu¿ndo atraviesa una placa
de alqún material.
7 ¿ I Santillana
I
Dadas/(x) : x + 3y S@): Jl.Determinarcadafuncióncompuestacon
su respectivo dominio.
a. (g
" f)(x)
@"fl(x): g(f(x))
: g(x -f 3)
:Ji+3
Para encontrar el dominio de (g o;f)
se hace x * 3 > 0 pues toda raíz de índice
par debe tener el radicando mayor o igual a cero. Luego, Dom (g o
fl
:
[-3,
a)
pues r >
-3.
b. (f
's)(x)
(f
" d@): f@(x))
:
f«l)
:JT +3
Por tanto, Dom f.g)
:
[0,
*).
Se aplica la definictón.
Se sustituye f(x) por x 'l
3
Se halla la imagen de (x + 3) por g.
5e apltca la definictón.
5e sustituye g(x) por Ji
Se halla la imagen de Jy
por f.
Q"n@:
gfflx))
significa aplicar prrmero f y
después g.
(f" q)@ :
f(g(x))
signifrca aplicar primero
4
y
después I
RECUERDA OUE...
Y esto que oprendí,
¿PARA OUÉ Ve S|RVE?

74. on
\2.
e índice
[-3,
m)
Dadas las funcionesf y g, determinar/. g, Dom (f
"
g) y Ran (f. g).
a. f(x)
: x'y g(x) : x -r t
Se tiene que:
(f"g)(x):fu(x))
:f(x+t)
-
t -- r rl
-\I-rri'
EI dominio de g(x) es R y el rango es R por ser una función polinómica. El
dominio de la función (f
" g)(¡) es R
1,
e1 rango es R por serlg(r)) una función
polinómica. La gráfrca de la función fk@)
se muestra en la figura 6.
Dom/"g: R
Ran/. g :
R
b. f(*)
:
x2 y
S@) -
"tx
La composición de/yg es:
f 'g)(r)
:
f@("))
-
.ct f- ¡
- /\vr /
: (Jf)'
La función g(x) solo está definida
para el intervalo [0, -), por tanto,
el dominio de g(x) es el interr.alo
[0,
r), el rango deg(x) es [0,
z). Luego,
el dominio de fu(x))
es el intervalo
[0, -) y el rango es el interyaio [0,
:c).
Figura 6
l
i
I
I
:
¡
I
;
i
É
I
!
i
t-
Expresar q(x) - "#
como Ia composición de tres funcionesf, gy h.
Se deben buscar tres funciones tales que (/ o g
o h)(x ) : q=
, estas fun-
" x+l
cionespueden ser /(x)
:
l+T,
g(x) :,ll
Vh(x)
: x -
2.Luego, se debe
comprobar que (/" g. h)(x) : q(x) asi:
g(h(x)) :
^lx - 2 se hatta 9.
fi.
f (súG))l:
rR
-
sedeLerminatoqoh.
(rix -2)-- 3 -"-"
Por tanto, se cumple que (f. g" h)(x) : r(;-).
/
/
(x1)'
/- x
I
G¡santiliana 173
t'-
,ta con
Se resuelve la potencia y se simplifica
l
/
/
x

75. @
O.,"r-ina el dominio de las funciones f y
S.
Luego calcula/* g,f - S,f
' gy L, así como sus
g
respectivos dominios.
a. f(x): Jl
b.f(*):./1+r
c' f(x)
:2
- _l
d.fQ)-
x.+L
e. f(x): -x3
+ P
f. f(x)
:
a'z
s,. f(*):
t
x
3
h. f (x): Yz
i. f(x): I
i. f G): ,3*
I-x
g(x): J;Vr
g(x): JT - x
g(x) :
o
s(x): .+T
g(x): P - t
g(x): | - x
g(x): | - i
I
g(x): -l I xz
g(x): x
g(x):+
g(x) : x
g(x) :
-1
g(x):x-2
sG): t
g(x): Jl
g(x):x3-x
g(x): Ji -
2
(x-l)
glxt:
(x+1)
g(x) : ln x
g(r) : Log, (1 - x)
g(x):l-x2
8(r)
: ln (1 - x)
g(x): e
2
g(x) :
!
tog.*
@
O",".-inaf
o g,g"f,f "lg"g.
Luego, determina
el dominio de cada una de ellas.
a' f(x)
: x
b. flx):1
c' f(x)
:2
d.f(*):x-3
e. f(x): P
t. f(*): *
g. f(x)
: (v-t t)2
h. f (*): 1ll
i. f(x):
e*
j. f(x): z'
k. /(x): lxl
t. f(*): h-
1l
m. f(x)
:
o
n.
flx)
:3x
7 a
loSantillana
@
Co*pt.ta la tabla.
f s
No par
no rmpar
f,q Par
fs lmpar
(g
" f" h)(r)
(f" h" g)(2)
c.
d.
@
Cd.r'rtu a partir de la grafica de las funcio nes f,
g
yh,
a. (f" g" h)(o)
b. (h.f.g)(-l)
tL
ll
f. T(x) :
esen(x2)
E.T(x): rn (---¡-)
' \11-x)
h.7-(¡) :3(x2
- x)c.
d.
€D
U, crecimiento de una población en función del
tiempo está dado por P(r) :
,i90'" , donde P es
(1+f)',
la cantidad de individuos en el tiempo f. Expresa
a P(f) como la composición de funcionesf g y h.
¿Qué
significado tienen las funciones I gy h den-
tro del contexto del problema?
i
I i./
J
I
I
2-
I
3
.1
a
@
Erpr"r" cada una de las funciones como la com-
posición de tres funcionesf gy h.
a. T(x): (¡ -
1)3
b. T(x): Jl + t
x
T(x):rr-"
r(x): {ffi i. r(x) - | - JV, + r
r(x): t"(;+) i.r@):
¡ _+tr
Actividodes

76. Funciones inversos
Sea f una función biyectiva con dominioXy rango I, se define su función inversa f-r con
dominio Yy rangoXde a slguiente manera:
i '::,e;¡i
,-1 VrE,
Estas funciones cumplen las siguientes propiedades:
.
f
I
es una función biyectiva.
. Dom/: Ranf
l
yDomf
I : Ranl
. La gráfica def
I
es la reflexión de la gráfica de/con resp cto a la recta
7
:
x.
. Si (a, b) e
/entonces
(h a) e f '.
Para encontrar la función inversaf
I
de/se realizan los siguientes pasos:
. Primero, se escribeT :
fQ).
. Segundo, se comprueba si la función es bivectiva.
. Tercera, se cambia x por y
), y por x en la expresión que define af
. Cuarto, se despejay en la función anterior.
.
Quinto, se hace la sustitución y :
f
t(x)
y se comprueba que
tJ-t"l){x)-fltf)t:x
V.f,)(x)
:fV-(x)):x
f. ExPresa
es f,
gY h.
gy h dert-
¡{ $e
&os
@
n"p."r"ntar gráficamente la función f
(*) :
"+
y su inversa.
La gráfica de /(x)
:
' I
1
es una recta cuyo punto de intersección con el eje
3
7
"r
(0,
{)
y.ryu pendiente es {.
J/ 3
Para trazar la gráfica d" f '
se debe tener en cuenta que cada punto de y : x
equidista de la gráfica def y de la gráfica d..f
'.
Además, se cambia x por y )'y
por x así:
",- x-f l
v- 1
-:+
3x-l:y
Luego, se ubican dos puntos d",f
t
y se utiliza la ecuación punto-pendiente de la
recta de dondef
1(r) : 3x 1. La gráfica se muestra en la figura 7.
$
Dados/(x) : d y f '(x)
: ln x, hallar f " fl y
f ' " f.
Luego, trazar la gráfica.
Se tiene que:
(f
"f ')(x)
:.rnr:,
(f-'
" f)(x):
ln e' : r
Luego, al reflejar la gráfica de/(r) : e'con res-
pecto a Ia recta y : x se obtiene la gráfica de
f '(*):
lnx.
l/ t./
54312-(/t
I
osantillana
|
75
Figum /

77. l+ Ejemptos
Encontrar si es posible, la función inversa d,eflx) : 2x I l. Luego, trazar su
gráfica y determinar el dominio y el rango.
Primero, se comprueba si/es biyectiva. Para ello:
Sifxr) :
f(xr)
entonces 2x, -f | : 2xr l 1 de donde xt : x2,luego/es inyectiva.
Además Ran/: R y Cod/: Ran/ por tanto/es sobreyectiva.
Como/es inyectiva y sobreyectiva, entonces/es biyectiva.
Segundo, se halla la función inversa. Para ello se tomafx) : 2x f- l, así:
Y:2x+l
x:2y * I
x-l
-,
2',
Por tanto, f-'(x):
*,ru
gráfi.ca def
I
se halla reflejando
la gráfrca de/con respecto a Ia
recla y :
x.
Tercero, se halla el dominio y el
rango def yf
r,
luego, se tiene
que:
Dom/:R:RanflY
Domfl:R:Ran/
Se remplaza x por y y y por x.
Se despeja y.
@
co-probar que g(x) :
++
es la función inversa d,e f G) :
#
.
Para comprobar que g(r) es la función inversa de f(x),
se debe verifrcar que
"
g)(") :
@ " fl(x).Entonces,
se tie¡e que:
Se remplaza g(x)en f(g(x))
Se calcula la función para f
y se realizan operociones
Se remplaza f(x) en g(f(x))
Se calcula la función para g
y se reolizan operaciones.
Como,/(g(x)) : g(f(x)), entonces, se cumple que g es la función inversa def
u " ilQ): fGQ)): f(++)
2x-17
-l
l-x
2xll
-"
l-x
Q " f)(x): sUG»: s(#)
76
|
osantittana

78. Determina cuáles de las siguientes funciones son
biyectivas.
a.f(x):2x-3
b. s(x): !*+r
c. /(x)-úú-
d. h(x)-x2+I
Trazala gráfrca def
I
a partir de la gráficaf
e.
f.
6'
h.
.,-"t- X 1
Iti,
-xtl
m(x) : ,'
r(x):ln(x+1)
PG): !/i - ,r
f(x):xt2,
fG):Ji,
f(x):
x3,
f(x)
: e'+
t,
Determina si la proposición es falsa o verdadera.
Justihca tu respuesta.
a. Si/es invectiva entoncesf
r
también 1o es.
b. Si/es creciente entoncesfl es decreciente.
c. Si/es decreciente entoncesf
t
es decreciente.
d. Dom/: Ranf
l
yDomf
r : Ranl
e. Si/es uno a uno entonces Ia gráfica de/sienpre
es sirlétrica con respecto a la recta y :
x.
b.
v
-2
2 1 x
Determinaf'yg
'.
Luego,halla/. g
'yg"f'.
s(x):
3x-1
d.f
osantiliana
l/1
Soluciono problerncs
I
)QrULrOnU
Pf
(JurerilUs
¡
Un rectángulo está inscrito en un triángulo equi-
látero con un perírletro de 60 cm. Expresa el área
A del rectángulo como función de la longitud l.
\
i
l
fl
I
i
i
I
t
t
I
ii
I
1
¿
i
I
ir
t
I
f
i
i
I
I
!
I
i
I
I
I
I
I
I
I
I
I
i
l
El precio de un automóvil está dado por la función
p(t) : 30.000.000 2.000.000 f; donde
P
corres-
ponde al precio del automór,il en el año f.
a. Demuestra que p es una función biyectiva.
b. Halla P
t
)'
determina su significado.
c. Realiza la gráfica de p.
d. Realiza Ia gráfica d" p
'.
La le1. de enfriamiento de Ner'vton permite deter-
minar el momento de la muerte de un individuo
con la fr.rnción T(t) - T0 + (Ir -
T)(0,97)t,
donde I representa la temperatura del individuo
/ horas después de su muerte. 7. es la temperatura
arrbiente
1. I, la temperatura al momento de su
muerte.
a. Halla T
t
,v
explica su significado.
b. Traza la gráfrca de T y la gráfica de T
1
en un
nismo plano.
a
r que
)
:'
))
)ara g
ne5
La relación existente entre las escalas de tempera-
tllras en grados Fahrenheit (F) y Celsius (C) está
dada por:
c(F) - frr
-:zr
a. Demuestra que C es biyectiva.
b. Haila C
1
y escribe su significado.
c. CalculaC.C
1).C loC.
d. Grafrca en un mismo plano a C y C
1.

79. f
Funciones
k f(*):
G
'x".
f(*):
x2-4
x*2
I
r. J@): -
x
Determina el dominio y el rango de las siguientes
funciones. Luego, traza su gráfica.
d.f(*):3: ,,', j. f(x):x3-x- x-rl
l. f (*): ¡2 - "'fl
#
t" una empresa se fabrican cajas con las siguientes
condiciones: la medida del largo es tres veces la
medida del ancho y su altura es cuatro veces su
ancho.
b.
Halla una expresión que represente el volumen
en función del ancho de Ia caja.
Determina una expresión que represente la
cantidad de material necesario para elaborar Ia
caja en función de su volumen.
c. Calcula la medida del ancho para la cual el
volumen es 96 cm3.
d. Calcula la cantidad de material necesario para
fabricar una caja de 8 cm3.
Propiedodes de los funciones
@
O"r..-ina cuáles de las siguientes proposiciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. Todafunción/tal que Dom/: R yran/: R
es biyectiva.
b. Existen funciones pares que son periódicas.
c. Toda función constante es periódica.
d. Existen funciones sobreyectivas que no son
inyectivas.
e. Toda función radical tiene como dominio al
conjunto de los números reales no negativos.
f. Existen funciones pares que son inyectivas.
g. Toda función par es inyectiva.
@ t
"ru
lu gráfrcade una función que cumpla con las
condiciones dadas.
a. Dom/: (-, 1l U (3,9], Ran/: R, creciente
en (-cc, 0] y decreciente en (3, 7).
b. UnafunciónparconDom/: RyRan/: [0, 1].
c. Una función decreciente con dominio R.
d. Decreciente en ( -*, -
1), creciente en (1, +m¡,
Ran/: [-1,
co) ypar.
e. /impar, Dom/: RyRanf : Z.
f. Dom/- R - {-I,2},f inyectiva, decreciente
en (-m, -1¡.
Dom/: R - i0) y Ran/: i0, 1)
Dom/: R, Ran/R, creciente e impar.
Dom/: R - {-1, 1}, Ran/: R - {0} Yf Par.
Dom/: R, inyectiva, creciente en (-oo, g¡
,
decreciente en (0, +m).
o
b'
h.
i.
j.
i f (*): (+)"
d
e.
p
o
b'
h.
f(*): -
|
-x
f(x)
:
z
f(*)
:
[*l
f(x):t+x
f(x)
:
-ln x
f(x)
:
3ez -'
@
O.,"r-ina el dominio y el rango de las siguientes
funciones especiales. Luego, traza su gráfica.
sixl -2
si-2<x<2
six>- 2
Closificoción de funciones
Clasifica las siguientes funciones en polinómicas,
racionales, radicales, trascendentales o especiales.
Luego, determina su dominio y su rango.
a. f(x): -x
b. f (i: -JT
c.
b.f(*):lxl +ffxl
c. f(x): lx - 21+ 3
i. f(*)
:
lx2 -
rl
k. f (x):
3x - -2
' xf I
l. f(x): -2 cos2x
m.f(x):1t -
x)2
".
f(x)
:
-lx -
2l
/(r)
:
lflrnl
f(x)
:
-3
sen(4x -
n')
7B
losantillana

80. 1as
, 11.
- co),
ente
fpu,.
,o)y
nicas,
ciales.
4x- r)
guientes
ICA.
:l
Demuestra las siguientes proposiciones. Una zona iluminada con
Realiza las operaciones indicadas y determina el
dominio de la función resultante.
a. f(x):
x. g(x): Jl :f 'g
b. f(x): I,
s(x) : I . f
x'ó"' (xr l)'g
c. fG): "lT- x,g(x) : .,|:f, ¡' S
d. f(x):O,g(x)
: S*'- l;
!
e. f(x)
: ln x, g(x) : ln (1 x);f - g
a. La función constante es par.
b. Siflx) : mx + b y m * 0,entonces,fl;) es
estrictamente creciente o decreciente.
c. La funciónf(x) :
ax2 + bx -f c es par si b :
0.
d. Siflx) :
axz + bx -l c es una función cuadrá-
tica con a I 0, entonces, f(x) es creciente en:
l- b\
|
!r
-1.
2al
e. La funciónf(x) :
xn es impar siempre que n sea
un entero impar.
.f . o
e. f6)
:
3, g(x) :
-3;f * I
h. f(x)
: (x - r)', g(*): (1 - x)2;f - g
i. f(x)
:
x2, g(x): I - x;f. g
j. f(*):
ln x, g(x) : o;f + g
f. f(*)
:2', g(x): (+)'
a
b.
C.
d.
Un capital de 5.000
euros está depositado
Y'.-
en un banco con un
2o/o de interés anual.
a. Determina la fun-
ción del capital C a los n años.
b. Halla C
1
y determina su signiflcado.
c. CalculaC"C ryC t.C
Función inverso y compuesto
Hallaf1. Luego, determina/" f '
y f '
.
f.
a.f(x)
:
-
x3
f (xl:
1 - x
J'
x-l 4
c. /(x)
:
fxl
d. f(x)
:
lxl
e' fx)
:
-8
f. f ('): 'lT + x
s. f@):
(-3)',
h. f(x)
: Log, x
).
k fr)
: s3-2x
l. f(*):
cos r
m.fG):
+
n. f(*): i
o. f(x)
:
2x
p. f(x): x(t - x)
f(x)
:1 + (r -
3)2
f txt: r"l-f)
\,(- /
forma cuadrada crece
el tiempo de forma o":::
l'
lado varía según la fun-
ción:
l(t):P+sr+2
,.
Donde f es el tiempo trans-
currido a partir de un mo-
mento inicial expresado
en segundos, y I es el lado
del cuadrado medid<¡ en
centímetros. Teniendo en
cuenta que el lado crece
en función del tiempo.
c.
Determina una expresión A(f) que represente
el área en función del tiempo.
Establece dos funciones f
y g de tal forma que
se cumpla V. dG)
: A(t).
Demuestra que A-1 (f) no existe.
En una circunferencia de
5 cm de radio se inscribe
un rectángulo de ¡ centí-
metros de ancho y b cen-
tímetros de largo, como se
muestra en la figura.
a. Expresa el área del rectángulo A en función de
x.
b. Halla el dominio de Ia función A que repre-
senta el área.
c. Demuestra que Ia función A-1 no existe.
@
t" un cuadrado de 16 cm de lado, se corta de cada
esquina un triángulo rectángulo isósceles cuyo
cateto mide x centímetros.
Determina una expresión que represente el
perímetro P del polígono resultante en función
de x.
Demuestra que P es biyectiva.
Halla P-1.
CalculaP"P-tyP-toP.
o santiiiana
I
l9

81. Una función f de A en B es una relaciÓn en la
que a todo elemento a e. Ale corresponde un
únrcoelementobeB.
Se llama dominio de una función f al conjunto
formado por las primeras componentes de las
parejas de la funciÓn y se simboliza Dom f Se
iluru t.ngo de la funciÓn f al conjunto formado
por las segundas componentes de las parejas de
la función l, y se simboliza Ran I
Funciones polinómicas
. Función constante
Es una funciÓn de la forma f(x) :
k donde k € R
. Función afín
Es unafunctÓn de la forma f(x) : ax+ b, dondeo, b € R y o * 0'
. Función cuadrática
Es unafunciÓn de la forma f(x): ort-l bx-l c' donde a'b'ce R ya * 0
Funciones racionales
Es una funcjón de la forma g(x): , donde f(x) y h(x) son polinomios con
h(x) * 0.
Funciones radicales
Es una funciÓn que contlene expreslones como VflT
en su ecuaciÓn
Funciones trascendentes
. Función exPonencial
Es una funcrón de la forma f(x) :
6r, con , > 0 a * 1'
. Función logarítmica
Es una función de la forma f(x) : log, x,cor a > 0 a * 1'
Funciones especiales
. Funciones trigonométricas
Son aquellas que relacionan valores de ángulos con relaciones trigonométricas
. Funciones a trozos
Es aquella formada por la unrÓn de dos o más funciones definidas en intervalos
disyuntos.
. Función valor absoluto
Es una funciÓn que asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto.
. Función parte entera
Es una funciÓn que asigna a cada elernento del domlnlo el entero menor o igual
que é1.
8C
losantillana
I
,
EH :=IHTEEI:J...
Der-rri nio y.:-.,ro ng o .de en o
!u
n eió n
@,osi#iccÉi órE¡e Ios fu ncioEqs

82. El problemo de
los residuos rodioctivos
elementos químicos radiactivos que no tienen un pro-
pósito práctico. Suelen generarse durante un proceso
nuclear, durante el procesamiento de combustible para
los reactores o las armas nucleares y en las aplicaciones
médicas como la radioterapia o la medicina nuclear.
Gracias a la radiactividad, el ser humano ha logrado
determinar con mucha exactitud la edad de fosiles, de
la Tierra y de objetos muy antiguos. Asimismo, ha ob-
tenido energía y ha podido salvar vidas gracias a su
utilización en medicina. Sin embargo, el manejo de
los residuos que genera el uso de la radiactividad se
ha constituido en un grave problema, pues el tiempo
que toman dichos residuos para desintegrarse puede
Ilegar a ser de miles de años; además están sus efectos
nocivos para el medio ambiente y la salud. Por ejem-
plo, una exposición prolongada de una persona a do-
sis bajas de radiación induce al cáncer por daños en el
mecanismo regulador del crecimiento; la irradiación
de una zona del cuerpo produce daños en los tejidos
y lesiones en los vasos sanguíneos que alteran las fun-
ciones de los órganos y pueden llevar hasta Ia necrosis
y la gangrena.
E
Entre los elementos radiactivos más peligrosos se en-
cuentran el plutonio y el estroncio-90, usados en reac-
tores nucleares. Ambos elementos se desintegran en
forma exponencial. La cantidad de plutonio y que que-
da de la cantidad inicial
To
después de f años, se puede
modelar mediante la función:
/
:
/oe-0'00003r
donde
7o
es Ia cantidad inicial de plu-
tonio.
€)
t" llama vida mediaal tiempo necesario para que
G ¿a"¿ beneficios le ha aportado la radiactividad al Si se tenían originalmente 100 g de plutonio,
¿qué
ser humano? cantidad de plutonio quedará al cabo de 12.000
años?
@ ¿a"¿ efectos nocivos puede tener la radiactividad
para Ia salud?
Si la desintegración del estroncio 90 se modela
mediante la función I
:
/oe-u,u'E', ¿qué
cantidad
de estroncio-9O quedará después de 20 años de
una cantidad inicial de 500 g?
la mitad de la cantidad original de un elemento
radiactivo se desintegre. Remplaza y por /! puru
)
determinar la vida media del plutonio.
Otro material radiactivo es el uranio 235 que sirve
@
C.ufica Ia función exponencial que modela la de-
como combustible a algunos reactores nucleares.
Si la vida media del uranio 235 es de 710 millones
de años, escribe la expresión que indica cuánto
tiempo pasará para que 10 gramos de uranio 235
se desintegren a un gramo.
Los residuos radiactivos son desechos que contienen
sintegración del plutonio.
osantillana
|
8l
-
I
Para anolizar los efectos de la radioctividod.

83. y cont¡nuidod
Temos de lo unidod
Límites
Continuidad
Límites
8Z
I
osantillana

84. Se toma un cuadrado, se divide por la mitad, Iuego,
se divide por la mitad la porción que queda, como
se muestra en Ia figura.
¿Cuántas
yeces es posible realizar este proceso si el
lado del cuadrado mide 64 cm?
E! ocho
Sharrif iba sacando los libros [de mi bolsa] y ordenán-
dolos en una pila sobre el escritorio mientras leía cui-
dadosa mente Ios títu los.
-Juegos
matemáticos de ajedrez...
¡ah! iLos
números
de Fibonacci!
-exclamó,
con esa sonrisa que me hacía
sentir que tenía algo contra mí. Señalaba el aburrido
libro de Nim-.
¿De modo que te interesan las mate-
máticas?
-preguntó,
mirándome con intención.
-No
mucho
-dije,
poniéndome en pie y tratando de
rrolver a guardar mis pertenencias en la bolsa. [...]
-¿Qué
sabe exactamente sobre los números de
Fibonacci? [...]
-Se
usan para proyecciones de mercado
-mur-
muré-. [...]
-¿Entonces
no conoce al autor? [...] Me refiero a
Leonardo Fibonacci. Un italiano nacido en Pisa en el
siglo Xll, pero educado aquí, en Argel. Era un brillante
conocedor de las matemáticas de aquel moro famoso,
Al-Kwarizmi, que ha dado su nombre a la palabra
ralgoritmo». Fibonacci introdujo en Europa la nume-
ación arábiga, que remplazó a los viejos números
romanos...
Maldición. Debí haber comprendido que Nim no iba
a darme un libro sólo para que me entretuviera, aun
:uando lo hubiera escrito él mismo. [...]
Permanecí leyéndolo hasta el amanecer y mi decisión
iabía resultado productiva, aunque no sabía con certeza
:ómo. Al parecer,los números de Fibonacci se usan para
rlgo más que las proyecciones del mercado de valores.
La resolución de un problema había llevado a Fibonacci
a formar esta interesante sucesión de números empe-
zando por el uno y sumando a cada número al prece-
dente; 1, 1,2,3, 5, B, 13,21, . t...1, Descubrió que los
cocientes entre cada término y el anterior se aproxi-
man al número
,]
*f
y que este número describía
)
también la estructura de todas las cosas naturales que
formaban una espiral.
Los números de Fibonacci aparecen con frecuencia en
la naturaleza. Por ejemplo, el número de espirales de
los girasoles o de las piñas es siempre uno de estos nú-
meros. Además, como se dice en esta novela, al dividir
cada término de la sucesión de Fibonacci entre el an-
terior, se obtiene una nueva sucesión de números que
se aproximan cada vez más al número de oro'
1 *lE
'2
Aunque no la descubrió Fibonacci, esta propiedad es
verdadera.
Katherine Nevi e
Tomado de Alatemóttcas I I Bachillerato.
España, Editorial Santil ana, 2008.
,..r !anttilat1.1 | ci :i
I
PREPÁRATE PARA... PENSAR

85. Matemático y filósofo alemán. Fue
quien escribió la definición formal
de límite, (ontinuidad y derivada
de una función
Limite de uno función
El concepto de lÍmite de una función es básico e importante en el estudio del cálculo.
La noción de límite surgió hace más de 2.000 años como solución a problemas
geométricos relacionados con el áreade regiones planas. EI objetivo en ese tiempo
era realizar aproximaciones a partir de regiones poligonales, como se muestra en la
siguiente ilustración.
Este proceso fue utilizado por Arquímedes. Primero, determinó el área de un po-
lígono de n lados, y luego, al escoger cadavez un mayor número de lados para los
polígonos, entonces, el área de los polígonos tiende a llenar Ia región original.
Lo anterior se puede expresar en lenguaje matemático de la siguiente manera: si A,
es el área del polígono de n lados, entonces, cuando n aumenta, A, tiende al área del
círculo. Es decir, cuando r tiende a infinito, el área del círculo es el límite de las áreas
de los polígonos de n lados. Por Io tanto, Lirrr A,: Au donde Ao es el área del círculo.
ldeo intuitivo de límite
En matemáticas, la palafra límite se usa generalmente en funciones. Así, el Iímite es
un valor al cual se acerca una función f(x), cuando los valores de x se acercan a un
valor determinado.
La expresión
!ty"
f U¡ : L se lee: límite cuando x tiende a c de f(x) es L.
La función f(x) tiende hacia el límite L cuando x tiende a c, si es posible
hacer que f(x) se aproxime tanto a L como se quiera, siempre y cuando x
esté lo suficientemente cerca de a, sin llegar a tomar el valor de o.
Por ejemplo, dada la funciónflx) : x2 -
2,para averiguar si los valores defx) tien-
den o se acercan a un valor cuando x se aproxima a 0, se realiza Io siguiente:
Se elabora una tabla de valores así:
-l-0,1 -0,01 -0,00'l
0 0,001 001 0,1
,l
-1-1,99-1,9999-
1 qaoqqa
?
-
1 qqqqqq
-
1 qqqq
-100-1
De la tabla es posible concluir qre -2
es el límite de Ia función cuando x tiende a 0,
y se escribe: Lím (x2 - 2): -2
y se lee "límite cuando ¡ tiende a cero de efe de x
es igual a menos dos".
La siguiente gráflca muestra el comporta-
miento de la funciónf(x) : * -
2, cuando
x tiende a 0.
Es importante tener en cuenta que cuando el
límite existe, este valor es único.
8a
losantillana
PENSAMIENTO NUMERICO
Y P€NSAMIENTO IACIONAL
KarlWeierstrass
1 81 5-1 897

86. o.
AS
)o
ia
)o-
los
Estánda r: pen sam te nto n u mér i co
;t
pen s a mi e nto va ri aci o n al
Es posible determinar el límite de una función a partir de una estimación numérica
o una representación gráfrca.
x Ejemptos
Determinar el límite indicado para cada una de las funciones dadas. Luego, rea-
lizar su representación gráfica.
a. Lím
x2-9
x)3 X
-
3
Se elabora una tabla de valores, tomando valores cercanos a 3, así:
28 28929)oo2,999 3 3,001301 3t 32 33
58 5,8959
qoo
5,999
?
6,00160r 6,1 62 63
Los valores 2,8;2,89;2,9;2,99;2,999 son acercamientos a 3 por la izquierda y los valo-
res 3,001; 3,01; 3,1; 3,2;3,3 son acercamientos a 3 por la derecha, no interesa el valor
en 3. Luego, cuando x se aproxima a 3 por Ia izquierda y por la derecha, Ia función
- -2-o
.t
(x) :
-
se acerca a 6. Es decir, Lím
*t -
?
:
6. Ver figura l.
-
x-3 r'l x-3
/\
b. Lím ."nl I
I
r .o
x /
Se construye la tabla de yalores, tomando valores de x cercanos a 0, de tal forma que
tbrmen una sucesión.
_2
3¡
_2
4¡
)
5¡r
_2
6¡
0
2
6¡t
2
5r¡"
2
4¡r
2
3¡r
I 0 1 0
? 0 0 -1
- partir de la tabla es posible afirmar
que: los valores de f(x) oscilan entre -
1
i' I cuando x se aproxima a 0. Por tanto,
ja
función no tiende a un solo número l,
,uando x está cerca de 0 y se concluye que:
/\
Lim senf I Lo existe.
-o x i
!n la gráfica se ilustra el comportamiento de
lexcercanosa0.
c, g(¡) :
"li
- t + 3 cuando x -)2.
Se realiza la tabla de valores como sigue:
Ia función f
(x) :
parrr valores
a 2 por la izquierda y por la derecha, la función g(x) se
Ia función g(x):
"&
- r + 3 tiende a 4 cuando x tiende
lC:
J*-t+z:q
-"(+)
luando x se aproxima
:proxima a 4. Por tanto,
.2yseescribe:
19 199
1 AAq 2 2,401 201 21
4,0488 4,0449874,A004998 4 4,00449984,004987 4,O4BB
ü""
osantillana
|
85
Lte es
aun
)tien-
Fiqura 1

87. Definición formol de límite
Decir que
lryif
{a: I significa que cuando x está cerca de a,pero con x * a,
entonces,flx) está cerca de I. Es decir, la diferencia entre f(x)
y I se puede hacer tan
pequeña siempre que la diferencia entre x y a sea lo suficientemente pequeña sin ser
nunca cero.
Por ejemplo, en la funciórfx) : 2x I 3, ellímite de_f(x) es 7, cuando x se aproxima
a 2. Como sigue:
19 199 1,999 1,9999 2 2,0001 2,041 201 21
6B 6,98 6,998 6,9998 7 7,0002 7 002 702 72
A partir de la tabla es posible establecer una correspondencia entre los valores de x
que están a igual distancia de x :
3 y los respectivos valores del(x), así:
1,9 1x 12,1
1,99 < x 12,01
1,999 < x 12,001
::
Las anteriores expresiones se escriben como:
-0,1 <x-210,7
-0,01 <x-2<0,01
-0,001 <x- 2<0,001
entonces -0,2<f(x) -7
<0,2
entonces -0,02<f(*) -
7 <0,02
entonces -0,002<f(*) -7
<0,002
::
6,8 <f(x) <7,2
6,98<f(x)<7,02
e ,908 <
f(x)
< 7,002
:
lf@l - tl< o,z
Vt*¡-7
<0,02
entonces
entonces
entonces
entonces
entonces
Como la expresión -0,1
< x - 2 10,1 es equivalente alx - Zl( 0,1 y la expresión
-0,2
<
f(x) -
7 <0,2 es equivalente a ftr¡ - 7 < o,2,entonces, las anteriores desi-
gualdades se transforman en:
x_ 210,1
x - 2 10,01
ii
Los yalores 0, 1 ; 0,0 1 ; 0,00 1, . .. y 0,2; 0,02; 0,002,. . . se han construido en forma arbi-
traria, por tanto, las desigualdades anteriores se pueden representar por:
lx-zl <a entonces Vri-zl<,
donde 6 y e son valores positivos arbitrarios (por lo general pequeños) y el valor 6
depende del valor e.
Lo anterior es una forma general y precisa para indicar
que/(x) se aproxima a 7 cuando x se aproxima a 2.
El cambio radica en que hacer f(x)
próximo a 7 significa
hacer que
Vf*l - 7 sea tan pequeño como se quiera, y de
igual manera para x y a.
La interpretación gráfica de la noción general de
I-g
:
f
(x) :3
se muestra en Ia figura.
v
/¡t
¿_l
I
r.
J
x
86losantirtana
(

88. La definición formal del límite de una función en un punto se escribe como:
lt:,
f(r)- L slgnifica que para todo e > 0, existe un 6 > 0
ta que,paratodo x,si x- a < E,entonces,if(x) - L < e
ffi jerm tos
Aplicar la definición formal del límite de
una función, para encontrar un E ) 0, si
Lím
rll:lyt:0,0025.
r+5 4
si
lx - sl < s entonces l"=' - ,l . e, por de-
t4 |
finición de límite.
| -. , I
Se remplaza el valor de x.
l^ '-11 <o,oo2l
I 4 | '
5e oplica valor absoluto.
-0,0025
-, x-|
-1<0,0025
4
4,99<x<5,01
5e resta 5.
-0,01 <x-5(0,01
r-5 (0,01
tzí::::r',Zf:["
Alcomparar, -
5l < 6conlx - 5 < 0,01,setiene
que 6 :
0,01.
La representación gráfica es:
$
Uuttu.unb ) 0,si Lím ¡2 + 3 - 4y e :
+.
Si x t I < 6 entonces (x2 + :) - 4 < r, por
definición de límite.
(x2 + z) -
41,.
+
.l{*, *, -
4l
v
5-o5
-6x
1
2
1A-1
2
_l
2
_1
2
<x2_
oSantillana
187
-
1
< *'<1
2 2
Sesumal
,JT
-..-
G
\op tocraizcttodtoda
-\I\-
22
Para determinar 6 ) 0, se escoge Ia menor distan-
-tr
t-
ciaentrely
vl
olt
Vb
'22
: O,zlzSl ,
lr
-
$ .orno se muestra en la figura.
2
v
t-
2
5 5 x
G
U,itirur la gráfica de la funciónflx) paraaveri-
guarla existencia de Liry f @).
El límite no existe, si el límite de la función es 2,
se tiene que:
Si t :
1, entonces, para cualquier E ) 0, se tiene
un x tal que
l{ - :l < S y, sin embargo, no es cierto
que ]/x) -
2l < € como se muestra en la figura.
/
x
Es decir,
l, -.tr
l2
Luego,6 :
l:
o,rrn n
Esttin dar: p e n s a nt ¡e nto n u m éri co y pe n s a m i enio v a ri aci o r¡ a I
ln
;i-
br
orD
)
1
1-€
I
l
5e realiza la operación
indicada.

89. &
Explica con tus palabras el significado de la expre-
sión Lím f (x): t.
S
R"ro"llr" teniendo en cuenta que: en una circun-
ferencia de radio 5 cm,.se inscribe un polígono
regular de 3 lados, de 4 lados, de 5 lados y así
sucesivamente.
a. A medida que aumenta el número de lados de
los polígonos regulares, es posible a6.rmar que
los perímetros se aproximan a un valor especí-
fico. Indica cuál valor.
b. Escribe la relación que se obtiene al comparar
el perímetro de la circunferencia con los pe-
rímetros de los polígonos cuando aumenta el
número de lados.
d. f (*): *?t
l
f @
e. f (x): 'l'i - J'
cuando x --> o
x
Completa cada tabla. Luego, determina el valor del
límite que se indica.
".
f("): P + 3x - | cuando x--> -2
-)1-2
01-
2,001
,,)
-
1,999
-T
00_10
1
b.f(*): Jx+l cuando x-)3
".3
-
r
c. f(x):tr lylf?t
t¡
14
FI
l¡l_r
)9)99
) 000
3 3 001 301 3l
1
091 0 991 0 9991 1 1,0009 1,009r09
)
-0
01
-0,001-
0,000r00 0001 0 001 001
l
-0
02-
0,002-
0,000200 0002 0,002 002
?
88
losantillana
tim, f
(x)
pero informoción: 1 Reono:2-3-5{-7
@
Realiza la gráficade cada función y escribe el valor
del límite si existe en cada caso.
a. f(x)
:
-2x t I d. f (*): J;
!,1t,
f {a
lyi
f k)
b. f{x¡: '
I
e. f(x)
I
3X
lo !,*f(¡
l"l
c. f(x)
:
x2 - 2x I l-. f
(x):
'
*'
ly
f Gl
,Lyr,
f
(.)
Utiliza la definición formal del límite de una fun-
ción para hallar un 6 ) 0 en cada caso.
^ lry3x
- l: 5, e :
0,01
b. Lím J* :2,
e :
0,009
..
,LiT,
x2 + 5: 6, e :
0,005
d. Lím
x2-4 _
4, r-
3
x)2
-2
9.99
@
Utitiru la gráfica para calcular el límite si existe. Si
el límite no existe explica por qué.
a. c.
lv ro Lkn f(x)
x+-2'
Lírn, f
(x)
;,,,
I
it
d.
..^-=--+!
t¡ttt¡
b.
,
,-3-2l23 i(
a:
rt lt
t

90. Limites loteroles
Para determinar el límite de una función es necesario realizar aproximaciones late-
rales, es decir, analizar el concepto de límite lateral.
Para expresar los límites laterales se utiliza una simbología especial, si el acercamiento
es por la derecha o por la izquierda.
!!¡.
f {.1
: I se lee límite cuando x tiende a apof la derecha deflx) es I.
La expresión "x tiende a apü la derecha" se simboliza x ) a+ y significa tomar va-
lores mayores que a, es decir, x ) a.
!:i
f G): M se lee límite cuando x tiende a apor la izquierda deflx) es M.
La expresión "x tiende a a por la izquierda" se simboliza x --> a- y significa tomar
valores menores que a, es'decir, x I a.
En la siguiente representación gráfica de la funciónflx) se tiene que:
.L_íT
f G): t
,L_íry
/(r)
:1,5
,t_íT
f Q):0,7s
.L-í11. /(x)
:0,75
Iíry /(x)
: I
!:i
f O: noexiste
Para hallar límites por la derecha o por Ia izquierda de una función, se emplean las
mismas técnicas para hallar el límite de una función.
lzx - 3six <4
Por ejemplo, al trazar la gráfica de
f (x): 1:'-
- ":-'
_
-
y hallar los límites late-
-
t5
srx>4
rales cuando r tiende a 4, se tiene que:
, La gráfi.ca es la representación de una función definida por partes, como se mues-
tra en la figura:
A partir de la gráfica, es posible hallar los límites laterales de la
Cuando x -+ 4-,
f(x)
-+ 5. Por tanto, J-ím f
(*) : IíT 5 :
5
Cuando x -+ 4 ,f(x) -+ 5. Por tanto, fia /(r)
: Lím 2x -
son
funciónflx) así:
J-f,
En este caso, los límites laterales
cuando x tiende a 4 también es 5.
1 I
L/ 4 x
A
I
/:
iguales a 5 y el límite de la función
fl-rr)
osantillana
IBS
rn-
te. Si
Estdndar: pensamiento nurtértco y pensamiento vartcctonal

91. x Ejemptos
O
O"t.r-inar los límites laterales indicados para
1-,
l+,
v
I
I
/
x
I
cada función dada:
^.
g(*) :
x3 -
3x2 - x* 3cuando x -+2
Se realiza la gráfica de la función g(x).
A partir de la gráfica se obtiene que:
Lim g(x): -r,
,LjT.
gQ) :
-3
b. .f(")
:
{;,;',:l;: i
Se realiza la gráfica de la funciórf(*).
A partir de la gráfica se puede concluir que:
Cuando x 1 l,entonces,flx) : x - I ysix -+
f(x)
-+ o.
Es decir,Iíry /(x)
:
o
Cuando x) L, entonces,flx) :
x2 + I y si x ->
f(x) -+ 2.
Es decir, Lirrr f (x): 2
90losantillana
v
lxx+1
x
Z
x)x,/
La existencia o no existencia del límite de una función depende de los límites laterales.
Es decir, si los límites laterales existen y son iguales, entonces, el límite de la función
existe y es igual al valor de los límites laterales. Si los límites laterales son diferentes
o no existen, entonces, el límite de la función no existe.
Es decir,lyl f O: ¿ siysólo si
!y,"
tO: Ly Lim f
(x): L.
G
," acuerdo con la gráfica de la funci ón f(x)
calcular los siguientes límites.
u.
,L_íT
f Q
,Lím
f (*)y!y f G).
'L-í1¡_
/(x)
:1
Lím f(x):O
rJ-5_
Como Lím /(x)
es diferente al Lim f(x),
r+-5
-
¡¡-5+
entonces, Lím (x) no existe.
rJ-5
b. Lím f
(x), Liln_ f (x)yl
f
(x).
r)-l +-l-
Lím f (x): 2
x )-l'
Lím f (x):1
r+-l-
Como Lrm f
(x) es diferente al Lím f
(x),
r+ 1-
-
¡+ 1+
entonces, Lim [(x) no existe.
x¡-l'
c. Lím f(x),Lím f
(x)yLim f
(x).
x-2 t-Z
'x-2-
Lím f (x):-2
x+2
Ltn f(x):-2
Como Lím f
(x) es igual al Lím /(x),
enton-
x+2- x )2-
ces, Lím /(x)
existe y es igual a 2.
v
x
.r..qi

92. Recuperc informcción: 1
lrn
f (x): tvr
Escribe Y si la proposición es verdadera o F, si es
falsa. fustifica tu respuesta con un ejemplo.
" lg
f(*): I, entonces, Lim f(x): ¡
b. Iím f (*): ¿ y.LiT f G): M conL + M,
entonces,
lr:
f t.> existe.
c. Si Iím /(x)
no existe, entonces,
lyy
f {O
no existe.
Observa la gráfica de la función en cada caso.
Luego, halla los límites que se indican.
Lím /(;r)
a)l
Lim f
(x)
r, 3-
d.
Lím f t*)
f(x),
Lin
,f
(x)
r)l
Lím /(x)
Determina para cada función los límites laterales
indicados.
a. f(x):
x2 + 2
b. f(x):Ú-"
c. f(xl:
x'- 16
' xl4
,rji /(x) .r¡i
/(x)
riry /(x)
.111
/(,1
Lím f(x) rin1 /(x)
Realiza una gráflca en la que se cumpla lo siguiente.
Lim f
(x): L
Lím /(x)
J-l
b.
Irm frxt Lirn
.fr.r'r
-r)-f r) 2
v.
h-
osantillana
l9i
i :y
yi
a. f(-2)
b'
,t-t1
Lím
x) )
Lím
f(*)
f(*)
f
(*)
Ltm f(x)
finl /(x)
lT /(")
Liry ffO
e.
f.
C.
d.
o
b'
h.
Realiza la gráfica de Ia función/(x) y luego calcula
si x< 0
si 0 ( x< 4
si r) 4
los límites que se indican
x2,
Itxt - vtr,
1
J,
g. Lím
h. Lím
r)2
i. Lím
j. Lím
-r)I
k. Lím
r)l
I. Lím
r+lJ
a. Lím
r+0
b. Lím
J+-l
c. Lím
d. Lím
-\+5
e. Lím
a)i
f. Lím
f(*)
f
(x)
f
(*)
f
(x)
f
(*)
f
(x)
J0)
.f
(*)
f(*)
f(*)
f(*)
f
(*)
a
b
Determina el valor, si existe, de los siguientes lími-
tes para la función/(x).
lx-1
ft - I
/ (¡,
-' x-l
Iim /(xt lim /(x) l,jl /frl
r
lJ¡*x-2si x2-3
/(x): i-
[x-l six<-3
.._tT fG)
,._,,1 fQ)
Lím /(x)
Estándar: pensamienta numérico y pensamiento vcriacional
Resuelve a partir de Ia gráfica.
(x)
'
enton-

93. Cólculo de !ímites oplicondo propiedodes
Para facilitar el cálculo de límites de algunas funciones, se pueden utilizar las si-
guientes propiedades.
Propiedodes de los límites
Sic e Resunaconstante, Lim f (x): LyLim g(x): M,entonces:
x)a x)a
Principio de sustitución
En algunas funciones se cumple que: Lím f
(x) :
f
(a) , es decir, el límite de la fun-
ción se obtiene al sustituir x por a en la funció n
f(x)
.
Este método para calcular el límite de las funciones es llamado método de sustitu-
ción directa y se aplica a funciones polinomiales, racionales cuyos denominadores
no sean cero para el valor considerado y otras funciones.
Por ejemplo, para hallar el siguiente límite:
liy
*' 'f 2x -
1 se remplaza por 2 en lugar de r así:
!íy
*' * 2x - | : (2)' + 2(2) - | : 4 + 4 - | : 7,por lo tanto,
lyt'r-2x-r:7
!*,:,
El límite de una constante es igual a la constante.
l**:,
El límite de una variable que tiende a a, es igual a a.
.Lrglf
@ +
s(x)l
:
Y*
f G) +
ly
stO:L-r M
El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma
de los límites de las funciones.
.ry1tf
G) - sQ\: l,*
f
(x) - l,*
sf.)
: L - M
El límite de la diferencia de dos funciones es igual a la
diferencia de los límites de las funciones.
ft
lr1lkf
{x)) : .LlT f Gl
1:
c ' L
El límite de una constante por una función es igual a
la constante por el límite de la función.
lyitf
tx)'g(¡)l :
[rc
f @)
[¡1i
grxt): L't'r
EI límite del producto de dos funciones es igual al pro-
ducto de los límites de las funciones.
f(x Límf(x)
r
Lím " :-I-:14-- ..siM*o
, -" g(x)
lyi Sf*l M
El límite del cociente de dos funciones es igual al co-
ciente de los límites de las funciones.
líy*'
: a",ne Z+
El límite de una potencia es igual a la potencia calculada
en a.
rt,
LímIf(x)]':lLím f(x)l :L',sine Z-
x-a lx-a' I
El límite de la potencia de una función es igual a la
potencia del límite de la función.
, T_
"T-LimVx:la.,ne Z'
¿t ;., par, entonces, a 2 0). El límite de una raíz es igual
ala raiz evaluada en a.
lyv-f
@ :
\F ra
: dT ,ne z+
(si n es par, entonces, I > 0). El límite dela raíz enésima de una función es igual alaraiz enésima del límite de
la función.
9Z
I
osantillana

94. It Ejemptos
@
Catcutar los siguientes límites aplicando las propiedades.
a. Lím5x-3
x+2
Lim 5x -
3 :
5(2) -
3 :
10 -
3 :
7
r)2
Por tanto, Lím 5x - 3 :
7
x+2
b. l.:im Jsx'- zx +7
x )-3
r¡, Js*'- z* + l :
x)-3
ti^3x-2 -3(t)
2
r+r 2x-l 2(I)-1
:3-2 :t
2-l
Por tanto, ¡i-
3x - 2
- t
.r r2x-I
:J4s+6+? :Js8
Luego, ri^ Js*'- z, + z :
"gs
c. t^'l)'-'
r)1 2x -l
Como 2(I) -
1 :
1, por tanto, 2x -
les diferente de 0 cuando x - l.Luego,
5e aplta la sustitución directa.
Lim 5x2-2x*7
x )-3
Se aplica el límite
de la raíz enésima
Se aplica la sustitución directa.
Se resuelven las potencias
y se suma.
Se aplica la sustitución directa.
Se realizan las operaciones.
x-u x-a
Lim h(x)
Í )4
4 Lim g(x) -
z
J
,
s(-3)'- 2(-3) + 7
G
Opn.ur las propiedades de los límites de funciones para hallar el valor de cada
Iímite.
Si Lím f (x):
-1, Lím g(x):2, Lím h(*): I
t)4 x)o x)o ¿
". lg
ff(x) + g(x)l
,L':ilf
@ + sQ\: lT
f G) +
,tt11s,;r-)
se
:-l*2:l
b. Lím
as\x,)
,
3
x
-o h(x)
,'-
4g(x)- 3
-
h(x)
Lím [ag(x)- 3]
y,,h(x)
Lím 4g(x) -
Lím 3
_ 4(2) -3 _ s _ t0
JJJ
Se calcula
ellímite.
,rli/8ru
+
fun-
Se aplica el límite
de un cociente.
5e aplica el límtte de la
d iferenci a d e fu n cio nes.
;titu-
dores
Estánda r: pen sa mie nto n u méri co y pen sa mi e nio va ri acio n a I.tii
o santillana
|
93

95. En algunos casos, también se aplica el método de sustitución directa para calcular el
límite de la potencia de una función, cuando la potencia es otra función. Es decir,
Si Lím f(x): L y Lim g(x): M, entonces,
T
-.1 Lim g(x)
lylff
@l'''':
Llg
f @)' "
= LM,siLyMson diferentesde0.
x Ejemptos
G
ff"Uur el valor de cada uno de los siguientes límites.
a.
!r.n1o(€*
- l)z'
+ I
f
Lím(4x - l¡z*'t:lLím 4x
x -0 Lx-tr
:
[4(o)
_
I
:
[-1]1
:
b. Lím (rill )"-.'
tv,(*#)-.': [,,-i* +:+)]"''G+I
+z
-,]*'
]2(0)
+ 1
-1
[:f-¡+1-l'a''
Serealizalasustituctón
:l-l:[
-,-, ]
direrra
r 12 . .r Seresuelven
:l -2 I :(Z I :4 bsoperaciones.
L-¡l \:/ e
@
O"t".-inar cada uno de los límites si/(x) : 5x -
7,
S@)
:
x2 + 6y
h(x): J6- .
a vvl#)*'
¡i- |
g(r)
l'''': Ir,',,,
g(r)
-l''r r'''
,-,Lh(*)
_l L.-,
h(x))
[.rg rr"l
l,!r-.r'^'
L.LT-,l,"l l
:[H]":[+]'
:53:125
b. Limfh(x¡1tr't
t - .l,L¡T.erxr f ,-1l;m.xr-o
Lím [fr(x)]'r', :
I lg
h{x)
)'''
:
Llg
J6 - x
]"
"
:¡J6-,-1"'"
9a
losantillana
Cálculo de Éímites aplicando propiedades
Se aplica la propiedad de los límites.
Se apilca la sustitución directa.

96. Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional i'
'
Ejercito: 1 -2-3-4
Aplica las propiedades de los límites para hallar el
valor de cada uno, si:
lyi
f {n: -z !g r(,)
: o Lím /z(x) :
3
a. Lím [/(x) - ft(,r)] d. t,I [+* - rl
,-
L/(r) l
b. Lim [/(.r)1/' ' e. f-i,"
.,[rt"l - /t^
I
c. r-irn i! t" I
.
g kt f Lrm 5/(x )
Halla cuando sea posible, cada uno de los siguien-
tes límites. |ustifica tu respuesta.
x)l
e. Llllf
-
.!+ I ,Ú-f1
f. Lim
2
-r+o ]¡
g'
.tiT,
.,6;
+[^n
h.Límv^''
:i) 2 x)-4
Determina si es verdadera o falsa la solución de
cada límite. fustifrca tu respuesta.
a. Lím x3 - x'+ x :14
^.
1
b. Lím ^ " :-2
-r;0 3X
^.
1
c. Lim
o t :-4
:: ) ¡2-{.
Lím
21 8
-o
t:7 a2-l 2x-l
rr-..['-s:1
rím fx]
: r
t-1
,r-
T.ím
vrrJ :-2
r+1 X- 2
r -l)
h. Lim
" -:4
-r) I 3-lX
a. Lím x-2
b. Lím xr*1
r)-l
c. Lím3t¡
r+l
d. ri- V- o
-ri l
Calcula los siguientes límites aplicando las propie-
dades.
a. Lím -10
-r) l
b. Lim2xt-3x)+4x-9
r+2
Lím (-3x + l)(x']+ 1)
-r-0
Lím 5(3x'- 24x + 3)
r+ J
Lím (2x1 3x')'
Lím Jx'- Zx + t
,!J I
Lím (-2x21 x - 2)r' '
-r+l
20-5r
t,llTI
-
x:t y)l)¡ I
t;-
1,- 1-
^Lll-ll-
r-l X
x- 3 2x
lllTl
-
t+t ¡!) 1-x
e.
f.
o
b'
h.
f.
a.
b.
C.
d.
e. Ltm f
(x)
f. Lím /(x)
g
lfi rt'l
h. Lim, f
(x)
a. Lim ff (x) + g(x)) g. Lim (h(x at jj
Í+c x)c
i:
b. Lím 7 g(x) h. Ltn (h(x))-3 .;
Í)c x+c
1i
c. Límth(x). g(x)l i. Lím Ji@ iix)c Í)c
ri
d. Lím g(x) - f (x) j. Lím (g.f)(x)
;i
f+' f)c
ii
-3f
(x) + ahQ)
e. LIITI-
x,c g(x)
ii
f. Lím ?eG) - h(x))'
]j
, -. 5'"'
aÉ;-#:
Determina cada uno de los siguientes límites si
f(*) - x2 - r, g(x): Jr+ 1 y h(x)- -:-' x']_l
Calcula los siguientes límites para la funciónfx)
defrnida como:
,Lí-. /(r)
.Yq. /(')
!1i /(,)
Lím f(x)
o§antiiiana 195
t--
+
C.
d.

97. Límites de funciones indeterminodos
Al realizar el principio de sustitución en el cálculo de algunos límites, es posible que
resulten expresiones.o-o {
o también indeterminaciones.o-o }'-----
0 0
Por ejemplo, al realizar la sustitución con
t
^
x' - 16
resulta la indeterminación 9;
;;¡ x-4 o
pero con la ayuda de la representación gráfica es
posible determinar que los límites laterales son:
1,i^
x2-16
=g y ¡1.
xr-16
-t.
;_¡ x-4 'x_t x-4
Como los límites laterales son iguales, entonces,
el límite existe y es igual a 8, es decir,
tt*
x'- 16
- t.
a)4 X- 4
H Ejemptos
Calcular los siguientes límites.
x2-l
a. Llm
x+t 162 lx-2
SrobtieneLal realizar
x¿-l
o
f'T7- x-2
losusrlucón.
-2-1 (x-l)(xtl)
Lím
-^
I
- LI1TI
------------
*-i *.lx-) x+r (x+2)(x-I)
^.rt
:Lím o
'' Sefactorizo,
x:t ¡. * 2
: 1+ 1 SesimPlifica
l+2
5e aplica la sustitución d¡recta.
_2
3
Por lo tanto, Lím
*i;'- ,
-
i
96
ioSantillara
Límites de funciones roc¡onoles
Si P(r) y Q(x) son polinomios de grado nY m,respectivamente, y
I'!#: +
,
la indeterminación se evita factorizando el numerador P(x) o el denominador Q(r),
de modo que el binomio (x -
a) se simplifique así:
wt¿:w[ffi:lráS
Es decir, para resolver estos tipos de límites se factoriza
"l
,t.rt r"rudor o el denomi-
nador, si es posible, y luego se simplifica.

98. ,Y
Limites de funciones rodicoles
Siflx) y g(x) son funciones radicales y
lg
#
: !
. entonces, Ia indetermina-
ción se elimina racionalizando el numerador o el denominador o ambos y luego se
simplifica la expresión resultante.
H §* &*s
Hallar los siguientes límites.
a. Li^
J* +, - J,
r+0 X
Al aplicar el principio de sustitución se obtiene:
'Ei "ll -
o
I tttl
-
-
-)o x 0
Lim
:;0
G +, -.1,
:"'l xtJx-z -rEl0
0
,(x),
l)
l)
: Lím
¡)0
: LíM
rJ0
(x+2)-2
xdli + Jl¡
6l;i +
"/l¡
(Jo+2 +"/l¡
=J'
4
5e racionaltza
b. Lím
r+9
lor tanto, Lí- 'Ei - 'rT : J'
.*'1,
Ji-t
x+9 x-9
:!55J*+z
:16+3:6
.,-o
,r tanto, Lim '' ' :
6
' " Vx-3
J;-Vt 0
t-tttl
-:
--. 1
AL
tl.- rf¡
!r - \/
I,III
-
^.
1
AL
: LíM
x)2
c. ri^#-5
x-2 X- 2
(V, )'- (Vz )'
(, - z)((V")'+ {2, + (Vr)')
I
5e simplifica.
-
tf + lEi + J+
Secatcutaeilímite.
:
--L
: 1T
se racionaliza.
3:14 12
tF
iT
-
:{f
Por tanto, Lím
Vr -
r)2 x-2 12
d. Lím
J*-t-t
x)4 X'-16
.7--- 3 -
1
l,lllr-
rJ,1 X'-16
r, (Jr-3-rXJ"-:-rl
,"".'i (x - 4)(x - +Xr& -: + rl
r!
(x-3) I
i"'l
1x - 4(x+ ¿1t.'& - ¡ - il
:Lím x-4
r\i
e_DG++)(J"_:+r)
: rt:::
1
x++ (x + a)(Jx - 3 + t)
1 _ 1 _1
(4+ D6lq_ z+1) 8{, -G
' t_ t r
Por tanto. I ím
Vx -
r+r x1-16 16
o santiliana
|
97
omr-
zar
Estándar: pensantiento nttmérico y pensaniento var¡ccionaI
Se realiza la sustitución.
Se multiplico
por el conjugado
dr .l, -s
5e multiplica
5e simplifica.
5e aplica la
sustitución dtrecta.
5e realiza la sustituctón.
Se racionaliza <l; - {,

99. [uando se trabajan los límites
tnqonométriros con la calcu-
l¿dor¿, efa debe efar en el
modo de radianes.
Figura 3
O Santillana
Lím sen x: sen a
Lím csc x :
csc a
Lím cos x :
cos a
Lím sec x :
sec a
Lím tan x : tan a
t )d
Lím cot x :
cot a
x )o
sen x * 2 sec x) se procede así:
2(2):
Limites de func¡ones trigonométricos
Los límites de las funciones trigonométricas se pueden calcular por sustitución
directa, si la función está definida para el valor que se quiere encontrar el límite. Así:
Por ejemplo, para calcular el límite Lím (3 cos r -
,-l
(3 cosx -
sen x1- 2 sec x) : 3cos{ -
J
Lím
3
:,(+) -+.
sena -l 2 seca
33
11 _Jt
22
Límites trigonométrlcos espec¡oles
Lím
senf :1
rr0 X
Si al realizar la sustitución directa en un límite trigonométrico se encuentra una
forma indeterminadu 9 , entonces, se utilizan las identidades trigonométricas para
0
transformar la función y se aplican los siguientes límites especiales.
¡¡r,
l-cosx
-O
r+0 X
Para mostrar el valor de cada uno de los límites se recurre a una tabla de valores y a
Ia representación gráfica.
Lím
Senf :I
rJO X
-l-
0,1-
0,01 0 001 0l 1
0,84140,99830,99998
?0,999980,99830,8414
En la tabla, se aprecia que cuando x tiende a 0 por la izquierda o por la derecha, los
valores ¿"
sen r
tienden a 1.
x
La representación gráfi,ca se puede observar enla frgtra2.
¡i-
1-cosx
-O
r,0 X
-0,1 -0,01 -
0,001 0 0,00 r 00r 0,1
-o
04qq
-0,00499-0,00049
)0,000490,004990,499
En la tabla, se verifica que cuando r tiende a 0 por la izquierda o por la derecha los
valores ¿"
I -
cos x
tiende ao.
x
La representación gráfica de la función se puede observar en la figura 3.
e8l
Figura 2

100. 1
H jemptes
Calcular los siguientes límites trigonométricos.
a. Lím
tan r
¡+¡ S€Il .f,
1¡,
tan x
-
tan rr
r)7 sen ,r
Luego,
sen JÚ
ti-
tan x : Lím
cos r
iJf sen x )n sen Jr
: Lím
sen r
,)r senfcos,r
:Lím I
r)f cos ,Ú
-
I : I :-r
cos rr -1
Por tanto, Lím
tan r
-
-f )T sen ,Ú
b. Lím
sen 4x
¡)0 X
¡i-
sen 4x
-
0
.Jo x 0
: Lím
4 sen 4x
t:o ! X
: Límn'
sen4x
rJo 4X
: 4 Lím
sen 4¡
ri0 4X
:4(1) :4
Por tanto, ¡i-
sen 4x
n
aio X
cHx+
¡i-
l-cosx
-
0
)o 5x 0
ai_
1-cosr
+o 5x
:t.ím t(l-cosx)
l-'ás[ * )
-Ili-l
l-cosx)
5.-t"',( ,, )
-
1 .o:o
5
?ortanto,ai-
1-cosx
-o
¡)0 5X
SCN TT
_0
0
LOO
ya
-1
,t
:ha los
5e realtzan las operactones
indicadas.
tan r
o. Llm
rr0 X
ai-
tanx
-
0
rio f 0
y¡n tan x : Lím
cos r
rJo X .t)O X
: Lím
sen r
-ri0 ,Ú COSJÚ
-Lim
senx I
.r 'ú x cosx
Lim
sen r .Lim
I
-ri0 jf a)0 COSrú
: (1).(0) :0
Por tanto, Lím
tan r : 0.
r)0 X
e. ai-
sen3xfl-cos2x
r)0 X
ai-
sen 3x -l 1 -
cos 2x
r-0 Y
Luego,
Lím
ri0
sen 3x -f I -
cos 2x
:Lím sen3n
*
1-cos2x
i)0 X
: Lím
sen 3x
r;0 X
Por tanto, Lím
sen 3r -l- 1 -
cos 2x
-'Lím 1-cos2x
r+0 X
_0
0
.¡-
l-cosrx:Lrm senx
rto 4X) -rio 4X)
:f i,+T+
-
I1i,,.,It"nt
]'
-l'.0 x )
- -L[ r.i* "n '-l'
4['-' ¡ ]
1,,,, i
-
4,rt
--
osantillana
199
Se realiza la sustitución.
Se uson las identtdades
trigonométricas
Se reallza la operación
indicada.
Se simplifrca
Se realtza la sustituctón.
5e realiza la sustitución.
a, los
5e obtiene una
determinación
al sustituir.
Se usan las identtdades
trigonométricas
5e realizo el coctente.
Se transforma
la fracción.
5e aplica la propiedad
de los límites
Se calculan los límites
especioles
5e obtiene una
indeterminación
al sustitutr.
Se expreso lo
una Suma
5e aplica
fracción como
Se obtiene una
indeterminación
al sustitulr.

101. Ii
lli
os siguientes límites Presen-
S.
tf'¡1-l
f. LímL
t+0 X
..:1
tZ ..-. f;x+f-Jt
b. tn _!jL s.
Lím
v
"'
' x¿'q x-'+16
o'
"r
Xtl
ii
1t
-t
x3-8
c. Ltrn-# n. ltm--;_--
.,!42xlT
*-z¡)-lx-6
:.t
2
'ji
'
xz-l
d. Llfn -+-
i' Lim:,
¡--rVf f+-l x--rxr-l
t:
r-== ,..+2Y-4
e. Lfur=g- i. Lul]L
- l:i,12*+6-4 x ro x
i:
,i U"ttu cada uno de los siguientes límites si es posible'
,T;
- JI
t !^ 5x --4- i. Líma'
i'\¡*r--,
r' i:; x-4
i
ii * ,,^ 3x2 + 5x + 2
k. L¡n-H-
. D. Llm ---_:
,, "',"11, x2- l
,-sal x2+11 -6
r-
- --3- 1. Lfin
{r
: c. Lím- "L -
i1 x)3X'-oX-l 9
f+qx-2
:i r-
*2-l
^.r^:lx*2-Z
. d. Lír -+--
.1 x+-r X+ I
--*tz
X-2
.:
,,
-
.¡t
,,.- x'+8x+7 .r. Lí*V'+1-1. e. Llm-
;;
-'
,-Jit x1-7 '+o
x
,._L1 5-Jze-x
f. Lím +
o. Lím:-
:i ¡¿ tX--9
-'i-t
X-l
i1 r-
y.t r/x -
8
g. Lím--i ,
n' Llm----
- r-,tX-l ' r'f X*l
a-
h. ¡m-=- q. rt^-+
-
"' ,"1'l ,f;l-- : ' x 'o Vx'* 25 -
5
r--,
tt x ¡- 2 -'le - x
1. LIm-
x)2 X- 2
ii A
Resuelve cada uno de los siguientes límites'
a.
:s-
"
;:i x_b
aa
i: 1 - ) t
^o
t
-^ll-*z
Ejercito: 1-2-3-4
g. Lím sec x falr x
tan r
Halla el valor de los siguientes límites trigonomé-
tricos.
sen 3x
a. Lrm--
2-2cosx
b. LIITI..- 5.,imsenx-1
r+1 COS,Ú
sen2x*cos2r ' rr-- sen4x-
c. Lím-y:lj-:--]---:: 1.
lra--._-
rr0 5X
¡irr,
2 sen x cos x
).
f.
t¡
Resuelve a partir de la siguiente ilustración'
En
áre
<área(AROS)'
De
de las regiones'
Teniendo en cuenta el punto a, verifica que:
l<
x <
1
six)O
sen .f cos f
Lím I v Lím
1
. Luego, concluYe
,r+0
?
r)0 COS;¡;
determinando Lím
x
rJ0 Sen ,Ú
d. Realiza la demostración si x (
0'
x+a X- A
" r+o
(x3+2x\-@3+2a)
o.Ltm-
fl)
C"t.rrtu el valor de k, para que el siguiente límite
sea un número real:
x2* kx+ 2
Llm-
r)2 X2- 4
Luego, para el valor de k obtenido' ¿cuál
es el
Iímite?
v
I
CI
P
-
o o
.l00
losantillana
Límites de funciones racionales, radicales y trigonométricas

102. Límites infinitos
Si una funciónflx) crece o decrece sin cota cuando r tiende a un valor a, entonces,
se afirma que L{1 f @) no existe.
Para expresar que el límite de una función f(x)
crece sin cota cuando x tiende a a, se
escribe:Wf@:*oo.
De igual manera, si el límite de una funciónflx) decrece sin cota cuando r tiende a
a, se escribe: Lkn f (x):
-co.
En la expresión Lím f
(x) :
-co
, no significa que el límite exista, ya que el símbolo m
no representa un número real, este símbolo indica el comportamiento de los valores
de la función/(x) cuando x tiende a ay por tanto, expone larazón del porqué el límite
no existe.
s).
3S.
Es importante tener presente que
existe, a pesar de que los límites
iguales.
H E& Efh€
3v
*v#
@
Et"Uor"r una tabla de valores y determinar si el
límite de la funciónflr) crece o decrece sin cota.
Lim f (x): +
¡ )0
-
X"
La tabla de valores es:
-
0,1 0,0l0,00l 0 0 001001 01
10010 000 1 000 00010 0001000,8414
La gráfrca de la función f
(x)
1
--
eS:
x'
En la tabla y la gráfica se observa que cuando x se
aproxima a 0, tanto por Ia izquierda o por la dere-
cha; la funciónflx) crece sin cota.
Por lo tanto, fim 4
: -
x)0 X'
Además, Lím ]
: r- y Lírn
l' : r.
rio X' r;0 X'
Lím
1
no
r ; 0 ¡l
laterales son
Cota es un número que es
m¿yoI o menor que cualquier
elemento de un conjunto
@
oua"latunción f (x):;)
a. Elaborar una tabla para valores muy cercanos
a I y trazar la gráfica.
La tabla correspondiente es:
09099 0,999
0 aqqq
Ir,00071 0011 01 11
20-
200-2
000-
20 000
?20 0002 000200 )0
La gráfica de la función f
(*):
;) "t,
b. Hallar los límites laterales en x :
1.
A partir de la tabla de valores y la gráfica de la
función se tiene que:
fiq /(x)
:
-..
, pues a medida que x tiende a I
por Ia izquierda se cumple que/(x) decrece sin cota.
firy /(x)
: +.'- porque cuando ¡ tiende a 1 por
la derecha,flx) crece sin cota.
En este caso, Lím
2
no existe.
,ri1 ,r
-1
o santtllana
I
lÜ I
Está ndar: oe n sa n't ¡ e nto n tt m é ri co y pe n s a mi entc va ri a ct o n al
/
x
tYe
nite

103. SikCRyneZ+',
.lyt-k.
x' : oc
si ,( ) 0 ,
.\y-kx':-rsik(o
Límites en el infinito
Los límites infinitos se presentan como casos especiales en los cuales Ia funciónflx)
crece o decrece sin cota cuando x se aproxima a un valor dado.
También existen otros casos, donde Ia variable x crece o decrece sin cota, para estos
casos se pueden presentar las siguientes situaciones:
Lím f (x): I, si cuando ¡ tiende a infinito, es decir, x crece sin cota superior,
entonces, el límite de la funciónf(x) es L.
Lím f
(x) : M, si cuando x tiende a menos infinito, es decir, x decrece sin cota
inferior, entonces, el límite de la función f(x)
es M.
Estos límites reciben el nombre de límites en el infnito.
Para calcular límites en el infinito se tienen en cuenta los siguientes casos:
. Sik€Ry neZ, ¡1¡l --&-
: 0 y Lim -l<- :g
x+, x'
' r'- 't
xtt
Por ejemplo , si f (x):
+ , se tiene la siguiente tabla de valores.
x-
Cuando ¡ toma valores cada vez más grandes pero negativos, Ia funciónflx) tiende
a0.
Cuandoxtomavalorescadavezmás grandesperopositivos, lafunciónflx) tiende a0.
Se escribe:
Lím
3 :ov Lím
¡ :o
r +1 X3 ' ¡-
..
X5
La representación gráfica se muestra en la figura 4.
. Límites en el infinito de una función racional.
Los límites de funciones racionales para los cuales se presenta la indeterminación
*,
r" les llama limites en el infinito.
Para determinar el límite de estas funciones, se dividen el numerador y el deno-
minador de Ia función racional entre la potencia de mayor grado.
A partir de este proceso se puede presentar:
r-im -p -
-rr
si el grado de P(¡) es mayor que el grado de Q(x).
.'--
Q(x)
¡6 49?
: 0 si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).
, -- e(x)
fim 49
: m
st el grado de P(x) es igual al grado de Q(x), y m y nson los
, -- Q(x) n
coeficientes de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x), respectivamente.
En algunos casos se presenta Ia indeterminación @
-
@, cuando se restan funcio-
nes que contienen radicales. Para eliminar la indeterminación, se multiplica y se
divide por Ia expresión conjugada.
E]
p(
m
L¿
m
Yc
A1
ra(
Li:
-l
X108-l
X106-1
X 104-1
X102-l
11 X 102 1 x 104 1 X 106 1 X 108
-3 x l0-40-3 x l0-30
1 ./ 1^-)ñ
-)' u -"
-3 x l0-r0-3
33xl0
r0
3 x 10-203 x 10-303 x l0
40
/
Figura 4
l0Z
losantillana

104. Estándar: pe n sa mi ento n u m é ri co y pe n s a m t e nto vari aci o n al
l{ Ejemptos
Calcular los límites indicados en cada caso. o.r,r(#-*-)
En este caso se obtiene una indeterminación .c
-
cc, se
resuelve realizando Ia diferencia de cocientes, así
(2x'x'\
l.trrlt_-_l
'
-\2x-I x'-11)
Para comprobar el resultado, se hace:
2x2
-
3x
,^2x2*3x:Lím
*'
'*'
x¿' X2-4 x-, X, _ 4
x2 x2
5e aplica el criterio
D( v\
de Lím
' \' /
" -- e(x)
Se divide
entre la
moyor
potencia
de x.
Se simplifica
y se calcula el límite.
Se dividen el numerador
y el denominador entre x2
: t_ím ( zx'(*'+ l) - x'(2x -
' ''
(2x - 1)(x' + 1)
2x4+2x2-2xn-x3
2x3+ x2*2xfl
-x1 + 2x2
Se realiza la
diferencia de
cocientes.
Se multiplica.
Se simplifica.
1)
-.,
b. Lím-4
* -.. J3x2 + 2
En este caso, la potencia de mayor grado es x2.
Yiy¡y@
' '' tl3x2 + 2
6x2_2
2+a
:Lím x
-2+o
xrr, 4 l-0
x2
ces,Lím -4
:tx.
x+a
J3*z *,
3x-x21-21
Lueso. tirr(
2*'
- ):-r.__._o_.;r;\2x_fl
) Z
e.
!ry!lr'+4-
3)
Lg(Jx'+4-Jx:-3)
r. dx'+ 4 - Jx'1- 3)(Jx'z+ 4 - J7- z¡
: l,lm
-=; J*,+++
(f + +) -
(x' - 3)
5e multiplica y se divide
2x3+x2-l 2x-fl
5e calcula el límite al comparar
el numerador con el denominador.
-
porerconlugado.
r/x--l 4 |Vx--3
Se mult¡pl¡ca.
5e simplifica.
5e multiplica
y se simplifica
: LíM
;\
"___.1
1
,-^l
:nde
.e a0.
6
_ _2.'
J,
-l
x2
Se simplifica.
Cuando ¡ tiende a oc se obtiene la expresión , enton-
,l límite también se puede determinar al comparar las
:otencias de mayor grado del numerador y del deno-
:rinador.
-
a potencia de mayor grado del numerador es x2 que es
-nayor que Ia mayor potencia del denominador que es x,
como6espositivo,entonces, Un fl
: *x.
., ._
",1 3x, I 2
c. ,i^
3[ -
x')1- 2l
* ,' 5X: - 4X'l2X
-{ comparar las potencias de mayor grado del nume-
:ador y el denominador se tiene que:
2
x4
7
J*'+++J.'- 3
-
A 5e colcula el límite al comparar
:t,
-
el numerador con el denominador.
Luego, Lírn ^lxz + [ -
.lG') - 3 :
o.
f
líT
(4x -
"fox'-
z
¡
Se multiplica y se divide
lrm
(+x - Jllx'2 +, )
Po' el coniugado'
-
r: .- (4x - Jts-'+ z ¡(4x + Jte-'+ z ¡
x,' s* + Jl6f+ 2
_1
......
Ltltl ---------------
'-' 4x + ..lt6x2 + 2
Cuando x tiende a rc el límite tiende a cero. Por Io tanto,
Lím(4x
_
¡6x:+2):0.
6
0
raClOn
deno-
son los
tnte.
. funcio-
rlica
Y
se lrl5x2-4x1+2x
-0
osantillana
|
103
I
-
+
ta
: Lím

105. Escribe, el significado def(x) crece sin cota cuando
x se aproxim a a 2. Luego, r ealíza la representacion
gráfrca de Ia función/(x).
, Realiza la representación gráfrca de la funciónflx) si
' cuando x decrece sin cota, entonces,flx) tiende a 1.
t,
1j Completa la tabla de valores. Luego, determina
,: si el límite de la función crece o decrece sin cota.
r: sl el llmlte (lg la lulrLrurl LrsLs u (lcLlcLs rllr LUL4.
¡;
Realiza la representación de la función.
a. Lím
5
;' x+l* X-3
3 31 301 3,0013,00013,00001
-0,9-0,09-0,009-0,0009-
0,000090
191,991,999 2 2,00120121
Lím SG)
r) 2
Lím g(x)
Lím g(x)
r it Límg(x)
' x +o
l0a
losantillana
h. Lím '17
+ t
x)q 3x- |
i. Lím
J4x + 6x'
xz+2
t--:-- ----
l. Lim lx'-t 6 - x
Determina cada uno de los siguientes límites.
g. LÍm x-tlx-1'4¡
d
r. Lím G=
_t +z X-
Realiza la gráfica aproximada de la función indi-
cada, a partir de las condiciones dadas.
a. Lim. f (x):0 Lrry f G):
n
!i11.
f {"): * L$. f (x): -*
b. Lim'g(x):-a Líry gQ):3
Lím g(x) : 0 LíA gG): -2
Soluciono problemos
Se ha estimado que la población de zorros en
una fi.nca se rige por la fórmula z :100
6:Í',+
-? ,
2+t¿
donde z representa el número de zorros y f es
el tiempo transcurrido en meses. Si durante los
primeros 6 meses se observa un aumento en la po-
blación, averigua si el crecimiento será indefinido,
si tenderá a estabilizarse la población o si tenderá
a disminuir.
La fórmula ¡4 :
-$,
se debe a Albert
Jc'- v'
Einstein, y expresa la masa M de un cuerpo en
función de su velocidad v, siendo c la velocidad de
Ia luz (300.000 km/s).
a. Calcula el límite de la masa M cuando v tiende
ac.
b. Analiza si un cuerpo puede alcanzar la veloci-
dad de la luz, en relación con el inciso a.
Límites infinitos y límites en el infinito
b.

