Series de fourier 22 Ejercicios Resueltos

Series de fourier 22 Ejercicios Resueltos

1. 1
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.
CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER:
Ejercicios resueltos y propuestos.
Prof. Jorge Inostroza L.
1.
- Hallar el período de la función:
x
ab
Senxf )
2
()(


S
.
Solución:
Si )2()
2
(S
S
Ÿ

uSenuSenuSenx
ab
Sen Si T es el período
)2()
22
())(
2
()
2
(S
SSSS







uSenT
ab
x
ab
SenTx
ab
Senx
ab
Sen ?
S
S
2
2


T
ab
a bien )(abT el período buscado.
Por ejemplo si xSenxf )
5
3
()(
S
y como
3
10
2
)(
S
Senxf el período será
3
10
.
2.- Probar que si )(xf ,tiene período p;)(xfD tiene período
D
p
.
Solución:
pTpxfTxfxf Ÿ
DDDD )())(()(ó
D
p
T .
Del mismo modo entonces )(
E
x
f tendrá período EpT (Basta cambiar
E
D
1
por).Entonces
el período de
x
ab
Sen

S2
será S
S2
2
ab
T

˜ o sea b-a.

2. 2
Y el período de
l
x
Cos
S
será l
l
2
2

S
S
.
3.- Pruebe que la función :
xSenxSenxSenxf 5
5
1
3
3
1
)( , es de período S6
Solución.
xSen , tiene periodoS
1
2k
xSen3 “ “
3
2
2Sk
xSen5 “ “
5
2
3
Sk
haciendo 15 93
321 kykk cada una será de período S6.
Y por lo tanto la función dada.
4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: `^...............;............;.........;;1 SenkxCoskxSenxCosx
Solución:
01 ³

S
S
CoskxdxCoskx$
³


S
S
01 SenkxdxSenkx$
³

˜
S
S
0........mxdxSenCosnxmxSennxCos$
0....... ˜ ³

S
S
mxdxCosnxCosmxCosnxCos$
0........ ˜ ³

S
S
mxdxSennxSenmxSennxSen$ .
5.- Si la función : tCostCostf
ED )( es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n
enteros tal :
n
m
E
D
Solución.

3. 3
SDDD mpptCostCos 2)( Ÿ
S EEE npptCostCos 2)( Ÿ .Luego el cuociente
n
m
ŸE
D
.
6.- Pruebe que la función tCostCostf )10()10()( S , no es periódica.
Solución.
Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:
n
m

S10
10
S Ÿ )(10 nm
Ÿesto no es posible pues el primer miembro es un entero .
7.- Pruebe que la función : tCostf
22
10)( , es de período S.
Solución.
)
2
21
(10)(
2 tCos
tf


= )21(50 tCos,Como Cos 2t tiene período
S2
2
1
, la función lo es.
8.- Encontrar el período de la función:
43
)(
t
Cos
t
Costf .
Solución.
3
t
Cos es de período
S6
4
t
Cos es de período 8
S, luego ambas lo son de período 24S
9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:
°
¯
°
®
­

d


SS
SS
Sx
x
x
xf
2/0
2/02/
00
)(

4. 4
Solución.
Los coeficientes serán:³


S
S
S
dxxfa )(
1
0 =
³

2/
2
1
S
S
S
S
dx=……….=
4
S
.
22
1
..........
2
1
)(
1
2/
0
SS
SS
SS
S
Senk
k
CoskxdxCoskxdxxfa
k
³³

=
)
2
1(
2
1
..........
2
1
)(
1
2/
0
SS
SS
S
S
S
Cosk
k
SenkxdxSenkxdxxfb
k ³³

= °
°
°
¯
°
°
°
®
­


16,12,8,4.......0
...14,10,6,2......
1
........
2
1
k
k
k
impark
k
10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función:
¯
®
­
dd
dd

S
SSxx
xx
xf
0..............
0......
)(
Solución.
Como lo muestra el gráfico es una función par
luego su Serie será :
¦
f

