Tema 2.4

Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.

1. Área y Longitud de arco Longitud de Arco Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para determinar la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria. Recuérdese que la fórmula para hallar la longitud de arco de una curva C dada por en el intervalo es Si C está representada por las ecuaciones paramétricas y , , y si , se puede escribir:   TEMA 2.4:

2. EJEMPLO 1: Calcular la longitud de arco Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo mayor de radio 4, como se muestra en la figura 10.33. La epicicloide trazada por un punto en el círculo más pequeño está dada por: Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta completa alrededor del círculo mayor. Solución Antes de aplicar el teorema 10.8, hay que observar en la figura 10.33 que la curva tiene puntos angulosos en y . Entre estos dos puntos , y no son simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que se genera de a es suave. Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud de arco que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar por 4 .  

4. Identidad trigonométrica (Formula de suma y diferencia): Identidad trigonométrica (Formula de reducción):  

5. Para la epicicloide de la figura 10.33, una longitud de arco de 40 parece correcta, puesto que la circunferencia de un círculo de radio 6 es .   Identidad trigonométrica (Formula de ángulo doble):  

6. EJEMPLO 2: Calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo indicado : SOLUCIÓN:  

8. Área de una superficie de revolución La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede usarse para desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma paramétrica. Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de arco como:

9. Entonces las fórmulas se expresan como sigue: EJEMPLO 3: Hallar el área de una superficie de revolución Sea C el arco de la circunferencia que va desde hasta como se ve en la figura 10.35. Encontrar el área de la superficie generada por revolución de C alrededor del eje x. Solución: C se puede representar en forma paramétrica mediante las ecuaciones :  

10. (El intervalo para t se obtiene observando que cuando y cuando ). En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el teorema 10.9 para obtener el área de la superficie: