Segmentos de recta - geometría básica secundaria

geometría

1. UNI DAD I I : CO NS TRUCCI O NE S Y E LE M E NTO S
G E O M É TRI COS BÁS I CO S
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO

2. 52
PROPÓSITOSDELAUNIDAD:
Atravésdeconstruccionesconreglaycompás,explorarlaspropiedadesdelasfiguraselementalesy
algunosconceptosbásicosdelageometríaEuclidiana.
Reconocerpatronesdecomportamientogeométricoquepermitanplantearconjeturasparaprocedera
suvalidaciónempírica.

3. 53
APRENDIZAJESQUEADQUIRIRÁELALUMNOCONELDESARROLLO DELAUNIDADDOS.
Alfinalizarlaunidadelalumno:
☺Reconoceloselementosdeunafigura(punto,puntodeintersección,líneasrectas,segmentos,semirrectas,etc.)
☺Obtienedelasconstrucciones,lasnocionesde:recta,segmentoderecta,puntomedio,mediatriz,ángulo,bisectriz,circunferencia,
perpendicularidadydistanciadeunpuntoaunarecta.Losexpresaráenformaoralyescrita.
☺Identificaloselementosmínimosqueserequierenparatrazarunsegmentoderecta.
Establecerloselementosmínimosqueserequierenparatrazarunacircunferencia.
☺Recuerdalaclasificacióndeángulosporsuabertura(agudo,recto,obtuso,llano)yposiciónadyacentes,suplementarios,
complementarios,opuestosporelvértice).
☺Reconoceángulosrectosencualquierfiguraqueloscontenga.
☺Explicaenformaverbalyescrita,lostrazosquesiguiópararealizarunaconstruccióngeométricadada
☺Identificayconstruyesegmentosyánguloscongruentes.Recordarlaclasificacióndetriángulossegúnsusladosyángulos
☺Construyeuntriángulocongruenteapartirdeotrodado

4. 54
☺Explicaenquécasosesposibleconstruiruntriángulo,apartirdetressegmentosdadoscualesquiera
☺Verificatriánguloscongruenteshaciéndoloscoincidir.
☺Identificalasalturasdeuntriángulosinimportarlaposiciónqueestastengan
☺Distinguelascaracterísticasquedeterminanacadaunadelasrectasnotablesdeuntriángulo.
☺Reconocelasdiferenciasentreunasyotras.
☺Trazalasrectasnotablesdeltriángulo
☺Identificalospuntosnotablesdeuntriánguloypodráexplicarcuálessonsuscaracterísticas.
☺Observaquelospuntosnotablesdeuntriánguloestánalineados.
☺Identificacuerdas,radios,secantesytangentesdeunacircunferencia.
☺Construyerectastangentesaunacircunferencia.
☺Descriecorrectamenteelprocedimientorequeridopararealizarunaconstruccióndada.
☺Argumenta,empíricamente,sobrelavalidezdelasconstruccionesrealizadasyexplicarlasdeformaoralyescrita.

5. 55
TEMÁTICADELASEGUNDAUNIDAD
CONSTRUCCIONES YELEMENTOSGEOMÉTRICOS BÁSICOS
2.1).Construccionesconreglaycompás:
2.1.1).Segmentoscongruentes
2.1.2).Ánguloscongruentes
2.1.3).Mediatrizydeterminacióndelpuntomediodeunsegmento
2.1.4).Bisectrizdeunánguloagudo.
2.1.5).Perpendicularaunarectadadaquepasaporunpunto:
2.1.5.1).Quepertenecealarecta.
2.1.5.2).Fueradeella

6. 56
2.2).Triángulos:
2.2.1).Reproduccióndeuntriánguloapartirdecondicionesdadas(LAL,LLL,ALA).
2.2.2).Desigualdaddeltriángulo.
2.2.3).Rectasnotableseneltriángulo:mediatriz,bisectriz,medianayaltura.
2.2.4).Puntosnotablesdeuntriángulo:Circuncentro,Incentro,BaricentroyOrtocentro.
2.2.5).Reproduccióndeunpolígonoportriangulación.
2.3).Circunferencia:
2.3.1).Rectasysegmentos.
2.3.2).Rectastangentesaunacircunferencia.
2.3.2.1).Desdeunpuntosobreella.
2.3.2.2).Desdeunpuntofueradeella.
2.3.3).Localizacióndelcentrodeunacircunferenciadada.

