Suplemen A Bilangan Kompleks bahasa indonesia.pptx

bialngan kompleks

1. Suplemen A: Bilangan Kompleks Daryono Budi Utomo MATEMATIKA ITS

2. MATEMATIKA ITS 2 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks Suplemen A: Sistem Bilangan Kompleks A .1 Operasi Pada Bilangan Kompleks A .2 Penyajian Geometri A .3 Bentuk Kutub A .4 Akar Bilangan Kompleks    

3. MATEMATIKA ITS Definisi: Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah bilangan yang dinyatakan dengan z = ( a, b ) atau z = a + ib ; dengan a , b , dengan : bilangan real i : imajiner a = (z) : bagian real dari z b = : bagian imajiner dari z:   Himpunan bilangan kompleks dinotasikan 3 A .1 Operasi Pada Bilangan Kompleks Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

4. MATEMATIKA ITS 4               Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks Perkalian bilangan i

5. MATEMATIKA ITS Operasi Bilangan Kompleks Diberikan suatu bilangan kompleks: z 1 = a 1 + i b 1 dan z 2 = a 2 + i b 2 , maka berlaku: 5   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

6. MATEMATIKA ITS Dalam bilangan kompleks tidak mengenal relasi lebih kecil (<) dan relasi lebih besar (>) yaitu tidak ada relasi z 1 < z 2 atau z 1 > z 2 . Jika diberikan suatu bilangan kompleks: z 1 = 1- i, z 2 = - 2 + 4 i , z 3 = 3 - 2 i , maka :   Contoh 1. 6 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

7. MATEMATIKA ITS Dalam sistem bilangan kompleks terdapat satu operasi yang unik yaitu operasi sekawan atau operasi konjugat. Jika setiap bilangan kompleks , maka bilangan kompleks sekawannya dinotasikan . Sifat-sifat operasi sekawan: . Berlaku: sehingga sehingga   Bilangan Kompleks Sekawan   7 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

8. MATEMATIKA ITS Jika diberikan bilangan kompleks: z 1 = a 1 + i b 1 dan z 2 = a 2 + i b 2 , maka berlaku:   8 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

9. MATEMATIKA ITS Dalam sistem bilangan kompleks, bilangan 0 = 0 + 0 i merupakan elemen identitas terhadap operasi jumlahan dan bilangan 1 = 1 + 0 i , merupakan elemen identitas terhadap operasi perkalian sehingga berlaku: Identitas Bilangan Kompleks 9 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

10. MATEMATIKA ITS Terhadap operasi jumlahan, setiap bilangan kompleks z = x + iy mempunyai tepat satu bilangan kompleks z 1 sehingga dipenuhi Invers z terhadap jumlahan yaitu Disebut negatif dari z dan dinamakan invers dari z terhadap penjumlahan   10     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

11. MATEMATIKA ITS Invers z terhadap perkalian Terhadap operasi jumlahan, setiap bilangan kompleks z = x + iy ≠ 0 mempunyai tepat satu bilangan kompleks z 1 sehingga dipenuhi yaitu Disebut pembagi dari z dan dinamakan invers dari z terhadap perkalian         11   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks  

12. MATEMATIKA ITS Sifat operasi bilangan kompleks Sifat operasi dalam bilangan kompleks memenuhi: sifat komutatif: dan Sifat asosiatif dan Sifat Distributif   12 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

13. MATEMATIKA ITS Nilai Mutlak atau Modulus Modulus bilangan kompleks z = x + i y dinyatakan dengan notasi   merupakan bilangan real nonnegatif, sehingga berlaku: 13 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

14. MATEMATIKA ITS Ketaksamaan Segitiga Modulus jumlah dua bilangan kompleks tidak lebih dari jumlah dari modulus masing-masing suku, dan tidak kurang dari modulus selisih modulus masing-masing suku dinotasikan Contoh 2. Jika diberikan suatu bilangan kompleks: z 1 = 1- i , z 2 = -2 + 4 i, z 3 = 3 - 2 i hitunglah: 14 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

15. MATEMATIKA ITS Jawab z 1 = 1- i , z 2 = -2 + 4 i, z 3 = 3 - 2 i maka : 15 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

16. MATEMATIKA ITS Bidang Kompleks Setiap bilangan kompleks z = x + iy dapat dinyatakan sebagai titik ( x , y ) dalam bidang XOY yang disebut juga sebagai bidang kompleks ( Bidang Argand ). Dalam bidang kompleks sumbu-x dinamakan sumbu real dan sumbu -y dinamakan sumbu imajiner . Modulus bilangan kompleks atau mutlak bilangan z = x + iy dinyatakan dengan merupakan panjang vektor yang menyajikan bilangan kompleks.   16 Modulus A .2 Penyajian Geometri Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

