Slide materi Parabola pada mata kuliah Geometri analitik

Geometri

1. Geometri Analitik
Institut Teknologi Kalimantan
M. Januar Ismail Burhan
Agustus 2024
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 1 / 17

2. Outline
1Irisan Kerucut (konik) dan koordinat kutub
Konik
Parabol
Contoh
Sifat Optik
Referensi
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 2 / 17

3. Irisan Kerucut (Konik)
Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangya. Kita
potong kerucut tersebut dengan berbagai bidang dengan sudut
berbeda terhadap sumbu simetri, seperti gambar di bawah ini. bidang
tersebut memotong kurva-kurva, masing-masing dinamakan elips,
parabol dan hiperbol. kurva-kurva tersebut dinamakan irisan kerucut
atau konik. selanjutnya kita berikan de…nisi yang lain mengenai
kurva-kurva tersebut.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 3 / 17

4. Denisi Konik
Denisi
Pada sebuah bidang ada garis l tetap (garis arah) dan F sebuah titik tetap
(fokus) yang tidak terletak pada garis l .Himpunan titik-titik P yang
perbandingan antara jarakjPFjdari fokus dan jarakjPLjdari garis arah
adalah suatu konstanta positif e (keeksentrikan), yakni yang memenuhi
hubungan
jPFj=ejPLj
dinamakan Konik. Apabila0<e<1,konik dinamakan elips, apabila
e=1dinamakan parabol, dan e=2dinamakan hiperbol.Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 4 / 17

5. Gambar konik
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 5 / 17
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 4 / 17

6. Konik
Pada gambar sebelumnya dapat kita lihat masing-masing kurva untuk
e=1/2,e=1,dane=2.
Untuk setiap kasus, kurva-kurva tersebut simetrik terhadap garis yang
melalui fokus dan tegak lurus terhadap garis arah. garis ini kita sebut
sumbu panjang dari konik. titik yang merupakan titik potong sumbu
dengan konik disebut puncak.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 6 / 17

7. Konik
Pada gambar sebelumnya dapat kita lihat masing-masing kurva untuk
e=1/2,e=1,dane=2.
Untuk setiap kasus, kurva-kurva tersebut simetrik terhadap garis yang
melalui fokus dan tegak lurus terhadap garis arah. garis ini kita sebut
sumbu panjang dari konik. titik yang merupakan titik potong sumbu
dengan konik disebut puncak.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 6 / 17

8. Denisi
Denisi
Parabol (e=1) Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yang
berjarak sama daria arah l dan fokus F, yakni memenuhi hubungan
jPFj=jPLj.
Kita dapat menentukan persamaanxydari parabol dan persamaannya
berupa persamaan sederhana
kedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva,
tetapi kedudukan tersebut dapat mempengaruhi kesederhanaan
persamaan kurva
Oleh karena sebuah parabol itu simetrik terhadap sumbunya, maka
sudah lazim kita tempatkan salah satu sumbu koordinat misalnya
sumbuxpada sumbu simetri kurva.
kita pilih fokusFdi sebelah kanan titik asal, misalnya(p,0). garis
arah kita pilih di sebelah kirinya dengan persamaanx=p.Dengan
demikian, puncak parabol ada di titik asal sistem koordinat.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 7 / 17

9. Denisi
Denisi
Parabol (e=1) Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yang
berjarak sama daria arah l dan fokus F, yakni memenuhi hubungan
jPFj=jPLj.
Kita dapat menentukan persamaanxydari parabol dan persamaannya
berupa persamaan sederhana
kedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva,
tetapi kedudukan tersebut dapat mempengaruhi kesederhanaan
persamaan kurva
Oleh karena sebuah parabol itu simetrik terhadap sumbunya, maka
sudah lazim kita tempatkan salah satu sumbu koordinat misalnya
sumbuxpada sumbu simetri kurva.
kita pilih fokusFdi sebelah kanan titik asal, misalnya(p,0). garis
arah kita pilih di sebelah kirinya dengan persamaanx=p.Dengan
demikian, puncak parabol ada di titik asal sistem koordinat.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 7 / 17

10. Denisi
Denisi
Parabol (e=1) Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yang
berjarak sama daria arah l dan fokus F, yakni memenuhi hubungan
jPFj=jPLj.
Kita dapat menentukan persamaanxydari parabol dan persamaannya
berupa persamaan sederhana
kedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva,
tetapi kedudukan tersebut dapat mempengaruhi kesederhanaan
persamaan kurva
Oleh karena sebuah parabol itu simetrik terhadap sumbunya, maka
sudah lazim kita tempatkan salah satu sumbu koordinat misalnya
sumbuxpada sumbu simetri kurva.
kita pilih fokusFdi sebelah kanan titik asal, misalnya(p,0). garis
arah kita pilih di sebelah kirinya dengan persamaanx=p.Dengan
demikian, puncak parabol ada di titik asal sistem koordinat.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 7 / 17

