Texto Escolar 1.pdf

Texto de matematica

1. atemáti ca
Secundaria
Texto
escolar
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2. a
Secundaria
Texto
escolar
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3. MINISTERIO DE EDUCACIÓN
P§EO
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PEFC"
*
El texto Matemática 1 de Secundaria ha sido elaborado
según el plan de obra creado por el departamento
editorial delGrupo Editorial Norma en el Perú.
Directora editorial: Andrea Viviana Saavedra Garzón
Editora de área: I\4audhy Johana Tasayco Sánchez
Editora: Laura Chavez Callañaupa
Jefa de arte: Rocío lVilena lr/armolejo Cumbe
Los adaptadores del texto lvatemática I son: Enrique
Huapaya, Jessica Ynfanzón, Sara Pacheco, Javier Brito,
Arlario Rivera y Equipo Editorial Norma
Corrección de estilo: Rossana Alba
Diseño gráfico: Equipo Editorial Norma
Diagramación: ALN Telemark Colombia S. A. S.
Diseño de cubierta: Equipo Editorial Norma
Apoyo gráfico: Equipo Editorial Norma
llustraciones: ALN Telemark Colombia S. A. S.,
lVauricio Restrepo López, Juan Pablo Suárez Cano
y Equipo Editorial Norma
Archivo fotográfico: Archivo gráfico Norma
y @ 2015 Shutterstock
O 2015, Grupo Editorial Norma S.A.C.
Primera edición, enero de 20,l6
O 2018, EDUCACTIVA S.A.C
Segunda edición, noviembre de 2018
Sello editorial Norma
Av. It/anuel Olguín n." 211, int. 501 ,
Urb. Los Granados, Santiago de Surco, Lima - Perú.
lmpreso en noviembre de 2018
Publicado en enero de 2019
Tiraje: 107 049 ejemplares
lmpreso en Perú / Pilnted in Peru
lmpreso en Amauta lmpresiones Comerciales S.A.C.
Jr. Juan Arlanuel del lt/ar y Bernedo n.o I290
Urb. Chacra Ríos Sur, Lima 1
Número de Proyecto Editorial: 31501401801
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I 3
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional
del Perú n.o 201 B-16784
|SBN 978-6 1 2-02-1 423-7
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro,
por cualquier medio, sin permiso escrito de la Editorial.
DE¿

4. Querido estudiante:
ü
El libro que t¡enes en tus manos te reta a explorar tu mundo con creatividad
y a aprender matemática a través de situaciones que te llevarán a desarrollar tus
habilidades y potenciar tus capacidades. La matemática está presente en diversos
espacios de tus actividades y su uso te permite entender el mundo que te rodea.
La presencia de la matemática en tu vida diaria, en aspectos sociales, culturales y de
la naturaleza es algo cot¡diano, pues se usa desde situaciones tan simples y generales
como cuantificar el número de integrantes de la familia, hacer un presupuesto
familiar y desplazarnos de la casa a la escuela, hasta cuestiones más complejas como
esperar la cosecha de este año sujeta al tiempo y los fenómenos de la naturaleza,
realizar los balances contables de negocios o pract¡car juegos haciendo cálculos
probabilísticos de sucesos. Como puedes notar, tener un entendimiento y un
desarrollo matemát¡co adecuado te permite partlcipar en el mundo que te rodea en
cualquiera de los aspectos mencionados.
Nuestra sociedad necesita de una cultura matemática para comprender y asumir un
rol transformador en el entorno complejo y global de la realidad contemporánea.
Esto impl¡ca que desarrolles habilidades básicas que te permitan desenvolverte
en la vida cotidiana, relacionarte con tu entorno, con el mundo del trabajo, de la
producción y el estudio, entre otros ámbitos.
Por ello, el propósito del libro es que desarrolles competencias a partir de los campos
temáticos planteados en las Rutas del aprendizaje, y los vincules a diversos contextos
de tu vida cotidiana.
En sus páginas encontrarás temas en contextos cotidlanos y cercanos que te
guiarán por el universo fascinante de los números, las figuras, las formas, los datos
y los modelos, lo cual te llevará a indagar por las causas y las relaciones, mediante
la interpretación, la búsqueda de patrones, la formulaciÓn de hipÓtesis y la
argumentación para solucionar problemas de tu diario vivir.
Utilizando las herramientas que te ofrecemos podrás explicar tus
ideas, tomar decisiones y hallar nuevas y mejores formas de
responder a los hechos. Será un material de consulta que
te brindará información pertinente y oportuna para el
desarrollo de las actividades en el cuaderno de trabajo,
el cual es un recurso para que puedas comprender la
nueva información, centrándote en la resolución de
problemas y contribuyendo a que puedas utilizar
y aplicar lo aprendido en diversos contextos y
situaciones de tu vida.
¡Bienvenido!
re
o
*
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7
I
I
I

5. Conozco mi libro
Sección inicial
Esta sección te mostrará a través de imágenes cada uno de los elementos que lo componen.
Número y nombre
del capítulo
lntencionalidad
pedagógica
Sintetizará la
información que
encontrarás en el
capítulo.
Variadas
situaciones
sign ificativas
Abordará situaciones
de la realidad y de la
actualidad, reconociendo
la funcionalidad de
los conocimientos
matemáticos en tu
entorno.
¡É& <ñ4tn.n @6¡
Antes de comenzar
ten en cuenta
5e te mostrará un listado
de conceptos previos.
Conceptos clave
Conceptos que
trabajarás a lo largo
del capítulo.
Aprendizajes
esperados
Presentará las
competencias, capacidades
e indicadores que abordarás
en el capítulo.
a
Decimales y fracciones
§ l.!i¡c'oo.id.d rá5ó3Ká
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¡ T
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Sección central
Aquíencontrarás la información contenida en el capítulo, de manera ordenada y fácil para su ub¡cación
lntroducción
Describlrá el campo
temático que
tratarás y su relación
con las situaciones
significativas
planteadas.
Presentación de
los conocimientos
matemáticos
Encontrarás la
información sobre
los conocimientos
a trabajar.
I nformación complemenraria
Hallarás notas, llamados y cuadros que
orienten la información principal.
Mdrhlor ydivkor6
m .
:
Datos históricos
Encontrarás hechos y eventos
históricos relacionados con la
matemática.
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Y.bl¡t y tr¡ñ.6 .{¿dLti<6
Par¿datos non&{P¡do'
a
Bibliografía y sitios de I
Encontrarás información complementaria
para profundizar los conocimientos
matemáticos que desarrollarás.
o
a

6. Sección final
Esta secctón te mostrará la información final del capitulo con información que amplíe tus conocimientos.
a
especializadas
"
cff«.ñ6 ñáed€ l¡ r¡opóa
a
u¡lnrt ?l cnñYóYcl.(or
Lecturas
especializadas
Encontrarás textos
para ampliar los
conocimientos
matemáticos que
abordarás en el
capítulo.
Estrategias heurísticas
Presentará estrategias ejemplificadas
en la resolución de problemas, cuyo
desarrollo corresponde a lo tratado
en el capítulo.
q
Bibliografía
Encontrarás bibliotecas,
hemerotecas, libros,
revistas y artículos
disponibles en lnternet.
Organizador visual
Presentará los
conocimientos que
desarrollarás en el
capitulo.
itsi¡ffi
p heurísticas r
a
Índice temático
Hallarás términos y expresiones de uso
matemático para facilitar la búsqueda
de información. Claves en la resoluciÓn
de problemas del cuaderno de trabajo.
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G@r
@
a
o
I
I

7. Sección centralSección inicial
Tabla de contenidos
¡ Representación y descomposlción polinómica de un número natural tO
o A/últipios y divisores l l
r Divisibilidad 12-13
o l\4áximo común divisor (m. c d.) 14-15
o Mínimo común múltiplo (m. c. m.) 16
¡ Números enteros 17
. Relación de orden en los enteros 1g
. Operaclones con números enteros 19-21
¡ Potenciación con exponente positivo 22
o Propiedades de la potenciación
23
o Cambio de signo de la base y del exponente 24
o Fracciones
30
¡ Clasificación de fracciones. Números racionales 3l-33
o Fracciones y números decimales 34-35
¡ Adición y sustracción con fracciones y decimales 36-37
. A,4ultiplicaclón y división con decimales y fracciones 3g-39
¡ Aproximación de los números decimales por defecto, exceso y redondeo 40
o Problemas aditivos: de igualación y comparación 41-42
¡ Razones proporcionales
4g
o Proporcionalidad directa 49-50
o ltz1étodo de reducción a la unidad 5l
o Regla de tres simple directa 52-53
o Significado del porcentaje
54
¡ Variación porcentual
55
o Aumentos y descuentos porcentuales 56-57
r Diagramas y gráficos de aumentos y descuentos porcentuales 5g
o Transformaciones geométricas: isometrías 64
. Patrones geométricos
65-69
o Progresión aritmética 69-72
. Características de una ecuación
o Ecuaciones equivalentes
o Resolución de ecuaciones: transformaciones algebraicas
¡ Ecuaciones con fracciones
78-79
80
81-84
85-86
¡ Desigualdad de expresiones algebraicas
¡ Condiciones de desigualdad de la forma
x > a o x < a, ax > b o ax < b,Y a * 0
o lnecuaciones
92
93
94-96
o Lecturas especializadas/
Bibliografía 25
o Organizador visual 26
. Estrateg¡as heurísticas 27
¡ Lecturas especializadas/
Bibliografía 43
o Organizador visual 4
o Estrategias heurísticas 45
¡ Lecturas especializadas/
Bibliografía 59
¡ Orqanizador visual 60
. Estrateqias heurísticas 61
r Lecturas especializadas/
Bibliografía 73
o Organizador visual 74
. Estrategias heurísticas 75
o Lecturas especializadas/
Bibliografía 87
o Organizador visual 88
. Estrateg¡as heurísticas 89
o Lecturas especializadas I
Bibliografía 97
o Organizador visual 98
¡ Estrategias heurísticas 99
Sección final
Proporcionalidad y
porcentaje
46-47
Capítulo3W
capítulo 4>
Patrones geométricos
y progresión aritmética
62-63
capítuto 5 F
Ecuaciones lineales
76-77
$»
lnecuaciones lineales
90-91
Capítulo
o
capítuto 1 P
Números enteros y
teoría de números
8-9
capíturo 2tb
Decimales y fracciones
28-29

8. Sección centralSección inicial
o Poliedros y cuerpos redondos: lados, caras, aristas y vértices
o Clasificación de prismas: rectangular y triangular
¡ Desarrollo de prismas y cilindros
o Vistas de prismas
o Unidades arbitrarias y convencionales de superficie y volumen
. Área, perímetro, volumen de prismas y cilindros
o Paralelismo y perpendicularidad. Propiedades de triángulos,
rectángulos, cuadrados y rombos
. Construcción de figuras pollgonales
¡ Clasificación de cuadriláteros
o Perímetro y área del triángulo, rectángulo, cuadrado y rombo
¡ Triángulos en que se descompone un polígono regular
. Diagonales en un polígono
o Suma de ángulos de un polígono regular
¡ Proporcionalidad directa
o Proporcionalidad inversa
¡ Función linealy su regla de formación
o Dominio y rango
. lntercepto con los ejes
¡ Pendiente
¡ Distancias y medidas de mapas o planos a escala
o Localización de objetos empleando coordenadas
r Semejanza de figuras
o Condiciones de proporcionalidad en perímetro, área y volumen
. Ampliación, reducción y rotación de figuras en el plano cartesiano
. Composiciones de transformaciones geométricas
¡ TransformaciÓn geométrica con figuras semejantes
r Población y muestra
o Características y cualidades de una muestra representativa
¡ Variables cualitatlvas y cuantitativas
¡ Recolección de datos (experimentaciÓn, interrogantes, encuesta)
o Tablas y gráficos estadísticos para datos no agrupados
¡ Gráficos de barras y circulares
o Tablas de frecuencias para datos agrupados
o Medidas de tendencia central y el rango para datos no agrupados
¡ Experimento determ¡nístico y aleator¡o
. Espacio muestral y sucesos
o Probabilidad
102
103
1 04-1 05
106
1 07-1 08
109-112
118-120
121
122
123-125
126
127
128
134
1 35-1 36
137-139
140
141
142
148
149
150
151
1 52-1 54
't
55
156
'162
163
164
165
166-167
168-169
170
'171-172
178
1 79-1 81
182-184
r Lecturas especializadas/
BibliografÍa 1 l3
o Organizador
visual 114
. Estrategias
heurísticas 115
o Lecturas especializadas/
Bibliografía 129
. Organizador visual 130
. Estrateg¡as
heurísticas 131
o Lecturas especializadas/
Bibliografia 143
o Organizador visual 144
o Istrategias
heurísticas 145
¡ Lecturas especializadas/
Biblioqrafía 157
¡ Organizador visual 158
o Estrategias
heurísticas 159
o Lecturas especializadas/
Bibliografía 173
o Organizador visual 174
. Estrategias
heurísticas 175
o Lecturas especializadas/
Bibliografía 185
¡ Organizador vlsual 186
o Estrategias
heurísticas 187
188
190
Sección final
capíturo 7 >
Prismas y cilindros
100-101
capítulo 8 P
Iiguras poligonales
116-117
capítulo 9e
Proporcionalidad y
función lineal
r 32-',|33
capíturo 11W
Gráficos estadísticos y
estadígrafos
160-161
capíturo 12
*
Probabilidad
176-177
índice temático
Bibliografía
o
capíturo10p
Mapasyplanosaescala
Transfomraciones
146-147

9. 'l
't=-t'
+
i-, .,, -. :
-
soleádo
l)éó ss L,
|
'20"
22'
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Grani¿o Fiia¡e
Lloviznas
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Capítulo
J
, ,
neros
lntencionalidad pedagógica
En este capítulo aprenderás a solucionar problemas mediante el uso de números
enteros. Para ello, desarrollarás operaciones de cálculo, modelos o estrategias
de resolución de problemas, en diferentes contextos.
Asimismo, expresarás en forma gráfica y simbólica las relaciones de orden entre
números enteros.
Por último, conocerás la potenciación con exponente pos¡tivo.
La diversidad demográfica,
permite a cada visitante vivir
experiencias variadas, desde el
turismo de aventura hasta el
turismo cultural.
¿Todas
las temperaturas máximas
son iguales en todo el Perú?
¿Cómo determinamos la diferencia
entre la temperatura máxima y
mínima?
¿Qué significa 20.0 mm
en un día soleado?
La biodiversidad del territorio
peruano.es una oportunidad,,
para conocer ecosistemas como
desiertos, costas, planicies,
montañas y páramos. En poco
tiempo, se pasa de un clima
cálido (30'C en la costa) a un
ambiente helado (-15 "C en las
montañas).
¿Qué significa el signo - en la
representac¡ón -15 "C?
Lima cuenta con el prestigio
de ser una ciudad turística, en
la que se destacan sus parques
como gran atractiyo para los
visitantes locales y extranjeros.
Si el Servicio de Parques
realiza el mantenimiento de
uno de estos parques cada
15 días e instala las áreas
verdes cada 45 días, ¿cada
cuántos días coinciden las dos
labores?

10. Antes de com enzar ten en cuenta
. Números naturales: representaciÓn, lectura,
escritura, orden y comParaciÓn
. Operaciones con números naturales: adiciÓn,
sustracciÓn, multiplicaciÓn, divisiÓn y potenciaciÓn
.
Sección inicial
Conceptos clave
o Teoría de números: múltiplos, divisores,
criterios de divisibilidad, m. c. m. y m. c. d.
o Númerosenteros:representación,
orden, com paración, operaciones:
adición, sustracción, multiplicación,
división y potenciación
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
Reconoce datos y relaciones no explícitas en situaciones duales y relativas, al expresar un modelo
usando números enteros y sus operaciones.
Selecciona un modelo relacionado con números enteros al plantear o resolver un problema en
situaciones duales y relativas.
Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el problema.
Ordena datos de cantidades y magnitudes en s¡tuaciones de regularidad y los expresa en modelos
referidos a la potenciación con exponente positivo.
Reconoce datos y relaciones no explícitas, y los expresa en un modelo relacionado con múltiplos y
divisores.
Emplea el modelo de solución más pertinente al resolver problemas relacionados con múltiplos y
divisores.
a
a
a
a
a
Comunica y
representa
ideas
matemáticas
. Expresa el significado dei signo en el número entero en situaciones diversas.
. Expresa en forma gráfica y simbólica las relaciones de orden entre números enteros empleando la
recta numérica.
. Expresa procedimientos de medida de peso y temperatura, entre otros, con expresiones decimales.
o Describe las características de la potenciación considerando su base y exponente con números
naturales.
. Expresa el significado de múltiplo, divisor, números primos, compuestos y divisibles.
. Util¡za la criba de Eratóstenes para expresar los números primos y compuestos inferiores a un
número natural cualquiera.
Elabora y usa
estrateg¡as
¡ Diseña y eiecuta un plan orientado a la investigación y resoluciÓn de problemas.
. Emplea procedimientos y recursos para realizar operaciones con números enteros.
. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas con nÚmeros enteros.
. Emplea operaciones de multiplicación entre potencias de una misma base al resolver problemas.
. Emplea estrateg¡as heurísticas y procedimientos al resolver problemas relacionados con potencias
de base natural y exponente entero.
. Emplea el m. c. d. y el m. c. m. para resolver problemas de traducción simple y compleja con
fracciones.
o Realiza procedim¡entos de descomposición polinómica con múltiplos de nÚmeros naturales al
resolver problemas.
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G
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Razona y
argumenta
generando
ideas
matemáticas
o Propone conjeturas referidas a relaciones de orden y propiedades de números enteros.
r Justifica con ejemplos que las operaciones con números enteros se ven afectadas por el signo.
o ldentifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.
. Propone conjeturas respecto a los números divisibles por 2, 3, 5, 7, 9, 1 1.
¡ Justifica cuándo un número es divisible por otro a partir de criterios de divisibilidad.
Cornpetencia lndicadoresCapacidad
o

11. . lntroducción
Si viajas con tu familia a una playa cuya temperatura es de 35
oC,
sabes que el clima es caluroso. Si van a las
montañas, donde la temperatura es de -5
oC,
sabes que deben vestirse bien abrigados. Quizá tus padres
lleven un control de gastos y resten cada consumo o compra que hagan. En los folletos de los lugares que
visitan, encontrarán diferentes datos (cantidad de población, altura de las montañas, la extensión en km2
del lugar, índice en potencias de reproducción de animales, como mariposas, entre otros). En las anteriores
situaciones, están presentes temas como el ordenamiento de datos de cantidades o magnitudes, el uso de
modelos de potenciación, el m. c. d. y el m. c. m., la descomposición polinómica con múltiplos de números
naturales para resolver problemas y las operaciones de números naturales con distinto signo.
6 rc
10l
100 1 000
Figura 1.1
Representación y
descomposición polinóm ica
de un número natural
Nuestro sistema de numeración se denomina decimal porque está basado en
un sistema ar¡tmético que usa potencias de 10, es decir, cada unidad de orden
superior se forma a partir de la agrupación de diez unidades del orden inme-
diatamente inferior (ver figura 1.1).
La tabla 1.1 presenta valores posicionales de nuestro sistema de numeración.
aC
g.o
C'=
Lt
OJ
E
l0e 103 10r
,l00
Tabla 1.1
Tenemos tres formas de escribir un número, a saber:
o Verbal (con palabras): doce mil ochocientos cincuenta y tres.
o Estándar (con cifras): 12 853
o Descomposición polinómica:1 x 104 +2x10r+Bx 102+5 x 10r+3
Ejemplo 1
Completa cada expresión matemática.
a. 5462=_x
.l000+_x
100+_x 10 + 2
b. 93751=-X10000+3x + x100+5x +l
Solución
a. 5462= 5 x 1000 +4x100+ 6x t0+2
b. 93 751 = 9 x 1 0 000 + 3 x 1 000 + 7 x i00 + 5 x t O + l
rtr
C
(.)
C
CJ
U
102
u
!
cJ-
'jf'=
ro-
p
C
l
o
!
La descomposición
polinómica de un número
consiste en tomar cada una
de sus cifras y expresar su
valor posicional mediante
las potencias de la base del
sistema de numeración;
en nuestro caso, el s¡stema
decimal.
Recu¿rda
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U
OJ
o
104
Tema
1

12. I
Múltiplos y divisores
" S¿cción central
6 7 B
Un atleta entrena en una pista circular de 4 km de longitud. La distancla reco-
rrida depende del número de vueltas que dé, tal como se indica en la tabla 2.1.
0 2 3 4 5
12 162024
Tabla 2.1
Los números de la segunda fila se obtienen multiplicando la longitud de la
pista por el número de vueltas. Si un día el atleta recorrió 36 kilómetros, ¿cuán-
tas vueltas da a la pista?
Se divide la distancia recorrida entre la longltud de la pista, es decir, 36 entre 4.
I
36 I + fl cociente es 9. Como el residuo es cero, la divisiÓn se denomina
0 9 exacta, porque 4 divide exactamente a 36. Así,4 es un divisor de 36.
Los números 4y 9, cuyo producto es 36, se llaman factores de 36.
Un número natural a es divisor del número natural b si lo divide exactamen-
te, es decir, si existe otro número natural c tal que a x c = b. Los númercs oy
c se denominan factores de b.
Si o es el número, usaremos el sÍmbolo Dopara representarel conjunto de
los divisores de a.
Los múltiplos de un número natural son aquellos que se obtienen de mul-
tiplicar ese número por cada uno de los números naturales.
Si a es el número, usaremos el símbolo lvl,para representar el conjunto de
los múltiplos de a.
p
Eiemnlo t
I Determina lo siouiente:
I
. rl conlr-ito de los múltiplos de 12.
I :":,ll''"'o
de ros divisores de 12
I . Los múltiplos de 12 son M,, :
{0, 1 2,24,36,48,60,72,U,96, 108...},
I
Oorque son los productos de multiplicar a 12 por cada número natural.
I U. Al dividir a 12 entre los números naturales menores o iguales que é1,
! seencuentraque lasdivisionesexactasson 12 * 1 : 12,12 + 2 :
6,
I
r 2 + 3:4,12 + 4:3,12 + 6:2,12 + 12= 1. Portanto,los divi-
t
tores de 12 son los siguientes: D,r={1,2,3,4,6,12]¡.
,4
Eiemnlo z
I Determina el valor del factor z en la expresión 117 : 9 x z.
Solución
Debemos encontrar un número z que multiplicado con 9 dé 1
'17.
Esto equi-
. vale a dividir'l 17 entre 9. El valor del factor zes 13,porque 9 X 13 : 117.
40 8Distancia recorrida (km)
Número de vueltas
Se dice que d es divisor de
b cuando b se obtiene de
multiplicar d por un número
natural c y, por tanto, b es un
múltiplo de a. Por ejemplo, 3 es
divisor de 18, porque
3 x 6 = 18. Además, 18 es
múltiplo de 3 y también de 6.
Recuerda
Revisa el llbro Cuentos de
matemóticas, de Hervás. Esta
obra te ofrecerá actividades
con aprendizajes que requieren
de tu creatividad.
Módulos de biblioteca
o
2832
1

13. Divisibilidad
Para determinar si un número es divisible por otro se realiza una división y se
analiza el residuo: si el residuo es diferente de 0, el dividendo no es divisible por
el divisor. sin embargo, los criterios de divisibilidad te ayudan a saber si un
número es divisible por otro sin necesidad de hacer divisiones.
Estudiemos los criterios para determinar si un número natural es divisible por
2;3;4;5;6;7; B;9;'10 u
'11:
Los criterios de divisibilidad
son el resultado de
razonamientos que se dan en
un campo de Ias Matemát¡cas
denominado Teoria de
números. Esta rama surgió en
el siglo XVll con los trabajos del
abogado y matemático Pierre
Fermat y fue consolidada en
el siglo XIX por el matemático
alemán Friedrich Gauss.
Collette, J. Historia de las
lttlatemóticas (1 985). l\/adrid,
España: Siglo XXl.
Un número natural distinto
de cero, que tiene más de
dos divisores diferentes,
se denomina número
compuesto.
Un número natural que tiene
exactamente dos divisores
diferentes (la unidad y el
mismo número) se denomina
número primo.
4 si el número que forman
sus dos últimas cifras es 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
múlr¡plo de 4.
5 si la cifra de las unidades
es0o5.
10 si la cifra de las unidades es 0.
2 si la cifra de las unidades
es par.
3 si la suma de sus cifras
es múltiplo de 3.
7, si de derecha a izquierda, al multiplicar cada cifra del
número por los factores 1;3;2; -1;
*3;
-2; 1;3;2; -1; ...
y al sumar los resultados se obtiene un múltiplo de 7.
8 si el número que forman sus tres últimas cifras es múl-
tiplo de 8. Este criterio se aplica si el número analizado
tiene4omáscifras.
1 1 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan
lugar par y la suma de las cifras que ocupan lugar impar
es0omúltiplodelt.
6 si es divisible por 2 y por
3 a la vez.
Tabla 3.1
¡$P
Eiemnlo t
Determina si 82)6 es divisible por 2;3;4; 5;6 y 9
Solución
De acuerdo con los criterios de divisibilidad por 2;3;4;5;6;9;10 y 11, se
puede afirmar de 8226lo siguiente:
5íes divisible por 2,ya que la cifra de las unidades es par.
Síesdivisible por3, porqueB * 2 + 2 + 6: 1B,y 1B es múlriplode 3
No es divisible por 4, porque 26 no es múltiplo de 4.
No es divisible por 5, porque no termina en 0 o 5.
Síes divisible por 6, porque es divisible por 2 y por 3.
Síes divisible por 9, porque si sumamos las cifras el resultado es 18.
a
a
a
a
t
@
Un número compuesto siempre puede definirse como producto de
números menores que é1. Un número primo solo puede deflnirse como
producto de la unidad y de él mismo.
Tema 3
Un número es divisible porque...?

14. .
Sección central
Criba de Eratóstenes
Empleando la criba de Eratóstones se pueden determinar cuáles son los nú-
mero primos menores que
'100.
La flgura 3.1 es conocida como la criba de EratÓstenes; se obtiene mediante
los siguientes pasos:
1.o Tacha el uno.
2.o Considera al 2 como el primer número primo y tacha todos sus múltiplos,
que serán números compuestos.
3.o EI 3 es el segundo número primo.
4.o Tacha los múlt¡plos de 3 que no hayan sido tachados anteriormente.
5.o El 5 es el siguiente número primo;tacha sus múltiplos, los que no hayan
sido tachados.
6.o Cont¡núa el proceso con los siguientes números primos. Al final obtendrás
una tabla como la de la figura 3.1, donde los números marcados en rojo
son números primos.
+ 2 3I 5 6 7 B 9+e
11D
'13
11151t17ffi19x
2+» 23
a-4.*x*n293e
31T333135363738391e
41+431115164718195e
*D
(2
*5556g
5B596e
61eGG656667686970
7172 73117516#7A79BE
&rü B3 B185B6&+ BB
ao
9e
919293919596979899+ee
Figura 3.'1
¡
> Ejemplo2
Determina cuáles de los siguientes números son prlmos: I 1 1; 550; 1821 y 47
Solución
. 111 es múltiplo de 3 y 37;por tanto, no es primo.
. 550 tiene como divisores al1;2;5, entre otros;entonces, no es primo.
. 1B2l tiene como divisores al l; 3; 607, entre otros; luego, no es primo.
. 47 solo tiene como divisores al 1 y 47; por ello, es primo.
Eratóstenes (284-192 a. C.),
matemático, geógrafo y
astrónomo griego fue célebre
por la criba que lleva su
nombre, utilizada para hallar
los números primos. También,
es reconocido por haber
establecido por primera vez la
longitud de la circunferencia
de la Tierra (252 000 estadios,
equivalentes a 40 000 km)
con un error de solo 90 km
con respecto a los cálculos
actuales.
Calero, E. (2005). ltlanual técnico
ECO [versión Adobe Digital
Editionsl. Recuperado de
http:/ /www.ecomexico.net
Dato histórico
a
o

15. Máximo común divisor (m. c. d.)
El concepto de máximo común divisor (m. c. d.) se aplica en diversas situacio-
nes en las que se requiere realizar divisiones que impliquen agrupamientos
o repartos de varias cantidades de forma que no sobre nada; por ejemplo, si
con listones de diferentes longitudes, un carpintero quisiera constru¡r marcos
cuadrados que tengan el mayor tamaño posible de lado.
§
Ejemplo r
Halla el máximo común divisor de28y 42.
Solución
Una manera de hallar el m. c. d. de dos o más números es utilizando conjun-
tos. Para esto, primero hallamos los divisores de cada número.
Drr= {1;2;4;7; 14;28}
D
o, = {1 ; 2; 3; 6; 7 ;
1 4; 21 ; 42}
Luego determinamos la intersección de esos conjuntos, es decir, hallamos los
divisores comunes de28y 42.
Drrl Dor= {1;2;7;14}
El mayor divisor común es 14; se escribe así: m. c. d. (28; 42) = 14.
cuando los números son mayores, es poco práctico hallar el conjunto de divi-
sores. En este caso, utiliza un método más rápido: la descomposición en facto-
res primos. Veamos un ejemplo:
rf Ejemplo 2
Calcula el m. c. d. de 120 y 380.
Solución
Paso 1. Descomponemos cada uno de los números en sus factores primos.
120
60
30
15
5
'I
380
190
95
19
1
2
2
5
19
2
2
2
3
5
120=23 x 3 x 5 380 = 22 x 5 x'19
Paso 2. Elegimos los factores comunes con el menor exponente:22 x 5
Paso 3. lvlultiplicamos los factores elegidos: 20.
El máximo común divisor de un conjunto finito de números naturales es
el mayor número de los divisores comunes de estos números. Se escribe en
forma abreviada así: m. c. d.
V
En la siguiente página
encontrarás problemas resueltos
sobre m. c. d. y m. c. m;
http://www.vitutor,com/d i/
dila_a.html
@
Terna 4
Ttc

16. .
Sección central
Ejemplo 3
Gustavo heredó dos lotes de 120 m2 ('10 m x 1Z m) y otro de 384 m2
(16 m x 24 m). Él quiere dividirlos en parcelas de igual área.
¿Cuál
es la mayor área posible de las parcelas?
¿Cuántas
parcelas obtendrá de
cada lote si se dejan con la mayor área posible?
Solución
Hallamos el m. c. d. de los números 120 y 384 utilizando el método de des-
composición en factores primos.
Paso 1. Descomponemos cada número en factores primos.
120=23x3x5 384=27x3
Paso 2. Elegimos los factores comunes elevados a su menor exponente.
En este caso, son 23 y 3.
Paso 3. Ivlu lti pl ica mos los factores eleg idos.
23 x3 =Bx3 =24.
Entonces, escribimos así: m. c. d. (120; 384) = 24
De esta manera, la mayor área posible de cada parcela es de 24 m2. Del lote
de menor área, saldrán 5 parcelas y del de mayor área, l6 (ver figura 4.1).
'16
m
'10
m
.- 12m
24m
Figura 4.1
rt) Eiemplo 4
Calcula el m.c.d.de 2 x 32 x 52 x7;22 x5 x11 y 23x 5 x 13.
Solución
Paso 1. Podemos omitir este paso, porque los números están descompues-
tos en factores primos.
Paso 2. Los factores primos comunes de las tres expresiones, elevados a su
menor exponente, son 2 y 5.
Paso 3. El producto de los factores elegidos es 2 x 5 =
'10.
Luego, el m. c. d. de
los números dados es
'10.
Para saber más acerca del
m. c. d., consulta la siguiente
página: http://i-matematicas.
co m /De s ca rte s / Lib r o /f e m a2 /
N/CDmcm.htm
V
Revisa el libro E/ mentor de
matemóticas, de Gispert y
Navarro. Al lí encontrarás
ejercicios que te ayudarán a
profundizar en lo aprendldo.
Módulos de biblioteca
o
TIC

17. Mínimo común múltiplo (m. c. m.)
Figura 5.1
¡
» Ejemplo 1
IVaria tiene cartulinas rectangulares amarillas, rojas y verdes del mismo an-
cho, pero de 15 cm, 20 cm y 12 cm de largo, respectivamente, y quiere armar
una bandera como la que se muestra en la figura 5.1.
a.
¿Qué medida como minimo puede tener la bandera de largo?
b.
¿Cuántas cartulinas neces¡ta de cada color para formar la bandera?
Solución
Para calcular el largo de la bandera, debemos encontrar el mÍnimo común
múltiplo de los números I 5; 20 y 12. Para ello, realizamos lo siguiente:
a. Escribimos los múltiplos de t5;20y 12.
l l,r= {0; I 5; 30; 45; 60;75; 90; 1 05; 1 20; 1 35...}
lttlro = {0; 20; 40;60; B0; I 00; 1 20; 1 40. . .}
4,4,, = {0; 1 2; 24; 36 4B', 60; 7 2; 84; 96; 1 0B; 1 20; 1 32. . .}
b. Hallamos la intersección entre los tres conjuntos de múltiplos.
M,rO Mro) M,r= {0; 60; 120...}
c. Escogemos el menor de los múltiplos comunes, diferente de cero, en este
caso,60. Este número es el mínimo común múltiplo de l5; 20y 12,y se
simboliza asÍ: m. c. m. (1 5;20;12) = 60.
o Por tanto, la longitud minima del largo de la bandera es 60 cm.
A continuación, se presenta el método basado en la descomposición en fac-
tores primos.
l¡*
Elemnlo z
I
Halla el m. c. m. de 700 y 1125, por descomposición en factores primos.
ffi
solución
ffi
euro 1. Descomponemos en factores primos cada número, como se muestra
I a cont¡nuación.
700
350
175
35
7
'I
1125
375
125
25
5
1
2
2
5
5
7
3
3
5
5
5
700=/x?x7 1125:32x51
Paso 2. Elegimos los factores no comunes, que son 22, I y 3,. Luego selec-
cionamos los factores comunes con el mayor exponente, que resulta ser 53.
Paso 3. N/ultiplicamos entre sí los factores elegidos, asi:
7 x32 x2) x 53 =7 x9 x4x 125 = 3l 500
. Por tanto, m. c. m. (700;1125)
= 31 500.
El mínimo común múltiplo de un conjunto finito de números naturales es
el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero, de estos números. Se
escribe en forma abreviada así: m. c. m.
Consulta la siguiente página
web donde se describe el
método de factores primos
para hallar el mínimo común
múltiplo de un número:
https:/,/www.youtu be.com/
watch?v=OsaX_lbhxNg
V
@
T¿ma 5
TIC

18. .
Sección central
Números enteros
A/ayra y Luis pertenecen a una asociación que protege los animales en peligro
de extinción en nuestro paÍs. Ellos están planeando recorrer el Perú.
Para comenzar, deciden ir a lquitos, porque el clima es cálido y la época en que
piensan lr presentará una temperatura promedio de 28'C.
Luego irán a Juliaca, donde la temperatura puede alcanzar los 10 "C bajo cero.
¿Cómo
podemos representar numéricamente estas temperaturas?
La temperatura en lquitos se representa así: +28 "C.
La temperatura mínima en Puno se representa así: -10
"C.
El conjunto de los números naturales diferentes de 0 recibe el nombre de
enteros positivos. El conjunto de los nÚmeros enteros positivos unido
con el cero y con el conjunto de los números enteros negativos forman el
conjunto de los números enteros, elcual se simboliza conlaletraZ.
Z :
{...-5;-4;-3; -2;-t ; 0; I ; 2;3; 4; 5....}
lr?
Ejemnlo t
I
tnOica cómo representarías numéricamente las siguientes expresiones:
ll :u:l;'u,"*.,
I .. Tengo 3 puntos a favor.
I solu.¡¿n
I .. +3s b. -6 c. *3
(*
eiemptoz
ffi
Senala a qué conjunto numérico pertenece cada nÚmero
I
N
Z
Tabla 5.1
Solución
N
Z
X
X
X
X
X
XXXX
a
El conjunto de los números
naturales es un subconjunto
del conjunto de los números
enteros.
Recuerda
El conjunto de los números
enteros surgió de la necesidad
de representar situaciones
relacionadas con temperaturas
bajo cero, pérdidas
económicas, entre otras.
Recuerda
Conjunto
Número
o
Tabla 5.2
Tema 6
-835 0-4-7+42
nto
[phone]

19. Relación de orden en los enteros
El conjunto de los números enteros z se puede representar en la recta numé-
rica. Para ello, se trazan segmentos consecutivos de igual longitud y sus extre-
mos se marcan con puntos. A cada punto marcado, se le asigna un número
entero, que será la coordenada de dicho punto.
3 -2 0 2 3
Figura 7.1
nrff rjempto 1
En la figura 7.2 se observan las temperaturas de distintos lugares de
perú
¿Qué
podemos decir de las temperaturas señaladas?
100'C 80'a 60'a ¿,A'C .20"(. 0 -t{t - , ,. , .- : ti.r ,-
Figura 7.2
Solución
Entre los números enteros que indican las temperaturas, se pueden esta-
blecer relaciones como las siguientes: 17 > O; -60 < 0; -80
< 0; -80 < 17;
57 >
-60; -89
< -60.
Al comparar números enteros en una recta numérica, los que se ubican a la
derecha del cero (enteros positivos) son mayores que los números que se
ubican a la izquierda del cero (enteros negativos).
S
Ejemplo 2
ubica los siguientes pares de números en la recta numérica de la figura 7.3 y
luego determina el número mayor.
a. -7y6 b. -9y-11 c. 10y7
Solución
-i5 "c
17 "(
32"C
111
-11-10-9-B-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 B 9 1011
Flgura 7.3
a. -7
está ubicado a la izquierda de 0; por tanto, su valor es menor que el de
6, que está ubicado a la derecha de 0, es decir,6>
-7.
b. El número negatlvo que está a menor distancia de 0 es mayor. Luego,
-9>-11.
c. 10 es mayor que 7, porque está a la derecha de 7.
@
Para comparar números enteros ubicados en la recta numérica es sufi-
ciente observar la posición de cada uno. El número que está a la derecha del
que se referencie es mayor.
Los desplazamientos en
la recta numérica son
movimientos de un punto a
otro. Los avances se expresan
con números posit¡vos y
los retrocesos con números
negativos.
Cuando se expresan números
enteros en una recta horizontal,
el número mayor siempre
estará más a la derecha.
Recuerda

20. .
Sección central
Operaciones con números
enteros
Adición y sustracción de números enteros
La tabla 8.1 registra el número de pasajeros que subieron y bajaron en cada
parada durante el recorrido de un microbús. Para diferenciar los pasajeros que
suben de los pasajeros que bajan se usan los signos + y -, respectivamente.
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Quinto
'15
0
5
8
1
+15
0
+5
+B
+'1
0
-3
-2
1
-4
0
3
2
1
4
Tabla 8.1
a. Si el pasaje por persona cuesta S/ 1,
¿cuánto dinero se recibiÓ en total?
Primero, calculamos el número de pasajeros que tomaron el micro. Para
ello, adicionamos el número de pasajeros que subió en cada paradero.
15+0+5+B+1=29
Para hallar la cantidad de dinero recibido, multiplicamos
29 xS/ 1= S/ 29
b. ¿Cuántos
pasajeros se habían bajado hasta el cuarto paradero?
Para hallar el resultado, sumamos los valores absolutos de cada número
entero negativo:l-¡
I
+
l-2 I
+ l-'l I = 6. Como los tres sumandos iniciales
son negativos, colocamos el signo - en el resultado.
Por tanto, se bajaron 6 pasajeros: -6.
Cuando sumamos dos números enteros del mismo signo, el resultado es
la suma de los valores absolutos de los sumandos con su correspondiente
signo.
Ejemplo 1
Realiza las adiciones.
a. 32+24
Solución
a. 32* 24=56
b. (-12) + (-B) =
(-20)
b. ( t2)+(_B)
32y 24 son enteros positivos; entonces, adiciona sus
valores absolutos y el resultado es positivo.
-12
y
-B
son enteros negativos; entonces, adiciona sus
valores absolutos y el resultado es negativo.
@
El valor absoluto de un
número entero es la distancia
que separa al número del
punto cero en la recta
numérica. Para representar el
valor absoluto de un número,
se usan barras vert¡cales | |
y
dentro de ellas se escribe el
número.
Recuerda Pasajeros
bajansuben
Paradero
que
Representación
La adición de números
enteros también cumple las
propiedades conmutat¡va y
asociativa.
Recuerda
Tema B
I
Renresentacion

21. Uno de los vestigios más
antiguos sobre la aritmética
conocidos hasta ahora, es el
llamado hueso de lshango,
encontrado a las orillas del
río Nilo (África), que data de
alrededor de 1 8 000 a 20 000
años a. C. El hueso presenta
varias muescas que indican
multiplicaciones y divisiones
por dos. Hay también una
columna con números impares
y los primos que existen entre
el número 10 y el 20 (11 ,13,17
v
1e).
Collette, ). Historio de las
lv4atemáticos (1 985). N4adrld,
España: Siglo XXI Editores.
ías que...?
L
Podemos representar la adición de números enteros utilizando una recta nu-
mérica y flechas para indicar los "desplazamientos", que se inician desde el
cero con el primer sumando.
Ejemplo 2
Representa en una recta numérica cada adición y halla la suma.
a. B+4 b. (-7) +(-3)
Solución
a. Observa la figura 8.1.
+8 +4
-4 -3 -2 -1 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ]t 12
Figura 8.1
B * 4 = 12, porque se avanza 12 unidades hacia la derecha de cero.
b. Observa la flgura 8.2.
?
-7
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
_2 _1 0 1 2 3
Figura 8.2
-7 + -3 = -10,
porque se avanza 10 unidades hacia la izquierda
de cero.
$
r¡empto 3
Calcula las adiciones.
a. (-19) + 15 b.
Solución
B-15 c. (-14) -
12
a. (-19) + 15 = -4. Como -19 y 15 tienen signos diferentes, entonces res-
tamos sus valores absolutos y dejamos el signo -,
porque
-19 tiene el
mayor valor absoluto.
b. B -
(+15) = 3 + (-15) = -7. Al minuendo B, sumamos el opues-
to del sustraendo. El opuesto de +15 es -15.
c. (-14) -
(+12) = -26. Al minuendo -14,
sumamos el opuesto del sus-
traendo. El opuesto de +12 es -12.
El resultado es -26.
La suma de dos números enteros de diferente signo se obtiene sustrayendo
los valores absolutos de los números (el mayor del menor) y escribiendo en
el resultado el signo del número que tenga mayor valor absoluto.
El signo menos (-)tiene
dos significados: uno para
la operación y otro para el
número propiamente. Por
ejemplo, en (-14) -
12 el signo
menos que acompaña a 14 se
usa para indicar que el número
-14
es un entero negativo,
m¡entras que el signo menos
que está entre (-14) y
'l
2 indica
que estos se restan.
Recuerda
Restar un par de números enteros equivale a sumar el minuendo con el
opuesto del sustraendo.
@
a
ü

22. .
Sección central
Multiplicación y división de números enteros
Para multiplicar dos números enteros del mismo signo, se multiplican sus
valores absolutos y el producto es positivo.
Para multiplicar dos números enteros de distinto signo, se multiplican sus
valores absolutos y el producto es negativo.
Ejemplo 4
Realiza las multiplicaciones.
a. 36 x -5 b. -13 x -15
Solución
a. 36 x -5
:
-180.
Ivlultiplica 36 por 5, que son los valores absolutos de
36 y de 25. El producto es negativo, porque los factores tienen signos
diferentes.
b. -13 x -15
:
195. tMultiplica 13 por 15, que son los valores absolutos de
-'l 3 y de -1 5. El producto es positlvo, porque los factores tienen el mismo
signo (negativo).
Ejemplo 5
a. Si Daniela ahorra cada semana S/ 50 de su venta de dulces en el colegio,
¿cuánto
ahorra en 3 semanas?
b. Si Daniela gasta cada semana S/ 50 en los dulces que compra, ¿cuánto
gasta en 3 semanas?
Solución
a. (+50) x (+:) : + 150. El número + 150 indica que ahorró S/ 150.
b. (-50) x (3) :
-150. El número - 150 indica que gastÓ S/ 150.
División exacta de números enteros
La división es la operación inversa de la multiplicaciÓn. En el conjunto de
los números naturales y enteros, el cociente entre dos números se obtiene
buscando un número que multiplicado por el divisor dé como resultado el
dividendo.
Para dividir dos números enteros (con el divisor diferente de cero), se dividen
sus valores absolutos. Si los números tienen igual signo, el resultado es posi-
tivo. Si son de signos diferentes, el resultado es negativo.
reff r¡emplo 6
Realiza las siguientes divisiones:
a. -81 + 9 b. -144
+ -6
Solución
a. El cociente es -9
y es negatlvo, porque uno de los números es negativo.
b. El cociente es +24 y es pos¡tivo, porque ambos números son negativos.
Los términos de la mult¡pli-
cación son factores y pro-
ducto.
13 X 15 = 195
X+
++
+
Recuerda
Los términos de la división son
dividendo, divisor, cociente y
45+9=5 0
Divisor
+
++
+
residuo.
Recuerda
a
-r- -T- -L
J Factor.t I I Producto
I
Ico."^t"l
F-
T
I nes¡duo
I

23. Potenciación con exponente
positivo
Base y exponente natural
Cristian estudió la reproducción de una bacteria a través de varias observacio-
nes y registros. A partir del análisis, dedujo que se divide en otras dos bacterias
del mismo tipo cada 20 minutos y pronosticó que una bacteria estará dividida
en 64 bacterias del mismo tipo en dos horas.
¿cómo
puedes verificar esto7
La tabla 9.'i muestra la cantidad de bacterias que se generan cada 20 minutos
durante dos horas.
2
2x2
2x2x2
2x2x2x2
2x2x2x2x2
2x2x2x2x2x2
Tabla 9.1
Podemos inferir que en dos horas una bacteria estará dividida en 64 bacterias.
Este resultado se obtiene después de multiplicar 2x2x2x2x2x2, expre-
sión que se escribir como 26.
Base negat¡va y exponente natural
se opera considerando las propiedades de la multiplicación de números en-
teros.
Ejemplo 1
Escribe como potencia cada expresión.
a. (-2) x (-z) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2)
b. (-a)x (-a)x (-a) x (-a)x (-a)x (-a)x (-a)
c. (-m)x (-m)x (-m)
d. (-3)x (-:)x (-3)x (-3)
Solución
a. (-2)x(-2) x (-2)x (-2)x (-2)x(-2):(-2)u=26
=64
b. (-a) x (-a) x (-a) x (-a) x (-a) x (*a) x (-a) = -a'.
c. (-m)x (-m) x(-m) = (-m)t = -m'
d. (-3) x (-¡) x (-3) x (-3) = (-3)'= 3a = 81
20
40
60
BO
100
120
V
Para practicar la potenciación,
consulta la sigulente página
web:
https://www youtu be.co m/
watch?v-rhfN N h-alBl
La operación de multiplicar el mismo factor varias veces se llama potenciación.
Sia es un número natural, calcularelproducto dea x axa...xa,n veces,
es igual a calcular la potencia a,,.
La operación que consiste en
multiplicar el mismo factor
un número determinado
de veces, se denomina
potenciación. Los términos
de la potenciación son la base,
que es el factor que se repite;
el exponente, que indica el
número de veces que se rep¡te
el factor en el producto; y la
potencia, que es el resultado
de la multiplicación.
Base ----> 3? = 243 <- potencia
T
Exponente
Recuerda
@
Tiempo
(minutosl
Divisiónrde una bacteria
cada 20 minutos
'Tétal de
diviiiánes
2
4
B
16
32
64
Ttc