17. MATEMATIKA ITS Tafisiran Vektor Bilangan Kompleks Suatu bilangan kompleks z = x + iy dapat dipandang sebagai suatu vektor (OP) dengan titik pangkal O dan titik ujung P( x , y ) seperti pada Gambar dibawah ini . Sering kali dinamakan = z = x + iy sebagai vektor posisi dari P . Dua vektor dengan panjang dan arah sama, tetapi titik pangkal berbeda seperti ( ) dan pada Gambar dibawah ini dianggap sama, sehingga dituliskan = = x + iy = ( x , y ).               17 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

18. MATEMATIKA ITS Penjumlah Bilangan Kompleks Dalam Vektor Penjumlahan bilangan kompleks dalam bentuk vektor sama dengan penjumlahan dua vektor. Jadi untuk menjumlahkan bilangan kompleks: z 1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + iy 2 digunakan aturan jajaran genjang OABC yang sisinya OA dan OC yang berkaitan dengan bilangan kompleks z 1 dan z 2 . Diagonal jajaran genjang AB ini berkaitan dengan z 1 + z 2                       18 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

19. MATEMATIKA ITS Contoh 3. Jika diberikan suatu bilangan kompleks z 1 dan z 2 sebarang dalam bentuk vektor gambarkan grafik dari operasi: (a) 2 z 1 + 3 z 2 dan (b) 5 z 1 - 2 z 2 . 19   2                         Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

20. MATEMATIKA ITS Contoh 4. Jika suatu vektor posisi dengan ujung-ujungnya adalah titik A = ( x 1 , y 1 ) dan B = (x 2 , y 2 ) berturut-turut dinyatakan dalam bilangan kompleks z 1 dan z 2 . (a) Nyatakan vektor AB sebagai bilangan kompleks dan (b) Tentukan panjang AB . 20 Jawab (b) Panjang AB                 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

21. MATEMATIKA ITS Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan periode (sesuai dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangakan nilai utama (principle value) dari arg z ditulis Arg z dengan adalah tunggal   Jela s , ± 1, ± 2, ...   P erhatikan: 21 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

22. MATEMATIKA ITS A .3 Bentuk Kutub Bilangan kompleks dapat disajikan dalam koordinat kutub Misalkan maka dapat dinyatakan dalam bentuk kutub: Dengan             22     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

23. MATEMATIKA ITS M isalkan: dan Dengan   Perkalian Pembagian Tidak berlaku untuk:   dan 23 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

24. MATEMATIKA ITS Diketahui . Tentukan bentuk kutub dan   Contoh 5 Penyelesaian : 24 Menggunakan sifat argumen diperoleh :       Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

25. MATEMATIKA ITS Teorema deMoivre Jika n bilangan kompleks yang berbeda dinyatakan sebagai:   maka perkalian bilangan-bilangan kompleks tersebut adalah   Dengan demikian, jika n bilangan kompleks yang sama maka perkalian bilangan - bilangan kompleks dinyatakan sebagai:     25 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

26. MATEMATIKA ITS Contoh 6. Dapatkan bentuk kutub dari   26 Jawab:         Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

27. MATEMATIKA ITS Contoh 7. Dapatkan nilai dari   27 Jawab:       Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks  

28. MATEMATIKA ITS 28           Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

29. MATEMATIKA ITS A .4 Akar Bilangan Kompleks Suatu bilangan w dinamakan akar ke- n dari bilangan kompleks z jika w n = z , dan dapat dituliskan sebagai w n = z Menurut teorema De Moivre, dapat ditunjukkan bahwa jika n suatu bilangan bulat positif, maka : Sehingga diperoleh n nilai berlainan untuk , yaitu n akar berlainan dari z , asalkan z ≠ 0.   29 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

30. MATEMATIKA ITS Akar pangkat n dari bilangan kompleks satuan yaitu persamaan z n = 1, dengan n bilangan bulat positif dinamakan akar pangkat n dari bilangan kompleks satuan dan dinyatakan oleh   Jika dimisalkan maka bentuk akar dari z n = 1 tersebut adalah Secara ilmu ukur, ini menyatakan n titik pada segi banyak beraturan bersisi n yang terletak dalam suatu lingkaran berpusat di (0,0) dan berjari-jari satu, atau lingkaran memiliki persamaan | z | = 1 dan seringkali dinamakan lingkaran satuan.   30 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

31. MATEMATIKA ITS Contoh 8. Tentukan semua nilai akar dari: (1) (2) (3)   31 Jawab:   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

32. MATEMATIKA ITS 32   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

33. MATEMATIKA ITS 33   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

34. MATEMATIKA ITS Buktikan bahwa semua akar pangkat 5 dari merupakan titik sudut segi 5 beraturan dengan salah satu titik sudutnya adalah   Contoh 9. 34 Jawab     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

35. MATEMATIKA ITS 35   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks

36. MATEMATIKA ITS 36     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen A Sistem Bilangan Kompleks