1
02
Coskxa
a
k , con
³

S
S
S
0
0
2
xdxa
°
¯
°
®
­

³
impark
k
park
Cosk
k
xCoskxdxa
k
....
2
........0
)1(
1
........
2
20
2
S
S
S
LaS de F será:
¦
f


1
2 )12(
)12(
2
2 k
xkCos
S
11.- Si f(x) = Cos (
xD), SSdd x;D una constante no entera. Probar que a partir de su
Serie de Fourier.
..)..........
3
1
2
1
1
1
2
1
(2
222222







DDDD
D
DS
S
Sen

5. 5
Solución.
Se trata de una función par ,luego 0
kb yDS
DS
D
S
S
S
SenxdxCosa³


21
0
³
˜
S
D
S
0
2
kxdxCosxCosa
k =
³

S
DD
S
0
)()(
1
dxxkCosxkCos
¸
¹
·
¨
©
§





¸
¹
·
¨
©
§






k
kSen
k
kSen
k
xkSen
k
xkSen
a
k
D
SD
D
SD
SD
D
D
D
S
S
)()(1)()(1
0
¸
¹
·
¨
©
§

˜


˜

k
CoskSen
k
CoskSen
a
k
D
SDS
D
SDS
S
1
= ¸
¹
·
¨
©
§




kk
Sen
k
DDS
DS
111


DS
SD
DSen
k
a
k
k
22
12


.
Luego la representación quedará:
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§





¦¦
f
)(
)1(
2
1
)(
)1(2
22
1
22
k
CoskxSen
k
SenSen
xCos
kk
D
D
DS
DS
DS
DSD
DS
DS
D
;si x = 0
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§


¦
)(
)1(
2
1
2
222
kSen
k
DD
D
DS
S
.
12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función
¯
®
­



S
Sxx
x
xf
0
00
)(
Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que:
¦
f


1
2
2 )12(
1
8 k
S
.
Solución.
Fig.

6. 6
La serie debe ser de la forma: ¦
f

1
02
SenkxbCoskxa
a
kk ; donde :
³

S
S
S
0
0
2
1
xdxa ³

S
S
0
1
xCoskxdxa
k °
¯
°
®
­

impark
k
park
Cosk
k ...............
2
...................0
)1(
12
2
S
S
S
³


S
S
0
1
)1(
11
k
k
k
xSenkxdxb
.Luego la representación será:
¦



2
)12(
)12(2
4
)(
k
xkCos
xfS S
+ Senkx
k
k
2
)1(
S
.
En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua Ÿ
¦
f


1
2 )12(
12
4
0
kS
S
.
)12(
1
8
1
2
2
¦
f

Ÿ
k
S
Sin embargo en S
x converge al valor promedio de los limites laterales o sea a
2
S
y el
resultado es el mismo.
Fig
13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función
¯
®
­



2/32/
2/2/
)(
SSS
SSxx
xx
xf .
Solución.
Fig.
Aquí el intervalo es
)2/3,2/(SS por lo que la serie debe tener la fórmula más general
aunque (b-a) = 2
S, luego será de la forma.

7. 7
SenkxbCoskxa
a
kk¦
2
0
, siendo
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
³³

2/
2/
2/3
2/
0
)(
1
S
S
S
S
S
Sdxxxdxa = 0 ³³³


2/
2/
2/3
2/
2/3
2/
(
1
S
S
S
S
S
S
S
S xCoskxdxCoskxdxxCoskxdxa
k
) = 0
³³³


2/
2/
2/3
2/
2/3
2/
(
1
S
S
S
S
S
S
S
S xSenkxdxSenkxdxxSenkxdxb
k ) =
=
¯
®
­


¯
®
­

parkk
impark
kpark
impark
k
k
.........)1(
................0
2
1
................0
........)1(3
1
2
S
Luego la serie de Fourier para esta función queda:
.2
4
)1(
)12(
)12(
)1(3
2
kxSen
k
xkSen
k
kk




¦
S
Observación.
Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en 2/ S se
transforma en una función par cuya serie no es la misma.
14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:
¯
®
­
d
dd

21...............2/3
10................2/1
)(
xx
xx
xf
Fig.
Solución.
a)
Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:
¦ xSenkbxkCosa
a
kikSS
2
0
,