106. Límites exponencioles
El número e
Cuando se determina el límite de algunas funciones especiales se obtienen resultados
importantes.
si /(x): (t *
*)'
,*" xe Z+,entonces,
HX (t *
+)
: r.
La tabla de valores yla gráficade la funció,
f (x):
(, *
+)',
para x e Z+, se
presenta a continuación.
I2, 3 4 5 6 7
22,252,37032,44142,48832,52162,5465
_-_-->
e :
2,71
Portanto, cuandoxtiende aoc, entonces,,f(*) :(, *l) tiende ae - 2,7t.
x)
La representación gráfica de
f(x)
se muestra en la figura 5.
x Ejemptes
Calcular los siguientes límites.
.x
a. t.im ll + ! )'
x+'
X )
..q
(, .
+)'
ym
[('. +)']'
t
'3x-2
c. l.ímlr+21
'-.' x )
l9(,.+)
n
3S
)S
)-
.o,
rá
lrt
en
de
rde
rci-
:
[**
(' .
*)')'
:
"
Lím
Lím
Lím
I
)'
-t
l
-l
osantillana
I
I05
Los límites exponenciales más
importantes son:
l
Lim (l + x)i:,
x+0
Lím e' : oo
Lím e' :0
_e
-I-L-l-:-
Figura 5
: (¿)3 :
st
Estándar: penscmiento numérico y pensamiento vartacional
x
f(x)

107. Límiles de lo formo Lím tf(x¡10txt o Lím lf lxlltst'l
x-) ox-) o
Se presentan dos casos:
. Límites finitos
Si Lím f(x)
: L y Lim g(x) : N, entonces, Lím[f(x)lr(x) - ¿N
. Límites infinitos
St
,Lg
f(*): L V
!r*g(x):
-fco,
entonc"r,
lIl
[/(r¡1rt"r se calcula
acuerdo con los siguientes resultados.
. L' :1;0-:0.
. 0r:
o ?L't : :f,'f -:
0,
. L.:{
o,sio.t.,
| . ,.L:
Ir,siL]l I
0,siL)0
m,siL(0
co,siL)0
0,siL(0
de
l+ Ejemptos
Calcular los siguientes límites.
,
3 _r
a. ,r^(
lx+ +
\"
,-t\2x*5)
, .I t '--t
,-* |
:x + + );
' : [a,-
:l-t :L1,"', ,
--t)yt5) lx-r lytJ)
11 ,l
:[##J'
=(
z\'
\z )
: 12: I
, ux2
b. ,.,- [ z,'- t
'|
,_,
[ 3x3
)
,r^(
z*'- t
')"
= [a* 2,:- 1
.l,qr
" :(z)- : o
,"1; 3x3 ) ¡;:'; 3xr J t¡/
c. u^(J+*z+u 1""-'
, '(. 3x-9 )
Li^(Jix'z+7x \"
,--*f 3x-9 )
106
|
osantillana

108. Estándar: pensamiento nttméilco y pensamientc vartactonal
i
Encuentra el valor de cada límite.
( x'_
.1 '\"
'
LllTl I
-
|
'-o ¡ -¡ 1 ,l
,.,-(t-.orr)"
,-r, x )
umlr+ I
l
'-r x-4)
, .li l
,,1- [
sen 5x
)
,-o sen 8x ,/
h.
a. ri-
f -taul l"
'
\-r) COq f /
lg (;h).'.^
|11
f:, + 2)'""r'
,.1n., I
sen 5x
)'
I
,-o 2x )
d
Halla el valor de cada límite si es posible.
r(ff)
Li-
[-+r:rr--l)'
'
,.,-f 7r'+4*'-3
)'
il" I zr, 6x, . 5x' /
,.,-f xt-ox'-¡ I
I
,- 2x'r6x-ll/
,-,-[ sx'+z )'
'-.\4x'-x-l 6)
!*(-"-';"
'-,-
[ ¡*'- zr'- r
)
4x' + 3x' -t 2x) )
,r^(
zx - z
)^
'-' x-ll )
,-,,.,-,f ¡*+z )''
zx'- 2x:) I )
a.
lyl f (,): z
b. Lím fix.¡ : I
r-2
-
4
o
b'
h.
C.
d.
e.
f1¡i /(,r):
+
f
I-g f(.):+
li1l
f G): -z
l,1i
f G): +
Encuentra una función exponencial que cumpla
con las condiciones dadas en cada caso.
fli /('l
:
+
lyfa):z
Determina si la solución de cada límite es verda-
dera o falsa. ]ustifrca tu respuesta.
a. ,.,-f
zx -ox )" :x
-. 3xt - lx - | )
b. ,,rr,
( 3*'- 2'' - |
)' :
n
x'*l )
c. r,-f zx'-¡ ll:,
\4x'-3x-l)
/r..'_ r...-6x
)'_d. Liml
to
"n | -
-¡x -l 2x-1 )
c. Lím
2'- 10
.t )'. x'o + 5
r . xr-ll
O. lllTl
-
t +, 2t
c
4
Halla el límite de las siguientes funciones.
L
-,
_1
a. Lim' '

-a- I
x
l.r r )
b. Límt't
,;- 3, -f 2
Relaciona cada gráfica con el valor de cada límite.
s'
l11
(r +-:r)" : ,'
a. ,r^(
x: - 2xn + n:
)"
-
.-.
rt )
b y^lEr+:ú)'-,
,
y:y('#)'*, -
e,i t
Yy?'i-)'- "-'
I 1
o
I
J
il
'J
:l
t
,/i
tl
ti
osantillana
| 107
de
h
)tre -
x
-cp
d.
/

109. La función f(x) tiene por asíntota horizontal la recta
deecuacióny:b,si LÍm f(x):b o Lim f(x):b.
x)-'. ,)-
Para determinar las asíntotas horizontales de una función hay que calcular, cuando
exista, el límite de f(x)
cuando r tiende a - o cuando x tiende a -§.
Los valores de
estos límites determinan las asíntotas horizontales. Por ejemplo, para encontrar la
asíntota horizontal de la función f (x) -
4x3 + 5x + 2
se calcula el límite:
'
2xt-l 2x-11
Asíntolos de uno función
,r^
4x3t5x*2:Lím
,+- 2x3-l 2x-ll ,--
-
4-010 :4 :Z
1 2
'
| 2+0+0 2
L-T--T-
x2 x'
Luego, y : 2 es una asíntota horizontal de la funciórf(x), como se muestra en la
figura 6.
La función f(x) tiene por asintota vertical la recta de
ecuaciónx:a,si Lím f (x): -+a o Lím f(x) :-f co.
x-a x)a+
Por ejemplo, para determinar la asíntota vertical de la función
SG)
:
-4=
x1-3
La función g(x) no está definidapara x :
-3.
Además, en Ia gráfica de la función
g(x) se aprecia que:
,LjT
s(r)
: o. y
,LiT
§,(x): -cr-
Por lo tanto, la recta con ecuación x :
-3
es una asíntota vertical. La gráfica de la
función se muestra en la figura 7.
x Ejempto
Encontrar las asíntotas horizontales yverticales de la función /(x)
:
;Í *
Lím f(-r): Lím
x' :
Lím
l-uJ' .r-, Xl
-41f
t-,y_ 4
x
_ I _1
1-0
Luego, la recta y : I es una asíntota horizontal de la función/(x).
La funciónfx) no está definida para x :
0 y x :
4.
Comolím ,
x'
, :Lím x
-
0 :0
r-oXj-4xr x+oX-4 -4
Entonces, en r :
0 no hay asíntota.
En r :
4 hay una asíntota vertical para f
(x) :
A! 4x,
I
t
a
Y
t
4 .x
,1
Fiqura 6
v
I x
Figura 7
108
losantittana

110. -4
)
-)-1
0 3 4
17
6
-2
_2
3
_!
2
'10
17
2
Asíntotes cblirues
Una función f(r) tiene asíntota oblicua si
diferente de 0.
¡1-
/(')
o Lím
f
(*)
existe
1,
es
):). jr J) :: x
La recla y - mx I & es Ia ecuación de la asíntota oblicua de/(x) si:
|-g
t/{r)
(mx i b)l - o en donde:
f (x)
m: Llm
Y
b: Lím lf (x) -
mx)
f(*)
x
lf
(x)
-
mx)
m: Lím
-I)
J'
b: LíM
\- r-
Dada la función f
(*) : *' *
!
.
x-2
a. Determinar si tiene asíntota oblicua. Si la asíntota existe, escribir su ecuación.
Se calcula el Lím 'f
(')
uri,
, )- X
x'+ l
f ( r\
I-í-
Jt^':l-ím x -2
)7, X a)- X
^.2Lj: Lim :
Lím
,-- X2-2X x)@
Como ¡1-
/(') :
1 , entonces, la asíntota existe y m : l.
r +7 V
-\hora, se halla b así:
b: Lím lf (x) -
mx)
..1 r l
:Lím ^ ''-r
¡:-. X -
2
xr+t-x(x-2)
-- l
1-L
xrll-x'-l 2x _Lim 2x-ll _.,
x 2 't- x-2
Por tanto, la ecuación de la asíntota es /
: x -l 2.
b. Realizar la representación grálica de f(x).
. La funciónflx) tiene como asíntota oblicua Ia
recfay:x12.
. Además, tiene una asíntota rrertical en x :
2,
no tiene asíntotas horizontales.
La tabla de valores v su gráfica son:
: LíM
: LíM
osantiliana
I
iü9
Est ein da r: pen sa nti e nic n ti m ér t co
¡;
pe n sc m i e n [o v a n cci o n ai
I
I
le la
Lx2
ia
ron
v
2
vx
t_>- x

111. 1 t0 r00 1 000 10.000
Resuelve para la funciónflx), a partir de la tabla de
f(*) _ 4xz-5x
x 2x2*7
[¡
i,l
l-;
i,q]
a.
¿Es
cierto que y : 2 es una asíntota horizon-
tal?
b. Cuando x ) @,
¿es cierto que la gráfica de la
función flx)
se ubica por encima de la recta
y:2?
c. ¿Qué
ocurre cuando x ) -a?
lJtllizalos límites para encontrar las asíntotas ho-
rizontales y verticales de cada función,
-l-10-r00-
1.000-
r 0.000
t:
:¡
il
i:
:l
:¡
E:
1;
1.:
ii a
1:
:l
o
b'
h.
l.d
l-
e. h(x):.1
*
i. f(x):-L
!'-3
t' r\"'
Jx'-4
::
y determina si hay asíntotas
ada.
g' t^
x2+9
" ,+l+ X-3
::
,i o. Lirn
r
h. Lírn
r'- 8
1a )3- x-J x-z- x-2
l: .. Lím ! i. Lím
1
,,, .-o * x:z+ ¡.-).
::
:!
::
ll0
|
o santillana
Ejercito: 2-3-4-5
Resuelve,si f(x)
:
-2 ^
y g(x) -
-n-
Pre--' J'
x-2'" x-2
sentan una asíntota vertical en r :
2. Determina
en cuáles de los siguientes casos se presenta la
misma asíntota. Explica tu respuesta.
a. f(x)
+ g(x) c. f(x)'g(x)
b s(x) - fU1 d. ++
sG)
4l
O"t"r-ina todas las asíntotas de cada función.
.
^-l
a. f(x\:
n -7xll
':" r \-''
2x2 -
5x3
::
(x * l)'z
c. g(r): xt-7x+l
ó\--,
2x + g
d. s(x) : {'-
l
e. t(x\:
xi -
6x2 + I2x -
8
r\"'
xz+x-6
@
Co*pt"ta Ias tablas de valores para la función ::
- indicada y Ia recta descrita. Luego, responde las i,
preguntas.
rl..\- 4x)I6x
, t^,:
' 2x-3
I ro I roo I
looo i
'oooo
l
T---=r---=_:-=-I-- i
ti
!t
Larectay:2x * 6.
il
@
O.,..r.rina las asíntotas oblicuas de las funciones
-
y reahza un bosquejo de la gráfrca de la función.
a. f(x):
*'t,5:
c. h(x):
2:')+ +
x*2 21-x
b. s(x\:
2x2 - 4
d. f(x):
5 -
3x3
x-l
J '
2x')-t8
t0
'100
1 000 10.000
10 r00 1 000 10.000

112. Funciones continuos
Una función es continua cuando a pequeñas variaciones de la variable independiente
corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente.
Por ejemplo, las siguientes funciones presentan algún tipo de discontinuidad:
Lím f(x)+f(z)
r+2-
Lim f (x) no existe
J)0-
Lim f
(x) no existe
JJ0
Generalmente, al combinar funciones continuas mediante las operaciones, se obtie-
nen funciones que también son continuas.
Por ejemplo:
. Siflx) ),g(x)
son continuas, entonces, también son continuas las funciones forma-
das como:
f(x) - g(x);f(x) 'g(xl; l9l sig(x) * oykf(x)con k € R.
g(x )
. Si.y :
f(*)
es continua y si g(x) es continua, entonces, la composición g((x)) es
continua.
. Las funciones polinómicas son continuas en todo R.
. Las funciones racionales son continuas en todos los números reales de su dominio.
. Las funciones trigonométricasfx) :
sen x;flr) :
cos x;/(x) :
tan x;f(x) :
cot x;
f(x)
:
sec x;/(x) :
csc r, son continuas en sus respectivos dominios de definición.
. Las funciones exponenciales son continuas en todo R.
. Las funciones logarítmicas son continuas en los números en los cuales la ex-
presión para hallar el logaritmo es positiva. Es deciaflx) : Log, x con a ) 0 es
continua siempre que r sea positiva.
. Las funciones con radicales de índice par son continuas en los valores que hacen
el radicando positivo. Las funciones con radicales con índice impar son continuas
en todo R.
Gráficamente una función es continua si su gráfica no presenta cortes ni saltos. Como
:n la figura que se representa a continuación.
osantillana
I
lll
Estándar: pen s a n'tienta n u mé ri co y pen s c m ¡ e nta va r i act o n c¡l
,
I
I
7
I
x

113. tt Ejemptos
ffi
o.t"r-inarsilafun ciónflx) :
2x3 -
z i + x + to
es continua en x :
3.
. Se comprueba quefl3) existe.
f(3)
: 2(z¡z -
7(3)2 + (3) + 10
:54-63+3+10
-4
Comofl3) : 4, esto significa que/(3) existe.
. Lím f (x): Lím 2x3 -
7x2 + x * 10.
¡+3- ,!J-3
Comoflx) es una función polinómica, entonces,
Lím f (r) : 2(3)'- 7(3)' + (3) + l0
¡-3'
:54-63-t3il0
-4
Por lo tanto, el
!A/f
xl existe y es igual a 3.
. Como Lim f
(x) :
f
(3), entonces, la función
x-3
f(x)
:
2x3 - 7f * x * 10 es continua enx: 3,
como se observa en la gráfica.
Continuidod de uno función en un punto
Una función.f es continua en un punto x :
a, si cumple las siguientes condiciones:
.
/está
definida en un intervalo abierto que contien e a a y f(a)
existe.
. El límite de la función cuando x tiende a a existe, es decir,
!t*/(")
existe.
. El límite de la función cuando x tiende a a es igual a la función calculada en ¿z, es
decir, Lím f
(x) :
f
(a) .
Una función /
no es continua en x : a, si no cumple algunas de las condiciones
descritas, en este caso se dice que/es discontinua en x :
4 o que presenta una dis-
continuidad et1 x: a.
ffi
O"t"rtrrinar si la siguiente función es continua
en.f : l.
lx+l six<l
f(x):t_r*4six>r
. Para comprobar que flt)
existe, se remplaza
x:lenx*l,así:
.f(x):
x -l L six: 1
ft):t-tl:2
Entonces,fll) existe.
. En este caso, se analizan los límites laterales en
x :
1, así:
.LlT
/(")
:'tiT
l1T rr'l
:
3T
Como Lím f (x):
frl
ces Lím f (x) no existe.
I
-
I-
. Como
lylf
O no existe, entonces, tampoco
cumple la tercera condición.
La siguiente figura ilustra la discontinuidad de
la funciónflx) en x: l.
x1-l:\-ll:2
-x-l 4:-lÍ4:3
2yLím /(x):4,enton-
lle
losantillana

114. ES
CS
ts-
[on-
Continuidod de uno función
en un intervc¡CI
Una funciónf es continua en un intervalo abierto (a, b) si/es continua en todos los
puntos del intervalo (a, b).
Una función/es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:
.
-f
.r continua en el inten.alo (a, b).
.
,Lím
f txl - f ta) y
.Lím
/( x\: f
(b)
La representación gráfrca de dos funciones continuas en un intervalo son:
''t;"
':-
i J"t.5 i :i'i::
§ ::
a..-s :t
. j t: !.:-i. -_i
Analizar la continuidad de la función/(r) en los intervalos ( -
2, 0) y [0, 2] si
La representación gráfica permite
-nisualizar
el comportamiento de la función
),
fa-
cilita su respectivo anáiisis. En este caso la gráfica de/(x) se muestra en la figura B.
En el intervalo (-2,0),la función está definida de dos formas distintas, por tanto, se
comprueba la continuidad en x :
1, así:
.
f(-
1) existe y/(- 1) :
1
dde
Lím /(x):
Lím
-ri I -rJ I
Lím /(r):
Lím
ri I a) I
. Como fím,/(x) :
/(-t), entonces,/(r) es continua en r :
-1y,
por tanto,
en (-2,0). Ahora, en el intervalo [0,2] se verifrca la continuidad de (x) en x :
1.
1_ 1 ,
I
r-l
1
-t
-
I
Fgua8
.
f(x)
existe yfl) :
2.
Lím.[(xl Límx:l
I
. '-r ' !
I
Lim /(x)
Línr (3x
- l) - 2
|
, .r
l
La función flx)
no es continua en d :
Lím f (x) no existe
-! I I'
/
x
oSant;iiana lll3
1, por tanto, tampoco en el intervalo [0, 2].
)
Estúndar : pensant tenia nu mérico,v Densamienta vcrt cci onal
)
I
tza
ien
/
/
x

115. Encuentra los puntos donde la función no es
continua. Luego, determina en qué intervalos son
continuos. Justifica tu respuesta.
Determina si cada función es continua en el punto
dado.
a. f(x):1-xienx:-l
b. f(*)
:
-x2 I 3x en x: +
2
c. g(x):J.-2 enr:1
1".
d. h(x): ---t! .
en x: -2
x--x-o
enx: 5
"r
r: -a
2
sí x* 5
si¡:5
x si x:0
g. h(x): ! six(0
x
T_
Vx si x) 0
enx:0
ii
li
!t
it
il
¡i
i3
i:
ti
f$
fl
ti
]i
il
11
!
lla
I
osantillana
Continuidad de una función
Anahza Ia continuidad de la función en el inter-
valo indicado. lustifrca tu respuesta.
a. f(x)
:
4 x -
1 en el intervalo [-4,
1]
b. g(x) : J.' -,
en el intervalo [-3, 3]
c. f(x):
2
en el intervalo [0, 5]
x- 5
x2 si-2( x1-l
si -1
< x( I
si 1< x< 2
en el intervalo l-2,2)
la alo indicado.
<2
a. <5
b.
c.
Encuentra los valores ay b, segrtn el caso, para que
Soluciono problemos
E
c
t
D
ci
ft
a.
L¿
de
LJ
x-
Se
Lít
x-
Se realizó un estudio sobre el tiempo (f, en minu-
tos) que se tarda en realizar una prueba de atle-
tismo en función del tiempo de entrenamiento de
los deportistas (r, en días). Se obtiene la siguiente
función:
Responde:
¿Es
posible afirmar que entre más se
entrene un deportista menor será el tiempo em-
pleado en la prueba?
Itt-tltrl

116. Discontinuidodes
Una función no es continua o es discontinua, cuando no se verifica alguna de las
condiciones descritas para ser continua. De acuerdo con la condición que no se ve-
rifica, se presentan varios tipos de discontinuidades.
Las siguientes gráficas corresponden a funciones discontinuas en un punto:
La función /(x)
es discontinua
en x :
2 porq,te
flx)
no está de-
finida y, sin embargo,
liyf
(*)
existe.
La función g(x) es discontinua
en x :
1. En este caso, g( 1 ) existe
pero Lím g(x) no existe porque
los límites laterales son diferentes.
La función h(x) es discontinua en
x: -2
porque la función no está
definida para x - -2y,
además,
Límrh(x) no existe.
f(x) I+=six+
3
"
[o six-3
b' g(r) :;=
La función g(x) es discontinua en x :
f
f ott,r" t"
función tiene una asíntota vertical err x : a. Co-o
,(+)
no existe ,
e
g(x) no existe, entonces, la
discontinuidad de g(x) no es evitable.
-)
Lím
r-3
3+
Se redefine la función de tal forma que se cumpla
Lím f(x)
:
f
(3), como se muestra a continuación:
-1-
v
x)
x
v
\x)
x
v
t(x
1
Disconlinuidod evitoble
Una función /
presenta discontinuidad evitable en ,ú : a si ocurre alguna de las
siguientes condiciones.
.
f(a)
no existe y
linf«O
existe.
.
f(a) y ftnf(x) existen, pero no son iguales.
En una función que presenta discontinuidad evitable es posible redefinir Ia función
con el objetivo de eliminar la discontinuidad, de tal manera que Lím/(x) :
f
(a).
x Ejernptos
Determinar si la continuidad de las siguientes fun-
ciones es evitable. En caso afirmativo, redefinir la
función para que sea continua.
a. f(x):
*'-
?
x-5
La funciónflx) es discontinua en x :
3 porque no está
definida para este valor. Ahora,
Lím
x'- 9 :
r+3 X
-
3
:Límx]-3:
(x-3)(x+3)
x-3
J-O
qr.-
Estánda r : pen sa mi ento nu mér i co
;r
pe n sa m i ento v ari aci o n al
IU-
le-
de
nte
SSC
3m-
I

117. :+ Ejemptos
Verificar que cada función presenta una discon-
tinuidad esencial.
a. f(x):
3r -
2
xr_
g
La función no está definida para x : 2. Luego,
'x- 2 : -¡Lim /(x)
: Lim
g
x+2 x)2 X3- 8
Limf(x): Lím
3x-2
--
*¿2*"' x¿2+ X3-8
Como los límites laterales no existen, entonces,
/(x)
presenta una discontinuidad esencial en x :
2.
Lagráfrca de la funciónfx) es:
fx'-lsix<0
b. g(x): 1 .-
[V* six]0
En r :
0, se tiene queg(0) :
1.
ríry g(x) :,a-T
x2 + 7 : 02+ I :
1
ríry g(x) :
"L]T
.r[: 16: o
Como los límites laterales existen pero no son
iguales, entonces, g(x) presenta discontinuidad
esencialenr:0.
ll6
losantillana
Discontinuidod no ev¡toble o esenc¡ol
Una función
/presenta
discontinuidad no evitable o esencial eÍr x : a si Lkn f
(x)
no existe.
Al analizar que Lim f
(x) no existe se pueden presentar dos casos:
. Los límites laterales existen pero no son iguales, es decir,
lyy
f O + Lim f
(x) .
. Alguno de los límites laterales no existe. Puede ocurrir que los dos límites laterales
no existan.
';'iii D"t"r-inar los interyalos de continuidad de la
función dada. Luego, trazar la gráfica corres-
pondiente:
l-:
| ^ six12
g(x): { x(r - l)
I
lx'-4x-l 5six>2
Esta función presenta discontinuidad en x :
0, en
x:Lyenx:2.
. Lím s(x): Lím
xt : Lím
r-uo u x(X-l) r+o ¡-l
0
-^
0-l
Pero g(0) no está definida.
'
.Lg s(x): IY;ff
:--
Iím g(x):.!1T
;é\:
*
En x :
1, la función g(x) presenta una disconti-
nuidad esencial y g(x) tiene una asíntota vertical
enf:1.
^")
12
'
,ti3
8(¡):,L., ;k- D
:1f
-¡:2
l-ím g(x) :
,tfT.
x'- 4x f 5 : I
En x :
2, Ia función g(x) presenta una disconti-
nuidad esencial.
La gráfica de Ia función g(r) es:
Los intervalos donde la función g(x) es continua
son: (-r,0) U (0, i) U (1, 2) U [2,a)

118. Está nd ar: pe nsa m t ento n u rnéilco y pen sG m i ento var t aci o n a I
x)
5 sir{ 1
si x > -1
si x( 0
si x> 0
Observa las gráficas y encuentra los puntos en
donde la función no es continua. Luego, indica si
la discontinuidad es evitable.
Realiza 1a gráfica de las siguientes funciones.
Luego, determina si son continuas o no.
I
^
f /--
-
f
d. , t-\,
- 1
.\L
l.i' 1
b. s(x)-
I
-
-r,-1
^.1 r
-).,
I L^
c. /11.r'
.1
:
x).
ales
le la
:res-
0, en
I
;conti-
'ertical
isconti-
e
si x> 3
si;(3
sr 2 < x( 6
six(2
si ¡) 6
Determina e1 punto en el cual la lunción es dis-
continua. Luego, indica el tipo de discontinuidad.
Justifica tu respuesta.
r^ xl 2x
a. J\x):
x
, Yr -
2" -_lO
h.D. g(x):
_
Y-5
o
b
Estudia ia continuidad de cada una de las siguien-
tes funciones.
a',t'':
{i
b. ,,r,
:
{r'
Redefine cada función para que sea continua.
six<0
si ¡) 0
-r",I
x
six*0
six: 0
--2
st x* 4
six:4
six(3
six:3
si x) 3
o santitlana
i
117
d
c
continua

119. Límites
Un atleta tiene que recorrer una distancia de 400
km. Si el primer día recorre la mitad, el segundo
día Ia mitad de lo que le falta, el tercer día la mitad
de lo que le falta y así sucesivamente,
¿cuántos
días
tardará el atleta en recorrer los 400 km? |ustifica.
O
t, la expresión
{;}
*-r, aza n por 1 y halla el
cociente, luego, remplazapor 2yhalla el cociente.
Luego, por 3 y halla el cociente y así sucesiva-
mente.
a. A medida que va aumentando el denominador,
¿el cociente se va acercando a un valor especí-
fico?,
¿a
cuál?
b.
¿Cuál
será el último valor para el que se pueda
hallar el cociente, en esta situación?
Realiza lo que se indica para las siguientes funcio-
a.
b.
c.
Construye la gráfr,ca de cada una de las funcio-
nes.
En cada una de las gráficas halla los límites
laterales cuando x tiende a 2.
Halla los límites laterales en f(x) cuando x
tiende a -
1.
Halla los límites laterales en g(x) cuando x
tiende a 1.
Halla los límites laterales en h(x) cuando r
tiende a -
1.
d.
e.
Utiliza la definición formal para demostrar los
siguientes límites.
a.
lr*n* - 2: r0 f.
b.
liy6:6
s.
c. Lím3x+I:4 h.
r+I X
d.
lg
J;: r i.
e. Lím--4:2 i.
x-2
l2x+5 3
Lim 2x) :
18
r+ 3
Lim 3x - l: -4
rr-l
Lim 5x: -20
n..2 a
Lím
*o t :7
Y
-
-)
1
,r,,,
x2-16 _,
x)4 X
-
4
Dado Lím
x*2
x+-2 y2- !
b.
c.
a.
d.
Calcula el límite utilizando el método de susti-
tución.
Usa los límites laterales para encontrar el 1í-
mite.
Construye la respectiva gráfr,ca para encontrar
el límite.
Encuentra el límite utilizando la factoriza-
ción.
Lim
xt3
x+-3 X2-9
ti^
x2*4x*4
x--2 X -f 2
¡_i^
x2 -
49
x+-7 162*8x*7
yi^ x2 -
2x
rr0 X
Lím cos x
f +f
Lím cot x
x)L
4
f. Lím csc ¡
Í)2r
e.
d
e.
a
o
b'
h.
Lím x-|l:-1
J+ .2
Lilrr -2x
:
-2
Calcula los siguientes límites utilizando cualquiera
de las diferentes técnicas.
a. t¡n
3x2 -l llx 1- 6
x). 3 X 1- 3
^._Á
b. Lirn
o
=
r-rx2-7x-l12
c. ,^
x:+8x-7
x+ / X -f /
^"L1
d. Lím ^''
,+ r Jy2*5x*2
--l, _3:0
3
c.
Determina, cuando sea posible, los siguientes lí-
mites trigonométricos.
a. Lím sen x
x+0
b. Lím tan x
"+44
c. Lím sec x
x )Í
d.
e.
Para cada uno de los límites halla un 6 > 0.
b.
Lim-3x*5:5
rJ0
Lito:, x -1:-5
x )-4
^-2
Lim
x :3
x+J J
x-7
f. Lím
xJ-3
b. Lim,f(x)
S)
Cal.,rla los límites indicados según Ia gráfica.
a. Lim f (x)
x)-l-
ll8
|
oSantillana

120. 10-
fes
JX
ox
lox
usti-
el lí-
ntrar
tÍtza-
luiera
r-l 4
2
49
x*7
c
ntes lí-
Gl Er.r.rtra el valor de los siguientes límites.
a'
,tg
(
1+
3
@
O"t".-ina cada uio de los límites en el infinito.
,-;; 6*+4x-3
c. Lím
5x1* 3x - I
r), Xt- X-l
5xs -
2x3
x5+4x)-
-7x2 + 4
x2
,)
b. u^(
,-. \
c.
d.
a
b. f(x):
Jx' -f
_2
c. f (r):
J'
x*3
e.
Encuentra las asíntotas horizontales y verticales,
donde sea posible.
a. f(x):
x2-+ 4
'
xr_l
b. f(x):
3
6-x
c. f (x): -2x
't I
d. f(x):
x
tan x
En cada función halla todas sus asíntotas r¡ cons-
truye la respectiva gráfica.
- *
d' f(x\:'l'x-3a. j(x):\ih+T
x_2
x-13
@
»",.r-ina si la ecuación de la recta dada es asín-
tota a la respectiva función.
a-y:3
b. ,:a,2
c. y: -2
Continuidod
4]|
O.t..-ina los intervalos de continuidad para cada
una de las siguientes funciones.
a. f(x):
2
d. f(x):
x -
3
x-2 3
)'
b. f(x): ry e. f(x): J3r + I
x-2
c. f(x):
#) Prtubl"ce si las funciones son continuas en el
punto dado.
a. f(x):Vr+1 enx:-9
.,r1
b. f(x): ^
1
enx: l
' x-l
c. f(x):-L"n*:-I' ..l+x+l 4
enx:-2yx:l
5
@
Obr"., a la gráfrca de las siguientes funciones.
Luego, determina los intervalos en los cuales la
función es continua.
a.
osantillana
|
119
-
r. f(x¡:

121. El limite de una funclón f(x) se de-
fine como:
lím,f (x): Lsi para cualquier e > 0,
existe 6 > 0,tal que si
I x - a 16,
entonces, If1x) - L
.-e.Elvalorde
E depende del valpr de e.
Además, Lim f(x) : L si sólo si
,L9rtrl
:ty,Lg f(x):L
Para calcular Lím f(x) se puede:
1 . Aplicar el principio de sustitución: remplazar
x por a en la función.
2. En las funciones racionales con indetermina-
ciones, f aclorizar n u merador y denom r nador
y simpllficar.
3. En las funciones radicales con indetermlna-
ciones, multiplicar numerador y denomina-
dor por el conlugado de la expresión donde
aparecen radicales.
4. En las funciones tngonométricas con lnde-
terminaciones utilizar ldentidades trigono-
métricas para trans formarlas en otras de la
forma
sen x
o
l-cos x
XX
5. En funciones con indeterminaciones de la
forma 9
dividir numerador y denominador
entre la variable de mayor grado que apa-
rezca.
6. Las funciones exponenctales que presentan
indeterminaciones se deben transformar
/ - \'
en expresiones de la forma l1 + -J-l
x/
Son expresiones que no Permiten
definir el valor del lÍmite de una
función. Existen los slguientes tipos
de indeterminaciones:
oc
-
cc,0 .
.l *,
-o y 00.
^^-
ñr
w"-
Una función f es continua
en el punto x :
c, si'.
I f está definlda en c.
2
líyf(x)
existe
3
!T
f(x): f(c).
Una funciÓn f(x) tiene una asíntota vertical en
x: asl Lím f(x) :-+3¿
Una función f(x) tiene una asíntota horizontal
enY:bsi Lím f(x):b
Una funcrón f(x) tiene una asíntota oblicua en
y:mx+b
f(x\
si Lm ''',:m*0yLimtf(x)
-mx):b.
--t X
,)-,
Si dice que una función f es discontlnua en
x : c,si no cumple alguna de las condicio-
nes dadas en la definición de continuidad.
Existen dos clases de discontinuidad:
1. Discontinuidad no evitable:sj Lím f (x)
no existe.
2. Discontinuidad evitable: si Lím f(x)
existe, en tal caso la función se redefrne
haciendo Lím f(x) : f(c),
I
lZ0
losantillana
EH :=IHTEEIE...
Fu nciones discontin uos

122. Continuidod
en la función
pora el colendorio
El calendario actual es usado desde que el papa Juan I
encargó al monje Dionisio el Exiguo, en el siglo VI, que
estudiara la fecha de nacimiento de fesucristo para con-
tar los años desde su nacimiento. Este monje después
de estudiar la Biblia y otros documentos, determinó
que Jesucristo había nacido al comenzar el dia 25 de
diciembre del año 753 de la fundación de Roma, así
que a este año se le denominó año 1 antes de Cristo y
al año siguiente, año 754 de la fundación de Roma, se
Ie denominó año I después de Cristo y de esta manera
se continuó contando los años hasta nuestros días.
Para determinar a qué siglo pertenece un año espe-
cífico se puede definir la siguiente función a trozos,
recurriendo a la función parte entera [xl.
Sea/(x) el siglo al cual pertenece un año x, definimos
f(x)
así:
sir>0
six(0
@
R"rpord"'
De esta manera, el año x :
2009 pertenece al siglo
ITrzooe - 1)l
/(,r):ll
' 'll +l:21.J'
tL 1oo
ll
[rl cuando x tiende a 2 y determina si Lím ffrl
existe.
Analiza Ia continuidad de la función parte entera
[x] en cada uno de los números enteros.
Determina si la función parte entera [xl
es discon-
tinua evitable y justifica por qué.
Construye la gráfica de Ia función/que determina
@
R"rporde:
¿A
qué se denorninó año I d.C.? ! Halla los límites laterales de la función parte entera
@
Corr,rtta cómo era el calendario que se usaba en
Roma antes del implementado por el papa Juan.
.
¿A
qué siglo corresponde el año 200 d.C.?
.
¿A
qué siglo corresponde el ano 324 a.C.?.
el siglo al que pertenece un año específico asu-
miendo que r toma valores reales.
@
O"nr" la función parte entera [xn en los números
Si asumimos que el dominio def(x) es el conjunto
de los reales, analiza los límites laterales cuando x
tiende a 100.
reales y construye su gráfica.
osantillana
llEI
Y esto que oprendí,
¿PARA OUÉ ME SIRVE?
Para determinar o qué siglo pertenece
un oño.

123. COMPETENCIAS
Est¿ c¿rrer¿ se creó en el año
1B82 en un¿ unversidad de
Alemania Il¿mad¿ Universid¿d
Técnic¿ de D¿rmf¿d, donde
anteriormente el estudio de a
ele«ricidad había sido parte
del pensum de los estudios de
Fisrca
En Estados Unidos, el estudio de
lngeniería Eléoric¿ lo inició.1¿
Lnivers dad de
(ornell en BB3
En este período de tiempo se
hicieron numerosos avantes en
inger eria erectrica: por eierr-
plo, Tomas Alv¿ Edison enren-
dió en 1882 la primera red
eléctrica ¿ gran escala.
LABORALES
lngen§erío eléctrico
uno cilrrorc porc
Io energío del pois
¿Y por qué es ¡mportonte
Io correro de ingenierío eléctrico?
El propósito de la Ingeniería eléctrica es analizar y solucionar problemas
energéticos teniendo en cuenta el medio ambiente y el beneficio para la co-
munidad. Además, vela por una buena planeación y diseño de los sistemas
de trasmisión y la administración de la comercialización de energía eléctrica.
¿Qué competencios desorrollo
un ¡ngeniero electricisto?
Los ingenieros electricistas son profesionales capaces de dar soluciones efi-
cientes al suministro y aplicación de la energía eléctrica de acuerdo con la
seguridad, productividad y beneficios sociales y ambientales. A1 finalizar su
carreÍa, un ingeniero electricista estará en capacidad de:
. Diseñar y dar soluciones a los problemas relacionados con la generación
y producción de Ia energía eléctrica del país.
. Analizar y plantear políticas para dar solución a los problemas del uso
racional de la energía y así contribuir a mejorar el medio ambiente.
. Planear, diseñar, construir y administrar los diferentes aspectos vincu-
lados con la generación y transformación de Ia energía, el control y la
comercialización de Ia misma.
. Realizar de manera sistemática, informes, relacionados con las políticas
operativas y el planeamiento de los sistemas de potencia y su relación con
el problema energético.
. Diseñar estrategias para conservar las fuentes de energía y la óptima uti-
Iización de la energía.
. Dirigir y ejecutar proyectos de generación, transmisión, distribución, uso
de la energía y automatización industrial.
. Diseñar, planea¡ dirigir y ejecutar instalaciones eléctricas en la industria,
en el comercio y en ambientes especiales.
¿Qué competencios debe tener
un ospironte o !o correro?
Un estudiante de media que aspire ala carrera de ingeniería eléctrica, debe
tener conocimientos y aptitudes en física y cálculo matemático, además debe
tener capacidades de síntesis, interés científico, habilidades y conocimientos
para comunicarse en forma oral y escrita ¡
finalmente, debe tener facilidad
para el análisis y Ia solución de problemas.
IZZ
I
osantillana
-a

124. +
+
a
u
;o
1-
la
AS
)n
ti-
¿Y cÓmo es
el plon de estudios
de ingenierío eléctrico?
El plan de estudios tiene los siguientes ejes que
se desarrollan en el transcurso de Ia carrera:
. Disciplinas de ciencias básicas
. Disciplinas relacionadas con las ciencias bá-
sicas de la ingeniería y de ingeniería aplicada
. Disciplinas de formación económica y admi-
nistrativa
. Disciplinas de formación humanística
En la carrera, tienen como fin la formación cientifica de los estudiantes. Algunas de las asignaturas
que se trabajan durante la carrera son: matemáticas, fisica, estadÍstica y probabilidad.
Diseiplinos r*locionades con lc formocién humonistico
Tienen como fin la fundamentación en la rngeniería eléctrica propiamente dicha, para desarrollar las
habilidades y los conocimientos propros del campo de trabajo.
. Algunas de las asignaturas de las ciencias básicas de ingeniería eléctrica son:
circuitos eléctricos, electrónica, termodinámica, mecánrca de fluidos y materiales.
. Algunas de las asignaturas de la ingeniería eléctrica aplicada son:
sistemas de control, subestaciones, trasmisión y distribución, recursos energéticos, investigaciÓn
de operaciones, instalaciones y redes telefónicas.
SO
ia,
ebe
ebe
ItoS
dad
;rril.r:
llZ3

125. Derivodos
Temos de lo unidod
Variación
Derivada de una función
Derivabilidad y continuidad

126. tc ciudad rcsc y noia
Aque la princesa de largos y dorados cabe os estaba
alarmada a observar que cada dia muchos se quejaban
enredados en su peine Pero, para su tranqui idad, la
cuenta se mantenia siempre alrededor de os ciento
cincuenta mil cabe los, pese a que se e caian unos
cincuenta diaros, por lo que no parecia probab e que
fuera a perder su dorado atrbuto.
Llegado e nnomento de tomar esposo, a princesa de
claró que sólo se casarÍa con quien adivlnara a ongitud
de su cabe lera Eran datos sobradamente co¡ocidos e
número de cabellos y los que perdia diariamente, así
como el hecho de que nunca se os cortaba, ya que a
augusta melena era uno de los temas de conversación
más frecuentes en e pa acio. Asique e astrónomo real,
que la amaba en s lencio, se presentó ante la princes,r
(que para confundir a sus pretendientes se recogia e
pelo en un enorrne moño) y e dijo:
Si tenéls ciento clncuenta mi cabe los y se os caen
unos cincuenta diarios, dentro de tres mi días habrán
caido todos os que ahora adornan vuestra cabeza
(aunque, naturalmente, para e¡tonces te¡dréis otros
ciento cincuenta m , que os habrán ido saliendo a
mismo ritmo que se os caen, puesto que la cuenta
d aria demuestra que e número de vuestros cabellos
perrarece r9¡5 ¿n1g\.
Lógicamente, os últimos en caer serán los que hoy
mismo os han salido, lo que equivale a decir que la vida
media de un cabe o es de tres ml dias Puesto que el
cabe lo humano ( nc uso e principesco) crece a razón
de un centimet[o a mes, y tres mi dias son cien meses,
vuestra cabellera debe medir en su punto de máxima
ongitud (ya que en realidad tenéis cab,e los de todas
as medidas) aproxrmadamente un metro.
La princesa se casó con e astrónor-¡o, que, acostun'r
brado a contar estrellas, pasó a ocuparse persona -
r.ente del cómputo de os cabellos, uniendo al rigor
cientifico la so icitud de esposo
far o Frabetti
Tomado de i'liatenóticas I l bacl'lllerato
_España,
Editoria Santl ana,2008
.
Exp ica cónro e astróno ro logró determ nar a ong tud de ¿ cabel era
de a pr ncesa
.
Supónqre a onqtudde cabe o¿lostmeseses /:3rE
¿tuánto
crece e c¿be lo entre os meses 2 y 6,entre os meses 3 y 7y entre los
meses 4 y 8?
¿Es
constante el crec r iento del c¿bel o?
a. Traza una recta tangente a la circunferencia en el punto
P v otra en el punto P'. Luego, responde:
.
¿Puede una recta tan-
gente intersecar a la
circunferencia en dos
puntos distintos?
.
¿Se
intersecan las rec-
tas tangentes? fustifica
tu respuesta.
b. Dos hermanos caminan uno hacia el otro separados
por una distancia de 60 m, como se muestra en la fi-
gura.
Si el hermano rnayor camina a una velocidad constante
de 2,2 mis l, el hermano lnenor a 1,2 mis, ¿cuántos
metros habrá recorrido e1 hermano menor cuando se
encuentre con su hermano?

127. Vorioción
Dada una función y :
f(x), se lama variación de la función f en un intervalo la,b) a valor
f(b) f(a), siempre quea,b € Dom f y b> a.
Una función;fes creciente si/(b) > f")
cuando a < b. Una función;fes decreciente
sif(b) <f(a) cuando a 1 b.
x Ejempl,os
O
tu gráficade la función'.¡frepresenta el desplaza-
miento de un móvil durante t horas.
Hallar la variación de/en el intervalo indicado.
a. F-n 12,4)
Se debe hallar la diferencia entre las imágenes de
los extremos del intervalo, así:
f(sl-f{z¡:1-2:-1
Por tanto, entre las 2 y las 4 horas el móvil se des-
plazó I kilómetro en sentido contrario.
b. En [4,5]
La diferencia entref 5) y f(4)
es:
f(s)-f(4):1-1:o
Por tanto, entre las 4 y las 5 horas el móvil perma-
neció en Ia misma posición.
c. En [5,6]
Se tiene que:
f(6)-f(s):3-r:2
Así, el móvil se desplazó 2 km entre las 5 y 6 horas.
Una editorial deduce que la ecuación de de-
manda para la venta de su próximo libro es:
q: -2p + 213.000
donde 4
es la cantidad de libros vendidos a un
precio dep pesos cada uno.
a. Hallar la ecuación que representa el ingreso
por la venta del libro.
El ingreso es el producto del precio unitario por
la cantidad de libros vendidos, es decir, I : pq.
Como q: -2p
+ 213.000 se tiene que el ingreso
está dado por:
t(p):-2pr+2t3.000p
b. Determinar la variación entre el ingreso
máximo y el ingreso cuando p :
40.000.
Como I es una función cuadrática cuya repre-
sentación gráflca es una parábola que abre hacia
abajo. En consecuencia el ingreso miiximo se pre-
senta en el vértice, es decir, cuando
D: -213.000 :53.250
' 2(-2)
Por tanto, el ingreso máximofl53.250), es igual a
$5.671.125.000, es decir, aproximadamente 5.671
millones de pesos. Además, se tiene que 1(40.000)
es 5.320 millones de pesos.
Así, la variación es
I(s3.2s0) -
1(40.000) :
351.125.000,
como se muestra en la gráfica.
_t_f
|+o.Qoo no.ooo 3o.qoo ioo
io unitario (pesos)
lZ6
losantillana
PENSAMIENTO NUMÉRICO
Y PENSAMIENTO VARIACIONAL

128. )r
c|.
SO
Vorioción media
[a variación media de una funció¡ f en el lntervalo [4, b] es e coc ente que se
define así:
Ay _ t(b) f(o)
Axbu
Donde Axes a variación en x, y Ayes La variación de a lunc ón fen el i¡tervalo [c, b]
Específicamente, si s(f) representa el desplazamiento de una partícu1a a Ios f segun-
dos, se define lavelocidad media de Ia partícuia en el intervalo de tiempo Ir,, /r] como
el cociente:
-- As s(1,) s(f,)
'
t-
nl
- r -
/r
Donde 4§ .or."rponde a la variación clel desplazamiento con respecto al tiempo.
Ar
El desplazamiento de una partícula que se mueve sobre una línea recta se
puede expresar mediante la función s(f) :
t3 - 3t, donde ú es el tiempo en
segundos y s(t) se expresa en metros.
a. Trazar la gráfica de s(r) : F -
3t.
Primero, se hallan los puntos de intersección con
los ejes. El punto de intersección con el eje
7
tiene
como abscisa f :
0, así ia gráfica pasa por (0, 0).
Los puntos de intersección con el eje r, tienen
como ordenada s(t) :
0, de donde t3 - 3t :
0,
luego, las soluciones son:
t-O,t:-v5of:.r5.
1 t
-l
0 It;
\JJ 2
) 0 2 0 2 0 2
re-
cia
rf e-
ala
67t
)00)
[a cnrva.
b. Determinar los intervalos donde la función crece o decrece.
Al observar la gráfica se tiene que:
. Para r < -
1, la variación de Ia función es mayor que cero y en consecuencia
es creciente.
. Para -
1 < , < 1, la variación de la función es rrlenor que cero y la función es
decreciente.
. Para f > 1, la variación de Ia función es mayor qlle cero y por tanto la función
es creciente.
c. Hallarlavelocidadmediaentref :
-1yf -
1
Como s(- 1) :
2 y s(1) :
-2
se tiene que:
v
s(1) -s( 1) _ -2-2 :
1-(-1) 1+1
Por tanto, 1a velocidad media de la partícula entre f
-4_
2
l
I
-2
y t: I es -2
m/s.
L¿ velocidad ind ca qué tan
rápLdo se desp aza un ruerpo y
en qué dirección En cambio, l¿
rapidez ¡o indica a dirección
y por t¿nto se delrne como el
v¿lor absoluto de ¿ ve ocidad
rosantitiana
llZZ
Estándar; pensantiento numérico
1t
per¡saniento vcriacional
t.
,v
\
l
l
t)I t

129. For causa de un experimento la reproducción de
una colonia de 100 hormigas inicia después de 3
meses. La función que representa la población de
hormigas al cabo de un año es:
(
1100 si0<f<3
f(f) :
{J,
llooer 3 si3<t<12
t
Donde f es el tiempo en meses.
a. Verificar que/es una función continua en el tiempo.
Se tiene quefl3): 100. Luego, se calculan los límites laterales.
Lím 100 :
100 y Lín 100¿1
3 :
100
Por tanto, Lím
J'
(t) existe v es igual afl 3). Luego, se cumple que/es una función
continua.
r+'l
b. Calcular la tasa de variación media en los intervalos de tiempo [0, 3] y
13, t2).
En el intern alo [0, 3] se tiene que:
(
:0
3-0
En el intervalo [3, 12] se tiene que:
f(t2)-f(3) _ tooee-1oo
t2-3 9
Por tanto, la tasa de variación media durante los primeros 3 meses indica que
la población de hormigas se mantuvo igual, es decir, no hubo reproducción. En
cambio, al cabo de un año hubo aproximadamente 90.023 hormigas.
Se deja caer una piedra desde un
edificio de 79 m de altura como se
muestra en la figura. Calcular la ve-
locidad media desde el momento que
se suelta la piedra hasta el momento
en que llega al piso.
Primero, se determina el tiempo que
tarda la piedra en llegar al piso utilizan-
zandolaexpresión h(t) :
$,aora"
h es el desplazamiento de la piedra a
los / segundos yges la aceleración de
la gravedad.
h(t):
+--7e: -y=t :
4
5e remplazan los valores de la
oltura del edificio y la gravedad.
5e calculan h@ y h(0)y se
remplazon los valores en lo
fórm u la de veloci dad medi a
Luego, 1a velocidad media es:
- h(1 -
h(o ) -:8.r -
o
t'-..........:................................] :-luA
4-0 4-0
Por tanto, la velocidad media es -
19,6 m/s.
:90.023,15
.!ZB
iosantiilana

130. Vorioción instantóneo
La variación instantánea de una función f se define como
tirn
f(b) - f(a)
b+o b -
a
Siempre que el limite exista.
cuando b : a -thsetienequelavariacióninstantáneade/es rri¡1i
f @ + h) - f
(a)
.
Particularmente, si s(f) representa el desplazamiento de un cuerpo a los f segundos,
se define la velocidad instantánea como el límite de las velocidades medias en el
intervalo de tiempo [f,, f], cuand o t ) t'es decir, tr^
f (t)-
f
(t')
, siempre que
estelímiteexista.
' tst t-tt
It Ejemptos
0
a, desplazamiento de un automóvil en metros, en función del tiempo en se-
gundos, está dado por la expresión s(ú) :
!t'
+ t .
a. Calcular la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, 3].
Primero, se calculan/(:) y/(O).
f(3): Z(y.-t3-6-t3:9
J
Luego, se tiene que:
f(o):ltol'r3:of3:3
Por tanto, la velocidad media en [0, 3] es 2 m/s.
b. Hallar la velocidad instantánea del automóvil a los 3 segundos.
Se realiza el siguiente procedimiento:
!t'+t-o
t-3
1e
in
: LíM
I J3
Se aplica la defrnición
de velocidad i nsta ntó nea
Se efectúan operaciones.
Se multiplica el numerador
y el denominador por 3.
Se factoriza el numerador.
Se simplifica y se calcula el límtte.
Por tanto, la velocidad instantánea a los 3 segundos es de 5 m/s.
oSantillana
llZ9
Está ndar : oe n sa m i e nto n u m é r r co y pen s a m i ento variacional

131. +l Ejernptos
La expresión f (R) :
f
r.p."senta la corriente I en amperios de un circuito
eléctrico, en función de la resistencia R medida en ohmios, donde E es la
fserza electromotriz medida en voltios. Hallar la tasa de variación instantá-
nea de I con respecto a R, para un circuito eléctrico de ll0 voltios cuando la
resistencia es 440 ohmios.
Como E :
110 se tiene que I(R) : f+q
. Luego, se realiza el siguiente procedi-
R
miento:
l\4atemático, fisico y filósofo ing és Fue
considerado,junto con Leibniz, como el
descubridor del cálculo, el cual aplicó
¿l estudio del movimiento y Ja gra-
vitación
110 _ 110
Lím
R 440
R)440 R -
440
48.400 -
110R
: Lím -440R
l?-410 R
-
440
_ t !^ -110(R -
440):
.tlT,7asR(R lMú
: Lím -110
n+uo 440R 1.760
Como
---]-
es aproximadamente igual a -5,68 X l0
4,
se concluye que la
1.760
r
corriente decrece a una tasa de 5,68 X 10
I
amperios por ohmio.
Se aplica la definición de vailación instantónea
Se restan las fracciones.
Se realizan las operaciones y se factorizan
Se simplifica y se calcula el límite
Determina la variación media de cada función en
el intervalo indicado.
".
f(x)
: r en [- 1, 1].
b. f Q):
**'
-
5 en [3,4].
f _
-l
c.f(r):senxenli,nl.
L¿ -I
., A partir de Ia gráfica determina la variación media
I Halla Ia tasa de variación media de f(x)
: 2f - x
r
en los intervaios indicados.
en el intervalo 12,2 * /rl. Luego, utiliza el resul-
a. lr,2l
ia en los
b. [- 1, 0]
d. [2, 8]
c. [1,3]
d'. [2,3)
O devaria-
-5enel
t ,1,;-"-tl Í1] 1 ODemuestraquelavariaciónmedia d"y:2x-3
30lo ,*r,['
son falsas.
a. Lavaríación de/en el intervalo [0, 3] no existe.
b. Lavariaciónmediade/enelintervalo
[1, 5] es20.
c. Lavariación instantánea de/en x: 2 es a.
4'
Variación instantánea

132. Encuentra dos funciones polinómicas de segundo
grado que pasen por los puntos (0, 4) y (3, 10).
Luego, comprueba
Que
la tasa de variación media
en el intervalo [0, 3] es la misma para las dos fun-
ciones.
b. s(r):3t-Pent=-4.
c. s(f):f3-7ent:2.
d. s(r) -
t2 +2
enf :
-3.
f-l
e. s(f): Jt ent:9.
Soluciono oroblemos
Rozono:1-4-5-6
@
Urru pelota es lanzada verticalmente hacia arriba
con una velocidad inicial de 49 m/s desde la parte
superior de un edificio de 39 m de altura. Entonces
su altura h(r) sobre el piso después de / segundos
está dada por h(t) :
39 I 49t -
4,9P. Determina
Ia velocidad media de la pelota en cada uno de los
siguientes intervalos:
a. [0, 1]
b. [3, 5]
c. [11,13]
d.
¿Qué
se puede concluir acerca del movimiento
de la pelota?
@ t, movimiento en una dimensión de cierta per-
sona al bailar se muestra en la siguiente gráfica.
Determina la velocidad media en los siguientes
intervalos:
a. [0,2)
b. 12,3)
c. [4,5;6,5]
d. 17,5;9)
Determina Ia velocidad instantánea para cada uno
de los siguientes tiempos:
a. [0, 1] d, 1.4,6)
Lria- i. rr,rl e. 15,71
parar: l5cmyr:5 cm'dondereselradio
:n el i'. Lr, nl f. 12. B)
de la bola de nieve'
b. Halla la variación instantánea del volumen con
^
g. Responde:
¿en qué año se presentó Ia mayor respecto al radio cuando r : 3 cm.
-
) -.^*i^-iÁ-
--li^
,,
^,,Á
i-+^*^--r^-.iÁ- ri¿n¿ ¿¡r¿
-
IJ^ll^ l^ .,^*i^-iÁ- i-.+^-+.{-o^ ,-l-'l .^,li^ -^-
(O U" una universidad la cantidad de estudiantes
nuevos que ingresaron en los últimos 8 semestres
se resume en la siguiente tabla.
I 2006 r 800
2- 2006 1 720
1- 2007 r 900
2- 2007 1.750
1 - 2008 1.8r 0
2- 2008 r.800
1 2009 I 850
2- 2009 1.830
;u1- Supón que f - 0 corresponde al primer semestre
,^ .^ r^^-^ r.^-^* ,,-^ , ,
tos del 2006, f : I al segundo semesrre del zo ,o y i:r:::"
t" Iogra hacer una bola de nieve con
^^j ^__^^^:_-^*^.^+^ r..^_^ r^+^-* .^^ ,^ __^_,^ .,r!
forma esférica y que luego se comienza a derretir
t, g]
I
media de cada uno de los siguientes intervalos:
i
r"^^-'---" *' -,'"^
:i
a. [0, 1] d, 1.4,6)
a Determina la variación merlia del volrrrnen
r.ariación media y qué interpretación tiene este c. Halla la variación instantánea del radio con
valor? respecto al volurnen cuando V : 288r¡ cmr.
o santillana
|
131
-
-
Estándar: pensanientc numérico y pensamientc vcriccional
3n
ffi[
UuUu la velocidad instantánea de s en el punto in-

133. La ecuac ón punto pendiente
de a rect¿ es:
-/,, _ ,, \
y / -|t\^
n,l)
donde m es a pendiente y
I x, ,11) es un punto de la
recta.
Recto seccnte
Una recta I es secante a la gráfica de una funciónf si linterseca a Ia gráfica de fen
dos
puntos diferentes. La pendiente de una recta secante se define de la siguiente manera:
Sean P(x,, f(x,)) y Q82, fG)) dos puntos diferentes que pertenecen a la gráica de la
función f la pendiente de P es:
-
f(xr) - f(x)
--
ll¡m
xr-Xz
Al expresar r, en función de r,, con r, > r' se tiene que x2: xt * h, de donde
h : *, -
,úr, con 1o cual se obti.ene que:
f(x, + h) ¡(xr)
¡i¡p,):
-
h
Hallar la ecuación dé la recta secante a la gráfica de f(x)
: x2 + I que pasa por
los puntos P(1,2) y Q e2,5). Luego, trazat la gráfica.
Primero, se halla la pendiente de PQ .
5-2 3
-
r
,,,¡',:
-
-/-- L -3
Luego, se aplica la ecuación punto pendiente
para hallar la ecuación de Ia recta.
/-lt:mFa(x-xr)
y-2:-1(x-1)
.-r 1 r')
Y- ' L I L
l:3-x
Luego, la ecuación de la recta secante es l,
: 3 -
-rr.
Determinar la ecuación de la recta secante a la parábola que se describe me-
diante/(x) :
1c2 -
bc + ly que pasa pgr su vértice ypor (0, l).
Primero, se determina el vértice de la parábo1a.
Para esto, se puede completar el cuadrado.
ftxl: x2-+,r+ I -4-4
f(*):
(x2 - 4x + 4) + I -
4
f(*):(x-z¡z-
:.
Luego, el vértice de la parábola es (2,
-3).
Segundo, se determina la pendiente de la recta.
_ -3-1 _ 4:,t
2-O 2
Finalmente, se remplaza e1 punto (0, 1) y m :
diente.
y-l:-2(x-0)
/:-2xit
Por tanto, la ecuación de 1a recta secante es.y :
-2
en la ecuación punto-pen-
-2x
-l l.
13P i-:¡ntili¡n¿
-*l
l

134. Recto tongente
La pendiente de a recta tangente a la gráfica de una función f en el punto (x, f(x)) es:
Es decir, la pendiente de la recta tangente en un punto se define como el límite de las
pendientes de rectas secantes. Así, si P(x,f(x)) y Q@r,f(xr)) son dos puntos de la grá-
fica de/tales que h : xt -
x, al mover el punto Q sobre la gráfrca de f
hacia el punto
P, se tiene que rr1 + xy, en consecuencia, h -+ 0, como se muestra a continuación.
La recta tangente ala gráfi.ca de una funciónf en el punto (*,
f(x))
existe solamen-
te si Lím
¡+0
f(*+h)-f(x)
existe.
x Ejemptos
.\
O ffuU"r la pendiente de la recta tangente a la gráfica deflx): 13 en el punto
(2,8).
Primero, se aplica la definición de pendiente de la recta tangente utilizando los
la potencia
5e reducen términos
semejantes
Se factoriza
Se simplifica.
x3 + 3x'h i 3xh2 I h1 - x3 Se resuelve
ir+0
: Lím
h;0
: Lím
hs0
: Lím
l¡ +0
:3x2
3xh(x+h+h'1)
h
3x(x+h+h1)
Por tanto, la pendiente de la recta tangente af(x) :
x3 en (2,8) es 3(2)z :
12.
o santillana
|
13 3
Estánda r: pen sa m ¡enta n u m éri co y p e n s a m¡e nto v a ri oci o n a I
:I-

135. * Ejemptos
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f
(x) -
I
"n
el punto
x
: Lím - .+
-
Sesimplifica
tt+o x(x+ h)
1
s e calculo el límite
v-
Así, ta pendiente de la recta tangente
"t
-ü - -1
. Luego, se utiliza la ecua-
ción punto-pendiente:
y-l:-1(x-1)
/:-xl2
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es (1, 1) es.y :
-x
-l 2.
@
Hall", el punto en el cual la recta tangente a la gráficade la siguiente función
eshorizontal:f (x):
-x2
+ 4x.
Primero, se aplica Ia definición de la pendiente de Ia recta tangente y se resuelve.
[-x'- 2xh -
h21- 4x + 4h) + x2 -
4x
h
: Lím -2xh - h,-l 4h :
hJ0 h h)0 n
:Lím-2x-h-1 4:-2x-1 4
hr0
Como la pendiente de una recta horizontal
es igual a cero se tien e que -2x
-f 4 :
0. Así,
x: 2y alremplazar enf(x) :
-x2 + 4x,
se obtiene qúe y :4,
con lo cual el punto
de tangencia es (2, +).
Finalmente, como la gráfica deles una pa-
rábola se cumple que la recta tangente que
es horizontal pasa por su vértice.
En general, si/es una función cuadrática
tal queflx) :
axz + bx I c, se cumple que
,,(
-u
rl-¿))
'(. 2q'r 2'))
es el vértice de la parábola que representa af yla recta tangente en Vtiene pen-
diente igual a cero.
1 _1
x-lh x
: Lím
/,+0
Se aplica la defintción de
pendiente de la recta tangente.
5e resuelven las operactones.
v
(24)

:2+4x
x
7.
I I
l3a
losantillana
Rectá tangente
Se calcula el limite

136. Recto normol
La recta normal a la gráfi,ca de una función en un punto dado es la recta perpen-
dicular alarecta tangente en ese punto.
Si m- es la pendiente de a recta tangente a la gráfica de una función f en P(x,, y,), a
pendiente de la recta norma a Ies:
ffi'' :
m-
conm'*o
[a ecuación de a recta nor-ma es:
(Y
- Y) --
m,.,(.x -
x,')
L¿ rert¿ tanqente y a rett¿
norm¿lse cortan formando un
ángulo recto, es decir, de 90",
'\
ffi jempt*s
Hallar la ecuación de [a recta tangente y la recta normal a la gráfica de
f(x)
:
x3 + 2 en el punto (1, 3). Luego,trazar la gráfica.
,.-- (r
_l
/r;1 + 2 -
(x3 + 2) 5e oplrca la definición de
l --; h
pendtente de lo recta tangente
:
Lll
Se real2an las operaciones
: Lim
3x-h I lxh'- h : Lim
h(3x: - 3xh - h')
i-'i, h ¡;a h
: Lím 3x2 l 3xh I h : 3x2
Se stmplifica y se calcula el iírnite
h-0
Luego, Ia pendiente de la recta tangente en (1, 3) es 3, y en consecuencia la pen-
diente de la recta normal .t -+
. Al remplazar en la ecuación punto-pendiente
J
se tiene:
Ecuación de la recta tangente: y -
3 :3(r
-
1)
Ecuacióndelarectanormal; y -
3 :-]{,
- fl
J
Por tanto, y: 3xes la ecuación de la recta tangente)' y: -+, a JO
ss 1¿
ecuación de Ia recta normal a la gráfica de/en (1,3), como r'. rrr.rtiu
"r,
lu
siguiente gráfica.
v
t 3t
+
10
,4
13
-.1
2
+
x
+I
osantillana
I
I35
Estánd ar: pen sa m t enta n tt mé ri co
;t
p en sa m ie nto v,a ri ci c n c I
I
I
-T
2

137. Determinar la ecuación de la recta normal ala_ gtifica de flx) - 3 -
2x2, quc
seaparalelaalarecta I -
lx
- +.
3-2(x-h)'-13-2r-)
I'T,T
3-2x2-2xh-h2-3t2x)
5e realizan las operactones.
: Lim -1x - h: -{x Se colct..tla el limite.
lr-Ll
r
Luego, se tiene qu.
*
es la pendiente de la recta normal. Como Ia recta nor-
mal es paraleia a Ia recta y:
+--l
4, sr.ls pendientes son iguales. Por tanto,
--l
:
* ¿.dondex: I yf(l): l.
4x4
A1 renplazar en la ecuación punto-pendiente se tiene queT - i - -ft't - tl'
de donde v :
-4x
+ J es la recta normal a/en (1, t).
'44
5e aplica lo definiciÓn de
pendiente de la recta tanqente,
: LíM
h)l) h
5e srmplrfica Y
se factortza.
Se aplica la defintciór¡ de la pendiente
de la recta tanqente
Se determino la pendiente de la recta
normal enx:1
Hallar eI valor de ay de b en la funciónfl x) : a* I bx, sila pendiente de la
recta normal a la gráfica de/en (1, 8) es -+
f(1):o(r)2+b(t)
8:a* b Serentplazax:tyy:Syseresuelve
_ 1 :_
1
f I 2a -l b
Se rernPlaza n,, :
2a-fb:ll
]a+h:s
lza+ b: tt
2a -l(.8
-
a) : ll
5e opltca la propiedad íundan,ental de las proDorcrones
5e plontea un ststersa i2 2¡u6¡iones
5esusliluye b - a -
8 en 2a + b : i 1
y se ho!la el valor de o
13ñ
|
oSan¡iilana
Por tanto, o: 3
)'
b :
5 con 1o cual/(x) : 3rr t 5.t'

138. Determina Ia ecuación de la recta secante a la grá-
fica de una función/en los puntos indicados.
".
f(x):
1 -
x2 en (0, 1), (1,0)
b. l")
:
x3 en (- 1, -
1), (2, 8)
c. f(x): e'en (0, 1), (1, e)
d. l(x) --+
en (3, I I, lu,
f
)'
x-2 4/
e. f(x)
: r en (-1, - t), (2, 2)
f. f(x): J; en (1,1), (a,2)
Determina la ecuación de la recta tangente a 1a
gráfica de/ en el punto indicado.
".f(x):r+1en(-1,0)
b. f(*)
:
x2 -
1 en (-2,3)
c. f(x):
I
en (i,1)
x
d,. ftxl
: J.t 2 en (6.2)
e. ftxt: senx"" (+,,)
f. f(*)
: (x -
1)3 en (3,8)
Halla la ecuación de Ia recta normal a la gráfica de
/en
el punto dado.
la
/
en eI punto oaoo.
a. f(x):
(1 - x)2 en (2, 1)
b. /(r)
3 en (1, 2)
c. f(xt = cosx", l+,0)' \2 I
'd,. f(x):
1 f l[ en (4,3)
'e. f(x)
: 2x -
x2 en (0,0)
f. f(x)
: ,,C + 3 en (t, z)
Determina la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de y:3 - lr'
que sea paralela a la
)'r
rectav:x-l l.
Seafx) : (x + 1)3, halla el punto en el cual la
recta tan'gente a la gráfica de/es horizontal.
Halla el punto de intersección de las rectas nor-
males a la gráfica de
f(x)
:
-
x2 -f
2, en ( 1, 1 ) 1,
en
(-1, 1).
Ejercito: 1-2-3-5-6-7 Rozono:9-10-l 1
Encuentra la ecuación de la recta
recta normal a la gráfica de cada
punto indicado.
^ ", -
".]d.)-^
b. v:-+
' Jx*I
c. v:x2(x-3) enx:-2
d. y: (3x-5)r enx:2
e.
f.
o
b'
en¡:4
enx:3
enf :5
enx:0
CN',Ú:TT
Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes
a la gráfica de y : xt + 4x2 -l 2x -l
1, cuyas pen-
dientes son iguales a -2.
Determina si la proposición es verdadera o falsa.
lustifica tu respuesta.
a. No existe función cuya gráfica coincida en
todos los puntos con su recta tangente.
b. Existen puntos de la función
-f
(x) : -L tol"t
f
qlre sus rectas tangentes son paralelas.
c. No existen dos puntos P y Q de la gráfica de
f(x)
:
x2, tales que sus tangentes sean perpen-
diculares.
d. La pendiente de la recta tangente a la curva
(_ I;\
ftxl
:,t;.n
".n
el punto ltxl - |," ; l
CS
--.
2
e. La ecuación de Ia recta normal a la gráfica de
f(x)
: (r + 1)2 en (1,4) es 4y - 17 x.
Trazala gráñca de f.
Determina la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de,f en los puntos (0, 2)
.v
(4, 0), a partir
de la gráfica.
Establece e1 r.alor de a para que /(x)
:
ax1 + I
a.
b.
o santillana
I
l3 7
Estúnd*r: pensamiento nttnértco v pensatn¡ento vartctonal

139. Soluciono problemos
: exactamente en el centro del puente, como se
;:lii-,'
I
' .f
I
138
losantillana
Sof ución de problemas de derivacién
:,7;i
.Laecuaciónquedescribeladiagonaldeuncua-
¡
,-^r^ ^- +;-*:-^^
del lado I es D(I) : JZt.
¡:j ,;ffi;;í)^',:","i,,ii
un Duente ubicado r
---- --:-;
:
-
..' , - .
1i --- r ---^-- --^-'1" i cm.
¿Qué
significa la variación ii
il en el estrecho de I -
"" - o
t,
i¡ - --- ----- se
i caso? 1i
|
^
1.c ! I
ii California a la en- i ;É
i ," magnitud del campo eléctrico E en un prrrrto i!::
l-':
de San Francisco, p
producido por una Íínea infinita de carga viene
1;
,' el cual está sus-
dado por:
'-'- --- o-'
::
,
-^-lll^ ^^-
l^-: pendido por dos I
l
, cables qo" fo.*un una parábola y tocan la calzada
E :
ñ
:
muestra en la siguiente gráfica:
donde es la densidad lineal de carga, Eoes una
.o'u
constante y r es la distancia del punto P a la línea
:'
(640, 160) de carga.
I- "-- I
"""',',
-
I
a. Halla la ecuación de la parábola qr-re representa
t)
los cahles del Golden G¡te
b. Determina la medida del ángulo 0 que forman a. Determina la variación instantánea del campo.
uwr orró uru w
Yu!
Ivr rr¡qrr
el cable y una de las torres. Utiliza la recta tan- b. Responde: ¿cuál
es la variación instantánea
'el caDle y una oe las lorres. vtrrrza la recla lan- D. Kesponde: ¿cual
es la varlaclon rnstantanea
:
gentealaparábolaen(640, 160). cuando r:0,001 m,r:0,01 m, r:0,1 my .
r: 1m?
a;'Ep
u" algunas ocasiones, la forma que tiene un tumor
:i
ii canceroso en el cuerpo humano puede aproxi- .
@ t" un circuito eléctrico es posible variar l"
:q ii
,i marse a una esfera. Así, el volumen del tumor sería
rriente en función del resistor, esto es 1(R) :
+ :.
Á
rrlente eIl IUIICIoII uel resrSlur, e5tu cs r \ñ/ -
--,
V(r):Lnrt.dondeVeslamedidadelradioen ,-,,
R
;i
.
r
't 3
"" *
siendo V el voltaje medido en voltios (V), R Ia ':.
J
lrr rvrllvJ
\'/,
centímetros. resistencia medida en ohmios (O) e f la corriente
medida en amperios (A). Si se supone un voltaje
.
¿Qué significa y cuál sería la variación instan-
| |

140. Derivodo de uno funclón
3€ e L*s
Sea /(r)
: L*+
5, hallar/'(r).
f'lr):r*#
: LíM
,l¡ ) ll
La derivada de una función I es la funcióa f'ta que sl ' € Dom ¡
entonces, f
'(r)
se define asi:
f '(x) -
,l
Siempre que el JÍmite exista.
La notación/'(x) se lee
"e1-e prima de x'l Otras notaciones para la derivada son: j/'
que se lee "derivada de 7" * ,u"se
lee "derivada
cle
7
con respecto a x" y D-, I
que
'dx
se lee "derivada con respecto a x de y".
El proceso para hallar la derir.ada de una función se denomina diferenciación.
l/atemátiro y li órofo a emán, qLre
de:cubrló el cá cu o infi¡iteslm¿1,
J pe o rre e'ed"\er o e'
.'d. ¿,[lto, ao'ool'".-
v¿d¿ ie L n¿ fu¡ción
I conlugado de Ja -
b es
"E+¡
Lx+l-t+S l"
-5
JJJ
5e aplica lo definición
de derivada
5e realizan las operactones
5e simplifica y se calcula el limtte
1
-
'8+.,[
-rE
nces, /'(x) -
|
!t,
: Lim -1-: i-i-
I :
I
,0h33
Por tanto, si /(r)
:
+,
i 5, ento
Determinar 4 ,i y: J; .
fuc
,l;+h-J;
h
: Lím
irr0h6l;+h+../il
dv
' :Lím
dx lt;o
: Lim ',G
+ h - J; .
"l:x
+ U]r:]E
se mutrtptto por
ñ-; h "tG+h+./i
elconjugaCo.
Se aplica al producto notable
(a-b)(a+b)-6t-¡rt.
5e,
pducon
tet r i no:,eme.o,. t es.
Se divide el numerador y
el denominador entre h.
5e calcula el lírnite.
Por tanto, si .y: u[.
"nton.
rt,
t
:
,E
o santillana
I
i39

141. Derivodo de uno función en un Punto
Si fu nción f es derivable en un punto (a, f(a)) se simboliza f
'(a)
y está dado por:
f
'(o) : Lím
f la + h) -
f la
siel lÍmite exisre.
hio h
La expresión f'(a)
existe, significa que/es derivable eD a, o que/tiene una derivada
en a.
t+ Ejemptos
Ü
t, f
(x) :
;i,carcrlarf'(2).
2_2
f,(x)
:
lry
o * ,, * ,, x-t 3
2x-t6-2x-2h-6
: t-im
t-ó h(x+ h + 3)(x+ 3)
: Lím -2h
l\ó ¡6+h+ 3)(x+3)
5e aplica la definición de derivada.
Se realizan las operaciones.
Se reducen térmtnos semeiantes.
Se srmplifico y se
calcula el limite.
(x * 3)j 25
Como Lím
hr0-
v
h!l?
i?r0-
se tiene que/'(1)
ffi
o"-ortrar que si /(x)
:
L:-',::=. |
,f',0, no existe'
[r'-
t sl .f
Se tiene que: Lím
[(0 + h)'? - 1]- [0 - 2]
: Lím h :
O.
,)o 11 n-o
Lím
[(o + ft)-?]- [o- 2l : Lím 1: I
existe y es igual a 0.
¡lór h
ffi r, rra:{1.
ll, :i;(
I
,.ur.,,r arr'(t).
se debe calcutar L'm
/(1 + h) - /(1) f(t+h)- f(r)
h-o
f(t+h)- f(r) _
h
la0
|
osantillana
Como los límites son diferentes,/'(0) no existe.

