Slide bài giảng học phần Giải tích 1_chương Đạo hàm vi phân

Slide bài giảng học phần Giải tích 1_chương Đạo hàm vi phân trường Đại học Bách khoa Hà Nội

1. ¤o h m v  vi ph¥n
Phan Xu¥n Th nh
xxxx
Vi»n To¡n ùng döng v  Tin håc
http://sami.hust.edu.vn
Tr÷íng ¤i håc B¡ch Khoa H  nëi
xxxx
https://sites.google.com/site/phanxuanthanh81
e-mail:
10/2021
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

2. Nëi dung
1
¤o h m cõa h m sè mët bi¸n sè
2
Vi ph¥n
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

3. Nëi dung
1
¤o h m cõa h m sè mët bi¸n sè
2
Vi ph¥n
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

4. V½ dö v· ¤o h m
Mët ætæ i qu¢ng ÷íng 100km trong 2 gií. Vªn tèc trung b¼nh cõa xe l 
50km/h. Gi£ sû xe ang tr¶n ÷íng v  t i x¸ b­t ¦u t«ng tèc. Ng÷íi l¡i xe th§y
kim ch¿ tèc ë ð
Vªn tèc trung b¼nh 50km/h.
Vªn tèc tùc thíi (¤o h m) 70km/h.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

5. V½ dö v· ¤o h m
Mët ætæ i qu¢ng ÷íng 100km trong 2 gií. Vªn tèc trung b¼nh cõa xe l 
50km/h. Gi£ sû xe ang tr¶n ÷íng v  t i x¸ b­t ¦u t«ng tèc. Ng÷íi l¡i xe th§y
kim ch¿ tèc ë ð
Vªn tèc trung b¼nh 50km/h.
Vªn tèc tùc thíi (¤o h m) 70km/h.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

6. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
¤o h m cõa h m sèf(x)t¤i iºmx0, kþ hi»u l f
0
(x0)l  giîi h¤n (n¸u câ)
f
0
(x0) = lim
x!x0
f(x)f(x0)
xx0
:
N¸u ta vi¸tx=x0+hth¼f
0
(x0) = lim
h!0
f(x0+h)f(x0)
h
.
ành ngh¾a
H mf(x)kh£ vi t¤i iºmx0n¸u tçn t¤iA2Rv  VCB(x) =o(xx0)khi
x!x0, sao cho
f(x) =f(x0) +A(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
Gi¡ trà cõa sèA?
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

7. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
¤o h m cõa h m sèf(x)t¤i iºmx0, kþ hi»u l f
0
(x0)l  giîi h¤n (n¸u câ)
f
0
(x0) = lim
x!x0
f(x)f(x0)
xx0
:
N¸u ta vi¸tx=x0+hth¼f
0
(x0) = lim
h!0
f(x0+h)f(x0)
h
.
ành ngh¾a
H mf(x)kh£ vi t¤i iºmx0n¸u tçn t¤iA2Rv  VCB(x) =o(xx0)khi
x!x0, sao cho
f(x) =f(x0) +A(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
Gi¡ trà cõa sèA?
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

8. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
¤o h m cõa h m sèf(x)t¤i iºmx0, kþ hi»u l f
0
(x0)l  giîi h¤n (n¸u câ)
f
0
(x0) = lim
x!x0
f(x)f(x0)
xx0
:
N¸u ta vi¸tx=x0+hth¼f
0
(x0) = lim
h!0
f(x0+h)f(x0)
h
.
ành ngh¾a
H mf(x)kh£ vi t¤i iºmx0n¸u tçn t¤iA2Rv  VCB(x) =o(xx0)khi
x!x0, sao cho
f(x) =f(x0) +A(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
Gi¡ trà cõa sèA?
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

9. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
¤o h m cõa h m sèf(x)t¤i iºmx0, kþ hi»u l f
0
(x0)l  giîi h¤n (n¸u câ)
f
0
(x0) = lim
x!x0
f(x)f(x0)
xx0
:
N¸u ta vi¸tx=x0+hth¼f
0
(x0) = lim
h!0
f(x0+h)f(x0)
h
.
ành ngh¾a
H mf(x)kh£ vi t¤i iºmx0n¸u tçn t¤iA2Rv  VCB(x) =o(xx0)khi
x!x0, sao cho
f(x) =f(x0) +A(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
Gi¡ trà cõa sèA?
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

10. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

11. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

12. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

13. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

14. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

15. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

16. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

17. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

18. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

19. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

20. ành ngh¾a ¤o h m
ành ngh¾a
N¸ufx¡c ành tr¶n tªp mðI, ta nâi r¬ngfl  In¸ufkh£ vi t¤i måi
iºm thuëcI. N¸ufl  kh£ vi tr¶nI, th¼f
0
l  mët h m sè x¡c ành tr¶nI. Ta nâi
r¬ngfl  In¸uf
0
l  h m sè li¶n töc tr¶nI.
V½ dö 1 f(x) = lnx.
Vîix>0, ta câ
f
0
(x) = lim
h!0
ln(x+h)lnx
h
=
lim
h!0
ln

1+
h
x

h
=lim
h!0
h=x
h
=
1
x
:V½ dö 2 y= sinx
(sinx)
0
= lim
h!0
sin(x+h)sinx
h
= lim
h!0
cos

x+
h
2

sin(h=2)
h=2
= cosx:
(lnx)
0
=
1
x
(sinx)
0
= cosxPhan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

21. Þ ngh¾a cõa ¤o h m
N¸uf(t)l  h m và tr½ cõa mët ch§t iºm t¤i thíi iºmt6=t0, th¼ t sai ph¥n
f(t)f(t0)
tt0
l  vªn tèc trung b¼nh cõa ch§t iºm giúa thíi iºmt0v t.
Giîi h¤n
lim
t!t0
f(t)f(t0)
tt0
=:f
0
(t0);
n¸u tçn t¤i, ch½nh l vªn tèc tùc thíi cõa ch§t iºm t¤i thíi iºmt0.
¤o h mf
0
(x0)cho ta f(x)t¤i iºmx0.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

22. Þ ngh¾a cõa ¤o h m
N¸uf(t)l  h m và tr½ cõa mët ch§t iºm t¤i thíi iºmt6=t0, th¼ t sai ph¥n
f(t)f(t0)
tt0
l  vªn tèc trung b¼nh cõa ch§t iºm giúa thíi iºmt0v t.
Giîi h¤n
lim
t!t0
f(t)f(t0)
tt0
=:f
0
(t0);
n¸u tçn t¤i, ch½nh l vªn tèc tùc thíi cõa ch§t iºm t¤i thíi iºmt0.
¤o h mf
0
(x0)cho ta f(x)t¤i iºmx0.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