7. 57 UNA VISTA EN LA HISTORIA DE LAS C ONSTRUCCIONES CON REGLA ,
ESCUADRA Y COMPÁS
A manera de explicación:
Lo que consideramos generalmente como elementos de la geometría elemental
(que debe de incluirse mucho de la geometría de las cónicas ) fue
satisfactoriamente organizado algunos siglos antes de la Era Cristiana. Ya en ese
tiempo se estableció el marco para realizar construcciones en geometría
elemental, o sea que estas construcciones se deben realizar usando regla,
escuadra y compás únicamente. Las restricciones a estos instrumentos son
comúnmente atribuidas a Platón.
LOSTRESPROBLEMASFAMOSOS.
Tresproblemasgeométricosinteresarontantoalosgriegosdelaantigüedadquehanpasadodegeneraciónengeneraciónatravésde
lossiglosysehanconocidopormuchotiempocomolostresproblemasfamososdelageometríaelemental.Estosproblemasson:la
triseccióndelángulo,laduplicacióndelcubo,ylacuadraturadelcírculo.

8. 58
Seentiendequecadaunadelastresconstruccionesdebedehacerseúnicamenteconregla,escuadra
ycompás.Muchosintentossehanhechopararesolverestosproblemas.Dehechohanatraídola
atencióndelosmejoresmatemáticosdelmundo.Perotodosestosintentosestabandestinadosal
fracaso,puesfuedemostradoenelsigloXIXquesusoluciónesimposible.
Estonosignifica,sinembargo,queunángulonopuedasertrisecado,oqueesimposibleduplicarun
cubo,oconstruiruncuadradoequivalenteauncírculodado.Silarestricciónaregla,escuadray
compássemodificademaneraadecuada,cadaunodeestosproblemaspuedeserrápidamente
resuelto.

9. 59
¿QUEESUNACONSTRUCCIÓN?
Unproblemadeconstrucciónseplanteadelasiguientemanera:deelementosyaconstruidos(puntos,
segmentos,rectas,ángulos,círculos,etc.)otroselementosdebenderivarsebajolassiguientesreglas:
Solamentedebenusarseciertoselementosbiendefinidos.Cadaunodelosinstrumentospuede
usarsedemanerapreviamentedeterminada.Laconstruccióndebeterminarseenunnúmerofinitode
pasos.
CONSTRUCCIÓN CONREGLA,ESCUADRAYCOMPÁS.
Losalcancesconstructivosdelaregla,escuadrayelcompás,estáncaracterizadosenlostrespostuladosdeEuclides
queseenumeranacontinuación:
Puedetrazarseunarectadeunpuntoaotro.
Unarectafinitapuedeprolongarsecontinuamenteenunalínearecta.
Una circunferencia puede describirse tomando cualquier centro y cualquier distancia.

10. Cadaconstrucciónconregla,escuadraycompásconsisteenunasucesióndeoperacionesdelas
siguientes:
Unirdospuntosporunarecta.
Hallarelpuntodeinterseccióndedosrectas.
Trazarunacircunferenciaderadioycentrodados.
Hallarlospuntosdeinterseccióndeunacircunferenciaconotracircunferenciaoconunarecta.
Unelemento(punto,recta,circunferencia)seconsideraconocidosisedadesdeelprincipioosihasido
construidoenalgúnpasoprevio.Tambiénesimportanteconsiderarqueunavezquesehalogradohacer
laconstrucciónpropuesta,sedebeverificar,medianteunademostraciónmatemática,quedicha
construcciónresuelverealmenteelproblema.
60

11. 61
APRENDIZAJES
Realizarlostrazosensecuenciadidáctica.Pasitoapasito,sinprisaperoconconstancia.
Reconocerloselementosdeunafigura(punto,puntodeintersección,líneasrectas,segmentos,semirrectas,
etc.).
Obtenerdelasconstrucciones,lasnocionesde:recta,segmentoderecta,puntomedio,mediatriz,ángulo,
bisectriz,circunferencia,perpendicularidadydistanciadeunpuntoaunarecta.Losexpresaráenformaoraly
escrita
Identificarloselementosmínimosqueserequierenparatrazarunsegmentoderecta.