24. T
Propiedades de la potenciación
.
Sección central
La potenciación de números naturales cumple las siguientes propiedades.
)
Exponente
cero
Producto de
potencias
con bases
iguales
Potencia de
una potencia
Todo número natural, distinto de cero,
elevado al exponente cero es igual a uno.
aa=1,Ya*0
El producto de potencias de igual base es
igual a la misma base de los factores, y el
exponente es la suma de los exponentes.
a'xa^=an't,Ya*0
La potencia de una potencia tiene como
base la misma base, y el exponente es el
producto de los exponentes.
(an)*=an"*,Ya*0
90= l
r4 ., ¡2
-
.4+)
-
a6
1l\1-1
-Z
(5s)6 - 55x6 - 530
(3 X 4)e =3e x 4e
Potencia de
un producto
Cociente de
potencias
con bases
iguales
La potencia de un producto es igual al
producto de las potencias de los factores.
(axb)'=anxb',Ya,b*o
El cociente de potencias de igual base es
igual a la potencia con la misma base y el
exponente es la diferencia del exponente
del dividendo y del divisor.
a'
e=amxncona+0ym>n
(3
-
(r z
-
(r
._J
-Jq2
Tabla I0.1
É
rlemnlo t
| ,ru*or las propiedades de la potenciación para calcularryl
L",*,u"
32x (3)' _
32 x (33") _ 32 X 36
3s 35 35
32+6
25
?8
J
-o
.
25
=33 =27
Aplicamos la propiedad potencia
de una potencia.
Aplicamos la propiedad producto
de potencias de igual base.
Aplicamos la propiedad cociente de
potencias de igual base.
Aplicamos el concepto de
potenc¡ación.
Propiedad
Para interpretar la teoría de
exponente que corresponde
a la aritmética, se tienen que
usar conocimientos de álgebra.
Conexiones
La potencia de una adición
o sustracción no es igual
a la suma o diferencla de
las potencias cuando los
términos que se adicionan son
diferentes de 0.
(3 + 2): +33 +23
53+27 +B
125 * 35
Recuerda
@
Tabla
'10.2
Explicación Ejemplo
o

25. Cambio de signo de la base
y del exponente
El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar por sí misma la base.
Ejemplo: 43 = 4x4x4 = 64
Si la base es negativa y el exponente es positivo, entonces debemos determi-
nar si el exponente es par o impar.
a. Si el exponente es par, la potencia es positiva.
Ejemplo: (-2)o
= -2 x -2
x -2 x -2 = 16
b. Si el exponente es impar, la potencia es negativa.
Ejemplo: (-2)t
= -2 x -2
x -2 =
*B
Orden en las operac¡ones
Cuando en una expresión hay varias operaciones, los signos de agrupación
indican cuáles deben resolverse primero, desde las operaciones ¡nternas hasta
las externas, en el siguiente orden:
1.o Operaciones indicadas dentro de los paréntesis (
)
2.o Operaciones dentro de los paréntesis rectangulares []
3." Operaciones indicadas dentro de las llaves { }
Si no hay paréntesis, el orden en el que se deben efectuar es el siguiente:
1.o Potencias
2.o lVultiplicaciones y divisiones
3.o Adiciones y sustracciones
Ejemplo
Simplifiquemos las siguientes expresiones.
a. 3x(-5+10)-42
b. l5+-3 +23x4-62
Solución
a. lndicamos las reglas empleadas.
3 x (-5 + 10) -4')=
3 x (5) - 42 Resolvemos la operación dentro
del paréntesis.
=3 x 5 - 16 Calculamosla potencia.
=
'l
5 - 16 Efectuamos la multiplicacion.
- -1
Calculamos la suma.
b. 15+-3 +23x4-62 = 15+-3+Bx4-36
=-5+32-36
-_o
En una potencia, si la base
es positiva y el exponente
es positivo, la potencia será
positiva.
Recuerda
Para cualquier valor de a, b y c
se cumple que:
-(o+b*c)=-s-b-c
Recuerda
@
Tema 1 1
a

26. Lecturas.
o especla
.
Sección final
lizadasD
Dibujar en el desierto
El valle de Nasca es un sit¡o de gran atractivo turístico debido a los portentosos geoglifos conocidos como
líneas de Nasca. Se trata de enormes figuras trazadas a lo largo de kilómetros en el suelo del desierto, que se
han relacionado con el culto a ciertas divinidades, con cálculos astronómicos o con observaciones del universo.
Las formas de las figuras van del simple trazo de líneas hasta complejas representaciones que recuerdan anima-
les, plantas, formas geométricas y, sin duda, imágenes extraordinarias o fantásticas. La única manera de admirar
en toda su magnitud y belleza estos trazos sobre el desierto es desde el vuelo de una avioneta o un helicóptero.
Estos geoglifos han sido atribuidos a los diferentes pueblos preincaicos pertenecientes a la cultura Nasca, la cual
floreció entre los años 400 a 1000 d. C. en la costa meridional del Perú.
En 1994,estos glifos fueron incluidos por la Unesco en la lista del patrimonio mundial de la humanidad.
Otro de los atractivos de la zona es la riqueza de la cerámica elaborada por los antiguos habitantes de esta re-
gión. Se destacan los vasos, las vasijas cilíndricas y los cuencos decorados con temas variados: animales, pájaros
marinos, peces, figuras mitológicas (felinos, pájaro demonio, dios de dos cabezas, dios ciempiés) y, de nuevo,
motivos geométricos.
Asimismo, los tejidos provenientes de esta cultura Nasca son famosos, especialmente las prendas elaboradas
en lino o de material obtenido de animales de la región: lana de llamas, alpacas y vicuñas. Su temática es muy
similar a la realizada en la cerámica. La tradición de elaborar este t¡po de tejidos se mantiene vigente en la
actualidad.
RENa. (2005) . ltrlultiplicación y división de números enteros. Recuperado de http://www.rena.edu.vel
Tercera Eta palfi/atematica/TEltlAB/Mu lti pl icacion Divi sion.htm I
RENa. (2005). Números negativos
¿Qué
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Timoteo, S. (2005). Ar¡tmét¡ca. Lima, Perú: Editorial San A/arcos.
a
a
a
Bibliografía
e
I
)

27. Crqanizador
v¡sual D
Se realiza la
operación entre
los valores
absolutos de los
dos números
Positivo
Puede expresarse como la suma
del minuendo con el opuesto
del sustraendo
Se sustraen los valores absolutos
de los números (el mayor
del menor) y se escribe en el
resultado el signo del número de
mayor valor absoluto
Se suman los valores absolutos de los
sumandos y se deja igual su signo
Multiplicar el mismo factor
varias veces
Negativo
Máximo común
divisor (m. c. d.)Mínimo común
múltiplo (m. c. m.)
Relación de
orden
Criba de
Eratóstenes
Operaciones
Divisibilidad
Teoría de números y
números enteros
Nrimeros
enteros
Múltiplos
Divisores
Adición
de signo
diferente
Sustracción
I de igual
signo
de igual
signo
Multiplicación y
división
de diferente
signo
Potenciación consiste en
elementos
resultado
@
Base, exponente y
potencia
7

28. .
Sección final
En un día de invierno en Machu Picchu, la temperatura a las 3:00 a. m. era de 5 'C bajo cero y a las 4:00 p. m. del
mismo día, de 10 "C.
¿Cuántos
grados aumentó la temperatura de las 3:00 a. m. a las 4:00 p. m.?
Pasos para la resolución del problema
qo
wo
@o
@9
aa
fo(o
'm.9
§¿ü
rc, \_
6ú
UJ -C
Comprendemos el problema
Datos:temperatura de Machu Picchu a las 3:00 a. m. era de 5'C bajo cero, y a las 4:00 p. m
del mismo día, de 10'C.
Pregunta:
¿Cuántos
grados aumentó la temperatura de las 3:00 a. m. a las 4:00 p. m.?
Diseñamos una estrategia
Utilizaremos la estrategia dividir el problema en partes, que consiste en comprender cada
una de las partes del problema, resolverla y así llegar a la solución total.
Aplicamos la estrategia heurística: Dividir el problema en partes.
a. Primero identiflcamos el punto de referencia 0'C (ver figura superior). Como la tempera-
tura de 10'C está por encima del punto de referencia, podemos escribirla con el número
relativo +,10'C o, simplemente, como 10 "C. La temperatura de 5 "C bajo cero la marca-
mos con un signo menos antes; esto indlca que la temperatura es bajo cero: -5
'C.
b. Nuestro punto de referencia es -5
"C, la temperatura registrada a las 3:00 a. m. Desde
esta temperatura, vamos a determinar el cambio. En primer lugar, ascendemos 5 "C y, en
segundo lugar, otros 10'C, para un total de l5 'C, es decir, 5 "C + I0'C = 15 'C.
La temperatura subió 15 "C.
Transferimos lo aprendido
Podemos afirmar que la temperatura subió 15 "C.
Esta estrategia nos sirve para resolver problemas y aplicarla en diversas situaciones.
e
c F

29. ffi
Mffiffi"ffi#trffi4i
ffi
ffiffiffi¿&;&ffi&ffi:i
ffiw
ffif
-1 ; "i
*i,
mwa
BI
ffi
T
H
t
-
H
t
-t
¡
--*.^-d
J
---¡
\¡
.I'
La construcción de una
zampoña puede hacerse con
un tubo de PVC de 16 mm de
diámetro y 3 m de largo que
puede cortarse en 17 tubos.
Para los tubos más largos, se
puede inviertir un SO % del
tubo y el5
o/o,
en la decoración.
¿Cuáles son las posibles
medidas de los tubos?
Las fracciones están
presentes en la repartición
de una torta y en el peso
de los ingredientes. Si la
harina constituve f
del,4
contenido de una torta,
¿qué fracción representa
la totalidad de los
ingredientes?
Los jóvenes practican diversos
deportes: fútbol, vóley, tenis,
etc. Generalmente, en estas
competencias se usan frases
como "octavos de final",
"cuartos de final", etc.
Exactamente, ¿qué
representan los cuartos de
final?

30. Antes de comenzar ten en cuenta
o Número fraccionario: elementos
o Númerosdecimales:representación
¡ Números fraccionarios y decimales: comparación y
orden
o Números fraccionarios: adición y sustracción con el
mismo denominador
Sección inicial
Conceptos clave
o Clases de fracciones: con respecto a
la unidad y a su denominador
o Fracciones:operaciones
o Problemas aditivos: igualación y
comparación
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
o Reconoce relaciones en problemas aditivos de comparación e iguala-
ción con decimales y fracciones, y los expresa en un modelo.
o Usa modelos aditivos con decimales al plantear y resolver problemas
aditivos de comparación e igualación.
. Comprueba si el modelo usado o desarrollado permitió resolver el
problema.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
o Representa el orden en la recta numérica de fracciones y decimales.
. Expresa las características de las fracciones equivalentes, propias
e impropias.
. Expresa las medidas de peso y temperatura, entre otros, con expresiones
decimales haciendo uso de la estimación.
Elabora y usa
estrategias
o Emplea estrateg¡as heurísticas y procedimientos al operar o simplificar
fracciones y decimales.
o Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen
cuatro operaciones con decimales y fracciones.
o Emplea procedimientos de estimación con decimales al resolver proble-
ma5.
. Emplea procedimientos de simplificación de fracciones.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
cantidad
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
o .Justifica procedimientos de aproximación en números decimales por
exceso, defecto o redondeo.
o Justifica que al multiplicar el numerador y denominador de una fracción
por un número siempre se obtiene una fracción equivalente.
¡ Justifica a rravés de ejemplos qy"Í, b =t=#,t=ffi(siendo a y
b números naturales, con n, b # 0).
Capacidad lndicadoresCompetencia
@

31. . lntroducción
Los números racionales se usan para expresar la relación entre cantidades de la misma magnitud o las partes
de un todo, entre otros. El manejo de números racionales implica utilizar una notación matemátlca cuyas
reglas permitan ordenar, comparar y operar con cantidades que representan parte de un entero, ya sea
por defecto o por exceso. Este tipo de números se emplean para construir zampoñas, pues de una caña de
I metro se cortan tubos de 0,25 metros de largo o de 0,1 metros, en el caso de los más pequeños. También,
en cocina, se emplean para determinar la cantidad o peso de los ingredientes de un plato;y en deportes, al
dividir una competición en octavos o cuartos de final.
Fracciones
Doña Patricia prepara un pastel y lo divide en partes iguales, de las cuales una
es para su hijo Rodolfo, otra para su hija Alejandra, otra para su hijo Ricardo, dos
para su esposo y la última para ella.
¿En cuántas partes dividió el pastel doña
Patr¡cia?
¿Qué
parte del pastel recibió su esposo?
Si contamos las partes, doña Patricia tuvo que dividir el pastel en 6 partes, y
cada una de estas partes representa la sexta parte del pastel.
Figura 12.1
Si el esposo de doña Patricia recibió dos de las partes, entonces recibió
1121
obbJ
Como podemos observar, una unidad (o un conjunto) puede dividirse en va-
rias partes iguales, y a cada una de esas partes se las denomina fracción.
Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Se representa
delaforma
[,conb+0.
En la fracción 9
, a es el numerador,y b, el denominador
J,
)u
b
Las fracciones se pueden representar por un numerador (que se lee primero)
y un denominador (que se lee después como un adjetivo partitivo: medio, ter-
cio, cuarto, etc.); también, con las terminacion es avo o ovos si el denomlnador
es mayor que 10). Las fracciones también se representan en la recta numérica.
Los egipcios fueron quienes
usaron por primera vez las
fracciones. Los babilonios
fueron quienes desarrollaron un
sistema de notación fraccionaria
con el que realizaron cálculos
muy precisos.
Ruiz, C. (2013). La fracción como
relación parte-todo y como cociente.
flesis de maestría). Universidad
Nacional de Colombia, Bogotá,
Colombia. Recuperada de
http://www.academia.
ed u / B 1 57 9 63 / La_fra cc i7oC30lo B3 n_
co mo_re I ac ioloC 3 7oB3 n_pa rte-
todo_y_como_cociente
@
Tema 12
que...?

32. Sección central
Clasificación de fracciones
Clases de fracciones con relación a la unidad
Una fracción puede ser menor, igual o mayor que la unidad, lo que las clasifica en
fracciones propias, iguales a la unidad e impropias. Observa que la fracción nueve
quintos se representa pintando cinco quintos en una unidad y cuatro quintos en
otra unidad igual.
l
5
2
_
5
¡
5
2
5
!
5
+ !
5
Figura 13.1
Para representar una fracción propia se utiliza menos de una unidad o todo;
por esta razón, este tipo de fracciones son menores que la unidad.
Para representar una fracción impropia se utiliza más de una unidad o todo;
por esta razón, este tipo de fracciones son mayores que la unidad.
Para representar una fracción igual a la unidad se utiliza la unidad completa.
Figura 13.2 Ejemplo 1
Clasifica las siguientes fracciones:
c.
16
Solución
7
a. ; es una fracción propia, porque es menor que 1. En este caso, el nume-
8
rador es menor que el denominador.
?1
b.
T
es una fracción impropia porque es mayor que la unidad. En este caso,
el numerador es mayor que el denominador.
t6
c.
fr
es una fracción igual a la unidad. El numerador es igual al denominador.
Ejemplo 2
7
a.
B
b.
31
3
16
Ordena de manera descendente las siguientes fracclone t + +, +,
555
Solución
óo
=,=55
1
5
87 6 3
5'5'5' 5
o
/
13
1
I

33. El Perú cuenta con una gran
variedad de instrumentos
oriundos como la zampoña, el
cajón y la quena, entre otros.
La Organización de Estados
Americanos (OEA) declaró
el cajón peruano como
"lnstrumento del Perú para las
Américas". También, reconoció
a José Escajadillo como el
"Compositor de América".
Recuperado de http://www.
larepublica.pe/01 -1 1 -201 4/
oea-reconocio-a l-cajon-perua no-
como-lnstrumento-del-peru-para-
las-americas
lnformaciónregional
Clases de fracciones según sus denominadores
De acuerdo con sus denominadores, dos o más fracciones se clasifican en ho-
mogéneas o heterogéneas.
¡ Las fracciones homogéneas tienen el mismo denominador.
.
Las fracciones heterogéneas tienen diferente denominador
^#€D
Eiemolo 3
J
Observa las figuras y determina qué tienen en común las fracciones:
Solución
En ambos casos, la unidad
está dividida en el mismo
número de partes (B), que
corresponde al denomi-
nador; el numerador es
diferente. Por tanto, son
fracciones homogéneas.
Figura 13.3
l
8
:
8
t
Fracciones eq uivalentes
Dos o más fracciones con numeradores y denominadores diferentes pueden
representar la misma parte de una unidad. Estas fracciones reciben el nombre
de fracciones equivalentes.
2x1
3x1
2x2 Cada parte
dividida en dos
Cada parte
2
3
4
6
6
9
B
12
2
3
4
2
3
2
3
2
3
2
3
3x2
2x3
6
6
3x3
2x4
9 dividida en tres
B Cada parte
'l
2 dividida en cuatro3x4
Figura 13.4
Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo
número natural, diferente de cero, se obtienen fracciones equivalentes.
Este proceso se denomina amplificación.
La figura 13.4 muestra fracciones equivalentes: al dividir cada parte de la figura
en 2, se duplican el numerador y el denominador de la fracción que la repre-
senta, lo que da como resultado una fracción equivalente a dos tercios. Al divi-
dir cada parte en 3, se triplican el numerador y el denominador de la fracción y
se obtiene otra fracción equivalente. Al dividir cada parte en 4 se obtiene otra
fracción equivalente. Entonces, las fracciones son equivalentes y se escrrben
,2 4 6 8
"'''3 6 9 12'
Se pueden encontrar infinitas
fracciones equivalentes a una
fracción dada.
Recuerda
Para simpl ifica r fracciones
en las que el numerador y el
denominador son números
grandes, es conveniente
expresarlos como el producto
de sus correspondientes
factores primos.
e

34. Al dividir el numerador y el denominador de una fracción entre un mismo
número que sea divisor común, se obtienen fracciones equivalentes. Este
proceso se denomina simplificación.
Sección central
Ejemplo 4
11
Si multiplicamos por 9 el numerador y el denominador de la fracción
oc-
tamos amplificándola por 9, como se muestra a continuación
15
11 1',1x9 99
. 15 15X9 135
Son números racionales aquellos que pueden ser expresados como el
cociente entre dos números enteros a y b, con b + 0.
Números rac¡onales
Las características de un número racional son las siguientes:
. Un número racional puede ser positivo (*), negatlvo (-) o cero (0) y su
signo dependerá de la ley de signos de la división. Si el número está expre-
sado como fracción, esta puede llevar el signo negativo en el numerador
o el denominador, o estar alineado con la lÍnea que separa el numerador
deldenominador.
o La representación de un número racional en la recta numérica emplea la
fracción correspondiente. Así, para una fracción de denominador n, cada
unidad se divide en n partes iguales y se ubica la fracción en el lugar res-
pectivo. Una fracción como un número racional ocupa un único punto en
la recta.
.
La reunión de los racionales negativos, cero y positivos forma el conjunto
de los números racionales que se representa con Q, que proviene de la
palabra cociente o quocient. Así:Q :
Q- u {0i u Q*.
o
El conjunto CD no tiene primer elemento, es ordenado según la relación
menor que (<) y, además, es denso, porque entre dos números racionales
existe otro número racional.
,GF
rjemplo s
c.0
Solución
a. Este número pertenece a Q+
b. Este número pertenece a Q-
c. Este número pertenece a {0}.
Indica si los siguientes números pertenecen a Q-, {0} o Q*
1
1
b.
§_
7
Observa la relación entre los
números naturales, enteros y
racionales.
a
Recuerda
e

35. 2 unidades
Fracciones y números decimales
Ejemplo 1
Hallemos la fracción m¡xta que corresponde a la fracción l.
4
Solución
La fracción mixta se puede obtener mediante una representación gráfica (ver
figura 14.1).
Por tanto, la fracción mixta correspondiente u 1
"t
Z).
44
Fracciones decimales
Natalia dibujó dos cuadrados. El
primero lo dividió en 10 partes
iguales y coloreó 6. El segundo
lo dividió en 100 partes iguales y
coloreó 87 (ver figura 14.2).
Escribamos la fracción que repre- Figura 14.2
senta la parte coloreada en cada cuadrado.
6
La fracción
fr
,"p,.r.nta la parte coloreada del primer cuadrado, y S
tu O.t
'
100
segundo. Estas fracciones t¡enen en común que sus denominadores son po-
tencias de 10. La primera fracción, se lee "seis décimas', y la segunda, "ochenta
y siete centésimas".
Una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 se denomina
fracción decimal. También hay fracciones decimales cuyo denominador es
múltiplo o divisor de una potencia de
'l
0; por ejemp|o,50,25,250, 500, etc.
Números decimales
Podemos escribir las fracciones decimales de otra forma; por ejemplo, Jl
se escribe 0,56. Esta última expresión se denomina número dec¡mal. frl?H
número decimal,la parte que aparece antes de la coma (a la izquierda) se llama
parte entera, y la que está después de la coma (a la derecha), parte decimal.
Para escribir una fracción decimal como número decimal, debes tener en
cuenta lo siguiente:
1. Escribir el numerador y una coma después de correr de derecha a
izquierda tantas cifras como ceros tenga el denominador.
2. Si la cantidad de cifras en el numerador es menor que la de ceros en el
denominador, agregar a la izquierda del numerador tantos ceros como
sea necesario para correr la coma decimal la cantidad de lugares que
indica el denominador.
4
Figura 14.1
Un número mixto es otra
forma de escribir una fracción
impropia.
Recuerda
Revisa el libro Cuentos de
matemót¡cas, de Hervás, y
aprende estrategias para la
resolución de problemas.
Módulos de biblioteca
Los porcentajes pueden
escribirse como fracciones,
por ejemplo, 20
o/o
equivale a
?n
,1i.En un gráfico estadÍstico,
IUU
se puede aludir al 30 7o de la
población, que equivale ¿ 39.
100
V
Conexiones
Para expresar una fracción
impropia como fracción
mixta, se procede a dividir
el numerador entre el
denominador. El cociente
corresponde al número
natural de la fracción mixta, el
residuo es el numerador y el
denominador es el mismo de
la fracción.
Recuerda
@
14
o

36. .
Sección central
c.
Ejemplo 2
Escribe como número decimal cada
una de las siguientes fracciones deci-
males.
a.
148
b.
67
Solución
a.
ffi=
r,+a
b.
#=nu,o
c.
ffi=
o,oo,
d.
29
= 0.0029
10000
100
964
10
1 000
29
d.
10000
q
ñ
6tr
(u
ó
otrro.0J
':6F
F .or '= l-
:v
qú
r§9cl
c!-o
U_IU
U
L
UCJC
uol
C-C
.^ L .af
-: .o :
ECC-CC
(L
cJ - Q ()
^.
(J
-o:c-olg"5
6(J66uq
Fre*PÉ9
O)Yrtrc,:.rO
UPU
LVLV
AtUCa)UC
üolüof
Tabla de valor posicional
La tabla de valor posicional de los números naturales se puede extender hacia
la derecha. Se debe tener en cuenta que, cada vez que se mueve un lugar a
la derecha, el valor de la unidad correspondiente se hace l0 veces menor. La
tabla muestra los diferentes valores posicionales de un número decimal.
2 34 56
Coma decimal
Ejemplo 3
Ubica en la tabla de valor posicional los siguientes números y escríbelos en
palabras.
a. 52,9 b. 721,34 c. 4,503 d. 0,0006
Solución
7
6
Tabla 14.1
Para escribir los números en palabras, primero determinamos la posición del
último dígito a la derecha.
a. Como el 9 está en la posición de las décimas, el número se puede escribir
como 529 décimas o 52 unidades y 9 décimas.
b. 72 134 centésimas o 721 unidades y 34 centésimas.
c. 4503 milésimas o 4 unidades y 503 milésimas.
d. Seis diezmilésimas o cero unidades y seis diezmilésimas.
El primero que usó la coma
para separar la parte decimal
fue el astrónomo italiano
Giovannl Magini ('1 555-'l 6l 7).
En 1617, el matemático
escocés .iohn Napier (1550-
'161
7) recomendó el uso del
punto. En la actualidad, no es
uniforme el simbolismo de la
notación decimal. En países
como EE. UU. y México se
usa el punto, mientras que
en Europa y varios países de
América Latina se emplea la
coma.
que...?
L
5 2 9
2 1 3 4
5 0 34
0 0 0 0
Centenas
Coma
decimal
Centésimas
Diezmi-
El valor de cada dígito en un
número decimal depende de
la posición que ocupa.
Recuerda
e
DecenasUnidades Décimas Milésimas

37. 1
2
+
3
8
?
Adición y sustracción con
Íracciones y decimales
De un vitral con forma octagonal, Jorge pinta la mitad de la superficie de azul
y lt4iguel pinta tres octavos de verde.
¿Qué fracción de la superficie del vitrai
pintaron entre los dos?
La suma de las fraccio
1 3
'
nes
,
V
f
indicará la fracción de la superficie del vitral
que se encuentra pintada (verfigura 15.1). Para hallar dicha suma, buscamos
fracciones homogéneas equivalent"r,
], ]
o Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
m. c. m. (2;B) :
6.
o Buscamosfracciones equivalentes. I V * con denominadorB yamplifi-
1 ¿'I
camos -.
2
11x443
_:_:_ la I
1: Zx+: B.
Lu fracción
f
tiene como denominador B; por lo tanto, se
deja igual.
¡ Finalmente, sumamos las fraccion"r ]a
I :!¡1:7
.
z B 8'8 B'
Luego, lt/iguel y Jorge pintaron I O. tu superficie del vitral.
ó
Para sumaro restarfracciones con el mismo denominador (homogéneas),
se suman o restan los numeradores según corresponda y se escribe el
mismo denominador.
Para sumar o restar fracciones con diferente denominador
(heterogéneas), se buscan fracciones equivalentes a estas, con igual
denominador; luego, se suman o restan estas fracciones.
Figura 15.1
Ejemplo 1
Gilberto obtuvo S/ 28,75 por la venta de dos zampoñas. Patricia ganó S/ 13,5
más que Gilberto por la venta de las suyas.
¿Cuánto dinero obtuvo Patricia?
Solución
Para responder la pregunta, sumamos 28,75 y 13,5. Para ello, ubicamos los
sumandos, de manera tal que las comas decimales queden alineadas y, con
el fin de que las dos cantidades tengan el mismo número de clfras después
de la coma decimal, expresamos I3,5 como 13,50 y resolvemos.
2 8,7 5 +
13,5 0
42,25
Por lo tanto, Patricia ganó S/ 42,25.
Consulta la sección de
Ar¡tmética del libro E/
mentor de motemóticas, de
Gispert y Navarro. Con ello,
profundizarás en operaciones
con números fraccionarios y
decimales.
Módulos de biblioteca
Cuando se van a sumar o a
restar números decimales que
no tienen el mismo número
de cifras después de la coma,
se iguala el número de cifras
agregando ceros a la derecha
de la última cifra del número
que lo requiera.
Recuerda
@
15

38. Sección central
El lunes Carmen compró
]
fg O. azúcar y eljueves compró
J
kg.
¿Cuanta
azúcar compró más eljueves que el lunes?
Solución
Para resolver el problema, debemos resolver la operación
i-+
Como las fracciones son heterogéneas, debemos buscar fracciones homogé-
neas que sean equivalentes (ver flgura 15.2).
o Hallamos el minimo común múltiplo de los denominadores:
m. c. m. (3;4) :
12.
o Amplificamos por +, !:+::+
3 3x4 12
Ejemplo 2
Amplificamos por 3
1 1x3 3
4 4x3 12
a
a
a
a
Restamoslasfraccioner,Z-
1- B
-
3:5
34121212
Por tanto, Carmen compró
fi
mas eljueves.
Solución
Para responder la pregunta, debemos restar 0,2 de 1,76.
Como t¡enen diferente número de cifras en la parte deci-
mal, agregamos un cero para realizar la sustracción:
Para hallar la edad de Felipe, se realiza lo slguiente:
1
4
2
3
8 3
12
Figura 15.2
Ejemplo 3
Alicia mide 1,76 m, Felipe 0,1 m más que Lucas, y este 0,2 m menos que Alicia.
¿Cuál es la estatura de Lucas?
¿Cuál
es la estatura de Felipe? ¿Quién es más
alto de los tres?
2
1, 7 6 -
0,20
1, 5 6
1, 5 6 +
0,r
1, 6 6
Como Alicia mide 1,76 cm, Felipe, 1,66 cm, y Lucas 1,56 cm, la más alta
es Alicia.
Los tiempos empleados por los
competidores en las carreras
de fórmula uno, se presentan
en números decimales. Los
resultados se exponen de la
siguiente manera: se escribe
el tiempo del competidor
que llega primero a la meta;
luego se escribe solamente
la diferencia entre el tiempo
alcanzado por el ganador y
el tiempo de cada uno de los
demás participantes.
V
Para ejercitar la adición y
sustracc¡ón de nÚmeros
decimales, ingresa a
http://www.skoool.es/contenV
los/maths/su m m-deci mals,/
launch.html
e
que...?
Tlc
a

39. Multiplicación y división
con decimales y fracciones
Luis le regaló a su hijo Raúl la mitad de un terreno. Raú1, a su vez, le regaló a su
hila ]
de lo que le correspondió.
¿Qué
parte de la finca le regaló Raúl a su hija?,4
11. 1l
4
O"
,
matematlcamente se expresa como
4
x
1,
l-1_1x1_1
^.
l
4 ^ j: T7,
:,
. Raúl le regaló a su hija
,
del terreno.
4r
r Eiemplo 1
Eva compró una pulsera de oro con un peso de 4,5 gramos. Si el precio de un
gramo de oro el día de Ia compra eraS/ 148,80,
¿cuánto
pagó por la pulsera?
Solución
Para responder esta pregunta, multiplicamos el precio de un gramo de oro
por el peso en gramos de la pulsera, es decir, 148,80 por4,5. Realizamos la
operación como si fueran números naturales:
148 B0 x 45 :
669 600
Como 148,80 tiene dos cifras decimales y 4,5 tiene una cifra decimal,
el producto debe tener 2 + 1 :
3 cifras decimales; entonces, el producto es
669,600.
r Portanto, Eva pagó S/669,6 por la pulsera
;@
Ejempto 2
Calculamos el área del terreno rectangular de la figura.
Tiene 2 cifras decimales
Tiene 1 cifra decimal
2,35 m
2,3 sx
6,4
940
1410
Separamos 3 cifras
decimales en el resultado 1 5, 0 4 0
6'4 m
Figura 15.4
Solución
Para hallar el área del terreno, multiplicamos la longitud del ancho (2,35 m)
por la longitud del largo (6,4 m), como se muestra en la figura 1 5.4.
o Como el producto es 15,040, entonces el área del terreno es 15,04 mr.
Cuando uno de los factores
de la multiplicación es un
número natural, se debe
expresar como fracción y
luego se debe efectuar el
producto. Cuando uno de los
factores es un número m¡xto,
se debe transformar en una
fracción impropia y luego
multiplicar numerador por
numerador y denominador por
denominador.
Recuerda
La multiplicación de fracciones consiste en multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí. El producto de los numeradores será el numerador,
y el de los denominadores, el denominador de la fracción resultante.
Para multiplicar un número
decimal por una potencia
de diez, se corre la coma a la
derecha tantos lugares como
ceros tenga la potencia de
diez; por ejemplo:
5,6X10:56
3,498x100=349,8
0,B9B7xl0=8,987
5i el número decimal tiene
menos cifras decimales que
la cantidad de ceros de la
potencia de 10, el producto
se completa con ceros a la
derecha; por ejemplo:
45,7x100=4570
Recuerda
Para multiplicar números decimales se realiza la multiplicación como si
se tratara de números naturales y en el producto se cuenta, de derecha
a izquierda, tantas cifras decimales como la suma de la cantidad de cifras
decimales de los factores.
@

40. .
Sección central
¡
r ElemRlo 3
Determinamos cuántos tarros de gintura se necesltan para envasar O) Oab-
nes en tarros cuya capacidad es de
f,
de galón.
Solución
Para resolver el problema, realizamos la operació
"
u)"2
Para dividir fracciones, multiplicamos el dividendo por el recíproco del divisor.
'I
.5
')o
6 6x
1
9
5
Expresamos el número mixto como fracción y efectuamos la multiplicación
13 .,9 117 _
1
;";:,0
:"ro
.
En conclusión, se necesitan
l,Y
turro, de pintura, es decir, 12 tarros
10
f--
EiemRlo a
Una constructora construirá un edificio de 21,6 m de altura. Si construye de-
partamentos simples, el edificio tendrá 9 pisos. Si hace departamentos dú-
plex, cada piso tendrá una altura de 3,6 m.
¿Qué
altura tendrá cada piso si se
construyen departamentos simples? ¿Cuántos
pisos tendrá el edificio si se
construyen departamentos d ú Plex?
Solución
Para responder la primera pregunta, dividimos 21,6 entre 9
Ds-
216
36 2
I\4ultiplicamos por 10 a 21 ,6y a 9, luego reso
vemos la división entre naturales.
Continuamos la divislón agregando un 0 al
residuo y colocando una coma decimal en el
cociente.
216
360
Lr-
2,
Lru-
2,4
216
360
00
Una forma de hacerlo consiste en multiplicar el dividendo y el divisor por
10, como se muestra a la derecha. Así, se trata de una división entre números
naturales (216 + 90). Los cocientes de 21,6 + 9 y 216 + 90 son iguales.
Sl se construyen departamentos simples, la altura de cada piso será de 2,4 m.
Para responder la segunda pregunta, dividimos la altura del edificio entre la
altura de cada piso: 21,6 + 3,6. N¡ultiplicamos el dividendo y el divisor
por 10 y realizamos la división.
216
00
Lr-
6
. Por tanto, si se construyen departamentos dúplex, el número de pisos será de 6.
Para dividir dos fracciones,
multiplicamos el dividendo por
el recíproco del divisor.
Recuerda
Dos números fraccionarios son
recíprocos si el producto de
ambos es uno.
1a
j
es recíproco de 9, porque
81
:3:1
Del mismo
2
modo,
5
es reclProco oe
5 3 5 15
J,porqueE"J:E:'
1r9
B1
Recuerda
e
Para dividir dos números decimales se realiza una división con números
naturales que tenga el mismo cociente. Los nÚmeros naturales que se van
a dividir se obtienen multiplicando el dlvidendo y el divisor por la potencia
de 10 necesaria.

41. Aproximación de números
decimales por defecto, exceso
y redondeo
Aproximación de números decimales por defecto
Para aproximar un decimal exacto por defecto, se busca el número con una
cantidad de cifras determinadas que esté próximo al número dado pero que
sea menor. Por ejemplo, para aproximar el número 2,1358 por defecto con
2 cifras decimales, se eliminan las últimas 2 cifras y el resultado es 2,,1 3.
Aproximación de números decimales por exceso
Para aproximar un decimal exacto por exceso, se busca el número con una
cantidad de cifras determinadas que esté próximo al número dado pero que
sea mayor. Por ejemplo, para aproximar el número 2,1358 por exceso con
2 cifras decimales, se eliminan las últimas 2 cifras y el resultad o es 2,14.
Aproximación de números decimales por redondeo
Aproximar un número decimal a la unidad consiste en eliminar la parte deci-
mal, aproximándola a la unidad más cercana.
6§
e¡empto r
ffi
Aproxima por redondeo cada número alvalor posicional indicado.
f,
".
254,3 ala decena más cercana.
b. 9,476 a la centésima más cercana.
Solución
a. La cifra de las decenas del número254,3 es 5. El digito que está a la de-
recha de 5 es 4, que es menor que 5. Por tanto, se deja igual la cifra de
las decenas, se om¡te la cifra que está después de la coma decimal y se
vuelve cero la que se encuentra antes de la coma decimal. Lueqo, la apro-
ximación de254,3 es 250.
b. La cifra de las centésimas del número 9,476 es 7. El dígito que está a la
derecha de 7 es 6, que es mayor que 5. Por tanto, se suma I a la cifra de
las centésimas y se omiten las cifras que están a su derecha. Luego, la
aproximación de 9,476 es 9,48.
Por
defecto
Por
exceso
Por
redondeo
),6
Pr¡r
defer to
2,7
Por
exceso
),7
Por
redondeo
2,673
2,67 2,68 2,67
Recuerda
Para profundizar en la
aproximación de los números
decimales, consulta la página
web
http://www.ematematicas.net/
a proximacion.ph p
Para aproximar un número decimal a una cifra determinada, se observa el
dígito que se encuentra a su derecha.
o
Si este dígito es menor que 5, la cifra a la que se desea aproximar se deja
igual y se omiten todas las de las derecha si están después de la coma
decimal. Si se encuentran antes de la coma decimal, se vuelven cero.
.
Si este dígito es mayor o igual que 5, se suma I a la cifra que se desea
aproximar y se omiten todas las de la derecha si están después de la
coma decimal. Si se hallan antes de la coma decimal, se vuelven cero.
@
17
NúmeroAproximación a la décima
Ttc

42. Sección central
Problemas aditivos: de
igualación y comparación
Problemas de igualación
A Sara yJosefina les obsequiaron una bolsa de dulces. Sara recibió :f a" to,
a
1
dulces. Si come t
i
de los dulces, tendría lo mismo que Josefina. ¿Cuántos
dulces recibió Josefina?
Los problemas de igualación presentan las siguientes características
a
Se trata de igualar dos cantidades.
Se incluyen las frases "tantos como" e "igual que'i
Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola,
hasta hacerla iguala la otra.
Representamos los datos del problema en un diagrama, como el de la
figura 18.1.
Consumió de los dulces
A
Recibió 35
de los dulces
Josefina Figura lB.1
l
Sara
Para determinar cuánto recibió Josefina, restamos lo que recibió Suru t 3l
)
y la parte que se comería 1r
J
I v obtenemos zal. eooemos representar esta
situación de la siguiente manera:
,t -, 1:
(¡ -, ).(Í- i)
:,.L+ -A:,h
Restamos las partes fraccionarias de cada número mixto y las partes enteras.
Así, Josefina recibió zS O. dulces.
Problemas de comparación
La empresa Picaya recaudó S/ 5800,20 en la exportación de zampoñas. Lo
recaudado por la empresa Picaya fue S/ 985,10 más que la empresa Soraci.
¿Cuánto dinero recaudó la empresa Soraci? ¿Cuánto dinero recaudaron las dos
empresas?
?
Para resolver problemas sigue
estos pasos:
1. Comprende el problema
2. Diseña una estrategia
3. Aplica la estrategia
4. Transfiere lo aprendido
Recuerda
@
18

43. Los problemas de comparación presentan las siguientes características:
a
a
Se comparan dos cantidades y se establece una relación de comparación
entre ellas.
Una cantidad es el referente y la otra cantidad es la comparada, es decir,
la cantidad que se compara con respecto al referente.
Para responder la primera pregunta, representamos el problema en un dia-
grama (ver figura 18.2).
La empresa Picaya recaudó S/ 985,10 más que la empresa Soraci. Por tanto,
restamos S/ 985,10 de S/ 5800,20 para saber cuánto dinero recaudó la empresa
Soraci. Un procedimiento para hacerlo consiste en ubicar el minuendo y el
sustraendo, de manera que las comas decimales queden alineadas.
s/ 5800,20
Picaya
+ S/ 985,1 0
Soraci
Figura 18.2
Daniel
Figura 18.3
20
10
5800
9Bs
481s
La empresa Soraci recaudó S/ 4815,10.
Para responder la segunda pregunta, sumamos S/ 5800,20 y S/ 4815,'10. Una
forma de calcular esta suma consiste en ubicar los sumandos, de manera tal
que las comas decimales queden alineadas.
10
20 +5800
4815
-rr3,-
'I
0
10615,30
Entre la dos empresas recaudaron S/ l0 615,30.
-:1
Ejemplo 1
Sofía tiene17,B kg de indice de lvlasa Corporal (lA/C) menos que su hermano
Daniel. Si Sofía pesa 35,47 kg de lA/C,
¿cuál
es el lA/C de Daniel?
Solución
Representamos en un diagrama el lA/C de Sofía con respecto al lfi4C de Daniel
(ver flgura 18.3). Sea p el peso de Daniel, entonces:
p - 17,8 = 35,47 Relramros I l,ti de p.
p - 17,8 + 17,8 = 35,47 + 17,8 lLrrnamos t7,B a ambos lados de la iqualdad
P = 53,27 I tictuamos ;rs operacionc:
Así, p = 53,27.Por lo tanto, el ltvlC de Daniel es 53,27 kg.
Verificamos la respuesta reemplazando p por 53,27 y efectuando las opera-
ciones.
p-17,8=35,47
53,27 -17,8=35,47
35,47 = 35,47
35,47 kg
5ofía
?
?
@

44. Sección final
a t
Conocer más sobre la zampoña
Nuestro país no solo cuenta con una gran riqueza
culinaria y natural; también tiene una riqueza musical.
Existe una gran variedad de instrumentos musicales en
nuestro país, lo cual permite la generación de múltiples
tonos y estilos musicales. Uno de los instrumentos
musicales más conocidos es la zampoña.
La zampoña es un instrumento de viento característico
de la región andina. Produce notas melodiosas debido
a su estructura: l3 o 15 tubos de diferentes diámetros y
tamaños, ubicados en dos hileras (la hilera superior, de B
o 7 tubos, llamada arka;la hilera inferior,deT o 6 tubos,
llamada lra). Estas hileras se atan con lindos tejidos y
crean una disposición armoniosa y singular.
Las zampoñas también se afinan de acuerdo con una tonalidad específica. 5in embargo, a diferencia de las
quenas, estas se nombran según la relativa menor, es
decir, una zampoña afinada en Sol mayor se dirá que
es una "zampoña en IVli menor", siendo Arli menor la
afinación más común.
Las zampoñas se pueden hacer de carrizo o de tubos
de PVC, y el número de cañas varía dependiendo de la
necesidad del músico o de la canción. La elaboración
de las zampoñas requiere de precisión. La longitud de
cada tubo, diámetro, abertura, entre otros, hace que la
nota cambie de rango de amplitud.
Podemos hacer uso de los números racionales
cuando nos referimos a la elaboración de la zampoña.
Por ejemplo, para elaborar una zampoña de una hilera de B tubos, algunas personas utilizan 3 metros de
1
tubo de PVC de; pulgada (1,27 cm) y lo dividen en B partes:30,5 cm; 27,5 cm 24,5 cm;22,5 cm;20,5 cm;
)'
19,5 cm; 17,5 cm. En otros casos, utilizan otro material y otras medidas.
Lecturas,
espdüializadas
. Disfruta las lt/atemáticas. (201 1). Decimales. Recuperado de http://www.disfrutalasmatematicas.
com/n u meros/deci ma les-menu.html
.
Gamarra ,N.
(2007). Aritmética:Teoría y próct¡ca.lima, Perú: Editorial San IVlarcos.
o N/atex Website. (2006). Números fraccionarios. Recuperado de http://docente.ucol.mx/grios/aritme-
tica/NumFraccionarios.htm
¡ Timoteo, S. (2005). Ar¡tmét¡ca. Lima, Perú: Editorial San lvlarcos.
@
)
s
,(
f
," t
¡
,
t
I
!1
*
Bibliografía

45. Orqanizador
visual '
según la
unidad
según sus
denominadores
se pueden
expresar
como
se pueden
pueden ser
operaciones
para ner
para
9enerar
se expresan
como
@
Fracciones
decimales
Números racionales
Homogéneas
y heterogéneas
Números
mixtos
Propias
lmpropias
lguales a la
unidad
Adición
Sustracción
Mult¡plicación
División
Números decimales
Clases
Fracciones
Simplificar
Amplificar
Fracciones
equivalentes
-1

46. Sección final
Sebastián recibió de regalo por su cumpleaños algunas zampoñas, las cuales colocó en un tapete de forma
rectangular de 3 metros cuadrados de área, cuya longitud total es de 7 metros.
¿Cuáles son las dimensiones deltapete rectangular?
Pasos para la resolución del problema
@o
Comprendemos el problema
Sabemos que el tapete es de forma rectangular y que tiene 3 metros cuadrados de área y
7 metros de perímetro. Debemos hallar las medidas del largo y el ancho del tapete.
Diseñamos una estrategia
Pensemos cómo podemos resolver el problema. En este caso, usaremos la estrategia ensayo
y error.
Aplicamos la estrategia heurística: Utilizar el ensayo y el error
Recordemos cómo podemos hallar el área y el perimetro de + Largo
-
@o
@0
un rectángulo. f
I
Área = largo x ancho
Ancho
Perímetro=(largo+ancho)x2
I
Como el perímetro es 7 m, la suma del largo y el ancho es 3,5 m.
Tomemos dos números cuya suma sea 3,5 y organicemos los datos en una tabla.
a
(o
U.F
.(n
\-
:f
§)
.C
a
.(o
oo
§)
1J
fo
l-
+J
a
LLI
1,8 3,06
El área no corresponde al dato buscado.
Probemos con otros dos números que sumen 3,5, como 1,9 y 1,6.
1,8 3,06
1,9 3,04
Nos acercamos al valor del área que necesitamos. Tomemos un número mayor que 1,9.
1,8 3,06
1,9 3,04
2,0 3
Vemos que si las medidas son 2 m y 1,5 m, los valores del perímetro y el área coinciden con
los datos proporcionados en el problema, entonces estas son las dimensiones del tapete.
Las dimensiones del tapete son 2 m y
'1,5
m.
Transferimos lo aprendido
La estrategia ensayo y error puede ser útil cuando necesitamos hallar dos o más datos. Los
dos datos que necesitábamos encontrar en el problema anterior eran el largo y el ancho del
tapete. Si el tapete tuviera la forma de un cuadrado de 9 metros cuadrados y de una longitud
total de 12 metros,
¿cuáles
serían sus dimensiones?
1,7 3,5
Largo (m)
I
Ancho (m) i Perímetro (m) i Area (m'?)
Largo (m) :
Ancho (m) Perímetro (m) Área (m2)
I
1,7 3,5
1,6 3,s
1,5 3,s
Largo (m) Ancho (m) I Perímetro (m) i Área (m'?)
@9
@
T
1,7 3,5
1,6 3,s

47. Proporcionalidad
y porcentaje
I ntencionalidad pedagógica
En este capítulo abordarás las relaciones entre cantidades y magnitudes
mediante modelos de aumentos y descuentos porcentuales. También
conocerás el método de reducción a la unidad y la regla de tres simple, en
problemas relacionados con proporcionalidad dírecta. Todo ello te aportará
aprendizajes relacionados con el pensamiento y el actuar matemático en
situaciones que involucren cantidades. Alfinal, elaborarás modelos basados en
aumentos y descuentos porcentuales y presentarás la información pertinente
de los gráficos y tablas.
Capítulo
(}
'
II
I
¿
,F
Simulación de crecimiento
de Escherichia coli
Número de
bacterias
0 (inicio) 50
100
200
300
2
3
L--:;
ñ
&
horas
En una feria gastronómica
realizada en Huancayo,
se venden platos típicos.
Uno de ellos es la humita.
Sise utilizan 2 kg de maíz
para preparar 20 humitas,
¿cuántos kg de maíz se
necesitarán para preparar
4 docenas de humitas?
Una de las pasiones
latinoamericanas más
conocidas es el fútbol.
Si a un partido de fútbol
asisten 43 210 personas,
de las cuales22790 san
menores de 40 años,
¿qué
porcentaje de los
asistentes son mayores de
40 años?
Exherichia coli es una
bacteria que vive en el
intestino de las personas;
tiene una masa de 2 x 1012
9ramos.
Según la tabla,
¿cuál
es la
razón entre el número de
horas y el crecimiento del
número de bacterias?