23. Þ ngh¾a cõa ¤o h m
N¸uf(t)l  h m và tr½ cõa mët ch§t iºm t¤i thíi iºmt6=t0, th¼ t sai ph¥n
f(t)f(t0)
tt0
l  vªn tèc trung b¼nh cõa ch§t iºm giúa thíi iºmt0v t.
Giîi h¤n
lim
t!t0
f(t)f(t0)
tt0
=:f
0
(t0);
n¸u tçn t¤i, ch½nh l vªn tèc tùc thíi cõa ch§t iºm t¤i thíi iºmt0.
¤o h mf
0
(x0)cho ta f(x)t¤i iºmx0.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

24. Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ¤o h m
X²t c¡c iºmP(x0;f(x0));Q(x;f(x))tr¶n ç thà cõa h m sèy=f(x).
¤o h mf
0
(x0) = lim
x!x0
f(x)f(x0)
xx0
l  h» sè gâc cõa ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m
sè t¤i iºmP.
Ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa ç thà t¤iPl 
y=f(x0) +f
0
(x0)(xx0):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

25. Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ¤o h m
X²t c¡c iºmP(x0;f(x0));Q(x;f(x))tr¶n ç thà cõa h m sèy=f(x).
¤o h mf
0
(x0) = lim
x!x0
f(x)f(x0)
xx0
l  h» sè gâc cõa ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m
sè t¤i iºmP.
Ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa ç thà t¤iPl 
y=f(x0) +f
0
(x0)(xx0):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

26. Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ¤o h m
X²t c¡c iºmP(x0;f(x0));Q(x;f(x))tr¶n ç thà cõa h m sèy=f(x).
¤o h mf
0
(x0) = lim
x!x0
f(x)f(x0)
xx0
l  h» sè gâc cõa ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m
sè t¤i iºmP.
Ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa ç thà t¤iPl 
y=f(x0) +f
0
(x0)(xx0):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

27. Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ¤o h m
X²t c¡c iºmP(x0;f(x0));Q(x;f(x))tr¶n ç thà cõa h m sèy=f(x).
¤o h mf
0
(x0) = lim
x!x0
f(x)f(x0)
xx0
l  h» sè gâc cõa ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m
sè t¤i iºmP.
Ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa ç thà t¤iPl 
y=f(x0) +f
0
(x0)(xx0):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

28. ¤o h m mët ph½a
N¸ufx¡c inh tr¶n[x0;b), th¼¤o h m ph£i cõaft¤ix0÷ñc x¡c ành bði
f
0
+(x0) = lim
x!x
+
0
f(x)f(x0)
xx0
n¸u giîi h¤n â tçn t¤i.
N¸ufx¡c ành tr¶n(a;x0], th¼¤o h m tr¡i cõaft¤ix0÷ñc x¡c ành bði
f
0
(x0) = lim
x!x

0
f(x)f(x0)
xx0
n¸u giîi h¤n â l  tçn t¤i.
ành lþ
H m sèfkh£ vi t¤ix0khi v  ch¿ khif
0
+(x0)v f
0
(x0)còng tçn t¤i v  chóng b¬ng
nhau
f
0
(x0) =f
0
+(x0) =f
0
(x0):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

29. ¤o h m mët ph½a
N¸ufx¡c inh tr¶n[x0;b), th¼¤o h m ph£i cõaft¤ix0÷ñc x¡c ành bði
f
0
+(x0) = lim
x!x
+
0
f(x)f(x0)
xx0
n¸u giîi h¤n â tçn t¤i.
N¸ufx¡c ành tr¶n(a;x0], th¼¤o h m tr¡i cõaft¤ix0÷ñc x¡c ành bði
f
0
(x0) = lim
x!x

0
f(x)f(x0)
xx0
n¸u giîi h¤n â l  tçn t¤i.
ành lþ
H m sèfkh£ vi t¤ix0khi v  ch¿ khif
0
+(x0)v f
0
(x0)còng tçn t¤i v  chóng b¬ng
nhau
f
0
(x0) =f
0
+(x0) =f
0
(x0):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

30. ¤o h m mët ph½a
N¸ufx¡c inh tr¶n[x0;b), th¼¤o h m ph£i cõaft¤ix0÷ñc x¡c ành bði
f
0
+(x0) = lim
x!x
+
0
f(x)f(x0)
xx0
n¸u giîi h¤n â tçn t¤i.
N¸ufx¡c ành tr¶n(a;x0], th¼¤o h m tr¡i cõaft¤ix0÷ñc x¡c ành bði
f
0
(x0) = lim
x!x

0
f(x)f(x0)
xx0
n¸u giîi h¤n â l  tçn t¤i.
ành lþ
H m sèfkh£ vi t¤ix0khi v  ch¿ khif
0
+(x0)v f
0
(x0)còng tçn t¤i v  chóng b¬ng
nhau
f
0
(x0) =f
0
+(x0) =f
0
(x0):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

31. ¤o h m mët ph½a
ành lþ
H m sèfkh£ vi t¤ix0khi v  ch¿ khif
0
+(x0)v f
0
(x0)còng tçn t¤i v  chóng b¬ng
nhau
f
0
(x0) =f
0
+(x0) =f
0
(x0):
V½ dö f(x) =
(
ax+b; x1;
ax
2
x+2b;x>1:
T¼ma;bº h m sèf(x)
i)li¶n töc t¤ix=1 ii)kh£ vi tr¶nR
xxxxxxxxxxxx
B i tªp x=0 cõa h m sè
f(x) =
(
xarctan
1
x
;x6=0;
0; x=0:
H m sè câ kh£ vi t¤ix=0 khæng?
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

32. ¤o h m mët ph½a
ành lþ
H m sèfkh£ vi t¤ix0khi v  ch¿ khif
0
+(x0)v f
0
(x0)còng tçn t¤i v  chóng b¬ng
nhau
f
0
(x0) =f
0
+(x0) =f
0
(x0):
V½ dö f(x) =
(
ax+b; x1;
ax
2
x+2b;x>1:
T¼ma;bº h m sèf(x)
i)li¶n töc t¤ix=1 ii)kh£ vi tr¶nR
xxxxxxxxxxxx
B i tªp x=0 cõa h m sè
f(x) =
(
xarctan
1
x
;x6=0;
0; x=0:
H m sè câ kh£ vi t¤ix=0 khæng?
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