142. Comprobar que lr'(0) no existe si h(x) :
lrl.
toego,trazarla gráfica.
. Luego, si x :
0, entonces,
h
,
. Por tanto, se tiene que:
ly Lím
/¡+0
h(x) :
lxl
-5 -4 -3 -2 t 2 3 4 5x
De los ejemplos 4 y 5 se puede concluir que en los puntos en los cuales la gráfica
de una función tiene "pr.rntos" o "picos'l
1a función no es derivable.
0
0
x>
,Ú<
0
Se tiene que h(x) :
f(r+
h) - f(x) _
h
I
h
h
Iím :
h
hh
Como Lim ,
+ Lim , , t" tiene que i'(0) no existe. de modo que /r no
/. .o n
t-A
h
es diferenciable en 0. Así, la gráfica de la función h no tiene recta tangente en el
orlgen.
It - *' six( I
Si /(x)
: j 1
verificar si/'(l) existe. Luego, trazar la gráfica.-
lx¿-l sirll
Primero, se calculan los límites cuando h -+ 0+, cuando h -+ 0
,y r :
1.
tl -
(I /.?)'l - [t - l] I
-)t. -
t.-
L-mr¡
\, ,¡,r rr ¡
:Linl Ln-n _Línl_)_h:_)
/l+o h ,,-,' 11 tt+a
l(l' h)--ll-ll-l-l . )ta- t-
LílI
r\' ", 'r r. r : Línl
.r, ,, : Lím I | /l
_
l
l¡io h ¡-a h n-o
Como ambos límites no son iguales se tiene que/'(1) no existe. La gráfica de f
es la siguiente:
l2 315,r
osantiilana
ll43
Estúndar: penscm¡ento nunérico y
v
5
4
3
2
1

143. Derivodo de uno función
en un intervolo
Una función f es derivable en un intervalo (a, b) si para todo x e @, b) se cumple que
f es derivable en x
Una función f es derivable en el intervalola,bl si f es derivable en el intervalo (a, b) y si
, f(a + h) - f(o) f(b + h) - f(b\
I Lm '"' ' ' '"' v Lim
___::__-__-_::___::_
existen.
¡ >o- h "-o
h
It Ejemptos
\§
Determinar si la funciónflx) :
3x2 es derivable en el interyalo (-2,2).
Se aplica Ia deflnición de derivada.
r,/..\,,_- f(*+
h) - f(x)
, t^,
-
uttlt-
tt.-¡
h
_
,,^13(x
+ h)') - l3x')
h+o h
Como/'(x) : 6x está definida para todo x e (2,2), se tiene quef(x) :
3x2 es
derivable en el intervalo (-2,2).
Determinar si la función
f(x)
: <l;i es derivable en el intervalo (- 4, -
2) .
Se calcula la derivada def aplicando Ia definición.
['(x\: r'^
l(x
+ h) - f
(x)
/¡+0 h
tú"-/r)+ll tVx+r1
/r+0 h
Como/'(x) :
#,
no estádefinidaparalosvalores delintervalo (- 4,
_
2),
se tiene quef(x): V; + t no es derivable en el intervalo (_ 4,
-2).
Encontrar un intervalo en el que la función no sea derivable de acuerdo con
:6X
La función dada es derivable en todo
el conjunto de los números reales.
La función no es derivable en el inter-
valo (-2,2).
1aZ
I
osantillana
-
-
cada gráfica.

144. l(*- lY si ¡> l
Determinar si la función f (x) :
{
'
es derivable en el inter-
valo [0,3].
l2*'
si x( I
Como/es una función definida a trozos se debe verificar si es derivable en los
intervalos [0, 1), (1,3] yen el punto x: l.
Primero, se calcula la derivada de f
para todo x ) l.
f(x+h)- f(x)
Llrll
-
hro h
:
Lím
h+0
[((x + h) - 3)')- [(x - 3)']
:2x-6
Luego,/es derivable en (1, 3], pues/'(x) : 2x - 6, existe en (1, 3].
Segundo, se calcula la derivada de f
para x 1 l.
f(x+h)- f(x)
Lltlr
-
h¡0 h
_
,r^12(x+
h)') - l2(x)'l _
n*
h+o h
Luego,/es derivable en (0, 1l pues/'(x) : 4r existe en (0, 1].
Tercero, se calculan los límites laterales para verificar si/es derivable en r :
1.
Se debe tener en cuenta queflx) se calcula donde está deflnida la función.
f(t+n¡-f(l)
Ltlll
-
hJo+ h
: Lím
l¡+0+
Lím
/rJ0
h
+h)- f(r)
: Lím
l2(t + h),) - Ír - 3),1 _ _y
r-o h
Luego/'(1) no existe. Por tanto,/x) no es derivable en el intervalo [0, 3].
En la gráfica se puede observar que la función no es continua en r :
1 y, por
tanto, no es derivable en ese punto. Esto implica que/no sea derivable en [0,3].
f(t
osantillana
ll43
Estánd ar: pen sa mie nto n u méi co y pensa rn t ento va rici o nal

145. Determina el punto o puntos donde la función no
es derivable. Iustifica tu respuesta.
:
r; Determina la derivada de cada una de Ias siguien-
tes funciones.
a. f(x):
c
b' f(x)
: x
c. f(x)
:
*z
d. f(x): f
e. f(*): Ji
f. ¡1x¡:
J-
x
e'f@):r-x
a.
b.
c.
d.
e.
f.
c
b'
h.
i.
).
en (-4, 3)
en (0, 2)
en (-3,2)
",
1,.2)
\'si
en (1,2)
en (1,
-1)
en (0,4)
en (- 1, -5)
Halla Ia derivada en el punto indicado.
f(x)
:
z
f(x):x+2
f(x): $ - .
f(x):
2x
' xl4
f(x)
:3x3
- |
-f
(x): | -
2
x
f(*):4-x-xz
f(*):
x1 - 4l - I
x'
f (x): --5--
x'1J x
f(*): 6il - 2*
en (1, 5)
en (0, 6)
laa
loSantiliana
Rozono:4-5-6-7-9
C
d
{F
Co-pleta cada uno de los siguientes enunciados.
a. La derivada de la funciónflx) : ,l e.r x :
2 es
b. La derivada de la función f(*)
:
fxl en
x: -1,5es
La derivada de Ia funciónf(x) :
[xl no existe
si x es un número
Laderivadadelafunción f(x)
: J* - Z no
es derivable en
Demuestra las siguientes proposiciones.
a. La función f(x)
: c es derivable para todo
x€R.
b. La derivada de la función/r) :
cg(x) es cg'(x)
siempre que g sea derivable.
c. Si/(x) : g(x) I cyc C R,entonces,
f'(x)
: g'(x).
d. Sifr) : g(x + c)y c eR, entonces,
f'(x): g'(x).
e. Si/(x) : g(cx)yc € R, entonces,
f'(x):
cg'(cx).
@
O"-t,"stra que si una función/es derivable y pe-
riódica, entonces,r[' también es periódica.
@
O"-,r.stra que si /(x)
: -l- lu recta tangente a
la gráfica de/en el punto ("
+)
solo la interseca
en ese punto.
Comprueba que si /(x)
:
+,la
recta tangente
a la gráfica de/en (1, 1) interseca a dicha gráfrca
en el punto (-+,
-)
Si /(x)
:
,-l -
, demuestra que/no es deri--
lx- a)'
vableenx:a.
@
nscribe una función que sea derivable en el inter-
valo (-1, 1) y que no sea derivable en r igual a
cero.
.t+Derivada de una función

146. Determina la derivada de cada función en el inter-
valo indicado.
2x-lsixsl
.
en [0,2]
5-X 51 X>l
l- x-l 2 six<2
en l-2,2)
tlx si x) 2
l
' sir( 3
(x * 3)'z
en (-6,0)
.,1;+3 six>3
x2-5x+6
six{
x - 3
en(3,6)
-2x2 t 22x -
60_
si x> 4
x-6
Soluciono problemos
a. /(r):
{
/(r):
{
/(r):
{
d. f(*):
c.
a.
b.
3r-
la
Halla el valor de b tal que la funciónfx) sea deri-
vable en el intervalo indicado.
fx'-3xsix<3
a. f(x) : i en 12, a).
lz-bx six)3
fx'+x-z six(I
b. f(x) : l. en (0, 3).
lbx' si x> I
El costo c(x) se define como la cantidad de dinero
necesaria para producir x unidades de un artículo
dado. El costo real de producción de una unidad
adicional de cierto artículo, se llama costo mar-
ginal y corresponde a c'(x), y el costo promedio
-(x)esiguala c(x) :
c(x)
.
x
Supón que el costo semanal total de produ-
cir ¡ unidades de cierto artículo está dado por
c(x) :
6.000 + 6x - 0,0003x2 miles de pesos.
Demuestra que c(x) es derivable para todo x.
Determina el costo promedio cuando x :
1.000.
c. Determina el costo promedio cuando x :
500.
d. Calcula el costo marginal cuando x :
1.004,
y x :
I.007 . Luego, interpreta los resultados.
Estdndar: pensam¡ento numérico y pensam¡ento varicional
La eficiencia de un obrero puede aproximarse
bajo ciertos supuestos a una función de la forma
N(, :
ctf3 +
Bf2
-l
1f,
donde ct,
B y J son cons-
tantes que dependen de Ia actividad realizada, r es
el número de horas trabajadas y Iü el número de
artículos producidos en las f horas.
a. Sicr - -1, B
: 6y1 :
15, demuestraque-lú
es derivable para t t' 0.
iI
b. Calcula ¡ú'(1), X'(2) y N'(4). Luego, explica
qué significa cada resultado.qué signiflca cada resultado.
@
f." la siguiente información, luego, resuelve.
Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) estu-
dió en detalle las fuerzas de interacción entre par-
tículas cargadas en 1784, utilizando una balanza
de torsión como se muestra a continuación.
Fibla de
torsión
Bolas
cargadas
La ley de Coulomb establece que la magnitud F de
).afterza que cada una de las cargas puntuales
4,,
4,
separadas una distanciar, ejerce sobre la otra
puede expresarse como: F(r) : Tryl
donde k
r"
es una constante de proporcionalidad.
Si k :
8,988 X I}e Nm2lG;4r: 25 x 10-e C y
qr: -75
X 10-e C:
a. Calcula F(r) cuando r :
0,01 m.
b. Traza un bosquejo de la gráfica de F.
c. Determina F'(r) cuando r : 0,003 m y
r :
0,005 m. Luego, interpreta los resultados.
Para representar m¿temátiramente fenómenos que efán asociad0s a
magnitudes que v¿rían en forma r0ntinua como la velocidad de un au-
tomóvi, la intensid¿d de corriente que circLll¿ p0r Lln cable, l¿ intensid¿d
de tráfico en una ¿utopista o el flu1o de calor que entra en un recipiente
r0n agua
osantillana
|
145
le
1
r1-

147. ObietiVOl Familiarizar a los estudiantes con el uso del programa Cabri.
Comprender el concepto de derivada de una función en un punto.
Dibujar la función cuadrática/( x) :
2x2 y determinar la pendiente de la recta tangente en el punto A(1, 2).
-á
cábr¡ ll Plus -[F¡güra no 1¡ - §
11 ¡-¡- e¿.- op.ónés ses'ón './en:ána ayuda
I
resultado y el eje y para marcar el valor en el eje y.
I
I
I
i
I
i
laE
losantillana
Activa la opción punto sobre objeto y marca un punto sobre el segmento que se dibujó anteriormente.
Luego, activa Ia herramienta medidas y selecciona Ia opción ecuación y coordenadas, y halla las coor-
denadas del punto que marcaste sobre el segmento.
(2,37,0,00)
Activa la opción calculadora para determinar Ia imagen en I del punto encontrado en el paso anterior.
fl
r.t- ea.- opcones ses'án vénrána ayuda
A,chvo Ed.ór opcon.s s.sol

148. Activa la opción perpendicular, traza líneas perpendiculares a los puntos marcados sobre Ios dos ejes.
Luego, actiya la opción lugar geométrico y haz clic sobre el punto de intersección de las rectas per-
pendiculares y el punto que se marcó inicialmente sobre el eje.y. De esta manera se dibuja la función
cuadrática dada.
Activa la opción punto sobre objeto, y marca el punto de coordenadas (1, 2). Verifica las coordenadas
con la opción ecuación y coordenadas. Selecciona la opción rectay fraza una línea que pase por el punto
A(1,2) y por cualquier otro punto P de la parábola.
Selecciona la opción perpendiculary traza una recta perpendicular al eje¡, que pase por el punto (1, 2)
y traza otra perpendicular al eje x que pase por el otro punto P. Utiliza Ia opción longitud para tomar la
medida entre P y la intersección de las dos perpendiculares y luego, toma la distancia del punto A, hasta
la intersección de las dos perpendiculares. Después, utiliza la calculadora para hallar la pendiente de la
recta que pasa por los puntos A y P. Mueve el punto P hasta que llegue al punto A y obserya el valor de
la pendiente de esta recta que es tangente a Ia curva en el punto A.
\
7,0 0o)
o santillana
i
l4 7
.'.d cabr¡ ll Plus -[Fisura n" 1]
E
*"r- -.-
op.ones ses,ón venL:n: ayura
=
óE
Ar.h vo Ed cón Opclones S€s on Venlana Aylda
lt 00 2 00)

149. Derivobilidod innplico eontinuidod
Una función derivable o diferenciable es continua.
Si f
'(a)
exlste, entonces, f es continua en a.
:
f(a) Se realizan las operaciones
Como
ly)
f O: f @), se demuestra que/es continua en a.
Para demostrar este teorema se debe probar q".
111
f G)
:
/(a)
. Además, se debe
tenerencuentaque/(x) :
f(or*
fíx)- fb)
'(x-a)conx*a.
x- a
Luego, se realizan los siguientes pasos:
I .. . l(x) - f (a). .-l
>e plantea Lm lrn)
'
Lim f
(x
) : Líml I(a) +
r \'-' J'"' (x- a) l
-
r-il x-a
I
5e aplican la
:
lg
f(a)
+ y,y !#'
Lím (x - a)
r::ll;1,2!J"
:
f(ct)
+ f'(a)'0 Secalculanloslimites.
Figura 1
l4B
losantiltana
La derivad¿ de una función en
un punto (r, f(a)) se puede
expresar c0m0
,, f(x\-fh\
Llfll.g
x-a x-a
* Ejemptos
fx=+2x-9 sir(3
Probar que /(x)
:
i - .
es continua en.r :
3.
l2x'- 4x six> 3
Se calculan los límites laterales para x :
3.
p:+
:,!1T
'E+-
:
,Ljl
2h-t 8: I
Lím
lG + h)') + 2(3 + h)_-e) - l2?)'z - 4(3)) : Lím
h'
!
8h
h+o h n-l h
:,,!r+h* 8:8
Como los límites laterales son iguales,/es derivable en x :
3.
Por tanto,/es continua en r :
3.
Verificar que/(x) :
[rl
es continua en x :
3,5.
Se tiene que Ia función/es derivable para todo x Q Z. Es decir,/no es derivable
cuando r es un número entero.
Gráficamente se puede comprobar esto ya que, cuando x e Z se tiene que/no
es continua ,y por tanto, no es derivable.
En cambio, cuando x G Z se cumple que la recta tangente a la gráfica de/tiene
pendiente igual a 0. Así,/'(3,5) :
0. Como/es derivable err x :
3,5 se tiene que
/es
continua en ese punto. Ver figura 1.

150. Estánd er: pensa m ie nto n tt mé ri co y pe n s a m i e nto v,a rici o n a I
Continuldod no ¡rnplico
Si una función/es continua en r :
a, entonces,rfno necesariamente es derivable en
ese punto.
Gráficamente, una función/no es derivable en r :
a cuando:
. No es continua ett x - a.
. Se observa una "punta" en (a,f(a)).
. La recta tangente en (a,
J@))
es vertical.
¡i'::r ljl'-':'l 1 : :'....' l::
CerÉvabElECcd
Anilizar la siguiente grátfrca y determinar la continuidad y la derivabilidad
en los puntos (-Z,O), (0,4) y (2, 0).
En la gráfica se puede observar que en
los puntos (-2, 0) y (2, 0) hay "puntas" o
"picos'] por tanto, la fr"rnción no es deriva-
ble en estos puntos aunque sea continua.
En (0, ,1) la función es continna y deri-
vable puesto que la pendiente de la recta
tangente en ese punto es igual a 0.
Determinar si la función f
(x) : {. + 2 es derivable en r :
-2. Ltego,
trazar las gráficas d" fy f'.
Primero, se halla/'aplicando la definición.
f (.):
l\
:1.+h+2-:lx+2
Luego, se tiene qref'(-2) no existe, es decir,/no es derivable en x :
-2.
En la gráfica de/se observa que la recta tangente en (-2, 0) es vertical ¡
por
tanto, su pendiente es indefiniday f
'(-2) no existe.
Por esto, en la gráfica de f'
se observa una discontinuidad en x :
-2.
rle
no
)ne
iue
o santiiiana
I
l4 S
-
-

151. l+ Ejemptos
A partir de la gráfica, definir / como
una función a trozos. Luego, verificar
la derivabilidad para los puntos cuyas
abscisas son -1,
0 y l.
A partir de la gráfica,/se deflne a trozos así:
-1
si x( -1
0 si x: -I
_x2
I
x1
f*):
!x+2 six)I
JJ
Luego, severificaladerivabilidadpara 1,x:0 y x: I utilizandoladefi-
nición de derivada y los límites laterales así:
. Para a: -l
si -1
( x< 0
si0(x<1
,r^ f(x)-.f (-t)
: Lím -1 - o : Lím -r : *oo
,-'t f -(-l) x , t x*l x+-r r-lI
1)
xr1'x.*I
Como los límites laterales no existen, /'( -
1) no existe.
. Paraa:0
,,-
/(x)-/(o) : Lím -x'-o: Lím -x:o
r+0 X-0 x+0 X x+0-
f(x) - f(o)
'
Lrr-: Lím
x'-0:
Lím
I, :-
x+0* X-0 -!+0 X t-o* yl
Como el límite cuando r -) 0+ no existe,/'(0) no existe.
. Paraa:l
f(x) - f(l) .*- r
Lim' ' ' :Lím :Lím
r+l X-l xtl X-l x)1.
_1
3
Si f es una funcrón a trozos
es conveniente aplicar la si-
guiente definición para verif
car la derivabiLidad en el punto
(0, f(a))
,, f(il -
fh)
Ltm ' ''
x+o X-0
12,r
f(x)-f(l)
:x-:-r
i(x-t)
Lrr,-: Lim
3 3 : Lim
3 :
1
x¿t+ X-l ¡+l+ x-l ¡;1+ X-l
Como los límites laterales existen y son iguales se tiene que/'( 1) existe. Además
f'0):
t
.
'3
Por tanto, Ia función/no es derivable en 1 y en x :
0.
En cambio,/es derivable para x : l.
150
!
oSantillana
.tiiContinuidad no implica derivabilidad

152. Funciones no continuos y no derivobles
Si una función/es discontinua err x :
c, entonces,;f no es derivable en c y en todos
los intervalos que contienen a c.
Por ejemplo, la función f
(x) :
;+,
no está definida en x : 2y en x :
-2.Por
tanto, es discontinua y no derivable en estos puntos, como se puede observar en las
gráficas d, f
y f'
.
seaflx) -
x2+x
-
6,determinarlospun-
'
x-1 3
tos donde la función no es derivable. Luego,
trazar Ia gráfica de/
La función/no está definida para x: -3,
es
decir, su dominio es R - {3}.
Al simplificar se tiene que:
?t
'
fl*x-6
f tx t:'
x-l 3
_(x-2)(x+3):x_2
x-13
Así, la gráfi.cade/es una recta discontinua en x :
-3'
Por tanto,/no es derivable
en ese punto.
I
x
¿
J
fi Ejemptos
ffi
ouau h gráfrcaf(x) :
csc¡, «leterminar los puntos donde/no es derivable.
La funciónfx) :
csc x no está definida para los múltiplos de t. Por tanto,;f no
es derivable para todo x : nrÍ, donde n e Z.
fí
las
osantiilana
|
151
Estándar: pensamiento numénco y pensamtento vaicional "
Gráfica de f
Gráfica de f'

153. Determina en cuáles puntos la función /
no es
continua, a partir del concepto de derivada.
a' f(x):
r d. f(x):
1
' x-l
b. f(x):*'l: e lx):[xn
x-r1
lx-rl
f. J(x):
-1--------!
x
c.
f(x)
: (2 -
x)2
Tr aza la gr áfica de cada función. Lue go, determina
Ios puntos donde Ia funclón no es continua y no es
derivable.
h si xl t
f@:l* si-1 (x(l
l-, rix<-I
l*'
si x) -l
/(x): jo si x: -l
[-*
rl x1-r
lr six>o
f (x):
{.
,, ,. o
h six)2
f@:lt síx:2
l-,
,t x12
lx+z
six)l
/{"): jl"l si -l
< x< I
L-r'*2
six( -l
a
c
d.
e.
152
|
oSantillana
Establece si la proposición es falsa o verdadera.
fustifica tu respuesta.
a. La función h(x) :
[rn no es derivable en
..
-
_1 tr
L
-
L¡J.
b. La función g(x) :
[xn - r no es continua en
x: 3,
c. Si /(x)
:
1 y g(x) : ¿ entonces, Ia función
f.
gnoes continua enr :
-1 yx :
0.
La función f x) : L -
x2 no es derir.able en
x: -l y x: -1 pero es continua en todos
los reales.
Lafunción g(x): ax2 + bx I c; a, b, c e R;
a * 0 es derivable para todo x e R.
La función
-s( x ) : 3x - I
no es derivable en
" 4x-2
I,x: -2y x:0.
La función
lr - ,lno es derivable en x: l.
e.
Determina, si es posible, los puntos en los que cada
función es continua y derivable, a partir de la grá-
fica dada. En caso de no serlo, explica tu respuesta.
Derivabilidad y continuidad

154. A partir de Ia gráfica define una función a trozos.
Luego, verifica la derivabilidad en 1, x :
0
v -f,
-
t_
Dada la lunción/
fr' l si I<x<b
¡r-.,-|
7t'rr-ll
si x)ü
lx
Determina nn valor de b para quef sea conti-
nua en b.
Trazalagráfica def teniendo en cuenta el valor
de b hallado en el literal b.
Soluciono problemos
Con base en una encuesta en un instituto de edu-
cación tecnológica se pudo establecer, mediante
interpolación racional, que el número de palabras
que una aspirante a secretaria puede digitar en el
computador por minuto está dado por
P(x) -
50x + !00
'¡t5
donde P(x) representa el número de palabras por
minuto que la estudiante puede digitar r semanas
después de iniciado el curso.
a. Demuestra que la función P no es continua en
x: -5,
aplicando el concepto de derivada.
b. Responde:
¿tiene algún significado en el con-
texto del problerna que P sea discontinua en
x :
-5
o simplemente es Lrna formalidad ma-
temática?
a.
Estánd*r: pei't sa rr¡ ¡ e nto n u m é ri co y pe n s a m ¡ ento va ri cion ai
@
it
por ia expresión
^
_ 800.000
P -
1.000
donde P es el precio de un celular vendido en
pesos y D es la cantidad de celulares vendidos al
precio P.
a. Halla D(81.000) y D'(81.000) e interpreta los
resultados.
b. Demuestra que D no es continua en P :
1.000.
Un método usado para calcular la dosis necesaria
de medicamento para un niño de f años es el co-
nocido con el nombre de Regla de Friend, el cual
se basa en Ia fórmul a: D(t I : 2
tc\, donde d es Ia
25
dosis necesaria para un adulto en mg, D(f),la dosis
necesaria para un niño de f años.
a. Demuestra que D es derivable.
b. Responde:
¿es continua la función D? Justilica
tn respuesta.
c. Calcula D'(.2), D'(3) y D'(7). Luego, interpreta
los resultados.
El costo por hora de un parqueadero de la ciudad
de Bogotá se puede representar gráficamente de la
siguiente rranera.
Costo
(pesos)
26.800
r 9.600
10.000
Demuestra que Ia función C que representa el
costo es continua en f : 2, t - 4y f :
8, pero
no derir.able en estos puntos.
Responde:
¿existen
otros puntos donde la fun-
ción C no sea derivable?
osantiliana
|
153
r (horas)

155. Velocidod medio y velocidod
instontóneo
O
r" objeto es lanzado verticalmente hacia arriba
y su movimiento está dado por Ia función
y(t) :
-AP + 50/ + 3, donde y esla posición del
cuerpo (en metros) en el tiempo t (segundos).
a. Completa la siguiente tabla.
b. Determina e interpieta la velocidad media en
el intervalo [0,4].
c. Determina e interpreta la velocidad media en
[6, 1o].
Trazalagráfica de la función velocidad, a partir de
Ia gráfica dada.
-t-r-l--l
+
Jlr
Recto tongente y reclo normol
Halla la ecuación de la recta tangente en el punto
indicado.
".
f(x):2en(r,2)
b. f(*)
:
x3 + x2 en(1,2)
c. f(x): .
3
en (0,3)
l+x
d. f
(x) : $x +t en (1,2)
e.
f(x)
:
-(2 t x)2 en (1,
-9)
f. f (t): Jx +3 en (6,3)
S. f@): lt
+ 2x]en (0, 1)
h. f(*): [xl en (3,2;3)
i. f(*)
: (2 -
x)3 en (0,8)
j.
f(x)
:
lrl -
x en (2,0)
k. f(*)
:
x1t3 en(8,2)
0 2 4 6 8 r0 12
@
O.r.r-ina la ecuación de la recta norma I ala grá-
fica de la función/en el punto indicado.
a. f(*):
0 en (0,0)
b. f(x):
Q -
2)
en (- 1, -l)
J
c. f(x)
: (2 -
x)2 +t en (0,5)
d. f(*): -x3
-f 2en(0,2)
e. f(*)
:
l* -
2len Q, O)
f. f (*): J; - 3 en (4'
-1)
s- f(x):Jx-1en(g,2J2)
Q
sea/(x) :
-x3
-f 2x.Hallalas ecuaciones de las
rectas tangentes a la gráfica delque sean paralelas
alarectaY: -x.
@
ouau la función:
Halla la ecuación de la recta tangente ala gráfrca
delcuando x: -2.
@
HAlu la función polinómica de segundo grado
que pasa por el punto (3,4) y cuya pendiente de la
recta tangente en (-1, 1) es igual a 1.
@
s."f (x): ---i - , determina los valores de-
\a- x)'
a, tal que la recta y - x + 3 :
0 seatangente ala
gráfrca delen (0,/(0)).
@
o"a*
fx'-+ six)2
f (x):1
-
lr-3 six<2
Demuestra que no existe una recta tangente a la
gráfrcafenx:2.
@
O.t.r-ina en cuál de los puntos señalados sobre
la gráfica la pendiente de la recta tangente es de
mayor valor.
l5a
losantillana

156. Derivodo de uno función
@
Cut.,rt" la derivada de cada una de las siguientes
funciones en el punto indicado.
a.fx):(x*2)2-tenx:2
b. g(¡) - 5 - 2xenx:o
c. h(x) :
-1
. en,r : I
x-4
d. t(x): J, - 3x en r :
-l
e. q(x):2 -
x3 enx:3
f.p(r):11;-2'enx:10
5
Vx-ll
Determina si el enunciado es verdadero o falso.
|ustifica tu respuesta.
a. La derivada de la función sG) :
--1-
"n
91
punto (1, l) es -1.
x'
b. La derivada de la función h(x) : 1 - x es
h'(x) :
s.
c. La función f
(x) -
x' - x
no es derivable en
x-l
el intervalo (1,6].
d. La funcióng'(x) : 2x -
2 es la derivada de
g(x):(x-l)2.
El ingreso total por la venta de x computadores en
dólares es:
I(x):9oox_ !x'
3
a. Halla el ingreso marginal, es d,ecir,
*L
.
b. Calcula I' (l), I' (2), I' (3) e interpreta los resul-
tados.
La siguiente gráfrca representa Ia velocidad de un
conductor en un recorrido de 12 minutos:
4 6 8 1012
Tiempo (en minutos)
Trazala gráfrca que representa la distancia en fun-
ción del tiempo.
Continuidod y derivobilidod
@
D.,.r-ina en cuáles puntos son continuas y deri-
vables las siguientes funciones.
lu 5 six(2
a. s(*):1., 3o'
ln*'
lx si x
>-
2
lx'+6x six( 1
b. s(x):lrr,*8xrl
si x2 I
lx'+5 six( 2
c' g(x):trr,-2x_
2si x) 2
@
s.u r(x):iL_,,',];:l
a. Determina el dominio def
b. Define/en x :
1 de tal forma que sea continua
en ese punto.
c. Con el valor de /(t)
asignado en el literal b,
verifica la derivabilidad en x :
L.
A partir dela gráfrca' define una función a trozos.
Luego, estudia su derivabilidad y continuidad en
x: 0, x: 2y x: 3.
fax+b six12
Sea /(x)
:
i
l*'
si x>- 2
halla los valores de a y de b para que/sea derivable
en x: 2.
osantillana
|
155
E
o
d
o

157. La variación media de una función f en e n-
tervalo [a, b] está dada por:
L,y _ f(b)-f(a)
Lx b-a
La variación instantánea de una función f(x) en
el instante x: a,eslá dada por:
-\v fta+h:-f(a\
r.- -
h
Si f(t) representa la posición de un objeto en
un trempo ¡. La velocidad media en el intervalo
[a, b] está dada por:
-
Ly flb)-f\o)
Ar b-a
La velocidad rnstantánea de la función en el
instante I :
a, está dada por:
f(a+t)-f(a)
La derivada de una función f en x, es la fun
ción f
'que
se lee "f prima"defrnida así:
f'(x) :
Lim
¡+,1
f(x+h)-f(x)
siempre que el límite exrsta
La derivada de una función f en x :
a, es el
valor de f'(a)que se define como:
{ .. \
f ,'ol: tinla
-t rt)- t\ut
siempre que el liril.rirru.
h
T¿mbrén
se define f
'(a)
como'.
f'(a): tim
r)d X
-
A
La pendiente de una recta secante a la gráfica
de fque pasa por P(xr,yr)y Q\z,b) es
m"e:
f (xr) -
f (x) _
f (x,'r h) -f
(x.,)
Xz- Xt
La pendiente de la
de f en el punto (o,
recta tangente a la gráfrca
f(a + h)
f(o)) es:
-
f(a)
lD, :
Lim
,+¡
f(x - f(a\
:Llm-
x )a x-a
La recta normal a la gráfica función f en el
punto (a,f(a)) es la recta perpendicular a la recta
tangente a fen ese punto.
La ecuación de la recta normal a f en el punto
(a, f(a)) es.
l-f\al:-
(x-a\,
t'ft7
donde mf es la pendiente de la recta tangente.
Si una función f es derivable en q entonces, f
es continua en a.
Si una función f es continua en d no necesaria-
mente f es derivable en ú.
Si una función f no es continua en d, entonces,
no es derivable en a
Gráficamente una función f no es derivable en
x: a cuando:
. No es continua et x :
a.
. 5e observa un pico en (a,f(a)).
.
La recta tangente en (a, f(a)) es vertical.
156losantillana
I
EH :=IHTE:=IE...
Recto tongente
Derivodcidé, u no fúñeíón
tinuid derivabilidod

158. üerlvmdas err ee*nomíc
Los economistas llaman a las derivadas o a las tasas de
cambio, razones o tasas marginales. En una operación
de manufactura, el costo total de producción C(x) es
una función del número de unidades prodr"rcidas x y la
razón de cambio del costo total con respecto al nivel de
producción, se denomina costo marginal de produc-
ción que corresponde a la derivada de C con respecto
a x. es d".i..
dC
dx
EI costo marginal es un concepto fundamental en Ia
teoría microeconómica, puesto que se utiliza para de-
terminar la producción de las empresas
),
1os precios
de los productos. El costo marginal depende de la tec-
nología utilizada en la producción y de los precios de
los insumos.
Por ejemplo, si C(x) representa el dinero necesario
para producir x unidades de bombillos en una semana,
4 .t el costo marginal de producir más bombillos
)^.
u^
por semana cuando el nivel de producción es x unida-
des de bombillos por semana.
Halla la función del costo marginal en el ejemplo
Los economistas usan a rlenudo una función cúbica
para e1 costo:
C(x)-ax3tbx2
Donde a representa costos fijos independientes de las
unidades producidas, como el arrendamlento, Ia ad-
ministración, la capitalización del equipo, y b repre-
senta los costos variables como los impuestos, e1 costo
de la materia prima y de la mano de obra, que depen-
den de la cantidad de unidades producidas.
Explica qué es el costo marginal de producción. Halla el costo marginal cuando x :
30 bombillos.
La gráflca que representa la evolución del costo
¿Por
qué se puede considerar el costo marginal de
marginal tiene forma de parábola debido a la ley
de los rendimientos declecientes. El punto mí-
nimo de la curva representa el número de artículos
que se deben producir para que los costos sean
mínimos. Esto se debe a una ley denominada ley
de los rendimientos decrecientes.
a. Consulta en qué consiste esta le1'.
b. Representa en forma gráfica dicha ley
producción como una derivada?
de la nranufactura de bombillos si a
7,
b, son nú-
meros reales.
o santillana
|
'i
5 7

159. Reglos
de derivoción
Temos de lo unidod
Reglas de derivación
Derivada de funciones compuestas
Derivada de funciones trascendentes
Derivación implícita
Derivadas de orden superior

160. Clasifica cada una de las siguientes funciones
en constante, potencia o polinómica.
f(x)
: xa
sG)
:
"E
h@):x3-2x-4
Señala las funciones trascendentes, es decir,
las que no se pueden expresar en forma alge-
g(x) :
sen x
s(r) :
e-ro
Sif(x) :
2x3 +
f(x)
+ g(x)
f(*)'
g(*)
Lo pulgo desmedido
Pensó a pulga:«Si siendo tan pequeña puedo dar sal
tos de más de una vara, si fuera tan grande como un
hombre saltaria por encima de os montes».
Le pidió, pues, a Zeus que la hiciera de tamaño de un
ser humano, y Zeas, por crueldad o estup dez (nadie
sabe si os dioses son crueles o simp ernente estúpi-
dos), e concedió su deseo.
Y a pulga gigante se hundió bajo su propio peso como
un cascarón aplastado por una roca invisible
(La pu ga no habia tenido en cuenta
-y
acaso ta..-
poco Zeus- que el peso es proporcional al vo umen,
mientras que la resistencia es proporciona a la sección,
es decir, a la superficie Esto es evidente en el caso de
una cuerda: su resistencia es proporcional a su grosor e
independiente de su longitud;o en e de una co umna:
si aumentamos su altura aumenta su peso, pero no su
capacrdad de sustentación, que sólo depende de la
superficie de su sección transversal. Suponiendo que
la longitud de las patas y demás medidas lineales de la
pulga se multipllcaran por mil, su volumen, y por ende
su peso, seria mil millones mil al cubo de veces
mayor, pero el grosor de sus patas y de su caparazón,
es decir, su resistencia, só o aumentaria un millón
-mil
al cuadrado de veces Proporcionalmente, la pulga
gigante soportaria un peso su peso mil veces
mayor que cuando tenÍa su tamaño normal y como
los grandes imperios- moriría aplastada por su propia
desmesura )
Tomado de l,latemóticas 1 Bachtlleroto aplicado
a las Ctenctas Soctoles, España, Editoria Santilana, 2007
Exp ica por qué a lectura tiene como titulo"La pulga desmedida'1
Describe l¿ var ación de as medid¿s de la pu qa y determina por qué
mor ria ap astada por su propia desmesur¿.
Encuentr¿ el volumen de un cubo en función de su arista Lueqo,
enruentr¿ l¿ vari¿ción que sufre e cubo en rel¿ción con su ¿rifa.

161. x Ejemptos
Encontrar la derivada de la función f(x)
: 4,
aplicando la definición por límite.
¡.,.. _,, -- f(*+
h) - f(x)
J \x):
i\------¡-
ÁÁ
:Lím= =
r+0 h
: LímA
tt;O fu
:Lím0
h)0
:0
Por lo tanto, Ia derivada de la funciónflx) :
4 es
f'(x)
:
o.
Reglos de derivoción
Hasta el momento el método utilizado para encontrar la derivada de una función
es mediante la definición; este proceso en ocasiones es extenso y complejo, por esta
razón se deducirán algunas reglas que facilitan la derivación de una función.
Derivodo de lo función constonte
Si f(x) :
k, donde kes cualquier número real, entonces f'(x):
g.
Es decir, la derivada de
una función constante es cero.
Para demostrar la anterior regla, se utiliza la definición así:
Si/(x) :
k, se tiene que:
f(x - h) f(x)
f'(r)
:
linff
Definir;óndederivada
t- t-
: Lím ^ : ^ Se evalúa f(x + h)y f(x)
/r+0 h
: LímA
n:o
11
: Lím0
h)0
- 0 5e calcula ellímite.
La gráfica de una función constante/(x) : k, es
una línea paralela al eje x que tiene pendiente
nula en todo punto, es decir, son rectas horizon-
tales con pendiente m :
0. Por tanto, indepen-
diente del valor de x, el valor de/'(x) : g.
La representactón gráfi,cade Ia función y su deri-
vada se muestran en el plano cartesiano:
Matemáti(0, fÍsico y astrónomo
taliano. Demofró el teorema del
v¿lor medro que es una propre
dad de las funciones derivables
de un interv¿lo, teorema que no
es usado para resolver problemas
m¿temáticos sin0 para probar otros
teoremas. Se reducen términos
5e simplifica.
Hallar la derivada de cada función:
a' f (*):
"!l
f'(*)
:
o
b' s@):
s'(x):
o
c. h(x):
h'(x): s
5e aplica deilvada de unc
función constonte
J
4
5e deilva la función canstante
5e usa la regla de la derivada
de una función constante.
2¡r
J
160
|
osantillana
fuseph-louis de Lagrange
1 736-1 81 3

162. Derivodo de lo función idéntieo
Si (x) :
x, entonces f(x) :
1. Es decir, la derivada de la función idéntica es uno.
De Ia definición derivada se tiene que:
f'(x):r,xfulp
ión f(x + h)y f(x)
ir)0 h
: LknL
h:o
11
:Límt
ir +0
-1
Si f(x) :
xn, con n € Z entoncesf'(x) : zyn
t
Fiqura I
Las gráficas de la función idéntica y de su función derivada se muestran en la figura 1.
Derivodo de uno potencio
Por definición de derivada se tiene que:
f'(*):frXAtP Defrnicióndederivada
h+o h
x,, I nxn ry*
n(n- l)
xn-2h2+... + h, - x,
2:
LíM
h )0
: LíM
h)0
h
nxn ry¡
n(n-L)
xn-2h2+...+h,
2
:nxn-1+0+,..+0
, ,
,(n*'
t
*
n(n
-
t)
xn - 2ht+
... + h'-')
-t!--
[+o h
:
l(r-'
t *
n(n: r)
*'
2ht
+ ... + h' ')
Se calcula el límite.
:nyn-l
Por lo tanto, si{x) : xr, entonces, es/'(x) - nx'-
r
osantillana
ll6l
Están dar : pen sa mi ento n u m é ri co y pe n sam ie n to va ri aci o n a I
Definición de deilvada.
5e reducen términos
Se simplifica
5e calcula el límite
Se desarrolla
la potencia.
Se reducen términos
semejantes
Se factoriza.
Se simplifica

163. x Ejemptos
ffi
Hunu.la derivada de las funciones dadas:
a. f(x): I
f'@)
: qxz Se aplica derivado de una patenc¡a.
La gráfrca de la función y su derivada es:
b. f (*):1,1i
f (*): i,li
f(x)
: (x)'t3
Luego,
f'(x):
L* i
Se redefine la función.
Se aplica derivada de
una potencia.
Por lo tanto, si f '(x) -
I
:17
La gráfica de la función y su derivada es:
Hallar la derivada del punto que se indica para
la funcióng(x).
g(x):x 3enx:2
g'(x) :
-3x-a
g'(2) :
-3(z¡-+
__3 __ 3
24 16
Se deriva.
Se evalúa f'(2).
l6Z
loSantillana
ffi
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la
función f(*)
: ¡3 en el punto (r, r). Trazar Ia
gráfi,ca de la función y de la recta tangente.
La pendiente está dada por la derivada de f'(x).
Así:
f(x):
x3
f'(x)
:
3x2
f'(x)
: 3(l)2 : 3 Seevalúaf'(t).
En (1, l) se tiene m: 3.
La ecuación de la tangente es7 - I : 3(x - l)
Y:3x-2
La gráfrca de la función y de Ia recta tangente es:
Se deriva
ffi
O"t"r-inar la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de la funciónflx) : P, en x - -2.
Luego,
trazar la gráfica correspondiente.
Primero se derivaflx), así:
f(x)
: xz
= f'(x):
zx
f'(-2)
:2(-2)
--4
En r :
-2,
se tiene quefl- 2) :
4 y la pendiente
esm: -4.
La recta tangente pasa por (-2, 4) y m :
-4,
entonces, y - 4: -4(x
1- 2),asi,/: -4x -
4.
La gráfrca es de la función y de la recta tangente es:
Reglas de derivación

164. Derivodo del múltiplo constonte
La derivada de una constante por una función es igual a Ia constante por Ia derivada
de la función.
Si f(x) :
kg(x), con k c R y g una función derivable, entonces f
' (x) :
kg'(x)
Por definición se tiene:
f,(x):*xatp
ks(x -r h) - kSG)
-li*---12-L
h)0 h
:r*latP
: Límk
. ,r_
g(x + h) - g(x)
l¡+0 hro h
: k. g,(x)
c. f (x): éL-
flx
f'(x): ?*
: s*+
Vx
f
'(x) : s-!-1x+ ¡-ax
5r5
2 zJx
Portanto, si /(x)
:
#,entonces,
f'(*):
='-2Jx
Se aplica la derivada
del múltiplo constante
Se aplican propiedades
de la potenciación
:t Ejemptos
@
Cut.otnr la derivada de cada una de las funcio-
nes dadas.
a. f(x)
:3x
f'(xl: L( 2x ')
J'
4'
1 -- r
2
1
2x3
Por tanto, si /(x)
:
,-+,
entonces,
(2x)'
f'(x):-+
5e aplica la definición
d el m ú I ti p I o con sta nte.
f'(*)
: 3*@
se calcula la derivada
.
d, la función idéntica y se
: 5' r : 3 resuelvenlasoperaciones.
Por tanto, sifx) :
3x, entonces, f
'(x) :
Z.
b. f(x):#
f (x): r-+
: -l' *-'
seredefinelafunción'
(2x)' 4
_ 1..:
4 @
unUur la derivada de la derivada de la función
f(x)
: 3{7 en elpunto¡ :
81.
,r---- 1
f (x) :
34,1x' :
3x
'
f'("): r(+.r)
: 4x!
-
¡ 3fll
-
+v.r
f'(81):
4VBl :
r21,lT
osantillana
ll63
Estándor: p en sa m i e nto n u m é ri co y pe n sa mie nto vor! aci o n al
5e redefine la función.
5e aplica la derivada
del m ú lti pl o cansta nte..
Se aplican propiedades
de la potenciación

165. ii
Rozonc:5-6-7-8
tl
Explica en qué consiste la regla de derivación para
@
Er.r".rtra Ia ecuación de la recta tangente a cada
:.
una potencia. Escribe un ejemplo. función en el punto indicado, luego traza lagrafica
',,
,, Encuentra Ia derivada de cada una de ras siguien-
de la función y la recta tangente'
,
_--r_-,-_:___--
rrvoudueeduaurrdue
- a.
f(x): -x2
(1,
-l) .
1es Iunclones.
b' h(x): 3 (o' o)
a.f(x):3 h.f(*) 4x-2 j,_
r.. , ,.i
b g(r) : rs i s@) v-8 : ;tl:__;.:. [-l,:i,
i. hk): Vx'
e. slx): -J-*z (2,2)
"2
d. f(x):
T
É. fl") - -+*'
r \"/
2
'- r'"'
6x8
@
Realiza la gr fica de la función derivada a partir de
.,
e. g(x) : x2t3 l. f(*):
10VF
la gráfica de cada función'
I;i:
il * f@): *
n' g(x) :
**-+ i l:
li
*^x):, n.8w/::x '
: :i
fl| @
o"":t"*.*a función coñ la gráfica de su respec-
i
, r
ii'
b. rt d. *
i
trva denvacla.
b.
f t
d.
il
a. f(x):6x c. l(x) - 6 :l :f.l ;l
b. /.r)
: 3*: d. fk
: 2x' -l
rl
rl +1 'l i
tt
l"','."l l l l 1.. 'rl
ii +.I'] i O
Demuestra, aplicando la definición de derivada, ,:
i"
i1
] I . que la derivada de cada función es la que aparece ii
al llente.
2. .i't 4. :+
6t l- 'I ^ í-
- -l t'(*
-
)*
,i
3 b. s@): -l s'G): - "+
i ¿. f(x)
: zx3 f'(x): ef
il; :¡
Determina la derivada de cada función y halla la
@
Verifica que las rectas tangentes a las funciones
f(x)
: xy g@) :
perpendiculares.
I
x
en los puntos de corte son
ISoluciono problemos
derivada para los puntos que se indican.
a. f(x)
:
-r2x7
(0, 0) y (- 1, 12)
.-
b. g(x) : 9i/x' (1,9) y (4, 2\lrl )
c. f(A:
#*
(r,?) ye,2Jr)
d.S@):+ enr:0yx:2
e. h(x) : Z*
' en x:
_
ly x: I
f
164loSantillana

166. Estándor: pen sam ie nto n u mérico y pe n sa m i e nto va rtaci o n al
Derivodo de lo sumo de funciones
La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las
funciones.
Sifygsondosluncionesderivables,y¡(r) :fQ)+q(/)entonces,t'(x):f'tx)+g'(x)
5e evalúo t(x + h) y tk)
5e eltminon signos
de agrupación
Se orqanizan los
términos.
Aplicando la definición se tiene:
,.t .
-,.
-- t(x- ft) - l(x)
t(_Y):l,rm--#
tt-r h
Definición de derivada
r ! lf tx + h + g(x + h)l - [/(x) + g(x)]
h)r h
: Lím
ir+0
f(*
+ h) + g(x + h) - /(r) - g(")
Se aplica la defintción de derivada de una suma
Se resuelven las operactones.
, ,,_ -lf
{x -
h) - f {x)) , ,,._ IS( x 1- h g(x)l >eapliralade¡vodo
: l,lm r Llllf --
h +,) n l--ó h
de f(x)y g(x)
:
f'(x)
+ g'(x)
La derivada de la suma de funciones se aplica para más de dos funciones.
H t4? 4.{}§
.:-'
Calcular la derivada de cada una de las funciones dadas.
a. f(x):3xz
+ 2x
f'(*):3(2x)
+ 2(t)
: 6x-l 2
Por tanto, la derivada defx) : 3r2 -f 2x es f
'(x) :
6x -t 2, r, su representación gráfica
se puede ver en la figura 2.
b. .f(x)-# .2
vr J;
f(*)
: 4x
u1+ 2x
tt2
f'(x): o(-+,
)
* ,(-j"
)
--.r.
'
-
I
11
xtt x;
Por tanto, la derivada de
/
(r
) :
,+
+
-!
es /'(:r)
:
-
Vx r.Y
y su gráfica se muestra en la ligura 3.
Fiqua 2
Se redefine la función
5e aplica lo deivada
de suma de funclones
5e aplican propiedades
de la potenciación
osantillana
|
165
-
-

167. It Ejempl,os
Q
Cut.otnr la derivada de cada una de las funcio-
nes dadas.
a. f(x):
x3 -
x2 - x
f'(x) :
3x2 - 2x r
tZ:i:';Z:"0:::':::,20"
La derivada def(x) :
x3 -
x2 -
x es
f'(x):3x2-2x-t'
b. f (x) :1.
-'
2x'
Se redefine la función.
:L(-2x,)-2(-lx,)
23
_ -l r 2 lplican propiedades
-
I
'
3X
lo potencioción.
Por tanto, si f
(x) :
*
-
+,
entonces,
Derivodo de lo resto de funciones
La derivada de la resta de dos funciones es igual a la resta de las derivadas de las
funciones.
Sifygson dosfuncionesderivables, yt(x): f(x) - S(x), entonces, t'(x): ¡'1r1 - S'(x).
Aplicando Ia definición se tiene:
L,/.. _,,._- t(x + h) - t(x)
r{fl:lrm+
h-o h
lf(x+h)- sQ+h)l-lf(x)- s!)l c^: Lím
h+0 h
f(*+ h) - g(x+ h) - f(x) + g(x)
: Lím
h+0 h
lf(x+ h) - f(x)l-ls?+ h) - g(x))
:
Lím
ii+0
c. f(*):
*-.1
x-
Se redefine la función.
J\x)
:x'+x'
f'(x)
:
-tx
2 t 2x 3 tzi:!,::J:l':,':l:,
+ ! se simPtihco.
x-
Por tanto, si /(x)
:
+,
entonces,
f'(x):-l--+
x- x'
Hallar la ecuación de la recta tangente a la
gráfrca de la función y : 2x -
x2 en el punto
x: l.
Si
Y
: 2x -
x2, entonces, Y'
En r :
1, se tiene que:
y:2(l)-12:l
y':2-2(l):0
Como la recta tangente
pasa por (1, 1) y tiene pen-
diente ffi:0, entonces,
y-l:0(x-t).Luego,
y:1,
-
a 1^.
LL.
f'(x): -
1,2
*'
-
3r..
166
|
osantillana
Definición de derivada.
Se organiza el numerador.
Se aplica la propiedad
de lo límites.
Se eliminan signos
de agrupación.
_r!,--lf(x+h)- f(x)) ,,__lg(*- h)- g(x))
-
f-¡lll
-
Llllr-
h+o 11 n+o h
:
f
'(x)
S'@)
Se aplica la derivada de f(x) v
g(x).
La derivada de la resta de funciones se aplica para dos o más funciones.

168. Están d*r : pen sa rnie nta n u nt u t cc
)i
pe n sc n t ento v ar t a ct o n cl
Halla el valor de la derivada para cada función.
/1-
1)
s'(3)
v'(2)
c'(s)
P'(10)
d
e
Encuentra la derivada de cada una de las siguien-
tes funciones.
a. f(x) - 2x3 - 3x
b. g(x) :
-5x
-r
8
c. f(x)
: :{; + J;
d. h(x):x-2x3
e f(x): -v7+
t
- Jr
i. f(*):
v: 2x3 - 3xr- 5x2- 3x -
8./-'-
y - -x3l
4x2 - 2x -l I
v: -5x * 3x2 - 2xt+ 4x6/ -" -"
l:3x2 - x -l
1
I 2 r l^.
/ -
-
, , \¡
xx'
',:
.'[ Y' )
f.g(r) -,63-3xlx2
o h(Y\:
|
-
I
-
8
ó. '.',',-xx-3
h. flx) - -4- - -+-
-r' 4x'
Determina
O'
"ncada
caso.
dx
a.
b.
C.
d.
e.
f.
a.f(x):3x2-5x-9
b. s(¿) :20 * 7t - t6P
c. v(t):30 + 20t
c(x) : 3ox'-Bx2+llx
7
p(x) : llg _t
8,7x
x'
Encuentra la ecuación de una recta tangente a la
--'- /
de los objetos es:
Determina el valor de k en la función:
I
: vot l9P -f yu.
f(x) - kx3 + 6x2 kx 18
Donde y,, es 1a altura inicial, l,n es la r.elocidad
silas rectastangentes enf : l yen:r :
-2 son inicialyf eselmismotiempoensegundos.
paralelas.
f(x)
:
ax2 + bx * 2, si: ción del tiempo.
La gráficadeflx) pasa por (1,0) y la recta tangente
Rozono: 4-5-6-7-8-9-1 0-1 I
Calcula, aplicando Ia definición de derivada en un
punto,/'(2)
.Y/'(0)
para la ftinción
f(*)
:
2x2 - x-r 3.
J\'L)-L^
nrJ'
Luego, aplica las reglas de derivación yhallaf'(2)
,v/'(0),
después compara Ios resultados obtenidos.
Halla la ecuación de la recta tangente a la función
v-Jx--l-rren.r:5.
Halla la ecq¡rción de la recta tangente a Ia curva
y-x+1Far-rx:4.
Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a
la curva7: xl + 3f + 3x * 4, que son paralelas
a 1a recta de ecuación 6x -
5y * 1 - 0.
Determina en qué puntos la recta cuya ecua-
ción es y : 9x 14 es tangente a la función
f(x)
: x3 - 3x t k. Luego, halla los valores de k.
Soluciono problemos
EI espacio, en metros, que recorre un móvil en
función del tiempo, en segundos, está expresado
por la srguiente fórmula: s(f ) :
l
rt - , .
J
Calcula la velocidad instantánea del móvil al cabo ii
de 5 segundos.
recra v : _ /.x.
t r
La expresión que rige el movimiento de caída libre
Si se deja caer una piedra desde un puente de 1 00 m.
Encuentra el valor de a y b en Ia función: a. Determina la función para Ia posición en fun-
b. Halla la velocidad instantánea al cabo de 2 se-
osantillana
llET

169. Derivodo del producto de funciones
Si f y q son dos funciones derivables, entonces:
;
(f(x) ' s(x)): f (x). g(x) + f(x)' s'(x)
Es decir, la derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la deri-
vada de la primera función por la segunda función, más el producto de la derivada
de la segunda función por Ia primera función.
La demostración de esta regla se muestra a continuación.
Sea r(x) :
f(*)g(*)
tal que/'(x) y
S'@)
existen, se tiene que:
'. Primero, se aplica la definición de derivada.
t'(x): Yi^
h)o
f(x+h)g(x+h)- f(x)s?)
Segundo, se suma y se restaflx + h)g(x) en el numerador.
,,/.. _,,_ f(*
+ h)g(x + h) + f(*+
h)SG) - f(*+ h)g(x) - f(*)g(x)
h
Tercero,
u
ri'^u*rurrx + h) y g@).
[
,.8(x+h)-g(x)t'(x): tínlf (x + h). "
i
+ g(x)
.
Luego, se aplica límite de una suma y de un producto:
f'
(x) :
l,Xf
f* * r¡
.
IXAtP
+ Líryg(x,
f,Xl@Tg
Finalmente, se calculan los límites y se aplica la definición de derivada.
t'(x) :
f(x)
.g'(*) + g(x)f'(x)
- f(x)
h)
h
f(x
+
* Ejemptos
Calcular la derivada def(x) : (5r3 + 2x2)(2x - 3).
Sean m(x) : (5x3 -f
2x2) y p(x) : (2x
-
3) se tiene que:
f'(x)
: m'(x) p(x) + m(x) p'(x) Se aplica la derivada de un producto.
f'(x):
(15x2 + 4x)(2x -
3) + (5x3 + 2x2)(2) Seremplazanm(x)yp(x).
f'(*)
:30xr * 8x2 - 45x2 t2x + l0x3 + 4x2 Semultiplica.
f'(*):40x3-33x2-l2x
Se reducen términos semejantes
Para comprobar, se multiplica primero. Luego, se halla la derivada.
f(x)
: l0# + 4x3 -
l5x3 - 6x2 se multiplican m(x)y p(x)
f(x):10¡a - llx3 - 6x2 Seresta.
f'(x):40x3-33x2-l2x
Se calcula la derivada.
168
losantillana
Portanto,secumple
rye +[(5r3
+ 2x2)(2x - 3)] :40.13
33x2 -
1.2x.
ax

170. .x)
Estándar: pe n sa mi e nto n u mé rico y pe n s a m i e nto va ri a cio n al
@
UuUur la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:
f(x)
: (* - 5x + 2)(2f * l) en (1,
-6).
Primero, se aplica Ia derivada de un producto.
Sean/'(x) : (2x -
5)(2x3 + 1) + (x2 -
5x + 2)(6x2)
Segundo, se multiplica y se simplifica.
J'@)
: 4f -t 2x -
10x3 -
5 + 6* -
30x3 'r l2x2
f'(x)
:
L1xa -
40x3 -t l2x2 -l 2x -
5
Luego, se calcula la pendiente de la recta tangente aIa gráfica de/'en x : l.
f'(t)
:
10(1)4 -
40(1)3 + t2(t)2+ 2(1) -
s
f'(t)
:
10 - 40 + t2 + 2 - 5 :
-2r
Finalmente, se aplica la ecuación punto -
pendiente de la recta:
Y-(-6):-2t(x-r)
/: -21'x + 15
Se puede observar que la recta tangente interseca ala gráfi.ca delen dos puntos
distintos.
@
O"rrro.trar que si g(r) : cf(x) y
-f
es derivable, entonces, g es derivable y
g'(x) : cf'(x).
Sea /(x) :
c, se tiene que g(x) : t(x) '
f(x).
Luego, se aplica la derivada de un
producto así:
s'(x): t'(x)f(x) + t(x)f'(x)
s'(x):0.f(x)+c.f'(x)
g'(x) : cf'(x)
Por tanto, g es derivable y
S'@)
:
cf '(x). Se concluye que la derivada del producto
de una constante y una función es el producto de la constante por Ia derivada
de la función.
G
H desplazamiento de una moneda que se lanza verticalmente hacia arriba
está dado por s :
-4,9t(t -
4) donde s es el desplazamiento en metros y f el
tiempo en segundos. Hallar la velocidad instantánea cuando ú : l.
La velocidad instantánea cuando f :
1 corresponde a s
'(
1). Luego, se realiza el
siguiente procedimiento :
s(t):-n,r[t(t-4))
s'(/): -4,91t-4+tl
s'(r:-4,el2t-4)
s'(r: -9,8t+t9,6
s'(t¡:-9,8(1)+t9,6
s'(r) :
9,3
5e expresa s(t) como s(t) :
cf(t)donde c :
-4,9
Se aplica deilvada de un producto
5e simplifica.
Se multiplica
Seremplazat: l.
5e suma
L
-]+
Por tanto, Ia velocidad instantánea cuando / : I es de 9,8 m/s.
o santillana
I
l6 9
y:2x' loxa * 4x3

171. Derivodo del cociente de funciones
Si fyg son dos funciones derivables y g(x) + 0 entonces:
d ( rul \- r ¡rqtxt -
r@s'(x)
dr\N)-- tsk)t,
Es decir, la derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numera-
dor por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, todo
dividido entre el cuadrado del denominador.
Para demostrar la regla para derivar un cociente se utiliza la regla para derivar un
producto. Sea f(x) : A!
con g(x) * 0 se realizael siguiente procedimiento:
g\x )
f(x)
: g(x) t(x) Se expresa f(x) como un producto
f'(x):
g(x) t'(x) + g'(x) t(x) Seaplicadeilvadadeunproducto.
t'(x):
f'(x) S'(x) t(x)
Sedespejat,(x).
t'(x) :
g(x)
f'(x)-s'@4
sG)
f'(x) sG) - g'(x)f (x)
sG)
t'(x) :
sG)
1
f'(*)g(*) - s'G)f G)
5e realiza la re;ta
t'(x):
5e simplifica
lsGY
5e remplaza t(r) -
#
x Ejemptos
t'(x):
t'(x) :
Calcular la derivada de ú(x) : 6x2 3x
x2+l
Seanflx) : 6x2 3xy g(x) :
x2 + 1, se tiene que:
r.(x) : f'(x)g(x) - .f-(x)s'G) se apticadertvadade un cociente.
[g(x )1,
(r2x -
3)(x'11- t) - (6f - 3x)(2x)
(xr + 1)'
l2x3 t l2x -
3x2 - 3 - l2x3 + 6x1
(r'+ 1)'
Se multiplica
Se reducen términos semejantes.
3x2 -f l2x -
3
(r']+ l)']
170 loSantillana
I

172. Estándar: pensantiento numérico y pensamiento variacional
O
uaU"r¡'(-l) si/(r) : -;T.
Se aplica derivada de un cociente, así:
f,(t):
o.(r+2)-(-3)(1): o+3 _
(t + 2), (t + 2),
Luego, se remplaza f :
-1.
f'(-r\- 3 3
"r ,,-
(_1 +2y (l), -,
Por tanto,/'(-t) : ¡.
3
(t + 2),
Se expresa f(x) como un cociente.
Se reolizan las operaciones
Se aplican propiedades de la potenciación.
Se resta.
f'(*):
f'(x):
(3x
-
r)'1
30x2 -
10x -f 6x -
2 - l5x2- 6x -|
18
(3x -
r)')
de un cociente
Se efectúan las operaciones
f'(x\:
I5x2 -
IOx + t6
r \--,
(3x _
t),
Luego, se calcula la pendiente de
gente para x:0.
Se reducen términos semejantes.
la recta tan-
:16
Finalmente, se aplica la ecuación punto-pen-
diente de Ia recta:
y-6:16(x-0)
Y:I6x+6
Por tanto, Ia recta tangente a),a gráfi,ca de/en
(0,6) tiene como ecuacíón y : l6x -l 6.
Demostrar que si/(r) - x
n,
donde
-11
es un entero negativo y x # O entonces
f
'(x) :
-nx
-'- r.
.
Como -
/r es un entero negativo se tiene que Í es un entero positivo y por tanto
se tiene que:
f(x):
I
'xn
f'(*)
: y#
se aplica derivada de un cociente
-
-nx"
x'"
:
-ngn
I 2n
Por tanto, la derivada de una potencia con exponente entero negativof(x) : x-'
conx# 0es/'(x) - -nx-n-t.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f
(x) :5x2+2tc-6
en el punto (0,6).
Primero, se halla/'(x).
3x-l
(10r + 2)(3x - 1) -
(5x2 + 2x - 6)(3) Seaplicaderivada
Si m es la pendiente de una
rectay P(x,y) es un punto que
p¿sa por l¿ recta. La ecuación
de la recta que pasa por P y
tiene pendiente m es:
(y-y)=m(x-xt)
o santillana
I
l7l
-
-
RECUERDA QUE,..