12. 62
Problemas y Ejercicios.
2.1).Dado el segmento de recta AP, construye un Segmento congruente a él.
2.1.1).Traza el segmento AP Igual a 9 centímetros.
2.1.2).Traza el segmento UB Igual a 11 centímetros.
2.1.3).Se pone una punta del compás en A y la otra en P y se lleva a UB
2.1.4).Con centro en U y con la medida AP, se traza un arco en UB.
2.1.5).Uniendo el punto centro y el punto del arco, resulta ST, que es el segmento congruente
al segmento AP.

13. 63

14. 64DIVISION DE SEGMENTOS CON REGLA Y COMPAS. SEGMENTOS Y
DIVISION DE SEGMENTOS EN LA RECTA NUMERICA.
Desde el siglo antepasado se conocía la relación biunívoca entre los números
reales y los puntos de una recta. Una pregunta natural es: ¿Podemos construir
cualquier número real con regla y compás?, también desde ese siglo se sabía
que la respuesta a esta pregunta es negativa.
¿QUENUMEROSPUEDENSERCONSTRUIDOS CONREGLAYCOMPAS?
Noesdifícildarunarespuestainmediataaestapregunta,losnúmerosmasfácilesde
representarenlarectanuméricasonlosnúmerosnaturales,verfigura2.1.FIGURA 2. 1

15. 65Trazamos la recta L y elegimos un punto sobre ella como origen o cero, tomamos
un segmento arbitrario como unidad (U), con el compás podemos reproducir esta
unidad sobre la recta cuantas veces se quiera, hacia la derecha tendremos los
números naturales, si hacemos el mismo procedimiento, ahora hacia la izquierda
obtendremos los números enteros, ver figura 2.2.

FIGURA 2.2

16. 66
FIGURA 2.3
Veamosahoracomosebisectaunsegmento,verfigura2.3:
☺Construimosdoscircunferenciasconcentrosenlosextremosdelsegmentoydeigual
radiodetalformaqueestascircunferenciasseintersecten,
☺Trazamoslalíneadeterminadaporlospuntosdeinterseccióndelascircunferencias.
☺Elpuntodondeestalíneacortaalsegmentooriginaleselpuntomedio.

17. 67Con esta construcción podemos bisectar el segmento 0 1 y así obtener el número
racional 2
1 y a partir de este obtener los números racionales 2
m y -2
m ; si ahora
bisectamos el segmento 0 2
1 obtendremos el número 4
1 y entonces 4
m y -4
m , si
hacemos este proceso n veces se tiene el número n
)
2
1
( y por consiguiente n
)
2
m
( y
-n
)
2
m
( . ¿Pero serán estos todos los números racionales que se pueden construir
con regla y compás?, recordemos que estos números los construimos a partir de
la bisección de un segmento, es decir, si podemos trisectar un segmento
obtenemos el número 3
1 y con esto 3
m y -3
m ; entonces tratemos de resolver el
problema de trisectar un segmento con regla, escuadra y compás.

