Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

1. Tema 6
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales
6.1 Introducci¶on
Introduciremos en este tema los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, en parti-
cular los de primer orden. Por simplicidad nos referiremos a sistemas de dos ecuaciones,
si bien las de¯niciones generales (para cualquier n¶umero de ecuaciones) son esencialmente
an¶alogas.
6.2 Conceptos B¶asicos
A diferencia de las ecuaciones diferenciales estudiadas en los temas anteriores, considere-
mos ahora la situaci¶on en la que disponemos de una variable independientety dos o m¶as
variables dependientes:x=x(t),y=y(t),: : :. En el caso de simplemente dos variables
dependientes, y denotandox
0
=
dx
dt
,y
0
=
dy
dt
, un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden ser¶a un sistema de la forma:
x
0
(t) =f(x; y; t)
y
0
(t) =g(x; y; t)
)
(6.1)
En este sistema (6.1) aparecen despejadas las derivadas primeras, cada una de ellas en
una ecuaci¶on, denominaremos a esta situaci¶on como forma normal de escribir el sistema
(a semejanza de la forma normal para simplemente una ecuaci¶on).
Para el caso general, con ecuaciones de orden superior al primero, tendremos que
un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias es toda pareja de ecuaciones de la
forma:
©1(t; x(t); x
0
(t); : : : ; x
(m)
(t); y(t); y
0
(t); : : : ; y
(n)
(t)) = 0
©2(t; x(t); x
0
(t); : : : ; x
(p)
(t); y(t); y
0
(t); : : : ; y
(r)
(t)) = 0
)
1

2. 2 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6
Nos referiremos en estas notas a sistemas de dos ¶unicas ecuaciones diferenciales, si bien
casi todo lo explicado es generalizable f¶acilmente al caso denecuaciones.
Una soluci¶on de dicho sistema es toda pareja de funciones (x(t); y(t)) que sustituidas
en el sistema lo convierten en dos identidades. Si nos restringimos a sistemas de primer
orden tendremos en general:
©1(t; x(t); x
0
(t); y(t); y
0
(t)) = 0
©2(t; x(t); x
0
(t); y(t); y
0
(t)) = 0
)
Es importante precisar que restringirnos a ecuaciones de primer orden no signi¯ca
p¶erdida de generalidad, pues todo sistema de ecuaciones de orden superior al primero
es equivalente a un sistema de primer orden si se introducen variables auxiliares. Este
hecho puede comprobarse en el Ejemplo 3.
Ejemplo 1:El sistema:
x
0
= 2x
3
y+e
t
y
y
0
=t
3
x
)
es un sistema de ecuaciones de primer orden escrito en forma normal.
Ejemplo 2:El sistema
xy
0
+x
02
y=t
3
y
0
+x
0
cost=x
3
)
no est¶a escrito en forma normal.
Ejemplo 3:El sistema de ecuaciones de segundo orden:
x
00
= 2x+ 3y
y
00
= 6x
2
+y
0
+ 3t
2
x
0
)
es equivalente al sistema de ecuaciones de primer orden:
x
0
=z
y
0
=p
z
0
= 2x+ 3y
p
0
= 6x
2
+p+ 3t
2
z
9
>
>
>
=
>
>
>
;
dondezypson dos nuevas variables dependientes:z=x
0
,p=y
0
.
La soluci¶on general de un sistema de dos ecuaciones depende de dos constantes
arbitrarias, es decir, ser¶an dos funciones de la forma:x=x(t; C1; C2) ey=y(t; C1; C2).
Un problema de valor inicial o problema de Cauchy ser¶a ahora un conjunto de ecua-
ciones de la forma:
x
0
(t) =f(x; y; t)
y
0
(t) =g(x; y; t)
)
;
x(t0) =x0
y(t0) =y0
)
(6.2)

3. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6 3
Y el teorema de Picard se generaliza f¶acilmente bajo las condiciones habituales de uen
comportamiento" para las funcionesgyhen un entorno del punto (t0; x0; y0), garan-
tiz¶andose la existencia y unicidad de la soluci¶on del problema:
Teorema de Picard:Dado el problema de valor inicial (6.2), si las funcionesf(x; y; t)
yg(x; y; t) son de claseC
1
en un entorno del punto (x0; y0; t0), entonces el P.V.I tiene
soluci¶on y adem¶as es ¶unica en dicho entorno.
1
.
Sistemas acoplados y no acoplados. Un sistema de dos ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden est¶a desacoplado si es de la forma:
dx
dt
=f(x; t)
dy
dt
=g(y; t)
)
Evidentemente un sistema desacoplado es m¶as bien un conjunto de dos ecuaciones \in-
dependientes" y su resoluci¶on se reduce a la de ambas ecuaciones por separado.
Ejemplo :Consideremos el sistema desacoplado:
dx
dt
= 2
t
x
dy
dt
=y
)
La primera ecuaci¶on nos proporciona
1
2
x
2
(t) =t
2
+C1)x(t) =§
p
2t
2
+ 2C1, mientras que la
segunda tiene como soluci¶on generaly(t) =C2e
t
.
Un sistema acoplado, evidentemente, es aqu¶el en el cual las variables dependientes
se ven envueltas en ambas ecuaciones. A veces los sistemas acoplados son casi triviales
de resolver, si una de las ecuaciones depende s¶olo de la variable dependiente adecuada,
como podemos ver en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1:
dx
dt
= 2xy
dy
dt
=y
)
Se trata de un sistema acoplado, pero es evidente que la segunda ecuaci¶on es una ecuaci¶on
desacoplada y podemos resolverla f¶acilmente:
y(t) =C1e
t
Sustituyendo en la primera ecuaci¶on:
x
0
(t) = 2xC1e
t
)
dx
x
= 2C1e
t
dt)lnjxj= 2C1e
t
+C2
1
De manera an¶aloga a lo que se expuso en el Tema 1 de la asignatura para ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden, conviene aclarar que ¶esta una versi¶on simpli¯cada del Teorema. Obviaremos
por tanto versiones mas \¯nas" del teorema, que requerieren no la diferenciabilidad de las funciones si
no tan s¶olo que se satisfaga la condici¶on de Lipschitz.

4. 4 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6
Ejemplo 2:Resolveremos ahora el mismo sistema pero considerando adem¶as dos condiciones
iniciales:
dx
dt
= 2xy
dy
dt
=y
)
;
x(0) = 1
y(0) = 1
)
Sustituyendo la condici¶on para la variableyencontramos directamente queC1= 1, es decir:
y(t) =e
t
. De manera an¶aloga:C2=¡2 y as¶³ la soluci¶on particular del P.V.I. es:
x=e
2(e
t
¡1)
; y=e
t
que vemos representada en la ¯gura:-1.0 -0.5 0.5 1.0
t
1
2
3
4
5
xHtL, yHtL
Figura 6.1:Gr¶a¯cas de las soluciones del P.V.I. (por simplicidad utilizamos el mismo plano
para representar ambas soluciones,x(t)ey(t)).
6.3 Interpretaci¶on geom¶etrica de las soluciones de un S.E.D.O.
Dado un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias:
dx
dt
=f(x; y; t)
dy
dt
=g(x; y; t)
)
sea (x(t); y(t)) una soluci¶on particular del mismo. Podemos entonces representar in-
dependientemente las funcionesx(t) ey(t) frente a la variable de la que dependen, es
decirt. Pero tambi¶en es posible identi¯car la soluci¶on particular como las ecuaciones
param¶etricas de una curva¾: [t1; t2]!R
2
,¾(t) = (x(t); y(t)). En tal caso, al planoR
2
en el que representamos dicha curva se le denomina \plano de fase" del sistema y a la
curva \¶orbita soluci¶on".
Ejemplo:El sistema
dx
dt
= 2 cost
dy
dt
=¡sent
)
con la condici¶on inicial (x(0); y(0)) = (0;1) tiene como soluci¶on particular a:x(t) = 2 sent,
y(t) = cost, que son las ecuaciones param¶etricas de una elipse en el plano centrada en el origen

5. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6 5
del mismo y con semiejes 2 y 1 respectivamente. Es f¶acil eliminar el par¶ametrotentre ambas
ecuaciones y obtener as¶³ la ecuaci¶on impl¶³cita de dicha ¶orbita:
x
2
4
+y
2
= 1. (Ver Figura 6.2).t
x,y
x
y
Figura 6.2:Gr¶a¯cas de las soluciones (izquierda) y de la ¶orbita (derecha).
Un sistema de condiciones iniciales (x(t0); y(t0)) = (x0; y0) se traduce en ¯jar un
punto por el que pasa la ¶orbita.
Es importante hacer notar que la ¶orbita de la soluci¶on no da cuenta m¶as que de parte
de la informaci¶on contenida en las soluciones. De hecho diferentes sistemas de ecuaciones
pueden dar lugar a id¶enticas ¶orbitas aunque las soluciones sean distintas. Tambi¶en hay
que resaltar que las soluciones proporcionan unas ecuaciones param¶etricas concretas de
la ¶orbita, de manera que (interpretando la variabletcomo iempo") queda determinado
el \modo de recorrer" la ¶orbita seg¶un la parametrizaci¶on.
6.4 Sistemas Lineales
Restringi¶endonos, como en la secci¶on anterior, a sistemas de dos ecuaciones diferenciales
ordinarias, y adem¶as escritos en forma normal, diremos que el sistema (6.1) es lineal
si las funcionesf(x; y; t) yg(x; y; t) son lineales en las variables dependientes, ser¶a no
lineal en caso contrario. De manera general por tanto un sistema lineal es de la forma:
dx
dt
=a(t)x+b(t)y+f(t)
dy
dt
=c(t)x+d(t)y+g(t)
)
Si los coe¯cientesa(t); b(t); c(t) yd(t) son constantes, tendremos un \sistema lineal
con coe¯cientes constantes", en caso contrario ser¶a un sistema lineal con coe¯cientes
variables.
Sistemas Homog¶eneos de Ecuaciones Lineales:se trata de aquellos sistemas con
t¶erminos independientes nulos, es decir, para el caso de dos ecuaciones, ser¶an sistemas
de la forma:
dx
dt
=a(t)x+b(t)y
dy
dt
=c(t)x+d(t)y
)

6. 6 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6
Propiedades de las soluciones de un sistema lineal:El conjunto de las soluciones
de un sistema lineal homog¶eneo tiene estructura de espacio vectorial real
2
, esto signi¯ca
que si (x1(t); y1(t)) y (x2(t); y2(t)) son soluciones de un sistema lineal homog¶eneo, en-
tonces (x1(t) +x2(t); y1(t) +y2(t)) tambi¶en lo son, al igual que (¸x1(t); ¸y1(t)),8¸2R.
De lo anterior se deduce que si conocemos dos soluciones independientes de un sistema
lineal homog¶eneo, entonces conocemos todas las soluciones del sistema, pues cualquier
soluci¶on ser¶a una combinaci¶on lineal de las anteriores.
De manera an¶aloga a lo que ocurr¶³a con las ecuaciones lineales estudiadas en temas
anteriores, la soluci¶on general de un sistema lineal (no homog¶eneo) siempre puede es-
cribirse como la soluci¶on general del sistema homog¶eneo asociado m¶as una soluci¶on
particular del sistema completo, es decir la soluci¶on general ser¶a de la forma:
x(t) =xH:A:(t; C1; C2) +xP
y(t) =yH:A:(t; C1; C2) +yP
)
Como vemos, para resolver un sistema lineal basta con resolver en primer lugar el
sistema lineal homog¶eneo asociado y determinar posteriormente una soluci¶on particular
del sistema completo. Desgraciadamente, la resoluci¶on del sistema homog¶eneo no siem-
pre es f¶acil. Veremos a continuaci¶on c¶omo para los sistemas con coe¯cientes constantes
s¶³ que podemos siempre obtener las soluciones de una forma sencilla.
6.4.1 M¶etodo de Eliminaci¶on
El M¶etodo de eliminaci¶on consiste en convertir un sistema de dos ecuaciones lineales
con coe¯cientes constantes en una ¶unica ecuaci¶on lineal con coe¯cientes constantes de
segundo orden. Si partimos del sistema:
dx
dt
=ax+by+f(t)
dy
dt
=cx+dy+g(t)
)
y denominamosD=
d
dt
al operador derivada con respecto at, tendremos:
(D¡a)x¡by=f(t)
¡cx+ (D¡d)y=g(t)
)
Si decidimos eliminar la variablexdel sistema procederemos de la siguiente forma:
multiplicando la primera ecuaci¶on por¡cy la segunda por (D¡a) y restando los
resultados, reducimos el sistema a una ecuaci¶on de la forma:
(D
2
+pD+q)y=h(t)
2
La dimensi¶on de dicho espacio vectorial es igual al n¶umero de ecuaciones.

7. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6 7
Ecuaci¶on lineal con coe¯cientes constantes de segundo orden que resolveremos con las
t¶ecnicas aprendidas en el tema anterior. Evidentemente, el razonamiento presentado
no es el ¶unico que lleva a la eliminaci¶on de una de las variables, otra opci¶on posible es
despejar directamentexen la segunda ecuaci¶on, oyen la primera, y sustituir en la otra
ecuaci¶on.
Ejemplo 1:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con coe¯cientes constantes
homog¶eneo:
dx
dt
= 4x¡y
dy
dt
= 2x+y
)
El sistema puede ser re-escrito, en t¶erminos del operadorD=
d
dt
en la forma:
(D¡4)x+y = 0
¡2x+ (D¡1)y= 0
)
)
(D¡1)(D¡4)x+ (D¡1)y= 0
¡2x+ (D¡1)y = 0
)
y as¶³, restando ambas ecuaciones, tendremos:
(D¡1)(D¡4)x+ 2x= 0)(D
2
¡5D+ 6)x= 0
que puede ser resuelta f¶acilmente y tendremos:
x(t) =C1e
3t
+C2e
2t
Teniendo en cuenta ahora la primera ecuaci¶on:y(t) = 4x(t)¡
dx(t)
dt
, resultar¶a:
y(t) =C1e
3t
+ 2C2e
2t
Ejemplo 2:Resolver el siguiente sistema no homog¶eneo:
dx
dt
=¡x+y
dy
dt
=¡2x¡4y+e
t
)
Procederemos ahora despejando directamente la variableyen la primera ecuaci¶on:
y=x
0
+x)y
0
=x
00
+x
0
donde hemos utilizado la notaci¶onx
0
=
dx
dt
, etc., por simplicidad. Sustituyendo en la segunda
ecuaci¶on obtenemos:
x
00
+ 5x
0
+ 6x=e
t
cuya soluci¶on es:
x=C1e
¡3t
+C2e
¡2t
+
1
12
e
t
El c¶alculo deyes ahora directo usando quey=x
0
+x:
y=¡2C1e
¡3t
¡C2e
¡2t
+
1
6
e
t

8. 8 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6
En el caso particular de sistemas homog¶eneos, es posible un procedimiento todav¶³a
m¶as directo para obtener la soluci¶on, pues la ecuaci¶on caracter¶³stica de la ecuaci¶on de
segundo orden asociada puede encontrarse en una forma muy sencilla:
Dado el sistema lineal homog¶eneo con coe¯cientes constantes:
dx
dt
=ax+by
dy
dt
=cx+dy
)
el proceso de eliminaci¶on mostrado nos lleva a una ecuaci¶on lineal de segundo orden con
operador asociado (D
2
+pD+q), tanto si se elimina la variablexcomo si se hace con
lay. Es f¶acil demostrar entonces que la ecuaci¶on caracter¶³stica¸
2
+p¸+q= 0 de dicho
problema se obtiene directamente de la expresi¶on
3
:
¯
¯
¯
¯
¯
a¡¸ b
c d¡¸
¯
¯
¯
¯
¯
= 0
Apliquemos este hecho a un ejemplo concreto:
Ejemplo 3:Resolver el siguiente problema de valor inicial:
dx
dt
=y
dy
dt
=¡x
)
x(0) = 1
y(0) = 1
)
La ecuaci¶on caracter¶³stica ser¶a:
¯
¯
¯
¯
¯
¡¸1
¡1¡¸
¯
¯
¯
¯
¯
= 0)¸
2
+ 1 = 0
Por tanto tenemos dos ra¶³ces imaginarias:¸1=i,¸2=¡i. De esta manera, la soluci¶on ser¶a,
por ejemplo parax(t):
x(t) =K1cost+K2sent
mientras que la variabley(t) la obtenemos f¶acilmente a partir de la primera ecuaci¶on:y(t) =x
0
(t):
y(t) =K2cost¡K1sent
Sustituyendo las condiciones iniciales en ambas expresiones generales tendremos la soluci¶on par-
ticular buscada:
x(t) = cost+ sent
y(t) = cost¡sent
)
3
La demostraci¶on m¶as habitual (y elegante) de este hecho se puede hacer expresando matricialmente el
sistema y diagonalizando la matriz de coe¯cientes asociada. De una manera m¶as directa, y bas¶andonos en
el razonamiento antes expuesto para la eliminaci¶on de la variable, tenemos que la ecuaci¶on caracter¶³stica
ser¶a:bc+ (¸¡a)(¸¡d) = 0, y as¶³:
bc+ (¸¡a)(¸¡d) = 0,
¯
¯
¯
¯
¯
a¡¸ b
c d¡¸
¯
¯
¯
¯
¯
= 0

9. CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6 9
La ¶orbita soluci¶on es en este caso una circunferencia de radio
p
2, como puede observarse
f¶acilmente si elevamos al cuadradox(t) ey(t) y sumamos ambas expresiones. Por otro lado,
la resoluci¶on general del sistema visto como sistema aut¶onomo (que estudiaremos en la secci¶on
siguiente), conduce a la ecuaci¶on diferencial de las ¶orbitas:x dx+y dy= 0 que da como soluci¶on
evidente una familia de circunferencias conc¶entricas.
6.5 Sistemas aut¶onomos
Un sistema de ecuaciones diferenciales es \aut¶onomo" si no depende expl¶³citamente de
la variable independiente, su forma general (para el caso de dos ecuaciones de primer
orden) ser¶a por tanto:
dx
dt
=f(x; y)
dy
dt
=g(x; y)
)
Para los sistemas aut¶onomos es siempre posible aplicar una estrategia de resoluci¶on
consistente en obtener en primer lugar la ecuaci¶on impl¶³cita de las ¶orbitas soluci¶on, de
la siguiente forma: Las ecuaciones pueden escribirse en forma diferencial:
dx
f(x;y)
=dt
dy
g(x;y)
=dt
)
de manera que se puede eliminar la variable independiente, igualando los primeros miem-
bros y obtenemos la ecuaci¶on diferencial ordinaria:
dx
f(x; y)
=
dy
g(x; y)
cuyas curvas soluci¶on son evidentemente las ¶orbitas del sistema de ecuaciones. Si en la
soluci¶on general es posible despejar una de las inc¶ognitas, entonces su substituci¶on en el
sistema original nos proporciona una ecuaci¶on ordinaria y, en de¯nitiva, las soluciones
del sistema.
Ejemplo 1:Consideremos el sistema aut¶onomo:
dx
dt
=
2
y
dy
dt
=
1
x
)
La ecuaci¶on diferencial que describe a las ¶orbitas ser¶a:
dx
2=y
=dt=
dy
1=x
)
dx
x
=
2dy
y
)lnjxj= 2 lnjyj+C)x=Ky
2
sustituyendo en la segunda ecuaci¶on del sistema:
dy
dt
=
1
Ky
2
)y
2
dy=
1
K
dt)
1
3
y
3
=
1
K
t+K
0
)y=
µ
3
K
t+ 3K
0
¶1
3

10. 10 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEM ¶ATICOS / TEMA 6
y en consecuencia:x=K
¡
3
K
t+ 3K
0
¢2
3
,y=
¡
3
K
t+ 3K
0
¢1
3
es la soluci¶on general del sistema
(dependiente de las constantes arbitrariasKyK
0
).
Ejemplo 2:Consideremos el sistema aut¶onomo:
dx
dt
=y
dy
dt
= 2x
)
con las condiciones iniciales:x(0) = 1,y(0) =
p
2. La ecuaci¶on diferencial que describe a las
¶orbitas ser¶a:
dx
y
=dt=
dy
2x
)
dx
y
=
dy
2x
)2xdx=ydy)x
2
=
1
2
y
2
+C)y=§
p
2x
2
¡K
Ahora bien, de las condiciones iniciales se deduce que parat= 0,xeyhan de tomar los valores
1 y
p
2 respectivamente, por tanto una ¶unica ¶orbita es la relevante, la que pasa por el punto
(1;
p
2) y, por tanto, nos quedaremos con la soluci¶on particular:y=
p
2x(correspondiente a
K= 0). Sustituyendo en la primera ecuaci¶on del sistema:
dx
dt
=
p
2x)
dx
x
=
p
2dt)x=C e
p
2t
Utilizando de nuevo las condiciones iniciales concluimos con la soluci¶on particular buscada:
x=e
p
2t
,y=
p
2e
p
2t
.