8. 8
con
³³ ³

2
0
1
0
2
1
0
)2/3()2/1()( dxxdxxdxxfa0
³³

1
0
2
1
)2/3()2/1( dxxkCosxdxxCoskxa
k SS=………
°
¯
°
®
­
impark
k
park
....
4
...........0 22
S
³³

1
0
2
1
)2/3()2/1( dxxkSenxdxxkSenxb
k
SS=………..
°
¯
°
®
­
impark
k
park
......
3
...........0
S
Así la S de F quedará:
¦¦





)12(
)12(3
)12(
)12(4
22
k
xkkSen
k
xkkCos
S
S
S
S
b)La extensión par de la función hace que la Serie sea
: x
k
Cosa
a
k¦
22
0 S
con (b-a) = 4
Donde ³
˜
2
0
0
)(
2
1
2 dxxfa0 y
³
˜
2
0
2
)(
2
1
2 xdx
k
Cosxfa
k
S
xdx
k
Cosxdx
k
xCosdxx
k
xCosdxx
k
Cosa
k ³³³³

2
1
2
1
1
0
1
0
22
3
2222
1
SSSS
=
…………………….=
.)24(..........10,6,2.
16
22
kksi
k
S
La Serie: ¦


22
)24(
2
)24(
16
k
x
k
Cos
S
S
.(¿)
15.- Sea la función Senxxf )( a) determine el período. b) Pruebe que es par
c) encuentre la
S de F. en >@ 2/,2/SS .
Fig.

9. 9
Solución.
SenxSenxCosxSenSenxCosxSen SSS)( ,períodoS,que el gráfico
también confirma.
b) SenxSenxxSen )( par.
c) La S de F. será : ¦ kxCosa
a
k
2
2
0
; pues el intervalo es de magnitud S,donde
SS
S
12
2
2/
0
0
˜ ³
xdxSena
³

˜
2/
0
).14(
2
2
1
S
SSk
k
kxdxCosSenxa
k quedando .
¦


)14(
22
2
1
k
kxkCosSS
. Como la serie pedida.
16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período l4 e impar respecto a
la recta
lx .Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por:
x
l
n
Cosa
n
2
)12(
1
12
S
¦
f

con x
l
n
Cosxf
l
a
l
n
³



0
12
2
)12(
)(
2
S
Fig.
Solución.
0
nb
³³


ll
l
dxxf
l
dxxf
l
a
2
0
2
2
0
)(
1
)(
2
1. Pero³³

ll
dxxfdxxf
2
00
)()(³

l
l
dxxf
2
)(

=
³³

ll
dxxfdxxf
00
0)()(

10. 10
¿
¾
½

¯
®
­

³³³
x
l
n
Cosxfx
l
n
Cosxf
l
x
l
n
Cosxf
l
a
l
l
ll
n
2
0
2
0
2
)(
2
)(
1
2
)(
1
SSS
Si ulx 2.

na
))((
2
)(
2
)(
1
0
0
duu
l
n
Cosufx
l
n
Cosxf
l
l
l
¯
®
­

³³
SS
¿
¾
½
³³
¿
¾
½

¯
®
­

0
0
))(2(
2
)2(
2
)(
1
l
l
n
dxxl
l
n
Cosxlfx
l
n
Cosxf
l
a
SS
;) ()2( xfxlf
¿
¾
½
¿
¾
½

¯
®
­

¯
®
­

³³
dxx
l
n
lSen
l
n
Senx
l
n
lCos
l
n
Cosxfdx
l
n
Cosxf
l
a
ll
n
2
2
22
2
2
)(
2
)(
1
00
SSSSS
dxx
l
n
Cosxf
l
a
l
n
¯
®
­

³
0
2
)(
1
S
+
x
l
n
Cosxf
l
n
2
)()1(
0
1
S
³

dx
¿
¾
½
na=
°
¯
°
®
­³
l
imparnsidx
l
n
Cosxf
l
parnsi
0
2
)(
2
0
S ?
dx
l
n
Cosxf
l
a
l
n
³