18. 68A continuación se muestra paso a paso como hacerlo.
Trazamos una recta l y en ella la unidad, trazamos otra recta s diferente a l como
se muestra en la figura y sobre esta fijamos 3 puntos A, B y C tales que
OA=AB=BC, unimos C con el extremo derecho de la unidad y trazamos rectas
paralelas a esta última por A y por B las intersecciones de estas rectas con el
segmento unidad lo trisectan (esto se demuestra por medio de triángulos
semejantes). Con esto hemos construido los números 3
1 , 3
m y -3
m ; repitiendo el
proceso de trisectar un segmento construimos además los números n
)
3
1
( , n
)
3
m
( y
-n
)
3
m
( . Podemos darnos cuenta fácilmente, por la forma que tienen los números
construidos hasta el momento, que el número 5
1 no está incluido, ¿como
podemos hacer para construir este número?; en la última construcción no tiene
nada de especial el 3, ¿que pasa si en vez de colocar tres puntos sobre la recta
s colocamos 5 y seguimos el proceso descrito?, obtendríamos el número
deseado, con esta observación nos damos cuenta que en general podemos
poner p puntos y así obtenemos el número p
1 y entonces p
m y -p
m ; lo que nos lleva
a concluir que todo número racional se puede construir con regla, escuadra y
compás.

19. 69¿Serán estos todos los números reales construíbles con regla y compás? La
siguiente construcción muestra que se puede construir el número irracional raíz
de 2 con estos instrumentos, y en general raíz de n siendo n cualquier número
real dado. Sea a una recta, tomamos un punto A arbitrario sobre ella a partir de este punto
se coloca el segmento unidad, sea B el extremo derecho de la unidad, BC es el
segmento cuya magnitud es n; construimos la circunferencia de diámetro AC, por
último trazamos la perpendicular a a por B.
Dada esta construcción, afirmamos que la magnitud del segmento BE es el
número buscado, la demostración de este hecho tiene que ver con semejanza de
triángulos.

20. 70Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los
números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de
magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y m
n . Trazamos una recta a y en ella colocamos uno de los segmentos, trazamos otra
recta b diferente a a como se muestra en la figura y sobre esta fijamos la unidad
y el otro segmento, ver la construcción, unimos el extremo de la unidad con el
extremo del segmento que esta sobre la recta a, finalmente trazamos una
paralela a esta última recta por el extremo del segmento que esta sobre la recta
b. Trazamos una recta a y b como antes, sobre la recta a colocamos la unidad y
sobre la otra los dos segmentos, si queremos obtener m
n entonces unimos el
extremo del segmento cuya magnitud es m con el extremo de la unidad, y
trazamos una paralela a esta recta por el extremo del segmento de magnitud n.

21. 71A continuación se muestra paso a paso como hacerlo.
Trazamos una recta l y en ella la unidad, trazamos otra recta s diferente a l como
se muestra en la figura y sobre esta fijamos 3 puntos A, B y C tales que
OA=AB=BC, unimos C con el extremo derecho de la unidad y trazamos rectas
paralelas a esta última por A y por B las intersecciones de estas rectas con el
segmento unidad lo trisectan (esto se demuestra por medio de triángulos
semejantes). Con esto hemos construido los números 3
1 , 3
m y -3
m ; repitiendo el
proceso de trisectar un segmento construimos además los números n
)
3
1
( , n
)
3
m
( y
-n
)
3
m
( . Podemos darnos cuenta fácilmente, por la forma que tienen los números
construidos hasta el momento, que el número 5
1 no está incluido, ¿como
podemos hacer para construir este número?; en la última construcción no tiene
nada de especial el 3, ¿que pasa si en vez de colocar tres puntos sobre la recta
s colocamos 5 y seguimos el proceso descrito?, obtendríamos el número
deseado, con esta observación nos damos cuenta que en general podemos
poner p puntos y así obtenemos el número p
1 y entonces p
m y -p
m ; lo que nos lleva
a concluir que todo número racional se puede construir con regla, escuadra y
compás.

22. 72¿Serán estos todos los números reales construíbles con regla y compás? La
siguiente construcción muestra que se puede construir el número irracional raíz
de 2 con estos instrumentos, y en general raíz de n siendo n cualquier número
real dado.
Sea a una recta, tomamos un punto A arbitrario sobre ella a partir de este punto
se coloca el segmento unidad, sea B el extremo derecho de la unidad, BC es el
segmento cuya magnitud es n; construimos la circunferencia de diámetro AC, por
último trazamos la perpendicular a a por B.
Dada esta construcción, afirmamos que la magnitud del segmento BE es el
número buscado, la demostración de este hecho tiene que ver con semejanza de
triángulos.
Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los
números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de
magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y m
n .