33. ¤o h m mët ph½a
ành lþ
H m sèfkh£ vi t¤ix0khi v  ch¿ khif
0
+(x0)v f
0
(x0)còng tçn t¤i v  chóng b¬ng
nhau
f
0
(x0) =f
0
+(x0) =f
0
(x0):
V½ dö f(x) =
(
ax+b; x1;
ax
2
x+2b;x>1:
T¼ma;bº h m sèf(x)
i)li¶n töc t¤ix=1 ii)kh£ vi tr¶nR
xxxxxxxxxxxx
B i tªp x=0 cõa h m sè
f(x) =
(
xarctan
1
x
;x6=0;
0; x=0:
H m sè câ kh£ vi t¤ix=0 khæng?
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

34. ¤o h m
ành ngh¾a
a)Ta nâi r¬ng h m sèfl  kh£ vi tr¶n kho£ng âng[a;b]n¸ufkh£ vi tr¶n
kho£ng mð(a;b), v f
0
+(a),f
0
(b)tçn t¤i.
b)Ta nâi r¬ng h m sèfl  kh£ vi li¶n töc tr¶n kho£ng[a;b]n¸ufkh£ vi tr¶n
[a;b],f
0
li¶n töc tr¶n(a;b),f
0
+(a) =f
0
(a+0), v f
0
(b) =f
0
(b0).
Kþ hi»u ¤o h mNh  to¡n håc v  tri¸t håc ng÷íi ùc,
Leibniz
Newton
to¡n gi£i t½ch". C¡c cæng tr¼nh cõa hå ·u ÷ñc l m mët c¡ch ëc lªp. Leibniz ¢
sû döng kþ hi»u ¤o h m
dy
dx
=f
0
(x), trong khi Newton sû döng kþ hi»u_ycho
dy
dt
, trong âyl  h m sè phö thuëc thíi gian. Ng y nay kþ hi»u_yv¨n ÷ñc sû
döng, m°c dò nâ khæng phê bi¸n nh÷ kþ hi»u cõa Leibniz.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

35. ¤o h m
ành ngh¾a
a)Ta nâi r¬ng h m sèfl  kh£ vi tr¶n kho£ng âng[a;b]n¸ufkh£ vi tr¶n
kho£ng mð(a;b), v f
0
+(a),f
0
(b)tçn t¤i.
b)Ta nâi r¬ng h m sèfl  kh£ vi li¶n töc tr¶n kho£ng[a;b]n¸ufkh£ vi tr¶n
[a;b],f
0
li¶n töc tr¶n(a;b),f
0
+(a) =f
0
(a+0), v f
0
(b) =f
0
(b0).
Kþ hi»u ¤o h mNh  to¡n håc v  tri¸t håc ng÷íi ùc,
Leibniz
Newton
to¡n gi£i t½ch". C¡c cæng tr¼nh cõa hå ·u ÷ñc l m mët c¡ch ëc lªp. Leibniz ¢
sû döng kþ hi»u ¤o h m
dy
dx
=f
0
(x), trong khi Newton sû döng kþ hi»u_ycho
dy
dt
, trong âyl  h m sè phö thuëc thíi gian. Ng y nay kþ hi»u_yv¨n ÷ñc sû
döng, m°c dò nâ khæng phê bi¸n nh÷ kþ hi»u cõa Leibniz.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

36. ¤o h m
ành ngh¾a
a)Ta nâi r¬ng h m sèfl  kh£ vi tr¶n kho£ng âng[a;b]n¸ufkh£ vi tr¶n
kho£ng mð(a;b), v f
0
+(a),f
0
(b)tçn t¤i.
b)Ta nâi r¬ng h m sèfl  kh£ vi li¶n töc tr¶n kho£ng[a;b]n¸ufkh£ vi tr¶n
[a;b],f
0
li¶n töc tr¶n(a;b),f
0
+(a) =f
0
(a+0), v f
0
(b) =f
0
(b0).
Kþ hi»u ¤o h mNh  to¡n håc v  tri¸t håc ng÷íi ùc,
Leibniz
Newton
to¡n gi£i t½ch". C¡c cæng tr¼nh cõa hå ·u ÷ñc l m mët c¡ch ëc lªp. Leibniz ¢
sû döng kþ hi»u ¤o h m
dy
dx
=f
0
(x), trong khi Newton sû döng kþ hi»u_ycho
dy
dt
, trong âyl  h m sè phö thuëc thíi gian. Ng y nay kþ hi»u_yv¨n ÷ñc sû
döng, m°c dò nâ khæng phê bi¸n nh÷ kþ hi»u cõa Leibniz.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

37. Leibniz - Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646
- 1716)
Sir Isaac Newton (1642 - 1727)
xx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

38. T½nh ch§t
N¸uf(x)l  h m sè kh£ vi (câ ¤o h m) t¤ix0th¼
f(x) =f(x0) +f
0
(x0)(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
ành lþ
N¸uf(x)l  h m kh£ vi t¤ix0th¼f(x)l  li¶n töc t¤ix0.
i·u ng÷ñc l¤i khæng óng.V½ dö
f(x) =
8
<
:
xsin
1
x
n¸ux6=0;
0 n¸u x=0
li¶n töc t¤ix=0
, nh÷ng khæng kh£ vi t¤ix=0, v¼ giîi h¤n
lim
x!0
f(x)f(0)
x0
= lim
x!0
sin
1
x
khæng tçn t¤i.
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

39. T½nh ch§t
N¸uf(x)l  h m sè kh£ vi (câ ¤o h m) t¤ix0th¼
f(x) =f(x0) +f
0
(x0)(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
ành lþ
N¸uf(x)l  h m kh£ vi t¤ix0th¼f(x)l  li¶n töc t¤ix0.
i·u ng÷ñc l¤i khæng óng.V½ dö
f(x) =
8
<
:
xsin
1
x
n¸ux6=0;
0 n¸u x=0
li¶n töc t¤ix=0
, nh÷ng khæng kh£ vi t¤ix=0, v¼ giîi h¤n
lim
x!0
f(x)f(0)
x0
= lim
x!0
sin
1
x
khæng tçn t¤i.
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

40. T½nh ch§t
N¸uf(x)l  h m sè kh£ vi (câ ¤o h m) t¤ix0th¼
f(x) =f(x0) +f
0
(x0)(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
ành lþ
N¸uf(x)l  h m kh£ vi t¤ix0th¼f(x)l  li¶n töc t¤ix0.
i·u ng÷ñc l¤i khæng óng.V½ dö
f(x) =
8
<
:
xsin
1
x
n¸ux6=0;
0 n¸u x=0
li¶n töc t¤ix=0
, nh÷ng khæng kh£ vi t¤ix=0, v¼ giîi h¤n
lim
x!0
f(x)f(0)
x0
= lim
x!0
sin
1
x
khæng tçn t¤i.
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