0
12
2
)12(
)(
2
S
17.- Sea¦
f

1
0
)(
2
SenkxbCoskxa
a
kk , la Serie de Fourier de f(x).Si )()(
S xfxg ,
mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es )()1(
2
0
SenkxbCoskxa
a
kk
k
¦
Solución.
Fig
Nótese que el gráfico de g(x) se obtiene desplazando el de f(x) a la derecha en
S,entonces:
Si
¦ SenkxBCoskxA
A
xg
kk
2
)(
0
donde 0<x<S2pues SSS
x

11. 11
³³

SS
S
SS
2
0
2
0
0
)(
1
)(
1
dxxfdxxgA, si hacemos u=S
x SSŸ u, luego
³


S
S
S
00
)(
1
aduufA
³³

SS
S
SS
2
0
2
0
)(
1
)(
1
CoskxdxxfCoskxdxxgA
k
³


S
S
S
SduuCosufA
k )()(
1

^` duuSenSenCosuCosufA
k³


S
S
SS
S)()(
1
³


S
S
S
SduCosuCosufA
k
)()(
1 =
k
kk
aduuCosuf )1()()()1(
1
³

S
S
S
.
Igualmente para
kB.
18.- Sea Rt y ). ()( tSenxCosxf
a) Probar que f(x) es par y de período
S
b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si >@S,0x
c) Probar que para )(
0ta se tiene : 0'''
000 taata .
Solución.
a) >@SS;)()()(  xxfxfsiiparxf
)())(()(()( tSenxCosxtSenCosxtSenCosxf luego es par.
?)()(¿
S xfxf
).()()())(())(()( xftSenxCostSenxCosSenxtCosxtSenCosxf SS
b) ³

S
S
0
0
)(
2dxtSenxCosa
³

S
S
0
2)(
2kxdxCostSenxCosa
k
)(
2
0
tSenxCosb
k³

S
S
Sen2kxdx.

12. 12
c) Si ³³
˜ Ÿ
SS
SS
00
00
))((
2
)(')(
2
)(SenxdxtSenxSentadxtSenxCosta
³
˜
S
S
0
2
0
.)(
2
)(''xdxSentSenxCosta
Luego:
`^ dxtSenxtCosSenxtSenxSenxSentSenxtCostaata)()()(
2
'''
2
0
000
˜˜ ³
S
S
.
Pero como: tCosxdxtSenxCosdutSenxSenuSi ˜ Ÿ )()(
CosxvSenxdxdv Ÿ Entonces:
xdxCostSenxtCosxdxCostSenxtCosCosxtSenxSenSenxdxtSenxSen
2
00
2
0
)()()()( ˜ ˜˜ ˜³³³
SSS
Reemplazando se cumple.
19.- Si 2 0)( dd xexf
x
. Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de
período 8 tal que g(x) = f(x) en
.20ddx
Solución.
Fig.
Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al
40ddx
¯
®
­
d
dd

420
20
)( x
xe
xf
x
e
Así g(x) es la extensión par de )(xf
e, por lo tanto:
x
k
Senbx
k
Cosa
a
xg
kk
442
)(
0 SS
¦ ;

13. 13
Con ³³

4
0
2
0
2
0
)1(
2
1
2
1
)(
2
1
edxedxxfa
x
°
¯
°
®
­




³
impark
k
park
k
e
xdx
k
Cosea
k
k
x
k
4
)1(
1)1(
16
8
...........
42
1
122
22
0S
S
S
20.- Probar la relación de Parseval:
)(
2
)(
1
22
2
02
kk
p
pba
a
dxxf
p
¦³

.
Solución.
Si >@ppSCxf ;)(  y
Ÿ ¦ x
p
k
Senbx
p
k
Cosa
a
xf
kk
SS
2
)(
0

)()()1(
2
)()()(
02
fx
p
k
Senbfx
p
k
Cosaf
a
dxxfxfxf
k
p
p
k
$$$$
SS
³ ¦

Pero
0)(1 padxxff
p
p
³

$
kkpbx
p
k
Senfpax
p
k
Cosf
SS
$$
¿
¾
½

°
¯
°
®
­

¦³

22
2
02
2
)(
kk
p
pba
a
pdxxf
21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en >@2,0 y mediante la
relación de Parseval, probar que :
¦
f