48. .
Sección inicial
Antes de empezar ten en cuenta
o Porcentajes:definición
. Números: decimales y fraccionarios
o Representación:porcentual
o Problemas:proporcionalidaddirecta
a
Conceptos clave
Proporcionalidad: d irecta, razones
proporcionales, magnitudes de
proporcionalidad directa, método de
reducción a Ia unidad y regla de tres simple
directa.
Porcentaje: sig nificado del porcentaje,
vanación porcentual, aumentos y descuentos
a
porcentuales, diagramas y gráficos de
au mentos y descuentos porcentuales.
Apr endizaies esperados
Matematiza
situaciones
o Reconoce relaciones entre magnitudes en problemas multiplicativos
de proporcionalidad y lo expresa en un modelo de solución.
¡ Usa modelos referidos a la proporcionalidad directa al resolver problemas.
o Relaciona cantidades y magnitudes en situaciones específicas y Io ex-
presa en un modelo de aumentos y descuentos porcentuales.
o
Usa un modelo basado en aumentos y descuentos porcentuales al plan-
tear y resolver problemas.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
. Organiza datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad
d¡recta entre magnitudes.
r Representa aumentos o descuentos porcentuales empleando diagra-
mas o gráficos.
¡
Expresa en forma oral o escrita el aumento o descuento porcentual,
expresando el significado del porcentaje.
Elabora y usa
estrategias
o Emplea el factor de conversión, el método de reducción a la unidad y
la regla de tres simple en problemas relacionados con proporcionalidad
directa.
o Halla el término desconocido de una proporción con base en recursos-
gráficos y otros al resolver problemas.
. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas relacionados con
el aumento o descuento porcentual.
¡ Halla el valor de aumentos o descuentos porcentuales apoyándose en
recursos gráficos y otros al resolver problemas.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
cantidad
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
. Plantea conjeturas con respecto a la propiedad fundamental de las
proporciones a partir de ejemplos.
¡ lustifica la diferencia entre el concepto de razón y proporcionalidad
a partir de ejemplos.
. Argumenta los procedimientos de cálculo sobre aumentos y descuen-
tos porcentuales.
o Justifica los procesos de variación porcentual para resolver problemas.
lndicadoresCompetencia Capacidad
@

49. t lntroducción
La proporcionalidad se puede aplicar en diversas situaciones de la vida cotidiana, como en la reproducción
de las bacterias, ya que existe una relación directamente proporcional entre los días transcurridos y la
proliferación de ellas. También aplicamos los porcentajes al realizar compras y preferimos los productos
que nos ofrezcan mayor descuento. Asimismo, podemos aplicar los porcentajes si deseamos calcular el
incremento del precio de una entrada a una tribuna con respecto a otra en un estadio de fútbol.
¡
Razones proporc¡onales
2 5
2
5
En las construcciones de las ruinas de A/achu Picchu, encontramos que por
cada2 piedras de forma pentagonal hay 5 piedras de forma cuadrangular.
Estamos comparando dos cantidades o dos magnitudes. Es decir, compara-
mos el número de piedras de forma pentagonal con el número de piedras de
forma cuadrangular. La relación entre el número de piedras de forma penta-
gonal y el número de piedras de forma cuadrangular es de 2 a 5, que se puede
)^
expresar como
f
; 2'.5,2 + 5 y significa que el número de piedras de forma
pentagonal .r] O.t número de piedras de forma cuadrangular. Estamos
5
comparando las cantidades usando razones.
EI cociente que se utiliza para comparar dos magnitudes o cantidades se
denomina razón. Se puede escribir como d * b,t oa:b,parab+0.
la razón a : b se lee a es a b. El primer término de una razón (a) recibe el
nombre de antecedente;y el segundo (b), el de consecuente.
En Ia razón ] el antecedente es 2 y el consecuente 5.
5
¿Cuántas
piedras de forma cuadrangular habrá por cada 4 y 6 piedras de forma
pentagonal?
Si por cada 2 piedras de forma pentagonal hay 5 piedras de forma cuadrangular,
entonces, con el doble de piedras de forma pentagonal habrá el doble de
piedras de forma cuadrangular. Organicemos la información en la tabla 19.1.
Podemos amplificar o simplificar las razones, así como lo hacemos con las
fracciones.
Cuando relacionamos dos razones estamos reconociendo una proporción.
Por ejemplo, las razones
ftt frforman
una proporción, porque
,04
:
É
t"
lee asi:4 es a 10 como 6 es a 15. Los términos de una proporción son extremos
y medios. En esta proporción, los extremos son 4 y 15, y los medios, 10 y 6. Si
multiplicamos los medios obtenemos el mismo resultado que si multiplica-
mos los extremos.
4X15:6X 10
60:60
4 10
t5
4
m
6
'15
Tabla 19.1
6
Magnitud
Propiedad o cualidad
común a un conjunto de
elementos, seres u objetos,
cuya intensidad puede variar
(aumentar o disminuir). La
magnitud se representa a
partir de un patrón de medida
Recuerda
o
§
a
gr
G
E
o
)
€o
EE
o.ó
(ÜrE
TI
". o
zt
.§:
¡E'
(,
o.
o)
§
z
c
"o
N
t§
ú.
v
Teorema de Tales. Si se cortan
varias rectas paralelas con dos
rectas transversales, la razón de
dos segmentos cualesquiera
de una de ellas es igual a
la razón de los segmentos
correspondientes de la otra.
Conexiones
Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los
medios.
@
19
a

50. I
- Sección central
Proporcional i dad d¡ recta
Magnitudes de proporcionalidad directa
La arquitectura inca se caracteriza por su sencillez y por buscar que sus cons-
trucciones armonicen con el paisaje. El principal material utilizado es la piedra.
Los constructores incas desarrollaron técnicas para levantar muros enormes:
verdaderos mosaicos formados por bloques de piedra tallada que encajaban
perfectamente, sin que entre ellos pudiera pasar ni un alfiler. Si el número de
hombres que se necesitaba para tallar una piedra de un metro cuadrado y
colocarla en los muros era 20,
¿cuántos
hombres se necesitaban para hacer el
trabajo en las mismas condiciones siel número de piedras aumentaba?
x2 x2
x2 x2 Tabla 20.1
Para tallar el doble de metros cuadrados de piedra se necesitaba el doble de
hombres, por tanto, las magnitudes piedra y cantidad de hombres son direc-
tamente proporcionales.
Cantidad de piedra (en m2) _
'l
Número de hombres 20 40 60 B0
Dos magnitudes A y I son directamente proporcionales (D. P.) si varían
en proporción directa, es decir, si al multiplicar un valor de uno de ellos por
un número, el valor correspondiente a la otra magnitud también queda
multiplicado por el mismo número. Por tanto, el cociente entre cualquier par
de valores correspondientes, diferentes de cero, siempre es el mismo.
A :o, _02_or:gj..._k
E-f,-fr- br- h. -^
;rS
ejemnlo r
§ La tabla muestra la relación entre gramos de harina y gramos de levadura
para preparar la masa de una torta. Determina si estas dos magnitudes son
d irecta mente proporcionales.
2 4
80
3
234
1 000
2000
3000
500
250
50
100
150
')(
12,5
20 40 60N.o de hombres
Cantidad de piedra (en m2)
La gráfica de las magnitudes
d i rectamente proporcionales
es una IÍnea recta, en
donde k es la constante de
proporcionalidad.
Número
de
hombres
Recuerda
Levadura (g)Harina (g)
la razón entre d y b no es igual
a la razón entre b y o.
Recuerda
@
fal:la 20.2
--1
I
levadura para la masa de la tortaHarina y

51. ñ
Solución
Formemos razones con parejas de valores correspond¡entes. Por ejemplo,
1000 2000
50
Y too
Observamos que si usamos el doble de harina necesitaremos el doble de
levadura, entonces las razones
t# , ffi
Or"r.nran la misma relación en-
tre cantidad de harina y cantidad de levadura. Lo anterior significa que son
razones equivalentes y forman una proporción.
Además, si la cantidad de harina se divide por 4 (que es lo mismo que multi-
plicar por l),la cant¡Oad de levadura también se divide por 4yformamos la
4'
proporción13# :
#
Ya que siempre se tiene esta relación (que cualquier par de valores corres-
pondientes forman una proporción en la que ambas cantldades aumentan),
entonces las magnitud es cant¡dad de harina y cant¡dad de levadura son direc-
tamente proporciona les.
Ejemplo 2
Unos turistas visitan Chachapoyas (Amazonas) y deciden ir a la imponente
fortaleza Kuélap (Luya). El precio de la entrada a este lugar es S/ 11,50 por
persona. Ellos pagan S/ 115 por el ingreso de l0 personas. Al poco tiempo,
llega otro grupo de 30 personas para visitar dicho lugar.
¿Cuánto
paga en
total este último grupo por ingresar a la fortaleza?
Solución
Resumiendo, el costo de la entrada es S/ 1 1,50. Entonces, 30 personas paga-
ron 30(11,50)= S/ 345.
Observemos lo siguiente:
Precio pagado por 10 personas:
'10(1
1,50) = S/
'l
15
Precio pagado por 30 personas: 30(1 1,50) = S/ 345
Podemos afirmar que si el número de personas se tr¡pl¡ca, el monto también
se triplica.
Entonces, el número de personas y el monto a pagar son proporcionales.
A continuación, atiende a la proporción:
10 personas
30 personas
_
'l
15 personas
x(10)=115(30)
x soles
5og
Honno
roOOg
+
-ññ
Horino
Iooog
LetodÚa
(
**rJ
!¡-)
2
3
1 1,50
23
34,50
46
57,50
115
5
X
4
r0
1 15(30)
'10X:
x :1 15(3)
x :345
Luego, este último grupo paga en total S/ 345 por ingresar a la fortaleza
@
V
lngresa a http://www.vitutor.
com / di / p / a _2e.htm I y refuerza
lo aprendido.
N.o de
personas
Costo
(soles)
Multiplicamos en
30
Tabla 20.3
t
3
Ttc

52. - Sección central
Método de reducción
a la unidad
Un grupo de estudiantes de un colegio
desean hacer un regalo a sus maestros
y forman una comisión. Deciden
regalar a cada uno lapiceros grabados
con sus nombres. Para ello, la comisión
averigua que 3 lapiceros, incluida la
grabación, cuestan S/ 18,60. Si en total
son 32 maestros,
¿cuánto
se paga por
los lapiceros grabados?
Para resolver el problema, utilizaremos
el método de reducción a la unidad y
tendremos en cuenta algunos pasos.
Paso 1. ldentificamos si las magnitudes son directamente proporcionales.
Podemos observar que por 3 lapiceros, incluida la grabación, se paga S/ 18,60.
Como son 32 maestros, necesitamos más lapiceros, y si aumentamos el nú-
mero de lapiceros, debemos pagar más dinero. Por tanto, podemos afirmar
que las magnitudes lapiceros y dinero son magnitudes directamente propor-
cionales.
Paso 2. Precisamos los datos.
El costo de 3 lapiceros es S/ 18,60. Necesitamos lapiceros para 32 maestros.
Paso 3. Reducimos a la unidad.
Como 3 lapiceros cuestan S/ 18,60, es necesario averiguar el costo de un lapi-
cero. Entonces, procedemos a dividir y asÍobtener el valor unitario por lapicero.
18,60 _
6.20
3
Por tanto, cada lapicero cuesta S/ 6,20.
Paso 4. Respondemos la pregunta.
Cada lapicero cuesta S/ 6,20. Ahora, necesitamos saber cuánto se debe pagar
por la compra de 32 lapiceros.
Entonces, resolvemos el problema de la siguiente manera:
S/ 6,20x32=S/ 198,40
Finalmente, podemos concluir que por los lapiceros grabados que les regala-
remos a nuestros maestros tendremos que pagar S/ 198,40.
El método de reducción de la unidad consiste en calcular el número
asociado a la unidad. Una vez que se conoce este valor, se puede resolver el
problema planteado.
Dos cantidades o magnitudes
son directamente
proporcionales si aumentan o
disminuyen a la vez.
o
n I
ts
I
Recuerda

53. Regla de tres simple directa
I
Cantidad de papas
I
N." de
chasq uis
Demos un paseo por el Tahuantinsuyo.
¿Cuál era el medio de comunicación que
utilizaban los incas en tiempos de batalla?
EI chasqui era el mensajero personal del
inca, y recorría el territorio a través de un
sistema de postas, con el fin de entregar
mensajes. El lugar de relevo de los chas-
quis eran los tambos.
Sia 3 chasquis les pagaban con 5 kilos de
papa en su parada por un tambo, ¿cuán-
tos kilos de papa recibirían 12 chasquis?
Las mag nitu des número de chasquis y cantidad de papas son directa mente pro-
porcionales. Si el número de chasquis se tr¡plicaba, la cantidad de papas que
se les entregaba como pago también se triplicaba. Podemos verificar que la
razón entre el número de chasquis y la cantidad de papa que reciben como
pa9o es constante.
Elaboremos una tabla para organizar los datos.
3 5
12 X
fabla 22]
La letra x representa el dato desconocido. Como las magnitudes son directa-
mente proporcionales, establecemos la proporción 1=
t'
.
5x
Al aplicar la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que
3.x=5.12
Resolvemos la ecuación:, =
@
a
.,
-
a'^
^-zv
Por tanto, los
'12
chasquis habrán recibido 20 kg de papa.
El método que utilizamos para resolver este problema se conoce como regla
de tres simple directa.
La regla de tres simple directa es un método para resolver problemas en
los que intervienen dos magnitudes directamente proporcionales. Consiste
en plantear una proporción que presenta tres datos conocidos y uno
desconocido.
gr » Ejemplo 1
La semana pasada Adriana compró 4 pasajes para salir de la ciudad y pagó
S/ 14000. Siesta semana necesita comprar 7 pasajes para el mismo destino,
. ¿cuánto tendrá que pagar?
e
N,lde chasquis
I
Cantidad de papas (kg)
En toda proporción el pro-
ducto de los medios es igual
al producto de los extremos.
Recuerda
h,
I
I
I
I
I
i
I
I
I
i
10
I
I
I
I
I
l:
5
12
20

54. .
Sección central
Solución
Primero, identifiquemos y analicemos las magnitudes'. número de pasaies y
valor a pagar son magnitudes directamente proporcionales, entonces la ra-
zon
Valor a pagar
es constante.
Número de pasajes
Organicemos los datos en una tabla
14000
fabla 22.2
La letrax representa el dato desconocido. Como las magnitudes Son directa-
mente proporcionales, establecemos la proporción *f,Aq
=
4
7X
X
7
Al aplicar la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que
14000'7 =4'x
Resolvemos la ecuación:
98 000_
--4--
24 500=x
Por tanto, los 7 pasajes costarán S/ 24 500.
2$ ejemplo 2
Un obrero ganó S/ 150 por trabajar 6 días. ¿Cuántos
días debe trabajar para
ganar S/ 325?
Solución
X
Las magnitu des días trabajados y dinero ganado son directamente proporcio-
nales, entonces la razón
dlglo
es constante.
dias
s/ rs0
s/ 32s
150 _ 325
6x
150'x=325'6
150'x=1950
1 950
150
6
X
Iabla223
V.l*, p.r*
I
*orytq rSfftulsl
V
Leonardo de Pisa (1 170 -
1 250), matemátlco italiano.
Publicó en uno de sus
libros una regla, que ya era
utilizada por los árabes, para
resolver problemas usando
proporciones; la llamó regla de
los tres números conocidos.
Dato histórico
Dinero Días
El obrero debe trabajar 13 dias.
o

55. Sign ificado del porcentaje
40
o/o
48
10
o/o
= 12
100
o/o
= 120
Figura 23.1
De los 100 estudiantes que asisten a las actividades extracurriculares después
de clases, 72 están inscritos en cursos deportivos y 28 en cursos culturales.
Escribamos las razones que comparan el número de estudiantes en cada tipo
de curso con el total de alumnos.
Actividades deportivas: la razón 72 de un total de t oo es
ffi,que
también po-
demos escribir como 72 %o y leemos Z2 por ciento (72 por cada
,l00).
Actividades culturales
)B
: la razÓn ut
ñ,
que escribimos también como 28
o/o
y
leemos 28 por ciento.
Gráficamente, podemos repr esentar la situación anterior. El cuadrado de la
figura 23.1 está dividido en 1 00 partes iguales, que representan el 100
yo,
pero
72 partes del cuadrado están sombreadas. Las partes sombreadas representan
el 72
o/o
del cuadrado completo. El signo zo significa de cien, es decir, setenta y
dos de cien partes están sombreadas. La parte sombreada del cuadrado repre-
7)
senta la fracción
lot
y.n números decimales equivale ao,l2.La parte no som-
breada del cuadrado es 28 partes del cuadrado entero y representa el 28
yo
del
total; en fracc¡ón. es 28
I é
y, en números decimales, equivale a 0,28.
Ejemplo 1
El 40
o/o
de los empleados de una empresa es menor de 30 años. si en la
empresa hay 120 empleados,
¿cuántos empleados son menores de 30 años?
Solución
Como 40o/o=*,tusituación significa que la razón
100'
Número de empleados menores de 30 años
es iquar a ra razón I.
po,
ro
Númerototaldeempleados
r-- -
100' - '"
tunto,
fr: ffi,
donde x representa el número de empleados menores de
30 años.
Resolvrendo,tenemos 100. x : 120. 40
4800
" '100
x: 48
Luego,48 empleados son menores de 30 años.
Para representar gráficamente el ejemplo, observemos la figura 23.2. El 40
o/o
de
un total de 120 empleados es el número de empleados menores de 30 años.
Analizando la figura, vemos que el 10 %o del total es l2; entonces , el40o/oserá 48.
Un porcentaje es la razón de un número con respecto a 100. La ¡¿7on-I-
la podemos escribir como x 70, El sÍmbolo 7o lo leemos por ciento.
100
Figura 23.2
@
-1
t--

56. - Sección central
Variación porcentual
Las personas aficionadas al fútbol se identifican con los partidos de su club
favorito y siquen paso a paso los partidos del equipo del que son hinchas.
Samuel es un hincha del club Sport Cruz y decide analizar el desempeño de su
club y luego comparar los resultados. Registra los datos en una tabla.
Tabla de posiciones y resultados de la fecha 7 - 2014
N/elgarejo
Somos Amigos
J uventus
*PJ
- Partidosjugados, PG - Paftidos ganados, PE = Partidos empatados, PP = Partldos perdidos,
GF = Goles a favor, GC = Goles en contra, DG - Diferencia de goles, PT = Puntaje total
Tabla24.1
Tabla de posiciones y resultados de la fecha 7 - 2015
6
2
4
6
3
6
4
8
1
2
0
l
1
1
3
2
5
4
4
3
7
7
7
6
9
8
t0
14
16
13
t5
11
@EIEHE
Armónicos7511
Juventus64l1
SportCruz 6 3 3 0
Unidadloreto 7 3 2 2
r0
9
10
6
7
3
7
5
+3 16
+6 13
+3 12
+1 11
fabla 24.2
14
10 7
11
I +9o/o
12
Tabla 24.3
Si queremos saber la variación porcentual de los goles a favor, goles
en contra y los puntos, reemplazamos así:
'" -+
X'! 00
o/o :
-2970. Disminuyeron en un 29
o/o.
Goles a favor (GF):
lo
Goles en contra {CC):
f
x 100 7o :
-1 3 %0. Disminuyeron en un I 3 70.
Puntos {en:
lf
x 100 7o : t9
o/o.Aumentaron
en un 9 70.
PGlr=lro ccloc
Revisa el ltbro El mentor de
matemót¡cas, de Gispert y
Navarro. Desarrolla algunos
ejercicios y profundiza en lo
aprendido.
Módulos de biblioteca
La variación porcentual es la cantidad que representa qué tanto por ciento
aumentó o disminuyÓ la cantidad inicial. Se representa asi:
Aumento o disminución
Variación porcentual : X 100
o/o
Valor inicial
El aumento o la disminución, según sea el caso, se obtiene mediante la
diferencia entre el valor final y el valor inicial.
e
Cruz
Sport Cruz GF GC PT
Fecha 7-2014
Variación porcentual
Fecha 7- 201 5
L -lgvo
8
?) GF PT
DG PTGF GC
t -lzvo

57. Aumentos y descuentos
porcentuales
Un club deportivo auspicia un encuentro futbolístico y para ello decide au-
mentar el20
0/o
al precio de la entrada general. si esta tenía un costo de s/ 86,
ahora, teniendo en cuenta el aumento,
¿en cuánto quedará el precio de la
entrada?
Primero calculamos el precio de la entrada con el aumento porcentual.
Precio de la entrada:S/ 86.
Aumenta el 20
o/ode
SO:
ffi
X 86 : 17,20.
Sumamos el precio inicial y el aumento del 20
o/o:
86 * 17,20 : S/ 103,2O.Por
tanto, el precio de la entrada con el aumento será S/ 103,20.
Para calcular un aumento, se suma al precio inicial la cantidad (N) correspon-
diente al porcentaje (a) aumentado.
Cantidad:¡V
Se le aumenta ao/o de N
Aumento porcentual = /V + a 7o /V =
(1 00 + a)
o/o
N
Para calcular un descuento, se resta del precio inicial (M la cantidad correspon-
diente al porcentaje descontado (b).
Cantidad:N
Se le descuenta b 7o de N
Descuento porcentual = /V - b
o/o
N =
(100 - $¡
o7o
¡y¡
Ejemplo 1
Diana trabaja vendiendo picarones y cobra 200 soles semanales. Un día de la
semana se quedó haciendo horas extras,razón por la cual le aumentaron el
5 7o de su sueldo. Además, antes del fin de semana, logró una gran venta y
la premiaron con un nuevo aumento del 20
o/0.
¿Cuánto cobró esa semana?
Solución
El sueldo semanal de Diana es S/ 200. Se le aumentó el 5
o/o
de S/ 200, es decir,
10. Por tanto, recibió S/ 210. Sin embargo, Diana logró una gran venta y la
premiaron con un nuevo aumento de20o/o:
l*
, 2OO : 40.
A lo que recibió inicialmente, le sumamos el 20 7o de su sueldo;asi:
210 + 40:250.
En la semana mencionada, Diana cobró en total S/ 250.
@
Aumento porcentual =
('100 + a)
o/o
N
Descuento porcentual = (100 - b)
o/o
N
Revisa el libro Cuentos de
matemáticas, de Hervás. Alli
desarrollarás aprendizajes de
un modo creativo.
Módulos de biblioteca
a

58. - Sección c¿ntral
¡,p
Ejemplo 2
Una vez culminada la Copa América 2015, la dirigencia de la selección na-
cional de fútbol del Perú está cotizando en dos lineas aéreas para adquirir
los boletos de regreso de la delegación conformada por 30 personas, entre
jugadores, comando técnico y dirigentes.
En la linea aérea Luna, el precio de los boletos por persona es de S/ 500.
Sin embargo, esta aerolinea le ofrece a la selección algunos descuentos: el
10 70, porQue llegÓ a la semifinal;y el 20 %o sobre el precio rebajado, por haber
ocupado el tercer lugar en el campeonato.
En la línea aérea Armania, el precio de los boletos por persona es también de
S/ 500. Esta aerolínea ofrece un descuento único del 29 %0, porque la selec-
ción ocupó el tercer lugar en este importante torneo.
a. ¿Cuál será el precio de los boletos de toda la delegaciÓn sin tener en
cuenta los descuentos?
b.
¿Cuál
será el precio final de cada boleto considerando los descuentos en
la línea aérea Luna?
c.
¿Cuál
será el precio final de cada boleto considerando los descuentos en
la línea aérea Armania?
d.
¿Cuál de las líneas aéreas ofrece un mejor precio por los boletos de re-
greso?
e. Si se escogiera la lÍnea que ofreció el mejor descuento, ¿cuánto
es el pre-
cio total que se pagará por toda la delegación?
Solución
a. El precio de los boletos de toda la delegación, sin tener en cuenta los
descuentos, es de S/ 500 x 30 personas = S/ 1 5 000.
b. El precio flnal de cada boleto en la línea aérea Luna, incluidos los des-
cuentos, es el siguiente:
Precio lnicial: S/ 500
Descuento inicial: 10
0/o x S/ 500 = S/ 50
Precio con primer descuento: S/ 500 - S/50 : S/ 450
Descuento adicional: 20
0/o x S/ 450 = S/ 90
Precio flnal: S/ 450 - S/ 90 = S/ 360
c. El precio flnal de cada boleto en la línea aérea Armania, incluido el des-
cuento, es el siguiente:
Precio inicial: S/ 500
Descuento único: 29
0/o \. S/ 500 = S/ 145
Precio final: S/ 500 - S/ 145 = S/ 355
d. La línea aérea Armanla es la que ofrece un mejor precio por los boletos de
regreso de la delegación peruana.
e. Si se escogiera la línea Armania, se pagaría en total
S/ 355 X 30 = S/ 10 650
e

59. Diagramas y gráficos de
aumentos y descuentos
porcentuales
Los estudiantes elaboran la tabla de goles obtenidos el primer y er segundo
día en un campeonato de fútbol. El tercer dÍa deben aumentar el25
o/o
de los
partidos ganados en el primer día.
¿cuántos
partidos ganados tendrán en el
tercer día?
6
6
6
Tabla 26)
Observemos en el diagrama los partidos ganados en el primer y tercer día.
Primer día Tercer día
Aumenta en
25
o/o
de 4
25
o/o (4) = l
En el tercer día deben ganar 5 de un total de 6 partidos.
Ejemplo 1
Jorge Valer de 1." B analiza la posesión del balón en el primer tiempo entre
1.'A y su sección. En el medio tiempo, recomienda a sus compañeros que
a los jugadores de 1." A se les tiene que disminuir en un 30 Zo el t¡empo
de posesión de balón.
¿Cuáles son los tiempos de posesión de balón en el
segundo tiempo del partido de fútbol de las dos secciones?
1
2
4
3
5
1." tiempo
(45 min)
2." t¡empo
(45 min)
Solución
Veamos la situación en el siguiente diagrama:
1."'tiempo (1." A) 2.o tiempo (,l.'A)
Disminuir en
30 %o de 30
30 7o (30)
= 9
Por tanto, en los segundos 45 minutos, el tiempo de posesión del balón de
,1."
A
será de 21 minutos, y el de 1.'B, de 24 minutos.
Tercer día
undo día
@
1." A
30
min
a
PG PP PE Total
Primer día
1.. B
30 min 21 min

60. - Sección final
o
-
La alimentac¡ón de un jugador de fútbol
Los alimentos son productos que strven para nutrir el
cuerpo y aportar energía. Cuando realizamos diversas ac-
tividades, perdemos energía y, por eso, necesitamos una
alimentación sana, rica en nutr¡entes esenciales para el cre-
crmiento y el mantenim¡ento de nuestro organismo.
Los deportistas tienen que cuidar su allmentaciÓn, ya que es
primordial para su óptimo rendimiento. Ellos llevan a cabo
un exhaustivo control de su peso corporal. Los alimentos
que el deportista consuma deben ser proporcionales a su
peso.
El reparto de macronutrientes debe seguir el de una dieta
equilibrada:
o 10-15 7o de las calorias totales procederán de las pro-
teínas.
o 25-30
0/o
de las calorías totales procederán de las grasas.
. 55-60 7o de las calorías totales procederán de los hidratos de carbono.
Un jugador de fútbol, ante la proxlmidad de un partido, debe cuidar su alimentaciÓn desde la víspera por la
noche. Esta cena del día anterior t¡ene unas condiciones especiales.
o Se consumirá por lo menos dos horas antes de acostarse.
o Será rica en hidratos de carbono y provista de alimentos de fácil digestiÓn: ensalada vegetal, pasta o arroz
cocidos, pescado magro o tortilla francesa, fruta o yogur o natillas, pan y agua.
El día del partido deberá tener en cuenta una serie de pautas nutric¡onales:
o Levantarse tres horas antes del partido para tomar el desayuno.
. Podrá elegir entre los siguientes alimentos para desayunar:
) Fruta fresca o en zumo
I Leche con cacao, yogur
) Cereales, galletas
) Pan tostado con mantequilla y mermelada o miel
) -Jamón de York, queso suave, tort¡lla francesa
( No tomar café con leche, pasteles, cremas y embutidos)
Lecturas.
esp¿üializadas
,
9)de
Sal FibraCalorías Azúcar Grasas
Grasas
2'1,49 14,49 99 09
Cantidad de
nutriente que
contiene
Cantidad de
sal en 55 g de
Ejemplo:
rac lon.
Porcentaje del nutrlente que te aporta
una ración del alimento con respecto a la
cantidad que necesitas en el día (CDO)
El Grupo Eroski. (2007). Semóforo nutildonal de Eroski. Recuperado de http://www.vitonica.com/pre-
vencion/semaforo-n utriciona l-de-eroski
Flores, R. (201 2). Alimentación y nutrición del futbolista. Recuperado de http://www.futbolbasealfaro.
com/consejos.htm
Gottau, G. (2009), Aprende a interpretar la información nutricional de los alimentos. Recuperado de http://
www.vitonica.com/alimentos/aprende-a-interpretar-la-informacion-nutricional-de-los-alimentos
a
a
a
Bibliografía
@
de la Cantidad Diaria Orientativa (CDO)
7o/o
para un adulto*
)

61. Crqan tzador
vÍbual
t
como la de
Razón
comprende
el estudio
de la
con
Cálculo
_
expresado
como
-
relacionando
Proporción
-
como la entre
permiten
ndobajatra
que
pueden
ser
se expresan
gráficamente
Aplicaciones
reales
@
Comparación
dos cantidades de la
misma especie
Proporcionalidad
lgualdad
numérica
dos
razones
comparar
magnitudes
directamente
proporcionales
Tanto por ciento
Fracción decimal
Número
de
hombres
de pied
Proporción
Porcentajes Decimales
Fracciones
Mundo
financiero
N+ao/o¡Y=(100+a)o/oN
Aumentos
porcentuales
Variación
porcentual
Descuentos
porcentuales
N - bo/o ¡¡ =
(100 - b)
o/o
N
en el trabajando
/
a
a

62. a
-
- Sección final
A¡iateo necesita utilizar alcohol al 15
o/0.
Tiene 6 litros de alcohol al 10
0/o
y B litros de alcohol
al 30
o/o.
Para conseg uir alcohol al 15
o/o,
usa todo el contenido del primer frasco y le agrega
una parte del contenido del segundo frasco. ¿Cuántos
litros del segundo frasco debe usar?
Pasos para la resolución del problema
Pr¡mer
frasco frasco
Comprendemos el problema
Necesitamos alcohol al 15
0/o
para desinfectar la herida del hermano de lt/ateo. Pero solo
tenemos 6 litros de alcohol al 10 7o y B litros de alcohol al 30
0/0.
Diseñamos una estrategia
Utilizaremos la estrategia Resuelve un problema semejante, pero más simple, pues esto
nos ayudará a solucionar el problema original.
Aplicamos la estrategia heurística: resolver un problema semenjante, pero más simple
o Completamos en la tabla la cantidad de alcohol y de agua en cada frasco.
-
qu]lll4J
-
lllxrx[il]lll
Atcoll0t
6 itros
( 1 0olo)
ALCOHOL
litros
ndo5eg
cuo
@o
@p
Cantidad I I
Alcohol 100 ml
Agua
Cantidad 1l
7000 ml -) 100o/o
900 ml -+ xo/o
300 ml
900 ml 1800 ml 2700 ml
500 ml ,
600 ml
I
'- +loo rr i ¡400,'il
-l
2l
200 mll-
3l
400 ml
3600 ml
2l 3l 4l 5l 6l 7l 8l
a
(o
U
,+,
a
!-
:]
§)
-C
tn
.g
u)
§)
4J
(C,
L-
4J
U''
LLI
a
Agua 700 ml 1400 ml 2100 ml 2800 ml 3500 ml 4200 ml 4900 ml 5600 ml
l\4ezclamos 6 litros del primer frasco con 1 litro del segundo frasco y obtenemos en la
nueva solución 7000 ml.
F@@
Alcohol Agua Alcohol Agua Alcohol Agua
600 ml 5400 ml 300 ml 700 ml 900 ml 6100 ml
Aplicamos la regla de tres simple para saber el porcentaje que representa el alcohol en
la nueva solución.
a
a
#:9qq -,
: !%# :
12,860/o.
Elalcohol en la nueva solución representa el12,86o/o.
Seguimos mezclando hasta obtener alcohol al 15
o/o.
Alcohol Agua Alcohol Agua Alcohol Agua Alcohol
600 ml 5400 ml 300 ml 700 ml 900 ml 6100 ml 12,860/o
600 ml 5400 ml 600 ml 1 400 ml
'1
200 ml 6800 ml 15
o/o
600 ml 5400 ml 900 ml 2100 ml 1500 ml 7500 ml 16,60/o
Se utilizó 2000 ml del segundo frasco para obtener alcohol al 15
o/o.
Transferimos lo aprendido
Para obtener alcohol al 15
o/o,
tuvimos que utilizar 2000 ml del segundo frasco, que equivale
a 2 litros. Y si ahora necesitamos alcohol al20
o/o
o al 25 70,
¿tendríamos
que realizar el mismo
proceso?
Primer
frasco: 1 0
o/o
600 ml 900 ml 1200 ml
'1500
ml 1800 ml 2100 ml 2400 mlAlcohol 300 ml
Segundo
frasco:30 9o
soluciónfrascoPrimer frasco
@g
@
4l 5l 6l

63. Patrones
geométricos y
progresión aritmática
>
tntencionalidad pedagógica
En este capítulo aprenderás sobre patrones geométricos. Esto te permitirá
reconocerlos, describirlos y llevarlos a la práctica en predicciones; también
podrás anticipar resultados en diversas situaciones o fenómenos de la realidad.
Por otro lado, conocerás las transformaciones geométricas y el desarrollo de una
progresión aritmética empleando eltérmino n-ésimo y la razón.
Capítulo
Las murallas delconvento de
Santo Domingo, construido
en el siglo XVll, estaban
hechas con enormes piedras,
algunas de 5 m de altura y
más de 350 toneladas de
peso.
¿Qué tipo de movimientos
fueron necesarios para
trasladar las piedras de un
lugar a otro?
¿lmaginas cómo
trasladaron esas piedras?
¿Qué herramientas se
utilizaron para trasladarlasT
Una de cada 5 especies de
mariposas del mundo está
en el Perú. En el país, hay
4000 variedades, de las
cuales 1 300 se encuentran
en la región Madre de
Dios, en el Parque Nacional
del Manu y en la Reserva
Nacional de Tambopata.
¿Cuál es el porcentaje de
especies de mariposas que
posee el santuario de Manu
y la reserva de Tambopata
en comparación con todo
elPerú?
Los mantos bordados de la
cultura Paracas presentan
diseños con patrones
geométricos. Para elaborar
dichos mantos se usa
algodón y sobre este se
bordan los diseños con lana
de vicuña.
Observa el diseño de la
figura,
¿Qué
patrones
geométricos puedes
identicar?
62
t
i
7'.
-A
Á
F'
il.F

64. Antes de comenzar ten en cuenta
o Razón aritmética: diferencia común en una
progresión artmétrca
o Transformaciones geométricas: en la cuadrícula
o Patrones: definición
.
Sección inicial
Conceptos clave
o Patrones geométricos: definición
y clases, patrones geométricos
que generan transformaciones
geométricas
. Sucesión: definición, progresión
aritmética
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
o Reconoce relaciones en situaciones de regularidad, expresándolas en un
patrón que combina transformaciones geométricas.
¡ Plantea relaciones de posición empleando un patrón de repetición de
variadas transformaciones geométricas.
o Reconoce relaciones no explícitas entre datos numéricos en situaciones
de regularidad, que perm¡tan expresar la regla de formación de una
progresión aritmética.
¡ Asocia reglas de formación de una progresión aritmética con situaciones
afines.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
¡ Describe patrones usando términos de transformaciones geométricas.
¡ Explica el desarrollo de un patrón geométrico.
¡ Reconoce expresiones gráficas y simbólicas que expresan transformacio-
nes en patrones geométricos.
. Explica el desarrollo de una progresión aritmética empleando el término
n-ésimo, índice del término, razón o regla de formación.
. Emplea diagramas y esquemas tabulares para reconocer una razón
consta nte.
Elabora y usa
estrategias
¡ Realiza transformaciones geométricas para hallar la posición y la expre-
sión geométrica en problemas.
.
Realiza procedimientos para hallar el término n-ésimo, índice del
término, razón o regla de formación con números naturales de una
progresión aritmética.
. Emplea estrategias heurísticas ai resolver problemas de progresión
aritmética.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
equivalencia
y cambio
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
¡ Plantea conjeturas respecto a posiciones de un patrón geométrico.
. Prueba que algunos patrones geométricos se comportan como patro-
nes cíclicos.
¡ Plantea conjeturas respecto a posiciones de una progresión aritmética.
¡ iustifica las relaciones de dependenc¡a entre el n-ésimo término y el
valor posicional de una progresión aritmética.
Competencia Capacidad lndicadores
@

65. L lntroducción
El reconocimlento, la descripción y la aplicación de patrones geométricos en situaciones de la vida
cotidiana, asícomo en la comprensión de diversos fenómenos, es muy importante, porque permite formular
predicciones y establecer con precisión posibles comportamientos. Esta es una importante habilidad
matemática que utilizaron diversas culturas prehispánicas para elaborar prendas de vestir, esculturas y
paredes de edificios con hermosos y precisos diseños geométricos.
Tran sform aci o n es geom étri cas:
isometrías
Una isometría es una transformación geométrica que consiste en aplicar
un movimiento a una figura sin que esta cambie de tamaño ni de forma.
Existen tres tipos de isometrías: la traslación, la rotación y la reflexión.
Una forma de obtener patrones geométricos
es mediante las transformaciones geométricas.
Una traslación es el desplazamiento de una
figura a lo largo de una recta y en un mismo
sentido (ver figura 27.1 ).
La rotación consiste en rotar una figura alre-
dedor de un punto de rotación, de tal manera
que cambie la posición y ubicación de ella (ver
ftgura 27.2).
Punto de rotación +
Figura27.2
La reflexión se produce cuando se mueve una figura sobre un eje, de forma in-
vertida. En este caso, cambia la posición y la ubicación de la figura. Un ejemplo
de este tipo de transformación se presenta en lafigura27.3.
Eje de reflexiónz Figura 27.3
Se puede emplear una combinación de varios tipos de transformaciones
geométricas para formar un patrón. La figura 27.4 es un ejemplo de cómo
combinar los movimientos de traslación, reflexión y rotación de varias figuras.
La combinación de transformaciones geométricas suele utilizarse en la crea-
ción de logotipos y emblemas de empresas o productos.
Figura 27.1
Las transformaciones
geométricas se utilizan en
varios campos como la
ingeniería, la arquitectura, la
programación computacional,
el estudio de imágenes
satelitales, la medicina, el arte,
entre otros.
'
V
Conexiones
El motor de un automóvil
combina movimientos de
rotación y traslación: los
pistones se trasladan y con
el árbol de levas generan un
movimiento de rotación que
hace que el automóvil se
mueva.
Recuerda
Figura27.4
@
Tema 27
,§

66. .
Sección central
Patrones geométricos
Un patrón es una secuencia lógica que siguen números, figuras, objetos o su-
cesos; se construye siguiendo una regla (algoritmo), ya sea de repetición o
recurrencia. Los patrones se encuentran en mosaicos, grecas, frisos o baldosas;
a veces se presentan como ornamentos de un conjunto de objetos, las suce-
siones de números (pares, primos, compuestos, capicúas, etc...).
Un patrón geométrico es una sucesión de figuras geométricas que se
repiten formando un patrón. Un patrón geométrico se basa en algunas de
las características de las figuras que lo forman, como la forma, el color, el
tamaño, el número de lados, la posición o el número.
El núcleo o figura base del patrón
Figura 28.1
En un patrón geométrico, hay figuras geométricas que sufren transformacio-
nes como las referidas a la reflexión, la traslación y los giros o rotaciones.
Transformaciones de reflexión
Eje de reflexión
Figura 282
Transformaciones de traslación
Traslación
>
rQ
t
Revisa el libro El mentor de
matemáticas, de Gispert y
Navarro. Alli podrás desarrollar
ejercicios y profundizar en lo
aprendido.
Módulos de biblioteca
@
Figura 28.3
Tema 28
¡-

67. Transformaciones de rotación
Figura 28.4
Posición de un patrón geométr¡co
Está determinado por la orientación con respecto a un objeto; por ejemplo,
izquierda, derecha, adentro, afuera, adelante y atrás.
Figura 28.5
En la figura 28.5, podemos observar que la figura cambia mediante posiciones
o formas.
Cuando aparecen varias figuras, estas pueden seguir su propio movimiento
o funcionar dependiendo del cambio de otra figura; cada secuencia sigue su
propio modelo.
Los árboles son un ejemplo
de patrón geométrico
natural, porque se valen de la
bifurcación para conformar
su copa base. Así, un tronco
se divide en dos ramas y,
sucesivamente, cada rama va
bifurcándose hasta su límite.
¡F* Ejemplo t
I ¿Ore
figura aparece en la posición 55?
[
,,nuu 1 Figura 2 Figura 3
ffi
Solución
§
f t patrOn observado está formado por un c
I
un cuarto de vuelta en sent¡do antihorario
I
Oosición 1, se repite cada cuatro figuras; I
I
tenemos 13 grupos de cuatro figuras; así:
I
La posición 1 corresponde a la figura 53.
!
U posiciOn 2 corresponde a la tigura 54.
. Entonces, la posición 3 corresponde a la figura 55
Figura 4 Figura 5
Posición
'l
Posición 2 Posición 3 Posición 4 Posición 5 ...
Figura 28.6
onjunto de figuras, las cuales rotan
. Asimismo, la figura que está en la
uego, para llegar a la posición 55,
@
tigura 28.7

68. t-#
Ejemnlo z
|
¿au¿
figura está en la posición 49?
I figura I Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6
.
Sección central
La palabra "patrón" proviene
del latÍn pater(padre). Se usaba
antiguamente para referirse
al "modelo" o "molde" que
servía para hacer otro igual.
De ahíque "patrón" sea algo
que se repite. Por ejemplo,
para fabricar un pantalón, los
costureros o sastres utilizan
patrones de papel que colocan
sobre la tela antes de cortarla,
así pueden hacer Ia cantidad
de pantalones que deseen.
Solución
El patrón observado está formado por un conjunto de figuras,
las cuales rotan 150 en sentido horario. Asimismo, la figura que
está en la primera posición se repite cada cuatro figuras; luego,
para llegar a la posición 49, tenemos 12 grupos de 4.
Entonces, la figura 49 corresponde a la figura de la posición 1.
Posición I Posiclón 2 Posición 3 Posición 4
ABCD
Posición5 Posición6...
Flgura 28.8
Figura 28.9
Patrones cíclicos
Cuando una secuencia de figuras muestra una frecuencia o periodicidad,
se puede observar un patrón adicional, un crecimiento o decrecimiento
constante cada cierto periodo. Este patrón se denomina cíclico.
dP -
Ejemplo
Para la celebración de la fiesta patronal de una comunidad, se encargó a los
estudiantes de primer grado de Secundaria la elaboración de cadenetas, se-
gún el diseño que muestra la figura 28.10.
Figura 28.10
De acuerdo con este diseño, cada eslabón de la cadeneta mide 10 cm de
ancho x 20 cm de alto. Si los estudiantes deben elaborar una cadeneta de
10 m de largo,
¿cuál
será el diseño de la última pieza?
Solución
Observamos que en la cadena hay patrones que se repiten;estos reciben el
nombre de patrones cíclicos. Entonces, lo primero consiste en identiflcar la
secuencia y orden en estos, con el fin de establecer cuál será el diseño de la
pieza que ocupará la última posición.
Cada cuatro eslabones (A, B, C, D), se repite el patrón (ver figura 28j1).
a
I
@
Figura 28.1 1
que...?