173. .¡
Escribe la regla de derivación asociada al producto
de dos funciones. Luego, realíza un ejemplo.
h(x):
@
Escribe la regla de derivación para el cociente de
dos funciones. Luego, desarrolla un ejemplo.
Encuentra la derivada de cada función desarro-
llando el producto o el cociente según el caso.
a. h(x) : (3x2 - r)(-7x3)
b. S(r)
: (2x3 - x)(-)x-t x2)
c. f(*):
(2x3 -
3x)(x2 + sx)
d. f(x : 4x) - x
'x3
e'
sG)
: (Ji + rxx - J7)
f. h(.r¡ :
BVx
-6x'
Vx
,.1 _L .,2
s. f(x):
x
Aplica las reglas de derivación para el producto o
cociente de funciones y determina la derivada de
cada función.
a. f(")
: (x3 -t t) (2f + 6)
b. g(x): (2x'- 5x)(2x + 8J7)
c. f(x)
: (2x-t r) (3x2 -
2)
d. s@):(2x'- 4x2+ 7x)(2Jl - s*')
e. f(x):
2x2 - x
' x'l4
f.
3:,[¡-2^{;+t
4iE' - 6{;
17 Z
lo
santillana
@
uuUu la derivada de cada producto de dos formas
diferentes y compara los resultados:
. Realiza primero el producto, luego, deriva.
. Aplica primero la regla del producto, luego,
simplifica.
a. f(x)
: (sx3)(2xa)
b. g(r) : (3xa)(2x6 -
8)
c' h(x): JIO - z*)
d f (x):*,'(,'-
+)
e g(x): (+,)("' -
+.')
f. h\x, :
(+"'- ,X, .
+)
@
frr.r'r"ntra la derivada de cada función en el punto
indicado.
a tu):(+-'* ,)(+,,')
"n,:
r
b. g(r) :
¡-4x3 * 7x2 - 6) (5f -
3x) enx: 0
c. h(x) : (x' - x' + Ji)Q*n)
en x :
-2
d. f
(x) : (7 x" - +x't(Zx")
"n
, :
+
-,L)
e. h(x\: enx: -l
2x-l
f. p(x¡ : 3x'+ tlx + 5
enx: 3
7 -3x
^.)_
Á
g. f(x):
-
en x: 4
xf 4
@
Err.r"rrtra Ia recta tangente ala gráficade la fun-
ciónflx) en el punto indicado en cada caso.
a. b.
f(x) - x'
Derivada del cociente de funcE+r:es
o
b'
h.
f(x): (2x 1)(x + 2)(x -
3)

174. Estándar: pen san-,iento nu rr,erico
.v
pe rt sam¡e nta variac¡afi al
Recupero informoción: 1 -2
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la
función/(x) : (x - a) (x + 2) en el punto (-2,0).
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la
función:
1^.: r ..
J'('i)-'#
/ ,\
en el punto
f o, -f |
. Luego, realizala gráfica.
2l
Verifica que las gráficás correspondan a la función
y a su derivada.
a. f(x): 4x(x2- 3x-10)
ftxl:
2,-
(x -
4)-
Halla el valo r d.e men Ia función
f
(x) :
mx' + I
2xIm
para que f'(+):,
Aplica las reglas de derivación para calcular Ia
función derivada defx) : (2x + 3)(x -
2). Luego,
halla:
a. f'(2t: f l-il:f
t_zt:/'(+)
b. La ecuación de la recta tangente en el punto
x: -2.
c. La ecuación de la recta tangente en el punto
v:)
Ejercito: 3-4-5-6-7 Rozono: 8-9-1 0-1 1 -1 2-1 3
a.
*:
(h(x) + g(x)) r.
*
b
fi:ttt,t
/(,)) s*
c.
*:
t/(x)
.s(x)l h
-L
Calcula Ia velocidad de un objeto en caída libre a
Ios 2 segundos, si la función de posición es:
s(t):1orIr+-L)
16/
Determina la aceleración de un automóvil cuya
velocidad está dada por
Y(/) -
60t
f+5
si la aceleración es la derivada de Ia función veloci-
dad, cuando han transcurrido 5 segundos.
Las ventas de un nuevo computador portáti1 están
dadas por la función v(x) : 150x -
5r2, unidades
por mes, a 1os x meses después de su lanzamiento.
EI precio, está dado por: p(x) : 2.000 -
0,8x2
en miles de pesos, a los x meses después de su
lanzamiento. Los ingresos por la venta se pueden
expresar como 1(x) :
S0 v(x) ' p(x).
Determina la variación instantánea de los ingre-
sos, 6 meses después del lanzamiento del producto.
El rendimiento de un carro usado en Colombia, en
millas por galón, se expresa como una función r(x)
de la velocidad x en kmih, como sigue:
t6
r'(r) :
r-¡.soo
I
Determina r'(x)
1'
luego calcula r'(60), r'(90).
o santillana
i
l7 3
d

175. Derivodo de funciones
compuestos
Reglo de lo codeno
Si la función g es derivable en x y la función f es derlvable en g(x) entonces lafunción f
"
g
es derivable en x, y se cumple que:
-t-nr " s)(x)): [(r " d(x)]' : r'(s(x))s'(x)
dx
En palabras, Ia derivada de una función compuesta es igual al producto de la de-
rivada de la función externa calculada en la función interna, por Ia derivada de la
función interna. Si.y :
f(u)
y u : g(x), tal que g es derivable en x y/es derivable en
u, enla notación de Leibniz se simboliza la regla de la cadena como:
dv
-d/.d,
dx du dx
Para verificar que la regla de la cadena se cumple para las funciones g tales que
g(*) -
g(a) + 0, se realiza el siguiente procedimiento:
(f"il,G):yyfuff5eaplicaladefinicióndederivada.
fQG))- fk@)). sQ) - g(a) se multiplica por
sG) - s@)
s@ - s(a)*
o'
.,r^
g(x) - g(a)
r)¿¡ x- a
:
Lím
x- a
:
f'(s(*))'s'@)
x Ejemptos
5e aplican propiedades de los l[mites.
5e utiliza la definición de derivada.
:r^f(s(*))- fG@))
x,a g(*) - g(a)
Ér§ Hallar la derivada de h(x) : (2x3 -
3x2 + 5x)3
Se tiene que h(x) :
V. d
(x), dondeíx) :
x3 y g@) :
2x3 - 3x2* 5x. Luego,
al aplicar la regla de la cadena se cumple que h'(x) :
f
'@(r)) ' g'(x) y se realizan
los siguientes pasos:
f
'@(*)) : 3(2x3 -
3x2 + 5x)2
se haila ra derivada de t(q(x)) y q(x).
g(x) :6x'-6x+5
h'(x) : 3(zxt -
3x2 + 5x)2 (6x' - 6x + 5) seaplicaregladelacadena
Portanto, h'(x) :
3(2x3 -
3x2 + 5x)2 (exz -
6x + 5).
17 a
losantillana

176. Estándar: pen sc rnien'tc rtu merico y pensa m ien l-a variacto r¡al
Expresar a t(x) : J.' - 3r como composición de dos funciones-¡flyg. Luego,
hallar (f . g)' (x), para x : 4.
Seanf x) : {x yg(x) - x2 -
3x se cumple que r(r) : (f"g) (x). Luego, se
realizan los siguientes pasos:
Primero, se halla Ia derivada de la función externa calculada en la función in-
terna, es deci¡/'Q(x)).
L
fu(x))
: (r' 3x)z
-l-l
/
(s(x)) :
I
(x-- 3x)
'
Segundo, se calcula la derivada de la función interna.
o'lr)-ar-3
Luego, se halla /'(r).
t'(x) :
f'(g(x))
g'(x)
L t..\- 2x 3
I \I /- _
2r/x -
3x
Finalmente, se calcula r (3) :
-f2-:---- - +
zJt4) -3(4t
4'
Un ciclomontañista entrena para una carrera de f 00 km. Si su desplazamiento
desde la línea de partida está dado por la expresión s(t) : Jrt + t + I
, donde
s se mide en kilómetros y f en horas. Determinar la velocidad del ciclomon-
tañista al cabo del recorrido.
Primero, se halla el tiempo que tarda el ciclomontañista en hacer el recorrido, de
donde s :
100 y se tiene que:
too : .,,t'+T 1
99_.,1t.'+l
9.801 :r3+1
/3 :
9.800
t -
21,4
Segundo se halla s'(l).
s(r:(f3fl;tru*t
Se escribe lo raíz como potencta,
Se aplica lo deivoda de una resta
y la regla de la cadena
5e realizan las operacrones
s'(r): -l
(3r-)-o
(r'+ 1)-
.-'t +
-
3t-
J /- ,
(r'+ t;
Luego, se calcula s'(21,a).
3(21,4))
s'Qt,a):
Seremplazas: lA0.
5e sumo l,
Se eleva al cuadrado
Se resta 1.
Se extrae raíz cúbtca.
((2r,¿)' + r),
_ 1373,88
= 1-1.87
99
Por tanto, al cabo del recorrido el ciclomontañista tiene una velocidad aproxi-
mada de 13,87 km/h.
o sanrillana
I
I15
@
Ér<

177. Derivada de funeiones compuestas
x Ejemptos
Ha[arla ecuación de la recta normal ala gráfica de f (x):
ffi "r, ",
punto
(r,+)
1)3 tales que /(x)
:
#
Seang(x) : (x2
- 3)2yh(x) : (x2 t
Primero, se calculan g'(x) y h'(x) .
g'(x) : 2(x2 -
3) (2x)
h'(x) :
3(x2 + t)2 (2x)
8'@):4x(x2-3)
h'(x):6x(x2+t)2
Segundo, se calcula/'(r) aplicando Ia derivada de un cociente.
,t ^. _ g'(x)h(x) - h'(x)g(x) _ +x1x' - 3)(x'+ 1)' - 6x(x2 1- r)2(x'1 -
3)2
J \^ t -
t/r("x trr - l»
Tercero, se calcula/'(1) de donde la pen-
diente de la recta tangente es mr: -
5^
.
'2
En consecuencia, la pendiente de la recta
' _2
55
2
Finalmente, se utiliza la ecuación punto-
pendiente, de donde la ecuación de la recta
normal es:
,_
r :Z(*_t)
'25
^._2^.-
I
v
-
-^'510
5e aplica regla de la cadena.
Se realizan las operaciones.
G
t" extrae agua de una piscina de tal forma que el volumen de agua que queda
a las f horas está dado por la expresión v(t¡ :
250 -
(t2 + l)2, donde y
se mide
en metros cúbicos. Establecer qué tan rápido sale agua de la piscina al cabo
de 3 horas.
Primero, se halla r,'(r).
v(t) : 25, (P + l)2
Función dada
v'1r; :
O - 4l|t + 1)'] 5e aplica derivada de una resta,
dt
v'(t) : 2(P + l). (2t) Seaplicaregladelacadena
v'(t) : (4f) ('r + 1)
se efectúan ras operaciones
v'(t):4P+4t
Luego, se calcnla v'(f) cuando r :
3.
v'(3) :4(3)3 + 4(3)
v'(t¡: 4(27) + 12
v'(f): 72s
Por tanto, al cabo de 3 horas se extrae agua de la piscina con una rapídez de
120 m3/h.
176
losantillana

178. Encuentra la derivada de 1as siguientes funciones.
f(*):(3x-1)l
sk): @1 + z)e
h(x): (7x2 - x)
t
f(x): (2^E 7x')'
s(x)
:
^lrr' 6.
h(x)-(4x5+2x2+l)2
f(x)-(8-6;g¡tr+
g(x) :
V("'- 2x -t
t)3
f(x) - (¡s-rr: a 31
1/2)6
g(x): V(SG rI
Determina la derivada de cada función.
a. f(x):
(tc + 4)s
b. /(r)
:
[(x3 t 2) (x2 -
1)]2
c. g(x) :
V/(x - 6Xx D
d. f(*) - 3vx--r (2x 1-
8)r
e. fi(x) : (r - l)J2r! I
f. ftx):
(4x:- ¡¡',@
'r'
s(r) :(+)
h(xl : vt'- 3
x' 1
rrt: z(z)'.'(i)'
g(¡):(r#)'
Encuentra 1a ecuación de la recta tangente a la
gráfica de cada función en el punto indicado.
a. f,i') -
(8x - 2)t
ren
el purttor: l,4
b S(r)
: (3r f 2) (x + 1)2 en el punto (0, 2)
- t-...
-
-t t 2
C. /?(xl :
-
eu el punto r :
0
(x'- 2,)'
d.
/ vl 1\l
ftxl : '']--------11 en.r.- J
' (x'* 2)'
/^.lrr\l
s(.r) : \^ r/-
enx-0
" (2r-3)
r\
h(x\:
V',
', enx -
4
(5x -
7)
Verifica que alcalcularladerivadadeflr) : (2 - x)r,
usando la regla de la cadena, sea equivalente a
derivar el producto de dos funciones.
Soluciono problemos
La comisión que gana una compañía de seguros, en
milesdepesos,estádadaporc(s) :
100s2 -
15s * 80,
donde c(s) es la comisión por la cantidad s de segu-
ros vendidos. Al mismo tiempo la cantidad de se-
guros aumenta de acuerdo con s(r) :
0,02t + 0,38
donde s es la cantidad de seguros vendidos en f
meses.
a. Expresa la función comisión por seguro en
términos del tiempo f. Luego, halla la derivada.
b. Encuentra la variación instantánea cuando
f :
9 meses.
h.
).
- -(i) _',
Encuentra el error en el siguiente proceso para
hallar la derivada de ia función
h(x):(3;r+2xil)2.
h(x) : (3¡3 + 2x -t t)2
h'(x) : 2(3x3 i 2x-t l)(.9x2 + 2x t 1)
h'(x) : (6x3 + 4r t 1) (9x2 + 2x + I)
El r.olumen v de una esfera
es una función del radio R
t_
dada por v : --rtRr.
Un
globo esféri.o ,1 ,rrlu,ru
de modo que su radio se
expresa en lunción del
tiempofporR-3P+4t.
a. Expresa v como función de f.
b. Halla lir derivada v'(r).
c. Determina la r.ariación instantánea de1 r,olu-
men cuando han pasado 3 segundos.
Estándar: pen sa r¡ ie ntc n ti nérico,v Densü m !€nta vcri ccio rci

179. El número e se define como:
.!
Llm (l+ x)' :
e
r+0
Derivodos de funciones
troscendentes
Sea f una función logaritmica se cumple que:
Si f(x) : logox, a> Oy a + l,erlonces f'(x) :
rk
Si f(x) :
ln x, entonces f
'U)
=
|
Siy: g(x)y f(x): Logoy,entonces f
'1x1 :
=+-
' 4-
y lna dx
Para demostrar la primera propiedad se utiliza la definición de derivada así:
f
'(*) :
fXW
se ap,ca ta defrnición de derivada
: Lím
h+0
Derivodo de lo función logorítmico
Lrg,,ú
x: Límllog,ú
h-D n X
Se aplicon proptedades
de los loqaritmos
:Límllor,( **r)i
tt-o X Jr ,/
- Líml Lím log, ( x+ n
\;'
h-u X h-o X )
: LímI Log, Lím[
x+ ¿
');
h-o X ¡r
'u X /
:,f,T+..s.[-i-(r .
+)
:lloe.e:--J-
x " xlna
lt Ejempto
Hallar la derivada de la siguiente función/( x) : logr(x2 )- 3x).
SeaT: x¿ + 3x,setiene quef'(x): ;1 +
Luego, s"hullu !.'
ylna dx dx
dy _ d ,..,,
;;:#(*'+3x):2x*3
Finalmente, se remplaza ,, 4
con lo cual se tiene que/'( *¡ : ---21
¡-3-_
-*./ t
dx
rrlrrs
Ysvr \^/
(x2 + 3x)In 2,
x, xlh ' /
r+ft):
lrrtos,,ü
:
lí- if t
Los,,¿:L
)
t, comptifica oor v * 0
Se aplican propiedades de los logaritmos.
5e aplican propiedades de los límites
Se reescribe la anterlor expresión
5e aplican propiedades de los logaritmos
178
loSantillana

180. Derivodo de las funciones
exponencioles
ffi jmmp{ms
Sea Iuna función exponenc al se cump e que:
Si í(x) - cx, entonces f'(X) : o' ' n a
5i (r) - er, entonces f'(x) :
¿r
¡/ :o',enlorcesl -o
.to.-
Hallar la derivada delas siguientes funciones.
a. f(x)
:7xz + set.
Se aplica la derivada de una suma, teniendo en
cuenta que sifx) :
e.', entonces/'(r) : e'. Por
tanto, se tiene que:
f'(r)
: t4x-r 5e''
b. f(x)
:
e3 + x" - 3x.
Sean g(x) :
e3, h(x) = x' y t(x) - 3r, se tiene que:
S'(x)
:
0, porque e3 es constante.
h'(x) : e/
1,
porque rc es una potencia cuyo
exponente es e.
t'(x) : 3'Ln 3, porque t(x) :3'es una función
exponencial.
Por tanto, la derivada de/es:
f
(x) : ex'
t
- 3-'ln 3.
c. f(x)
: 3x' + 5'tT2'.
Sip(r) : 3x'y q(x) :5r¡2',
se tiene que:
P'6)
: 3¡rxn
)
q'(x) : s' [(rr2')' (lnn)' (2)]
cl'G) -
(1o ln tr)(n2'')
De donde la derivada de/ es:
J'G)
: 3¡rxn
) + (10 In n-)(rr2')
d. f(x) =
e'.
'x-
Sea g(x) - e^' y h(x) :
x2 se realiza el siguiente
procedimiento:
Primero, se hallan g' (x) y h' (x).
g'(x\: 2x e' h'lrl -
2x
Luego, se aplica derivada de una creciente
., \- (2xe^ )(x:)-(c')(2x;
j r,ir-
I
Finalmente,sesimplifica f'tx) -
2c' (x -
1)
r
J(
'
Estándar: pensomtenta numéilcc y oenscmiento variacicnal
Sea/(r) : LnJ*' + Z*, definida parax ) 0.
a. Determinarf
r(x).
Si7 : f-rrrf,' + Z,, primero se intercambiay por
x, de ta1 forma que
x:Ln . Luego se despejaT así:
e':,f y4 2, 5e
"zr:y2
l2l
,:r:r) -2y+l-l
ez':(y+t)2_l
e2,+l:(y+l)2
y:
"!7i
- t
Portanto,
f
,(.t)-
v[2. + 1 - l,parax] 0.
b. Hallar la derivada def
r(x).
Seag(x) = .f
,(r):
.,f,.. + r -
1, definida para
r ) 0. Se realizan Ios siguientes pasos para hallar
8'(x):
Primero, se escribe g(x) como potencia.
3(r)
:(c2^-I)r2-l
Luego, se aplica derivada de ur-ra resta y la regla de
1a cadena.
s(x):
l(el.-l) ll(ler)
o
ó
,-., _l '"
L
Finalmente, se sinrplifica:
')^lt
--'/ -- LC
ó \-"
^ r
-
-
2tl e +
-L
Portanto, 4lf (.r))- -+::
dx' Je''+I
Paratodor)0.
o santillana
I
i7I
e"
Jr,,+ 1
y'+ 2y
\

181. x Ejemptos
@
ruauufunción f (x):{",.
,
I si x-'f
,d","r-inarelvalordeaparaque
lx'laxsix>0
/sea derivable. Luego, hallar/'(x).
Para x (
0, la función/es derivable y su derivada es:
-L
p,-
- r) :
3er^
dx
Para todo x ) 0, la función/es derivable y su derivada es:
d
(*= 1- ax\: 2x I a
dx'
Para que/sea derivable enx:0 se debe cumplir que la derivada por la izquierda
de cero sea igual a la derivada por la derecha de cero, es decir,/'(0-) :
/(0*).
Por tanto, se tiene que:
f'(0 )
:
3e3(o) : 3yf'(0+) : 2(0) t a :
a
De donde se deduce qloe a:3. En consecuencia, la derivada de/x) es:
f'(x):
Jrr"
six(o
lz,
+ : si x > o
[Jna compañia internacional de accesorios determinó que entre 1995 y 2OO5
el precio de sus artÍculos aumentó rápidamente según la función:
P :70(1,3)t
Donde P es el precio en dólares y r el tiempo en años. Hallar la rapidez en
dólares por año, con la cual aumentó el precio en el año 2000.
La rapidez con la cual aumentó el precio a los ú años se define como P'(f). Luego,
se tiene que:
P'(t) :
701(t,3)t
.
ln(1,3)l
P',(t) : (70 ln 1,3)(1,3r)
Si se representa con f :
0 el año 1995, se tiene que f :
5 representa el año 2000.
Por tanto, la rapidez con la que aumentó el precio en el año 2000 está dada por
P',(s).
P'(s) : (70In 1,3)(1,35)
P'(s) =
(18,36)(3,772)
P(5)
= 63,19
Por tanto, la variación instantánea del precio en el año 2000, fue de 68,19 dóla-
res por año. Esta variación corresponde a la pendiente de la recta tangente a la
gráficaPcuando/:5.
I
I
.l80losantillana
Derivada de las funciones exponenciales

182. Escribe las derivadas de las funciones, a partir del
texto explicativo de lapágina 178.
a. f(x) - e'
b' f(x)
: a'
Encuentra Ia derirrada
a. f(x):
ln (2x)
b. h(x): LoB: 6' -
c. f(x):
(ln x3)42"
d. S(r)
:
x2 Log (2x - t)
e. h(x): LoBz @1 -
+)
f. g(x) : Ios*(+"
-,)
c. f(x) - In x
d. f(x)
: Logu x
guientes
s f@)
h. g(x)
i' f(')
j g(r)
k' /(')
l. g(x)
e'le'
fr-rnciones
:10f+3
_^\
-t
: gi -rl
: 10''
1ir-)
:,,,v;
de las si
1)
I. flr)
:
m.g(x):
e^-et
[n (ln x)]2
f. h(x): ln(x3 - 0,5x r)
n. (x) :1n(e3'f
5x)
e. f&):
3(r2-2x+1))
Log', (x)+5x+4)
e)
h.
S(r) - ."r,[
Log.(r + 2)
Encuentra la recta tangente a las funciones en los
pLrntos indicados.
a. f(x):
23r
8
b. g(x) - x2ln (x + 3)
c. f(x):
e'Log. (r + 1)
d. h(x) : e't e '
2
e. lx): 1"."ffi
f. g(x): err+rna
g. h(x) :
93x
2
Log, x
enx:3
en¡r :
2
enr:10
enx: -1
enJÚ:
enf:
enJf :
1
5
1
Determina la derivada de cada función.
a. fix)
: Inx3
2xil
b.
S(r)
: e.'ln x
c.h(x)-."r(+)
d. f(*):
ln (3 * e
3')
e. g(x):
V5;+
Log 3r
Recuperc información: 1 Rozono:4-5-6
Determina elvalor de a para queflx) - xln x -
ax
tenga en el punto r :
e una recta tangente paralela
a la recta y : x.
Encuentra 1a ecuación de la recta tangente de la
gráfica de la función en el punto que se indica en
Ia figura.
a. l.r)
: gri * 1
c. f(*):ln
(x2 + t)
b. /(r) - 2-.' d fr)
:
Log (sx -
7)
ip Sotuciono probiemos
Un objeto se mlrer,e de tal fbrma que s(t) re-
presenta Ia posición en función del tiempo r.
Determina la r.elocidad que lleva el objeto en el
tiempo indicado.
¿. .s(l): e I:2s
b. s(r):ln(r2+1) f:5s
. t l\
c. s(/) e -hrlt'-rJ r:3s
El número de personas afectadas por una enfer-
medad, durante una epidemia en semanas, está
dado por la función:
f(t)
: 1'000 t-5/r e -r,
f en semanas.
a. Halla la derivada de 1a funciónl(r).
b. Determin¿r Ia velocidad con la que se propaga
la enfermedad al cabo de 5 semanas.
c. Encuentra un r.alor f tal que/'(t) :
6.
ioSant¡Nlana i]8i
Estándar: pe n sa m i ento n u méri ca y pe n sa mi e nto va ri ac t o n a I
i f: I r./'t
1

183. Derivodo de los funciones
trigonométricos
Derivodo de lo función seno
Dada la función f(x) : t.n x, se cumple que f'(x) :
cos x.
La demostración de esta regla se realiza utilizando la definición de derivada así:
It Ejemptos
{*§
Hallar la derivada de las siguientes funciones.
sen(x) cos(h) + sen(h) cos(x) -
sen(r)
/r+0 h
sen(x)cos(ft) - sen(x) *
sen(ft)cos(x) l
h-h)
sen(x) cos(ir) - sen(x) , , , sen(h) cos(x) aplican propiedodes
- l-lllr- Lrrrr-
;ló h t,-o ¡
loslimites.
: [ar- sen x. ¡i-
cosh - I
I - [tt*
sen ft . tim cosxl
Lr-o /,-o h ) [r-o h n-o ]
5e aplica la definición de derivada,
:m[
Se uti I iza n identi d ad e s
trigonométricas.
5e expresa como
una suma.
:
sen (x) '0 + 1 'cos (r) : cos (x) Se calculan los llmttes indtcados.
a' f(x):
sen2(3x * 5)'
Se tiene queflx) :
[sen(3x + 5)]2
Luego, se utiliza la regla de la cadena así:
f'(*)
:2
sen (3x * 5) ' cos (3x + 5) ' 3
Finalmente, se simplifica:
f'(x)
:6
sen (3x * 5) cos(3x + 5)
b. f(*)
:
sen(sen r2).
Sea g(x) : sen x y h(x) : x2 se cumple que
(g'g' h)(x) :
f(x),
por tanto, debe aplicarse la
regla de la cadena con la cual se obtiene que
f'(*)
:
cos (sen x2) ' cos x2 '2x.
,. f(*):
sen(sen2 r).
En este caso, si g(x) :
sen ,ú y h(x) : x2 se tiene
que (g" h" g)(*) :
f(*),
con Io cual la derivada es:
f'(*)
:
cos(sen2 x) ' 2 sen x' cos r
f(x)
: (2 senx cos x)(cos (sen2 x))
iBZ
l,r:santillana
Un velero se encuentra anclado en un puerto
marino, en donde la distancia que lo separa de
la parte menos profunda del mar varia, por el
efecto de las olas, según la función.
P(t) : l0 t sen 2nf
Donde P se mide en metros y ú en minutos.
Determinar la rapidez instantánea del velero
cuando f :
0,5.
La rapídez instantánea corresponde al valor abso-
luto de la velocidad instantánea. Para calcular la
velocidad instantánea, se determina p'(t), asíi
P'Q):o-l(cos2¡t)(2r)
P'G)
: 2¡t cos 2¡tt
Luego, se determina la velocidad instantánea
cuando f :
0,5.
p'(0,5): 2tr cos 2¡(0,5)
P'@,5)
: 2¡ cos ¡t :
-2¡t
Por tanto, Ia velocidad instantánea e s -
6,28 m/min
y en consecuencia Ia rapidez instantánea R es:
R: -6,28
:6,28m/min
I

184. Dada la función f(x) : .o, x, se cumple que t'(x) - -sen(x)
La demostración de esta regla se realiza utilizando la definición de derivada así:
f'(*):lrxtfulffi
5e oplica la definición de derivada
cos(x) cos(h) -
sen(r) sen(h) cos(x)
Derivodo de lo función coseno
h
cos(x) cos(h) -
cos(r)
h.
l*'
L§[
Se uti I iza n tde nti d a d es t r tgonométrl co s
Se expresa camo ur)a rcsta
Se aplicon propiedades de los límites
.t.í-
."r-,
"-li,-0
l
sen(r) sen(/r)
+0
Lím
h+0
Lím
/l+0
[,,,
Ir
(x)
5e calculart los limites tndtcados
20 cm
Primero, se ap
f'(') :
,lica la derivada de un cociente así:
(1)(cos x) -
(x + 1)(-sen x)
(cos2 x)
Luego, se efectúan las operaciones:
f.'(')
:cosx*:rsenrtsenx
cos'JÚ
Finalmente, se divide y se aplican identidades
trigonométricas.
f 't ,.
- -
,. Sell X
-
Sen ,\'
J \¡t
corx " aot-, a"t-*
f'(*):
secx -l xtanxsecx tannsecr
,'(t):20senf
_ 't'i
J
Determinarla derivada de las siguientes funcio-
nes trigonométricas.
a. f(x)
:
cos3 ¡.
Se realizan los siguientes pasos:
f(x)
: (cos x)r Se reescribe la functón
: (3 cos2 x)(-sen r)
se corcura ra denvada
:
-3senrcos2¡
ysemultiplrca
Por tanto. [
'
,.or' , ll - -
3 sen .r cos2 x.
ldx l
b. f(x) -
x-t t
cos .f
Se tiene un péndulo
de 20 cm de longi-
tud de tal forma
que el ángulo 0, me-
dido en radianes, es
el ángulo formado
por el péndulo y un
eje vertical como
se muestra en la si-
guiente figura.
Si rx(0) es la distancia entre e[ extremo del pén-
dulo y su posición más baja. Hallar la variación
instantánea de ft(O) cuando e :
t.
Se tiene que CB : 20 cos 0. En consecuencia,
h(0) : 20 -
20 cos 0. La variación instantánea de
/r(0) con respecto a 0 es:
h'(g) :0
-
2o(-sen 0)
h'(0) :20
sen 0
Así, cuando 0 :
+
se tiene que:-3
= 17,32
Por tanto, Ia variación instantánea cuando 0
es aproximadamente 17,32 cnlrad.
osantillana
I
I83
Estándar: penscrñicnto nurnerico
¡t-
pensamtentc vciriactona!
'

185. It Ejemptos
Derivodo de otros
fu nciones tri gonométricos
Dadas las funciones, tangente, cotangente, secante y cosecante se cumple que:
Si f(¡) : tan (x), entonces f
'(x) :
5s6z (¡)
Si f(¡) : cot (x), entonces f
'(x) :
-csc2
(x)
Si f(¡) :
sec (0, entonces f'(x) - sec (x) tan (x)
Sif(, :
csc (x), entonces f'(x) :
-csc
(x)cot (x)
Para demostrar estas reglas de derivación es necesario utilizar las identidades trigo-
nométricas y las reglas para derivar un producto y un cociente. Por ejemplo, para
'demostrar que Ia derivada de f(x)
: tan x es f'(x)
:
sec2 x se realiza el siguiente
procedimiento:
f(*)
: tan (x)
. sen (x)
llx):
-
-
cos (x)
r,/ .
-
cos(x) cos(x) -
(-sen(x)) sen(x)
i tit:
(.""(r»
_ cos'(x) * sen'](x)
cosr (x
)
:
-=
: sec,(x)
cos- (x.)
Función dada.
Encontrar las derivadas de las sig ientes fun iones.
a. f(x):
sec(csc(3r)).
Primero, se aplica la fórmula para erivar la secante.
f'(*)
:
sec (csc (3x)) .
tan (csc (2il 4
(csc(3x))
dx
Segundo, se aplica Ia fórmula para derivar cosecante.
f'l*l
:
sec (csc
1:x)) ' tan (csc (3x)) .
[-csc1:x).ot(¡r)4(¡r))' 'dx ')
Luego, se halla la derivada de h(x) :
3x.
f'(x)
:
sec (csc (3x)) .
tan (csc (3x)) . (-csc (3x) cot (3x)(3)
Finalmente, se organiza la expresión resultante.
f'(*)
:
-3
sec (csc (3 :))'tan (csc (3x)) .csc (3x) .cot (3x)
b. f(*)
: (tan (x) cot (¡))2
En este cas , primero se reescribe I función da a utilizando identidades trigonomé-
tricas. Luego, se tiene ue:
/ sen(x)
,
cos(x) '¡'
:
12 : I
f(x)
: (tan (x) cot (x))2 :
[-cos1x¡ sen(r) /
Así, la función que se ya a derivar esflx) :
1 de donde/'(x) :
6.
Por tanto, 1 «unx cot r)2 :
0.'dx
184losantillana
Se apllca la dertvada de un coctente
Se multiplica.
Se uti I i za n i d e nti dad e s tr¡ gon ométr¡ ca s
\

186. Estándar: pensamiento numérico y pe
Recupero informoción: l
Escribe las derivadas de las funciones trigonorné- Relaciona 1a cohrmna de la izquierda flx)
con la
trlcas que aparecen
texto explicativo.
a.
f(.x)
:
sen r.r(r)
b. g(r) :
cos a(x)
c. h(x) : tan u(¡)
trigonométricas.
a. f(x) - sen (3x2)
b g(r) :
cos (r2 ¡ 1)
c. h(x): tan ..,[
d f(*):
sec (x3 t 1)
e. e,(x) : .ntlf )
o
\x/
a continuación, a partir del
d fr)
:
csc a(x)
e. g(¡) :
sec rr(x)
f. h(x) :
cot u(x)
f. g(x) : cos(r[- t)
g. h(.x) :
csc (4xr)
h /(r)
:
se c(3/4x3)
i. g(x) : secxl -
cscxl
j.
J@) - 1¿¡ 3r'r/l
columna de la derecha f
' (x).
a. f(x)
:
sen r cos r I f'(*)
: 2x cos x)
b. l(r)
:
senr x
c. JG)
: sen;rl
2. f'(*)
:
cos 2x
3 f'(*):
6¡2 senx3 cosx3
Encuentra la derivada de las siguientes funciones
Encuentra la ecuación de Ia recta tangente a Ia
d f(*): sen2r3 a. f'(*):
sen 2r
gráfrca de función en el punto indicado.
a. f(x) - sen(2x * ¡-) en ¡ - 0
b. s(x) - tanil-'Y enr:rr.,2
c. JG): 4cos(2x* 1) enx- -L
t "
-.¡) enx:4¡d. fitxl :3sen[-r-
)
e. /(x) - -2
cos (3x + 4) + 2 enr:
Aplica las reglas de'derivación para hallar la deri-
vada de cada función.
f(*)
: !t"t 3, - sen'r'
e(x) : .or'lln
I
)- I.o, u[o
x) z
h(x) - cos fsen (5x3)] - tanjx2
f(r)
:
sena (2x) t csc2 (xa)
s(x)
:
[cot(z.v[)]'+ lñ" r 1
tan (4x)
n\x):
cot (4x')
g. f(x)
:
-cos
(sen (tan x2))
h g(r) : (sen 2x)(tan2x- l)
i. h(x) :
3 sec2-t -¡ 4sen xcos2x
j. f(*): -4
sen (e
2')
k.g(r):e
senr+e cos-r
l. I(x) : ¡,''[
'"n '' )
' cos2x )
-.fx)
:
sen (¡2 +'e
2')
n. g(x) : Log,[-].ort:*'ll
" "L 2 I
o. f(x):
Log: (tan (4¡)) t Log. (sec (x2))
'¡T
J
a.
El movimiento de un pistón en un motor de ve-
hículo, sigue el movimiento armónico simple. La
posición r corno función del tiempo está dada por:
x:Acos(u-r'f)
a. Determina la función velocidad como función
del tiempo.
b. Halla la velocidad instantánea si 1a amplitud A
del movimiento es 0,8 cm, su frecuencia angu-
lar co es 188,5 rad/s
1.el
tiempo transcurrido es
de 3 segundos.
En un día despe-
jado con D horas
de hz solar, la in-
tensidad l de la luz
solar (en callcmz)
se puede calcular
aproximadamente
con la fórmula.
I_ lttr.n4paraO<r<D,D
donde / :
0 corresponde a la aurora e I., es la
intensidad máxima, con D :
12.
a. Determina la variación instantánea de la inten-
sidad en función del tiempo.
b. Escribe una expresión para la variación instan-
tánea de la intensidad cuando f :
6.
o santillana
I l8 5
I

187. Derivodos de los funciones
trigonométricos inversos
Una función y su inversa se relacionan mediante la derivación como sigue:
Sig(x) es la inversa de la funciónf(x), entonces:
s(f(x))
: x
Se realiza la campuesta
g' (f(x)) f
'(x) : |
5e apilca la regla de la codeno'
f
,(
x : 1
se desPeia g'(x)'
J .
s',lf(x))
Laderivadadelafunciónf(x): sen-1x es f'(x)
si -1( x1l.
'
'lL-
x'
Para demostrar la derivada de Ia función/(x) : sen-1x se realiza lo siguiente:
Sifx) :
sen-1 r, entonces,flx) es la inversa de la función g(x) :
sen r.
Como g'(x): cosrycos(sen-l l: Jt_ x',entonces:
f'(x):
ri6
Se aplica la relación de la derivada
de la función y su inversa
5e evalúa g'(f(x)).
5e remplaza cos(sen-1 x)
Por tanto, si/x) : sen-l x, entonces
f'(*)
: si x ( l.
Jt=ia
Las derivadas de las otras funciones trigonométricas inversas se presentan a conti-
nuación.
Si y : cos
rx,entonces,
v' :
-L
x ( I y0 < y< rr.'/
Jl-r,
t /
Siy :,un-,x,entonces,
y' :
+7xC
R y -
:<
y <
:.
Si7 : .o,-'r,entonces, l'
:
1l,
x€ R yO < y < 1T.
Si7: r".-tx,entonces, x< -7,x>-1y0<,y(zr,.y ++.'
l.l..lx'-l
' /
2
Si7: csc
rx,entonces, y': , -! x< -l,x<
I y +
> y< *,y * 0.
'
lxlJx'-r 2 2
Es importante tener en cuenta que al derivar una función compuesta, relacionada con
las funciones trigonométricas inversas, se deriva la función interna así:
Silx):sen_1(h(x)),entonceS,f,(*):#.h,(x),
De igual forma se procede con el resto de las funciones trigonométricas inversas.
En el triángulo
li
-)
1Jr A
se tiene que:
sen-1x :
0
sen0:x
^ ñ-)
tosu:vr
^
lt
-)
tOS[sen- x):vt
^
186
losantillana
E
E
.RECUERDA
OUE...

188. x Ejemptos
@
U"Uur las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas.
a. f(x):
arccos (x2 + l)
Se aplica la derivada de
f(x)
f'(x)
Luego, se halla
*Ltr'*
,)
f'(x): -
Por tanto, se tiene q\e f' G)
:
-
b. f(x)
: cot-r (cos x3)
Se realizan los siguientes pasos:
f'(x): -nd;r, 'S.kos x')
3x2 sen xl
Por tanto, se tiene que /'(x)
:
I + cosr xj
tan0:
r
70
o:tan-r(;)
o:tan-1 (+)
Como el ascensor alcanza la cima del edificio cuando x :
100 - l,/ :98,3 m
el tiempo f es igual a 32,76 segundos. Así, la variación instantánea de 0 cuando
t :
32,76 s, e9tá dada por:
@l . 3
-
3
=o,or-l
dt l, _ .,._^
, _ ( lltz,ze¡ \,
70 2oB
'I io J
Por tanto, cuando el ascensor llega a la cima del edificio el ángulo 0 varía con una
rapidez aproximada de 0,014 grados por segundo.
La función inversa
1
IIXJ:6gt ','
tambrén puede escribirse como
f(x) :
arccosx.
: cos
1
xylarcglade la cadena.
. d t*.+t¡
ú17 dx'
-sen
13.
*r*',
Se halla la derivada de arc cot x y
se aplica la regla de la cadena.
Se halla la derivada de cos x3.
Se calcula la deilvado de xj y se multiplica
G
," transeúnte se encuentr aa70m de un edificio de 100 m de altura cuando
observa uno de sus ascensores que sube con una rapidez constante de 3 mis
como se muestra en la figura. Hallar la rapidez con la cual varía el ángulo 0,
formado por la horizontal y la línea visual del transeúnte, cuando el ascensor
alcanzala cima del edificio.
Se tiene que el ascensor recorre una distancia ¡ con una rapidez constante de
3 m/s, con lo c:ual x : 3/, donde f es el tiempo en segundos. Luego, se plantea
una expresión para 0 en función del tiempo así:
5e plantea tangente del ángulo 0
Se aplica la inversa de tangente para hallar 0.
Se remplaza x: 3t.
osantillana
I
i87
Está n dar: pe n sa m i e nto n u mé ri co y pe n sa m ¡ e nto va ri acio na I
RECUERDA OUE...

189. Responde las siguientes preguntas.
a.
¿Cuál
es la derivad a de f(x)
:
sen-
I
x?
b.
¿Para
qué valores de x está definida la derivada
def(x): cos-1 x?
c. ¿Cua
es la función inversa de y :
' ,
sen ,c
para qué valores está definida?
d. ¿Cuál
es la función inversa de la derivada de
f(x)
: tan-t x?.
Encuentra la derivada de las funciones inversas
para seno y coseno.
a. f(*): sen-l (3x)
b. f")
: 5s¡-1 (¡2)
c. f(x):
cos-1 (4x2)
d. f(*):
sen-'(rtr" )
f. f (*):2 sen 'di¡
trigonométricas inversas.
a. f(x) - 3 csc-I x2
b. I(i: tu., ' J2*'
c.f(x):-cot r(z#+x+2)
d. f (x\:
-sec
rlf )u.
J\^,-
rLL
\+* )
e. f(x):fltan'ax;''2
f. f(*):
sec
1
x * csc-1 (x + 2)
s. f(x):
f(x):2
sen
t
Ji + cot-t (2x)
f(x)
:
sen-1 (cos
I
x3)
. tant3x
r\x):-
-
-
cot-'x'
k. f
(*) : sen '
,(ln
cos 2x) +
'lr;
l. f
(x):
-tan-'|
(sx) + 1x'
2
2
)
S
e. f(x):
x sen-1 u7
Calcula la derivada de
h.
i.
j
188losantillana
Recupero informoción: 1 Ejercito: 2-3-4
@
Uallu la ecuación de la recta tangente ala gráfrca '
de/en el punto indicado.
1
a. /(x)
: sen vx en :
,
b. f(x)
: cos-r 3x2 en x :
0.
c. f(*): tan-l (x + 1) en x :
1.
d. f(*)
: sen-l (x -
2) en x :
2.
e. f(x): cot
r(x
-
1) enr: -1.
Dada la funciónf(x) : (sen
t
(2x))2,halla la ecua-
ción de la recta normal a la gráfica de f
en x :
0,3.
@
O","r-ina cuáles de las siguientes proposiciones ,,
son verdaderas y cuáles son falsas.
::
a. La funciónf(x) : sen
1 ¡ es igual a la función
I
r\x):-
senf
b. Sig(x) : cot-r (x -
2), entonces, g'(2) :
0,2.
c. La derivada de la funciónflx) :
sec-1 x no está
definida parax - -1.
d. Sig(x) :
sen (tan-I n), entonces, se tiene que
cos (tan-l x)
g(x):
--
t-rx'
Soluciono problemos
@
ouao el triángulo ABC,
A
encuentra la variación
con respecto a x, te-
niendo en cuenta que a
y b son constantes.
Í)
r" cuadro de 0,5 m
de altura se encuen-
traa2 m del nivel de
Ios ojos de un obser-
vador. Si el observa-
dor se aproxima al
cuadro con una rapi-
dez constante,
¿cuál
es la variación ins-
tantánea del ángulo 0 subtendido por el cuadro en
los ojos del observador, con respecto a x cuando é1
se encuentra a 3 m de la pared?
Derivadas de las Éunciones trigonomét¡icas inversas
I
2m
I

190. x Ejemptos
Estándar: pe n sa m ¡ e nto n u méri co y pen sa miento va ri acian a I
Derivoción implícito
Hasta el momento se han trabajado funciones de Ia forma y :
f(*),las
cuales están
expresadas en forma explícita, pues una de las variables se encuentra despejada en
función de la otra.
En algunas ocasiones se dan funciones de la forma y, - 5*y' : 3x3y,las cuales re-
ciben el nombre de expresiones implícitas ya que no es posible despejar lay.Para
derivar este tipo de funciones se utiliza la derivación implícita, un proceso en el que
se supone que /
es una función derivable de x, y se utiliza la regla de la cadena.
Para derivar implícitamente una expresión se realizan los siguientes pasos:
. Primero, se halla la derivada con respecto a x dela expresión implícita dada.
. Segundo, se asociah en un solo miembro de la igualdad todos los términos que
contienen L.
dx
. Finalmente, se despej
^ *
Hallar 4
"rcada
una de las expresiones implícitas dadas.
dx
a. 5xy I y2:3xz
Como
7
está en función de r se realizan los siguientes pasos:
f5xy) + ly')
: Z* Expresión dada.
lrr* s*.
dl
I *[r,.
dl
l:0.
L' dr) l' d*)
dv dv
5x' '-1 2v.---L:6x-5v
dx dx
[5x2) + Ísenyz): 4
lau
[10x] + l2y
. -i cos
ldx
Se apltca derivada de un
producto y regla de la cadena.
5e asocian, en un solo miembro
de la igualdad, los términos que
dv
ttenen aomo taator :
dxdy _6x-5y
dx 5x -l 2y
b. 5x2 * sen
1p
: 4
se factoriza y se drrpr¡o
q
Es necesario realizar el siguiente procedimiento:
Expresión dada.
I
v2 | : 0
Se aplica la derivada de una suma
'
)
y la regta de la cadena.
dv
2v'-1- cos y' - -l 0x Seresta t)x.
'dx
dY
: - Iox
,. r.,^.,-
dj
dx 2y cos y:
dY
-
--5xE
-
Yr:"t Y'
Se simPlifica'
o santillana
I
l8 9

191. x Ejernptos
@
U"U", la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de la
función en el punto indicado. Luego, trazar la gráfica.
a. 4xy * y2x :3
en el punto (+, ,)
Primero, se halla la derivada implícita de la expresión dada para encontrar la
pendiente:
4. /
+ Gn.
#
+ 2y*. x * r. /,
:
o
#*n.
+ 2xy): y'- 4y
dy _-y'-4y dv
dx 4x * 2xY
5e desPeja !
'
Luego, la pendiente de la recta tangente
",
(1, t) se halla así: remplazando
\s')
las coordenadas del punto por x y y, respectivamente.
*r:
---$-.....!(r),
--
-s :
-
2s
,(+) .,(;)r'r +
18
y la pendiente de la normal es tn N:
+
. Finalmente, se aplica la ecuación
punto-pendiente de la recta, con lo cual la ecuación de Ia recta tangente en
(+,,)
esi y -, : -#(" -
+)de
donde /
: -ffx
+ JL
y la ecuación de la recta normal es:
y - | : +(.- +)dedonde, : 4* + Jf-
2s s) ' 2s t2s
La gráfica se puede observar en la figura 4.
b. y'*: I en el punto (f , f ).
Primero, se halla la derivada en ambos miembros de la igualdad.
dv
2Yi'x-rl'/-:0
Segundo, sedespeiu
d!
dx
dy
: -y'
dx 2xy
Luego, se enc entran las pendientes.
1^
mr:-2Yfr¡¡:z
Finalmente, las ecuaciones de las rectas tangente y normal son, respectivamente:
,:-L*+auy:2x-r-
2 2"
t-i3 l2-ir,V I ? 1
t
190
i
oSantillana
Figura 4

192. Está ndor: pen sam ie nta n u m érico y pe n sa m iento vari aci an al
@
O"t.r-ina cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas y cuáles son falsas.
a. La función f(x)
: (sen2 x)a está escrita en
forma explícita.
b. La expresión xzy3 - 5xy : 4 está dada en
forma implícita.
c. Si h(x) :
5xy y y :
f(x),
donde/es derivable,
entonces h'(x): S*4.
dx
d. si y y :
f(x),
donde fes derivable,h(x): !-
v
entonces h'(x):
'-.*
v'
Determina !
uplirurdo Ia derivación implícita.
ax
a. 3xY I
Y3
:2x i.
Y' + 2Y', - Yx2
:
6
b.*tyl2y:5x )
5
-
5 -l 3xy:l¡y
xy
dy
dx
c.
d.
e.
f.
o
b'
h.
x2+yz-4
y2*2x2t3:o
3y2x -t 3x: xy
Jf - 2v': -2
y3-f2xy-fx3:8
sec2y*csc2x:9
k.3xa-2*'yty':4
1. 2y : sen (x -l y)
m. cot xy -l 5x2y : g
n. sen (x\,2) :
yz + 3x
o. tan
'(xyt) - 2xy2
p. sec
'(y'"'):
5x/3
@
Uum las ecuaciones de la recta tangente y la recta
normal ala gráfica delen el punto indicado.
2xyz -f xy :
6 en (2, 1)
yxz : 2 en (1, 2)
x2 + 2yz: 2 en (0, 1)
y4 + y3 -
2y + 3x3 : 3en (1, 1)
5x2 -
y3x2 -
2y + 3 :
1 en (0, 1)
x2/':1en (-1,
-1)
-x2 + yz(xl - 4): -9
en (1,2)
/2
:
3x2 -
2x3 en (o, o)
lx - yx2: 0 en (1,2)
vJ v'
+_=:ren(6,5)
65
Demuestra que la pendiente de la recta normal a
la gráfica de xa + yn :
3xy, en el punto (0, 0) no
existe.
Recupero informcción:'l
@
Co-pteta la siguiente tabla.
@
tr la ecuación de una elipse está dada por la expre-
^-2
rr
2
sión ^ -
'/ :l,deternrina:
259
La pendiente de la recta tangente a la elipse en
(0, 3).
Los valores en los que la pendiente de la recta
tangente a la elipse no está definida.
Los valores en los que la pendiente de la recta
normal a la elipse no está definida.
@
S.u g(x) : x', donde r es un número racional yg
es derivable. Demuestra queg'(x) :
rxr - I;
utiliza
para ello la derivación implícita.
G! tu gráú,ca de una hipérbola cuyos vértices son
y(4,0), V'(-4,0) y cuyos focos son F(5,0) y
F'(-5,0), es:
a.
c.
a. Determina la ecuación de la hipérbola.
b. Halia Ia ecuación de la recta tangente a la hi-
pérbola en elpunto
f t,])
4/
i,/
5v\
o 5antillana
I
lY*Yz:1
cos/- y3x:8x
Jrr.l, -
eal :
sen xy

193. Derivadas
* *r erc su erá*r
Si una función/es derivable, su derir.ada/" se denomina primera derivada. Así
rnismo, si la función/'es derivable, la firnción/"se denomina segunda derivada
del En general,la z-ésima derir.ada de Ia funciónf, donde n e l\, es la derivada de
la (n -
1)-ésima derir.ada de f.
La notación correspondiente a las derivadas de una
función/se muestra a continuación:
f'
dy
dx
Primera derivada de I
f
,lt y
)
,lr
Segunda derivada de/.
f
dty
dx-'
Cuarta derivada de f
f
(n) dy
)-.
u\
n-ésima derir.,ada def
f'(r):5x++9x2-2x
f"(*)-20x3+18x-2
f"'(*):
6ox2 + 18
f
(1) : t2}x
f
(5)
- r20
s'(0 : 3P - t2t + t2
s"(t):6t-t2
Luego, Ia aceleración del punto en f :
5 es:
a: s"(5) :18piesis2
Hallarlaquintaderivadadelafunciónflx): xs + 3f - f.
Se calculan las derir.adas de la función f consecutivamente así:
5e calcula la primera derivoda de f.
5e calcula la segunda denvada de f.
Se calcula la tercera derivada de f.
5e calcula la cuarta derivada de f.
5e calcula la qurnto derivada de f.
Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal en tal forma
que su posición en el momento ú está dada por la expresión s :
t3 -
6P + l2t,
donde s se mide en pies y f en segundos. Determinar la aceleración del punto
cuando f: 5.
La primera derivada de s corresponde a la velocidad y la segunda derivada s es
la aceleración. Luego, se tiene que:
5e calcula la prrmera derivada de s
Se calcula la segunda denvada de s
I9Z josantillana

194. Estándar: pe nsa m ie nto n u m é rico y pe n sam te nto va riaci o n a I
@
o"au la tunción:
f(x)
: txs -
Determina:
a.f'(x)
b.
d'y
dxz
ji
oada la función f\x)
:
x3.
a.
f.s)(x)
b.
Í40)(x)
a. Construye la gráfica def(x).
b. Deriva f(x) y construye la gráflca de la deri-
vada.
c. Halla f"(*) y construye la gráfrca de la deri-
vada.
d. Hallaf" '(x) y construye la gráñca de la deri-
vada.
d.f(*):f-x3
e. f(x):2x3 -
x7
f.f(*):2x2tx+l
e.f@):x3-x2-r
Sean/(x) : 2 .o, x yg(x): 5sen4r. Determina:
J
2x3+3x2+7x
dry
c.
dx3
d. f(s)(x)
@
UuUu la quinta derivada de cada una de las si-
guientes funcione§.
a. f(x): -2f t 5x3 - x
b.f(*):x7-4x3+6f +17
c. f(x)
: 2xs t 3f - 2f -t x -
2
d. f(r)
:
-I f x -
2x * xz -
2x3 + 6f
e. f(x):2é -
x5 + 3# * 7x3 -
5x2 r 3x
na
2t,
Lto
Ia n-ésima derivada de f,
donde n
para qué valores de n se cumple
o
h.f(*)
i. f(*)
j.
f(x
k.f(*)
t- f*)
^.f(x)
n.f(x)
c.
f11)(x)
d.
8{60)(rú)
Dada la función f
(*) :
e-", determinaf(n)(x).
a. f'(x) - o
b. f'(x)
: t
c. f'(x)
:
-5
d. f'(x)
: 3*z
e. f'(x)
: t2x2
r. f"1x¡:s
^.)
I
Si f(x)
a
-\-TZ
a. Halla
b. Determinaf"(x).
c. Responde:
¿será posible que f")(x)
:
0? Iusti-
fica tu respuesta.
Dada la func
entero no
donde nl :
Soluciono problemos
Un objeto
tical de tal forma que su desplazamiento está dado
por la función s :
flr),
donde s se mide en metros
y f es el tiempo en segundos.
Si s(f) :
t3 -
9P -
l2t, determina:
a. La velocidad y la aceleración del objeto en un
instante f.
b. Cuando el objeto se desplaza hacia arriba.
c. Cuando su aceleración es negativa.
d. Cuando el objeto se mueve hacia abajo.
e. La gráfica de s(r), s'(t) y s"(ú) en el mismo
plano.
Después de cierto recorrido, las posiciones de dos
móviles MJ Mzestán dadas por las funciones:
^
-¿1 -4t2+5t
Jl-l
sr: 3t3 -
1oP + 8
Determina cuándo los dos móviles tienen la
f"(x)
: tzxz
f"(x)
: tox
f"(x)
: t
f"'(x)
:
o
f"'(x)
:
e
f"'(*)
: 48x
o
b'
h.
l.
).
k.
l.
f'(x).
f(*): sunnúmero
ivo, de fn)7x¡
: nt,
- r)(n ' 1.
1C10n
negat
= n(n
ión
)gat
t(n
se mueve sobre un eje coordenado ver-
o santillana
I
l9 3
.tii
Determina una posible funciónfx) en cada caso.

195. Derivodo de uno función
@
Construye la gráfrca de la derivada a partir de la
gráfrca de la función dada.
I
x
h. /(x):
i. f(x):
j. f(*):
I
F
-5
J
-----
_1".
J(x): -7
vx
1
T=
1
:fi
@
UuU" la derivada de las siguientes funciones.
Luego, trazala gráfrca de la función y su derivada
en un mismo plano.
a- f(x)
:
-3
b f(*)
:
-5x
c. f(x)
:
-2x2
d.f(x):1-2xt2x2
e. /(x)
:x'- 5x+ó
§p
Erp."ru cada función como una potencia. Luego,
halla su derivada.
a. f(x): l.
b. f(*):
c' f(x):
d' f('):
e. f(x): 1
.,.
r. f("):
s. f(*):
f. f(x):
x3
g. f(x) - x3 -
x2
h.f(*):x3-x
i. f(x): -x4
j.f(*):x-x4
1
Vx
1
r=
I94 [osantillana
I
.^r-
. l.1i/f
n. l\x):
-
flal-.l
vv^
Derivodo de lo sumo
y lo resto de funciones
Calcula la derivada de cada función.
a.
b.
C.
d.
e.
f.
a
b'
Observa la gráfica de/'. Luego, realiza lo que se
indica.
a. Halla una expresiónparaf'(x).
b. Establece el valor de/'(100).
c. Determina una expresión para/(x).
d, Traza Ia gráfica def
f(x):x2-5x+4
f(x):x3-2x2-f 5x-6
f(*):x4-7x319x2-x-B
f(x):x7-x6
f tx):[+, -
",]
-
[+,',-
,]
r(x): [-f f*'- r')- r']J''.'L\z
) )
l(x):-[-(x'-xr)-2xl
Aplica las reglas de derivación a la función
g(x) : x3 -
3x2 t 2x -
5 paradeterminar:
a. La función derivada.
b. La derivada en los puntos de abscisa -
1, 0 y 3.
c. La ecuación de la recta tangente a Ia gráfica de
g en el punto de abscisa 3.
Determina los valores de a v b teniendo en cuenta
la función y su derivada.
f(x)
:
x3 + ax2 -f bx'f b
f'(*):3x2+4x-3
v

196. Derivodo de lo función
exponenciol y logoritmico
@
Seaflx) : (2x-r 3)(x -
2). Determina:
@
Cutcr'rla la derivada def
Calcula
dl
,uundo x: o.
dx
Halla la medida del ángulo 0 cuyo vértice es
P(0, Jt) y cuyos lados pasan poi lor focos F,
Y
Fz'
Derivodo del producto
y el cocienle de funciones
b.
c.
d.
La derivada delaplicando la regla para derivar
un producto.
Losvalores def (2), ,'ll)
' \z )'
La ecuación de la recta tangente en x :
-2.
La ecuación de la recta normal en x :
2.
a. f(x):n4;
5X'
b. f (x): ú' '
c. f(x):3Logn(3x)
d. f(x) - -3sx+2
e. f(x): ZJ;
1-
f. J(x): el"
g.f(x)
h'flx):
i' f(*)
j.
f(x)
.r--
: le,
lLog(P + r+ r)13
: 2e*' - e'
_ -2e3*'
ln 3x2
b.
c.
o.
a
It¿,«rll.«gtrll]
d, f(*) )
e +(*o,r,))l
dx g(x)
)
r.
firsa).h(x))
:
./;ot
'
I:,r sen-
x
, tan (ln x)
, ln (tan x)
a.
b.
Sea h(x) : Determina:
L-
xlx2
Tres funcionesf, gy p tales que
(f
"
g" il@)
: h(x).
La derivada de la función h.
b.
c.
Halla las derivadas indicadas, sabiendo que:
f(*): -2f + r
sG): x' -
f-
h(x):-x*l
Reglo de lo codeno
@
HuUu la derivada de las siguientes funciones apli-
cando la regla de la cadena.
a. f(x):
(y3 t x2)2 e. f
(x):
(+r,* r)'
b. f (x): Jtx + tf f. f (x):
-+-
'l3x'-l
2
c. f(*)
3x
g. f(*):
h. ¡1x¡:
/x'
d. f(*):
Dada la función:
f(*):
((x + x2)2 + x3)3
Hallaf (x).
Calcula/(1).
@
o","r-ina los valores de a y b, teniendo en cuenta
Ia función y su derivada.
f (x):4; f'(*): ,,1)"2- +l
xo L x x')
Derivodos de funciones
lrigonométricos
Halla la derivada de las siguientes funciones.
a. f(x)'
b. f(x),
c. f(x):
d' flx):
Derivodo implicito
En una elipse se cumple
que la recta tangente
en uno de sus puntos
P forma ángulos de
igual medida con las
rectas que pasan por
P y por sus focos F, y
Fr. Teniendo en cuenta
este hecho y dada la si-
guiente elipse:
a. Determina la ecua-
ción de la elipse.
e. f(x):
arctan e'
f. f(*):
3cosr
g. f(x):
afcsec2 x
h. f(r)
:
arcsec f
a*'(Jr- l)t
a.
I santillana
I
l9 5
P(0, J3

197. Las reglas de derivación son leyes que se uttl¡-
zar pata facilitar la derivaclón de una función.
Hay reglas para:
. Funcrones polinómicas.
.
I unciones con operaciones.
. Funciones compuestas.
.
Fu nciones trascendentes
Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables para las cua-
Iesy :
f(u) y u : g(x) y q(x) e Dom f(x). La derivada
de la función compuesta f(g(x)) se halla con la regla
de la cadena así:
f(q(x)) :
f(q(x))q(x)
Derivadas de funciones logarítmicas
X
Si f(x) : Logox,a> 0y a l, entonces,
t'/.. I
/ (x/- '-.-.
lna
Derivada de las funciones exponenciales
Si t(x) :
e', enlonces,f'(x) :
¿.
Si f(x) : ,x, entonces , f'(x) : a'ln a.
Derivada de las funciones trigonométricas
. Si f(x) :
sen x, entonces f'(x) : .ot r.
.
5¡ f(x) :
cos x, entonces f'(x) :
-sen
x.
.
Si f(x) :
tan x, entonces f'(x) : 5"rt ,.
. Si f(x) :
cotx, entonces f'(x) :
-¡5rz r
. 5if(x) :
secx, entonces f'(x) :
sec xtan x.
. 5i f(x) :
csc x, entonces f'(x) :
-.t.
x cot x.
Derivadas de las funciones trigonométricas
rnversas.
' SiY: sen- Y,entonces, Y :-+
5iy :
cos
-
x, enlonce s, y : _
-+
r/l - x'
Siy: tan .\, enlonces , y :
,:-
l+^'
-1
Si y : 6o,-' x, entorlces, y' :
,
Si y : taa-l x, entonces, y' :
5i y : csc
1
x, entonces, y':
Derivada de función constante
s itx) :
C, entonces,I'1.r; :
6.
Derivada de una potelc a
5i fk) : x', entonces, f'(x) : pyn - 1
¡sn
n¿Lone(J'.
Derivada de la función idéntica
Si f(x) : x, entonces, f'(x) :
1, para todo
x€R.
Derivada del múltiplo constante
St g(x) :
C ' f(x) entonces g (x) :
Cf (x)
Derivada de la suma de funciones
Si f(x) y q(x) son dos funciones reales es posible
definir f(x) coirro la suma de t(x) i g(x) como
r(x) : ¡Jr¡ + g(x). Asi, si r(x) :
f(x) + gl(x), entonces
r(x):f'(x)+q'@.
Derivada de la resta de funciones
Si(x) :
f(x) -
q(x), entonces t'(x): ¡'1r¡ -
g'(x).
Derivada del producto de funciones
Si r(x) :
f(x)q(x), entonces, t'(x) : f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
Derivada del cociente de funciones
f(x)
)t ¿(x): ---, entonces,
g\Y
)
r.,. _ t'trlglx) -g
(xlf(x)
¡ \^r:
tq(r)]
-1
196
losantillana
Eénvs sáe,fun€ior+es
@ni1gperqc*o'ps
Derivodo de funciones
troscendentes

198. Los derivodos
de orden superior
y lo montoño ruso
La sobreaceleración, se conoce también como jerk o
tirón en inglés, consiste en la variación de la acelera-
ción de un móvil con respecto del tiempo. Es decir, la
sobreaceleración es una función que permite determi-
nar los cambios de aceleración en un movimiento y
se calcula como Ia tercera derivada de la posición con
respecto al tiempo.
La sobreaceleración se simboliza como S y su fórmula
relacionada es:
,G\:
d"
''
dt3
Para comprender el significado de sobreaceleración
puedes imaginar que vas sentado en un avión que se
mueve a unavelocidad constante. Aunque la nave vaya
a una altísima velocidad no te vas a dar cuenta de ella
a menos que el piloto decida frenar o acelerar. Pero en
el momento en que el piloto acelere, sentirás cómo te
hundes en el asiento. En otras palabras, la velocidad
la puedes ver pero la aceleración la puedes sentir.
Además, si estás en un avión que se mueye siempre
con la aceleración costante no tienes por qué sentir una
sensación desagradable.
leración es similar a un tirón.
En Ia ecuación que determina la sobreaceleración,
Explica con tus palabras el concepto de sobreacele- Responde:
¿se puede afirmar que la sobreace-
ración o jerk. Ieración es una magnitud vectorial? lustifica tu
respuesta.
Propón algunos ejemplos de sobreaceleración.
Explica por qué se puede afirmar que la sobreace-
Determina la ecuación de la sobreaceleración que
Los cambios bruscos en la aceleración pueden resultar
desagradables e incluso dolorosos: basta con imagi-
nar un golpe por detrás de tu auto mientras lo tienes
parqueado. A este tipo de movimiento es al que se le
denomina sobreaceleración.
El concepto de sobreaceleración se aplica entre otras
cosas, para diseñar la curvatura de una carretera o vía
férrea. También se aplica en el diseño de las montañas
rusas en las que es necesario determinar la fuerza del
tirón que se siente cuando se hacen cambios bruscos
en la magnitud o en la dirección del desplazamiento, y
por lo tanto, en la aceleración.
puede alcanzar un móül teniendo en cuenta que la
posición del móül está determinada por la ecua-
cións(f):-3t2-2t+62.
RecuDero informoción Reflexiono
¿qué magnitud representa la letra s?