1
4
2 )12(
1
96 k
S
.
Solución.
Haciendo la extensión par de f(x) a >@2;2

14. 14

0a³

2
0
2xdx
°
¯
°
®
­


³
impark
k
park
xdx
k
xCosa
k
22
2
0 8
0
22
1
S
S
Aplicando Parseval:
³³

?
p
p
dxxf
p
dxx
3
8
)(
1
3
16
2
2
2
2
y
¦¦¦

Ÿ


4
4
44
2
2
0
)12(
1
96)12(
64
2
4
2 kk
a
a
k
S
S
22.- Si
kkbya son los coeficientes de Fourier para f(x) .Entonces:
0limlim
fofo
k
k
k
k
ba
Solución.
Siendo:
³ ¦


p
p
kk
ba
a
dxxf
p
)(
2
)(
1
2202
y que la serie es convergente, entonces su
termino general tiende a cero o sea . 000)(lim
22
ošoœ
fo
kkkk
k
baba
Ejercicios propuestos.
1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones:
a)
SSdd xexf
x
)( b) 10)( xxSenxf S
c)
¯
®
­
dd

SS
SSxx
xx
xf
0
0
)( Graficar la extensión periódica d)
x
exf

)( -1<x<1
e)
°
¯
°
®
­




SS
SS
Sx
x
x
xf
2/0
2/02/
00
)(
f)
¯
®
­



S
Sxx
x
xf
0
00
)( Graficar su extensión periódica y evaluar en x = 0

15. 15
2.- Si 111)( dd xxxf ,hallar su Serie de Fourier y deducir la convergencia de la
serie numérica: ¦
f

1
2 )12(
1
k
3.- Determinar la Serie de Fourier para la función
44)( dd xxxfcon ello deducir
la convergencia numérica del ejercicio anterior.
4.- Desarrollar en serie de cosenos la función f(x)= Sen x y analizar su convergencia para x
= 0.
5.- Desarrollar en Serie de Fourier f(x) = S20
2
ddxx , y con ello pruebe que
¦
2
2
1
16 kS
6.- Dada la función de impulso unitario:
°
°
°
¯
°
°
°
®
­
dd

dd

S
S
S
Sx
x
x
xf
2
1
2
01
01
)(
¿Cuál es el valor de la serie si a)
Skx b) x=
2
)12(
S
k , ?Zk

16. 16
CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER.
Ejercicios resueltos y propuestos.
1.-Encontrar la integral de Fourier para la función:
°
¯
°
®
­
!



0
02/1
00
)(
xe
x
x
xf
x
Solución.
Si la integral converge, escribimos:
^`³
f

0
)()(
1
)( dwSenwxwBCoswxwAxf
S
donde :
³³
f
f
f
f
dvwvSenvfwBdvwvCosvfwA )()()()()()(
01
)(
)()(
2
0
f



f

³
w
wSenwvCoswve
dvwvCosewA
v
v
=
2
1
1
w
2
0
2
101
)(
)()(
w
w
w
wCoswvSenwve
dvwvSenewB
v
v


f



³
f

Luego:
³
f



0
2
1
1
)( dw
w
wSenwxCoswx
xfS
Si x = 0 dw
w³
f

Ÿ
0
2
1
1
2
S
2.- Demostrar que :
°
¯
°
®
­
!

d

³
f
10
14/1
102/1
1
0
x
x
x
Coswxdw
w
Senw
S
Solución.
La integral corresponde a una función par puesto que 0)( wB, luego consideremos la
función extendida par:
°
¯
°
®
­
!

d

10
14/!
102/1
)(
x
x
x
xf
Así ³³
f
Ÿ
00
1
)(2/12)( Coswxdw
w
senw
xf
w
Senw
CoswvdvwA
S

17. 17
3.- Demostrar que:
¯
®
­
!