41. T½nh ch§t
N¸uf(x)l  h m sè kh£ vi (câ ¤o h m) t¤ix0th¼
f(x) =f(x0) +f
0
(x0)(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
ành lþ
N¸uf(x)l  h m kh£ vi t¤ix0th¼f(x)l  li¶n töc t¤ix0.
i·u ng÷ñc l¤i khæng óng.V½ dö
f(x) =
8
<
:
xsin
1
x
n¸ux6=0;
0 n¸u x=0
li¶n töc t¤ix=0
, nh÷ng khæng kh£ vi t¤ix=0, v¼ giîi h¤n
lim
x!0
f(x)f(0)
x0
= lim
x!0
sin
1
x
khæng tçn t¤i.
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

42. T½nh ch§t
N¸uf(x)l  h m sè kh£ vi (câ ¤o h m) t¤ix0th¼
f(x) =f(x0) +f
0
(x0)(xx0) +(x)vîi måixg¦nx0:
ành lþ
N¸uf(x)l  h m kh£ vi t¤ix0th¼f(x)l  li¶n töc t¤ix0.
i·u ng÷ñc l¤i khæng óng.V½ dö
f(x) =
8
<
:
xsin
1
x
n¸ux6=0;
0 n¸u x=0
li¶n töc t¤ix=0
, nh÷ng khæng kh£ vi t¤ix=0, v¼ giîi h¤n
lim
x!0
f(x)f(0)
x0
= lim
x!0
sin
1
x
khæng tçn t¤i.
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

43. C¡c ph²p t½nh v· ¤o h m
ành lþ
N¸ufv gkh£ vi t¤ixth¼ c¡c h m sèf+g,fg, v fg, công kh£ vi t¤ixv 
a)(fg)
0
(x) =f
0
(x)g
0
(x);
b)(fg)
0
(x) =f
0
(x)g(x) +f(x)g
0
(x):
Th÷ìngf=gkh£ vi t¤i iºmxn¸ug(x)6=0, v 
c)

f
g

0
(x) =
f
0
(x)g(x)f(x)g
0
(x)
[g(x)]
2
:
V½ dö f(x) =xarctan
1
x
2
n¸ux6=0, v f(0) =0.
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

44. C¡c ph²p t½nh v· ¤o h m
ành lþ
N¸ufv gkh£ vi t¤ixth¼ c¡c h m sèf+g,fg, v fg, công kh£ vi t¤ixv 
a)(fg)
0
(x) =f
0
(x)g
0
(x);
b)(fg)
0
(x) =f
0
(x)g(x) +f(x)g
0
(x):
Th÷ìngf=gkh£ vi t¤i iºmxn¸ug(x)6=0, v 
c)

f
g

0
(x) =
f
0
(x)g(x)f(x)g
0
(x)
[g(x)]
2
:
V½ dö f(x) =xarctan
1
x
2
n¸ux6=0, v f(0) =0.
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

45. C¡c ph²p t½nh v· ¤o h m
ành lþ
N¸ufv gkh£ vi t¤ixth¼ c¡c h m sèf+g,fg, v fg, công kh£ vi t¤ixv 
a)(fg)
0
(x) =f
0
(x)g
0
(x);
b)(fg)
0
(x) =f
0
(x)g(x) +f(x)g
0
(x):
Th÷ìngf=gkh£ vi t¤i iºmxn¸ug(x)6=0, v 
c)

f
g

0
(x) =
f
0
(x)g(x)f(x)g
0
(x)
[g(x)]
2
:
V½ dö f(x) =xarctan
1
x
2
n¸ux6=0, v f(0) =0.
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

46. C¡c ph²p t½nh v· ¤o h m
ành lþ
N¸ufv gkh£ vi t¤ixth¼ c¡c h m sèf+g,fg, v fg, công kh£ vi t¤ixv 
a)(fg)
0
(x) =f
0
(x)g
0
(x);
b)(fg)
0
(x) =f
0
(x)g(x) +f(x)g
0
(x):
Th÷ìngf=gkh£ vi t¤i iºmxn¸ug(x)6=0, v 
c)

f
g

0
(x) =
f
0
(x)g(x)f(x)g
0
(x)
[g(x)]
2
:
V½ dö f(x) =xarctan
1
x
2
n¸ux6=0, v f(0) =0.
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

47. ¤o h m cõa h m sè hñp
¤o h m cõa h m sè hñp
ành lþ
Gi£ sûgkh£ vi t¤ix0v fkh£ vi t¤ig(x0). Khi â h m sè hñph=fg, x¡c
ành bði
h(x) =f(g(x));
l  kh£ vi t¤ix0, v 
h
0
(x0) =f
0
(g(x0))g
0
(x0):
V½ dö h=fgvîig(1) =2,g
0
(1) =3 v f
0
(2) =4. T¼mh
0
(1).
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

48. ¤o h m cõa h m sè hñp
¤o h m cõa h m sè hñp
ành lþ
Gi£ sûgkh£ vi t¤ix0v fkh£ vi t¤ig(x0). Khi â h m sè hñph=fg, x¡c
ành bði
h(x) =f(g(x));
l  kh£ vi t¤ix0, v 
h
0
(x0) =f
0
(g(x0))g
0
(x0):
V½ dö h=fgvîig(1) =2,g
0
(1) =3 v f
0
(2) =4. T¼mh
0
(1).
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

49. ¤o h m cõa h m sè hñp
¤o h m cõa h m sè hñp
ành lþ
Gi£ sûgkh£ vi t¤ix0v fkh£ vi t¤ig(x0). Khi â h m sè hñph=fg, x¡c
ành bði
h(x) =f(g(x));
l  kh£ vi t¤ix0, v 
h
0
(x0) =f
0
(g(x0))g
0
(x0):
V½ dö h=fgvîig(1) =2,g
0
(1) =3 v f
0
(2) =4. T¼mh
0
(1).
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

50. ¤o h m cõa h m sè hñp
James Gregory
L  ng÷íi ÷a ra quy t­c ¤o h m cõa h m sè hñp. James Gregory l  nh  To¡n
håc ng÷íi Scotland, æng công l  ng÷íi thi¸t k¸ k½nh thi¶n v«n ph£n x¤ ¦u ti¶n.
Gregory ¢ kh¡m ph¡ ra nhúng þ t÷ðng cì b£n cõa ph²p t½nh gi£i t½ch, còng thíi
vîi Isaac Newton. Æng trð th nh Gi¡o s÷ To¡n håc ¦u ti¶n ð ¤i håc St.
Andrews v  sau â câ và tr½ t÷ìng tü ð ¤i håc Edinburgh. Tuy nhi¶n, ch¿ mët
n«m sau khi nhªn và tr½ â, æng ¢ qua íi ð tuêi 36.
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