199. Aplicociones
de los derivodos
Temos de lo unidod
=::
Valores máximos y mínimos de una función
: Uso de la primera derivada
'E, Uso de la segunda derivada
::" Representación gráfica de funciones
=;, Diferenciales
;-,., Problemas de razón de cambio
i, Problemas de optimización
'jf Movimiento rectilíneo y funciones económicas
-'
Regla de IJHópital
*\
t',;
á
\
rt-
&
' ldB
I
osintittunal

200. Lo ciudod incontenible
Érase una vez un pequeño planeta en el que sólo habia
un árbol. Y ese único árbol estaba dentro de una torre.
Y sin embargo, aquel planeta habia estado totalmente
cubierto por los bosques. Sus habitantes solian gua-
recerse en el interior de los grandes troncos huecos,
y se alimentaban de los frutos silvestres y de la caza.
Hasta que descubrieron la agricultura y la ganadería. Y
entonces construyeron una ciudad.
De vez en cuando, las fieras del bosque atacaban los re-
baños y asolaban los cultivos, por lo que los habitantes
de la ciudad la rodearon de una muralla de piedra.
La muralla resultó muy eficaz para proteger las.casas,
los establos y los huertos, pero impedia el crecimiento
de la ciudad, que cada vez tenía más habitantes. De
modo que al cabo de un tiempo hubo que hacer una
segunda muralla, más amplla, alrededor de la primera.
Y después hubo que hacer una tercera muralla aún
más amplia, para cuyos cimientos se aprovecharon las
piedras de la primera, ya innecesaria e incluso molesta
en el interior de la ciudad.
Estas ampliaciones periódicas se sucedieron de forma
ritual:con las piedras de la segunda muralla se pusieron
los cimientos de la cuarta;con las piedras de la tercera,
los de la qurnta. . .
Como ondas concéntr¡cas en un estanque petrificado,
las sucesivas murallas se expandieron hacia el exterior,
cada vez más amplias, obligando al bosque a retroce-
der de forma lenta pero rnexorable.
Pasaron los siglos, y al levantar la muralla milésima se-
gunda los perplejos habitantes de la ciudad hicieron un
descubrimiento increible: para construirla entera bas-
taron las piedras de la milésima muralla, teóricamente
mucho menor.
Un viejo filósofo dio la siguiente explicación: 'Nuestro
mundo no es plano sino esférico. La muralla milésima
prrmera recorre un círculo máximo de la esfera del
mundo, y por eso la milésrma segunda es menor que
ella, pese a rodea.rla porfuera. Eso significa que nuestra
enorme ciudad cubre ya la mitad del mundo, y que si
sigue creciendo al mismo ritmo, en un tiempo equi-
valente al transcurrido desde su fundación acabará
cubriéndolo por completo y el bosque desaparecerá'l
Tomado de Matemóticas I Bachillerato,
biblioteca del profesorado, guía y recursos.
Editorial Santillana, España, 2008
__* *_-:
i
e5lefrc0, y
É
t
I
5 .
Reflexiona,¿quéz
! .
¿Podríasconstruir
E -r -,, ^^.t^^+"^ ^-
una figura, cuya área sea lo más grande posible,
¿qué
advertencia quiere hacer el atltor c0n su cuento?
L_:l t"r
etro es 16 cm?
7
- ;*-----"^'r-r
,rl

201. Volores móximo
y mínimo de uno función
En el trazado de la gráfica de una función se tabulan algunos valores yluego se locali-
zan en un plano cartesiano para obtener la gráfica. Sin embargo, este proceso produce
gráficas imprecisas; por tal razón, es necesario aplicar las herramientas del cálculo
diferencial pararealizar un estudio más analítico de las funciones y así, el trazo de las
gráficas de las funciones será más preciso y completo.
Los valores máximo y mínimo de una función/reciben el nombre de extremos de
la función.
Sea f una función definida en un intervalo ablerto ly c e l. Se dice que f tiene
un máximo re ativo en c, si f(c) > f(x) para todo x € /.
De igual manera, f tiene un mínimo relativo en c, si f(c) '< f(x) para todo x € /.
En cualquiera de los dos casos se dice queflx) tiene en r :
c un extremo relativo.
/
i ll li
a. En el intervalo (-5,
-2).
EI máximo relativo de la función en el in-
tervalo (-5,
-2),
ocurre cuando x: -3.
Es
deci¡fl-3) >
f(x),
para todo ¡ del intervalo
(-5,
-2)
y corresponde al punto/ -3)
:
3.
b. En el intervalo (-2,2).
En el intervalo (-2, 2), la función presenta
un mínimo relativo en r : 0 y su valor es
f(0)
:
-2.
c. En el intervalo (1, 5).
En este intervalo, la función presenta un máximo relativo en x : 2 cuyo valor es
f(2)
: 2y un mínimo relativo en x : 4, cuyo valor es/4) - -4.
It Ejemptos
De acuerdo con la gráfica dada, determinar los máximos y mínimos relativos en
los intervalos indicados.
¿00
losantillana

202. Estándar: pe n sa m iento va ri acto n a I
Extremos obsolutos de uno función
Sea f una función definida en un intervalo cerrado Se dice que ftiene un máximo absoluto
en c, si f(c) > f(x) para todo x del intervalo.
De igual manera, f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) <
f(x) para todo x del intervalo
El máximo y el mínimo absoluto reciben el nombre de extremos absolutos de la
función. Una función puede tener o no mínimo o máximo, aunque si los tiene, su
valor es único. Es posible verificar que:
, Un extremo relativo no es, en general, abso-
luto. Esto se debe a que en su definición solo
se consideran los valores de la función en un
intervalo abierto y no en todo el dominio. Por
ejemplo, en la figura I a gráfrcade la funciónflx)
tiene máximos relativos en x :
a y en x :
b;
ytiene mínimos relativos en x : cy en x :
d;
pero ninguno de ellos es absoluto.
, Un extremo absoluto también es relativo, siem-
pre que el punto donde se alcance el extremo
pertenezca a un intervalo abierto incluido en
el dominio de la función. Por ejemplo, en la
gráfrca de la función/(x) tiene máximo abso-
luto en x :
c, qlue es también máximo relativo;
y tiene un mínimo absoluto, que no es relativo,
enx:b.
w ffije Lms
Ü
tu grátfrcamuestra el déficit presupuestal de un Determinar en la función los valores máximo y
mínimo absolutos para el intervalo indicado.país desde el año 2000 (ú: 0) hasta el año 2008
(f: 8).
f(x)
:
x2 + 2 en el interyalo [-1,2).
La gráfica de la función-/(x) en el intervalo
[ -
1, 2) es:
a. Hallar el valor máximo absoluto y explicar su
significado.
El valor 300 es el máximo absoluto de la función y
ocurre cuando ú: 5.
Por lo tanto, el mayor déficit fiscal de dicho país
ocurrió en el 2005 y fue de 300 mil millones de
Pesos.
b. Determinar el extremo mínimo absoluto de la
función.
En Ia gráfica se aprecia que 50 es el extremo mí-
nimo absoluto de la función definida en el inter-
valo [0, 9] y ocurre en el año 2000.
En este caso, el mínimo absoluto de la función
ocurre cuando x :
0 y su valor es 2.
La función no tiene máximo absoluto en l-1,2),
porque Lím /(x)
:
6, sin embargo,flx) es menor
r)2
que 6 para los valores de x del intervalo Í-1,2).
osantillana
lZ0l

203. Explica la diferencia entre el valor máximo relativo
y el valor máximo absoluto de una función.
a. [-3, 0] b. (- 1, 1) c. (1, 3l
Determina el valor máximo absoluto y el mínimo
absoluto, de acuerdo con la gráfr,ca de la función y
el intervalo dado.
a. En el intervalo (-6, 15).
b. En el intervalo l-3,12).
c. En el intervalo [-5, 5].
:: @
E"pfica la diferencia entre el valor mínimo relativo
:: V
el valor mínimo absoluto de una función.
1:
ii
@
E"."entra el valor máximo relativo y el mínimo
il relativo de la función en cada intervalo e indica
ZÜZ
I
osantillana
Ejercito: 3-4-5-6AIñ**a
@
Realiza la gráfr,ca de la función, luego indica los
valores máximo relativo y mínimo relativo de la
función según el caso.
a. f(x)
:
-2x2 * 1 en el intervalo (-1, 1).
b. f (*): !
e, el intervalo (-6,
x
f(x)
:
3x2 I 2x -
3 en el intervalo (0,5).
f(x)
:
-4x3
en el intervalo (-6, 3).
En el intervalo [0, 2'n], halla el valor máximo rela-
tivo y el valor mínimo relativo para las siguientes
funciones trigonornétrrcas.
a. f(x)
:
sen r.
b. f(*):
cosZx.
c. f(x)
:3sen (x * 2).
d. f(*)
:
sec r.
Realiza un bosquejo de Ia gráfica correspondiente
según la información dada.
a. En el intervalo [-3, -1]
la función tiene un
mínimo relativo en x: -2.
En el intervalo [-1, 4] la función tiene un
máximo relativo erl x :
0 y un mínimo relativo
enx:2.
b. En el intervalo [-4, 0] la función tiene un
máximo relativo en x: -2.
En x: 4y x: 1 la función tiene un mínimo
relativo.
Para cada una de las siguientes funciones, veri-
fica el teorema de Weirtrass el cual dice: si una
función es continua en un intervalo cerrado, en-
tonces tiene un valor máximo absoluto y un valor
mínimo absoluto. Luego, reahza Ia representación
gráfica para ilustrar la situación.
a. f(x) - 5 - 2xenl-2,7).
b. f(x):
x2 - 2xenl-t,31.
c. f(x)
: 2x2 + 1 en [1,5].
d. f(*):
arcsen r en [-1, t].
Realiza lagráflca de la función dadas las condicio-
nes en cada caso.
a. La funciónflx) es continua en el intervalo [0, 4),
tiene extremo mínimo absoluto, pero no tiene
extremo máximo absoluto.
b. La función g(x) no es continua en el intervalo
[-3, 3], sin embargo, tiene valores extremos
relativos.
Valores máximo y mínimo de una función
dónde ocurre.
1-2

204. Estándar: pen s a m t e nto va ri aci on al
Uso de lo primero derivodo
Teoremo de Rolle
La existencia de extremos relativos en un intervalo se puede determinar mediante la
aplicación del teorema de Rolle.
Si f es una función contlnua en el intervalo [o, b] y derivable en el intervalo (4, b),
con f(a) :
f(b), entonces existe por lo menos un c c (a, b) tal que f
'(c) :
0.
En Ia interpretación gráfrca, se tiene que /'(c)
es Ia
pendiente de la recta tangente a Ia curya en x :
c, por
tanto, el teorema afirma que, al menos en un punto de Ia
gráñca de la función,la recta tangente a la gráfica de la
función es horizontal, como se muestra en la figura.
En la gráfica, se observa que la función tiene extremos
relativos en los puntos donde la recta tangente es hori-
zontal, es decir, la derivada en este punto es cero.
It Ejempe*§
O
o"a"r-inar si la función f (x):
*'-^-.
,1*
"u-
-
x-fl
tisface las condiciones del teorema de Rolle en
el intervalo [0, 3]. En caso afirmativo hallar el
valor de c.
La función es discontinua en r - -
1; para el resto
de valores la función es continua, en particular para
el intervalo cerrado [0, 3], y es derivable en (0, 3).
Enr:0. /(o):
(o)'z-3(o): o:o
0+1 1
Enx:3. f(3):
(3)'z-3(3)
:9-9:o
3+1 4
Por tanto, la función f (*):
*' -,1*
cumple
x -ll
las condiciones del teorema de Rolle.
Luego, se halla c, así:
G
Verificar el teorema de Rolle para la función
flx)
:
lzx - zlen el intervalo [0, 2].
Enx : 0,lO) :
lZ.
O - 2l: -z
:
Z.
Enx : 2.f(z) = lz.
z - zl: zl :
z.
Por tanto se cumple qruefla) :
f(b).
Para analizar la continuidad y la derivabilidad se
expresa la función/(x), como:
l-(z* - 2) six < I
J@):
1r" -2 six 2 r
La función es continua en [0, 2].
Ahora, se determina la derivabilidad de la función
Luego, la función no es derivable en x :
1.
La gráfi,ca de la función es:
enf:1,así:
l-z six (
1
f't.l:lz
six > I
x2+2x-3:0
(x -l
l)'?
x: -3yx: I
El valor buscado es: c :
valo [0,3].
Se deriva
la función
5e iguala f
'(x)
a cero.
Se resuelve
t y I pertenece al inter-
osantillana
I
e0l
ll
It
tl
II

205. Teoremo del volor medio
Una generalización del teorema de Rolle es el teorema del valor medio, el cual se
aplica cuando f(a)
+ f(b).
Si f es una función continua en el intervalo la, b)y derivable en el intervalo
{/^ _ {/^\
(a, b), entonces, existe un número c e (a, b) tal que f
'(¿¡: ''u/ ""t
h-n
En la interpretación gráfi.ca, se tiene que/'(c) es la pendiente de la recta tangente a la
gráfr,ca de Ia función cuando x: c.
El cociente
f
(b) - f
(a)
es la pendiente de la
o-a
recta que une los puntos (a,
f(a))
y (b,
f(b)).
f(b) f(a)
ntnr: J
(c)-
-:
ffits
0-a
Por tanto, el teorema asegura que existe al menos
un punto de la gráfica de f(x)
en el que la recta
tangente es paralela a la recta que pasa por los
puntos Ay B, como se ilustra en la figura.
ii]
ept.ur el teorema del valor medio af(x) - ln x
en el intervalo cerrado [], e].
La funciónflx) : ln x es continua y derivable en
(0, *); en consecuencia, se verifican las condicio-
nes del teorema del valor medio en el intervalo
indicado.
f'(*):
I
sederivaf'(x)
x
Luego, para hallar el valor de c, se realiza
f'(c):
Seremplazalye
Se evalúa f'(x), f(e) y f(l)
Sehallalne-lnlyse
resuelven las operaciones
La gráfrca de la función f(*)
: In x en [1, e] es:
Comprobar que/(21) > 61, si la función/(x) es
derivable en todos los números reales y la deri-
vada de f(x) cumple conf '(x) > 3 para todo x,
además/(r) : r.
Como la función es derivable en todos los núme-
ros reales, entonces es continua.
Por tanto, es posible aplicar el teorema del valor
medio para el intervalo [L,21] como se indica a
continuación:
z}f'(c): f(2t) - |
f(2r):20f'(c)
+ |
5e utiliza el teorema
del valor medio.
Se remplazan los
extre mos d el i nte rval o.
5e despeja f(21 )
Puesto quef'(x) > 3 paratodo x, entonces:
f'(r)>3luego:
f(zt)=20'3+t
f(2r)
> 6r
En conclusión, es posible afirmar que/(21) >
61.
Matemático francés. Aprendió ma-
temátic¿s de forma ¿utodid¿cta.
Desanolló el teorema de Rolle, útil
en el cálculo matemátrco.
l+ Ejemptos
I _ lne-lnl
c (e-t)
1_ 1
c (e-t)
I
L-( r
f(b) - f(a)
J \c):'---,-
o-a
2t-l
t,
¿04lcosant¡llana
' MichelRalle
1652-1719

206. Completa Ia tabla, donde c es el valor que verifica
el teorema del valor medio.
[p Soluciono problemos
Encuentra el valor de c en algún intervalo que cum-
pla el teorema del valor medio para cada función.
a. f(x):5x2 t 3x 2
b /("):-2x3 l4x2 lx 1
c. f(x):
(x + 2)2 + 2
d. f(xl:
2
-
x_]_1
Si la función/(x) se defrne como:
Explica mediante un ejemplo gráfico el teorema de
Rolle y el teorema del valor medio.
Explica la importancia del teorema de Rolle, para
hallar extremos relativos.
Encuentra el o los puntos en el intervalo dado, tal
que la recta tangente en el punto (c,f(c)) sea hori-
zontal.
a.
Verifica si la función cumple las condiciones del
teorema de Rolle y encllentra los valores de c que
lo cumplen:
a. ftx)-
rox2 * x - r." [-+,+l
| 2 sl
b. /(r)
:
6xa -
147x2 -
75 en [-5, 5].
c. f(x): rr -
16x en [0,4].
d. lx)
:
sen 3r en In,2n].
e. f(x):
x2 en [-1, 1]
EncuentraIos intervalosla,bl taies que/(a) :
J(b)
y halla los puntos c e (a, b) tal que/ (c) :
0.
a. f(x)
:
3x2 + 2 g. f(r)
:6x2 + 8x -
8
b.f(*):x3-x h. f") - -2(x + 4)2 Utiliza el teorena de1r,alor medio para demostrar
Está a# s r: De n s e m i e i¡to ¡,c ri a ci o n a i
Recupero informoc ónr
'l-2
Comprueba que la furrción /tr
t -
U5
-
,
cumple que /(2)
:
f(+) - 0 y, sin embargo, no
existe un c e (a, b) tal que f
'(c) :
0. lr"rstifica la
respuesta.
- I,r' nx n < -2
/(x) :
{
'
[x' nt m:- -2
a. Determina m y n para que se cumplan las
condiciones del teorema del valor medio en el
inten.alo l-4,2).
b. Halla 1os puntos del intervalo, al aplicar el teo-
rema del valor medio.
Determina la r.elocidad media si la función posi-
ción está dada pors(r) : P - 2t t 6 entre 0 y 5
segundos. Luego, halla un valor /, ta1 que su velo-
cidad instantánea sea igual a la velocidad media.
que:
t. -
1
a. Jl tr <
fx-llparaxC(-1,0)1,x)0.
b. l>. x >--1
":-:'-*::::::'::
a\
t\Y)
-
a -r1
f(x):r-:-r,
oSanrillana I Pü5
I
abf(b) f(a)
I3
58
5
26

207. Funciones crecientes
y decrecientes
Para frazar Ia gráfica de una función es importante conocer los intervalos donde la
función es creciente o decreciente, para ello también es útil la primera derivada.
Sea f(x) una función definida en un intervalo /. Se dice que
f(D es creciente en /si f(x,) < f(xr)siempre quex, ( x, en /.
Además, se dice que la función f(x) es decreciente en /si
f(x,) > f(xr) siempre que xr < xren l.
La figura I muestra una función decreciente en el intervalo (a, b).
La derivada de una función se relaciona con los intervalos donde la función es cre-
ciente o decreciente o constante, como se indica a continuación.
Sea f una función definida en un intervalo /, se dice que:
f es creciente en /, si f
'(x)
> 0 para todo x e /.
f es decreciente en /, si f
'(x)
< 0 para todo x C /
f es constante en /, si f'(x) :
0 para todox C /.
En la representación gráfi,ca de una función creciente se observa que al trazar algunas
rectas tangentes a \a gráfica de la función, estas resultan ser ascendentes, es decir,
tienen pendiente positiva,
Si la función es decreciente las rectas tangentes resultan ser descendentes, es decir,
su pendiente es negativa. Como se muestra en las figuras 2 y 3.
Por ejemplo, para determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la
funciónflx) : 2x3 + 3x2 - I2x, que es continua y derivable en todos los números
reales, es necesario realizar lo siguiente:
Figura 2. Función creciente.
f'(x):6x2 I 6x
f'(x)
:
o
6x2l6x-12:o
x2+x-2-0
(x+2)(x-1) :0
x: -2y x: I
_ l1
t L
>e 0e,tVA t6).
Se iguala f
'(x)
a cero.
Se plantea la ecuación
Se resuelve la ecuactón.
Se factoriza
Se hallan las soluctones
Los valores hallados determinan los siguientes intervalos (-*,
-2), (-2,l), (1, -).
(-*, -))
(-2,1) ('r, -)
f'(-21:4y4>of'(0) :-1y-1<0f'(2):4y4>0
Creciente Decreciente Creciente
Por tanto, la funciónfl x) :
2x3 I 3x2 -
l2x es creciente en los intervalos (-oo,
-2¡
y (1, *) y es decreciente en el intervalo (-2, l).Como se muestra en la figura 3.
tl
ii
i)5-4J-2 x
I
Figura 3. Función decreciente
¿05
losant¡llana
Figura 1
-t--]-
+t
tt
+
-11-
I
ll
L+3
- i- t-
l

208. Puntos críticos de uno función
Si c está en el dominio de l¿ función, se dice que (c, f(c)) es un punto critico Ce f st:
I(-,-0of c ro- i're
Los puntos críticos son los valores donde se pueden presentar los extremos relativos
de una función.
5e dertva la función.
5e factoriza.
Se iguola a cero.
3* ffirffipe#§
Determinar los puntos críticos de la función
f(*):
3x2 + É.
f'(x):6xt3x2
f'(x):3x(2+x)
3x(2+r):0
r:0o x: -2
Sehallanlassoluciones.
Luego, los puntos críticos de f(x)
:
3x2 + x3
ocurrencuando x:0y x: -2.La
gráficade
f(x)
:
3x2 + x3 es'.
Determinar los intervalos donde la función
es creciente, decreciente o constante. También
identificar los puntos críticos.
La función está definida en el intervalo [-3, 3].
Por tanto, la función presenta el siguiente com-
portamiento:
En [-3, -
1] la función es constante. En (- 1, 0] y
(2,3)la función es creciente. En (0, 2] la función
es decreciente. Los puntos críticos de la función
ocurren en x :
-1, v :
0 yen x : 2,porque en
estos puntos la derivada no existe.
@
o"au h tunción f
(x) :
{C -¡
a. Hallar los puntos críticos.
Es necesario derivar la función dada así:
)t
f (x):1(x
- 2)-i
J
f ll --
-
2
J
' t -
"
, i- Se transfarma la funciÓn f(x)
JVx -z
es la
Por tanto,/'(x) no existe en x :
2, luego en x :
2,
hay un punto crítico.
b. Determinar los intervalos donde la función es
creciente o decreciente.
A partir del valor x :
2, se determinan los siguien-
tes intervalos (-*, 2) y (2, +a¡
\.-
L, 1) (2+-)
fttl\
/(/ y
-r<ol'(r<0
i'(3)-1y1>0
f'(x) > o
Decreciente Creciente
Luego,/es decreciente en (-co, 2) y creciente en
( ) +'/-\
La gráfica de la funció"
,f(x) -
siguiente:
En la gráfica, se aprecia que la función
l-
l(x)
:
V(.r - 2)r en elintervalo I 4,6) tieneun
mínimo absoluto en x :
2.
€santíllana l¿UZ
il

209. Escribe la relación que existe entre e1 signo de la
derivada de una función en un intervalo y el creci-
miento o decrecimiento de la gráfica de Ia función
en dicho interyalo.
Explica cómo se determinan los puntos críticos
paralafunciónfr) : i + 4x.
Escribe el proceso para encontrar los intervalos
donde una función es creciente, decreciente o
constante.
Determina en cada caso los intervalos donde la
función es creciente, donde es decreciente y cionde
es constante. También identifica 1os puntos críti-
cos y discrimina si Ia derivada en este punto es
cero o no existe.
a.
PÜ8 iosantlii¿na
l
Para cada función halla 1os intervalos de crt
miento y de decrecimiento.
a.
f(x) - x3 B. fx)
: Sxr 3
b. 7ix) - -2.rr h. lx) - -4xr
| 3x
c.
.f(x)
:
2x3 + 3x2 i. f(x)
:
3x3 + x2 -
d. f(*):
(x + 1)2 ). f(x) - 6x2 t 5x -
e. f(x):
3x3 -t 5x2 - 7x + 9
f . l(x):
3.rr - *,"' - 3x -
4
,rr.rr"r,ro ro, ,.,i
o, críticos de cada función.
a. f(x):2x3 t 5x
b. f(x)
: ax2 3x't t2
c. Jk)
:
4x3 I 1or2 - 8x -F 4
d. ft)
:
sen r
e f(v\: )vl
-
l
f. f(x):xlnx
g. f(x):
(3x + lQx -
s)
h fr): cosr
i. f(x)
: lx-t 2
j. f(*):
(3xr + 48)l
Realiza un bosquejo de la función, a partir de las
características de 1a función.
a. Creci.ente en el intervalo (--,2), decreciente
en el intervalo (5, +:c; y constante en el inter-
valo [2, 5].
Máximo relativo enrú: -
l yenx : 6ymínimo
en r : 2; creciente en e1 intervalo (-r, -1;.
Punto máximo en r :
-3, punto mínimo en
-_ _ 1
-{
-
l.
Soluciono problemos
Una persona in ierte cierta cantidad de dinero en
la bolsa
,v
encuentra que el dinero que gana su in-
versión está dada por 1a función I(r) : r(150 - ,,
donde f es el tiernpo, en meses, que permanece el
dinero inverti.do. Encuentra el intervalo de tiempo
en que las ganancias de dicha persona aumentan.
recl
L-L
-8
-J
E
Fur:e i*r:es treci*nEc= y rt=<r*rie=tÉ: i! F-i:t+: lr:€i<*=

210. Eslá ndar: pe n sa m ¡ e n [o va ri cci a n ai
Criterio de Ia prirfterfi derivada
Como los extremos relativos de una función, también son puntos críticos, entonces
es necesario establecer algunos criterios para distinguir Ios valores máximo
1.
mínimo
relativo de la función.
Sea f una función contlnua en el intervalo b, b) y c e \a, b\, ta que c
es un punto crÍtico de I
.
Si f'(x) > 0 para a <x<cy f
'(x) ( 0 para c1r{ b, es decir, si f es
creciente para d < x < cy fes decrec ente para c < x <b, entonces
f tiene un máximo relativo en c
.
Si f'(r) <0para a<x<cyf'k¡ >0para c<x<b,esdecir,si fes
decreciente pata a < x < cy fes creciente para a < x { b, entonces
ftiene un mínimo relativo en c
La siguiente gráficamuestra la aplicación del criterio de la primera derivada descrito.
En la gráfica, se tiene qlle en x : 3,f '(3) :
0, es decir, 3 es un punto crítico de la fun-
ción, además la derivada de la función cambia de signo en 3, de positivo a negativo,
por lo tanto, la función tiene un máximo relativo en 3.
En ¡ :
6, f'(6)
:
0, luego 6 es un punto crítico. Como la derir.ada de Ia función
en 6, cambia de signo de negativo a positivo, entonces, Ia función tiene un mínimo
relativoenx:6.
En r :
B, se tiene que/'(8) no existe, porque en este punto la gráfica de la fr.rnción
presenta un pico o una punta, luego en ,ú :
8 también es un punto crítico, sin em-
bargo, en este caso la derivada de 1a función no cambia de signo, por Io tanto, en x :
B
no se presenta ningún extremo relativo. Lo mismo ocLlrre en.v :
12.
La derivada de la función en el punto x :
10 no existe, por tanto, x :
10 es un punto
crítico. Como la derir.ada de la función cambia de signo de positivo a negativo en este
punto, entonces la función tiene un máximo relativo en x :
10.
En algunos casos se presenta que c es un punto crítico de una función definida en un
intervalo ¡
sin embargo, la derivada no cambia de signo. Para estos casos, la función
no tiene mínimo ni máximo relativo.
o santillena
|
¿Ü9
v
Mr o
f
J
I,Ilmrel¿úo valno 10
\ilIO tof
ltx) I.
(x,0
\
t
;x
lvlm {o

211. x Ejempl,os
G
ff"Uu. los extremos relativos de la función
f(x):#+2xt+2.
f'(x):4x3
+ 6x2 Sederivalafunción
4x3 + 6x2:0
2x2 (2x + 3) :0
*: -ayx:
o
2'.
Los puntos críticos de f(x)
: xa + 2x3 I 2 son
*: _avx :0.
2',
A partir d. lo, p.rrtos críticos se determinan los
siguientes inrervalor
( 3) ( I
'
[--'
-'
)'l-''
o)'
(0, *)y luego, se encuentra el signo de la función
derivada en cada intervalo así:
á2 G Determinar las máximos y mínimos relativos de

cada función si existen.
a. f(x)
:
x3 - 3x -f l.
f
' (*) :
3x2 - 3 Se deriva la función.
3x2-3:0
3(x-t)(x*1):s
x:lyx: -l
Se forman los intervalos a partir de los puntos
críticos, (--, -l),
(-1, 1) y (t, +m¡
(-o",
-l)(-lr) (1, +.o¡
f '(-2):
e
y9>0
{'t^
-
?
r tv/- )
y-3<0
f'(2): ey
g>0
Creciente DecreclenteCreciente
Luego, en r :
-
1 Ia función tiene un máximo
relativo porque la función es creciente antes de -
1
y decreciente después de -
1.
La función tiene un mínimo relativo en r :
1,
pues la función es decreciente antes de 1 y cre-
ciente después de 1. La gráfi,ca de Ia función se
muestra a continuación.
(--
*)(-+ ,) (0, -)
Í'/ a
-
ó
t \-z) - -o
y-8<0
{'/ i
-
a
t \- t)- z
y2>0
r'(t): r0
y 10 > 0
DecrecienteCrecienteCreciente
Lagráfica de la función f(*)
:
x4 + 2x3 * 2 es:
En la gráfica, se observa que en x :
-
1,5 hay un
mínimo relativo pues la función pasa de decre-
ciente a creciente.
Es decir, antes de -1,5 la función derivada es
negativa y después de -
1,5 la función derivada
es positiva.
En x : 0 no hay ni máximo ni mínimo relativo
pues la función derivada no cambia de signo antes
de cero ni después de cero. Es decir, continúa
positiva.
Por tanto, la función tiene un mínimo relativo en
x: 1,5.
Se iguala a cero.
Se factoriza.
Se deiva la función.
Se iguala a cero.
El signo def'(x) es positivo en el intervalo (-co, 6¡
y negativo en (0, r;.
Luego, en x : 0la función tiene un máximo rela-
tivo pues la función derivada es positiva en todos
los valores antes de cero y es negativa en todos los
valores después de cero.
0,5 I 1,5 x
--t--r--]
Zl0
|
osantillana
Criterio de [a primera derivada
2

212. 1-- r 1
, Jx-T/.
Ilrl:
lntervalo
Signo de f '(x)
Conclusión
Realiza la gráfr,ca de la función del ejercicio del
punto 2 que se presenta en la página 210, según
los resultados.
Utiliza el criterio de la primera derivada para ha-
llar los máximos relativos y los mínimos relativos.
a. f(x)
:
5x2 t 3x - 4 g. f(x)
: f(x -
1¡z
b. f(x)
:
-8# + 3x2 h. f (x):
=:-
r '
2lx2
f(*)
:
5x3 - 2xa. i.
Determina los inten alos donde la función es cre-
ciente y decreciente, aplica el criterio de la primera il
derivada para hallar los valores extremos.
jl
a
- [s-:x six<4
7rx)
:
]+x
- 12 six ) 4
f(x) - *r-'
f(x): xx
/ / 1\
a, t)(-t,t)(,4)
Negativo Positivo Negativo
)(
d. fG)-'x'- 'xt-I2x-4
'32
Ir' six < 4
2"
c f(x):
32 - 6x si4
=
x
2 - l]x si6 < r
-<6
<10
six (3
si3 < x { 9
si9<x<13
o decrece, puntos críticos, puntos máximos rela-
tivos y puntos mínimos relativos de cada función.
Realiza una posible representación de la gráfrca.
a. La función/(r) es 'continua
en todo R, tal que
f
' (-2) : sl' @)<osi-] 1 x 1 Zr¡'
1r¡>o
3 3''
b. /'(x) - o,parax: -lyx:2.
CrecienteCrecienteDecreciente
c. f(x)
continua en el intervalo (- 4, 4)
Encuentra los valores de ny m, para que la función
f(*)
:
nxeffix cumpla con las siguientes condiciones:
fZ)
: I y la función tiene un máximo relativo en
x- ).
Soluciono problemos
EI costo por la fabricación de x sillas para la inau-
guración de un complejo deportivo está dado por
la función.
l¡0.000x' - 7.2OOx six < 1.000
C(x) :
{
fx' -
1.490x'] - 20.000x six > 1.000
a. Determina para qué valores el costo crece.
b. Determina para qué valores el costo decrece.
c. Halla los valores de x para los cuales el costo es
Encuentra Ios puntos críticos de la función f(x),
a partir de la gráfica de f'(x)
y halla los máximos
relativos o mínimos relativos si los hay.
lntervalo
Signo de f '(x)
Conclusión
,0)
ela-
dos
; los
Estándar: pen sam te nto va rtcci o rtcl
Signo de f '(x)
Conclusión
lntervalo
Signo de f '(x)
Conclusión
maxlmo v mrnrmo.
o sant¡ilana I Zli
I
q*.**ll
Re¡"one; 3-4-S-6

213. Figura 4, Función cóncava
h¿cia arriba,
Figura 5 Función cóncava
hacia abajo.
Uso de lo segundo
derivodo
Concovidod
Para el análisis de funciones, se han estudiado los intervalos donde la función crece
o decrece, los puntos críticos, y se ha aplicado el criterio de la primera derivada para
determinar los valores máximos y mínimos relativos.
En algunos casos es necesario conocer otras características de las funciones relacio-
nadas con la segunda derivada, como es la concavidad.
Sea f(x) una función derivable en un intervalo abierto (4, b) que contiene a c.
Si f
"(c) ) O, entonces la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba en x :
c.
Si f"(c) (
0, entonces la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo en x :
c.
En las figuras 4 y 5 se ilustra la gráfica de una función cóncava hacia arriba y de una
función cóncava hacia abajo.
La gráfrca de una función es cóncava hacia arriba en un intervalo, si la gráfr,ca de
la función queda por encima de las rectas tangentes en cada uno de los puntos del
intervalo.
La gráfrca de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo, si la gráfica de la
función queda por debajo de las rectas tangentes de cada uno de los puntos del in-
tervalo.
Por ejemplo, para determinar los intervalos de concavidad de la función definida
como/(x) : * -
8x3 + l8x2 * 5, se resuelve la ecuación/"(x) :0
y se determina el
signo de la segunda derivada así:
f(*):#-8x3+18x2+5
f'(*)
:
4x3 -
24x2 -t 36x
se halla f
"(x)
f"(*)
: l2x2 -
48x 1- 36
Se halla f
"(x)
l2x2 -
48x -f36 :
0
x:Iyx:3
Se iguala f(x) a cero.
5e resuelve la ecuación
La gráfica de la función f(x)
: f -
8x3 I l8x2 * 5 es:
(--,1) (1, 3) (3, -)
f"(0):36y36>0f'12): -12y -12<0
f"(4) :36 y 36 > 0
Cóncava hacla arribaCóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
ZIZ
losantillana

214. Puntos de inflexión
Los puntos en los cuales cambia la concavidad de la gráfica de una función se llaman
puntos de inflexión.
Un punto P(c,
f(c))
sobre la gráfica de una funciónflx) es un punto de inflexión, si. la
gráfica tiene una recta tangente en el punto indicado, y si existe un intervalo abierto
(a, &) que contiene a c tal que:
f'\x)
> 0 si a ( x < cy f"(x)
< O si c 1 x 1 b
f"(x)
<0 si a < x < cyf'\x) > O si c I x I b
Para todo x que pertenece al intervalo abierto (a, b).
En el punto de inflexión, la gráfica de la función corta Ia recta tangente a la curva en
este punto como se muestra en las figura s 6 y 7 .
Ahora, si en x :
c Ia funciónflr) tiene un punto de inflexión, entonces/'(c) :
0 si
/'(c)
existe.
Determinar los intervalos de concavidad y los pun-
tos de inflexión de cada función.
a. f(x):
x-tl
f lt --
-
1
t )- --
--
(x*1)'
-)fll t -\
/ (.{,
-' (x+1)'
En este caso, los intervalos asociados son:
(--,
-
1) y (1, :o)
Enx: -2
f'\-2):2y2>
o.
Enx:0
f"(0)
:
-2y -2 < 0.
La función/(x) es cóncava hacia arriba en (-2, -1;
y es cóncava hacia abajo en (-1, z), sin embargo, en
x :
-
1 no hay punto de inflexión.
Estándar: penscmienta va riacional
¡
Figum 7
b.f(*):
ux'-zx'
f"(x):x2-1
x2-1:o
(x+2)(x-2):0
f--""- f
f,
.._
LV^- L
I
A partir del signo de la segunda derivada en los
intervalos correspondientes se tiene que la gráfica
de Ia función /(x)
es cóncava hacia arriba en 1os in-
tervalos (-2, 2) y (2, -z), porque f"(- 3) :
S
yf"(3): 5, y es cóncava hacia abajo en (-2,2) ya que
f"(o) :
-s.
Los puntos de inflexión son:
(-,-+)
'?,-+)
La gráfica es:
v
J
PntdLntex
x
1
(x<0
Fiqura 6
Iv
o
i
J
I
x
I
L
3
osantillana
I
tl3
Z
P
d ln rto
n
¡ Pr
-C

215. Criterio de Io segundo derivodo
La segunda derivada de una función también es útil para determinar si un punto
crítico es un máximo relativo o mínimo relativo, como se describe a continuación:
Si (c, f(c)) es un punto crítico relativo de la función f(x), tal que f
'(c) :0
y f
'(x)
derivable en el intervalo (a, b) con c e (a, b) entonces:
Si f
'\c) (
0, entonces f(x) tiene un máximo relativo en x :
c.
Sif
'\c) > 0, entonces f(x) tiene un minimo relativo en x :
c.
Si f
'\c) :0
el criterio no decide
La siguiente figura muestra las gráficas de la función
f(*), f
'(x)
y f
"(x).
{ 1 } Determinar los máximos y los mínimos relativos de la función
x Ejemptos
x3 5x2
f (x) :
=
- + + 6x . Aplica eI criterio de la segunda derivada.
32
f'(x):
x2 -
5x + 6
f"(x):2x -
5
x2-5x*6:o
x: 2y x: 3
Por tanto, los puntos críticos ocurren en r : 2y x: 3.
Ahora, se encuentra el signo de Ia segunda derivada para los puntos críticos.
f"(x)
:2x
-
5
f"(2)
:2(2)
-
s
f"(z)
:
-t
Como f
"(2)
- -
1, es decir f
"(2) { 0, entonces,
la función tiene un m¿iximo relativo en x :
2.
f"(3)
:2(3)
-
s
f"(z)
:'t
Como/'(3) :
1, es decir f"(3) ) 0, entonces,
la función tiene un mínimo relativo en x :
3.
La gráfrca correspondiente es la siguiente:
U la
I
osantillana

216. Encontrar los extremos relativos de la función,
utilizando el criterio de la segunda derivada.
Trazar la gráfica correspondiente.
a. f(x)
:9#
-
2x3 - 6*.
f(*)
:9x4
-
2r3 -
6x2
f'(*):36x3-6x2-l2x
f"(*):108x2- t2x-12
36x3 -
6x2 - l2x : 0 5e tquala a cero la
Dt;mera de",, ada.
6x(3x 2)(2x t l) :0
^ ) ¡
soluciono
x:0, x--1 y*:-;
ecuacion.
Luego, Ia función tiene puntos críticos en r :
0,
2t
^-va-
3' 2
Se determina el signo de la segunda derivada, para
estos valores
f"(o)
:
-tz
/ )\
f"l-11 :28
r lll
,,,1 1 \- ,,
/ t ,l-"'
Según el criterio de la segunda derivada en x :
0
hay un máximo relativo, mientras que en t :
+
J
ven x - -
I
havmirimosrelativos.,2
La gráfica de la función es:
b. f(*):
4cos (2x) en[0,2r).
f'(x)
:
-8
sen (2r)
f"(*)
:
-
16 sen (2x)
-8
sen (2x¡ : g
5e encuentra la
primera deivada
Se encuentra la
segunda derivada.
^Ti3tr
X:U,-,TT,-
22
1-
osant¡llana lPl5
N
Luego, la función presenta puntos críticos
)-
x :
0, a, r, L,2¡.
22
f"(o) - -t6,
f" r):rc,
f "(r): -t6'
r(!):ru
Y f"(zr):
16
Por tanto, la función presenta máximos relativos en
x :
0, x : rt y x :
2rr; mientras que los mínimos
relativos se encuentran en r -
n
u
"n
*:
3n
.
2'. 2
La gráfr,ca pedida se muestra a continuación.
Encontrar los extremos relativos de la función
flx) apartir de la gráfica f'(*) Vf"(*).
En la figura se aprecia que f'(x)
:
0 para los valo-
res,(: -1,¡:2,x:4.
Además/"(- 1) < 0, f"(2)
> 0 y/'(a) < 0.
Por tanto, la funciónflx) tiene un mínimo relativo
enr :
2 ytiene máximos relativos enr :
1 y
x: 4.
Se holla la prtmera
deivada.
/
x.
/
\
J
x) )
x
A
f'
x)
I {

217. I
i.
Móximo y mínimo obsoluto
de uno función en un intervolo cerrodo
Los valores máximos y mínimos relativos de una función se han determinado a
través de la aplicación del criterio de la primera o segunda derivada, sin embargo,
en algunos casos es importante hallar los extremos absolutos de una función/en un
intervalo cerrado [a, b) como se muestra a continuación:
. Primero, se evalúa la función en los extremos del intervalo.
. Segundo, se hallan los puntos críticos en el intervalo abierto (a, b).
. Finalmente, se comparan los resultados obtenidos. El mayor y el menor de los
valores son, respectivamente, el máximo absoluto y el mínimo absoluto.
x Ejemptos
ffi
O"t"r-inar el máximo absoluto y el mínimo ab-
soluto de la funciónf(x) : # + 4x3 -
2x2 - l2x
en el intervalo [-3, 0]. Trazar la gráfica.
f(x):f+4x3-2x2-r2x
5e deriva la función.
f'(*):
4x3 + l2f -
4x -
12
4x3 + r2f -
4x - 12: o
seigualaf'(ilaa'
2(x-3)(x+ 1)(x- l): o
Stfocroriza'
x:_ 3, lyx:1
Sesoluciona'
Por tanto, la funciónfl x) : # I 4x3 -
2x2 - l2x
tienepuntoscríticos errx: -3,y: -lyx: l.
Como I e i3,0], entonces se descarta.
Se encuentra el valor de la función en x - -3,
x: -lyx:0.
f(-z):4(-3¡+
+ 4(-3)3 - 2(-3¡z - r2(-3): -e
f(-r): 4(- 1)4 + 4(- r)3 - 2(-r)2 - L2(-r) :7
f0)
:
4(o)4 + 4(o¡: -
2(o¡z -
12(0) :
s
Como el mayor de estos valores es 7, entonces en
x :
- t hay un máximo absoluto.
Como el menor es -9,
entonces en x :
-3
hay un
mínimo absoluto.
La gráfrca de la función es:
O
tu función que representa las ganancias por la
ventadecierto artículoerflr) :
-
x2 + 100¡ -
100
donde r representa el precio en miles de pesos de
cada artículo. Determinar el precio de venta del
artículo para que la ganancia sea máxima. El pre-
cio de venta no puede ser mayor de 100 mil pesos.
Es necesario encontrar el máximo absoluto de la
función.
f(*)
:
-x2 + 100x -
100 en el intervalo [0, 100].
f
'(x) :
-2x i 100 5e deriva la función.
-2x
-f 100 :
0
-2(x-50):0
x: 50
5e iguala f
'(x)
a 0.
5e factoriza.
Se resuelve la ecuación
La función tiene un punto crítico en x :
50.
Se evalúa la función en los extremos del intervalo
y en el punto crítico.
f(o)
:
-loo,fso)
:2.400 yflloo) :
-1oo
Como el mayor de estos valores es 2.400, entonces
la función tiene un máximo absoluto en x :
50.
Esto quiere decir que para obtener la mayor ga-
nancia que es de 240 mil pesos el artículo debe ser
vendido a 50 mil pesos. La gráfi,ca de la función
ganancras es:
el6
|
osantillana

218. ión de cada una de
d.
1
i
I
I
:-
!
!+
!
1
I
1fl,
4
Explica el criterio de la segunda derivada, me-
diante un ejemplo.
Determina los intervalos en los cuales la función
es cóncava hacia arriba y en los que es cóncar.a
hacia abajo.
c. f(x):5x3 + 2x2
d. f(r):
3r4 - srl
e. f(x)
:
24x3 -l 44x2 -l t2x- 7
f f(r): -Br5 + 4,r3
e. f@)
:
24xa -
6x3 -
9x2
h f(*):3xa -
2x
i. .s(x) ar'- ax'+ x'
"43
. xr-l
l. g(x): *
x-+l
t*
k. f(x) : vf -'
-
x'-
]-Y
1. f(*) - x2 ln x
-.fx)
: arcsenr
n. f(x)
x3 -
3e'
a.
v
ó
b
'z-
x
/,
b.
/
/
\-,, )l ix
osantillana lPIT
I
Conrpleta la tabla para la función/(x) - x1 + 2x3.
Utiliza ei criterio de la segunda derivada para en-
contrar los puntos máximos relativos y mínimos
relativos de cada función.
de la fr.rnciónflx) tiene puntos de inflexión, a par-
tir de la gráfica de f"(x).
Soluciono problemos
Una empresa de computadores portátiles, después
de sacar al mercado un nuevo producto, analiza la
cantidad de yentas qua ha tenido a nir.el nundial y
obtiene la siguiente función: v(t¡ -
#H$t
donde f es el tiempo en meses desde la introduc-
ción del nue\¡o producto al mercado.
Determina la concavidad de la función ventas.
F.ncuentra los nunfos de inflexiónEncuentra los puntos de inflexión.
-- f
- --_-_
Describe el significado de Ios puntos a
).
b en
relación con el aumento o la disminución en las
r,^r1+ñ-,-^-
^l -,.^--^ ^-+i^,,1^ventas por el nue-".o artículo.
a.
b.
c.
§stánd s r: ce n sc in t e ntc va r ¡ a c t o n a i

219. Representoción g rófico
de funciones
Para representar gráficamente una función se deben tener en cuenta los siguientes
pasos:
. Primero, se halla el dominio de la función.
. Segundo, se encuentran Ias intersecciones con los ejes de coordenadas.
. Tercero, se encuentran las asíntotas.
. Cuarto, se verifica la simetría con respecto al eje y cuando la función es par, y la
simetría con respecto al origen cuando la función es impar.
.
Quinto, se encuentra Ia primera derivada de Ia función.
. Sexto, se hallan los puntos críticos.
. Séptimo, se determinan los intervalos donde la gráfi,ca es creciente y decreciente
utilizando el criterio de Ia primera derivada.
. Octavo, se calcula la segunda derivada.
. Noveno, se hallan los puntos de inflexión.
. Luego, se determinan los intervalos de concavidad utilizando el criterio de la
segunda derivada.
. Finalmente, se fraza la gráfica que cumpla con las condiciones determinadas.
x Ejemptos
Trazar la gráfica de cada función.
a. f(x)
lx"
+ |
Se realizan los pasos mencionados, como se muestra en la siguiente tabla.
(-*,*), pues a función está definida para todos los números reales.
Ejex: enx :
O Ejey: eny :
0, pues l(0) :
0
Horizontalesty:1yy: -1
pues.,Lrm f(x) :1y Ltmf(x):
-1
Verticales: no tiene pues Lrm f(x) + *"" para todox € R.
Con respecto a origen pues f es una función impar, es decir, f(-x) :
-f(x)
f " /,,
1
t )
-
(x' + 1):
Notiene pues f(x) # 0 Vx e R
Creciente: (--, *-) pues f'(x) > 0, para todo x e R
(0,0)pues f'(x): a cuandox: 0
Cóncava hacia arriba: (--, 0) pues f
"(x) > 0 cuando x < 0
Cóncava hacia abajo: (0, +r¡ pues f"(x) < 0 cuando x ) 0.
218
i
osantillana

220. Finalmente, se traza Ia gráfica que cumple con las condiciones de la tabla como se
muestra en Ia figura 8.
b. f(*)
:
3x3 -
x4
Se completa la tabla como se muestra a continuación.
Como fes una función po inómica e dominio es e con;un
to de os números reales R
Eje x: cuando y :
0, se tiene que 0 : 3x: r
Factoriza¡do,0 : xr (3 -
x) de ciondex: 0 yx - 3
Ejey: cuandox: 0,setenequey- 3(0)r (0)'i: 0
Como f es una función po inómica no tiene asíntotas hori
zontales, ¡i verticales, ni ob icuas,
En este caso, a funció¡ no es par ni impar Por tanto, no es
simétrica con respe.to a ele y ni con respecto a origen
f'(x) - 9rt 4x3
Cuando 9i -
4x) :
0 se tie¡e que r2(9 - 4i) :
O, de don-
dex- 0y x: son puntoscriticos.
creciente:(--, o) u (0,
)
Decreciente: (+ .-)
F'i,-
-
rO,- Tl.'
/ t\/ LO L',
Cuando I 8x 12P : 0 se tiene que 6x(3 4x) : 0 de
Cóncava hacia arriba: (0,
)
Cóncava hacia abajo: ( *, O) y ( *-)
Mínimo relativo: no tiene
Máximo relativo: en :
Teniendo en cuenta las condiciones que están en Ia tabla se trazala siguiente gráfica.
Figura B
c'+
I
J
,5 5 5 5
O Santillana
I

221. Ir¿¿0
l@santillana
las condiciones que están en la tabla, se traza Ia gráfica de la
c. f(x\:x_ 5+!
x
Se completa la tabla como se muestra a continuación:
Teniendo en cuenta
figura 9.
Como el denominador no puede ser cero, entonces el
dominio de la función es: R - i0].
Eje x cuando f(x) : y :
0, se tiene que:
/
-;+-:0
x
x2-5x+4:0
x: 4y x: 1
Eje y: no hay porque 0 É al dominio de la función
Horizontales:como Lím f (x) : aoo y Lím f (x): -*
x+t x+-€
entonces no hay asÍntotas horizontales.
Verticales:x:0 es una asintota vertical porque:
Lim f(x) : -x y Lín f(x): 1:o
f
'-(\
oblicua:cono i--'') :"y
Lín (t(x)_ x):- 5,
^ ^)r
entoncesy : x - 5 es una asintota oblicua.
En este caso, la función no es par ni impar. Por tanto,
no es simétrica con respecto al eje y, ni con respecto al
orgen
flt . . 4
/ \{/
-_ t-
r,
,A
Cuando 1 - -+ : 0, se tiene que:
X.
..) A
-
^.x--+-v
v:)r¡v:-),' .)
Creciente: (-*,
-2)
y (2, +a)
Decreciente: 1-2, $ y (0, 2)
o
/ (XJ-....:
X,
No tiene, porque f "*
0 para todo x e Dom f
Cóncava hacia arriba:
(0, +-¡ pues f"(x) > 0 cuandox ) 0
Cóncava hacia abajo:
(--,0) pues f"(x)< 0 cuandox < 0
Mínimo relativo:
enx:2puesf"(2) >0
Máximo relativo:
en x: -2
pues f"(-2) < 0
Asíntotas
Simetría
Puntos críticos
lntervalos de crecimiento
y decrecimiento
rdef
le concavidad
Valores extremos
Figura 9

222. E s?án dar: pe n sa m iento v a ri c cio r, a I
Determina para la gráfica de cada función 1as si- Realiza la gráfica de la función de acuerdo con la
guientes características:
. Puntos de intersección con los ejes
. Máximos ymínimos
. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento
información de la tabla.
(-*, -)
[jex:enl,:)yenx:
Ejey:eny:0.
no tiene
Enx:0yenx:'l
Crecie¡te en (1, z)
Decreciente en (-T, 0)
yen(O l)
_)
tni:0yen.i:
,
Cóncava hacia arriba:
en( -,0)ye¡( -)
Cóncava hacia abato:en (0,
)
MÍnimo re ativo en x :
I
Realiza la gráfica de cada función, a partir del co-
Relaciona cada función con su gráfrca correspon-
rrespondiente análisis.
".f(*):3x2+2x-5
b /(x)
:
2x1 -
3x2
I
c. ftx) : 1¡r
-
.yl
'2
d. f(*)
:
2x3 t 3x2 -
L2x + 4
e. f(x)
:
lx2
161
f. f(*): ¡ * sen x
. vr
-
'lv
-l- 3
a r
x--2x-I
1^.
, L^
n. t\x): .
' x Lx-6
i. f(*): rr -
6x2 + t2x 5
j.
f(*) - x(2 -
x)
k. flr)
: r2x 3x3
1.f(r):xlnx
-.1¡)
:
vs-2x
n. f(x):
3 cosx2 -
3x
o. f(x):xl arctanr
diente.
a.f(x)-ú: 1b. l(x)
:
x3+ P - 8x+ 6
. Puntos de inflexión
. Intervalos de concavidad
... I a-i
t:] :ániiiilna lCe !
¡

223. Resuelve, si/(x) : x3 I ax2 -l bx -l
c.
a. Halla los valores de a, b y c, si la función/(x),
t:
tiene dos valores extremos en x :
n
" u
2
b. Si b y c, son cero, determina el valor de a para
que la función sea decreciente en el intervalo
(0,2) y creciente en el intervalo (2, S).
Determina los valores de ay b, teniendo en cuenta
que Ia función f(x)
: f + ax2 * b tiene única-
mente un punto crítico.
@
Resuelv" si /(x)
:
,
"-.-;t-x
Encuentra Ios máximos y mínimos de la función.
Determina las ecuaciones de las asíntotas y la
posición respecto a ellas.
Realiza el esbozo de la gráfica de Ia función.
4
3
a.
b.
Resuelve si f
(x) :
a. Halla el dominio y las asíntotas.
b. Encuentra los intervalos de crecimiento y de-
crecimiento.
c. Halla los extremos relativos.
d. Analiza la concavidad.
e. Realiza la gráfrca de Ia función.
Realiza la gráfica de la función f(x),
si se muestra
la gráfrca de f'(x)
función.
a. fl2)
:0
y algunas características de la
b. /(-1)
:
f(+)
:
o
x-ll
*x2
e¿¿
los¿ntillana
eF""-I,*f
Soluciono problemos
Un investigador está probando la acción de un
medicamento sobre una bacteria. Se ha verificado
que el número de bacterias N, varía con el tiempo
t, trnavez suministrado el medicamento, según la
función:
N(r) :
2ot3 - sloP t
3.600/ + 2.ooo
a. Determina Ia cantidad de bacterias en el mo-
mento de suministrar el medicamento. Luego,
de 10 horas.
b. Encuentra el tiempo en el cual el número de
bacterias crece y decrece.
c. Halla el momento donde el medicamento tiene
el mayor efecto.
d. Halla el momento donde el medicamento tiene
el menor efecto.
Una persona ha invertido su liquidación en accio-
nes de una compañía musical durante 10 años. EI
dinero invertido más los beneficios está dado por
la función:
f(*)
: (x - 2)2(r -
2x) + 252x-t 116
Determina los intervalos de tiempo en los que
el valor obtenido creció y aquellos en los que
decreció.
Si la persona retira sus ingresos al cabo de los
10 años,
¿cuál hubiera sido el mejor momento
para haberse retirado?
Halla el dinero que perdió por no haberse reti-
rado a tiempo.
b.
Un club deportivo cuenta con un número de so-
cios que viene dado en miles de personas por la
función:
s(x) : 2x3 - l5x2 'l 24x * 26 donde x indica el
número de años.
Halla el año en el que el club ha tenido el mayor
número de socios.
Conocer la qráfica de una función sirlle p¿r¿ an¿ iz¿r visualmente e c0m-
portamiento del movimiento de (uerpos en física y l¿ tasa de creclmiento
y decrecimiento de poblacrones de individuos.
,{
I
"*
Y esto que oprendí, ¿PARA QuÉ ve SIRVE?

224. Diferencioles
Incrementos
Algunos modelos matemáticos se crean a partir de la relación entre las variables
involucradas en la situación. Esta relación se establece por medio de variación o
incremento.
E incremento de x cuando cambia de una posición x, a una
posición x2 se expresa como Ary es igual a Ar - Xr- x.,
Del mismo modo Ay - f(x-r) -
f(r,)determina ei i¡cremento
de la variable dependiente y, es deci¡ de a lunción (x)
En la gráfica de Ia figura 10 se muestra el incremento A;r y A,yo, para una funciónflx).
L,y :
f(x,
+ Ar) f(xr)
Ax:4 2:2
SeaPlicalanoctÓn
de derivada.
Ly :
f(z + A¡) - f(2)
se hoila et
:
f(Z + 2) - f(2)
tncreme todex
:80-4
)eremptan -2
: 76 .^
"^^^t---,,.^ --t-,,t-
La gráfica es:
ffi jem tms
Determinar el incremento de Al de la función de
f(x):2x3 -
3xz cuando xt:2 cambia axr:4.
Existen dos formas de encontrar 47. Estas son:
. Ly :
f(*r) f(xr)
f(*r)
:/(4) :
80
f(*,):f(z):+
Ly:
f(+) - f(2)
:80
4
:76 Se te>uelte
Expresar A7 en términos de Ax, si la función
f(*)
:
2x3 -
6x para cada caso.
a' xr: -¡
!,y: JG,
+ Ax) - f(xr)
\y :
f(-
1 + Ax) -l-
t)
:2( 1*ax)3 6( 1+Ax)
- [2(- 1)3 - 6(-1)]
-2( 1t3Ax 3Ax2+Ax3)+o
-6Ax
4
2 i 6L,x -
6Ax2 * 2lxl
-6L,x
-l 2
:
-61x2
-l 2-\xl
Por tanto, se tiene que:
l-l: -oA¡2+,2L,x3
b. x,:o
\y: J6,
+ Ax) f(*r)
17:10 + Ax) -f0)
: 2(0 + Ar): -
6(0 + Ax)
- [2(o), 6(0)]
:2(A;r:;
- 6Ax
: 2-\xr - 6-\x
: 2Ax3 -6Ar
Por tanto, se tiene que:
Av:-61:r-l2Ar3
/
OU
)]r
ar
o§antiil¡na ll771
l---
Fiqura l0

225. Diferenciol de uno función
Si y :
¡1r¡ es una función derivable, entonces la diferenclal de y expresada como dy, es
igua a producto de a derivada de f porel incremento dex, es deci,dy: f'(x)Lx.
La diferencial de x expresada como dx, es igual al incremento de x. Es deci, dy :
Lx.
Por tanto, dy :
f'(x)dx.
La gráfrca de la función se muestra en la figura 11.
Las diferenciales también se usan para estimar el error en la toma de alguna medición,
para esto se usa la fórmula Ly :
f(* + Ax) - f(x).
Por ejemplo, si se encuentra que Ia medida de uno de los lados de un cuadrado es de
20 cm, entonces, el error posible en la medida es de 0,04 cm, y paru calcular el incre-
mento del área en esta variación de medida se realiza lo siguiente.
A: 12
dA: 2l' dl
Se usa la fórmula para el área de un cuadrado.
Se encuentra la derivada.
I :
20 y dl : 0,04 5e interpretan los datos dados en el problema.
dA : 2 X 20 X 0,04
Se remplazan los valores.
dA : 1,6
Se resuelven las operaciones.
Luego, eláreadel cuadrado es 400 +
I,6 cm2.
x Ejemptos
Calcular dy parala función 7
: sen2(2¡).
dv: f'(x)dx
dy :
2 sen2x cos2x (2)dx
dy : 4 sen2x cos2x dx
Luego dy : 4 sen (2x) cos (2x) dx
@
eproximar el valor de .[x,s aplicando las diferenciales.
Se determina la función
que se va a trabajar.
Las diferenciales se usan para aproximar valores de algunas funciones, para ello
se usa la fórmulafl x 1- L,x) :
f(x) + dy.
f Q): JI
x -f A,x:25,5
x : 25 y Ax : 0,5
5e descomPone el.valor
f '(x) :
-+
qu se va a o,ro^tmor'
'
2J x 5e eriva de la función determinada
¿y :
-
|
' 0,5 5e calcula la diferencialdey.,
2.1 x
f (25,5) :
f 125) - ^ ! ' O,S Se aplica la formuta para oproximor.
' 2J2s
:
5 * 0,05 : 5,05
Secalculan losvalores.
Luego JT55:5,05.
5e aplica la definictón
Se deilva la función doda
|
?24lo santi,ana
Figura 1l

226. Completa la tabla.
{1,^-).) /,
/\{l-Jl--ar 2 )2
+/\-.,.1 1
/\l )^'
-
| j
001
t5 05 1
i\¡/ r--_) -1
/
1-
),/ )
,,
-
.l .)
i/-{'-f- ) r0 6485 808
fa) --)vJ -189
001 )
(x) - t,nr r,
,IT
002
,t l
rl 1 l
t\xt -
-
)x+1
1
3
2
í, .^.t /, L t\
¡\/- ru)t | a) TI
'tf
)
f(x):¡+-rt 1 0 0 01
!t, .1
/\¡l t'
-
\ ) a1
l-3x2-5x*8
Y:7x3 + 5
/:sen(r2+6)
/:6x2-l7xi9
y:5x2t4x-8
paraxr:1yAx:dx:0,01
a.
b.
C.
d.
f.
Ca
b.y
y:9x1 -2xz 7x-l 4
Y
: ln(x2)
lcula el incremento Ay y dy en cada caso
11o
para )úr :
4, dx: 0,4.
para rl :
-2
y dx - 0,09
d. Y:
sen2(2;3 -
5)
l€ Soluciono problemos
máximo de 0,9.
¿Cuál
es el error estimado al medir
su Iado?
El diámetro de una circunferencia mide 4 cm, con
un margen de error de 0,5.
¿Cuál
es el máximo
error al calcular el volumen de Ia esfera?
Jaime está ubicado a una distancia de 3 m de un
edificio. Si mide el ángulo de elevación con un
margen de error de 0,06 y el ángulo mide
,17".
¿Cuál
es el error máximo que puede cometer Jaime
al calcular la altura de1 edificio?
Encuentra el máximo error que pr"rede presentarse
Cuando se toma la medida
de un Iado de un triángulo
equilátero se obtiene 14 cm,
con un posible error de 0,02
cm. Calcula el error máximo
que se puede dar al hallar el
área del triángulo.
Se toman las medidas de 1a caja de la figura con ull
error estimado de 0,03 cm. Encuentra el máximo
error que puede darse al calcular el área de la caja
v el volumen de Ia misma.v el volumen de Ia misma.
El volumen de un cr¡bo es de 343 cm3 con un error
*r--:*^ l^ n ñ .-..11 ^^ ^l ^.-.-^.- ^-+:*^l^ ^l *^l:..
al calcular elárea de una esfera de radio 5 cm que
tiene un margen de error de 0,4 al medirse.
Un reflector solar tiene la forma de una curva dada
por la siguiente función.
a.
b.
-
l4cm+
oSantil!ana i ea5
I
Ax L,yt \x2)
-
r,,5 ,,1
c. y:^,lrx'+s

227. Problemos
de rozón de combio
Un problema de razón de cambio es aquel que involucra la tasa de variación de va-
riables que se relacionan entre sí. En la mayoría de los problemas de razón de cambio
intervienen diferentes variables que cambian dependiendo del tiempo r.
Para resolver un problema de razón de cambio se realizan los siguientes pasos:
. Primero, se definen las variables que intervienen en el problema.
. Segundo, se identifica el valor que se quiere hallar.
. Tercero, se plantea una ecuación que relacione las variables que dependen del
tiempo f.
. Cuarto, se aplica derivación implícita con respecto a , en la ecuación planteada.
. Finalmente, se sustituyen los valores de las cantidades dadas y se despeja el valor
buscado.
x Ejemptos
G
tt x y y son dos funciones que dependen de ú, relacionadas mediante la si-
guienteecuación 2xy t 3y:tbx'.Hallar
#,"rx:
ly
ff
:
Z.
Primero, se aplica derivación implícita en la ecuación dada.
2,
d* _
2*
ly
* ,L :2ox
dx
'dt dt dt dt
Luego, se remplaza x: 1, y : 2y {
: Z.
'dt
dv dv
2(2)(3) + 2(I)-:- + 3-:-: 20(1)(3)
dt dt
Finalmente, se realizan las operaciones y se despeja
dy
:60-12 :g:s,e
dt55
G
tu arista de un cubo var ía a razónde 2 cm/s.
¿Cuál
es la variación instantánea
del volumen cuando la arista es 7 cm?
Primero, se definen las variables. Seaxla medida de la aristay Velvolumen del cubo.
Segundo, se identifica el valor que se quiere hallar. En este caso, se quiere deter-
minar
dV
,u rd,o x:7 cm.
dt
Tercero, se plantea la ecuación. Luego, el volumen del cubo está dado por V :
xz.
Cuarto, se aplica derivada implícita. Por tanto:
dV
3x.
dx
dt dt
Quinto, se sustituyen las cantidades dadas y se despela lL
.
dt
dV : 3J\'2'2: 294
dt
Por tanto, el volumen del cubo varia a ruzón de 294 cm3l s.
e¿6
losantillana

228. S
Oo. carros parten de viaje de una misma ciudad,
uno va hacia el norte con una rapidez constante
de 70 km/h; e[ otro parte media hora después y
va hacia el este y su rapidez es de 65 km/h.
¿Con
qué rapidez varía [a distancia entre los carros 45
minutos después de que arranca el carro que va
hacia el este?
Primero se definen la variables que interviene en
el problema.
x: distancia recorrida hacia el norte.
7:
distancia recorrida hacia el este.
z: distancia entre los carros.
Segundo se determina el valor a hallar. En este
caso se brsru
dz
.rurrdo t : a
u,.
dt4
Tercero se plantea la ecuación aplicando el teo-
rema de Pitágoras, es decir:
x2+Yz:'z
Cuarto se aplica derivación implícita.
.^.dx ,.^.dl _._d,
L^- | .','
-
--"
dt
-'
dt
--
dt
Quinto se hallan xy y aphcando la relación d : vt,
donde d es la distancia, v la velocidad constante y
ú el tiempo.
(
x:70.=:87,5
4
y:65.L:48,75
,4
Luego, se halla z aplicando el teorema de Pitá-
goras.
z: J$7,sy
+ (4BW: too,16
Finalmente, se remplazan las cantidades conoci-
das y se despeja dz.
d, :
2(87,5)(70) + 2(48,75)(65) _ or -o
dt 2(100,16)
-
''/''' Ó
Por tanto, la distancia entre los carros varía a razón
de 92,78 km/h.
@
r" avión vuela paralelamente a la calle de una
ciudad con una velocidad constante de 15 km/h
y una altura de 5 km. ¿Con
qué velocidad se
aproxima a un edificio cuando se encuentra a
5 km de su base?
Primero, se determinan las variables.
x: distancia horizontal.
y: altura del aüón.
z: distancia entre el avión yla base del edificio.
Segundo, se determina el valor a buscar. En este
caso se burru
d"
cuando z :
5 km.
dt
Tercero, se plantea una ecuación: f + y2 :
22.
Como
7
es constante, se tiene qte * + 16 : *.
Cuarto, se aplica derivación implícita.
2*
d* :2"
d"
dt dt
Luego, se halla x c:,tando y : 4y z :
5.
*:(5)2- (4)2=*:9=x:3
Finalmente, se remplazan los valores conocidos y
1.dz
se oespeJa
-
.
dz
-
2(3)(1s)
-e
dt 2(s)
Por tanto, la distancia entre el avión y la base del
edificio varíaarazón de 9 km/h.
En un laboratorio una mezcla
pasa por un filtro cónico de 80
cm de altura y 8 cm de radio
como se muestra en la figura.
Hallar la variación instantánea
del volumen cuando el nivel
de la mezcla es de 40 cm y des-
ciende a razón de 4 cm/min.
Se tiene que el volumen de un cono está dado por:
v : Ltr'h
3
Además, se cumple que r : J-¡, con lo cual
'10
V :
!=rnr.
Luego, se deriva implícitamente.
300
d, : ¡ .r.dh
dt 3oo '"
dt
Finalmente, se remplaza n
V 4'dt
)-.
UV ¡¡_
3(40),
. (4):64n
dt 3oo
Por tanto, el volumen de la mezcla varía a razón
de 64r- cm3/min.
,o santillani
i
ee7
t_/__________1

229. l+ Ejemptos
Hallar los vértices del triángulo rectángulo de
menor área, limitado por el eje x, el eje y y la
recta que pasa por el punto A : (4, 2).
Primero, se definen los vértices del triángulo.
B: (x,0), D : (0,0) y C: (0,y).
Segundo, se encuentra la pendiente utilizando los
puntos C, A y A, B. Estas pendientes son iguales
porque A,B y C pertenece, u óE .
1
Y m-.- : ' de donde
4- x
v-2 )
-4 4-x
Problernos
de opt¡m¡zoción
Un problema de optimización es una aplicación de los procedimientos para hallar
el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de una función continua en un
intervalo cerrado. Por ejemplo, un problema de optimización consiste en determinar
la ganancia máxima que puede obtener una empresa por la venta de cierto artículo.
Para resolver problemas de optimización se realizan los siguientes pasos:
. Primero, se realiza una gráfica o dibujo correspondiente al problema.
. Segundo, se definen las variables que intervienen en el problema.
. Tercero, se establece la fórmula para la función de Ia cual se va a hallar el máximo
o el mínimo absoluto.
. Cuarto, se expresa la función en términos de una sola variable.
.
Quinto, se hallan los puntos críticos.
. Finalmente, se aplica el criterio de la segunda derivada y se verifrcan los resultados.
. bxh
2
xXv
A/
2
2x,x
2
Luego, se realiza
B:xyh:y
x-4
^-
A":
(x - 4)'
A"(0) :
area.
m¡
Se despeja y de Ia ecuación.
a--
LA
32
v
C(.v)
A
D(,0)
Br,0
¿ZB
I
osantillana
v:
x-4
5e encuentran los
puntos críticos.
5e halla la
segunda derivada.
Se aplica el criterio de ia segunda derivada

230. Se desea construir una caja rectangula6 utili-
zando una pieza de cartulina de 30 cm de largo
y2O cmde ancho, cortando cuadrados idénticos
en las esquinas. Encontrar las dimensiones de la
caja que produzca el mayorvolumen.
Primero, se definen las variables que intervienen
en el problema.
x
3o-2x
r medida del lado del cuadrado.
20 -
2x: ancho de la base dela caja.
30 -
2x: largo de la base delacaja.
Segundo, se establece el volumen de la caja en
función del lado del cuadrado.
V: x(20 -
2x)(30 -
2x)
Tercero, se realiza el siguiente procedimiento.
v :
4x3 -
10012 -t 600¡
V'(t2,7): 104,8 y
V'(3,9) :
-106,4
Luego, en x :
3,9 hay un máximo, y este corres-
ponde a la medida del alto de la caja.
EI ancho de la base de la caja es:
20 - 2x: 20 - 2'3,9 :
L2,2 cm.
El largo de la caja es:
3O -
2x :
30 - 2. 3,9 :
22,2 cm.
Por tanto, las dimensiones de la caja son: 12,2 de
ancho, 22,2 de largo y 3,9 de altura.
Encontrar la altura y el volumen del cilindro
circular recto de volumen máximo que puede
inscribirse en una esfera de radio R :
3 cm.
Primero, se definen las variables que intervienen
en el problema.
r es el radio de 1a base del cilindro.
/r es la altura del cilindro.
R :
3 es el radio de la esfera.
Segundo, se plantean las ecuaciones que relacio-
nan las variables. Para esto, se utiliza Ia expresión
para hallar el volumen de un cilindro y el teorema
de Pitágoras.
V: rPh
, .]
l1l*rr:Rr
t)J
Tercero, se remplazan los valores conocidos y se
despeja 12.
".) -
36-h)
1
Cuarto, se realiza el siguiente procedimiento:
. 36-h1
V:TN
V:9rh
4
_ ¡h3
4
3¡h)
I
^ 3¡h)
9ft _:o
1
h - 2^1,
3¡h
v' : l2x2 -
2oox + 600
Primera
l2x2 200x -l 600 : 0 5e iguala o cero
x:l2,7yx:3,9
LOs
V' :
24x - 2OO
la la seguntla
da.
V'
a
V : l2Jltr cmr
5e aplrca el criterio de
la segunda derivodo
Luego, en h: zll hay un máximo.
Por tanto, el volumen del cilindro es
,í.,
S.-::¡:iit1"-.¡a
I
C ¿ l}
\,' : 12.u6rl cmr.
x
20-2x
x
Estúndar: penscniento nurnerico
)/
pensemiento variac¡cnal

231. Problemas deoptimización
Recupero informoción:'l -2-3
razón de cambio.
Describe los pasos para resolver un problema de
razón de optimización.
dados en la figura. Si el
razón de I cm/s mien-
tras el otro crece a ra-
zón de 2 cmls,
¿cuál es
,, .-
\a razón de cambio del
área del triángulo des-
pués de 3 minutos?
cateto mayor decrece a
@
Oescrlbe los pasos para resolver un problema de : Las medidas de los catetos del triángulo son los
@
Escrlbe las diferencias de un problema de razón d,e
cambio y un problema de optimización.
Soluciono problemos
@
O.,"r* inalarazónde cambio
del radio de una bola de nieve
cuando se derrite arazón de 5
metros cúbicos por segundo,
cuando el radio mide 3 metros.
@
UAU la rapidezcon la que cambia la longitud de
la sombra de un hombre de 1,7 metros de estatura
si se aleja de una lámpara, colgada a una altura de
5 m, con una rapidez de 2 metros por segundo.
@
U"u escalera de 2 m de altura está ubicada contra
una pared y comienza a deslizarse de tal manera
que su base se aleja de la pared con una rapidez de
5 metros en un segundo.
b.
Encuentra la rapidez con que se desliza la parte
superior de la escalera cuando se encuentra a
un metro de la pared.
Halla la rapidez a la que cambia el ángulo
agudo que forma la escalera con el piso cuando
el extremo superior de la escalera está a 50 cm
del piso.
$
Oor automóviles salen del mismo punto uno
hacia el este a 45 km/h y otro al sur a 80 km/h.
Determina larazón de cambio en la distancia entre
los dos automóviles después de 4 horas.
@
r" alambre de medio metro de longitud, se corta
en dos pedazos para formar una circunferencia y
un cuadrado.
¿Cuánto
debe medir cada pedazo de
alambre para que la suma de las áreas sea mínima?
16 cm
a.
,:
;i
Halla Iavelocidad a la que
crece el nivel del agua, de
un tanque en forma de
cono, si el agua ingresa
a una razón de 5 m/s.
Cuando la profundidad
T
10
I
r1t
T
4 n-r
I
@
Err.o.rtra dos números enteros positivos cuya
suma sea 24y cuyo producto sea mínimo.
@
Er.r.rrtra dos números enteros positivos cuya
suma sea 30 y que:
a. su producto sea máximo.
b. la suma de sus cuadrados sea mínima.
G
u"U" tus dimensiones de un rectángulo de períme-
tro 24y área m:íxima.
¡- 8 m---.r
¿30losantillana

232. Determina dos números enteros positivos que
sumados den 84 y el producto de uno por eI cua-
drado del otro sea m¿íximo.
,¿
{§!
Una empresa de envíos creó una
promoción que consiste en hacer
un descuento para las cajas de forma
rectangular con base cuadrada en
las que se cumple que al sumar
sus tres dimensiones, esta suma es
máximo de 210 cm.'
Encuentra las dimensiones de la caja para aprove-
char la promoción, de tal manera que el volumen
sea el máximo posible.
Al lado de una quebrada se va a encerrar con una
malla un terreno rectangular de área 200 m2. Si el
lado que da contra la quebrada no necesita malla,
encuentra las dimensiones del terreno que mini-
mizanla cantidad de malla necesaria (la altura de
la malla es de I m).
Se va a construir un
estanque en forma de
cilindro de tal forma
que sus bases sean en
cobre y la cara lateral
sea en aluminio, la
capacidad del tanque
debe ser de 8 m3.
Si el metro cuadrado de cobre vale $20.000 y el
metro cuadrado de aluminio es de $15.000, ¿cuá-
les deben ser las dimensiones del estanque para
que el costo sea mínimo?
La función f(t)
:
t.OOOt5t2e
t, t > 0, expresa el
número de personas afectadas por una enferme-
dad, durante una epidemia (f en semanas). Halla
el valor de f en el que el número de personas en-
fermas es máximo y luego halla dicho valor.
a
v
le
l?
rya
Lya
ic, Santillana j l3l
@
O.,".-ina las dimensiones de un rectángulo de
área24 cmz para que su perímetro sea mínimo.
Se construye una ventana
como la de la figura, si el
triángulo que se forma es
equilátero y para el marco
se utilizan 9 m de material,
¿cuáles
deben ser las dimen-
siones de la ventana para que
el área sea máxima?
En una granja se quiere construir un corral rectan-
gular y dividirlo con una malla paralela a una de
los lados. Si se tiene 1,5 metros de malla, encuen-
tra las dimensiones del corral de área máxima que
se puede construir.
Halla dos números enteros posltlvos cu,yo pro-
ducto sea 80 de tal forma que su suma sea la más
pequeña posible.
Estándar: pensamiento numérico y pensam

233. ,=(0,
Movimiento rect¡líneo
Se denomina movimiento rectilíneo al mor.imiento que realiza una partícula sobre
una línea recta. Si/es la función qlre representa el desplazaniento de una partícula
desde el origen a 1os / segundos; entonces, la primera derivada de/representa la velo-
cidad instantánea de la partícula en f segundos, y la segunda derivada de/representa
la aceleración instantánea de la partícula en f segundos. Es decir, v :
f'(t)¡, a: f'(t),
donde v es Ia velocidad y a es la aceleración.
Cuando la aceleración
1,
la velocidad tienen el mismo signo, la rapidez de un móvil
aumenta. En cambio, si Ia velocidad y 1a aceleración tienen signos diferentes, Ia rapi-
dez de1 móvil disminuye.
H
§*rnp[os
La posición de un punto P sobre una línea recta está dada mediante la función de
posición/(ú) : 2F -
3P + l, donde/(r) se mide en metros y f en segundos.
a. Encontrar la expresión dada de la velocidad en el instante f.
f(t):2t3-3t2+r
v:f'(t):6t2-6t
b. Hallar la velocidad en f :
3.
v(3) - 6(l¡z -
6(3) :
36 m/s
Se ha¡a etvator de f
'
en 3
c. Determinar cuándo el punto está en reposo.
6t2 - 6t: o
t:0),t:l
Luego, el punto P está en reposo en los 0 segundos v el primer segundo después de
iniciar el movimiento.
d. Hallar la aceleración en f :
f"(6):t2(6)-6:66m/s2
e. Establecer cuándo aumenta la rapidez del punto y cuándo disminuye.
Se debe hallar los inten,alos de tiernpo en los cuales 1a velocidad
1.
la aceleración son
mayores que cero y en 1os que la r.elocidad
).
Ia aceleración son menores que cero.
Luego, se tiene que:
6i2 -
6t ) 0 en (--, 0)
,v
(t, +-¡
t2t - 6) o en (+, .-)
6t2-6t<0en(0, 1)
t2t - 6( 0 en (--,+)
Por tanto, 1a rapidez delrlLrntl aumenta cuando
cuando I C (-'r,Ol U I
f,,
1
tr J
lj"(t,-x)ydisminuye
2)
¿3¿
loSantillana
Función dada.
Se deriva la función para hallar la velocidad.

