Teorema de Pitágoras (presentación y ejercicios)

Teorema de Pitágoras

1. 7°
BÁSICO
Educación Matemática
Triángulos

2. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Aprenderemos más sobre el triángulo
rectángulo.

3. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
“El triángulo sagrado de Egipto”

4. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
“El triángulo sagrado de Egipto”
“En el antiguo Egipto, las crecidas del rio Nilo inundaban las cosechas y terrenos
ubicados en sus orillas. Cuando las aguas volvían a su cause, los “agrimensores”
debían asignar los terrenos nuevamente a sus propietarios, quienes pagaban un
impuesto al faraón por las tierras. Para ello, los agrimensores trazaban líneas
perpendiculares utilizando una cuerda de trece nudos equidistantes que les
permitía dibujar en el suelo triángulos de lados 3, 4 y 5 unidades”.
Así, los egipcios fueron los primeros en
utilizar un triángulo con esas medidas, las
que originan un triángulo
rectángulo.
Este triángulo conocido como “Triángulo
sagrado”, fue considerado divino por sus
variadas aplicaciones en construcciones de
la época”.

5. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
¿El “triángulo sagrado egipcio” es realmente un
triángulo rectángulo?

6. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
¡Descubrámoslo empíricamente construyendo un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades!
✓Trozo de lana o cuerda delgada de
50cm .
✓Regla
✓Transportador
✓3 alfileres de cabeza
✓Un trozo de plumavit de 30x30 cm.
¿El “triángulo sagrado egipcio” es realmente un
triángulo rectángulo?
Materiales:

7. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Instrucciones:
1º Toma un trozo de lana y haz trece
nudos que estén a la misma distancia
unos de otros.
Puedes escoger la medida que estimes
conveniente para distanciar los nudos, ya
que la medida que escojas será tu
“unidad de medida”, lo importante es que
mantengan la misma distancia y logres
anudar 13.
“El triángulo sagrado de Egipto”

8. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Instrucciones:
1º Toma un trozo de lana y haz trece nudos
que estén a la misma distancia unos de
otros.
2º Une con un alfiler el primer y último
nudo, utilizando como respaldo la plumavit
para fijarlos.
3º Pon un alfiler en el sexto nudo contando
desde el primero que tienes fijo.
Fíjate que existen 5 espacios entre los
nudos, por lo tanto, representa un lado del
triángulo de medida 5 unidades.
“El triángulo sagrado de Egipto”
4
5
6
3
2
1

9. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
4
5
6
3
2
1
“El triángulo sagrado de Egipto”
Instrucciones:
4º Para construir el lado de medida 4
unidades debes dejar 4 espacios entre
nudos, por lo tanto, fija el nudo número
10. Así automáticamente generas el tercer
lado de medida 3 unidades.
6
7
8
9
10
5º Así haz logrado construir un
triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades.
Ahora, mide con el transportador
cada uno de los ángulos y comprueba
si uno de ellos es recto.

10. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
¿Cómo es posible calcular las medidas de los
lados de otros triángulos rectángulos?

11. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Recogiendo la experiencia geométrica de los egipcios, Pitágoras de Samos,
un filósofo y matemático griego, formuló un teorema que hoy en día se
conoce como “El teorema de Pitágoras”. Este teorema nos permite calcular
uno de los lados de un triángulo rectángulo, conociendo la medida de dos de
sus lados.
En esta oportunidad descubriremos este
famoso “Teorema de Pitágoras”. Para ello
necesitamos recordar algunas
características del triángulo rectángulo.
¿Cómo es posible calcular las medidas de los
lados de otros triángulos rectángulos?

12. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
¿Qué distingue a un triángulo rectángulo de otros triángulos?
Un triángulo se denomina triángulo rectángulo cuando uno de sus ángulos interiores es
recto, es decir, mide 90º.
A esta información le agregaremos, además, que los lados de estos triángulos tienen
nombres, se les conoce como catetos e hipotenusa.
Los catetos son los lados que conforman el ángulo recto.
La hipotenusa es el lado del triángulo que se opone al ángulo recto.
C
a
t
e
t
o

Cateto
h
i
p
o
t
e
n
u
s
a
Escribe en tu
cuaderno

13. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos identifica los catetos y
la hipotenusa según corresponda.
Actividad
Trabaja en
tu cuaderno

14. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos identifica los catetos y
la hipotenusa según corresponda.
Actividad
Cateto
C
a
t
e
t
o
H
ip
o
t
e
n
u
s
a
Hipotenusa
C
a
t
e
t
o
Cateto H
ip
o
t
e
n
u
s
a
C
ateto
C
a
t
e
t
o

15. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
¿Qué habrá descubierto Pitágoras en el
triángulo rectángulo?
¡Averigüemos! Construye en tu cuaderno un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 cm.
3
4
5
En cada uno de los lados del triángulo dibuja un
cuadrado, cuyo lado tenga la misma medida del
lado del triángulo que consideres.
Así obtendremos:
Un cuadrado de lado 3 cm.
Un cuadrado de lado 4 cm.
Un cuadrado de lado 5 cm.
¿Cuál es el área de cada
cuadrado?
Deducción del Teorema de Pitágoras

16. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Deducción del Teorema de Pitágoras
El área del cuadrado de lado 3cm es 9cm
2
, ya que:
3 • 3 = 3
2
= 9cm
2
El área del cuadrado de lado 4cm es 16cm
2
, ya que:
4 • 4 = 4
2
=16cm
2
El área del cuadrado de lado 5cm es 25cm
2
, ya que:
5 • 5 = 5
2
= 25cm
29cm
2
16cm
2
25cm
2
¿Cuál es el área de cada
cuadrado?

17. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Deducción del Teorema de Pitágoras
9cm
2
16cm
2
25cm
2
¿Qué relación podemos encontrar entre las
áreas de los cuadrados construidos?
C
o
m
e
n
ta
c
o
n

tu
s
c
o
m
p
a
ñ
e
ro
s

18. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Deducción del Teorema de Pitágoras
9cm
2
16cm
2
25cm
2
Observa que la suma de las áreas de los
cuadrados de lados 3 cm y 4 cm suman lo mismo
que el área del cuadrado de lado 5 cm.
3
2
+ 4
2
= 5
2
9 + 16 = 25
25 = 25
Si te fijas bien, “la suma de las áreas de los
cuadrados originados por los catetos, es igual al
área del cuadrado originado por la hipotenusa”.
¿Qué relación podemos encontrar entre las
áreas de los cuadrados construidos?

19. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Pitágoras se dio cuenta que no sólo en el triángulo sagrado egipcio ocurría esto,
sino que en todo triángulo rectángulo.
¿Cómo podríamos expresar la deducción
hecha por Pitágoras para que represente
a cualquier triángulo rectángulo?

20. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Deducción del Teorema de Pitágoras
a
b
c
Supongamos que las medidas de los lados del triángulo rectángulo son a, b y c.

Fíjate que:
El lado a genera un cuadrado de área a
2
El lado b genera un cuadrado de área b
2
El lado c genera un cuadrado de área c
2
a
2
b
2
c
2
Comenta con
tus
compañeros
¿Qué ecuación
representaría la igualdad
encontrada en relación a
las áreas?

21. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
a
b
c
Deducción del Teorema de Pitágoras

La suma de las áreas de los cuadrados
originados por los catetos es igual al área
del cuadrado originado por la hipotenusa.
La ecuación que representa esta relación
entre las áreas es:
a
2
c
2
b
2
¿Qué ecuación
representaría la igualdad
encontrada en relación a
las áreas?
a
2
+ b
2
= c
2

22. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Deducción del Teorema de Pitágoras

¡Esta fue la igualdad encontrada por Pitágoras!
pero en su teorema la igualdad fue enunciada
de una forma un poco distinta.
El enunciado del teorema de Pitágoras expresa
la misma igualdad que encontramos, pero en
términos de los catetos y la hipotenusa.
a
b
c
¿Cómo redactarías el
enunciado del teorema de
Pitágoras? Com
enta con
tus
com
pañeros
a
2
+ b
2
= c
2

23. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Teorema de Pitágoras
Veamos que el teorema de Pitágoras enuncia lo siguiente:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”.
a
2
+ b
2
= c
2

¿Qué utilidades tiene el teorema de
Pitágoras?
a
b
c
Escribe en tu
cuaderno

24. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Teorema de Pitágoras
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, el Teorema de Pitágoras
nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.
¡Pero ten presente que sólo funciona en triángulos rectángulos!
a
2
+ b
2
= c
2

¿Cómo se usa?
¿Qué utilidades tiene el teorema de
Pitágoras?

25. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Teorema de Pitágoras
Por ejemplo, sea el triángulo ABC rectángulo. El lado AB mide 8cm y el lado AC mide6
cm ¿Cuánto mide el lado BC?
a
2
+ b
2
= c
2
6
2
+ 8
2
= c
2
36 + 64 = c
2
100 = c
2
¿Cómo se usa?
En este caso nos preguntan por la medida de la
hipotenusa.
Como los catetos miden 6 cm y 8 cm, estos valores
debemos reemplazarlos en la ecuación, así:
¿Cuál es el valor de
c?
A
B
C
8cm
6cm
x
Trab
aja en

tu
cu
ad
ern
o

26. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Teorema de Pitágoras
a
2
+ b
2
= c
2
6
2
+ 8
2
= c
2
36 + 64 = c
2
100 = c
2
10 = c
A
B
C
8cm
6cm
10cm
La igualdad resultante nos expresa que: el valor de c al cuadrado es 100, por lo tanto,
debemos pensar en un número que al cuadrado nos de como resultado 100.
¿Cuál es el valor de
c?
El valor de c es igual a 10,
ya que: 10
2
=100

27. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
¡Ya es hora de aplicar el Teorema de Pitágoras!
Considera el triángulo rectángulo ABC. El lado AB mide 12cm y el lado BC mide
13cm.
¿Cuánto mide el lado AC?
Actividad
Recuerda que para resolver
una ecuación debes
despejar el valor de la
incógnita.
A
B
C
12cm
13cm
b
Trab
aja en

tu
cu
ad
ern
o

28. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
En este caso nos piden la medida de uno de los catetos.
A
B
C
12cm
13cm
b
Por lo tanto al aplicar el teorema de Pitágoras nos queda:

a
2
+ b
2
= c
2
12
2
+ b
2
= 13
2
144 + b
2
= 169
b
2
= 169 – 144
b
2
= 25
b = 5
Un número al cuadrado que nos da como resultado 25 es 5, pues 5
2
= 25.
Por lo tanto, la medida de AC es 5cm.

29. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
El Teorema de Pitágoras también tiene otra utilidad. Nos permite determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo.
Para ello debemos considerar si en un triángulo cualquiera se cumple que:
“ a
2
+ b
2
= c
2
, siendo a y b los lados menores y c el lado mayor, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo”. A este teorema se le llama Teorema recíproco de Pitágoras.
¿Sabiendo solo las medidas de los lados de
un triángulo, podemos saber si es un
triángulo rectángulo?
Teorema recíproco de Pitágoras
¡Verifiquemos si realmente se cumple!

30. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
Lados triángulo 1: 12cm, 16cm y 20cm
Lados triángulo 2: 3cm, 9cm y 7cm
Teorema recíproco de Pitágoras
¡Verifiquemos si realmente se cumple!
Actividad
Para verificar si se cumple el Teorema recíproco de Pitágoras, construye con
regla y compás cada triángulo y mide con el transportador los ángulos
interiores para comprobar si tienen un ángulo de 90º.
Considera las siguientes medidas de los lados de dos triángulos cualquiera
y determina si son triángulos rectángulos a través del Teorema recíproco de
Pitágoras.
R
e
v
i
s
a

c
o
n

t
u

p
r
o
f
e
s
o
r

31. MÓDULOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICA 7° BÁSICO
¿Qué aprendimos?
✓ Aprendimos que el triángulo rectángulo fue utilizado por
primera vez por los egipcios, quienes lo consideraban
sagrado.
✓ Aprendimos el Teorema de Pitágoras.
✓ Aprendimos el Teorema recíproco de Pitágoras.