ToancaocapKiSu1_chuong_3.pdfspkttphcmthu

Toán ks

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH BỘ MÔN TOÁN
HCMC University of Technology and Education
TOÁN CAO CẤP CHO KỸ SƯ 1 (MATH133101)
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
Phan Phương Dung
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1 / 29

2. Nội dung
1
3.1. Đường cong nghiệm
2
3.2. Phương trình vi phân tách biến
3
3.3. Phương trình vi phân tuyến tính
4
3.4. Phương trình vi phân toàn phần
5
3.5. Phương pháp đổi biến giải phương trình vi phân
6
3.7. Mô hình tuyến tính
7
3.8. Mô hình phi tuyến
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2 / 29

3. 3.1. Đường cong nghiệm
3.1. Đường cong nghiệm
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 3 / 29

4. 3.1. Đường cong nghiệm
Phương pháp đồ thị để tìm đường cong nghiệmMột phương pháp đồ thị để tìm đường
cong nghiệm là sử dụng trường hướng (direction field).
Xét phương trình vi phân cấp một
dy
dx
=f(x,y). Tại mỗi điểm(x,y)trên mặt phẳng,
một đoạn thẳng ngắn qua điểm này và có hệ số gócf(x,y)được gọi làmột thành phần
tuyến tính (lineal element)của phương trình. Một nghiệmy=y(x)của phương trình
có đồ thị qua điểm (x,y) thì tiếp xúc với thành phần tuyến tính tại điểm đó.
Tập hợp tất cả các thành phần tuyến tính trên mặt phẳng của phương trình
dy
dx
=f(x,y)
được gọi làtrường hướng (trường thế, direction field)của phương trình này.
Trường hướng cho thấy hình dáng của họ các đường cong nghiệm. Kết hợp với điều kiện
đầu, nó cho thấy hình dạng của nghiệm của một IVP.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 4 / 29

5. 3.1. Đường cong nghiệm
Trường hướng của phương trình vi phân
dy
dx
=0.2xy.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 5 / 29

6. 3.1. Đường cong nghiệm
Việc vẽ trường hướng bằng tay rất vất vả. Chúng ta thường sử dụng các phần mềm
(geogebra, Maple...) để vẽ trường hướng của một phương trình vi phân.
Link geogebra: https://www.geogebra.org/m/W7dAdgqc
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 6 / 29

7. 3.2. Phương trình vi phân tách biến
Phương trình vi phân tách biến
Dạng:
dy
dx
=
g(x)
f(y)
.
Phương pháp giải:
+ Tách biến đưa về dạng vi phân:f(y)dy=g(x)dx.
+ Lấy tích phân riêng từng vế:
Z
f(y)dy=
Z
g(x)dx.
Ví dụ.Giải phương trình vi phân
dy
dx
=
x
y
.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 7 / 29

8. 3.2. Phương trình vi phân tách biến
3.2. Phương trình vi phân tách biến
Định luật Newton về sự ấm lên hay nguội điCông thức toán học của luật Newton về sự
ấm lên hay nguội lạnh của một vật là dạng tuyến tính bậc nhất
dT
dt
=k(T−Tm)
trong đóklà hằng số tỉ lệ.T(t)là nhiệt độ của vật tại thời điểmt>0 vàTmlà nhiệt độ môi
trường.
Ví dụ (Sự nguội đi của bánh)
Khi một cái bánh được đưa ra khỏi lò, nhiệt độ của nó đo được là 150
0
C. Ba phút sau, nhiệt
độ của nó đo được là 90
0
C. Mất bao lâu để bánh nguội đến nhiệt độ của phòng 30
0
C?
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 8 / 29

9. 3.3. Phương trình vi phân tuyến tính
3.3. Phương trình vi phân tuyến tính
Dạng tổng quát f(x)
dy
dx
+g(x)y=h(x).
Dạng chuẩn
dy
dx
+P(x)y=Q(x).
Ví dụ
Phương trình vi phân
dy
dx
−
y
x
=e
−x
là tuyến tính cấp 1, ở dạng chuẩn vớiP(x) =−
1
x
vàQ(x) =e
−x
.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 9 / 29

10. 3.3. Phương trình vi phân tuyến tính
Phương trình vi phân tuyến tính
Nghiệm tổng quát của một PTVP tuyến tính cấp một
PTVP tuyến tính cấp một dạng chuẩn
dy
dx
+P(x)y=Q(x)
có nghiệm tổng quát là
y=
1
I(x)
»Z
I(x)Q(x)dx+c
–
trong đóI(x) =e
R
P(x)dx
, với mũ là một nguyên hàm bất kì củaP(x), vàClà một hằng số
bất kì.
I(x)được gọi làthừa số tích phâncủa phương trình vi phân.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 10 / 29