23. 73Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los
números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de
magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y m
n . Trazamos una recta a y en ella colocamos uno de los segmentos, trazamos otra
recta b diferente a a como se muestra en la figura y sobre esta fijamos la unidad
y el otro segmento, ver la construcción, unimos el extremo de la unidad con el
extremo del segmento que esta sobre la recta a, finalmente trazamos una
paralela a esta última recta por el extremo del segmento que esta sobre la recta
b. Trazamos una recta a y b como antes, sobre la recta a colocamos la unidad y
sobre la otra los dos segmentos, si queremos obtener m
n entonces unimos el
extremo del segmento cuya magnitud es m con el extremo de la unidad, y
trazamos una paralela a esta recta por el extremo del segmento de magnitud n.

24. 74Para obtener el segmento de magnitud n
m unimos el extremo del segmento cuya
magnitud es n con el extremo de la unidad, y trazamos una paralela a esta recta
por el extremo del segmento de magnitud m.
Para la suma y resta de números, basta el compás, es decir, si queremos sumar
o restar magnitudes n y m simplemente colocamos el segmento de magnitud n y
a partir de su extremo derecho colocamos el segmento de magnitud m; para la
suma lo colocamos a la derecha y para la resta lo colocamos a la izquierda, ver
figura 4.
FIGURA 2.4

25. 75TEOREMA DE TALES :
Antes de demostrar el Teorema de Tales, demostremos un resultado previo que
utilizaremos mas adelante.
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se
obtienen dos triángulos semejantes.
Dado un triángulo ABC, si se traza un
segmento paralelo, B'C', a uno de los lados
del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C',
cuyos lados son proporcionales a los del
triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula

26. 762.2).Construir el triángulo PQR, con regla y compás, conociendo la medida de
sus lados.
2.2.1).Construimos con la regla los segmentos PQ = 8 cm, PR = 5 cm. y QR = 4
cm.









2.2.2).Con el compás tomamos la medida de PR y haciendo centro en P,
trazamos un arco hacia arriba de PQ.
2.2.3).Con el compás tomamos la medida de QR y haciendo centro
en Q, trazamos un arco hacia arriba de PQ, para que se intersecte con el primar
arco.
2.2.4).Uniendo cada punto P y Q con el punto de intersección R, hemos trazado
el triángulo pedido PQR.
2.2.5).Escribe el tipo de triángulo que es PQR
P Q
P R
Q
R
8 cm.
5 cm.
4 cm.

FIGURA 2.11

27. 772.3).Construir el triángulo ABC, con regla y compás, conociendo la medida de
sus lados.
2.3.1).Construimos con regla los segmentos AB = 6 cm., AC = 4 cm y BC = 4 cm.








2.3.2).Fijamos con regla la medida del lado AB
2.3.3).Con el compás tomamos la medida de AC y haciendo centro en A,
trazamos un arco hacia arriba de AB.
2.3.4).Con el compás tomamos la medida de BC y haciendo centro en B,
trazamos un arco hacia arriba de AB, para que se intersecte con el primar arco.
2.3.5).Uniendo cada punto A y B con el punto de intersección C, hemos trazado
el triángulo pedido ABC.
2.3.6).Escribe y define el tipo de triángulo que es ABC
A B
6 cm.


A
4 cm.
C
B
4 cm.
C
FIGURA 2.12

28. 782.4).Construir el triángulo APU, con regla y compás, conociendo la medida de
sus lados.
2.4.1).-Construimos con regla los segmentos AP = 4 cm., AU = 3 cm. y PU = 5
cm.