51. ¤o h m cõa h m sè ng÷ñc
ành lþ (¤o h m cõa h m sè ng÷ñc)
Gi£ sû h m sèf:D!Rfl  mët song ¡nh. H mg=f
1
:Rf!Dl  h m sè
ng÷ñc cõa h mf. N¸ufcâ ¤o h m t¤i iºmx02Dv f
0
(x0)6=0th¼ h m sèg
câ ¤o h m t¤i iºmy0=f(x0)v 
g
0
(y0) =
1
f
0
(x0)
:
V½ dö 1 y= arcsinx,y= arctanx.
(arcsinx)
0
=
1
p
1x
2
;(arctanx)
0
=
1
1+x
2
:
V½ dö 2 (20191) f(x) =x
5
+xcâ h m sè ng÷ñc l y=g(x). T½nhg
0
(2).
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

52. ¤o h m cõa h m sè ng÷ñc
ành lþ (¤o h m cõa h m sè ng÷ñc)
Gi£ sû h m sèf:D!Rfl  mët song ¡nh. H mg=f
1
:Rf!Dl  h m sè
ng÷ñc cõa h mf. N¸ufcâ ¤o h m t¤i iºmx02Dv f
0
(x0)6=0th¼ h m sèg
câ ¤o h m t¤i iºmy0=f(x0)v 
g
0
(y0) =
1
f
0
(x0)
:
V½ dö 1 y= arcsinx,y= arctanx.
(arcsinx)
0
=
1
p
1x
2
;(arctanx)
0
=
1
1+x
2
:
V½ dö 2 (20191) f(x) =x
5
+xcâ h m sè ng÷ñc l y=g(x). T½nhg
0
(2).
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

53. ¤o h m cõa h m sè ng÷ñc
ành lþ (¤o h m cõa h m sè ng÷ñc)
Gi£ sû h m sèf:D!Rfl  mët song ¡nh. H mg=f
1
:Rf!Dl  h m sè
ng÷ñc cõa h mf. N¸ufcâ ¤o h m t¤i iºmx02Dv f
0
(x0)6=0th¼ h m sèg
câ ¤o h m t¤i iºmy0=f(x0)v 
g
0
(y0) =
1
f
0
(x0)
:
V½ dö 1 y= arcsinx,y= arctanx.
(arcsinx)
0
=
1
p
1x
2
;(arctanx)
0
=
1
1+x
2
:
V½ dö 2 (20191) f(x) =x
5
+xcâ h m sè ng÷ñc l y=g(x). T½nhg
0
(2).
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

54. ¤o h m cõa h m sè ng÷ñc
ành lþ (¤o h m cõa h m sè ng÷ñc)
Gi£ sû h m sèf:D!Rfl  mët song ¡nh. H mg=f
1
:Rf!Dl  h m sè
ng÷ñc cõa h mf. N¸ufcâ ¤o h m t¤i iºmx02Dv f
0
(x0)6=0th¼ h m sèg
câ ¤o h m t¤i iºmy0=f(x0)v 
g
0
(y0) =
1
f
0
(x0)
:
V½ dö 1 y= arcsinx,y= arctanx.
(arcsinx)
0
=
1
p
1x
2
;(arctanx)
0
=
1
1+x
2
:
V½ dö 2 (20191) f(x) =x
5
+xcâ h m sè ng÷ñc l y=g(x). T½nhg
0
(2).
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

55. B£ng ¤o h m
B£ng c¡c ¤o h m cì b£n
(c)
0
=0 (x

)
0
=x
1
(a
x
)
0
=a
x
lna(a>0;a6=1) ( e
x
)
0
=e
x
(sinx)
0
= cosx (cosx)
0
=sinx
(tanx)
0
=
1
cos
2
x
(cotx)
0
=
1
sin
2
x
(log
ax)
0
=
1
xlna
(lnx)
0
=
1
x
(arcsinx)
0
=
1
p
1x
2
(arccosx)
0
=
1
p
1x
2
(arctanx)
0
=
1
1+x
2
(arccotx)
0
=
1
1+x
2
(sinhx)
0
= coshx (coshx)
0
= sinhx:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

56. Nëi dung
1
¤o h m cõa h m sè mët bi¸n sè
2
Vi ph¥n
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

57. ành ngh¾a vi ph¥n
Choy=f(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix.
Sè gia h m sè
y=f(x+ x)f(x) =f
0
(x)x+o(x);
trong âo(x)l  mët VCB câ bªc cao hìnxkhix!0.
Vi ph¥n cõa h m sèf(x)t¤i iºmx:f
0
(x)x,v  kþ hi»u l dy(ho°cdf), tùc l 
dy=f
0
(x)x:
°c bi»t, n¸uf(x) =x, th¼dx= x.
Do â
df=f
0
(x)dx
ho°c vi¸t
f
0
(x) =
df
dx
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

58. ành ngh¾a vi ph¥n
Choy=f(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix.
Sè gia h m sè
y=f(x+ x)f(x) =f
0
(x)x+o(x);
trong âo(x)l  mët VCB câ bªc cao hìnxkhix!0.
Vi ph¥n cõa h m sèf(x)t¤i iºmx:f
0
(x)x,v  kþ hi»u l dy(ho°cdf), tùc l 
dy=f
0
(x)x:
°c bi»t, n¸uf(x) =x, th¼dx= x.
Do â
df=f
0
(x)dx
ho°c vi¸t
f
0
(x) =
df
dx
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

59. ành ngh¾a vi ph¥n
Choy=f(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix.
Sè gia h m sè
y=f(x+ x)f(x) =f
0
(x)x+o(x);
trong âo(x)l  mët VCB câ bªc cao hìnxkhix!0.
Vi ph¥n cõa h m sèf(x)t¤i iºmx:f
0
(x)x,v  kþ hi»u l dy(ho°cdf), tùc l 
dy=f
0
(x)x:
°c bi»t, n¸uf(x) =x, th¼dx= x.
Do â
df=f
0
(x)dx
ho°c vi¸t
f
0
(x) =
df
dx
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

60. ành ngh¾a vi ph¥n
Choy=f(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix.
Sè gia h m sè
y=f(x+ x)f(x) =f
0
(x)x+o(x);
trong âo(x)l  mët VCB câ bªc cao hìnxkhix!0.
Vi ph¥n cõa h m sèf(x)t¤i iºmx:f
0
(x)x,v  kþ hi»u l dy(ho°cdf), tùc l 
dy=f
0
(x)x:
°c bi»t, n¸uf(x) =x, th¼dx= x.
Do â
df=f
0
(x)dx
ho°c vi¸t
f
0
(x) =
df
dx
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