69. La caracterÍstica principal de
un patrón es la regularidad,
es decir, la inclusión de
elementos iguales o que
presentan una relación
siempre igual entre sí.
Recuerda
Si los eslabones miden 10 cm de ancho, el patrón de figuras se repetirá cada
40 cm. Entonces, para saber cuántas veces se repetirá el patrón en la cadeneta
de 10 m, convertimos los metros en centimetros: 10 m = I000 cm; luego rea-
1 000
llZamOS la OlVlSlOn:
-ff:
Zl
La cadena se repetirá exactamente 25 veces, por lo que el último eslabón de
la cadeneta será D.
Si la cadeneta midiera 5 m, entonces, el patrón se repetiría I2,5 veces, porque
500 _1
n
:12,5,esdecir,121.
Por tanto, el último eslabón de la figura será el B, pues es el que se ubica a la
mitad del patrón.
Los patrones cíclicos se pueden generar combinando transformaciones
geométricas, como se muestra en las figuras 28.12,28.13 y 28.14, donde se
combinan figuras de traslaciones, rotaciones y de reflexión. Estos patrones se
denominan isometrías.
.'F5
EiemPlo 1
Figura2B.12
El patrón o diseño se repite cada tres figuras
Ejemplo 2
AVAVAV
*
El patrón o diseño se repite cada dos figuras.
Ejemplo 3
El patrón o diseño se repite cada dos figuras.
Figura 28.13
@
XXXXXXXX XX
\Z\7
Figura 28.14

70. Progresión aritmética
Un sistema nuevo de regadío para jardín cuesta S/ 2370. Con el paso del
tiempo, su valor se deprecia o disminuye. Si su valor disminuye 5/ 150 cada
año, ¿cuál
será el valor del sistema de regadío después de 9 años?
Para saber cuánto valor perderá el sistema de regadío, podemos plantear una
sucesión numérica. El patrón es -150. Para obtener el siguiente término, se le
resta
'150
al anterlor.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2370 2220 2070 1920 1770 1620 1470 1320 1170
Tabla 29.1
El sistema de regadio valdráS/ 1170.
En la progresión que se forma, el primer término es 2370', el segundo, 2220, y así
sucesivamente. El noveno término es 1 I70.
Un conjunto de números escritos en un orden específico de acuerdo con
una propiedad o ley de formación de sus elementos es una sucesión. A
estos números se los conoce como términos de la sucesiÓn.
Al caso particular de una sucesión, cuyos términos se obtienen sumando una
misma cantidad al término anterior, se lo denomina progresión aritmética.
A continuación, se muestran dos ejemplos de progresiones aritméticas:
13; 17; 21; 25; 29..... 43; 37; 3'l; 25; 19.....
,.-__ A _ i,
^..
A ,. A, A' 4. i
+4 +4 +4 +4 -6 -6 -6 -6
Geométricamente, los casos anteriores se pueden representar como se muestra
en las figuras29.l y 29.2. Usaremos las letras A, B, C, D y E para representar los
puntos que tienen como coordenadas el lugar del término en la progresiÓn y
su correspondiente valor. Por ejemplo, las coordenadas del punto A (1, 13) en
la figura 29.1, indican que el primer término de la progresiÓn es 13.
Progresión creciente Progresión decreciente
Consulta la siguiente página
web:
http://www.a u lafaci l.
com/cursos/110844/
ciencia/matematicas/
prog reslones-aritmeticas/
prog resiones-aritmeticas-
simbolo-de-u na-progresion-
a r¡tmetica-terminos-y-
d iferencia-de-u na-prog resion-
aritmetica
30 lE
t
50
40
30
20
10
C
l
12345
@
2 3 4 5
Figura29.1 Figura 29.2
Tema 29
.
Sección central
E
Año
Valor
iA
Trc

71. Se sabe que
t,: primer término
[,: término n-ésimo
d: razón aritmética
n: número de términos de la
PA
Dada la PA
n-1d:t -t
Glosario
Razón
Denotaremos los términos de una progresión aritmética (pA) de la siguiente
manera:
tt t2; t3;....t,_,;tn
En una progresión aritmética (PA), a la diferencia común también se la deno-
mina razón aritmética y se suele denotar con la letra d. Esta diferencia común
se obtiene al restar dos términos consecutivos cualesquiera, es decir, al restar
un término cualquiera menos eltérmino que lo precede.
d : t,- tn-,
t,:Término n-ésimo
En la progresión aritmética (PA) 7;11;15;y 19,|a razón aritmética es 4, que se
obtiene de
19-15=4; 15-11=4; 11-7=4
Término n-ésimo
El término n-ésimo de una progresión aritmética, cuyo primer término es t, y
cuya diferencia común o razón es d, está dado por la siguiente fórmula:
t,: t,+ (n - l)d
si conocemos el primer término de una progresión ar¡tmética y la razón d, po-
demos usar la fórmula para hallar cualquier término de la progresión.
Ejemplo 1
Calcula el término vigésimo de la progresión definida por [, = -5 y d = 3.
Solución
Sabemos que r/ = -5 d = 3 y debemos hallar el término vigésimo (n = 20).
Reemplazamos en la fórmula y tenemos lo siguiente:
fro=-5+(20-1)3
lro=-5f-57=52
r r Ejemplo 2
En una progresión aritmét¡ca, se conoce que el primer término es B y la razón
es 4. Halla el vigesimoquinto término.
Solución
ldentificamos los datos:t, = B; d=4;n = 25. Eldato desconocido es t,
Reemplazamos en la fórmula.
l,=t,*(n-1)d
frr=B+(25-1)4
¿rs
-
I U.+
Luego, el vigesimoquinto término es
,l04.
Revisa el llbro Cuentos de
matemóticas, de Hervás. Esta
obra te ofrecerá aprendizajes
que requieren de tu
creatividad.
Módulos de biblioteca
@
É
r

72. a$ Ejemplo 3
En una progres¡ón ar¡tmét¡ca, se conoce que el término de lugar 72 es 408 y
que la razón es 6. Halla el primer término.
Solución
Organizamos los datos conocidos.
r : Lnq,
,D
n=72
d=6
El dato que debemos calcular
es r/.
Solución
Organizamos los datos
t =682
n
d=B
En este caso, debemos hallar
el valor de n.
Reemplazamos en la ecuaclón
t,= t,l (n - 1)d
408=tt+(72-1)6
408=t +426
408 - 426: t
I
l. = -18
Reemplazamos en la ecuación
tn= t,t (n - 1)d
682=10+(n*1)B
682*10=B(n-1)
672=B(n-1)
n=85
.
Sección central
El primer término es -18
Ejemplo 4
En una progresión aritmética, se conoce que el último término es 682; el pri-
mero es 10, y la razón es B. Halla el número de términos.
t, =10
El número de términos es 85
Ejemplo 5
En una progresión aritmét¡ca, se sabe que el primer término es 500 y el tér-
mino en la posición 40 es
'l
10. Halla la razón.
Solución
Organizamos los datos. Reemplazamos en la ecuación.
too=110 tn =tt+@-1)d
n=40 110=500+(40-1)d
t, = 500 -390 =39d
Debemos hallar d
390/39 = d
-10=d
La razón es -l0. Por tanto, se trata de una progresión ar¡tmética decreciente
Suma de términos
La fórmula para hallar la suma de términos de una progresión aritmética nos
permrte resolver problemas cotidianos, tales como hallar el número total de
latas dispuestos en un estante del supermercado (ver figura 29.3).
Exploremos una suma de términos de una progresión aritmética.
Revisa el libro El mentor de
matemóticas, de Gispert
y Navarro. Allípodrás
desarrol la r ejercicios y
profundizar en lo aprendido
Módulos debiblioteca
o
Figura 29.3

73. Figura29.4
Figura 29.5
La suma 1 + 2 + 3 puede ser representada como se muestra enlafigura29.4.
El doble de la suma puede ser representado como aparece en la figura 29.5.
?(a 3(l + 3)
1+2+3:;:
2
Se puede utilizarla misma estrategia para calcularla suma de I f 2 + 3 + 4 +
5 + 6 + 7 (ver figura 29.6)y escriblr una expresión similar a la siguiente:
i+2+3+4+5+6+ 7:7(1 !7) :7(-P :n
22
Generalizando este proceso, se puede establecer la fórmula para calcular la
suma de los n primeros térm¡nos de una progresión aritmética:
5, : [, + (t/ + d) + (t, + 2d) +... -f (fn + ó + tn
5, : [, + (f, + d + (t,+ 2d) +... t (t, + d) + tl
aC
-
lL r ¡
'z)n_
-rtñ) -r(¿,+1.) +(¡ +1,) +..+(r +t¡a
n(f'+l')
2
Por tanto, la suma de los n primeros términos (5J de una progresión aritmé-
t¡ca con n términos está dada por la siguiente fórmula:
5,
2
Figura 29.6
Ejemplo 6
Usando la fórmula anterior, calculamos la suma de los 20 primeros términos
de la siguiente progresión aritmética.
5+11 +17+23+......
Solución
Precisamos los datos.
r
-trL¡
-
J
II_ZU
d:6
Primero hallamos rrr.
tzo:tt+h-1)d
tro: 5 + (20- 1)6: 119
Ahora, calculamos 5rr.
n(t/ + r,)C
2
20(s + 1 19)
: 1240
e
Y
Leonardo de Pisa (1170-1250),
matemático italiano, conocido
como Fibonacci. Se le
reconoce por haber propuesto
una suceslón numérica en la
que cada número es la suma
de los dos anter¡ores: 1, 2, 3,
5, 8, 1 3, 21 ,42,.. Esta sucesión
se ha usado en matemáticas,
computación y biología
para describir la relación que
guardan entre si las ramas de
los árboles, además de otras
importantes aplicaciones.
)
Dato histórico
C
2

74. . esliUüializadas '
.
Sección final
La cruz con brazos iguales es un
símbolo complejo. Representa el
cielo, la lluvia y la vida. También,
es un símbolo cosmológico o
una representación.
Diseño de cadenilla que repre-
, senta la unión de todas las comu-
nidades mapuches.
Pichikemenküe significa en la cul-
tura Mapuche t¡naja o jarrón de
greda.Las t¡najas están represen-
, tadas por los diamantes más pe-
queños. Los diseños, excepto los
diamantes, son külpe ñimin, que
representan garfios.
En el antiguo Egipto, con la crecida del rÍo Nilo, se inundaban los cam-
pos y con ello se fertilizaba la tierra. De este modo, después de las tem-
poradas de lluvia, los egipcios trazaban de nuevo las áreas destinadas
a los cultivos (ahí nace la geometría, de la necesidad de medi0. Ac-
tualmente, muchas prácticas agrícolas involucran ldeas y conceptos
matemáticos. Por ejemplo, el sembrado en línea ayuda a ahorrar semi-
llas, controlar malezas y obtener plantas más vigorosas. La siembra de
semillas debe hacerse en líneas a una distancia de B a 10 cm, haciendo
surcos poco profundos.
Los pobladores de la cultura Paracas crearon prendas textiles como mantos y tejidos, en los que se aprecian
patrones geométricos cuyo significado es un misterio, aunque los historiadores y otros expertos tienen muchas
hipótesis sobre su significado.
De acuerdo con Alicelli y Crespo (201 1), el conocimiento geométrico que poseÍan las diversas culturas, grupos
y civilizaciones prehispánicas (mayas, incas y el pueblo ltlapuche), ha sido plasmado en una manifestaciÓn
cultural asociada a la confección y diseño de tejidos text¡les. Esta práctica fue usada por estos grupos para re-
presentar, entender, modelar e interpretar situaciones del entorno cultural, social, natural, fenómenos naturales,
transmisión de información, creencias religiosas y místicas, valores, rasgos culturales, identidad, pertenencia a
una clase social o clan y cosmovisión, a través de colores, símbolos y patrones geométricos.
lHl
Símbolo llamado Cruz andina.
En las culturas andinas, es el más
común. Significa la eternidad de
dichas culturas. Generalmente,
es un símbolo usado por el lonko
(efe de una comunidad indÍ-
gena).
Figura de cadenilla que simboliza
la unidad de las comunidades
mapuches.
CRUZ
CRUZ
SIN¡ÉTRICA
IMAUIIVIN
PICHIKEI\¡ENKÜE
con «ÜLPUwr
ÑIH¡IN
llm+ll
A/AUÑIMlIN
#
I
t§l
I
Diseño de estrella con las seis
puntas principales, con un poco
más de detalle y corresponden-
cia en relación con la cosmovi-
sión mapuche.
WANGÜLEN
Ir4icelli, l\zl. y Crespo, C. (201 1). La geometría entretejida. Revista Latinoamericana de EtnomatemÓt¡ca,4(1),4-20.
Recuperado de http://www.redalyc.orglarticulo.oa?id =27 401 9440001
Huapaya, E. (201 2). La etnomatemát¡ca: Perspectivas pedagógicas y de investigación.lPonencia del lll
Encuentro de estudiantes de matemática y Física. IPNA/ (2012)1. Recuperado de http://es.slideshare
net/enriqueh ua paya 1/iii-encuentro-de-estudia ntes-de-matematica-fisica
Schultz,.J. y Ellis, W. (2004). Álgebro 2. California, EE. UU.: Editorial Holt, Rinehart y.Winston.
a
a
Bibliografía
a
Patrones matemát¡cos y prácticas soc¡ales
Diseño textil Significado Diseño textil Significado

75. Orqanizador
visual ,
Traslación
Rotación
Reflexión
Fórmula general
tn: t1 * @-1)d
Desplazamiento
de una figura a lo
largo de una recta;
cambia solamente
la ubicación de la
figura.
Transformaciones
geométricas
Cuando se gira una figura
sobre un eje de rotación,
cambia la posición y
ubicación de ella.
l!ll
I
Cuando se invierte una
figura sobre un eje de
reflexión, cambia la
posición y ubicación de
ella.
1i
i:l
Progresión
aritmética
Ecuación para hallar el
primer término
tr : fn- @-1)d
Ecuación para determinar la
razón aritmética
, f,-t,
o:-- -
n- |
@
A-B
AC
,'/
\,
ri X
3-2-rOt 23
A
F
X
4 .3 -2 -l o I 1 3- ¡-

76. *
Sección final
o.
Angélica y Javier fueron de visita a Tambopata, pues querían
visitar los lugares turísticos que ofrece este lugar. La tía de
Angélica les recomendó a un guía turÍstico muy conocido en
esa zona, para que los ayudara a conocer el lugar.
Él los llevó a un mariposario y les comentó que en 'un periodo
de 4 meses, el nacimiento promedio de las mariposas fue de
la ma nera sig u iente: 34,5
o/0,
37
o/o,
39,5
o/o
y 42
o/o"
.
De continuar así,
¿cuál
podría ser el porcentaje de nacimiento
de mariposas para el octavo mes?
Pasos para la resolución del problema
Comprendemos el problema
Deseamos saber el porcenta;e de nacimiento de mariposas en el octavo mes tomando los
valores promedio de los primeros cuatro meses (34,5o/o,37 o/o,39,5o/oy
420/o).
qo
@o
cqp
aa
ro ro
'01
.9
§ü
(o \_
L
tñú
LlJ
-C
Diseñamos una estrategia
Aplicaremos la estrategia Buscar un patrón. Primero, se determinará la diferencia entre los
porcentajes consecutivos. De ser una cant¡dad constante, se la utilizará para calcular el por-
centaje promedio del quinto, sexto, séptimo y octavo mes.
Aplicamos la estrategia heurística: Buscar patrones
La diferencia entre cada promedio consecutivo durante los primeros cuatro meses fue el va-
lor constante de 2,5
o/o.
Por tanto, el porcentaje promedio del quinto, sexto, séptimo y octavo
mes será 44,5
o/0,47 o/0,49,5 0/oy
52
0/0,
respectivamente.
Transferimos lo aprendido
La diferencia entre cada promedio consecutivo durante los primeros cuatro meses fue de
2,5.Por tanto, es razonable esperar que, de continuar asi(este patrón), elvalor promedio del
quinto, sexto, séptimoyoctavo mes serán 44,5o/o,47
o/0,49,50/oy
52
0/o,
respectivamente.
El promedio esperado de nacimiento de mariposas en el octavo mes podria ascender a 52
o/o.
@9
@
I
*1
t
L.. .
tt
B*,
r.-
r.G
?G
"1

77. Ecuaciones lineales
lntencionalidad pedagógica
En este capítulo aprenderás acerca de ecuaciones lineates y de cómo utilizar
modelos para resolver o plantear problemas. También conocerás la manera de
expresar enunciados verbales en lenguaje matemático, justificar cuando una
ecuación es posible a partir de su conjunto solución y cuándo dos ecuaciones son
equivalentes. Asimismo, abordarás la interpretación de gráficas en situaciones
que implican ecuaciones de primer grado.
Capítulo
rh
f
Los parques de Lima son
un gran atractivo para los
visitantes. Algunos de ellos
son el Parque Kennedy, el
Parque de la Amistad y el
Parque de la Reserva.
¿Cuánto es el ingreso
generado por la visita al
Parque de la Reserva en un
año?
El turismo es una de las
principales actividades
económicas del Perú.
¿Qué beneficios
económicos trae el turismo
a nuestro país?
¿Conoces el número de
turistas que ingresaron al
Perú el año pasado?
76
m
r-:
;,L
¡
Los incas desarrollaron
tecnologías agrícolas
para domesticar la papa.
Actualmente, algunos
productores venden papa
a mercados de Europa.
¿Conoces las cifras de
exportación de papa al
continente europeo en los
,,
últimos cinco años?

78. Antes de com enzar ten en cuenta
. Operaciones: combinadas enZ
. lgualdades:definición,característ¡cas
o Fracciones: definión, clases
.
Sección inicial
Conceptos clave
o Expresiones: algebraica y cotidiana
¡ Ecuaciones:características, interpretación
g ráfica, lineales, equivalentes,
transformaciones a I gebra icas, sol ución
Aprendizaies esperados
o Codifica condiciones de igualdad considerando expresiones algebrai-
cas al expresar modelos relacionados con ecuaciones lineales con una
incógnita.
Matematiza
situaciones
o Usa modelos referidos a ecuaciones lineales al plantear o resolver pro-
blemas.
o Expresa condiciones de equilibrio y desequilibrio a partir de interpre-
tar datos y gráficas de situaciones que implican ecuaciones de primer
grado.
o Establece conexiones entre las representaciones gráficas, tablas y símbo-
los y la solución única de una ecuación lineal dada.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
¡ Realiza transformaciones de equivalencias para obtener la solución de
ecuaciones lineales.
Elabora y usa
estrategias
. Emplea recursos gráficos para resolver problemas de ecuaciones
lineales.
¡ Justifica cuándo una ecuación es posible a partir del conjunto solución.
o Justifica cuándo dos ecuaciones son equivalentes considerando el
conjunto soluciÓn.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
equivalencia y
cambio
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
o Plantea conjeturas a partir de casos referidos a los criterios de
equivalencia.
lndicadoresCompetencia Capacidad
@

79. r lntroducción
La mayoría de problemas cotidianos y Ios retos que enfrentamos diariamente pueden resolverse
mediante las ecuaclones. Podemos hacer uso de expresiones, interpretar enunciados de situaciones
problemáticas y traducirlos en ecuaciones. Por ejemplo, utilizamos las ecuaciones cuando queremos
determinar la cantidad de turistas que ingresan a nuestro país con respecto al año anterior o las cifras
de exportación de papa en los últimos cinco años, entre otros.
En síntesis, las ecuaciones son de gran utilidad en nuestra vida cotidiana: podemos interpretar
situaciones problemáticas y resolverlas.
Características de una ecuación
Julián compró 5 cajas de CD. Cada una con 6 discos. Soraya compró una caja
de 25 discos y 5 discos sueltos.
¿Quién compró más discos?
5x6=30 25+5=30
Vemos que los dos compraron el mismo número de discos: 5 x 6 = 25 + 5. Esta
expresión muestra la igualdad de dos expresiones aritmét¡cas.
Analicemos ahora situaciones en donde hay un término desconocido.
con la compra que hizo -lulián completó 45 discos.
¿cuántos tenía antes? Este
interrogante se traduce en la expresión: 30 * n = 45, la cual podemos escri-
bir de otra forma si usamos una letra para representar el valor desconocido:
30+d=45.
Para representar el número de discos que tenía Julián escogimos la letra d. Esta
última expresión es una ecuación.
En la situación anterior, para hallar el valor de d restamos 30 de 45:
d:4s -30: is
Julián tenía 15 discos.
@
5i dos expresiones aritméticas dan como resultado el mismo número,
obtenemos una igualdad.
Una ecuación lineal de primer grado con una incógnita es toda expresión
de la forma ax + b = 0, donde a * 0.
La solución de una ecuación es un número que al reemplazarse en la
ecuación la transforma en una igualdad numérica. Hallar la solución de
la ecuación significa resolverla.
Tema 30

80. .
Sección central
En la ecuación3x-B = T,xeslaincógnita.
I L ."nrndo miembro
f-
H
"U
II
Primer miembro
3(1)-B=7(Falso)
3(5)-B=7(Verdad)
En este caso, verificando valores, 5 es una soluciÓn de la ecuaciÓn
lnterpretación de gráficas
lnterpretación 1
Unatablet costaba S/ 2500 en el 2008. En el 2010, una tablet similar costaba
S/ 2250 y en el 2012, S/ 2000. Asumiendo que el precio sigue bajando a la
misma tasa,
¿cuál
será el precio de la roblet en el 201 B?
Tenemos dos magnitudes que están involucradas, y se aprecia que una de-
pende de la otra. De acuerdo con la información propuesta, el precio del artí-
culo depende del tiempo; por ello, registramos esta relación en la tabla 30.1.
2008 2500
20'r0 2250
2012 2000
2014 1750
Tabla 30.1
Analizando la figura 30.1 podemos observar que a medida que aumentan los
años, el precio de la tablet disminuye. Además, por cada dos años que au-
menta, a partir del 2008, el precio disminuye en 5/ 250. Por tanto, diremos que
en el 20'l B la tablet podría costar S/ 1250.
lnterpretación 2
Un agricultor cultiva papa nativa Yuraq Tumbay en una zona de Huancavelica.
Esta papa tiene un rendimiento de 1,2 kg por planta. De acuerdo con la infor-
mación de la tabla 30.2 y de la figura 30.2, ¿qué rendimiento se logrará si se
siembran 100 plantas?
En este caso, tenemos dos magnltudes que están involucradas: nÚmero de
plantas sembradas y el rendimiento de papa cosechada.
1,2(1) :
1,2
1,2(2) :
2,4
1,2(3) :
3,6
1
Rendirniento
Figura 30.1
a
-J
a
A
de k9)
.D
N." de plantas
2
3
4
1,2(4) :
4,8.
Tabla 30.2
Podemos observar que a medida que aumenta el número de plantas, el rendi-
miento de la papa cosechada también se incrementa. Respondiendo a la pregunta,
diremos que por 100 plantas sembradas tendremos un rendimiento de
'120
kg.
0
2
4
6
Precio (S/)Tiempo
(años)
N." de
Resuelve ecuaciones y
verifica tu respuesta: http://
www.aaa matematicas.com/
equ725x5.htm
V
Figura 30.2
@
Preclo (S/)
B
a
C
a
500
5
Tiempo
2
Rendimiento
(N," de Kg)
Tlc

81. Ecuaciones eq uivalentes
Expresión
algebraica
x- 30
3(x+ 15)
x*30
lt/i edad
disminuida
en 30
Tabla 31 .2
Interpretación
Representamos simbólicamente cada una de las expresiones planteadas en la
tabla.
Carmen resolverá 5 ejercicios más
que Laura. Entre las dos, resolverán
20 ejercicios.
Carmen:x + 5
Laura:x
x +x +5=20
4x-t 15
Arlanuel y Gladys repartieron entre los
dos 100 caramelos. Gladys recibió 15
caramelos menos que llanuel.
fMary, Karen y Carmen comprarán una
refrigeradora por un monto de S/ 2500.
Carmen colaboró con S/ 100 más que
I'Aary,y Karen colaboró con S/200 menos
que lt/ary.
IManuel:x
Gladys: x- 15
x+x-5=100
It(ary: x
Karen: x - 200
Carmen:x +
'100
x+x-200+x+100=2500
2(x+y+50)
2y-3x
Ayer:x
Hoy:x+5
x+x+5=29
Tabla 31 .1
3il
t
Ejemplo 1
Determina si4x -1= 7 y 3x - 4 =2 son equivalentes.
Solución
En la primera ecuación 4x - 1 = 7, tenemos que paa x = 2 se cumple lo
siguiente: 4(2) - 1 = 7, entonces,T =7.
En la segunda ecuación 3x - 4 = 2, tenemos que para x =2se cumple lo
siguiente: 3(2) - 4 = 2, entonces, 2 = 2.
¡ Por tanto, son equivalentes.
¡
r Ejemplo 2
Determina si2x + 5 = 17 y 4x + 10 = 34 son equivalentes.
Solución
En la primera ecuación 2x + 5 = 17, tenemos que para x = 6 se cumple lo
siguiente:2(6) +5= 17,entonces, 17 =17.
En la segunda ecuación 4x + 10 =34, tenemos que para x = 6 se cumple lo
siguiente: a6) + 10 = 34, entonces 34 = 34.
r Por tanto, son equivalentes.
Dos o más ecuaciones son equivalentes si poseen el mismo conjunto
solución.
@
Tema 31
Hoy gasté S/ 5 más que ayer y en los
2 dias gasté en total S/ 29.

82. - Sección central
Resolución de ecuac¡ones:
transformaci ones algebrai cas
Resolver una ecuación significa determinar el valor de la incógnita que satisface
esa ecuación. Para resolver una ecuación, podemos utilizar las propiedades de
las igualdades.
Propiedad de las igualdades
¡ Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta un mismo nú-
mero,la igualdad se mantiene.
Sia=b,entonces:
a-fc:b1-c
a - c: b-c
o
Si a los dos miembros de una igualdad se los multiplica o divide por un
número dlferente de cero, la igualdad se mantiene.
Sia=b,entonces:
aXc:bxc
a+c:b+c(c*0)
1. Sumar o restar a los dos miembros de la ecuación una misma cantidad
2x+5=9
9x=x+24
5x-7 = 1B
4x=16-3x
Al restar 5, se transforma en
2x+5-5=9-5
2x=4
Al restar x, se transforma en
9x=x+24
9x-x=x+24-x
Bx=24
Al sumar 7, se transforma en
5x-7 = 18
5x-7 +7 =18+7
5x =25
Al sumar 3x, se transforma en
4x=16-3x
4x+3x=21-3x+3x
7x=21
Las ecuaciones lineales nos
permiten resolver problemas
de diversa índole. Las
situaciones pueden estar
relacionadas con números,
edades, f igu ras geométricas,
dinero, entre otros.
V
Conexiones
o
Tema 32
,9

83. 5
3
25
2 3 3
Y= l!.,9
Al dividir por 5, se transforma en
5x+5=25+5
x:5
3. lntercambiar miembros de la ecuación
Una regla práctica de aplicación de las propiedades anteriores en Ia resolución
de ecuaciones es la transposición de términos.
La ecuación ax * b: c es equivalente a la ecuación ax- c :
- b.
2. Dividir o multiplicar por un mismo número (distinto de cero)
a ambos miembros
Al multiplicar por 3, se transforma en
X
--
3
3'! =3'7
3
x =21
Al multiplicar por
2
5,
se translorma en
3x
2
3xZ
3
ejercicios para que pongas en
ecuaciones lineales.
Revisael libro
práctica las
Módulos de biblioteca
?
Las expresiones o números que están sumando en una de las partes de la
ecuación pasan a restar al otro lado y viceversa.
Por ejemplo, en la ecuación 3x * 6 = 30, podemos sumar el opuesto de 6 a
ambos lados de Ia ecuación y tendremos Io siguiente:
3x+6+(-6)=30+(-6)
3x=30-6
3x=24
lgualmente, los números o expresiones que están dividiendo a todo un
miembro de la ecuación pasan al otro lado a multiplicar a todo y viceversa.
En el ejemplo considerado, dividimos por 3 a ambos lados de la ecuación:
3x
-24
33
X:B
@
X
*,
3-
/
3x5
23
5x=25

84. ¡:i Ejemplo 1
Una balanza tenía determinada cantidad de azúcar en su plato ¡zquierdo.
Después de agregar a este plato 480 g de azÚcar,la balanza alcanzÓ el equili-
brio. Si en el plato de la derecha quedaron 735 g,
¿cuánto
azúcar había en el
plato izquierdo?
Solución
Realicemos una gráfica de la situaciÓn (ver figura 32.1).
Llamemos x a la cantidad de azúcar inicial en el plato izquierdo. Después de
agregar 480 g de azúcar a este plato, la balanza quedó en equilibrio. Como
en el plato de la derecha había 735 g, modelamos la situación con la igualdad
x + 480 =735.
Para solucionar la ecuación lineal que modela la situación inicial, debemos
hallar un número que al sumarle 480 dé cómo resultado 735. ¿Cómo
pode-
mos hallar el número?
x + 480 =735 Ecuación planteada.
x + 4BO - 480 = 735 - 4BA Restamos 480 a ambos lados de la igualdad
x=255 Obtenemos la soluciÓn.
Obtenido el valor de X verificamos el resultado.
x + 480 = 735 EcuaciÓn inicial.
255 + 480 = 735 Reemplazamos x por 255.
735 =735 Sumamos en el lado izquierdo.
Lo anterior significa que la cantidad de azúcar que había originalmente en el
plato izquierdo era 255 g.
r r Ejemplo 2
A finales del 2010, una firma petrolera confirmÓ el hallazgo de un nuevo pozo
de petróleo a una profundidad de 3075 m en la selva peruana. Si en prome-
dio cada día se perforaban 123 m,
¿cuántos
días transcurrieron para hallar el
pozo?
Solución
Para responder la pregunta, vamos a plantear y a resolver una ecuación.
I número de días necesarios para encontrar el pozo.
Podemos representar la profundidad total del pozo como -123 x t, porque
cada día se perfora una profundidad de -123 m. Como la profundidad total
del pozo es 3075 m, entonces:
-123xt=-3075 Ecuación propuesta
-123xt
-
-3075
Dividimos a ambos lados por 123.
-123
1 xt:25 Aplicamos la propiedad del elemento
neutro de la multiplicación.
' Sección central
Figura 32.1
Revisa el llbro Cuentos de
matemáticas, de Hervás. Allí
encontrarás ejemplos que
te permitirán afianzar tus
conocimientos.
Módulos de biblioteca
t=25
123
q
a
7359x

85. Reemplazamos el valor obtenido en la ecuación planteada. Si I = 25, entonces
-123 x25 = -3075.
En este caso, para encontrar el pozo, fue necesario perforar durante 25 dias.
=..t
Ejemplo 3
Luis preguntó a su primo Carlos sobre su edad y este le respondió asi:
"Si al triple de los años que tendré dentro de tres años le restaras el triple de
los años que tenia hace tres años, obtendrías la edad que tengo ahora".
¿Cuál es la edad actual de Carlos?
Solución
1. Realiza una tabla con los datos del problema.
x- 3 años x*3años
Tabla 32.1
2. Resolvemos.
3(x+3)-3(x-3)=x
3x*.9-3x19=x Aplicamos la propiedad distributiva de
la multiplicación.
Ecuación inicial
Resolvemos la ecuaciónlB=x
Luego, Carlos tiene I B años.
Ejemplo 4
Resolvemos la ecuación 2x - 3x * 7x = 54.
Solución
En el procedimiento, usamos una de las formas equivalentes de notación
para la multiplicación.
2x - 3x + 7x = 54 Ecuación inicial.
(2-3+7)x=54 Aplicamos la propiedad distributiva de la
multiplrcaciÓn.
6x = 54 Realizamos las operaciones.
x=9 Resolvemos la ecuación.
x años
Edad de Carlos
@
Edad hace 3
años
Edad actual
Edad dentro de
3 años

86. - Sección central
Écuac¡ones confracciones
Las ecuaciones con fracclones son una manera sencilla de operar, ya que
contribuyen a reducir el número de errores de cálculo y el tiempo en que se
realiza la operación.
¡i}
eiemPlo r
En una tienda naturista,
I
a. tot cl¡entes compraron té verde,
rt
.ororrron
té de frutas tropicales, V
f
.orpr.uron té de hierbas. ¿Qué
fracción de los
cllentes compró otro tipo de té?
Solución
Escogemos la letra x para representar la porciÓn de clientes que comprÓ otro
tipo de té y escribimos una ecuaciÓn que relacione los datos del enunciado.
!*Z*Z*r=1
3 15 5
13
-+x=
I
t5
ri:)* 1i
*,= (-E)
2
ll! v--
w t A- -_
t5
2
15
, rZ
d. lo, clientes compraron otro tipo de té.
¿Qué
numero al restarle 3 da como resultado
Ecuación planteada.
Resolvemos las adiciones del lado izquierdo.
Sumamos el opuesto O" P a ambos lados
de la ecuacrón.
'15
Aplicamos la propiedad delelemento neutro.
q
B.
+1
Ejemplo 2
It/ario lee en eltablero de kilometraje de su carro que ha completado
12748,7 km de recorrtdo. A los 20 000 km, debe llevarlo a revisión. ¿Cuántos
kilómetros faltan para la revisión?
Solución
Llamemos x a la cantidad de kilómetros que le faltan y escribamos la ecua-
ción.
12748,7+x=20000
12748,7 + (-12748,7) + x=20 000 + (-12748,7)
x = 7251,3
Faltan 7251,3 km para la revisión.
Ejemplo 3
Solución
Llamemos x al número que buscamos.
5 - 5 - ^5
x-3:á x-3+3=á*3 ,:rB
@
Una ecuación puede tener
coeflcientes enteros o
coeficientes fracciona rios.
Recue rda
El opuesto y el recíproco de
un número fraccionario I
b
diferente de cero son
Para simplificar expreslones
algebraicas, primero se
suman de manera separada
las variables (si hay más de
una) y luego se suman los
números.
a
b
a
v
a
b
a
Recuerda
Utiliza el m. c. m. para eliminar
los denominadores y expresar
en forma equivalente una
ecuación.
Recuerda
Tema 3 3
a
a

87. En la escritura de una
multiplicación, se puede
eliminar el signo X cuando
los factores no son solamente
numéricos. Por ejemplo,
241 x f: 241 f.
Recuerda
El número que al restarle 3 da como resultado
I
es:
Comprobemos que la solución es correcta.
29
B
tr
^J
5
-ñ
8'
29
-=-
E
29 _24
BB
B
_5
B
_5
B
=p
Ejemplo 4
-7
Los i
de los estudiantes de un colegio almuerzan en el comedor. si 5BB es-
ó
tudiantes almuerzan en el comedor,
¿cuántos estudiantes hay en el colegio?
Solución
Llamemos x al total de los estudiantes del colegio y escribamos una ecuación
que relacione los datos: I x = 5BB
8
Solucionemos la ecuación.
Ecuación original
5
B
'=(|)saa
5BBX
Z
B
Z
B
It/ultiplicamos a ambos lados por el reciproco del
coeficiente de x.
lx = 672 Efectuamos las multiplicaciones. Al lado izquierdo,
el producto de un racional y su recíproco es 1.
x= 672 Aplicamos la propiedad del elemento neutro de la
multiplicaclón.
En el colegio hay 672 estudiantes.
comprobemos la respuesta:{. 672=7'972 =5BB
88
Ejemplo 5
It/aría coloca cintas al borde de unos manteles navideños. cada mantel re-
quiere 4,75 m de cinta. Si I\4aría cuenta con 142,5 m de cinta,
¿para cuántos
manteles de igual longitud le alcanzará?
Solución
Llamemos x al número de manteles y escribamos la ecuación correspon-
diente.
4,75x = 142,5 Ecuación olqinal.
4,75 x 142,5Revertimos la operación de multiplicar por 4,75
dividiendo por 4]5 a ambos lados de la ecuación
x = 30 Efectuamos las divisiones
La cinta alcanza para 30 manteles.
Comprobemos la respuesla:4,75 .30 = 142,5
4,75 4,75
Conoce más ejemplos de
resolución de ecuaciones
lineales ingresando a la página
web n ttp://www.vitutor.
net/2/7 / ecuaciones*l i nea les.
html
@
(;)
Ttc

88. . es'ffiüializadas !
.
Sección final
La papa nativa peruana: un producto maravilloso
Cuando los biólogos quieren saber cómo funciona
un ecosistema y cómo preservarlo, tienen que con-
siderar una serie de factores, como la diversidad de
especies, los camblos en la poblaciÓn, la disponibi-
lidad de recursos, los ciclos cl¡mátlcos, los patrones
reproductivos, las interacciones entre las poblaclo-
nes, entre otros. Se deben tener en cuenta muchos
factores. Una manera de hacerlo es con ecuaciones
de diversos t¡pos, que combinan variables. Esto con-
tribuye a analizar cómo el cambio de una parte del
ecosistema afecta a las otras partes.
Precisamente, entre la gran variedad de semillas na-
tivas existe una variedad específica muy valiosa: la
papa Peruanita, que preserva y se mejora cada día.
Actualmente, es el producto más valorado en el mer-
cado europeo.
En diversas zonas del país, principalmente en Huancavelica y Huánuco, muchos productores y agricultores
son incentivados para cultivar este tubérculo, debido a los precios compet¡tivos que pagan diversos mercados
¡nternacionales.
Los ingresos de los agricultores que cultivan diferentes variedades de semillas pueden ser simulados por una
ecuación. Veamos.
/:lngresos
x:Unidades
Pr,: Precio semilla tipo 1
Prn:Precio semilla tipo n
l,(x): Pr,'x
ln(x): Pr,'x
Luego, lrorotrr: /, (x) *...* /n(x)
Este producto es muy impoftante para nosotros, pues 3000 de las 5000 variedades que existen en el mundo
son peruanas.
I
Brownfeld, P. (2004). l\lotemát¡cos: Aplicaciones y conceptos. Ohio, EE. UU.: Glencoe y fVlcGraw-Hill.
Carranza,C. (2001). ltlatemótica 1.Lima, Perú: lVlinisterio de Educación.
Centro internacional de la papa. (2006). Católogo de variedades de papa notiva. Recuperado de hnp://
ci potato.o rglw p-co nte n t/ uploads / 20 1 4 / 0B / 003 52a.pdf
Chumpitazi, IM. (201 2). tnfografía. La historia de la papa. Recuperado de https://infografiasos.files.wor-
d p ress.co m/20 1 2 / 06 / pap a jpg
Figueroa, R. (2006). ltlatematica Bósica. Lima, Perú:RFG.
a
a
a
a
Bibliografía
e
r&
L- &.;
*
v

89. Orqan izador
visual '
propiedades de las
igualdades
para
permiten
plantear
se solucionan
a partir de
gráficas
pueden tener incógnita
permiten
modelar
situaciones
ox=b
pueden ser de
la forma
Determinan
para
aplicando
debemos
tener en
cuenta
pueden
tener
ecuacrones
equivalentes
resolver
ecuaciones
transformaciones
algebraicas
Ecuaciones
lineales
Paso 1. Analizar la situación
Paso 2. Elaborar una lista de los
datos
Paso 3. ldentificar la incógnita
y asignar una variable
Paso 4. Escribir los datos en tér-
minos de la variable
Paso 5. Resolver la ecuación
planteada
Paso 6. Verificar la respuesta en
la solución
resolver
problemas
aX+c=b
coeficientes
fraccionaríos
x*a=b
@
)

90. ' Sección final
Una de las técnicas de modelación, por excelencia, a nivel elemental, la constituye el planteamiento de
ecuaciones. Lo primordial para poder aplicar esta técn¡ca con éxito es el entrenamlento en la traducción del
lenguaje cotid¡ano al lenguaje algebraico.
En la Feria de Ciencias del colegio, Luis
Enrique y sus dos amigos compraron Insumos
para diseñar y montar su experimento.
Accidentamente, en la boleta reclbida, se borró
el costo de tres frascos de agua destilada, Se
conoce que en la compra de recipientes y otros
insumos se gastó S/ a2 y que el gasto total
fue de S/ 60. ¿Cuánto costó un frasco de agua
destilada? Previamente, acordaron que cada
uno asumiría el gasto de un frasco.
Pasos para la resolución del problema
qo
@o
@0
Comprendemos el problema
Deseamos saber el valor de un frasco de agua destilada. Es muy importante determinar, a
partir del enunciado, los datos conocidos. En este caso, se conoce el valor de otros insumos
que, sumado al valor de los tres frascos, deberá dar como resultado el total gastado.
Diseñamos una estrategia
Aplicamos la estrategia Planteamiento de ecuaciones. Para ello, asignamos como x el valor
de un frasco de agua destilada. Asimismo, traducimos al lenguaje algebraico el enunciado.
3x + 42= 60
Aplicamos la estrategia heurística: Plantear una ecuación
Es importante recordar y aplicar de manera pertinente las reglas de transposición de térmi-
nos, asícomo los algoritmos adecuados.
3x + 42= 60
3x: 60 - 42
3x= 1B
x =6
Transferimos !o aprendido
Es importante comprobar el resultado calculado. Entonces, el triple de S/ 6, sumado al costo
de otros insumos (S/ 42), da como resultado eltotal gastado.
3(6) + 42= 60
El valor de cada frasco es de S/ 6.
tna
(o(o
'co.9
§tñ
(oL
L
tú
LLI .C
@
I§j
iá
Ir
,
f
Paso4

91. lntencionalidad pedagógica
En este capítulo aprenderás sobre inecuaciones lineales, con elfin de interpretar
las condiciones de una desigualdad mediante expresiones algebraicas con una
incógnita. También conocerás el proceso para ilustrar el conjunto solución de
una inecuación haciendo uso de la recta numérica. Lo anterior te permitirá
actuar y pensar matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia
y cambio. Finalmente, podrás justificar si un número es solución de una
inecuación dada.
Capítulo
necuaclonesrnea
a a
I
l
?
les
I
4
I
$ryj
@
I
F!-tt
!
I
I
-*,*
El índice de Desarrollo Humano
(lDH) es un indicador creado
por las Naciones Unidas para el
Desarrollo (PNUD). Su objetivo
principal es determinar el nivel
de desarrollo de los países del
mundo. El IDH aporta valores
entre el intervalo 0 y 1, siendo
0 la calificación más baja y I la
más alta.
¿Sabes cuáles son los
3 grupos en los que la PNUD
clasifica a los países?
Vilfredo Pareto descubrió que
el 80
o/o
de la propiedad de la
tierra en ltalia estaba en manos
del 20
o/o
de la población.
¿Sabes cuántas personas en
total habitan el planeta Tierra?
¿Sabes cuántas personas en
total habitan nuestro país?
¿Qué
porcentaje representa
la población del Perú ante el
mundo?
La variación de temperatura
se percibe mediante diversos
indicadores. Se sabe que
las tendencias actuales
de emisiones de gases
contaminantes podrían estar
encaminándonos hacia un
calentamiento mayor a finales
del siglo XXl.
¿Conoces el
intervalo de valores en que se
mueve la temperatura de tu
ciudad?

92. Antes de empezar ten en cuenta
o Desigualdad: definiciÓn y características
r Números enteros: propiedades
¡ Expresión algebraica: proceso de simplificaciÓn
o Ecuaciones: definición, caracterÍsticas
.
Sección inicial
Conceptos clave
o Desigualdades
o lnecuaciones: conjunto soluciÓn
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
r Codifica condiciones de desigualdad considerando expresiones alge-
braicas al expresar modelos relacionados con inecuaciones lineales con
una incógnita.
¡ Asocia modelos referidos a inecuaciones lineales con s¡tuac¡ones afines.
. Representa las soluciones de inecuaciones lineales de la forma x > o o
x<a,ax>boax<b.
¡ Emplea la representación gráfica de una inecuación lineal para obtener
su conjunto soluciÓn.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
o Realiza transformaciones de equivalencias para obtener la solución en
problemas de inecuaciones lineales.
Elabora y usa
estrateg¡as
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
¡ Justifica si un número es solución de una inecuación dada.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
equivalencia
y cambio
IndicadoresCapacidadCompetencia
t ,
I
t
L
,l
I
l
i
I
!
h
lt
,,
¿l
!
o
t
t
f

93. Ilntroducción
Las desigualdades e inecuaciones, al igual que las ecuaciones, nos permiten comparar magnitudes o
cantidades, dado que muestran la relación entre números y expresiones. En la vida práctica, Ias variables
que representan magn¡tudes o cantidades tienen sus Iímites razonables de accrón o existencia, es decir, no
pueden crecer más allá de una cota definida ni decrecer indefinidamente. lúediante desigualdades, podemos
expresar los límites que acotan ínferior o superiormente a cierta variable. Por ejemplo, la temperatura en
Lima está entre los 16v 23"C.
Desigualdad de expres¡ones
algebraicas
En algunos casos, las igualdades numéricas no son suficientes para traducir si-
tuaciones cotidianas; por ejemplo, en expresiones como "La velocidad máxima
del carro no debe superar los
,]20
km/h', "Los gastos de educación de algunos
estudiantes en la universidad oscilan entre s/ 25oo y s/ 45oo'o "En el audito-
rio caben a lo más 400 personas".
Estas expresiones se representan mediante desigualdades.
Ejemplo
En un salón de clases, hay en total 30 estudiantes y sus edades correspon-
dientes son las siguientes:
12 12 12 11 10
',10
11111210129
121212 10 9 10
10 10 11 9 9 9
12111011911
5i el coordinador académico necesita redactar un informe acerca de Ia edad
de cualquier estudiante de este salón,
¿cómo
podríamos ayudarlo a simplifi-
car la información?
Solución
Haciendo uso de las desigualdades, podemos establecer un intervalo en el
que todas las edades de los estudiantes del salón estén contempladas.
A/ínimo < edad de cualquier estudiante <
lV1áximo
9<m<12
Esta expresión matemática significa que la edad de cualquier estudiante del
salón es menor o igual a 12y mayor o igual a 9.
Resuelve desigualdades y
verifica tu respuesta: http:/,/
www.aaa matematicas.com/
equ725x7.htm
v
Una desigualdad es una comparación entre dos números o expresiones.
para
representarlas se usan los signos < (menor que), > (mayor que), < (menor o
igual que) o > (mayor o igual que).
e
Tema 34
Ttc

94. Condiciones de desigualdad
de la forma x)o, x1o, ax>b o
ax<b para tod o o, b enteros
o Es menor que
o igual a
o No es mayor
que
oEsalomás
3s3*x
.
Sección central
o Es mayor que
o igual a
o No es menor
que
.
Es por lo
menos
En ciudad de Llma, hay zonas donde los vehiculos no pueden exceder ciertos
límites de velocidad. Esto se debe a la presencia de colegios o a un alto flujo
peatonal. También está prohibido parquear en estas zonas, dado que si se
presenta una emergencia, el flujo de evacuaciÓn de personas debe ser óptimo.
El lvlinisterio de Transportes y Comunicaciones desea diseñar una señal que
exprese los limites de velocidad, los cuales se definen de la siguiente manera:
límite inferior de velocidad es la mínima velocidad establecida a la que debe
circular un auto, y límite superior es la velocidad máxima permitida.
Si el límite inferior de velocidad no puede ser 0, es decir, el vehículo no puede
estar estacionado, y el límite superior de velocidad no puede exceder los
30 km/h, una propuesta para la señal de tránsito podría ser la sigulente:
Palabras Es menor que Es mayor que
La expresión "es a lo más"
significa que "es menor o
igual'.
La expresión "es a lo menos"
significa que "es mayor o
igual'.
Signos
Ejemplo 4>3*1-x
Tabla 35.1
3<4 4>3
Transformaciones algebraicas de equivalencia
Es importante tener en cuenta lo siguiente:
o Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo
número, el signo de la desigualdad no varía.
Sia <b,entonces: a * c<b * c
a-c<b-c
o
Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un
mismo número pos¡tivo, el signo de la desigualdad no cambia. Si se multi-
plica o divide por un mismo número negativo, el signo de la desigualdad
sí cambia.
Si o > b,entonces, a' c > b' c,Y c * 0y ceQ*
Si a > b,entonces, a' c < b' c,Y c * 0y ce Q-.
9rL
CC
9_
<9_
CC
MÁMMA
0 km/h < Velocidad < 30 km/h
Desigualdades
L
que7
La relación menor o lgual (<)
es una relación de orden en el
conjunto Z, porque...
. es reflexiva: a s a, para
todo número entero d.
es antisimétrica: si a
=
b y
bsa,entonces,a:b.
estransitiva:sia=by
b<c,entonces,a=c.
a
Recuerda
@
Tema 3 5

95. I
lnecuaciones
Elementos de la inecuación
Observamos en la siguiente inecuación:
3x*B>x*2
primer miembroT Fs.grndo miembro
lncógnita:x
La masa corporal de Juan
menos de 50 kilogramos.
es más de 35 kilogramos, pero
Solo para menores de 14 años.
Debes gastar al menos S/ 100 para recibir un
descuento.
Después de retirar del cajero, el mensaje del voucher es
Saldo disponible S/ 5000.
35<m<50
x<14
y> 100
5 <
5000
Tabla 36.'l
Resolución de inecuaciones de primer grado
Resolver una inecuación es hallar el (los) valor(es) de la incógnita que hace
verdadera la desigualdad. El conjunto formado por esos valores es el conjunto
solución. Para resolver una inecuación, se puede emplear la transposición de
términos. Las reglas de transposición en las inecuaciones son similares a las
de las ecuaciones, pero se debe tener en cuenta que al transponer factores o
divisores negativos, el sentido de la desigualdad cambia.
Ejemplo 1
Si al triple de la cantidad de canicas que tiene Andrés se le agrega 13, resulta
menor que 25.
¿Cuántas canicas tiene Andrés?
Solución
Como se desconoce la cantidad de canicas de Andrés, le asignamos x.
Luego, podemos representar la expresión de la siguiente manera:
3x* 13<25
Una inecuación es una desigualdad donde ex¡ste por lo menos una
cantidad desconocida llamada incógnita.
El cóndor andino peruano
puede llegar a pesar hasta
15 kg.
Conjunto solución. Se
define como el grupo de
valores que puede tomar la
variable para cumplir con la
igualdad.
Glosario
@
No siempre las expresiones algebraicas se relacionan a través de una igualdad.
A veces, la expresión verbal se refiere a una desigualdad.
Expresión coloquial Expresión matemática
que...?

