Sistema de ecuaciones

1. Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones
linealeslineales
Profesora Srta. Yanira Castro Lizana

2. La tercera parte de los ahorros de Juan es $115.
Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se
expresa como sigue:
1
115
3
x=
Esta igualdad es una ecuación lineal. Las ecuaciones se usan para
expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos,
astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo:
1
2 ,
2
v t= +
expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil
con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m
por segundo cuadrado.
1
2

3. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma
en donde son variables; son constantes llamadas
los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término
constante de la ecuación.
1 1 2 2 n n
a x a x a x b+ +×××+ =
1 2
, x , ..., x
n
x
1 2
, , ...,
n
a a a
Ejemplo 1
Solución
Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas de
Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas.
¿Cuántas tiene cada uno?
Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por
tanto:
( )2 2 103x x+ + =
3 4 103x+ =
99
33
3
x= =

4. Ejemplo 2Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la
corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la
corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma?
SoluciónSea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea
y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:
es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor.
es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.
x y+
x y-
Por lo que:
{
100

70
x y
x y
+ =
- =
Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos
variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2
de ecuaciones lineales.
Resolviendo el sistema (*) se obtiene:
Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o
más ecuaciones lineales
………(*)
km km
85 , 15
h h
x y= =

5. •En cuanto a la resolución, los métodos que En cuanto a la resolución, los métodos que
veremos en esta Unidad, se dividen en dos veremos en esta Unidad, se dividen en dos
grupos: grupos: métodos analíticosmétodos analíticos y y método método
gráficográfico..
•Los Los métodos analíticosmétodos analíticos, que iremos viendo uno , que iremos viendo uno
a uno, son tres: a uno, son tres:
•sustituciónsustitución, , igualaciónigualación y y reducciónreducción. .
•Por contra, el Por contra, el método gráficométodo gráfico (sólo hay uno), (sólo hay uno),
consiste, como su propio nombre indica) en consiste, como su propio nombre indica) en
resolver (y discutir) el sistema mediante la resolver (y discutir) el sistema mediante la
representación gráfica de sus ecuaciones.representación gráfica de sus ecuaciones.

6. Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones
lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol-
viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior.
Método por sustitución
Este método se resume así:
Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones.
3.
2.
1.
La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por
su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.
El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación
obtenida en el paso 1.
¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?

7. •Evidentemente, aún cuando la incógnita Evidentemente, aún cuando la incógnita
que se va a despejar en el primer paso que se va a despejar en el primer paso
puede ser cualquiera y de cualquier puede ser cualquiera y de cualquier
ecuación, es mejor, por la facilidad de los ecuación, es mejor, por la facilidad de los
cálculos posteriores, hacer una buena cálculos posteriores, hacer una buena
elección de ambas, incógnita y ecuación. elección de ambas, incógnita y ecuación.
Queremos decir que será más fácil operar Queremos decir que será más fácil operar
después si, por ejemplo, se elige una después si, por ejemplo, se elige una
incógnita en una ecuación en la que incógnita en una ecuación en la que "no "no
tenga"tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente (es decir, que su
coeficiente sea coeficiente sea 11), ya que, en ese caso, ), ya que, en ese caso,
podremos podremos evitar el cálculo con fraccionesevitar el cálculo con fracciones..

8. Ejemplo 3Resolver por sustitución el sistema {
100

70
x y
x y
+ =
- =
Solución1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene:
….(*)
….(**)
100y x= -
2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se
tiene:
( )100 70x x- - =
2 100 70x- =
170
85
2
x= =
3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se
obtiene el valor de y
100 85 15y= - =

9. Un ejemplo de un sistema lineal de dos Un ejemplo de un sistema lineal de dos
ecuaciones con dos incógnitas puede ser:ecuaciones con dos incógnitas puede ser:
•x + y = 10 x + y = 10
•x - y = 2x - y = 2
•Cada una de las ecuaciones que componen el Cada una de las ecuaciones que componen el
sistema, sistema, por separado, tendrían infinitas por separado, tendrían infinitas
solucionessoluciones, ya que hay infinitas parejas de , ya que hay infinitas parejas de
números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos
pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo,
al al considerar juntas ambas ecuaciones considerar juntas ambas ecuaciones para para
formar el sistema, estaremos buscando formar el sistema, estaremos buscando un par de un par de
números números (x, y)(x, y) que cumplan que cumplan a la veza la vez las dos. las dos.

10. •Los sistemas de ecuaciones responden a Los sistemas de ecuaciones responden a
planteamientos de problemáticas muy planteamientos de problemáticas muy
diversas. Por ejemplo, el sistema que diversas. Por ejemplo, el sistema que
hemos propuesto más arriba, podría ser el hemos propuesto más arriba, podría ser el
planteamiento para resolver un problema planteamiento para resolver un problema
de este tipo:de este tipo:

11. •Entre lápices y gomas tengo diez piezas Entre lápices y gomas tengo diez piezas
de material escolar. Tengo dos lápices de material escolar. Tengo dos lápices
más que gomas. ¿Cuántos lápices y más que gomas. ¿Cuántos lápices y
cuántas gomas tengo?cuántas gomas tengo?

12. Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero
Sergio tiene el doble de euros que Ana. Sergio tiene el doble de euros que Ana.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?.¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
•Llamemos Llamemos xx al número de euros de Ana e al número de euros de Ana e yy al de al de
Sergio. Vamos a expresar las condiciones del Sergio. Vamos a expresar las condiciones del
problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen
600 euros, esto nos proporciona la ecuación 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + x +
y = 600y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que . Si Sergio tiene el doble de euros que
Ana, tendremos que Ana, tendremos que y = 2xy = 2x. Ambas ecuaciones . Ambas ecuaciones
juntas forman el siguiente sistema:juntas forman el siguiente sistema:
•x + y = 600 x + y = 600
•y = 2xy = 2x

13. Resuelve el sistema de ecuaciones Resuelve el sistema de ecuaciones
por el método de sustitución .por el método de sustitución .
a)a)
4x + y =0
-4x + y =-8

14. b)b)
5x - 2y =-1
7x + 4y =53

15. c) c)
2x + 6y =-16
-2x - 13y =37

16. 2 6
1)
3 4
x y
x y
+ =ì
í
- =î

17. Método por igualación
Este método se resume así:
De cada ecuación se despeja la misma variable.
3.
2.
1.
Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la
ecuación que resulta.
El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las
ecuaciones obtenida en el paso 1.
Ejemplo 4Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco.
Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió
1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia
del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan?
SoluciónSea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el
tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

18. t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a
Juan.
Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t
se tiene que:
60

90
1
d
t
d
t
ì
=
ï
í
ï =
-î
Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene:
O sea: {
60 0

90 90
t d
t d
- =
- =
90 90 60t t- =
30 90t=
90
3
30
t= =
Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene
que d = 180.
60 0t d- =

19. Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según
su número de soluciones de la siguiente forma:
Sistemas con una solución : Las ecuaciones del sistema son
rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la
solución del sistema
Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son
rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por
tanto no hay solución
Sistemas con infinitas soluciones : Las ecuaciones del sistema
son rectas coincidentes.Tienen todos los puntos en común,
y por tanto todos ellos son solución

TIPOS DE SISTEMAS

20. ¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga
una, ninguna o infinitas soluciones?

Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no
son proporcionales
Ejemplo:

21. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son
proporcionales a los de la otra, mientras que los términos
independientes no lo son

Ejemplo:

22. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término
independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la
otra
Ejemplo:

23. Método por determinantes
Si los coeficientes de las variables t y d del sistema
se arreglan así
{
60 0

90 90
t d
t d
- =
- =
60 1
90 1
-æ ö
ç ÷
-è ø
se obtiene una matriz.
El determinante de una matriz se denota así:
y se define como sigue:
a b
c d
æ ö
ç ÷
è ø
,
a b
c d
a b
ad bc
c d
= -
Y la resolución por determinantes de un sistema se
obtiene así:
{

ax by m
cx dy n
+ =
+ =
,
m b
n d
x
a b
c d
=
.
a m
c n
y
a b
c d
=

24. Ejemplo 5Resolver por determinantes el sistema {
2 3

3 2 1
x y
x y
- =
+ =
Solución
()()()( )
()()()( )
3 2
3 2 1 21 2 8
1
1 2 1 2 3 2 8
3 2
x
-
- -
= = = =
- - -
()()()()
()()()( )
1 3
1 1 3 33 1 8
1
1 2 1 2 3 2 8
3 2
y
- -
= = = = -
- - -
Ejemplo 6Resolver por determinantes el sistema {
3 1

4 8
x y
x y
- =
+ =
Solución
1 3
8 4 28
4
1 3 7
1 4
,x
-
= = =
-
1 1
1 8 7
1
1 3 7
1 4
y= = =
-

25. Método gráfico
Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para
determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.
La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales,
es una recta . Por lo que el método gráfico:
Ejemplo 7Resolver gráficamente el sistema {
1

2 1
x y
x y
- = -
- =
SoluciónSe tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas.
Observe:
1y x= +
x
y
0 – 1
0

1
2 1y x= -
x
y
0 2
– 1 3

26. Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla
en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe:
– 1
0
– 1
2
3
1
x
y
El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son
gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:
2, 3x y= =
(2, 3)

27. Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado,
compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las
rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan
exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución
del sistema.
Ejemplo 8El sistema tiene solución única. Observe: {
3 1

4 8
x y
x y
- =
+ =
2
1
0
4
2
x
y
3 1x y- =
4 8x y+ =
(4, 1)
1

28. Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de
soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se
caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la
misma recta.
Ejemplo 10El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe:
1
2
2 2
y
x
x y
ì
- =
ï
í
ï
- =î
- 2
10
y
x
1
2
y
x- =
2 2x y- =

29. Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema
inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de
las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.
El sistema no tiene solución. Observe:
1
2
2 3
y
x
x y
ì
- =
ï
í
ï
- =î
- 2
1
0
y
x
1
2
y
x- =
2 3x y- =
- 3
Ejemplo 11

30. Fin