61. ành ngh¾a vi ph¥n
Choy=f(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix.
Sè gia h m sè
y=f(x+ x)f(x) =f
0
(x)x+o(x);
trong âo(x)l  mët VCB câ bªc cao hìnxkhix!0.
Vi ph¥n cõa h m sèf(x)t¤i iºmx:f
0
(x)x,v  kþ hi»u l dy(ho°cdf), tùc l 
dy=f
0
(x)x:
°c bi»t, n¸uf(x) =x, th¼dx= x.
Do â
df=f
0
(x)dx
ho°c vi¸t
f
0
(x) =
df
dx
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

62. ành ngh¾a vi ph¥n
Choy=f(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix.
Sè gia h m sè
y=f(x+ x)f(x) =f
0
(x)x+o(x);
trong âo(x)l  mët VCB câ bªc cao hìnxkhix!0.
Vi ph¥n cõa h m sèf(x)t¤i iºmx:f
0
(x)x,v  kþ hi»u l dy(ho°cdf), tùc l 
dy=f
0
(x)x:
°c bi»t, n¸uf(x) =x, th¼dx= x.
Do â
df=f
0
(x)dx
ho°c vi¸t
f
0
(x) =
df
dx
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

63. ành ngh¾a vi ph¥n
Choy=f(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix.
Sè gia h m sè
y=f(x+ x)f(x) =f
0
(x)x+o(x);
trong âo(x)l  mët VCB câ bªc cao hìnxkhix!0.
Vi ph¥n cõa h m sèf(x)t¤i iºmx:f
0
(x)x,v  kþ hi»u l dy(ho°cdf), tùc l 
dy=f
0
(x)x:
°c bi»t, n¸uf(x) =x, th¼dx= x.
Do â
df=f
0
(x)dx
ho°c vi¸t
f
0
(x) =
df
dx
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

64. Vi ph¥n
Þ ngh¾a h¼nh håc cõa vi ph¥n
RQ= fdf=f
0
(x)x:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

65. Vi ph¥n
Þ ngh¾a h¼nh håc cõa vi ph¥n
RQ= fdf=f
0
(x)x:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

66. Vi ph¥n
Ùng döng cõa vi ph¥n º t½nh g¦n óng
Chof(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix0.Khi â vîixõ b², ta câ
f(x0+ x) =f(x0) +f
0
(x0)x+o(x)f(x0) +f
0
(x0)x:
Suy ra
f(x0+ x)f(x0) +f
0
(x0)xkhixõ b²:
V½ dö (20191) A=
3
p
8:012
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

67. Vi ph¥n
Ùng döng cõa vi ph¥n º t½nh g¦n óng
Chof(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix0.Khi â vîixõ b², ta câ
f(x0+ x) =f(x0) +f
0
(x0)x+o(x)f(x0) +f
0
(x0)x:
Suy ra
f(x0+ x)f(x0) +f
0
(x0)xkhixõ b²:
V½ dö (20191) A=
3
p
8:012
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

68. Vi ph¥n
Ùng döng cõa vi ph¥n º t½nh g¦n óng
Chof(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix0.Khi â vîixõ b², ta câ
f(x0+ x) =f(x0) +f
0
(x0)x+o(x)f(x0) +f
0
(x0)x:
Suy ra
f(x0+ x)f(x0) +f
0
(x0)xkhixõ b²:
V½ dö (20191) A=
3
p
8:012
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

69. Vi ph¥n
Ùng döng cõa vi ph¥n º t½nh g¦n óng
Chof(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix0.Khi â vîixõ b², ta câ
f(x0+ x) =f(x0) +f
0
(x0)x+o(x)f(x0) +f
0
(x0)x:
Suy ra
f(x0+ x)f(x0) +f
0
(x0)xkhixõ b²:
V½ dö (20191) A=
3
p
8:012
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

70. Vi ph¥n
Ùng döng cõa vi ph¥n º t½nh g¦n óng
Chof(x)l  h m sè kh£ vi t¤ix0.Khi â vîixõ b², ta câ
f(x0+ x) =f(x0) +f
0
(x0)x+o(x)f(x0) +f
0
(x0)x:
Suy ra
f(x0+ x)f(x0) +f
0
(x0)xkhixõ b²:
V½ dö (20191) A=
3
p
8:012
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

71. Vi ph¥n cõa h m sè hñp
Cho h m sèy=f(u)kh£ vi èi vîiu, trong âu=g(x)l  h m kh£ vi èi vîix.
Khi â, h m sèf(g(x))kh£ vi èi vîix, v  câ vi ph¥n
dy=y
0
xdx=f
0
uu
0
xdx=f
0
udu:
T½nh b§t bi¸n cõa vi ph¥n
Chó þ
Cho h m sèx=f(t)v y=g(t)l  c¡c h m sè kh£ vi èi vîit, vîit2(; ).
Khi â, ¤o h m cõa h m sèytheo bi¸nx,
y
0
x=
dy
dx
=
g
0
(t)
f
0
(t)
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

72. Vi ph¥n cõa h m sè hñp
Cho h m sèy=f(u)kh£ vi èi vîiu, trong âu=g(x)l  h m kh£ vi èi vîix.
Khi â, h m sèf(g(x))kh£ vi èi vîix, v  câ vi ph¥n
dy=y
0
xdx=f
0
uu
0
xdx=f
0
udu:
T½nh b§t bi¸n cõa vi ph¥n
Chó þ
Cho h m sèx=f(t)v y=g(t)l  c¡c h m sè kh£ vi èi vîit, vîit2(; ).
Khi â, ¤o h m cõa h m sèytheo bi¸nx,
y
0
x=
dy
dx
=
g
0
(t)
f
0
(t)
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

73. Vi ph¥n cõa h m sè hñp
Cho h m sèy=f(u)kh£ vi èi vîiu, trong âu=g(x)l  h m kh£ vi èi vîix.
Khi â, h m sèf(g(x))kh£ vi èi vîix, v  câ vi ph¥n
dy=y
0
xdx=f
0
uu
0
xdx=f
0
udu:
T½nh b§t bi¸n cõa vi ph¥n
Chó þ
Cho h m sèx=f(t)v y=g(t)l  c¡c h m sè kh£ vi èi vîit, vîit2(; ).
Khi â, ¤o h m cõa h m sèytheo bi¸nx,
y
0
x=
dy
dx
=
g
0
(t)
f
0
(t)
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