96. .
Sección central
Resolvamos la inecuación.
3x* 13<25 lnecuaclÓn planteada.
3x * 13 - 13 < 25 - 13 Restamos 13 a ambos lados de la desigualdad
3x+ 3 <12+ 3 Dividimospor3.
x14
Andrés t¡ene menos de 4 canicas.
Ejemplo 2
Resolvamos cada inecuaclón.
a. s-'10>-20
s+(-10)>-20
s + (-10+10) > -20 + 10 Sumamos a ambos lados de la desigualdad el
opuesto de -1 0.
s * 0 > -10 Aplicamos la propiedad del elemento neutro
de la adición.
s)-10
b. 29 * 5,8> -9
29 * 5,8 + (-5,8) > -9 + (-5,8) Sumamos a ambos lados elopuesto
de 5,8.
29> -14,8 Efectuamos oPeractones.
g ) -7,4 lvlultiplicamos ambos lados por el
reciproco de 2.
c. 6m<24
/_q\
d.
\j)
o, zo
É) F)r-(f)zo
Escribimos la sustracción del lado izquierdo
como una adición.
ll/ultiplicamos ambos lados de la desigualdad por
el reciproco de 6.
Aplicamos la propiedad delelemento neutro de la
multiplicación y efectuamos la división.
It/ultiplicamos ambos lados por el recíproco
O" -* , y la desigualdad cambia de sentido.
(!.0 ,.!
.
z+
\o / o
1m1
24
--;-
o
m14
lp < -12
p <-12
Revisa el libro Cuentos de
matemát¡cas, de Hervás. Esta
obra te ofrece ejercicios que
requerirán de tu creatividad
para desarrollarse.
Módulos de biblioteca
@
a

97. v
En todo triángulo, la medida
de un lado es mayor que la
diferencia de los otros dos,
pero menor que la suma de las
medidas de los otros dos lados.
Conexiones
¡rp
Eiemnlo 3
I
u r,ipotermia ocurre cuando la temperatura corporal de una persona des-
I
ciende a menos de 35'c. Escribamos y resolvamos una desigualdad que des-
I
criba la diferencia que puede haber entre la temperatura corporal de una
fi
Oersona con hipotermia y la temperatura corporal normalde 37'C.
W solución
I ,"u x: número de'c
il
ru 37 - x<35
I
- x<35-37
ffi -x1-2
Ü x>2.
I ,u o,r.runcia es mayor a2"C.
rt
r¡emvto<
El sueldo mínimo en el Perú es S/ 750. El papá de Carlos es obrero y percibe
dicho monto después de los descuentos de ley. Sabiendo que cuando tra-
baja en sus horas extras percibe por hora ] O. Oi.f,o monto,
¿cuántas horas
15
debe trabajar para que su remuneración total sea mayor a S/ 1000?
ffi Solución
|
,"r r número de horas que debe trabajar el papá de Carlos.
Á tso++.7so.x>1ooo
I
,50 * 5ox> rooo
I
s ox> 250
ü x>5
I 0"0.,¿ trabajar más de 5 horas.
frá
Eiemnlo s
Andrés y Sonia desean pasear por el lago Titicaca y necesitan saber cuánto
dinero les queda. Andrés dice así: 'El triple de lo que nos queda es más de
S/ 900 y el cuádruplo es menos de S/ 1208". Sonia afirma lo siguiente: 'Tene-
mos una cantidad exacta de nuevos soles".
Solución
Sea x el dinero que nos queda, entonces:
El triple de lo que nos queda es
más de S/ 900
3x > 900
900
X) -
5
x>300
El cuádruplo de lo que nos queda
es menos de S/ 1208
4x < 1208
1208
x<
3
x<302
v
Luego, por condición de la situación, el único valor entero que verifica las
. desigualdades es 30,l. Entonces, les queda S/ 301.
@
Revisa el libro El mentor de
matemótica9 de Gispert y
Navarro. Allí podrás desarrollar
ejercicios y profundizar en lo
aprendido.
Módulos de biblioteca
o

98. ,
Sacción final
a
Productos minerales de nuestro país
El Perú es un país polimetálico y la mlnería es el cuarto sector en importancia en la estructura del PBI (Producto
Bruto I nterno) peruano.
Las exportaciones de mineral metálico constituyen el60/o del PBI nacional, representa el56o/o de las divisas
por concepto de exportaciones y el 15 7o de la inversión extranjera directa. En el año 2014, el Banco Central de
Reserva del Perú (BCR)vaticinó una importante baja en las inverslones mineras para 2014y 2015.
En el Estudio de lnvestigación de la ltlineria llegal en el Perú, se estima en 60 000 el número de familias que,
en forma dlrecta o indirecta, están involucradas en la extracción ilegal; en 50 000, la cantidad de personas que
ejercen en forma directa la actividad;y en 300 000, el total de las personas que de manera directa o indirecta
dependen de ella. En total, la minería genera ingresos a más de 2,5 millones de personas.
Luego de más de 2l años de haber sido descubierto, el yacimiento de gas natural de Camisea, en la región
Cusco, empezó a ser explotado y su producción, dada su limitada cantidad, fue destinado al consumo interno,
que llegó a Lima en 2004.
El principal país de origen de inversiones mineras es China (22o/o), seguido por los Estados Unidos (1Bo/o)y Ca-
nadá (16
0/o).
Los principales minerales que atraen esta inversión son el cobre (64
o/o)
y el oro (1 3
0/o).
Perú es el tercer mayor productor mundial de plata, y el segundo de zinc, cobre y yodo.
Adaptado de Merino, L. (2015). Desarrollo económico del Perú. Recuperado de
http://www.mineralog.net/wp-contenVuploads/2011/09/FM3Cristaloquimica.pdf
Lecturas,
esiüüializadas
.
Gamarra ,H.
(2007). Aritmética:Teoría y práctica. Lima, Perú: Editorial San fMarcos.
.
Arlagnus, H. (1998). El diablo de los números. IVadrid, España: Ediciones Siruela.
o A/oreno, V., Samper, C. y Padilla, S. (2009). Delta ltlatemót¡cas B. Bogotá, Colombia: Editorial Norma.
¡ ONU. (2014). Acerca de lo COP. United Nations FrameworkConvention on Climate Change. Recuperado
d e http://www.co p20. pe/ace rca-d e-l a - cop-20 /
r Stewart, J., Redlin, L. y Saleem, W. (2012). Precalculo: ltlatemóticas para elcálculo.lMéxico D.F.,l\4éxico:
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docs/Publicaciones/Documentos-de-Traba)o/2009/Documento-de-Trabajo-14-2009.pdf
e
I
)

99. Orqanizador
v¡sual '
Expresarse
Aplicarse en
Son pueden
Se plantean mediante
usando
como
x>a
x<a
ax>b
ax<b
Economía
Finanzas
Dietas
Presupuesto general
Desigualdades
donde existe por
lo menos
una cantidad
desconocida
llamada incógnita
lnecuaciones
lineales
Palabras
clave
5ímbolos de
desigualdad:
Mayor
Menor
Máximo
Mínimo
Propiedades
de las
desigualdades
Se resuelven
@
aplicando

100. a.
.
Sección final
El IDH (indlce de Desarrollo Humano) considera como factor impoftante la calidad de vida de los habitantes de
cierto país. Una de las variables que influye en este factor es el número de horas que un niño debe descansar
en horas de la tarde, después de una jornada de estudio, pues esto aporta a su buena salud y a un desarrollo
adecuado.
Antonio se distingue en su familia y entre sus amigos por la capacidad de orden. Programa y organiza su día
por horas de la siguiente manera: de las 24 horas del día, duerme profundamente la tercera parte. De las dos
terceras partes restantes, asiste al colegio otra tercera parte del día, que empieza a las 7:00 a. m. Finalmente, la
tercera parte restante, la divide responsablemente entre hacer la siesta, ver una serie de W, hacer tareas, cenar
con su familia y jugar con su hermanito. Describe el día de Antonio por horas.
Pasos para la resolución del problema
qO comprendemoset probtema
Antonio es una persona muy organizada y queremos describir su día. Lo haremos con
ayuda de la matemática y de la organización por horas de un día regular.
Diseñamos una estrategia
Nuestra estrategia será extraer los datos conocidos y relevantes que nos ha dado Antonio
y combinarlos con algunos que nosotros conocemos.
Aplicamos la estrategia heurística: Empezar por elfinal
Antonio debe ingresar al colegio a las 7:00 a. m. Allídebe permanecer la tercera parte del
día. Sabemos que un dÍa tiene 24 horas. Entonces,
24 _^,
,
= ó noras
Es decir, si Antonio ingresa a las 7:00 a. m. al colegio, debe salir a las 3:00 p. m.
B horas de sueño + B horas de escuela + = 24 horas
@g
qe
a
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'E
a
L.
=§)
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a
LLI
También, sabemos que otra tercera
parte del dia debe dormir profun-
damente, es decir, debe dormir
otras B horas.
La tercera parte restante del día,
que son B horas, la debemos dividir
uniformemente en las siguientes
actividades: hacer la siesta, ver una
serie de W, hacer tareas, cenar con
su familia y jugar con su hermanito.
Siesta
VerW
Tareas
Cena
Total
60 min
100 min
70 min
50 min
30 min
8
Juego
Por tanto, la distribución de las B horas restantes de Antonio se muestra en la tabla de arriba.
@9
Transferimos to aprendido
EI día de Antonlo es muy organizado. ¿Podriamos
nosotros
describir nuestro día con una estructura similar? Describe tu
día por horas y compáralo con el de tus compañeros.
Actividad Número de horas
@
7

101. Prismas y cilindros
I ntencionalidad pedagógica
En este capítulo aprenderás sobre los cuerpos geométricos y las relaciones no
explicitas entre figuras.
También aprenderás a identificar y clasificar los diferentes modelos de prismas,
tanto regulares como irregulares.
Finalmente, conocerás conceptos como perímetro de la base de un prisma, área
y volumen de sólidos.
Capítulo
§
Ü
En la cordillera de los Andes
se encuentra una variedad de
metales. El Perú está ubicado
entre los primeros países en la
extracción de oro, plata, hierro,
cobre, plomo, entre otros, los
cuales se usan especialmente
en la orfebrería. Los empaques
de las joyas que se elaboran
tienen variadas formas.
¿Qué
tipo de sólidos se pueden
identificar en las cajas de la
figura?
El laberinto es un ejemplo de
forma tridimensional, pues
cuenta con longitud, altura
y profundidad. Se puede
simular de manera lúdica una
experiencia de recorrido al
interior de un laberinto. La
situación se resume en tomar
un camino, que puede ser o
no ser el correcto.
¿Es
posible
diseñar un laberinto en una o
dos dimensiones? Justifica tu
respuesta con un ejemplo.
En el Valle Sagrado de los
lncas se conjugan el arte y
la arquitectura de forma
magistral. Las construcciones
que allíse encuentran tienen
variedad de formas y diseños.
En algunas de ellas es posible
identificar prismas.
¿Qué
tipo de prismas identificas
en la imagen? Nombra otra
construcción en la que
se reconozcan prismas y
cilindros.
100

102. Antes de com enzar ten en cuenta
o Conceptos primariost punto, rectas (paralelas,
perpendiculares)
o Unidades de medida de longitud: arbitrarias y
convencionales
. Polígonos: definición, clases
¡ Prismas
. Círculo y circunferencia: definición
.
Sección inicial
Conceptos clave
o Poliedros y cuerpos redondos:
elementos de los cuerpos geométricos
. Desarrollo de sólidos
r Perímetro, área y volumen de sólidos
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
o Reconoce relaciones no explícitas entre figuras, en situaciones de
construcción de cuerpos, y las expresa en un modelo basado en prismas
regulares e irregulares y cilindros.
o Usa modelos referidos a cubos, prismas y cilindros al plantear y resolver
problemas de proyección o construcción de cuerpos.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
¡ Describe prismas regulares en función del número y forma de las caras,
el número de vértices y el número de aristas.
o Describe el desarrollo de prismas triangulares y rectangulares, cubos y
cilindros.
o Grafica el desarrollo de prismas, cubos y cilindros, vistas de diferentes
posiciones.
Elabora y usa
estrategias
. Fmplea características, propiedades y perspectivas de cuerpos
geométricos, para construir y reconocer prismas regulares y cilindros.
. Halla el perímetro, área y el volumen de prismas regulares e irregulares
con perspectiva, usando unidades de referencia (basadas en cubos) y
convencionales.
. Propone conjeturas referidas a las propiedades de prlsmas regulares y
cilindro.
o Justifica la relación entre áreas de sus bases y superficies laterales del
cubo, prisnras y cilindro.
r Explica cómo varían las relacion..s entre los elementos de los prismas y
cilindros, al obtener desarrollo de estos cuerpos.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de forma,
movimiento
y localización
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
Capacidad lndicadores
@
Competencia

103. il lntroducción
La geometría está siempre presente en la vida cotidiana. Los objetos se destacan por sus formas, tamaños y
propiedades, tanto en el plano como en el espacio. Por ejemplo, las monedas y la numismática presentan
diferentes motivos y diseños. Desde que nacemos, nos enfrentamos a un mundo tridimensional, estamos
rodeados por formas geométricas simples y complejas. Los prrsmas y cilindros son cuerpos geométricos
tridimensionales: largo, ancho y altura. Están limitados por superficies planas o superficies curvas. En la
naturaleza, observamos las construcciones, los edificios, las obras de arte y gran cantidad de utensiiios,
que van adoptando formas muy variadas. En este capitulo se estudiarán los prismas y los cilindros, y su
representación. Esto nos ayudará a conocer y a describir nuestro entorno.
Poliedros y cuerpos redondos:
lados, caras, ar¡stas y vértices
Los poliedros pueden ser prismas (tienen dos bases paralelas)o pirámides (tie-
nen una sola base). Si las caras son polígonos regulares congruentes, se llaman
poliedros regulares.
Los cuerpos redondos pueden ser cilindro, cono y esfera. A continuación,
nombraremos los elementos del prisma y del cilindro.
Base
Vértice
Bases: dos triángulos
Altura (h): distancia entre las
t-_---
ud 5e5
Aristas laterales: lados de las ca-
ras laterales
Caras laterales: polígonos que lo
limitan
Vértice: punto donde concurren
tres o más caras
Figura 37.1
A
B
Figura 37.2
Bases: dos circulos paralelos
Radio (r): AO: BO'
Altura (h): OO', perpendicu lar, tra-
zada en las bases
Generatriz (g): AB, lado del rec-
tángulo que gira alrededor del eje
Arista
lateral
h Cara
lateral
El cubo es un poliedro regular
formado por caras cuadradas.
El cubo mágico o de Rubik es
un famoso juego en el que se
deben ordenar los colores de
Ios lados de la figura.
I
@
Los sólidos denominados poliedros están formados por regiones
poligonales. Otro tipo de sólidos, que no son poliedros, son los cuerpos
redondos como el cilindro, el cono y la esfera.
Una región poligonales un
polígono y su interior.
Recuerda
que,..?
t
o.-
h
o'

104. '
Sección central
Clasificación de prismas:
rectangula r y triangular
Los prismas se pueden clasificar de acuerdo con distintos criterios. Trabajare-
mos los siguientes:
a. Según la forma de sus caras laterales
o Prismas rectos. Son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos o
cuadrados. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.
o Prismas oblicuos. Son aquellos cuyas caras laterales son paralelogra-
mos, que no son rectángulos ni cuadrados. Sus aristas laterales no son
perpendiculares a las bases.
Prisma
recto
Prisma
oblicuo Figura 38.1
b. Según la cantidad de lados de su base
Los prismas se clasifican según el polígono de sus bases (ver tabla 38.1)
Prisma
triangular
Prisma
cuadrangular
Cuadrado
Triángulo 5 6
6 8
Prisma
irregular Figura 38.2
9
12
Tabla 38.1
c. Según la forma de su base
Los prismas también se clasifican en regulares e irregulares. Son regulares
si son rectos y si sus bases son polígonos regulares. Son irregulares aque-
llos cuyas bases son polígonos irregulares o no son rectos.
Prisma
regular
Figura Nombre Bases CarasVérticesAristas
Revisa el libro El mentor de
matemót¡co1 de Gispert y
Navarro. Allí podrás profundizar
en lo visto y ampliar tus
aprendizajes.
Módulos de biblioteca
@

105. Desarrollo de prismas
ycndros
Luis dice que copió en un papel la forma de su dado. Observa la figura 39.1 y
responde si esta imagen corresponde a un dado.
La figura mostrada corresponde al desarrollo en el plano de un cubo, que es la
forma de un dado. Entonces, la imagen sícorresponde.
gil
r Ejemplo 1
Calca los desarrollos, recórtalos y verifica si con ellos se puede construir un
cubo.
ala
rll
*Bcm*
Figura 39.1
En la siguiente página web:
http://www.
matematicasvisuales.com/
htm l/geometria/pla nenets/
prismasobl iq.htm l, encontrarás
información y ejercicios sobre
el desarrollo de cuerpos en el
plano.
¡
Figura 39.2
Figura 39.4
Solución
a. El desarrollo presentado corresponde al prisma triangular.
b. El desarrollo presentado corresponde al prisma cuadrangular
ü c. No corresponde al desarrollo del cuerpo presentado.
¿
» Ejemplo 2
Determina a qué forma geométrica corresponde
el desarrollo que muestra la figura 39.5.
Solución
Corresponde a un prisma pentagonal.
Figura 39.3
a
En el desarrollo de un cuerpo en el plano, este se ve solamente en dos
dimensiones.
Una figura bidimensional es
aquella que solo tiene dos
dimensiones (ancho y alto)y
carece de espesor.
Una figura tridimensional es una
porción del espacio limitado
por caras planas o curvas.
Recuerda
Un cuerpo puede tener varios
desarrollos. Observa dos
desarrollos del cubo:
**-
Recuerda
@
Figura 39.5
Tema39
o
rr
L-.,l
o
n
o
r-l
o
Ttc

106. '
Sección central
El desarrollo de los cuerpos redondos (cono y cilindro) es el siguiente:
Cono Cilindro
Figura 39.6 Figura 39.7
Ejemplo 3
Karla quiere forrar el regalo para SU hermano, que tiene forma de cilindro. Ella
dice que el papel tiene la siguiente forma y, por tanto, es cilindro.
l5 cm
40 cm
1
I
Figura 39.8
Explica siel regalo tiene forma de cilindro.
Solución
El desarrollo mostrado síes el de un cilindro. Entonces, es cierto lo que dice
Karla.
Ejemplo 4
Determina el valor de verdad de las siguientes expres¡ones y justifica tu res-
puesta.
a. El desarrollo del cubo está formado por cuatro cuadrados.
b. El desarrollo del prisma cuadrangular tiene triángulos.
c. El cono en su desarrollo tiene dos círculos.
d. El desarrollo de un cuerpo geométrico solo tiene una forma de hacerse.
Solución
a. Es falso, porque el desarrollo del cubo está formado por seis cuadrados.
b. Es falso, pues el desarrollo de un prisma cuadrangular no tiene triángulos
en su desarrollo.
c. Es falso, ya que el cono solo tiene un círculo en su desarrollo.
d. Es falso, pues se puede hacer de distintas maneras.
El obelisco Tello es de forma
prismática con una ligera
depresión en una de sus caras.
ltAide2,52 m de alto y 0,32
de ancho en la base. Se halla
esculpido en sus cuatro caras
en alto, bajo y plano relieves.
Representa a dos personajes
míticos similares o, en todo
caso, uno solo desdoblado
lateralmente. Su cabeza se halla
en la parte superior y su cuerpo
alargado se extiende hasta la
parte inferior de la escultura, con
atributos que varían en cada
lado. Las representaciones son
muy estilizadas y complicadas, y
se asocian con seres secundarios
(hombres, aves, felinos) y
diversas plantas alimenticias
(yuca, calabaza, ají, achira)
hábilmente representadas.
Villalobos, E. (200a)
. Historn del
o rte en lbercn mérica y F llipinas.
Recuperado de http//wra,vu.academia.
dt-t/ 36257 A 2Wa-H i*oria-del-Ane-
en lberoamTú3o/oA9rica3-Filipinas-
Materia les Dido/[3oloA 1 cticos-l-Cu hu ras-
PrehispT{3o/oAl nicas
que...?
¿
V
En la siguiente página web:
http://www.uco.
es/-ma 1 fegan/Comu nes/
recu rsos-matematicos/
DESARROLTO-DE.CU ERPOS-
G EON/ ETR I COS. pdf, encontra rás
el desarrollo en el plano de
varios cuerpos geométricos.
Esto te servirá para reforzar los
conocimientos Presentados.
@
+
L
T
\
rqq
TIC

107. ru40
Ricardo formó un sólido como el siguiente:
Figura 40.1
Su amigo Felipe, quien está a su izquierda, dice que solo puede ver lo siguiente:
Figura 40.2
Diana, quien se encuentra frente a Ricardo, dice que ve lo siguiente:
Figura 40.3
su profesora les pide que miren la figura desde arriba.
¿Qué observan?
¿será
correcto lo que observan los amigos de Ricardo?
Solución
Las respuestas de los amigos de Ricardo son verdaderas, pues todo depende
de qué lado se mire la figura.
En cuanto a lo que pide la profesora, la respuesta sería la siguiente:
Vista de prismas
V
En la siguiente página web:
https://www youtu be com,/
watch ?v=s DF0N/3_T99N/,
puedes encontrar información
para reforzar los conocimientos
presentados.
La percepción que se tenga de
una figura dependerá desde
donde se esté viendo.
Recuerda
Las vistas de un prisma dependerán de la perspect¡va desde la cual er
observador vea el cuerpo.
@
Figura 40.4
TIC

108. .
Sección central
Unidades arbitrarias
y convenc¡onales
de superf¡cie y volumen
Estela y Julio emplearon el mismo método para medir una superficie. El mé-
todo consistió en colocar una baldosa sobre la superficie para ver cuántas ve-
ces cabía en esta. Al aplicar el método se les presentÓ una dificultad:debido a
que las baldosas que usaron eran de diferente medida, es decir, tenían medi-
das arbitrarias, obtuvieron diferentes resultados.
La figura 4'1.1 representa la superficie que querÍan medir.
Figura 41.1
Estela midió la superflcie tomando como unidad una baldosa roja. La baldosa
roja cubre B veces el rectángulo; entonces, su área es B baldosas rojas.
Figura 41.2
Julió tomó la medida con una baldosa verde. La baldosa verde cabe 16 veces
en el rectángulo; por tanto, el área es 16 baldosas verdes. Aunque la superficie
es la misma, las baldosas t¡enen diferente medida;en Consecuencia, los resul-
tados de la medición también son distintos.
Figura 41.3
Observa lo que sucede con las unidades de volumen. En la caja de la figura 41.4
caben 3 capas de cubos, es decir que en total se necesitan 45 cubos para llenarla.
Figura 4'1.4
La caja de la figura 41.5 se llena con 30 de los mismos cubos, pero si usamos
cubos de diferente medida puede que necesitemos más o menos cubos.
Las unidades de medida arbitrarias de superficie varÍan. Pueden ser
cuad rados, rectángu los, triángulos, entre otras.
De forma análoga, las unidades de medida de volumen pueden ser cubos,
paralelepípedos, etc.
Si conocemos la longitud de
un objeto, podemos utilizarla
en determinadas ocasiones
para estimar la longitud de
otro. El objeto de longitud
conocida se denomina patrón.
Recuerda
@
Figura 41.5
4fl
I
I

109. lm
Figura 41.4
En muchas labores cotidianas, necesitamos instrumentos y unidades para cal-
cular magnitudes o medir. Estos requer¡mientos nos han conducido a unificar
patrones de medida en un sistema lnternacionalde Unidades (sl), que ha sido
implementado en la gran mayoría de paises.
un cuadro cuyo lado mide I metro tiene un área de un metro cuadrado.
La imagen de la izquierda es una representación, porque el metro cuadrado
real es mucho más grande.
En la siguiente tabla se presentan los múltiplos y submúltiplos de las unidades
de superficie y volumen.
I km3 =
1 000 000 000 m3
t hmr = I 000 000 m3
1 dam3 = I 000 m3
lmj
'l
dm3 = 0,001 m3
I cmr = 0,00000,] m3
I mm3 =
0,000000000'l m3
Tabla 41.1
Ejemplo 1
El Estado soberano más pequeño del mundo es la ciudad del Vaticano, cuya
superficie es 0,44 km2.
¿Cuántos decámetros cuadrados de área tiene?
Solución
Para pasar km2 a dam2, tenemos que descender dos lugares en ra tabra; asi:
0,44 x 1 00 x 1 00 = 0,44x 1 0 000 = 44OO,entonces, 0,44 km2 =4400 dam2
El Estado de la Ciudad del Vaticano tiene 4400 dam2 de área.
Ejemplo 2
Las medidas de una piscina en forma de paralelepÍpedo son 3 m, 5 m y 10 m.
¿cuál será su volumen en cm3? Pista: el volumen de un prisma es igual al
producto de sus medidas.
Solución
It/ultiplicamos sus medidas:
,l50
m3. Esto es equivalente a
150 m3 = 150 000 000 cm3.
Las unidades básicas de superficie y volumen en el Sistema lnternacional
son el metro cuadrado (m,) y el metro cúbico (m3), respectivamente.
1 km2 =
1 000 000 m2
I hm2 =
10 000 m2
I dam2 = 100 m2
1m2
I dm2 =
0,0,l m2
I cm2 =
0,0001 m2
I mm2 = 0,0000001 m,
VolumenSuperficie
lngresa a http://www.
ma m utmatematicas.com/
ejercicios/med icion.ph p
y resuelve las actividades
propuestas.
@
I
a
Múltiplos
Unidad
Submúltiplos
Ttc

110. Área, perímetro y volumen
de prismas y c¡lindros
Perímetro de la base de un Prisma
.
Sección central
,t.
El perímetro de la base de un prisma es la longitud de su contorno. Una
forma de calcularlo es sumando la longitud de sus lados.
Ejemplo 1
Halla el perímetro de la base del prisma regular de la
figura 42.1.
Solución
Como los lados de la base miden l0 cm y son 5 en
total, entonces 5 x 10 cm :
50 cm.
Así, el perímetro será 50 cm.
Figura 42.1
Área de la superficie y volumen de un Prisma
En un prisma, podemos hallar el área de cada una de las caras laterales y de
cada una de las bases aplicando los procedimientos que Conocemos para
calcular áreas de figuras Planas.
En un prisma, la suma de las áreas de las caras laterales (aquellas que no
const¡tuyen las bases) se denomina área lateralA, y equivale al producto del
perímetro p de la base del prisma por la altura
Ejemplo 2
Determina cuál es el volumen de un prisma rectangular de 4 cm de ancho,
6 cm de largo y 14 cm de alto.
Solución
El volumen se obtiene multiplicando las medidas de sus lados, lo que da
como resultado 336 cm3.
1
0
Hallar el volumen de un
prisma rectangular equivale a
multiplicar las longltudes de su
largo, ancho y altura.
Recuerda
El edificio Centro CÍvico de
Lima es uno de los edificios
más representativos de esta
ciudad: presenta una altura
máxima de 128 metros y 33
plantas, con una estructura
que combina prismas
rectangulares.
lnformación regional
Si denominamos A, al área total y B al área de cada base, A, = Ar+ 28-
El volumen de un prisma se calcula hallando el área de una de sus bases B y
multiplicándola por la longitud de su altura.
Volumen
pr¡smo= Bxh
Figura 42.2
^
Sabías que el cubo también es
un prisma de base cuadrada y
altura igual a la longitud de la
arlsta.
ías que...?
@
Tema 42
a

111. En muchas ocasiones, cuando
se calcula el área o el volumen
de cuerpos geométricos,
se tiene que resolver una
ecuación. Esto se estudia en
álgebra.
Conexiones
5cm
6cm
6cm 5cm
gil I Ejemplo 3
Halla el área lateral y el área total del prisma triangular cuyo desarrollo se
muestra a continuac¡ón.
5cm 5cm
4cm
Figura 423
Solución
Para hallar el área lateral, se tiene que considerar la información de la si-
guiente figura:
5cm 6cm 5cm
6cm
10 cm
4CM 5cm
T
l0 cm
i
16 cm
Figura 42.4
Primero hallamos el área lateral:
A,= (5 x 10)+ (6 x t0)+ (5 x t0)
Ar=50+60+50
At= 160 cm2
a
¡f'
¡
Ejemplo +
Paola tiene 25 cubos; cada uno de arista 2 cm
Determina cuál es el volumen de la figura que paola
puede elaborar con es-
tos 25 cubos
Solución
El proceso para seguir es calcular el volumen de cada uno de los 50 cubos y
posteriormente sumarlos.
Vrrbo= Árrooo*x altura
Vrubo= (2 cm x 2 cm)x 2 cm
Vrubo= 4 cm2 x2 cm
Vruoo= B cm3
El volumen de un solo cubo es B cm3. La figura que paola
puede construir con
25 de estos cubos tendrá un volumen equivalente a
V(rrrubot=25xBcm3
V("cub"= 2oo cm3
Luego calculamos el área de una base:Aor,.= 9+
= 12 cm2
Para hallar el área total del prisma, se realiza lo si$uiente:
Ar= Ar+ 2 Aoo,r= 160 cm2 + 2(12 cm2¡ = 184 cm2
Usualmente, los edificios, las
casas y demás construcciones
tienen forma de prisma
rectangular. Tal es el caso de
uno de los palacios de Versalles,
que tiene aproximadamente
un largo de 500 m, un ancho
de 135 m y una altura de 20 m.
El área se expresa en unidades
cuadradas: cm2, dm2, m2, etc,
mientras que el volumen se
expresa en unidades cúbicas:
cm3, dm3, m3, etc.
a
@
o
Recuerda
Recuerda

112. '
Sección central
gF » EjemPlo 5
Calcular el volumen del prisma triangular de la flgura 425 si se sabe que las
bases son triángulos rectángulos cuyos catetos miden B m y 9 m. Además, la
altura del prrsma mide 10 m.
Solución
Recordemos la fórmula para calcular el volumen de un prisma y apliquémosla
con los datos que conocemos.
a
V =Área, xaltura
pilsrno 1ose
v = /9
x B\xlo
pnsmo
2 I
-71
V ='tx1O
pftsmo
2
V =36x 10
pnsmo
V . =360m3
pftsmo
tigura 42.5
Área de Ia superficie y volumen de un cilindro
El área lateral del cilindro se calcula mediante la fórmula Ar= 2 ' n ' r' h.
Para calcular el área total del cilindro, se usa la expresiÓn Ar= 2 ' n ' r (h + r),
donde h es la altura del cilindro y r el radio de las bases.
Antes de aplicar las fórmulas, se debe verificar que las longitudes estén en
las mismas unidades de longitud.
¡/}&
Ejemoto o
Determinemos cuánto papel se necesita para forrar un regalo empacado en
una caja cilíndrica de altura 25 cm y radio de la base B cm.
Solución
Para calcular el área total del cilindro, reemplazamos los valores del radio y la
altura en la siguiente expresión:
Ar=2'n'r(h+r)
Ar= 2'n'(B cm) '(25 cm + B cm)
At= 16n cm (33 cm)
Ar:528n cmz
. Si aproximamos n a 3,14, el área total aproximada será Ar= 1657,92 cm2
El volumen del cilindro se obtiene multiplicando el área de una de sus
bases por la altura del cilindro. Como la base del cilindro es un ckculo, su
volumen se puede calcular usando la fórmula V = n '12 ' h, donde h es la
altura del cllindro y r el radio de las bases.
@
lngresa a
https://es.kha nacademy.
orglmat h/basic-geo/basic-
geo-vol u me-su rface-area/
baslc-geo-volumes/e/
vol u me-word-problems-with-
cones--cyl i nders--a nd-sPheres
para practicar el cálculo del
área y volumen de cuerPos
geométricos.
.5
Ttc

113. Ejemplo 7
Hallemos la cantidad de chocolates de 12 cm3 de volumen que caben en el
recipiente de la figura 42.6.
r=Bcm
Figura 42.6
Solución
Primero calculamos elvolumen del recipiente, el cualestá dado por
V= n' P. h =n.
(B cm)2. 25 cm ='1600n cm3
Si mantenemos n, la respuesta es /= 1600n cm3. Si reemplazamos n por 3,14
y realizamos la multiplicación, la respuesta sería /= 5024 cm3.
^ \o)4
tomo
]f
= 418,666..., entonces caben en el recipiente 4r B chocolates.
Ejemplo 8
Halla el volumen del cilindro recto de la figura 42.7, que tiene una altura de
6 cm y el radio de su base mide 2 cm.
Figura 42.7
5olución
El volumen del cilindro se obtiene de la siguiente fórmula:
Vc¡t¡ndro= Área de la base x altura
Vc¡,ndro= Ln x (2 cm)2] x 6 cm
Vc,^dro=nx4cm2x6cm
Vc¡tindro= 24n cm3
Vrit¡n,t,n=75'36 cm3
Ejemplo 9
¿Qué volumen de agua se puede almacenar en un depósito cilindrico de 3 m
de altura y un diámetro de 2 m?
Solución
Tenemos h = 3 m y d =2 m. Recordemos que er diámetro es el doble del
radio;luego, r= 1 m.
Reemplazando los valores en la fórmula, tenemos lo siguiente:
Vc¡t¡ndro= (n x r2) x altura = (n X 12) x 3 = (nX l) x 3 = 3n m3 = 9,42 m3
I
h=25cm
I
Para hallar el área y volumen
del cilindro, el cono y la esfera,
es necesario recordar la
fórmula que se usa para hallar
el área del cÍrculo: (rr X 12,
donde res la medida del radio).
Recuerda
@
a

114. a
Geometriaen el arte y los minerales
l\4aurice Escher se caracterlza por una constante:
producir grandes pinturas y grabados tomando
como base diversos aspectos matemáticos. Es tan
evidente esta particularidad en Escher que rncluso
él mismo afirma no saber si hace arte o matemá-
tica. Su fascinación por la misteriosa regularidad
de las formas mlnerales lo conduce a los poliedros,
cuyas formas utiliza continuamente en los mÚlti-
ples modelos de diversos materiales y en nume-
rosos grabados donde los dibuja en diversas po-
slciones. Con el fin de tenerlos siempre presentes,
Escher construye con hilo y alambre un modelo
de los cinco cuerpos platÓnicos, inscritos unos en
otros.
Dalí, como otros grandes artlstas, toma elementos
de la geometría, pues proporciona importantes
argumentos para la realización previa de la obra
y su posterior análisis. En particular, se evidencia
la influencia de la Divina ProporciÓn y de los po-
liedros regulares, ya que, además de aparecer en
muchos de sus cuadros, asumen una funciÓn de
i,sfCi-iült llIriii
Sólidos platónicos
Lecturas,,
espCüializadas
Tetraedro Hexaedro OctaedroDodecaedro lcosaedro
orden cosmológico, científico, teolÓ9ico y simbó-
lico en su pintura.
por
su parte, los minerales presentan una particularidad: se cristalizan adoptando formas de poliédrlcos. La
propieáad de los minerales sólidos de adoptar formas de poliedros regulares viene determinada por una distri-
bución ordenada y regular de sus partículas componentes: átomos, iones, moléculas. La estructura del cristal se
caracter¡za por la distribuciÓn especial de estas partículas'
¡ AGEDE. (201 3). Dibujo técnico. Recuperado de http://dibujotecni.com/sistema-diedrico/hexaedro/
. Bressan, A., Bogisic, B. y Crego, K. (2000). Razones para enseñar geometría en la educociÓn básica: lVlirar,
construir, decir y pensar. Buenos Aires, Argentina: Ediciones Novedades Educativas.
. Fundación
polar. (2006). Alatemótica para todos. [Fascículo 4. Venezuela]. Recuperado de http://www'
cienciaen laescuela.acfi ma n.orglmatematica/fa scicu lo4l049.htm I
. Glencoe . (2004) ¡latemóticos: Aplicaciones y conceptol A/éxico D. F., tt4éxico: Editorial l\/c Graw Hill.
. Hernández, R. (2004) . Los elementos heurísticos en la enseñanza de lo matemÓtico. Universidad de ltla-
tanzas. Recuperado de hnp://monografias.umcc.culmonos/2004/lnformatica/um0all02.pdf
o lVlinedu. (2015). Rutas del aprendizaje. Recuperado de http://recursos.perueduca.pe/rutas/documen-
tos/Secu nda rlallVlatematica-Vl.pdf
o Stewart, J., Redlin, L. y Saleem, W. (201 2). Precólculo: lilatemÓt¡cas para elcÓlculo.l\4éxlco D' F., A/éxico:
Cengage Learning.
@
*r
Bibliografía

115. Orqan izaCor
visual '
Prismas
Elementos
Prisma
triangular
pueden ser
-
desarrollo
I
Altura
Bases
Cilindros
Elementos
50n
sont
Prisma
-
desarrollo
cuadrangular
Cubo -
desarrollo
desarrollo
Aitura
Bases
Caras laterales
Arista lateral
Eje
@
Cuerpos geométricos
Generados por
la rotación de un
rectángulo de
uno de sus lados
llamado eje.
Sólidos limitados por tres o
más caras laterales, que son
paralelogramos y por dos
bases paralelas iguales entre sí.
Distancia entre las bases
Lado alrededor del cual gira el
rectángulo
Polígonos congruentes
situados en planos paralelos
Distancia entre las dos bases
Paralelogramos
Círculos que engendran los
lados perpendiculares al eje
Lados de las caras laterales
que unen las bases
Lado del rectángulo que gíra
alrededor del eje
Punto donde se cortan las
aristas
Vértice
Generatriz
/

116. - Sección final
nte de la base del
El proceso que se lleva a cabo para calcular el volumen de un prisma depende principalme
prisma, puesto que puede ser tr¡angular, cuadrada o rectangular'
La fórmula que nos perm¡te generalizar este proceso es la siguiente:
Volumen : Árean"."' Altura
El BCRp (Banco Central de Reserva del Perú) desea construir una bóveda para almacenar la
reserva federal. La bóveda tendrá forma de paralelepípedo, con una base rectangular de 3 m
de largo y 4 m de fondo, y una altura de 12 m. El gerente general desea saber la capacidad
total de la bóveda.
@o
Pasos para la resoluciÓn del problema
qg
Comprendemos el problema
para conocer la capacidad de la bóveda, debemos calcular su volumen. Con este fin, usare-
mos la fórmula mencionada anteriormente. Es importante recordar la fÓrmula del área para
un rectángulo.
Diseñamos una estrategia
La estrategia es aplicar la fórmula general reemplazando los datos que conocemos y ejecu-
tando las operaciones necesarias en el orden adecuado.
Aplicamos la estrategia heurística: Generalizar
primero identificamos y calculamos el área de la base, puesto que es el primer factor en la
fórmula general.
La base es un rectángulo; el área de un rectándolo es largo por ancho; entonces:
Áreao"r":3mx4m:12m)
Recordemos que las unidades de área son unidades cuadradas.
Teniendo el valor correspondiente al área de la base y conociendo la altura, se reemplazan
estos dos valores en la fórmula general y se efectúa el producto'
Volumen
Bóveda
: l2 m: x l2 m
Volumen
Bóveda
:
144 m3
Luego, 144 m3 es la capacidad de almacenamiento de la bóveda que se quiere construir.
Transferimos lo aprendido
El gerente general no está de acuerdo con el diseño de la bóveda y desea una con un estilo
triángular, áe tal manera que el triángulo tenga una base de 6 m, una altura de 4 m y una
profundidad de l2 m.
¿La capacidad de este nuevo diseño es mayor, menor o igual que el
diseño anterior?
qo
@9
a
ro
U
'E
a
l-
3
§)
_c
a
.g
co
§)
{J
ro
!-
+J
a
LLI
G
I

117. I
En nuestra moneda, en el
anverso se observa en el
centro el escudo de armas del
Perú, en el exergo la leyenda
"Banco Central de Reserva del
Perú", el año de acuñación
y un polígono inscrito que
forma el filete de la moneda.
¿Qué figuras poligonales
reconoces en la moneda de la
figura?
¿Cómo se le llama a un
polígono de 8 lados?
Los incas encontraron formas
de mejorar las condiciones
del suelo para la agricultura:
crearon los llamados
andenes o terrazas agrícolas
artificiales que sirvieron para
sembrar en las laderas de las
montañas.
¿Qué relación geométrica
existe en la disposición de las
terrazas agrícolas incas?
Los mochicas plasmaron en
sus cerámicas el entorno de su
mundo cultural bajo la forma
de imágenes escultóricas
o bien decorando a pincel
la superficie de la vasija. Su
cerámica constituye el mejor
testimonio de su cultura.
¿Qué formas geométricas hay
en las figuras prehispánicas?
Capítulo
Figuras poligonales
lntencionalidad pedagógica
En este capítulo aprenderás a construir figuras poligonales con regla y compás;
reconocerás sus elementos calculando el perímetro y el área. También abordarás
el paralelismo y la perpendicularidad en la clasificación de cuadriláteros.
lgualmente, conocerás las propiedades en triángulos, cuadrados, rectángulos
y rombos, así como las fórmulas para determinar el número de diagonjes y
ángulos interiores en un polígono regular.
S. r§§{'J§}. a'c'
116

118. Antes de com enzar ten en cuenta
. Segmentos:definiciÓn
. Figuras: convexas Y
cÓncavas
. Ángulos: definiciÓn
.
Sección inicial
Conceptos clave
o Relaciones de paralelismo y
perpendicularidad
. Polígonos: diagonales, propiedades,
construcciÓn, perímetro
Y
área,
descomposición y ángulos de un
polígono regular
. Cuadriláteros:clasificaciÓn
Aprendizaies esperados
. Organiza medidas, características y propiedades geométricas de figuras
y superficies, y las expresa en un modelo referido a figuras poligonales.
. Emplea el modelo más pertinente relacionado con figuras poligonales y
sus propiedades al plantear y resolver problemas.
Matematiza
situaciones
o Describe las relaciones de paralelismo y perpendicularidad en formas
bidimensionales (triángulo, rectángulo, cuadrado y rombo) y sus propie-
dades usando terminologias, reglas y convenciones matemáticas'
o Expresa las relaciones y diferencias entre área y perímetro de polígonos
regulares.
¡ Representa polígonos regulares siguiendo instrucciones y usando la
regla y el compás.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
o Usa estrategias para Construir polígonos según sus CaracteríSticas y
propiedades, usando instrumentos de dibujo'
. Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver
problemas de perímetro y área del triángulo, rectángulo, cuadrado,
rombo.
Elabora y usa
estrategias
. Plantea conjeturas para determinar el perímetro y el área de figuras
poligonales (triángulo, rectángulo, cuadrado y rombo).
¡ Justifica sus generalizaciones sobre el número de diagonales trazadas
desde un vértice, número de triángulos en que se descompone un
polígono regular, suma de ángulos internos y externos.
r Justifica la pertenencia o no de una figura geométrica dada a una clase
determinada de cuadrilátero
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de forma,
movimiento Y
localización
Competencia Capacidad
lndicadores
@

119. alntroducción
Conocer las características y propiedades geométricas de figuras y superficies ha permitido a las distintas
civilizaciones resolver diversos problemas como la limitación de propiedades o áreas de cultivo; la
construcción de edificios, puentes, etc.; la ornamentación de objetos y la expresión artística. Los incas, por
ejemplo, mejoraron el aprovechamiento de la tierra mediante las terrazas artificiales de formas geométricas;
los mochicas, por su parte, explotaron este conocimiento en la fabricación de objetos de cerámicá decorados,
que muestran su destreza en el manejo de formas geométricas.
A
Paralel ismo y perpendicularidad.
Propiedades de triángulos,
rectángulos, cuadrados y rombos
Los conceptos de rectas paralelas y rectas perpendiculares que abordaremos
se refieren a su uso en la geometría plana.
Perpendicularidad
f?
EjemPlo 1
Determina el grupo de segmentos que son perpendiculares.
D
C
B
siil
ffi
u
!{
g
§
#
ffi
ts
fl
M
m
d.rl
s
a.
a
ffi
M
*
#
tr
.ti
'+
ii"!
ifJ
,-H
,4
I
+ €
AB TCD G T
F W
X
Figura 43.1
V
E
B
H
R
Y5 Z
Figura 43.2 Figura 43.3
Solución
según la definición, los segmentos perpendiculares se intersecan en un
punto formando un ángulo recto. Las rectas de la figura 43.2 cumplen esta
característica.
Revisa el libro El mentor de
matemáticas, de Gispert y
Nava rro, específica mente
la sección "Ángulos entre
paralelas".
Módulos de biblioteca
Dos rectas que se intersecan en un punto y forman 4 ángulos rectos se de-
nominan perpendiculares. para
indicar qr. ñ es perpendicular a 6 se usa
el símbolol, como se muestra en la figura 43.1.
La notación escr¡ta ., ffi r 6, y ," lee asi: "La recta lB es perpendicular a
la recta CD'l
Dos segmentos son
perpendiculares si se
intersecan y forman ángulos
rectos.
Recuerda
@

120. A
.
Sección central
B
D
Figura.43.4
Paralelismo
Dos rectas que pertenecen a un mismo plano y no se cortan son paralelas.
para indicar que la Áf y la iÓ son paralelas, se usa el simbolo
"11". Se escribe
fBll6j
y se lee así:"La recta ABes paralela a la recta CD", como se puede
uár .ñlu figura 43.4.Cuando 2 rectas son paralelas todos los puntos de una
de las paralelas están a la misma distancia de la otra
1*á$
riemnlo z
Veamos cÓmo trazar rectas paralelas.
Solución
C
(:---,
AB
.(:---,
CDil
Paso 1
Traza una recta /y luego elige un
punto P que no esté en la recta /.
P.
Paso 2
Sobre la recta /marca dos Puntos
cualesquiera Ay B,y traza una recta
que una los Puntos
PA. Se forma un
ángulo que se llamará 1.
Paso 3
Construye en P un ángulo congruente
alZl (llámalo L2)ytraza una recta
(denomínala k). Las rectas /Y k son
paralelas.
P
P
k
I
B
B
Propiedad 1. En un trián
de lados es mayor que la
además que la longitud d
mayor que la diferencia d
gulo, la suma de las longitudes de cualquier par
longitud del tercer lado. De esta relación se infiere
e un lado es menor que la suma de los otros dos y
e estos, como se puede ver en la figura 43.5'
a
Propiedades de los triángulos
g* r Ejemplo 3
Determinemos cuáles de las medidas de los triángulos
de la figura 43.6 no pueden ser verdaderas
Triángulo 1
Consulta más información
en http://es.slidesha re.net/
fra n cesca 2009
-1
0 / 4-fo-ao-
g u ia-n-3-tring u los-ProPieda-
des-basicas
Figura 43.5
Solución
Para verificar si un triángulo existe, aplicamos la pro-
piedad 1.
Triángulo 1: 15 < 12 + 10
Triángulo 2:18>7 +9
Triángulo 3: 28 > 12 + 15
En los triángulos 2y 3 no se cumple la propiedad 1;
por lo tanto, no existen triángulos con dichas medidas.
a
a<b+c
a>b-c
C
B
c b
A
ü
Flgura 43.6
Triángulo 2
Triángulo 3
@
,l
Ttc

121. Propiedad 2. En un triángulo, la suma de ras medidas de sus ángulos
interiores es 180".
o gr r Ejemplo 4
Determina si un triángulo puede tener 2 ángulos obtusos.
Solución
consideremos un triángulo cualquiera apeR con ángulos obtusos
peR
y
PRQ. con base en la definición de ángulo obtuso, tenemos Io siguiente:
mLPQR)90"ymLpRe>90.
La suma de ambos ángulos es
'lB0':
m LPQR + mL PRQ ) 90" + 90'= lB0"
Por tanto, no es posible que un triánguro tenga dos ángulos obtusos,
ya que, de acuerdo con la propiedad 2 de los triángulos, la suma de las medi-
.
das de los ángulos internos tiene que ser menor que 180..
Propiedades de los rectángulos
¡
r Ejemplo 5
Verifica si la figura 43.8 es un rectángulo.
Solución
lVlide los ángulos internos del cuadrilátero de ra figura y luego súmalos.
9, = B5'; B, = B5'; P, = 95o; 9; = 100'
85' + 85" + 95" + 100" = 365"
El cuadrilátero de la figura 43.8 no es un rectángulo, porque sus ángulos in-
ternos no son rectos. También puedes usar regla y compás para verificar que
o los ángulos no son rectos.
Propiedades de los rombos
4r
r Ejemplo 6
Determina si la figura 43.9 es un rombo.
Solución
5i medimos los lados de la figura, medimos sus
ángulos y dibujamos sus diagonales, podemos
verificar que el polígono de la figura es un rombo.
B + 0 + ct :
1800
Figura 43.7
Figura 43.8
@
En general, para emplear las
propiedades de los polígonos
necesitamos del álgebra.
Conexiones
El rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ánguros rectos, es decir, de
90', por lo que la suma de ellos es 360". En un rectángulo sus lados son
iguales dos a dos
'4
p
El rombo es un cuadrrlátero ,
un rombo, sus diagonales son
equilátero y de ángulos iguales dos a dos. En
perpendicu lares.
Las estructuras de edificios
y puentes están hechas de
piezas tr¡angulares.
Lo anterior se debe a que el
triángulo es una figura rigida,
es decir, su forma no se altera
cuando se le aplican fuerzas
como Ia del viento.
Recuerda
I Figura 43.9
o

122. a
.
Sección central
Construcción de figuras
pol¡gonales
Un polígono está formado por una línea poligonal cerrada. Es una superficie
limitada por 3 o más segmentos con las siguientes características:
. Solo se intersecan en los extremos.
. Ningún par de segmentos es colineal.
. Cada extremo de un segmento es extremo de dos segmentos.
. Los extremos de los segmentos son los vértices, y los segmentos, los
lados del polígono.
gr » Ejemplo 1
Define la manera de construir triángulos equiláteros y cuadrados'
Solución
Para construir el triángulo equilátero y el cuadrado, necesitamos recordar cómo
se construyen rectas perpendiculares con regla y compás.
Rectas perpendiculares
Paso 1. Para Construir con regla y compás una recta perpendicular a una recta
dada o, escoge un punto Azlen la recta d y, con la punta delcompás en M,haz
2 arcos con Ia misma abertura del compás, que corten la recta. Llama N y P a los
puntos de corte.
Paso 2. Abre el compás y, haciendo centro en P, traza un arco a un lado de la
recta. Luego, con Ia misma abertura del compás y haciendo centro en N, traza un
arco que corte el arco anterior. Nombra Q el punto de corte de los 2 arcos.
Paso 3. f razala recta MQ, que es perpendicular a Ia recta a (ver figura 44.1).
Triángulo equilátero
Paso 1. Construye una recta y ubica un punto A.
Paso 2. Sobre la misma recta, ubica un punto B.
Paso 3. Construye una circunferencia con centro en A y radio AB,y otra con cen-
tro en B y del mismo radlo.
Paso 4. Las 2 circunferencias se cortan en 2 puntos. Toma uno de ellos y llámalo P.
Paso 5. Traza los segmentos AP y PB,y obtendrás el triángulo equilátero APB (ver
figura 44.2).
Cuadrado
Paso 1. construye 2 rectas perpendiculares que se intersequen en el punto A.
Paso 2. Sobre la recta horizontal, ubica un punto B.
paso
3. Construye una circunferencia con centro en A y radio AB. Esa circunferen-
cia corta la recta vert¡cal en 2 puntos. Llama al punto superior P'
Paso 4. Traza 2 rectas: una que pase por P y sea paralela al segmento AB; y oÜa
que pase por B y sea paralela al segmento AP. Llama al punto de corte o, que es
.
el vértice que nos faltaba. Con esto, completaste el cuadrado (ver figura 44.3).
P
o
Figura 44.1
Figura 44.2
Consulta el libro El mentor
de matemát¡ca, de GisPert
y Nava rro, específicamente,
la sección 'Dibujos y trazos
geométricos" y
Profundiza
en Ia
figuras geométricas.
Módulos de biblioteca
Algunos ejemplos de
polígonos son el cuadrilátero,
el pentágono, el hexágono,
el heptágono, el octágono,
etcétera.
Recuerda
Figura 44.3
@

123. Figura 45.2
Clasificación de cuadri láteros
Algunos cuadriláteros tienen propiedades especiales y, por tanto, reciben
nombres especiales. A continuación, se presentan algunos de ellos y sus ca-
racterísticas.
Se clasifican en
Figura 45.1
Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento que tiene sus extremos en
2 vértices no consecutivos del cuadrilátero. si todas las diagonales de un cua-
drilátero están en su interior, el poligono es convexo;de Io contrario, es cón-
cavo. El cuadrilátero de la figura 45.2 es cóncavo y los cuadriláteros de la figura
45.3 son convexos.
fl
D EjemPlo I
Determina si los cuadriláteros de la figura 45.3 son paralelogramos.
Solución
a. N4edimos los lados opuestos de cada uno.
b. lüedimos los ángulos opuestos de cada uno.
c. De acuerdo con las respuestas, verificamos que se cumplan las siguientes
propiedades de los paralelogramos.
Propiedad 1. En un paralelogramo, los lados opuestos son congruentes.
Propiedad 2. En un paralelogramo, los ánguros opuestos son congruentes.
Propiedad 3. En un paralelogramo, los ánguros consecutivos son comple-
mentar¡os.
como cumplen con las tres propiedades, ros cuadriláteros síson paralelogramos.
@
o
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono
de 4 lados en el que la suma de
sus 4 ángulos internos siempre
es 360".
Recuerda
Consulta el libro El mentor
de matemática5 de Gispert
y Navarro, en su sección
Triángulos y cuadriláteros", y
profundiza en el tema de los
cuadriláteros.
Módulos de biblioteca
Trapecio
Cuadrilátero con
exactamente 2
lados paralelos
Paralelogramo
Cuadrilátero con
2 pares de lados
opuestos paralelos
Trapezoide
No tiene pares de
lados paralelos
tr----__-*_-.tr
tt
Cuadrado
Cuadrilátero con
4 ángulos rectos y
4 lados congruentes
Rombo
Cuadrilátero con
4lados congruentes
Figura 45.3
Rectángulo
Cuadrilátero con
4 ángulos rectos

124. Perímetro y área del triángulo,
rectángulo, cuadrado y rombo
Perímetro =l+l+l=31
, lxh
Area =__r_
.
Sección central
-b-
Perímetro = a + a + b + b = 2a + 2b
Area= axb
El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. Una forma de
calcularlo es sumando las medidas de sus lados, las cuales están expresadas
en unidades de longitud. El área de un polÍgono es la medida de su
superficie;esta se expresa en unidades cuadradas.
A continuación, se presentan las fórmulas para obtener el perímetro y área de
algunos polígonos.
1
a
I
Perímetro=l+l+l+l=41
, dxD
Atea= _Z_
1
D
I
Perímetro:l+l+l+l=41
Área = F
D
Tabla 46.1
¡r
r EjemPlo 1
Determina cuánto mide el contorno del poligono irregular de la figura 46.1
Solución
Sumamos las medidas de todos los lados del polígono:
,qS + BC + CO +Ñ+ fn=6cm + 3 cm +4cm + 3 cm +6cm =22cm
o El contorno del polígono mide 22 cm.
f
!
EiemRlo z
Si el perímetro de un cuadrado es 100 cm, ¿cuál
es la longitud de cada lado?
Solución
Para calcular la longitud de sus lados, divide el perímetro por 4:
o 100 + 4 = 25. Por lo tanto, el lado del cuadrado es 25 cm'
cm
C
6
CM
A+
cm.......--..-'.--........*8
Figura 46.1
Revisa el libro E/ mentor de
matemát¡cas, de GisPert
y Navarro, en la sección
"lVedición y cálculo de
áreas y perímetros'. Allí
encontrarás más información
sobre este tema.
Módulos de biblioteca
lngresa a la siguiente
página web y resuelve las
actividades propuestas:
http://ntic.ed ucacion,es/w3/
eos/N4ateria lesEd ucativos/
mem2OOB/m¿tematicas-
prima rialmenu ppal.html
@
-'l r
Triángulo equilátero Rectángulo
Tlc
RomboCuadrado

125. Euclides (330 a. C. - 275 a.C.),
matemático griego. Su mayor
mérito fue la sistematización
de conceptos. A partir de
definiciones, postulados y
axiomas, estableció por rigurosa
deducción lógica el armonioso
conjunto de la geometrí,a griega.
Su obra Elementos se consideró
durante veinte siglos la
base de los conocimientos
matemáticos en el mundo.
Usunáriz, U. y Usunáriz, P. (2012).
D¡cc¡ono r¡ o b¡og róf¡co de mote máticos.
[versión Adobe Digiral Editions].
Recuperado de
http://oa.upm.es / 1 4868/3 /
DICCIONAR¡O_BIOGRAFICO-DE_
MATEMATtCOS.pdf
f outo histórico
xl.,
Figura 46.2
B
Figura 46.3
Ejemplo 3
calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo largo es tres veces la medida
del ancho y su perímetro mide
,l20
cm.
Solución
Para comprender mejor la situación, elaboramos un diagrama en el que se
represente con a el ancho del rectángulo y con 3a el largo, que es tres veces
el ancho.
Perímetro: a + 3a + a + 3a= Ba. Como el perímetro es i20 cm, entonces,
Ba = 120, por lo que a = l5 cm.
Por tanto, el rectángulo mide 15 cm de ancho y 45 cm de largo.
Ejemplo 4
Una cancha de tenis tiene 8,23 m de ancho y 23,77 m de largo. se quiere cer-
car con una malla que la rodee completamente y que esté a 3 m de distancia
del borde de la cancha, como se muestra en ra figura 46.2.
¿cuántos metros
de malla se necesitan para colocar este cerco?
Solución
1." sumamos a la longitud del ancho y der rargo ros 3 m de separación a am-
bos lados, que en total son 6 m.
8,23 + 6= 14,23 23,77 + 6=29,77
2." con las nuevas medidas, calculamos el perímetro de la figura 46.2:
14,23 + 14,23 + 29,77 + 29,77 = BB.
3." Por tanto, los BB m del perímetro indican la cantidad de malla que se ne-
cesita para cercar la cancha de tenis.
Ejemplo 5
Calcula el área de los cuadrados de la figura 46.3.
Solución
A. El área del cuadrado A es (3 cm)2 = 9 cm2.
B. El área del cuadrado B es (4 cm)2 = l6 cm2.
Ejemplo 6
calcula el área de los triángulos de color anaranjado ubicados dentro de cada
rectángulo de la figura 46.4.Las medidas están en centimetros.
¿cómo son las áreas de los triángulos?
¿Er área depende de la forma del
triángulo?
Solución
observa que los 4 triángulos t¡enen las mismas bases y alturas. Entonces:
Área=u*
*
=12cm2
o
Las áreas de los triángulos son iguales.
o
El área no depende de la forma de los triángulos, sino de la medida de su
base y altura.
A
&__ 7___1*
I
3
l
E___--.-.-
Figura 46.4
@
ffi+i+

126. .
Sección central
Ejemplo 7
Calcula elárea de cada rombo de la figura 46.5
Figura 46.5
Solución
Para calcular el área de cada rombo, partimos de las medidas de sus diago-
nales.
A/edidas del romboA (de color roio): D = B cm, d = 4 cm
A,"u =3áL=
16 cm2
IVledidas del rombo B (de color azul): D= B cm, d= B cm
- avQ
Área = t3"=
32 cm'
A/edidas del rombo C (de color verde): D = 12 cm, d = B cm
Área =
Pig
= 48 cm2
Ejemplo 8
Determina cuál es el área en cm2 de la superficie de la figura 46'6'
-5
2cm 0,5 cm
Cm+
3cm._
Figura 46.6
5
Solución
Dividimos la figura en dos rectángulos y un trlángulo rectángulo, como se
observa en la f¡gura 46.7.De esta manera, hallamos SuS áreasy las sumamos
para obtener el área total.
Área figura A = 5 x 2 = 10 cm2
Area figura B = 0,5 X 8,5 = 4,25 cm2
Área flgura C = lJ#5
= 14,375 cm2
Área total = I0 + 4,25 + 14,375 =28,625 cm2
El área de la figura 46.6 es 28,625 cm2.
I
2cm
1
0,5
I
CM
I
2cm
3cm .-
g,§6¡¡
-
I 1,5 cm
Practica el cálculo de área y
perímetros en la página http://
www.vitutor.com/geo/eso/s-e.
htm
@
2,5 cm
Figura 46.7
I
Trc

127. Triángulos en que se
descompone un polígono
regular
fÉ
EiemRlo t
# Determina có
IS
e
mo se descomponen los poligonos de la figura 47.1
Figura 47.1
5olución
El pentágono tiene 5 lados y se divide en 5 triángulos.
El hexágono tiene 6 lados y se divide en 6 triángulos.
como podemos observar, se cumple que un porígono regular de n lados se
descompone en n triángulos.
r Ejemplo 2
Con base en la figura 47.2, calcula la suma de ra cantidad de lados de un do-
decágono regular y la cantidad de triángulos en que se divide un decágono.
Figura 47.2
Solución
El número de lados de un dodecágono es 12.
El número de triángulos en que se divide un decágono es 10
Por lo tanto, la suma es 12 + iO = 22.
*
un polígono es regular si es convexo y tanto sus ángulos como sus lados
son congruentes. La descomposición de un polígono regular en triángulos
congruentes se realiza uniendo elcentro con cada uno de los vértices.Todo
poligono regular de n lados se descompone en n triángulos congruentes,
los cuales son isósceles.
Pasa saber más sobre la
descomposición de los
polígonos, consulta la
siguiente página web: http://
matematica.cu baeduca.cul
med iasli nteractividades/
Temas8vo/poligonos/ co /
mod ulo_Polgonos_8.html
@
Ttc

128. ' Sacción central
Diagonales de un polígono
La diagonal de un polígono eS Un segmento con extremos en dos vértices
no consecutivos del polígono.
El número de diagonales de un polÍgono.t IlP, donde n es el número
de lados del polÍgono.
Ejemplo 1
Determina el número de diagonales que tiene
un hexágono.
Solución
Para contar el número de diagonales, usamos
colores diferentes. Tenemos cuidado de no con-
tar dos veces la misma diagonal. Registramos
en una tabla el número de diagonales desde los
vértices A, B, Cy D.
B C
4 D
Figura 48.1
2
Triángulo
Cuadrllátero
Pentágono
Hexágono
n-ágono
0
2
9
5
En total, un hexágono tiene 9 diagonales.
Ejemplo 2
Determina el número de diagonales de un polígono de 15 lados.
Solución
Sea n = 15, entonces D = 15(15 -
3) + 2=90.
Luego, un polígono de 15 lados tiene 90 diagonales.
Ejemplo 3
Determina el número de diagonales de un hep-
tágono.
Solución
Sea n = 7, entonces D =7(7 -
3) + 2 = 14.
Luego, el heptágono tiene 14 diagonales.
Figura 48.2
Ejemplo 4
Explica si es posible trazar las diagonales a todos los polígonos.
Solución
No es posiblelrazar las diagonales a un triángulo; por esta razÓn,no es posi-
ble trazar las dlagonales a todos los polígonos.
n(n - 3)
2
Tabla 48.1
En general, para calcular
el número de diagonales
de un polígono emplearás
las propiedades de las
operaciones aritméticas.
I Conexiones
'a/ \
./,
Desde el vértice IDesde elvértice A Desde elvértice CDesde el vértice D
3
4
5
6
n
@
Á
B
3 3
a
o
No.
diagonales
No.
lados

129. Suma d
de unp
e ángulos
olígono regular
usando la propiedad 2 de triángulos, podemos hailar una fórmula para la suma
de las medidas de los ángulos de un polígono convexo.
5 3 x i80"= 540' 540'+ 5 = 108'
6 4x180'=720" 720" + 6= 120"
5 x 180"=900" 900'+ 7=128,57"
7
3
4
5
n n lados (n-2)
I 80(n-2)
180 h-2)
n
Tabla 49.,1
En cada caso, el número de triángulos que se forma es 2 veces menos que el
número de lados. Ese número, multiplicado por 180", es iguala la suma de las
medidas de los ángulos interiores del polígono.
Ejemplo 1
Determina s¡ ex¡ste un poligono convexo para el cual la suma de las medidas
de sus ángulos ¡nter¡ores es 2140".
Solución
con base en la información de la tabla 49.,l, puedes deducir que la suma de
las medidas debe ser un múltiplo de 180.
por
ello, basta dererminar si 2140
es múltiplo de 180. si realizas la división, obtendrás que el residuo es 160.
por
tanto, no existe un polÍgono convexo con esa propiedad.
r r Ejemplo 2
si la suma de los ángulos internos de un pentágono regurar es 540',
¿cómo
puedes obtener la medida del ángulo externo?
Solución
Sin=5,entonces,
360 ?.o
-=//
)
@
La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular es
igual al cociente entre la suma de los ángulos internos de los triángulos que
se forman en su interior y el número de lados der porígono. La suma de los
ángulos externos de todo polígono regular es 360..
La medida del ángulo central
se simboliza con m { i.
Si restamos a 180'la medida
de un ángulo interno
180"-(n-z)r
180o,
n
obtun"ror
36oo.
n
Recuerda
ffi
Polígono
N.o de
lados
Triángulos
formados los
Medida de un
ángulo interno
ü

130. Lacturas.
espCüializadas
»
.
Sección final
a :
Los andenes incaicos
Los incas tuvieron una especial preocupación por encontrar formas de mejorar las condiciones del suelo para la
agricultura. La variedad del clima y del territorio abrupto los llevaron a buscar soluciones diversas y fueron mu-
cñas las opciones que encontraron para enfrentar el desafío. Entre las medidas más conocidas, se encuentra la
construcclón de andenes, que durante el gobierno incaico fueron de gran impoftancia. Aunque demandaban
cantidades considerables de mano de obra, el Estado inca los pudo construir con relativa facilidad.
Los andenes son terrazas agrícolas artificiales que sirven para obtener tierra útil para la siembra en las laderas
de las montañas. Permiten aprovechar mejor el agua, tanto de lluvia como de regadío, pues la hacen circular
a través de los canales que comunican sus diversos niveles. Con esta medida evitaban al mismo tiempo la ero-
sión hidráulica del suelo. Los andenes no solo servían para el cultivo del maí2, sino también para cultivar otros
productos agrícolas. Además, los utilizaban para evitar la erosión y el lavado de la sal mineral.
Los andenes han merecido amplias investigaciones y actualmente se está estudiando la posibilidad de recons-
tituirlos para beneficio de la agricultura, pues permiten cultivar las laderas empinadas de las quebradas y evitar
la erosión producida por las lluvias.
Anteriormente, se pudo calcular el área de los andenes a través de sus superficies. De esta manera: si se tenía
un terreno agrícola de forma cuadrada de 12 m de lado, que se encontraba rodeado por un andén de 2 m de
ancho, se sabía que el área del andén era de 112 m2.
. Disfruta las A/atemáticas. (201 5). Geometría, polígonos. Recuperado de http://www.disfrutalasmate-
maticas.com/geometria/poligonos-regu lares.html
o Gaussianos. (2005). Porque todo tiende ol infinito. Recuperado de http://gaussianos.com/construccio-
nes-con-regla-y-compas-iii-los-pollgonos-reg ulares/
. Wikipedia. (201 5). Agricuttura incaica. Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Agricultura-incai-
ca#Los_andenes
. Wikipedia. (2015) Cultura moche. Recuperado de https://es.wikipedia.orglwlki/Cultura-moche
Bibliografía
@
{
r
t{
:l
I

131. Crqanizador
üi'§úá"í » '', ',: :: J
Pueden ser
son
Según el
número
de lados
Se pueden
construir con
son
son
5e puede
calcular
tiene
tiene
tíene
tiene
tiene
Se puede
calcular
paralelas
rectas que están en el mismo
plano que nunca se intersecan
Rectas
perpendiculares
rectas que están en el mismo
plano que se cortan y forman un
ángulo de 90'
números de
diagonales
figuras que resultan de la unión de
segmentos
suma de
ángulos
internos
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
3 lados
4lados
5 lados
6lados
7 lados
Figuras
poligonales
perímetro
regla
compás
@
7-
t.

132. lqo
I
i@a
q0
o.
Si un terreno agrícola de forma cuadrada de 12 m de
lado se encuentra rodeado por un andén de 2 m de
ancho, determina la superficie del andén aplicando
la fórmula del área de un cuadrado. Recuerda que
los andenes son terrazas agrícolas artificiales que
permiten la obtención de tierra útil para la siembra
en las laderas andinas.
Pasos para la resolución del problema
Escribimos la información que nos proporcionan y la pregunta que se plantea
Se tiene un terreno agrícola de forma cuadrada de 12 m de lado, que se encuentra rodeado
por un andén de 2 m de ancho. ¿Cuál
es la superficie del andén?
Pensamos cómo podemos resolver el problema
Utilizaremos Ia estrategia Razonar lógicamente, que consiste en enlazar los pasos y com-
prender las secuencias que se producen para el desarrollo y la resolución de problemas.
Aplicamos la estrategia heurística: Razonar lógicamente
o Calculamos la superflcie del andén que rodea el terreno agrícola.
o El terreno agrícola tiene forma cuadrada. El lado mide 12 m y el ancho del andén mide
2m.
o
Si el terreno agrícola se encuentra rodeado por un andén de 2 m de ancho, quiere decir
que se forma un cuadrado de 16 m de lado.
o Entonces, calculamos el área del nuevo cuadrado (terreno más el andén).
A, = L', entonces, A, = 16 x 16 = 256 m2
Calculamos el área del terreno agrícola.
Az= L2,entonces, Ar= 12 x 12 =
1 44 m2
Calculamos la diferencia de ambas áreas.
A,- A, = 256 - 144 = 112 m)
o Por lo tanto, el área del andén es 1 12 m2.
a
(o
U.F
a
!-
=§)
.C
(¡
.9
ul
§)
(o
t-
.{J
U1
LLI
@
.
Sección final
Sacamos las conclusiones
Concluimos que se puede calcular el área de los andenes porque tienen forma poligonal-
Esta estrategia nos sirve para resolver problemas en diversas situaciones y contextos.
*¡:!+ .rr:
.-

133. Proporcionalidad
y función lineal
(}
lntencionalidad pedagógica
;
En este capítulo aprenderás sobre proporcionalidad explícita y no explícita en
funciones lineales. Esto te permitirá aplicar este concepto en situaciones afines.
También conocerás algunos criterios para describir el comportamiento de Ia
gráfica de una función lineal:caracterizarás la pendiente, el dominio y el rango,
y podrás establecer conexiones entre las representaciones gráficas, tabulares y
simbólicas de una funcíón lineal.
Capítulo
I
{
U
-1
l&
l',H
El Perú ha desarrollado la
industria basada en los metales,
convirtiéndolos en un recurso óptimo
para el futuro. Por ello, se incentiva a
los artesanos a actualizarse tomando
cursos de bisutería. Además, se
brinda apoyo a los microempresarios
y emprendedores mediante guías
de exportación y capacitaciones
especiales. Si la capacitación en
bisutería debe estar por encima de
las 4 horas diarias,
¿cómo se expresan
las horas (h) con las que debe contar
una persona diariamante para
capacitarse en este arte?
La cocina peruana es considerada
una de las más variadas del
mundo. Una muestra de cómo
el arte culinario peruano está en
constante evolución, es la feria
gastronómica Mistura, que se
lleva a cabo en Lima desde el
2007.
Para preparar un ceviche de
4 porciones se requiere un
kilogramo de pescado.
¿Qué
cantidad de pescado se necesita
para preparar un ceviche de 2,7,
10 y 12 porciones?
Lima es un interesante centro
cultural en el Perú. Esto se
puede apreciar por la cantidad
de museos que esta ciudad
alberga y que son visitados por
un gran número de turistas. En
sus museos, se pueden apreciar
muestras de las diversas culturas
del antiguo Perú.
¿Qué
porcentaje de empleo
genera el turismo en el Perú?
¿Qué
proporción existe entre el
número de personas que visitan
nuestro país y el número de
personas que salen?

134. Antes de comenzar ten en cuenta
o A/agnitudes
o Producto cartesiano
o UbicaciÓn de puntos en el plano
.
Sección inicial
Conceptos clave
o Relaciones en la proporcionalidad:
directa e inversa
o Función lineal: con coeficientes
enteros, dominio y rango, intercepto
con los ejes, pendiente
Aprendizajes esperados
o Reconoce relaciones no explícitas en situaciones de variación al expresar
modelos relacionados con proporcionalidad y funciones lineales.
o Asocia modelos referidos con la proporcionalidad directa y las funciones
lineales con situaciones afines.
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa ideas
matemáticas
o Describe el comportamiento de la gráfica de funciÓn lineal, examinando
su intercepto con los ejes, su pendiente, dominio y rango.
o Determina una funclón lineal a partir de la pendlente y su punto de
intercepto con el eje de coordenadas.
o Establece conexiones entre las representaciones gráficas, tabulares y
simbólicas de una función lineal.
. Emplea estrategias para resolver problemas de proporcionalidad y fun-
ción lineal con coeficientes enteros.
¡ Explora mediante el ensayo y error el conjunto de valores que puede
tomar una función lineal al resolver un problema.
. Emplea métodos gráflcos para resolver problemas de funciones lineales.
Elabora y usa
estrategias
. Prueba si una función es lineal por los valores de su dominio.
¡ Justifica el dominio apropiado de una funciÓn lineal (si pertenece al
campo natural, entero o racional) de acuerdo con una situación de
dependencia.
o ldentifica diferencias y errores en una argumentación.
Y=x
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
equivalencia y
cambio
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
Competencia tndicadoresCapacidad
@

135. il
Razón de proporc
L =c-.=r
OCr
ional¡dadl
lntroducción
La riqueza de nuestro lenguaje cotidiano puede ser transferida al lenguaje matemático. La matemática es
una ciencia conformada por elementos, conjuntos, propiedades, relaciones y funciones. Estos elementos
nos permiten expresar situaciones de la vida real en términos numéricos y gráficos. La proporcionalidad la
experimentamos constantemente en nuestra vida cotidiana; por ejemplo, decimos que, por cada gramo
de oro, será necesario tratar 5 toneladas de tierra o, por cada taza de leche, usaremos dos tazas de aguu en
cierta preparaciÓn. En síntesis, expresar cualquier relación de la vida cotidiana en términos matemáticos es
muy fácil, tanto asíque solemos decir que por cada ciudadano peruano que decide dejar nuestro país de
forma definitiva, 3 turistas deciden venir a visitarnos.
Proporcional idad d¡ recta
Unos cocineros de un reconocido restaurante tardan l0 horas en preparar co-
mida para 500 invitados.
¿cuántas horas tardarán tres cocineros en preparar
comida para 1000 comensales, trabajando en las mismas condiciones?
l0 horas + 500 comensales
x horas
-->
.l000
comensales
A más invitados, más horas.
10x1000=500x
10000=500x
20=x
Tres cocineros tardarán 20 horas en preparar
,l000
platos de comida.
Ca
C,
b
-=+ -
Ejemplo 1
Para conocer el pasado prehispánico de Lima, lrlark y Kimberly visitan la
Huaca Pucllana. A/ark invita a Kimberly y paga por las entradas generales
5/.24.Para hacer el recorrido el guía debe esperar a que se comprete un
grupo de 10 personas.
¿cuánto debe pagar el resto del grupo por sus bole-
tos si todos cancelan la tarifa de entrada qeneral?
Solución
Si el costo por entrada era S/ 1 2, entonces B personas pagan 12(B) = 5¡ 96.
Costo de 2 boletos: 2(12) = 5¡ 24
Costo de B boletos: B(12) = 5¡ 96
Podemos afirmar que si el número de boletos de entrada general se cuadri-
plica, el costo total también se cuadruplica.
2 personas
24
T personas
:
x (nCCs sob-t
.
Muttipticamosenaspa)r, 2): 24(B)+ r:ZP: 24(4): e6
@
a'
_a_
a'
b'
-+r-
lt
H*
II
t" --t*
li
*
¡t
*
I
I
-t
I
l-t
_H
#
--]--"--j
II
fi
Revisa el libro Elmentor de
matem ótica s, de Gispert
y Navarro, y amplía tu
experiencia de aprendizaje con
ejemplos y actividades.
os de biblioteca
Dos magnitudes son directamente proporc¡onales (D. p.)
sial multiplicar
o dividir una de ellas por un número diferente de cero, ra otra queda
multiplicada o dividida por el mismo número.
l
Y
Ca
Magnitud B
lvlagnitud A

136. - Sección central
Proporcional idad i nversa
Un grupo de estudiantes de Artes decide excavar en una zona que se caracte-
riza por tener diferentes tipos de mineral en la tierra. Desean encontrar greda o
arcilla, que pueden usar en la elaboraciÓn de diferentes tipos de vasijas.
¿Qué
pasará con el tiempo que dedican a la extracciÓn de la arcilla si aumenta la
cantidad de estudiantes en la excavación?
5i son 5 estudiantes los que realizan la excavación, se tomarán xtiempo; pero si
aumenta el número de estudiantes a I0, es decir al doble, se tomarán la mitad
deltiempo (x/2).
Dos magnitudes son inversamente proporcionales (1. P.) si al multiplicar o
dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por
el mismo número.
Ejemplo.l
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos
días emplea-
rán 1B hombres para realizar el mismo trabajo?
Solución
En este caso, con el doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad;
con el triple, la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente
proporcionales.
Construimos una tabla:
6 18
24 12 X
Tabla 51 .l
Vemosque los productos 3 x 24: 6 X 12 : 9 \' B :
72
Por tanto, (18) ' (x) :
72.
Los 1B hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo.
r »
EjemPlo 2
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar a 220 vacas durante
45 días. ¿Cuántos
días podrá alimentar a 450 vacas con la misma cantidad de
forraje?
Solución
Contando con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para
la mitad de dÍas; si el número de vacas se triplica, tendrá para la tercera parte
de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.
3 9
B
a b C
a.a'=b.b'=c.C'=...k
Razón de proporcionallou¿ l
-r-T
Días
Hombres
b' C'a'
Magnitud A
Magnitud B
/
a',
@
I
I
I
f
I
.Tc'
ca
X

137. x: número de días para el que tendrán comida las 450 vacas:
I
220
45
450
X
Tabla 5I .2
Se cumple que 220
.
45 : 450. x de donde ,:22|.iiáa5 :
22.
.
Podrá alimentar a las vacas por 22 días con la misma cantidad de forraje.
jt
t Ejemplo 3
Para envasar cierta cantidad de vino, se necesitan B toneles de 200 litros de
capacidad cada uno. Para envasar la misma cantidad de vino empleando
32 toneles,
¿cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
Solución
32
Tabla 51 .3
Se cumple que B .
2OO :
32. x, dedonde, = $
:
SO
Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la
o misma cantidad de vino.
.*. t Eiemolo 4
a'
cinco obreros levantan una pared en 6 días. ¿En cuántos días lo harán
10 obreros?
Solución
Las magnitudes son inversamente proporcionales. observemos el proceso:
5(6) : KY 10(x) :
¡1
Como K :
K, entonces, 5(6) :
10(x).
Luego, 5(6) :
10(x)
--+ 30 :
'l
Ox
> x : 30/10 :
3.
si la cantidad de obreros se duplica, entonces, el tiempo que tardan en hacer
la pared se reduce a la mitad.
. Por tanto, l0 obreros levantarán la pared en 3 días.
.'t
- Ejt,nPlo 5
Dos números suman 300. si estos números son inversamente proporcionales
a2y 3,
¿cuáles son los números?
Solución
Los númeror ron !
k
2'v 1'
LI,
¡ Los números son 180 y 120.
X
8
200
N.o de toneles
Utiliza el libro Cuentos de
matemát¡cas, de Hervás, para
complementar lo aprendido.
Esta obra motiva a asumir
retos matemáticos de una
forma original, y desarrolla
aprendizajes en torno a un
eje vivencial, creativo y de
aplicación.
Módulos de biblioteca
@
ff
=:oo + 5k= rBoo , k=360.
N.o de vacas
N.'de días
N." de litros

138. .
Sección central
Función lineal y su regla
de correspondencia
Luisa, paseando por la ciudad de lquitos, ingresa a un restaurante y pregunta
por el precio de la porción de tacacho con cecina. Uno de los mozos le res-
ponde que cuesta S/ 1 2.
¿Cuánto
tendrá que pagar Luisa si pide 3 porciones y cuánto, si pide 5?
Observemos la relación entre el monto que se pagará y el número de porciones.
'](r
2) 2(12) 3(12) 4(12) s(12)
Monto que se pagará
(s4
12 24 36 48 60
Tabla 52.1
El monto que se pagará es el resultado de multiplicar la cantidad de porciones
por el costo de la unidad.
El monto que se pagará depende de la cantidad de porciones.
Entonces, si Luisa pide x porciones, tendrá que pagar 1 2x nuevos soles.
Asignándole al número de porciones x, y al monto que se pagará y, tenemos
lo siguiente: l:
12x.
Una función es una relación establecida entre los elementos de dos
conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se define la funciÓn f de A en B
como un subconjunto de A x B, donde a cada elemento de A (conjunto
de partida), Ie corresponde un único elemento de B (conjunto de llegada).
Se llama función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes
directamente proporcionales (x, y). Su ecuaciÓn tiene la forma | = mx o
f(x) = ¡',r.
1rf
riemnlo t
I Determina si f :
{(1;4),(2;5),(2;6),(3;6),(4;7)} es una función
I solu.¡¿n
De f el conjunto de partida A: t1',2',3;4j. De los pares ordenados, al ele-
mento 2 del conjunto de partida le corresponden dos elementos del con-
junto de llegada. Por tanto, f no es función.
a
N.'de porciones
En muchas situaciones de
la vida cotidiana se aplica el
concepto de función, por
ejemplo, en la asignación
del número de identidad o
en la velocidad que lleva un
auto en cada momento de su
desplaza miento, entre otros.
V
I cone*iones
@
,l
2 3 4 5

139. La notación funcional que
representa simbólicamente
una función es la siguiente:
f:A-+ B
Se lee'función f de A en 8".
La representación de una
función a través de flechas se
denomina diagrama sagital.
f
A._,8
Figura 52.1
La representación de una
función en un plano cartesiano
se denomina diagrama
cartesiano.
Recuerda
, t Ejemplo 2
Sea R,: A- Bla siguiente relación, donde A={a; b;c} y B = {5;0}
B,
A---A
Figura 52.2
Solución
En la figura 52.2,se observa que para cada elemento,4 existe una imagen en
B (existencia) y que a cada elemento de A le corresponde un único eremento
de B (unicidad).
Por tanto, R, :
{(a; 5), (b; 5), (c; 5)} es una función llamada función constante.
Ejemplo 3
Sea Rr: A--+ B, siendo A: {1;2;3;4}y B: {2;3;4}.
Solución
observamos que para cada elemento de A existe una imagen en B (existen-
cia), pero que el elemento 3 de A tiene dos imágenes en B (no se cumple la
unicidad).
Portanto,R, :
{(1;2),(2;4,G;2),(3;),@;2)} no es una función.
t
a
@
Evaluar una función significa
hallar el valor único del rango
que corresponde a un valor
especÍfico de su dominio. Por
ejemplo, evaluar la función
f(x) :
-x en -1 significa calcular
f(-1) :
-(-t ¡ :
1, es decir, a -1
le corresponde 1.
Recuerda
Figura 52.3
a.
5
b.
c. 0
,a
t
5
a
a a

140. Regla de correspondencia, representación tabular
y gráfica de una función lineal
Una función cuya representaciÓn en el plano es una recta que pasa por el
origen es una función lineal. Se representa con la expresión l:f(x), donde
x es la variable independiente, puesto que puede tomar cualquier valor
del conjunto de partida; y y es la variable dependiente, ya que su valor
depende del asignado a x.
gr » EjemPlo a
Determina si el perímetro de un cuadrado depende de la medida de su lado.
Solución
Sea I el lado de un cuadrado y P su perímetro.
. Si | :
1 cm,entoncessu perímetroserá P:4('l) :4cm.
. Si ¿ :2
cm, entonces su perímetro será P : 4(2) :
B cm.
o 5i L :
3 cm, entonces su perÍmetro será P :
4(3) :
12 cm'
Notamos que el perímetro P depende de la medida del lado l. Entonces, Ia
regla de correspondencia que relaciona al perimetro con la medida del lado
de un cuadrado es P : 4L,donde L es la variable independiente y P la variable
o dependiente.
La función g deZenZse define según la regla de correspondencia 98)
:2x.
Asignemos algunos valores a x y construyamos una tabla.
s(1)
:2(1):2
s(2):2(»:
a
g(3):2(3):6
sg):2@)
:
B
g(5):2(5) :
1o
fabla 52.2
Las parejas que se obtienen son g :
{(;2),
(2;4), (3;6), (a; B), (5; 1 0)}.
Podemos, también, representar gráficamente la función
9:
1
2
3
4
5
.
Sección central
El electrocardiograma es la
representación gráfica de la
actividad eléctrica del corazón
por medio de una función en
un plano.
s
BA
1
t
t-H-
2
=fr
@
El producto cartesiano de los
conjuntos Ay B es el conjunto
formado por todos los pares
ordenados (o;b), donde el
primer componente de cada
par pertenece al conjunto A
y el segundo componente
pertenece al conjunto B.
AxB={(a;b)/aeAy beB}
La regla de correspondencia
indica el criterio con el cual se
eligen las parejas de elementos
del conjunto de partida y de
llegada.
Recuerda
glxl =2x
Figura 52.4 Figura 52.5
x
,2
.4
.6
.8
.10
g(x)
1.
2.
3.
4.

141. Dominio y rango
El cobre (cu) que se extrae en las canteras del Perú aporta al mundo gran can-
tidad de materia prima para la elaboración de utensilios y objetos usados en la
vida diaria. El cobre permite la conducción de energía y es usado en las tomas
de corriente de casas, empresas y todo tipo de construcción. si por cada toma
de corriente de una casa se requieren 6 kg de cable de cobre,
¿cuál será Ia ex-
presión del peso de cable de cobre a usar por el número de tomas?
Tenemos que:
x: número de tomas
Cantidad de cable (por xtomas): 6x
Si los valores de x son 1,2,3,\os valores que toma la función son 6, 12, 18.
¿
r Ejemplo 1
lndica el dominio y rango de la función f :
{(0; O), (; a), e; B), (3; 12)}.
Solución
Los elementos de la función f son pares ordenados (x;y) y tienen dos compo-
nentes. El primer componente es x, y el segundo componente es y.
o Si agrupamos los primeros componentes de los pares ordenados y
formamos un conjunto, este se denomina dominio de la función
Dom (f) :
{0; 1;2;3}
o si agrupamos los segundos componentes de los pares ordenados, enton-
ces el conjunto se denomina rango de la función Ran (f
) :
{O;4;B;12}
Dominio y rango también se pueden identificar en representaciones gráficas
.
de funciones.
¿
:r Ejemplo 2
lndica el dominio Dom (f) y el rango Ran (f) de la función representada en el
diagrama cartesiano de la figura sá.t.
Y
Refuerza tus conocimientos en
http://eje rc ic iosdefu nci o n es.
com/dominio-y-rango-de-u na-
fu ncion/
Solución
ldentificamos los pares ordenados de la
función.
f :
{(2; a), @; B), (6; 1 2)}
Luego,
Dom (f) :
{2',4;6} y Ran (f ) :
{4', B; 12}
B
4
--+
X
t
Si en una función dos de sus
pares ordenados tienen el
mismo primer componente,
entonces los pares ordenados
son iguales.
El conjunto que agrupa los primeros componentes de los pares ordenados
de la función o elementos x se llama domínío de la función. se denota con
Dom (f).
El conjunto que agrupa los segundos componentes de los pares ordenados
de la función o elementos y, se denomina rango de la función. se denota
con Ron (fl.
En toda función, los elementos
del rango son imágenes de
los elementos del dominio
(preimágenes), según la regla
de correspondencia de dicha
función.
(x; y)
E
Preimagen
\
lmagen
@
Figura 53.1
Recuerda
Recuerda
Ttc

142. - Sección central
lntercepto con los ejes
Un intercepto en el ejeXes un punto de la gráfica que corta o intercepta
el eje X. Este punto tiene coordenadas (x; 0).
Un intercepto en el eje Yes un punto de la gráflca que corta o intercepta
el eje /. Este punto tiene coordenadas (0;y).
En una función lineal y = rrx, el ¡ntercepto tanto en X como en Y tiene
coordenadas (0;0).
Para la función y :
2x, halla el intercepto en el eje Xy el intercepto en el eje Y.
. lntercepto en el eje X.
. lgualamosyacero. l=0
o Sustituim os en y : 2x. 0 = 2x
o Dividimos cada miembro de la ecuación por 2. 0 : x
Punto (0;0)
. lntercepto en el eje Y.
. lgualamosxacero. x:0
o Sustituim os en y : 2x. y :
2(0)
y:0
Punto (0; 0)
Observemos en la figura 54.1 que los dos interceptos en este caso son el
mismo (elorigen).
Figura 54.1
Ejemplo 1
Halla el intercepto en el eje Xy el intercepto en el eje Ypara la siguiente
función:y :
-3x.
Solución
o lntercepto en el eje X. y : 0
1.,
- ^--fx -
u
.-_^
x-u
Punto (0; 0 )
. lntercepto en el eje Y. x :
0
y:
-3(0)
.-A
x-u
Punto (0; 0 )
@
V
La representación gráfica de
funciones se debe en gran
parte al matemático francés
René Descartes, quien, además,
fue el primero en utilizar el
término de función.
Navarro, M. (2O12). Delólgebra a la
geometría. Universidad de Valencia,
Valencia, España. Recuperado de
http//roderic.uv.es/bitstream/
handle/1 0550/291 23lDel_algebra_a_
la_geomatria_Maite_Navarro.
Pdf?sequence=1
! oato histórico
2
Y
-4
-6

143. Pendiente
g* » Ejemplo 1
Halla la pendiente de la rectay = 5x
Solución
En este caso, rn = 5. Esto significa que la pendiente de la gráfica de ra función
es 5.
g-=$ rjempto z
Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos que se relacionan en
la tabla 55.'1.
€
0,5
1
1,s
')
2
4
6
B
Tabla 55.1
Solución
Observemos que cada valor de la variable
dependiente se obtiene multiplicando por
4 el valor correspondiente de la variable
independiente. Esto signiflca que podemos
representar la función mediante la expresión
| = 4x. En este caso, la pendiente de la recta
es 4.
Otra forma de obtener la pendiente es
extraer de la tabla las coordenadas de dos
puntos de la recta y hallar la variación de la
función en Xentre la variación de la función
enf
Si los puntos seleccionados son (t
; a) y Q; B),
tenemos: Variación en Y: B - 4 = 4 ;Variación
enX:2 - I = l. De modo que m =4(4+1).
Y
8
6
5
4
3
2
5iy es una función lineal de x y si la ecuación está dada de la forma | = mx,
entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. si la pendiente de
una recta es positiva, es decir, m > 0,la función es creciente. De manera
análoga, si la pendiente de una recta es negativa, es decir, m < O,la función
es decreciente. si se conocen 2 puntos de la recta que representa la función,
la pendiente se obtiene dividiendo la variaclón en
y por la variación en X.
Las carreteras de nuestro
país se caracterizan por tener
inclinaciones, es decir, por
tener variación de pendiente.
lnformación regional
x
Para hallar la pendiente
de una recta, se emplean
las propiedades de las
operaciones aritméticas.
Conexiones
a
@
Figura 55.1
v
a

144. Lecturas,,
espCüializadas
' Sección final
-
Riqueza minera del Perú
El Perú, por su especial orografía y relieve
andino, posee valiosos yacimientos de co-
bre, oro, plata, plomo, zinc, estaño, tungs-
teno, carbón y fierro, que en la actualidad
se hallan en plena explotación y generan
riqueza económica para el país. Actual-
mente, la exportación de nuestros minera-
les representa el 60 7o del total de nuestras
exportaciones (BCRP, 2005).
La minería cumple un rol muy importante
en la descentralización del paÍs, pues
aporta, por medio del canon minero, miles
de millones de nuevos soles para las regio-
nes del interior. La minería es elemental
para el desarrollo de la zona altoandina, ya
que es la actividad productiva de mayor
rentabilidad y la que ofrece más trabajo en
zonas por encima de los 3500 m sobre el
nivel del mar. Además, en esas zonas, otras
actividades productivas son limitadas y
existe mucha pobreza.
Las especies minerales están localizadas en las tres regiones del Perú. En la costa, existen minas de cobre, clo-
ruro de sodio, petróleo; en los Andes, los minerales metálicos como la plata, el cobre, el plomo y el hierro son
comunes;en la parte oriental, existen numerosas vetas de cuarzo con oro intercalados entre las capas de pizarra
que forman la cordlllera de los Andes.
La siguiente tabla muestra que el número de obreros que trabajan abriendo una galería es inversamente pro-
porcional al número de días trabajados, es decir, que a mayor número de mineros, menor número de días.
12 1B
I
6
I
24 12 9N.'de días
N." de mineros
.
Carranza, C. (2001). l"latemática I .lima, Perú: Itllinisterio de Educación.
. Figueroa, R. (2006). ly'iatemática Bósica. Lima, Perú: Editorlal RFG.
. Museo de Historia Natural. UNIVSI\¡. Riqueza minero del Perú. Recuperado de http://museohn.un-
msm.edu.pe/index.php/div/geo/depminpet/86-museohn/geociencias/depminpet/minpetroriq-
mi n/B 1 -minpetroriqmin
. Profesor en línea. (2005). Proporcionalidad: directa e inversa. Recuperado de http://www.profesorenli-
nea.cllmatematica/Proporciona I idad.htm
. Wikipedia. (2008). Pendiente. Recuperado de https://es.wikipedia.orglwiki/Pendiente-(matemo/o-
C3oloAl ticas)
r
@
)
{
t:

145. CrqanizaCor
visual r
relaciona
puede ser
-
lineal
se representa
e(2(): z
s(2): z(z) : q
sA:2A:6
s@):2(4) :
B
s(s):2(s): ro
mediante
que genera
en la que se
identifican
l
2
3
4
5
Magnitudes
directamente
proporcionales
Una regla de
correspondencia
Función
Parejas
ordenadas de
laforma (x,y)
glxl
=2x
Pendiente
lntercepto con
los ejes
Gráficamente Simbólicamente
Mediante una
tabla
MXv
Una recta que
pasa por el
orígen
Diagrama

I
I \
s
A B
,B I
q
'x)
I
)
) ]6
@
f,1
x
1.
2.
3.
4.
5.
.2
.4
,6
.8
.'10

146. .
Sección final
En una mina una cuadrilla de 6 mineros abre una galería en 24 dias.
Si otra cuadrilla tiene 1B mineros,
¿cuántos
días se demorarán en
abrir la misma galería?
6 1B
24 X
Pasos para la resolución del problema
Comprendemos el problema
El objetivo del problema es medir Ia eficiencia del trabajo de los mineros, es decir, queremos
ver qué tan conveniente seria aumentar la cantidad de obreros para abrir una galería más rápi-
damente, pues, a mayor número de obreros, menor tiempo de duración para abrir una galería.
6 13
EE,o ,
Diseñamos una estrategia
Utilizaremos la estrategia Ensayo y error, que consiste en tantear los valores de forma orga-
nizada y evaluar cada vez los ensayos que se realizan.
(/l
ru,
U
'.{-,
ul
:)
§)
.C
tf)
"r0
co
§)
f L.)
t*_
.l.J
(/)
LLI
Aplicamos la estrategia heurística: Ensayo y error
o Elaboramos una tabla que muestre que el trabajo de los obreros al abrir una galería es
inversamente proporcional al número de días, ya que a mayor cantidad de mineros, me-
nor número de días.
6
@2412x
Vemos que los productos 6 x 24 :
12 X. 12 :
144
Portanto, (18) .(' :144.
Entonces, x :
B.
Los
'lB
mineros tardarán B días en abrir la galería.
a
Transferimos lo aprendido
Podemos concluir que el número de mineros es inversamente proporcional al número de
días.
@
N." de días
N.'de mineros
trl

147. -á:-
E
tr
o
B
o
o
o
o
0
B
a
trE
og
oo
BE
OB
§embras
lquitos
$la.ali:
Pacaya Samiri¿
PICCNU
Líneas
Chan Cha
Capítulo
a escala0
Transformaciones
I ntencionalidad pedagógica
Desde la antigüedad la necesidad de orientarse condujo a los seres humanos a
elaborar mapas o cartas geográficas y a relacionar los puntos de una superficie
mediante números. En este capítulo ubicarás figuras en el plano cartesiano
utilizando pares ordenados, lo que desarrollará tus capacidades matemáticas
en situaciones concretas. También aplicarás diversas estrateg¡as para medir
distancias y calcular el perímetro, área y volumen de las figuras. De igual manera,
hallarás información sobre la ampliación, reducción y rotación de figuras, y
tra nsformaciones geométricas co n fi g u ra s semeja ntes.
prsrli.,io
\
oú
or
^
&
log]
lool
Itrol laDi
lool ^t
,. aol -El'
': Lr, rrl,
fll -¡lt
-olr
Una de las actividades
económicas más importantes
del Perú es el turismo. Se
generan empleos por todo el
país para ofrecerle al turista
d iversas opciones gastronómicas,
recorridos naturales y
exploraciones a rqueológicas.
¿Podrías diseñar un mapa de tu
región para orientar a los turistas
sobre la ubicación de los lugares
más llamativos?
El Perú se destaca por poseer
variedad de especies de insectos,
como las mariposas; los llamados
palos, famosos por su habilidad
de mimetización; los formícidos,
también conocidos como
hormigas; y los escarabajos
de mayor tamaño del mundo,
entre otros insectos típicos y
sorprendentes.
¿Cómo
representarías en un mapa
la distribución de insectos en el
Perú?
Actualmente, el plano es un
recurso muy utilizado por el
programa Mi Vivienda para
la construcción de viviendas
o departamentos con áreas
establecidas según el número
de miembros de cada familia.
¿Conoces otros tipos de
coordenadas diferentes de las
cartesianas?
¿Crees
que con
las coordenadas cartesianas
podemos localizar cualquier
lugar?
146

148. Antes de comenzar ten en cuenta
. Plano cartesiano: ubicación de un punto
¡ Traslación: figuras en la cuadrícula
o Figuras geométricas: perímetro, área y volumen
.
Sección inicial
Conceptos clave
r Escala: mapas y planos
o Semejanza de figuras
o Condicionesdeproporcionalidad,
perfmetro, área y volumen
o Transformacionesgeométricas:
ampliación, reducción y rotación de
figuras en el plano cariesiano
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
r Reconoce relaciones no explÍcitas basadas en medidas de formas,
desplazamiento y ubicación de cuerpos, para expresar mapas o planos
_
----t-
d e5Ldtd.
¡
Usa mapas o planos a escala al plantear y resolver un problema.
¡ Usa un modelo basado en transformaciones al plantear o resolver un
problema.
o Reconoce relaciones no explícitas en situaciones de recubrimiento de
superficies, al elaborar un modelo basado en transformaciones.
. Expresa las distancias y medidas de planos o mapas usando escalas.
. Describe las características de transformaciones de rotación, ampliación
y reducción con figuras geométricas planas.
o Grafica la rotación, ampliación y reducción de figuras poligonales regula-
res para recubrir una superficie plana.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
r Diseña y ejecuta un plan orientado a Ia investigación y resolución de
problemas.
o Realiza transformaciones de rotar, ampliar y reducir, con figuras en una
cuadrícula al resolver problemas, con recursos gráflcos y otros.
. Emplea estrategias heurísticas y procedimientos para ubicar cuerpos en
mapasoplanosaescala.
Elabora y usa
estrategias
¡ Justifica las variaciones en el perímetro, área y volumen debido a un
cambio en la escala en mapas y planos.
. Explica qué medidas y situaciones se afectan o no por el cambio de
esca la.
r Plantea conjeturas acerca de la semejanza de dos figuras al realizar sobre
estas rotaciones ampliaciones y reducciones en el plano.
o ldentifica diferencias y errores entre tus argumentaciones y las de otros.
. Explica cómo algunas transformaciones pueden completar partes au-
sentes en figuras geométricas..
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de forma,
movimiento y
!ocalización
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
lndicadoresCompetencia Capacidad
@

149. lntroouccton
Los mapas y planos se pueden utilizar en la cotidianidad para ubicar s¡tios en lugares desconocidos de una
ciudad y ubicar las zonas turísticas de mayor diversidad del país. Asimismo, las escalas nos ayudan a realizar
gráficas de determinados lugares, de acuerdo con una proporción o regla que relaciona la dimensión real
con la medida del dibujo. Podemos encontrar algunos ejemplos de transformaciones de figuras en diversas
artesanías y textilerías de nuestros antepasados, que son de gran interés turistico.
-,
Distancias y medidas de mapas
o planos a escala
La distancia es una magnitud que mide la relación de lejanía o cercanía entre
dos cuerpos, objetos o individuos. Por ejemplo, "La casa de lMarta queda a cua-
tro cuadras de distancia de su colegio", "La próxima estación de servicio está a
una distancia de más de cincuenta kilómetros".
La escala de un mapa o plano es la razón
de semejanza entre la longitud de una lÍnea
cualquiera de la reproducción y la longitud
de la línea correspondiente al objeto real.
il/edidel ob1eto real
Esca la
Medida del objeto
en el dibujo
1: 10
gn
» Ejemplo
Julio es constructor y le encargaron hacer la instalación de los artefactos y
muebles de la cocina de un restaurante, pero le aclararon que el plano que le
dieron t¡ene una escala de l:20, es decir, I cm del plano equivale a 20 m de
la figura real.
A partir del plano de la figura 56.1, contesta las preguntas. Socializa las res-
puestas con tus compañeros.
a.
¿Cuántos metros mide la cocina?
Se sabe que 1 cm del plano equivale a 20 m del tamaño real;asi, 2,55 cm
equivalen a2,55 x 20 :
51 m.
b. El diámetro de la mesa es de
,l,15
m.
¿Qué diámetro tendría en el plano?
Como 1 cm del planoequivalea 20 m deltamaño real, 1,15 m equivalea
1 ,15/20 = 0,0575 cm.
20 cm _-___________i
I
2,55 cm
2,5 cm
a
Hay escalas gráficas y escalas
nu méricas.
@
18,5 cm
Figura 56.1
a
Te56
Recuerda
Vitrin¿s
Armario

150. *
Sección central
Localización de objetos
med¡ante coordenadas
Para realizar representaciones gráficas en el plano cartesiano, usaremos
pares ordenados (x y), que representan puntos en el plano. La primera
coordenada x hace referencia al eje horizontal, y la segunda, al eje vertical.
Dichos ejes se intersecan en el punto (0; 0), llamado origen, y, además,
generan 4 cuadrantes.
Ubica los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano y une los puntos
paradescubrirquéfigurapoligonaIseforma:(-1;3),(-3,2),(-3;0),(0;-1),(2;2)
Figura 57.1
Al ubicar los puntos en el plano cartesiano, obtendremos una figura poligonal
de 5 lados llamado pentágono.
En el plano, el punto se define por un par ordenado P(x;y), donde (x;y) son
las coordenadas del punto P;x pertenece al eje de las abscisas (,4, y y, al eje
de las ordenadas (0.
Ejemplo 1
lndica las coordenadas de los puntos marcados en negro en la figura 57.2.
Figura 57.2
Solución:
A(-3',3),8(-2;3), C(-1;3), D(-3;1), F(-1; 1)
Fft 4, G(3; 1), H(1;1), t?a;-1), J@;-1), K(-3; -3), t(3;-3)
Amplía tus conocimientos en
http://www.ed ucati na.com/
pu ntos-en-el-pla nolejercicios/
coordenadas-cartesianas
v
@
Y
Y
A B' C
K
TIC

151. Semejanza de figuras
Dos figuras son semejantes si tienen la mlsma forma, de manera que una de
ellas se puede considerar como ampliación o reducción de la otra.
Figura 58.1
En dos polígonos semejantes, los ángulos correspondrentes conservan su
amplitud, mientras que sus lados varían de manera proporcional, es dectr,
las razones entre lados correspondientes son iguales.
il'! Ejemplo I
Ubica los puntos de los triángulos en el plano cartesiano y determina si hay
semejanza entre los dos.
NABC:A(3; 1), B(3; 3) y C(2;1); N/BC' : A'(3;4), B'(3; B) y C(; a)
Solución
Al ubicar los puntos de los triángulos en el plano cartesiano, podemos ve-
rificar que las figuras tienen la misma forma, sus ángulos correspondientes
presentan la misma medida y sus lados son proporcionales como I es a 2. Por
tanto, las figuras son semejantes.
r:.ü Ejemplo 2
Verifica si los polígonos de las figuras 1 y 2 (ver figura 58.3) son semejantes
Figura 58.2
Solución
El polígono de la figura 1 tiene
como base 2 unidades, y el de la
figura 2, cuatro unidades. El po-
lígono de la figura 1 tlene 2 uni-
dades de altura, y el de la figura
2,4 unidades.
Todas las parejas de ángulos co-
rrespondientes son rectos.
Además, Ios polígonos tienen la
misma forma y, por tanto, son
semejantes.
a
a
a
.*a
,*
L
lngresa a http://recursostic.
ed ucacion.es,/desca rtes/
web/materia les_d idacticos/
Semeja nza_esca las_a g u/
semejanzal.htm y resuelve las
actividades sobre semeja nza
de figuras que allise proponen
V
@
Figura 58.3
5B
B'
a'
Y
B
6
4
)
-4
TIC
Fig. 1

152. .
Sección central
Condiciones
de proporcionalidad
en perímetro, área y volumen
Y
D
De las figuras en el plano, calculamos la proporción entre sus perímetros y
áreas de los triángulos y cuadriláteros, respectivamente, sabiendo que la me-
dida de una cuadricula es 1 cm y AC: 5 cm, DF: 10 cm.
o Calculamos el perímetro y área de las figuras 1 y 2.
Flgura l:Perímetro 1 (P,) : AB+ BC+ AC:3 + 4 + 5: 12cm
Area 1: re¡-- ffttu
: 49+!9 :ry :
6 cm'
Figura 2:Perímetro 2(Pr): DE+ EF + DF:6 + B + 10:24cm
Area 2: tD : 9%@ : Al;lL :T : 24 cm'
Figura 59.1 Ahora, hallamos la proporciÓn entre sus perimetros y áreas.
Pl_12 _!
P2242
Por tanto, la proporción entre los perímetros de las figuras es de I a 2.
La proporción entre las áreas de las figuras es de 1 a 4.
Calculamos el perÍmetro y área de las figuras 3 y 4.
Figura3:Perímetro3 (Pj) :
GH + Hl + lJ + JG:3+ 1 + 3 * 1 :8cm
Área 3 (Ar) :
base X altura : Jlx Hl :3X I :
3 cm2
Figura4: Perímetro 4(Po) : KL + LIV + l\,4N + NK :
6 + 2 + 6 * 2 : 16cm
Area4 (4,) :
base x altura: NAzl x lVlL:6x2-- 12cm)
Ahora, hallamos la proporción entre sus perímetros y áreas.
Pt:B
--!
&:3 :!
P4 162A'4 124
Por tanto, la proporción entre los perimetros de las figuras es de 1 a 2.
La proporción entre las áreas de las figuras es de
'l
a 4.
A
F
K
ü
6
u
1
4At2
a
Entre dos figuras se pueden establecer relaciones de proporcionalidad
atendiendo a su forma, tamaño o disposición en el plano. Además, se
puede hallar una proporción entre los perímetros, áreas y volúmenes de
las figuras.
@
L
IV
Fig.2
E
Ftg.4

153. Ampliación, reducción
y rotación de figuras
en el plano cartesiano
Ampliación
Figura original(1)
2
l0mxl0m
20mx20m
30mx30m
40mx40m
Figura 60.1
5il
I Ejemplo 1
Completa la siguiente tabla y luego amplía el polígono según sea el caso en
el plano cartesiano.
R(2;1)
5(2; 3)
T@;3)
U(4;1)
Tabla 60.1
Solución
3
4
lngresa a
http://www.
d isfruta la smatematicas.com/
definiciones/escala.html y
amplia tus conocimientos.
ñ
a
R(2;1)
5(2; 3)
T@;3)
u@;1)
R'@;2)
s'@;6)
T(8;6)
u'(8;2)
Tabla 60.2
@
Una ampliación es una transformación que aplicamos a una figura para
ampliar su tamaño sin modificar su forma. La longitud de los lados de la
figura resultante se obtiene multiplicando las longitudes de los lados por un
número posítivo mayor que uno.
de la fiura
Medidas
multilicación
Factor de
Figura
La ampliación y reducción se
refieren a la transformación de
una figura geométrica en las
medidas de su alto y ancho.
Recuerda
Figura 60.2
(x;y),{Zx;2y)
{x;y)
, (2x;2y)
Y
X
Ttc
5',

154. .
Sección central
Reducción
Una reducción es una transformaciÓn que aplicamos a una figura para
disminuir su tamaño sin modlficar su forma. La longitud de los lados de la
figura resultante se obtiene multiplicando las longitudes de los lados por un
número menor que
'l
.
20mx20m
10mxl0m
Figura 60.3
fl
t EjemPlo z
Completa la siguiente tabla y luego reduce el polígono, según sea el caso, en
el plano cartesiano.
E(6;2)
F(1 0; 2)
G(10; B)
H(6;8)
Tabla 60.3
Solución
Para completar la tabla, multiplicamos cada coordenada de los puntos
por un medio (1/2).
E(6;2)
I
Figura original
(1)
E(3;1)
F'(5; 1)
G'(5; a)
H'G;a)
Tabla 60.4
40mx40m
1
2
I
4
ñ
Y
G
I
:
t'-T
it
ti
¡t
i_i
1i
F
F(l0;2)
G(l0; B)
E'
a
tt
@
Figura
Medidas
de la figura
Factor de
multiplicación
(x;yt ,
$, ll
Revisa el ltl:lo El mentor de
matemót¡cas, de Gispert y
Navarro, en el cual podrás
analizar otras transformaciones.
Módulos de biblioteca
Amplía tus conocimien,or,
t
practica en http://matematica I .
com/fi g u ras-si metricas-
rotacion-y-rectas-ejercicios-
de-geometria-de-sexto-de-
primaria-pdf/
H(6;B)
Figura 60.4
xv
(x;y) , (1;
1)
Ttc
*2

155. Rotación
Arturo le enseña cómo hacer bailar el trompo a lt/anuel, mientras le comenta:
Arturo:A/lanuel, fijate en el movimiento que realiza eltrompo.
A¡lanuel: El trompo va dando vueltas alrededor de su púa.
Arturo: Asíes. El movimiento que está realizando el trompo es una rotación, y
la púa juega el papel de centro de rotación.
Observa algunos ejemplos de rotaciones:
o Rota el punto B, con centro O, 60" en sentido horario.
.
Rota el punto C con centro O, 90'en sentido antihorario.
Y
rl
.-600
o
Figura 60.5
¡F
r Ejemplo 3
Rota la figura alrededor del punto o un ángulo de
,]20'en
sentido horario.
1.' Calcamos la figura.
2.' Unimos con un segmento uno de los vértices con el centro O.
3." Construimos el ángulo en sentido antihorario de 120', cuyo origen será el
punto O.
4." se gira el papel calca haciendo coincidir el centro y el segmento trazado.
A'
t)
@
Las rotaciones son movimientos en el plano que realizan las figuras
alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación.
Una traslación es un
movimiento en el plano en el
cual todos los puntos de una
figura se mueven en la misma
dirección y trayectoria en linea
recta de este punto.
Recuerda
La imagen de una figura por
reflexión se obtiene como
su reflejo en un espejo. Este
movimiento se realiza respecto
a una recta llamada eje de
reflexión.
Recuerda
a Figura 60.6
I
V€
I
L
"t
B'

156. *
Sección central
Composiciones de
transformacion es geométri cas
Al visitar la ciudadela de Chan Chan, Ana e lsabel se quedaron observando
los detalles del decorado de las paredes. La expresión de Ana fue la siguiente:
"Parece que los animalitos se estuviesen desplazando". Precisamente, los ani-
malrtos del decorado solo cambian de lugar, pero mantienen su forma y su
orientación. Esta transformación se denomina traslación.
Figura 61.1
Observa las transformaciones en el plano:
o La figura B es el simétnco de Ia figura A con respecto al eje Y, y la figura C
es el simétrico de la figura Bcon respecto al ejeX. Luego, la figura Ces el
resultado de una composición de dos traslaciones de la figura A.
r Si analizamos la transformación de la figura A en la figura C se aprecia una
rotación de 180" con respecto al origen de coordenadas. Como el ángulo
de rotación es 180", el sentido podría ser horario o antihorario.
o Entonces, podemos afirmar que la composición de dos simetrias, una con
respecto al eje Xy la imagen con respecto al eje
y,
tiene como resultado
una rotación de 180" de la figura inicial.
.:,:r :r [jer::pla 1
r
Observa las transformaciones que se han dado en la figura H.
o La figura / es el resultado de rotar la figura H un ángulo de 60'en sentido
horario con respecto al centro O. La figura./es el resultado de rotar la fi-
gura / un ángulo de 50" en sentido horario alrededor del centro O. Luego,
la figura J es el resultado de una composiciÓn de dos rotaciones con el
mismo centro O.
o
Si analizamos la transformación de la figura Hen la figura J, se aprecia una
rotación de centro O y ángulo de giro - 60' - 50' :
-1
'10'
o de
'l
,10"
en
* sentido horario.
^rE
Figura 61.2
-l,ir
r
Llamamos transformaciones geométricas en el plano a la traslación,
rotación y reflexión, asícomo a sus distintas composiciones.
Dos figuras son simétricas con
respecto a una recta (eje de
simetrÍa) si cada punto de una
figura tiene su punto idéntico
en la otra.
Amplia tus conocimientos
y practica en http://www.
d isfruta lasmatematicas.com/
geometria/tra n sformaciones,
hrml
Figura 61.3
BA
-1 200
C
Y
tigura I
Figura J
Recuerda
Ttc
H

157. Transformaci ón geométri ca
con figuras semejantes
Recordemos lo siguiente:
. Dos figuras que trenen la misma forma, aun con diferentes dimensiones,
se llaman semejantes.
o Dos poligonos son semejantes si sus ángulos correspondientes son igua-
les, y sus lados correspondientes, proporcionales.
o Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos...) se
llaman homólogos.
lvlN Nt ltlL
-
=
-= -
es la razón de semejanza.
/.I'N' N'L' I\1'L'
Dos polígonos son semejantes st los cocientes de los segmentos
determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son
ig ua les.
Ejemplo 1
Calcula la constante de semejanza entre las dos figuras que se encuentran en
el plano cartesiano de la figura 62.1.
Solución
Sl dividimos la medida de cada lado de la figura grande por la medida de su
lado correspondiente en la figura pequeña, obtendremos una cantidad fija
que se llama razón de semejanza.
46
1:1:2
Por tanto, la constante de semejanza será 2.
*,1 Ejemplo 2
En la figura 62.2 se observa cómo aplicar una reflexión y una traslación a una
figura para obtener un friso.
Motivo
Reflexión
L4 L
fr
Figura 62.1
@
El turismo en nuestro pais
está destinado a convertirse
en la segunda actividad
económica generadora de
empleo después de la mineria.
Por ejemplo, en las pampas
de Jumana y en el desierto de
Nasca, se pueden encontrar las
líneas de Nasca que el Comité
de la Unesco decretó como
patrimomio de la humanidad
desde 1 994.
Traslación
FRISO
Figura 62.2
"62
Y
regional

158. Lecturas.
o espeqazadas
p
.
Sección final
Lugares turísticos más visitados del Perú
Los lugares turísticos más visitados del Perú son las ciudades
de Lima y su centro histÓrico (como punto de entrada), y
Cusco, que se caracteriza por su arquitectura incaica y colo-
nial. Sus principales atractivos son el Valle Sagrado de los ln-
cas y el sit¡o arqueológico de li/achu Picchu (elegido como
una de las 7 Nuevas lvlaravillas del lt/undo).
El principal clrcuito turistico del país es el circuito sur, que
engloba ciudades como lca, Nasca, Paracas, Arequipa, Chi-
vay, Ivlollendo, Juliaca, Puno, Cusco, Ayacucho y Puerto lVlal-
donado, con atractivos arqultectÓnicos, culturales y natura-
les. Actualmente, este circuito se ha ampliado hasta la selva
de la región A/adre de Dios, en el Parque Nacional del lt/anu,
que ofrece la posibilidad de realizar turismo ecológico'
La segunda ruta en importancia es la del calle.lón de Huaylas,
en la región Áncash, sede del turismo de aventura (Parque
Nacional Huascarán) y principal punto de referencia de la
cocina novoandina.
perú tiene muchas otras rutas turísticas. Entre ellas, están las del valle del río lVlantaro, con la ciudad de Huan-
cayo como uno de sus ejes, y el valle de Tarma, ciudad llamada por Antonio Raimondi "La Perla de los Andes',
otio eje que conduce a la selva central. En la costa norte, se ubica la ciudad de Trujillo, donde se encuentra Chan
Chan, Ia ciudadela de barro más grande de América Latina, el tradicional balneario de Huanchaco y las Hua-
cas del Sol y de la Luna, pertenecientes a la cultura Chimú. También, se puede visitar Chiclayo y Lambayeque,
donde se encuentra el lvluseo Tumbas Reales de Sipán. Estos son puntos de partida hacia las demás regiones
del norte del país, en el circuito turístico nororiental. Hacia el sur de Lima, tenemos las ruinas de Pachacámac y
las pampas de Nasca.
También son aptos para el turismo el caudaloso río Amazonas y la ciudad de lquitos, en donde se encuentra
buena parte de la biodiversidad peruana. Cerca de lquitos, es posible visitar dos grandes reservas nacionales: la
Reserva Nacional Pacaya-Samiria y la Reserva Nacional
Allpah uayo-lMisha na.
La tabla que se presenta a continuac¡Ón muestra la dis-
tancia real volada cada vez que vrajas con una aerolínea.
Conociéndolas, podemos representar estas distancias a
escala a través de la regla 1:'1000 en centimetros.
5,86
ri
I
l\,4aldonadc
&
,..,
&
Lima
Arequipa
Ca.jamarca
Chiclayo
Cusco
778
s63
655
sB6
7,78
5,63
6,55
o Deflnición. D. (2005). Definición de distancia. Recuperado de http://definicion.de/distancia/
. Disfruta las lMatemáticas. (201 1). Transformaciones. Recuperado de http://www.disfrutalasmatema
ticas.com/geometria/tra n sformaciones.htm I
Bibliografía
@
lquitos
lá ncora
L;rrbayequ'e Caiamarca
Trul o.
H u araz.
Llma .
Asla.
Pa raca s'
N asca.
v ivlanu
lr4achu Piccl-íu '
''Cusco
Lugar DestinoKm
Medida a escala
en elmapa (cm)

159. Crqeri izccor
v¡sual r
se puede
50n
dibujados
localizar
objetos
calcular
distancias entre
objetos
escala
pueden
De estos
que
varían
que
condicionan
§er
@
algunos son
semejantes
Mapas
y planos
el área de las
figuras
las medidas
oriEinales de
las figuras
el volumen
de las figuras
Transformaciones
Ampliación
Multiplica cada una de las
medidas de sus lados por
una misma cantidarj.
Reduccién
Divide cada una de las
medidas de sus iados por
una misma cantidad.
Rotación
Movimiento de una figura
alrededor de un punto.

160. .
Sección final
p
La tabla que se presenta a continuación muestra la distancia real volada cada vez que viajas con una ae-
rolínea. Conociéndolas, podemos representar estas distancias a escala a través de la siguiente regla
1:1 000 000, en centimetros.
Lima
Pasos para la resolución del problema
@3
Comprendemos el problema
La tabla nos presenta las distancias
que hay desde Lima a distintos des-
tinos del Perú. Se tiene como dato
que se trabajará con una escala de
1:l 000 000.
Diseñamos una estrategia
Utilizaremos la estrategla de particularizar, que consiste en resolver problemas particulares
para familiarizarnos con la forma de resolverlo y así poder resolver un problema más
general.
Aplicamos la estrategia heurística: Particularizar
o Sabemos que la distan-
cia de Lima a Pucallpa es
800 km en la realidad. Para
calcular la distancla en el
mapa, utilizaremos la si-
guiente escala:
1 cm en el mapa equivale
a
'l
000 000 cm de la rea-
lidad, es decir, 1 cm en el
mapa equivale a 10 km.
800 km equivale a
800 :
B0 cm.
10
o Ahora, hallaremos la distancia que hay de Lima a cada lugar de destino, aplicando la
nueva escala.
1007 km equivale.
#
:
100,7 cm 851 km equivale u
ff
:
85,1 cm
845 km equivale u
ff
:
84,5 cm
Transferimos lo aprendido
Podemos elaborar un mapa utilizando una escala y las distancias reales.
Esta estrategia nos sirve para resolver problemas y poder aplicarla en diversas situaciones
de la realidad.
1007
Lima
@o
a
(o
U
"r3a
.E
:f
§)
-C
a
.g
m
§)
E
.{J
a
t!
Lima
100,7
84,5
85,1
80
@
lquiros I
r ooz
Juliaca 845
Piura 851
800Pucallpa
Lugar de
destino
Medida a escala en elLugar de
:ida
(cm)
lquitos
845luliaca
Piura 851
Pucallpa 800
Lugar de
destino
Medida a escala
en el
Lugar de
rtida
1 007
10
lquitos 1 007
10
845
Juliaca845
Piura 851
851
'10
Pucallpa800
800
10
Lugar de
partida
Hallando la
equivalencia
dekm acm
Medida a
escala
en el
ma (cm)
Lugar de
destino
@o
Km
Km
Km
Paso

161. Gráficos estadísticos
y estadígrafos
I ntencionalidad pedagógica
En este capítulo te prepararás para interpretar información estadística presentada
en cuadros, tablas y gráficos; organizarás datos en variables cualitativas y
cuantitativas seleccionando el modelo gráfico estadístico al plantear y resolver
situaciones problemáticas. Tambíén podrás hallar información relacionada con
la media, mediana y moda de una serie de datos.
Capítulo
(}
t
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.oo/offi Boo/offi t
Hffiroo%
3 3
¡-
G
i
La zampoña es un
instrumento de viento
característico de la región
andina, hecho de caña de
carrizo y formado por tubos
de diferentes diámetros y
tamaños, ubicados en dos
hileras: una llamada arka y
otra llamada ira.
¿Qué otros
instrumentos de viento
conoces? Si indagas con tus
compañeros del salón,
¿cómo
organizarías tus respuestas?
Uno de los deportes más
conocidos en nuestro país
es el fútbol. Con base en
los partidos, se obtienen
datos estadísticos de
tiros al arco, atajadas,
goles, tiros de esquina,
entre otros; con base
en los datos, ¿podemos
reconocer la ventaja del
Perú con respecto al
equipo de Uruguay?
¿Y
viceversa?
160
Cada cierto tiempo,
elGobierno realiza
censos nacionales para
conocer cifras acerca de
la población,la salud,
la educación, etc. Para
presentar los resultados,
utilizan distintos tipos de
gráficos.
¿Dónde
puedes obtener
información de los
resultados del censo?

162. Antes de com enzar ten en cuenta
r Datos: cualitativos o cuantitativos
o lnstrumentos:tablas y gráficos
. Medidas de tendencia central: media aritmética,
mediana y moda
o Porcentajes: x/1 00
- Sección inicial
Conceptos clave
o Población y muestra: características y
cualidades de una muestra significativa
. Variables: cualitativas y cuantitativas
o Recolección de datos: informaciÓn
o Tablas y gráficos estadísticos: datos
agrupados y no agrupados
r Medidas de tendencia central
Aprendizajes esperados
Matematiza
situaciones
. Organiza datos en variables cualitativas en situaciones que expresan
cualidades o característ¡cas y plantea un modelo de gráfico de barras y
circu lares.
¡ Selecciona el modelo gráfico estadístico al plantear y resolver situacio-
nes que expresan características o cualidades.
. Organiza datos en variables cuantitativas en s¡tuaciones de frecuencia
de eventos de su comunidad y plantea un modelo basado en histogra-
mas de frecuencia relativa.
¡ Sugiere preguntas para el cuestionario de una encuesta acorde con el
propósito planteado.
o Expresa información presentada en cuadros, tablas y gráficos estadísti-
cos para datos no agrupados y agrupados.
. Emplea diferentes gráficos estadisticos para mostrar datos no agrupados
y agrupados de variables estadísticas y sus relaciones.
. Expresa información y el propósito de cada una de las medidas de
tendencia central para datos no agrupados, lo que aporta al trabajo de
los demás.
Comunica y
representa ideas
matemáticas
. Recolecta datos cuantitativos discretos y continuos o cualitativos ordina-
les y nominales de su aula, por medio de la experimentación o interro-
gación o encuestas.
o Organiza datos en gráficos de barras y circulares al resolver problemas.
¡ Selecciona la medida de tendencia central apropiada para representar
un conjunto de datos al resolver problemas.
.
Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedlmientos mate-
máticos y recursos usados al resolver el problema.
Elabora y usa
estrategias
o
.Justifica los procedimientos del trabajo estadíst¡co realizado y la deter-
minación de Ia decisión(es) para datos no agrupados y agrupados'
o Argumenta procedimientos para hallar la media, mediana y moda de
datos no agrupados, la medida más representativa de un conjunto de
datos y su importancia en la toma de decisiones.
o ldentifica diferencias y errores en una argumentación.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
gestión de datos e
incertidumbre
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
Competencia Capacidad lndicadores
@

163. » lntroducción
Los conceptos estadísticos se han trabajado ¡ntuitivamente desde la antigüedad y el análisis estadístico
se inicia cuando se recopila y organiza información. Los datos obtenidos suelen expresarse en números
organizados en tablas y gráficos, con el fin de facilitar el análisis, la explicación o descripción del fenómeno
físico o de la realidad social estudiada. Tienen gran aplicación, por ejemplo, cuando se quiere determinar la
preferencia de los tipos de zampoña, los datos estadísticos de un partido de fútbol o cuando se realizan los
censos de población.
Población y muestra
Población
"/
AA
1/U
ftfrüfi
fi$fif,CI
AAAAA
1ll r/ t/ 1/ lt
,A,A
.]/
t/
AA
lt 1/
CI
A!A
lJ1/U
Aq4AO
1/ lil U lLI i/
AAOOO
1lr/1/Ut/
AAqAO
U1/1/1/{il
Arluestra Individuo
Figura 63.1
ú, -
Ejemplo 1
Í
Observa en la tabla la población y la muestra en cada caso
ltlujeres del Perú
Libros de la biblioteca de una l. E.
Niños en edad escolar
Personas hospitalizadas en el 2013
Niños de primer grado de Secundaria
Personas hospitalizadas por accidentes
en el 201 3
: -
Ejempro,
Tubla 63'1
J
El profesor de Educación Física tiene 400 estudiantes y quiere seleccionar
una muestra para aplicar entre ellos una encuesta y conocer su preferencia
por algunos deportes.
¿cuál
es el tamaño de la población?
¿cuántos estu-
diantes deben conformar la muestra?
I Solución
La población consta de 400 estudiantes. si consideramos que una muestra
representativa seria I de cada
'10
estudiantes, es decir, el i 0
yo
de la pobla-
. ción,400 x 0,10 : 40 estudiantes conformarian la muestra.
En un estudio estadístico, población es el conjunto de elementos, individuos
u objetos de los que se recolectarán los datos. Ejemplo: los estudiantes de
Secundaria de Huancavelica.
Muestra es un subconjunto representativo de una población seleccionada
para su estudio. Ejemplo: los estudiantes de secundaria del colegio césar
Vallejo de Huancavelica.
En determinados estudios, se
trabaja con toda la poblaclón, y
en otros, solo con una muestra
significativa.
Recuerda
MuestraPoblación
El tamaño de una muestra
depende del tamaño de la
población. Si el tamaño de la
población es mayor que 160, se
debe considerar una muestra
entre el 5
o/o
y el 20
o/o
de la
población.
Recuerda
@
Tema63
lr/ujeres peruanas menores de 20 años
Libros en la sección de Arte
fr
fi
fr0fr
AAO
tll lJ 1]l
"0
0 fi

164. - Sección central
Características y cualidades
de una muestra representativa
De un grupo de 480 estudiantes se selecclonará una muestra para aplicar una
encuesta. Se sabe que el 50 %o de la muestra deben ser varones.
Si se desea encuestar a 1 de cada
'10
estudtantes, ¿cuántos
elementos confor-
marÍan la muestra? ¿Cómo
quedaria conformada la muestra representativa?
Como 1 de cada 10 de 480 es el 10
o/o
de 480, entonces,4B0 x 0,10 = 48. I\/ues-
tra:48 estudiantes, de los cuales 24 son mujeres, y 24,varones.
Es muy importante seleccionar bien la muestra que se estudiará, pues las con-
clusiones o resultados deben ser válidos para el conjunto de la población'
Características de una muestra representativa
¡ Debe definirse con base en una poblaciÓn determinada.
¡ Debe tener las características relevantes de una poblaciÓn y en las
mismas proporciones.
¡ De preferencia, debe ser aleatoria, es decir, que los elementos que la
componen sean seleccionados al azar.
Ejemplo 1
La tabla 64.1 muestra los resultados de una encuesta que Rebeca realizÓ alea-
toriamente en la Secundaria. EncuestÓ a 1 de cada 5 estudiantes que salían
de la escuela.
a. ¿Cuántos
estudiantes conformaban la muestra?
b. Si Rebeca hublera encuestado a 150 estudiantes, ¿cuántos
habrían ele-
gido básquet?
c.
¿Se
tratÓ de una muestra al azar?
Solución
a. La suma del número de estudiantes es el total de elementos de la mues-
tra:22 + 10 + 15 + 23 : 70.Por tanto, la muestra fue de 70 estudlantes.
b. Primero obtenemos el porcentaje que representan los 10 que optaron
por básquet, del total de la muestrr,
H
: 0,14 = 14o/o.
Luego, obtenemos el 14
o/o
de 1 50:
150 x 0,1 4 = 21. Es decir, 2l estudiantes habrían elegido básquet.
c. Síse trató de una muestra al azar porque cada estudiante de la población
a estudiar tuvo la misma probabilidad de ser seleccionado.
v
Jerzy Neyman (1 Bg4-1
gB1),
estudioso ruso. Desarrolló en
1934 una teoría para los análisis
de muestreo.
Una muestra al azar es
aquella en la que cualquier
elemento de la población
tiene igual oportunidad de ser
seleccionado.
@
64
Deporte preferido
Deporte
Número de
estudiantes
Vóley
Básquet
Natación
)2
t0
15
23
Tab a 64.,l
Dato histórico
Recuerda
Fútbol

165. Variables cual itativas
y cuantitativas
Los estudios estadísticos se realizan para obtener datos, expresados en valores,
de los individuos de la muestra seleccionada.
5il
r Ejemplo 1
se realizó una encuesta a personas entre los 25y 35 años sobre las marcas que
han patrocinado los equipos de fútbol en el país. Las marcas más conocidas
son Arcancel, Nukys, carcemo.
¿Qué tipo de variable averigua la encuesta?
Solución
.
Au.rigró una variable cualitativa: la marca.
;.a
r Ejemplo I
Julia Ceballos, dueña de una pe-
queña empresa, quiere obtener un
préstamo. El Banco de Desarrollo le
solicitó un informe sobre las ganan-
cias del último semestre. La señora
organizó los datos en una tabla,
como se ve en la 65.1.
¿Qué tipo de
variable investiga el banco?
§olucién
lnvestigó una variable cuantitativa:
,
la ganancia.
A^
Y
Mes
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
s/ 60 000
s/ 7s 000
s/ 80 000
s/ 88 000
Tabla ó5 1
El término "cuant¡tativo"
se emplea para reconocer
cantidad y magnitudes
discretas y continuas. Por
ejemplo,la longitud de una
autopista es una cantidad
continua, y el número de hijos
de una familia, una cantidad
discreta.
Conexiones variable estadística. Es cada una de las características o cualidades que
poseeen los individuos de una población. Ejemplo: Ia estatura, tipo de
música, edad, sexo, comida preferida, etc.
puede
ser de dos tipos:
1. variable cualitativa se refiere a una característica que no puede ser
expresada en números. Ejemplo: sexo, tipo de música, preferencia electoral.
2. variable cuantitativa es la que se puede expresar numéricamente.
Ejemplo: altura, edad, precios. Hay dos tipos de variables cuantltativas.
o Cuantitativas discretas: las que generan respuestas en números
enteros. Por lo general, se obtienen por conteo; no pueden tener valores
intermedios, como 43,3. Ejemplo: número de viajes realizados.
r Cuantitativas continuas: estas sí pueden expresarse en números
intermedios y, por lo general, provienen de una medición. Ejemplo: la
estatura de un grupo de personas.
lnforme de ganancias
(en nuevos soles)
Ganancia
s/ 4s 000
s/ s0 000

166. '
S¿cción central
Recolecc¡ón de datos
(experimentación,
i nterrogant€s, encue§ta)
Los alumnos de 1.' B del colegio Los meiores realizarán una encuesta sobre
la incidencia del acoso escolar en su salón de clases y las formas en que Se
presenta.
¿Qué tipo de preguntas les permitirán obtener informaciÓn para llevar a cabo
una campaña de prevención del acoso escolar?
Paso 1. Determinamos la información que se quiere obtener.
o Cantidad de estudiantes que han sufrldo acoso escolar.
o Tipos de acoso escolar: insultos, agresiones físicas, discrlminación.
o Estudiantes que denuncian el acoso escolar.
Paso 2. Definimos las caracterÍsticas y tamaño de la poblaciÓn. De ser
necesario, determinamos la muestra.
. Población: 44 estudiantes de 1." B.
¡ A/uestra: 1 de cada 2 estudiantes elegidos al azar.
Paso 3. Redactamos las preguntas de la encuesta.
a. ¿Has
sufrido acoso escolar durante la Secundaria?
Isr INo
Preguntas destinadas a aquellos que han sufrido acoso escolar.
b.
¿Qué
tipo de acoso escolar?
X Agresión física fI Discr¡minación fl lnsultos.
c. ¿Has denunciado el acoso escolar?
Isi INo
Paso 4. Realizamos la campaña para prevenir el acoso escolar.
Obtener resultados confiables y veraces en una investigación estadística de-
pende, en gran parte, de una adecuada recolección de datos. La encuesta, el
cuestionario y la experimentaciÓn Son recursos para recolectar informaciÓn.
La encuesta es una técnica de investigaciÓn que busca obtener informaciÓn
de una muestra de la población. La enCuesta se realiza en funciÓn de un
cuestionarlo.
Un cuestionario recoge informaciÓn medrante una serie de preguntas
precisas y coherentes.
La experimentación consiste en una serle de pruebas hechas en condiciones
controladas, para obtener datos sobre un hecho
Las preguntas deben ser
claras y concisas, fáciles de
entender, con el fin de obtener
respuestas claras.
Recuerda
Presentación de datos
Problema real
VariablesPoblación
Muestra
Recolección de datos
Gráficos
Tablas de
frecuencia
seleccionar
Conclusiones
Planteamiento
delproblema
I
definir
Recuerda
@
Tema66
De acuerdo con la situaciÓn, así
se define una muestra:

167. Tablas y gráficos estadísticos
para datos no agrupados
A los estudiantes de Lo c de secundaria se les preguntó sobre el número de
primos que tiene cada uno. Las respuestas fueron 5, B, 3, 5,9, j,3,
12,4, 5, 1,
2,3,4,8,0,5,3,4,5.
¿Cómo ordenar los números para elaborar una tabla de
frecuencias absolutas y relativas, y su correspondiente gráfico?
En una lista de datos, la frecuencia absoluta de un dato es el número de ve-
ces que se repite. cuando se t¡ene una lista de datos sin ordenar, es necesario
organizarlos para poder interpretarlos, entenderlos y utilizarlos. La manera de
hacerlo es mediante tablas de distribución de frecuencias.
Paso 1. Ordenamos los números de menor a mayor: O, 1 ,
1 ,2,3,3, 3, 3,4,4, 4,
5, 5, s, s, 5, B, 8,9,12.
Paso 2. calculamos las frecuencias relativas y luego elaboramos la tabla de
distribución de frecuencias.
to-
Frecuenciaabsoluta
X 10070 5 primos:s=o,zs x 100 :250/o
Total de datos
o/o
La frecuencia absoluta de
un dato es el número de
veces que se repite dentro
del conjunto. La frecuencia
relativa de un dato ofrece
información sobre qué parte
de la población o muestra
en estudio corresponde a la
caracteristica analizada. La
frecuencia relatlva se obtiene
dividiendo la frecuencia
absoluta por el número total
de datos y se puede expresar
como una fracción, un decimal
o un porcentaje.
La frecuencia absoluta acumulada es la suma de la frecuencia absoluta
de la categoría dada con las frecuencias anteriores. La frecuencia relativa
acumulada es la suma de la frecuencia relativa de la categoría dada con las
f recuencias a nteriores.
En una tabla de distribución
de frecuencias se disponen,
en forma ascendente o
descendente, los valores de
Ias variables cuantitativas y sus
correspondientes lrecuencias.
Excel puede convertirse en una
herramienta poderosa para
tabular, cálcular fórmulas y
graficar datos.
@
Tabla 67.1
Número
de primos
Frecuencia
absoluta
Frecuencia absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
Frecuencia relativa
acumulada
0
1
2
3
4
5
8
9
12
Total
o/o
o/o
0
5
)
J
4
o
O
11
16
18
1()
2A
2
4
-
-
fñ0/^
20
3
_-'t (0,1^
20
5
20-L)lu
2
-
=104/o
20
1
,n,
2A
1
.n,
20
I00
o/o
1
'
-Eo/-
20
3
__1(0/^
20
4
-
=204/o
20
L
=qovo
20
11
rE ñ/
-
-))-/o
20
16
-=807020
1B
-
=90o/a
20
1c)
' ' -
u( o,t^
20
)o
::
= 196
o7o
20
5
20
2
20
2A
4
3
5
2
1
fñ
IiEt iltrEE
Recuerda
Ttc

168. '
Sección central
Paso 3. Elaboramos un gráfico de barras para representar la frecuencta abso-
luta que represente la información de la situaciÓn.
Número de primos de los estudiantes
de 1." C de Secundaria
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Número de primos
Figura 67.1
paso
4. Elaboramos un gráfico circular para representar la frecuencia relativa.
Primero convertimos los porcentajes en decimales, moviendo el punto deci-
mal dos posiciones a la izquierda. Luego, multlplicamos por 3600 para deter-
minar el número de grados que ocupará en un gráfico circular.
5
o/o
S€ convierte en 0,05 X 360o :
I Bo.
10
o/o
se conv¡erte en 0,10 x 3600 :
360.
5 %o se convierte en 0,05 x 3600 :
1Bo.
20
0/o
se convierte en 0,20 X 3600 :
72o.
1 5 %o se convierte en 0,15 x 3600 :
54o.
25o/ose convierte en 0,25 X 3600 :
90o.
10 7o se convierte en 0,10 X 3600 :
360.
5
o/o
se convierte en 0,05 X 3600 = 1Bo.
5 % se convierte en 0,05 X 3600 = 1Bo.
A continuación, trazamos el gráfico circular.
Número de primos
Figura 67.2
(§
J
E
_o
r§
.g
U
C
o
=U
q,
LL
6
5
4
3
2
l
0
0
I
I
ry1
LJ
Eñ
ES§
E
E
I
0
1
2
3
5
5
8
9
12
Revisa el lit¡ro El mentor de
matemát¡cas, de Gispert y
Navarro. Esta obra te permite
profundizar en lo aprendido.
Módulos de biblioteca
Con la hoja de cálculo Excel/
Calc, podrás realizar los
d istintos gráficos estad ísticos.
lnvestiga cómo hacerlo y
comparte con tus compañeros.
@
Tlc
10
o/o
10
o/o
20
o/o