11. 3.3. Phương trình vi phân tuyến tính
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
x
dy
dx
+y=xe
2x
,x>0.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 11 / 29

12. 3.3. Phương trình vi phân tuyến tính
3.3. Phương trình vi phân tuyến tính
Mô hình mạch RCTrong một mạch RC
gồm một điện trở có độ trở khángRvà một
tụ điện có điện dungCmắc nối tiếp, định
luật vòng kín (định luật Kirchoff 2) cho ta
phương trình vi phân
Ri+
1
C
q=E(t),
vớiilà cường độ dòng điện trong mạch, vàq
là điện tích tích tụ ở tụ điện tại thời điểmt,
E(t)là suất điện động ở đầu mạch.
Tuy nhiên,i=
dq
dt
nên ta có
R
dq
dt
+
1
C
Q=E(t).
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 12 / 29

13. 3.3. Phương trình vi phân tuyến tính
Ví dụMột suất điện động 100 volt được đặt ở đầu một mạch RC, trong đó điện trở R = 200
ohm và điện dungC=10
−4
farah. Tìm điện tíchq(t)trên tụ điện nếuq(0) =0. Tìm cường
độ dòng điệni(t)trong mạch.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 13 / 29

14. 3.4. Phương trình vi phân toàn phần
3.4. Phương trình vi phân toàn phần
Dạng:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, trong đóPy=Qx.
Ví dụ:Phương trình(x
2
+y)dx+ (x+y)dy=0 là một PTVP toàn phần.
Phương pháp giải:Tìm hàm thế vịu(x,y)thoảux=P(x,y),uy=Q(x,y). Kết luận
tích phân tổng quát của PTVP:u(x,y) =c, vớic∈R.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 14 / 29

15. 3.4. Phương trình vi phân toàn phần
Ví dụGiải PTVP (x
2
+y)dx+ (x+y)dy=0.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 15 / 29

16. 3.4. Phương trình vi phân toàn phần
Phương trình đưa được về dạng toàn phần
Một số PTVPP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 vốn không toàn phần, nhưng tồn tại thừa số
tích phânµ(x,y)sao cho
µ(x,y)P(x,y)dx+µ(x,y)Q(x,y)dy=0
toàn phần.
Một vài trường hợp đặc biệt có thể tìmµ(x,y):
*
1
Q
(Py−Qx) =R(x)⇒µ(x) =e
R
R(x)dx
.
*
1
P
(Qx−Py) =R(y)⇒µ(y) =e
R
R(y)dy
.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 16 / 29

17. 3.4. Phương trình vi phân toàn phần
Ví dụ.Tìm thừa số tích phân để đưa phương trình sau về dạng toàn phần
y
2
(x−y)dx+ (1−xy
2
)dy=0.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 17 / 29

18. 3.5. Phương pháp đổi biến giải phương trình vi phân
3.5. Phương pháp đổi biến giải phương trình vi phân
Xét phương trình vi phânF(x,y,y
′
) =0.
Đặtu=h(x,y)(điều kiện:u=h(x,y)⇔y=g(x,u)).
Đưa PTVPF(x,y,y
′
) =0 về dạngG(x,u,u
′
) =0.
Giải PTVPG(x,u,u
′
) =0, sau đó thayu=h(x,y).
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 18 / 29

19. 3.5. Phương pháp đổi biến giải phương trình vi phân
Phương trình vi phân thuần nhất
Dạng:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 thoả
P(tx,ty) =t
α
P(x,y);Q(tx,ty) =t
α
Q(x,y),
vớiαlà hằng số.
Phương pháp giải:Đặty=uxhoặcx=uyđể đưa phương trình về dạng tách biến.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 19 / 29

20. 3.5. Phương pháp đổi biến giải phương trình vi phân
Ví dụ.Giải phương trình vi phân
(x
2
+y
2
)dx+ (x
2
+xy)dy=0.
Chú ý
Trong thực hành, khi hàmP(x,y)đơn giản hơnQ(x,y), ta nên dùng phép đổi biếnx=uy.
Hơn nữa, trong trường hợp đổi biến dẫn đến việc tính một tích phân rất phức tạp, ta nên
chuyển từ phép đổi biến này sang phép đổi biến kia.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 20 / 29

21. 3.5. Phương pháp đổi biến giải phương trình vi phân
Phương trình vi phân Bernoulli
Dạng:y
′
+f(x)y=g(x)y
α
(*).
Phương pháp giải:
α=0,1: (*) là PTVP tuyến tính cấp 1.
α̸=0,1:
+ Kiểm tra rằngy=0 có là một nghiệm của (*) không.
+y̸=0:(∗)⇔
y
′
y
α
+f(x).y
1−α
=g(x)(**).
Đặtz=y
1−α
để đưa phương trình (**) về dạng phương trình tuyến tính.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 21 / 29