74. Vi ph¥n cõa h m sè hñp
Cho h m sèy=f(u)kh£ vi èi vîiu, trong âu=g(x)l  h m kh£ vi èi vîix.
Khi â, h m sèf(g(x))kh£ vi èi vîix, v  câ vi ph¥n
dy=y
0
xdx=f
0
uu
0
xdx=f
0
udu:
T½nh b§t bi¸n cõa vi ph¥n
Chó þ
Cho h m sèx=f(t)v y=g(t)l  c¡c h m sè kh£ vi èi vîit, vîit2(; ).
Khi â, ¤o h m cõa h m sèytheo bi¸nx,
y
0
x=
dy
dx
=
g
0
(t)
f
0
(t)
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

75. ¤o h m c§p cao
¤o h m c§pn÷ñc ành ngh¾a thæng qua cæng thùc truy hçi
f
(n)
(x) = [f
(n1)
(x)]
0
:
V½ dö 1 f(x) =e
x
,g(x) =a
x
.
V½ dö 2 f(x) =x
k
,f(x) = sinx,f(x) = cosxV½ dö 3 f(x) =
1
x+a
.
V½ dö 4 f(x) =e
x
sinx.
[e
x
sinx]
(n)
=e
x
sin(x+n

4
):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

76. ¤o h m c§p cao
¤o h m c§pn÷ñc ành ngh¾a thæng qua cæng thùc truy hçi
f
(n)
(x) = [f
(n1)
(x)]
0
:
V½ dö 1 f(x) =e
x
,g(x) =a
x
.
V½ dö 2 f(x) =x
k
,f(x) = sinx,f(x) = cosxV½ dö 3 f(x) =
1
x+a
.
V½ dö 4 f(x) =e
x
sinx.
[e
x
sinx]
(n)
=e
x
sin(x+n

4
):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

77. ¤o h m c§p cao
¤o h m c§pn÷ñc ành ngh¾a thæng qua cæng thùc truy hçi
f
(n)
(x) = [f
(n1)
(x)]
0
:
V½ dö 1 f(x) =e
x
,g(x) =a
x
.
V½ dö 2 f(x) =x
k
,f(x) = sinx,f(x) = cosxV½ dö 3 f(x) =
1
x+a
.
V½ dö 4 f(x) =e
x
sinx.
[e
x
sinx]
(n)
=e
x
sin(x+n

4
):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

78. ¤o h m c§p cao
¤o h m c§pn÷ñc ành ngh¾a thæng qua cæng thùc truy hçi
f
(n)
(x) = [f
(n1)
(x)]
0
:
V½ dö 1 f(x) =e
x
,g(x) =a
x
.
V½ dö 2 f(x) =x
k
,f(x) = sinx,f(x) = cosxV½ dö 3 f(x) =
1
x+a
.
V½ dö 4 f(x) =e
x
sinx.
[e
x
sinx]
(n)
=e
x
sin(x+n

4
):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

79. ¤o h m c§p cao
¤o h m c§pn÷ñc ành ngh¾a thæng qua cæng thùc truy hçi
f
(n)
(x) = [f
(n1)
(x)]
0
:
V½ dö 1 f(x) =e
x
,g(x) =a
x
.
V½ dö 2 f(x) =x
k
,f(x) = sinx,f(x) = cosxV½ dö 3 f(x) =
1
x+a
.
V½ dö 4 f(x) =e
x
sinx.
[e
x
sinx]
(n)
=e
x
sin(x+n

4
):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

80. ¤o h m c§p cao
¤o h m c§pn÷ñc ành ngh¾a thæng qua cæng thùc truy hçi
f
(n)
(x) = [f
(n1)
(x)]
0
:
V½ dö 1 f(x) =e
x
,g(x) =a
x
.
V½ dö 2 f(x) =x
k
,f(x) = sinx,f(x) = cosxV½ dö 3 f(x) =
1
x+a
.
V½ dö 4 f(x) =e
x
sinx.
[e
x
sinx]
(n)
=e
x
sin(x+n

4
):
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

81. Qui t­c l§y ¤o h m c§p cao
Ta câ
(f(x) +g(x))
(n)
=f
(n)
(x) +g
(n)
(x):
V½ dö ncõa h m sèf(x) =
1
x
2
4
.
Qui t­c Leibnitz Vîi hai h m sèf;gkh£ vinl¦n, ta câ
(fg)
(n)
=
n
X
k=0
C
k
nf
(k)
g
(nk)
:
Qui ֔c:
f
(0)
(x) =f(x):
V½ dö:T½nh ¤o h m c§p 100 cõa h m sèf(x) = (x
2
+1) ln(x+1).
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

82. Qui t­c l§y ¤o h m c§p cao
Ta câ
(f(x) +g(x))
(n)
=f
(n)
(x) +g
(n)
(x):
V½ dö ncõa h m sèf(x) =
1
x
2
4
.
Qui t­c Leibnitz Vîi hai h m sèf;gkh£ vinl¦n, ta câ
(fg)
(n)
=
n
X
k=0
C
k
nf
(k)
g
(nk)
:
Qui ֔c:
f
(0)
(x) =f(x):
V½ dö:T½nh ¤o h m c§p 100 cõa h m sèf(x) = (x
2
+1) ln(x+1).
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

83. Qui t­c l§y ¤o h m c§p cao
Ta câ
(f(x) +g(x))
(n)
=f
(n)
(x) +g
(n)
(x):
V½ dö ncõa h m sèf(x) =
1
x
2
4
.
Qui t­c Leibnitz Vîi hai h m sèf;gkh£ vinl¦n, ta câ
(fg)
(n)
=
n
X
k=0
C
k
nf
(k)
g
(nk)
:
Qui ֔c:
f
(0)
(x) =f(x):
V½ dö:T½nh ¤o h m c§p 100 cõa h m sèf(x) = (x
2
+1) ln(x+1).
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

84. Qui t­c l§y ¤o h m c§p cao
Ta câ
(f(x) +g(x))
(n)
=f
(n)
(x) +g
(n)
(x):
V½ dö ncõa h m sèf(x) =
1
x
2
4
.
Qui t­c Leibnitz Vîi hai h m sèf;gkh£ vinl¦n, ta câ
(fg)
(n)
=
n
X
k=0
C
k
nf
(k)
g
(nk)
:
Qui ֔c:
f
(0)
(x) =f(x):
V½ dö:T½nh ¤o h m c§p 100 cõa h m sèf(x) = (x
2
+1) ln(x+1).
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