169. Daniel, experto cocinero de un restaurante, eraboró unas tablas con los nom-
bres de los platos típicos. Por cada plato que le piden, coloca una raya en la
casilla correspondiente. Las coloca en grupos de a cinco. Al final de la semana,
la tabla de pedidos fue la siguiente:
l+fiwwl+fi*+tw
l.++twt++rwtNW
»{t}+f wt++tw»{
WW
u+Iu+t )Mw»{lt+I
Ufil.+ilWWWW
l+fl t)+I
wt+fl[+1wt+fit+t{
Tabla 68.1
Daniel necesita ordenar, organizar y presentar la información a los dueños del
restaurante para apoyar sus argumentos de cambios en el menú.
¿cómo debe
proceder para realizar diferentes gráficos estadísticos?
Paso 1. Contamos la frecuencia de cada plato.
Papa a la huancaína: 60; causa rellena:40; anticuchos: 70; sopa de ca_
marones: 30.
Paso 2. sumamos las frecuencias de cada plato, y luego calculamos la frecuen-
cia relativa y el porcentaje.
Cálculo de la frecuencia relativa y el porcentaje:
Papa a la huancaína :
0,30 x 100 = 30
o/o
Causa rellena :
0,20 X 100 :
20
o/o
Gráficos de barras y c¡rculares
#:0,3s
x roo :
35 %o
60
200
40
200
Anticuchos
Sopa de camarones:
,#:0,1s
x 1OO:150/o
Paso 3. Se completan los datos en la tabla.
Papala huancaína
Causa rellena
Anticuchos
60
40
70
30
200
0,30
4,20
0,35
0,1 5
I
Sopade camarones
La suma de las frecuencias
absolutas es igual al número
total de elementos de la
muestra u observación.
La suma de frecuencias
relativas, expresada en
porcentajes es
'i
00
o/0.
Recuerda
Plato típico
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Porcentaje
@
Tabla 68.2
I
;
30
o/o
20
o/o
35
o/o
15o/o
100
o/o
Papa a Ia huancaína
Causa rellena
Anticuchos

170. Paso 4. Elaboramos los diversos gráficos estadísticos con la información de la
tabla de frecuencias: gráfico de barras, gráfico circular y pictogramas.
Observa el que se encuentra al margen derecho.
Los gráficos de barras muestran la variaciÓn de algunos datos en estudio,
de una población o de una muestra, y pueden ser horizontales o verticales.
Para construir un gráfico circular Se utiliza el transportador y la regla de tres
simple:
360' Plato típico
X
o
o
ñ
.ñ
o
=
CJ
I
80
70
bU
50
40
30
20
t0
- Sección central
Plato preferido
Papa a la Causa Anticuchos Sopa de
huancaína rellena camarones
Plato típico
Figura 68.1
Tabla 68.3
a
'100 0/o
30
o/o
x: 3o
"
ffi*
:
1oB"
x:2Ox
fl*
: zz'
360'
100
x:35X:
126'
- -
360'
x: 15 x ,l00 :54
Figura 68.2
Para representar gráficamente partes o porcentajes de un total se usa
un gráfico circular, en el que cada reglÓn es proporcional al porcentaje
representado.
4s &.:
-r; \G=
#dp
:.
.*&' §
- x1tr
u -il
\*
##
-&rw.w
tS
=
10 platos .,*b =
10 platos {F =
10 platos.*k= 10 platos
Los gráficos demuestran que Daniel debe promover la sopa de camarones
para aumentar sus ventas o sustituirlo en el menú por otro plato.
La información estadistica organizada y presentada en gráficos es útrl para to-
mar decisiones sobre un asunto, apoyar ideas o argumentos; tamblén, para
analizar los resultados electorales y de los censos, entre otras situaciones.
Los pictogramas se emplean sobre todo para hacer más amigable y
entendible la rnformación estadístlca.
La frecuencia relativa se
puede expresar como una
fracción, un decimal
o un porcentaje.
@
Causa rellena
Anticuchos
de
Anticuchos
35
o/o
Papa a la
huancaína
30
o/o
Causa
rellena
20
o/o
Papa a la huancaína
Sopa de camarones
Recuerda

171. Tablas de frecuencias
para datos agrupados
La siguiente tabla muestra la cantidad de goles anotados durante 40 partidos
de la liga de fútbol femenino Nuevo Perú. En este caso,
¿de
qué manera se
pueden organizar y presentar los datos estadísticos?
Tabla 69.1
se requiere agrupar los valores en intervalos que tengan ra misma amplitud,
denominados clases. A cada clase, se le asigna su frecuencia correspondiente,
que tendrá un limite inferior y otro superior.
Paso 1. ordenamos los datos de menor a mayor y ubicamos los valores menor
y mayor: 10; 12; 1 3; 1 3; 1 3; 1 4; 1 4; 1 5; 1 6; 1 I ;
j
B; 1 9; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21
;
22; 22; 23; 28; 28; 30', 30; 30 30; 3 1 ; 3'l ; 32; 32; 34., 34; 35; 35; 36; 38; 40,
Paso 2. calculamos el rango (R) de los datos, que es la diferencia entre los lími-
tes superior e inferior: 40 - 10 :
30.
Paso 3. calculamos el número de clases (Nc) usando la fórmura Nc :
lñ,
donde n es el número de datos.
Nc :
lZ0 :
6,32y se cierra a 6, que es el número de clases.
Paso 4. calculamos la amplitud o intervalo de clase usando la fórmula
A_ H
^
30
^:M
^:6:5
aA
Nc
Paso 5. Elaboramos una tabla de distribución de frecuencias usando 6 clases
con intervalos de 5 valores, empezando en
,10.
['r 0; 1 5 [ [1 5; 20[ 120 251
7 5 11
[25; 30[
2
[30; 35¡
t0
[35;40]
5
Iabla 69.2
Paso 6. Finalmente, elaboramos un histograma.
Goles anotados por intervalo
12
o.^
Elu
.eE R
ui!
(Ug C,
uo_
9-
üor
62
('l
U
0 15 2a 25 30 35 4A
Se denomina clase a los
subconjuntos en que se han
agrupado los datos.
Un intervalo es el rango
utilizado para dividir un
conjunto de valores cuando se
trabaja con muchos datos.
Un histograma es una
representación gráfica
de una variable en forma
de barras. Se utilizan
para varrables continuas
y discretas, con un gran
número de datos agrupados
en clases.
@
Figura 69.1
tl
15
13
22
20
21
13
14
16
]B
20
30
3t
20
3t
34
13
32 40
3s 30
36 23
38 22
20 19
17 30
14 20
12 28
Recuerda
Recuerda
5
)
5

172. - Sección central
Medidas de tendencia central
y el rango para datos
no agruPados
La media aritmét¡ca o Pro-
medio se calcula hallando el
cociente entre la suma de los
datos y el número total de da-
tos. Se simboliza así:x.
La mediana de un conjun-
to de números ordenados
de menor a mayor es el valor
central (si el conjunto tiene
un número impar de datos)
o la media de los dos valores
centrales (si el conjunto tiene
un número par de datos). Se
representa asi: lvle.
La moda de un conjunto de
datos es el valor de la carac-
terística que más se rePite en
una población o muestra. Se
representa así:lVlo.
Una meteoróloga registró durante todos los días de enero las temperaturas de
la ciudad de Trujillo y elaboró una tabla para organizar los datos.
\_ 71 27 26
Día 17 18 19 2A21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
27 30'c 27 34
Tabla 70.1
Ella quiere determinar lo siguiente:
a. La temperatura promedio
b. La temperatura mediana
c. La temperatura con la mayor frecuencia
a. Para calcular la temperatura promedio, realizamos lo siguiente:
Paso 1. Sumamos todas las temperaturas. La suma de las 31 temperaturas
es 940 "C.
Paso 2. Dividimos la suma de todas las temperaturas entre 31, que es el
número de registros de temperaturas para el mes de enero.
940 + 31 :
30,32 "C.
Así, la temperatura promedio de enero fue de 30,32 "C.
b. Ordenamos las temperaturas de menor a mayor para calcular la mediana
de las temperaturas registradas en enero:
26, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 3',], 3 1, 32, 32, 32, 32,
32, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34.
Observemos que, antes del valor de la temperatura resaltada (30), hay
15 registros y después de ella también hay 1 5 datos.
La temperatura mediana de enero fue de 30 "C.
c. Podemos verificar que el registro de temperatura que aparece más veces
es 32'C. Por tanto, la temperatura moda de enero fue de 32 "C.
Cuando hay un conjunto con muchos datos que representan una caracterÍs-
tica de alguna poblaciÓn, conviene resumirlos en un solo número o categor[a
para comprender mejor el comportamiento de la característica estudiada. Es-
tos indlcadores estadísticos se denominan medidas de tendencia central, los
cuales son la media aritmética, la mediana y la moda.
@
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1l12 13 14 15 16

173. Ejemplo 1
El maestro severino pidió a sus estudiantes calcular & la lr/e y la lt/o de la
siguiente gráfica:
Horas aldía dedicadas a estudiar Solución
6(10) + 2(1 1) + 1(12) + 7(13)
16
60+22+12+91
16
o
c
.r§
!
f
P
OJ
o
!
o
o
E
.l
z
;
7
6
5
4
3
2
I
0
- 185
, = .,6 =11,5625
ro ¡ 12 13
Me=11+]2=I=]].5
Número de horas 2 2
Figura 70.1
i\lo : l3 (es el valor que mayor frecuencia absoluta tiene)
Ejemplo 2
A quince estudiantes del grupo de música del colegio Leoncio
prado,
se les
preguntó por su preferencia en instrumentos musicales. Los resultados fue-
ron los sigu¡entes: la zampoña, la quena, el charango, el arpa, la zampoña, el
charango, el charango, la zampoña, la quena, la quena, la quena, la zampoña,
el arpa, Ia zampoña, la zampoña.
¿Qué medida de tendencia central es la más apropiada para resumir las pre-
ferencias de estos quince estudiantes?
Solución
Organizamos las preferencias en una tabla de frecuencias.
2
Tabla70.2
Como los atributos considerados (preferencias) no son numéricos, entonces,
no es apropiado utilizar las medidas media aritmética ni mediana. La medida
estadística de tendencia central adecuada para analizar estos datos es la moda,
la cual recoge la preferencia de mayor frecuencia.
La moda de estos datos es la zampoña, porque fue la preferencia con la mayor
frecuencia.
Revisa el libro Cuentos de
matemáticas, de Hervás. Allí
pod rás desarrol lar aprend izajes
de un modo creativo.
@
Opciones de ¡nstrumentos
lnstrumentos
musicales
La quena
El charango
La zampoña
El arpa
Frecuencia
de biblioteca

174. Lecturas,
espCüializadas
- Sección final
o I II
La estadística y el fútbol
Las estadísticas en el deporte, hoy en día, forman parte de las ciencias en Educación Física. Es evidente que si
hablamos de un entorno cada vez más competitivo, los números y las estadísttcas toman también una lmpor-
tancia central. Sin ir más lejos, hace pocos dias vivimos un torneo de fútbol en que se podía escuchar a los co-
mentaristas dar ciertas puntuaciones y pronósticos. En los diarios o medios de comunicaciÓn, se mencionaron
las estadísticas sobre el histórico de los equipos que compltieron. Así, podemos ver una aplicación directa de la
ciencia de la estadístlca en el deporte.
Sin duda, la estadÍstica en el deporte nos ayuda a utillzar de manera óptima los recursos (tanto materiales como
humanos) y los entrenamientos, pues se basan en elementos objetivos y claros para analizar el rendlmiento
deportivo de los jugadores.
Asimismo, la estadística nos puede proporcionar Información de datos históricos relacionados con el fútbol o
cualquier deporte. Por ejemplo, podemos identificar quién es eljugador que metiÓ más goles en un torneo o
cuál de los jugadores participó en más mundiales, entre otros.
I
Tiros de esquina
47
33
Disparos al arco
I
Faltas cometidas
I
Ouites
12 22
Goles
0 2
Despejes
34 18
Tiros de esquina
26 32
Faltas recibidas
20 ll
Pases incorrectos
I
. Aulafacil.com. (2009) . Curso gratis de estadística y probabilidades. Recuperado de hnp://www.aulafa-
cil.com/CursoEstadistica/Cu rsoEstad istlca.htm
. Hernández, R. et al. (2006). Attetodología de la investigación.ltAéxico D.F., A/éxico: lVlcGraw Hill'
. Lyczak,A. (2004). Gróficos. Recuperado de http://www.thatquiz.org/tq-5/f'Aath/graphs
.
Lyczak, A .(2004).Probabilidad.Recuperado de http://www.thatquiz.o rg/es/-d/ltAatematicas/probabilidad
. lVlagnus, H. (1998). El diabto de los números. lr4adrid, España: Ediciones Siruela.
.
Quispe, U (2008). Fundamentos de estadística bósica. Lima, Perú: Editorial San lVlarcos.
. Reyes, IU. (1996). Elementos básicos de la estadístico. Lrma, Perú: Universidad lVlarcelino Champagnat.
@
t-
r---\_
\
III
1-
/
;
Ataios
Pases correctos ¡
20
I
Offsides
2 2

175. Ürqoi^rrzaCcr
vi"sual t
Medidas de
tendencia central
Muestra
I
hace parte de
Recolección de datos
se organizan en
I
Tablas de frecuencia
para
Media
-
se calcula
(t)
Variables
Representación de
datos
por medio de
Gráficos
Análisis de datos
es el
e5
si
Mediana
lnne)
Moda
(Mo)
Población
Cualítativas
Discretas
Cuantitativas
Continuas
Recolección, representación y análisis de datos
Encuesta
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Barras Circulares
Datos agrupados
Datos no
agrupados
Sumando todos los datos y dividiendo la
suma entre el número total de datos.
Número de
datos es impar
Dato
centralEl valor ubicado
en el centro de
un conjunto de
datos ordenados.
Número de
datos es par
Valor medio
de los datos
centrales.
Es el valor de la característ¡ca que más se
repite en una población o muestra.
es
@
es el

176. - Sección final
Los equipos de fútbol que participan en los diversos campeonatos alcan-
zan un valor de mercado promedio de 10 millones de dólares. El equipo
de fútbol Los leones observa que, en un periodo de 5 meses, su valor pro-
medio aumenta de la slguiente manera:0,5 millones de dÓlares; 2 millo-
nes de dólares; 3,5 millones de dólares; 5 millones de dÓlares;6,5 millones
de dólares. De continuar así,
¿a cuánto podría ascender su valor promedio
en el noveno mes?
Pasos para la resolución del problema
Comprendemos el problema
Se desea saber el valor promedio en el noveno mes, sabiendo que los valores promedio de
los cinco primeros meses fueron los siguientes: 0,5 millones de dólares; 2 millones de dÓlares;
3,5 millones de dólares; 5 millones de dólares y 6,5 millones de dÓlares.
Diseñamos una estrateg¡a
Utilizaremos la estrategia buscar un patrón, ya que nos conducirá a la solución del problema.
Primero, determinaremos la diferencia entre los valores consecutivos. Luego de definir el
valor constante, lo utilizaremos para calcular el valor promedio del sexto, sétimo, octavo y
noveno mes.
Aplicamos la estrategia heurística: Buscar patrones
Determinamos la diferencia entre los valores consecutivos:
o )- 0,5 :
1,5
. 3,5-2:1,5
o §-3,5:1,5
o
6,5 -5:1,5
La diferencia entre cada valor consecutivo durante los 5 prrmeros meses fue el valor cons-
tante
,],5.
Por tanto, el valor promedio del sexto, sét¡mo, octavo y el noveno mes será: B; 9,5;
1 1 ; y 12,5 respect¡vamente.
e $-6,5:1,5
. 9,5 -B: 1,5
o 11-9,5:1,5
o 12,5 - 11 :
1,5
El valor promedio del noveno mes podría ascender a 12,5 millones de dÓlares.
Transferimos lo aprendido
Observamos que en el noveno mes el valor promedio del equipo de fútbol Los leones podria
ascender a 12,5 millones. Si quisiéramos saber el valor promedio de otro equipo de fÚtbol en
el noveno mes, ¿qué tendríamos que saber?
(n
rü
tJ
'j=
(n
\*
f
§)
_C
LN
"eo
§)
+¿
r0
L_
(f)
tL¡
@
*

177. lntencionalidad pedagógica
En este capítulo conocerás conceptos básicos relacionados con el azar
(suceso, espacio muestral, probabilidad), que permitirán interpretar
fenómenos sujetos al azar o la casualidad. También aprenderás sobre
el ordenamiento de datos al realizar experimentos aleatorios simples o
eventos que expresan un modelo probabilístico y el espacio muestral.
Finalmente, lograrás representar una serie de sucesos a través de un
diagrama de árbol.
Capítulo
Probabilidad
(}
O
I
§
t
@
hr'-'
'!l
..,
i
BI
E-
ffih
ru-
,n
¡
r'!
\
$
^t
U
I
Pl r.-
x
El Perú es uno de los
países con mayor
diversidad de mariposas
en el mundo. Estas viven
mayoritariamente en la
Amazonía.
¿Sabes cuál es
la probabilidad de que, al
seleccionar una especie
de mariposa al azar, esta
provenga de la Amazonía?
Los antiguos griegos
construyeron dados
poliédricos, que
recordaban los sólidos
platónicos. Un dado en
forma de octaedro tenía
B posibles resultados.
¿Cómo se denomina a un
poliedro de 11 lados?
La probabilidad de que
una planta de pimientos
produzca pimientos rojos
es iguala la probabilidad
de que produzca pimientos
verdes. Los consumidores
creen que los pimientos
rojos son los más
comunes. ¿Cómo
podrías
refutar la hipótesis de los
consumidores?

178. Antes de comenzar ten en cuenta
¡ Porcentaje
r Recoiección y representaciÓn de datos estadisticos
. Gráficosestadísticos
o Azar y experimentü
¡
S¿cción inicial
Conceptos clave
. Probabilidacl
r Suceso o evento
. Espacio muestral
r Variable aieatoria
r [¡p¡rimenro¡le¿lorio.
Aprendizajes esperados
r Ordena datos al realizar experimentos aleatorios simples o de eventos
que expresan un modelo que caracterizan la probabilidad de eventos y
el espacio muestral.
r Plantea y resuelve situaciones referidas a eventos aleatorios a partir de
conocer un modelo referido a la probabiiidad.
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa ideas
matemáticas
. Expresa conceptos y relaciones entre experimento deterministico y alea-
torio, espacio muestral y sucesos, probabilidad, usando terminologías y
notaciones aportando a las expresiones de los demás.
r Representa con diagrama de árbol una serie de sucesos y halla el espa-
cio muestral de un experimento aleatorio para expresarlo por extensión
o por comprensión.
r Determina por extensiÓn y comprensiÓn el espacio muestral al resolver
problemas.
r Reconoce sucesos simples relacionados con una situación aleatoria.
r Calcula la probabilidad por la regla de Laplace.
¡ Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos mate-
máticos y recursos usados al resolver el problema.
Elabora y usa
estrategias
Propone conjeturas acerca del resultado de un experimento aleatorio
compuesto por sucesos simpies o compuestos.
ldentifica diferencias y errores en una argumentaciÓn.
f
a
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
gestión de datos e
incertidumbre
Razona y
argumenta
generando ideas
matemáticas
Competencia Capacidad !ndicadores
@

179. '
lntroducción
La probabilidad es una herramienta matemática que permite analizar y pronosticar el comportamiento de
ciertas variables. Los experimentos aleatorios se presentan en nuestra vida constantemente. Por ejemplo, al
momento de lanzar un dado, no se sabe con certeza su resultado, pero la probabilidad perm¡te determinar
la ocurrencia de eventos como este. 5i los productores de pimientos quisieran averiguar qué porcentaje
de pimientos de su cosecha serán verdes o rojos, podrían analizar la situación con base en la probabilidad.
Al seleccionar una especie de mariposas existe la probabilidad de determinar si son nativas de una región.
Experi mento determ in ístico
y aleatorio
Kevin y Diana están jugando alanzar una moneda y, de acuerdo con el resul-
tado que obtengan, determinarán quién debe limpiar la casa. Kevin escoge
caa,y Diana, sello. Después de hacer el lanzamiento, la moneda cae en sello,
de modo que Kevin es quien debe limpiar su casa. En este caso, saben que con
seguridad la moneda caerá bien sea en cara o en sello, pero Io que no pueden
saber es en cuál de las dos caerá y quién será el perdedor. Decimos que el
experimento de lanzar una moneda es aleatorio porque conocemos los posi-
bles resultados que obtendremos, pero no sabemos cuál de ellos se obtendrá.
Por el contrario, en un experimento determinístico se puede determinar pre-
viamente cuál será el resultado, porque solo hay uno posible.
Observa algunos ejemplos de experimentos aleatorios y deterministicos
a lVledir mi estatura
",
\Aarcar el número 991166273 en el
celular
a lVedir la distancia entre dos ciuda-
des
Revisa el libro El mentor de
matemát¡cas, de Gispert y
Navarro. Allí encontrarás más
ejemplos e ilustraciones de
experimentos.
Un experimento es una prueba que consiste en provocar un fenómeno
en unas condiciones determinadas con el fln de analizar sus efectos o de
veriflcar una hipótesis. según su resultado, puede ser determinístico o
aleatorio.
EI experimento es determinístico si en igualdad de condiciones se obtiene
el mismo resultado, y es aleatorio si en igualdad de condiciones se
pueden obtener diferentes resultados. Esto significa que el experimento es
aleatorio cuando no se puede predecir el resultado, pero síconocer todos
los posibles resultados.
@
Tabla 71.1
Experimento aleatorio Experimento determ inístico
',, El sorteo de un premio
,'.
lanzat dos dados y ver el resultado
,,'
Extraer una carta de una baraja de
naipes y ver lo obtenido
de biblioteca

180. - Sección central
Espacio muestral y sucesos
Una empresa quiere motivar a los 12 trabajadores de su departamento
de ventas para alcanzar la meta del mes. Para esto, les hará entrega de una
bonificación en dinero a cada uno y rifará entre ellos un fin de semana de
vacaciones con todos los gastos pagados para dos personas.
Al hacer la rifa, cualquiera de los 12 trabajadores puede ser el ganador. En
este caso, el conjunto de los 12 jugadores es el espacio muestral para el
experimento aleatorio 'Rifar un fin de semana de vacaciones con todos los
gastos pagos para dos personas".
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio
se denomrna espacio muestraly será denotado con el símbolo Q.
p r Ejemplo 1
André y SofÍa juegan a lanzar una moneda y anotar el resultado que sale
en la cara superior. ¿Cuántos
posibles resultados tendrán sl lanzan 3 veces
consecutivas la moneda?¿Qué pasará si las veces que lanzan la moneda
son 6?¿Cuántos posibles resultados tendrán?
Solución
Construyamos un diagrama de árbol
1..' lanzamiento
.."*_-..-.._"---> (
2.'lanzamie¡¡g -.*-- > f 5 C
5
5C
5
2l
1)
Z
3."'lanzamiento C 5C 5c
(
-)3
a
Al observar el diagrama de árbol, vemos que los posibles resultados son CCC
CCS, CSC, C55, SCC, 5C5, 55C y 555. Hay en total ocho posibles resultados. Para
responder a la segunda pregunta, podemos construir un diagrama de árbol,
pero será más conveniente aplicar el principio multiplicativo.
2(N'deranzamrenros) :
26 : 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 :
64 pOSibleS reSUltadOS
4r
» Ejemplo 2
Nancy quiere comprar un helado. En la nevería Sabores de Ayacucho ofrecen
las siguientes opciones: chocolate, vainilla, fresa, cobertura de almendra, co-
bertura de chispas de chocolate y maní.
a.
¿Cuántas
posibilidades diferentes de helados t¡ene?
b. ¿Cuántas
posibilidades hay en cada sabor?
. c. ¿Cuántas
opciones tendría Nancy si hubiera 5 coberturas y 4 sabores?
El diagrama de árbol muestra
todas las posibilidades de
ocurrencia de un evento dado.
Recuerda
Principio multiplicativo. Si un
evento A puede ocurrir de m
formas distintas, y un evento
B puede ocurrir de n formas
diferentes, entonces el número
de formas en las que pueden
ocurrirA y B es igual a m x n.
Recuerda
@

181. El conjunto espacio muestral
se denota por la letra griega O
(omega), donde n(O) es el nú-
mero de elementos del espacio
muestral.
Solución
Una forma de hallar las opciones posibles de helados o espacio muestral
es mediante un diagrama de árbol.
Sabores Cobertura
Almendra
Chispas
Maní
Posibles resultados
Almendra
Chispas
Maní
Almendra
Chispas
Maní
El diagrama de árbol muestra que ex¡sten 9 opciones, es decir, n(O) :
9.
Una manera más fácil de calcular las opciones de Nancy es multiplicar la can-
tidad de sabores por la cantidad de coberturas:
Sabores Coberturas
3 X 3 :9opciones
b. El diagrama de árbol muestra claramente que hay 3 opciones para cada
sabor.
c. Se multiplica4sabores por5 cobrerturas: 4 X 5:20
Nancy tendría 20 opciones diferentes de helado para escoger.
Suceso
Evento 1'.lanzar un dado y que salga 4.
A: {4}
=
n(A) : l, donde n(A) es el número de elementos del evento.
Evento 2'.Lanzar un dado y que salga un número impar.
B :
{,,3, 5}
=+
n(B) :3, donde n(B) es el número de elementos del evento.
Chocolate con almendra
Chocolate Chocolate con chispas
Chocolate con maní
Vainilla con almendra
Vainilla Vainilla con chispas
Vainilla con maní
Fresa con almendra
Fresa Fresa con chispas
Fresa con maní
Un suceso o evento (/) es un subconjunto del espacio muestral; es decir,
A C O. Un evento es Ia acción a la cual se le quiere estudiar su grado de
ocurrencia (probabilidad).
@
Recuerda

182. La notación matemática de
un suceso o evento es A, y
n(A) denota el número de
elementos del evento.
En los primeros I i meses de
2013, el volumen exportado de
pimiento piquillo fue 1B 083
toneladas, lo que implicó un
crecimiento de 6,8
o/0.
Según las cifras de Adex,
las principales empresas
exportadoras de esta variedad
de pimiento fueron Camposol,
Ecoacuícola, Sociedad
AgrÍcola Virú, Danper Trujillo,
Agroindustrias AlB, Recursos
lntegrados y Gandules, entre
otras.
Andina agencia peruana de
noticias. (201 4). Exportaciones de
pimiento piquillo crecieron 8.4 7o y
llegaron a 1B mercados.
Recuperado de http://www.
andi na.com.pe/agencia/noticia-
exportaciones-pimiento-piquil lo-
crecieron-84-y-ilegaron-a-1 B-
mercados-490757.aspx
Mi región
. Sección centrñl
. Suceso imposible es aquel que no ttene elementos y, por tanto, nunca ocu-
rrirá.
. Suceso simple o elemental es aquel que t¡ene un solo elemento.
. Suceso compuesto es aquel que tiene más de un elemento.
o Suceso seguro es aquel que es igual al espacio muestral y, por tanto, s¡em-
pre ocurrirá.
1 I Ejemplo 3
En un juego de mesa se trata de sacar números pares, impares o cero de la
serie de tarjetas que se muestran en la figura 72.1.
49071
32s68
Figura 72.1
a.
¿Cuál
es el espacio muestral?
b.
¿Cuáles
son los sucesos sobre los cuales se medirá la probabilidad?
c.
¿Cuál
es la posibilidad de sacar un número par, un nÚmero impar y cero?
Solución
a. Espacio muestral:n(O) :
10
b. Sea /el conjunto de los números impares delexperimento, Pel conjunto de
los números pares del experimento, y C el conunto cuyo elemento es 0.
I :
{1; 3; 5;7; 9}
=
n(/) :
5
P: {2;4;6;B}
=
n(P) :4
C:{oi
=n(O:1
c. Para obtener las posibilidades de sacar un número par, un número impar
o cero, calculamos el cociente entre los sucesos (1, P o O y el espacio
muestral(n(O).
.
',(1, -5 -o.5xroo:5oolo
n(O) t0
Hay 50 %o de posibilidades de que salga un número impar.
n(P) 4
a
-:-:
n(O) 10
0,4 x 100 :
40
0/o
Nay 40
0/o
de posibilidades de que salga un número par,
.',(Q-
1
-o,r x roo: ro,uo
n(O) 10
Hay 10 7o de posibilidades de que salga cero
@
@
Recuerda

183. c. La probabilidad matemática de obtener cada color es
f,
o ZSol0, y resultó
drferente de la probabilidad experimental de obtener cada color.
d. Los resultados se acercarian más a la probabilidad experimental. La pro-
babilidad matemática resulta más útil para predecir sucesos futuros.
Ejemplo 4
¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras si se lanza dos veces una
moneda?
Solución
La probabilidad de que salga cara o sello es P(A) :
J "n
ambos lanzamienros
de la moneda; entonces, se multiplica:
t1i .t1r :r1i :llt
\21 \21 \zl
\4t
Hay cuatro casos posibles al lanzar una moneda:
cara - cara sello - cara
cara - sello sello - sello
De todos estos casos, solamente uno es posible: cara-cara',por tanto, hay
+
o 25
o/o
de probabilidad.
Una ruleta (A) tiene números del 1 al
'16:
la mitad está en espacios en rojo y la
otra mitad en espacios en azul.
a.
¿Cuál es la probabilidad de que salga un número en la ruleta A?
b.
¿Cuál
es la probabilidad de que salga un número de una casilla roja Ar?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que salga cinco veces seguidas un número de
una casilla roja?
§olue ién
a. PA\: L
16
b. P(Añ:9 :
o.s
16
c. 0,55 :
0,0312 X 100 :3,12o/o.
La probabilidad de que salga cinco veces seguidas un número de una casill¿
roja es de 3,12o/o.
@
Revisa el libro Cuentos de
m ate mati cas, de Hervás.
Allí encontrarás actividades
que pondrán a prueba tus
habilidades interpretativas.
los de biblioteca Cuando dos eventos son independientes, es decir, cuando el resultado de
uno es independiente del resultado del otro, entonces la probabilidad de
que ambos sucedan se obtiene multiplicando Ias probabilidades de los dos
eventos.
Figura 73.3
t
gr I Ejemplo 5
I'

184. Lecturas,,
espCüializadas
. S¿cción final
o
Aumento de mariposas
en el Perú
Una de cada cinco de las especies de mariposas del
mundo se encuentra en el Perú. Este es otro récord
de la biodiversidad mundial que motiva a los aman-
tes de la naturaleza a vlsitar los bosques peruanos.
En el área de Pakitza, en el Parque Nacional del
Manu, se ha registrado la extraordinaria cantidad de
1300 especies. Y a tan solo 235 kilÓmetros de distan-
cia, en una pequeña casa de campo a lo largo del río
Tambopata, la cifra ascendió a 1260 especies. Lo sor-
prendente de estos descubrimlentos es que el 60 %o
de las especies descubiertas eran comunes en ambas
áreas. Los investigadores calculan que la diversidad
total de mariposas en el Perú podría superar las 4200
especies, 3700 de las cuales han sido registradas.
Los bosques tropicales son ambientes que albergan
la mayor variedad de mariposas. Entre ellos, se en-
cuentran los bosques del noreste fiarapoto y A/oyo-
bamba), los del sur fiambopata y l\/anu), que atra-
viesa el valle de Chanchamayo, y el área alrededor de
Tingo ltlaría en el departamento de Huánuco.
El Perú es, sin lugar a dudas, el país con mayor canti-
dad de especies de mariposas en el mundo. Este dato
se sustenta por el constante esfuerzo de biólogos
peruanos y extranjeros, especialistas en este recurso,
que clasifican año tras año nuevas especies. Existe la
probabilidad de que el número de nuevas especies
de mariposas aumente durante el próximo año.
Evangelisti, G. (2013). lvlariposas rojas [versión Adobe Digi-
tal Editionsl. Recuperado de html http'.//www.librosperua-
nos.com/l i bros/detalle/1 0929/Mari posas-rojas
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¡_**
F
7'
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E
-
a

185. Orqa
a"
nizador
vlsua
t
-
Pueden
ser
para
sucesos
espacio
muestral
Principios
de conteo
los cuales
utilizan
como
de
Utiliza
nociones de
identificar
determinar
permiten
conjuntos
t
como
simples
compuestos
determinar la
cantidad de
elementos.
principio de
adición.
principio de
multiplicación
experimentos
aleatorios
Probabilidad
expresar
situaciones
@
I
representaciones
gráficas (diagrama de
Venn).

186. . Sec:lrl
í:1,*1
Esther y Fabiola, estudiantes de la Universidad Nacional del Centro del Perú, quieren realizar un viaje por algunos
lugares del país. Su objetivo es conocer algunas costumbres y diferencias culturales, degustar la fabulosa
gastronomía y conocer la variedad de recursos naturales.
La agencia de viajes por la cual han tramitado su viaje les ofrece cuatro lugares turisticos para conocer: lvlachu
Picchu, Cusco, lquitos y Arequipa. El plan adquirido por Esther y Fabiola incluye únicamente dos de estos
lugares. Elabora una lista con las posibles combinaciones de viajes que pueden realizar las dos estudiantes.
Pasos paro la resolución del problema
cil3
*
=
:
=
@o
Comprendemos el problema
Debemos tener claro que bajo ninguna circunstancia Esther y Fabiola pueden cambiar las
condlciones del plan turístico adquirido, es decir, solo pueden visitar dos de estos lugares.
Diseñamos una estrategia
En la probabilidad y las técnicas de conteo, es muy útil involucrarse en la situaciÓn del pro-
blema, interpretar el enunciado con dibujos y optimizar la manera de llegar al resultado
sln necesidad de ejecutar todos los pasos. Recordemos que ser ordenado trae muchas
ventajas en la matemática. La estrategia será plasmar todas las posibles combinaciones de
lugares. Esto se hará mediante una tabla.
Aplicamos la estrategia heurística: Hacer una Iista sistemática
@o
a
ro
U.;:
.!!
!.-
:
§)
-C
a
.9
u)
§)
1)
E
)¿
a
tr¡
Machu Picchu
Cusco
Cusco
itos
It/achu Picchu
uitos
U
Machu Picchu
lquitos Cusco
UI
lrzlachu Plcchu
Arequipa Cusco
itos
De esta manera, podemos ver que hay 12 posibles formas de escoger los dos destinos,
pero es lo mismo ir a Cusco y a lquitos, que ir a lquitos y a Cusco. Luego debemos eliminar
las repeticiones (que son 6).
Esther y Fabiola tienen 6 opciones diferentes para elegir sus destinos turisticos.
Transferimos lo aprendido
Si Esther y Fabiola adquieren el plan que incluye tres de estos cuatro lugares,
¿cuáles
serÍan
las posibles opciones de viaje? Realiza una lista para describirlas.
Destino 2Destino 1
Huancayo
@9
@

187. @táifiietico
. Aproximación,40.
. Ampliación de figuras, p. 152
o Amplificación de fracciones, 32
. Área de un triángulo, 123.
. Área de un rectángulo, 123.
. Área de un cuadrado, 123.
. Área de un romb o, 123.
. Arista, 102.
. Aumentosporcentuales,56.
o
Cara lateral, 102.
o Cilindro, 105.
o Composición de transformaciones, p. 155
o Constantede proporcionalidad,48.
o Criba de Eratóstenes, 13.
o Criterios de divisibilid ad,12.
o
Cuadrad o, 122.
o Cubo,
'103.
. Cuerpo redondo, p. 102
¡ Descomposición polinómica de un
nalural,24.
o Descuentosporcentuales,56.
o Divisor de un número, 1 1.
. Diagonal, 127.
. Diagramas y gráficos de aumento porcentual,
58.
o Diagramas y gráficos de descuento porcen-
tual,58.
o Dominio de una función, 140.
o Ecuación equivalente, 80.
¡ Ecuación lineal, 78.
o
Escala,
'148.
o Espacio muestral, I79.
o Experimentoaleatorio,lTB.
. Experimento determinístico, 178.
o Fracción,30.
o Fracción decimal, p. 34
o Fracciones equivalentes, 32.
o Fraccioneshomogéneas,32.
o Fraccionesheterogéneas,32.
o Fracciones igual a la unidad,3l.
o Fracciones impropias, 31 .
o Fracciones propias, 31 .
o Frecuencia absoluta, l68.
o Frecuencia absoluta acumulada, i66.
o Frecuencia relativa, 169.
o Frecuencia relativa acumulada,
'166.
¡ Función lineal, 137.
o Gráfico circular, 169.
o Gráfico de barras, 169.
o Generatriz,l02.
¡ Histogra ma, 170.
o Homólogo, 156.
o lnecuación lineal, 94.
. lntercepto de una función con los ejes, p. 141
Localización de objetos, 149
o lVlagnitudes de proporcionalida directa,4g
o t\4apa, 148.
o Nláximo común divisor, 14.
o IVedia aritmética, I71.
o N/ediana, 171.
. lvledidas de tendencla central, 171.
o lvlínimo común múltiplo, 16.
o lVoda, l7'1.
. N/últiplos de un número, 1 1.
a
@

188. a
o Número compuesto, I3.
¡ Números decimales, 34.
o Números enteros, 17.
. Números naturales, 10.
o Números primos, 13
¡ Números racionales, p.33
Operaciones con los enteros, 19.
. Patróngeométrico,65.
o Paralelog ramo, 122.
. Patrón ciclico, 68.
o Pendiente de una recla,142.
o Perimetro,123.
o Pictogra ma, 169.
o Plano, 148.
o Poliedro, 102.
r Polígono, 121.
o Porcentaje,54
o Potenciación en N,22.
o Prisma, 103.
o Probabilidad,
'182.
o ProgresiÓn aritmética, 69.
o Propiedades de la potenciación,23.
o Propiedades de las operaciones con
números enteros,
,]9.
o Proporcionalidaddirecta,49.
o Proporcionalidad inversa, 135.
o Propiedad asoclativa, 19.
. Propiedad conmutativa, 19.
o Radio, p. 102.
o Rango de datos, 1 70.
o Rango de una funciÓn, 140.
o Razones proporcronales, p.48
o Recta numérica, 18.
o Rectánqulo,122.
A-Z
q
o Reducción a la unidad, 51.
o Reducción de figuras, p. 152
o Regla de tres simple drrecta, 52.
o Relación de orden en los enteros, 18.
o Rombo, 122.
r Rotación, 154.
. Segmento, 1 18.
o Semejanza,150.
o Semejantes, 156.
o Simplificación de fracciones, 33.
o Sistemas de numeración, 10.
o Suceso, I 80.
. Superficie, 123.
o Teoría de exponente, 23.
o Trapecio, 122.
. Trapezoide,122.
. Transformaciones geométricas,64.
o Traslación,64.
o Triángulos, 1 19.
o Valor absoluto, 19.
o Variable cualitativa, 164.
o Variable cuantitativa, 164.
. Variable estadística, 164.
o Variaciónporcentual,55.
o Vértice, 122.
o Volumen, 107.
@

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191. El 22 de julio de 2002, los representan-
tes de las organ¡zaciones políticas, re-
ligiosas, del Gob¡erno y de la sociedad
civil firmaron el compromiso de trabajar,
todos, para conseguir el bienestar y de-
sarrollo del país. Este compromiso es el
Acuerdo Nacional.
El acuerdo persigue cuatro objetivos fun-
damentales. Para alcanzarlos, todos los
peruanos de buena voluntad tenemos,
desde el lugar que ocupemos o el rol
que desempeñemos, el deber y la res-
ponsabil¡dad de decidir, eiecutar, vigilar
o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán
respetados como pol Íticas permanentes
para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, ado-
lescentes o adultos, ya sea como estu-
diantes o trabajadores, debemos promo-
ver y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos
que son los siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
La justicia, la paz y el desarrollo que ne-
cesilamos los peruanos sólo se pueden
dar s¡ conseguimos una verdadera de-
mocracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en
la que los derechos son respetados y
los c¡udadanos v¡ven seguros y expre-
san con libertad sus opiniones a partir
del diálogo ab¡erto y enriquecedor; deci-
diendo lo mejor para el país.
2. Equidad y Justicia Sociat
Para poder construir nuestra democra-
c¡a, es necesario que cada una de las
personas que conformamos esta socie-
dad, nos sintamos parte de ella. Con
este fin, el Acuerdo promoverá el acce-
so a las oportunidades económicas, so-
ciales, culturales y polÍticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo
digno, a una educación de calidad, a una
salud integral, a un lugar para vivir. Así,
alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Compet¡t¡vidad del País
Paru afianzar la economia, el Acuerdo
se compromete a fomentar el espíritu
de competitividad en las empresas, es
decir, me.iorar la calidad de los produc-
tos y servicios, asegurar el acceso a la
formalización de las pequeñas empre-
sas y sumar esfuerzos para fomentar la
colocación de nuestros productos en los
mercados internacionales.
4. Estado Efic¡ente, Transparente y
Descentral¡zado
Es de vital importancia que el Estado
cumpla con sus obl¡gaciones de mane-
ra eficiente y transparente para poner-
se al serv¡c¡o de todos los peruanos. El
Acuerdo se compromete a modernizar
la administración pública, desarrollar
instrumentos que eliminen la corrupción
o el uso indeb¡do del poder. Asimismo.
descentralizar el poder y la economia
para asegurar que el Estado sirva a to-
dos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nac¡onal nos com-
prometemos a desarrollar maneras de
controlar el cumplimiento de estas po-
lÍt¡cas de Estado, a brindar apoyo y di-
fundir constantemente sus acciones a la
sociedad en general.
EL ACUERDO NACIONAL

192. sínneoLos DE LA PATRTA
§b-?1''ff-' %
I Somos libres, seámoslo s¡empre 7
¡
y antes niegue sus luces el Sol,
r
oue faltemos al voto solemne
\:x'K:"8
Todos los seres humanos nacen l¡bres e iguales en d¡gnidad y derechos ¡
(...) deben comportars€
fratemalmente los unos con los otros.
Artículo 2
Toda persona tienelos derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin d¡stinción alguna de
raza, color, sexo, idioma, religión, opinión polit¡cá o de cualquier otra índole, origen nacional ó social,
posición económic¿, nacimiento o cualqu¡er otra cond¡ción. Además, no se hárá d¡stjnción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o tenitorio de cuya jurisdicciln
dependa una persona (...).
AÍículo 3
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la segur¡dad de su persona.
Artículo 4
Nadie estará sometido a esclavitud ni a seNidumbre; la esclavitud y la frata de esclavos están
prohibidas en todas sus formas.
tutículo 5
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tJatos crueles, inhumanos o degradantes.
Articulo 6
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, ál recon$imiento de su personalidad jurídica.
Arthulo 7
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin dislinc¡ón, derecho a igual protecc¡ón de la ley. Todos tienen
derecho a igual protecc¡ón contra toda discnm¡nacion que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8
Toda persona tiene derecho a un recurso etctivo, ante los tribunales nacionales competentes, que Ia
ampare mntra actos que v¡olen sus derechos fundamentales (...).
Artículo 9
Nad¡e podrá ser aóitrariamenle detenido, pres ni deslerrado.
Artículo l0
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena iguddad, a ser oída públicamente y con justicia
por un tribunal ¡ndependiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaiiones o para
el examen de cualquier acusación contra ella en maleria penal.
Añículo 1l
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mienkas no se
pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictjvos
según el Derecho nacional o internac¡onal. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable
en el momento de la comis¡ón del delito.
Artículo 12
Nad¡e será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspon-
dencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la pmtección de la
ley contra tales ¡njerencias o ataques.
Artículo 13
1 . Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el teritorio de un
Estado.
2. Todapersonatienederechoasalirdeolalqu¡erpais,inclusoelpropio,yaregresarasupais.
Artículo 14
1 . En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a d¡sfrutar de é1, en cualquier
pars.
2. Este derecho no podrá ser invocado conta una acc¡ón judicial realmente originada por delitos
comunes 0 por actos opuestos a los propositos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacional¡lad.
Artículo 16
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin resficción alguna por
molivos de raza, nacional¡dad o religión, a casarse y fundar una famil¡a (...).
2. Sólo mediante libre y pleno consent¡miento de los futuros esposos podrá conlraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemenlo natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la
soc¡edad y del Estado.
Artículo 17
'1 . Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado aóitariamente de su propiedad.
Artículo 18
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...).
Artículo l9
Todo individuo tiene derecho a la l¡bertad de opinión y de expresión (...).
Art¡culo 20
1. Toda persona tiene derecho a la l¡bertad de reunión y de asociación pacmcas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Escudo
1 . Toda persona tiene derecho a parl¡cipar en el gobiemo de su país, directamente o por medio de
representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condic¡ones de igualdad, a las funciones públicás de
su país.
3. La vo[rtad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará
mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio un¡versal e
igual y por do screto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Arthulo 22
Toda persona (...) tiene dsecho a la segurHad social, y a obtens, (...) habida cuenta de la organiza-
ción y los recursos de cada Estado, la satisfaccién de los derechos económ¡ms, sociales y culturales,
indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23
'1.
Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a cond¡ciones equitativas y
satisfactorias de trabajo y a la protección conta el desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin d¡scriminacióñ alguna, a igual salario por trabajo igual.
3. Toda permna que trabáje tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le
asegure, así corno a su familia, una existencia confome a la dignidad humana y que será
completada, en cas necesario, por dalesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tbne derecho a fundar s¡ndicatos y a sindicarse para la defensa de sus ¡ntereses.
Artículo 24
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo l¡bre, a una l¡mitac¡ón razonable de la
durac¡ón del trabajo y a vac€ciones periódims pagadas.
Artículo 25
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la
salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los
servicim sociales necesarios; t¡ene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo,
enfermedad, invalidez, viudez, vejez y otros casos de pérdida de sus medios de subsistencja por
circunstanc¡as independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y as¡stencia especiales. Todos los niños,
nacidos de malimonio o fuera de mahimonio, lienen derecho a ¡gual protección soc¡al.
Adículo 26
1. Toda persona tiene derecho a la edúcación. La educacjón debe ser gratuita, al menos en Io
concem¡ente a la inshuccicn elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La
instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será
igual para todos, en función de los mérilos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el plerb desano{o de la personalidad humana y el fortalecimiento
del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la
tolerancia y Ia amistad enke todas las naciones y todos los grupos étn¡cos o religiosos; y promoverá
el desarollo de las acüvidades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el t¡po de educación que habrá de darse a sus
hijos.
Artículo 27
1. Toda persona tiene derecho a lomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar
de las artes y a pailicipar en el progreso científm y en los benefc¡os que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intercses morales y materiales que le conespon-
dan por razón de las producclones científicas, l¡terarias o artisticás de que sea autora.
Artículo 28
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internac¡onal en el que los derechos
y libertades proclamados en esta Dedaración se hagan plenamente eftrtivos.
Artículo 29
1. Toda persona t¡ene deberes respecto a la comunidad{...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el dishfe de sus |ibertades, toda persona estará solamente
sujeta a la6 limitaciones establecidas por la ley con d tfiieo fn de asegurar el reconocimiento y el
respeto de los fuechos y libertades de los demás. y & satisfacer las justas exigencias de la moral,
del orden público y del bienestar general en una socbdad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán en ningún caso ser ejercidos en opos¡ción a los propósitos y
principios de las Naciones Unilas.
Artículo 30
Nada en la presente Declaración podÉ inlerpretarse en el sentjdo de que confere derecho alguno al
Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarcllar actividades (...) tendientes a la
supresión de c{alquiera de los deredos y libertades proclamados en esta Dedaración.
Bandera Himno Nacionaldel Perú
Artículo I
DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Un¡das aprobó y proclamó
la Declaración Universal de Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a coñtinuación:
Artículo 21
DISTRIBUIDO GRATUITAMENTE POR EL MINISTERIO DE EDUCACÉN .
PROHIBIDA SU VENTA