11. Denisi
Denisi
Parabol (e=1) Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yang
berjarak sama daria arah l dan fokus F, yakni memenuhi hubungan
jPFj=jPLj.
Kita dapat menentukan persamaanxydari parabol dan persamaannya
berupa persamaan sederhana
kedudukan sumbu koordinat tidak mempengaruhi bentuk kurva,
tetapi kedudukan tersebut dapat mempengaruhi kesederhanaan
persamaan kurva
Oleh karena sebuah parabol itu simetrik terhadap sumbunya, maka
sudah lazim kita tempatkan salah satu sumbu koordinat misalnya
sumbuxpada sumbu simetri kurva.
kita pilih fokusFdi sebelah kanan titik asal, misalnya(p,0). garis
arah kita pilih di sebelah kirinya dengan persamaanx=p.Dengan
demikian, puncak parabol ada di titik asal sistem koordinat.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 7 / 17

12. Gambar
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 8 / 17

13. Parabol
Dari syaratjPFj=jPLjdan rumus jarak, dapat diperoleh
q
(xp)
2
+(y0)
2
=
q
(x+p)
2
+(yy)
2
Setelah disederhanakan diperoleh
y
2
=4px
Persamaan ini disebut persamaan baku sebuah parabol mendatar
(artinya sumbu simetrisnya mendatar) dan terbuka ke kanan,
perhatikan bahwap>0 danpmerupakan jarak dari fokus ke
puncaknya.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 9 / 17

14. Parabol
Dari syaratjPFj=jPLjdan rumus jarak, dapat diperoleh
q
(xp)
2
+(y0)
2
=
q
(x+p)
2
+(yy)
2
Setelah disederhanakan diperoleh
y
2
=4px
Persamaan ini disebut persamaan baku sebuah parabol mendatar
(artinya sumbu simetrisnya mendatar) dan terbuka ke kanan,
perhatikan bahwap>0 danpmerupakan jarak dari fokus ke
puncaknya.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 9 / 17

15. Parabol
Dari syaratjPFj=jPLjdan rumus jarak, dapat diperoleh
q
(xp)
2
+(y0)
2
=
q
(x+p)
2
+(yy)
2
Setelah disederhanakan diperoleh
y
2
=4px
Persamaan ini disebut persamaan baku sebuah parabol mendatar
(artinya sumbu simetrisnya mendatar) dan terbuka ke kanan,
perhatikan bahwap>0 danpmerupakan jarak dari fokus ke
puncaknya.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 9 / 17

16. Contoh 1
contoh
Tentukan fokus dan garis arah parabol y
2
=12x.
Penyelesaian : Oleh karenay
2
=4(3)x, makap=3 sehingga fokus
ada di(3,0)dan garis arah adalahx=3.
Ada tiga persamaan baku dari parabol selain persamaan di atas.
apabilaxdanydipertukarkan, dan tanda negatif pada salah satu
ruas persamaan parabol kita peroleh parabol yang terbuka ke arah
yang berlawanan. Keempat jenis parabol tersebut dapat dilihat pada
gambar selanjutnya.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 10 / 17

17. Contoh 1
contoh
Tentukan fokus dan garis arah parabol y
2
=12x.
Penyelesaian : Oleh karenay
2
=4(3)x, makap=3 sehingga fokus
ada di(3,0)dan garis arah adalahx=3.
Ada tiga persamaan baku dari parabol selain persamaan di atas.
apabilaxdanydipertukarkan, dan tanda negatif pada salah satu
ruas persamaan parabol kita peroleh parabol yang terbuka ke arah
yang berlawanan. Keempat jenis parabol tersebut dapat dilihat pada
gambar selanjutnya.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 10 / 17

18. Gambar persamaan baku parabol
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 11 / 17

19. Contoh 2
contoh
Tentukan fokus dan garis arah parabol x
2
=y dan gambarlah gra…knya.
Gambarnya
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 12 / 17

20. Contoh 3 dan 4
contoh
Tentukan persamaan parabol dengan puncak di titik asal dan berfokus di
(0,5).
contoh
Tentukan persamaan parabol dengan puncak di titik asal, yang melalui
(2,4)dan terbuka ke kiri. Gambarkan parabolnya. Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 13 / 17

21. Sifat Optik
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 14 / 17

22. Sifat Optik
Sifat Parabol di atas dipakai untuk membuat lampu sorot dan pada
teleskop
Selanjutnya buktikan sifat optik parabol di atas.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 15 / 17

23. Sifat Optik
Sifat Parabol di atas dipakai untuk membuat lampu sorot dan pada
teleskop
Selanjutnya buktikan sifat optik parabol di atas.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 15 / 17

24. Bukti sifat optik parabol
Perhatikan gambar
Kita harus membuktikan bahwa suduta=b.
Oleh karena\FQP=b, maka cukup dibuktikan bahwa4FQPsama
kaki.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 16 / 17

25. Bukti sifat optik parabol
Perhatikan gambar
Kita harus membuktikan bahwa suduta=b.
Oleh karena\FQP=b, maka cukup dibuktikan bahwa4FQPsama
kaki.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 16 / 17

26. Referensi
1Purcell dan Dale,Kalkulus dan Geometri analitik jilid 2.
Dr. M. Januar Ismail, M.Si. Geometri Analitik 17 / 17