85. Qui t­c l§y ¤o h m c§p cao
Ta câ
(f(x) +g(x))
(n)
=f
(n)
(x) +g
(n)
(x):
V½ dö ncõa h m sèf(x) =
1
x
2
4
.
Qui t­c Leibnitz Vîi hai h m sèf;gkh£ vinl¦n, ta câ
(fg)
(n)
=
n
X
k=0
C
k
nf
(k)
g
(nk)
:
Qui ֔c:
f
(0)
(x) =f(x):
V½ dö:T½nh ¤o h m c§p 100 cõa h m sèf(x) = (x
2
+1) ln(x+1).
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

86. Qui t­c l§y ¤o h m c§p cao
Ta câ
(f(x) +g(x))
(n)
=f
(n)
(x) +g
(n)
(x):
V½ dö ncõa h m sèf(x) =
1
x
2
4
.
Qui t­c Leibnitz Vîi hai h m sèf;gkh£ vinl¦n, ta câ
(fg)
(n)
=
n
X
k=0
C
k
nf
(k)
g
(nk)
:
Qui ֔c:
f
(0)
(x) =f(x):
V½ dö:T½nh ¤o h m c§p 100 cõa h m sèf(x) = (x
2
+1) ln(x+1).
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

87. Vi ph¥n c§p cao
Chof(x)l  h m kh£ vi. Vi ph¥ndfgåi l  vi ph¥n c§p 1.
Vi ph¥n c§p 2: Vi ph¥n cõa vi ph¥n c§p 1,df
d
2
f:=d(df) =d(f
0
(x)dx) =f
00
(x)(dx)
2
:
Vi ph¥n c§pn, kþ hi»u l d
n
fl  vi ph¥n cõa vi ph¥n c§p(n1):
d
n
f=d(d
n1
f) =f
(n)
(x)(dx)
n
:
V½ dö:Cho h m sèf(x) = ln(x+1). T½nh vi ph¥nd
10
f(0)
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

88. Vi ph¥n c§p cao
Chof(x)l  h m kh£ vi. Vi ph¥ndfgåi l  vi ph¥n c§p 1.
Vi ph¥n c§p 2: Vi ph¥n cõa vi ph¥n c§p 1,df
d
2
f:=d(df) =d(f
0
(x)dx) =f
00
(x)(dx)
2
:
Vi ph¥n c§pn, kþ hi»u l d
n
fl  vi ph¥n cõa vi ph¥n c§p(n1):
d
n
f=d(d
n1
f) =f
(n)
(x)(dx)
n
:
V½ dö:Cho h m sèf(x) = ln(x+1). T½nh vi ph¥nd
10
f(0)
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

89. Vi ph¥n c§p cao
Chof(x)l  h m kh£ vi. Vi ph¥ndfgåi l  vi ph¥n c§p 1.
Vi ph¥n c§p 2: Vi ph¥n cõa vi ph¥n c§p 1,df
d
2
f:=d(df) =d(f
0
(x)dx) =f
00
(x)(dx)
2
:
Vi ph¥n c§pn, kþ hi»u l d
n
fl  vi ph¥n cõa vi ph¥n c§p(n1):
d
n
f=d(d
n1
f) =f
(n)
(x)(dx)
n
:
V½ dö:Cho h m sèf(x) = ln(x+1). T½nh vi ph¥nd
10
f(0)
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

90. Vi ph¥n c§p cao
Chó þ
Vi ph¥n c§p cao khæng câ t½nh b§t bi¸n nh÷ vi ph¥n c§p 1.
V½ dö:X²t h m sèf(x) = sinx. Ta câ
df= cosxdx;d
2
f=sinx(dx)
2
:
N¸ux=t
2
, th¼f= sin(t
2
)v  vi ph¥n cõa h m sèftheo bi¸ntl 
df=2tcos(t
2
)dt;d
2
f= [2cos(t
2
)4t
2
sin(t
2
)](dt)
2
:
Trong khi â, vi ph¥n c§p hai cõa h mftheo bi¸nxl 
d
2
f=sinx(dx)
2
=sin(t
2
)(2tdt)
2
=4t
2
sin(t
2
)(dt)
2
6= [2cos(t
2
)4t
2
sin(t
2
)](dt)
2
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

91. Vi ph¥n c§p cao
Chó þ
Vi ph¥n c§p cao khæng câ t½nh b§t bi¸n nh÷ vi ph¥n c§p 1.
V½ dö:X²t h m sèf(x) = sinx. Ta câ
df= cosxdx;d
2
f=sinx(dx)
2
:
N¸ux=t
2
, th¼f= sin(t
2
)v  vi ph¥n cõa h m sèftheo bi¸ntl 
df=2tcos(t
2
)dt;d
2
f= [2cos(t
2
)4t
2
sin(t
2
)](dt)
2
:
Trong khi â, vi ph¥n c§p hai cõa h mftheo bi¸nxl 
d
2
f=sinx(dx)
2
=sin(t
2
)(2tdt)
2
=4t
2
sin(t
2
)(dt)
2
6= [2cos(t
2
)4t
2
sin(t
2
)](dt)
2
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

92. Vi ph¥n c§p cao
Chó þ
Vi ph¥n c§p cao khæng câ t½nh b§t bi¸n nh÷ vi ph¥n c§p 1.
V½ dö:X²t h m sèf(x) = sinx. Ta câ
df= cosxdx;d
2
f=sinx(dx)
2
:
N¸ux=t
2
, th¼f= sin(t
2
)v  vi ph¥n cõa h m sèftheo bi¸ntl 
df=2tcos(t
2
)dt;d
2
f= [2cos(t
2
)4t
2
sin(t
2
)](dt)
2
:
Trong khi â, vi ph¥n c§p hai cõa h mftheo bi¸nxl 
d
2
f=sinx(dx)
2
=sin(t
2
)(2tdt)
2
=4t
2
sin(t
2
)(dt)
2
6= [2cos(t
2
)4t
2
sin(t
2
)](dt)
2
:
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021

93. B i tªp
B i 1Chof(x)v g(x)l  c¡c h m sè kh£ vi t¤i iºmx0,f(x0) =g(x0) =0 v 
g
0
(x0)6=0. Chùng minh r¬ng
lim
x!x0
f(x)
g(x)
=
f
0
(x0)
g
0
(x0)
:
B i 2Chop(x)l  h m sè li¶n töc tr¶n(a;c]v  kh£ vi tr¶n(a;c); h mq(x)li¶n
töc tr¶n[c;b)v  kh£ vi tr¶n(c;b). X²t h m sè
f(x) =
(
p(x)n¸ua<xc;
q(x)n¸uc<x<b:
Vîi i·u ki»n n o cõap(x)v q(x)th¼ h mf(x)kh£ vi tr¶n(a;b). T½nh ¤o h m
f
0
(x).
Phan Xu¥n Th nh (HUST) ¤o h m v  vi ph¥n 10/2021