234. Estándar: pen sa m ie nto n u méil co y pen sa m i ento va ri act o n al
Funciones económ¡ccs
Para conocer las aplicaciones de la derivada en economía, es necesario conocer los
siguientes conceptos teniendo en cuenta que x es la cantidad de unidades vendidas y
p es el precio de venta de cada unidad.
Costo total C(x): costo total de producir x unidades.
Ingreso total I(x): el producto de la cantidad de unidades vendidas por el precio de
cada unidad.
Costo promedio por unidad C(x) , el cociente entre el costo total de producción de
todas las unidades entre el total de unidades producidas.
Utilidad total U(r): diferencia entre el ingreso total y el costo total de producción.
Punto de equilibrio: punto donde el ingreso total es igual al costo total.
Ingreso marginal I-: es el ingreso adicional por vender una unidad adicional. Se
encuentra derivando el ingreso total con respecto a la cantidad de unidades pro-
ducidas.
Costo marginal C*: es el costo adicional por producir una unidad adicional. Se
encuentra derivando el costo total con respecto a Ia cantidad de unidades pro-
ducidas.
Utilidad marginal U*'. es Ia utilidad adicional por vender una unidad adicional. Se
encuentra derivando Ia utilidad total con respecto al total de unidades producidas.
Segundo, se plantea Ia función que corresponde al
ingreso total.
I(x) : x' p
Luego, se plantea
términos de x así:
r(x):(-' *.
100
l'(x\:-
1
r+
50
-
1rt3.500:
50
x: 175.000
Se encuentran los puntos críticos.
5e halla la segunda derivada.I"(x): -
1"(rzs.ooo¡:
Se aplica el criterio de
la sequnda derivada.
Como I(175.000) (
0 se tiene que en r :
175.000
hay un máximo.
Por tanto, cu.ando el número de pasajeros
es 175.000 se produce un ingreso máximo de
S306.250.000 pesos diarios.
Ia función del ingreso total en
e remplaza p
\,.
_r
.1..500x I
., lafuneión riel
)
ingreso toLal y >e
implifica
3.500
0
Se halla la primera
derivada
5e iguala a cero.
1
50
_1
50
x Ejempl,os
En un estudio de la secretaría de transporte
de una ciudad se estableció que el precio p, en
pesos, del pasaje en un sistema de transporte
masivo está dado por p :
-]^ * + 3.500,
' 100
donde x es la cantidad de personas que utilizan
el sistema diariamente. Determinar el número
de pasajeros que produce un ingreso máximo.
Primero, se simbolizan las variables que intervie-
nen en el problema.
x: número de pasajeros por día.
p: precio del pasaje.
osantillana
lZ33

235. x Ejemptos
@
Un" empresa determina que la producción de
r unidades de un artículo genera un ingreso
total de I(x) :
-x2 + 2OOx y un costo total
C(x) :
x2 + z}x * 50 en miles de pesos.
a. Encontrar la utilidad máxima.
La utilidad se define como la diferencia entre el
ingreso total y el costo total, luego se tiene que:
U(x) : I(x) - C(x)
Seencuenrra lafunción
de utilidad.
:
-2x2 * 180x -
50
U'(x):-4xf180
-4x
-t 180 :
0
x: 45
U'(x¡: -4
U'(45¡: -4
aceleración a partir del espacio
tiempo.
,
5e deriva U(x).
5e iguala a cero
5e hallan los puntos críticos.
5e deriva U'(x)
5e calcula U"(45)
Como U'(45) ( 0 se tiene que en x:45, hay un
máximo.
Recupero info:1
Por tanto,la máxima utilidad es de 4.000 pesos al
vender 45 artículos.
b. Encontrar el costo medio mínimo.
Como el costo promedio corresponde al cociente
entre el costo total y el número total de unidades,
se tiene que:
c(x):
x2 + 20x + 50 Se encuentra el
C'(x) : 1 -
costo medio.
5e halla la derivada de C'(x) .
Se iguala a cero C'(x)
.
Se encuentran los puntos críticos.
Se aplica el criterio de
la segunda derivada.
x
50
x2
t -
50 :o
x2
y:J5g:7
c"(7) > 0
Luego, el costo medio mínimo es aproximada-
mente de 34.140 pesos.
presiones con respecto a una partícula en mo-
vimiento sobre una línea recta donde el espacio
recorrido está determinado porfl t).
a. f
(2) :
-2
mlsy f'(2)
: 2 mls2
b.
,f
(s) :
3 m/s yf'(s) :
-4mls2
c. f
(3) :
7 mlsyf'(3) :
-2mls2
d. f @:6m/syf'(6): -5mls2
En cada caso se representa la gráfica del movi-
miento de un móvil sobre una recta. Dibuja la
función que representa la velocidad y la función
que representa la aceleración.
b.
@
Oescribe cómo se determina la velocidad y la Determina el significado de las siguientes ex-
como función del
i @
Hrffu la ecuación de la velocidad y de la acelera-
ción en cada caso:
a. f(t) -- 2É + t
b.f(t):4P-t+6
c. f(t):
5 sen f
§p
Er,.rr"rtra la velocidad y la aceleración de un
punto
P
que se mueve en línea recta, en los instan-
tesú:0;/:1yt:3:
a. f(t):3t2-5t+4
b. f(t)
: 3 cos 2t
c. f(t): 6ln (3, + 1)
d. f (t):
I
' t-2
e. f(t):Lt'-aP++
32
d-
f (t): J, -
3t
e. f(t):
3 In (t + 2)
f. f(t)
:
5t3 -
2P
¿34lo santittana

236. !
Soluciono problemos
Una bola se mueve describiendo una curva que se
expresa mediante la siguiente función.
sg¡: 3 e-"
't
a. Determina Ia velocidad de la bola al cabo de 3
segundos.
b. Encuentra la aceleración de la bola al cabo de 3
segundos.
La posición x respecto a f que describe un objeto
está dado por:
x(t):t '^^'lt\a oarr\T)
a. Halla la velocidad y la aceleración cuando han
transcurrido 5 segundos.
b. Determina la velocidad máxima que alcanza el
punto.
En una fábrica de llantas se tiene que el costo
por la cantidad de llantas
vendidas están dados por
la función.
c(x): 4x2 -
400x + l0
La función que indica los
ingresos por cantidad de
llantas vendidas está dada por
1(x) :
-2x2 - 400x 2
De acuerdo con esta información responde:
¿Cuál
es la cantidad de llantas que se pueden
fabricar para que los costos sean mínimos?
¿Cuántas
llantas se deben vender para que los
ingresos sean máximos?
¿Cuál
es la cantidad de llantas que se debe
vender para estar en el punto de equilibrio?
Calcula a partir de la función que permite
calcular las utilidades en cierta cantidad de
llantas.
¿Cuál
es el costo promedio de ventas y el nú-
mero de llantas para el cual se tiene el costo
medio mínimo?
¿Cuáles
el ingreso marginalyel costo marginal
para una producción de 1.001 llantas?
c
c
por árbol, por cada
el huerto.
d.
La ecuación de costos de cierto artículo de belleza
es c(x) :5x3
- 2i I 3x.
Halla el costo de producir 501 artículos.
Encuentra el costo marginal para23l artículos.
Determina la función del costo promedio.
Halla la cantidad de artículos que se deben
vender para que el costo medio marginal sea
mínimo.
a.
b.
c.
d.
La demanda de un videojuego está dado por la
función:
q: -2P2 + 40P + t5
Donde 10 < p < 50 y q es la cantidad de ejempla-
res vendidos por semana, cuando el precio es p
miles de pesos.
a. Determina la elasticidad de demanda si esta se
define como:
r : -!L.!
dpq
Calcula la elasticidad de demanda para elvideo-
juego cuando tiene un precio de 20 mil pesos.
Encuentra el precio adecuado para obtener el
ingreso máximo.
El costo de producción de x unidades diarias de
un producto alimenticio., !*' + 35.r + 25 y el
4
precio de venta de uno de ellos es 50 -
Á millo-
4
nes de pesos.
Halla el número de unidades que deben venderse
diariamente para que sea máxima la utilidad.
Un agricultor especiali-
zado en cítricos estima
que si se plantan 60 na-
ranjos en un huerto, la
producción media por
árbol será de 400 naran-
jas y esta disminuirá en
un promedio de 5 naranjas
árbol, adicional plantado en
a.
c.
Determina la función de producción total de
naranjas.
Encuentra los árboles que se deben plantar en
el huerto para maximizar la producción total
de naranjas.
Calcula el valor de la producción miíxima.
e
.o 5eniil¡era
i
Z
-"
5
Estándar: pensamtento numérica y pensamtenta vcriccioncl
a.
b.

237. Reglo de fHópitol
La derivada de una función también se aplica en el cálculo de límites que presentan
indeterminaciones de la forma 9
"
3. Dicha aplicación se denomina regla de
Q:o
IJHópital.
Sify gson dosfuncionesderivables, g'(x) + OV
lg
f U):Ligg(x):0 o
Lím f (x):
l,g,
Otrl -
-fc,
entonces, ,tI 1*: ¡¡-
f'!x)
-" g(x) ." g'(x)
La regla de LHópital también se aplica en los límites laterales y en los límites en el
infinito. Para calcular límites aplicando la regla de LHOpital se realizan los siguientes
pasos.
. Primero, se verifica que
Lim f (x): Lím g(x):0 o queLtm f (x): Lím
E(x)
: -r-
.
Í)o r+d
. Segundo, se halla/'(r) y
S'@).
. Tercero, se calcula ri^
f',\ñ
.
, - n g,(x)
. Finalmente, si Lím
#
sigue siendo una indeterminación de la forma ! o
0
r
aa
, se aplica la regla de LHópital nuevamente hasta poder calcular el límite.
Por tanto, se cumple q""
lTl
2 sen (x) cos (x)
2x
x Ejemptos
Ha[ar
]q
=-Sea/x) :
sen2 x y g(x) :
x2, se realiza el siguiente procedimiento:
Lím sen2(x) : 0 v Lím x2 :0
r .0 ' x..-0
f'(*)
:2
sen x cos x
Se calculan f
'(x)y
g'(x).
o'(v\: )v
ó
\/t /
,,*
sen'(x) : Lím
r,0 X' r)0
Se aplica la regla de L|Hópital.
Se vuelve a aplicar la
regla de LIHópital.
Se calcula el límite.
¿36losantillana
-1

238. Calcular:
2xil
a. Lrm
-
.r +-. 3x 4
Lím 2x I l: :r y Lím 3x
_ 4:
z:,
Luego,
2x-ll 2
l-llTl-
:l.lln-
3x-,t 3
5e vertfican las condiciones de la regla de L'Hópitol.
2x+2
Llm
-
-r+r X)-l
3r2+2r-8
l.rm
-
r+ 2 X)-4
sen (.r:
)
I,IITI
-
r )n Ti x
x2+3x--5
llln
-
r) l X3 8
Transforma cada indeterminación a
,^
. Luego, calcula el límite aplicando la regla de
L'Hópital.
C.
(t r )
Límlr-+l h.
\-r)
\.y X- )
Lim(r,[-.,&-rl j
lur+-¡\'
l,lml-l
\2x-3l
Lím x
r+0
Lím (sen r t cos r)t""'
x
b. Lrm
-
x
-'
p'
Se aplica la regla
de L'Hópitol
Se calcula el límite
I
- t,lm
-
,!
:0
Por Io tanto,l.lm
-
5e oplico elteorema de L'Hópltal.
-0.2
3
Recupero info:1 Ejercito: 2-3-4-6
a
d
x-l
l.rm
-
t:t )¡1-)
xr+4
t,lrTl
-
x)) X-2
^- | --)
x-T1
l.rm
-
ri0 2X
x-4
1,1fl]
-
r+]
X
e.
h.
Lím (e.' * 2x):
J:O
Lím (e'- 1)'
\+0
d
e
h
I
o
b
Halla el valor de a para que:
d. 1-cosx -
Llm-:l
¡+o ax2
Determina el valor de cada límite.
a. Lím
a
b
Enuncia la regla de LHópital y explica el proceso
para calcular un límite con estas características.
Verilica si se cumplen las condiciones de la regla
de LHdpital. Luego, calcula el límite.
b.
x2-9
l,lm
-
-r)i X-3
x2-4
llm
-
:;: ¡3-$
C.
e.
f. Lím
Está ndar: pe nsa m ! e nio n ti mé tco y pensc m tentc va ria cianal
osantiliana
lZ3/
x)0
b

239. Volores móximos y mínimos
de uno función
Observa la siguiente gráfr,ca que muestra el movi-
miento de una partícula.
a. Determina los valores máximos y mínimos
relativos.
b. Halla los valores máximos y mínimos absolu-
tos.
La siguiente gráfica muestra los ingresos y los gas-
tos de una empresa durante los primeros 24 meses.
Determina cuándo obtuvieron los gastos máxi-
mos y los gastos mínimos.
Determina cuándo obtuvieron los ingresos
máximos y los ingresos mínimos.
a
b.
Uso de Io pr¡mero derivodo
Utiliza el teorema de Rolle para hallar los puntos
de cada función en los cuales f'(x)
:
O.
a.f(x):x2-9enl-2,21
f- ¡r nl
b. f(x):
cos x.,
L-;, ;]
Halla un valor c que cumpla el teorema del valor
medio en el interyalo indicado.
f(x)
:
x3 en [1, 3]
f
(x): J7 en ¡t,
o1
f(*):*-9en[0,7]
a,
b.
c.
@
o"-,r.stra que para f
(x) :
+#
no existe un
valor c que satisfaga el teorema del valor medio, en
el intervalo [- 1, 0].
a
b.
a.
b.
c.
^.
f(*)
b' f(*)
six(0
-2 six)0
six(0
six(0
Uso de lo segundo derivodo
@
O"t.r-ina, si existen, los puntos de inflexión y los
intervalos de concavidad de cada función.
f(x):#-9x3
f(*):
x3 + 6x2 -
36x * 29
f(x):3x4-4x3-36x2+lo
f(x):4x3+15x2-18xt1o
f(x)
: x3 -
r2x2 -l 42x -
4o
a.
b.
C.
d.
e.
@
Realiza lo que se indica para la siguiente función:
f(x):
axz + bx + c
Utiliza el criterio de la primera derivada
para demostrar que flx) tiene un máximo en
b
- :
-;,
siempre y cuando a 10.
n"l" rl--L).
' 2a)
@
f".la siguiente información y luego, responde.
Se considera que el gasto de electricidad E(r) de
una empresa, entre la 8 y Ias 17 horas, se puede
modelar con Ia función:
E(t¡ :0,01f3
-
0,36P + 4,05t -
10, donde f per-
tenece al intervalo (8, 17).
¿Cuál
es el consumo a Ias 10 horas?
¿Cuál
es el consumo a las 16 horas?
¿En qué momento del día el consumo es
máximo?
d.
¿En
qué momento del día el consumo es mí-
nimo?
Se calcula que el consumo de gasolina de un motor
está dado por Ia funciónfx) :
2x2 -
l2x * 23,
cuando trabaja entre las 2.000 y 5.000 revoluciones
por minuto, f
indica los litros consumidos en una
hora y x viene expresada en miles de revoluciones
por minuto. Determina las revoluciones que debe
llevar el motor para que el consumo sea:
a. El mínimo. b. El máximo.
@
t uru \a gráficade las funciones, Iuego, determina
los intervalos en que la función es creciente y de-
creciente.
¿38 I
@santillana
I

240. Representoción g rófico
de funciones
@
Crufi.u las siguientes funciones racionales. Para
ello, determina todos sus elementos.
a. f(x\:5x-lL
x-2
b. f(x):
x2-2x+L
x-3
@
Reluciona la función con su gráfica correspon-
diente.
a' f(*):
b. f(x):
c' f(x):
d. f(x):
x
x2-3x-4
x2+2x+3
x2*2x-fl
x -15
x2-3x-4
x2 I 4x -12
x2
Diferencioles
@
Err.rr".rtra dy encada función.
a. f(x)
:2'
b. flr)
:
arcsen r
@
UuUu la diferencial dy paracad.a expresión en el
punto dado.
^ +.+:len
tya^x:2.
b. y :sen (x * n) en x :
Oy O. :
i
,. f(x)
:
sec r
d.
flx)
:
¿'
La relación entre los sistemas de medición, cen-
tígrados y Fahrenheit, está dada por la formula
'r' :
f I I 'c + 32. Si el margen de error al me-
\e/
dir los grados centígrados es de 1o,
¿cuál
es el mar-
gen de error al convertir la medida a Fahrenheit?
Problemos de rozón de combio
De una lámina
T
8cm
I
rectangular de 20
cm por 8 cm se
ya a construir una
caja rectangular, 20 cm ----------------t
sin tapa, recortando cuadrados iguales de sus es-
quinas. Encuentra las dimensiones de la caja paru
que su volumen sea máximo.
Si se lanza una piedra a un estanque se genera una
onda que cre ce arazón de 4 m/s.
¿Cuál
es la razón de
cambio del área de la onda cuando el tiempo es 5 s?
Problemos de optimizoción
para que su área sea máxima.
Movimiento rectilíneo
Un móvil se desplaza en línea recta, la función de
desplazamiento del móvil es:flr) :
SP + 3f -
8.
a. Halla la velocidad en el instante f :
0 y en el
instante f :
1.
b. Halla la aceleración en el instante f :
1.
Reglo de L'Hópilol
Utiliza la regla de L'Hópital para comprobar que:
senz r 1
Ll[l
-
eS lgUal a
-x+o
"2x¿-1
" 2
Lím
f
2
ln sen x
^
es rgual a cero.
Tt-¿x
@santillana
l¿39
)S
b

241. Teorema de Rolle
Si f es una función continua en el ntervalo
la, b) y derivab e en el intervalo (a, b), con
f(a): ¡16¡ entonces, existe por lo menos un
c e (a, b)tal que f
'(c) :
0.
Teorema delvalor medio
Si f es una función continúa en el intervalo
la, b) y derivable en e intervalo (4, b), en
tonces, existe un número c e (a b)talque
Si f es una función definida en un interva o /, se
dice que:
. f es creciente en /, si f
'(x) > 0 para todo x € /.
. f es decreclente en l, st f
'(x) ( 0 para todo x e /.
. f es constante en l, si f
'(x) :
0 para todo x e /.
Punto crítico
Se dice (c,f(c)) es un punto crítico de f si f'(c) :
0 o
f'(c) no existe.
Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítlco de una función f continua en
un intervalo (4, b) que contiene a c, entonces:
. Sif'(x))Opara alxlcyf'(x) (0para c1x1b,
es decir, si f es creciente en a < x < cy f es decre-
ciente en c < x < b, entonces, f tlene un máximo
relativo en c.
.
Si f'(x) (
O para a < x< cy f'(x)) 0en c1x 1b,es
decir, sifes decreciente en a <x< cy f es creciente
en c < x 1b entonces, f tiene un mínimo relativo
en c.
Concavidad
Sl f es una funclón derivable en un intervalo
(a, b) que contiene a c, entonces:
. 5t f"(c) ) 0, entonces, la gráfica de f(x) es cÓn
cava hacra arriba en x :
c.
. Si f"(c) < 0, entonces, la gráfica de f(x) es cón-
cava hacia abajo en x: c.
Puntos de inflexión
Los puntos de inflexión son aquellos en los cua
les la gráfica cambia de concavrdad.
Un punto en P(c, f(c)) sobre la gráfica de f(x) es
un punto de inflexión si se cumple alguna de las
siguientes afi rmaciones.
. f"(x)> 0si a 1 x I cy f'(c) ( 0 si c 1 x 1 b.
- f"(x) <0sic 1x1cyf"(c) )0sic>x>b.
Para todo c que pertenece a un intervalo ablerto
(a, b) y a tangente en dichos puntos atraviesa la
CU TVA.
Criterio de la segunda derivada
Sea f una funciÓn derivable y conttnua en un
intervalo ablerto (4, b) que contiene a c y c es un
punto crítico de I es decir, f'(c) :
0. Entonces:
.
Si f
"(c) > 0, entonces, f tiene un mínimo rela
tlvo en c.
. Si f
"(c) (
0, entonces, f tiene un máximo rela-
trvo en c.
- Si f "(c):
0, entonces, el criterio no decide.
f 4Ü i:,,,:;errrii.rn;
EH
=ÍnrE=IE..l

242. ta den§q/mda en
e§ rer'¡dE r-r¡ienfc m:cxEmc
de cultiv* de peee§
El crecimiento de toda población pesquera debe estar
regulado en todo momento, para mantener un balance
entre las causas de incremento (crecimiento del peso de
cada individuo e introducción de nueos individuos)
y las causas de decremento (mortalidad natural v rror-
talidad por pesca.
Cuando la población está en equilibrio, 1os incremen-
tos se igualan a los decrementos producidos por la
mortalidad, lo cual hace que la tasa neta de incremento
(o de decremento) de Ia población sea igual a cero.
En ambientes naturales, 1as causas de incremento solo
tienen que compensar las pérdidas producidas por la
mortalidad natural, pero cuando se inicia un cultir.o de
peces, la explotación tiende a aumentar la r.elocidad de
crecimiento de la población; de no ser así, 1a población
se reduciría drásticamente. Por tanto, en el creciniento
de esta población se deben tener en cuenta múltiples
factores como el ingreso de nuevos individuos, Ia mor'-
talidad, el ambiente que los rodea y otros más.
Para describir el crecimiento de una población como la
piscícola en térninos matemáticos, se aplica Ia idea de
Graham, el cual propuso un modelo natemático, que
describe el crecimiento de la población relacionando
la variación instantánea de incremento neto de la po-
blación con el tamaño o la densidad de Ia población.
La expresión que determina este tipo de crecirlientos
CS:
P(t) -
l+ e'(t
h)
donde:
P(f): es el tamaño o densidad de la población.
P.: es la población máxima que el ambiente puede so-
portar, representa 1a capacidad de carga de1 rredio, que
se supone constante.
r: es una constante que representa la tasa neta de incre-
mento específico de la población cuando la densidtrd
de la población y el efecto limitante del ambiente se
aproxlma a cero.
f: es el tiempo.
Tr: tiempo en el cual la población alcanza 1a n-ritad de
sn crecimiento.
En una granja experimental se 1-ra at-ralizado el creci-
miento de la población de peces cultir-ados durante dos
años, el estudio arrojó ia siguiente función:
P(t):
l+e0,e(10-f)
Donde / está expresado er-r años r,'la población en miles
de peces.
P)
200
Describe el equilibrio en una población de peces. Reali.za la gráfica de la función:
Consulta sobre la piscicultura en Colombia. P(r):
1 + e0,e(10
t)
200
Determina los elementos que involucran la fun-
Encuentra el punto de inflexión y escribe su signi-
ción realizada por el grupo de inr..estigación.
hcado.
Luego, calcula el límite cuando , crece inclefinida-
mente.
I
osantillana
I
f4l
Y esto que oprendi,
¿PARAQ ÉVTSIRVE?
Pora conocer el crecimiento a" otgu*5
especies.

243. COMPETENCIAS
LABORALES
Antiguamente la contadurÍa era
la ofcina que hacia l¿s veces de
regifro de la propiedad.
Como definición se puede de-
cir que contadurí¿ es la unión
de las palabras contabilidad y
auditaria.
Contodurio públ¡co
con visiÓn de futuro
¿Qué es Io contodurÍo público?
La Contaduría pública es una profesión de tipo científico, cuyos objetivos son obte-
ner, procesar y comprobar información de tipo financiero de las transacciones lleva-
'das
a cabo por entidades de tipo económico.
lo correro
en nuestro pois?
Contaduría pública es una profesión integral y moderna con gran proyección en el
mundo de los negocios. Esta carrera busca que los estudiantes comprendan y lleven
a cabo la obtención y comprobación de la información por medio de un proceso de-
nominado el proceso contable. El proceso contable consiste en varios pasos que son:
Fase uno: sistematización, establecimiento del sistema de información financiera
en una entidad de tipo económico.
Fase dos: valuación, cuantificación en unidades monetarias, recursos y obligaciones
en una entidad financiera pararealizar sus transacciones financieras.
Fase tres: procesamiento, elaboración de los estados financieros resultantes de las
transacciones.
Fase cuatro: evaluación, calificación del efecto de las transacciones financieras.
Fase cinco: información, comunicación de la información financiera obtenida,
La carrera de contaduría pública se estructura de manera sólida mediante procesos
de actualización y renovación permanente con él fin de dar respuesta al mundo cien-
tífico y profesional que cambia constantemente.
los estudiontes
¿Yquép e
de conto o
¿Qué copocidodes debe tener
un ospironte o lo correro de
Un estudiante que aspire a Ia carrera de contaduría pública debe contar con:
. l]n buen desempeño académico en sus estudios de secundaria y media.
. l]n interés por Ia carrera y específicamente por el trabajo en contabilidad.
. Gusto por la lectura de temas económicos.
. Manejo de tecnologías de información y comunicación.
. Facilidad para las matemáticas, especialmente para realizar cálculos matemáti-
cos.
Además, debe ser una persona analítica y propositiva, con capacidad para resolver
problemas.
contodurío?
¿4?
lQ
Santillana
ALGO DE HISTORIÁ

244. ¿Cómo es el plon
de estudios de contodurío?
El plan de estudios de contaduría pública tiene tres ejes principales de trabajo que son:
. Disciplinas de formación fundamental.
. Disciplinas con énfasis en contaduría.
. Disciplinas de opción complementaria.
Con el desarrollo de estas disciplinas en la carrera, se busca que los estudrantes adquie-
ran los conceptos y habilidades propias de la profesión, ya que en su trabalo deberá tener
bases suficientes para el análisis de hechos contables que pueden tener connotación de
tipo juridico, económico, administrativo y social, aparte de lo propio del área contable.
Estas disciplinas están agrupadas asi:
Ciencias básicas: matemáticas, estadística, admrnistración, economía y derecho.
Ciencias aplicadas: contabilidad financiera, frnanzas, auditoría, contabilldad tributala y
tecnología.
El propósito de estas disciplinas es que el
estud ante consolide los conocimientos
adquiridos con las discip inas fundamen-
tales. Estas asignaturas son:
contabilidad financiera, Auditoria inter-
naciona, contabilidad gerencial, finan-
zas y negocios internacionales, gestlón
tributa ria
Un contador público es una persona que:
. Trabaja fácilmente en equipo.
. Tiene independencia mental.
.
Es hábil en el manejo administratrvo y financiero.
. Analiza y maneja de manera correcta y eficiente la informacrón.
.
Sabe adminrstrar la informacrón.
. Tiene facilidades para la toma de decisrones en el campo económico
.
Es eficaz en el uso de las tecnologias de información.
I

245. lntegroción
Temcs de lo unidod
Antiderivada e integral indefinida
Métodos de integración
Área e integraldefinida
Relación entre derivación e integración
Cálculo de áreas
t^Í-u-.Er
-

246. Un arquitecto quiere diseñar un jardín en un te-
rreno cuadrado 70 m de lado. En é1 pondrá una
zona de arena con forma de triángulo equilátero,
y alrededor estará la zona de césped.
Si desea que las dos zonas tengan la misma su-
perhcie,
¿qué
altura debe tener el triángulo?
En el siguiente arreglo de fichas de dominó, se
cumple que la expresión de la derecha es deri-
vada de la expresión de la izquierda y la expre-
sión de abajo es la derir.ada de la expresión de
arriba.
Encuentra las expresiones de cada casilla, si en
la casilla 5, aparece la constante 2.
Los pilmres de Ic TEerrm
Raschid e[a uno de sus mecenas. [. . ] A pesar de ser L,n
comerciante, tenia un poderoso intelecto y una cur osi-
dad abierta a todos los campos. [ .] Había s mpat zado
de inmediato con Jack, que cenaba en su casa vari¿s
veces por semana
¿Qué nos han enseñado esta semana os fi ósofos?,
-
e preguntÓ Raschid tan pronto como empezaron a
cotner.
lle estado leyendo a Euc ides Los Elementos de lo
Geometría era uno de los pr meros libros traducidos
Euclides es un extraño nombre para un árabe
apuntó lsmai , hermano de Raschid.
Era griego
-
e explicó lack-. Vivió antes del nac
miento de Cristo. Los romanos perd eron sus escrltos,
pero los egipcios os conservaron, de manera que han
llegado hasta nosotros en árabe,
-¡Y
ahora os ngieses están traduciéndolos al atinl
exclamó Raschid-. Resulta divertido
Pero,
¿qué
has aprendido? e pregurtó e prome-
tido de una de as hrjas de Raschid
Jackvaci ó por un instante. Resu taba dificLlde exp icar
Intentó exponerlo de manera práctica.
Mi padrastro, el maestro const[uctor, me enseñó d
versas operaciones geométricas; por ejemp o, a dibular
un cuadrado dentro de otro, de manera que e más
pequeño sea la mitad de área grande
-¿Cuá
es el obletivo de esas habilidades?
Esas operaciones son esenciales para proyectar
construcciones Echad un vistazo a este patio El área
de as arcadas cubiertas que o rodean es exactamente
iguala área abierta en elcentro [a mayor partede los
patios pequeños están construidos de igual manera,
inc uidos os claustros de os monasterios. Ello se debe
a que esas proporciones son las más p acenteras. Si e
centro fuera mayor, pareceria una p aza de mercado, y
sifuese más pequeño, daría a impresión de un agulero
en e tejado. [...]
¡Nunca
pensé en e ol exclamó Raschid, a quien
nada le gustaba más que aprender algo nuevo.
Ken Fo ett
Tomado de i\4atenátt.a l, 1 Bachillerato
España, Editorla 5antll ana, 200t
¿Cuálesson
asoperaciones geométr casqueseenu¡clan en e texto?
¿[uál
es l¿ re ¿clón entre l¿s integra es y e área de una frgura?
lndaga a respectc,
I
o Santillana
l?45

247. +-
?46
lo
santillana
It Ejemptos
Q
Encontrar la derivada de la función F(x). Luego,
indicar la anterivada general def(x).
F(x): ¡
F'(x) :
2Ysx2
Sifix) : 2x3, entonces F(x) es la antiderivada
def(x).
Por lo tanto,la antiderivada general def(x) : 2xd'
esF(x)tC: e*'+C.
il
Co-probar que la función F(r) es una primitiva
def(x).
F(x) :
2x2 -
3x + 2.lE yf(x) :
4x -
3 .
if
F'(x):4x-3-r
1
t-
ComoF'(x) :4x-3+
-+ yf{x):4x-3+ --1-
vr JT'
entonces F'(x) y f(x)
son iguales.
Por tanto, /x)
es una primitiva de f(x) y además
cualquier otra primitiva de f(x)
tiene la forma
F(x) + C: 2x2 -
3x -r 2Jl + C.
Antiderivodos
e integrol indefinido
En esta unidad se estudia la operación inversa a la derivación, llamada antideriva-
ción. Es decir, el proceso para determinar la función original, dada su derivada.
Una función F(x) se denomina antiderivada o función primitiva
de f(x), si cump e que E'(x) :
f(x) para todo x c Dom'l
Por ejemplo, si F(x) : x3 + 4f + 2, entonces F'(x) : 6x2 + 8x.
Luego, al defrnir f(x)
: 6x2 * 8x, se tiene queflx) es la derivada de F(x). Por tanto,
F(x) es la antiderivada de f(x).
Del mismo modo si G(x) :
x3 + 4x2 + 7, entonces G(x) también es una antiderivada
def(x) porque G'(x) : 6x2 * 8x.
En realidad, es posible encontrar varias funciones que son primitivas de la función
f(x),
de tal forma que al derivarlas se obtienefx).
Así, si F(x) es una antiderivada o primitiva def(x), entonces la forma general de todas
las antiderivadas deflx) es F(x) * C, donde C es una constante.
F(r) + C se le llama la antiderivada general de f(x).
Determinar tres antiderivadas de la función
f(x)
: 2x,Luego,realizar la representación grá-
fica.
Las antiderivadas deflx) : 2x sonl-
F(x): *z
G(x):x2+l
H(x):x2-2
-+ f'(x)
: zx
-) G'(x):2*
--) H'(x):2*
La representación gráfrca de las antiderivadas es:
PENSAMIENTO NUMÉRICO
Y PENSAM IENTO VARIACIONAL

248. Estándar: pensamien
lntegrol ¡ndefinido
La antiderivación es el proceso mediante el cual es posible obtener el conjunto de
todas las antiderivadas de una función dada.
Al conjunto de todas las antiderivadas de una funciónfx) se le denomina integral
indefinida def(x),y se simboliza como:
J f Ola*
.
Si F(x) es una antiderivada def(x), entonces,la expresión F(;r) + C, determina todas
las antiderivadas de/(x) y se escribe:
I ¡t*,a*: F(x)- c
. EI símbolo J se llama "símbolo de la integral'i
I
.
J f
(*)cix: F(x) -l C selee"laintegralde/(x)respectoaxesF(x)másC".
"
La función/(x) es el.integrando de la integral, y C es Ia constante de integración.
. EI factor dx índica que la variable de integración es x.
Propiedodes de lo integrol indefinido
Si/(x) yg(x) son dos funciones que tienen integral indefinida y k es una constante,
entonces:
!l¡r-)
+g(x)ldx:
Ifr¡o*t Jg1*¡a*
tl
)kl{x)dx:k)ftxtax
;-a j
,..[
]12
que f'(x) : q'@ entonres
existe un¿ ronfante k ta que
ft .. ^t . I
t\Y)
-
(l\x) -t
f,
ias
1()n
a-
Resolver las siguientes integrales.
I
a.
)
(3x')-t 2x)dx
J {r,, * 2x)dx :
!
zr,A* +
!
zx ax
tz":,::::::iedad de ta inteqrat
:
x3 + x2 + C Se holla la primitiva para cada función.
Se verifica derivando H(x) :
x3 + x2 -1- C, Iuego, H'(x) :
3x2 + 2x.
a.
lse.a*
lsr'd*:5le.d*
:5{*C
Se verifica derivando G(x) : 5ú + C,luego, G'(x) :
5¿*.
Determinar cada integral si
J f @)dx: F(¡) -t Cr ! J
g@)itx: G(x) -t
Cz.
a. Ilr¡tc - g@))dx
Ir'¡to - gG)tdx
)f ,',..:,';.u,rrt,',',0)"
:2(F(x) + C')- (G(x) + C:)
: 2F(x) + 2q - G(x) t Cz:
i es:
Se apllca propiedad de la integral de
un múlt¡pla constonte par una función.
Se hallo la prrmitiva.
5e aplica propredad
de la integral de una
diferencia.
Se remplaza
Se realizan
las operaciones.
2F(x)-G(x)+C
oSantillana
l¿4V
Ca
on

249. Para calcular integrales, se tiene en cuenta la siguiente tabla'
lr'd*:#+cconn:
1
J
r¡¡ A1t g(x)ldr :
k
I lf O¡Ar t g(x)lrir ; k es una constante
lLdr: f
d':tnr +c
Jr
Ir
".Y
. I ,t., - I d, -Log.r.-C
1,,r, "'' J xln¿
J ,'Ar: e' -l C
l^,.,..- a' L.
Ju
u^-
1",
L
I
J
cot xd.v - sen x -r C
J
r",, ,dr: -cos x i C
Jsec'rJr-tanr
-C
Jc..'xdr: -coi x 'l
C
J
r.. , fan xdx: sec r * C
J.r.,
cot xtlx: -csc x -l C
I
t ¿,r: [ -J!_-.
- a'cserr r = c: sen .r' - c
'Jl-.r- " Vl -.t-
r . I ).
|
|
d* I_ar :arctalt.t .C:tan .r -lC
J l-.r
-'-- J I -.r.
I ,.-l . d*: |
-A* : arccot r * c: cot
Lx * c
,
It_f
.
l.'X-
'.tu[ I 'rJr--l
frl
I I )--
-
I, -d* :arccsc ¡
_] C:csc
L; tC
J
rv[: ,
"' J
.r..i.- - I
Matemático y cientÍfco suzo
Realizó trabalos rel¿clon¿dos con
e ¿ná isis de os inlrnlteslmales
Publicó sus escritos en e ,4r¡ri
Eruduaurn En este trabajo aparece
por primera vez el térm no inleqrnl
y se exp ica como e proceso inverso
¿ Ia derlv¿ción
Z4B
|
@ santillana
ciones algebraicas
d*:
J
-arccos.r -C:cos'xr
C

250. Está nda r: pe n sa m ie nto n u m ér i co y pen s a m iento va ri acio n a I
x Ejemptos
il_": Catcutar las siguientes integrales.
a.
Ie*'-
3x-t S)dx
Ie*'-
3x -t 5)dx
:
Iz*'a* - Izxdx+ Jsdx
: rl *'dx -
3J xdx + sl a*,
:'(+)-
\+)*
5x.t c
-2*.-1*r-l 5x-lC
32
Por tanto,
Je*'
3x -t S)dx
5e aplican las
propiedades
de la integral
Se usan
integrales
inmediatas.
Se simplifica.
frrt+5x-lC
2
Responder teniendo en cuenta que/(x) : x -l I
y g(x) :
2x3.
¿Es cierto q""
J ¡¡1r¡
. g(x)ldx es igual a
I f r*¡a*. Ig¡)dx?
I f¡ro. ge)ldx :
J o + lex3)dx
: zl{*'-r x3fix
:2lx'dx + 2lx'dx:
?c+ !x'+
c
J f ov*' J
gl)dx :
(+ i x-t c) (1,'+ c)
:
!*'+ !x'+
c
como If¡fC. s¡))dx
:
!*'* **^
+ c y
J f uta*. Jr,, )dr :
i*"
+
|x'+
c
son diferentes, entonces, el enunciado es falso.
')-
-t
-
J
. J(--
. t;*)
J(*t" .
+)*: I*to
dx + [!a.
:
+lsen
xdx +
!
Jz.a*
:f{-.o''l+}(t'
)+c
:-f.o'x+rfir+c
e
[+.ff7)*
l[ u * D,)a*
'LJt-x' Itx'l
:[pdx+Jr!;a.
: e [-! dx -t r2l
--t-a*-,
Jl_x,
r
l1_x,
:
6 arcsen x -l L2 arctan x -l C
f.
J
(tan'r + t)sen xdx
J{turr',
|_l)sen xdx :
Jsec'x
sen xdx
:
Jr..
x tan xdx
:secx-lC
* l2-a*
Jx'
5e aplican las
propiedades
de la integral.
1
5e expresa
-
como x
3
5e usa integrales
inmediatas
Se simplifica
-!:n+c
b J(+ *+)*
l(+.#)*:l!0.
:+lxodxtzlLra.
3J
J
X,
: t
Ixodxizlx-'dx
3J
J
:+(+)*z(4)*c
: x' _
x2+C
2t
x',ln
- T- ¡
-rv
Portanto, I(+
*
+)*
:
*
- i
* r.
dr:
16
,lii
ll
o 5antillana
l?49

251. Recupero informoción: 1
h(x) :
¡,
h(x) :2x3
-
38
h(x) : In
lcos rl
x-l
h(x):
_+l
h(x):r2x+r¡2
h(x): ¡unP
Explica con un ejemplo el hecho de que H(x) sea
la primitiva de la función h(x).
Encuentra la antiderivada de la función f(.x)
:
kx",
dondekeRyn€Z+
Verifica si h(x) es una antiderivada de f(x).
a' f(x)
:
o
b. f(x):6¡
c. f(x)
:
-tan
lr
2
o. Ix)
:
(r+lf
e. f(x) - 2e2x+r
f. f*)
: 2x sec2 x2
g. f(x)
: xJ2x* t
h. f(x)
:
4zx
5xr+ I
n\x) :
/.-r
-\lzl r t
h(x) : ln2' 42'
Compruebaqueg(x) : 3':l I
yh¡)-
x r I
xx
son primitivas de la función f(x): -4.g"J .
x'
caso afirmativo, encuentra otra primitiva.
Calcula las siguientes integrales.
a. IG*'+
4)dx
b. Io*'-
6x3 -t 4xfix
c ¡(+-#)*
d J('- !++)*
Ejercito: 3-5-6-7
@
Rel"ciona cada integral con su respectiva solución.
J {r.r, , I cos x)dx 5. tan x * C
J r"., tan dx 6.
I
arctan x 1- C
@
Realiza la gráfr,ca de dos funciones que tengan
como derivada la función /(x)
representada en
cada caso.
2.
a.
b.
c.
1. 4 arcsen x -l C
secx*C
senr-cosx*C
4.
#*t
a.
[{o,r*'*
r,3x2 -
o,2x)dx
J(+o - l*'-
zx)ax
t(-+o* i,'
- **)0.
ación suministrada Si
_4x
C,
c)
If¡o
+ g¡))dx:
J frco* +
J
g(x)dx
It¡o - g¡)ldx:
J ¡6¡a* - I
ge)dx
f.
n
J (+,' *
tr*'- i*)r.

252. Soluciones po rticulores
Las antiderivadas de una función forman una familia de funciones que se diferencian
una de otra solamente por una constante C. Si se sustituye C por un valor específi.co,
se obtiene una solución particular.
Cuando el planteamiento de un problema brinda información adicional, es posible
obtener una solución particular de la integral dada. A este tipo de información se Ie
llama condición inicial y se da cuando se conoce el valor de F(x) para un valor x
dado. Es decir: dada F'(x) :
f(x)
y la condición inicial F(a) :
b, es posible determinar
el valor C. Para ello se procede así:
. Primero, se integra la función dada, es decir, se ha[a
J f
(x)dx.
. Segundo, se realiza la sustitución de x en el resultado que se obtenga a"
J ¡t*lar.
y se resuelven las operagiones indicadas.
. Finalmente, se determina el valor de C, igualando la expresión anterior a b y luego
se despeja C. Por tanto, con el valor de C, la expresión F(x) + C es una solución
particular de la integra I
I
f
'Añ*.
¿"tii
.,!!
t
' "';
-3*C:0
t,-J
@
Uamr¡r) para las condiciones dadas a conti-
nuación.
F"(x) : 6x -t 6
F',(t) :
-21
F(0) :4.
En este caso, se aplica dos veces el mismo proce-
dimiento, esto es:
j {0r- 6)dx :
3x2 - 6x - C : F'(x)
Se encuentra la integral dada
3(1)2 + 6(1) + C: -2t
5e evalúa F'(x) para x :
I y se iguala a -
2l
C :
- 30
5e resuelve la ecuaciÓn
ComoC- -
30,entonces:
F'(x):3x2+6x-30
Después se halla la integral nuevamente.
J {-lx'- 6x - 3o)dx: xr -
3x2 -
3ox + K
Se integra la función obtenida.
(0)r -
3(o¡: - 30(0) - K: 4
5e evalúa el resultado en x :
0 y se iguala a 4.
K:4
5e resuelve la ecuación obtenida.
Por tanto, F(x) : x3 + 3x2 -
30x * 4.
5e plantea la integral
Se resuelve la tntegral.
Se evalúa el resultado
de la integral en x: 9.
SeigualaalSyse
resuelve la ecuactón
€)
uuttor [a solución particular de cada integral
según la condición dada.
a.
I G*' -
2x -r t)dx, siF(- l) :
o.
]Q*'-
2x -l t)dx: x3 -
x2 + x + c
Se calcula la integral.
: (-1)3 -
(-1)2 + (-1) t C: -3 + C
Se remplaza x por -
I y se stmplifica.
Se iguala a cero la expresión anterior.
an Aac nain /^
JL ULrHLlu L.
Luego, É - * -l x -l
3 es la solución particular de
I Q*' - 2x + t)dx, cuando F(- t; :
6.
t_
b.
) Jx dx,si F(9) :
18.
)Jx dx: )xlrix
3
1^.)
L^'
3
3
)/a) z
:''-,' +C:18+C
J
18+C:18,C:0
^
-
Por tanto,
¿xlx
es la solución particular de
J
) Jx dx,cuando F(9) :
13.
osantillana
lE5l

253. Soluciones partieulares
Si s(r) es la posición de un ob
jeto, v(¡) su velocidad y a(t)
su aceleración en función del
tlempo I, entonces:
s(¡):
Jr(fld¡
vft):
Io$)dt
La integración al igual que la derivación es un método útil para solucionar problemas
de física, relacionados con el movimiento.
Por ejemplo, la velocidad de un objeto que se mueve verticalmente está dado por
v(t) :
-32t + 96 con v dada en pies por segundo. Si su posición al cabo de tres se-
gundos es de 256 pies, es posible hallar la posición inicial del objeto así:
Primero se obtiene la función posición, a partir de la función velocidad.
s(Z) : 25U 5e expresa la condición inicial dada.
I
)
(-lZt + 96)dt :
-16t2 + 96t + C Seintegra lafunciónvelocidad.
-16(3)2 + 96(3) -t C: t14 + C Se evalúa el resultado en t :
3 y se simpltfica.
Se iguala la anteilor expresión con 256
Se resuelve la ecuación.
Luego,la función posición es s(r) :
-16t2 + 96t + ll2.
Para averiguar la posición inicial se evalúa la función posición en f :
0, es decir:
s(0; : 16(0)2 + 96(0) + Lr2
s(o) : 11,
Por tanto, el objeto es lanzado hacia arriba desde una altura de I 12 pies.
Soluciono problemos
144+C:256
C: ll2
F(t¡ :3
F(o) :
2.ooo
F(t) :
0,7
F(0) :
3
F(1) : ¿-t
Explica el proceso para obtener una solución par-
ticular.
Determina el valor de la constante de integración,
si F es una antiderivada de f.
a. [{z*-r)a*
u.
Jt+
+ s)dt
c. J{r**')a*
o
J (, t e'*
*)o-
e.
Je.
* *)a*
r. Ik-'+
*
Halla la función s(r) en cada caso. Si la función
aceleración a(t) es la derivada de la función ve-
locidad v(t) y la función v(r) es la derivada de la
función espacio s(r).
a. a(t) : 3t + 2,v(0) :
1 m/sys(O) : 2 m.
b. v(t) : 2t -
5f2, s(1) :
3 m.
c. v(t): -1t'-
2t'), s(2): 8 m.
/
Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio y altura
H : 70 cm se está llenando de acuerdo con la
ecuación
#
:7f
. Observa la figura.
¿5¿
|
osantillana
b. Halla el tiempo, cuando ha recorrido 152 km.
$
necurRDA euE...

254. Estándar; pensamienta numérico y pensamiento variaciona
Métodos de integrücién
Existen muchas integrales que no pueden ser resueltas empleando únicamente la
tabla de las integrales. Esto hace necesario el estudio de algunos métodos que per-
miten realizar el cálculo de dichas integrales.
lntegrceión pür susfitueE*rc
Este método tiene su fundamento en la regla de la cadena usada en las derir.adas,
por tanto, es utilizado para integrar funciones compuestas,
i,
consiste en realizar un
cambio de variable en el integrado para que 1a integral se transtbrrne en otra variable
más fácil de integrar, es decir, para aplicar las fórmula dadas en la tabla.
Así, a partir de la definici¿r, d. antiderivada se tiene:
Sean/yg dos funciones derir.ables tales que:/ :
/(S(r))
y F es una antiderivada de
-l
f
entonces:
)f(g(x))g'(x)dx:
F(g(x)) +C.
Si u : g(x), entonces, Ju - g lxldx l, I ftu)clu
: F(u) + C.
Para aplicar la integración por sustitución se siguen ios siguientes pasos:
. Primero, se elige u, por lo general es la función interna de la función compuesta.
. Segundo, se derirra ¿l con respecto a x y se escribe como diferencial.
. Tercero, se expresa el integrando cle la forma f tul ' *
.
^
. Cuarto, se calcula la integral resultante en términos de la variable u.
. Finalmente, se sustituye nuevamente u para obtener una expresión en términos de x.
Función conlpuest¿1
I
) f(g{x)g
(x)dx
Funciól-r interna Derivada de la hurción itrterna
Hallar la integral de cada función empleando el mé-
todo de sustitución.
f
a.
J
3x'z(x3 -l 5)rdx
Es necesario tomar la función interna y se deriva
ei
rn
f-
o,
e?
u F-5
du :
3x2 dx
tl
J
(r'
' 5)'](3xr ¿*¡ :
I
u'du
Iu.du: *
* ,
Comou-x3*5,entonces,
Jzr'q*'-t
5)2 clx:
(''
1
5)'
+ c
u. f , cos(i)dx
Seaa-x2
du - 2xdx
J,
.or(r' ),1.:
+ !
zx cos(x')ctx
:
+
Icos(f )2xclx
Como u: x2, entonces,
J,
cos(x'),1r:
+
sen(x2) + C.
Se elige u.
Se dertva
5e remplazan
uydu
5e calculo
la integral
5e multiplica
y se divtde
por 2
Se organizan
los factores.
5e remplazan
uydu
Se calcula
la integral.
'Of
[o,
del
:+tcosuclu
: j t." u-t C
osantillana
l¿53
.tii

255. tI
lnteEraeión por sustitución
Una de las sustituciones más usadas consiste en cambiar il por una expresión en el
integrando que esté elevado a una potencia. Es decir:
J [rr'l]' s'(x)dx: ry:*
c' si n * -1
r"
J ¡g1r¡1'
g'(x)dx si se toma u : g(x),entonces fl¡ : g'(x) dx.
Al remplazar en Ia integral se tiene que:
I lgo\' r'@)d*
:
I
un du : '' l,'. * ,
n-ll
Por tanto, sin * 1, se tiene que:
I [r«,1]'
g'(x)dx -
lg?ll-.'
* .
Si n :
- l, se tiene que
Portanto,
I
#*:
hlg(x)l + c.
x Ejemptos
Calcular las integrales por sustitución.
a. f '.
dr.
¿ ll2e*
u:ll2ex du:2e\dx
|
,^
d*:1f
2r'
d*:Ii2e'dx
J ll2e' 2J ll2e' 2r Il2e^
-
I f du :Ih(r)+C
- 2J u 2
Luego,
Í¡*o-: |tntr
-r 2e')* C
b.
!sen(2x)dx
.
I
sen(zx)dx:
J
z ,"r, (x) cos (x) dx
u:senx du:cosxdx
J
z s.r, x cos xdx: 2
f
sen x cos xdx
:2[udu:z{+c
:u2+C
Luego,
Jsen
(zx) dx: sen2(x) + C.
J tr«"ll
' s'(*y* : IW.:
hlg(x)l + c
I
c.
J(3x'-2x)(6x+2)dx
u :
3x2 -t 2x
Se escoge u.
du : 6x -f 2 Se de¡va.
I
J {:x',+ zx)(6x + 2)dx
I
:
)udu
seremplazanuydu.
u2t-:=, * C SecalculalaintegroL
(3x2 + 2x\2
:T*C
Seremplozau.
9x4+l2x3l4x2
Se halla la potencia.
Se divide entre 2.
+C
:I*,**r+ff+c
:
]*'*
6x3 t 2x2 -t C
¿5 4
lo
santillana

256. Estándar: pensarn iento nu n é rtco y pen sa mie nta variacta ¡-¡al
Determina en cada caso dx en términos de x y de d¿¿.
u--r+.'/7
u:x2+3
u:lnx
u:x3-3
1
u-
x
-4tl
-:
Jx
ll: sen,ú
U: COSX
o.
p.
i.
j
k.
l.
m
n.
a.
b.
C.
d.
e.
f.
o
b'
h.
u:¡anx
U: SCCf
U:CSCX
u: cotx
u-c
U:e2t+l
r
u:ve' ¿
u:fa[x
e
. islnx¿,
r2x
a
h
).
1.
Utiliza una sustitución adecuadapara calcular las
siguientes integrales.
a. I
cot xdx
b.
I *'G'- 3)e dx
Izpr-t
t)3 dx
Ja*g*'-t
9)10 dx
I
)+r'Jt-6dr
flnx¿*
| ,'
a*
J
1t3e'
15,.1*
J
xlr-r x
fIn."F¿,
I
)tanxdx
I
lcotxdx
Calcula cada una de las siguientes integraies.
C.
e.
esantiiiana
|
¿55
Soluciono problemos
del cuerpo cambia, entonces,
+:kg-rm)
dt
nuye de acuerdo con Ia ley
nL - kP,
)-
UL
C
^.) -
..
l
-u
x: au
A
J
senx-ltanx:u
COS X: U
exll:u
donde P es la población en el instante t y k es una
constante positiva a determinar. Si la población
hace 3 años era de 450 indígenas y hoy es de 400.
Responde:
a.
¿Cuál
será la población en 5 años?-' ¿ --_-^ --^-
__'¡ -"^-
b. ¿Cuánto tiernpo pasará para que la población
Determina cada una de Ias siguientes integrales.
Utiliza Ia sustitución que se indica.
Si I(, representa la temperatura del objeto al
tiempo t, Tm la temperatura del medio qr.re Io
rodea y dTldt es la rapidez con que la temperatura
donde k es Ia constante de proporcionalidad.
Así por ejemplo, si un termómetro se saca de un
recinto donde la temperatura del aire es 68 'F y
se lleva a1 exterior donde la temperatura es 12
oF.
Desnués ae f
de minuto el termómetro indica,4
45 "F. Responde:
a.
¿Cuáleslatemperaturacuando
f : l,5minutos?
b.
¿Qué tiempo se necesita para que la tempera-
tura sea de 20 'F?
La población de cierta comunidad indígena dismi-
Utlliza el u qu:e se ha dado para realizar la sustitu-
ción, y calcula la integral,
". lt*-e)4zxdx u:*-6
b.
J.o,
x sen2 xdx
c.l'a*
'l-l 4x
U: SCNÍ
u:l-l 4x

257. lntegroción por portes
La regla para derivar el producto de dos funciones da origen a un método de integra-
ción llamado integración por partes.
Si u :
f(*)
y v :
S@)
son dos funciones derivables, entonces:
V@)' g(*))' :
f(x)
.
g'(x) + f'(x)
.
s@)
Integrando respecto a x, ambos miembros de la igualdad se obtiene:
Jt¡ra' g|)l' dx :
I fG)' s'(x)dx *
I f'r*¡'
g(x)dx
f(*). g(x):
[ ¡O. s'(x)dx* J f'f*¡. g(x)dx
J ¡ro. g'(x)dx :
f
(x).
sG) - I ¡'r¡.
g(x)etx
Sustituyendo u por f(x)
y v por g(x) se obtiene la fórmula de integración por partes.
Ju'dr:u'v- lra,
Esta fórmula sirve para integrar el producto de dos funciones, donde una de ellas
es la derivada de una función conocida y la integral original se transforma por otra
más simple.
Para determinar la solución de una integral utilizando el método de integración por
partes es conveniente seguir los siguientes pasos:
. Primero, se escogen uy dv.
. Segundo, se deriva u para determtnar du.
. Tercero, se integra dv para hallar v.
. Finalmente, se aplica la fórmula de integración por partes y se soluciona la integral
indicada.
It €jemptos
Calcular las siguientes integrales.
a.
!
*"" d*
r,r:xydv:e*dx
Como u: x, entonces du: dx
Como dv :
e'dx, entonces:
,: Id,
_ i-.:1e^dx
:ex
lr.dr:u.v- Jrd,
I
*r. d* : x(e') - l
r- d*
:xd-exlC
Luego,
I
,r'd* :
x€x - e'* C
¿56
losantillana
I
b. )xcosxdx
u:x
dv :
cos x dx
Se escogen u y du.
du: dxy
Se hallan du y v.
y:senf
I
I .. ,_. Se aplica teqración
)
u. dv :
L,t. v _
)
vdu
;-":;rii,
¿L!
lt
Jxcos
xdx- xsenx-
Jsenxdx
Seremplaza
: rsenx -
(-cos x) + C
Se calcula la integral.
:rsenx *cosxI C
Luego,
I
J
xcos xdx: xsen r-f cos xf C
Seescogenuydu
Se obtiene dx
Se determina v.
Se remplaza du y se
calcula la integral.
5e aplica integración
por partes
5e remplaza.
Se calcula la integral. I
I
J

258. En algunos casos, es necesario utilizar el n-rétodo de integración por partes dos o más
yeces o combinar el método de sustitución con el método de integración por partes;
a continuación se muestran algunos ejemplos.
Calcular las siguientes integrales.
f_
u.JrJt+*d*
u-xydv:'ll-xdx
dr:.,ft+ *A"
Para resolt,er esta integral es necesario plantear una
sustitución como sigue:
z-lLxydz-dx
Luego, se sustitul.sn en la integral por los valores z t, dz
y se hal1a la integral.
ta
JJr
+xdx-)Jzdz
I a-
:
J--''dt-
-:
l
JJr*.a.-
v-
J
Ahora,comou:-lr
Jrdr:rr- Jrdu
I
b.
)
xe"' dx
Lr: xy dv :
ent dt
Conlo u - x, entonce\, Ju :
d.r.
Ahora, como ¿/t, :
e"' d.y,entonces. ,,:
J
e"'' ,lx
Se realiza la sustitución z :
ax, dz :
odx.
v-
I
l, n,lr: I
[, dz - Le le'
Llu a a
Luego,
lr',tr:u'v- lrdu
lrn,t*:rf lc l-il
lo'lA"
t
\a )
,\¿
I
__L..e,,_ t
le".ax
(l O'
ll
Ctrmo Jc
dt: ' e '. entonces,
l*r',1^--L*.' t1I, I cr a o I
- )-ar"'
-1 ¿"'1 6
ao
c. lI h, , r/t
Jx
u-ln¡1,¿1,-
|
d.x,x
,l
du:-dxyv-lnx
Jr',1r:u'y- lrdu
l-Llr.rA., Inx.Lr*- f l
l,,rJ"
J.rJ-\
Se despeia i-L m x,./x en la anterior ecuación así:
J.\
lr ,n ¡. Jx *
l-L ,,, , ,rr. :
1ln .r)
z I
I
ln .r¿/x -
(ln ¡,')-
Jx
J+t
xdx:@+
Por tanto,
JI
t,.' .t,t.t
du-dx
-
2 f- -,- 1 - -t/
3
J
1-5
l-
¡
2r/(l + r)
.1.. _ 4
l- ñv-_
J
3 15
+C
Estándar: pe n sa m ie nto n u méri co y pen s a m i ento vari act o n al
t r 2x,/1r + ,1'
I
Jxvit-xrlx-
pararesolverlaintegral
1
zJ(r
]
x)'
dx,sedebeusar
nuevamente el método de sustitución con z - 1 l x.
¡ll .
J.t-a l,/(l -x) dr'
4
15
+ *)'
o Santiilana
| 2.57
I
1*x)s+C

259. ',-
-.:
:'
r .-.
:'
;i Determina el valor de la integral de
J
tan-r xdx si
@
Completa:
ij
i: ":
tan-1 xy dv: dx'
a. si ¿r : | - xy dv - xtt3dx, entonces,
:j
ii
.
"":-
!¡rLv¡relo'
ii
l, O.t.rmina cada una de las siguientes integrales.
, I (l - x)xl3dx : +
-
i:
r r
J\' ^t^
,'
u.
)(*r-t)Jxdx
h.
)e-.sen3xdx , U. Siu:(lnx)2ydv:dx;entonces,
li
::
-
\^----' l "
:i
:: U
I?'*t)ln2xdx
i. lx'e"dx
:x(lnx)z_
--
,'
c.
I
xte' dx j.
I (h x)t dx
@
epti.u el método de integración por partes para
: ¡ r ,
calcular los siguientes integrales donde a, ú e R.
;!
¿.
J (r' -t t)e-'zr dx ' k.
)sec
x dx
r
I
l, .r2 , f ,. 1
b'
)e"senxdx ::
Recupero informoción: 1 Ejercito: 2-3-4-5
r , f
,r ,
D.
Je
SCIIJ(UX
f.
)
(* - t)' cos x dx -. J (l - x')sen x dx
g.
!
e' cos x dx n.
I
e"*t cos 3x dx
c'
I
e"sen bx dx
integral
)
udv .
t: d. Lt :
tan x dv : (e3* - I)dx
@
U"u epidemia afecta a una población, siendo P(/)
i, b. u : ln x dv :
x3 dx -
"l
número de personas enfeimas en el tiempo f.
jj c.u:x2+I dr:$-*d* Laepidemiaseextiendeaunarazónde
,: d. u:x!-1 dv:p3x¿* (2t+4¡s-st
, -)v
e. u: (lnx)2 dv:dx
, f. s: cos x iy :
9-2x ¿*
personas por día' si se sabe que P(0) :
100'
:l ;
":
fr:."* r¡ dv: sen2xdx
Halla P(') y el número de personas afectadas al l'
cabo de 7 dias.
h. u: Vx, t I dv: (e + 3)dx
,. t. u: cos(x * r) dy - e-3* dx @
U"u de las ecuaciones utilizadas para modelar el ,.
,
crecimiento de las poblaciones es lallamada ecua-
;; Verifica si el enunciado es falso o verdadero. ción de Gompertz que es: ..
ri Iustifica tu respuesta.
,^r _ / L.
jr
t t
dN-'",r(+)
a.
)xdx=x'-)xdx
dt
- "'\¡f/
,
^.
1 , r ,, ),, _ t.. r 1., ^6+^6^^^
con r la constante de proporcionalidad.
b. Si u :
x2 + ly dy: (x * 2)dx, entonces,
:. I
x
rt, 1 dxes igual
" i 3"t#TI-"
la población Nen cualquier instante de
:'
,,
J
x¿ll
O
t. espera que la cantidad de suscriptores a la tele- l
visión satelital crezca arazón de:
:
'' -'-
+ z*\- lzr(4 + z.r\dx I
s.esperaquelacantidaddesuscriptoresalatele-,,
(x, + I)l+
t
' 2 )
,
2 -'
l-" visión satelital crezca a razón de:
. c. Siu: xdv: Jt+rdx,entoncet dP
-2.000 -l 400tet
J
'Jt
+ x dx x igual a J
"suarios
por mes, luego de f meses de la primera
i! z ,, , ¡312 f )-r, , 1312,
I ^cl:^-:r- c:i--:-:^l-^^-^1-^la^'-ll^:"^-":---:^-^^
:', +x(r
+ x)''' - liO
+ x)'t'dx
i
É:
tt,..1
I
I
o Santillana
ülr,

260. Areo
Cuando se habla de área se hace referencia a las fórmulas estudiadas hasta el mo-
mento, como son la fórmula del área de un triángulo, la fórmula del área de un cua-
drado, etc. Pero en ningún momento se ha dado la fórmula para hallar el área de la
región limitada por la curva de una función y el eje.r en un intervalo determinado
como es el caso de la región sombreada de la figura.
En la figura se aprecia que la función
f(*) > 0 es positiva en el intervalo
la, bl.La región se encuentra limitada
por la curva y :
f(x),
el eje x y las rectas
verticales x: ay x: b.
El área de esta región sá le denomina
área bajo la grifica de f.
Para calcular esta área se procede así:
. Primero, se divide el intervalo fa, bl en subintervalos, todos de la misma longitud.
. Segundo, se forman rectángulos con base igual a la longitud de los subintervalos.
Algunos de estos rectángulos pueden quedar por debajo de la curva y otros que-
dan por encima de la curva, como se observa en las figuras.
. Finalmente, la suma de las áreas de estos rectángulos es una buena aproximación
del área bajo la gráfrca de f.
El resultado que se obtiene en el primer caso es una aproximación del área por de-
fecto, mientras que el resultado que se obtiene en el segundo caso es una aproxima-
ción del áreapor exceso.
La aproximación del área simbolizadapor S es más precisa cuando la cantidad de in-
tervalos, /r, es mayor, es decir, cuando la base de los rect¿íngulos Ax, es muy pequeña
y la altura es el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo, como se
aprecia en la figura.
El área S, de la región es:
s :
]ri+t/(c,)Ax
+ f(ct)Ax
+ ... +
;f(c,)Ax
+ ... + /(c,)Axl
:
Ll* tffo)
+ f(a)
+... + f(r,)
+..' +
/(c,,)lÁx
f1
: Lím) f(c,).\x
-
-(r-'
Se dice, también, que S existe cuando el límite de las aproximaciones por exceso es
igual al límite de las aproximaciones por defecto.
t\4¿temático ¿ emán Terminó su
doctorado en l¿ unrversidad de
Gotinga, ron una tesis que fue
e ogiada por Gauss Desarrolló ¿
sum¿ de Rlem¿nn, un método para
aproximar e áre¿ total bajo a qrá
lica de una curva
Caso 1
Área por defecto
Caso 2
Area por exceso
Ih.
osantillana
ie59
Estándar: penscmtento numérico y pensarniento vartccionaI

261. Sea f(x) u na fu nción defi nida en el interva lo la, b), la integral deñnida de f(x) de a a b, se
b. b.
simbolizapo,
Jrlr)dx
ycorrespondea
)ttr¡ar: !ir^Iffc
)Axslel,ímiteexiste.
o a 1:l
lntegrol definido
Es posible ofrecer una definición de la integral definida, a partir de la idea de área
bajo Ia gráfr,ca de una funciónf Así:
Si la integral definida existe, se dice que la función/es integrable; el valor a recibe el
nombre de límite inferior y b límite superior, como se muestra en la figura 1.
La integral definida como área bajo Ia gráfrca de la funciónflx) se define como:
Siflx) >
0 y continúa en el intervalo la, b), entonces, el área de la región limitada por la
gráficadef(x),elejexylasrectasverticalesx: ayx:b,estádadaporA:l,u,f(*)O*,
como se ilustra en la figura.
Propiedodes de los integroles definidos
Sify g son integrables en [a, b],y k es una constante, entonces:
I
,',,' f
(*)o* :
o
I,',' f l*)0, :
- l,',.' ¡ {*)d*
l!¡rar.
:
l,',¡qr¡d*
+
l' ¡q¡a*
dondealclb.
I)o¡too.:
oJ',f r*¡a*
Ílt¡r.t
-+
g(x)dx) :
Ilr¡olax t
Jo ¡gq¡1axI)¡t.¡0. = I!¡oo.
siempre que/x) = g(x) para todo x e [a, b)
J
,'"' f
(")ot ) o siempre queflx) > o
I',,' ftOor( o siempre que/(x) < o
[:oo.:
k(b -
a)
x Ejempl,os
Realizar la representación gráfica de la integral definida po,
J'--r'd,.
La región indicada por la integral es la limitada por la funciónflx) :
x3, en el
intervalo [- 1,5; 1,5] y su gráfica es:
/
)x3
l x
e60losantillana
Figura I

262. Dibujar la región indicada mediante la integral
definida. Luego, aplicar fórmulas geométricas
para calcular la integral .
Il-0.
La región indicada por la integral definida
L.
O"
es la limitada por la función
f(*)
: x, el eje x y las rectas x : 2 y x :
5. Su
gráfica es:
Determinar el valor de cada una de las siguientes
integrales
"i,
[,' ¡6¡a*: 15 y I]ru10.
: r.
a.
l, f{*)a*.
Il¡oo. :
I,' f {*)A* *
:15-l7:22
ls
Por tanto, l. f(x)dx
:
22.
- l¡
b.
J,fl*)A*.
Il¡rao,: -l,froo*
/
c.
J,'¡6¡a*
l' f(*)d*: o
5e aplica la propiedad
d e i nteg ra I es d efi n i das.
Como la región es un trapecio de altura 3 y bases
paralelas 2 y 5, entonces, se usa la fórmula para el
área de un trapecio,'así:
t :
lnta,
-r b:) :
lttz
+ il :
+
,.
I
x dx :
Área del trapecio :
+
2
Portanto,
lxdx: !
)
ls
J . f(x)dx
Se sust¡tuyen
los valores
de las integrales.
Se aplica la propiedad
de integrales definidas
Se sustituye el valor
de la integral dada.
v
x)x
/
x
Estándar: pensamiento numéico y pensamiento variacional :
o santittana
I
Z6l
' Si/(x) : 2x 1 l yg(r) : 1,verificarque:
Ilr¡o
+ g@))dx :
Il ror* +
['
g@)dx
l;r¡r.¡
+ g(x)ldx:
I;trr,+
r) + t)dx
:
I;t'"+
2)dx
Para determ iw
J'fZ*
+ 2)dx sehallael área del
trapecio cuyas medidas son: altura2 y bases para-
lelas son2y 6.
Luego,
Jlfr.
+ 2)dx :
*re.
r 6) : s.
Por tanto,
[:f¡fO
+ g@)]dx :
8 .
Ahora,
I; ¡fCo. y
I
o s{*)a* ,on,
I;¡a¡0.: I;rr.+ t)dx:
irrr*
5):6
I;rroo.: J;, 'a*:
l;a*
:L(2-o):2
J;¡roo. * I;tov.
:
6 -r 2 :
8
Por tanto,
I,ir¡ro
+ ge)letx :
I; tr.so* * I;rav*
Calcular por dos métodos diferentes el área de la
región dada en la gráfica y comparar los resulta-
dos.
Por el primer método geométrico se tiene que:
La región corresponde a un rectángulo, por lo
tanto,A:bxh:2x3:6.
Ahora, utilizando la integral definida así:
IJ
).3dx:
3(+ - 2t :
6
Al comparar los resultados, se cumple que son
iguales.
f(x-J
g
x

263. Determina el área que queda situada bajo la fun-
ción y sobre el eje x en los intervalos.
a. [0,2]
b. Í2,5)
lo fG)a*
Il¡o¡0.
c. 12,8)
d. [8,9]
I^¡ro
o.
Il¡ror.
[0, s]
Is, e]
e
f.
Determina cada una de las integrales, a partir de
la gráfica def(x).
c.
d.
a,
b.
Comprueba cada una de las siguientes proposicio-
nes con un ejemplo.
a.
l--,¡6¡a*:
o si/es impar.
b.
!_"f
@la*: 2l' f k)A* si/es par.
c. I-,t¡t¡
+ g(x)ldx: 0 si/yg son impares.
d.
J_.1¡ro
+ gl))dx
= 21" f G)a* + 2!' s@)dx sif y gson pares.
J ,f
r*lt(*)dx: o sif y gson impares.
l" I\l a*:21'frr)
r -, g(x)
, o g(*)
o* sr/Ygson
Pares'
¿6¿
losantillana
lntegral deñnida
fi
p"1".-ina
el valor de la integral definida en cada
caso, siflx) es una función par, g(x) es impar y que
f ) t)
J,flxldx:
6 y
J,slx)dx:
+.
a.
I_,t¡to
+ ge)ldx
!l,g@dx
b.
*llr¡ra - sl))dx n I:,lf Q) -
2)dx
e
f.
4
c.
J _,¡fO
+ f (x)dx s.
z
Jo .g(x)dx
l
(
a
a
]
C
a,
I
Lu
d. Ij,(rrr,l - |
1*t *
+)0.
Soluciono problemos
@
fur siguientes gráficas muestran la velocidad de
cuatro móviles distintos A, B, C y D.
a.
b.
c.
d.
e.
v
I
x
f:3s?