22. 3.5. Phương pháp đổi biến giải phương trình vi phân
Ví dụ.Giải PTVP:y
′
+
1
x
y=x
2
y
2
,x>0.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 22 / 29

23. 3.7. Mô hình tuyến tính
3.7. Mô hình tuyến tính
Mô hình mạch RL Một mạch RL là một mạch với điện trở hằng R và một cuộn cảm
hằng L mắc nối tiếp.
Hiệu điện thế ở hai đầu điện trở được tính bởi
VR=IR.
Hiệu điện thế ở hai đầu cuộn cảm được tính
bởi
VL=L
dI
dt
.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 23 / 29

24. 3.7. Mô hình tuyến tính
Định luật Kirchhoff về hiệu điện thế nói rằng nếu mạch đóng kín tại thời điểmt=0, thì suất
điện động áp dụng ở đầu mạch bằng với tổng hiệu điện thế ở phần còn lại của mạch.
Điều này
đưa đến phương trình vi phân sau
RI+L
dI
dt
=E.
Chia hai vế của phương trình vi phân cho L, ta thấy rằng nó là một phương trình vi phân
tuyến tính cấp một
dI
dt
+
R
L
I=
E
L
.
Giả sử khit=0,I=0.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 24 / 29

25. 3.7. Mô hình tuyến tính
Ví dụ
Cho một mạch RL mắc nối tiếp vớiR=12 ohm,L=4 henry và suất điện động ở đầu mạch
E(t) =4sin(t)volt. Tìm cường độ dòng điệnI(t)trong mạch ở thời điểmt(giây) , biết
I(0) =0 ampe.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 25 / 29

26. 3.7. Mô hình tuyến tính
Mô hình hoà tan
Ví dụ
Một bể chứa 20 lb muối hòa tan trong 50 gal nước. Giả sử mỗi phút có 3 gal nước muối,
trong đó mỗi gal chứa 2 lb muối chảy vào bể và hỗn hợp (được khuấy đều) này chảy ra khỏi
bể với tốc độ 2 gal/phút. Tìm lượng muối trong bể tại thời điểm t. Có bao nhiêu muối trong
bể sau 1 giờ?
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 26 / 29

27. 3.8. Mô hình phi tuyến
3.8. Mô hình phi tuyến
Mô hình phản ứng hóa học
Giả sửagam chất A được trộn lẫn vớib) gam chất B. Nếu cómphần của A vànphần của B
tham gia tạo thành hợp chất, vàx(t)là số gam chất C được tạo thành, thì số gam chất A và
chất B còn lại ở thời điểmtlần lượt làa−
m
m+n
x,b−
n
m+n
x. Theo law of mass action,
tốc độ phản ứngx
′
(t)tỉ lệ với tích các lượng chất còn lại. Nghĩa là
dx
dt
∼
„
a−
m
m+n
x
« „
b−
n
m+n
x
«
.
Đặt
m
m+n
x,
n
m+n
xlàm thừa số chung, và giới thiệu hằng sốk>0 ta có dạng
dx
dt
=k(α−x)(β−x), trong đóα=a(m+n)/m,β=b(m+n)/n.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 27 / 29

28. 3.8. Mô hình phi tuyến
Ví dụMột hợp chất C được tạo thành khi kết hợp hai chất A và B. Theo kết quả phản ứng,
với mỗi gam chất A, 4 gam chất B được dùng. Theo quan sát, 30 gam chất C được tạo thành
sau 10 phút. Xác định lượng chất C ở thời điểm t nếu tốc độ phản ứng tỉ lệ với lượng chất A,
B còn lại; và ban đầu có 50g chất A, 32 gam chất B.
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 28 / 29

29. Bài tập
Bài tập
1
Giải bài toán giá trị đầu:(x+y)
2
dx+ (2xy+x
2
−1)dy=0,vớiy(0) =1.
2
Tìmkđể phương trình(y
3
+kxy
3
−4x)dx+ (3xy
2
+20x
2
y
2
)dy=0 là phương trình vi
phân toàn phần. Giải phương trình vớikvừa tìm được.
3
Giải phương trình vi phân(y
2
+xy)dx+x
2
dy=0 bằng cách đổi biến.
4
Giải phương trình Bernoullix
dy
dx
+y=
1
y
2
.
5
Cho một mạch RL mắc nối tiếp với điện trởR=10 (Ω), cuộn cảmL=2 (H) với suất
điện độngE(t) =3cos2t(V) ở đầu mạch. Tìm cường độ dòng điệni(t)trong mạch ở
thời điểmtbiếti(0) =0 (A).
Phan Phương Dung Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 29 / 29