2.4.2).Fijamos con regla la medida del lado AP
2.4.3).Con el compás tomamos la medida de AU y haciendo centro en A,
trazamos un arco hacia arriba de AP.
2.4.4).Con el compás tomamos la medida de PU y haciendo centro en P,
trazamos un arco hacia arriba de AP, para que se intersecte con el primar arco.
2.4.5).Uniendo cada punto A y P con el punto de intersección U, hemos trazado
el triángulo pedido APU.
2.4.6).Escribe y define el tipo de triángulo que es APU
A P
4 cm.
A U
3 cm.
P U
5 cm.
FIGURA 2.13

29. 792.5).Construye el triángulo RST, con regla y compás, conociendo la medida de
sus lados, escribiendo y siguiendo los pasos utilizados en los casos anteriores,
indica el tipo de triángulo del que se trata y defínelo.








R S
R T
S T
10 cm.
4 cm.
5 cm.
FIGURA 2.14

30. 802.6).Dado un ángulo ‹ APU, construir un ángulo congruente con el.
2.6.1).-Trazamos los rayos PA y PU, para tener el ángulo APU.








2.6.2).Se traza el rayo EF, como en la figura 2.16.
2.6.3).Con centro en P, trazamos el
arco de circunferencia QR que corte a los lados del ángulo APU.
2.6.4).Con la misma abertura a la de arco QR y con el compás se traza otro arco
haciendo centro en E para que intersecte al rayo EF, en el punto S.
2.6.5).Con el compás toma la medida de QR y haciendo centro en S se traza un
arco que cruce al arco que trazaste con centro en E.
2.6.6).Al punto de cruce de los dos arcos llámale T.
2.6.7).Traza un rayo que inicie en E y pase por T, con dicho trazo tienes el ángulo
congruente con el ‹ APU.
A
P
U
Q
R
FIGURA 2.15
E F
FIGURA 2.16

31. 812.7).Dado el ángulo ‹ PQR, construir su bisectriz.
2.7.1).Trazamos el ángulo < PQR. Con un arco con centro en Q y uniendo los
puntos de corte con los lados del ángulo en línea punteada llamémosle ST.



|




FIGURA 2.17
2.7.2).Con centro en S y en T, trazamos un arco de circunferencia que tenga un
radio mayor que la mitad de ST y al punto de intersección le llamamos U.
2.7.3).A partir de Q trazamos un rayo que pase por U y lo que hemos trazado es
la bisectriz del ángulo PQR
S
T
P
Q
R
Este es el punto U

32. 822.8).Dado el segmento de recta AB, construir con regla y compás su punto medio.
2.8.1).Trazar el segmento AB = 9 cm.
2.8.2).Con centro en A y con un radio mayor que la mitad de AB, traza un arco
arriba y abajo de AB.
2.8.3).Repite lo anterior pero con centro en B hasta que se corten los dos arcos
hacia arriba y hacia abajo de AB.
2.8.4).Une el punto de corte de arriba P con el de abajo Q y dicha unión corta al
segmento AB exactamente en el punto medio, y eso es lo que nos piden trazar,
que es Pm.

33. 83
2.9).Dado el segmento de recta PQ,
construir con regla, escuadra y compás
su perpendicular bisectriz.
2.9.1).TrazarelsegmentoPQ=4cm.
2.9.2).ConcentroenPsetrazaunacircunferenciacon
radiomayorquelamitaddePQ.
2.9.3).ConcentroenQsetrazaotracircunferencia,con
unradioigualalaprimera.
2.9.4).Elradiodelasdoscircunferenciasesmayorque
lamitaddePQ,lasdoscircunferenciasseintersectan
enlospuntosRyS.
2.9.5).SeunenlospuntosRySyelresultadoesla
perpendicularbisectrizdelsegmentoPQ.
2.9..6).Conlareglaverificarenlafiguraque:PR=QR
=QS=PS

34. 842.10).Construir un triángulo equilátero DEF y en él trazar sus medianas siguiendo
los pasos que siguen.
2.10.1).Trazar un triángulo eqilátero escribiendo los pasos utilizados.
2.10.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos dados y llámales G, H, I.
2.10.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados
opuestos hasta que formes DG, FH y EI.
2.10.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su
definición.