264. Reloción entre
integroción y derivoción
Primer teoremo fundomentol del cólculo
Este teorema establece la conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral.
Si fes una función continua en el interva ola,b)cona= x= by F es una función
determinadaporF(x) :
, Jr,
¡)dr,entonces,Fescontinuaen[a,b] ydiferenciable
en (4, b), además F es una antiderivada de f en [c, b], es decir F'(x) :
f(x).
Segundo teoremo
fundomentol de! cólculo
Este teorema recibe el nombre de regla de Barrow y es utilizado para evaluar la
tegral definida de una función.
Si f es una función continua en el interva o la, b) y F es una
antiderivacia de I entonce, I ff r )dx :
Flb) -
F(.a)
Para calcular la integral definida de una función/utilizando la regla de Barrow, se
deben tener en cuenta los siguientes pasos:
. Primero, se determina F(x), tal que F'(x) :
f(x).
. Luego, se calcula F(b) -
F (a), evaluando F(x) en ay á, es decir, hallando F(a) y
F(b). Dicho valor corresponde a la integral definida buscada.
N4¿temátco y teóoqo inglés. Fue
el primero en ca cular as tangentes
en la curv¿ de Kappa Des¿rrolió
la reg a de Barrow, que permite
ca cul¿r e valor de a integral de-
inida a partir de cua quiera de las
primitivas de la función
in-
f
a.
f
f .or x -r sen x)dx
Í
Jno
(cos x -| sen x)dx :
[sen
x
:
(,.,, f -
cos
t) -
(sen o
_( J' _ Jr)_:t;-;)-(o-r)
:0*1
:1
Luego, J
(.orr tsen x)dy:
b
I:,e"+--)*
f,e+--)a': J' ,r'*
+ t)dx
se simPtinca
_ [ ¡r,
- ^.-l'
SeoPltcorcor
:l---*1.
fundamentol álculo.
-(ttzl'*,)-(tt_zl'+(-2).¡ ;
o
-f ,
-')-[
2 "')
n^
:8-4:4
Seresuelven
Luego,
I .(r+-)a.:
+.
tasoperaciones'
-.or r]f,
-
cos 0)
Se realizan operaciones
5e simplifica.
1.
,.OSan¡illana Ie63

265. Utilizar los métodos de integración para calcu-
lar las siguientes integrales definidas.
.)
a. I x'Jx' -l l dx
J]
Para calcular la integral, se utiliza el método de
sustitución así:
u:xt-rIdu:3Pdx
Se tiene en cuenta 1os límites de integración
u:23*1:B*t:9
u-(-l)r-l:-l-l-0
J
x'.,[.r-+ Iclx_
*J'r*'"&
-t,1,
I
J J
J'' I (3x'dr
)
- Ll" J¡¿,
3J
-
-
I
I u',,lu
] J,,
:_Ll: I
3l j
l
:r|.¿,n,, -
,,n,,1
313 3
l
.I.l+.,
-ol:"r
L3 l
f5
b. I xJx ldx
IJ
,r
-
!¡ -
r
^"-.,2Lt
^-
u r I
dx: 2udu
u:..lr-t:u@:2
u:"lt-t:.,6:O
5e escoge u,
Se despeja x
5e deriva
.¡ ¡ l
J
xJx -
| dx:
),
ru'(tt: i l\du
:
)^(2u,
I 2u:)du
f 2u' 2u'f':L
s -
3 1,,
272
15
t
f64
|
osantillana
ReEaeÉón entre i*Ee€ree!óm y derávaeEór:
Para calcular algunas integrales definidas es necesario emplear los métodos de inte-
gración estudiados. Cuando se apiica el método de sustitución en el cálculo de una
integral delinida es necesario tener en cuenta los límites de integración en relación
con el cambio de r.ariable.
c' il, ,"r, ,/,,
Jo
Se aplica integración por partes así:
u-x y du:senxdx
du: dx y:
-cosf
t,f,
J,r
serr dx :
-x
cos x '
J
cos xdx
f cos.:r -| sen x
En algur-ros casos, 1os límites de la integración se
utilizan cuando se ha obtenido Ia integral.
|
'
.r sen .r,/,i' l-; cos x
-1-
sen r]
J'
L
+ r",r;] - [-ocoso
-r seno]
,] [o+o]
:r o:l
Por tanto. L t.n x dx - l
)
l_
- l-j
cosj
L-
-t'o*
calcular Jj.g(*)d* ,i
s(
La
en
SC
int
.[(,r 1-3(:)') (', ,-+))
:]+4+(16-14)
:$, +-2-**u:+
:i
:l
ll
!t
IJ
1l
1a
ÉE
¡l
1l
;:
il
::

266. Ejercito: 1 -2-3-4
@
C"l.rlu la siguiente integral, si se tiene la circun-
ferencia P + y' : R2,tfiilizael cambio devariable
x:Rsenf.
?Ll
l"
^¡P - *r ¿*
Jo
Interpreta el resultado geométricamente.
Halla el punto en el intervalo [0, 2] en el que Ia
siguiente función alcanza su valor mínimo.
lr ¿ I
F(x) :
l, i;4,
Soluciono problemos
El trabajo realizado sobre una carga de prueba q,,,
que se desplaza en el campo eléctrico producido
por una carga puntual estacionaria q, del punto a
al punto b, como se mnestra en Ia fi.gura:
estádado porwn-6:
I:G*
o#)r,donde
'a,\'I¡¡¿0
I
)
Fr : ---!-
3+
, tn una constante, y ro y r, son las
4¡eo r'
' u
distancias desde q al punto ay b, respectivamente.
Determina Wo-
b,
G)
t, valor promedio delen la, b) se define como:
I
et'
b - a )"f{*)a*'
Si el precio promedio de una casa en el norte de la
ciudad entre 1996 y 2001se puede aproximar por
la función:
q(t) :
t3 - 6P + r6t + 7920
=
t'< 5
donde
4(r)
se mide en millones de pesos, f se mide
en años y t :
0 corresponde a 1996,
¿cuál
será el
precio promedio de una casa si 0 < , <
5?
rb
$
Co-pt"ta la tabla referida ala gráfrcade la función
flx)
y F(x) :
lif
t*V*
v
x)
x
I 2 3 4 5
Representa la función f(x)
: 2x, y completa la
tabla de su función iirtegral, es decir,
J, tt.v.
.
ffi
o.t.r-ina en cada caso la derivada de F.
F(x):
J'sen
tdt
F(x): If *' + t)dt
F(x) :
J'"".lnlcos
u)du
F(x):
! ^rot
JTat
F(x):
Jo'tu.r1r..,
u I cos u)du
f.l'* d*
Jr x-ll
g-
!,'tun
*d*
h.
t'e'ro,
*d*
r2
í.
),
xe" dx
i.l'4 d*, ¿t xl2
1 2 3 4 5
a.
b.
d.
a
b.
c.
d.
Calcula cada una de las siguientes integrales.
]:"0.
f"'dx
J, *ln *
I, r, * cos x)dx
loxe"
dx
[ie*'-t
8x-t t)dx
Estándar : pen samiento nu méri co y pen sam ie nto va ri aci on al
osantillana
I
U 65

267. Cólculo de óreos
por integroción
El cálculo de áreas es una aplicación directa del concepto de integral definida.
Si fes una función continua en [a, b], y f(x) =- 0 para todo x e la, bl. El área de la región
limltadaporlacurvaf(x),el ejexylasrectasverticalesx:ayx:bestádadapor:
o:l!t"'o':F(b)_ t(a)
lr-
|
Si f(x) <
0 para rodo x e la,bl enronces. o:llt{)J,rl = Irtr, -
F(a)l
l"l
Para calcular el área comprendida entre la
gráfr,ca de una funciónflx) y el eje r en un in-
tervalo en el que lagráfrcaaparece por encima
y por debajo del eje x, es necesario hallar cada
una de las áreas por separado.
Si la gráfica está por debajo del eje x, la inte-
gral será negativa, y por tanto, se tomará el
valor absoluto del resultado de la integral.
lr I
a-
A: Att Az:llft*la*l+ l¡6lax
f, 1".
lc Ejemptos
O
HuUu. el área de la región limitada por la función f(*)
: (x - l),,al eje r y las
rectas x :
2 y x : 4. Trazar Ia gráfica.
e:
!'t* -
r)z dx
:
Ijr.'-
2x-t t)dx
:Ir'-2*'**10
-13 - z
-^),
:[+-***]',
:
[+
-
42 +
^)-l+
-,' *,)
:l+-,,
:T-,0
_26
J
Luego, e:!
v
\
l)
Y
I
x
¿66
losantillana
La representación gráfica es:
,
i
/\
x

268. @
HnUu. el área de la región limitada por la funciónflr) :
cos (r), el eje r y las
rectas x: Oy *:
+.Trazarlagráfica.
Se observa queflx) :
cos r es positiva
", [r, t) " l+, +],
negativa
""1t,+l
por tanto es importante definir las integrales
adecuadamente como:
"a
l.¡" | .s"_
A :
Jo'
cos xdx.
lli
cos xdxl-t
),',
cos xdx
, I 3"1 5r
:
[sen *)i +
l[sen x]Jl +
[sen x]J
I zl 2
:(,.,,f
-r",,0) +('""
+-r."á)
+(,.,, +-*"+)
:(1
-0) + l-t -
1] + (t + t) : l * 2i2: 5
@
U"Uu. el área de la región limitada por la función
f(x)
: e-*,elejexylas rectas x: 0y x: l.Trazar la gráfica.
al
A:
),e-'dx
_ r -,11
-l-e
"ln
:
[-e-t -
(_eo)]
r'r
:l-I +rl: e-r
Le ) e
Luego A : 0,63.La gráfrca pedida se muestra al lado.
uuuur el área encerrada entre la gráfica de la funció nf(x) :
x2 - zx -
3, el
ejexylas rectas x :
-3y x :
4.
Primero, se calculan los puntos de corte de Ia función con el eje x, así:
f*):o
x2 -
2x - 3 - o
^"_ 2-+J4¡12
2
xt: 3 x2: -L
Como se muestra en la figura. Luego, el área está determinada por:
A:
) .f(x)dx
:
I_,¡r.¡0.
*lll,rota.l*
lr f rrv*
f-l . - l¡¡ I rq
:
J ,{*'-
2x- 3)dx +
lj
fr'-2x- t)dxl+
J,(r,-
2x- 3)dx
:[r,
-2x2
_r*l '.1[4_24__¡*l'l-["]_2x2 _¡,1'
L¡ 2 '^),
l[ , 2 '^]_,1 -Lt -- -'.1,
_71
J
Está ndar; pe nsa m ie nto n u m éri co y pe n sa m i e nto va r i acion a I
í,r §¿ntillana
|
¿57
Flgura 2
t
Figura 4
Figura 3

269. -
Areo entre dos curvos
Si,fySsondosfuncionescontinuas enla,b), eláreadelaregiónlimitadaporlas
curvas y :
f(x)
y y : g(r),está dada por:
Caso l: ti f
y g se cortan en los puntos x :
a y
x :
b como se muestra en lafigway
flx)
> g(x)
para todo x e la,
&1, entonces:
-t
e:
)"ltr-) - gl)ldx
En ambos casos el primer paso es determi-
nar los puntos de corte, para ello se deben
igualar las dos funciones y resolver la ecua-
ción resultante.
x Ejernptos
Hallareláreacomprendidaentre/(x) :
-x2
+ 6yg(x): xl4.
-
x2 + 6 : x -t 4 Se iguatan las funciones para hallar los puntos de corte.
-xr- x-l 2:0 5ergualoacero
(x + 2). (-x+ 1) : 0 Sefactoriza
x: -2yx: I Sesolucionalaecuación.
Como/(r) = g(x) y las funciones se cruzan en dos puntos como se puede ver en
Ia gráfica, el área se encuentra calculando Ia integral definida.
e:J',1{-*'+6)- e+eldx
:J',{-r,+6-x-4fix
-{T
(1)'
2
2vx :[-"1
-
x'
't32
Luego t:
J' ,l{-*'+
6) -
(x + a)l:
*,",
d.ecir, A :
}
Hallar el área de la región comprendida entre/(x) :
-x + 5, g(*) :
-x I 3
ylas rectas x: ly x: 3.
Comofx) = g(x) y las funciones no se cr:uzan como se puede ver en la gráfica,
el área se encuentra calculando la integral definida.
t3-
.+:
),lt-x
+ s) -
(-x + 3))dx
:
I,t-,
+ s + x- tfdx :
!'zd*
:12*li:
[6 - 2) : q
+2(,)]-t-=t-
* ,4:,-,
L+ + 2e»)
_9
2
¡68
losantillana
Luego,
J, t(-,
+ 5) - (-x+ 3)] : + ,esdecir, A:4unidadescuadradas.
Figura 5

270. caso 2: si/yg se cortan en más de dos pr-rntos como se muestra en la figura, entonces:
A - Atr A, -
J,, t_frrl
g(;)]d-,r +
J'fstrl
.f G)]ctx
Hallar el área comprendida entre f(*)
: 2 sen ¡ y
S@) - -2
sen r, con
O<x<2¡r.
En Ia gráfica se aprecia quefx) yg(r) se cruzan en más de un punto. Por tanto,
el primer paso consiste en encontrar los puntos de corte. Para ello:
2sen¡: -2sen¡
x : sen-t(0)
En esta oportunidad solo se halla e1 área de la región comprendida entre 0 y 2n.
A: A,r A.:
Jll¡f.¡
gi))dx +
J'"[g(r) f G))cix
A,- j:lf G; - g(r)ldr
-
J, tn
sen x]dx :
-4
cos
"l;
:
8
a, -J'"[s{ x) - f
g¡]dx
-
J;"t-n
sen x]dr :
4 cos ,l-" :
s
Luego A: 16 unidades cuadradas.
Hallar el área comprendida entre f
(x) :
f,x'y
g(x) : x.
f@)
y
S@)
se cruzan en más de un punto, los puntos de corte son:
!x'-
x- o
x:0,x:2yx:-2.
Por tanto el área se encuentra calculando las integrales defrnidas.
A: A,1 A.:
J ,[f
f rl - s(r,)],¡ú +
J, [s{r) - f
(x))rtx
t,:
J',lf tr) - g(x)ldx:
J .[+,' - ,)a,:
+ - ;]',
- ,
e. :
f,[s{,) - f(r)dx :
Jj[,- ]*']a*
: rr-
+1,
:,
Fiqura /
Figura B
o Santiiiana
I
Luego A: 2 unidades cuadradas.
-: +; r:
Estándar: pe n sa m i e nto n u m éri co y pe n sa m ie nto va riacion al
r
A

271. \
\
I
/
/
x Ejemptos
@
ffuUu. el área comprendida entre las siguientes funciones.
fl*)
: * + +x - lzyg(x) :
-x2 - 2x -
4
Se determinan los puntos de intersección entre las dos gráficas.
fx)
: g(x)
x2+4x-12:-f-2x-4
2xz+6x-8:0
_ -3 !
^125
2
-1
'_ f
z
xt: I xz: -4
Las gráficas de estas funciones se cortan en dos puntos: x: -4y x: l. Como se
muestra en la figura. Luego, el área está determinada por la siguiente integral:
I,_^¡r.¡
_
s(x)dx::r,lu:::
:, . ,,,i,.j. n ),r0,
:
J' n{2*,
+ 6x - 8)dx
1+++-'"] -
:!+,-r-(-+ *+s*zz) :-+
e:l!'-^rfr*)- sl)dx) l:l-+l
:+
Por tanto, el área comprendida entre las dos funciones .t
+.
?:
ÉÉ
t§
tf
i!
f;
t1
{t
Figura 9
Se igualan las functones
Se remplazan
Se iguala a 0.
Se aplica la fórmula cuadróttca
Se simplifica
Se hallan las soluciones
O
O"t"r-ina el área de la región limitada en cada caso.
a. f(x)
: cos x, el eje x y las rectas verticales
x: _4
r.x -
Tt
"
2 2'
b. g(x) :
x3 + 1, el eje xylas rectas r :
-ly x :
0.
c. h(x): tanr, elejexylas rectasr : 0y x :
+
.
d. f(*)
: lnx, el ejexylas rectas x : ly x = e.
@
Realiza la gráflcade la funciónfx) en cada inter-
valo y halla el área comprendida entre el eje x y las
rectas verticales que se indican x: -ly x: 2.
lxt six( 0 x:-2
f(x): I
-
-
[V, six>0 x:2
0
u"U", el área bajo la curva, representada en cada
Área entre dos curvas
?7 A
la
santillana
a.
v sex
I
/
) r6
I
.x

272. Estándar: pen sc ni e nto n u m é r i co y pe n sa mi e ntc variaci o nai
\/
(.f 2+
\
\
x
lf\-)
x2-x.+
\
i
b.
v
1
x
¡(, +1
G Uulu el área limitada por las curvas.
€F
o"t".-ina el área de la región sombreada de la
siguiente función:
si x12
six>-2
I x'_ l
f(*): I -
[-x +5
Determina el área de la región comprendida entre
las curvas dadas.
a. f(x)
:2x
- lY g(x) :
x2 -
4
b. f (x): Jl y gG) :
x2
c. f(x):zxyg(x): *JÑ
d. f(*)
:
x3 -
6x2 * 9xy
S@)
: xz -
3x
e. f(x)
: 4 -
2x2y g(x) : x2 -
2
f. f(*)
:
x3 -
3x * 3y g(x) : x -t z
g. f(x)
:
x2 y g(x) : x!
h. f(*)
: 3y g(x) :
x2
i. f(x):x2+7yg(x):x3
j. f*)
: x3,g(x) : x * 6y h(x): -+.
L,f
osantillana
lZZl
Soluciono problemos
G
O.t.rr.rina cuál de las siguientes expresiones in-
dica la región limitada por las curvas de la figura.
Explica tu respuesta.
I'.lf
ro - gl)ldx
J.[rtrl - f @))dx
J,llrr"l - fQ))dx+ l'Ur") -
g@))dx
tt¡<a -
g@))dx+
I;lr@ -
g@)fdx
G
u"Uu el área de Ia
región indicada en
el dibujo si las tres
funciones son:
Y:8-2x-*
y:xl4
llx -l 3Y - 12: 0
La siguiente frgura es la silueta del arco de un pa-
lacio árabe. Halla el área de la superficie que forma
con el eje x, si el área que se forma es igual al área
formada por Ia función y :
tan x en el intervalo
[-?'#] '"etejex'
-t
\
I
Ul[lu,!,,
,1
.l
+
*

273. El área de un trapecio efá dad¿
por A: (h+ hr)b
Figura 10
lntegroción numérico
En ciertas ocasiones se pide hallar el área de una región de la que solo se conoce la
gráfi.ca, o que está limitada por una curva de una función que no es fácil integrar por
los métodos estudiados. En estos casos Ia mejor opción es realizar una aproximación
del área y para ello se utiliza la integración numérica. Existen diferentes métodos de
integración numérica, entre ellos el método del trapecio.
EI método del trapecio se trabaja así:
. Primero, se divide la región en trapecios.
. Segundo, se calcula el área de los trapecios.
. Finalmente, se suman todos los resultados del paso anterior. El resultado así ob-
tenido es Ia aproximación del área buscada.
x Ejemptos
Hallar una aproximación del área dada en la ñgura sobre el intervalo [1, 5].
Considerar n: 4.
La región se divide en cuatro trapecios de los que se conocen fácilmente las bases
yla altura. Luego,
l5
A = | f (x)dx: Atl A)+ A3+ A)
Jt.
-
(2 + l)l (2 r l)l (2,3 + 1)1 (2,3 + I)I
2222
,3,J,J,J,J
-:T--T-.7:Ort
222
Luego, A = 6,3 unidades cuadradas.
Utilizar el método de aproximación numérica con n - 5 para obtener una
aproximación de la siguiente integral definida:
f
n,l*,
d*
Jt
Se divide la región en cinco trapecios, todos'de alturah:0,6, como se puede
ver en la figura del lado.
Luego,
J,
Jr' dx: At+ A'+ A,-t At-t A,
_
(/(1)+/(1,6))0,6
)_
(f (1,6)+
f
(2,2))0,6
¿¿
_,
(f (z.z)+
f
(2,8))0,6
-
¿
_
(f (3,4)+
f
(+))o,e
2
:
12,44.
?1
-
Portanto,
J,
Jr' dx=12.44.
:!
l¡
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!9
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::
iE
JI
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II
ll
ii
II
Él
il
1i
li
¿t
ti
ff
fi
i::
:3
2
Se utiliza el método
de aproximación
numértca
5e hallan las áreas
de los trapecios.
5e resuelven las
o peraci ones i ndi cada s.
(f (2,8)+
f
(3,4))0,6
2
¿7?losantillana

274. v
T1
.r
1 x
b.
'
Halla una aproximación del área de la región re-
;; presentada en cada figura.
ti u. d.
::
t:
Calcula el área bajo la cnrya usando integración
numérica.Sin:6.
\
T
I
,1
I
x
dx
osantiilana
lf
/3
Estándar: pensamiento numérico y pensamiento variacional
¡'
Representa gráfrcamente las siguientes funciones.
Lr-r.ego, halla sus integrales utilizando la integra-
ción nun-rérica y otro método.
a.
J',{*
* t)A*
b.
J', - tdx
Realiza 1a representación gráfica en cada caso.
Luego, deternrina el valor aproximado de cada
integral,
a
|,i+7,n:B
b.
J"'r.,., 'li
At , n :
6
c.
J ..or
x2dx,n:lo
d
J,'Tfr;,
n:to
e.
J ..ot
f dx,n: lo
f.
J;rcosrdx,r-8
g'
t,'u'
^'
'l'
, n :
6
Soluciono problemos
Un motociclista parte con Llna velocidad de 3 m/s
y continúa durante 5 s con una aceleración cons-
tante de 2 mls. Esto significa que su velocidad está
expresada por la fórmula v(t) :
3 * 2f. Determina
el valor aproximado de la distancia recorrida du-
rante los 5 s, utilizando la integracién numérica.
Se estina que la curva que describen 1os cables del
tendido eléctrico de la ciudad tiene Ia forma de
unacatenariacuyaecuaciónes /(x) -
e' l|e
La distancia entre dos postes de alumbrado es
15 m. Usa la integración numérica para encontrar
el valor aproximado de 1a longitud de la catenaria
que forma e1 cable eléctrico entre el par de postes,
toma n :
10.
Aplica la fórmula de longitud de arco
h. l'ln"rix.n-]C)
J,.
-
-
/
\
5 5 5 5,x
c
v
3n
x
I

275. Antiderivodos
G
Co-p.ueba que F(x) es una antiderivada defx).
F(x):
'lr7-
f(x):-L
J2x'- 7
F(x):xlnx-x
f(x)
: x
F(x):
l{z*
+ +)'
f(x):2(2x
+ 4)s
F(x):
!{*'+
z)'
f(x):2x(x2+3)4
F(x):
f
m{:r'+ r¡
f(x):#i
F(x): -!,
.'
f(x): xe-"
F(r)=
«#W
f(*):
é;+#Y
@
O",".-ina en cada caso el valor de la constante
de integración. Supón en cada caso que la antide-
rivada es h.
a.
!{u*'-
6x)dx
¡L
b.
)x
z
dx
c.
lo+*)a*
.
J(+ -z*)a*
J(t.* +x')dx h(t):3+e
$
Realiza una sustitución adecuada. Luego, halla la
integral.
a.
[
,r,*. d*
b.
[
3*'r''d*
c.
J{r.
* e-')dx
a Jj{}!a.
- _.t;
e. ls-)ax
rJx
'l+*
s. I(*,"+ffi)a-
h.
lx|+
7)6 dx
i.
If
Q'-t 3)1 ¿*
.ldx
t' J Jx-1+Jx+l
a.
Métodos de inlegroción
k.
I
e'*. dx
1.
J
xe" dx
^. lt'Jtri
at
n.
t
xne" 'dx
o. l4o.
¿x'
p ¡4*
q Í;,o.
r.
Ix'0 -
x)6 dx
s. l'-'-ld,
J e-'l z
,. ÍFLfi a*
tJ*
a.
b.
h(2) :
4
h(+¡ :2
h(r):2
h(o¡ :2
e.
f.
o
b'
h.
[ln
x dx
I
xe--' d.x
! r#,*
h(t) :
-r
hO: +
h(o¡ :
6
e.
@
Cl..rl" cada integral. Ten en cuenta la sugerencia.
@
Cl.rrlu las siguientes integrales usando integra-
ción por partes.
a.
JQn
x)'dx
b.
Je*"sen
p xdx
c I!!*n*
d,.
!
sec'xdx
e.
Jx(h
x)'dx
f. !
x'sen xdx
g.
!
x'e" d*
d. I ---l-a,J 3-l 4x-
?7 a
lasantillana

276. Áreo e integrol definido
&
Co-pleta la tabla a partir de la representación
gráfi,ca de la funciónf(x).
v
x
1 2 3 4 5 6
J' ,f(*)o*
I. ¡t.¡o'
..
J,'
dJ'
F(x): Jir',u"
F(x) :
J't'
sen t dt
F(x):
J'{r'+
Dat
F(x):
J)tgtat
d
e
f.
Representa la función f(*)
:
3, y calcula las si-
guientes integrales.
u.
f;f@)a*
a.
[^,f
{*)a*
c.
d
@
cut.,rt" las siguientes integrales ,,
!' f {*)dx :
s
[)' r<,ta, :,
u.
J'o f {r)a"
a.
J,'z¡{*)a*
Reloción entre derivoción
e integroción
Calcula la derivada de las siguientes funciones.
a.
b.
c.
d.
Calcula las siguientes integrales definidas.
(7 + f(x))dx
(f(x) -
3)dx
\
La velocidad de un mór,il está dada por la fórmula
v : 1 * 3f. Representa la función y calcula utili-
zando la integral definida.
a. El espacio recorrido en los tres primeros se-
gundos.
b. El espacio recorrido entre el segundo I y el se-
gundo 6.
c. EI espacio recorrido entre el segundo 8 y el
segundo 12.
Cólculo de óreos
@
O"t..-ina el área de la región comprendida entre
Ia función, el eje x y las rectas verticales.
a.f(x):x3-x2+5x+l x:l y x:4
b.flx):5' x:-r y x:2
^ ft^.\- 4
L. J\^)- .) x:3 y x:B
^
d. f(*): sen(x ¡¡12) x:'TT y *:
+
Halla el área de la región sombreada de cada fl-
gura.
a.
Determina el valor aproximado de la integral
I f @)*,usando
la integración numérica.
o Santillana
i?7
5
v
z/
C x
b
v
l
t)
x2
l
/ lt
.rf
-
(rtjr
il

277. La función F(x) se llama anti-
derivada o función p' miLiva
de f(x) si y sólo si F'(x) :
f(x)
para todo x e Dom f.
Sea f(t una función definida en e inter-
valola, bl,la integraldefinida de f(x)de
t
a a b, simbo izada por
Jf
tr)a,
"t.
a
Itt,tdx - Ír )r,6
1¡o
J
si el fmlte existe.
Si f es una función continua en el interva o la, b)
y F es una antiderivada de f , entonces:
)
t(x)d^ : t-tbt -
t\o)
Es un método para reso ver inteqrales, por
e Jo se tiene que:
J
r@rrllo'(x)dx :
I
to¡ou : F(u) + C
donde u: g(x)y du: g'(x)dx
Es un método para resolver lntegrales, por ello se tiene que:
S f es una función continua en la, b). E área de la
región limitada por la curva f(x), ei eje x y las rectas
vertlcales x :
0 yx - b está dada por:
ll
A: )
f(udr -ltbt-t(a)
Si f(, <
0 para todo x e la, b),entonces:
n
-
I ¡,,,.
-
f¡l^ tt^¡l
n-
)
,tÁ)u
-
rtu) - rturl
St fy g se cortan en los puntos: x :
a y x : b y
f(x) > g(x) para todo x e la, bl, entonces:
a:
lo¡rtr) -
q(x))dx
St fy g se cruzan en más de dos puntos entonces,
A:
J'lr(x) - o@)ax +
['lou) - r(x)]dx
donde c es un punto de corte de las funciones.
Jrrrl. s'(x)dx: f
(x).
s(x) - lrrrl
.
se)dx
o
Jr.
dv:Lt .v
-
Jv
du
EH EIHTEI=;IE...
i7ñ
loSanrillana

278. Troboio reolizodo
por uno fuerzo
En el Ienguaje común, la pálabra trabajo se usa en el
sentido del esfuerzo necesario para realizar una acti-
vidad, sin embargo, en física el trabajo (Iztrl) efectuado
por un agente que ejerce una fuerza constante para
producir un movimiento es el producto de la compo-
nente de la fierza en la dirección del desplazamiento
por la magnitud del desplazamiento. Por esta razón se
considera que una fierza no hace trabajo sobre una
partícula si esta no se mueve.
Consideremos una partícula que se desplaza a lo largo
del eje xbajo la acción de una fierzavariable. Si esta
partícula se mueve en la dirección de x es creciente
desdex:xiax:xf.
El trabajo hecho por esta fierzavariable F¿ conforme
a la partícula se mueve de xi a xJ es exactamente igual
al área bajo la curva limitado por Fx y el eje x. Por
tanto, se puede expresar el trabajo hecho por la fierza
Fx para el desplazamiento del objeto de xi a xf como:
l,l/o",n :
F,dx
En un sistema formado por un resorte sobre una su-
perficie horizontal con un extremo fijo, la fuerza varía
con la posición de nanera constante. Por 1o tanto, si el
resorte se alarga o se comprime una distancia x desde
su posición de eqr,rilibro x :
0, entonces se ejerce sobre
el bloque una fuerza F, dada por:
Fr :
-kx
donde k es una constante positiva.
Responde:
¿qué
es el trabajo en física? Dado que W es la integral de Ia fuerza F con res-
pecto al desplazamiento, plantea la integral que
permite hallar I4l en un sistema formado por una
fierza F conectada a un resorte.
Escribe dos ejemplos en los cuales se realice un
Explica por qr"ré esta integral es indefinida.
trabajo como magnitud física.
Haz el bosquejo de la gráfica fuerza F contra des-
Calcula la integral anterior para demostrar que
plazamiento r, para el sisterna fbrmado por una
fuerza constante conectada a un resorte.
¿Qué tipo
de gráfica es?
I r-.-:
,n^
o5ant¡¡lana l3/7
¡
Recupero informoción
W:
Y esto que oprendÍ,
¿PARA OUÉ ME SIRVE?
Pora determinor el trabajo realizodo por
una fuerzo.

279. T
y probob¡lidod
Temos de !o unidod
Estodistico
I

280. Un palíndromo es un entero, como 25652,
que se lee igual de izquierda a derecha que de
derecha a izquierda.
¿Puedes escribir cinco
palíndromos más?
Cada uno de los cuadros de la siguiente figura
se debe colorear con cualquiera de ocho co-
lores posibles.
¿De
cuántas maneras se puede
colorear la franja de la figura, de tal forma que
no haya dos cuadros adyacentes con el mismo
color?
¿Qué
operación entre los dos conjuntoS repre-
senta la parte sombreada?
Requiescot in poce
El horizonte devoraba el dia a la misma velocidad con la
que crecÍan las sombras producidas por as cruces y los
ángeles de piedra, hasta que, con el último mordisco,
día y sombras desaparecreron dando paso a a noche.
El encargado del cementerio, Hans, acostumbrado al
silencio del lugar, se sobresaltó al oir unas pisadas que
parecian venir de todos los lados. Aumentaban su in-
tensidad como si estuvieran a su espalda y, a volverse,
el sonido se difuminaba como si viniera desde muv
lelos.
-¡Odio
este trabajo!
-maldijo.
De repente una sombra pasó a su izquierda dejándolo
paralrzado. A duras penas logró reunrr el valor sufr-
ciente para esconderse detrás de la lápida y observar
t-_-__--
td e5Leftd.
La sombra era un hombre embozado, que se agachó
sobre una de las tumbas y, tras murmurar unas pala-
bras, se alejó dejando sobre el mármol un lrbro
Cuando Hans recuperó la moviiidad, con precauc ón se
acercó a la tumba y, sin atreverse a tocarlo, leyó en e
ibro:Ars Conjectandi, por Jakob Bernuollr.
Creyendo que eran cosas de espiritus, corrió hacia la
sa ida lurándose
a sí mismo no contarle jamás a nadie
o ocurrido
El Ars Conjectand¡es un tratado de probabilidad es
crrto por .lakob Bernoulli y publicado por su sobrino
Nikolaus crnco años después de su muerte.
Tomado de lilatemáttcas 4 ESa,
España, Editorlal Santillana, 2008
rosantiilana
lZ79
I

281. Antropólogo y geógrafo inglés
Revolucionó os efudios sobre la he-
rencia con la aplicación de métodos
efadrsticos Fue el primero en mofrar
que as huellas digitales de cada per-
sona son diferentes a todas las demás.
Estodístico
Es la ciencia que recoge, organiza, representa, analizay genera conclusiones a partir
de datos obtenidos de distintas fuentes como encuestas, estudios, experimentos o
entrevistas con el fin de explicar o buscar regularidades de distintos fenómenos. Se
aplica en diferentes campos como la física, las ciencias sociales, las ciencias de la
salud, el control de calidad en una empresa y los negocios, entre otros.
La estadística se divide en dos grandes ramas:
. La estadística descriptiva, se encarga de los métodos que ayudan a recoger,
describir, representar y resumir los datos originados a partir del estudio de un
fenómeno.
. La estadística inferencial, se basa en los resultados obtenidos en la estadística
descriptiva para obtener conclusiones o inferir el comportamiento de un fenó-
meno en toda la población.
Por ejemplo cuando se estudia el comportamiento del nivel de agua en un río, se
realizan diferentes mediciones día a dia, que se resumen en tablas y se representan en
distintos gráficos. Así se está haciendo uso de la estadística desuiptiva. Mientras que
si se predice cuál va a ser el comportamiento del río en los días siguientes, de acuerdo
con los datos obtenidos, se está haciendo uso de la estadística inferencial.
Conceptos generoles
Población es el conjunto de todos los individuos (personas, animales, cosas, etc.) que
tienen información sobre el fenómeno que se estudia
Marco muestral es una lista de elementos o unidades de la población del cualse puede
seleccionar una o varias muestras de acuerdo con el estudio que se realice.
Muestra es un subconjunto representat¡vo de la población que pone de manifiesto las
características esenciales de la población
Por ejemplo, se desea realizar un estudio en
Bogotá sobre la opinión de los conductores sobre
la norma del pico y placa para los automóviles
particulares. La población está conformada por
todas las personas mayores de l6 años inscritas
en el Ministerio de Tránsito y Transporte, com-
prende hombres y mujeres de todos los niveles
socioeconómicos. El marco muestral está deter-
minado por la información dada por la oficina de
Tránsito en Bogotá. Puede haber varios marcos
muestrales de acuerdo con el investigador y
la característica que se quiere estudiar. Y una
muestra puede ser hombres y mujeres entre 20
y 40 años.
Según la cantidad de individuos, la población se
clasifica en población hnita o población infinita:
Población finita: cuando el número de elementos que conforman la población se
puede contar. Por ejemplo, la cantidad de personas que asisten a un concierto.
I
¿BÜ
losantillana
franeis Galton
1822-"491"1

282. Estándo r: pe n sa m ie nto a I eatort o y pe n sa m i e nto va ria ci o na I
Población infinita: cuando el número de elementos que conforman la población es
infinito, o es tan grande que puede considerarse infinito. Por ejemplo, si se realiza un
estudio sobre los productos de belleza que hay en el mercado, hay tantas marcas y de
tan diferentes calidades, que esta población podría tomarse como infinita.
La muestra asociada a un estudio estadístico debe ser representativa y aleatoria.
Tiene que ser representativa puesto que debe estar formada por una cantidad razoua-
ble de elementos, y aleatoria, ya que debe ser escogida a azar, de tal forma que quien
realice el estudio no influya en los resultados del mismo. Para seleccionar una muestra
existen diferentes tipos de muestreo:
Muestreo aleatorio simple: es la extracción de una muestra dentro de una población
finita, en este caso cada posible muestra de Ia población, del mismo tamaño, tiene
igual probabilidad de ser seleccionada.
Muestreo aleatorio sistemático: se extrae la muestra de forma ordenada. En este caso
Ia población está ordénada por un código, fecha o algún otro aspecto. La manera
como se realtza la selección depende del número de elementos en la población y
del tamaño de la muestra.
Muestreo aleatorio estratificado: en la selección se tienen en cuenta los diferentes
grupos que conforman la población.
Muestreo aleatorio por conglomerados: para su selección se debe dividir Ia po-
blación en grupos, luego, se selecciona una parte de los grupos al azar o por un
método sistemático y, finalmente, se toman todos los elementos de los grupos
seleccionados.
Identificar la población, el tamaño de la población, un posible marco mues-
tral, una posible muestra y el tipo de muestreo en la siguiente situación.
Se desea realizar un estudio en
los hogares de IVledellín para
determinar cuál es su nivel
de información y prevención
frente al virus gripal AHlNf .
En este caso la pobiación está
conformada por todas las perso-
nas de los hogares de Medellín,
que es una población finita. El
marco muestral se puede basar
en las estadísticas del último
censo poblacional realizado por
el DANE. Una posible muestra son los padres cabezas de familia y el tipo de
muestreo utilizado debe ser el estratificado, pues Medellín se encuentra dividido
en comunas de diferentes estratos socioeconómicos.
osantillana
I
ZBI
x Ejempto
Identificar la población y la muestra en el siguiente estudio.
El departamento de educación física de un colegio decide implementar activi-
dades deportivas extraclase a los estudiantes que presentan bajo rendimiento
en el área. Para ello, van a trabajar con los estudiantes que sean autorizados
por sus padres.
En este caso la población son los estudiantes que presentan bajo rendimiento
en educación física y la muestra son los estudiantes autorizados por sus padres.
a
-
-

283. Vo rio bles estodísticos
Una variable estadíst¡ca es una característica o propiedad que se puede estudiar en una
población o muestra. Una variable es estadística cuando sus resultados se pueden tabular,
clasificar en rangos o sus respuestas corresponden a una escala numérica
Las variables estadísticas se clasifican en cualitativas y cuantitativas.
Una variable es cualitativa cuando Ia característica que se va a estudiar hace refe-
rencia a gustos, preferencias u opiniones. Se denomina variable cualitativa ordinal
cuando los resultados del estudio se pueden ordenar pero no son numéricos. Y se
denomina variable cualitativa nominal cuando los resultados del estudio no se
pueden ordenar.
Una variable es cuantitativa cuando los resultados de la característica que se va a
estudiar se miden en una escala numérica. Se denomina variable cuantitativa dis-
creta si los valores que toma son puntuales o pertenecen al conjunto de los números
enteros. Se denomina variable cuantitativa continua cuando los valores pertenecen
a los números reales.
Ejempto
Clasificar Ia variable "El tiempo que emplea una persona en hacer una transacción
en un banco", como cualitativa nominal, cualitativa ordinal, cuantitativa continua
o cuantitativa discreta.
La variable es cuantitativa puesto que el tiempo se mide dentro de una escala numé-
rica como horas, minutos o segundos. Los datos obtenidos pertenecen al conjunto de
los reales, luego, el tiempo es una variable cuantitativa continua.
Identifica la población, el tamaño de la población
€F
O"t"r*ina en bada caso la muestra y el tipo de
y un posible marco muestral en cada caso.
aSe realiza un estudio en los países de Latinoa-
mérica para determinar cuál es el que presenta
mayor índice de pobreza.
En el aeropuerto se pregunta a algunos pasa-
jeros internacionales sobre la ciudad que más
visitan en Colombia.
Una compañía de computadores hace un es-
tudio sobre el dinero que ha recogido en las
ventas de algunas sucursales.
En Cali se pregunta a los habitantes mayores de
edad acerca de la gestión de su alcalde.
La alcaldía de Bogotá desea hacer un estudio
para saber el número de personas que visitan
la Feria del libro día a día.
muestreo que se podría emplear.
a. Se hace una encuesta a algunos afiliados de un
club para determinar su grado de satisfacción
respecto a los servicios que presta el restaurante.
b. Se desea saber cuál es el género musical más
solicitado en los bares del norte de Bogotá.
s
(
€
¡
b.
c
d
e.
@
Chsific a cadavariable estadística.
a. Se hace un estudio sobre la producción anual
de cafe en la región cafetera.
b. Una empresa de correo realiza un estudio
acerca del tiempo empleado por sus trabajado-
res en entregar paquetes al centro de la ciudad.
c. Una fundación desea saber cuál es la ciudad
con mayor cantidad de personas desplazadas.
¿B¿
|
osantillana

284. Corocterizoción de voriobles cuCI!itotivos
Para caracterizar variables cualitativas se pueden emplear distribuciones de frecuen-
cias, gráfi.cos y medidas de tendencia central dependiendo de si la variable es ordinal
o nominal.
Distribución de frecuenc¡os
Es una tabla en la cual se registran todos los valores de la variable y se relacionan con
diferentes frecuencias, tales como: frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuen-
cia porcentual y frecuencias acumuladas que se definen a continuación:
Frecuencia absoluta,f es el número de veces que se repite cada una de las categorías
de la variable.
Frecuencia relartivqfr: es el cociente de la división de la frecuencia absoluta entre el
total de observaciones (n). f, : f
.
'n
Frecuencia porcentual, %: es el resultado que se obtiene al multiplicar Ia frecuencia
relativa por 100.
Frecuencias acumuladas F y Fr: permiten conocer rápidamente el número de ob-
servaciones que están por debajo de una categoría y sólo tienen sentido cuando
lavariable es de tipo ordinal. Es posible calcular
frecuencias
acumuladas absolutas
(F) como la suma de las frecuencias absolutas y
frecuencias
acumuladas relativas
(Fr) como la suma de las frecuencias relativas.
Representoción grófico de vcriobles cuolitotivos
En estudio estadístico, las representaciones gráficas ayudan a tener una visualización
clara y precisa de cada una de las categorías de Ia variable. En las variables cualitativas
los diagramas más utilizados son el diagrama de barras y el diagrama circular.
Diagrama de barras: relaciona por medio de rectángulos separados cada una de las
categorías de la variable, con su frecuencia absoluta o relativa.
Diagrama circular: es un círculo en el que se representan las categorías de la variable
realizando una proporción con su frecuencia.
Medidos numéricqs descripfivos
Son medidas que se emplean comúnmente para descubrir los patrones de distribu-
ción ocultos en un conjunto de datos. En las variables cualitativas las medidas que se
emplean son la moda y la mediana.
Moda i: es el valor de la observación que ocurre con mayor frecuencia. Se puede
usar en variables de tipo nominal o de tipo ordinal.
Mediana Í, es el valor para el cual, cuando todas las observaciones se ordenan en
forma ascendente, la mitad de estas es menor o igual que este valor y la otra mitad
es mayor. Solo se puede usar en variables cualitativas de tipo ordinal.
. Si el número de observaciones n es impar, la mediana está dada por:
Í : *(':')
. Si el número de observaciones r es par, la mediana está dada por:
*: *(+)
osantillana
le83
Estándar: pensamtento cleatorio y pensamrento vartacional
IE
l!
tÉ
1t
ti
É1
ii
ii
1l
iÉ
:l
ti
ii
E:
ji
,rs

285. Caracterización de variables eualitativas
l+ Ejempto
Caracterizar la variable cualitativa de la siguiente situación:
En un instituto de enseñanza del inglés se clasifica a los estudiantes en uno de los
siguientes cuatro niveles: elementary (E), beginner (B), intermediate (I) y upper
(U), de acuerdo con los resultados de las pruebas de admisión elementary es el nivel
más bajo y upper el más alto. La clasificación de 20 inscritos para el primer semestre
del año fue: E, I, E, I, I, I, B, E, U, B, U, B, B, B, I, U, B, E, B, U.
La situación que se presenta en este caso, muestra una variable cualitativa ordinal
pues presenta un orden jerárquico entre los niveles.
. La distribución de frecuencias asociada a la variable "nivel de inglés" es:
Elementary 4
f,-4
4 02 20o/o
n20
Beginner 7
t_
l¡ /
-
tr. ) )
n20
4+7:11 0,55 350/o
lntermediate 5
f-.
t3
-
J
- ^
1F
-
l)_/ )
n20
4+7+5:16 08 250/o
Upper 4
f4
-
4 _ n.
n20
4+7+5+4:20 I 200/o
Total 20 l I000/o
. El diagrama de barras correspondiente a la situación es:
Diagrama de barras
de la clasificación de los estudiantes
B
I
BIU
Niveles de inglés
. El diagralna circular correspondiente a Ia situación es:
Diagrama circular de la clasificación
de los estudiantes por nivel de inglés
F,
B
I
U
o
90
34
o^
z
0
284
losant¡llana

286. . La moda está en el nivel beginner pues es el nivel con más inscritos. La mediana
también está en el nivel beginner pues por ser un número par de datos, sr.r cálculo
estádadopo.Í : x+ : *+ - xr¡,ylaobservación l0delgrupodedatoscorres-
ponde a la frecuencia acumulada 11 que corresponde a este nit,el.
A partir de toda la caracterización anterior de Ia variable se pueden obtener algunas
conclusiones:
. La frecuencia relativa del tercer nivel indica que ha,v 5 de 20 inscritos que están
en intermediate. La frecuencia absoluta acumulada en este caso adquiere sentido
porque la variable es de tipo ordinal, por ejemplo, en el tercer nivel F :
16, signi-
fica que hay 16 inscritos clasificados en 1os tres prirneros nir.eles.
. El nivel beginner tiene el mayor porcentaje con un 35% de los inscritos, sigue ei
nivel intermediate, colr Lrn 25o/o de inscritos
,v
por últirno están Ios nir.eles elemen-
taryy upper con un 20% cada uno.
En trn colegio se.rra a realizar un cine fbro con
los niños de primaria y quieren detern-rinar la pe-
lícula que van a proyectar; para esto se hace una
encuesta a 24 niños. Los resultados son:
Batman La sirenita Shrek Peter Pan
Batman Shrek Rey I-eón Shrek
Batman Shrek Batman La sirenita
Shrek Peter Pan Batman Shrek
Rey León Shrek Batrnan Shrek
Batman La sirenita Shrek Peter Palr
a. Identifica la población
1,
e1 tamaño de la pobla-
ción.
b. Determina el marco muestral
1,
la muestra.
c. Realiza una distribución de frecuencias y es-
cribe dos conclusiones.
Se realizó un estudio sobre los lugares preferidos
por los estudiantes de las universidades para salir a
bailar. Los resultados se muestran a continuación.
Elabora una distribución de frecuencias con Ia
información del diagrama circular.
encllesta a los consumidores para saber cómo
clasificarían su nivel de satisfacción respecto a un
nlre\¡o jabón. En el siguiente diagrama se muestran
los resuitados. Donde E: excelente, B: Bueno, R:
Regula¡ Nl: malo, P: pésimo
a. Realiza una distribución de frecuencias.
b. Encuentra la moda y Ia mediana. Realiza una
interpretación para cada una de ellas.
La siguiente tabla muestra los resultados de las
marcas de automóviles más vendidas en una ciu-
dad del país.
Honda 40
Hyu ndai 0,25
Nissan t0
Ford 0,283
Toyota 180
a. Completa la tabla.
b. Realiza un diagrarna circular.
c
E
=
-
-
.-
z
EtsRNIP
Nir el cie satisfácciór'r
oSantillana lf 85
Marra Í

287. Corocterizoción
de voriobles cuontitotivos
En Ia caracterización de las variables cuantitativas se encuentran medidas, paráme-
tros y gráficas. Los datos cuantitativos se pueden trabajar como datos sueltos (listado)
cuando no son demasiados o cuando no son tan distintos unos de otros. De lo con-
trario Io más recomendado es agruparlos en tablas de frecuencia con o sin intervalos.
Corocterizoción de dotos no ogrupodos
Cuando se tiene un listado de datos, es importante reconocer simultáneamente el
valor individual o los datos más representativos de cada una de Ias observaciones.
Para tal fin se usa el diagrama de tallos y hojas y las medidas numéricas descriptivas.
Diogromo de tollo y hoios
Es una técnica que se usa para organizar y recontar los datos. Este diagrama consta
de dos columnas: una el tallo y la otra las hojas. El tallo corresponde a la (o las)
primera(s) cifra(s) de cada dato y la hoja por lo general, a la última cifra.
Por ejemplo, los siguientes datos corresponden a las estaturas en centímetros de 12
jugadores de un equipo de voleibol.
185 t65 180 r75 159 158 t70 r92 165 160 172 180
La estatura más baja es 158 mientras que la más alta es 192. El tallo tiene dos cifras
mientras que las hojas una sola. La última, es decir, el tallo empieza con el número
15 (158) y termina con el número 19 (1,92). Mientras que las hojas son 9 y 2, respec-
tivamente.
Luego de determinar los tallos se procede a ubicar todos los números tal como apa-
recen en el listado.
Tallo
15
16
T7
18
t9
En el diagrama de tallos y hojas se puede observar que la estatura de los jugadores
oscila entre 159 y 192 cm; además la mayoría de jugadores miden menos de 180 cm
y sólo hay un jugador con la máxima estatura en el equipo, 192 cm.
Medidos numéricos descriptivos poro dotos no ogrupodos
Cuando se tiene un grupo de observaciones se busca describirlo con los valores más
característicos de acuerdo con su comportamiento. Existen varias medidas de interés
como: medidas de tendencia central, medidas de posición y medidas de dispersión
que serán explicadas a continuación.
Medidas de tendencia central: son medidas dentro de un conjunto de observacio-
nes que establecen la disposición de los datos para agruparse ya sea alrededor del
centro o de ciertos valores numéricos. Las medidas de tendencia central son: la
media, la medianay la moda.
Hojas
89
550
s02
5 0'0
2
¿85
|
osantillana

288. . Media o promedio aritmético X: Es la medida que representa en un solo valor
las características de una variable teniendo en cuenta todos los datos para su
cálculo. En un conjunto r de observaciones x, x2; ...t xnlamediaestá dada por,
x
2.,
n
. Mediana Í: es el punto central de los valores de un conjunto de datos después de
haber sido ordenados. La mitad de las observaciones es menor o igual que este va-
lor y la otra mitad es mayor. En un conjunto de datos ordenado x, s xrl . .. { x
n
la mediana se calcula teniendo en cuenta dos criterios para el número de datos n:
l^. L^. \
Simes parrt : \^+
-l(+)t'/ ysinesimpar i : *n*r.
2'-2
. Moda i, .,
"lrulo.
que más se repite dentro de un conjunto de observaciones.
Medidas de posición: son números que diüden el conjunto de datos en partes igua-
les y se usan para clasificar una observación dentro de una población o muestra.
Dentro de estas medidas se encuentranlos cuartiles, deciles y percentiles.
. Cuartiles Q, Qz, Q3: son los datos que dividen el conjunto de datos en cuatro
partes iguales, por tanto, hay 3 valores que representan el 25o/o, el 50o/oy el75o/o
de los datos.
Qr
:
valor que deja por debajo el25o/o de los datos y por encima el75o/o restante.
Q2
:
valor que deja por debajo el50o/o de los datos y por encima el otro 50%.
Q3
:
valor que deja por debajo el75o/o de los datos ypor encima el25o/o restante.
. Deciles D pD2,D3,D4,Ds,D6,D7,D8,Dr: son valores de los datos que dMden
el conjunto de datos en 10 partes iguales, cada uno representa el 1070 de la
distribución.
D, : valor que deja por debajo el l0o/o de los datos y por encima el90o/o
restante, D, : valor que deja por debajo el,20o/o de los datos y por encima el
80% restante y así sucesivamente, hasta el D, que deja por debajo el 9070 de la
distribución y por encima el l0o/o restante.
. Percentiles:P, P2,P3,...,Pk, ...,Pggi sonlosvaloresdelosdatosquedividen
el conjunto de datos en 100 partes iguales.
P, : valor que deja por debajo el 1% de los datos ypor encimaelggo/o restante.
P, : valor que deja por debajo el 8% de los datos y por encima el92o/o restante.
Po : percentil k es el valor que deja por debajo eI ko/o de la distribución.
X Todos dejan por debalo e 50% de los ,,
datos
Para un número de r observaciones luna.vez ordenados los datos, se puede identificar
la posición de los cuartiles, deciles y percentiles de acuerdo con la siguiente tabla:
Existe un valor en cua coinclden los cuarti es,
igra es a a medrana, es decir, Q, - D. - P.,.¡ -
S
is
1s
rl-L
l-
el
la
oSantillana
i ¿8/
Estándar: pe n sa m i ento aleatori o y pen sa m iento v a r t a ct on al

289. flaraet*¡ir*eáér: d+ d*t*= ++
=gr-==*==
Exrfe un vaior en el cu¿l coin-
ciden os cuartiles, os deciles
y os perceftiles, efe v¿lor es
el equrvalente a la medi¿n¿
n
-¡ -
o
-íu)- u
-,5| -
^
Todos dejan por debalo e
50% de los datos
HEpim
9ry
Hallar las medidas de tendencia central, los cuartiles I y 3, el decil4 y el percentil
85. Interpretar los resultados.
En el proceso para fabricar baterías, se seleccionaron 10 de ellas para realizar una
prueba de tiempo de duración en horas. Los datos que se obtuvieron fueron los
siguientes:
52,5 58,9 62,3 56,9
La media está dada por:
10
!,
^Lt"'
t_
A-
10
_ 52,2 + 58,9 + 62,3 + 56,8 +62,7 + 57,3+ 64,4 + 53,1 + 58,9 + 60,4
10
-
)ó./_1
Luego, el tiempo promedio de duración para las Lraterías es de 58,73 horas.
La mediana se halla de la siguiente manera:
Primero, se organizan los datos en fi¡rma ascendente así:
52,5 53,1 56,8 57 ,3 58,9 58,9 60,,1 62,3 62,7 61,1
Luego, se aplica la fórmuia para la mediana teniendo en cllenta que Í :
10 así:
62,7 57,3 64,4 53,1 5g,g 60,4
Í:
/r' ,,, t r' ,n )
_
'_ " tl
_ (x- , .\J _ (58.9 58,9, _
ss
q
222-"'-
Como x- es el dato qr-re está en e1 arreglo eu la quinta posición,
),
su valor es 58,9 y x,,
es el dato de la sexta posición
),,
en este caso, tan-rbién es 58,9, entonces la mediana
es 58,9. Se puede concluir que la mitad de 1as baterías tienen un tiempo de duración
nenor o igual ¿r 58,9 horas r,'Ia otra nitad un tiempo de duración mayor a 58,9 horas.
La moda es 58,9 horas de duración. En este caso, esta medida no tiene signiñcado. Sin
ernbargo, sin,e como referencia para identificar las tiecuencias más altas.
Para hallar los cuartiles Q,, Q. )' Q. hav que tener en cuenta que el número de datos
es par, por tanto:
. Para determinar la posición ¿s Q' se toma k : t
l. A :
4 porque los cuartiles
dividen la muestra en 4 partes iguaies, h-rego:
Posicióndelcuartil 1 : k'rn
-
(1)(10)
: 2,5 :3,esdecir,
e, eseldatodela
A4
posición 3, en este caso el cuartil Q,
:
56,8. Luego el25o/o de las baterías registran
tiempos de duración menores o iguales a 56,8 horas y el75o/o restante, ma)¡ores a
56,8 horas.
' Para determinar la posiciór-r de Q:,se toma k :
3
I'
A :
1,1uego:
Posición clel cuartil 3 -
k'rn
-
(3)(10)
: 7,5 :8,
es decir, e. es el d¿rto de la
A1
posición B, luego Q,
:
62,3. Luego eI 75o/o de las baterías presenta una dnración
rrrenor o igual a 63,2 horas v el 25% restante rrla)ror a 63,2 horas.
É88
|
osan¡illana

290. Estándar: penscmiento alectorio y pensamiento variacional
Para hallar el dato del decil 4 se toma k - ay A: 10, luego:
Posicióndeldecil 4 : L:r:
(4)90)
: 4,como4esundatoexacto,parahallar
A l0
el decil 4 se promedian el dato de la posición 4 el dato de la posición 5.
n 57,3 + 58,9
D':T:58,1.Luegoel40o/odelasbateríaslluestrauntienrpode
duración
-"lrro.
o igual 58,1 horas y el 60%, un tiempo mayor a 58,1 horas.
Para hallar la posición del percentil 85 se torna k :
85 y A :
100, luego:
Posición del percentil 85 -
L+-
(85I(-10)
:8,5
= 9, es decir, el Po, es el
A IOO
dato de la posición 9, en otras palabras P
o,
:
62,7.
estudio sobre Ia demanda diaria de televisores (en
unidades), durante 30 días de trabajo. Los resulta-
dos son:
sobre el tiempo, en minutos, necesario para que
21 clientes lleven a cabo una transacción banca-
ria. Los resultados se muestran en el siguiente
diagrama.
Tallo Hojas
I
2
J
4
Determina el promedio en minutos que invier-
!
ten los clientes en hacer una transacción.
i
Determina elvalor que divide porcentualmente i
en dos partes iguales el registro de 21 clientes.
l
Encuentra el valor que tiene mayor frecuencia.
!
Determina el porcentaje de clientes que gasta
i
un tiempo menor o igual a 3,2 minutos en rea- i
lizar unatransacción.
04s57
0234
),23577
233579
a
C.
d
C.
d
e.
o
b'
h.
Determina qué r,alores se pueden agregar al si-
guiente grupo de datos para que la medianir siga
siendo la misma.
8, 7, 9, t2, 18, 15; 21, 21, t2
Agrega los datos necesarios al siguiente conjunto
de datos para que Ia media sea 8.
55888
5 5 8 8 10
Para trabalar en mercadotec-
ni¿, cont¿bi id¿d, contro de
calidad, en os que se hacen
estudios de consumidores,
¿ná sis de resu t¿dos en de
portes;en l¿ ¿dminlstr¿ción de
instituciones y en todo aquello
que rnvo ucre a toma de de
t 5t0ne5
En una fábrica de electrodomésticos se realiza un En un banco internacional se realiza un estudio
38
67
62
58
46
a.
b.
3s 76 58 48 s9
63 35 69 48 52
44 44 55 56 47
75 58 28 35 36
48 54 62 55 29
Determina la población y el tamaño de Ia po-
blación.
Establece el marco muestral, el tipo de mues-
treo y Ia muestra.
Identifica la variable y el tipo de variable.
Realiza un diagrama de tallos y hojas.
Encuentra media, mediana y moda. Escribe
una conclusión para cada medida.
Halla los cuartiles e interprétalos de acuerdo
con el contexto.
Calcula los primeros cinco deciles y escribe
una conclusión para cada r.rno.
Encuentra e1 percentil 35 y el percentil 90.
Interpreta los resultados.
osantiilana
l¿fl9
,t¡/

291. Otros medidos numéricos descriptivos
poro dolos no ogrupodos
Medidas de dispersión: son aquellas que permiten conocer el grado de agrupamiento
de los datos, es decir, establecen si los valores en general están cerca o alejados de
las medidas de tendencia central. Las medidas de dispersión que se utilizan más
son el rango, la yarianza, la desviación estándar o típicay el coefciente de variación.
. Rango: es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor del conjunto de
datos. Permite visualizar Ia amplitud de la distribución de los datos. Se simbo-
Iiza R.
. Yarianza: permite calcular el promedio de las diferencias al cuadrado entre
el valor de cada dato y la media aritmética. Se simboliza 52 y se calcula con la
siguiente expresión:
n
) {', - x)'
s2 -
I:1
n
Esta medida tiene el inconyeniente de que las distancias están al cuadrado. Por
ejemplo, si la variable está dada en metros, m, la varianza queda en m2. Para
solucionar esto, se usa la desviación estándar.
. Desviación estándar: permite medir la dispersión de los datos respecto al
valor de Ia media o promedio; cuanto más grande sea su valor, más dispersos
'
estarán los datos de la media. Se simboliza S y se halla como la raiz ctadrada
positiva de la varianza.
S: vtarianza
:
JS'
. Coeficiente de variación: es una medida útil para comparar las dispersiones
en varios conjuntos que tienen distintas escalas de medición. Se simboliza CV
y se calcula con la expresión:
ar:
,i
Entre más pequeño sea el valor de Ia desviación estándar y el coeficiente de
variación mejor representa la media al conjunto de datos.
Intervalos de confianza: son aquellos en los cuales se resumen todos los datos te-
niendo en cuenta un grado de confi.anza. Los más usados son 90%, 95o/o y 99o/o de
confianza.
90%o(x - s,x + s), 95% (x - 2. s,x + 2. s)y99%o(x - 3. s,x + 3. s)
Diagrama de cajas y bigotes: es un resumen gráfico, sobre la recta numérica, en el
que se describe el comportamiento de los datos para determinar su dispersión a
través de los cuartiles. Las medidas que se deben tener en cuenta son:
Rango intercuartílico: Ro = Q, - Q,,
Límites inferiores Q, -
I,SRO
Q, -
:Ro
Límites superiores Q3 + 1,5Ra
Q' +:Ro
Límites inferi es superiores
.]:::
En caso de que se encuentre algún dato fuera del primer límite recibe el nombre
de dato atípico o no común, e influye en la dispersión de datos.
l
I
l
c
I
t
T
I
¿9Ü
lcosant¡llana

292. Estándar: p en sa m ie nto a I eator to y pe n sa mi e nto va ri acion a I
x Ejemplo
Determinar para la siguiente situación, Ia varianzq la desviación estándat el
coeficiente de variación, un intervalo de confianza del 95Vo.Lluego, elaborar un
diagrama de cajas y bigotes para los datos de la campaña A y escribe algunas
conclusiones.
Un empresario realiza un estudio sobre las ventas de computadores realizadas
por los mejores vendedores en dos de sus compañías. Los resultados, en miles de
dólares, son:
Compañía A: 40,2 26,9 29,3 35,6 99,8 70,2 58,5
Compañía B: 44,2 31,9 45,2 35,6 49,8 50,2 53,5
Las medidas de dispersión para la compañía A se obtienen así:
Para encontrar la varianza es necesario calcular la media, luego,
8
Z*,
v
-
¡ t
-
40,2+26,9 -29,3 +35,6+99,8 +70,2 r58,5+36,8
- ^^21
88
La varianza está dada por:
8
){r, - x¡'
36,8
t
)
l
le
s2:
n
(40,2 -
49,66)2 + (26,9 -
49,66)') + ... + (36,8 -
49,66)')
;)
el
a
:
628,45
Ladesviaciónestándar es: S :
Jvarianz¿ :
J628,45
:25,06
El coeficiente de variaciónestá dado por: CV : Á :
+9:
0,504
X 49,66
El intervalo del 95% de confianza es:
(X -
25, X + 25) : (49,66 -
2(25,06),49,66 + 2(25,06)): (-0,46; 99,78)
Las medidas de dispersión para la compañía B son:
X : aa3a , 52 : 63,32,5 :
7,95, CV : O,l7
El intervalo de confianza del95
o/o
es (28,42;60,25).
Al comparar las medidas se puede concluir que, aunque el promedio de ventas es
mayor en la compañía A que en la B, la compañía B tiene un grupo de vendedores más
homogéneo que Ia compañía A. Esto lo indica la desviación estándar y el coeficiente
de variación, ya que estos valores son menores en la compañía B.
Para construir el diagrama de cajas y bigotes para los datos de la compañía A, se
toman los cuartiles, Q,
:
32,45, Qz
:
38,5, Q,
:
64,35 y el rango intercuartílico
Rn :
Q, - Qr
:
64,35 - 32,42: 3I,9.
Límites inferiores: Q, -
1,5R0 :
32,45 -
1,5(31,9) :
-L5,4
Q, -
:Ro :
32,45 -
3(31'9) :
-63,25
Límites superiores: Q, + 1,5R0 :
64,35 + 1,5(31,9) :
112,2
Q, + :Ro :
64,35 + 3(31,9) :
160,05
-20-10 0 l0 20
Q8, Q3
100 110 120 130 140 150 160
osanttllana
I
Z9l
re

293. Otras mcdic!as ¡:ur}:erie=: <i==tri#E:v=s
=era
d+t+: !1* E=rL:*==+:
En el ejemplo de la página anterior, se observa que hav Lrna ma\¡or concentración
de 1os datos entre el cr-rartil 1
,v
el cuartil 2, mientras que hay más dispersión entre el
cuartil 2 y el cuartil 3. Además de1 conjunto de datos de las ventas no hay ninguno
que se salga de los lírlites inferiores o superiores, es decir, todos están dentro de pri-
mer lírnite inferior
1.
superior (con rojo) de -
15,,1 a 112,2. Luego no hay presencia
de datos atípicos.
Una empresa aplica una prueba de conocimiento a
16 de sus trabajadores con el fi.n de otorgar algunos
ascensos. Los puntajes de la prueba que contenía
160 preguntas fueron los siguientes:
Los siguientes diagramas ntuestran Ia distribu-
ción de las notas en matemáticas (sobre 10) que
obtuvieron dos grupos de estudiantes de grado
127 100 92 100 75
92 75 92 100 l2l
75 t2t 90
150 97 92
undécin-io.
Grupo A
01234567
Grupo B Q1 Q, Q,
0123 4 5 67
a. Identifrca la población, el marco muestral, la
muestra, la variable y el tipo de variable.
b. Realiza un diagrama de tallo
,v
hojas.
c. Determina las medidas de tendencia central.
Interpreta cada medida de acuerdo con el con-
texto.
d. Determina las medidas de posición: cuartiles,
decil 3 y percentil 15. Escribe una conclusión
para cada uno de ellos.
e. Determina las medidas de dispersión: r,arianza,
desviación estándar, coeficiente de variación t'
un intervalo de 90% de confianz¿r.
f. Representa la variabilidad cle 1os datos por
medio cie un diagrama de cajas y bigotes. De-
termina si hay datos atípicos.
El Ministerio de Agricultura entregó un informe
89
Determina cuál grupo es más homogéneo.
Determina para el grupo A, entre cuáles cuar-
tiles ha1. menor dispersión de datos.
Identifica cuál es el glupo con mejores notas.
Responde: si 1a nota nínin-ra para aprobar el
cLrrso es 7,0,
¿en
cuál grupo hay más estudian-
tes aprobando?
Si un estudiar-rte del grupo B obtiene una nota
de 9,8,
¿esta
nota puede considerarse un dato
atípico? Explica.
Si un estudiante obtiene una nota entre 3,5 v
,1,0,
¿a
esta nota se le puede considerar atípica?
Justifrca tu respuesta.
Solucionc problemos
a.
b.
c.
d.
Determina Ia respuesta en cada caso:
c.
aE1 promedio de seis datos es 85 y cinco de los
datos son 20,75, 120, 62,84.
¿Cuál
es el dato
que thlta?
En un conjunto de datos el coeficiente de r.aria-
ción es 0,8 yl¿ desr.iación estándar es 1,5.
¿Cuál
es el valor medio de los datos?
Si la desviación estándar de un grupo de obser-
vaciones es 3,5,
¿cuál
es la
-,,arianza?
¿En
cuá1 de los siguientes intervalos se puede
afirmar que el conjunto de datos está bien re-
presentado por la media?
(-t,s;8,3) o (2,5; 1o)
I
I
t
e
I
i¡
d
L
r(
l¿
d
rlil

294. Están dar: pe n sa m i ento a leatorio y pen sam i ento va r i aci o n a I
Corocterizoción de dotos ogrupodos
Al igual que las variables cualitativas, los datos se pueden organizar en tablas de dis-
tribución de frecuencias. En este caso, las columnas de las frecuencias acumuladas sí
tienen interpretación sin importar que la variable sea discreta o continua. Además,
se pueden agrupar los datos en tablas de distribución con o sin intervalos.
Distribución de frecuencios sin intervolos
Es el registro de todos los valores de la variable y sus frecuencias asociadas como fre-
cuencia absolutaf frecuencia relativafr, frecuencia absoluta acumulada F, frecuencia
relativa acumulada Fr y frectencia porcentual 70. Estas se calculan de igual manera
que las variables cualitativas.
Diogromq de borros
El diagrama de barras es una gráfico que consta de dos ejes: uno de ellos lleva los
valores de la variable y el otro representa una frecuencia que puede ser la absoluta o
la porcentual. El diagrama de barras se usa para tablas de datos sin intervalos y los
rectángulos que lo componen van separados.
A continuación, se muestra una distribución de frecuencias para la cantidad de vi-
viendas vendidas en Ios últimos 8 meses por una constructora:78, 125,132, 132, 60,
125, 125,78.
La distribución de frecuencias es:
Cantidad de viviendas
60 IJ:orzs
8
1 L:0125
B
12,5
78 2Z:o)s
8
1r1-2
f:
o,:zs 25
125 31= 0.375
8
3+3:6
_
^
-a
37,5
132 2
) ^^-
;:
u,25
ó
6+2:8
o
O
-1
8
25
Total 8 r00
La
frecuencia
absoluta f
de 78 es 2, porque en dos meses se vendieron 78 casas.
Lafrecuencia relativafr para la primera fila
+
:
0,125 indica que en uno de los 8
meses se vendieron 60 casas. En porcentaj e es 12,5o/o.
Lafrecuencia absoluta acumulada F adquiere sentido para cualquier variable cuan-
titativa. En la tabla en la tercera fila F :
6, significa que en seis meses se vendieron
entre 60 y 125 casas.
La
frecuencia
relativa acumulada Fr se puede calcular con el cociente ,E :F
n
, una
interpretación en la segunda frla Fr :
+
:
0,375 es que en 3 de los 8 meses se ven-
"8
dieron entre 60 y 78 casas.
La
frecuencia
porcentual
o/o
dela cuarta fila indica en w 25o/o de los meses se vendie-
ron 132 casas. El diagrama de barras que corresponde a la situación se muestra en
Ia figura 1.
o/o
Frfr
Diagrama de porcentaje
de viviendas vendidas
É soyo
>
30o/o
t
q 20o/o
'e
c 1^o/^
E oouo
60 78 t25 r32
Cantidad de viviendas
Figura 1
osantilian3 I ¿93
I
.-
-

295. Distribución de frecuencios con intervolos
Cuando hay muchos datos o los datos recogidos presentan frecuencias muy peque-
ñas, resulta útil construir una tabla de distribución de frecuencias con intervalos.
Para ello se realiza lo siguiente:
. Primero, se halla la longitud o rango R de la distribución así:
R :
dato mayor -
dato menor
.
Segundo, se determina el número de intervalos que se van a construir. Para ello se
halla la raiz cuadrada del número de datos y se aproxima al entero más cercano, así:
No. de intervalos : Jn
.
Tercero, se calcula la longitud de cada intervalo que es el cociente entre el rango
y el número de intervalos.
c :
*o. d. ilt"*"Io.
.
Cuarto, se construyen los intervalos que están formados por un límite inferior y
un límite superior así:
Primer intervalo:
[dato menor, dato menor * C)
Segundo intervalo:
flímite superior del primer intervalo, límite inferior del segundo intervalo f C)
Tercer intervalo:
[límite superior del segundo intervalo,límite inferior del segundo intervalo * C)
Y se continúa de la misma forma para los demás intervalos.
.
Quinto, se realiza el conteo de las frecuencias absolutas, luego, se hallan las fre-
cuencias relativas, las frecuencias absolutas acumuladas y las frecuencias relativas
acumuladas, de manera similar a la distribución de frecuencias sin intervalos y se
escriben estos valores en la columna correspondiente.
.
Se halla la marca clase m para cada intervalo, que es el punto medio del intervalo
y se calcula con la siguiente expresión:
límite inferior * límite superior
m:
2
La marca de clase para el primer intervalo es:
m_
(7s+90):82.5
2
La tabla de distribución de frecuencias es:
H Ejempto
En una fábrica de gaseosa se registra la canti-
dad de botellas que se rompen en el proceso de
sellado durante quince días. Los resultados son:
75 120 80 85 95 r05 76 106
96 77 90 r35 t2t 133 79
Construir la tabla de frecuencias.
Rango:R:135 -75:60.
El número de intervalos es' ú5 :
3,87
=
4.
Longitud de cada intervalo:
/-- R
-
60
-,-"- No.dei,,rt"*ul* 4 -''
¡i
ll
fi
É:
55
ÉE
jj
É:
fi
É:
ti
;¡
¡¡
il
lr
e!
1l
t:
J]
l:
É:
¡:
E:
rf
!l
tl
175 -
e0) 6 04 6 04 400/o 825
[e0 -
1 0s) 3 02 9 06 204/o 975
[10s -
]20) 2 0,1 33 1l0,713 13,30/o112,5
[]20 -
13sl 4 0266 15 n ooa
26,60/o 127,5
Tota t5 l 1000/o
¿9 4
lo
Santillana
f
ltll

