Series de Potencias.pdf

breve resumen del series de potencias aplicadas en ecuaciones diferenciales

1. Series de
Potencias
EN ECUACIONES
DIFERENCIALES

2. Índice
¿Qué es una serie de potencias?
Equivalencias a utilizar
Expansión en series de potencias y sus intervalos de convergencias
Pasos a seguir
Ejemplos prácticos
Conclusión
Bibliografía
3
4
5
6
7
13
14

3. ¿Qué es una serie de potencias?
Una serie de potencias es una suma de términos
dados en la forma general aₙ(x-a)ⁿ. Que esta serie
converja o diverja, y el valor al cual converge o
diverge, depende del valor de x, lo cual hace a la
serie una función.
��=σ
??????=0
∞
??????
??????�
??????
��=??????
0�
0
+??????
1�
1
+??????
2�
2
+??????
3�
3
+??????
4�
4
+⋯??????
??????�
??????

4. Equivalencias a utilizar
Se parte de la siguiente ecuación de la cual surgirán las demás.
�=෍
??????=0
∞
??????
??????�
??????
Se deriva la primera ecuación.
෍
??????=0
∞
????????????
??????�
??????
Se deriva por segunda vez.
෍
??????=0
∞
????????????−1??????
??????�
??????−2
Se derivará las veces necesarias de acuerdo a la ecuación propuesta.

5. Expansión en
series de
potencias y sus
intervalos de
convergencias

6. Pasos a seguir
✓Sustituir las expresiones en la ecuación diferencial presentada.
✓Reajustar las sumas formadas para combinar los términos y simplificar la expresión.
✓Ajustar los índices de las sumas de forma que aparezca �
??????
.
✓Se igualan los coeficientes correspondientes.
✓Se generan los coeficientes para obtener la solución.

7. ▪Ejemplos prácticos

8. ➢E-1
Utilizando series de potencias halla la solución dela siguiente ecuación:
�
′
−2�=0
�
′
−2�=0
෍
??????=0
∞
????????????
??????�
??????−1
−2෍
??????=0
∞
??????
??????�
??????
=0
෍
??????=0
∞
????????????
??????�
??????−1
=2෍
??????=0
∞
??????
??????�
??????
෍
??????=−1
∞
(??????+1)??????
??????+1�
??????
=2෍
??????=0
∞
??????
??????�
??????
??????+1??????
??????+1=2??????
??????⇒??????
??????+1=
2??????
??????
??????+1
Pasos 1 y 2
Pasos 3
Paso 4

9. ➢E-1 �
′
−2�=0
??????
1=2??????
0
??????
2=
2??????
1
2
=
2
2
??????
0
2
??????
3=
2??????
2
3
=
2
3
??????
0
2∗3
=
2
3
??????
0
3!
??????
4=
2??????
3
4
=
2
4
??????
0
2∗3∗4
=
2
4
??????
0
4!
፧
??????
??????=
2
??????
??????
0
??????!
�=෍
??????=0
∞
2
??????
??????
0
??????!
�
??????
=??????
0෍
??????=0
∞
(2�)
??????
??????!
=??????
0�
2??????
Pasos 5
Solución
Expansion utilizada:
෍
??????=0
∞
�
??????
??????!
=�
??????

10. ➢E-2
Utilizando series de potencias halla la solución dela siguiente ecuación:
�
′′
+��
′
+�=0
෍
??????=0
∞
????????????−1??????
??????�
??????−2
+෍
??????=0
∞
????????????
??????�
??????
+෍
??????=0
∞
??????
??????�
??????
=0
෍
??????=0
∞
??????(??????−1)??????
??????�
??????−2
=−෍
??????=0
∞
(??????+1)??????
??????�
??????
෍
??????=−2
∞
(??????+2)(??????+1)??????
??????+2�
??????
=−෍
??????=0
∞
(??????+1)??????
??????�
??????
??????
??????+2=−
??????+1
(??????+2)(??????+1)
??????
??????
??????
??????+2=−
??????
??????
??????+2

11. ➢E-2 �
′′
+��
′
+�=0
Pares:
??????
2=−
??????
0
2
??????
4=−
??????
2
4
=
??????
0
2∗4
??????
6=−
??????
4
6
=−
??????
0
2∗4∗6
፧
??????
2??????=
−1
??????
??????
0
2∗4∗6..2??????
=
−1
??????
??????
0
2
??????
??????!
Impares:
??????
3=−
??????
1
3
??????
5=−
??????
3
5
=
??????
1
3∗5
??????
7=−
??????
7
7
=−
??????
1
3∗5∗7
፧
??????
2??????+1=
−1
??????
??????
1
3∗5∗7..2??????+1
�=෍
??????=0
∞
−1
??????
??????
0
2
??????
??????!
+෍
??????=0
∞
−1
??????
??????
1
3∗5∗7..2??????+1

12. Es tu turno

13. �
2
−1�
′′
+6��
′
+4�=−4
Es tu turno

14. Conclusión
En conclusión, el método de serie de
potencias es una forma de hallar la solución
de ecuaciones diferenciales, la forma
presentada es una forma general ya que hay
diversos métodos de resolución de serie de
potencias.

15. Bibliografía
•7.4 Soluciones de ecuaciones diferenciales
mediante series -Cálculo volumen 3 | OpenStax. (s.
f.-b). https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-
volumen-3/pages/7-4-soluciones-de-ecuaciones-
diferenciales-mediante-series
Cesar Román Martínez García. (2018). APUNTES
DEL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
[Conjunto de datos; Digital]. IPN.
https://www.escom.ipn.mx/docs/oferta/matDidactic
oISC2009/EDfrncls/Apuntes_EcuDiferenciales_o1.p
df

16. �=෍
??????=0
∞
??????+1??????
0+1�
2??????
+෍
??????=0
∞
(
2??????+3
3
)??????
1�
2??????+1
Gracias por su atención