35. 852.11).Construir un triángulo isósceles J, K, L y en él trazar sus medianas
siguiendo los pasos comentados.
2.11.1).Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a utilizar.
2.11.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos a dar y llámales M, N, O.
2.11.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados hasta
que formes LM, JN y KO.
2.11.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su
definición.
2.12).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar sus medianas
siguiendo los pasos comentados.
2.12.1).Trazar un triángulo escaleno escribiendo los pasos a utilizar.
2.12.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos a dar y llámales S, T, U.
2.12.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados para
que formes RS, PT y QU.
2.12.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su
definición.

36. 862.13).Construir un triángulo equilátero P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo
los pasos que siguen.
2.13.1).Trazar un triángulo equilátero escribiendo los pasos a utilizar.
2.13.2).-Determinar los puntos donde se produce la perpendicularidad con los
lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U.
2.13.3).Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la
perpendicularidad de sus lados opuestos para que formes RS, PT y QU.
2.13.4).Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su
definición.
2.14).Construir un triángulo isósceles P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo
los pasos comentados.
2.14.1).Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a dar.
2.14.2).-Determinar los puntos donde se produce la perperpendicularidad con los
lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U.
2.14.3).-Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la
perpendicularidad con los lados opuestos y llámales PT, QU y RS
2.14.4).-Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su
definición de ambos.

37. 872.15).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo
los pasos comentados.
2.15.1).-Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a dar.
2.15.2).-Determinar los puntos donde se produce la perpendicularidad con los
lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U.
2.15.3).-Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la
perpendicularidad con los lados opuestos y llámales PT, QU y RS
2.15.4).-Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su
definición de ambos.
2.16).Construir un triángulo equilátero P, Q, R y en él trazar sus mediatrices
siguiendo los pasos que siguen.
2.16.1).-Trazar un triángulo equilátero escribiendo los pasos a utilizar.
2.16.2).-Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos a dar y llámales S, T, U.
2.16.3).-Traza la perpendicular de los lados del triangulo en sus puntos medios
para que formes RS, PT y QU.
2.16.4).-Marca el punto de intersección de las mediatrices y escribe el nombre y
su definición

38. 882.17).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar las mediatrices
siguiendo los pasos comentados.
2.17.1).Trazar un triángulo escaleno escribiendo los pasos a utilizar.
2.17.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos a dar y llámales S, T, U.
2.17.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados para
que formes RS, PT y QU.
2.17.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su
definición.
2.18).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar las mediatrices
siguiendo los pasos comentados. Marcar el punto de intersección, escribe su
nombre y su definición.

39. 892.19).Construir un triángulo equiángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices
siguiendo los pasos que siguen.
2.19.1).Trazar un triángulo equiángulo escribiendo los pasos a utilizar.
2.19.2).Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los
pasos a dar.
2.19.3).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que
toque y simboliza.
2.19.4).-Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y
define a ambos.
2.20).Construir un triángulo rectángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices
siguiendo los pasos que siguen.
2.20.1).-Trazar un triángulo rectángulo escribiendo los pasos a utilizar.
2.20.2).-Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los
pasos a dar.
2.20.3).-Unir los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que
toque y simbolízalos.
2.20.4).-Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y
define a ambos.

40. 902.21).Construir un triángulo obtusángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices
siguiendo los pasos que siguen.
2.21.1).Trazar un triángulo equiángulo escribiendo los pasos a utilizar.
2.21.2).Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los
pasos a dar.
2.21.3).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que
toque y simboliza.
2.21.4).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que
toque y simboliza.
2.21.5).Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y
define a ambos.