³
f
S
SS
Sx
xSenx
Senwxdw
w
wSen
0
2/1
1
1
0
2
.
Solución.
La integral representa a una función impar, pues 0)( wAy
2
1
)(
w
wSen
wB


S
, luego debemos
considerar la extensión impar :
¯
®
­
!
dd

S
SSx
xSenx
xf
i
0
2/1
)(
De ese modo
³³
f
f

S
S
vSenvSenwvdSenwvdvvfwBywA 2/1)()(0)(Ÿ
³³

SS
00
)1()1(
2
1
)( dvvwCosvwCosvSenvSenwvdwB
¿
¾
½
¯
®
­





0
)1(
1
1
)1(
1
1
2
1
)(
S
vwSen
w
vwSen
w
wB
^`
22
1
)1()1()1()1(
)1(2
1
)(
w
Senw
wSenwwSenw
w
wB




S
SS
Así
³
f


0
2
1
1
)( Senwxdw
w
Senw
xf
i
S
S
y corresponde con f(x)si ),0(Sx
4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo
³
f
0
)(
1
CoswxdxwA
S
a la función:
°
¯
°
®
­
!



20
212
10
)(
x
xx
xx
xf
Solución .
Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensión
de la función dada. Así
¿
¾
½
¯
®
­

³³³
f 1
0
2
10
)()2()(2)()(2)( dvwvCosvdvwvvCosdvwvCosvfwA usando tablas.

18. 18
¿
¾
½
¯
®
­

2
122
2)(
w
wCosCosw
wA y por lo tanto:
Coswxdw
w
wCosCosw
xf³
f
¿
¾
½
¯
®
­
0
2
1222
)(
S
5.- Si f(x) es una función par con su integral ³
f

0
)(
1
)( CoswxdwwAxf
S
.Demostrar
que: ³
f

0
2
2
2
)(
)(*)()(*
1
)(
dw
wAd
wAdondedwwxCoswAxfx
S
Solución.
Como ³
f

0
2
)()(*
1
)( dwwxCoswAxfx
S
pues es una función par y como
³³
ff

00
)()(2)()(
1
)( dvwvCosvfwAcondwwxCosxf
S
Entonces
³³
ff

00
2
2
2
)()(2)()(2 dvwvCosvfv
dw
Ad
dvwvSenvvf
dw
dA, comparando con
)(*wA
³
f

0
2
)()(2 dvwvCosvfv
2
2
)(
)(*
dw
wAd
wA Ÿ .
Observación:
Para representar la función:
¯
®
­
!

ax
axx
xf
0
0
)(
2
Consideramos la extensión par de
¯
®
­
!


ax
ax
xf
0
01
)( y aplicamos lo anterior en que
w
Senwa
wA
2
)(
6.- Sea
³
f

0
)()(
1
)( dwwxSenwBxf
S
. Hallar la integral de Fourier de la función
Senxxfxg )()( .
Solución.

19. 19
Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego:³
f

0
)()(
1
dwwxCoswAI
g
S
donde
³
f

0
)()(2)( dvwvCosvgwA³
f

0
)()(2 dvwvSenvCosvf ^`³
f

0
)1()1()( dvvwSenvwSenvf
`^³³
ff

00
)1()1(
2
1
)1()()1()()( wBwBvdvwSenvfvdvwSenvfwA.Luego
bastaría con conocer el coeficiente ).(wB
7.- Si f(x) es una función par con integral:
³
f

0
.)()(
1
)( dwwxCoswAxf
S
Entonces
dwwxSen
dw
dA
xxf )(
1
)(
0
³
f
¸
¹
·
¨
©
§

S
.
Solución
Para
³
f

0
)()(*
1
)( dwwxSenwBxxf
S
donde ³
f

0
)()(2)(* dvwvSenvvfwB.Pero como
³
f

0
)((2 Senwvdvvvf
dw
dA pues ³
f

0
)()(2)( dvwvCosvfwA )(*wBŸ
dw
dA
.
8.- Probar que si
³
f

0
)()()()(
1
)( dwwxSenwBwxCoswAxf
S
. Entonces se cumple:
.)()(
1
)(
0
222
dwwBwAdxxf³³
ff
f

S
Solución.
^`^` dwfwxSenwBfwxCoswAdxxfff $$$ )()()()(
1
)(
0
2
³³
f
f
f
S

^` dwwBwA )()(
1
2
0
2
³
f

S
.
9.-
Aplicando lo anterior probar que:
a
dw
w
awSen
S
³
f
f

2
2
)(
.