296. Histogromo y polÍgono de frecuencio
El histograma y el polígono de frecuencia son gráficos usados para distribuciones
de frecuencia con intervalos. Cuando se elabora un histograma, en el eje horizontal
se ubican los límites de los intervalos teniendo en cuenta que el límite superior se
escribe sólo una vez y los rectríngulos que lo componen van unidos de límite a límite.
En el polígono, en el eje horizontal se ubica la marca de clase. Cuando se realiza un
polígono de frecuencias acumuladas al gráfico se le denomina ojiva.
El histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencia porcentual que
representan la cantidad de botellas rotas en el proceso de sellado son:
: Histograma ii
Ojiva
,,p
--'"'
6
5
,4
.E3
2
1
0
t6
14
12
.10
x8
!
6
4
2
0
75 90 10s t20 13s
Cantidad de botellas rotas
que
Los dad de cigarrillos que consumen a la semana. Los
resultados se muestran en el siguiente diagrama.
160
225
350
275
290
290
405
390
26s
315
300
300
460
230
265
315
290
300
295
310
295
400
220 365
260 400
270 330
285 280
o
5J]
a
z
a.
b
c
d
Estándar: p e n sa m i e nt o o I eator t c y p e n s a m i e nto tt c r, a c ton a I
En Cali se realizó un estudio de niños recién na-
cidos para determinar el peso, en gramos,
ganaron en sus tres primeros días de vida.
resultados fueron los siguientes:
165
440
255
32s
355
160
Determina el marco muestral, el tipo de mues-
treo y el tipo de variable del estudio.
Elabora una tabla de distribución de frecuen-
cias sin intervalos. Escribe dos conclusiones.
Representa los datos en una distribución de
frecuencias con intervalos.
Representa los datos en un histograma de fre-
cuencia relativa.
e. Construye la ojiva.
f. Responde:
¿entre
qué valores están los pesos de
los recién nacidos?
82,5 9 i- ,5 1 12,-5 127 ,5
Nirrnero de botellas
Cantidad de cigarrillos a la semana
t4
t2
10
8
6
1
)
0
l7
Edad
a. Elabora una distribución de fiecuencias para
los datos que se observan en el diagrarna.los datos que se observan en el diagrarna.
b. Responde:
¿en
qué rango de edad luman ciga-
rrillo en más cantidad los adoiescentes?
En un estudio, la frecuencia relativa correspon-
oSantillena i AE5
I

297. Medidos numéricos descriptivos en dotos ogrupodos
Al igual que los datos sin agrupar, se pueden determinar medidas estadísticas cuando
los datos se encuentran agrupados con o sin intervalos para determinar el compor-
tamiento de Ias observaciones.
En la siguiente tabla se muestra la forma de calcular las medidas de tendencia central:
media, mediana y moda; las medidas de posición: cuartiles, deciles y percentiles y
las medidas de dispersión'. varíanza, desviación estándar, coeficiente de variación e
intervalos de confianza en datos agrupados con y sin intervalos.
Media
x
n
x-
n
n: fotal de datos.
(.
I sumatona.
Medlana
npar,rt -
*+ * *(+)
*,
2
Se identifrca el intervalo donde está Ia
mediana como en los datos sin intervalos
y se aplica la siguiente ecuación:
x:v*_,-¡c,/0,5n-Nr
r\
./^_!
.,,
fi¡ )
lt - ti
límite inferior
del intervalo.
c,: Iongitud el inter-
valo.
Nr _
r,
Frecuencia ab-
soluta acumulada del
intervalo anterior.
nu: frecuencia absolu-
ta del intervalo.
nk _ ti
frecuencia ab-
soluta del intervalo
anterior.
ffk
+ ti
frecuencia ab-
soluta del intervalo
siguiente.
f: porcentaje que se
quiere encontrar.
Cuartiles
t:25,50 o75.
Deciles:
t:10,20,..., 100.
Percentiles
t: I,2,3,..., 100,
nimpar:i:xqn*r¡
2
Moda
Se identifica con la mayor fre-
cuencia absolutaf
Se identifica el intervalo con mayor fre-
cuencia absoluta fy se aplica:
i:y,,,*.,(+
llt<
l'l t
I
-1
2n* lLk+t
ffi
sielresultad.ono es exac-
to se aproxima al entero más
cercano. Se identifica en la fre-
cuencia absoluta acumulada F.
Se identifica el intervalo como en los da-
tos sin intervalos y se aplica:
p :
r,,,_r * c, l/o,otr'
n - Nr-r
\
'/\-'
-
tlt )
Percentil,
cuartil y decil
S2
f@, - x)'¡,
(n-r)
x, : cada uno de los
datos.
mi marca de clase.
S:Jyarianza:JSr
CIl:g
X
90%o(X - S,X + S),qS"/"(t -
25, X + ZS),99Vo(X - 3. S,X + 3. S)
Varianza
Desviación
estándar
Coeficiente
de variación
lnterva los
de confianza
e96
l6santillana

298. ffije tm
Un club nacional de automovilistas realiza un estudio sobre el nú-
mero de asistentes a las carreras durante la última temporada, Ios
resultados se muestran en la tabla. Determinar media, mediana,
moda, cuartil l, percentil 35 y la varirnzr.
. Media:
(,, )
l\*f I
f,, )
(725. 9 + 975. 6 +1.225. 10 + 1.475. 8)
X:
33
:
1.103,78
N{ediana: n: 33, n es impa¡ luego la posición de 1a mediana es:
.\:r, I
:-\,,r
pn
lu .olrrrrna F se .rUi.u
"t
dato 17 que está en el intervalo 11.100 -
1350) y recibe
el nombre de clase mediana. Luego se aplica la ecuación:
i - v^ r,. [
0'5rr - )v,
) : Lloo * rrol
0's(-¡3)- ls
)/
n, / lo I
:
1.100 + 250(0,15) : 1.137,5 :
1.138
en dondeT,-
,
:
1.100, c,: 250, Nt
- ,:
15,v n,. - 10.
Moda: el intervalo con mayor fiecuencia absoluta/en este caso es el rnismo de la
mediana [1.100 -
1.350) recibe el nombre de clase modal,luego:
i:y* ,_ c,(^
n n
l-l.roolzsol =,=19-t.'
)'' .). ',\2nu_n
,_,t )
""" '-" 2(x) 6 g/
: 1.100 *
250(0,66) :
1.265
Cuartill laposiciónde Q, (2s%).r'
ffi
-
=P
- 8,2s : 8, enFel
dato número B está en el primer interr.alo [600 -
850) luego:
p:.: yt , -
c, 10,01
'r'r - A/
)- ooo 250f
0.01(25I(-13) - 0l
n, / e l
:
829,16 -
829
Percentil35 la posición del percentil 35 (3-5%)
"r,
{
^$
:
'?!#)
:
11,55 :
12,
100 I00
en F el dato número 12 está en el segundo intervalo [B-50 -
1 . 100) luego:
p.:
v¡ , .-, [0'01
'l'r N. , \: sso -
2501
0'01(35)(33)
q
¡/
n )
"." --"
b )
- 956,25 :
956
Vorianza para estos datos agrupados está dacla por:
f -f','' - x)'
n-l
_ 9(725 -
1.103,78)'z + 6(975 -r.t03,78)2 +... + 8(r.475 -r.t03,78)2
:
82.504,73
s2
Estándsr: penscmienro a!eatclo
¡t Denscn¡ento variacional
[600 8s0) 9 9 725
[8so 1.100) 6 t5 975
[1.100 -
1.3s0) 10 25 1.225
[1.3s0 -
1.600] 8 33 1475
Total
))
))
7/,
o S;n:illana I 7q7
I--'

299. Medidas númericas descriptivas en datos agrupados
Explica cómo se hizo para hallar la longitud de los
intervalos en el ejernplo 1 de lapágina297.
Explica cómo se hace para hallar la media cuando
se trabaja una variable cuantitativa y en una dis-
tribución de frecuencias con intervalos,
Elabora el histogramapara el ejemplo de la página
297.
En una liga de Fútbol se realizó un estudio sobre
Ias anotaciones hechas en una temporada. Los
resultados se muestran en la siguiente tabla:
Completa la tabla teniendo en cuenta los datos
suministrados.
Encuentra las medidas de tendencia central:
media, mediana y moda. Escribe una conclu-
sión para cada una de ellas.
G)
t" una compañía se dió a conocer el número
de accidentes ocurridos entre 400 operarios de
maquinaria, en un período de tres meses conse-
cutivos. Los resultados se muestran en el siguiente
diagrama:
Diagrama de barras de número de accidentes
190/o
rge%u,sq;
99o
012345
Número de accidentes
C.
Realiza una distribución de frecuencias.
Encuentra Ia desviación estándar y el coefi-
ciente de variación.
Determina el valor de los cuartiles y realizar su
interpretación con el contexto.
Soluciono problemos
50
o
Í4U
o
1
o30
o
u)O
6
t
910
ao
a.
b.
a.
@
U"u fábrica de fibras sintéticas diseña un experi-
mento en el que se observa el tiempo de fabrica-
ción y la cantidad de hilos defectuosos producidos
por varias máquinas. Los resultados se muestran
en el siguiente diagrama:
30 10 50 60 70
Tiempo (nrin)
Encuentra las medidas de tendencia central:
media, mediana y moda, y escribe la interpre-
tación de cada una de acuerdo al contexto.
Determina Ios cuartiles, el decil 7 y el percentil
20. Da una interpretación en cada caso.
Responde: Si los resultados en el estudio fueran
los mismos,
¿cuál
sería el número de hilos de-
fectuosos por minuto?
Encuentra la cantidad de hilos defectuosos que
constituyen el 820/0. fustifica tu respuesta.
3 100
9so
,!, 60
U
:-40
c
=70
;
-aU
z
b.
c.
d.
0 0,0921
1 18,68
2 85
3 02316
4 14 47
5 0,4632
6 342
7
Total 380

300. Estdndar: pensamtento aleatorio y pensam¡ento variactonal
G
U, consumo semanal de pescado en una población
de Ia costa se muestra en la siguiente tabla de fre-
cuencias:
)- 1 ,s) r5
26
20
14,5-0,t 13
6u-1,))
Completa la tabla de frecuencias.
Calcula las medidas de tendencia central para
los datos de la tabla.
Elabora el histograma correspondiente.
Elabora el polígono de frecuencias.
Realiza la ojiva correspondiente a los datos.
a.
b.
c.
d.
e.
@
C"t.rl" el valor de x teniendo en cuenta que la
mediana es 44y pertenece al cuarto intervalo.
@
t. realizóun estudio sobre la edad de los asistentes
a un teatro. La siguiente tabla muestra los resulta-
dos obtenidos.
a. Determina el porcentaje de asistentes que tie-
nen menos de 40 años.
b. Halla el cuartil I para los datos de la tabla y
realiza una interpretación de ellas.
[20-30) 25
35
45
Is0-60) 55
Total
Recupero informoción: 1-3
En la siguiente tabla se muestra el peso de algunas
ovejas de una granja. Halla la media e interpreta
este resultado:
5
t5
25
3s
Total
Una empresa realizó un test físico entre sus em-
pleados para comprobar la capacidad de esfuerzo
que posee cada uno de ellos. Una de las medidas
que componen el test es el número de pulsaciones
después de una determinada actividad física.
Los datos que se registraron se pueden observar en
la siguiente tabla de frecuencias.
Responde:
¿qué porcentaje de los empleados
tuvo menos de 85 pulsaciones por minuto?
Calcula la media y la mediana realiza una in-
terpretación de estas medidas.
b.
12
17
12
28
30
5
Las estaturas de una
muestra de 50 estu-
diantes tienen una
media de 174,5 cm
y se conoce que la
desviación estándar
de la variable esta-
tura es de 6,9 cm.
Calcula un intervalo de confianza del95o/o para la
estatura media de todos los estudiantes.
@santillana
legg
\
Consumo (kglsem.)
112-22) 7
122-32) 5
132-42) B
142-s2) X
Ís2-62) 14
Total
f
[30-40)
[40-s0)
[1,s-3,0)
[3,0- 4,5)
to-10)
[1 o-20)
[20-30)
t3o-40)
l6s-70)
170-7s)
[7s-80)
[80-8s)
[8s-eo)
Ie0-es)
Total

301. T
+EI B¡centenorio
en dotos
Lo Campoño tibertodora
mediados de 1819, Simón Bolívar emprendió
una campaña para liberar al virreinato del domi-
nio español. La campaña fue un éxito total ¡
gracias
a ella, se concretó la idea de unir a la Nueva Granada
con Venezuela y Ecuador.
La siguiente es una reseña histórica de los hechos prin-
cipales de la campaña libertadora:
En 1815, Bolívar se refugió en lamaica donde escribió
una carta denominada La carta de lamaica. En ella
expuso sus ideas sobre la independencia de América
y pidió ayuda a Inglaterra para Ia causa independen-
tista. De allí partió hacia Haití, donde los líderes le
colaboraron con armas y hombres para dar inicio a la
campaña libertadora.
Entre 1817 y 1818, Bolívar reunió a las guerrillas pa-
triotas que luchaban contra el domino español r,, en
mayo de 1819, explicó a los ejércitos reunidos todo el
plan independentista.
El 11 de junio de 1819, el ejército patriota, al mando de
Bolívar, inicia el paso de Ios Andes cruzando los ríos
Muese y Guachiria y entra a Tame, Arauca, donde se
encuentra con el general Santander.
El 2 de julio de 1819, marchan por el páramo de
Pisba, para luego cruzar por Pueblo Viejo, la Sabaneta,
Quebradas.
El 9 de julio del mismo año, llegan a Socha para
descansar un poco, pues Ia mayoría de los hombres
estaban enfermos y algunos habían perecido por Ias
condiciones climáticas y las carencias alimenticias.
El 12 de julio, atacan a Tópaga, un campalnento de
800 hombres de la realeza. De allí, Bolívar retro-
cede a Tasco para descansar
1,
luego atravesar el río
Chicamocha, salir al valle de Cerinza y acampar cerca
de Santa Rosa.
=]Ü
i
.S.iirt:::¡rn¿
El 19 de julio, Bolívar traslada a sus hombres a Duitama
para tratar de pasar a Tunja. Del 20 al25 de julio mar-
cha pasando por el camino Saiitre de Paipa, atraviesa
el río Sogamoso para llegar al Pantano de Vargas y
derrocar el ejército del general Barreiro con ayuda del
coronel losé Rondón.
El 7 de agosto de 1819, se lleva a cabo la batalla de
Boy¿66 en la que las tropas patriotas derrocan a 1as
españolas, sellando definitivamente la independencia.
A lo largo del camino emprendido por eI libertador y
sus hombres, los habitantes de pueblos y veredas los
ayudaron con alimentos y ropa, incluso muchos cam-
pesinos se unieron a su ejército. Sin embargo, la tropa
de Bolír,ar también vivió grandes dificultades, pues
tuvó que adaptarse a varios cambios de temperatura y
condiciones muy desfavorables, lo cual trajo consigo
enferrnedades e incluso Ia muerte de algunos de sus
miembros. El cuadro que a continuación se muestra
relaciona algunos lugares de la ruta del libertador con
su temperatura ambiente y algunos datos importantes
de cada estación.
E
a

302. I
Lugar Datos
Pore
I Recibió e nombre de capital de a Repúb ica lnde
E"-
pe'd er to do l¿ \-^ a Cr¿r ¿d¿
1
Ruia de las tropas libertadoras hacra Nunchía
,E 24 dejunio de 1818, llegaron BolÍvar y sus hom
bres para descansar y comer
l\,4orcote 26" [a tropa libertadora se abastece de arnras y hombres
l
i p¡rOu I lA-
E I de ju io la tropa se prepara para enfrentar e pá-
)
ramo,
| ', -'jT?
i I , La tropa ega e
,1 de ju io después de cruzar e pá
I PuebloViejo I Entre 16"y2" ,ramo de Plsba donde muchcs sodados mueren de
'---i-------------r-
-ll"Tt-llia"--
-.,
Quebradas
I
18' [a tropa ibertadora aca¡]rpa
ir
Bolivar recibe 500 caba os de general José A Valde
i Tasco l5' i rrama En e puente sobre e río Gámesa se libra una
i
de as bata las más duras I
i Tatusá I ,:' i Se adicionan las tropas del lancero PÍo Morantes
I
Be en l 3o El libertador descansa en la casa de luan José Leyva i
.losé Antonio de a 5antisim¿
Trinidad y P¿lacios fue conocido
como 5imón Bo ívar [ontribuyó
de m¿nera decisiva ¿ 1¿
independencia de os paises
que se Lonoren hoy en dÍa como
[o ombia, Bo ivla, Ecuador, Perú,
Paramá y Venezue a
I e ejército r-.alista y 350, en la tropa ibertadora
i 5e ibra una de as bata as más importantes e¡ e
i
14" Pantano de Vargas con un saldo de 500 muertes en
Tu nja
i Puente de Boyacá
120
Bo ivar se prepara con arr'ras, municiones y comida, y
corta as lineas de comunicación de ejército rea lsta
De a i se dirige al puente de Boyacá
E centro de los combates donde se definró la nde
I
pendenc a de la Nueva Granada ;
Elabora un diagrama de líneas que muestre la
temperatura de los lugares por donde pasó Simón
Bolívar en su ruta libertadora.
Determina qué medidas de tendencia central es
posible encontrar con base en las temperaturas.
Calcula su valor y reab,za la interpretación de
acuerdo con el contexto.
Calcula el coeficiente de variación para las tem-
peraturas de los primeros seis pueblos por los que
pasó la tropa libertadora y para los últimos siete
pueblos. Escribe una conclusión.
Realiza un diagrama de cajas para las temperatu-
ras consignadas en la tabla, sin tener en cuenta la
temperatura de Pueblo viejo.
F-
25'
ffi

303. Probob¡¡idod
Filósofo, matemático y físico francés,
cors:de'ado rn¿ de l¿s nen e: pri
vi egiadas de la histori¿ occidental
Formuló l¿ teorÍa m¿temática de la
probabilidad, que es de gran impor-
tan(ia en est¿dístiras actuaria es, m¿-
temáticas y sociales
Generolidodes
La probabilidad estudia experimentos en los que se pueden esperar varios resulta-
dos y no solamente uno. Los experimentos se pueden clasificar como aleatorios o
determinísticos.
Un experimento determinístico es un ensayo en el que se sabe previamente el resultado.
U n experimento a leatorio es u na acción cuyo res u tad o no se puede p redecir con certeza.
Para que un experimento sea aleatorio debe reunir las siguientes tres condiciones:
.
Antes de rea\izar el experimento se deben conocer todos los posibles resultados.
. No es posible predecir un resultado en particular.
. El experimento se puede ejecutar infinitas veces con las mismas condiciones.
El espacio muestral es e conjunto que reúne todos os posibles resultados
que puede tener un experimento aleatorio. Se simboliza con 5.
A cada uno de los resultados del espacio muestral se le denomina punto muestral.
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral, cuyos elementos
tlenen una característica en común Se simbolizan con letras mayúsculas.
Como los eventos son conjuntos se les puede aplicar las operaciones y propiedades
de Ia teoría de conjuntos:
Evento simple o elemental: es aquel subconjunto que contiene un solo punto muestral.
Evento compuesto: es un subconjunto con más de un punto muestral.
Evento imposible: es un subconjunto de S que no contiene ningún punto muestral,
es decir, un subconjunto vacío.
Evento seguro: subconjunto que contiene los mismos puntos del espacio muestral S.
Unión de eventos: si ocurren por lo menos uno o varios eventos alavez. Así, si ocu-
rre el evento E o el evento F, ocurre E U F.
Intersección de eventos: si los eventos ocurren al mismo tiempo, es decir, si ocurre
el evento G y el evento H alavez, ocurre G n H.
Eventos mutuamente excluyentes: son subconjuntos cuya intersección es vacía.
Por ejemplo ,lanzar una moneda y un dado a la vez es un experimento aleatorio, su
espacio muestral es:
S :
{C1, C2,C3,C4,C5, C6, S1, 52, 53, 54, 55, 56}
el cual tiene seis puntos muestrales.
A partir del espacio muestral del experimento anterior, se puede observar el evento
M que consiste en que el dado cae en un número impar, así:
¡4: {Ct, C3, C5, S1, 53, 55}
es un evento que además es subconjunto de S.
3Ü¿
losantillana

304. Estándar: pensa m ien to al eatorio y pensa mienta va rtaciona I
x Ejernp[*
Para la siguiente situación establecer el espacio muestral. Luego, determinar dos
eventos y clasificarlos.
En un campeonato de futbol clasifican 4 equipos a las finales: Tigres (T), Leopardos
(L), Fabulosos (F) y Panteras (P). Se desea definir los tres primeros lugares.
El espacio muestral se puede determinar por medio de un diagrama de árbol así:
I
--- T
L<
.F
,-L
T<
-.:
p
--L
F<
-T
T
L
P
,L
FT
P
L
P
T
/
FF
T
PP
LT
L _ F P
P\P
\
L\T
\P
FF
P<
Se puede observar que cada camino corresponde a un punto muestral, es decir, el
primer camino ITF es el primer punto muestral de S, luego hay 24 puntos muestrales.
S :
{LTF, LTP, LFT, LFP, LPT, LPF, TLF, TLP, TFL, TFP, TPL, TPF, FLT, FLP, FTL,
FTB FPL, FPT, PLI, PLF, PTL, PTF, PFL, PFT}
Algunos eventos de este experimento son
Evento M: que los Tigres y las Panteras no queden entre los tres primeros equipos
¡uI :
{} es un evento imposible porque clasifican 4 equipos y se seleccionan 3,
alguno de los dos equipos tiene que ocupar uno de los 3 primeros lugares.
Evento Q: que los Fabulosos ganen el campeonato y los Tigres queden de segundo.
Q
:
{FTL, FTP} es un evento compuesto porque tiene dos puntos muestrales.
Q
O.t.r-ina si cada experimento cumple las condi-
ciones para ser un experimento aleatorio. Justifica
tu respuesta.
a. Lanzar tres monedas a la vez.
b, Identificar la hora que va a llover.
c. Determinar el promedio de las notas en un
curso de inglés.
d. Predecir la hora en que sale el Sol.
e. Sacar dos cartas de una baraja de póquer.
:j
fi)
ErtuUlece el espacio muestral de los siguientes
ii experimentos.
a. Lanzar un dado y dos monedas al mismo
tiempo.
b. Seleccionar tres colegios de cinco, para dotar-
los de aulas virtuales.
c. Lanzar dos dados distintos al mismo tiempo.
Escribe un experimento que se ajuste al
diagrama de árbol.
Determina el número de puntos muestrales del
espacio muestral.
De acuerdo con el diagrama de árbol escribe
un ejemplo de un evento simple y de un evento
seguro.
/A
,.s
D
/A
i-B
\C
b.
il
=4
Él Obr"rra el siguiente diagrama de árbol:
oSantillana
1303
ii
i¡
l¡
::
Ei
:i
ii

305. CaEeu!* d* pr*bahiE!C*Ces
Una forma de medir 1a probabilidad con la que se puede esperar que un evento su-
ceda es asignar un número real entre 0 y 1. Si se está seguro de que el evento ocurra,
se dice que su probabilidad es de 1 (o el 100%), pero si se está seguro de que el evento
no ocurrirá, se dice que su probabilidad es 0 (o del 0%).
Existen dos procedinientos por medio de 1os cuales se pueden obtener estimaciones
para 1a probabilidad de un evento: enfoque clásico
,v
el enfoque como frecuencia
relatirra.
Enfoque clásico o a priori En un experin-rento a eatorio a probabilidad de que un evento
t ocurra es:
P(E) :
if
Donde #Ees a cantldad de puntos muestra es de eve¡to Fy #5 es la cantidad de puntos
en e espacio muestra 5
Por ejemplo, para calcr.rlar la prob:rbilidad de sacar una balota con un núnero par di-
ferente de 0, de una bolsa qr-re contiene 10 balotas llarcadas con los dígitos, se tiene
que S :
[0, 1, 2, 3, 4, s, 6, 7, 8, 9] )'E
:
\2,1,6, 8]. Luego #S :
10 y #E :'1.
Con
lo cual la probebilicl¿d de sacal un núnrero parer P(E) :
+ - *
: O't
=.§ I0
Es decir, hav un 409ó de probabilidad de extraer una balota con número par.
Enfoque como frecuencia relativa o a posteriori: [a probabi idad de que ocurra un
evento E, después de nrucras repeticlones de erper mento, es a frecuencia re ativa de
a.a -a o
oa .
pi,rj :L:fr
ll
Donde ies a frecuencia abso uta del e\/e'rtoVr e tota de datos
Por ejemplo, en una tábrica de bombillos se desea deterninar Ia probabilidad de
obtener bombillos defectuosos en un proceso de fabricación. Para tal fin se tomaron
varias muestras, desde 20 hasta 10.000 bombillos
1,
se observó el número de r"rnidades
defectuosas en cada caso. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
No. bombillos muestreados n No. bombillos defectuosos
I zstsoo:0,056
A partir de los resultados del experimento se puede concluir que Ia probabilidad de
obtener bombillos defectuosos es de 0,05 (5%). Nótese que a medida que se aumenta
la cantidad de repeticiones del experimento la estimación de la probabilidad se hace
más exacta.
2/20 - 0,1
12/20a: 0,06
54/1 0A0: 0,054
097/2 000 :
0,0,185
)41/5.a)A - 0,0,+88
I so+lto.ooo :
o,o5o4
=[4
iosantillana
20 2
50 3 3/s0 :
0,06
r00 4 4/100: a,04
200 12
500
to
/ l)
r 000 54
2 000 97
5 000 244
10000 504

306. €stándar: penscmienrc aieatorio
;t
penscmtenro vcriactonal
Pnopiededes de la pnababiiíde d de even?cs
A partir de la definición de probabilidad se establece que:
.
La probabilidad de un evento está en el intervalo cerrado [0, 1].
. La probabilidad de un evento seguro es 1.
.
La probabilidad de un evento imposible es cero.
.
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces,
P(AUB):P(A)+P(B)
.
Si los eyentos Ay B no son mutuamente excluyentes,
P(Au B) : P(A) + P(B) -
P(A n B).
.
La probabilidad de que no suceda A es: P'(A) : I -
P(A)
En una bolsa hay 5 balotas numeradas del 5 al 9. Se extraen dos balotas, una
detrás de otra sin del'olverlas a la bolsa. Se anotan los resultados formando
números de dos cifras.
¿Curíl
es la probabilidad de formar un número múlti-
plo de 4 o formar un número mayor que 87?
El espacio muestral de este experimento está dado por:
5 :
{56, 57, 58, 59, 65, 67, 68, 69, 7 5, 7 6, 7 8, 79, 85, 86, 87, 89, 95, 96, 97, 981,
y los eventos:
B :
lxlx es múltiplo de 4) :
{56, 68, 76,961y
P: {xlx> 87l¡ :
{89,95,96,97,98l¡
no son mutuamente excluyentes puesto que E ñ
p :
{96]¡.
Luego #S:2A,#E: 4,#F: 5, #(E n F) :
1.
Si se utiliza el método clásico se tiene que:
p(E\: #E : 4 :o.2:p(F)- #F
-
5
-^.-
#-: n:v,z;r/: #s: n:v,z)i
P(E.P¡:
#(Ef F):+:0,05
'#s20
Por tanto la probabilidad del evento "formar un múltiplo de 4 o formar un nú-
mero mayor que 6" está dada por:
P(E U F) : P(E) + P(F) -
P(E n F) :
0,2 + 0,2s -
0,05 :
0,4
Un circuito electrónico contiene dos componentes MyN. Cuando se conecta
el circuito funciona si cualquiera de los dos componentes funciona. Se sabe
que la probabilidad de que funcione M es P(M) :0,9;
la de Nes P(¡{) :
0,85 y
la de que el sistema funcione es de P(M U N) : 0,92. ¿Cruiles
la probabilidad
dequefuncione MyN?
La probabilidad de que el sistema trabaje es igual a la probabilidad de la unión
entre M y N. De esta manera:
P(MU N) :P(M) +P(i9 -P(Mn^/)
Para encontrar la probabilidad de que funcionen los componentes M y N se
encuentra la probabilidad de M intersectado N, luego:
P(MU N) : P(M) + P(N) -
P(M n N)
0,92:0,9+0,85-P(MaN)
Asi P(M a N) :
0,9 + 0,85 - 0,92: 0,83.
Por tanto Ia probabilidad de que funcione M y N es de 0,83, es decir, hay un 83%
de probabilidad de que funcionen los dos componentes a la vez.
roSantillana !3Ú5
I

307. Cálculo de probabilidades
$
U"u carta se extrae
aleatoriamente de
una baraja de póker
que contiene 52 car-
tas. Determina el es-
pacio muestral para
cada evento.
a. Evento A: Obtener un as.
b. Evento N: obtener una jota de trébol.
c. Evento P: obtener un trébol o un diamante.
d. Evento Q: obtener un corazón.
e. Evento R: obtener cualquier carta excepto un
diamante.
f. Evento S: no obtener ni un tres ni un corazón.
g. Evento T: obtener una pica y un tres.
Alicia y Jos¿.
a. Determina cuántos y cuáles comités diferentes
es posible formar.
b. Encuentra Ia probabilidad de cada uno de los
siguientes eventos.
. El comité está formado sólo por hombres.
. En el comité esta Pedro.
. Alicia no está en el comité.
. Pedro y Iuan están en el comité.
. Ni Iosé ni María están en el comité.
. El comité está formado solo por mujeres.
. En el comité hay por Io menos una mujer.
*)
Considera el siguiente experimento aleatorio.
M: Se Ianzan dos dados al mismo tiempo.
a. Determina el espacio muestral del experimento
aleatorio.
b. Encuentra la probabilidad de los siguientes
eventos:
. AI sumar las caras de los dados el resultado
es mayor que 5.
#) s" va a conrormar un comlte compuesro por tres
l. Ev
il - O".ronas.
Los candidatos son: Juan, María, Pedro,
e
Se lanza 200 veces un dado y se obtiene la siguiente
Para un experimento aleatorio se establecieron
algunos eventos, cuyos elementos se muestran a
continuación:
E: {55,66,77,88,99}
P :
{00, 22, 33, 44, 55, 66\
5 :
{05, 15, 25, 35, 45, 55, 62,75, 85, 95}
H: {10, 20,30,40}
a. Determina el espacio muestral si se sabe que:
EUFUGUH:S
b. Encuentra la probabilidad de E U F.
c. Calcula la probabilidad de F U H.
d. Halla la probabilidad de F U G U H.
e. Determina la probabilidad de G a H.
f. Identifica cuáles pares de eventos son mutua-
mente excluyentes.
tabla:
1 2 3 4
a
l 6
24z+lzo
l1
)L 3638/
a. Utiliza la frecuencia relativa para calcular la
probabilidad de que allanzar el dado se ob-
tenga un número impar.
b. Determina la probabilidad de obtener un nú-
mero menor que tres o un número mayor que 4.
c. Determina la probabilidad de obtener un múl-
tiplo de tres que sea par.
d. Determina la probabilidad de obtener un nú-
mero entre dos y cinco.
e. Determina la probabilidad de obtener un uno.
f. Determina la probabilidad de obtener un múl-
tiplo de 5.
@
\>
ip Soluciono problemos
'
obtener números iguales'
una máquina puede trabajar con dos sistemas
'
Por lo menos en un dado sale un número
distintos, uno manual y otro electrónico.
impar.
. Obtener un múltiplo de 3 y un número
La probabilidad de que funcione manualmente es
mayor que 5. ,
d" 0,88, y Ia probabilidad de que funcione eléc-
. Obtener un número primo o un número
tricamente es de 0,85. Así mismo, la probabilidad
par.
de que funcione con ambos sistemas es de 0,68.
. por lo menos en un dado sale un número
, Determina la probabilidad de funcionamiento de
..,:
Par'-
máquina'
306
losantillana

308. I
I
t
I
I
lf
li
ti
ti
ti
[É
lf
ti
fi
il
§t
ii
!t
¡:
Ei
tÉ
É:
É
Están dar : pe n s a n i entc a I e cta t I o y p e n sa m i e- nic v'a ri a ci o n a I
Técnicos de conteo y probob¡lidod
Para calcular las probabilidades de varios eyentos es necesario encontrar el número
de posibles resultados de un experimento y contar el número de puntos muestrales
que cumplen la condición dada en el evento. El proceso de conteo puede simplificarse
mediante el empleo de tres técnicas de conteo que son: principio de multiplicación,
permutaciones y combinaciones.
En las técnicas de conteo influyen dos aspectos: el orden y la repetición.
Orden: cuando en el listado de todos los posibles resultados del espacio muestral, es
importante la posición en que se escriben los elementos.
Repetición: en el caso en que un mismo elemento se puede escribir más de una vez.
Por ejemplo, si se considera el experimento lanzar una moneda dos veces, el espacio
muestral es S :
iCC,
CS., SC, SS). La primera posición de cada punto muestral indica
el resultado delanzar la moneda por primera vezyla segunda posición, el resultado
del segundo lanzamiento. En este caso el orden es importante puesto que CS signifrca
que en el primer lanzamiento cayó cara y en el segundo cayó sello, mientras que en
SC primero cayó sello y luego cara. Por otra parte, hay puntos muestrales que tiene
elementos repetidos. El punto SS significa que en los dos lanzamientos de la moneda
se obtuvo sello.
Principie de multiplieeeión
Es una técnica de conteo que se aplica en experimentos aleatorios en los cuales:
. Importa el orden en que se escriben los elementos yi o estos se pueden repetir.
.
Existen varias fases para realizar algún experimento y en cada fase hay diferentes
maneras de hacerlo.
Si u¡ evento A puede ocurrir de n, maneras, y una vez que este h¿ ocurrido, otro evento B
puede ocurrir de n, maneras diferentes, y asisuceslvamente, entonces ei número total de
formas diferentes (# 5) en que Jos eventos pueden ocurrir en e orden rndicado es igual a:
#5-n,Xn.XntX
Por ejemplo, en un restaurante se ofre-
cen menús con una entrada, un plato
fuerte y una bebida. Si en la carta apa-
recen 3 entradas: empanadas (E), pla-
tanitos (P) o sopa (S); 3 platos fuertes:
carne (C), pollo (P) o pescado (Pe);
y 2 bebidas: jugo (l) o gaseosa (G); el
número de menús diferentes que se
pueden hacer es:
#S:3X3X2:18
Las opciones se pueden representar mediante el siguiente diagrama:
EPS
/'/>--1--\
C
IG
CPoPe
..r''
't..
, "t\.
l \,
JG JG IG
Pe
IG
PoPeCPo
IG JG IG JG
o:;ntiliana
l30l

309. Frincipio de multipEieación
x Ejemptos
Por seguridad, en un supermercado, colocan códigos de barras a los artículos
que contienen 3 letras y 4 números. Calcular la probabilidad de que al elegir
un código de barras, este corresponda a un aceite vegetal, teniendo en cuenta
que el código empieza con la letra V y termina en cifra par.
Para poder encontrar la probabilidad primero se halla el número de elementos
del espacio muestral S y del evento. Como se pueden repetir letras y dígitos, se
utiliza el principio de multiplicación sabiendo que hay 26letras y 10 dígitos.
Luego el número de códigos de barra posibles para los aceites está dado por:
#S:26x26x26 x l0 X t0 X 10X 10 -175.760.000códigos
letras dígitos
Ahora, sea B el evento "el código empieza con V y termina en cifra par'l hay una
letra V y 5 dígitos pares (contando el 0). Entonces el número de puntos mues-
trales de B es:
#B : I x 26x 26 x l0 x 10 X 10 X 5 :
3.380.000códigos
Luego, usando el método clásico se tiene que la probabilidad del evento B es
P(B): +:
':=399f99=
:0'0te23
#.s t75.760.000
Por tanto, la probabilidad de escoger el código de un aceite vegetal es del1,92o/o.
En un congreso universitario se tiene la siguiente programación.
PROGRAMA PRIMER DiA
7:00 - 9:00 a.m. 5er¡inarios
. Sistematización
. Pedagogía
. Aplicaciones
9:00 - 10:00 a.m. Conferencias
. Las redes virtuales
. El mundo de la ciencia
10:30 a.m.-.1 2:00 m. Pósteres.
. Gaiileo
. Ne'úiton
Un estudiante inscrito en el congreso mencionado tiene que asistir a un se-
minario, a una conferencia y a la exposición de un póster.
¿Cuál
es la proba-
bilidad de que el estudiante elija el seminario de pedagogía?
El número de elementos del espacio muestral está dado por #S :
3 X 2 x 2: 12.
El evento E: 'que se elija pedagogía" contiene #E : I X 2 X 2: 4 puntos mues-
trales.
La probabilidad de que un estudiante elija el seminario de pedagogía es
P(E) :
fi:0,33.
Por tanto, hay un 33o/o de probabilidad de que un estudiante escoja el seminario
de pedagogía.
308
|
osantillana

310. Está nd ar;
¡:e
t: sa m t entc a i eato r t o
;, Den s c m ! ento va n a ct a n c I
Permutociones
Una permutación es una técnica de conteo en la cual es importante el orden en el que
se escriben los elementos Ce cada punto muestral, pero no hay repetición.
Si de un q-upo de iV elenrentos se desea eleg r crerta cantidad n de e os,
donde importa e orden, a cantidad de permutaciones posib es está dada por:
Nfn
-
(N -
n)l
DondeA/1 : (,) x (,ry 1)x (AJ- 2) x x)x1y0l :
I
Por ejemplo, si se tienen las vocales y se quiere hacer arreglos o pern-rutaciones con
tres de ellas, el número de permutaciones posibles es de:
D- 5:-'r
- (5 3):
:60
Por tanto, es posible hacer 60 arreglos distintos conlbrmados por tres vocales.
:6!:6!
0! 1
:6X5X4
Con los dígitos primos se quiere formar núme-
ros de 3 cifras. ¿Cuál
es la probabilidad de que
el número formado sea par?
Para establecer la probabilidad, primero hay que
determinar la cantidad de puntos muestrales del
espacio muestral, es decir, la cantidad de núme-
ros distintos de tres cifras que es posible for-
mar. Los dígitos primos son: 2, 3, 5 y 7, luego
N :
4, y como se quiere formar de tres cifras, así
fl :
3, entonces #S está dado por:
#S : ,P,
(4 _
3)r
:4L:4x3x2Xr:24
1I
El evento E: 'que el número sea par" indica que la
última cifra sea el número primo 2ltego quedan
solo 3 números para permutar en las dos posicio-
nes restantes, así:
3r
(3 -
2)t
X2Xl:6
Por tanto la probabilidad de formar un número de
tres cifras par con los dígitos primos es:
P(E) + = 0,25. Es decir, del 25
oo.
24
3l
J
1!
m ffijerrep §
Se quiere ordenar 6 bolas de colores diferentes
en una fila.
¿De cuántas maneras diferentes se
puede hacer esto?
En este caso se deben ordenar las 6 bolas en 6 po-
siciones. La primera posición puede ser ocupada
por cualquiera de las 6 bolas, es decir, hay 6 ma-
neras de llenar la primera posición. Cuando esto
se haya hecho, hay 5 maneras de llenar la segunda
posición. Luego, hay 4 maneras de llenar la tercera
posición, 3 maneras de llenar la cuarta posición, 2
maneras de llenar la quinta posición y, finalmente,
solo una manera de llenar la última posición. Por
tanto, el número de arreglos de las 6 bolas en una
filaes:6 X 5 X 4 X 3 X 2 X | :
720.
Para calcular el número de permutaciones tam-
bién se puede usar la ecuación
rP,
donde
N : n: 6, es decir,
uPu
D- 6!
u'u-
(6-6)
X3X2X1
:720
Luego, las 6 bolas se pueden ordenar de 720 mr
neras diferentes.
@Santillana
I
3ü§

311. Combinociones
Una combinación es una técnica de conteo en la cual no importa el orden y no hay
repetición en los elementos de un punto muestral.
Si de un grupo de /V elementos se desea elegir cierta cantidad n de ellas, la cantldad
de combinaciones posibles o elementos del espacio muestral está dada por:
- -lr)-
,ry:
*" -
[n l- (,v - rrl,t
\" ./
un grupo de I I
¿de cuántas formas se les puede
seleccionar?
En este caso el orden no es importante, pues sim-
plemente se va a elegir un grupo de 5 personas.
Tampoco hay repetición de elementos pues una
persona no puede ser seleccionada dos veces en el
mismo grupo. Por tanto, para encontrar el número
de formas distintas para hacer la selección, se rea-
liza una combinación con N :
9 y n :
5, luego:
r- _ 9l _ 9X8X7X6 _,.,
(9-5)!5: 4x3x2xt
Así, de un grupo de 11 personas se puede selec-
cionar una comisión de 5 de ellas, de 126 formas
distintas.
conforma un comité de 2 médicos y 3 enferme-
ras.
¿De
cuántas maneras se puede hacer esto si
una enfermera determinada debe pertenecer al
comité?
De los 5 médicos se van a elegir 2, entonces se tiene:
^_
5l
Como una enfermera ya está en el grupo, quedan
6 para seleccionar de ellos solo 2. Entonces:
6l
Por consiguiente, el número total de posibles for-
mas de hacer la selección está dado por:
,Cr. uCr:
(10)(15) :
150.
Este comité se puede conformar de 150 maneras.
31Ü
l.e
lantillana
ffi
t" va a elegir una comisión de 5 personas de
:
10 maneras.
6X5:
15 formas.
La diferencia entre una permutación y una combinación es que en la primera el
interés recae en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de estas,
mientras que en la segunda el interés se centra en contar el número de selecciones
diferentes.
Ü
t" quiere preparar ensaladas que contengan por
lo menos uno de los siguientes ingredientes:
lechuga, tomate, cebolla, zanahoria y espinaca.
¿De
cuántas maneras se pueden preparar dichas
ensaladas?
Para preparar la ensalada con al menos un ingre-
diente puede seleccionarse 1 de los 5 ingredientes,
2 de los 5 ingredientes,..., 5 de los 5 ingredientes.
Luego el número requerido de ensaladas está dado
por:
-c.-.c.F.c.+.c.+-c.
)t)lfJfafl
:5f10+10+5+1:31
Se pueden preparar 31 ensaladas con al menos uno
de los 5 ingredientes.
x Ejempl,os
De un grupo de 5 médicos y 7 enfermeras, se@
4" una caja hay 15 balotas blancas, 45 balotas
verdes y 30 balqtas rojas. Si se sacan tres balotas
alavez,¿cuál es la probabilidad de que salga una
balota de cada color?
Los casos posibles son las diferentes formas de
sacar 3 bolas entre 90. Como el orden no debe
tenerse en cuenta, estos casos son:
9ol _:
g0!
:il7.480
eoL¡ - (9ol¡l .3: - (8ry..31 -
tL¡''
La cantidad de elementos del evento A: 'que salga
una bola de cada color" es:
(#A) :
15 x 30 x 45 :
20.2s0.
Luego, la probabilidad del evento A se halla así:
p(A\= 20.250
=0J724
tt7.480
Por tanto, la probabilidad de que salga una bola de
cada color de la caja es del 17,24o/o.
Con las teclas de la calcu-
ladora ,{ y,( se pueden
calcular permutaciones y
com brnaciones.
Q.
nrcurRDA euE...
ij
:i
:i
:l
!l

312. Estándar: penscmiento alearorio y pensa
Elabora un diagrama de árbol para mostrar las En Colombia los números telefónicos de los celu-
lares se componen de 10 dígitos.posibilidades que tiene eI estudiante, para asistir a
las conferencias del primer día en el congreso que
se menciona en el ejemplo 2 de la página 308.
Se quiere formar números de cuatro cifras con los
10 dígitos. Cuántos números distintos se puede
formar si:
Los dígitos se pueden repetir.
No puede haber una cifra repetida en cada
número.
c. El último número tiene que ser 4 y no se puede
repetir dígito.
Un obrero recibe como dotación 5 overoles, 3
pares de botas y 4 cascos. ¿De
cuántas rltaneras
distintas se puede vestir?
Calcula el número de posibilidades que hay para
sentar a 9 personas en 9 asientos.
En una urna hay tarjetas con las siguientes letras:
a, b, c, d, e, f, g,h, i, j, o, e
Determina eI espacio muestral del evento que con-
siste en extraer una de las tarjetas de la urna y que
la tarjeta elegida sea una vocal abierta.
tr Soluciono Droblemos
En una empresa se van a elegir dos personas para
cubrir las horas extras en un fin de semana. La
elección está entre Mónica, Paola, |uanita y Lina.
Determina cuántas maneras hay de seleccionar
a las dos personas.
Realiza un diagrama de árbol para mostrar
todas las posibilidades de seleccionar a las dos
personas.
Encuentra la probabilidad de que Paola no sea
elegida.
Calcula la probabilidad
entre las seleccionadas.
Halla la probabilidad de
Mónica o Lina.
Si las compañías de celulares deben tener los
primeros tres números fijos, ¿cuántos
números
telefónicos puede tener cada compañía?
¿Cuál
es la probabilidad de comprar un celular
cuyo número telefónico termine en tres ceros?
Para preparar una
ensalada de frutas se
tiene: melón,papaya,
banano, fresa, mango
y manzarla.
a. Encuentra Ia pro-
babilidad de pre-
parar ensaladas
con 3 ingredientes
como máximo.
b. Halla la probabilidad de que al preparar ensa-
ladas con 4 ingredientes, estén el banano
,v
la
fresa incluidos.
ffi
Cirr.o senadores de la república serán enviados
a una cumbre latinoamericana. EI presidente del
Senado en ía a1 Presidente de la ReprJrblica una
Iista que contiene los nombres de 10 hombres
1.
4 mujeres. Si el Presidente de la República decide
que va a enviar 3 hombres y 2 mujeres,
¿de
cuántas
maneras puede seleccionar el grupo de senadores
que asistirá a Ia cumbre?
En la lotería de una ciudad se sacan seis balotas
de una urna que contiene 49, todas con Ia misma
probabilidad de salir. Calcula la probabilidad que
tiene una persona de acertar los seis números del
sorteo de esa lotería.
El código pin de un celular está for-
mado por cuatro dígitos.
a. Halla el número de códigos dife-
rentes que puede tener un celular.
b. Calcula la probabilidad de que al
escoger el código de un celular, el
último dígito sea un número primo.
a
a.
b.
b
c.
d
e
de que luanita esté
que sea seleccionada
Se tienen 20 preguntas para elaborar un examen
de admisión a la universidad que debe contener
únicamente 10 preguntas.
¿De cuántas maneras se
puede hacer Ia selección?
Una máquina hace tomillos para motores. Explica
cómo calcularías la probabilidad de que al escoger
un tornillo aI azar, este sea defectuoso.
osantilian:
|
3li

313. Probcbi¡idcc eüft *ieá*ncÉ
Laprobabilidad de uner.entoA, cuando se sabe quehaocurrido unevento B, se denomina
probabilidad condicional. Se sin-rbolíza P(AlB)
1'
se lee Ia probabilidad de A dado B.
Para calcular la probarbilidad de Lrn evento dado que ha ocurrido otro, se tiene una
restricción en el espacio muestral. E1 nnevo espacio muestral está formado por el
número de elementos de1 evento que sucedió
¡rrimero.
Dados os eventos A y B se define a probab lrdad de,4 dado B como:
P(A/ B) -
En una clase hay 12 niños y 15 niñas. De los ;
S" lanza un dado rojo y otro dado blanco. Si Ia
estudiantes, 8 niños y I I niñas utilizan Internet i suma de los puntos obtenidos es 5, hallar la pro-
todos los días. Si se elije un estudiante al azar j babilidad de:
calcular la orobabilidad de:
' a. (¿ue en argun oaoo sarga un J.
a. Que sea niña, sabiendo que utiliza Internet
i
p.irrrero,
se determina el tipo de evento del cual se
todos los días.
!
quiere calcular la probabilidad.
Como todos los estudiantes tienen la misma pro-
;
babilidad de ser escogidos entonces, r;';;JJ; , 1'
obtener una suma de 5 puntos'
considerar los siguientes eventos: :
B: obtener un 3 en alguno de los dados'
:
A: ser niña !
Entonces, se debe calcular la probabilidad del
B: ser niño
evento B dado que ocurrió el evento A, es decir,
P(AtB).
C: utilizar Internet todos los días
Para este caso se debe calcular P(AlC), entonces:
Segundo, se calcula 1a probabilidad teniendo en
cuenta que:
P(Al B) :
tes que usanrnrerne, ^
:
ilt, +1, (2,
-3),
(3, 2), (1' 1)]
rr
P(A) : {
:
ii : A.57894737
36
re
AoB:{(2,3),(3,2)}
Es decir, la probabilidad de que sea una niña dado
que usa Internet es de 57,89% , P(A n B ) - +
)o
b. Que no utilice Intemet, sabiendo que es un
niño'
LrrrLL' rcurerruu ,uL
I
PGIA) -
o(*'?'u)
-
P(A)
Se considera D: no utilizar Internet todos los días.
Se debe calcular P(DlB),entonces: = 4
:
O,;
+
p(D
I B) -
número de]]l"^s-:ie^::=.1t"" Internet Luego, la probabilidad de que
",1u 9"
Ias caras su-
núl¡'ero de niños periores de un dado sea 3 cuando la suma de 1os
r,
-
.q ¿ dados lue 5 es de 0,5 o del 50
o/0.
12
-
L
-u,rrrJrJJr
b. Que en algún dado salga 5.
Entonces, la probabilidad de que no utilice In- r ,
ternet, dado que es un niño, es de 33,3%. llt:",'^1tll1t'::l:i]*n:,: -0"'"
que las sumas de
los clados den r. estas deben teller puntos menores
que 5 no iguales a 5.
=]E
loS¿ntiliana
;
5
l

314. A una excursión asisten estudiantes, padres y
profesores de dos colegios como se indica en la
siguiente tabla:
I Estudiantes PadresProfesores
CopoioB 0 4
Si se escoge una persona al azar y resulta per-
tenecer al colegio B, ¿cuál
es la probabilidad de
que sea un profesor?
Primero se definen los siguientes eventos:
A: la persona pertenece al colegio B.
B: 1a persona es un profesor.
Al seleccionar una persona, resultó ser del co-
legio B. Es decir, e1 evento que ya ocurrió fue el
evento A, así que A es condición para
llue
ocurra
el evento B.
La probabilidad que se debe calcular es P(B/A).
Lr"rego, es necesario calcular P(A ñ B), según la tabla
las personas del colegio B que son profesores es 5.
Entonces,P(A n B): .lademás,P(A): ++
il2 )2
Luego,
P(BtA
P(4 1 B) :
--s :
o,o8{7-157ó
P(A) 3e
La probabilidad de que Llna persona escogida sea
protesor dado que pertenece al colegio B es de
8,5% aproximadamente.
§5 Soluciono oroblemos
Escribe cóno se lee la expres íón P(Cl B) teniendo
en cuenta que:
C: sacar una balota con el número 1.
D: sacar una balota verde.
Se selecciona una familia que tiene dos casas. Sean
A: la casa más nueva está en la ciudad
1'B:
la casa
más antigua está en las afueras de la ciudad. Si
P(A) :
0,8, P(B) :
0,5 y P(A a B) :
0,3, calcular
1as siguientes probabilidades:
a. P(AIB) b. P(B/A)
Se va extraer una licha de una urna qlre contiene 3
fi.chas rojas, 2 fichas azules y 5 fichas verdes, nurle-
radas de 1 a31,ds 1 a2yde 1 a 5, respectivamente.
Calcula Ia probabilidad de que al sacar una ficha
verde, esta:
a. tenga el número 1.
b. tenga un número par.
En una caja de trufas hay 5 de chocoiate blanco,
y 15 de chocolate negro. Si 2 trufas de chocolate
blanco y 10 de chocolate negro tienen relleno de
fresa y se escoge una trufa al azar, calcula la pro-
babilidad de que la trufa escogida.
a. sea de chocolate negro y esté rellena de fresa.
b. no tenga relleno o sea de chocolate blanco.
c. esté rellena de fresa sabiendo que es de choco-
late negro.
El médico de una etnpresa tiene una tabla en 1a que
registra a los empleados según el sexo
,v
la condi-
ción de fumadores. A partir de la tabla detern-rinir
la probabilidad de que al escoger a LIna persona sea
funladora dado que es tnujer.
Fumador No fumador
I ¡n I r¡
Mujer
I
,o
i
,,. Hombre I go
i o¡
Una empresa de transporte tiene dos camionetas
A y B, y tres conductores: Mateo, )avier y Dana. La
siguiente tabla muestra los viajes realizados por los
conductores y camionetas durante el último mes.
_il"l""
l"r'",_
9ü _
Si durante uno de los viajes una de las camionetas
tur.o un accidente, calcula la probabilidad en cada
CASO:
a. que Dana fuera la conductora del vehículo
accidentado.
b. que la camioneta afectada fuera la B.
.o Santillana i 3.!3
i*"-

315. Estodislico
Determina en qué caso es más conveniente estu-
diar la población o la muestra.
a. El diámetro de las tuercas para tornillos que
produce una fábrica de manera continua.
b. La estatura de los integrantes de un equipo de
fútbol.
c. El peso promedio de los habitantes de una ciu-
dad.
Coracterizoción de voriobles
Los siguientes datos muestran cómo está repartida
la mano de obra de los trabajadores de una ciudad.
AgrariolndustrialServiciosOtros
280/o 354/o 30o/o 7o/o
Representa los datos anteriores en el gráfico más
adecuado.
En un colegio se realizaron unas olimpiadas de
matemáticas y los puntajes de la final se muestran
a continuación.
138,167, l5l,170,175, 138, 148, 153, 178,742,
t37, t57,145,146,148, 155, 167,142, t54,133,
t33, t52, t57, t49, 169, 159, 148.
a. Identifica la población y el tamaño de la pobla-
ción.
b. Determina la muestra, un posible marco mues-
tral y una técnica de muestreo que se puede
lutilizar.
c. Escribe cuál es la variable del estudio y el tipo
de variable.
d. Realiza un diagrama de tallo y hojas.
e. Encuentra media, mediana, moda y cuartiles.
Realiza la interpretación de cada una de las
medidas encontradas.
f. Encuentra el decil 4 y el percentil 65. Interpreta
estos resultados.
Responde:
¿cuáles
son los dos puntajes más altos
y cuáles los dos más bajos de las olimpiadas?
Elabora una tabla de distribución de frecuen-
cias con intervalos.
Encuentra las medidas de tendencia central:
media, mediana, moda con la distribución de
frecuencia con intervalos y compáralos con
Ias medidas de los datos sueltos. Escribe una
conclusión.
o
b'
h.
1
Q
a" la universidad, un alumno obtuvo las siguien-
tes notas en los trabajos de física: 3,0; 4,0; 3,5;
3,0; 3,0; 3,5;2,5 y no recuerda la nota del último
trabajo. Si el promedio es 3,1,
¿qué
nota obtuvo en
ese último trabajo?
S
O.t".-ina qué valor se puede añadir al siguiente
grupo de datos de tal manera que la mediana siga
siendo la misma: 18, 8, 7, 9,12, 15,2l,y 12.
@
t" realizaun estudio sobre la cantidad seguros que
venden los trabajadores de dos compañías A y B
a la semana. Los resultados se muestran en el siguien-
te diagrama de frecuencia absoluta acumulada.
12345
Compañía A Compañía B
a. Determina la población, muestra, variable, tipo
de variable, clase de muestreo.
b. Realiza una tabla de frecuencias para cada com-
pañía.
c. Determina cuál de las dos compañías presenta
una mayor dispersión en los datos respecto a la
media. |ustifica tu respuesta.
d. Encuentralavarianza y la desviación estándar
de cada compañía. Halla un intervalo de con-
fi.anza del90o/o para cada compañía y realiza su
interpretación.
e. Calcula el coeficiente de variación para cada
compañía. Escribe una conclusión compa-
rando los resultados.
f. Si se otorga un reconocimiento a la compañía
que tenga una desviación menor a 5,0,
¿cuál
compañía puede acceder al reconocimiento?
O
Construye las tabla de frecuencias que corres-
ponde al siguiente histograma. Luego determina
las medidas de tendencia central y las medidas de
dispersión.
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
7
6
.:5
ü)
rl
0
31a
I
o Santillana
10 20 30 40 50

316. El periódico de un colegio hace un estudio esta-
dístico para analizar el tiempo dedicado a cada
tipo de información que presentan los principales
noticieros del país. Después de elegir qué variables
trabajarían, se organizó una tabla que muestra el
porcentaje de tiempo que se dedica en el noticiero
a las noticias de cada tipo.
a.
b.
Determina si el cuadro está bien elaborado.
Determina cuál de los noticieros reparte más
uniformemente el tiempo.
Construye un gráfico en el que se puedan ob-
servar los datos de la tabla.
C.
Ciencia 0,5 % a2o/o a7
a/o
Economía 15,5 % 15,1
a/o
20,14/o
Cu ltu ra 12
a/o
16,3
a/o r0%
Deportes 30% )67
a/o
20,7
a/o
Entretenimientot0?ó 19,5
0¿
20,6
a/6
Terrorismo 1460/o 8,6 7o 1 5,7
a/o
Meteorología 17 4
alb
1364/o 11,94/o
Probobilidod
Unabarajade 52 cartas estácompuestapor: 13 cora-
zones rojos, 13 diamantes rojos, 13 tréboles negros
y 13 picas negras. De las trece cartas de cada pinta,
una es un as, 9 son números del 2 al t0 y las restan-
tes son figuras humanas. Si se mezclan muy bien
y se saca una carta, halla la probabilidad de sacar:
a. una carta roja. c. un número.
b. una figura. d. un as o un número primo.
Para el experimento aleatorio que consiste en
lanzar 2 dados de diferente color. Realiza -[o que se
indica.
a. Encuentra el espacio muestral.
b. Determina los elementos de cada er¡ento.
Evento A: "la suma de los dos resultados es
rrenor que 7".
Evento B: "los resultados son diferentes en 1os
2 dados'l
Evento C: "la suma de los 2 resultados sea
menor que 2'1
Evento D: "la suma de los 2 resultados sea
mayor que 1'1
c. Clasifica los eventos anteriores como seguro,
imposible, simple o compuesto.
Determina la cantidad de números diferentes de
tres cifras que se puede formar con 3 cuatros, 4
cincos y 2 unos.
Técr¡icas de eünfeü y prCIbcbiiidetd
Determina cuántos nún-reros de tres cifras, nin-
guna de ellas repetidas, se pueden formar con Ios
dígitos impares.
¿Cuáles
son esos números?
Determina de cuántas formas pueden sentarse 3
hombres y tres mr-rjeres en torno a una mesa, si
a. se pueden sentar donde quieran.
b. cada mujer debe estar entre dos hombres.
Con 4 tarros de pintura: amarilla, azul, roja,1'b1anca,
¿cuántas
mezclas de dos colores se pueden hacer?
En una universidad de un grupo de 5 matemáticos
y 6 biólogos se quiere formar el grupo de investi-
gación que debe tener 2 matemáticos y 2 biólogos.
¿De
cuántas formas diferentes puede formarse el
grupo de investigación en cada caso?
a. Si puede pertenecer cualquier persona.
b. Un matemático determinado no debe estar eu
e1 grupo de investigación.
Si se lanzan cuatro rlonedas al mismo tiempo,
¿cuál
es la probabilidad de que en el lanzamiento
se obtengan dos caras y dos sellos?
En una guardería hay
10 niños y 12 niñas. Si 6
niños
,va
saben caminar y
6 niñas no saben caminar,
calcula 1a probabilidad de
que al elegir uno de los
bebés, este
a. sea nlna.
b. sea niño.
c. sepa camrnar.
d. sea niño dado que sabe caminar.
e. sepa caminar dado que es niña.
A un restaurante asisten 28 hombres y 30 muje-
res. De ellos 16 hombres y 20 mujeres ordenaron
carne, el resto pidió pollo. Calcula la probabiliclad
de que al elegir una persona al azar se presente que
a. sea hombre.
b. ha1'¿ ordenado
Pollo.
c. haya ordenado pollo y sea hombre.
osantiilana
i3i5

317. Es la ciencia encargada de recopilar y
ordenar datos referidos a diversos fe-
nómenos para su posterior análisis e
interpretación.
Población: es el con;unto de elementos
sobre el que se realiza el estudio esta-
dístico. La población se clasrfica como
finita o infinita.
Muestra:es la parte de la población que
se estudia.
Marco muestral: es una lista de ele-
mentos o unidades de la población del
cual se puede seleccronar una o varas
muestras de acuerdo con el estudio que
se realrce.
Tipos de muestreo:
. Muestreo aleatorio simple
. Muestreo estratificado
. Muestreo sistemático
Distribución de frecuencias: es una
tabla en la cual se registran todos los
valores de la variable y se relacionan con
d iferentes f recuencia s:
Frecuencia absoluta f
Frecuencia relativa f, : f
n
Frecuencia porcentual:
ak : fr X 100.
Frecuencia acumulada absoluta F.
Frecuencia acumulada relativas Fr
Representación grafica: se utiliza e
diagrama de barras y el dragrama cir-
cu la r,
Moda i: es el valor de la observación
que ocurre con mayor frecuencia.
Mediana X: es el valor para e cual,
cuando todas las observaciones se or
denan en forma ascendente, la mitad de
estas es mendr o igual que este valor y la
otra mitad es mayor.
Datos no agrupados: Se utiliza el diagrama de tallo y hojas,
las medidas de tendencia central, los percentiles, las medi-
das de dispersión, el diagrama de caja y bigotes.
Datos agrupados: se pueden trabajar los datos sin interva-
los o con intervalos y se caracterizan con distribucrones de
frecuencias, diagramas de barras, histogramas, medidas de
tendencia central y medidas de dispersión.
Una variable es estadística cuando estudia cualidades o
gustos en una población
Tipos de variables
Una variable es cualitativa cuando la característica que se va
a estudiar hace referencia a gustos, preferencias u opiniones.
Puede ser: ordinal o nominal.
Una variable es cuantitativa cuando la caracteristlca que se
va a estudiar se mide en una escala numérica.
Puede ser: discreta o continua
La probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1 se de
termina como: P(E) : jE-
#5'
Para determinar la probabilidad de un evento se pueden utilrzar
las técnicas de conteo:
Principio de multiplicación:
Un evento,4 puede ocurrir de n, maneras, y una vez que este ha
ocurrido, otro evento B puede ocurrir de n, maneras diferentes, y
asísucesivamente. Entonces el número total de formas diferen-
tes(# 5)en que los eventos pueden ocurrir en el orden indicado
esiguala#5: ntx n) X n3 X...
Permutación
Si de un grupo de ,A/ elementos se desea elegir cierta cantidad n
de ellas, donde importa el orden, la cantidad de permutaciones
posibles está dada por: P :
,, ,
Nl
,,
(,4/ -
n)!
Donde/VI : (A/) x (A/- 1)x (,ry
-Ax x2x 1y0l :1
Combinación
Si de un grupo de /V elementos se desea elegir cierta cantidad
n de ellas, la cantidad de combrnaciones posibles o elementos
del espacio muestral está dada por: r C¡ :
t;):
¡16 losantillana
Voriobies ests,dísticos
Probobilidod

318. Lo estodTstico
en el consumo culturol
En diciembre del2008 el Departamento Administrativo
Nacional de Estadística, DANE, entregó los resultados
de la Encuesta de Consumo Cultural que reveló datos
sobre lo que leen los colombianos, cuánto leen, y por
qué leen, mostrando avances logrados gracias a los es-
fuerzos de varias entidades como los planes de lectura
en bibliotecas, exposiciones, planes educativos de los
colegios, etc.
La encuesta de Consumo Cultural fue realizada por
muestreo probabilístico a 8.275 personas en 2.415 ho-
gares en l4 municipios del país. La población objetivo
de la encuesta estaba conformada por los residentes en
Colombia mayores de 4 años que viven en los hogares
particulares de las cabeceras de todos los municipios
del país. EI principal objetivo era caracterizar prácticas
y escenarios de consumo de bienes y servicios cultura-
les de esta población.
Entre las variables que se estudiaron estaba el con-
sumo de bienes culturales como videos, Iibros, música
grabada, revistas, radio y periódicos. En el caso de Ia
preferencia por la lectura de libros, se indagó sobre la
cantidad de libros leídos. El siguiente diagrama mues-
tra los resultados en este aspecto incluyendo como
libros, los textos escolares y complementarios del pro-
ceso curricular.
¿Cuál fue el principal objetivo de la Encuesta de
Consumo Cultural?
Porcentaje de personas de 12y más años
que leyeron libros en los últimos 12 meses,
por sexo y según la cantidad de libros leídos
1 1 libros
y más
8a10
Iibros
5a7
libros
2a4
libros
1 libro
Hombre
Mujer
Fuente: DANE-Encuesta de Consumo Cultural 2007
Elabora una tabla de frecuencias con base en la
información que presenta el diagrama.
Determina la media de la cantidad de libros leídos
por la población encuestada. Escribe una conclu-
sión de los datos.
Describe la muestra que se tomó para la encuesta.
osantillana
|
317
40 50 60

319. Complemento: conju nto formado
pertenecen a un conjunto universal
por los elementos que
y no pertenecen a un
Equivalencia o bicondicional: proposición compuesta
por la unión de dos proposiciones simples y el conectivo
Extremos: valores máximos y mínimos de una función
Función: regla de correspondencia o fórmula que
asigna a cada va or de x del domlnio un único va or en
el rango
Función afín: función lineal de la forma y :
ax * b,
donde o y b son constantes
Función a trozos: funciÓn descrita por dos o más
fórmulas, en intervalos distintos
Función biyectiva: aquella que es inyectiva y
sobreyectiva a la vez
Función constante: aquella en la cual ia variable
dependiente toma siempre el mismo va or sin importar
el valor que tome la variable independiente
Función cont¡nua en o: aquella que cumple:
i. f(a) existe
Lím
Lím
x )a
Función creciente: aque a en a cual al aumentar el
valor de a variable independiente, aumenta el valor de
la variab e dependiente
Función cuadrática: función de la forma
y : a? 1 bx'l c con a, by cconstantes y a * a
Función decreciente: aque a en a cual a aumentar
el valor de la variable independiente, disminuye el valor
de a varlable dependiente
Función discontinua:funclón que no es continua.
Función exponencial: función de a forma y : A, con
xun número real, b > 0y b * 1
Función impar: función simétrica respecto a origen
Función inyectiva: aque a en a cual se asignan
rmágenes distintas para e ementos distintos de
dominio
Función logarítmica: funclón de la forma y :
Log, x
conb>ayb*1.
Función par: funciÓn simétrica respecto al eje y.
Función parte entera: aquella función que define el
mayor entero que es menor o igual que el número
Función racional: función de la forma donde
e(x)
P(x) y Q(x) son polinomios O(x) * 0.
Función radical: función que contienen raíces de
cantidades variables
Función segmentada: función descrita mediante dos
o más fórmulas o intervalos distintos
Función sobreyectiva: aquella cuyos dominios y
rango son iguales
subconjunto de U
Cóncava hacia abajo: se dice que la función fes cóncava
hacia abajo en un punto, cuando la recta tangente a la
curva en el punto, Se encuentra por encima de la gráfica de
la función.
Cóncava ha<ia arriba: se dice que la funclón fes cóncava
hacia arriba en un punto, cuando la recta tangente a a
curva en el punto, se encuentra por debajo de la gráfica de
la función.
Condición inicial: información adicional en el
pianeamiento de una integral,
Consecutivo lógico: partíiula de enlace entre dos
proposiciones simples
Conjunción: proposiclón compuesta por 1a unión de dos
proposlclones simp es y el conectivo'y'i
Conjunto: colección de objetos
Cota: número que es mayor o menor que todos los
e ementos de conjunto
Cuantifi cador: expresión que
proposrcrón
siempre y cuando este va or exista
Diferencia de conjuntos: conjunto formado por os
elementos que pertenecen a un conjunto y que no
pertenecen a otro
Disyunción: proposición compuesta formada por la
unión de dos o más proposiciones compuestas y el
conectivo "o':
Dominio: conjunto formado por las primeras
componentes de as parejas ordenadas de una función
existe
Antiderivada: función F(x) que satisface F'(x) :
¡1r¡
Área de regiones Gurvas: aquellas cuyos limites no son
rectas sino gráficas de funciones
Asíntota: lÍnea recta que prolongada
acerca a una curva
Derivada de una función: I amamos derivada de una
función en un punto x al valor
318
|
osantillana

320. t
i
lmplicación: p-oposición .ompuesta por a unión de dos o
más proposiciones s mp es y e conectlvo '3i
en¿o/raa5:
lndeterminación: expresión no delrn da como ,t -'r,)
2", etc
lnecuación: desigua dad en a que rterv ene¡ una o nrás
variab es
lntegración numérica: m,¿todo que propo-ciona una
aprcx rrac ón a rra or de área bajo una funclón
lntegración por partes: método que se lu¡damenta en a
req ,: ie deri,,'acló¡ ¡¡1.. p-oducto de dos funciones
lntegración por sustitución: n.¡étodo que se fundamenta en
ra re g a de a cade ¡a para der l,ar funciones compuest¿s
lntegral definida: érea de a po'ción de p ano limitada po- a
o o o l. - a
r . ¡ a
t
lntegral indefinida: conjunto de todas ias antider vad¿s de
rna í¡nclón I
lntersección: conjunto forr¡ado por os e ementos ccmLrnes
de Cos o más conjuntos
lntervalo: subconjunto de os ¡úmeros rea es
Límite: va o[ a que se aproximan os v¿ ores de
¿ r,arl¿b e dependiente de u¡¿ lu¡c ón, cuando
¡,,,arlab e independ ente se aproxima a u¡ va oI
dete-m ¡¿do
Límite de la integral: r¡úmero n¡'nimo y núnrero
r¡áxlmo de interva o [c, b]
Límite en el infinito: va or al cu¿ se aproxima
¿ rrarlab e dependiente, cuando la varlab e
rdependiente crece o decrece lndefinidamente
Límite exponencial: imrte que se calcu a en
Íri ¡clones exponencia es o cr.ryo resu tado es una
íunclón exponenc a
Límite infinito: aque que se presenta cu¿ndo la
v¿ri¿b e depend ente de a función crece o decrece
ndefi n ida me nte
Límite lateral: limlte que lndica os acercamientos de
x ¿ d por la izquierda o por a derecha
Longitud de un arco de curva: d stancia que
[ecorre una particLrla que se nnueve a lo largo de una
g ráf ca
Pendiente de la recta secante: aquei a que se
ca cr.l ; med a¡.-e a fór¡..u ¿
i(r+1.r)-l(r)
_\¡
Pendiente de la recta tangente: imite c: ¿
pend ente de ¿ recta seaa¡te cua¡do l.r -+ l
Punto crítico: punto e¡ e .u¿ a l'u¡c ó¡
cambia de corr.po
-tanriento
Punto de inflexión: pu¡to en e .ua a frncló'
camb a de co¡ca',,ldad
Rango: conju rio de mágeres para los x que pertenecen
a domlnlo de una f¡nc ó¡
Regla de la cadena: a deri,,'¿da de ia funclón exter'r¿
Qo,¿da ododoo'u.o
.'a
Sólido de revolución: só ldo q!e se obtiene
a hacer g rar una región de p aro alrededor
de u¡a recta en e m snro p ano
Unión: conjunto formado por os e ementos
que pertenecen a unc u otro conjunto
Valor absoluto: número no negativo
simbolizado por
lal
Variación de una función: va or -
f(x,)
ene intervao/
Variación instantánea: imite de ¿ varlacló¡
media cuando .\.r rle¡de a cero
Variación med¡al cociente
jj'
lr
Velocidad instantánea: im te de a ve ocidad
medla cuando l¡ tle¡de a terr-r
Velocidad media: varlac ón de pos ción con
respeato a t enrpo
Optimización: proceso media nte
eJ cua se determi¡¿n os va o[es
máx mos y min mos de diversas
situacio¡es matemáticas
osantillana
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I
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340loSaniillana
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