41. 91
FIGURA 2.202.22).Construir una circunferencia escribiendo los pasos a dar.
2.22.1).Trazar una circunferencia de radio igual a 3 centímetros. Circunferencia
es el conjunto de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia r
(positiva) de un punto fijo C llamado centro.
2.22.2).Indicar el radio “r” y el centro C.
Radio de una circunferencia es el segmento de recta, cuyos extremos son; el
centro de la circunferencia y uno de sus puntos.
2.22.3).Indicar el arco que cortan los lados del ángulo central.
2.22.4).Indicar y definir el ángulo central de una circunferencia.
Ángulo central ACB: Es el ángulo que tiene
como vértice el centro de la circunferencia y
sus lados cortan en dos puntos a dicha
circunferencia.

42. 92
2.23).Construir rectas tangentes a una circunferencia
escribiendo los pasos a dar, desde un punto de ella y
desde un punto fuera de ella.
2.23.1). ¿Qué es una tangente a una circunferencia?
Respuesta:
2.23.1). Trazar tangentes a la circunferencia desde
cualesquiera de sus puntos.
PQ, ST y UV son tangentes desde un
punto en la circunferencia
FIGURA 2.21

43. 93FIGURA 2.22
Uneelcentro(O)delacircunferenciaconelpuntode
tangenciadecadarecta(P,SyV),detalformaquela
uniónencadacasoquedecomoradiodela
circunferenciacumpliendoconsuconceptoprincipal,e
indicaeseconcepto.
2.23.2).DesdeunpuntofueradeellaAByCDson
cadaunadeellasunatangentealacircunferencia.

44. 942.24).Trazar un polígono inscrito en una circunferencia, siguiendo los pasos
que se indican enseguida y llegas a una figura como la que sigue:
2.24.1).Trazar una circunferencia de
diámetro igual a 6 centímetros.
2.24.2).Trazar dos diámetros como los que
se ven en la figura 2.23.
2.24.3).Unir los extremos de los dos
diámetros, hasta formar un cuadro como el
que tienes, en la figura 2.23
2.24.4).Determina los puntos medios de los
lados del cuadro, y traza otros dos
diámetros de la circunferencia, pasando por
su centro.
2.24.5).Une los extremos de los diámetros y
forma la figura que queda finalmente.
2.24.6). Indica lo que entiendes por
polígono inscrito en una circunferencia:
2.24.7).Determina el perímetro del polígono
y de la circunferencia, midiendo y utilizando
alguna expresión calcula el perímetro y el
área de de las dos figuras.
Siempre que se tenga un polígono regular
inscrito en una circunferencia, su perímetro
es menor (<) que el perímetro de la
circunferencia
FIGURA 2.23 Respuesta:
Perímetro del polígono:
Perímetro de la circunferencia:
Área del polígono:
Área del círculo.

45. 952.25).Trazar un polígono circunscrito en una circunferencia, indicando los
pasos que sigas y llegas a una figura como la 2.24.
2.25.1).Indica lo que entiendes por polígono
circunscrito en una circunferencia:
Respuesta:
En este caso es un octágono.
2.25.2).Siempre que se tengas
un polígono regular circunscrito
en una circunferencia, su
perímetro es mayor (>) que el
perímetro de la circunferencia.


2.25.3).En la circunferencia que tengas el
polígono circunscrito, determina el
perímetro del polígono y de la
circunferencia, primero midiendo y luego
formando una expresión para que
verifiques lo que mediste, haciendo el
cálculo correspondiente

46. 96Respuesta:
Perímetro del polígono:
Perímetro de la circunferencia:
2.25.4).-Trazar una circunferencia, de un
radio de longitud que decidas, trazar y
escribir la definición de: Cuerda, diámetro,
ángulo central y ángulo inscrito.

47. “P.D. RECUERDA: LA DIFERENCIA ENTRE UN BUEN ESTUDIANTE Y
UN MAGNÍFICO ESTUDIANTE, ES EL PEQUEÑO ESFUERZO EXTRA QUE
ESTE HACE” ¡HAGÁMOSLO JUNTOS ! P.D. “Tienes que Mentalizarte en: Ser mejor hoy que ayer y Ser mejor mañana
que hoy”.
P.D. “Procura hacer las cosas sin prisa pero con constancia, un poquito hoy y
otro poquito mañana”.

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48. 98