20. 20
Solución.
Si tomamos:S )(xf axadd , función par
entonces:
0
)(
2
)(2)(
0
a
wvSen
w
dvwvCoswA
a
³

S
S
=
)(
2
waSen
w
S
? )(
4
)(
2
2
2
2
waSen
w
wA
S

Por otra parte:³³


a
a
a
a
adxdxxf
222
2)(SS
Luego:
dw
w
waSen
dwwAa³³
ff

00
2
22
22
)(41
)(
1
2S
SS
S
?
dw
w
waSena³

0
2
2
)(
2S
o bién
dw
w
waSen
a³
f
f

2
2
)(
S
10.-Probar que :
S
SSS
S
¿
¾
½
¯
®
­
³
f
xdwwxSen
w
wCos
w
wSen
x 0)(
)()(2
0
2
Solución.
Como se puede apreciar se trata de una función impar o sea
°
¯
°
®
­
!

S
Sx
xx
xf
0
)(
³
f
?
0
)()(
1
)( dwwxSenwBxf
S
donde
)(
2
)(
2
)(2)(
2
0
SS
SwSen
w
wCos
w
dvwvvSenwB ³
f
?
dwwxSen
w
wCos
w
wSen
xxf )(
)()(2
)(
0
2
³
f
¿
¾
½
¯
®
­

SS
S
11.- Utilizar la función: 0)( t

xxexf
x
, para deducir que
dwwxSen
w
w
dwwxCos
w
w
)(
)1(
2
)(
)1(
1
0
22
0
22
³³
ff




.
Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que:
³³
ff



00
22
2
22
)1()1( w
dww
w
dw
.-

21. 21
Solución.
a)
Considerando la extensión par de la función dada:
³
f

0
)()(
1
)( dwwxCoswAxf
p
S
con: ³³
ff




00
22
2
)1(
)1(
............)(2)()(2)(
w
w
dvwvCosvedvwvCosvfwA
v
p
Ÿ
dwwxCos
w
w
xf
p )(
)1(
)1(1
)(
0
22
2
³
f


S
.
b) Considerando la extensión impar de la función dada.
³
f

0
)()(
1
)( dwwxSenwBxf
i
S
donde ³
f



0
22
)1(
2
.............)(2)(
w
w
dvwvSenvewB
v
luego
³
f


0
22
)(
)1(
21
)( dwwxSen
w
w
xf
i
S
Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales.
³³
ff




0
22
0
22
2
)(
)1(
2
)(
)1(
)1(
dwwxSen
w
w
dwwxCos
w
w
En a) si x = 0
³
f



Ÿ
0
22
2
0
)1(
)1(1
dw
w
w
S
³³
ff



?
00
22
2
22
)1()1( w
dww
w
dw

22. 22
Ejercicios propuestos.
1.-Sea:
x
xexf

)( . Pruebe que:
22
)1(
4
)(0)(
w
w
wBwA

S
2.- Sea
°
¯
°
®
­
!

10
11
)(x
x
xf
Verifique que
w
Senw
wAwBS
2
)(0)(
y que
³
f
0
)(
2
dwwxCos
w
Senw
S
converge a ½ si x =1 ó x = -1.
3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en
cada punto.
a)
°
¯
°
®
­
!

S
Sx
xx
xf
0
)( b)
°
¯
°
®
­
!


100
10
)(
x
xk
xf
c)
°
¯
°
®
­
!
dd
d

50
511
152/1
)(
x
x
x
xf d)
x
xexf

)(
4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y de
Cosenos para:
a)
¯
®
­
!
dd

100
100
)(
2
x
xx
xf
b)
¯
®
­
!
dd

50
50)(
)(
x
xxCosh
xf
5.- Para 0)(
;
!

xexf
kx
, Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos.
6.-Si 0)( t

xCosxexf
x
Hallar la integral de Fourier, además la de Senos y la
de Cosenos.